Funciones Matemáticas: Conceptos Básicos
En matemática, una función (f) es una relación entre un conjunto dado X (llamado dominio) y otro conjunto de elementos Y (llamado codominio) de forma que a cada elemento x del dominio le corresponde un único elemento f(x) del codominio (los que forman el recorrido, también llamado rango o ámbito). Ver: Relaciones y funciones En lenguaje cotidiano o más simple, diremos que las funciones matemáticas equivalen al proceso lógico común que se expresa como “depende de”. Las funciones matemáticas pueden referirse a situaciones cotidianas, tales como: el costo de una llamada telefónica que depende de su duración, o el costo de enviar una encomienda que depende de su peso. A modo de ejemplo, ¿cuál sería la regla que relaciona los números de la derecha con los de la izquierda en la siguiente lista?: 1 --------> 1 2 --------> 4 3 --------> 9 4 --------> 16 Los números de la derecha son los cuadrados de los de la izquierda. La regla es entonces "elevar al cuadrado": 1 --------> 1 2 --------> 4 3 --------> 9 4 --------> 16 x --------> x2. Para referirse a esta regla podemos usar un nombre, que por lo general es la letra f (de función). Entonces, f es la regla "elevar al cuadrado el número".
Usualmente se emplean dos notaciones: x --------> x2
o
f(x) = x2 .
Así, f(3) significa aplicar la regla f a 3. Al hacerlo resulta 32 = 9. Entonces f(3) = 9. De igual modo f(2) = 4, f(4) = 16, f(a) = a2, etc. Veamos algunos ejemplos que constituyen funciones matemáticas. Ejemplo 1 Correspondencia entre las personas que trabajan en una oficina y su peso expresado en kilos Conjunto X Conjunto Y Ángela 55 Pedro 88 Manuel 62 Adrián 88 Roberto 90
Cada persona (perteneciente al conjunto X o dominio) constituye lo que se llama la entrada o variable independiente. Cada peso (perteneciente al conjunto Y o codominio) constituye lo que se llama la salida o variable dependiente. Notemos que una misma persona no puede tener dos pesos distintos. Notemos también que es posible que dos personas diferentes tengan el mismo peso. Ejemplo 2 Correspondencia entre el conjunto de los números reales (variable independiente) y el mismo conjunto (variable dependiente), definida por la regla "doble del número más 3". x -------> 2x + 3 o bien f(x) = 2x + 3 Algunos pares de números que se corresponden por medio de esta regla son: Conjunto X Conjunto Y Desarrollo −2 −1 f(−2) = 2(−2) + 3 = −4 + 3 = − 1 −1 1 f(−1) = 2(−1) + 3 = −2 + 3 = 1 0 3 f(0) = 2(0) + 3 = 0 + 3 = 3 1 5 f(1) = 2(1) + 3 = 2 + 3 = 5 2 7 f(2) = 2(2) + 3 = 4 + 3 = 7 3 9 f(3) = 2(3) + 3 = 6 + 3 = 9
4
11
f(4)
= 2(4) + 3 = 8 + 3 = 11
Con estos ejemplos vamos entendiendo la noción de función: como vemos, todos y cada uno de los elementos del primer conjunto (X) están asociados a uno, y sólo a uno, del segundo conjunto (Y). Todos y cada uno significa que no puede quedar un elemento en X sin su correspondiente elemento en Y. A uno y sólo a uno significa que a un mismo elemento en X no le pueden corresponder dos elementos distintos en Y. Ahora podemos enunciar una definición más formal: Una función (f) es una regla que asigna a cada elemento x de un conjunto X (dominio) exactamente un elemento, llamado f(x), de un conjunto Y (codominio). Otra definición equivalente es: sean X e Y dos conjuntos. Una función de X en Y es una regla (o un método) que asigna un (y sólo uno) elemento en Y a cada elemento en X. Usualmente X e Y son conjuntos de números. Generalizando, si se tiene una función f, definida de un conjunto A en un conjunto B, se anota f : A -----> B (o, usando X por A e Y por B
f : X -----> Y) o f(x) = x
Recordemos de nuevo que el primer conjunto A se conoce como dominio (Dom) de la función y B es el codominio o conjunto de llegada. f(x) denota la imagen de x bajo f, mientras que x es la preimagen de f(x). En el ejemplo 2 anterior el número 3 es la imagen del número 0 bajo f; por su parte, 1 es la preimagen del número 5. El rango (Rg) o recorrido (Rec) o ámbito (A) es el conjunto de todos los valores posibles de f(x) que se obtienen cuando x varía en todo el dominio de la función. Ejemplo 3 Suponga que el conjunto A (de salida) es A = {1, 2, 3} y que el conjunto B (de llegada) es B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} y que la relación de dependencia o correspondencia entre A y B es "asignar a cada elemento su cuádruplo". Vamos a examinar si esta relación es una función de A en B y determinaremos dominio y recorrido. Veamos:
