MÓDULO REOLOGÍA by Universidad Nacional Abierta y a Distancia

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD

ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA

REOLOGÍA

LOURDES ZUMULACARREGUI PhD.

BOGOTA, D.C. 2006

TABLA DE CONTENIDO

Capítulo 1. Conceptos básicos................................................................................................ 3 Comportamiento de cuerpo sólido...................................................................................... 4 Clasificación del comportamiento de los fluidos en flujo estacionario. Fluidos newtonianos y no newtonianos........................................................................................... 5 Modelos matemáticos utilizados en la caracterización....................................................... 5 Métodos empíricos utilizados en la industria de alimentos................................................ 9 Ejemplos de aplicación..................................................................................................... 10 Capítulo 2. Métodos para la realización de las determinaciones reológicas. ....................... 15 Viscosimetría de tubos ..................................................................................................... 15 Ecuación de Rabinowitsch - Mooney........................................................................... 16 Perfiles de velocidad en flujo laminar y flujo turbulento. ............................................ 17 Elementos a considerar para la realización de las determinaciones. ............................ 18 Viscosímetros capilares. ............................................................................................... 21 Viscosímetros de conducto........................................................................................... 21 Ejemplos de aplicación................................................................................................. 21 Viscosímetro rotacional.................................................................................................... 23 Viscosímetros de cilindros concéntricos ...................................................................... 24 Derivación de las ecuaciones básicas. Cálculos de gradientes de velocidad................ 24 Viscosímetros de cono y plato...................................................................................... 28 Viscosímetros de mezcla. ............................................................................................. 29 Ejemplos de aplicación................................................................................................. 31 Viscosímetros de cono y plato.......................................................................................... 36 Viscosímetros de mezcla. ................................................................................................. 36 Capítulo 3. Viscoelasticidad. ................................................................................................ 58 Conceptos básicos ............................................................................................................ 58 Modelos viscoelásticos ..................................................................................................... 61 Determinaciones de viscoelasticidad................................................................................ 62 Ejemplos de aplicación..................................................................................................... 67 Capítulo 4. Importancia de los parámetros reológicos en los fenómenos de transporte. ..... 74 Aclaración general............................................................................................................ 74 Introducción...................................................................................................................... 74 Flujo isotérmico en tuberías circulares............................................................................. 75 Cálculo de pérdidas por fricción....................................................................................... 85 Caída de presión en válvulas. ........................................................................................... 86 Efecto en la transferencia de calor.................................................................................... 95 Efecto en la transferencia de masa ................................................................................. 101 Bibliografía......................................................................................................................... 109

Capítulo 1. Conceptos básicos

Cuando un alimento se intenta deformar, exhibe, además de sus propiedades como el olor, el color y el sabor, un comportamiento mecánico característico, de modo que comprobaremos cómo unos fluyen con facilidad, otros son gomosos o se quiebran. Para identificar este comportamiento se usan, o métodos sensoriales, estudiados en una ciencia particular llamada Haptaestesis, para la cual el personal deberá estar entrenado de modo de, a través de los sentidos, evaluar los productos, o se utilizan métodos físicos, con un equipamiento de medición adecuado y que le resta subjetividad a la caracterización. De este estudio físico se ocupa la Reología. La combinación de ambos métodos es estudiada por la Sicorreología, que se dedica a las relaciones existentes entre las evaluaciones sensoriales y las mediciones reológicas. Definiciones de Reología pueden ser: Ciencia que se dedica al estudio del flujo y la deformación de materiales. Ciencia que se dedica a estudiar las deformaciones de un cuerpo sometido a esfuerzos producidos por fuerzas externas. Ciencia que se dedica al estudio de las propiedades que rigen las relaciones entre tensiones y deformaciones. Los estudios reológicos se justifican por cuatro causas fundamentales: • • • •

Contribuir al conocimiento de la estructura. Realizar el control del proceso Utilizar parámetros para el diseño de máquinas y sistemas de movimiento Lograr niveles de aceptación adecuados de un producto.

Para realizar la clasificación reológica de un producto aparecen dos dificultades principales: la infinita diversidad de productos y la posibilidad de que un mismo producto exhiba propiedades diferentes en dependencia de las condiciones en que se efectúa la observación. Para orientar al investigador en este campo, y como ha sido realizado en otros campos de la ciencia (ejemplo el gas ideal como modelo del comportamiento de los gases, el ciclo termodinámico de Carnot como modelo ideal de un ciclo de producción de energía, etc), se han asumido comportamientos patrones: el sólido ideal o sólido de Hooke y el líquido ideal o líquido newtoniano. Ambos son patrones ideales, isotrópicos (con iguales propiedades en todas direcciones) y que siguen exactamente las leyes que los definen y que veremos más adelante. Realice ahora el estudio de las páginas 1 a 7 del texto básico (Rheological Methods in Food Process Engineering, de J. Steffe). Al concluir este estudio Ud habrá conocido: •

Los tipos principales de equipos para la determinación de viscosidad, siendo los más comunes los viscosímetros del tipo rotacional y los del tipo de conducto. Ambos serán objeto de estudio en el tema 2.

•

• •

Que existen ventajas y desventajas asociadas a cada instrumento. Se le sugiere que prepare un cuadro en el que Ud vaya resumiendo a medida que avance en el estudio, el tipo de viscosímetro, su aplicabilidad y sus desventajas. Los conceptos de esfuerzo y deformación (en el texto, stress el primero y strain el segundo) siendo el esfuerzo la fuerza por unidad de área y la deformación la medida del cambio de forma y/o volumen en un material resultante de la modificación de las distancias relativas entre los puntos del mismo, respecto a una dirección de referencia (longitud, área, volumen). La posibilidad de caracterizar las deformaciones según: deformación de Cauchy, deformación de Hencky, cizallamiento. La representación del esfuerzo como una magnitud tensorial de 9 componentes en coordenadas cartesianas, siendo la matriz del esfuerzo simétrica, de donde las 9 componentes se reducen a 6. Las componentes s ii son las normales y las componentes s ij las de cizallamiento.

Comportamiento de cuerpo sólido El sólido de Hooke es un sólido ideal en el que la deformación es proporcional a la fuerza que la produce. Al cesar la fuerza aplicada, se recupera completa e inmediatamente la deformación. Este es el comportamiento característico de la elasticidad ideal. En un sólido de Hooke, el diagrama deformación- tiempo será una línea recta paralela al eje del tiempo. Mecánicamente se representa el comportamiento como un muelle estirado por una fuerza. Estudie las páginas 8 a la 13 del texto básico. Al concluir, Ud deberá saber que: • • • •

•

Módulo es una relación entre un componente del tensor esfuerzo y un componente del tensor deformación. Módulo de cizallamiento o de rigidez (G) es la relación entre el esfuerzo de cizallamiento y la correspondente deformación elástica. Los cuerpos de Hooke no fluyen y son linealmente elásticos s12 = G g Módulo de Young (E) es el cociente entre el esfuerzo de tracción y la correspondiente deformación de un material elástico, medido en extensión uniaxial. Relación o coeficiente de Poisson (n) es la razón entre la deformación transversal y la deformación axial en tracción o en compresión. Esto sucede comúnmente cuando al comprimir un cilindro, por ejemplo el diámetro aumenta. Su valor se encuentra entre 0, para materiales con alto contenido de aire como el corcho, y 0.5 para aquellos en que la deformación ocurre sin cambio de volumen, como por ejemplo la goma. Módulo de compresión volumétrica (K) es la razón entre la presión aplicada sobre el material y su deformación elástica. Recuerde por ejemplo cómo las burbujas de aire exhaladas por un buzo aumentan su tamaño a medida que ascienden a la superficie. Este módulo mide la compresibilidad y de hecho es la constante elástica que también poseen gases y líquidos.

•

En los cuerpos isótropos, conocidas dos de las constantes elásticas es posible calcular las restantes usando las ecuaciones que aparecen en el texto básico en la página 11. Hay materiales en que la relacion de s 12vs g no es lineal, aunque recuperen la forma original al remover la deformación.

Las determinaciones de las constantes elásticas pueden realizarse de la siguiente manera: • •

Por determinaciones estáticas Por determinaciones dinámicas

Determinaciones estáticas del Módulo de Young: Se han realizado en barras de spaghettis, manzanas y papas doblando o estirando la muestra. En los ensayos de alargamiento se pinza una muesra por la parte superior, se cuelga un peso por la inferior y se mide el alargamiento de un trozo de la muesra delimitado entre dos señales. Determinaciones estáticas del Módulo de rigidez: Se realiza colocando una varilla verticalmente con uno de sus extremos fijos y el otro libre, el que se somete a torsión. Determinaciones estáticas del Módulo de compresibilidad: Se realiza sumergiendo la muestra en agua, en el interior de una cámara metálica herméticamente cerrada, ejerciendo una fuerza, por medio de aire comprimido, midiendo el cambio de volumen con ayuda de un tubo graduado transparente.Este es el principio típico usado con frutas y tubérculos. Determinaciones dinámicas: El carácter de la deformación es el mismo pero los ciclos de aplicación y supresión de la fuerza son extremadamente rápidos. Finalmente es conveniente precisar que en un cuerpo sólido real la distribución de fuerzas no es uniforme y los enlaces interatómicos se distorcionan bajo la acción de la fuerza, produciéndose una deformación pregresiva y no totalmente recuperable; la incidencia de su componente viscosa no es despreciable y deberá tenerse en cuenta la aplicación de la teoría de la viscoelasticidad, la que será estudiada en el capítulo 3. Clasificación del comportamiento de los fluidos en flujo estacionario. Fluidos newtonianos y no newtonianos.

Modelos matemáticos utilizados en la caracterización. Lea el material titulado Reología, capítulo 5 de la monografía Propiedades Físicas de Alimentos páginas 89 a 93. Posteriormente estudie del libro de texto básico las páginas 13 a 39. Al concluir el estudio Ud deberá conocer que:

•

Viscosidad es la medida de la resistencia interna que ofrece un fluido a su deformación. En el caso de un líquido verdadero, la fuerza aplicada de modo continuo durante un período de tiempo produce un flujo continuo. Cuantitativamente es el cociente entre el esfuerzo de cizallamiento y la velocidad de cizallamiento (o gradiente de velocidad) en flujo estacionario. El flujo en régimen laminar implica el deslizamiento como entidades independientes de láminas de fluido infinitamente delgadas, realizándose este desplazamiento de las capas paralelamente. El flujo newtoniano sólo se da en régimen laminar. El líquido newtoniano es aquél para el que la viscosidad es una constante. La representación de la tensión de cizalladura contra la velocidad de deformación es una línea recta y la constante de proporcionalidad es el coeficiente de viscosidad s = m g. El modelo mecánico es un recipiente lleno de líquido en el que se mueve un émbolo en sentido ascendente y descendente. El líquido newtoniano es ideal, no tiene propiedades elásticas, es incompresible e isotrópico. La viscosidad disminuye con el aumento de la temperatura.

La clasificación de los fluidos no newtonianos atendiendo a la caracterización reológica es: •

Fluidos dependientes del tiempo Tixotrópicos Reopécticos

•

Fuidos independientes del tiempo Sin esfuerzo de fluencia Seudoplásticos (shear thinning) Dilatantes (shear thickening) Con esfuerzo de fluencia o esfuerzo umbral Plásticos

•

Fluidos viscoelásticos

De igual forma deberá conocer que: •

El flujo viscosimétrico (flujo en similares condiciones a las del cizallamiento simple en régimen laminar y estado estacionario) se describe

completamente por tres constantes del material como máximo: la función de viscosidad y dos funciones de esfuerzos normales. h = f (g) = s12 / g donde en este caso g = dg / dt o sea es una velocidad de deformación. En el texto la velocidad de deformación se simboliza con un punto sobre la variable deformación. Aquí la deformación ha sido resaltada en negrita y la velocidad de deformación no. y1 = ( s 11 - s 22) / g2 = N1 / g elástica de la deformación.

Esta es una medida de la recuperación

y2= ( s 22 - s 33) / g 2 = N2 / g 2 Considerar que N2 = 0 es en general válido. •

• •

Este flujo viscosimétrico incluye el flujo axial en un conducto, el flujo rotacional entre cilindros concéntricos, el flujo rotacional entre un cono y un plato y el flujo torsional entre platos paralelos. Cuando un flujo es newtoniano, h es una constante, la viscosidad newtoniana que se representa como m y N1 y N2 son 0. Cuando los fluidos son no newtonianos se define la viscosidad aparente para relacionar el esfuerzo de cizallamiento puntual y la velocidad de cizallamiento correspondiente. Los valores dependen de la velocidad de cizallamiento. hap = f (g) = s / g

•

Muchas de las ecuaciones que se utilizan como modelos matemáticos para describir el comportamiento de un fluido no newtoniano, usan como variable la viscosidad aparente. Por ejemplo las de Carreau, Cross, Van Wager, Powell- Eyring, Reiner-Philippoff. En otros casos se presentan relaciones de s vs g como las ecuaciones de la ley de potencia, de Casson, de Casson modificada, de Herschel-Bulkley, etc. (Ver la página 24 del texto básico) Para el caso de la viscosidad de soluciones es conveniente relacionar la viscosidad de éstas con la del solvente utilizando las definiciones de: viscosidad relativa = h rel = h solución / h solvente viscosidad específica = h sp = h rel - 1 viscosidad reducida = h red = h sp / C viscosidad inherente = h inh = ln h rel / C viscosidad intrínseca = h int = (h ap / C) C= 0

En estas relaciones C es la concentración másica en g/dl o g/ 100 ml. •

•

Para un fluido no newtoniano un único valor de viscosidad tiene que llevar explícitamente el valor del gradiente de cizallamiento al que fue determinado, de lo contrario la información carece de significado. Para homologar las percepciones sensoriales de espesor de un alimento se usa un valor de viscosidad aparente evaluado a 60 s-1. Cuando tenemos fluidos inelásticos dependientes del tiempo la respuesta de la sustancia de trabajo es inmediata y la dependencia con el tiempo es debida a cambios en la estructura del material. Cuando hablamos de viscoelasticidad la respuesta del esfuerzo a la deformación aplicada no es instantánea y no está asociada a cambios estructurales. Se define tixotropía como la disminución de viscosidad aparente por la acción de un esfiuerzo a una velocidad de cizallamiento constante, seguido de una recuperación gradual cuando se retira el estímuo. El efecto es función del tiempo. Cuando la recuperación no se produce, o sea el fenómeno es irreversible, se llama reodestrucción o reomalaxia, que se presenta en algunos productos alimentarios. Al efecto del aumento de viscosidad aparente por la acción del esfuerzo a una velocidad de cizallamiento constante, seguida de una recuperación gradual cuando se retira el estímulo se le llama reopexia. (También se le conoce como tixotropía negativa) Los modelos matemáticos para describir el efecto de la tixotropía llevan incluidos el parámetro tiempo y se define un parámetro estructural función del tiempo para seguir estas transformaciones. (Ver las páginas 30 - 32 del texto básico) El efecto de la variación de viscosidad con la temperatura es seguido con modelos del tipo Arrehnius. (Ver las páginas 33-34 del texto básico)

Los fluidos no newtonianos han sido objeto de estudios para interpretar el comportamiento que siguen en relación con su estructura. Para los fluidos seudoplásticos, que en general están formados por partículas de forma irregular, moléculas de largas cadenas ramificadas o entrecruzadas o que forman agregados moleculares, se ha brindado la siguiente explicación a su comportamiento. Las partícuylas componentes presentan en estado de reposo un movimiento desordenado, siendo alta la resistencia a fluir; al aplicar una velocidad de deformación creciente, éstas se orientan en la dirección del flujo, pudiendo llegar a deslizarse mejor unas respecto a otras, lo que se traduce en una disminución de viscosidad. Al cesar la acción, debido al movimiento browniano se recupera el estado original. De igual forma sucede cuando se estiran las estructuras o se destruyen los agregados. Para los plásticos, el examen de la estructura permite apreciar tres características: •

Un sistema bifásico con una fase líquida continua y una fase "sólida" dispersa la cual no tiene que estar conformada por un auténtico sólido, sino sólo operar como tal (por ejemplo una gota de líquido o una burbuja de aire)

• •

El "sólido" tiene que estar finamente disperso en la fase líquida, manteniéndose este conjunto estable por efectos de cohesión interna. Ofrecer una relación correcta fase "sólida"/ fase líquida, ya que si la fase "sólida" es excesiva el sistema se torna quebradizo y si hay mucho líquido no exhibe deformación plástica. Esta relación varía de un producto a otro, por ejemplo el puré de papas contiene 90% de agua y el chocolate fundido 35% de grasa líquida y ambos son plásticos.

Es común considerar a los líquidos plásticos como sólidos y como líquidos. En su mayoría son dispersiones que en estado de reposo forman una red intermolecular de fuerzas de cohesión (enlaces polares, fuerzas de Van der Waals), que evitan el cambio de posición de los elementos de volumen e imprimen a la sustancia un caráter de cuerpo sólido, con viscosidad infinita. Si las fuerzas externas son menores que las que forman la red sólo se deforma elásticamente el cuerpo. Cuando las fuerzas externas sobrepasan las fuerzas de unión de la red, la estructura se desbarata y los elementos de volumen cambian de posición, es decir fluyen. De igual forma en el caso de los productos tixotrópicos se explica el comportamiento asociado a cambios de estructura. Una dispersión en estado de reposo forma una estructura tridimensional debida a las fuerzas de unión que a menudo se denomina gel. Estas fuerzas se debilitan fácilmente cuando se somete la dispersión a la cizalladura durante un tiempo. Cuando se desmorona la estructura de gel, la viscosidad disminuye hasta que se alcanza un mínimo para un gradiente de velocidad constante. Este valor mínimo describe el estado de sol. La sustancia tixotrópica recupera el estado de gel tras un tiempo de reposo típico para cada sustancia (tiempo de regeneración). En general, el 50% de la estructura se gel se regenera en minutos. Estudie el epígrafe 1.7 del texto básico hasta la página 43. Se define la viscosidad elongacional o de Trouton como el cociente entre el esfuerzo de tracción y la deformación (alargamiento). El flujo elongacional no involucra cizallamiento por lo que también se le conoce como flujo libre de cizallamiento. El efecto que provoca este flujo sobre el comportamiento del material puede explicarse al conocerse la orientación de largas moléculas de alta masa molar. (Ver página 39 del texto básico) Cuando haya finalizado el estudio de las páginas orientadas, revise la Figura 1.25 de la página 50 del texto básico y compruebe que puede identificar cada uno de los recuadros que aparecen en el esquema (con excepción de la clasificación de viscoelasticidad). Métodos empíricos utilizados en la industria de alimentos. Lea el epígrafe 1.13 del texto básico páginas 63 a 77. El objetivo de esta lectura es que Ud conozca los múltiples instrumentos que se usan en la industria de alimentos para seguir el comportamiento de un matrial. Estos no pueden usarse para determinar propiedades reológicas fundamentales, sino que se utilizan para el control de calidad, para identificar productos y cada día se trabaja por sustituir

estos equipos por otros que posibiliten verdaderas determinaciones reológicas que son las que permiten la realización de objetivos de ingeniería. Por consiguiente este epígrafe busca como objetivo sólo su familiarización con el tema, así como la identificación de que con estos indicadores Ud no puede realizar mediciones reológicas. Aparecen incluidos algunos instrumentos que se aclara que sí hay actualmente métodos que permiten encontrar correlaciones de torque y velocidad angular con esfuerzo de cizallamiento y velocidad de cizallamiento, lo que posibilita la realización de determinaciones reológicas.

Ejemplos de aplicación 1. Sólidos Spaghettis. Los spaghettis se preparan a partir de una masa elaborada con semolina de trigo durum y agua, extruyéndola a través de un orificio para obtener barras cilíndricas largas y uniformes que se deshidratan luego. Antes de las determinaciones se mantienen a HR = 65% y T = 25ºC durante 48 horas. El módulo de Young se determina poniendo en posición horizontal una pieza de spaghetti entre dos soportes horizontales y aplicando la acción de una fuerza. Se obtiene 0.27 .* 10 10 N / m2 El módulo de rigidez obtenido según el epígrafe 1.2 arroja 0.11 * 10 10N/m2. Se puede comprobar que no es isotrópico al calcular cómo se hincha el spaghetti en agua. Se aprecia que a los 240 minutos se ha hinchado al 35% en su diámetro, mientras que en la longitud, el mayor valor que se alcanza es del 10% de hinchamiento. Cáscara de huevo. La relación entre la carga que resiste la cáscara y la deformación es prácticamente lineal (sólido de Hooke). 2. Líquidos newtonianos Ejemplos típicos son las bebidas carbonatadas, las bebidas alcohólicas, la leche, el agua, algunos aceites ligeros de cocina, as soluciones azucaradas. Soluciones azucaradas En el intervalo hasta 75% en peso, las soluciones azucaradas presentan un comportamiento newtoniano. Valores de viscosidad de soluciones de sacarosa en agua a 20ºC reportados por Bates, son: % en peso

(Pa s)

0.0020

0.0032

0.0062

0.0155

0.0589

0.4850

2.3440

Si se representan los valores de h vs concentración (% en peso) se comprueba que el comportamiento es exponencial y que puede ajustarse por el modelo m = 1.5626 *10 -8 e (0.2507 * % sólidos) con un coeficiente de correlación de 0.9965 3. Líquidos no newtonianos Estudie el problema 1.14.1 de la página 77 del texto básico, para el que se ajusta la ley de potencia a un conjunto de resultados experimentales de s vs g medidos a 25ºC. Se le sugiere que realice Ud los ajustes que se presentan y verifique los resultados. Puede probar a ajustar otros modelos para su ejercitación. Observe cómo: •

•

La relación s vs g no es una recta sino una curva típica de un fluido seudoplástico. Fíjese cómo la curva pasa por el origen 0,0 de donde no hay esfuerzo de fluencia. La curva h vs g no es constante sino que la viscosidad aparente disminuye a medida que aumenta el gradiente de velocidad ( o de cizallamiento).

Estudie el problema 1.14.2 de la página 79 del texto básico en el que se trabaja un almidón de maíz al 53% en peso a 25ºC ajustando el modelo de la ley de potencia. •

•

Este comportamiento es frecuente encontrarlo y el investigador debe estar alerta. El comportamiento a bajos gradientes de cizallamiento es el de un fluido seudoplástico, disminuyendo h al aumentar g dado el efecto lubricante del agua para el flujo de partículas. Mientras, a altos gradientes de cizallamiento este efecto es menor y la viscosidad aparente aumenta al aumentar el gradiente de cizallamiento, como en un comportamiento de dilatancia. Por consiguiente se deberán reportar dos modelos, uno para bajos gradientes que tendrá un exponente menor que la unidad y otro para altos gradientes que tendrá un valor de exponente mayor que la unidad y es el que se presenta como respuesta del problema.

Estudie el ejemplo 1.14.3 que presenta datos reológicos para la leche con chocolate a 40ºC. Observe cómo: •

De la figura 1.45 se aprecia que la curva s vs g no pasa por el origen 0,0 de donde hay esfuerzo de fluencia.

• • •

La influencia de la zona de gradientes con que se trabaja en el valor de los parámetros reológicos del modelo. En la tabla 1.8 la ecuación del plástico de Bingham tiene un exponente n del que no aparece su valor. Para el plástico de Bingham el exponente es 1. Actualmente hay programas de ajuste de datos muy potentes que se pueden utilizar para la realización del problema (Ejemplo Curvexpert).

Estudie el problema 1.14.5 qe evalúa un jugo de naranja concentrado a diferentes temperaturas y en el que se busca ajustar un modelo que incluya el efecto de la temperatura. Observe cómo: •

• • •

Al ajustar el modelo de la ley de potencia s = K g n si se aplica logaritmo ln s = ln K + n ln g , de donde al representar en papel logarítmico s vs g se obtendrá la línea recta de intercepto K y de pendiente n. Los valores de n no cambian prácticamente con la temperatura de donde puede calcularse un índice de flujo promedio. Los valores de K sí varían con la temperatura, aumentando al disminuir ésta. La relación de K = f (1/T) se obtiene de un modelo del tipo Arrehnius.

Revise del material titulado Reología Capítulo 5, de la monografía Propiedades físicas de alimentos, lo correspondiente a las aplicaciones para la industria alimentaria, páginas 100 a 105.

Preguntas y problemas a solucionar por el alumno. 1. Enuncie las definiciones de los siguientes términos y establezca las relaciones entre ellos. • • • • • • •

Deformación de Cauchy o deformación ingenieril Deformación de Hencky o deformación natural o logarítmica Cizallamiento Módulo de cizallamiento Módulo de Young Relación de Poisson Módulo de compresión

2. Justifique la siguiente afirmación: A tensión constante, cuanto menor sea el módulo de Young más fácil se producirá la deformación elástica del material. 3. ¿A qué atribuiría Ud que un tejido de papas tenga un coeficiente de Poisson mayor que un tejido de manzana? Use los datos del apéndice del libro de texto básico. 4. Seleccione entre plátanos y peras el material que Ud utilizaría para preparar un producto del que se requiera que mantenga al máximo su forma. Utilice los datos del apéndice del libro de texto básico.

5.Para un sirope de maíz a 38ºC se obtuvieron los siguientes resultados experimentales.

65% en peso (s-1)

35% en peso

(mPa)

2.16

393.12

9.76

4.66

848.12

21.06

14.58

2650.6

66.01

48.6

8850.0

218.7

97.2

17690.4

440.5

145.8

26535.6

659.0

262.44

47700.2

1190.2

291.6

53075.1

1320.0

a)Caracterice el comportamiento reológico de este fluido b)¿Cómo influye la concentración del sirope en la viscosidad? 6. Una miel de caña de azúcar de las siguientes características % sólidos totales= 81.2, % de sacarosa =54.2, T = 40ºC se estudió con un viscosímetro rotacional con los siguientes resultados.

(s-1)

(mPa)

1.2

4.333

1.8

5.881

2.16

6.933

3.6

9.595

6.48

15.599

9.72

21.356

19.44

41.164

48.60

95.480

87.48

163.240

145.8

266.110

291.6

497.730

a) Caracterice el comportamiento reológico de este fluido b) Ajuste el modelo de la ley de potencia c)¿Qué valor toma la viscosidad aparente para un gradiente de cizallamiento de 50 s-1 y de 100 s-1? 7. Para el sirope de maíz de 65% de sólidos, encuentre la dependencia de la viscosidad con la temperatura.

ºC

(mPas)

1060.0

398.0

182.0

108.0

67.9

43.2

29.0

8. Se estudia un puré de melocotón a 26.6ºC encontrando los siguientes resultados. % sólidos totales

(s-1)

(Pa)

(s-1)

(Pa)

23.4

1.2

11.9

6.48

21.5

1.62

13.3

9.72

24.8

1.944

14.1

19.44

31.7

2.16

14.7

29.16

36.0

3.24

16.9

48.8

43.7

4.66

18.8

87.48

53.2

44.3

1.2

59.9

6.48

111.8

1.62

67.0

9.72

129.9

1.944

71.6

19.44

167.9

2.16

82.5

29.16

195.0

3.24

86.5

48.8

236.0

4.66

99.0

87.48

292.9

55.2

1.2

161.7

6.48

282.5

1.62

179.1

9.72

329.5

1.944

190.6

19.44

416.8

2.16

197.5

29.16

478.6

3.24

226.7

48.8

570.0

4.66

256.5

87.48

695.2

59.3

1.2

318.0

6.48

537.3

1.62

350.1

9.72

621.0

1.944

371.0

19.44

775.4

2.16

383.8

29.16

883.0

3.24

437.0

48.8

1040.9

4.66

490.9

87.48

1254.7

a) Caracterice el comportamiento reológico del material. b) Encuentre el modelo que se ajusta mejor a estos resultados. c) Encuentre para g = 50 s-1 la dependencia de la viscosidad contra el % de sólidos totales.

Capítulo 2. Métodos para la realización de las determinaciones reológicas.

Viscosimetría de tubos Estudie el epígrafe 2.1 páginas 94 - 97 del texto básico. Al concluir Ud conocerá que: • • •

Existen 3 categorías de viscosímetros de tubos: viscosímetros en U, viscosímetros capilares de alta presión y viscosímetros de conducto. En todos el flujo se logra por una diferencia de presión. La diferencia entre un capilar y un conducto es en el diámetro.

•

Los datos medidos en un viscosímetro de tubos son la caída de presión y el flujo volumétrico.

Ecuación de Rabinowitsch - Mooney. Estudie el epígrafe 2.2, páginas 97 - 103, del libro de texto básico. Al concluir el estudio Ud deberá saber: •

Las consideraciones realizadas para deducir la ecuación de R-M: flujo laminar y estacionario, efectos terminales despreciables, fluido incompresible, propiedades independientes de la presión y el tiempo, temperatura constante, no existencia de deslizamiento en la pared del conducto, lo cual significa que la velocidad del fluido es 0 en la interfase fluido - pared y las componentes de velocidad radial y tangencial son 0, o sea sólo existe componente de velocidad longitudinal.

•

La ecuación de R - M relaciona la velocidad de deformación en la pared como una función del esfuerzo en la pared, expresada en términos de flujo volumétrico y radio (ecuación 2.20).

•

Que se puede definir un gradiente de velocidad de cizallamiento aparente en la pared G= 4 Q / p R 3, siendo gw = (( 3n' + 1)/ 4 n') G donde n' = (d ln s w )/ (d ln G)

•

Cuando se trabaja con fluidos newtonianos se obtiene la ecuación de Hagen - Poiseuille Q = p DP R4 / 8 L m gN = 4 Q / p R 3 De aquí se aprecia la alta influencia del radio del conducto en el caudal de flujo.

•

Si el fluido cumple con la ley de potencia Q = p ( DP/2LK) 1/n ( n/(3n+1)) R (3n+1)/n gw = ((3n+1)/4n) (4Q/p R3

•

Si el fluido es de Bingham se cumple la ecuación de Buckingham - Reinier f(s) = 0 para 0< s < so en la región central f(s) = (s - so) / mpl si so < s < sw

Q = {p R4 DP/8 mpl L }{ 1 - (4 so / 3 sw ) + (1/3) ( so / sw )4 } •

Si el fluido es del tipo Herschel - Bulkley Q =( pR3/256) (4n/3n+1) (sw/K)1/n {1+(2n/(n+1))(so/sw) (1+nso/sw)}]

(1-so/sw)

1/n

[1-(so/sw)/(2n+1)

Estudie los ejemplos 2.12.1, 2.12.2 , 2.12.3 y 2.12.4 desarrollados en el epígrafe 2.12 páginas 141 a 150 del texto básico. En el epígrafe 2.12.1 se presenta el resultado de la aplicación de la ecuación de conservación de la cantidad de movimiento, encontrando que s = (- D P) r / 2 L. En el apígrafe 2.12.2 se determinan las propiedades reológicas a partir de datos de Q / p R3 y caída de presión. Observe cómo se corrigen los valores de caída de presión por presencia de efectos de entrada a partir de medidas de DP vs L/D para G constante, realizando la extrapolación a L/D = 0. La diferencia entre la caída de presión medida y la caída de presión por efectos de entrada será la DP corregida que permitirá encontrar sw. El valor de sw se calcula como DP / 4 L/D = DP R / 2L. En este problema las pérdidas por efectos de entrada son muy elevadas, del orden del 80% del valor de la caída de presión medida. En el epígrafe 2.12.3 para una solución de carboximetilcelulosa sódica se obtuvo la regresión de la recta ln sw vs ln G obteniendo n'= 0.414. Al comprobar que el gráfico de s vs Gw es independiente del diámetro del tubo se concluye que no hay efectos de entrada. Observe cómo se obtuvo el ajuste de un modelo del tipo de la ley de potencia con K= 8.14 a s-0.414 y n= 0.414 o sea el comportamiento de un fluido seudoplástico. No realice ahora el análisis del cálculo del N Re con el que termina el problema. En el epígrafe 2.12.4 se desarrolla un ejemplo en el que el fluido satisface el modelo de Casson. Se deduce la ecuación que relaciona el flujo volumétrico con el esfuerzo de cizallamiento en la pared, de donde se puede encontrar la relación entre el flujo volumétrico y la caída de presión. Perfiles de velocidad en flujo laminar y flujo turbulento. Para flujo laminar Estudie los epígrafes 2.3 y 2.4 del texto básico, páginas 103 - 110. Al concluir el estudio deberá conocer que: • •

•

Los viscosímetros de tubo operan en régimen laminar, de donde para la caracterización reológica éstos son los perfiles de velocidad de interés. A partir de las relaciones para calcular el esfuerzo de cizallamiento, las correlaciones que caracterizan el tipo de fluido y el gradiente de cizallamiento se obtiene la ecuación que expresa el perfil de velocidad. A medida que el fluido tenga un comportamiento más seudoplástico, el perfil de velocidad se hace más plano. Observe la figura 2.5 página 104 en la que se muestra este comportamiento.

