Distribución tetraedrica de coeficientes tetranomiales(completo)

DistribuciĂłn tetraĂŠdrica de coeficientes tetranomiales

Enrique R. Acosta R. 2016

DistribuciĂłn tetraĂŠdrica de los coeficientes de un tetranomio elevado a la m : (đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;‘ + đ?’™đ?&#x;’ )đ?’Ž Como hemos visto, en el estudio del “Prisma Combinatorioâ€?, cuando elevamos un binomio a la potencia m : (đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;? )đ?’Ž , sus coeficientes (nĂşmeros binomiales, o combinaciones sencillas de m nĂşmeros naturales tomados n a n ,con 0≤ n ≤m ), se distribuyen en lĂ­neas o filas (una dimensiĂłn), todas paralelas y equidistantes entre sĂ­, en el plano Ođ?‘ż+ đ?’€+, que en conjunto determinan el plano que las contiene (∆đ?&#x;Ž ),o triĂĄngulo de Pascal.

Igualmente, cuando consideramos la distribuciĂłn de los coeficientes correspondientes a un trinomio elevado a la m : (đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ3 )đ?‘š ,que hemos denominado coeficientes trinomiales, esta se puede concebir como el resultado de multiplicar escalarmente los coeficientes lineales de ∆đ?&#x;Ž (hasta la fila m), por los propios valores de la fila m, dando como resultado una distribuciĂłn plana (dos dimensiones), que agrupa todos los coeficientes trinomiales asĂ­ obtenidos, en un mismo plano (∆ đ?‘‡ ),con todas las caracterĂ­sticas y propiedades ya estudiadas.

Estos resultados, obtenidos previamente, nos permite por analogĂ­a, considerar que los coeficientes resultantes de elevar un tetranomio a la m : (đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;‘ + đ?’™đ?&#x;’ )đ?’Ž , o coeficientes tetranomiales, pueden concebirse como distribuidos en un volumen (o varios), generado como el producto de un plano multiplicado escalarmente por una lĂ­nea, y que en este caso deberĂĄ corresponder a un tetraedro o pirĂĄmide regular de caras y base triangular equilĂĄteras.

A continuaciĂłn, presentamos los resultados de esta supuesta distribuciĂłn, para los casos de m=1 hasta m=8. Cada tetraedro o grupo de tetraedros, se presentan en forma desplegada, lo que facilita su representaciĂłn grĂĄfica de manera sencilla y expedita.

En cada cara desplegada del tetraedro principal, la distribuciĂłn de coeficientes tetranomiales , coincide con la distribuciĂłn de los coeficientes trinomiales ∆đ?‘ť para el mismo valor de m, mientras que la distribuciĂłn de los coeficientes tetranomiales no contemplados en ∆đ?‘ť , se han ubicado en los vĂŠrtices y aristas de un tetraedro adicional, o secundario. Esta distribuciĂłn en cada caso de m, resulta congruente con el nĂşmero de veces en que aparecen dichos coeficientes en el desarrollo del tetranomio elevado a la m. Para los casos en que m es par y mĂşltiplo de cuatro, aparece un Ăşnico valor adicional, o tetraedro singular.

Tetraedro o PirĂĄmide regular

Tetraedro desplegado (cuatro triĂĄngulos equilĂĄteros)

GRAFICOS DE DISTRIBUCION TETRAEDRICA DE LOS COEFICIENTES DE UN TETRANOMIO ELEVADO A LA m DESDE m=1 HASTA m=8 (đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;‘ + đ?’™đ?&#x;’ )đ?’Ž m 1

Coef. N⠰V. 1 4 ∑= 4

1 1 1

1 1

1

1 m 2

Coef.

1 2 ∑=

Nâ °V. 4 6 10

2 1 2 1

2 2

2 2

1 2

1

2 2

1

1 m 3

Cof. 1 3 6 ∑=

Nâ °V. 4 12 4 20

3 3 1 3 3 1

6 3

3 6

3

3

3 6

3 3

3 1 3 3

1

3 6

3

3 3

1

NOTA: El NĂşmero de veces (Nâ °V.) , se refiere siempre en cada caso de m, al Nâ ° de coeficientes que corresponden al tetraedro reconstruido (sin desplegar)

m 4

Coef.

1 4 6 12 24 ∑=

N⁰V. 4 12 6 12 1 35

1 4 6 4

4 12

12

6 12

4 Singularidad

1

4

6

4

1 (24)

4 6 4 1

m 5

Coef.

1 5 10 20 30 *60 ∑=

4 12

12 4

6 12

6

N⁰V. 4 12 12 12 12 4 56

1

5

4 12

12 4

.

