fisica 1Quaderno operativo

ISBN

9788846829566

QUADERNO OPERATIVO FISICA 2 ISBN

9788846829573

Roberta Pirovano

QUADERNO OPERATIVO FISICA 1

Mario Gatti

La nuova collana di quaderni operativi per la Scuola Secondaria di II grado è stata progettata per il recupero e il consolidamento delle più importanti discipline scolastiche.

• Tutti i volumi presentano una spiegazione teorica sintetica che precede l’ampia batteria di esercizi, eseguibili direttamente sul libro.

• La grafica è brillante e moderna e la trattazione degli argomenti è corrispondente ai programmi svolti durante l’anno scolastico.

• Si possono quindi usare in aggiunta ai libri di testo o come compiti per le vacanze estive.

QUADERNO OPERATIVO FISICA 3 ISBN

Mario Gatti Roberta Pirovano

9788846829580

Fisica 1

Fisica QUADERNO OPERATIVO CHIMICA ISBN

9788846828101

Quaderno operativo per il recupero e il consolidamento

97

ig 1 6-6 Sp a 295 La sic 468Fi 8-88-

BN IS

Questo volume sprovvisto del talloncino a fianco è da considerarsi campione gratuito fuori commercio.

FISICA 1 € 6,90

1

a

Indice Unità 1

Grandezze fisiche e misure Introduzione alla fisica.....................................................4 Grandezze fisiche e misure............................................4 Errori di misura....................................................................8 Test, quesiti, esercizi...................................................... 11

Unità 2

Vettori Scalari e vettori................................................................. 17 Somma e differenza tra vettori................................. 20 Prodotto scalare e vettoriale...................................... 22 Scomposizione vettoriale. ........................................... 24 Test, quesiti, esercizi...................................................... 27

Unità 3

Moto e moti in una dimensione Il moto in fisica.................................................................. 33 Moto rettilineo uniforme.............................................. 36 Moto rettilineo uniformemente accelerato........ 38 Caduta libera dei corpi.................................................. 41 Moto armonico.................................................................. 43 Test, quesiti, esercizi...................................................... 46

Unità 4

Moti in due dimensioni Moto in due dimensioni................................................ 55 Moto circolare.................................................................... 56 Moto parabolico di un proiettile.............................. 59 Test, quesiti, esercizi...................................................... 62

Unità 5

Forze ed equilibrio Forze e momento di una forza.................................. 69

fisica 1

Quaderno operativo di Mario Gatti Roberta Pirovano

Coordinamento editoriale Beatrice Loreti Redazione Niccolò Terzi Art director Marco Mercatali Responsabile di produzione Francesco Capitano Progetto grafico A.G.I. Bologna impaginazione Alberto Sangiorgi Copertina Studio Airone

Equilibrio di un punto materiale.............................. 72 Equilibrio di un corpo rigido...................................... 75 Macchine semplici........................................................... 77 Test, quesiti, esercizi...................................................... 79

Unità 6

Principi della dinamica e gravitazione Principi della dinamica. ................................................ 88 Applicazione dei principi della dinamica............ 90 Dinamica del moto su piano inclinato.................. 93 Dinamica del moto circolare...................................... 94 Dinamica del moto armonico.................................... 95 Gravitazione........................................................................ 97 Test, quesiti, esercizi...................................................... 99

Unità 7

Lavoro, energia e quantità di moto Lavoro e potenza............................................................110 Energia meccanica e conservazione....................111 Quantità di moto e conservazione. .......................114 Urti.........................................................................................115 Test, quesiti, esercizi....................................................117

Unità 8

Dinamica rotazionale Moto rotatorio di un corpo rigido.........................125 Momento d’inerzia ed energia cinetica di rotazione........................................................................127 Momenti e conservazione..........................................129 Test, quesiti, esercizi....................................................132 Soluzioni. ............................................................................138

© 2011 ELi - La Spiga Via Soperga, 2 Milano Tel. 022157240 info@laspigaedizioni.it www.laspigaedizioni.it ELi Via Brecce – Loreto Tel. 071750701 info@elionline.com www.elionline.com

Stampato in Italia presso Grafiche Flaminia Foligno 11.83.137.0 ISBN 978-88-468-2956-6 Tutti i diritti riservati. È vietata la riproduzione totale o parziale così come la sua trasmissione sotto qualsiasi forma o con qualsiasi mezzo senza l’autorizzazione scritta della casa editrice.

Presentazione I volumi sono rivolti agli studenti della scuola secondaria di secondo grado e si propongono come supporto operativo per il ripasso di argomenti di fisica che spesso sono origine di difficoltà e incertezza.

Ciascun volume è fruibile in supporto al libro di testo durante l’anno scolastico o durante le vacanze estive in previsione di eventuali esami di riparazione.

Le unità che compongono i volumi sono fra loro indipendenti e possono essere consultate in modo non sequenziale e senza l’aiuto dell’insegnante.

Ciascuna unità è suddivisa nelle seguenti quattro parti.

Teoria Descrizione ed analisi degli argomenti dell’unità, accompagnate da figure ed esempi. I paragrafi sono strutturati mediante precise domande con le relative risposte che sviluppano l’argomento.

Test Insieme di domande a risposta multipla con cui lo studente può verificare in maniera immediata la sua padronanza sugli argomenti trattati nella teoria.

