Combinatoria con repeticion series paralelas y numeros naturales

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Combinatoria con repetición Series paralelas y Números naturales

𝒊 𝒏+𝒎−𝟏 𝑪𝒓𝒏,𝒎 =∑𝒏+𝒎−𝟐 )=( ) 𝒊=𝒎−𝟏 ( 𝒎−𝟏 𝒎

𝒏𝒎+𝟏 𝒏𝒎 𝒏𝒎−𝟏 𝒎 𝒏𝒎−𝟑 𝒎 𝒏𝒎−𝟓 𝒎 𝒏𝒎−𝟕 𝒎 = ⌡+ ⌡+ ( )⌡− ( )⌡+ ( )⌡− ( )⌡±... 𝒎+𝟏 𝟐 𝟏𝟐 𝟏𝟐𝟎 𝟐𝟓𝟐 𝟓 𝟐𝟒𝟎 𝟕 𝟏 𝟑 𝒎=𝟎 𝒎>0 𝒎>1 𝒎>3 𝒎>5 𝒎>7

𝒎 𝒊 𝒎−𝟏 𝒎+𝟏 𝒎+𝒏−𝟐 𝑺𝒎 = {( )} = {( ),( ),( ),…,( )} 𝒎−𝟏 𝒎−𝟏 𝒎−𝟏 𝒎−𝟏 𝒎−𝟏

𝒏 ∑𝒊=𝟏 𝒊𝒎

𝒏

𝒎 𝒎

∑ 𝒊 = ∑(−𝟏)𝒊−𝟏 𝒂𝒊,𝒎 ( 𝒊=𝟏

𝒊=𝟏

𝒏+𝒎−𝒊+𝟏 ) 𝒎−𝒊+𝟐

Combinatoria con repetición, Series paralelas y Números Naturales      



Combinatoria con repeticiĂłn Las series paralelas de nĂşmeros figurados El triĂĄngulo de Pascal . Series de potencias m-ĂŠsimas de los nĂşmeros naturales y su expresiĂłn combinatoria. Series aritmĂŠticas de orden superior DeterminaciĂłn de los coeficientes de una ecuaciĂłn polinĂłmica de grado n en x, cuyas soluciones corresponden a los nĂşmeros naturales y su relaciĂłn con los nĂşmeros de Stirling de 1áľƒ especie Otras expresiones de series de potencias de los nĂşmeros naturales y su relaciĂłn con los nĂşmeros de Bernoulli.

1) Combinatoria con repeticiĂłn Algunas anotaciones sobre combinatoria con repeticiĂłn, y su aplicaciĂłn posterior al cĂĄlculo del valor suma de potencias enteras de los nĂşmeros naturales y a otras series aritmĂŠticas de orden superior. En ĂĄnimo de no extendernos demasiado, supondremos ya conocidos los conceptos sobre combinatoria simple o normal con respecto a las variaciones, permutaciones y combinaciones que se pueden formar con n elementos de un conjunto donde todos sus miembros se consideran diferentes por una caracterĂ­stica determinada o establecida como tal. Procederemos a definir los conceptos involucrados, y a obtener las expresiones matemĂĄticas de variaciones, permutaciones y combinaciones con repeticiĂłn, formadas sobre conjuntos de n elementos, donde todos pueden considerarse diferentes o sobre conjuntos de n elementos donde algunos elementos estĂĄn repetidos dentro del propio conjunto.. 1-a) Comencemos con el concepto de variaciones con repeticiĂłn ( đ?‘˝đ?’“đ?’?,đ?’Ž ) : Se denominan asĂ­, a las agrupaciones de n elementos de un conjunto, tomados m a m , repetidos o no dentro de cada agrupaciĂłn, que se diferencian por el orden de sus elementos en el grupo, o porque poseen al menos un elemento diferente. Consideremos primero, el caso en el que todos los elementos del conjunto sean diferentes y a su vez, n > m. Denominemos tales variaciones con repeticiĂłn como: đ?‘‰đ?‘&#x;đ?‘›,đ?‘š . Sea por ej. El conjunto de dos elementos {đ?‘Ž, đ?‘?}, aquĂ­ n=2, y habrĂĄ una sola opciĂłn para m, es decir m=1, de manera que las variaciones que podemos formar serĂĄn: [a] y [b], y por ende đ?‘‰đ?‘&#x;2,1= 21 = 2 Sea ahora el conjunto de tres elementos {a,b,c}, aquĂ­ n=3 y m puede tomar los valores m=1 y m=2 Para m=1 , se pueden formar tres grupos: [a],[b] y [c] , y resulta: đ?‘‰đ?‘&#x;3,1=31 =3, mientras que para

[𝑎, 𝑎] m=2, se pueden formar 9 grupos: [[𝑎, 𝑏] [𝑎, 𝑐]

[𝑏, 𝑎] [𝑐, 𝑎] [𝑏, 𝑏] [𝑐, 𝑏]] y resulta: 𝑉𝑟3,2 = 32 = 9 [𝑏, 𝑐] [𝑐, 𝑐]

Consideremos el conjunto {a,b,c,d}, donde n=4 y m puede tomar los valores m=1,2,3 Para m=1, las variaciones serán: [a],[b],[c],[d], es decir 𝑉𝑟4,1 = 41 = 4 , concluimos que para el caso m=1 , y para cualquier n entero positivo, se cumple 𝑉𝑟𝑛,1 = 𝑛1 = 𝑛 (demostrable por inducción). [𝑎, 𝑎] [𝑏, 𝑎] [𝑐, 𝑎] [𝑎, 𝑏] [𝑏, 𝑏] [𝑐, 𝑏] Para m= 2 las variaciones posibles serán: [ [𝑎, 𝑐] [𝑏, 𝑐] [𝑐, 𝑐] [𝑎, 𝑑] [𝑏, 𝑑] [𝑐, 𝑑]

[𝑑, 𝑎] [𝑑, 𝑏] ] y 𝑉𝑟4,2 = 42 = 16 [𝑑, 𝑐] [𝑑, 𝑑]

Para m= 3, los grupos serán: [𝑎, 𝑎, 𝑎] [𝑎, 𝑏, 𝑎] [𝑎, 𝑎, 𝑏] [𝑎, 𝑏, 𝑏] [𝑎, 𝑎, 𝑐] [𝑎, 𝑏, 𝑐] [𝑎, 𝑎, 𝑑] [𝑎, 𝑏, 𝑑] [𝑏, 𝑎, 𝑎] [𝑏. 𝑏, 𝑎] [𝑏, 𝑎, 𝑏] [𝑏, 𝑏, 𝑏] [𝑏, 𝑎, 𝑐] [𝑏, 𝑏, 𝑐] [𝑏, 𝑎, 𝑑] [𝑏, 𝑏, 𝑑] [𝑐, 𝑎, 𝑎] [𝑐, 𝑏, 𝑎] [𝑐, 𝑎, 𝑏] [𝑐, 𝑏, 𝑏] [𝑐, 𝑎, 𝑐] [𝑐, 𝑏, 𝑐] [𝑐, 𝑎, 𝑑] [𝑐, 𝑏, 𝑑] [𝑑, 𝑎, 𝑎] [𝑑, 𝑏, 𝑎] [𝑑, 𝑎, 𝑏] [𝑑, 𝑏, 𝑏] [𝑑, 𝑎, 𝑐] [𝑑, 𝑏, 𝑐] [[𝑑, 𝑎, 𝑑] [𝑑, 𝑏, 𝑑]

[𝑎, 𝑐, 𝑎] [𝑎, 𝑑, 𝑎] [𝑎, 𝑐, 𝑏] [𝑎, 𝑑, 𝑏] [𝑎, 𝑐, 𝑐] [𝑎, 𝑑. 𝑐] [𝑎, 𝑐, 𝑑] [𝑎, 𝑑, 𝑑] [𝑏, 𝑐, 𝑎] [𝑏, 𝑑, 𝑎] [𝑏, 𝑐, 𝑏] [𝑏, 𝑑, 𝑏] [𝑏, 𝑐, 𝑐] [𝑏, 𝑑, 𝑐] [𝑏, 𝑐, 𝑑] [𝑏, 𝑑, 𝑑] [𝑐, 𝑐, 𝑎] [𝑐, 𝑑, 𝑎] [𝑐, 𝑐, 𝑏] [𝑐, 𝑑, 𝑏] [𝑐, 𝑐, 𝑐] [𝑐, 𝑑, 𝑐] [𝑐, 𝑐, 𝑑] [𝑐, 𝑑, 𝑑] [𝑑, 𝑐, 𝑎] [𝑑, 𝑑, 𝑎] [𝑑, 𝑐, 𝑏] [𝑑, 𝑑, 𝑏] [𝑑, 𝑐, 𝑐] [𝑑, 𝑑, 𝑐] [𝑑, 𝑐, 𝑑] [𝑑, 𝑑, 𝑑]]

Simbólicamente llamemos 𝑉(𝑎) , al número de variaciones que comienzan por ɑ, entonces será 𝑉(𝑎) = 16, análogamente podríamos escribir: 𝑉(𝑎,𝑎) = 4, 𝑉(𝑎,𝑏) = 4, 𝑉(𝑎,𝑐) =4, y 𝑉(𝑎,𝑑) = 4, y resulta: 𝑉(𝑎) = 𝑉(𝑎,𝑎) + 𝑉(𝑎,𝑏) + 𝑉(𝑎,𝑐) + 𝑉(𝑎,𝑑) = 4 + 4 + 4 + 4 = 4𝑥4 = 42 =16 . Así mismo También podríamos escribir: 𝑉(𝑏) = 𝑉(𝑏,𝑎) + 𝑉(𝑏,𝑏) + 𝑉(𝑏,𝑐) + 𝑉(𝑏,𝑑) = 42 = 16 𝑉(𝑐) = 𝑉(𝑐,𝑎) + 𝑉(𝑐,𝑏) + 𝑉(𝑐,𝑐) + 𝑉(𝑐,𝑑) = 42 = 16 𝑉(𝑑) = 𝑉(𝑑,𝑎) + 𝑉(𝑑,𝑏) + 𝑉(𝑑,𝑐) + 𝑉(𝑑,𝑑) = 42 = 16

En total, tendremos: 𝑉𝑟4,3 = 𝑉(𝑎) + 𝑉(𝑏) + 𝑉(𝑐) + 𝑉(𝑑) = 4. 42 = 43 Generalizando, resulta: 𝑽𝒓𝒏,𝒎 = 𝒏𝒎 ,expresión también demostrable por inducción de n a n+1 Consideremos ahora el caso cuando los elementos del conjunto original son todos diferentes, y m>n

Sea por ej. El conjunto de dos elementos {𝑐, 𝑠} y formemos las variaciones con repetición de estos dos elementos tomados tres a tres. Aquí n = 2 mientras que m=3 > n. El número de grupos que se [𝑐, 𝑐, 𝑐] [𝑐, 𝑠, 𝑐] [𝑠, 𝑠, 𝑐] [𝑠, 𝑐, 𝑐] pueden formar será: [ ] , es decir: 𝑉𝑟2,3 = 23 = 8 [𝑐, 𝑐, 𝑠] [𝑐, 𝑠, 𝑠] [𝑠, 𝑠, 𝑠] [𝑠, 𝑐, 𝑠] Es el ejemplo clásico del lanzamiento de una moneda al aire con dos posibilidades al caer: cara (c ) o sello (s ), y donde la lanzamos tres veces cada vez. La expresión matemática que se obtiene, es la misma que en el caso anterior para n > m. Haciendo un estudio de casos, llegaríamos a la misma expresión obtenida anteriormente, y por lo tanto: : 𝑽𝒓𝒏,𝒎 = 𝒏𝒎 , resultará valida independiente de que n > m , o de que n < m. Si consideramos el caso de un conjunto de n elementos, donde algunos de sus elementos se encuentran repetidos, la expresión obtenida anteriormente, sigue siendo aplicable, pero deberemos sustituir a n por k, donde k representa el número de elementos del conjunto considerados diferentes entre sí., y en lugar de : 𝑽𝒓𝒏,𝒎 = 𝒏𝒎, deberemos utilizar: 𝑽𝒓𝒌,𝒎 = 𝒌𝒎 Ejemplo: sea el conjunto {𝑎, 𝑎, 𝑏, 𝑏, 𝑏, 𝑐}, con un total de n= 6 elementos, donde solo los tres elementos 𝑎, 𝑏 𝑦 𝑐 pueden considerarse diferentes, es decir k = 3. Entonces, las variaciones con repetición de dos elementos iguales o diferentes, que se pueden formar son: [𝑎, 𝑎] [𝑏, 𝑎] [𝑐, 𝑎] [[𝑎, 𝑏] [𝑏, 𝑏] [𝑐, 𝑏]] , y 𝑽𝒓𝟑,𝟐 = 𝟑𝟐 = 𝟗 [𝑎, 𝑐] [𝑏, 𝑐] [𝑐, 𝑐] 1-b) Permutaciones con repetición ( 𝑷𝒓𝒏 ) Se denominan así a las agrupaciones que podemos formar con un conjunto de n elementos, tomados n a n (repetidos o no en cada agrupación), que se diferencian entre sí por el orden o por tener diferente, al menos, uno de sus elementos constituyentes. Por la definición anterior, es evidente que las permutaciones con repetición pueden considerarse como un caso particular ( y especial) de las variaciones con repetición, en el cual n= m, y por lo tanto, su expresión matemática, si utilizamos 𝑷𝒓𝒏 , en lugar de 𝑽𝒓𝒏,𝒎 , vendrá dada por: 𝑷𝒓𝒏 = 𝒏𝒏 ,( no es necesario escribir 𝑷𝒓𝒏 ,𝒏 ), y existirá una sola posibilidad para cada conjunto dado de elementos diferentes. Sea por ej. El conjunto {𝑎, 𝑏} de dos elementos diferentes, entonces, las permutaciones con repetición que se pueden formar con un conjunto tal serán: [

[𝑎, 𝑎] [𝑏, 𝑎] ], y 𝑷𝒓𝟐 = 𝟐𝟐 = 𝟒 [𝑎, 𝑏] [𝑏, 𝑏]

Si llamamos 𝑃(𝑎) , a las permutaciones con repetición de dicho conjunto, que comienzan con 𝑎, entonces será 𝑃(𝑎) = 2, y si llamamos 𝑃(𝑏) , las permutaciones que comienzan con b, se tendrá: 𝑃(𝑏) = 2, entonces: 𝑷𝒓𝟐 = 𝑃(𝑎) + 𝑃(𝑏) = 2.2 = 22 = 4

Consideremos ahora el conjunto {đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?}, donde n= 3 .Las permutaciones con repeticiĂłn que se pueden formar en este caso serĂĄn: [đ?‘Ž, đ?‘Ž, đ?‘Ž] [đ?‘Ž, đ?‘Ž, đ?‘?] [đ?‘Ž, đ?‘Ž, đ?‘?] [đ?‘?, đ?‘Ž, đ?‘Ž] [đ?‘?, đ?‘Ž, đ?‘?] [đ?‘?, đ?‘Ž, đ?‘?] [đ?‘?, đ?‘Ž, đ?‘Ž] [đ?‘?, đ?‘Ž, đ?‘?] [ [đ?‘?, đ?‘Ž, đ?‘?]

[đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘Ž] [đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?] [đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?] [đ?‘?. đ?‘?. đ?‘Ž] [đ?‘?, đ?‘?, đ?‘?] [đ?‘?, đ?‘?, đ?‘?] [đ?‘?, đ?‘?, đ?‘Ž] [đ?‘?, đ?‘?, đ?‘?] [đ?‘?, đ?‘?, đ?‘?]

[đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘Ž] [đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?] [đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?] [đ?‘?, đ?‘?, đ?‘Ž] [đ?‘?, đ?‘?, đ?‘?] [đ?‘?, đ?‘?, đ?‘?] [đ?‘?, đ?‘?, đ?‘Ž] [đ?‘?, đ?‘?, đ?‘?] [đ?‘?, đ?‘?, đ?‘?]]

SimbĂłlicamente, podemos escribir đ?‘ƒ(đ?‘Ž) = 9, đ?‘ƒ(đ?‘?) = 9, y đ?‘ƒ(đ?‘?) = 9, entonces: đ?‘ˇđ?’“đ?&#x;‘ = đ?‘ˇ(đ?’‚) + đ?‘ˇ(đ?’ƒ) + đ?‘ˇ(đ?’„) = đ?&#x;‘. đ?&#x;— = đ?&#x;‘đ?&#x;‘ = đ?&#x;?đ?&#x;• AnĂĄlogamente, tambiĂŠn podrĂ­amos escribir: đ?‘ƒ(đ?‘Ž,đ?‘Ž) = 3 đ?‘ƒ(đ?‘?,đ?‘Ž) = 3 đ?‘ƒ(đ?‘?,đ?‘Ž) = 3

đ?‘ƒ(đ?‘Ž,đ?‘?) = 3 đ?‘ƒ(đ?‘?,đ?‘?) = 3 đ?‘ƒ(đ?‘?,đ?‘?) = 3

đ?‘ƒ(đ?‘Ž,đ?‘?) = 3 đ?‘ƒ(đ?‘?,đ?‘?) = 3 đ?‘ƒ(đ?‘?,đ?‘?) = 3

đ?‘ˇđ?’“đ?&#x;‘ =đ?‘ƒ(đ?‘Ž,đ?‘Ž) + đ?‘ƒ(đ?‘?,đ?‘Ž) + đ?‘ƒ(đ?‘?,đ?‘Ž) + đ?‘ƒ(đ?‘Ž,đ?‘?) + đ?‘ƒ(đ?‘?,đ?‘?) + đ?‘ƒ(đ?‘?,đ?‘?) + đ?‘ƒ(đ?‘Ž,đ?‘?) + đ?‘ƒ(đ?‘?,đ?‘?) + đ?‘ƒ(đ?‘?,đ?‘?) = 9.3 = 33 = 27

Notamos que las đ?‘ˇ(đ?’Š,đ?’‹) = 31 , mientras que las đ?‘ˇ(đ?’Š) = 32. Y đ?‘ˇđ?’“đ?&#x;‘ = đ?‘ˇ(đ?’Š,đ?’‹) . đ?‘ˇ(đ?’Š) Apliquemos esta propiedad* para obtener đ?‘ˇđ?’“đ?&#x;’ , para el conjunto de cuatro elementos diferentes {đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘‘}. Entonces utilizando una nomenclatura simbĂłlica anĂĄloga a la anterior, tendrĂ­amos: đ?‘ƒ(đ?‘Ž,đ?‘Ž,đ?‘Ž) = 4 đ?‘ƒ(đ?‘Ž,đ?‘Ž,đ?‘?) = 4 y đ?‘ƒ(đ?‘Ž,đ?‘Ž) = 42 = 16 đ?‘ƒ(đ?‘Ž,đ?‘Ž,đ?‘?) = 4 [đ?‘ƒ(đ?‘Ž,đ?‘Ž,đ?‘‘) = 4]

đ?‘ƒ(đ?‘Ž,đ?‘?,đ?‘Ž) = 4 đ?‘ƒ(đ?‘Ž,đ?‘?,đ?‘?) = 4 y đ?‘ƒ(đ?‘Ž,đ?‘?) = 42 = 16 đ?‘ƒ(đ?‘Ž,đ?‘?,đ?‘?) = 4 [đ?‘ƒ(đ?‘Ž,đ?‘?,đ?‘‘) = 4]

đ?‘ƒ(đ?‘Ž,đ?‘?,đ?‘Ž) = 4 đ?‘ƒ(đ?‘Ž,đ?‘?,đ?‘?) = 4 y đ?‘ƒ(đ?‘Ž,đ?‘?) = 42 = 16 đ?‘ƒ(đ?‘Ž,đ?‘?,đ?‘?) = 4 [đ?‘ƒ(đ?‘Ž,đ?‘?,đ?‘‘) = 4]

đ?‘ƒ(đ?‘Ž,đ?‘‘,đ?‘Ž) = 4 đ?‘ƒ(đ?‘Ž,đ?‘‘,đ?‘?) = 4 y đ?‘ƒ(đ?‘Ž,đ?‘‘) = 42 = 16 đ?‘ƒ(đ?‘Ž,đ?‘‘,đ?‘?) = 4 [đ?‘ƒ(đ?‘Ž,đ?‘‘,đ?‘‘) = 4]

De manera que: đ?‘ƒ(đ?‘Ž,đ?‘Ž,) = 16 đ?‘ƒ(đ?‘Ž,đ?‘?) = 16 y đ?‘ƒ(đ?‘Ž) = 4.16 = 43 = 64 đ?‘ƒ(đ?‘Ž,đ?‘?) = 16 [ đ?‘ƒ(đ?‘Ž,đ?‘‘) = 16 ]

De forma similar, resultarĂ­an: đ?‘ƒ(đ?‘?,đ?‘Ž,) = 16 đ?‘ƒ(đ?‘?,đ?‘?) = 16 y đ?‘ƒ(đ?‘?) = 4.16 = 43 = 64 đ?‘ƒ(đ?‘?,đ?‘?) = 16 [ đ?‘ƒ(đ?‘?,đ?‘‘) = 16 ] đ?‘ƒ(đ?‘‘,đ?‘Ž,) = 16 đ?‘ƒ(đ?‘‘,đ?‘?) = 16 y đ?‘ƒ(đ?‘‘) = 4.16 = 43 = 64, đ?‘ƒ(đ?‘‘,đ?‘?) = 16 [ đ?‘ƒ(đ?‘‘,đ?‘‘) = 16 ]

đ?‘ƒ(đ?‘?,đ?‘Ž,) = 16 đ?‘ƒ(đ?‘?,đ?‘?) = 16 y đ?‘ƒ(đ?‘?) = 4.16 = 43 = 64 đ?‘ƒ(đ?‘?,đ?‘?) = 16 [ đ?‘ƒ(đ?‘?,đ?‘‘) = 16 ]

y resulta: đ?‘ˇđ?’“đ?&#x;’ = đ?&#x;’. đ?&#x;’đ?&#x;‘ = đ?&#x;’đ?&#x;’ = đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;”

* (En este caso serĂĄ: đ?‘ˇđ?’“đ?&#x;’ = đ?‘ˇ(đ?’Š,đ?’‹,đ?’Œ) . đ?‘ˇ(đ?’Š) )

O tambiĂŠn: đ?‘ˇđ?’“đ?&#x;’ = đ?‘ˇ(đ?’‚) + đ?‘ˇ(đ?’ƒ) + đ?‘ˇ(đ?’„) + đ?‘ˇ(đ?’…) = đ?&#x;’. đ?&#x;’đ?&#x;‘ = đ?&#x;’đ?&#x;’ = đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;” Consideremos ahora el caso de conjuntos con elementos repetidos, y definamos de nuevo el concepto de permutaciones con repeticiĂłn como el nĂşmero de permutaciones que se pueden formar con un conjunto de n elementos donde solo m < n, elementos son diferentes, asĂ­ por ej. un primer elemento se repite âˆ?1 veces, un segundo elemento se repite âˆ?2 veces, un tercero se repite âˆ?3 veces, etc. , de manera que se cumple âˆ?1 +âˆ?2 +âˆ?3 + â‹Ż +âˆ?đ?‘š = đ?‘›, y todas las agrupaciones (de n elementos c/u) se diferencian solo por el orden de sus elementos. Para encontrar una expresiĂłn matemĂĄtica para las permutaciones con repeticiĂłn para estas condiciones, comencemos por analizar algunos casos. Sea por ej. el conjunto de n=5 elementos dados por {đ?‘Ž, đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘?}, donde đ?‘Ž, se repite 2 veces y b, se repite tres veces. Para hacer analogĂ­a con las permutaciones normales o corrientes, supongamos que todos los elementos del conjunto, pueden considerarse diferentes, lo cual denotaremos aĂąadiĂŠndole un subĂ­ndice numĂŠrico a los elementos que se repiten, que permita identificarlos como tales en el proceso deductivo posterior. AsĂ­ el conjunto original puede rescribirse como {đ?‘Ž, đ?‘Ž1 , đ?‘?, đ?‘?1 , đ?‘?2 }, entonces las permutaciones simples que pueden hacerse con tal conjunto, serĂ­an: đ?‘ƒ5= 5! = 120 agrupaciones diferentes de 5 elementos c/u. Analicemos ahora cuantos grupos pueden derivarse a partir de una permutaciĂłn dada. Para facilitar dicho anĂĄlisis, escogeremos la misma agrupaciĂłn inicial (đ?‘Ž, đ?‘Ž1 , đ?‘?, đ?‘?1 , đ?‘?2 ) y permutaremos las letras, pero sin mezclar los grupos entre sĂ­, de manera que conserven en cuanto al orden, su identidad con el grupo original. Si partimos de la permutaciĂłn (đ?‘Ž, đ?‘Ž1 , đ?‘?, đ?‘?1 , đ?‘?2 ), y permutamos los tres elementos b, dejando fijos los elementos đ?‘Ž, obtenemos 3!= 6 agrupaciones posibles (incluyendo la original), a saber: đ?‘Ž, đ?‘Ž1 , đ?‘?, đ?‘?1 , đ?‘?2 đ?‘Ž, đ?‘Ž1, đ?‘?, đ?‘?2 , đ?‘?1 đ?‘Ž, đ?‘Ž1 , đ?‘?1 , đ?‘?, đ?‘?2 Si permutamos ahora los elementos đ?‘Ž, se obtendrĂĄn 6 grupos adicionales es decir đ?‘Ž, đ?‘Ž1 , đ?‘?1 , đ?‘?2 , đ?‘? đ?‘Ž, đ?‘Ž1 , đ?‘?2 , đ?‘?, đ?‘?1 [đ?‘Ž, đ?‘Ž1 , đ?‘?2 , đ?‘?1 , đ?‘?]