A los elementos 1, 2 y 3 del conjunto A les corresponden, respectivamente, los elementos 4, 8 y 12 del conjunto B. Como a cada elemento de A le corresponde un único elemento de Y, la relación de dependencia es una función (función de A en B). Dominio = {1, 2, 3}
Recorrido = {4, 8, 12}
Notar que el recorrido es un subconjunto del codominio B = {0, 4, 6, 8, 10, 12} Aquí debemos recordar que toda función es una relación, pero no todas las relaciones son funciones. Como ejemplos de relaciones que son funciones y algunas que no lo son, veamos las siguientes: Si tenemos los conjuntos A = {1; 2; 3; 4}, B = {1; 2; 3; 4; 5} Podemos establecer las relaciones f = { (1; 2); (2; 3); (3; 4); (4; 5) } g = { (1; 2); (1; 3); (2; 4); (3; 5); (4; 5) } h = { (1; 1); (2; 2); (3; 3) }: Está claro que f, g y h son relaciones de A en B, pero sólo f es una función (todos los elementos del conjunto A tiene su correspondiente elemento en b); g no es función ya que (1; 2) y (1; 3) repiten un elemento del dominio (el 1). Tampoco h es una función ya que Dom(h) = {1; 2; 3} ≠ A (falta el 4). Ejemplo 4 Sea X = {−4, −1, 0, 4, 9}, Y = {−4,−3, −2, −1, 0, 1, 2, 3, 4} y que la regla de correspondencia es " asignar a cada elemento de X el resultado de extraer su raíz cuadrada". Vamos a determinar si esta regla constituye función de X en Y. Veamos: A simple vista se aprecia que los números 0, 4, 9 tienen imagen en Y ( ), pero a los números −4 y −1 no les corresponden elementos en Y. Como existen elementos de X que no se corresponden con elementos de Y, esta relación no es función de X en Y.
Dominio y rango de una función
Como ya vimos, el dominio de una función es el conjunto de valores para los cuales la función está definida; es decir, son todos los valores que puede tomar la variable independiente (la x). Por ejemplo la función f(x) = 3x2 – 5x está definida para todo número real (x puede ser cualquier número real). Así el dominio de esta función es el conjunto de todos los números reales. En cambio, la función tiene como dominio todos los valores de x para los cuales −1< x < 2, porque aunque pueda tomar cualquier valor real diferente de –2, en su definición determina en qué intervalo está comprendida. Si el dominio no se específica, debe entenderse que el dominio incluye a todos los números reales para los cuales la función tiene sentido. En el caso de la función , el dominio de esta función son todos los números reales mayores o iguales a –3, ya que x + 3 debe ser mayor o igual que cero para que exista la raíz cuadrada. Como resumen, para determinar el dominio de una función, debemos considerar lo siguiente: Si la función tiene radicales de índice par, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales la cantidad subradical sea mayor o igual a cero. Si la función es un polinomio; una función de la forma f(x) = a0 + a1x + a2x2 +...+ anxn (donde a0, a1, a2,..., an son constantes y n un entero no negativo), el dominio está conformado por el conjunto de todos los números reales. Si la función es racional; esto es, si es el cociente de dos polinomios, el dominio está conformado por todos los números reales para los cuales el denominador sea diferente de cero. El rango (recorrido o ámbito) es el conjunto formado por todas las imágenes; es decir, es el conjunto conformado por todos los valores que puede tomar la variable dependiente; estos valores están determinados además, por el dominio de la función. Ejemplo Identificar dominio y rango de la función Veamos: Como la función tiene radicales el dominio está conformado por todos los valores para los cuales x – 2 ≥ 0. Esto es, el dominio de la función incluye todos los reales que son mayores o iguales a 2.
