Prisma combinatorio 2016 completo

PRISMA COMBINATORIO

Distribución espacial de números combinatorios y su relación con los coeficientes trinomiales

Enrique R. Acosta R. 1997

PRISMA COMBINATORIO Definamos las permutaciones con repetición Pᾣ,(i+j+k),i,j,k ,como el número de caminos posibles y diferentes, que se pueden formar o recorrer con i+j+k=m, elementos o trazos unitarios tomados m a m para desplazarse siempre en sentido de avance(+),desde un punto elegido como origen de coordenadas, hasta otro punto considerado, de coordenadas enteras y positivas, (i,j,k),donde el total(m) de trazos unitarios en cada grupo o camino, siempre se construye al recorrer i trazos en dirección X⠺ ,j trazos en dirección Y⠺ y, k trazos en dirección Z⠺.

En estas permutaciones con repeticiĂłn, dos caminos o grupos posibles, se consideran distintos, si se diferencian al menos en dos de sus trazos o recorridos de avance unitarios. Lo que si se repite en cada caso, es el NÂş de veces que se recorren en cada grupo o camino, los trazos en cada direcciĂłn de avance, es decir: el NÂş de trazos unitarios recorridos en direcciĂłn Xâ ş, el NÂş de trazos unitarios recorrido en direcciĂłn Yâ ş y, el NÂş de trazos unitarios recorridos en direcciĂłn Zâ ş, es el mismo para cada uno de los caminos posibles y diferentes, siempre cada camino constituido por i+j+k=m trazos unitarios.

El resultado de esta distribuciĂłn de permutaciones con repeticiĂłn, asociada a la distribuciĂłn de puntos de coordenadas enteras y positivas en el espacio 3D, se puede considerar como “encerradaâ€? en un espacio prismĂĄtico de bordes limitados por los semiplanos coordenados positivos y por planos transversales, perpendiculares al plano OXâ şYâ ş, cuyas intersecciones con dicho plano o con cualquier otro paralelo a este, trazado a la altura k sobre el eje Zâ ş, corresponden a lĂ­neas, donde i+j=n, es constante, denominadas usualmente “filasâ€?. La distribuciĂłn de estos valores asĂ­ considerada, quedarĂĄ contenida en capas triangulares (∆đ?’Œ ), determinadas por las trazas de estos planos paralelos por k ,con los semiplanos coordenados y por la fila n considerada.

La distribuciĂłn asociada al caso k=0,(∆đ?&#x;Ž ), se corresponderĂĄ con la distribuciĂłn de nĂşmeros combinatorios o đ?’? combinaciones simples( ), conocida como “triĂĄngulo de Pascalâ€?. Dichas combinaciones simples ,se podrĂĄn đ?’Š definir ahora en tĂŠrminos de permutaciones con repeticiĂłn ,Pᾣ,(i+j),i,j, correspondientes al caso k=0 del “Prisma Combinatorioâ€?, como aquellas que conforman el NÂş de caminos posibles y diferentes, que se pueden recorrer con i+j=n elementos o trazos unitarios, tomados n a n , para desplazarse siempre en sentido de avance (+), desde el origen de coordenadas elegido, hasta el punto considerado (i,j), de coordenadas enteras y positivas, situado en el plano OXâ şYâ ş, donde el total (n) de los trazos unitarios en cada camino, siempre se construye al recorrer i trazos unitarios en direcciĂłn Xâ ş y, j trazos unitarios en direcciĂłn Yâ ş. Haciendo las mismas consideraciones que para el caso espacial, pero con k=0. En este caso, las permutaciones con repeticiĂłn đ?‘› dispuestas en las distintas filas de ∆đ?&#x;Ž , contituyen los valores combinatorios o coeficientes ( ) delâ€? Binomio de đ?‘– Newtonâ€?, para las diferentes potencias enteras de n.

El valor numĂŠrico de las Permutaciones con repeticiĂłn, asociadas a un punto de coordenadas positivas y enteras (i, j, k), situado en el plano ∆đ?’Œ , del “Prisma combinatorioâ€?, vendrĂĄ dado por: đ?’Š + đ?’‹ + đ?’Œ đ?’Š + đ?’‹ (đ?’Š+đ?’‹+đ?’Œ)!

Pᾣ,(i+j+k),i,j,k =( )( )= đ?’Š!đ?’‹!đ?’Œ! đ?’Š đ?’Œ

La relaciĂłn entre la distribuciĂłn triangular de permutaciones con repeticiĂłn en ∆đ?‘˜ y en ∆0 , vendrĂĄ dada por:

đ?’Š+đ?’‹+đ?’Œ )Pᾣ,(i+j),i,j đ?’Œ

Pᾣ,(i+j+k),i,j,k= (

Relaciones de proximidad: Se puede obtener el valor de estas permutaciones con repeticiĂłn correspondientes al punto de coordenadas enteras y positivas(i, j, k), a partir de los 3 valores inmediatamente precedentes en el prisma combinatorio, mediante la expresiĂłn simbĂłlica:

Pᾣ(i,j,k) = Pᾣ(i,j-1,k) + Pᾣ(i-1,j,k) + Pᾣ(i,j,k-1)*o, en tÊrminos combinatorios: (

đ?’Š+đ?’‹+đ?’Œ đ?’Š+đ?’‹ đ?’Š+đ?’‹+đ?’Œâˆ’đ?&#x;? đ?’Š+đ?’‹âˆ’đ?&#x;? đ?’Š+đ?’‹+đ?’Œâˆ’đ?&#x;? đ?’Š+đ?’‹âˆ’đ?&#x;? đ?’Š+đ?’‹+đ?’Œâˆ’đ?&#x;? đ?’Š+đ?’‹ )( )= ( )( )+( )( )+ ( )( )* đ?’Š đ?’Š đ?’Šâˆ’đ?&#x;? đ?’Š đ?’Œ đ?’Œ đ?’Œ đ?’Œâˆ’đ?&#x;?

*El Ăşltimo tĂŠrmino en estas expresiones no procede para k=0

Asimismo, se puede obtener este valor a partir de los valores post y precedentes desde el nivel considerado (K) ,hasta el nivel k=0, tomando siempre en cuenta, la permanencia de sus ubicaciones relativas en las filas correspondientes de cada nivel. SimbĂłlicamente: Pᾣ(i,j,k) = Pᾣ(i,j,0) + ∑đ?’Œâˆ?=đ?&#x;?[đ?‘ˇáľŁ(đ?’Š, đ?’‹ − đ?&#x;?, âˆ?) + đ?‘ˇáľŁ(đ?’Š − đ?&#x;?, đ?’‹, âˆ?)]

