รกrea Matemรกtica de
Proyecto y dirección editorial Raúl A. González
Subdirectora editorial Cecilia González
Directora de ediciones Vanina Rojas
Directora de arte
Matemática 6 Área Funcional Planteo es una obra de producción colectiva creada y diseñada por el Departamento Editorial y de Arte y Gráfica de Estación Mandioca de ediciones s.a., bajo proyecto y dirección de Raúl A. González.
Jessica Erizalde
Edición y autoría
Edición gráfica
Doris Liliana Ziger
Florencia Cortelletti
Corrección
Diagramación
Victoria Cabanne
Favián Villarraga
Ilustraciones
Tratamiento de imágenes, archivo y preimpresión
Vitu Caruso Caru Grossi
Liana Agrasar Florencia Constance Chazal
Secretaría editorial y producción industrial Lidia Chico
Fotografía Archivo Estación Mandioca, imágenes utilizadas conforme a la licencia de Shutterstock.com.
Ziger, Doris © Estación Mandioca de ediciones s.a. José Bonifacio 2524 (C1406GYD) Buenos Aires – Argentina Tel./Fax: (+54) 11 4637-9001 ISBN: 978-987-3709-67-8 Queda hecho el depósito que dispone la Ley 11723. Impreso en Argentina. Printed in Argentina. Primera edición: agosto de 2016.
Área Funcional Planteo Matemática 6 / Doris Ziger - 1.a edición para el alumno. - Ciudad Autónoma de Buenos Aires: Estación Mandioca, 2015. 120 pp.; 28 x 22 cm ISBN 978-987-3709-67-8 1. Matemática. I. Título. CDD 510
Este libro no puede ser reproducido total ni parcialmente por ningún medio, tratamiento o procedimiento, ya sea mediante reprografía, fotocopia, microfilmación o mimeografía, o cualquier otro sistema mecánico, electrónico, fotoquímico, magnético, informático o electroóptico. Cualquier reproducción no autorizada por los editores viola derechos reservados, es ilegal y constituye un delito.
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Frase del capítulo Cada capítulo presenta un refrán o un saber popular para despertar tu curiosidad y llamar tu atención sobre el tema tratado.
Zona de actividades
Espacio web
Estas actividades te ayudarán a comprender mejor lo leído y poner en práctica los saberes aprendidos. Para resolver solos o acompañados, oralmente o por escrito.
Te sugerimos direcciones de páginas web en las que encontrarás información para leer y saber más sobre cada tema.
Curiosidades matemáticas Invenciones, descubrimientos y datos curiosos sobre la historia de la matemática.
¡Con ingenio! Una sección con desafíos para valientes...
Zona de integración Actividades para repasar todo lo que aprendiste en cada capítulo. Este repaso te ayudará a prepararte para las evaluaciones.
Cuando termines de estudiar el capítulo, ¡podrás comentar el significado de la frase con tus compañeros!
Fichas de actividades, con ejercitaciones adicionales para practicar los contenidos estudiados.
Juegos, un espacio con propuestas divertidas para aprender jugando.
Índice CAPÍTULO 4
CAPÍTULO 1
8
Más operaciones
Los antiguos sistemas de numeración............................................................10
definición propiedades
Las operaciones .................................................................................................................................... 12
cálculos combinados con las seis operaciones
Los números naturales
..........................................................................................
El sistema de numeración decimal ...........................................................................8 nuestro sistema de numeración
•
sistema romano sistema egipcio propiedades de las operaciones
Curiosidades matemáticas ................................................................................................. 14 base de un sistema de numeración
¡Con ingenio! ............................................................................................................................................... 14 Zona de integración ........................................................................................................................ 15
CAPÍTULO 2
Las operaciones
................................................................................................................
32
El diagrama de árbol.......................................................................................................................... 32 La potenciación ..................................................................................................................................... 34
•
La radicación............................................................................................................................................. 36 Curiosidades matemáticas ................................................................................................ 38
curiosidades cuadradas
¡Con ingenio! .............................................................................................................................................. 38 Zona de integración ....................................................................................................................... 39
CAPÍTULO 5 ...................................................................................................................
