Arlenisvargas librolagunas by Elvidami Gonzalez Lopez

ÍND ICE

CONT .

Introducción Las Matemáticas y su importancia La matefobia

Polinomios: Clases de polinomios

Mínimo Común Múltiplo Máximo Común Divisor

Grado de un polinomio

Rayos y Ángulos

Operaciones con polinomios Expresiones algebraicas Igualdades, desigualdades e Intervalos

Las fracciones: Clasificación de Fracciones Simplificación de fracciones Operaciones con Fracciones: Suma, Resta, Multiplicación, División, etc. Teorema de Pitágoras

Introducción Las matemáticas han sido desde siempre el lenguaje universal por excelencia; la solución misma a problemáticas comunes y situaciones practicas incluso de nuestra vida cotidiana, no obstante, a lo largo del tiempo, solemos crear cierta dejadez en base a esta asignatura. Lo que conlleva al hecho de que conservemos las llamadas “lagunas” o confuciones, que se van ampliando al pasar del tiempo. A continuación, intentare plantear todas y cada una de las lagunas contenidas en mí, con respecto a las matemáticas, a la vez que desarrollare explicaciones básicas y algunos ejercicios que podrán ayudar para la comprensión de los mismos.

Las Matemáticas y su importancia

Las Matemáticas y su importancia Si bien es cierto que la matemática en términos complejos, hace referencia al aprendizaje, el estudio y la ciencia, siendo una disciplina que estudia conceptos como la cantidad, la proporción, el espacio o la estructura y el cambio, también es cierto que el alcance de estas ha ido expandiéndose de manera tal que, en la actualidad son consideradas como una base, un complemento e incluso en muchos casos como un ente resolucionador de otras disciplinas anexas, realizadas por los humanos. Nos encontramos frente a una inminente explosión de cosas nuevas que brotan a diario (básicamente son revoluciones observadas en la ingeniería, la medicina, la música, las tecnologías de comunicación e información, la robótica, la genética). Cada día está lleno de cambios determinados por la conquista del espacio y sus recursos, naciendo así, creaciones que podríamos haber inimaginado por toda una vida. Sin duda alguna las matemáticas son el soporte oculto de estos avances, y es que incluso resulta necesario cuestionarse ¿Cómo habrán de adecuarse las jóvenes generaciones y las demás venideras a las mejoras y cambios tecnológicos globales, si primero no se traza una base de métodos y herramientas matemáticas?

La Matefobia

La Matefobia Hoy en día nos encontramos frente a un fenómeno de gran fuerza y que avanza con poderoso motor afectando de manera inigualable la divulgación y buena aceptación de los hábitos de estudios y reforzamientos matemáticos, evitando que se cree una cultura de lógica y cognición de alta calidad en nuestras generaciones jóvenes y adultas. Hago alusión a lo que es: LA MATEFOBIA, esta es considerada como el miedo que presentan las personas ante las matemáticas. Es tal como un ente que transforma la angustia en un temor extraño que bloquea de manera feroz la capacidad y apertura al aprendizaje y hace mantener una posición de ignorancia en la cual se afirma que: LAS MATEMATICAS SON SOLO COSAS DE UN GRUPO. Se dice que esta surge durante el periodo de educación escolar, ya que sin duda, en la mayoría de centros educativos se les presenta a los jóvenes las matemáticas como una asignatura común y corriente, sin hacer puntualización en la importancia y necesidad de las mismas, incluso para nuestro diario vivir.

Mínimo Común Múltiplo El nombre de mínimo común múltiplo está hecho de las partes mínimo, común y múltiplo: ¿Qué es un “múltiplo”? Los múltiplos de un número son lo que tienes cuando lo multiplicas por otros números (si lo multiplicas por 1,2,3,4,5, etc.) como en las tablas de multiplicar. ¿Qué es un “múltiplo común”? Si tienes dos (o más) números, y miras entre sus múltiplos y encuentras el mismo valor en las dos listas, esos son los múltiplos comunes a los dos números.

Mínimo Común Múltiplo

¿Qué es el “mínimo común múltiplo”? En matemáticas, el mínimo común múltiplo (abreviado m.c.m), de dos o más números naturales es el menor número natural que es múltiplo de todos ellos. Sólo se aplica con números naturales, es decir, no se usan decimales, números negativos o números complejos.

EJEMPLO: Encuentre el MCM de 72 y 50 1.)

Multiplos: los múltiplos de un número se obtienen multiplicando dicho número por los números naturales 0, 1, 2, 3, 4, 5.....

2.)

3.)

