ANÁLISIS NUMÉRICO by Universidad Nacional Abierta y a Distancia

TABLA DE CONTENIDO AGRADECIMIENTOS...............................................................................................ii ACERCA DEL AUTOR.............................................................................................iii INTRODUCCIÓN......................................................................................................1 METODOLOGÍA.......................................................................................................2 COMPUTADORAS Y PROGRAMAS.......................................................................3 PRESENTACIÓN DE NUMERICALS 1.0................................................................5 TABLA DE CONTENIDO.........................................................................................6 BIENVENIDA..........................................................................................................10 CAPÍTULO UNO MODELOS MATEMÁTICOS..................................................................................11 1.1. MODELAMIENTO MATEMÁTICO...............................................................12 1.2. CASO DE ESTUDIO....................................................................................12 1.2.1. Solución analítica.........................................................................................14 1.2.2. Solución numérica........................................................................................14 1.3. Modelos matemáticos que describen sistemas físicos................................17 CAPÍTULO DOS APROXIMACIONES Y ERRORES.........................................................................20 2.1. INTRODUCCIÓN TEÓRICA............................................................................21 2.1.1 CIFRAS SIGNIFICATIVAS............................................................................22 2.1.2. EXACTITUD Y PRECISIÓN.........................................................................22 2.3. ERRORRES DE TRUNCAMIENTO.................................................................23 2.2.1. Uso de la serie de Taylor para estimar los errores de truncamiento............23 2.4.2. Estabilidad y condición.................................................................................25 2.3. ERROR NUMÉRICO TOTAL..........................................................................25 2.3.1. Errores por equivocación..............................................................................26 2.3.2. Errores de formulación.................................................................................26 2.3.3. Incertidumbre de los resultados...................................................................27 2.4. EJERCICIOS RESUELTOS............................................................................27 CAPÍTULO TRES DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA.............................................................................31 3.1. INTRODUCCIÓN TEÓRICA............................................................................32 3.2. APROXIMACIÓN A LA PRIMERA DERIVADA CON DERIVADA HACIA ATRAS....................................................................................................................32 3.3. APROXIMACIONES A LA PRIMERA DERIVADA CON DIFERENCIAS CENTRALES..........................................................................................................33 3.4. APROXIMACIONES POR DIFERENCIAS FINITAS DE DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR...............................................................................................34 3.5. EJERCICIO RESUELTO.................................................................................35 CAPÍTULO CUATRO RAÍCES DE ECUACIONES...................................................................................37

4.1. OBJETIVOS.....................................................................................................38 4.2. TEMAS PARA CONSULTA.............................................................................38 4.2.1. Métodos que usan incrementos: procedimientos gráficos, método de la bisección, método de la regla falsa, búsqueda de intervalos determinando una aproximación...........................................................................................................38 4.2.2. Métodos iterativos: iteración de punto fijo, método de Newton-Raphson, método de la secante, raíz de un polinomio. 4.3. INTRODUCCIÓN TEÓRICA............................................................................38 4.3.1. Algoritmo de Bisección.................................................................................39 4.3.2. Método de Newton-Raphson........................................................................39 4.3.3. Método de la Secante...................................................................................39 4.4. RELACIÓN DE FORMULAS IMPORTANTES.................................................40 4.5. LOCALIZACIÓN DE RAÍCES USANDO NUMERICALS 1.0...........................40 4.5.1. Enunuciado de problema (Newton-Raphson)...............................................40 4.5.2. Enunciado del problema (Regla falsa)..........................................................41 4.6. EJERCICIOS PROPUESTOS.........................................................................42 AUTOEVALUACIÓN I ............................................................................ .............43 CAPÍTULO CINCO INTEGRACIÓN NUMÉRICA............................................. ....................................44 5.1. OBJETIVOS.................................................................................... ................45 5.2. TEMAS PARA CONSULTA 5.2.1 Formulas de cotas de Newton: regla del trapecio, reglas de Simpson, integración con intervalos desiguales, formulas de integración abierta..................45 5.2.2. Integración de Romber y cuadratura gaussiana: algoritmo de Romberg, cuadratura gaussiana.............................................................................................45 5.3. DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA.........................................45 5.4. DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA......................................................................46 5.4.1. Formula de tres puntos.................................................................................46 5.4.2. Formula de cinco puntos...............................................................................46 5.5. INTEGRACIÓN NUMÉRICA............................................................................46 5.5.1. Regla del trapecio.........................................................................................47 5.5.2. La regla de Simpson.....................................................................................47 5.6. RELACIONES Y FORMULAS IMPORTANTES..............................................47 5.7. INTEGRACIÓN USANDO NUMERICALS 1.0.................................................48 5.7.1. Enunciado del problema (Reglas de Simpson)............................................48 5.7.2. Enunciado del problema (Cuadratura de Gauss).........................................49 5.8. EJERCICIOS PROPUESTOS.........................................................................50 AUTOEVALUCIÓN II ............................................................................................52 CAPÍTULO SEIS AJUSTE DE CURVAS............................................................................................53 6.1. OBJETIVOS.....................................................................................................54 6.2. TEMAS PARA CONSULTA.............................................................................54

6.2.1. Regresión: regresión lineal, ajuste de curvas no lineales con una función de potencia, ajuste de curvas con un polinomio de orden superior, ajuste de curvas con una combinación lineal de funciones conocidas..............................................54 6.2.2. Polinomios interpolantes: polinomio de interpolación con diferencias divididas de Newton, polinomios de interpolación de Lagrange, otros métodos....54 6.3. INTRODUCCIÓN TEÓRICA............................................................................54 6.4. REGRESIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS..................................................55 6.4.1. Criterios para un mejor ajuste.......................................................................55 6.4.2. Ajuste por mínimos cuadrados de una línea recta........................................56 6.5. LINEARIZACIÓN DE RELACIONES NO LINEALES.......................................57 6.6. INTERPOLACIÓN Y APROXIMACIÓN POLINOMICA....................................57 6.6.1. Polinomios de Taylor....................................................................................59 6.6.2. polinomios de Lagrange...............................................................................59 6.6.3. Diferencias divididas.....................................................................................60 6.6.4. Interpolación de Hermite...............................................................................60 6.6.5. Interpolación del trazador cúbico..................................................................61 6.7. RELACIONES Y FORMULAS IMPORTANTES..............................................62 6.8. EJERCICIOS RESUELTOS.............................................................................63 6.8.1. Enunciado del problema (Linearización de una ecuación de potencias)......63 6.8.2. Enunciado del problema (Ajuste por mínimos cuadrados)...........................63 6.8.3. Enunciado del problema (Ajuste de curvas).................................................65 6.9. AJUSTE DE CURVAS USANDO NUMERICALS 1.0......................................66 6.9.1. Enunciado del problema (Interpolación).......................................................66 6.9.2. Enunciado del problema (Regresión lineal múltiple).....................................67 6.9.3. Enunciado del problema (Regresion polinomial)..........................................68 6.10. EJERCICIOS PROPUESTOS.......................................................................70 AUTOEVALUCIÓN III ............................................................................................72 CAPÍTULO SIETE SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES LINEALES SIMULTÁNEAS............74 7.1. OBJETIVOS.....................................................................................................75 7.2. TEMAS PARA CONSULTA.............................................................................75 7.2.1. Eliminación de Gauss: solución de pocas ecauciones, eliminación gaussiana simple, inconvenientes de los métodos de eliminación, técnicas de mejoramiento en las soluciones....................................................................................................75 7.2.2. Gauss-jordan e inversión de matrices y Gauss-Seidel: método de GaussJordan, inversión de matrices, iteración de Gauss-Seidel......................................75 7.3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES......................................................75 7.3.1. Eliminación Gaussiana.................................................................................76 7.3.2. Método de la inversión de una matriz...........................................................77 7.3.3. Método del determnante de una matriz........................................................77 7.4. SISTEMAS NO LINEALES DE ECUACIONES...............................................78 7.4.1. Método de Newton........................................................................................79 7.4.2. Método de Broyden.......................................................................................79

7.4.3. Técnicas de descenso rápido.......................................................................79 7.5. SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES SIMULTÁNEAS LINEALES Y NO LINEALES POR NUMERICALS 1.0.......................................................................81 7.5.1. Enunciado del problema (Gauss-Jorda).......................................................81 7.5.2. Enunciado del problema (Ecuaciones no lineales).......................................82 7.6. RELACIONES Y FORMULAS IMPORTANTES..............................................83 7.7. EJERCICIOS PROPUESTOS.........................................................................83 AUTOEVALUACIÓN IV.........................................................................................84 CAPÍTULO OCHO ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS..................................................86 8.1. OBJETIVOS.....................................................................................................87 8.2. TEMAS PARA CONSULTA.............................................................................87 8.2.1. Métodos de un paso: método de Euler, método de Euler modificado, método e Runge-Kutta, Sistemas de ecuaciones................................................................87 8.2.2. Métodos de pasos múltiples: un enfoque de pasos múltiples, formulas de integración..............................................................................................................87 8.3. INTRODUCCIÓN TEÓRICA............................................................................88 8.3.1. Método para resolver EDO sin el uso de computadora................................88 8.3.2. EDO y práctica de la ingeniería....................................................................89 8.4. ANTECEDENTES MATEMÁTICOS................................................................91 8.5. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS............................................91 8.5.1. Método de Euler............................................................................................92 8.5.2. Método de Runge-Kutta................................................................................92 8.6. SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS USANDO NUMERICALS 1.0..................................................................................................93 8.7. EJERCICIOS PROPUESTOS.........................................................................96 AUTOEVALUACIÓN V ..........................................................................................98 9. BIBLIOIGRAFÍA...............................................................................................101 ANEXOS ACTIVIDADES PRELIMINARES..........................................................................102 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS.......................................................................103 EJERCICIOS RESUELTOS..................................................................................108 APLICACIÓN DE LOS MÉTODOS NUMÉRICOS EN DISTINTOS CASOS DE LA INGENIERÍA.........................................................................................................114 Diseño y desarrollo de un simulador para un sistema de pateurización controlado automáticamente...........................................................................115 Determinación del factor de condición múltiple KM para verificar el estado de una población ictica de sábalo........................................................................122 Estandarización de grasa en la carne empleada para laborar productos cárnicos embutidos..........................................................................................126 Modelación matemática y simulación computacional de cristalizadores por enfriamiento para la producción de azúcar de caña........................................129

INTRODUCCIÓN Los ingenieros y técnicos en general se plantean, en algún momento de su vida profesional, problemas cuya formulación matemática no siempre conduce a una solución analítica. Las soluciones analíticas tienen valor práctico limitado, ya que buena parte de los problemas reales no son lineales, e implican formas y procesos complejos, son problemas que han de resolverse por Análisis Numérico. Los métodos numéricos son técnicas algebraicas utilizadas para permitir replantear problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse mediante operaciones aritméticas prácticas. Los cálculos numéricos son herramientas muy útiles para plantear la solución de problemas matemáticos. Tienen capacidad para manipular sistemas de ecuaciones considerables, no lineales y geométricamente complejos que son comunes en la práctica de la ingeniería, y que regularmente, son difíciles de resolver analíticamente, por lo tanto, incrementan la habilidad de quien los estudia para solucionar modelos matemáticos. Estos procedimientos conducen a un buen número de cálculos aritméticos, por esto el empleo de al computadora o la calculadora programable tiene una gran influencia en el proceso de solución de problemas de ingeniería. Antes del uso de la computadora, se empleaba demasiada energía en la técnica misma de solución, en vez de aplicarla sobre la definición del problema y su interpretación. Actualmente, las computadoras y los métodos numéricos proporcionan una alternativa para muchos cálculos complicados (véase la figura No. 1). Es probable que el ingeniero en el transcurso de sus estudios, tenga la oportunidad de usar software disponible comercialmente que contenga métodos numéricos. El empleo racional de estos programas esta supeditado al discernimiento de la teoría básica en la que se basan los procedimientos numéricos. El Análisis Numérico es un medio para fortalecer la comprensión de las matemáticas, puesto que su objetivo finalmente es reducir las matemáticas superiores a operaciones aritméticas básicas. Conceptualizar los métodos numéricos e identificarlos como una alternativa de solución de problemas que involucren el modelamiento de fenómenos para tener la capacidad de visualizar las aplicaciones de estos métodos en todos los campos de la ingeniería, así como desarrollar habilidades de diseño en la simulación de fenómenos, mediante el reconocimiento de las técnicas algebraicas, y emplear racionalmente la programación de computadoras reconociendo la teoría básica en la que se basan los procedimientos numéricos, constituyen los principales objetivos de este curso de Análisis Numérico con aplicaciones a problemas de ingeniería.

METODOLOGÍA De conformidad con la doctrina de la Universidad de Educación a Distancia, se seguirá una modalidad semi-escolarizada con eventos presenciales concentrados, de acuerdo al calendario académico, para ello se cuenta con ayudas didácticas, módulos de estudio, sistemas modernos de búsqueda como el Internet, que permitan al estudiante acercarse a grados avanzados de conocimiento sin marcharse de su centro de actividad productiva. El tutor será un facilitador del proceso de enseñanza-aprendizaje, el sujeto de formación será un sujeto participativo de su propio proceso. El recurso principal será el material instructivo específico, bibliografía especializada, actualizada y demás medios que se consideren necesarios para el desarrollo de la asignatura que contribuyan a reforzar el proceso de enseñanzaaprendizaje. Las piezas fundamentales en todo proceso de enseñanzaaprendizaje: discente, tutor, conocimiento y método de transmisión, coinciden con esta programación académica, obviando la intermediación permanente del tutor, considerando que la percepción del conocimiento se puede realizar mediante el uso de múltiples procedimientos. El estudiante puede interactuar persistentemente las diversas fuentes de conocimiento por medio de: La tutoría de carácter formativa que puede ser presencial, o a distancia, vía correo electrónico. La abstracción con los elementos que constituyen su entorno interdisciplinario y el núcleo laboral propio. Los métodos y procedimientos modernos de comunicación (motores de búsqueda en Internet, entre otros). La equiparación de las nociones teóricas con la realidad práctica de su medio de trabajo. Eventos específicos. Con el propósito de que el estudiante adquiera un aprendizaje verdaderamente significativo en la medida que sea capaz de relacionar la teoría estudiada con la realidad que lo rodea y ante todo aplicar y transferir los conocimientos en la solución de problemas que tengan que ver con su entorno, se implementará la evaluación por proceso mediante la asignación de proyectos personalizados específicos para cada disciplina profesional.

A través de esta evaluación el estudiante, necesariamente deberá despertar su espíritu investigativo que implica el desarrollo de habilidades de pensamiento como: el análisis, la inducción, la deducción, que lo conducirán a la identificación y a la solución de un problema real relacionado con su estudio. Un ingeniero es un solucionador de problemas, generalmente su incertidumbre se inicia con la necesidad no satisfecha que se puede solucionar mediante una nueva metodología, un artefacto mecánico o un nuevo proceso, entonces, su objetivo es convertir un aproximado enunciado de lo que se necesita en una amalgama de especificaciones concretas. Desarrollar estas habilidades es lo que se pretende con la evaluación.

COMPUTADORAS Y PROGRAMAS Los métodos numéricos son técnicas mediante las cuales es posible formular problemas matemáticos de tal forma que puedan resolverse usando operaciones aritméticas. Aunque hay muchos tipos de métodos numéricos, comparten una característica común: invariantemente se debe realizar un buen número de tediosos cálculos aritméticos. No es raro que con el desarrollo de computadoras digitales eficientes y rápidas, el papel de los métodos numéricos en la solución de problemas de ingeniería haya aumentado en forma considerable en los últimos años. Además de proporcionar un aumento en la potencia de cálculo, la disponibilidad general de las computadoras y su asociación con los métodos numéricos ha influido de manera muy significativa en el proceso de la solución de problemas de ingeniería. Aunque las soluciones analíticas aún son muy valiosas, tanto para resolver problemas como para proporcionar una mayor comprensión, los métodos numéricos representan alternativas que aumentan en forma considerable la capacidad de confrontar y resolver los problemas; como resultado se dispone de más tiempo para aprovechar las capacidades creativas personales. Por consiguiente, es posible dar más importancia a la formulación de un problema, a la interpretación de la solución y a su incorporación al sistema total, o conciencia “holística”. Los métodos numéricos son un medio para reforzar su comprensión de las matemáticas, ya que una de sus funciones es convertir las matemáticas

superiores a operaciones aritméticas básicas, porque profundizan en los temas que de otro modo resultarían oscuros. Finalmente, esta alternativa aumenta su capacidad de comprensión y entendimiento en la materia. FORMULACIÓN Principios explicados sencillamente (Leyes) FASES EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE INGENIERÍA

SOLUCIÓN Métodos muy elaborados y habitualmente complicados para hacer manejable el problema

INTERPRETACIÓN Análisis profundo limitado por una solución que consume tiempo

a) antes del uso de las computadoras

FORMULACIÓN Deducción intensa de la relación del problema con los principios fundamentales SOLUCIÓN Software sencillo implementar

FASES EN LA SOLUCIÓN DE PROBLEMAS DE INGENIERÍA

INTERPRETACIÓN La rapidez del cálculo permite un análisis profundo de los resultados.

b) actualmente con el uso de las computadoras

Figura 1. Fases en la solución de problemas de ingeniería: (a) Era antes del uso de las computadoras, (b) Actualmente con el uso de las computadoras.

PRESENTACIÓN DE NUMERICALS 1.0

Figura 2. Ventana de bienvenida del software tutorial Numericals 1.0. Se recomienda por las razones expuestas utilizar el Software Tutorial: Numericals en su versión 1.0. En su manual de usuario se presenta y explica la función de cálculos científicos para algunos métodos básicos del análisis numérico. Se sugiere que desde novatos hasta los expertos en programación de computadoras, se familiaricen con el nombre y función de cada parte de la interfaz de usuario antes de intentar la operación. Una función de almacenamiento de fórmulas provee cálculos de fórmula simplificados y cálculos de tasa, además una función de banco de datos incorporada cuenta con un utilitario científico que suministra un total de 116 utilitarios de software para aplicaciones estadísticas, matemáticas y científicas.

CONTENIDO PROGRAMÁTICO PRIMERA UNIDAD ANTECEDENTES MATEMÁTICOS OBJETIVO GENERAL Al completar la primera unidad el estudiante deberá estar capacitado para reconocer técnicas numéricas, así como en la identificación de modelos matemáticos de uso general en las ciencias alimentarias. En general, habrá adquirido una idea de la importancia básica de las computadoras y el papel de las aproximaciones y la estimación de errores en la implementación y desarrollo de los métodos numéricos. CAPITULO UNO: Conceptos fundamentales Teorema Binomial, Teorema de Taylor, Teorema de Maclaurin, Teorema del Residuo, Serie de Taylor. División Sintética (Regla de Ruffini), Derivadas por División Sintética. CAPITULO DOS: Algoritmos para la resolución de problemas numéricos Modelo Matemático Caso de Estudio Solución Analítica del problema (Caso de Estudio) Solución Numérica del problema (Caso de Estudio) Un sistema de computación Programación, soporte y equipo (Software y Hardware). Diseño de algoritmos CAPITULO TRES: Aproximaciones y errores de redondeo Conceptos fundamentales Cifras significativas, Exactitud y precisión, Definiciones de error, Errores de redondeo, Errores de truncamiento, Error numérico total, Errores por equivocación, del planteamiento e incertidumbre de los datos. Diferenciación Numérica Diferencias divididas finitas Aproximación a la primera derivada con diferencias hacia atrás Aproximaciones a la primera derivada con diferencias centrales Aproximaciones a derivadas de orden más alto usando diferencias finitas Fórmulas de exactitud para diferencias de orden superior

SEGUNDA UNIDAD AJUSTE DE CURVAS OBJETIVO GENERAL Al completar la cuarta unidad, el estudiante habrá refinado en gran forma su competencia para ajustar curvas con datos reportados. En general, manejará las técnicas, habrá aprendido a avalar la confiabilidad de sus resultados y será capaz de seleccionar el método (o métodos) para cualquier problema particular que involucre un ajuste de curvas. CAPITULO CUATRO: Regresión. Regresión lineal. Ajuste de curvas no lineales con una función de potencia. Ajuste de curvas con un polinomio de orden superior. Ajuste de curvas con una combinación lineal de funciones conocidas. CAPITULO CINCO: Polinomios e interpolación. Polinomios de interpolación con diferencias divididas de Newton. Polinomio de interpolación de Lagrange. Otros métodos. TERCERA UNIDAD INTEGRACIÓN NUMÉRICA OBJETIVO GENERAL Al completar la quinta unidad, el estudiante estará en capacidad de reconocer y resolver situaciones que involucren problemas de integración numérica y valorará su aplicación para solucionar problemas de ingeniería aplicados en la agroindustria alimentaria. CAPITULO SEIS: Fórmulas de cotas de Newton Regla del trapecio. Regla de Simpson. Integración con intervalos desiguales. Fórmulas de integración abierta. CAPITULO SIETE: Integración de Romberg y cuadratura gaussiana Algoritmo de Romberg. Cuadratura gaussiana.

