Universidad Nacional del Callao Matemática para Economistas II Examen Sustitutorio 2018-A:12E Pregunta 1 Sea el sistema =2
(1.1)
=3 −2
(1.2)
=3 +4 −5
(1.3)
Este sistema es denominado recursivo, ya que puede ser resuelto en partes, esto es, algunas partes del sistema pueden ser resueltas con independencia de las otras. El polinomio característico de (1.1) es ( ) = es
− 2, cuya raíz característica
= 2. Entonces su solución homogénea, y general, es ( ) =
zando este resultado en (1.2), queda rístico es ahora ( ) =
= −2 + 3
, cuyo polinomio caracte-
+ 2. La solución homogénea viene a ser
Por coeficientes indeterminados, la solución particular será que
( )=2
, que remplazando en (1.2) obtenemos que
la solución general es
. Rempla-
( )=
queda de la siguiente forma
( )+ +5 =6
( )= +4
+
( )=
( )= =
, por lo . Entonces
. Por último, (1.3) , siendo su polinomio ca-
racterístico ( ) = + 5, por lo que la solución homogénea viene a ser
( )=2
ficientes se tiene que
=
( )=
( )=
. La solución particular, por coeficientes indeterminados es , por lo que
.
+
−2
, remplazando en (1.3) e igualando coe-
y
, entonces
=
nalmente, la solución general de queda ( ) =
( )= +
+ +
. Fi.
UNAC, Matemática para Economistas II, Examen Sustitutorio 2018-A:12E Pregunta 2 Resolver la siguiente ecuación en diferencias ( + 2) + ( + 1) + ( ) = 0
(2.1)
el polinomio característico de (2.1) es ( ) =
+ + 1 = 0, que no es factoriza-
ble en ℚ, usando la formula cuadrática tenemos que arg = arctan −√3 =
= (−1 ± √3 ). Sea
=
y | | = 1. Entonces, usando el teorema de Moivre, la so-
lución general de (2.1) es: ( ) =
cos
+
sin
.
Pregunta 3 Encuentre los extremos de la funcional ( sinh 5 + ̇ ) (3.1) (0) = 2, (4) = 3 La ecuación de Euler-Lagrange (EL) es
− ̇
= 0, para (3.1) esta es ̈ =
sinh 5 . La manera más simple de integrar la anterior es recordando la defini= (
ción de sinh (
−
−
) y cosh
= (
). Entonces sinh 5 =
−
) , desarrollando este binomio al cubo tenemos que sinh 5 =
sinh 15 − sinh 5 . Por lo anterior, la ecuación EL queda de la siguiente manera ̈=
sinh 15 − sinh 5 , que integrando directamente obtenemos cosh 15
nemos ( ) =
−
cosh 5
+
sinh 15 −
̇=
, integrando nuevamente este resultado, obtesinh 5 +
las condiciones iniciales, encontramos que
∗
+
. Por último, utilizando
= 2 y (4) = 3 =
sinh 60 − 2
UNAC, Matemática para Economistas II, Examen Sustitutorio 2018-A:12E sinh 60 + 4
+ 2, por lo que
∗
=
3−
nalmente, la solución particular viene a ser ∗
+
∗
sinh 60 + ∗(
)=
sinh 60 − 2 . Fi-
sinh 15 −
sinh 5 +
.
Pregunta 4 Encuentre los extremos de la funcional [ ]=
(
+ 4 ̇ + cosh ) (4.1)
(0) = 1, (3) = −4 La ecuación de EL para el problema (4.1) es rístico asociado ( ) = génea es
( )=
+
+
, por lo que
)
, teniendo −4 =
( 0) = 1 = + (1 − tonces
∗
− = 0, entones
=−
−
= 0, su polinomio caracte-
= ± , entonces la solución homo-
. Utilizando las condiciones iniciales se tiene =1−
, ahora (3) = −4 = −
, lo que nos conduce a
mente, la solución particular para ( ) es
∗(
+ ∗
)=
=2 ∗
=1− ∗
+
+
=
sinh +
, en-
= ∗
. Final.
Pregunta 5 Encuentre los extremos de la funcional [ , ]=
(2
+
− ̇ − ̇ ) (5.1)
(0) = 0, (0) = 1, (2) = −4, (2) = 1
3
UNAC, Matemática para Economistas II, Examen Sustitutorio 2018-A:12E En el problema (5.1) debemos formar el Sistema de ecuaciones de Euler-Lagrange, de las siguiente manera
− ̇
= 0, ∀ = 1,2. Esto nos lleva al siguiente sis-
tema de ecuaciones diferenciales
=− −
y
= − . Podemos resolverlo
por el método de eliminación, esto es, remplazando la segunda en la primera, llegamos a la siguiente ecuación diferencial terístico es ( ) =
+
+
−
= 0, cuyo polinomio carac-
− 1 = 0, ésta, es una ecuación bicuadrada no factori-
zable en ℚ. Esta ecuación puede resolverse introduciendo el siguiente cambio de variable ±
= , obteniendo las siguientes raíces
,
=±
−1 + √5 y
1 + √5 . Entonces la solución homogénea para ( ) es √
+
cos √
cordando que √
+
sin √ , siendo
=
( )=
= − , tenemos que √
+
−1 + √5 y
√
( )= =
cos √
,
= +
1 + √5 . Re-
+
sin √
−
.
Utilizando las condiciones iniciales establecidas por el problema: ( 0) = 0 =
− (
(0) = 1 =
+
(2) = −4 =
)
+
+
(5.3)
cos 2√ + √
(2) = 1 =
+
√
De (5.2) encontramos que tenemos zando
∗
∗
y
(5.2)
=
por lo que
sin 2√
−
+
cos 2√ +
+
=
+
=
√
√
+
(5.4) (5.5)
sin 2√
, remplazando este resultado en (5.3) , despejando
en (5.4) y (5.5) se tiene un sistema lineal en
=
− y
y rempla, que tiene la
siguiente forma
4
UNAC, Matemática para Economistas II, Examen Sustitutorio 2018-A:12E ∗
−4 =
√
1=
cos 2√ +
+
sin 2√
√
−
+
√
−
∗
+
+
+
cos 2√ +
√
−
sin 2√
reordenando obtenemos una manera más clara de ver el sistema −2
2
sinh 2√ +
sinh 2√ + +
∗
sin 2√ = −4 −
sin 2√ = 1 −
a partir del cual, obtenemos
∗
,
∗
∗
√
cos 2√ +
cos 2√ −
y por último
+ √
+ ∗
. Finalmente, tenemos las so-
luciones particulares del problema (5.1) ∗(
)=
∗ √
∗(
)=
∗
+ cos √
∗
√
+
∗
cos √
sin √
−
+ ∗
+
∗
∗ √
sin √ +
∗
√
5