Métodos Matemáticos by Universidad Nacional Abierta y a Distancia

PROTOCOLO ACADEMICO Y GUÍA PARA LA ESTRUCTURACIÓN DEL CURSO:

METODOS MATEMATICOS. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES

1. PROTOCOLO 1.1 FICHA TÉCNICA Nombre del curso:

Métodos Matemáticos

Palabras clave:

Calculo

vectorial,

coordenadas

curvilineas,

Transformada de Laplace, Funciones de Bessel, Funciones

Fourier,

Ecuaciones

diferenciales

parciales. Institución:

Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD

Ciudad:

Bogotá D.C.

Autor del Protocolo:

Ing. MSc. Oscar Yesid Suárez, Ing. MSc. Jesus Alfonso Torres,

Año:

2007

Unidad Académica:

Escuela de ciencias básicas, tecnologías e ingeniería

Campo de Formación:

Profesional

Área del conocimiento:

Ciencias Básicas de la Ingeniería

Créditos académicos:

Dos (2), correspondiente a 96 horas de trabajo del estudiante, 26 de acompañamiento tutorial y 70 de estudio autodirigido.

Tipo de curso:

Teórico-Práctico

Destinatarios:

Especialización en ingeniería de procesos en alimentos y biomateriales.

Competencia aprendizaje:

general

de El

estudiante

identifica

aplica

los

métodos

matemáticos como una alternativa de solución de problemas que implique la formulación diferencial y/o integral de procesos

principalmente de en los

campos

del

procesamiento

alimentos

biomateriales. Metodología de oferta:

A distancia

Formato de circulación:

Aula virtual, CD-ROM,

Denominación

las 1.

Unidades Didácticas:

Calculo vectorial

Formulación

integral

diferencial

1.2. INTRODUCCIÓN Teniendo en cuenta el proceso de ajuste curricular al sistema de créditos académicos que los programas de la UNAD han tenido, a continuación se encuentran la estructuración de los contenidos del curso “Métodos Matemáticos” que serán cargados en la plataforma virtual. Para ello se ha adecuado la plataforma virtual de modo que los nombres de los servicios corresponden a los componentes de los materiales didácticos de cursos académicos definidos en el documento: El material didáctico y el acompañamiento tutorial en el contexto de la formación a distancia, Roberto Salazar Ramos. UNAD, 2004. La matemática desempeña un papel vital en la formulación y solución de los problemas relacionados con la ciencia y las ingenierías, y como estos problemas se hacen cada vez más complejos, es natural que los métodos matemáticos requeridos para su solución aumenten en número y en complejidad. Es propósito del curso suministrar conceptos y métodos matemáticos superiores para ingenieros y científicos que estén interesados en las aplicaciones prácticas de sus conocimientos. Se ha preparado el curso de tal manera que puede servir como suplemento a todo los textos que están corrientemente en uso, aunque él mismo puede utilizarse como texto para autodidactas sobre métodos matemáticos para ingenieros de alimentos. Se ha diseñado de esta manera para que el curso sea más flexible, y pueda utilizarse con mayor provecho como referencia. Los temas tratados comprenden las ecuaciones diferenciales ordinarias, la transformada de Laplace, el análisis vectorial, las series de Fourier, las integrales de Fourier, las funciones gamma, beta y otras especiales, las funciones de Bessel, y otras ortogonales, y las ecuaciones diferenciales parciales.

1.3. OBJETIVO GENERAL Conceptuar e identificar los métodos matemáticos como una alternativa de solución de problemas que implique la formulación diferencial o integral de fenómenos de transporte para quedar en capacidad de visualizar las aplicaciones de estos procedimientos en los campos de la ingeniería de procesos en alimentos y biomateriales.

1.4. COMPETENCIAS Cada capítulo requiere de matemáticas introductorias, en consecuencia, al culminar la primera unidad, es necesario por parte del estudiante explorar algunos tópicos matemáticos que se empleará como base para las unidades posteriores. Al completar el segundo y tercer capítulo el estudiante debe tener la suficiente información para aplicar convenientemente el cálculo vectorial y sistemas de coordenadas curvilíneas ortogonales, de una amplia utilidad en problemas de ingeniería. En general, se dominará los procedimientos, se habrá aprendido a evaluar su confiabilidad y se tendrá la capacidad de optar por el método para cualquier problema en particular relacionado con la ingeniería de alimentos. Al ultimar el cuarto capítulo, el estudiante estará en capacidad de solucionar integral y diferencialmente los problemas de ingeniería que lo requieran mediante la utilización de la Transformada de Laplace, Series de Fourier, integrales de Fourier, funciones gamma, beta y otras especiales, funciones Bessel, y otras ortogonales. Al cumplir con el quinto y sexto capítulo, el estudiante debe aumentar de manera notoria su capacidad de enfrentar y resolver ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. Las metas de estudio en general deberían incluir el poder seleccionar el mejor método para cualquier problema en particular de aplicación en ingeniería.

1.5. METODOLOGÍA De conformidad con la doctrina de la Universidad Nacional Abierta y a Distancia UNAD, se seguirá una modalidad no presencial, de acuerdo al calendario académico, para ello se cuenta con ayudas didácticas, módulos de estudio y sistemas modernos de búsqueda como la Internet, que permitan al estudiante acercarse a temas avanzados de conocimiento sin abandonar su lugar de actividad productiva. El tutor será un facilitador del proceso de enseñanza-aprendizaje y el proceso de formación será participativo. El recurso principal será el material instructivo específico, bibliografía especializada, actualizada y demás medios que se consideren necesarios para el desarrollo de la asignatura que contribuyan a reforzar el proceso de enseñanza-aprendizaje. Las piezas fundamentales en todo proceso de enseñanza-aprendizaje: alumno, tutor, conocimiento y método de transmisión, coinciden con esta programación académica, obviando la intermediación permanente del tutor, considerando que la percepción del conocimiento se puede realizar mediante el uso de múltiples procedimientos.

1.6. EVALUACIÓN Con el propósito de que el estudiante adquiera un aprendizaje verdaderamente significativo en la medida en que sea capaz de relacionar la teoría estudiada con la realidad que lo rodea y ante todo aplicar los conocimientos a la solución de problemas que tengan que ver con su entorno, se implementará la evaluación por proceso mediante la asignación de proyectos personalizados específicos para cada disciplina profesional. Un ingeniero es un solucionador de problemas, generalmente su incertidumbre se inicia con una necesidad no satisfecha que se puede solucionar mediante una nueva metodología, un artefacto mecánico o un nuevo proceso; entonces su objetivo es convertir un aproximado enunciado de lo que se necesita en un listado de especificaciones concretas. Desarrollar estas habilidades es lo que se pretende con la evaluación. A través de la evaluación el estudiante, necesariamente deberá despertar su espíritu investigativo que implica el desarrollo de habilidades de pensamiento como el análisis, la inducción, la deducción, que lo conducirá a la identificación y a la solución de un problema real relacionado con su estudio.

2. UNIDADES DIDÁCTICAS Primera unidad Capítulo uno Capítulo dos Capítulo tres Segunda unidad Capítulo uno Capítulo dos Capítulo tres

CÁLCULO VECTORIAL Introducción Cálculo vectorial Sistemas de coordenadas curvilíneas ortogonales FORMULACIÓN INTEGRAL Y DIFERENCIAL Transformada de Laplace, funciones de Bessel, series de Fourier Solución de problemas usando ecuaciones diferenciales ordinarias Solución de problemas usando ecuaciones diferenciales con derivadas parciales

3. CONTENIDO PROGRAMÁTICO Las lecturas sugeridas siguen la misma secuencia de todos los textos recomendados en la sección de bibliografía. Por lo tanto se recomienda seguir el mismo orden del contenido programático que se describe a continuación, y que se encuentra en concordancia con las unidades didácticas. PRIMERA UNIDAD: CÁLCULO VECTORIAL CAPÍTULO UNO: INTRODUCCIÓN

Lección uno: Operaciones fundamentales con números, gráficos Lección dos: Álgebra y cálculo Lección tres: Resolución de ecuaciones; datos numéricos; tablas y gráficos CAPÍTULO DOS: CÁLCULO VECTORIAL Lección uno: Convenciones usadas en las sumatorias Lección dos: Operaciones con vectores Lección tres: Coordenadas cartesianas rectangulares CAPÍTULO TRES: SISTEMAS DE COORDENADAS CURVILÍNEAS ORTOGONALES Lección uno: Introducción Lección dos: Operador Nabla y sus aplicaciones Lección tres: Sistemas especiales de coordenadas curvilíneas ortogonales SEGUNDA UNIDAD: FORMULACIÓN INTEGRAL Y DIFERENCIAL CAPÍTULO CUATRO: FUNCIONES ESPECIALES Lección uno: Transformada de Laplace, Lección dos: Funciones de Bessel Lección tres: Series de Fourier CAPÍTULO CINCO: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS Lección uno: Métodos de obtención de soluciones Lección dos: Métodos numéricos. Lección tres: Aplicaciones prácticas CAPÍTULO SEIS: ECUACIONES DIFERENCIALES CON DERIVADAS PARCIALES. Lección uno: Métodos de obtención de soluciones Lección dos: Métodos numéricos. Lección tres: Aplicaciones prácticas

5. EVALUACIÓN A fin de proporcionarle al estudiante una enseñanza verdaderamente significativa en la medida en que sea capaz de relacionar los métodos matemáticos con la realidad que lo rodea y ante todo aplicar los conocimientos en la solución de problemas que tengan que ver con su entorno profesional y/o académico, se evaluará mediante la asignación de proyectos personalizados específicos para cada disciplina profesional. Considerando el papel de la evaluación en la enseñanza al nivel de posgrado, las actividades de evaluación se caracterizan por la participación en el análisis de casos objeto de estudio, la realización de tareas mediante el trabajo en estrategias de solución y extracción de conclusiones. Se realizará una evaluación práctica y finalmente un proyecto de aplicación personalizado, en el que se deberá demostrar la ejecución de los métodos matemáticos en el análisis y solución de un problema de interés para el alumno de preferencia un proceso de la ingeniería de alimentos o de producción de un biomaterial.

6. BIBLIOGRAFÍA GENERAL El libro guía del curso es: SPIEGEL. Matemáticas Superiores para Ingenieros y Científicos. México, 1975. McGrawHill. Los métodos matemáticos, al ser una pieza clave del desarrollo de modelos aplicados en ingeniería, se encuentran desarrollados en una cantidad importante de textos; por lo cual el estudiante podrá seguir los temas planteados en el contenido programático en cualquier libro que desarrolle los temas. Referencias Adicionales SPIEGEL. Ecuaciones diferenciales aplicadas. 3 ed. México, 1893. McGraw Hill. ARFKEN. Mathematical Methods for Physicists., New York, 1985. 3 ed., Academic Press. BOYCE y DIPRIMA. Ecuaciones Diferenciales Elementales y Problemas de Contorno 1997. 6 ed. John Wiley & Son. ARPACI. Conduction Heat Transfer. 1966. Addison Wesley. RICE y DO. Applied Mathematics and Modeling for Chemical Engineers. New York, 1995. John Wiley and Sons.

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES MÉTODOS MATEMÁTICOS PRIMERA UNIDAD: CÁLCULO VECTORIAL CAPÍTULO UNO: INTRODUCCIÓN LECCIÓN UNO. Representación gráfica. Incluso con la posibilidad de utilizar poderosas herramientas de computación, los métodos gráficos siguen siendo métodos exitosos en el análisis de datos de proceso. Los gráficos son utilizados principalmente para: 1. Ayuda de visualización de procesos. 2. Representación de cantidades cuantitativas o de resultados empíricos. 3. Comparación de datos experimentales con datos teóricos. 4. Medios de cálculo de cantidades involucradas en un proceso. La relación entre dos cantidades físicas p y x es comúnmente obtenida por medio de tabulación de diferentes valores de p correspondientes a diferentes valores de x. Sin embargo la relación entre las variables no es fácil de ver en la tabulación, por lo que se realiza un gráfico de p vs x. El estudiante ya debe estar relacionado con esta dinámica. De acuerdo al orden de magnitud de los datos, los gráficos pueden ser de escala lineal, de escala logarítmica, semilogarítmica o de escala extendida. Cuando se grafican datos experimentales, estos suelen tener una dispersión. Si a partir de los datos se debe obtener una función para p en función de x, se debe aplicar un método de correlación estadístico (hoy en día es parte del paquete básico de cualquier hoja de cálculo e incluso de calculadoras). Sin embargo, es labor del ingeniero eliminar los datos que se encuentren fuera de la tendencia, para obtener una correlación más acorde con el comportamiento real. Ecuaciones empíricas. La representación de datos experimentales por medio de ecuaciones algebraicas es una necesidad diaria de la ingeniería. La forma de la ecuación es normalmente sugerida por un criterio teórico, siendo necesario evaluar algunas constantes. El problema general de ajustar los datos a una ecuación se puede dividir en dos partes: la determinación de la forma de la ecuación y la evaluación de las constantes. El procedimiento general es graficar una serie de datos para obtener una línea recta, de donde se obtienen los parámetros de la ecuación. A continuación se presentan las formas de ecuaciones más comunes y sugerencias de procedimiento. Ecuación Sugerencia Ecuación Sugerencia b y = a + bx y =a+ Graficar y vs x Graficar y vs 1/x x x Graficar logy vs logx o y vs x en y= Graficar x/y vs x o 1/y vs 1/x y = ax n coordenadas logarítmicas a + bx Obtener c del intercepto de una Graficar (y-yn)//x-xn) vs x gráfica y vs x; luego graficar donde yn, xn son las n log(y-c) vs logx o y vs xn, o (y-c) y = c + ax coordenadas de cualquier 2 vs x en coordenadas y = a + bx + cx punto en una curva suave a semilogarítmicas. través de los datos Graficar logy vs x o y vs x en experimentales. y = ae bx coordenadas semilogarítmicas Graficar (y-yn)//x-xn) vs x donde yn, xn son las x Graficar logy vs x o y vs x en coordenadas de cualquier y= +c y = ab x coordenadas semilogarítmicas punto en una curva suave a a + bx través de los datos experimentales.

Cuando los datos experimentales no se ajustan a ningún modelo relativamente fácil, luego no se puede obtener una curva suave en un grafico que muestre la tendencia de los datos, es inevitable el uso de la tabulación de datos. Cuando se requiere encontrar un valor que no se encuentra explicito en la tabla, sino que se encuentra 1

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES MÉTODOS MATEMÁTICOS entre dos de los valores, se debe utilizar la interpolación. Este es un método muy común que el estudiante puede consultar. Los métodos más usados son la interpolación lineal, la de Newton y la de Lagrange.

Finalmente, cuando se cuenta con un gráfico del que se desconoce su función, y es necesario obtener la derivada en un punto en particular, se puede acudir al concepto matemático de que la derivada es la pendiente de la curva en un punto dado. De esta manera, si se mide la pendiente con un método sencillo, se puede determinar la derivada. Los métodos presentados anteriormente, con toda seguridad ya han sido empleados por el estudiante, y podría parecer vacío presentarlos de nuevo, sin embargo como se verá en el curso, algunos de los métodos mas “finos” para el modelamiento de un proceso, no son fácilmente solucionables analíticamente, por lo que se deberá acudir a métodos gráficos como los mencionados.

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES MÉTODOS MATEMÁTICOS PRIMERA UNIDAD: CÁLCULO VECTORIAL CAPÍTULO UNO: INTRODUCCIÓN LECCIÓN DOS. Los problemas de ingeniería en general requieren altos niveles de lógica cualitativa debido a que los la necesidad de modelamientos es frecuente. El primer paso de cualquier modelamiento es el dibujo de un sistema o diagrama del sistema que se estudia. El segundo paso es entrelazar toda la información física y química que sea aplicable, las leyes de conservación y las expresiones de velocidad de cambio químico o físico. Normalmente, en este punto el ingeniero debe tomar decisiones criticas acerca de cuan detallado deberá ser el modelo, lo que conlleva a la realización de suposiciones y/o simplificaciones que hacen mas sencilla la resolución de los sistemas de ecuaciones. Se debe especificar el propósito real del modelo para evaluar cuanto esfuerzo vale la pena emplear en su construcción. El estudiante podrá observar en este curso como a mayor grado de detalle que se requiera en el modelo este se hace más complejo y por tanto requerirá de mucho mas esfuerzo es su construcción. El tercer paso requiere de la formulación de una solución matemática analítica o el montaje de una técnica numérica finita o diferencial de elementos de volumen seguido del planteamiento de las ecuaciones de conservación. El resultado final, puede ser una fórmula matemática elemental o una solución numérica expuesta en un arreglo de números. EJEMPLO DE LA FORMULACIÓN DE UN MODELO. (ENFRIAMINETO DE UN FLUIDO) Considérese el enfriamiento de un fluido en un tubo circular. Se hará el modelamiento comenzando con el modelo más simple, adicionando complejidad de acuerdo al nivel de precisión requerida. Modelo 1: flujo pistón. El flujo pistón considera que no existe un perfil de velocidad en la tubería, es decir, la velocidad del fluido es el mismo en cualquier ubicación radial del tubo, incluso en la pared. Esto implica que en el tubo existen unas condiciones de turbulencia que permiten que la temperatura sea uniforme en cualquier posición radial del tubo. Para el primer modelo, las suposiciones serán: 1. Se obtendrá una solución de estado estable (no dependiente del tiempo) 2. Las propiedades físicas del fluido tienen valores constantes. 3. La temperatura de la pared es constante y uniforme (no cambia en la dirección z o r), y tiene un valor Tw. 4. La temperatura de entrada es constante y uniforme, con un valor To donde To>Tw. 5. El perfil de velocidad es plano y uniforme. 6. El fluido se encuentra bien mezclado, así que la temperatura es uniforme respecto a r. 7. La transferencia de calor por conducción es despreciable a lo largo de la trayectoria z. Seleccionando un volumen de control diferencial para el sistema (en este caso una porción del fluido), se realiza el modelo. La ley de conservación de la energía es:

Velocidad de entrada - velocidad de salida + velocidad de generación = velocidad de acumulación Ya que se considera estado estable, la acumulación es cero, y como no se consideran fuentes de generación de calor (es diferente la generación a la transferencia), el término generativo también es cero. El único calor que se transfiere es el debido a la diferencia de temperatura con la pared fría. La velocidad de remoción de calor pude ser expresada como:

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES MÉTODOS MATEMÁTICOS ∆Q = hA T(z ) − Tw = 2 πR∆zh T(z ) − Tw

(

)

(

)

Em esta ecuación se tiene T(z) que es un promedio: T(z) − T(z + ∆z ) 2 De manera tal que cuando ∆z tiende a cero: Lim T(z) = T(z) . T(z) =

∆z →0

Entonces, para un elemento de longitud ∆z, el balance de energía es: v o AρC p T(z) − v o AρC p T(z + ∆z) − ( 2 πR∆z )h( T − Tw ) energía que entra

energía que sale

perdida a través de la pared

Los dos primeros términos vienen de evaluar la entalpía de entrada y salida. Rearreglando la ecuación y dividiendo por ∆z, se obtiene: T ( z + ∆z ) − T ( z ) − v 0 AρC p − ( 2 πRh )( T − Tw ) = 0 ∆z Evaluando el límite cuando ∆z tiende a cero: dT v 0 AρC p + ( 2 πRh )( T − Tw ) = 0 dz Es una costumbre que para facilitar la solución, se agrupen términos. Entonces, si λ = 2 πRh v AρC tenemos: 0 p

dT(z) + λ( T(z) − Tw ) = 0 dz El estudiante puede verificar que esta es una ecuación diferencial lineal no homogénea que se resuelve con el llamado “factor integrante”. La solución del modelo para la condición de frontera (T(0)=To) es:  − 2 πRhz   + Tw T(z) = ( To − Tw ) exp  v 0 AρC p    Modelo 1: Perfil de velocidad parabólico. De la mecánica de fluidos de pregrado, el estudiante debe recordar, que cuando el flujo en una tubería no es suficientemente turbulento, se genera un perfil de velocidades que es parabólico, con un mínimo en la pared (v=0) y un máximo en el centro. La expresión matemática para la velocidad en función del radio es:   r 2  v(r ) = 2 v 0 1 −      R   Donde vo es una velocidad promedio. Para este nuevo modelo, las suposiciones 5, 6 y 7 cambian: 5. El perfil de velocidad en es parabólico y depende de la posición en r. 6. El fluido no esta completamente mezclado en la dirección r, por lo tanto se debe tener en cuenta la transferencia de calor radial. 7. La conducción radial es importante.

Estas nuevas características físicas generan un Nuevo volumen de control, que es el que se muestra en la figura. Con la forma de un

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES MÉTODOS MATEMÁTICOS porción de cilindro hueco, de espesor ∆r y longitud ∆z. El calor cruza dos superficies, la anular normal al flujo del fluido, y el área del perímetro del anillo. Se necesita entonces designar unas cantidades adicionales (vectoriales) para representar la transmisión de calor por conducción.

q r (r , z) = calor conductivo en la dirección radial q z (r , z ) = calor conductivo en la dirección axial El balance de energía es: v z ( 2 πR∆r )ρC p T(z , r ) − v z ( 2 πR∆r )ρC p T(z + ∆z , r ) + ( 2 πr∆rq z ) z − ( 2 πr∆rq z ) z + ∆z + ( 2 πr∆zq r ) r − ( 2 πr∆zq r ) r + ∆r = 0 Dividiendo todo por 2π∆r∆z y rearreglando se obtiene: T(z + ∆z , r ) − T(z , r ) [rq z ] − v z ρC p r − ∆z

z + ∆z

− [rq z ]

∆z

−

[rq r ] r+ ∆r − [rq r ] r ∆r

Tomando límites cuando ∆z y ∆r tienden a cero, y recordando la definición de una derivada parcial, se obtiene: ∂q z ∂(rq r ) ∂T ∂ (rq z ) ∂ (rq r ) ∂T − = v z ρC p − v z ρC p r − − = 0 ó, ∂z r∂r ∂z ∂z ∂z ∂r En este punto la ecuación no tiene solución pues se desconocen qr, qz y T. Se debe introducir entonces la ley de Fourier que dice q = −k∇T , que en este caso se traduce en: ∂T ∂T q r = −k ; q z = −k ∂r ∂z Introduciendo estas dos nuevas ecuaciones y la ecuación del perfil de velocidad, se tiene:

∂2T ∂z 2

  r  2  ∂T 1 ∂  ∂T  r  = 2 v 0 ρC p 1 −    r ∂r  ∂r    R   ∂z

Este modelo es una ecuación en derivadas parciales de segundo orden, que es bastante complejo de resolver. Nótese como el cambio en solo una de las premisas llevó a un cambio fundamental en la matemática necesaria para resolver el modelo. Este es el caso general, a medida que se requiera una precisión mayor para la solución del modelo, las ecuaciones resultantes serán más complejas, y en muchos casos no solucionables con métodos analíticos, llevando al uso de métodos numéricos.

COMBINACIÓN DE VELOCIDAD Y CONCEPTOS DE EQUILIBRIO.

Los procesos donde se combinas la velocidad de transferencia y un estado de equilibrio termodinámico, son comunes en los modelos de ingeniería. Para ilustrar esta combinación, se empleará el ejemplo de una separación por adsorción. Considere un sólido de alta porosidad (como carbón activado) que se pone en contacto con una mezcla fluida que contiene una sustancia que se adsorberá en el sólido. El proceso de adsorción es relativamente rápido, asi que se puede considerar que cerca de las partículas existe un equilibrio. q = KC * Donde q es la composición promedio de la fase sólida, expresada como moles de soluto adsorbido por unidad de volumen de sólido; C* denota la composición del soluto (moles de soluto por unidad de volumen de fluido), que existiría en equilibrio. Se supondrá que el coeficiente de transferencia de masa controla el fenómeno.

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES MÉTODOS MATEMÁTICOS El esquema se muestra en la figura, Se utilizará un perfil de velocidad plano para facilitar el modelo, Si la corriente de proceso es diluida respecto a la sustancia que se va a adsorber, los efectos calóricos se desprecian, así que se puede tomar el proceso isotérmico. Si las partículas del sólido son pequeñas, los efectos de difusión axial pueden ignorarse. El transporte interfacial desde el fluido en movimiento y las partículas inmóviles obedece a una ley de velocidad. Ya que el área total interfacial se conoce, la cantidad de moles que se transfieren en un volumen equivalente a un avance ∆z es: ∆R = k c a(C − C * )A∆z

Donde k c a es un coeficiente de transferencia de masa que hace referencia al área superficial del sólido. C hace referencia a la concentración en el líquido y A es el área de flujo en el equipo. Aplicando la ley de conservación de la masa, se obtiene: ∂q ∂C v o AC(z , t ) − v 0 AC(z + ∆z , t ) = εA∆z + (1 + ε)A∆z ∂t ∂t vo es la velocidad del fluido, ε es la fracción de vacíos en el equipo (no todo el sólido ocupa todo el volumen, hay una porción de volumen por donde puede pasar el fluido). Nótese que esta ecuación depende del tiempo, pues como se esta adsorbiendo una sustancia, esta se queda dentro del equipo, luego hay una acumulación. La ecuación puede rearreglarse para llegar a: ∂q ∂C ∂C =ε + (1 − ε) ∂z ∂t ∂t De igual manera, se puede hacer un balance en la fase estacionaria, teniendo en cuenta que la adsorción remueve material de la fase fluida y lo acumula en el sólido. El balance es (la velocidad de acumulación es igual a la velocidad de transferencia): ∂q ∂q A(1 − ε)∆z = k c a(C − C * )A∆z ; (1 − ε) = k c a(C − C * ) ∂t ∂t A medida que el proceso se acerque al equilibrio (cuando el sólido se sature y no pueda adsorber mas), C ∂q tenderá a C* y → 0 . Reemplazando la condición de equilibrio (para eliminar q de las ecuaciones) se llega a: ∂t ∂C ∂C ∂C * v0 +ε + (1 − ε)K =0 ∂z ∂t ∂t ∂C * (1 − ε )K = k c a(C − C * ) ∂t − vo

La solución de este sistema de ecuaciones diferenciales parciales puede realizarse por varios métodos, que se discutirán en el curso.

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES MÉTODOS MATEMÁTICOS PRIMERA UNIDAD: CÁLCULO VECTORIAL CAPÍTULO UNO: INTRODUCCIÓN LECCIÓN TRES. RESUMEN DE LOS PASOS PARA LA CONSTRUCCIÓN DEL MODELO DE UN PROCESO. Los ejemplos vistos anteriormente pretendían ilustrar de manera cualitativa y esencial la construcción de modelos, que es seguida por detalles cuantitativos. La experiencia es un factor fundamental en la formulación de modelos, pues a mayor numero de modelo formulados, el ingeniero es capaz de identificar las suposiciones que pueden ser introducidas sin que el resultado final se vea alterado de manera significativa, además, dicha experiencia también puede orientar a la hora de seleccionar la ruta de solución cuantitativa. Para iniciar su experiencia, a continuación se presentan algunos pasos generales para la construcción de un modelo. 1.

Dibuje un esquema del sistema a ser modelado; defina las diferentes geometrías y las cantidades físicas y químicas que intervienen. 2. Cuidadosamente seleccione las variables dependientes (o de respuesta). 3. Selecciones las posibles variables independientes, que cambiarán y necesariamente afectan a las variables dependientes. 4. Haga una lista de los parámetros, es decir, cantidades que son constantes en el análisis (constantes físicas, tamaños, formas). Tener en cuenta que algunos de estos parámetros pueden no serlo, y cambiar con las variables (p.e. la viscosidad cambia con la temperatura). 5. Dibuje un esquema del comportamiento esperado para las variables dependientes. 6. un volumen de control para un elemento finito del sistema a modelar (normalmente el volumen de control es diferencial). Esquematice el elemento e indique los flujos de entrada y salida, y las trayectorias de transferencia. 7. Escriba las leyes de conservación para el volumen de control. 8. Genere a partir de los balances sistemas de ecuaciones diferenciales o integrales. 9. Escriba todas las posibilidades para las condiciones de frontera o de inicio. Este paso es fundamental pues pude sugerir el método de solución. 10. Seleccione un método apropiado de solución (algebraica o numérica) y resuelva. 11. Verifique que sus respuestas sean concordantes con la realidad (p.e. no hay temperaturas absolutas negativas). JERARQUIA DEL MODELO Y SU IMPORTANCIA EN EL ANÁLISIS. Desde el punto de vista de los verdaderos propósitos de un modelo, el enfoque y profundidad de lo detallado del modelo determinan la complejidad de la descripción matemática del proceso. De acuerdo a las mencionadas visiones y profundidades, se puede obtener una jerarquía de modelos donde el nivel mas bajo puede parecer una “caja negra” y el más alto puede contener todos los posibles procesos de transporte conocidos por el hombre junto con otros conceptos (p.e. termodinámicos). Los modelos entonces no son aislados, y generalmente pertenecen a “familias” donde la jerarquía es dictada por el número de reglas (de principios de transporte, termodinámicas). Es esta familia la que provee al ingeniero las capacidades para predecir y entender los fenómenos. El ejemplo del enfriamiento de un fluido, presentado en la lección anterior, ilustra dos miembros de una familia. A medida que el nivel de sofisticación se incrementa, la complejidad matemática también lo hace. Si se esta interesado es saber exactamente como es que el calor es conducido a través del metal y luego transferido a la atmósfera, la complejidad del problema aumentará al tener que escribir un balance de energía para el metal del tubo. Mas allá, si se esta interesado en como el calor es transferido cerca de la sección de entrada con elementos cercanos, deberá incluirse un nuevo balance de energía para esta zona. Adicional a esto, las condiciones de frontera se hacen más difíciles de puntualizar.

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES MÉTODOS MATEMÁTICOS Para mostrar el concepto de jerarquía del modelo y su importancia en el análisis, se considerará el problema de la remoción de calor de un recipiente con un líquido caliente, sumergiendo una vara metálica para que el calor se transfiera a la vara y luego de ésta a la atmósfera.