6

12 6

4 4

1

* Tetraedro secundario 60 60 60 5 60

20

60

10 60

10

30 20

5 5

30

20

20

1 5

10 10

5 1

5 5

30

5 5

20

30

10

10

10

30

20 10

30

20

30

30

10

10

30 10

1

10

20

20

6 4

5

5

5

4

4

1

1

10

12 12

4

5

10

12

20 30

20 5

5 10 30 30

10

10 20

10

5 5

1

m 6

Coef.

1 6 15 20 30 60 90 *120 *180 ∑=

1

N⁰V. 4 12 12 6 12 24 4 4 6 84

6 15 20 15 6 1 6

15 20 15 6 1

60 60

30 6

30 60

60 15

60 20

30

30

60

6

6

20

6

180 180

120 180

30

120

180 180 120

180 120

180

120

15 60

90 60

15

180 180

30

60

6

6

60

*Tetraedro Secundario 120

1

15

15

1

6 6

60

30

6

30

60

60

15

15

90

15

15

60

60

20

20 60

20

60

60

60

60

30

15

90

15

15

90

60

30

6

30

60

6

6

20 60

60 20

15 30

15

6 6

1

*Tetraedro Secundario 1 m 7

C0ef.

1 7 21 35 42 105 140 *210 *420 *630 ∑=

210

Nâ °V 4 12 12 12 12 24 12 12+*4 12 4 120

7

420 420

21

420

42

630

105

420

105

140

420

105

210 210

420 630

140

420

42

105

630

210 140

420 420

105

420 420

210

630

105

420

21 420

7

210

35 420

21

420

35 210

35

420

21 420

35

210

7

42

420

7 210

1 7 21 35 35 21 7 1

7

42

140

42

105

105

21 105

210 210

105 21

7 42

140

42 7

7

35

21

1

21

35

7 1

42

140

42

7

105

105

7 7

105

210

21

21

210

105

42 21

140

140

105

35

210

35

105 35

105

35

210

35

105

140

140 35

42

105

210

21

21

210

105 21

7

105

105

7

140 210

140 35

35 35 105 105

35

21 42

21

7 7

1

*Se puede notar que para r=4 y m=7, el coeficiente 210 proviene de dos casos separados(ver tabla I ),que se generan a partir de dos series Diferentes (ver Tabla II ),una produce 12 coeficientes del tetraedro principal y la otra los 4 restantes del secundario

m 8

Coef.

1 8 28 56 70 168 280 *336 420 560 *840 *1120 *1680 2520 ∑=

1

Nâ °V 4 12 12 24 6 24 24 4 12 12 12 6 12 1 165

8

8

28 56 70 56 28 8 1 8 28 56 70 56 28 8 1

280 280

168 56

8

168

28

168

560

168

280

560

70

420

28 56

28

56

8

1

420

420

56 280

560 560

280 56

28 168

560

168 28

56

280

168

8

168

280

56 8

28

70

28

1 8

56

56

8

8

168

280

8

56

280

168

8

28

420

420

28 56

168

560

168

168 168

56

280

168

56

560

56

168

280

560

56

420

70

420

70 280

280

280

280

280

280 70

168

280

560

56

56

560

280

168

56

560

280 56

28

420

420

56

168

560

168

28

420

420

28

8 56

280

168

8

168

280

56

56

280 420

280 70

70 56 168 168

56

28 56

28

8 8

La Singularidad aparece cuando el Nâ ° de veces que se repite el Ăşltimo coeficiente correspondiente a r=4, para un determinado valor de m, coincide con el primer tĂŠrmino de la serie diagonal đ?‘şđ?&#x;’ , que siempre es igual a la unidad. Esto ocurre cuando m es mĂşltiplo de 4.(Ver Tablas I y II )

1

*Tetraedro Secundario para r=4 y m=8 336

840

1120

840

840

1680

336

1680

1120

840

1680

1680

336

840

1680

1680 1120

840

1680

1120

840

840

840

336

1680

840

1680 840

336

1680

1120

1120

840

840

1680

1680

840

1120

840

1120

840

840

1120 840

336

Singularidad (2520) .

GrĂĄfico : SERIES DIAGONALES PARALELAS DEL TRIANGULO DE PASCAL

đ?‘şđ?&#x;? đ?‘şđ?&#x;?

1 1 1 1

1 1 1 1

6

8 9

36

6 10

21

35 56 126 210

252

.

.

1

10

45

.

.

.

.

15

70

đ?‘şđ?&#x;•

1 6

21

đ?‘şđ?&#x;–

1 7

56

28 36

210

84 120

.

