Chapter6 Applications of Integration (第六章 積分的應用)

6

Applications of the Integral 第六章 積分的應用

本章所討論積分的應用，簡單的說，就是將幾何問題或物理現象，寫成 ∑𝑛𝑘=1 𝑓(ε𝑘 ) ∆𝑥𝑘 之型式，然後令 max∆𝑥 = ‖∆‖ → 0，而由定積分之定義 𝑏

lim ∑𝑛𝑘=1 𝑓(ε𝑘 ) ∆𝑥𝑘 = ∫a 𝑓 (𝑥 ) 𝑑𝑥求出：

‖∆‖→0

1.

曲線間區域之面積(Areas of Regions between Curves)

2.

平面曲線弧長(Arc length of a place curve)

3.

旋轉體之體積(Volumes of solids of revolution)

4.

旋轉曲面之面積(Areas of surfaces of revolution)

5.

質心(Center of mass)或形心(centroid)

6.

功(work)

6-1 二極曲線間之面積(Area between Two Polar Curves) 平面上之坐標系，最常用者有直角坐標(Rectangular coordinates)與極坐標 (Polar coordinates)。前面各章所使用之坐標系都是直角坐標，本章將開始使用極 坐標。平面上之曲線(curve)C 可以用直角坐標方程式(Rectangular equation) 𝑦 = 𝑓 (𝑥 )或𝑓(𝑥, 𝑦) = 0，極方程式(Polar equation)𝑟 = 𝑓 (𝜃)或𝑓(𝑟, 𝜃) = 0，以及參數方 𝑥 = 𝑔(𝑡) 程式(Parametric equation){ ，α ≤ 𝑡 ≤ β表示。 𝑦 = ℎ(𝑡) 雖然地凌張已經介紹了一些極坐標系，本節將再複習一次。在平面上取一點 ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ ，稱為極軸(Polar axis)。 O，稱為極(pole)。以 O 為始點像又做一水平射線OX ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 為始邊，以OP ⃗​⃗​⃗​⃗​⃗ 為終邊之 設 P 為一點，連結 P 點與 O 點，若 OP 之長為 r，以OX 角為θ，則(r, θ)稱為 P 點之極坐標。

圖 6.1

如圖 6.1，平面上一點 P 之直角坐標為(𝑥, 𝑦)，極坐標為(𝑟, 𝜃)，則直角坐標與極 坐標之間有一簡單之關係式。

定理 6.1：極坐標與直角坐標之關係 𝑥 = 𝑟cos θ ，𝑦 = 𝑟 sin θ ，𝑟 = √𝑥 2 + 𝑦 2 𝑦 𝑥 sin θ = ， cos θ = 。 √𝑥 2 + 𝑦 2 √𝑥 2 + 𝑦 2 再討論極方程式(Polar equation)表示之區域(region)的面積之前，先熟悉極方 程式之圖形(graph)。 例 6.1 試描出𝑟 = 1 + cos θ之圖形。 【解】此圖形為心臟線(cardioid)，如下面之左圖。

例 6.2 試描出𝑟 = 𝑎 sin 3θ之圖形。 【解】此圖形為三瓣玫瑰線(Three-leaved rose)，如上面之右圖。

例 6.3 試描出𝑟 = 𝑎 cos 2θ之圖形。 【解】此圖形為四瓣玫瑰線(Four-leaved rose)

在第四章裡，我們已經學過在𝑥𝑦平面上由𝑦 = 𝑓(𝑥) ≥ 0，𝑦 = 0，𝑥 = 𝑎，𝑥 = 𝑏 𝑏

所為成區域之面積為A = ∫𝑎 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥

下面將討論如何使用定積分求由曲線𝑟 = 𝑓 (θ) ≥ 0，半線θ = α，θ = β所圍成區 域 R 之面積。 如圖 6.2 所示：

令α = θ0 < θ1 < θ2 ⋯ < θ𝑘−1 < θ𝑘 ⋯ < θ𝑛−1 < θ𝑛 = β 取θ𝑘−1 ≤ ∅𝑘 ≤ θ𝑘 ，則以𝑓 (∅𝑘 )為半徑，∆θ𝑘 = θ𝑘 − θ𝑘−1 為圓心角之扇形面積 1 ∆A𝑘 = [𝑓 (∅𝑘 )]2 ∆θ𝑘 , k = 1,2, … , n 2 將∆A1 ，∆A2 ，…，∆An 相加得 1

∑nK=1 ∆A𝑘 = ∑nk=1 [𝑓 (∅𝑘 )]2 ∆θ𝑘

2 n 當分割得充分細時，∑k=1 ∆A𝑘 逼近區域 R 之面積 1 1 β 而∑nk=1 2 [𝑓(∅𝑘 )]2 ∆θ𝑘 逼近定積分2 ∫α [𝑓(𝜃)]2 𝑑𝜃

故可定義極坐標所表示平面區域之面積如下。

A

定義 6.1：極坐標所表平面區域之面積 若r = 𝑓(𝜃)在[α, β]上連續，則區域R = {(r, 𝜃)|0 ≤ r ≤ 𝑓 (𝜃), α ≤ θ ≤ β}之面積A = 1

β

∫ [𝑓 (𝜃)]2 𝑑𝜃 。 2 α

♡定理 6.2 若r = 𝑓(𝜃)，r = 𝑔(θ)在[α, β]上連續，則且 𝑔(θ) ≥ 𝑓(𝜃)，則區域R = {(r, 𝜃)|𝑓(𝜃) ≤ 1

β

r ≤ 𝑔(θ), α ≤ θ ≤ β}之面積A = 2 ∫α {[𝑔(𝜃)]2 − [𝑓 (𝜃)]2 }𝑑𝜃。 β

1

1

β

1

β

【證】A = 2 ∫α [𝑔(𝜃)]2 𝑑𝜃 − 2 ∫α [𝑓(𝜃)]2 𝑑𝜃 = 2 ∫α {[𝑔(𝜃)]2 − [𝑓(𝜃)]2 }𝑑𝜃

例 6.4 求由心臟線(cardioid)r = 1 + cos𝜃所圍成區域之面積。 1

2π

1

2π

1

2π

1+cos2𝜃

【解】A = 2 ∫0 (1 + cos𝜃)2 𝑑𝜃 = 2 ∫0 (1 + 2cos𝜃 + cos 2 𝜃)𝑑𝜃 = 2 ∫0 (1 + 2cos𝜃 + 3

1

2

2π

= (4 𝜃 + sin 𝜃 + 8 sin 2𝜃)|

0

) 𝑑𝜃 =

3π 2

。

例 6.5 求在圓(circle) r = 1之內部，而在心臟線(cardioid)r = 1 − cos𝜃之外部之區域之面 積。 π

【解】由1 − cos𝜃 = 1，cos𝜃 = 0，得𝜃 = − 2或𝜃 = π 2 π 2 − 2 π 1 2 π 2 − 2 π 2 π − 2

1

2

2]

A = ∫ [1 − (1 − cos𝜃) 𝑑𝜃 = ∫ (2cos𝜃 − cos 2 𝜃)𝑑𝜃 1

1

= ∫ (cos𝜃 − 4 − 4 cos2𝜃) 𝑑𝜃 𝜃

1

π 2

= (− 4 + sin 𝜃 − 8 sin 2𝜃)|

π − 2

π

=2−4

𝜋 2

ď&#x201A;Şäž&#x2039; 6.6 ćą&#x201A;ĺ&#x153;¨ĺ&#x153;&#x201C;(circle) r = 5cosđ?&#x153;&#x192;äš&#x2039;ĺ&#x2026;§é&#x192;¨ďź&#x152;č&#x20AC;&#x152;ĺ&#x153;¨č&#x161;śçˇ&#x161;(limacon)r = 2 + cosđ?&#x153;&#x192;äš&#x2039;ĺ¤&#x2013;é&#x192;¨äš&#x2039;ĺ?&#x20AC;ĺ&#x;&#x;äš&#x2039;é?˘ çŠ?ă&#x20AC;&#x201A; 1

Ď&#x20AC;

đ?&#x153;&#x2039;