Quesiti Insieme di domande che comportano una risposta discorsiva e articolata sugli argomenti trattati nella teoria, al fine di abituare lo studente a esporre in modo corretto in preparazione di una eventuale prova orale, e come ulteriore verifica della sua preparazione.

Esercizi Insieme di esercizi che richiedono una completa padronanza degli argomenti trattati nella teoria, in preparazione di eventuali verifiche scritte. Alcuni esercizi sono completamente svolti e sono utilizzabili come traccia per risolvere esercizi simili; per altri esercizi si propongono solo suggerimenti.

Nel terzo volume vengono proposti anche problemi assegnati negli ultimi anni agli esami di stato.

Piano dell’opera Volume 1 Si introducono gli strumenti necessari per affrontare lo studio della fisica. Si prosegue con le caratteristiche del moto e con le cause che lo generano. Completano il volume l’equilibrio tra forze e concetti fondamentali quali il lavoro e l’energia.

Volume 2 Inizia con le leggi che regolano la statica e la dinamica dei fluidi. Prosegue con le proprietà del moto ondoso applicate all’acustica e all’ottica. Si affrontano i fenomeni che coinvolgono il calore e la temperatura, quindi le trasformazioni dei gas perfetti con richiami di teoria cinetica. Si conclude con i principi della termodinamica e la definizione di entropia.

Volume 3 Inizia con i fenomeni statici elettrici e magnetici. Prosegue con le proprietà della corrente elettrica nei solidi e nei liquidi, e l’interazione della corrente con il campo magnetico. Si continua con una breve rassegna dei metodi di risoluzione di circuiti elettrici in continua e con accenni ai circuiti elettrici in alternata.

Si conclude con le equazioni fondamentali dell’elettromagnetismo e le onde elettromagnetiche.

UNITÁ

1

Grandezze fisiche e misure

Prerequisiti • sistema metrico decimale e suoi multipli e sottomultipli • calcolo con potenze di 10 ed esponente negativo • spostamento della virgola in un numero con parte intera e decimale

Teoria Introduzione

alla fisica

1 Perché è importante la fisica?

La fisica ha un duplice scopo: (1) tradurre i fenomeni che avvengono nel mondo reale in teorie e leggi fisiche, (2) prevedere l’evoluzione dei fenomeni se sottoposti a determinati stimoli. Traduzione e previsione sono svolti utilizzando le regole della matematica e della geometria. L’approccio razionale della fisica ha importanti ripercussioni su ricerca scientifica e tecnologia.

2 Come la fisica rappresenta il mondo reale?

Di un certo fenomeno individua le grandezze fisiche, cioè quelle caratteristiche che è possibile misurare e quantificare. Dalle grandezze fisiche costruisce un modello matematico che simula il comportamento del fenomeno.

Per verificare la bontà del modello si adotta il metodo sperimentale: si riproduce più volte il fenomeno con esperimenti e si controlla se i risultati ottenuti coincidono con quelli elaborati dal modello.

Grandezze

fisiche e misure

3 Cosa occorre per definire una grandezza fisica?

Ogni grandezza fisica è definita dalla descrizione della procedura e della strumentazione necessari per misurarla.

4 Cosa significa misurare una grandezza fisica?

Misurare una grandezza fisica significa stabilire una sua unità di misura e determinare quante volte l’unità di misura è contenuta nella grandezza fisica.

Esempio Affermare che un pezzo di stoffa è lungo 2 metri significa che l’unità di misura (il metro) è contenuta 2 volte nella grandezza fisica (la lunghezza della stoffa).

5 Come si stabilisce un’unità di misura?

L’unità di misura di una grandezza fisica è stabilita da un campione di misura. In passato i campioni di misura erano oggetti che fornivano direttamente l’unità di misura; attualmente sono estrapolati da fenomeni fisici.

Esempio L’unità di misura metro della grandezza fisica lunghezza è definita come la distanza percorsa nel 1 vuoto dalla luce in di secondo temporale.

299 792 458

4

Grandezze fisiche e misure

Teoria

6 Quali sono le grandezze fisiche fondamentali?

Le grandezze fisiche fondamentali sono elencate in Tabella 1.1 accompagnate dalle rispettive unità di misura con relativo simbolo.

Grandezza fisica

Unità di misura

Simbolo

metro

m

Tempo

secondo

s

Massa

kilogrammo

kg

ampere

A

kelvin

K

candela

cd

mole

mol

Lunghezza

Corrente elettrica Temperatura Intensità luminosa Quantità di sostanza

Tabella 1.1 L’insieme delle unità di misura delle grandezze fondamentali è definito Sistema Internazionale (SI) o sistema MKS, acronimo delle unità di misura metro, kilogrammo e secondo. Esiste anche il sistema CGS il cui acronimo indica come unità di misura il centimetro (simbolo cm) per la lunghezza, il grammo (simbolo g) per la massa, e sempre il secondo (simbolo s) per il tempo.

7 Come si scrive il valore di una grandezza fisica in notazione scientifica?

La notazione scientifica consiste nell’esprimere il valore di una grandezza fisica come prodotto tra un numero N, con 1 ≤ N < 10, e una potenza di 10, cioè: N ⋅ 10± n

(1.1)

con n ∈ N; il segno dell’esponente è positivo se il valore scritto in notazione scientifica è maggiore di 1, negativo se è compreso tra 0 e 1.