Diagrama de distribuciĂłn de Permutaciones con repeticiĂłn en el “Prisma Combinatorioâ€?-RelaciĂłn entre ∆đ?’Œ y ∆đ?&#x;Ž

Ejemplo: Sea el punto del prisma combinatorio de coordenadas (2, 3,3), situado en ∆3 , entonces, el N° de Permutaciones con repeticiĂłn o caminos posibles y diferentes para avanzar desde el origen de coordenadas hasta dicho punto, vendrĂĄ dado por: 8!

8 5 Pᾣ,8,2,3,3=( ) ( ) = 2!3!3! = 56.10 = 560, es decir existen 560 caminos posibles y diferentes, cada uno 3 2 conformado por 8 trazos unitarios, 2 en dirección X⠺,3 en dirección Y⠺, y 3 en dirección Z⠺.

Para el punto (2, 3,0), correspondiente en ∆0 , el N° de permutaciones con repeticiĂłn o de caminos posibles y diferentes para avanzar desde el origen hasta dicho punto, vendrĂĄ dado por: 5!

5 5 Pᾣ,5,2,3,0 = ( ) ( ) = = 1.10 = 10, es decir que existen 10 caminos posibles y diferentes, cada uno 2!3!0!

0 2 conformado por 5 trazos unitarios ,2 en direcciĂłn Xâ ş y, 3 en direcciĂłn Yâ ş, valor que coincide con el valor del 5 combinatorio simple ( ) = 10.

2

Cålculo de Pᾣ(2,3,3) , en función de valores previos 1) En base a las permutaciones correspondientes a los puntos inmediatamente precedentes: Simbólicamente :Pᾣ(2,3,3) = Pᾣ(2,2,3) + Pᾣ(1,3,3) + Pᾣ(2,3,2) , operacionalmente: 7 4 7 4 8 5 7 5 ( )( ) = ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) 3 2 3 2 3 1 2 2 560 = 35 . 6

+

35 . 4

+ 21 . 10 = 210 + 140 + 210 √

2) En base a las permutaciones post y precedentes, correspondientes en los niveles 0,1,2 y 3 : Pᾣ(2,3,3) = Pᾣ(2,3,0) + ∑3âˆ?=1[đ?‘ƒáľŁ(2,2, âˆ?) + đ?‘ƒáľŁ(1,3, âˆ?)]

7 4 7 4 8 5 6 4 6 4 5 5 5 4 5 4 ( )( ) = ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) + ( )( ) 3 2 2 2 2 1 3 2 3 1 0 2 1 2 1 1 56 . 10 = 1 . 10 + 5 . 6

+

5 . 4 + 15 . 6 + 15 . 4 + 35 . 6 + 35 . 4

560 = 10 + 30 + 20 + 90 + 60 + 210 + 140 √

Ejemplo de aplicaciĂłn : Consideremos la malla reticular 3D de la figura, de elemento generador unitario , correspondiente a un cubo 5x5x5

Se pide : Hallar el número de caminos posibles y diferentes que van desde el vÊrtice A (Considerado como origen de coordenadas), hasta el vÊrtice B ,situado en el extremo opuesto, únicamente con desplazamientos de avance según las direcciones y sentidos indicados en la figura, en el vÊrtice A Solución: Este problema, cumple con las condiciones para aplicar la distribución de permutaciones con repetición correspondientes al prisma combinatorio. Entonces el número de caminos posibles y diferentes para avanzar de A hasta B , dependerå sólo de las coordenadas del vÊrtice B .Para este caso: I = j = k = 5, y por ende: �

đ?’“,(đ?’Š+đ?’‹+đ?’Œ),đ?’Š,đ?’‹,đ?’Œ=(

Caminos, serĂĄ la soluciĂłn buscada.

đ?’Š+đ?’‹+đ?’Œ đ?’Š+đ?’‹ đ?&#x;?đ?&#x;“ đ?&#x;?đ?&#x;Ž ) ( )=( )( )=(đ?&#x;‘đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?&#x;‘)(đ?&#x;?đ?&#x;“đ?&#x;?)=đ?&#x;•đ?&#x;“đ?&#x;”đ?&#x;•đ?&#x;“đ?&#x;” đ?&#x;“ đ?&#x;“ đ?’Š đ?’Œ

Desarrollo general del Trinomio(đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;‘ )đ?’Ž El triĂĄngulo de Pascal, se corresponde con los coeficientes del desarrollo del Binomio (đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 )đ?‘› ,o nĂşmeros combinatorios “planosâ€? (k=0), del Binomio de Newton, en donde n=i+j, indica la potencia a considerar para el binomio, asĂ­ como, la fila a considerar para el triĂĄngulo, en cada caso. Dicho binomio se desarrolla mediante la đ?‘› đ?‘› conocida expresiĂłn: (đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 )đ?‘› =∑đ?‘›đ?‘–=0 ( ) đ?‘Ľ1 đ?‘– đ?‘Ľ2 đ?‘›âˆ’đ?‘– , donde el coeficiente ( ), darĂĄ lugar a los distintos đ?‘– đ?‘– valores combinatorios ubicados en la fila n de dicho triĂĄngulo (đ?‘– = 0,1,2, ‌ , đ?‘›).

En el caso del Prisma combinatorio (k≼0, y m=i+j+k), la correspondencia existente, se establece entre los coeficientes del desarrollo del trinomio (đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;‘ )đ?’Ž y los valores combinatorios “espacialesâ€?, ubicados en las capas contiguas, desde el nivel k=0, hasta el nivel k= m, considerando consecutivamente, los valores ubicados en la fila m en el nivel k=0, hasta los valores ubicados en la fila 0, en el nivel k=m.

