PONTIFICIA UNIVERSIDAD CATOLICA DEL PERU FACULTAD DE CIENCIAS SOCIALES ESPECIALIDAD DE ECONOMIA Profesor: Félix Jiménez, Ph. D.
Semestre 2021-2
ECO-293: MACROECONOMÍA 2 Nombres y Apellidos:
EXAMEN FINAL Puntaje total 20: P1 = 5 puntos (0.5 por inciso); P2 = 5 puntos (2.5 por inciso); P3 = 5 puntos; P4 = 5 puntos (1.25 por inciso)
1. Sólo diga si las siguientes afirmaciones son verdaderas (V) o falsas (F). Escriba su respuesta sobre el espacio subrayado. (1) _________ Según el enfoque de Tinbergen de la política económica, las variables objetivo y las variables instrumento tienen que ser linealmente dependientes. (2) _________ Según el principio de Tinbergen un instrumento puede servir a servir dos objetivos. (3) _________ En el enfoque monetario de la balanza de pagos, el equilibrio en el mercado monetario se logra con variaciones de precios porque el régimen de tipo de cambio es fijo. (4) __________ Según el enfoque del mercado de activos, los modelos monetarios con precios flexibles suponen perfecta movilidad de capitales, y que se cumplen la paridad del poder adquisitivo, la paridad no cubierta de tasas de interés y, por lo tanto, la existencia de perfecta sustitución de activos doméstico y extranjero. (5) __________ En el modelo monetario de R. Dornbusch con precios rígidos y predicción perfecta, el tipo de cambio es una variable inestable, mientras que el nivel de precios es una variable estable. (6) _________ En el modelo Mundell-Fleming con tipo de cambio flexible, las variables endógenas son el producto Y, la tasa de interés r y el tipo de cambio E, mientras que el tipo de cambio esperado en una variable exógena. (7) _________ En el modelo Mundell-Fleming con tipo de cambio flexible, un aumento de la tasa de interés internacional, reduce el tipo de cambio de equilibrio debido a que provoca una salida de capitales. (8) _________ Las reglas de política son más beneficiosas en el corto plazo. En el mediano y largo plazo es preferible la discrecionalidad. (9) _________ La regla de Taylor es i r T a( T ) b( y y ) , y a/b indica el grado de aversión de la autoridad monetaria a la inflación (10) ________ De la Curva de Oferta Agregada de Lucas se deriva que, cuando el nivel de precios es igual a su nivel esperado, el producto está en su nivel de pleno empleo o potencial.
2. El modelo de overshooting del tipo de cambio desarrollado por Rudiger Dornbusch, tiene las siguientes ecuaciones del estado estacionario del tipo de cambio y del nivel de precios doméstico: 1
𝐼) 𝐼𝐼)
1 1 1 𝐴 𝑒 = − 𝑎 + (1 − ) 𝑝 − 𝑝 ∗ + 𝑚 + 𝑟∗ 𝑏 𝑏𝑘 𝑏𝑘 𝑏𝑘 𝑝=
𝑏𝑔 𝑏𝑔 ℎ 𝐴 𝑔 𝑎+ 𝑒+ 𝑝∗+ 𝑚− 𝑦̄ (ℎ + 𝑏𝑔) (ℎ + 𝑏𝑔) (ℎ + 𝑏𝑔) (ℎ + 𝑏𝑔) (ℎ + 𝑏𝑔)
Donde A = g + kh > 0.
Por último, el sistema, con la matriz de los multiplicadores, es:
da dm 1 h bg de 1 1 1 bk dp * b b dp 0 1 0 g k dr * _ d y
a.
Presente las pendientes de e 0 y de p 0 . ¿Cuál de las pendientes es mayor? Suponga que bk>1 y, encuentre y grafique la ecuación del Saddle Path y las rectas del estado estacionario e 0 y de p 0 .
b.