.

126

.

đ?‘şđ?&#x;”

1 5

35

28 84 120

4

20

đ?‘şđ?&#x;“

1

10

15

đ?‘şđ?&#x;’

1 3

4 5

7

2 3

1 1

đ?‘şđ?&#x;‘

1

đ?‘şđ?&#x;—

1 8

đ?‘şđ?&#x;?đ?&#x;Ž

1 9

45

10

.

đ?‘şđ?&#x;?đ?&#x;?

1 1

.

.

Filas 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

Tabla de coeficientes posibles para (đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;? + â‹Ż + đ?’™đ?’“ )đ?’Ž , en funciĂłn de m y r*. Desde m=1, hasta m=9 m 1

đ?’Œđ?&#x;?đ?’Ž 1

đ?’‘đ?’Ž đ?’Œđ?&#x;?

1*

đ?’Œđ?&#x;?đ?’Ž

đ?’‘đ?’Ž đ?’Œđ?&#x;‘đ?’Ž đ?’Œđ?&#x;? r=2

2

2

1

1,1

2*

3

3

1

1,2

3

1,1,1

6*

4

4

1

1,3 2,2

4 6

1,1,2 ------

12 ---

1,1,1,1 ---------

24* ----

1,4 2,3

5 10

1,1,3 1,2,2

20 30

1,1,1,2 --------

60 ----

1,1,1,1,1 ------------

120*

1,5 2,4 3,3

6 15 20

1,1,4 1,2,3 2,2,2

30 60 90

1,1,1,3 1,1,2,2 ---------

120 180 -----

1,1,1,1,2 ---------------------

360 ---------

1,1,1,1,1,1 -------------------------

720* ---------

1,6 2,5 3,4 ----

7 21 35 ----

1,1,5 1,2,4 1,3,3 2,2,3

42 105 140 210

1,1,1,4 1,1,2,3 1,2,2,2 ---------

210 420 630 -----

1,1,1,1,3 1,1,1,2,2 ---------------------

840 1260 -------------

1,1,1,1,1,2 ----------------------------------------

2520 ----------------------

5 6

7

5 6

7

1 1

1

đ?’‘đ?’Ž đ?’Œđ?&#x;‘

đ?’Œđ?&#x;’đ?’Ž

đ?’‘đ?’Ž đ?’Œđ?&#x;’

đ?’Œđ?&#x;“đ?’Ž

đ?’‘đ?’Ž đ?’Œđ?&#x;“

đ?’Œđ?&#x;”đ?’Ž

đ?’‘đ?’Ž đ?’Œđ?&#x;”

đ?’Œđ?&#x;•đ?’Ž

(Tabla I ) đ?’‘đ?’Ž đ?’Œđ?&#x;•

đ?’Œđ?&#x;–đ?’Ž

đ?’‘đ?’Ž đ?’Œđ?&#x;–

đ?’Œđ?&#x;—đ?’Ž

đ?’‘đ?’Ž đ?’Œđ?&#x;—

1,1,1,1,1,1,1,1,1 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

r=9 362880* -------------------------------------------------------

r=3 r=4 r=5 r=6

r=7 1,1,1,1,1,1,1 -------------------------------------------------

5040* ---------------------r=8

8

8

1

1,7 2,6 3,5 4,4 ----

8 28 56 70 ----

1,1,6 1,2,5 1,3,4 2,2,4 2,3,3

56 168 280 420 560

1,1,1,5 1,1,2,4 1,1,3,3 1,2,2,3 2,2,2,2

336 840 1120 1680 2520

1,1,1,1,4 1,1,1.2,3 1,1,2,2,2 ---------------------

1680 3360 5040 -------------

1,1,1,1,1,3 1,1,1,1,2,2 ----------------------------------------

6720 10080 ----------------------

1,1,1,1,1,1,2 -------------------------------------------------------------

20160 -----------------------------

1,1,1,1,1,1,1,1 -------------------------------------------------------------------------

40320* ---------------------------------

9

9

1

1,8 2,7 3,6 4,5 ----------

9 36 84 126 -------------

1,1,7 1,2,6 1,3,5 1,4,4 2,2,5 2,3,4 3,3,3

72 252 504 630 756 1260 1680

1,1,1,6 1,1,2,5 1,1,3,4 1,2,2,4 1,2,3,3 2,2,2,3 ------

504 1512 2520 3780 5040 7560 -------

1,1,1,1,5 1,1,1,2,4 1,1,1,3,3 1,1,2,2,3 1,2,2,2,2 -------------------

3024 7560 10080 15120 22680 ---------------

1,1,1,1,1,4 1,1,1,1,2,3 1,1,1,2,2,2 -----------------------------------------------------