ă&#x20AC;?解ă&#x20AC;&#x2018;ç&#x201D;ą2 + cosđ?&#x153;&#x192; = 5cosđ?&#x153;&#x192;ďź&#x152;cosđ?&#x153;&#x192; = 2ďź&#x152;ĺž&#x2014;đ?&#x153;&#x192; = 3 ć&#x2C6;&#x2013;đ?&#x153;&#x192; = â&#x2C6;&#x2019; 3 1

Ď&#x20AC; 3

Ď&#x20AC;

A = 2 â&#x2C6;&#x2122; 2 â&#x2C6;Ť03 [(5cosđ?&#x153;&#x192;)2 â&#x2C6;&#x2019; (2 + cosθ)2 ]đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;&#x192;

= â&#x2C6;Ť (25cos 2 đ?&#x153;&#x192; â&#x2C6;&#x2019; 4 â&#x2C6;&#x2019; 4cosθ â&#x2C6;&#x2019; cos 2 θ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;&#x192; 0 Ď&#x20AC; 3

= â&#x2C6;Ť (24cos 2 đ?&#x153;&#x192; â&#x2C6;&#x2019; 4cosθ â&#x2C6;&#x2019; 4)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;&#x192; 0 Ď&#x20AC; 3

= â&#x2C6;Ť (12 + 12cos2θ â&#x2C6;&#x2019; 4cosθ â&#x2C6;&#x2019; 4)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;&#x192; 0

Ď&#x20AC; 3

= â&#x2C6;Ť (8 + 12cos2θ â&#x2C6;&#x2019; 4cosθ)đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;&#x192; Ď&#x20AC; 3

=(8θ + 6sin2θ â&#x2C6;&#x2019; 4sinθ)|0 =

0 8Ď&#x20AC; 3

+ 3â&#x2C6;&#x161;3 â&#x2C6;&#x2019; 2â&#x2C6;&#x161;3 =

8Ď&#x20AC; 3

+ â&#x2C6;&#x161;3ă&#x20AC;&#x201A;

çż&#x2019;éĄ&#x152; 6ďź?1 1.ćą&#x201A;é&#x203A;&#x2122;ç´?çˇ&#x161;(lemniscates)r 2 = đ?&#x2018;&#x17D;2 cos2θć&#x2030;&#x20AC;ĺ&#x153;?ć&#x2C6;?ĺ?&#x20AC;ĺ&#x;&#x;äš&#x2039;é?˘çŠ?ă&#x20AC;&#x201A;

2.ćą&#x201A;ä¸&#x2030;č&#x2018;&#x2030;ç&#x17D;Ťç&#x2018;°çˇ&#x161;(Three-leaved rose)r = 2cos3θć&#x2030;&#x20AC;ĺ&#x153;?ć&#x2C6;?ĺ?&#x20AC;ĺ&#x;&#x;äš&#x2039;é?˘çŠ?ă&#x20AC;&#x201A;

3.ćą&#x201A;ĺ&#x153;¨ĺ&#x153;&#x201C;(circle)r = 3sinθäš&#x2039;ĺ&#x2026;§ďź&#x152;č&#x20AC;&#x152;ĺ&#x153;¨ĺż&#x192;č&#x2021;&#x;çˇ&#x161;(cardioids) r = 1 + sinđ?&#x153;&#x192;äš&#x2039;ĺ¤&#x2013;ç&#x161;&#x201E;é?˘çŠ?ă&#x20AC;&#x201A;

4.ćą&#x201A;ĺ&#x153;¨ĺ&#x153;&#x201C;(circle)r = 1äš&#x2039;ĺ¤&#x2013;é&#x192;¨ďź&#x152;č&#x20AC;&#x152;ĺ&#x153;¨ĺ&#x203A;&#x203A;č&#x2018;&#x2030;ç&#x17D;Ťç&#x2018;°çˇ&#x161;(Four-leaved rose) r = 2cos2đ?&#x153;&#x192;äš&#x2039; ĺ&#x2026;§é&#x192;¨ć&#x2030;&#x20AC;ć&#x2C6;?ç&#x161;&#x201E;ĺ?&#x20AC;ĺ&#x;&#x;é?˘çŠ?ă&#x20AC;&#x201A;

5.求在心臟線(cardioid) r = 2(1 + sin𝜃)之內部，而在圓(circle) r = 2sin𝜃之外部 所成區域之面積。

6.求葉行線(folium)𝑥 3 + 𝑦 3 = 3𝑎𝑥𝑦，(𝑎 < 0)所圍成區域之面積。(提示：改用極 座標)

6-2 平行曲線之長度(Lengths of Curves in the Plane) 平面上之曲線(Curves in the plane)可用 直角坐標方程式(rectangular equation) 參數方程式(parametric equation) 極方程式(polar equation) 三種型式表示。本節將討論如何用定積分求這些曲線之長度(length)。 如果函數𝑓 (𝑥 )在區間[𝑎, 𝑏]上可導(differentiable)，則由𝑦 = 𝑓(𝑥 )所表示之曲線 C 在[𝑎, 𝑏]上是平滑的(smooth)，而且在𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏間有一定的長度(length)。

圖 6.3 如圖 6.3，依 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 ⋯ < 𝑥𝑘−1 < 𝑥𝑘 ⋯ < 𝑥𝑛−1 < 𝑥𝑛 = 𝑏 將區間[𝑎, 𝑏]分割，則由(𝑥𝑘−1 , 𝑓(𝑥𝑘−1 ))至(𝑥𝑘 , 𝑓(𝑥𝑘 ))之線段長 ∆𝐿𝑘 = √(𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 )2 + [ 𝑓(𝑥𝑘 ) − 𝑓(𝑥𝑘−1 )]2 由均值定理(The mean value theorem)得 𝑓(𝑥𝑘 ) − 𝑓 (𝑥𝑘−1 ) = (𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 )𝑓 ′ (ξk )∆𝑥𝑘 故∆𝐿𝑘 可寫成 ∆𝐿𝑘 = √1 + [𝑓 ′ (ξk )]2 ∆𝑥𝑘 將∆𝐿1 ，∆𝐿2 ， … ，∆𝐿𝑛 相加，得 n

n

∑ ∆𝐿𝑘 = ∑ √1 + [𝑓 ′ (ξk )]2 ∆𝑥𝑘 k=1

k=1

當分割得非常細時，∑nk=1 ∆𝐿𝑘 可逼近曲線 C 之長度 𝑏

而∑nk=1 √1 + [𝑓 ′ (ξk )]2 ∆𝑥𝑘 逼近∫𝑎 √1 + [𝑓 ′ (𝑥 )]2 𝑑𝑥 故可定義曲線𝑦 = 𝑓 (𝑥 )，𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏之長度如下：

定義 6.2：直角坐標方程式曲線之長度 曲線𝑦 = 𝑓(𝑥 )，自𝑥 = 𝑎至𝑥 = 𝑏，(𝑎 < 𝑏)之長度(length)定義成 𝑏

L = ∫𝑎 √1 + [𝑓 ′ (𝑥 )]2 𝑑𝑥。 例 6.7 𝜋

求曲線𝑦 = ln 𝑐𝑜𝑠𝑥，自𝑥 = 0至𝑥 = 3 間之長度。 𝑑𝑦

1

𝑑

1

【解】𝑑𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥 = 𝑐𝑜𝑠𝑥 (−𝑠𝑖𝑛𝑥 ) = −𝑡𝑎𝑛𝑥 𝜋

𝑑𝑦 2

𝜋

L = ∫03 √1 + (𝑑𝑥 ) 𝑑𝑥 = ∫03 √1 + 𝑡𝑎𝑛2 𝑥 𝑑𝑥 𝜋 3

𝜋 3

= ∫0 𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑑𝑥 = 𝑙𝑛|𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑎𝑛𝑥 ||0

