Geometria1 by ELI Publishing

9788846826305

ISBN

QUADERNO OPERATIVO GEOMETRIA 1 ISBN

9788846826329

Anna Calvi Gabriella Panzera

QUADERNO OPERATIVO ALGEBRA 2

Geometria 1

ISBN

9788846826312

QUADERNO OPERATIVO GEOMETRIA 2 ISBN

9788846826336

Gabriella Panzera

QUADERNO OPERATIVO ALGEBRA 1

Anna Calvi

La nuova collana di quaderni operativi per la Scuola Secondaria di II grado è stata progettata per il recupero e il consolidamento delle più importanti discipline scolastiche. • Tutti i volumi presentano una spiegazione teorica sintetica che precede l’ampia batteria di esercizi. • La grafica è brillante e moderna e la trattazione degli argomenti è corrispondente ai programmi svolti durante l’anno scolastico. • Si possono quindi usare in aggiunta ai libri di testo o come compiti per le vacanze estive.

Geometria

QUADERNO OPERATIVO CHIMICA ISBN

9788846828101

Quaderno operativo per il recupero e il consolidamento

www.laspigaedizioni.it

1 a ig ia 2-9 Sp tr 263 La e 468om-88GeBN 978

Questo volume sprovvisto del talloncino a fianco è da considerarsi campione gratuito fuori commercio.

GEOMETRIA 1 € 6,90

Anna Calvi Gabriella Panzera

Geometria Quaderno operativo per il recupero e il consolidamento

INDICE PRESENTAZIONE ................................................................................................................................................................... 3 Sezione 1 • Il piano nel modello di Euclide Lezione 1 • Punti, rette, piani ............................................................................................................................................... 4 Autovalutazione .................................................................................................................................................. 8 Lezione 2 • Segmenti e angoli .............................................................................................................................................. 9 Autovalutazione ................................................................................................................................................ 23 Sezione 2 • I poligoni Lezione 3 • I poligoni e le loro proprietà .......................................................................................................................... 24 Autovalutazione ................................................................................................................................................ 32 Lezione 4 • I triangoli .......................................................................................................................................................... 33 Autovalutazione ................................................................................................................................................ 46 Lezione 5 • Parallelismo e perpendicolarità ..................................................................................................................... 48 Autovalutazione ................................................................................................................................................ 60 Lezione 6 • I quadrilateri ..................................................................................................................................................... 62 Autovalutazione ................................................................................................................................................ 76 Lezione 7 • I teoremi di Pitagora ed Euclide .................................................................................................................... 79 Autovalutazione ................................................................................................................................................ 84 Sezione 3 • Circonferenza e cerchio Lezione 8 • Le figure circonferenza e cerchio .................................................................................................................. 85 Autovalutazione ................................................................................................................................................ 97 Lezione 9 • Posizioni di un poligono rispetto a una circonferenza ............................................................................... 98 Autovalutazione .............................................................................................................................................. 110 Sezione 4 • Applicazione della proporzionalità Lezione 10 • Rapporti tra grandezze .................................................................................................................................. 111 Autovalutazione .............................................................................................................................................. 117 Lezione 11 • Similitudine .................................................................................................................................................... 118 Autovalutazione .............................................................................................................................................. 125 Sezione 5 • Complementi di geometria Lezione 12 • Trasformazioni isometriche ......................................................................................................................... 126 Autovalutazione .............................................................................................................................................. 134 Lezione 13 • Problemi di geometria piana da risolvere algebricamente ...................................................................... 135 PRINCIPALI FORMULE DI GEOMETRIA PIANA .................................................................................................... 141 SOLUZIONI ........................................................................................................................................................................... 143

Anna Calvi Gabriella Panzera Quaderno operativo Geometria 1 Coordinamento editoriale Beatrice Loreti Redazione Niccolò Terzi Art Director Marco Mercatali Responsabile di produzione Francesco Capitano Progetto grafico e impaginazione Carlo Mella Copertina Studio Airone

Stampato in Italia presso Grafiche Flaminia – Foligno 10.83.082.0 ISBN 978-88-468-2632-9

Tutti i diritti riservati. È vietata la riproduzione totale o parziale così come la sua trasmissione sotto qualsiasi forma o con qualunque mezzo senza previa autorizzazione scritta da parte dell’editore.

La casa editrice La Spiga e l’ambiente La casa editrice La Spiga usa carta certificata FSC per tutte le sue pubblicazioni. È un’importante scelta etica, poiché vogliamo investire nel futuro di chi sceglie ed utilizza i nostri libri sia con la qualità dei nostri prodotti sia con l’attenzione all’ambiente che ci circonda. Un piccolo gesto che per noi ha un forte significato simbolico. Il marchio FSC certifica che la carta usata per la realizzazione dei volumi ha una provenienza controllata e che le foreste sono state sottratte alla distruzione e gestite in modo corretto.

PRESENTAZIONE

Questi quaderni operativi non sono stati pensati come puro eserciziario, ma si propongono di affiancare lo studente come guida e aiuto nello studio quotidiano e come strumento di recupero per quelle nozioni fondamentali di matematica del biennio della Scuola Secondaria di Secondo Grado nelle quali risultasse carente.

I quaderni nascono con due finalità: • supporto didattico durante l’anno scolastico per gli alunni che vogliono integrare le attività proposte dal testo con altri esercizi e per gli alunni che necessitano di un recupero, grazie ai numerosi problemi ed esercizi completamente svolti per chiarire eventuali dubbi; • eserciziario da utilizzare durante le vacanze estive, fruibile in maniera autonoma rispetto al libro di testo grazie alle schede di ripasso della teoria e alla nutrita batteria di esercizi.

La collana si compone di due volumi di algebra, uno di geometria piana e uno di geometria solida. Ciascun testo è articolato in sezioni a loro volta suddivise in lezioni; ciascuna lezione si apre con un promemoria in cui è possibile trovare una sintesi schematica, ma completa, della teoria relativa all’argomento trattato cui fa seguito la parte operativa che comprende esercizi relativi alle conoscenze ed esercizi per verificare le abilità. Sono presenti numerosi esercizi svolti ed esercizi guidati che esemplificano tutte le tipologie di quesiti e problemi che il ragazzo si trova a dover affrontare nel corso del biennio superiore. Ogni esercizio proposto è completato dalla relativa soluzione (o alla fine dell’esercizio o nelle pagine finali del volume) per permettere allo studente un controllo del proprio lavoro. Ciascuna lezione si chiude con esercizi raccolti in una scheda di autovalutazione per dar modo allo studente di verificare il raggiungimento della preparazione sulla tematica affrontata.