El desarrollo de este trinomio, se puede obtener mediante la expresiĂłn en sumas parciales siguiente: đ?‘š

(đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;‘

)đ?’Ž

đ?‘šâˆ’1

đ?‘š đ?‘š đ?‘š đ?‘šâˆ’1 = ∑ ( ) ( ) đ?‘Ľ1 đ?‘– đ?‘Ľ2 đ?‘šâˆ’đ?‘– + ∑ ( ) ( ) đ?‘Ľ1 đ?‘– đ?‘Ľ2 đ?‘šâˆ’1−đ?‘– đ?‘Ľ3 0 đ?‘– 1 đ?‘– đ?‘–=0

+â‹Ż

đ?‘–=0

1

đ?‘š 1 + ∑( ) ( ) đ?‘Ľ đ?‘– đ?‘Ľ 1−đ?‘– đ?‘Ľ3 đ?‘šâˆ’1 + đ?‘Ľ3 đ?‘š đ?‘šâˆ’1 đ?‘– 1 2 đ?‘–=0

Dicha expresiĂłn puede representarse de manera mĂĄs simple como: đ?’Š+đ?’‹+đ?’Œ đ?’Š+đ?’‹ (đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;‘ )đ?’Ž = ∑đ?’Š+đ?’‹+đ?’Œ=đ?’Ž ( )( ) đ?’™đ?&#x;? đ?’Š x2 j x3 k,(Obviando el ordenamiento explĂ­cito đ?’Š đ?’Œ contenido en los arreglos de la expresiĂłn anterior). Que es evidentemente un caso particular de la expresiĂłn general para un polinomio (multinĂłmio) elevado a la potencia m **. (đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 + â‹Ż + đ?‘Ľđ?‘&#x; )đ?‘š =

∑ đ?‘›1+đ?‘›2+â‹Ż+đ?‘› =đ?‘š đ?‘&#x;

**RecuĂŠrdese que (

đ?‘š! ( ) đ?‘Ľ đ?‘›1 đ?‘Ľ2 đ?‘›2 ‌ . đ?‘Ľđ?‘&#x; đ?‘›đ?‘&#x; đ?‘›1 ! đ?‘›2 ! ‌ đ?‘›đ?‘&#x; ! 1

(đ?’Š+đ?’‹+đ?’Œ)! đ?’Š+đ?’‹+đ?’Œ đ?’Š+đ?’‹ )( )= đ?’Š!đ?’‹!đ?’Œ! đ?’Š đ?’Œ

Así como el caso plano (k=0) conduce al desarrollo del Binomio, el caso espacial (k≼0), conduce al desarrollo del trinomio.

đ?’™đ?&#x;‘ )đ?&#x;“

Ejemplo: Hallar el desarrollo de (đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;? +

đ?‘–+đ?‘—+đ?‘˜ đ?‘–+đ?‘— )( )correspondientes a las đ?‘– đ?‘˜ sucesivas capas o niveles del prisma combinatorio desde k=0, hasta k=5 y, consideremos en cada caso las 6 primeras filas. ResultarĂĄn:* 1 °) Construyamos los triĂĄngulos de valores combinatorios (

Nivel k=0 1 1 1 1 2 1 1 3 3 1 1 4 6 4 1 1 5 10 10 5 1 (Corresponde al triĂĄngulo de Pascal)

Nivel k=1 1 2 2 3 6 3 4 12 12 4 5 20 30 20 5 6 30 60 60 30 6

Fila 0 1 2 3 4 5

Nivel k=2

Fila

1

0

3

3

6 10 15 21

12

30 60

105

1 6

30 90

210

10 60

210

2 3 15

105

4 21

Nivel k=3

20 35 140 56

280

0 1

4

10

20

60

10 60

210 560

5

Fila

1 4

Fila 0 1 2 3 4 5

2 20

140 560

3 4

35 280

56

5

Nivel k=4

Fila

1

0

5 15 35

5 30

105 420

126 630 1260 280 56 56

70

630 126

4 5

Fila

1

0 1

6 42

168

252 1260

280

3

Nivel k=5

21 504

35

1260

6

126

2

15 105

70 280

56

1

21 168

756 2520

2 56

504

126

2520 1260 252

3 4 5

Los coeficientes combinatorios, involucrados en cada uno de los casos del desarrollo del trinomio(đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;‘ )đ?’Ž, para m=1, 2, 3,4 ,5. SerĂĄn: m 1 2 3 4 5

∑ 1 1 1 1 1

1 2 3 4 5

1 1 2 3 1 6 4 10 10

2 3 1 5

1 6 4 1

3 3 3 1 12 12 4 6 12 6 4 4 1 5 20 30 20 5 10 30 30 10 10 20 10 5 5

1

3=3 9=32 27=33 81=34 243=35

2 °) Entonces, el desarrollo de (đ?’™đ?&#x;? + N (0 ); F ( 5 ) đ?‘Ľ1 5 5đ?‘Ľ1 4 đ?‘Ľ2 10đ?‘Ľ1 3 đ?‘Ľ2 2 10đ?‘Ľ1 2 đ?‘Ľ2 3 5đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ2 4 đ?‘Ľ2 5 N: indica nivel

N ( 1 ); F (4 ) 5đ?‘Ľ1 4 đ?‘Ľ3 20đ?‘Ľ1 3 đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ3 30đ?‘Ľ1 2 đ?‘Ľ2 2 đ?‘Ľ3 20đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ2 3 đ?‘Ľ3 5đ?‘Ľ2 4 đ?‘Ľ3

đ?’™đ?&#x;? +

đ?’™đ?&#x;‘ )đ?&#x;“, vendrĂĄ dado por la suma delos tĂŠrminos siguientes:

N (2 ); F ( 3 ) 10đ?‘Ľ1 3 đ?‘Ľ3 2 30đ?‘Ľ1 2 đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ3 2 30đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ2 2 đ?‘Ľ3 2 10đ?‘Ľ2 3 đ?‘Ľ3 2

N (3 ); F ( 2 ) 10đ?‘Ľ1 2 đ?‘Ľ3 3 20đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ3 3 10đ?‘Ľ2 2 đ?‘Ľ3 3

N (4 ); F ( 1 ) 5đ?‘Ľ1 đ?‘Ľ3 4 5đ?‘Ľ2 đ?‘Ľ3 4

N ( 5 ); F ( 0 ) đ?‘Ľ3 5

F: indica fila

*Los valores involucrados en el caso m=5, se han resaltado en amarillo en los triĂĄngulos obtenidos anteriormente, y, cada grupo de ellos segĂşn el correspondiente valor de m, estĂĄn contenidos a su vez en triĂĄngulos equilĂĄteros paralelos dentro del prisma combinatorio, sesgados cada uno un ĂĄngulo de 54,74° con respecto a ∆0 , correspondiente a ( arctg√2) y, definidos por la fila m en ∆đ?‘œ, por la fila 0 en ∆đ?‘˜=đ?‘š , y, por sus trazas sobre los semiplanos coordenados positivos. En la figura a continuaciĂłn se representa dicho triĂĄngulo, para el caso m=5.Puede notarse que los valores combinatorios se distribuyen formando un patrĂłn regular simĂŠtrico de anillos concĂŠntricos, propiedad Ăştil para su determinaciĂłn de manera mĂĄs inmediata, como veremos mĂĄs adelante.

