Estadística Inferencial, Práctica Calificada No. 1

Estadística Inferencial José Flores Semestre 2021-2 Practica Calificada 1 (Recuperación)

1. Sea la función de densidad conjunta −10𝑥𝑦 ( 0.9)𝑥−1 ; 𝑦 > 0, 𝑥 ∈ ℕ+ 𝑃𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦) = {𝑥𝑒 0

a. Hallar 𝑃[𝑋 = 2⋂𝑌 < 4] 4

𝑃 = ∫ 2(0.9)𝑒 −20𝑦 𝑑𝑦 = − 0

9 9 lim (𝑒 −20𝑦 − 𝑒 0 ) = 100 𝑦→+∞ 100

b. Hallar 𝑃𝑋 (𝑥 ) +∞

+∞

𝑃𝑋 (𝑥 ) = ∫ 𝑥 (0.9)𝑥−1 𝑒 −10𝑥𝑦 𝑑𝑦 = −𝑥(0.9)𝑥−1 ∫ 𝑒 −10𝑥𝑦 𝑑𝑦 0

0

teniendo 𝑃𝑋 (𝑥 ) = −0.1(0.9)𝑥−1 lim (𝑒 −10𝑥𝑦 − 𝑒 0 ) = 0.1(0.9)𝑥−1 y→+∞

c. Hallar 𝐸 [𝑌|𝑥 = 2] Necesitamos la distribución condicional, esto es 𝑃[𝑌|𝑥 ] =

𝑃𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦) 𝑃𝑋 (𝑥 )

de la alternativa anterior, se tiene 𝑃𝑋 (𝑥 ), por lo que 𝑥𝑒 −10𝑥𝑦 (0.9)𝑥−1 𝑃[𝑌|𝑥 ] = = 10𝑥𝑒 −10𝑥𝑦 0.1(0.9)𝑥−1 Entonces, tenemos

Estadística Inferencial, Semestre 2021-2

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Practica Calificada No. 1 (Recuperación)

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+∞

+∞

𝐸 [𝑌|𝑥 ] = ∫ 20𝑦𝑒 −20𝑦 𝑑𝑦 = − lim 𝑦𝑒 −20𝑦 ]𝑏0 + ∫ 𝑒 −20𝑦 𝑑𝑦 b→+∞

0

0

por lo que 𝐸 [𝑌|𝑥 ] = − lim (𝑏𝑒 −20𝑏 − 0) − b→+∞

1 1 lim (𝑒 −20𝑏 − 𝑒 0 ) = 20 b→+∞ 20

d. Determine el modelo marginal de 𝑌. +∞

+∞

+∞

𝑃𝑌 (𝑦) = ∑ 𝑥(0.9)𝑥−1 𝑒 −10𝑥𝑦 = ∑ 𝑥𝑞 𝑥−1 𝑒 −10𝑦 = 𝑒 −10𝑦 ∑ 𝑥𝑞 𝑥−1 𝑥=1

𝑥=1

𝑥=1

donde 𝑞 = 0.9𝑒 −10𝑦 , podemos comprobar que 𝑞 < 1 para todo el recorrido conjunto de las variables.

Recordando series por diferenciación, tenemos +∞

∑ 𝑥𝑞

𝑥−1

𝑥=1

1 𝑒 −10𝑦 10 ( ) = ⇒ 𝑃 𝑦 = = 𝑌 (1 − 𝑞 )2 1 − 0.9𝑒 −10𝑦 10𝑒 10𝑦 − 9

2. Sea la siguiente función de distribución conjunta 𝑓𝑋𝑌 (𝑥, 𝑦) = 𝑒 −(𝑥+𝑦) ; 𝑥 > 0, 𝑦 > 0 a. Hallar 𝑃[𝑋 > 1⋂𝑌 > 1] +∞ +∞

𝑃 = ∫ ∫ 𝑒 −(𝑥+𝑦) 𝑑𝑦𝑑𝑥 = 𝑒 −2 1

1

La integración de la expresión anterior es directa. b. Hallar el modelo marginal de 𝑋 +∞

𝑓𝑋 (𝑥 ) = ∫ 𝑒 −(𝑥+𝑦) 𝑑𝑦 = −𝑒 −𝑥 . lim (𝑒 −𝑏 − 𝑒 0 ) = 𝑒 −𝑥 b→+∞

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