Sezione 1

Il piano nel modello di Euclide

LEZIONE

Punti, rette, piani

PROMEMORIA Geometria euclidea: si sviluppa a partire da un metodo assiomatico. Assioma o postulato: affermazione che esprime proprietà evidenti, quindi non necessita di dimostrazione. Dimostrazione: procedimento logico deduttivo per cui partendo da premesse note e vere, le ipotesi (Hp), si giunge all’affermazione della tesi (Th). Teorema: proposizione che può essere dimostrata. Enti fondamentali della geometria: punto, retta, piano. • Un punto è indicato con una lettera maiuscola: P, A, B, ecc. • Una retta è indicata con una lettera minuscola: r, s, t, ecc. • Un piano è indicato con lettere minuscole dell’alfabeto greco: α, β, δ, ecc. Postulati euclidei 1 Lo spazio contiene infiniti punti, infinite rette, infiniti piani. Un piano contiene infiniti punti, infinite rette. Una retta contiene infiniti punti. 2 Per due punti distinti passa una e una sola retta. 3 Per tre punti non allineati passa uno e un solo piano. 4 Se due punti A e B appartengono a un piano, tutti i punti della retta AB appartengono a quel piano. 5 Per un punto esterno a una retta passa una e una sola retta parallela alla retta data (quinto postulato di Euclide). 6 Data una retta è possibile fissare su di essa un ordinamento in maniera tale che: • dati due punti distinti A e B di una retta, o A precede B (A < B) oppure B precede A (B < A); • dati tre punti A, B, C, se A precede B e B precede C, allora A precede C. 7 Data una retta orientata, ogni punto è preceduto da almeno un altro punto ed è seguito da almeno un altro punto. 8 Tra due punti di una retta è compreso almeno un terzo punto. 9 Una retta r di un piano divide il piano in due parti (non vuote) in modo che: • se i punti A e B appartengono alla stessa parte, allora il segmento AB è contenuto in questa parte; • se i punti C e D appartengono a parti diverse, allora il segmento CD ha in comune con r un punto (punto di intersezione tra la retta passante per C e per D e la retta r). Definizioni principali • Semiretta: ciascuna delle due parti in cui una retta resta divisa da un suo punto P. Un punto su una retta individua due semirette opposte. • Semipiano: ciascuna delle due parti in cui un piano resta diviso da una retta appartenente al piano, detta origine o frontiera. Una retta su un piano individua due semipiani opposti aventi la frontiera in comune. Un semipiano privato della frontiera è detto aperto.

Lezione 1 Punti, rette, piani

• Punti e rette complanari: punti e rette che appartengono allo stesso piano.

P R O M E M O R I A

• Punti allineati: punti che appartengono alla stessa retta. • Rette incidenti: rette che hanno un solo punto in comune detto punto di intersezione. • Rette parallele: rette distinte e complanari che non hanno alcun punto in comune. • Fascio proprio: insieme di tutte le rette passanti per un punto P detto centro del fascio. • Fascio improprio: insieme di tutte le rette parallele a una retta data.

E S E R C I Z I

CONOSCENZE 1

Vero o falso? a b c d e f g h i l m n o p q r s

V V V V V V V V V V V V V V V V V

F F F F F F F F F F F F F F F F F

Per due punti passano infinite rette. Per un punto del piano passa una sola retta. Due semirette si dicono opposte se hanno l’origine in comune. Due semipiani opposti hanno la frontiera in comune. Un semipiano è individuato dalla sua origine. Una semiretta è illimitata nei due versi. Allo spazio appartengono infinite rette. Un punto può essere origine di infinite rette. Un punto è origine di infinite semirette. Una semiretta è un sottoinsieme della retta. Una retta è un insieme infinito di punti. Due rette parallele non hanno alcun punto in comune. Un punto fissato su una retta individua due semirette opposte. Per un punto passano infinite rette e per due punti passano 3 rette. Una retta è un insieme finito di punti. Punti che giacciono sullo stesso piano si dicono complanari. Per tre punti non allineati passa un solo piano.

Osserva il seguente disegno e completa inserendo il simbolo di ∈ o ∉. π •B

r •E

•A

a b c d e f

•F

•C •D

A B C D E F

........ r ........ r ........ π ........ r ........ r ........ r a ∉ b ∉ c ∈ d ∉ e ∈ f ∈

Osserva la figura e scrivi gli elementi dell’insieme r ∩ s. G • r

A •

B •

C • •I

s D •

E •

F •

•H

[A, B, C, D, E, F] 5

Sezione 1 Il piano nel modello di Euclide

E S E R C I Z I

Osserva il disegno e rispondi alle domande. C •

A •

D •

•B a b c d

Quante semirette hanno origine nel punto A? .................................................................................... Quante semirette potrebbero avere in comune i punti A e B? ......................................................... Come si definiscono le semirette AD e AC? ....................................................................................... È corretto affermare che sono una il prolungamento dell’altra? ..................................................... a due b due c opposte d sì

Osserva la figura e rispondi alle domande. r s Q •

P •

a Il punto P è interno o esterno alla retta r? .......................................................................................... b È vero che P ∈ r ? ................................................................................................................................... c Il punto Q è interno o esterno alla retta s? ......................................................................................... d Q ∈ s oppure Q ∉ s? ............................................................................................................................... a esterno b no c interno d Q ∈ s

Nei seguenti disegni è rappresentata una retta sulla quale sono stati fissati alcuni punti. Osserva bene l’orientamento della retta e completa con le parole “precede”, “segue” oppure “coincide con”. 6

A •

B ≡C •

D •

E •

a A ..................................... B

b B ..................................... C

c A ..................................... C

d E ..................................... C

e B ..................................... E

f E ..................................... A a precede b coincide con c precede d segue e precede f segue

A •

B •

C •

D ≡E •

a A ..................................... B

b B ..................................... C

c A ..................................... C

d E ..................................... C

e B ..................................... E

f E ..................................... A a segue b segue c segue d precede e segue f precede

Lezione 1 Punti, rette, piani

ABILITÀ 8

Rappresenta due linee chiuse non intrecciate a e m tali che a ∩ m = ∅.

Disegna una linea a e tre punti A, B, C tali che A ∈ a, B ∈ a, C ∉ a.

Disegna una semiretta di origine M.

Disegna due semirette aventi l’origine R in comune.