15120 30240 45360 -----------------------------

1,1,1,1,1,1,3 1,1,1,1,1,2,2 ----------------------------------------------------------------------------

60480 90720 ------------------------------------

1,1,1,1,1,1,1,2 -------------------------------------------------------------------------------------------------------------

181440 -------------------------------------------------------

*El coeficiente al extremo de cada fila (para cada m), sĂłlo comienza a aparecer (una vez) cuando m=r, y su nĂşmero de veces para r ≼ m, estĂĄ determinado por los tĂŠrminos de la serie diagonal đ?‘şđ?’Ž+đ?&#x;? . (Ver tabla II). Su valor en cada caso es: m! đ?’Ž Nota: Los valores bajo cada đ?‘ˇđ?’Ž đ?’Œđ?’Š (đ?’Š = đ?&#x;?, ‌ , đ?’“) ,a la izquierda de r=i, (i=1,‌,9), corresponden a los coeficientes de (đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;? + â‹Ż + đ?’™đ?’“ ) , AsĂ­ para r=3 ,serĂ­an los Trinomiales, y para r=4,los Tetranomiales., etc. AsĂ­ mismo, los coeficientes bajo la columna đ?’‘đ?’Ž đ?’Œđ?&#x;’ , son los que corresponden a los tetraedros secundarios y/o singularidades de un Tetranomio elevado a la m .

Coeficientes y su nĂşmero de veces en (đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;? + â‹Ż + đ?’™đ?’“ )đ?’Ž , segĂşn valores de m y r (Tabla II ).Desde m=0, hasta m=8, para r= 1,2,3,4,5,6,7 m

Coef

0 ∑

1 →đ?‘şđ?&#x;?

1 ∑ 2 ∑ 3

∑ 4

∑

1 1 1

Nâ ° de veces para r= 2 3 4 5 6 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1

7 1 1

1 →đ?‘şđ?&#x;?

1 1

2 2

3 3

4 4

5 5

6 6

7 7

1 2 →đ?‘şđ?&#x;‘

1 0 1

2 1 3

3 3 6

4 6 10

5 10 15

6 15 21

7 21 28

1 3 6 →đ?‘şđ?&#x;’

1 0 0 1

2 2 0 4

3 6 1 10

4 12 4 20

5 20 10 35

6 30 20 56

7 42 35 84

1 4 6 12 24 →đ?‘şđ?&#x;“

1 0 0 0 0 1

2 2 1 0 0 5

3 6 3 3 0 15

4 12 6 12 1 35

5 20 10 30 5 70

6 7 30 42 15 21 60 105 15 35 126 210

m

Coef

6

1 6 15 20 30 60 90 120 180 360 720 →đ?‘şđ?&#x;•

1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

2 2 2 2 1 0 0 0 0 0 0 0 7

Nâ ° de veces para r= 3 4 5 6 3 4 5 6 6 12 20 30 6 12 20 30 3 6 10 15 3 12 30 60 6 24 60 120 1 4 10 20 0 4 20 60 0 6 30 90 0 0 5 30 0 0 0 1 28 84 210 462

1 7 21 35 42 105 140 210 210 420 630 840 1260 2520 5040 →đ?‘şđ?&#x;–

1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

2 2 2 2 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 8

3 6 6 6 3 6 3 3 0 0 0 0 0 0 0 36

∑ 7

* 5

∑

1 5 10 20 30 60 120 →đ?‘şđ?&#x;”

1 0 0 0 0 0 0 1

2 2 2 0 0 0 0 6

3 6 6 3 3 0 0 21

4 12 12 12 12 4 0 56

5 20 20 30 30 20 1 126

6 30 30 60 60 60 6 252

7 42 42 105 105 140 21 ∑ 462

4 12 12 12 12 24 12 12 4 12 4 0 0 0 0 120

5 20 20 20 30 60 30 30 20 60 20 5 10 0 0 330

6 30 30 30 60 120 60 60 60 180 60 30 60 6 0 792

7 7 42 42 21 105 210 35 140 210 105 7 924 7 42 42 42 105 210 105 105 140 420 140 105 210 42 1 1716

*El coeficiente 210 se contabiliza dos veces (dos orĂ­genes diferentes). Ver distribuciĂłn tetraĂŠdrica para el caso r=4

Tabla II. (ContinuaciĂłn) m 8

∑=

Coef.