T1 Solvente

Nivel uno. En este nivel se asumirá: a) La temperatura de la vara es uniforme, desde el baño a la atmósfera. b) Se ignora la transferencia de calor a los costados y en el fondo del recipiente. c) Los coeficientes de transferencia de calor se conocen y son constantes. d) No hay evaporación del líquido a la atmósfera. To y T1 son la temperatura de la atmósfera y del líquido respectivamente. El balance de energía en la vara en estado estable (no hay acumulación) sería un balance entre el calor obtenido del líquido (parte inferior) y el disipado en la atmósfera (parte superior). h L ( 2 πRL 1 )( T1 − T ) = h G ( 2 πRL 2 )(T − T0 ) Despejando T se tiene: (T + αT1 ) h L T= 0 α= L 1 Donde : (1 + α ) hGL2 Esta ecuación nos da un rápido estimativo de la temperatura de la vara y como variaría con las longitudes expuestas. Por ejemplo, si α es mucho mas grande que uno, la temperatura de la vara sería muy cercana a T1. Para calcular la velocidad de transferencia de calor, se reemplaza T en el balance de energía: h 2 πRL 1 Q= L (T1 − T0 ) = h L L 1 2 πR (T1 − T0 ) (1 + α ) ⎛ h L ⎞ ⎜1 + L 1 ⎟ ⎜ h G L 2 ⎟⎠ ⎝ 1 Q= 2 πR (T1 − T0 ) ⎛ 1 1 ⎞ ⎟ ⎜ ⎜h L + h L ⎟ G 2 ⎠ ⎝ L 1 Cuando a es muy grande, la velocidad de transferencia de calor puede calcularse como: Q ≅ 2 πRh G L 2 ( T1 − T0 ) 2

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES MÉTODOS MATEMÁTICOS

Esto se da cuando la transferencia de calor es controlada por el segmento de la vara expuesto a la atmósfera. Si el coeficiente de transferencia de calor entre la vara y el solvente es muy grande (α>>1), no importa cuanto de la varilla este sumergida. Entonces, para una diferencia de temperatura y diámetro de la vara constantes, la velocidad de transferencia de calor puede mejorarse tanto por el incremento de la longitud expuesta (L2), como incrementando la velocidad de transferencia en el líquido (por agitación). Sin embargo estas conclusiones estas sujetas a las consideraciones realizadas al inicio. Para cuantificar los efectos de gradientes de temperatura en la vara, se aumentará un nivel de jerarquía, considerando un volumen de control diferencial. Nivel dos. 2R

To qx+∆ x x+ ∆ x

Perdida de calor

x qx

T1 Solvente

Se modificará la suposición a) del caso anterior, en esta ocasión se tendrá una temperatura uniforme en la parte de la vara sumergida en el líquido, con un valor Tv. Esta es una suposición razonable ya que los líquidos normalmente tienen mayores conductividades térmicas respecto al aire. El resto de las suposiciones se mantiene. Se selecciona como punto cero para la coordenada x, la interfase entre el líquido y el aire. La figura muestra el volumen de control seleccionado. Aplicando un balance de energía. En un segmento delgado de espesor ∆x:

πR 2 q( x) − πR 2 q( x + ∆x) − 2 πR∆xh G ( T − T0 ) = 0 El primer y segundo término representan el calor que entra y el que sale del volumen de control respectivamente; el tercer término es la perdida al ambiente. Dividiendo por πR2∆x, y tomando límite cuando ∆x tiende a cero, se tiene una ecuación diferencial para el flujo de calor q: dq 2 + h G ( T − T0 ) = 0 dx R Asumiendo que la vara es homogénea, de manera uqe la conductividad térmica es constante, el flujo de calor a lo largo del eje se relaciona con el gradiente de temperatura de acuerdo a la ley de Fourier. Entonces: d 2 T 2h G k = ( T − T0 ) R dx 2 Esta es una ecuación diferencial de segundo orden, por lo que se necesitan dos condiciones de frontera para su solución. Asumiendo que la longitud de la vara es mucho más larga que su diámetro, se puede decir que todo el 3

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES MÉTODOS MATEMÁTICOS calor se disipa en el perímetro curvo, y que en el extremo no hay transferencia de calor. Esto no permite establecer las condiciones de frontera: En x = 0; T = T1 dT ≅0 dx

En x = L 2 ;

La solución de la ecuación es:

2h G cosh[m (L 2 − x )] Donde : m= cosh( mL 2 ) Rk Una vez se conoce el perfil de temperatura, La velocidad de transferencia de calor puede hallarse de dos formas. Primera, se sabe que el flujo de calor a través del área πR2 en x=0 debe ser igual al calor liberado a la atmósfera, esto es: ∂T Q = − πR 2 k ∂x x =0 T = T0 + ( T1 − T0 )

Combinando con la ecuación para el perfil de T: Q = 2 πRh G L 2 η( T1 − T0 )

η=

donde :

tanh( mL 2 ) mL 2

η es un grupo adimensional llamado el factor de efectividad, y representa la relación entre el calor perdido, respecto a la perdida cuando los gradientes están ausentes (máxima pérdida). La siguiente figura muestra el comportamiento de η respecto al grupo mL2. Nótese que a medida que el factor de efectividad se acerca a uno mL2 es mucho menor que la unidad. 100

tanh(mL 2 ) mL 2 -1

-2

-1

mL 2

Este comportamiento dice que para un valor pequeño de mL2: tanh( mL 2 ) η= ≈1 mL 2 Esta es la condición más efectiva para la transferencia de calor. Esto se consigue físicamente cuando: - La conductividad de la vara es muy alta. - El segmento que se expone a la atmósfera es corto. Para cualquiera de estos casos, se tendría entonces: Q ≅ 2 πRh G L 2 ( T1 − T0 ) Que es el mismo resultado que se obtuvo para el primer caso (nivel uno). De aquí se puede inferir que el primer modelo obtenido es válido solo cuando mL2<<1.

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES MÉTODOS MATEMÁTICOS El según do método para calcular la velocidad de transferencia de calor es haciendo una integración dela transferencia de calor local a lo largo de la vara: L2

Q = ∫ qdx = ∫ 2 πRh G ( T − T0 )dx

Donde T esta dada por la ecuación del perfil de temperatura ya obtenido. El estudiante puede verificar que la solución por este método es igual a la ya obtenida: tanh( mL 2 ) Q = 2 πRh G L 2 η( T1 − T0 ) donde : η= mL 2 La soluciones de los niveles uno y dos tienen una suposición en común: la temperatura de la vara en su parte sumergida es uniforme. La validez de esta suposición solo se sabrá al aumentar un nivel en la jerarquía del modelo. Nivel tres. En este nivel del modelamiento se modificará la suposición a), analizando los gradientes de temperatura en la vara para segmentas tanto arriba como debajo de la interfase del líquido.

Se tomará la temperatura bajo la interfase como T1, y la temperatura sobre la interfase como T11. Realizando los balances de energía unidimensionales para los dos segmentos de la vara se obtiene: d 2 T 1 2h L 1 ( T − T1 ) = Rk dx 2 y d 2 T 11

2 h G 11 ( T − T1 ) Rk dx Con un razonamiento similar al presentado en el nivel anterior, para las condiciones de frontera se tiene: dT 1 En x = -L 1 ; =0 dx dT 11 En x = L 2 ; =0 dx Teniendo en cuenta que la temperatura a lo largo de la barra debe ser continua se tienen las siguientes condiciones de frontera: 2

x=0;

T 1 = T 11

x=0;

dT 1 dT 11 = dx dx

La solución de las dos ecuaciones diferenciales es: T 1 = T1 + A cosh[n( x + L 1 )]

2h L Rk

T 11 = T0 + B cosh[m(L 2 − x )]

2h G Rk

Las constantes A y B son: B=

(T1 − T0 ) ⎤ ⎡ m senh(mL 2 ) cosh(nL 1 )⎥ ⎢cosh(mL 2 ) + n senh( nL 1 ) ⎦ ⎣ (T1 − T0 ) ⎤ ⎡ n senh( nL 1 ) cosh(mL 2 )⎥ ⎢cosh(nL 1 ) + m senh ( mL ) 2 ⎦ ⎣

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES MÉTODOS MATEMÁTICOS La velocidad de transferencia de masa puede calcularse con cualquiera de los dos métodos mencionados en el nivel anterior, es decir, utilizando el flujo de calor en x=0, o integrando a lo largo de la superficie. El resultado es: (T1 − T0 ) Q = 2 πRh G L 2 η ⎡ m tanh(mL 2 ) ⎤ ⎥ ⎢1 − n tanh(nL 1 ) ⎦ ⎣ Puede apreciarse la diferencia con la solución del nivel dos. Tener en cuenta los gradientes en ambas secciones de la barra, lleva a tener un flujo de calor menor al calculado en el nivel anterior donde la temperatura se consideró uniforme en la parte sumergida. Esto implica que la resistencia a la transferencia de calor que presenta la parte que esta dentro del líquido es despreciable respecto a la resistencia de la parte superior SOLO cuando: m tanh( mL 2 ) << 1 n tanh( nL 1 ) Cuando esta condición se cumple, el modelo obtenido en el nivel dos es valido. Esto es controlado por la h relación m n = ⎛⎜ G h ⎞⎟ L⎠ ⎝

1 /2

que siempre es menor que 1.

Lo que se ha visto en este ejercicio es simplemente que mayores niveles en el modelamiento llevan a mayor información acerca del sistema y proveen los criterios necesarios para hacer validos a los modelos de menor nivel. Por ejemplo, el nivel tres provee de un criterio para indicar cuando la resistencia a la transferencia de calor en la parte sumergida puede ser ignorada comparada con la resistencia superior; y el nivel provee de un criterio para indicar cuando es despreciable la conducción en la vara. El siguiente nivel de modelamiento pretenderá mostrar hasta que punto y bajo que condiciones los gradientes radiales se vuelven significantes; estro implica un dominio de las ecuaciones diferenciales parciales. Nivel cuatro.

r+∆r

x+∆x

x r

Es claro, que si el diámetro de la vara es significativo respecto a la longitud, los efectos radiales toman importancia. Se asumirá en este modelo que no hay resistencia al flujo de calor por debajo del nivel del líquido; como antes, se tomará la temperatura T=T1 cuando x ≤ 0 . Esto nos lleva a estudiar solo la porción que esta sobre la superficie. Tomando una porción diferencial como la mostrada en la figura, y realizando los balances en las direcciones axial y radial, se obtiene: (2 πr∆xq r ) r − (2 πr∆xq r ) r + ∆r + (2 πr∆rq x ) x − (2 πr∆rq x ) x + ∆x = 0 Dividiendo esta ecuación por 2 π∆r∆x y tomando límites se obtiene:

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES MÉTODOS MATEMÁTICOS ∂q ∂ − (rq r ) − r x = 0 ∂r ∂x Introduciendo la ley de Fourier en sus dos formas aplicables a este caso: ∂T ∂T ; ; q x = −k q r = −k ∂r ∂x Considerando a la conductividad térmica (k) uniforme, se obtiene: ⎡ 1 ∂ ⎛ ∂T ⎞ ∂ 2 T ⎤ k⎢ ⎜r ⎟+ 2 ⎥=0 ⎣ r ∂r ⎝ ∂r ⎠ ∂x ⎦ Esta es una ecuación en derivadas parciales elíptica. Las condiciones de frontera a utilizar son: ∂T En r = 0 ; =0 ∂r ∂T En r = R ; -k = h G ( T − T0 ) ∂r En x = 0 ; T = T1 ∂T En x = L 2 ; =0 ∂x La ecuación obtenida implica una simetría en el centro de la vara mientras que en la superficie curva la ley de Newton para el enfriamiento es aplicable. También esta implícito que no hay transferencia en el extremo plano de la vara.

Cuando se manejan ecuaciones “sencillas” (como las de los casos anteriores) la solución se puede obtener sin recurrir al proceso de “adimensionalización”. Sin embargo cuando se manejan ecuaciones como la obtenida en este nivel, para simplificar la notación durante el análisis, se hacen cambios de variable en función de parámetros del sistema. Para lograr esto, se introducen las siguientes variables adimensionales: T − T0 r x ξ= ζ= ; ; u= T1 − T0 R L2 ⎛ R ⎞ h R ⎟⎟ ∆ = ⎜⎜ (número de Biot) ; Bi = G k ⎝ L2 ⎠ La ecuación y las condiciones de frontera en términos de las variables adimensionales son: ∂2u 1 ∂ ⎛ ∂u ⎞ ⎟⎟ + ∆2 ⎜⎜ ξ =0 ξ ∂ξ ⎝ ∂ξ ⎠ ∂ζ 2

∂u =0 ∂ξ ∂u En ξ = 1 ; = −uBi ∂ξ En ζ = 0 ; u = 1 ∂u En ξ = 1 ; =0 ∂ζ Es claro que las variables independientes ( ξ y ζ ) están definidas de forma relativa a las longitudes máximas posibles para las variables x y r; R y L2 respectivamente. De otro lado, la forma en que se definió la “temperatura adimensional” u, pudo haberse realizado de otras formas, por ejemplo: T - T0 T − T0 T T u= ; u= ; u= ; u= ; y de otras formas T0 T1 T0 T1 La solución de la ecuación es: En ξ = 0 ;

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES MÉTODOS MATEMÁTICOS ⎡β ⎤ cosh ⎢ n (1 − ζ )⎥ ∞ 1 , K T − T0 n ⎣∆ ⎦ u= K n (ξ) = ∑ T1 − T 0 n =1 K n , K n ⎡βn ⎤ cosh ⎢ ⎥ ⎣∆ ⎦ Las funciones incluidas en esta solución son: K n (ξ) = J 0 (β n ξ) Y los muchos valores característicos (eigenvalores) se obtienen por ensayo y error de: β n J 1 (β n ) = BiJ 0 (β n ) Los otros grupos funcionales se define como: J (β ) 1, K n = 1 n βn 2 J 12 (β n ) ⎡ ⎛ β n ⎞ ⎤ 1 + ⎢ ⎜ ⎟ ⎥ 2 ⎢⎣ ⎝ Bi ⎠ ⎥⎦ Donde J0(β) y J1(β) son relaciones tabuladas llamas “funciones de Bessel”. De nuevo, como en los casos anteriores se procede a calcular el flujo de calor; utilizando el flujo de entrada en la posición x=0, se debe tener en cuenta la variación radial de la temperatura así que el elemento de área es 2πrdr. Entonces, la integración sobre una base total es: R ∂T ⎤ ⎡ Q = ∫ ⎢− k 2 πrdr ∂x ⎥⎦ x =0 ⎣ 0 En forma adimensional :

Kn ,Kn =

1 ⎛ ∂u( 0 ) ⎞ 2 πR 2 k ⎟ξdξ ( T1 − T0 )∫ ⎜⎜ − L2 ∂ζ ⎟⎠ 0⎝

El resultado final para la transferencia de calor es: 2 πR 2 k( T1 − T0 ) ∞ β n 1, K n Q= ∑ L2∆ n =1 K n , K n

⎛β ⎞ tanh⎜ n ⎟ ⎝ ∆ ⎠ Esto ilustra como la complejidad crece de manera apreciable a medida que las simplificaciones se eliminan. Para valores pequeños de Bi (Bi<<1), no es difícil mostrar que el eigenvalor más pequeño es:

β 1 ≅ (2Bi )1 / 2 La sustitución de este valor en la ecuación para el flujo de calor lleva a la misma ecuación obtenida en el nivel dos. Entonces, el cuarto modelo muestra que la conducción radial es despreciable cuando Bi<<1. En resumen, se ha ilustrado como una apropiada jerarquía del modelo fija los límites en los niveles inferiores.

Surge entonces una pregunta obvia: ¿Cuándo el modelo de un proceso es suficientemente bueno?. Esta no es una cuestión trivial, y solo puede ser resuelta completamente cuando los detalles económicos del diseño y la práctica son tenidas en cuenta. Aquí, se ha ilustrado de manera simple la jerarquía de un proceso simple, y como encontrar los límites de validez de cada nivel. En un análisis final el ingeniero debe decidir que es más importante entre la facilidad de solución y la preescisión. REFERENCIAS Bird, Stewart, y Lightfoot. Transport Phenomena. John Wiley & Sons, Inc., New York 1960. Carslaw y Jaeger. Conduction of Heat in Solids, 2nd ed., Oxford University Press, New York 1959. Rice. "Approximate Solutions for Batch, Packed Tube and Radial Flow Adsorbers—Comparison with Experiment," Chem. Eng. Sci. 37, 83-97 1982. Walas. Modeling with Differential Equations in Chemical Engineering. Butterworth-Heinemann, Boston 1991. Rice y Do. Applied Mathematics and Modeling for Chemical Engineers. John Wiley & Sons. 1995

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES MÉTODOS MATEMÁTICOS PRIMERA UNIDAD: CÁLCULO VECTORIAL CAPÍTULO DOS: CÁLCULO VECTORIAL LECCIÓN CUATRO. CALCULO VECTORIAL UTILIZANDO ALGEBRA INDICIAL. Para la descripción de los fenómenos de transporte (momentum, calor y masa), es fundamental el dominio de conceptos físicos involucrados y de métodos matemáticos para la solución de ecuaciones. Para comenzar, se hará una revisión de los cálculos vectoriales y de los operadores diferenciales presentando un tratamiento de algebra indicial; también se presentarán los tensores de segundo orden y los cálculos utilizando estos objeto matemáticos. No se hará un detalle exhaustivo de los temas pues estos pueden ser objeto de un curso completo. Debido a que los estudiantes de este curso son todos ingenieros, los temas que se expondrán son una revisión de la matemática vectorial. Algebra indicial. Una suma de N términos puede ser abreviada utilizando el símbolo de la suma n en la forma: N

S = a 1 b 1 + a 2 b 2 + a 3 b 3 + ..... + a N b N = ∑ a i b i i =1

Por la convención de Einstein, esta expresión puede ser abreviada a: S = ai bi para i = 1,2,3,......, N La convención de suma introducida por Einstein puede enunciarse como: “Siempre que dos y solamente dos índices de un término de un solo factor literal (caracterizado por dos índices literales), o de dos o mas factores (cada uno caracterizado por uno o más índices literales) se repiten, significa, suma de los términos, variando los índices repetidos en todo el campo de variación. Los índices repetidos son denominados “falsos” y los no repetidos “libres”. En caso de haber un índice repetido más de dos veces, para indicar que se trata de una suma, se debe escribir al final de la ecuación “suma en (número del índice repetido)” Representación de un vector en términos de sus componentes. r Sean ai, i=1,2,3 los componentes de un vector A , relativos a los ejes de un sistema cartesiano ortogonal cuyos r r r vectores unitarios son e 1 , e 2 , e 3 , el vector se puede expresar por la ecuación: r r A = Aiei i = 1,2,3 El delta de Kronecker y el símbolo de permutación. El delta de Kronecker es una entidad caracterizada por dos índices, por ser simétrica en relación a los índices y por tener los siguientes valores: ⎧1 si i = j δ ij = ⎨ ⎩0 si i ≠ j De esta definición se tienen las siguientes propiedades: δii = 3

δ ij δ jm = δ im El símbolo de permutación es una entidad caracterizada por tener tres índices y por poseer los siguientes valores: ⎧ 1 si i, j, k forman, en ese orden, una permutación para 1,2,3 ⎪ ε ijk = ⎨− 1 si i, j, k faoman, en ese orden, una permutación impar de 1,2,3 ⎪ 0 si dos indices son iguales. ⎩ 1 2

Permutación par de 1,2,3, sin los grupos (1,2,3),(3,1,2) y (2,3,1) Permutación impar de 1,2,3; sin los grupos (1,3,2), (2,1,3) y (3,2,1)

De la definición se tienen las siguientes propiedades: 1

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES MÉTODOS MATEMÁTICOS ε ijk ε lmk = ε ijk ε klm = ε kij ε lmk = ... = δ il δ jm − δim δ jl

ε ijk ε ljk = 2 δ il ε ijk ε ijk = 6 Notación de productos de vectores. r r r - Producto dos a dos de los vectores ortogonales e 1 , e 2 , e 3 , (en sistema dextrogiro): r r Pr oducto escalar : e i e j = δ ij r r r Pr oducto vectorial : e j × e k = ε ijk e i r r r r - Producto de dos vectores A = A i e i y B = B j e j : rr Pr oducto escalar : AB = A i B i r r r Pr oducto vectorial : A × B = ε ijk A j B k e i

También se puede escribir el componente j del producto: r r A × B i = ε ijk A j B k

[

]

Un modo simple y abreviado para escribir las ecuaciones que describen a los fenómenos de transporte es a través del uso de entidades matemáticas denominadas “gradiente de una función escalar”, “divergencia de una función vectorial” y “rotacional de una función vectorial”. La principal ventaja de utilizar estas entidades es que las ecuaciones son invariantes como las transformaciones de coordenadas espaciales. Estas entidades son definidas por medio de un operador vectorial diferencial denominado “nabla”, denotado por ∇ , cuya definición operacional en coordenadas rectangulares es: ∂ ∇ = ei i = 1,2,3 ∂x i x 1 = x, x 2 = y, x 3 = z Gradiente de una función escalar: Sea f(x1,x2,x3) una función escalar, definida y derivable en todo su dominio. El gradiente de f(x1,x2,x3) es una función vectorial obtenida aplicando el operador ∇ a la izquierda de f(x1,x2,x3). r ∂f ∇f = e i ∂x i O escribiendo solamente el componente i del vector ∇ f. ∂f (∇f ) i = i = 1,2 , 3 ∂x i Divergencia de una función vectorial: r r Sea V( x 1 , x 2 , x 3 ) una función vectorial, definida y derivable en todo su dominio. La divergencia de V es una r función escalar obtenida aplicando el operador ∇ a la izquierda de V( x 1 , x 2 , x 3 ) , por medio de multiplicación escalar: r ∂V ∇V( x 1 , x 2 , x 3 ) = i ∂x i Rotacional de una función vectorial: r r Sea V( x 1 , x 2 , x 3 ) una función vectorial, definida y derivable en todo su dominio. El rotacional de V es una r función vectorial obtenida aplicando el operador ∇ a la izquierda de V( x 1 , x 2 , x 3 ) , por medio de multiplicación vectorial: r r ∂Vk ∇ × V = e i ε ijk ∂x j O escribiendo solamente el componente i:

(∇ × Vr ) = ε i

ijk

∂Vk ∂x j

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Formulas y teoremas: r r Sean ϕ y ψ dos funciones escalares y V y W dos funciones vectoriales de x1, x2 y x3. Entonces se cumple: grad(ϕ + ψ ) = grad(ϕ) + grad(ψ ) r r r r div( V + W ) = divV + divW r r r r rot( V + W ) = rotV + rotW grad(ϕψ ) = ψgradϕ + ϕgradψ r r r div(ϕV ) = Vgradϕ + ϕdivV r r r rot(ϕV ) = gradϕ × V + ϕrotV r r r r r r r r r rot( V × W ) = ( W∇ )V − W(∇V ) − ( V∇ )W + V(∇W ) r r r r r r r r r grads( VW ) = ( W∇ )V + ( V∇ )W + W × (∇ × V ) + V × (∇ × W ) div(gradϕ) = ∇ 2 ϕ =

∂ 2ϕ ∂x 12

∂2ϕ ∂x 22

∂2ϕ ∂x 23

tambien llamado operador ∇ 2 u operador Laplaciano (∇ 2 ϕ), ó Laplaciano de ϕ.

rot(gradϕ) = 0 r div(rotV) = 0

r r rot(rotV) = grad(divV) - ∇ 2 V

Integrales que involucran funciones vectoriales. En la descripción de los fenómenos de transporte es frecuente la ocurrencia de integrales que involucran r r términos vectoriales. Sea F = F( x 1 , x 2 , x 3 ) una función vectorial definida en una región Ω o sobre una superficie Σ o sobre una curva Γ : r r I = ∫∫∫ F( x 1 , x 2 , x 3 )dV Ω

r r Ψ = ∫∫ F( x 1 , x 2 , x 3 )ndA Σ

r r W = ∫ F( x 1 , x 2 , x 3 )dr Γ

r Donde dV, dA y dr son respectivamente elementos de volumen en Ω , de área Σ y de vector de localización r sobre Γ y n el vector normal a la superficie Σ . La primera integral es un vector y las dos últimas escalares. Si la superficie Σ y la curva Γ fuesen cerradas, las dos últimas integrales se denotan respectivamente como: r r Ψ = ∫∫ F( x 1 , x 2 , x 3 )ndA Σ r r W = ∫ F( x 1 , x 2 , x 3 )dr Γ

Teorema de la divergencia de Gauss y teorema de Stokes.

r r Sea Ω un volumen cuya superficie de contorno es Σ(Ω) y sea F = F( x 1 , x 2 , x 3 ) una función definida en el interior y sobre Σ , entonces el teorema de la divergencia de Gauss garantiza que: r r r ∫∫ F( x 1 , x 2 , x 3 )ndA = ∫∫∫ divF( x 1 , x 2 , x 3 )dV

Σ( Ω )

Ω

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Sea Σ una superficie abierta cuyo contorno es una curva simple (curva sin intersecciones) Γ , y sea r r F = F( x 1 , x 2 , x 3 ) una función vectorial definida sobre Σ , entonces el teorema del rotacional de Stokes garantiza que:

[

]

r r r r ∫ F( x 1 , x 2 , x 3 )d r = ∫∫ rot F( x 1 , x 2 , x 3 ) ndA

Γ( Σ )

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES MÉTODOS MATEMÁTICOS PRIMERA UNIDAD: CÁLCULO VECTORIAL CAPÍTULO DOS: CÁLCULO VECTORIAL LECCIÓN SEIS. Tensores de segundo orden En esta lección se presentarán nociones elementales de tensores de segundo orden y de los cálculos que involucran estas cantidades, con miras a la comprensión de textos de mecánica de fluidos y te fenómenos de transporte en general. Un tensor de segundo orden, en una definición sencilla es la multiplicación de dos vectores. Representación de un tensor de segundo orden.

r r r r Sean dos vectores V = Vi e i y W = Wj e j , descritos en coordenadas cartesianas. Efectuando la multiplicación simple de estos vectores se obtiene: r r r r r r r r r r r r VW = Vi Wj e i e j = V1 W1 e 1 e 1 + V1 W2 e 1 e 2 + V1 W3 e 1 e 3 + V2 W1 e 2 e 1 + r r r r r r r r r r V2 W2 e 2 e 2 + V2 W3 e 2 e 3 + V3 W1 e 3 e 1 + V3 W2 e 3 e 2 + V3 W3 e 3 e 3 Observe que el resultado de la multiplicación no es ni un escalar ni un vector sino muna entidad con nueve términos compuestos de factores del tipo vector unitario € y del tipo escalar (V,W), con i y j variando de 1 a 3. r r Los factores e i e j se denominan díadas y Vi Vj se llaman coeficientes numéricos. El producto resultante de la

multiplicación es denominado representación diádica de un tensor de segundo orden. Entonces, un tensor de segundo orden puede ser denotado con dos flechas de vector, de la siguiente manera: rr r r r r r r r r r r τ = τ ij e i e j = τ 11 e 1 e 1 + τ 12 e 1 e 2 + τ 13 e 1 e 3 + τ 21 e 2 e 1 + τ 22 e 2 e 2 + r r r r r r r r τ 23 e 2 e 3 + τ 31 e 1 e 3 + τ 23 e 2 e 3 + τ 33 e 3 e 3

r r Las díadas e i e j , donde i y j varían de 1 a 3, constituyen la base de la representación diádica de un tensor de rr rr segundo orden. Dos tensores σ y τ son iguales solamente si σ ij = τ ij para todos los pares ij, con i y j variando de a 3.

r r r r La multiplicación que representa VW ó V ⊗ W se denomina producto tensorial de dos vectores. Para algunas finalidades es conveniente escribir el tensor de segundo orden en forma de una matriz de 3x3 como sigue: ⎛τ rr ⎜ 11 τ = ⎜ τ 21 ⎜τ ⎝ 31

τ 12 τ 22 τ 32

τ 13 ⎞ ⎟ τ 23 ⎟ τ 33 ⎟⎠

Definiciones. rr rr Un tensor transpuesto de τ denotado por τ T es también un tensor: ⎛ τ 11 τ 21 τ 31 ⎞ rr ⎜ ⎟ T τ = ⎜ τ 12 τ 22 τ 32 ⎟ ⎜τ ⎟ ⎝ 13 τ 23 τ 33 ⎠

Un tensor es denominado simétrico si τ ij = τ ji y antisimétrico si τ ij = −τ ji Un tensor unitario es por definición un tensor de la siguiente forma:

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES MÉTODOS MATEMÁTICOS rr ⎛⎜ 1 0 0 ⎞⎟ 1 = ⎜0 1 0⎟ ⎜ 0 0 1⎟ ⎝ ⎠

De forma similar, una díada unitaria puede ser por ejemplo: ⎛1 0 0⎞ ⎜ ⎟ r r e 1e 1 = ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎜0 0 0⎟ ⎝ ⎠

⎛0 0 0⎞ ⎜ ⎟ r r e2e2 = ⎜0 1 0⎟ ⎜0 0 0⎟ ⎝ ⎠

⎛0 1 0⎞ ⎜ ⎟ r r e 1e 2 = ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎜0 0 0⎟ ⎝ ⎠

⎛0 0 0⎞ ⎜ ⎟ r r e 3e 2 = ⎜ 0 0 0 ⎟ ⎜0 1 0⎟ ⎝ ⎠

Operaciones con tensores de segundo orden.

La adición de dos tensores de segundo orden es: ⎛ σ + τ 11 rr rr ⎜ 11 σ + τ = ⎜ σ 21 + τ 21 ⎜σ + τ 31 ⎝ 31

σ 12 + τ 12 σ 22 + τ 22 σ 32 + τ 32

σ 13 + τ 13 ⎞ ⎟ σ 23 + τ 23 ⎟ σ 33 + τ 33 ⎟⎠

rr La multiplicación de un tensor de segundo orden por un escalar, aτ es un tensor de segundo orden cuyos componentes son multiplicados por a.

r r La multiplicación escalar de díadas o contracción de díadas: ya que e i e j = δ ij donde δ ij es el delta de Konecker: r r r r r r r r e i e j ⋅ e k = e i δ jk e i ⋅ e j e k = e k δ ij r r r r r r r r r r e i e j ⋅ e k e l = e i e l δ jk e i e j : e k e l = δ il δ jk La multiplicación escalar de un tensor de segundo orden por un vector: rv r r r r rv τv = τ ij Vj e i vτ = Vi τ ij e j La multiplicación escalar de dos tensores de segundo orden es: rr rr r r r r r r r r σ ⋅ τ = ( σ ij e i e j ) ⋅ ( τ kl e k e l ) = σ ij τ kl e i e l δ jk = σ il τ kl e i e l rr rr r r r r σ ⋅ τ = ( σ ij e i e j ) : ( τ kl e k e l ) = σ ij τ kl δ il δ jk = σ ij τ ji Aplicaciones del operador nabla sobre vectores y tensores de segundo orden.

