警專入學考試 常用數學公式 CH1
數 .................................................................... 1
CH2
數列級數 ........................................................ 7
CH3
平面直線方程式 ............................................. 11
CH4
二次函數 ........................................................ 17
CH5
多項式 ............................................................ 21
CH6
指數與對數..................................................... 25
CH7
三角函數 ........................................................ 31
CH8
平面向量 ........................................................ 49
CH9
空間向量 ........................................................ 63
CH10
圓 .................................................................. 73
CH11
球 .................................................................. 83
CH12
圓錐曲線 ...................................................... 89
CH13
排列組合 ...................................................... 103
CH14
機率 .............................................................. 111
CH15
敘述統計 ...................................................... 121
CH16
初等微積分................................................... 129
CH17
矩陣 .............................................................. 139 ─1─
CH1 數
．數系 ．倍數的判別 ．因數個數 ．除法原理 ．輾轉相除法原理 ．餘數定理 ．複數 ．複數 n 方根
－1－
數系 正整數 N 有理數 Q 整數 Z 0 負整數 實數 R 分數、有限小數、循環小數 無理數 複數 C 實數：有理數與無理數總稱為實數。 有理數：有理數是一個整數 a 和一個非零整數 b 的比值，通則 為 a ，有理數的小數部分有限或為循環。不是有理數的實數遂 b
稱為無理數。
倍數的判別 2 的倍數：個位數字為偶數（含 0） 3 的倍數：各個數字和為 3 的倍數 4 的倍數：末二位數為 4 的倍數 5 的倍數：個位數字為 5 或 0 8 的倍數：末三位數為 8 的倍數 9 的倍數：各個數字和為 9 的倍數 11 的倍數：奇數位數字和與偶數位數字和相差為 11 的倍數
－2－
因數個數 設 A p a q b r c ，其中 p、q、r 為正質因數，a、b、c 為正整數，則： A 之正因數個數=(a+1)(b+1)(c+1) A 之因數個數=2(a+1)(b+1)(c+1) A 之正因數總和= (1 p p 2 p a )(1 q q 2 q b )(1 r r 2 r c )
A 之正因數乘積=2 正因數個數 /2= 2( a 1) b 1)( c 1) / 2
除法原理 若 a、b 為整數，則可以找到整數 q 與 r 使得 a=bq+r 且 0 r b ， 此時我們稱 a 為被除數，b 為除數，q 為商，r 為餘數
輾轉相除法原理 a、 b 為整數， b 0 ，如果 a=bq+r，q：a 除以 b 的商；r：a 除以 b 的餘數，則(a,b)=(b,r)
餘數定理 設正整數 x、 y 除以 a 之餘數分別為 r1 、 r2 則： x y 除以 a 之餘數恰為 r1 r2 除以 a 之餘數 x y 除以 a 之餘數恰為 r1 r2 除以 a 之餘數
－3－
複數 i 的週期性： i 2 1 ， i 3 i ， i 4 1 ，… 複數的相等：a、b、c、 d Q ，若 a bi c di
a c；bd z a bi ，則 z 的共軛複數 z a bi 複數的極式：將複數 z=x+iy 表示成 z r (cos i sin ) ； z r x2 y2 複數的乘法：設 z1、z2 之極式分別為 z1=r1(cosα+i sinα)， z2=r2(cosβ+i sinβ)，則 z1 z2 r1 r2 [cos ( ) i sin( )] 複數的除法： 若 z 0 ， z r (cos i sin ) ，則 若 z1 0 ，則
1 1 [cos ( ) i sin( )] z r
z1 r1 [cos ( ) i sin( )] z2 r2
棣美弗定理：n 為整數，若設 z z (cos i sin ) ， n
則 z n = z (cosn +i sinn ) z a 2 b2 R 設 z a bi (、b R ) ，則 ，且不為負 設 z1 、 z2 C ，則 z1 z2 z1 z2 ； z1 z2 z1 z2
設 z1 、 z2 C ，則 z1 z2 z1 z2 ；
－4－
z1 z2
z1 z2
2
2
z z z = z z 1 ，則 z z 1 z
1 z
z 0 z0 z1 x1 y1i ， z2 x2 y2i ，則 z1 z2 ( x1 x2 ) 2 ( y1 y2 )2 表 z1 與 z2 之距離
複數 n 方根 設 n N ， n 2 ，則滿足 z n （ 為已知複數）之 z 叫 之 n 次方根，通常有 n 個解。 若 z n r ( cos i sin ) ， r 0 而 z0 ， z1 ， z2 ，…， z x 1 為 其 n 個方根，則 1
zn r n ( cos
2 2 i sin ) ， 0 ，1，2，…， n 1 n n
若上面之 z0 ， z1 ， z2 ，…， zn 1 洽分布在一圓上，其圓心為 1
原點，半徑 r n ，則各點可將此圓 n 等分；連接各點則可得一 正 n 邊形 若 n 2(n N ) ，且 cos
2 2 ，則： i sin n n
為 x n 1 之虛根，而 1, , 2 ,, n 1 為 x n 1 之解集合 n 1 ： 1 2 n 1 0 －5－