Espiral de raíces cuadradas de los números naturales

ESPIRAL DE RAICES CUADRADAS DE l0S NUMEROS NATURALES

𝛒𝟐 − 𝛒 𝐜𝐨𝐬 𝜹𝒏 − 𝐧 = 𝟎 Donde n≥ 1 , entero positivo , y: 𝒏−𝟏

𝝅 𝟏 𝜹𝒏 = + ∑ 𝐭𝐚𝐧−𝟏 ( ) − 𝝋𝒏 𝟐 √𝒊 𝒊=𝟏

ENRIQUE R. ACOSTA R. Abril 2020

Construyamos un grĂĄfico de triĂĄngulos rectĂĄngulos todos con un origen comĂşn en “Oâ€?, adosados uno a continuaciĂłn del otro, comenzando con el isĂłsceles de catetos unitarios. Si consideramos a la hipotenusa de este primer triĂĄngulo, de longitud √2, como un cateto base del segundo triĂĄngulo, y si trazamos en su extremo opuesto a O, un segmento perpendicular como un nuevo cateto de longitud unitaria, queda asĂ­ determinada una nueva hipotenusa de longitud √3. Este procedimiento, puede extenderse indefinidamente, obteniendo entonces un grĂĄfico donde cada hipotenusa partiendo de un punto original comĂşn “Oâ€?, tendrĂĄ un valor igual a + √đ?‘›, con n correspondiente a un entero positivo mayor o igual a la unidad. (ver grĂĄfico 1)

GRAFICO (1) TriĂĄngulos rectĂĄngulos adosados todos con un cateto unitario đ?‘¨đ?‘Š, đ?‘Šđ?‘Ş, đ?‘Şđ?‘Ť, đ?‘Ťđ?‘Ź, đ?‘Źđ?‘­, đ?‘­đ?‘Ž, ‌ , e hipotenusas de valor √đ?’?, con n entero positivo ≼ đ?&#x;? (Esta construcciĂłn, se atribuye a Teodoro de Cirene 465-368 a.C . y es denominada “espiralâ€? de Teodoro, o Caracola PitagĂłrica) Estando los extremos de todas estas hipotenusas unidas por cuerdas unitarias, el conjunto, nos insinĂşa la existencia de una verdadera espiral, cuya expresiĂłn analĂ­tica nos proponemos determinar en este trabajo.

NOTA; los nĂşmeros 1,2,3,4, ‌, (longitud de las hipotenusas en todos los grĂĄficos de la espiral ), corresponden en realidad a los valores √đ?&#x;?. √đ?&#x;?, √đ?&#x;‘. √đ?&#x;’. ‌

GRAFICO (2) GrĂĄfico de los primeros 3 triĂĄngulos rectĂĄngulos (AOB. OBC, y OBD) adosados por sus hipotenusas que parten del punto comĂşn “Oâ€?, origen de coordenadas y polo de los radios de curvatura. AsĂ­ Ě‚ ,đ??ľđ??ś Ě‚ , y đ??śđ??ˇ Ě‚ , correspondientes a las hipotenusas mismo se trazan los primeros 3 arcos circulares đ??´đ??ľ de magnitud √2, √3. đ?‘Ś √4 de cada triĂĄngulo. El grĂĄfico tambiĂŠn refleja la magnitud y posiciĂłn de los radios de curvatura de cada arco circular ( đ?‘…1 , đ?‘…2 , đ?‘Ś đ?‘…3 ), los cuales tienen cada uno su centro de curvatura, y de giro, en los puntos đ?‘‚1 , đ?‘‚2 , đ?‘Ś đ?‘‚3 , respectivamente, todos ellos en la circunferencia de radio ½, y centro en O. Resumiendo: ∆đ??´đ?‘‚đ??ľ rectĂĄngulo en A, de hipotensa đ?‘‚đ??ľ=√2 ∆đ??ľđ?‘‚đ??ś rectĂĄngulo en B, de hipotensa đ?‘‚đ??ś=√3 ∆đ??śđ?‘‚đ??ˇ rectĂĄngulo en C, de hipotensa đ?‘‚đ??ˇ=√4

Cuerdas đ??´đ??ľ, đ??ľđ??ś, y đ??śđ??ˇ, todas de longitud unitaria siendo sus puntos medios đ?‘€1 , đ?‘€2 , đ?‘Ś đ?‘€3 , respectivamente.

