FIBONACCI Y EL NUMERO AUREO EN EL PRISMA COMBINATORIO ∆𝒌
∆𝟎
(𝒇𝒌𝒏−𝟐 + 𝒇𝒌𝒏−𝟏 ) + 𝒇𝒌−𝟏 = 𝒇𝒌𝒏 𝒏 ф𝒌𝒏 =
𝒏+𝒌−𝟏−𝒊 𝒏−𝟏−𝒊 )( ) 𝒌 𝒊 (𝒏−𝟐)/𝟐 𝒏+𝒌−𝟐−𝒊 𝒏−𝟐−𝒊 ∑𝒊=𝟎 ( )( ) 𝒊 𝒌 (𝒏−𝟐)/𝟐
𝒇𝒌𝒏 𝒇𝒌𝒏−𝟏
=
∑𝒊=𝟎
𝝓𝒌 = 𝒍𝒊𝒎 𝒏→∞
(
𝒇𝒌𝒏+𝟏 𝒇𝒌𝒏
=𝝓
𝒙
𝑭𝒌 (𝒙) = (𝟏−𝒙−𝒙𝟐 )𝒌+𝟏 𝒇𝒌𝒏 =
𝟏 √𝟓
∑𝒏𝒊=𝟏 𝒇𝒌−𝟏 (𝝓𝒏−𝒊+𝟏 − 𝝋𝒏−𝒊+𝟏 ) 𝒊
(𝒇𝟎𝒏−𝟐 + 𝒇𝟎𝒏−𝟏 ) = 𝒇𝟎𝒏 𝒏−𝟏−𝒊 ) 𝒊 (𝒏−𝟐)/𝟐 𝒏−𝟐−𝒊 ∑𝒊=𝟎 ( ) 𝒊 (𝒏−𝟐)/𝟐
𝒇𝟎
ф𝟎𝒏 = 𝒇𝟎 𝒏 = 𝒏−𝟏
𝝓 = 𝒍𝒊𝒎
∑𝒊=𝟎
(
𝒇𝟎𝒏+𝟏
𝟎 𝒏→∞ 𝒇𝒏
𝒙
𝑭𝟎 (𝒙) = 𝟏−𝒙−𝒙𝟐 𝒇𝟎𝒏 =
𝟏 √𝟓
(𝝓𝒏 − 𝝋𝒏 )
Enrique R. Acosta R. 2019
FIBONACCI Y EL NÚMERO ÁUREO EN EL PRISMA COMBINATORIO Leonardo de Pisa (Pisa, c. 1170 - ib., post. 1240),1 también llamado Leonardo Pisano, Leonardo Bigollo o simplemente Fibonacci, fue un matemático italiano muy conocido en Occidente por su famosa sucesión, pero su aporte matemático más importante lo constituye la difusión en Europa de la utilidad práctica del sistema de numeración indo-arábigo frente a la numeración romana utilizada en su época, y fue el primer europeo en describir la sucesión numérica que lleva su nombre. ( Aunque mucho antes de ser conocida en occidente, la sucesión de Fibonacci ya estaba descrita en la matemática de la India, en conexión con la prosodia sánscrita) En matemáticas, la sucesión de Fibonacci es la siguiente sucesión infinita de números naturales: 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,233,377,610,…. La sucesión comienza con los números 0 y 1, y a partir de estos, «cada término es la suma de los dos anteriores», es la relación de recurrencia que la define. A los elementos de esta sucesión se les llama números de Fibonacci. Esta sucesión fue descrita en Europa por Leonardo de Pisa, matemático italiano del siglo XIII también conocido como Fibonacci. Tiene numerosas aplicaciones en ciencias de la computación, matemática y teoría de juegos. También aparece en configuraciones biológicas, como por ejemplo en las ramas de los árboles, en la disposición de las hojas en el tallo, en las flores de alcachofas y girasoles, en las inflorescencias del brécol romanesco y en la configuración de las piñas de las coníferas. De igual manera, se encuentra en la estructura espiral del caparazón de algunos moluscos, como el Nautilus.
La espiral de Fibonacci: Es una aproximación de la espiral áurea, generada dibujando arcos circulares que conectan las esquinas opuestas de los cuadrados ajustados a los valores de la sucesión, adosando sucesivamente cuadrados de lado 0, 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21 y 34. Curiosamente, si dividimos cualquier número de la sucesión de Fibonacci entre el que lo precede, sobre todo a partir del valor 5, los cocientes resultantes, nos dan un resultado aproximado al número áureo.
El número áureo fue ya definido por Euclides, como un número infinito e irrepetible, y es también llamado número de oro, razón extrema y media, razón áurea, razón dorada, media áurea, proporción áurea y divina proporción. Se representa por la letra griega φ (fi) (en minúscula) o Φ (fi) (en mayúscula), en honor al escultor griego Fidias, es un número irracional dado por:
TambiĂŠn se representa con la letra griega Tau (Τ, Ď„), por ser la primera letra de la raĂz griega τοΟΎ, que significa acortar, aunque encontrarlo representado con la letra Fi (ÎŚ, φ) es mĂĄs comĂşn. El nĂşmero ĂĄureo es el valor numĂŠrico de la proporciĂłn que guardan entre sĂ dos segmentos de recta a y b (a mĂĄs largo que b), que cumplen la siguiente relaciĂłn: La longitud total, suma (đ?‘Ž + đ?‘?), de los dos segmentos đ?‘Ž, đ?‘Ś đ?‘?, es al segmento mayor đ?‘Ž, lo que este segmento a es al menor đ?‘?. Escrito como ecuaciĂłn algebraica:
đ?‘Ž+đ?‘? đ?‘Ž
=
đ?‘Ž đ?‘?
Siendo el valor del nĂşmero ĂĄureo φ el cociente:đ?‘Ž/đ?‘? Surge al plantear el problema geomĂŠtrico siguiente: partir un segmento en otros dos, de forma que, al dividir la longitud total entre la del segmento mayor, obtengamos el mismo resultado que al dividir la longitud del segmento mayor entre la del menor. Es durante el Renacimiento, cuando muchĂsimos artistas y arquitectos compusieron sus trabajos segĂşn la proporciĂłn Ă urea, convencidos de que esta relaciĂłn atribuĂa a las obras un carĂĄcter estĂŠtico especial. El hombre de Vitrubio, dibujado por Leonardo Da Vinci y considerado un ideal de belleza, estĂĄ proporcionado segĂşn el nĂşmero ĂĄureo o incluso la mismĂsima Gioconda. RelaciĂłn del nĂşmero ĂĄureo con la sucesiĂłn de Fibonacci: Si se denotas el enĂŠsimo nĂşmero de Fibonacci como đ?‘“đ?‘› , y al siguiente nĂşmero de Fibonacci como đ?‘“đ?‘›+1, descubrimos que, a medida que n aumenta, esta razĂłn đ?‘“đ?‘›+1 â „đ?‘“đ?‘› ,oscila y es alternativamente menor y mayor que la razĂłn ĂĄurea. Podemos tambiĂŠn notar que la fracciĂłn continua que describe la aproximaciĂłn al nĂşmero ĂĄureo, se acerca mĂĄs a dicho valor, a medida que aumenta el nĂşmero de unos en la fracciĂłn. Por ejemplo: 3/2=1,5; 5/8=1,6; y 21/13=1, 615384‌.. đ?’‡đ?’?+đ?&#x;? =Ń„ đ?’?→∞ đ?’‡đ?’?
En realidad matemĂĄticamente, se tiene que đ??Ľđ??˘đ??Ś
Esta propiedad fue descubierta por el astrĂłnomo alemĂĄn Jhohanes Kepler, pero pasaron mas de cien aĂąos antes de que fuera demostrada por el matemĂĄtico ingles Robert Simson. Con posterioridad, se encontrĂł que cualquier sucesiĂłn aditiva recurrente de orden 2, tiende al mismo lĂmite. Por ejemplo si tomamos dos nĂşmeros naturales arbitrarios como el 3 y el 7, la sucesiĂłn recurrente resultante: 3,7,10,17,27,44,71,115,186,301,‌.es tal que, los cocientes de dos tĂŠrminos sucesivos, producen aproximaciones racionales que se acercan asintĂłticamente por exceso, o por defecto, al valor de Ď•. Por ejemplos: 44/27=1,629 629 ‌; 71/44=1,613636...; 115/71=1,619718309‌; 301/186=1,6182795698924731‌ A mediados del siglo XX, el matemĂĄtico francĂŠs Jaques Philippe Marie Binet redescubriĂł una fĂłrmula que aparentemente ya era conocida por Leonhard Euler, y por otro matemĂĄtico francĂŠs Abraham de Moivre. La fĂłrmula permite encontrar el enĂŠsimo nĂşmero de Fibonacci, sin la necesidad de producir todos los nĂşmeros anteriores. La fĂłrmula de Binet, depende exclusivamente del nĂşmero ĂĄureo: đ?’‡đ?’? =
đ?&#x;? √đ?&#x;“
đ?’? đ?&#x;?+√đ?&#x;“ ) đ?&#x;?
[(
đ?’? đ?&#x;?−√đ?&#x;“ ) ] đ?&#x;?
−(
=
đ?&#x;? √đ?&#x;“
Nota: InformaciĂłn tomada de la Wikipedia
[đ??“đ?’? − (đ?&#x;? − Ń„)đ?’? ]
Esta sucesiĂłn puede obtenerse fĂĄcilmente del TriĂĄngulo de Pascal, aunque el propio Pascal (16231662) no dejĂł evidencia de su conocimiento de ello. Para tal fin, podemos p. ej., partir de un TriĂĄngulo AritmĂŠtico (∆0 ), en este caso de 8 filas, tal como se muestra en la figura-tabla, a continuaciĂłn, siguiendo los procedimientos allĂ indicados:
∆0 , â„Žđ?‘Žđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Ž đ?‘™đ?‘Ž đ?‘“đ?‘–đ?‘™đ?‘Ž 8
đ?‘“đ?‘›0 :
0
1
1
2
3
5
8
13
21
Fila
0
1
1
1
1
2
1
2
1
3
1
3
3
1
4
1
4
6
4
1
5
1
5
10
10
5
1
6
1
6
15
20
15
6
1
7
1
7
21
35
35
21
7
1
8
1
8
28
56
70
56
28
8
1
34
Para nuestros fines, denominaremos đ?’‡đ?&#x;Žđ?’? , los valores de Fibonacci para el caso de đ?’Œ = đ?&#x;Ž, y en forma general đ?’‡đ?’Œđ?’? , dichos valores para cualquier caso de đ?’Œ en el Prisma Combinatorio. Si sumamos los coeficientes binĂłmicos de ∆0 , siguiendo las direcciones diagonales indicadas en la figura, obtendremos la sucesiĂłn de valores suma dada por: 1,1,2,3,5,8,13,21,34,‌.Estos valores corresponden a la conocida sucesiĂłn de Fibonacci, partiendo del valor: đ?‘“10 = 1, sucesiĂłn a la deberemos agregar por convenciĂłn, el valor inicial đ?’‡đ?&#x;Žđ?&#x;Ž = đ?&#x;Ž Si utilizamos como subĂndice de los tĂŠrminos de la sucesiĂłn de Fibonacci, el valor de la fila correspondiente de ∆đ?&#x;Ž , entonces para la fila n del TriĂĄngulo AritmĂŠtico, corresponderĂĄ el valor đ?’‡đ?&#x;Žđ?’?+đ?&#x;? de la sucesiĂłn, ademĂĄs, nuestros tĂŠrminos comenzaran en đ?’‡đ?&#x;Žđ?&#x;? = đ?&#x;?, para n=0, mientras que por convenciĂłn, deberĂĄ agregarse el valor đ?’‡đ?&#x;Žđ?&#x;Ž = đ?&#x;Ž
Luego para el TriĂĄngulo AritmĂŠtico, o sea para el caso del Prisma Combinatorio correspondiente a k=0, es decir a ∆0 , se tendrĂĄ:
đ?‘“đ?‘›0
Suma de tĂŠrminos Sucesivos en ∆0 (0+1) (1+1) (1+2) (2+3) (3+5) (5+8) (8+13) (13+21) (21+34)
= = = = = = = = =
1 2 3 5 8 13 21 34 55
Donde comprobamos que se cumple la igualdad: đ?’‡đ?&#x;Žđ?’?−đ?&#x;? + đ?’‡đ?&#x;Žđ?’?−đ?&#x;? = đ?’‡đ?&#x;Žđ?’?, Que serĂĄ la expresiĂłn de la sucesiĂłn de Fibonacci para el nivel k=0 del Prisma Combinatorio
La expresiĂłn matemĂĄtica en funciĂłn de que la fila n de ∆đ?&#x;Ž , sea par o impar serĂĄ: 1)Para n par: đ?‘›/2 0 đ?‘“đ?‘›+1
đ?‘›/2 đ?‘› đ?‘›âˆ’đ?‘– đ?‘›âˆ’1 đ?‘›âˆ’2 =( )+( )+( ) + â‹Ż+ ( ) = ∑( ) 0 đ?‘›/2 đ?‘– 1 2 đ?‘–=0
Ejemplo, para đ?‘› = 8 , resulta: 8 7 6 4 5 đ?‘“90 = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = 1 + 7 + 15 + 10 + 1 = 34 0 1 2 4 3
2) Para n impar: (đ?‘›âˆ’1)/2 0 đ?‘“đ?‘›+1
(đ?‘› + 1)/2 đ?‘› đ?‘›âˆ’1 đ?‘›âˆ’2 = ( )+( )+( ) + â‹Ż+ ( )= 0 (đ?‘› − 1)/2 1 2
đ?‘›âˆ’đ?‘– ∑ ( ) đ?‘– đ?‘–=0
Ejemplo, para đ?‘› = 7, resulta: 7 4 6 5 đ?‘“80 = ( ) + ( ) + ( ) + ( ) = 1 + 6 + 10 + 4 = 21 0 1 3 2 Como los tĂŠrminos de đ?’‡đ?&#x;Žđ?’? , siguen una secuencia para n, que podemos resumir en dos casos posibles:
1.) Secuencia impar-par 0 Sea la sucesiĂłn đ?‘“10 , đ?‘“20 , đ?‘“30 , ‌ , đ?‘“đ?‘›âˆ’1 , đ?‘“đ?‘›0, donde n-1 es impar, y n es par. Podemos obtener la expresiĂłn de dos tĂŠrminos sucesivos en funciĂłn de un mismo valor de n, correspondiente a la fila n de ∆0 (en este caso n es par) AsĂ resultan en base a un mismo n par, las expresiones siguientes: (đ?‘›âˆ’2)/2
đ?‘“đ?‘›0
=
đ?‘›âˆ’1−đ?‘– ∑ ( ) đ?‘– đ?‘–=0
Y (đ?‘›âˆ’2)/2 0 đ?‘“đ?‘›âˆ’1 =
đ?‘›âˆ’2−đ?‘– ∑ ( ) đ?‘– đ?‘–=0
Estos resultados nos permiten obtener una expresiĂłn del cociente entre dos valores sucesivos de la sucesiĂłn, que denominaremos Ń„0đ?‘› =
đ?‘“đ?‘›0 0 , đ?‘“đ?‘›âˆ’1
expresiĂłn muy Ăştil para la
determinaciĂłn del lĂmite correspondiente al nĂşmero ĂĄureo.