Muestre los efectos en el tipo de cambio (e) y en el nivel de precios doméstico (p) de un aumento en el nivel de precios internacionales (p*), y grafíquelo. Recuerde que a largo plazo se cumple la PPA. ¿Cómo explica el efecto sobre el nivel de precios doméstico? (No cambie el supuesto que bk>1)
3. Ubíquese en el modelo de portafolio de Branson (1976). Se sabe que los bonos extranjeros (F) están denominados en moneda extranjera. Explique analíticamente y con la ayuda de gráficos, si la pendiente del locus de puntos de equilibrio del mercado de bonos extranjeros, denominado FF, es mayor o menor que cero. Nota: la pendiente de FF corresponde a su gráfico en el plano (r, E).
4. El modelo de Sargent y Wallace (1976) sobre la irrelevancia de la política económica (1) yt = + yt-1 + mt + t Ecuación del Producto (2) mt = 0 Regla de política contracíclica Donde t es un término de perturbación con media cero, varianza 2 y covarianza cero. Recuerde que la política óptima es aquella que permite minimizar las fluctuaciones del producto respecto a su nivel de pleno empleo dado por: 𝐸[𝑦𝑡 ] = 𝑦̅. a. Formule la función de pérdida que debe minimizar la política óptima. b. Encuentre a qué es igual la regla de política de Friedman. c. ¿La Regla de política de Friedman es una regla óptima? d. Encuentre el producto compatible con la regla de política de Friedman. ¿Qué tendría que ocurrir para que la desviación del producto respecto a su nivel potencial sea igual al error 𝜇 y como afecta esto al modelo? 2
Nota: El alumno puede optar por la solución de la siguiente pregunta-bonus, si desea mejorar su nota del examen final. El puntaje máximo de la respuesta a esta pregunta es 2. La nota que obtengan en esta pregunta se adicionará a la nota del examen final. Pregunta: Considere el siguiente modelo de Solow con impuesto descrito a continuación: 1 Y (1 )K AL , 0 1
K sY Donde es un impuesto a la producción. Además, considere que en esta economía L A 0, y g . Siendo g la tasa de crecimiento de la tecnología. La tasa de L A depreciación es igual a cero. Si el capital por trabajador efectivo es k
K AL
a) Halle la evolución en el tiempo del capital por trabajador efectivo, es decir, dk / dt . b) Halle el nivel del capital por trabajador efectivo y el nivel producto por trabajador efectivo, en el estado estacionario. ¿Cuál es el efecto de un aumento de la tasa de ahorro sobre el capital por trabajador efectivo y producto por trabajador efectivo? También explique qué sucede con estas variables capital y producto, si aumenta la tasa de impuestos ( ).
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Macroeconomía 2 Félix Jiménez Semestre 2021-2 Examen Final
1. Esta se deja a cargo del alumno, puesto que, el mayor peso del examen, se obtiene de las preguntas siguientes, incluyendo la pregunta bonus.
2. Modelo de Overshooting de Dornbusch a. las pendientes de 𝑒̇ = 0 y 𝑝̇ = 0 son 𝑑𝑒 1 =1− | 𝑑𝑝 𝑒̇ =0 𝑏𝑘
𝑑𝑒 ℎ =1+ | 𝑑𝑝 𝑝̇ =0 𝑏𝑔
(2.1)
(2.2)
para la segunda función 𝑝 = 𝑝(… ) debemos usar el teorema de la derivada de la función inversa, que establece que
1 𝑑𝑥 = 𝑑𝑦 𝑑𝑦 𝑑𝑥
(2.3)
recordemos que el plano tiene por ejes coordenados (𝑝, 𝑒) con 𝑒 en el eje de las ordenadas. Con respecto a las pendientes, observamos que (2.2) es mayor que la dada en (2.1), siendo ambas positivas. Recuperando el sistema diferencial asociado, se tiene
𝑒̇ =
𝑝̇ =
1 (𝑏𝑘𝑒 + (1 − 𝑏𝑘)𝑝 + 𝑘𝑎 + 𝑏𝑘𝑝∗ − 𝑚 − 𝐴𝑟 ∗ ) 𝐴
1 (𝑏𝑔𝑒 − (ℎ + 𝑏𝑔)𝑝 + 𝑔𝑎 + 𝑏𝑔𝑝∗ + ℎ𝑚 − 𝐴𝑦̅) 𝐴
del sistema anterior, podemos observar que
𝑒̇ = 0 → 𝑝 ↑: 𝑒̇ < 0 → 𝑒 ↓
(2.4)
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Examen Final 𝑝̇ = 0 → 𝑒 ↑: 𝑝̇ > 0 → 𝑝 ↓
El diagrama de fase es el siguiente
Para que sea una ensilladura, es suficiente con que el determinante del sistema det 𝐽 = −
1 (𝑏𝑘(ℎ + 𝑏𝑔) + 𝑏𝑔(1 − 𝑏𝑘)) 𝐴2
det 𝐽 = −
1 (𝑏𝑘(ℎ + 𝑏𝑔) − 𝑏𝑔(𝑏𝑘 − 1)) 𝐴2
(2.5)
sea negativo1, siendo 𝐴 > 0. Sin embargo, por las condiciones del ejercicio 1 − 𝑏𝑘 < 0, por lo que, reordenando (2.6)
debe ser negativo, entonces
1 (𝑏𝑘(ℎ + 𝑏𝑔) − 𝑏𝑔(𝑏𝑘 − 1)) > 0 ⇒ ℎ𝑘 > −𝑔 𝐴2
1
(2.7)
No depende del resultado de la traza.
