Módulo fenómenos de transporte by Universidad Nacional Abierta y a Distancia

Modulo de Fenómenos de Transporte Cod 201005

Unidades temáticas Transferencia de masa. Transferencia de energía y cantidad de movimiento.

Especialización en Ingeniería de Procesos en Alimentos y Biomateriales. Escuela de ciencias básicas, tecnologías e ingeniería Universidad Nacional Abierta y a Distancia – UNAD Bogotá D.C.

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES FENÓMENOS DE TRANSPORTE PRIMERA UNIDAD: TRANSFERENCIA DE MASA CAPÍTULO UNO: INTRODUCCIÓN LECCIÓN UNO. Antes de iniciar con los planteamientos conceptuales de los fenómenos de transporte, es necesario manejar con propiedad algunas definiciones y expresiones matemáticas. Fenómenos de transporte: 1. Transferencia de momento lineal. Se refiere a la que se presenta en los materiales en movimiento, como en operaciones unitarias de flujo de fluidos, sedimentación y mezclado. Es debida a la diferencia de velocidades entre diferentes capas de fluido. Su estudio se basa en la ley física que establece que un cuerpo en movimiento en ausencia de fuerzas externas conserva su cantidad de movimiento, y en presencia de influencias externas se dP dv cumple que =m dt dt 2. Transferencia de calor. Es la transferencia de energía debida a una diferencia de temperatura entre dos cuerpos. Su estudio se centra en la ley física de la conservación de la energía. 3. Transferencia de masa. Es el paso de moléculas de una sustancia de un lugar a otro en una mezcla, o entre dos fases homogéneas es contacto. El movimiento de las moléculas es debido a una “diferencia de potencial químico”. El estudio de la T.M. se basa en la ley física de la conservación de la masa.

Métodos para expresar concentraciones: Densidad = ρ =

masa total volumen total

Concetración másica de i = ρ i =

Concentración molar de i = C i = Fracción molar de i = x i =

Ci moles de i = C moles totales

masa de i volumen total

ρi moles de i = M i volumen total Fracción másica de i = w i =

ρi masa de i = ρ masa total

Gases ideales: La ecuación para los gases ideales es: PV = nRT En esta expresión la temperatura se expresa en unidades absolutas (grados Kelvin o Rankine). R es la constante universal de los gases, y es la relación R = PV nT en las condiciones estándar; estas últimas son: 273 K ó 492 °R.

1 atm ó 101325 Pa ó 14.7 psi ó 1.01325 bar ó 760 mmHg Por cada g-mol hay 22.4 L ó por cada lb-mol hay 359 ft3. Para los gases ideales, se cumple: p presión parcial de i Presión total = P = ∑ p i = suma de presiones parciales Fracción molar de i = x i = i = P presión total Presión de vapor: Esta es una propiedad de todos los líquidos. Una forma de definirse es como “la presión a la cual ebulle un líquido a determinada temperatura”; sin embargo aunque el líquido no este cambando de fase, posee una presión de vapor. Esta presión es la que ejercen moléculas del la sustancia que efectivamente están en fase vapor, exactamente en la interfase del líquido con la atmósfera circundante. Considere un vaso con agua, exactamente en su superficie existe una capa de vapor de agua que no puede ser vista a simple vista; la presión que ejercen estas moléculas es la presión de vapor del agua a la temperatura en que se encuentre el líquido. La presión de vapor puede calcularse con ecuaciones como la de Antoine. Las ecuaciones para la predicción de esta m +b. propiedad son de la forma Ln(P v) = T Balances de materia. Es importante en cualquier proceso resolver su balance de masa, es decir, establecer la cantidad o flujo de las corrientes involucradas, y sus composiciones. Realizar un balance de materia requiere de un conocimiento amplio en el manejo de unidades de concentración. En general para cualquier proceso se pueden plantear dos 1

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES FENÓMENOS DE TRANSPORTE tipos de balances, uno global que incluye el total de las corrientes involucradas, y balances de componente, es decir n balances como n especies se involucren en el proceso. Balance de global : ∑ masas de ingreso =∑ masas de salida j

Balance de componente i : ∑ masa de entrada j * w i en j = ∑ masa de salida k * w i en k Conceptos energéticos: Algunas propiedades que se utilizaran en el curso son conceptos termodinámicos y otros son prácticos. • Capacidad calorífica a presión constante: de manera práctica se define como la energía necesaria para elevar cierto numero de grados a cierta cantidad de una sustancia. Sin embargo su definición termodinámica es:  ∂H  Cp =   es decir, la derivada parcial de la entalpía respecto a la temperatura a presión constante. Esta  ∂T  P definición es extremadamente útil cuando se realizan balances de energía. • La entalpía es una propiedad energética que hace referencia al contenido energético de una porción de materia cuando se involucra un trabajo hacia el medio circundante o cuando la materia se encuentra en movimiento. Su definición es: H = U + PV . Al producto PV se le conoce como energía de flujo. • Cuando una sustancia recibe energía en forma de calor, y este aporte genera un aumento en su temperatura, al aporte energético se le denomina “calor sensible”. Este calor puede ser calculado con cambios de entalpía. • Cuando una sustancia cambia de fase (p.e se evapora), el aporte de energía no genera un aumento en la temperatura, puesto la energía es utilizada por las moléculas para el cambio de fase. En este caso, al calor aportado se le denomina “calor latente”. El calor latente puede calcularse con ecuaciones como las de Clapeyron o pueden encontrarse tabulados los valores en algunas tablas para diversas sustancias. Niveles de alcance de los fenómenos de transporte. • Nivel macroscópico. Los balances describen como la masa, la energía, el momentum y el momentum angular cambian en un sistema debido al aporte o retiro de una de estas cantidades a través de corrientes que entran o salen de un volumen de control. A este nivel no se intenta comprender los detalles del sistema, de manera tal que esta escala es apropiada para el diseño de equipos de proceso. Esta escala puede ir de de centímetros a metros. • Nivel microscópico. En este caso los balances se centran en regiones pequeñas dentro del equipo de proceso, con el objetivo de obtener perfiles de velocidad, concentración, temperatura o presión. Esta es una información más detallada que permite una mejor comprensión de los mecanismos de transferencia molecular. Esta escala puede ir de micras a centímetros. • Nivel molecular. Los balances se dirigen a la comprensión de la transferencia de las cantidades fundamentales en términos de estructuras moleculares. Esta es una escala en la que rara vez los ingenieros actúan, siendo un campo mas tradicional para químicos y físicos, pues su escala se encuentra entre 1 y 1000 nanómetros.

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES FENÓMENOS DE TRANSPORTE PRIMERA UNIDAD: TRANSFERENCIA DE MASA CAPÍTULO UNO: INTRODUCCIÓN LECCIÓN DOS (fragmento). Las magnitudes que intervienen en la teoría de los fenómenos de transporte pertenecen a las siguientes categorías: escalares (temperatura, volumen y tiempo); vectores (velocidad, cantidad de movimiento, aceleración y fuerza) y tensores de segundo orden (tensor de esfuerzo cortante o de densidad de flujo de cantidad de movimiento). La matemática vectorial es extensa; sin embargo, el texto de Bird, Fenómenos de transporte presente un excelente resumen en su apéndice A. CLASIFICACIÓN DE LOS FLUIDOS. Los fluidos provocan esfuerzos y circulan sometidos a estos mismos. Los fluidos newtonianos son los más sencillos y se caracterizan por la propiedad de que el gradiente de velocidad en un punto es proporcional al esfuerzo cortante en dicho punto, es decir: du (velocidad de cizalladura) α (esfuerzo cortante) ó ατ dy El resto de fluidos se denominan no newtonianos. El aire, el agua, el vapor de agua, todos los gases y la mayoría de fluidos constituidos por moléculas sencillas son newtonianos. Las suspensiones densas, lodos, emulsiones, soluciones de polímeros de cadena larga, fluidos biológicos, alimentos líquidos, pinturas, suspensiones de arcillas y mezclas de hormigón son, en general, no newtonianos. Los no newtonianos (NNs) pueden dividirse en tres amplias clases de materiales: 1. NNs independientes del tiempo, para los que: ( velocidad de cizalladura) = f(esfuerzo cortante unicamente) ó

du = f( τ unicamente) dy

Existen varios tipos de fluidos dependiendo de la forma de la relación de τ frente a du/dy. La clasificación se muestra en la figura siguiente. esfuerzo o corte τ (N/m2)

Plástico de Bingham

Fluido dilatante Fluidos que tienen tensión de influencia.

Fluido newtoniano

Plástico general

Fluidos sin tensión de influencia.

Fluido pseudoplástico velocidad de cizalladura (du/dy)

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES FENÓMENOS DE TRANSPORTE La tensión de influencia hace referencia a que el fluido requiere de la aplicación de un esfuerzo “crítico” para que empiece a fluir. A continuación se presentan algunos ejemplos para los fluidos NNs independientes del tiempo: - Plástico de Bingham: crema de dientes, mantequillas, mostaza, mayonesa, algunas arcillas. - Plásticos generales: la mayoría de los polímeros en estado líquido. - Fluido dilatante o con espesamiento de cizalladura: arenas movedizas, soluciones de almidón espesas, arena de playa mojada, polvos finos en suspensión. - Fluido newtoniano: aire, agua, todos los gases, etanol, metanol, aceites vegetales. - Fluido pseudoplástico: pulpa de papel, pintura. 2. NNs dependientes del tiempo pero no elásticos. Son fluidos cuyo comportamiento en un momento determinado está influenciado por lo que les ha ocurrido en el pasado reciente. Por ejemplo, la salsa de tomate que ha estado en reposo durante un rato no fluirá; sin embargo, una botella recientemente agitada fluirá fácilmente. Estos fluidos parecen “tener una memoria” que se desvanece con el tiempo, por tanto se puede escribir: ( velocidad de cizalladura) = f(esfuerzos cortantes recientes) τ [N/m^2]

Fluido reopéctico

Fluido tixotrópico

du/dy

Fluido reopéctico: al agitar vigorosamente se hacen más viscosos como la arcilla de bentonita. Fluido tixotrópico: al agitar se hace fluido y se espesa cuando cesa el esfuerzo como las pinturas, tintas de imprenta, salsa de tomate, lodos de perforación petrolera. 3. NNs viscoelásticos. Son materiales que combinan las propiedades elásticas de los sólidos con el comportamiento de los fluidos. Como ejemplos se tiene la saliva y en general todos los fluidos biológicos, sopa concentrada de tomate, masa de pan y muchas soluciones poliméricas. Con los viscoelásticos el diagrama de τ frente a du/dy sólo dice parte de la historia; experimentos transitorios (dar un giro rápido a la lata de sopa de tomate y observar el movimiento a derecha e izquierda del fluido) son necesarios para caracterizar sus propiedades elásticas.

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES FENÓMENOS DE TRANSPORTE PRIMERA UNIDAD: TRANSFERENCIA DE MASA CAPÍTULO UNO: INTRODUCCIÓN LECCIÓN TRES. La matemática vectorial y tensorial son extensas y se les puede dedicar un curso completo. Como lección tres se sugiere al estudiante la revisión del apéndice A del texto de Bird, que se encuentra en formato pdf.

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES FENÓMENOS DE TRANSPORTE PRIMERA UNIDAD: TRANSFERENCIA DE MASA CAPÍTULO DOS: DIFUSIÓN LECCIÓN CUATRO. DIFUSIVIDAD Y MECANISMOS DE TRANSPORTE DE MASA. Difusión de una especie A en una mezcla de A y B. El transporte de masa por difusión es más complejo respecto al transporte de momentum o al transporte de calor en fluidos. En una mezcla de componentes (p.e. A+B), las velocidades de cada especie pueden ser diferentes entre si. En vista de esto, las velocidades medias para el fluido, como un todo, pueden ser definidas de maneras diferentes y con estas definiciones, los flux por difusión son también definidos de diferentes maneras. En la figura se tienen dos componentes cruzando una frontera fija, a diferentes velocidades. ¿Cómo calcular la velocidad promedio de cada componente? Se pueden utilizar tres expresiones (recuerde las definiciones de la lección uno): Velocidad media másica (v)

Molécula de A

∑ ρ i .v i

i =1 n

∑ ρi

Molécula de B

= ∑ w i .v i

Plano fijjo

i =1

Velocidad media molar (v*) n

v* =

∑ C i .v i

i =1 n

∑ Ci

= ∑ x i .v i i =1

i =1

Velocidad media volumétrica

( v** )

v**=

∑ (volumen )i .v i

i =1 n

∑ (volumen )i

= ∑ C i .V i .v i i =1

i =1

Donde vi es el volumen parcial molar del componente i. Para gases ideales v*=v** y para líquidos con densidad constante v**=v. Se debe tener en cuenta: • La velocidad vi de cada elemento es relativa a una referencia fija. • Las velocidades medias se pueden definir en términos del número de moléculas (moles) o en los términos de la masa de las moléculas. Analogía: imagine que usted fuese a calcular la velocidad media de la gente en una calle en cierto instante, una. manera sería tomar la velocidad de cada persona, sumar y dividir por el número de personas, otra. Manera sería tomar la velocidad de cada persona, multiplicar por su masa, sumar estos resultados y dividirlos entre la masa total; los resultados pueden ser diferentes. • También es interesante calcular la velocidad relativa de un cierto elemento (i) en relación a la velocidad media. • En el flujo de un fluido en un sistema, es interesante conocer la velocidad de una especie dada en relación a la velocidad media v o v*. 1

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES FENÓMENOS DE TRANSPORTE Velocidad de una especie i en relación a la velocidad media del fluido. Para ilustrar este fenómeno, la analogía clásica es la de peces nadando en una corriente de agua en un río. ¿Cuál será la velocidad de estos peces con respecto a un punto fijo (la referencia fija, puede ser la orilla del río) o relativo a la corriente del río (relativa a la velocidad media del sistema agua + pez)? Observe que aquí tenemos diversas maneras de definir la velocidad promedio de los peces y dos maneras para definir la velocidad relativa (relativa a un punto fijo o a la media). En el caso particular de moléculas, se llama a la velocidad media “velocidad de difusión”. Definiciones: Velocidades de difusión: vi – v = velocidad de difusión de la especie (i) con relación a la velocidad másica media v. vi – v* = velocidad de difusión de la especie (i) con relación a la velocidad media molar v*. FLUX: en la literatura técnica en inglés el Flux es un flujo por unidad de área. Al no existir una traducción literal para la palabra, esta se emplea de manera normal en la jerga ingenieril. El flux, relativo a coordenadas fijas es: Flux másico de la especie (i) relativo a una referencia fija n i = ρi vi Flux másico de la especie (i) relativo a una referencia fija

Ni = Ci vi

[masa] [área][tiempo] [moles] Flux molar de la especie (i) relativo a una referencia fija [área][tiempo]

FLUX POR DIFUSIÓN (Relativo a velocidades medias) Relativo a la velocidad másica media v: j i = ρ i ( v i − v) Flux másico de la especie (i) relativo a la velocidad media másica del fluido (v).

J i = C i ( v i − v) Flux molar de la especie (i) relativo a la velocidad media másica del fluido (v). Relativo a la velocidad molar media v*: j i * = ρ i ( v i − v*) Flux másico de la especie (i) relativo a la velocidad media molar del fluido (v*). J i * = C i ( v i − v*) Flux molar de la especie (i) relativo a la velocidad media molar del fluido (v*). LEY DE DIFUSIÓN DE FICK (Difusión d e A en B). Cuando una sustancia se difunde en una mezcla binaria, en una fase homogénea, y en una sola dirección, se puede utilizar la primera ley de Fick para la difusión: dC A J A * = −D AB dz DAB es el coeficiente de difusividad o difusividad de A en B, y tiene unidades de longitud al cuadrado sobre tiempo. La ley de Fick para todo un espacio tridimensional se define como: J A * = −D AB ∇ • C A El estudiante puede encontrar como para una mezcla binaria se cumple que: N A = x A (N A + N B ) − D AB ∇ • C A Al primer término de la derecha se le denomina “aporte por transporte”, es decir el movimiento de A debido a la velocidad que tiene la corriente. Al segundo término se le denomina “aporte difusivo” es decir el movimiento de A debido a fuerzas moleculares. La ecuación se puede generalizar para el flux de A en una mezcla de n componentes como: n

N A = x A ∑ N i − D AB ∇ • C A i =1

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES FENÓMENOS DE TRANSPORTE En el diseño de operaciones de transferencia de masa, existen dos casos muy comunes que pueden ser considerados por separado: 1. Difusión de A en B estancado, o difusión de A en un fluido estancado. De la ecuación general se tiene: N A = x A N A − D AB ∇ • C A CD AB NA = − ∇ • xA (1 − x A ) 2. Contradifusión equimolecular. En este caso, se cumple que NA=-NB, por lo que el aporte por transporte se hace cero, y solo se tiene el aporte por difusión. N A = −D AB ∇ • C A

Hasta el momento se han presentado las ecuaciones en formas diferenciales o con el operador gradiente. A continuación se presentan las formas integradas para algunos casos, considerando que la transferencia de masa es unidimensional. El caso general para una mezcla binaria es: CA 2

∫ −

CA 1

La integración da:

Z2 dC A 1 .dz = ∫ N A .C − C A (N A + N B ) Z 1 C.D AB

⎡ N .C − C A 2 ((N A + N B ) ⎤ 1 Z . ln ⎢ A ⎥= − + NA + NB N . C C ( N N C . D ( ) A1 A B ⎦ AB ⎣ A NA =

NA NA + NB

NA C ⎤ ⎡ − A2 ⎥ ⎢ D AB C NA + NB C ⎥ . ln ⎢ NA C A1 ⎥ Z ⎢ − ⎢N +N C ⎥⎦ B ⎣ A

Si la mezcla es un gas ideal: NA

_ ⎡ ⎛ NA ⎞ ⎤ ⎟.Pt − P A 2 ⎥ ⎢ ⎜⎜ ⎟ N N + NA D AB Pt B ⎠ ⎥ . ln ⎢⎢ ⎝ A = ⎥ _ N A + N B RTZ ⎛ NA ⎞ ⎟.Pt − P A 1 ⎥ ⎢ ⎜⎜ ⎢⎣ ⎝ N A + N B ⎟⎠ ⎥⎦

⎡ ⎛ NA ⎞ ⎤ ⎟ − yA 2 ⎥ ⎢ ⎜⎜ ⎟ + N N NA D AB Pt B ⎠ ⎥ . ln ⎢⎢ ⎝ A ⎥ N A + N B RTZ ⎛ NA ⎞ ⎟ − yA 1 ⎥ ⎢ ⎜⎜ ⎢⎣ ⎝ N A + N B ⎟⎠ ⎥⎦

Para la utilización de estas ecuaciones, es necesario establecer una relación entre NA y NB. Esta relación es obtenida por el análisis físico de la situación en estudio. Por ejemplo para la reacción: CH 4 → C + 2H 2 Donde el metano se difunde hasta un catalizador, donde se deposita el carbono formado, y se desprende el N hidrógeno en la dirección contraria a la del metano. Para el metano la relación A N sería: ∑ i 1 NA = = −1 ∑ Ni 1 − 2 Para el hidrógeno sería: −2 NA = =2 ∑ Ni 1 − 2 La generalización de la integración, para una mezcla de n componentes, donde la difusión se da en una sola dirección es:

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES FENÓMENOS DE TRANSPORTE C ⎤ ⎡ NA − A2 ⎥ ⎢ C N D AB C ∑ Ni ⎥ . ln ⎢ NA = A N C N Z ⎢ ∑ i A A1 ⎥ ⎢ ∑N − C ⎥ i ⎦ ⎣

Y para gases: ⎡⎛ NA ⎡ NA ⎤ − y A2 ⎥ ⎢⎜ ⎢ N A D AB Pt NA + NB N A D AB Pt ⎢ ⎜⎝ N A + N B ⎥= NA = . ln ⎢ ln ⎢ ⎢ NA ⎥ ∑ N i RTZ ⎛ NA ∑ N i RTZ − y ⎢⎜ A1 ⎥ ⎢N +N B ⎣ A ⎦ ⎢⎣ ⎜⎝ N A + N B Cuando se tiene contradifusión equimolecular: _

(P A 1 − P A 2 ) D D N A = AB (C A 1 − C A 2 ) = AB Z RT Z Cuando se tiene difusión de A en mezcla estancada: C A2 ⎡ ⎢1 − C D AB C NA = . ln ⎢ Z ⎢ 1 − C A1 C ⎣⎢ En gases: NA

_ ⎤ ⎞ ⎟⎟.Pt − P A 2 ⎥ ⎠ ⎥ ⎥ _ ⎞ ⎟⎟.Pt − P A 1 ⎥ ⎥⎦ ⎠

esta última para gases ⎤ ⎥ ⎥ ⎥ ⎦⎥

_ ⎤ ⎡ ⎡ 1 − y A 2 ⎤ D AB Pt ⎢ Pt − P A 2 ⎥ D AB Pt . ln ⎢ ln = = ⎥ _ ⎥ ⎢ RTZ RTZ ⎣ 1 − y A1 ⎦ ⎣⎢ Pt − P A 1 ⎦⎥

PREDICCIÓN DE LOS COEFICIENTES DE DIFUSIÓN.