Ń„0đ?‘›
đ?‘›âˆ’1−đ?‘– ∑(đ?‘›âˆ’2)/2 ( ) đ?‘–=0 đ?‘– = đ?‘›âˆ’2−đ?‘– ∑(đ?‘›âˆ’2)/2 ( ) đ?‘–=0 đ?‘–
Ejemplo, para n=10, tendrĂamos:
0 Ń„10 =
0 đ?‘“10 đ?‘“90
=
9−đ?‘– ) đ?‘– 8−đ?‘– 4 ∑0( ) đ?‘– ∑40(
=
9 8 7 6 5 ( )+( )+( )+( )+( ) 0 1 2 3 4 8 7 6 5 4 ( )+( )+( )+( )+( ) 0 1 2 4 3
1+8+21+20+5
55
= 1+7+15+10+1 = 34=1,6176470‌
2.) Secuencia par-impar 0 Sea la sucesiĂłn đ?‘“10 , đ?‘“20 , đ?‘“30 , ‌ , đ?‘“đ?‘›âˆ’1 , đ?‘“đ?‘›0, donde n-1 es par, y n es impar. Podemos obtener la expresiĂłn de dos tĂŠrminos sucesivos en funciĂłn de un mismo valor de n, correspondiente a la fila n de ∆0 (en este caso n es impar) AsĂ resultan en base a un mismo n impar, las expresiones siguientes: (đ?‘›âˆ’1)/2
đ?‘“đ?‘›0
=
đ?‘›âˆ’1−đ?‘– ∑ ( ) đ?‘– đ?‘–=0
Y
(đ?‘›âˆ’3)/2 0 đ?‘“đ?‘›âˆ’1 =
đ?‘›âˆ’2−đ?‘– ∑ ( ) đ?‘– đ?‘–=0
đ?‘“0
En este caso, la expresiĂłn correspondiente para Ń„0đ?‘› = đ?‘“0đ?‘› , serĂĄ: đ?‘›âˆ’1
đ?‘›âˆ’1−đ?‘– ∑(đ?‘›âˆ’1)/2 ( ) đ?‘–=0 đ?‘– Ń„0đ?‘› = (đ?‘›âˆ’3)/2 đ?‘› − 2 − đ?‘– ∑đ?‘–=0 ( ) đ?‘–
Ejemplo, para n=11, tendrĂamos:
0 Ń„11
=
10−đ?‘– ) đ?‘– 9−đ?‘– ∑40( ) đ?‘–
∑50(
=
0 đ?‘“11 0 đ?‘“10
=
(
10 7 9 8 6 5 )+( )+( )+( )+( )+( ) 0 3 1 2 4 5 9 7 6 8 5 ( )+( )+( )+( )+( ) 0 1 2 3 4
=
1+9+28+35+15+1 1+8+21+20+5
89
= 55=1,61818181‌
Para el Prisma Combinatorio con valores de k≼1 Para el nivel k=1 del Prisma Combinatorio, es decir para ∆đ?&#x;? : Con ∆1 , â„Žđ?‘Žđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Ž đ?‘™đ?‘Ž đ?‘“đ?‘–đ?‘™đ?‘Ž 8
đ?‘“đ?‘›1 :
0
1
2
5
10
20
38
71
130
Fila
0
1
1
2
2
2
3
6
3
3
4
12
12
4
4
5
20
30
20
5
5
6
30
60
60
30
6
6
7
42
105
140
105
42
7
7
8
56
168
280
280
168
56
8
8
1
8
28
56
70
56
28
8
1
235
Como puede notarse en este caso los valores de la sucesiĂłn 1,2,5,10,20,38,71,130,235,‌ que resulta de la suma de coeficientes trinomiales de ∆1 segĂşn las direcciones diagonales anĂĄlogas al caso de ∆0 , no cumplen directamente con la relaciĂłn caracterĂstica de la sucesiĂłn de Fibonacci: 0 0 đ?‘“đ?‘›0 = đ?‘“đ?‘›âˆ’1 + đ?‘“đ?‘›âˆ’2
1 1 Pero, si a las sumas de cada 2 coeficientes sucesivos đ?‘“đ?‘›âˆ’2 ,y đ?‘“đ?‘›âˆ’1 ,de esta sucesiĂłn de valores de 1 0 đ?‘“đ?‘› , se le agrega el coeficientes correspondiente đ?‘“đ?‘› , de lugar n, de la sucesiĂłn de Fibonacci para ∆0 , entonces sĂ se obtienen los coeficientes siguientes de dicha sucesiĂłn para el caso de đ?‘˜ = 1
Recogemos en la siguiente tabla el resultado de agregar a la suma de cada 2 coeficientes sucesivos de la sucesiĂłn 1,2,5,10,20,38,71,130,235, los valores de đ?‘“đ?‘›0, correspondientes de la sucesiĂłn de Fibonacci en ∆0
đ?‘“đ?‘›0
Suma de tĂŠrminos Sucesivos en ∆1 (0+1) (1+2) (2+5) (5+10) (10+20) (20+38) (38+71) (71+130) (130+235)
+ + + + + + + + +
1 2 3 5 8 13 21 34 55
đ?‘“đ?‘›1
= = = = = = = = =
2 5 10 20 38 71 130 235 420
1 0 1 En tĂŠrminos generales, podemos ver que se cumple: (đ?‘“đ?‘›1 + đ?‘“đ?‘›+1 ) + đ?‘“đ?‘›+2 = đ?‘“đ?‘›+2 , que por conveniencia podemos re-escribir como:
(đ?’‡đ?&#x;?đ?’?−đ?&#x;? + đ?’‡đ?&#x;?đ?’?−đ?&#x;? ) + đ?’‡đ?&#x;Žđ?’? = đ?’‡đ?&#x;?đ?’?
Que serĂĄ la expresiĂłn de la sucesiĂłn de Fibonacci para el nivel k=1 del Prisma Combinatorio.
Recordando que para cualquier nivel k, en el Prisma Combinatorio, la relaciĂłn entre la fila n, de un ∆k , con respecto a la fila n de ∆0 , estĂĄ dada por: đ?’?+đ?’Œ đ?&#x;Ž đ?‘đ?’Œđ?’? = ( ) đ?‘đ?’? đ?’Œ
La expresiĂłn matemĂĄtica en funciĂłn de que la fila n de ∆đ?&#x;? , sea par o impar serĂĄ: 1)Para n par: đ?‘› đ?‘›/2 đ?‘› đ?‘›âˆ’1 đ?‘›+1 đ?‘› đ?‘›âˆ’1 đ?‘›âˆ’2 1 đ?‘“đ?‘›+1 =( )( ) + ( )( )+( )( ) + â‹Ż + ( 2 + 1) ( ) 0 1 đ?‘›/2 1 1 1 2 1 đ?‘›/2
đ?‘›+1−đ?‘– đ?‘›âˆ’đ?‘– = ∑( )( ) đ?‘– 1 đ?‘–=0
Ejemplo, para đ?‘› = 8 , resulta:
9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 đ?‘“91 = ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) = 9.1 + 8.7 + 7.15 + 6.10 + 5.1 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 = 9 + 56 + 105 + 60 + 5 = 235
2) Para n impar: đ?‘›âˆ’1 (đ?‘› + 1)/2 đ?‘› đ?‘›âˆ’1 đ?‘›+1 đ?‘› đ?‘›âˆ’1 đ?‘›âˆ’2 1 đ?‘“đ?‘›+1 =( )( )+ ( )( )+( )( ) + â‹Ż + ( 2 + 2) ( ) 0 1 (đ?‘› − 1)/2 1 1 1 2 1 (đ?‘›âˆ’1)/2
=
đ?‘›+1−đ?‘– đ?‘›âˆ’đ?‘– ∑ ( )( ) đ?‘– 1 đ?‘–=0
Ejemplo, para đ?‘› = 7, resulta:
8 7 7 6 6 5 5 4 đ?‘“81 = ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) = 8.1 + 7.6 + 6.10 + 5.4 = 8 + 42 + 60 + 20 1 0 1 1 1 2 1 3 = 130
AnĂĄlogamente al caso del TriĂĄngulo aritmĂŠtico, los tĂŠrminos de đ?’‡đ?&#x;?đ?’? , siguen una secuencia para n, que podemos resumir en dos casos posibles:
1.) Secuencia impar-par 1 Sea la sucesiĂłn đ?‘“11 , đ?‘“21 , đ?‘“31 , ‌ , đ?‘“đ?‘›âˆ’1 , đ?‘“đ?‘›1 , donde n-1 es impar, y n es par. Podemos obtener la expresiĂłn de dos tĂŠrminos sucesivos en funciĂłn de un mismo valor de n, correspondiente a la fila n de ∆1 (en este caso n es par) AsĂ resultan en base a un mismo n par, las expresiones siguientes: (đ?‘›âˆ’2)/2
đ?‘“đ?‘›1 =
đ?‘›âˆ’đ?‘– đ?‘›âˆ’1−đ?‘– ∑ ( )( ) 1 đ?‘– đ?‘–=0
Y (đ?‘›âˆ’2)/2 1 đ?‘“đ?‘›âˆ’1
=
đ?‘›âˆ’1−đ?‘– đ?‘›âˆ’2−đ?‘– ∑ ( )( ) 1 đ?‘– đ?‘–=0
Estos resultados nos permiten obtener una expresiĂłn del cociente entre dos valores sucesivos para el caso de la sucesiĂłn de Fibonacci para el nivel k=1 , que denominaremos Ń„1đ?‘› =
đ?‘“đ?‘›1 1 , đ?‘“đ?‘›âˆ’1
expresiĂłn muy Ăştil para la determinaciĂłn del lĂmite correspondiente al anĂĄlogo
del nĂşmero ĂĄureo para ∆1 .