Nâ ° de veces para r= 1 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1

1 8 28 *56 56 70 168 280 336 420 560 840 1120 *1680 1680 2520 3360 5040 6720 10080 20160 40320 → đ?‘şđ?&#x;—

2 2 2 2 2 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 9

3 3 6 6 6 3 3 6 6 0 3 3 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 45

4 4 12 12 12 12 6 24 24 4 12 12 12 6 12 0 1 0 0 0 0 0 0 165

5 5 20 20 20 30 10 60 60 20 30 30 60 30 60 5 5 20 10 0 0 0 0 495

6 6 30 30 30 60 15 120 120 60 60 60 180 90 180 30 15 120 60 6 15 0 0 1287

7 7 42 42 42 105 21 210 210 140 105 105 420 210 420 105 35 420 210 42 105 7 0 3003

*Los coeficientes 56 y 1680, se contabilizan dos veces c/u (dos orĂ­genes diferentes) Algunas Propiedades: 1. El nĂşmero total de coeficientes , para cada caso de m y r, coincide con el tĂŠrmino correspondiente de la Serie Diagonal đ?‘şđ?’Ž+đ?&#x;? ,constitutiva del Triangulo de Pascal (∆đ?&#x;Ž ) . Y vendrĂĄ dado por el valor combinatorio: Nâ °TC=(

đ?’Ž+đ?’“−đ?&#x;? ) đ?’“−đ?&#x;?

2. ∑ (Coef.*Nâ °veces) = đ?’“đ?’Ž .Ejemplo: Para m=4 y r=3

Coef 1 4 6 12 24

x x x x x

N⠰V 3 6 3 3 0 ∑

= = = = =

3 24 18 36 0 81

=34

ObtenciĂłn analĂ­tica de los coeficientes tetranomiales de las caras del tetraedro secundario en el caso de la distribuciĂłn tetraĂŠdrica de los coeficientes de (đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;‘ + đ?’™đ?&#x;’ )đ?’Ž Hemos encontrado que la distribuciĂłn de los coeficientes tetranomiales en los tetraedros secundarios en cada fila se corresponde con las siguientes expresiones:

đ?‘­đ?’Œđ?’Š,đ?’?

=

đ?‘­đ?’Œ+đ?&#x;? đ?’Š,đ?’?−đ?&#x;?

∗(

đ?‘ľÂ°đ?’•đ?’‡ −đ?’?+đ?&#x;? đ?’?−đ?’Š+đ?&#x;?

)

đ?‘­đ?’Œđ?’?,đ?’? = đ?‘­đ?’Œđ?&#x;Ž,đ?’?

y,

,con i = 0,1,‌,n

Estas expresiones , nos permiten construir fila por fila los triĂĄngulos de coeficientes tetranomiales secundarios, para cada valor de m.

đ?‘­đ?’Œđ?’Š,đ?’? , indica el tĂŠrmino del nivel k, en el lugar i de la fila n đ?‘­đ?’Œ+đ?&#x;? đ?’Š,đ?’?−đ?&#x;? , indica el tĂŠrmino del nivel k+1, en el lugar i de la fila n-1 đ?‘ľÂ°đ?’•đ?’‡ , representa el nĂşmero total de filas para el caso m considerado n, es el nĂşmero de la fila considerada i, es el lugar del tĂŠrmino en la fila n

Donde:

Para el caso m=4 sĂłlo aparece una singularidad, que corresponde a 4,1,1,1,1, dada por: đ?&#x;?đ?&#x;’ =

đ?&#x;’! đ?&#x;?đ?&#x;’

Caso m=5 n 0

k 5

1

4

�°�� =2

5 đ??š05 = {đ??š0,0 }={60}=60

60

60

4 4 đ??š14 ={đ??š0,1 , đ??š1,1 }={60,60} = 60,60

60

4 5 4 4 ObtenciĂłn de la fila de la fila 1, a partir de la fila 0 (đ??š0,1 , en funciĂłn de đ??š0,0 , y đ??š1,1 = đ??š0,1 ) 60=60*2/2 y, 60=60

Caso m=6 n 0

k 6

đ?‘ľÂ°đ?’•đ?’‡ =đ?&#x;‘

120

6 đ??š06 = {đ??š0,0 } = {120} = 120 5 5 đ??š15 = {đ??š0,1 , đ??š1,1 } = {180,180} = 180,180

1

5

180

180 4 4 4 đ??š24 = {đ??š0,2 , đ??š1,2 , đ??š2,2 } = {120,180,120}=120,180,120

2

4

120

180

120

ObtenciĂłn de la fila 1 en funciĂłn de la fila 0 180=120*3/2 y, 180=180 ObtenciĂłn de la fila 2 en funciĂłn de la fila 1 120=180*2/3 180=180*2/2 y, 120=120