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Examen Final
para que el determinante sea negativo. Encontrar la función que representa la recta 𝑆𝑆 de la figura anterior, requiere encontrar raíces y vectores característicos del sistema diferencial, para facilitar esto, haremos el siguiente cambio de variable 𝑢 = 𝑒 − 𝑒0 y 𝑣 = 𝑝 − 𝑝0 , por lo que tenemos
1 𝑏𝑘 𝑢 ( )= ( 𝑣 𝐴 𝑏𝑔
𝑢 1 − 𝑏𝑘 )( ) −(ℎ + 𝑏𝑔) 𝑣
(2.8)
para encontrar tales raíces y vectores, debemos resolver el siguiente problema
1 𝑏𝑘 ( 𝐴 𝑏𝑔
𝑢 𝑢 1 − 𝑏𝑘 )( ) = 𝜆( ) 𝑣 −(ℎ + 𝑏𝑔) 𝑣
(2.9)
de lo cual, tenemos
1 𝑏𝑘 − 𝐴𝜆 ( 𝑏𝑔 𝐴
𝑢 1 − 𝑏𝑘 )( ) = 0 −(ℎ + 𝑏𝑔) − 𝐴𝜆 𝑣
(2.10)
obteniendo el siguiente polinomio característico
𝑃(𝜆) = 𝜆2 −
1 1 (𝑏(𝑘 − 𝑔) − ℎ)𝜆 + 2 (−𝑏𝑘(ℎ + 𝑏𝑔) − 𝑏𝑔(1 − 𝑏𝑘)) = 0 (2.11) 𝐴 𝐴
Toda vez que la dinámica del sistema es una ensilladura, entonces
𝜆1 < 0 < 𝜆2
(2.12)
remplazando en (2.10), se tiene
1 𝑏𝑘 − 𝐴𝜆𝑖 ( 𝑏𝑔 𝐴
1 − 𝑏𝑘 𝑢 )( ) = 0 −(ℎ + 𝑏𝑔) − 𝐴𝜆𝑖 𝑣
(2.13)
siendo el vector asociado a la raíz característica 𝜆𝑖
1 𝑉𝑖 = (𝑏𝑘 − 𝐴𝜆𝑖 ) 𝑏𝑘 − 1
(2.14)
por lo que, la solución del sistema diferencial (2.8) es
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Examen Final 1 1 𝑢 𝜆1 𝑡 𝑏𝑘 − 𝐴𝜆 𝜆2 𝑡 𝑏𝑘 − 𝐴𝜆 ( ( ) = 𝐻1 𝑒 ( 1 ) + 𝐻2 𝑒 2) 𝑣 𝑏𝑘 − 1 𝑏𝑘 − 1
(2.15)
como 𝜆2 > 0, se tiene lim 𝐻2 𝑒
t→+∞
𝜆2 𝑡
1 𝑏𝑘 − 𝐴𝜆2 ) = ∞ ( 𝑏𝑘 − 1
(2.16)
entonces 𝐻2 = 0 para que (2.15) converja a (𝑝0 ; 𝑒0 ). Entonces
1 𝑢 𝜆1 𝑡 𝑏𝑘 − 𝐴𝜆 ( ) = 𝐻1 𝑒 ( 1) 𝑣 𝑏𝑘 − 1
(2.17)
Ahora, tenemos entonces que
(𝑝 − 𝑝0 ; 𝑒 − 𝑒0 ) = (𝐻1 𝑒 𝜆1𝑡 (
𝑏𝑘 − 𝐴𝜆1 ) ; 𝐻1 𝑒 𝜆1𝑡 ) 𝑏𝑘 − 1
(2.18)
lo que corresponde a una recta en su forma paramétrica, de lo que concluimos que
𝑒 − 𝑒0 = (
𝑏𝑘 − 1 ) (𝑝 − 𝑝0 ) 𝑏𝑘 − 𝐴𝜆1
(2.19)
siendo esta expresión, la de la recta 𝑆𝑆, cuya pendiente es positiva, toda vez que 𝑏𝑘 > 1 y 𝜆1 < 0, tal como aparece en la gráfica.