En la circunferencia de radio ½, y centro en O. Radio đ?‘‚đ?‘‚1 =1/2 Ç a cuerda đ??´đ??ľ Radio đ?‘‚đ?‘‚2 =1/2 Ç a cuerda đ??ľđ??ś Radio đ?‘‚đ?‘‚3 =1/2 Ç a cuerda đ??śđ??ˇ Tangentes a la circunferencia de radio ½ y centro en O: đ?‘€1 đ?‘‚1, tangente en đ?‘‚1 đ?‘€2 đ?‘‚2, tangente en đ?‘‚2 đ?‘€3 đ?‘‚3, tangente en đ?‘‚3 Radios de curvatura o de giro, de cada arco circular: đ?‘…1 = đ??´đ?‘‚1 = đ??ľđ?‘‚1 đ?‘…2 = đ??ľđ?‘‚2 = đ??śđ?‘‚2 đ?‘…3 = đ??śđ?‘‚3 = đ??ˇđ?‘‚3

Ě‚ de la espiral GRAFICO(3): GrĂĄfico correspondiente al primer arco đ?‘¨đ?‘Š đ?œ‹

NĂłtese que đ?‘‚đ??´, forma un ĂĄngulo de 2 radianes con el radio đ?‘‚đ?‘‚1

Radio đ?‘‚đ?‘‚1 =1/2 Ç a cuerda đ??´đ??ľ ,de la circunferencia de radio ½ y centro en O : Ě‚ đ?‘…1 = đ??´đ?‘‚1 = đ??ľđ?‘‚1 = đ?‘ƒđ?‘‚1 , radio de curvatura del arco circular đ??´đ??ľ đ?‘‚đ??ľ = √2, hipotenusa del ∆đ??´đ?‘‚đ??ľ rectĂĄngulo en A Ě‚ đ?‘‚đ?‘ƒ=đ?œŒ, Radio de curvatura de un punto P de la espiral, correspondiente al arco đ??´đ??ľ En el ∆đ??´đ?‘‚đ?‘‚1 rectĂĄngulo en O, se tiene: 1 2

2

1

5

đ??´đ?‘‚1 = đ?‘…12 = 12 +(2) = 1 + 4 = 4, de donde: đ?‘…1 =

√5 2

De la figura: đ?œ‘1 es el ĂĄngulo entre el tramo izquierdo del eje X, y el radio vector đ?‘‚đ?‘ƒ=đ?œŒ đ?œ‹

En el ∆đ?‘‚đ?‘ƒđ?‘‚1 , đ?‘’đ?‘ đ?›ż = 2 − đ?œ‘1 , entonces aplicando el teorema del coseno para determinar la magnitud del lado đ?‘‚1 đ?‘ƒ en el triangulo đ?‘‚đ?‘ƒđ?‘‚1 , tendremos: 2

1 2 2

5 4

1 2

đ?‘‚1 đ?‘ƒ = đ?‘…12 = = đ?œŒ2 + ( ) − 2đ?œŒ ( ) cos đ?›ż , es decir, ordenando, sustituyendo, y simplificando: Obtenemos la ecuaciĂłn buscada para determinar el valor del radio de curvatura đ??† de la espiral para este primer caso : 0 ≤ đ?œ‘1 ≤ tan−1

1 √1

=

đ?œ‹ 4

đ??… đ??†đ?&#x;? − đ??† đ??œđ??¨đ??Ź ( − đ??‹đ?&#x;? ) − đ?&#x;? = đ?&#x;Ž đ?&#x;? đ?œ‹

Como cos ( 2 − đ?œ‘1 ) = sin đ?œ‘1 , podemos reescribir la ecuaciĂłn como: đ?œŒ2 − đ?œŒ sin đ?œ‘1 − 1 = 0 En la soluciĂłn de esta ecuaciĂłn cuadrĂĄtica, solo deberemos considerar el signo positivo de las raĂ­ces.