= 𝑙𝑛(2 + √3) − 𝑙𝑛(1 + 0) = 𝑙𝑛(2 + √3)。

例 6.8 2

2

2

求星形線(astroid)𝑥 3 + 𝑦 3 = 𝑎3 之長度。 2

1

2

1

𝑑𝑦

【解】3 𝑥 −3 + 3 𝑦 −3 𝑑𝑥 = 0 dy dx

1

=−

𝑦3 1

𝑥3 2

1

1

1

2

𝑎 𝑎 𝑑𝑦 3 𝐿 = 4 ∫0 √1 + (𝑑𝑥 ) 𝑑𝑥 = 4 ∫0 𝑎3 𝑥 −3 𝑑𝑥 = 4𝑎3 2 𝑥 3 = 6𝑎。

已知曲線 C 之參數方程式為 𝑥 = 𝑥(𝑡)，𝑦 = 𝑦(𝑡)，𝛼 ≤ 𝑡 ≤ 𝛽

圖 6.4 如圖 6.4，依 𝛼 = 𝑡0 < 𝑡1 < 𝑡2 ⋯ < 𝑡𝑘−1 < 𝑡𝑘 ⋯ < 𝑡𝑛−1 < 𝑡𝑛 = 𝛽 將區間[α, β]分割，𝑡𝑘−1 與𝑡𝑘 在曲線 C 上之對應點分別為(𝑥(𝑡𝑘−1 ), 𝑦(𝑡𝑘−1 ))與 (𝑥(𝑡𝑘 ), 𝑦(𝑡𝑘 ))。 由(𝑥 (𝑡𝑘−1 ), 𝑦(𝑡𝑘−1 ))至(𝑥 (𝑡𝑘 ), 𝑦(𝑡𝑘 ))之線段長 ∆𝐿𝑘 = √[𝑥(𝑡𝑘 ) − 𝑥(𝑡𝑘−1 )]2 + [𝑦(𝑡𝑘 ) − 𝑦(𝑡𝑘−1 )]2 由均值定理(The mean value theorem)得 𝑥(𝑡𝑘 ) − 𝑥 (𝑡𝑘−1 ) = (𝑡𝑘 − 𝑡𝑘−1 )𝑥 ’ (ξ𝑘 ) = 𝑥 ’ (ξ𝑘 )∆𝑡𝑘 𝑦(𝑡𝑘 ) − 𝑦(𝑡𝑘−1 ) = (𝑡𝑘 − 𝑡𝑘−1 )𝑦 ’ (ξ𝑘 ) = 𝑦 ’ (η𝑘 )∆𝑡𝑘

故∆𝐿𝑘 可寫成 ∆𝐿𝑘 = √[𝑥 ’ (ξ𝑘 )]2 + [𝑦 ’ (η𝑘 )]2 ∆𝑡𝑘 將∆𝐿1 ，∆𝐿2 ，⋯，∆𝐿𝑛 相加，得 n

n

∑ ∆𝐿𝑘 = ∑ √[𝑥 ’ (ξ𝑘 )]2 + [𝑦 ’ (η𝑘 )]2 ∆𝑡𝑘 k=1

k=1 n 當分割得非常細時，∑k=1 ∆𝐿𝑘 可逼近曲線 ∑nk=1 √[𝑥 ’ (ξ𝑘 )]2 + [𝑦 ’(η𝑘 )]2 ∆𝑡𝑘 β 𝑑𝑥 2 𝑑𝑦 2

C 之長度

可逼近定積分∫α √( 𝑑𝑡 ) + ( 𝑑𝑡 ) 𝑑𝑡

故可定義曲線 C：𝑥 = 𝑥(𝑡)，𝑦 = 𝑦(𝑡)，α ≤ t ≤ β之長度：

定義 6.3：參數式表示曲線之長度 曲線 C：𝑥 = 𝑥(𝑡)，𝑦 = 𝑦(𝑡)，α ≤ t ≤ β之長度 2

2

β 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝐿 = ∫α √( 𝑑𝑡 ) + ( 𝑑𝑡 ) 𝑑𝑡。

例 6.9 求擺線(cycloid){

𝑥 = 𝑎(𝑡 − sin 𝑡) ，0 ≤ t ≤ 2π 之長度。 𝑦 = 𝑎(1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑡)

𝑑𝑥

𝑑𝑦

【解】 𝑑𝑡 = 𝑎(1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑡) ， 𝑑𝑡 = 𝑎𝑠𝑖𝑛 𝑡 2

2

2π 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝐿 = ∫0 √( 𝑑𝑡 ) + ( 𝑑𝑡 ) 𝑑𝑡 2𝜋

= ∫0 √𝑎2 [(1 − 𝑐𝑜𝑠 𝑡)2 + 𝑠𝑖𝑛2 𝑡] 𝑑𝑡 2𝜋

= ∫0 𝑎√2 − 2 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 2π

𝑡

𝑡

= 2𝑎 ∫0 𝑠𝑖𝑛 2 𝑑𝑡 = 4𝑎(− 𝑐𝑜𝑠 2)| 2π = 8𝑎。 0

有了參數式之弧長(Arc lenght)公式後，很容易導出極方程式表示之曲線之弧 長之公式。 已知曲線 C 之極方程式為𝑟 = 𝑓(𝜃)，α ≤ 𝜃 ≤ β 由𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃，𝑦 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃，將𝑟 = 𝑓(𝜃)代入，得 𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 𝑓(𝜃) 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 𝑓(𝜃) 𝑠𝑖𝑛 𝜃 上式可看參數(parameter)為𝜃之參數式。 定理 6.3：極坐標表示曲線之長度 曲線 C：𝑟 = 𝑓(𝜃)，α ≤ 𝜃 ≤ β之長度 2

β 𝑑𝑟 𝐿 = ∫α √𝑟 2 + ( 𝜃 ) 𝑑𝜃 。

𝑥 = 𝑟 𝑐𝑜𝑠 𝜃 = 𝑓(𝜃) 𝑐𝑜𝑠 𝜃 【證】{ ，α ≤ 𝜃 ≤ β 𝑦 = 𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 𝑓(𝜃) 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑑𝑥 = 𝑓 (𝜃)(−𝑠𝑖𝑛𝜃) + 𝑓 ′ (𝜃) 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑑𝜃 𝑑𝑦

= 𝑓 (𝜃) 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑓 ′ (𝜃) 𝑠𝑖𝑛 𝜃

𝑑𝜃 𝑑𝑥 2

𝑑𝑦 2

(𝑑𝜃 ) + (𝑑𝜃 ) = [𝑓 (𝜃)]2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 − 2 𝑓(𝜃) 𝑓 ′ (𝜃) 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + [ 𝑓 ′ (𝜃)]2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 +[𝑓(𝜃)]2 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 + 2 𝑓(𝜃) 𝑓 ′ (𝜃) 𝑠𝑖𝑛 𝜃 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + [ 𝑓 ′ (𝜃)]2 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 𝑑𝑟 2

= [𝑓 (𝜃)]2 + [ 𝑓 ′ (𝜃)]2 = 𝑟 2 + ( 𝜃 ) 2

2

2

𝛽 𝛽 𝑑𝑥 𝑑𝑦 𝑑𝑟 故𝐿 = ∫𝛼 √(𝑑𝜃 ) + (𝑑𝜃 ) 𝑑𝜃 = ∫𝛼 √𝑟 2 + ( 𝜃 ) 𝑑𝜃

例 6.9 求心臟線(cardioid) 𝑟 = 𝑎(1 + 𝑐𝑜𝑠 𝜃) 之長度。 【解】因心臟線𝑟 = 𝑎(1 + 𝑐𝑜𝑠 𝜃)對稱於極軸 2

π 𝑑𝑟 故𝐿 = 2 ∫0 √𝑟 2 + ( 𝜃 ) 𝑑𝜃 π

= 2𝑎 ∫0 √(1 + 𝑐𝑜𝑠 𝜃)2 + (− 𝑠𝑖𝑛 𝜃 )2 𝑑𝜃 π = 2𝑎 ∫0 √2 + 2𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑑𝜃 π

𝜃

= 4𝑎 ∫0 𝑐𝑜𝑠 2 𝑑𝜃 𝜃

= 8𝑎 sin 2 | π0 = 8a

習題 6-2 3

1.

求曲線𝑦 2 = 𝑥 3 自點(0,0)至點 (5, 52 )間之弧的長度。

2.

求曲線𝑦 =

3.

求懸鍊線(catenary) 𝑦 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠ℎ 𝑎自𝑥 = 0至𝑥 = 𝑏 > 0間之長度

4.

求星形線(astroid) {

5.

求 Archimedes 螺線(spiral of Archimedes) 𝑟 = 𝜃自𝜃 = 0至𝜃 = 2π間之長

𝑥2 2

1

− 4 ln 𝑥，1 ≤ 𝑥 ≤ 2之長度。 𝑥

𝑥 = 𝑎 𝑐𝑜𝑠 3 𝑡 ，0 ≤ 𝑡 ≤ 2π之長度。 𝑦 = 𝑎 𝑠𝑖𝑛3 𝑡

度。

6.