đ?‘›âˆ’đ?‘– đ?‘›âˆ’1−đ?‘– ( )( ) 1 đ?‘– = đ?‘›âˆ’1−đ?‘– đ?‘›âˆ’2−đ?‘– ∑(đ?‘›âˆ’2)/2 ( )( ) đ?‘–=0 1 đ?‘– (đ?‘›âˆ’2)/2
Ń„1đ?‘›
∑đ?‘–=0
Ejemplo, para n=10, tendrĂamos:
10−đ?‘– 9−đ?‘– 10 9 9 8 8 7 7 6 6 5 )( ) ( )( )+( )( )+( )( )+( )( )+( )( ) đ?‘– 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 = 9 8 8 7 7 6 6 5 5 4 ∑40(9−đ?‘–)(8−đ?‘–) ( )( )+( )( )+( )( )+( )( )+( )( ) 1 0 1 1 1 2 1 3 1 4 1 đ?‘– 10+72+168+140+30 420 = 235=1,7872340‌ 9+56+105+60+5
Ń„110 =
1 đ?‘“10 đ?‘“91
=
∑40(
=
10.1+9.8+8.21+7.20+6.5 9.1+8.7+7.15+6.10+5.1
=
2.) Secuencia par-impar 1 Sea la sucesiĂłn đ?‘“11 , đ?‘“21 , đ?‘“31 , ‌ , đ?‘“đ?‘›âˆ’1 , đ?‘“đ?‘›1 , donde n-1 es par, y n es impar. Podemos obtener la expresiĂłn de dos tĂŠrminos sucesivos en funciĂłn de un mismo valor de n, correspondiente a la fila n de ∆1 (en este caso n es impar)
AsĂ resultan en base a un mismo n impar, las expresiones siguientes: (đ?‘›âˆ’1)/2
đ?‘“đ?‘›1
=
đ?‘›âˆ’đ?‘– đ?‘›âˆ’1−đ?‘– ∑ ( )( ) 1 đ?‘– đ?‘–=0
Y
(đ?‘›âˆ’3)/2 1 đ?‘“đ?‘›âˆ’1
=
đ?‘›âˆ’1−đ?‘– đ?‘›âˆ’2−đ?‘– ∑ ( )( ) 1 đ?‘– đ?‘–=0
đ?‘“1
En este caso, la expresiĂłn correspondiente para Ń„1đ?‘› = đ?‘“1đ?‘› , serĂĄ: đ?‘›âˆ’1
đ?‘›âˆ’đ?‘– đ?‘›âˆ’1−đ?‘– ∑(đ?‘›âˆ’1)/2 ( )( ) đ?‘–=0 1 đ?‘– Ń„1đ?‘› = đ?‘›âˆ’1−đ?‘– đ?‘›âˆ’2−đ?‘– ∑(đ?‘›âˆ’3)/2 ( )( ) đ?‘–=0 1 đ?‘–
Ejemplo, para n=11, tendrĂamos:
11 10 7 6 11−đ?‘– 10−đ?‘– 10 9 9 8 8 7 6 5 )( ) ( )( )+( )( )+( )( )+( )( )+( )( )+( )( ) 0 1 4 đ?‘– 1 1 1 1 2 1 3 1 5 1 = = 7 6 10 9 9 8 8 7 6 5 ∑40(10−đ?‘–)(9−đ?‘–) ( )( )+( )( )+( )( )+( )( )+( )( ) 10 0 1 1 1 1 2 1 3 1 4 1 đ?‘– 11.1+10.9+9.28+8.35+7.15+6.1 11+90+252+280+105+6 744 = = =1,7714285714‌ 10.1+9.8+8.21+7.20+6.5 10+72+168+140+30 420 đ?‘“1
Ń„111 = đ?‘“11 1 =
∑50(
Para el nivel k=2 del Prisma Combinatorio, es decir para ∆đ?&#x;? : Con ∆2 , â„Žđ?‘Žđ?‘ đ?‘Ąđ?‘Ž đ?‘™đ?‘Ž đ?‘“đ?‘–đ?‘™đ?‘Ž 8
đ?‘“đ?‘›2 :
0
1
3
9
22
51
111
233
Fila
0
1
1
3
3
2
6
12
6
3
10
30
30
10
4
15
60
90
60
15
5
21
105
210
210
105
21
6
28
168
420
560
420
168
28
7
36
252
756
1260
1260
756
252
36
8
45
360
1260
2520
3150
2520
1260
360
45
474
942
Si de manera anĂĄloga, a las sumas de cada 2 coeficientes sucesivos de la sucesiĂłn resultante de valores de đ?‘“đ?‘›2 , se le agregan los coeficientes correspondientes de la sucesiĂłn de Fibonacci para ∆1 , entonces sĂ se obtienen los coeficientes siguientes de dicha sucesiĂłn para el caso de đ?‘˜ = 2 Recogemos en la siguiente tabla el resultado de agregar a la suma de cada 2 coeficientes sucesivos de la sucesiĂłn 1,3,9,22,51,111,233,474,942, los valores de đ?‘“đ?‘›1, correspondientes de la sucesiĂłn de Fibonacci en ∆1
đ?‘“đ?‘›1
Suma de tĂŠrminos Sucesivos en ∆2 (0+1) (1+3) (3+9) (9+22) (22+51) (51+111) (111+233) (233+474) (474+942)
+ + + + + + + + +
2 5 10 20 38 71 130 235 420
En tĂŠrminos generales, podemos ver que se cumple: conveniencia podemos re-escribir como:
đ?‘“đ?‘›2
= = = = = = = = =
3 9 22 51 111 233 474 942 1836
2 1 2 (đ?‘“đ?‘›2 + đ?‘“đ?‘›+1 ) + đ?‘“đ?‘›+2 = đ?‘“đ?‘›+2 , que por
(đ?’‡đ?&#x;?đ?’?−đ?&#x;? + đ?’‡đ?&#x;?đ?’?−đ?&#x;? ) + đ?’‡đ?&#x;?đ?’? = đ?’‡đ?&#x;?đ?’?
Que serĂĄ la expresiĂłn de la sucesiĂłn de Fibonacci para el nivel k=2 del Prisma Combinatorio.
AsĂ mismo, podemos obtener las expresiones de đ?’‡đ?&#x;?đ?’? , en tĂŠrminos del valor n de las filas de ∆đ?&#x;? La expresiĂłn matemĂĄtica en funciĂłn de que la fila n de ∆đ?&#x;? , sea par o impar serĂĄ: 1)Para n par: 2 đ?‘“đ?‘›+1
đ?‘› đ?‘›/2 đ?‘› đ?‘›âˆ’2 đ?‘›+2 đ?‘› đ?‘›+1 đ?‘›âˆ’1 =( )( ) + ( )( ) + ( )( ) + â‹Ż + ( 2 + 2) ( ) 0 2 đ?‘›/2 2 2 1 2 2 đ?‘›/2
đ?‘›+2−đ?‘– đ?‘›âˆ’đ?‘– = ∑( )( ) đ?‘– 2 đ?‘–=0
Ejemplo, para đ?‘› = 8 , resulta:
10 8 9 7 8 6 7 5 6 4 đ?‘“92 = ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 = 45.1 + 36.7 + 28.15 + 21.10 + 15.1 = 45 + 252 + 420 + 210 + 15 = 942
2) Para n impar: đ?‘›+1 (đ?‘› + 1)/2 đ?‘› đ?‘›âˆ’2 đ?‘›+2 đ?‘› đ?‘›+1 đ?‘›âˆ’1 2 đ?‘“đ?‘›+1 =( )( )+ ( )( ) + ( )( ) + â‹Ż + ( 2 + 2) ( ) 0 2 (đ?‘› − 1)/2 2 2 1 2 2 (đ?‘›âˆ’1)/2
=
đ?‘›+2−đ?‘– đ?‘›âˆ’đ?‘– ∑ ( )( ) đ?‘– 2 đ?‘–=0
Ejemplo, para đ?‘› = 7, resulta:
9 7 8 6 7 5 6 4 đ?‘“82 = ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) + ( ) ( ) = 36.1 + 28.6 + 21.10 + 15.4 2 0 2 1 2 2 2 3 = 36 + 168 + 210 + 60 = 474 De manera anĂĄloga, hemos desarrollado las expresiones de đ?’‡đ?&#x;?đ?’? , para los 2 casos de secuencia posibles en la sucesiĂłn, segĂşn n sea par o impar. 1.) Secuencia impar-par 2 Sea la sucesiĂłn đ?‘“12 , đ?‘“22 , đ?‘“32 , ‌ , đ?‘“đ?‘›âˆ’1 , đ?‘“đ?‘›2, donde n-1 es impar, y n es par. Podemos obtener la expresiĂłn de dos tĂŠrminos sucesivos en funciĂłn de un mismo valor de n, correspondiente a la fila n de ∆2 (en este caso n es par) AsĂ resultan en base a un mismo n par, las expresiones siguientes: (đ?‘›âˆ’2)/2
đ?‘“đ?‘›2
=
đ?‘›+1−đ?‘– đ?‘›âˆ’1−đ?‘– ∑ ( )( ) 2 đ?‘– đ?‘–=0
Y (đ?‘›âˆ’2)/2 2 đ?‘“đ?‘›âˆ’1
=
đ?‘›âˆ’đ?‘– đ?‘›âˆ’2−đ?‘– ∑ ( )( ) 2 đ?‘– đ?‘–=0
Estos resultados nos permiten obtener una expresiĂłn del cociente entre dos valores sucesivos para el caso de la sucesiĂłn de Fibonacci para el nivel k=2 , que denominaremos đ?‘“2
Ń„2đ?‘› = đ?‘“2đ?‘› , expresiĂłn muy Ăştil para la determinaciĂłn del lĂmite correspondiente al anĂĄlogo đ?‘›âˆ’1
del nĂşmero ĂĄureo para ∆2 .