Fila Nivel 1 5

0 5 5

1 4

10 20 10 10 30

5 1

20 5

10

30 30

2 3

10

3 2

20 10

5 5

4 1 1

5 0

đ?‘› Adicionalmente, podemos observar que por analogĂ­a con el caso del Binomio, donde ∑đ?‘›đ?‘–=0 ( ) = 2đ?‘› , para đ?‘– đ?’Š+đ?’‹+đ?’Œ đ?’Š+đ?’‹ los coeficientes del Trinomio se cumple:∑đ?’Š+đ?’‹+đ?’Œ=đ?’Ž ( )( ) = đ?&#x;‘đ?’Ž .Como se refleja en la đ?’Š đ?’Œ Ăşltima columna de la primera de las tablas anteriores. Pero mientras que en el caso del Binomio, el resultado 2đ?‘› , se obtiene sumando los coeficientes combinatorios de la fila n en ∆đ?&#x;Ž , para el caso del trinomio, debemos sumar todos los coeficientes combinatorios contenidos en el l triĂĄngulo equilĂĄtero correspondiente a la potencia m. Y si asignamos alternativamente los signos + y -, a los valores ubicados en las filas de dicho triĂĄngulo, comenzando con +1 en un vĂŠrtice, la suma total de los coeficientes siempre serĂĄ igual a la unidad para cualquier valor de m, ya que cada lĂ­nea suma cero, al igual que sucede para las lĂ­neas o filas de ∆0

DeterminaciĂłn geomĂŠtrica directa de los coeficientes combinatorios del trinomio(đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;‘ )đ?’Ž .

Como hemos seĂąalado en una nota anterior, el conjunto de coeficientes combinatorios del trinomio (đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;‘ )đ?’Ž , para cada valor de m, se ubican en triĂĄngulos equilĂĄteros paralelos entre sĂ­, al interior del prisma combinatorio, inclinados c/u un ĂĄngulo (arc.tg√2), con respecto al plano horizontal (∆0 ) y, definidos por las lĂ­neas correspondientes a la fila (m) en ∆0 , por el punto correspondiente a la fila(0), en ∆đ?‘˜=đ?‘š y, por sus trazas sobre los semiplanos coordenados positivos.

Ya hemos obtenido en el apartado anterior, estos valores en forma indirecta, al desarrollar los coeficientes correspondientes a las filas involucradas en cada ∆đ?‘˜ , desde k=m, hasta k=0, para cada valor de m y, agruparlas convenientemente El conjunto de estos planos triangulares paralelos equidistantes entre sĂ­, pueden considerarse como las distintas secciones o niveles de base de una pirĂĄmide regular o tetraedro * cuyas tres caras son los triĂĄngulos isĂłsceles-rectĂĄngulos con un vĂŠrtice comĂşn en el origen, determinados por la intersecciĂłn de dichos planos triangulares equilĂĄteros sobre los ejes coordenados.

La distribuciĂłn de nĂşmeros combinatorios en las caras de esta pirĂĄmide es la misma para c/u, y se corresponde con la distribuciĂłn del triĂĄngulo de Pascal para n=m, para cada valor de m, mientras que la distribuciĂłn en la base corresponde a la distribuciĂłn de coeficientes trinomiales para ese mismo valor de m.

Para su determinación directa, como se evidencia en las figuras a), b), c) y, d), parecería imprescindible la representación gråfica espacial y, la aplicación iterativa de la relación de proximidad dada por Pᾣ(i,j,k) = Pᾣ(i,j-

1,k) + Pᾣ(i-1,j,k) + Pᾣ(i,j,k-1).

*La denominada PirĂĄmide o tetraedro de Pascal, segĂşn revisiĂłn bibliogrĂĄfica posterior.

Ptos. oscuros: valores del caso considerado Ptos. claros: valores de proximidad

Por otra parte, si consideramos las relaciones de paralelismo, de simetría y, de distribución concéntrica, que se conservan proyectivamente, podemos aplicar la relación de proximidad directamente a cada distribución triangular de coeficientes trinomiales, ya conocida para un determinado valor de m, para obtener así gráficamente en el plano , de manera expedita y sencilla, la distribución correspondiente al valor m+1.En los gráficos a continuación se representa la manera de operar, que a los fines de la obtención de los coeficientes, puede hacerse también, a mano alzada y sin escala.

DIAGRAMAS DE COLMENA CASO DE PARTIDA

OPERACIONES (+)

→ ○←

CASO DE LLEGADA

Como consecuencia de las propiedades simétricas de esta distribución, en cada uno de los casos, los coeficientes trinomiales resultantes para un determinado valor de m, se pueden obtener ordenadamente, a partir de cualquier base del triángulo equilátero correspondiente, continuando en las líneas equidistantes y paralelas a dicha base hasta el vértice opuesto, o viceversa, leyéndolos en cualquier sentido sobre dichas líneas.

DeterminaciĂłn analĂ­tica de los coeficientes del Trinomio, en funciĂłn de su interrelaciĂłn con los valores combinatorios del triĂĄngulo de Pascal.

1). Por la relaciĂłn entre la distribuciĂłn triangular de permutaciones con repeticiĂłn en ∆đ?‘˜ đ?‘Ś đ?‘’đ?‘› ∆0 , cualquier tĂŠrmino contenido en ∆đ?‘˜ , puede ser obtenido a partir del correspondiente en ∆0 , situado en igual posiciĂłn y fila, đ?’Š+đ?’‹+đ?’Œ mediante la expresiĂłn :Pᾣ,(i+j+k),i,j,k= ( )Pᾣ,(i+j),i,j, que evidentemente podemos reescribir como: đ?’Œ đ?’?+đ?’Œ đ?‘ˇđ?’“,đ?’Ž,đ?’Š,đ?’‹,đ?’Œ= ( ) đ?‘ˇđ?’“,đ?’?,đ?’Š,đ?’‹.Si para resaltar esta correspondencia biunĂ­voca entre elementos, filas y posiciĂłn đ?’Œ relativa, denominamos a đ?‘ˇđ?’“,đ?’Ž,đ?’Š,đ?’‹,đ?’Œ comođ?’‡đ?’Œđ?’Š,đ?’?y, a đ?‘ˇđ?’“,đ?’?,đ?’Š,đ?’‹ como đ?’‡đ?&#x;Žđ?’Š,đ?’? , podremos escribir: đ?’?+đ?’Œ đ?&#x;Ž đ?’‡đ?’Œđ?’Š,đ?’?=( ) đ?’‡đ?’Š,đ?’? đ?’Œ

con iŃ”{đ?&#x;Ž, đ?&#x;?, đ?&#x;?, đ?&#x;‘, ‌ , đ?’? − đ?&#x;?, đ?’?}

Donde i, indica la posiciĂłn del elemento en la fila n (tanto en ∆đ?’Œ como en ∆đ?&#x;Ž ) n=i+j , indica el N° dela fila, a partir del vĂŠrtice del triĂĄngulo o fila cero k, indica el nivel de la capa triangular del prisma ( k≼0 ) 0, indica el nivel correspondiente a ∆đ?&#x;Ž AsĂ­ por ejemplo: El tercer valor combinatorio de la fila 5 en ∆4 , puede obtenerse a partir del tercer valor combinatorio de la fila 5 en ∆0 , mediante: 9 0 9 5 4 đ?‘“2,5 = ( ) đ?‘“2,5 = ( ) ( ) = 126 ∗ 10 = 1260 4 4 2 NĂłtese que i=2 corresponde al tercer elemento de la fila, en este caso de la fila 5 en ambos planos