Sobre un vector (gradiente de un vector) r r ⎛r ∂ ⎞ r ∂Vj r r ⎟⎟( Vj e j ) = gradV = ∇V = ⎜⎜ ei eie j ∂x i ⎝ ∂x i ⎠ Sobre un tensor de segundo orden (divergencia del tensor de segundo orden) rr rr ⎛ r ∂ ⎞ ∂τ jk r r r ⎟⎟ ⋅ ( τ jk e j e k ) = divτ = ∇τ = ⎜⎜ ei δ ij e k ∂x i ⎝ ∂x i ⎠

Teorema de la divergencia para un tensor de segundo orden: rr r rr ∫∫∫ divτdV = ∫∫ n ⋅ τdA Ω

Σ( Ω )

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES MÉTODOS MATEMÁTICOS Representación gráfica del tensor de segundo orden:

En mecánica de fluidos, la fuerza de superficie es descrita en términos de un tensor de tensiones de fuerzas por unidad de área. Los índices son característicos de la siguiente forma: el primero corresponde al índice el eje coordenado donde la componente de fuerza es normal a la superficie; y el segundo corresponde al eje coordenado al cual la componente de fuerza es paralela a la superficie.

τ33

τ32

τ31

τ23 τ21

τ22

X2 τ13 X1

τ11

τ12

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES MÉTODOS MATEMÁTICOS PRIMERA UNIDAD: CÁLCULO VECTORIAL CAPÍTULO TRES: SISTEMAS DE COORDENADAS CURVILÍNEAS ORTOGONALES. LECCIÓN SIETE. SISTEMA DE COORDENADAS CURVILINEAS. Las ecuaciones que describen las dimensiones y las propiedades geométricas de un cuerpo y las ecuaciones que describen un fenómeno físico, pueden ser muy simplificadas eligiendo el sistema de coordenadas adecuadas. Por ejemplo, para describir las propiedades físicas o geométricas de un paralelepípedo, se debe adoptar un sistema de coordenadas cartesianas rectangulares, cuyos ejes y direcciones sean escogidos adecuadamente para poder aprovechar al máximo las simetrías existentes. De igual manera cuando se tiene un fenómeno en un al interior de un tubo cilíndrico, en donde el fenómeno tiene simetría con el eje, lo mas adecuado será seleccionar un sistema de coordenadas cilíndricas. Las definiciones y las propiedades de los sistemas de coordenadas que se presentan aquí, son absolutamente generales, pudiéndose por tanto, ser utilizadas en cualquier sistema de coordenadas curvilíneas ortogonales. Generalidades. Seas

tres

superficies

ξ1 = C1 , ξ2 = C 2 , ξ3 = C 3

que

cortan

dos

ξ 1 = int(ξ 2 = C 2 , ξ 3 = C 3 ), ξ 2 = int(ξ 1 = C 1 , ξ 3 = C 3 ) y ξ 3 = int(ξ 1 = C 1 , ξ 2 = C 2 ) ,

son

dos.

Las

curvas

denominadas

curvas

coordinas y las superficies coordenadas ξ 1 = C 1 , ξ 2 = C 2 , ξ 3 = C 3 . Las curvas ξ i = C i , son las tres líneas que definen un sistema de coordenadas curvilíneas. La siguiente figura representa un sistema de coordenadas cartesianas (x1,x2,x,3) y curvilíneas (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) .

ξ 2 = C2

r r

ξ3

ξ1 = C1

ξ1

ξ2

ξ 3 = C3

En relación al sistema cartesiano xi, i=1,2,3, los puntos sobre las curvas coordenadas ξ i , j = 1,2 ,3 , pueden ser r r r descritos por el vector de posición, r = x i e i = r(ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) . Se cumple que, si las curvas

ξ 1 = C 1 , ξ 2 = C 2 , ξ 3 = C 3 representan a un sistema de coordenadas curvilíneo generalizado, los vectores r r r a 1 , a 2 , a 3 son ortogonales entre sí.

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES MÉTODOS MATEMÁTICOS Vectores de los ejes. Sea P un punto de coordenadas (x1,x2,x,3) y (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) , para un sistema de coordenadas curvilíneas es común definir los siguientes vectores: - Tangentes a los ejes coordenados en el punto P. r ∂r r ∂ξ a i = ri i = 1,2,3 ∂r ∂ξ i r En el sentido positivo de a i y en el sentido creciente de la coordenada ξ i . -Normales a las superficies coordenadas en el punto P. r ∇ξ i bi = i = 1,2,3 ∇ξ i r r El vector b i es un vector normal a la superficie coordenada, ξ i = C i en el punto P. En el sentido positivo de b i y de la normal a la superficie. Los sistemas de coordenadas curvilíneas en que las tres superficies coordenadas sean ortogonales, dos a dos, son r r denominados “sistemas de coordenadas curvilíneas ortogonales”. En estos sistemas los vectores a i y b i son coincidentes. r r En vez de trabajar con la base normalizada ( a i y b i ) es común trabajar con las bases: r r ∂r gi = (base natural) ∂ξ i r g j = ∇ξ i (base dual o reciproca)

Bases covariante y contravariante.

r r Si las coordenadas ξ i fueran transformadas para ξ i , las bases g i y g j serán transformadas respectivamente a: r r ∂ξ r r ∂r ∂ξ k ∂r = = k gi gi = ∂ξ i ∂ξ i ∂ξ k ∂ξ i r ∂ξ ∂ξ r g j = ∇ξ i = i ∇ξ k = i g k ∂ξ k ∂ξ k En las dos ecuaciones anteriores, las repeticiones en k indican la suma de 1 a 3. Observe que las matrices de ∂ξ k ∂ξ i transformación de las bases natural y dual, son respectivamente . Los vectores que transforman la y ∂ξ k ∂ξ i primera ecuación son llamados “covariantes” y os que transforman la segunda ecuación se llaman “contravariantes”. Así, la base natural es denominada “base covariante”” y la base dual “base contravariante”. r r Un vector puede ser descrito en términos de la base natural, g i , o de la base dual g j . Los componentes de los r r términos de g i son denominados “componentes contravariantes” y los referentes a la base g j , “componentes covariantes”. Se denominan “componentes físicos” a los componentes de un vector descrito en términos de las r r bases a i y b i . 2

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES MÉTODOS MATEMÁTICOS Elemento de arco.

x3 El elemento de vector de localización es:

r r

r r dr = e i dx i = g i dξ i

r r r + ∆r

Y el elemento de arco es:

(ds)2 = dr ⋅ dr = gv i g j dξ i dξ j

r ∆r

con suma en i y en j

En el sistema curvilíneo ortogonal r r g i g j = 0, e i ≠ j Factor de escala.

En el estudio de sistemas de coordenadas curvilíneas, una de las cantidades importantes es el factor de escala, definido por la ecuación: r ∂r hi = ∂ξ j Las coordenadas cartesianas xi y en las curvilíneas ξ i un mismo punto están relacionadas a través de las ecuaciones: x i = x i (ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) ξ i = ξ i ( x 1 ,x 2 , x 3 ) O viceversa. De las ecuaciones anteriores se obtienen: ⎡⎛ ∂x 1 hi = ⎢⎜⎜ ⎢⎝ ∂ξ i ⎣

⎞ ⎛ ∂x ⎟ +⎜ 2 ⎟ ⎜ ∂ξ ⎠ ⎝ i

⎞ ⎛ ∂x ⎟ +⎜ 3 ⎟ ⎜ ∂ξ ⎠ ⎝ i

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎤2 ⎥ ⎥ ⎦

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

⎤2 ⎥ ⎥ ⎦

hi = ⎡⎛ ∂ξ ⎢⎜ i ⎢⎜⎝ ∂x 1 ⎣

⎞ ⎛ ∂ξ ⎟ +⎜ i ⎟ ⎜ ∂x ⎠ ⎝ 2

⎛ ∂ξ ⎞ ⎟ +⎜ i ⎟ ⎜ ∂x ⎠ ⎝ 3

r Derivada de los vectores a i en relación a ξ i . r Los vectores a i de un sistema de coordenadas curvilíneas, al contrario de los vectores de un sistema cartesiano, dependen de las coordenadas, por tanto, sus derivadas no son nulas. Para sistemas de coordenadas ortogonales tales derivadas son: r r r a ∂h i a r ∂h i ∂a i , n ≠ i, n ≠ r, r ≠ i =− n − h n ∂ξ n h r ∂ξ r ∂ξ i r r ∂a i a ∂h n = n , n≠i ∂ξ n h i ∂ξ i

Los índices repetidos en las dos últimas ecuaciones, no indican suma. De las ecuaciones anteriores se obtiene: 3

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES MÉTODOS MATEMÁTICOS r r r a 2 ∂h 1 a 3 ∂h 1 ∂a 1 =− − h 2 ∂ξ 2 h 3 ∂ξ 3 ∂ξ 1

r r r a 1 ∂h 2 a 3 ∂h 2 ∂a 2 =− − h 1 ∂ξ 1 h 3 ∂ξ 3 ∂ξ 2 r r ∂a 1 a 3 ∂h 2 = ∂ξ 2 h 1 ∂ξ 1

r r r ∂a 3 a ∂h 3 a 2 ∂h 3 =− 1 − ∂ξ 3 h 1 ∂ξ 1 h 2 ∂ξ 2 r r ∂a 1 a 3 ∂h 3 = ∂ξ 3 h 1 ∂ξ 1

r r ∂a 2 a ∂h 1 = 1 ∂ξ 1 h 2 ∂ξ 2

r r a ∂h 3 ∂a 2 = 3 ∂ξ 3 h 2 ∂ξ 2

r r ∂a 3 a ∂h 1 = 1 ∂ξ 1 h 3 ∂ξ 3 r r ∂a 3 a 2 ∂h 2 = ∂ξ 2 h 3 ∂ξ 3

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES MÉTODOS MATEMÁTICOS PRIMERA UNIDAD: CÁLCULO VECTORIAL CAPÍTULO TRES: SISTEMAS DE COORDENADAS CURVILÍNEAS ORTOGONALES. LECCIÓN OCHO. Gradiente, divergencia, rotacional y laplaciano en coordenadas curvilíneas ortogonales. Una de las principales ventajas de expresar una ecuación que gobierna determinado fenómeno, en términos del gradiente, la divergencia, el rotacional o el laplaciano, es que un cambio en el sistema de coordenadas no modifica la forma de la ecuación en cuestión. Por ejemplo, en un sistema cartesiano una ley dada se expresa por r la ecuación, div(q ) = 0 , esta ecuación será invariante para cualquier sistema de coordenadas sea cartesiano o r curvilíneo. Lo que puede cambiar es la forma de la expresión de div(q ) . Así, es de mucha importancia el conocimiento de las ecuaciones que expresan el gradiente, la divergencia, el rotacional y el laplaciano en sistemas de coordenadas curvilíneas. De ecuaciones ya vistas en el curso se puede obtener: * Para el gradiente de una función escalar ϕ = ϕ(ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) : r a ∂ϕ ∇ϕ = i suma en i, i = 1,2,3 h i ∂ξ i Donde el componente i de grad(ϕ) es: (∇ϕ) i =

1 ∂ϕ h i ∂ξ i

no es suma en i

r r *Para la divergencia de una función vectorial V = V(ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) :

r ∇V =

h h h V ∂⎛⎜ 1 2 3 i h ⎞⎟ 1 1 i⎠ ⎝ = h 1h 2 h 3 h 1h 2 h 3 ∂ξ i

⎡ ∂( h 2 h 3 Vi ) ∂( h 1 h 3 Vi ) ∂( h 1 h 2 Vi ) ⎤ + + ⎢ ⎥ ∂ξ 1 ∂ξ 2 ∂ξ 3 ⎣ ⎦

r r * Para el rotacional de una función vectorial V = V(ξ 1 , ξ 2 , ξ 3 ) :

(∇ × Vr ) = h h1 h 1

∂( h k Vk ) r a i h i ε ijk ∂ξ j

suma en i, j y k de 1 a 3.

O escribiendo solamente el componente i del rotacional: r ∂( h k Vk ) 1 ∇×V i = h i ε ijk suma en j y k de 1 a 3, pero no suma en i h 1h 2 h 3 ∂ξ j

(

)

* Para el operador laplaciano: ∇ ⋅ ∇ = ∇2 =

∇2 =

∂ ⎛⎜ h 1 h 2 h 3 ∂ ⎞⎟ 1 ∂ξ i ⎟⎠ h 1 h 2 h 3 ∂ξ i ⎜⎝ h i2

1 h 1h 2 h 3

⎡ ∂ ⎢ ⎢⎣ ∂ξ 1

⎛ h2h3 ∂ ⎞ ∂ ⎜⎜ ⎟⎟ − ⎝ h 1 ∂ξ 1 ⎠ ∂ξ 2

suma en i de 1 a 3

⎛ h 1h 3 ∂ ⎞ ∂ ⎜⎜ ⎟⎟ + ⎝ h 2 ∂ξ 2 ⎠ ∂ξ 3

⎛ h 1 h 2 ∂ ⎞⎤ ⎟⎥ ⎜ ⎟ ⎜ h ⎝ 3 ∂ξ 3 ⎠⎥⎦

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES MÉTODOS MATEMÁTICOS PRIMERA UNIDAD: CÁLCULO VECTORIAL CAPÍTULO TRES: SISTEMAS DE COORDENADAS CURVILÍNEAS ORTOGONALES. LECCIÓN NUEVE. Sistemas especiales de coordenadas curvilíneas ortogonales. Coordenadas cilíndricas circulares. Este sistema de coordenadas es definido por las siguientes superficies coordenadas: - Una superficie cilíndrica de radio ξ 1 = r = C 1 cuyo eje es el eje x3 del sistema cartesiano x1,x2,x3. - Una superficie plana que forma un ángulo ξ 2 = ϕ = C 2 constante con el plano x1x3 , y - una superficie ξ 3 = x 3 = C 3 constante. Las tres superficies son ortogonales dos a dos. Coordenadas:

ξ 1 = r , ξ 2 = ϕ,

Vectores:

r r r r a1 = ar , a2 = aϕ ,

Ecuaciones de transformación: x 1 = x = r cos ϕ ; Rangos de variación de las coordenadas: r≥0 ; Factores de escala:

h1 = hr = 1

ξ3 = x3 = z r r a3 = e3

x 2 = y = rsenϕ 0 ≤ ϕ ≤ 2π ;

;

h2 = hϕ = r

x3 = z

-∞≤z≤∞

h3 = hz = 1

;

Elemento de volumen: dVol = rdrdϕdz

Gradiente de una función ψ :

r r ∂ψ a ϕ ∂ψ r ∂ψ ∇ψ = a r + + az ∂r r ∂ϕ ∂z

r Divergencia de un vector V : r 1 ⎡ ∂(rVr ) ∂Vϕ ∂(rVz ) ⎤ ∇⋅V = ⎢ + + ⎥ r ⎣ ∂r ∂ϕ ∂z ⎦ r 1 ∂(rVr ) 1 ∂Vϕ 1 ∂(rVz ) ∇⋅V = + + r ∂r r ∂ϕ r ∂z Laplaciano de una función ψ : ∇2ψ =

1 ∂ ⎛ ∂ψ ⎞ 1 ∂ 2 ψ ∂ 2 ψ + ⎜r ⎟+ r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r 2 ∂ϕ 2 ∂z 2

ó:

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Coordenadas esféricas. Este sistema de coordenadas es definido por las siguientes superficies coordenadas: - Una superficie esférica de radio ξ 1 = r = C 1 cuyo eje es el centro del sistema cartesiano x1,x2,x3. - Una superficie plana que forma un ángulo ξ 2 = θ = C 2 constante con el plano x1x3 ,y - una superficie plana que forma un ángulo ξ 3 = ϕ = C 3 variante en el plano x2x3. Las tres superficies son ortogonales dos a dos. Coordenadas:

ξ 1 = r , ξ 2 = θ,

Vectores:

r r r r a1 = ar , a2 = aθ ,

Ecuaciones de transformación: x 1 = x = rsenθ cos ϕ ; Rangos de variación de las coordenadas: r≥0 ; Factores de escala:

h1 = hr = 1

r r a3 = aϕ

x 2 = y = rsenθsenϕ 0≤θ≤π ;

h2 = hθ = r

;

ξ3 = ϕ

x 3 = z = r cos θ

0 ≤ ϕ ≤ 2π

;

h 3 = h φ = rsenθ

Elemento de volumen: dVol = r 2 senθdrdϕdθ

Gradiente de una función ψ :

r r a ϕ ∂ψ r ∂ψ a θ ∂ψ ∇ψ = a r + + ∂r r ∂θ rsenθ ∂ϕ

r Divergencia de un vector V : r ∇⋅V =

⎡ ∂(r 2 senθVr ) ∂(rsenθVθ ) ∂(rVϕ ) ⎤ + + ⎢ ⎥ ∂r ∂θ ∂ϕ ⎦⎥ r 2 senθ ⎣⎢ 1

Laplaciano de una función ψ : ∇2ψ =

1 ∂ ⎛ 2 ∂ψ ⎞ ∂2ψ 1 ∂ ⎛ ∂ψ ⎞ 1 r θ + sen + ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ∂θ ⎠ r 2 sen 2 θ ∂ϕ 2 ∂r ⎠ r 2 senθ ∂θ ⎝ r 2 ∂r ⎝

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES MÉTODOS MATEMÁTICOS SEGUNDA UNIDAD: FORMULACIÓN INTEGRAL Y DIFERENCIAL CAPÍTULO CUATRO: FUNCIONES ESPECIALES. LECCIÓN DIEZ. TRANSFORMACIONES DE LAPLACE. La transformada de Laplace puede utilizarse para solucionar ecuaciones diferenciales ordinarias y parciales. Es ideal para problemas de valor inicial, y muy útil para resolver sistemas de ecuaciones simultaneas. El primer paso para aplicar la transformada de Laplace es aprender como realizar la primera integración:

Lf ( t ) = ∫0∞ e − st f( t )dt = f(s)

Esencialmente, esta expresión integra el tiempo en la relación y lo reemplaza por una variable s (que pertenece al dominio de la variable compleja). Para ecuaciones diferenciales ordinarias, la operación reduce al problema al campo del algebra. La transformada de Laplace de una función f(t) se define como los valores positivos de t en función de una nueva variable s, según la integral de la primera ecuación. La función más sencilla es una constante K: ∞

K s 0 Entonces, es claro que cuando en el campo de la transformada se tenga a/s, en la inversión que se denota como L−1 (a / s) , se obtendrá a. L[K ] = ∫ Ke −st =

Propiedades de la transformada. La TL, existe si f(t) satisface las siguientes condiciones: -

f(t) es continua o continua a trozos en el intervalo de trabajo (de valores positivos) t n f( t ) n esta limitado cerca de t=0 cuando se aproxima desde los valores positivos de t, para cualquier

n, donde n <1. e − so t f( t ) Es acotada para valores grandes de t para cualquier número so.

La función f(t) es continua a trozos en el rango t 1 ≤ t ≤ t 2 si es posible dividir el rango en un número finito de intervalos de tal forma que f(t) sea continua en cada intervalo y se aproxime a valores finitos a medida que se acerca al limite de cada intervalo. De la definición, se pueden extraer las siguientes propiedades: Propiedad de transformación lineal: L{af( t ) + bg( t )} = af(s) + b(g(s) Transformación de derivadas: Realizando una integración por partes se puede obtener: 2 ⎧⎪ d n f( t ) ⎫⎪ ⎡ n −1 d n −1 f (0 + ) ⎤ n n − 2 df ( 0 + ) n − 3 d f(0 + ) L⎨ s f ( s ) s f ( 0 ) s s .... = − + + + + + ⎥ ⎢ ⎬ dt ⎪⎩ dt n ⎪⎭ dt 2 dt n −1 ⎦⎥ ⎣⎢ (0+ ) significa : " evaluado en cero"

1 Se ofrece disculpas al estudiante, el símbolo de la transformada de la place es un “ele” mayúscula estilizada que no se encuentra disponible en el editor de ecuaciones, por lo cual se empleará la “L”.

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES MÉTODOS MATEMÁTICOS Esta ecuación es una de las propiedades más útiles de la transformada de Laplace. Esta relaciona la transformada de la n-ésima derivada de f(t) a la transformada de f(t) junto a valores numéricos de la derivada de menor orden a medida que esta se aproxima a cero (para valores positivos). Cuando la transformada de Laplace se utiliza para resolver ecuaciones diferenciales, es en la ecuación presentada donde se incluyen las condiciones de frontera, lo cual arroja una ventaja adicional cuando se conoce el valor de frontera en t=0. Las condiciones en las que la propiedad presentada en la última ecuación es válida son: - si la primera derivada de f(t) es continua en el intervalo 0 a t2. - Si es al menos continua a trozos en e intervalo 0 a t2. - Si f(t) y sus primeras n derivadas son de “orden exponencial”.2 La transformación de un integral se logra por partes y se obtiene (válido si Lf(t) existe): ⎧t ⎫ L ⎨ ∫ f( t )dt ⎬ = ⎩0 ⎭ t ⎧ ⎫ L ⎨ ∫ f( t )dt ⎬ = ⎩a ⎭

Propiedad de traslado de la transformada:

{

1 f(s) s

1 1a f(s ) − ∫ f( t )dt s s0

}

L e at f( t ) = f(p − a) Esta ecuación establece que la transformada de un producto e at f( t ) se obtiene reemplazando s por s-a n la transformada de f(t). Si: t<a ⎧0 f( t ) = ⎨ t≥a ⎩g( t − a ) f(s) = e −ap g (s) La utilidad de la expresión anterior se presenta cuando una función f(t) es cero para todos los valores de t menores a un valor positivo a, y es de la forma g(t-a) para t ≥ a, entonces la transformada de esta función se encuentra como el producto de e −as y la transformada de g(t).

La transformada inversa. En la práctica, la mayor dificultad del método de la transformada de Laplace es determinar la función que corresponde a la expresión encontrada en función de s. Entonces, f( s) es relativamente fácil de encontrar y el paso final es la determinación de “la transformada inversa de Laplace f(t)”. El proceso de inversión es único pues a una función f(t) corresponde una transformada f( s) . Sin embargo no todas las funciones en el dominio de “s” son funciones susceptibles de ser transformadas. Aun así, si f(s) tiende a cero a medida que s tiende a infinito y sf(s) es acotada a medida que s tiende a infinito, entonces f( s) es la transformada de alguna función f(t) que es al menos continua a trozos en un intervalo 0 ≤ t ≤ t 2 y es de orden exponencial. Cuando el valor inicial de f(t) se necesita y f( s) es conocida, lo siguiente es útil: Lim sf ( s ) = f( 0 + ) s→∞

Al continuación se presenta una tabla resumen de transformadas comunes.

El orden exponencial se cumple cuando e − s o t f ( t ) es limitada para valores altos de t.

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES MÉTODOS MATEMÁTICOS ∞

Transformada f(s) = ∫ e −st f( t )dt

Función f(t)

1 s 1

s2 1

t n −1 (n − 1) !

n = 1,2,3,.....

πt

s 3 /2 1

2 n t n −1 / 2

n = 1,2,3,...

s n +1 / 2 Γ( k )

[1x3x5x....( 2 n − 1)]

1 s−a 1

e at te at

(s − a )2 1

(s − a )

n = 1,2 ,3 ,...

1 t n −1 e at ( n − 1)!

k>0

t k −1 e at

Γ( k )

(s − a )k 1

(s − a )(s − b ) s

(s − a )(s − b ) 1 (s − a )(s − b )(s − c )

t k −1

k>0

t π

(

)

1 e at − e bt a−b 1 ae at − be bt a−b

a≠b

(

a≠b

)

− ( b − c)e at + ( c − a )e bt + ( a − b)e ct ( a − b)( b − c)( c − a )

a≠b≠c

Para que el estudiante pueda profundizar, en la carpeta correspondiente al capítulo cuatro encontrara el capítulo sexto del libro “Ecuaciones diferenciales aplicadas” de Murray Spiegel (Prentice Hall-1983).

seis soluciol’n de ecuaciones difererkales por transformadas de Laplace

INTRODUCCION A L

METODO D E L A S T R A N S F O R M A D A S

D E LAPLACE 1.1

Motivación

por

las

transformadas

Laplace

1.2 Definición y e j e m p l o s d e l a t r a n s f o r m a d a d e Laplace 1.3

Propiedades

adicionales

las

transformadas

Laplace 1.4 La Función gamma 1.5

Observaciones

concernientes

transformadas

existencia

las

Laplace

1.6 La función salto unidad de Heaviside 2. 3.

FUNCIONES IMPULSO Y LA FUNCION DELTA DE DIRAC APLICACION DE LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE ECUACIONES 3.1

Solución

ecuaciones

Transformadas 3.2

DIFERENCIALES

Algunos

métodos

para

diferenciales

sencillas.

de Laplace

inversas

hallar

transformadas

inversas

Laplace 3.3

Observaciones

concernientes

existencia

unicidad

de las transformadas inversas de Laplace 4.

APLICACIONES 4.1

Aplicaciones

PROBLEMAS a

circuitos

FISICOS

BIOLOGICOS

eléctricos

4.2 Una aplicación a biología 4.3

problema

integral 4.4

Aplicaciones

tautbcrono-aplica&%

de una ecuación

mecánica involucrando

función

delta

4.5 Una aplicación a la teoría de control automático y servomecanismos

260

, 4

1 Introduccibn a l m é t o d o d e l a s transformadas de Laplace 1.1 MOTIVACION

POR LAS TRANSFORMADAS DE LAPLACE

En los capítulos anteriores el estudiante aprendió cómo resolver ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes sujetas a condiciones dadas llamadas de frontera o condiciones iniciales. Se recordará que el método consiste en encontrar la solución general de las ecuaciones en términos de un número de constantes arbitrarias y luego determinar estas constantes de las condiciones dadas. Durante el siglo XIX estuvo de moda para científicos e ingenieros, encabezados y motivados por el ingeniero electricista Heaviside, usar métodos de operador tales como los descritos en las páginas 207-215 para resolver varios problemas involucrando ecuaciones diferenciales. En estos métodos los operadores fueron tratados como símbolos algebraicos y las ecuaciones resultantes fueron manipuladas de acuerdo a las reglas del álgebra (vea, por ejemplo, el Ejemplo ilustrativo 13, página 210). Admirablemente, los métodos condujeron a respuestas correctas. Estos éxitos motivaron a científicos e ingenieros a usar los métodos aún más, e incitaron a la retórica de parte de algunos matemáticos quienes no gustaban de ver tales ciegas manipulaciones matemáticas gratificadas con el éxito. Comentarios demeritando los procedimientos no rigurosos se contestaban con observaciones tales como “iDebe uno entender el proceso de la digestión para poder comer?” y “Esta serie es divergente; por tanto debe tener algún uso práctico”. Algunos matemáticos inquietos, viendo que las manipulaciones algebraicas sí conducían a resultados correctos> razonaron que debería haber alguna manera de colocar los procedimientos en una base matemática rigurosa. La investigación hacia este objetivo condujo al poderoso método de las transformadas de Luplace, el cual examinamos en este capítulo. Este método tiene varias ventajas sobre otros métodos. Primero, usando el método podemos, como en el enfoque de Heaviside, transformar ecuaciones diferenciales dadas en ecuaciones algebraicas. Segundo, cualesquiera condiciones iniciales dadas automáticamente se incorporan en el problema algebraico de modo que no se necesita hacer ninguna consideración especial sobre ellas. Finalmente, el uso de tablas de transformadas de Laplace pueden reducir el .trabajo de obtener soluciones lo mismo que las tablas de integrales reducen el trabajo de integración. Las transformadas de Laplace tienen muchas otras aplicaciones además de resolver ecuaciones diferenciales, tales como la. evaluación de integrales y la solución de ecuaciones integrales, y examinaremos algunas de ellas, posteriormente en el capítulo.* Con una visión hacia tales aplicaciones, dirigimos nuestra atención a la definición y ejemplos de la transformada de Laplace.

*Las transformadas de Laplace son también de interés teórico en sí mismas. Ver (301 por ejemplo.

Solución de ecuaciones diferenciales por transformadas de

Laplace

261

1.2 DEFINICION

Y EJEMPLOS,DE LA TRANSFORMADA DE LAPLACE

Sea F(t), t > 0 dada. La transformada de Laplace de F(t) se define como*

f(s) = Y(F(t)} = Jom e-“‘F(t)dt donde s es un parámetro real.** El símbolo 2’ se llama el operador de la transformada de Laplace. La integral impropia en (1) se define como lím

M+m

M e-“‘F(t)& sO

(2)

y la transformada de Laplace se dice que existe o no de acuerdo a si el límite existe o no. Si (2) existe decimos que la integral converge. Condiciones bajo las cuales la transformada de Laplace existe se discuten en la página 267. Usando la definición (1) podemos encontrar la transformada de Laplace de varias funciones como se indica en la tabla en la contraportada posterior. t EJEMPLO

ILUSTRATIVO

Encuentre (a) .P’{ l), (b) T(P). Solución a (a) 2?{1) = Jom e-“‘(l)& = Mí-“, Jo” e-“’ = lím 1 - PM =-1 s s’ M-+02

= GIGI 2 11

sis > 0

Solución a (b) Y{e”‘f = Joa eCs’(ent)dt = lí+~ soM e-(‘-‘)* dt

e-(s-a)t M 1 _ e-(s-a)M 1 . =J!!~-(S-a)o =;ym-------s - a s - a’

sis> a

Estas corresponden a las entradas 1 y 5 de la tabla.