求對數螺線(logarithmic spiral) 𝑟 = e2θ 自𝜃 = 0至𝜃 = 2π至間之長度。

6-3 旋轉體之體積(Volumes of Solids of Revolution) 在𝑥𝑦平面上之區域𝑅 = {(𝑥, 𝑦)|𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥)}繞𝑥軸旋轉一週，將形成 一個立體，如圖 6.5 所示：

圖 6.5 令𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑘−1 < 𝑥𝑘 < ⋯ < 𝑥𝑛−1 < 𝑥𝑛 = 𝑏 取𝑥𝑘−1 ≤ ε𝑘 ≤ 𝑥𝑘 ，則以𝑓 (ε𝑘 )為長，∆𝑥𝑘 = 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 為寬之矩形區域繞𝑥軸旋轉 一週所成之圓柱體之體積 ∆𝑉𝑘 = π[𝑓(ε𝑘 )]2 ∆𝑥𝑘 , 𝑘 = 1,2, ⋯ , 𝑛 將∆𝑉1 ，∆𝑉2 ， ⋯ ，∆𝑉𝑛 相加得 ∑𝑛𝑘=1 ∆𝑉k = ∆ ∑𝑛𝑘=1 π[𝑓 (ε𝑘 )]2 ∆𝑥𝑘 當分割得充分細時，∑𝑛𝑘=1 ∆𝑉𝑘 逼近旋轉體之體積𝑉 𝑏

而∑𝑛𝑘=1 π [𝑓(ε𝑘 )]2 ∆𝑥𝑘 逼近定積分π ∫𝑎 [𝑓 (ε𝑘 )]2 𝑑𝑥 故可定義區域𝑅 = {(𝑥, 𝑦)|𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥)}繞𝑥軸旋轉一週所成立體之體 積如下

定義 6.4：旋轉體之體積-繞𝒙軸旋轉 (Volume of the solid of revolution rotation about the x-axis) 區域𝑅 = {(𝑥, 𝑦)|𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥)}繞𝑥軸旋轉一週所成立體之體積 𝑏

𝑉 = π ∫ [𝑓(ε𝑘 )]2 𝑑𝑥 𝑎

例 6.11 求由區域𝑅 = {(𝑥, 𝑦)|1 ≤ 𝑥 ≤ 4,0 ≤ 𝑦 ≤ √𝑥}繞𝑥軸旋轉一週所成立體之體積。 4

2

4

【解】𝑉 = π ∫1 [√𝑥] 𝑑𝑥 = π ∫1 𝑥 𝑑𝑥 =

15 2

π。

在𝑥𝑦平面上之區域𝑅 = {(𝑥, 𝑦)|𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥)}繞𝑦軸旋轉一週，會 形成一個立體，如圖 6.6 所示

圖 6.6 令𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑘−1 < 𝑥𝑘 < ⋯ < 𝑥𝑛−1 < 𝑥𝑛 = 𝑏 𝑥

+𝑥

取ε𝑘 = 𝑘−12 𝑘 ，∆𝑥𝑘 = 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 ∆𝑉𝑘 = π[𝑥𝑘 ]2 𝑓(ε𝑘 ) − π[𝑥𝑘−1 ]2 𝑓 (ε𝑘 ) = π(𝑥𝑘 + 𝑥𝑘−1 )𝑓 (ε𝑘 )(𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 ) = 2πε𝑘 𝑓 (ε𝑘 )∆𝑥𝑘

𝑛

𝑛

𝑏

𝑉 = lim ∑ ∆𝑉𝑘 = lim ∑ 2πε𝑘 𝑓 (ε𝑘 )∆𝑥𝑘 = 2π ∫ 𝑥𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 ‖∆‖→0

‖∆‖→0

𝑘=1

𝑎

𝑘=1

故可定義區域𝑅 = {(𝑥, 𝑦)|𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥)}繞𝑦軸旋轉一週所成立體 之體積如下

定義 6.5：旋轉體之體積-繞𝒚軸旋轉 (Volume of the solid of revolution rotation about the y-axis) 區域𝑅 = {(𝑥, 𝑦)|𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥)}繞𝑦軸旋轉一週所成立體之體積 𝑏

𝑉 = 2π ∫ 𝑥𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑎

例 6.12 求由區域𝑅 = {(𝑥, 𝑦)|1 ≤ 𝑥 ≤ 2,0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑥 2 }繞𝑦軸旋轉一週所成立體之體積。 2

2

【解】𝑉 = 2π ∫1 𝑥 (𝑥 2 )𝑑𝑥 = 2π ∫1 𝑥 3 𝑑𝑥 =

15π 2

例 6.13 𝑥2

𝑦2

求由𝑎2 + 𝑏2 = 1，(𝑎 > 0，𝑏 > 0)與𝑥 = 0所圍成之區域繞𝑦軸旋轉一週，所成立 體之體積。 b

【解】當𝑦 ≥ 0時，𝑦 = 𝑎 √𝑎2 − 𝑥 2 𝑎𝑏

𝑉 = 2 [2π ∫0 = = =

√𝑎2 − 𝑥 2 𝑎 4𝑏𝜋 𝑎 ∫ 𝑥√𝑎2 − 𝑥 2 𝑑𝑥 𝑎 0 3 𝑎 4𝑏𝜋 −1 2 2 𝑎 3 4𝑏𝜋 3 𝑎 𝑎

(𝑎 − 𝑥 )2 | =

4𝜋𝑎 2 𝑏 𝑎

。

0

𝑑𝑥]

習題 6-3 1.

求曲線𝑦 = sin 𝑥，在𝑥 = 0和𝑥 = 𝜋之間，與𝑥軸所圍成之區域繞𝑥軸旋轉一週 所成立體之體積。

2.

求區域𝑅 = {(𝑥, 𝑦)|1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑒, 0 ≤ 𝑦 ≤ ln 𝑥 }繞𝑥軸旋轉一週所成立體之體 積。

3.

1

求區域𝑅 = {(𝑥, 𝑦)|0 ≤ 𝑥 ≤ 1,0 ≤ 𝑦 ≤ √1+𝑥 2 }繞𝑥軸旋轉一週所成立體之體 積。

4.

求區域𝑅 = {(𝑥, 𝑦)|1 ≤ 𝑥 ≤ 𝑒, 0 ≤ 𝑦 ≤ ln 𝑥 }繞𝑦軸旋轉一週所成立體之體 積。

5.

求區域𝑅 = {(𝑥, 𝑦)|0 ≤ 𝑥 ≤ 2,0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑒 𝑥 }繞𝑦軸旋轉一週所成立體之體積。

6.

試證半徑為𝑎之球的體積為3 π𝑎3 。(提示：將區域0 ≤ 𝑦 ≤ √𝑎2 − 𝑥 2 ， − 𝑎 ≤

4

𝑥 ≤ 𝑎繞𝑥軸旋轉一週) 7.