Entonces serĂĄ: Para đ?œ‘1 = 0 Y para đ?œ‘1 =

đ?œŒ=

sin đ?œ‘1 +√(sin đ?œ‘1 )2 +4 2

, tendremos: đ?œŒ = đ?œ‹ 4

√4 2

, tendremos : đ?œŒ =

≼ 1 , como comprobación:

= 1 = đ?‘‚đ??´

1 1 +√ +4 2 √2

4 √2

2

2

=

=

2 √2

= √2=đ?‘‚đ??ľ

Ě‚ de la espiral GRAFICO(4) correspondiente al segundo arco đ?‘Šđ?‘Ş

NĂłtese que en este caso: Radio đ?‘‚đ?‘‚2 =1/2 Ç a cuerda đ??ľđ??ś , y que đ?‘‚đ??´ forma un ĂĄngulo de

3đ?œ‹ 4

con

đ?‘‚đ?‘‚2 2

1 2

2

1

9

En el ∆đ??ľđ?‘‚đ?‘‚2 , rectĂĄngulo en O tendremos: đ??ľđ?‘‚2 = đ?‘…22 = (√2) + (2) = 2 + 4 = 4, entonces serĂĄ: đ?‘…2 =

√9 2

3

=2 đ?œ‹

En el ∆đ?‘‚đ?‘ƒđ?‘‚2 , đ?‘ƒđ?‘‚2 = đ?‘…2 , y đ?›ż = đ?œ‹ − đ?œ‘2 − 4 =

3đ?œ‹ 4

− đ?œ‘2 , entonces aplicando el teorema del coseno

tenemos: đ?‘…22 =

9 1 2 1 = đ?œŒ2 + ( ) − 2 ( ) đ?œŒ cos đ?›ż 4 2 2

Desarrollando, sustituyendo, y ordenando, resulta:

đ??†đ?&#x;? − đ??† đ??œđ??¨đ??Ź (

đ?&#x;‘đ??… − đ??‹đ?&#x;? ) − đ?&#x;? = đ?&#x;Ž đ?&#x;’

Que serĂĄ la expresiĂłn para đ?œŒ en este segundo caso: tan−1

1 √1

=

đ?œ‹ 4

đ?œ‹

≤ đ?œ‘2 ≤ 4 + tan−1

1 √2

ComprobaciĂłn: đ?œ‹ 4

đ?œ‹ 2

đ?œ‹ 2

SI đ?œ‘2 = , resulta: đ?œŒ2 − đ?œŒ cos ( ) − 2 = 0 ,que con cos ( ) = 0, nos da: đ?œŒ2 = 2, y đ?œŒ = √2 đ?œ‹

Si đ?œ‘2 = 4 + tan−1 2

resulta: : đ?œŒ −

1 , √2

đ?œ‹

serĂĄ đ?›ż = 2 − tan−1

1 đ?œŒ ( 3) − √

1 , √2

y por ende, cos đ?›ż = sin (tan−1

2 = 0, de donde: đ?œŒ =

1 1 +√ +8 3 √3

2

1

1 √3

= 2(

+

5 ) √3

1 ) √2

=

1 , √3

por lo que

= √3

đ?œ‹

NĂłtese que el ĂĄngulo entre đ?‘‚đ?‘‚1 y đ?‘‚đ?‘‚2 , es 4 ,ya que sus lados son mutuamente perpendiculares con los del ĂĄngulo AOB .