F(t)

Note.que del Ejemplo ilustrativo 1, la existencia de la transformada e Laplace de una función depende de los valores de s. Así la transfo P mada de Laplace de 1 existe si s > 0 pero no existe si s 6 0. Similarmente la transformada de Laplace de e at existe si s > a pero no existe si s 5 a. Una situación similar surge al considerar cualquier transformada de Laplace.+ No es difícil mostrar que si la transformada de Laplace de una función existe para s = LY entonces también existirá para todo s > (Y. Hay funciones cuyas trans*En general si las funciones se denotan por letras mayúsculas tales como F, G sus transformadas de Laplace se denotan por las letras minúsculas correspondientes f, g. Alternativamente una sobrebarra se puede usar para denotar la transformada de Laplace. Por ejemplo -qf@)) = As,. “En la teoría avanzada de las transformadas de Laplace es conveniente asumir que s es una variable compleja de modo que f(s) es una función de una variable compleja. La letra p se usa algunas veces en lugar de s, especialmente por algunos ingenieros y físicos. En otras definiciones algunas veces usadas, la integral en (1) se multiplica por s (o p). *Note que la transformada de Laplace de cero es cero, como es claro de la definición, y no ha sido incluido en la tabla. tA1 escribir transformadas de Laplace no siempre puede ser conveniente indicar el rango verdadero de valores para los cuales existe la transformada de Laplace, y frecuentemente lo omitiremos. Uno debería por supuesto ser capaz de producirlo cuando se solicite. 262

Capítulo seis

formadas de Laplace no existen para ningún valor de s. Así, por ejemplo, puesque la integral n

no converge para ningún valor de s, la transformada de Laplace de et * no existe. EJEMPLO

ILUSTRATIVO

Encuentre (a) 6P(sen cot), (b) Z{cos ot). Soluciones Aunque estas se pueden hallar directamente de la definición (ver Ejercicio 1B) acudiremos al siguiente procedimiento. Remplace a por iw en parte (b) del Ejemplo ilustrativo 1. Luego usando la fórmula de Euler e’“’ = cos wt + i sen wt tenemos

,{ei”‘) = Jox e-s’e’“’ rlt = Jo* ees’ cos ot dt + i JoT e-” sen 0.X dt 1 s + iw s + io = Lf{cos oti + iY{sen wt) = & = -. ~ = ~

s - iw s + iw

s2 + oI2

=*+i& Igualando las partes reales e imaginarias obtenemos qcos ox) = +,

$P{sen ot} = + s f o las cuales corresponden a las entradas 6 y 7, respectivamente, en la tabla. Pbesto que ya hemos sugerido que las transformadas de Laplace son útiles para resolver ecuaciones diferenciales no debería sorprender que estaríamos interesados en hallar las transformadas de Laplace de derivadas. Podemos conseguir esto directamente de la definición. Así tenemos

Z{ Y’(t)) = Jo= e -“‘Y’(t)At = Mrna JoM e-“‘Y’(t)& = f.. je-“Y(t) 11 ++s Jf e-“Y(t)&} = lím m = s

epsM Y(M) - Y(0) + s JoM ees’Y(t)dt i

M+X

eC”‘Y(t)dt - Y(0)

= sy - Y(0) donde hemos asumido que

Y{Y(O} = Y(S) = Y y lim,-, e-SMWW = 0.’

*Se debería notar que el método está basado en la igualdad C C ,-srgwt & 1 s>o s0 s - iw’ Esto se puede justificar usando métodos de variable compleja. tTambién se asume que Y(t) es continua en t = 0. Para el caso donde esto no es así, vea el Ejercicio 3C. Solución de ecuaciones diferenciales por transformadas de

Laplace

263

Para hallar las transformadqs de Laplace de derivadas de alto orden podemos usar la definición y la integración por partes. Sin embargo es más fácil emplear el resultado que acabamos de obtener. Para hacer esto haga G(t) = Y’(t). Entonces .Z{Y”(t)) = cY{G’(t)) = s6P{G(t)) - G(O) = .%Y<;P(Y’(t)J - Y’(0) = s[sg(s) - Y(O)] - Y’(0) = s2y(s) - sY(0) - Y’(0) Los resultados corresponden a las entradas 15 y 16 de la tabla. Generalizaciones a derivadas‘más altas se pueden obtener en forma similar y se indica por la entrada 17 de la tabla. ObServación. Note que las derivadas de Y tienen transformadas de Laplace las cuales son funciones algebraicas de s y contienen los valores iniciales de Y y sus derivadas. Esta observación ‘proporcionó una pista importante a los matemáticos para relacionar las transformadas de Laplace con los métodos operacionales descritos en la página 261, y la aparente conexión entre el operador D y el símbolo algebraico s. También sirvió para mostrar las ventajas descritas en la página 261. Ilustraremos el uso de los métodos de la transformada de Laplace en ecuaciones diferenciales en la página 278 después de que hayamos examinado algunas ,propiedades más de la transformada. Es de interés e importancia notar que el operador de la transformada de Laplace 2 es un operador linea1 como los operadores D, 02,. . , del Capítulo cuatro, página 168. Para probar esto sólo necesitamos mostrar que T{F(O + W} = y(W)) + ~{W)) = f(s) + g(.y)

(3)

IP{cF(t)) = &{F(t)) = c:f(s) (4) donde F(t) y G(t) tienen transformadas de Laplace f(s) y g(s), respectivamente, y c es cualquier constante. La prueba sigue directamente de las propiedades de las integrales. Puesto que g”(F(t) + G(t)) = Jox e-“*(F(t) + G(t))& = Jo= e-“‘F(t)dt + SO e~“‘GW& = Y(F(t)j + Y(G(t)) = ,f(s) + g(s) --áP(cF(t)} = Jom e-“‘{cF(t)) tlt = c JoK eC”‘F(t)tlt = cá”(F(t)j = cI Esta propiedad lineal nos permite hallar transformadas de Laplace de sumas. EJEMPLO ILUSTRATIVO 3

Encuentre <;p{3 - 5e2’ + 4senr - 7 cos 3t). Solución Usando la propiedad lineal tenemos F(3 - 5e2’ + 4sen t - 7 cos 3r)

= 9{3j + sP{ - 5 e 2’) + y2’(4 sen t) + F{ -7 cos 3t) = 3911; - 59{e2’j + 49{sen t) + 91-7 cos 3tj 3 5 4 7s =- -___ +---S s - 2 s2 + 1 s2 + 9’ 264

Capitulo seis

sis r 2

Los resultados que involucran transformadas de Laplace de derivadas a menudo son útiles para hallar las transformadas de Laplace sin el uso directo de la definición. Considere el EJEMPLO

Encuentre

ILUSTRATIVO

L?{t”;, n = 1,2, 3,. .

Solución Haga Y(t) = t” de modo que Y’(t) = nt”-’ , Y(0) = 0. Entonces tenemos Lf{Y’(tj) = SIP{ Y(t); - Y ( 0 ) 0 ~{rtt”-‘] = sZ{t”) 2?{r”J = Fujr-1:

Así

Colocando n = 1, 2,. , encontramos para s > 0

P?{t] = f 9{1) = $, T{t”) = 5 Z(t) = ;, (iB{t”} = +?J{q = y = 6 zy) =

y en general 1.3

PROPIEDADES

ADICIONALES

n! n(n - 1) . . . 1 =-yI+ 1 gl+1 DE

LAS

TRANSFORMADAS

(5) DE

LAPLACE

Al construir tablas de transformadas de Laplace ciertas propiedades demuestran ser útiles. Para desarrollar una de tales propiedades escribamos la definición f(s) = .S(F(t)) = Joa e-“‘F(t)dt (6) y formalmente remplace s por s -a. Entonces encontramos f(s - a) = Jr e-(S-a)‘F(t)dt y así

= j: emS’{e”F(t))dt

9{eatF(t)] = f(s - a)

(7)

Otra propiedad importante surge al diferenciar ambos lados de (6) con respecto a s. Encontramos g = f’(s) = $ Jox e-“‘F(t)dt = JOm - te-“‘F(t)dt = -y{t~(q) asumiendo justificable la diferenciación bajo el signo de la integral.* Así si-

gue que

(8)

<;P(tF(t)) = -f’(s)

Diferenciando más tenemos Lf{?F(t)} = f”(S), *Si a y b son constantes, el resultado

T{t3F(t)} = -f”‘(S) .

(9)

1 d - $ G(s, t)dt = l ‘; dt ds a

con frecuencia llamada la regla de Leibniz para derivar una integral. Para las condiciones bajo las cuales el resultado se cumple, ver cualquier libro sobre cálculo avanzado (por ejemplo [26] de la bibliografía).

Solución de ecuaciones diferenciales por transformadas de

Laplace

265

0 en general

~~r’~F(t)) = ( - l)y”“‘(.s)

= ( - l)$

LOS resultados anteriores se resumen en el siguiente Teorema. Si Y ( F(t)/ = f(s) entonces 1. LfftV(e”‘F(t)) = f(s - 0). 2. (ru jt”F(t)) = ( - l)“f’“‘(s), II = 1) 2, 3, . Para ilustrar estos resultados consideremos algunos ejemplos. EJEMPLO

ILUSTRATIVO

Halle 940(e3’ cos 4t). Solución Puesto que Y(cos 4t) = 7: 1% tenemos Yl’le3’ cos 4t’ = ~~ s3 -

s - 3

16 .s2 - 6s + 25 Note que esto es válido si s > 3. El resultado es un caso especial de la entrada ll en la tabla. L

EJEMPLO

- 3)2+

ILUSTRATIVO

Halle (a) LF[(tsentj, (b) F[t’sen t). Solución

Puesto que Y(sen,t) = A tenemos

las cuales son válidas para s > 0. Compare con la entrada 13 de la tabla.

1.4 LA FUNCION GAMMA

Ya hemos encontrado (en el Ejemplo ilustrativo 4) que

Una pregunta natural que surge es, icómo se debe modificar (ll) si n no es un entero positivo? Para responder a esto notemos primero que

Haciendo la sustitución u = st, s > 0, encontramos

266

Capítulo seis

Si usamos ahora la notación

l-(/1 +

(13)

1) = Jo' unc" LlU

entonces (12) llega a ser Llamamos r (n + 1) la función gamma. Examinemos esta función un poco más de cerca. Integrando por partes encontramos r(i7 + 1 ) = jo’ Il”emu tl1r = (IP)( -C”) ’ - (; (Mrl)( -~-~‘)th l0 J 7 = II un ’ e -Id du = /c(n) s0

La relación

l-(/7 + 1) = ill-

(15)

se llama una fórmula de recurrencia para la función gamma. Puesto que (16) tenemos

r(2) = ir-(i) = 1, r(3) = 2r(2) = 2. I = 2!, r(4) = 31-l13) = 3!

y en general cuando n es un entero positivo rtn + 1) = d (17) Así (14) concuerda con (ll) para este caso. Sigue que Ia función gamma es realmente una generalización del factorial. Un resultado interesante es que r(i) = $i Para indicar una prueba de esto notemos que al hacer u = x2

(18)

Cambiando a coordenadas polares (r, 4) esta última integral se puede transformar en I2 = 4 @‘fo r e-“r dr d$ = 4 s sr=O de la cual 1= r (4) = \r;;. Aunque esto es un enfoque algo “informal”, el método se puede hacer matemáticamente riguroso por procedimientos de límites apropiados. Es de interés notar que (19) 1.5

OBSERVACIONES

CONCERNIENTES

EXISTENCIA

D E L A S T R A N S F O R M A D A S D E LAPLACE

En la definición (1) de la transformada de Laplace, el factor e-S’ es un “factor de amortiguamiento” el cual para cualquier valor fijo positivo de s

Solución de ecuaciones diferenciales

por transformadas de Laplace

267

tiende a decrecer al crecer t. Intuitivamente hablando, esperaríamos que la integral converja, y así exista la’ transformada de Laplace, con tal que F(t) no “crezca tan rápidamente” al crecer t. Los matemáticos hacen esto más preciso al definir una clase de funciones tales que existen constantes K y (Y para las cuales lF(t)l < Ke”’ Tales funciones se dice que son de orden exponencial CI, o brevemente de orden exponencial. La función F(t) = t es ciertamente de orden exponencial puesto que tenemos (por ejemplo)

ttd Por otro lado la función et2 no es de orden exponencial, esto es, crece muy rápidamente para ser de este tipo. Otra clase de funciones que el matemático encuentra importante es la clase de funciones continuas a tramos o seccionalmente continuas. Llamamos una función seccionalmente continua en un intervalo si tiene solamente un número finito de discontinuidades en el intervalo y si los límites por la derecha y por la izquierda existen en cada discontinuidad.* Por ejemplo,

cuyo gráfico se muestra en la Figura 6.1 es seccionalmente continua en el intervalo 0 5 t s 4 puesto que solamente hay una discontinuidad, t = 2, en el intervalo y los límites por la derecha y por la izquierda en esta discontinuidad existen (y son iguales a 2 y 1, respectivamente). ,

F(t)

t f L- --L-- -

-..L-.---.--.

-s_

..-..

..--

_. ..-q

Figura 6.1

- *El límite por la derecha de una función F(t) en el punto t,, se define como lírne.+o F(t, + c) donde 6 tiende a cero por valores positivos. Similarmente, el límite por la izquierda de F(t) en t. e s l í í r-O F(t, -t) donde t tiende a cero por valores positivos. Para indicar que c tiende a cero por valores positivos algunas veces escribimos lím,,o+F:(t,, + C) y lím,+,,+F&, - c) para los límites por la derecha y por la izquierda, respectivamente, y deñotamos estos limites, si existen, por Me + 0) y F(t, - 0) #respectivamente.

El siguiente teorema es de importancia fundamental. Para una prueba vea el Ejercicio 5C. Teorema. Si F(t) es de orden exponencial LY y es seccionalmente continua en todo intervalo finito 0 5 t 5 T entonces la transformada de Laplace de F(t) existe para todo s > (Y . Se debería enfatizar que la hipótesis de este teorema garantiza la existencia de la transformada de Laplace. Sin embargo si estas condiciones no se satisfacen no quiere decir que la transformada de Laplace no exista. De hecho puede o no puede existir (vea los Ejercicios 3 y 6B). En situaciones como eatas, las condiciones se dicen que son suficientes pero no necesarias para la validez de las conclusiones. Ilustremos el teorema anterior en los siguientes ejemplos. EJEMPLO ILUSTRATIVO 7

Encuentre la transformada de Laplace

de F(t) =

3, o ,

05t<2 t > 2.

Solución La función es seccionalmente continua y de orden exponencial y por el teorema anterior tiene una transformada de Laplace. Esta está dada por Y{F(t)} = Jom ews’F(t)dt = Jo2 e-“‘(3)& + J2m e-“‘(0)dt = 3(!C)l; = 3(’ -;-“) EJEMPLO ILUSTRATIVO 8

Encuentre la transformada de Laplace de e%‘. Solución La función es seccionalmente continua en cualquier intervalo iniemos to. Podemos también mostrar que es de orden exponencial. Para ello no i que para t > 1, VR t, y así evi < et de la cual vemos que F(t) =e” es de orden exponencial. Por tanto =.Y(eVG> existe. Sin embargo, aún cuando exista esta transformada de Laplace, no la podemos determinar en forma cerrada porque la integral m .10

e -stevidt

= 2

eu-su2 du

(20)

donde t = u2 no se puede evaluar exactamente. Sin embargo se puede evaluar aproximadamente para cualquier valor de s > 0 usando integración numérica o el método del Ejercicio 7(c)C. Este ejemplo sirve para ilustrar el hecho enfatizado con frecuencia en capítulos previos, de que existe una gran diferencia entre probar que algo existe y el. hallarlo. 1.8 LA FUNCION SALTO UNIDAD DE HEAVISIDE

La función definida por H(t - a) =

t>a t t a

Solución de ecuaciones diferenciales por transformadas de

(21)

Laplace

269

H(t -d

Figura 6.2

llamada la función salto unidad de Heaviside, o más brevemente la función de Heaviside o la función salto unidad, es frecuentemente útil en aplicaciones. El gráfico se muestra en la Figura 6.2. La transformada de Laplace de esta función está dada por

y[:H(t - U)} = Jo= e-“‘H(t - a)dt = J: e-“‘(O)& + r edst(l)& =

emas e -Sr&= - s

asumiendo que s > 0. varias funciones discontinuas frecuentemente se pueden expresar en términos de la función de Heaviside como se indica en el siguiente EJEMPLO ILUSTRATIVO 9

Exprese la función F(t) =

t>71 t < ~ en términos de la función sal-

to unidad de Heaviside. Solución La función dada se puede expresar como sen t - cos t, t>rr F(t) = cos t + o =cost+(sent-cost){A: t-cl-t 1 1. = cos t + (sen t - cos t)H(t - 7~)

:zE[

EJERCICIOS A

1. Usando la definición, encuentre la transformada de Laplace de cada una de las siguientes funciones. En cada caso especifique los valores de s para los cuales la transformada existe. Compare con los resultados obtenidos de la tabla de transformadas de Laplace. (a) 3t - 2. (b) 4sen 3t. (c) 5 cos 2t. (d) lOe- 5*. (e) 2~’ - 3eF’ + 4t’. (f) 3sen 5t - 4 cos 5t. (g) 6 cosh 3i - 2 senh 5t. (h) t(em3* - tZ + 1).

270

CupíMo seis

2. Dado que Y/‘(sen WI i = & usedlla entrada 15 de la tabla para hallar Y(cos wtj. 3. Halle la transformada de Laplace de cada una de las siguientes ( a ) t2e3’. (c) t(sent+ e-‘). (b) e - 2r(5 sen2t - 2 cos 2t). (e) t(cosh 2t - 2t). (f) 8 senh’ 3t. (d) (t’ + 1)‘. -4. Use la función gamma para hallar(a)Y(t3’2j,(b)lP((r”“+t-“4)2~,(c)~pjt2’3~,(d)~4p:~~r~~ ’4 5. (a) Explique cómo puede usted estar seguro que la función F(t) = o i, tiene una transformada de Laplace

Ir ~9)*

o<r<4 t>4

sin realmente hallarla. (b) Encuentre

YjF(t‘)).

PS. Verifique las entradas 15 y 16 en la tabla para las funciones (a) Y(t) = tec, (b)%Io$ Y(t) = t2 sen 3t. 7. Exprese cada una de las siguientes funciones en términos de la función de Heaviside y obtenga sus gráficos.

t> 1

t>3

t < 1’

t > 2n

< 3'

< 2x'

8. Hallar (a) y{tH(t - 1)). (b) y{e’H(t - 2) - e-‘H(t - 3)). EJERCICIOS B

1. Obtenga y( serrut) por (a) evaluación directa; (b) usando el hecho de que senwt satisface la ecuación diferencial Y”+ w2 Y= 0. Haga lo mismo para Y{cos cot). 2. 3. 4. 5.

Hal$+y ( te-’ sen t) . Pruebe que (;e(e:‘>

existe pero U(e@ ) no existe.

Si .T{ F(t)] existe para s =(Y, pruebe que también existe para todo s >o. Halle la transformada de Laplace de la función periódica que se muestra en la Figura 6.3.

6 . Muestre que aunque la función F(t) = t- r/2 no satisface las condiciones del teorema en la página 269 aún tiene una transformada de Laplace. ¿Hay alguna contradicción en esto? Explique

l-----+--- -g-+g---~.~------ t I a

- 1

Figura

6.3

Solución de ecuaciones diferenciales por transformadas de

Laplace

271

Figura

6.4

7. Exprese en términos de la función de Heaviside 3 sen t, F(r) =

tgn

t2,

x<t$2x

i t - cos t, 8. La función

t > 2rl t-ca

0, P(t) = l/C, i 0,

astsa+c ’ r>a+e

donde a 2 0 y e > 0, cuyo @áfico se indica en la Figura 6.4, es a menudo llamada uha función impulso. (a) Exprese esta función en términos de la función salto unidad de Heaviside. (b) Halle la transformada de Laplace de esta función. (c) Muestre que el límite de la transformada de Laplace en (b) cuando c+O existe y es igual 8 e-Os. EJERCICIOS

1. Muestre que F(t) = 1, t > 0 y G(t) =

tienen las mismas transformadas t#3 de Laplace, a saber l/s, s > 0. ¿Puede &.ted pensar de otras funciones con la misma transformada de Laplace? Explique. i

:’

t=3

1, t : z 0 (4 E ncuentre (i”{ F(t)! y 2 ( F’(t)}. (b) Es cierto para { este caso q;e 91 F’(t)1 =s(i”( F(t)! -F(O)?

2. SeaF(t)=

3. Pruebe que si Y(t) tiene una discontinuidad en t = 0 entonces debemos remplazar la entrada 15 de la tabla por sy- Y(O+ ), donde Y(O+) scgnifka lím,,,+Y(t) esto es, el límite cuando t-0 por valores positivos. Usando esto explique la discrepancia en el Ejercicio 2. 4. Sea F(t) una función periódica de período P, empezando en t = 0 (por ejemplo, vea la Figura 6.2). (a) Si Y{F(t)} existe muestre que está dada por ,’ e-“‘F(t)& s 1 - e-sp (b) Usando 6) obtenga la transformada de Laplace de F(t) = [sen t 1 donde el período es ï~.

272

Capítulo seis

5. Pruebe el teorema en la página 269. Sugerencia: Escriba 7 e-“F(t)dt ” Ji e-“F(r)<lt + J; e -“tF(t)<It s0 y luego use el hecho de que

6. (a) Pruebe que si F(t) es seccionalmente continua en todo intervalo finito y de orden exponencial entonces su transformada de Laplace f(s) tiende a cero cuando s- ~0 . (b) Ilustre el resultado en (a) dando varios ejemplos. (c) ¿Qué concluiría usted acerca de F(t) si lírnsw7 f(s) #O? (Sugerencia: Use el Ejercicio 5.) ‘7. Sea F(t) = et. Usando la expansión en serie ea = 1

+-t +c! + $ + y tomando

la transformada de Laplace término a término, verifique formalmente que Ypl et } = l/(s - l), s > 1. iCómo puede usted usar este método para hallar (a)Y’{ sen t} ; ( b ) At’{ cost); ( c ) yle“; ? 6. Puede usted justificar el método ? 9. Muestre que si a > 0 y n > 1 entonces (a)li H(u - a)~/u = (t - a)H(t - a), (b) j-i (

- a)“H(u

- a)du = (t - “;+;y’ - a).

9. Muestre que la función ilustrada gráficamente en la Figura 6.2 se puede representar por ,

H ( t ) + i (- l)“H(t - na) n= 1

Funciones impulso y la funcibn delta de Dirac Suponga que una fuerza F(t) que depende del tiempo t actúa sobre una partícula de masa m del tiempo t. al tiempo tl . Si u es la velocidad instantánea de la partícula durante este intervalo de tiempo, entonces por la ley de Newton tenemos F = $nu>

(1)

así que

“Fdt = ” d(m) = mu, - mu0 (2) sfo sfo I donde uc y u1 son las velocidades de la partícula en tiempos t. y t , , res. pectivamente. Puesto que mu es el momentum de la partícula, la cantidad a la derecha de (2) es el cambio de momentum sobre el intervalo. La integral a la izquierda de (2) a menudo se llama el impulso de la fuerza sobre el intervalo, o brevemente el impulso. Así, en palabras (2) dice que impulso = cambio en momentum (3) Ahora suponga que la diferencia entre t 1 y t, está dada por E > 0, así que t 1 = t, + E. Si asumimos que la fuerza es una constante, digamos A, en el in-

Solucidn

de ecuaciones diferenciales por transformadas de Laplace

273

Figura

6.5

tervalo, 0 si asumimos que c se toma lo suficientemente pequeño para que la fuerza sea aproximadamente. igual a A en el intervalo, entonces la fuerza se puede representar gráficamente como en la Figura 6.5. El impulso denotado por Z está entonces dado por I= “‘+’ A rlt = AE (4) s(0 y está representada geométricamente por el área del rectángulo sombreado en la Figura 6.5. Suponga ahora que el impulso es una constante no cero, digamos 1, así que como se ve de (2) hay un cambio unitario en momentum sobre el intervalo, esto es, Ac = 1. Entonces cuando c+O tenemos que A- 00 , así que geométricamente el ancho del rectángulo en la Figura 6.5 se hace más grande de tal manera que el área permanezca igual a 1. Si el estudiante prefiere no asumir que F(t) esté dada como en la Figura 6.5, sino en vez que varíe de alguna manera como se indica en la Figura 6.6, entonces de nuevo asumiendo Z= 1 tenemos

En tal caso, aún cuando la forma de la función no se conozca, no es difícil ver que si (5) debe ser cierto, cuando c +O, F(t) debe tender a infinito. La interpretación geométrica es que cuando t -0 el pico de la curva de la Figura 6.6 debe tender a infinito de tal manera que el área bajo ella sea igual a 1, estando esencialmente de acuerdo con la discusión dada en relación con la Figura 6.5. Estas ideas nos llevan naturalmente al tema matemático de intentar describir funciones, tales como las representadas por las Figuras 6.5 o 6.6, las

Figura

6.6

f E

‘* t

cuales tienden a infinito cuando t -0 de tal manera que sus integrales (geométricamente sus áreas asociadas y físicamente el impulso) permanezcan constantes. Tales funciones por obvias razones se llaman funciones impulso o, en el caso especial donde la constante es 1, funciones impulso unitario. Puesto que podemos considerar F(t) como cero fuera del intervalo de t, a t, + C, podemos pensar más generalmente en una función impulso unitaria caracterizada por las siguientes dos propiedades I,

1. F(f) = ó’ i 3

?-. s;, F(f)flf =1

t = ro t z ro

(6) (7)

Tales funciones ciertamente no son de las clases convencionales con las cuales hemos tratado, y de hecho, como lo sugiere la Propiedad 1, no son realmente funciones. Para distinguirlas de los tipos familiares de funciones, se han llamado funciones generalizadas, y los matemáticos han tenido éxito en construir una teoría sobre ellas llamada la teorúz de distribuciones.* En su investigación sobre mecánica cuántica, Dirac encontró las funciones impulso de gran uso.3 El introdujo lo que se llamó la función delta, ahora frecuentemente llamada de función delta de Dirac, con las propiedades anteriores, esto es, 1. s(t - ro) = 2:

t = t,

cI_3 1 0,

t # t,

:, S(t - t,)tlt = 1 s

Un resultado importante relativo a la función delta es que, si f(t) es cualquier función la cual es continua e n t = tc, entonces :, fs(t - t,)jlt)dt = fft,) (10) s Esto algunas veces se llama la propiedad selectoru de la función delta, puesto que todos los valores de f( t ) se elimina excepto aquellos para los cuales t = t. y sólo permanece el resultado f (to). La propiedad selectora se puede hacer plausible si nos fijamos que el integrando en lado izquierdo de (10) es cero excepto donde t = t, . Entonces puesto que f(t) = f(to) en t = to, podemos remplazar f(t) por f(t,,) en (10) para llegar a ’ 4t - t0V(Wt = ,f’tt,) J:7 S(t - t,)dt = .fjro) s -, usando la segunda propiedad de la función delta. Si tomamos el caso especial f(t) = e- uf en (lo), obtenemos la transformada de Laplace de la función delta, esto es,

yifjtt - t,); = Si en particular

= 0, tenemos

’ r-.“fj(t - t,)rlt = e-sr~~ F;S(t))

= 1

(11)

(12)

*Ver referencia [ 191 por ejemplo. $ Ver referencia (41 .

So!ución

de ecuaciones diferenciales por transiormadas de Laplace

275

El hecho de que la transformada de Laplace de s(t) no tienda a cero cuando s--ì m sirve como un recordatorio de que la función delta no es una función convencional (vea el Ejercicio 6 , página 273). Para ganar habilidad en el uso de la&rnción delta, considerer Bos algunos ejemplos. EJEMPLO

Evalúe

ILUSTRATIVO

JTx c-t26 (t - ;) dt.

Solución Sea t. = */2 y f(t) =e-t2 . Entonces por la propiedad (10) y f(t,) = f(7r/2) = e - +14, tenemos

EJEMPLO ILUSTRATIVO 2

Evalúe

1, ¿i(u - t&u.

Solución Puesto que 6(u - to) = 0 para u <t,, sigue que la integral es cero para t < t. . En el caso t > t,,, la integral se puede remplazar para todos los propósitos prácticos por la integral en (9), puesto que 6(u - to) = 0 para u > t, . Así, la integral es 1 para t > ro. Entonces

tenemos

tt > tt,. <

Se debería notar que la función a la derecha es la función de Heaviside de modo que ‘, 6(u - t&h = H(t - to) (13) s Si formalmente tomamos la derivada de ambos lados de (13), obtenemos H’(t - t()) = s(t - to)

(14)

esto es, la función delta es la derivada formal de la función salto unidad de Heaviside. Decimos derivada formal debido a que la función de Heaviside no tiene una derivada en el sentido ordinario. En la teoría de las distribuciones mencionada antes, se consideran tales derivadas generalizadas. La función de Dirac es útil en muchos problemas aplicados que surgen en ingeniería, física y otras ciencias. Por ejemplo, si golpeamos un objeto con un martillo o golpeamos un tambor con una vara, una fuerza algo grande actúa por un intervalo corto de tiempo. Esta fuerza se puede aproximar por una función delta multiplicada por alguna constante apropiada de magnitud igual al impulso total. La función delta se puede también usar en electricidad, tal como cuando hay grandes picos en voltaje o corriente por intervalos cortos de tiempo.

276

Capítulo

seis

Y Figura

6.7

Una aplicación interesante de la función delta también surge en conexión con los problemas de vigas. Suponga que la viga de la Figura 6.7 tiene una carga concentrada P, actuando sobre ella en la localización x = x0 desde el extremo izquierdo. Si asumimos que w(x) es la fuerza por unidad de longitud actuando sobre la viga, entonces tendremos

. sxoxu+ t w(x)dx = P,

donde se asume que c es pequeño. El resultado (15) en el limite cuando c-4) sugiere que expresemos w(x) en términos de la función delta como w(x) = P,h(x - x0)

(16)

un resultado útil para hallar la deflexión de la viga debido a la carga concentrada. Presentaremos algunas aplicaciones de la función delta al final de este capítulo. EJERCICIOS

1. Evalúe cada una de las siguientes integrales que involucran la función delta. (a) JT, S (t - 1)

COS

2t dt.

(4 JoE

t3,%(t - $)dt.

(b) S-E t2e-3’¿i(t

- +)dt.

(d) JO1 t36(t + +)dt. (f) [i 6 (t - $sen t2 dt.

2. Evalúe cada una de las siguientes transformadas de Laplace ción delta. (a) Y[(r’cT(t - 2);. (c) 6P(t6(t - 1);. (b) Yfe -3’6(t - 7x,;.

que involucran la fun(d) Ytte-‘6(t + 1)).