Caso m=7 n 0

k 7

1

6

2

5

3

4

𝑵°𝒕𝒇 = 𝟒

210 420 420 210

420 630

420

420 420

210

7 𝐹07 = {𝐹0,0 } = {210} = 210 6 6 𝐹16 = {𝐹0,1 , 𝐹1,1 } = {420,420} = 420,420 5 5 5 𝐹25 = {𝐹0,2 , 𝐹1,2 , 𝐹2,2 } = {420,630,420} = 420,630,420 4 4 4 4 𝐹34 = {𝐹0,3 , 𝐹1,3 , 𝐹2,3 , 𝐹3,3 } = {210,420,420,210} = 210,420,420,210

Obtención de la fila 1 en función de la fila 0 420=210*4/2 y, 420=420 Obtención de la fila 2 en función de la fila 1 420=420*3/3 630=420*3/2 y, 420=420 Obtención de la fila 3 en función de la fila 2 210=420*2/4 420=630*2/3 420=420*2/2 y, 210=210

Caso m=8 n 0

k 8

1

7

2

6

3

5

4

4

�°�� = 5

336 840 1120 840 336

840 1680

1680 840

1120 1680

1120

840 840

336

8 đ??š08 = {đ??š0,0 } = {336} = 336 7 7 đ??š17 = {đ??š0,1 , đ??š1,1 } = {840,840} = 840,840 6 6 6 đ??š26 = {đ??š0,2 , đ??š1,2 , đ??š2,2 } = {1120,1680,1120} = 1120,1680,1120 5 5 5 5 đ??š35 = {đ??š0,3 , đ??š1,3 , đ??š2,3 , đ??š3,3 } = {840,1680,1680,840} = 840,1680,1680,840 4 4 4 4 4 đ??š44 = {đ??š0,4 , đ??š1,4 , đ??š2,4 , đ??š3,4 , đ??š4,4 } = {336,840,1120,840,336} = 336,840,1120,840,336

ObtenciĂłn de la fila 1 en funciĂłn de la fila 0 840=336*5/2 y, 840=840 ObtenciĂłn de la fila 2 en funciĂłn de la fila 1 1120=840*4/3 1680=840*4/2 y, 1120=1120 ObtenciĂłn de la fila 3 en funciĂłn de la fila 2 840=1120*3/4 1680=1680*3/3 1680=1120*3/2 y, 840=840 ObtenciĂłn de la fila 4 en funciĂłn de la fila 3 336=840*2/5 840=1680*2/4 1120=1680*2/3 840=840*2/2 y, 336=336 La singularidad para m=8, corresponde a 8,2,2,2,2, dada por: 2520 =

8!

24

Las singularidades se dan para las m, múltiplos de 4 y responden a la sucesión:{ 4! 8! 12! 16! 20! , , , , ,‌ 14 24 64 244 1204

(4đ?‘›)! (đ?‘›!)4

}

MĂŠtodo para la obtenciĂłn de una expresiĂłn que nos de los coeficientes tetranomiales de una fila genĂŠrica n de los triĂĄngulos equilĂĄteros, caras de los tetraedros secundarios del desarrollo de (đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;‘ + đ?’™đ?&#x;’ )đ?’Ž AnĂĄlogamente al mĂŠtodo utilizado en el caso de los coeficientes Trinomiales en el estudio del “Prisma Combinatorioâ€?, para la obtenciĂłn de la fĂłrmula correspondiente a una fila genĂŠrica n, utilizaremos los mismos procedimientos del mĂŠtodo anterior, pero completando las expresiones para homogenizar las secuencias, sin alterar los resultados, expresando cada uno de los tĂŠrminos en funciĂłn de m. Para ello consideraremos el caso m=7 Fila (n) Nivel (m-n) Fila 0 Nivel m m (m-1)(m-2)/1

Denominadores

ExpresiĂłn Factorial

1

0!1!

2 2

1!2!

2!1!

2.3 2.2 2.3

1!3!

2!2!

3!1!

2.3.4 2.3.2 2.3.2 2.3.4

1!4!

2!3!

3!2!

4!1!

Fila 1 Nivel (m-1) m(m-1)(m-2)(m-3)/2 m(m-1)(m-2)(m-3)/2 Fila 2 Nivel(m-2) m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)/2.3 m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)/2.2 m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)/2.3 Fila3 Nivel(m-3) m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)(m-5)/2.3.4 m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)(m-5)/2.3.2 m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)(m-4)/2.3.2 m(m-1)(m-2)(m-3)(m-4)(m-5)/2.3.4

El numerador (A), en cada caso se puede expresar como: A=m(m-1)(m-2)‌[m-(n+2)]=m(m-1)(m-2)‌[m-(n+2)] *[m-(n+3)]!/ [m-(n+3)]!= m!/ [m-(n+3)]!