đ?‘Ž1 , đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?1 , đ?‘?2 đ?‘Ž1 , đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?2 , đ?‘?1 đ?‘Ž1 , đ?‘Ž, đ?‘?1 , đ?‘?, đ?‘?2 Obtenemos 2!.3!=2.6=12 grupos en total đ?‘Ž1 , đ?‘Ž, đ?‘?1 , đ?‘?2 , đ?‘? đ?‘Ž1 , đ?‘Ž, đ?‘?2 , đ?‘?, đ?‘?1 [đ?‘Ž1 , đ?‘Ž, đ?‘?2 , đ?‘?1 , đ?‘?] Entonces, a partir de una posible permutaciĂłn, se han obtenido 12 nuevas, que en realidad son una misma, la (đ?‘Ž, đ?‘Ž1 , đ?‘?, đ?‘?1 , đ?‘?2 ). Por ello razonando a la inversa, esto significarĂ­a que las 120 permutaciones hipotĂŠticas que se derivan de la original considerada como si todos sus elementos fueran diferentes, se reducen en definitiva a 120/12=10 es decir :(

5! 2!3!

)

Entonces el nĂşmero de permutaciones con repeticiĂłn que se pueden formar con un conjunto de n=5 elementos, como {đ?‘Ž, đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘?}, donde un primer elemento đ?‘Ž, se repite 2 veces y un segundo elemento b, se repite tres veces, se puede obtener mediante la expresiĂłn:

đ?‘ƒđ?‘&#x;5,2,3 =

5! 2!3!

đ?‘Ž, đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘? đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? đ?‘?, đ?‘Ž, đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘? = 10, donde 2+3=5 , que son: [ đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘Ž, đ?‘? đ?‘?, đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘Ž, đ?‘? đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘Ž đ?‘?, đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘Ž

đ?‘?, đ?‘?, đ?‘Ž, đ?‘Ž, đ?‘? ] đ?‘?, đ?‘?, đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘Ž đ?‘?, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘Ž, đ?‘Ž

Analicemos un segundo caso. Por ej. sea el conjunto {đ?‘Ž, đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘?, đ?‘?} de n=7 elementos, donde solo m=3 elementos son diferentes. Un primer elemento đ?‘Ž, se repite 2 veces, un segundo b, se repite tambiĂŠn 2 veces y un tercer elemento c, se repite 3 veces. AsĂ­ 2+2+3=7. Denotaremos dicho conjunto como {đ?‘Ž, đ?‘Ž1 , đ?‘?, đ?‘?1 , đ?‘?, đ?‘?1 , đ?‘?2 }, de manera que hipotĂŠticamente como en el ejemplo anterior, podamos considerar todos sus elementos como diferentes entre sĂ­. Si este fuera el caso, el nĂşmero de permutaciones posibles con 7 elementos serĂ­a: đ?‘ƒ7 = 7! = 5040. AnĂĄlogamente al caso anterior, determinemos el nĂşmero de permutaciones que se pueden generar a partir de una permutaciĂłn dada, y por facilidad en el anĂĄlisis, escojamos aquella que conserva la identidad con el grupo inicial đ?‘Ž, đ?‘Ž1 , đ?‘?, đ?‘?1 , đ?‘?, đ?‘?1 , đ?‘?2 . Si permutamos solo los tres tĂŠrminos c, se originaran de esta 3!=6 permutaciones adicionales ( incluyendo la original) .Si ahora permutamos los dos elementos b, cada una de estas 6 generan dos adicionales, es decir 2!3!= 2.6=12 grupos en total. Si por Ăşltimo, permutamos los dos elementos đ?‘Ž, en estas 12 agrupaciones, cada una de ellas genera 2 adicionales mas, para un total de 2! 2! 3!= 2.2.6 = 24 permutaciones nuevas, que en realidad son una misma. Por ello las hipotĂŠticas 5040 se reducen a 5040/24 = 210, o sean 7!/2! 2! 3! =210 permutaciones reales. Podemos entonces expresar este resultado como: đ?‘ƒđ?‘&#x;7,2,2,3 =

7! 2!2!3!

= 210, donde 2+2+3 = 7

Estos resultados nos permiten generalizar para obtener la expresiĂłn:

đ?‘ˇđ?’“đ?’?,âˆ?đ?&#x;? ,âˆ?đ?&#x;? ,âˆ?đ?&#x;‘ ,‌,âˆ?đ?’Ž =

đ?’?! âˆ?đ?&#x;? !âˆ?đ?&#x;? !âˆ?đ?&#x;‘ !‌âˆ?đ?’Ž !

,

donde âˆ?đ?&#x;? +âˆ?đ?&#x;? +âˆ?đ?&#x;‘ + â‹Ż +âˆ?đ?’Ž = đ?’?

Siendo n el nĂşmero de elementos de un conjunto a permutar, donde solo hay m < n elementos diferentes, y el primero de ellos se repite âˆ?1 veces, el segundo âˆ?2 veces, el tercero âˆ?3 veces y asĂ­ hasta el m-ĂŠsimo elemento diferente, que se repite âˆ?đ?‘š veces, siendo âˆ?đ?&#x;? +âˆ?đ?&#x;? +âˆ?đ?&#x;‘ + â‹Ż +âˆ?đ?’Ž = đ?’? 1-c) Combinaciones con repeticiĂłn (đ?‘Şđ?’“đ?’?,đ?’Ž ) Se denominan asĂ­ a las agrupaciones que se pueden formar con los n elementos de un conjunto, tomados de m en m (m<n , repetidos o no en cada agrupaciĂłn) , que se diferencian una de otra por lo menos en un elemento y no por el orden. Por ende en este caso, solo consideraremos conjuntos formados por elementos todos diferentes. AnĂĄlogamente al caso de las variaciones con repeticiĂłn, cuando m=1, đ?‘Şđ?’“đ?’?,đ?&#x;? = đ?’?, y por lo tanto, obviaremos su anĂĄlisis en los diversos casos adicionales a este. Para m < n, en el caso de un conjunto de dos elementos como {đ?‘Ž, đ?‘?}, la Ăşnica posibilidad es m=1 y đ?‘Şđ?’“đ?&#x;?,đ?&#x;? =2, y las Ăşnicas combinaciones “con repeticiĂłnâ€? que podemos formar serĂĄn: [đ?‘Ž] đ?‘Ś [đ?‘?], es decir, solo dos combinaciones posibles. Sea ahora un conjunto de tres elementos ( n=3 ), tal como {đ?‘Ž, đ?‘?, đ?‘?}. En este caso tendrĂ­amos dos opciones: m=1 y đ?‘Şđ?’“đ?&#x;‘,đ?&#x;? = đ?&#x;‘ , y m=2. Para este Ăşltimo caso resultarĂ­an las siguientes combinaciones con repeticiĂłn posibles: đ?‘Ž, đ?‘Ž [đ?‘Ž, đ?‘? đ?‘Ž, đ?‘?

đ?‘?, đ?‘? đ?‘?, đ?‘?

đ?‘?, đ?‘?

] De manera que đ?‘Şđ?’“đ?&#x;‘,đ?&#x;? = đ?&#x;”

Si comparamos este caso con el correspondiente al de las variaciones con repeticiĂłn de tres elementos, tomados dos a dos, notamos que las combinaciones con repeticiĂłn de tres elementos tomados dos a dos, se corresponden a las agrupaciones ubicadas por debajo de la lĂ­nea quebrada (en rojo), seĂąalada en la matriz que contiene todas las variaciones posibles del caso y que se muestra a continuaciĂłn. đ?‘Ž, đ?‘Ž đ?‘Ž, đ?‘? đ?‘Ž, đ?‘?

đ?‘?, đ?‘Ž đ?‘?, đ?‘? đ?‘?, đ?‘?

đ?‘?, đ?‘Ž đ?‘?, đ?‘? đ?‘?, đ?‘?

Utilizando una notación simbólica similar a la ya utilizada para variaciones y permutaciones, podemos escribir: �(�) = 3

đ??ś(đ?‘Ž) = 3

đ?‘‰(đ?‘?) = 3

đ??ś(đ?‘?) = 2

đ?‘‰(đ?‘?) = 3

đ??ś(đ?‘?) = 1

đ?‘‰đ?‘&#x;3,2 = 3.3 = 32 = 9

đ??śđ?‘&#x;3,2 = 3 + 2 = 1 = 6

Sea ahora el conjunto de cuatro elementos n=4, tal como: {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑}, siendo 𝐶𝑟4,1 = 4, analizaremos las otras dos opciones posibles. Para m=2, tendremos: 𝑎, 𝑎 𝑎, 𝑏 [ 𝑎, 𝑐 𝑎, 𝑑

𝑏, 𝑏 𝑏, 𝑐 𝑏, 𝑑

𝑐, 𝑐 𝑐, 𝑑

𝑎, 𝑎 𝑎, 𝑏 𝑎, 𝑐 𝑎, 𝑑

] 𝑑, 𝑑

𝑏, 𝑎 𝑏, 𝑏 𝑏, 𝑐 𝑏, 𝑑

𝑐, 𝑎 𝑐, 𝑏 𝑐, 𝑐 𝑐, 𝑑

𝑑, 𝑎 𝑑, 𝑏 𝑑, 𝑐 𝑑, 𝑑

𝐶𝑟4,2 = 10, que resulta contenida en la matriz correspondiente a 𝑉𝑟4,2 = 16, (grupos por debajo de la línea quebrada en rojo) Análogamente, de manera simbólica podemos escribir: 𝑉(𝑎) = 4

𝐶(𝑎) = 4

𝑉(𝑏) = 4

𝐶(𝑏) = 3

𝑉(𝑐) = 4

𝐶(𝑐) = 2

𝑉(𝑑) = 4

𝐶(𝑑) = 1

𝑉𝑟4,2 = 4.4 = 42 = 16

𝐶𝑟4,2 = 4 + 3 + 2 + 1 = 10

Para m=3, resultan: 𝑎, 𝑎, 𝑎 𝑎, 𝑎, 𝑏 𝑎, 𝑎, 𝑐 𝑎, 𝑎, 𝑑

𝑎, 𝑏, 𝑏 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑎, 𝑏, 𝑑

𝑎, 𝑐, 𝑐 𝑎, 𝑐, 𝑑

𝑎, 𝑑, 𝑑

𝑏, 𝑏, 𝑏 𝑏, 𝑏, 𝑐 𝑏, 𝑏, 𝑑

𝑏, 𝑐, 𝑐 𝑏, 𝑐, 𝑑

𝑏, 𝑑, 𝑑

𝑐, 𝑐, 𝑐 𝑐, 𝑐, 𝑑

𝑐, 𝑑, 𝑑

𝑑, 𝑑, 𝑑

𝑎, 𝑎, 𝑎 𝑎, 𝑎, 𝑏 𝑎, 𝑎, 𝑐 𝑎, 𝑎, 𝑑 𝑏, 𝑎, 𝑎 𝑏, 𝑎, 𝑏 𝑏, 𝑎, 𝑐 𝑏, 𝑎, 𝑑 𝑐, 𝑎, 𝑎 𝑐, 𝑎, 𝑏 𝑐, 𝑎, 𝑐 𝑐, 𝑎, 𝑑 𝑑, 𝑎, 𝑎 𝑑, 𝑎, 𝑏 𝑑, 𝑎, 𝑐 𝑑, 𝑎, 𝑑

𝑎, 𝑏, 𝑎 𝑎, 𝑏, 𝑏 𝑎, 𝑏, 𝑐 𝑎, 𝑏, 𝑑 𝑏, 𝑏, 𝑎 𝑏, 𝑏, 𝑏 𝑏, 𝑏, 𝑐 𝑏, 𝑏, 𝑑 𝑐, 𝑏, 𝑎 𝑐, 𝑏, 𝑏 𝑐, 𝑏, 𝑐 𝑐, 𝑏, 𝑑 𝑑, 𝑏, 𝑎 𝑑, 𝑏, 𝑏 𝑑, 𝑏, 𝑐 𝑑, 𝑏, 𝑑

𝑎, 𝑐, 𝑎 𝑎, 𝑐, 𝑏 𝑎, 𝑐, 𝑐 𝑎, 𝑐, 𝑑 𝑏, 𝑐, 𝑎 𝑏, 𝑐, 𝑏 𝑏, 𝑐, 𝑐 𝑏, 𝑐, 𝑑 𝑐, 𝑐, 𝑎 𝑐, 𝑐, 𝑏 𝑐, 𝑐, 𝑐 𝑐, 𝑐, 𝑑 𝑑, 𝑐, 𝑎 𝑑, 𝑐, 𝑏 𝑑, 𝑐, 𝑐 𝑑, 𝑐, 𝑑

𝑎, 𝑑, 𝑎 𝑎, 𝑑, 𝑏 𝑎, 𝑑, 𝑐 𝑎, 𝑑, 𝑑 𝑏, 𝑑, 𝑎 𝑏, 𝑑, 𝑏 𝑏, 𝑑, 𝑐 𝑏, 𝑑, 𝑑 𝑐, 𝑑, 𝑎 𝑐, 𝑑, 𝑏 𝑐, 𝑑, 𝑐 𝑐, 𝑑, 𝑑 𝑑, 𝑑, 𝑎 𝑑, 𝑑, 𝑏 𝑑, 𝑑, 𝑐 𝑑, 𝑑, 𝑑

𝐶𝑟4,3 = 20, que están contenidas en la matriz correspondiente a 𝑉𝑟4,3 = 43 =64 (grupos contenidos en los recuadros escalonados señalados en rojo)

Utilizando la notación simbólica, tendremos: 𝑉(𝑎) = 16

𝐶(𝑎) = 10

𝑉(𝑏) = 16

𝐶(𝑏) = 6

𝑉(𝑐) = 16

𝐶(𝑐) = 3

𝑉(𝑑) = 16

𝐶(𝑑) = 1

𝑉𝑟4,3 = 4.16 = 43 = 64

𝐶𝑟4,3 = 10 + 6 + 3 + 1 = 20

Podemos notar que en este caso, se pone más en evidencia que podemos extender el lenguaje simbólico a las combinaciones con repetición, para escribir: 𝐶(𝑎,𝑎) = 4

𝐶(𝑏,𝑎) = 0

𝐶(𝑎,𝑏) = 3

𝐶(𝑏,𝑏) = 3

𝐶(𝑎,𝑐) = 2

𝐶(𝑏,𝑐) = 2

𝐶(𝑎,𝑑) = 1

𝐶(𝑏,𝑑) = 1

𝐶(𝑎) = 4 + 3 + 2 + 1 = 10

𝐶(𝑏) = 3 + 2 + 1 = 6

Análogamente: 𝐶(𝑐,𝑎) = 0

𝐶(𝑑,𝑎) = 0

𝐶(𝑐,𝑏) = 0

𝐶(𝑑,𝑏) = 0

𝐶(𝑐,𝑐) = 2

𝐶(𝑑,𝑐) = 0

𝐶(𝑐,𝑑) = 1

𝐶(𝑑,𝑑) = 1

𝐶(𝑐) = 2 + 1 = 3

𝐶(𝑑) = 1

De manera que 𝐶𝑟4,3 =(4+3+2+1) + (3+2+1) + (2+1) + (1) = 10+6+3+1=20 Que podemos escribir como: 𝐶𝑟4,3 = 1.(4) + 2.(3) + 3.(2) + 4.(1) =20 Continuemos nuestro análisis estudiando un último caso. Sea un conjunto de n=5 elementos, tal como {𝑎, 𝑏, 𝑐, 𝑑, 𝑒}, y obviando la opción m=1 ( 𝐶𝑟5,1 = 5 ), consideremos la opción m=2 Sin necesidad de graficar la matriz que contiene los grupos a considerar, si 𝑉𝑟5,2 = 52 = 25 deberá cumplirse:

𝑉(𝑎) = 5

𝐶(𝑎) = 5

𝑉(𝑏) = 5

𝐶(𝑏) = 4

𝑉(𝑐) = 5

𝐶(𝑐) = 3

𝑉(𝑑) = 5

𝐶(𝑑) = 2

𝑉(𝑒) = 5

𝐶(𝑒) = 1

𝑉𝑟5,2 = 5.5 = 52 = 25

𝐶𝑟5,2 = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15

Para el caso m=3, siendo 𝑉𝑟5,2 = 53 = 125 , se cumplirán: 𝑉(𝑎,𝑎) = 5

𝐶(𝑎,𝑎) = 5

𝑉(𝑎,𝑏) = 5

𝐶(𝑎,𝑏) = 4

𝑉(𝑎,𝑐) = 5

𝐶(𝑎,𝑐) = 3

𝑉(𝑎,𝑑) = 5

𝐶(𝑎,𝑑) = 2

𝑉(𝑎,𝑒) = 5

𝐶(𝑎,𝑒) = 1

𝑉(𝑎) = 5.5 = 52 = 25

𝐶(𝑎) = 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 15

𝑉(𝑏,𝑎) = 5

𝐶(𝑏,𝑎) = 5

𝑉(𝑏,𝑏) = 5

𝐶(𝑏,𝑏) = 4

𝑉(𝑏,𝑐) = 5

𝐶(𝑏,𝑐) = 3

𝑉(𝑏,𝑑) = 5

𝐶(𝑏,𝑑) = 2

𝑉(𝑏,𝑒) = 5

𝐶(𝑏,𝑒) = 1

𝑉(𝑏) = 5.5 = 52 = 25

𝐶(𝑏) = 4 + 3 + 2 + 1 = 10

𝑉(𝑐,𝑎) = 5

𝐶(𝑐,𝑎) = 0

𝑉(𝑐,𝑏) = 5

𝐶(𝑐,𝑏) = 0

𝑉(𝑐,𝑐) = 5

𝐶(𝑐,𝑐) = 3

𝑉(𝑐,𝑑) = 5

𝐶(𝑐,𝑑) = 2

𝑉(𝑐,𝑒) = 5

𝐶(𝑐,𝑒) = 1

𝑉(𝑐) = 5.5 = 52 = 25

𝐶(𝑐) = 3 + 2 + 1 = 6

𝑉(𝑑,𝑎) = 5

𝐶(𝑑,𝑎) = 0

𝑉(𝑑,𝑏) = 5

𝐶(𝑑,𝑏) = 0

𝑉(𝑑,𝑐) = 5

𝐶(𝑑,𝑐) = 0

𝑉(𝑑,𝑑) = 5

𝐶(𝑑,𝑑) = 2

𝑉(𝑑,𝑒) = 5

𝐶(𝑑,𝑒) = 1

𝑉(𝑑) = 5.5 = 52 = 25

𝐶(𝑑) = 2 + 1 = 3

𝑉(𝑒,𝑎) = 5

𝐶(𝑒,𝑎) = 0

𝑉(𝑒,𝑏) = 5

𝐶(𝑒,𝑏) = 0

𝑉(𝑒,𝑐) = 5

𝐶(𝑒,𝑐) = 0

𝑉(𝑒,𝑑) = 5

𝐶(𝑒,𝑑) = 0

𝑉(𝑒,𝑒) = 5

𝐶(𝑒,𝑒) = 1

𝑉(𝑒) = 5.5 = 52 = 25

𝐶(𝑒) = 1

Resulta entonces 𝑉𝑟5,3 = 5.25 = 53 = 125, como ya conocíamos, mientras que para 𝐶𝑟5,3, obtenemos: 𝐶𝑟5,3 = 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 35, que podemos rescribir como: 𝐶𝑟5,3 = (5 + 4 + 3 + 2 + 1) + (4 + 3 + 2 + 1) + (3 + 2 + 1) + (2 + 1) + (1) = 35, o también: 𝐶𝑟5,3 = 1. (5) + 2(4) + 3(3) + 4(2) + 5(1) = 35 Para el caso m=4, siendo 𝑉𝑟5,4 = 54 = 625, se cumplirán:

𝑉(𝑎,𝑎) = 25

𝐶(𝑎,𝑎) = 15

𝑉(𝑎,𝑏) = 25

𝐶(𝑎,𝑏) = 10

𝑉(𝑎,𝑐) = 25

𝐶(𝑎,𝑐) = 6

𝑉(𝑎,𝑑) = 25

𝐶(𝑎,𝑑) = 3

𝑉(𝑎,𝑒) = 25

𝐶(𝑎,𝑒) = 1

𝑉(𝑎) = 5.25 = 53 = 125

𝐶(𝑎) = 15 + 10 + 6 + 3 + 1 = 35

𝑉(𝑏,𝑎) = 25

𝐶(𝑏,𝑎) = 0

𝑉(𝑏,𝑏) = 25

𝐶(𝑏,𝑏) = 10

𝑉(𝑏,𝑐) = 25

𝐶(𝑏,𝑐) = 6

𝑉(𝑏,𝑑) = 25

𝐶(𝑏,𝑑) = 3

𝑉(𝑏,𝑒) = 25

𝐶(𝑏,𝑒) = 1

𝑉(𝑏) = 5.25 = 53 = 125

𝐶(𝑏) = 10 + 6 + 3 + 1 = 20

𝑉(𝑐,𝑎) = 5

𝐶(𝑐,𝑎) = 0

𝑉(𝑐,𝑏) = 5

𝐶(𝑐,𝑏) = 0

𝑉(𝑐,𝑐) = 5

𝐶(𝑐,𝑐) = 6

𝑉(𝑐,𝑑) = 5

𝐶(𝑐,𝑑) = 3

𝑉(𝑐,𝑒) = 5

𝐶(𝑐,𝑒) = 1

𝑉(𝑐) = 5.5 = 53 = 125

𝐶(𝑐) = 6 + 3 + 1 = 10

𝑉(𝑑,𝑎) = 25

𝐶(𝑑,𝑎) = 0

𝑉(𝑑,𝑏) = 25

𝐶(𝑑,𝑏) = 0

𝑉(𝑑,𝑐) = 25

𝐶(𝑑,𝑐) = 0

𝑉(𝑑,𝑑) = 25

𝐶(𝑑,𝑑) = 3

𝑉(𝑑,𝑒) = 25

𝐶(𝑑,𝑒) = 1

𝑉(𝑑) = 5.25 = 53 = 125

𝐶(𝑑) = 3 + 1 = 4

𝑉(𝑒,𝑎) = 25

𝐶(𝑒,𝑎) = 0

𝑉(𝑒,𝑏) = 25

𝐶(𝑒,𝑏) = 0

𝑉(𝑒,𝑐) = 25

𝐶(𝑒,𝑐) = 0

𝑉(𝑒,𝑑) = 25

𝐶(𝑒,𝑑) = 0

𝑉(𝑒,𝑒) = 25

𝐶(𝑒,𝑒) = 1

𝑉(𝑒) = 5.25 = 53 = 125

𝐶(𝑒) = 1

Resulta entonces: đ?‘‰đ?‘&#x;5,4 = 5.125 = 54 = 625,como ya conocĂ­amos y đ??śđ?‘&#x;5,4 = 35 + 20 + 10 + 4 + 1 = 70, que podemos rescribir como: đ??śđ?‘&#x;5,4 = (15 + 10 + 6 + 3 + 1) + (10 + 6 + 3 + 1) + (6 + 3 + 1) + (3 + 1) + (1) = 70, o tambiĂŠn: đ??śđ?‘&#x;5,4 = 1. (5) + 3. (4) + 6. (3) + 10. (2) + 15. (1)

Si escribimos un resumen de los resultados obtenidos hasta ahora;

m=1

m=2

đ??śđ?‘&#x;2,1 = 1 + 1 = 2 đ??śđ?‘&#x;3,1 = 1 + 1 + 1 = 3

đ??śđ?‘&#x;3,2 = 1 + 2 + 3 = 6

đ??śđ?‘&#x;4,1 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4

đ??śđ?‘&#x;4,2 = 1 + 2 + 3 + 4 = 10

đ??śđ?‘&#x;5,1 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1 = 5

đ??śđ?‘&#x;5,2 = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = 15

m=3

m=4

đ??śđ?‘&#x;4,3 = 1 + 3 + 6 + 10 = 20 đ??śđ?‘&#x;5,3 = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35

đ??śđ?‘&#x;5,4 = 1 + 4 + 10 + 20 + 35 = 70

Una observaciĂłn cuidadosa de estos resultados, nos indica que los valores de đ?‘Şđ?’“đ?’?,đ?’Ž , se identifican con las series paralelas del triĂĄngulo de Tartaglia o de Pascal. Estudiaremos dichas series a continuaciĂłn.