•

• •

El valor máximo de velocidad para un fluido sin esfuerzo de fluencia se localiza en la línea central del tubo o sea para el radio=0 y se encuentra que la relación u max/u media = (3n+1)/(n+1) donde u media es la velocidad media volumétrica. De aquí se aprecia la influencia del índice de flujo en el perfil de velocidad. Cuando existe esfuerzo de fluencia (plástico de Bingham) el parámetro que identifica la familia de curvas es c= so /sw = Ro/R. Se aprecia cómo el aumento de so aplana el perfil de velocidad y reduce la relación u/u media. Como criterio de aceptación del flujo laminar se considera NRe < 2100 donde NRe = r D u media/m para fluidos newtonianos. Para sistemas que cumplen otro comportamiento (por ejemplo de la ley de potencia) se obtiene una familia de curvas en la que se aprecia cómo a medida que el índice de flujo aumenta desde 0 a 1, el NRe crítico es menor. (Ver figura 2.7 del texto básico, página 108).

Para flujo turbulento Estudie el epígrafe 2.11 del texto básico páginas 138 - 141. Al concluir el estudio deberá conocer que: • •

•

La predicción de perfiles de velocidad en flujo turbulento, de forma precisa, es difícil. Para fluidos newtonianos este estudio se ha realizado y se definen tres zonas en el conducto: la subcapa laminar, la zona de transición en la que se generan las fluctuaciones turbulentas y la zona turbulenta desarrollada, reportándose las ecuaciones que permiten calcular el perfil de velocidad en cada una. En la tabla 2.7 del texto básico, página 139, se presentan valores de u media /u max para fluidos newtonianos en función del NRe, observando cómo a medida que el NRe aumenta, la velocidad media se aproxima a la máxima. En la misma tabla se puede apreciar cómo para fluidos que cumplan la ley de potencia en flujo turbulento, para iguales valores de índice de flujo, a medida que aumenta el NRe la velocidad media se aproxima a la máxima y que mientras mayor sea el índice de flujo, aunque el comportamiento se mantiene, el valor de la velocidad media es inferior a la correspondiente para igual NRe a menor índice de flujo.

Retome el análisis de ejemplo 2.12.3 y observe cómo el valor del NRe se mantiene inferior al NRe crítico calculado para un fluido que cumpla la ley de potencia y en función del valor del índice de flujo, de donde se verifica la condición de régimen laminar. Elementos a considerar para la realización de las determinaciones.

El flujo de líquidos provocado por esfuerzos de cizalla puede presentarse en cuatro formas básicas: •

•

Flujo entre placas planas paralelas en el que se origina una corriente laminar en capas en el líquido entre las placas y las capas se desplazan una respecto a otra. Flujo a través de capilares, toberas de anchas ranuras, tubos, ocasionado por la diferencia de presión entre la entrada y la salida de un tubo lleno de líquido en forma telescópica. Flujo en la ranura anular entre dos cilindros coaxiales, uno considerado estacionario y el otro que gira. El flujo de líquido puede interpretarse como el desplazamiento de láminas concéntricas. Flujo entre placas circulares que rotan.

Algunos de estos tipos de deformaciones son los que se utilizan cuando se desea determinar experimentalmente la viscosidad en líquidos. El segundo de ellos, en particular, es el que se utiliza para la determinación con viscosímetros de tubos. Es fundamental precisar que si la viscosidad es función de la temperatura, la presión, el tiempo, la naturaleza de la sustancia y el gradiente de cizallamiento, cuando se desea determinar la viscosidad en función de un parámetro, los restantes han de permancer constantes durante la realización del experimento. Para obtener valores absolutos de viscosidad se requiere que las mediciones se basen en determinaciones de unidades básicas de fuerza, longitud y tiempo, así como de que el perfil de flujo en el sistema de medición pueda ser calculado matemáticamente. Para facilitar la solución de las ecuaciones básicas de fenómenos de transporte, se requiere fijar determinadas condiciones de contorno como: •

•

• • •

Flujo laminar entre las capas, ya que la corriente turbulenta consume más energía que la laminar y se obtendrían errores hasta del 50% al superponerse remolinos y turbulencias en una corriente inicialmente laminar. Corriente estacionaria, o sea el esfuerzo aplicado, proporcional al gradiente de cizallamiento sólo es suficiente para mantener un flujo a velocidad constante. Adherencia a las paredes por la capa externa del líquido, ya que si no se adhiere ésta a la pared se produce desplazamiento de la placa en movimiento sobre una capa de líquido en reposo, lo cual no es el concepto. Homogeneidad de la muestra, o sea cada elemento de volumen de muestra tiene que tener la misma proporción de componentes. Ausencia de variaciones físicas o químicas del material durante el ensayo. Las muestras deben presentar sólo propiedades viscosas.

Existen numerosos errores de medición que se presentan en las determinaciones. Un resumen de éstos puede encontrarlo en la tabla 2.1, página 111 del texto básico.

Observe cómo muchos de estos errores están asociados a violaciones de las condiciones de contorno necesarias, expuestas anteriormente. Estudie los epígrafes 2.5 y 2.6, páginas 110-121 del texto básico y conozca las causas y consecuencias de cada uno de estos problemas experimentales. Así conocerá que: •

•

Se presentan pérdidas de presión debidas a la aceleración del fluido al alcanzar la zona capilar.Estas pérdidas son función de la variación de energía cinética y de un factor de corrección para el flujo laminar en conductos que depende del tipo de comportamiento del fluido y que en la tabla 2.4 se presenta para fluidos newtonianos que cumplan la ley de potencia, que sean plásticos de Bingham y que cumplan el modelo de Herschel-Bulkley. Se presentan efectos terminales, en particular pérdida de energía a la entrada del conducto, al producirse una convergencia en este extremo del capilar. El efecto al diverger al final del conducto puede ser despreciado. Este efecto va unido a la pérdida de energía cinética. Encontrar estas pérdidas se realiza evaluando la caída de presión contra el flujo para tubos de diferentes relaciones longitud/diámetro. A cada flujo, el valor de DP para L/D=0 arroja el efecto de entrada. Se presentan errores asociados a la longitud de entrada, viendo que con tubos largos, esta corrección puede despreciarse. Existe un valor de longitud de entrada (XE) para el que se puede considerar flujo totalmente desarrollado y que es función del Número de Reynolds (ecuación 2.64, página 114 del texto básico) para fluidos newtonianos. Para fluidos seudoplásticos depende además del índice de flujo, aumentando XE a medida que aumenta el índice de flujo (ecuación 2.67, página 114 del texto básico). Para fluidos plásticos, depende de la relación s0/sw, disminuyendo XE a medida que s0 aumenta (ecuación 2.68, página 115 del texto básico). Si XE =90D el efecto de longitud de entrada puede despreciarse en los estudios de alimentos. Se presentan efectos de pared o correcciones por deslizamiento por formarse una capa de fluido en la pared de tubo, con menor viscosidad que la del seno del fluido. Esto ocasiona que el flujo volumétrico real sea algo mayor que el flujo volumétrico si no existiera deslizamiento. Usando tubos de tres diferentes radios se determina Qm/(pR3sw) vs sw para cada R, donde Qm es el flujo volumétrico medido. Del gráfico Qm/(pR3sw) vs 1/R2 a sw constante, se puede determinar el coeficiente de deslizamiento corregido para cada sw ( Qm). Conocido éste se calcula el flujo volumétrico sin deslizamiento de Qsd = Qm - Qm pRsw Se puede presentar calentamiento viscoso dada la disipación de calor al ser cizallado el fluido. Esto se favorece para muy altas viscosidades o muy altos gradientes de cizallamiento siendo DT= DP/rCp. En la figura 2.13, página 121, se presenta la secuencia de pasos para el análisis de un conjunto de datos obtenidos con viscosímetros de tubo para fluidos independientes del tiempo.

•

El s0 de un fluido plástico puede determinarse con un viscosimetro de tubo horizontal, determinado la DP mínima para provocar el flujo s0= DPmin R/2L.

Revise nuevamente el ejemplo 2.12.2, una vez conocidas las fundamentaciones para la realización de correcciones a las deteminaciones experimentales.

Viscosímetros capilares. Estudie el epígrafe 2.9, página 125 del texto básico y conocerá: • •

•

Las características fundamentales de los viscosímetros capilares de vidrio (Ostwald, Cannon - Fenske). Que la fuerza directora de ellos es la carga hidrostática, la que varía durante la descarga y esta DP provoca una variación en la velocidad de cizallamiento durante la prueba, de donde no se aconseja el uso para fluidos no newtonianos. Si se dispone de una precisa descripción de la geometría del capilar, se puede calcular la constante del viscosímetro de k=g h pR4/8LV. Lo común y aconsejable es no hacerlo así, sino seguir el procedimiento explicado en la página 126 del texto básico determinando las propiedades de un fluido desconocido a partir de las propiedades de un fluido de referencia. Así: m1 / r1 t1 = m2 / r2 t2 = k donde t es el tiempo de descarga de un volumen de fluido desde el capilar.

Viscosímetros de conducto. Observe la figura 2.3 de la página 96 del libro de texto básico y conozca que: • • •

El diámetro del conducto es entre 7 y 32 mm en general. Precise como para la determinación de DP se usan transductores. El flujo volumétrico puede determinarse a partir del flujo másico usando un medidor de flujo o por pesada.

Lea las páginas 94 y 95 del capítulo 5 de la Monografía Propiedades físicas de alimentos que resume el contenido. Ejemplos de aplicación. Estudie el ejemplo 2.12.4 que encuentra la relación entre la caída de presión y el flujo volumétrico para un fluido que cumpla con el modelo de Casson. Observe el

procedimiento aplicado que le permitirá encontrar la relación para otro fluido, sólo variando el modelo reológico seleccionado. Estudie el ejemplo que se desarrolla a continuación. (Reportado en H. Muller, Introducciòn a la reologìa de alimentos, Ed Acribia, España, 1992). Soltoft estudió el comportamiento reológico de grasas utilizando un viscosímetro capilar y aire comprimido para empujar el producto. Las grasas estudiadas fueron aceite de maní con diversas proporciones de aceites hidrogenados y no hidrogenados. A 16°C estos productos eran sólidos. Para poder comparar los resultados, ya que tuvo que utilizar diferentes tubos, representó el esfuerzo de cizalla en la pared del tubo DP R/2L en función del gradiente de velocidad de cizallamiento aparente 4Q/pR3. Para mezclas de más de 20% de aceite hidrogenado se obtienen curvas que presentan esfuerzo de fluencia y un comportamiento similar al seudoplástico. Por debajo de este valor presenta un comportamiento casi newtoniano. Estudie el siguiente ejemplo preparado a partir de los datos de J.N.Ness (XVIII Congress of ISSCT, Cuba, p 699- 721,1983). Para estudiar el comportamiento reológico de suspensiones de cristales de sacarosa en miel (masas cocidas), se utilizaron viscosímetros de conducto, variando las longitudes y diámetros de los tubos. Los datos primarios a obtener son de caída de presión y de flujo volumétrico (que puede ser transformado en velocidad promedio del flujo ya que V= Q/p R2), siendo Q el flujo volumétrico, R el radio del tubo y V la velocidad promedio del flujo. Los valores de esfuerzo cortante en la pared para un flujo totalmente desarrollado se calculan como sw=DP D/4L y los gradientes de velocidad aparente en la pared como ga = 8V/D siendo D el diámetro del tubo y L la longitud del tubo. La caída de presión medida incluirá la carga del fluido más los efectos de entrada y salida. El valor de V será mayor del teórico si existe efecto de deslizamiento en la pared. En este ejemplo se extraen conclusiones acerca de estos efectos. Se procedió a graficar los valors de sw vs ga y a ajustar el modelo de la ley de potencia. Los resultados obtenidos fueron: Muestra 1 Tubo

D mm

L mm

K (Pasn)

Intervalo de gradiente de velocidad (s-1)

10.15

405

0.89

440

0.07 - 4.9

10.14

300

0.89

460

0.07 - 6.9

10.18

204

0.88

530

0.06 - 8.9

12.55

400

0.87

460

0.09 - 6.5

17.04

401

0.88

540

0.09 - 6.2

17.05

300

0.85

570

0.10 - 8.6

17.07

204

0.90

580

0.14 - 12.0

Muestra 2 Tubo

D mm

L mm

K (Pasn)

Intervalo de gradiente de velocidad (s-1)

10.15

405

0.77

1700

0.08 - 0.76

10.14

300

0.82

1790

0.08 - 1.00

10.18

204

0.79

1900

0.12 - 1.40

12.55

400

0.84

2070

0.11 - 0.81

17.04

401

0.74

2180

0.13 - 1.20

17.05

300

0.73

2500

0.12 - 1.17

17.07

204

0.74

2880

0.17 - 1.60

Los datos muestran que a medida que la longitud del tubo es menor el valor de K aumenta. Esto se corresponde con la influencia de los efectos terminales en los resultados, donde una pérdida de presión adicional debida a la entrada del tubo, a la salida del tubo y a la salida de la energía cinética que acompaña a la corriente de salida se torna relativamente superior para tubos cortos. Los resultados también muestran que a medida que el diámetro del tubo aumenta K también aumenta. Esto se corresponde con el efecto de deslizamiento en la pared, ya que debido a la migración de partículas alejándose de la pared del tubo, se obtiene un flujo mayor que el que se obtendría si no existiera deslizamiento. El efecto es más pronunciado con pequeños diámetros de tubo. Por consiguiente se debe trabajar con tubos largos y de mayor diámetro para reducir ambos efectos. El valor de índice de flujo no parece estar sistemáticamente influido por las dimensiones del tubo.

Viscosímetro rotacional Se pueden encontrar cuatro tipos fundamentales de viscosímetros rotacionales: • • • •

de cilindros concéntricos de cono y plato de platos paralelos de mezcla

Pueden operar a velocidad angular constante o en modo oscilatorio (dinámico). En general, la función a controlar es el gradiente de cizallamiento, pero hay algunos en que la variable a controlar es el esfuerzo de cizalladura.

Viscosímetros de cilindros concéntricos Observe la figura 1.1 del texto básico y aprecie los esquemas de representación mostrados en ésta. Como puede observar un viscosímetro de cilindros concéntricos consta de dos componentes, el elemento que gira y el elemento que está fijo. En el caso de los viscosímetros tipo Searle, el cilindro interior (bob) es el que rota, mientras que el exterior (cup) está fijo. En los viscosímetros tipo Couette, el interior (bob) está fijo y el elemento que rota es el cilindro exterior (cup). La mayoría de los viscosímetros comerciales son de tipo Searle. Cuando el cilindro interior rota a velocidad constante, el instrumento de medición leerá una lectura a que es proporcional al torque M requerido para mantener la velocidad del cilindro interior constante. Esta velocidad de rotación es proporcional al gradiente de cizallamiento. Derivación de las ecuaciones básicas. Cálculos de gradientes de velocidad. Estudie el epígrafe 3.2.1 del texto básico. Al concluir conocerá que: •

•

• •

•

Las condiciones de contorno requeridas para el desarrollo de las determinaciones, utilizando este tipo de viscosímetro son: flujo laminar y estacionario, efectos finales despreciables, fluido incomprescible, propiedades independientes de la presión, temperatura constante, efecto de deslizamiento en la pared despreciable y componentes de velocidad axial y radial iguales a cero. Aplicando las ecuaciones básicas de fenómenos de transporte se encuentra que sb = M / 2p h Rb donde el subíndice b se refiere al cilindro interior. Esta ecuación relaciona el torque M con el esfuerzo de cizalla s. Existe una relación general entre la velocidad angular y el esfuerzo de cizalla (ecuación 3.16 del texto básico). Esta ecuación proporciona un punto de partida general para encontrar las relaciones matemáticas para tipos específicos de fluidos. Si el fluido es newtoniano, el torque es proporcional a la velocidad con la que el cilindro interior rota. W= (M/4pm h) ( Rb -2- Rc-2) Si el fluido cumple la ley de potencia, el torque no es directamente proporcional a la velocidad de rotación y depende del índice de flujo. W= (n/2K1/n ) (M/2p h Rb 2) 1/n[1 - (Rb / Rc)2/n] Si el fluido presenta esfuerzo de fluencia, la ecuación que relaciona la velocidad de rotación y el esfuerzo de cizalla es W= (M/4pmpl h) ( Rb-2 - Rc -2 ) - so/mpl ln (Rc/Rb). Esta ecuación es válida si el esfuerzo de fluencia se ha sobrepasado en todos los puntos, o sea que el esfuerzo de cizalla es mayor que so. s min = M min / 2p h Rc2 >so donde M min es el torque mínimo para vencer el esfuerzo de fluencia.

Para encontrar la mínima velocidad de rotación a que debe girar el cilindro para que se produzca el efecto de cizallamiento en todo el intervalo, estudie el problema 3.8.1. de la página 210 del texto básico. Deberá precisar que: • •

•

• • •

El fluido es un plástico de Bingham que responde a la ecuación s = 13 + 1.7 g Se utilizó un viscosímetro de cilindros concéntricos en el que rota el cilindro interior y se varió el espacio anular para la solución del problema según a = 1.1,1.3,1.5. Se calculó para cada caso cuál es la velocidad de rotación para que el efecto de transmisión de la cantidad de movimiento provoque el flujo desde las capas de fluido inmediatas al rotor hasta las inmediatas al cilindro exterior. Esto es que haya flujo por efecto de cizallamiento en todo el ánulo. El valor mínimo de velocidad de rotación se obtiene para cuando s = so. Se obtiene una ecuación para W min que es función de a= Rext/Rint (o Rc/Rb en el libro, donde c=cup y b = bob). Se analiza que a medida que a aumenta, la velocidad de rotación mínima necesaria es mayor para mantener el flujo del plástico de Bingham en el ánulo. De aquí que se prefieran los ánulos estrechos para el desarrollo de la experimentación.

Además de relacionar el torque (M) con la velocidad de rotación (W) se requiere relacionar la velocidad de rotación con el gradiente de cizallamiento (g) para el sistema de cilindros concéntricos. En la página 96 del capítulo 5 de la monografía Propiedades físicas de alimentos aparecen diversas ecuaciones que permiten relacionar W y g en dependencia de las consideraciones realizadas, que dependerán de las relaciones entre los radios de los cilindros exterior e interior, del comportamiento reológico del fluido (newtoniano o no newtoniano que siga la ley de potencia, etc). Dadas las simplificaciones a que estas consideraciones conducen, se recomienda que se usen valores de Rext / Rint menores que 1.4, prefiriéndose como límite 1.1. Estudie las páginas 164 - 169 del texto básico en las que se determinan las expresiones que relacionan g vs W. A medida que avance en el estudio, analice los problemas a los que remite cada epígrafe. Al estudiar el problema del epígrafe 3.8.2 en el que se comparan los resultados entre utilizar la aproximación de cizallamiento simple (desprecia la curvatura de la pared del cilindro) y la aproximación de fluido que cumple con la ley de potencia (ecuación 3.33) se concluye que: • • •

El % de error depende del valor de a = Rext / Rint y del valor del índice de flujo n. El error menor se obtiene, dado un valor de índice de flujo n, para pequeños espacios anulares (bajos a). El error menor se obtiene, para un mismo valor de a, a medida que n es mayor.

•

De la figura 3.22, página 213 del texto básico se podrá apreciar que si n = 0.4 y 1.0 < a < 1.02, el error será menor que 6%, mientras que si n = 0.2 para a > 1.02, el error será mayor del 10%. Valores menores que 2% se obtienen para fluidos de n cercanos a 1 y de a menores que 1.01.

La ecuación para relacionar g vs W para un fluido newtoniano conduce al problema del epígrafe 3.8.3 página 213 del texto básico en el que se deduce la expresión general que relaciona g = f ( W, a, radio). La aplicación de la ecuación para el radio del cilindro interior y del cilindro exterior, conduce a la ecuación presentada como 3.32, para el valor de gradiente de cizallamiento en el cilindro interior y a la 3.157 para el cilindro exterior. La ecuación para relacionar g vs W para un fluido que cumpla la ley de potencia (ecuación 3.33) se deduce en el ejemplo 3.8.5, páginas 216 - 218 del texto básico, siguiendo el mismo procedimiento que en el ejemplo 3.8.3 pero incluyendo la ecuación de la ley de potencia s = Kgn. Así se concluye que: • •

•

El valor del gradiente de cizallamiento es función de W, n y a. La ecuación 3. 169 permite encontrar el perfil de velocidad en el ánulo, alcanzando valores de W para la capa de fluido junto al cilindro interior que rota (ubicado en Rb) y de 0 para la capa de fluido junto al cilindro exterior fijo (ubicado en Rc) Otra forma de relacionar g y W es mediante la aproximación de Krieger que aparece explicada a partir de la página 165 del texto básico, la cual busca la solución de la ecuación 3.42 a partir de la evaluación de series infinitas, truncadas a partir del primer término de la serie, lo que da lugar a la ecuación 3.43. Esta deducción muestra cómo la aproximación por la ley de potencia es una excelente solución mucho más sencilla.

Estudie el epígrafe 3.2.3 (hasta la ecuación 3.50) en que se presenta una configuración utilizada por varios fabricantes de viscosímetros: un cilindro que rota dentro de un vaso de precipitado. Esta configuración puede aproximarse a un cilindro interior finito que rota dentro de un cilindro exterior de radio infinito, al ser Rext >> R int ( o Rc >>Rb) Analice los problemas 3.8.7 y 3.8.8, páginas 221 - 223 del texto básico. En el problema 3.8.7 se utiliza un cilindro que rota en un recipiente de gran radio. Hacen referencias al problema anterior que aún no ha sido orientado, pero del que sólo deben conocer que el fluido tiene un comportamiento seudoplástico, que sigue la ley de potencia con un modelo s = 15.73 g 0.307Pa, o sea K = 15.73 Pa s0.307 . Se demuestra cómo a partir de la ecuación 3.33, si a >>1, la ecuación se reduce a gb = 2W/n = 2 ( 2p. rpm)/ 60 n = 0.6822 rpm s-1. La viscosidad aparente se define como s/g, de donde aplicada al cilindro interior será h ap = s/g = 15.73 gb0.307-1 = 15.73 gb-0.693 Pa.s. Dando valores a gb, encontraremos el valor de viscosidad aparente correspondiente. El problema 3.8.8 demuestra el error que se comete al utilizar este tipo de viscosímetro para un fluido no newtoniano que cumpla la ley de potencia. Se puede comprobar cómo a medida que el índice de flujo n aumenta, se requieren

recipientes mucho mayores de modo que Rext/Rint ( o Rc/Rb) sea mayor. Observe de la figura 3.24 cómo para obtener errores menores que 5% se requiere una relación Rc/Rb =5, para un fluido newtoniano. Por consiguiente el error en la determinación es función de la geometría del sistema de medición (a) y de la naturaleza del fluido (n). Estudie el epígrafe 3.5, páginas 174 a 182 del texto básico. Conocerá que en la viscosimetría rotacional se pueden introducir errores al igual que sucedía en la viscosimetría de tubos y que éstos pueden minimizarse o corregirse. Estos efectos son: • • • • •

efectos terminales calentamiento viscoso deslizamiento en la pared flujo secundario cavitación

Al concluir el estudio del epígrafe deberá conocer que: •

•

Los efectos terminales incluyen la influencia en el torque del fondo del cilindro que rota , ya que es ésta una superficie en contacto con el fluido que no ha sido tomada en cuenta en el balance de fuerzas inicial. El diseño de los rotores actuales reduce este efecto al no presentar el fondo plano. En caso de tener que hacer corrección por efecto terminal, el torque se mide a una velocidad de rotación fija, llenando el ánulo al menos hasta 3 alturas diferentes (h). Del gráfico de M vs h (altura del fluido en contacto con la parte del rotor sumergida en el fluido) se determina ho (figura 3.6, página 175) y este valor es adicionado a la altura del cilindro reportada por el fabricante, constituyendo la altura efectiva del rotor Si ocurre un incremento de temperatura durante el ensayo reológico producto de la generación de calor por efecto viscoso, se afectará la determinación. Se demuestra que para ánulos pequeños este efecto puede despreciarse. La separación en fases debida a efectos de pared puede afectar las determinacones al igual que sucedía con los viscosímetros de tubos. Se produce un deslizamiento que requiere ser corregido o que de ser pronunciado obliga al uso de otro tipo de viscosímetro, el de mezcla. Cuando un cilindro interior rota, el fluido cercano a la superficie interior puede tender a moverse hacia afuera debido a la fuerza centrífuga. Esto altera el patrón laminar y se conoce como vórtice de Taylor. La ecuación 3.90 permite evaluar si se presentará o no vórtice de Taylor. A altos gradientes de cizallamiento la diferencia de presión en la dirección radial a través del ánulo puede ocasionar vaporización parcial de la muestra. Si u es la velocidad lineal, ocurrirá cavitación cuando u > (2(Patm Pvap ) / r )1/2 . Esto no es un problema en la reología de alimentos si se mantiene la condición de flujo laminar.

Estudie los problemas 3.8.14, 3.8.16 y 3.8.17, páginas 231-233 y 235-237 del libro de texto básico. En el problema 3.8.14 aprenderá a calcular el valor de altura efectiva del viscosímetro rotacional de cilindros concéntricos para una combinación Rb = 1.95 cm, Rc =2.00 cm o sea a = 1.026. Se estudiaron diferentes alturas para cada velocidad angular utilizada ( 600 rpm, 900 rpm y 1100 rpm). De los resultados del ajuste por regresión lineal de M vs h se obtuvo que la corrección ho es mayor a medida que aumenta la velocidad de rotación. No obstante se recomienda considerar un valor promedio. El problema 3.8.16 usa los datos del ketchup del problema 3.8.6 para evaluar el calentamiento viscoso. Conociendo que Tmax = To + (m g2 s2) / 2 k (ecuación 3.80) donde k es la conductividad térmica, puede calcularse la máxima diferencia de temperatura ( Tmax - To) que podrá existir en la superficie del cilindro interior sustituyendo como s la dimensión del ánulo (Rext - R int) y m del fluido newtoniano como la h aparente al máximo gradiente de cizallamiento. Observe el pequeño valor de DT obtenido en el problema. El problema 3.8.17 calcula la velocidad del rotor para producir cavitación en un sistema de cilindros concéntricos con agua a 40°C. Se obtiene un alto valor de velocidad lineal equivalente a 6738 rpm (recuerde que u= 2pR rpm en m/s) para que se produzca cavitación a esa temperatura. En general antes de alcanzar ese valor de velocidad de rotación, el flujo laminar ya no existirá. Viscosímetros de cono y plato. Estudie los epígrafes 3.3 y 3.6,páginas 169-172 y 182-185 del texto básico. Al concluir éstos conocerá que: • •

• •

Este viscosímetro, cuya forma se presenta en la parte izquierda de la figura 3.3, alcanza gradientes de cizallamiento moderados. Cuando el ángulo q es menor de 5° y la velocidad de rotación es baja, g = W / tan q, o sea constante a través del espacio en que el fluido se coloca y s = 3M/ 2pR3, donde R es el radio del cono. Si el fluido cumple la ley de potencia s = K gn se cumple que 3M/2pR3 = (W/tanq)n Las fuentes de error son: el calentamiento viscoso, el flujo secundario, el gradiente de cizallamiento no uniforme debido a ángulos grandes, los efectos finales y la geometría no ideal (excentricidad o ángulos incorrectos, conos truncados)

Estudie el ejempo 3.8.11, páginas 226-227 del texto básico. Observe cómo: • •

El ángulo del cono es sólo 3° (0.0524 radianes) Conocido el intervalo de g que se quiere estudiar se puede calcular el intervalo de velocidad a aplicar de: W = g tan q

•

Para un fluido que cumpla la ley de potencia s = 15.73 g 0.307 Pa, se puede calcular el valor del torque que el instrumento deberá ser capaz de cubrir de: M = 2pR3 K gn / 3.

Viscosímetros de mezcla. Cuando se trabaja con fluidos que exhiben tendencia a sedimentar o el tamaño de partículas es grande, comparable al tamaño de un ánulo del sistema de cilindros concéntricos, la viscosimetría de cilindros concéntricos no es recomendable y se sustituye el dispositivo por un viscosímetro de mezcla. Estudie el epígrafe 3.7 páginas 185 a 190 del texto básico. Al concluir el epígrafe deberá conocer que: • •

•

El efecto de la agitación mecánica induce el flujo del material. Los tipos de impelente usados dependen de las características de los fluidos. Si son de baja viscosidad se usan impelentes de los tipos turbinas y propelas. Si son de alta viscosidad se usan anclas, cintas helicoidales y tornillos helicoidales. Los impelentes para baja viscosidad se dividen en: de flujo radial y de flujo axial. En los de flujo radial (turbinas de hojas planas y curvas) las hojas se montan paralelas al eje vertical del eje de rotación. En las de flujo axial (propelas y turbinas de hojas inclinadas) se logra el movimiento fondo tope, colocando las hojas a ángulos menores de 90° con el ángulo de rotación. Para el mezclado de fluidos el análisis dimensional muestra que el número de potencia NPo es función de NPo = f(NRe, NFr, NWe, NWi, números adimensionales geométricos).

Precise en las páginas 188 y 189 la interpretación física de cada uno de los números adimensionales involucrados. NRe = Número de Reynolds = rWd2/m = fuerzas de inercia / fuerzas viscosas NFr = Número de Froude = W2d/g = fuerzas de inercia / fuerzas gravitacionales NWe = Número de Weber = W2d3 r/ sst = fuerzas de inercia/ fuerzas de tensión superficial NWi = Número de Weissenberg = Y1W/h NPo = Número de Potencia = P /rW3d5 = MW / r W3d5 = M / rW2d5 donde P es la Potencia. Cuando los efectos de tensión superficial, elásticos y de vórtice pueden despreciarse, sólo NPo depende de NRe y en general P /rW3d5 = A (rWd2/m)B dependiendo A y B de la geometría y del régimen de flujo. Para flujo laminar B=-1 y para flujo turbulento B = 0. En la región intermedia A y B dependen del sistema de mezclado.Por consiguiente P = A / NRe para flujo laminar.

Estudie el epígrafe 3.7.1, páginas 196-197( hasta mediados de página) del texto básico. En este epígrafe se utilizan viscosímetros de mezcla para la evaluación de fluidos que cumplan con la ley de potencia y sólo dependan del NRe. Si se utiliza hap en lugar de m se obtiene: P/d5 W3 r = A K gavn-1/d2Wr donde gav es el gradiente de cizallamiento promedio que se define por k'W. P/d5W3r = A K k'n-1 Wn-1/d2 Wr= A K k'n-1 Wn-2 / d2 r Para determinar k' se usan dos técnicas: el método de la pendiente y el de la comparación de viscosidades, los que aparecen descritos en las páginas 191-194 del libro de texto básico. El método de la pendiente se basa en graficar log (P/ d3 W n+1 K ) vs 1-n, ya que se cumple que log (P/ d3 W n+1 K ) = log A - (1-n) log k'. Observe que se requiere conocer el valor de K y de n para otros fluidos evaluados en un viscosímetro convencional. El método de la comparación de viscosidades se basa en comparar las curvas de potencia para fluidos newtonianos y no newtonianos según el esquema presentado en la figura 3.12, página 193 del texto básico. • • • • • • • • •

Se evalúa A de la pendiente de la recta NPo vs NRe encontrada en el viscosímetro de mezcla para un fluido newtoniano de viscosidad concocida. Se calcula K y n para un fluido no newtoniano en un viscosímetro de cilindros concéntricos. Se coloca el fluido no newtoniano en el viscosímetro de mezcla y a velocidad angular constante se evalúa NPo. Se calcula NRe del fluido newtoniano que correspondería a dicho NPo. Se evalúa una viscosidad promedio para dicho NPo y un comportamiento newtoniano, o sea se evalúa m = d2 W r NPo / A. Se iguala m a hap. Como hap = K ga n-1 y se conoce para el fluido no newtoniano los valores de K y n, se evalúa ga = (h/K) 1/ (n-1). O sea quedaría ga= [d2Wr NPo/KA]1/(n-1). k' se evalúa de ga/W.