Y de

đ?‘š đ?‘š! ( ) = [đ?‘šâˆ’(đ?‘›+3)]!(đ?‘›+3)!, đ?‘›+3

obtenemos:

đ?‘š A=( ) ∗ (đ?‘› + 3)! đ?‘›+3

La secuencia de los denominadores, puede obtenerse de : (i+1)!(n-i+1)!.Entonces, la expresiĂłn buscada, estarĂĄ dada por:

đ?’Ž đ?&#x;? đ?‘­đ?’Žâˆ’đ?’? =( ) (đ?’? + đ?&#x;‘)! {(đ?’Š+đ?&#x;?)!(đ?’?−đ?’Š+đ?&#x;?)!} đ?’? đ?’?+đ?&#x;‘

con i=0,1,2,‌,n

đ?‘š ≼ đ?‘› + 3 ,luego la expresiĂłn es vĂĄlida sĂ­ đ?‘š − đ?‘› ≼ 3 Como comprobaciĂłn y ejemplo, aplicaremos esta expresiĂłn para obtener los coeficientes tetranomiales del tetraedro secundario del caso m=8

Caso m=8 Fila 0 , Nivel 8, i=0 1 1 8 đ??š08 = ( ) 3! { } = 336 { } = 336 3 1! 1!

1 Fila 1, Nivel 7, i=0,1 1 1 1 1 8 đ??š17 = ( ) 4! {1!2! , 2!1!} =1680{2 , 2} = 840,840 4 Fila 2, Nivel 6, i=0,1,2 1 1 1 1 1 1 8 đ??š26 = ( ) 5! { , , }=6720 { , , } = 1120,1680,1120 1!3! 2!2! 3!1!

6 4 6 5 Fila 3, Nivel 5, i=0,1,2,3 1 1 1 1 1 1 1 1 8 đ??š35 = ( ) 6! { , , , } = 20160 { , , , } = 840,1680,1680,840 6 1! 4! 2! 3! 3! 2! 4! 1!

24 12 12 24

Fila 4, Nivel 4, i=0,1,2,3,4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 8 đ??š44 = ( ) 7! { , , , , } = 40320 { , , , , } = 336,840,1120,840,336 7 1! 5! 2! 4! 3! 3! 4! 2! 5! 1!

120 48 36 48 120

Tetraedro Suma (T.Suma), y otras observaciones importantes En el desarrollo de un nuevo trabajo denominado “Coeficientes multinomiales y generalizaciĂłn del triangulo de Pascalâ€? , hemos determinado que para el caso de los coeficientes Tetranomiales , los tetraedros secundarios (TS), deben ubicarse en el interior del tetraedro principal (TP), del caso correspondiente, manteniendo la misma orientaciĂłn y el paralelismo de sus caras, para ello deberemos colocar siempre su vĂŠrtice en el nivel 3 de dicho TP, extendiĂŠndose hasta ubicar su nivel de base, siempre en el nivel đ?’? − đ?&#x;? , del tetraedro principal del caso. Al tetraedro resultante le podemos denominar como tetraedro suma ( T.Suma).

AnĂĄlogamente, si denominamos los casos de singularidad para mĂşltiplos de 4, como CS, y al nivel de alojamiento de dicha singularidad en el prisma principal, como NA, tendremos la siguiente relaciĂłn: CS

NA

m=4j

3j

con j=1,2,3,...

AsĂ­ para j=1 y m=4 la singularidad, que tiene un valor igual a 24, se alojarĂĄ en el nivel 3 del T.Suma Para j=2 y m=8 la singularidad que tiene un valor igual a 2520, se alojara en el nivel 6 del T.Suma Y asĂ­ sucesivamente.

Los niveles en cada caso los contabilizamos, desde un valor cero (0), en el vértice, hasta un valor n correspondiente al nivel de base del tetraedro principal, como se muestra en la figura: Nivel 0 1 2 3…... . . . n-1.. n

Tetraedro principal

Nivel 0 Tetraedro secundario ...........................