Per certi valori degli esponenti di 10 nella (1.1) si sono stabiliti dei prefissi letterali (Tabella 1.2) che si applicano alle unità di misura per esprimere i loro multipli e sottomultipli di 10. Se l’unità di misura compare con il relativo simbolo si usa il simbolo del prefisso.

Esempio Il farad (F) è l’unità di misura della capacità elettrica. Il valore di 2 · 10–9 farad (oppure 2 · 10–9 F) si può scrivere come 2 nanofarad (2 nF): infatti dalla tabella, la potenza 10–9 corrisponde al prefisso “nano” con simbolo “n”.

Multipli

Sottomultipli

Potenza di 10

Prefisso

Simbolo

10

1

deca

102

etto

Prefisso

Simbolo

da

–1

10

deci

d

h

10–2

centi

c

10

kilo

k

10

milli

m

10

mega

M

10

micro

μ

109

giga

G

10–9

nano

n

1012

tera

T

10–12

pico

p

10

eta

P

10–15

femto

f

18

10

exa

E

10

atto

a

1021

zeta

Z

10–21

zepto

z

10

yotta

Y

10

yocto

y

3 6

15

24

Potenza di 10

–3 –6

–18

–24

Tabella 1.2

5

unità 1

Teoria

8 Come si determina l’ordine di grandezza di una grandezza fisica?

Si approssima a sola potenza di 10 il valore della grandezza fisica in notazione scientifica (1.1), cioè: N ⋅ 10± n ≈ 10± k

dove k e n assumono valori interi positivi (0, 1, 2, 3…). Inoltre: • se N ≥ 5, per k si aumenta di 1 l’esponente n • se N < 5, k = n.

9 Che cosa è la dimensione di una grandezza fisica?

La dimensione di una grandezza fisica indica la tipologia della grandezza, indipendentemente dall’unità di misura adottata per misurarla.

Esempio Lo spessore di una lamina di metallo misurata in millimetri e l’altezza di un palazzo misurata in metri hanno come medesima dimensione la lunghezza.

In Tabella 1.2 sono elencate le tre principali grandezze fisiche fondamentali con le relative dimensioni (già dichiarate dai loro stessi nomi). Per convenzione i simboli delle dimensioni hanno l’iniziale della relativa grandezza fisica posta fra parentesi quadra.

Grandezza fondamentale

Dimensione

Simbolo

lunghezza

lunghezza

[L]

tempo

tempo

[T]

massa

massa

[M]

Tabella 1.3 10 Quali sono le grandezze fisiche derivate?

Ogni grandezza fisica definita tramite grandezze fisiche fondamentali è classificata come grandezza fisica derivata.

Le unità di misura e le dimensioni di una grandezza derivata sono stabilite dalle grandezze fondamentali che la compongono.

Esempio La velocità è una grandezza fisica derivata perché è definita dalle grandezze fondamentali lunghezza s e s tempo t secondo la formula v = . L’unità di misura di v è m/s e la sua dimensione [v] = [L]/[T]. t 11 Perché è importante l’analisi dimensionale?

L’analisi dimensionale è utile per verificare la correttezza di una formula fisica. Una formula è un’uguaglianza tra grandezze fisiche: sostituendo ogni grandezza fisica con la rispettiva dimensione e svolgendo le operazioni algebriche contenute nella formula, deve apparire un'uguaglianza anche tra le dimensioni affinché la formula sia corretta.

12 In che modo si misura una grandezza fisica?

Una grandezza fisica si può misurare nei seguenti tre modi.

• Modo diretto: si confronta direttamente la grandezza fisica con il campione di misura.

• Modo strumentale: si utilizza uno strumento di misura analogico o digitale.

• Modo indiretto: si deduce dall’elaborazione di misure svolte su grandezze fisiche (generalmente fondamentali) legate con la grandezza fisica da misurare (generalmente derivata) tramite una formula.

6

Grandezze fisiche e misure

Teoria

Esempio Per determinare indirettamente la grandezza fisica velocità v di un oggetto, si misurano direttamente lo spazio percorso s e il tempo impiegato t. Quindi i due valori misurati direttamente vengono messi a s rapporto secondo la formula v = . t 13 Che cosa sono le cifre significative di una misura?

Le cifre significative con cui viene espressa una misura sono le cifre certe più la prima cifra incerta.

L’esempio seguente aiuta a capire la definizione.

Esempio L’altezza di una persona è 1,75 m; ciò significa che la misura è stata effettuata con un’approssimazione del centimetro, e che il suo valore esatto è posto fra 1,745 m e 1,755 m. Quindi nel numero 1,75 le prime due cifre (1 e 7) sono certe; l’ultima cifra (5) è invece incerta. La misura 1,75 m è quindi espressa con tre cifre significative.

14 Come si stabilisce il numero di cifre significative?

Dato un valore misurato, il numero di cifre significative è uguale al numero di cifre che lo compongono contando anche eventuali zeri finali; sono esclusi dal conteggio eventuali zeri iniziali, poiché questi dipendono solo dall’unità di misura utilizzata.

Esempio valore misurato

17

37,2

8510

0,010

0,2

numero cifre significative 2 3 4 (si considera anche lo 0 finale) 2 (non si considerano i due 0 iniziali) 1

15 Cosa significa troncare il numero di cifre che compone una misura e arrotondare?

Il troncamento del numero di cifre di una misura consiste nel ridurre tali cifre al numero di cifre significative desiderato. Stabilito il numero di cifre significative si osserva l’ultima cifra a destra della misura che non viene tolta, quindi: • si aumenta di 1 se l’ultima cifra è seguita a destra da una cifra superiore o uguale a 5 (arrotondamento per eccesso) • si lascia inalterata l’ultima cifra se è seguita a destra da una cifra inferiore a 5 (arrotondamento per difetto).