2). Si denominamos por đ?‘­đ?&#x;Žđ?’?, al conjunto de los elementos de la fila n, en ∆đ?&#x;Ž , es decir: đ?’? đ?’? đ?’? đ?’? đ?’? đ?’? đ?‘­đ?&#x;Žđ?’? = {( )} = {( ) , ( ) , ( ) , ‌ , ( ) , ( )} đ?’Š đ?&#x;Ž đ?&#x;? đ?&#x;? đ?’?−đ?&#x;? đ?’?

Y por đ?‘­đ?’Œđ?’? , el conjunto de los elementos de la fila n en ∆đ?’Œ , (k≼0), se cumple: đ?’?+đ?’Œ đ?&#x;Ž đ?‘­đ?’Œđ?’? = ( ) đ?‘­đ?’? đ?’Œ

3). Estas propiedades, se pueden extender a la determinaciĂłn de los coeficientes trinomiales (∆đ?‘ť ), a partir de los valores combinatorios simples, contenidos en el triĂĄngulo de Pascal.

AsĂ­, por ejemplo si queremos obtener los coeficientes trinomiales (∆đ?‘ť ) correspondientes a un trinomio elevado a la quinta potencia (m=5), bastarĂĄ partir del triĂĄngulo de Pascal, correspondiente a las primeras seis filas.

1 1 1 1 1 1

1 2

3 4

5 đ??š05 = ( ) đ??š00 =1.{1} ={1} 5 5 đ??š14 = ( ) đ??š10 =5.{1,1} = {5,5} 4 5 đ??š23 = ( ) đ??š20 = 10. {1,2,1}={10,20,10} 3

1 3

6

5 đ??š32 = ( ) đ??š30 = 10. {1,3,3,1} = {10,30,30,10} 2

1 4

5 đ??š41 = ( ) đ??š40 = 5. {1,4,6,4,1} = {5,20,30,20,5} 1

1

5 10 10 5

5 đ??š50 = ( ) đ??š50 = 1. {1,5,10,10,5,1}={1,5,10,10,5,1} 0

1

Como podemos observar, la operaciĂłn se reduce a multiplicar cada una de las filas del triĂĄngulo de Pascal, por el factor correspondiente ubicado en la Ăşltima fila del propio triĂĄngulo (seĂąalado en amarillo en este ejemplo).

Podemos graficarlo de manera mĂĄs simple, para el caso que nos ocupa (m=5), de la siguiente manera:

TriĂĄngulo de Pascal(∆đ?&#x;Ž )

Factores

1

1

1 1 1 1 1

1 2

3 4

5 1

3 6

TriĂĄngulo de Coeficientes(∆đ?‘ť ) 1

1 4

5 10 10 5

1

5

10

10

10

10 30

5 1

1

5 20

5 20 1

5 10

10 30

30

10 20

10

5 5

1

Esta Ăşltima deducciĂłn, nos permite obtener dichos coeficientes trinomiales de una manera sencilla e inmediata, para cualquier caso m=n.

Utilizando una nomenclatura “Ad Hocâ€?, podemos generalizar este Ăşltimo resultado como: ∆đ?’?đ?&#x;Ž . đ?‘­đ?&#x;Žđ?’? = ∆đ?’Ž=đ?’?

Donde ∆đ?’?đ?&#x;Ž indica que el triĂĄngulo de Pascal se desarrolla hasta la fila n, o fila lĂ­mite, base del triĂĄngulo de coeficientes combinatorios primarios considerado. đ?‘­đ?&#x;Žđ?’?, como ya hemos seĂąalado, indica la fila n de ∆đ?&#x;Ž , fila a considerar como fila lĂ­mite o base del triĂĄngulo.

y, ∆đ?’Ž=đ?’?, indica la distribuciĂłn triangular de coeficientes trinomiales ∆đ?‘ť para el caso m=n Haciendo hincapiĂŠ, en que el producto se realiza de manera que cada fila de ∆đ?‘›0 , se ve afectada por el factor correspondiente (de igual posiciĂłn relativa) de la fila đ??šđ?‘›0 Por otra parte, si a las series combinatorias paralelas que aparecen repetidas en ambas direcciones oblicuas del triĂĄngulo de Pascal, las denominamos como: đ?’Š+đ?’‹ đ?‘şđ?’?đ?’‹ = {( )}con j=0,1,2,3,... đ?’Š

y para cada j, i=0,1,2,‌,n

Donde el subĂ­ndice j, alude a la serie paralela especĂ­fica, en funciĂłn de su ubicaciĂłn (ascendente numĂŠricamente) desde el extremo o vĂŠrtice de ∆0 , y el supraĂ­ndice n, indica que sĂłlo tomamos en cuenta los primeros n+1 elementos de cada serie.

Como ejemplo, en el triångulo de Pascal de la figura se indican las 10 primeras filas, y se seùalan las series paralelas correspondientes a n=4, desde �04 , hasta�64

Podemos entonces establecer, con una nomenclatura similar, una expresiĂłn matemĂĄtica sencilla que nos permita obtener los valores combinatorios para un determinado∆đ?’Œ , a partir de los valores primarios correspondientes, contenidos en ∆đ?&#x;Ž , siempre limitando ambos planos combinatorios por filas de un mismo orden n .ResultarĂ­a : ∆đ?’?đ?&#x;Ž . đ?‘şđ?’?đ?’‹ =∆đ?’?đ?’Œ Donde∆đ?’?đ?’Œ , indica que el triĂĄngulo de valores combinatorios en ∆đ?‘˜ , que se obtiene, se desarrolla hasta la fila n como fila lĂ­mite.