16
La división ....................................................................................................................................................... 16
números que intervienen en una división análisis del resto
•
Los cálculos combinados........................................................................................................18
orden en las operaciones
Los cálculos mentales ............................................................................................................... 20 aproximaciones
Curiosidades matemáticas .................................................................................................22
Los números racionales
..................................................................................
40
La representación de las fracciones ............................................................... 40 clasificación de fracciones: propias, impropias y aparentes
Las fracciones equivalentes .......................................................................................... 42
•
fracciones irreducibles comparación de fracciones
Las operaciones ................................................................................................................................... 44
•
suma y resta de fracciones multiplicación
Curiosidades matemáticas ................................................................................................ 46 fracciones curiosas o sucesión de farey
la regla de cálculo
¡Con ingenio! .............................................................................................................................................. 46 Zona de integración ........................................................................................................................ 47
CAPÍTULO 3
CAPÍTULO 6
¡Con ingenio! ...............................................................................................................................................22 Zona de integración ........................................................................................................................23
La divisibilidad
24
............................................................................................................................
Múltiplos y divisores.....................................................................................................................24 Números primos y compuestos ................................................................................... 26
criterios de divisibilidad
El mcm y el dcm..................................................................................................................................... 28
situaciones problemáticas con mcm y dcm
Curiosidades matemáticas ................................................................................................ 30
propiedades interesantes sobre números
¡Con ingenio! .............................................................................................................................................. 30 Zona de integración ........................................................................................................................ 31
Las fracciones y los decimales
...................................................
48
Las fracciones decimales ................................................................................................... 48
•
fracciones con denominador 10, 100 y 1.000 equivalencia entre un número decimal y una fracción
La multiplicación y la división por 10, 100 y 1.000 ..................... 50 Expresiones decimales periódicas........................................................................52 equivalencia entre fracciones y expresiones periódicas multiplicación y división con decimales
•
Curiosidades matemáticas ................................................................................................ 54 redondeo y aproximación de números
¡Con ingenio! .............................................................................................................................................. 54 Zona de integración ........................................................................................................................55
CAPÍTULO 7
La proporcionalidad
CAPÍTULO 10 .....................................................................................................
56
Magnitudes directamente proporcionales.............................................. 56
•
concepto de magnitud constante de proporcionalidad directa representación gráfica
•
Los cuerpos
.....................................................................................................................................
80
Los cuerpos poliedros y los redondos ............................................................ 80 elementos
Magnitudes inversamente proporcionales.............................................. 58
•
constante de proporcionalidad inversa representación gráfica
El porcentaje ............................................................................................................................................. 60 Curiosidades matemáticas ................................................................................................ 62
La clasificación de los cuerpos.................................................................................. 82
cuerpos regulares e irregulares
Los desarrollos planos.............................................................................................................. 84 Curiosidades matemáticas .............................................................................................. 86 la cinta de moebius
los porcentajes en el censo nacional de población, hogares y viviendas 2010
¡Con ingenio! ............................................................................................................................................. 86 Zona de integración ..................................................................................................................... 87
CAPÍTULO 8
FICHAS DE ACTIVIDADES
¡Con ingenio! .............................................................................................................................................. 62 Zona de integración ....................................................................................................................... 63
Mediciones
.........................................................................................................................................
64
Las unidades de longitud ...................................................................................................... 64
•
relación entre distintas unidades de longitud perímetro unidades de superficie
•
Las unidades de peso y de capacidad.............................................................. 66
•
relación entre distintas unidades de peso relación entre distintas unidades de capacidad
Las unidades de tiempo .......................................................................................................... 68
•
relación entre distintas unidades de tiempo milenio, siglo, lustro y año
Curiosidades matemáticas .................................................................................................70 la historia del reloj
¡Con ingenio! ...............................................................................................................................................70 Zona de integración ........................................................................................................................ 71
JUEGOS
CAPÍTULO 9
Las figuras planas
CAPÍTULO 1: FICHAS 1, 2, 3, 4 ................................................................................................. 89 CAPÍTULO 2: FICHAS 5, 6, 7, 8.................................................................................................91 CAPÍTULO 3: FICHAS 9, 10, 11, 12 ....................................................................................... 93 CAPÍTULO 4: FICHAS 13, 14, 15, 16 ................................................................................... 95 CAPÍTULO 5: FICHAS 17, 18, 19, 20.....................................................................................97 CAPÍTULO 6: FICHAS 21, 22, 23, 24 .................................................................................. 99 CAPÍTULO 7: FICHAS 25, 26, 27, 28 .............................................................................. 101 CAPÍTULO 8: FICHAS 29, 30, 31, 32 ............................................................................... 103 CAPÍTULO 9: FICHAS 33, 34, 35, 36 .............................................................................. 105 CAPÍTULO 10: FICHAS 37, 38, 39, 40 ............................................................................107
..........................................................................................................