Esempio Si decide che la misura della statura di una persona (1,7269 m) deve avere tre cifre significative.

L’ultima cifra da considerare è 2. A questo punto si osserva se la cifra a seguire a destra di 2 è maggiore o minore di 5: la cifra è 6, e il 2, con arrotondamento per eccesso, è aumentato di una unità, ottenendo 1,73 m.

Se, invece, si vuole esprimere la statura con due cifre significative, si arrotonda per difetto ottenendo 1,7 m. Infatti la cifra a seguire a destra di 7 è minore di 5 e, quindi, si lascia inalterata l’ultima cifra, cioè 7.

16 Cosa significa aumentare il numero di cifre significative che compone una misura?

Significa aumentare (per eccesso) tali cifre al numero di cifre significative desiderato, aggiungendo tanti 0 alla destra della misura quanti sono necessari per raggiungere il numero di cifre significative stabilito (gli 0 aggiunti devono essere preceduti da una virgola, se già non compare nella misura).

7

unità 1

Teoria

Esempio Si vuole esprimere la misura della massa di un bambino di 20 kg con tre cifre significative. Si aggiunge uno 0 alla destra della misura, preceduto da una virgola: la misura diventa 20,0 kg.

Si vuole esprimere la misura di un tempo di 0,4 s con due cifre significative. Si aggiunge uno 0 alla destra della misura senza virgola: la misura diventa 0,40 s.

17 Come influiscono le cifre significative nella misura indiretta?

Dipende dall’operazione aritmetica che definisce la grandezza derivata.

• Moltiplicazione e divisione tra misura e numero: il risultato deve avere il numero di cifre significative della misura.

• Moltiplicazione e divisione tra misure: il risultato deve avere il numero di cifre significative della misura con il numero di cifre significative minore.

• Somma e sottrazione tra misure: si individua la misura con l’ultima cifra significativa a destra in posizione più alta e si uniformano le altre misure.

L’adattamento del risultato a un numero corretto di cifre significative si effettua tramite i processi di arrotondamento e di eccesso (punti 15 e 16).

Esempio 5,77 m ∙ 4 = 23,08 m (moltiplicazione tra misura e numero) Il risultato deve avere tre cifre significative (come 5,77 m); quindi 23,08 m si arrotonda per eccesso a 23,1 m.

30 m : 5 = 6 m (divisione tra misura e numero) Il risultato deve avere due cifre significative (come 30 m); quindi si aumenta per eccesso il numero di cifre significative e la misura diventa 6,0 m.

5,970 m ∙ 2,5 m = 14,925 m2 (moltiplicazione tra misure) Il risultato deve avere due cifre significative (come 2,5 m): quindi 14,925 m2 si arrotonda per eccesso a 15 m2.

48,2 m : 3,7524 s = 12,8451125 m/s (divisione tra misure) Il risultato deve avere tre cifre significative (come 48,2 m): quindi 12,8451125 m/s si arrotonda per difetto a 12,8 m/s.

31,9 m + 25 m – 4,2324 m (somma e sottrazione tra misure) La misura 25 m ha l’ultima cifra significativa a destra in posizione di unità, posizione più alta rispetto alle altre misure; quindi: 31,9 m si arrotonda per eccesso a 32 m e 4,2324 m si arrotonda per difetto a 4 m; l’operazione matematica diventa 32 m + 25 m – 4 m = 53 m.

Errori

di misura

18 Quali errori si commettono nel misurare una grandezza fisica?

La misura di una grandezza fisica non può mai dare il valore reale della grandezza: qualsiasi misura fornisce un valore in eccesso o in difetto a causa di inevitabili errori nell’atto stesso del misurare. Esistono le seguenti due tipologie di errori.

• Errori sistematici: causano valori errati o solo in eccesso o solo in difetto; sono generalmente dovuti a strumenti di misura non perfettamente tarati.

• Errori casuali: causano valori errati sia in eccesso sia in difetto con la medesima probabilità; sono dovuti al caso o all’errore umano.

19 Come si riducono gli errori?

Gli errori sistematici si riducono misurando con estrema attenzione e con strumenti perfettamente tarati.

Gli errori casuali si riducono ripetendo la misura un certo numero di volte e svolgendo sui valori misurati un’analisi statistica che comporta i seguenti parametri:

8

Grandezze fisiche e misure • • • •

Teoria

valore medio errore assoluto errore relativo scarto quadratico medio

20 Che cosa è il valore medio?

Il valore medio (Xbest) è il valore che meglio approssima il valore vero (X) di una grandezza fisica. Si determina eseguendo N misure ripetute della grandezza fisica e calcolando la media aritmetica degli N valori ottenuti (X1, X2, … , XN), cioè: N

X best =

∑X i=1

N

i

=

X 1 + X 2 + X 3 + ... + X N N

(1.2)

dove la lettera greca maiuscola Σ è il simbolo di sommatoria.

21 Che cosa è l’errore assoluto?

L’errore assoluto (∆Xass) è la metà della differenza tra il massimo valore misurato (Xmax) e quello minimo (Xmin), cioè: ∆X ass =

X max − X min 2

(1.3)

L’errore assoluto indica quanto i valori ottenuti da N misure ripetute sulla grandezza fisica sono prossimi al valore medio.

