أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل األول /األعداد المركبة تعرٌف :
مالحظة ٌمكننا كتابة الجذر ألي عدد حقٌقً سالب بداللة 𝒊 فمثالا :
مثال /)1أكتب ما ٌلً فً أبسط صورة :
𝟑𝟏𝒅 𝒊−
1
𝟑𝟗𝒄 𝒊𝟏𝟐𝒏+
𝟖𝟓𝒊 𝒃
𝟔𝟏𝒊 𝒂
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
3 − 5i
مالحظة
مثال / 2أكتب األعداد التالٌة على الصورة 𝒊𝒃 𝒂 + 𝟓𝟐𝟏 + − 𝟒
𝒅
𝟎𝟎𝟏−
𝟑𝒄 − 𝟏 − −
مثال /أكتب األعداد التالٌة بالصٌغة الجبرٌة للعدد المركب :
𝟓𝒂 −
𝒃
𝟏 𝟓𝟐𝟏 + − 𝒊𝟓𝟐 𝟓 𝟏 = + = 𝒊 + 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒
𝒅
𝒊𝟎 𝒂 𝒊𝟏𝟔 = 𝒊𝟒 𝟒 = 𝟏 𝟒 = 𝟏 = 𝟏 + 𝐢 𝒃 𝒊𝟏𝟓 = 𝒊𝟏𝟐 . 𝒊𝟑 = 𝟏 . −𝐢 = −𝐢 = 𝟎 − 𝟏 𝟒𝟐𝒊 𝒊 = 𝟐𝟑 = 𝟐𝟑 = 𝒊 = 𝟎 + 𝒊 𝒊
𝟑𝟐−
𝟖𝒊 𝟏 𝐢𝟎 = 𝟔 = 𝟔 = 𝒊𝟐 = −𝟏 = −𝟏 + 𝒊 𝒊 𝟏 𝟒𝟒𝒊 𝐢𝟎 = 𝟒𝟒 = 𝟒𝟒 = 𝟏 = 𝟏 + 𝒊 𝒊 𝒊 𝒊 −𝟏𝟑 = 𝒊 −𝟏𝟑 . 𝒊 𝟏𝟔 = 𝒊𝟑 = −𝒊 = 𝟎 −
𝒓𝒐
2
𝟏 𝟔𝟏𝒊 = 𝒊 = 𝒊𝟑 = −𝒊 = 𝟎 − 𝟑𝟏 𝟑𝟏 𝒊 𝒊
𝒊 𝒄
𝟔−
𝒊 𝒅
𝟒𝟒−
𝒊 𝒆
= 𝟑𝟏𝒇 𝒊 −
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مثال /أكتب كال مما ٌأتً بالصٌغة : bi ,
,
,
مثال /عٌن الجزء الحقٌقً والجزء التخٌلً لؤلعداد المركبة التالٌة ثم ضعها بالصٌغة الجبرٌة للعدد المركب .
ضع كالا مما ٌأتً بالصٌغة العادٌة أو الجبرٌة للعدد المركب
خاصٌة التساوي
مثال ( /)3جد قٌمة كل من x ,yالحقٌقٌتٌن التً تحققان المعادلة فً كل مما ٌأتً : 𝒊 𝟏 𝒂 𝟐𝒙 − 𝟏 + 𝟐𝒊 = 𝟏 + 𝒚 +
3
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝒊𝒚𝟖 𝒃 𝟑𝐱 + 𝟒𝒊 = 𝟐 +
𝒊𝟑 (c ) 𝟐𝒚 + 𝟏 – 𝟐𝒙 – 𝟏 𝒊 = −𝟖 +
عملٌة الجمع على األعداد المركبة عند جمع األعداد المركبة نجمع األجزاء الحقٌقٌة مع بعضها واألجززاء التخٌلٌزة مزع بعضزها والنزاته زو أٌضزا عزدد مركب وكما ٌلً : نفرض 𝒊 𝟏𝒃 𝑪𝟏 = 𝒂𝟏 +
و
𝒊 𝟐𝒃 𝑪𝟐 = 𝒂𝟐 +
عددان مركبان فأن :
𝒊 𝟐𝒃 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 + 𝒃𝟏 +
خواص الجمع على األعداد المركبة : مغلقة أبدالٌة تجمٌعٌة النظٌر الجمعً العنصر المحاٌد زمرة أبدالٌة مثال ( /)4جد مجموع العددٌن فً كل مما ٌأتً : 𝒊𝟐 𝟐𝒂 𝟑+𝟒 𝟐𝒊 , 𝟓− 𝟐 𝟐=𝟖+
𝟐 𝟐= 𝟑+𝟓 + 𝟒 𝟐 −
𝟐 𝟐𝟓−
𝟐 𝟒𝟑+
+
𝟓 𝟑 ,𝟐 − 𝟓=𝟓−
𝟓= 𝟑+𝟐 + 𝟎−
𝟓+ 𝟐−
𝟎𝟑+
𝟑 , 𝟐=𝟏+
4
𝟑 = 𝟏 + 𝟎 + −𝟏 +
𝟑+ 𝟎+
𝟏− 𝟏−
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مثال /أوجد ناته جمع األعداد المركبة التالٌة : = −𝟏 − = 3 +
+ 5+7−
=
+3−
,
𝟕=𝟑+
𝟓= 𝟏+
,
= +
+5 + 3+7 + − −
𝟐 , −𝟓+ 𝟐 𝟐 = −𝟑 +
= 𝟐−𝟓 +
𝟐 𝟐+
𝟐 + −𝟓 +
𝟏
+
𝟐𝟐 + −
𝟐
𝟐 𝟐+
طرح األعداد المركبة أذا كان
+
و
=
+
فأن
=
+ −
−
=
مثال ( /)5جد ناته : 𝟑𝟏 𝟕 −
𝟒− 𝟗+ 𝟒 + −𝟗 − 𝟕𝟏 = −𝟐 −
مثال ( /)6حل المعادلة
= −𝟓 +
𝟓 = −𝟕 +
مثال /أذا كان فأوجد ما ٌلً
,
𝟒 + −𝟐 +
𝟕 = −𝟏 −
,
𝟗 = −𝟏 −
𝟑
𝟑+
𝟐
𝟒− 𝟐−
𝟐= 𝟏+
𝟕 − 𝟒 −𝟏 −
𝟑𝟑 + −𝟑 −
أذا كان
= −𝟓 +
= −𝟓 +
𝟒 −𝟐 − 𝟏𝟏 + 𝟑 −𝟏 −
𝟏𝟏 = −𝟏 −
𝟒 𝟕 − 𝟗 + −𝟏𝟑 −
𝟒 𝟐 −حٌث ℂ
𝟒 = −𝟓 − 𝟐 + 𝟏 +
𝟏𝟏 = −𝟏 − 𝟑+
+
𝟑𝟏 𝟕 −
, + +
𝟖𝟐 + 𝟒 +
𝟒 = −𝟐 −
𝟑𝟑 = −𝟐 + 𝟒 − 𝟑 + −𝟒 + 𝟐𝟖 −
𝟕 = −𝟏 − 𝟑
𝟐 + 𝟑 = −𝟐 𝟏 +
𝟒 −𝟐 −
,
𝟐= 𝟏+
𝟐−𝟑 +𝟐 −𝟒 +
5
فأوجد ما ٌلً : 𝟑+
+
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
عملٌة الضرب على األعداد المركبة أذا كان
+
=
،
+
+
,
= −
+
k =
𝟐
فأن +
+
+
=
+
+
=
= .
+
= .
+
𝟏 𝟐
خواص عملٌة الضرب على األعداد المركبة ( )1عملٌة الضرب مغلقة أي أن الناته دائما عدد مركب = 𝟐 𝟏. ( )2عملٌة الضرب أبدالٌة أي أن 𝟏 𝟐 . ( )3عملٌة الضرب تجمٌعٌة أي أن 𝟑 = 𝟏 . 𝟐 . ( )4المحاٌد الضربً و ( )1وٌكتب 𝟎 𝟏 = 𝟏 + ( )5النظٌر الضربً للعدد ( ) cو
𝟏−
.
𝟑
.
𝟐
وٌمكن أن ٌكتب بالصٌغة
𝟏
𝟏
مثال ( / )7جد ناته كال مما ٌأتً : 𝟓𝟑− 𝟗 = 𝟔 − 𝟏𝟓 + −𝟏𝟎 −
𝟗𝟏 = −𝟗 −
𝟐
𝟓𝟏 = 𝟔 − 𝟏𝟎 − 𝟗 +
𝟒𝟐 = 𝟗 − 𝟏𝟔 + 𝟐𝟒 = −𝟕 +
𝟐
𝟑𝟐−
𝟓𝟑−
𝟑𝟐−
𝟐
𝟒𝟑+
𝟐
𝟔𝟏 = 𝟗 + 𝟐𝟒 +
𝟒𝟑+
𝟏+ 𝟐
= − 𝟏 = −𝟏 +
𝟏+
= +
𝟓− 𝟑𝟒+ 𝟐 𝟓𝟏
i
𝟐
= −𝟏𝟎 −
𝟑
𝟓 𝟐
𝟒 − 𝟐
𝟎= 𝟐=𝟐 −
𝟐
+ 𝟏−𝟐 +
𝟐
= 𝟏+𝟐 +
𝟓− 𝟐
=
𝟑𝟒+
+ 𝟏− 𝟐
𝟐
+ 𝟏−
𝟐
𝟓− 𝟐
𝟏+ 𝟏+
جد ناته كل مما ٌلً : 𝟐𝟏+ 𝟐
𝟑
𝟏+
𝟐
𝟑𝟏 + 𝟐 −
𝟑𝟐 + −
𝟏
−
𝟐𝟐 + −
𝟒
𝟐𝟑 + −𝟖 𝟐 + 𝟐 −
𝟑
6
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مرافق العدد المركب أذا كان Cعدد مركب فأن مرافقه ٌرمز له ̅ أي أذا كان فمثالا :
و مرافق العدد
𝟑+
=
𝟑 −وبالعكس ,وكذلك مرافق العدد
و مرافق العدد 𝟐 𝟑 −
𝟐𝟑+
+
فأن
− و
=̅.
−وبالعكس .
وبالعكس ,وكذلك مرافق العدد 𝟑 و 𝟑 .
مالحظة أذا كان
+
=
𝟏
عدد مركب مرافقه هو
−
=
و
𝟐
فأن 𝟐=𝟐 + 𝟏+ 𝟐= 𝟐 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 𝟏 𝟏
الجدول أدناه ٌوضح المرافق للعدد المركب والنظٌر الجمعً والضربً : النظٌر الضربً النظٌر الجمعً العدد المركب +
𝟏 + 𝟏 𝟐𝟑− 𝟏 𝟒− 𝟏 𝟔−
− −
𝟐𝟑−
𝟐 −𝟑 +
𝟒−
𝟒
𝟔−
𝟔
𝟑
=
𝟑
−
𝟐
𝟏=
𝟐
−
𝟒𝟏 , − مثال ( / )8أذا كان
= 𝟏+
𝟏
المرافق − 𝟐𝟑+ 𝟒− 𝟔
𝟏 𝟑
𝟏= −
𝟐
=
𝟏 𝟒𝟏 , −
𝟒 −𝟏 ,
,
𝟏 𝟐 𝟑
𝟐=𝟑−
𝟐
𝟏 𝟐
𝟏= −
𝟐
𝟒𝟏 ,
فتحقق من : ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝟏 𝟐 𝟏+ 𝟐 = 𝟏+
.
= .
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅ 𝟏+ 𝟐 = 𝟏+ +𝟑−𝟐 = 𝟒− =𝟒+
.
̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟐̅̅̅ ̅̅̅𝟏 + ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝟏 + + 𝟑−𝟐 =𝟏− +𝟑+𝟐 = 𝟒+
.
̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝟐 𝟐 𝟏− 𝟐 = 𝟏−
.
= .
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝟑 𝟏 − 𝟐 = 𝟏 + − 𝟑 + 𝟐 = −𝟐 + 𝟑 = −𝟐 −
.
̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟐̅̅̅ ̅̅̅𝟏 − ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝟏 + − 𝟐𝟑−𝟐 =𝟏− − 𝟑+
.
