Lógica matemática

UNIVERSIDAD DE GUAYAQUIL FACULTAD DE INGENIERÍA INDUSTRIAL Matemáticas: Lógica y conjuntos Docente: Ing. Arnaldo Andrade Grupo teleinformática nivelación 2

Integrantes: Erick Velastegui, Nathaly Fajardo, Anthony Monteros, José Bazaran

Índice Proposición…………………………………………………………………………………………………………………2 Representación simbolica…………………………………………………………………………………………..2 Valor de verdad…………………………………………………………………………………………………………..2 Tabla de verdad………………………………………………………………………………………………………….3 Operador lógico negación…………………………………………………………………………………………..3 Operador lógico conjunción………………………………………………………………………………………..4 Operador lógico disyunción…………………………………………………………………………………………4 Operador lógico condicional……………………………………………………………………………………..5 Operador lógico Bi condicional…………………………………………………………………………………….5 Recíproca, Inversa, Contrarreciproca…………………………………………………………………………..6 Implicación lógica………………………………………………………………………………………………………..7 Tautología……………………………………………………………………………………………………………………7 Contradicción………………………………………………………………………………………………………………7 Contingencia………………………………………………………………………………………………………………..8 Equivalencia lógica………………………………………………………………………………………………………8 Propiedades de los operadores lógicos………………………………………………………………………8 Método al absurdo……………………………………………………………………………………………………..9

Lógica Matemática Texto = Un significado matemático; valor cero a uno.

Proposición Es una unidad semántica que es solo verdadera o solo falsa.

Ejemplo de proposición: 5 es un número primo = Verdadero Vicente Rocafuerte fue Presidente del Ecuador = Verdadero Todos los números enteros son positivos Ejemplo de oraciones que no son proposiciones: Lava el auto, por favor.

Hola, ¿Cómo estás?

Representación Simbólica Se representan con letras minúsculas.

Ejemplo: a: 5 es un número primo p: La tierra es plana q: -17+ 38 = 21

Valor de verdad A: verdadero = 1 Q: falso = 0

Tabla de verdad Una tabla de verdad es una representación de los posibles valores de verdad que podría tener una proposición.

La cantidad de combinaciones (filas de la tabla de verdad) depende de la cantidad de proposiciones presentes en la expresión lógica.

Operadores lógicos Negación La negación clásica es una operación sobre un valor de verdad, típicamente, el valor de una proposición, que produce un valor de verdadero cuando su operando es falso, y un valor de falso cuando su operando es verdadero. Por tanto, si el enunciado A es verdadero, entonces ¬A (pronunciado "no A") sería consecuentemente falso; y lo contrario, si ¬A es verdadero, entonces A sería falso.

Ejemplo:

Operador Lógico (Conjunción) Sean a, b proposiciones. La conjunción entre a y b, representada por a^b, es una nueva proposición, cuyo valor esta dado por:

Ejemplo:

Operador lógico (Disyunción) Una disyunción lógica (en específico, una disyunción inclusiva) entre dos proposiciones es un conector lógico, cuyo valor de la verdad resulta en falso sólo si ambas proposiciones son falsas, y en cierto de cualquier otra forma.1 Existen diferentes contextos donde se utiliza la disyunción lógica.

Ejemplos:

Operador lógico (Condicional) Es una función de verdad binaria, que se vuelve falso cuando B es falsa siendo A verdadera, y se vuelve verdadero en cualquier otro caso. En lógica de predicados, puede ser visto como una relación de subconjuntos entre la extensión de predicados (posiblemente complejos).

Ejemplo:

Operador lógico (Bi Condicional) Es un operador lógico binario, es decir, una función , siendo B cualquier conjunto con | B|=2, aunque es común que se considere a B como B= {V, F} o B= {0,1}. El bi condicional también funge como conectivo lógico, permitiendo formular expresiones de la forma «P si y solo si Q», que es verdadera en el caso de que ambos componentes tengan el mismo valor de verdad.

Ejemplo de Bi Condicional:

Recíproca, Inversa y Contrarreciproca.

Dada la condicional p q, se definen: 1.

La recíproca: q® p

2.

La inversa:~ p® ~ q

3.

La contra recíproca (o contraposición):~ q® ~ p

Ejemplo 1 Sean p: Este animal es un ave. Este animal tiene alas.

Dada p q, escribir su recíproca, su inversa y su contra recíproca.

Solución PROPOSICIÓN: Si este animal es un ave, entonces tiene alas.

RECÍPROCA: Si este animal tiene alas, entonces es un ave.

INVERSA: Si este animal no es un ave, entonces no tiene alas.

Contra Reciproca

Si este animal no tiene alas, entonces no es un ave.

No es necesario que la proposición original sea de la forma p q, y el antecedente o el consecuente pueden ser cualquier proposición. Cuando se escribe la recíproca, la inversa, o la contra recíproca, puede resultar una doble negación. En este caso esta última se debe reemplazar por la proposición original, utilizando la ley de la doble negación.

Ejemplo 2 Dada p® ~ w, escribir su recíproca, su inversa y su contra recíproca Solución RECÍPROCA: ~ q ® p INVERSA: ~ p ® q CONTRA RECÍPROCA: q® (~ p) Ejemplo 3 Dada ~ p ® q, escribir su recíproca, su inversa y su contrarrecíproca.

Solución RECÍPROCA: ~ q® (~ p) INVERSA: p ® q CONTRA RECÍPROCA: q® p No todas estas proposiciones son equivalentes en significado, como se puede ver considerando el Ejemplo 9.

Ejemplo 4 Escribir la recíproca, la inversa y la contra recíproca de la proposición: Si es un Oldsmobile, entonces es un automóvil.

Solución Sean p: Es un Oldsmobile. q: Es un automóvil.

Entonces la proposición dada se escribe p ® q RECÍPROCA: q ® p: Si es un automóvil, entonces es un Oldsmobile.

INVERSA: ~ p (~ q): Si no es un Oldsmobile, entonces no es un automóvil.

CONTRA RECÍPROCA: ~ q® (~ p): Si no es un automóvil, entonces no es un Oldsmobile.

Esta es una proposición verdadera, siempre que la proposición original sea verdadera.

Implicación Lógica Sean a y b dos formas proposicionales, se dice que a implica lógicamente a b, denotado por a = b, si y solo si a = b es una tautología

Ejemplo:

Tautología Si se tienen solamente proposiciones verdaderas para todos los valores de verdad de las variables proposicionales, de dice que es una tautología.

Contradicción Si se tienen solamente proposiciones falsas para todos los valores de verdad de las variables proposicionales, se dice que es una contradicción.

Contingencia Si se tienen algunas proposiciones verdaderas y otras falsas para los valores de verdad de las variables proposicionales, se dice que es una contingencia.

Equivalencia lĂłgica Sean a y b dos formas proposicionales, se dice que a equivale lĂłgicamente a b, denotado por a = b , si y solo si a = b es una tautologĂ­a.

Ejemplo:

Propiedades de los operadores lĂłgicos

Método al absurdo La demostración por reducción al absurdo es un tipo de argumento muy empleado en demostraciones matemáticas. Consiste en demostrar que una proposición matemática es verdadera probando que si no lo fuera conduciría a una contradicción.

Método al absurdo: https://www.youtube.com/watch?v=gVbmr5qnAyU