El rango es igual al conjunto de los nĂşmeros reales positivos incluyendo el cero; puesto que al reemplazar los valores del dominio se obtienen Ăşnicamente valores positivos bajo la funciĂłn f.
Funciones polinomicas Las funciones polinómicas vienen definidas por un polinomio. f(x) = a0 + a1 x + a1 x² + a1 x³ +··· + an xn Su dominio es
, es decir, cualquier número real tiene imagen.
Funciones constantes El criterio viene dado por un número real. f(x)= k La gráfica es una recta horizontal paralela a al eje de abscisas. Funciones polinómica de primer grado f(x) = mx +n Su gráfica es una recta oblicua, que queda definida por dos puntos de la función. Función afín. Función lineal. Función identidad. Funciones cuadráticas f(x) = ax² + bx +c Son funciones polinómicas es de segundo grado, siendo su gráfica una parábola. Funciones a trozos Son funciones definidas por distintos criterios, según los intervalos que se consideren. Funciones en valor absoluto. Función parte entera de x.
Función mantisa. Función signo.
Funciones racionales El criterio viene dado por un cociente entre polinomio:
El dominio lo forman todos los números reales excepto los valores de x que anulan el denominador.
Funciones radicales El criterio viene dado por la variable x bajo el signo radical. El dominio de una función irracional de índice impar es R. El dominio de una función irracional de índice par está formado por todos los valores que hacen que el radicando sea mayor o igual que cero.
LOGATIMOS El logaritmo se define como:
De la definici贸n de logaritmo podemos deducir:
No existe el logaritmo de un n煤mero negativo.
No existe el logaritmo de cero.
El logaritmo de 1 es cero.
El logaritmo en base a de a es uno.
El logaritmo en base a de una potencia en base a es igual al exponente.
Propiedades de los logaritmos Propiedades
1. El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos de los factores:
Ejemplo
2. El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del dividendo menos el logaritmo del divisor:
Ejemplo
3. El logaritmo de una potencia es igual al producto del exponente por el logaritmo de la base:
Ejemplo
4.El logaritmo de una raĂz es igual al cociente entre el logaritmo del radicando y el Ăndice de la raĂz:
Ejemplo
5. Cambio de base:
Ejemplo
fUNCIONES eXPONENCIALES
La función exponencial es del tipo:
Sea a un número real positivo. La función que a cada número real x le hace corresponder la potencia ax se llama función exponencial de base a y exponente x.
Ejemplos
x y = 2x -3 1/8 -2 1/4 -1 1/2 0
1
1
2
2
4
3
8
x y = (½)x -3
8
-2
4
-1
2
0
1
1
1/2
2
1/4
3
1/8
Propiedades de la función exponencial Dominio: Recorrido:
. .
Es continua. Los puntos (0, 1) y (1, a) pertenecen a la gráfica. Es inyectiva
a ≠ 1(ninguna imagen tiene más de un original).
Creciente si a >1. Decreciente si a < 1. Las curvas y = ax e y = (1/a)x son simétricas respecto del eje OY.
Parabola
Parábola Si das una patada a una pelota de fútbol (o disparas una flecha o un misil, o tiras una piedra) seguirá un arco en el aire y caerá de vuelta... ... ¡siguiendo una parábola! (Excepto por el efecto del aire.)
Definición Una parábola es una curva en la que los puntos están a la misma distancia de:
un punto fijo (el foco), y una línea fija (la directriz)
En una hoja de papel, dibuja una línea recta, y marca un punto gordo para el foco (¡que no esté en la línea!). Ahora juega un poco midiendo con una regla hasta que encuentres un punto que esté a la misma distancia del foco y de la línea. Repite hasta que tengas muchos puntos, uniéndolos tendrás una parábola.