Ejemplo: múltiplos del 7: 7x0=0; 7x1=7; 7x2=14; 7x3=21; 7x4=28; 7x5=35 .... O sea son múltiplos del 7: 0, 7, 14, 21, 28, 35, 42, 48, 56, 63, 70, 77, 84, 91, 98, 105, 112, 119, 126, 133, 140, 147, 154, 161, 168...

Propiedades básicas Cálculo del mínimo común múltiplo 1ro.Descompongo (o “factorizo”) los números en sus factores primos -Eso es decir, este tiene mitad que es tal, este tiene tercera que es tal y asi sucesivamente-. 2do.Se multiplican todos los “factores” (comunes y no comunes) que aparecen en la descomposición de los números, con el mayor exponente con que aparecen. -si el 2 esta tres veces en la descomposicion, se expresa elevando el 2 al cubo- y luego se multiplican entre ellos para obtener su maximo comun divisor. 3ro.Despues de encontrado el MCD, procedemos a buscar el MCM, que será el producto de ambos dividido entre su máximo común divisor

a. Si el producto de dos números lo dividimos por su máximo común divisor dicho cociente es el mínimo común múltiplo. b. El mínimo común múltiplo de dos números, donde el menor divide al mayor, será el mayor. Es lógico ya que un múltiplo de ambos inferior al mayor sería imposible ya que no sería múltiplo del mayor. c. El mínimo común múltiplo de dos números primos es el total de su multiplicación. Esto es lógico ya que su máximo común divisor es 1. d. El mínimo común múltiplo de dos números compuestos será igual al cociente entre su producto y el m.c.d de ellos. Es evidente según la propiedad 1 de este tema. e. El máximo común divisor de varios números está incluido en el mínimo común múltiplo.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR El nombre de máximo común divisor está hecho de las partes mínimo, común y múltiplo: ¿Qué es un “divisor”? un divisor de un número es otro número que lo divide exactamentey son igual o menor que el número dado. todos los números tienen por divisor a si mismo y a la unidad ¿Qué es un “común divisor”? Si tienes dos (o más) números, y miras entre sus divisores y encuentras el mismo valor en las dos listas, esos son los divisores comunes a los dos números.

MÁXIMO COMÚN DIVISOR

¿Qué es el “Máximo Común Divisor”? En matemáticas, se define el máximo común divisor (abreviado mcd) de dos o más números enteros al mayor número que los divide sin dejar resto.

EJEMPLO: Encuentre el MCd de 48 y 60 1.)

Si se encuentran todos los factores de dos o más números y se encuentra que algunos factores son los mismos (“Comunes”), entonces el mayor de estos factores comunes es el Máximo Común Divisor.

2.)

3.)

Abreviado como”MCD”.

Agregandole el 72

Ejemplo: El MCD de 12 y 30 es 6, porque 1, 2, 3 y 6 son los factores comunes de 12 y 30, y 6 es el mayor.

Aplicaciones Cálculo del Máximo Común Divisor 1ro.Descompongo (o “factorizo”) los números en sus factores primos -Eso es decir, este tiene mitad que es tal, este tiene tercera que es tal y asi sucesivamente-. 2do.Se multiplican todos los “factores” (comunes y no comunes) que aparecen en la descomposición de los números, con el mayor exponente con que aparecen. -si el 2 esta tres veces en la descomposicion, se expresa elevando el 2 al cubo- y luego se multiplican entre ellos para obtener su maximo comun divisor. 3ro. El MCD de tres números se puede calcular como sigue:

El mcd se utiliza para simplificar fracciones. Por ejemplo, para simplificar la fracción 48/60 se calcula primero el mcd (60, 48) = 12, dividiéndose el numerador y el denominador de la fracción inicial por 12 para obtener la fracción simplificada 4/5. El mcd también se utiliza para calcular el mínimo común múltiplo de dos números. En efecto, el producto de los dos números es igual al producto de su máximo común divisor por su mínimo común múltiplo. Así, para calcular el mínimo común múltiplo de 48 y de 60, calculamos primero su mcd, 12, siendo su mínimo común múltiplo 48-60/12 = 240 . El mcd y el algoritmo de Euclides se emplea en la resolución de ecuaciones diofánticas lineales con dos incógnitas.6

Rectas, rayos, y ĂĄngulos Una recta no tiene ni un punto de comenzar ni un punto de terminar. ImagĂnala siguiendo indefinidamente en ambas direcciones Un segmento de recta tiene un punto de comenzar y un punto de terminar. Un rayo tiene un punto de comenzar pero no tiene punto de terminar

Rectas, rayos, y ángulos

¿Qué es un ángulo? Muchas personas piensan que un ángulo es algún tipo de línea inclinada, pero en matemáticas, se compone un ángulo de dos rayos que tienen el mismo punto de comenzar. Este punto se llama el vértice y los dos rayos se llaman los lados del ángulo.