El método de la pendiente es más sencillo pero la precisión en el cálculo de la pendiente puede afectar los resultados, por lo que se prefiere el de comparación de viscosidades a pesar de lo laborioso. Conocido k' se puede utilizar el viscosímetro de mezcla para evaluar parámetros reológicos de fluidos que cumplan con la ley de potencia, utilizando la ecuación 3.121, página 196 del texto básico. De la pendiente de la recta log M vs log W se calcula n y del intercepto, si se conoce A, puede depejarse K. Cuando A no se conoce puede aplicarse la ecuación 3.125. Estudie el ejemplo 3.8.18.parte a, páginas 237-239 del texto básico, en el que se ejercita el cálculo de k' por el método de la pendiente. Observe cómo se requiere conocer los valores de K y n para estos fluidos determinados con un viscosímetro de cilindros concéntricos. El procedimiento para calcular la Potencia P sería:

• • • • •

a = Rb /R impelente g= (2W/n) [a2/n / (a2/n- 1) s = Kgn M= 2ph Rb2s P=MW

Observe que (P/d3 W n+1 K) = A k' n-1. Aplicando logaritmos: log (P/d3 W n+1K) = log A - (1-n) log k' Graficando log (P/d3 W n+1K) vs 1-n, de la pendiente se obtiene - log k' y por tanto k'. En la página 239, 2do renglón dice log10 = 0.803 y debe decir log10 A = 0.803. Conocido k' para el equipo se puede evaluar ga = 4.47 W s-1 Continúe con la parte b del ejemplo 3.8.18, página 289. Del gráfico log M vs log W se obtiene n= 0.378. El valor de ny =0.588 para 1% de hidroxipropilmetilcelulosa es el valor promedio de los cuatro reportados, así como My es el valor promedio de los cuatro valores de P/W. Se obtiene el valor de K del fluido desconocido a partir de la ecuación 3.125 utilizando datos de M, K y n de otro fluido de referencia. Calcular K a partir del intercepto del gráfico log M vs log W, conocido A, no da el mismo valor que por la ecuación 3.125, pero la diferencia entre ellos es aceptable. Para fluidos con comportamiento de plásticos de Bingham las investigaciones han sido menores. El procedimiento es similar al ya estudiado pero la ecuación a utilizar para sustituir el modelo reológico sería la del plástico de Bingham. Estudie el epígrafe 3.7.2 páginas 199-200. Observe cómo se reporta que k' puede ser una función del esfuerzo de fluencia (so). Ejemplos de aplicación

Viscosímetros de cilindros concéntricos. Estudie el ejemplo 3.8.6, páginas 218-221 del texto básico, que presenta el resultado de la caracterización reológica de una salsa de tomate (ketchup). Al concluir el estudio deberá conocer que: • • • • • • • •

Se utilizó un viscosímetro rotacional de cilindros concéntricos de a = 1.048, con el que se obtuvieron valores de rpm vs torque para el ketchup a 25°C. Los datos de rpm se expresan en rad/s para que sean consistentes con el sistema de unidades. Para ello, recuerde que W (rad/s) = 2 p rpm / 60. Conocido el torque se calcula sb =M/2phRb2. Del ajuste por regresión lineal de ln M vs ln W se obtiene n=0.307. Aplicando la ecuación 3.33 se calcula el gradiente de cizallamiento (gb) Así quedan explicadas las columnas de la tabla 3.32. La ecuación que describe el comportamiento del ketchup a 25°C es s =15.73 g0.307Pa, teniendo un comportamiento de fluido seudoplástico. Se demuestra cómo al aplicar la consideración de fluido newtoniano o asumir gradiente simple, sólo nos da idea del orden de magnitud del

•

gradiente de cizallamiento, pues para la mayor rpm se obtiene un 10 y 16 % de error respectivamente. Para conocer si existe vórtice de Taylor que afecte la determinación, se aplica la ecuación 3.90, y si se cumple la desigualdad, se presentará vórtice de Taylor y por tanto flujo secundario.

Estudie el ejemplo 3.8.9 páginas 224-225 del texto básico que analiza los datos obtenidos para una salsa. • •

La relación entre el radio exterior y el radio interior es 3.64, de donde se asume la condición de radio exterior infinito. Los datos primarios obtenidos de W y M se transforman en datos de gb y sb respectivamente según las ecuaciones: sb= M/2phRb2 gb=2W d(lnW) / d (lnsb)

• •

Al graficar ln W vs ln sb se obtiene una línea recta de pendiente 2.73, de donde sb = 2W (2.73). Al graficar sb vs gb a 22°C se obtiene la curva de flujo de la figura 3.26, tíipica de un fluido seudoplástico que puede ajustarse a la ley de potencia sb=Kgb n Si se aplica regresión lineal para ln sb vs ln gb se obtiene n=0.37, K= 4.43 Pa sn Compruebe que 1/n = dln W / d ln sb

Estudie el ejemplo que se presenta a continuación para un chocolate fundido. El chocolate es una dispersión, en manteca de cacao, de azúcar finamente molida y extracto seco de cacao. Cuando una barra de chocolate se calienta a 80°C sobre una bandeja, el chocolate se ablanda pero mantiene su forma. Si se golpea bruscamente la bandeja, el chocolate comienza a fluir por haberse sobrepasado el esfuerzo de fluencia. Los primeros experimentos fueron realizados en un viscosímetro capilar, no resultando adecuados. Luego de 1950 se utilizan viscosímetros de cilindros concéntricos, observándose una relación aproximadamente lineal entre s y g pero que no pasa por el origen. Lo anterior hace suponer un modelo de plástico de Bingham. Mejores resultados se obtienen con un modelo de Casson y si se grafica s1/2 vs g1/2 se obtiene de la pendiente el valor de hpl1/2 y del intercepto so1/2 La adición de 0.3 - 0.6 % de lecitina disminuye la viscosidad plástica, pero el esfuerzo de fluencia pasa por un valor mínimo en 0.5% de lecitina para aumentar posteriormente. Este efecto no ha sido explicado totalmente, pero es aprovechado tecnológicamente.También con datos obtenidos en un viscosímetro de cilindros concéntricos se reporta el ajuste del modelo de Herschel Bulkley con los parámetros (a T=46.1°C): n=0.574, K= 0.57 Pa sn,so = 1.16 Pa. Estudie el ejemplo que se presenta a continuación para la caracterización reológica de sistemas que contienen sustitutos de azúcares y agentes gelificantes.

(Datos reportados por M. Ozdemir y H. Sadikoglu en International Journal of Food Science and Technology Vol 33 p 439- 444, 1998.) El ejemplo se desarrolla por la necesidad de mantener el mismo comportamiento reológico cuando la sacarosa se sustituye por otros productos edulcorantes, buscando obtener alimentos de bajo contenido calórico así como con el uso de agentes gelificantes apropiados para los bajos contenidos de azúcares (pectina metil oxidada o carrageenan) Las determinaciones fueron realizadas a 25°C con un viscosímetro Brookfield modelo LVT (basado en el principio de radio infinito) utilizando un beaker de 600 ml como cilindro exterior. Se realizaron determinaciones a gradientes de velocidad ascendentes 0-60 rpm en 10 minutos y luego descendentes comprobando que no existe comportamiento tixotrópico al coincidir los resultados. Las determinaciones se realizaron a 6,12 30 y 60 rpm. Los valores de esfuerzo de cizalla s se calculan de: s =lectura en el dial * Constante del equipo/ 2p R2 L, siendo L, R y la constante del equipo, ofrecidas por el fabricante. Los valores de radio se encuentran entre 0.1588 y 0.9421 cm. Compárelos con el radio de un beaker de 600 ml. Los resultados encontrados para el ajuste del modelo de Herschel - Bulkley para diferentes azúcares a 40% en peso y diferentes % en peso de pectina metil oxidada (PMO)son: 0.1% PMO

0.5% PMO

1.0% PMO

Sacarosa

0.8

0.58

0.46

0.2

1.23

2.35

0.53

Isomaltosa

0.69

0.55

0.45

0.24

4.70

9.22

0.15

4.09

Polidextrosa

0.47

0.44

0.35

1.02

8.39

18.36

1.05

4.26

o K : Pasn ; so: Pa.

Los valores de n y K se calcularon del ajuste de ln (s - so) vs lng, siendo los coeficientes de correlación mayores que 0.989. Como se aprecia, la adición de pectina metil oxidada aleja al fluido del comportamiento newtoniano, disminuyendo n a medida que aumenta la concentración. Este efecto es más marcado en las soluciones de sacarosa. Esto puede explicarse por el incremento en los enlaces

hidrógeno que aumentan la interacción entre la sacarosa y le pectina metil oxidada. El incremento de K con la concentración de pectina metil oxidada se aprecia para todos los casos pero en especial para la polidextrosa, lo cual puede deberse a la mayor masa molar de la polidextrosa. El esfuerzo de fluencia se presenta en dependencia de la naturaleza de la sacarosa o su sustituto y de la concentración de pectina metil oxidada. Para 0.1% ningún sistema presenta este comportamiento. La presencia de esfuerzo de fluencia puede atribuirse a la formación de complejos entre la pectina metil oxidada y el co-soluto o al fortalecimiento de la estructura mediante entrecruzamientos, puentes de enlace, etc. A medida que aumenta el gradiente de cizallamiento (o gradientede velocidad) la viscosidad aparente disminuirá como sucede con un fluido de naturaleza seudoplástica, dada la ruptura de las estructuras enredadas de las moléculas de pectina metil oxidada para altos valores de gradientes de velocidad. Los autores reportan que el movimiento de la lengua durante la masticación de estos productos puede considerarse como un gradiente de cizallamiento de 20 50 rpm en un viscosímetro rotacional, ya que la lengua se mueve unas 30 veces por minuto. De aquí que pueda calcularse la viscosidad aparente para un gradiente de velocidad de 30 rpm y así comprobar si al paladar se sentiría una sensación parecida o no a la del producto con sacarosa. Realice el cálculo y con él, el gráfico de viscosidad aparente para 30 rpm vs concenración de PMO para los tres productos y compruebe que para lograrlo, la cantidad máxima de pectina metil oxidada a utilizar es aproximadamente 0.2%. Estudie el ejemplo que se presenta a continuación para analizar la influencia de las concentraciones de aceite y emulsionantes en las propiedades reológicas de emulsiones de aceite en agua del tipo salsa fina. (Datos publicados por J. Franco, A. Guerrero, C. Gallegos en Grasas y aceites Vol 46, Fasc 2, p108-114, 1995). Las emulsiones alimentarias aceite en agua como la mayonesa y salsas para ensaladas, son sistemas multicomponentes complejos cuya estabilidad se favorece incluyendo un emulsionante en la formulación. La yema de huevo se ha usado como estabilizante, pero actualmente hay una tendencia a su reducción para disminuir el colesterol. El empleo de un emulsionante de baja masa molar permitiría producir emulsiones de bajo contenido de aceite sin usar estabilizantes (hidrocoloides). Las propiedades reológicas están relacionadas con ciertos parámetros estructurales de la emulsión como el tamaño de la gota y la polidispersidad. Se prepararon en el experimento varias formulaciones variando el contenido de aceite de girasol y de estearato de sacarosa de alto balance entre grupos hidrófilos y lipófilos (HLB=15) utilizado como emulsionante.Las determinaciones de flujo estacionario se realizaron en un reómetro rotatorio Rotovisco RV20/CV100 de Haake con Rext/Rint = 1.037. Las curvas de flujo se obtuvieron para un intervalo de gradientes de cizalla entre 0.5 y 300 s-1. Todas las muestras se precizallaron durante 10 minutos a 300 s-1. Las mediciones se realizaron a 25°C. A continuación se presenta la tabla de composiciones de las formulaciones, todas en % peso.

Aceite de girasol

Agua

35.6

32.6

30.6

28.6

25.6

Yema de huevo

Vinagre

Azúcar

Sal

0.4

Estearato sacarosa

El comportamiento de las curvas de flujo muestra el de un fluido seudoplástico, observándose tres zonas bien diferenciada. En la primera, a bajas velocidades de cizalla, se aprecia una tendencia de viscosidad constante ho. A velocidades de cizalla intermedias se aprecia una curva que se ajusta a la ley de potencia. A altas velocidades de cizalla se aprecia de nuevo una tendencia a viscosidad constante hinf. Se encuentra que el modelo de Carreau describe la variación de la viscosidad aparente con el gradiente de cizallamiento. Este modelo es: (h - h inf) / (ho - h inf) = 1 /[1 + (g/gc)2 ]s. En esta expresión gc es el gradiente de cizallamiento cuando comienza la caída de viscosidad y s es un parámetro relacionado con la pendiente de la región intermedia. A continuación se presentan los parámetros del modelo para las emulsiones con 5% de estearato para diferentes concentraciones de aceite. % aceite

o Pas

c s-1

inf Pas

3.67

7.80

0.35

0.15

0.999

2.36

7.00

0.36

0.14

0.999

2.08

5.00

0.36

0.14

0.999

Un aumentode concentración de aceite provoca un aumento significativo de ho y de gc. La siguiente tabla muestra los parámetros del modelo para 50% de aceite y diferentes concentraciones de estearato. % estearato

o Pas

c s-1

inf Pas

1.42

11.80

0.38

0.06

0.996

2.36

7.00

0.36

0.14

0.999

3.04

5.50

0.40

0.20

0.999

10 3.28 7.50 0.41 0.25 0.999 Una mayor concentración provoca un aumento de hinf y de ho. La variación de viscosidad con el gradiente de cizallamiento es el resultado del proceso de refloculación tras la cizalla. Un alto valor de ho está relacionado con un

menor tamaño y mejor distribución de gotas (demostrado en el trabajo y no presentado aquí). Un aumento de gc implica una mayor resistencia del entramado de gotas refloculadas y un aumento de s, una mayor velocidad de destrucción de dichos entramados. El aumento de viscosidad estacionaria con el contenido de aceite puede explicarse por el doble efecto que provoca el descenso del tamaño medio y la mejor distribución de tamaño de las gotas y a un aumento de las interacciones entre partículas. Además este aumento favorece la reformación de estructuras tridimensionales progresivamente más resistentes a la cizalla, lo que explica el aumento de gc con el porcentaje de aceite. El posible desplazamiento de las proteínas de la interfase por el incremento en la concentración de estearato debe modificar la estructura y aumentar la viscosidad del medio continuo. Esto, junto al aumento de concentración de la fase dispersa por la mayor concentración de emulsionante, repercute en un aumento de viscosidad del sistema. Se recomienda que al estudiar se construyan las curvas de viscosidad de los sistemas haciendo uso de los valores de los parámetros del modelo de Carreau. En el tema 3 estudiarán cómo este sistema posee también propiedades viscoelásticas. Viscosímetros de cono y plato. Estudie el ejemplo 3.8.12, páginas 227-229 del texto básico que evalúa el comportamiento reológico del fluido del ejemplo3.8.9 pero con un viscosímetro de cono y plato. •

A partir de los datos de W y M se calcula g y s. g = W / tan q s = 3M /2p R3

• • •

Observe cómo el intervalo de W y M es inferior al del ejemplo 3.8.9.pero el orden de magnitud de g y s es el mismo. Se construye un gráfico s vs g y se aplica regresión lineal a ln s vs ln g obteniendo n = 0.303 y K = 7.64 Pa sn. Estos resultados difieren de los del ejemplo 3.8.9 y las diferencias pueden deberse a la consideración de radio infinito en la solución analítica y a que el intervalo de gradiente de cizallamiento no es el mismo. En estos productos manufacturados una posibilidad siempre presente es la variación (aunque sea muy pequeña) en la formulación de la receta.

Viscosímetros de mezcla.

Una de las aplicaciones del viscosímetro de mezcla es la determinación del esfuerzo de fluencia de un material plástico. Estudie el epígrafe 3.7.3, páginas 200-207 del texto básico, en el que se describe el procedimiento para la evaluación de so, según el "vane method". Este utliza un impelente formado por 4,6 u 8 hojas el que rota en un recipiente. La figura 3.14 muestra un esquema del impelente tipo "vane". En las páginas 203-207 se presentan las maneras de conducir los experimentos, una en que la variable a controlar es la velocidad y otra en que la variable es el esfuerzo. Estudie los problemas 3.8.19 y 3.8.20 en los que se ejercita el procedimiento con el impelente "tipo vane" por el modo de operación a velocidad controlada. Al concluir el estudio del problema 3.8.19 habrá conocido que: • • •

•

La velocidad a controlar debe ser lo más baja posible (< 1rpm) Cómo un viscosímetro no es universal, sino que en función del intervalo de esfuerzos a determinar, varía la serie o modelo que es posible usar. El cambio de la dimensión del impelente puede solucionar el problema sin cambiar el viscosímetro pues esto redundaría en disminuir el valor de la constante que relaciona M y so. Dada la deducción de la ecuación, el impelente debe estar totalmente sumergido y guardando proporciones de alturas de líquido por encima y por debajo de las hojas del impelente (z1 y z2), de donde el volumen de fluido no es arbitrario, sino que depende de las dimensiones del impelente.

En el problema 3.8.20 se calcula el esfuerzo de fluencia estático y dinámico para el ketchup. Se utilizan dos métodos para el cálculo de so. En el primero se usa la ecuación 3.141 para m=0. Observe que Mo se calcula como: torque % * 0.00575 y cómo h/d = altura en la 4ta columna de la tabla / 2.5 cm, dadas las dimensiones del dispositivo. Por el método de la pendiente se usa la ecuación 3.137, graficando Mo vs h y de la pendiente se calcula el valor del esfuerzo de fluencia. Note cómo el valor del esfuerzo de fluencia para los experimentos estáticos son superiores a los de los experimentos dinámicos dado que al producirse el cizallamiento previo en el segundo caso, la estructura del material ya ha sido afectada. Compruebe en la tabla 3.10 la validez de ambos procedimientos. Cuando se trabaja a esfuerzo controlado, se parte de que los productos son independientes del tiempo para que no exista influencia del tiempo de operación en el resultado. Observe en la figura 3.16 cómo a medida que se aumenta el valor del esfuerzo aplicado (torque M) se obtienen deformaciones mayores que van creciendo en escalón. Para M5 cambia el comportamiento aumentando la deformación con el esfuerzo aplicado. Entre el valor M4 y el valor M5 se encuentra el esfuerzo de fluencia en el que el fluido cambia de su compotamiento como sólido a su comportamiento como líquido. La figura 3.17 muestra el resultado cuando se aplica un programa de incremento continuo de esfuerzos. Otra aplicación del viscosímetro de mezcla es para la determinación de la reomalaxia que consiste en la ruptura irreversible de la estructura de un material. Estudie el epígrafe 3.7.4, páginas 208 - 210 del texto básico. La determinación descrita se resume en:

•

Medir valores de M vs tiempo a diferentes velocidades de rotación ( al menos tres) evaluando el torque inical y el valor de equilibrio para cada una. Es importante que cada experimento se realice con muestra nueva. Graficar los valores de torque inicial y de torque en equilibrio vs velocidad de rotación, quedando un área entre las dos curvas. La determinación de esta área es un índice del grado de reomalaxia del material. Cuando el material no es dependiente del tiempo no se presenta esta área.

Estudie el ejemplo 3.8.22 en el que se ejemplifica este procedimiento. Al concluir el estudio conocerá que: • • •

•

Los datos primarios obtenidos son de torque vs tiempo para cinco velocidades de rotación diferentes. A medida que el tiempo transcurre, los valores de torque tienden a un valor constante que resulta el de equilibrio. Se consideró como valor inicial el de la menor velocidad y como valor final el de la última velocidad, dado que ya se apreciaba la tendencia al valor constante. Se puede ajustar un modelo de M vs W, para los valores de torque inicial y de torque en el equilibrio, lo que permite el cálculo del área representativa de la reomalaxia como la solución de una integral definida. El uso de programas de ajuste de curvas como el Curvexpert, permiten calular el área bajo cada curva y por diferencia el área encerrada.

En este ejemplo se ejercita también el cálculo de la energía mecánica entregada al fluido ya que la potencia es: P= MW y la energía mecánica será la integral de Pdt. Por consiguiente, en el problema se encontró para una W, la dependencia de P vs tiempo. El exponente que afecta al tiempo será una medida del comportamiento tixotrópico del material y mientras más negativo sea éste mayor será el comportamiento tixotrópico o sea más rápidamente se romperá una estructura. Cuando el material no es tixotrópico, la energía requerida es mayor y constante. Estudie el ejemplo que se presenta a continuación. (Tomado de la tesis de doctorado de la autora de esta guía). A partir del análisis de la bibliografía se identifica como un problema, la heterogeneidad en los resultados obtenidos por los diferentes investigadores durante la caracterización reológica de las suspensiones, asociadas al equipamiento utilizado. Atendiendo a que el uso de viscosímetros de mezcla parecía ser el más apropiado, se procedió al diseño de un equipo que perteneciera a esta clasificación. El sistema de medición desarrollado pertenece a la categoría de viscosímetro de mezcla con impelente de tornillo helicoidal con tubo de descarga. Este sistema se construye de modo que su extremo superior pueda ser acoplado a un viscosímetro rotacional convencional Rheotest 2.1, en calidad de elemento que rota, mientras que la tapa del sistema se acopla al equipo, de la misma forma que lo hace el cilindro exterior del sistema de medición convencional. La cuba cilíndrica posee una camisa para permitir el control de temperatura en el sistema al conectarse a un baño termostático.

Del estudio de las fuentes bibliográficas se puede presentar el conjunto de características generales siguientes para este tipo de impelente: • •

• •

•

• • •

•

El espacio anular entre el tubo de descarga o tubo chimenea y la punta de la hélice debe ser pequeño. El cambio en el sentido de rotación del agitador no afecta el consumo de potencia del agitador ni los resultados experimentales encontrados en estudios de circulación y mezclado. Resultan eficientes para el mezclado de fluidos viscosos newtonianos y no newtonianos. En régimen laminar el tiempo adimensional de mezclado (tiempo de mezclado * velocidad de rotación del agitador) es constante, tanto para fluidos newtonianos como no newtonianos inelásticos. El intervalo para el cual se considera flujo laminar varía según los autores, siendo el más frecuente Re < 10 - 20. Para los fluidos no newtonianos este intervalo se amplía reportándose valores hasta Re < 100. La potencia consumida por el agitador se puede calcular a partir de P = A d3 W2 m donde A depende del tipo de agitador y de las relaciones geométricas de éste. Es posible despreciar el efecto de h/d en el cálculo de A y por tanto en el requerimiento de potencia. El mayor consumo de potencia es debido al flujo cortante en la pared del tubo chimenea (70 %). En experiencias para estudiar los efectos de transferencia de calor se comprueba cómo se estabiliza la temperatura en tiempos muy pequeños encontrando valores de 100 s a velocidades de rotación de 0,17 s-1 y menores a medida que la velocidad de rotación aumenta. La aplicación de técnicas de estímulo respuesta con trazadores permite afirmar que existe un comportamiento de mezcla perfecta, no presentando espacio muerto.

Evaluación del equipo como viscosímetro Con el objetivo de verificar el comportamiento del elemento diseñado, se realizaron experiencias con fluidos homogéneos newtonianos y no newtonianos, determinando los parámetros reológicos mediante un sistema de cilindros concéntricos. Como fluidos newtonianos se estudiaron soluciones de sacarosa 70,0 % en peso a 313 K, 72,1 % en peso a 308 K y 75,0 % en peso a 313 K. Como fluidos no newtonianos se estudiaron una solución de carboximetilcelulosa ( baja viscosidad ) 3 % en peso a 308 K, y mieles de caña de azúcar de 64,1, 71,8, 75,6, 76,6 78,2 y 81,2 % en peso, a 313 K. Las determinaciones se realizaron utilizando los cilindros S-S1, S-S2 o S-S3 de un Rheotest 2.1, obteniendo valores de esfuerzo de corte para cada gradiente de velocidad impuesto. Los resultados se presentan en la tabla 1. En la misma se muestra el valor medio de viscosidad para el caso de los fluidos newtonianos y el valor de los parámetros del modelo de la ley de potencia (K y n) para los fluidos no

newtonianos. Así mismo, los sistemas homogéneos anteriores se evaluaron en el Rheotest 2.1 pero utilizando el impelente de tornillo helicoidal con tubo de descarga descrito anteriormente, obteniendo valores de torque para cada velocidad de rotación impuesta, a temperatura constante. Tabla 1 Resultados obtenidos con el viscosímetro rotacional convencional n

K (Pasn)

308

0.8751

0.2864

Miel 64.1%

313

0.9800

0.0870

81.2

Miel 71.8%

313

0.9721

0.0900

65.8

Miel 75.6%

313

0.9607

0.2498

66.2

Miel 76.6%

313

0.8553

2.0514

41.6

Miel 78.2%

313

0.9400

0.4305

49.3

Miel 81.2%

313

0.9400

2.1982

66.7

Sistema

T(K)

m (Pas)

Sacarosa 70%

313

0.1141

Sacarosa 72.1%

308

0.2622

Sacarosa 75%

313

0.3900

CMC 3%

Pureza %

Como quiera que para la geometría diseñada no se poseían las constantes de calibración del instrumento ni una relación geométrica sencilla que permitiera su evaluación, se procedió a desarrollar un modelo matemático que describiera el comportamiento reológico del sistema a partir de los datos experimentales obtenidos. Este modelo será presentado en el capítulo 4 del material por corresponder a Fenómenos de Transporte. Para el cálculo del gradiente de velocidad local se utilizó una expresión que considera la contribución de las dos componentes de velocidad características del flujo helicoidal, una axial y otra tangencial. Para la solución del modelo matemático se introduce el concepto del radio equivalente, definido como el radio de un cilindro interior en un sistema de cilindros coaxiales que cumple la condición de que el gradiente de deformación en la superficie del cilindro interior equivalente es igual al gradiente de deformación promedio dentro del tubo de descarga. El radio equivalente se determinó comparando los valores de la velocidad angular W (s-1) y el torque por unidad de longitud M1 (Pa m2), evaluados para los fluidos newtonianos utilizando el impelente de tornillo helicoidal, con los valores calculados al ensayar los fluidos con el Rheotest 2.1 utilizando los cilindros concéntricos convencionales. El valor del flujo volumétrico en el impelente de tornillo helicoidal con tubo de descarga para los ensayos con fluidos newtonianos puede determinarse a partir de la ecuación deducida por Fredrickson y Bird (1958) para fluidos newtonianos en un ánulo:

Q = p R4 DP / 8 m { ( 1 - k4 ) - ( 1 - k2 )2 / ln ( 1/k) } donde k = radio del cilindro interior/radio del cilindro exterior El ajuste realizado para 64 juegos de valores W, M1, Q correspondientes a los fluidos newtonianos estudiados (sacarosa 70, 72 y 75 % en peso) arrojó el valor de radio equivalente re = 0,02998 m, con intervalo de confianza (95 %) : 0,02995 0.0300 m y error medio 0,3%. Comprobación de la fiabilidad del modelo planteado con fluidos no newtonianos. Utilizando el valor del radio equivalente encontrado se procedió a aplicar el modelo teórico para el cálculo de los parámetros reológicos de cada fluido ( K y n ), así como el valor de la distancia radial adimensional para la cual srz = 0. En la tabla 2 se presentan los resultados obtenidos para los fluidos homogéneos no newtonianos . Tabla 2 Resultados obtenidos con el torniollo helicoidal y el modelo teórico para fluidos homogéneos no newtonianos Sistema

T(K)

K (Pa sn)

(s-1)

CMC 3%

308

0.8793

0.2853

0.8489

8-154

Miel 64.1%

313

0.9837

0.0849

0.8492

15-154

Miel 71.8%

313

0.9719

0.0937

0.8492

15-154

Miel 75.6%

313

0.9452

0.2316

0.8491

8-154

Miel 76.6%

313

0.8523

2.1165

0.8488

4-154

Miel 78.2%

313

0.9867

0.3778

0.8492

2-154

Miel 81.2%

313

0.9303

2.3340

0.8491

1-154

La comparación de las tablas 1y 2 para los fluidos homogéneos no newtonianos muestra una buena correspondencia entre los resultados alcanzados con los cilindros concéntricos convencionales y el impelente de tornillo helicoidal con tubo de descarga . A partir de los mismos se puede demostrar la fiabilidad del modelo matemático planteado en la descripción del fenómeno reológico que se presenta en el equipo desarrollado en esta investigación. De los resultados se encontró que el flujo volumétrico disminuye a medida que el valor del índice de consistencia aumenta, siendo éste el parámetro que ejerce una mayor influencia sobre el valor del caudal. Por otra parte se observa que l puede ser considerado constante, correspondiendo esto con la presencia de un máximo de velocidad en la corona externa con independencia de los parámetros del fluido, al menos en el intervalo estudiado. La posición del máximo se encontró a 0,0416 m del centro del eje del tornillo helicoidal. Conclusiones parciales De los resultados anteriores se puede concluir que: 1. El modelo teórico desarrollado para la determinación de las propiedades reológicas de los fluidos a partir de datos de velocidad angular y de torque

por unidad de longitud describe el comportamiento del sistema de impelente helicoidal con tubo de descarga, obteniendo valores de K y n que se corresponden con los obtenidos con cilindros concéntricos convencionales para sistemas homogéneos. 2. Es posible considerar en la modelación la existencia de un cilindro de radio equivalente tal que el gradiente de deformación en la superficie del cilindro equivalente sea igual al gradiente de deformación promedio dentro del tubo de descarga. El valor de diámetro equivalente para el equipo diseñado es 0,06 m. 3. En la corona externa existe un máximo de velocidad, independiente de los parámetros del fluido, encontrando éste a 0,0416 m , del centro del eje del tornillo helicoidal. 4. A partir de los resultados obtenidos con fluidos homogéneos se considera adecuado extender la aplicación del modelo matemático para la evaluación del comportamiento reológico de los fluidos heterogéneos. Aplicación del modelo teórico a los sistema heterogéneos El estudio de los sistemas heterogéneos fue realizado preparando suspensiones a partir de mieles de diferentes contenidos de sólidos totales disueltos (64,1 - 81,2 % en peso) y cristales de sacarosa (20 - 50 % en peso). Los sistemas se prepararon gravimétricamente utilizando una balanza digital Sartorius de precisión 0,1 g adicionando cristales de sacarosa ( r = 1,59 g cm-3) a las mieles. La caracterización reológica de los sistemas se realizaba al día siguiente de la preparación, con el objetivo de permitir la expulsión del aire que se pudiera haber incorporado. En la tabla 3 se presentan los sistemas preparados para el estudio. En ella se muestran los parámetros reológicos del modelo de la ley de potencia K y n, y la coordenada radial adimensional. Tabla 3 Resultados obtenidos con el tornillo helicoidal y el modelo teórico para suspensiones (T 313K). Sistema

K (Pa sn)

(s-1)

Miel 64.1%, cristales 26% 0.9371

0.2499

0.8491

9-154

Miel 71.8%, cristales 26% 0.9539

0.2288

0.8491

9-154

Miel 75.6%, cristales 26% 0.9661

0.6031

0.8492

4-154

Miel 76.6%, cristales 20% 0.8835

4.540

0.8489

0.3-51

Miel 76.6%, cristales 30% 0.9050

5.380

0.8490

0.3-51

Miel 76.6%, cristales 40% 0.8434

13.60

0.8488

0.3-17

Miel 76.6%, cristales 50% 0.8146

32.47

0.8487

0.1-10

Miel 78.2% cristales 26% 0.9839

1.0378

0.8492

1-154

Miel 81.2%, cristales 20% 0.8733

6.4684

0.8489

4-50

Miel 81.2%, cristales 30% 0.8428

8.1760

0.8488

4-50

Miel 81.2%, cristales 40% 0.8598

14.24

0.8488

0.3-17

Miel 81.2%, cristales 50% 0.8298

37.86

0.8487

0.1-10

Como es de esperar a medida que el Brix y el contenido de cristales aumenta, el índice de consistencia aumenta, mientras que el índice de flujo disminuye. Por otra parte, en correspondencia con lo encontrado para los sistemas homogéneos, l no depende de la naturaleza del fluido, y su valor medio coincide con el obtenido anteriormente. Desarrollo de una metodología de calibración del sistema de tornillo helicoidal con tubo de descarga Por la complejidad del modelo teórico, para el desarrollo del trabajo experimental utilizando el impelente de tornillo helicoidal con tubo de descarga, se requiere del procesamiento de los datos por computadora, lo cual puede dificultar la extensión de un elemento de medición del tipo propuesto. Por consiguiente, se procedió a encontrar una metodología de calibración del equipo que permitiera trabajar con éste de una manera sencilla, tal como se realiza para la transformación de lecturas experimentales en un viscosímetro convencional. Para la calibración del equipo con impelente helicoidal se siguió la metodología propuesta por Kemblowski y colaboradores ( 1986), dirigida a encontrar las constantes de calibración del instrumento k¢ y Z, de modo que las lecturas realizadas en la escala de medición ( V ) y la velocidad de rotación ( w ) se puedan transformar en valores de s y g según: s=ZV g = k¢ w Nota: Se utiliza w por estar expresada en rps, mientras W es en rad/s. La metodología para la calibración se fundamenta en la consideración de que en régimen laminar, el número de potencia (NPo) es proporcional al número de Reynolds (NRe) según: NPo = C /N Re donde C es una constante . Conociendo que: NPo = P / r w3 d 5 NRe = r w d2 / m P = 2 p w M donde P es el consumo de potencia, r es la densidad del fluido, w es la velocidad de rotación del impelente, d es el diámetro del impelente y M es el torque, se obtiene: m = 2 p M / C w d3 Para fluidos newtonianos m es una constante, mientras que para fluidos no newtonianos depende del gradiente de velocidad, utilizándose en la ecuación anterior el valor de viscosidad aparente definida como la relación entre el esfuerzo

cortante s y el gradiente de velocidad g, para un valor de gradiente de velocidad dado. La introducción de la ecuación de Metzner y Otto g = k¢ w permite obtener que: s = 2 p k¢ M / C d3 La determinación de los valores de g y t para un sistema de medición de una geometría dada a diferentes valores de velocidad de rotación dependerá de la evaluación de las constantes C y k¢ así como del valor del torque M. El cálculo del torque se realiza conociendo que éste es proporcional a la indicación del instrumento en la escala de medición (V), esto es: M = a V donde a es una constante para cada instrumento. Por consiguiente: s = 2 p k¢ a V / C d3 = ZV siendo Z = 2 p k¢ a / C d3

Evaluación de las constantes k¢ y Z Para realizar la determinación de las constantes k¢ y Z se siguió un procedimiento experimental que implica, trabajando a temperatura constante, realizar la evaluación de: •

•

Las características reológicas de dos fluidos, uno newtoniano y otro no newtoniano, en un viscosímetro de cilindros concéntricos, determinando así la viscosidad del fluido newtoniano y las constantes de la ley de potencia K y n del fluido no newtoniano. Los mismos dos fluidos pero utilizando el impelente de tornillo helicoidal con tubo de descarga, determinando la lectura en la escala de medición ( V ) para cada velocidad de rotación impuesta (w).