𝟑 = −𝟐 −
7
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝟑 𝟐 𝟏. 𝟐 = 𝟏 . ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟐 𝟏 + . 𝟑 − ̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟐 𝟐 𝟑 − 𝟐 + 𝟑 − 𝟓+ =𝟓− =𝟓−
𝟐
𝟐=𝟑+𝟐 −𝟑 −
𝟐. 𝟑+
̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟐 𝟏.
.
̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟐̅̅̅ ̅̅̅𝟏 . ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝟏 + . 𝟑−𝟐 = 𝟏−
.
𝟏 𝟏
= 𝟏̿̿̿
𝟒
̿̿̿̿̿̿̿ = 𝟏̿̿̿ ̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏 + = 𝟏− =𝟏+ 𝟎
̅̅̅̅̅̅ 𝟏̅̅̅ 𝟏 =) ( 𝟐̅̅̅ 𝟐
𝟐
𝟓
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝟏+ 𝟏+ 𝟐𝟑+ 𝟐 𝟐𝟑+𝟐 +𝟑 + 𝟓𝟏+ 𝟓𝟏− 𝟏 ( =) ( (=) )=. (=/ =) 𝟐𝟑− 𝟐𝟑− 𝟐𝟑+ 𝟒𝟗+ 𝟑𝟏 𝟑𝟏 𝟐 𝟓𝟏− 𝟑𝟏
𝟐
=
.
𝟏̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅ 𝟏+ 𝟏− 𝟏− = = = 𝟐̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝟐𝟑+ 𝟐𝟑+ 𝟐𝟑−
𝟐𝟑− 𝟐𝟑−𝟐 −𝟑 + = 𝟐𝟑− 𝟒𝟗+
.
مالحظة ( )1عند ظهور
فً المقام نضرب مقام البسط وكسره بمرافق المقام لتبسٌط الحل .
(ٌ )2مكن أستخدام التعبٌر (مقلوب العدد المركب) بدل (النظٌر الضربً) وٌرمز له بالرمز مثال ( / )9جد النظٌر الضربً للعدد المركب
مثال ( / )10أذا كان
𝟐𝟑−
,
𝟓𝟏+
𝟐= 𝟐−
مترافقان فجد قٌمة كل من
,
𝟏 𝟏 = 𝟐𝟐− 𝟐𝟐−
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ − 𝟐𝟑− = ( ) 𝟓𝟏+
𝟓𝟏+ 𝟕𝟏 = −𝟕 +
−
𝟐
=
.
− 𝟐𝟑+ = − 𝟓𝟏+
−
و و ٌساوي
وضعه بالصٌغة العادٌة للعدد المركب
𝟐𝟐+ 𝟐𝟐+ 𝟐𝟐+ 𝟐𝟐+ 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 = = = = + = + 𝟐 𝟐𝟐+ 𝟐𝟐 + 𝟒𝟒+ 𝟖 𝟖 𝟖 𝟒 𝟒
−
𝟏−
𝟏
𝟐= 𝟑+
𝟎𝟏 = 𝟑 + 𝟏𝟓 + 𝟐 +
− 𝟐
+
− −
من تساوي األعداد المركبة نجد أن الحقيقي التخيلي
8
𝟕=
𝟕− = −
𝟕𝟏= −
−
𝟕𝟏 =
𝟏
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
مثال ( / )11أذا كان
𝟐=𝟑−
𝟏
أعداد /األستاذ علً حمٌد
=𝟏+
,
𝟐
̅̅̅̅̅̅ = )𝟏 (
̅̅̅̅ 𝟏
فتحقق من
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
̅̅̅̅ 𝟐
𝟐
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝟐𝟑− 𝟐𝟑− 𝟏− 𝟐 𝟐𝟑−𝟑 −𝟐 + 𝟓𝟏− 𝟓𝟏+ 𝟓 𝟏 𝟏 ( =) ( (=) )=. / = ( ) = = + 𝟏+ 𝟏+ 𝟏− 𝟐𝟏 𝟏𝟐 + 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
.
𝟏̅̅̅ = ̅̅̅̅ 𝟐
.
𝟓𝟏+ 𝟓 𝟏 = + 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐
=
̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝟐𝟑− 𝟐𝟑+ 𝟐𝟑+ = = ̅̅̅̅̅̅̅ 𝟏− 𝟏− 𝟏+
𝟏+ 𝟐𝟑+𝟑 +𝟐 + = 𝟏+ 𝟐𝟏 𝟏𝟐 +
قسمة األعداد المركبة عند قسمة عدد مركب على عدد مركب أخر نضرب بمرافق المقام وكما ٌلً مثال ( / )12ضع كال مما ٌأتً بالصورة
̅̅̅̅ 𝟐
𝟐
=
𝟐
:
+
𝟐 = =𝟎+ 𝟐 𝟏𝟏 𝟐 − 𝟏𝟏 𝟐 − 𝟐 𝟏𝟏 = = − 𝟔𝟏 𝟗 + 𝟓𝟐 𝟓𝟐 𝟓𝟐 𝟓𝟎− 𝟓− = =− =𝟎− 𝟓 𝟓
̅̅̅̅ 𝟐
𝟏
𝟏
𝟒𝟑− 𝟒𝟔−𝟖 −𝟑 + = 𝟒𝟑− 𝟐𝟒 𝟑𝟐 +
𝟐− 𝟒𝟑+
𝟐− 𝟒𝟑+
−𝟐 − 𝟐 −𝟐 − − 𝟒 − = −𝟐 − 𝟐𝟏 −𝟐 𝟐 +
𝟐𝟏+ −𝟐 +
𝟐𝟏+ −𝟐 +
𝟐
= 𝟐
=
𝟐
𝟏+ 𝟏+ + + = 𝟏+ 𝟐𝟏 𝟏𝟐 +
𝟏+ 𝟏−
𝟏+ 𝟏−
=
مالحظة ٌمكن تحلٌل
𝟐
+
𝟐
الى حاصل ضرب عددٌن مركبٌن كل منهما من الصورة +
−
=
𝟐 𝟐
−
𝟐
=
مثال ( / )13حلل كالا مما ٌأتً الى حاصل ضرب عاملٌن من الصورة
𝟐
+
+ 𝟐
حٌث
+
𝟗𝟑 𝟑+ 𝟐𝟕+ 𝟑 𝟔+
9
أي :
,
أعداد نسبٌة .
𝟑𝟓 = 𝟑−
𝟐
𝟏𝟎 = 𝟗 + 𝟏 = 𝟗 −
𝟐= 𝟕−
𝟐
𝟒 𝟓𝟑 = 𝟒𝟗 + 𝟒 = 𝟒𝟗 −
𝟑 = 𝟔−
𝟐
𝟑 𝟑𝟗 = 𝟑𝟔 + 𝟑 = 𝟑𝟔 −
𝟎𝟏
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
تمارين
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
−
س / 1ضع كالا مما ٌأتً بالصٌغة العادٌة للعدد المركب : , 𝟏𝟎 + 𝟑 𝟎 + 𝟔 , 𝟑𝟑+ 𝟑 𝟐+ 𝟒𝟏+ ( ) , , 𝟏+ 𝟏− 𝟒+
𝟐 + 𝟏𝟐 + ,
𝟑𝟐+
𝟐
𝟏𝟒 +
𝟑, 𝟐+ 𝟒𝟑+ , 𝟒𝟑−
,
𝟏𝟐 +
,
𝟗𝟗𝟗
𝟒
,
𝟒𝟐𝟏
,
,
𝟒
− 𝟏−
𝟔
,
𝟓
𝟏+
𝟑 𝟏+ 𝟑+ 𝟏− 𝟓 = 𝟒. = 𝟏 . = = 𝟎 + 𝟎 = 𝟏 −𝟏 = −𝟏 = −𝟏 + 𝟎=𝟏=𝟏+ . 𝟐 . = 𝟏. −𝟏 . = − = 𝟎 − = =𝟎+ 𝟒𝟏 + 𝟏𝟐 + 𝟐 = 𝟕 + 𝟎𝟔 = −𝟏𝟖 + 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
= 𝟏+𝟐 + 𝟐 𝟐− 𝟏−𝟐 + 𝟎−𝟒 𝟐 =𝟎=𝟎+
𝟐
𝟐
𝟒𝟐 −𝟕 + 𝟒𝟐 𝟕− = + 𝟔𝟏 𝟗 + 𝟓𝟐 𝟓𝟐
=
𝟒
𝟏 = .
𝟗 = 𝟒 + 𝟏𝟐 +
=
𝟒
= .
𝟒
− −𝟏𝟐 − = − 𝟐−
𝟒𝟑+ 𝟔𝟏 𝟗 + 𝟏𝟐 + 𝟏𝟐 + = 𝟒𝟑+ 𝟐𝟒 𝟑𝟐 +
𝟑 𝟏− 𝟐 𝟑−𝟑 + − 𝟑 𝟐𝟒− ) =. (= / 𝟑 ) = 𝟐− 𝟏− 𝟐𝟏 𝟏𝟐 + 𝟐 𝟒𝟐− = 𝟒−𝟒 + 𝟐 𝟐− = 𝟑−𝟒 𝟐− =𝟔−𝟑 −𝟖 +
= 𝟐
𝟑𝟐+ 𝟒
=
10
𝟏+ 𝟏𝟐 +
𝟒𝟑+ 𝟒𝟑+ = 𝟒𝟑− 𝟒𝟑−
𝟐
𝟑𝟐+
=
𝟑
𝟑𝟐+
𝟑 𝟑+ 𝟑+ ( (= ) 𝟏+ 𝟏+ = 𝟐−
𝟒𝟏+ 𝟏𝟏 𝟐 + 𝟖 + 𝟑 + 𝟏𝟐 𝟐 −𝟏𝟎 + 𝟏𝟏 −𝟏𝟎 + 𝟑𝟓+ = = = 𝟒+ 𝟐 𝟒+ −𝟒 − 𝟑𝟓− 𝟑𝟓− 𝟑𝟓+ 𝟐 𝟑𝟑 −𝟓𝟎 − 𝟑𝟎 + 𝟓𝟓 + 𝟓𝟐 −𝟖𝟑 + 𝟓𝟐 −𝟖𝟑 + 𝟓𝟐 𝟑𝟖− = = = = + 𝟐 𝟐 𝟑𝟓 + 𝟗 𝟐𝟓 + 𝟒𝟑 𝟒𝟑 𝟒𝟑 = 𝟏+ 𝟐 𝟏+ + 𝟏− 𝟐 𝟏− = 𝟏+𝟐 + 𝟐 𝟏+ + 𝟏−𝟐 + 𝟐 𝟏− 𝟎 = 𝟐 + 𝟐 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 𝟐 = 𝟒 𝟐 = −𝟒 = −𝟒 +
𝟏𝟒 +
𝟑 𝟏𝟎 +
− 𝟏− 𝟏𝟐 +
𝟑
𝟏𝟏 = 𝟐 −
𝟑
.
𝟔𝟎+
𝟑𝟐− 𝟐𝟐 −𝟑 𝟐 𝟑+ 𝟐𝟑+ 𝟑 𝟐 𝟐 = = = = + 𝟐 𝟑𝟐− 𝟑𝟐 + 𝟗𝟒+ 𝟑𝟏 𝟑𝟏 𝟑𝟏
𝟐
𝟗𝟒𝟐 𝟒
=
𝟗𝟗𝟗
𝟐 + 𝟏𝟐 +
𝟖𝟏 = 𝟎 + 𝟔𝟎 + 𝟎 +
𝟐
𝟏𝟑 𝟒
=
𝟒𝟐𝟏
𝟏 =
𝟏 =
= 𝟏+ 𝟐 𝟐− 𝟏− 𝟒 = 𝟐 𝟐= 𝟐 𝟐 − −
𝟐𝟏 𝟏 − 𝟐𝟏 = 𝟏 − 𝟏 𝟐
𝟐
𝟗𝟒𝟐
𝟏𝟑
𝟐
.