2) Las series paralelas de nĂşmeros figurados del triĂĄngulo de Pascal Para estudiar dichas series, comencemos por su obtenciĂłn a partir de la siguiente identidad: đ?‘Ľ(đ?‘Ľ+1)(đ?‘Ľ+2)‌(đ?‘Ľ+đ?‘šâˆ’1)(đ?‘Ľ+đ?‘š) 1.2.3‌đ?‘š(đ?‘š+1)

−

(đ?‘Ľâˆ’1)đ?‘Ľ(đ?‘Ľ+1)‌(đ?‘Ľ+đ?‘šâˆ’1) 1.2.3‌đ?‘š(đ?‘š+1)

=

đ?‘Ľ(đ?‘Ľ+1)(đ?‘Ľ+2)‌(đ?‘Ľ+đ?‘šâˆ’1) 1.2.3‌đ?‘š

,

que es , una relaciĂłn de recurrencia. Si en esta identidad, hacemos m=1, obtenemos:

đ?‘Ľ(đ?‘Ľ+1) 1.2

−

(đ?‘Ľâˆ’1)đ?‘Ľ 1.2

=

đ?‘Ľ 1

Y si damos a x, sucesivamente los valores: x=1,2,3,‌,(n-1),n, resultan las siguientes identidades : 1.2 0.1 1 − = 1.2 1.2 1 2.3 1.2 2 − = 1.2 1.2 1

3.4 2.3 3 − = 1.2 1.2 1 . . . . . . . . . (đ?‘› − 1)đ?‘› (đ?‘› − 2)(đ?‘› − 1) đ?‘› − 1 − = 1.2 1.2 1 đ?‘›(đ?‘› + 1) (đ?‘› − 1)đ?‘› đ?‘› − = 1.2 1.2 1

Sumando miembro a miembro todas estas identidades, obtenemos: đ?‘›(đ?‘› + 1) đ?‘› = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + â‹Ż + (đ?‘› − 1) + 2! 1! Si de nuevo en la identidad inicial, hacemos m=2, resulta: đ?‘Ľ(đ?‘Ľ+1)(đ?‘Ľ+2) 1.2.3

−

(đ?‘Ľâˆ’1)đ?‘Ľ(đ?‘Ľ+1) 1.2.3

=

đ?‘Ľ(đ?‘Ľ+1) 1.2

, y si en esta identidad, hacemos tomar a x, sucesivamente los

valores x=1,2,3,‌,(n-1),n, obtenemos: 1.2.3 0.1.2 1.2 − = 1.2.3 1.2.3 1.2 2.3.4 1.2.3 2.3 − = 1.2.3 1.2.3 1.2 3.4.5 2.3.4 3.4 − = 1.2.3 1.2.3 1.2

. . .

. . .

. . .

(đ?‘› − 1)đ?‘›(đ?‘› + 1) (đ?‘› − 2)(đ?‘› − 1)đ?‘› (đ?‘› − 1)đ?‘› − = 1.2.3 1.2.3 1.2 đ?‘›(đ?‘› + 1)(đ?‘› + 2) (đ?‘› − 1)đ?‘›(đ?‘› + 1) (đ?‘› − 1)đ?‘› − = 1.2.3 1.2.3 1.2

Si sumamos miembro a miembro estas identidades, resulta: đ?‘›(đ?‘› + 1)(đ?‘› + 2) đ?‘›(đ?‘› + 1) = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + â‹Ż + 3! 2!

Repitiendo este procedimiento para m=3, obtendrĂ­amos: đ?‘Ľ(đ?‘Ľ+1)(đ?‘Ľ+2)(đ?‘Ľ+3) 1.2.3.4

−

(đ?‘Ľâˆ’1)đ?‘Ľ(đ?‘Ľ+1)(đ?‘Ľ+2) 1.2.3.4

=

đ?‘Ľ(đ?‘Ľ+1)(đ?‘Ľ+2) 1.2.3

, y haciendo tomar a x sucesivamente los

valores x=1, 2,3,‌, (n-1), n, y sumando miembro a miembro las identidades resultantes, obtendremos la serie: �(� + 1)(� + 2)(� + 3) �(� + 1)(� + 2) = 1 + 4 + 10 + 20 + 35 + ⋯ + 4! 3! Si continuamos para m=4, obtendríamos la serie: �(� + 1)(� + 2)(� + 3)(� + 4) �(� + 1)(� + 2)(� + 3) = 1 + 5 + 15 + 35 + 70 + ⋯ + 5! 4! Y así sucesivamente, podemos extendernos hasta cualquier valor de m entero natural. Si ordenamos estos resultados, adicionando en primer lugar el caso anålogo que se obtiene de la identidad:

đ?‘Ľ 1

−

đ?‘Ľâˆ’1 1

1

= , cuando damos a x los valores x=1,2,3,‌,(n-1),n 1

đ?‘› 1+1+1+1+...+1= , tendremos: 1! 1+1+1+1+.1+...+1=

đ?‘› 1!

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + â‹Ż + (đ?‘› − 1) + 1 + 3 + 6 + 10 + 15 + â‹Ż +

đ?‘› đ?‘›(đ?‘› + 1) = 1! 2!

đ?‘›(đ?‘› + 1) đ?‘›(đ?‘› + 1)(đ?‘› + 2) = 2! 3!

1 + 4 + 10 + 20 + 35 + â‹Ż +

đ?‘›(đ?‘› + 1)(đ?‘› + 2) đ?‘›(đ?‘› + 1)(đ?‘› + 2)(đ?‘› + 3) = 3! 4!

1 + 5 + 15 + 35 + 70 + â‹Ż +

đ?‘›(đ?‘› + 1)(đ?‘› + 2)(đ?‘› + 3) đ?‘›(đ?‘› + 1)(đ?‘› + 2)(đ?‘› + 3)(đ?‘› + 4) = 4! 5!

‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌. Notamos que en estas series, el tÊrmino enÊsimo de una, es igual a la suma de los primeros n tÊrminos de la serie precedente, así p.ej. 15=1+2+3+4+5 o 70=1+4+10+20+35. Así mismo las diferencias de los tÊrminos consecutivos n y (n-1) de una serie, da como resultado el tÊrmino n de la serie precedente, así p ej. 35-20=15 o 70-35=35. Si escribimos estas series de tal forma que la series siguientes a la de partida se van formando como resultado de las diferencias entre cada dos tÊrminos sucesivos de la serie precedentes, entonces la serie siguiente a la original, se le denomina serie de las diferencias primeras, a la que le sigue, serie

de las diferencias segundas y asĂ­ sucesivamente, siempre con respecto a la serie original o de partida. Por ejemplo si partimos de los 7 primeros tĂŠrminos de la serie obtenida para m=4, tendrĂ­amos: 1

5 4

15 10

35 20

6

10 4

70 35

15 5

1

126 84 28

56 21

6 1

210

Diferencias 1â ° 2â ° 3â ° 4â °

7 1

Cuando la serie de las k-Êsimas diferencias se compone de tÊrminos iguales, se dice que la serie de partida es de orden k. en nuestro caso la serie * 1,5,15,35,70,126,210,‌ es de 4⠰ orden con respecto a la serie 1,1,1,1,1,1,1,‌ *Para evitar alguna supuesta ambigßedad matemåtica al utilizar como sinónimos los tÊrminos sucesión y serie, (lo cual es correcto gramaticalmente) , cuando el tÊrmino corresponda a la suma de los tÊrminos de una sucesión de igual nomenclatura , para diferenciarlas, agregaremos un supra + índice + .Así por ejemplo �� , representa una sucesión, mientras que �� , representaría la suma de sus tÊrminos o serie. Las series obtenidas anteriormente a partir de la identidad de recurrencia inicial, se denominan series de los números figurados o series de números combinatorios y se pueden agrupar de diversas formas: Sucesión de sumas triangulares 0 0 0 0 0

1

1

1 1

1

2 3

1

6

4

1

3

10

4 10

20 35

1 5

15 35

70

1 6

21 56

1

5

15

126

0

1

1

1

1

1

0

1 1 1

2

3

4

5

6

0

1

3

6

10

15

21

0

1

4

10

20

35

56

0

1

5

15

35

70

126

0

1

Sumas acumulativas

Diferencias sucesivas 0 0 0 0

1 1

1 1

3 2

1

5 4 6 3

1

15 10 10 4

1

35 20 15 5

1

70 35 21 6

1

126 56

En forma de triĂĄngulo isĂłsceles rectĂĄngulo, donde se evidencian como resultado de la suma de sus elementos en direcciĂłn diagonal, tal como se muestra en la figura anterior, los valores de la sucesiĂłn de Fibonacci: đ?‘“đ?‘› = đ?‘“đ?‘›âˆ’1 + đ?‘“đ?‘›âˆ’2 , partiendo de los dos primero valores, predeterminados: đ?‘“0 = 0 đ?‘Ś đ?‘“1 = 1, se obtienen los valores de la sucesiĂłn: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,... Pero la manera mĂĄs usual de representarlas, es agrupĂĄndolas en forma de un triĂĄngulo equilĂĄtero numĂŠrico (en nĂşmero de elementos por cada lado), y simĂŠtrico respecto a su “alturaâ€?, en el cual las series de nĂşmeros combinatorios, aparecen repetidas en ambas direcciones oblicuas del triĂĄngulo. Nosotros denotaremos a dichas series como : đ?‘†1 , đ?‘†2 , đ?‘†3 , ‌ , đ?‘†đ?‘š ,donde consideramos los primeros n tĂŠrminos de la serie, y el sub Ă­ndice m, es un contador para indicar su ubicaciĂłn como serie paralela, que hacemos coincidir con el segundo tĂŠrmino de la serie respectiva. Cada una de estas series paralelas de n tĂŠrminos se caracteriza porque su tĂŠrmino n-ĂŠsimo, es igual a la suma de los n tĂŠrminos de la sucesiĂłn precedente.

3) TriĂĄngulo de Pascal El triĂĄngulo que a continuaciĂłn se muestra, se denomina en Occidente como triĂĄngulo de Tartaglia (1500-1557) o mĂĄs comĂşnmente triĂĄngulo de Pascal (1632-1662), porque su descubrimiento es atribuido a dichos matemĂĄticos europeos, pero ya dicha distribuciĂłn de nĂşmeros, aparece en la portada del Rechnung, un libro de aritmĂŠtica del matemĂĄtico y astrĂłnomo alemĂĄn Peter Apian (1499-1552), y el matemĂĄtico chino Chu Shih Chien, lo mencionĂł en 1303 (3 siglos antes) en su libro “El espejo mĂĄgico de los 4 elementosâ€?, refiriĂŠndose a ĂŠl como el antiguo mĂŠtodo (usado desde 2 siglos atrĂĄs). Probablemente dicho triĂĄngulo se remonta al aĂąo 1100 d.C., cuando el poeta y matemĂĄtico persa Omar KhayyĂĄm, parece referirse a ĂŠl en su famosa ĂĄlgebra. El triĂĄngulo resulta ilimitado por su base y la lectura de sus filas horizontales tiene el mismo tenor, si su lectura se hace en un sentido o en el contrario. AsĂ­ mismo, cada fila inicia y termina en un valor unitario y los restantes tĂŠrminos de cada fila se puede obtener de la anterior, sumando cada dos nĂşmeros consecutivos de la fila anterior, siendo esto una consecuencia inmediata de que cada

serie paralela, viene a ser la serie de las diferencias primeras de la serie anterior. Ver a modo de ejemplo el trazado de color rojo entre fila 5 y fila 6 en el grĂĄfico a continuaciĂłn.

TRIANGULO DE PASCAL ( ∆ đ?&#x;Ž ), (filas desde n=0, hasta n=10) đ?‘şđ?&#x;? đ?‘şđ?&#x;?

1 1 1 1 1 1 1 1

5

8 9

36

6 10

21

35 56 126 210

252

.

.

1

10

45

.

.

.

.

70

5

đ?‘şđ?&#x;•

1 6

21

đ?‘şđ?&#x;–

1 7

56

28 36

210

84 120

.

.

126

.

đ?‘şđ?&#x;”

1

15 35

28 84 120

4

20

đ?‘şđ?&#x;“

1

10

15

đ?‘şđ?&#x;’

1 3

4

6 7

2 3

1

đ?‘şđ?&#x;‘

1

1

đ?‘şđ?&#x;—

1 8

đ?‘şđ?&#x;?đ?&#x;Ž

1 9

45

đ?‘şđ?&#x;?đ?&#x;?

1 10

.

1

.

Filas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

.

El triĂĄngulo de Pascal, se puede considerar como la distribuciĂłn de nĂşmeros o coeficientes que resultan de la expansiĂłn de las potencias sucesivas de un binomio elevado a una potencia k, como (đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 )đ?‘˜ , cuando k varia de cero a n. Las filas del triĂĄngulo se numeran de arriba abajo, tal como sea el valor de k, y los tĂŠrminos de la fila n, son los coeficientes que corresponden al desarrollo del binomio (đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 )đ?‘› o binomio de Newton. Estos coeficientes se denominan coeficientes binomiales y se denotan usualmente como: đ?‘›! đ?‘›(đ?‘› − 1)(đ?‘› − 2) ‌ (đ?‘› − đ?‘š + 1) đ?‘› ( )= = đ?‘š (đ?‘› − đ?‘š)! đ?‘š! 1.2.3 ‌ đ?‘š đ?‘› Como es conocido, la expresiĂłn ( ), se denomina nĂşmero combinatorio, y representa el nâ ° de đ?‘š combinaciones que se pueden formar con los n elementos de un conjunto, tomados de m en m, de tal manera que todos los grupos resultantes se diferencien entre sĂ­, al menos en un elemento (combinaciones simples, sin repeticiĂłn, y por ende , el orden de los elementos en el grupo no hace diferenciaciĂłn alguna).Por conveniencia ,en lo que respecta a la nomenclatura a utilizar, para nuestros fines, hemos incluido el valor 1 en el vĂŠrtice superior del triĂĄngulo, de manera de incluir el 0 caso trivial (đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 )0 =1, correspondiente a k=0, y al combinatorio ( ) = 1. AsĂ­ aparece en la fila 0 cero (0), el coeficiente 1, como Ăşnico elemento. Una identidad fundamental e inmediata de estos đ?‘› đ?‘› nĂşmeros es ( )=( ), implĂ­cita en su propia definiciĂłn. đ?‘š đ?‘›âˆ’đ?‘š Dos de las propiedades mĂĄs conocidas del triĂĄngulo de Pascal, se derivan de : đ?‘› (1 + 1)đ?‘› =∑đ?‘›đ?‘–=0 ( ) = 2đ?‘› .La suma de los coeficientes de cualquiera fila n del triĂĄngulo de Pascal es đ?‘– siempre igual a 2đ?‘›

đ?‘› (1 − 1)đ?‘› =∑đ?‘›đ?‘–=0(−1)đ?‘– ( ) = 0 .La suma de los coeficientes de cualquiera fila n del triĂĄngulo de đ?‘– Pascal, con signos alternados, es siempre igual a cero (0) La identidad inicial đ?‘Ľ(đ?‘Ľ+1)(đ?‘Ľ+2)‌(đ?‘Ľ+đ?‘šâˆ’1)(đ?‘Ľ+đ?‘š) 1.2.3‌đ?‘š(đ?‘š+1)

−

(đ?‘Ľâˆ’1)đ?‘Ľ(đ?‘Ľ+1)‌(đ?‘Ľ+đ?‘šâˆ’1) 1.2.3‌đ?‘š(đ?‘š+1)

=

đ?‘Ľ(đ?‘Ľ+1)(đ?‘Ľ+2)‌(đ?‘Ľ+đ?‘šâˆ’1) 1.2.3‌đ?‘š

de la

cual se dedujo la formaciĂłn de las series paralelas, tiene su expresiĂłn combinatoria en la relaciĂłn de recurrencia :

(

đ?‘›+đ?‘š đ?‘›+đ?‘šâˆ’1 đ?‘›+đ?‘šâˆ’1 )−( )=( ) đ?‘›âˆ’1 đ?‘›âˆ’2 đ?‘›âˆ’1

AdemĂĄs, la expresiĂłn en nĂşmeros combinatorios de las series paralelas serĂĄ: đ?’Š đ?‘şđ?’Ž ={( )} đ?’Žâˆ’đ?&#x;?

con i = (m-1),m,‌,(m+n-2),

Luego para m=1 , con i= 0,1,‌,(n-1)

para cada m=1,2,‌,n

resulta:

đ?‘– 0 1 2 đ?‘›âˆ’1 đ?‘†1 = {( )} = {( ) , ( ) , ( ) , ‌ , ( )} = {1,1,1, ‌ ,1} 0 0 0 0 0

Si m=2 , con i=1,2,‌,n đ?‘› đ?‘– 1 2 3 đ?‘†2 = {( )} = {( ) , ( ) , ( ) , ‌ , ( )} = {1,2,3, ‌ đ?‘›} 1 1 1 1 1 Si m=3, con i=2,3,‌,(n+1) (đ?‘› + 1)đ?‘› đ?‘– 2 3 4 đ?‘›+1 đ?‘†3 = {( )} = {( ) , ( ) , ( ) , ‌ , ( )} = {1,3,6, ‌ , } 2 2 2 2 2 2! Para m=4, con i=3,4,‌,(n+2) (đ?‘› + 2)(đ?‘› + 1)đ?‘› đ?‘– 4 3 đ?‘›+2 5 đ?‘†4 = {( )} = {( ) , ( ) , ( ) , ‌ , ( )} = {1,4,10, ‌ , } 3 3 3 3 3 3! ‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌‌.. La expresiĂłn general serĂĄ: đ?’Ž đ?’Š đ?’Žâˆ’đ?&#x;? đ?’Ž+đ?&#x;? đ?’Ž+đ?’?−đ?&#x;? đ?‘şđ?’Ž = {( )} = {( ),( ),( ),‌,( )}= đ?’Žâˆ’đ?&#x;? đ?’Žâˆ’đ?&#x;? đ?’Žâˆ’đ?&#x;? đ?’Žâˆ’đ?&#x;? đ?’Žâˆ’đ?&#x;? {đ?&#x;?,

[đ?’? + (đ?’Ž − đ?&#x;?)][đ?’? + (đ?’Ž − đ?&#x;‘)] ‌ đ?’? đ?’Ž (đ?’Ž + đ?&#x;?)đ?’Ž (đ?’Ž + đ?&#x;?)(đ?’Ž + đ?&#x;?)đ?’Ž , , ,‌, } (đ?’Ž − đ?&#x;?)! đ?&#x;?! đ?&#x;?! đ?&#x;‘!

Como hemos seĂąalado en apuntes previos, podemos identificar los resultados obtenidos para las combinaciones con repeticiĂłn con estas series paralelas de nĂşmeros combinatorios binomiales. AsĂ­, resultan: đ?’? đ?&#x;Ž đ?‘Şđ?’“đ?’?,đ?&#x;? = đ?‘ş+ đ?&#x;? = ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’Š = đ?’? đ?‘Şđ?’“đ?’?,đ?&#x;? = đ?‘ş+ đ?&#x;? = ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’Š =

đ?’? = đ?&#x;?!

đ?’? ( ) đ?&#x;? đ?’?+đ?&#x;? = ( ) đ?&#x;?

đ?’?(đ?’?+đ?&#x;?) đ?&#x;?!

đ?’?+đ?&#x;? = ( ), y asĂ­ sucesivamente, de tal manera que la đ?&#x;‘ expresiĂłn general para n y m, vendrĂĄ dada por: đ?’? đ?‘Şđ?’“đ?’?,đ?&#x;‘ = đ?‘ş+ đ?&#x;‘ = ∑đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’? đ?‘Şđ?’“đ?’?,đ?’Ž = đ?‘ş+ đ?’Ž = ∑đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’Š(đ?’Š+đ?&#x;?) đ?&#x;?!

=

đ?’?(đ?’?+đ?&#x;?)(đ?’?+đ?&#x;?) đ?&#x;‘!

đ?’Š(đ?’Š+đ?&#x;?)(đ?’Š+đ?&#x;?)‌(đ?’Š+đ?’Žâˆ’đ?&#x;?) (đ?’Žâˆ’đ?&#x;?)!

=

đ?’?(đ?’?+đ?&#x;?)(đ?’?+đ?&#x;?)‌(đ?’?+đ?’Žâˆ’đ?&#x;?) đ?’?+đ?’Ž =( đ?’Ž! đ?’Ž

−đ?&#x;? đ?’?+đ?’Žâˆ’đ?&#x;? )=( ) đ?’?−đ?&#x;?

AquĂ­, contabilizamos todas estas sumatorias de i=1 hasta n, pero hay que tener claro que el valor de n, no se refiere a la fila correspondiente de ∆ đ?&#x;Ž , sino al tĂŠrmino de lugar n de la serie đ?‘şđ?’Ž .

TRIANGULO DE COEFICIENTES COMBINATORIOS ( ∆đ?&#x;Ž ) , ( filas desde n=0, hasta n=9)

đ?&#x;— ( ) đ?&#x;Ž

đ?&#x;– ( ) đ?&#x;Ž

đ?&#x;• ( ) đ?&#x;Ž đ?&#x;— ( ) đ?&#x;?

đ?&#x;” ( ) đ?&#x;Ž đ?&#x;– ( ) đ?&#x;?

đ?&#x;“ ( ) đ?&#x;Ž đ?&#x;• ( ) đ?&#x;? đ?&#x;— ( ) đ?&#x;?

đ?&#x;’ ( ) đ?&#x;Ž đ?&#x;” ( ) đ?&#x;? đ?&#x;– ( ) đ?&#x;?

đ?&#x;‘ ( ) đ?&#x;Ž đ?&#x;“ ( ) đ?&#x;? đ?&#x;• ( ) đ?&#x;? đ?&#x;— ( ) đ?&#x;‘

đ?&#x;? ( ) đ?&#x;Ž đ?&#x;’ ( ) đ?&#x;? đ?&#x;” ( ) đ?&#x;? đ?&#x;– ( ) đ?&#x;‘

đ?&#x;? ( ) đ?&#x;Ž đ?&#x;‘ ( ) đ?&#x;? đ?&#x;“ ( ) đ?&#x;? đ?&#x;• ( ) đ?&#x;‘ đ?&#x;— ( ) đ?&#x;’

đ?&#x;Ž ( ) đ?&#x;Ž đ?&#x;? ( ) đ?&#x;? đ?&#x;’ ( ) đ?&#x;? đ?&#x;” ( ) đ?&#x;‘ đ?&#x;– ( ) đ?&#x;’

đ?‘şđ?&#x;?

fila

đ?‘şđ?&#x;? đ?&#x;? ( ) đ?&#x;? đ?&#x;‘ ( ) đ?&#x;? đ?&#x;“ ( ) đ?&#x;‘ đ?&#x;• ( ) đ?&#x;’ đ?&#x;— ( ) đ?&#x;“

0

đ?‘şđ?&#x;‘ đ?&#x;? ( ) đ?&#x;? đ?&#x;’ ( ) đ?&#x;‘ đ?&#x;” ( ) đ?&#x;’ đ?&#x;– ( ) đ?&#x;“

1

đ?‘şđ?&#x;’ đ?&#x;‘ ( ) đ?&#x;‘ đ?&#x;“ ( ) đ?&#x;’ đ?&#x;• ( ) đ?&#x;“ đ?&#x;— ( ) đ?&#x;”

2

đ?‘şđ?&#x;“ đ?&#x;’ ( ) đ?&#x;’ đ?&#x;” ( ) đ?&#x;“ đ?&#x;– ( ) đ?&#x;”

3

đ?‘şđ?&#x;” đ?&#x;“ ( ) đ?&#x;“ đ?&#x;• ( ) đ?&#x;” đ?&#x;— ( ) đ?&#x;•

4

đ?‘şđ?&#x;• đ?&#x;” ( ) đ?&#x;” đ?&#x;– ( ) đ?&#x;•

5

đ?‘şđ?&#x;– đ?&#x;• ( ) đ?&#x;• đ?&#x;— ( ) đ?&#x;–

6

đ?‘şđ?&#x;— đ?&#x;– ( ) đ?&#x;–

7 8

đ?&#x;— ( ) đ?&#x;—

Como cada uno de los elementos de las filas del triĂĄngulo de Pascal puede escribirse como un đ?’?+đ?’Žâˆ’đ?&#x;? nĂşmero combinatorio, concluimos que đ?‘Şđ?’“đ?’?,đ?’Ž se corresponde con ( ) , que serĂĄ el đ?’Ž tĂŠrmino n-ĂŠsimo de đ?‘şđ?’Ž+đ?&#x;? , que a su vez representa la suma de los n primeros tĂŠrminos de đ?‘şđ?’Ž

9

Entonces, podremos tambiĂŠn escribir: đ?’?−đ?&#x;?