Como fluido newtoniano se estudió una solución de sacarosa 72,1 Brix a 308 K, de densidad 1,3524 g cm -3. La determinación de viscosidad se realizó con un viscosímetro Rheotest 2.1, utilizando el juego de cilindros S - S3 de relación de radios a = 1,24, obteniendo un valor promedio de viscosidad m = 0,2622 Pa s. Por otra parte se aplicó el criterio de Whorlow (1980) para verificar la inexistencia de vórtice de Taylor: W Rint ( Rext - Rint ) r / m > 41,3 (Rext / Rext-Rint)0.5 encontrando que el miembro de la izquierda era igual a 16,58 mientras el de la derecha era 131,26 por lo que no existe vórtice ni aún a la mayor velocidad de rotación. Adicionalmente se comparó el resultado de viscosidad obtenido con el reportado por Bates (1948) de 263,0 mPa s para soluciones de 72,1 Brix a 308 K, de donde se aprecia la buena correspondencia entre el valor experimental y el de la literatura.

Conocida la viscosidad y la densidad del fluido se procedió a ensayar éste utilizando el impelente de tornillo helicoidal con tubo de descarga, determinando las lecturas en la escala de medición para cada valor de velocidad de rotación impuesta, con el objetivo de calcular NPo y NRe a partir de: NPo = 2 p a V / r d5 w2 NRe = r w d2 / m De las expresiones anteriores se observa que se requiere conocer el parámetro a, constante que permite transformar las indicaciones del instrumento en la escala de medición V en valores de torque. ( M = a V ). Esta constante es propia de cada instrumento y no depende del sistema de medición utilizado, por lo que se calculó a partir de la información brindada por el fabricante del Rheotest 2.1 para el juego de cilindros S - S3. Este valor resultó ser: a= 1,19 E-04 Pa m3 Para el impelente de tornillo helicoidal con tubo de descarga diseñado, las ecuaciones de NPo y NRe resultaron ser: NPo = 4,398 V / w2 NRe = 22,468 w En flujo laminar y para fluidos newtonianos se cumple que NPo = C/ NRe, por lo que al hacer el gráfico de NPo vs 1/NRe se obtiene el valor de C. Así C = 451, 6193. La calibración se continúa caracterizando un fluido no newtoniano estudiándose una solución de carboximetilcelulosa (CMC) de baja viscosidad, al 3% en peso a 308 K. Los parámetros reológicos se determinaron con el viscosímetro de cilindros concéntricos, utilizando el juego de cilindros S-S3. El resultado de las determinaciones experimentales arrojó un valor de índice de flujo n = 0,8751 y un valor de intercepto -1,2254. El trabajo con el juego de cilindros S-S3 de a = 1,24, introduce la necesidad de corregir el valor del índice de consistencia K, al no poder ser considerados iguales los gradientes de velocidad para los fluidos newtonianos y los no newtonianos siendo: Intercepto = ln K - n ln c = -1,2254 donde: c = [( 1 - a2/n) / ( 1 - a2) ] * a2/ a 2/n Para a = 1,24 y n= 0,8751 se obtiene: c = 0,9720 de donde K = 0,2864 Pa sn. El fluido no newtoniano fue también ensayado utilizando el impelente de tornillo helicoidal con tubo de descarga realizando determinaciones del torque M = a V para cada velocidad de rotación impuesta.

Para un fluido que cumpla la ley de potencia h = K gn-1. Al sustituir la aproximación de Metzner y Otto g =k¢ w se obtiene: h = K ( k¢ w) n-1 = ( s / g ) g dado Como s = 2 p k¢ M / C d3 se encuentra: M = ( C K d3 / 2 p ) k¢n-1 w n = A1 w n siendo A1 = ( C K d3 / 2 p ) k¢ n-1 Al relacionar M vs wn se obtiene el valor de A1 = 3,78 E-03 Pa m3 sn. Una vez conocido el valor de A1 se puede evaluar k¢ obteniendo: k¢ = 38,0396. Como Z = 2 p k¢ a / C d3, se encuentra Z = 0,2182. Por consiguiente es posible concluir que las expresiones que permiten transformar los resultados experimentales en valores de esfuerzo cortante y de gradiente de velocidad para el impelente de tornillo helicoidal con tubo de descarga son: s= 0,2182 V (Pa) g = 38,0396 w (s-1) Comprobación de la fiabilidad de la calibración realizada utilizando fluidos no newtonianos Conocidas las constantes de calibración del instrumento se procedió a transformar los valores de V y w para los fluidos no newtonianos carboximetilcelulosa y 6 mieles de diferentes Brix. En la tabla 4 se presentan los resultados obtenidos para los valores de las constantes de la ley de potencia (K y n) al realizar el ajuste por un procedimiento de regresión lineal según la ecuación: ln s = ln K + n ln g Tabla 4 Resultados obtenidos con la metodología de calibración para fluidos homogéneos Sistema

T(K)

K (Pa sn)

CMC 3%

308

0.868

0.294

Miel 64.1%

313

0.973

0.090

Miel 71.8%

313

0.964

0.097

Miel 75.6%

313

0.960

0.219

Miel 76.6%

313

0.866

1.981

Miel 78.2%

313

0.949

0.446

Miel 81.2%

313

0.929

2.345

La comparación para fluidos homogéneos no newtonianos muestra una buena correspondencia entre los resultados alcanzados con los cilindros concéntricos convencionales y el impelente de tornillo helicoidal con tubo de descarga. A partir de esta comparación se puede demostrar la validez del procedimiento de calibración planteado en la determinación de los parámetros reológicos para los fluidos no - newtonianos. Determinación de los parámetros reológicos de los sistemas heterogéneos Comprobada la validez del procedimiento planteado para los fluidos homogéneos, se procedió a verificar los resultados con los fluidos heterogéneos. Con los valores de V y w obtenidos para cada suspensión , consistentes en sistemas miel - cristales, se procedió a calcular los valores de s y g, utilizando las constantes de calibración. Con posterioridad se aplicó un procedimiento de regresión lineal para encontrar los parámetros reológicos (K y n) de estos sistemas. En la tabla 5 se presentan los resultados obtenidos para los fluidos heterogéneos. Tabla 5 Resultados obtenidos con la metodología de calibración para sistemas heterogéneos Sistema

K (Pa sn)

Miel 64.1%, cristales 26%

0.940

0.239

Miel 71.8%, cristales 26%

0.951

0.273

Miel 75.6%, cristales 26%

0.959

0.623

Miel 76.6%, cristales 20%

0.816

5.540

Miel 76.6%, cristales 30%

0.821

6.908

Miel 76.6%, cristales 40%

0.853

13.19

Miel 76.6%, cristales 50%

0.820

31.80

Miel 78.2% cristales 26%

0.944

1.231

Miel 81.2%, cristales 20%

0.862

6.664

Miel 81.2%, cristales 30%

0.849

7.977

Miel 81.2%, cristales 40%

0.856

14.26

Miel 81.2%, cristales 50%

0.833

37.42

El análisis de la tabla permite afirmar que existe un incremento del índice de consistencia al incrementar el contenido de cristales en el sistema , mientras que para el valor del índice de flujo los intervalos de confianza se solapan (no están mostrados en la tabla), aunque existe una tendencia poco marcada a la disminución de éste al aumentar el contenido de cristales en la suspensión. Al

comparar los resultados obtenidos en el presente trabajo con los del modelo teórico se verifica la buena correspondencia de éstos. Conclusiones parciales Del trabajo realizado se puede concluir que: 1. Es posible utilizar un sencillo procedimiento para encontrar las constantes de calibración que permitan la determinación de los parámetros reológicos de fluidos homogéneos y heterogéneos que cumplan la ley de potencia mediante un impelente de tornillo helicoidal con tubo de descarga. 2. La experimentación requiere de la determinación del torque para cada valor de velocidad de rotación impuesta una vez que se dispone de las constantes de calibración. 3. Para la determinación de éstas se requiere evaluar el comportamiento reológico de un fluido newtoniano y de uno no newtoniano utilizando un sistema de cilindros concéntricos convencional y el sistema de tornillo helicoidal con tubo de descarga. 4. Al comparar los resultados de los parámetros reológicos obtenidos con este procedimiento para los sistemas no newtonianos homogéneos y heterogéneos con los obtenidos aplicando la solución del modelo teórico se obtiene una buena correspondencia entre éstos, lo cual posibilita la aplicación del impelente de tornillo helicoidal sin requerimientos de computación. 5. Dada la facilidad de este procedimiento, las caracterizaciones reológicas de los restantes sistemas estudiados se realizó utilizando los valores de las constantes de calibración del sistema de tornillo helicoidal con tubo de descarga diseñado. Sistemas modélicos heterogéneos Procedimiento experimental Para estudiar el efecto del contenido de cristales así como la influencia del tamaño del cristal en el comportamiento reológico de los sistemas heterogéneos, se prepararon soluciones modélicas sacarosa - agua - cristales, las que fueron estudiadas a 313 K .Para la preparación de las suspensiones se partió de una solución saturada de sacarosa en agua, a las que se añadió sacarosa de modo que la cantidad añadida estuviera en el intervalo 0 - 50 % en peso de cristales. Adicionalmente, para estudiar la influencia del tamaño del cristal, se tamizó el azúcar refino utilizada, recogiendo dos fracciones, una con cristales de tamaño comprendido entre 90 - 315 mm y otra con cristales de tamaño comprendido entre 500 - 710 mm. Conociendo el papel protagónico de la dextrana en el incremento de viscosidad, se estudiaron sistemas modélicos heterogéneos sacarosa - agua - dextrana cristales, utilizando 1 % en peso de dextrana (MM = 7. 10 4) en la formulación. Para preparar estos sistemas se sustituyó 1 % de sacarosa requerida para saturar por el correspondiente 1 % de dextrana, de modo tal que el contenido de sólidos totales disueltos no se alterara. En este proceder, se supone que la presencia de

la impureza no afecta el Brix de saturación, lo cual no es estrictamente cierto, aunque por el bajo contenido de dextrana utilizado puede ser considerado así. Las determinaciones reológicas fueron realizadas utilizando el impelente helicoidal, dadas las limitaciones que presentan los cilindros concéntricos para estos sistemas. Los resultados se presentan el las tablas 6 y 7, la primera para las suspensiones sin dextrana y la segunda para aquellos sistemas que contienen dextrana. En las tablas se reporta la media aritmética de las determinaciones realizadas para los diferentes gradientes de velocidad, después de comprobar que el comportamiento podía ser considerado newtoniano. Sólo para los sistemas con 50 % en peso de cristales, resulta más adecuado reportar un comportamiento seudoplástico siguiendo la ley de potencia, con índice de flujo 0,983 e índice de consistencia 0,316 Pa sn, con un coeficiente de correlación 0.9981. No obstante la consideración de fluido newtoniano es posible con un mayor error típico que en los restantes casos. Tabla 6 Viscosidad de suspensiones modélicas sin dextrana T= 313K Contenido de cristales %

Pas para 90-315 Pas para 500-710 mm mm

0.0

0.1187

20.0

0.1719

0.1701

30.0

0.3066

0.3090

35.0

0.4734

0.4721

40.0

0.7086

0.7285

45.0

1.2647

1.2864

50.0

2.4572

2.4885

0.0

0.1134

20.0

0.1749

0.1780

30.0

0.2922

0.2919

35.0

0.4796

0.4801

40.0

0.7145

0.7315

45.0

1.2984

1.2800

50.0

2.4326

2.4795

Tabla 7 Viscosidad de suspensiones modélicas con dextrana T = 313 K Contenido de cristales %

Pas para 90-315 Pas para 500-710 mm mm

0.0

0.1354

20.0

0.2038

0.2063

30.0

0.3476

0.3547

35.0

0.5704

0.5821

40.0

0.8757

0.9068

45.0

1.5479

1.5924

50.0

2.9060

3.0446

0.0

0.1421

20.0

0.2156

0.2058

30.0

0.3593

0.3586

35.0

0.5976

0.5900

40.0

0.8931

0.8864

45.0

1.5775

1.6183

50.0

3.1653

3.1275

Discusión de los resultados Los resultados obtenidos para las soluciones saturadas puras a 313 K, 118,7 mPa s y 113,4 mPa s, se corresponden con los obtenidos por Pour y Bates de 109,2 mPa s y 114,7 mPa s respectivamente, para soluciones saturadas a igual temperatura, presentando como máximo un error relativo de 8,7 % y 3,5 %. (Pour, 1982; Bates, 1942). Para las soluciones saturadas que contenían dextrana, se encontraron valores de 135,4 mPa s y 142,1 mPa s, inferiores al 157,4 mPa s reportado por Pour. El máximo error relativo del 14 % puede explicarse al apreciar que en el trabajo del investigador, a una solución de 70 Brix, correspondiente a la condición de saturación a 313 K, se le adicionaba 1 % de dextrana, con lo que el contenido de sólidos totales era mayor. Para verificar la correspondencia de las determinaciones realizadas con las reportadas por Pour, y considerando que este investigador había trabajado en un Rheotest 2 de cilindros concéntricos, utilizando el sistema de medición S - S2, se hicieron determinaciones en el Rheotest 2.1, usando también el sistema de medición S - S2. Los resultados encontrados se presentan en la tabla 8. En ésta también se presenta la comparación hecha para suspensiones utilizando los cilindros concéntricos y el impelente helicoidal. De la tabla es posible observar cómo el valor de viscosidad obtenido para las soluciones saturadas haciendo uso del impelente helicoidal no difiere significativamente del alcanzado al utilizar cilindros convencionales, tanto para las soluciones puras como para las impuras. Para las suspensiones de 50 % en peso de cristales se comprueba cómo el valor de viscosidad obtenido al utilizar cilindros concéntricos se aleja más del 840 % del encontrado al usar el impelente helicoidal, coincidiendo aproximadamente el valor de viscosidad obtenido con el sistema de medición S - S2, con el alcanzado para el impelente helicoidal al 30 % en peso de cristales. Adicionalmente , la inspección ocular del cilindro permitió observar la deposición de cristales en el fondo del

cilindro exterior al terminar el experimento, de donde se comprobó que había existido sedimentación de los cristales en suspensión que explican la gran diferencia entre los valores de viscosidad encontrados. Tabla 8 Comparación entre sistemas de medición Sistema sacarosa-agua-cristales Pas con % en peso Pas según Pas con desviación impelente desviación de cristales literatura cilindro S-S2 helicoidal 0.0

0.1092

0.1141

0.0020

0.1187

0.0060

50.0

0.2595

0.0380

2.4326

0.1232

Sistema sacarosa-agua-dextrana Pas % en peso Pas según Pas con desviación impelente de cristales literatura cilindro S-S2 helicoidal 0.0

0.1578

0.1363

0.0027

0.1354

con desviación 0.0129

De lo anterior se comprueba que con el cilindro convencional no se logra mantener en suspensión el contenido de cristales y por consiguiente la determinación realizada no es válida. La dependencia de la viscosidad con el tamaño de los cristales fue analizada realizando pruebas de hipótesis para medias para los sistemas de iguales contenidos de sólidos y temperatura y diferentes tamaños de cristales, esto es, los comprendidos entre 90 - 315 mm y 500 - 710 mm. No se encontraron diferencias significativas entre los valores medios de viscosidad para cada par de valores comparados (para p = 0,05). Al no existir diferencias significativas se procedió a realizar el ajuste estadístico de los juegos de datos obtenidos, considerados como pertenecientes a la misma población. El gráfico de valores de viscosidad contra % en peso de cristales presenta un comportamiento exponencial. Procesamiento de los resultados experimentales Los resultados experimentales presentados en las tablas 6 y 7 se procesaron para encontrar relaciones matemáticas entre la viscosidad y el contenido de cristales (Q)obteniéndose las siguientes ecuaciones, utilizando el programa de regresión lineal múltiple del sistema Statgraphics. En ellas hr representa la relación entre la viscosidad en presencia de cristales y la viscosidad cuando no hay cristales presentes, ambas a la misma temperatura, o sea mr =m con cristales / m sin cristales. Para el sistema sacarosa - agua - cristales:

ln h= -2,2336 2 ln hr = -0,0796 + 0,00123 Q

0,00123

Para el sistema sacarosa - agua - dextrana - cristales: ln h = -2,0607 + 0,00124 Q2 ln hr = -0,0831 + 0,00124 Q2 Es de señalar cómo la presencia de dextrana aumenta el valor de viscosidad para un contenido de cristales dado pero prácticamente no modifica la pendiente de la recta ln h o ln hr vs Q2. Conclusiones parciales Del resultado de los experimentos se concluye que: 1. La presencia de cristales de sacarosa aumenta la viscosidad en comparación con la de las soluciones saturadas a igual temperatura, tanto para soluciones puras como en presencia de dextrana. 2. La dependencia de la viscosidad y de la viscosidad relativa con el contenido de cristales es explicada mediante modelos estadísticos del tipo: h = a exp ( b Q2) o hr= a exp ( b Q2) siendo a y b constantes. 3. El tamaño del cristal de sacarosa no influye en la viscosidad de los sistemas estudiados, al menos hasta 710 mm. 4. El uso de cilindros concéntricos convencionales no es adecuado para la determinación de la viscosidad de suspensiones en las que la tendencia a la sedimentación se presenta. 5. Con el uso del impelente helicoidal se reproducen los valores obtenidos para las soluciones saturadas al utilizar cilindros concéntricos, recomendándose su uso frente a éstos para la determinación de la viscosidad en sistemas heterogéneos.

Orientaciones para la realización del laboratorio. El objetivo de la práctica es: 1. Determinar el comportamiento reológico de un fluido empleando un viscosímetro rotacional. 2. Estudiar la dependencia de los parámetros reológicos con la temperatura. Para la realización de la determinación Ud seleccionará un producto que presuponga tenga un comportamiento no newtoniano. Puede auxiliarse de los datos reportados en el apéndice del libro de texto básico para realizar la selección. Colocará la muestra a evaluar en el sistema de medición que se adecue a su producto. Para esto utilice las recomendaciones que el fabricante brinda en relación con los intervalos de esfuerzos de corte para cada juego de cilindros de medición. En caso de no tener idea deberá tantear cuál es el juego de cilindros

que mejores resultados le ofrece (esto es aquél con el que barre la escala completa de lecturas) y recordar que entre varios que se puedan utilizar el que mejor resultado brindará será el de menor espacio anular. Utilice el control de temnperatura ya que como se le pide que estudie la dependencia de los parámetros reológicos con la temperatura, deberá realizar el estudio al menos a tres temperaturas diferentes. Realice la medición de lectura en la escala para cada valor de velocidad de rotación, en el sentido de incrementos sucesivos de velocidades de rotación y luego en el sentido inverso. Con esto comprobará si su fluido presenta tixotropía. En caso de presentarla, cambie el fluido para la determinación a una nueva temperatura. Para convertir los datos de lectura y velocidad de rotación en valores de esfuerzo de corte y gradiente de velocidad, utilice la información que brinda el fabricante acerca de la constante por la que debe afectar cada una. En función del espacio anular seleccionado, analice si vale la pena realizar corrección para el valor de gradiente de velocidad y haga este cálculo. Ajuste un modelo matemático para los datos de esfuerzo de corte y gradiente de velocidad que obtuvo y así encuentre los parámetros del modelo seleccionado a cada temperatura. Realice el ajuste de modelos para encontrar la dependencia de los parámetros reológicos con la temperatura. Calcule la viscosidad aparente y prepare un gráfico de viscosidad aparente vs gradiente de velocidad a cada temperatura. Extraiga sus conclusiones acerca del trabajo realizado. Preguntas y problemas a solucionar por el alumno. 1. ¿Qué diferencia existe entre el perfil de velocidad en el interior de un viscosímetro de tubo cuando se trabaja con un fluido newtoniano y cuando se trabaja con un plástico de Bingham? 2. Para un viscosímetro rotacional de cilindros concéntricos, ¿cómo varía el gradiente de cizallamiento en el cilindro interior y en el cilindro exterior al cambiar la velocidad de rotación y el espacio anular? (Se sugiere la preparación de una tabla con los resultados numéricos de gb y gc) 3. Compare la dependencia del gradiente de cizallamiento referido al cilindro interior que rota con la velocidad de rotación y el espacio anular, para un fluido seudoplástico y uno dilatante. 4. Construya el perfil de velocidad que se establece en un viscosímetro de cilindros concéntricos para el que el cilindro interior rota y el exterior está fijo. Prepare este perfil para diferentes a y n. ( Se sugiere el uso de la ecuación 3.169) 6. Estudiando el comportamiento reológico de una sopa de mazada con 7% de cebada en la que luego de tres horas de cocción se alcanza un producto espeso de consistencia cremosa en el que permanecen intactos granos de cebada de 4-5 mm de diámetro y 7-9 mm de longitud, se utilizó un viscosímetro de cilindros concéntricos de espacio anular 1-2 mm. Los resultados obtenidos fueron (T cte)

rpm

lectura para ascenso

gradientes

en lectura para descenso

6.8

5.3

7.9

6.9

9.5

8.8

11.8

11.2

162

14.9

14.3

gradientes

486 19.6 Extraiga conclusiones acerca de este experimento y discĂştalos. 7. En una prueba para evaluar una mayonesa modificada a 30ÂşC, se realizaron determinaciones con un viscosĂmetro rotacional Rotovisko Haake modelo RV3, utilizando como cilindro y vaso el SV1. El fabricante reporta que la constante a utilizar para transformar las lecturas en esfuerzo cortante es Z=11.28 dinas/cm2.(Recuerde que s = Z * lectura)

s-1

Lectura para gradientes en Lectura para ascenso descenso

0.089

18.5

0.178

20.0

0.356

24.0

0.712

28.5

0.890

29.0

17.5

1.25

31.0

19.0

1.78

33.5

20.0

2.51

36.0

22.0

3.56

38.0

24.5

5.03

41.0

27.0

7.12

45.5

30.0

10.05

46.5

33.5

14.24

51.0

37.0

20.11

56.0

43.5

28.48

62.0

49.5

40.22

68.5

57.0

56.96

77.5

67.0

80.54

86.0

79.0

gradientes

113.92 •

97.5

Caracterice el fluido y encuentre los parámetros reológicos. (Se le sugiere represente los valores de s vs g para empezar la solución del problema). En caso de resultar el fluido tixotrópico reporte el % de tixotropía. Compare los resultados con los de una mayonesa patrón que sigue el modelo de Herschel-Bulkley con parámetros so = 83.2 Pa , n = 0.37, K= 39.0 Pa sn.

• •

8. Se prepararon emulsiones de aceite de maíz en agua destilada (40% volumen de aceite) utilizando como estabilizantes proteína de soya (0.5, 1, 2% p/p) y carboximetilcelulosa. Las determinaciones se realizaron en un viscosímetro de cono y plato modelo Brookfield LVT usando dos conos : cp41 (diámetro 4.8 cm y ángulo 3°) y cp52 (diámetro 2.4 cm y ángulo 3°) (Los datos originales están reportados por B. Elizalde, A. Pilosof, G. Bartholomai de la Facultad de Ciencias Exactas de la Universidad de Buenos Aires y fueron utilizados para la preparación de este problema) 0.5% -1)

(Pa)

1% (Pa)

2% (Pa)

0.031

0.737

0.953

3.503

0.063

0.988

1.254

4.222

0.126

1.39

1.743

5.210

0.314

2.315

2.888

7.108

0.629

3.517

4.399

9.180

1.258

5.441

6.852

12.030

3.144

9.870

12.591

17.503

6.288

15.62

20.161

23.480

Determine: • • •

Comportamiento del fluido Modelo de ajuste con p<0.1 Viscosidad aparente a 12 s-1

8. Para precisar el comportamiento encontrado en el problema anterior los autores determinaron el comportamiento reológico de las dispersiones de proteína de soya de 0.5, 1 y 2% (p/p) utilizando el viscosímetro de cono y plato pero con el cono cp40 (diámetro 4.8cm, ángulo 0.8°). Los datos primarios encontrados se presentan en la tabla. (s-1)

M*10 6(Pa m3)

M*10 6 (Pa m3)

0.012

0.666

2.779

6.021

0.031

1.158

4.661

9.727

0.063

1.852

6.977

14.156

0.126

2.895

10.335

20.439

0.314

5.240

17.399

33.137

0.629

8.251

25.881

47.912

1.258

12.970

38.416

69.190

Determine: • • •

Comportamiento reológico Modelo de ajuste con p<0.1 Compare con los resultados del problema anterior.

9. En el estudio de caldos de fermentación de Micromonospora purpurea se utilizó un viscosímetro de mezcla con impelente tipo "vane" con las siguientes características: k'= 8.7,. dvane=0.0375 m Cvane= 5.7496* 10-3 Nm, donde ésta es la constante que permite transformar la lectura en valor de torque, según M = lectura*Cvane/100 Nm, y g = k' W. Los datos obtenidos fueron: s-1

Lectura

0.0083

9.0

0.0167

9.5

0.0417

9.8

0.0833

11.3

0.1667

11.8

0.3333

13.4

0.8333

16.7

1.6667

19.1

Sabiendo que para fluidos que cumplen la ley de potencia s = 2p k' M / c dvane-3 (Kemblowski y Kristiansen, Biotechnology and Bioengineering, Vol 28, p 14741483, 1986) donde c es una constante que depende de la geometría del sistema y que toma el valor de 224 para este dispositivo, calcule los parámetros reológicos del cultivo. 9. Para estudiar la reología de las masas cocidas (suspensión de cristales de sacarosa en miel) obtenidas en el proceso de fabricación de azúcar, J N Ness utilizó un viscosímetro de conducto. Los datos primarios obtenidos son de DP y de V (velocidad del flujo). Las dimensiones del conducto

son:17.04 mm de diámetro y 401 mm de longitud. Se utilizaron dos masas cocidas de las siguientes composiones: Muestra

% reductores

% sacarosa

% sólidos % secos pureza

% en cristales

7.56

63.9

91.1

70.1

7.75

63.8

92.2

69.1

Muestra A P (Pa)

V (m/s)

377.08

2.392*10-3

818.88

6.090*10-3

1146.42

9.135*10-3

1879.57

1.410*10-3

2355.47

2.175*10-3

Muestra B P (Pa)

V (m/s)

324.58

1.087*10-3

644.51

2.392*10-3

1452.92

6.090*10-3

2067.42

9.135*10-3

3354.66

1.414*10-3

Determine: • •

Los parámetros reológicos según la ley de potencia. Comente los resultados.

peso

Capítulo 3. Viscoelasticidad.

Conceptos básicos Analicemos el siguiente experimento que nos conducirá a conocer el comportamiento viscoelástico. Al mezclar harina de trigo y agua en proporciones adecuadas, se obtendrá una masa de la que se puede preparar una tira cortándola con tijeras. Si se estira la tira por sus extremos, se alargará y parecerá que fluye. Al dejar libre los extremos se contraerá, aunque sin recuperar la longitud inicial. O sea, ha exhibido también el carácter de elasticidad de un sólido. La masa es viscoelástica. En los productos viscoelásticos, las propiedades elásticas y viscosas se manifiestan simultáneamente a diferencia de lo que pasa con un fluido plástico, en el que a tensiones bajas el comportamiento es elástico y a altas tensiones, viscoso, al vencerse el so. Las características de los productos viscoelásticos varían desde las de líquidos viscosos con propiedades elásticas a las de sólidos con propiedades viscosas. La elasticidad de los alimentos viscoelásticos se debe a la deformación elástica de las macromoléculas. Estas características elásticas se favorecen si los materiales están constituidos por moléculas de cadena larga cuyos enlaces puedan rotar libremente, si ofrecen fuerzas intermoleculares débiles, y si poseen en unos cuantos puntos de la cadena molecular, fuertes enlaces cruzados intermoleculares. Con esto el resultado es una red tridimensional. Es frecuente en los alimentos que la recuperación luego de una deformación, sea sólo parcial al desintegrarse la red tridimensionl elástica por efecto de la tensión. Mientras más completa y resistente sea esta red mayor la viscoelasticidad. Cuanto más fácilmente se desintegre la red, mayor el comportamiento viscoso. En flujo estacionario el fluido viscoelástico presenta esfuerzos normales que caracterizan la elasticidad. Las medidas para estado no estacionario proporcionan métodos dinámicos para evaluar la viscoelasticidad y pueden realizarse en modo transiente y oscilatorio. Estudie las páginas 16-19 del texto básico. En ellas encontrará 4 de los principales comportamientos característicos de los cuerpos viscoelásticos: el efecto Weissenberg, el efecto de hinchamiento a la salida, el efecto sifón y el efecto de retroceso. En las figuras 1.10 y 1.11 se comparan algunos de estos efectos para los fluidos newtonianos y viscoelásticos. Estudie el epígrafe 1.8, páginas 47 - 49 del texto básico. Conocerá que: •

•

En una prueba de fluencia (creep test) el material se somete a esfuerzo cortante y se mide la deformación en el tiempo g=f(t). Se grafica la capacitancia de fluencia por cizalla (shear creep compliance) J = f(t) = g /s , contra el tiempo. En una prueba de relajación del esfuerzo (relaxation stress) se aplica una deformación y se mide el esfuerzo en el tiempo s(t). Se presentan los datos

• •

como el módulo de relajación del esfuerzo de cizalla G = f(t) = s/g contra el tiempo. Se aclara que ambas pruebas pueden realizarse en cizalla, compresión o tensión, por lo que se especifica cómo se hicieron. Las pruebas oscilatorias (en general sinusoidales) se aplican también. La magnitud y el tiempo de retraso para la transmisión dependen de la naturaleza de la sustancia. El desfase es mayor para sustancias altamente viscosas y pequeño en materias muy elásticos.