72
Polígonos regulares e irregulares......................................................................... 72 polígonos cóncavos y convexos
Los triángulos .......................................................................................................................................... 74
•
clasificación trazado de alturas
Los cuadriláteros ............................................................................................................................... 76
•
•
clasificación trazado de diagonales fórmulas para hallar superficies
Curiosidades matemáticas .................................................................................................78
problemas geométricos sin solución
¡Con ingenio! ...............................................................................................................................................78 Zona de integración ........................................................................................................................79
Lotería fraccionaria....................................................................................................................110 operaciones con fracciones
Definiendo la geometría ....................................................................................................... 112
triángulos, cuadriláteros y polígonos
Ludo matemático............................................................................................................................... 114
•
números naturales, fracciones y decimales ángulos, figuras y cuerpos medidas
•
CAPÍTULO
LÍNEA DE CONTENIDOS: SISTEMA DE NUMERACIÓN DECIMAL • SISTEMA DE NUMERACIÓN ROMANO
1
resolvemos problemas usando…
Los números naturales ¿Cuánta plata tengo en total con 10 billetes de $10, 5 de $100 y 11 de $1.000?
PLANTEO
1
Observen el diálogo entre Jorge y Valeria y respondan. respondan
Lo podés pensar como 6 billetes de $100, 1 billete de 1.000 y 1 de $10.000.
¿De dónde sacaste el billete de $10.000?
• ¿Cómo le explican a Jorge el
razonamiento de Valeria? • Piensen dos formas de escribir el dinero que tiene Jorge.
con los números del 0 al 9 se forma…
El sistema de numeración decimal 1. Resolvé en tu carpeta el siguiente problema.
María ganó un premio de $5.438 y fue al banco a retirarlo. a. Si le pidió a la cajera que le diera la menor cantidad de billetes posible, ¿cuántos billetes se llevó María del banco? b. ¿Cuántos billetes de cada valor le pudo haber entregado la cajera? • Compará tu respuesta con la de tus compañeros. c. ¿Podría haber recibido todos los billetes de un mismo valor? • Si contestaste que sí, indicá cuántos billetes recibió. Si tu respuesta es no, explicá por qué.
2. Determiná qué número está escondido en cada caso para conocer algunos datos que dejó
M AT E M ÁT I C A
el último censo realizado en nuestro país. Escribilos en tu carpeta.
8
a. La provincia de Buenos Aires tiene un total de quince millones, seiscientos veinticinco mil ochenta y cuatro habitantes. b. 1 3 1.000.000 1 3 3 100.000 1 3 3 10.000 1 5 3 1.000 1 1 3 100 1 6 3 10 1 3 es la cantidad de varones que hay en la Ciudad Autónoma de Buenos Aires.
Nuestro sistema de numeración se llama sistema decimal o de base 10, porque utiliza 10 símbolos y porque al agrupar 10 unidades se forma una decena, 10 decenas forman una centena, etcétera.