CUARTA UNIDAD RAÍCES DE ECUACIONES OBJETIVO GENERAL Al completar la segunda unidad el estudiante debe tener la suficiente información para aplicar convenientemente una amplia variedad de problemas de ingeniería, que se relacionan con las raíces de ecuaciones. En general, se dominarán los métodos, se habrá aprendido a evaluar su confiabilidad y se tendrá la capacidad de optar por el mejor método (o métodos) para cualquier problema en particular. CAPITULO OCHO: Métodos que usan incrementos Procedimientos gráficos Método de bisección Método de la regla falsa Búsquedas con intervalos determinando una aproximación inicial CAPITULO NUEVE: Métodos iterativos Iteración de punto fijo Método de Newton-Raphson Método de la secante Raíz de un polinomio QUINTA UNIDAD SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES LINEALES SIMULTÁNEAS OBJETIVO GENERAL Al completar la tercera unidad el estudiante será capaz de resolver problemas que involucran ecuaciones algebraicas lineales y valorará la aplicación de esas ecuaciones en muchos campos de la ingeniería. CAPITULO DIEZ: Eliminación de gauss Solución de pocas ecuaciones Eliminación gaussiana simple Inconvenientes de los métodos de eliminación Técnicas de mejoramiento en las soluciones CAPITULO ONCE: Gauss-Jordan e inversión de matrices y Gauss-Seidel Método de Gauss-Jordan Inversión de Matrices Iteración de Gauss-Seidel

SEXTA UNIDAD ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS OBJETIVO GENERAL Al completar la sexta unidad, el estudiante debe aumentar de manera notoria su capacidad para enfrentar y resolver ecuaciones diferenciales ordinarias y problemas de valores propios. Las metas de estudio en general deberían incluir el poder seleccionar el mejor método (o métodos) para cualquier problema en particular de aplicación en ingeniería. CAPITULO DOCE: Métodos de un paso. Método de Euler. Método de Euler modificado. Métodos de Runge-Kutta. Sistemas de ecuaciones. CAPITULO TRECE: Métodos de pasos múltiples. Un enfoque simple de pasos múltiples. Fórmulas de integración.

BIENVENIDA

Señorita o Señora Estudiante Señor Estudiante mutuamente como apoyo de las experiencias en su manejo.

En calidad de Docente-Tutor de la asignatura “Análisis Numérico”, le presento un cordial saludo de bienvenida a este curso que su Universidad le ofrece para atender su formación continuada mediante procesos metodológicos innovadores que deberán redundar en la conformación de la Comunidad Universidad Nacional abierta y a distancia.

Cualquiera que sea su inquietud antes de empezar la audioconferencia, le pido tranquilidad y buenas intenciones para colaborar al éxito del mismo: estoy confiado que va a ser una experiencia motivadora. Al finalizar el curso, seguramente Usted habrá desarrollado habilidades de diseño en el modelado matemático de fenómenos, mediante el reconocimiento de las técnicas matemáticas y el empleo racional de la programación de computadoras, aprendiendo la teoría básica en la que se basan los cálculos numéricos.

Durante este semestre, vamos a trabajar a distancia sobre el empleo de los cálculos numéricos y, en vez de limitarnos a teorizar, vamos a visualizar las aplicaciones de estos métodos en distintos campos de la ingeniería.

Le agradezco su valioso tiempo, comprensión y paciencia para el éxito de este curso.

Quizás, algunos de sus compañero(a)s en el centro regional donde va a asistir, ya tienen conocimiento de la utilidad del análisis numérico y pueden servirse

El autor

HYPATIA (370 – 415 D.C.) Nacida en Alejandría, una excepcional mujer, hija de Teón (filósofo y matemático). Se hizo célebre por su saber, por su argumentación y por su belleza, viaja a Atenas donde realiza estudios; al regresar a Alejandría funda una escuela deonde enseña las doctrinas de Platón y Aristóteles y se pone al frente del pensamiento neoplatónico. Hypatia escribió un libro titulado: “Sobre las conicas de Apolonio”. Es una de los últimos matemáticos griegos. Su muerte marca el final de los grandes descubrimiemtos matemáticos en Europa por varios siglos. Se distinguió por los comentarios a las obras de Apolonio y Diofanto.

CAPITULO UNO

MODELOS MATEMÁTICOS

El mundo real, puede parecer impredecible, tradicionalmente la tarea de los científicos ha sido la de plantear hipótesis, reconocer las variables y expedir leyes que gobiernen este caos. Aplicaremos el concepto de modelos matemáticos para ayudar a la comprensión de un método numérico y así ilustrar como facilita la resolución de problemas. Para esto, se desarrolla aquí un modelo matemático de un proceso físico real que se resuelve con un método numérico sencillo.

1.1.

MODELAMIENTO MATEMÁTICO

Sobre las bases de sus observaciones varios científicos a lo largo de a historia nos han reportado teorías que no son mas que modelos empíricos abstraídos de nuestra realidad física. Es así como Newton formuló la segunda ley del movimiento, esta se usa rutinariamente por los ingenieros en el diseño de elementos tales como armaduras, dispositivos, circuitos, entre otros. Desde la perspectiva del diseño de ingeniería, estos conocimientos son muy útiles cuando se expresan en forma de un modelo matemático. Un modelo matemático se define como una formulación o ecuación que expresa las características fundamentales de un sistema o proceso físico en términos matemáticos. Para nuestro caso: F = ma (1.1) Donde, F es la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo, m es la masa del objeto y a es su aceleración. La ecuación (1.1) reúne varias características habituales de los modelos matemáticos del mundo físico: • Describe un sistema o proceso natural en términos matemáticos. • Representa una idealización y una simplificación de la realidad. • Conduce a resultados predecibles. Por ejemplo, si se conocen la fuerza aplicada y la masa, entonces puede usarse la ecuación para estimar la aceleración. Sin embargo, los modelos matemáticos de otros fenómenos físicos pueden ser mucho más complejos y no pueden resolverse exactamente o requieren técnicas matemáticas más avanzadas que la simple álgebra para su solución. Para ilustrar el modelo de este tipo per más complicado, se puede usar la segunda ley de Newton para determinar la velocidad de un cuerpo en caída libre. 1.2.

CASO DE ESTUDIO

El cuerpo en descenso será un esquiador como se muestra en la figura 3. Para este caso recordemos que la aceleración es la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo (dV/dt) y sustituir en la ecuación (1.1) para dar: m

dV =F dt

(1.2)

V es la velocidad, entonces la masa multiplicada por la razón de cambio de la velocidad es igual a la suma de fuerzas que actúan sobre el cuerpo. Para un cuerpo que cae la fuerza total la conforman dos fuerzas contrarias: la fuerza gravitatoria (hacia abajo) y la fuerza de resistencia del aire (hacia arriba), es decir: F = FR + Fg (1.3). Si a la fuerza hacia abajo se le asigna un signo positivo, se puede usar la segunda ley para formular la fuerza debida a la gravedad como: Fg = mg. Donde g es la constante gravitacional, aproximadamente 980 cm/seg2. Supondremos que la resistencia del aire es linealmente proporcional a la velocidad, como en: FR = - CV, donde C es una constante de proporcionalidad, llamada coeficiente de arrastre. FR

Fg Figura 3. Representación de las fuerzas que actúan sobre un cuerpo en descenso. La fuerza total es la diferencia entre las fuerzas hacia abajo y hacia arriba. Por tanto, combinando las ecuaciones obtenemos: dV m( ) = mg − CV dt dividiendo a cada lado por m encontramos: dV C =g− V dt m

(1.4)

La ecuación (1.4) es un modelo que relaciona la aceleración de un cuerpo que cae a las fuerzas que actúan sobre él. La solución de ecuación anterior no puede obtenerse usando simples manipulaciones algebraicas y operaciones aritméticas.

Suponiendo que el esquiador se lanzo desde un aeroplano y en el instante t=0 (inicialmente) esta en reposo v=0, se puede usar el cálculo para resolver la ecuación (1.4), así: gm (1.5) v(t ) = (1 − e−(c / m)t ) c

1.2.1. Solución analítica

Un esquiador con una masa de 68100 gramos salta de un aeroplano. Aplíquese la ecuación (1.5) para calcular la velocidad antes de abrir el paracaídas de seguridad. El coeficiente de arrastre c es aproximadamente igual a 12500 g/seg. Solución: al sustituir los valores de los parámetros en la ecuación (1.5) se obtiene: v(t) = 5339[1- e-0,18355t]

(1.6)

al dar varios valores de t se obtienen las velocidades para dicho tiempo: los resultados se presentan a continuación: t, seg. 0 2 4 6 8 10 12 ∝

V, cm/seg. 0 1640,5 2776,9 3564,2 4109,5 4487,3 4749,0 5339,0

A la ecuación (1.6) se le llama solución analítica o exacta porque satisface exactamente la ecuación diferencial original.

1.2.2. Solución numérica Como se menciono con anterioridad, los métodos numéricos son aquellos en los que se reformula el problema matemático para que se pueda resolver mediante

operaciones aritméticas. Para nuestro caso, la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo puede aproximarse de la siguiente manera: dV ∆V v(ti +1 ) − v(ti ) ≅ = (1.7) dt ∆t ti +1 − ti donde ∆v y ∆t son diferencias en la velocidad y el tiempo calculadas sobre intervalos finitos, v(ti) es la velocidad en el tiempo inicial ti, y v(ti+1) es la velocidad algún tiempo más tarde ti+1. La ecuación (1.7) es una diferencia finita dividida en el tiempo ti. Puede sustituirse en la ecuación (1.2.4) para dar: v(ti +1 ) − v(ti ) C = g − v(ti ) t i + 1 − ti m

(1.8)

Esta ecuación puede ordenarse otra vez para dar: C   v(ti +1 ) = v(ti ) +  g − v(ti ) (ti +1 − ti ) m  

(1.9)

Y así, la ecuación diferencial (1.4) se transforma en una ecuación que puede resolverse algebraicamente para v(ti+1). Si se da un valor inicial para la velocidad en un tiempo ti, se puede calcular fácilmente v en ti+1. Este nuevo valor de v en ti+1 puede emplearse para extender el cálculo de v en ti+2 y así sucesivamente. Por lo tanto, en cualquier tiempo de la trayectoria, Nuevo valor = Valor anterior de v + Valor estimado de × incremento del tiempo de v la pendiente Efectuando el mismo cálculo que en el ejercicio anterior, pero usando la ecuación (1.8) para calcular v(t) con un incremento de tiempo igual a 2 segundos, se obtiene: Al principio de los cálculos (t1=0), la velocidad del esquiador v(ti) es igual a cero. Con esta información y los valores de los parámetros del ejemplo anterior, la ecuación 2.8. se puede usar para estimar v(ti+1) en ti+1 = 2seg. 12500   v(2) = 0 + 980 − (0) 2 = 1960cm / s 68100   Para el siguiente intervalo (de t = 2 a 4 seg.), se repite el cálculo con el resultado,

12500   v(4) = 1960 + 980 − (0) 2 = 3200.5cm / s 68100   Siguiendo con los cálculos de la misma manera para obtener valores adicionales, como se muestra en la siguiente tabla: t, segundos 0 2 4 6 8 10 12 ∝

v, cm/seg. 0 1960.0 3200.5 3985.6 4482.5 4796.9 4995.9 5339,0

v, m/s

Como se notará, debe pagarse un tributo al usar la calculadora por un resultado numérico más preciso. Cada partición a la mitad del incremento para lograr más precisión, nos lleva a duplicar el número de cálculos. Por consiguiente, vemos que existe un trueque entre la exactitud y la cantidad de operaciones y tiempo de procesamiento.

Velocidad terminal

Solución analítica, exacta

Solución numérica aproximada

t, m

Figura 4. Comparación de las soluciones numérica y analítica para el problema del paracaidista.

1.3 MODELOS MATEMĂ TICOS QUE DESCRIBEN SISTEMAS FĂ?SICOS EcuaciĂłn BaromĂŠtrica

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Se aplica en el estudio de gases para establecer la relaciĂłn de presiones. La presiĂłn y la densidad de un gas ideal se relacionan por la siguiente ecuaciĂłn: PM Ď = , reemplazando Ď , en las dos ecuaciones anteriores y derivando y RT dP Mg separando variables, se encuentra: = dh , con T constante e integrando P RT entre dos estados obtenemos: P gM (h2 â&#x2C6;&#x2019; h1 ) Ln 2 = â&#x2C6;&#x2019; P1 RT R = constante de los gases ideales, AnĂĄlisis dimensional atmâ&#x2039;&#x2026;m3â&#x2039;&#x2026;kmol-1â&#x2039;&#x2026;Â°K-1 T = temperatura, Â°K H = altura, m Variable independiente: altura h g = constante gravitacional, mâ&#x2039;&#x2026;s-2 Variable dependiente : presiĂłn P M = peso molecular, kgâ&#x2039;&#x2026;kmol-1 P = presiĂłn, kgâ&#x2039;&#x2026;s-2â&#x2039;&#x2026;m-1 Ăł atm Periodo de velocidad de secado

Durante este periodo la velocidad con que desaparece agua de la superficie del producto es igual a la velocidad con que llega desde el interior del mismo. La transmisiĂłn de calor tiene lugar solamente por convecciĂłn, la temperatura de la superficie del sĂłlido permanece constante e igual a la temperatura hĂşmeda del aire de secado. La velocidad de secado es la de evaporaciĂłn del agua, que es la transferencia de materia y es proporcional al flujo de calor: dw Q = Gw = dt AwÎťi AnĂĄlisis dimensional T = tiempo de secado, s Q = calor de transferencia, Jâ&#x2039;&#x2026;s-1 dw/dt =velocidad de evaporaciĂłn, kgâ&#x2039;&#x2026;m-2 s-1 Aw =superficie de evaporaciĂłn, m2 w =agua evaporada por unidad de ĂĄrea, kgâ&#x2039;&#x2026;m-2 Gw =velocidad de transferencia de materia, kgâ&#x2039;&#x2026;s-1â&#x2039;&#x2026;m-2 Îťi = calor latente de vaporizaciĂłn a la temperatura de interface, Jâ&#x2039;&#x2026;kg-1

Variable independiente Variable independiente Parámetros

: tiempo, t :agua evaporada, w : propiedades fisicoquímicas y geométricas del secar, coeficiente de transferencia

Transferencia de masa para lixiviación

material a

dM K ' A(Cs − C ) = dt b Para un proceso discontinuo, en el cual el volumen total de la solución es VdC K ' A(Cs − C ) constante dM = VdC, entonces: = , ordenando, se dt b dC K'A = dt , integrando entre Co, C1, para t=0 y t, se obtiene: encuentra: Cs − C Vb Cs − C K ' A Ln = t . Cuando se agrega disolvente puro Co = 0 y haciendo Cs − Co Vb α − t  α = K’A/b, resulta: C = Cs 1 − e V    Análisis dimensional t = tiempo, s K’ = coeficiente de difusión, m2⋅s-1 A = área de interface sólido-líquido, m2 C = concentración del soluto en la solución, kg⋅m-3 Cs = Concentración de la solución saturada en contacto con el sólido, kg⋅m-3 b = espesor de la película de líquido adyacente al sólido, m Variable independiente Variable dependiente Parámetros

: tiempo, t : concentración del soluto C : coeficiente de transferencia de masa y geometría del sistema.

Esterilización por calor

Representa un cinética de primer orden para la extinción de microorganismos de la siguiente manera: dN = −κ d N dt

κd se puede expresar de manera análoga a la ley de Arrhenius, en función de la temperatura: κ d = ae

−

E RT

De las ecuaciones anteriores se tiene: t

E − dN = −κ d N = − aNe RT dt

E − No RT integrando, ∇ = Ln = κ d dt = a ∫ e dt , en donde, ∇ = reducción fraccional N ∫0 0 de microorganismos.

Análisis dimensional t = tiempo, s N = número de microorganismos κd = constante de extinción térmica, s-1 T = temperatura, °K E = energía de activación, cal/gmol A = constante de Arrhenius R = constante universal de los gases, cal/gmol°K Variable independiente Variable dependiente Parámetros

: tiempo t : número de microorganismos, N : constantes térmicas de resistencia de los microorganismos, constantes fisicoquímicas del medio, propiedades geométricas del sistema.

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KARL WILHELM THEODOR WIERSTRASS (1815 – 1897) Matemático alemán. Estudió leyes en la Universidad de Bonn, pero fracasó en conseguir un grado (en parte por sus extravagancias de bebedor de cerveza). Fue maestro de escuela durante 15 años, mientras estudiaba matemáticas en la noche, los pocos resultados que publicó le atrajeron una invitación a enseñar, primero en el Instituto Técnico de Berlín, más tarde como profesor de la Universidad de Berlín. Considerado el padre del Análisis Moderno. En sus primeras investigaciones abordó el problema de los números irracionales. Luego se dedico al estudio de las funciones de variables complejas y de variables reales. Desarrolló una teoría completa de series de funciones y estableció la legitimidad de operaciones tales como la integración y la derivación. Su nombre es inseparable del de su discípula Sonia Kowalewski, valiosa matemática rusa.

CAPÍTULO DOS APROXIMACIONES Y ERRORES

Debido a que los errores son parte intrínseca en el entendimiento y uso efectivo de los métodos numéricos, se ha escogido este capítulo para desarrollar este tema. La mayor parte de las técnicas desarrolladas en este módulo tienen la característica de poseer errores. Esto puede parecer contradictorio a primera vista ya que no coincide con la imagen que se tiene de un buen mecanismo de ingeniería.

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2.1. INTRODUCCIÓN TEÓRICA En la práctica profesional los errores pueden resultar costosos y hasta catastróficos. Se puede perder la vida si un dispositivo o una estructura llega a fallar. En general, si algún modelo presenta pequeñas variaciones en sus resultados, que no alteren totalmente sus predicciones, bastará con formular un nuevo modelo. Sin embargo, si su distribución es aleatoria pero se agrupa muy próxima alrededor de la predicción, entonces las desviaciones pueden calificarse como insignificantes y el modelo nuevamente se considerará adecuado. Las aproximaciones numéricas pueden introducir errores similares en el análisis. Pero la pregunta aquí es: ¿qué error puede considerarse tolerable? Los errores numéricos se generan con el uso de aproximaciones para representar las aproximaciones y cantidades matemáticas. Éstos incluyen errores de trucamiento, que resultan de representar aproximadamente un procedimiento matemático exacto, y los errores de redondeo que se producen cuando los números tienen un límite de cifras significativas que se usan para representar números exactos. Para los dos tipos de errores, la relación entre el resultado exacto o verdadero y el aproximado está dada por: Valor verdadero = aproximación + error

(2.1)

Reordenando la ecuación 2.1 se encuentra que el error numérico es igual a la diferencia entre el valor verdadero y el valor aproximado, esto es: Et = valor verdadero – aproximación

(2.2)

Donde Et se usa para denotar el valor exacto del error. Se incluye el subíndice t para denotar que se trata del error “verdadero”. Como ya se mencionó brevemente, esto contrasta con los otros casos, donde se debe emplear una estimación “aproximada” de error. Un defecto en esta definición es que no toma en consideración el orden de magnitud del valor que se está probando. Por ejemplo, un error de un centímetro es mucho mas significativo si se está midiendo un remache que un puente. Una manera de medir las magnitudes de las cantidades que se está evaluando es normalizar el error respecto al valor verdadero, como en: Error relativo fraccional = error verdadero/valor verdadero Donde, como ya se dijo aproximado.

en la ecuación 2.2, error = valor verdadero – valor

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El error relativo también se puede multiplicar por el 100% para expresarlo como:

εt = (error verdadero/valor verdadero) × 100% donde εt denota el error relativo porcentual verdadero. Este capítulo busca cubrir varios aspectos que identifican, cuantifican y minimizan estos errores. 2.1.1. Cifras Significativas Cuando se emplea un número en un cálculo, debe haber seguridad de que pueda usarse con confianza. El concepto de cifra o dígitos significativos se han desarrollado para designar formalmente la confiabilidad de un valor numérico. Las cifras significativas de un número son aquellas que pueden ser usadas en forma confiable. Es convencional estimar el conjunto de dígitos de la medianía de la división de la escala más pequeña de un aparato de medición. El concepto de cifras significativas tiene dos implicaciones importantes en el estudio de los métodos numéricos: 1. Como se dijo en el problema de la caída del paracaidista, los métodos numéricos obtienen resultados aproximados. Por lo tanto, se debe desarrollar criterios para especificar que tan precisos son los resultados obtenidos. Una manera de hacerlo es en términos de cifras significativas. Por ejemplo, se puede decidir que la aproximación es aceptable siempre y cuando sea correcta para cuatro cifras significativas. 2. Aunque ciertas cantidades tales como π, e, o 3 5 representan números específicos, no se pueden expresar exactamente con un número finito de dígitos. Por ejemplo, π = 3.141592653589793238462643.... hasta el infinito. Debido a que las computadoras retienen sólo un número finito de cifras significativas, tales números jamás se podrán representar con exactitud. A la omisión del resto de cifras significativas se le conoce como error de redondeo. 2.1.2. Exactitud y Precisión Los errores asociados con los cálculos y medidas se pueden caracterizar observando su exactitud y precisión. La exactitud se refiere a que tan cercano está el valor calculado o medido con el valor verdadero. La precisión se refiere a

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qué tan cercano está un valor individual medido o calculado con respecto a los otros. Estos conceptos se pueden ilustrar gráficamente usando una analogía de una diana de prácticas para tiro. Los agujeros en cada blanco de la figura 5 se pueden imaginar como las predicciones en una técnica numérica, mientras que el centro del blanco representa la verdad. La inexactitud se define como un alejamiento sistemático de la verdad, la imprecisión (también llamada incertidumbre), se refiere a la magnitud del esparcimiento de los disparos. Los métodos numéricos deben ser lo suficientemente exactos o sin inexactitudes para que cumplan los requisitos de un problema particular de ingeniería. También deben ser lo suficientemente precisos para el diseño en la ingeniería. Usaremos el término error para representar la inexactitud y la imprecisión de las predicciones.