Estudie el epígrafe 5.1, páginas 294 - 297 del texto básico y al concluir conocerá que: • •

•

Los experimentos de deformación en la categoría de transiente pueden ser de cinco tipos y aparecen resumidos en la tabla 5.1. Los experimentos utilizando técnicas oscilatorias permiten determinar los parámetros fundamentales que caracterizan estos productos y que aparecen reflejados en la tabla 5.2. El comportamiento viscoelástico puede ser lineal o no lineal. En la zona lineal, las funciones que se recogen en la tabla 5.2 no dependen de la magnitud del esfuerzo, de la deformación o de la velocidad de aplicación de la deformación. La zona no lineal, asociada a grandes deformaciones, no es muy importante en los estudios de alimentos.

A continuación, para facilitar el estudio, aparecen algunas definiciones de términos que serán de uso común en este tema. Han sido tomadas del Glosario de términos reológicos para alimentos, publicado por CYTED en 1996. Amortiguador (dashpot): Elemento analógico que representa al flujo viscoso ideal. Consiste en un émbolo que se mueve en un cilindro lleno de un líquido newtoniano. Angulo de pérdida o de desfase(loss or phase angle): La diferencia de fase entre las variables dependiente e independiente de un sistema oscilatorio. Por ejemplo entre el esfuerzo y la deformación. Capacitancia (compliance): Cociente entre la deformación y su correspondiente esfuerzo. Es el inverso del módulo de elasticidad. Capacitancia compleja (compex compliance): Expresión matemática de una capacitancia considerada como la suma de un parte real y una imaginaria. Capacitancia de almacenamiento (storage compliance): Cociente entre la parte de la deformación en fase con el esfuerzo y el esfuerzo, en condiciones sinusoidales. Parte real de la capacitancia compleja. Capacitancia de pérdida (loss compliance) Cociente entre la parte de la deformación en desfase con el esfuerzo y el esfuerzo, en condiciones sinusoidales. Parte imaginaria de la capacitancia compleja. Deformación (strain): Medida de la deformación respecto a la dimensión de referencia (longitud, área o volumen). Efecto de Barus (die swell, hinchamiento a la salida): Aumento de volumen de un material viscoelástico que se produce a la salida de un orificio.

Efecto de Weissenberg (Weissenberg effect): Efecto que se manifiesta durante el flujo de fluidos viscoelásticos como subida de un fluido por una varilla que está girando dentro de él. Fluencia (creep):Deformación de un material viscoelástico medida en función del tiempo a esfuerzo constante. Función de relajación (relaxation function): Función que caracteriza la variación del esfuerzo con el tiempo en un sistema sometido previamente a una deformación constante. Modelo de Kelvin (Kelvin model): Representación del comportamiento viscoelástico por medio de un resorte y de un amortiguador en paralelo. Modelo de Maxwell (Maxwell model): Representación del comportamiento viscoelástico por medio de un resorte y de un amortiguador en serie. Módulo (modulus): Razón entre un componente del tensor esfuerzo y un componente del tensor deformación. Módulo complejo o dinámico(complex modulus): En reología oscilatoria es la representación matemática de un módulo considerado como la suma de la parte real y la imaginaria. Módulo de almacenamiento (storage modulus): Parte real del módulo complejo.Está relacionada con la energía almacenada por un material. Módulo de cizallamento ( shear modulus) Cociente entre el esfuerzo de cizalla y la deformación elástica correspondiente. Módulo de elasticidad ( modulus of elasticity): Cociente entre el esfuerzo y la deformación elástica. Es el recíproco de la capacitancia. Módulo de pérdida (loss modulus): Parte imaginaria del módulo complejo. Está relacionada con la energía disipada. Punto de fluencia (yield point): Punto en la curva esfuerzo vs deformación o esfuerzo vs velocidad de deformación, que corresponde a la transición desde la deformación elástica a la plástica. Se le denomina también punto de fluencia superior. Punto de fluencia inferior (lower yield point): Punto en que la curva de esfuerzos de cizalla frente a velocidad de deformación se cruza con el eje de esfuerzos. Recuperación (recovery): Regreso a una condición reológica previa, observable al retirar el estímulo aplicado. Relajación del esfuerzo (stress relaxation): Disminución del esfuerzo con el tiempo en un material deformado. Resilencia (resilience) Energía almacenada elásticamente por unidad de volumen. Sobreesfuerzo (overshoot) Crecimiento transitorio del esfuerzo por encima de su valor de equilibrio a velocidad de deformación constante. Tiempo de relajación (relaxation time): Tiempo necesario para que en un modelo de Maxwell, el esfuerzo disminuya a 1/e de su valor inicial bajo deformación constante. Tiempo de retardo ( ratardation time): Tiempo necesario para que en un modelo de Kelvin, la deformación disminuya a 1/e de su valor original después de retirar el esfuerzo. Viscoelasticidad lineal (linear viscoelasticity): Viscoelasticidad caracterizada por una relación lineal del esfuerzo con la deformación y su derivada respecto al tiempo.

Viscosidad compleja (complex viscosity): En ensayos oscilatorios es la expresión matemática de la viscosidad como la suma de una parte real y una imaginaria. La parte real es la viscosidad dinámica y la parte imaginara está relacionada con la parte real del módulo complejo. Modelos viscoelásticos Estudie el epígrafe 5.2.1, página 298 del texto básico en el que se describen las analogías de Maxwell y Kelvin. A continuación amplíe lo estudiado leyendo lo siguiente: El modelo viscoelástico más simple puede representarse por un muelle y un recipiente lleno de un líquido newtoniano, con un émbolo que se mueve en sentido ascendente y descendente y que se pueden acoplar en serie o en paralelo. Acoplados en serie representan esencialmente al líquido viscoelástico ideal y se llama Modelo de Maxwell; acoplados en paralelo, representan esencialmente al sólido y se denomiuna Modelo de Kelvin. Si ambos modelos se acoplan en serie se origina el Modelo de Burgers. Modelo de Maxwell •

•

Al estar constituido por un muelle y un amortiguador en serie, al aplicar una fuerza, el muelle se deformará de inmediato y el amortiguador lo hará lentamente. Al retirar la fuerza el muelle se contrae pero el líquido permanece inalterable. El líquido en el amortiguador tiene un coeficiente de viscosidad y el muelle tiene tres módulos G, E y K (revisar el capítulo 1). Si se puede considerar el modelo incompresible, K=0 y si es isotrópico G=1/3 E. A tensión constante, el muelle se alargará de inmediato hasta alcanzar la deformación correspondiente a ese esfuerzo. Luego la deformación dependerá de la viscosidad m. Los dos elementos soportan la misma tensión y el alargamiento total es la suma de los alargamientos de cada elemento.

Modelo de Kelvin •

•

Al estar constituido por un muelle y un amortiguador en paralelo, el alargamiento límite, tras un tiempo largo, depende de la magnitud de la fuerza aplicada y se recupera totalmente cuando la carga cesa. Al aplicar la carga, se produce una deformación creciente tanto por el muelle como por el amortiguador. Cuando la fuerza cesa, el muelle acorta lentamente al líquido en el amortiguador, lo que da origen al fenómeno de elasticidad retardada. O sea se asemeja a la recuparación retardada de una deformación elástica. Teóricamente la recuperación total tardaría un tiempo infinito. Ambos elementos experimentan igual deformación relativa y la tensión total es la suma de las tensiones de cada elemento, el muelle y el amortiguador.

•

El comportamiento límite, tras haber transcurrido un tiempo largo, es el sólido de Hooke.

Modelo de Burgers •

• • •

Al modelo de Kelvin se le adiciona en serie el de Maxwell. Si representamos al modelo de Kelvin por H1 (Hooke) y N1 (newtoniano) y al de Maxwell por H2 y N2, al aplicar la fuerza el muelle H2 se deformará instantáneamente y ésta es la elasticidad instantánea. A H1 le corresponderá la elasticidad retardada. Transcurrido un período de tiempo largo, la deformación se deberá sólo a N2. Al retirar la carga, H2 determina la recuperación instantánea y el modelo de Kelvin será el responsable de la recuperación retardada. La elasticidad total es la suma de la recuperación instantánea y la retardada.

Determinaciones de viscoelasticidad En flujo estacionario, los fluidos viscoelásticos exhiben esfuerzos normales. Las diferencias entre los esfuerzos normales se calculan por las ecuaciones: Y1 = s 11 - s 22 / g 2 = N1 / g 2 Y2 = s 22 - s 33 / g 2 = N2 / g 2; recordando que se puede considerar que N2 = 0. Del tema 1 recordemos cómo N1/s12 se conoce como deformación elástica recuperable. Las diferencias entre los esfuerzos se pueden medir en un reómetro rotacional que fabrican algunas compañías y que evalúan la fuerza axial. Revise las páginas 171 y 172, en particular la ecuación 3.57 que permite el cálculo de N1 a partir de la fuerza axial medida en un viscosímetro de cono y plato, demostrando cómo N1 aumenta con el gradiente de cizallamiento g para el fluido viscoelástico. A continuación se describen los cuatro métodos de determinación más utilizados en los estudios de viscoelasticidad, aunque posteriormente deberán estudiar éstos por el texto básico. Determinación oscilatoria. Imaginemos un líquido de Maxwell fluyendo a lo largo de un viscosímetro de tubo capilar. Si las condiciones de flujo son constantes, las capas de líquido adquieren una deformación constante debido a la compomente elástica y el flujo se debe sólo al comportamiento viscoso. Al aplicar repetidamente efectos alternos de tensiones o deformaciones, como por ejemplo colocar un líquido entre el cono y el plato de un viscosímetro y en lugar de ponerlo a rotar, poner a oscilar el cono, se obtiene una onda sinusoidal de entrada al representar la amplitud del movimiento

del cono contra el tiempo. Si se representa la oscilación del plato como variable de salida, se observa una respuesta similar pero desfasada o retardada y además amortiguada en relación con la onda de la entrada. Basándose en estos dos efectos, se pueden determinar las propiedades viscosas y elásticas. Observe que estas mediciones son en condiciones dinámicas, y son características de una determinada frecuencia de oscilación. Experimentos de carga - descarga. Es el principio utilizado para la determinación viscoelástica de las masas de harina de trigo en el extensómetro. Se estira la muestra mediante la aplicación de un peso y se mide el incremento de longitud. Al cabo del tiempo el hilo a través del que se aplicó la carga se quema, quedando libre la masa, la que se contrae. La gráfica de deformación contra tiempo presentará un incremento de la deformación a medida que la carga se aplica y luego una recuperación de la longitud inicial, también en función del tiempo pero disminuyendo la deformación, cuando la carga cesó. La variable más común a representar en la ordenada es la capacitancia, o sea la deformación relativa entre la tensión en cualquier momento del experimento. Cuando se obtienen gráficas de deformación en función del tiempo a diferentes tensiones y se encuentran linealmente relacionadas, se dice que el comportamiento es lineal. (La ecuación que relaciona la deformación y la tensión y sus derivadas aparecen sólo a la potencia 1). Los modelos de Maxwell y Kelvin son lineales. Método de la relajación bajo tensión. Se ha demostrado que la tensión interna se relaja, si se deforma y mantiene a deformación relativa constante, un modelo de Maxwell. En un experimento de este tipo, se deforma bruscamente la muestra y se registra cómo va disminuyendo la tensión en el tiempo. Se pueden usar viscosímetros de cilindros concéntricos o diferentes extensómetros. El valor más importante a determinar es el tiempo de relajación (h / G) . Si se representa el logaritmo de la tensión contra el tiempo y se obtiene una recta, el comportamiento es maxweliano y el tiempo de relajación es la pendiente de la recta. Si no es recta, aparecerá un espectro de tiempos de relajación y se determina un tiempode relajación medio. Componente normal de la tensión. Si se hace girar una varilla dentro de un líquido newtoniano, el movimiento circular origina un torbellino alrededor de la varilla. En un líquido viscoelástico esto no sucede, sino que el líquido "trepa" por la varilla. Este es el efecto Weissenberg observado en la leche condensada almacenada por largo tiempo, en el extracto de malta y en la masa de harina de trigo. Queda definido este efecto como una fuerza centrípeta que se produce durante la deformación rotacional. Se mide por un reogoniómetro, que es en esencia un viscosímetro de cono y plato en el que se mide la fuerza ejercida hacia arriba sobre el cono, pudiéndose medir las fuerzas torsionales y verticales y con ello caracterizar el producto. Estudie el epígrafe 5.2, páginas 297 - 312, en el que se describen con profundidad los experimentos para la determinación de viscoelasticidad en condiciones

transientes. En estos experimentos se opera con valores de deformación pequeños y todos los explicados han sido aplicados en alimentos. Estudie el epígrafe 5.2.2 en el que se describe el experimento de relajación del esfuerzo. Una deformación se aplica y se sigue el esfuerzo necesario para mantener la deformación en el tiempo. Observe la figura 5.2 en que se muestran las curvas que se obtendrían si el experimento se hiciera con un material elástico ideal, un sólido viscoelástico, un líquido viscoelástico y un material viscoso ideal. Deberá precisar que: •

• •

• • •

•

Los materiales viscoelásticos presentan una relajación gradual y el punto final dependerá de la naturaleza de la sustancia, alcanzándose un valor de equilibrio no 0 para sólidos viscoelásticos Los datos se presentan en función del módulo de relajación G = f(t)= s / g constante. El modelo de Maxwell ha sido utilizado para interpretar los datos de estos experimentos para líquidos viscoelásticos, llegando a la ecuación : s + lrel ( ds /dt) = m g. En esta ecuación lrel = m / G. El tiempo de relajación se puede interpretar como el que toma a una macromolécula estirarse cuando es deformada. En la tabla 5.4 se aprecia que los valores del tiempo de relajación cambian mucho en dependencia del material. La ecuación 5.10 permite representar la relajación del esfuerzo luego de aplicada una deformación por cizalla go para un modelo de Maxwell. De ella se puede determinar el tiempo de relajación. s = so exp (-t/lrel). Un modelo más general presenta la combinación en paralelo de un modelo de Maxwell y un resorte. La condición de equilibrio (se = go Go) será representada por el resorte libre en paralelo, quedando s =se + (so - se) exp (-t / l rel). También se pueden representar los resultados normalizados según: so t / (so - s) = k1 + k2 t. La tabla 5.5 muestras valores determinados para las constantes de ajuste del modelo lineal k1 y k2.

Estudie los problemas 5.8.1 y 5.8.2, páginas 341 - 343 del texto básico. El primero aplica la ecuación 5.11 y el segundo la 5.14 para determinar el tiempo de relajación. Para ambos problemas los datos primarios son de tiempo contra esfuerzo (en este caso de compresión) a temperatura constante. Estudie el epígrafe 5.2.3, páginas 304 -310 del texto básico. Al concluir conocerá que: • •

En el ensayo de fluencia se aplica un esfuerzo instantáneo y se sigue el cambio de la deformación en el tiempo. La figura 5.5 presenta lo que sucedería si el fluido fuera un material elástico ideal (no flujo, recuperación total al cesar el esfuerzo), un líquido ideal (flujo estacionario, no recuperación) y un viscoelástico (flujo y recuperación parcial al cesar el esfuerzo). Esa recuperación es lo que se conoce como efecto de retroceso (recoil).

• • •

•

Los datos pueden reportarse en términos de capacitancia J = f(t) = g/ sconst. Se repesenta por un modelo de Kelvin para el que: G-1 (ds/dt) = g + lret (dg/dt). La relación de g vs t es: g = (so/G) [1 - exp (-t/ lret)], donde so es el esfuerzo constante aplicado. Esta ecuación predice una deformación que se aproxima asintóticamente a so/G, siendo el tiempo de retardación el necesario para que se alcance el 63% del valor final. Cuando el ajuste no es bueno con este modelo, se utiliza el de Burgers. Según éste, expresado en términos de capacitancia de fluencia J = J0 + J1 [ 1 - exp (-t/ l ret)] + t/ mo.

Estudie el ejemplo 5.8.3, páginas 343 - 348 del texto básico, en el que se estiman los parámetros del modelo de Burgers. • • •

Los datos primarios son de tiempo vs capacitancia de fluencia. Se grafica ( J - J0) vs t. De los últimos puntos se determinan, por la pendiente y el intercepto, los valores de mo y J1. De los primeros puntos se calcula el tiempo de retardación al graficar ln [1(J-J0)/J1] vs t.

Estudie el epígrafe 5.2.4, páginas 310 - 312 del texto básico. En él se presentan los ensayos de sobreesfuerzo (stress overshoot). Conocerá que: •

•

Se impone un gradiente de cizallamiento a un fluido viscoelástico previamente en reposo. La respuesta es de un sobreesfuerzo antes de alcanzar el valor de esfuerzo en estado estacionario. El comportamiento se ha modelado por la ecuación empírica de Bird-Leider en función del tiempo y del gradiente de cizallamiento aplicado. El modelo predice el pico inicial de esfuerzo. correspondiente a la respuesta elástica, y a altos tiempos, el comportamiento viscoso, por la ley de potencia.

Estudie los epígrafes 5.3 y 5.4, páginas 312 - 332, en el que se presentan los ensayos oscilatorios, los más comunes métodos dinámicos para estudiar viscoelasticidad •

•

Pueden ser desarrollados en cizalla, tensión o compresión. Los instrumentos comerciales típicos operan en cizalla. Pueden encontrarse aquellos en que la deformación se fija y se mide el esfuerzo, y aquellos en que la amplitud del esfuerzo se fija y se mide la deformación. La función oscilatoria es en general la sinusoidal. Si se aplica una función sinusoidal de deformación g= go sen (wt), se obtendrá un valor de gradiente de cizallamiento g= go w cos (wt), y una repuesta de esfuerzo, s =so sen (wt + d), donde d es el ángulo de desfase. La respuesta del esfuerzo a una deformación sinusoidal puede representarse por una ecuación como: s =G'g+(G''/w)g en la que G' es el módulo de almacenamiento y G'' es el módulo de pérdida .

• • • •

•

• •

•

G' = (s0 /g0) cos d. De aquí que: G'g0 pueda interpretarse como la componente del esfuerzo en fase con la deformación. G'' = (s0/g0) sin d. De aquí que: G''g0 puede interptrtarse como la componente del esfuerzo desfasada 90° de la deformación. Las ecuaciones 5.38 a 5. 44 definen otras relaciones entre módulos, capacitancias, viscosidades que deben ser interpretadas. Una excelente ecuación para representar el comportamiento de estos materiales viscoelásticos es s = G' g + h' g, donde el primer sumando es la componente elástica y el segundo la viscosa. La tangente del ángulo de desfase (o tangente de delta) = G''/G' se relaciona directamente con la energía perdida por ciclo dividida entre la energía almacenada por ciclo. Cuando el material es un sólido de Hooke el esfuerzo y la deformación están en fase y d es 0, no existiendo G'' ni h', por no haber disipación viscosa. G' es constante e igual al módulo de cizallamiento G. Cuando el material es un líquido newtoniano, el esfuerzo y la deformación se desfasan 90° y G' y h'' son 0 y el material no almacena energía. h' será constante e igual a m. Para un líquido newtoniano el valor de d es 1.573 rad. (p/2). Los instrumentos comerciales operan de varias maneras. Se puede lograr barrer los valores de esfuerzo o de deformación cambiando la amplitud de la señal de entrada a frecuencia constante. Otra manera es cambiar las frecuencias manteniendo la amplitud de la señal constante. En general los materiales exhiben mayores características de sólidos a altas frecuencias. Para someter líquidos y semisólidos a ensayos oscilatorios se utilizan dispositivos de platos paralelos, de cono y plato y de cilindros rotatorios. Las determinaciones pueden reportarse a una única frecuencia graficando la variable medida en el tiempo, obteniendo así la respuesta sinusoidal de salida, o reportarse los valores para el barrido de frecuencias. (figura 5.14) En la figura 5.8 y la tabla 5.7, página 325, puede apreciar la diferencia de comportamiento entre una solución diluida (con comportamiento newtoniano), un gel (comportamiento elástico) y una solución concentrada (comportamiento viscoelástico). Compare los valores de d y vea cómo los bajos valores son indicativos de elasticidad. De igual forma, si la frecuencia y la amplitud de deformación son iguales, g, G', G", h' y h " son menores para la solución diluida (newtoniana) y mayores para el gel (elástico). Las figuras 5.21, 5.22 y 5.23 representan la variación con la frecuencia de los módulos de almacenamiento y de pérdidas para los tres materiales anteriores.Para comportamiento de fluido viscoso, G'' > G', pero se aproximan a medida que la frecuencia aumenta. Para comportamiento elástico G' > G'' en todo el intervalo de frecuencias. Los valores de ambos módulos en función de la frecuencia pueden representarse por una ley de potencia. Observe cómo para la solución concentrada, a bajas frecuencias el valor de d es alto, similar al de la solución diluida, tendiendo a un comportamiento parecido a un líquido y a medida que aumenta la frecuencia, se acerca al valor presentado por el gel, tendiendo al comportamiento de un sólido.

Analice los datos para un polímero de silicona presentados en la figura 5.25. De ellos verá que: •

•

Si el material se considera un fluido de Maxwell, para calcular el tiempo de relajación se pueden utilizar los valores del gráfico h' o G vs w. El valor de h se determina leyendo el valor de h' de la extrapolación para w = 0. El valor de G se determina leyendo el valor de G' de la extrapolación para w tendiendo a infinito. Así lrel = h/G. Además, para un frecuencia dada, leyendo los valores de G' y h' para esa frecuencia, se cumplirá que: s = G'g + h'g .

Estudie el epígrafe 5.7, página 338 - 340. En él se presentan relaciones entre las funciones viscosas y las de la viscoelasticidad lineal, a partir de la realización de ensayos oscilatorios. •

•

Cuando la frecuencia y el gradiente de cizallamiento son iguales, la viscosidad compleja es igual a la viscosidad en estado estacionario. Esta es la regla de Cox-Merz Una extensión de esta regla plantea que al graficar la viscosidad compleja contra gow el gráfico es equivalente a graficar la viscosidad aparente contra el gradiente de cizallamiento. gow se define como gradiente de cizallamiento efectivo. La equivalencia entre viscosidades complejas y estacionarias se ha encontrado en un amplio intervalo, para suspensiones concentradas con esfuerzo de fluencia.

Ejemplos de aplicación. De manera general, la sangre coagulada y la nata se aproximan al modelo de Maxwell, mientras que los geles de gelatina se aproximan al de Kelvin. Los helados, fideos cocidos, la masa de harina de trigo, el queso, las espumas de proteínas, se aproximan al modelo de Burgers. Lea el experimento de Michaud que se describe a continuación. (Tomado de H Muller: Introducción a la reología de los alimentos, Ed Acribia 1992). Se conectan dos matraces a través de un capilar fino y se llenan con una disolución diluida de agar. Un día después, la solución líquida en los matraces está equilibrada y es idéntica la altura en ambos matraces. Se introduce en uno de los matraces una varilla de vidrio que desplaza una pequeña cantidad de líquido y hace subir el nivel en ese matraz. Si el líquido fuera newtoniano se establecería de inmediato un flujo de líquido de uno a otro para restablecer la igualdad de nivel. La disolución de agar ofrece resistencia al flujo y para que el flujo ocurra se requiere la aplicación de una fuerza finita aunque sea muy pequeña. En esto sigue un comportamiento similar al modelo de Kelvin. Si la disolución se calienta por encima de la temperatura a la que funde el agar concentrado este efecto de resistencia a fluir no se produce. En el caso de los geles de gelatina (coloides hidrófilos que poseen una red tridimensional de moléculas) se puede lograr en experimentos cortos, que se

comporten como sólidos elásticos, pudiendo determinarse su módulo de rigidez o de cizalladura por el siguiente método (Método de Saunders y Ward): Se coloca el producto en un recipiente en forma de tubo a temperatura controlada y se deja que el producto gelifique. El tubo termina en un capilar en U lleno de mercurio. Se aplica por el otro extremo abierto del sistema una presión de aire y se mide la deformación en volumen causada por la presión, basándose en el ascenso del mercurio en el capilar. Así G = DP r14 / 8 L r2 2 h, donde r1 es el radio del recipiente, r2 el radio del capilar, L la altura del gel y h el desplazamiento del mercurio en el capilar. Los geles de gelatina son casi hookianos. En experimentos prolongados se acentúa el comportamiento viscoso. Las masas de harina de trigo son unos de los productos alimenticios con comportamiento reológico más complejo. Muchas de las determinaciones que se realizan con ellas son aún empíricas. Entre ellos está el sistema Brabender, que utiliza un amasador registrador, el farinógrafo. Se coloca en el plato de mezcla la harina y se le añade agua con una bureta y se va amasando a 30°C, al tiempo que se registra automáticamente la consistencia de la masa. Cuando se alcanza el valor de 500 unidades empíricas se detiene el mezclador. El agua descargada de la bureta es la que incorporó la harina. Se repite el ensayo pero añadiendo de una vez el agua antes medida, obteniendo la gráfica de amasado, característica para cada harina. El sistema Brabender utiliza también un extensógrafo. Este aparato forma un cilindro de masa conteniendo un poco de sal y el agua determinada en el farinógrafo y tras 45 minutos de reposo a 30°C estira la masa hasta romperla. Se obtiene una gráfica de carga-alargamiento típica de la harina utilizada. Con las masas se han utilizados técnicas fundamentales, no empíricas, como las oscilatorias, de carga y descarga y de relajación del esfuerzo, con buenos resultados para el trabajo de investigación. Para uso industrial no resultan satisfactorias por lo laboriosas, prefiriéndose los métodos empíricos, ya que aunque no se sepa qué es lo que se mide, permite la comparación y por tanto, la realización del control de calidad. A continuación se presentan datos tomados en experimentos con masa de harina de trigo reportando la deformación como deformación relativa [DL / (L+DL)]. (Tomados de H. Muller: Introducción a la reología de los alimentos, Ed Acribia, 1992). Se le sugiere que confeccione el gráfico de deformación relativa contra tiempo a esfuerzo constante. N/m2

t (min)

DL / (L+DL)

s N/m2

t (min)

DL / (L+DL)

1140

0.15

570

0.06

0.45

0.15

0.56

0.20

5.5

0.58

5.5

0.22

0.55

0.20

0.54

0.18

0.54

0.18

Al representar los datos anteriores se puede plantear que la masa se adecua al modelo de Burgers, (aunque realmente requiere de otros elementos modificadores, hasta el número de 12, para un mejor ajuste). El gluten ha sido utilizado como mejorador de la harina de trigo. (Tomado de A Saiz y colaboradores Revista Alimentaria, No 280, marzo, 1997, pag 83-87). Las principales proteínas componentes del gluten son las gluteninas y las gliadinas. Las primeras se relacionan con la elasticidad y producen una masa compacta y elástica por deshidratación. Las segundas se relacionan con la extensibilidad y dan origen a una masa fluida y viscosa por deshidratación, extensible y poco elástica, y responsable del volumen del pan. Estas propiedades dependen de la formación de puentes disulfuros. Durante el amasado, las partículas de harina se entrecruzan formando una fase continua y cohesionada. A mayor contenido de grupos -SH y S-S, mayor consistencia de la masa. Para evaluar el comportamiento se utilizó un farinógrafo de Brabender en el que se coloca una masa fija de muestra a la que se agrega agua para obtener consistencia de 500 unidades y determinar la capacidad de absorción de agua. Durante el amasado posterior se midió la elasticidad y las modificaciones de consistencia. Los resultados se muestran a continuación: 0%gluten 2% gluten 10% gluten 20% gluten 30% gluten Absorción de agua 63 ml

63.8

66.8

Consistencia unidades Brabender

500

532

653

900

1140

1.9

2.5

5.5

100

105

Tiempo desarrollo min Elasticidad

La consistencia y la elasticidad de la harina aumentan con la adición de gluten. La elasticidad aumenta hasta aproximadamente el 15% de gluten agregado, permaneciendo luego casi constante. No obstante estos resultados, los aspectos organolépticos limitan la adición al 6% de gluten (migas oscuras, tamaño de alveólos grandes, distribución no homogénea, resultando gomoso y no agradable).

Estudie el ejemplo 5.8.4, página 348 -349 del texto básico. En este ejemplo se realizan diversos gráficos para pruebas oscilatorias. • • •

A partir de los datos de la figura 5.22 se ajusta la ley de potencia para G' y G'' en función de w. Conocidas éstas se puede encontrar h', h'', tan d, G* y h*. Observe cómo en el gráfico log-log, todas son rectas excepto la relación de G* y h* con la frecuencia.

Lea el ejemplo que se desarrolla a continuación preparado a partir de los experimentos realizados por J. Franco, A. Guerrero y C. Gallegos (Grasas y aceites, Vol 46 Fasc 2, 1995, p 108-114) para describir la viscoelasticidad de emulsiones de aceite en agua del tipo salsa fina. Las emulsiones se prepararon utilizando un estearato de sacarosa (HLB =15) como emulsionante y aceite de girasol y contenían además yema de huevo como emulsionante. Las concentraciones fueron de 3 -10 % para el estearato de sacarosa y de 45 - 55 % para el aceite y la temperatura 25°C. Las mediciones de cizalla oscilatoria se realizaron en un reómetro Bohlin CS-50, utilizando el sistema sensor cono-plato (4°, 40 mm). Los valores de los módulos de almacenamiento y de pérdidas se presentan en función de la frecuencia, para diferentes valores de % de aceite y de % de estearato de sacarosa. Para 45% aceite y 5% estearato de sacarosa w s-1

G' (Pa)

0.01

4.8 *102

3.0 * 102

0.1

1.2 *10

6.0 * 102

2.0 *103

8.2 * 102

3.0 *103

9.0 * 102

100

4.0 *103

1.3 * 103

G''(Pa)

Para 55% aceite y 5% estearato de sacarosa w s-1

G' (Pa)

G''(Pa)

9.0 *10

4.8 * 102

0.1

1.5 *10

9.0 * 102

3.2 *103

1.2 * 103

5.0 *103

1.2 * 103

100

6.0 *103

2.0 * 103

0.01

Para 50% de aceite y 3% de estearato de sacarosa

w s-1

G' (Pa)

G''(Pa)

0.01

2.0 *10

1.5 * 102

0.1

3.5 *102

2.0 * 102

7.0 *102

3.0 * 102

1.0 *103

4.0 * 102

100

1.7 *103

7.0 * 102

Se sugiere que realicen la representación de los valores anteriores. En todos los casos se observa una variación similar de los módulos con la frecuencia, destacándose una zona de prácticamente pendiente 0 para el módulo de pérdida. Se observa cómo: •

•

• •

•

A igual concentración de aceite una mayor concentración de estearato de sacarosa produce un aumento en ambos módulos, aunque el incremento es cada vez menor conforme aumenta la concentración. A igual concentración de estearato de sacarosa, una mayor concentración de aceite produce un aumento en ambos módulos, o sea un aumento en las funciones viscoelásticas, de donde la variación en el contenido de aceite no parece afectar la formación del entramado tridimensional. La componente elástica es mayor que la viscosa. Se presenta una zona prácticamente constante en G'' para concentraciones de estearato de sacarosa mayores que 3%. La aparición de una zona prácticamente constante en G'' ha sido relacionada en la reología de polímeros con la existencia de entrelazamientos entre cadenas poliméricas, por lo que para las emulsiones se puede asociar con la existencia de entrelazamiento entre gotas, lo que conduce a una floculación extensiva. El aumento cada vez menor de las funciones G' y G'' con la concentración de emulsionante puede explicarse por la saturación de la interfase por la presencia cada vez mayor del emulsionante. Dada la baja solubilidad del estearato en agua, éste tenderá a situarse en la interfase aceite/agua, provocando un desplazamiento de las proteínas hacia el medio continuo. Las proteínas del medio continuo pueden favorecer los entrelazamientos entre los flóculos creando una estructura más resistente, aumentando el intervalo de viscoelasticidad lineal.

Preguntas y problemas a solucionar por el alumno 1. Justifique la siguiente afirmación: " En pruebas oscilatorias un pequeño desfasaje se corresponde con un material elástico". 2. Interprete la figura 5.2 a la luz de la estructura del material. 3.¿Cuál de los dos fluidos tendrá mayor carácter elástico a 40°C: la pasta de tomate o el relleno de pastel de fresa? (Utilice los datos del apéndice 6 del libro de texto básico).