𝟒
=
𝟔
+ 𝟏−
𝟑𝟐+ 𝟏−
𝟑
𝟏+
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
س / 2جد قٌمة كل من ,
أعداد /األستاذ علً حمٌد
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الحقٌقٌتٌن اللتٌن تحققان المعادالت األتٌة : 𝟐+
−𝟐 + 𝟒 +
𝟐
𝟐
𝟐 = 𝟓+
معادلة①
𝟐−
𝟐
+𝟓 = 𝟐 +
𝟐+
+
𝟐=
𝟒+
𝟓−𝟐 +
𝟐
𝟐
𝟐= 𝟓+ 𝟐 = 𝟓+
نعوض في معادلة① 𝟏 = 𝟐 𝟎=𝟐−𝟐=𝟐− 𝟎=
𝟏+ 𝟑−
𝟐+
𝟐+
= 𝟖 𝟑
معادلة①
𝟏+
=
نعوض في معادلة① 𝟑− 𝟎= 𝟏−
=𝟒− ② 𝟐 𝟎= 𝟑−𝟒 +
𝟏=
نعوض في معادلة
𝟒= 𝟑=
𝟐
/
𝟏− 𝟏− − + ) = −𝟑 + 𝟒 − . 𝟏− 𝟐𝟏 𝟏𝟐 + 𝟑= −
𝟓=
𝟓 = −𝟑 +
𝟏− 𝟏+
(−
+
𝟐 𝟑
=
1
𝟔−𝟑 −𝟐 + 1 +0 𝟐𝟏 𝟐 𝟐 +
𝟐= 𝟏+
=
𝟑𝟓 𝟏−
𝟐− ] 𝟐−
+
+
𝟏− 𝟑− [] + 𝟏− 𝟐+
𝟐− [ 𝟏+
=
𝟑− 𝟐+
+
𝟎𝟏 ( 𝟑𝟏− 𝟓𝟓− [] + ] =− ⇒ 𝟐 𝟓 𝟎𝟏 𝟓 − 𝟏𝟓 + 𝟏𝟎 − 𝟏𝟎 = 𝟎 −
[
تحل أنيآ بالجمع
معادلة
نعوض في معادلة① 𝟓− 𝟓𝟏𝟎 = − = 𝟎𝟏 𝟏=
𝟏− 𝟐
𝟐= 𝟏+
(
𝟐− 𝟏+
معادلة①
=
+ 𝟐
) نضرب بالعدد
𝟎𝟏= −
𝟏− )+ 𝟏+
𝟏− (− 𝟒) = 𝟏+𝟒 + 𝟏+ 𝟐− ( = −𝟑 + 𝟒 − ) = −𝟑 + 𝟒 + 𝟐
𝟐−𝟐 − + 0 𝟐𝟏 𝟏𝟐 +
𝟓+𝟐 𝟓−
⇒
𝟎=𝟏−
𝟏 𝟐
𝟐
𝟖= 𝟐𝟐 + 𝟑 = 𝟒−
𝟎=𝟑−
𝟏=
𝟒
= 𝟖 = 𝟖
𝟎=𝟑−
+ 𝟒 −
𝟐
= 𝟖
𝟒+𝟐 +𝟐 + 𝟐−𝟑 + 𝟐 +
𝟑=
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐+
𝟑=
نعوض في معادلة
𝟑=
𝟐+
𝟓=𝟓 𝟏 𝟐=
11
𝟎 = 𝟎𝟏 𝟓 + 𝟎𝟏−𝟏𝟓 − 𝟏𝟎 = − 𝟎𝟏−𝟏𝟎 = − 𝟎 = 𝟎𝟏 𝟓 𝟏 +
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
س / 3أثبت أن : 𝟖 𝟓𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 (= () − ) 𝟐− 𝟐+ 𝟐 𝟐 𝟐+ 𝟐− 𝟐 ( 𝟐 () − ) 𝟐𝟏 𝟐 + 𝟐𝟏 𝟐 +
𝟒𝟑+ 𝟒𝟑− ()− ) 𝟓𝟐 𝟓𝟐
𝟐
𝟐 𝟐− ) 𝟐−
𝟒−𝟒 + /−. 𝟓𝟐
(=/
=
𝟏 𝟐+
𝟐
𝟏 − 𝟐 𝟐+
𝟐
− 𝟐
𝟏 𝟐−
𝟐 𝟐+ 𝟏 () − 𝟐+ 𝟐+
𝟏 𝟐−
الطريقة األولى
𝟏 ( 𝟐−
𝟐 𝟐+ 𝟐 𝟐− 𝟒+𝟒 + ( () − ) =. 𝟓 𝟓 𝟓𝟐
𝟐
𝟒𝟑+𝟒 −𝟑+ 𝟖 = 𝟓𝟐 𝟓𝟐 𝟐 𝟒+𝟒 + 𝟐 − 𝟒−𝟒 + = 𝟐 𝟒−𝟒 + 𝟐 𝟒+𝟒 +
𝟐 𝟐
− 𝟐− 𝟐 𝟐+
𝟐
𝟐+ = 𝟐−
𝟒𝟑+𝟒 −𝟑+ 𝟖 𝟖 = = 𝟐 𝟐 𝟒𝟑 + 𝟓𝟐 𝟔𝟏 𝟗 + 𝟏 𝟏 − 𝟒𝟑− 𝟒𝟑+
=
𝟐
𝟏 𝟒+𝟒 +
−
𝟐
𝟒𝟑− 𝟒𝟑+ 𝟒𝟑− 𝟐 (=) 𝟐 ()− ) 𝟐 𝟒𝟑− 𝟒𝟑 + 𝟐𝟒 𝟑 +
𝟏 − 𝟐 𝟐+
الطريقة الثانية
𝟒𝟑+𝟒 − 𝟑− 𝟒𝟑−𝟒 𝟑+
=
𝟏 𝟒−𝟒 +
𝟐
𝟏 𝟐−
=
𝟐
𝟏 𝟐+
− 𝟐
𝟒𝟑+ 𝟏 ()− 𝟒𝟑+ 𝟒𝟑+
𝟏 𝟐−
الطريقة الثالثة
𝟏 ( 𝟒𝟑−
𝟒𝟑+ 𝟒𝟑− 𝟒𝟑+ 𝟒𝟑− 𝟒𝟑+𝟒 −𝟑+ 𝟖 ( ()− (=) ()− =) = 𝟔𝟏 𝟗 + 𝟔𝟏 𝟗 + 𝟓𝟐 𝟓𝟐 𝟓𝟐 𝟓𝟐
وزاري / 2012د3 𝟐
𝟐= − 𝟏+
𝟏+
𝟐 + 𝟐
𝟏−
𝟐
𝟐−
𝟏− + 𝟏+ 𝟐𝟏 𝟏𝟐 + =
𝟏+
𝟒−𝟐 − 𝟐 − = 𝟐= − 𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟏−
𝟑
=
+ 𝟏+𝟐 + 𝟏𝟏+ 𝟐
=
12
𝟐+ 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
=
𝟏+ 𝟏−
𝟐
+
𝟏− 𝟑+ 𝟏+ 𝟏+ 𝟏− 𝟏−
𝟐
𝟏−𝟐 + 𝟐
𝟐+𝟐 + 𝟐
𝟐 −𝟐 +
𝟏− 𝟏+
الطريقة األولى
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة 𝟏+ 𝟏+ 𝟏− 𝟏+ ) 𝟏+ 𝟏+
𝟏+ (+ 𝟏−
𝟐 +( ) 𝟏+ 𝟐
𝟏− ) 𝟏− 𝟏−
𝟐− ) 𝟏− 𝟐
𝟏− 𝟏− 𝟏+
+ 𝟏− 𝟏+ 𝟐
(=
𝟐= −𝟏 − 𝟏 = −
𝟐
𝟐− 𝟐 + 𝟏+ 𝟏−
+
𝟐
𝟐
=
+ +
𝟏+𝟐 + 𝟏−
=
(=
𝟐
𝟐
+
=
𝟏+ ) 𝟏+ 𝟏−
𝟏+ + + 𝟐𝟏 𝟏𝟐 +
/ 𝟏+ 𝟐
𝟐
𝟏+ + 𝟏− (+
𝟏+
𝟏−𝟐 + 𝟏+
𝟏− − + 𝟐𝟏 𝟏𝟐 +
/ 𝟏−
=− +
𝟐
=
𝟏− الطريقة الثانية 𝟏+
𝟏− ( ) 𝟏− 𝟏+ 𝟐
+.
𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
+
𝟏+ 𝟏−
𝟏− 𝟐
+
.
−
𝟏− 𝟏+
الطريقة الثالثة
الحظ عزٌزي الطالب نا تستطٌع أن تضرب كل جزء بالمرافق أو توجد المضاعف (توحٌد المقامات) 𝟒−𝟐 − 𝟐 − = 𝟐= − 𝟐 𝟐
𝟐
=
𝟐
𝟐+ 𝟏𝟏+ 𝟐
𝟏+ 1 𝟏+ 𝟐
1
1
𝟏+ 𝟐
𝟐
1+0
𝟏+ 𝟏𝟏+ 𝟏− 𝟐
𝟐
𝟐
=
𝟏− 𝟏+ 1+0 𝟏− 𝟏−
𝟏+
𝟐−
𝟐 −𝟐 + 𝟐 𝟐 + 𝟐 + = 𝟐𝟏 𝟏𝟐 +
1+0
1=0
𝟐
𝟏− =0 𝟏+
+𝟐 𝟏+ 𝟏− 𝟐
𝟏+ + 𝟏−
−𝟐 𝟏 − 𝟏+ 𝟐
𝟏− الطريقة الرابعة 𝟏+
𝟑 𝟏− 𝟑 𝟏+ 𝟏− 𝟐 𝟏− 𝟐 =0 𝟐 1+0 1=0 𝟐𝟏 𝟏 + 𝟐𝟏 𝟏 + 𝟏𝟏+
𝟏+𝟐 + 𝟐 𝟏+ 𝟐
1+0
𝟏−𝟐 + 𝟐 𝟏− 𝟐
=0
𝟐 𝟐 −𝟐 + 𝟐 𝟐𝟐 + 𝟐 −𝟐 − 𝟐 −𝟐 + =0 1+0 [=1 []+ 𝟐] = −𝟏 − − 𝟏 + = − 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
] 𝟏 + 𝟏 [𝟏 − − 𝟒=𝟐=𝟐+
𝟐
𝟐=𝟐−
𝟐
𝟐=𝟐+𝟐 −𝟐 −
س / 4حلززل ك زالا مززن األعززداد 𝟓𝟖 𝟐𝟗 , 𝟏𝟐𝟓 , 𝟒𝟏 , الصورة +حٌث ,عددان نسبٌان :
𝟒=
𝟑
𝟏−
𝟐
𝟏−
𝟏−
= 𝟏−
𝟑
𝟏−
𝟐
𝟏−
𝟏−
𝟐 [𝟏 + ] = 𝟏 −
𝟏−
𝟐𝟐+
الززى حاصززل ضززرب عززاملٌن مززن
𝟐 𝟐𝟗 = 𝟐𝟓 + 𝟒 = 𝟐𝟓 − 𝟒 𝟐 = 𝟓 − 𝟐 𝟓 + 𝟐 𝟏𝟐𝟓 = 𝟏𝟐𝟏 + 𝟒 = 𝟏𝟐𝟏 − 𝟒 𝟐 = 𝟏𝟏 − 𝟐 𝟏𝟏 + 𝟒 𝟒𝟏 = 𝟐𝟓 + 𝟏𝟔 = 𝟐𝟓 − 𝟏𝟔 𝟐 = 𝟓 − 𝟒 𝟓 + 𝟐 𝟖𝟓 = 𝟖𝟏 + 𝟒 = 𝟖𝟏 − 𝟒 𝟐 = 𝟗 − 𝟐 𝟗 +
13
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
س/ 5جد قٌمة
أعداد /األستاذ علً حمٌد
𝟔
أذا علمت أن
,
نغٌر إشارة البسط والمقام للعدد التخٌلً 𝟔 𝟐+ 𝟑− 𝟎𝟑 𝟑𝟎 + = 𝟎𝟏 =
,
+ 𝟑+
𝟑+ 𝟐−
مترافقان .
لكً ٌصبح العددان متساوٌان ونحل المعالة .