La difusión molecular está relacionada con el movimiento individual de las moléculas en un fluido, en virtud de la energía térmica o energía cinética de las moléculas. Para la predicción de la difusividad se han plateado diferentes modelos a partir de diferentes teorías, como la teoría cinética clásica, la teoría cinética de Chapman y Eskog, y teorías de estados correspondientes. Para gases de moléculas apolares o mezcla de un gas apolar con otro polar, la ecuación de predicción más utilizada es la del método de Wilke –Lee modificada por Hirscfelder-Bird-Spotz: ⎛ 3⎞

⎜ ⎟ 10 ⎜ 1,084 − 0,249 1 M + 1 M ⎞⎟.T⎝ 2 ⎠ 1 M + 1 M A B⎠ A B ⎝ DAB = 2 Pt (rAB ) f(kT/εAB ) −4 ⎛

Donde: DAB = difusividad, m2/s T = temperatura absoluta, K MA, MB = pesos moleculares de A y B. Pt = presión absoluta, Pa. rAB = separación molecular en la colisión, nm; rAB =

rA + rB 2

εAB = energía de atracción molecular. ε AB = ε A ε B

k = constante de Boltzman. 4

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES FENÓMENOS DE TRANSPORTE f(kT/εAB) = función de colisión.

Los valores de r y ε se encuentran en algunas tablas de diversos libros, sin embargo se pueden calcular como: r = 1.18υ

υ es el volumen molal del líquido en el punto de ebullición normal (m 3 / kmol )

ε = 1.21Tb Tb es la temperatur a de ebullición normal en K k Una vez se calcula kT/εAB, se encuentra el valor de f(kT/εAB) en la siguiente gráfica:

Para soluciones de líquidos no electrolitos, se puede utilizar la ecuación de Wilke y Chang: D AB =

( 1117.3x10 −18 )(ϕM B ) 0.5 T µυA 0.6

Donde: MB = peso molecular del solvente. µ = viscosidad de la solución (kg/m*s) υ A = volumen molal del soluto en el punto de ebullición normal (m3/kmol) φ = factor de asociación para el solvente (se encuentra en tablas).

Los anteriores son modelos muy utilizados, pero no los únicos. El texto “properties of gases and liquids” de J. Prausnitz presenta una revisión de muchos métodos de cálculo para los coeficientes difusivos.

Difusión de (A) en una mezcla de componentes.

Cuando la mezcla no es binaria, el coeficiente difusivo debe calcularse teniendo en cuenta todas las sustancias de la mezcla. Las ecuaciones para este cálculo son: Cuando se esta difundiendo más de una sustancia: n

D A ,m =

N A − y A ∑ Ni i= A

1 (yiN A − y A Ni ) i = B D Ai

∑

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES FENÓMENOS DE TRANSPORTE Cuando solo se difunde una sustancia:

D A ,m =

1 − yA = n y i ∑ i = B D Ai

1 n y' ∑ í i = B D Ai

Donde yi’ es la fracción molar del componente (i) en base libre de (A) Efecto de la temperatura y la presión en la difusividad:

Cuando se tienen el dato de la difusividad de una sustancia en una mezcla gaseosa a una temperatura y se necesita a otra T diferente y si la diferencia entre dichas temperaturas no es muy grande, la relación entre las difusividades se puede expresar como:

D AB ( a T1 ) ⎛ T1 =⎜ D AB ( a T2 ) ⎜⎝ T2

⎞3 ⎟⎟ ⎠

T en K

En el caso de líquidos la relación es: D AB ( a T1 ) ⎛ T1 µ 1 =⎜ D AB ( a T2 ) ⎜⎝ T2 µ 2

⎞ ⎟⎟ ⎠ Cuando se modifica la presión, la difusividad en los líquidos no se modifica de manera apreciable, sin embargo en los gases el cambio es directamente proporcional a la variación: D AB ( a P1 ) ⎛ P2 ⎞ =⎜ ⎟ D AB ( a P2 ) ⎜⎝ P1 ⎟⎠

Si el cambio en presión es muy grande (superior a 10 atm), se debe tener en cuenta métodos de calculo mas elaborado para la difusividad del gas, en función de coeficientes de actividad.

La convección es un fenómeno de transferencia que combina los aportes por transporte con los partes por transferencia molecular. En transferencia de masa, la convección promueve el transporte de las moléculas de un sitio a otro por medios de diferentes medios, todos ellos debidos a la turbulencia de un fluido, en contacto con la superficie de donde parte la transferencia.

fase 1

fase 2 NA

CA fase 1

En el gráfico se esquematiza la transferencia de masa entre una y otra fase. CAi CA*

CA fase 1= concentración de A en la fase 1. CAi = concentración interfacial de i en la fase 1. CA*= concentración de A en la interfase de la fase 2, esta está en equilibrio con CAi. CA fase2= concentración de A en la fase 2. zf= espesor efectivo de la capa en la que sucede la transferencia.

CA fase 2

Teniendo en cuenta esto, el flux de transferencia de masa puede expresarse como: N A = k c (C Afase1 − C Ai ) N A = k c (C A * − C Afase 2 ) Donde kc es un coeficiente de transferencia de masa. Recordando el caso general de transferencia de masa,

C ⎤ ⎡ NA − A2 ⎥ ⎢ C NA ∑ Ni ⎥ = FA . ln ⎢ N C N ⎢ A − A1 ⎥ ∑ i ⎢ ∑N C ⎥⎦ i ⎣

C A2 ⎤ ⎡ NA ⎢ ∑N − C ⎥ N A D AB C i ⎥ = . ln ⎢ ⎢ N A − C A1 ⎥ ∑ Ni Z ⎢ ∑N C ⎥⎦ i ⎣

De manera que todos los parámetros geométricos y de transferencia se pueden agrupar en un coeficiente global de transferencia, denotado con F. A continuación se presentan algunas ecuaciones comunes para casos específicos de transferencia. - Transferencia de A en mezcla que no se transfiere. En gases: En líquidos:

N A = k G (p A 1 − p A 2 ) = ky( y A 1 − y A 2 ) = k C (C A 1 − C A 2 ) N A = k X ( x A 1 − x A 2 ) = k L (C A 1 − C A 2 )

- Contradifusión equimolecular. N A = k' G (p A 1 − p A 2 ) = k' y( y A 1 − y A 2 ) = k'C (C A 1 − C A 2 ) En gases: En líquidos:

N A = k' X ( x A 1 − x A 2 ) = k' L ( C A 1 − C A 2 ) 1

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La correspondencia entre los coeficientes de transferencia citados es:

p BM p Ptotal = k C BM = k' G Ptotal = k' y = k' C = k' C C total Ptotal RT RT ρ En líquidos: F = k X x BM = k L x BM C = k' L C = k' L = k' C M Donde el subíndice BM hace referencia a una media logarítmica. En gases:

F = k G p BM = ky

Números adimensionales.

Debido a que los fenómenos de trasporte agrupan tanto parámetros geométricos como propiedades de las sustancias involucradas, es normal que estas se agrupo en números adimensionales. Para la transferencia de masa, los npúmeros adimensionales mas importantes son: µ que relaciona la transferencia molecular de cantidad de movimiento con la ρD AB transferencia molecular de materia.

Número de Schmidt: Sc =

k GL ; este puede expresarse de muchas maneras y relaciona la transferencia de D AB materia conectiva a la transferencia de materia molecular.

Número de Sherwood: Sh =

Número de Lewis: Le =

h ; que relaciona la transferencia de calor convectiva con la transferencia de masa k G Cp

convectiva. Otros números adimensionales importantes pero que no involucran a la transferencia de masa son el de Reynolds Re, Nusselt Nu, Prandlt Pr, Pecklet Pe, entre otros. Es normal que los coeficientes de transferencia de masa o de calor se puedan calcular a partir de ecuaciones obtenidas con datos experimentales. Estas ecuaciones siempre están en función de números adimensionales, y se plantean para casos particulares de geometría definida. Por ejemplo, para el flujo en el interior de tubos cilíndricos, en régimen turbulento, el coeficiente de transferencia de calor puede calcularse con la siguiente ⎛ µ ecuación: Nu = 0.023 Re 0.8 Pr 1 / 3 ⎜⎜ ⎝ µw

⎞ ⎟⎟ ⎠

0.14

Entonces, cada vez que se esta realizando el diseño de un equipo u operación, y se requiere de algún coeficiente, se deben buscar las ecuaciones necesarias en bibliografía adecuada.

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES FENÓMENOS DE TRANSPORTE PRIMERA UNIDAD: TRANSFERENCIA DE MASA CAPÍTULO DOS: DIFUSIÓN LECCIÓN SEIS. Distribución de concentración (perfiles) en sólidos con régimen de transferencia laminar. Normalmente, la difusión en sólidos y materiales biológicos se puede modelar considerando al sólido como una placa plana. El procedimiento es entonces: • Aplicar un balance de masa en un elemento de volumen, perpendicular a la dirección del transporte, obteniéndose una ecuación diferencial de primer orden. • Introducir la expresión del flux (NA) en términos del gradiente de concentración, obteniéndose una ecuación diferencial de segundo orden. • Obtener la solución aplicando las condiciones de frontera de acuerdo al problema. El balance de masa en el elemento de volumen, es en término genéricos: ⎛ velocidad de acumulación ⎞ ⎛ velocidad de entrada ⎞ ⎛ velocidad de salida ⎞ ⎛ velocidad de generación ⎞ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ de A en el elemento ⎜ ⎟ = ⎜ de A al elemento ⎟ − ⎜ de A del elemento ⎟ + ⎜ de A en el elemento ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ de volumen de volumen de volumen de volumen ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Si este balance se hace para un estado estacionario, el término de la izquierda es igual a cero. La especie A puede entrar y salir del sistema por medio de difusión y/o por la velocidad del fluido en el que se encuentre. El último término de la derecha hace referencia a que la sustancia A pude ser consumida o producida por una reacción química. A continuación se ilustran tres de las situaciones más comunes: 1. Un líquido A que se evapora en un gas estacionario B. z=L Para la solución se toman las siguientes suposiciones: - La posición del nivel del líquido se mantendrá constante. - La concentración del vapor A en la interfase líquido-gas es conocida y A z+ ∆ z se puede expresar como la presión de vapor (o de saturación) a la z NA temperatura del fenómeno. - La solubilidad de B en el líquido es nula. z=0 - En la parte superior del recipiente, la concentración de A es constante e igual a cero. - Se mantienen la temperatura y presión total constantes. La ecuación general de difusión, tendiendo en cuanta que solo se difunde A (difusión de A en B estacionario) es: NA = −

CD AB ∇ • xA (1 − x A )

Un balance de A en el elemento de volumen ilustrado en la figura es: 0 = AN A Z − AN A Z + ∆z Dividiendo por ∆z y evaluando el límite cuando ∆z tiende a cero se obtiene: dN A − =0 dz En esta ecuación, el flux se puede sustituir por la primera ley de Fick, obteniéndose:

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES FENÓMENOS DE TRANSPORTE d ⎛ CD AB dx A ⎞ ⎜− ⎟=0 dz ⎜⎝ 1 − x A dz ⎟⎠ Si se considera que A y B son gases ideales, se tiene: d ⎛ 1 dx A ⎞ ⎟=0 ⎜⎜ − − dz ⎝ 1 − x A dz ⎟⎠ −

Para este caso en particular, las condiciones de frontera del problema son: En z = o, x A = X A 1 evaluado con la presión de vapor. En z = L, x A = 0 Entonces, la solución de esta ecuación diferencial es:

⎛ 1 − xA 2 = 1 − (1 − x A 1 )⎜⎜ ⎝ 1 − xA 1

⎞L ⎟ ⎟ ⎠

2. Difusión en una capa de líquido. Un gas A se solubiliza en un líquido B que escurre en régimen laminar, formando una capa de espesor δ sobre un sólido. x

Se tendrán las siguientes consideraciones: - Solución diluida (muy poco gas disuelto en una gran cantidad de líquido). - Tiempo de contacto corto. - Perfil de velocidad según la siguiente expresión: ⎡ ⎛ x ⎞2 ⎤ v z ( x ) = v max ima ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ . ⎣⎢ ⎝ δ ⎠ ⎦⎥ - Se desprecian los efectos de entrada y salida. - El electo de volumen es ∆x∆zW . -

CA0

C A 0 es la solubilidad del gas A en el líquido. ⎛ ∂C Simetría en la dirección y, de manera que ⎜⎜ A ⎝ ∂y Estado estacionario.

⎞ ⎟=0 ⎟ ⎠

Vz(x)

El balance de A en el elemento diferencia es: N AZ z W∆X − N AZ

z + ∆z

W∆X + N Ax x W∆Z − N Ax

x + ∆x

W∆Z = 0

Dividiendo por ∆x y ∆z, y evaluando el límite cuando ∆x y ∆z tienden a cero: ⎛ ∂N AZ ⎞ ⎛ ∂N Ax ⎞ ⎟=0 ⎜ ⎟+⎜ ⎝ ∂z ⎠ ⎝ ∂x ⎠ Las condiciones de frontera para este problema son: En z = 0; C A = 0 (líquido puro en la parte superior) En x = 0; C A = C A0 (concentración constante e igual a la solubilidad) ∂C A En x = δ ; = 0 (A no penetra en la parte soólida) ∂x Para introducir las ecuaciones generales de difusión hay que hacer algunas consideraciones:

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES FENÓMENOS DE TRANSPORTE Para la dirección x: ∂C A N Ax ≈ −D AB (solo aporte por difusión y B no se difunde) ∂x Para la dirección z: N Az ≈ C A v z ( x) (solo aporte por transporte) Entonces: ∂ (C A v z (x)) + ∂ ⎛⎜ − D AB ∂C A ⎞⎟ = 0 ∂z ∂x ⎝ ∂x ⎠ Reemplazando el perfil de velocidad: ⎡ ⎛ x ⎞ 2 ⎤ ∂C A ∂ 2CA = D AB Vmax ima ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ∂x 2 ⎣⎢ ⎝ δ ⎠ ⎦⎥ ∂z 3. Sólido semiinfinito en condiciones no estables. CA0 Se pretende tener el intervalo de tiempo en que un frente de concentración que comienza en la posición z=L, ingresa hasta cierto punto en un sólido. Para el análisis se considera que la longitud del sólido es muy grande. NA El balance en un volumen diferencial es: ⎛ ∂Ca ⎞ AN A z − AN A z +dz − = ⎜ ⎟Adz ⎝ ∂t ⎠ Esto lleva a: ∂N A ∂CA dC A ⎞ ∂C A ∂ ⎛ − = ; − ⎜ − DA ⎟= ∂z ∂t ∂z ⎝ dz ⎠ ∂t CA

Si la difusividad es constante, se llega a la siguiente ecuación: ∂C A ∂ 2CA = D AB ∂t ∂z 2 Esta es la segunda ley de Fick para la difusión.

C A∞ z dz

Las ecuaciones que describen los fenómenos de transporte son obtenidas efectuando los balances respectivos, en términos de leyes generales y particulares. La ecuación de continuidad. En un volumen ∆V se tiene una mezcla de n componentes. Además de las definiciones vistas en la lección uno, e utilizan en general las siguientes definiciones: Concentración másica de i: ρ i = Densidad de la mezcla: ρ =

∆m i ∆V

( kg / m 3 )

n ∆m n ∆m i = ∑ = ∑ ρi ∆V i =1 ∆V i =1

(kg / m 3 )

r r 1 n r v = ∑ ρ i v ( i ) Donde v ( i ) es la velocidad de i respecto a una referencia fija. La ρ i =1 velocidad de la mezcla también es conocida como velocidad del centro de masa.

Velocidad de la mezcla:

Balance de una especie i: La masa de i en un volumen Ω de una mezcla de n componentes se puede expresar como: Mi = ∫∫∫ ρ i dV Ω

La masa de i generada por una reacción química al interior del volumen, por unidad de tiempo se expresa como: & i dV M i generada = ∫∫∫ m Ω

En una unidad de tiempo, la masa de i que este en movimiento en el volumen Ω , atravesará un área ∆A de la superficie del volumen, lo cual puede expresarse como: r r M is = − ∫∫ ρ i v ( i ) ndA ΣΩ r En este caso n es un vector normal a la superficie. Entonces, el balance de masa deberá ser: M igenerada + M is = Al combinar las ecuaciones obtenidas se tiene:

dM i dt

r r d & i dV − ∫∫ ρ i v ( i ) ndA = ∫∫∫ m ∫∫∫ ρ i dV dt Ω ΣΩ Ω Esta es la “ecuación de balance integral de masa de un componente i”.

Ahora, utilizando el teorema de la divergencia de Gauss, esta ecuación puede escribirse como: 1

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(

)

r ( i ) dρ i ⎤ ⎡& − dV = 0 ∫∫∫ ⎢m i − div ρ i v dt ⎥⎦ Ω ⎣ Para que esta integral cumpla la condición de ser igual a cero, debe ser nula, es decir:

(

)

(

)

r dρ & i − div ρ i v ( i ) − i = 0 ó m dt r dρ i & i = div ρ i v ( i ) + m dt Esta última es la “ecuación de balance de masa diferencial (local) de un componente i”. Esta ecuación no depende de la sustancia en particular, y ya que representa el balance de masa se denomina “ley general de conservación de i” o “ecuación de continuidad de i”.

Utilizando la siguiente propiedad:

(

)

( )

r r r div ρ i v ( i ) = v ( i ) grad(ρ i ) + ρ i div v ( i )

se puede obtener:

( )

∂ρ i r ( i ) r & i − ρ i div v ( i ) + v grad(ρ i ) = m ∂t

Definiendo a la derivada

Se puede llegar a:

D (i )ρ i r como la “derivada sustantiva” o “derivada material de ρ i relativa a v ( i ) : Dt D ( i ) ρ i ∂ρ i r ( i ) = + v grad(ρ i ) Dt ∂t

( )

D (i )ρ i r & i − ρ i div v ( i ) =m Dt r Esta última ecuación puede ser reescrita en términos de la densidad de flujo relativa a una referencia fija, n ( i ) , o r (i ) en términos de la densidad de flujo relativo a una referencia respecto del centro de masa, j como se muestra a continuación: r ∂ρ i &i + div n ( i ) = m ∂t ∂ρ i r &i + div(ρ i v ) = −div j ( i ) + m ∂t r Donde v es la velocidad de la mezcla. Esta ecuación es especialmente importante para el estudio de la r transferencia de masa, pues la densidad de flujo j ( i ) es una cantidad “constitutiva”, es decir, pertenece a una ley r particular. Para una mezcla binaria j ( i ) es expresada por la ley de Fick: r (i ) j = −ρD ij grad( w i )

( )

Donde Dij es la difusividad del componente i en el componente j. Balance de balance diferencial de masa para la mezcla como un todo. Efectuando la suma de los n componentes de la mezcla para la ecuación del balance de cada compontente:

( )

Se obtiene:

r ∂ρ i &i + div(ρ i v ) = −div j ( i ) + m ∂t

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES FENÓMENOS DE TRANSPORTE n n n n ∂ρ r (i ) &i ∑ i + ∑ div(ρ i v ) = − ∑ − div j + ∑ m i =1 i =1 i =1 i = 1 ∂t

( )

Por la ley de conservación de la masa, ∑ m i = 0 y como las sumas son finitas, las sumatorias pueden ser i =0

expresadas en términos de operadores. De esta manera se obtiene: r ∂ρ + div(ρv ) = 0 ∂t r Dρ = −ρdiv(v ) Dt r Si div(v ) = 0 , entonces la mezcla es un fluido incompresible.

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES FENÓMENOS DE TRANSPORTE PRIMERA UNIDAD: TRANSFERENCIA DE MASA CAPÍTULO TRES: BALANCES DE MASA LECCIÓN OCHO. Distribuciones en flujo turbulento. Cuando influido se mueve dentro de un espacio confinado, los efectos de viscosidad generan perfiles de velocidad, esto debido a que el fluido que esta en contando con las paredes del sólido por donde fluye, se ve frenado por los efectos moleculares que generan la viscosidad; a medida que se aleja de la frontera, la velocidad del fluido aumenta hasta llegar a un punto donde es máxima. Si el flujo es en una tubería cilíndrica, ud. puede imaginar que la velocidad exactamente sobre el tubo es nula, y aumenta hasta el centro donde es máxima.

Para los cálculos, se emplea la velocidad promedio del fluido, que puede calcularse como: v 1 = para flujo laminar (Re<4000) v max 2

v 4 ≈ para flujo turbulento (Re>104) v max 5 Aunque el flujo sea turbulento, se pueden encontrar tres zonas: - Subcapa laminar: Se rige por la ley de viscosidad de Newton. - Zona de transición: Se tiene una mezcla de los efectos laminares con los efectos turbulentos. - Zona de turbulencia: Los efectos viscosos pueden ser despreciables. El flujo real, tiene variaciones en la velocidad, con oscilaciones que se tienden a ser más o menos regulares, pudiéndose entonces obtener una velocidad promedio para un intervalo de tiempo t utilizando el teorema del valor medio: 1 t+t0 vz = ∫ v z dt t0 t Al haber fluctuaciones en la velocidad, también se tienen fluctuaciones en la temperatura para los sistemas con gradientes de temperatura y fluctuaciones de concentración para los sistemas con gradientes de concentración. Entonces se puede tener: T=

CA =

1 t+t0 ∫ T' dt t0 t

1 t +t0 ∫ C'A dt t0 t

Donde T' y C'A hacen referencia a las fluctuaciones de o funciones instantáneas. Se debe recordar que entonces la velocidad, la concentración y la temperatura no son variables independientes en este tipo de fenómeno.