EJERCICIOS 6

1. Encuentre la transformada de Laplace de la función representada en el gráfico de la Figura 6.4. (a) Muestre que el límite de la transformada de Laplace hallada en (a) es e-Sto . (c) Discuta la relación del resultado hallado en (b) con la función delta. 2. Evalúe P( 6(t - T! cos tJ 1 . 3. Discuta la relación del Ejercicio 8B, página272, con la función delta. Solución de ecuaciones diferenciales por transformadas de

Laplace

277

4. Muestre que

T, &at)f(t)dt = fs

.f’o !--

sia >O

n ’

.fm u ’

siu < 0

iQué supuestos debe hacer usted en relación a f(t)? 5. Evalúe (a) fTx S(2t + a)sen 3t dt.

(b) JmTX & “’ 6(3t) dr. EJERCICIOS C

1. Deduzca formalmente los siguientes resultados relativos a las derivadas de la función delta. (a) JT2 ¿Y(t)f(t)dt = -f’(O). (b) Sr, G”“(t)f‘(t)dt = (- l)“f”“‘(O). (c) L?{¿P(f)) = f,

n = 1, 2, 3,.

2. Muestre que si t, > 0 y f(t) es continua en t = f t, entonces TX w - m-w = ;- [f(b) + .f(- f,)] s 3. Considere la secuencia de funciones 4,;;) = n/~(l (a) Muestre que

-“, c$, (t)dt = 1.

+ np ti ), n = 1, 2, 3,.

(b) Asumiendo que i(t) es continlla

en t = 0,

x 4,(OfW = f(O) n-n: s-a (c) Discuta una posible conexión entre las funciones 9,(t) y la función delta. muestre que lím

Aplicación de las transformadas de Laplace a ecuaciones diferenciales 3.1 SOLUCION DE ECUACIONES DIFERENCIALES SENCILLAS. TRANSFORMADAS INVERSAS DE LAPLACE

Para ver cómo se pueden usar las transformadas de Laplace luciones a ecuaciones diferenciales, consideremos el siguiente

para hallar so-

PROBLEMA PARA DISCUSION

Resuelva

Y” + 4Y

Y(0) = 3, Y’(0) = -6.

16t,

Si tomamos las transformadas de Laplace de ambos lados de la ecuación diferencial encontramos al usar la entrada 16 en la tabla y denotando 2?{ Y} por y,

c!P”( Y ” ) + P’{4Y) = P’Y(16t), .s2y - sY(0) - Y ’ ( 0 ) + 4~. = ;

S’J. -

4’=

278

Capítulo seis

3s - 6

= $ 16

s2+4+ s2(s2 + 4 )

(1)

Parece lógico que si pudiéramos encontrar la función cuya transformada de Laplace es el lado derecho de (1) entonces tendríamos la solución. Para hacer esto escribimos (1) en la forma 3s il(~-~~-~)-\‘t4-~~-~+;: >’ = -.--- -L+ s2 + 4 $2 + 4 Sabemos ahora que La transformada de Laplace de cos 2t es J+km4 La transformada de Laplace de sen 2t es

2 s2 + 4'

La transformada de Laplace de t es L s2 . Parecería por tanto que la solución buscada es

Y(t) = 3 cos 2t - 5 sen2t + 4t. Esta ciertamente satisface la ecuación diferencial dada y las condiciones y por tanto es la solución requerida. En el problema acabado de considerar necesitamos encontrar una función F(t) cuya transformada de Laplace f(s) se conoce. Tal función se llama una transformada inuersa de Laplace y se denota por Y- 1( f(s)1 donde 9’- 1 se llama el operador de la transformada inversa de Laplace. Del hecho de que Yi/‘(F(t) -t G(t); = J(s) + y(.\)> Y’jr,F(f) = c;/‘(s) tenemos Y-1 (f(s) + /(.\)j = F(f) + G(t) = Lz.- ’ ;,/‘<.s,; + y-l #.s);

(2)

Y--‘j~:f(s); = c~F(t) = c2z-’ ( f(s)) (3) lo cual muestra que Y- 1 es un operador lineal. En vista de nuestra experiencia previa en relación a los problemas de existencia y unicidad (vea la página 20, por ejemplo) surgen varias preguntas.

1. Existencia. iExiste la transformada inversa de Laplace de una función

f(s)?

2. Unicidad. ¿Si esta existe, es única? 3. Determinación. iCómo la encontramos? Desde el punto de vista práctico, como ya lo hemos mencionado, el numeral 3 parece ser el más importante. Pero los otros dos también son importantes. En lo que sigue investigaremos varios métodos por los cuales las transformadas inversas de Laplace se pueden encontrar y al mismo tiempo mostraremos cómo resolver varias ecuaciones diferenciales usando estos métodos. En la página 287 consideraremos las preguntas de existencia y unicidad. 3.2

ALGUNOS

METODOS

PARA

HALLAR

TRANSFORMADAS

I N V E R S A S D E LAPLACE

Del problema de discusión anterior, de una vez es claro que la proficiencia en resolver ecuaciones diferenciales usando transformadas de Laplace es prácticamente sinónimo con la proficiencia en determinar las transformadas de LaSolución de ecuaciones diferenciales por transformadas de

Laplace

279

place inversas. Varios métodos están disponibles para hallar transformadas inversas de Laplace. Estos son (a) (b) (c) (d) (e)

Uso de las tablas de la transformada de Laplace Uso de teoremas sobre las transformadas inversas de Laplace El método de las fracciones parciales El método de convoluciones Métodos misceláneas

Trataremos ahora ejemplos que ilustran cada uno de éstos. (a) Uso de las tablas de la transformada de Laplace Suponga que deseamos hallar 9 - 11 f(s)) donde f(s) se conoce. Entonces necesitamos sólo mirar en la tabla de la transformada de Laplace lo opuesto a f(s). Considere por caso el EJEMPLO ILUSTRATIVO 4

Resuelva Y” + Y = 16 cos t,

Y(0) = 0, Y’(0) = 0.

Solución Tomando las transformadas de Laplace

(.GJ -

sY(0) - Y ’ ( 0 ) ) + J = ei 0

encontramos 1 6s !‘ = (,2+1,2

Por tanto, de la entrada 13, tenemos el hacer w = 1 y dividiendo por 2 (justificado por la propiedad lineal de la transformada de Laplace) la solución reouerida I ,

En algunos casos una transformada inversa no se encuentra directamente de la tabla pero se puede obtener al combinar transformadas que están en la tabla. Considere por caso el EJEMPLO

ILUSTRATIVO

Encuentre Iy-’ Solución La transformada como la dada no está en la tabla. Sin embargo al escribirla como -JyJ-1 {gl} - 355-l {&) vemos en las entradas 6 y 7 con w = 1 que la solución requerida es 2 cos t 3sent. Es bastante evidente que el éxito en usar las tablas depende en lo extensas que sean las tablas y también en nuestra habilidad para usar las tablas eficientemente.* En caso de que no podamos encontrar la transformada requerida en la tabla se deben usar otros métodos. *Como en el caso de la diferenciación e integración, el estudiante debería, por facilidad, llegar a estar familiarizado con ciertas transformadas de Laplace básicas, por ejemplo las entradas 1-7. 280

Capítulo SEiS

(b) Uso de teoremas sobre las transformadas inversas de Laplace Correspondiente a cada teorema desarrollado para las transformadas de Laplace hay un teorema sobre las transformadas inversas de Laplace. Por ejemplo correspondiente a los teoremas en la página 266, tenemos Si 9 - l{ f(s)} = F(t) entonces Teorema. 1. 9-l (,f’(s - 0); = @‘F(t). 2. Lf- l (,f’“‘(.s)) = (- l)“t”F(t). EJEMPLO

ILUSTRATIVO

Resuelva Y” + 2Y’ + .5Y = 0,

Y(0) = 3, Y’(0) = -7.

Solución Tomando las transformadas de Laplace j.S2!.

- .sY(O) - Y’(0)) + 2{SJ

encontramos

- Y.(O)) + 5). = 0, (s2 + 2s + 5)). - 3s + 1 Yz 0 3s - 1

y así

J =sz+2s+5

Para hallar la inversa, completemos el cuadrado en el denominador y reescribámosla como 3(s + 1) - 4 2’=(s + 1)2 + 4 =3{&z1+4}-4{~~4}

De la primera parte del teorema vemos que

y-1

i y-1

1 i

De donde

s2 + 4

s2 + 4 1

= cos 2r,

-i’lj~~:li)~l+4}=i-~cos2t

= +sen2t,

2-l its + l\2 + 4\ = +e-‘sen2t

J = 3e-’ Cos 2 t - $epfsen2t = e-‘(3 cos 2 t - 2sen2t)

(c) El método de las fracciones parciales En muchos problemas llegamos a una transformada la cual es una función racional de s [esto es, una función con la forma P(s)/Q(s), donde P(s) y Q(s) son polinomios y el grado de P(s) es menor que el de Q(s)] . Entonces es con frecuencia útil expresar el resultado dado como una suma de fracciones más simples, llamadas fracciones parciales. Como un ejemplo considere el EJEMPLO

ILUSTRATIVO

Resuelva Y” - 3 Y’ + 2 Y = 12e”,

Y(0) = 1, Y’(0) = 0.

Solución La transformación de Laplace (.? - 3s + 2)y - s + 3 = 12 s - 4

produce, 0

y =

7s + 2 4

c l)(s - 2)(s - 4,

(4)

Para descomponer esto en fracciones parciales, se pueden usar dos métodos. Solución de ecuaciones diferenciales por transformadas de

Laplace

281

Primer método. Si A, B, C son constantes indeterminadas tenemos s2 - 7s + 24 (s - l)(.s - 2)(.s - 4)

s- 1

s - 2

s - 4

(5)

Multiplicando por (s - 1) (s - 2) (s - 4) obtenemos s2 - 7s + 24 = A(s - 2)(s - 4) + B(s - l)(s - 4) +- C(s - l)(s - 2) = (A + B + C)s2 + (-6A - 5B - 3C)s + (8A + 4B + 2C) Puesto que esto es una identidad tenemos al igualar coeficientes de potencias similares de s, A+B+C=l. - 6 A - 5B - 3 C = - 7 , 8A + 4B + 2C = 24 Resolviendo éstas encontramos A = 6, B = - 7, C = 2. Así, 7 s - 2

= fjr’ _ 7$f +

1~41

Segundo método. Multiplicando ambos lados de (5) por (s - 1) encontramos s2 - 7s + 24 B(s - 1) + ccs-Id! (\-2)o = A + s - 2 s - 4 Luego haciendo s-l, Similarmente, multiplicando (5) por s - 2 y haciendo s-2 produce B= - 7, y multiplicando (5) por s - 4 y haciendo s -4 produce C = 2. El método entonces procede como antes EJEMPLO

Encuentre Tlí/‘-’

ILUSTRATIVO

5s2 ---. - 7s + 17 (S - i)(.s2 + 4) 5s’ - 7s + 17 (s - l)(.s2 + 4)

S o l u c i ó n Asuma que

A Bs + C s - 1 + s2 + 4

Primer método. Multiplicando por (s - l)(sz + 4) tenemos 5s’ - 7s + 17 = (A + B)s2 + (C - B).s + 4A - C Entonces

A+B=5.

C - B = - 7 ,

4A - C= 17

Así A=3, B=2, C = - 5 y t e n e m o s

= 3e’ + 2 cos 2t - $sen2t Segundo método. Multiplicando (6) por s - 1 y haciendo s-l produce A = 3. Así 5s2 - 7s + 17 3 Bs + C (s - l)(s2 + 4) = s_l + ____ .s2 + 4 282

Capítulo seis

Para determinar C es conveniente colocar s = 0 y obtener C = - 5. Finalmente al colocar s = - 1 por ejemplo encontramos B = 2. El método luego procede como antes. Note que en ambos ejemplos, el primer método es general pero la solución de las ecuaciones simultáneas es tedioso. El segundo método, aunque más corto, es más efectivo cuando el denominador se puede factorizar en factores lineales distintos. Casos más complicados se consideran en los ejercicios. (d) EL método de convoluciones Ya hemos notado que si f(s) y g(s) son las transformadas de Laplace de F(t) y G (t ), respectivamente, entonces ((‘-l {f’(s) - g(s); = F(l) - G(f)

Y ‘(f(s) + y(s)) = F(r) + G(f),

Es de interés preguntar si hay alguna expresión para la transformada inversa de Laplace del producto f(s)g(s) en términos de F(t) y G(t). La respuesta es si y el resultado se resume en el siguiente Teorema.

Si u/-‘{f’(s);

= F(t) y y-‘[g(s)) = G(t) entonces

1/‘- l jf’(.s)y(s)) = j+; F(u)G(t - u)du = F*G donde llamamos F*G la convolución de F y G. En forma equivalente, tenemos Y{F*G)

= Y

= ,f’(s)y(.s)

Este teorema, llamado el teorema de convolución, con frecuencia es útil para obtener transformadas inversas de Laplace. Antes de presentar una prueba del teorema, consideremos varios ejemplos de su uso. EJEMPLO

ILUSTRATIVO

E n c o n t r a r (Y 1 =sen t Por tanto por el teorema de convolución

=I’0 cos f II sen(t - U)C/U

,: COS Ir[sen t cos II - cos t sen Il] tlri 1‘ =sen t cos Il rlu - cos r Asen 11 cos 11 rlu .Or s = sen t[& + +sen t cos t] - cos t[+sen2 t] = +t sent Note que esto coincide con la entrada 13. Solución de ecuaciones diferenciales por transformadas de

Laplace

283

Si hacemos G(t) = 1 en el teorema de convolución obtenemos

Así multiplicando f(s) por 1,‘s corresponde a integrar F(t) de 0 a t; multiplicando por l/s2 a integración doble, etc. Para un uso de esto considere EJEMPLO ILUSTRATIVO 7

(b) Yw’

Encontrar (a) 9-l

Solución (a) Puesto que Y-’ LF1 ists2’+ I,) = Jisenudz4 = 1 - cost (b) Puesto que por (a), 9-l

= 1 -

COS

t tenemos, usando (7),

Haciendo G(t) = eat en el teorema de convolución encontramos

Note que (7) es un caso especial de (8) con a = 0. De (8) vemos que hay una correspondencia entre 1

f e-y )du (9) s0 donde el primero se puede considerar como un operador actuando sobre f(s) mientras que el segundo se considera como un operador actuando sobre F(t). La correspondencia tiene algún parecido con la ecuación (31) en la sección sobre métodos de operador en la página 208. Esto proporciona una clave para la conexión entre s y el operador D y así la conexión entre los métodos de la transformada de Laplace y los métodos operacionales de Heaviside. Para presentar una prueba del teorema de convolución, notamos primero que las transformadas de Laplace de F(t) y G(t) se pueden escribir, respectivamente, como f(s) = som emSXF(x)dx, g(s) = sox eesyG(y)dy (10) s - a

,at

Podemos escribir éstos en términos de la función salto unidad de Heaviside como g(s) = j-tx e-“YG(~4W.~)~y f(s) = JTx e -““F(x)H(x)dx, (11) 284

Capítulo seis

Entonces 1 = ~‘(s)y(s) =

J:, t> ““F(s)H(s)tls

e -“G( -,)If( j,)rlJ

z s -,I s --,ï e~“‘“+“‘F(s)H(.~)G(!~)H(~~)rl‘c

~IJ

usando un procedimiento similar a aquel en la prueba de f (3) = V/X en la página 267. Escribamos ahora esta integral doble como la integral iterada

I= J:7 F(xW(‘c) s-‘, L’ ++y)G( j,)H( J,)~J, rlx (12) [ Suponga que en la integral entre paréntesis cambiemos la variable de integración de y a t, donde x +y = t, esto es, y = t - x. Entonces (12) se convierte en I=

;, F‘(.Y)H(.Y) ’ e -“G( t - s)H( t - s)dt tls -, i’ 1 [J

o al cambiar el orden de integración

F(r)H(x)G(t - .u)H(t - s)rl‘c í/t

(13)

(14)

Ahora debido a la definición de la función de Heaviside, el integrando de la integral entre paréntesis es cero excepto para 0 < x < t, y para estos valores de x las funciones de Heaviside son iguales a 1. Así (14) se convierte en rlt 1 0 [

i 0 i’

e-\I

’ 0

F(u)G(t - LL)~L,] tlt = Y 1s; F(u)G(t - LI)~U]

= Y’(F*G)

al usar x = U. Esto completa la prueba. Los intercambios del orden de las integrales en esta prueba se pueden justificar si asumimos que las funciones F y G satisfacen las condiciones en la página 269 para la existencia de sus transformadas de Laplace. La convolución con frecuencia es útil para resolver ecuaciones integrules donde la función desconocida a ser determinada está bajo el signo de la integral. Como una ilustración considere EJEMPLO ILUSTRATIVO 8

Resuelva la ecuación integral Y’(t) = 3t +

i Y(u)sen(t - zl)tlcr. s Solución La ecuación integral se puede escribir en términos de convolución como Y(t) = 3t + Y(t)*sent Luego tomando la transformada de Laplace y usando el teorema de convolución tenemos 2 JjS) = 3 + ;:.!$ 0 ).(s) = 22 ‘!! = 3 + 3 .s2 .s4 s2 .s4 Luego tomando !a transformada inversa de Laplace encontramos y(t) = 3t + +t3. Soluci&n

de ecuaciones diferenciales por transformadas de Laplace

285

El teorema de convolución es frecuentemente útil para obtener soluciones a ecuaciones diferenciales en las cuales hay funciones cuyas transformadas de Laplace son difíciles o aún imposibles de encontrar. Por caso consideremos el EJEMPLO ILUSTRATIVO 9

Resuelva el problema de valor inicial

Y” + Y = Cr’. E’(0) = 0. Y’(0) = 0. (15)

Solución Remplace e -t2 por F(t) y denote su transformada de Laplace por f(s). Entonces. de la ecuación diferencial y condiciones dadas tenemos

s2y - sY(0) - Y’(0) + I' = f(s) 22-l{ f(s)) = e-“,

Puesto que

y-l

f(4 0 )' = ~ s2 + 1

sz + 1 i i

tenemos

=sent (16)

La integral en (16) no se puede evaluar exactamente. Es interesante notar que si el lado derecho de la ecuación diferencial en (15) fuera et2 en vez de e-l* la transformada de Laplace no existiría, pero la solución sin usar transformadas de Laplace es en efecto Y =

0 e”sen(t - U)All (17) s Así formalmente el método de las transformadas de Laplace se puede usar para llegar a soluciones posibles las cuales se pueden luego chequear. El hecho de que las técnicas de la transformada de Laplace puedan conducir a resultados correctos aún en los casos donde las funciones no tienen transformadas de Laplace parece indicar que hay algo más básico que la transformada de Laplace, pero aún bastante relacionado con ella, el cual puede usarse en su lugar. De los ejemplos anteriores parecería que la misma conuolución es el concepto deseado. Esto se indica además por el hecho de que la convolución obedece muchas de las reglas comunes del álgebra, tales como las siguientes F*G = G*H Ley conmutativa F*(G*H) = (F*G)*H Ley asociativa :t,’ (c) F*(G + H) = F*G + F*H Ley distributiva Esto ha conducido a algunos autores a evitar el uso total de la transformada de Laplace y tratar sólo con convoluciones.* Por medio de este procedimiento es posible construir funciones de impulso rigurosas tales como la función delta de Dirac. (e 1 Métodos misceláneas Varios métodos especiales se pueden también usar para hallar las transformadas inversas de Laplace. *Ver

286

por ejemplo, la referencia [ 191

Capítulo

seis

EJEMPLO

ILUSTRATIVO

E n c o n t r a r Y ’ ic- “‘f’(s); donde,/‘(s) = Y’i/‘F(r)] y II > 0 Solución

Tenemos

por

f(s) = Jo’ e-“‘F(t)dt

definición

Entonces multiplicando por e-as

encontramos

e -“‘f’(s) = 1,’ r-““+“‘F(t)dt

Con t +a = u esta integral se puede escribir como e -“*f’(s) = J,’ e -““f-(u

- ([)(/l, = ” p-51’ 1’0

-hl’F(I/ - u)rhr

= Y/‘G(t)j donde

G(t) =

t < Cl

0, i F(t - u).

f > II

Tenemos así al tomar las transformadas inversas de Laplace y- 1 !e-U.;f(,s)j =

0. i F( t - LI),

t<U t > Li

Este resultado también se puede expresar en términos de la función unitaria de Heaviside como El resultado de este ejemplo es importante y lo enunciamos para referencia en el siguiente Teorema.

Si -!F’{f(s)) = F(t) entonces y-1 ;e-a”J(s);

0, i F( t - a),

t < ci t > (1

= F( f - tr)H(t

3.3 OBSERVACIONES CONCERNIENTES A LA EXISTENCIA DE LAS TRANSFORMADAS INVERSAS DE LAPLACE

- u) UNICIDAD

Tácitamente hemos asumido en lo anterior que hay sólo una función que tiene alguna transformada de Laplace dada, esto es, hemos asumido que la transformada inversa de Laplace es única. Esto no es realmente así al notar aue la función (18) difiere de la función F(t) = 1, puesto que el valor de G(t) en t = 3 es 5 mientras que el valor de F(t) en t = 3 es 1. Sin embargo la transformada de Laplace de ambas funciones está dada por l/s, s > 0. Así la transformada inversa de Laplace de l/s puede ser F(t) = 1 o la función G(t) dada en (18), o de hecho cualquiera de las infinitamente muchas funciones. Una clave posible de la razón por qué no obtenemos unicidad se debe a que la función G(t) dada en (18) es discontinua en t = 3. A propósito se puede mostrar que si nos restringimos a las funciones continuas entonces la Solución de ecuaciones diferenciales por transformadas de

Laplace

287

transformada inversa de Laplace es única. Este teorema, el cual es algo difícil de probar, se llama el teorema de Lerch.* Ahora sabemos que si F(t) es seccionalmente continua en todo intervalo finito y de orden exponencial entonces lím,,. f(s) = 0 (vea el Ejercicio 6C, página 273). En caso de que se tuviera lím,-, I f(s) # 0 sigue que la transformada inversa no puede ser seccionalmente continua y de orden exponencial. Así Iím,, , f(s) = 0 es una condición necesaria para la existencia de una transformada inversa de Laplace que es seccionalmente continua y de orden exponencial. t EJERCICIOS A 1. Encuentre las transformadas inversas de Laplace de las siguientes funciones.

2. Usando los teoremas sobre las transformadas inversas de Laplace encuentre cada una de las siguientes.

3. Use el método de fracciones parciales para encontrar las transformadas inversas de Laplace de las siguientes .\ + 17 5 - ll (;i, ~~~ ~~, (b) 3s8 (a - I)(s + 3) .s2 - 16’ (c) (s + I)(s ~ 2)(.\ - 3)’

4. Use el método de convolución para encontrar cada una de las siguientes.

Resuelva cada una de las siguientes y chequee las soluciones. (al (b) (d) fe)

1~” - 4Y’ + 3Y Y” + 2)” = 4, 1”’ - 2 1.’ + 1’ 1.” + XY’ + 3 5

= 0. Y(0) = 3 . l”(O) = 5 . l’(o) = I. Y’(O) = -4. (c) 1”’ + 91. = 121. I’(O) = 4. I.‘(O) = 1. 2’ = 100. l’(O) = 2. 1 ‘(0) = 20.

= zocos’.

I’(O) = 0. I.‘(O) = I

*Más generalmente Lerch ha probado que si dos funciones tienen la misma transformada de Laplace entonces ellas difieren a lo sumo por una función nula, esto es, una función N(t) tal que para todo t > 0 J,i :(lf)r/lf

= 0

Un significado práctico de esto es que, en un cierto sentido, la transformada inversa de Laplace es “esencialmente única”, Para mayor discusión ver la referencia [6] *La condición no es suficiente sin embargo. Para condiciones suficientes debemos considerar f(s) como una función de la variable compleja s. Ver [S] por ejemplo.

288

Capítulo

seis

EJERCICIOS

1. Use fracciones parciales para encontrar y 1

(,s2

ll.? - 10s + 11 As -t B Cs + D Sugerencia: Asuma __-.__-~~ = s2+-i + --.-z--z;+5’

(s? + I)(s2 - 2s + 5)

2. Encuentre 9-l 3. Resuelva

Y”’

+ 3Y" + 3Y' + Y = 12~~'.

Y(0) = 1. Y'(0) = 0. Y"(0) = -3.

4. Resuelva Y”“) - Y = cos í sujeto a Y(0) = 1, Y’(0) = - 1, Y”(0) = Y”‘(0) = 0. 5. Encuentre (a)Y-‘{e-‘“~~~.

+ 1)3 ‘1.

(b) íY-‘(e-‘;(s

9. Resuelva Y” + Y = 0, Y(0) = 0, Y(n/Z) = 4. [Sugerencia: Haga Y’(O) = C y encuentre C.] ‘7. Pruebe (a) F*G = G*F. (b) F*(G*H) = (F*G)*H. Discuta. 8. Resuelva las siguientes ecuaciones integrales y chequee (a) Y(t) = 1 + Ji e’“Y(t - tf)du. (b) J; Y ( tf )sen(t -

tf)t/tf

SUS

respuestas.

= Y(r) + sent - cos t.

9. Encuentre 9-r

10.

Resuelva la ecuación integral s’o Y(tf)Y(t - tf)h = 4 (sen t - t cos t). EJERCICIOS

1. Muestre que 1 = j: EF dx = 2 si t > 0. (Sugerencia: Primero muestre que yl;p(l: tegral.)

-I Yjsen rxl í1.x y evalúe la última inso __~ x

2. Muestre que

* cos tx --& = :Q-’ s i t=O. s0 x2 + 1

3. Resuelva ?Y”

- tY’ + Y = 0, Y(0) = 0. Y’(0) = 1.

4. Pruebe que

~-‘~n[l +$}=‘F.

5. Resuelva cada uno de los siguientes problemas de valor inicial que involucran la función delta de Dirac.

ta) Y' + 2Y = 5d(t - l), Y(0) = 2. (b) Y” + Y = 3d(r - TC), Y(0) = 6. Y’(O) = 0. (c) y" + 4Y' + 4Y = 66(t - 2), Y(0) = 0. Y'(0) = 0.

6. Trabaje el Ejercicio 4C, página 246, usando la función delta. 7. Sean P(s) y Q(s) polinomios en s donde el grado de P(s) es menor que el grado de Q(s) y donde Q(S) = 0 tiene raíces distintas a,, aa,, , a,. Pruebe la fórmula de expansión de Heaviside.

Solución de ecuaciones diferenciales por transiofmadas de LapJace

289

9. Use el Ejercicio 7 para trabajar (a) el Ejemplo ilustrativo 4, página 281; (b) el Ejemplo ilustrativo 5, página 282 (c) el Ejercicio 3(e)A. 9. Generalice el Ejercicio 7 para el caso donde las raíces pueden no ser distintas e ilustre con un ejemplo. 19. (a) Muestre que donde hay n integrales a la izquierda. LSe cumple el resultado para F(w) = ex* ? Explique (b) Muestre que el resultado en (a) es equivalente a enunciar que

D-“F(f) = ,11,.I;; (r - .Y)-‘F(t)dt I 11. Suponga que el resultado en el Ejercicio 10(b) se toma como la definición de D-“F(t) para cualquier número positivo n. (a) Muestre que si en particular n= 4 entonces

(b) Opere con D en ambos lados del resultado en (a) y asuma que D[D- 1’2 ] = DI/2 para llegar a la definición de la media derivada de F(t) dada por

(c) Chequee la definición en (b) al encontrar la media derivada de t’ dos veces para ver si concuerda con la derivada completa, esto es, 2t.

Aplicaciones a problemas físicos y biológicos Como ya hemos visto en capítulos precedentes una formulación matemática de problemas en mecánica, electricidad, vigas, etc., a menudo conduce a ecuaciones diferenciales lineales con coeficientes constantes. En esta sección mostramos cómo la transformada de Laplace se usa para resolver tales problemas. 4.1

APLICACIONES

CIRCUITOS

ELECTRICOS

Como un primer ejemplo ilustrando el uso de la transformada de Laplace en la solución de problemas aplicados, consideremos el siguiente problema involucrando circuitos eléctricos. EJEMPLO ILUSTRATIVO 1

Un cierto circuito eléctrico (ver Figura 6.8) consiste de una resistencia de R ohmios en serie con un condensador de capacitancia C faradios, un generador de E voltios y un interruptor. En el tiempo t = 0 el interruptor se cierra. Asumiendo que la carga en el condensador es cero en t = 0, encuent r e la carga y corriente en cualquier tiempo más tarde. Asuma que R, C, E son constantes. 290

Capítulo seis

Figura 6.8

Formulación matemática. Si Q e I = dQ/dt son la carga y la corriente a cualquier tiempo t entonces por la ley de Kirchhoff tenemos RI++

RIZ+$E

(1)

con condición inicial Q(0) = 0. Solución Tomando transformadas de Laplace en ambos lados de (1) y usando la condición inicial, tenemos, si q es la transformada de Laplace de Q,

CE E R ’ = s(RCs + 1) = s(s+~R~) 1 ! - ~~ 5 s + I:RC

1 s + l/RC

Entonces tomando la transformada inversa de Laplace encontramos

L o s m é t o d o s d e l a t r a n s f o r m a d a d e Laplace prueban ser de gran valor en problemas que involucran funciones seccionalmente continuas. En tales casos las propiedades de la función unidad de Heaviside (página 269) son útiles. Como una ilustración del procedimiento consideremos EJEMPLO

ILUSTRATIVO

Trabaje el Ejemplo ilustrativo 1 para el caso donde el generador de E voltios se remplaza por un generador con voltaje dado como una función del tiempo por 05t<T t > T

Solución de ecuaciones diferenciales por tcansformadas

de Laplace

291

Formulación matemática. Ilemplazando E en el Ejemplo ilustrativo 1 por E(t) obtenemos la ecuación diferencial requerida

con condición inicial Q(0) = 0. La ecuación (2) también puede expresarse en términos de la función unidad de Heaviside como R ‘$ + g = E,[l - H(t - T)] Solución. Método 1. Tomando las transformadas de Laplace dos de (2) o (3) y usando la condición inicial encontramos R{sq - Q(0); + ; = 0

de ambos la-

EJ1 - emsT)-. s

E, ( 1 - eFST) Eo EO -sl q = R s(s + l/RC) = %(s-] - Rs(s + l/RC) ’ 1 s + l/RC

1 s + 1,‘RC

e -57

Tomando las transformadas inversas de Laplace de ambos lados usando el resultado enunciado en el teorema de la página 287, encontramos Q = CE,(l - FtIRC) - CE,(l - e-(‘- ‘)jRC)H(f - T) CE,(I - e-’ RC), cEo(e-“-l-“RC _ e-t:RC),

t<T t>T

=i Para t = T tenemos Q = CE,(l - e-t!RC).