2.2. ERRORES DE TRUNCAMIENTO Los errores de truncamiento son aquellos que resultan al usar una aproximación en lugar de un procedimiento matemático exacto. Por ejemplo en el problema del paracaidista aproximamos la derivada de la velocidad de caída de un paracaidista mediante la ecuación de diferencia finita dividida de la forma: dv ∆v v(ti +1 ) − v(ti ) ≅ = (1.7) dt ∆t ti +1 − ti Se introdujo un error de truncamiento en la solución, ya que la ecuación de diferencias sólo aproxima el valor verdadero de la derivada. Además, para obtener conocimiento de las características de estos errores se regresará a la formulación matemática usada ampliamente en los métodos numéricos para expresar funciones en forma polinomial: las series de Taylor. 2.2.1 Uso de la serie de Taylor para estimar los errores de truncamiento. Aunque la serie de Taylor es en extremo útil en la estimación de errores de truncamiento a lo largo algunas veces no es claro su empleo. Examinemos el caso del paracaidista, v(t) se puede expandir en la serie de Taylor del siguiente modo: v ''(ti ) v(ti +1 ) = v(ti ) + v '(ti )(ti +1 − ti ) + (ti +1 − ti ) 2 + ⋅⋅⋅ + Rn (2.3) 2! Ahora, truncando la serie después del término con la primera derivada, se obtiene: v(ti +1 ) = v(ti ) + v '(ti )(ti +1 − ti ) + R1 La ecuación 2.4 se puede resolver para

(2.4)

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v '(ti ) =

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v(ti +1 ) − v(ti ) R1 Error de − ti +1 − ti ti +1 − ti truncamiento

(2.5)

Aproximación a primer orden

Aumenta la precisión

Aumenta la exactitud

Figura 5. Un ejemplo de un buen tirador ilustra el concepto de exactitud y precisión a) inexacto e impreciso; b) exacto e impreciso; c) inexacto y preciso, d) exacto y preciso. La primera parte de la ecuación 2.5 es exactamente la misma relación que se uso para aproximar la derivada del ejemplo del paracaidista. Sin embargo con el esquema de la serie de Taylor, se ha obtenido una estimación del error de truncamiento asociado con esta aproximación de la derivada. En otras palabras, el error en la aproximación usando derivadas debería ser proporcional al tamaño del paso. Por lo tanto, si éste se divide a la mitad, entonces se espera que el error de la derivada se reduzca a la mitad.

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2.2.2 Estabilidad y condición La condición de un problema matemático relaciona a su sensibilidad los cambios en los datos de entrada. Puede decirse que un cálculo es numéricamente inestable si la incertidumbre de los valores de entrada aumentan considerablemente por el método numérico. Estas ideas pueden estudiarse usando la serie de Taylor de primer orden: f ( x) = f ( x% ) + f '( x% )( x − x% )

(2.6)

Esta relación puede emplearse para estimar el error relativo de f(x) como en: f ( x) − f ( x% ) f '( x% )( x − x% ) ≅ f ( x) f ( x% ) el error relativo de x esta dado por:

(2.7)

x − x% . x%

Un número condicionado puede definirse como la razón de estos errores relativos % '( x% ) xf Número condicionado = . f ( x% ) El número condicionado proporciona una medida de hasta qué punto la incertidumbre de x aumentada por f(x). Un valor de 1 nos indica que el error relativo de la función es idéntico al error relativo de x. Un valor mayor que 1 nos indica que el error relativo es amplificado, mientras que para un valor menor que 1 decimos que está disminuido. Funciones con valores muy grandes nos dicen que están mal condicionados. Cualquier combinación de factores de la ecuación ¿???, al incrementarse el valor numérico del número condicionado, tiene tendencia a aumentar la incertidumbre en el cálculo de f(x).

2.3. ERROR NUMERICO TOTAL El error numérico total es la suma de los errores de truncamiento y redondeo. En general, el único camino para minimizar los errores de redondeo es incrementando el número de cifras significativas en la computadora. Adicionalmente, se notará que un error de redondeo se incrementará tanto por la cancelación por resta como porque en el análisis exista un incremento en el número de cálculos. En contraste, en el calculo, se podría disminuir el tamaño del paso aproximado para un cálculo

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en particular. Se debería seleccionar un tamaño del paso largo a fin de disminuir la cantidad de cálculos y errores de redondeo sin incurrir en la penalización de grandes errores de redondeo.

Log error

Error total

Error de redondeo Error de truncamiento

Log tamaño del paso Figura 6. Representación gráfica de elementos de juicio entre el error de redondeo y error de truncamiento que algunas veces son inseparables en el papel que juegan en un método numérico. El punto de retorno disminuido es presentado, donde el error de redondeo empieza a negar los beneficios de la reducción del tamaño del paso. 2.3.1 Errores por equivocación A todos les son familiares los errores por negligencia o por equivocación. En los primeros años de la computadoras, los resultados numéricos erróneos fueron atribuidos algunas veces al mal funcionamiento de la propia computadora. En la actualidad esta fuente de error es muy improbable y la mayor parte de las equivocaciones se pueden atribuir a errores humanos. Las equivocaciones ocurren a cualquier nivel del proceso de modelación matemática y pueden contribuir con todos los otros componentes del error. Se pueden evitar únicamente con un sólido conocimiento de los principios fundamentales y con el cuidado del método y diseño de la solución del problema. 2.3.2 Errores de formulación Los errores de formulación o errores de modelamiento pueden ser atribuidos a lo que se podría considerar como un modelo matemático incompleto. Un ejemplo de error de formulación imperceptible es el hecho de que la segunda ley de Newton no toma en cuenta los efectos relativísticos. Esto no desvirtúa la validez de la solución del ejemplo del paracaidista, ya que estos errores son mínimos en las

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escalas del tiempo y espacio asociadas con el problema de la caída del paracaidista. Se debe estar consciente de estos problemas y darse cuenta que si se está usando un modelo deficiente, ningún método numérico generará los resultados adecuados. 2.3.3 Incertidumbre de los resultados Algunas veces se introducen errores en un análisis debido a la incertidumbre en los datos físicos sobre los que se basa el modelo cuando se realizan varias corridas o cálculos, estos errores pueden mostrar inexactitud e imprecisión. Si los instrumentos constantemente subestiman o sobrestiman las mediciones se estará tratando con un instrumento inexacto o desviado. Los errores de medición se pueden cuantificar sumando los datos con una o más técnicas estadísticas bien conocidas, que generen tanta información como sea posible, observando las características específicas de los datos. Esta estadística descriptiva es a menudo seleccionada para presentar 1) la posición del centro de distribución de los datos y 2) el grado de esparcimiento de los datos. Como tales, dan una medida de la desviación e imprecisión, respectivamente.

2.4. EJERCICIOS RESUELTOS

Encontrar el número de cifras significativas de las cantidades siguientes: Solución 74,24 S(4) 13258 S(5) 8200,02 S(6) 0,35 S(2) 0,005 S(1) 1200 S(4) -1863,000 S(7) -0,00743 S(3) 750,0000 S(7) Expresar las cantidades anteriores en formato de coma flotante normalizada con exponente o notación científica. Solución

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74,24 13258 8200,02 0,35 0,005 1200 -1863,000 -0,00743 750,0000

0,7424x102 0,13258x105 0,820002x104 0,35x100 0,5x10-2 0,1200x104 -0,1863000x104 -0,743x10-2 0,7500000x103

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S(4) S(5) S(6) S(2) S(1) S(4) S(7) S(3) S(7)

Redondear simétricamente a tres o dos cifras decimales, las cantidades que se indican Solución 23,65487 23,655 D(3) 0,004563 0,005 D(3) -1238,83421 -1238,83 D(2) 77,235 77,24 D(2) -5,8765 -5,877 D(3) 23,4899 23,490 D(3) Al estudiar el fenómeno diario de la variación que experimentan las condiciones meteorológicas, se suprimen muchas variables que deberían de intervenir en los cálculos. A qué tipo de errores pertenecen tales simplificaciones. Solución Corresponderían a errores del modelo. Considerando las cantidades 28294 y -13485 y sus respectivas cantidades redondeadas a cuatro y tres cifras significativas, 28290(4S) y -13500(3S), encontrar las cotas de los errores absoluto y relativo de tales redondeos. Solución x = 28294 x = 28290 ∆x = 5 = 0,5x101 δx = 5/28290 ≈ 0,00088 2 y = -13485 y = -13500 ∆y = 50 = 0,5x10 δy = 5/28290 ≈ 0,0037 Si x = 1,414 es una aproximación obtenida redondeando a tres cifras decimales una cantidad exacta x, indicar en qué intervalo está contenido el valor exacto. Solución x ∈ [ 1,4135 1,4145 )

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Otra forma de llegar al mismo resultado: si x está redondeada, la cota del error absoluto de ese redondeo, será: ∆x =0,5x10-3 = 0,0005 y, por consiguiente, el valor exacto estará comprendido entre los valores x = 1.414 ± 0,0005, es decir, entre: 1,4115 y 1,4135 Cómo se catalogaría el error cometido al transcribir mal una cantidad desde un documento original a otro cualquiera. Solución Se tratará de un error grosero o bien de una verdadera equivocación. La cantidad exacta x = 5,342 se redondea a dos cifras decimales. Encontrar el error absoluto cometido. Solución La cantidad aproximada obtenida por el redondeo será x = 5,34 por lo que el módulo del error absoluto cometido será ex  = 5,342 - 5,34  = 0,002 A una cinta métrica defectuosa le falta el primer centímetro. Después de medir una longitud con la misma, se obtienen 15 cm. Determinar la verdadera longitud de la magnitud medida, el error absoluto de la medición, el relativo y el porcentaje. Solución x = 15 cm. y x = 14 cm. ex  = x - x  = 1 cm. = ∆x rx = ex /x = 1/14 = 0,071 o bien 1/15 = 0,067 Porcentaje del error = 0,071x100 = 7,1% o bien 0,067x100 = 6,7% Un voltímetro maraca las lecturas con un error de +0,05V. Se toma una lectura de 60V. Calcular los errores absoluto, relarivo y porcentaje del error. Solución V = 60 V = 59,95 ev  = 60 - 59,95  = 0,05V rv = 0,05/60 = 0,00081 Porcentaje = 0,00081x100 = 0,081%

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El peso de 1 dm3 de agua a 0°C está contenido entre los valores indicados por p = 999,847 gr ± 0,001 gr Determinar la cota o límite máximo del error relativo del resultado del peso del agua. Solución p = 999,847 y ∆p = 0,001 con lo que será : δp = 0,001/999,847 = 0,1x10-4 = 10-4 Deducir los dígitos correctos de la cantidad aproximada 48,361 que tiene un error relativo máximo del 1%. Solución a = 48,361 δa = 1% = 1/100 = 0,01 δa = ∆a/a con lo que, entonces ∆a = δa ⋅ a = 0,01x48,361 = 0,48661 < 0,5 = 0,5x100 luego, no existe ninguna cifra decimal correcta, es decir, la última cifra correcta será la de las unidades. Ello equivale a asegurar que las cifras correctas son las que forman la parte entera: la 4 y la 8 Como aproximación de π = 3,141592... se toma el valor 3,14. Cuáles son sus cifras exactas y cuáles las correctas? Solución eπ = 3,141592 - 3,14  = 0,001592 = 0,1592x10-2 < 0,5x10-2 es decir, tiene correctas dos cifras decimales : el 1 y el 4 y, por tanto, también la entera 3. Otra forma, más laboriosa pero basada en la propia definición de dígito correcto, de llegar al mismo resultado, es la que sigue. Según el resultado anterior, una cota del error absoluto es ∆π = 0,0016. Entonces, 0,0016 < 0,5 ⇒ el 3 es correcto 0,0016 < 0,05 ⇒ el 1 es correcto 0,0016 < 0,05 ⇒ el 4 es correcto En cualquier caso, las cifras exactas, es decir, coincidentes con las que forman el verdadero valor de π, son, en este caso, también las tres : 3, 1 y 4.

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BLAISE PASCAL (1623 - 1662 D. C.) Matemático, físico, filósofo y escritor, nació en Clermont, Francia. A los doce años, comenzó a estudiar geometría, en este campo fue donde hizo sus máximas contribuciones matemáticas, demostrando las 32 proporciones de Euclides,. Al sostener correspondencia con su coterráneo Pierre Fermat, Pascal echa las bases de la Teoría de las Probabilidades. Se da el nombre de 'triangulo de Pascal' al arreglo de números que contiene los coeficientes del teorema del binomio. Sus ideas influyeron sobre Leibniz y, a través de él, sobre la fundación del Cálculo. Se le deben las leyes del equilibrio de los líquidos y otros importantes descubrimientos. A la edad de 19 años inventó la primera máquina de sumar. Este dispositivo, con sus ruedas movidas a mano, es el ancestro primitivo de las calculadoras y computadoras electrónicas de hoy. Y este moderno artificio de cálculo es lo que convierte en especialmente útiles y prácticos los métodos numéricos.

CAPITULO TRES DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA Como se menciono con anterioridad, los métodos numéricos son aquellos en los que se reformula el problema matemático para que se pueda resolver mediante operaciones aritméticas sencillas. Para nuestro caso, la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo puede aproximarse de la siguiente manera: dV ∆V v(ti +1 ) − v(ti ) ≅ = (1.7) ∆t dt ti +1 − ti

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3.1. INTRODUCCIÓN TEÓRICA La ecuación (1.7) se conoce con un nombre especial en el análisis numérico: se le llama diferencia finita dividida. Se puede representar generalmente como: ∆f f ( xi + ) − f ( xi ) f ' ( xi ) = + O( xi + − x) ó f ' ( xi ) = i + O(h) h xi + − xi

(3.1)

donde ∆fi se le conoce como la primera diferencia hacia delante y a h se le llama tamaño del paso; esto es, la longitud del intervalo sobre el cual se hace la aproximación. Se le llama “hacia delante”, ya que se usa los datos i e i+1 para estimar la derivada (véase figura 7a). Al término completo ∆fi/h se le conoce como la primera diferencia finita dividida. Esta diferencia dividida hacia adelante no es sino una de tantas que se puede desarrollar mediante la serie de Taylor para la aproximación de derivadas numéricas. Por ejemplo, las aproximaciones a primeras derivadas utilizando las diferencias hacia atrás o diferencias centrales se pueden desarrollar de una manera similar a la de la ecuación (1.7). Las primeras usan valores en xi-1 y xi (véase figura 7b), mientras que las segundas usan valores igualmente espaciados alrededor del punto donde está estimada la derivada (véase figura 7c). Las aproximaciones más exactas de la primera derivada se pueden desarrollar incluyendo en la serie de Taylor términos de orden más alto. Finalmente, todas las versiones anteriores se pueden desarrollar para derivadas de segundo orden, tercer orden y órdenes superiores. Las siguientes secciones analizan brevemente estos casos, ilustrando cómo se desarrollan cada uno de ellos.

3.2. APROXIMACIÓN A LA PRIMERA DERIVADA CON DERIVADAS HACIA ATRÁS La serie de Taylor se puede expandir hacia atrás para calcular un valor anterior sobre el valor actual, como en: f ' ' ( xi ) 2 f ( xi −1 ) = f ( xi ) − f ' ( xi )h + h − ⋅⋅⋅ (3.2) 2! Truncando la ecuación después de la primera derivada y ordenando los términos se obtiene

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f ' ( xi ) ≅

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f ( xi ) − f ( xi −1 ) ∇f1 = h h

(3.3)

donde el error es de O(h) y ∇f1 indica la primera diferencia dividida hacia atrás. Véase la figura 7b para una representación gráfica.

3.3. APROXIMACIONES A LA PRIMERA DERIVADA CON DIFERENCIAS CENTRALES Una tercera forma de aproximar la primera derivada es restando la ecuación (4.19) de la expansión en serie de Taylor hacia delante: f ( xi +1 ) = f ( xi ) + f ' ( xi )h +

f ' ' ( xi ) 2 h − ⋅⋅⋅ 2!

(3.4)

para obtener: f ( xi +1 ) = f ( xi −1 ) + 2 f ' ( xi )h +

f ( 3) ( x i ) 3 h − ⋅⋅⋅ 3!

(3.5)

que se puede resolver para: f ' ( xi ) =

f ( xi +1 ) − f ( xi −1 ) f ( xi +1 ) − f ( xi −1 ) f ( 3) ( xi ) 2 h + ⋅ ⋅ ⋅ ó f ' ( xi ) = − − O(h 2 ) (3.6) 2h 2h 6

La ecuación 3.6 es una representación de las diferencias centrales de la primera derivada. Obsérvese que el error de truncamiento es del orden de h2 en contraste con las diferencias divididas hacia delante y hacia atrás, las cuales fueron de orden h. Por lo tanto, el análisis de la serie de Taylor ha llevado a la información práctica de que la diferencia central es la representación más exacta de la derivada (véase figura 7c). Por ejemplo, si reducimos el tamaño del paso a la mitad, usando diferencias hacia atrás o hacia delante, el error se reducirá aproximadamente a la mitad, mientras que para diferencias centrales el error se reducirá a la cuarta parte.

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3.4. APROXIMACIONES POR DIFERENCIAS FINITAS DE DERIVADAS DE ORDEN SUPERIOR Además de las primeras derivadas, la expansión en serie de Taylor, puede ser usada para desarrollar estimaciones numéricas de las derivadas de orden superior. Para esto, se escribe la expansión en serie de Taylor hacia adelante para f(xi+2) en términos de f(xi): f ' ' ( xi ) ( 2 h) 2 + L (3.7) 2! La ecuación (4.21) se puede multiplicar por 2 y restarse de la ecuación (4.23) f ( xi + 2 ) = f ( xi ) + f ' ( xi )(2h) +

f ( xi + 2 ) − 2 f ( xi +1 ) = − f ( xi ) + f ' ' ( xi )h 2 + L

(3.8)

la cual puede resolverse para: f ' ' ( xi ) =

f ( xi + 2 ) − 2 f ( xi +1 ) + f ( xi ) + O ( h) h2

(3.9)

Esta relación es llamada la segunda diferencia dividida hacia delante Con manipulaciones similares puede emplearse la versión de derivada hacia atrás, f ' ' ( xi ) =

f ( xi ) − 2 f ( xi −1 ) + f ( xi − 2 ) + O ( h) h2

(3.10)

f ( xi +1 ) − 2 f ( xi ) + f ( xi −1 ) + O(h 2 ) h2

(3.11)

y la versión central, f ' ' ( xi ) =

Como fue el caso con la aproximación de la primera derivada, el caso central tiene mejor aproximación. Obsérvese también que la versión central puede ser alternativamente expresada como f ( xi +1 ) − f ( xi ) f ( xi ) − f ( xi −1 ) − h h f ' ' ( xi ) ≅ (3.12) h Así, justo como la segunda derivada es una derivada de la derivada, la aproximación de la segunda diferencia finita dividida es una diferencia de dos primeras diferencias divididas.

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Derivada verdadera

aproximación

h xi

xi+1

Derivada verdadera

aproximación

h xi

xi-1

Derivada verdadera

c) aproximación

2h x xi xi+1 xi-1 Figura 7. Gráfica de aproximaciones con diferencias divididas finitas de la primera derivada: a) hacia delante, b) hacia atrás, c) centrales. 3.5. EJERCICIO RESUELTO. Enunciado del problema. Use las diferencias finitas hacia delante y hacia atrás con aproximación de O(h) y diferencias centrales con aproximación de O(h2) para estimar la primera derivada de: f(x) = -0.14x4 – 0.15x3 – 0.5x2 – 0.25x + 1.2

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En x = 0.5 usando un tamaño de paso h = 0.5. Repita el cálculo usando h = 0.25. Obsérvese que la derivada puede ser calculada directamente como: f’(x) = -0.4x3 – 0.45x2 – 1.0x – 0.25 y se puede usar para calcular el valor verdadero como f’(0.5) = -0.9125. Solución. Para h = 0.5, la función puede ser empleada para determinar xi-1 = 0 f(xi-1) = 1.2 xi = 0.5 f(xi) = 0.925 xi+1 = 1.0 f(xi+1) = 0.2 Esos valores pueden ser usados para calcular las diferencias divididas hacia delante, 0.2 − 0.925 f ' (0.5) ≅ = −1.45 ε t = 58.9% 0.5 con las diferencias divididas hacia atrás: 0.925 − 1.2 f ' (0.5) ≅ = −0.55 ε t = 39.7% 0.5 y las diferencias divididas centrales: 0.2 − 1.2 f ' (0.5) ≅ = −1.0 ε t = 9.6% 1.0 Para h = 0.25, xi-1 = 0.25 f(xi-1) = 1.10351563 xi = 0.5 f(xi) = 0.925 xi+1 = 0.75 f(xi+1) = 0.63632813 Las cuales pueden ser usadas para calcular las diferencias divididas hacia delante, 0.63632813 − 0.925 f ' (0.5) ≅ = −1.155 ε t = 26.5% 0.25 las diferencias divididas hacia atrás, 0.925 − 1.10351563 f ' (0.5) ≅ = −0.714 ε t = 21.7% 0.25 y las diferencias divididas centrales, 0.63632813 − 1.10351563 f ' (0.5) ≅ = −0.934 ε t = 2.4% 0.5 Para ambos tamaños de paso, la aproximación de diferencias centrales es más exacta que las diferencias hacia delante y hacia atrás. También como se pronosticó con el análisis de la serie de Taylor, dividiendo a la mitad el tamaño del paso, se tiene aproximadamente la mitad del error de las diferencias hacia atrás y hacia adelante y una cuarta parte de error de las diferencias centrales.