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES FENÓMENOS DE TRANSPORTE Las fluctuaciones y las ecuaciones de continuidad. La ecuación de continuidad para una sustancia A, desarrollada en coordenadas cartesianas es: ⎛ ∂ 2CA ∂ 2CA ∂ 2CA ⎞ ⎛ ∂ ⎞ ∂C A ∂ ∂ n ⎟ − k" n C A = −⎜⎜ + + vxCA + vyCA + v z C A ⎟⎟ + D AB ⎜ 2 2 ⎟ ⎜ ∂x 2 ∂t dx dy dz ∂ ∂ y z ⎝ ⎠ ⎝ ⎠ Definiendo a la función instantánea como el promedio más una fluctuación:

C A = C A + C'A v = v + v' Estas definiciones combinadas con las de los promedios calculados con el teorema del valor medio llevan a: ∂C A 1 t + t 0 ⎛ ∂C A ⎞ = ⎟dt ∫ ⎜ t 0 t ⎝ ∂t ⎠ ∂t 1 t + t 0 ⎛⎜ ∂ 2 C A ⎞⎟ dt ∫ t 0 t ⎜⎝ ∂t 2 ⎟⎠ ∂t 2 1 t+ t0 ∂ [C A v x ]dt = ∂ C A v x + ∂ [C'A v'x ] ∫ t 0 t ∂x ∂x ∂x ∂ 2 CA

[

]

Estas ecuaciones son validad para las tres coordenadas. Para una cinética de primer orden: 1 t+ t0 1 t+t0 ∫ ( C A + C'A )dt = ∫ C A dt t0 t t0 t

Al reemplazar en la ecuación de continuidad se obtiene: ∂C A = −∇ ⋅ J (At ) − ∇ ⋅ J (A1) − k' 1 C A dt

Donde: ( 1)

J A = −D AB ∇C A (t)

(t)

J A = −D AB ∇C A (t)

y D AB es la difusividad turbulenta.

Entonces, las soluciones de problemas que involucran flujo turbulento, involucran ecuaciones diferenciales complejas que solo admiten soluciones analíticas cuando se realizan numerosas consideraciones. En la práctica, se trabaja con modelos que den respuestas prácticas a los experimentos. Otra manera de abordar los problemas de flujo turbulento es obtener correlaciones de transferencia, por ejemplo coeficientes convectivos de transferencia de calor y/o de masa, relacionados a números adimensionales.

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES FENÓMENOS DE TRANSPORTE PRIMERA UNIDAD: TRANSFERENCIA DE MASA CAPÍTULO TRES: BALANCES DE MASA LECCIÓN NUEVE. Modelo de flujo tubular disperso (flujo pistón). Cuando un fluido se mueve en una tubería en régimen turbulento, una consideración que facilita los modelamientos es el fluido disperso o pistón. Este asume que la turbulencia es tal que los efectos de cambio son mínimos, de manera que se considera que el fluido se mueve como un pistón, es decir con un frente invariante. Se considera: - Velocidad constante e independiente de la posición radial. - Concentración constante en la posición axial, constante para todas las posiciones radiales. - Los perfiles de velocidad son planos y los coeficientes de difusión son constantes y denominados coeficientes dispersos axiales Ez Con estas consideraciones, el balance de masa en un elemento de volumen puede ser hecho en términos de las variables “dispersas” obteniéndose: ∂C A ∂ 2 CA ∂C A = Ez −v + RA 2 ∂t ∂z ∂z Donde C A = C A (z , t ) es la concentración media en la posición z en el tiempo t. Este modelo se puede emplear para cualquier tipo de flujo (laminar o turbulento) en tubos o tanques teniendo en cuenta: - Caso turbulento: Involucra perfiles de velocidad, difución, fluctuaciones de velocidades y de concentración en torno a promedios. - Caso laminar: el coeficiente de dispersión encierra los perfiles de velocidad el coeficiente de difusión, los perfiles de concentración perpendiculares al flujo y la difusividad de masa en las diferentes direcciones (r,z). Dispersión e flujo laminar (dispersión de Taylor). El flujo (incluyendo los perfiles de velocidad) y la difusión molecular producen una dispersión. Para tubos largos y finitos, en flujo laminar, imagine lo siguiente: Un fluido fluye en régimen laminar en un tubo largo con una velocidad media. Se inyecta un pulso (en el instante t=0, en la posición z=0) de un trazador que pueda ser fácilmente medido a la salida. A medida que el trazador se mueva con el fluido, tenderá a dispersarse, generando una curva “estadísticamente” distribuida a lo largo de la dirección del flujo, de manera que a la salida la medición de este trazador no tendrá un valor único en algún instante, sino que comenzará a aumenta hasta alcanzar un máximo, y luego disminuye hasta hacerse cero. Teniendo en cuenta la ecuación del flujo disperso, sin el término de generación, pues el trazador ni reacciona ni se produce en el tubo: ∂C A ∂ 2 CA ∂C A = Ez −v 2 ∂t ∂z ∂z Se considerará: - Solución diluida. - Flujo laminar no alterado por el pulso. - Transporte de masa por difusión radial y por flujo axial, despreciando el la difusión axial. 1

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES FENÓMENOS DE TRANSPORTE Se desprecian otros mecanismos de transporte.

Entonces, la dispersión involucra al perfil de velocidad visto como si fuese una fluctuación de velocidad en trono al promedio, comparado con el flujo hipotético del fluido a velocidad constante igual al promedio mencionado. Teniendo en cuenta: ⎡ ⎛ r ⎞2 ⎤ v z = 2 v ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ ⎣⎢ ⎝ R ⎠ ⎦⎥

Se obtiene: ⎡ ⎛ r ⎞ 2 ⎤ ∂C A ∂C A D ∂ ⎛ ∂C A ⎞ = ⎜r ⎟ − 2 v ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ r ∂r ⎝ ∂r ⎠ ∂t ⎣⎢ ⎝ R ⎠ ⎦⎥ ∂z

Las condiciones de frontera de esta ecuación son:

⎛ M ⎞ CA = ⎜ ⎟δ(z) función del delta de Dirac ⎝ πR 2 ⎠ ∂CA ⎧ =0 ⎪r = R; ∂r t > 0⎨ ∂CA ⎪r = 0; =0 ∂r ⎩ Para facilitar la solución se definen dos variables nuevas: (z - vt ) r η= y ξ= R R La solución es: ⎤ ⎡ vR ⎛ ∂C ⎞ 1 ⎥⎛⎜ η 2 − η 4 ⎞⎟ ⎜⎜ A ⎟⎟ C A = C A η= 0 + ⎢ 2 ⎢ D ⎝ ∂ξ ⎠ η=0 ⎥⎝ ⎠ ⎦ ⎣ Lo que interesa en obtener una ecuación en términos de la concentración media en la sección transversal del tubo; utilizando el teorema del valor medio: 1 1 R CA z = 2 rC ( r , z ) dr 2 π = ∫ ∫ ηC A dη A πR 2 0 0 Si la variación axial de concentración es poco dependiente de la posición radial, se puede hacer la siguiente simplificación: dC A d C A = dξ dξ vt Tomando una nueva variable: τ = R d C A ⎛ vR ⎞ d 2 C A =⎜ ⎟ dτ ⎝ 48D ⎠ dξ 2 en t = 0, y z = 0,

En terminos de las variables reales: 2

dC A ⎛ vR ⎞ d 2 C A dC A −v =⎜ ⎟ 2 dt dz ⎝ 48D ⎠ dz Comparando esta ecuación con la ecuación general del flujo disperso, se tiene que: (vR )2 Ez = 48D Que es una forma de determinar el coeficiente de dispersión. Nótese que es inversamente proporcional al diámetro de la tubería, es decir que si la ésta es muy pequeña, el coeficiente es muy grande. 2

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES FENÓMENOS DE TRANSPORTE SEGUNDA UNIDAD: TRANSPORTE DE ENERGÍA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO CAPÍTULO CUATRO: BALANCE INTEGRAL DE ENERGÍA MECÁNICA LECCIÓN DIEZ. INTRODUCIÓN. Dado que el impulso o la cantidad de movimiento de un cuerpo, se define como el producto de su masa por su velocidad, se puede pensar en la velocidad de un fluido en un punto dado como su impulso por unidad de masa. O sea que, los cambios en la velocidad de un fluido pueden originar transporte de cantidad de movimiento, así como los cambios de temperatura originan transporte de calor. La descripción matemática de este transporte forma una parte importante de la ciencia de la mecánica de fluidos. Como el concepto de transporte de cantidad de movimiento generalmente no se enfatiza, se deben revisar algunas definiciones básicas. Transporte de cantidad de movimiento entre placas paralelas. Considérese un fluido contenido entre dos grandes placas paralelas. La distancia entre las placas es pequeña comparada con las otras dimensiones de las placas. En el tiempo t = 0 la placa inferior se pone en movimiento con velocidad constante vx1 = V aplicando una fuerza F en la dirección x mientras la placa superior se deja estacionaria (vx = 0). Al moverse la placa inferior arrastra consigo la capa de fluido inmediatamente adyacente, y el fluido se mueve a la misma velocidad de la superficie. Esta es la condición de frontera denominada de “no deslizamiento” fundamentada experimental y teóricamente. Como la placa superior está estacionaria, la velocidad del fluido allí es cero. Pero la capa de fluido vecina a la placa inferior se mueve con respecto a la capa de fluido inmediatamente superior que inicialmente se encontraba en reposo y a su vez le imprime movimiento. De esta manera el movimiento de la placa inferior hace aparecer un campo de velocidades en el líquido, con la velocidad decreciendo continuamente desde V en la placa inferior hasta cero en la placa superior. El movimiento de la placa inferior por tanto causa un aumento en vx, la velocidad del fluido en la dirección x, desde cero hasta algún valor positivo. Como la cantidad de movimiento es proporcional a la velocidad, habrá un correspondiente aumento en la cantidad de movimiento x. En otras palabras, la cantidad de movimiento x se transporta en la dirección z desde la placa hasta el fluido y allí desde una capa de fluido a la siguiente. Para t = 0 hay un cambio brusco en z = 0 desde vx = V hasta vx = 0. En t = t1 la velocidad aumenta cerca del plano inferior, pero el impulso todavía no ha penetrado en el fluido cercano al plano superior. En t = t2, la placa superior comienza a percibir el movimiento de la placa inferior. Finalmente en t = ∞ se obtiene estado estable en el cual la velocidad no vuelve a cambiar con el tiempo. El concepto de tiempo infinito es claramente una abstracción matemática. Para fluidos muy viscosos se puede requerir solo una fracción de segundo para alcanzar el 99 % de la condición de estado estable. Ley de Newton de la viscosidad. Considerando de nuevo el flujo entre dos placas. Luego de un cierto periodo de tiempo el perfil alcanza su estado final estacionario. Una vez alcanzado dicho estado de movimiento es preciso aplicar una fuerza Fx constante para conservar el movimiento de la lámina inferior. Esta fuerza claramente depende de la velocidad V, de la naturaleza del fluido, de la distancia entre las placas (b) y del área de contacto S de las mismas con el líquido. Para este caso especial viene dada por: Fx (0 − V ) V = µ = −µ (b − 0 ) S b

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Es decir, que la fuerza por unidad de área es proporcional a la disminución de la velocidad con la distancia z. El coeficiente de proporcionalidad µ se denomina viscosidad del fluido. Usando diferencias se puede escribir: ∆v x Fx =µ S ∆z Donde la pendiente de la curva vx contra z es ∆vx/∆z. Al tomar el límite cuando z tiende a 0 se aproxima a la verdadera pendiente en z, la que está dada por la derivada parcial ∂vx/∂z. La ecuación básica resultante para el transporte de impulso unidireccional inestable es: ∂v τ zx = µ x ∂z llamada ley de Newton de la viscosidad en una dimensión. τzx es el esfuerzo cortante que se ejerce en la dirección x sobre la superficie de un fluido situada a una distancia z, por el fluido existente en la región donde z es menor. Los fluidos que obedecen la ecuación anterior se denominan newtonianos. Según las consideraciones hechas, τzx puede interpretarse también como la densidad de flujo viscoso de cantidad de movimiento x (densidad de flujo es velocidad de flujo por unidad de área, o sea que son unidades de cantidad de movimiento por unidad de tiempo y unidad de área) en la dirección z. Según la ecuación, se deduce que la densidad de flujo viscoso de cantidad de movimiento sigue la dirección del gradiente negativo de velocidad, es decir, la dirección de velocidad decreciente, tal como ocurre con la densidad de flujo de calor que es proporcional al gradiente negativo de temperatura o al de masa que es proporcional al gradiente negativo de concentración. Examinando la ecuación también se ve que µ tiene las dimensiones de masa por unidad de longitud y unidad de tiempo. Transporte de cantidad de movimiento unidireccional estacionario. Considerando de nuevo el caso de las placas, no hay flujo neto de cantidad de movimiento convectivo en la dirección x debido a que vx no depende de x. La acción de los esfuerzos cortantes en un elemento de volumen de altura dz puede incluirse tanto como fuerzas en un balance de fuerzas como un flujo de cantidad de movimiento en un balance de cantidad de movimiento. Nótese que no existen otras fuerzas netas actuando en la dirección x pues la presión no varía con x y la gravedad no varía en esta dirección. Aplicando el balance generalizado, para el caso de fluidos newtonianos de densidad y viscosidad constantes, teniendo presente que se supone alcanzado el estado estacionario y que vx es sólo función de z, además de las anteriores consideraciones sobre presión y fuerza se obtiene: d (τ zx )dz τ zx z +dz − τ zx z = 0 τ zx z +dz = τ zx z + por lo cual pero dz dτ zx dv x ⎞ d2 vx d ⎛ = =0 ⎜− µ ⎟ = −µ dz dz ⎝ dz ⎠ dz 2 Es decir, τzx = τS es una constante. O sea hay distribución de flujo de cantidad de movimiento constante. Separando variables en la ley de newton e integrando entre los límites dados por las condiciones límite: vx ⎛ z⎞ = ⎜1 − ⎟ V ⎝ b⎠ Este perfil lineal es análogo al que se obtiene para el transporte de calor en una pared plana sin generación. Simetría radial. Hablando de la simetría cilíndrica, vz = f(r) y vr = vθ = 0, el transporte de cantidad de movimiento en la dirección r está descrito por: τ rz = −µ

∂v z ∂r

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES FENÓMENOS DE TRANSPORTE que es similar a la ecuación de τzx para transporte de la cantidad de movimiento x en la dirección z de la placa plana. Transporte de cantidad de movimiento con generación. Un fluido newtoniano fluye hacia arriba en estado estable en el interior de un conducto circular largo de longitud L. Considérese una sección del tubo alejada de los extremos del mismo. Se toma a z como la dirección hacia arriba, y a r como la distancia desde el centro. La velocidad en la dirección z positiva es vz, la que depende de la posición radial. En z = 0 la presión que actúa uniformemente sobre el área transversal πR2 es P0; en z = L es P L. La densidad ρ del fluido se asume constante. En estas condiciones se dice que el flujo está completamente desarrollado, indicando que la velocidad vz es sólo función de r, no cambiando con z. Adicionalmente se supone que el fluido está en flujo laminar. Esto significa que una partícula trazadora colocada en una posición cualquiera, radial y angularmente hablando, permanece en la misma posición radial y angular a medida que avanza axialmente con el fluido. Para un fluido newtoniano fluyendo en un conducto circular el flujo laminar existe, para valores del número de Reynolds inferiores a 2100. El número de Reynolds es una cantidad adimensional definida, para el caso de conductos circulares por la expresión Re = ρvd/µ. Como problema de diseño se puede pensar en la necesidad de determinar la diferencia de presiones P0 − PL requerida para bombear un fluido con determinada viscosidad a través de un conducto de radio R y longitud L a una velocidad promedio V, con el fin de determinar el tamaño de la bomba necesaria. Velocidad promedio. Si la densidad es constante, la velocidad promedio vmed se define en términos del caudal volumétrico Q’ [m3/s] por: Q’ = Azvmed, en la que Az es el área transversal (πR2 para el tubo). Para hallar vmed a partir de la distribución de velocidad para tubos vz(r), se debe encontrar primero una ecuación para Q’ en términos de vz. Para hacerlo, se considera un elemento de área dAz = 2πr∆r. El caudal volumétrico para este elemento de área para cualquier z es ∆Q’= vz(2πr∆r). Para hallar el caudal volumétrico para el tubo completo se integra sobre el área transversal, haciendo tender ∆r a cero: R

Q' = ∫ dQ' = ∫ v z 2 πrdr Az

v med =

Q' 1 R = ∫ v z 2 πrdr A z πR 2 0

En forma general para un conducto de área seccional arbitraria Az: 1 v med ,z = ∫ v z dA z A z Az donde dAz es un elemento diferencial de área, normal a la dirección del flujo. En el ejemplo anterior dAz = d(πr2) = 2πrdr. Observando la ecuación es claro que el cálculo de vmed requiere el conocimiento de vz en cada posición radial. Para esto es necesario realizar un balance de cantidad de movimiento en la dirección z sobre el elemento de volumen ∆V = 2πrL∆r . Como se supuso estado estable no hay aceleración neta y la suma de fuerzas actuando en la dirección z es cero. Estas son fuerzas superficiales como la presión, y del cuerpo o que actúan a través del fluido como las gravitacionales. En general las fuerzas viscosas pueden actuar ya sea perpendicularmente a las superficies del fluido (fuerzas normales) o tangencialmente a las mismas (fuerzas cortantes). Sin embargo, para un fluido incompresible y newtoniano no hay esfuerzos viscosos normales como τzz puesto que éstos dependerían de ∂vz/∂z, que es cero 3

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES FENÓMENOS DE TRANSPORTE en flujo completamente desarrollado (vz no es función de z). El balance de cantidad de movimiento viscoso en la dirección r y convectivo en la dirección z debe equilibrarse con la suma de fuerzas de presión y gravitatorias que actúan sobre el elemento de volumen, entonces: τ rz S r r + ∆r − τ rz S r r + ρv z v z z =L − ρv z v z z =0 (2 πrdr ) = (P0 − PL )(2 πrdr ) + ρg z ∆V

(

)

Como la velocidad en la dirección z no cambia sobre la misma línea de corriente, el segundo término del lado izquierdo, correspondiente al cambio de cantidad de movimiento convectivo en la dirección z, es cero. Recordando que Sr = 2πrL y ∆V = 2πrLdr, dividiendo por ∆V, evaluando cuando éste tiende a cero, y como por la disposición de los ejes gz = − g: 1 d [rτ rz ] = P0 − PL − ρg = Φ M L r dr Φ M Es el término de generación de cantidad de movimiento. Las condiciones para resolver la ecuación son:

En r = 0,

rτ rz = 0

En r = R,

vz = 0

Con lo que se obtiene: rτrz

∫ d(rτ rz ) = ∫ Φ M rdr

2 rτ rz = Φ M ⎛⎜ r 2 ⎞⎟ ⎠ ⎝ 2 ⎛ Rτ s = Φ M ⎜ R 2 ⎞⎟ ⎝ ⎠ de donde: τrz = ΦM (r/2) = τS (r/R). Aquí τS es el flujo de cantidad de movimiento en r = R. Esta expresión indica que la distribución de flujo es lineal. Usando la ley de Newton de la viscosidad: − µ(dvz/dr) = ΦM (r/2). Separando variables e integrando entre r y R se obtiene:

⎛ Φ R2 vz = ⎜ M ⎜ 4µ ⎝

2⎤ ⎡ ⎞⎡ ⎛ r ⎞ 2 ⎤ ⎟ ⎢1 − ⎜ ⎟ ⎥ = v max ⎢1 − ⎛⎜ r ⎞⎟ ⎥ ⎟ ⎠ ⎣⎢ ⎝ R ⎠ ⎦⎥ ⎣⎢ ⎝ R ⎠ ⎦⎥

u∞

v(x,y) 0

δ( x )

Continuidad:

u(x,y)

∂u ∂v + =0 ∂x ∂v

Cantidad de movimiento: u

∂u ∂u dP µ ∂ 2 u +v =− + ∂x ∂y dx ρ ∂y 2

El término de presión en la ecuación de cantidad de movimiento se puede relacionar con la velocidad de flujo externo u∞(x) evaluando la ecuación en el borde de la capa límite de velocidad, en donde u ~ u∞(x). Se encuentra que: du ( x) dP − = ρu ∞ ( x) ∞ dx dx puesto que se considera que u∞(x) es sólo función de x. En el análisis de la capa límite se supone que se conoce la velocidad del flujo externo u∞(x) la cual se halla al resolver el problema de velocidad del flujo por fuera de la capa límite; en consecuencia se considera que el término dP/dx es conocido. Por ejemplo, en el caso de flujo a lo largo de una placa de velocidad del flujo externo u∞ es constante, entonces dP/dx=0, por lo tanto el gradiente de presión dP/dx no aparece en la ecuación de cantidad de movimiento en x para el flujo a lo largo de una placa plana. Las condiciones de frontera de estas ecuaciones son: En y = 0, u = 0 y v = 0 En y = δ(x), u → u ∞ Las condiciones de frontera establecen que en la superficie de la placa las componentes de la velocidad son cero (es decir, la superficie es impermeable al flujo) y que la componente axial de la velocidad en el borde de la capa límite en y = δ (x) es casi igual a la velocidad del flujo externo u∞. Ahora se resuelve el problema de velocidad descrito por el método integral aproximado que fue desarrollado originalmente por von Kármán. El propósito de presentar aquí este método aproximado de análisis es el de ilustrar la aplicación de esta poderosa técnica matemática para obtener una solución analítica del problema de velocidad y por lo tanto proporcionar alguna 1

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES FENÓMENOS DE TRANSPORTE idea del significado de los diferentes parámetros. Los métodos aproximados son útiles para resolver analíticamente problemas más complicados los cuales no se pueden resolver fácilmente por métodos exactos; sin embargo, la exactitud de un método aproximado no se puede conocer antes de comparar la solución aproximada con la solución exacta. Los pasos básicos de este método son los siguientes:

1. Se integra la ecuación de cantidad de movimiento en x con respecto a y, sobre el espesor de la capa límite δ(x) y se elimina la componente v(x,y) de la velocidad por medio de la ecuación de continuidad. La ecuación resultante recibe el nombre de ecuación integral de cantidad de movimiento. 2. Sobre el espesor de la capa límite 0 ≤ y ≤ δ(x) se escoge un perfil adecuado para la componente u(x,y) de la velocidad. Generalmente se selecciona un perfil polinomial y la experiencia ha demostrado que no se aumenta apreciablemente la exactitud de la solución si se escogen polinomios mayores del cuarto grado. Los coeficientes se determinan en función del espesor de la capa límite δ(x) haciendo uso de las condiciones en y = 0 y y = 8(x); entonces el perfil de velocidad es una función de y y de δ(x) de la forma: u( x , y ) = f [y , δ( x )] 3. Se sustituye el perfil de velocidad u(x, y) en la ecuación integral de cantidad de movimiento que se obtuvo en el paso 1 y se integra con respecto a la variable y. La expresión resultante es una ecuación diferencial ordinaria de δ(x); el espesor de la capa límite se determina resolviendo la ecuación diferencial ordinaria sometiéndola a la condición de frontera δ(x) = 0 para x = 0 4. Una vez que se conoce δ(x) se puede determinar la distribución de velocidad u(x, y).