Todos los caminos conducen a Roma
• OTROS SISTEMAS DE NUMERACIÓN • SUMA, RESTA, MULTIPLICACIÓN Y DIVISIÓN • CÁLCULO MENTAL
3. Indicá cuál es el valor del 4 en
Nuestro sistema de numeración es posicional, porque el valor que adquiere cada cifra depende de la posición que ocupe.
cada uno de los números. a. 2.347
133
b. 4.305.785
30
c. 5.547.424
3
4. Uní con flechas cada número con su descomposición. 2.348.471
3 3 10.000 1 4 3 1.000 1 8 3 100 1 4 3 10 1 7
348.471
2 3 1.000.000 1 3 3 100.000 1 4 3 10.000 1 8 3 1.000 1 4 3 100 1 7 3 10 1 1
23.484.710
34 3 10.000 1 8 3 1.000 1 4 3 100 1 7 3 10 1 1
34.847
2 3 10.000.000 1 34 3 100.000 1 8 3 10.000 1 47 3 100 1 1 3 10
5. Escribí en tu carpeta los números ordenados de menor a mayor. 5 3 100.000.000 1 6 3 1.000.000 1 2 3 100 1 5 5 3 100.000.000 1 6 3 10.000.000 1 2 3 100 1 5 3 10 5 3 10.000.000 1 6 3 1.000.000 1 2 3 100.000 1 5 3 10.000
Zona de actividades 1. Leé y fundamentá en tu carpeta si estás de acuerdo con la siguiente afirmación. En nuestro sistema de numeración, si un número tiene más cifras que otro, es mayor. 2. Escribí en tu carpeta de dos maneras distintas
los siguientes números.
a. 52.708 b. Trece millones, veinticinco mil trescientos noventa y dos. c. 2 3 10.000 1 6 3 1.000 1 5 3 10 1 3 d. Cuatrocientos veinticinco mil siete.
3. Marcá con un
la opción correcta.
a. El valor posicional del 5 es 500 en... 581.278
278.581
782.815
b. La descomposición del número 45.000.410 es... 45 3 1.000.000 1 41 3 10 45 3 10.000.000 1 4 3 100 1 10 4 3 10.000.000 1 5 1 4 3 100 1 1 3 10 c. 2 3 1.000 1 3 3 100.000 1 4 3 1.000.000 es la descomposición de... 2.300.400
4.320.000
4.302.000
| CAPÍTULO 1 |
9
en tumbas y pirámides aparecen…
Los antiguos sistemas de numeración PLANTEO
2
Reescriban utilizando el sistema de numeración decimal la carta que llegó a una radio de Córdoba.
• ¿Qué números aparecen en la carta? • ¿Por qué el XIX no está escrito XVIIII?
Córdoba, XXV/XII/MMXV Señores periodistas: Somos los VII alumnos de la Escuela III D.E. XI que visitamos la radio el día XIX pasado. Queremos agradecer a todos los integrantes de Radio XL por habernos hecho pasar un momento muy ameno. Nosotros
1. Escribí tu fecha de nacimiento en números romanos.
Reglas de formación de números en el sistema romano Los símbolos que se usan: I51
V55
X 5 10
L 5 50
C 5 100
D 5 500
M 5 1.000
Solo algunos símbolos pueden repetirse. I, X, C y M pueden repetirse hasta tres veces. Hay símbolos que ubicados a la izquierda restan pero ubicados a la derecha suman. IV = 5 - 1 VI = 5 + 1 IX = 10 - 1 XI = 10 + 1 XL = 50 - 10 LX = 50 + 10 XC = 100 - 10 CX = 100 + 10 CD = 500 - 100 DC = 500 + 100 CM = 1.000 - 100 MC = 1.000 + 100
M AT E M ÁT I C A
Si un símbolo tiene una línea horizontal colocada arriba, multiplica su valor por 1.000; si tiene dos se multiplica por 1.000.000.
10
__
5.812 5 VDCCCXII
___________
1.239.000 5 MCCXXXIX
2. Teniendo en cuenta la regla de formación de los números romanos, respondé. a. ¿Es posicional el sistema de numeración romano? b. ¿Es cierto que al comparar dos números romanos es mayor el que está formado por mayor cantidad de símbolos?
3. Observá las igualdades y luego completá los espacios vacíos.
12.541 5
359 5
• En el sistema de numeración egipcio, el símbolo • En el sistema de numeración egipcio, el símbolo de numeración romano. • Los símbolos
,
y
equivale a
en el sistema decimal.
equivale a
en el sistema
representan el 10, 100 y 10.000 respectivamente.