Método 2. Usando el Teorema de conuolución. Sea e(s) la transformada de Laplace de E(t). Entonces como antes tenemos R(sq - Q(O)) + : = e(s) e(s) ’ = R(s +- l/RC)

o puesto que Q(0) = 0, Ahora

(iu-’ {blm] = G,

Así por el teorema de convolución

Para 0 < t < T tenemos

292

Capítulo seis

Li?-‘(e(s)j = E(t)

= I”-‘(q) -4 j-0 Q~)~-(‘-“)“RC

=f J; E~~-(~-QRC

[ltl = c,r,(l _ e-f,RC)

Para t > T tenemos

=; ji’

~-(‘-‘d

RC dL, = CE,{~-“P’“R“

_ ,-t!RC;

la cual concuerda con el resultado del Método 1. 4.2 UNA APLICACION A LA

BIOLOGIA

Como una aplicación biológica, en particular la absorción de drogas en un órgano o célula, consideremos el siguiente EJEMPLO ILUSTRATIVO 3

Un líquido tránsporta una droga en un órgano de volumen Vcm3 a una tasa de a cm3 /seg y sale a una tasa de b cm3 /seg, donde V, a, b son constantes. En el tiempo t = 0 la concentración de la droga es cero y crece linealmente a un máximo de k en t = T, en este tiempo el proceso se detiene. ¿Cuál es la concentración de la droga en el órgano en cualquier tiempo t? Formulación matemática. El problema es el mismo de la página 157, excepto que la concentración es una función del tiempo denotada por C(t) dada por

cuyo gráfico aparece en la Figura 6.9. Denotando la concentración instantánea de la droga en el órgano por x, tenemos así ;(xV) = aC - bx, Solución trativo 2) mada de 2’ { C(t){

x(0) = 0

(4)

Usaremos el método de convolución (Método 2 del Ejemplo iluspara resolver el problema de valor inicial (4). Tomando la transforLaplace de la ecuación diferencial en (4), llamando Y { X} = 2 y = c(s), tenemos Vjs.Y - x(O); = ac - by

. ..-.L.-..-

. . . .-_

.---- - - -

-__4

T Figura 6.9

Solución de ecuaciones diferenciales por transformadas de

Laplace

293

ac 4 = V(s + b/V)

Luego usando x(O) = 0 produce

LP{c(s)j = C(t)

9-l IV@ &)} = ; e-bt!V, Así por el teorema de convolución

x = y-‘(y) cay s; c(u)e-WW’ du Para 0 s t < T, tenemos

a x=T

f soKUe

-b(t-u)iV

du = 7 t _ v”“(1

_ ,-bf:V)

Para t > T, tenemosx=~~orKue-b(~-u)~Vdu=~~-brlr

(,,’ ‘h;“)

e-b(t-T,,V

El valor de x para t = T se encontró al hacer t = T en cualquiera de estos. Interpretación. Del último resultado notamos que cuando t aumenta más allá de T la droga gradualmente desaparece. Sigue que la concentración de la droga en el órgano alcanzará un máximo en algún tiempo. El estudiante puede mostrar (vea el Ejercicio 9B) que este tiempo está dado por t = T y que este máximo el cual llamaremos la concentración pico de La droga está dado por IcaT - !!!$f (1 - e-bT/“) b En la práctica el tiempo de la concentración pico de la droga ocurrirá más tarde que T debido al hecho de que la droga no entra al órgano instantáneamente, como en el modelo anterior, sino que en vez hay una demora. 4.3 EL PROBLEMA TAUTOCRONO-APLICACION DE UNA ECUACION INTEGRAL EN MECANICA

Como un ejemplo de un problema en mecánica el cual conduce a una ecuación integral de tipo convolución consideremos el siguiente EJEMPLO

ILUSTRATIVO

Un alambre tiene la forma de una curva en el plano vertical xy con su extremo más bajo 0 localizado en el origen como se indica en la Figura 6.10. Asumiendo que no hay fricción, encuentre la forma que la curva debe tener para que una bolilla bajo la influencia de la gravedad se deslice hacia abajo desde el reposo a 0 en un tiempo constante especificado T independiente de donde se coloque la bolilla sobre el alambre por encima de 0. Formulación matemática. Antes de formular el problema en términos matemáticos, puede ser instructivo examinar si el problema tiene sentido desde el punto de vista físico. Para hacer esto suponga que tenemos dos personas con alambres idénticos a los mostrados -en la Figura 6.10. De acuerdo al problema, si los alambres tienen la forma correcta, entonces las bolillas puestas en cualquier lugar del alambre por las dos personas en un instante dado deberían alcanzar sus extremos más bajos simultáneamente después 294

Capítulo

seis

Figura

6.10

del tiempo T. A primera vista se puede pensar que esto no puede suceder, puesto que parecería que entre más alto coloque la persona la bolilla en el alambre le tomaría más tiempo a la bolilla alcanzar el extremo inferior porque la distancia a recorrer sería mayor. Sin embargo, la bolilla que viaja la distancia mayor tendría también la velocidad más alta cerca del final del alambre, así que presumiblemente la carrera podría resultar empatada. Para formular el problema matemáticamente, sea (x, y) cualquier punto de partida de la bolilla y (X, Y) cualquier punto entre el punto inicial y el punto 0. Sea (r la longitud del alambre (esto es, la longitud del arco de la curva) medido desde 0. Si denotamos por E.P. y E.C. la energía potencial y la energía cinética de la bolilla, entonces de acuerdo al principio de conservación de la energía de la mecánica elemental tenemos E . P . e n (x,y)+E.C. e n (x,y)=E.P. e n ( X , Y ) + E . C . e n ( X , Y) Si la bolilla tiene una masa m y t es el tiempo de viaje medido desde la posición de reposo esto se convierte en mgy+O=mgY

nu 2

+fnl dt 0

Para conseguir esto tenemos que usar el hecho de que la energía potencial es el peso mg multiplicado por la altura por encima del eje x, mientras la energía cinética es $mv2, donde la velocidad v = da/& en (X, Y) pero es cero en (x, y) puesto que se asume que la bolilla parte del reposo. De (5) obtenemos resolviendo para da/&

do - = dt

gzj(y7q

(6)

Sin embargo, puesto que u decrece a medida que t se incrementa así que da/dt < 0, debemos escoger el signo negativo en (6) para obtener

no -= -J2so dt Solución de ecuacionks

diferenciales por transformadas de Laplace

(7)

296

Puesto que Y = y en t = 0 mientras que Y = 0 en t = separar variables e integrar

tenemos de (7) al

Ahora la longitud del arco se puede expresar como una función de y en la forma 0 = F(y), de modo que (8) se convierte en

(9) Nuestro problema se reduce así a determinar F(y), esto es, resolver la ecuación integral (9) y de ésta obtener la curva requerida. Solución La ecuación integral (9) es de tipo convolución y se puede escri-

bir como

T = + F’( y)*y 1:2 t B

Tomando la transformada de Laplace y usando el teorema de convolución encontramos T 1 - -qF’(Jg)9{p2) (10) 5-G Ahora si hacemos 2 { F(y)/ =f(s), entonces 6p( F’(y)} = sf(s) -F(O) = sf(s) puesto que F(0) = 0. También 56 ( y - ll2 1 = P ( $)/s 1/2 = V%/\/s; Así (10) se convierte en

esto es, Tomando las transformadas inversas de Laplace

conduce a

F’( ,,) = !g = ‘“.g rcdj?’

(11)

Ahora de la fórmula de la longitud del arco del cálculo elemental tenemos

do2 = dx2 + lly2 0 Usando esto junto con (ll) conduce a

De esto tenemos

296

Capítulo seis

($y = (i;)- + 1

al usar el hecho de que la pendiente dy/‘dx y así dx/dy no puede ser negativa. Separando variables en (12) e integrando obtenemos X=

a - J‘ J

Para desarrollar la integración en (13), es conveniente hacer y = a sen2 4. Entonces x = 2a scos2 4 d$ = a s(l + cos 2#)d$ = f (24 + sen 24) c c así que o al hacer

x = ;(2rj, +sen2$) + c, 24 = 0,

y = asen2 4 = t (1 - cos 24)

x = t(O +sen0) + c,

y = ;(l - COSO)

Usando el hecho de que x = 0 cuando y = 0, debemos tener c = 0 para que las ecuaciones paramétricas de la curva requerida estén dadas por x = z (H +sen Í3),

y = ;(l - COSO)

(14)

Interpretación. La curva descrita por (14) es una cicloide la cual es generada por un punto fijo sobre un círculo de diámetro a a medida que rueda a lo largo de la parte inferior punteada y = a, como se indica en la Figura 6.11. En nuestro caso la forma requerida del alambre está representada por esa parte de la cicloide mostrada en la línea gruesa de la figura. El tamaño de la cicloide naturalmente dependerá del valor particular de T. La curva obtenida es a menudo llamada una tautócrona del griego tauto, que significa lo mismo o idéntico y Cronos que significa tiempo. El problema de encontrar la curva requerida conocido como el problema tautócrono* fue propuesto cerca del final del siglo XVII y resuelto de varias maneras por algunos prominentes matemáticos de ese tiempo. Uno de estos fue Huygens, quien empleó el principio para diseñar un péndulo cicloidal para usar en relojes. En este diseño (ver Figura 6.12) el medallón del péndulo B está en el extremo de una cuerda flexible cuyo lado opuesto está fijo en 0. El péndulo está restringido por dos arcos vecinos de la cicloide OP y OQ para que oscile entre ellos. Y - - - - - - - - -

- - - - - - - - -

0 Figura 6.1 1

*El estudiante debería comparar el problema tautócrono con el problema de la braquistótrona (Ejercicio,aC, página 130), el cual también involucra la cicloide.

Solucidn

de ecuaciones diferenciales por transformadas de Laplace

237

Figura

6.12

El período de oscilación es constante, y la trayectoria del medallón del péndulo resulta ser una cicloide (ver Ejercicio 5C, página 303). El problema tautócrono, aunque aparentemente es sólo como un ejercicio interesante en mecánica y ecuaciones diferenciales, realmente resulta de gran significancia porque inspiró a Abel en 1923 a un estudio de ecuaciones integrales. Investigación en esta interesante e importante rama de las matemáticas con numerosas aplicaciones fueron hechas por muchos matemáticos de los siglos XIX y principios del XX, pero muchos problemas todavía permanecen sin solución. El estudiante que desea estudiar este tópico debería consultar algunas de las referencias dadas en la Bibliografía. 4.4

APLICACIONES

INVOLUCRANDO

FUNCION

DELTA

Como mencionamos en la página 276, algunos importantes problemas aplicados pueden ser formulados en términos de la función delta de Dirac. Como ejemplo consideremos EJEMPLO

Una constante peada al Describa

ILUSTRATIVO

masa m está acoplada al extremo inferior de un resorte vertical de k suspendido de un punto fijo. En el tiempo t = t, la masa es golaplicarle una fuerza hacia arriba durando un tiempo muy pequetio. el movimiento subsecuente.

Formulación matemática. Asumiendo que el eje vertical del resorte se toma como el eje x y que la masa está inicialmente en x = 0, tenemos 777

xT + ks = P,n(r - ro),

s(0) = 0, s’(0) = 0

(15)

Aquí hemos asumido que el impulso de la fuerza aplicada a la masa es constante e igual a P, de modo que la fuerza se puede tomar como P, d (t - t, ). Solución Tome la transformada de Laplace de la ecuación diferencial en (15) usando las condiciones iniciales y el hecho de que 9 ( 6 (t - to) = e-st* . Entonces si X =Y ( Z) , tenemos

298

Capítulo

seis

Puesto que

Interpretación. De (16) vemos que la masa permanece en reposo hasta el tiempo t,, después del cual oscila senosoidalmente con período 27rV&7% y amplitud PO/-. En este ejemplo no hemos tomado en cuenta el amortiguamiento. Esto se deja para el Ejercicio 12B. 4.5 UNA APLICACION A LA TEORIA Y SERVOMECANISMOS

DE CONTROL AUTOMATICO

Suponga que un misil M está siguiendo a un avión enemigo o a otro misil E como se indica en la Figura 6.13. Si en tiempo t el enemigo E gira algún ángulo, q(t), entonces M debe también girar este ángulo si quiere alcanzar E y destruirlo. Si un hombre estuviera a bordo de M, él pudiera operar algún mecanismo de dirección para producir el giro requerido, pero puesto .que el misil no está tripulado por cuestiones de seguridad, tal control se debe realizar automáticamente. Para hacer esto necesitamos algo para sustituir los ojos del hombre, tal como un haz de radar el cual indicará o apuntará a la dirección que M debe tomar. Necesitamos también algo para sustituir las manos del hombre el cual girará un timón algún ángulo para producir el giro deseado. Un mecanismo, ya sea que involucre principios eléctricos, mecánicos, u otros, diseñado para conseguir tal control automático se llama un servomecanismo o brevemente un servo. Formulación matemática. En esta aplicación asumamos que el ángulo deseado de giro como lo indica el haz de radar es \k (t). También sea 0 (t) para denotar el ángulo de giro del timón en tiempo t. Idealmente desearíamos tener o (t) = 9 (t), pero debido a que las cosas suceden tan rápido debemos esperar tener una discrepancia o error entre los dos dada por error = O(t) - Y(t) (17) La existencia del error debe ser señalizado hacia el timón, algunas veces referido como una señal de retroalimentación, de modo que se pueda producir un efecto de giro o torque compensatorio. Si el error es grande, el torque necesario será grande. Si el error es pequeño, el torque necesario sera pequeño.

Figura

6.13

Solución de ecuaciones diferenciales por transformadas de

Laplace

299

Es así razonable diseñar el servomecanismo de modo que el torque requerido sea proporcional al error (17). Ahora sabemos de la mecánica que el torque es igual al momento de inercia de la cosa a ser girada (en este caso el timón junto con lo que-esté conectado a éste), denotado por Z, multiplicado por la aceleración angular dada por 8 “(t). Así tenemos de (17) ro”(t) = -h-[@(t) - Y(t)] (18) donde k > 0 es la constante de proporcionalidad. El signo negativo ante k se usa porque si el error es positivo (esto es, el giro es demasiado grande) entonces el torque debe ser opuesto a éste (esto es, negativo), mientras que si el error es negativo el torque debe ser positivo. Asumiendo que el ángulo inicial y velocidad angular son cero como condiciones posibles, tenemos O(0) = 0, O’(0) = 0 (19) Para llegar a (18) hemos despreciado el amortiguamiento. Para este caso, vea el Ejercicio 15B. Solución Tomando la transformada de Laplace de ambos lados de (18) usando las condiciones (19), y asumiendo que 53( e(t)} = e(s), 3’( 9(t)\ =+(s), tenemos

zs2w = -K[O(S) - $(s)] 0 g(s) = $!%!; Entonces por el teorema de convolución (21) Interpretación. El resultado (21) nos permite determinar O(t) a partir de q(t). En la teoría de control automático q(t) se llama co.n frecuencia la función de entrada o brevemente la entrada, e(t) se llama la función de salida o brevemente la salida. El factor de multiplicación en (20), ~~ K--Is + I\ el cual sirve para caracterizar el servomecanismo al relacionar la entrada y la salida se llama la función de transferencia o función respuesta. Los servomecanismos surgen en muchas situaciones en la práctica, como por ejemplo en el hogar donde un termostato se usa para regular la temperatura y en barcos o aviones donde se necesita un piloto automático. La idea básica de un servomecanismo se ilustra esquemáticamente en el diagrama de bloques de la Figura 6.14. En el primer bloque a la izquierda tenemos el, estado deseado (por ejemplo, la posición deseada y dirección en el caso de un misil o la temperatura de un cuarto). Puesto que el estado deseado no es el mismo del estado real, hay un error indicado por el segundo blo-

Figura

300

Capítulo

seis

6.14

que. Este error se alimenta en un adaptador, indicado por el tercer bloque, el cual intenta rectificar el error (tal como un torque adaptivo en el caso del misil) y conduzca al estado real indicado por el bloque a la derecha. Este estado real luego es retroalimentado (señal de retroalimentación) para indicar el error de distanciamient,o del estado deseado, y el proceso se repite una y otra vez hasta conseguir el estado deseado. EJERCICIOS

1. Un circuito eléctrico consiste de una resistencia de R ohmios en serie con un inductor de inductancia L henrios y un generador de E voltios donde R, L y E son constantes. Si la corriente es cero en el tiempo t = 0 encuéntrela en cualquier tiempo t>o. 2. Un objeto de masa m se lanza verticalmente hacia arriba con velocidad inicial uo. Asumiendo que la aceleración debida a la gravedad es constante e igual a g, y la resistencia del aire es despreciable, determine la posición y velocidad del objeto en cualquier tiempo más tarde. 3. Trabaje el Ejercicio 1 si el generador tiene un voltaje dado por OgtzT t > T

(b) E(t) = E,senwt.

4. Trabaje (a) Ejemplo ilustrativo 3, página 76; (b) Ejercicio 3A, página 88; Ejemplo ilustrativo 1, página 225. EJERCICIOS

(c!

1. Una masa m en el extremo de un resorte vibrante vertical de constante k sufre una vibración alrededor de su posición de equilibrio de acuerdo a la ecuación d2X dX m > f fi -- + kX = F, cos at dtdt

donde p es la constante de amortiguamiento, y X es el desplazamiento de la masa de su posición de equilibrio en cualquier tiempo t. (a) Resuelva esta ecuación sujeta a la condición inicial X(0) =X’(O) = 0. (b) iCuál es la solución de estado estacionario? (c) Explique cómo la transformada de Laplace de la solución se puede simplificar para que conduzca a la solución de estado estacionario. 2. Trabaje el Ejercicio 1 si las condiciones iniciales se modifican así: X(0) =X0, X’(0) = V,. Interprete los resultados físicamente. 3. Trabaje (a) El Ejemplo ilustrativo 8, página 244; (b) El Ejemplo ilustrativo en la página 248. 4. Trabaje (a) Ejercicio lA, página 249; (b) Ejercicio lB, página 249. 5. Trabaje Ejercicio 1 si la fuerza externa de la masa m está dada por F

O<t<T

t > T

(a) F(t) = o”’

(b) F(r) = F,t cos OI/.

6. Trabaje el problema de cardiografía, página 253, usando la transformada de Laplace. 7. Trabaje el problema en Economía, página 255, usando la transformada de Laplace. 3. Use las ecuaciones paramétricas para la cicloide dadas por (14), página 297, para verificar directamente que el tiempo gastado por la bolilla en deslizar hacia abajo del alambre en el Ejemplo ilustrativo 4 es T.

Solución de ecuaciones diferenciales por transformadas de

Laplace

301

9. Pruebe los resultados establecidos al final del Ejemplo ilustrativo 3, página

294.

10. Discuta cómo usted construiría un alambre en un plano vertical tal que una bolilla puesta en cualquier lugar de él deslizaría del reposo al extremo más bajo en 3seg. iQué problemas esperaría usted que surgieran desde el punto de vista físico?

ll. Una partícula de masa m está en reposo en el origen 0 sobre el eje x. En t = t, actúa sobre ella una fuerza durante un intervalo de tiempo muy corto donde el impulso de la fuerza es una constante P,. (a) Establezca un problema de valor inicial que describa el movimiento. (b) Resuelva e interprete los resultados. 12. Trabaje el Ejemplo ilustrativo 5, página 298, si el amortiguamiento se toma en cuenta. 13. Un circuito eléctrico está hecho de una resistencia R e inductancia L en serie. En t = t,, un voltaje muy grande se introduce en el circuito pero sólo por un corto tiempo. Asumiendo que la corriente inicial es cero, icuál es la corriente en cualquier tiempo más tarde? 14. Trabaje el problema del servomecanismo de la página 299 si (a) q(t) 9(t) =at, (c) P ( t ) =(Y senwt, donde LY, w son constantes.

= (Y, (b)

15. Trabaje el problema del servomecanismo de la página 299 si hay una fuerza de amortiguamiento actuando sobre el timón la cual es proporcional a la velocidad angular instantánea. 16. Discuta las características del servomecanismo si la función de transferencia está dada por

EJERCICIOS

1. Las vibraciones de una masa m en el extremo de un resorte vertical de constante k están dadas por

donde F(t) es la fuelza externa aplicada en cualquier tiempo t y X es el desplazamiento de m de su posición de equilibrio en cualquier tiempo t. Suponga que la fuerza está dada por F(f) =

Fc,, 2F,, i0 .

O<t<T T < t < 2T t > 2T

(a) Encuentre el desplazamiento en cualquier tiempo t asumiendo que el desplazamiento inicial y la velocidad son cero. (b) Describa f%icarn:7te las vibraciones dé la masa. 2. Trabaje el Ejercicio 1 si el término de amortiguamiento pdx/dt SC t,oma en cuenta. 3. Suponga que la fuerza F(t) en el Ejercicio 1 está dado por F”/k. o<t<c = o t>E 1. (a) Encontrar el desplazamiento en cualquier tiempo t asumiendo que el desplazamiento inicial y la velocidad son cero. (b) Discuta el resultado en (a) para el caso límite donde e+O y dé una interpretación física. (c) iCómo está relacionaF(t)

302

Capítulo seis

do su resultado en (b) con la función delta de Dirac? (d) Podría usted obtener el resultado en (b) haciendo F(t) = F,d(t) en la ecuación del Ejercicio 1 y después tomando la transformada de Laplace usando 2 { 6 (t )I = 1 ? Explique. 4. Discuta el Ejemplo ilustrativo 4, página 294, en caso de que la bolilla se le dé una velocidad inicial u0 en el punto de partida. 5. Pruebe los enunciados hechos acerca del péndulo cicloidal en el primer párrafo en la página 298. 6. Trabaje el Ejemplo ilustrativo 3, página 145, usando la función delta. [Sugerencia: Use la ecuación diferencial EZy”v’= w(x) obtenida en el Ejercicio BC, página 147. 7. Trabaje el Ejercicio 1A; página 145, usando la función delta. 8. Muestre cómo encontrar la solución de la ecuación integral de Abel

, Y(u) s” (r - uy rlu = F(1),

O<r<l

donde F(t) está dada y Y(t) es para ser determinada. 9. (a) Discuta el Ejercicio 8 para el caso especial CY = 3 y explique la relación de la solución con la media deriuada del Ejercicio llC, página 290. (b) Muestre que la solución del problema tautócrono en la página 294 depende de la solución de una ecuación diferencial de “medio orden”.

Solución de ecuaciones diferenciales por transformadas de

Laplace

303

dy + +( x 2 − p 2 )y = 0 dx dx ocurre con mucha frecuencia en problemas prácticos. Como resultado los valores numéricos de la solución por series de esta ecuación se han calculado y tabulado como función de x, p. Esta ecuación se conoce como “ecuación de Bessel” (Friedrich Wilhelm Bessel, 1784-1846) y sus soluciones como “funciones de Bessel”. El origen, x = 0, es un punto singular de ésta ecuación, por lo que el método de Frobenius puede utilizarse para encontrar dos soluciones linealmente independientes que se colocan en la forma más frecuentemente usadas introduciendo la función Gamma Γ (tercera letra del alfabeto griego). x2

La función gamma. Se define para números complejos p con parte positiva real como: ∞

Γ(p) = ∫ e − x x p−1 dx 0

Se refiere solo a números p reales mayores que 0, sin considerar valores complejos. La integral implicada es impropia, o sea que primero se debe comprobar si converge lo cual se cumple si p > 0 (la única fuente de dificultad es el infinito). Las propiedades fundamentales de la función gamma son:

Γ(p + 1) = pΓ(p) Si n es un entero positivo:

p>0

Γ( n + 1) = n !

Γ(0) = 0 ! = 1 Se puede extender esta definición para el factorial de reales positivos no enteros: Γ(p + 1) ≡ p ! Entonces: ∞ −2 ⎞ ⎛ ; Γ( 3 / 2 ) = (1 / 2 )Γ(1 / 2 ) = ⎛⎜ π 2 ⎞⎟ Γ(1 / 2 ) = 2 ∫ e − x dx = 2⎜ π 2 ⎟ = π ⎝ ⎠ ⎠ ⎝ 0 Cambiando variables en la integral podemos evaluar muchas integrales impropias: ∞

−ax ∫ x e dx =

1 2a

π a

Forma generalizada de la ecuación de Bessel. La ecuación diferencial que se escribe a continuación puede reducirse a la forma de la ecuación de Bessel haciendo las transformaciones de variables a las que halla lugar: d2 y dy x 2 2 + x(a + 2 b r ) + c + dx 2 s − b(1 − a − r )x r + b 2 x 2 r y = 0 dx dx Usando las propiedades de la función gamma y sujeto a los valores de p, la solución puede obtenerse en términos de funciones de Bessel. La solución generalizada es:

[

]

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES MÉTODOS MATEMÁTICOS

y=x

(1−a)

−bx r ⎡ ⎞⎤ ⎛ ⎞ ⎛ d s ⎟ + c Z ⎜ d x s ⎟⎥ r ⎢c Z ⎜ x p − p 2 ⎟⎥ ⎜ s ⎟ ⎜ s ⎢ 1 ⎠⎦ ⎝ ⎠ ⎝ ⎣

Donde: 2

1 ⎛1−a⎞ ⎟ −c ⎜ s ⎝ 2 ⎠ En la ecuación Z ±p representa una de las funciones de Bessel: p=

d es real y p no es ni cero ni un entero, Z p es J p ; Z - p es J -p s

d es real y p es cero o un entero, Z p es J p ; Z -p es Yp s

d es imaginario y p no es ni cero ni un entero, Z p es I p ; Z - p es I - p s

d es imaginario y p es cero o un entero, Z p es I p ; Z - p es K p s

La función de Bessel de primera clase y de orden p es:

( )

2k +p ( −1) k x 2 J p ( x) = ∑ k! (k + p)! k =0 ∞

( )

2 k −p ( −1) k x 2 J −p ( x) = ∑ k! (k − p)! k =0 ∞

;

La función Bessel de segunda clase y de orden n es:

( )

⎧ x 2 ⎪⎛ x 1 n −1 ( n − k − 1)! 2 ⎞ Yn ( x) = ⎨⎜ LN + γ ⎟ J n ( x) − ∑ 2 2 k =0 π ⎪⎝ k! ⎠ ⎩ γ = 0.5772157... que es la constante de Euler. k 1 1 1 φ(k ) = ∑ = 1 + + ... + k 2 m =1 m

2k −n

( )

x 2 kn ⎫ 1 ∞ ⎪ k +1 + ∑ ( −1) [φ(k ) + φ(k + n )] 2 ⎬ 2 k =0 k! ( n + k )! ⎪ ⎭

k ≥ 1; φ(0) = 0

La función de Bessel modificada de primera clase y de orden p es:

I p (x) = i

−p

∞

J p (ix) = ∑

k =0

(x 2 )

2 k +p

k! (k + p)!

La función Bessel modificada de segunda clase y de orden n: π K n ( x ) = i n + 1 [J n (ix ) + iYn (ix )] 2 Los valores hacia los cuales tienden las funciones de Bessel cuando x → 0 o cuando x → ∞ son importantes en la solución de problemas prácticos. Para valores pequeños de x (x < 0.5) son útiles las siguientes aproximaciones: 2

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES MÉTODOS MATEMÁTICOS J p ( x) ≅

Yp ( x) ≅ −

J −p ( x) ≅

2 p p!

2 p (p − 1)! x −p π

I p ( x) ≅

p≠0 ;

Y0 (x) ≅

I −p ( x) ≅

2 p p!

K p ( x) ≅ 2 p−1 (p − 1)! x −p

p≠0 ;

2 p x −p ( −p)!

2LNx π

2 p x −p ( −p)!

K 0 (x) ≅ -LNx

Se observa que solamente Jp e Ip son finitas en x = 0. Para valores grandes de x (x → ∞), se pueden usar las siguientes aproximaciones:

J p ( x) ≅

π pπ ⎞ 2 ⎛ cos⎜ x − − ⎟ πx 4 2 ⎠ ⎝ I p ( x) ≅

ex 2 πx

;

Yp( x) ≅

K p ( x) ≅

π pπ ⎞ 2 ⎛ cos⎜ x − − ⎟ πx 4 2 ⎠ ⎝ π −x e 2x

Tanto Jp como Yp oscilan como una onda sinusoidal amortiguada y se aproximan a cero cuando x → ∞. La amplitud de las oscilaciones alrededor de cero decrece a medida que x aumenta. Los ceros de Jp+1(x) separan los ceros de Jp(x); es decir, entre dos valores de x que hacen Jp+1 igual a cero existe uno y solo un valor de x que hace Jp igual a cero. Esto mismo se aplica para Yp+1 y Yp. Por su parte Ip aumenta continuamente con x y Kp decrece en forma continua. Las siguientes relaciones son de notable utilidad:

⎧⎪ αx p Z p−1 (αx) d p x Z p ( αx ) = ⎨ p dx ⎪⎩− αx Z p−1 (αx)

[

]

p d −p ⎪⎧− αx Z p+1 (αx) x Z p ( αx ) = ⎨ p dx ⎪⎩ αx Z p+1 (αx)

[

]

p ⎧ ⎪ αZ p − 1 ( αx ) − x Z p ( αx ) d Z p ( αx ) = ⎨ p dx ⎪− αZ p − 1 ( αx ) − Z p ( αx ) x ⎩

[

]

p ⎧ ⎪− α Z p + 1 ( α x ) + x Z p ( α x ) d Z p ( αx ) = ⎨ p dx ⎪ αZ p + 1 ( α x ) + Z p ( αx ) x ⎩ 3

[

]

Z = J, Y, I Z=K Z = J, Y, K Z=I

Z = J, Y, I Z=K

Z = J, Y, K Z=I

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES MÉTODOS MATEMÁTICOS

[

]

d I p ( αx ) = α I p − 1 ( αx ) + I p + 1 ( αx ) dx

d K n (αx ) = −α[K n −1 (αx) + K n + 1 (αx )] dx

Z p ( αx ) =

[

]

αx Z p + 1 ( αx ) + Z p − 1 ( αx ) 2p

I p ( αx ) =

K n ( αx ) =

[

Z = J, Y

]

−α I p + 1 ( αx ) − I p − 1 ( αx ) 2p

αx [K n +1 (αx) + K n−1 (αx)] 2p

J − n (αx) = ( −1) n J n (αx)⎫ ⎪ I − n (αx) = I n (αx) ⎬cuando n es cero o entero. K − n (αx) = K n (αx) ⎪⎭

En la carpeta del capítulo cuatro el estudiante puede encontrar el ejemplo 3.5 del texto “applied mathematics and modelling for chemical engineers” de Rice y Do.