1

試證底半徑為𝑎，高為ℎ之正圓錐的體積為3 π𝑎2 ℎ。(提示：將區域0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑎 ℎ

𝑥，0 ≤ 𝑥 ≤ ℎ 繞𝑥軸旋轉一週)

6-4 旋轉曲面之面積(Area of Surfaces of Revolution) 在討論旋轉曲面之面積之前，先要知道圓錐台之側面積的求法公式 圓錐台之側面積公式 上底半徑(radius)為𝑟1，下底半徑為𝑟2，斜高(Slant height)為ℎ之圓錐台(Frustum of a cone)，其側面積(Lateral surface area)為𝐴 = π(𝑟1 + 𝑟2 ) ℎ。 【證】將圓錐展開即成為一個散型 2π𝑟1 = 𝑎𝜃 2π𝑟2 = (𝑎 + ℎ)𝜃 2π(𝑟1 + 𝑟2 ) = (2𝑎 + ℎ) 𝜃 1 1 𝐴 = 2 (𝑎 + ℎ)2 𝜃 − 2 𝑎2 𝜃 1

= 2 (2𝑎ℎ + ℎ2 ) 𝜃 1

= 2 (2𝑎 + ℎ) 𝜃ℎ 1

= 2 ∙ 2π(𝑟1 + 𝑟2 )ℎ = π(𝑟1 + 𝑟2 ) ℎ。

設 C 為平面上之一曲線𝑦 = 𝑓(𝑥)，𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏，將區間[𝑎, 𝑏]依下列方法分割 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑘−1 < 𝑥𝑘 ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑏 在[𝑥𝑘−1 < 𝑥𝑘 ]間之斜高為 ∆ℎ𝑘 = √(𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 )2 + [𝑓 (𝑥𝑘 ) − 𝑓(𝑥𝑘−1 )]2 = √1 + [𝑓 ′ (𝜉𝑘 )]2 ∆𝑥𝑘 其中𝑥𝑘−1 < 𝜉𝑘 < 𝑥𝑘 由圓錐台之側面積之公式得 ∆𝐴𝑘 = 𝜋[𝑓(𝑥𝑘−1 ) + 𝑓(𝑥𝑘 )]√1 + [𝑓 ′ (𝜉𝑘 )]2 ∆𝑥𝑘 當切割分很細時，𝑓 (𝑥𝑘−1 ) + 𝑓 (𝑥𝑘 ) ≈ 2𝑓(𝜉𝑘 ) ∆𝐴𝑘 ≈ 2𝜋𝑓(𝜉𝑘 ) √1 + [𝑓 ′ (𝜉𝑘 )]2 ∆𝑥𝑘 𝐴 = 𝑙𝑖𝑚 ∑𝑛𝑘=1 ∆𝐴𝑘 = 𝑙𝑖𝑚 ∑𝑛𝑘=1 2𝜋𝑓(𝜉𝑘 ) √1 + [𝑓 ′ (𝜉𝑘 )]2 ∆𝑥𝑘 =

‖∆‖→0 𝑏 2𝜋 ∫𝑎 𝑓(𝑥) √1

‖∆‖→0

+ [𝑓 ′ (𝑥)]2 𝑑𝑥。

故可定義旋轉曲面之表面積如下 定義 6.6：旋轉曲面之面積(Areas of surfaces of revolution) 曲線 C：𝑦 = 𝑓 (𝑥 ), 𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏繞𝑥軸旋轉一週，所成曲面之面積 𝑏

𝐴 = 2𝜋 ∫𝑎 𝑓(𝑥) √1 + [𝑓 ′ (𝑥)]2 𝑑𝑥。

圖 6.7 例 6.14 1

求曲線𝑦 = 3 𝑥 3 ，2 ≤ 𝑥 ≤ 3繞𝑥軸旋轉一週所成曲面之面積。 【解】 𝑦′ = 𝑥 2 3

𝐴 = 2𝜋 ∫2 𝑦 √1 + (𝑦′)2 𝑑𝑥 3 𝑥3

= 2𝜋 ∫2 𝜋

3

3

√1 + 𝑥 4 𝑑𝑥 1

= 6 ∫2 (1 + 𝑥 4 )2 𝑑(1 + 𝑥 4 ) 3

𝜋

= ( 1 + 𝑥 4 )2 | 9 𝜋

3 2

3 2

3 2

= 9 (82 − 17 ) 𝜋

= 9 (82√82 − 17√17)。

定義 6.7 曲線 C：𝑥 = 𝑥(𝑡)，𝑦 = (𝑡)，𝛼 ≤ 𝑡 ≤ 𝛽繞𝑥軸旋轉一週，所成曲面之面積 𝛽

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝐴 = 2𝜋 ∫𝛼 𝑦(𝑡) √( 𝑑𝑡 )2 + ( 𝑑𝑡 )2 𝑑𝑡。 例 6.15 3

3

3

求星形線(astroid)𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑎2 ，(𝑎 > 0)，繞𝑥軸旋轉一週所成曲面之面積。

【解】 令 𝑥 = 𝑎 cos 3 𝑡，𝑦 = 𝑎 sin3 𝑡，0 ≤ 𝑡 ≤ 𝑑𝑥 √( )2 𝑑𝑡

+

𝜋 2

𝑑𝑦 ( 𝑑𝑡 )2

= √(−3𝑎 cos 2 𝑡 sin 𝑡)2 + (3𝑎 sin2 𝑡 cos 𝑡)2 = 3𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝜋

𝑑𝑥

𝑑𝑦

𝐴 = 2 ∙ 2𝜋 ∫02 𝑦(𝑡) √( 𝑑𝑡 )2 + ( 𝑑𝑡 )2 𝑑𝑡 𝜋

= 4𝜋 ∫02 𝑎 sin3 𝑡 ∙ 3𝑎 𝑠𝑖𝑛 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 𝜋

= 12𝜋 𝑎2 ∫02 𝑠𝑖𝑛4 𝑡 𝑐𝑜𝑠 𝑡 𝑑𝑡 =

12𝜋 𝑎 2 5

𝜋 2

12𝜋 𝑎 2

0

5

𝑠𝑖𝑛5 𝑡 | =

。

習題 6-4 1.

求擺線(cycloid) 𝑥 = 𝑎(𝑡 − sin 𝑡)，𝑦 = 𝑎(1 − cos 𝑡)，0 ≤ 𝑡 ≤ 2𝜋，𝑎 > 0， 繞𝑥軸旋轉一週所成曲面之面積。

2.

求曲線𝑦 = sin 𝑥，0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋繞𝑥軸旋轉一週所成曲面之面積。

求半徑(radius)為𝑟之球(sphere)的表面機(Surface area)。(提示：將曲線𝑦 =

3.

√𝑟 2 + 𝑥 2 ，−𝑟 ≤ 𝑥 ≤ 𝑟 繞𝑥軸旋轉一週)

4.

求半徑(radius) 為𝑟高(height)為ℎ之正圓錐(Right circular cone)之表面積 𝑟

(Surface area)。(提示：將曲線𝑦 = ℎ 𝑥，0 ≤ 𝑥 ≤ ℎ 繞𝑥軸旋轉一週)

6-5 力矩與質心(Moments and Centers of Mass) 若坐標平面上有𝑛個質點，其質量分別為𝑚1 ，𝑚2 ， ⋯ ，𝑚𝑛 ，此𝑛個質點所 在之坐標分別為(𝑥1 , 𝑦1 )，(𝑥2 , 𝑦2 )，⋯ ，(𝑥𝑛 , 𝑦𝑛 )，我們稱此𝑛個質點為一個系統。 此系統之總值量為 𝑛

𝑀 = ∑ 𝑚𝑘 = 𝑚1 + 𝑚2 + ⋯ + 𝑚𝑛 𝑘=1

在物理上整個系統對於坐標軸之力矩(moments)定義如下 𝑛

對𝑥軸之力矩𝑀 = ∑ 𝑚𝑘 𝑦𝑘 𝑘=1 𝑛

對𝑦軸之力矩𝑀 = ∑ 𝑚𝑘 𝑥𝑘 𝑘=1

此系統之質量中心之𝑥坐標定義為 𝑥̅ =

𝑀𝑦 ∑𝑛𝑘=1 𝑚𝑘 𝑥𝑘 = 𝑛 ∑𝑘=1 𝑚𝑘 𝑀

此系統之質量中心之𝑦坐標定義為 𝑦̅ =

𝑀𝑥 ∑𝑛𝑘=1 𝑚𝑘 𝑦𝑘 = 𝑛 ∑𝑘=1 𝑚𝑘 𝑀

設區域𝑅 = {(𝑥, 𝑦)|𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 0 ≤ y ≤ 𝑓(𝑥 )}，令 𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑘−1 < 𝑥𝑘 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑏 以∆𝑥𝑘 = 𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 為寬，𝑓(𝑥𝑘 )為高作𝑛個矩形，則𝑅𝑘 之面積為𝑓(𝑥𝑘 )∆𝑥𝑘 ，中心 為 𝑥𝑘−1 + 𝑥𝑘 1 𝑦𝑘 = 𝑓 (𝑥𝑘 ) ̅​̅​̅ 2 2 ( ) 我們可認為𝑅𝑘 之質量都集中於 ̅​̅​̅, 𝑥𝑘 ̅​̅​̅ 𝑦𝑘 ，故得 ( ) ( ) 𝑓 𝑥1 ∆𝑥1 𝑥1 + 𝑓 𝑥2 ∆𝑥2 𝑥2 + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛 )∆𝑥𝑛 𝑥𝑛 𝑥= 𝑓 (𝑥1 )∆𝑥1 + 𝑓(𝑥2 )∆𝑥2 + ⋯ + 𝑓 (𝑥𝑛 )∆𝑥𝑛 𝑓 (𝑥1 )∆𝑥1 𝑦1 + 𝑓(𝑥2 )∆𝑥2 𝑦2 + ⋯ + 𝑓(𝑥𝑛 )∆𝑥𝑛 𝑦𝑛 𝑦= 𝑓 (𝑥1 )∆𝑥1 + 𝑓(𝑥2 )∆𝑥2 + ⋯ + 𝑓 (𝑥𝑛 )∆𝑥𝑛 𝑥𝑘 = ̅​̅​̅