∆đ?’?đ?&#x;Ž , indica que el triĂĄngulo de valores combinatorios primarios en ∆đ?&#x;Ž , de partida, se desarrolla hasta la fila n como fila lĂ­mite. y, đ?‘şđ?’?đ?’‹ , se corresponde con los primeros n+1 tĂŠrminos de la serie combinatoria paralela especĂ­fica Haciendo hincapiĂŠ en que el producto se efectĂşa ,afectando todos los tĂŠrminos de cada fila de ∆đ?’?đ?&#x;Ž , por el factor correspondiente (en la misma posiciĂłn relativa) de la serie đ?‘şđ?’?đ?’‹ AsĂ­ por ejemplo, para obtener ∆43 , serĂĄ:∆đ?&#x;’đ?&#x;Ž . đ?‘şđ?&#x;’đ?&#x;‘ =∆đ?&#x;’đ?&#x;‘

∆đ?&#x;’đ?&#x;Ž

đ?‘şđ?&#x;’đ?&#x;‘

∆đ?&#x;’đ?&#x;‘

1

1

1

1 1 1 1

1 2

3 4

4 1

3 6

4

10 1

4

10

20 1

35

4 20

20

10

60

35

140

60 210

20 140

35

Y, Para obtener ∆46 , serĂĄ: ∆đ?&#x;’đ?&#x;Ž . đ?‘şđ?&#x;’đ?&#x;” =∆đ?&#x;’đ?&#x;”

∆đ?&#x;’đ?&#x;Ž

đ?‘şđ?&#x;’đ?&#x;”

1 1 1 1 1

4

1 1

2 3

1

7 1

3 6

∆đ?&#x;’đ?&#x;”

28 1

4

7 28

84 1

210

84 210

840

7 56

252 1260

28

252

84 840

210

Con este sencillo y prĂĄctico procedimiento es posible obtener de manera inmediata y directa, cualquiera distribuciĂłn de valores combinatorios en ∆đ?‘˜ .a partir de la correspondiente en ∆0 .

Enrique R. Acosta R. 1997

MĂŠtodos para obtener los coeficientes trinomiales de (đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;‘ )đ?’Ž (Sin depender del triĂĄngulo de Pascal) 1. Recordemos uno de nuestros resultados obtenidos en el estudio del “Prisma Combinatorioâ€?, para m=n=5,como es la obtenciĂłn del triĂĄngulo de coeficientes trinomiales (∆đ?‘ť ), a partir del triĂĄngulo de Pascal ∆đ?&#x;Ž ,correspondiente:

TriĂĄngulo de Pascal

Factores

1

1

1 1 1 1 1

1 2

3 4

1 5

5 1

3 6

TriĂĄngulo de Coeficientes

1 4

5 10 10 5

1

10

10

10

10 30

1

20

5 20

5 1

5

1

5

10 30

30 10

10 20

10

5 5

1

Fila Nivel 0 1

5 4

2

3

3

2

4

1

5

0

Los elementos de la fila n en ∆đ?&#x;Ž , estarĂĄn dados por : đ?’? đ?’? đ?’? đ?’? đ?’? đ?’? đ?‘­đ?&#x;Žđ?’? = {( )} = {( ) , ( ) , ( ) , ‌ , ( ) , ( )} đ?’Š đ?&#x;Ž đ?&#x;? đ?&#x;? đ?’?−đ?&#x;? đ?’?

Mientras que los elementos de la fila n correspondiente, pero en el triĂĄngulo de coeficientes đ?’?+đ?’Œ đ?&#x;Ž trinomiales (∆đ?‘ť ),estarĂĄn dados por: đ?‘­đ?’Œđ?’? = ( ) đ?‘­đ?’? đ?’Œ AsĂ­ para el caso m=n=5, tendremos: 5 đ??š05 = ( ) đ??š00 =1.{1} ={1} 5 5 4 đ??š1 = ( ) đ??š10 =5.{1,1} = {5,5} 4 5 đ??š23 = ( ) đ??š20 = 10. {1,2,1}={10,20,10} 3 5 2 đ??š3 = ( ) đ??š30 = 10. {1,3,3,1} = {10,30,30,10} 2 5 đ??š41 = ( ) đ??š40 = 5. {1,4,6,4,1} = {5,20,30,20,5} 1 5 0 đ??š5 = ( ) đ??š50 = 1. {1,5,10,10,5,1}={1,5,10,10,5,1} 0 En ∆đ?&#x;Ž , cada valor de n como nĂşmero de fila, coincide con el valor de la potencia a la que se eleva el binomio (đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 ).AsĂ­ mismo, los elementos de la fila n se corresponden con los coeficientes combinatorios del desarrollo de dicho binomio elevado a la potencia n En ∆ đ?‘‡ , el valor de n de la Ăşltima fila del ∆đ?&#x;Ž , especĂ­fico y asociado, coincidirĂĄ con el valor de m (m=n)*, de la potencia a considerar para el desarrollo del trinomio (đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;‘ )đ?’Ž , donde todos

los elementos de las filas (de cero a n) del triĂĄngulo, situados en los distintos niveles de k (de n a cero), constituyen los coeficientes de su desarrollo. *Este valor de m, igual al mĂĄximo valor de n en el ∆đ?&#x;Ž considerado, es tambiĂŠn el valor mĂĄximo de k involucrado en las deducciones.

Si utilizamos la siguiente nomenclatura para identificar a los elementos de una fila n en ∆đ?&#x;Ž : đ?‘­đ?&#x;Žđ?’? = {đ?‘­đ?&#x;Žđ?’Šđ?’? } = {đ?‘­đ?&#x;Žđ?&#x;Žđ?’? , đ?‘­đ?&#x;Žđ?&#x;?đ?’? , ‌ , đ?‘­đ?&#x;Žđ?’?đ?’? }

Con i=0,1,2,‌,n

đ?’? y đ?‘­đ?&#x;Žđ?’Šđ?’? = ( ) đ?’Š

Donde el supra índice, nos indica que k=0 es constante (todos los elementos estån en el nivel base del Prisma Combinatorio) El subíndice compuesto in, nos indica que i varía de cero a n, según la posición del elemento dentro de la fila considerada, dada esta, a su vez, por el valor de n. (n=0,1,2,‌,n) Cada fila constarå de n+1 tÊrminos.