Fissa un punto O e traccia una retta passante per esso. Quante rette puoi tracciare passanti per il punto O? [infinite]

Fissa due punti A e B e traccia una retta passante per essi. Quante rette possono passare per i punti A e B? [una sola]

Disegna su una retta orientata r i punti A, B, C, D tali che A precede B e C segue D. Se cambi l’ordinamento della retta vale ancora la consegna data? [no] Siano P e Q due punti della retta orientata r e tali che Q segue P. Se A è un punto compreso tra Q e P, in quale relazione si trova con P e Q? [P precede A; Q segue A]

Disegna due rette che individuano la direzione obliqua.

In quanti versi si può percorrere una retta? Disegnali. [due]

Considera quattro punti distinti A, B, C, D appartenenti alla retta r : quante semirette puoi individuare? [8]

Date due rette non parallele appartenenti a un piano α, in quante regioni rimane diviso il piano? [4]

Considera una retta orientata r. a Segna su r i punti A e B in modo che A preceda B e due punti C e D in modo che C segua D. Cosa succede a questi punti se si scambia l’ordinamento della retta?

a m ∩ n = {R, S, T} b m∩n=∅ c m ∩ n = {R} Disegna una retta orientata r.

È esatto affermare che, se due semipiani hanno la stessa frontiera, sono complanari?

[in generale no]

Disegna due linee aperte m e n e tre punti R, S, T tali che:

E S E R C I Z I

b Segna su r tre punti A, B, C in modo che A preceda B e B preceda C. In che relazione si trovano i punti A e C? c Se A precede B e un punto P è compreso tra A e B, in quale relazione si trova P con A e con B? a B precede A; C precede D; b A precede C; c P precede B e segue A

Sia R un punto di una retta orientata r. Indica cosa rappresenta il seguente insieme di punti: {P ∈ r | P segue R}.

[la semiretta positiva di origine R]

Riporta su una retta orientata quattro punti A, B, C, D in modo che, nel verso prefissato, A preceda B, C preceda B ma non A, D segua A ma non C. Qual è l’ordine dei punti?

[A < D < C < B ]

Sono dati tre punti A, B, C non allineati. Se D è un punto allineato con B e C, esso appartiene al piano individuato da A, B, C ?

[sì]

Se A e B sono punti di un piano appartenenti a semipiani opposti rispetto a una retta r, la retta passante per A e B incontra la retta r ? [sì]

Da quante rette è costituito un fascio di rette? Che cosa è il centro del fascio?

[infinite; il punto di intersezione delle rette]

Siano A e a rispettivamente un punto e una retta di un piano α con A ∈ a. Indica che cosa rappresenta il seguente sottoinsieme: {P ∈ α | AP ∩ a = ∅}.

[il semipiano aperto di origine a e contenente il punto A]

Sezione 1 LEZIONE

1 1

Vero o falso? a b c d e f g h i

AUTOVALUTAZIONE

V V V V V V V V V

F F F F F F F F F

Per due punti distinti passa una sola retta. Per un punto passa una sola retta. Per due rette r e s si possono verificare i seguenti casi: r ∩ s = {P}, r ∩ s = ∅, r ≡ s. Tre punti sono allineati se appartengono alla stessa retta. Una retta è illimitata. Una semiretta è limitata. Due semirette sono opposte se hanno l’origine in comune. Un piano è privo di spessore. Ogni retta divide il piano in due semipiani.

Osserva la figura e indica quali delle seguenti relazioni sono vere e quali false.

Disegna le rette a, b, c e i punti A, B sapendo che: a∩b=∅ a ∩ c = {A} b ∩ c = {B}

a •N •M •P

•R

Individua le rette a, b, c, d della figura sapendo che: a ∩ b = {A} a ∩ d = {M} c ∩ b = {C} c ∩ d = {N}

b a V F P ∈b b V F P ∉a c V F R ∉b d V F M ∉a e V F N ∈a f V F N ∉b g V F M ∈b h V F R ∈a i V F R ∉a

B •

Osserva la figura e determina gli elementi di a ∩ b.

M • • A

a P •

b 7

• C

S • • Q

N •

In un piano sono date quattro rette incidenti a due a due. Determina quanti sono i punti di intersezione di queste rette e quanti di essi stanno su ciascuna retta.

È corretto dire che “la retta r è più lunga della retta s”? Perché?

8 Si può dire che una semiretta è più lunga di

un’altra semiretta? Perché?

Il piano nel modello di Euclide

Sezione 1 LEZIONE

Segmenti e angoli

Segmenti PROMEMORIA Segmento: parte di retta compresa fra due punti detti estremi del segmento. A•

•B

Segmento nullo: è un segmento i cui estremi coincidono. •A ≡ B Segmenti consecutivi: sono segmenti con un estremo in comune. •C • A

• B

Segmenti adiacenti: sono segmenti consecutivi e che giacciono sulla stessa retta. • A

• B

• C

Segmenti congruenti (o isometrici): sono segmenti tali che, trasportati rigidamente su una medesima semiretta in modo che uno dei loro estremi coincida con l’origine, hanno i restanti estremi coincidenti. A •

B •

AB ≅ CD

A' ≡ O ≡ C' • • C

• B' ≡ D'

• D

Segmenti diversi: sono segmenti tali che, trasportati su una medesima semiretta in modo che un estremo coincida con l’origine, hanno i restanti estremi non coincidenti. In tal caso è minore il segmento il cui estremo cade internamente all’altro segmento. A •

B •

CD > AB

A' ≡ O ≡ C' •

• B'

• C

• D'

• D

Somma di due segmenti: è il segmento che si ottiene trasportando i due segmenti assegnati in modo che siano adiacenti; gli estremi non comuni dei segmenti adiacenti rappresentano gli estremi del segmento somma. • A

• B

• A'

• B' ≡ C'

• C

• D • D'

AB + CD ≅ A'D'

Sezione 1 Il piano nel modello di Euclide

Differenza tra due segmenti: disponendo i due segmenti assegnati in modo che abbiano un estremo in comune e appartengano alla stessa semiretta, la differenza tra il segmento maggiore e il minore è il segmento compreso tra gli estremi non comuni ai segmenti considerati.

P R O M E M O R I A

• A • A' ≡ C'

• D'

• B

• C

• D

• B'

AB − CD ≅ D'B'

Multiplo di un segmento secondo n: è il segmento congruente alla somma di n segmenti tutti congruenti ad AB. • C

•

• D

• A

• B

CD è multiplo di AB secondo n = 3

Il segmento AB è sottomultiplo di CD secondo n = 3.