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES MÉTODOS MATEMÁTICOS SEGUNDA UNIDAD: FORMULACIÓN INTEGRAL Y DIFERENCIAL CAPÍTULO CUATRO: FUNCIONES ESPECIALES. LECCIÓN DOCE. SERIES DE FOURIER. Un caso especial y muy utilizado de la expansión de funciones ortogonales en series son las “series de Fourier”. En un intervalo simétrico –L,L, la representación de las series de Fourier de una función f(x) se define como: ∞ ⎛ nπx ⎞ ∞ ⎛ nπx ⎞ f( x ) = ∑ A n cos⎜ ⎟ + ∑ B n sen⎜ ⎟ n =0 ⎝ L ⎠ n =0 ⎝ L ⎠

Donde n es un entero positivo. Si la ecuación presentada se multiplica por cos nπx L dx y el resultado se integra entre –L y L, se pueden

(

)

(

)

determinar los coeficientes An. De manera similar, utilizando sen nπx L dx se obtienen lo coeficientes Bn: A0 =

1 L ∫ f( x)dx 2L −L B0 = 0

An =

;

Bn =

;

1 L nπx dx ∫ f( x) cos L −L L

1 L nπx dx ∫ f( x )sen L −L L

Aunque la expansión en series de Fourier de la función f(x) dependa solo de términos de seno o de coseno, o de ambos, si depende de si la función es regular, impar o ninguna de las dos. Una función regular, es una donde f(x)=f(-x). x 2 , cos nx, xsenmx u un número puro son funciones regulares ( o pares). Si una función es regular: 1L 2L nπx A 0 = ∫ f( x)dx ; A n = ∫ f( x) cos dx ; B0 = 0 L0 L0 L Entonces se puede decir que: nπx ⎛ nπx ⎞ = −f( −x)sen⎜ − ⎟ L ⎝ L ⎠ Consecuentemente, en la evaluación de los coeficientes An, la integral desde –L hasta 0 se suma a la integral de 0 a L, mientras que en la evaluación de los términos Bn estas integrales se cancelan. Esto se puede mostrar de manera formal a continuación: f( x)sen

Sea f(x) una función regular (o par), entonces: 0 ⎤ 1 L 1 ⎡L A0 = ∫ f( x )dx = ∫ f( x )dx + ∫ f( x )dx ⎥ ⎢ 2 L −L 2L ⎣ 0 −L ⎦ A0 =

−L 1 ⎡L ⎤ f ( x ) dx − ∫ ∫ f( x )dx⎥ ⎢ 2L ⎣ 0 0 ⎦

A0 =

1L ∫ f( x )dx L0

Los coeficientes An y Bn se obtienen de la misma manera. 1

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Una función impar, es una en la que f(x)=-f(-x). x , x 3 , sen( nx), x cos(nx) son funciones impares. Si f(x) es impar: A0 = 0 An = 0 Bn =

2L nπx dx ∫ f( x )sen L0 L

Si solo el intervalo 0 a L es de interés, f(x) puede expandirse solo en series senoidales o solo en series cosenoidales, y esto puede realizarse aunque la función sea par o impar. Cuando este procedimiento se realiza la expansión en términos de se senos genera una función impar que, en general, no representará a f(x) fuera del intervalo o a L. y la expresión en términos de cosenos, genera una función par que de igual manera no representa a f(x) fuera del intervalo. Cuando el intervalo de despliegue de las series incluye al infinito, y si la función es ortogonal, se puede llegauar en el despliegue a uno de los siguientes casos: * Integral del seno de Fourier: F( x) =

∞ ⎤ 2 ⎡∞ ∫ sen(ax ) ∫ F( v)sen(av)dvda⎥ ⎢ π ⎣0 0 ⎦

0<x<∞

∞ ⎤ 2 ⎡∞ ∫ cos(ax ) ∫ F( v) cos(av)dvda⎥ ⎢ π ⎣0 0 ⎦

0<x<∞

* Integral de coseno de Fourier: F( x) = * Integral de Fourier-Bessel: ∞∞

F( x ) = ∫ ∫ avF( v )J p (ax )dvda

0<x<∞

; p > −1

* Integral completa de Fourier: F( x ) =

1 ∞ ∞ ∫ ∫ F( v ) cos(a( v − x )dvda 2 π −∞ −∞

−∞<x<∞

En la carpeta del capítulo cuatro ud. podrá encontrar un ejemplo de solución utilizando series de Fourier, extraído de BRDKEY y HERSHEY, Transport Phenomena.

654

APPLICATIONS

OF TRANSPORT PHENOMENA

It is common practice to abbreviate Eqs. (13.33) and (13.34) as 8 (x, 0) = 630 8 (0, t) = 0

(13.35)

8(2L,t)=O Similarly, it is desirable to transform the mass transfer equation, Eq. (13.11), using some convenient variable such as &: (13.36)

% = CA - CA,f

where again the transformation is useful only if the boundary conditions are not a function of time. For one-dimensional transient mass transfer, Eq. (13.11) becomes (13.37) The boundary conditions in terms of & are almost identical to those in Eq. (13.35); the variable & is simply substituted for 8.

W.2.1 Fourier Series Solution The solution of partial differential equations using Fourier series is usually given in an advanced mathematics course at most universities. Hence, in this section only a typical Fourier series solution to Eq. (13.32) will be given. The reader is referred to the several excellent texts devoted to a more complete treatment [C3, Ml, M4, Rl, W2]. A Fourier series may be defined as f(x) = ~0 + ,zl Uj COS jnx + i bj sin jzx j=l

Osx52L

(13.38)

where the function f(x) is represented in terms of two periodic infinite series, as shown in Eq. (13.38). If the function f(x) is assumed to be periodic, with periodâ&#x20AC;&#x2122; 2L as shown in Fig. 13.6, then it is easily shown that (13.39) (13.40) (13.41)

â&#x20AC;&#x2122; A function is periodic if f(r + 2L) =f(r) for all r.

UNSTEADY-STATE TRANSPORT 655

The power of Fourier series arises from the fact that any function may be assumed periodic, even if it is not, by assuming that the length of the period is the region of interest. For clarification, let us consider the following boundary conditions: 0(x, 0) = 00

0(0, t) = 0

0(2L, t) = 0

(13.35)

These are the simplest possible; since the transformed temperature is zero at either end, these boundary conditions are termed â&#x20AC;&#x153;homogeneousâ&#x20AC;?. Obviously, those are not in themselves periodic; yet they may be considered as a periodic function of period 2L, as shown in Fig. 13.7. Physically the boundary conditions in Fig. 13.7 have no meaning for x less than zero or greater than 2L, but the mathematical assumption of periodicity allows a Fourier series solution, as will be shown later. Many functions likely to be encountered in our engineering problems can be expanded in a Fourier series. There are some mathematical restrictions, known as the Dirichlet conditions [M4], that cannot be violated. A function is Fourier expandable if in the interval 0 5 x 5 2L the following are true: 1. 2. 3. 4.

The The The The

function function function function

f(x) is single-valued. f(x) never becomes infinite. f(x) has a finite number of maxima and minima. f(x) has a finite number of discontinuities.

A practical concern that does limit the utility of Fourier series solutions is that

-4L

-2L

(13.35) as a periodic function.

656

APPLICATIONS OF TRANSPORT PHENOMENA

the integrals in Eqs. (13.39) to (13.41) must be analytic, since Uj and bj are coefficients in an infinite series. Also, not all boundary conditions are amenable to Fourier series solution [C2, C3, C6, 52, Ml, M4, Rl, W2]. The first step in the Fourier series solution of a partial differential equation is to assume that the solution is a product of two quantities: @(x, t) = X(x) - z-w

(13.42)

where & is a function of x only and T is a function of t only. This assumption can be justified only in that it leads to a solution satisfying the partial differential equation and its boundary conditions. The assumed solution, Eq. (13.42) is substituted into the partial differential equation of interest, Eq. (13.32). Since X is a function of x only, it follows that (13.43) Similarly (13.44) Substituting the above into Eq. (13.32), the result is

The variables in Eq. (13.45) are separated as follows X ” 1T’ -z-z(13.46) x aT It is argued that, if x is varied there is no effect on the term T’/(LY~) since T’/(arT) is not a function of x. Thus, the term T’/(@‘) must be independent of x. A similar argument about varying t and its effect on the term r/;Y leads to the conclusion that each side of Eq. (13.46) must be equal to a constant. This constant shall be designated as --/3” to facilitate later forms of the solution: X” 1T’ L=-L= -B’ x ffT

(13.47)

The constant -p’ in Eq. (13.47) must be negative in order to avoid an exponential solution that would be inconsistent with the boundary conditions [Rl]. Equation (13.47) may be decomposed into two ordinary differential equations: r+p2g=o T’+/32aT=o

(13.48) (13.49)

UNSTEADY-STATE TRANSPORT

657

The solutions to Eqs. (13.48) and (13.49) are assumed to be T = Cl exp( -B*&)

(13.50)

X= C2cos/3x+ C3sin/3x

(13.51)

Appropriate boundary conditions for a direct Fourier series solution must be the simplest possible, i.e., homogeneous: O(x, 0) = 00 O(0, t) = 0 0(2L, t) = 0

(13.35)

At this stage in the solution, there are four constants (C,, C,, C3. and p) to be determined from the boundary conditions. Using the boundary condition at the point x = 0, Eq. (13.42) becomes O(0, t) = T(O) *T(t) = 0

(13.52)

Since for the nontrivial case T(t) cannot be zero for all t, it follows that Eq. (13.52) is true only if X(O) = 0

(13.53)

Substituting the results of Eq. (13.53) into Eq. (13.51), Eq. (13.51) becomes 0 = C2 cos

[UNO)l

+ C3

sin [WUU

(13.54)

Since the sine of zero is zero and the cosine of zero is one, then by Eq. (13.54) C2 must be zero. Next, the boundary condition at the other end is applied, and by similar reasoning &(2L) = 0 = C3 sin 2/3L

(13.55)

Equation (13.55) equals zero only if C3 is zero or if sin 2f?L is zero or if both are zero. However, if C, is zero, then ;Y is zero and our assumed solution, Eq. (13.42) is trivial. Therefore sin 2j3L =0

(13.56)

The sine of an arbitrary angle LY is zero if (Y = n, 2~r, 3n, etc. Hence

2/3L=jn

oâ&#x20AC;&#x2122;= 1, 2, 3, . . .)

(13.57)

From Eq. (13.57), the constant /3 is found to be (13.58) The solution as determined so far is substituted from Eqs. (13.50), (13.55) and (13.58) into Eq. (13.42): O(x, t) = C,C,(sin$) exp(-(g)zm)

(13.59)

658

APPLICATIONS OF TRANSPORT PHENOMENA

where each and every j, as j goes from 1 to 00, is a solution to the original partial differential equation, Eq. (13.32). Thus, the total solution is the sum over j of all possible solutions, since Eq. (13.32) is a linear partial differential equation: @(X, t)=i [bjSiIl~~)eXp(-(~)â&#x20AC;&#x2DC;cxt)]

(13.60)

where the product Cr C, has been replaced by bj. The remaining boundary condition at time zero, Eq. (13.33), is used to evaluate bjs Applying that condition to Eq. (13.60): @(cc, 0) = B,=g [bj sinrg)exp(-(g)*&(O))]

(13.61)

Since the exponential of zero is one, Eq. (13.61) reduces to (13.62)

O,, = 2 bj sin($$) j=l

A comparison of Eq. (13.62) with the Fourier series of Eq. (13.38) shows that aj must be zero for all j and (13.63) By substituting Eq. (13.63) into Eq. (13.60), a complete solution is now available. Note that a Fourier series solution is possible as long as the integration in Eq. (13.63) can be performed. For the case of constant 00, integration of Eq. (13.63) yields

= 7 [-cos jn - (-cos 0)] = F

[for odd j]

(13.64)

The simplification of Eq. (13.64) resulted from the following reasoning. The cosine of zero is one. The cosine of Jo equals -1 for odd j and +l for even j. Hence -(cos jn) + 1 = 0

if j is even

-(cos jn) + 1 = 2

if j is odd

(13.65)

Note that a single value of bj from Eq. (13.64) cannot possibly satisfy the boundary condition of Eq. (13.33). Hence, it is argued that only the sum from one to infinity of all possible bj will satisfy the boundary condition, since Eq. (13.32) [or Eq. (13.37)] is a linear partial differential equation. Combining results, the final solution to Eq. (13.32) as determined by the

UNSTEADY-STATE TRANSPORT

659

method of Fourier series is

Equation (13.66) expresses in terms of an infinite series the dimensionless temperature 8/@, for any x and t when the boundary conditions of Eq. (13.35) are valid. However, the engineer will usually be interested in the temperature for a particular x and c or for a series of x and t combinations. In general a Fourier series such as Eq. (13.38) or Eq. (13.66) converges very slowly, especially for small t. Often thousands of terms are required in order to evaluate 8 to the required accuracy. In fact, evaluation of Eq. (13.66) on a digital computer requires almost as much effort as a direct numerical method (to be discussed subsequently), not including the lengthy steps required to get Eq. (13.66). A mass transfer problem with nonhomogeneous boundary conditions is solved in Example 13.2. Example

l3.2. A 3-in. schedule 40 pipe is 3 ft long and contains helium at 26.03 atm and 317.2 K (44“C), as shown in Fig. 13.8. The ends of the pipe are initially capped by removable partitions. At time zero, the partitions are removed, and across each end of the pipe flows a stream of air plus helium at the same temperature and pressure. On the left end, the stream is 90 percent air and 10 percent He (by volume) and on the right 80 percent air and 20percent He. It may be assumed that the flow effectively maintains the helium concentration constant at the ends. If isothermal conditions are maintained and there are no end effects associated with the air flowing past the pipe, calculate the composition profile (to four decimal places) after 1.2 h at space increments of OSft. Use Fourier series. The value of DHtti is 0.7652 x 10m4 m’s-’ (2.965 ti h-‘) [F2]. Answer. First, note that mass transfer in Fig. 13.8 occurs in the z direction only;

there is no transport in either the r- or e-directions. Since the previous equations (derived with heat transfer as the example) are in terms of the x direction, the solution to this problem H;ill arbitrarily use the x direction as the direction of mass transfer.

90% air, 10% He 1 atm, 44°C

f 80% air, 20% He 1 atm, 44°C

FIGURE l3.8

Transient diffusion of helium in a pipe.

660

APPLICAl7ONS OF TRANSPORT PHENOMENA

Concentration is related to partial pressure by Eq. (2.37): CA = n/V =p.J(RT)

(2.37)

where R is the gas constant (0.082057 atm m3 kmoll’ K-i from Table C.l). The partial pressure of species A is defined by Eq. (2.38): (2.38)

PA = YAPto,

where yA is the mole fraction of A and ptow is the total pressure. Example 2.7 illustrated the method of converting partial pressures into concentrations. Initially, the partial pressure of helium in the tube equals the total pressure, 26.03 atm. When the partitions are removed, the partialpressures of helium at the ends of the pipe are B* = YIPtotal = (0.1)(26.03) B2 = Y2Pmal = (0.2)(26.03)

= 2.603 atm = 5.206 atm

Inserting these into Eq. (2.37), the concentrations are C,, = &/(RT) = (26.03)/[(8.2057 x lo-‘)(317.2)] = 1.0 kmol mm3 C,,, =p,/(RT) = (2.603)/[(8.2057 x lo-‘)(317.2)] = 0.1 kmol mm3 C,,* =p,/(RT) = (5.206)/[(8.2057 x lo-‘)(317.2)] = 0.2 kmol mm3 Following the nomenclature of Eq. (13.35),

(ii)

these are

C,&, 0) = 1.0 kmol mm3 C,,,(O, t) = 0.1 kmol mm3 C.42L. t) = 0.2 kmol mm3

(iii)

where the total length of the pipe is 2L, or 3 ft. Although C..,, does not equal CA,2, it is still convenient to transform C, to 0,: %I = CA - CA.1 0”(X, 0) = CA,0 - CA,, = 0.9 = 00

(3 69

@%.4(O,t) = CA.1 - CA.1 = 0 0,(2L, t) = C,,J - c,,, =.0, = 0.1

(4 (vii)

where the definition of 0, is arbitrarily based on CA.I; for ease of notation, 0, and 0* have also been introduced in the above equations. Using the above transformation, Eq. (13.37) still applies: (13.37) where the total length of the pipe is 2L, or 3 ft. The boundary conditions in Eqs. (iv) through (vii) do not allow a solution by Fourier series because the condition in Eq. (vii) does not equal zero. This limitation is easily circumvented by expressing the total solution as the sum of the unsteady-state (or transient or particular) solution 0, and the steady-state solution 0, [Rl]: (viii) 0&, t) = e,(x) + 0,(x, t)

UNSTfiADY-STATE T R A N S P O R T 6 6 1

The steady-state solution 8, is obtained from Fickâ&#x20AC;&#x2122;s law, Eq. (2.4). For equimolar counter diffusion, it is easily shown that the ratio ApA/Ax must be constant at steady-state. If the ratio ADA/Ax is constant, then the ratio AC,/Ax is also constant [cf. Eq. (2.37)]. Since two points uniquely determine the equation for a straight line, the equation for 8, i s

8,=%l(0,~)+[%&, ~)-~M(0,~)l[.dw)I = 0 + (63, - O)[xl(2L)] = @,[x/(ZL)] = (O.l)(x/3) = n/30

The boundary conditions for the transient solution are found by combining the last two equations. First, Eq. (viii) is solved for @(x, t); then the conditions in Eqs. (v) through (vii) are inserted into the resulting equation: @(x, 0) = c&(x, 0) - e,(x) = 0.9 -x/30 = 8, - 8,[xl(2L)]

(x)

@(O, t) = &(O, t) - e,.(o) = 0 - 0 = 0 e,(2L, t) = 63,(2L, t) - 6,(2~) = 0. i - (o.i)(2L)l(2L) = 0

(xi) (4

The solution to Eq. (13.37) subject to the above boundary conditions follows the derivation of Eq. (13.66) from the inception, Eq. (13.42), up through Eq. (13.60), which after replacing (Y w i t h D i s (xiii)

e,(x, t) =s [b, sintg)exp( - (g)*Dt)]

â&#x20AC;&#x2DC;Ihe boundary condition of Eq. (x) is used to evaluate the remaining constant, bj: et+, 0) = e. - e,[xipL)] = 0.9 -x/30 =s [ bj sin($$)exP(

- (~)z~~~(~))]

A comparison of Eq. (xiv) with the Fourier series of Eq. (13.38) shows that a, must be zero for all j and

b,=;

8 0 - 8 X sin JZ h 22L >o 2L

Equation (xv) equals the sum of two integrals:

The first integral is identical to that in Eq. (13.64): $rsin($$)

dr =F

[for odd j]

The second integral may be located in a standard table of integrals [Pl]:

xc0sl.x sink xsinAxak=--+a A2

(xviii)

662

APPLICATIONS OF TRANSPORT PHENOMENA

where A equals jn/(2L).

Substituting, the second integral is

The first term in the above is $z[IL(cosjn)-(O)(cosO)]=~cosjn=~(-1)’

(

)

since cos jlt = +l for even values of j and -1 for odd values of j. The second term is zero since sin jn equals zero for all values of j: sin[@r)(2L)/(2L)] - sin 0 = sin jn - 0 = 0

The value of bj is the combination of Eqs. (xvii) and (xx). The final expression is obtained by the summation of all bj between 1 and infinity, which is then included in Eq. (xiii):

C&(x, t) = ?j=li5 ,_ 5 [ sin@q.( - (E)*Df)] +Ti:s3 .,.i(-l)j[sint$)exp(-($)*Dt)] ,.3

(xxii)

As a rule, these infinite series converge slowly; hence, it may be advantageous to combine the two infinite series: B,(x,t)=:$i[C&+(-l)j(B,-B.)][sit@exp(-(g)iDtl] (xxiii) I Note that if &=O, Eq. (xxiii) reduces to Eq. (13.66). Inserting Eqs. (ix) and (xxiii) into Eq. (viii) yields the final expression for the concentration or for 8, as a function of time and distance:

=&(&) +zii[@,+(-ly(&-&)][sin($$)exp(

-(g)‘DI)] (xxiv)

where &=0.9

&=O.l

2L=3ft

D = 2.965 ft2 h-’

A computer program to evaluate Eq. (xxiv) at the t and I of interest is given in Fig. 13.9. Equation (xxiv) is a converging infinite series, in which the signs of the terms alternate in an irregular pattern. The best procedure is to combine all terms of like sign, then test the magnitude to see if that combination is less than the accuracy desired. In the case of a simple alternating converging series, the truncation error is smaller in absolute value than the first term neglected and is of the same sign. The results are given in Table 13.2. The last column is an indication of how many terms are required for the infinite series to converge.

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES MÉTODOS MATEMÁTICOS SEGUNDA UNIDAD: FORMULACIÓN INTEGRAL Y DIFERENCIAL CAPÍTULO CINCO: ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS. LECCIÓN TRECE. El estudio de las ecuaciones diferenciales ordinarias puede ser tema de un curso completo. Para la revisión del tema por parte del estudiante, en la carpeta del capítulo cinco ud. encontrará uno de los más completos resúmenes en el área, que hace parte de una sección del apéndice B del texto: TOSUN, Ismail. Modeling in transport phenomena: a conceptual approach. Amsterdam, 2002, Elsevier. LECCIÓN CATORCE. Para una revisión de la solución numérica de ecuaciones diferenciales ordinarias el estudiante podrá encontrar en la carpeta del capítulo cinco, el capítulo nueve del texto: SPIEGEL. Ecuaciones diferenciales aplicadas. 3 ed. México, 1893. McGraw Hill. LECCIÓN QUINCE. La parte correspondiente a la aplicación de las EDO, la podrá encontrar en la lección dieciocho del curso.

nueve la solucio’n nume’rica de ecuaciones diferenciales

1 . S O L U C I O N N U M E R I C A D E y’=f(x, 1 . 1 E l m é t o d o d e pendiente método

constante o

Euler

1.2 El método de pendiente promedio o m é t o d o modIfIcado

de Euler

1.3 Diagramas de computador 1.4

Análisis

1.5

Algunas

guías

sclución 2.

420

METODO

errores prácticas

para

numérica DE

RUNGE-KUTTA

E n m u c h o s c a m p o s d e i n v e s t i g a c i ó n c i e n t í f i c a e l producto final es un número o una tabla de valores. Puesto que las ecuaciones diferenciales jue-

gan una parte importante en las investigaciones científicas, naturalmente parecería deseable aprender cómo las ecuaciones diferenciales se pueden resolver numéricamente. Esto es de un valor aún mayor cuando nos damos cuenta que ahora hay disponibles máquinas de computación maravillosas que ayudan extraordinariamente en las laboriosas tareas de trabajo numérico. Algunas de estas máquinas calculan tablas de valores y pueden aún graficar resultados en un porcentaje muy pequeiío del tiempo que requeriría un computador ordinario. El hecho de que las máquinas alivien el trabajo, sin embargo, no significa que el operador necesite conocer menos acerca de los métodos numéricos. Por el contrario él debería conocer mucho acerca de los varios métodos puesto que él debe conocer la manera más eficiente de “alimentar” las matemáticas dentro de la máquina. Un estudio de las técnicas de análisis numérico es un campo extenso en sí mismo. En un libro como este podemos dar sólo una breve introducción a

este importante tema. Solución numérica de y’= f(x, y) En esta sección nos restringimos a estudiar la solución numérica de la

ecuación diferencial de primer orden* y ’ = f(x, y). Hacemos la Pregunta. Dado que .una solución de y’ =

(x, y) es tal que y es igual a

c donde x = Q, ¿cómo podemos determinar el valor de y cuando x = b?

Por integración de la ecuación diferencial con respecto a x tenemos t

y=c+

J ; f’(X, y)dx

(1)

y es claro que y = c cuando x = a de modo que (1) satisface la condición requerida. El valor de y cuando x = b debe estar dado por

y = c + sabf’(x, y)dx Desafortunadamente, puesto que y ocurre bajo el signo de la integral de (2), no podemos seguir adelante sin alguna clase de aproximación. Cada tipo de aproximación usada en (2) determina un método de análisis numérico. Primero examinamos uno de estos métodos, el cual llamamos el método de pendiente constante o método de Euler. *Suponemos que f(x, y) satisface las condiciones del teorema fundamental de existencia y unicidad de la página 24. Si la solución no existe o io es única no hay objeto en intentar una solución numérica. t En la integral (1) estamos usando el símbolo x como un símbolo mudo en la integración como también para la variable independiente. Podríamos por supuesto haber usado un símbolo diferente, por ejemplo p, para denotar la variable muda y escribir

Sin embargo, no debería surgir confusión. Compare con el pie de página en la página 320

Solución

numérica

ecuaciones

diferenciales

421

1.1 EL METODO

DE PENDIENTE CONSTANTE 0 EL METODO

DE EULER

Asumamos que el intervalo de x = a a x = b se subdivide en n partes iguales, cada una de longitud h, de modo que

hzb-a ~ n

b = a + n h

Llamamos h el tamaño de paso y n el número de pasos. Entonces (2) llega a ser J‘=c+ an+nh f(x, y)dx (4) s Si usamos solamente un paso, esto es, n= 1, esto llega a ser y = c +

; + h f(x, y)dx

La aproximación más simple para tomar en (5) es asumir que la pendiente f(x, y) es constante sobre el intervalo a 5 x 5 a + h e igual a la pendiente en el punto donde x = a, y = c, esto es, f(a, c). En este caso (5) llega a ser y=c+

å+‘f(a, c)dx = c + hf(a, c) s

63)

Esto se llama el método de pendiente constante ó, puesto que fue primero usado por Euler, el método de Euler. Claramente, (6) le dará una buena aproximación al valor de y en x = a + h solamente si h es pequeña. El grado de pequeñez evidentemente depende del grado de precisión deseado. Por tanto la palabra “pequeño” debe necesariamente ser vago hasta que se disponga de mayor información. La interpretación gráfica de (6) se ve en la Figura 9.1. La solución verdadera se representa por la curva punteada AE. Puesto que la distancia AD = h es fácil de ver que el valor de y correspondiente a (6) está representado por la ordenada QB. El error cometido está dado por BE. Esto se hace más pequeno a medida que h se hace más pequeño. Si h es grande, el error cometido es grande. Si la longitud del intervalo de a a b es grande, parecería natural tomar valores más pequeños de h correspondiendo a un incremento en el nuY Y

-Figura 9.1 422

Capítulo nmv.9

mero de pasos, esperando de esta manera disminuir el error involucrado. Con esta idea en mente nos lleva a escribir (4) como

1’ = c + l+* f(x, y)dx + l::” f(x, y)dx + . . . + cy- l)h f(x, y)dx

(7)

Usando la aproximación descrita en la página 422 para cada una de las integrales en (7), vemos que una aproximación a (7), está dada por y = c + kf(a, c) + kf(u + k, cl) + kf’(a + 2k, c2) + . . . + kf(a + (n - l)k, c,-~)

(8)

donde c, es el valor de y cuando x = a +jh, j = 1,2,. , n - 1. La interpretación geométrica de (8) está dada en la Figura 9.2. Por una aplicación de (6), vemos que A 1 B, = hf(a, c), la ordenada del punto BI estando dada por Cl = c + kf(u, c) Se computa ahora una nueva pendiente correspondiente al punto B,, CUyas coordenadas son (a + h, cI); el valor de esta pendiente está dado por f(a + h, cI). Usando esto, llegamos al punto B,, la distancia A,B, dada por hf(a + h, c 1 ). Puesto que la ordenada de B, es la ordenada de B, más la distancia A,B,, la ordenada de B, es (‘2 = c + kf(u, c) + kf(a + k, cl) Similarmente, la ordenada del punto Bj es Cj = C + kf(a, C) + kf(a + k, Cl) + . . . + kf(u + (j - l)k, cj- 1) y en particular cn = c + VIa, c) + kf’(u + k, cl) -t . . . + kf(u + (n - l)k, c,- J Y Valor verdadero de

y-.