đ?‘›+1−đ?‘– đ?‘›âˆ’1−đ?‘– ( )( ) đ?‘– 2 đ?‘›âˆ’2−đ?‘– (đ?‘›âˆ’2)/2 đ?‘› − đ?‘– ∑đ?‘–=0 ( )( ) 2 đ?‘–
(đ?‘›âˆ’2)/2
Ń„2đ?‘› =
∑đ?‘–=0
Por ejemplo, para n=10
2 Ń„10
2 ∑4đ?‘–=0 (11 − đ?‘– ) (9 − đ?‘– ) đ?‘“10 đ?‘– 2 = 2= 8 − đ?‘– 10 − đ?‘– đ?‘“9 ∑4đ?‘–=0 ( )( ) 2 đ?‘– 7 5 11 9 10 8 9 7 8 6 ( )( ) +( )( ) + ( )( ) + ( )( ) +( )( ) 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 = 7 5 10 8 9 7 8 6 6 4 ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) 2 0 2 1 2 2 2 3 2 4 55.1 + 45.8 + 36.21 + 28.20 + 21.5 55 + 360 + 756 + 560 + 105 = = 45.1 + 36.7 + 28.15 + 21.10 + 15.1 45 + 252 + 420 + 210 + 15 1836 = = 1,949044585 ‌ 942
3.) Secuencia par-impar 2 Sea la sucesiĂłn đ?‘“12 , đ?‘“22 , đ?‘“32 , ‌ , đ?‘“đ?‘›âˆ’1 , đ?‘“đ?‘›2, donde n-1 es par, y n es impar. Podemos obtener la expresiĂłn de dos tĂŠrminos sucesivos en funciĂłn de un mismo valor de n, correspondiente a la fila n de ∆2 (en este caso n es impar) AsĂ resultan en base a un mismo n impar, las expresiones siguientes: (đ?‘›âˆ’1)/2
đ?‘“đ?‘›2 =
đ?‘›+1−đ?‘– đ?‘›âˆ’1−đ?‘– ∑ ( )( ) 2 đ?‘– đ?‘–=0
Y
(đ?‘›âˆ’3)/2 2 đ?‘“đ?‘›âˆ’1 =
đ?‘›âˆ’đ?‘– đ?‘›âˆ’2−đ?‘– ∑ ( )( ) 2 đ?‘– đ?‘–=0
đ?‘“2
En este caso, la expresiĂłn correspondiente para Ń„2đ?‘› = đ?‘“2đ?‘› , serĂĄ: đ?‘›âˆ’1
đ?‘›+1−đ?‘– đ?‘›âˆ’1−đ?‘– ( )( ) đ?‘– 2 đ?‘›âˆ’2−đ?‘– (đ?‘›âˆ’3)/2 đ?‘› − đ?‘– ∑đ?‘–=0 ( )( ) 2 đ?‘–
(đ?‘›âˆ’1)/2
Ń„2đ?‘› =
∑đ?‘–=0
Por ejemplo, para n=9
Ń„29
10 − đ?‘– 8 − đ?‘– 4 đ?‘“92 ∑đ?‘–=0 ( 2 ) ( đ?‘– ) = 2= = 9−đ?‘– 7−đ?‘– đ?‘“8 ∑3đ?‘–=0 ( )( ) đ?‘– 2 10 8 9 7 8 6 7 5 6 4 ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) 0 1 2 2 2 2 2 3 2 4 = 9 7 8 6 7 5 6 4 ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) 2 2 2 0 2 1 2 3 45.1 + 36.7 + 28.15 + 21.10 + 15.1 45 + 252 + 420 + 210 + 15 = = 36.1 + 28.6 + 21.10 + 15.4 36 + 168 + 210 + 60 942 = = 1,987341772 ‌ 474
En vista de estos resultados, podemos inferir, sin temor a equivocarnos, las expresiones, que corresponderĂĄn al caso general para el nivel k, del Prisma Combinatorio. 1.) La expresiĂłn matemĂĄtica de đ?’‡đ?’Œđ?’?+đ?&#x;? , en funciĂłn de que la fila n de ∆đ?’Œ , sea par o impar serĂĄ:
Para n par:
đ?’?−đ?’Š đ?’?/đ?&#x;? đ?’? + đ?’Œ − đ?’Š đ?’‡đ?’Œđ?’?+đ?&#x;? = ∑đ?’Š=đ?&#x;Ž ( )( ) đ?’Š đ?’Œ
Para n impar:
đ?’‡đ?’Œđ?’?+đ?&#x;? = ∑đ?’Š=đ?&#x;Ž
(đ?’?−đ?&#x;?)/đ?&#x;?
đ?’?+đ?’Œâˆ’đ?’Š đ?’?−đ?’Š ( )( ) đ?’Š đ?’Œ
2.) La expresiĂłn de la sucesiĂłn de Fibonacci para el nivel k del Prisma Combinatorio:
(đ?’‡đ?’Œđ?’?−đ?&#x;? + đ?’‡đ?’Œđ?’?−đ?&#x;? ) + đ?’‡đ?’Œâˆ’đ?&#x;? = đ?’‡đ?’Œđ?’? đ?’?
NĂłtese que en el caso de k=0 correspondiente a ∆0 , el tĂŠrmino đ?‘“đ?‘›đ?‘˜âˆ’1 es nulo, y la relaciĂłn 0 0 se reduce a: đ?‘“đ?‘›âˆ’2 + đ?‘“đ?‘›âˆ’1 = đ?‘“đ?‘›0 3.) La expresiĂłn del cociente entre dos valores sucesivos de Fibonacci en base a una misma n, en ∆đ?’Œ
Para n par: đ?‘›+đ?‘˜âˆ’1−đ?‘– đ?‘›âˆ’1−đ?‘– đ?‘˜ ∑(đ?‘›âˆ’2)/2 ( )( ) đ?‘–=0 đ?‘“ đ?‘› đ?‘– đ?‘˜ Ń„đ?‘˜đ?‘› = đ?‘˜ = đ?‘“đ?‘›âˆ’1 ∑(đ?‘›âˆ’2)/2 (đ?‘› + đ?‘˜ − 2 − đ?‘– ) (đ?‘› − 2 − đ?‘– ) đ?‘–=0 đ?‘– đ?‘˜ Y Para n impar: Ń„đ?‘˜đ?‘› =
đ?‘“đ?‘›đ?‘˜ đ?‘˜ đ?‘“đ?‘›âˆ’1
đ?‘›+đ?‘˜âˆ’1−đ?‘– đ?‘›âˆ’1−đ?‘– ∑(đ?‘›âˆ’1)/2 ( )( ) đ?‘–=0 đ?‘– đ?‘˜ = đ?‘›+đ?‘˜âˆ’2−đ?‘– đ?‘›âˆ’2−đ?‘– ∑(đ?‘›âˆ’3)/2 ( )( ) đ?‘–=0 đ?‘– đ?‘˜
Nota: En el prisma combinatorio, el supra- Ăndice k, siempre denota nivel y no potencia El NĂşmero Ă ureo en el TriĂĄngulo AritmĂŠtico ∆đ?&#x;Ž
El ná´ź ĂĄureo es el valor numĂŠrico de la proporciĂłn que guardan entre sĂ dos segmentos de recta đ?‘Ž đ?‘Ś đ?‘?, con đ?‘Ž > đ?‘?, que cumplen con la siguiente relaciĂłn: La longitud total o suma đ?‘Ž + đ?‘?, de los dos segmentos dados, es al segmento mayor đ?‘Ž, como este es al segmento menor đ?‘?. Escrito en tĂŠrminos algebraicos, tal relaciĂłn, se puede expresar como: đ?‘Ž+đ?‘? đ?‘Ž = đ?‘Ž đ?‘? Es decir geomĂŠtricamente hablando, el segmento đ?‘Ž, es media proporcional entre la longitud total đ?‘Ž + đ?‘?, y el segmento đ?‘?. Esta proporciĂłn, nos conduce a la ecuaciĂłn: đ?‘Ž2 = đ?‘?(đ?‘Ž + đ?‘?), equivalente a la ecuaciĂłn de segundo grado : đ?‘Ž2 − đ?‘Žđ?‘? − đ?‘? 2 = 0 Cuyas raĂces nos dan como soluciĂłn en đ?‘Ž: đ?‘Ž=
De donde:
đ?‘Ž đ?‘?
=
La soluciĂłn positiva,
đ?‘Ž đ?‘?
đ?‘? Âą √đ?‘? 2 + 4đ?‘? 2 đ?‘? Âą đ?‘?√5 đ?‘?(1 Âą √5) = = 2 2 2
1Âąâˆš5 2
=
1+√5 2
es la relaciĂłn que se denomina comĂşnmente relaciĂłn ĂĄurea o
nĂşmero ĂĄureo. Se acostumbra a representarlo mediante la letra griega ÎŚ, en mayĂşscula, o mĂĄs comĂşnmente en minĂşscula Ń„, en honor al famoso escultor griego Fidias, que utilizĂł esta proporciĂłn, en multitud de sus obras artĂsticas de escultura y arquitectura. Ф, es un nĂşmero irracional que ha sido calculado con gran aproximaciĂłn y numerosos decimales como:
Ń„=
1+√5 2
= 1,61803398874989484820458683‌
Aunque la proporciĂłn ĂĄurea, fue utilizada desde la antigĂźedad griega, en numerosas obras de arte pictĂłricas, escultĂłricas y arquitectĂłnicas, es durante el renacimiento europeo, cuando muchĂsimos artistas y arquitectos redescubren su valor, y ejecutaron sus trabajos aplicando el nĂşmero ĂĄureo como canon mĂĄximo de belleza perfecta, en sus obras artĂsticas y escultĂłricas. La soluciĂłn correspondiente a la raĂz negativa de la ecuaciĂłn, se acostumbra denominar como secciĂłn ĂĄurea, y se suele representar por una forma mĂĄs llana de la letra Phi, (Ď•), siendo Ď•, el inverso con signo contrario a la proporciĂłn ĂĄurea, es decir: đ?œ‘=−
Entonces, đ?œ‘ =
1 1 −2 (1 − √5 ) 2(1 − √5 ) (1 − √5 ) =− = . = = Ń„ 4 2 1 + √5 (1 + √5 ) (1 − √5 ) 2
(1−√5 ) 2
= −0,61803398874989484820458683 ‌
El nĂşmero ĂĄureo se pone en evidencia en el triĂĄngulo aritmĂŠtico o de Pascal, a travĂŠs de la sucesiĂłn de Fibonacci. Si de denota al n-ĂŠsimo tĂŠrmino de la sucesiĂłn de Fibonacci, que se obtiene de ∆đ?&#x;Ž , al sumar los coeficientes segĂşn las direcciones diagonales, como đ?’‡đ?&#x;Žđ?’? , y al tĂŠrmino precedente como đ?’‡đ?&#x;Žđ?’?−đ?&#x;? , đ?‘“0
notamos que a medida que aumenta n, la relaciĂłn Ń„0đ?‘› = đ?‘“0đ?‘› , oscila alternativamente entre valores đ?‘›âˆ’1
1+√5 . Podemos tambiĂŠn notar 2
mayores y menores pero cercanos al valor de la proporciĂłn ĂĄurea Ń„ =
que la fracciĂłn continua que describe la aproximaciĂłn al nĂşmero ĂĄureo, se acerca mĂĄs a dicho valor a medida que aumenta el nĂşmero de unos presentes en la fracciĂłn. Por ejemplos: Ń„0đ?‘› =
đ?‘“đ?‘›0 0 đ?‘“đ?‘›âˆ’1
2/1=2 3/2=1,5 5/3=1,6‌.. 8/5=1,6 13/8=1,625 21/13=1,6153846‌.. 34/21=1,619047‌.. 55/34=1,617647058823529411‌. đ?‘“đ?‘›0 0 đ?‘›â†’∞ đ?‘“đ?‘›âˆ’1
En realidad, matemĂĄticamente hablando, se puede demostrar que: lim
= Ń„, como veremos
mĂĄs adelante. Esta propiedad fue descubierta por el astrĂłnomo alemĂĄn Johannes Kepler (15711630), pero pasĂł mĂĄs de un siglo, para que fuera demostrada formalmente por el matemĂĄtico escoces Robert Simpson (1687-1768). Podemos utilizar nuestras expresiones de Ń„0đ?‘› =
đ?‘“đ?‘›0 0 , đ?‘“đ?‘›âˆ’1
para
comprobar que dicho cociente varĂa asintĂłticamente aproximĂĄndose de manera rĂĄpida y alternativa por encima y por debajo al valor lĂmite Ń„.