• M

• A

Punto medio di un segmento: punto che appartiene al segmento e lo divide in due segmenti tra loro congruenti. Il punto medio di un segmento esiste ed è unico. • B

M è il punto medio di AB

La lunghezza di un segmento è rappresentata dalla classe di equivalenza di tutti i segmenti congruenti tra loro e al segmento dato. La lunghezza è una grandezza: le lunghezze possono essere sommate, confrontate e moltiplicate per un numero. Si dice misura a di una grandezza A rispetto a una qualsiasi fissata unità di misura u il numero reale che esprime il rapporto tra A e u: a = _A_ u __ La misura di un segmento AB viene solitamente indicata con AB . Nella pratica risulta chiaro dal contesto se AB indica il segmento, la sua lunghezza o la relativa misura rispetto a una prefissata unità. Nel sistema metrico decimale e nel sistema internazionale S.I. l’unità fondamentale della lunghezza è il metro con i suoi multipli e sottomultipli.

E S E R C I Z I

CONOSCENZE 1

Vero o falso? a b c d e f g h

V V V V V V V V

F F F F F F F F

Due segmenti congruenti sono sovrapponibili. Due segmenti isometrici sono congruenti. Due segmenti sovrapposti sono sempre uguali. Due segmenti congruenti hanno la stessa lunghezza. Due segmenti adiacenti sono consecutivi. Due segmenti consecutivi possono essere adiacenti. Si può sempre effettuare la somma di due segmenti. Se due segmenti sono coincidenti, allora hanno lo stesso punto medio.

Lezione 2 Segmenti e angoli

Indica con C i segmenti solo consecutivi e con A quelli che sono anche adiacenti. a C A

• A

• B

b C A

• C

A •

E S E R C I Z I

C • • B

M •

C A

d C A

A•

•P

• S

N• •P

e C A

•B

B•

C A

• A

• B

• C

• D

A• a A b C

c C d C

e A

f A

Osserva la figura e rispondi alle seguenti domande. A • B• M •

C• a b c d e f g h

O •

N •

I segmenti AB e BC appartengono alla stessa retta? ......................................................................... E i segmenti MN e NO? .......................................................................................................................... Quale estremo hanno in comune i segmenti AB e BC ? ................................................................... E i segmenti MN e NO? .......................................................................................................................... I segmenti AB e BC sono consecutivi? ................................................................................................ E i segmenti MN e NO? .......................................................................................................................... AB e BC sono adiacenti? ....................................................................................................................... MN e NO sono adiacenti? ...................... Perché? ................................................................................ a no b sì c B d N e sì f sì g no h sì; perché sono consecutivi e appartengono alla stessa retta

Osserva la figura e rispondi alle seguenti domande. m •A B •

C r

a b c d e

•

D •

l n

Le rette l e m sono incidenti? ............................................................................................................... Su quale retta giace il segmento AB? .................................................................................................. Su quale retta giace il segmento AC? .................................................................................................. Con quale lettera è indicato il punto di intersezione delle rette l e n? ........................................... Tale punto è un estremo di qualche segmento? ................................................................................. a sì b m c r d D e AD, CD, BD

Sezione 1 Il piano nel modello di Euclide

E S E R C I Z I

Osserva la figura e completa le seguenti frasi. B •

C •

D •

E •

• A a b c d e f

I segmenti AB e BC non appartengono ................................ e hanno l’estremo B ........................... I segmenti AB e BC sono ....................................................................................................................... I segmenti BC, CD e DE appartengono .............................................................................................. I segmenti BC e CD hanno ................................ e i segmenti CD e DE hanno ................................. I segmenti BC e CD sono ...................................... come i segmenti CD e ........................................ I segmenti BC e DE non sono adiacenti perché ................................................................................. a alla stessa retta; in comune b consecutivi c alla stessa retta d l’estremo C in comune; l’estremo D in comune e adiacenti; DE f non sono consecutivi

Esprimi in simboli. a Il segmento GH è sottomultiplo di IL secondo il numero 8

GH = ........................................

b Il segmento VZ è multiplo di MN secondo il numero 7

VZ = .........................................

c Il segmento PQ è sottomultiplo di RS secondo il numero 5

PQ = .........................................

d Il segmento CD è il triplo del segmento MN

CD = .........................................

e Il segmento AB è la sesta parte del segmento CD

AB = .........................................

f Il segmento EF è il quintuplo del segmento GH

EF = ......................................... a

1 1 1 IL b 7 MN c RS d 3 MN e CD f 5 GH 8 5 6

ABILITÀ Risolvi i seguenti esercizi sui segmenti. ESERCIZI SVOLTI 7

Segna su una semiretta r di origine O tre punti A, B, C in modo che sia OB = 3AB. Assegnato il segmento unità u e sapendo che OA = 4u e che BC = AB + 2u, determina i segmenti OC e AC. Fissiamo l’unità di misura • • O

•

• A

•

• e rappresentiamo i punti dati: • B

•

• C

Segmento OC = OA + AB + BC = 4u + 2u + 4u = 10u Segmento AC = AB + BC = 2u + 4u = 6u 8

Dato un segmento AB = 20u, costruisci i seguenti segmenti: CD =

2 3 1 AB; EF = AB; GH = AB 5 10 10

Verifica che CD = EF + GH.

Lezione 2 Segmenti e angoli

E S E R C I Z I

2 2 AB = · 20u = 8u 5 5 3 3 EF = AB = · 20u = 6u 10 10 1 1 GH = AB = · 20u = 2u 10 10 CD =

Quindi EF + GH = 6u + 2u = 8u = CD 9

Sopra una retta r, siano dati tre punti O, A, B e il punto medio M di AB. Fissata l’unità di misura, indica con a la misura del segmento OA e con b la misura del segmento OB; calcola le misure di AB e di OM. Distingui i casi in cui O è interno ad AB oppure esterno. PRIMO CASO Il punto O è interno ad AB __ __ __ AB = OA + OB = a + b __ a + b __ __ b−a 1 1 −a = a+ b−a= OM = AM − AO = 2 2 2 2

Il punto O è esterno ad AB __ __ __ AB = OB − OA = b − a __ __ __ b+a 1 1 1 OM = OA + AM = a + (b − a) = a + b − a = 2 2 2 2 SECONDO CASO