Nombres Estos son los nombres más importantes:
la directriz y el foco (están explicados arriba) el eje de simetría (pasa por el foco, perpendicular a la directriz) el vértice (donde la parábola hace el giro más fuerte) está a medio camino entre el foco y la directriz.
Reflector Y la parábola tiene la siguiente propiedad sorprendente: Un rayo paralelo al eje de simetría se refleja en la superficie directamente hacia el foco. Así las parábolas se pueden usar para:
antenas (antena parabólica), radares, concentrar los rayos solares para calentar un punto, los espejos dentro de focos y linternas etc
Y por eso el punto central se llama foco... ¡porque ahí es donde se enfocan todos los rayos!
También sale una parábola cuando seccionas un cono (el corte tiene que ser paralelo al lado del cono). Por tanto, la parábola es una sección cónica (una sección de un cono).
Ecuaciones Si pones la parábola en coordenadas cartesianas (gráfico x-y) con:
el vértice en el origen "O" y el eje de simetría en el eje x,
entonces la curva queda definida por la ecuación: y2 = 4ax
Ejemplo: ¿dónde está el foco de la ecuación y2=5x ? Si ponemos y2 = 5x en la forma y2 = 4ax, tenemos que y2 = 4 (5/4) x, así que a = 5/4, y el foco de y2=5x es: F = (a,0) = (5/4,0) Las ecuaciones de las parábolas en las distintas orientaciones son:
y2 = 4ax
y2 = -4ax
x2 = 4ay
x2 = -4ay
Medidas para una antena parabólica Si quieres construir una antena parabólica que tenga el foco 200 mm sobre la superficie, ¿qué medidas necesitas? Para que sea fácil de hacer, digamos que apunte hacia arriba, y así tenemos la ecuación x2 = 4ay. Y queremos que "a" sea 200, así que la ecuación queda: x2 = 4ay = 4 × 200 × y = 800y Lo reescribimos para poder calcular las alturas: y = x2/800 Aquí tienes algunas medidas de alturas que van saliendo: Distancia horizontal ("x")
Altura ("y")
0 mm
0.0 mm
100 mm
12.5 mm
200 mm
50.0 mm
300 mm
112.5 mm
400 mm
200.0 mm
500 mm
312.5 mm
600 mm
450.0 mm
Si construyes una dímelo, ¡puedo poner aquí una foto!
TRIGONOMETRIA rAZONES TRIGONOMETRICAS
Seno: Seno del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y la hipotenusa. Se denota por sen B.
Coseno: Coseno del ángulo B: es la razón entre el cateto contiguo al ángulo y la hipotenusa. Se denota por cos B.
Tangente: Tangente del ángulo B: es la razón entre el cateto opuesto al ángulo y el cateto contiguo al ángulo. Se denota por tg B
Cosecante: Cosecante del ángulo B: es la razón inversa del seno de B. Se denota por cosec B.
Secante Secante del 谩ngulo B: es la raz贸n inversa del coseno de B. Se denota por sec B.
Cotangente Cotangente del 谩ngulo B: es la raz贸n inversa de la tangente de B. Se denota por cotg B.