𝟐−
𝟑−
+ 𝟓𝟔 𝟓+ 𝟏𝟗+
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐
=
=
+
𝟑− 𝟐+
𝟔 𝟐+
𝟑+ 𝟔 𝟔+𝟐 +𝟑 + = 𝟑+ 𝟐𝟏 𝟑𝟐 + =𝟑 , 𝟑=
=
𝟔 +
=
+
𝟔 𝟐+ 𝟑− 𝟑=𝟑+
+
******************************************************************
أمثلة أضافية محلولة مثال /أكتب بالصٌغة العادٌة أو الجبرٌة كل مما ٌأتً : 𝟐
𝟒=𝟓+
𝟖= 𝟐+
𝟒+ 𝟑−
𝟐
+ 𝟐−
+ 𝟒−𝟒 +
𝟐
𝟏+
𝟏
𝟑𝟓+
𝟑𝟓+𝟓 +𝟑 + 𝟗
𝟑 −
. / 𝟑 𝟏+ 𝟗
𝟗
𝟗 𝟒− ( = ) ) = − 𝟒
𝟐
𝟑 𝟑 −𝟑 − + 𝟐
𝟑
𝟗
( = /
𝟏𝟐 +
𝟑 𝟏−
𝟑 −
𝟑 𝟏−
𝟑 𝟏+
=− =𝟎− 𝟐
𝟐
𝟑+
𝟑 𝟒+ 𝟒−
𝟐
𝟑+
𝟑 𝟐= 𝟏−
𝟑 𝟔 = −𝟏 −
𝟗
𝟖
/ =.
𝟑 𝟏+
.
= −
𝟑+ 𝟐 − −
𝟐
𝟑 −
𝟐
𝟑 + 𝟐−
𝟑 𝟒+ 𝟏−
𝟐
𝟑𝟏 − −
𝟐
𝟑
𝟑 𝟏−
𝟑 𝟐 −𝟐 −
مثال /جد عددٌن مركبٌن مترافقٌن مجموعهما = 𝟔 وحاصل ضربهما = 𝟎𝟏 نفرض أن العدد هو
+
=
𝟏
عدد مركب مرافقه هو 𝟑=
𝟏= ∴ العددان هما
𝟑−
و
𝟏=
𝟐
𝟐=𝟔 𝟐
𝟑+
14
−
=
𝟐
𝟏𝟎 = 𝟑𝟐 +
𝟐= 𝟐
+
𝟐
+
𝟐
=
𝟐
𝟏 𝟏.
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
مثال /أكتب العدد
−𝟐 +
أعداد /األستاذ علً حمٌد
𝟐 𝟑 +بالصٌغة العادٌة ثم جد النظٌر الضربً له بالصٌغة الدٌكارتٌة . الصيغة االجبرية
𝟖− 𝟏 (= الصيغة الديكارتية ) , 𝟓𝟔 𝟓𝟔
مثال /أذا كان 𝟐 = −𝟏 +
𝟐
= −𝟖 −
−𝟐 +
𝟐 = −𝟔 + 𝟑 − 𝟒 +
−𝟖 + −𝟖 + 𝟏 𝟖− = = + 𝟐 𝟐 −𝟖 + 𝟏 −𝟖 + 𝟓𝟔 𝟓𝟔
فأوجد قٌمة المعادلة 𝟓 + 𝟐 + 𝟓+
𝟎 + 𝟓 = −𝟑 − 𝟒 − 𝟐 + 𝟒 + 𝟓 = 𝟎 = 𝟎 +
مثال /أذا كان ℂ
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟏 𝟏 = −𝟖 − −𝟖 −
𝟐
𝟐 + 𝟐 −𝟏 + 𝟒 + −𝟐 +
𝟐
𝟐
𝟐 + 𝟐 + 𝟓 = −𝟏 +
𝟐
𝟒= 𝟏−𝟒 +
و ̅ مرافق له جد العدد المركب الذي ٌحقق 𝟑 𝟑 + ̅ =𝟐 + − 𝟑=𝟐 +
−
𝟑𝟑 +
+
=̅
+
𝟑=𝟐 +
𝟑 𝟒
−
𝟏𝟑− 𝟒+
=
,
𝟕− 𝟐−
=
أثبت أن
𝟑
+
=
𝟑= 𝟒
𝟑=
𝟑 +
𝟏=
𝟐= 𝟐
𝟐=
𝟑 −
مترافقان ثم أحسب المقدا ر
,
=
+
𝟑 + 𝟒
مثال /أذا كان
𝟐𝟑+
=
𝟐
+
=
𝟐+
𝟐
.
نثبت أن ناتج عملية الجمع والضرب ينتمي الى مجموعة األعداد الحقيقية 𝟕𝟏 𝟓𝟏 − 𝟕𝟏 𝟏𝟓 = − =𝟑− 𝟕𝟏 𝟕𝟏 𝟕𝟏
𝟐
=
𝟓 𝟏𝟓 + =𝟑+ 𝟓
𝟒− 𝟓𝟐 − 𝟏𝟑 − 𝟒 + = 𝟒− 𝟐𝟏 𝟒𝟐 + 𝟐
=
𝟏𝟑 − 𝟏𝟑 − = = 𝟒+ 𝟒+
𝟐+ 𝟏𝟒 + 𝟕 − 𝟐 − = 𝟐+ 𝟐𝟏 𝟐𝟐 +
𝟕− 𝟕− = 𝟐− 𝟐−
𝟔=
+ 𝟑−
𝟑+
𝟑−
𝟑+
𝟎𝟏 = 𝟏 = 𝟑𝟐 + 𝟏𝟐 = 𝟗 +
مترافقان 𝟎𝟔 = 𝟔 𝟎𝟏 =
15
+
=
=
𝟐
, +
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مثال /أكتب بالصٌغة العادٌة أو الجبرٌة بدون الضرب بالعامل المنسب (المرافق) 𝟐=𝟏+
𝟓 𝟐 𝟒𝟏+𝟒 𝟏− 𝟐𝟏−𝟐 𝟏+ = = = 𝟐𝟏− 𝟐𝟏− 𝟐𝟏− 𝟐𝟏−
𝟓 𝟐𝟏−
𝟓 𝟒+𝟏 𝟒− = = 𝟐− 𝟐− 𝟐−
𝟓 𝟐−
𝟐− 𝟐+ 𝟐−
=𝟐+
𝟐= 𝟐 𝟏−
𝟐
=
𝟑=𝟐−
𝟑𝟏 𝟐 𝟗𝟒+𝟗 𝟒− 𝟑𝟐−𝟑 𝟐+ = = = 𝟑𝟐+ 𝟑𝟐+ 𝟑𝟐+ 𝟑𝟐+
𝟑𝟏 𝟑𝟐+
𝟐=𝟑−
𝟑𝟏 𝟐 𝟒𝟗+𝟒 𝟗− 𝟐𝟑−𝟐 𝟑+ = = = 𝟐𝟑+ 𝟐𝟑+ 𝟐𝟑+ 𝟐𝟑+
𝟑𝟏 𝟐𝟑+
𝟎𝟏 𝟓 𝟐 𝟒𝟐 𝟏+ 𝟒𝟐 𝟏− = = = 𝟐𝟏+ 𝟐𝟏+ 𝟐𝟏+ 𝟐𝟏+
𝟎𝟏 𝟐𝟏+
𝟐𝟐 𝟏−𝟐 𝟏+ 𝟐𝟏+
𝟐
=
𝟎𝟏 𝟒=𝟐− 𝟐𝟏+ 𝟐=𝟒−
𝟐 𝟐− 𝟐+ 𝟐+
= 𝟐 𝟐−
𝟐
=
𝟎𝟏 𝟐+
𝟎𝟏 𝟓 𝟐 𝟏𝟐 𝟒+ 𝟐 𝟒− = = = 𝟐+ 𝟐+ 𝟐+ 𝟐+
مثال /حلل الى عاملٌن لعددٌن مركبٌن كل مما ٌأتً : 𝟐+ 𝟓−
𝟓+ 𝟔𝟏 − )
𝟐
𝟏 𝟗
+
𝟒−
𝟏 𝟑
+
𝟐
𝟐− =
𝟐
𝟏 () 𝟑
𝟒+
=
=( −
𝟑
𝟏 𝟕𝟐
𝟑+
𝟒−
𝟏 𝟑 𝟐
𝟐−𝟐 +
𝟐−𝟐 −
+
𝟐
𝟐𝟏 −
𝟐+ =
𝟓𝟐 −
𝟐
𝟓+ 𝟐
𝟐−
𝟒−
16
= 𝟒𝟔 −
𝟑
𝟒𝟔 −
𝟑
𝟑
=
𝟏 𝟕𝟐
+
𝟑
𝟏 𝟕𝟐
+
𝟑
𝟒
=( −
𝟏 𝟕𝟐
+
𝟑
= 𝟐𝟏 +
−
𝟐
𝟕+
𝟐
𝟎𝟏 −
𝟐−
𝟒+
−
𝟐
=
𝟐
𝟐
𝟑
𝟐
=𝟒+ 𝟐
=
𝟒𝟔 +
𝟏 () 𝟑 −
𝟓𝟐 +
𝟐
𝟐
𝟒−
𝟐
𝟑
𝟏 ) − 𝟗 =
𝟐 𝟐
𝟐
=
𝟒+
𝟐
𝟏
𝟑
𝟎𝟏 + = 𝟒+
𝟓𝟐 +
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐𝟏 +
𝟐
−
𝟐
𝟓
𝟕+
𝟐
𝟔
𝟐−
𝟕
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
مثال /أوجد قٌمة
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الحقٌقٌتٌن والتً تحقق المعادلة فً كل مما ٌأتً :
,
𝟗−
𝟔+
𝟐
= 𝟒− 𝟗− 𝟓
معادلة
𝟐
𝟐𝟏 𝟗 +
𝟗+
𝟐
𝟑+
𝟐
=
𝟔+
𝟎=𝟗−𝟓 −
𝟐
𝟒
𝟗 𝟐
=
𝟗−
𝟐
𝟒= 𝟓
𝟐= −
𝟏−
𝟑+
𝟐= 𝟓+
= 𝟓
+
𝟗 𝟒
𝟗𝟒 −
𝟐+
+
=
𝟐= 𝟓+
+
+𝟓 = 𝟐 +
+
+𝟓 = 𝟐 +
𝟓 𝟑
𝟐
=
𝟐+ 𝟏𝟔 + 𝟖 + 𝟐 + = 𝟐+ 𝟐𝟏 𝟐𝟐 + 𝟐=
𝟏−
𝟐
𝟐=
𝟑= 𝟓
𝟐−
+
=
+
𝟐=𝟑+
+
𝟖+ 𝟖+ = 𝟐− 𝟐−
𝟏= − 𝟐+
𝟐
=
𝟑=
𝟐
− 𝟐+
=
− −
𝟐
17
𝟏 + − 𝟐+
=
𝟒
𝟎=𝟏+
=𝟖+
=
𝟐
𝟐 𝟓 𝟓𝟐 𝟎𝟓 𝟗 𝟓𝟎 − = 𝟏= 𝟐( ) −𝟏 = 𝟐( )− =𝟏− 𝟑 𝟗 𝟗 𝟗
=
+
𝟐
=
𝟎=𝟗𝟒 −
𝟏= −
نعوض في معادلة①
𝟎𝟏 𝟏𝟓 + 𝟐=𝟑+ 𝟓
𝟔 = 𝟐𝟏
𝟎= 𝟗−𝟓 −
𝟗= 𝟒
𝟏= 𝟐 = 𝟐 −
𝟐
𝟐
= 𝟒𝟗 −
= 𝟐
معادلة
𝟏𝟒 𝟗
𝟒 𝟗 + 𝟏𝟐 +
𝟗− 𝟗𝟐 𝟐− 𝟗𝟒 𝟐− = = 𝟓 𝟓 𝟓
𝟗 ) (𝟐 = 𝟐 = 𝟒
𝟐
𝟐
𝟐𝟑+
𝟐
𝟗−
𝟐
𝟎= 𝟏+ =
𝟐
=
𝟗−
نعوض في معادلة①
𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
=
+ 𝟏 +
𝟐
+ =
+
𝟐
+
=
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
= 𝟏𝟑 − −
= 𝟏𝟑 −
𝟐
+
𝟐
+
−
= 𝟏𝟑 −
+ −
معادلة معادلة
نعوض معادلة②في ①
𝟏+
𝟑𝟏 = 𝟏 + 𝟐 + 𝟎= 𝟐− 𝟐= −
𝟑+
+
=𝟔−
𝟑=
=
=
𝟐
نعوض في معادلة①
+
𝟐
𝟏+
− +
𝟎 = 𝟐𝟏 + 𝟐 −
𝟐=
=
𝟐
𝟗𝟒 − 𝟕𝟑 +
𝟗
=
𝟐
𝟗=
𝟐
𝟑
=
=
+
=
= − 𝟐
𝟐
𝟐
𝟎 = 𝟐−
𝟕𝟑 −𝟕 𝟑 + 𝟕𝟑 +
−𝟑 + 𝟐 −
𝟐
𝟎=𝟑+
معادلة 𝟑
𝟐
𝟑𝟏 =
𝟑= −
𝟏+𝟏=𝟐+
=
𝟐
+
𝟐
𝟏= −
⇒
𝟐
𝟕= 𝟑 −
+
𝟑𝟏 =