當分割得非常細時，則 𝑏

∑𝑛𝑘=1 𝑓(𝑥𝑘 )∆𝑥𝑘 逼近∫𝑎 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 𝑏

∑𝑛𝑘=1 𝑓(𝑥𝑘 )∆𝑥𝑘 𝑥𝑘 逼近∫𝑎 𝑥𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 1

1

𝑏

∑𝑛𝑘=1 𝑓(𝑥𝑘 )∆𝑥𝑘 𝑦𝑘 = ∑𝑛𝑘=1 [𝑓(𝑥𝑘 )]2 ∆𝑥𝑘 逼近 ∫𝑎 [𝑓(𝑥 )]2 𝑑𝑥 2 2 因此區域𝑅 = {(𝑥, 𝑦)|𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥)}之質量(mass)或面積(area)為 𝑏

𝑀 = 𝐴 = ∫𝑎 𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 區域𝑅對於 x 軸之力矩(The moment of R about the x-axis)為

𝑏

1

𝑀𝑥 = 2 ∫𝑎 [𝑓(𝑥 )]2 𝑑𝑥 區域𝑅對於 y 軸之力矩(The moment of R about the y-axis)為 𝑏

𝑀𝑦 = ∫𝑎 𝑥𝑓(𝑥 )𝑑𝑥 故可定義區域𝑅 = {(𝑥, 𝑦)|𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥)}之質心如下

定義 6.8：質心(Center of mass) 區域𝑅 = {(𝑥, 𝑦)|𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥)}之質心(𝑥, 𝑦) 𝑥=

𝑀𝑦 M

𝑏

=

∫𝑎 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏

∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

, 𝑦=

𝑀𝑥 M

=

1 𝑏 ∫ [𝑓(𝑥)]2𝑑𝑥 2 𝑎 𝑏 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

註：區域之質心(Center of mass)也稱為形心(centroid)

。

例 6.16 求區域𝑅 = {(𝑥, 𝑦)|0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋, 0 ≤ 𝑦 ≤ sin 𝑥 }之形心(centroid)。 π 𝜋 【解】R 之面積A = ∫0 sin 𝑥 𝑑𝑥 = − cos 𝑥 | = 2 0 π 𝜋 𝑀𝑦 = ∫0 𝑥 sin 𝑥 𝑑𝑥 = (−𝑥 cos 𝑥 + sin 𝑥 ) | = π 0 𝜋 𝜋 1 𝜋 1 𝜋 1−𝑐𝑜𝑠 2𝑥 1 1 2 | = 𝑀𝑥 = 2 ∫0 𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 2 ∫0 𝑑𝑥 = ( 𝑥 − 𝑠𝑖𝑛 2𝑥) 2 4 8 0 4 𝑀𝑦 π 𝑥= A =2 𝑦=

𝑀𝑥 A

=

𝜋 4

2

=

𝜋 8

π 𝜋

故形心之座標為( 2 , 8 )。

區域𝑅 = {(𝑥, 𝑦)|𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑓(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑔(𝑥)}之面積 𝑏

A = ∫𝑎 [𝑔(𝑥 ) − 𝑓(𝑥 )]𝑑𝑥 區域𝑅對於 x 軸之力矩(The moment of R about the x-axis)為 𝑏

1

𝑀𝑥 = 2 ∫𝑎 {[𝑔(𝑥 )]2 − [𝑓(𝑥 )]2 }𝑑𝑥 區域𝑅對於 y 軸之力矩(The moment of R about the y-axis)為 𝑏

𝑀𝑦 = ∫𝑎 𝑥[𝑔(𝑥 ) − 𝑓 (𝑥 )]𝑑𝑥 區域𝑅 = {(𝑥, 𝑦)|𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑓(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑔(𝑥)}之形心(𝑥, 𝑦)為 𝑥=

𝑀𝑦 A

𝑏

=

∫𝑎 𝑥[𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)]𝑑𝑥 𝑏

∫𝑎 [𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)]𝑑𝑥

, 𝑦=

𝑀𝑥 A

=

1 𝑏 ∫ {[𝑔(𝑥)]2 −[𝑓(𝑥)]2}𝑑𝑥 2 𝑎 𝑏 ∫𝑎 [𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)]𝑑𝑥

例 6.17 求由拋物線(parabola)𝑦 = 𝑥 2 與直線(line)𝑦 = 𝑥所圍成區域 R 之形心(centroid)。 𝑥2

1

【解】區域 R 之面積𝐴 = ∫0 (𝑥 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 = ( 2 −

𝑥3 3

1 1 )| = 6 0

區域𝑅對於 x 軸之力矩 1 𝑥3

1

1

𝑥5

𝑀𝑥 = 2 ∫0 (𝑥 2 − 𝑥 4 )𝑑𝑥 = 2 ( 3 −

5

1 1 ) | = 15 0

區域𝑅對於 y 軸之力矩 1

𝑥3

1

𝑀𝑦 = ∫0 𝑥(𝑥 − 𝑥 2 )𝑑𝑥 = ∫0 (𝑥 2 − 𝑥 3 )𝑑𝑥 = ( 3 − 𝑥=

𝑀𝑦 A

1 2

=

1 12 1 6

1

=2 ， 𝑦=

𝑀𝑥 A

=

1 15 1 6

1 1 | = ) 4 0 12

𝑥4

2

=5

故形心之座標為( , )。 2 5

習題 6－5

1. 求圓(circle)𝑥 2 + 𝑦 2 = 𝑎2 之內部在第一象限(First quadrant)部分之形心 (centroid)。 2. 求拋物線(parabola)𝑦 = 4 − 𝑥 2 與 x 軸所圍成區域 R 之形心(centroid)。 3. 求由拋物線(parabola)𝑦 = 𝑥 − 𝑥 2 與直線(line)𝑦 = −𝑥所圍成區域 R 之形心 (centroid)。

6-6 功(Work) 若有一個力𝐹作用於物體 A，使其在一直線上由𝑎移動至𝑏，此力𝐹在區間[𝑎, 𝑏] 上一點𝑥之大小為𝐹(𝑥)，以下將導出立𝐹(𝑥)使物體 A 由𝑎移動至𝑏所做之功 W。 令

𝑎 = 𝑥0 < 𝑥1 < 𝑥2 < ⋯ < 𝑥𝑘−1 < 𝑥𝑘 < ⋯ < 𝑥𝑛 = 𝑏

取𝑥𝑘−1 ≤ 𝜉𝑘 ≤ 𝑥𝑘 ，則力𝐹在[𝑥𝑘−1 , 𝑥𝑘 ]上所作之功近似於 ∆𝑊𝑘 = 𝐹 (𝜉𝑘 )(𝑥𝑘 − 𝑥𝑘−1 ) = 𝐹(𝜉𝑘 )∆𝑥𝑘 將∆𝑊1 ，∆𝑊2 ， … ，∆𝑊𝑛 相加得 ∑nk=1 ∆𝑊𝑘 = ∑nk=1 𝐹(𝜉𝑘 )∆𝑥𝑘 若𝐹(𝑥)在[𝑎, 𝑏]上為連續，當分割得非常細時 𝑏