Seno, coseno y tangente de 30º y 60º Si dibujamos un triángulo equilátero ABC, cada uno de sus tres ángulos mide 60º y, si trazamos una altura del mismo, h, el ángulo del vértice A por el que la hemos trazado queda dividido en dos iguales de 30º cada uno. Recurriendo al Teorema de Pitágoras, tenemos que la altura es:
Seno, coseno y tangente de 45º
Razones trigonomĂŠtricas de ĂĄngulos notables
Resolución de triángulos rectángulos Resolver un triángulo es hallar sus lados, ángulos y área. Es necesario conocer dos lados del triángulo, o bien un lado y un ángulo distinto del recto. 1 Se conocen la hipotenusa y un cateto:
Ejemplo:
Resolver el triángulo conociendo: a = 415 m y b = 280 m. sen B = 280/415 = 0.6747
B = arc sen 0.6747 = 42° 25′
C = 90° - 42° 25′ = 47° 35′ c = a cos B c = 415 · 0.7381 = 306. 31 m 2 Se conocen los dos catetos:
Ejemplo:
Resolver el triángulo conociendo: b = 33 m y c = 21 m . tg B = 33/21 = 1.5714
B = 57° 32′
C = 90° − 57° 32′ = 32° 28′ a = b/sen B a = 33/0.8347 = 39.12 m 3 Se conocen la hipotenusa y un ángulo agudo:
Ejemplo:
Resolver el triángulo conociendo: a = 45 m y B = 22°. C = 90° - 22° = 68° b = a sen 22°
b = 45 · 0.3746 = 16.85 m
c = a cos 22°
c = 45 · 0.9272 = 41.72 m
4 Se conocen un cateto y un ángulo agudo:
Ejemplo:
Resolver el triángulo conociendo:
b = 5.2 m y B = 37º C = 90° - 37° = 53º a = b/sen B
a = 5.2/0.6018 = 8.64 m
c = b · cotg B c = 5.2 · 1.3270 = 6. 9 m
iDENTIDADES TRIGONOMETRICAS 1Relación seno coseno cos² α + sen² α = 1 2Relación secante tangente sec² α = 1 + tg² α 3Relación cosecante cotangente cosec² α = 1 + cotg² α
Ejemplos: 1 Sabiendo que tg α = 2, y que 180º < α <270°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.
2 Sabiendo que sen α = 3/5, y que 90º <α <180°. Calcular las restantes razones trigonométricas del ángulo α.
Razones trigonomĂŠtricas de la suma y diferencia de ĂĄngulos
Ejemplos:
Razones trigonométricas del ángulo doble
Ejemplos:
Razones trigonométricas del ángulo mitad
Ejemplos:
Transformaci贸n de operaciones 1 Transformaciones de sumas en productos
Ejemplos:
2 Transformaciones de productos en sumas
Ejemplos:
1. Resolver un triángulo conociendo un lado y dos ángulos adyacentes a él
Ejemplo:
De un triángulo sabemos que: a = 6 m, B = 45° y C = 105°. Calcula los restantes elementos.
Función del seno f(x) = sen x
Dominio: Recorrido: [−1, 1] Período: Continuidad: Continua en Creciente en: Decreciente en: Máximos: Mínimos: Impar: sen(−x) = −sen x Cortes con el eje OX:
Función del coseno f(x) = cos x
Dominio:
Recorrido: [−1, 1] Período: Continuidad: Continua en Creciente en: Decreciente en: Máximos: Mínimos: Par: cos(−x) = cos x Cortes con el eje OX:
Función de la tangente f(x) = tg x
Dominio:
Recorrido: Continuidad: Continua en Período: Creciente en: Máximos: No tiene. Mínimos: No tiene. Impar: tg(−x) = −tg x Cortes con el eje OX:
Función de la cotangente f(x) = cotg x
Dominio: Recorrido:
Continuidad: Continua en Período: Decreciente en: Máximos: No tiene. Mínimos: No tiene. Impar: cotg(−x) = −cotg x Cortes con el eje OX:
Función de la secante f(x) = sec x
Dominio: Recorrido: (− ∞, −1] Período:
[1, ∞)
Continuidad: Continua en Creciente en: Decreciente en: Máximos: Mínimos: Par: sec(−x) = sec x Cortes con el eje OX: No corta
Función de la cosecante f(x) = cosec x
Dominio: Recorrido: (− ∞, −1] Período:
[1, ∞)
Continuidad: Continua en Creciente en: Decreciente en: Máximos: Mínimos: Impar: cosec(−x) = −cosec x Cortes con el eje OX: No corta
Ecuaciones trigonométricas
Teoría Ejercicios
En las ecuaciones trigonométricas intervienen funciones trigonométricas, que son periódicas y por tanto sus soluciones se pueden presentar en uno o en dos cuadrantes y además se repiten en todas las vueltas. Para resolver una ecuación trigonométrica haremos las transformaciones necesarias para trabajar con una sola función trigonométrica, para ello utilizaremos las identidades trigonométricas fundamentales. Ejemplos:
Resuelve las ecuaciones trigonométricas: 1
2
3 Transformamos la suma en producto
Dividimos por 2 en los dos miembros e igualamos cada factor a 0.