La lettera greca maiuscola ∆ in (1.3) è il simbolo di variazione.

22 Come si scrive una misura con errore assoluto?

Il risultato finale di una misura ripetuta N volte e dove si è calcolato il valore medio e l’errore assoluto si scrive:

X = X best ± ∆X ass

(1.4)

cioè, il valore medio Xbest approssima il valore reale X della grandezza fisica rimanendo in un intervallo di valori compreso tra (Xbest – ∆Xass) e (Xbest + ∆Xass).

23 Perché l’errore assoluto non è sufficiente per valutare la precisione di una misura?

La risposta è nel seguente esempio.

Esempio L’errore assoluto di 1 cm in una serie di misure con valore medio di 1 km indica un processo di misura particolarmente preciso; il medesimo errore assoluto in una serie di misure con valore medio di 10 cm indica un processo di misura particolarmente impreciso.

24 Che cosa è l’errore relativo?

L’errore relativo (∆Xrel) è il rapporto tra l’errore assoluto e il valore medio, cioè: ∆X rel =

∆X ass X best

(1.5)

Può essere espresso anche in forma percentuale, cioè (1.6) ∆X rel (%) = ∆X rel ⋅100

L’errore relativo consente di valutare la precisione di una misura: più è basso il valore più la misura è precisa.

9

unità 1

Teoria

25 Che cosa è lo scarto di una misura?

Date N misure, lo scarto di una misura è la differenza tra un generico valore misurato e il valore medio, cioè: X i − X best

(1.7)

Quindi con N misure si hanno N scarti che possono essere sia positivi sia negativi.

26 Che cosa è lo scarto quadratico medio?

Date N misure, lo scarto quadratico medio σX è la radice quadrata della media aritmetica dei quadrati degli N scarti, cioè: N

σX =

∑( X i=1

i

− X best )2 (1.8)

N

Lo scarto quadratico medio fornisce la medesima informazione dell’errore assoluto ma con un grado di raffinatezza maggiore.

27 Come si scrive una misura con scarto quadratico medio?

Il risultato finale di una misura ripetuta N volte dove si è calcolato il valore medio e lo scarto quadratico medio si scrive: X = X best ± σ X

(1.9)

cioè, il valore medio Xbest approssima il valore reale X della grandezza fisica rimanendo in un intervallo di valori compreso tra (Xbest – σX) e (Xbest + σX).

28 Come si calcola il valore medio nella misura indiretta?

Il valore medio di una grandezza ottenuta mediante una misura indiretta si calcola dai valori medi delle misure dirette che la compongono secondo le operazioni che la definiscono.

Esempio La grandezza fisica derivata velocità è definita dal rapporto tra la lunghezza percorsa s e il tempo t impiegato. Il valore medio della velocità vbest si determina ponendo a rapporto i valori medi della luns ghezza sbest e del tempo tbest dedotti da N misure ripetute, cioè vbest = best (vedere (1.2)). tbest 29 Come si calcolano gli errori nella misura indiretta?

Gli errori nella misura indiretta di una grandezza si calcolano secondo le operazioni che la definiscono (propagazione degli errori). Se la grandezza è definita: • come somma o sottrazione di misure dirette, l’errore assoluto della misura indiretta è dato dalla somma degli errori assoluti delle misure dirette; • come moltiplicazione o divisione di misure dirette, l’errore relativo della misura indiretta è dato dalla somma degli errori relativi delle misure dirette.

Nella somma e differenza è immediato il calcolo degli errori assoluti, mentre nella moltiplicazione e divisione si calcolano prima gli errori relativi e poi con la (1.5) l’errore assoluto finale.

Esempio Caso con somma e sottrazione Una parete è divisa in due parti: la misura di un primo tratto di parete è l1 = (2,000 ± 0,001) m; la misura del secondo tratto è l2 = (4,000 ± 0,002) m.

La misura totale della parete espressa secondo la (1.4) è la somma dei valori medi e la somma degli errori assoluti, quindi l = (6,000 ± 0,003) m.

10

Grandezze fisiche e misure

Teoria

Esempio Caso con moltiplicazione e divisione Le dimensioni di un tavolo sono: larghezza = (80,2 ± 0,02) cm e lunghezza = (120,1 ± 0,02) cm. Si desidera determinare la misura dell’area espressa secondo la (1.4). Per determinare l’errore assoluto occorre prima calcolare gli errori relativi. Si calcolano e si sommano i due errori relativi: 0, 02 0, 02 + = 0, 00042 (errore relativo dell’area) 80, 2 120, 1 Si calcola il valore medio dell’area: 80,2 cm ∙ 120,1 cm = 9632,02 cm2 Dalla (1.5) si calcola l’errore assoluto dell’area: 0,00042 ∙ 9632,02 cm2 = 4,045 cm2 La misura finale secondo la (1.4) è area = (9632,0 ± 4,0) cm2 dove si è imposta la regola generale di due cifre significative all’errore assoluto.