則∑nk=1 ∆𝑊𝑘 逼近 W，而∑nk=1 𝐹(𝜉𝑘 )∆𝑥𝑘 逼近∫𝑎 𝐹(𝑥)𝑑𝑥 故可定義

定義 6.9：功(Work) 若力為𝐹作用於一物體，使其由𝑎沿著直線移動至𝑏，而在[𝑎, 𝑏]上一點𝑥之力 為𝐹(𝑥)，則此力所作之功為 𝑏

𝑊 = ∫𝑎 𝐹 (𝑥 )𝑑𝑥。

例 6.18 設一彈簧(spring)之長度(length)為 10 吋(inches)，將其拉長 2 吋需用 12 磅 (pounds)之力，求將其拉長 4 吋時所需做之功。 【解】由虎克定律(Hook’s 𝑓(𝑥) = 𝑘𝑥

law)知，彈簧拉長𝑥吋所需之力

12 = 𝑓(2) = 2𝑘，故𝑘 = 6 𝑓(𝑥) = 6𝑥

4 4 4 𝑊 = ∫0 𝑓 (𝑥 )𝑑𝑥 = ∫0 6𝑥𝑑𝑥 = 3𝑥 2 | = 48 (吋-磅)。 0

例 6.19 設高(height)為 10 公尺，半徑(radius)為 2 公尺之圓柱(cylinder)水箱蓄滿水，求 將水箱(tank)內之水全部抽乾(抽至距箱底 10 公尺處)，所需做之功。 【解】如圖，高為𝑑𝑦(公尺)之薄板水柱之體積為π22 𝑑𝑦(立方公尺) 因每立方公尺之水重為 10000 牛頓(newtons) 故薄板水柱之重量為10000π22 𝑑𝑦牛頓 將薄板水柱抽出所作之功為10000𝜋22 (10 − 𝑦)𝑑𝑦焦耳(joules) 將水槽之水抽乾所作之功為 10 ∫0 10000𝜋22 (10 −

𝑦)𝑑𝑦 = 40000𝜋 (10𝑦 −

𝑦2 2

10 ) | = 2000000𝜋焦耳(joules) 0

習題 6－6 1.設一彈簧(spring)之長度為 8 吋(inches)，將其拉長 2 吋需用 10 磅(pounds) 之力，求將其拉長 3 吋時所需做之功(work)。 2.將高 8 公尺(meters)，半徑為 3 公尺之圓柱(cylinder)水槽(tank)蓄滿水，求將 水槽內之水全部抽乾(抽至距槽底 8 公尺處)，所需做之功(work)。 (每立方公尺之水重為 10000 牛頓(newtons)) 3. 將高(height)12 呎(feet)，底半徑(Base radius)為 4 呎之正圓錐 (Rightcircular cone)水槽蓄滿水，求將水槽內之水全部抽乾(抽至距槽底 12 呎處)，所需做之功(work)。(每立方呎之水重為 62.4 磅(pounds))

珏ĺ&#x2026;­çŤ ĺ&#x2026;§ĺŽšć&#x2018;&#x2DC;čŚ 1. 漾ĺ??ć¨&#x2122;襨示äš&#x2039;é?˘çŠ?ĺ?&#x20AC;ĺ&#x;&#x;(Area in polar coordinates) (a) ĺ?&#x20AC;ĺ&#x;&#x;R = {(r, đ?&#x153;&#x192;)|0 â&#x2030;¤ r â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x153;&#x192;), Îą â&#x2030;¤ θ â&#x2030;¤ β}äš&#x2039;é?˘çŠ? β

1

A = 2 â&#x2C6;ŤÎą [đ?&#x2018;&#x201C; (đ?&#x153;&#x192;)]2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;&#x192; (b) ĺ?&#x20AC;ĺ&#x;&#x;R = {(r, đ?&#x153;&#x192;)|đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x153;&#x192;) â&#x2030;¤ r â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x201D;(θ), Îą â&#x2030;¤ θ â&#x2030;¤ β}äš&#x2039;é?˘çŠ? β

1

A = 2 â&#x2C6;ŤÎą {[đ?&#x2018;&#x201D;(đ?&#x153;&#x192;)]2 â&#x2C6;&#x2019; [đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x153;&#x192;)]2 }đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;&#x192; 2. ĺšłé?˘ć&#x203A;˛çˇ&#x161;埧é&#x2022;ˇ(Arc length of a plane curve) (a) ç&#x203A;´č§&#x2019;ĺ??ć¨&#x2122;襨示äš&#x2039;埧é&#x2022;ˇ(Arc length in rectangular coordinates) ć&#x203A;˛çˇ&#x161; Cďź&#x161;đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x201C; (đ?&#x2018;Ľ )ďź&#x152;č&#x2021;Şđ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;&#x17D;č&#x2021;łđ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;?ďź&#x152;(đ?&#x2018;&#x17D; < đ?&#x2018;?)äš&#x2039;é&#x2022;ˇĺşŚ(length)ĺŽ&#x161;瞊ć&#x2C6;? đ?&#x2018;?

L = â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; â&#x2C6;&#x161;1 + [đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;Ľ )]2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľă&#x20AC;&#x201A; (b) ĺ?&#x192;ć&#x2022;¸ĺź?襨示äš&#x2039;埧é&#x2022;ˇ(Arc length in parametric form) ć&#x203A;˛çˇ&#x161; Cďź&#x161;đ?&#x2018;Ľ = đ?&#x2018;Ľ(đ?&#x2018;Ą)ďź&#x152;đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;Ś(đ?&#x2018;Ą)ďź&#x152;Îą â&#x2030;¤ t â&#x2030;¤ βäš&#x2039;é&#x2022;ˇĺşŚ(length)ç&#x201A;ş 2

2

β đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ś đ??ż = â&#x2C6;ŤÎą â&#x2C6;&#x161;( đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą ) + ( đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą ) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą

(c) 漾ĺ??ć¨&#x2122;襨示äš&#x2039;埧é&#x2022;ˇ(Arc length in polar coordinates) ć&#x203A;˛çˇ&#x161; Cďź&#x161;đ?&#x2018;&#x; = đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x153;&#x192;)ďź&#x152;Îą â&#x2030;¤ đ?&#x153;&#x192; â&#x2030;¤ βäš&#x2039;é&#x2022;ˇĺşŚ(length)ç&#x201A;ş 2

β đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;&#x; đ??ż = â&#x2C6;ŤÎą â&#x2C6;&#x161;đ?&#x2018;&#x; 2 + ( đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ą ) đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x153;&#x192;

3. ć&#x2014;&#x2039;č˝&#x2030;éŤ&#x201D;äš&#x2039;éŤ&#x201D;çŠ?(Volume of solids revolution) (a) ć&#x2014;&#x2039;č˝&#x2030;éŤ&#x201D;äš&#x2039;éŤ&#x201D;çŠ?-çš&#x17E; x 蝸ć&#x2014;&#x2039;č˝&#x2030;(Volume of the solid of revolution rotation about the x-axis) ĺ?&#x20AC;ĺ&#x;&#x;đ?&#x2018;&#x2026; = {(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś)|đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;¤ đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;¤ đ?&#x2018;?, 0 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;Ś â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)}çš&#x17E;đ?&#x2018;Ľčť¸ć&#x2014;&#x2039;č˝&#x2030;ä¸&#x20AC;é&#x20AC;ąć&#x2030;&#x20AC;ć&#x2C6;?çŤ&#x2039;éŤ&#x201D;äš&#x2039;éŤ&#x201D; çŠ?ç&#x201A;ş

đ?&#x2018;?

đ?&#x2018;&#x2030; = Ď&#x20AC; â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; [đ?&#x2018;&#x201C; (Îľđ?&#x2018;&#x2DC; )]2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ

(b) ć&#x2014;&#x2039;č˝&#x2030;éŤ&#x201D;äš&#x2039;éŤ&#x201D;çŠ?-çš&#x17E; y 蝸ć&#x2014;&#x2039;č˝&#x2030;(Volume of the solid of revolution rotation about the y-axis) ĺ?&#x20AC;ĺ&#x;&#x;đ?&#x2018;&#x2026; = {(đ?&#x2018;Ľ, đ?&#x2018;Ś)|đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;¤ đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;¤ đ?&#x2018;?, 0 â&#x2030;¤ đ?&#x2018;Ś â&#x2030;¤ đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ)}çš&#x17E;đ?&#x2018;Śčť¸ć&#x2014;&#x2039;č˝&#x2030;ä¸&#x20AC;é&#x20AC;ąć&#x2030;&#x20AC;ć&#x2C6;?çŤ&#x2039;éŤ&#x201D;äš&#x2039;éŤ&#x201D; çŠ?ç&#x201A;ş

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4. ć&#x2014;&#x2039;č˝&#x2030;ć&#x203A;˛é?˘äš&#x2039;é?˘çŠ?(Area of surfaces of revolution) ć&#x203A;˛çˇ&#x161; Cďź&#x161;đ?&#x2018;Ś = đ?&#x2018;&#x201C; (đ?&#x2018;Ľ ), đ?&#x2018;&#x17D; â&#x2030;¤ đ?&#x2018;Ľ â&#x2030;¤ đ?&#x2018;?çš&#x17E;đ?&#x2018;Ľčť¸ć&#x2014;&#x2039;č˝&#x2030;ä¸&#x20AC;é&#x20AC;ąďź&#x152;ć&#x2030;&#x20AC;ć&#x2C6;?ć&#x203A;˛é?˘äš&#x2039;é?˘çŠ? đ?&#x2018;?