Esta propiedad es en realidad mĂĄs general, ya que, con posterioridad, se encontrĂł que cualquier sucesiĂłn aditiva recurrente de orden 2, tiende al mismo lĂmite. Por ejemplo, si tomamos dos nĂşmeros naturales arbitrariamente, como el 3 y el 7, la sucesiĂłn recurrente resultante: 3,7,10, 17,27,44,71,115,186,301,‌es tal, que los cocientes de dos tĂŠrminos sucesivos, producen aproximaciones racionales que se acercan asintĂłticamente por exceso, o por defecto, al valor de Ń„ Por ejemplo: Cocientes sucesivos 7/3=2,3‌.. 10/7=1,428571‌. 17/10=1,7 27/17=1,5882352941176470‌.. 44/27=1,629‌. 71/44=1,6136‌. 115/71=1,619718309859154‌‌. 186/115=1,61739130434782‌‌ En 1834, el matemĂĄtico francĂŠs Jaques Philippe Marie Binet , redescubriĂł una fĂłrmula que ya era utilizada por Leonhard Euler, y por Daniel Bernoulli, y que hoy se reconoce fue deducida por Abrahan d`Moivre en el siglo anterior. La fĂłrmula de D`Moivre-Binet, permite encontrar el n-ĂŠsimo nĂşmero de Fibonacci, sin tener que obtener los tĂŠrminos previos. Dicha fĂłrmula depende exclusivamente del nĂşmero ĂĄureo, y estĂĄ dada por: 1
đ?‘›
đ?‘›
1 + √5 1 − √5 1 [Ń„đ?‘› − (1 − Ń„)đ?‘› ] đ?‘“đ?‘› = [( ) −( ) ]= 2 2 √5 √5
Otras propiedades importantes del nĂşmero ĂĄureo: Ń„2 = Ń„ + 1 Ń„2 −
1 =2 Ń„
Ń„âˆ’1= Ń„3 =
1 Ń„
Ń„+1 Ń„âˆ’1
Ń„đ?‘› = Ń„đ?‘›âˆ’2 + Ń„đ?‘›âˆ’1 Esta Ăşltima propiedad, es la anĂĄloga recursiva de los nĂşmeros de la sucesiĂłn de Fibonacci, pero aplicadas a las potencias n-ĂŠsimas posteriores y sucesivas de Ń„
Una de las propiedades mĂĄs importantes, es la que liga la sucesiĂłn de Fibonacci, con el nĂşmero ĂĄureo, y estĂĄ dada por: 0 đ?‘“đ?‘›+1 đ?‘“đ?‘›0 = lim =Ń„ đ?‘›â†’∞ đ?‘“đ?‘›0 đ?‘›â†’∞ đ?‘“ 0 đ?‘›âˆ’1
lim
De donde, tambiĂŠn debe cumplirse: 0 đ?‘“đ?‘›0 đ?‘“đ?‘›âˆ’1 1 = lim = đ?‘›â†’∞ đ?‘“ 0 đ?‘›â†’∞ đ?‘“đ?‘›0 Ń„ đ?‘›+1
lim
SegĂşn la propiedad de Fibonacci para k=0 0 0 đ?‘“đ?‘›0 = đ?‘“đ?‘›âˆ’2 + đ?‘“đ?‘›âˆ’1 0 Dividiendo ambos tĂŠrminos de la igualdad entre đ?‘“đ?‘›âˆ’1 , resulta:
0 đ?‘“đ?‘›0 đ?‘“đ?‘›âˆ’2 1 = +1 0 0 +1= 0 đ?‘“đ?‘›âˆ’1 đ?‘“đ?‘›âˆ’1 đ?‘“đ?‘›âˆ’1 0 đ?‘“đ?‘›âˆ’2
Si pasamos al lĂmite cuando n→ ∞, serĂĄ: đ?‘“đ?‘›0 lim = đ?‘›â†’∞ đ?‘“ 0 đ?‘›âˆ’1
1 +1 đ?‘“0 lim đ?‘›âˆ’1 0 đ?‘›â†’∞ đ?‘“đ?‘›âˆ’2
Pero en el lĂmite, tambiĂŠn deberĂĄ ser: 0 đ?‘“đ?‘›0 đ?‘“đ?‘›âˆ’1 = lim đ?‘›â†’∞ đ?‘“ 0 đ?‘›â†’∞ đ?‘“ 0 đ?‘›âˆ’1 đ?‘›âˆ’2
lim
Si llamamos Ń„, al lĂmite comĂşn, entonces la igualdad anterior, puede escribirse como: Ń„= De donde:
1 +1 Ń„
Ń„2 − Ń„ − 1 = 0
Siendo la soluciĂłn positiva de esta ecuaciĂłn: Ń„ =
1+√5 2
, por lo tanto hemos demostrado que en
efecto: đ?‘“đ?‘›0 1 + √5 =Ń„= đ?‘›â†’∞ đ?‘“ 0 2 đ?‘›âˆ’1 lim
Otra propiedad importante, que asocia la sucesiĂłn de Fibonacci con la potencia n-ĂŠsima del nĂşmero ĂĄureo Ń„đ?‘› , en tĂŠrminos de sus 2 potencias n-ĂŠsimas anteriores, la podemos obtener de la igualdad que ya hemos deducido anteriormente: Ń„=
1 +1 Ń„
De donde Ń„2 = 1 + Ń„ Multiplicando toda la expresiĂłn por Ń„đ?‘›âˆ’2, resulta: Ń„đ?’? = Ń„đ?’?−đ?&#x;? + Ń„đ?’?−đ?&#x;? PodrĂamos decir que la potenciaciĂłn Ń„đ?’? , del nĂşmero ĂĄureo Ń„ ,responde a la misma recurrencia que los tĂŠrminos de la sucesiĂłn de Fibonacci, en el sentido que su potencia a la n, es igual a la suma de sus potencias anteriores consecutivas Ń„đ?‘›âˆ’1, y Ń„đ?‘›âˆ’2 , 1
1
De igual manera, esta propiedad, tambiĂŠn se cumple para la secciĂłn ĂĄurea đ?œ‘ = − Ń„, o, Ń„ = − đ?œ‘, valor que si sustituimos en la relaciĂłn anterior, nos da: 1 đ?‘› 1 đ?‘›âˆ’2 1 đ?‘›âˆ’1 (− ) = (− ) + (− ) đ?œ‘ đ?œ‘ đ?œ‘ 1 đ?‘› đ?œ‘ 1
1 đ?‘›âˆ’2 đ?œ‘
Y como los tĂŠrminos (− ) , y (− )
,son ambos del mismo signo (sea n par, o impar), podemos
1 1 = đ?‘›âˆ’2 − đ?‘›âˆ’1 , expresiĂłn đ?œ‘đ?‘› đ?œ‘ đ?œ‘ đ?‘›+2 đ?‘› đ?‘›+1
que multiplicada por đ?œ‘2đ?‘› , resulta en: đ?œ‘đ?‘› = đ?œ‘đ?‘›+2 − đ?œ‘đ?‘›+1 , de
escribir:
donde: : đ?œ‘
=đ?œ‘ +đ?œ‘
, y multiplicando esta Ăşltima expresiĂłn por đ?œ‘−2 , obtenemos: đ??‹đ?’? = đ??‹đ?’?−đ?&#x;? + đ??‹đ?’?−đ?&#x;?
ExpresiĂłn recurrente, anĂĄloga a la que se cumple para el nĂşmero ĂĄureo, pero para la potenciaciĂłn đ?œ‘đ?‘› , de la secciĂłn ĂĄurea đ?œ‘ , en funciĂłn de sus 2 potencias n-ĂŠsimas anteriores.
El nĂşmero ĂĄureo en el prisma combinatorio para k=1 Con anterioridad, ya hemos encontrado los tĂŠrminos de la sucesiĂłn de Fibonacci para el caso de 1 k=1, desde đ?‘“11 ,hasta đ?‘“10 (a los que tendrĂamos que agregar convencionalmente đ?‘“01 = 0 )
��1 : 0,1,2,5,10,20,39,71,130,235,420, ‌ �1
Utilizando nuestras expresiones para los cocientes sucesivos Ń„1đ?‘› = đ?‘“1đ?‘› , hemos elaborado una đ?‘›âˆ’1
pequeĂąa tabla de valores (hasta n=27), con fines de su representaciĂłn grĂĄfica como tendencia.
n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27
đ?‘“đ?‘›1
đ?œ™đ?‘›1
0 1 2 5 10 20 38 71 130 235 420 744 1308 2285 3970 6865 11822 20284 34690 59155 100610 170711 289032 488340 823800 1387225 2332418 3916061
2 2,5 2 2 1,9 1,868421 1,830985 1,807692 1,787234 1,771428 1,758064 1,746941 1,737417 1,729219 1,722068 1,715784 1,710214 1,705246 1,700786 1,696759 1,693107 1,689570 1,686939 1,683934 1,681355 1,678970
đ?‘“1
Valores sucesivos đ?’‡đ?&#x;?đ?’? , y sus cocientes Ń„1đ?‘› = đ?‘“1đ?‘› , para k=1 del P.C., desde n=2, hasta n=27 đ?‘›âˆ’1
Hemos realizado como comprobaciĂłn el cĂĄlculo adicional (de control) para n=50, resultando: đ?‘“1
Ń„150 = đ?‘“50 1 = 1,650686 49
Es evidente, que necesitarĂamos muchos mĂĄs tĂŠrminos de la sucesiĂłn de cocientes sucesivos, para ser mĂĄs concluyentes, pero con los datos obtenidos, tabulados y graficados a continuaciĂłn, se nota una tendencia clara hacia un valor lĂmite asintĂłtico ≈ Ń„
Cocientes de nĂşmeros de Fibonacci sucesivos, en nivel k=1 3
2.5
2
Ń„ 1.5
1
0.5
0 0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
đ?’‡đ?&#x;?
GrĂĄfico de tendencia asintĂłtica de Ń„đ?&#x;?đ?’? = đ?’‡đ?&#x;? đ?’?
đ?’?−đ?&#x;?
La escala horizontal que corresponde al caso de n, para Ń„1đ?‘› , por conveniencia en la representaciĂłn grĂĄfica, se ha reducido en un dĂŠcimo, es decir p.ej., 1,5, representa el valor n=15
Trataremos a continuaciĂłn de obtener un lĂmite equivalente a Ń„, correspondiente al caso de k=1 Partiendo de la relaciĂłn de Fibonacci para el caso de ∆1 :
đ?’‡đ?&#x;?đ?’? = (đ?’‡đ?&#x;?đ?’?−đ?&#x;? + đ?’‡đ?&#x;?đ?’?−đ?&#x;? ) + đ?’‡đ?&#x;Žđ?’?
Si llamamos đ?œ™1 = lim
đ?‘›â†’∞
1 đ?‘“đ?‘›+1
đ?‘“đ?‘›1
= lim
đ?‘“đ?‘›1
1 đ?‘›â†’∞ đ?‘“đ?‘›âˆ’1
, tambiĂŠn serĂĄ: lim
đ?‘“đ?‘›1
1 đ?‘›â†’∞ đ?‘“đ?‘›+1
= lim
đ?‘›â†’∞
1 đ?‘“đ?‘›âˆ’1
đ?‘“đ?‘›1
1
=đ?œ™
1
Si dividimos la relaciĂłn de Fibonacci para este caso por đ?’‡đ?&#x;?đ?’?−đ?&#x;? , obtenemos:
Ń„đ?&#x;?đ?’?
đ?’‡đ?&#x;?đ?’? (đ?’‡đ?&#x;?đ?’?−đ?&#x;? + đ?’‡đ?&#x;?đ?’?−đ?&#x;? ) + đ?’‡đ?&#x;Žđ?’? đ?’‡đ?&#x;?đ?’?−đ?&#x;? đ?’‡đ?&#x;Žđ?’? = đ?&#x;? = = đ?&#x;? +đ?&#x;?+ đ?&#x;? đ?’‡đ?’?−đ?&#x;? đ?’‡đ?&#x;?đ?’?−đ?&#x;? đ?’‡đ?’?−đ?&#x;? đ?’‡đ?’?−đ?&#x;?
đ?’‡đ?&#x;?
Que podemos escribir como: Ń„đ?&#x;?đ?’? = đ?’‡đ?&#x;? đ?’? = đ?’?−đ?&#x;?
TambiĂŠn serĂĄ: đ?œ™1 = lim
đ?‘“đ?‘›1 1
đ?‘›â†’∞ đ?‘“đ?‘›âˆ’1
= lim
1 đ?‘“đ?‘›âˆ’1 1
đ?‘›â†’∞ đ?‘“đ?‘›âˆ’2
đ?’‡đ?&#x;Ž
đ?&#x;? đ?’‡đ?&#x;? đ?’?−đ?&#x;? đ?’‡đ?&#x;? đ?’?−đ?&#x;?
đ?’‡đ?&#x;?đ?’? đ?&#x;? , đ?’? đ?’‡đ?’?−đ?&#x;?
+ đ?&#x;? + đ?’‡đ?’?đ?&#x;?
si pasamos al lĂmite, cuando n→∞
, entonces la relaciĂłn anterior se transforma en:
1
đ?‘“đ?‘›0 1.Ń„ đ?‘›â†’∞ đ?‘“đ?‘›
đ?œ™1 = đ?œ™ +1+ lim 1
Si suponemos que đ?œ™1 = đ?œ™, tendrĂamos: 1 đ?‘“đ?‘›0 Ď• = + 1 + lim 1 . Ń„ đ?‘›â†’∞ đ?‘“đ?‘› Ď•
đ?‘“đ?‘›0 1 đ?‘›â†’∞ đ?‘“đ?‘›
Ď•2 = 1 + Ď• + Ď•2 lim
De donde:
đ?‘“đ?‘›0 1 đ?‘›â†’∞ đ?‘“đ?‘›
Luego: lim
=1−
Ď•+1 , Ď•2
đ?‘“đ?‘›0 1 đ?‘›â†’∞ đ?‘“đ?‘›
pero Ď• + 1 = Ď•2 , luego resultarĂa: lim
= 0, y por ende la relaciĂłn
1
inicial se reduce a : Ď• = Ď• + 1, lo cual se cumple si el supuesto đ?œ™1 = đ?œ™, es cierto.