Singularidad

Así por ejemplo, sí en la deducción anterior de los coeficientes del tetraedro secundario correspondiente al caso de m=8, consideramos el valor de n para cada fila, como el valor del nivel correspondiente del TS, para determinar su nivel de ubicación en el tetraedro principal, para conformar el tetraedro suma, bastará aumentar cada valor de n en tres unidades. Ello es válido para cualquier otro caso considerado. m=8

Filas TS Niveles TS 0 0 1 1 2 2 3 3 4 4

Nivel T.Suma 3 4 5 6 7

Como ejemplo de utilidad, podemos mostrar como quedarían las secciones nivel por nivel para el caso del tetraedro suma para m=8

Nivel 0

.1

Nivel 1

8 8

(Vértice del T.Suma)

Nivel 2

28

8

56 28

56 56

28

Nivel 3

56

Nivel 4

168 168 56

70

168

280

336

168

168

168

420 56

280

280 840

840

70

280

420 840

420

280 280

70

NĂłtese como en el nivel 3 del T.Suma ya aparece el valor 336, correspondiente al vĂŠrtice (nivel 0) del tetraedro secundario del caso, y en el nivel 4, aparecen los tres valores 840 correspondientes a la secciĂłn del nivel 1 del TS del caso.

Nivel 5

56 280 560

280 1120

560 1680 280 56

1 680

1120 280

560

1680 560

1120

560

Nivel 6

560 280

280

56

28 168 420 560 420 168 28

168

840 1680

1680

840

168

1680 2520

1680 420

420 560 1680

1680 560

420

840 420

168 168

28

Notamos que en este nivel se aloja la singularidad del caso m=8, correspondiente al valor 2520

Nivel 7

8 56 168 280 280 168 56

8

168

840

840

56

336

1120

336

56

840

1680 1680

840 168

280

1120 1680

840

1120 280

280

840

168 336

280

56

168

56

8

Como podemos notar, en este nivel se aloja la base del tetraedro secundario del caso m=8 Nivel 8

1 8 28 56

28 8 1

8

280

280

168 56

420

420

56 280

560 560

280 56

28 168

560

168 28

56

168

70 56

8

280 420

280 70

70 56 168 168

56

28 56

28

8 8

1

Esta secciĂłn o base del T.Suma, se corresponde con el triĂĄngulo de coeficientes trinomiales ∆ đ?‘‡ , para m=8 Diagramas de Colmena para coeficientes Tetranomiales Hemos observado que los diagramas de colmena, que ya utilizamos en el estudio “Prisma Combinatorioâ€? como mĂŠtodo grĂĄfico para obtener la distribuciĂłn de los coeficientes Trinomiales ∆đ?‘ť , correspondientes a un caso m+1 , partiendo de los conocidos para un caso anterior m, son aplicables a la determinaciĂłn de los coeficientes Tetranomiales para cada nivel n de un caso m+1,partiendo de los coeficientes Tetranomiales de los niveles n-1, y n del caso anterior m.

A continuaciĂłn un ejemplo clarificador para obtener los coeficientes del caso m=4 a partir de los del caso m=3 (obviando el paso de nivel 0 en m=3, a nivel 0 en m=4, siempre unitario, sea cual sea el caso)

DIAGRAMAS DE COLMENA PARA LA OBTENCIÓN LAS SECCIONES DEL TETRAEDRO SUMA (CASO m=3 a m=4) Casos de m=3

Diagrama de colmena

N:0

Caso de m=4

N:1

N:1

3

1 3

N:1

3

3

3

1

1

3

3

4

3

3

4

N:2

3 6

6

3

3

3

3

6

3

6

3 3

6

4

N:2

3

3

+

3

3

6

3 6

6

6 3

3

3

12

12

3 6

3

6

12

6

Caso de m= 3

Diagrama de colmena

N: 2

Caso de m=4

N:3

N:3

1

1

1

4

3 3 6

3

6

3 3

3

6

6

3

3

3

3

3

3

12

1

3

3

1

6 3

6

6

6 3

1

3

6 3

3

3

6 3

3

1

1

6 3

6 3

12

24

1

4

12

N:4 1

N:3

Diagrama de colmena

1

1 4

3

3

3

3

6

3

3

6

3

1

1

3

12

6

3 4

3

4

3 6

3

12

12

4

1 1

4

12

3 3

Los niveles de base se corresponden con los ∆ đ?‘‡ de ambos casos:

1

12

3

6

4

1

12

4

Consideramos que con esta serie de trabajos, “Prisma combinatorioâ€?, “DistribuciĂłn tetraĂŠdrica de coeficientes Tetranomialesâ€?, y “Coeficientes multinomiales y generalizaciĂłn del triĂĄngulo de Pascalâ€?, hemos abordado en forma exhaustiva, el tema de la determinaciĂłn de los coeficientes del desarrollo de un polinomio tal como: (đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ3 + â‹Ż + đ?‘Ľđ?‘&#x; )đ?‘š , para cualquier valor entero de r y de la potencia m.

Enrique R.Acosta R. 2016