4. Basándose en la ecuación 5.47, demuestre que para un fluido viscoso ideal la curva log G' vs log w tendrá pendiente 2 mientras que para uno elástico ideal la pendiente tenderá a 0. 6. Se obtuvieron los siguientes datos en ensayos a esfuerzo constante para una salsa para ensaladas. Las experiencias se realizaron a un valor de so= 2.28 Pa, y 3°C. t (s) J (Pa-1) para la salsa regular

t (s)

J (Pa-1) para la salsa regular

0.000164

0.005927

0.1

0.000200

0.008705

0.2

0.000236

0.01148

0.4

0.000307

0.01426

0.6

0.000376

0.01703

0.000837

0.02537

0.001145

180

0.05037

0.001443

240

0.06704

0.001734

300

0.08370

0.003146

400

0.11148

Determine los parámetros del modelo de Burgers. 6. A partir de los datos oscilatorios para la mantequilla reportados por Rohm y Weidinger se presenta el siguiente problema: Viscosidad dinámica (Pa s)....Módulo de almacenamiento (Pa) w rad/s T= 5°C

T=10°C

T=20°C

T=5°C

T=10°C

T=20°C

0.001

1.073E9

3.501E8

3.505E7

1.268E6

4.425E5

4.688E4

0.005

2.147E8

7.002E7

7.008E6

1.694E6

5.738E5

6.163E4

0.01

1.070E8

3.500E7

3.501E6

1.919E6

6.411E5

6.340E4

0.05

2.149E7

7.000E6

7.002E5

2.564E6

8.294E5

9.116E4

0.1

1.075E7

3.505E6

3.506E5

2.904E6

9.267E5

1.025E5

0.5

2.144E6

7.008E5

7.009E4

3.880E6

1.199E6

1.348E5

1.073E6

3.503E5

3.499E4

4.396E6

1.339E6

1.517E5

2.148E5

7.006E4

7.001E3

5.873E6

1.733E6

1.994E5

1.070E5

3.509E4

3.495E3

6.653E6

1.936E6

2.244E5

2.145E4

7.002E3

7.009E2

8.889E6

2.505E6

2.950E5

•

• • •

Encuentre los parámetros de ajuste de la relación entre viscosidad dinámica y frecuencia y entre módulo de almacenamiento y frecuencia para cada temperatura. Encuentre un modelo que relacione la dependencia de la viscosidad dinámica y del módulo de almacenamiento con la temperatura. Calcule el valor de frecuencia para la que tan d =1. Evalúe la viscosidad compleja y el módulo complejo para la frecuencia de 30 rad/s

7. En estudios con gliadina (agua añadida hasta alcanzar un 25% de humedad), H. Madeka y J. Kokini (Journal of Food Eng.Vol 22, 1994; p. 241-252) utilizaron un reómetro de platos paralelos (diámetro de plato 20 mm, distancia 2 mm) para la realización de ensayos oscilatorios de pequeña amplitud para determinar G' y G'' en el intervalo de temperatura 50 - 160°C. La deformación aplicada fue 0.5 - 1.0 % y la frecuencia seleccionada 6.28 rad/s. T °C

G' (Pa)

G'' (Pa)

2.5 E4

1.5 E4

1.1 E4

2.8 E4

2.3 E4

7.0 E4

3.8 E4

100

1.4 E5

4.2 E4

115

4.0 E5

3.8 E4

125

3.9 E5

7.0 E4

135

2.8 E5

1.1 E5

150

1.1 E5

3.8 E4

• •

Interprete la dependencia de G' y G'' con T en términos estructurales. Calcule la viscosidad compleja a w=6.28 rad/s ; T = 115°C y T = 135°C . Compare los resultados.

8. En ensayos para determinar G' y G'' en función de la frecuencia, H. Madeka y J. Kokini (Journal of Food Eng.Vol 22, 1994; p. 241-252) obtuvieron los siguientes resultados para gliadina al 25%: T = 50°C

T = 50°C

T = 100°C

T = 100 °C

w (rad/s)

G' (Pa)

G'' (Pa)

G' (Pa)

G'' (Pa)

0.1

4000

3000

400000

100000

10000

600000

60000

30000

800000

80000

100

80000

60000

800000

100000

• •

Construya la curva de viscosidad compleja vs frecuencia. Determine la pendiente de la curva log G' vs log w y defina a qué temperatura hay un mayor comportamiento elástico.

Capítulo 4. Importancia de los parámetros reológicos en los fenómenos de transporte. Aclaración general El Capítulo 4 utiliza en toda su extensión, los conocimientos de Fenómenos de Transporte, estudiados con anterioridad. Para el estudio de este tema deberá hacer uso del contenido de este material y cuando presente alguna duda en el planteamiento de las ecuaciones básicas, deberá repasar los contenidos de la asignatura Fenómenos de Transporte, utilizando para ello el texto de dicha asignatura. No obstante, la consulta del clásico de la materia, Transport Phenomena de Bird, Stewart y Lightfoot, será de gran utilidad. Introducción En el procesamiento de alimentos son comunes las operaciones unitarias de flujo de fluidos, transferencia de masa, transferencia de calor, así como operaciones particulares de separación. En estas operaciones juegan un papel importante las propiedades reológicas y para el diseño y operación de los equipos del proceso, se necesita del conocimiento de esfuerzos, tensiones, gradientes de velocidad, etc. Datos seguros para sistemas muy bien caracterizados han sido utilizados, junto a los fundamentos teóricos, para desarrollar modelos predictivos de propiedades de estas sustancias, y a partir de ellos de otras sustancias puras y de sus mezclas. El transporte de masa, energía y momentum a través de un fluido es consecuencia del movimiento molecular y de las interacciones moleculares. A niveles macroscópicos, asociado con el transporte de cada uno hay un coeficiente de transporte X de modo que el flux J de cada variable es proporcional al gradiente de una variable de estado Y. O sea J = - X ÑY. Los tres coeficientes de transporte principales son : viscosidad, conductividad térmica y coeficiente de difusión másico.

En este tema se estudiarán cinco casos típicos: el flujo isotérmico en tuberías circulares, el cálculo de pérdidas por fricción, la caída de presión en válvulas, el efecto de la viscosidad en la transferencia de calor y el efecto de la viscosidad en la transferencia de masa.

Flujo isotérmico en tuberías circulares. En la industria de alimentos, es frecuente encontrar fluidos de viscosidad media y alta, de donde el trabajo en flujo laminar no es extraño. Perfiles de velocidad y flujo volumétrico para el flujo en un conducto circular. Analicemos cómo evaluar el perfil de velocidad y el flujo volumétrico en un conducto circular como el mostrado en la figura 2.4, página 98 del texto básico. Tendremos una coordenada radial, representada por r y una axial representada por z. Ecuaciones que describen perfiles de velocidad pueden utilizarse para analizar la influencia de diversos modelos reológicos en la distribución de velocidades y para determinar la distribución de tiempos de residencia de las partículas. Para el flujo de un fluido en una tubería circular de radio R, el perfil de velocidad se establece de: uz= ò (-duz/dr) dr El flujo volumétrico Q = (p R 3/ sw3) ò srz 2 (-du/dr) d srz siendo s rz =sw r/R = - (r/2) (dP/dz) En la expresión para el cálculo de Q se puede sustituir (-duz/dr) por expresiones de diferentes modelos reológicos, encontrando la relación de Q y DP, siendo DP la caída de presión. Por ejemplo para un fluido que cumpla la ley de Newton: uz= ( DP/4mL) [R 2 - r 2] La ecuación que expresa la velocidad en el eje z permite comprobar que el perfil de velocidad es parabólico para un flujo laminar, incompresible. La velocidad máxima se encuentra para r = 0 siendo:

uzmax= (DPR 2 /4mL) Puede definirse una velocidad promedio calculada a partir de la suma de todas las velocidades en una sección transversal entre el área de la sección transversal siendo: <uz>= (DPR 2 /8mL). Observe cómo <uz> = uzmax/2 El valor del flujo volumétrico se calcula de: Q = (p R3 / 4) ( sw/m) Aquí sw es el esfuerzo en la pared, y sustituyendo su valor DPR/2L Q = (p R4 DP /8m L) Ecuación de Hagen - Poiseuille. Observe cómo por estar elevado el radio a la cuarta potencia, su influencia en el valor de Q será grande. Por otra parte, observe cómo si se grafica srz vs r se obtendrá una línea recta siendo: srz = 0 para r=0 ; srz = sw para r=R . Si el fluido cumple la ley de potencia se llega a: uz = [n/(n+1)] ( DP/2KL) 1/n [R (n+1)/n - r (n+1)/n] uzmax= [n/(n+1)] ( DP/2KL) 1/n [R (n+1)/n ] <uz> = R(n+1)/n [n / (3n+1)] ( DP /2LK) 1/n De aquí se aprecia cómo a medida que n sea menor el perfil de velocidad será más plano y menores las diferencias entre las partículas de fluido más lentas y más rápidas. Al calcular la relación uzmax / <uz> = (3n+1) / (n+1), de donde se aprecia el efecto de n en el perfil obtenido. (Figura 2.5, página 104 del texto básico). La ecuación para evaluar el flujo volumétrico es: Q = p R3 [n / (3n+1)] ( sw/K) 1/n Como sw es el esfuerzo en la pared, se obtiene: Q = p R(3n+1)/n [n / (3n+1)] ( DP /2LK) 1/n Para un fluido que cumpla el modelo de Bingham:

Desde el centro del cilindro, hasta un valor de Ro = 2 so L / DP, obtendremos un perfil de velocidad constante, cuya velocidad será la máxima. uzmax = DP R2 /4 hpl L [ (1 - Ro /R )2] Fuera de dicha zona, o sea para R0 < r < R uz = 1/hpl { (DP/4L) [R 2 - r 2] - s0 (R-r)} <uz> = ( DP R2 / 8L hpl) [1 - 1.75 so/sw + 1/3 (so/sw) 4] Si se calcula la relación uzmax / <uz>se obtiene: (figura 2.6, página 106 del texto básico) uzmax / <uz>= [2(1-2c+2cr/R- (r/R)2 )] /[1-1.75c+c4/3] De aquí se aprecia que a medida que el esfuerzo de fluencia aumenta, el radio de la zona de velocidad constante aumenta y el perfil de velocidad es más plano. El cálculo del flujo volumétrico arroja: Q = (p R3 sw/ 4 hpl) [1 - 1.75 so/sw + 1/3 (so/sw) 4] Q = (p DP R4 / 8L hpl) [1 - 1.75 so/sw + 1/3 (so/sw) 4] Ecuación de BuckinghamReinier Aquí hpl es la viscosidad plástica, sw es el esfuerzo en la pared y so es el esfuerzo de fluencia. Cuando se desea calcular la caída de presión con un fluido plástico, la solución de la ecuación de Buckingham - Reinier no es directa. El error por omitir el término elevado a la cuarta potencia es del 6% cuando so/sw = 0.5 y del 1.8% cuando so/sw= 0.4. De las ecuaciones hasta aquí estudiadas se aprecia que: • •

•

Existe una relación entre el flujo volumétrico Q y el radio del conducto R. A mayor radio del conducto el flujo volumétrico será mayor. Para un fluido seudoplástico, la caída de presión por unidad de longitud DP / L se relaciona con el flujo volumétrico y el radio del conducto según: DP/L a Q n / R 3n + 1. Si se incrementa el radio R, en el fluido seudoplástico la modificación del gradiente de presión será menor que en un fluido newtoniano, para igual valor de Q. Observe que para un fluido seudoplástico de n = 0.2 se cumplirá que DP/L a Q 0.2 / R 1.6, mientras que para un fluido newtoniano DP/L a Q /R 4 .

Ejemplos. Estudie el ejemplo 2.12.1 páginas 141 - 143 del texto básico analizando la aplicación de las ecuaciones básicas de transferencia de momentum para el flujo de fluidos por un conducto circular. Estudie el siguiente ejercicio: Por un conducto circular horizontal de 0.3 m de longitud y 0.025 m de diámetro interior fluye glicerina a 26°C. ¿Qué caída de presión se producirá para un flujo volumétrico de 0.019 m3/s?. Se conoce que la glicerina se comporta como un fluido newtoniano de viscosidad 490 mPas y que su densidad es 1261 kg/ m3. Solución: DP = (8QLm)/(pR4) = (8 * 0.019m3/s* 0.3m* 0.490Pas) / (3.14* (0.0127m)4)= 273537 Pa =0.27MPa Puede comprobarse el carácter laminar calculando: NRe= ruzD/m= rQD/(mpR2) = 1261kg/ m3* 0.019m3/s* 0.0254m/( 490Pas* 3.1416* (0.0127m) 2) = 2.45. Perfiles de velocidad y flujo volumétrico para el flujo a través del espacio anular entre dos cilindros concéntricos. Si un fluido incompresible newtoniano fluye en estado estacionario en régimen laminar por la región anular de dos cilindros concéntricos de radios aR (cilindro exterior) y R(cilindro interior) y de longitud L, se cumplirá que: srz = (DP R /2L) { (r/R)- [(1-a2)/(2 ln (1/a))] R/r} uz = (DP R2 /4 mL) {[1- (r/R)2+ [(1-a2)/( ln (1/a))] ln (r/R)} La velocidad máxima ocurrirá para un valor de radio entre R y aR que llamaremos lR, de donde: uzmax = (DP R2 /4 mL) {1- [(1-a2)/(2 ln (1/a))][ 1 - ln (1-a2)/(2 ln (1/a))]} La velocidad promedio será: <uz>= (DP R2 /8mL) { (1-a4)/(1-a2) - (1-a2)/( ln (1/a))} Observe que si a = 0 el problema se reduce al flujo en tuberías circulares. Por otra parte el flujo volumétrico se calcula como: Q = p R2 (1-a2) <uz> = (pDP R4 /8mL) { (1-a4) - (1-a2)2/( ln (1/a))} Si representa los perfiles en función del radio encontrará que: • •

El perfil de velocidad presenta un máximo en la región anular a una distancia lR del centro del conducto. El perfil de esfuerzos toma el valor 0 en lR. En este caso el perfil no es una línea recta, sino una curva con valores negativos y positivos, pasando por el valor 0 en el centro del sistema de cilindros concéntricos.

Cuando el fluido es no newtoniano se han realizado múltiples trabajos con el fin de solucionar las ecuaciones a que se llega a partir de las ecuaciones de conservación de momentum. Para la solución se realizan simplificaciones, dada la complejidad matemática de las mismas. Trabajos como los de Fredrickson y Bird, Vaughn y colaboradores, constituyen clásicos del tema y más recientemente, los realizados por Filip y colaboradores y Tuoc y Mc Given, continúan en la búsqueda de soluciones más completas. Fredrickson y Bird parten de las ecuaciones de continuidad y movimiento:

dr/dt +(Ñ.ru) = 0 r [du/dt + ( u.Ñ)u] = -ÑP - ( Ñ.s) + rg La expresión de las ecuaciones anteriores en coordenadas cilíndricas y la aplicación de las restricciones (flujo incompresible, laminar, estacionario, efectos terminales despreciables) conduce a: srz = DP( r - (lR)2/r)/2 siendo l una constante que brinda la posición radial (r=lR)para la que srz=0. Esta ecuación constituye el punto de partida de los autores para encontrar la solución para los modelos de Bingham y la ley de potencia. Si el fluido cumple el modelo de Bingham se reportan tres perfiles de velocidad: En esta deducción los autores llaman : • • • • •

R : radio del cilindro exterior kR: radio del cilindro interior T= 2srz /DPR; To =2s0 /DPR f = (2 hpl / DPR2) uz y = r/R

f- = - To(y - k) -0.5 (y2-k2) + l2 ln y/k ; k< y< lfo= f- = f+ ; l-<l<l+ f+ = - To(1 - y) -0.5 (1- y2) + l2 ln y ; l+< y< 1 Para calcular el valor de l se igualan las velocidades antes y después de l, o sea: 2l+ (l+ - To) ln (( l+ - To)/(l+k)) - 1 + (To + k )2 + 2To (1 - l+) =0 La solución de esta ecuación es presentada de forma gráfica por los autores. (Industrial and Engineering Chemistry Vol. 50 No. 3 1958). El flujo volumétrico se calcula de: Q= (p DP R4 / 8 hpl) [(1-k4) - 2l+(l+ - To) (1-k2)-1.75 (1+k3) To + 1/3 (2l+-To)3 To] Esta expresión es válida para To < (1 - k) y no existirá flujo si To > (1-k). Los resultados se presentan en forma gráfica en el artículo expresando W=Q/(p DP R4 / 8 hpl) vs k y To. Para calcular la velocidad promedio <uz> = Q /pR2(1-k2) Para altos Q, la ecuación se simplifica y se cumple que: (ecuación modificada del original siguiendo una fe de erratas posterior.) Q= (p DP R4 / 8 hpl) [(1-k4) - ((1-k2)2/ln(1/k))-1.75 (1+k3) To + 8/3 ((1-k2)/2ln(1/k))3/2 To] Cuando estamos en presencia de un ánulo muy estrecho (k cercano a1) Q= (p DP R4 / 6 hpl) (1-k)3 [1- 3/2 To/(1-k) + 0.5 (To/(1-k))3] Algunos datos típicos del modelo son: (Precisar de las definiciones que To: esfuerzo de fluencia adimensional; fo: velocidad máxima adimensional; W: flujo volumétrico adimensional) k

To=0.1 To=0.1 To=0.1 To=0.1 To=0.3 To =0.3 To =0.3 To=0.3 l

W/To

0.1 0.507

0.182

0.483

4.825

0.607

0.105

0.307

1.023

0.4 0.724

0.064

0.154

1.541

0.827

0.023

0.065

0.215

0.7 0.895

0.010

0.016

0.1600 1.000

De aquí se aprecia cómo el tamaño del espacio anular afecta los valores del perfil de esfuerzos, modificando el valor de radio para el que el esfuerzo de corte es 0. También resultan afectados los valores de velocidad y de flujo volumétrico. Ejemplo: Analice el siguiente ejemplo resuelto. Un material de densidad 1690 kg/m3 fluye a 1.52m/s de velocidad promedio a través del ánulo formado entre una tubería de 0.021m de diámetro y otra de 0.0526 m de diámetro. Las constantes del modelo de Bingham son so= 25.17 Pa y hpl=0.0279 Pas. Calcule la caída de presión por unidad de longitud requerida. Solución: Dimensiones del ánulo k= 0.021/0.0526=0.40; R=0.0263m Flujo volumétrico Q = pR2(1-k2)<uz>= 3.14*(0.0263)2 (1-0.16) 1.52=2.77* 10-3m3/s La cantidad W/To = 4 hpl Q / p R3 so = 4 *0.0279 * 2.77* 103 /3.14*(0.0263)3*25.17= 0. 215 De la tabla anterior se lee que para k=0.4 el valor de W/To=0.215 corresponde a una To = 0.3. Por lo anterior DP/L= 2* so / (To*R)= 2*25.17/(0.3*0.0263) = 6380 Pa/m Paa fluidos que cumplan la ley de potencia la solución de la ecuación que permite calcular el flujo volumétrico a que arriban Fredickson y Bird es: Q = p R3 (DPR/2K)s W(s,k) en la que s = 1/n y la función W(s,k) se presenta en forma de tabla. Para que se pueda apreciar la dependencia de los parámetros con s y k se presentan valores calculados. umax/

k=0.1

k=0.4

k=0.7

k=0.1

k=0.4

k=0.7

1.567

1.514

1.504

0.464

0.677

0.846

1.419

1.350

1.337

0.419

0.666

0.843

1.280

1.217

1.205

0.379

0.654

0.841

1.140

1.106

1.000

0.344

0.643

0.839

Observe cómo el valor de umax/ tiende a un valor constante a medida que k aumenta, o sea cómo el valor máximo y el promedio se aproximan. Para el caso de ánulos muy estrechos, la ecuación toma la forma de: Q = (p R3/(s+2)) (DPR/2K)s (1-k)s+2 Vaughn y Bergman (IEC Process design and development Vol 5 No 1, 1966) presentan un método para el que usan una función esfuerzo en la pared del cilindro exterir swo = (DP R / 4L) (1-l2) y la grafican contra una función modificada

del flujo 32Q/ (pR3 (1-k2)) utilizando en la solución el valor de l de Fredrickson y Bird. Tuoc y Mc Given (Trans I Chem E Vol 72 Part A Set 1994) propusieron una ecuación válida para 0.417<k<0.83 que no requiere de un modelo reológico particular y es una aproximación de la ecuación de Rabinowitsch-Mooney. David y Filip(Fluid Dynamic Research, Vol 14 , 1994) propusieron, a partir del trabajo de Fredrickson y Bird, un método que elimina el cálculo del parámetro l o sea la posición del máximo de velocidad. El método se basa en una solución de cuasisimilaridad que permite transformar la solución individual para cada k de la relación DP vs Q en una ecuación cuasigeneral a partir de la relación entre la solución para una condición dada y la condición para n tendiendo a infinito. Con posterioridad (Journal of Petroleum Science and Engineering, Vol 16, 1996) presentaron la solución que se presenta en el siguiente ejemplo. Ejemplo: Estudie el siguiente ejemplo en que se utiliza el método de Davis y Filip. Para el flujo de un fluido por un ánulo se conoce que: R= 0.2032m; k = 0.405; n=0.22; DP/L = 97 Pa/m; K = 3.1 Pa s0.22. Calcule el flujo volumétrico. Solución: Como se aprecia de los datos el fluido cumple el modelo de la ley de potencia y es un fluido seudoplástico. El método consiste en: 1. Aplicación de los parámetros geométricos. Calcular un flujo volumétrico normalizado: Q norm (k,1)= [(1+k)/(1-k)] [ (1+k2)/(1-k2) + 1/ lnk] válido para n tendiendo a 1. Q norm (k,0)= 1/2 [ 1 + (3 Qnorm(k,1) - 2) 0.9k3/8] válida para n=0 Así Q norm (k,1)=0.6755 y Q norm (k,0)= 0.5487. 2. Aplicación de los parámetros reológicos. Calcular un flujo volumétrico normalizado: Q norm (k,n)= [1/ (1+2n)] [(1-n) Q norm (k,0) +3nQ norm (k,1)] Así Q norm (k,n)= 0.6068 3. Aplicación de parámetros cinemáticos y reológicos. Calcular el flujo volumétrico por el ánulo: Q = [(pR3n)/(1+3n)] (1-k) 2+1/n (1+k) Q norm (k,n) (DPR/2KL)1/n Q= 0.01911 m3/s Perfiles de velocidad y flujo volumétrico para el flujo en un impelente de tornillo helicoidal con tubo de descarga. (Desarrollado en la tesis doctoral de la autora de esta guía ) Un caso interesante se presenta cuando tenemos un sistema formado por: un impelente helicoidal que rota dentro de un cilindro de radio rt, el cual está rodeado de otro cilindro de radio R . El movimiento ascendente del fluido en el espacio entre el eje del impelente y el cilindro de radio rt tiene dos componentes, una axial y una radial. Cuando el fluido llega a la parte superior pasa hacia el espacio anular comprendido entre rt y R con un flujo axial descendente. Desarrollo del modelo teórico

Las ecuaciones que describen el flujo de un fluido incompresible e isotérmico son la de continuidad y la de cantidad de movimiento: ( Ñ. u ) = 0 ......................................................................................(1) r {d u / d t + ( u . Ñ ) u } = -Ñ p - (Ñ . s) + r g ..................................(2) En coordenadas cilíndricas el campo de velocidades puede expresarse como: ( u r , u q , u z ) = ( 0, r w (r) , v (r) ) .................................................(3) Cuando el sistema se encuentra en estado estacionario y el flujo es laminar, las componentes de velocidad axial y tangencial pueden expresarse como: m v¢( r) = a r + b / r .......................................................................(4) m r w ¢( r ) = - M1 / 2 p r2 ..............................................................(5) siendo m la viscosidad y M1 el momento por unidad de longitud ejercido en el cilindro interior de radio r, v¢( r)=dv/dr y w ¢( r )= dw /dr. Como quiera que la viscosidad del fluido depende en general del gradiente de velocidad y que éste presenta dos componentes, una axial y otra tangencial, se puede suponer que : g = ( ( r w¢)2 )+ v¢ 2 ) 0.5 ................................................................ (6) donde g es el gradiente de velocidad local. Si el fluido cumple la ley de potencia: m = K ( g ) n-1 .................................................................................(7) Combinando las ecuaciones (4) y (5) se obtiene: v¢ = - 2 p ( a r2 + b ) r2 w¢/ M1 ......................................................(8) Combinando las ecuaciones (4), (5), (6) , (7) y (8) se obtiene que: w¢= - ( M1/ 2 p K ) 1/n r -(1+2/n) f 1-(1/n) (r,a,b ) ........................(9) donde: f( r, a , b ) = ( 1 +( 4 p2 r2 / M12 ) ( a r2 + b)2 )-0.5....... (10) Puesto que para una geometría compleja como la que presenta el tornillo helicoidal la solución matemática es difícil, se necesita introducir el concepto de radio equivalente, definido como el radio de un cilindro interior en un sistema de cilindros concéntricos que cumpla la condición de que el gradiente de deformación en la superficie del cilindro interior equivalente sea igual al gradiente de deformación promedio dentro del tubo de descarga. Este radio, denominado re,

permite la evaluación de los parámetros a y b a partir de las condiciones de contorno. Si se considera que no existe efecto de deslizamiento, las condiciones de contorno entre el cilindro de radio equivalente y el tubo central son: v(re) = 0; v(rt) = 0 ...........................................................................(11) w(re) = W; w(rt) = 0........................................................................ (12) donde W es la velocidad angular a la cual rota el tornillo helicoidal, mientras el tubo central permanece fijo. Al integrar (9) bajo las condiciones de contorno declaradas en (11) y (12) se obtiene: W = ( M1 / 2 p K ) 1/n ò r-(1+2/n) f (1-1/n) (r,a,b) dr ....................(13) La ecuación anterior permite relacionar la velocidad de rotación con el torque por unidad de longitud, conocidos a y b, realizando la integración de forma definida entre re y rt. La evaluación de los parámetros a y b puede realizarse conociendo el flujo axial. Al ser el sistema estacionario, el caudal por la corona externa, esto es, entre el tubo de descarga y la cuba cilíndrica, es igual al caudal en el espacio comprendido entre el eje del tornillo y el tubo de descarga. Como quiera que la corona externa es un ánulo entre dos cilindros concéntricos por el cual circula un fluido no newtoniano, su evaluación puede realizarse a partir de las ecuaciones presentadas por Fredrickon y Bird para un fluido no newtoniano que cumpla la ley de potencia. v(r) = R (P R / 2 K)1/n ò (l2 / q - q ) 1/n dq ; k < q < l .....................(14) v(r) = R ( P R/ 2 K)1/n ò( q - l 2 / q )1/n dq; l < q < 1 .......................(15) donde: q = r/R es la distancia radial adimensional ;l es la distancia radial adimensional para la cual, en el ánulo, srz = 0 ; k = rt / R ; P= (po - pL) / L + r gz Las condiciones de contorno que permiten integrar las ecuaciones (14) y (15) son: v(rt) = 0 y v(R) = 0 equivalente a v = 0 para los valores de q= k y q = 1. Las ecuaciones (14) y (15) deben arrojar idénticos valores de velocidad axial para q= l por lo que se ha de cumplir que: ò( l 2 / q - q )1/n dq = ò (q- l2 / q )1/n.................................................(16)

La ecuación anterior permite evaluar l en función de la geometría del sistema y del índice de flujo n al integrar de forma definida, en el lado izquierdo de la igualdad entre k y l y en el lado derecho entre l y 1. Al sustituir las ecuaciones (14) y (15) en la definición del flujo volumétrico se obtiene: Q = 2 p R2 òv(r) q dq Q = p R3 ( P R / 2 K ) 1/n ò |l2 - q2| 1/n+1 q -1/n dq .........................(17) la cual puede integrarse entre k y 1, una vez conocida l a partir de la ecuación (16). Si se combinan las ecuaciones (5), (6), (7),(8) y (9) e integrando de acuerdo a (11) se obtiene, integrando definidamente entre re y rt: ò r(1-2/n) (a r2 + b ) f(1-1/n) (r, a, b )dr = 0 ......................................(18) mientras que la condición de flujo axial p ò r2 v'(r) dr + Q = 0 se convierte en: ò r(3 - 2/n) ( a r2 + b ) f (1-1/n)(r, a, b) dr + (2 p K / M1) 1/n M Q / 2 p2 ......(19) El par de ecuaciones no lineales (18) y (19), integradas entre re y rt, determinan los valores de a y b que serán utilizados para resolver la ecuación (13) y encontrar la dependencia de W y M1. Para la determinación de los parámetros reológicos Ky n, los datos experimentales obtenidos ( W y M1) para cada fluido se ajustan, utilizando un método de regresión no lineal basado en el algoritmo de Marquardt en el que la función a minimizar es: c 2 = S [ W exp - W ec13 ] i 2................................................................. (20) La estrategia de solución se resume en que a partir de un juego de valores aproximados de K y n se evalúa l ( ecuación 16) utilizando el método de Newton y la regla de Simpson. Con ello puede evaluarse el flujo volumétrico Q (ecuación 17). Seguidamente se evalúan los parámetros a y b ( ecuaciones 18 y 19) utilizando una modificación del algoritmo de Marquardt. Finalmente se calcula W (ecuación 13) y se compara con el valor obtenido experimentalmente, repitiendo el procedimiento iterativo hasta que se alcance la convergencia, encontrando los valores de K y n del fluido en cuestión. Cálculo generalizado de la caída de presión. Para fuidos independientes del tiempo en flujo laminar se desarrolló la siguiente ecuación generalizada. DP R /2L = K' (4Q /pR3) n' donde n' = d (ln sw) / d ln G ; G= (4Q /pR3)

Los valores de K' y n' se determinan del gráfico de los resultados experimentales de sw vs G en coordenadas logarítmicas. En la mayoría de los casos sus valores no son constantes, sino que varían con G. Se define un NRe generalizado = Dn' 2-n' r / K' 8n'-1 La caída de presión será DP= 32 K' 8n'-1 L n'/ D n'+1 Esta ecuación puede considerarse como una generalización de la ecuación de Hagen Poiseuille. Se comprueba con esta ecuación que para fluidos de n' bajos los cambios de DP se afectan poco con los cambios de radio o velocidad. De esta forma se puede incrementar la capacidad de un conducto variando la velocidad de la bomba sin que se afecte prácticamente la caída de presión. Para fluidos que cumplan la ley de potencia: n=n'; K' = K ((3n+1) / 4n)n Para fluidos que cumplan el modelo de Bingham: n'= [1-1.75 so/sw+ 1/3 (so/sw)4]/ (1- (so/sw)4). Si (so/sw)4<<1: n'= 1-1.75 so/sw K' = sw {h pl / [ sw ( 1-1.75 so/sw+ 1/3 (so/sw)4)]}n'. Cálculo de pérdidas por fricción. Estudie el epígrafe 2.10, página 128 - 138 del texto básico. Al estudiar el balance de energía mecánica, precise que: •

•

En la ecuación 2.105 hay un término debido a la variación de energía cinética, uno debido a la variación de energía potencial y uno debido a la carga presión. Los otros términos que aparecen en la ecuación son la sumatoria de pérdidas por fricción y el trabajo mecánico. En el término pérdidas por fricción se incluyen las debidas a los cambios de diámetro de las tuberías y a la contribución realizada por los aditamentos que se coloquen en éstas, válvulas, codos, etc. El trabajo mecánico con signo negativo implica trabajo realizado sobre el sistema, por ejemplo el realizado por una bomba o un compresor.

Para calcular las pérdidas por fricción se utiliza el factor de fricción de Fanning (f) que se define como la relación entre el esfuerzo cortante en la pared y la energía cinética por unidad de volumen, de donde: f = DPD/(r 2L 2) Esta definición permite calcular DP/r = f 2L 2 / D . Para flujo laminar newtoniano = DPD2 /( 32 L m), lo que conduce a que f = 16 / NRe que se utiliza para calcular factores de fricción para NRe< 2100 Para un fluido que cumpla la ley de potencia: f = 16 / NRe, PL Para los fluidos que cumplen la ley de potencia: NRe, PL=(Dn 2-n r / (8 n-1 K) ) ( 4n/(3n+1))n Para un fluido que cumpla con el modelo de Bingham: f = 16(6 NRe,B + NHe) / 6NRe,B2. Es de señalar que esta es la ecuación calculada eliminando el término de la cuarta potencia de la ecuación de Buckingham Reinier lo cual sucede si (so/sw)4 <<1. La ecuación exacta es : NRe,B-1 = f/16 - 1/6 (NHe/ NRe,B2) +1/3 (NHe4/ f 3NRe,B8) En esta ecuación NHe es el número de Hedstrom = soD2r/hpl2.