Ě‚ , incluyendo el ∆đ?‘śđ?‘ˇđ?‘śđ?&#x;‘ GRAFICO (5) correspondiente al arco đ?‘Şđ?‘Ť NĂłtese que en este caso el Radio đ?‘‚đ?‘‚3 =1/2 Ç a cuerda đ??śđ??ˇ, y En el ∆đ??śđ?‘‚đ?‘‚3 , rectĂĄngulo tenemos: : 2

2

1 2

1

đ??śđ?‘‚3 = đ?‘…32 = (√3) + (2) = 3 + 4 = đ?‘…3 =

√13 2

13 4

, de donde:

En el ∆đ??śđ?‘‚3 đ??ˇ: đ??śđ?‘‚3 = đ?‘ƒđ?‘‚3 = đ??ˇđ?‘‚3 = đ?‘…3 Aplicando el teorema del coseno para determinar a đ?‘ƒđ?‘‚3 en el ∆đ?‘‚đ?‘ƒđ?‘‚3 , tendremos: đ?‘…32 =

13 4

1 2

1

= đ?œŒ2 − 2 (2) đ?œŒ cos đ?›ż + (2) , de donde: đ?œŒ2 − đ?œŒ cos đ?›ż − 3 = 0, nueva ecuaciĂłn general

para đ?œŒ, en este caso. đ?œ‹

đ?œ‹

1

De la figura, obtenemos: đ?›ž = 2 − 4 − tan−1 ( 2), y tambiĂŠn: đ?›ż = đ?œ‹ − đ?œ‘3 − đ?›ž √

đ?œ‹

đ?œ‹

1

Entonces, serĂĄ: đ?›ż = đ?œ‹ − đ?œ‘3 − 2 + 4 + tan−1 ( 2) = √

3đ?œ‹ 4

1

− đ?œ‘3 + tan−1 ( 2) √

Sustituyendo este valor en la ecuaciĂłn general de este caso, resulta:

đ?&#x;‘đ?›‘ đ?&#x;? đ?›’đ?&#x;? − đ?›’ đ??œđ??¨đ??Ź [ − đ?›—đ?&#x;‘ + đ??­đ??šđ??§âˆ’đ?&#x;? ( )] − đ?&#x;‘ = đ?&#x;Ž đ?&#x;’ √đ?&#x;?

Que serĂĄ la expresiĂłn para đ?œŒ en este tercer caso:

Como comprobaciĂłn: đ?œ‹

1

Si đ?œ‘3 = 4 +tan−1 ( 2), serĂĄ: đ?›ż = √

3đ?œ‹ 4

đ?œ‹

1

1

√

√

đ?œ‹

− 4 − tan−1 ( 2) + tan−1 ( 2)= 2 , entonces como

đ?œ‹

cos ( 2 ) = 0 , resulta: đ?œŒ2 = 3, đ?‘Ś đ?œŒ = √3 đ?œ‹

1

1

√

√

đ?œ‹

1

đ?œ‹

Si đ?œ‘3 = 4 +tan−1 ( 2) + tan−1 ( 3) = 4 +tan−1 ( 2) + 6 , entonces: đ?›ż=

3đ?œ‹ 4

đ?œ‹

1

đ?œ‹

√

1

− 4 − tan−1 ( 2) − 6 + tan−1 ( 2) = √

√

đ?œ‹ 3

đ?œ‹

1

, y como cos ( 3 ) = 2, serĂĄ:

1 đ?œŒ2 − đ?œŒ ( ) − 3 = 0 2

Y resolviendo, resulta: đ?œŒ =

1 1 +√ +12 2 4

2

1 7

+

= 222 =

8 2

2

= 2 = √4 1

NĂłtese que el ĂĄngulo entre đ?‘‚đ?‘‚2 , y đ?‘‚đ?‘‚3 , es igual a tan−1 ( 2), por ser ĂĄngulos con lados √

mutuamente perpendiculares.