đ?’? đ?’Š đ?‘Şđ?’“đ?’?,đ?&#x;? = ∑ ( ) = ( ) đ?&#x;? đ?&#x;Ž đ?’Š=đ?&#x;Ž đ?’?

đ?’?+đ?&#x;? đ?’Š đ?‘Şđ?’“đ?’?,đ?&#x;? = ∑ ( ) = ( ) đ?&#x;? đ?&#x;? đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’?+đ?&#x;?

đ?’?+đ?&#x;? đ?’Š đ?‘Şđ?’“đ?’?,đ?&#x;‘ = ∑ ( ) = ( ) đ?&#x;? đ?&#x;‘ đ?’Š=đ?&#x;?

La expresiĂłn general ,ya determinada anteriormente, serĂĄ: đ?’Š đ?’?+đ?’Žâˆ’đ?&#x;? đ?’?+đ?’Žâˆ’đ?&#x;? đ?‘Şđ?’“đ?’?,đ?’Ž =∑đ?’?+đ?’Žâˆ’đ?&#x;? )=( )=( ) đ?’Š=đ?’Žâˆ’đ?&#x;? ( đ?’Žâˆ’đ?&#x;? đ?’Ž đ?’?−đ?&#x;?

Siendo el valor suma de cada una de estas series (hasta un cierto valor de n) ,tambiĂŠn un nĂşmero combinatorio (el n-ĂŠsimo de la serie siguiente), se podrĂĄ determinar como la intersecciĂłn de la fila đ?‘› n+ m -1, con la serie đ?‘†đ?‘š+1 đ?‘– 0 1 2 3 4 AsĂ­, por ejemplo đ??śđ?‘&#x;4,1 = ∑3đ?‘–=0 ( ) = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 = ( ) 0 0 0 0 0 1 Como aquĂ­ n=4 y m=1, đ??śđ?‘&#x;4,1, corresponde a la intersecciĂłn de la fila 4, con la serie đ?‘†2đ?‘› , ver trazos en rojo sobre el grĂĄfico anterior. Y para đ??śđ?‘&#x;6,3 , serĂĄ: đ??śđ?‘&#x;6,3 = ∑7đ?‘–=2 ( đ?‘– ) = (2) + (3) + (4) + (5) + (6) + (7) = 1 + 3 + 6 + 10+15+21=56=(8) 2

2

2

2

2

2

2

3

8 AquĂ­ n=6 y m=3, por lo tanto , ( ), corresponde a la intersecciĂłn de la fila 8, con la serie đ?‘†4đ?‘› , ver 3 trazos en verde sobre el grĂĄfico anterior. Hemos deducido una expresiĂłn* que nos permite pasar de la fila n a la fila n+r : đ?‘&#x; đ?‘› đ?‘› đ?‘› đ?‘› đ?‘&#x; đ?‘&#x; đ?‘&#x; đ?‘›+đ?‘&#x; đ?‘›+đ?‘&#x; ( )( ) +( )( ) + ( )( ) + â‹Ż+ ( )( )=( )= ( ) 0 đ?‘š 1 đ?‘š+1 2 đ?‘š+2 đ?‘&#x; đ?‘š+đ?‘&#x; đ?‘š+đ?‘&#x; đ?‘›âˆ’đ?‘š đ?‘&#x; đ?‘› đ?‘›+đ?‘&#x; đ?‘›+đ?‘&#x; Que podemos escribir como:∑đ?‘&#x;đ?‘—=0 ( đ?‘— ) (đ?‘š + đ?‘—) = ( )=( ) đ?‘š+đ?‘&#x; đ?‘›âˆ’đ?‘š Con n ≼ r , aplicable a n-(r-1) casos, siendo m Đ„ {0,1, ‌ , đ?‘› − đ?‘&#x;} Que para m= n-r nos da: đ?‘&#x; đ?‘› đ?‘&#x; đ?‘› đ?‘&#x; đ?‘› đ?‘&#x; đ?‘› đ?‘›+đ?‘&#x; đ?‘›+đ?‘&#x; ( )( )+ ( )( ) + ( )( ) +â‹Ż+ ( )( ) = ( )=( ) 0 đ?‘&#x; 1 đ?‘&#x;−1 2 đ?‘&#x;−2 đ?‘&#x; 0 đ?‘› đ?‘&#x;

đ?‘&#x; đ?‘› đ?‘›+đ?‘&#x; đ?‘›+đ?‘&#x; Que podemos escribir como: ∑đ?‘&#x;đ?‘—=0 ( đ?‘— ) (đ?‘&#x; − đ?‘—)=( )=( ), con n ≼ r đ?‘› đ?‘&#x; *Que resulta un caso particular de la identidad de Vandermonde: đ?‘š đ?‘› đ?‘š đ?‘› đ?‘š đ?‘› đ?‘š đ?‘› đ?‘š+đ?‘› ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) + â‹Ż+ ( )( ) = ( ) 0 đ?‘&#x; 1 đ?‘&#x;−1 2 đ?‘&#x;−2 đ?‘&#x; 0 đ?‘&#x; Cuando m= r AsĂ­ , por ej. sĂ­ n=5 y r=3 , pasamos de la fila 5 a la fila 8, mediante: 8 5 5 5 5 ( ) + 3( ) + 3( ) + ( ) = ( ) 3 3 0 2 1 NĂłtese que los coeficientes involucrados {1,3,3,1}, corresponden a los de la fila 3 de ∆0 (TriĂĄngulo 6 6 6 8 de Pascal).AnĂĄlogamente, se cumple que ( ) + 2 ( ) + ( ) = ( ) al pasar de la fila 6 a la 8 ( r=2 1 3 3 3 7 7 8 y coeficientes 1,2,1) y tambiĂŠn que ( ) + ( ) = ( ) ,al pasar de la 7 a la 8 ( r=1 y coeficientes 2 3 3 1,1) Esta relaciĂłn de valor suma constante, se podrĂ­a describir grĂĄficamente como: 5 5 5 5 ( ) + 3( ) + 3( ) + ( ) 3 2 1 0 6 6 6 =( ) + 2 ( ) + ( ) 1 3 3 7 7 =( )+( ) 3 2 8 =( ) 3

Y es aplicable a cualquier distribuciĂłn triangular semejante (invertida), sobre el grĂĄfico de coeficientes combinatorios, y los coeficientes de los nĂşmeros combinatorios deberĂĄn seguir una secuencia inversa a la de ∆đ?&#x;Ž , dependiendo del nĂşmero de filas involucradas. Otra distribuciĂłn de nĂşmeros combinatorios interesante, es la que resulta de considerar un triĂĄngulo interior a ∆đ?&#x;Ž , pero con igual sentido, y efectuar la suma de sus elementos afectados de coeficientes segĂşn las filas anĂĄlogas de ∆đ?&#x;Ž .La sumas resultantes de sus filas siguen la sucesiĂłn de sus elementos centrales (fila de por medio). Esto por supuesto es aplicable al propio ∆đ?&#x;Ž . Como hemos ya seĂąalado en los apuntes sobre combinatoria, existen otras series equivalentes (que dan el mismo valor suma), que pueden ser desarrolladas para obtener los valores de las combinaciones con repeticiĂłn đ??śđ?‘&#x;đ?‘›,đ?‘š . AsĂ­ por ejemplo, si m= 3, tendremos: đ??śđ?‘&#x;đ?‘›,3 =∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘–(đ?‘› − đ?‘– + 1) = 1(đ?‘›) + 2(đ?‘› − 1) + 3(đ?‘› − 2) + â‹Ż + (đ?‘› − 1). 2 + đ?‘›. 1, y sĂ­ m=4 đ?‘–

1

2!

2

đ??śđ?‘&#x;đ?‘›,4 = ∑đ?‘›đ??ź=1 (đ?‘– + 1)(đ?‘› − đ?‘– + 1) = [1.2. (đ?‘›) + 2.3. (đ?‘› − 1) + 3.4. (đ?‘› − 2) + â‹Ż +(n+1).n.2+n(n+1).1],

La equivalencia general entre los dos tipos de serie, cuyo desarrollo permite obtener đ??śđ?‘&#x;đ?‘›,đ?‘š , viene dada por la expresiĂłn: đ?‘Şđ?’“đ?’?,đ?’Ž

đ?’?

đ?’?

đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’Š(đ?’Š + đ?&#x;?)(đ?’Š + đ?&#x;?) ‌ (đ?’Š + đ?’Ž − đ?&#x;?) đ?’Š(đ?’Š + đ?&#x;?)(đ?’Š + đ?&#x;?) ‌ (đ?’Š + đ?’Ž − đ?&#x;‘) đ?’?+đ?’Žâˆ’đ?&#x;? =∑ =∑ . (đ?’? − đ?’Š + đ?&#x;?) = ( ) (đ?’Ž − đ?&#x;?)! đ?’Ž (đ?’Ž − đ?&#x;?)! (m > 1)

(m > 2)

(n ≼ 1)

AsĂ­, por ejemplo, para đ??śđ?‘&#x;5,3, , con n=5 y m=3, tendremos: đ??śđ?‘&#x;5,3 = =

1.2 2.3 3.4 4.5 5.6 + + + + = 1 + 3 + 6 + 10 + 15 = 35 2! 2! 2! 2! 2!

1.5 2.4 3.3 4.2 5.1 + + + + 1! 1! 1! 1! 1!

7 5+3−1 = 1(5) + 2(4) + 3(3) + 4(2) + 5(1) = ( ) = ( ) = 35 3 3

Sin olvidar que tambiĂŠn: đ??śđ?‘&#x;5,3 = ∑6đ?‘–=2 ( đ?‘– ) = (2) + (3) + (4) + (5) + (6) = (7) = 35, valor que se 2

2

2

2

2

2

3

puede obtener directamente al recorrer convenientemente el triĂĄngulo de coeficientes binomiales antes mostrado. Otras formas de obtener el TriĂĄngulo de Pascal (∆đ?&#x;Ž ) Sea {đ?‘Žđ?‘› }, una sucesiĂłn numĂŠrica, correspondiente al caso inicial o caso (0), y formemos a partir de ella, una nueva serie de sucesiones, que resultan de sumar cada par de tĂŠrminos sucesivos de la sucesiĂłn precedente. En cada caso, el nĂşmero de tĂŠrminos de la sucesiĂłn siguiente, serĂĄ menor en una unidad, al caso previo. Caso: 0 : đ?‘Ž1, đ?‘Ž2, đ?‘Ž3 , đ?‘Ž4 , đ?‘Ž5, ‌ , đ?‘Žđ?‘›âˆ’4, đ?‘Žđ?‘›âˆ’3 , đ?‘Žđ?‘›âˆ’2, đ?‘Žđ?‘›âˆ’1, đ?‘Žđ?‘› 1 : đ?‘Ž1 + đ?‘Ž2, đ?‘Ž2 + đ?‘Ž3 , đ?‘Ž3 + đ?‘Ž4, . . . , đ?‘Žđ?‘›âˆ’3 + đ?‘Žđ?‘›âˆ’2, đ?‘Žđ?‘›âˆ’2 + đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 , đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 + đ?‘Žđ?‘› 2 : đ?‘Ž1 + 2đ?‘Ž2 + đ?‘Ž3, đ?‘Ž2 + 2đ?‘Ž3 + đ?‘Ž4, đ?‘Ž3 + 2đ?‘Ž4 + đ?‘Ž5, ‌ , đ?‘Žđ?‘›âˆ’3 + 2đ?‘Žđ?‘›âˆ’2 + đ?‘Žđ?‘›âˆ’1, đ?‘Žđ?‘›âˆ’2 + 2đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 + đ?‘Žđ?‘› 3 : đ?‘Ž1 + 3đ?‘Ž2 + 3đ?‘Ž3 + đ?‘Ž4 , đ?‘Ž2 + 3đ?‘Ž3 + 3đ?‘Ž4 + đ?‘Ž5, đ?‘Ž3 + 3đ?‘Ž4 + 3đ?‘Ž5 + đ?‘Ž6, ‌ , đ?‘Žđ?‘›âˆ’3 + 3đ?‘Žđ?‘›âˆ’2 + 3đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 + đ?‘Žđ?‘› 4 : đ?‘Ž1 + 4đ?‘Ž2 + 6đ?‘Ž3 + 4đ?‘Ž4 + đ?‘Ž5, đ?‘Ž2 + 4đ?‘Ž3 + 6đ?‘Ž4 + 4đ?‘Ž5 + đ?‘Ž6, ‌ , đ?‘Žđ?‘›âˆ’4 + 4đ?‘Žđ?‘›âˆ’3 + 6đ?‘Žđ?‘›âˆ’2 + 4đ?‘Žđ?‘›âˆ’1 + đ?‘Žđ?‘› .............................................................................................................................................................. Para el caso de las n-1-ĂŠsimas sumas, la sucesiĂłn constarĂĄ de un solo tĂŠrmino de la forma: đ?‘Ž1 +

(đ?‘› − 1)(đ?‘› − 2) (đ?‘› − 1)(đ?‘› − 2)(đ?‘› − 3) (đ?‘› − 1) đ?‘Ž2 + đ?‘Ž3 + đ?‘Ž4 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› 1! 2! 3!

O, en forma combinatoria: contabilizando los casos del 0 a n-1 (n casos) ∑đ?‘›âˆ’1 đ?‘–=0 (

đ?‘›âˆ’1 đ?‘›âˆ’1 đ?‘›âˆ’1 đ?‘›âˆ’1 đ?‘›âˆ’1 ) đ?‘Žđ?‘–+1 =( ) đ?‘Ž1 + ( ) đ?‘Ž2 + ( ) đ?‘Ž3 + â‹Ż + ( )đ?‘Ž đ?‘– 0 1 2 đ?‘›âˆ’1 đ?‘›

Si tomamos la Ăşltima fila como n, el Ăşltimo elemento de la sucesiĂłn, deberĂĄ tomarse como đ?‘Žđ?‘›+1 , y podemos escribir: đ?‘› đ?‘› đ?‘› đ?‘› đ?‘› ∑đ?‘›âˆ’ đ?‘–=0 ( đ?‘– ) đ?‘Žđ?‘–+1 =(0 ) đ?‘Ž1 + (1 ) đ?‘Ž2 + (2 ) đ?‘Ž3 + â‹Ż + (đ?‘› ) đ?‘Žđ?‘›+1 Si colocamos en filas sucesivas, los resultados obtenidos para el primer elemento de cada sucesiĂłn : đ?‘Ž1 đ?‘Ž1 + đ?‘Ž2 , đ?‘Ž1 + 2đ?‘Ž2 + đ?‘Ž3 đ?‘Ž1 + 3đ?‘Ž2 + 3đ?‘Ž3 + đ?‘Ž4 đ?‘Ž1 + 4đ?‘Ž2 + 6đ?‘Ž3 + 4đ?‘Ž4 + đ?‘Ž5 ...........................................

La fila n-ĂŠsima serĂĄ: đ?‘› đ?‘› đ?‘› đ?‘› ( ) đ?‘Ž1 + ( ) đ?‘Ž2 + ( ) đ?‘Ž3 + â‹Ż + ( ) đ?‘Žđ?‘›+1 0 1 2 đ?‘› Como resulta evidente si colocamos Ăşnicamente los coeficientes involucrados en cada fila, obtendremos nuestro conocido ∆đ?&#x;Ž 1 1 1 1 1

1 2

3 4

1 3

6

1 4

1

............................................................................................ đ?‘› ( ) 0

đ?‘› ( ) 1

đ?‘› ( ) 2

‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ‌ ..

đ?‘› ( ) đ?‘›

Si procediĂŠramos en forma similar, formando una serie de sucesiones sucesivas, donde cada elemento se obtiene como la diferencia de cada par de tĂŠrminos sucesivos de la sucesiĂłn anterior, ObtendrĂ­amos un resultado similar, pero donde los coeficientes aparecen provistos de signos alternativamente positivos y negativos. AnĂĄlogamente la Ăşltima sucesiĂłn constarĂĄ de un solo tĂŠrmino de la forma: đ?‘› đ?‘› đ?‘› đ?‘– đ?‘› đ?‘› đ?‘› ∑đ?‘›âˆ’ đ?‘–=0(−1) ( đ?‘– ) đ?‘Žđ?‘–+1 =(0 ) đ?‘Ž1 − (1 ) đ?‘Ž2 + (2 ) đ?‘Ž3 ∓ â‹Ż + (−1) (đ?‘› ) đ?‘Žđ?‘›+1 ,

ExpresiĂłn que en tĂŠrminos solo de coeficientes combinatorios, se corresponde con: đ?‘›

đ?‘› ∑(−1)đ?‘– ( ) = 0 đ?‘– đ?‘–=0

4) Series de potencias m-ĂŠsimas de los nĂşmeros naturales y su expresiĂłn combinatoria. La series paralelas đ?‘†1 , đ?‘†2 , đ?‘†3 , ‌ , đ?‘†đ?‘š ,de los nĂşmeros figurados del triĂĄngulo de Pascal, nos permiten obtener los valores suma de las series de potencias m-ĂŠsimas de los nĂşmeros naturales, como expresiones o series combinatorias. AsĂ­, resulta inmediatamente : ∑đ?‘› đ?‘–=1 đ?‘– =

đ?‘›(đ?‘›+1) 2

đ?‘›+1 ), resumiendo, resulta: 2

= �2+ = (

đ?’?+đ?&#x;? 1) ∑đ?’?đ?’Š=đ?&#x;? đ?’Š = ( ) đ?&#x;? De ∑đ?‘› đ?‘–=1

đ?‘–(đ?‘–+1) 2!

=

đ?‘›(đ?‘›+1)(đ?‘›+2) 3!

= đ?‘†3+ , obtenemos: ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘– 2 + ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘– = 2! đ?‘†3+ , y con el resultado de

+ + 2 1), resulta: ∑đ?‘› đ?‘–=1 đ?‘– = 2! đ?‘†3 − đ?‘†2 , que expresadas como combinatorios, nos dan:

đ?’?+đ?&#x;? đ?’?+đ?&#x;? 2) ∑đ?’?đ?’Š=đ?&#x;? đ?’Šđ?&#x;? = đ?&#x;?! ( ) − đ?&#x;?. ( ) đ?&#x;‘ đ?&#x;? De ∑đ?‘› đ?‘–=1

đ?‘–(đ?‘–+1)(đ?‘–+2) 3!

=

đ?‘›(đ?‘›+1)(đ?‘›+2)(đ?‘›+3) 4!

= �4+ , obtenemos:

∑ni=1 i3 + 3 ∑ni=1 i2 + 2 ∑ni=1 i = 3! S4+ , que tomando en cuenta 1) y 2) se puede escribir como: ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘– 3 = 3! đ?‘†4+ − 3[2! đ?‘†3+ − đ?‘†2+ ] − 2đ?‘†2+, y sumando tĂŠrminos semejantes: ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘– 3 = 3! đ?‘†4 − 6đ?‘†3 + đ?‘†2 , que en tĂŠrminos combinatorios resulta: đ?’?+đ?&#x;‘ đ?’?+đ?&#x;? đ?’?+đ?&#x;? 3) ∑đ?’?đ?’Š=đ?&#x;? đ?’Šđ?&#x;‘ = đ?&#x;‘! ( ) − đ?&#x;”( )+( ) đ?&#x;’ đ?&#x;‘ đ?&#x;? De ∑đ?‘›đ?‘–=1

đ?‘–(đ?‘–+1)(đ?‘–+2)(đ?‘–+3) 4!

=

đ?‘›(đ?‘›+1)(đ?‘›+2)(đ?‘›+3)(đ?‘›+4) 5!

= �5+ , obtenemos:

∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘– 4 + 6 ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘– 3 + 11 ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘– 2 + 6 ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘– = 4! đ?‘†5+ , que tomando en cuenta 1), 2), 3), resulta: ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘– 4 = 4! đ?‘†5+ − 6[3! đ?‘†4+ − 6đ?‘†3+ + đ?‘†2+ ] − 11[2! đ?‘†3+ − đ?‘†2+ ] − 6đ?‘†2+, agrupando: ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘– 4 = 4! đ?‘†5+ − 36đ?‘†4+ + 14đ?‘†3+ − 1. đ?‘†2+, que en tĂŠrminos combinatorios serĂĄ: đ?’?+đ?&#x;’ đ?’?+đ?&#x;‘ đ?’?+đ?&#x;? đ?’?+đ?&#x;? 4) ∑đ?’?đ?’Š=đ?&#x;? đ?’Šđ?&#x;’ = đ?&#x;’! ( ) − đ?&#x;‘đ?&#x;” ( ) + đ?&#x;?đ?&#x;’ ( ) − đ?&#x;?( ) đ?&#x;“ đ?&#x;’ đ?&#x;‘ đ?&#x;?

Si procedemos de manera anĂĄloga, de: ∑đ?‘›đ?‘–=1

đ?‘–(đ?‘–+1)(đ?‘–+2)(đ?‘–+3)(đ?‘–+4) 5!

=

đ?‘›(đ?‘›+1)(đ?‘›+2)(đ?‘›+3)(đ?‘›+4)(đ?‘›+5) 6!

= �6+

Obtendremos: đ?’?+đ?&#x;’ đ?’?+đ?&#x;‘ đ?’?+đ?&#x;? đ?’?+đ?&#x;? đ?’?+đ?&#x;“ 5) ∑đ?’?đ?’Š=đ?&#x;? đ?’Šđ?&#x;“ = đ?&#x;“! ( ) − đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;Ž ( ) + đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;Ž ( ) − đ?&#x;‘đ?&#x;Ž ( ) + đ?&#x;?( ) đ?&#x;“ đ?&#x;’ đ?&#x;‘ đ?&#x;? đ?&#x;”

Estos desarrollos, nos permitieron establecer las secuencias operacionales para determinar los distintos coeficientes que multiplican a los nĂşmeros combinatorios. Los resultados obtenidos, se pueden escribir en forma de tabla de coeficientes triangulares đ?‘Žđ?‘–,đ?‘š , donde i es un contador que refleja la cantidad de coeficientes de cada caso y m indica la potencia a que estĂĄn elevados los nĂşmeros naturales del caso. Es evidente que para cualquier caso đ?’‚đ?&#x;?,đ?’Ž = đ?’Ž! y đ?’‚đ?’Ž,đ?’Ž =1.Estas expresiones, reducen a m sumandos los n necesarios para determinar la sumatoria de n nĂşmeros naturales elevados cada uno a la potencia m y su utilidad serĂĄ mĂĄs importante, a medida que n>>m

đ?’?+đ?’Žâˆ’đ?’Š+đ?&#x;? ) đ?’Žâˆ’đ?’Š+đ?&#x;?

đ?’Šâˆ’đ?&#x;? La expresiĂłn general estarĂĄ dada por:∑đ?’?đ?’Š=đ?&#x;? đ?’Šđ?’Ž = ∑đ?’Ž đ?’‚đ?’Š,đ?’Ž ( đ?’Š=đ?&#x;?(−đ?&#x;?)