El coeficiente-de arrastre se obtiene rápidamente a partir de su definición por medio de la distribución de velocidad encontrada en el paso 4. El método integral que se acaba de describir proporciona un método de solución muy directo de las ecuaciones de la capa límite. Aunque el análisis es aproximado, el coeficiente de arrastre determinado por este método es en la mayoría de los casos prácticos bastante aproximado a los resultados exactos. Entonces, para el caso que se esta analizando, el paso uno lleva a: δ( x ) δ( x ) ∂u ∂u µ ⎛ ∂u ∂u − dy + ∫ v dy = ⎜⎜ ∫ u ∂x ∂y ρ ⎜ ∂y y =δ ∂y 0 0 ⎝

⎞ ⎟ = − µ ∂u ⎟⎟ ρ ∂y y =0 ⎠

y =0

puesto que por el concepto de capa límite (du/dy) y=δ = 0. De esta ecuación se elimina la componente y de la velocidad haciendo uso de la ecuación de continuidad. La segunda integral del lado izquierdo se hace por partes: δ( x )

∫ u

δ ∂v δ ∂v ∂u δ dy = uv 0 − ∫ u dy = uv δ − ∫ u dy ∂x 0 ∂y 0 ∂y

puesto que u = u∞ en y = δ y u = 0 en -y = 0. Los términos del lado derecho de esta relación se determinan de la siguiente manera: de la ecuación de continuidad se obtiene inmediatamente dv/dy: ∂u ∂v − = ∂x ∂y e integrando esta ecuación desde .y = 0 hasta y = δ se obtiene:

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES FENÓMENOS DE TRANSPORTE ∂u dy 0 ∂x ya que v|y = 0 = 0 Al sustituir estas dos ecuaciones se encuentra: δ

v 0 = v δ = −∫

δ ∂u δ ∂u ∂u dy = − u ∞ ∫ dy + ∫ u dy 0 ∂y 0 ∂x 0 ∂x Cuando se sustituye este resultado en la ecuación inicial se llega a: δ

∫v

δ( x )

δ( x ) ∂u µ ∂u ∂u dy − u ∞ ∫ dy = − ∂ x ρ ∂y ∂x 0

y =0

δ( x ) ∂( uu ) ∂u 2 µ ∂u ∞ dy − ∫ dy = − ∂x ∂x ρ ∂y 0

y =0

∫ 2u

o puesto que

du2

= 2udu δ( x )

∫

Reagrupando e invirtiendo el orden de diferenciación e integración:

d ⎡δ ⎤ µ du ∫ u( u ∞ − u)dy⎥ = ⎢ dx ⎣0 ⎦ ρ dy

y =0

que es la ecuación integral de cantidad de movimiento para placa plana horizontal.

r Donde v ( i ) es la velocidad de i respecto a una referencia fija Las fuerzas que aguan sobre el componente i son: - Fuerza sobre el cuerpo: r r (i ) ∫∫∫ ρ i g + f dV Ω

(

)

r Donde g es la aceleración de la gravedad y f ( i ) es la fuerza de interacción sobre i, debida a todos los demás componentes de la mezcla. - Fuerzas de superficie:

rr r (i ) ∫∫ σ ndA

Σ( Ω )

rr r Donde σ ( i ) es el tensor de esfuerzos y n es un vector normal a la superficie.

La cantidad de movimiento de i transportada a través de la superficie Σ(Ω) es: r r r − ∫∫ ρ i v ( i ) v ( i ) ndA

(

Σ( Ω )

)

r Donde v ( i ) es la velocidad de i con relación a una referencia fija.

La cantidad de movimiento generada debido a la generación de masa de i por reacción química es: & i Γ ( i ) dV ∫∫∫ m Ω

& j Donde Γ ( i ) es la velocidad de masa m Balance integral de cantidad de movimiento.

Con as consideraciones anteriores se llega a: rr r r r (i) r (i ) r (i) r (i) r d (i) & i Γ ( i ) dV ∫∫∫ ρ i v dV = ∫∫∫ ρ i g + f dV − ∫∫ σ ndA − ∫∫ ρ i v v ndA + ∫∫∫ m dt Ω Ω Σ( Ω ) Σ( Ω ) Ω

(

)

(

)

Transformando las integrales de superficie en integrales de volumen, utilizando el teorema de la divergencia y teniendo en cuenta que el volumen es arbitrario, se obtiene una ecuación de “balance diferencial de cantidad de movimiento para el componente i”:

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES FENÓMENOS DE TRANSPORTE rr r r r r (i ) r r ∂ & i Γ (i ) ρ i v = ρ i g + f ( i ) − div σ ( i ) + ρ i v ( i ) v ( i ) + m ∂t

) (

(

[

)

) ]

(

[(

) ]

rr r r Donde, en coordenadas cartesianas, los vectores divσ ( i ) y div ρ i v ( i ) v ( i ) son expresados respectivamente por:

rr divσ ( i ) =

(i ) ∂σ jk

∂x j

r ek

suma en j y k de 1 a

(

(i ) r (i ) r (i ) r (i ) ∂ ρ i v j v div ρ i v v = ∂x j

[(

) ]

)

suma en j y k de 1 a 3

Utilizando la ecuación de balance de masa de i (lecciones anteriores), se obtiene: r rr r r r r r r ∂v ( i ) & i Γ ( i ) − v ( i ) − ρ i v ( i ) gradv ( i ) ρi = ρ i g + f ( i ) − divσ + m ∂t Que es la “ecuación de balance diferencial de cantidad de movimiento de i”.

(

)

Ecuación de balance de cantidad de movimiento de una mezcla como un todo.

Efectuando la suma miembro a miembro de la ecuación de C.M. de cada elemento i, se obtiene:

(

)

(

[

)

) ]

(

r N N r N r r (i ) r (i ) r (i ) r (i ) ∂ N r (i ) & i Γ (i ) ∑ ρ i v = ∑ ρ i g + f − div ∑ σ + ρ i v v + ∑ m ∂t i =1 i =1 i =1 i =1 r (i ) N & i Γ es igual a cero, y por la ley de acción y Por la ley de conservación de la cantidad de movimiento ∑ m i =1

( )

r reacción de Newton, ∑ f ( i ) = 0 .Utilizando la definición de la densidad de una mezcla, de la velocidad del i =1 r centro de masa y de la velocidad de difusión de i con respecto a la velocidad del centro de masa v , y definiendo: rr N rr σ = ∑ σ(i) N

i =1

La ecuación que incluye todos los componentes pasa a ser: r rr r r ⎤ r ∂ (ρ i v ) ⎡ r r N = (ρg ) − divσ − div ⎢(ρv )v + ∑ ρ i u ( i ) u ( i ) ⎥ ∂t i =1 ⎣ ⎦ El último término no aparece cuando hace el balance de cantidad de movimiento en un fluido puro. Obsérvese que ese término se trata de una fuerza de acción y reacción que resulta como consecuencia de la difusión de i, N r r entonces se puede afirmar con seguridad que: ∑ ρ i u ( i ) u ( i ) = 0 . Con esto último, utilizando la ecuación de

(

i =1

(

)

balance de una mezcla como un todo, se obtiene finalmente: r rr r r r ∂v ρ = ρg − divσ − ρvgradv ∂t Que es la ecuación clásica de balance de cantidad de movimiento de un fluido. Utilizando el operador de D ∂ r derivada material = + vgrad la ecuación queda reducida a: Dt ∂t r rr r Dv ρ = ρg − divσ Dt rr r rr r En mecánmica de fluidos, es costrumbre descomponer el tensor de esfuerzos de la forma σ = p l + τ , donde p es rr r r la presión y l y τ son respectivamente el tensor unitario y el tensor de esfuerzos de corte (o de cizallamiento). De

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES FENÓMENOS DE TRANSPORTE rr rr rr esta manera se obtiene divσ = gradp + divτ , donde divτ es la fuerza viscosa por unidad de volumen. Entonces se puede escribir la siguiente ecuación: ρ

r rr r Dv = ρg − gradp − divτ Dt

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES FENÓMENOS DE TRANSPORTE SEGUNDA UNIDAD: TRANSPORTE DE ENERGÍA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO CAPÍTULO QUINTO: TRANSFERENCIA DE CALOR LECCIÓN TRECE. INTRODUCCIÓN A LA TRANSFERENCIA DE CALOR. De los tres procesos de transporte a estudiar, el transporte de calor es probablemente el más familiar dado que es parte de nuestra experiencia diaria, por ejemplo cuando se enfría la sopa o el café. Procesos que emplean transporte de calor aparecen frecuentemente en la industria química: Calentamiento del petróleo crudo (u otra mezcla líquida) hasta su punto de ebullición para separarlo en fracciones en una columna de destilación o la remoción del calor generado en una reacción química. En cualquier caso se necesita hallar la velocidad a la cual ocurre la transferencia de calor para calcular el tamaño del equipo requerido o para mejorar el ya existente. De otra parte se debe recordar que el calor es solo una de las formas de energía y que es ésta y no el calor la que se conserva de acuerdo a la primera ley de la termodinámica. La energía como propiedad se utiliza en termodinámica para ayudar a especificar el estado de un sistema. De otra parte la energía se transfiere a través de los límites de un sistema termodinámico en forma de trabajo o de calor. Transferencia de calor es la expresión usada para indicar el transporte de energía originado en una diferencia de temperatura. La "Velocidad de Transferencia de Calor" o "Flujo de Calor" (Q, [W] o [Btu/h]), es la expresión de la energía térmica transportada por unidad de tiempo, y "Densidad de Flujo de Calor" o "Flux de Calor" (q, [W/m2] o [Btu/hr.pie2]), es la velocidad de transferencia de calor por unidad de área. El cálculo de las velocidades locales de transferencia de calor requiere conocer las distribuciones locales de temperatura, las cuales proveen el potencial para la transferencia de calor. Existen tres mecanismos diferentes por los cuales ocurre esta transferencia de calor: i. Conducción, en donde el calor pasa a través de la sustancia misma del cuerpo. ii. Convección, en el cual el calor es transferido por el movimiento relativo de partes del cuerpo calentado, y iii. Radiación, mecanismo por el que el calor se transfiere directamente entre partes distantes del cuerpo por radiación electromagnética. En gases y líquidos la convección y la radiación tienen importancia destacada, pero en los sólidos la convección puede considerarse ausente y la radiación generalmente es despreciable. Transferencia de calor por conducción.

z La teoría matemática de la conducción del calor puede basarse en una hipótesis sugerida por el siguiente experimento: Tómese una placa de algún sólido limitada por dos superficies planas paralelas de una extensión tal que, desde el punto de vista de las partes entre los dos planos, puedan suponerse infinitos.

cara superior a T2

En la práctica esta condición puede acercarse usando una placa plana de dimensiones finitas donde sus caras menores han sido aisladas térmicamente de forma tal que solo existan gradientes de temperatura en la dirección perpendicular a las caras mayores. En este caso la cara inferior a T1 diferencia de temperatura ocurre entre planos perpendiculares al eje z causando transporte en la dirección z. El hecho de que la placa es muy delgada en la dirección z y muy ancha en las direcciones x e y indica que hay pérdidas despreciables en los extremos perpendiculares a los ejes x e y. De esta forma qx y qy son cero. En general la velocidad de conducción de calor en cualquier punto en un material se caracteriza por un vector de flux de calor q el cual puede resolverse en componentes a lo largo de los tres ejes 1

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES FENÓMENOS DE TRANSPORTE coordenados. Se puede ignorar la naturaleza vectorial de q y considerar solo su componente escalar z para un simple caso de conducción unidimensional de calor. Los dos planos se mantienen a temperaturas diferentes sin que esta diferencia de temperaturas sea tan grande como para causar un cambio sensible en las propiedades del sólido. Por ejemplo, mientras la superficie superior se mantiene a la temperatura de una mezcla hielo agua, la inferior se mantiene a la temperatura de una corriente de agua caliente que fluye constantemente por allí. Después de mantener estas condiciones durante suficiente tiempo, las temperaturas de los diferentes puntos del sólido alcanzaran valores estables, la temperatura siendo igual para planos paralelos a la superficie de la placa (despreciando los efectos terminales). Supóngase que la temperatura de la superficie inferior es T1 y la de la superficie superior es T2 (T1 > T2), y consideremos que el sólido está inicialmente a temperatura uniforme T2. La placa tiene un espesor b. Los resultados de los experimentos sugieren que, cuando se ha alcanzado el estado estable, la cantidad de calor que fluye a través de la placa en un tiempo t a través de un área Sz perpendicular a la dirección z es igual a:

kS z (T1 − T2 ) b El coeficiente de proporcionalidad k es la conductividad térmica. Estrictamente hablando la conductividad térmica no es una constante sino que, de hecho, es una función de la temperatura para todas las fases y en líquidos y gases depende también de la presión, especialmente cerca al estado crítico. La conductividad térmica en la madera y cristales varía también en forma ostensible con la dirección. Esta es una de las propiedades de transporte de los materiales. La dependencia de la conductividad térmica con la temperatura para rangos de temperatura pequeños puede expresarse en forma aceptable como k = ko(1 + aT), donde ko es el valor de la conductividad térmica en alguna condición de referencia y a es el coeficiente de la temperatura que es positivo o negativo dependiendo del material en cuestión. Es de resaltar que el gradiente de temperatura será lineal solo cuando la conductividad térmica sea constante. Q=

Ley de Fourier.

En la sección anterior se considera el caso especial de conducción de calor unidimensional en estado estable en una geometría rectangular. La ecuación mostrada es válida sólo para este caso especial y no puede usarse en otras situaciones tales como geometría cilíndrica o estado transitorio. Tampoco puede usarse para predecir la variación de la temperatura con la posición dentro del medio. Por esta razón es necesario desarrollar una ecuación más general que sea aplicable en cualquier punto, en cualquier geometría y para condiciones estables o inestables (cuando el estado físico de un sistema no cambia con el tiempo, se dice que el sistema se encuentra en estado estable). Con este propósito se toma el gráfico que muestra una línea de temperatura contra posición en cualquier momento arbitrario.

Distribución de temperaturas para cuando el

k constante y estado estable

tiempo tiende a infinito.

Perfiles de tempertatura antes de alcanzer el equilibrio

Se puede relacionar la velocidad de flujo de calor Qz en cualquier posición arbitraria z a la densidad de flujo de calor qz en la misma posición usando la definición Qz = qzSz. Se comienza por reconocer que la velocidad de flujo de calor puede escribirse a partir de la ecuación como: Qz k(T1 − T2 ) = qz = Sz b

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES FENÓMENOS DE TRANSPORTE Si se aplica a un pequeño incremento ∆z, b será reemplazado por ∆z, y (T1 −T2) por −∆T. El signo menos es necesario de acuerdo a la definición del operador diferencia. Entonces el flujo promedio de calor a través de una distancia ∆z es: T( z+ ∆z ,t ) − T( z ,t ) ∆T q z = −k = −k ∆z ∆z De la figura se observa que ∆T/∆z representa la pendiente promedia sobre la región ∆z de la curva T vs z. También se observa que si se hace ∆z cada vez más pequeño se obtiene Tz una mejor aproximación de la pendiente en z. En el límite ∆Τ cuando ∆z tiende a cero, obtenemos la derivada parcial de T respecto a z según el teorema fundamental del cálculo. T∆ z+z Así, para estado transitorio, podemos escribir en cualquier localización: q z = −k

∂T Q z = ∂z Sz

z+∆z

Esta es llamada “ley de Fourier” para conducción de calor en una dimensión, en honor al matemático francés Jean Baptiste Fourier a quien se le atribuye. En el caso de tratarse de estado estable en una dimensión, T sería solo función de z y la derivada sería total. En el caso general, donde hay flujo de calor en las tres direcciones coordenadas, T es función de más de una variable independiente: ⎛ ∂T ⎞ ⎛ ∂T ⎞ ⎛ ∂T ⎞ q x = − k⎜ q y = − k⎜ q z = − k⎜ ⎟; ⎟; ⎟ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂x ⎠ ⎝ ∂x ⎠ Serán las componentes del vector densidad de flujo de calor. r r r q = i q x + j q y + kq z

q = -k∇T

Aquí q es una cantidad vectorial. También i, j, k son los vectores unitarios en las direcciones x, y, e z. El operador ∇ (nabla) puede operar sobre cualquier escalar. Efecto convectivo.

El fluido que esta en contacto con la superficie del sólido puede estar en movimiento laminar, o en movimiento turbulento, y este movimiento puede ser causado por fuerzas externas, es decir, ser convección forzada; o por gradientes de densidad inducidos por las diferencias de temperatura, y será convección natural. Además puede estar cambiando de fase (ebullición o condensación). En cualquiera de los casos anteriores el mecanismo de transferencia es complejo. Independientemente de la naturaleza particular del proceso de transferencia, el flujo de calor en la superficie se expresa como: (T − T∞ ) Q = hAs (Ts − T∞ ) = s 1 hAs proporcional a la diferencia de temperatura, y h es el coeficiente convectivo de transferencia de calor o coeficiente de película. Esta ecuación se conoce como la ley de Newton del enfriamiento, y más que una ley fenomenológica, define el coeficiente de transferencia de calor h. Cualquier estudio estudio sobre convección se reduce en últimas al estudio de los medios por los cuales puede determinarse h, el cual depende de las características de la capa límite, que a su vez está influenciada por la geometría de la superficie, por la naturaleza del movimiento del fluido y de una variedad de propiedades termodinámicas y de transporte del fluido. 3

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES FENÓMENOS DE TRANSPORTE Radiación.

Todo cuerpo a una temperatura absoluta finita emite radiación electromagnética. Esta radiación, cuando está en el rango de longitud de onda comprendido entre los 0.2 y los 100 µm se denomina térmica. Cualitativamente puede explicarse su origen a variaciones en los estados electrónico, vibracional y rotacional de átomos o moléculas. Conforma solo una pequeña parte de todo el espectro de radiación e incluye parte de la radiación ultravioleta, la radiación visible (0.35 a 0.78 µm) y parte del infrarrojo. El cuerpo negro. Se denomina así una superficie que en todas las longitudes de onda emite y absorbe la máxima cantidad posible de radiación. A partir de la segunda ley de la termodinámica Max Planck (1900) dedujo que la potencia con la que un cuerpo negro emite energía en una longitud de onda y a una temperatura dadas, en el vacío, viene dada por: C1 E bλ = C ⎛ 2 ⎞ λ5 ⎜⎜ e λT − 1 ⎟⎟ ⎝ ⎠ Donde: Ebλ es la potencia emisiva espectral o monocromática de un cuerpo negro a una temperatura y longitud de onda dadas. λ es la longitud de onda de la energía emitida. T es la temperatura absoluta de la superficie (K). C1 es 3.7405x10-16 Wm2 C2 es 0.0143879 mK

El flujo emitido por una superficie real es menor al emitido por una superficie ideal a la misma temperatura y está dado por: E = εσTs4 Donde ε es una propiedad radiativa de la superficie denominada emisividad. Con valores en el rango 0 ≤ ε ≤ 1 Esta propiedad da una medida de la eficiencia con la que la superficie emite energía radiante. Depende fuertemente del material y de su terminado.