đ??´ = 2đ?&#x153;&#x2039; â&#x2C6;Ťđ?&#x2018;&#x17D; đ?&#x2018;&#x201C;(đ?&#x2018;Ľ) â&#x2C6;&#x161;1 + [đ?&#x2018;&#x201C; â&#x20AC;˛ (đ?&#x2018;Ľ)]2 đ?&#x2018;&#x2018;đ?&#x2018;Ľ 5. 質ĺż&#x192;(Center of mass)ć&#x2C6;&#x2013;形ĺż&#x192;(centroid)

(a) 區域𝑅 = {(𝑥, 𝑦)|𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 0 ≤ 𝑦 ≤ 𝑓(𝑥)}之形心(𝑥, 𝑦) 𝑏

𝑥=

∫𝑎 𝑥𝑓(𝑥)𝑑𝑥 𝑏

∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

, 𝑦=

1 𝑏 ∫ [𝑓(𝑥)]2𝑑𝑥 2 𝑎 𝑏 ∫𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

(b) 區域𝑅 = {(𝑥, 𝑦)|𝑎 ≤ 𝑥 ≤ 𝑏, 𝑓(𝑥) ≤ 𝑦 ≤ 𝑔(𝑥)}之形心(𝑥, 𝑦)為 𝑏

𝑥=

∫𝑎 𝑥[𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)]𝑑𝑥 𝑏

∫𝑎 [𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)]𝑑𝑥

, 𝑦=

1 𝑏 ∫ {[𝑔(𝑥)]2−[𝑓(𝑥)]2}𝑑𝑥 2 𝑎 𝑏 ∫𝑎 [𝑔(𝑥)−𝑓(𝑥)]𝑑𝑥

6. 功(Work) 若力為𝐹作用於一物體，使其由𝑎沿著直線移動至𝑏，而在[𝑎, 𝑏]上一點𝑥之力為 𝐹(𝑥)，則此力所作之功為 𝑏

𝑊 = ∫𝑎 𝐹 (𝑥 )𝑑𝑥。

⑥Applications of the Integral 習題 6-1 解答 1

π

1. 𝐴 = 4 · 2 ∫04 γ2 𝑑𝜃 = 𝑎2 1

π

2. 𝐴 = 6 · 2 ∫06 (2 cos 3 𝜃)2 𝑑𝜃 = π 1

π

3. 𝐴 = 2 · 2 ∫π2 [(3 sin 𝜃)2 − (1 + sin 𝜃)2 ]𝑑𝜃 = π 1

6 π 6

4. 𝐴 = 8 · 2 ∫0 [(2 cos 2 𝜃)2 − 12 ]𝑑𝜃 = 1

π 2 π − 2 π 4

1

2π

π 2

3

+ √3

5. 𝐴 = 2 {2 ∫ [2(1 + sin 𝜃)]2 𝑑𝜃 − 2 ∫0 (2 sin 𝜃 )2 𝑑𝜃 } = 5𝜋 1

3

6. 𝐴 = 2 · 2 ∫0 𝑟 2 𝑑𝜃 = 2 𝑎2

習題 6-2 解答 5

𝑑𝑦

1. 𝐿 = ∫0 √1 + (𝑑𝑥 )2 𝑑𝑥 = 2

𝑑𝑦

𝑏

𝑑𝑦

335 27 3

1

2. 𝐿 = ∫1 √1 + (𝑑𝑥 )2 𝑑𝑥 = 2 + 4 ln 2 𝑏

3. 𝐿 = ∫0 √1 + (𝑑𝑥 )2 𝑑𝑥 = 𝑎 sin h 𝑎 π

𝑑𝑥

𝑑𝑦

4. 𝐿 = 4 ∫02 √( 𝑑𝑡 )2 + ( 𝑑𝑡 )2 𝑑𝑡 = 6𝑎 2π

𝑑𝑟

1

5. 𝐿 = ∫0 √𝑟 2 + (𝑑𝜃 )2 𝑑𝜃 = 𝜋√ 1 + 4𝜋 2 + 2 ln(2π + √ 1 + 4𝜋 2 ) 2π

√5 6. 𝐿 = ∫0 √𝑒 4𝜃 + 4𝑒 4𝜃 𝑑𝜃 = 2 (𝑒 4𝜋 − 1)

習題 6-3 解答 𝜋

1. 𝑉 = 𝜋 ∫0 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑑𝑥 = 2. 𝑉 = 3. 𝑉 = 4. 𝑉 = 5. 𝑉 = 6. 𝑉 = 7. 𝑉 =

𝜋2

2 𝑒 2 ∫1 (ln 𝑥) 𝑑𝑥 = 𝜋(𝑒 − 2) 1 1 𝜋2 𝜋 ∫0 (√ )2 𝑑𝑥 = 2 2 1+𝑥 𝑒 𝜋 2𝜋 ∫1 𝑥 ln 𝑥 𝑑𝑥 = 2 (𝑒 2 + 1) 2 2𝜋 ∫0 𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 2𝜋 (𝑒 2 + 1) 𝑎 4 𝜋 ∫−𝑎(√ 𝑎2 + 𝑥 2 )2 𝑑𝑥 = 3 π𝑎3 ℎ 𝑎 1 𝜋 ∫0 (h 𝑥)2 𝑑𝑥 = 3 π𝑎2 h

習題 6-4 解答 2𝜋

𝑑𝑥

𝑑𝑦

64

𝑑𝑡

𝑑𝑡

3

1. 𝐴 = 2𝜋 ∫0 𝑦(t)√ ( )2 + ( )2 𝑑𝑡 = 𝜋

𝜋𝑎2

𝑑𝑦

2. 𝐴 = 2𝜋 ∫0 𝑦√ 1 + (𝑑𝑥 )2 𝑑𝑥 = 𝜋[2√2 + ln(3 + 2√2)] 𝑑𝑦 2

𝑟

3. 𝐴 = 2𝜋 ∫−𝑟 𝑦√ 1 + (𝑑𝑥 ) 𝑑𝑥 𝑟

= 2𝜋 ∫ √𝑟 2 − 𝑥 2 √1 + −𝑟 ℎ

𝑑𝑦 2

ℎ𝑟

𝑟 2

𝑥2 𝑑𝑥 = 4𝜋𝑟 2 𝑟2 − 𝑥 2

4. 𝐴 = 2𝜋 ∫0 𝑦√ 1 + (𝑑𝑥 ) 𝑑𝑥 = 2𝜋 ∫0

𝑥√ 1 + (ℎ) 𝑑𝑥 = 𝜋𝑟√ℎ2 + 𝑟 2 ℎ

習題 6-5 解答 4𝑎 4𝑎

1.形心之坐標為(3𝜋 , 3𝜋 ) 8

2.形心之坐標為(0, 5) 3.形心之坐標為(1,

−3 5

)

習題 6-6 解答 3

1. 𝑊 = ∫0 5𝑥 𝑑𝑥 = 2. 𝑊 = 3. 𝑊 =

45

(吋-磅)

2 10 ∫0 10,000𝜋 32 (8 − 𝑦)𝑑𝑦 = 2,880,000𝜋(焦耳) 12 104 𝜋 ∫0 (12𝑦 2 − 𝑦 3 )𝑑𝑦 = 11980.8𝜋 呎-磅(ft-lb) 15