Tabla de coeficientes triangulares: Sumatorias de potencias de naturales a serie combinatoria (de m=1, hasta m=9 ) m đ?’‚đ?&#x;?,đ?’Ž đ?’‚đ?&#x;?,đ?’Ž đ?’‚đ?&#x;‘,đ?’Ž đ?’‚đ?&#x;’,đ?’Ž đ?’‚đ?&#x;“,đ?’Ž 1 1 2 2 1 3 6 6 1 4 24 36 14 1 5 120 240 150 30 1 6 720 1800 1560 540 62 7 5040 15120 16800 8400 1806 8 40320 141120 191520 126000 40824 9 362880 1451520 2328480 1905120 834120 ConstrucciĂłn del triĂĄngulo de coeficientes triangulares: Por “diagonales o hipotenusasâ€?: Primera diagonal 1!=1+0=1 x1 1 + 0=1 x1 1 +0=1 x1 1+0 =1 ....

đ?’‚đ?&#x;”,đ?’Ž

đ?’‚đ?&#x;•,đ?’Ž

1 126 5796 186480

1 254 18150

đ?’‚đ?&#x;–,đ?’Ž

1 510

đ?’‚đ?&#x;—,đ?’Ž

1

Segunda diagonal 2 + 1= 3 x2 6 +1=7 x2 14 + 1=15 x2 30 +1=31 x2 62 +1=63 .... Tercera diagonal 6 + 6= 12 x3 36 + 14=50 x3 150 + 30=180 x3 540 + 62=602 ....

AsĂ­, podemos extender la tabla hasta donde queramos, pero hemos preferido deducir una expresiĂłn analĂ­tica en funciĂłn de la distribuciĂłn por filas. La fila correspondiente a un determinado valor de m, se puede expresar simbĂłlicamente como:

đ?‘Ž0,đ?‘š đ?‘Ž1đ?‘š , đ?‘Ž2đ?‘š , ‌ , đ?‘Žđ?‘šđ?‘š , donde el elemento đ?‘Ž0,đ?‘š = 0, se incluye en razĂłn de la coherencia de la formulaciĂłn matemĂĄtica. En general, se cumple đ?œśđ?’Š,đ?’Ž =(đ?œśđ?’Šâˆ’đ?&#x;?,đ?’Žâˆ’đ?&#x;? + đ?œśđ?’Š,đ?’Žâˆ’đ?&#x;?) (m – i + 1) , con( i =1,2,‌,m ) Donde el primer sumando del primer parĂŠntesis se hace nulo cuando i = 1, ( âˆ?đ?&#x;Ž,đ?’Ž =0 ) , y el segundo parĂŠntesis, a su vez, se hace unitario cuando i = m Ejemplo: sea m=5, entonces La fĂłrmula sumatoria nos darĂĄ:: đ?‘›

đ?‘›+4 đ?‘›+3 đ?‘›+2 đ?‘›+1 đ?‘›+5 ∑ đ?‘– 5 = 5! ( ) − 240. ( ) + 150. ( ) − 30. ( )+( ) 5 4 3 2 6 đ?‘–=1

(n sumandos)

(5 sumandos)

La expresiĂłn đ?œśđ?’Š,đ?’Ž =(đ?œśđ?’Šâˆ’đ?&#x;?,đ?’Žâˆ’đ?&#x;?+ đ?œśđ?’Š,đ?’Žâˆ’đ?&#x;? ) (m – i + 1) , con( i =1,2,‌,m ) , permite obtener de forma inmediata los coeficientes de una fila, conociendo previamente los coeficientes de la fila anterior.

AsĂ­ p.ej. Para obtener los coeficientes de la fila 6áľƒ del triĂĄngulo, a partir de los correspondientes de la fila 5áľƒ, tendremos: ( 0 + 120).6 = 720 ( 120 + 240).5 = 1800 ( 240 + 150).4 = 1560 ( 150 + 30).3 = 540 ( 240 + 120).5 = 1800 ( 30 +

1).2 = 62

(

0).1 = 1

1 +

Resulta entonces: đ?‘›+4 đ?‘›+6 đ?‘›+3 đ?‘›+2 đ?‘›+1 đ?‘›+5 ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘– 6 = 6! ( )-1800( )+1560( ) − 540 ( ) + 62 ( )−( ) 7 5 4 3 2 6 La ObtenciĂłn de los coeficientes para una determinada fila, a partir de los correspondientes de la fila anterior, se realiza de una manera prĂĄctica y sencilla. Y, la construcciĂłn del triĂĄngulo es inmediata, ya que se parte de una fila inicial con un solo coeficiente, igual a la unidad. Para el caso trivial, correspondiente a m=0 o sea, ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘– đ?‘œ = n, podemos interpretar la expresiĂłn sumatoria como: đ?‘› đ?‘› ∑0đ?‘–=1(−1)0 đ?›ź1,0 ( ) = 1.( )= n, quedando asĂ­ incluido este caso. 1 1 đ?‘›+đ?‘šâˆ’đ?‘–+1 Los factores correspondientes a la expresiĂłn combinatoria ( ), se pueden obtener de đ?‘šâˆ’đ?‘–+2 manera inmediata y sucesiva, variando i de 1 a m, a partir de la relaciĂłn: đ?‘›+đ?‘šâˆ’đ?‘–+1 đ?‘› + đ?‘š − đ?‘– đ?‘›+đ?‘šâˆ’đ?‘–+1 ( ) = đ?‘šâˆ’đ?‘–+2 ( ) đ?‘šâˆ’đ?‘–+1 đ?‘šâˆ’đ?‘–+2

Otra propiedad de estos coeficientes triangulares: đ?‘š

∑(−1)đ?‘– đ?‘Žđ?‘–,đ?‘š = (−1)đ?‘š đ?‘–=1

5) Series AritmĂŠticas de orden superior Como una aplicaciĂłn mĂĄs de las series paralelas, trataremos en este apartado, de obtener las fĂłrmulas para determinar el tĂŠrmino general de las series aritmĂŠticas de orden k, asĂ­ como su respectivo valor suma Consideremos la serie numĂŠrica đ?‘Ž1 , đ?‘Ž2 , đ?‘Ž3 , ‌ , đ?‘Žđ?‘› , como una serie aritmĂŠtica de orden k, y designemos por ∆1,1 , ∆1,2 , ∆1,3 , ‌ , ∆1,đ?‘›âˆ’1 , la serie de sus primeras diferencias, y por ∆2,1 , ∆2,2 , ∆2,3 , ‌ , ∆2,đ?‘›âˆ’2 , la serie de sus segundas diferencias, y asĂ­ sucesivamente hasta, la serie ∆đ?‘˜,1 , ∆đ?‘˜,2 , ∆đ?‘˜,3 , ‌ , ∆đ?‘˜,đ?‘›âˆ’đ?‘˜ , de sus k-ĂŠsimas diferencias, de valor constante ( ∆đ?‘˜,1 = ∆đ?‘˜,2 = ∆đ?‘˜,3 = â‹Ż = ∆đ?‘˜,đ?‘›âˆ’đ?‘˜ ), y de diferencias nulas de orden k+1 . Para obtener las expresiones buscadas, comencemos analizando el caso correspondiente a las series de 2∘ orden, es decir k=2. Sean: Serie đ?‘Ž1

1đ?‘Ž Dif.

2đ?‘Ž Dif.

∆1,1 đ?‘Ž2

∆2,1 ∆1,2

đ?‘Ž3 đ?‘Ž4 . . . đ?‘Žđ?‘›

∆1,3 . . . ∆1,đ?‘›âˆ’1

∆2,2 . . . ∆2,đ?‘›âˆ’2

En este caso ∆2,1 = ∆2,2 , =, ‌ , = ∆2,đ?‘›âˆ’2 = valor comĂşn constante que tomamos como ∆2,1 Calculamos a continuaciĂłn la suma de los primeros n tĂŠrminos de la serie dada: đ?‘Ž1 = đ?‘Ž1 đ?‘Ž2 = đ?‘Ž1 + ∆1,1 đ?‘Ž3 = đ?‘Ž2 + ∆1,2 = (đ?‘Ž1 + ∆1,1 ) + (∆1,1 + ∆2,1 ) = đ?‘Ž1 + 2. ∆1,1 + ∆2,1 Adicionalmente, agrupando y efectuando las sumas de tĂŠrminos intermedios, resultan: đ?‘Ž4 = đ?‘Ž1 + 3. ∆1,1 + 3. ∆2,1 đ?‘Ž5 = đ?‘Ž1 + 4. ∆1,1 + 6. ∆2,1 đ?‘Ž6 = đ?‘Ž1 + 5. ∆1,1 + 10. ∆2,1 . . . . . . . . . . . . (đ?‘› − 1)(đ?‘› − 2) (đ?‘› − 1) đ?‘Žđ?‘› = đ?‘Ž1 + ∆1,1 + ∆2,1 1! 2! Sumando miembro a miembro todas estas igualdades, se obtiene:

đ?‘›

∑ đ?‘Žđ?‘– = đ?‘›đ?‘Ž1 + [1 + 2 + 3 + 4 + â‹Ż + đ?‘–=1

(đ?‘› − 1)(đ?‘› − 2) (đ?‘› − 1) ] ∆1,1 + [1 + 3 + 6 + 10 + â‹Ż + ] ∆2,1 1! 2!

Pero los tĂŠrminos entre corchetes del lado derecho de esta igualdad, representan el valor suma de las tres primeras series paralelas del triĂĄngulo de Pascal, a saber: đ?‘› đ?‘› đ?‘†1+ =1+1+1+1+...+1= 1! = ( ) con n sumandos 1 đ?‘› (đ?‘›âˆ’1)đ?‘› (đ?‘›âˆ’1) đ?‘†2+ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + â‹Ż + = =( ) 1! 2! 2 đ?‘†3+ = 1 + 3 + 6 + 10 + â‹Ż + Luego, podemos escribir: ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘Žđ?‘– = đ?‘›đ?‘Ž1 +

(đ?‘›âˆ’1) ∆1,1 1!

+

(đ?‘›âˆ’2(đ?‘›âˆ’1) 2!

=

(đ?‘›âˆ’2)(đ?‘›âˆ’1)đ?‘› 2!

(đ?‘›âˆ’2)(đ?‘›âˆ’1)đ?‘› 3!

con n-1 sumandos đ?‘› =( ) 3

con n-2 sumandos

∆2,1 , o en su lugar:

đ?‘› đ?‘› đ?‘› ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘Žđ?‘– = ( ) đ?‘Ž1 + ( ) ∆1,1 + ( ) ∆2,1, y si hacemos đ?‘Ž1 = ∆0,1, el valor suma de la serie se puede 1 2 3 expresar como:

đ?’? ∑đ?’?đ?’Š=đ?&#x;? đ?’‚đ?’Š = ∑đ?&#x;‘đ?’Š=đ?&#x;? ( ) ∆đ?’Šâˆ’đ?&#x;?,đ?&#x;? đ?’Š Notamos que independientemente de que del lado izquierdo de esta igualdad hay n sumandos, del lado izquierdo solo hay 3 sumandos đ?‘›âˆ’1 đ?‘›âˆ’1 Y el tĂŠrmino general de la serie serĂĄ: đ?‘Žđ?‘› = ∆0,1 + ( ) ∆1,1 + ( ) ∆2,1, o en tĂŠrminos de 1 2

đ?’?−đ?&#x;? ) ∆đ?’Š,đ?&#x;? đ?’Š

đ?’‚đ?’? = ∑đ?&#x;?đ?’Š=đ?&#x;Ž (

sumatoria:

Consideremos ahora el caso de una serie aritmĂŠtica de tercer orden (k=3), tal como: Serie đ?‘Ž1

1đ?‘Ž Dif.

2đ?‘Ž Dif.

3đ?‘Ž Dif.

∆1,1 đ?‘Ž2

∆2,1 ∆1,2

đ?‘Ž3

∆3,1 ∆2,2

∆1,3 đ?‘Ž4 đ?‘Ž5 . . . đ?‘Žđ?‘›

∆1,4 . . . ∆1,đ?‘›âˆ’1

∆2,3 . . . ∆2,đ?‘›âˆ’2

∆3,2 . . . ∆3,đ?‘›âˆ’3

En este caso ∆3,1 = ∆3,2 = ∆3,3 = â‹Ż = ∆3,đ?‘›âˆ’3 =valor constante, que tomamos como ∆3,1

Calculemos la suma de los primeros n tĂŠrminos de la serie dada, agrupando y efectuando las sumas de tĂŠrminos intermedios, resultan: đ?‘Ž1 = đ?‘Ž1 đ?‘Ž2 = đ?‘Ž1 + 1. ∆1,1 đ?‘Ž3 = đ?‘Ž1 + 2. ∆1,1 + 1. ∆2,1 đ?‘Ž4 = đ?‘Ž1 + 3. ∆1,1 + 3. ∆2,1 + 1. ∆3,1 đ?‘Ž5 = đ?‘Ž1 + 4. ∆1,1 + 6. ∆2,1 + 4∆3,1 đ?‘Ž6 = đ?‘Ž1 + 5. ∆1,1 + 10. ∆2,1 + 10. ∆3,1 . . .

. . .

. . . . . . . . . (đ?‘› − 1)(đ?‘› − 2) (đ?‘› − 1)(đ?‘› − 2)(đ?‘› − 3) (đ?‘› − 1) đ?‘Žđ?‘› = đ?‘Ž1 + ∆1,1 + ∆2,1 + ∆3,1 1! 2! 3! Sumando miembro a miembro estas igualdades, resulta: đ?‘›

∑ đ?‘Žđ?‘– = đ?‘›đ?‘Ž1 + [1 + 2 + 3 + â‹Ż + đ?‘–=1

(đ?‘› − 1)(đ?‘› − 2) (đ?‘› − 1) ] ∆2,1 ] ∆1,1 + [1 + 3 + 6 + â‹Ż + 1! 2!

+ [1 + 4 + 10 + â‹Ż +

(đ?‘› − 1)(đ?‘› − 2)(đ?‘› − 3) ] ∆3,1 3!

Pero los tÊrminos del lado derecho entre corchetes de esta igualdad resultante , representan el valor suma de las cuatro primeras series paralelas del triångulo de Pascal, a saber: � � �1+ = 1+1+1+1+...+1= 1! = ( ) 1

con n sumandos

�2+ = 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ⋯ + �3+ = 1 + 3 + 6 + 10 + ⋯ +

∑ đ?‘Žđ?‘– = đ?‘›đ?‘Ž1 + đ?‘–=1

=

(đ?‘›âˆ’2(đ?‘›âˆ’1) 2!

�4+ = 1 + 4 + 10 + 20 + ⋯ + Por lo tanto, podemos escribir: �

(đ?‘›âˆ’1) 1!

(đ?‘›âˆ’1)đ?‘› 2!

=

đ?‘› =( ) 2

(đ?‘›âˆ’2)(đ?‘›âˆ’1)đ?‘›

(đ?‘›âˆ’3)(đ?‘›âˆ’2)(đ?‘›âˆ’1) 3!

3!

=

con n-1 sumandos đ?‘› =( ) 3

(đ?‘›âˆ’3)(đ?‘›âˆ’2)(đ?‘›âˆ’1)đ?‘› 4!

con n-2 sumandos đ?‘› =( ) 4

con n-3 sumandos

đ?‘›(đ?‘› − 1) đ?‘›(đ?‘› − 1)(đ?‘› − 2) đ?‘›(đ?‘› − 1)(đ?‘› − 2)(đ?‘› − 3) ∆1,1 + ∆2,1 + ∆3,1 2! 3! 4!

đ?‘› đ?‘› đ?‘› đ?‘› O en su lugar:∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘Žđ?‘– = ( ) đ?‘Ž1 + ( ) ∆1,1 + ( ) ∆2,1 + ( ) ∆3,1 , y si hacemos: đ?‘Ž1 = ∆0,1, 1 2 3 4

đ?’? ∑đ?’?đ?’Š=đ?&#x;? đ?’‚đ?’Š = ∑đ?&#x;’đ?’Š=đ?&#x;? ( ) ∆đ?’Šâˆ’đ?&#x;?,đ?&#x;? đ?’Š

podemos escribir:

Y el tĂŠrmino general de la serie serĂĄ: (đ?‘› − 1)(đ?‘› − 2) (đ?‘› − 1)(đ?‘› − 2)(đ?‘› − 3) (đ?‘› − 1) đ?‘Žđ?‘› = ∆0,1 + ∆1,1 + ∆2,1 + ∆3,1 1! 2! 3! O en tĂŠrminos de sumatoria: đ?’‚đ?’?

đ?’?−đ?&#x;? = ∑đ?&#x;‘đ?’Š=đ?&#x;Ž ( ) ∆đ?’Š,đ?&#x;? đ?’Š

De nuevo, notamos que independientemente de que en el lado izquierdo de esta igualdad haya n sumandos, del lado derecho solo hay 4 sumandos. Evidentemente, el procedimiento aplicado nos permite generalizar estos resultados (por inducciĂłn), al caso de una serie de orden k. (manteniendo la sustituciĂłn đ?‘Ž1 = ∆0,1) Para el valor suma de los primeros n tĂŠrminos de la serie de orden k obtendremos: đ?’?

đ?’Œ+đ?&#x;?

đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’? ∑ đ?’‚đ?’Š = ∑ ( ) ∆đ?’Šâˆ’đ?&#x;?,đ?&#x;? đ?’Š Y para el tĂŠrmino general: đ?’Œ

đ?’?−đ?&#x;? ) ∆đ?’Š,đ?&#x;? đ?’Š

đ?’‚đ?’? = ∑ ( đ?’Š=đ?&#x;Ž

Esta Ăşltima expresiĂłn la podemos rescribir como:

đ?’‚đ?’? = ∑đ?’Œ+đ?&#x;? đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’Š đ?’?

đ?’? ( ) ∆đ?’Šâˆ’đ?&#x;?,đ?&#x;? , por lo tanto, đ?’Š

para obtener el valor suma de los primeros n

tĂŠrminos de la serie, bastarĂĄ multiplicar cada uno de los sumandos de esta expresiĂłn por el cociente đ?’? đ?’Š

, y efectuar la nueva suma resultante.

Igualmente resultan n sumandos del lado izquierdo de la igualdad contra apenas k+1 sumandos del lado derecho de la misma. Ejemplo: Supongamos que conocemos los primeros 6 tĂŠrminos de la serie: 24,124,344,729,1324,2174 y queremos determinar el valor del tĂŠrmino de lugar 12, y la suma correspondiente de esos 12 tĂŠrminos. Lo primero que hay que determinar es sĂ­ la serie es una serie aritmĂŠtica y de que orden es.

Para ello construimos las series de diferencias sucesivas posibles, dadas por 1đ?‘Žđ?‘ Diferencias

2đ?‘Žđ?‘ Diferencias

3đ?‘Žđ?‘ Diferencias

124-24=100

220-100=120

165-120=45

344-124=220

385-220=165

210-165=45

729-344=385

595-385=210

255-210=45

1324-729=595

850-595=255

2174-1324=850 Los datos han sido suficientes para establecer que se trata de una serie aritmĂŠtica de 3đ?‘’đ?‘&#x; orden, es decir, k =3 , y los valores a utilizar en nuestras expresiones serĂĄn: ∆0,1 = 24, ∆1,1 = 100, ∆2,1 = 120 y ∆3,1 = 45 Entonces el tĂŠrmino doceavo de la serie estarĂĄ dado por: 11 11 11 11 11 đ?‘Ž12 = ∑3đ?‘–=0 ( ) ∆đ?‘–,1 = ( ) 24 + ( ) 100 + ( ) 120 + ( ) 45 , y su valor es: đ?‘– 0 1 2 3 đ?‘Ž12 = 24 + 1100 + 6600 + 7425 = 15149 Mientras que la suma de los primeros 12 tĂŠrminos , serĂĄ: 12

4

12 12 12 12 12 ∑ đ?‘Žđ?‘– = ∑ ( ) ∆đ?‘–−1,1 = ( ) 24 + ( ) 100 + ( ) 120 + ( ) 45 đ?‘– 1 2 3 4 đ?‘–=1

đ?‘–=1

=12.24+66.100 + 220.120 + 495.45 = 288 + 6600 + 26400 + 22275 = 55563 6) DeterminaciĂłn de los coeficientes de una ecuaciĂłn polinĂłmica de grado n en x,

cuyas soluciones corresponden a los nĂşmeros naturales y su relaciĂłn con los nĂşmeros de Stirling de 1áľƒ especie Este problema puede ser abordado como una aplicaciĂłn del determinante de Vandermonde para resolver sistemas de ecuaciones de la forma : đ?‘Ž10 đ?‘Ľ1 + đ?‘Ž11 đ?‘Ľ2 + đ?‘Ž12 đ?‘Ľ3 + â‹Ż + đ?‘Ž1đ?‘›âˆ’1 đ?‘Ľđ?‘› + đ?‘Ž1đ?‘› = 0 đ?‘Ž20 đ?‘Ľ1 + đ?‘Ž12 đ?‘Ľ2 + đ?‘Ž22 đ?‘Ľ3 + â‹Ż + đ?‘Ž2đ?‘›âˆ’1 đ?‘Ľđ?‘› + đ?‘Ž2đ?‘› = 0 đ?‘Ž30 đ?‘Ľ1 + đ?‘Ž13 đ?‘Ľ2 + đ?‘Ž32 đ?‘Ľ3 + â‹Ż + đ?‘Ž3đ?‘›âˆ’1 đ?‘Ľđ?‘› + đ?‘Ž3đ?‘› = 0 . . . . . . . . . . . . . . . 0 1 2 đ?‘›âˆ’1 đ?‘› đ?‘Žđ?‘› đ?‘Ľ1 + đ?‘Žđ?‘› đ?‘Ľ2 + đ?‘Žđ?‘› đ?‘Ľ3 + â‹Ż + đ?‘Žđ?‘› đ?‘Ľđ?‘› + đ?‘Žđ?‘› = 0

Donde los valores de đ?‘Ľđ?‘– , o incĂłgnitas del sistema lineal, vendrĂĄn dadas en funciĂłn de los coeficientes đ?‘Žđ?‘– , mediante las relaciones: đ?‘Ľ1 = (−1)đ?‘› âˆ?đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘Žđ?‘–

đ?‘› , con ( ) = 1 sumando, con n factores đ?‘›

đ?‘› đ?‘Ľ2 = (−1)đ?‘›âˆ’1 ∑đ?‘›đ?‘–,đ?‘—,đ?‘˜,‌,đ?‘š=1 đ?‘Žđ?‘– đ?‘Žđ?‘— đ?‘Žđ?‘˜ ‌ đ?‘Žđ?‘š , (đ?‘– < đ?‘— < đ?‘˜ < â‹Ż < đ?‘š) ,con ( ) = đ?‘› sumandos, con n-1factores c/u 1

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

. . .