b. Del sistema indicado que contienen los multiplicadores, tenemos que 𝑑𝑒 = −𝑑𝑝 y 𝑑𝑝 = 0.
Si se satisface la PPA, entonces 𝑝 = 𝑒𝑝∗ por lo que 𝑑𝑝 = 𝑒𝑑𝑝 + 𝑝𝑑𝑒 = 0, por lo que −𝑝∗ ′ = 𝑒′, donde las primas denotan tasa de crecimiento. Esto es, si 𝑝∗ se incrementa, el tipo de cambio debe apreciarse en el largo plazo para mantener la PPA.
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Examen Final
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3. Modelo de Portafolio de Branson Del equilibrio en el mercado de bonos extranjeros, tenemos 𝐸𝐹 = 𝑓(𝑟; 𝑟 ∗ + 𝐸𝑒̇ ; 𝑊); 𝑓𝑟 < 0; 𝑓𝑟 ∗ +𝐸𝑒̇ > 0; 𝑓𝑊 > 0
(3.1)
diferenciando totalmente respecto del tipo de cambio 𝐸 y tasa de interés 𝑟, tenemos 𝐸𝑒 𝐹𝑑𝐸 = 𝑓𝑟 𝑑𝑟 − 2 𝑓𝑟 ∗+𝐸𝑒̇ 𝑑𝐸 + 𝑓𝑊 𝐹𝑑𝐸 𝐸
(3.2)
reordenando, tenemos la pendiente de la función 𝐹𝐹 en el plano (𝑟, 𝐸) 𝑑𝐸 𝑓𝑟 <0 | = 𝑑𝑟 𝐹𝐹 𝐹(1 − 𝑓 ) + 𝐸 𝑒 𝑓 ∗ 𝑊 𝐸 2 𝑟 +𝐸𝑒̇
(3.3)
Siendo una gráfica de la misma, la siguiente
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4. Sargent y Wallace Sea el modelo de irrelevancia de política económica 𝑦𝑡 = 𝛼 + 𝜆𝑦𝑡−1 + 𝛽𝑚𝑡 + 𝜇𝑡 𝑚𝑡 = 𝛾0
(4.1) (4.2)
a. La función que debe minimizarse es 𝐿𝑡 = 𝐸[(𝑦𝑡 − 𝑦̅)2 ]
(4.3)
𝐸(𝑦𝑡 ) = 𝑦̅
(4.4)
min σ2(𝑦𝑡−𝑦̅)
(4.5)
Sin embargo; 𝑦𝑡 debe satisfacer dos requisitos y, además
b. Regla de Friedman Sea la ecuación del producto (4.1), en el largo plazo 𝑦𝑡 = 𝑦𝑡−1 , por lo que
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Examen Final 𝑦𝑡 =
𝛼 + 𝛽𝛾0 𝜇𝑡 + 1−𝜆 1−𝜆
(4.6)
entonces, por (4.4)
𝐸(𝑦𝑡 ) = 𝐸 ( de lo cual
𝛾0 =
𝜇𝑡 𝛼 + 𝛽𝛾0 𝛼 + 𝛽𝛾0 + = 𝑦̅ )= 1−𝜆 1−𝜆 1−𝜆
1 ((1 − 𝜆)𝑦̅ − 𝛼) = 𝑚𝑡 𝛽
(4.7)
(4.8)
c. Ahora, por (4.5), tenemos 𝜎 2 (𝑦𝑡 − 𝑦̅) =