Observamos de manera general, que el ĂĄngulo resultante đ?›ż, en la expresiĂłn para đ?œŒ, se corresponde con la diferencia entre el ĂĄngulo que forma đ?‘‚đ??´ con đ?‘‚đ?‘‚đ?‘› , y el ĂĄngulo đ?œ‘đ?‘› AsĂ­ mismo, el ĂĄngulo entre đ?‘‚đ??´ y đ?‘‚đ?‘‚đ?‘› , aumenta cuando pasamos de n a n+1, 1

en una cantidad correspondiente al valor del ĂĄngulo entre √đ?‘›, đ?‘Ś √đ?‘› + 1, dado por tan−1 ( đ?‘›). √

TambiĂŠn notamos que el termino independiente que aparece en la ecuaciĂłn cuadrĂĄtica que nos permite determinar el valor de đ?œŒ, corresponde al valor de n en el caso considerado.

Entonces podemos escribir en forma general que el ĂĄngulo entre đ?‘‚đ?‘ƒ y đ?‘‚đ?‘‚đ?‘› , viene dado por la expresiĂłn: đ?›‘

đ?&#x;?

đ?›…đ??§ = + ∑đ??˘=đ??§âˆ’đ?&#x;? đ??­đ??šđ??§âˆ’đ?&#x;? ( ) − đ?›—đ??§ đ??˘=đ?&#x;? đ?&#x;? √đ??˘

Luego para: n=1, serå: π

1

−1 δ1 = 2 + ∑i=0 ( ) − φ1 i=1 tan √i

1

Ď€ 2

−1 AquĂ­ ∑i=0 ( )=0 (para n=1), luego δ1 = − φ1 i=1 tan √i

Para n=2, serĂĄ: 1

1

√i

√

đ?œ‹

Ď€ đ?œ‹

−1 AquĂ­ ∑i=1 ( ) = tan−1 ( 1) = 4 , luego δ2 = 2 +4 âˆ’Ď†2 = i=1 tan

3đ?œ‹ 4

− φ2

Y para n=3, serĂĄ: 1

1

1

√i

√

√

đ?œ‹

1

−1 AquĂ­ ∑i=2 ( ) = tan−1 ( 1) + tan−1 ( 2) = 4 + tan−1 ( 2), luego: i=1 tan

đ?œ‹

đ?œ‹

1

đ?›ż3 = 2 + 4 +tan−1 ( 2) − đ?œ‘3 = √

3đ?œ‹ 4

√

1

+ tan−1 ( 2) − đ?œ‘3 √

Resultados idĂŠnticos a los deducidos anteriormente para cada caso de estudio, lo cual nos permite obtener una fĂłrmula para đ??† , en el caso general correspondiente a n entero positivo mayor o igual a la unidad.

đ?›’đ?&#x;? − đ?›’ đ??œđ??¨đ??Ź đ?œšđ?’? − đ??§ = đ?&#x;Ž Donde n≼ 1 , entero positivo , y: đ?’?−đ?&#x;?

đ??… đ?&#x;? đ?œšđ?’? = + ∑ đ??­đ??šđ??§âˆ’đ?&#x;? ( ) − đ??‹đ?’? đ?&#x;? √đ?’Š đ?’Š=đ?&#x;?