4. Completá con ,, . o 5. __
a. IVDVI
4.560
b.
CXXVII
Los símbolos en el sistema egipcio se pueden repetir hasta 9 veces.
c.
5.415
https://www.google.com/search?q=sistema+de+numeracion+ejercicios& ie=utf-8&oe=utf-8#q=sistema+de+numeracion+romano+ejercicios
Entrá al sitio web y resolvé más ejercicios del sistema de numeración romano.
Zona de actividades 1. Completá el cuadro. Sistema decimal
Sistema romano
6.487
2. Ordená de menor a mayor en tu carpeta los siguientes números. Sistema egipcio
MMMD 547
MMMCDLXXXIX
12.495
12.457
__
IVCCCV
3. Escribí en tu carpeta. a. ¿Cuáles de los sistemas vistos son posicionales y cuáles no? b. ¿Cuáles de los sistemas estudiados tienen un símbolo para el 0 y cuáles no?
| CAPÍTULO 1 |
11
algunas propiedades facilitan…
Las operaciones PLANTEO
3
45 se puede escribir como 5 + 4 x 10.
También se puede escribir como 40 + 5.
Julieta y Nicolás son hermanos y siempre compiten entre ellos. Una competencia que les gusta mucho es pensar en un número y escribirlo de formas distintas. Lean lo que dice cada uno y respondan.
• ¿Es correcto lo que dicen los chicos? • ¿Cuántas formas distintas se pueden encontrar para escribir
el número 45? • ¿Pasará lo mismo con otros números? Conversen entre ustedes sobre lo que pensaron.
1. Resolvé mentalmente los siguientes cálculos y escribí en el espacio vacío el resultado. a. 124 1 40 1 60 5
b. 500 1 128 2 250 5
c. 25 3 23 3 4 5
• Explicales a tus compañeros las estrategias que utilizaste.
M AT E M ÁT I C A
Para resolver algunos cálculos de sumas y multiplicaciones con mayor facilidad se pueden utilizar las propiedades de las operaciones.
12
propiedad conmutativa: al sumar y al multiplicar se puede cambiar el orden de los sumando o los factores sin alterar el resultado.
25 1 47 1 75 5 25 1 75 1 47 5 147 20 3 8 3 10 5 20 3 10 3 8 5 1.600
propiedad asociativa: se pueden asociar las sumas y las multiplicaciones de distintas formas sin que varíe el resultado.
22 1 34 1 18 5 (22 1 34) 1 18 5 56 1 18 5 74 4 3 25 3 2 3 5 5 (4 3 25) 3 (2 3 5) 5 5 100 3 10 5 1.000
propiedad disociativa: se pueden disociar las sumas y las multiplicaciones sin que varíe el resultado.
214 1 45 1 3 5 200 1 10 1 4 1 40 1 5 1 3 5 200 1 50 1 12 5 262 40 3 250 5 4 3 10 3 25 3 10 5 100 3 100 5 10.000
2. Leé lo que dicen Julián y Bruno sobre un cálculo que la maestra escribió en el pizarrón y respondé en tu carpeta. Julián resuelve la suma 47 1 12 5 59 y dice que el resultado de la cuenta es 5.900, mientras que Bruno dice que se puede multiplicar cada sumando por 100 y luego sumar los dos resultados.
(47 + 12) x 100
a. ¿Qué cálculo plantea resolver Bruno? b. ¿Quién tiene razón?
3. Resolvé aplicando la propiedad distributiva. propiedad distributiva: cuando una suma o una resta es multiplicada por un número, se puede distribuir el factor entre cada uno de los términos y el resultado no varía.
a. (25 1 145) 3 4 5 b. 10 3 (45 2 15) 5 c. (235 1 415) 3 12 5
5 3 (10 1 140) 5 5 3 10 1 5 3 140 5 50 1 700 5 750
4. Planteá los cálculos y resolvelos en la carpeta de dos maneras distintas.
(41 2 28) 3 6 5 41 3 6 2 28 3 6 5 246 2 168 5 78
a. La mitad de 1.000 más el triple de 150. b. El doble de 547 menos la mitad de 500. c. La suma entre 1.410 y 589, multiplicada por 5. • Compará tus resultados con los de tus compañeros.