La radiación también puede incidir sobre una superficie desde sus alrededores. La radiación puede originarse desde una fuente especial, tal como el sol, o desde otra superficie hacia la cual la superficie de interés esta expuesta. Indistintamente de cual sea la fuente, se designa a la velocidad a la cual esta radiación incide por unidad de área de la superficie como la irradiación G. Esta irradiación puede ser absorbida, transmitida y/o reflejada en proporciones α , τ , ρ , respectivamente. Si la fracción τ (transmisividad) transmitida es cero, el cuerpo se considera opaco, si τ es igual a uno, entonces será transparente a la irradiación. Si la absortividad α=1, será negro y si α=e, menor que la unidad, se considera gris. Una porción o toda la irradiación pueden ser absorbidas por la superficie aumentando la energía térmica del material. La velocidad a la cual la energía radiante es absorbida por unidad de área superficial puede evaluarse conociendo la absortividad α. Esto es. Gabs=αG con 0 ≤ α ≤ 1 . Si α<1, y la superficies opaca, la otra porción de la irradiación es reflejada. Si la superficie es semitransparente porciones de la irradiación pueden ser transmitidos. Sin embargo, mientras que la radiación absorbida o emitida aumenta o reduce, respectivamente, la energía térmica de la materia, la radiación reflejada y transmitida no tiene efecto en esta energía. Nótese que el valor de α depende de la naturaleza de la irradiación así como de la superficie misma. Por ejemplo, la absortividad de una superficie a la radiación solar puede diferir de su absortividad a la radiación emitida por las paredes de un horno.

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES FENÓMENOS DE TRANSPORTE SEGUNDA UNIDAD: TRANSPORTE DE ENERGÍA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO CAPÍTULO QUINTO: TRANSFERENCIA DE CALOR LECCIÓN QUINCE. SISTEMAS DE CONDUCCIÓN-CONVECCIÓN. Aunque existen muchas situaciones diferentes que envuelven efectos combinados de conducción convección, la aplicación más frecuente es el de una superficie extendida que se utiliza específicamente para aumentar la velocidad de transferencia de calor entre un sólido y un fluido adyacente. Estas superficies extendidas se denominan aletas. Consideremos la pared plana. Si la temperatura de la superficie es fija, hay dos maneras en las cuales se puede aumentar la velocidad de transferencia de calor. El coeficiente convectivo h puede aumentarse aumentando la velocidad del fluido, y/o la temperatura del fluido T∞ puede reducirse. Sin embargo, pueden encontrarse muchas situaciones en las cuales aumentar h al máximo valor posible es aún insuficiente para obtener la velocidad de transferencia de calor deseada o los costos asociados son prohibitivos. Estos costos están relacionados a los requerimientos de potencia para el ventilador o la bomba necesitados para aumentar el movimiento del fluido. Es más, la segunda opción de reducir T∞ es frecuentemente impracticable. Sin embargo, existe una tercera opción. Esta es, la velocidad de transferencia de calor puede aumentarse aumentando el área superficial sobre la cual ocurre la convección. Esto puede hacerse utilizando aletas que se extienden desde la pared hacia el fluido de los alrededores. La conductividad térmica del material de las aletas tiene un fuerte efecto en la distribución de las temperaturas a lo largo de la aleta y por lo tanto influye en el grado hasta el cual la velocidad de transferencia de calor se incrementa. Idealmente el material de las aletas deberá tener una conductividad térmica alta para minimizar las variaciones de temperatura desde su base hasta su extremo. En el límite de conductividad térmica infinita, la aleta completa estaría a la temperatura de la superficie base, proveyendo por tanto el máximo aumento posible de la transferencia de calor.

En la figura se ilustran varias configuraciones de aletas. Una aleta recta es cualquier superficie extendida fijada a una pared plana. Puede ser de área seccional transversal uniforme (a) o ésta puede variar con la distancia desde la pared (b). Una aleta anular es una que se encuentra fijada circunferencialmente a un cilindro y su sección transversal varía con el radio desde la línea central del cilindro (c). Estos tipos de aleta tienen sección transversal rectangular, cuya área puede ser expresada como un producto del espesor de la aleta t y el ancho w para aletas rectas o la circunferencia 2πr para aletas anulares. En contraste una espina o aleta puntilla es una superficie extendida de sección transversal circular (d). Estas aletas pueden también ser de sección transversal uniforme o no uniforme. En cualquier aplicación, la selección de una configuración particular de aleta puede depender del espacio, del peso, manufacturación, y consideraciones de costos, así como de la extensión en la cual las aletas reducen el coeficiente convectivo superficial y aumenta la caída de presión asociada con el flujo sobre las aletas. Para determinar la transferencia de calor asociada con una aleta se debe primero obtener la distribución de temperaturas a lo largo de la aleta. Como se hace para otros sistemas, se comienza realizando un balance de energía en un elemento diferencial apropiado. El análisis se simplifica si se hacen ciertas suposiciones. Se asumen condiciones unidimensionales en la dirección longitudinal, aunque la conducción dentro de la aleta es 1

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES FENÓMENOS DE TRANSPORTE realmente bidimensional. La velocidad a la cual la energía se transporte por convección hacia el fluido desde cualquier punto de la superficie de la aleta debe ser balanceada por la velocidad a la cual la energía alcanza ese punto gracias a la conducción en la dirección transversal. Sin embargo en la practica la aleta es delgada y los cambios de temperatura en la dirección longitudinal son mucho mayores que esos en la dirección transversal. Aquí se puede asumir conducción unidimensional en la dirección z. También se pueden considerar condiciones de estado estable y asumir que la conductividad térmica es constante, que la radiación desde la superficie es despreciable, que los efectos de generación térmica están ausentes, y que el coeficiente de transferencia de calor convectivo h es uniforme sobre la superficie. COEFICIENTES CONVECTIVOS. Para cualquier diseño de un equipo que funcione con la circulación de un fluido, y que incluya transferencia de calor, es absolutamente necesario conocer el coeficiente de transferencia de calor respectivo (h). Al respecto las posibilidades son extensas. Para que el estudiante pueda profundizar en los tipos de cálculos de estos coeficientes, en la carpeta del capítulo quinto, podrá encontrar una parte de uno de los apéndices del texto de BETANCOURT (Transferencia molecular de calor, masa y/o cantidad de movimiento. Manizales, Universidad Nacional, 2000), y un extracto del capítulo nueve del texto de LEVENSPIEL (Flujo de fluidos e intercambio de calor. Madrid, Reverté, 1993).

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Anexo E. COEFICIENTES CONVECTIVOS.

E.1. FLUJO EXTERNO. E.1.1. Placa plana horizontal.

La ecuación de Navier – Stokes (2.45) para esta geometría se reduce a:

⎡ ∂vx ∂vx ⎤ µ ⎡ ∂ 2vx ⎤ + = v v y ⎢ x ∂x ∂y ⎥⎦ ρ ⎢⎣ ∂y 2 ⎥⎦ ⎣ La ecuación de continuidad:

⎡ ∂vx ∂v y ⎤ ⎢ ∂x + ∂y ⎥ = 0 ⎣ ⎦ El balance de energía calorífica

⎡ ∂ 2T ⎤ ⎡ ∂T ∂T ⎤ v v α + = y ⎢ ∂y 2 ⎥ ⎢ x ∂x ∂y ⎥⎦ ⎣ ⎦ ⎣ El balance para la especie A:

⎡∂2 ρ A ⎤ ⎡ ∂ρ A ∂ρ A ⎤ v v D + = y AB ⎢ ⎢ x ∂x 2 ⎥ ∂y ⎥⎦ ⎣ ⎣ ∂y ⎦ Resolviendo para capa límite laminar (L ≤ xC) fx =

0.664 ; Re x

Nu x =

f L = 1L ∫ f x dx = 0

1 1 hx x = 0.332 Re x2 Pr 3 k

1.328 Re L Nu L =

; Re x =

ρv∞ x µ

1 1 hL L = 0.664 Re L2 Pr 3 k

hL = L1 ∫ hx dx 0

Shx =

k ρx x DAB

= 0.332 Re x2 Sc 1

kρx es un coeficiente convectivo másico local

338

339

FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento

Esta expresión tiene validez para vs = 0, es decir, cuando la componente “y” de la velocidad en la superficie de la placa vale cero. Sin embargo si hay transferencia de masa, algún componente de velocidad habrá allí, pues analizando la ley de Fick: nAS = jAS + ρASvS = jAS + (nAS + nBS)wAS Como nBS = 0, vS = (nAS wAS/ρAS) = nAS/ρS Para tener en cuenta este componente “y” de la velocidad en la superficie, el coeficiente 0.332 de la ecuación para Shx se modifica según sea el parámetro (vS/v∞)(Rex)0.5: TABLA 1.

(vS / v∞ ) Re x

0.60

0.50

0.25

0.00

-2.50

(Coeficiente) mS

0.01

0.06

0.17

0.332

1.64

El valor del coeficiente se puede aproximar en el intervalo por mS ≅ 0.332 – 0.528 (vS / v∞ ) Re x Para (vS / v∞ ) Re x > 0.62 la capa límite se desprende y dejan de ser aplicables las ecuaciones. vS aumenta el espesor de la capa límite decreciendo nAS y τS. Si asumimos que la capa límite es turbulenta desde el borde de ataque (xC << L), fx = 0.058(Rex)−0.2 ; fL = 0.072(ReL)−0.2 Nu x = 0.0292 Re 0x.8 Pr

Shx = 0.0292 Re 0x.8 Sc

En la práctica una parte de la placa se hallará en régimen laminar y la otra en régimen turbulento. Podemos encontrar un coeficiente promedio para este flujo en régimen mixto así: ⎤ ⎡ xC L 1 ⎢⌠ 0 .5 0. 8 k k 0.332 Re x dx + ∫ 0.0292 Re x dx ⎥ Pr 1 / 3 hm = ⎮ x x ⎥ L ⎢⌡ xc ⎦ ⎣0

( )

[

( )

(

)]

1 hm L = 0.664 Re C0.5 + 0.0365 Re 0L.8 − Re C0.8 Pr 3 (1) k 0.6 ≤ Pr ≤ 60; ReL ≤ 108. ReC es el Reynolds crítico; ReL es el Reynolds para toda la placa; si L ≤ xC use solamente la primera parte del paréntesis cuadrado tal como se desprende de

Nu m =

340

FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento

las correlaciones ya mostradas para capa límite en régimen laminar. Para números de Pr grandes el coeficiente 0.664 se convierte en 0.678. El anterior es un coeficiente promediado para toda la placa. Cuando el calentamiento no comienza en el borde de ataque sino a una distancia x0, el coeficiente local adimensional Nux para flujo laminar sobre la placa está dado por

Nu x =

Nu x

x0 = 0

⎡ ⎛ x0 ⎞ 3 / 4 ⎤ ⎢1 − ⎜ x ⎟ ⎥ ⎠ ⎦ ⎣ ⎝

(2)

1/ 3

y para flujo turbulento

Nu x =

Nu x

x0 = 0

⎡ ⎛ x0 ⎞ 9 / 10 ⎤ ⎢1 − ⎜ x ⎟ ⎥ ⎠ ⎦ ⎣ ⎝

(3)

1/ 9

También es posible tener Flujo uniforme de calor en la pared en lugar de temperatura uniforme. Para flujo laminar (Kays, W. M. y M. E. Crawford, Convective Heat and Mass Transfer, Mac Graw – Hill, New York, 1980): Nu x = 0.453 Re 0x.5 Pr 1 / 3 Pr ≥ 0.6

(4)

Nu x = 0.0308 Re 0x.8 Pr 1 / 3 0.6 ≤ Pr ≤ 60

(5)

La presencia de una zona sin calentar puede nuevamente predecirse usando las ecuaciones (2) y (3). Si se conoce el flujo de calor podemos determinar la variación de la temperatura con la posición. Aquí parece importante determinar una temperatura promedia mas bien que un coeficiente promedio: L

L ⌠ qS ⌠ x q L 1⎮ dx = S (TS − T∞ ) m = (TS − T∞ )dx = ⎮ L⎮ L ⌡ kNu x kNu L ⌡ 0

(6)

Para transferencia de masa cambiamos Nu por Sh y Pr por Sc, a saber:

[

(

)]

ShL = 0.664 Re C0.5 + 0.0365 Re 0L.8 − Re C0.8 Sc

0.6 ≤ Sc ≤ 3000, lo demás como para (1).

1 3

(7)

341

FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento

E.1.2. Flujo laminar de metales líquidos sobre placas planas. Nu x = 0.564 Pe x0.5 Pr ≤ 0.05, Pex ≥ 100.

(9)

Pe = Re.Pr es el número de Peclet. E.1.3. Flujo transversal a cilindros.

El número de Nusselt para convección forzada entre un cilindro y un fluido que se desplaza perpendicularmente al eje del cilindro está correlacionado con los números de Reynolds y Prandtl según Hilpert por

NuD = C ⋅ Re mD ⋅ Pr

(10)

TABLA 2: Constantes para la ecuación (10) con barras no cilíndricas y gases. Geometría

ReD

Cuadrado 5×103 – 108

0.246

0.588

5×103 – 108

0.102

0.675

5×103 – 1.95×104 1.95×104 – 108

0.160 0.0385

0.638 0.782

5×103 – 1.5×104

0.153

0.638

4×103 – 108

0.228

0.731

Hexágono

Placa Vertical

Los valores de C y m dependen del numero de Reynolds como se indica en la tabla 3. TABLA 3:Constantes para la ecuación (10) con barras cilíndricas. Rango de ReD 0.4 — 4 4 — 40 40 — 4000 4000 — 40000 40000 — 400000

C 0.989 0.911 0.683 0.193 0.027

m 0.330 0.385 0.466 0.618 0.805

342

FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento

Todas las propiedades deben calcularse a la temperatura de película. La ecuación (10) puede también usarse para flujo gaseoso alrededor de barras de sección transversal no circular con D y las constantes de la tabla 2. Churchill y Bernstein proponen una ecuación que cubre todo el rango de ReD y se recomienda para ReDPr > 0.2: 5/8 0.62 Re 0D.5 Pr 1 / 3 ⎡ ⎛ Re D ⎞ ⎤ + 1 Nu D = 0.3 + ⎟ ⎥ ⎢ ⎜ 2 / 3 1/ 4 ⎢⎣ ⎝ 282000 ⎠ ⎥⎦ 1 + (0.4 / Pr )

[

4/5

]

(11)

E.1.4. Esferas.

Se han propuesto numerosas correlaciones. Whitaker, S. (AIChEJ.,18, 361, 1972) recomienda la siguiente expresión:

(

)

Nu D = 2 + 0.4 Re 0D.5 + 0.06 Re 2D/ 3 Pr 0.4 (µ / µ S )

0.71 ≤ Pr ≤ 380

3.5 ≤ ReD ≤ 7.6x104

0.25

(12)

1.0 ≤ (µ/µS) ≤ 3.2

Todas las propiedades menos µS se evalúan a T∞ y los resultados pueden aplicarse a problemas de transferencia de masa simplemente reemplazando NuD y Pr por ShD y Sc respectivamente. Un caso especial de transferencia convectiva de calor y/o masa desde esferas está relacionado a la transferencia desde gotas líquidas descendiendo libremente y la correlación de Ranz, W. y W. Marshall (Chem. Eng. Prog., 48, 141, 1952) se usa frecuentemente:

NuD = 2 + 0.6 Re0D.5 Pr1 / 3

(13)

En el límite cuando ReD → 0, estas dos ecuaciones tienden a NuD = 2, valor que corresponde a la transferencia de calor por conducción (en ausencia de convección natural) desde una superficie esférica. E.1.5. Lechos empacados.

El flujo de gases (o líquidos) a través de lechos empacados de partículas sólidas tiene importancia en muchos procesos industriales que incluyen transferencia y almacenamiento de energía térmica, reacción catalítica heterogénea y secado.

εjH = εj AB = 2.06 Re−D0.575 Pr = 0.7 90 ≤ ReD ≤ 4000

(16)

343

FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento

El numero de Reynolds se define con base en la velocidad que existiría si el lecho estuviera vacío y la dimensión característica de las partículas. Wilson y Geankopolis (1966) recomiendan para flujo de líquidos

εjH = εj AB = 1.09 Re−D2 / 3

0.0016 ≤ ReD ≤ 55

εjH = εj AB = 0.250 Re−D0.31

0.55 ≤ ReD ≤ 1500

En ambos casos 168 ≤ Sc ≤ 70600, y 0.35 ≤ ε ≤ 0.75 E.2. FLUJO INTERNO.

Pierce, (Chemical Engineering 86, 27, p 113, 1979), propone una sola ecuación que correlaciona el factor de Colburn con todos los números de Reynolds. Esta ecuación produce una curva continua y suave conveniente para utilizar en los análisis y diseños ayudados por computador o calculadora. 3 / 2 −1 ⎤ ⎡ ⎫ ⎧⎡ 1.6 6 8⎤ ⎛ 1.986 × 10 ⎞ Re ⎢ 1 ⎪ ⎥ ⎪ ⎟⎟ ⎥ ⎬ ⎥ J H = ⎢ 9.36 + ⎨⎢ + ⎜⎜ −14 Re Re ⎠ ⎥⎦ ⎪ ⎥ ⎝ ⎪⎩⎢⎣ 7.831× 10 ⎢ ⎭ ⎦ ⎣

1 12

⎛ µb ⎜⎜ ⎝ µS

⎞ ⎟⎟ ⎠

0.14

(23)

Es aplicable para 0.7 ≤ Pr ≤ 16700. JH = St Pr2/3 = (h/ρCPvm)Pr2/3 La extensión a transferencia de masa es obvia haciendo JH = JAB = StAB Sc2/3 = (kC/vm)Sc2/3 y haciendo igual a la unidad la corrección por viscosidad. Otras expresiones que tradicionalmente se han usado se mencionan a continuación. E.2.1. Flujo laminar en tubos.

Una correlación de datos experimentales fue hecha por F. N. Sieder y G. E. Tate (Ind. Eng. Chem., 1429, 1936):

⎛ D⎞ Nu D = 1.86⎜ Pe ⎟ L⎠ ⎝

1/ 3

⎛ µb ⎜⎜ ⎝ µS

⎞ ⎟⎟ ⎠

0.14

(17)

Todas las propiedades excepto µS se evalúan a la temperatura media global. El último paréntesis de la ecuación (17) tiene en cuenta la distorsión del perfil de velocidades por el

344

FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento

gradiente de temperatura entre le pared y el fluido. Válida para 0.48 ≤ Pr ≤ 16700; TS constante;0.0044 ≤ (µ/µS) ≤ 9.75. Whitaker recomienda su uso cuando Nu ≥ 3.72, pues para valores menores se presentan condiciones de perfiles completamente desarrollados. Hausen, H. (1943) presentó la siguiente fórmula del numero medio de Nusselt en la región térmica de entrada en el caso perfil parabólico de velocidad y pared de temperatura constante:

⎧ C1 ( D / z ) Re Pr ⎫⎛ µ b ⎜ Nu = ⎨ Nu∞ + n ⎬ 1 + C2 [( D / z ) Re Pr ] ⎭⎜⎝ µ S ⎩

⎞ ⎟⎟ ⎠

0.14

(18)

Según los valores de C1, C2 y n, la ecuación (18) tiene diferentes aplicaciones: TABLA 4. Condición en la superficie Ts constante Ts constante qs constante qs constante

Perfil de velocidad

Nu∞

Parabólico Plano Parabólico Plano

Todos 0.7 Todos 0.7

Medio Medio Local Local

3.66 3.66 4.36 4.36

0.0668 0.1040 0.023 0.036

0.04 0.016 0.0012 0.0011

2/3 0.8 1.0 1.0

La extensión a transferencia de masa es sencilla si tenemos presente que JD = JH.. E.2.2. Flujo turbulento en tubos circulares lisos.