Podremos utilizar una nomenclatura anĂĄloga para designar a los elementos de una fila n de ∆ đ?‘‡ đ?‘­đ?’Œđ?’? = {đ?‘­đ?’Œđ?’Šđ?’? } = {đ?‘­đ?’Œđ?&#x;Žđ?’? , đ?‘­đ?’Œđ?&#x;?đ?’? , đ?‘­đ?’Œđ?&#x;?đ?’? , ‌ , đ?‘­đ?’Œđ?’?đ?’? } En este caso, n hace referencia a la fila como orden de menor a mayor, segĂşn su posiciĂłn a partir del vĂŠrtice superior del triĂĄngulo (fila cero), y sĂłlo el valor mĂĄximo de n (Ăşltima fila considerada), hace referencia simultĂĄnea al orden (posiciĂłn de la fila) y a la potencia del trinomio (đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;‘ )đ?’Ž , con m=mĂĄximo valor de n. Dicho valor de n=m, coincide con el mĂĄximo valor de k involucrado.

2. Hemos observado las siguientes relaciones entre los elementos de dos filas consecutivas de ∆đ?‘ť , caso (đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;‘ )đ?&#x;“ , evidentemente extensible a todo n entero positivo

TriĂĄngulo de Coeficientes 1 5 10

5

10 30

20

1

10 30

10

5 20 30 20 5 5 10 10 5 1

Fila Nivel 0 5 1

4

2

3

3

2

4 5

1 0

𝐹05 = {1} 𝐹14 = {5,5}. Obtención de 𝑭𝟒𝟏 , a partir de 𝑭𝟓𝟎 : 5= 1 x 5/1 5=5 𝐹23 = {10,20,10} . Obtención de 𝑭𝟑𝟐 , a partir de 𝑭𝟒𝟏 : 10=5 x 4/2 20=5 x 4/1 10=10 𝐹32 = {10,30,30,10} . Obtención de 𝑭𝟐𝟑 , a partir de 𝑭𝟑𝟐 : 10=10 x 3/3 30=20 x 3/2 30=10 x 3/1 10=10 𝐹41 = {5,20,30,20,5} . Obtención de 𝑭𝟏𝟒 , a partir de 𝑭𝟐𝟑 : 5=10 x 2/4 20=30 x 2/3 30=30 x 2/2 20=10 x 2/1 5=5 𝐹50 = {1,5,10,10,5,1} . Obtención de 𝑭𝟎𝟓 , a partir de 𝑭𝟏𝟒 : 1=5 x 1/5 5=20 x 1/4 10=30 x 1/3 10=20 x 1/2 5=5 x 1/1 1=1

Utilizando la nomenclatura acordada, podemos generalizar estas relaciones, mediante las siguientes dos expresiones :

đ?‘­đ?’Œđ?’Šđ?’? = đ?‘­đ?’Œ+đ?&#x;? đ?’Š,đ?’?−đ?&#x;? ∗

(đ?’Œ+đ?&#x;?)

,y :

(đ?’?−đ?’Š)

đ?‘­đ?’Œđ?’?đ?’? = đ?‘­đ?’Œđ?&#x;Žđ?’?

En base a las relaciones encontradas, resumidas en estas expresiones, podemos entonces CONSTRUIR CUALQUIER TRIĂ NGULO DE COEFICIENTES TRINOMIALES, prescindiendo de su generaciĂłn a partir del triĂĄngulo de Pascal correspondiente.

Para cualquier caso, siempre partiremos de la unidad como Ăşnico valor o elemento de la fila cero.

La fila 1 siempre contendrĂĄ solo dos elementos cuyo valor comĂşn es m.

AsĂ­ mismo, el Ăşltimo elemento de una fila cualquiera siempre serĂĄ igual al primer elemento de esa misma fila. Ello se deduce de las propiedades de simetrĂ­a en la distribuciĂłn de valores que existe en el triĂĄngulo de coeficientes, para cualquier valor de m. đ?‘˜ Por otra parte, podrĂ­amos obtener una expresiĂłn secuencial, que nos de đ??šđ?‘–đ?‘› , en funciĂłn de cualquier otro coeficiente que ocupe el mismo lugar relativo en una fila anterior. En Ăşltimo caso quedarĂ­a en đ?‘˜=đ?‘›âˆ’đ?‘– funciĂłn de: đ??šđ?‘–,đ?‘›=đ?‘– 1 4

2 3

3 2

0 4 AsĂ­ por ejemplo: đ??š1,5 = đ??š1,1 ∗ ∗ ∗ ∗

4 1

0 4 o, đ??š1,5 = đ??š1,1 =5

A continuaciĂłn, presentamos un 2â ° mĂŠtodo alternativo para obtener los elementos del triĂĄngulo de coeficientes trinomiales (∆đ?‘ť ) del desarrollo de (đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;? + đ?’™đ?&#x;‘ )đ?’Ž Para la obtenciĂłn de la fĂłrmula correspondiente a una fila genĂŠrica n, utilizaremos los mismos procedimientos del mĂŠtodo anterior, pero expresando cada uno de los tĂŠrminos en funciĂłn de m y n.

Para nuestros fines, nos limitaremos al mismo caso de ejemplo, con (m=5), evidentemente extensible a cualquier otro valor entero positivo de m.

Fila (n) Nivel (m-n) “Matrizâ€?de los denominadores y su expresiĂłn factorial Fila 0,Nivel m [1] → 0! 0!

1 Fila 1, Nivel m-1 m m Fila 2,Nivel m-2 m (m-1)/2 m (m-1)/1 m (m-1)/2

1 →1! 0! [ ] 1 →0! 1!

1 2 →2! 0!

[1 1] →1! 1!

1 2 →0! 2!

Fila 3,Nivel m-3 m (m-1)/2 (m-2)/3 m (m-1)/1 (m-2)/2 m (m-1)/2 (m-2)/1 m (m-1)/2 (m-2)/3

1 1 [ 1 1

2 1 2 2

3 →3! 0!

2 →2! 1! ] 1 →1! 2!

3 →0! 3!

Fila 4, Nivel m-4 m (m-1)/2 (m-2)/3 (m-3)/4 m (m-1)/1 (m-2)/2 (m-3)/3 m (m-1)/2 (m-2)/1 (m-3)/2 m (m-1)/2 (m-2)/3 (m-3)/1 m (m-1)/2 (m-2)/3 (m-3)/4

1 1 1 1 [ 1

2 1 2 2 2

3 2 1 3 3

Fila 5, Nivel m-5 m (m-1)/2 (m-2)/3 (m-3)/4 (m-4)/5 m (m-1)/1 (m-2)/2 (m-3)/3 (m-4)/4 m (m-1)/2 (m-2)/1 (m-3)/2 (m-4)/3 m (m-1)/2 (m-2)/3 (m-3)/1 (m-4)/2 m (m-1)/2 (m-2)/3 (m-3)/4 (m-4)/1 m (m-1)/2 (m-2)/3 (m-3)/4 (m-4)/5

1 1 1 1 1 [1

2 1 2 2 2 2

3 2 1 3 3 3

4 →4! 0!