4
5
6
7
8
9
vECTORES
Un vector fijo
es un segmento orientado que va del punto A (origen) al punto B (extremo).
Elementos de un vector 1Dirección de un vector: La direcccíon del vector es la dirección de la recta que contiene al vector o de cualquier recta paralela a ella. 2Sentido de un vector: El sentido del vector
es el que va desde el origen A al extremo B.
3Módulo de un vector:
El módulo del vector
es la longitud del segmento AB, se representa por
El módulo de un vector es un número siempre positivo o cero. 3.1. Módulo de un vector a partir de sus componentes:
.
3.2. M贸dulo a partir de las coordenadas de los puntos:
4Coordenadas de un vector:
Si las coordenadas de los puntos extremos, A y B, son:
Las coordenadas del vector origen.
Clases de vectores 1 Vectores equipolentes:
son las coordenadas del extremo menos las coordenadas del
Dos vectores son equipolentes cuando tienen igual módulo, dirección y sentido. 2 Vectores libres:
El conjunto de todos los vectores equipolentes entre sí se llama vector libre. Cada vector fijo es un representante del vector libre. 3 Vectores fijos:
Un vector fijo es un representante del vector libre. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo módulo, dirección, sentido y origen. 4 Vectores ligados:
Los vectores ligados son vectores equipolentes que actúan en la misma recta. Es decir, los vectores fijos tienen el mismo módulo, dirección, sentido y se encuentran en la misma recta. 5 Vectores opuestos:
Los vectores opuestos tienen el mismo módulo, dirección, y distinto sentido.
6 Vectores unitarios:
Los vectores untario tienen de módulo, la unidad. Para obtener un vector unitario, de la misma dirección y sentido que el vector dado se divide éste por su módulo.
7 Vectores concurrentes:
Los vectores concurrentes tienen el mismo origen. 8 Vectores de posici贸n:
El vector que une el origen de coordenadas O con un punto P se llama vector de posici贸n del punto P. 9 Vectores linealmente dependientes:
Varios vectores libres del plano son linealmente dependientes si existe una combinaci贸n lineal de ellos que sea igual al vector cero, sin que sean cero todos los coeficientes de la combinaci贸n lineal.
10 Vectores linealmente independientes:
Varios vectores libres son linealmente independientes si ninguno de ellos se puede expresar como combinaci贸n lineal de los otros.
a1 = a2 = 路路路 = an = 0 11 Vectores ortogonales:
Dos vectores son ortogonales o perpendiculares si su producto escalar es cero.
12 Vectores ortonormales:
Dos vectores son ortonormales si:
1. Su producto escalar es cero. 2. Los dos vectores son unitarios.
mATRICES
Se denomina matriz a todo conjunto de números o expresiones dispuestos en forma rectangular, formando filas y columnas.
Elemento de una matriz Cada uno de los números de que consta la matriz se denomina elemento. Un elemento se distingue de otro por la posición que ocupa, es decir, la fila y la columna a la que pertenece. Dimensión de una matriz El número de filas y columnas de una matriz se denomina dimensión de una matriz. Así, una matriz de dimensión mxn es una matriz que tiene m filas y n columnas. De este modo, una matriz puede ser de dimensión: 2x4 (2 filas y 4 columnas), 3x2 (3 filas y 2 columnas), 2x5 (2 filas y 5 columnas),... Sí la matriz tiene el mismo número de filas que de columnas, se dice que es de orden: 2, 3, 4, ... El conjunto de matrices de m filas y n columnas se denota por Amxn o (aij). Un elemento cualquiera de la misma, que se encuentra en la fila i y en la columna j, se denota por aij. Matrices iguales Dos matrices son iguales cuando tienen la misma dimensión y los elementos que ocupan el mismo lugar en ambas, son iguales.