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Augustin Louis Cauchy (1789-1857) Matemático francés, considerado uno de los impulsores del análisis en el siglo XIX. Nació en París y estudió en la Escuela Politécnica de esta ciudad. Fue profesor simultáneamente en el Colegio de Francia, en la Escuela Politécnica y en la Universidad de París. En 1848 fue nombrado profesor de astronomía matemática de esa universidad. Cauchy verificó la existencia de funciones elípticas recurrentes, dio el primer impulso a la teoría general de funciones y sentó las bases para el tratamiento moderno de la convergencia de series infinitas. También perfeccionó el método de integración de las ecuaciones diferenciales de primer grado (véase Cálculo). En el campo de la física se interesó por la propagación de la luz y la teoría de la elasticidad.

CAPÍTULO CUATRO

RAÍCES DE ECUACIONES

RAÍCES DE ECUACIONES Y = f(x)

Raíz

Encontrar x para f(x) = 0.

Estos problemas están relacionados con el valor de una variable o de un parámetro que satisface una ecuación. Son especialmente valiosos en proyectos de ingeniería, donde con frecuencia resulta imposible despejar de manera analítica los parámetros de ecuaciones de diseño.

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4.1. OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL Al completar la segunda unidad el estudiante debe tener la suficiente información para aplicar convenientemente una amplia variedad de problemas de ingeniería, que se relacionan con las raíces de ecuaciones. En general, se dominarán los métodos, se habrá aprendido a evaluar su confiabilidad y se tendrá la capacidad de optar por el mejor método (o métodos) para cualquier problema en particular. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Conocer la interpretación gráfica de una raíz. Reconocer las diferencias entre los métodos que usan intervalos y los métodos abiertos para la localización de raíces Entender el concepto de convergencia lineal y cuadrática y sus implicancia en la eficiencia de los métodos de iteraciones de punto fijo y de Newton Raphson.

4.2. TEMAS PARA CONSULTA 4.2.1. Métodos que usan incrementos Procedimientos gráficos Método de bisección Método de la regla falsa Búsquedas con intervalos determinando una aproximación inicial 4.2.2. Métodos iterativos Iteración de punto fijo Método de Newton-Raphson Método de la secante Raíz de un polinomio

4.3. INTRODUCCIÓN TEORICA Los sistemas de ecuaciones de una variable es uno de los problemas más básicos del análisis numérico y también es conocido como el problema de búsqueda de raíces. El problema consiste en encontrar los valores de la variable x que satisfacen la ecuación f(x)=0 para una función f dada. A una solución de este problema se le llama cero o raíz de f(x).

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4.3.1. Algoritmo de Bisección Condiciones: a) Una función continua f definida en un intervalo [a,b]. b) f(a) y f(b) de signos opuestos. c) Existe un punto p intermedio a<p<b tal que f(p)=0. d) Se asume p como la raíz única en [a,b]. La estrategia del método es dividir repetidamente a la mitad subintervalos de [a,b] y en cada paso, localizar la mitad que contiene a p. Los subintervalos se hacen cada vez más pequeños hasta el punto que se cumple una tolerancia fijada ó en el proceso se ha encontrado la raiz f(p) ≅ 0.

4.3.2. Metodo de Newton-Raphson Uno de los métodos más empleados para el cálculo de raíces. Condiciones a) Una función continua f y diferenciable dos veces definida en un intervalo [a,b]. b) Se asume p como la raíz única en [a,b]. La construcción de tangentes sucesivas en un punto x del intervalo [a,b] permite hacer converger de manera rápida la determinación aproximada del punto p. Analizándolo desde le punto de vista matemático, es asumir de una aproximación f (x ) del polinomio de Taylor que se cumple para f(x) alrededor de x que: p = x − f ' (x ) En algún momento del proceso iterativo se haya que (p-x) se hace una cantidad despreciable y por tanto la aproximación de la raíz p ha sido completada. 4.3.3. Método de la Secante Esa una derivación del método de Newton Raphson, cuya ventaja radica en la no necesidad de calcular derivadas, empleando iteraciones sucesivas de secantes en lugar de tangentes. El principio matemático y la ecuación a resolver es análoga entre lo dos métodos. Para la n-ésima iteración el valor f’(pn-1) se aproxima tal que: f ( p n −1 ) * ( p n −1 − p n − 2 ) p n = p n −1 − . f ( p n −1 ) − f ( p n − 2 )

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4.4.

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RELACIONES Y FORMULAS IMPORTANTES

Método Bisección Falsa posición

Newton Raphson

Formulación Xi + Xu Xr = Si f(Xl)f(Xr)<0, Xu=Xr, f(Xl)f(Xr)>0, Xl=Xr 2 f ( Xu )( X l − X u ) Si f(Xl)f(Xr)<0, Xu=Xr, X r = Xu − f (X l ) − f (X u ) f(Xl)f(Xr)>0, Xl=Xr f (X i ) X i +1 = X i − f '(X i )

Secante

X i +1 = X i −

f ( X i )( X i −1 − X i ) f ( X i −1 ) − f ( X i )

4.5. LOCALIZACIÓN DE RAÍCES USANDO NUMERICALS 1.0 4.5.1. Enunciado del problema. Use el método de Newton-Raphson para calcular la raíz de f(x) = e-x – x empleando un valor inicial de x(0) = 0. Solución.

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4.5.2. Enunciado del problema. Use el método de Regla Falsa para calcular la raíz de f(x) = e-x – x empleando como valores iniciales de x(1) = -1 y x(2) = 1. Solución. La solución se expresa en un formulario de respuesta con el objeto de reconocer las diferencias entre los métodos de intervalos (Bisección, Falsa posición, …), de los métodos abiertos (Newton-Raphson, Secante, …).

¡ 41

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4.6. EJERCICIOS PROPUESTOS Reúnase en grupos de 4-5 y resuelvan los siguientes ejercicios: 4.6.1. Vea sus libros de texto de ingeniería o publicaciones internacionales y busque dos casos en que técnicas numéricas para solucionar ecuaciones algebraicas, una mediante un método gráfico y otro por cualquier técnica de prueba y error. Tome nota de la estructura del modelo, las variables dependientes e independientes, los criterios de parada y el error estimado.

4.6.2. La concentración de bacterias contaminantes c en una laguna usada en piscicultura y riego de cultivos decrece de acuerdo con la relación: c = 70e −1.5t + 25e −0.075t Determine el tiempo requerido para que la concentración de bacterias se reduzca a 9 usando: a. El método gráfico. b. El método de Newton-Raphson.

4.6.3. Para: f(x) = x3 – 6x2 + 11x – 6.1, determine la raíz real máxima mediante: a. Gráficamente b. Usando el método de Newton-Raphson (tres iteraciones, Xi = 3.5) c. Empleando el método de la secante modificado, (tres iteraciones, Xi = 0.5, δ = 0.02).

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AUTOEVALUACIÓN I Ubique correctamente dentro del paréntesis la letra que corresponda a la definición de la izquierda: a. Función trascendental b. Métodos que usan intervalos c. Métodos abiertos d. Raíz de la ecuación e. Raíz de un polinomio

( ( ( ( (

) El valor de x que cumple f(x)=0 ) Métodos de Muller y Bairstow ) Las que no son algebraicas ) Bisección, falsa posición ) Newton-Raphson, iteración de punto fijo

Responda brevemente mediante una síntesis los siguientes cuestionamientos: a) Cuál es la principal diferencia entre los métodos abiertos y los métodos que usan intervalos. b) Que diferencia hay entre los métodos de la secante y de la falsa posición. c) Qué técnicas conoce para localizar las raíces de un polinomio. Una mezcla equimolar de monóxido de carbono y oxígeno debe alcanzar el equilibrio a 3000 K y una presión de 5 bar. La reacción teórica es CO + ½O2 ↔ CO2 La reacción química real se escribe así: CO + O2 → xCO + ½(1 + x)O2 + (1 – x)CO2 La ecuación de equilibrio químico para determinar la fracción de CO restante, o sea x, está dada por: (1 − x) 3 + x ,0 < x < 1 kp = x 1 + x P / Po donde kp = 3.06 es la constante de equilibrio para CO + ½O2 ↔ CO2 a 3000 K, P = 5 bar y Po = 1 bar. Determine el valor de x por iteración de Newton. El factor de fricción ƒ para los flujos turbulentos en una tubería está dado por: e 1 9.35  = 1.14 − 2 log10  +  D Re f  f   llamada correlación de Colebrook, donde Re es el número de Reynolds, e es la aspereza de la superficie de la tubería y D es el diámetro de la tubería. Resuelva la ecuación f utilizando el método de sustituciones sucesivas para D = 0.1 m, e = 0.0001 m y Re = 5×104.

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PITAGORAS Los griegos tomaron elementos de las matemáticas de los babilonios y de los egipcios. La innovación más importante fue la invención de las matemáticas abstractas basadas en una estructura lógica de definiciones, axiomas y demostraciones. Según los cronistas griegos, este avance comenzó en el siglo VI a.C. con Tales de Mileto y Pitágoras de Samos. Este último enseñó la importancia del estudio de los números para poder entender el mundo. Algunos de sus discípulos hicieron importantes descubrimientos sobre la teoría de números y la geometría, que se atribuyen al propio Pitágoras. Considerado el primer matemático, Pitágoras fundó un movimiento en el sur de la actual Italia, en el siglo VI a.C., que enfatizó el estudio de las matemáticas con el fin de intentar comprender todas las relaciones del mundo natural.

CAPITULO CINCO

INTEGRACIÓN NUMÉRICA INTEGRACIÓN NUMÉRICA Encontrar el área bajo la curva

Y = f(x)

I = ∫ f ( x)dx a

La integración o el área bajo la curva tiene varias aplicaciones en la ingeniería, que van desde la determinación estadística de errores hasta la solución de ecuaciones diferenciales.

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5.1. OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL Al completar la quinta unidad, el estudiante estará en capacidad de resolver muchos problemas de integración numérica y apreciará su aplicación para solucionar problemas de ingeniería que los emplee. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Conocer las fórmulas y ecuaciones de error para: a) la regla trapezoidal, b) la regla de Simpson. Reconocer situaciones donde sean apropiadas las aplicación de la integración numérica en su contexto particular. Identificar los diferentes efectos del error de datos en el proceso de integración y diferenciación numérica.

5.2. TEMAS PARA CONSULTA 5.2.1. Fórmulas de cotas de Newton Regla del trapecio. Regla de Simpson. Integración con intervalos desiguales. Fórmulas de integración abierta. 5.2.2. Integración de Romberg y cuadratura gaussiana Algoritmo de Romberg. Cuadratura gaussiana.

5.3. DIFERENCIACIÓN E INTEGRACIÓN NUMÉRICA Existen muchas aplicaciones en la ingeniería en las que se usan las derivadas y las integrales de funciones e inclusive de grupo de datos. Es posible realizar aproximaciones algebraicas de un conjunto arbitrario de datos o de una función continua en un intervalo cerrado aprovechando que es posible obtener un polinomio que esté arbitrariamente cerca de la función en cada punto del intervalo. Las derivadas e integrales son fáciles de obtener y de evaluar a partir de polinomios, es por ello que la mayoría de los métodos numéricos para diferenciación e integración se basan en aproximaciones con polinomios.

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5.4. DIFERENCIACIÓN NUMÉRICA Existen diferentes tratamiento matemáticos simples para el cálculo de derivadas, entre ellas existen las que se diferencian por el número de puntos necesarios para el cálculo: 5.4.1 Formula de Tres Puntos Sea una función f definida en el intervalo [a,b] y un punto arbitrario x0 en [a,b]. 2 1 f ' (x 0 ) = (5.1) [− 3f (x 0 ) + 4f (x 0 + h ) − f (x 0 + 2h )] + h f (3) (ξ 0 ) 2h 3 Se utiliza un punto arbitrario h lo suficientemente pequeño para aproximar f’(x0) y donde el error ξ0 se encuentra entre x0 y x0+2h. 5.4.2 Formula de Cinco Puntos En condiciones análogas al anterior caso se define una aproximación con cinco puntos: h 4 ( 5) 1 f ' (x 0 ) = [f (x 0 − 2h ) − 8f (x 0 − h ) + 8f (x 0 − h ) − f (x 0 + 2h )] + f (ξ 0 ) (5.2) 12h 30

5.5. INTEGRACIÓN NUMÉRICA El método clásico para resolver problemas del cálculo de integrales definidas de funciones se basa en le concepto de cuadratura numérica. Esta técnica es la simplificación del cálculo del área bajo la curva de la función f como una suma del tipo: b

∫a

f (x )dx ≈∑ a i f (x i )

(5.3)

i =0

Como se observa los términos de la sumatoria ( aif(xi) ) son una expresión simplificada de un polinomio. Precisamente los métodos de cuadratura se basan en los polinomios interpolantes mencionados anteriormente (Lagrange, Taylor, etc.), de tal manera que han surgido de ellos dos famosas reqlas: la regla del trapecio y la regla de simpson.

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5.5.1. Regla del Trapecio Cualquier grupo de datos o función que pueda representarse satisfactoriamente por un polinomio de grado uno o menor puede ser calculado con exactitud mediante este método. Para otros tipo de curvas la regla de trapecio es una buena aproximación. Sea f una función definida en un intervalo [a,b], h=(b-a)/n y xj=a +jh para cada j=0,....n, la regla del trapecio es: b

∫ f (x )dx =

n −1  (b − a )h 2 h ( ) ( ) 2 ( ) f x f x f x f ' ' (ξ ) + +  ∑ a b j − 12 2 j =1 

(5.4)

5.5.2. La Regla de Simpson Esta regla es análoga a la anterior y equivale a subdividir el intervalo [a,b] en n intervalos, donde n debe ser un número par. Sea f una función definida en un intervalo [a,b], h=(b-a)/2m, xj=a +jh y n=2m para cada j=0,....2m, la regla de simpson es: b

∫ f (x )dx =

5.6.

m −1 m  (b − a )h 4 4 h ( ) ( ) 2 ( ) 4 ( ) f x f x f x f x f (ξ ) (5.5) + + +  ∑ ∑ a b 2j 2 j −1  − 180 3 j =1 j =1 

RELACIONES Y FORMULAS IMPORTANTES

Método Regla trapezoidal Regla de Simpson 1/3 Integración de Romberg Cuadratura de Gauss

Formulación f (a ) + f (b) I ≅ (b − a) 2 f ( x 0 ) + 4 f ( x1 ) + f ( x 2 ) I ≅ (b − a) 6 k −1 4 I j +1,k −1 − I j ,k −1 I j ,k = 4 k −1 − 1 4 k −1 I j +1,k −1 − I j ,k −1 I j ,k = 4 k −1 − 1

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5.7. INTEGRACIÓN USANDO NUMERICALS 1.0 5.7.1. Enunciado del problema. Use un método numérico para estimar la integral de: f(x) = 0.2 +25x –200x2 + 675x3 – 900x4 +400x5, desde a = 0 hasta b = 0.8. Recuerde que la integral exacta es: 1.640533.

El ejemplo anterior ilustra que la versión de Regla de Simpson 1/3 de aplicación múltiple da resultados precisos.

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5.7.2. Enunciado del problema. Aplicación de la cuadratura de Gauss al problema del paracaidista en caída. Use el software Numericals 1.0 para resolver el problema relacionado con nuestro amigo el paracaidista en caída. Como usted recordara, la velocidad del paracaidista está dada como la siguiente expresión en función del tiempo: gm v(t ) = (1 − e−(c / m)t ) c donde v = velocidad (m/s), g = constante gravitacional de 9.8 m/s2, m = masa del paracaidista igual a 68.1 kg, y c = coeficiente de arrastre de 12.5 kg/s. Suponga que se desea saber qué tan lejos ha caído el paracaidista después de cierto tiempo t = 10 segundos. Esta distancia esta dada por: d = (gm/c)ʃ[1-e-(c/m)t].

Solución.

Observe que al desarrollar la integración en forma analítica y sustituir los valores de parámetros conocidos se obtiene un valor exacto de d = 289.43515 m, la diferencia se explica debido a los errores de redondeo que representan una limitación en nuestra habilidad para determinar integrales. Esto se debe tanto a la precisión de la máquina como a los diversos cálculos involucrados en técnicas simples como la regla trapezoidal de múltiples segmentos.

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5.8.

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EJERCICIOS PROPUESTOS

Reúnase en grupos de estudiantes y resuelvan los siguientes ejercicios 5.8.1. Realice los siguientes problemas propuestos: 1

a) Integre la siguiente función,

∫x

0.1

(1.2 − x)(1 − e 20( x −1) )dx

b) Evalué la integral de los siguientes datos tabulados con la regla trapezoidal: 0 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 x 1 7 4 3 5 2 f(x) 5.8.2. La función f(x) = e-x se puede usar para generar la siguiente tabla de datos desigualmente espaciados: x f(x)

0 1

0.1 0.9048

0.3 0.7408

0.5 0.6065

0.7 0.4966

0.95 0.3867

1.2 0.3012

Evalué la integral desde a = 0 hasta b = 1.2 con: a) medios analíticos. b) La regla trapezoidal y de Simpson, emplee la regla de Simpson donde sea posible para obtener la mayor exactitud. c) Calcule para a y b el error porcentual. 5.8.3. La integración proporciona un medio para calcular cuánta masa entra o sale de un reactor en un periodo específico, como en: t2

M = ∫ Qcdt t1

donde t1 y t2 = tiempo inicial y final. Esta fórmula tiene sentido intuitivo si usted recuerda la analogía entre integración y sumatoria. Así, la integral representa la sumatoria del producto del flujo por la concentración para dar la masa total entrando o saliendo desde t1 a t2. Si la razón de flujo es constante, Q puede ser obtenida de la integral: t2

M = Q ∫ cdt t1

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Use integración numérica con el fin de evaluar esta ecuación para los datos en la siguiente tabla, observe que Q = 4 m3/min. t, min. 0 5 10 15 20 25 30 35 40 45 50

C, mg/m3 10 22 35 47 55 58 52 40 37 32 34

5.8.4. El flujo de calor q es la cantidad de calor que fluye a través de un área del material por unidad de tiempo. Se puede calcular con la ley de Fourier, dT j = −k dx donde j tiene unidades de J/m2/s o W/m2 y k es un coeficiente de conductividad térmica que parametriza las propiedades de conducción de calor del material y tiene las unidades de W/(ºC·m). T = temperatura (ºC); y x = distancia (m) a lo largo de la trayectoria de flujo de calor. La ley de Fourier es usada rutinariamente por ingenieros para determinar el flujo de calor a través de paredes. Las siguientes temperaturas son medidas en una pared de piedra: x, m T, ºC

0 20

0.1 17

0.2 15

Si el flujo en x = 0 es de 60 W/m2, calcule k.

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AUTOEVALUACIÓN II 1 dx . x Si queremos estimar Ln2 mediante la regla trapezoidal con error menor de 10-10, ¿Qué valor n se necesita? Sabemos que Ln 2 =

∫

Un tanque de agua esférico con radio de 5 m está lleno hasta el tope. Se va drenar agua por un agujero de radio b = 0.1m en el fondo, comenzando a t = 0 segundos. Si no hay fricción, ¿Cuánto tiempo tardará el nivel de agua en llegar a 0,5 m, medido desde el fondo?. La velocidad del agua que drena por el agujero está determinada por la ecuación de la energía g(z + R) = ½u2, donde u es la velocidad, z es el nivel del agua medido desde el centro de la esfera, R es el radio del tanque y g es la aceleración debida a la gravedad y es igual a 9.81 ms-2. Sugerencia: Considere el cambio en el nivel del agua (dz) durante un intervalo de tiempo (dt), mediante la relación de continuidad de flujo. La razón de enfriamiento de un cuerpo se puede expresar como: dT = − k (T − Ta ) dt donde T = temperatura del cuerpo (ºC), Ta = temperatura del medio ambiente (ºC) y k = constante de proporcionalidad (por minuto). Así, esta ecuación (llamada ley de enfriamiento de Newton) especifica que la razón de enfriamiento es proporcional a la diferencia en temperaturas del cuerpo y del medio ambiente. Si una bola de metal se calienta a 90ºC y se deja caer en agua que mantiene a una temperatura constante de Ta = 25ºC, la temperatura de la bola cambiará, como en: 0 5 10 15 20 25 t, min. 90 49.9 33.8 28.4 26.2 25.4 T, ºC Utilice diferenciación numérica para determinar dT/dt para cada valor de tiempo. Grafique dT/dt contra (T-Ta) y emplee regresión lineal para evaluar k. La concentración química a la salida de un reactor de mezcla completa se mide como: 0 2 4 6 8 12 16 20 T, min 3 20 30 40 60 72 70 50 C, mg/m 10 Para una salida de flujo de Q = 12 m3/min, estime la masa de químicos que existe en el reactor desde t = 0 hasta 20 min.

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Joseph Fourier (1768-1830) Matemático francés nacido en Auxerre y formado en el monasterio de Saint-Benoît-sur-Loire. Enseñó en la Escuela Normal (1795), donde había estudiado, y en la Escuela Politécnica de París desde 1795 hasta 1798, en que se unió a la campaña de Napoleón en Egipto. Después de volver a Francia, en 1802, publicó un importante material sobre las antigüedades egipcias, y fue hasta 1815 prefecto del departamento de Isère. Fue nombrado barón por Napoleón en 1808. En 1816 fue elegido miembro de la Academia de Ciencias y en 1827 de la Academia Francesa. Su fama proviene de sus trabajos sobre matemáticas y sobre física matemática. En su tratado Teoría analítica del calor (1822), empleó unas series trigonométricas (series de Fourier) mediante las cuales las funciones discontinuas pueden expresarse como la suma de una serie infinita de senos y cosenos. Amplió con éxito estos procedimientos al estudio analítico del calor.