GRAFICO (6) Elementos de un sector espiral genĂŠrico (n-ĂŠsimo) Ě‚ genĂŠrico (n-ĂŠsimo), de longitud El sector circular JKđ?‘‚đ?‘› , representa el caso general de un arco đ??˝đ??ž đ?‘†đ?‘› , cuerda unitaria đ??˝đ??ž, y radio đ?‘…đ?‘› de centro en đ?‘‚đ?‘› , en el cual estĂĄ inscrito el ∆ JKđ?‘‚đ?‘› isĂłsceles de lados đ?‘…đ?‘› , ĂĄngulo central 2đ?›˝đ?‘› , y base unitaria (la cuerda đ??˝đ??ž). Siendo đ?‘€đ?‘‚đ?‘› = √đ?‘› , la bisectriz de Ě‚. dicho ĂĄngulo central, y đ?‘€đ?‘€`= â„Žđ?‘› la flecha del arco đ??˝đ??ž AnĂĄlogamente, el sector JKO, corresponde al caso general de un arco espiral genĂŠrico (n-ĂŠsimo), de igual longitud đ?‘†đ?‘› , y cuerda unitaria đ??˝đ??ž, en el cual estĂĄ contenido el ∆đ??˝đ??žđ?‘‚, de base unitaria (la cuerda đ??˝đ??ž), y de lados correspondientes a las raĂ­ces cuadradas de valores consecutivos de n: √đ?‘›, y √đ?‘› + 1 NĂłtese que ambos sectores tienen la misma ĂĄrea total, ya que el ĂĄrea del segmento de circulo 1

1

entre la cuerda y el arco es comĂşn, y ambos triĂĄngulos tienen ĂĄreas iguales: ( 2 (1)√đ?‘› = 2 √đ?‘›(1) Resumiendo: đ??˝đ?‘‚ = √đ?‘›, y đ??žđ?‘‚ = √đ?‘› + 1 đ??˝đ?‘‚đ?‘› = đ??žđ?‘‚đ?‘› = đ?‘…đ?‘› đ??˝đ??ž = 1 (đ?‘?đ?‘˘đ?‘’đ?‘&#x;đ?‘‘đ?‘Ž đ?‘˘đ?‘›đ?‘–đ?‘Ąđ?‘Žđ?‘&#x;đ?‘–đ?‘Ž) Ě‚ đ?‘†đ?‘› : longitud del arco đ??˝đ??ž 2đ?›˝đ?‘›Â° : ĂĄngulo central inscrito Jđ?‘‚đ?‘› đ??ž 1

đ?‘‚đ?‘‚đ?‘› = 2: radio de la circunferencia de centro en O đ??˝đ??ž: cuerda unitaria paralela al radio đ?‘‚đ?‘‚đ?‘› đ?‘€đ?‘‚đ?‘› : bisectriz del ĂĄngulo central Jđ?‘‚đ?‘› đ??ž =2đ?›˝đ?‘›Â° Ě‚ respecto a su cuerda unitaria đ??˝đ??ž đ?‘€đ?‘€`= â„Žđ?‘› la flecha del arco đ??˝đ??ž

TOPICOS GENERALES: 1) Calculo de đ?‘šđ?’? , en funciĂłn de n: 1 2

2

1

1

đ?‘…đ?‘›2 = (2) + (√đ?‘›) = 4 + đ?‘›, y đ?‘…đ?‘› = √4 + đ?‘› = đ?&#x;? đ?&#x;?

√1+4đ?‘› 2

đ?‘…đ?‘› đ?›˝đ?‘› √đ?‘›

tan �� =

1 2

√đ?‘›

1

1

√

√

= 2 đ?‘›, y đ?›˝đ?‘› = tan−1 (2 đ?‘›)

Si n=1 tendremos đ?‘…1 =

√5 2

Si n=2 tendremos đ?‘…2 =

√9 2

Si n=3 tendremos đ?‘…3 =

√13 , 2

notamos que la cantidad subradical aumenta de 4 en 4 al pasar de n a

n+1

2)

Curvatura del arco JK

La curvatura puede obtenerse de la relacion entre ångulo inscrito y la longitud del arco correspondiente : �� = 2�� �� , de donde : 2�� ��

1

=đ?‘… = đ?‘›

2 √1+4đ?‘›

(đ?›˝đ?‘› , đ?‘’đ?‘› đ?‘&#x;đ?‘Žđ?‘‘đ?‘–đ?‘Žđ?‘›đ?‘’đ?‘ )

3) Longitud del arco JK La longitud de un arco de cuerda unitaria correspondiente a un sector n-Êsimo de la espiral, vendrå dado por la relacion: : �� = 2�� �� 1

Donde đ?›˝đ?‘› , debe ser adimensional, es decir, debe estar en radianes, luego si đ?›˝đ?‘› = tan−1 (2 đ?‘›) √

Esta dado en grados sexagesimales, deberemos multiplicar su valor por

đ?œ‹ 180°

para obtenerlo en

radianes, asĂ­ garantizamos que la magnitud del arco resulte en las mismas unidades de longitud que las del radio.