Las fracciones Una fracción es una parte de un total, representa las partes que tomamos de un todo. Numerador, Denominador Al número de arriba lo llamamos Numerador, es el número de partes que tienes. Al de abajo lo llamamos Denominador, es el número de partes en que se ha dividido el total. El ejemplo de un queso que partimos en 8 porciones: si tomamos 3 porciones, representan 3 porciones de las 8, es decir 3 / 8 del queso, y si tomamos 5, representan 5 / 8 del queso.

Fracciones

Clasificación de fracciones Propia: El numerador es menor que el denominador 1 / 2, 7 / 9 Impropia: El numerador es mayor que el denominador 4 / 3, 5 / 2 Homogéneas: Tienen el mismo denominador 2 / 5, 4 / 5 Heterogéneas: Tienen distinto denominador

y después dividimos el numerador y el denominador por este mayor divisor común, ya que como hemos visto antes, dividiendo el numerador y el denominador de una fracción por un mismo número obtenemos una fracción equivalente (de igual valor). Por ejemplo: Simplificar 30/42 Los números que dividen exactamente a 30 (divisores) son: 2, 3, 5, 6, 10 y 15. Los números que dividen exactamente a 42 (divisores) son: 2, 3, 6, 7, 14 y 21. Los divisores comunes a ambos son 2, 3 y 6. El mayor divisor común es 6, por tanto, dividimos numerador y denominador por 6.

3 / 7, 2 / 8 Entera: El numerador es igual al denominador representan un entero 6/6=1 Equivalentes: Cuando tienen el mismo valor. Dos fracciones son equivalentes si son iguales sus productos cruzados 2/3y4/6 2x6=3x4 Fracción reducible: fracción en la que el numerador y el denominador no son primos entre sí y puede ser simplificada: 2/4 , 6/18 ,155/150 Fracción irreducible: fracción en la que el numerador y el denominador son primos entre sí, y por tanto no puede ser simplificada: 1/2 , 3/5 ,13/15}

Simplificación de fracciones

30/6

—— =

———=

42/6

____ 7

Suma y resta de fracciones Si las fracciones tienen el mismo denominador (homogéneas), se suman o restan los numeradores y se pone el mismo denominador. Si las fracciones tienen distinto denominador (heterogéneas), lo primero que tenemos que hacer es igualar los denominadores. Para conseguirlo, buscamos dos fracciones equivalentes a las dadas, multiplicando el numerador y el denominador de cada una de ellas por el denominador de la otra. Una vez obtenido el mismo denominador, procedemos como en el caso anterior, sumamos los numeradores y ponemos el denominador común.

una fracción consiste en hallar la fracción equivalente más pequeña posible; para ello, lo primero que hacemos es buscar el mayor número que divide exactamente (diferente de 0) al numerador y al denominador (mayor divisor común)

Fracciones

Multiplicación de fracciones El producto de varias fracciones es igual a otra fracción que tiene por numerador el producto de los numeradores y por denominador el producto de los denominadores. Ejemplo:

Fracción de un número Calcular la fracción de un número es lo mismo que multiplicar la fracción por ese número. Ejemplo:

Teorema de Pitágoras Hace años, un hombre llamado Pitágoras descubrió un hecho asombroso sobre triángulos: Si el triángulo tiene un ángulo recto (90°)...

}

División de fracciones

El cociente de dos fracciones es otra fracción que tiene por numerador el producto del numerador de la primera por el denominador de la segunda, y por denominador el producto del denominador de la primera por el numerador de la segunda. Ejemplo:

... y pones un cuadrado sobre cada uno de sus lados, entonces... ¡El cuadrado más grande tiene exactamente la misma área que los otros dos cuadrados juntos! El lado más largo del triángulo se llama “hipotenusa”

Teorema de Pitágoras

Definiciones El teorema de Pitágoras establece que en todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa (el lado de mayor longitud del triángulo rectángulo) es igual a la suma de los cuadrados de los catetos (los dos lados menores del triángulo, los que conforman el ángulo recto). En todo triángulo rectángulo el cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos. Pitágoras de Samos Si un triángulo rectángulo tiene catetos de longitudes a y b , y la medida de la hipotenusa es c, se establece que:

Aplicación Escríbelo como una ecuación:

a2 + b2 = c2 Ahora puedes usar álgebra para encontrar el valor que falta, como en estos ejemplos:

De la ecuación (1) se deducen 3 corolarios de aplicación práctica:

Entonces, el cuadrado de a (a²) más el cuadrado de b (b²) es igual al cuadrado de c (c²): a2 + b2 = c2 ¿Por qué es útil esto? Si sabemos las longitudes de dos lados de un triángulo con un ángulo recto, el Teorema de Pitágoras nos ayuda a encontrar la longitud del tercer lado.

a2 + b2 = c2

52 + 122 = c2

92 + b2 = 152

25 + 144 = 169

81 + b2 = 225

c2 = 169

Resta 81 a ambos lados

c = √169

b2 = 144

c = 13

b = √144

Nota histórica: aunque se llama Teorema de Pitágoras, ¡también lo conocían los matemáticos indios, griegos, chinos y babilonios antes de que él viviera!

b = 12

Expresiones Algebráicas y polinomios Una expresión algebraica es una combinación de letras, números y signos de operaciones. Las letras suelen representar cantidades desconocidas y se denominan variables o incógnitas. Las expresiones algebraicas nos permiten traducir al lenguaje matemático expresiones del lenguaje habitual. y las utilizamos constantemente en nuestra vida diaria.

Expresiones Algebráicas y Polinomios

Expresiones Algebráicas Una expresión algebraica es un conjunto de cantidades numéricas y literales relacionadas entre sípor los signos de las operaciones aritméticas como sumas, diferencias, multiplicaciones, divisiones, potencias y extracción de raíces. Algunos ejemplos de expresiones algebraicas son:

Operaciones con polinomios Los polinomios se pueden sumar y restar agrupando los términos y simplificando los monomios semejantes. Para multiplicar polinomios se multiplica cada término de un polinomio por cada uno de los términos del otro polinomio y luego se simplifican los monomios semejantes.

Hay distintos tipos de expresiones algebraicas:

Suma de polinomios

*Dependiendo del número de sumandos, tenemos: monomios (1 sumando) y polinomios (varios sumandos).

Para sumar dos polinomios se suman los coeficientes de los términos del mismo grado. Ejemplo

*Algunos polinomios tienen nombre propio: binomio (2 sumandos), trinomio (3 sumandos), ...

P(x) = 2x3 + 5x − 3

*Dos expresiones algebraicas separadas por un (=), se llama ecuación. Un caso particular de ecuación es la identidad, en la que los dos lados de la igualdad son equivalentes.

Polinomios En matemáticas, un polinomio es una expresión matemática constituida por un conjunto finito de variables (no determinadas o desconocidas) y constantes (números fijos llamados coeficientes), utilizando únicamente las operaciones aritméticas de suma, resta y multiplicación, así como también exponentes enteros positivos.

Grado de un polinomio Se define el grado de un monomio como el mayor exponente de su variable. El grado de un polinomio es el del monomio de mayor grado P(x) = 2, polinomio de grado cero (el polinomio solo consta del término independiente). P(x) = 3x + 2, polinomio de grado uno.

1.Ordenamos los polinomios, si no lo están. Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x P(x) + Q(x) = (2x3 + 5x − 3) + (2x3 − 3x2 + 4x) 2.Agrupamos los monomios del mismo grado. P(x) + Q(x) = 2x3 + 2x3 − 3 x2 + 5x + 4x − 3 3.Sumamos los monomios semejantes. P(x) + Q(x) = 4x3− 3x2 + 9x − 3

resta de polinomios La resta de polinomios consiste en sumar el opuesto del sustraendo Ejemplo P(x) − Q(x) = (2x3 + 5x − 3) − (2x3 − 3x2 + 4x) P(x) − Q(x) = 2x3 + 5x − 3 − 2x3 + 3x2 − 4x P(x) − Q(x) = 2x3 − 2x3 + 3x2 + 5x− 4x − 3 P(x) − Q(x) = 3x2 + x − 3

P(x) = 3x² + 2x², polinomio de grado dos. P(x) = 2x3+ 3x + 2, polinomio de grado tres. 36

Q(x) = 4x − 3x2 + 2x3

Expresiones Algebráicas y Polinomios

multiplicación de polinomios Multiplicación de un número por un polinomio Es otro polinomio que tiene de grado el mismo del polinomio y como coeficientes el producto de los coeficientes por el número. Ejemplo: 3 · ( 2x3 − 3 x2 + 4x − 2) = 6x3 − 9x2 + 12x − 6 Multiplicación de un monomio por un polinomio Se multiplica el monomio por todos y cada uno de los monomios que forman el polinomio. Ejemplo: 3 x2 · (2x3 − 3x2 + 4x − 2) = 6x5 − 9x4 + 12x3 − 6x2 Multiplicación de polinomios P(x) = 2x2 − 3