Test

1 Una grandezza fisica è definita da: a un numero b una formula c una misura d un numero e un’unità di misura

2 Le prime tre grandezze fisiche fondamentali sono a lunghezza, tempo, peso b metro, secondo, kilogrammo c lunghezza, tempo, massa d velocità, accelerazione, forza

3 Nel Sistema MKS il volume si misura in a cm3 c m3 b l d ml

4 Come si esprime in notazione scientifica il numero 0,00306?

a 3,06 · 10–5 c 3,06 · 103 –4

b 3,06 · 10 d 3,06 · 10–3 5 Il raggio medio della Terra è 6380 km. Come si esprime in notazione scientifica?

a 0,638 · 104 km c 6,38 · 103 km 2

b 63,8 · 10 km d 638 · 10 km 6 Esprimi il raggio medio della Terra in metri utilizzando la notazione scientifica:

a 6,38 · 106 m c 638 · 106 m 3

b 6,38 · 10 m d 6,38 · 104 m 7 La densità d è una grandezza derivata ed è definita come il rapporto tra la massa m e il volume m V, cioè: d = . La sua unità di misura è: V

a kg · m3 c kg · m

b kg · m–3 d kg · m–2

8 Usando i prefissi dati nella Tabella 1.2 come si scrive 4 · 10–9 s?

a 4 ms b 4 µs c 4 ns d 4 ps 9 La massa della Luna è 7,35 · 1022 kg. L’ordine di grandezza della massa è:

a 1021 kg c 1023 kg 22

b 10 kg d 1024 kg

10 Il volume V ha dimensioni: a [V] = [L] c [V] = [L]3 2 b [V] = [L] d [V] = [L]–3

11 Le dimensioni della grandezza densità definita nel test 7 sono:

a [M][L]3 c [L][T]

b [M][T] d [M][L]–3 12 Il numero 15,882 arrotondato a tre cifre significative si scrive:

a 15,8 b 16,0 c 15,9 d 15,0 13 Gli errori casuali: a sono dovuti solo a disattenzione di chi esegue le misure b sono dovuti a strumenti di misura difettosi c influenzano le misure sempre in eccesso o sempre per difetto d influenzano le misure sia per eccesso sia per difetto 14 Il valore medio di una serie di N misure è: a la somma delle N misure divisa per due b la somma delle N misure divisa per N c la somma del valore massimo e del valore minimo delle N misure divisa per N d la somma del valore massimo e del valore minimo delle N misure divisa per 2

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unità 1

Esercizi 15 L’errore assoluto è: a la differenza tra il massimo valore misurato e quello minimo divisa per 2 b la somma tra il massimo valore misurato e quello minimo divisa per 2 c la differenza tra il massimo valore misurato e quello minimo divisa per N d la somma tra il massimo valore misurato e quello minimo divisa per N 16 Ho eseguito cinque misure della lunghezza del lato di un tappeto e ho trovato (1,7 ± 0,3) m.

L’errore relativo percentuale della misura è: a 6% c 12% b 10% d 18%

17 Quali tra le seguenti misure è la più precisa? a (250,7 ± 1,1) m b (0,078 ± 0,001) s c (315 ± 3)10–2 kg d (706 ± 1) µm 18 L’errore relativo del prodotto di due misure è: a il prodotto degli errori relativi delle singole misure b la somma degli errori relativi delle singole misure c il prodotto degli errori assoluti delle singole misure d la somma degli errori assoluti delle singole misure

Quesiti 19 Nell’elenco che segue identifica le grandezze fisiche: volume, simpatia, temperatura, intelligenza, densità, bellezza, tempo, massa, velocità.

20 Quali sono le caratteristiche comuni e le differenze tra i sistemi di misura MKS e CGS? 21 La velocità della luce nel vuoto è

c = 2,9979 · 105 km/s. È corretto affermare

che il suo ordine di grandezza è 105 m/s?

25 Le misure di lunghezza effettuate con un metro a nastro difettoso perché corto sono affette da errori sistematici o da errori casuali?

26 Definisci il valore medio di una serie di misure, l’errore assoluto e l’errore relativo.

27 Il grado di precisione di una misura è espresso più chiaramente dall’errore assoluto o dall’errore relativo?

22 Qual è la dimensione di un’area?

28 Qual è la dimensione dell’errore assoluto? E quella dell’errore relativo?

23 Fornisci un esempio di grandezza fisica derivata. Indica la sua unità di misura nel sistema MKS e la sua dimensione.

29 L’errore assoluto di una somma è uguale alla somma degli errori assoluti dei termini? E l’errore assoluto di una differenza?

24 La massa di un corpo è espressa con due cifre significative, mentre il suo volume con tre cifre significative. Con quante cifre significative devi esprimere la densità del corpo?

30 L’errore relativo di un quoziente è uguale al quoziente tra gli errori relativi del dividendo e del divisore?

31 Definisci lo scarto quadratico medio. Qual è il suo significato?

Guida

per la risoluzione degli esercizi

Desideriamo fornire alcuni utili e generali consigli per la risoluzione degli esercizi o problemi di fisica.

Naturalmente la tecnica di risoluzione si affina con la pratica e l’esperienza. a Conoscere bene la teoria dell’argomento trattato dall’esercizio. b Leggere con attenzione il testo dell’esercizio: individuare i dati noti e le domande poste.

c Quando è possibile, disegnare uno schema o un diagramma che rappresenti il fenomeno fisico descritto dell’esercizio, cercando di evidenziare i dati noti e le incognite. d Individuare una formula che metta in relazione i dati noti con una certa incognita.