Para los fluidos de Bingham: NRe,B = r D / hpl A medida que el NRe,B es mayor, f decrece, mientras que aumenta con el aumento de NHe. Para flujo turbulento las ecuaciones no son válidas y se utilizan fórmulas empíricas obtenidas a partir de datos experimentales y presentadas en la tabla 2.3, página 131 del texto básico. De la figura 2.16 se aprecia cómo para flujo turbulento de fluidos que cumplen la ley de potencia, a medida que el NRe, PL aumenta, el factor de fricción de fanning disminuye, para un mismo valor de n. Este comportamiento el válido para toda n. Por otra parte para un mismo NRe, PL, mientras mayor sea n mayor será el factor de fricción de fanning. La evaluación del término variación de energía cinética en la ecuación del balance de energía mecánica es en general pequeña y el término puede ser despreciado para la mayor parte de las aplicaciones. Cuando se necesita calcular, se utiliza un factor de corrección a de modo que D KE = 2 / a. En flujo turbulento este factor toma el valor de 2 para cualquier fluido. Para flujo laminar, la tabla 2.4, página 133 presenta cómo evaluar el factor de corrección. Este factor de corrección depende del tipo de fluido. El comportamiento general es que el factor de corrección aumenta a medida que el valor de n disminuye.

Caída de presión en válvulas. Los datos reportados en la literatura que permitan evaluar la caída de presión a través de válvulas y otros elementos son escasos. La caída de presión en válvulas y otros aditamentos se expresa en términos de coeficientes de fricción kf según: DP /r = kf 2 /2. Existe un conjunto de "reglas" a seguir para utilizar los coeficientes de fricción: • • •

•

El comportamiento de los coeficientes de fricción para fluidos newtonianos y no newtonianos es similar. A medida que aumenta el diámetro de la tubería el valor del coeficiente de fricción disminuye. El coeficiente de fricción aumenta abruptamente con la dismunición del Número de Reynolds en la región laminar y permanece constante en la región de flujo turbulento. Las pérdidas de presión por efecto de entrada en la región laminar para un fluido que cumpla la ley de potencia disminuye con la disminución del índice de flujo n. Las pérdidas por efecto de entrada para fluidos que cumplan con el modelo de Bingham disminuyen a medida que so aumenta, cuando el esfuerzo cortante en la pared es constante. La resistencia al flujo de fluidos no newtonianos en la región de flujo laminar es 133 % mayor que la observada para un fluido newtoniano que pase a través de una válvula similar.

En las tablas 2.5 y 2.6, páginas135 y 136 del texto básico se reportan valores de kf. En la tabla 2.5 para flujo laminar y en la 2.6 para flujo turbulento. Observe cómo en dependencia del tipo de válvula, las pérdidas serán diferentes. Investigadores han realizado trabajos con diferentes elementos. Por ejemplo Steffe reporta para fluidos seudoplásticos las siguientes correlaciones: kf = 30.3 NRe, PL - 0.492 Válvula de 3 vías kf = 29.4 NRe, PL - 0.504 Punto en T kf = 191.0NRe, PL - 0.896 Codo 90° Adicionalmente se aconsejan las siguientes "reglas" : • • •

Para fluidos newtonianos usar los datos de las tablas 2.5 y 2.6. Para fluidos no newtonianos para valores de número de Reynolds mayores que 500, usar los datos de la tabla 2.6. Para fluidos no newtonianos en el intervalo de número de Reynolds entre 20 y 500 usar las ecuaciones kf = A/ NRePL; kf = A /NReB ; mientras que el valor de A = kf turbulento (500) .

Ejemplo: Estudie el ejemplo 2.12.6, página 152 - 155 del texto básico. En el ejemplo se calculan las pérdidas por fricción durante el bombeo de dos fluidos que cumplen la ley de potencia y tienen igual n pero diferentes K. Al concluir podrá apreciar que: •

•

• •

•

Las pérdidas por fricción incluyen la caída de presión en los tramos de tuberías recta,una válvula de disco, 3 codos, 1 efecto de cambio de diámetro y un filtro. Los valores de los coeficientes de fricción se calculan a partir de los reportados para flujo turbulento afectados por el parámetro A, para el caso 1 en que el NRe es 323.9, o sea laminar. Los valores de los coeficientes de fricción para el caso 2, se calculan a partir de los valores para flujo turbulento, ya que en este caso el flujo es turbulento. En la ecuación 2.115 se considera que el término D pequeño / D grande es 0. En el término de la contribución de las pérdidas por los tramos rectos de tuberías, se suman las longitudes de cada tramo y esa suma es la que se considera L. Cómo a menor K, para un mismo n, el NRe aumenta.

Estudie el siguiente problema resuelto: 40 m3/h de aceite mineral(r 15°C = 960 kg/m3; r 50°C = 890 kg/m3; m 15°C = 3.43 Pas; m 50°C = 0.187 Pas) se bombean por una tubería de 100 mm de diámetro hacia un recipiente instalado a 20m de altura. La longitud de tubería recta horizontal es de 430 m. En el tramo hay instalados 3 codos a 90° y 1 válvula de compuerta. El recipiente de almacenamiento y el de recepción están abiertos a la

atmósfera. Calcular la potencia del motor(con eficiencia total = 0.5) de la bomba si la impulsión se realiza a 15°C y a 50°C. Solución: = Q/área= Q/0.7854 D2= 40/0.7854* 0.12* 3600 = 1.415 m/s A 15°C NRe = D r/m= 1.415* 0.1*960/3.43= 39.6 Régimen laminar f= 16/NRe = 16/39.6= 0.404 De la ecuación del balance de energía mecánica: DEk + DEp+DP/r + SF + W = 0 SF= S(2f2L/D) + S(kf 2/2) Ecuación 2.106 página128 del texto básico Cálculo de kf: (Tabla 2.5 página 135 del texto básico) Elemento

Número

Total

Entrada a tubería

0.5

Codo

7.5

22.5

Válvula compuerta

9.9

9.9 S = 32.9

SF= 2*0.404*1.415 2*450/0.1 + 32.9* 1.415 2 /2 = 7280.09 + 32.93 =7313.02 J/kg DEk= 2*/2 =1.4152* /2 = 1.001 J/kg (Fluido en la succión con velocidad 0) DEp = gh = 9.8* 20 = 196 J/kg El término relativo a la diferencia de presión entre un recipiente y otro es 0 dado que ambos están abiertos a la atmósfera. Observe cómo de acuerdo a los valores relativos, los términos de las pérdidas por resistencia locales (kf) y la variación de energía cinética pueden despreciarse. -W = DEp+DEk+SF= 196 +1.001 + 7313 = 7510 J/kg La potencia necesaria será : -W*Q*r / eficiencia del motor = 7510 J/kg * 40 m3/h * 960 kg/m3/ 3600 s/h / 0.5 = 80106/ 0.5 J/s = 160.2 kW. A 50°C NRe = D r/m= 1.415* 0.1*890/0.187= 673 Régimen laminar pero de mayor NRe f= 16/NRe = 16/673= 0.024 El valor de f es menor. De la ecuación de balance de energía mecánica: DEk + DEp+DP/r + SF + W = 0 SF= S(2f2L/D) + S(kf 2/2) Ecuación 2.106 página128 del texto básico Cálculo de kf: (Tabla 2.5 página 135 del texto básico) Elemento

Número

Total

Entrada a tubería

0.5

Codo

1.0

3.0

Válvula compuerta

1.7

1.7 S = 5.2

Observe que los valores de kf son menores al ser el NRe mayor. SF= 2*0.024*1.415 2*450/0.1 + 5.2* 1.415 2 /2 = 432.5 + 5.21= 437.71 J/kg DEk= 2*/2 =1.4152* /2 = 1.001 J/kg (Fluido en la succión con velocidad 0) DEp = gh = 9.8* 20 = 196 J/kg El término relativo a la diferencia de presión entre un recipiente y otro es 0 dado que ambos están abiertos a la atmósfera. Observe cómo de acuerdo a los valores relativos, los términos de las pérdidas por resistencia locales (kf) y la variación de energía cinética pueden despreciarse. -W = DEp+DEk+SF= 196 +1.001 + 437.71= 634.7J/kg La potencia necesaria será : -W*Q*r / eficiencia del motor = 634.7 J/kg * 40 m3/h * 890kg/m3/ 3600 s/h / 0.5 = 6276.5/ 0.5 J/s = 12.6 kW. Observe cómo para bombear aceite frío se necesita una potencia mucho mayor. Ejemplo: Analice el siguiente ejemplo en el que se presenta cómo vincular la determinación de datos experimentales con la modelación matemática de resultados. MODELOS MATEMATICOS PARA CALCULAR LA VISCOSIDAD EFECTIVA Y SU APLICACIÓN EN EL DISEÑO Y EVALUACION DE REDES DE TUBERIAS (Tomado de G. Riera y O. Méndez. Facultad de Ingeniería Química. ISPJAE) Cada día más, para el estudio, evaluación y diseño de procesos, se emplea la simulación; para esto es indispensable contar con modelos matemáticos que representen lo mejor posible el fenómeno en cuestión o sus propiedades fundamentales y que su respuesta no difiera de la realidad. En los procesos industriales es muy común el transporte de fluidos. Diferentes autores han desarrollado métodos para evaluar, diseñar y seleccionar equipos de impulsión. En el caso específico de los fluidos no-newtonianos de la Industria Alimentaria se tiene el trabajo de Steffe (Steffe, J.; Morgan, R. Pipeline Design and Pump Selection for Non-Newtonian Fluids Foods. Food Technology 40 (12) 7885.1986) donde se describe un método para el diseño de sistemas de tuberías y selección de bombas para fluidos no-newtonianos empleando el balance de energía mecánica y haciendo uso de la viscosidad efectiva (µe) ,determinada a partir del modelo reológico de Herschel-Bulkley. Méndez (Méndez, O. Metodología para el diseño de sistemas tuberías- bomba en la Tecnología de Alimentos. Memorias CICTA-4. Ciudad Habana.1994), también presentó una metodología similar presentando otras opciones para la determinación de la viscosidad efectiva. Ambos trabajos se quedan en la definición de la metodología. En esta misma línea Méndez y Riera (Méndez, O.; Riera, G. Programa de computación para diseño de sistemas bomba-tuberías de la Industria Alimentaria. Memorias I Taller Internacional de Propiedades Físicas de Alimentos. RIPFADI, IIIA, C. Habana.1995 ) desarrollaron un software que permite realizar el diseño y evaluación de sistemas de redes de tuberías en primera versión para fluidos newtonianos y posteriormente para no-newtonianos (SIDESTUB); en este último caso se parte de información obtenida en un viscosímetro rotacional o en un viscosímetro capilar y así con ella determinar los parámetros reológicos del fluido y su viscosidad efectiva. La aplicación de este programa ha dado buenos resultados pero es frecuente encontrar que en la industria no existe el equipamiento

requerido para realizar las mediciones necesarias o se precisan los resultados con mayor rapidez. Basado en estas experiencias se valoró la importancia de contar con modelos matemáticos que sean capaces de predecir la viscosidad efectiva en función de parámetros de operación como son: temperatura, concentración de sólidos y gradiente de velocidad en tuberías (8u/D). El trabajo fue realizado con pulpas de frutas y hortalizas y de las mieles finales de la industria azucarera, utilizando la información reportada por varios autores.de Hombre y col (De Hombre, R.; Casals, C.; Zumalacárregui, L. (1993). Propiedades reológicas de alimentos elaborados en Cuba. RIPFADI. CYTED), Koralov y Garcell (Kolarov, K.; Garcell, L. Comportamiento reológico de mieles finales de la provincia de Oriente. CubaAzúcar /Julio/Septiembre/; p. 22-34.1974). Los productos resultaron tener un comportamiento no elástico, independiente del tiempo y seudoplástico en las mayoría de los casos. Esta información presenta la viscosidad aparente con su correspondiente gradiente de velocidad (du/dy) y valores de índice de flujo e índice de comportamiento para un intervalo de gradientes de velocidad (du/dy) para diferentes concentraciones y temperaturas. Para obtener un modelo para predecir la viscosidad efectiva en función de la concentración, la temperatura, el gradiente de velocidad (8u/D) y sus interacciones, fue necesario realizar transformaciones en la base de datos. Para valores lógicos de velocidad de estos fluidos a través de conductos circulares (0.5 m/s a 3 m/s) y para los diámetros comúnmente empleados en las industrias azucarera y alimentaria (6.3, 7.6, 10.2 y 15.2 cm) se determinaron los gradientes de velocidad en tuberías (8u/D). Con estos gradientes se calcularon los correspondientes du/dy. Esto permitió hacer una selección de la información que se poseía. Posteriormente con los respectivos valores de índice de consistencia (K) e índice de flujo (n) reportados, se determinaron las viscosidades efectivas. Las ecuaciones empleadas para hacer estas transformaciones fueron: 8u/D = [4n/(3n +1)] du/dy µe = K [(3n + 1)/4]n [ 8u/D]n-1 La información fue organizada como se muestra en la Tabla 1, en forma de ejemplo, para ser procesada estadísticamente mediante el programa profesional STATGRAPHICS. La validación de los modelos también se hizo con este programa, mediante pruebas de hipótesis entre los valores medios de datos experimentales obtenidos en el laboratorio y los resultados que brindaron los modelos determinados. Para la evaluación en la práctica de los modelos obtenidos se introdujeron los mismos como ecuaciones en el software CALRED el cual permite realizar el diseño y/o evaluación de sistemas de redes de tuberías. El mismo se aplicó en la evaluación de sistemas de transporte hidráulico de mieles finales en el CAI "Camilo Cienfuegos" y en la destilería de alcohol "Héctor Molina". El procesamiento estadístico de la información permitió obtener modelos matemáticos para pulpas de guayaba, pulpas de tomate y mieles finales de la industria azucarera. En la tablas de la 2 a la 4 se presentan los resultados de las pruebas de significación de los parámetros (test de Student) y de ajuste de los modelos (test de Fisher) realizada para un nivel de significación de 95 %.

En la Tabla 2 se recogen los resultados relacionados con pulpas de guayaba empleándose 40 datos. Como se puede observar en todos los casos las variables independientes estudiadas se relacionan con la viscosidad efectiva con un alto nivel de significación destacándose los altos valores del estadígrafo al ser comparado con el valor crítico. Como era de esperar se obtuvieron valores de coeficiente que muestran que el aumento de la concentración provocará un aumento de la viscosidad efectiva así como el inverso del gradientede velocidad y que un aumento en la temperatura provocará una disminución en la viscosidad efectiva. Se observa que el inverso del gradientede velocidad (g) resulta la variable independiente de mayor significación y entre las interacciones el término C*1/g también tiene un peso importante en la viscosidad efectiva. En el análisis de varianza de la regresión se puede observar que el valor de F experimental es superior al crítico (Fcrit=2.16), y que se obtuvo un alto coeficiente de correlación múltiple. En el análisis de los residuos se pudo comprobar que existe una distribución uniforme sin tendencia alguna. Este modelo fue determinado para valores de concentración (C) entre 6 y 17.6 % de sólidos y temperaturas entre 10 y 25 °C. En la Tabla 3 se recogen los resultados relacionados con las mieles finales de la industria azucarera empleándose 48 datos . Como se puede observar en todos los casos las variables independientes estudiadas se relacionan con la viscosidad efectiva con un alto nivel de significación, destacándose los altos valores del estadígrafo al ser comparado con el valor crítico excepto en los casos de 1/g y 1/g*C los cuales aceptamos por estar por encima de un valor de significación de un 90 %. Como era de esperar se obtuvo un comportamiento de las variables independientes similar al caso anterior. Se observa que en este caso la concentración (C) resulta la variable independiente de mayor significación sobre la viscosidad efectiva. En el modelo de las mieles no aparece la temperatura ya que se experimentó sólo para 40°C. En el análisis de varianza de la regresión se puede observar que el valor de F experimental es superior al crítico (Fcrit=2.58), y que se obtuvo un alto coeficiente de correlación múltiple. En el análisis de los residuos se pudo comprobar que existe una distribución uniforme sin tendencia alguna. Este modelo fue determinado para valores de concentración (C) entre 73 y 78 % de sólidos. En la Tabla 4 se recogen los resultados relacionados con pulpas de tomate empleándose 38 datos. Se puede observar que las variables independientes estudiadas se relacionan con la viscosidad efectiva. En este caso la variable concentración, incluyendo el cuadrado y el cubo de la misma, así como sus interacciones con el inverso del gradiente de velocidad, resultaron significativas para el cálculo de la viscosidad efectiva. En el análisis de varianza de la regresión se puede observar que el valor de F experimental es también superior al crítico (Fcrit=2.42), y que se obtuvo un alto coeficiente de correlación múltiple. En el análisis de los residuos se pudo comprobar que existe una distribución uniforme sin tendencia alguna. Este modelo fue determinado para valores de concentración (C) entre 4.3 y 19.7 % de sólidos y para una temperatura 25 °C. La transportación frecuente de fluidos no-newtonianos exige del conocimiento de las propiedades reológicas de los mismos y su comportamiento para obtener

resultados confiables en cualquier tipo de cálculo relacionado con ellos. En sistemas de bombas y tuberías, tanto en trabajos de evaluación como de diseño, resulta imprescindible aplicar los métodos específicos para estos casos. Los trabajos relacionados con el diseño y evaluación de estos sistemas exigen de un volumen considerable de cálculos complejos y de la utilización de gran cantidad de información que se recoge en formas de gráficos y tablas lo cual explica el tiempo que se requiere para la solución manual de estas tareas. El programa posibilita por tanto la solución rápida y eficiente de tareas o problemas que se presentan tanto en las industrias como en centros de investigación o proyectos donde se hace necesario transportar por sistemas de bombas-tuberías. Esto tiene implicaciones económicas, pues el personal técnico puede tener respuesta a un problema en un corto tiempo el cual requiere de varios días de trabajo. Además por ser las soluciones asociadas extensas y engorrosas, la probabilidad de errores es elevada, aspecto que es también eliminado con la utilización del programa . Los trabajos de selección de bombas y evaluación de alternativas, tan frecuente en la práctica, también pueden tener respuestas inmediata si se utiliza el programa. Para la validación de los modelos obtenidos se realizaron pruebas de hipótesis entre los valores predicho por el modelo y valores experimentales obtenidos en laboratorio no encontrándose diferencia significativas entre las medias, por tanto los modelos obtenidos pueden ser empleados para determinar la viscosidad efectiva de los productos modelados. Tomando en consideración la concentración de sólidos, la temperatura de las mieles y la características de la instalación se realizaron los cálculos pertinentes obteniéndose los resultados que se muestran en las tablas 5 y 6. En la tabla 5 aparecen los datos fundamentales de la instalación donde se realizó la validación. En la tabla 6 aparecen los resultados de la experimentación. En ésta se puede observar cómo la velocidad varía en función de los diámetros de cada sección de la misma forma que lo hace la viscosidad efectiva, pero en este caso no es sólo por la variación del diámetro sino también por el cambio que sufre el gradiente por la variación de la velocidad. Esto como es de esperar se refleja en el valor del número de Reynolds siendo mayor en la descarga porque es superior la velocidad e inferior la viscosidad efectiva en relación con la de la succión. También se puede comprobar que el régimen de flujo es netamente laminar que es el usualmente encontrado en fluidos no-newtonianos. El resto de los resultados se comporta adecuadamente. De la aplicación del programa se pudo apreciar la validez de las ecuaciones para el cálculo de la viscosidad efectiva y las facilidades que brinda su introducción en el software para la evaluación y diseño de redes de tuberías y bombas. Tabla 1. Algunos datos experimentales para el procesamiento estadístico. Pulpas de guayaba . T °C

Concentración (% sólidos)

g (s-1)

me (Pas)

41.4

0.786

11.4

29.7

7.024

9.9

102.65

1.124

17.6

117.6

0.0443

Tabla 2. Correlación para las pulpas de guayaba. Resultados del ajuste del modelo Variable independiente

Coeficiente

Error estadístico

Nivel significación

Constante

5.8365

0.435776

13.388

0.0000

1.57423

0.054019

29.1422

0.0000

-1.83703

0.092374

-19.8869 0.0000

1/g

903.38

23.4497

38.5242

0.0000

C*T

0.196657

0.0102618

19.1641

0.0000

C*1/g

291.219

2.80532

103.81

0.0000

Análisis de varianza Suma de cuadrados Cuadrado medio Modelo 140.78

10.476

Error

0.0004

0.01166

26051

0.000

Coeficiente de Correlación (R) = 99.98 Fcrit = 2.16 Error estándar de estimación = 0.020 Tabla3. Correlación para mieles finales de la Industria Azucarera. Resultados del ajuste del modelo Variable independiente Coeficiente Error estadístico t

Nivel significación

Constante

311.331

29.5191

10.54

0.0000

-2.42229

0.7222

-10.25 0.0000

1/g

-169.795

99.6201

-1.70

0.0850

1/g*C

2.3432

1.3279

1.76

0.0240

0.05792

0.0051

11.17

0.0000

t crítica= 1.96

Análisis de varianza Suma de cuadrados Cuadrado medio Modelo 15.2434

3.9600

Error

0.00850

0.03626

Coeficiente de Correlación (R) Error estándar de estimación = 0.092

462.00

0.000

98.77

Fcrit

2.58

Tabla 4. Correlación para pulpas de tomate. Resultados del ajuste del modelo Variable independiente

Coeficiente

Error estadístico

Nivel significación

Constante

2.02847

0.530777

3.8217

0.0006

1/g*C

-3.24086

1.03623

-3.12755 0.0038

C^2*1/g

0.961383

0.170156

5.65

C^3*1/g

-0.0301702

0.006078

-4.96399 0.0000

-0.760992

0.199801

-3.80874 0.0006

C^2

0.080657

0.020856

3.86738

C^3

-0.002323

0.000614

-3.78319 0.0007

t crítica

1.96

0.0000

0.0005

Análisis de varianza Suma de cuadrados Cuadrado medio Modelo 27.1126

4.51877

Error

0.0015978

0.049533

Coeficiente de Correlación Error estándar de estimación = 0.03

(R)

2828.07

0.000

=99.91

Fcrit

2.42

Tabla 5. Datos de la instalación a evaluar. Diámetro mm Longitud m

Altura m

Presión kPa

Flujo m3/s

densidad kg/m3

Succ ...Desc

Succ ...Desc Succ ...Desc Succ ...Desc

154.1 102.3

4 .........45

1........15

1 ..........1

0.0186

1377

Tabla 6. Resultados de la evaluación. Factor fricción

Pérdidas friccionales m

Viscosidad efectiva Pas

Velocidad m/s

Reynolds

Succ...Desc

Succ...Desc Succ...Desc

Succ...Desc

0.586 0.513

1 .......2.26

362 ....549

0.233 11.92

0.176 0.133

Carga dinámica total m 27.2

Efecto en la transferencia de calor. En la industria de alimentos, la transferencia de calor en fluidos no newtonianos en flujo laminar es una situación frecuente. En la literatura se recogen expresiones para la velocidad de transferencia de calor, y para su uso, la identificación de modelo reológico utilizado y el conocimiento de la condición de restricción usada: temperatura en la pared constante o flujo de calor constante en la pared, resultan imprescindible. De igual manera se debe precisar cómo ha sido definida la diferencia de temperatura, antes de calcular y utilizar un valor de coeficiente de transferencia de calor determinado con ellas. En general, cuatro propiedades son fundamentales: densidad, conductividad térmica, constantes reológicas y capacidad calórica del material. El mecanismo de transferencia de calor a través de un fluido en flujo laminar, es el de conducción. En la práctica, la convección natural se puede presentar para el caso de bajas viscosidades y bajos flujos. Transferencia de calor para flujo laminar en conductos. El coeficiente de transferencia de calor hc (W/m2K)puede evaluarse de cartas basadas en la solución de la ecuación de transporte pertinente o a partir de ecuaciones empíricas de varios autores. Se conoce que para flujo laminar en tuberías: dT/dz = a / uz [ d2T/dr2 + r-1 dT/dr] donde: a difusividad térmica ; uz velocidad axial; r y z coordenadas radial y axial. La solución conlleva a números adimensionales Nu = hc D/k llamado Nusselt y Gz = m Cp/kL llamado Graetz. Aquí k: conductividad térmica W/mK; m: flujo másico;Cp: capacidad calórica J/kgK. El término k/rCp = a La velocidad lineal puede expresarse en función del radio haciendo uso del esfuerzo cortante y de un apropiado modelo reológico. La ecuación diferencial puede solucionarse para encontrar T=f(r,z) para diferentes condiciones de contorno. Valores de coeficientes de transferencia de calor locales hc= f( z) y medios hm se obtendrán de estos tratamientos. En los textos de Fenómenos de

Transporte se puede encontrar diversas soluciones de la ecuación diferencial en dependencia de las suposiciones que se realicen para la solución matemática y de las condiciones de contorno. Para fluidos newtonianos se encuentra la ecuación Num = hm D/k = 1.75 (Gz)1/3 donde hm se define para ser utilizado con una DT= Tw - 0.5 (Tent + Tsal). Esta ecuación es válida para Gz> 100. Para fluidos que cumplan el modelo de Bingham se obtiene: Num= hm D/k = 1.75 [(m Cp /kL) (3(1-c)/(c4 - 4c + 3))]1/3. Aquí c= so/sw y se aplica si (mCp/kL) (3(1-c)/(c4 - 4c + 3))> 100. Para fluidos que cumplan la ley de potencia la literatura reporta soluciones en forma de gráficos de Numvs Gz, aumentando el Num a medida que aumenta el Gz . Una solución generalizada se alcanza aplicando la solución aproximada de Leveque a la ecuación diferencial obteniendo: Num= hm D/k = 1.75 d 1/3 Gz 1/3 donde: d = (3n' + 1) / 4n' = [(-du/dr)w para el fluido no newtoniano] / [(-du/dr)w para el fluido newtoniano]. Sustituyendo queda: [(-du/dr)w para el fluido no newtoniano] / 8/D Recordemos que n' se define a partir de sw=K' (8/D) n' donde K' y n' varían con 8/D. El valor de n' se calcula de la pendiente de la curva log sw vs log 8/D Para fluidos que cumplan la ley de potencia d = (3n + 1) / 4n. Para fluidos que cumplan el modelo de Bingham d = (1-c) / (1-1.75 c + 1/3 c4). Esta ecuación es válida si Gz > 100 y n>0.1 En la ecuación, el valor de hm se utiliza para DT= Tw - 0.5 (Tent + Tsal). Ecuaciones empíricas. Se han desarrollado ecuaciones empíricas por diversos autores que toman en cuenta la variación de la viscosidad con la temperatura. Para fluidos newtonianos: hm D/k= 2.0 (mCp/kL)1/3 (h/hw)0.14 En esta ecuación hm es para ser utilizado con DT= Tw - 0.5 (Tent + Tsal) Para fluidos de Bingham, se grafica ln jH vs ln NRe y se obtiene una recta: jH= (hm/Cpr) (Cph/k)2/3 (hw/h)0.14 (L/D) 1/3 [(3(1-c)/(c4 - 4c + 3))]-1/3 =1.86 ( r D / hpl) -2/3 El valor de hm se corresponde con la media logarítmica de temperatura. Para fluidos que cumplen la ley de potencia: hm D/k= 2.0 (mCp/kL)1/3 [ (Kb( 3n+1))/(Kw*2(3n-1))]0.14 Ecuación de Charm y Merrit y se corresponde con la media logarítmica de las diferencias de temperatura. Ecuación generalizada Si no existe convección natural: (Ecuación de Metzner,Vaughn y Houghton que depende del Gz) Para considerar la variación radial de la consistencia del fluido con la temperatura bajo flujo laminar, se reporta la ecuación: Si Gz>20 y n' >0.1 (casos más comunes) Num= hm D/k = 1.75 d 1/3 Gz 1/3 (h/hw)0.14 = 1.75 (mCp/kL)1/3 ((3n'+1)/4n')1/3 (h/hw)0.14

Si Gz <20 y/o n'<0.10 hm D/k= 1.75 (mCp/kL)1/3 D1/3 (h/hw)0.14 , donde D= relación entre los coeficientes de transferencia de calor no newtonianos y newtonianos. En estas ecuaciones se supone que la temperatura en la pared sea constante. Aquí: hm: coeficiente medio de transferencia de calor; Kb: índice de consistencia evaluado a la temperatura media del seno del fluido; Kw: índice de consistencia del fluido evaluado a la temperatura de la pared; h :K 8 n-1; hw: h evaluada a la temperatura de la pared. Si existe convección natural: En el caso de fluidos menos viscosos, la convección natural puede ser apreciable e influir en la velocidad de transferencia de calor. Si los tubos son horizontales: Num= hm D/k = 1.75 d 1/3 [Gz + 12.6 (NPr,w NGr,w D/L0.4] 1/3 (h/hw)0.14Ecuación de Metzner y Gluck Para el cálculo de NPr,w y NGr,w se utiliza el valor de viscosidad aparente para la temperatura y el gradiente de velocidad en la pared. Num= hm D/k = 1.75 [Gz + 0.0083 (NPr,w NGr,w 0.75] 1/3 (h/hw)0.14 Ecuación de Oliver y Jenson. Ambas usan hm con DT= Tw - 0.5 (Tent + Tsal) Ejemplo: Un plástico de Bingham fluye a 355 kg/h y 37°C por una tubería de cobre de 2.56 cm de diámetro. Luego de una longitud suficiente para alcanzar el perfil de velocidad desarrollado, el fluido entra a una sección de calentamiento de 1.83 m de longitud en la que el tubo de cobre se rodea de una camisa de vapor que condensa a 93°C. Se encontraron las siguientes propiedades: r= 1043 kg/m3; Cp= 3342 J/kgK; k= 1.211 W/mK; hpl 42°C = 0.089 Pas; so 42°C= 7.2 kg/ms2. Compruebe si con dicha longitud de tubo, la temperatura de salida del fluido posibilita utilizar las propiedades encontradas. Solución = 4m/p D2 r = 4* 355/(3.14 * 0.0256 2 * 1043 * 3600) = 0.18 m/s Num= hm D/k = 1.75 [(m Cp /kL) (3(1-c)/(c4 - 4c + 3))]1/3 Para el plástico de Bingham: Q/pR3 =( sw/4hpl) [1-1.75 c + 1/3 c4] donde c= so/sw Qhpl /pR3sw = [3-4 c + c4] / 12 hpl/R so = [3-4 c + c4] / 12c = 0.18 * 0.089/ ( 0.0128* 7.2) = 0.174 De aquí se puede calcular c= 0.503 Num = 1.75{ [ 355 * 3342 / ( 3600* 1.211* 1.83)] [ 3(1-0.503)/ 0.503 4 - 4*0.503 + 3] }1/3 Num = 10.41 hm= Num*k/D = 10.41 * 1.211/0.0256 = 493 W/m2K Planteando balance de energía en la sección de calentamiento: Q= m Cp (Tsal - Tent) = hm p D L ( Tw - 0.5 (Tent + T sal)) 493 * 3342 / 3600 ( Tsal -37) = 493 * 3.14* 0.0256* 1.83 (93 - 0.5(37 + Tsal)) Despejando Tsal = 48.1°C