đ?‘› đ?‘›(đ?‘›âˆ’1)(đ?‘›âˆ’2) đ?‘Ľđ?‘›âˆ’2 = (−1)3 ∑đ?‘›đ?‘–,đ?‘—,đ?‘˜=1 đ?‘Žđ?‘– đ?‘Žđ?‘— đ?‘Žđ?‘˜ , (đ?‘– < đ?‘— < đ?‘˜) ,con ( ) = sumandos, con 3factores c/u 3! 3 đ?‘› đ?‘›(đ?‘›âˆ’1) đ?‘Ľđ?‘›âˆ’1 = (−1)2 ∑đ?‘›đ?‘–,đ?‘—=1 đ?‘Žđ?‘– đ?‘Žđ?‘— , (đ?‘– < đ?‘—) ,con ( ) = 2! sumandos, con 2factores c/u 2 đ?‘› đ?‘Ľđ?‘› = (−1)1 ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘Žđ?‘– , con ( ) = đ?‘› sumandos, con un solo factor c/u 1 Notamos que esta propiedad, es anĂĄloga pero recĂ­proca con respecto a la relaciĂłn que existe entre las raĂ­ces y los coeficientes de una ecuaciĂłn polinĂłmica de grado n en equis, tal como: đ?‘Ľ đ?‘› + đ?‘?1 đ?‘Ľ đ?‘›âˆ’1 + đ?‘?2 đ?‘Ľ đ?‘›âˆ’2 + đ?‘?3 đ?‘Ľ đ?‘›âˆ’3 + â‹Ż + đ?‘?đ?‘›âˆ’1 đ?‘Ľ + đ?‘?đ?‘› = 0 Si hacemos que los coeficientes de esta ecuaciĂłn, sean los valores de las soluciones del sistema lineal anterior, manteniendo los signos, pero invirtiendo el orden en la sustituciĂłn de los valores obtenidos, las soluciones de la ecuaciĂłn se corresponderĂĄn con los valores de los coeficientes del sistema lineal, de manera que si estos coeficientes son una sucesiĂłn de nĂşmeros naturales, de uno a n, el problema planteado queda resuelto. Para ello, deben cumplirse dos condiciones: Primero que đ?‘?1 = đ?‘Ľđ?‘› đ?‘?2 = đ?‘Ľđ?‘›âˆ’1 đ?‘?3 = đ?‘Ľđ?‘›âˆ’2 . . . đ?‘?đ?‘›âˆ’1

. . . = đ?‘Ľ2

đ?‘?đ?‘› = đ?‘Ľ1 Y, segundo que los coeficientes del sistema sean una sucesiĂłn de nĂşmeros naturales desde el uno hasta n

Ejemplo: Sea el sistema lineal de 4 ecuaciones siguiente:

đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ3 + đ?‘Ľ4 + 1 = 0 đ?‘Ľ1 + 2đ?‘Ľ2 + 4đ?‘Ľ3 + 8đ?‘Ľ4 + 16 = 0 đ?‘Ľ1 + 3đ?‘Ľ2 + 9đ?‘Ľ3 + 27đ?‘Ľ4 + 81 = 0 đ?‘Ľ1 + 4đ?‘Ľ2 + 16đ?‘Ľ3 + 64đ?‘Ľ4 + 256 = 0 Cuyos coeficientes son: đ?‘Ž1 = 1, đ?‘Ž2 = 2, đ?‘Ž3 = 3, đ?‘Ś đ?‘Ž4 = 4 , ( n=4 ) Y cuya soluciĂłn corresponde a los siguientes valores de đ?‘Ľđ?‘– : đ?’™đ?&#x;? = (−1)4 [1.2.3.4] = 24 đ?’™đ?&#x;? = (−1)3 [2.3.4 + 1.3.4 + 1.2.4 + 1.2.3] = −50 đ?’™đ?&#x;‘ = (−1)2 [3.4 + 2.4 + 1.4 + 2.3 + 1.3 + 1.2] = 35 đ?’™đ?&#x;’ = (−1)1 [1 + 2 + 3 + 4] = −10 Entonces, la ecuaciĂłn polinĂłmica de cuarto grado en equis correspondiente serĂĄ: đ?‘Ľ 4 − 10đ?‘Ľ 3 + 35đ?‘Ľ 2 − 50đ?‘Ľ + 24 = 0 Cuyas soluciones serĂĄn: đ?‘Ľđ?œ–{1,2,3,4} Es evidente que este mĂŠtodo se puede extender para cualquier valor de n, y por ende, nos permitirĂĄ determinar los coeficientes de la ecuaciĂłn polinĂłmica correspondiente, pero nuestro objetivo es encontrar relaciones prĂĄcticas y sencillas de establecer, que nos permitan pasar de un caso conocido al siguiente, sin necesidad de resolver y construir cada vez la soluciĂłn del sistema. Construyamos algunos casos en base al teorema fundamental del Algebra y al mecanismo ya establecido de formaciĂłn de los coeficientes: Caso: n=1 EcuaciĂłn: đ?‘Ľ − 1 = 0 Soluciones: đ?‘Ľ = 1

(obvia)

FormaciĂłn de los coeficientes: đ?‘?1 = −1 Caso: n=2 EcuaciĂłn: (đ?‘Ľ − 1)(đ?‘Ľ − 2) = đ?‘Ľ 2 − 3đ?‘Ľ + 2 = 0 Soluciones: đ?‘Ľ ∈ {1,2} FormaciĂłn de los coeficientes: đ?‘?1 = −(1 + 2) = −3 đ?‘?2 = 1.2 = 2 = 2!

Caso n=3 EcuaciĂłn: (đ?‘Ľ − 1)(đ?‘Ľ − 2)(đ?‘Ľ − 3) = đ?‘Ľ 3 − 6đ?‘Ľ 2 + 11đ?‘Ľ − 6 = 0 Soluciones đ?‘Ľ ∈ {1,2,3} FormaciĂłn de los coeficientes: đ?‘?1 = −(1 + 2 + 3) = −6 đ?‘?2 = [(1.2 + 1.3) + 2.3] = [5 + 6] = 11 đ?‘?3 = −(1.2.3) = −6 = −3! Caso n=4 EcuaciĂłn: (đ?‘Ľ − 1)(đ?‘Ľ − 2)(đ?‘Ľ − 3)(đ?‘Ľ − 4) = đ?‘Ľ 4 − 10đ?‘Ľ 3 + 35đ?‘Ľ 2 − 50đ?‘Ľ + 24 = 0 Soluciones: đ?‘Ľ ∈ {1,2,3,4} FormaciĂłn de los coeficientes: đ?‘?1 = −(1 + 2 + 3 + 4) = −10 đ?‘?2 = [(1.2 + 1.3 + 1.4) + (2.3 + 2.4) + (3.4)] = [9 + 14 + 12] = 35 đ?‘?3 = −[(1.2.3 + 1.2.4) + (1.3.4) + 2.3.4] = −[14 + 12 + 24] = −50 đ?‘?4 = 1.2.3.4 = 24 = 4! Caso n=5 EcuaciĂłn: (đ?‘Ľ − 1)(đ?‘Ľ − 2)(đ?‘Ľ − 3)(đ?‘Ľ − 4)(đ?‘Ľ − 5) = đ?‘Ľ 5 − 15đ?‘Ľ 4 + 85đ?‘Ľ 3 − 225đ?‘Ľ 2 + 274đ?‘Ľ − 120 = 0 Soluciones: đ?‘Ľ ∈ {1,2,3,4,5}

FormaciĂłn de los coeficientes: đ?‘?1 = −(1 + 2 + 3 + 4 + 5) = −15 đ?‘?2 = [(1.2 + 1.3 + 1.4 + 1.5) + (2.3 + 2.4 + 2.5) + (3.4 + 3.5) + (4.5)] = [14 + 24 + 27 + 20] = 85 đ?‘?3 = −[(1.2.3 + 1.2.4 + 1.2.5) + (1.3.4 + 1.3.5) + (1.4.5) + (2.3.4 + 2.3.5) + (2.4.5) + (3.4.5)] = −[24 + 27 + 20 + 54 + 40 + 60] = −225 đ?‘?4 = [(1.2.3.4 + 1.2.3.5) + (1.2.4.5) + (1.3.4.5) + (2.3.4.5)] = [54 + 40 + 60 + 120] = 274 đ?‘?5 = (1.2.3.4.5) = −120 = −5!

Caso 6 EcuaciĂłn: (đ?‘Ľ − 1)(đ?‘Ľ − 2)(đ?‘Ľ − 3)(đ?‘Ľ − 4)(đ?‘Ľ − 5)(đ?‘Ľ − 6) = đ?‘Ľ 6 − 21đ?‘Ľ 5 + 175đ?‘Ľ 4 − 735đ?‘Ľ 3 + 1624đ?‘Ľ 2 − 1764đ?‘Ľ + 720 = 0

Soluciones: đ?‘Ľ ∈ {1,2,3,4,5,6} FormaciĂłn de los coeficientes: đ?‘?1 = −(1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6) = −21 đ?‘?2 = [(1.2 + 1.3 + 1.4 + 1.5 + 1.6) + (2.3 + 2.4 + 2.5 + 2.6) + (3.4 + 3.5 + 3.6) + (4.5 + 4.6)] = [20+36+45+44+30] = 175 đ?‘?3 = −[(1.2.3 + 1.2.4 + 1.2.5 + 1.2.6) + (1.3.4 + 1.3.5 + 1.3.6) + (1.4.5 + 1.4.6) + (1.5.6) + (2.3.4 + 2.3.5 + 2,3.6) + (2.4.5 + 2.4.6) + (2.5.6) + (3.4.5 + 3.4.6) + (3.5.6) + (4.5.6)] = −[36 + 45 + +44 + 30 + 90 + 88 + 60 + 132 + 90 + 120] = −735 đ?‘?4 = [(1.2.3.4 + 1.2.3.5 + 1.2.3.6) + (1.2.4.5 + 1.2.4.6) + (1.2.5.6) + (1.3.4.5 + 1.3.4.6) + (1.3.5.6) + (1.4.5.6) + (2.3.4.5 + 2.3.4.6) + (2.3.5.6) + (2.4.5.6) + (3.4.5.6) ] = [90 + 88 + 60 + 132 + 90 + 120 + 264 + 180 + 240 + 360] = 1624 đ?‘?5 = −[(1.2.3.4.5 + 1.2.3.4.6) + (1.2.3.5.6) + (1.2.4.5.6) + (1.3.4.5.6) + (2.3.4.5.6)] = −[264 + 180 + 240 + 360 + 720] = −1764 đ?‘?6 = [1.2.3.4.5.6] = 720 = 6!

Podemos notar que en la formaciĂłn de los coeficientes se repiten los resultados parciales de los arreglos correspondientes al coeficiente anterior, y algunas otras relaciones sencillas y repetitivas. Es evidente que el desarrollo de estas secuencias nos permite encontrar los coeficientes correspondientes a cualquier otro valor de n, pero tiene el inconveniente de tener que desarrollar los arreglos parciales y sus sumas hasta el caso considerado. Nuestro objetivo es obtener una relaciĂłn sencilla entre los coeficientes de un caso y los del siguiente, para poder pasar del uno al otro de manera prĂĄctica e inmediata. Por conveniencia, vamos a rescribir la ecuaciĂłn polinĂłmica de grado n en equis, de soluciones correspondientes a los nĂşmeros naturales, como: đ?’?

∑ đ?’Ž=đ?&#x;Ž

(−đ?&#x;?)đ?’Ž đ?‘ˇđ?’Ž,đ?’? đ?’™đ?’?−đ?’Ž = đ?‘ˇđ?&#x;Ž,đ?’? đ?’™đ?’? − đ?‘ˇđ?&#x;?,đ?’? đ?’™đ?’?−đ?&#x;? + đ?‘ˇđ?&#x;?,đ?’? đ?’™đ?’?−đ?&#x;? ∓ â‹Ż + (−đ?&#x;?)đ?’?−đ?&#x;? đ?‘ˇđ?’?−đ?&#x;?,đ?’? đ?’™ + (−đ?&#x;?)đ?’? đ?‘ˇđ?’?,đ?’?

Donde đ?‘ˇđ?’Ž,đ?’?, representa la suma de los productos m a m , de n nĂşmeros naturales a partir del uno , sin repeticiĂłn. Y donde siempre đ?‘ˇđ?&#x;Ž,đ?’? = đ?&#x;?, y đ?‘ˇđ?’?,đ?’? = đ?’?! Resumen de resultados para ∑đ?’?đ?’Ž=đ?&#x;Ž(−đ?&#x;?)đ?’Ž đ?‘ˇđ?’Ž,đ?’? đ?’™đ?’?−đ?’Ž = đ?&#x;Ž n 1 2 3 4 5 6

EcuaciĂłn đ?‘Ľâˆ’1=0 đ?‘Ľ 2 − 3đ?‘Ľ + 2 = 0 đ?‘Ľ 3 − 6đ?‘Ľ 2 + 11đ?‘Ľ − 6 = 0 đ?‘Ľ 4 − 10đ?‘Ľ 3 + 35đ?‘Ľ 2 − 50đ?‘Ľ + 24 = 0 đ?‘Ľ 5 − 15đ?‘Ľ 4 + 85đ?‘Ľ 3 − 225đ?‘Ľ 2 + 274đ?‘Ľ − 120 = 0 đ?‘Ľ 6 − 21đ?‘Ľ 5 + 175đ?‘Ľ 4 − 735đ?‘Ľ 3 + 1624đ?‘Ľ 2 − 1764đ?‘Ľ + 720 = 0

Soluciones đ?‘Ľ ∈ {1} đ?‘Ľ ∈ {1,2} đ?‘Ľ ∈ {1,2,3} đ?‘Ľ ∈ {1,2,3,4} đ?‘Ľ ∈ {1,2,3,4,5} đ?‘Ľ ∈ {1,2,3,4,5,6}

Estudiemos algunas propiedades del triĂĄngulo de coeficientes: Notamos que se cumple: ∑đ?’?đ?’Ž=đ?&#x;Ž đ?‘ˇđ?’Ž,đ?’? =0, tomando los coeficientes con su signo. n 1 2 3 4 5 6

Suma de Coeficientes (con su signo) 1−1=0 1−3+2=0 1 − 6 + 11 − 6 = 0 1 − 10 + 35 − 50 + 24 = 0 1 − 15 + 85 − 225 + 274 − 120 = 0 1 − 21 + 175 − 735 + 1624 − 1764 + 720 = 0

∑đ?’?đ?’Ž=đ?&#x;Ž(−đ?&#x;?)đ?’Ž đ?‘ˇđ?’Ž,đ?’? = (đ?’? + đ?&#x;?)!

AnĂĄlogamente se verifica:

n Suma de coeficientes en valor absoluto 1 1 + 1 = 2 = 2! 2 1 + 3 + 2 = 6 = 3! 3 1 + 6 + 11 + 6 = 24 = 4! 4 1 + 10 + 35 + 50 + 24 = 120 = 5! 5 1 + 15 + 85 + 225 + 274 + 120 = 720 = 6! 6 1 + 21 + 175 + 735 + 1624 + 1764 + 720 = 5040 = 7! EstĂĄ claro que estas propiedades, son extensibles a cualquier valor de n, entero natural.

Tabla de coeficientes triangulares de la ecuaciĂłn polinĂłmica de grado n en equis, de soluciones correspondientes a los nĂşmeros naturales (desde n =1 hasta n = 7) đ?‘ƒđ?‘›âˆ’7,đ?‘›

n 1 2 3 4 5 6 7

đ?‘ƒđ?‘›âˆ’6,đ?‘›

1

1 28

đ?‘ƒđ?‘›âˆ’5,đ?‘›

1 21 322

đ?‘ƒđ?‘›âˆ’4,đ?‘›

1 15 175 1960

đ?‘ƒđ?‘›âˆ’3,đ?‘›

1 10 85 735 6769

đ?‘ƒđ?‘›âˆ’2,đ?‘› 1 6 35 225 1624 13132

đ?‘ƒđ?‘›âˆ’1,đ?‘› 1 3 11 50 274 1764 13068

đ?‘ƒđ?‘›,đ?‘› = đ?‘›!

1 2 6 24 120 720 5040

AquĂ­ đ?‘ƒđ?‘›âˆ’đ?‘š,đ?‘› , solo existe sĂ­ đ?‘› ≼ đ?‘š. AsĂ­ por ej. si n = 5 tendremos: đ?‘ˇđ?&#x;Ž,đ?&#x;“ = đ?&#x;? ,

đ?‘ˇđ?&#x;?,đ?&#x;“ = đ?&#x;?đ?&#x;“,

đ?‘ˇđ?&#x;?,đ?&#x;“ = đ?&#x;–đ?&#x;“,

đ?‘ˇđ?&#x;‘,đ?&#x;“ = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;“,

đ?‘ˇđ?&#x;’,đ?&#x;“ = đ?&#x;?đ?&#x;•đ?&#x;’, đ?’š đ?‘ˇđ?&#x;“,đ?&#x;“ = đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;Ž = đ?&#x;“!

Una observaciĂłn cuidadosa de las relaciones entre los valores contenidos en cada una de las filas de la tabla anterior, nos permitiĂł obtener la ley que regula la formaciĂłn de los coeficientes correspondientes a un determinado valor n+1, partiendo de los valores correspondientes a n.

Para los coeficientes de dos filas consecutivas n y n + 1, se cumple: 1) El primer tĂŠrmino de cada fila, es la unidad. đ?&#x;Ž. (đ?’? + đ?&#x;?) + đ?‘ˇđ?&#x;Ž,đ?’? = đ?‘ˇđ?&#x;Ž,đ?’?+đ?&#x;? = đ?&#x;? 2) Los tĂŠrminos consecutivos, posteriores al 1°, se pueden obtener de: đ?‘ˇđ?’Ž,đ?’? (đ?’? + đ?&#x;?) + đ?‘ˇđ?’Ž+đ?&#x;?,đ?’? = đ?‘ˇđ?’Ž+đ?&#x;?,đ?’?+đ?&#x;? ,

con đ?’Ž ∈ {đ?&#x;Ž, đ?&#x;?, đ?&#x;?, ‌ , đ?’?}

Por ejemplo: Para obtener los coeficientes de la 5° fila, a partir de los de la 4° fila, se tendrĂĄ: đ?‘› = 4 ,đ?‘Ś ,đ?‘› + 1 = 5 0.5 + 1 = 1 1.5 + 10 = 15 10.5 + 35 = 85 35.5 + 50 = 225 50.5 + 24 = 274 24.5 + 0 = 120 = 5! La obtenciĂłn de los coeficientes de una determinada fila, a partir de los correspondientes de la fila anterior, se realiza de una manera prĂĄctica y sencilla, y la construcciĂłn del triangulo de coeficientes contenidos en la tabla, es inmediata, ya que se parte de una fila inicial con solo dos coeficientes unitarios. Los coeficientes contenidos en la tabla anterior son tambiĂŠn conocidos, como nĂşmeros de Stirling de đ?&#x;?đ?’‚ especie. Aunque con estas deducciones y las expresiones resultantes, consideramos que el problema planteado queda totalmente resuelto, hemos considerado conveniente desarrollar un mĂŠtodo que nos permita obtener las expresiones de las distintas đ?‘ˇđ?’Ž,đ?’?, en tĂŠrminos combinatorios. Queremos hallar la suma de los productos de los nĂşmeros naturales desde 1 hasta n, tomados de m en m*, sin repeticiĂłn, que hemos denominado đ?‘ˇđ?’Ž,đ?’? , Sea por ejemplo el conjunto {1,2,3,4,5}, con đ?‘› = 5, y consideremos el caso para đ?‘š = 2 , para formar los productos đ?‘–. đ?‘—, siendo đ?‘– < đ?‘—, entonces: 5

đ?‘ƒ2,5 = ∑

đ?‘– . đ?‘— = (1.5 + 2.5 + 3.5 + 4.5) + (1.4 + 2.4 + 3.4) + (1.3 + 2.3) + (1.2) = 85 đ?‘–,đ?‘—=1

Que podemos escribir como: đ?‘ƒ2,5 = 5(1 + 2 + 3 + 4) + 4(1 + 2 + 3) + 3(1 + 2) + 2(1) , que en forma general para n, serĂĄ:

đ?‘›âˆ’1

đ?‘ƒ2,đ?‘› = đ?‘› ∑

đ?‘›âˆ’2

đ?‘– + (đ?‘› − 1) ∑ đ?‘–=1

2

đ?‘– + â‹Ż+ 3∑ đ?‘–=1

1

đ?‘– + 2∑ đ?‘–=1

đ?‘– đ?‘–=1

O tambiĂŠn: đ?‘ƒ2,đ?‘› = đ?‘›

(đ?‘› − 1)đ?‘› (đ?‘› − 2)(đ?‘› − 1) (đ?‘› − 3)(đ?‘› − 2) 2.3 1.2 + (đ?‘› − 1) + (đ?‘› − 2) + â‹Ż+ 3 +2 2 2 2 2 2

O en forma combinatoria: đ?‘› đ?‘›âˆ’1 đ?‘›âˆ’2 3 2 đ?‘ƒ2,đ?‘› = đ?‘› ( ) + (đ?‘› − 1) ( ) + (đ?‘› − 2) ( ) + â‹Ż+ 3( ) + 2( ) 2 2 2 2 2

đ?’Š đ?&#x;?

Es decir: đ?‘ˇđ?&#x;?,đ?’? = ∑đ?’?đ?’Š=đ?&#x;? đ?’Š ( ) Por otra parte, tambiĂŠn se tiene: đ?‘ƒ2,đ?‘› = đ?‘›2

(đ?‘› − 1) (đ?‘› − 2) (đ?‘› − 3) 2 1 + (đ?‘› − 1)2 + (đ?‘› − 2)2 + â‹Ż + 32 + 22 2 2 2 2 2

đ?&#x;?

đ?&#x;?

đ?&#x;?

đ?&#x;?

Es decir: đ?‘ˇđ?&#x;?,đ?’? = ∑đ?’?đ?’Š=đ?&#x;? đ?’Šđ?&#x;? (đ?’Š − đ?&#x;?) = [∑đ?’?đ?’Š=đ?&#x;? đ?’Šđ?&#x;‘ − ∑đ?’?đ?’Š=đ?&#x;? đ?’Šđ?&#x;? ]

*Es evidente que sĂ­ đ?‘š = 1, entonces

1 2

đ?‘ƒ1,đ?‘› = ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘– =

đ?‘›(đ?‘›+1) 2

đ?‘›+1 =( ), y no podemos 2

đ?‘– escribir đ?‘ƒ1,đ?‘› = ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘– ( ), ya que estamos excluyendo la repeticiĂłn. 1

đ?‘› đ?‘› đ?‘› 3 2 3 2 Podemos comprobar fĂĄcilmente que [∑đ?‘› đ?‘–=2 đ?‘– − ∑đ?‘–=2 đ?‘– ] = [∑đ?‘–=1 đ?‘– − ∑đ?‘–=1 đ?‘– ]

Ya que los tĂŠrminos extras de la segunda expresiĂłn son idĂŠnticos y se anulan entre sĂ­ al efectuar la diferencia. Luego podemos escribir: đ?‘ˇđ?&#x;?,đ?’? =

đ?’? đ?’? đ?&#x;? [∑ đ?’Šđ?&#x;‘ − ∑ đ?’Šđ?&#x;? ] đ?&#x;? đ?’Š=đ?&#x;? đ?’Š=đ?&#x;?

Y utilizando las expresiones ya obtenidas para cada una de estas sumatorias en el apartado 4) de Series de potencias, đ?’?+đ?&#x;‘ đ?’?+đ?&#x;? đ?’?+đ?&#x;? ∑đ?’?đ?’Š=đ?&#x;? đ?’Šđ?&#x;‘ = đ?&#x;‘! ( ) − đ?&#x;”( )+( ) đ?&#x;’ đ?&#x;‘ đ?&#x;? đ?’?

∑ đ?’Šđ?&#x;? = đ?&#x;?! ( đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’?+đ?&#x;? đ?’?+đ?&#x;? ) − đ?&#x;?. ( ) đ?&#x;‘ đ?&#x;?

Resulta: đ?’?+đ?&#x;‘ đ?’?+đ?&#x;? đ?’?+đ?&#x;? đ?‘ˇđ?&#x;?,đ?’? = đ?&#x;‘ ( ) − đ?&#x;’( )+( ) đ?&#x;’ đ?&#x;‘ đ?&#x;?

7 8 6 Comprobando para n = 5 : đ?‘ƒ2,5 = 3 ( ) − 4 ( ) + ( ) = 3.70 − 4.35 + 15 = 85 4 3 2 Analicemos ahora el caso đ?‘š = 3, para el mismo conjunto, ( đ?‘› = 5 ) đ?‘ƒ3,5 = ∑5đ?‘–,đ?‘—,đ?‘˜=1 đ?‘– đ?‘— đ?‘˜ , (đ?‘– < đ?‘— < đ?‘˜) đ?‘ƒ3,5 = (1.2.5 + 1.3.5 + 1.4.5 + 2.3.5 + 2.4.5 + 3.4.5) + (1.2.4 + 1.3.4 + 2.3.4) + (1.2.3) = 5(1.2 + 1.3 + 1.4 + 2.3 + 2.4 + 3.4) + 4(1.2 + 1.3 + 2.3) + 3(1.2) , es decir: đ?‘ƒ3,5 = 5 ∑4đ?‘–,đ?‘—=1 đ?‘–. đ?‘— + 4 ∑3đ?‘–,đ?‘—=1 đ?‘–. đ?‘— + 3 ∑2đ?‘–,đ?‘—=1 đ?‘–. đ?‘— , que por definiciĂłn equivale a: đ?‘ƒ3,5 = 5đ?‘ƒ2,4 + 4đ?‘ƒ2,3 + 3đ?‘ƒ2,2 que en forma general para n, estas relaciones se puede escribir como:

đ?‘ˇđ?&#x;‘,đ?’? = đ?’? ∑đ?&#x;’đ?’Š,đ?’‹=đ?&#x;? đ?’Š. đ?’‹ + (đ?’? − đ?&#x;?) ∑đ?&#x;‘đ?’Š,đ?’‹=đ?&#x;? đ?’Š. đ?’‹ + â‹Ż + đ?&#x;‘ ∑đ?&#x;?đ?’Š,đ?’‹=đ?&#x;? đ?’Š. đ?’‹ Y: đ?‘ˇđ?&#x;‘,đ?’? = ∑đ?’?đ?’Š=đ?&#x;‘ đ?’Š đ?‘ˇđ?&#x;?,đ?’Šâˆ’đ?&#x;?