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Grandezze fisiche e misure

Esercizi

e Ricavare dalla formula (se necessario) un’espressione in cui l’incognita sia separata dai dati noti.

h Controllare se il risultato finale con la relativa unità di misura sono plausibili rispetto al fenomeno descritto dall’esercizio.

f Verificare la coerenza dimensionale della formula.

i Se l’esercizio pone diverse domande rispondere nell’ordine in cui vengono presentate.

g Sostituire i dati noti con i valori numerici accompagnati dalle unità di misura e svolgere i calcoli.

Gli esercizi più semplici sono quelli che si risolvono con una sola formula in cui si sostituiscono direttamente i valori dei dati al posto dei simboli. Più complessi sono gli esercizi in cui bisogna manipolare una o più formule in modo da ricavare l’incognita richiesta.

Esercizi Grandezze

fisiche e misure

32 Un ragazzo misura con un righello l’altezza del suo diario e trova 0,25 m. Esprimi l’altezza in decimetri, centimetri e millimetri. Se il diario è quadrato, calcola la sua area in cm2.

Svolgimento Poiché 1 m = 10 dm = 102 cm = 103 mm, l’altezza del quaderno misura: 0,25 m = 2,5 dm = 25 cm = 250 mm L’area del diario è: (0,25 m)2 = 0,252 m2 = 0,0625 (102 cm)2 = 625 cm2 Eseguiamo lo stesso calcolo utilizzando la notazione scientifica: (0,25 m)2 = (25 · 10–2)2 m2 = (625 · 10–4) (102 cm)2 = 625 cm2 33 Esegui le seguenti equivalenze utilizzando la notazione scientifica. a) 3400 cm (in metri) c) 0,12 kg (in grammi) b) 30 m2 (in centimetri quadrati) d) 0,0012 kg (in grammi) 34 Riscrivi i seguenti numeri in notazione scientifica. a) 0,00001 d) 2 000 000 b) 20 000 e) 3450 c) 0,30 f) 0,0015 35 Esprimi in notazione scientifica i seguenti multipli e sottomultipli del metro; quindi scrivili con il prefisso adatto. a) 1000 m b) 0,001 m c) 0,000001 m 36 Esprimi nel sistema MKS la durata di un viaggio in automobile da Milano a Roma di 8 ore. Usa la notazione scientifica.

37 In fisica atomica si usa l’unità di misura di lunghezza angstrom (Å). Sapendo che 1 Å = 10–10 m, trova a quanti centimetri, a quanti millimetri e a quanti micrometri corrisponde 1 Å. Usa la notazione scientifica.

38 Un ragazzo misura la lunghezza e la larghezza della sua camera rettangolare e trova rispettivamente i valori 3,5 m e 4,2 m. Quanto misura l’area della camera in metri quadrati, in decimetri quadrati e in centimetri quadrati? Esprimi i risultati in notazione scientifica e con il corretto numero di cifre significative.

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unità 1

Esercizi 39 Una bottiglia contiene 2 l di acqua. Qual è il volume in metri cubi (in notazione scientifica)?

Suggerimento 1 l = 1 dm3

40 Il contenuto di una bottiglia di olio è 1,5 · 10–3 m3. A quanti litri corrispondono? A quanti millilitri?

41 Una lattina contiene 330 ml di una bevanda. A quanti centimetri cubi corrispondono?

42 L a massa di Marte è di 6,42 · 1023 kg e il suo raggio è di 3,39 · 106 m. Calcola l’area della superficie di Marte e la sua densità, considerandolo di forma sferica. Esprimi il risultato con il corretto numero di cifre significative.

Suggerimento La densità d è definita come il rapporto d =

m tra massa e volume.

V

43 C onsiderando la Terra una sfera di raggio 6,38 · 106 m, determina la misura della sua circonferenza massima in kilometri, della sua superficie in kilometri quadrati e del suo volume in kilometri cubi.

44 La massa di Marte è mm = 6,42 · 1023 kg. La massa dell’elettrone è me = 9,11 · 10–31 kg. Calcola l’ordine m di grandezza del rapporto m . me 45 Calcola l’ordine di grandezza della tua età in secondi.

46 L ’anno-luce è un’unità di misura di lunghezza ed è uguale alla distanza percorsa dalla luce nel vuoto in un anno. A quanti metri corrisponde?

Suggerimento Considera come velocità della luce il valore v = 3,0 · 108 m/s e calcola quanti secondi ci sono in un anno. v 47 L a grandezza fisica derivata accelerazione è definita come rapporto tra velocità e tempo, a = . Quali t sono la sua unità di misura nel sistema MKS e la sua dimensione?

Svolgimento Determiniamo la sua unità di misura nel sistema MKS, ricordando che la velocità è definita dal s m s = ms−2 rapporto v = : a = [ L] t s  v  [ v] [T ] [ L ] = = = [ L][T ]−2 Determiniamo la sua dimensione: [a ] =   =  t  [t] [T ] [T ]2   48 L a grandezza fisica derivata forza è definita come il prodotto tra massa e accelerazione: F = ma. Quali sono la sua unità di misura nel sistema MKS e la sua dimensione?

49 La legge di gravitazione universale di Newton esprime la forza F che si esercita su due masse m ed M mM

poste a una distanza r. Essa è data da: F = G 2 , dove G è la costante di gravitazione universale. r

Quali sono l’unità di misura nel sistema MKS e la dimensione di G? 50 Il periodo di un pendolo è il tempo necessario per compiere un’oscillazione completa. La legge che l esprime il periodo di un pendolo di lunghezza l sottoposto all’accelerazione di gravità g è T = 2π . g Sulla base dell’analisi dimensionale la precedente affermazione è corretta?