𝟗𝟒 𝟗 𝟐 + 𝟕𝟑 +
𝟐
𝟐
+
) نقسم المعادلة على 𝟐(
𝟐
𝟏 + 𝟏 = −𝟑 +
𝟐
+
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
= 𝟕𝟐+ 𝟑
− + 𝟐
𝟐
𝟐+
−𝟐 + 𝟐 −
−𝟑 + 𝟐 − 𝟑 = 𝟑−
𝟕= −
=−
𝟐
𝟐−
=−
س / 1حلل كل مما ٌأتً الى عاملٌن لعددٌن مركبٌن: 𝟏 𝟓𝟐𝟏
+
𝟑
𝟒
−
𝟐
𝟓
𝟐𝟏 −
𝟕+
𝟐
𝟔
𝟐
𝟐−
𝟑
𝟖
𝟔+
𝟗+
18
𝟗+ 𝟐
𝟒+
𝟐
𝟏
𝟔𝟏 +
𝟐
𝟐
𝟖−
𝟑
𝟑
𝟐
𝟏−
𝟕
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
س / 2أوجد قٌمة
أعداد /األستاذ علً حمٌد
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الحقٌقٌتٌن والتً تحقق المعادلة فً كل مما ٌأتً :
,
𝟒
𝟏=
𝟐= 𝟐+ 𝟑
𝟑 𝟑
𝟐 𝟑 𝟐−
𝟐
𝟏+
𝟏+ 𝟏−
𝟐+ +
𝟏−
=
+
𝟏 + = 𝟏+ 𝟏+ +
𝟐= 𝟓+
س / 3ضع كال مما ٌلً بالصٌغة العادٌة للعدد المركب : 𝟐
𝟐−
𝟒𝟑+
𝟏−
𝟐𝟏+
𝟐−
𝟒𝟑+
𝟐𝟓+
******************************************************************
الجذور التربٌعٌة للعدد المركب 𝟐
أما أذا كانت 𝟒 = = و ً الجذور التربٌعٌة للعد د أذا كان = 𝟐 فأن احد جذري المعادلة وألٌجاد الجذور التربٌعٌة للعدد المركب توجد طرٌقتان الحظ األمثلة التالٌة . مثال ( / )14جد الجذور التربٌعٌة للعدد
𝟔=𝟖+
𝟐 +
𝟐
𝟐
و
+
𝟔=𝟖+
𝟐 𝟐
𝟐+
+
𝟐
𝟔=𝟖+ معادلة①
نعوض معادلة②في ① 𝟎= 𝟏+
𝟐
𝟗−
𝟐
فأن 𝟐 =
𝟔=𝟖+
الطرٌقة ① /نفرض أن الجذر التربٌعً للعدد )(c −
زو
𝟑
معادلة②
𝟎 = 𝟗−
𝟐
𝟖−
𝟐
𝟒
= 𝟖=𝟗−
نعوض في معادلة② 𝟏 يهمل الجذران هما
𝟑 =
𝟏= −
, −𝟑−
𝟖=
𝟑=
𝟐
𝟒
=
𝟐
+ 𝟐
−
𝟔=
)نضرب 𝟐 (
⇒
𝟖=
𝟗 𝟐
𝟐 −
𝟐
𝟗= 𝟑 𝟑 = = 𝟑 𝟐 𝟎=𝟏+
𝟑+
الطرٌقة ② /نجزئ الجزء الحقٌقً الى عددٌن 𝟑+
=
بالجذر
⇒
𝟐
𝟑+
الجذران هما
19
=
𝟐
𝟗+𝟔 +
, −𝟑−
𝟑+
𝟐
= 𝟏= 𝟗+𝟔 −
𝟔𝟖+
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
مالحظة نفرض الجزذر زو عند أٌجاد الجذور التربٌعٌة لعدد مركب ٌحتوي على فً المثال التالً . مثال ( / )15جد الجذور التربٌعٌة لؤلعداد 𝟖 , − , −𝟏𝟕, −𝟐𝟓 :
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
ثزم نربعزه ونكمزل الحزل كمزا
+
𝟖
الطرٌقة ① /نفرض أن الجذر التربٌعً للعدد 𝟐 +
𝟐
−
𝟐
و
𝟖
+ 𝟐 𝟐
= 𝟖
𝟐+
+
𝟐
𝟐
= 𝟖
+
معادلة① نعوض معادلة②في ①
𝟒
معادلة②
𝟎= 𝟒+
𝟐
𝟐
𝟒−
نعوضها في معادلة ②
=
𝟐
𝟒= 𝟐
تهمل الجذران هما
𝟒=
𝟎 = 𝟔𝟏 − =
)نضرب 𝟐 (
𝟒
𝟐
,
𝟔𝟏 𝟐
𝟐 −
𝟐
𝟐
𝟎=𝟒− 𝟒 𝟒 = = 𝟐 𝟐 𝟎=𝟒+
𝟐
𝟒= −
𝟐
−
𝟐
𝟖= ⇒ 𝟎=
=
𝟐 −𝟐 −
𝟎=
= 𝟖
𝟐𝟐+
الطريقة ② / بالجذر
𝟐𝟐+
𝟐
⇒
الجذران هما
𝟐𝟐+
𝟐
= ,
𝟐 −𝟐 −
𝟒𝟒+𝟖 +
= 𝟒𝟖 = 𝟒+𝟖 −
𝟐𝟐+ −
الطرٌقة ① /نفرض أن الجذر التربٌعً للعدد 𝟐 +
𝟐
−
𝟐
نعوضها في معادلة ② 𝟏 𝟐
𝟏 𝟐 =
−
𝟐 𝟐
= −
نعوض معادلة②في ① 𝟎= 𝟏+
و
𝟐
=
𝟐
+
𝟏− 𝟐
معادلة② 𝟐 𝟏−
+
𝟐 𝟏 𝟐
𝟐+
=
𝟏− 𝟏 ) 𝟐
20
(𝟐 𝟐
= − معادلة① 𝟏− = 𝟐
=
𝟎=𝟏− 𝟐
𝟐
𝟐
𝟏= =
𝟒
𝟐
)نضرب
𝟒 𝟐
𝟐
+ 𝟎=
= − 𝟐
−
𝟏= − 𝟒( 𝟏 = 𝟎 ⇒ 𝟐 𝟒
𝟎 = 𝟏−
𝟏− 𝟏− = 𝟏 𝟐 (𝟐 ) 𝟐
𝟐
=
𝟐
𝟐
𝟐 −
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة 𝟏− 𝟐 𝟏
تهمل 𝟏
الجذران هما
𝟐
−
𝟏
,
𝟐
𝟐
= +
𝟐
𝟏= −
𝟐
𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟎=𝟏+
𝟐
𝟐
𝟏− 𝟐
الطريقة ② / 𝟏
)
𝟐
𝟏
الجذران هما
𝟐
−
−
𝟐
𝟏
(
𝟐
𝟏
= ) 𝟏
,
𝟐
𝟏
𝟐
−
𝟐 +
𝟏 𝟐
(√ =
𝟐
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 − =√ − − =√ − + 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟏− 𝟐 𝟕𝟏 −
𝟕𝟏
𝟐
=
𝟕𝟏
= 𝟏𝟏𝟕 −
= 𝟕𝟏−
=
𝟓𝟐
= 𝟏𝟐𝟓 −
= 𝟓𝟐−
=
𝟕𝟏= −
𝟐
𝟓𝟐 − 𝟓
𝟐
=
𝟓𝟐= −
𝟐
حل المعادلة التربٌعٌة فً ℂ كل معادلة تربٌعٌة ال ٌمكن حلها بطرٌقة التجربة فهً تحل بطرٌقة الدستور مثالا حٌث 𝟎
و
𝟒𝟐 −
فزأن
, ,
− 𝟐
𝟎=
+
+
𝟐
ونالحـزـظ أنــــزـه أذا كزان مقــزـدار الممٌـزـز
=
𝟒 𝟐 −سالبا ا فأن مجموعة الحلول الخاصة بالمعادلزة تنتمزً الزى مجموعزة األعزداد المركبزة وٌوجزد نوعزان من حل المعادالت التربٌعٌة . النوع األول /الممٌز ال ٌحتوي على مثال ( / )16حل المعادلة التربٌعٌة 𝟎 = 𝟓 + 𝟒 + حسب قانون الدستور فأن = 5
,
=4 ,
𝟐
فً مجموعة األعداد المركبة .
= 𝟒−
𝟒𝟏𝟔 − 𝟐𝟎 − 𝟒− = 𝟐 𝟐
=
𝟐
𝟐= − مجموعة حل المعادلة هي
} −𝟐 −
,
𝟓 𝟏 𝟒 𝟏𝟔 − 𝟏 𝟐 𝟒− 𝟐
{−𝟐 +
21
𝟒− 𝟐
=
=
𝟒−
𝟐
− 𝟐
𝟏𝟒 − 𝟒− 𝟒 = 𝟐 𝟐
𝟒−
= =
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
مالحظة من قانون الدستور نعلم أن جذري المعادلة التربٌعٌة
𝟎= 𝟒−
𝟐
+
+
− −
=
𝟐 𝟒−
𝟐
−
𝟒−
−
𝟐
− +
𝟐
𝟒−
=
𝟐
التً معامالتها الحقٌقٌة ً
− − 𝟐
−
)مجموع الجذرين(
=
𝟐
𝟒−
𝟐
+
𝟒−
+
𝟐 − +
𝟐
𝟐− 𝟐
𝟏 𝟐
𝟒−
𝟐 =
𝟐
𝟒 𝟒
=
𝟒+ 𝟐
𝟐
−
𝟐
𝟐
𝟒−
=
𝟒
𝟐
−
𝟒−
−
𝟐
𝟏
=
𝟐
+
=
𝟐
+
𝟏
− + +
=
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
− +
𝟐
− −
𝟒−
𝟐
𝟒−
,
𝟐
𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
=
𝟏.
𝟐
𝟐
=
𝟒
) حاصل ضرب الجذرين(
=
𝟏.
𝟐 𝟐
𝟏.