đ?‘“0
El cociente đ?‘“đ?‘›1 , es en efecto un valor que tiende progresivamente a cero, ya que el denominador de đ?‘›
la fracciĂłn es un valor que crece mucho mĂĄs rĂĄpido que el numerador, a medida que aumenta n, como se evidencia en la tabla que hemos elaborado para los primeros 27 cocientes del caso, la cual se presenta a continuaciĂłn.
n 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 +15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 Tabla de cocientes n-ĂŠsimos
đ?’‡đ?&#x;Žđ?’? , đ?’‡đ?&#x;?đ?’?
đ?‘“đ?‘›0
đ?‘“đ?‘›1
đ?‘“đ?‘›0 /đ?‘“đ?‘›1
1 1 2 3 5 8 13 21 34 55 89 144 233 377 610 987 1597 2584 4181 6765 10946 17711 28657 46368 75025 121393 196418
1 2 5 10 20 38 71 130 235 420 744 1308 2285 3970 6865 11822 20284 34690 59155 100610 170711 289032 488340 823800 1387225 2332418 3916061
1 0,5 0,4 0,3 0,25 0,2105263 0,1830985 0,1615384 0,1446808 0,1309523 0,1196236 0,1100917 0,1019693 0,0949622 0,0888565 0,0834884 0,0787320 0,0744883 0,0706787 0,0672398 0,0641200 0,0612769 0,0586824 0,0562885 0,0540827 0,0520459 0,0501570
para valores de n, desde n=1, hasta n=27 en ambos niveles đ?‘“0
12586269025
Como un valor de control, hemos realizado el cĂĄlculo adicional para n=50: đ?‘“50 1 = 460409998850 = 50
0,0273370 La diferencia fundamental, entre los casos correspondiente a k=1, y k=0, es que en el caso del TriĂĄngulo AritmĂŠtico ∆0 , la sucesiĂłn de cocientes de nĂşmeros consecutivos de Fibonacci, oscila rĂĄpidamente entre valores mayores, o menores, pero muy cercanos al lĂmite Ď•, mientras que en el caso de ∆1 , la sucesiĂłn de cocientes equivalentes , no oscila, sino que se aproxima lentamente a dicho lĂmite ,pero siempre con valores que se mantienen por encima de Ď• Por la estructura estratificada de las relaciones equivalentes de Fibonacci, en el Prisma Combinatorio, al pasar de un nivel k-1 al nivel siguiente k, y por las mismas razones ya expuestas, encontraremos que el lĂmite lim
đ?‘“đ?‘›đ?‘˜âˆ’1
đ?‘˜ đ?‘›â†’∞ đ?‘“đ?‘›
, tiende a cero, y a su vez, lim
đ?‘“đ?‘›đ?‘˜ đ?‘˜âˆ’1
đ?‘›â†’∞ đ?‘“đ?‘›âˆ’1
vez mĂĄs lentamente a medida que aumenta el nivel k considerado.
, tiende a Ď•, pero cada
Lo cual, a nuestra manera de ver, hace de Ď•, no solo un nĂşmero de oro, sino un nĂşmero verdaderamente mĂĄgico.
FunciĂłn generatriz: Como es conocido, la funciĂłn generatriz o generadora de la sucesiĂłn de Fibonacci, estĂĄ dada por la fracciĂłn: đ??š0 (đ?‘Ľ) =
đ?‘Ľ = đ?‘Ľ + đ?‘Ľ 2 + 2đ?‘Ľ 3 + 3đ?‘Ľ 4 + 5đ?‘Ľ 5 + 8đ?‘Ľ 6 + â‹Ż 1 − đ?‘Ľ − đ?‘Ľ2
Siguiendo un procedimiento anĂĄlogo al utilizado para la obtenciĂłn de este resultado, hemos podido obtener la funciĂłn generatriz del caso general para ∆đ?‘˜ . Para el caso de ∆0 , deberĂĄ tenerse: ∞
đ??š0 (đ?‘Ľ) = ∑ đ?‘“đ?‘›0 đ?‘Ľ đ?‘› = đ?‘“00 đ?‘Ľ 0 + đ?‘“10 đ?‘Ľ 1 + đ?‘“20 đ?‘Ľ 2 + đ?‘“30 đ?‘Ľ 3 + đ?‘“40 đ?‘Ľ 4 + đ?‘“50 đ?‘Ľ 5 + â‹Ż đ?‘›=0
Donde los coeficientes đ?‘“đ?‘›0, representan los sucesivos valores de la sucesiĂłn de Fibonacci, y donde en los cĂĄlculos correspondientes se obvia el valor đ?‘“00 = 0, ya que anula al tĂŠrmino inicial. En este caso, la funciĂłn generatriz, debe cumplir las siguientes condiciones:
=0, si n=0 đ??š0 (đ?‘Ľ) =
=1, si n=1 0 0 =(đ?‘“đ?‘›âˆ’1 + đ?‘“đ?‘›âˆ’2 ), si n>1
Entonces, podemos escribir: ∞
đ??š0 (đ?‘Ľ) =
∞
đ??š0 (đ?‘Ľ) =
∑ đ?‘“đ?‘›0 đ?‘Ľ đ?‘› đ?‘›=0
∞
∑ đ?‘“đ?‘›0 đ?‘Ľ đ?‘› đ?‘›=0
=
đ?‘“00 đ?‘Ľ 0
+
đ?‘“10 đ?‘Ľ 1
+ ∑ đ?‘“đ?‘›0 đ?‘Ľ đ?‘› đ?‘›=2
∞
=
đ?‘“00 đ?‘Ľ 0
+
đ?‘“10 đ?‘Ľ 1
+
0 ∑(đ?‘“đ?‘›âˆ’1 đ?‘›=2
∞
+
0 đ?‘“đ?‘›âˆ’2 ) đ?‘Ľđ?‘›
=đ?‘Ľ+
0 ∑ đ?‘“đ?‘›âˆ’1 đ?‘Ľđ?‘› đ?‘›=2
Pero: 0 6 0 0 2 0 3 0 4 0 5 đ?‘› ∑∞ đ?‘›=2 đ?‘“đ?‘›âˆ’1 đ?‘Ľ = đ?‘“1 đ?‘Ľ + đ?‘“2 đ?‘Ľ + đ?‘“3 đ?‘Ľ + đ?‘“4 đ?‘Ľ + đ?‘“5 đ?‘Ľ + â‹Ż
= đ?‘Ľ[ đ?‘“10 đ?‘Ľ 1 + đ?‘“20 đ?‘Ľ 2 + đ?‘“30 đ?‘Ľ 3 + đ?‘“40 đ?‘Ľ 4 + đ?‘“50 đ?‘Ľ 5 + â‹Ż 0 đ?‘› = đ?‘Ľ ∑∞ đ?‘›=0 đ?‘“đ?‘› đ?‘Ľ = đ?‘Ľđ??š0 (đ?‘Ľ)
∞ 0 + ∑ đ?‘“đ?‘›âˆ’2 đ?‘Ľđ?‘› đ?‘›=2
Y tambiĂŠn: ∞ 0 ∑ đ?‘“đ?‘›âˆ’2 đ?‘Ľ đ?‘› = đ?‘“00 đ?‘Ľ 2 + đ?‘“10 đ?‘Ľ 3 + đ?‘“20 đ?‘Ľ 4 + đ?‘“30 đ?‘Ľ 5 + đ?‘“40 đ?‘Ľ 6 + â‹Ż đ?‘›=2
= đ?‘Ľ 2 [đ?‘“00 + đ?‘“10 đ?‘Ľ 1 + đ?‘“20 đ?‘Ľ 2 + đ?‘“30 đ?‘Ľ 3 + đ?‘“40 đ?‘Ľ 4 + â‹Ż 0 đ?‘› 2 = đ?‘Ľ 2 ∑∞ đ?‘›=0 đ?‘“đ?‘› đ?‘Ľ = đ?‘Ľ đ??š0 (đ?‘Ľ)
Por lo tanto, resulta: đ??š0 (đ?‘Ľ) = đ?‘Ľ + đ?‘Ľđ??š0 (đ?‘Ľ) + đ?‘Ľ 2 đ??š0 (đ?‘Ľ)
đ??š0 (đ?‘Ľ) = −
De donde:
đ?‘Ľ đ?‘Ľ 2 +đ?‘Ľ+1
=
đ?‘Ľ 1−đ?‘Ľâˆ’đ?‘Ľ 2
Para el caso de đ?‘˜ = 1, llamemos đ??š1 (đ?‘Ľ), a la funciĂłn generatriz correspondiente a ∆1 . Dicha funciĂłn deberĂĄ cumplir las condiciones siguientes:
=0, si n=0 đ??š1 (đ?‘Ľ) =
=1, si n=1 1 0 ) 1 0 ), =(đ?‘“đ?‘›âˆ’1 + đ?‘“đ?‘›âˆ’1 + (đ?‘“đ?‘›âˆ’2 + đ?‘“đ?‘›âˆ’2 si n>1
Y serĂĄ entonces: ∞
đ??š1 (đ?‘Ľ) = ∑ đ?‘“đ?‘›1 đ?‘Ľ đ?‘› = đ?‘“01 đ?‘Ľ 0 + đ?‘“11 đ?‘Ľ 1 + đ?‘“21 đ?‘Ľ 2 + đ?‘“31 đ?‘Ľ 3 + đ?‘“41 đ?‘Ľ 4 + đ?‘“51 đ?‘Ľ 5 + â‹Ż đ?‘›=0
Que podemos escribir como:
∞
đ??š1 (đ?‘Ľ) =
∞
đ??š1 (đ?‘Ľ) =
∑ đ?‘“đ?‘›1 đ?‘Ľ đ?‘› đ?‘›=0
∞
∑ đ?‘“đ?‘›1 đ?‘Ľ đ?‘› đ?‘›=0
=
đ?‘“01 đ?‘Ľ 0
+
đ?‘“11 đ?‘Ľ 1
+ ∑ đ?‘“đ?‘›1 đ?‘Ľ đ?‘› đ?‘›=2
∞ 1 0 ) 1 0 )] đ?‘› = đ?‘Ľ + ∑[(đ?‘“đ?‘›âˆ’1 + đ?‘“đ?‘›âˆ’1 + ((đ?‘“đ?‘›âˆ’2 + đ?‘“đ?‘›âˆ’2 đ?‘Ľ đ?‘›=2
∞
=𝑥+
∞
1 ∑ 𝑓𝑛−1 𝑥𝑛 𝑛=2
+
∞
0 ∑ 𝑓𝑛−1 𝑥𝑛 𝑛=2
+
∞
1 ∑ 𝑓𝑛−2 𝑥𝑛 𝑛=2
0 + ∑ 𝑓𝑛−2 𝑥𝑛 𝑛=2
0 ∞ 𝑛 0 𝑛 Pero ya hemos demostrado que ∑∞ 𝑛=2 𝑓𝑛−1 𝑥 = 𝑥 ∑𝑛=0 𝑓𝑛 𝑥 = 𝑥𝐹0 (𝑥) 0 𝑛 2 ∞ 0 𝑛 2 ∑∞ 𝑛=2 𝑓𝑛−2 𝑥 = 𝑥 ∑𝑛=0 𝑓𝑛 𝑥 = 𝑥 𝐹0 (𝑥)
Y análogamente: Siendo 𝐹0 (𝑥) =
𝑥 , la función generatriz para el caso de k=0 1−𝑥−𝑥2
1 ∞ 1 𝑛 𝑛 2 Luego resulta: 𝐹1 (𝑥) = 𝑥 + ∑∞ 𝑛=2 𝑓𝑛−1 𝑥 + 𝑥𝐹0 (𝑥) + ∑𝑛=2 𝑓𝑛−2 𝑥 + 𝑥 𝐹0 (𝑥)
Análogamente al caso de ∆0 , tendremos:
1 6 1 1 2 1 3 1 4 1 5 𝑛 ∑∞ 𝑛=2 𝑓𝑛−1 𝑥 = 𝑓1 𝑥 + 𝑓2 𝑥 + 𝑓3 𝑥 + 𝑓4 𝑥 + 𝑓5 𝑥 + ⋯
= 𝑥[ 𝑓11 𝑥 1 + 𝑓21 𝑥 2 + 𝑓31 𝑥 3 + 𝑓41 𝑥 4 + 𝑓51 𝑥 5 + ⋯ 1 𝑛 = 𝑥 ∑∞ 𝑛=0 𝑓𝑛 𝑥 = 𝑥𝐹1 (𝑥)
Y también: ∞ 1 ∑ 𝑓𝑛−2 𝑥 𝑛 = 𝑓01 𝑥 2 + 𝑓11 𝑥 3 + 𝑓21 𝑥 4 + 𝑓31 𝑥 5 + 𝑓41 𝑥 6 + ⋯ 𝑛=2
= 𝑥 2 [𝑓01 + 𝑓11 𝑥 1 + 𝑓21 𝑥 2 + 𝑓31 𝑥 3 + 𝑓41 𝑥 4 + ⋯ 1 𝑛 2 = 𝑥 2 ∑∞ 𝑛=0 𝑓𝑛 𝑥 = 𝑥 𝐹1 (𝑥)
Por ende, podemos escribir: 𝐹1 (𝑥) = 𝑥 + 𝑥𝐹1 (𝑥) + 𝑥𝐹0 (𝑥) + 𝑥 2 𝐹1 (𝑥) + 𝑥 2 𝐹0 (𝑥) Agrupando: 𝐹1 (𝑥)[1 − 𝑥 − 𝑥 2 ] = 𝑥[1 + 𝐹0 (𝑥) + 𝑥𝐹0 (𝑥)] 𝐹1 (𝑥) = 𝐹0 (𝑥) + [𝐹0 (𝑥)]2 + 𝑥[𝐹0 (𝑥)]2
De donde:
Luego:
𝐹1 (𝑥) =
𝑥 1−𝑥−𝑥 2
=
+
𝑥2 (1−𝑥−𝑥 2 )2
𝑥(1−𝑥−𝑥2 ) 2 (1−𝑥−𝑥2 )
=
+
+