Resultaría: �� = (2��° �� )

đ?œ‹ 180°

= (��° �� )

đ?œ‹ 90°

1

= tan−1 (2 đ?‘›) ( √

√1+4đ?‘› đ?œ‹ ) 90° 2

1

đ?œ‹

= tan−1 (2 đ?‘›) (√1 + 4đ?‘›) 180° √

4) Flecha (đ?’‰đ?’? ) del arco Jk con respecto a su cuerda unitaria

Del grĂĄfico (6), se obtiene de manera inmediata que: đ?’‰đ?’? = đ?‘…đ?‘› − √đ?‘› = √1+4đ?‘› 2 đ?‘›â†’∞

comprobar fĂĄcilmente que lim (

√1+4đ?‘› 2

− √đ?‘›. Se puede

− √đ?‘›) = 0

5) Ă rea de un sector (đ?‘¨đ?’” ): Como ya hemos seĂąalado anteriormente, el ĂĄrea total de un sector genĂŠrico de espiral JKO, tiene idĂŠntico valor que el ĂĄrea del sector circular JKđ?‘‚đ?‘› correspondiente, ya que el ĂĄrea del segmento de circulo entre la cuerda y el arco es comĂşn, y ambos triĂĄngulos ∆ JKđ?‘‚đ?‘› y ∆đ??˝đ??žđ?‘‚, tienen ĂĄreas 1

1

iguales: ( 2 (1)√đ?‘› = 2 √đ?‘›(1).

Entonces dicha årea total, puede calcularse directamente como el porcentaje de årea correspondiente a un ångulo central 2�� en un círculo de radio �� . Por razones dimensionales anålogas al del caso de la longitud del arco, dicho ångulo central, debe estar expresado en radianes. Así, tendríamos:

đ??´đ?‘ = đ?œ‹đ?‘…đ?‘›2 (

2đ?›˝đ?‘›Â° 1 + 4đ?‘› đ?›˝đ?‘›Â° = đ?œ‹ ( ) ) ( ) 360° 4 180°

Notas para describir el “lugar geomĂŠtricoâ€?: Un segmento de recta de longitud đ?‘…1 =

√5 , 2

1

gira un ĂĄngulo dado por tan−1 (2 1) alrededor de un √

punto �1 , situado en la intersección del eje Y con una circunferencia de centro O, y radio ½. En esta posición dicho radio �1 , se hace tangente en �1 a dicha circunferencia y luego gira de nuevo en el mismo sentido (dextrógiro),otra vez un ångulo igual al inicial. En esta nueva posición �1 , incrementa su valor hacia el interior del circulo de centro O, y radio ½ , interceptando a la circunferencia de este círculo en el punto �2 , siendo el ångulo entre ��1 y ��2 , el 1

correspondiente a tan−1 ( 1), determinando un nuevo valor para el radio de curvatura dado por √

đ?‘…2 =

√9 , 2

con este valor el segmento realiza un nuevo giro ahora alrededor de đ?‘‚2 , correspondiente 1

a un ĂĄngulo dado por tan−1 (2 2), en esta posiciĂłn se hace tangente en đ?‘‚2 a la circunferencia de √

centro en O, y radio ½ , luego el segmento gira alrededor de �2 , un nuevo un ångulo igual al anterior. En esta nueva posición �2 , incrementa su valor hacia el interior del circulo de centro O, y radio ½ , interceptando a la circunferencia de este círculo en el punto �3 , siendo el ångulo entre 1