Para tubos lisos y longitudes superiores a sesenta diámetros, por experimentación se encuentra que el coeficiente convectivo de transferencia de calor h = φ(D, k, CP, µ, ρ, v). A partir del análisis dimensional encontramos el siguiente agrupamiento de tales variables: ⎛ ρvD C P µ ⎞ hD ⎟ , = φ ⎜⎜ k k ⎟⎠ ⎝ µ

(19)

Nusselt experimentó con tres gases (aire, gas carbónico y gas natural). Al representar en coordenadas doble logarítmicas h contra la velocidad másica (ρv), encontró que para cada uno de los gases se alineaban sobre una recta por encima de un cierto valor crítico de ρv, resultando tres rectas paralelas. Estos resultados se explican si la función φ de la ecuación (19) puede expresarse de manera potencial, a saber: Nu = CReaPrb. A partir de la pendiente de las rectas en el gráfico doble logarítmico encontramos el valor del exponente del número de Reynolds como a = 0.8. El hecho de que para valores de la velocidad másica inferiores a la crítica fueran superiores a los correspondientes por extrapolación de las rectas de

345

FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento

pendiente 0.8, fue explicado por Nusselt como debido a la contribución de la convección natural a los flujos gaseosos a baja velocidad. De experimentaciones posteriores con otros gases y líquidos se obtuvo el valor de 0.023 para C, y se encontró que b estaría entre 0.3 y 0.4, siendo más apropiado el valor 0.3 cuando el fluido se enfriaba y 0.4 cuando se calentaba. Teniendo en cuenta todas estas circunstancias, se propusieron tres ecuaciones concretas: Ecuación de Dittus - Boelter (1930) Nu = 0.023Re0.8Prn,

(20)

con n = 0.4 para calefacción y n = 0.3 para enfriamiento. Las propiedades del fluido deben calcularse a la temperatura media aritmética de las másicas extremas del fluido. Re > 10000. 0.7 ≤ Pr ≤ 100. L/D > 60. Ecuación de Colburn (1933) Nu = 0.023Re0.8Pr1/3 ⇒ StPr2/3 = JH = 0.023Re−0.2

(21)

Las propiedades del fluido excepto CP en el número de Stanton (h/ρCPv) se evalúan al valor medio de la temperatura de película Tf. Re >10000; 0.7 ≤ Pr ≤ 160; L/D > 60. Ecuación de Sieder y Tate (1936) Nu = 0.027 Re0.8 Pr1/3 (µm/µS)0.14 ⇒ JH (µm/µS)−0.14 = 0.027 Re−0.2

(22)

Se recomienda esta relación para la transferencia de calor en fluidos cuya viscosidad cambie marcadamente con la temperatura y es aplicable para 0.7 ≤ Pr ≤ 16700; L/D > 60 y Re > 10000. Todas las propiedades excepto µS se determinan a la temperatura media del fluido. Una correlación que se atribuye a Petukhov (1970) es de la forma ( f / 2) Re D Pr Nu D = 1.07 + 12.7 f / 2 (Pr 2 / 3 − 1)

(24)

0.5 ≤ Pr ≤ 2000; 10000 ≤ Re ≤ 5x106. Para obtener concordancia con valores a menor Re, Gnielinski (1976) modificó la expresión así: Nu D =

( f / 2)(Re D − 1000) Pr 1 + 12.7 f / 2 Pr 2 / 3 − 1

(

)

(25)

0.5 ≤ Pr ≤ 2000; 3000 ≤ Re ≤ 5x106. Las ecuaciones (24) y (25) se aplican tanto a temperatura constante como a flujo constante en la pared. Las propiedades se evalúan a la

346

FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento

Temperatura global media. Aquí f es el factor de fricción de Fanning que puede obtenerse del diagrama de Moody o de la ecuación (26). Combinando ecuaciones para tuberías rugosas en regímenes de flujo laminar y turbulento Churchill desarrolló una sola ecuación para el factor de fricción en flujo laminar, de transición o turbulento, y para tuberías tanto lisas como rugosas: 1 / 12

12 3/ 2 f ⎧⎪⎛ 8 ⎞ ⎡ 1 ⎤ ⎫⎪ = ⎨⎜ ⎟ + ⎢ ⎬ 2 ⎪⎩⎝ Re ⎠ ⎣ A + B ⎥⎦ ⎪⎭

(26)

⎧⎪ ⎡ ⎤ ⎫⎪ 1 A = ⎨2.457 ln ⎢ ⎥⎬ 0.9 ⎪⎩ ⎣ (7 / Re ) + 0.27(ε / D) ⎦ ⎪⎭

⎛ 37530 ⎞ B=⎜ ⎟ ⎝ Re ⎠

Las ecuaciones son más convenientes que las tablas o las correlaciones gráficas en diseño y operación ayudadas por computador. Prueba y error es necesarios si en lugar de la velocidad de flujo se especifica la caída de presión. La ecuación (26) no sólo reproduce el gráfico del factor de fricción sino que evita interpolaciones y da valores únicos en la región de transición. Estos valores están, naturalmente, sujetos a alguna incertidumbre, debido a la inestabilidad física inherente en esta región. Ecuación de Notter y Sleicher Nu = 5 + 0.016 Rea Prb; a = 0.88 − 0.24/(4 + Pr); b = 0.33 + 0.5e−0.6Pr

(27)

0.1 ≤ Pr ≤ 104; 104 ≤ Re ≤ 106 ; L/D > 25. Región de entrada térmica Nu = 0.036 Re0.8 Pr1/3 (D/L)0.055; 10 ≤ L/D ≤ 400

(28)

Las propiedades del fluido a la temperatura media. E.2.3. Flujo turbulento de metales líquidos dentro de tubos lisos.

Para flujo de calor constante en la pared Skupinski et al. (1965) recomendaron la siguiente correlación: NuD = 4.82 + 0.0185 Pe0.827

(29)

347

FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento

3.6x103 ≤ Re ≤ 9.05x105 ; 100 ≤ Pe ≤ 104 Para temperatura constante en la pared Seban y Shimazaki (1951) recomiendan: Nu = 5.0 + 0.025 Pe0.8 ; Pe > 100

(30)

E.2.4. Flujo Turbulento en conductos lisos no circulares.

Se pueden usar las correlaciones para flujo en conductos circulares utilizando el diámetro equivalente Dh = 4A/PH ; A es el área de flujo para el fluido y PH es el perímetro húmedo. Se debe tener presente que para flujo laminar el error es grande y que para flujo en el espacio anular de un intercambiador de tubos concéntricos, el perímetro “húmedo” para transferencia de calor es solamente el perímetro del tubo interno, a diferencia de perímetro húmedo para transferencia de cantidades de movimiento que es la suma de los perímetros de los dos tubos. E.3. CONVECCION NATURAL EN PLACA VERTICAL.

Para temperatura uniforme en la superficie McAdams recomienda para placa o cilindro vertical (si el radio es mucho mayor que el espesor de la capa límite) Num = C (GrL Pr )

Nu m =

hm L k

GrL =

gβρ 2 L3 TS − T∞

µ2

L es la altura de la placa o cilindro vertical, Gr es el numero de Graetz para transferencia de calor, β es el coeficiente de expansión volumétrica para el fluido:

β=

1 ⎛ ∂V ⎞ ⎜ ⎟ V = volumen específico ⇒ ρV = 1 ⇒ ρdV + Vdρ = 0. Por lo tanto V ⎝ ∂T ⎠ P

β =−

1 ⎛ ∂ρ ⎞ 1 (ρ ∞ − ρ ) ⎜ ⎟ ≈− ρ ⎝ ∂T ⎠ P ρ (T∞ − T )

Si este fluido puede considerarse gas ideal β = 1/T∞. Las propiedades del fluido se calculan a la temperatura de película. Para valores del producto GrLPr entre 104 y 1013 C y n se leen en la tabla 5. TABLA 5. Tipo de flujo Laminar Turbulento

Rango de GrLPr 104 a 109 109 a 1013

C 0.59 0.10

n ¼ 1/3

348

FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento

En el caso de metales líquidos (Pr < 0.03) para placa plana isotérmica vertical Num = 0.68(GrLPr2)1/4 Cilindros horizontales h D Nu m = m k

Num = C (GrD Pr )

GrD =

gβρ 2 D 3 TS − T∞

µ2

D es el diámetro externo del cilindro. C y n de la tabla 6. TABLA 6. Tipo de flujo Laminar Turbulento

Rango de GrLPr 104 a 109 109 a 1012

C 0.53 0.13

n ¼ 1/3

Para cilindros horizontales de temperatura superficial constante en metales líquidos Num = 0.53(GrDPr2)1/4 Para convección libre hacia aire a presión atmosférica y temperaturas moderadas (37 °C a 815 °C) TABLA 7. Geometría

Placas verticales Cilindros horizontales

Altura Diámetro externo

Tipo de flujo Laminar Turbulento Laminar Turbulento

Rango de GrLPr 104 a 109 109 a 1013 104 a 109 109 a 1012

hm[Btu/hr.pie2.°F]

hm[W/m2.K]

0.29(∆T/L)1/4 0.19(∆T)1/3 0.27(∆T/L)1/4 0.18(∆T)1/3

1.42(∆T/L)1/4 1.31(∆T)1/3 1.32(∆T/L)1/4 1.24(∆T)1/3

Para esferas pueden usarse las mismas correlaciones que para los cilindros horizontales, pero la longitud característica es el radio. Para la última columna se usan unidades del SI y para la penúltima del sistema inglés. Se pueden adaptar para presiones diferentes a la atmosférica así: unidades inglesas y flujo laminar, multiplicar por (P/14.7)0.5 para flujo turbulento por (P/14.7)2/3; P en psia. SI y flujo laminar multiplicar por (P/1.0132)0.5, para flujo turbulento multiplicar por (P/1.0132)2/3. P en bar. La analogía con transferencia de masa puede mantenerse para geometrías similares si definimos un “coeficiente de expansión” originado en los gradientes de concentración:

β AB ≈ −

(ρ∞ − ρ )

ρ (ρ A∞ − ρ A )

349

FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento

y consecuentemente definimos un numero de Grashof para transferencia de masa:

GrAB =

gL3 ρ 2 ρ ∞

µ2

ρS

−1

E.4. CONVECCIÓN NATURAL Y CONVECCIÓN FORZADA COMBINADAS.

La convección libre es despreciable si Gr/Re2 << 1 y la convección forzada es despreciable cuando Gr/Re2 >>1. La convección combinada se puede presentar cuando Gr/Re2 ≈ 1. Se acostumbra correlacionar los coeficientes para convección combinada, tanto para flujo interno como para externo por una expresión de la forma Nun = NunF ± NunN. Para la geometría específica que interese, los valores de NuF y NuN se determinan a partir de las correspondientes expresiones para convección forzada y natural. El signo (+) se utiliza para flujo asistido y transversal, mientras que el signo (−) se usa para flujo opuesto. La mejor correlación de los datos se obtiene para n = 3, aunque valores como 3.5 y 4 se adaptan mejor para flujo transversal involucrando placas y cilindros o esferas, respectivamente. E.4.1. Influencia de la convección natural.

La convección natural puede jugar papel importante en los casos de transmisión de calor durante el flujo interno y laminar de los fluidos, si los perfiles de velocidad y temperatura se alteran suficientemente por este tipo de convección. Conducto vertical. Temperatura de pared constante. Martinelli y Boelter (Univ. Calif. – Berkeley - Publis. Engr., 5, 23 (1942)), investigaron la calefacción de fluidos en flujo interno vertical ascendente y el enfriamiento de los mismos en flujo interno vertical descendente. En ambos casos las velocidades de los fluidos en las proximidades de las paredes se incrementan por la convección natural originada en las variaciones de densidad surgidas por los gradientes de densidad por diferencia de temperaturas. Proponen la siguiente ecuación: Nu = 1.75F1[Gz+0.0722F2(GrSPrSD/L)0.84]1/3

(31)

Aquí, F1 = (TS − T)ML/(TS − T)MA; F2 prevé la disminución de la fuerza convectiva cuando la temperatura del fluido se aproxima a la de la pared, y se puede aproximar por la correlación: F2 = 1 − 0.4145(πNu/Gz) para (πNu/Gz) ≤ 1.93 F2 = 5.7143 − 2.857(πNu/Gz) si (πNu/Gz) > 1.93

350

FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento

(πNu/Gz) = (T2 − T1)/(TS − T)MA. Gz es el número de Graetz, Gz = m'Cp/kz = (π/2)PeR/z, siendo Pe = RePr el número de Péclet y R el radio del conducto. El número de Grashof, característico en convección natural, Gr = gρ2D3β∆T/µ2, se basa en el diámetro de los tubos y la diferencia entre la temperatura de sus paredes y la temperatura másica o media del fluido. β es el coeficiente de expansión térmica del sistema. La ecuación (31) se aplica para las siguientes condiciones: 1. Gz se evalúa con las propiedades del fluido correspondientes a la temperatura másica media del mismo (T1 + T2)/2. 2. GrS y PrS se evalúan con las propiedades del fluido correspondientes a la temperatura TS de la pared. Para GrS: ∆T = TS − T1. 3. Calefacción en flujo ascendente o enfriamiento en flujo descendente. 4. Para calefacción y flujo descendente o enfriamiento y flujo ascendente se cambia +0.0722 por −0.0722. 5. El efecto de la convección natural en tuberías verticales u horizontales con régimen laminar se vuelve importante cuando se cumple: Re ≤ 0.1334(Gr.Pr.d/L)0.875 y Gr.Pr.(d/L) ≤ 1x105 Re < 177.8(Gr.Pr.d/L)0.25

y Gr.Pr.d/L > 1x105

ambas condiciones deben además cumplir 102 > Pr(D/L) >1. E.4.2. Conductos horizontales.

En el flujo interno de fluidos por tubos horizontales con temperaturas de pared TS constante, el aumento de temperatura del fluido en las vecindades de la pared determina una circulación periférica ascendente complementada con una descendente por la parte central. Estos efectos superpuestos al flujo forzado ocasionan el avance en espiral del fluido, con la consiguiente mezcla adicional y aumento del coeficiente de transmisión de calor individual. Para este flujo Eubank y Proctor (Thesis, Dep. of Chem. Eng. MIT 1951) proponen Nu = 1.75[Gz + 0.04(Gr.Pr.D/L)0.75]1/3[µ/µS]0.14

(32)

Gz, Gr y Pr se evalúan con las propiedades del fluido correspondientes a la temperatura másica media del mismo (T1 + T2)/2. Para Gr, ∆T = (TS − T)MA.

351

FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento

Para el flujo laminar de gases por el interior de tubos cilíndricos, cualquiera que sea su posición, puede utilizarse con suficiente aproximación simplificada propuesta por Cho lette (Chem. Eng. Prog., 44, 81 (1948)) y Kroll, (“Heat Transfer and Presure Drop for Air Flowing in Small Tubes”, Thesis Dep. of Chem. Eng. M.I.T. (1951)): Nu = 1.5 Gz0.4. Las propiedades se evalúan a la temperatura másica media. Ejercicio: Por un conducto vertical de tres cm de diámetro interno asciende glicerina con caudal másico de 100 kg/hr, cuya temperatura inicial es de 308 K. Calcular la temperatura de la glicerina en función de la distancia recorrida en el tramo inicial de la conducción si la temperatura de la superficie se mantiene a temperatura constante de 373 K. Las propiedades físicas de la glicerina son: CP = 2.5 kJ/kg.K; k = 0.286 W/m.K; β = 0.54x10−3 K−1; ρ = 1217 kg/m3. La viscosidad varía según la siguiente tabla: TABLA 8. µ (kg/m.s) T (K)

10.715 272

2.083 288

0.893 300

0.270 308

0.150 311

E.5. FLUJO DE FLUIDOS SOBRE BLOQUES DE TUBOS. E.5.1. Flujo perpendicular a bloques de tubos sin tabiques deflectores.

Las dos disposiciones posibles de estos bloques son o alineadas o al tresbolillo como se ve en la figura. En 1933 Colburn (37) con los datos experimentales disponibles hasta entonces, dedujo la ecuación:

⎛D G ⎛ hDo ⎞ ⎟ = 0.33⎜⎜ o máx ⎜ ⎝ k ⎠T f ⎝ µ

0. 6

⎞ ⎛ CP µ ⎞ 3 ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎠T f ⎝ k ⎠T f

Condiciones:

1. 10 ≤ Re ≤ 40000 2. Velocidad másica superficial máxima ρvmáx = Gmáx basada en la mínima sección versal de flujo. 3. Propiedades del fluido evaluadas a Tf = 0.5(T + T0). 4. Disposición de los tubos alternada al tresbolillo. 5. Bloques con al menos diez filas de tubos.

352

FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento

En el caso de bloques de tubos alineados, Colburn, teniendo en cuenta otros datos de la bibliografía y los suyos propios, indica que debe sustituirse la constante de proporcionalidad (factor de forma) 0,33 por 0,26. En 1937, Grimison, a partir de datos experimentales, propuso una ecuación concreta para el caso de que el gas fuera aire, que generalizaba para cualquier otro gas de la siguiente forma: ⎛DG ⎛ hDo ⎞ ⎟ = c⎜⎜ o máx ⎜ ⎝ k ⎠T f ⎝ µ

⎞ ⎛ CP µ ⎞ 3 ⎟⎟ ⎜ ⎟ ⎠T f ⎝ k ⎠T f

Condiciones:

1. 2000 ≤ Reo ≤ 40000. 2. Velocidad másica superficial máxima Gmáx, basada en la mínima sección transversal de flujo. 3. Propiedades del fluido evaluadas a Tf = 0.5(T + T0). 4. Bloques con al menos 10 filas de tubos. 5. Valores de c y n de la tabla 9. TABLA 9. b/Do Disposición a/Do 0.6

1.25 c

1.50 n

2.00 n

0.9 1.0 Alternada

Alineada

0.561

3.00 n

0.241

0.636

0.504

0.271

0.453

0.581

0.540

0.565

0.585

0.560

0.558

1.125 1.250

0.585

0.556

0.570

0.554

0.586

0.556

0.589

0.562

1.50

0.509

0.568

0.519

0.562

0.511

0.568

0.591

0.568

2.0

0.456

0.572

0.470

0.568

0.544

0.556

0.507

0.570

3.0

0.350

0.592

0.402

0.580

0.497

0.562

0.476

0.574

1.25

0.393

0.592

0.310

0.608

0.113

0.704

0.071

0.552

1.50

0.414

0.586

0.282

0.620

0.114

0.702

0.076

0.755

2.0

0.472

0.570

0.337

0.620

0.259

0.632

0.224

0.648

3.0

0.327

0.601

0.403

0.584

0.423

0.581

0.323

0.608

Snyder midió coeficientes de transmisión de calor individuales medios de tubos correspondientes a distintas filas de bloques de ellos alternados, sobre los que

353

FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento

perpendicularmente fluía aire. En líneas generales, sus resultados coincidieron con los alcanzados previamente por otros investigadores al determinar los coeficientes locales sobre la periferia de los indicados tubos de filas distintas del bloque. Los números de Nusselt medios aumentan hasta la tercera fila, decreciendo luego ligeramente y permaneciendo prácticamente constantes a partir de la quinta fila. Pudo expresar sus resultados mediante la misma ecuación, pero con los valores de c y n que se indican en la tabla 10, para 8000 ≤ Re0 ≤ 20000, a/Do = 1.8 = b/Do; disposición alternada al tresbolillo. Los valores de h calculados con la ecuación de Colburn resultan algo menores que los calculados con la ecuación de Grimison que se considera de mayor precisión. Los valores de h que se encuentran con esta última ecuación para las filas 5 a 10 de un bloque de tubos son aproximadamente 80 por 100 superiores a los coeficientes medios de los tubos de las primeras filas. En el caso de bloques de menos de diez filas de tubos, los valores de h calculados con las ecuaciones anteriores deberán multiplicarse por los factores que se indican en la tabla 11. TABLA 10. Fila número 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

0.226 0.215 0.183 0.191 0.169 0.201 0.234 0.240 0.244 0.252

0.588 0.608 0.638 0.640 0.654 0.640 0.625 0.624 0.622 0.620

TABLA 11. Número de filas Tresbolillo

1 0.68

2 0.75

3 0.83

4 0.89

5 0.92

6 0.95

7 0.97

8 0.98

9 0.99

10 1.0

Alineadas

0.64

0.80

0.87

0.90

0.92

0.94

0.96

0.98

0.99

1.0

E.5.2. Flujo sobre bloques de tubos con tabiques deflectores.

Se da este caso en el flujo de fluidos, por la parte de la carcasa, externamente a los tubos de los cambiadores de calor multitubulares. El estudio más completo sobre pérdidas de carga y transmisión de calor en este tipo de flujo se debe a Tinker. Donohue, basándose en sus datos y en los de otros investigadores, propuso las siguientes correlaciones para los cambiadores multitubulares:

FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento

354

Parte de la carcasa de un cambiador multitubular sin tabique deflector alguno. 0.6

⎛ D G ⎞ ⎛C µ ⎞ hDO = (0.00825)De0.6 ⎜⎜ o c ⎟⎟ ⎜ P ⎟ k ⎝ µ ⎠ ⎝ k ⎠

0.33

⎛ µ ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ µo ⎠

0.14

Condiciones:

1. 2.5 ≤ De (DoGc/µ) ≤ 500. 2. De= 4(área sección transversal / perímetro mojado) = 4(ab − πDo/4)/πD0 expresado en metros, teniendo los parámetros a, b, Do el significado de la figura 1 para el bloque de tubos en el interior de la carcasa. 3. Gc velocidad másica del fluido en la carcasa, libre de tabiques deflectores, referida a la superficie libre de flujo. 4. Propiedades físicas del fluido evaluadas a su temperatura másica, excepto µ0 (a la temperatura de las paredes de los tubos). Parte de la carcasa de un cambiador multitubular con tabiques deflectores de discoscoronas. 0.6

⎛ D G ⎞ ⎛C µ ⎞ hDO = (0.005842)De0.6 ⎜⎜ o e ⎟⎟ ⎜ P ⎟ k ⎝ µ ⎠ ⎝ k ⎠

0.33

⎛ µ ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ µo ⎠

0.14

Condiciones:

1. 0,5 ≤ De (DoGe/µ) ≤ 700. 2. De como antes. 3. Ge = (GcorGcarc)0.5·siendo Gcor la velocidad másica referida a la abertura de las coronas y Gcarc la velocidad másica referida a la sección transversal de la carcasa. 4. Propiedades físicas del fluido a su temperatura másica, excepto µ0. Parte de la carcasa de un cambiador multitubular con tabiques deflectores de segmentos circulares. 0.6

⎛ D G ⎞ ⎛C µ ⎞ hDO = (0.25)⎜⎜ o e ⎟⎟ ⎜ P ⎟ k ⎝ µ ⎠ ⎝ k ⎠

0.33

⎛ µ ⎞ ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ µo ⎠

0.14

FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento

355

Condiciones:

1. 10 ≤ (DoGe/µ) ≤ 5000. 2. Ge = (GsegGcarc)0.5 siendo Gseg la velocidad másica referida a la abertura del segmento; Gcarc la velocidad másica referida a la sección transversal de la carcasa. 3. Propiedades físicas del fluido a su temperatura másica excepto µ0. William y Katz (Trans. ASME, 74, 1307 (1952)) llegaron a una ecuación similar a la anterior con valores distintos de la constante de proporcionalidad o factor de forma, que precisan para cada caso concreto, incluso cuando las paredes de los tubos del cambiador están extendidas con aletas. E.6. CONDENSACIÓN TIPO PELÍCULA DE VAPORES PUROS.