𝑥3 (1−𝑥−𝑥 2 )2
𝑥2 2 (1−𝑥−𝑥2 )
𝑥−𝑥 2 −𝑥 3 +𝑥 2 +𝑥 3 (1−𝑥−𝑥 2 )2
=
+
𝑥3 2
(1−𝑥−𝑥2 ) 𝑥
(1−𝑥−𝑥 2 )2
Que podemos verificar, genera el polinomio: đ??š1 (đ?‘Ľ) =
đ?‘Ľ = đ?‘Ľ + 2đ?‘Ľ 2 + 5đ?‘Ľ 3 + 10đ?‘Ľ 4 + 20đ?‘Ľ 5 + 38đ?‘Ľ 6 + â‹Ż (1 − đ?‘Ľ − đ?‘Ľ 2 )2
Donde los coeficientes sucesivos de las potencias de x, corresponden a los tĂŠrminos de la sucesiĂłn de Fibonacci, para el caso de ∆1 Siguiendo un procedimiento similar, hemos podido obtener la funciĂłn generatriz correspondiente al caso de đ?‘˜ = 2 Resultando: đ??š2 (đ?‘Ľ) =
đ?‘Ľ = đ?‘Ľ + 3đ?‘Ľ 2 + 9đ?‘Ľ 3 + 22đ?‘Ľ 4 + 51đ?‘Ľ 5 + 111đ?‘Ľ 6 + â‹Ż (1 − đ?‘Ľ − đ?‘Ľ 2 )3
Donde los coeficientes sucesivos de las potencias de x, corresponden a los tĂŠrminos de la sucesiĂłn de Fibonacci, para el caso de ∆2 Estos resultados, nos permiten generalizar para cualquier nivel k, del Prisma Combinatorio, siendo:
đ?’™ (đ?&#x;? − đ?’™ − đ?’™đ?&#x;? )đ?’Œ+đ?&#x;? đ?&#x;? đ?&#x;? = đ?’™ + (đ?’Œ + đ?&#x;?)đ?’™đ?&#x;? + (đ?’Œđ?&#x;? + đ?&#x;“đ?’Œ + đ?&#x;’)đ?’™đ?&#x;‘ + (đ?’Œđ?&#x;‘ + đ?&#x;?đ?&#x;?đ?’Œđ?&#x;? + đ?&#x;?đ?&#x;—đ?’Œ + đ?&#x;?đ?&#x;–)đ?’™đ?&#x;’ đ?&#x;? đ?&#x;” đ?&#x;? đ?&#x;’ đ?&#x;‘ đ?&#x;? + (đ?’Œ + đ?&#x;?đ?&#x;?đ?’Œ + đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;—đ?’Œ + đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;–đ?’Œ + đ?&#x;?đ?&#x;?đ?&#x;Ž)đ?’™đ?&#x;“ + â‹Ż đ?&#x;?đ?&#x;’ đ?‘đ?’Œ (đ?’™) =
La funciĂłn generatriz que corresponde al plano genĂŠrico ∆đ?‘˜ , del Prisma Combinatorio. Este resultado a su vez, nos permite expresar los tĂŠrminos de la sucesiĂłn de Fibonacci, para cualquier nivel del Prisma Combinatorio, como una funciĂłn polinĂłmica del valor de k, o nivel considerado en el P.C., obtenida mediante el desarrollo de đ?‘đ?’Œ (đ?’™) , a travĂŠs de las series de TaylorMacLaurin. AsĂ tendremos para n=0, hasta n=8:
đ?‘“0đ?‘˜ = 0 đ?‘“1đ?‘˜ = 1 đ?‘“2đ?‘˜ = đ?‘˜ + 1 1 đ?‘“3đ?‘˜ = (k 2 + 5k + 4) 2 1 đ?‘“4đ?‘˜ = (k 3 + 12k 2 + 29k + 18) 6 1 4 (k + 22k 3 + 119k 2 + 218k + 120) đ?‘“5đ?‘˜ = 24
1 (k 5 + 35k 4 + 345k 3 + 1285đ?‘˜ 2 + 1934k + 960) 120 1 (k 6 + 51k 5 + 805đ?‘˜ 4 + 5205đ?‘˜ 3 + 15394đ?‘˜ 2 đ?‘“7đ?‘˜ = 720 + 20304đ?‘˜ + 9360) 1 (k 7 + 70k 6 + 1624k 5 + 16450đ?‘˜ 4 + 81739đ?‘˜ 3 đ?‘“8đ?‘˜ = 5040 + 205240đ?‘˜ 2 + 244236đ?‘˜ + 105840) đ?‘“6đ?‘˜ =
Si queremos obtener el tĂŠrmino de lugar n de la sucesiĂłn de Fibonacci, correspondiente a un determinado ∆đ?‘˜ , como una funciĂłn polinĂłmica de k, deberemos calcular la derivada n-ĂŠsima de la funciĂłn generatriz, y evaluarla para x=0, de manera que: đ?&#x;? đ?’…đ?’? [đ?‘đ?’Œ (đ?’™)] , đ?’…đ?’™
đ?’‡đ?’Œđ?’? = đ?’?!
para đ?’™ = đ?&#x;Ž
Dichos polinomios en k, tambiĂŠn pueden obtenerse a partir de las expresiones combinatorias que hemos desarrollado para đ?’‡đ?’Œđ?’? , segĂşn, sea n par o impar: Para n par ≼ đ?&#x;?:
(đ?‘›âˆ’2)/2
đ?‘“đ?‘›đ?‘˜ = ∑đ?‘–=0
(đ?‘›âˆ’1)/2
Y Para n impar ≼1: đ?‘“đ?‘›đ?‘˜ = ∑đ?‘–=0
đ?‘›+đ?‘˜âˆ’1−đ?‘– đ?‘›âˆ’1−đ?‘– ( )( ) đ?‘– đ?‘˜
đ?‘›+đ?‘˜âˆ’1−đ?‘– đ?‘›âˆ’1−đ?‘– ( )( ) đ?‘– đ?‘˜
AsĂ resultan: đ?‘“0đ?‘˜ = 0 đ?‘“1đ?‘˜ = 1 1+đ?‘˜ 1 1+đ?‘˜ đ?‘“2đ?‘˜ = ( )( ) = ( ) 0 đ?‘˜ đ?‘˜ 2+đ?‘˜ 2 1+đ?‘˜ 1 2+đ?‘˜ 1+đ?‘˜ đ?‘“3đ?‘˜ = ( )( ) + ( )( ) = ( )+( ) 0 1 đ?‘˜ đ?‘˜ đ?‘˜ đ?‘˜ 3+đ?‘˜ 3 2+đ?‘˜ 2 3+đ?‘˜ 2+đ?‘˜ đ?‘“4đ?‘˜ = ( )( ) + ( )( ) = ( ) + 2( ) 0 1 đ?‘˜ đ?‘˜ đ?‘˜ đ?‘˜ 4+đ?‘˜ 4 3+đ?‘˜ 3 2+đ?‘˜ 2 4+đ?‘˜ 3+đ?‘˜ 2+đ?‘˜ đ?‘“5đ?‘˜ = ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) = ( ) + 3( )+( ) 0 1 2 đ?‘˜ đ?‘˜ đ?‘˜ đ?‘˜ đ?‘˜ đ?‘˜ 5+đ?‘˜ 5 4+đ?‘˜ 4 3+đ?‘˜ 3 5+đ?‘˜ 4+đ?‘˜ 3+đ?‘˜ đ?‘“6đ?‘˜ = ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) = ( ) + 4( )+ 3( ) 1 2 đ?‘˜ 0 đ?‘˜ đ?‘˜ đ?‘˜ đ?‘˜ đ?‘˜
6+đ?‘˜ 6 5+đ?‘˜ 5 4+đ?‘˜ 4 3+đ?‘˜ 3 6+đ?‘˜ 5+đ?‘˜ 4+đ?‘˜ 3+đ?‘˜ )( ) + ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) = ( ) +5( ) + 6( )+( ) đ?‘˜ 0 đ?‘˜ đ?‘˜ 2 đ?‘˜ 3 đ?‘˜ đ?‘˜ đ?‘˜ đ?‘˜ 1 7 4 6 7 + đ?‘˜ 6 + đ?‘˜ 5 + đ?‘˜ 5 4 + đ?‘˜ 7 + đ?‘˜ 6 + đ?‘˜ 5 + đ?‘˜ 4 + đ?‘˜ đ?‘“8đ?‘˜ = ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) = ( ) +6( ) + 10 ( ) + 4( ) 0 3 đ?‘˜ đ?‘˜ 1 đ?‘˜ đ?‘˜ đ?‘˜ đ?‘˜ đ?‘˜ đ?‘˜ 2 đ?‘“7đ?‘˜ = (
SĂ analizamos la estructura de esta Ăşltima tabla, encontramos una serie de caracterĂsticas bĂĄsicas, que seĂąalamos a continuaciĂłn: 1.) Todos los combinatorios de cualquier fila, son de la forma:
đ?‘›âˆ’đ?‘–+đ?‘˜ ( ) đ?‘˜ Con i variando desde 1, hasta n/2, si n es par, y variando desde 1, hasta (n+1)/2, cuando n es impar
2.) La distribuciĂłn vertical de los coeficientes que afectan a los combinatorios resultantes, corresponden a las sucesiones paralelas đ?‘†đ?‘š , que conforman la estructura del triĂĄngulo aritmĂŠtico ∆0 , pero cada columna de valores, deslazada un lugar hacia abajo con respecto a la columna previa. n 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
∆0
1 1 1 1 1 1 1 1 1 1
1 2 3 4 5 6 7 8 9
1 3 6 10 15 21 28 36
1 4 10 20 35 56 84
Secuencia en la tabla �1 �2 1 1 1 �3 1 1 2 5 1 1 3 1 �4 15 6 1 1 4 3 35 21 7 1 1 5 6 1 �5 70 56 28 8 1 1 6 10 4 126 126 84 36 9 1 1 7 15 10 1
3.) La secuencia de los sumandos de k, en los combinatorios resultantes n 2 3 4 5 6 7 8 9
Sumandos de k 1 2 1 3 2 4 3 2 5 4 3 6 5 4 3 7 6 5 4 8 7 6 5 4
Por Ăşltimo, como ejemplos, obtengamos los polinomios en k para đ?’‡đ?’Œđ?&#x;‘ , y đ?’‡đ?’Œđ?&#x;’ ,a partir de nuestras expresiones combinatorias. (đ?&#x;? + đ?’Œ)! (đ?&#x;? + đ?’Œ)! đ?&#x;? đ?&#x;?+đ?’Œ đ?&#x;?+đ?’Œ [(đ?&#x;? + đ?’Œ)! + đ?&#x;?. (đ?&#x;? + đ?’Œ)!] đ?’‡đ?’Œđ?&#x;‘ = ( )+( )= + = đ?’Œ đ?’Œ đ?&#x;?! đ?’Œ! đ?&#x;?! đ?’Œ! đ?&#x;?. đ?’Œ! đ?&#x;? (đ?&#x;? + đ?’Œ)! [(đ?&#x;? + đ?’Œ). (đ?&#x;? + đ?’Œ)! + đ?&#x;?. (đ?&#x;? + đ?’Œ)!] = [(đ?&#x;? + đ?’Œ) + đ?&#x;?] = đ?&#x;?. đ?’Œ! đ?&#x;?. đ?’Œ! (đ?&#x;? + đ?’Œ). đ?’Œ! đ?&#x;? đ?&#x;? (đ?&#x;’ + đ?’Œ) = (đ?&#x;? + đ?’Œ)(đ?&#x;’ + đ?’Œ) = (đ?’Œđ?&#x;? + đ?&#x;“đ?’Œ + đ?&#x;’) = đ?&#x;?. đ?’Œ! đ?&#x;? đ?&#x;? Donde đ?‘˜ = −1, −4, son las raĂces enteras negativas de đ?’Œđ?&#x;? + đ?&#x;“đ?’Œ + đ?&#x;’ = đ?&#x;Ž