وٌمكن االستفادة من الخاصٌة أعاله فً أٌجاد الجذور التربٌعٌة وكما ٌلً : 𝟎=
−
+
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( −
𝟐
مثال ( / )17جد المعادلة التربٌعٌة التً جذرا ا مجموع الجذرين حاصل ضرب الجذرين
𝟐
𝟐𝟐+ 𝟎=𝟎+
𝟐 = −𝟐 + 𝟐 + −𝟐 +
𝟖= −𝟒 − 𝟖 + 𝟒 = −
𝟐
𝟐+ 𝟐+
𝟐 −𝟐 −
𝟐. 𝟐+
𝟐 −𝟐 −
𝟒 = −𝟒 − 𝟒 − 𝟒 −
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( −
𝟐
𝟎 −
𝟐
المعادلة التربيعية
𝟎= 𝟖−
مالحظة المعادلززة التربٌعٌززة التززً معامالتهززا حقٌقٌززة والتززً أحززد جززذرا ا والعكس صحٌح . −
𝟐
𝟎=
+
𝟖+ −
حٌززث 𝟎
فززأن الجززذر األخززر ززو
مثال ( / )18كون المعادلة التربٌعٌة التً معامالتها حقٌقٌة وأحد جذرٌها 𝟒 𝟑 − ∵ معامالت المعادلة حقيقية وأحد الجذرين هو 𝟒 𝟑 − ∴ الجذر األخر هو المرافق ويساوي 𝟒 𝟑 + مجموع الجذرين حاصل ضرب الجذرين
𝟔=
𝟓𝟐 = 𝟔𝟏 = 𝟗 +
𝟒 = 𝟑 + 𝟑 + −𝟒 + 𝟐
𝟔𝟏 = 𝟗 + 𝟏𝟐 − 𝟏𝟐 −
𝟒+ 𝟑+
𝟒𝟑−𝟒 . 𝟑+
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( −
المعادلة التربيعية
𝟎 = 𝟓𝟐 − 𝟔 +
22
𝟐
𝟒𝟑−
𝟎 = 𝟓𝟐 +
𝟔 −
𝟐 𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
تمارين − 2 س / 1حل المعادالت التربٌعٌة األتٌة وبٌن أي منها ٌكون جذرا ا مترافقان ؟ ) جذراها مترافقان(
𝟑 𝟐
𝟐
=
𝟐𝟏
𝟐𝟏= −
𝟐
𝟐𝟏 =
𝟐
𝟐
=
𝟐
𝟎= −𝟑 +𝟑+ تحل بالدستور
=𝟑+
𝟗−𝟒 𝟏 𝟑+ 𝟏 𝟐 𝟒 −𝟑 − 𝟐
معادلة①
𝟒 = −𝟑 −
𝟐+
𝟐
𝟑− − 𝟑
𝟐
𝟒 = −𝟑 −
𝟐−
معادلة③ )نضرب 𝟎= 𝟏−
=
𝟐
تربيع الطرفين
⇒ 𝟒 −𝟑 −
+
𝟐
𝟒+
𝟐
𝟒− 𝟐
=
(
𝟐
𝟑= −
نعوض في معادلة③
𝟏 𝟐
الجذران هما
∴ مجموعة الحل هي } , 𝟐 −
𝟒 𝟐
𝟎=𝟒− )يهمل(
𝟐 , −𝟏 +
𝟐 𝟒 𝟗 − 𝟏𝟐 − 𝟐
معادلة② نعوض معادلة③ في
=
𝟐
− 𝟑
ثم نعوضه فً المعادلة ①
األن نحسب مقدار الجذر 𝟒 −𝟑 − −
𝟑= − 𝟒−
𝟏=
𝟐
−
𝟒= −
= =
=
𝟒
𝟐
𝟐− 𝟏
=
𝟑− 𝟒 = −
𝟎=𝟒+
𝟐
𝟎 = 𝟏−
𝟐
𝟐−
=
𝟐 𝟏 −نعوض في المعادلة ① =𝟏+
𝟐𝟐+ 𝟐
=
𝟐𝟑−𝟏+ 𝟐
=
=𝟐−
𝟐𝟒− 𝟐
=
𝟐𝟑+𝟏− 𝟐
=
{𝟏 +والجذران غير مترافقان
23
𝟐
𝟒= −
𝟐
𝟐
𝟏=
𝟑= −
−
𝟐 𝟐− 𝟑− ( ) = −
𝟐
𝟑+
= 𝟐
+
𝟐 𝟐
𝟒
= =
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎 𝟐
𝟎 = 𝟑𝟏 − 𝟓 + تحل بالدستور 𝟑𝟏 = 𝟒𝟎𝟏 𝟐𝟓 − 𝟒
∴ مجموعة الحل هي -
𝟗𝟕 𝟒
−
𝟓
𝟗𝟕 𝟒
𝟓 𝟒
𝟗𝟕
𝟓
𝟒
𝟒
,
𝟒
𝟑𝟏 𝟐 𝟒 𝟐𝟓 − 𝟓 = 𝟐 𝟐 𝟗𝟕 𝟒
=
𝟓= −
𝟓− −
𝟐
𝟓
=
=
𝟗𝟕 𝟒
𝟒−
𝟐=
𝟐
−
تحل بالدستور
𝟐 𝟗𝟕− 𝟓 = 𝟒
𝟓
𝟐=𝟏+ 𝟐−
𝟐
=𝟐 −
𝟐−
𝟐𝟒−𝟒 𝟏 𝟏+ 𝟏 𝟐
=
𝟐−
=
+𝟐 +
𝟐−
=
𝟒−
𝟏=
𝟐
− 𝟐 𝟐−
𝟖− 𝟐
األن نحسب مقدار الجذر 𝟖 −ثم نعوضه في المعادلة ① 𝟐+
𝟖=𝟎−
𝟐
𝟐
𝟖= −
𝟐
تربيع الطرفين
⇒ 𝟖−
+
معادلة② نعوض معادلة③ في
نعوض في معادلة③
الجذران هما
𝟒−
معادلة③ )نضرب
𝟐 , −𝟐 +
𝟐
𝟖− 𝟐
=
𝟎=
𝟐
𝟎= 𝟒+
𝟐
(−
𝟐
=
𝟐
=
−
𝟐
𝟐
𝟒− 𝟐
=
𝟐
=− = −𝟐 + {−والجذران غير مترافقان
24
−
𝟐
) −
𝟐 𝟒−
𝟎 = 𝟔𝟏 − 𝟎=𝟒−
=
𝟐
𝟖= −
𝟎=
𝟐
𝟒=
𝟎=
+
𝟐
𝟔𝟏
𝟒−
=
𝟒−
𝟐
=
𝟐 𝟐 −نعوض في المعادلة ①
∴ مجموعة الحل هي } , − 𝟐 +
=
𝟐
𝟐=
معادلة①
−
=
, +والجذران مترافقان 𝟎=
𝟖𝟒−𝟒− 𝟐
𝟐
𝟐 −𝟐 + 𝟐 − 𝟐− = 𝟐 𝟐
=
𝟐 −𝟐 − 𝟐 + 𝟐 −𝟒 + = 𝟐 𝟐
=
𝟒
(
=
=
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
ٌمكن حل الفرع ) (dالسابق بطرٌقة أخرى بواسطة قانون التجربة الحظ الحل 𝟐−
𝟎= 𝟎=
+𝟐−
= −𝟐 + ∴ مجموعة الحل هي } , − 𝟐 +
+𝟐 +
+
=−
{−والجذران غير مترافقان
𝟐
𝟒
𝟐
𝟒
𝟎 = 𝟓𝟐 + 𝟓 𝟐
𝟐 𝟓𝟐 𝟒
= 𝟓
∴ مجموعة الحل هي -
𝟓
,
𝟐
𝟐
𝟐 𝟓𝟐 𝟒
√=
=
𝟓𝟐− 𝟒
𝟐
=
𝟐
=−
𝟑−
+
𝟑=
𝟎= +
𝟐
=
𝟑−
𝟐−
𝟐
𝟐
{−والجذران غير مترافقان
𝟐
∴ مجموعة الحل هي } 𝟑 ,
𝟎=𝟑+
𝟎= 𝟑−
تحل بالدستور 𝟑 =
𝟐
𝟐
𝟐−
𝟎=
) حل أخر(
𝟒
𝟓𝟐= −
,−والجذران مترافقان
𝟎=
∴ مجموعة الحل هي } 𝟑 ,
𝟐
=
𝟔𝟏− 𝟐
𝟑 𝟏 𝟒 −𝟒 − 𝟐 = 𝟏 𝟐
𝟎=𝟑+ 𝟐= −
𝟐− −
=
𝟒−
𝟐
𝟐− 𝟏=
𝟐
− 𝟐
=
{−والجذران غير مترافقان
س / 2كون المعادلة التربٌعٌة التً جذرا ا
,
حٌث : =𝟏−
مجموع الجذرين حاصل ضرب الجذرين
=𝟐+
𝟐=𝟏+
𝟏= 𝟏+𝟏 + 𝟐−
=𝟑+
𝟐
𝟐=𝟏− +𝟐 −
+ 𝟏−
𝟐𝟏+
𝟏+𝟐 . 𝟏−
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( −
𝟐
− 𝟐+
𝟐
المعادلة التربيعية
25
𝟎=
+ 𝟑+
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟐
𝟐
𝟒𝟐− 𝟐
𝟐=𝟏−
𝟐𝟏 = 𝟓 −
𝟐𝟏 = 𝟓 − مجموع الجذرين
𝟒𝟏 = 𝟔 −
حاصل ضرب الجذرين
𝟑− 𝟏+
𝟐= 𝟑−
𝟏− 𝟑−𝟑 − + = 𝟏− 𝟐𝟏 𝟏𝟐 +
=
𝟐
𝟐𝟐 = −𝟏𝟗 −
=
𝟑− 𝟑− = = 𝟏+ 𝟏+ 𝟐
𝟒 = 𝟗 − 𝟏𝟐 +
𝟐𝟏 = 𝟏 + 𝟓 + −𝟐 − 𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐= 𝟑−
𝟐𝟏 + 𝟓 −
𝟒𝟐 = 𝟓 − 𝟏𝟐 − 𝟏𝟎 +
𝟐𝟏−
𝟐𝟏 𝟏 − 𝟐 . 𝟓 −
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( −
𝟐
𝟒𝟏 − 𝟔 −
𝟐
المعادلة التربيعية
𝟐𝟐 + −𝟏𝟗 −
𝟎=
س / 3جد الجذور التربٌعٌة لؤلعداد المركبة األتٌة : 𝟔− 𝟔= −
𝟐 𝟐
+
𝟐+
𝟐
𝟔= −
𝟐
تربيع الطرفين
⇒
+
𝟔 =
𝟔= −
𝟐 +
معادلة① نعوض معادلة
في ①
𝟑−
معادلة②
𝟎=𝟗−
𝟒
)نضرب
𝟐
𝟔− 𝟐
=
(
⇒
𝟎=
𝟎= 𝟑+ نعوض في معادلة
=
𝟑
𝟑= 𝟑
) تهمل( الجذران هما
𝟐
𝟑 𝟑−
26
𝟗 𝟐
𝟑−
=
𝟐
−
𝟐
𝟐
−
𝟐
𝟐
𝟔= −
𝟐
𝟐 𝟑− 𝟎= ) (−
𝟐
𝟎=𝟗−
𝟐
𝟑− 𝟑
𝟑= −
𝟎=
𝟎=𝟑−
=
,
−
+
𝟐
𝟑 − 𝟑+
𝟐
𝟑−
=
𝟎=𝟑+
𝟐
=
𝟐
𝟒
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎 𝟒𝟐 𝟕 +
تربيع الطرفين
𝟐 + 𝟒𝟐 = 𝟕 + 𝟐 𝟐 − 𝟐 + 𝟒𝟐 = 𝟕 +
نعوض في معادلة① 𝟐
𝟐𝟏
معادلة②
𝟕 = 𝟒𝟒𝟏 −
)نضرب
𝟒
نعوض في معادلة②
𝟐
=
(
⇒
𝟎= 𝟗+ 𝟒
𝟒𝟐 = 𝟕 + ⇒ 𝟐 𝟐 + 𝟒𝟐 = 𝟕 +
𝟐
𝟗= −
𝟒𝟐 =
𝟐
𝟑 , −𝟒 −
𝟐
𝟐
𝟐 𝟒
𝟕−
𝟐
𝟎 = 𝟔𝟏 − 𝟐𝟏 = 𝟒
𝟐
−
𝟐
𝟐
𝟕=
𝟎 = 𝟒𝟒𝟏 −
=
𝟐+
𝟐
𝟐 𝟐𝟏 𝟕= ) (−
𝟐
𝟑 ) تهمل(
𝟐
−
𝟐
𝟔𝟏 =
الجذران هما
𝟒𝟒𝟏
𝟕= 𝟔𝟏 −
=
معادلة① 𝟒𝟐 = 𝟐
+
𝟐𝟏
𝟎=𝟗+
=
𝟐
𝟑𝟒+ 𝟒 𝟑 𝟏−
ٌجب تحوٌلة الى الصٌغة 𝟑 =𝟏+
عن طرٌق الضرب بمرافق المقام
+
𝟑 𝟒 𝟏+ 𝟒
𝟑 𝟒 𝟏+ 𝟑𝟏+
=
=
𝟑 𝟒 𝟏+ 𝟐
𝟑 𝟏+
=
𝟑 𝟏+
𝟏𝟐 +
𝟑
𝟒
𝟒
=
𝟑 𝟏−
𝟑 𝟏−
الطرٌقة ① / 𝟑 =𝟏+ 𝟑 = 𝟏+
𝟐
تربيع الطرفين
+ 𝟐
𝟐 +
𝟑 = √𝟏 +
⇒
−
𝟐
𝟑 =𝟏+
𝟐 𝟐
+
معادلة① نعوض في معادلة① 𝟐
نعوض في معادلة②
𝟒
𝟒=
𝟏 𝟐 𝟑 𝟐
𝟑
معادلة②
𝟐
)نضرب 𝟐 𝟒 (
𝟒𝟑−
⇒ 𝟎= 𝟏− 𝟏 𝟐 = 𝟐
=
𝟏= 𝟐
𝟐 𝟑+ 𝟏=
𝟐
𝟐
𝟐
) تهمل( الجذران هما
𝟏 𝟐
−
27
𝟑= − 𝟑 𝟐
−
,
𝟏=
𝟐
𝟏=
𝟏 𝟐
+
𝟐
𝟐
𝟎=𝟑− 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟑
/ − 𝟐 𝟒𝟒 𝟒+
𝟐 𝟑
=
𝟎=𝟑+ 𝟑
−
𝟐
𝟑 =
𝟎=𝟏−
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑 𝟑 = 𝟏 𝟏 (𝟐 ) (𝟐 𝟐 ) 𝟐 𝟐
=
𝟐+
=
𝟑 − 𝟐 𝟒 𝟐
𝟐
+
𝟐 𝟐
𝟐
=
.