Entonces: đ?‘ƒ3,đ?‘› = đ?‘›đ?‘ƒ2,đ?‘›âˆ’1 + (đ?‘› − 1)đ?‘ƒ2,đ?‘›âˆ’2 + (đ?‘› − 2)đ?‘ƒ2,đ?‘›âˆ’3 + â‹Ż + 4đ?‘ƒ2,3 + 3đ?‘ƒ2,2 Como đ?’?+đ?&#x;‘ đ?’?+đ?&#x;? đ?’?+đ?&#x;? đ?‘ˇđ?&#x;?,đ?’? = đ?&#x;‘ ( ) − đ?&#x;’( )+( ) đ?&#x;’ đ?&#x;‘ đ?&#x;? Tendremos: đ?‘ƒ2,đ?‘›âˆ’1 = 3 (

đ?‘› đ?‘›+2 đ?‘›+1 ) − 4( )+( ) 2 4 3

đ?‘ƒ2,đ?‘›âˆ’2 = 3 (

đ?‘› đ?‘›+1 đ?‘›âˆ’1 ) − 4( )+ ( ) 3 4 2

đ?‘› đ?‘›âˆ’1 đ?‘›âˆ’2 đ?‘ƒ2,đ?‘›âˆ’3 = 3 ( ) − 4 ( )+( ) 4 3 2 . . . . . . . . . . . . đ?‘ƒ2,3

6 5 = 3 ( ) − 4 ( )+ 4 3

đ?‘ƒ2,2

4 3 5 = 3 ( ) − 4 ( )+ ( ) 3 2 4

Sumando y agrupando todas estas igualdades, resulta:

4 ( ) 2

đ?‘› đ?‘›+2 đ?‘›+1 6 đ?‘›+1 5 đ?‘ƒ3,đ?‘› = 3 [đ?‘› ( ) + (đ?‘› − 1) ( ) + (đ?‘› − 2) ( ) + â‹Ż + 4 ( ) + 3 ( )] − 4 [đ?‘› ( )+ 4 4 4 4 3 4 đ?‘› đ?‘› 4 (đ?‘› − 1) ( ) + (đ?‘› − 2) (đ?‘› − 1) + â‹Ż + 4 (5) + 3 ( )] + [đ?‘› ( ) + (đ?‘› − 1) (đ?‘› − 1) + 3 2 3 3 2 3 đ?‘›âˆ’2 4 3 (đ?‘› − 2) ( ) + â‹Ż + 4 ( ) + 3 ( )] , igualdad que podemos rescribir como: 2 2 2 đ?‘›

đ?‘ƒ3,đ?‘› = 3 ∑

đ?‘› đ?‘› đ?‘– đ?‘–+2 đ?‘–+1 đ?‘–( ) − 4∑ đ?‘–( )+∑ đ?‘–( ) 4 3 2 đ?‘–=3 đ?‘–=3 đ?‘–=3

đ?‘–(đ?‘–+2)(đ?‘–+1)đ?‘–(đ?‘–−1) đ?‘–+2 )= 4! 4

đ?‘–(

Y siendo

đ?‘–(đ?‘–+1)đ?‘–(đ?‘–−1) đ?‘–+1 đ?‘–( )= 3! 3 đ?‘–(đ?‘–−1) đ?‘– đ?‘–( ) = 2! 2

Sustituyendo: đ?‘ƒ3,đ?‘› =

đ?‘› đ?‘› đ?‘› 3 4 1 ∑ đ?‘–(đ?‘– + 2)(đ?‘– + 1)đ?‘–(đ?‘– − 1) − ∑ đ?‘–(đ?‘– + 1)đ?‘–(đ?‘– − 1) + ∑ đ?‘–. đ?‘–(đ?‘– − 1) 4! đ?‘–=3 3! đ?‘–=3 2! đ?‘–=3

Efectuando y agrupando, resulta: 1

5

8

12

đ?‘ƒ3,đ?‘› = ∑đ?‘›đ?‘–=3 đ?‘– 5 −

3

1

8

12

∑đ?‘›đ?‘–=3 đ?‘– 4 + ∑đ?‘›đ?‘–=3 đ?‘– 3 −

∑đ?‘›đ?‘–=3 đ?‘– 2 , expresiĂłn, que por razones

anĂĄlogas a las del caso anterior đ?‘ƒ2,đ?‘› , puede sustituirse por: đ?‘ƒ3,đ?‘›

đ?‘›

đ?‘›

đ?‘›

đ?‘›

đ?‘–=1

đ?‘–=1

đ?‘–=1

đ?‘–=1

1 5 3 1 = ∑ đ?‘–5 − ∑ đ?‘–4 + ∑ đ?‘–3 − ∑ đ?‘–2 8 12 8 12

đ?’?+đ?’Žâˆ’đ?’Š+đ?&#x;? ), donde las đ?’‚đ?’Š,đ?’Ž , son los đ?’Žâˆ’đ?’Š+đ?&#x;?

đ?’Šâˆ’đ?&#x;? Y recordando que ∑đ?’?đ?’Š=đ?&#x;? đ?’Šđ?’Ž = ∑đ?’Ž đ?’‚đ?’Š,đ?’Ž ( đ?’Š=đ?&#x;?(−đ?&#x;?)

coeficientes triangulares recogidos en la tabla del apartado 4) correspondiente a las sumas de potencias de nĂşmeros naturales, ya calculados. đ?’?+đ?&#x;’ đ?’?+đ?&#x;‘ đ?’?+đ?&#x;? đ?’?+đ?&#x;? ∑đ?’?đ?’Š=đ?&#x;? đ?’Šđ?&#x;“ = đ?&#x;“! (đ?’? + đ?&#x;“) − đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;Ž ( ) + đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;Ž ( ) − đ?&#x;‘đ?&#x;Ž ( ) + đ?&#x;?( ) đ?&#x;“ đ?&#x;’ đ?&#x;‘ đ?&#x;? đ?&#x;” ∑đ?’?đ?’Š=đ?&#x;? đ?’Šđ?&#x;’ = đ?&#x;’! (

đ?’?+đ?&#x;’ đ?’?+đ?&#x;‘ đ?’?+đ?&#x;? đ?’?+đ?&#x;? ) − đ?&#x;‘đ?&#x;” ( ) + đ?&#x;?đ?&#x;’ ( )− đ?&#x;?( ) đ?&#x;“ đ?&#x;’ đ?&#x;‘ đ?&#x;?

∑đ?’?đ?’Š=đ?&#x;? đ?’Šđ?&#x;‘ = đ?&#x;‘! (

đ?’?+đ?&#x;‘ đ?’?+đ?&#x;? đ?’?+đ?&#x;? )− đ?&#x;”( )+( ) đ?&#x;’ đ?&#x;‘ đ?&#x;?

∑đ?’?đ?’Š=đ?&#x;? đ?’Šđ?&#x;? = đ?&#x;?! (

đ?’?+đ?&#x;? đ?’?+đ?&#x;? ) − đ?&#x;?. ( ) đ?&#x;‘ đ?&#x;?

Efectuando operaciones y agrupando, resulta:

đ?’?+đ?&#x;’ đ?’?+đ?&#x;‘ đ?’?+đ?&#x;? đ?’?+đ?&#x;? đ?’?+đ?&#x;“ đ?‘ˇđ?&#x;‘,đ?’? = đ?&#x;?đ?&#x;“ ( ) − đ?&#x;’đ?&#x;Ž ( ) + đ?&#x;‘đ?&#x;” ( ) − đ?&#x;?đ?&#x;? ( )+( ) đ?&#x;“ đ?&#x;’ đ?&#x;‘ đ?&#x;? đ?&#x;” Repitiendo el procedimiento a partir de đ?‘ˇđ?’Ž,đ?’? = ∑đ?’?đ?’Š=đ?’Ž đ?’Š đ?‘ˇđ?’Žâˆ’đ?&#x;?,đ?’Šâˆ’đ?&#x;? , podemos obtener las expresiones de đ?‘ƒđ?‘š,đ?‘› , para cualquier valor entero positivo de m, pero reconocemos que la obtenciĂłn de los coeficientes de la ecuaciĂłn polinĂłmica de soluciones correspondientes a los nĂşmeros naturales, a partir de la tabla ya mostrada anteriormente, resulta mĂĄs inmediato y sencillo. 7) Otras expresiones de series de potencias de los nĂşmeros naturales y su relaciĂłn con

los nĂşmeros de Bernoulli. Si desarrollamos el binomio de Newton (đ?‘Ľ − 1)2 = đ?‘Ľ 2 − 2đ?‘Ľ + 1, dĂĄndole a x los valores sucesivos de la serie de los nĂşmeros naturales, đ?‘Ľ ∈ {1,2,3, ‌ , đ?‘›}, obtendremos: 0 = 12 − 2.1 + 1 12 = 22 − 2.2 + 1 22 = 32 − 2.3 + 1 32 = 42 − 2.4 + 1 . . . . . . . . . . . . 2 2 (đ?‘› − 2) = (đ?‘› − 1) − 2(đ?‘› − 1) + 1 (đ?‘› − 1)2 = đ?‘›2 − 2. đ?‘› + 1 Sumando miembro a miembro todas estas identidades numĂŠricas, resulta: đ?’?

đ?&#x;Ž = đ?’?đ?&#x;? − đ?&#x;?. ∑

đ?’Š +đ?’?

đ?’Š=đ?&#x;?

NĂłtese que đ?‘› = ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘– 0 = 1 + 1 + â‹Ż + 1, con n sumandos. Procediendo de manera anĂĄloga para (đ?‘Ľ − 1)3 = đ?‘Ľ 3 − 3đ?‘Ľ 2 + 3đ?‘Ľ − 1, obtendremos: 0 = 13 − 3. 12 + 3.1 − 1 13 = 23 − 3. 22 + 3.2 − 1 23 = 33 − 3. 32 + 3.3 − 1 33 = 43 − 3. 42 + 3.4 − 1 . . . . . . . . . . . . . . . (đ?‘› − 2)3 = (đ?‘› − 1)3 − 3. (đ?‘› − 1)2 + 3. (đ?‘› − 1) − 1 (đ?‘› − 1)3 = đ?‘›3 − 3. đ?‘›2 + 3. đ?‘› − 1

Sumando miembro a miembro, resulta: đ?&#x;Ž = đ?’?đ?&#x;‘ − đ?&#x;‘. ∑

đ?’?

đ?’Šđ?&#x;? + đ?&#x;‘. ∑

đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’?

đ?’Š −đ?’? đ?’Š=đ?&#x;?

Este resultado, puede extenderse a la potencia m +1 del binomio de Newton, correspondiente a (đ?‘Ľ − 1)đ?‘š+1 , para obtener el siguiente resultado: đ?’?

đ?&#x;Ž=đ?’?

đ?’Ž+đ?&#x;?

đ?’?

đ?’?

đ?’?

đ?’Ž+đ?&#x;? đ?’Ž+đ?&#x;? đ?’Ž+đ?&#x;? đ?’Ž+đ?&#x;? −( ) ∑ đ?’Šđ?’Ž + ( ) ∑ đ?’Šđ?’Žâˆ’đ?&#x;? − ( ) ∑ đ?’Šđ?’Žâˆ’đ?&#x;? + â‹Ż + (−đ?&#x;?)đ?’Ž+đ?&#x;? ( ) ∑ đ?’Šđ?&#x;Ž đ?’Ž+đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;‘ đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’Ž + đ?&#x;? đ?’? đ?’Ž+đ?&#x;?−đ?’‹ (−đ?&#x;?)đ?’‹ ( đ?&#x;Ž = đ?’?đ?’Ž+đ?&#x;? + ∑đ?’Ž+đ?&#x;? ) ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’Š đ?’‹=đ?&#x;? đ?’‹

Que puede resumirse como:

Estas series nos permiten obtener ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘– đ?‘š , en funciĂłn de los valores sucesivos de ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘– 0 , ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘– 1 , ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘– 2 , ‌ , ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘– đ?‘šâˆ’1 AsĂ­ por ejemplo, para m = 0, obtenemos: 0 = đ?‘› − ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘– 0 , de donde: ∑đ?’?đ?’Š=đ?&#x;? đ?’Šđ?&#x;Ž = đ?’? Para m = 1, serĂĄ: 0 = đ?‘›2 − 2. ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘– + đ?‘›, de donde: ∑đ?’?đ?’Š=đ?&#x;? đ?’Š =

đ?’?đ?&#x;? đ?&#x;?

đ?’?

+đ?&#x;?=

đ?’?(đ?’?+đ?&#x;?) đ?&#x;?!

Para m = 2, tenemos: 0 = đ?‘›3 − 3. ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘– 2 + 3. ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘– − đ?‘›, de donde, tomando en cuenta los casos anteriores, resulta: đ?‘›

đ?‘›3 đ?‘›2 đ?‘› đ?‘› đ?‘›3 đ?‘›2 1 1 đ?‘›3 đ?‘›2 đ?‘› đ?‘›(đ?‘› + 1)(2đ?‘› + 1) +[ + ]− = + + [ − ].đ?‘› = + + = 3 2 2 3 3 2 2 3 3 2 6 3!

∑ đ?‘–2 = đ?‘–=1

Para m = 3 , serĂĄ: đ?‘›

đ?‘›

đ?‘›

0 = đ?‘›4 − 4. ∑ đ?‘– 3 + 6. ∑ đ?‘– 2 − 4. ∑ đ?‘– + đ?‘› đ?‘–=1

đ?‘–=1

đ?‘–=1

De donde, tomando en cuenta los resultados previos, resulta: ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘– 3 =

đ?‘›4 4

+

6 đ?‘›3 4

[

3

đ?’?

+

đ?‘›2 2

đ?‘›

đ?‘›

4 đ?‘›2

2

3

4

+ − ]− [

2

đ?‘›

đ?‘›

đ?‘›4

2

4

4

+ ]+ =

+

3đ?‘›3 2.3

3

1

3

1

1

1

4

2

4

2

2

4

+ [ − ] đ?‘›2 + [ − − + ] đ?‘›, es decir:

đ?’?đ?&#x;’ đ?’?đ?&#x;‘ đ?’?đ?&#x;? đ?’?đ?&#x;? (đ?’?đ?&#x;? + đ?&#x;?đ?’? + đ?&#x;?) đ?’?đ?&#x;? (đ?’? + đ?&#x;?)đ?&#x;? đ?’?(đ?’? + đ?&#x;?) đ?&#x;? ∑đ?’Š = + + = = =[ ] đ?&#x;’ đ?&#x;? đ?&#x;’ đ?&#x;’ đ?&#x;’ đ?&#x;? đ?&#x;‘

đ?’Š=đ?&#x;?

Siguiendo este procedimiento hemos resumido en la siguiente tabla los resultados obtenidos para m =0, hasta m = 10 đ?‘›

m

∑ đ?‘–đ?‘š đ?‘–=1

đ?‘› â „1 đ?‘› 2 â „2 + đ?‘› â „2 đ?‘› 3 â „3 + đ?‘› 2 â „2 + đ?‘› â „6 đ?‘› 4 â „4 + đ?‘› 3 â „2 + đ?‘› 2 â „4 đ?‘›5 â „5 + đ?‘›4 â „2 + đ?‘›3 â „3 − đ?‘›â „30 đ?‘›6 â „6 + đ?‘›5 â „2 + (5â „12)đ?‘›4 − đ?‘›2 â „12 đ?‘›7 â „7 + đ?‘›6 â „2 + đ?‘›5 â „2 − đ?‘›3 â „6 + đ?‘›â „42 đ?‘›8 â „8 + đ?‘›7 â „2 + (7â „12)đ?‘›6 − (7â „24)đ?‘›4 + đ?‘›2 â „12 đ?‘›9 â „9 + đ?‘›8 â „2 + (2â „3)đ?‘›7 − (7â „15)đ?‘›5 + (2â „9)đ?‘›3 − đ?‘›â „30 đ?‘›10â „10 + đ?‘›9 â „2 + (3â „4)đ?‘›8 − (7â „10)đ?‘›6 + đ?‘›4 â „2 − (3â „20)đ?‘›2 đ?‘›11â „11 + đ?‘›10 â „2 + (5â „6)đ?‘›9 − đ?‘›7 + đ?‘›5 − đ?‘›3 â „2 + (5â „66)đ?‘›

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Es de notar que en cuanto a la factorizaciĂłn, Ăşnicamente en factores racionales de la forma (đ?‘Žđ?‘› + đ?‘?), ya no es posible para valores de m iguales o superiores a 4. Pero lo que realmente nos ocupa, es encontrar una expresiĂłn o formula general para el desarrollo de ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘– đ?‘š , en potencias de n, donde los coeficientes sean sĂłlo funciones de m. Para ello, consideraremos cada uno de los resultados obtenidos hasta ahora, como un caso particular del polinomio: đ?’?

∑ đ?’Šđ?’Ž = đ?’‚đ?&#x;? đ?’?đ?’Ž+đ?&#x;? + đ?’‚đ?&#x;? đ?’?đ?’Ž + đ?’‚đ?&#x;‘ đ?’?đ?’Žâˆ’đ?&#x;? + â‹Ż + đ?’‚đ?’Ž đ?’?đ?&#x;? + đ?’‚đ?’Ž+đ?&#x;? đ?’? = ∑ đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’Ž+đ?&#x;? đ?’Œ=đ?&#x;?

AsĂ­, por ejemplo: đ?‘›

∑

đ?‘–5 =

đ?‘–=1

1 6 1 5 5 4 1 2 đ?‘› + đ?‘› + đ?‘› + 0. đ?‘›3 − đ?‘› + 0. đ?‘› 6 2 12 12

O tambiĂŠn: đ?‘›

∑ đ?‘–=1

đ?‘–8 =

1 9 1 8 2 7 7 5 2 1 đ?‘› + đ?‘› + đ?‘› + 0. đ?‘›6 − đ?‘› + 0. đ?‘›4 + đ?‘›3 + 0. đ?‘›2 − đ?‘› 9 2 3 15 9 30

đ?’‚đ?’Œ đ?’?đ?’Ž+đ?&#x;?−đ?’Œ

Los resultados obtenidos anteriormente, y resumidos en la tabla anterior, pueden ahora presentarse como: m 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

đ?‘Ž1 1â „1 1â „2 1â „3 1â „4 1â „5 1â „6 1â „7 1â „8 1â „9 1â „10 1â „11

đ?‘Ž2

đ?‘Ž3

đ?‘Ž4

đ?‘Ž5

đ?‘Ž6

đ?‘Ž7

đ?‘Ž8

đ?‘Ž9

đ?‘Ž10

đ?‘Ž11

1â „2 1â „2 1â „2 1â „2 1â „2 1â „2 1â „2 1â „2 1â „2 1â „2

1â „6 1â „4 1â „3 5â „12 1â „2 7â „12 2â „3 3â „4 5â „6

0 0 0 0 0 0 0 0

− 1⠄30 − 1⠄12 − 1⠄6 − 7⠄24 − 7⠄15 − 7⠄10 −1

0 0 0 0 0 0

1â „42 1â „12 2â „9 1â „2 1

0 0 0 0

− 1⠄30 − 3⠄20 − 1⠄2

0 0

5â „66

Como es de inmediato, observamos que đ?’‚đ?&#x;? = đ?&#x;?â „(đ?’Ž + đ?&#x;?), para cada caso, y que đ?’‚đ?&#x;? = đ?&#x;?â „đ?&#x;?, es constante para cada m ≼ 1, por otra parte para cada k par, igual o mayor que 4, serĂĄ đ?‘Žđ?‘˜ = 0. De manera que habrĂĄ que determinar las leyes de variaciĂłn de las đ?‘Žđ?‘˜ , cuando k, es impar e igual o mayor que 3. Para ello podemos utilizar el mĂŠtodo del tanteo, para obtener los coeficientes indeterminados y estudiar cada caso particular. đ?&#x;? đ?’Ž Para el caso de k = 3, es inmediato que đ?‘Ž3 = đ?‘šâ „12, que podemos denotar como: đ?’‚đ?&#x;‘ = đ?&#x;?đ?&#x;? ( ), đ?&#x;? con m ≼ 2

đ?‘š đ?‘š(đ?‘šâˆ’1)(đ?‘šâˆ’2) 3!đ?‘Ž5 Si suponemos que đ?‘Ž5 = −đ??´. ( ) = −đ??´ , serĂĄ: đ??´ = − đ?‘š(đ?‘šâˆ’1)(đ?‘šâˆ’2) 3! 3 1

Que para đ?‘š = 4, y đ?‘Ž5 = − 30, obtenemos: đ??´ =

6(1â „30) 4.3.2

1

= 120, comprobamos que el valor de A 1

,resulta constante con los siguientes valores de la tabla: đ?‘š = 5, đ?‘Ś đ?‘Ž5 = − 12 , entonces: đ??´=

6(1â „12) 5.4.3

1

1

= 120, AsĂ­ mismo, se puede verificar que đ??´ = 120, para cada uno de los valores de m y

de đ?‘Ž5 , previamente calculados y ya recogidos en la tabla anterior. Concluimos que: đ?&#x;? đ?’Ž đ?&#x;? đ?’Ž(đ?’Žâˆ’đ?&#x;?)(đ?’Žâˆ’đ?&#x;?) đ?’‚đ?&#x;“ = − đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;Ž ( ) = − đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;Ž . , para đ?‘š ≼ 4 đ?&#x;‘! đ?&#x;‘

đ?‘š đ?‘š(đ?‘šâˆ’1)(đ?‘šâˆ’2)(đ?‘šâˆ’3)(đ?‘šâˆ’4) De manera anĂĄloga, supondremos que đ?‘Ž7 = đ??ľ. ( ) = đ??ľ. , de donde: 5! 5 5!đ?‘Ž

7 đ??ľ = đ?‘š(đ?‘šâˆ’1)(đ?‘šâˆ’2)(đ?‘šâˆ’3(đ?‘šâˆ’4) , que para đ?‘š = 6, đ?‘Ś đ?‘Ž7 = 1â „42, toma el valor:

đ??ľ=

5!(1â „42) 6.5.4.3.2

1

= 252, comprobamos que B, resulta tambiĂŠn constante con los siguientes valores de 1

đ?‘š đ?‘Ś đ?‘Ž7 , AsĂ­ para đ?‘š = 7, đ?‘Ś đ?‘Ž7 = 12, tenemos:

đ??ľ=

5!(1â „12) 7.6.5.4.3

1

1

= 252, AsĂ­ mismo, se verifica que đ??ľ = 252, para cada uno de los valores de m y de đ?‘Ž7 ,

previamente calculados y recogidos en la tabla anterior. Concluimos que: đ?&#x;? đ?’Ž đ?&#x;? đ?’Ž(đ?’Žâˆ’đ?&#x;?)(đ?’Žâˆ’đ?&#x;?)(đ?’Žâˆ’đ?&#x;‘)(đ?’Žâˆ’đ?&#x;’) đ?’‚đ?&#x;• = đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;? ( ) = đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;? . , para đ?‘š ≼ 6. đ?&#x;“! đ?&#x;“

De manera anĂĄloga, podemos obtener: đ?&#x;? đ?’Ž đ?&#x;? đ?’Ž(đ?’Žâˆ’đ?&#x;?)(đ?’Žâˆ’đ?&#x;?)(đ?’Žâˆ’đ?&#x;‘)(đ?’Žâˆ’đ?&#x;’)(đ?’Žâˆ’đ?&#x;“) đ?’‚đ?&#x;— = − đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;Ž ( ) = − đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;Ž . , y asĂ­ sucesivamente. đ?&#x;•! đ?&#x;•

Estos resultados, los podemos recoger en una expresiĂłn de sumatorias parciales acumulativas de tĂŠrminos combinatorios para ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘– đ?‘š , tal como:

∑đ?’?đ?’Š=đ?&#x;? đ?’Šđ?’Ž =

đ?’?đ?’Ž+đ?&#x;?