A partir de la teoría de Nusselt modificada por McAdams, el coeficiente promedio de transferencia de calor para la condensación sobre placas verticales se obtiene de ⎡ ρ l g ( ρ l − ρ v )h fg k l3 ⎤ hm = 1.13⎢ ⎥ ⎢⎣ µ l (Tv − Tw ) L ⎥⎦

1/ 4

También, en función del numero de Reynolds para la película, despreciando ρv respecto a ρl 1/ 3

⎛ µ 2f ⎞ hm ⎜ 3 2 ⎟ ⎜k ρ g⎟ ⎝ f f ⎠

⎛ 4Γ ⎞ ⎟ = 1.76⎜ ⎜µ ⎟ ⎝ f ⎠

−1 / 3

Ref ≤ 1800

La ecuación para el coeficiente promedio de transferencia de calor para condensación en el exterior de tubos horizontales (7.13 en Manrique; 10.14 en Karlekar y Desmond; 14.18 en Necati Ösizik; 21.30 en Welty Wicks y Wilson; 10.41 en Incropera DeWitts, etc.) es: ⎡ ρ l g ( ρ l − ρ v )h fg kl3 ⎤ hm = 0.725⎢ ⎥ ⎢⎣ µ l (Tv − Tw ) D ⎥⎦

1/ 4

donde D es el diámetro exterior del tubo, Tv, Tw son las temperaturas del vapor y de la superficie de la pared respectivamente; hfg es el calor latente de condensación. Los subíndices “l” indican que la propiedad es para la fase líquida. Si despreciamos la densidad del vapor frente a la del líquido, es decir (ρl - ρv) ≈ ρl podemos escribirla como 1/ 3

⎛ µ 2f ⎞ hm ⎜ 3 2 ⎟ ⎜k ρ g⎟ ⎝ f f ⎠

⎛ 4Γ ⎞ ⎟ = 1.514⎜ ⎜µ ⎟ ⎝ f ⎠

−1 / 3

FENÓMENOS DE TRANFERENCIA. Ramiro Betancourt Grajales Transferencia molecular de calor masa y cantidad de movimiento

356

Γ es caudal másico de condensado por unidad de longitud del tubo. EJERCICIO. Para determinar el coeficiente convectivo de transferencia de calor por condensación en película en el interior de tuberías horizontales, Kern (página 269 - primera edición) recomienda utilizar la misma correlación usada para determinar el coeficiente pelicular para condensación en el exterior de tubos horizontales tomando un caudal másico de condensado por unidad de longitud, Γ, doble del real. Esto equivale a escribir la ecuación (12 - 40) del texto en cuestión de la siguiente manera:

⎛ µ 2f ⎞ hm ⎜⎜ 3 2 ⎟⎟ ⎝ k f ρ f g⎠

1/ 3

⎛ 8Γ ⎞ ⎟⎟ = 1514 . ⎜⎜ ⎝µf ⎠

−1/ 3

Aquí Γ es el caudal másico actual por unidad de longitud. Demuestre que esto es equivalente a escribir la ecuación para condensación en el exterior de tubos horizontales en la siguiente forma:

⎡ ρ l g ( ρ l − ρ v )h fg kl3 ⎤ hm = 0.725⎢ ⎥ ⎢⎣ 2µ l (Tv − Tw ) D ⎥⎦

1/ 4

Para hacerlo desprecie la densidad del vapor frente a la del líquido, es decir (ρl - ρv) ≈ ρl. E.7. ANÁLISIS APROXIMADO DE LA VELOCIDAD Y DEL ARRASTRE EN EL FLUJO LAMINAR SOBRE UNA PLACA PLANA Consideremos el flujo estable en dos dimensiones de un fluido incompresible de propiedades constantes sobre una placa plana, tal como se ilustra en la figura. El eje x se toma a lo largo de la placa con el origen x = 0 en la arista de entrada y el eje y perpendicular a la superficie de la placa. Sean u(x, y) y v(x, y) las componentes de la velocidad en las direcciones x y y respectivamente, u∞ la velocidad libre del flujo y δ(x) el espesor de la capa límite de velocidad. Las componentes de la velocidad u(x, y) y v(x, y) satisfacen las ecuaciones de continuidad y de cantidad de movimiento de una capa límite.

Los tres mecanismos de transmisión del ca&y: conducción, convección y radiación 165

ficies de contacto no son suficientemente lisas. Esto produce una caída fuerte de, la temperatura en la superficie. El flujo de calor puede entonces relacionarse a esta caída de temperatura en la interfacie por

q = -h,A(T;’ - 7”)

donde h, se define como el coeficiente de transmisión de calor de contacto. El flujo de calor a través de las dos paredes implicará entonces, globalmente, tres resistencias en serie: A través de la pared A:

4, = -kAAs

A través de la interfacie:

4, = -h,A(T;’ - T;)

A través de la pared B:

4, = k,A T3 - Ti

x3 - x2

Si se tiene en cuenta que los ox son todos iguales, se pueden combinar las ecuaciones anteriores para eliminar las temperaturas intermedias Ti y Tc, encontrándose Qx= - x2-x ; x3-x AN - Tl) --I+r+-2 kA

(9.10)

Se pueden desarrollar ecuaciones análogas a la anterior para esferas concéntricas, cilindros concéntricos y otras formas.

II. TRANSMISIÓN DE CALOR POR CONVECCIÓN

Cuando un fluido caliente se mueve en contacto con una superficie fría, el calor se transfiere hacia la pared a una velocidad que depende de las propiedades del fluido y de si se mueve por convección natural, por flujo laminar, o por flujo turbulento. Para tener en cuenta esta forma de transmisión de calor, Prandtl, en 1904, inventó el concepto de una capa límite en la que esta localizada toda la resistencia a la transmisión de calor. Esta idealización condujo a grandes simplifi-

166

Los tres mecanismos de transmisión del calor: conducción, convección y radiación aire

flujo laminar

caliente

flujo turbulento c

1 L //ff/f/J////r convección natural

g$j$jyc

,;;;,,,;,,

7///11///11//1?

” convección

, forzada

caciones y fue adoptada entusiásticamente por prácticamente todos los investigadores y profesionales [véase Adiutori (1974) para un disidente vigoroso]. Con esta manera de ver las cosas y considerando un espesor 6 de la capa límite, se tiene

Q= - k A

Lido

- Tparad

T fludo .------- --__----___ = -k‘,@T

/,/, II ,,,,I/,,, I,/ Tpared

Debido a que 6 no puede estimarse independientemente, se le combina con k para dar q = -(k/G)AAT=

-hAAT

donde, por definición h = coeficiente de transmisión de calor [W/m2 K] Adviértase que h incorpora el espesor de una capa límite idealizada que dará la velocidad real de transmisión de calor. Esta cantidad h es extremadamente útil, puesto que es el coeficiente de velocidad que permite estimar la velocidad de transmisión de calor en cualquier situación particular. Se han medido los valores de h en todo tipo de situaciones, correlacionados con las propiedades del fluido C,, Q, CL, k, las condiciones de flujo u y la geometría del sistema d, y resumido compactamente en forma adimensional. La siguiente muestra de correlaciones se han tomado de McAdams (1954) o Perry y Chilton (1973), a menos que se indique otra cosa.

A. Flujo turbulento en tubos

Tanto para el calentamiento como el enfriamiento de la mayor parte de fluidos normales (Pr = 0,7 - 700) en flujo completamente turbulento (Re > lOOOO), AT

Los tres mecanismos de transmisión del calor: conducción, convección y radiación 167

moderado, y con las propiedades físicas medidas en las condiciones del seno del fluido: f=

UQ, donde u = velocidad media

(9.11) ---Número de Nusselt

-___--___

-----_---

Efecto de entrada

Para serpentines

Para la temperatura

Una aproximación simplificada para gases comunes (error f 25 Vo): h = 0.0018~

[W/m* K]

(9.12)

y una aproximación simplificada para calentamiento y enfriamiento de agua: h = 91(T + 68)$

kV* Kl

con Ten “C

(9.13)

B. Flujo turbulento en conductos no circulares 1. Sección transversal rectangular. Se utiliza la ecuación para tubos circulares, ecuación (9.1 l), con las siguientes dos modificaciones:

(9.14) y se sustituye el diámetro del tubo con un diámetro equivalente definido como:

(9.15) 2. Sección anular. Para flujo de calor hacia la pared del tubo interno y - ou2( 437 941’3

(9.16)

1 aa LOS tres mecanismos de transmisión del calor: conducción, convección y radiación

donde

d, = 4(hi$$!o) = d, - d,

~,~ :::+: do IlETl

(9.17)

Para la pared del tubo exterior se utiliza la ecuación (9. ll) para tubos circulares, pero con el diámetro del tubo sustituido por d, de la ecuación (9.17)

C. Régimen de transición del flujo en tubos En el régimen de transición, 2 100 < Re c 10 000: p~‘3-125](Tg)1’3[l $f = 0.116[( -

+(q”](kJ*4

(9.18)

D. Flujo laminar en tubos (McAdams, Cap. 9) En el régimen de flujo laminar, o sea Re < 2100, se tiene para Gz c 100: hd 0,085 Gz 0,14 - = 3,66 + (9.19) k 1 + 0 >047 Gz~‘~ donde el número de Gretz, Gz, se define como: Gz = Re *Sc - =

(9.20)

Para caudales mayores o tubos más cortos donde Gz > 100: hd k

(9.21)

E. Flujo laminar en tubos, caudal de calor de entrada en la pared constante, (Kays y Crawford, 1980) Cuando se han desarrollado completamente los perfiles de velocidad y temperatura (lejos de la región de entrada), la teoría de la dispersión axial predice que hd/k = 4.36

(9.22)

Los tres mecanismos de transmisión del calor: conducción, convección y radiación

169

En la evaluación de h, el término AT se define como la diferencia de temperaturas entre la pared en la posición x y la temperatura de copa mezclada del fluido circulante en la misma posición. Esta situación se encuentra cuando se utilizan resistencias eléctricas para calentar o calefacción por radiación. X= región de entrada

Ccaudal

más alIB de la región da entrada los perfiles de velocidad y temperatura esth totalmente desarrollados

de calor de entrada constante a lo largo del tubo

La teoría muestra que el perfil de velocidad en régimen laminar está completamente desarrollado para aproximadamente x/d = 0.05 Re y que el perfil térmico está totalmente desarrollado para aproximadamente x/d = 0.05 Re . Pr Por consiguiente, la ecuación (9.22) solo se aplica a tubos mucho mas largos que la mayor de las dos longitudes de entrada anteriores. Obsérvense a continuación algunas longitudes tipicas de entrada para Re = 100;

Fluido Metal líquido Agua Petróleo

Pr 0,Ol 1 100

Longitud de entrada, x/d del del perfil de perfil de velocidad temperatura 5 0,05 5 5 5 500

Perfil más lentamente desarrollado Velocidad Igual Temperatura

Estos valores muestran que para metales líquidos o fluidos acuosos ordinarios la longitud de entrada es bastante corta. Sin embargo, si petróleo o algún otro fluido de número de Prandtl alto circula a través del tubo, entonces la longitud de entrada puede llegar a ser sustancial, y el valor de h predicho por la ecuación (9.22) será demasiado bajo. Véase Kays y Crawford, pág. 114 (1980) para valores de h para tubos cortos, y Perry y Chilton (1973) para valores de h para conductos de otras formas. i

170

Los tres mecanismos de transmisión del calor: conducción, convección y radiación

F. Flujo laminar en tubos, temperatura de pared constante (Kays y Crawford, 1980) Esta situación se presenta cuando tiene lugar un proceso con un alto h fuera de los tubos (ebullición, condensación, transferencia en tubos con aletas). En este caso la teoría dice que en la región de perfiles de velocidad laminar y temperatura totalmente desarrollados (9.23)

De nuevo, esta ecuación sólo se aplica cuando el tubo es mucho más largo que las dos longitudes de entrada anteriores. Para tubos más cortos el valor de h predicho por la ecuación (9.23) será demasiado bajo. Kays y Crawford, pág. 128 (1980), dan valores de h para tubos cortos, y Perry y Chilton (1973) dan valores de h para otras formas de conductos.

región de entrada

más allA de la región de entrada los perfiles de velocidad y temperatura para flujo laminar están totalmente desarrollados

L- temperatura de pared constante

G. Flujo de gases normal a un cilindro único Para un muy amplio intervalo del número de Reynolds, los resultados experimentales pueden correlacionarse por \ ,- d

= diámetro

película alrededor del tubo

donde el subíndice f se refiere a las propiedades del gas para la temperatura de la película, estimada como Tf =

Tseno

fluido + Tpared

Los tres mecanismos de transmisión del calor: conducción, convección y radiación 171

y donde las constantes A y n vienen dadas en la tabla 9.2. Para aire a 93OC y Re = 1000 - 50000, se tiene la siguiente ecuación simplificada: . h = 0.0018$

[W/m2K]

(9.25)

H. Flujo de líquidos normal a un cilindro único Para Re = 0,l - 300, los datos se correlacionan por g= [0*35+0.56(3y(3

(9.26)

Tabla 9.2. Constantes en la ecuación (9.24) para flujo normal a cilindros únicos dw/ p/

- para aire kf de la ecuación (9.20)

1-4 4-40 40-4ti 4000-40,000 40 000-250 OO0

0.960 0.885 0.663 0.174 0.257

0.330 0.385 0.466 0.618 0.805

0.890-1.42 1.40-3.40 3.43-29.6 29,5-121. 121.-528.

1. Flujo de gases sobre una esfera

:=2+0.6(zT($!):/l

~=0.4(~iu*(~)/l

p a r a ($) ~325

p a r a (:)=325-70000

(9.27)

(9.28)

172

Los tres mecanismos de transmisión del calor: conducción, convección y radiación

J. Flujo de líquidos sobre una esfera

;= [097+0.6s(f$pf)/1 -

(9.29)

K. Otras geometrías Para bancos de tubos, los valores de h pueden ser hasta un 50% superiores que para tubos únicos, el valor real dependiendo del número de filas de la geometría usada. Para bancos de tubos, serpentines, tubos de sección transversal no circular, tubos con aletas y otras muchas situaciones, véase McAdams (1954), Cap. 10.

L. Condensación en tubos verticales La ecuación teórica deducida por Nusselt en 1916 se recomienda todavía hoy en día

!$04~i”3~o.y43(aL~

(9.30)

donde

Para vapor de agua que condensa en condiciones atmosféricas esta ecuación se reduce a

wm2 Kl

(9.32)

~0s tres mecanismos de transmisión del calor: conducción, convección y radiación- 173

\ M. Recipientes agitados con paredes encamisadas \

Para diversos tipos de agitadores se tiene la expresión general

Número de Reynolds

----__

para recipientes agitados

donde las constantes a, b y m vienen dadas en la tabla 9.3.

N. Partículas únicas que descienden a través de gases y líquidos (Ranz y Marshall, 1952) hd 2 = 2 + ,.,( ~jl’*( ,i’” k

(9.34)

Tabla 9.3. Constantes de la ecuación (9.33) para transmisión de calor en las paredes de recipientes agitados Tipo

de agitador

Paleta Turbina de palas flotante Disco, turbina de

palas planas Hélice Áncora Áncora Helicoidal

Intervalo de Re

0.36 0.53

2/3 213

0.21 0.24

300-3 x 105 80-200

0.54 0.54 1.0 0.36 0.633

213 213

0.14 0.14 0.18 0.18 0.18

40-3 x 105 2 x103 10-300 300-40000 8-lo5

v2 2/3

0. Fluido-partículas en lechos fijos (Kunii y Levenspíel, 1979) (a) Para lechos de sólidos finos con gases

hd p = 0.012 Rej.6Pr1/3 para Re, < 100 k

(9.35)

con líquidos

hd p = 0.16 Rej.6Pr1/3 k

(9.36)

parà Re,, < 10

174 Los tres mecanismos de transmisión del calor: conducción, convección y radiación

(b) Para sólidos gruesos con gases o líquidos / hd

-’ = 2 + 1.8 Re’/2Pr’/3 P k

para Re, > 100, gases para Re, > 10, líquidos

(9.37)

donde Re, = (dpuOo/p) y uc = velocidad superficial (velocidad aguas arriba o en el recipiente sin sólidos).

P. Gas-partículas fluidizadas El coeficiente de transmisión de calor es difícil de medir en esta situación, por tanto hasta que se disponga de datos seguros se sugiere la siguiente ecuación para una estimación conservadora de h. hd &2+o.6(5)1’2(yi’/ k

Q. Lechos fluidizados-tubos inmersos Para lechos de partículas finas, o Remf < 12,5, Bott,erill (1983) recomienda la siguiente expresión dimensional sencilla (en unidades SI): hd dpo.64p:.2 P = 25 [kg (a la temperatura del lecho) I”p4 k,

(9.39)

Para lechos de partículas grandes o Re,f > 12,5, Botterill sugiere utilizar hd 2 = ().7[ dj.5Ar0.39 + Aro.151 k&T

donde Ar es el número de Arquímedes (véase Apéndice T).

R. Convección natural Los fluidos que circulan lentamente sobre superficies calientes presentan valores de h mayores que los esperados. Esto es debido a la convección natural. Las

Los tres mecanismos de

transmisión

del calor: conducción, convección

radia&n

175

variables particulares que caracterizan la convección natural se combinan en un grupo adimensional, el número de Grashof, definido como Longitud

En las condiciones de la película ~--Coeficiente de expansión volumétrica

- Tseno fluido En el seno del fluido

Las correlaciones para convección natural tienen con frecuencia la forma:

Nu = A[Gr . PrlB 0

hl -= k A 0

(9.41)

Y=AXB

S. Convección natural-placas y cilindros verticales, f > 1 m Laminar :

Y = 1.36 X1’5

para X < lo4

(9.42)

Laminar :

Y = 0.55 x1’4

para X = 104-lo9

(9.43)

Turbulento:

Y = 0.13 X113

para X > lo9

(9.44)

LEVENSPIEL IV - 7

176

Los tres mecanismos de transmisión del calor: conducción, convección y radiación

Las ecuaciones simplificadas para aire en condiciones ambientales:

1’4 h = 1.3( AT)“3

[W/m* K]

para régimen laminar

(9.45)

[W/m2 K]

para régimen turbulento

(9.46)

y para agua en condiciones ambientales: h = 120(AT)“3

wm2 Kl

para X > lo9

(9.47)

T. Convección natural-esferas y cilindros horizontales, d < 0,2 m Laminar :

Y = 0.53 X114

para X = 103-lo9

(9.48)

Turbulento:

Y = 0.13 X’i3

para X > 10’

(9.49)

Para X < 104, véase Perry y Chilton (1973). Las ecuaciones simplificadas para aire en condiciones ambientales: h = 1.3 (AT/1)1’4

[W/m*

para régimen laminar

(9.50)

h = 1.2(AT)“3

[W/m*

para régimen turbulento, el caso normal para tubos

(9.51)

U. Convección natural para fluidos en flujo laminar en el interior de los tubos En flujo laminar, cuando Gr > 1000, la convección natural desarrolla un flup secundario apreciable del fluido en el tubo que aumenta a su vez el coeficiente

Los tres mecanismos de transmisión del calor: conducción, convección y radiación 177

de transmisión de calor. En esta situación las ecuaciones (9.19), (9.20) y (9.23) para flujo laminar incluirían el factor multiplicador adicional: 0.87(1 + 0.015 Gr’13)

(9.52)

Para flujo turbulento no se necesita ninguna corrección de este tipo, debido a que la tendencia a desarrollar un flujo secundario queda totalmente enmascarada por los vigorosos torbellinos turbulentos. V. Convección natural -placas horizontales (a) Para placas calentadas cara hacia arriba, o placas enfriadas cara hacia abajo: Laminar: Y = 0.54 X114 Turbulento: Y = 0.14 XII3

para X = 105-2 x 107

(9.53)

para X =. 2 X 107-3 X 10’”

(9.54)

(b) Para placas calentadas cara hacia abajo, o placas enfriadas cara hacia arriba: Laminar :

Y = 0.27 Xlí4 para X = 3 x 105-3 X JOI”

(9.55) (c) Las tres ecuaciones simplificadas correspondientes para aire en condiciones ambientales: h = 1.3 F V4 ( 1

[W/m2 K] para régimen laminar

h = 1.5AT”3

[W/m2 Kl

h = 0.64

[W/m2 K] para régimen laminar

para régimen turbulento

(9.56) (9.57) (9.58)

W. Otras situaciones Los coeficientes de transmisión de calor para ebullición, condensación, flujo de gas a alta velocidad (efectos de compresibilidad y flujo supersónico), flujo de alto vacío y muchas otras situaciones, se han estudiado y referido en la vasta bibliografía sobre transmisión de calor, y están bien condensados en McAdams (1954), en Perry y Chilton (1973) y en Cavaseno (1979).