3 →3! 1!

2 →2! 2!

1 →1! 3!

4 ] →0! 4!

4 3 2 1 4 4

5 → 5! 0!

4 → 4! 1!

3 → 3! 2!

2 → 2! 3!

1 → 1! 4!

5] →0! 5!

đ?‘š El producto de los numeradores, A=m (m-1)(m-2)‌[m-(n-1)], puede expresarse como : A=( ) ∗ đ?‘›! đ?‘› Entonces, la expresiĂłn general para la fila n, (n = 0,1,2,‌,m ) ,vendrĂĄ dada por:

đ?’Ž đ?‘­đ?’Žâˆ’đ?’? = ( ) đ?’?! {đ?&#x;?/(đ?’? − đ?’Š)! đ?’Š!} ,Con i=(0,1,2,‌,n). ExpresiĂłn que puede đ?’? đ?’? đ?’Ž đ?’? simplificarse a : đ?‘­đ?’Žâˆ’đ?’? = ( ) {( )}, Con i=(0,1,2,‌,n) đ?’? đ?’? đ?’Š Regresando a nuestro ejemplo caracterĂ­stico (m=5), y aplicando este resultado, tendremos: 1 5 đ??š05 = ( ) 0! { }=1 0 0! 0!

1 1 5 đ??š14 = ( ) 1! {1!0! , 0!1!} =5*1 {1,1} = 5,5 1 1 1 1 1 1 1 5 đ??š23 = ( ) 2! { , , }=10*2 { , , }=10,20,10 2!0! 1!1! 0!2!

2 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 5 đ??š32 = ( ) 3! {3!0! , 2!1! , 1!2! , 0!3!} = 10 ∗ 6 {6 , 2 , 2 , 6} = 10,30,30,10 3 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 đ??š41 = ( ) 4! {4!0! , 3!1! , 2!2! , 1!3! , 0!4!} =5*24 {24 , 6 , 4 , 6 , 24} = 5,20,30,20,5 4 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 5 đ??š50 = ( ) 5! { , , , , , } = 1*120 { , , , , , } = 1,5,10,10,5,1 5!0! 4!1! 3!2! 2!3! 1!4! 0!5!

120 24 12 12 24 120 5

MĂŠtodo para la obtenciĂłn de los coeficientes trinomiales , a partir de su ubicaciĂłn en el “Prisma Combinatorioâ€?

Como hemos establecido en el estudio sobre el “Prisma combinatorioâ€?, cada una de las permutaciones con repeticiĂłn allĂ­ definidas, o “combinatorio espacialesâ€? ubicadas en ĂŠl, tiene una correspondencia biunĂ­voca con su posiciĂłn dentro del prisma, expresada en tĂŠrminos de coordenadas enteras y positivas, recorridas desde un origen que coincide siempre con el Ăşnico elemento de la fila cero de un triĂĄngulo de Pascal ∆đ?‘›0 , de n+1 filas paralelas, situado en el plano Ođ?‘‹ + đ?‘Œ +, del nivel k=0. AsĂ­ para el punto de coordenadas (i, j, k), del prisma combinatorio, le corresponderĂĄ el combinatorio dado (đ?’Š+đ?’‹+đ?’Œ)! đ?’?+đ?’Œ đ?’? por: ( ) ( ) = đ?’Š!đ?’‹!đ?’Œ! đ?’Š đ?’Œ Al conjunto de n+1 filas de permutaciones con repeticiĂłn de dicho prisma, situadas en un plano paralelo trazado por k≼0, lo hemos denominado ∆đ?‘›đ?‘˜ . El conjunto de coeficientes contenidos en el prisma combinatorio, que corresponden al desarrollo del trinomio (đ?‘Ľ1 + đ?‘Ľ2 + đ?‘Ľ3 )đ?‘š , para m ≤ n, se ubican en triĂĄngulos equilĂĄteros, paralelos y equidistantes entre sĂ­ ( ∆ đ?‘‡ ), trazados por cada valor de k ( de 0 a n ), inclinados un ĂĄngulo (arctg √2 ), con respecto a c/u de los tres planos coordenados del primer cuadrante, y constituyen las distintas secciones o niveles base de una pirĂĄmide o tetraedro regular, cuyas tres caras sobre dichos planos coordenados, son triĂĄngulos isĂłsceles-rectĂĄngulos ,idĂŠnticas todas a ∆đ?‘›0 , con un vĂŠrtice comĂşn en el origen, caras que quedan determinadas por la

intersecciĂłn o trazas de estos planos triangulares-equilĂĄteros ∆ đ?‘‡ con los semiejes coordenados positivos.

Siendo entonces todos y c/u de los coeficientes trinomiales de las n+1 filas de ∆ đ?‘‡ , elementos de los distintos ∆đ?‘›đ?‘˜ correspondientes a cada nivel involucrado (k=0,1,‌,n) ,tendrĂĄn tambiĂŠn su expresiĂłn numĂŠrica, en funciĂłn de su ubicaciĂłn dentro del prisma combinatorio.

Si como hemos acordado previamente, denominamos a la fila genĂŠrica n de ∆ đ?‘‡ , como đ?‘­đ?’Œđ?’? = {đ?‘­đ?’Œđ?’Š,đ?’? } đ?‘˜ (i=0,1‌,n , como contador y no como coordenada x ).La expresiĂłn para un elemento đ??šđ?‘–,đ?‘› , serĂĄ :

đ?’?+đ?’Œ đ?’? đ?‘­đ?’Œđ?’Š,đ?’? = ( )( ) đ?’Š đ?’Œ

Como ejemplo de comprobaciĂłn hemos colocado el triĂĄngulo de coeficientes ∆ đ?‘‡ correspondiente a m=5, tanto en tĂŠrminos de coordenadas, como de resultados al aplicar la expresiĂłn anterior. n k Coordenadas en el prisma Coeficientes trinomiales 0

5

1

4

2

3

3

2

4

1

5

0

(0,0,5) (1,0,4) (2,0,3) (3,0,2) (4,0,1) (5,0,0)

(3,1,1)

(4,1,0)

(0,1,4)

(1,1,3)

(2,1,2)

5

(0,2,3)

(1,2,2)

(2,2,1)

(3,2,0)

1

(0,3,2)

(1,3,1)

(2,3,0)

10 10

(0,4,1)

(1,4,0) (0,5,0)

5 1

20 30

20 5

5 10 30 30

10

10 20

10

5 5

1

Enrique R. Acosta R. 2016