Zona de actividades 1. Resolvé aplicando la propiedad que te facilite el cálculo.
a. 152 3 104 5
ron los chicos para resolver 50 3 22 y explicá en tu carpeta si son correctos. Marcela
(40 1 10) 3 22 = 40 3 22 1 10 3 22 = 880 1 220 = 1.100
b. 1.250 1 789 5 c. 14 3 5 3 8 3 10 5
2. Resolvé los cálculos sabiendo que 47 3 3 5 141. a. 470 3 3 5 b. 47 3 300 5
3. Observá los siguientes desarrollos que realiza-
c. (40 1 7) 3 30 5 d. 47 3 9 5
Jime
(5 3 10) 3 22 = 5 3 22 3 10 3 22 = 110 3 220 = 24.200
Mauro (40 1 10) 3 (20 1 2) = 40 3 20 1 10 3 2 = 1.000 1 20 = 1.020
| CAPÍTULO 1 |
13
Curiosidades
matemáticas Base de un sistema de numeración Un sistema de numeración es un conjunto de símbolos y reglas que nos permiten construir todos los números que se nos ocurran. La cantidad de símbolos diferentes que utiliza el sistema de numeración determina la base de dicho sistema. Nuestro sistema de numeración utiliza 10 símbolos, por esta razón es un sistema de base 10. Sin embargo, existen otros sistemas de numeración diferentes al de base 10, y tan válidos y útiles como este. Entre esos sistemas se encuentran el de base 2 (sistema binario), de base 8 (sistema octal) y el de base 16 (sistema hexadecimal). El sistema binario utiliza los símbolos 0 y 1 para formar todos los números. Sistema decimal
Sistema binario
0
0
1
1
2
10
3
11
4
100
5
101
6
110
1. Observen la tabla donde aparecen algunas equivalencias entre el sistema decimal y el binario y respondan. a. ¿Cómo escribirías los números 7 y 8 en sistema binario?
b. ¿Cuál será el número en nuestro sistema que en binario está representado por 1011?
2. Escriban una regla de transformación del sistema decimal al binario.
¡Con ingenio! • Colocá los números del 1 al 8 en las casillas, de forma que dos números consecutivos no se ubiquen en dos casilleros que estén en contacto.
14
Todos los caminos conducen a Roma
Zona de integración ¡Te conozco, mascarita! 1. Encontrá y explicá en tu carpeta cuál es el error en cada caso.
Cuidado, ¡te estoy mirando! 4. Observá la imagen y ordená todos los
números que aparecen de menor a mayor.
a. 410 1 25 3 4 5 435 3 4 b. (1.240 1 240) 3 5 5 1.240 1 5 3 240 1 5 c. 78 1 125 5 70 1 8 1 12 1 5
Piedra, papel o tijera...
PLATAFORMA XIX TREN 251 LXX minutos
PLATAFORMA XXII
2. Marcá con un
la forma correcta de resolver cada cálculo e indicá la propiedad aplicada. a. 41 1 25 1 1 5 41 1 20 1 1 1 5 40 3 1 3 20 3 1 3 5 (40 1 1) 1 25 b. (140 2 78) 3 40 5 140 2 40 3 78 140 2 40 2 78 140 3 40 2 78 3 40
Juego matemático 5. Resolvé este crucinúmero escribiendo en
Al pan, pan... 3. Completá los espacios en blanco para que las igualdades sean ciertas. a. 5.324.576 5 5 3 1 57 3 b. 12.457 5
1 324 3 1 3 1.000 1 4 3
1 c. 5 3 100 1 1 3 10
3 10 1 5 4 3 10.000 1
sistema decimal los números que aparecen en otros sistemas. Escribí en tu carpeta la descomposición del número que quedó resaltado. a. CLII b. __ c. XDIII
d. CDXI e. f. C a. b. c. d. e. f.
* Comenten entre ustedes la frase del capítulo. *
15