CAPITULO SEIS

AJUSTE DE CURVAS AJUSTE DE CURVAS, INTERPOLACIÓN Y APROXIMACIONES

Y = f(X)

X Regresión

Interpolación

Las técnicas que se han desarrollado para ajustar datos a curvas son: la regresión, empleada cuando hay un grado significativo de error en los datos; con frecuencia los datos experimentales son de esta clase. A diferencia de la interpolación que se utiliza cuando el objetivo es determinar valores intermedios entre datos que estén, relativamente libres de error.

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6.1. OBJETIVOS Objetivo General Al completar la cuarta unidad, el estudiante habrá refinado en gran forma su competencia para ajustar curvas con datos reportados. En general, manejará las técnicas, habrá aprendido a avalar la confiabilidad de sus resultados y será capaz de seleccionar el método (o métodos) para cualquier problema particular que involucre un ajuste de curvas. Objetivos Específicos Comprender la diferencia fundamental entre regresión e interpolación. Reconocer situaciones donde sean apropiadas las regresiones lineales, polinomiales, múltiples y no lineales. Entender la analogía entre el polinomio de Newton y la expansión de la serie de Taylor y cómo se relaciona el error al truncamiento. Reconocer las capacidades y riesgos asociados con la extrapolación. 6.2. TEMAS PARA CONSULTA 6.2.1. Regresión. Regresión lineal. Ajuste de curvas no lineales con una función de potencia. Ajuste de curvas con un polinomio de orden superior. Ajuste de curvas con una combinación lineal de funciones conocidas. 6.2.2. Polinomios e interpolación. Polinomios de interpolación con diferencias divididas de Newton. Polinomio de interpolación de Lagrange. Otros métodos. 6.3. INTRODUCCIÓN TEÓRICA El método más simple para ajustar a una curva los datos es ubicar los puntos y después dibujar una línea que visualmente conforma a los datos. Aunque ésta es una operación válida cuando se requiere una estimación rápida, los resultados son dependientes del punto de vista subjetivo de la persona que dibuja la curva. Su primera situación en el ajuste de curvas podría haber sido determinar valores intermedios a partir de datos tabulados (por ejemplo, de tablas de interés para ingeniería económica, o partir de tablas de vapor para termodinámica). En lo que resta de su carrera, usted tendrá frecuentes oportunidades para estimar valores intermedios de dichas tablas. Aunque muchas de las amplias propiedades usadas

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en la ingeniería han sido tabuladas, hay muchas más que no están disponibles en esta forma conveniente. Los antecedentes matemáticos como prerrequisitos para interpolación se encuentran en el material sobre las expansiones de la serie de Taylor y las diferencias finitas divididas. La regresión por mínimos cuadrados requiere de información adicional del campo de la estadística. Si usted conoce estos conceptos de la media, desviación estándar, suma residual de los cuadrados, distribución normal e intervalos de confianza, puede pasar directamente al estudio de esta sección, de lo contrario necesita un repaso de estos temas.

6.4. REGRESIÓN POR MÍNIMOS CUADRADOS Un ejemplo más simple de una aproximación por mínimos cuadrados es mediante el ajuste de un conjunto de pares de observaciones: (x1, y1), (x2, y2), ..., (xn, yn) a una línea recta. La expresión matemática para esta última es: y = a0 + a1x + e, donde a0 y a1 son coeficientes que representan el intercepto y la pendiente, respectiva, y e es el error, o residuo, entre el modelo y las observaciones, las cuales se pueden representar al reordenar la ecuación ¿?? como e = y – a0 – a1x . Así, el error o residuo es la discrepancia entre el valor real y y el valor aproximado a0 + a1x, predicho por la ecuación lineal. 6.4.1. Criterios para un “mejor ajuste” Una estrategia para ajustar a la ¿”mejor”? línea a través de los datos podría ser minimizar la suma de los errores residuales para todos los datos disponibles, como en

i =1

∑ ei = ∑ ( yi − a0 − a1 xi ) , donde n = número total de puntos.

Otro criterio lógico podría ser minimizar la suma de los valores absolutos de las discrepancias, como en

i =1

∑ ei = ∑ yi − a0 − a1 xi .

Pero este no es el único criterio, una tercera estrategia para ajustar a la mejor línea es el criterio minimax. En esta técnica, la línea se elige de manera que minimice la máxima distancia que tenga un punto individual desde la línea. Debería observarse que el principio minimax es no es adecuada para regresión, ya que tiene una excesiva influencia en puntos fuera del conjunto; es decir, un solo

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punto con un gran error, pero algunas ocasiones es muy adecuada para ajustar una simple función a una complicada función (Carnahan, Luther y Wilkes, 1969). Una estrategia que supera los defectos de los procedimientos mencionados es minimizar la suma de los cuadrados de los residuos entre la ymedida la ycalculada con el modelo lineal: n

S r = ∑ e = ∑ ( yi , medida − yi ,mod elo ) = ∑ ( yi − a0 − a1 xi ) i =1

2 i

i =1

(6.1)

i =1

Este criterio tiene varias ventajas, entre ellas el hecho de que se obtiene una línea única para un cierto conjunto de datos. Antes de analizar esas propiedades, veremos una técnica para determinar los valores de a0 y a1 que minimizan la ecuación. 6.4.2. Ajuste por mínimos cuadrados de una línea recta Para determinar los valores de a0 y a1, la ecuación 6.1 es diferenciada con respecto a cada coeficiente: ∂S r = −2∑ ( yi − a0 − a1 xi ) ∂a0 ∂S r = −2∑ ( yi − a0 − a1 xi ) xi ∂a1

(6.2) (6.3)

Observe que hemos simplificado los símbolos de la sumatoria; a menos que se indique otra cosa, todas las sumatorias son de i = 1 hasta n. Al fijar esas derivadas igual a cero, resultará en un mínimo Sr. Si se hace esto, las ecuaciones se pueden expresar como: 0 = ∑ yi − ∑ a0 − ∑ a1 xi

0 = ∑ yi xi − ∑ a0 xi − ∑ a1 xi2

(6.4) (6.5)

Ahora si hacemos que Σa0 = na0, podemos expresar las ecuaciones como un conjunto de dos ecuaciones lineales con dos incógnitas (a0 y a1): na0 + ( ∑ xi ) a1 = ∑ yi

(6.6)

(∑ x ) a + (∑ x ) a = ∑ x y i

2 i

(6.7)

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Éstas son llamadas ecuaciones normales, y pueden ser resueltas en forma simultánea: n∑ xi yi − ∑ xi ∑ yi a1 = , (6.8) n∑ xi2 − ( ∑ xi ) a0 = y − a1 x , donde y y x son las medias de y y x, respectivamente. 6.5. LINEARIZACIÓN DE RELACIONES NO LINEALES La regresión lineal proporciona una técnica poderosa que ajusta a la “mejor” línea los datos. Sin embargo, está predicha sobre el hecho de que la relación entre las variables dependientes e independientes es lineal. Éste no es siempre el caso, y el primer paso en cualquier análisis de regresión debería ser gratificar e inspeccionar en forma visual para asegurarnos si se puede usar un modelo lineal. Para otros, se puede usar transformaciones para expresar los datos en una forma que sea compatible con la regresión lineal. Un ejemplo es el modelo exponencial y = a1ebx, donde a1 y b son constantes. Otros casos se observan en la figura 8. 6.6. INTERPOLACIÓN Y APROXIMACIÓN POLINOMICA Usted a menudo habrá tenido la oportunidad de estimar valores intermedio entre datos precisos. El método más común que se usa para este propósito es la interpolación del polinomio. Recuerde que la formula general para un polinomio de n-ésimo orden es: f(x) = a0 + a1x + a2x2 +…+anxn. Para n+1 puntos, hay uno y sólo un polinomio de orden n que pasa a través de todos los puntos. Por ejemplo, hay una sólo una línea recta (es decir, un polinomio de primer orden) que conecta dos puntos (vea figura 9a). De manera similar, únicamente una parábola conecta un conjunto de tres puntos (ver figura 9b). Interpolación polinomial consiste determinar el único polinomio de n-ésimo orden que ajuste n+1 puntos. Este polinomio entonces proporciona una fórmula para calcular valores intermedios. Aunque hay uno y sólo un polinomio de n-ésimo orden que ajusta n+1 puntos, existe una variedad de formatos matemáticos en los cuales este polinomio puede expresarse.

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Figura 8. Ejemplo de interpolación polinomial: a) de primer orden (lineal) conectando dos puntos, b) de segundo orden (cuadrática o parabólica) enlazando tres puntos y c) de tercer orden (cúbica) conectando cuatro puntos.

y y=a2x

y=a1eb

Linearización

y = a3

Intercepto = Lna1

1/y Pendiente = b

Pendiente = b

Pendiente = b/a3 Log x

x d)

Log y

Lny

x b+ x

Linearización

Intercepto = Log a2

1/x f)

Intercepto = Log 1/a3

Figura 9. a) La ecuación exponencial, b) la ecuación por potencias, c) la ecuación de razón de crecimiento saturado. Los incisos d), e) y f) son versiones linearizadas de estas ecuaciones producto de transformaciones simples. Es muy común en las aplicaciones de la ingeniería requerir predicciones de un grupo de datos discretos. Una función de ajuste a los datos dados es una técnica muy común para resolver el problema y es conocida más como interpolación.

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Dentro de la interpolación existen muchos métodos de realizarla, los más usuales y sencillos son las aproximaciones algebraicas, es decir un conjunto de funciones de la forma P(x) = a0 + a1x + ... + anxn donde n es un entero no negativo y a0 ... an son constantes reales.

6.6.1. Polinomio de Taylor Condiciones para P(x): Puede aproximarse uniformemente a una función continua. En un intervalo dado existe un polinomio P(x) que está cerca de la función que se desee. Realizar aproximaciones con polinomios facilita el cálculo de derivadas e integrales en caso de necesitarlas. Teorema: El polinomio de enésimo grado que mejor se aproxima a la función f cerca de x0 tendrá tantas derivadas en x0 como sea posible que coincidan con las de f. Esto define prácticamente lo que se conoce como el polinomio de Taylor: P(x)= f(x0) + f’(x0)(x-x0) + f’’(x0)(x-x0)2/2! + ... + f(n)(x0)(x-x0)n/n!

(6.9)

Por tanto el polinomio de Taylor es muy útil para interpolar datos cuando de intervalos pequeños se trate, ya que se requiere el conocimiento de valores de la función f y sus derivadas en un punto muy cercano al punto de interés. 6.6.2. Polinomio de Lagrange Este técnica tiene la virtud de encontrar polinomios de aproximación que pueden determinarse son simplemente especificar algunos puntos en el plano por os cuales deben pasar. La idea general del polinomio de Lagrange es construir un polinomio a lo sumo de grado n que coincida con los n+1 puntos de f. Cada término del polinomio es básicamente el resultado de la construcción sucesiva de interpolaciones lineales. P(x)= Σ f(xk)Ln,k(x) donde Ln,k(x) = Π(x-xi)/(xk-xi) para cada i≠k

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6.6.3. Diferencias Dividas Esta técnica es útil para determinar una representación explícita de un polinomio interpolante a partir de datos tabulados. Son métodos de fácil computo y pueden usarse para aproximar derivadas e integrales. La fórmula de diferencia dividida interpolante de Newton parte del mismo polinomio interpolante de Lagrange, donde se redefine el polinomio P como: P(x) = f [x0] + Σ f [x0,x1,….,xk](x-x0)….(x-xk-1) donde f [xi,xi+1,....,Xi+k] = (f [xi+1,....,Xi+k] – f [xi....,Xi+k-1]) / (xi+k-xi)

(6.10)

Existen también dos versiones de esta fórmula que son las fórmulas de diferencia progresiva y regresiva de Newton. La primera se expresa como: n s  P (x ) = ∑  ∆k f (x 0 ) , donde (s k) es la notación de coeficiente binomial: k =0  k   s  s (s − 1)....(s − k + 1)   = . (6.11) k! k  La diferencia regresiva es análoga a la anterior fórmula: n − s  P (x ) = ∑ (−1) k  ∇ k f (x n ) k =0 k 

(6.12)

6.6.4 Interpolación de Hermite El polinomio interpolante de Hermite es el resultado de una generalización de los polinomios de Taylor y Lagrange mediante el concepto del os denominados polinomios osculantes. El polinomio de Hermite H(x) logra coincidir no solo con f en todos los puntos x0,x1,....xn sino también sus primeras derivadas. Condiciones Si f es continua y definida en [a,b] y x0,....xn pertenece a [a,b] y son distintos, el único polinomio de menor grado que coincide con f y f’ en x0,....,xn es un polinomio de grado a lo más 2n+1 tal que:

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j =0

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H 2n +1 (x ) = ∑ f (x j )H n , j (x ) + ∑ f ' (x j )Hˆ n , j (x ) H n , j (x ) = [1 − 2(x − x j )L 'n , j (x j )L2 n , j (x ) Hˆ n , j (x ) = (x − x j )L2 n , j (x )

(6.13)

Este método requiere determinar y evaluar los polinomios de Lagrange y sus derivadas, lo cual hace que le procedimiento sea tedioso, aún para valores pequeños de n. 6.6.5. Interpolación del Trazador Cúbico Los polinomios de grado mayor tienen naturaleza oscilatoria y fluctuaciones sobre una porción pequeña del intervalo estudiado puede inducir cambios muy grandes sobre un rango considerable, restringen el uso cuando se aproximan muchas de las funciones en situaciones físicas reales. La técnica llamada aproximación polinómica segmentaria busca resolver este problema dividiendo el intervalo de la función f en una colección de subintervalos y construir polinomios aproximadamente diferentes en cada uno. La aproximación de este tipo más empleada es la interpolación cúbica de trazador. Esta técnica requiere que en el intervalo el polinomio sea diferenciable continuamente y que además tenga segunda derivada. Pero a pesar de esta condición, el trazador cúbico no supone que las derivadas del interpolante coinciden con las de la función. Dada una función f definida en [a,b] y un conjunto de números, llamados los nodos, a=x0<x1<....<xn=b, un interpolante cúbico trazador, S, para f es una función que satisface las siguientes condiciones: a) S es un polinomio cúbico, denotado Sj, en el intervalo [xj,xj+1] para cada j=0,1,....n-1 b) S(xj) = f(xj) para cada j=0,1,….,n c) Sj+1(xj+1) = Sj(xj+1) para cada j=0,1,....,n-2 d) S’j+1(xj+1)=S’j(xj+1)= para cada j=0,1....,n-2 e) S’’j+1(xj+1)=S’’(xj+1) para cada j=0,1,....,n-2 f) Se satisface una del siguiente conjunto de condiciones de frontera i) S’’(x0) = S’’(xn)=0 frontera libre ii) S’(x0) = f’(x0) y S’(xn) = f’(xn) frontera sujeta

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6.7. RELACIONES Y FORMULAS IMPORTANTES Método Regresión lineal

Formulación y = a0 + a1x, donde, a1 =

n ∑ xi y − ∑ xi ∑ y i 2

n∑ xi − (∑ xi )

a 0 = y − a1 x Regresión polinomial

y = a0 + a1x + .... + amxm evaluación de las a equivalentes para la solución de m+1 ecuaciones algebraicas lineales.

Regresión lineal Múltiple

y = a0 + a1x1 + .... + amxm evaluación de las a equivalentes para la solución de m+1 ecuaciones algebraicas lineales.

Interpolación polinomial por diferencias divididas de Newton f2(x) = bo + b1(X-X0) + b2(X-X0) + b2(X-X0)(X-X1), en donde b0 = f(X0), b1 = f(X1, X0), b2 = f(X2, X1, X0). Interpolación polinomial de Lagrange  x − x1  x − x 2  f 2 ( x) = f ( x 0 ) − x x 1  x 0 − x 2  0

  x − x0  + f ( x1 )   x1 − x0

 x − x 2   x1 − x 2

  x − x0   + f ( x 2 )  x x − 1    2

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6.8. EJERCICIOS RESUELTOS 6.8.1. Linearización de una ecuación de potencias: ajustar la ecuación y = a2xb con los datos en la siguiente tabla mediante transformaciones logarítmicas de los datos. Solución. La figura 9a es una gráfica de los datos originales en su estado no transformado. La figura 9b muestra la gráfica de los datos transformados. Una regresión lineal de éstos mediante Log dan el resultado Log y = 1.75Log x – 0.300. Así, el intercepto, Log a2, igual –0.300, y por tanto, al tomar el antilogaritmo, a2 = 10-0.3 = 0.5. La pendiente es b2 = 1.75. En consecuencia, la ecuación de potencias es y = 0.5x1.75. x 1 2 3 4 5

y 0.5 1.7 3.4 5.7 8.4

Log x 0 0.301 0.477 0.602 0.699

Log y -0.301 0.226 0.534 0.753 0.922

6.8.2. Enunciado del problema. Determinar la concentración, en ppm, del ion yoduro presente en la sal de mesa a partir de la diferencia de potencial, en mV, obtenido de la muestra y la solución interna del electrodo ion específico. A partir de una solución stock de 1000 pmm de Yodo se prepararon 4 soluciones patrón de concentraciones 0,5 ppm, 2,5 ppm, 5 ppm y 10 ppm de Yodo y se procedió a determinar las variaciones de Potencial en milivoltios )mV0 siguiendo las especificaciones dadas por el INVIMA en el manual de Análisis Físico-químico de sal para consumo humano, obteniéndose las lecturas a una temperatura de 20 ± 0,2°C. De igual forma se preparó una muestra de sal determinándose también su potencial, información que se presenta a continuación: Concentración (C) Ppm I 0.5 2.5 5.0 10.0 M* M* Muestra de sal

Potencial (ν) mV -31.9 -73.1 -90.9 -108.7 -105.3

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A continuación se presenta la representación gráfica de los datos:

Potencial, mV

0 -20 0

2.5

7.5

-40 -60 -80 -100 -120

Concentración, ppm

Ya que la concentración de Yodo no puede obtenerse directamente de la medición de Potencial (ν), ya que el método potenciométrico directo es una función logarítmica (cumple con la ecuación de Nernst), se obtiene: ν, mV -31.9 -73.1 -90.9 -108.7

Log C -0.301 0.398 0.699 1.00 Se obtiene la siguiente recta:

Potencial, mV

-0.5

-20 0

0.5

-40 -60 -80 -100 -120

log C

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Interpolando directamente se obtiene que para ν=-105.3, Log C = 0.96, donde C = 9.12 ppm. Si la recta cumple la ecuación Y = m X + b, entonces: la relación entre la medida de potencial ν y la concentración C está dada por: ν = s Log C + νo donde: ν : Potencial medido con el electrodo, (mV) S : Pendiente (según ecuación de Nernst 2.303 RT/nF) C : Concentración de Yodo en ppm νo : Potencial estándar del electrodo (en mV) Esta ecuación es de la forma Y = a1 X + ao Realizando el ajuste por mínimos cuadrados de la recta se obtiene: Y = -58.976 log X – 49.729 Reemplazando para m = -105.3, X = 8.76 ppm. 6.8.3. Enunciado del problema. Ajuste a una línea recta los valores de x y y en las dos primeras columnas de la tabla que se muestra a continuación: xi 1 2 3 4 5 6 7 s

yi 0.5 2.5 2.0 4.0 3.5 6.0 5.5 24.0

(yi - y)2 8.5765 0.8622 2.0408 0.3265 0.0051 6.6122 54.2908 22.7143

(yi – a0 – a1xi)2 0.1687 0.5625 0.3473 0.3265 0.5896 0.7972 0.1993 2.9911

Solución. Se calculan las siguientes cantidades: n = 7, Σxiyi = 119.5, Σxi2 = 140, Σxi = 28,x = 28/4 = 4, Σyi = 24, x =24/7=3.428571 Mediante las ecuaciones ¿? y ¿?: a1 = 0.8392857; a0 = 0.07142857, por tanto el ajuste por mínimos cuadrados es y = 0.07142857 + 0.8392857x.

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6.9.

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AJUSTE DE CURVAS USANDO NUMERICALS 1.0

6.9.1. Enunciado del problema. Ajuste los datos de la tabla 1, eval煤e la funci贸n en x=5. x f(x) 3.0 2.5 4.5 1.0 7.0 2.5 9.0 0.5 Soluci贸n.

1.10288

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6.9.2. Enunciado del problema. Los siguientes datos se calcularon con la ecuación: y = 5 + 4x1 – 3x2 X1 X2 y 0 0 5 2 1 10 2.5 2 9 1 3 0 4 6 3 7 2 27 Use regresión lineal múltiple para ajustar los datos. Solución.

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6.9.3. Enunciado del problema. Ajustar a un polinomio de segundo orden los datos en las dos primeras columnas de la tabla 3. xi 0 1 2 3 4 5

yi 2.1 7.7 13.6 27.2 40.9 61.1

Soluci贸n.

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Pantalla de la computadora que muestra la gr谩fica de datos transformados que se usan para determinar los coeficientes de la ecuaci贸n de potencias.