đ?‘‚đ?‘‚2 y đ?‘‚đ?‘‚3 , el correspondiente a tan−1 ( 2), determinando un nuevo valor para el radio de √

curvatura dado por đ?‘…3 =

√13 , 2

con este valor el segmento realiza un nuevo giro ahora alrededor de

1 ), 2 √3

đ?‘‚3 , correspondiente a un ĂĄngulo dado por tan−1 (

en esta posiciĂłn se hace tangente en đ?‘‚3 a

la circunferencia de centro en O, y radio ½ , luego el segmento gira de nuevo un ĂĄngulo igual al anterior, y en esta nueva posiciĂłn, đ?‘…3 incrementa su valor hacia el interior del circulo de centro O, y radio ½ , interceptando a la circunferencia de este cĂ­rculo en el punto đ?‘‚4 , siendo el ĂĄngulo entre 1 √3

đ?‘‚đ?‘‚3 y đ?‘‚đ?‘‚4 , el correspondiente a tan−1 ( ), determinando un nuevo valor para el radio de curvatura dado por đ?‘…4 =

√17 , 2

con este valor el segmento realiza un nuevo giro ahora alrededor de

�4 , Este proceso se repite indefinidamente, y como puede observarse, los radios de curvatura van aumentando la cantidad subradical en 4 unidades cada vez (5,9.13,17,‌), así mismo los 1

ĂĄngulos de giro (mitad), estĂĄn dados por tan−1 (2 đ?‘›), mientras que los ĂĄngulos entre dos radios √

1 √đ?‘›

consecutivos de la circunferencia de centro en O, y radio ½, corresponden al valor tan−1 ( ).

El extremo libre del radio de curvatura al girar alrededor de los puntos đ?‘‚đ?‘› , va generando los arcos circulares contĂ­nuos, de cuerda unitaria, que en conjunto constituyen la espiral de raĂ­ces cuadradas de los nĂşmeros naturales.

ESPIRAL DE RAICES CUADRADAS DE LOS NUMEROS NATURALES Esta nueva espiral se incorpora al pequeĂąo grupo de espirales planas ya conocidas en la reina de las ciencias, como son la espiral de ArquĂ­medes, la espiral ParabĂłlica o de Fermat, la espiral HiperbĂłlica, la ClotĂłide, la espiral LogarĂ­tmica, y sus tres aproximaciones anĂĄlogas como son la espiral Aurea o de Durero, la espiral de Fibonacci, y la espiral de triĂĄngulos isĂłsceles ĂĄureos.

Bibliografía de mis trabajos anteriores:

Combinatoria con repetición Series paralelas y Números Naturales 1997-revisado 2016 Prisma Combinatorio y su relación con los coeficientes Trinomiales 1997-revisado 2016 Distribución tetraédrica de Coeficientes Tetranomiales 2016 Coeficientes Multinomiales y generalización del Triángulo de Pascal 2016 Distribución espacial de coeficientes Pentanomiales 2017 Coeficientes Multinomiales y desarrollo de un polinomio elevado a la m: Teorema Multinomial y otros tópicos complementarios 2017 Particiones Discretas de m, en r. Coeficientes Polinómicos y su cadena de valor 2017 Particiones Discretas de m, en r. Formulaciones Matemáticas 2017 Particiones con repetición. Composición de enteros 2017 Tabla Universal de Particiones de Enteros 2018 Productos internos y externos del Triángulo de Pascal 2018 Prisma Combinatorio o expansión espacial del Triángulo de Pascal 2018 El Triángulo de Pascal, o Triángulo Aritmético, y sus propiedades o características clásicas (Actualizando las Fuentes) 2018 El Triángulo de Pascal o Triángulo Aritmético, sus 19 propiedades clásicas y sus análogas en el Prisma Combinatorio 2018 Fibonacci y el número áureo en el Prisma Combinatorio, 2019 Todos estos trabajos pueden leerse y descargarse en Slideshare de Linkedin