Osserva le seguenti coppie di segmenti. 1 • • • • • M N

• • • • • • • • • O P

2 • • • • M N

• • • • • • • • • • • • • O P

3 • • • M N

• • • • • • • • • • • O P

Indica a quale coppia di segmenti si riferisce ciascuna delle seguenti uguaglianze. a 1 2 3 OP = 4MN

b 1 2 3 MN = 1 OP 2

c 1 2 3 OP = 5MN

d 1 2 3 MN = 1 OP 5

e 1 2 3 OP = 2MN

f 1 2 3 MN = 1 OP 4 a 2

c 3

d 3

e 1

f 2

Dato il segmento AB lungo 16 cm, determina la lunghezza dei seguenti segmenti. a CD = 1 AB ⇒ CD = .............. 8 c GH = 1 (AB − EF) ⇒ GH = .............. 2

b 1

b EF = 1 (AB + CD) 3

⇒

EF = .............. a 2 cm b 6 cm c 5 cm

Dato il segmento A • • • • •B, disegna i seguenti segmenti. a CD = 1 AB 2

b EF = (AB + CD) : 2

c GH = 1 (CD + EF) 5

Sezione 1 Il piano nel modello di Euclide

E S E R C I Z I

Dato il segmento M • • • • • • •N, disegna i seguenti segmenti. a PQ = 1 MN 3

b RS = 1 (MN + PQ) 2

c TV = 4(MN − RS)

Su di una stessa retta sono dati due segmenti non congruenti AB e CD aventi lo stesso punto medio M; verifica che AC ≅ BD e CB ≅ AD.

I punti A, B, C, D si seguono ordinatamente su una retta; M e N sono i punti medi di AB e CD; AC + BD verifica che MN ≅ . 2

Disegna i segmenti AB = CD e MN > PQ e determina le seguenti somme: AB + MN e CD + PQ. Quale relazione intercorre tra tali somme? [AB + MN > CD + PQ]

Dati su una retta tre punti consecutivi A, B, C, verifica che, se M è il punto medio di AB, si ha AC + BC MC ≅ . 2 ESERCIZIO SVOLTO

La differenza tra due segmenti è lunga 18 cm e uno è triplo dell’altro. Calcola la lunghezza dei due segmenti. Indicando i due segmenti con AB e CD, abbiamo: • A

• B

CD − AB = •

• C •

•

• D

•

CD − AB = 18 cm

(18 : 2) = 9 cm •

•

AB = 9 cm 9 cm · 3 = 27 cm ⇒ CD = 27 cm

Due segmenti AB e CD sono lunghi rispettivamente 27 cm e 31 cm. Quanto misura il multiplo del segmento somma di AB e CD secondo il numero 5? [290 cm]

Due segmenti AB e CD sono lunghi rispettivamente 8 cm e 15 cm. Calcola la lunghezza del segmento ottenuto sommando il multiplo del segmento AB secondo il numero 4 e il multiplo del segmento CD secondo il numero 3. [77 cm]

Tre segmenti AB, CD, EF sono lunghi rispettivamente 8 cm, 11 cm, 14 cm. Calcola la lunghezza del segmento ottenuto sommando il multiplo di AB secondo il numero 7 con il multiplo di CD secondo il numero 2 e il mul[120 cm] tiplo di EF secondo il numero 3.

La somma di due segmenti è lunga 44 cm e uno è il triplo dell’altro. Quanto è lungo ciascun segmento? [11 cm; 33 cm]

Tre segmenti sono tali che il primo è doppio del secondo e il secondo è doppio del terzo. Calcola la lunghezza di ciascun segmento sapendo che la loro somma è lunga 84 cm.

[48 cm; 24 cm; 12 cm]

Due segmenti AB e CD sono lunghi rispettivamente 18 cm e 22 cm. Calcola la lunghezza del sottomultiplo del segmento somma di AB e CD secondo il numero 2. [20 cm]

Sul segmento AB, lungo 10 cm, prendi un punto C tale che AC = 1 BC e trova la distan4 [3 cm] za di C dal punto medio di AB.

Lezione 2 Segmenti e angoli

La differenza tra due segmenti è lunga 18 cm e uno è quadruplo dell’altro. Calcola la lunghezza dei due segmenti. [6 cm; 24 cm]

La somma di due segmenti è lunga 16 cm e la differenza 4 cm. Calcola la lunghezza di ciascun segmento. [6 cm; 10 cm]

La somma di due segmenti è lunga 20 cm e il maggiore supera di 2 cm il quintuplo del minore. Calcola la lunghezza dei due segmenti. [3 cm; 17 cm]

La somma di tre segmenti è lunga 20 cm. Sapendo che il secondo supera il primo di 3 cm e il terzo supera il primo di 2 cm, determina la lunghezza di ciascuno dei tre segmenti. [5 cm; 8 cm; 7 cm]

La somma di due segmenti è lunga 96 cm e uno è i 3 dell’altro. Trova la lunghezza di cia5 scun segmento. [60 cm; 36 cm] ESERCIZIO SVOLTO

Su una retta sono dati i punti A, B, C, D tali che AB ≅ CD. Dimostra che AC ≅ BD e che il punto medio di AD è anche punto medio di BC. Hp: AB ≅ CD AM ≅ MD • • • • • Th: AC ≅ BD A B M C D BM ≅ MC AC ≅ AB + BC BD ≅ CD + BC Ma AB ≅ CD per ipotesi, quindi: AC ≅ AB + BC BD ≅ AB + BC

⇒ AC ≅ BD

Detto M il punto medio di AD abbiamo AM ≅ MD, ma: AM ≅ AB + BM e MD ≅ CD + MC Quindi: AB + BM ≅ CD + MC Ma AB ≅ CD per ipotesi, quindi: AB + BM ≅ AB + MC ⇒ BM ≅ MC quindi M è anche punto medio del segmento BC.

c.v.d.

Sono assegnati tre segmenti AB, CD, EF con AB > CD, CD > EF. Dimostra che AB − EF > CD − EF.

Fissati su una retta i punti A, B, C, D tali che AB ≅ CD e AB ∩ CD = ∅, dimostra che AC ≅ BD.

Dati due segmenti adiacenti e uguali, AB = BC, siano M e N i rispettivi punti medi. Dimostra che AC è il doppio di MN.

Siano M e N i punti medi dei due segmenti adiacenti AB e BC. Dimostra che se BC = 3AB, allora MN = 2AB.

I punti A, B, C si succedono, nell’ordine scritto, sulla stessa retta e M è il punto medio di BC. Dimostra che il segmento AM è la semisomma dei segmenti AB e AC.

I segmenti AD e BC giacciono sulla stessa retta e hanno lo stesso punto medio M. Dimostra che AB ≅ CD e AC ≅ BD.