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6.10. EJERCICIOS PROPUESTOS Reúnase en grupos de 4-5 y resuelvan los siguientes ejercicios : 6.10.1. Realice los siguientes problemas propuestos: a) Dados los datos: 0.90 1.32 1.96 1.85

1.42 1.35 1.47 1.74

1.30 1.47 1.92 1.65

1.55 1.95 1.35 1.78

1.63 1.66 1.05 1.71

2.29 1.82 2.06 2.14 1.27 Determine i) la media, ii) la desviación estándar, iii)la varianza, iv)el coeficiente de variación y v) el intervalo de confianza al 95% para la media. a) Use la regresión por mínimos cuadrados para ajustar a una línea recta a 1 4

x y

3 5

5 6

7 5

10 8

12 7

13 6

16 9

18 12

20 11

Junto con la pendiente y el intercepto, calcule el error estándar del estimado y el coeficiente de correlación. Grafique los datos y la línea recta de regresión. Después repita el problema, pero ahora haga la regresión de x contra y (es decir, cambie las variables). Interprete sus resultados. b) Adecue los siguientes datos a una ecuación a un modelo exponencial x y

0.4 750

0.8 1000

1.2 1400

1.6 2000

2.0 2700

2.3 3750

Grafique los datos y analice los resultados. 6.10.2. Usted realiza experimentos y determina los siguientes valores de capacidad calorífica C para varias temperaturas T de un gas: T, ºC -40 -20 10 70 100 120 1250 1280 1350 1480 1580 1700 C, kJ/kg·ºC Use regresión y determine un modelo para predecir C como una función de T.

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6.10.3. En la ingeniería de abastecimiento de aguas, el tamaño del reservorio depende de la estimación exacta del flujo de agua en el río del cual se toma. Para algunos ríos es difícil obtener registros históricos de muchos años atrás de tales datos de flujo. Por el contrario, datos metereológicos sobre la precipitación de muchos años atrás están a menudo disponibles. Por tanto, con frecuencia es útil determinar una relación entre flujo y precipitación. Esta relación se puede entonces usar para estimar flujos por años pero sólo cuando se hicieron dichas mediciones de precipitación. Para un río que se va encauzar a un dique, se tienen los siguientes datos: Precipitación, cm Flujo, m3/s

88.9

101.6 104.1 139.7 132.1

94.0 116.8 121.9 99.1

114.7 172.0 152.9 269.0 206.4

161

175.8 239.0 130

a. Grafique los datos. b. Ajuste a una línea recta los datos mediante regresión lineal. Sobreponga la línea de su gráfica. c. Use la mejor línea de ajuste para predecir el flujo de agua anual si la precipitación es de 120 cm. 6.10.4. El volumen en específico de un vapor sobrecalentado es enlistado en tablas de vapor para diferentes temperaturas. Por ejemplo, a una presión de 2950 lb/pulg2 absolutas: T, ºF v

700 0.1058

720 0.1280

740 0.1462

760 0.1603

780 0.1703

Determine v para T = 750 ºF. 6.10.5. La viscosidad del agua (µagua) y el aire (µaire) en centipoise (cp) a 1 atm de presión son enlistadas a continuación para distintas temperaturas: T, ºC 0 20 40 1.787 1.0019 0.6530 µagua, cp 0.01716 0.01813 0.01908 µaire , cp Determine µagua (45ºC) y µaire (30ºC).

60 0.4665 0.01999

80 0.3548 0.02087

100 0.2821 0.02173

AUTOEVALUACIÓN III

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Ubique correctamente los números de la derecha con su respectiva definición de la izquierda: St n −1 2. Ajusta polinomios a datos pero en forma de trozos. ∑ yi 3. y = n 4. Cuando se desconoce el orden apropiado de los polinomios. 5. Ajustar la mejor línea recta a través de un conjunto de datos. S 6. S y2 = t n −1 1. S y =

( ) Interpolación polinomial de Newton ( ) Regresión lineal ( ) Interpolación segmentaria ( ) Varianza ( ) Desviación estándar ( ) Media aritmética

La radiación (R) solar del Valle del Cauca, en 1998 ha sido tabulada como: Mes E R, 122 2 W/m Suponiendo la ecuación agosto.

F ---

M 188

A 230

M 267

J 270

J 252

A ---

S 196

O 160

N 138

D 120

que cada mes es de 30 días, ajuste a un sinusoide estos datos. Use resultante para predecir la radiación que habrá durante la mitad de

La concentración de fósforo total (p en mg/m3) y clorofila a (c en mg/m3) para cada uno de los Grandes Lagos es: p c Lago Superior 4.5 0.8 Lago Michigan 8.0 2.0 Lago Hurón 5.5 1.2 Lago Eire: Cuenca oeste 39.0 11.o Cuenca central 19.5 4.4 Cuenca este 17.5 3.8 Lago Ontario 21.0 5.5

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La clorofila a es un parámetro que indica cuánta vida de plantas está suspendida en el agua. Como tal, indica qué tan turbia y opaca parece el agua. Use los datos anteriores para determinar una relación c como una función de p. Use esta ecuación para predecir el nivel de clorofila que puede esperarse si el tratamiento de desechos es usado para disminuir la concentración de fósforo en la cuenca oeste del Lago Eire a 15 mg/m3. Tres organismos portadores de enfermedades decaen de manera exponencial en las aguas de un tanque de acuerdo con el siguiente modelo: p(t)= Ae-1.5t + Be-0.3t + Ce-0.05t Calcule la población inicial de cada organismo (A, B y C) dadas las siguientes mediciones: t, h p(t)

0.5 7

1 5.2

2 3.8

3 3.2

4 2.5

5 2.1

6 1.8

7 1.5

8 1.2

9 1.1

La viscosidad cinemática de un jarabe, ν, está relacionada con la temperatura en la siguiente forma: 0 4 T, °C -2 ν, (10 ) 1.792 1.5676 2 3 cm /s

8 1.3874

12 1.2396

16 1.1168

20 1.0105

24 0.9186

Grafique estos datos a) Use interpolación para predecir ν a T = 7.5 °C. b) Use regresión polinomial para ajustar una parábola a los datos para realizar la misma predicción.

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Isaac Newton (1642-1727) Matemático y físico británico, considerado uno de los más grandes científicos de la historia, que hizo importantes aportaciones en muchos campos de la ciencia. Sus descubrimientos y teorías sirvieron de base a la mayor parte de los avances científicos desarrollados desde su época. Newton fue, junto al matemático alemán Gottfried Wilhelm Leibniz, uno de los inventores de la rama de las matemáticas denominada cálculo. También resolvió cuestiones relativas a la luz y la óptica, formuló las leyes del movimiento y dedujo a partir de ellas la ley de la gravitación universal. La obra de Isaac Newton representa una de las mayores contribuciones a la ciencia realizadas nunca por un solo individuo. Entre otras cosas, Newton dedujo la ley de la gravitación universal, inventó el cálculo infinitesimal y realizó experimentos.

CAPITULO SIETE

SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES LINEALES SIMULTÁNEAS

Solución

ECUACIONES LINEALES ALGEBRAICAS Dadas las a y las c encontrar X tal que: a11X11 + a12X2 = c1 a21X22 + a22X2 = c2

X1 Estos problemas son semejantes a los anteriores en el sentido de que están relacionados con valores que satisfacen ecuaciones. El objetivo es solucionar un conjunto de ecuaciones algebraicas. Las ecuaciones lineales simultáneas surgen en el contexto de una variedad de problemas y en todas las disciplinas de la ingeniería.

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7.1. OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL Al completar la tercera unidad el estudiante será capaz de resolver problemas que involucran ecuaciones algebraicas lineales y valorará la aplicación de esas ecuaciones en muchos campos de la ingeniería. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Conocer cómo calcular el determinante usando la eliminación Gauss. Reconocer las diferencias entre los métodos de eliminación de Gauss y el de Gauss-Jordan y cual es más eficiente. Entender por qué el método de Gauss-Seidel es particularmente adecuado para grandes sistemas de ecuaciones dispersos. 7.2. TEMAS PARA CONSULTA 7.2.1. Eliminación de Gauss Solución de pocas ecuaciones Eliminación gaussiana simple Inconvenientes de los métodos de eliminación Técnicas de mejoramiento en las soluciones 7.2.2. Gauss-Jordan e inversión de matrices y Gauss-Seidel Método de Gauss-Jordan Inversión de Matrices Iteración de Gauss-Seidel

7.3. SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Los Sistemas de Ecuaciones Lineales SEL son muy comunes en los problemas de ingeniería y ciencias básicas ya que por medio de ellos se expresan muchos fenómenos físicos y químicos. Un sistema lineal n*n en general se escribe como: A1: A2: An:

a11x1 + a12x2 + .... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + .... + a2nxn = b2 .... an1x1 + an2x2 + .... + annxn = bn

Un SEL puede también expresarse en forma matricial A, tal que:

(7.1)

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a 11 a 12 a a 22 A =  21  .... .....  a n 1 a n 2

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.... a 1m  .... a 2m  .... ....   .... a nm 

(7.2)

para x1,....xn dadas las aij para cada i,j=1,2,....,n y las bij para cada i=1,2,....n y n=m-1. Existen métodos directos y otros que emplean técnicas de álgebra lineal. Entre los métodos directos se destacan los métodos gaussianos y entre los métodos de álgebra lineal, el más común es el que emplea la inversa. 7.3.1. Eliminación Gaussina Para resolver un problema SEL de forma directa el método de eliminación Gaussiana permite encontrar la solución al problema en un numero fijo de pasos, aplicando lo que se conoce como operaciones de renglón o de ecuación. En un SEL son permitidas tres operaciones de renglón o de ecuación: • La ecuación Ai puede multiplicarse por cualquier constante λ diferente de cero y se puede usar la ecuación resultante en lugar de Ai. Esta operación se denota como (λAi)→(Ai). • La ecuación Aj puede multiplicarse por cualquier constante λ,sumarla a la ecuación Ai y usar la ecuación resultante en lugar de Ai. Esta operación se denota como (Ai + λAj)→(Ai). • Las ecuaciones Ai y Aj se pueden intercambiar., es decir, (Aj)→(Ai) Por medio de una secuencia de las operaciones anteriores un SEL se puede transformar a un sistema lineal mucho más fácil de resolver. Este sistema lineal más sencillo puede representarse matricialmente como A’, tal que: a '11 a '12 .... a '1n a '1m   0 a' .... a ' 2n a ' 2m  22 (7.3) A' =   .... ..... .... .... ....    0 .... a 'nn a 'nm   0 cada a’ij de la matriz A’ es el resultado de las sucesivas operaciones de renglón realizadas sobre los coeficientes originales aij y el método se llama sustitución hacia atrás por que precisamente puede resolverse de forma encadenada de la última ecuación (renglón) hacia arriba.

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7.3.2. Metodo de la Inversa de una Matriz Un sistema lineal SEL y el álgebra lineal tienen estrecha relación. Sea el sistema, a11x1 + a12x2 + .... + a1nxn = b1 a21x1 + a22x2 + .... + a2nxn = b2 …. an1x1 + an2x2 + .... + annxn = bn

(7.4)

este mismo sistema puede representarse de la forma Ax = B, donde: a 11 a 12 a a 22 A =  21  .... .....  a n 1 a n 2

.... a 1n  x1   b1     b  .... a 2n  x2  , x = , B =  2.  ....   ....  .... ....       .... a nn  x n  b n 

(7.5)

Si A es una matriz no singular entonces se garantiza que la solución del sistema dada por x se puede escribir como x = inv(A)*B donde inv denota la operación de la inversa de una matriz. Este último método no es tan recomendado ya que el número de operaciones por realizar par el cálculo de la inversa matricial es muy alto comparado con el método Gaussiano. 7.3.3. Metodo del Determinante de una Matriz El método de mejor desempeño del álgebra lineal para la solución de un SEL n*n es el método del determinante. Si A es un matriz de n*n y representa un SEL entonces: • el menor Mij es el determinante de la submatriz de (n-1)*(n-1) de una matriz A obtenido suprimiendo el i-ésimo renglón y la j-ésima columna. • cofactor Aij, asociado con Mij se define como Aij=(-1)i+jMij. • determinante de una matriz A de n*n donde n>1 esta dada ya sea por: n

det A = ∑ a ij Aij para cualquier i=1,2,....,n j =1 n

det A = ∑ a ij Aij para cualquier j=1,2,....,n i =1

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Si la matriz A es no singular entonces su deterinanate cumple que det A ≠ 0. El métod del determinante aplica elconcepto dela REGLA DE CRAMER. Esta regla realiza una sustitución especial talque un sistema Ax=B puede resolver como:  .a 11 a 1 x i = det  21  .... D  .a n 1 ...

.... .... .... ....

b1 b2 .... bn

.... a 1n  ....a 2n  .... ....   ....a nn 

(7.6)

donde D = det A y para cada solución Xi, se realiza una sustitución de la i-ésima columna por el vector columna B. Este método requiere de n! multiplicaciones/divisiones y de n!-1 sumas/restas, un número de operaciones muy inferior al número de operaciones usuales de una inversa.

7.4. SISTEMAS NO LINEALES DE ECUACIONES La forma más general de representar un sistema de ecuaciones no lineales es: f1(x1,....,xn)=0 f2(x1,....,xn)=0 .... (7.7) fn(x1,....,xn)=0 donde cada función fi puede interpretarse como un mapeo de un vector x = (x1,x2,....,xn)t del espacio n-dimensional Rn en la recta real R. De este modo el sistema puede representarse como F tal que: F(x1,....xn) = (f1(x1,....xn), f2(x1,….xn),...., fn(x1,....,xn))t ó, F(x)=0, ó  x 1,1 X 1, 2 .... x 1,n  x x 2, 2 .... x 2,n  2 ,1  (7.8) F =  .... .... .... ....    x n ,1 x n , 2 ..... x n ,n  El índice fila representa la ecuación a la cual pertenece la x j-ésima variable mientras el índice columna representa la variable en la i-ésima ecuación. Un sistema de ecuaciones son lineales puede ser resuelto por métodos numéricos que por lo general son generalización del método de newton para solución de ecuaciones de una variable.

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7.4.1. Metodo de Newton El método de Newton se basa en el concepto de la convergencia de un punto fijo, que para este caso particular se puede hacer la analogía con un vector G. La ecuación a resolver es: G(x) = x – J(x)-1 F(x), donde x es el vector representativo de las variables (x1,....xn) y J es el Jacobiano de x. En un esquema iterativo esta ecuación puede escribirse como: Xk(x) = xk-1 – J(x)-1(k-1) F(x)(k-1). Esta ecuación resuelta de forma iterativa como el método clásico de Newton permite encontrar una solución para F(x)=0 siempre y cuando se conozca un punto inicial y la inversa de cada Jacobiano J(x)-1 exista. La técnica de solución que se sigue es exactamente igual al caso de método de Newton clásico. 7.4.2. Metodo de Broyden Este método es una generalización del método de la secante utilizado para resolver ecuaciones de una sola variable y tiene la ventaja de menores requerimientos en el número de cálculos. Esta técnica calcula la primera iteración de la forma empleada pro el método de Newton que se definió en el ítem anterior. Pero para la segunda iteración se tiene que el principio del método de la secante simplifica el tedioso cálculo del Jacobiano J mediante le cálculo de una Matriz A. Para la primera iteración : X1(x) = x0 – J(x)-1(0) F(x)(0) Para las demás iteraciones : Xk(x) = xk-1 – A(x)-1(k-1) F(x)(k-1) donde k=1,....,n; donde, (y − Ai −1S i ) t Ai = Ai −1 + i Si 2 Si ;

x (i +1) = x (i ) − Ai −1F (x (i ) ) y i = F (x (i ) − F (x (i −1) ) Si = X

(i )

− x (i −1)

7.4.3. Técnicas de Descenso Rápido La rapidez de convergencia es la ventaja más prominente de los método Newtonianos, pero la desventaja radica en que se requiere siempre un punto inicial para su solución, la cual influye de sobremanera en la velocidad de convergencia del método

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La técnica de descenso rápido es una técnica auxiliar de los métodos newtonianos que se utiliza para encontrar una aproximación inicial adecuada. Sea un sistema de ecuaciones no lineales,

f1(x1,....,xn)=0 f2(x1,....,xn)=0 ... fn(x1,....,xn)=0

(7.10)

se tiene una solución en x= (x1,....,xn)t y es allí donde una función G existe y se cumple que: G(x1,....,xn) = Σ [ fi (x1,….,xn)]2 El método consiste también en una estrategia iterativa que se resuelve basado en la ecuación: Xk(x) = xk-1 – α∇G(x (k-1)) (7.11) El método busca evaluar consecutivamente G partiendo de un punto arbitrario y avanzar en la dirección que signifique un descenso en el valor G (en la dirección opuesta al gradiente de G) hasta que se cumpla una tolerancia determinada.

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7.5.

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SOLUCIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES SIMULTANEAS LINEALES Y NO LINEALES POR NUMERICALS 1.0.

7.5.1. Enunciado del problema. Use la técnica de Gauss-Jordan para resolver el sistema: 3x1 – 0.1x2 – 0.2x3 = 7.85 0.1x1 + 7x2 – 0.3x3 = -19.3 0.3x1 – 0.2x2 + 10x3 = 71.4 Solución.

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7.5.2. Enunciado del problema. Use un método para determinar las raíces del siguiente sistema de ecuaciones no lineales: x2 + xy = 10 y + 3xy2 = 57 Solución.

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7.6.

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RELACIONES Y FORMULAS IMPORTANTES

Eliminación de Gauss  a11 a12  a21 a22  a31 a32

a11 a12 c1    c2  ⇒  a22  c3 

a13 a23 a33

c x3 = 3 c1  a33  x2 = (c2 − a23 x3 ) / a22 c2  ⇒ x1 = (c1 − a12 x1 − a13 x3 ) / a11 c3 

Método de Gauss-Seidel x1i = (c1 − a12 x2i −1 − a13 x3i −1 ) / a11  i −1  x − xii −1 x2i = (c2 − a21 x1i − a23 x3i −1 ) / a22  i 100% < ε s x i x3i = (c3 − a31 x1i − a32 x2i ) / a33  7.7. EJERCICIOS PROPUESTOS 7.7.1. Vea sus libros de texto de ingeniería o publicaciones internacionales y busque dos casos en que técnicas numéricas para resolver un sistema de ecuaciones lineales simultáneas. 7.7.2. En la figura se muestra tres reactores unidos por tuberías. Como se indica, la razón de transferencia de químicos a través de cada tubería es igual al flujo volumétrico (Q, con unidades de metros cúbicos por segundo) multiplicado por la concentración del reactor donde se origina el flujo (C, con unidades de miligramo por metro cúbico). Si el sistema se halla en un estado estable, la transferencia hacia cada reactor equilibrará la transferencia de salida. Desarrolle ecuaciones de balance de masa para los tanques y resuelva las tres ecuaciones algebraicas lineales simultáneas para sus concentraciones. Q13C1 400mg/s

Q33C3

Q12C1

Q23C2 Q21C2

200 mg/s

Q33=120 Q13=40 Q12=80 Q23=60 Q21=20

Tres tanques conectados por tuberías. 7.7.3. Use técnicas iterativas refinadas para mejorar x1=2, x2=-5 y x3=12, las cuales tienen soluciones aproximadas de: (1) 2X1 + 4X2 + X3 = -5 ; (2) 5X1 + 2X2 + X3 = 12; (3) X1 + 2X2 + X3 = 3

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AUTOEVALUACIÓN IV Responda brevemente las siguientes cuestiones: a) En que consiste la notación matricial y a que se le conoce como vector? b) Cuáles son las principales reglas para la operación de matrices? c) Qué es un problema mal acondicionado y que lo origina? Un conjunto de ecuaciones lineales no siempre puede resolverse numéricamente. Los siguientes tres conjuntos de ecuaciones son ejemplos sencillos pero importantes: a) -x + y = 1 b) -x + y = 2 c) x + 2y = -3 -5x + 5y = 5 -x + y = 0 -x + y = 1 2x - y = 0 Cuál es la explicación en estos casos. Sugerencia: grafique las ecuaciones de cada uno de estos conjuntos. Calcular la cantidad de vapor que se necesita en un evaporador de doble efecto en contracorriente (Ver figura No. 5) para concentrar un alimento líquido desde 11% de sólidos totales hasta un 50%. La velocidad de alimentación es de 10000 kg/h a 20ºC. La ebullición del líquido dentro del segundo efecto tiene lugar en vacío a 70ºC. El vapor se suministra al primer efecto a una presión de 198.5 kPa. El condensado es descargado del primer efecto a 95ºC y del segundo efecto a 70ºC. El coeficiente global de transmisión de calor en el primer efecto es de 1000 W/m2·ºC y en el segundo efecto de 800 W/m2·ºC. Los calores específicos del alimento líquido son 3.8, 3.0 y 2.5kJ/kg·ºC al principio, en la parte media y al final, respectivamente. Suponer que las áreas y los gradientes de temperatura son iguales en ambos efectos. m& s , Ts

Limite del sistema

m& v1

m& v ,T2

T2 U2, A2

U1, A1

m& f 1 , x f 1

m& p , T2 , x p

m& f , Ts , x f Figura No. 5. Esquema de un evaporador de doble efecto

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Como su nombre implica, la polución de aire entrante tiene que ver con la contaminación encerrada en espacios tales como casas, oficinas, áreas de trabajo, etcétera. Suponga que se diseña un sistema de ventilación para un restaurante como se muestra en la figura de la vista aérea. El área de servicio del restaurante consiste en dos cuartos cuadrados y uno alargado. El cuarto 1 y el 3 tienen fuentes de monóxido de carbono, de los fumadores y una parrilla. Se puede escribir balances de masa en estado estable para cada cuarto. Por ejemplo, para la sección de fumadores (cuarto 1), el balance se escribe como: 0 = Wfumador + Qaca – Qac1 + E13(c3 – c1) 0 = (carga) + (entrada) – (salida) + (mezcla) o sustituyendo los parámetros 225c1 – 25c3 = 1400 Se puede escribir balances en forma similar para los otros cuartos. a) Resuelva para la concentración, en estado estable, de monóxido de carbono en cada cuarto. b) Determine qué porcentaje de monóxido de carbono en la sección de niños es a causa de: i) los fumadores, ii) la parrilla y iii) el aire que entra por ventilación. Qc=150 m3/h

Cb=2 mg/m3

Qa=200 m3/h 3

Ca=2 mg/m

25 m3/h

50 m3/h

Qb=50 m3/h

Qd=100 m3/h

(Sección de niños)

1 (Sección de fumar)

25 m3/h

Carga por fumadores 1000 mg/h

Carga por la parrilla 2000 mg/h

Figura: Vista aérea de los cuartos en un restaurante. Las flechas en un sentido representan los flujos de aire volumétricos, mientras que las flechas en ambos sentidos representan la mezcla difusa. Las cargas debido al humo y a la parrilla agregan masa de monóxido de carbono al sistema pero con entrada de aire insignificante.