(đ?&#x;‘ + đ?’Œ)! đ?&#x;?(đ?&#x;? + đ?’Œ)! đ?&#x;? đ?&#x;‘+đ?’Œ đ?&#x;?+đ?’Œ [(đ?&#x;‘ + đ?’Œ)! + đ?&#x;”. (đ?&#x;? + đ?’Œ)!] đ?’‡đ?’Œđ?&#x;’ = ( ) + đ?&#x;?( )= + = đ?’Œ đ?’Œ đ?&#x;‘! đ?’Œ! đ?&#x;?! đ?’Œ! đ?&#x;”. đ?’Œ! đ?&#x;? (đ?&#x;? + đ?’Œ)! [(đ?&#x;‘ + đ?’Œ). (đ?&#x;? + đ?’Œ)! + đ?&#x;”. (đ?&#x;? + đ?’Œ)!] = [(đ?&#x;‘ + đ?’Œ) + đ?&#x;”] = đ?&#x;”. đ?’Œ! đ?&#x;”. đ?’Œ! (đ?&#x;? + đ?’Œ)(đ?&#x;? + đ?’Œ). đ?’Œ! đ?&#x;? (đ?&#x;— + đ?’Œ) = (đ?&#x;? + đ?’Œ)(đ?&#x;? + đ?’Œ)(đ?&#x;— + đ?’Œ) = đ?&#x;”. đ?’Œ! đ?&#x;” đ?&#x;? đ?&#x;‘ = (đ?’Œ + đ?&#x;?đ?&#x;?đ?’Œđ?&#x;? + đ?&#x;?đ?&#x;—đ?’Œ + đ?&#x;?đ?&#x;–) đ?&#x;” Donde đ?‘˜ = −1, −2, −9, son las raĂces enteras negativas de đ?’Œđ?&#x;‘ + đ?&#x;?đ?&#x;?đ?’Œđ?&#x;? + đ?&#x;?đ?&#x;—đ?’Œ + đ?&#x;?đ?&#x;– = đ?&#x;Ž
Pero la forma mĂĄs prĂĄctica e inmediata de obtener numĂŠricamente, los tĂŠrminos de la sucesiĂłn compuesta de Fibonacci, para un valor determinado de k≼1, es partir de los tĂŠrminos correspondientes al valor previo k-1, y aplicar convenientemente las relaciones que ya hemos determinado, y que se cumplen para cualquier valor de k: 1. ) đ?’‡đ?’Œđ?’? = (đ?’‡đ?’Œđ?’?−đ?&#x;? + đ?’‡đ?’Œđ?’?−đ?&#x;? ) + đ?’‡đ?’Œâˆ’đ?&#x;? đ?’? , ∀đ?’Œâ‰Ľđ?&#x;? đ?’‡đ?’Œđ?&#x;Ž = đ?&#x;Ž ,∀đ?’Œâ‰Ľ đ?&#x;Ž
2. )
đ?’‡đ?’Œđ?&#x;? = đ?&#x;? Por ejemplo, para construir una tabla que contenga, los primeros 10 tĂŠrminos de la sucesiones anĂĄlogas de Fibonacci, desde đ?‘˜ = 0, hasta đ?‘˜ = 3, bastarĂĄ partir de una primera fila con los 10 primeros tĂŠrminos de la sucesiĂłn, correspondientes a ∆đ?&#x;Ž , es decir la sucesiĂłn original de Fibonacci.
n= 0 đ?’‡đ?&#x;Žđ?’? : đ?’‡đ?&#x;?đ?’? : đ?’‡đ?&#x;?đ?’? : đ?’‡đ?&#x;‘đ?’? :
1 0 0 0 0
2 1 1 1 1
3 1 2 3 4
4 2 5 9 14
5 3 10 22 40
5 20 51 105
6 8 38 111 256
7 13 71 233 594
8
9
21 130 474 1324
34 235 942 2860
10 55 420 1836 6020
El procedimiento para obtener los elementos de una fila, en función de los 2 tÊrminos previos de su propia fila y del tÊrmino siguiente de la fila anterior, se puede simbolizar nemotÊcnicamente mediante flechas de conexión. Por ejemplo, para obtener el valor 22, quinto lugar en la tercera fila, tendremos: 3 →9
10 22
Donde las dos primeras flechas (en rojo), indican suma y la tercera (en azul), el resultado. La formaciĂłn de las filas, es inmediata, ya que cada una de ellas inicia con los tĂŠrminos 0, y 1.
Una caracterĂstica de las sucesiones recurrentes de orden 2, que no se presentan en otro tipo de sucesiones tales como las que corresponden a las combinadas đ?’‡đ?’Œđ?’? , para k≼1, se refiere a que, en estas sucesiones, las primeras, segundas, terceras, etc., diferencias, van reproduciendo los tĂŠrminos de la sucesiĂłn original, con signos positivos a la derecha del tĂŠrmino inicial, y con signos alternos a su izquierda. Damos a continuaciĂłn dos ejemplos: đ?‘“đ?‘›0 = SucesiĂłn 1áľƒ Dif. 2áľƒ Dif. 3áľƒ Dif. 4áľƒ Dif. 5áľƒ Dif.
0
1
1
1
2
0 -1
3
1
1
1
0
2
1
-1
1
-3
1
-1 -3
13 5
2 1
1 2
(Ń„đ?‘› − đ?œ‘đ?‘› )
8 3
0
2 5
5 2
1 √5
3 1
0 -1
21 8 5 2
1 1
34 13 8 3
1 0
2 1
55 89 34 55 13 21 5 8 13 3 5 1 2 3
21
Y, đ?‘“đ?‘› = Ń„đ?‘› + đ?œ‘đ?‘› SucesiĂłn 1áľƒ Dif. 2áľƒ Dif. 3áľƒ Dif. 4áľƒ Dif. 5áľƒ Dif.
2
1
18 29 47 76 123 199 11 18 29 47 76 123 3 -1 2 1 3 4 7 11 18 29 47 -4 3 -1 2 1 3 4 7 11 18 29 7 -4 3 -1 2 1 3 4 7 11 -11 7 -4 3 -1 2 1 3 4 7
-1
3
4
2
7
1
3
11
4
7
Por último, hemos obtenido una expresión anåloga a la fórmula de D’Moivre-Binet, aplicable a cualquier nivel k del prisma Combinatorio:
đ?’‡đ?’Œđ?’?
=
đ?&#x;?
đ?’?
∑ đ?’‡đ?’Œâˆ’đ?&#x;? (đ??“đ?’?−đ?’Š+đ?&#x;? − đ??‹đ?’?−đ?’Š+đ?&#x;? ) đ?’Š
√đ?&#x;“ đ?’Š=đ?&#x;?
Como ejemplos, vamos a obtener los resultados para đ?’‡đ?&#x;?đ?&#x;“ , y đ?’‡đ?&#x;‘đ?&#x;’ , que el lector puede corroborar en la tabla correspondiente, ya mostrada anteriormente. Para đ?’‡đ?&#x;?đ?&#x;“ (k=2, y n=5), tendremos:
đ?’‡đ?&#x;?đ?&#x;“ =
đ?&#x;?
đ?&#x;“
∑ đ?’‡đ?&#x;?đ?’Š (đ??“đ?&#x;”−đ?’Š − đ??‹đ?&#x;”−đ?’Š )
√đ?&#x;“ đ?’Š=đ?&#x;?
=
=
1 √5
đ?&#x;? √đ?&#x;“
[đ?’‡đ?&#x;?đ?&#x;? (đ??“đ?&#x;“ − đ??‹đ?&#x;“ ) + đ?’‡đ?&#x;?đ?&#x;? (đ??“đ?&#x;’ − đ??‹đ?&#x;’ ) + đ?’‡đ?&#x;?đ?&#x;‘ (đ??“đ?&#x;‘ − đ??‹đ?&#x;‘ ) + đ?’‡đ?&#x;?đ?&#x;’ (đ??“đ?&#x;? − đ??‹đ?&#x;? ) + đ?’‡đ?&#x;?đ?&#x;“ (đ??“ − đ??‹)]
[1.5√5 + 2.3√5 + 5.2√5 + 10√5 + 20√5] =
1 √5
. 51√5 = 51
Para đ?’‡đ?&#x;‘đ?&#x;’ (k=3, y n=4), tendremos: đ?’‡đ?&#x;‘đ?&#x;’ =
đ?&#x;?
đ?&#x;’
∑ đ?’‡đ?&#x;?đ?’Š (đ??“đ?&#x;“−đ?’Š − đ??‹đ?&#x;“−đ?’Š ) =
√đ?&#x;“ đ?’Š=đ?&#x;?
=
1 √5
đ?&#x;? √đ?&#x;“
[đ?’‡đ?&#x;?đ?&#x;? (đ??“đ?&#x;’ − đ??‹đ?&#x;’ ) + đ?’‡đ?&#x;?đ?&#x;? (đ??“đ?&#x;‘ − đ??‹đ?&#x;‘ ) + đ?’‡đ?&#x;?đ?&#x;‘ (đ??“đ?&#x;? − đ??‹đ?&#x;? ) + đ?’‡đ?&#x;?đ?&#x;’ (đ??“ − đ??‹)]
[1.3√5 + 3.2√5 + 9√5 + 22√5] =
1 √5
. 40√5 = 40
Con este trabajo, creemos que hemos concluido el ciclo que conecta al “Prisma Combinatorioâ€?, con el “TriĂĄngulo AritmĂŠticoâ€?, o de Pascal, en lo que se refiere a sus propiedades clĂĄsicas comunes, y su relaciĂłn con las sucesiones de Fibonacci, y el numero ĂĄureo
BibliografĂa de mis trabajos anteriores:
Combinatoria con repeticiĂłn Series paralelas y NĂşmeros Naturales 1997-revisado 2016 Prisma Combinatorio y su relaciĂłn con los coeficientes Trinomiales 1997-revisado 2016 DistribuciĂłn tetraĂŠdrica de Coeficientes Tetranomiales 2016 Coeficientes Multinomiales y generalizaciĂłn del TriĂĄngulo de Pascal 2016 DistribuciĂłn espacial de coeficientes Pentanomiales 2017 Coeficientes Multinomiales y desarrollo de un polinomio elevado a la m: Teorema Multinomial y otros tĂłpicos complementarios 2017 Particiones Discretas de m, en r. Coeficientes PolinĂłmicos y su cadena de valor 2017 Particiones Discretas de m, en r. Formulaciones MatemĂĄticas 2017 Particiones con repeticiĂłn. ComposiciĂłn de enteros 2017 Tabla Universal de Particiones de Enteros 2018 Productos internos y externos del TriĂĄngulo de Pascal 2018 Prisma Combinatorio o expansiĂłn espacial del TriĂĄngulo de Pascal 2018 El TriĂĄngulo de Pascal, o TriĂĄngulo AritmĂŠtico, y sus propiedades o caracterĂsticas clĂĄsicas (Actualizando las Fuentes) 2018 El TriĂĄngulo de Pascal o TriĂĄngulo AritmĂŠtico, sus 19 propiedades clĂĄsicas y sus anĂĄlogas en el Prisma Combinatorio 2018 Todos estos trabajos pueden leerse y descargarse en Slideshare de LinkedIn