Sia AB un segmento, M il suo punto medio e

Su una retta r sono dati due segmenti congruenti ma non adiacenti AB e CD. Dimostra che i segmenti AD e BC hanno lo stesso punto medio.

P un punto del suo prolungamento dalla parte PA + PB di A. Dimostra che PM = . 2

E S E R C I Z I

Sezione 1 Il piano nel modello di Euclide

P R O M E M O R I A

Angoli PROMEMORIA ∧

Angolo aO b: ciascuna delle due parti in cui un piano viene diviso da due semirette a e b distinte con l’origine O in comune. Le semirette si dicono lati dell’angolo e l’origine comune è il vertice dell’an∧ golo. Dati due punti A e B appartenenti ai lati, viene indicato anche con AO B o con una lettera greca. Angolo convesso: angolo che non contiene i prolungamenti dei suoi lati. Angolo concavo: angolo che contiene i prolungamenti dei suoi lati. a

∧

∨

AO B

O angolo convesso

AOB

O angolo concavo

Angoli consecutivi: angoli che hanno in comune solo il vertice e un lato. Angoli adiacenti: angoli consecutivi i cui lati non comuni giacciono sulla stessa retta.

angoli consecutivi

angoli adiacenti

Classificazione degli angoli • Angolo nullo: angolo convesso i cui lati coincidono tra loro; la sua ampiezza è 0°. • Angolo piatto: angolo i cui lati sono uno il prolungamento dell’altro; la sua ampiezza è 180°. • Angolo giro: angolo concavo i cui lati coincidono tra loro; la sua ampiezza è 360°. • Angolo retto: angolo pari alla metà di un angolo piatto; la sua ampiezza è 90°. • Angolo acuto: angolo minore di un angolo retto. • Angolo ottuso: angolo maggiore di un angolo retto e minore di un angolo piatto. Angoli opposti al vertice: angoli per i quali i lati di uno sono i prolungamenti dei lati dell’altro. Gli angoli opposti al vertice sono congruenti. β α

α β

Due angoli si dicono congruenti se si possono sovrapporre mediante un movimento rigido, in caso contrario si dicono diversi o non congruenti.

Lezione 2 Segmenti e angoli

Somma di due angoli: si ottiene disponendoli in modo che risultino consecutivi. La loro somma è rappresentata dall’angolo i cui lati sono i lati non comuni di quelli assegnati. B

C' B'

D ∧

∧

AVB + CWD ≅ A'V 'D' •

P R O M E M O R I A

•

W' ≡ V'

Differenza tra due angoli: si ottiene disponendoli in modo che presentino un lato e il vertice in comune e in modo che il secondo lato dell’angolo minore cada internamente a quello maggiore. La differenza tra l’angolo maggiore e il minore è l’angolo individuato dai lati non comuni. B

D' ∧

∧

AVB − CWD ≅ D'V 'B'

W' ≡ V'

C' ≡ A'

Angoli complementari: hanno per somma un angolo retto. Angoli supplementari: hanno per somma un angolo piatto. Angoli esplementari: hanno per somma un angolo giro. Multiplo di un angolo secondo un numero naturale n: è l’angolo che si ottiene sommando n angoli tutti congruenti a quello dato.

α • •

•

• •

α α α

Bisettrice di un angolo: è la semiretta interna all’angolo che lo divide in due parti tra loro congruenti.

CONOSCENZE

E S E R C I Z I

40 Vero o falso?

a b c d e f g

V V V V V V V

F F F F F F F

Due angoli la cui somma sia un angolo giro si dicono supplementari. Due angoli adiacenti non sempre sono supplementari. Due angoli supplementari sono adiacenti. Due angoli la cui somma sia un angolo giro si dicono esplementari. Angoli supplementari di uno stesso angolo non sempre sono congruenti. Angoli complementari di uno stesso angolo sono congruenti. La bisettrice di un angolo divide l’angolo stesso in due parti congruenti.

Sezione 1 Il piano nel modello di Euclide

E S E R C I Z I

Addiziona i seguenti angoli; che tipo di angolo è l’angolo somma? a b c d e f

Trova la differenza tra i seguenti angoli; che tipo di angolo è l’angolo differenza? a b c d e f g h

[ottuso] [piatto] [retto] [giro] [giro] [giro]

Un angolo retto e un angolo acuto. Due angoli retti. Un angolo retto e un angolo nullo. Un angolo piatto e due angoli retti. Due angoli piatti. Un angolo giro e un angolo nullo.

[giro] [nullo] [retto] [piatto] [acuto] [acuto] [acuto] [convesso]

Un angolo giro e un angolo nullo. Due angoli giro. Un angolo piatto e un angolo retto. Un angolo giro e un angolo piatto. Un angolo retto e un angolo acuto. Un angolo ottuso e un angolo retto. Due angoli ottusi. Un angolo giro e un angolo concavo.

Quali delle seguenti frasi sono errate? Spiega il perché. a b c d e f g

Un angolo retto è la metà di un angolo giro. Un angolo ottuso è maggiore di un angolo acuto. Due angoli che hanno il vertice in comune sono consecutivi. Ogni angolo ha due bisettrici. Sommando due angoli acuti è possibile ottenere un angolo piatto. La somma di due angoli acuti non può mai superare un angolo retto. Due angoli complementari sono uno acuto e uno ottuso. a; c ; d; e; f ; g

ABILITÀ 44 Osserva le seguenti figure e determina l’ampiezza degli angoli mancanti.

b 47°

125° β

α 150° c

e δ

90°

235° γ

308°

g β ω

γ 40°

•

60°

20°

a 85° b 133° c 270° d 52° e 125° f 50° g β = 100°; γ = 20°; θ = 60°; δ = 100°

Lezione 2 Segmenti e angoli

ESERCIZI SVOLTI 45

∧

E S E R C I Z I

∧

Due angoli AO B e BO C sono consecutivi e AO B ≅ 3BO C. Dimostra che AO C ≅ 4BO C. A

∧

Hp: AO B ≅ 3BO C

B C

Th: AO C ≅ 4BO C

O ∧

∧

Per ipotesi AO B è triplo di BO C, quindi BO C è contenuto esattamente 3 volte in AO B. ∧

Poniamo BO C = α : A

C α

O ∧

Osservando il disegno possiamo affermare che AO C è formato da quattro angoli congruenti α, ∧ ∧ quindi AO C ≅ 4BO C. c.v.d. 46

Sono date quattro semirette OA, OB, OC, OD che si susseguono nell’ordine in senso antiorario ∧ ∧ ∧ ∧ e tali che AO B ≅ CO D. Dimostra che AO C ≅ BO D. B

∧

Hp: AO B ≅ CO D

Th: AO C ≅ BO D

C D O ∧

∧

L’angolo AO C è la somma di AO B e BO C. L’angolo BO D è la somma di CO D e BO C. ∧

∧

Per ipotesi AO B ≅ CO D, quindi: ∧

∧

AO C ≅ BO D perché somma di angoli congruenti. ∧

c.v.d.