Q(x) = 2x3 − 3x2 + 4x

1ro. Se multiplica cada monomio del primer polinomio por todos los elementos segundo polinomio. P(x) · Q(x) = (2x2 − 3) · (2x3 − 3x2 + 4x) = = 4x5 − 6x4 + 8x3 − 6x3 + 9x2 − 12x = 2do. Se suman los monomios del mismo grado. = 4x5 − 6x4 + 2x3 + 9x2 − 12x 3ro. Se obtiene otro polinomio cuyo grado es la suma de los grados de los polinomios que se multiplican.

Igualdades y desigualdades Igualdades: Una igualdad es una oración matemática que lleva el signo de igual. Desigualdades: Por su parte las desigualdades sin expresiones en que una de ellas puede ser llegar a ser menor o igual a la otra, pueden ser numéricas o algebraicas, en cuyo caso hablamos de inecuaciones.

Igualdades y Desigualdades

Igualdades Una igualdad es una equivalencia entre dos expresiones, las cuales pueden ser numéricas o algebraicas, en cuyo caso hablamos de ecuaciones. Una igualdad se reconoce por que separa las equivalencias con el símbolo “=” (igual a). Ejemplo: 8 - 6 = 2, es una igualdad numérica, pues como se puede ver tiene el signo “=” entre las expresiones y éstas son equivalente, pues el resultado de la izquierda es equivalente al resultado de la derecha 5x - 6 = 8, es una igualdad conocida como ecuación, pues tiene una incógnita ( “x” en este caso), y existe un valor de “x” que hace que se cumpla la igualdad y que las expresiones de la izquierda, en este caso (5x-6) con las de la derecha, en este caso (8) sean iguales.

DESIgualdades

Ejemplo: 4 + 3 < 12, es una desigualdad porque primero tiene el símbolo menor que (<) y además la expresión de la izquierda (4+3=7) es menor que la de la derecha, es decir, es desigual 3x - 2 > 4, es una desigualdad porque primero tiene el símbolo mayor que (>) y además existe un conjunto de números que pueden cumplir con la condición de que la expresión (3x - 2) que está a la izquierda de la desigualdad sean mayor que 4 que está a la derecha de la desigualdad.

Intervalos Un intervalo es un espacio métrico comprendido entre dos valores. Específicamente, un intervalo real es un subconjunto conexo de la recta real \R, es decir, una porción de recta entre dos valores dados. Intervalo abierto (a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores que b. (a, b) = {x Pertenece E R / a < x < b} Intervalo cerrado

Por su parte las desigualdades sin expresiones en que una de ellas puede ser llegar a ser menor o igual a la otra, pueden ser numéricas o algebraicas, en cuyo caso hablamos de inecuaciones. Los signos de desigualdad son:

[a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores o iguales que b. [a, b] = {x Pertenece R / a ≤ x ≤ b} Intervalo Semiabierto por la izquierda

≠ no es igual

(a, b], es el conjunto de todos los números reales mayores que a y menores o iguales que b.

< menor que > mayor que ≤ menor o igual que

(a, b] = {x Pertenece R/ a < x ≤ b} Intervalo Semiabierto por la derecha

≥ mayor o igual que

[a, b), es el conjunto de todos los números reales mayores o iguales que a y menores que b.

(La punta del signo siempre señala el menor) [a, b) = {x Pertenece R/ a ≤ x < b} 40

Ejercicios A continuaciรณn mostraremos un grupo de ejercicios sugeridos para cada tema. Ejercicios prรกcticos cuyo desarrollo podrรกn ser encontrados en el cuaderno de la autora de este material.

Ejercicios Propuestos

1. Minimo Comun Multiplo (mcm) Encuentra el mínimo común múltiplo de 2 y 30 2 y 50 2 y 30 140, 325 y 490 725, 980 y 1.400

2. Máximo común divisor (mcd) Encuentra el máximo común divisor de 280 y 840 315 y 945 180, 252 y 594 924, 1.000 y 1.250

3. Las Fracciones Encuentra el máximo común divisor de 280 y 840 315 y 945 180, 252 y 594 924, 1.000 y 1.250

Ejercicios Propuestos

4. Polinomios

5. Expresiones Algebraicas