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES FENÓMENOS DE TRANSPORTE SEGUNDA UNIDAD: TRANSPORTE DE ENERGÍA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO CAPÍTULO SEXTO: BALANCE DE ENERGÍA. LECCIÓN DIECISÉIS ANALOGIAS ENTRE LOS TRES FENÓMENOS DE TRANSPORTE. Hasta ahora se han usado los mismos modelos básicos para desarrollar las siguientes leyes de flujo (ecuaciones constitutivas o expresiones fenomenológicas) para el transporte de energía, masa y cantidad de movimiento: Energía Materia Cantidad de movimiento

⎛ ∂T ⎞ q z = −k ⎜ ⎟ ⎝ ∂z ⎠ ⎛ ∂C ⎞ J Az = −D AB ⎜ A ⎟ ⎝ ∂z ⎠ ⎛ ∂v ⎞ τ zx = −µ⎜ x ⎟ ⎝ ∂z ⎠

Ley de Fourier Ley de Fick Ley de Newton

En cada caso las ecuaciones toman la forma: Densidad de Flujo = (Propiedad de Transporte)x(Gradiente de Potencial) Donde k, DAB y µ se llaman las propiedades de transporte moleculares, y T, cA y vx son los potenciales, o las propiedades que generan la transferencia. Aunque estas ecuaciones son similares ellas no son completamente análogas debido a que las propiedades de transporte tienen unidades diferentes. Notando que las dimensiones de la difusividad másica son [longitud al cuadrado/tiempo], se pueden definir difusividades para calor y cantidad de movimiento como: Difusividad Térmica: α =

k , donde Cp es capacidad calorífica a presión constante. ρC p

Difusividad de cantidad de movimiento: υ =

µ , también llamada viscosidad cinemática. ρ

Suponiendo que Cp y ρ son constantes se pueden reescribir las leyes de flujo como: Energía térmica: ⎛ ∂(ρC p T ) ⎞ ⎟ q z = −α⎜⎜ ⎟ ∂z ⎠ ⎝

Masa de A: ⎛ ∂ρ ⎞ j Az = −D AB ⎜ A ⎟ ⎝ ∂z ⎠

⎛ ∂C ⎞ J Az = −D AB ⎜ A ⎟ ; ⎝ ∂z ⎠

Cantidad de movimiento: ⎛ ∂ρv x ⎞ τ zx = −υ⎜ ⎟ ⎝ ∂z ⎠

Notemos que (ρCPT) tiene unidades de energía por unidad de volumen o concentración de energía; por analogía con CA (moles de A por unidad de volumen) o ρA (masa de A por unidad de volumen). Además ρvx tiene 1

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES FENÓMENOS DE TRANSPORTE dimensiones de cantidad de movimiento por unidad de volumen y puede interpretarse como concentración de cantidad de movimiento. Entonces las tres leyes se pueden expresar en la forma difusional:

Flujo = − Difusividad x Gradiente de Concentración. Podemos generalizar esta similitud y escribirla como Πmz = −β(∂Ψ/∂z), siendo Πmz cualquiera de las densidades de flujo difusivas, β cualquiera de las difusividades y Ψ cualquiera de las concentraciones. Como las difusividades poseen las mismas dimensiones, la relación entre ellas es una cantidad adimensional: Número de Prandtl: Pr =

Número de Schmidt: Sc =

Número de Lewis: Le =

υ α

υ D AB

Sc α = D AB Pr

Estas cantidades aparecen en situaciones donde hay transporte simultáneo de calor e impulso; masa e impulso; o calor y masa respectivamente.

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES FENÓMENOS DE TRANSPORTE SEGUNDA UNIDAD: TRANSPORTE DE ENERGÍA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO CAPÍTULO SEXTO: BALANCE DE ENERGÍA. LECCIÓN DIECISIETE LAS ANALOGIAS PRÁCTICAS El concepto de una analogía válida entre transporte de calor, masa y momentum se basa en que el mecanismo de transferencia es esencialmente el mismo. Entonces, si se tiene una situación particular donde se conoce exactamente el comportamiento de uno de los fenómenos de transporte (p.e. calor), y es necesario predecir el comportamiento de otro de los fenómenos (p.e. masa), es posible utilizar una analogía para medir los efectos buscados. La primera analogía propuesta fue la de Reynolds (1874), que se pueden resumir así: f h = = kc 2 ρC p

Donde f es el factor de fricción para el flujo de fluidos, y kc es un coeficiente de transferencia de masa. Esta analogía es aproximadamente válida para sistemas gaseoso en los que el número de Prandtl o el número de Schmidt son cercanos a 1. La influencia de las propiedades del fluido, expresadas en estos grupos adimensionales, no es adecuadamente expresada en la analogía de Reynolds. Esta falla viene del hecho de que la analogía considera condiciones en las fronteras sólidas, y desprecia la transferencia de a las paredes. Analogía de la transferencia de momentum.

La analogía entre la trasferencia de cantidad de movimiento y la transferencia de masa o calor, es valida solo si no hay “arrastre de forma”. Entonces la analogía no puede ser aplicada a cualquier flujo en el que se presente desprendimiento de la capa límite. Por ejemplo en flujo alrededor de esferas, de cilindros u otros objetos curvos, o en flujo perpendicular a tuberías. El flujo en ductos y el flujo sobre placas planas si aplican para la analogía. Un segundo punto a considerar es que la transferencia de masa o de calor pueden distorsionar los perfiles de velocidad, especialmente bajo el efecto de fuerzas de arrastre grandes. La analogía no se mantiene si el perfil de velocidad hallado vía transferencia de momentum difiere del presentado por la transferencia de masa y calor. Para que cualquier analogía de flujo turbulento sea valida, las condiciones de frontera utilizadas para resolver las ecuaciones diferenciales, deben ser analogas. En la práctica todos los equipos de transferencia de masa, el fenómeno ocurre entre dos fluidos, mientras que la transferencia de momentum ocurre entre fases fluidas y sólidos. En tales casos, la analogía es imposible. Analogía de transferencia de masa y calor.

Esta es más utilizada que la analogía de cantidad de movimiento. Muchas de las restricciones de la anterior discusión aplican; adicionalmente, hay algunas nuevas restricciones. Las restricciones aplicables a la analogía entre calor y masa son: - Tener el mismo perfil de velocidad. - Condiciones de frontera análogas matemáticamente. - Difusividades de eddy iguales. Esta analogía es valida, incluso cuando hay efectos de arrastre, pero no será válida si se da un mecanismo de transferencia para un fenómeno y para el otro no (p.e calor por convección y masa por difusión). Algunos casos donde estas analogías son aplicables son: 1

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES FENÓMENOS DE TRANSPORTE Calentamiento por viscosidad. Reacciones químicas. Fuentes de generación de calor al interior de un fluido. Absorción o emisión de energía radiante. Difusión por efecto térmico o de presión.

La analogía entre calor y masa es obtenida sustituyendo los grupos adimensionales análogos. El número de Reynolds aparece invariante en ambas ecuaciones. El número de Prandtl en la ecuación de transferencia de masa es reemplazado por el número de Schmidt en la ecuación de transferencia de masa. De manera similar, el número de nusselt es análogo al de Sherwood. La analogía de Chilton y Colburn.

Esta analogía fue introducida en 1933, basada en correlaciones empíricas y suposiciones mecanicistas. Entonces, esta analogía representa datos experimentales de manera extremadamente buena sobre el rango de aplicación. Por supuesto, se debe tener cuidado al realizar extrapolaciones. El punto de partida de la analogía es la relación entre el número de Reynolds y el factor de fricción en un tubo liso, relación presentada por McAdams en 1913, y basada en flujos para el número de Reynolds entre 5000 y 200000. La ecuación es: f f = 0.046 Re −0.2 ó = 0.023 Re −0.2 2 Utilizando la correlación de Dittus-Boelter para flujo turbulento, se puede obtener: 2

St Pr 3 = 0.023re −0.2 Donde St es el número de Stanton para la transferencia de calor: Nu St h = Re Pr Un es el número de Nusselt.

La analogía de Colburn se presenta en forma de un factor j que para la transferencia de calor es jh: 2

j h = St Pr 3 Aquí, las propiedades de Pr son evaluadas a la temperatura de película, y las propiedades de Un son evaluadas a una temperatura media. Note que esta analogía evalúa la capacidad calorífica Cp a dos temperaturas diferentes.

Esta analogía combina entonces dos correlaciones haciéndolas iguales: f j h = = 0.023 Re −0.2 2 Donde las propiedades para el número de Reynolds se evalúan a la temperatura de película. La analogía de Colburn, se restringe al mismo rango de condiciones de la correlación se Sieder-Tate. Para la extensión a la transferencia de masa es necesario alterar ligeramente el exponente de la correlación de Gilliland-Sherwood, para definir un factor j para la transferencia de masa jM:

j M = St M Sc 2 / 3 =

Re Sc 1 / 3 Aquí, StM es el número de Stanton para la transferencia de masa: Sh St M = Re Sc Esta ecuación, es aplicable para 2000<Re<300000 y 0.6<Sc<2500 2

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES FENÓMENOS DE TRANSPORTE El npuemro de Schmidt se evalua con las propiedades a la temperatura promedio del fluido.

Finalmente, el gran aporte de Chilton y Colburn, es presentar una analogía condensada involucrando los tres fenómenos de transferencia:

f =j =j 2 M h

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES FENÓMENOS DE TRANSPORTE SEGUNDA UNIDAD: TRANSPORTE DE ENERGÍA Y CANTIDAD DE MOVIMIENTO CAPÍTULO SEXTO: BALANCE DE ENERGÍA. LECCIÓN DIECIOCHO Balance de energía para un componente i. - Energía de i en un volumen Ω 1 r (i ) r (i ) ⎞ ⎛ ∫∫∫ ρi ⎜ U i + v v ⎟dV 2 ⎝ ⎠ Ω Donde Ui es la energía interna del componente i.

- Energía de i transportada por en Ω , por i a través de la superficie Σ(Ω) , por unidad de tiempo:

(

)

1 r (i ) r (i ) ⎞ r (i ) r ⎛ ∫∫ ρ i ⎜ U i + v v ⎟ v nDA 2 ⎠ ⎝ Σ( Ω ) - Tasas de generación de energía de i en Ω debido a la generación de i por reacción química: ∫∫∫ m& i G i dV Ω

& i. Donde Gi es la energía, por unidad de masa asociada a la masa m - Retiro de energía (externo) de i en Ω por unidad de tiempo: ∫∫∫ ρ i γ& i dV Ω

Donde es el retiro por unidad de masa y de tiempo. - Potencia mecánica debido a las fuerzas de campo:

(

)

r r (i ) r (i ) ∫∫∫ ρ i g + f v dV Ω

- Aumento de energía de i debido a la rotación.

r r ⎛ r( i ) r ( i ) ⎞ ∫∫∫ tr⎜ λ w ⎟dV ⎝ ⎠ Ω

rr rr rr rr r r τ 1 rr ( i ) rr τ 1 Donde λ( i ) = σ (ai ) = ⎡σ − σ ( i ) ⎤ es la parte antisimétrica de σ y ω( i ) = ⎡gradv ( i ) − gradv ( i ) ⎤ es el tensor ⎢ ⎥ ⎥⎦ ⎢ 2⎣ ⎦ 2⎣ “spin” (de rotación). Conviene mencionar que un tensor de segundo orden siempre puede ser descompuesto en: rr rr ( i ) rr 1 rr ( i ) rr τ 1 rr ( i ) rr τ σ ≡ σ (si ) + σ (ai ) = ⎡σ + σ ( i ) ⎤ + ⎡σ − σ ( i ) ⎤ ⎥⎦ 2 ⎢⎣ ⎥⎦ 2 ⎢⎣ r (i) Los componentes cartesianos de gradv son: r ∂v ( i ) r gradv ( i ) jk = k ∂x j r (i ) r ( i ) T ∂v j gradv jk = ∂x k

( )

(

)

(

)

- Potencia debido a fuerzas de superficie:

( )

rr r r − ∫∫ σ( i )n v( i )dA Σ( Ω )

(

( )

)

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES FENÓMENOS DE TRANSPORTE

En coordenadas cartesianas se tiene:

(nr σrr )vr (i )

r rr (i ) = n j σ jk v k

(i )

- Aumento de energía debido al flujo de calor en la superficie, por unidad de tiempo: r r − ∫∫ q ( i ) ndA

r q ( i ) en el flujo de calor por unidad de tiempo. Ecuación de balance integral de energía de i.

La tasa de generación de energía de i en el volumen Ω , es la suma de todos los términos mencionados anteriormente. Entonces el balance es:

(

)

r r r d 1 r (i) r (i ) ⎞ 1 r (i ) r (i ) ⎞ r (i ) r ⎛ ⎛ & i G i dV + ∫∫∫ ρ i γ& i dV + ∫∫∫ ρ i g + f ( i ) v ( i ) dV ∫∫∫ ρ i ⎜ U i + v v ⎟dV = − ∫∫ ρ i ⎜ U i + v v ⎟ v nDA + ∫∫∫ m dt Ω ⎝ 2 2 ⎠ ⎝ ⎠ Σ( Ω ) Ω Ω Ω rr r r r r r r rr + ∫∫∫ tr⎛⎜ λ( i ) w ( i ) ⎞⎟dV − ∫∫ σ ( i ) n v ( i ) dA − ∫∫ q ( i ) ndA ⎠ ⎝ Ω Σ( Ω )

(

)

Que es la “ecuación de balance integral de energía del componente i”. Ecuación de balance diferencial de energía de i.

Transformando las integrales de superficie en integrales de volumen utilizando el teorema de la divergencia, y tendiendo en cuenta la arbitrariedad de Ω , se obtiene:

1 r r ⎞⎤ ⎡ ⎛ ∂ ⎢ρ i ⎜ U i + v ( i ) v ( i ) ⎟⎥ rr r rr r 2 r r r r r 1 r r ⎞r ⎤ ⎡ ⎛ ⎠⎦ ⎣ ⎝ & i G i + ρ i γ& i + ρ i g + f ( i ) v ( i ) + tr⎛⎜ λ( i ) w ( i ) ⎞⎟ − div σ ( i ) n − divq ( i ) = −div ⎢ρ i ⎜ U i + v ( i ) v ( i ) ⎟ v ( i ) ⎥ + m 2 ∂t ⎝ ⎠ ⎠ ⎣ ⎝ ⎦

(

)

rr (i ) que es la “ecuación de balance diferencial (o local) de energía de i”. σ ( i ) v es un vector que en coordenadas cartesianas es definido como:

rr rr ( i ) r (i ) σ ( i ) v = v k σ jk e j

) (

rr ( i ) rr v ∂ σ k jk div σ ( i ) v ( i ) = ∂x j

(

)

Conviene mencionar que siempre que se resuelve un problema de balance de energía previa o simultáneamente se debe resolver la ecuación de balance de masa y en ocasiones la de cantidad de movimiento. Ecuación de balance de energía de una mezcla como un todo.

Efectuando la suma de lis n balances de energía de los n componentes de la mezcla, se obtiene: 1 r r ⎞⎤ ⎡ ⎛ ∂ ⎢ρ⎜ U + vv ⎟⎥ rr r 2 ⎠⎦ r r rr 1 r r ⎞ r rr r r ⎤ & ⎡ ⎛ ⎣ ⎝ & + ρgv + tr⎛⎜ λw ⎞⎟ + H ρ i , U i , u ( i ) = −div ⎢ρ⎜ U + vv ⎟ v + σv + q ⎥ + Q R + ργ 2 ⎠ ∂t ⎝ ⎠ ⎦ ⎣ ⎝

(

donde: 2

)

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA - UNAD. ESPECIALIZACIÓN EN INGENIERÍA DE PROCESOS DE ALIMENTOS Y BIOMATERIALES FENÓMENOS DE TRANSPORTE N 1r r ⎞ ⎛ ρU = ∑ ρ i ⎜ U i + u ( i ) u ( i ) ⎟ 2 i =1 ⎝ ⎠ r N r (i ) ρv = ∑ ρ i v

i =1

rr N rr σ = ∑ σ(i) i =1

& = ∑m & iGi Q R

(calor de reacción)

i =1

r Nr q = ∑ q (i ) i =1

rr r r 1 tr⎛⎜ λw ⎞⎟ = σ jk − σ kj ⎝ ⎠ 4

(

⎛

⎝

)⎜⎜ ∂∂xv

−

∂v k ∂x j

⎞ ⎟ ⎟ ⎠

ργ& = ∑ ρ i γ& ( i ) i =1

rr 1 rr ( i ) rr τ λ( i ) = ⎡σ − σ ( i ) ⎤ ⎥⎦ 2 ⎢⎣ rr r (i ) r τ 1 ω( i ) = ⎡gradv − gradv ( i ) ⎤ ⎢ ⎥⎦ ⎣ 2 ⎧ 1 r (i ) r (i ) r (i ) r ⎞ r (i ) ⎤ r (i ) r (i ) ⎡ ⎛ ⎪− div ⎢ρ i ⎜ U i + u u + u v ⎟u ⎥ + f u 2 ⎠ ⎦ ⎣ ⎝ N⎪ (i ) = ∑⎨ ( i ) ⎛ ∂u j ∂u ⎞ 1 (i ) i =1⎪ (i ) + σ jk − σ kj ⎜⎜ − k ⎟⎟ ⎪ 4 ∂x j ⎟ ⎜ ∂x k ⎠ ⎝ ⎩

( ) (

(

r H ρ i , U i , u (i )

)

(

)

⎫ +⎪ ⎪ ⎬ ⎪ ⎪ ⎭

Nr r La parte correspondiente a ∑ f ( i ) u ( i ) no se tuvo en cuenta, sin embargo para los casos en los que halla calor se i =1

solución se debe considerar este término. Experimentalmente, cuando hay calor de reacción junto con calor de solución, estas dos cantidades son imposibles de medir por separado, de manera que se designa: r (i) & =Q & + H ρ ,U ,u Q R i i

(

)

Entonces: 1 r r ⎞⎤ ⎡ ⎛ ∂ ⎢ρ⎜ U + vv ⎟⎥ rr r 2 ⎠⎦ rr r 1 r r ⎞ r rr r r ⎤ & ⎡ ⎛ ⎣ ⎝ = −div ⎢ρ⎜ U + vv ⎟ v + σv + q ⎥ + Q + ργ& + ρgv + tr⎛⎜ λw ⎞⎟ 2 ⎠ ∂t ⎝ ⎠ ⎦ ⎣ ⎝

rr r rr rr r Descomponiendo el tensor de esfuerzos de la forma σ = P l + τ , y recordando que para fluidos τ es simétrico por rr r r lo que tr⎛⎜ λw ⎞⎟ = 0 , se tiene: ⎝ ⎠ 1 r r ⎞⎤ ⎡ ⎛ ∂ ⎢ρ⎜ U + vv ⎟⎥ r rr 2 r rr r 1 r r ⎞r⎤ & ⎡ ⎛ ⎝ ⎠⎦ ⎣ = −div(Pv ) − τgradv − divq − div ⎢ρ⎜ U + vv ⎟ v⎥ + Q + ργ& + ρgv ∂t 2 ⎠ ⎦ ⎣ ⎝ & + ργ& = 0 . Se debe recordar, que si no hay reacción química, ni calor se solución ni generación interna de calor, Q

Fenômenos de Transporte

2005

documento 5

Tab. 18.2.1

A equação de continuidade do componente A em várias coordenadas Coordenadas retangulares: ∂C A ⎛ ∂N Ax ∂N Ay ∂N Az ⎞ +⎜ + + ⎟ = RA ∂t ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂x

(A)

Coordenadas cilíndricas: ∂C A ⎛ 1 ∂ 1 ∂N Aθ ∂N Az ⎞ ⎟ = RA rN Ar ) + +⎜ + ( ∂t r ∂θ ∂z ⎠ ⎝ r ∂r

(B)

Coordenadas esféricas: ∂C A ⎛ 1 ∂ 2 1 ∂ 1 ∂N Aφ ⎞ +⎜ 2 r N Ar + N Aθ sinθ) + ( ⎟ = RA ∂t rsinθ ∂θ rsinθ ∂φ ⎠ ⎝ r ∂r

(

)

(C)

Tab. 18.2.2 A equação de continuidade do componente A para ρ e DAB constantes Coordenadas retangulares: ⎛ ∂2 C ∂C A ⎛ ∂C A ∂C A ∂C A ⎞ ∂2 CA ∂2 CA ⎞ A ⎟+ RA + ⎜v x + vy + vz + + ⎟ = D AB ⎜ 2 ∂t ∂x ∂y ∂z ⎠ ⎝ ∂y 2 ∂z 2 ⎠ ⎝ ∂x

(A)

Coordenadas cilíndricas: ⎛ 1 ∂ ⎛ ∂C ⎞ 1 ∂ 2 C ∂C A ⎛ ∂C A ∂C A ⎞ ∂2 CA ⎞ 1 ∂C A A A ⎟+ RA ⎟ = D AB ⎜ ⎜r ⎟+ 2 + ⎜v r + vθ + vz + ⎝ ∂t ∂r r ∂θ ∂z ⎠ ∂θ 2 ∂z 2 ⎠ ⎝ r ∂r ⎝ ∂r ⎠ r

Coordenadas esféricas: ∂C A ⎛ ∂C A 1 ∂C A 1 ∂C A ⎞ ⎟= + ⎜v r + vθ + vφ r ∂θ ∂t ∂r rsinθ ∂φ ⎠ ⎝ ⎛ 1 ∂ ⎛ ∂C A ⎜r 2 = D AB ⎜ 2 r ⎝ r ∂ ∂ ⎝r

⎞ ∂C A 1 ∂ ⎛ ⎜ sinθ ⎟+ 2 ⎠ r sinθ ∂θ ⎝ ∂θ

⎞ ∂2 CA 1 ⎟+ 2 2 ⎠ r sin θ ∂φ 2

⎞ ⎟+ RA ⎠

(C)

Ref. R.B. BIRD; STEWART,W.E. & LIGHTFOOT,E.N. - Transport phenomena, John Wiley & Sons, 1960