Error A V a l o r a p r o x i m a d o d e ysi \

(0, d

1 a

I^“-. a + 2h

a+h

..^ l.... a + nh

‘x

Figura 9.2

Soluoón

numérica

ecuaciones

diferenciales

423

es la ordenada alcanzada después de n pasos, la cual es el valor de y dado en (8). Si usamos la notación a, = a + jh, j = 1, 2,. , esto se puede escribir simplemente como C” = c + hf‘(u, c) + Ilf’(u,, CI) + ” + I?f’(a,-,, c,-,) A pesar de la simplicidad de este método los resultados obtenidos pueden ser buenos, llegando la precisión a ser mejor en general a medida que n se escoge más grande. Para un valor grande de n, sin embargo, aunque la precisión puede ser mayor el cómputo llega a ser más laborioso y por tanto se debe alcanzar un compromiso. El método se adapta bien a computadores y no es difícil de programarlo. Ilustremos el método en el siguiente EJEMPLO

ILUSTRATIVO

Dado y’ = x +y, encuentre el valor de y correspondiente a x = 1 si y = 1 donde x = 0. Solución Aquí a = 0, b = 1. Nos gustaría escoger n para que h = (b - a)/n sea pequeño. Es conveniente escoger n = 10 para que h = 0,l. El cómputo se puede entonces organizar como en la Tabla 9.1. La condición inicial x = 0, y = 1 determina una pendiente y’ = x +y (primera línea de la tabla). Puesto que el incremento en x es O,l, el nuevo valor de y, el cual denotamos por ynuevo, se obtiene del valor de y denotado por yviejo, como Y““ev0 =y,.i+ + 0,l (pendiente) = 1,00 + O,l(l,OO) = 1,lO Tabla 9.1 X

0,oo

0,lO 0,20 0,30 0,40 0,50 O,W 0,70

y’ = x + Y ywo

1,00

LoO

O.lbend.)=

l,OO+o,1wO)=~'o ____---~--

1,10~-----1,%-------1,10+0,1(1,20)= _-2122 1,22t---~--í-z21,36~---

-----

em-i66------

1,s3t---- -<G d---1,72fv---~-gg2---

- - -

1,s4f- _- --g5>-----2,1s'

_____ 289-----

--------1,22+0,1(1,42)__---= 1,36 - --1,36 + O,l(l@) = 1,53

___-----

1,53 + 0,1(1,93)

= !,72 ___-_----

- -

2,48t-----3y$j---0,80 2,81t-- ---3;~l----09

1,72+0,1(2,22) _.-- __

Capítulo

nueve

= 1,94 ---

1,94+ 0,1(2,54)=

2,lS

---------2,19 + 0,1(2,89) = 2,48

_____-----

2,48+0,1(3,28) ______--

= 2,81 --

2,81+0,1(3,71)

= -1s

--------

424

Y = huevo

Este valor de y se transfiere luego a la segunda línea de la tabla y el proceso se repite. En la Tabla 9.1 hemos mantenido tres cifras significativas; el valor obtenido para y correspondiente a x = 1 es $18. Resolviendo exactamente se puede verificar que el valor verdadero de y donde x = 1 es 3,44; el error es por tanto alrededor del 8 por ciento. Si hubiéramos usado n = 20, la precisión se hubiera incrementado considerablemente pero el cómputo involucrado hubiera sido el doble. 1.2 EL METODO DE PENDIENTE PROMEDIO 0 METODO MODIFICADO DE EULER

En el método anterior la pendiente f(x, y) sobre el intervalo u 5 x s a + h se remplazó por f(a, c) de modo que el valor de y en x = a + h = u, resultó ser c 1 = c + hf(a, c) (9) Una mejor aproximación se obtiene si remplazamos f(x, y) por el promedio de las pendientes en los puntos extremos correspondientes a x = u y x = u, = u + h, los cuales están dados, respectivamente, por f(u, c) y f(u 1, c 1 ). Así “fk cl + .f’(Q,, CI) pendiente promedio = ~ 2

(10)

donde u, =u+h y c, está dado por (9). Usando (10) como el valor aproximado de f(x,y), el valor de y en x=u+ h=u, está dado por I‘

C’

.f(R

cl + .f‘(a

1) (‘1) (11) 1

Este proceso de usar pendientes promedio se puede continuar para los intervalos sucesivos u+hs xsu+2h, u+2h 5 xsu+3h, etc., hasta que finalmente se tenga el valor de y para x = u + nh = b. Por ejemplo, en. el intervalo a + h $ x 5 u + 2h, el cual escribimos como u 1 5 x 5 cz2, (lo), se remplaza pendiente promedio = &!!’ donde

CI) + .f’(% C?)

(12)

c 1 = (‘1 + hf<u,, c,)

(13)

y el valor de y en x = u + 2h = u2 está dado por (14) Resultados similares se pueden escribir para intervalos posteriores. Por razones obvias este método se llama el método de pendiente promedio, pero también se refiere como el método modificado de Euler. EJEMPLO ILUSTRATIVO 2

Trabaje el Ejemplo ilustrativo 1, página 424, usando el método de pendiente promedio. Solución

numérica

ecuaciones

diferenciales

425

Tabla 9.2

0,oo

1,OO

Pen-

Pendiente

diente

derecha

promedio

i z q u i e r d a ynuevo

0,20

1,24+

1,lO

l,@J

--í;44

f(X”“.“O

_---_-----1,38

Ynuevo)

1,20

1,68

Y”i.,,+

1,lO

1,00-t O,lU,lO)

= Y,,,,

-7 1,ll

1,56

1,24

0,1(1,56)

1,40

!,40 + 0,1(1,84) __~~~~ =- 1,58

2,13 L58 + 0,1(2,13) _---- _------

1,79

2.04

0,40

1,58’---

0,50

1,7g’----2T2s----

0,60

2,04f~----2;64----2,go3m ____._ 2,33’ 3103--~~263--~~-343-_-~---

2,82 2,05 + 0,1(2,82) = 2,33 - - - - - - - - - - - - - - 3,23 2,33 + 0,1(3,23) = 2,65 - - - - - - __.~ __.__. - p - - m - -

0,80

‘2,6.5-

3,6’7 2,65-t 0,1(3,67)_~~=- - 3,02 _--------p---m-

O,M

3,02’----3,9j7---3,;l 4,41 ~_-~ - - _------ _--- 3,44

0,70

LoO

1,78 2,28 - - - - _-------2,02 2,62 ----_---

o.l(Y:,)

- - - - - - - - - -

- - - - - - - -

_-----1.98

Yá,

3;43----2,gg

3,89 _----

2.46 1,79 + - - - - - - - - - -

4,16

3,02+

0,1(2,46)

0,1(4,16)

3,44

Solución En este caso escojamos también n = 10 de modo que h = 0.1. Los cómputos se pueden arreglar como en la Tabla 9.2 en la cual los primeros cuatro encabezamientos de columna son los mismos de la Tabla 9.1. Sin embargo, puesto que necesitamos dos pendientes, una a la izquierda del punto extremo de un intervalo y la otra a la derecha del punto extremo, para obtener la pendiente promedio, el encabezamiento de la tercera columna de la Tabla 9.1 se ha modificado a pendiente izquierda. Las tres columnas restantes en la Tabla 9.2 se usan para encontrar respectivamente, la pendiente derecha, el promedio de las pendientes izquierda y derecha denotada por y’,, y el valor corregido de y, denotado por yColr . Para ver cómo el cómputo sigue, obtengamos las entradas en la primera fila de la Tabla 9.2. Las primeras cuatro entradas se obtienen exactamente como en la Tabla 9.1. La pendiente derecha (entrada de la quinta columna) se obtiene calculando y’ =f(x, y) = x +y, tomando x como el punto extremo derecho a+h=a,, el cual llamamos x,,,,, y y como el correspondiente valor aproximado de y, el cual hemos llamado ynuevo (ya obtenido en la entrada de la cuarta columna). Esta pendiente derecha está dada por f(~,,,,, , y,,,,,) = n nuevo + Y ““ev0 = 0,lO + 1,lO = 1,20. Habiendo encontrado las pendientes derecha e izquierda, podemos determinar la pendiente promedio (entrada de la sexta columna) como 1 (1,OO + 1,20) = 1,lO. Finalmente el valor corregido de y denotado por yCorr. (entrada de la séptima columna) es el nuevo valor de y (cuarta columna) mas 0,l veces la c 426

Capítulo

nueve

pendiente promedio, esto es, ycorr = 1,OO + O,l(l,lO) = 1,ll. El valor corregido de y se transfiere a la segunda fila de la tabla como se indica. El mismo proceso usado para obtener las entradas en la primera fila se puede usar ahora para obtener las entradas en la segunda fila y en todas las filas siguientes hasta obtener el valor de y correspondiente a x = 1. Como muestra la Tabla 9.2, este valor es 3,44, el cual sorprendentemente concuerda exactamente con el verdadero valor. Esto parecería indicar que todos los pares restantes de valores (x, y) en la Tabla 9.2 son también correctos, y podemos usar éstos para obtener un gráfico de la solución en el intervalo 01 x 5 1. Si deseamos continuaríamos el cálculo para valores de x por encima de 1, pero por supuesto no hay seguridad de que se mantendrá la misma precisión. 1.3 DIAGRAMAS DE COMPUTADOR

Es de interés presentar diagramas esquemáticos que muestren las etapas sucesivas en los cálculos para los métodos de pendiente constante y pendiente promedio. Tales diagramas se llaman diagramas de computador o diagramas de flujo. La Figura 9.3 presenta el diagrama de computador para el método de pendiente constante. El par inicial de valores (x, y) proporcionan una entrada la cual se alimenta en la primera caja, la cual calcula la pendiente en (x, y). Esta pendiente se alimenta dentro de otra caja que calcula el nuevo valor de y. La salida final consiste del nuevo par de valores (x,“~“” Y ““,“,). Esto proporciona una nueva entrada o retroalimentación, y el mismo proceso se repite una y otra vez hasta que se consiga el resultado final deseado. I r I Pendiente

Entrada (x, y) c

--i

y’= f(x, Y) 1

1 Retroalimentación

Figura 9 . 3

Diagrama

computador

para

método

pendiente

constante.

Pendiente Entrada (x, y)

Retroalimentación

Salida

(xnuevoI

~v,a,o + hy’,y

yO,, ) 4

I Pendiente promedio yáv

Figura 9.4 Diagrama de computador para método de pendiente promedio. L

Solución

numérica

ecuaciones

diferenciales

427

En una manera similar podemos construir un diagrama de computador que muestre el método de pendiente promedio como en la Figura 9.4. La primera fila en esta figura que conduce a (x,,,,, , ynuevo ), es por supuesto idéntica con la de la Figura 9.3. La modificación consiste en tres cajas adicionales, la primera proporciona el cómputo de la pendiente derecha a partir de (x,“~“~, Y ,IUBVO), la segunda obtiene la pendiente promedio a partir de las pendientes izquierda y derecha como se indica, y la tercera proporciona el valor corregido de y. El par de valores (x....., y,,,, ) es la salida, la cual sirve como una nueva entrada, y el proceso se repite una y otra vez como antes. 1 . 4 ANALISIS

DE ERRORES

Cada vez que se desarrolla una fórmula para obtener resultados aproximados, es natural buscar algún estimador del error que se puede cometer al usarla. El proceso de estimar tales errores con frecuencia se llama análisis de errores. Al tratar con estos errores, no nos preocuparemos de los errores aleatorios, tales como errores de redondeo, e. g., redondeo de 2,84316 a 2,8432, el cual puede ser debido por ejemplo a limitaciones en la capacidad de almacenamiento de un computador. En vez estaremos interesados solamente en el error producido al usar la fórmula particular. Si una fórmula produce resultados más precisos que otra, ciertamente esperaríamos que esta precisión aumentada apareciera en un análisis de errores. Ilustraremos esto con un análisis de errores de los métodos de pendiente constante y de pendiente promedio. (a) Análisis de errores para el método de pendiente constante. De la página 422 vemos que una solución aproximada del problema de valor inicial y(u) = < J’ = f’(X, 2‘), (15) para y(a + h) está dada por y(a + Il) = c + l?f’(a. c)

(16)

Sin embargo, usando la serie de Taylor, asumiendo condiciones apropiadas de diferenciabilidad sobre f(x, y), el verdadero valor de y(a + h) es 2

J,(U)

+ hL“(U)

+ g

2“‘(U)

+ . = c + hf(u.

+ ;

y”(U)

+ . .

(17)

Comparando (16) y (17), vemos que el error cometido en usar (16) en vez de (17) es (1% donde los valores y”(a), y”‘(a), se encuentran por diferenciación sucesiva de la ecuación diferencial en (15). Este error ocurre debido al hecho de que la serie se ha cortado después de los primeros dos términos en (17). Por esta razón el error con frecuencia se llama un error de truncamiento (del Latinismo truncare, que significa cortar). Para valores de h suficientemente pequeños, esperaríamos que el error (18) fuera muy próximo igual al primer término, esto es, ;hz y”(a) despreciando el resto de términos. Sin embargo, el estudiante puede con derecho sentirse molesto al despreciarse un número infinito de términos sin ninguna justificación apropiada. Afortunadamente, esto se puede justificar con el uso del . 428

Capítulo nueve

teorema de Taylor con residuo, que el estudiante pudo haber estudiado en cálculo. Este teorema dice que si y es al menos doblemente diferenciable ]o f(x, y) es al menos una vez diferenciable] , entonces y(a + k) = L’(a) + IlJ,‘(U) + ; f’(r),

donde r está entre

a y a + h

(19)

Aquí el último término a la derecha representa el residuo de la serie después de los primeros dos términos, y (19) proporciona un decidido mejoramiento sobre (17), lo cual requiere la existencia de todas las derivadas. Usando (19), el error se puede escribir E = g y”(r),

donde r está entre a y a + h

(20)

Puesto que este error es proporcional a h2, o como a menudo decimos es de orden h2, abreviado por O(hZ ), vemos que reduciendo el tamaño de h podemos reducir considerablemente el tamaño del error. Puesto que y”(r) puede ser positivo o negativo el error (20) puede también ser positivo o negativo. Si denotamos por M una constante positiva tal que ly”(r) ( < M para r entre a y a + h, entonces IEl < E-

(21)

representando el lado derecho una cota superior para el error. Puesto que el error está dado por (20), si tenemos y(a) y buscamos y(a + h), la pregunta que naturalmente surge es jcuál sería el error acumulado si procedemos en n pasos al cálculo de y(b), donde b = a + nh? Análisis adicional, el cual es algo tedioso y que no haremos aquí, muestra que el error máximo es n veces el dado en (al), tal vez con un valor diferente de M, el cual llamaremos K; esto es, para n pasos (22) o puesto que n = (b - a)/h,

K(b - a)k IJ$,l < T-

lo cual muestra que el error acumulado es de orden h. (b) Análisis de errores para el método de pendiente promedio. De la página 425 vemos que una solución aproximada al problema de valor inicial (15) para y(a + h) es y(a + k) = c + ; [f‘(u, c) + f(a + k, c + kf(a, c))]

(24)

la cual se debe comparar con el verdadero valor (17) o (19). El error cometido en este caso es E=~(u+h)-

c+~[f(u,C)+/(a+h,c+kf.(n,c))] (25) 1 1 Para ver cómo el lado derecho de (25) depende de h, usamos de nuevo la serie de Taylor. Usaremos la serie infinita en vez de la serie con residuo por simplicidad en la notación. Tenemos como antes Solución

numérica

ecuaciones

diferenciales

429

4’(a + 17) = J,(U) + hy’(u) + Zf y”(U) + g y”‘(U) + . . .

(26)

Para hallar una serie para el último término a la derecha de (25), usamos la serie de Taylor para el caso de dos variables, la cual es análoga para el caso de una variable. Esta está dada por f(u + h, c + k) = f(u, c) + hf;(u, c) + kf,(a, c)

+ &

[J72Lx(~,

c) + 2hkL,(a,

c) + k2fY,(u, c,] + .

(27)

donde fx(a, c) denota la derivada parcial de f (x, y) con respecto a x evaluada en x = a, y = c, fxx(a, c) denota la segunda derivada parcial de f (x, y) con respecto a x evaluada en x = a, y = c, f,,(a, c) denota la derivada parcial de f(x, y) con respecto a x y y evaluada en x = a, y = c, etc. Tomando k = hf(a, c) en (27) encontramos

fb + k c + Mu, 4) = f(a, c) + hf,(u, c) + hf(u, c)f,(u, c) + ;y [hzf;xh c.1 + 2h2f(4 CM;,&, c) + h’{f(u, c);“f,,(u, c)] + . .

(28)

Sustituyendo (26) y (28) en (25) produce

E = iIY(4 - cl + W(4 - f(a, 41 + “21 [y”(U) - f,(u, c) - f,(a, c)f(u, c)] + términos involucrando h3 y superiores

(29)

Puesto que y(a) = c de la condición inicial en (15), mientras que y’(a) = f(a, c) de la ecuación diferencial en (15), los primeros dos términos en (29) son cero. Tomando la derivada de ambos lados de la ecuación diferencial en (l5), tenemos usando la regla de la cadena del cálculo elemental

(30) De esto tenemos al evaluar las derivadas en x = a, y = c Y”(4

= f,b, cl + fJu, c)f(u, 4

(31)

de modo que el tercer término en (29) es también cero. El resultado muestra que E involucra sólo términos en h3 o superiores. Usando la serie de Taylor con residuo como en el caso del método de pendiente constante, sigue que el error es de orden ha, esto es, E = O(h3 ). Puesto que E = O(h2 ) para el método de pendiente constante, mientras que E = O(h3 ) para el método de pen-’ diente promedio, podemos ver rápidamente por qué el segundo método es mucho más preciso. Como una ilustración de cómo se pueden usar las ideas anteriores de analisis de errores, consideremos el siguiente 430

Capítulo

nueve

EJEMPLO ILUSTRATIVO 3

Dado el problema de valor inicial y’ = x+y, y(0) = 1. Estime el error cometido al calcular y(O,l) usando el método de pendiente constante con h = O,l. Sohción Puesto que y’=f(x,y)=x+y, modo que y”(r) = 1 + r + y,

tenemos y” =l+y’= l+x+y de d o n d e O<r<O,l

Es razonable suponer que y < 2. Así tenemos Iy” < 1+ 0,l + 2 = 3,l y de (20) o (21) vemos que

lEl <

(O,lP (371) esto es, 1E 1< 0,016 aprox. 2 ’

Puesto que el método de pendiente constante da 0,lO (ver Tabla 9.1) mientras que el verdadero valor es 0,ll el error efectivo es O,Ol, el cual está de acuerdo con el estimador anterior. 1.5 ALGUNAS GUIAS PRACTICAS PARA LA SGLUCION

NUMERICA

Hay muchos métodos disponibles para la solución numérica de ecuaciones diferenciales como puede darse cuenta el estudiante al leer la literatura en el tema.* Para la mayoría de los métodos un análisis de errores es dificil, como puede conjeturarse de la derivación en la página 428 para el caso relativamente simple del método de pendiente constante. También, aún en el caso de que se disponga de un análisis de errores éste no proporciona un término de error simple, tal como el dado en (20), página 429, sino solo que su orden es una función del tamaño del paso, como por ejemplo O(h4), O(h5), etc. Una complicación adicional es que la precisión conseguida está limitada por las características particulares de la ecuación diferencial considerada. Así, por ejemplo, si se desea una solución cerca a una singularidad, aún el “mejor método” puede dar una pobre precisión. Debido a estas dificultades no hay una panacea simple para la solución numérica (lo cual puede servir para indicar por qué hay tantos métodos disponibles). A pesar de esto hay algunas guías prácticas que un científico puede seguir. 1. Escoja un método particular que involucre un tamaño de paso h el cual parezca razonable en vista del tipo de la ecuación diferencial involucrada. Por ejemplo, si la ecuación diferencial involucra una singularidad tal como x = 1 en el problema de valor inicial donde buscamos y(O,9) por caso, se necesitan tamaños de paso más pequeños cerca de x = 0,9 que cerca de x = 0. En tal caso podemos dividir el intervalo de x = 0 a x = 0,9 en intervalos o tamaños de paso de longitud desigual.

dq’

z= 1 -x7

Y(O) = 1

2. Para chequear la precisión del valor numérico hallado en 1, repita el método usando un tamaño de paso más pequeño, por ejemplo la mitad del ta*Ver por ejemplo [ 121

Solución

numérica

ecuaciones

diferenciales

431

maño de paso usado anteriormente. Si este procedimiento sólo produce un cambio menor en las cifras significantes podemos estar seguros de aquellas que no cambian. Así, si el valor repetido es por ejemplo 5,2435, en vez de 5,2408, podemos al menos estar seguros de la precisión a tres cifras significantes dadas por 5,24. Si hay una discrepancia mayor, posiblemente tengamos que reducir aún más el tamaño de paso. 3. La reducción del tamaño de paso, resultante de un incremento en el número de pasos, puede conducir a errores de redondeo acumulativos los cuales afectan la precisión. Debido a esto, los cálculos se deben hacer con suficientes cifras significantes. Desafortunadamente, no se pueden dar reglas puesto que esto de nuevo depende de las clases de cálculos involucradas. Así, por ejemplo, aunque podamos tener x = 7,41563 y y = 7,41492 cada una con una precisión a seis cifras significantes, la mayoría de estas se pierden al tomar la diferencia x -y = 0,00071. Sin embargo, en la mayoría de los casos que surgen en la práctica no ocurren tales pérdidas en cifras significantes. En estos casos de “rutina” una regla razonable a seguir es usar al menos dos cifras más de las requeridas en la respuesta. EJERCICIOS A

Use (a) el método de pendiente constante y (b) el método de pendiente promedio para determinar el valor indicado de y para cada uno de los siguientes problemas de valor inicial tomando el número indicado de subdivisiones n. Si es posible compare con el valor exacto. 1. y’ = 2x +y; y(0) = 0. Halle y(O,5); use rz = 5. 2. y’= xï -y; y(1) = 0. Halle y(1,6); use n = 6. 3. y’= (y + 1)/x; y(2) = 3. Halle y(2,8); use n = 4 y n = 8. 4. y’= (x -y)/(x +y); y(3) = 2. Halle y(l); use n = 5 y n = 10. 5. y’ = x2 +yz ; y(1) = 2. Halle y(O,5); use n = 5 y n. = 10. 6. y’= my(5)=4. 7. y’=seny;y(O)=l.

Halley(4); use n=5 y n=lO.

Halley(1); use n=5y rz=lO. EJERCICIOS B

1. Dado y’=y; y(0) = 1, encuentre y(l) numéricamente. iCómo puede usted usar este resultado para calcular e? 2. Si y’= tan-Ix;

y(0) = 1, encuentre y(l).

3. (a) Use el problema de valor inicial y’= - 2y, y(0) = 1 para calcular y(O,l) Pr el métodc de pendiente constante con h = 0,l. (b) Estime el error del cálculo en (a) usando (20), página 429, y compare con el verdadero valor. 1 4. Dado el problema de valor inicial y ’ =, + s2, Y(O) = 1. (a) Calculey(O.,2) por el método de pendiente constante usando un valor apropiado para h. (b) Estime el error. en el cálculo v compare con el verdadero valor. 5. En el Ejercicio 3 calcule y(O,2) usando el método de pendiente constante con h = ’ 0,1. ¿Como estimaría usted el error cometido? 6. (a) La ecuación diferencial y’= (x +y)-2 se va a resolver numéricamente para y(2), dado y(0) = 0. iCuáles son los valores numéricos obtenidos escogiendo n = 432

Capítulo nueve

lo? iCómo puede uno estar seguro de tener una solución con precisión en dos cifras decimales? (b) Resuelva la ecuación diferencial de (a) exactamente usando la transformación x +y = v. Así encuentre y(2) exactamente y compare con (a). 2, 5,

7. Dado y’ = e-xy; y(0) = 1, encuentre y(l) usando una calculadora o un manual que tabule los varios valores de eu. Obtenga una precisión de al menos con dos cifras decimales. 8. Dado y’ =y(x +y); y(0) = 0,5, encuentre y(O,5), usando n = 5. Compare con la solución exacta. iQué precisión se obtiene usando n = 20? 9. Dado el problema de valor inicial *‘= &. y(0) = 1 encuentre y(O,9) T

y compare

con el verdadero valor (ver página 431). 10. Dado y’= l/(l+ ~2); y(0) = 0, encuentre y(l) numéricamente. iCómo puede usar sus resultados para calcular K? EJERCICIOS

1. El método de esta sección se limitó a la solución numérica de una ecuación diferencial de primer orden. La ecuación diferencial de segundo orden y” = f(x, y, y’) sujeta a las condiciones y = c 1, y’ = cz donde n = a se puede escribir como dos ecuaciones simultáneas de primer orden y’ = ti.

c’ = f<.Y. J‘, c)

sujeta a las condiciones y = cr, v = cz donde x = a. Puede usted idear un procedimiento para encontrar y y y’ cuando x = a + h? Sí así fuera, use el método en la ecuación y ” = x +y sujeta a las condiciones y(0) =y’(O) = 0 para obtener y(l). Compare con la solución exacta. 2. Use el método ideado en el Ejercicio 1 y encuentre y(O,8) y y’(O,8) para la ecuación diferencial y” = Vx +y sujeta a las condiciones y(0) = 1, y’(0) = 0. 3. Suponga que en la ecuación de la integral (5), página 422 aproximamos.f(x, y) por su valor en x = a + $h y y = c + ;hf(a, c) los cuales son los valores prornedios de x y y obtenidos por el método de pendiente constante. (a) Muestre que J‘ = 1’ + 5 /la + ;/1. < + ;Ilf(rr, c) ) (b) Usando el análisis de”errores compare la precisión del resultado en (a) con el obtenido por los métodos de pendiente constante y de pendiente promedio. (c) Trabaje algunos de los Ejercicios A en la página 432 por este método y compare con los resultados de otros métodos. (d) Construya a diagrama de computador para el método el cual algunas veces se llama el método de Runge.

El método de Runge-Kutta Como ya hemos visto (página 422), si nos dan la ecuación diferencial

Cl)

donde ~((1) = C’

= fc-Y. .v),

ll.\-

entonces tomando n = 1 de modo que b = a + h, encontramos \‘(II + 11) = C’ +

,:‘*” f’(.Y. y)t/\.I’

(1)

1 Solución

numérica

ecuaciones

diferenciales

433

También de la expansión en serie de Taylor tenemos

Expresando las derivadas indicadas en (2) en términos de f(x, y), Runge y Kutta fueron capaces de obtener varias fórmulas para aproximar la serie en (2). Una de tales fórmulas, la cual se encuentra que está en concordancia con (2) hasta e incluyendo el término que involucra h4 está dada por !‘(U + Il) = (’ + 6(/71, + 2/?1, i ?lJ?, + JH,) 111, = h,f’(tr, c),

donde

‘?J3

1112 = I?,f’(U + $1, í’ + $Yll) $1, (’ + $/i72>. /?1,$

hf’(u +

(tr

(’

+ JJIA)

La verificación de esta fórmula es tediosa pero no difícil (ver Ejercicio 2C). Otra fórmula está dada en el Ejercicio 1C. Para ver una aplicación del método Runge-Kutta, como a menudo se llama, consideremos el siguiente EJEMPLO

ILUSTRATIVO

Dado y’= x +y, y(0) = 1, encuentre y(1). Solución Tenemos en este caso h = 1, encontramos 112 1 = /l,f’(U, c) = f‘<o, 1) = 1) JJJ3 = /J,f(U +

jh. I’ + +JJl,) =

y así

,f’($,

1112

2 )

f(x,y)=

= h,flu

= 3,

x+y,

~~0,

escogemos

+ $1, (’ + +ll,) = /]i, 3) = 2 JJ14 = hf’(U

h, <’ +

/J73) =

,f’( 1, ‘;) =

;

~(1) = 1 + ;( 1 + 4 + 5 + 4) = 3,42

El hecho que esto esté en tan buen acuerdo con el verdadero valor 3,44 aun cuando se haya usado un tamaño de paso relativamente grande h = 1, sirve para indicar la superioridad del método de Runge-Kutta sobre el método de pendiente promedio (y ciertamente el método de pendiente constante), el cual requirió más cálculos, como se vió en los Ejemplos ilustrativos 1 y 2 en las páginas 424-427. El incremento en la precisión del ejemplo anterior se obtiene usando valores más pequeños de h y aplicando el método más de una vez. Así, por ejemplo, si escogemos h = 0,5 y aplicamos el método dos veces, llegamos al verdadero valor de 3,44. EJERCICIOS A

Para cada una de las siguientes ecuaciones diferenciales y condiciones, determine el valor indicado de y usando el método de Runge-Kutta. Si es posible compare con !os valores obtenidos resolviendo la ecuación exactamente

1. 3.

2. y’=x’ -y; y(l)=O. Encuentre y(1,6) y(O)= 1. Encuentre y(O,5). + 1)/x; ~(2) = 3. Encuentre y(2,8) 4. y’ = x-y; y(1) = 2. Encuentre y(o,5)

Y’=~x+Y; Y’

5. Trabaje los Ejercicios 1-7A en la página 432 usando el método de Runge-Kutta y compare la precisión obtenida. 434

Capítulo

nueve

LECCIÓN DIECISIETE. Para una revisión de la solución numérica de ecuaciones diferenciales parciales el estudiante podrá encontrar en la carpeta del capítulo cinco, dos partes del capítulo 12 del texto:

RICE y DO. Applied Mathematics and Modeling for Chemical Engineers. New York, 1995. John Wiley and Sons. LECCIÓN DIECIOCHO. La parte aplicativa de las ecuaciones diferenciales ordinarias (lección quince) y parciales, junto con casos donde se aplican otros temas del curso, los puede encontrar el estudiante en los artículos presentados como estudios de caso. 1.

Aliev, M; Aliev, Z; Aliev, R y Bolshakov. A mathematical model for convective mass and heat transfer between flows of finely dispersed food media in adjacent channels with a permeable wall. En: Journal of Food Engineering. Vol. 65 (2004), p. 341–348.

Aversa; Curcio; Calabro y Iorio. An analysis of the transport phenomena occurring during food drying process. En: Journal of Food Engineering. Vol. 78 (2007), p. 922–932

De Bonis y Ruocco. Modelling local heat and mass transfer in food slabs due to air jet impingement. En: Journal of Food Engineering. Vol. 78 (2007), p. 230–237.

Dilay; Vargas; Amico y Ordonez. Modeling, simulation and optimization of a beer pasteurization tunnel. En: Journal of Food Engineering. Vol. 77 (2006), p. 500–513.

Di Matteo; Dons y Ferrari. The role of heat and mass transfer phenomena in atmospheric freeze-drying of foods in a fluidised bed. En: Journal of Food Engineering. Vol. 59 (2003), p. 267–275.

Migliori; Gabriele; de Cindio y Pollini. Modelling of high quality pasta drying: mathematical model and validation. En: Journal of Food Engineering: Vol. 69 (2005). p. 387–397.

Migliori; Gabriele; de Cindio y Pollini. Modelling of high quality pasta drying: quality indices and industrial application. En: Journal of Food Engineering. Vol. 71 (2005), p. 242–251.

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES MÉTODOS MATEMÁTICOS 8. Schittkowski. Data fitting in partial diferential algebraic equations: some academic and industrial applications. En: Journal of Computational and Applied Mathematics. Vol. 163 (2004), p. 29–57. 9.

Straatsma; Van Houwelingen; Steenbergen y De Jong. Spray drying of food products: 1. Simulation model. En: Journal of Food Engineering. Vol. 42 (1999), p. 67-72.

10. Verboven; Flick; Nicolaı y Alvarez. Modelling transport phenomena in refrigerated food bulks, packages and stacks: basics and advances. En: International Journal of Refrigeration. Vol. 29, (2006) p. 985-997 11. Welti-Chanes; Vergara-Balderas; Bermudez-Aguirre. Transport phenomena in food engineering: basic concepts and advances. En: Journal of Food Engineering. Vol. 67 (2005), p. 113–128.