│+ đ?’Ž+đ?&#x;?

đ?’Ž=đ?&#x;Ž

đ?’?đ?’Ž đ?&#x;?

│+

đ?’Ž>0

đ?’?đ?’Žâˆ’đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?

đ?’Ž đ?’?đ?’Žâˆ’đ?&#x;‘ đ?’Ž đ?’?đ?’Žâˆ’đ?&#x;“ đ?’Ž đ?’?đ?’Žâˆ’đ?&#x;• đ?’Ž ( )│− đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;Ž ( )│+ đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;? ( )│− đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;Ž ( )│¹... đ?&#x;‘ đ?&#x;“ đ?&#x;? đ?&#x;•

đ?’Ž>1

đ?’Ž>3

đ?’Ž>5

đ?’Ž>7

Donde se van agregando tĂŠrminos adicionales a la sumatoria, en funciĂłn del valor de m 4 Por ejemplo, para calcular ∑10 đ?‘–=1 đ?‘– , tomaremos solo los 4 primeros tĂŠrminos de la expresiĂłn anterior, ya que m es mayor que tres pero menor que cinco. AsĂ­ tendremos: 10

∑ đ?‘–4 = đ?‘–=1

105 104 103 4 10 4 1000 1 + + ( )− ( ) = 20000 + 5000 + − = 25333 5 2 12 1 120 3 3 3

El problema que se nos presenta ahora, es encontrar un mĂŠtodo o una manera de determinar directamente los tĂŠrminos siguientes de la sumatoria, en funciĂłn de los determinados previamente. Un anĂĄlisis cuidadoso del mecanismo de formaciĂłn de los coeficientes đ?‘Žđ?‘˜ , recogidos en la tabla anterior, nos permite establecer las siguientes relaciones para la determinaciĂłn del Ăşltimo coeficiente đ?‘Žđ?‘š+1 , correspondiente a cada fila de la tabla:

â „

đ?&#x;? đ?’‚đ?’Ž+đ?&#x;? = đ?’‚đ?&#x;? − ∑đ?’Ž đ?’‹=đ?&#x;? đ?’‚đ?&#x;?đ?’‹âˆ’đ?&#x;? , (đ?’Ž+đ?&#x;?)â „đ?&#x;?

đ?’‚đ?’Ž+đ?&#x;? = đ?’‚đ?&#x;? − ∑đ?’‹=đ?&#x;?

para m entero par ≼ đ?&#x;?

đ?’‚đ?&#x;?đ?’‹âˆ’đ?&#x;? , para m entero impar ≼ đ?&#x;‘

đ?&#x;?

Donde đ?’‚đ?&#x;? = đ?&#x;?, constante

Podemos entonces construir una nueva tabla para reflejar la relaciĂłn de cada una de las đ?’‚đ?’Ž+đ?&#x;? , con los valores anteriores de las đ?‘Žđ?‘˜ , de su propia fila

Tabla de las đ?’‚đ?’Ž+đ?&#x;? en funciĂłn de las đ?’‚đ?’Œ de cada fila m 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

đ?‘Žđ?‘š+1= â „ â „ 1 2=1 2 1â „6 = 1â „2 − 1â „3 0 = 1â „2 − 1â „4 − 1â „4 â „ − 1 30 = 1â „2 − 1â „5 − 1â „3 0 = 1â „2 − 1â „6 − 5â „12 + 1â „12 1â „42 = 1â „2 − 1â „7 − 1â „2 + 1â „6 0 = 1â „2 − 1â „8 − 7â „12 + 7â „24 − 1â „12 − 1â „30 = 1â „2 − 1â „9 − 2â „3 + 7â „15 − 2â „9 0 = 1â „2 − 1â „10 − 3â „4 + 7â „10 − 1â „2 + 3â „20 5â „66 = 1â „2 − 1â „11 − 5â „6 + 1 − 1 + 1â „2

Estas relaciones son claves, para determinar nuevos tĂŠrminos en la expresiĂłn de sumas parciales acumulativas, establecida con anterioridad para ∑đ?’?đ?’Š=đ?&#x;? đ?’Šđ?’Ž Si queremos por ej. la expresiĂłn de este tipo, que corresponde a ∑đ?’?đ?’Š=đ?&#x;? đ?’Šđ?&#x;?đ?&#x;Ž , podemos desarrollarla

de dos formas equivalentes: 1°, Como agregado de sumas parciales de tĂŠrminos combinatorios, en este caso: đ?‘›

∑ đ?‘– 10 = đ?‘–=1

đ?‘›11 đ?‘›10 đ?‘›9 10 đ?‘›7 10 đ?‘›5 10 đ?‘›3 10 10 + + ( )− ( )+ ( )− ( ) + đ??´. đ?‘› ( ) 9 11 2 12 1 120 3 252 5 240 7

Aunque no conocemos el Ăşltimo tĂŠrmino en esta expresiĂłn, la secuencia de la serie nos permite deducir que tiene la forma supuesta. Donde debemos determinar el coeficiente A (fraccionario), correspondiente a đ?‘š = 10 2°, Simplificando cada uno de los tĂŠrminos de la expresiĂłn anterior, obtendremos la expresiĂłn equivalente, en tĂŠrminos de las đ?‘Žđ?‘˜ : 1

1

5

1

∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘– 10 = đ?‘›11 + đ?‘›10 + đ?‘›9 − đ?‘›7 + đ?‘›5 − đ?‘›3 + đ?‘Ž11 . đ?‘›, 11 2 6 2 Donde debemos determinar el coeficiente đ?‘Ž11 , ( đ?‘Žđ?‘š+1 para đ?‘š = 10 ) Pero segĂşn las relaciones entre las đ?‘Žđ?‘š+1 , y las demĂĄs đ?‘Žđ?‘˜ de su fila, deberĂĄ cumplirse: đ?‘Ž11 = đ?‘Ž2 − (đ?‘Ž1 + đ?‘Ž3 + đ?‘Ž5 + đ?‘Ž7 + đ?‘Ž9 ) =

1 1 5 1 5 − − +1−1+ = 2 11 6 2 66

(Valor que ya habĂ­amos obtenido al confeccionar la tabla de coeficientes đ?‘Žđ?‘˜ , hasta đ?‘š = 10) đ?‘Ž 5 1 10 Entonces, de đ??´ ( ) = đ?‘Ž11 , resulta: đ??´ = 11 = = 10 660 132 9

Por lo tanto, el nuevo tĂŠrmino que podemos agregar a la serie en sumas parciales para ∑đ?’?đ?’Š=đ?&#x;? đ?’Šđ?’Ž , đ?‘š 1 Que se tomarĂĄ en cuenta para đ?‘š = 10 đ?‘Ś đ?‘š = 11, serĂĄ: + 132 đ?‘›đ?‘šâˆ’9 ( ), vĂĄlido para đ?‘š > 9 9 Si queremos obtener el tĂŠrmino siguiente de las sumatorias, vĂĄlido para đ?‘š = 12 đ?‘Ś đ?‘š = 13, Deberemos calcular ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘– 12 , para ello, 1°, utilizaremos la expresiĂłn en sumas parciales: đ?‘›

∑ đ?‘– 12 = đ?‘–=1

đ?‘›13 đ?‘›12 12đ?‘›11 đ?‘›9 12 đ?‘›7 12 đ?‘› 5 12 đ?‘›3 12 12 + + − ( )+ ( )− ( )+ ( ) − đ??ľ. đ?‘› ( ) 11 13 2 12 120 3 252 5 240 7 132 9

2°, simplificamos, y obtenemos la misma ecuaciĂłn en funciĂłn de las đ?‘Žđ?‘˜ , es decir: đ?‘›

∑ đ?‘– 12 = đ?‘–=1

đ?‘›13 đ?‘›12 11 22 33 5 + + đ?‘›11 − đ?‘›9 + đ?‘›7 − đ?‘›5 + đ?‘›3 − đ?‘Ž13 đ?‘› 13 2 6 7 10 3

Donde debemos determinar el coeficiente đ?‘Ž13 , ( đ?‘Žđ?‘š+1 para đ?‘š = 12 ) Pero segĂşn las relaciones entre las đ?‘Žđ?‘š+1 , y las demĂĄs đ?‘Žđ?‘˜ de su fila, deberĂĄ cumplirse: đ?‘Ž13 = đ?‘Ž2 − (đ?‘Ž1 + đ?‘Ž3 + đ?‘Ž5 + đ?‘Ž7 + đ?‘Ž9 + đ?‘Ž11 ) 1

1

2

13

Es decir: đ?‘Ž13 = −

−1+

11 6

−

22 7

33

5

691

+ 10 − 3 = − 2730

đ?‘Ž13 691 12 ), obtenemos: đ??ľ = = , y por lo tanto el tĂŠrmino adicional 12 32760 11 đ?‘š 691 para nuestra expresiĂłn en sumatorias parciales serĂĄ: − 32760 đ?‘›đ?‘šâˆ’11 ( ), aplicable para 11 đ?‘š = 12 đ?‘Ś đ?‘š = 13

Y de đ?‘Ž13 = đ??ľ. (

AsĂ­ sucesivamente, podemos determinar cualquier otro tĂŠrmino adicional que sea necesario para el cĂĄlculo. La revisiĂłn bibliogrĂĄfica necesaria, nos lleva a concluir que los coeficientes đ?’‚đ?’Ž+đ?&#x;? ,del polinomio: đ?’?

∑ đ?’Šđ?’Ž = đ?’‚đ?&#x;? đ?’?đ?’Ž+đ?&#x;? + đ?’‚đ?&#x;? đ?’?đ?’Ž + đ?’‚đ?&#x;‘ đ?’?đ?’Žâˆ’đ?&#x;? + â‹Ż + đ?’‚đ?’Ž đ?’?đ?&#x;? + đ?’‚đ?’Ž+đ?&#x;? đ?’? = ∑ đ?’Š=đ?&#x;?

đ?’Ž+đ?&#x;? đ?’Œ=đ?&#x;?

đ?’‚đ?’Œ đ?’?đ?’Ž+đ?&#x;?−đ?’Œ

Corresponden a los denominados nĂşmeros de Bernoulli (đ?‘Šđ?’Ž ), por lo cual vamos a rescribir dicho polinomio como: ∑đ?’?đ?’Š=đ?&#x;? đ?’Šđ?’Ž = đ?’‚đ?&#x;? đ?’?đ?’Ž+đ?&#x;? + đ?’‚đ?&#x;? đ?’?đ?’Ž + đ?’‚đ?&#x;‘ đ?’?đ?’Žâˆ’đ?&#x;? + â‹Ż + đ?’‚đ?’Ž đ?’?đ?&#x;? + đ?‘Šđ?’Ž đ?’? , donde đ?‘Šđ?’Ž , siempre es el coeficiente de n y las đ?’‚đ?’Œ , con đ?‘˜ desde 1 hasta m, son los coeficientes triangulares de la tabla correspondiente. En este caso, se tendrĂĄ:

đ?‘Ž1 = 1â „(đ?‘š + 1) , para đ?‘š ≼ 0 y đ?‘Ž2 = 1â „2, constante, mientras que: đ?‘Šđ?&#x;? = 1â „2, que es el coeficiente de n en ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘– =

đ?‘›2 2

đ?‘›

+ 2 . AsĂ­ mismo, podrĂ­amos tomar a đ?‘Šđ?&#x;Ž = 1, que es el coeficiente

de n en ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘– 0 = đ?‘›, es decir podrĂ­amos comenzar la determinaciĂłn de los đ?‘Šđ?’Ž en đ?‘š = 0. Adicionalmente, đ?‘Žđ?‘˜ = 0, âŠ? k par > 2 1 đ?‘š ( ), 12 1

đ?‘Ž3 =

que se calcula para m > 2, ya que para m = 2, se tiene:

1 2 1 đ?‘Šđ?&#x;? = 12 ( ) = 6, y đ?‘Šđ?&#x;‘ = 0 = đ?‘Ž4 1 1 đ?‘š AnĂĄlogamente, đ?‘Ž5 = − 120 ( ), que se calcula para m > 4, ya que para m = 4,se tiene: 3

đ?‘Šđ?&#x;’ = −

1 4 ( ) 120 3

=−

1 , 30

y đ?‘Šđ?&#x;“ = 0 = đ?‘Ž6

1 đ?‘š AsĂ­ mismo, đ?‘Ž7 = 252 ( ), que se calcula para m > 6, ya que para m = 6, se tiene: 5 1 6 1 đ?‘Šđ?&#x;” = 252 ( ) = 42, y đ?‘Šđ?&#x;• = 0 = đ?‘Ž8 , y asĂ­ sucesivamente. 5

En vista de los resultados obtenidos previamente, podemos escribir una expresiĂłn que nos de los đ?‘Šđ?’Ž , en funciĂłn de sumas parciales de tĂŠrminos combinatorios, a saber: đ?‘Šđ?’Ž =

đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?’Ž đ?&#x;? đ?’Ž đ?&#x;? đ?’Ž đ?&#x;? đ?’Ž đ?&#x;? đ?’Ž đ?&#x;”đ?&#x;—đ?&#x;? đ?’Ž âˆ’ă€” │+ ( )│ − ( )│ + ( )│ − ( )│ + ( )│ − ( )│ Âą â‹Ż] đ?&#x;? đ?’Ž+đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;Ž đ?&#x;‘ đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;? đ?&#x;“ đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;Ž đ?&#x;• đ?&#x;?đ?&#x;‘đ?&#x;? đ?&#x;— đ?&#x;‘đ?&#x;?đ?&#x;•đ?&#x;”đ?&#x;Ž đ?&#x;?đ?&#x;?

đ?’Ž=đ?&#x;?

m>1

m>2

m>4

m>6

m>8

m>10

m>12

...

ExplicaciĂłn: đ?’Ž

đ?&#x;? Supongamos que conocemos la expresiĂłn solo hasta su cuarto tĂŠrmino :− đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;Ž ( ) , esto nos permite đ?&#x;‘

calcular đ??ľ1 = 1â „2 , đ??ľ2 = 1â „6 , đ??ľ3 = 0, đ??ľ4 = 1â „30 , đ??ľ5 = 0, đ?‘Ś đ??ľ6 = 1â „42. Llamemos đ??ś5 al đ?‘š coeficiente del tĂŠrmino combinatorio siguiente, que sabemos tiene la forma đ??ś5 ( ), y que es 5 6 necesario para calcular đ??ľ7 đ?‘Ś đ??ľ8 .Este coeficiente se obtiene de đ??ľ6 = đ??ś5 ( ), de donde: 5 đ??ś5 =

đ??ľ6 6

=

1 , 252

đ?’Ž

đ?&#x;? con lo que queda determinado el quinto tĂŠrmino de las sumatorias: + đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;? ( ), lo đ?&#x;“

que nos permite a su vez, calcular đ??ľ7 = 0 đ?‘Ś đ??ľ8 = − 1â „30. AnĂĄlogamente se tendrĂĄ : đ?’Ž

đ?&#x;? đ??ś6 = đ??ľ8 â „8 = − 1â „240, con lo que obtenemos el sexto tĂŠrmino de las sumatorias: − đ?&#x;?đ?&#x;’đ?&#x;Ž ( ) ,que nos đ?&#x;•

permite calcular đ??ľ9 = 0 đ?‘Ś đ??ľ10 = 5â „66, y con estos valores se obtiene đ??ś7 = đ??ľ10 â „10 = 1â „32, y asĂ­ sucesivamente. Tomando en cuenta estos resultados, podemos escribir una expresiĂłn que nos permite calcular el valor de una determinada đ?‘Šđ?’Ž , en funciĂłn de los valores previos ya conocidos.

đ?‘Šđ?’Ž =

đ?&#x;? đ?&#x;? đ?‘Šđ?&#x;? đ?’Ž đ?‘Šđ?&#x;’ đ?’Ž đ?‘Šđ?&#x;” đ?’Ž −[ │+ ( )│ + ( )│ + ( )│ +â‹Ż] đ?&#x;? đ?’Ž+đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;’ đ?&#x;‘ đ?&#x;” đ?&#x;“

đ?’Ž=đ?&#x;?

đ?’Ž>1

đ?‘š>2

đ?‘š>4

đ?‘š>6

‌

ExplicaciĂłn: Conocido đ??ľ1 = 1â „2, este valor nos permite calcular đ??ľ2 = 1â „2 − 1â „3 = 1â „6 1 2

1 4

Conocido đ??ľ2 , podemos calcular đ??ľ3 = − [ + 1

1

1â „6 3 ( )] 2 1

Conocido đ??ľ4 , nos permite calcular đ??ľ5 = 2 − [6 + 1

1

đ??ľ6 = 2 − [7 +

1⠄6 6 1⠄30 6 ( ) − 4 ( )] 2 1 3

1 2

1 5

= 0, y đ??ľ4 = − [ +

1⠄6 5 1⠄30 5 ( ) − 4 ( )] 2 1 3

1â „6 4 ( )] 2 1

=−

1 30

= 0, y

1

= 42, conocido đ??ľ6 , nos permite calcular đ??ľ7 đ?‘Ś đ??ľ8 , y asĂ­

sucesivamente. Como hemos encontrado que se verifican las siguientes relaciones: đ??ľ2 1 = , 2 12

đ??ľ4 1 =− , 4 120

đ??ľ6 1 đ??ľ8 1 = , =− , 6 252 8 240

đ??ľ10 1 = 10 132

y asĂ­ sucesivamente, podemos entonces rescribir la expresiĂłn encontrada para : ∑đ?’?đ?’Š=đ?&#x;? đ?’Šđ?’Ž , en tĂŠrminos de las đ??ľđ?‘š , y asĂ­ resulta: đ?‘›

∑ đ?‘–đ?‘š = đ?‘–=1

đ?‘›đ?‘š+1 đ?‘š đ??ľ1 đ?‘š đ??ľ2 đ?‘š đ??ľ4 đ?‘š đ??ľ6 đ?‘š đ??ľ8 + ( ) đ?‘›đ?‘š + ( ) đ?‘›đ?‘šâˆ’1 + ( ) đ?‘›đ?‘šâˆ’3 + ( ) đ?‘›đ?‘šâˆ’5 + + ( ) đ?‘›đ?‘šâˆ’7 + â‹Ż 0 1 1 2 3 4 5 6 7 8 đ?‘š+1

A esta expresiĂłn, podemos agregarle los đ??ľđ?‘š â „đ?‘š, para valores impares de đ?‘š ≼ 3, ya que todos son ceros, y por lo tanto no afectan la sumatoria. Podemos entonces escribir: đ?‘š đ??ľ đ?‘š đ??ľ đ?‘š đ??ľ đ?‘š đ??ľ đ?‘š đ??ľ đ?‘›đ?‘š+1 ∑đ?‘›đ?‘–=1 đ?‘– đ?‘š = + ( ) 1 đ?‘›đ?‘š + ( ) 2 đ?‘›đ?‘šâˆ’1 + ( ) 3 đ?‘›đ?‘šâˆ’2 + ( ) 4 đ?‘›đ?‘šâˆ’3 + ( ) 5 đ?‘›đ?‘šâˆ’4 + đ?‘š+1 0 1 1 2 2 3 3 4 4 5 đ?‘š đ??ľ6 đ?‘šâˆ’5 đ?‘š đ??ľ7 đ?‘šâˆ’7 ( )6đ?‘› +( ) 7 đ?‘› +â‹Ż 5 6 đ?‘š đ?‘š+1 đ?‘š+1 Tomando en cuenta que ( ) = đ?‘— (đ?‘— − 1), o lo que es equivalente: đ?‘— đ?‘š đ?‘š+1 đ?‘— (đ?‘— − 1) = ( ) đ?‘š+1, podemos hacer las sustituciones siguientes en los tĂŠrminos de la expresiĂłn đ?‘— sumatoria: 1 đ?‘š đ?‘š+1 ( )=( ) 0 1 đ?‘š+1 2 đ?‘š đ?‘š+1 ( )=( ) 1 2 đ?‘š+1 3 đ?‘š đ?‘š+1 ( )=( ) 2 3 đ?‘š+1

Y asĂ­ sucesivamente para cada valor combinatorio de la sumatoria. Sustituyendo, se eliminan todos y cada uno de los denominadores de los đ??ľđ?‘š â „đ?‘š, y ademĂĄs se puede sacar a la fracciĂłn 1â „(đ?‘š + 1), como factor comĂşn. Entonces, tomando en cuenta que đ??ľ0 = 1 y que đ?‘š+1 ( ) = 1, podemos escribir: 0 đ?‘›

∑ đ?‘–đ?‘š = đ?‘–=1

1 đ?‘š+1 đ?‘š+1 đ?‘š+1 đ?‘š+1 [( ) đ??ľ0 đ?‘›đ?‘š+1 + ( ) đ??ľ1 đ?‘›đ?‘š + ( ) đ??ľ2 đ?‘›đ?‘šâˆ’1 + ( ) đ??ľ3 đ?‘›đ?‘šâˆ’2 + â‹Ż ] 0 1 2 3 đ?‘š+1

Con lo que queda normalizada (homogenizada), la expresiĂłn, y como conocemos que se trata de un polinomio de đ?‘š + 1 , tĂŠrminos y de grado đ?‘š + 1 en n, la expresiĂłn completa podemos escribirla como: đ?’Ž+đ?&#x;? đ?’Ž+đ?&#x;? đ?’Ž+đ?&#x;? ) đ?‘Šđ?&#x;Ž đ?’?đ?’Ž+đ?&#x;? + ( ) đ?‘Šđ?&#x;? đ?’?đ?’Ž + ( ) đ?‘Šđ?&#x;? đ?’?đ?’Žâˆ’đ?&#x;? + â‹Ż + đ?&#x;Ž đ?&#x;? đ?&#x;? đ?’Ž+đ?&#x;? đ?’Ž+đ?&#x;? ( )đ?‘Š đ?’?đ?&#x;? ( ) đ?‘Šđ?’Ž đ?’? ] đ?’Ž − đ?&#x;? đ?’Žâˆ’đ?&#x;? đ?’Ž ∑đ?’?đ?’Š=đ?&#x;? đ?’Šđ?’Ž =

đ?&#x;?

đ?’Ž+đ?&#x;?

[(

Que puede resumirse en:

∑đ?’?đ?’Š=đ?&#x;? đ?’Šđ?’Ž =

đ?&#x;? đ?’Ž+đ?&#x;?

∑đ?’Ž đ?’‹=đ?&#x;Ž (

đ?’Ž+đ?&#x;? ) đ?‘Šđ?’‹ đ?’?đ?’Ž+đ?&#x;?−đ?’‹ , con đ?‘Šđ?&#x;? = đ?&#x;?â „đ?&#x;? y đ?’Ž ≼ đ?&#x;Ž đ?’‹

AsĂ­, por ej. para đ?‘š = 0, con đ??ľ0 = 1 đ?‘›

1 1 ∑ đ?‘– 0 = [( ) đ??ľ0 đ?‘›] = đ?‘› 1 0 đ?‘–=1

Para đ?‘š = 1, con đ??ľ0 = 1 đ?‘Ś đ??ľ1 = 1â „2 đ?‘›

1 2 1 đ?‘›2 đ?‘› 2 ∑ đ?‘– = [( ) đ??ľ0 đ?‘›2 + ( ) đ??ľ1 đ?‘› ] = [đ?‘›2 + đ?‘›] = + 1 2 0 2 2 2 đ?‘–=1

Para đ?‘š = 2, con đ??ľ0 = 1 , đ??ľ1 = 1â „2 , đ?‘Ś đ??ľ2 = 1â „6 đ?‘›

1 3 1 3 1 đ?‘›3 đ?‘›2 đ?‘› 3 3 ∑ đ?‘– 2 = [( ) đ??ľ0 đ?‘›3 + ( ) đ??ľ1 đ?‘›2 + ( ) đ??ľ2 đ?‘› ] = [đ?‘›3 + đ?‘›2 + đ?‘›] = + + 1 2 3 0 3 2 2 3 2 6 đ?‘–=1

Con estos ejemplos que a su vez sirven de comprobaciĂłn de la Ăşltima fĂłrmula de sumatorias đ?’?

deducida para ∑đ?’Š=đ?&#x;? đ?’Šđ?’Ž , damos por terminados estos breves apuntes sobre algunos aspectos relevantes e interrelacionados, de la combinatoria con repeticiĂłn, las series paralelas y los nĂşmeros naturales. Enrique R. Acosta R. 1998-Revisado 2016

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