1 1 2 (𝜇 ) = 𝜎 𝜎𝜇2 𝑡 2 2 (1 − 𝜆) (1 − 𝜆)
(4.9)
Sin embargo, esta varianza depende del valor de 𝜆, y se minimiza cuando 𝜆 = 0, lo que implica una regla de la siguiente manera
𝑦𝑡 = 𝛼 + 𝛽𝑚𝑡 + 𝜇𝑡
(4.10)
por lo que la regla monetaria en (4.1) no es óptima
d. El producto compatible con la regla de Friedman es 1 𝑦𝑡 = 𝛼 + 𝜆𝑦𝑡−1 + 𝛽 [ ((1 − 𝜆)𝑦̅ − 𝛼)] + 𝜇𝑡 𝛽
(4.11)
por lo que
𝑦𝑡 = 𝜆(𝑦𝑡−1 − 𝑦̅) + 𝑦̅ + 𝜇𝑡
(4.12)
𝑦𝑡 = 𝑦̅ + 𝜇𝑡
(4.13)
de lo conseguido en c, nos queda
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Examen Final
5. Bonus: Modelo de Solow De los datos del ejercicio propuesto, se tiene 𝑦𝑡 = (1 − 𝜏)𝑘𝑡𝛼
(5.1)
a partir de la ecuación de capital agregado 𝑘𝑡′
𝐾 ′ 𝐴𝐿𝐾 ′ − 𝐾(𝐴′ 𝐿 + 𝐿𝐴′ ) 𝐾 ′ =( ) = = − 𝑘(𝑔 + 𝑛) 𝐴𝐿 𝐴𝐿 𝐴2 𝐿2
(5.2)
de acuerdo con los datos del ejercicio 𝑛 = 𝛿 = 0.
a. La evolución del capital en el tiempo está gobernada por la siguiente ecuación diferencial 𝐾′ = 𝑘 ′ + 𝑘𝑔 = (1 − 𝜏)𝑘𝑡𝛼 ⇒ 𝑘 ′ = 𝑠(1 − 𝜏)𝑘𝑡𝛼 − 𝑔𝑘 𝐴𝐿 b. En el estado estacionario 𝑘 ′ = 0, tenemos
0 = 𝑠(1 − 𝜏)𝑘𝑡𝛼 − 𝑔𝑘 = 𝑘[𝑠(1 − 𝜏)𝑘𝑡𝛼−1 − 𝑔]
(5.3)
(5.4)
por lo que, la solución relevante es
𝑘𝑒𝑒
1
𝑠(1 − 𝜏) 1−𝛼 =( ) 𝑔
(5.5)
de lo cual, tenemos
𝛼 1−𝛼
𝑠(1 − 𝜏) 𝑦𝑒𝑒 = (1 − 𝜏) ( ) 𝑔 Entonces, tenemos
1 𝛼 1−𝛼
𝑠 = ((1 − 𝜏) ( ) ) 𝑔
(5.6)
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Examen Final 𝛼 1−𝛼
1−𝜏 𝜕𝑘𝑒𝑒 𝑠(1 − 𝜏) = ( ) 𝑔(1 − 𝛼) 𝑔 𝜕𝑠
(5.7)
>0
por el lado de la relación producto por trabajado efectivo, se tiene 𝛼 1−𝛼 𝛼
𝜕𝑦𝑒𝑒 𝛼(1 − 𝜏) 𝑠 𝛼−1 𝑠 = ( ) ((1 − 𝜏) ( ) ) 𝑔 𝜕𝑠 𝑔(1 − 𝛼) 𝑔
>0
(5.8)
siendo ambos positivos. De la misma forma, podemos probas que las derivadas, tanto de 𝑘𝑒𝑒 y 𝑦𝑒𝑒 son negativas.
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