Problema UNAC – 2017, Matemática para Economistas II Ejercicio1 Resolver la siguiente ecuación en diferencias: +
=0
(1.1)
El polinomio característico asociado a (1.1) es: ( )= Como ( )=
(
)=
+
[ (
+ 1)] = 0
(1.2)
≠ 0, tenemos que el polinomio característico se reduce a: (
+ 1) = 0
(1.3)
Siendo = = 0, dos raíces de la ecuación (1.3), las otras raíces están determinadas por la siguiente ecuación: ( )=
(1.4)
+1=0
La ecuación (1.4) no es factorizable en ℚ, esto es, no tiene ceros racionales2. Ésta ecuación es denominada binómica, y puede ser expresada del siguiente manera = ± , por lo que encontrar sus raíces, equivale a encontrar las raíces del número complejo ± , esto es: ( )=
+1=0⇔
(1.5)
= ±√
Podemos expresar (1.5) de la siguiente forma: = (0 ± )
⁄
(1.6)
Para el primer caso, expresándolo en forma general, tenemos que: = 0 + = cos
1
2
+ sin
2
= cos
2
+2
+ sin
2
+2
(1.7)
Examen Sustitutorio 2017-B.
Por un conocido teorema del álgebra, se establece la existencia de ceros racionales. Del polinomio de grado n, ( ) = + +⋯+ + . Si ⁄ es un cero racional, enton-
2
ces
debe ser divisor de
y
divisor de
. Para su demostración, véase Kurosh (1968).
1
Problema UNAC – 2017, Matemática para Economistas II = arg = arctan(Im ⁄Re ), siendo este
El argumento de ,
= /2 y | | = 1.
Recordemos que, por el teorema de Moivre3, se tiene: = | | (cos + sin ) = | | (cos
+ sin
)
(1.8)
Entonces: ⁄
= cos
cuando
4
+
+ sin
4
+
(1.9)
toma los valores 0 y 1, tenemos primeras dos raíces de (1.3), siendo:
=0⇒
⁄ ,
= cos
=1⇒
⁄ ,
= cos
4
+ sin
4
=
√2 √2 + 2 2
(1.10)
5 5 √2 √2 + sin =− − 4 4 2 2
(1.11)
Para el segundo caso, expresándolo nuevamente en forma general, tenemos que: = 0 − = cos siendo ahora ⁄
= cos
3 3 3 + sin = cos +2 2 2 2
+ sin
3 +2 2
(1.12)
= 3 /2 y | | = 1. Por el teorema de Moivre:
3 + 4
+ sin
3 + 4
Como en el caso anterior, cuando
(1.13) toma los valores de 0 y 1, obtenemos las otras
dos raíces de (1.3), siendo éstas: =0⇒
⁄ ,
= cos
3 3 √2 √2 + sin =− + 4 4 2 2
(1.14)
=1⇒
⁄ ,
= cos
7 7 √2 √2 + sin = − 4 4 2 2
(1.15)
Con éstos resultados, las raíces de (1.3) son: 3
Espinoza (2000).
2
Problema UNAC – 2017, Matemática para Economistas II =0
=
=0
=
√2 √2 + 2 2
=−
√2 √2 − 2 2
=−
√2 √2 − 2 2
(1.16)
√2 √2 + 2 2
Con las raíces características halladas, podemos encontrar la solución homogénea4 de (1.1), siendo esta solución, la siguiente: = donde
4
+
+
cos
2
+
sin
2
+
cos
3 2
+
sin
3 2
(1.17)
son constantes arbitrarias.
Véase Elaydi (2005) y Cull et al. (2005) para la solución homogénea cuando las raíces carac-
terísticas son complejas.
3
Problema UNAC – 2017, Matemática para Economistas II Referencias Cull, P., Flahive, M. and Robson, R. (2005). Difference Equations, From Rabbits to Chaos. Springer Science+Business Media, Inc. Springer, New York. Elaydi, S. (2005). An Introduction to Difference Equations (3th ed.). Springer-Verlag New York. Espinoza R., E. (2000). Números Complejos y Ecuaciones Polinómicas. Servicios Gráficos JJ, Lima, Perú. Kurosh, A. G. (1968). Curso de Algebra Superior. Editorial MIR, Moscú.
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