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Carl Friedrich Gauss

El matemático alemán Carl Friedrich Gauss contribuyó al estudio de diversas ramas de las matemáticas, incluidas la teoría de la probabilidad y la geometría. En su tesis doctoral demostró que cada ecuación algebraica tiene al menos una raíz o solución. Este teorema se sigue denominando teorema fundamental del álgebra. Gauss aplicó también sus trabajos matemáticos a la electricidad y el magnetismo. Una unidad de inducción magnética recibe su nombre.

CAPÍTULO OCHO ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

t ti

ti+1

TRATAMIENTO NUMÉRICO DE ECUACIONES DIFERENCIALES Dada: dy ∆y ≅ = f (t , y ) , dt ∆t encontrar yi+1 = yi + f(ti, yi)∆t para y con una función de t

Las ecuaciones diferenciales tienen un gran significado en la práctica de la ingeniería, ya que varias leyes físicas están expresadas en términos de la razón de cambio de una cantidad más que en términos de su magnitud.

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8.1. OBJETIVOS OBJETIVO GENERAL Al completar la sexta unidad, el estudiante debe aumentar de manera notoria su capacidad para enfrentar y resolver ecuaciones diferenciales ordinarias y problemas de valores propios. Las metas de estudio en general deberían incluir el poder seleccionar el mejor método (o métodos) para cualquier problema en particular de aplicación en ingeniería. OBJETIVOS ESPECÍFICOS Conocer la relación del método de Euler con la expansión de la serie de Taylor y el conocimiento que esto proporciona con respecto al error del método. Reconocer el orden y la dependencia del tamaño de paso de los errores de truncamiento global para todos los métodos descritos; entender cómo dichos errores tienen que ver con la exactitud de las técnicas. Identificar la forma general de los métodos de Runge-Kutta. Entender la deducción del método RK de segundo orden y como se relaciona con la expansión en serie de Taylor; darse cuenta de que hay un número infinito de versiones posibles para los métodos RK de segundo orden y superiores. Saber aplicar cualquier método de RK a sistemas de ecuaciones; poder reducir una EDO de n-ésimo orden a un sistema de n EDO de primer orden. Conocer la diferencia entre los métodos de multipaso y de un paso; darse cuenta que todos los métodos multipaso son predictor-corrector, pero no a la inversa. Saber lo racional detrás de los métodos de polinomios y los de potencia para determinar valores propios, en particular reconocer sus fortalezas y limitaciones. 8.2.TEMAS PARA CONSULTA 8.2.1. Métodos de un paso. Método de Euler. Método de Euler modificado. Métodos de Runge-Kutta. Sistemas de ecuaciones. 8.2.2. Métodos de pasos múltiples. Un enfoque simple de pasos múltiples. Fórmulas de integración.

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8.3. INTRODUCCIÓN TEÓRICA En el primer capítulo del modulo derivamos la siguiente ecuación basada en la segunda ley de Newton para calcular la velocidad v del paracaidista en caída como una función del tiempo t. dv c =g− v (1.4) dt m donde g es la constante gravitacional, m es la masa y c es el coeficiente de arrastre. Tales ecuaciones, que se componen de una función desconocida y de sus derivadas, son llamadas ecuaciones diferenciales. La ecuación 1.4 es algunas veces conocida como ecuación de razón, ya que expresa la razón de cambio de una variable como una función de las variables y de los parámetros. Tales ecuaciones desempeñan un papel importante en ingeniería debido a que muchos fenómenos físicos son en el contexto matemático mejor formulado en términos de su razón de cambio. En la ecuación 1.4, la cantidad que habrá de ser diferenciada, v, es conocida como variable dependiente. La cantidad con respecto a la cual v es diferenciada, t, se conoce como variable independiente. Cuando la función involucra una variable independiente, la ecuación es llamada ecuación diferencial ordinaria (o EDO). Esto contrasta con una ecuación diferencial parcial (o EDP) que involucra dos o más variables independientes. Las ecuaciones diferenciales se clasifican también en cuanto a su orden. Por ejemplo, la ecuación 1.4 se conoce como ecuación de primer orden, ya que la derivada más alta es una primera derivada. Una ecuación de segundo orden podría incluir una segunda derivada. Por ejemplo, la ecuación que describe la posición x de un sistema masa-resorte con amortiguamiento es la ecuación de segundo orden: d 2x dx m 2 + c + kx = 0 (8.1) dt dt donde c es un coeficiente de amortiguamiento y k es una constante del resorte. De manera similar, una ecuación de n-ésimo orden podría incluir una n-ésima derivada. 8.3.1. Método para resolver EDO sin el uso de computadora. Sin una computadora, las EDO se resuelven con frecuencia con técnicas de integración analítica. Por ejemplo, la ecuación 1.4 se podría multiplicar por dt e integrarse para obtener:

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c v dt (8.2) m El lado derecho de esta ecuación se conoce como integral indefinida debido a que los límites de integración no están especificados. Una solución analítica para la ecuación anterior 8.2, se obtiene si la integral indefinida puede evaluarse en forma exacta como una ecuación. Por ejemplo recuerde que para el problema del paracaidista en caída, la ecuación 1.3 se resolvió analíticamente con la ecuación 1.5, (suponga que v=0 en t=0): gm v(t ) = 1 − e− (c / m)t ) (1.5) ( c Dado que las soluciones exactas para muchas EDO de importancia práctica no están disponibles, los métodos numéricos ofrecen la única alternativa viable para esos casos. Como esos métodos numéricos por lo común requieren de computadoras, antes del auge de éstas los ingenieros se hallaban limitados en el alcance de sus investigaciones. v=

g−

8.3.2. EDO y práctica de la ingeniería Las leyes fundamentales de la física, mecánica, electricidad y termodinámica están basadas con frecuencia en observaciones empíricas que explican variaciones en las propiedades físicas y estados de los sistemas. Más que en describir directamente el estado de los sistemas físicos, las leyes se usan a menudo en términos de los cambios espacial y temporal, por ejemplo: Ley Expresión matemática Segunda ley de Newton del dv F = movimiento dt m Ley del calor de Fourier dT q = −k dx Ley de difusión de Fick Ley de Faraday (caída de voltaje a través de un inductor)

J = −D

dc dx

∆VL = L

di dt

Variables y parámetros Velocidad (v), fuerza (F) y masa (m) Flujo de calor (q), conductividad térmica (k) y temperatura (T) Flujo másico (J), coeficiente de difusión (D) y concentración (c) Caída de voltaje (∆Vij), inductancia (L) y corriente (i)

Ejemplos de las leyes fundamentales que se escriben en términos de la razón de cambio de variables (t = tiempo y x = posición).

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Esas leyes definen mecanismos de cambio. Cuando se combinan con las leyes de conservación de la energía, masa o momentum, resultan ecuaciones diferenciales. La integración subsecuente de estas ecuaciones diferenciales originan funciones matemáticas que describen el estado espacial y temporal de un sistema en términos de variaciones de energía, masa o velocidad. El problema del paracaidista en caída introducido en el primer capítulo es un ejemplo de la derivación de una ecuación diferencial ordinaria a partir de una ley fundamental. Recuerde que la segunda ley de Newton se usó para desarrollar una EDO que describe la razón del cambio de velocidad de un paracaidista en caída. Al integrar esta relación obtenemos una ecuación para predecir la velocidad de caída como una función del tiempo (Véase figura 7). Esta ecuación se podría utilizar en diferentes formas, entre ellas para propósitos de diseño.

Ley física

F = ma

dV C =g− V dt m Solución analítica

V (t ) = (

gm ) 1− e C

C −( )t m

EDO Solución numérica

v(ti +1 ) = v(ti ) + g −

C v(ti ) (ti +1 − ti ) m

Solución

Figura No. 10. La secuencia de eventos en la aplicación de EDO para resolver problemas de ingeniería. El ejemplo mostrado es la velocidad de un paracaidista en caída libre. De hecho, tales relaciones matemáticas son la base para la solución de un gran número de problemas de ingeniería. Sin embargo, como se describió en la sección anterior, muchas ecuaciones diferenciales de importancia práctica no se pueden resolver mediante métodos analíticos de cálculo. Así, los métodos que se analizan en los siguientes capítulos son extremadamente importantes en todos los campos de la ingeniería.

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8.4. Antecedentes matemáticos Una solución de una ecuación diferencial ordinaria es una función específica de la variable independiente y de parámetros que satisfacen la ecuación diferencial original. Aunque podemos determinar una ecuación diferencial dando a la función original, el objetivo aquí es determinar la función original dada la ecuación diferencial. La función original entonces representa la solución. Podemos determinar esta solución de manera analítica aplicando las reglas de integración. En el curso de diferenciación y después de la integración, perdemos el valor constante de la primera integral en la ecuación original y ganamos el valor C. Esta es llamada constante de integración. El hecho de que aparezca esa constante arbitraria indica que la solución no es única. De hecho, lo es pero el número infinito de funciones posibles (correspondiente a un número infinito de posibles valores de C) que satisfacen la ecuación diferencial. Por tanto, para especificar la solución por completo, la ecuación diferencial comúnmente se encuentra acompañada por condiciones auxiliares. Para las EDO de primer orden, un tipo de condición auxiliar llamada valor inicial es requerida para determinar la constante y obtener una solución única. Las condiciones iniciales usualmente tienen interpretaciones muy tangibles para las ecuaciones diferenciales derivadas de las condiciones de problemas físicos. Por ejemplo en el problema del paracaidista en caída, la condición inicial fue un reflejo del hecho físico de que en el tiempo cero la velocidad vertical fue cero. Si el paracaidista hubiese estado en movimiento vertical en el tiempo cero, la solución debería haberse modificado para tomar la velocidad inicial. Cuando tratamos una ecuación diferencial de n-ésimo orden, se requiere de n condiciones para obtener una solución única. Si se especifican todas las condiciones en el mismo valor de la variable independiente (por ejemplo, en x o t = 0), entonces al problema se le conoce como problema de valor inicial. 8.5. ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Existen muchos métodos para calcular de forma explícita diferentes tipos de ecuaciones diferenciales, pero en la práctica pocos casos pueden resolverse de esta manera. En análisis numérico el problema de solucionar ecuaciones diferenciales o sistemas de ecuaciones diferenciales se reduce al concepto del problema del valor inicial. El problema del valor inicial se puede expresar de forma generalizada como:

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( ,

,....,

)

,....,

)

,....,

)

( ,

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(8.3)

.... =

para a ≤ t ≤ b y sujeto a las condiciones iniciales y1(a) = α1, y2(a) = α2, .... , yn(a) = αn 8.5.1. Método de Euler Este método es una aproximación al problema de valor inicial donde no se busca una aproximación continua de la solución y(t), sino más bien generar aproximaciones en varios puntos dentro del intervalo [a,b]. El método de Euler es otro método iterativo que se construye par N+1 puntos dentro del intervalo [a,b] y se define mediante la expresión: w0 = α wi+1 = wi + h f (ti, wi) para i=1,….,N. donde h =(b-a)/N es el tamaño de paso. Mediante una adecuada definición del tamaño de paso (lo más pequeña posible) se puede asegurar que la aproximación del método será más o menos buena. 8.5.2. Métodos de Runge-Kutta Los métodos de Runge-Kutta son métodos iterativos basados en una generalización de los polinomios de Taylor de grado n. Le tiempo de cálculo no es demasiado comparado con otros métodos iterativos basados en los mismo principios y tiene cuatro versiones conocidos como órdenes. Los métodos de Runge-Kutta, a diferencia de los métodos Taylor, evitan el cálculo de derivadas y lo simulan mediante el llamado método del punto medio. Cada orden del método de Runge-Kutta emplea más parámetros para el cálculo aproximado de las derivadas y el más empleado es el método de cuarto orden. Este método simplificadamente puede escribirse para una iteración de un variable w dada, como:

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w0=α k1 = h f(ti, wi) k2 = h f(ti+h/2, wi+1/2k1) k3 = h f(ti+h/2, wi+1/2k2) k4 = h f(ti+1.wi+k3) wi+1= wi+1/6 (k1+2k2+2k3+k4) para cada i = 0,1,….,N-1. 8.6.

SOLUCIÓN DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS USANDO NUMERICALS 1.0.

Enunciado del problema. En el software Numericals 1.0 de análisis numérico, se tiene un programa de computo de uso amigable para implementar el método de Runge-Kutta de cuarto orden a sistemas. Este software es conveniente para comparar diferentes modelos de un sistema físico. Por ejemplo, un modelo lineal para un péndulo oscilante está dado por: dy1/dx = y2; dy2/dx = -16.1y1; donde y1 y y2 son el desplazamiento angular y velocidad, respectivamente. Un modelo no lineal del mismo sistema es: dy3/dx = y4; dy4/dx = -16.1sen(y3), donde y3 y y4 son el desplazamiento y velocidad para el caso no lineal. Use el software Numericals 1.0 para solucionar estos sistemas en dos casos: a) Un pequeño desplazamiento inicial (y1=y3= 0.1 radianes; y2 = y4 = 0). b) Un gran desplazamiento (y1 = y3 = π/4 = 0.785398 radianes; y2 = y4 = 0). Solución. a)

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Los resultados calculados para los modelos lineal y no lineal son casi idénticos. Esto cumple las expectativas debido a que cuando el desplazamiento inicial es pequeño, seno(θ) ≅ θ. [Observe la escala de la ordenada, (-0.53812, 0.52693)].

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Cuando el desplazamiento inicial es π/4 = 0.785398, las soluciones son mucho más distintas y la diferencia es magnificada en tanto el tiempo sea cada vez mayor. Esto se esperaba, ya que la suposición de que seno(θ) ≅ θ es pobre cuando theta es grande. [Observe la escala de la ordenada, (-4.22639, 4.13855)].

8.7.

EJERCICIOS PROPUESTOS

Reúnase en grupos y resuelvan los siguientes ejercicios: 8.7.1. Elabore un resumen de las relaciones y fórmulas importantes consultadas para el desarrollo de la unidad seis. 8.7.2. Proporcione un ejemplo de un problema de aplicación al procesamiento de alimentos donde pueda utilizar cada uno de los tipos de métodos numéricos, consultados en el numeral anterior (11.1). De ser posible remítase a sus propias experiencias en cursos, conferencias u otras prácticas profesionales que haya acumulado hasta la fecha. 8.7.3. Resuelva el siguiente problema de valor inicial para el intervalo que va de x = 0 a 2, donde y(0)=1: dy = yx 2 − 1.2 y dx a) Analíticamente, grafique la solución. b) Use el método de Euler con h=0.5 y 0.25. c) Use el método de punto medio con h=0.5 y 0.25. d) Use el método de Heun con h=0.5, itere con ∆s=1%. e) Use el método clásico de RK de cuarto orden con h=0.5.

8.7.4. Dada

dx1 = 999 x1 + 1999 x 2 dt dx 2 = 1000 x1 − 2000 x 2 dt

Si x1(0) = x2(0) = 1, obtenga una solución de t = 0 a 0.2 mediante un tamaño de paso de 0.05 con los métodos de Euler a) explícito, b) implícito.

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8.7.5. La razón de flujo de calor (conducción) entre dos puntos sobre un cilindro calentado en un extremo, está dada por: dQ dT = λA dt dx donde, λ = Constante, A = área de la sección transversal del cilindro, Q = flujo de calor, T = temperatura, t = tiempo y x = distancia desde el extremo calentado. Como la ecuación involucra dos derivadas, la simplificaremos al realizar: dT 100( L − x)(20 − t ) = dx 100 − xt donde L es la longitud de la barra. Combine las dos ecuaciones y calcule el flujo de calor para t = 0 a 25 s. La condición inicial es Q(0) = 0 y los parámetros son λ = 0.4 cal·cm/s, A = 10 cm2, L = 20 cm y x = 2.5 cm. Trace la gráfica de sus resultados.

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AUTOEVALUACIÓN •

Dilución de una solución salina.

Se disuelven 1.5 kg de sal en agua para hacer 100 litros. Al tanque que contiene esta disolución se alimenta agua pura a una velocidad de 5 litros/min, de manera que la solución salina sale del tanque con la misma velocidad. El tanque se encuentra en mezcla perfecta (Ver Figura No. 8). a) ¿Cuánta sal existe en el tanque al cabo de 15 minutos? Supóngase que la velocidad de la disolución salina es constante e igual a la del agua. b) Incluir el efecto de la reacción. Suponer que dentro del tanque existe una reacción que consume sal a una velocidad que viene expresada por una ecuación de primer orden: r = k1CA, donde k1 es la constante de reacción de primer orden y CA la concentración de sal en el tanque. Obténgase una expresión para CA en función del tiempo. Si k1 = 0.002 min-1, ¿Cuánto tiempo se necesita para que la concentración de sal sea 1/120 de su valor inicial?. Agua 5 l⋅min-1

Solución salina 5 l⋅min-1

V CA ρ

Límite del sistema

Figura No. 8. Tanque de mezcla perfecta para la dilución de una solución salina. •

Producción de concentrado de proteína de pescado.

Para la producción de pasta proteínica se seca el pescado entero destripado en un secadero discontinuo. La velocidad a la que se alimenta el agua del pescado es

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proporcional al contenido en humedad. Si en un proceso el pescado pierde la mitad de su humedad inicial en los primeros 20 minutos, ¿cuánto tardará el secadero en eliminar el 95% del agua?. •

Contaminación de aceite vegetal.

Se está utilizando aceite vegetal en una fábrica de procesado de alimentos para la preparación de trocitos de pan tostado. El aceite se calienta en un tanque agitado y durante el proceso de tostación se bombea aceite dentro del tanque a una velocidad de 4.8 l h-1. Durante el turno de noche, que comienza a las 8 de la noche, el tanque se conecta por error a un tambor de aceite de hígado de bacalao y se bombea éste dentro del tanque. El volumen del aceite vegetal en el tanque a las 8 de la noche es de 60 l. a) Si el caudal de aceite de hígado de bacalao en el tanque es 7.5 l h-1 y el tanque tiene una capacidad máxima de 100 l, ¿se sobrará el tanque antes de que el encargado de la fábrica llegue a las 9 de la mañana? Suponer que la densidad de ambos aceites es la misma. b) Si el aceite de hígado de bacalao se bombea dentro del tanque a una velocidad de 4.8 l h-1 en vez de 7.5 l h-1, ¿cuál será la composición del aceite en el tanque a medianoche?. •

Un rastreador conservativo.

Un ingeniero agrónomo está interesado en estimar el mezclado que ocurre entre un lago estratificado y un remanso adyacente (véase Figura No. 9). Un rastreador conservativo es mezclado instantáneamente con el agua de la bahía, y después se monitorea la concentración del rastreador para un tiempo seguro en los tres segmentos. Los valores son: t

16 12

c3 100 48 28 17 11

12 16 20

Usando balances de masa, se puede modelar el sistema como las siguientes EDO simultáneas: dc V1 1 = −Qc1 + E12 (c2 − c1 ) + E13 (c3 − c1 ) dt

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dc2 = E12 (c1 − c2 ) dt dc V3 3 = E13 (c1 − c3 ) dt donde, Vi = volumen del segmento i, Q = flujo y Eij = razón de mezclado difusivo entre los segmentos i y j. Use los datos y las ecuaciones diferenciales para estimar las E si V1 = 1×107, V2 = 8×106, V3 = 5×106 y Q = 4×106. V2

Bahía (3)

Capa superior (1)

Capa inferior (2)

Figura No. 9. Vista superior del Problema 12.4. •

Fermentación con alimentación intermitente.

A un fermentador de alimentación intermitente se introduce una corriente de alimentación que contiene glucosa con caudal constante. El volumen inicial del líquido en el fermentador es Vo. Las células en el fermentador consumen glucosa a una velocidad rs = k1s, donde k1 es la constante de velocidad (h-1) y s la concentración de glucosa en el fermentador (g l-1). a) Suponiendo densidad constante, obtener una ecuación para el balance de materia global. ¿Cuál es la expresión que relaciona el volumen y el tiempo? b) Obtener la ecuación diferencial para la velocidad de cambio de concentración de sustrato.