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الطرٌقة ② / /
𝟏 𝟐
+
𝟑 𝟐
𝟐
.
= /
𝟏 𝟐
+
𝟑 𝟐
= √.
الجذران هما
𝟐
𝟏 𝟐
𝟏 + 𝟐
𝟏 𝟑 − 𝟑 =√ + 𝟐 𝟐
𝟑
𝟑
−
−
𝟐
𝟏
,
𝟐
+
𝟑 𝟑 =√ + 𝟐
𝟑 √𝟏 +
𝟐
س / 4ما المعادلة التربٌعٌة ذات المعامالت الحقٌقٌة وأحد جذرٌها و :
المعامالت أعداد حقٌقٌة لذا فان الجذر األخر و المرافق و و − مجموع الجذرين
𝟎=𝟎+
𝟏= 𝟎+𝟎 + 𝟏−
حاصل ضرب الجذرين
𝟏 = 𝟏= − −
𝟐
+ −
=−
. −
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( −
𝟐
𝟎 −
𝟐
المعادلة التربيعية
𝟎=𝟏+
𝟐
𝟎= 𝟏 +
𝟓− المعامالت أعداد حقٌقٌة لذا فان الجذر األخر و المرافق و و 𝟓 + مجموع الجذرين 𝟎𝟏 = 𝟏 + 𝟓 + = 𝟓 + 𝟓 + −𝟏 + حاصل ضرب الجذرين 𝟔𝟐 = 𝟏 . 𝟓 + = 𝟐𝟓 − 𝟓 + 𝟓 − 𝟐 = 𝟐𝟓 +
𝟓− 𝟓−
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( −
𝟐
𝟎 = 𝟔𝟐 − 𝟏𝟎 +
𝟐
المعادلة التربيعية
𝟑𝟐 + 𝟒
المعامالت أعداد حقٌقٌة لذا فان الجذر األخر و المرافق و و )
𝟑 𝟒
−
𝟐 𝟒
(
𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐 + /+. − = ) /=. + /+( − = مجموع الجذرين 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟐 𝟐
حاصل ضرب الجذرين
المعادلة التربيعية
.
𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 𝟗 𝟏𝟏 . + /.. − = ) (/=. / + + = 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟔𝟏 𝟔𝟏 𝟔𝟏 𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( −
𝟐
−.
𝟐
𝟏𝟏 𝟎= 𝟔𝟏
+
𝟏 𝟐
28
−
𝟐
𝟐 𝟏𝟏 𝟎=) (/ + 𝟐 𝟔𝟏
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
س / 5أذا كان 𝟑 +و أحزد جــــزـذري المعادلزة 𝟎 = وزاري / 2011د1 قٌمة الجذر األخر؟
−
𝟓+ 𝟓+
𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
؟ ومزا
فمزا قٌمزة
نفرض الجذر األخر و معادلة①
)مجموع الجذرين(
) حاصل ضرب الجذرين( )الجذر األخر(
𝟎𝟏 𝟐𝟎 + =𝟐+ 𝟎𝟏
𝟐
=
=
+
𝟓=𝟓+
𝟑+ .
𝟑+
𝟓𝟓+ 𝟓𝟓+ 𝟑− 𝟓 𝟏𝟓 − 𝟓 + 𝟏𝟓 − = = = 𝟑+ 𝟑+ 𝟑− 𝟐𝟏 𝟑𝟐 + =𝟐+ )نعوض في معادلة① ( =
𝟐=𝟓+
𝟑+
+ 𝟐+
+
=
𝟑+
******************************************************************
أمثلة أضافية محلولة مثال /أوجد الجذور التربٌعٌة للعدد المركب 𝟖𝟒 −𝟓𝟓 −ثم أســــتخدم الناته فً أٌجاد الحل للمعادلة التربٌعٌة 𝟐 𝟐+ 𝟏+ التالٌة 𝟎 = + 𝟏𝟑 𝟏 + + و نفرض أن الجذر التربٌعً للعدد 𝟖𝟒 −𝟓𝟓 − تربيع الطرفين
𝟐 𝟖𝟒 + = −𝟓𝟓 − ⇒ + 𝟖𝟒 = −𝟓𝟓 − 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐+ + 𝟖𝟒 = −𝟓𝟓 − − 𝟐 + 𝟖𝟒 = −𝟓𝟓 − 𝟐 𝟓𝟓− 𝟐 = − معادلة① 𝟖𝟒− 𝟒𝟐− 𝟐 𝟖𝟒= − = = معادلة② نعوض في معادلة① 𝟐 )نضرب 𝟐 ( 𝟔𝟕𝟓 𝟐 𝟒 − 𝟓𝟓= − ⇒ 𝟐 𝟓𝟓𝟓𝟕𝟔 − 𝟒 = − 𝟎 = 𝟔𝟕𝟓 − 𝟓𝟓 𝟐 − 𝟐
𝟎= 𝟗+ 𝟒𝟔 = 𝟖 = نعوض في معادلة② 𝟒𝟐−𝟐𝟒 − = = 𝟑 = 𝟖 𝟐 𝟐 𝟎=𝟗+ 𝟗= − يهمل
𝟐
𝟒𝟔 −
𝟐
𝟐
الجذران هما
األن نحل المعادلة 𝟎 =
+ 𝟏𝟑 𝟏 +
𝟐+ 𝟏+
𝟖𝟑−𝟖 , −𝟑+ 𝟐
بأستخدام قانون الدستور حٌث = 𝟏𝟑 𝟏 +
𝟑𝟏 𝟏 + 𝟐 𝟐 − 𝟒 𝟏 𝟏𝟑 + 𝟏 𝟐 𝟐𝟓 𝟏 + 𝟒 − 𝟒 − 𝟓𝟐 + 𝟐
𝟐− 𝟏+
=
29
,
𝟐− 𝟏+
𝟐𝟓 − 𝟓𝟐 +
𝟐
𝟐= 𝟏+ =
𝟒𝟏+𝟒 + 𝟏 𝟐
𝟒−
𝟐
=𝟏 , −
𝟐 𝟐− 𝟏+
=
=
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة 𝟖𝟒 −𝟓𝟓 −
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐𝟓 𝟏 + 𝟒 − 𝟒 − 𝟓𝟐 − 𝟐− 𝟏+ = 𝟐
𝟐
𝟐− 𝟏+
=
األن نعوض الجذور التً قمنا بحسابها سابقا للعدد 𝟖𝟒 −𝟓𝟓 − 𝟐− 𝟏+
𝟖𝟑− 𝟐 𝟑 = −𝟐 +
𝟏
𝟖 −𝟏 − 𝟐 − 𝟑 + 𝟔 −𝟒 + = 𝟐 𝟐
=
𝟖 −𝟏 − 𝟐 − 𝟑 − 𝟐
=
𝟏
𝟓= 𝟏−
𝟐
𝟖 −𝟏 − 𝟐 + 𝟑 − 𝟎𝟏 𝟐 − = 𝟐 𝟐
=
𝟖 −𝟏 − 𝟐 + 𝟑 − 𝟐
=
𝟐
مجموعة الحل ً } 𝟓 , 𝟏 −
𝟑 {−𝟐 +
مثال /كون المعادلة التربٌعٌة التً جذر ا
=𝟑+
𝟎𝟏
, 𝟑−
𝟑−
𝟑+ 𝟏𝟎 𝟑 + 𝟏𝟎 𝟑 + 𝟐 = = 𝟐 𝟑+ 𝟏𝟑 + 𝟎𝟏
𝟐
مجموع الجذرين حاصل ضرب الجذرين
𝟔=
𝟎𝟏 𝟎𝟏 = 𝟑− 𝟑−
=
مثال /جد الجذور التكعٌبٌة للعدد المركب 𝟎=
𝟖−
,
𝟐
𝟏 = 𝟑 + 𝟑 + −𝟏 +
𝟎𝟏 = 𝟏 = 𝟗 +
𝟐
=𝟑−
+ 𝟑+ . 𝟑+
𝟑−
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( −
𝟐
𝟎 = 𝟎𝟏 − 𝟔 +
𝟐
𝟖−
𝟑
𝟎=
𝟎= 𝟒−
𝟐+
𝟐
𝟖−
𝟐
𝟑
𝟐−
𝟎= 𝟖+ =
𝟐
𝟒+ 𝟐=
𝟐+
𝟑
𝟐
𝟏
𝟐− 𝟎= 𝟐−
) بالدستور(
𝟒= −
𝟏
𝟑−
=𝟗+𝟑 −𝟑 −
المعادلة التربيعية
𝟑
=
𝟐= 𝟔𝟏 −𝟒 + 𝟐
⇒
𝟏= 𝟐
𝟒− 𝟒 𝟏 − 𝟐− = 𝟏 𝟐 𝟑
∴ مجموعة الحل هي }𝟑 {𝟐 , − + 𝟑 , − −
30
=−
𝟒
𝟎=𝟒− 𝟐−
𝟑 𝟐
= 𝟐−
𝟐
𝟐+ 𝟒−
=
𝟖= −
𝟑
𝟖−
𝟑
𝟑
𝟐
𝟐
− 𝟐
=
𝟐−
𝟐𝟏 𝟐
=
=
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مثال /جد الجذور التكعٌبٌة للعدد المركب 𝟖 𝟎= 𝟒+𝟐 +
𝟐
=𝟖−
𝟐−
𝟑
𝟎=𝟖− 𝟐=
𝟑
𝟖=
𝟎=𝟐−
) بالدستور(
𝟒=
𝟏=
𝟐= 𝟔𝟏 𝟒 − 𝟐 𝟑
∴ مجموعة الحل هي } 𝟑 , −𝟏 −
⇒
𝟐−
𝟑 𝟐
𝟏= −
𝟐
𝟐−
=
𝟐
𝟐−
𝟐𝟏
𝟒−
=
𝟐
𝟐− 𝟐
𝟐
−
𝟐𝟏−
=
𝟐− 𝟐
=
=
𝟑 {𝟐 , −𝟏 +
مثال /أوجد مجموعة الحل للمعادلة التالٌة
𝟎= 𝟐−𝟐 −
𝟐
) نقسم المعادلة على 𝟒
𝟎=𝟐−
𝟐
𝟎=𝟒+𝟐 +
𝟒 𝟏 𝟒𝟒− 𝟏 𝟐
=
𝟑
𝟑
𝟐−
𝟐
𝟐
𝟎=𝟐−
(
−
𝟎= 𝟐−𝟐 −
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
−
𝟐
𝟎=𝟐−
𝟐+
𝟐
𝟐
−
𝟎=
−
) تحل بالدستور(
𝟐=
𝟐= −
⇒
𝟏=
𝟐𝟐 𝟐 − 𝟒 𝟏 − 𝟐− = 𝟏 𝟐
𝟖 −𝟒 + 𝟐
𝟏
𝟐−
𝟒−
=
𝟐
𝟐
=−
𝟐− 𝟐
𝟒
=
𝟐− 𝟐
=
=
∴ مجموعة الحل هي }𝟏 {− + 𝟏 , − −
مثال /أوجد مجموعة الحل للمعادلة التالٌة 𝟎 = 𝟒 +
𝟒−
𝟐
) تحل بالدستور(
𝟒= −
𝟒=
𝟏=
𝟒 𝟏 𝟒−
𝟏− 𝟒
𝟒 𝟐
𝟐
𝟐
=
𝟐
⇒ 𝟒− 𝟏 𝟐
𝟔𝟏 𝟐 𝟐
𝟎=𝟒+ 𝟒− −
𝟒
𝟔𝟏 𝟐
= 𝟒
𝟔𝟏 − 𝟐
=
𝟐
=
𝟒 −
𝟒−
𝟐
𝟐 𝟔𝟏 𝟐
𝟒
𝟏𝟔 − 𝟐
𝟒 𝟐
∴ مجموعة الحل هي }
𝟐−
𝟐 ,
𝟐+
31
𝟐{
−
𝟐
=
= =
𝟐=
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
مثال /أوجد قٌمة كل من x , yمن المعادلة التالٌة
𝟎 = 𝟓𝟏 +
𝟖𝟖− 𝟏+
−
𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
+
𝟖𝟖− 𝟖𝟖− 𝟐 𝟎 = 𝟓𝟏 + 𝟐+ =𝟐 𝟐 + 𝟓𝟏 − 𝟏+ 𝟏+ 𝟖𝟖− 𝟏− 𝟐 𝟐− 𝟐 + (= 𝟓𝟏 ) − 𝟏+ 𝟏− 𝟐 𝟖𝟖−𝟖 −𝟖 + 𝟐 𝟐− 𝟐 + =. 𝟓𝟏 / − 𝟐𝟏 𝟏𝟐 + 𝟔𝟏− 𝟐 𝟐 𝟐− 𝟐 + (= 𝟓𝟏 ) − 𝟐− 𝟐 + 𝟓𝟏 = −𝟖 − 𝟐 𝟐 𝟓𝟏− 𝟐 = − معادلة① 𝟖− 𝟒− 𝟖𝟐 = − = = معادلة② نعوض في معادلة① 𝟐 −
𝟐
𝟓𝟏= −
𝟒
)نضرب
𝟐
𝟏𝟔 −
(
⇒
𝟓𝟏= −
𝟎= 𝟏+ نعوضها في معادلة②
𝟒
𝟐
𝟐
=
𝟔𝟏 − 𝟔𝟏 =
𝟐
مثال /أوجد قٌمة كل من x , yمن المعادلة التالٌة 𝟐𝟑− ) 𝟐𝟑−
𝟐𝟑+
𝟐 𝟑𝟔 − (= 𝟐𝟑+
𝟖𝟕 𝟏𝟎𝟒 − 𝟖𝟕 𝟏𝟎𝟒 − (=) ) 𝟒𝟗+ 𝟑𝟏 معادلة① نعوض في معادلة① 𝟐
𝟖=
𝟐 𝟐
𝟖=
−
𝟑−
)نضرب
𝟗−
𝟐
𝟖=
=
𝟐
𝟗+ 𝟏=
𝟑 تهمل
32
=.