Como la viscosidad plástica y el esfuerzo de fluencia estaban a 42°C, que es la temperatura media entre 37 y 48.1°C, es válido el uso de éstas. Ejemplo: Un fluido que cumple la ley de potencia fluye a 0.073 kg / s y 37°C, por un tubo de cobre de 0.0256 m de diámetro. Luego de una longitud suficiente para alcanzar el perfil de velocidad desarrollado, el fluido entra a una sección de calentamiento de 1.83 m de longitud en la que el tubo de cobre se rodea de una camisa de vapor que condensa a 93°C. Se encontraron las siguientes propiedades: r= 1204 kg/m3; Cp= 3342 J/kgK; k= 1.211 W/mK; n = 0.4; K37°C=144 Pa sn; K60°C = 100 Pasn; K93°C = 64.5 Pasn. Determine hm y Tsal. Realice el cálculo con cada una de las relaciones válidas estudiadas para tener un estimado de valores mínimos y máximos. Se conoce que la caída de presión a lo largo de la sección de calentamiento es 111988 Pa y que el coeficiente de expansión be = 0.00061 K-1 . Solución a) Utilizando la ecuación Num= hm D/k = 1.75 d 1/3 Gz 1/3 d= (3*0.4+1) / (4*0.4) = 1.375 Gz = m Cp/ kL = (0.073*3342) / (1.211 * 1.83)= 110 Num = 1.75 ( 1.375 ) 1/3 ( 110) 1/3 = 9.3 hm= Num * k /D = 9.3* 1.211 / 0.0256 = 440 W/m2K Del balance de energía se calcula Tsal m Cp (Tsal - Tent) = hm p D L ( Tw - 0.5 (Tent + T sal)) Tsal = [hm p D L ( Tw - 0.5 Tent)+ m Cp Tent] / [(0.5 hm p D L ) + m Cp] = 50.1°C b) Utilizando la ecuación de Charm y Merrit Num = hm D/k= 2.0 (mCp/kL)1/3 [ (Kb( 3n+1))/(Kw *2(3n-1))]0.14 Requiere Kb a la temperatura media del fluido. Tomemos como temperatura de salida la obtenida en el inciso anterior. T media = 0.5 (37 + 54.5) =45.8°C A partir de los tres valores de K dados de dato se puede calcular la dependencia de K vs T según: K = Ko [ exp ( E / RT)] n donde R es la constante de los gases. Se encuentra que Ko= 0.746 Pasn E/R = 4097 K, n=0.4 Para 45.8°C = 318.8 K se encuentra K = 127.4 Pasn Num =2.0 [(0.073* 3342/(1.211* 1.83)]1/3 [ (127.4( 3*0.4+1))/(64.5 *2(3*0.4-1))]0.14 = 14.8 hm= 14.8* 1.211/0.0256= 700 W/m2K Tsal = 56.5°C c) Utilizando la ecuación de Metzner,Vaughn y Houghton, sin convección natural: Num= hm D/k = 1.75 d 1/3 Gz 1/3 (h/hw)0.14 Num = 1.75 ( 1.375 ) 1/3 ( 110) 1/3 (127.4/ 64.5)0.14 = 10.23 hm= 10.23* 1.211/0.0256= 484 W/m2K Tsal= 51.2 °C d) Utilizando la ecuación de Metzner y Gluck con convección natural: Num= hm D/k = 1.75 d 1/3 [Gz + 12.6 (NPr,w NGr,w D/L0.4] 1/3 (h/hw)0.14 hap = sw/ gw = DPD/4L / gw = 111988* 0.0256 /(4*1.83) / gw = 391.6 /gw En la pared, el valor del gradiente de velocidad es: sw = Kw gwn

gw = (391.6/ 64.5)1/0.4= 90.8 s-1 hap = 391.6/ 90.8 =4.31 Pas NuPr,w= Cp hap /k = 3342* 4.31 / 1.211 =11894 DT= Tw - 0.5 (Tent + Tsal) = 93 - 0.5 (37 + 54.5)=47.3°C Se consideró la Tsal del primer inciso como aproximación. NuGr,w = be DT D3 r2 g / hap2 = 0.00061*47.3 * 0.0256 3 * 1204 2 * 9.8 / 4.39 2 =0.357 Num= hm D/k = 1.75 d 1/3 [Gz + 12.6 (NPr,w NGr,w D/L0.4] 1/3 (h/hw)0.14 Num= hm D/k = 1.75* 1.375 1/3 [110+ 12.6 (0.357*11894*0.0256/1.83 )0.4] 1/3 (127.4/ 64.5)0.14 = 11.96 hm = 565 W/m2K Tsal = 53.3 °C Como se aprecia los valores se encuentran entre 50.5°C y 56.5°C para la temperatura de salida y entre 440 W/m2K y 700 W/m2K para hm. Transferencia de calor en flujo turbulento Cuando en un cilindro fluye un líquido caliente, estando la pared del cilindro a una temperatura menor, se aprecian 3 zonas en el interior del cilindro: una turbuenta desarrollada en el centro, una laminar cerca de la pared del cilindro y una transiente entre ambas. En la región central, la energía se transfiere rápidamente debido a los eddies, con lo que el perfil de temperatura varía muy poco. En la capa laminar los eddies son despreciables y el calor se transfiere por conducción, con lo que la variación del perfil de temperatura es pronunciada. En la zona del transiente se manifiestan ambos mecanismos. El comportamiento de la temperatura para el flujo turbulento, tomando en cuenta las fluctuaciones debidas a las eddies se representa por T = T + T', donde T' representa la fluctuación y T la variable independiente de los cambios en el tiempo. La ecuación diferencial que relaciona el transporte de calor en flujo turbulento es: rCp DT/Dt = - ( Ñ.q(l)) - Ñ . q(t) + m F v(l) + mF v(t) donde q(l) =-kÑT ;F v(l) = disipación viscosa Para poder resolver la ecuación y encontar los perfiles de temperatura, se han desarrollado teorías y correlaciones semiempíricas. Una de ellas es la de la longitud de mezclado de Prandtl según la cual el transporte de momentun y de energía se realiza en flujo turbulento por un mecanismo similar y: qy(t)= -rCp l2 |dux/dy| dT/dy. Aquí l es la longitud de mezclado. Esta ecuación es válida en conductos y se recomienda que l = k1 y donde y es la distancia de la pared. Para la región cercana a la pared Deissler propuso la ecuación: qy(t)= -rCp a2 ux y (1-exp(-a2 ux y/n ))dT/dy, siendo n la viscosidad cinemática = m/r El uso de estas expresiones generales para el caso de un cilindro conlleva a la siguiente solución: En la región central: Los perfiles de temperatura y velocidad son similares. Definiendo variables adimensionales u+ = uz/u* ; T+ = rCp u* (T-Tw)/qw ; s+ = s u* r/m, siendo u* = (sw/r)0.5 ; s=R-r

T+ - T1+ = 1/ k1 ln s+/s1+ Para s+ >26 y s1 = 26 posición entre la zona transiente y turbulenta desarrollada. Para la región cercana a la pared: qr(l) + qr(t)= qw T+=òds+/[NPr -1 + a2u+s+(1-exp(-a2u+s+))] Esta expresión se integra entre 0 y s+ y es válida para s+< 26. Como se puede apreciar el perfil dependerá de la posición y del Número de Prandtl. A mayor NPr el perfil es menos pronunciado, es decir la diferencia de temperatura entre la región laminar y la turbulenta es menor. Correlaciones obtenidas del análisis dimensional Para fluidos newtonianos, si NRe > 10000, 0.7> NPr < 700, L/D >60 Num =0.036 NRe 0.8 NPr 1/3 (L/D)-0.054 Cuando hay efectos de entrada por ser L/D <60, Nusselt recomienda el uso de la ecuación válida para 10< L/D<400, evaluando las propiedades a la temperatura representativa del seno del fluido (bulk) Num =0.023 NRe 0.8 NPr 1/3 (mb/mw)0.14. Cuando NRe > 20000, al representar log (NumNReb-1 NPrb-1/3(mb/mw)0.14) vs log NReb las curvas convergen en una línea recta. A medida que el flujo aumenta, aumenta el Número de Reynolds, la temperatura de salida disminuye primeramente hasta NRe = 2100, luego aumenta hasta NRe = 8000 y luego decrece nuevamente. Aunque el flujo turbulento es deseable porque incrementa la velocidad de transferencia de calor, el alcanzarlo en fluidos no newtonianos no es común debido a la alta consistencia. Los estudios no son amplios y se limitan al flujo en conductos circulares. Para fluidos que cumplen la ley de potencia, Clapp obtuvo la siguiente correlación empírica: hmD/k = 0.0041 ( Dn 2-n r / K' 8 n-1) 0.99 [(K'Cp/k) (8/D) n-1 ] 0.4 Otras ecuaciones particulares pueden ser encontradas en literatura especializada en dependencia del fluido en estudio. Ejemplo Estudio experimental de la transferencia de calor para fluidos que cumplen la ley de potencia. (Desarrollados por I. Filkova y colaboradores) Para que exista convección natural se debe cumplir que Gr Pr > 8 * 10 5 . Para fluidos que cumplan la ley de potencia el máximo valor encontrado de Gr Pr = 1867, de donde predominará la convección forzada. Perfiles de velocidad y temperatura. Una tubería circular puede dividirse en tres zonas: entrada, transiente y la región de flujo totalmente desarrollada. Entrada: Los perfiles de velocidad y temperatura se desarrollan simultáneamente. Se requiere una longitud hidráulica para lograr el perfil desarrollado (lh) . Para fluidos newtonianos lh = 0.064 NRe D Para fluidos que cumplan la ley de potencia lh = 0.05 NRePL D Transiente:El perfil de velocidad está totalmente desarrollado pero no el de temperatura.Se define una longitud térmica lT = 0.036 NPe D donde NPe = D u Cp r / k. Observe cómo la longitud térmica es independiente del comportamiento reológico del fluido.

Se trabajó con 4 fluidos no newtonianos, 3 soluciones de CMC y jugo de tomate y seleccionaron las siguientes ecuaciones para verificar los resultados experimentales: Región de entrada: Nux=1.41[p(3n+1)/(8 x+ n)]1/3 (K/Kw)(0.1/n0.7) Válida para X=2x/NPeD < 0.05 Nux=4.36[(3n+1)/(4n)]1/3 (K/Kw)(0.1/n0.7) Válida para X=2x/NPeD >0.05 Región transiente: Nux=1.411[(3n+1)/(4 n)]1/3 Grx 1/3 Los resultados obtenidos fueron: La longitud hidráulica encontrada fue menor que la predicha por lh = 0.05 NRePL D o sea la región de entrada es más corta y pesa menos en el proceso de transferencia. Se encontró una ecuación para la región de entrada Nux = 1.229 X-0.36 para X = 2x/NPe D < 0.05, siendo x la distancia axial. Para el transiente: Nux = 1.972 Gzx 0.274 [(3n+1)/(2(3n-1)) (K/Kw)]1/3 para X > 0.05 Efecto en la transferencia de masa Generalidades (Recordatorio de la asignatura Fenómenos de Transporte) La ley de Fick describe el movimiento de una especie, digamos A, a través de una mezcla, debido al gradiente de concentración de A, de la zona de alta concentración de A a la de baja concentración de A. (La Termodinámica demuestra que es el potencial químico la variable pero bajo determinadas consideraciones puede expresarse en función de la concentración, lo cual facilita los cálculos). En la mezcla, las velocidades de las diferentes especies son distintas por lo que se hace uso de una velocidad local que promedie la de las diferentes especies.Así se definen: Velocidad de la especie i respecto a ejes fijos: u = S( ri ui) /Sri = velocidad másica promedio u* = S(ci ui)/Sci= velocidad molar promedio. Velocidad difusional de la especie i respecto a la de la mezcla: ui - u = velocidad difusional respecto a u ui - u* = velocidad difusional respecto a u* De igual forma se define el flujo másico relativo a ejes estacionarios : ni = ri * ui (másico) Ni = ci * ui (molar) El flujo másico relativo a la velocidad másica promedio ji = ri ( ui - u) (másico) Ji = ci ( ui - u ) (molar) El flujo másico relativo a la velocidad molar promedio ji* = ri ( ui - u*) (másico) Ji* = ci ( ui - u* ) (molar) Los más utilizados son Ni, ji, Ji*. En dependencia del flux utilizado y del gradiente utilizado la Ley de Fick establece que:

Flux

Gradiente

1ra Ley de Fick

Ja*

Ñ xa

Ja* = c DabÑ xa

Ñ wa

ja= -r DabÑ wa

Na= -c DabÑ xa+ xa(Na+Nb) Dab: difusividad másica (m2/s); c: concentración molar total; xa: fracción molar; wa : fracción másica. Si deseamos expresar el número de moles de la especie a que atraviesa una unidad de área en una unidad de tiempo en una dirección determinada, por ejemplo z: Naz= -c Dabdxa/dz + xa(Naz+Nbz) Na

Ñ xa

Ejemplo en que el mecanismo de difusión es molecular: Se necesita transferir una mezcla de metano y aire (xmetano= 0.8) desde un recipiente a 101kPa y 20°C hasta otro a iguales condiciones pero que contiene una mezcla de metano y aire (xmetano=0.1). La distancia entre los tanques es del 0.1 m y el diámetro del conducto 2 cm. Calcular la velocidad de transporte del metano si el mecanismo por el que se transfiere es la difusión molecular. Se conoce que Dab = 1.68* 10 -5 m2/s Solución: Si la temperatura y la presión son constantes y el transporte es sólo por difusión molecular Na =-Nb, de donde Naz= -c Dabdxa/dz = - (P/RT) Dabdxa/dz Para z= 0 ; xa=0.8 Para z= 0.1; xa= 0.1 Sustituyendo e integrando: Naz= - 101000/(8.314* 293) (1.68* 10 -5 ) (0.8-0.1) / 0.1= 4.9 * 10 -3 mol/m2s Para calcular la velocidad de transporte Naz= Naz* área= 4.9 * 10 -3 * (3.14* 0.02 2 /4)= 1.5* 10-6 mol/s. Ejemplo en el que el mecanismo de difusión involucra transporte molecular y flujo global: Un tanque abierto cilíndrico está lleno de metanol hasta una altura de 0.6 metros del borde superior. El diámetro del tanque en la sección ocupada es de 1.8m. En la parte superior, el tanque se estrecha teniendo 1.2 m de diámetro. Esa sección sobre el nivel de metanol, de área variable, está ocupada por aire estacionario. La circulación de aire exterior garantiza que la concentración de metanol en la boca del tanque pueda considerarse despreciable. El tanque y el aire están a 101 kPa y 25°C. La difusividad del metanol en el aire a esas condiciones es 0.159 cm2/s. Calcular la velocidad de escape de metanol del tanque. Solución: La situación física será metanol difundiéndose a través de 0.6m de aire estacionario, desde el nivel del líquido en el tanque hasta el borde superior de éste.

La concentración de metanol en el aire en la superficie del líquido se determina a partir de los datos de presión de vapor del metanol a 25°C que es 17.9 kPa. Como el aire está estático Nbz = 0 Naz = -c Dab dxa/dz + xaNaz Naz = (-cDab / (1-xa)) (dxa/dz) Como el área es variable debemos encontrar la relación del diámetro con z. Se conoce que para z=0, el diámetro es 1.8m y que para z=0.6, el diámetro es 1.2m, de donde D = 1.8 - z Si Naz = moles de a /t/área = flujo molar de a/ área = fma/0.7854D2: fma dz/ (0.7854 (1.8-z)2)= (-cDab / (1-xa)) (dxa) De la ley de Dalton Pa = xaP de donde xa= 17.9/101= 0.1776 Los límites de integración serán: z=0; xa= 0.1776 z=0.6; xa=0 Naz [ 1.2-1 - 1.8 -1]/ 0.7854= (P/RT)Dab [- ln (1-0.1776)] Naz= 3.6*10-4 mol/s Ecuaciones de cambio para sistemas binarios y multicomponentes. La ecuación de continuidad para el componente A de un sistema binario en coordenadas cilíndricas es : (Coordenadas r: radial,q:angular,z:axial) dca/dt + r-1(d (rNar)/dr+ r-1 (dNaq/dq + dNaz/dz) = Ra, donde Ra son los moles producidos por unidad de volumen y por unidad de tiempo. Si r y Dab son constantes: dca/dt + ur dca/dr + uq r-1(d ca/dq)+uz dca/dz =Dab [r-1 (d (rdca/dr)/dr + r-2 d2ca/dq2 + d2ca/dz2] +Ra El análisis físico de la situación bajo estudio llevará a la solución de la ecuación diferencial. Cuando el sistema es multicomponente: La ecuación de continuidad para cada especie es: rDwi/Dt = - Ñ.ji) + ri La ecuación de movimiento es: r Du/Dt = - [Ñ. p] + S ri gi donde p = s + Pd; siendo p el tensor de presiones, s el tensor de esfuerzo; P la presión estática y d un vector unitario. La ecuación de energía es: rD(U+.5 u2)/Dt= -(Ñ.q) - (Ñ.[p.u]) + S (ni.gi) Utilización de coeficientes de transferencia para el análisis del flujo laminar en tubos. Cuando se trabaja con líquidos muy viscosos, el régimen laminar es común, a pesar de que los coeficientes de transferencia son menores que para el régimen turbulento. Si los componentes de la mezcla tienen densidades diferentes, las variaciones de densidad debidas a los gradientes de concentración, inducirán la convección natural, incrementando la velocidad de transferencia de masa por encima de la que se debía esperar para solamente la difusión. Las analogías entre la transferencia de calor y la de masa permiten utilizar las correlaciones ya estudiadas para la transferencia de calor, para expresar el transporte de masa, si se modifican el NPr por el NSc y el Nu por el Nuab. Esta

analogía es válida cuando se consideran las propiedades físicas constantes, pequeñas velocidades de transferencia de masa, no disipación viscosa, no reacción química en el fluido, difusión molecular y condiciones de contorno similares. El NSc = mDab/r Así por ejemplo para la convección libre alrededor de un objeto sumergido: Num = f(NGr, NPr) para la transferencia de calor Nuabm = igual función ( NGrab, NSc) para la transferencia de masa De forma análoga: jH= Nu NRe-1 NPr-1/3 = h/(rCpm) (Cpm/k)2/3 para la transferencia de calor jD= Nuab NRe-1 NSc-1/3 = kx/(c u) (m/rDab)2/3 para la transferencia de masa Estas analogías permiten determinar perfiles de concentración a partir de perfiles de temperaturas o coeficientes de transferencia de masa a partir de correlaciones para determinar coeficientes de transferencia de calor. Coeficientes de transferencia de masa para flujos turbulento en tubos. Para transporte molecular: Naz = Naz/A = kc' (ca1- <ca>) donde la fuerza motriz es la Dc y la resistencia (Akc')-1 Nuab=kc'D/Dab = 0.023 (NRe) 0.83 (NSc)0.33 Los datos exclusivos para gases arrojan un exponente para el NSc de 0.44, válido para NSc entre 0.6 y 2.5. Para líquidos NSc= 1000. Usar 0.44 o 0.33 no afecta prácticamente. La mayor parte del gradiente de concentración cae en la subcapa laminar al igual que sucedía con el gradiente de temperatura y el de velocidad. Cuando se tiene un fluido que se difunde a través de otro estacionario: Nuab=kcD/Dabcbml/ct = 0.023 (NRe) 0.83 (NSc)0.33 Aquí = cbml = (cb1 - <cb>)/ ln (cb1/<cb>) o sea la media logarítmica y b es el otro componente Ejemplo: Una columna de pared húmeda de 5cm de diámetro contiene aire y CO2 que fluyen a 1m/s. En un punto de la columna la concentración de CO2 en el aire es xCO2= 0.1. En el mismo punto la concentración de CO2 en el agua en la interfase aire-agua es xCO2 =0.005. La columna opera a 1010kPa y 25°C . Calcule el coeficiente de transferencia de masa y el flujo de masa en el punto en consideración. Solución: Dab a 25°C y presión atmosférica= 0.164cm2/s; NSc = 0.94 Se requiere corregir el valor de Dab para la presión de trabajo. NSc no necesita corrección. Dab2=Dab1 (P1/P2)= 0.164 (101/1010) = 0.0164 cm2/s La presión parcial de CO2 en la fase gaseosa= 0.1 Ptotal = 101 kPa La concentración de CO2 en el líquido en la interfase es 0.005. La presión parcial de CO2 en la fase gaseosa en la interfase es la presión de vapor sobre el líquido. De la ley de Henry se tiene : PCO2 = H xCO2. Como la constante de Henry es 1640atm: PCO2 = 1640 * 0.005= 8.2 atm = 828.2 kPa.

Dada la baja concentración de CO2 se puede considerar las propiedades de la mezcla como las del aire: m aire = 0.018 mPas r aire = 11.9 kg/m3 NRe = r D/m = 11.9*1*0.05/0.018 * 10 -3=33055 (Verificado el flujo turbulento) El aire es muy poco soluble en agua de donde estamos ante el caso de difusión a través de un gas que no se difunde. Calculemos cbml/ct = Pbml/Pt Pbml = (Pb1 - <Pb>)/ ln (Pb1/<Pb>) Como Pb=Pt-PCO2 Pbml= [(1010-828.2) - (1010-101)] / ln [(1010-828.2)/(1010-101)]=451.8kPa Pbml / Pt = 451.8 / 1010 = 0.447 kc= 0.023 (Dab /D) (Pt/Pbml)(NRe) 0.83 (NSc)0.33 kc= 0.023 (0.0164*10-4/0.05) (1/0.447) (33055)0.83 (0.94)0.33 kc = 9.32 * 10-3 m/s Naz = -kc/RT ( PCO21 - <PCO2>) = - 9.32 * 10-3 /( 8.314*298) (828.2-101)= 2.73*10-3 mol/m2s. La transferencia se realiza desde la pared hasta el centro del tubo, dado el signo negativo. Transferencia de masa en la interfase. Las operaciones industriales de transferencia de masa pueden implicar el contacto entre dos fases. La columna de paredes mojadas (como el ejemplo anterior) tiene áreas de transferencia pequeñas de donde se prefiere el uso de burbujas, aspersiones, etc . En éstas se ponen en contacto dos fases para transferir masa a través de una interfase. Los solutos que se transfieren de una fase a la otra pasan por la interfase, debiendo quedar definidas las capas de resistencias que atraviesa desde la concentración del soluto en el seno, digamos de la fase líquida, hasta la concentación de soluto en el seno de la fase gaseosa. Na = - (Pai-PaG)/ (1/AkG)= - (caL - Cai)/ (1/AkL) donde : Na : velocidad de transferencia del soluto kG:coeficiente de transferencia de masa para la fase gaseosa (mol/sPa m2) kL: coeficiente de transferencia de masa para la fase líquida (mol/sm2 mol/m3) Se define una resistencia total para la transferencia de masa con área común A 1/AKG = 1/AkG + m/AkL 1/AKL = 1/mAkG + 1/AkL donde m es un factor de distribución que relaciona la presión parcial Pa* del soluto en la fase gaseosa en equilibrio con una concentración de soluto en la fase líquida ca* y KG y KL los coeficientes totales de transferencia de masa de la fase gaseosa y líquida respectivamente. Na = - (Pa*-PaG)/ (1/AKG)= - (caL - ca*)/ (1/AKL) Transferencia de oxígeno en fermentadores Cuando se burbujea un gas soluble en un líquido, el flux se expresa como: J = kLa (c*g - cL), siendo c*g la concentración de saturación del gas en el líquido, cL es la concentración de gas en el seno del líquido, Pg es la presión parcial de gas en la fase gaseosa y kLa el coeficiente volumétrico de transferencia de gas. c*g= Pg / kH donde kH es la contante de la ley de Henry. La determinación de kLa requiere

de suposiciones como la de que la concentración del gas en el seno del fluido es constante. Esto se cumple si los fermentadores son de tamaño pequeño e intermedio y los fluidos no son muy viscosos. Para transferir un gas (por ejemplo aire) a un fluido en un tanque agitado, el gas se tiene que dispersar en el líquido. A velocidades de agitación bajas, el patrón de flujo depende de la corriente de gas, pero si se aumenta la velocidad de agitación (unas 3 veces respecto a la potencia de expansión isotérmica del gas) el patrón de flujo será controlado por el agitador, con lo que habrá que aumentar aún más la potencia del agitador para que las burbujas de gas alcancen el fondo del tanque (unas 5 veces respecto a la de la energía de expansión de la corriente del gas). Por otra parte si a agitación fija se incrementa el flujode gas, el agitador no podrá dispersar el gas (Transferencia de masa y mezclado de procesos biológicos. E. Galindo, UNAM, México) . En el caso de fluidos viscosos, en general se puede plantear que al aumentr la viscosidad, se forman cavidades de aire con valores bajos de aireación, disminuyendo la potencia gaseada en relación con la potencia cuando no hay gas. Correlaciones para determinar kLa Son muchas las correlaciones empíricas que se recogen en la literatura. Para fluidos de baja viscosidad, en general siguen la expresión: kLa a (Pg/V)a usb Pg: potencia de agitación en conduciones aireadas (W) V: volumen del líquido (m3) us: velocidad superficial del gas (m s-1) Cuando los fluidos son viscosos no newtonianos, la tendencia es a que aumente kLa a medida que aumente la velocidad de agitación. Las correlaciones son del tipo: kLa a h -m siendo m = 0.4 - 0.6 Cuando la aereación es la controlante el exponente es 0.33. Los trabajos de Nienow con carboximetilcelulosa (CMC) presentan la siguiente correlación: kLa a h -0.45 (Pg/V) 0.66 (Qg)0.34 donde Qg es el flujo volumétrico de gas (m3/s). A partir de esta correlación puede analizarse que en las etapas finales de la fermentación de un fluido viscoso, para aumentar el valor de kLa es necesario variar la potencia de agitación, ya que la reducción del coeficiente por efecto del valor de viscosidad es grande. Esto no sucede así en los inicios de la fermentación en que la viscosidad es aún relativamente baja. Ejemplo: Transferencia de oxígeno en sistemas fermentativos no newtonianos. Son muchos los sistemas fermentativos que se caracterizan por un comportamiento seudoplástico. Debido a esta seudoplasticidad ocurren problemas de mezclado en caldos de fermentación en tanques agitados, los que originan problemas con la transferencia de oxígeno y problemas para el escalado. En muchos caldos la viscosidad aumenta apreciablemente durante el curso de la fermentación por el incremento de la masa celular y/o la acumulación de productos de alta masa molar. Esto sucede por ejemplo con caldos de fermentación de

polisacáridos extracelulares, hongos, levaduras de alta densidad, etc. Los altos niveles de viscosidad que se alcanzan y que con el incremento en los rendimientos de los procesos siguen en elevación, dificultan el escalamiento de un producto por no lograrse los niveles adecuados de transferencia de oxígeno y mezclado en la escala mayor. Se estudió un sistema de fermentación para la producción de xantano, de una naturaleza muy seudoplástica y que cumple la ley de potencia. Se modeló el sistema de fermentación considerando el fermentador constituido por 3 compartimientos, V1, V2, V3, 2 de ellos (V1 y V2) con la posibilidad de intercambio de flujo entre ellos: • • •

V1: región agitada a altos gradientes de velocidad y baja viscosidad (buen mezclado y transferencia de oxígeno) V2: región de bajo gradiente de velocidad y alta densidad (pobre mezclado y transferencia de oxígeno). V3: zona muerta.

La modelación arrojó que aumentando la zona agitada, instalando impelentes múltiples, aumentando el diámetro del impelente y/o aumentando la velocidad de agitación, se mejoraban las características. El uso del NRe modificado vs NPo permite predecir el consumo de potencia en un fluido no newtoniano. h = K' (8 /D) n'-1 = K ((3n+1)/4n)n (8 /D) n-1 Para estimar kLa se usa: kLa = (Pg/V)a usb hc Para concentaciones de xantano de 30 kg/ m3 (K= 22 Pas, n = 0.26) se encontró kLa = 0.004 - 0.008 s-1 y P/V = 2 - 4.5 kW/ m3 en un reactor de 0.05 m3 con impelente de turbina de 6 hojas y consumo de oxígeno de 0.5 m3 /m3min. Al reemplazar la turbina por un impelente Intermig axial de diámetro impelente/ diámetro tanque = 0.6, kLa es 4 veces mayor y el consumo de potencia igual. Resumen de las analogías entre las transferencias de masa, calor y momentum. La analogía de Reynolds. Fue el primer reconocimeinto al comportamiento análogo de las velocidades de transferencia de momentum y calor. Su aplicación es limitada, pero para estudiar los fenómenos en la capa límite ha sido de gran utilidad. Postula que los mecanismos de transferencia de calor y momentum son iguales y por tanto: h/Cp*r* = f/8 = NSt = Número de Stanton= Nu/ (NRe* NPr ) Caracteriza datos para gases en fujo turbulento. Puede escribirse una analogía para la transferencia de masa: kc' = f/8 válida también para gases en flujo turbulento. Finalmente se ha concluido que cuando NPr = NSc = 1 los mecanismos para la transferencia de masa, calor y momentum son idénticos.

La analogía de Colburn NSt NPr 2/3 (mw/m)0.14 = f/8 = jH Esta ecuación es un enunciado de la analogía de Colburn y es válida para 10000 < NRe < 300000 y 0.6< NPr<100. Nótese que si NPr = 1 y (mw/m) =1 coincide con la analogía de Reynolds. De igual forma se obtiene: kc'/ * (NSc) 2/3 = f/8 = jD Válida para 2000 < NRe < 300000 y 0.6< NSc<2500 Así jH = jN = f/8 y de ahí: (h/Cpr ) NPr 2/3 = kc' (NSc) 2/3 Otras analogías se han desarrollado y presentan un mejor grado de extensión (Ejemplo la analogía de Martinelli). Ejemplo: Compare el valor del Nu del aire dado por la ecuación empírica apropiada, con el predicho por las analogías de Reynolds y de Colburn, para el calentamiento del aire a 38°C en un tubo de temperatura en la pared 66°C, si el NRe = 100000 Datos: m m J/sm2(°C/m) Cp(J/kg°C) NPr(38°C) Aire mPas(38°C) mPas(66°C) 0.018 0.0255 1004.58 0.71 0.02 Solución: La ecuación empírica apropiada es Nu= 0.023 (NRe) 0.8 (NPr)1/3 (mw/m)0.14 Nu= 0.023 (100000) 0.8 (0.71)1/3 (0.018/0.02)0.14 = 204 Valor más preciso Por la analogía de Reynolds: f=0.184/ (NRe) 0.2 Para NRe = 100000, f= 0.0184 NSt = f/8 = 0.0184/8= 0.0023 Nu= NRe NPr f/8= 100000* 0.71* 0.0023 = 164.2 Mayor alejamiento Por la analogía de Colburn: NSt NPr 2/3 (mw/m)0.14 = f/8 Nu= NRe NPr 1/3 f/8 (m/mw)0.14 = 100000 * 0.711/3 * 0.0023* (0.018/0.02)0.14 = 204 Preguntas y problemas propuestos 1. El perfil de velocidad para un fluido newtoniano se expresa según: u= (DP/4mL )(R2-r2). Exprese el gradiente de velocidad en función de la posición radial. (Recuerde que g = -du/dr). 2. Si Ud. deseara mantener un perfil de velocidad lo más uniforme posible, ¿qué material seleccionaría, un puré de albaricoque o uno de melocotón, ambos de 17% de sólidos y a 26 °C?(Utilice los datos del apéndice 6 del texto básico) 3. Una compota de manzana (cumple la ley de potencia con K= 60Pasn; n= 0.3; r = 1050 kg/m3) se bombea a 27°C desde un tanque abierto a través de una tubería sanitaria de 0.0254 m hacia un segundo tanque, abierto que se encuentra a mayor altura. El flujo másico es 1 kg/s y recorre 30m de conducto con 2 codos y una válvula de ángulo. El tanque suministrador mantiene un nivel de líquido de 3m y la compota abandona el sistema a una altura de 12m sobre el nivel del suelo.Calcule la energía de bombeo. (Tomado de C. Daubert) 4. Se utiliza una bomba para mover catsup desde el fondo de un recipiente cilíndrico. El nivel del fluido se encuentra 10m sobre el nivel de la bomba. El

diámetro de la tubería que conecta la bomba con el recipiente es de 5cm , tiene 8m de longitud y posee un codo a 90°C. Las propiedades del catsup son: r= 1150 kg/m3, constantes de la ley de potencia K= 10.5 Pa sn y n= 0.45. Si el flujo volumétrico es 35 L/min y el tanque se encuentra a 45kPa, calcule la presión a la entrada de la bomba requerida para entregar dicho flujo. 5. Un fluido que cumple con la ley de potencia (K= 13.6 Pa sn; n= 0.4; r =1094 kg/m3)se bombea a un flujo másico de 600 kg/h desde un recipiente de gran diámetro hasta un punto de descarga a 10 m de altura sobre la superficie del líquido en el tanque. El fluido abandona el recipiente a través de una tubería de 5.25 cm de diámetro,que está colocada a 3m por debajo de la superficie del líquido en el tanque. Luego de 15m existe una contracción a una tubería de 3.8 cm de diámetro la cual se extiende horizontalmente 5 m hasta la entrada de la bomba. La salida de la bomba alimenta 12m de tubería de 3.81cm de diámetro, la que contiene un codo a 90° colocado a 6m de la bomba. El líquido dirigido verticalmente por el codo pasa a una tuberíade 7.3cm de diámetro. Este último tramo tiene 30 m de longitud y finaliza en un codo a 90° que descarga el fluido horizontalmente a la atmósfera Determine la potencia del motor de la bomba para una eficencia global de 0.4. 6. Por un tubo liso de 0.03 m de diámetro interior fluye aire a 310K y presión atmosférica. El tubo tiene una longitud de 5 m. La caída de presión entre los extremos del tubo es 7500 Pa. Estime el coeficiente de transferencia de calor por: • • •

La ecuación empírica apropiada. La analogía de Reynolds La analogía de Colburn

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