∧

Sono dati due angoli consecutivi AO B e BO C e due punti M e N tali che AO M ≅ MO B e BO N ≅ NO C. ∧ ∧ 1 ∧ Verifica che MO N ≅ (AO B + BO C). 2

Sono date tre semirette OA, OB, OC con OB interna all’angolo AO C. Determina l’unione e l’inter∧ ∧ ∧ ∧ sezione dei due insiemi formati dagli angoli AO B e AO C. AOC; AOB

Sono dati due angoli consecutivi AO B e BO C tali che AO B + BO C = 180°. Verifica che AO e OC sono semirette opposte.

∧

Sezione 1 Il piano nel modello di Euclide

E S E R C I Z I

La somma di tre angoli è un angolo piatto; sapendo che il secondo angolo supera il primo di 36° e il terzo supera il secondo di [22°; 58°; 100°] 42°, trova le tre ampiezze.

60 Un angolo convesso è 1 del suo esplemen11

tare. Calcola l’ampiezza di ciascun angolo.

[330°; 30°]

61 51

La somma di due angoli è ampia 146° e la loro differenza 24°. Calcola l’ampiezza di ciascuno dei due angoli. [85°; 61°] Tre angoli α, β, γ sommati formano un angolo giro; sapendo che il secondo e il terzo angolo superano il primo rispettivamente di 36° e 48°, trova le tre ampiezze. [92°; 128°; 140°] Tre angoli hanno per somma un angolo ampio 246°. Il secondo angolo è quadruplo del primo e il terzo è 1 del secondo. Calcola 4 le ampiezze dei tre angoli. [41°; 164°; 41°]

a l’ampiezza dell’angolo convesso corrispondente; b il supplementare dell’angolo convesso; c l’ampiezza dei due angoli in cui l’angolo dato resta diviso dalla bisettrice. a 112° b 68° c 124°

∧

Tre angoli consecutivi AO B, BO C, CO D, sono ampi 44°, 30°, 60°. Traccia la bisettrice ∧ ∧ OM di AO D e trova le ampiezze di BO M e ∧ MO C. [23°; 7°]

Un angolo AO B ampio 220° è diviso in tre parti. La prima è 3 della seconda e questa è 4 uguale alla terza. Calcola l’ampiezza dei tre angoli e l’ampiezza dell’angolo esplementare ∧ di AO B. [60°; 80°; 80°; 140°]

Un angolo ampio 150° è diviso in tre parti. La prima è 4 della seconda e questa è 5 della 5 6 terza. Calcola:

a 112° b 44° c 168°

La differenza di due angoli è ampia 15° e uno è i 4 dell’altro. Calcola l’ampiezza di ciascun 5 angolo e l’ampiezza del supplementare della loro somma. [75°; 60°; 45°]

∧

c l’ampiezza di un angolo che è i 3 del mag2 giore.

Disegna un angolo ampio 64° e un angolo a esso adiacente. Calcola l’ampiezza dell’angolo adiacente e poi disegna la bisettrice dei due angoli. Determina l’ampiezza dell’angolo formato dalle due bisettrici. [116°; 90°]

∧

Siano dati due angoli non adiacenti AO B e ∧ ∧ ∧ AO C; sapendo che AO C = 4AO B e che la dif∧ ∧ ferenza AO C − AO B è uguale a un angolo retto, determina l’ampiezza dei due angoli.

[30°; 120°]

Di due angoli supplementari uno è ampio 68°. Calcola:

Due angoli complementari sono uno i 2 del3 l’altro. Calcola le loro ampiezze e quelle dei loro supplementari. Verifica infine che la somma di tali angoli supplementari sia il triplo di un angolo retto. [54°; 36°; 126°; 144°]

∧

[150°]

b la differenza dei due angoli;

∧

Siano dati tre angoli consecutivi AO B, BO C, ∧ CO D che hanno per somma un angolo piatto. ∧ Sapendo che BO C è i 2 di un angolo piatto, 3 determina l’ampiezza dell’angolo formato ∧ ∧ dalle bisettrici dei due angoli AO B e CO D.

∧

a l’ampiezza dell’altro angolo;

Dati due angoli complementari, uno supera l’altro di 20°. Trova le due ampiezze.

[35°; 55°]

La differenza di due angoli è ampia 15° e uno è 4 dell’altro. Calcola l’ampiezza di ciascun 5 angolo e la loro somma. [75°; 60°; 135°] ∧

Un angolo concavo è ampio 248°. Calcola:

a l’ampiezza di ciascun angolo; b l’ampiezza del complementare dell’angolo maggiore; c l’ampiezza del supplementare dell’angolo minore. a 40°; 50°; 60° b 30° c 140°

Tre angoli α, β, γ sommati formano un angolo piatto. Sapendo che α è ampio 40° e che gli altri due sono uno i 3 dell’altro, calcola le 4 ampiezze di β e γ. Determina poi l’angolo esplementare relativo alla loro somma.

[60°; 80°; 220°]

Lezione 2 Segmenti e angoli

ESERCIZI SVOLTI 68

E S E R C I Z I

Dimostra che le bisettrici di due angoli adiacenti formano un angolo ampio 90°. ∧

∧

Hp: AO B + BO C = 180°

AO M ≅ BO M BO N ≅ NO C

N Th: MO ⊥ ON

• •

A ∧

∧

Se AO B + BO C = 180°, allora

∧ 1( ∧ AO B + BO C) = 90°, quindi: 2

∧ ∧ 1 ∧ 1 ∧ AO B + BO C = AO M + BO N = 90° 2 2

c.v.d. ∧

Dimostra che l’angolo formato dalle bisettrici di due angoli consecutivi e congruenti AO B e ∧ ∧ BO C è congruente all’angolo AO B. ∧

∧

Hp: AO B ≅ BO C ∧

∧

AO M ≅ MO B ∧

∧

BON ≅ NO C

•

Th: MO N ≅ AO B O C ∧

∧

Se AO B ≅ BO C per ipotesi, possiamo dire che AO M ≅ MO B ≅ BON ≅ NO C. ∧

∧

Quindi MO N ≅ MO B + BON; ma BON ≅ AO M, perciò MO N ≅ MO B + AO M ≅ AO B. 70

c.v.d.