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Grandezze fisiche e misure

Esercizi

51 S crivi i seguenti numeri con due e tre cifre significative. a) 0,3271 c) 0,826 e) 2,883 · 102 b) 3,093 d) 2115 f) 57,721 52 D evi calcolare l’area di un libro con i lati lunghi 32,3 cm e 54,2 cm. Come devi indicare l’area del foglio con il corretto numero di cifre significative?

Svolgimento Per determinare l’area del foglio dobbiamo moltiplicare i due lati: Area = (32,3 cm) · (54,2 cm) = 1750,66 cm2 Poiché il numero di cifre significative con cui sono espresse le misure dei lati è tre, dobbiamo esprimere anche la misura dell’area con tre cifre significative. Quindi: Area = 17,5 · 102 cm2 53 U n tappeto rettangolare è lungo 1,6 m e largo 2,3 m. Esprimi l’area del tappeto con il corretto numero di cifre significative.

54 U n anello in argento di densità 10,5 · 103 kg/m3 ha volume 2,6 · 10–6 m3. Determina la massa dell’anello ed esprimila in notazione scientifica con il corretto numero di cifre significative. Esprimi quindi la massa dell’anello in grammi.

Errori

di misura

55 M isurando la temperatura dell’acqua in un bicchiere si sono trovati i valori: 20,1 °C, 20,2 °C, 20,0°C, 20,3 °C, 20,1 °C, 20,2 °C, 20,3 °C, 20,1 °C. Qual è il valore medio della misura?

56 M isurando la massa di una pallina si trova (0,53 ± 0,01) kg. Trova l’errore relativo percentuale della misura.

57 L e misure dell’altezza di due ragazze sono (1,65 ± 0,01) m e (1,72 ± 0,02) m. Qual è la misura più precisa?

58 R ipetendo cinque volte la misura del numero di battiti cardiaci in un minuto si è trovato: 74, 72, 74, 73, 76. Calcola il valore medio, l’errore assoluto, l’errore relativo percentuale e lo scarto quadratico medio.

59 I n una serie di misure della lunghezza di un tappeto sono stati trovati i seguenti valori:

1,5 m 1,5 m 1,4 m 1,6 m 1,5 m 1,4 m Determina il valore medio della lunghezza del tappeto e lo scarto quadratico medio.

60 S i vuole incorniciare un quadro i cui lati misurano (50,1 ± 0,2) cm e (24,1 ± 0,1) cm. Trova la lunghezza della cornice con l’errore assoluto.

61 Trova l’area (con l’errore assoluto) del vetro necessario a ricoprire il quadro dell’esercizio precedente.

Svolgimento Il valore medio dell’area è il prodotto dei valori medi delle misure dei lati del quadro: (50,1 cm) (24,1 cm)= 1207,4 cm2 L’errore relativo sulla misura del primo lato è: 0, 2 cm = 4 ⋅ 10−3 50, 1 cm

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unità 1

Esercizi L’errore relativo sulla misura del secondo lato è: 0, 1 cm = 4 ⋅ 10−3 24, 1 cm L’errore relativo sulla misura dell’area è la somma dei singoli errori relativi: 4 · 10–3 + 4 · 10–3 = 8 · 10–3 L’errore assoluto sulla misura dell’area del quadro è quindi: (1207,4 cm2) (8 · 10–3) = 9,7 cm2

62 C alcola il valore della superficie e del volume di un cubo avente lo spigolo che misura l = (10 ± 1) cm e determina l’errore assoluto sui valori calcolati.

63 L e dimensioni di una scatola sono (3,2 ± 0,1) cm, (6,4 ± 0,1) cm e (1,5 ± 0,1) cm. Trova il volume con l’errore assoluto.

64 L a massa di un corpo è (3,5 ± 0,3) kg e il suo volume (1000 ± 10) cm3. Qual è la densità del corpo? Qual è l’errore assoluto?

Svolgimento Calcoliamo il valore medio della densità come il rapporto tra il valore medio della massa e il valore medio del volume: 3, 5 kg = 3, 5 ⋅ 10−3 kg/cm 3 = 3, 5 g/cm 3 1000 cm 3 Calcoliamo l’errore relativo sulla misura della massa: 0, 3 kg = 8, 6 ⋅ 10−2 3, 5 kg Calcoliamo l’errore relativo sulla misura del volume: 10 cm 3 = 1, 0 ⋅ 10−2 1000 cm 3 L’errore relativo sulla misura della densità è la somma degli errori relativi: 9,6 · 10–2 Calcoliamo infine l’errore assoluto sulla misura della densità:

(9, 6 ⋅ 10 )(3, 5 g/cm ) = 0, 3 g/cm −2

3

3

Quindi la densità del corpo con il relativo errore assoluto si scrive: ( 3, 5 ± 0, 3 ) g/cm 3

65 S apendo che la massa di un corpo è (1,1 ± 0,1) g e il suo volume (500 ± 10) cm3, calcola la densità del corpo con l’errore assoluto.

66 U n tappeto misura 180,0 cm di lunghezza e 90,0 cm di larghezza, con un errore su entrambe le misure dell’1%. Calcola il perimetro e l’area del tappeto con gli errori assoluti.

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