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9. BIBLIOGRAFÍA

Bakahvalov, N., Métodos Numéricos, Editorial Paraninfo, Madrid, 1990. Balfour, A. y Beveridge, W. T., Análisis Numérico Básico con Algol. Compañía Editorial Continental, S.A., Primera edición, México, 1987. Burden, Richard y otros, Análisis Numérico, Grupo Editorial Iberoaméricana, Méxixo, 1985. Chapra, Steven C. y Canale, Raymond P., Métodos Numéricos para Ingenieros, con aplicaciones en computadoras personales. McGraw-Hill, S.A.DE C.V., Primera edición, México, 1988. Cutlip, Michael B. y Schacham, Mordechai, Problem Engineering in Chemical Engineering with Numerical Methods. Prentice Hall International, Primera Edición, New York, 1999. Demidóvich, B. P., 5000 problemas de análisis matemático, Editorial Paraninfo, Madrid, 1989. Enciclopedia® Microsoft® Encarta 2001. © 1993-2000 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos. Hildebrand, F. B., Introduction to Numerical Analysis, Second Edition, McGrawHill, New York, 1974. Larson , Ronald y otros, Cálculo, Sexta Edición, McGraw-Hill, Madrid, 1999. Merayo G., Félix y Nevot L., Antonio, Análisis Numérico, Editorial Paraninfo, Primera edición, Madrid, 1992. Nakamura, Shoichiro, Análisis numérico y visualización gráfica con MATLAB, Prentice-Hall Hispanomericana, S.A. Primera edición, México, 1997. Purcell, Edwing J. y Varberg, Dale, Cálculo con Geometría Analítica, PrenticeHall Hispanoamericana S.A., Cuarta edición, México, 1987.

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9. BIBLIOGRAFÍA Bakahvalov, N., Métodos Numéricos, Editorial Paraninfo, Madrid, 1990. Balfour, A. y Beveridge, W. T., Análisis Numérico Básico con Algol. Compañía Editorial Continental, S.A., Primera edición, México, 1987. Burden, Richard y otros, Análisis Numérico, Grupo Editorial Iberoaméricana, Méxixo, 1985. Chapra, Steven C. y Canale, Raymond P., Métodos Numéricos para Ingenieros, con aplicaciones en computadoras personales. McGraw-Hill, S.A.DE C.V., Primera edición, México, 1988. Cutlip, Michael B. y Schacham, Mordechai, Problem Engineering in Chemical Engineering with Numerical Methods. Prentice Hall International, Primera Edición, New York, 1999. Demidóvich, B. P., 5000 problemas de análisis matemático, Editorial Paraninfo, Madrid, 1989. Enciclopedia® Microsoft® Encarta 2001. © 1993-2000 Microsoft Corporation. Reservados todos los derechos. Hildebrand, F. B., Introduction to Numerical Analysis, Second Edition, McGrawHill, New York, 1974. Larson , Ronald y otros, Cálculo, Sexta Edición, McGraw-Hill, Madrid, 1999. Merayo G., Félix y Nevot L., Antonio, Análisis Numérico, Editorial Paraninfo, Primera edición, Madrid, 1992. Nakamura, Shoichiro, Análisis numérico y visualización gráfica con MATLAB, Prentice-Hall Hispanomericana, S.A. Primera edición, México, 1997. Purcell, Edwing J. y Varberg, Dale, Cálculo con Geometría Analítica, PrenticeHall Hispanoamericana S.A., Cuarta edición, México, 1987.

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ANEXO 1 ACTIVIDADES PRELIMINARES Ya repaso el material para el seminario-taller y quedan algunos minutos antes de la primera actividad por audioconferencia…..¡Aprovéchelos! Conozca a sus vecinas o vecinos: preséntese y dialogue con la vecina o el vecino para conocerlo. No es necesario sentarse al lado de alguien conocido. Esperamos que, durante el curso, usted cambiará de puesto y se hará al lado de personas que no conocía antes. Hay que empezar a crear una verdadera Comunidad UNAD. Lea detenidamente la agenda propuesta y centre su atención en el horario de las diferentes actividades. Lea las páginas siguientes: Presentación de su instructor-tutor Bienvenida, y algunas de las Recomendaciones para su participación en el seminario-taller. Realice la lectura:“Modelamiento matemático” y con base en los resultados mostrados en las tablas, realice una comparación de las soluciones numéricas y analíticas para el ejemplo mostrado, qué podemos concluir respecto al caso de estudio. Lea el siguiente artículo: “Un sistema de computación” y realice un esquema de los principales componentes que conforman un sistema de computación. Esté atento a las indicaciones del coordinador local y dispóngase física y mentalmente a participar en la primera Audioconferencia multipuntos que va a iniciar en contados minutos. Le quedan algunos minutos…. Contéstese mentalmente las siguientes preguntas: ¿Qué vengo a hacer en este seminario-taller? ¿Qué resultados pretendo obtener? ¿Cuál será mi aporte más significativo?

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ANEXO 2 FUNDAMENTOS MATEMÁTICOS

A.1. INTRODUCCIÓN TEÓRICA Cada capítulo de este módulo requiere de matemáticas introductoras, en consecuencia, exploraremos algunos tópicos matemáticos que se emplearán en las siguientes secciones, antes de tratar acerca de la programación de computadoras y el análisis numérico. Estos tópicos no serán tratados con profundidad, sin embargo, son básicos en la comprensión ulterior del tema, para una demostración más rigurosa se recomienda consultar textos de cálculos numéricos. A.1.1. Teorema Binomial Multiplicando tres veces, se demuestra que : (1+x)3 = 1 + 3x + 3x2 + x3

(A.1.)

de igual manera, se encontrarán expresiones para (1+x)4, (1+x)5, ... El teorema binomial proporciona una expresión general para (1+x)n, donde n es un número entero positivo. (1 + x ) n = 1 +

n n(n − 1) 2 n(n − 1)(n − 2) 3 n(n − 1)(n − 2)(n − 3) 4 x+ x + x + x +....+ x n (A.2) 1! 2! 3! 4!

y esto se cumple para todos los valores de x1.

Si sustituimos n=3 en la Ec. (A.2) obtendremos la expresión (A.1) ya que el quinto término y los términos restantes contienen un factor (n-3) que es cero cuando n=3. De hecho el teorema binomial es considerablemente más general que el presentado arriba. Para n positivo o negativo, fracción o entero

Nota : n !=n(n-1)(n-2)....3x2x1 (se lee 'factorial de n')

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n n(n − 1) 2 n(n − 1)...(n − r + 1) r (A.3) x+ x +...+ x +... 1! 2! r! Si n es un entero positivo la serie termina después de n+1 términos, como ya indicamos arriba, y la expresión es válida para todos los valores de x. Si n es un entero negativo o una fracción para el dominio -1 < x < 1. (La serie también converge en x = -1 y x = 1 para ciertos valores especiales de n). (1 + x ) n = 1 +

A.1.2. Teorema de Taylor Suponga que queremos encontrar una aproximación al valor de la función definida por y = f(x) en el punto donde x = x1. Suponga, además, que en un punto cercano a x = x1, digamos x = a, podemos evaluar fácilmente f(a), f’(a), f’’(a)... El teorema de Taylor nos permite usar estos valores y obtener una expresión para f(x1) como la siguiente: ( x − a) ( x − a)2 ( x − a)n (n) f ( x1 ) = f (a) + 1 f ' (a) + 1 f ' ' (a) + .... + 1 f (a) (A.5) 1! 2! n! Para obtener exactamente f(x1) necesitaríamos tomar un número infinito de términos, excepto cuando f es un polinomio, en este caso, si n es el grado del polinomio, la derivada (n+1) y todas las derivadas de orden mayor son cero. Desde luego, en la práctica trabajaremos con un número dado de cifras significativas y pararemos cuando los términos sean suficientemente pequeños para no afectar el resultado. En general, para la evaluación de f(x) donde x es cualquier abscisa ( x1 − a ) ( x − a)2 (A.6) f ' (a ) + 1 f ' ' (a) + ....) 1! 2! Esto da el valor de la función f en cualquier punto x, en términos de los valores de f y de sus derivadas, evaluadas éstas en algún punto vecino a . f ( x1 ) = f (a ) +

f(x) f(a) a

Cuando consideramos sólo un número finito de términos en una serie de Taylor, obviamente introducimos un error, llamado error de truncación, y puede ser

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demostrado que si evaluamos n términos de la serie (esto es, hasta el término conteniendo xn-1), el error que se tiene es: ( x − a)n ( n) f (ξ ) n! donde ξ cae entre x y a, es decir, si x>a entonces x>ξ>a

¦ a

¦ ξ

¦ x

¦ ¦ x ξ Otra forma de ver el problema es decir que:

¦ a

si x<a entonces x<ξ<a

( x1 − a ) ( x − a ) n −1 ( n −1) f ' (a ) + ... + 1 f' (a) + Rn ( x) 1! (n − 1)! donde Rn(x) es el residuo después de los n términos y ( x − a)n ( n) Rn ( x) = f (ξ ) . n! Esto parece de no mucha ayuda si no conocemos el valor exacto de ξ y entonces no se puede calcular el error Rn(x). Sin embargo, esto se puede usar frecuentemente para calcular un límite superior de la magnitud del error. f ( x1 ) = f (a ) +

A.1.3. Teorema de Maclaurin Si en el teorema de Taylor reemplazamos a por cero, obtenemos la fórmula ( x) ( x) 2 ( x)( n −1) ( n −1) f ( x) = f (0) + f ' (0) + f ' ' (0) + .... + f (0) + ... 1! 2! n! y si terminamos la serie después de n términos, el error implícito es xn (n) f (ξ ) , donde x>ξ>a o x<ξ<a. n! A.1.4. Teorema del Residuo Si dividimos un polinomio f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x+a0 entre (x - p), entonces podemos escribir f(x)=(x - p)q(x) + K

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(A.9)

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donde q(x) es un polinomio de grado n-1 y K es una constante. Si ponemos x=p en (1.9) tenemos: f(p) = 0 + K, es decir, K = f(p). De esta forma, dividiendo un polinomio entre x - p, el residuo es f(p), que es el valor del polinomio en x = p. A.1.5. División Sintética (Regla de Ruffini) Si dividimos un polinomio f(x) = anxn + an-1xn-1 + ... + a1x+a0 entre (x - p), notamos que el cociente es un polinomio en x cuyo grado es i menos que el grado del dividendo; el coeficiente del primer término del cociente es igual al coeficiente del primer término del dividendo. Sin efectuar la división, el cociente y el residuo pueden hallarse por la siguiente regla práctica: El cociente es un polinomio en x cuyo grado es 1 menos que el grado del dividendo. El coeficiente del primer término del cociente es igual al coeficiente del primer término del dividendo. El coeficiente de un término cualquiera del cociente se obtiene multiplicando el coeficiente del término anterior por el segundo término del binomio divisor cambiado de signo y sumando este producto con el coeficiente del término que ocupa el mismo lugar en el dividendo. El residuo se obtiene multiplicando el coeficiente del último término del cociente por el segundo término del divisor cambiado de signo y sumando este producto con el término independiente del dividendo. A.1.6. Derivadas por División Sintética Demostraremos que la división repetida de un polinomio de grado n por un término lineal (x - p) conduce a los valores de la función y sus derivadas en x =p. Sea f(x) = anxn + an-1xn+1 + ... + a1x + a0, dividiendo entre (x - p) obtenemos, por el teorema del residuo, f(x) = (x - p)q1(x) + f(p) o (A.10) f(x) = f(p) + (x - p)q1(x) y q1(x) es un polinomio de grado (n - 1) el cual puede ser, a su vez, dividido entre (x - p) para dar q1(x) = q1(p) + (x - p)q2(x) Sustituyendo esto en (A.10) da (A.11) f(x) = f(p) + (x - p) {q1(p) + (x - p)q2(x)} 2 = f(p) + (x - p)q1(p) + (x - p) q2(x)

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Similarmente, podemos dividir q2(x) entre (x - p) y sustituirlo en (A.11) para dar f(x) = f(p) + (x - p) q1(p) + (x - p)2{q2(p) + (x - p)q3(x)} = f(p) + (x - p) q1(p) + (x - p)2q2(p) + (x - p)3q3(x) Continuando de esta manera, después de n divisiones el qn(x) resultante es una constante (puesto que f(x) es de grado n). (A.12) f(x) = f(p) + (x - p) q1(p) + (x - p)2q2(p) + (x - p)3q3(p) + (x - p)nqn donde qn es una constante (igual a an). La expansión de Taylor de f(x) cerca de x = p es ( x1 − p ) ( x1 − p ) 2 ( x1 − p) n ( n ) f ( x) = f ( p ) + f ' ( p) + f ' ' ( p ) + .... + f ( p) 1! 2! n!

(A.1.3)

La serie es finita, ya que para un polinomio de n-ésimo grado f n+1 y todas las derivadas de mayor orden son cero. Comparando (A.12) y (A.13) f ' ( p) f ' ' ( p) f ' ' ' ( p) f n ( p) q1 ( p ) = ; q2 ( p ) = ; q3 ( p ) = ;.....; qn ( p) = 1! 2! 3! n! En general, f i ( p) qi ( p) = , i = 1,2,3..., n i! Los valores de q1(p), i = 1,2,3,...,n pueden ser obtenidas por división repetida de f entre (x - p) y las derivadas pueden ser calculadas de fi(p) = (i !)qi(p) La división repetida puede ser hecha sintéticamente.

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ANEXO 3 EJERCICIOS RESUELTOS Ejercicio A.3.1. Encuentre la expansión binomial de (1+x)¾ hasta el término que contenga x3. (1 + x ) ¾ = 1 +

( ¾ )( ¾ − 1) 2 ( ¾ )( ¾ − 1)( ¾ − 2) 3 ¾ x+ x + x +.... = 1 + ¾ x − 1! 2! 3!

3 32

x2 +

5 128

x 3 +...

Ejercicio A.3.2. Encuentre la expansión binomial de (1-2x)-½ hasta el término que contenga x3 y con ésta encuentre un valor aproximado de 1/(0.98)½. (1 + ( −2 x ))

−½

( −½)( − 3 2 ) ( −½)( − 3 2 )( − 5 2 ) (-½) 2 = 1+ ( −2 x ) + ( −2 x ) + ( −2 x ) 3 +.. 1! 2! 3! = 1 + x + 3 2 x 2 + 5 2 x 3 +...

Ahora 1 1 1 y = 1/ 2 1/ 2 (1 − 2 x) (0.98) (1 − 2 × 0.01)1 / 2 Así sustituimos x = 0.01 para encontrar: (1 − 2 x) −1 / 2 =

1 3 5 = 1 + 0.01 + (0.01) 2 + (0.01)3 + ....... = 1.0101525 1/ 2 (0.98) 2 2

Ejercicio A.3.3 Usando una serie de Taylor, evalúe 1/(2+x)3/2 en x = 2.1 con 3 cifras significativas. Note que trabajaremos con 5 cifras significativas a lo largo del problema para proteger adecuadamente la tercera cifra significativa. Podemos evaluar 1/(2+x)3/2 en x=2 fácilmente. Por tanto, ponemos a = 2 tal que x – a = 2.1 - 2.0 = 0.1. 1 1 f ( x) = , f (2) = 3/ 2 (2 + x) 8

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3 1 3 , f ' (2) = 5/2 2 (2 + x) 64 15 1 15 f ' ' ( x) = + , f ' ' (2) = 7/2 4 (2 + x) 512 f ' ( x) = −

f ' ' ' ( x) = −

105 1 105 , f ' ' ' (2) = 9/2 8 (2 + x) 4096

reemplazando se tiene: 1 3 (0.1) 15 (0.01) 105 (0.001) f (2.1) = − + − + .... 8 64 1! 512 2! 4096 3! = 0.125-0.00469+0.00015-0.000004 = 0.12046. Despreciando el 0.000004 que no afecta la quinta posición. Con tres cifras significativas, f(2.1)= 0.120. Ejercicio A.3.4 En el Ej. A.3.3 evaluamos f(x)=1/(2+x)3/2 en x=2.1 usando valores de f y sus derivadas en x=2. Usamos los tres primeros términos de la serie (despreciamos el cuarto término 0.000004) tal que el error de truncación está dado por: ( x − a)3 ''' R3 ( x) = f (ξ ) 3! Con 2≤ξ≤2.1 105 1 f ' ' ' ( x) = − 8 (2 + x )9 / 2 f ' ' ' ( x) = −

R3 ( x) =

105 1 8 (2 + x )9 / 2

( x − a)3 ''' f (ξ ) 3!

Ahora, tal que Con 2≤ξ≤2.1

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105 1 8 (2 + ξ )9 / 2 Si sólo consideramos la magnitud del error, entonces desechamos el signo. El máximo valor que f’’’(ξ) puede alcanzar si 2≤ξ≤2.1 es cuando ξ=2 y puesto que en realidad 2<ξ<2.1 sabemos que f’’’(2)>f’’’(ξ). De aquí: ( x − a )3 ''' (0.1)3 105 R3 ( x) ∠ f (2) = ≈ 0.0000043 3! 3! 4096 f ' ' ' (ξ ) = −

De donde nuestra aproximación f(2.1)=0.12046 no es incorrecta por más de 0.0000043. Ejercicio A.3.5 Encuentre la expansión de Maclaurin del loge(1+x) hasta el término en x3. Luego el loge(1.2). Calcule un límite superior para el error de truncación. Ver solución en Anexo 1. Entonces cuando citemos el loge(1.2) = 0.1826, el error será menor que 0.0004 Ejercicio A.3.6 Evalúe f(2) donde f(x) = 5x3 - 4x2 + 2x + 1 Escriba f en forma “agrupada”, es decir:. f(x) =x(x(5x-4)+2)+1 f(2) =2(2(5*2-4)+2)+1 =29 Use este método para encontrar f(3) para el polinomio del Ej. A.3.6. Ejercicio A.3..7 División Sintética. Sea f(x)= 3x3 - 4x2 + 5x - 6 y considere f(x)÷(x-2) 3x2 + 2x + 9 x-2)3x3 - 4x2 + 5x -6 3x3 - 6x2 2x2 + 5x 2x2 - 4x 9x - 6 9x - 18 12 Por el teorema del residuo f(2) = 12.

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Consideremos ahora otras formas de abreviar el método anterior. Es obvio que podemos eliminar todas las x si conservamos rigurosamente las columnas. Además, las letras itálicas son innecesarias, ya que siempre están hechas para que sean iguales a las que están arriba de ellas. Las cifras más remarcadas son sólo copias de las de arriba y pueden también ser desechadas. En efecto, sólo necesitamos escribir: Línea del problema Línea de trabajo Línea del cociente

-2)

-4 -6 2

5 -4 9

-6 -18 12

Escribimos la línea del problema y el primer 3 es copiado directamente en la línea del cociente. Este es multiplicado por el -2, el producto insertado en la línea de trabajo y restado del -4 para dar +2 el cual aparece en la línea del cociente. Este 2 es también multiplicado por el -2 dando -4, el cual va a la línea de trabajo, es restado del cinco y el resultado colocado en la línea del cociente. El proceso se repite una vez más para dar el diagrama anterior. El cociente es 3x2 + 2x + 9 y el residuo es f(2) = 12. Haremos un último cambio. Para dividir entre x-2 cambiaremos el signo del número externo (-2 anterior es cambiado a +2),y ahora, en lugar de restar en la línea de trabajo de los da la línea del problema, los sumamos. Línea del problema Línea de trabajo Línea del cociente

-4 6 2

5 4 9

-6 18 12

Este proceso se llama división sintética. Note que si queremos dividir entre x+2 usaremos -2 como número externo. Ejercicio A.3.8 Encontrar f(-1) por división sintética para f(x) = 7x4 - 2x3 + 3x + 8 Dividimos f(x) entre (x+1) y el residuo será f(-1). -1)

7 7

-2 -7 -9

0 9 9

3 -9 -6

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8 6 14

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El cociente es 7x3-9x2+9x-6 y f(-1) =14 Note que tuvimos que incluir una columna para x2 con coeficiente cero. Ejercicio A.3.9 Encuentre los valores de las derivadas de f(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 en x = 2, usando División Sintética. Sea f(x)= 3x3 - 4x2 + 5x - 6 y considere f(x)÷(x-2) 3x2 + 2x + 9 x-2)3x3 - 4x2 + 5x -6 3x3 - 6x2 2x2 + 5x 2x2 - 4x 9x - 6 9x - 18 12 Por el teorema del residuo f(2) = 12. Consideremos ahora otras formas de abreviar el método anterior. Es obvio que podemos eliminar todas las x si conservamos rigurosamente las columnas. Además, las letras itálicas son innecesarias, ya que siempre están hechas para que sean iguales a las que están arriba de ellas. Las cifras más remarcadas son sólo copias de las de arriba y pueden también ser desechadas. En efecto, sólo necesitamos escribir: Línea del problema Línea de trabajo Línea del cociente

-2)

3 3

-4 -6 2

5 -4 9

-6 -18 12

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Línea del problema Línea de trabajo Línea del cociente

3 3

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-4 6 2

5 4 9

-6 18 12

Este proceso se llama división sintética. Note que si queremos dividir entre x+2 usaremos -2 como número externo. Ejercicio A.3.10 Encuentre los valores de las derivadas de f(x) = x3 + 2x2 - 3x + 1 en x = 2. 2) 1 2 -3 1 2 8 10 2)

4 2

5 12

6 2

f ' ' ' (2) 3!

11 = f(2) = f’(2)/1 !

= f’’(2)/2 !

f(2) = 11 f’(2) = 17 f’’(2) = 16

Finalmente, f’’’(2) = 6

De aquí que las derivadas requeridas sean f’(2) = 17, f’’(2) = 16, f’’’(2) = 6.

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