Per il vertice di un angolo convesso si conducono due semirette che formano un angolo retto rispettivamente con i lati dell’angolo, ciascuna nel semipiano opposto a quello che contiene l’altro lato. Dimostra che l’angolo formato da queste due semirette è supplementare di quello dato. ∧

Hp: AO B angolo convesso

OR ⊥ OB OS ⊥ AO ∧

∧

Th: RO S + AO B = 180°

Osserviamo che: ∧

∧

AO B + BOR + RO S + SOA = AO B + 90° + RO S + 90° = 360° Quindi AO B + RO S = 360° − 90° − 90° = 180° ∧

∧

Cioè RO S è il supplementare dell’angolo dato AO B.

c.v.d.

Sezione 1 Il piano nel modello di Euclide

E S E R C I Z I

Su una retta orientata sono dati i punti A, O, D con D ≤ O ≤ A. Considera i punti B e C ester∧ ni alla retta, tali che BO C sia un angolo retto ∧ ∧ e verifica che gli angoli AO B e CO D siano complementari.

Dato un angolo retto PO Q, siano AO B un ∧ angolo che ha come bisettrice OP e CO D un angolo che ha come bisettrice OQ. ∧ ∧ Dimostra che gli angoli AO C e BO D sono supplementari.

∧

Date due semirette opposte OA e OB, considera nel medesimo semipiano individuato dalla retta AB due angoli ottusi uguali ∧ ∧ AO C = BO D. Dimostra che la bisettrice del∧ l’angolo CO D forma con OA un angolo retto.

Dimostra che, se due angoli hanno gli angoli supplementari congruenti, sono congruenti anche i loro complementari.

Dimostra che se le bisettrici di due angoli consecutivi formano un angolo ampio 90°, i due angoli sono adiacenti.

Dimostra che angoli complementari di due angoli disuguali sono disuguali in senso opposto.

∧

Sia AB C un angolo, BD la sua bisettrice e BE una semiretta esterna all’angolo. Dimostra ∧ che l’angolo EB D è congruente alla semi∧ ∧ somma dei due angoli EB A ed EB C. ∧

Sia AO B un angolo, OC la sua bisettrice e ∧ OD una semiretta interna all’angolo BO C. ∧ ∧ ∧ AO D − BO D Dimostra che CO D = . 2

80 Tre semirette uscenti da uno stesso punto

dividono il piano in tre angoli congruenti. Dimostra che il prolungamento di ciascuna di esse è la bisettrice dell’angolo convesso formato dalle altre due.

∧

Sia AO B un angolo, OM la sua bisettrice e OM' il prolungamento di OM. Dimostra che se C è interno al semipiano individuato dalla retta MM' e contenente B, allora si ha ∧ ∧ BO C < AO C (distingui i due casi in cui C è ∧ interno ed esterno a MO B).

Se da un punto C appartenente al segmento AB si tracciano le semirette CD e CE da parti opposte rispetto alla retta AB e tali che ∧ ∧ AC E ≅ BC D, dimostra che le semirette CD e CE sono una il prolungamento dell’altra.

Sezione 1 LEZIONE

AUTOVALUTAZIONE 1

Vero o falso? a b c d e f g h i l m

V V V V V V V V V V V

F F F F F F F F F F F

Il segmento AB è incluso nella retta AB. Il segmento AB ha un minor numero di punti della retta AB. Due segmenti adiacenti sono anche consecutivi. Due segmenti consecutivi sono anche adiacenti. Due segmenti con un punto in comune sono consecutivi. Due angoli che hanno il vertice in comune sono consecutivi. Due angoli che hanno un lato in comune sono consecutivi. Tutti gli angoli sono concavi. ∧ ∧ ∧ ∧ Se AO B ≅ 2CO D, allora AO B è multiplo di CO D. Un segmento ha un solo punto medio. Gli angoli opposti al vertice possono essere congruenti.

Vero o falso? a b c d e f g

V V V V V V V

F F F F F F F

Un angolo retto è la metà di un angolo giro. Un angolo ottuso è maggiore di un angolo acuto. Ogni angolo ha due bisettrici. Sommando due angoli acuti è possibile ottenere un angolo piatto. La somma di due angoli acuti non può mai superare un angolo retto. Due angoli complementari sono uno acuto e l’altro ottuso. Due angoli diversi con gli stessi lati sono esplementari.

Risolvi i seguenti problemi. 3

Due segmenti consecutivi AB e BC hanno come somma un segmento lungo 27 cm. Se il primo è 4 della somma, qual è la lunghezza 9 del secondo segmento?

La somma di due angoli è ampia 130° e uno è il quadruplo dell’altro. Qual è la loro ampiezza? Calcola poi il supplementare della loro differenza.

Due segmenti AB e CD sono lunghi rispettivamente 8 cm e 15 cm. Determina la lunghez7 1 za del segmento EF ≅ 4 AB + CD + AB. 3 2

Sapendo che due angoli sono supplementari e che il primo è il quadruplo del secondo, calcola la loro ampiezza e quella del complementare dell’angolo minore.

La somma di due segmenti è lunga 105 cm e la loro differenza 15 cm. Determina la lunghezza dei due segmenti.

Sono dati tre angoli consecutivi AOB, BOC, ∧ COD che hanno per somma un angolo piatto. ∧ Sapendo che BOC è 2 dell’angolo piatto, de3 ∧ termina l’ampiezza di COD sapendo che è ∧ doppio di AOB.

Gli angoli AO B ≅ BO C sono consecutivi; siano M e N due punti del piano tali che ∧ ∧ ∧ ∧ AO M ≅ MO B e BO N ≅ NO C. Dimostra che ∧ ∧ 1 ∧ MO N ≅ (AO B + BO C). 2

I tre angoli AO B, BO C e CO D sono consecu∧ ∧ tivi e AO B e CO D sono uguali. Dimostra che ∧ ∧ AO C ≅ BO D.

Il punto O è origine di quattro semirette OA, ∧ ∧ ∧ ∧ OB, OC, OD tali che AOB ≅ COD e BOC ≅ DOA. Dimostra che i punti A, O, C sono allineati, come pure i punti B, O, D.

∧

La somma di due angoli opposti al vertice è quadrupla di ciascuno degli angoli adiacenti. Calcola l’ampiezza dei quattro angoli.

∧