𝟐+
𝟐
−
𝟔=𝟖−
𝟐+
𝟐
−
𝟐
𝟗= −
− 𝟐
𝟔= −
𝟖=
𝟐
𝟐
𝟎 = 𝟏− =
𝟑−
𝟐
=
𝟎=𝟗+
𝟐
𝟐
𝟐 𝟑− ( ) −
𝟎=𝟗−
𝟑− 𝟏 𝟐
=
𝟗
𝟐
=
=
𝟐
+ 𝟐
𝟔− 𝟐
(
𝟎= 𝟏− نعوضها في معادلة②
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟑𝟔 − 𝟐𝟑+
=
⇒
𝟏
𝟐
+
𝟎=𝟏+
𝟒 𝟏𝟎𝟖 − 𝟕𝟐 − 𝟔 + 𝟐𝟐 𝟑 𝟐 +
(=/ 𝟐
𝟎 = 𝟔𝟏 − 𝟒−𝟒 − = = 𝟒
𝟏= −
𝟐+
𝟐
𝟓𝟏 −
𝟒
𝟐
𝟐
+ 𝟐
معادلة② 𝟒
=
𝟎 = 𝟔𝟏 −
=
تهمل
𝟐 𝟒− ( ) −
𝟐
𝟓𝟏= −
𝟐 𝟐
𝟏
𝟐𝟑𝟔−
−
𝟔𝟏
𝟐
+
𝟐
𝟖+
𝟒
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
مثال /كون المعادلة التربٌعٌة التً معامالتها حقٌقٌة وأحد جذرا ا الجذر األول
𝟐−
𝟐 𝟐= 𝟐−𝟐 𝟐 −𝟏 =𝟏−
معامالت المعادلة حقٌقٌة لذا فأن الجذر األخر و المرافق مجموع الجذرين
𝟐
𝟐=
حاصل ضرب الجذرين 𝟗 = 𝟖 = 𝟏 +
𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐
−𝟐 𝟐 +
𝟐
𝟐
=
𝟐
𝟐−
𝟐 𝟐𝟏+
𝟐 𝟐 = 𝟏 + 𝟏 + −𝟐 𝟐 + 𝟐 𝟐 =𝟏+𝟐 𝟐 −𝟐 𝟐 −
𝟐 𝟐+ 𝟏+ 𝟐 𝟐. 𝟏+
𝟐 𝟐𝟏− 𝟐 𝟐𝟏−
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( −
𝟐
𝟎=𝟗−𝟐 +
𝟐
المعادلة التربيعية
******************************************************************
جد الجذور التكعٌبٌة لؤلعداد التالٌة
𝟕𝟐−𝟔𝟒 , 𝟔𝟒 , 𝟏𝟐𝟓 , −
ثم جد الجذر التربٌعً للعدد
𝟒𝟔
التمثٌل الهندسً لؤلعداد المركبة بالمحور − حٌث ٌسمى المحور , ٌمكن تمثٌله ندسٌا ا بالنقطة + العدد المركب فٌسمى المحور التخٌلً و و ٌمثل − الحقٌقً و و ٌمثل الجزء الحقٌقً للعدد المركب ,أما المحور الجزء التخٌلً للعدد المركب ,وٌمكن تمثٌل بعض العملٌات التً تجري على األعداد المركبة تمثٌالا ندسٌا ا وتسمى األشكال الناتجة بأشكال أرجاند وٌسمى المستوي الذي ٌحتوٌها بالمستوي المركب .
33
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
أذا كان 𝟐, 𝟐
𝟏 𝟐
+ فأن : 𝟏
=
𝟏
,
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟐
+
=
𝟐
عددان مركبان ممثالن بالنقطتٌن
𝟐
𝟐
وٌمكن تمثٌل 𝟐 + وكما موضح بالشكل :
𝟏
بالنقطة
𝟐
+
𝟏
,
𝟐
+
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟏
𝟑
+
𝟏
+
𝟐
+
,
𝟏
=
𝟏
𝟐
مثال ( / )19مثل العملٌات األتٌة ندسٌا ا فً شكل أرجاند : 𝟐+ 𝟓+ 𝟒 𝟑, 𝟐 𝟓,
𝟑
𝟏 𝟐
𝟐= 𝟑+𝟒 + 𝟓+ 𝟔= 𝟑 = 𝟖+
𝟐𝟔, − 𝟓 −𝟐,
𝟏 𝟐
𝟒𝟑+
𝟒=𝟑+ 𝟐=𝟓+
𝟓− 𝟐−
𝟐 𝟐
𝟏 𝟐
+ 𝟏+ 𝟏
𝟐𝟔−
𝟐=𝟔− 𝟓=𝟐−
𝟏 𝟐
𝟓 + − 𝟐 = 𝟔 − 𝟐 + −𝟐 + 𝟑𝟏+ 𝟐 = 𝟑 = 𝟒+ 𝟑𝟑 = 𝟒+ 𝟑 𝟑 𝟒, 𝟏
34
𝟏
+
𝟏
وذلك بأستخدام المعلومات المتعلقة بالمتجهات
أي أن ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑𝟏 + ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑𝟐 = ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑𝟑 :
𝟔 𝟖,
𝟏
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
تمارين − 3 س / 1أكتب النظٌر الجمعً لكل من االعداد األتٌة ثم مثل ذه االعداد ونظائر ا الجمعٌة على شكل أرجاند . =
𝟒
,
=𝟏−
تمثٌله البٌانً
𝟑
,
𝟑 = −𝟏 +
نظٌره الجمعً
العدد
𝟑 𝟏 = −𝟐 − 𝟑 𝟏 = −𝟐 , −
− −
𝟑𝟏 =𝟐+ 𝟑𝟏 = 𝟐 ,
𝟐
− −
𝟐
𝟑 = −𝟏 + 𝟑 𝟐 = −𝟏 ,
𝟑
− −
𝟑
=𝟏− 𝟏𝟑 = 𝟏 , −
𝟒
− −
= 𝟏𝟒 = 𝟎 ,
𝟑=𝟏− 𝟑 𝟐 = 𝟏 ,−
= −𝟏 + 𝟏 𝟑 = −𝟏 ,
=− 𝟏𝟒 = 𝟎 , −
35
𝟐
,
𝟑=𝟐+
𝟏
𝟒
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
س / 2أكتب العدد المرافق لكل من االعداد التالٌة ثم مثل األعداد ومرافقاتها على شكل أرجاند 𝟐= −
𝟒
,
=𝟏−
تمثٌله البٌانً
𝟑
,
𝟐 = −𝟑 +
𝟐
مرافق العدد
36
,
𝟑=𝟓+
𝟏
العدد
𝟑 ̅𝟏 = 𝟓 − 𝟑 ̅𝟏 = 𝟓 , − 𝟏
𝟏
𝟑=𝟓+ 𝟏 𝟑𝟏 = 𝟓 ,
𝟐 ̅ 𝟐 = −𝟑 − 𝟐 ̅ 𝟐 = −𝟑 , − 𝟐
𝟐
𝟐 = −𝟑 + 𝟐 𝟐 𝟐 = −𝟑 ,
̅𝟑 = 𝟏 + 𝟏 ̅𝟑 = 𝟏 , 𝟑
𝟑
=𝟏− 𝟑 𝟏𝟑 = 𝟏 , −
𝟐 = 𝟒̅ 𝟐 ̅𝟒 = 𝟎 , 𝟒
𝟐= − 𝟐𝟒 = 𝟎 , −
𝟒
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
س / 3أذا كان
𝟐= 𝟒+
س / 4أذا كان
𝟐=𝟒−
أعداد /األستاذ علً حمٌد
فوضح على شكل أرجاند كآل من
,−
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
,
= 4,2 = 4 , −2 − = −4 , −2
𝟏
=𝟏+𝟐 ,
𝟐
=4+2 =4−2 − = −4 − 2
فوضح على شكل أرجاند كآل من : +
𝟐
−3
= −3 , −6
= 8 , −4
𝟏
,
𝟐
−
𝟏
= −3 − 6 2
,
𝟏
+2
=8−4
𝟐 ,
𝟑−
𝟐
−3
= −3 = 2 4−2
= 3−4
= 4 − + −2 − 2 = 3, −4
+2
= 4−2 − = = 3−4
− −
= 5+ i
= 4 + + −2 + 2 = 5,
= 4−2 + +2 = = 5+ i
+ +
37
2
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الصورة القطبٌة 𝒎𝒓𝒐𝑭 𝒓𝒂𝒍𝒐𝑷 للعدد المركب ارا كان
,
+
=
فان
=
=
انجسء انحقٍقً نهعذد انمركب حقٍقً غٍر سانب وٌسمى = أو ٌكتب
حٍث
و
=
=
انجسء انتخٍهً نهعذد انمركب )
( مقٍاش انعذد انمركب وهو عذد
𝟐[ 𝟎 ,
وٌمكه انقول أن
‖ ‖=
+
= 𝟐
مثال ( / )20اذا كان 𝟑 = 𝟏 +
فجد المقٌاس والقٌمة األساسٌة لسعة 𝟐= 𝟑= 𝟏+
الربع األول
=
وٌرمس نه بانرمس ‖ ‖ و تسمى ( 𝜃 ) سعة انعذد انمركب وتكتب
+
𝟑
حٍث أن
𝟑 𝟐
=
=
‖ ‖
=
𝟐
+
=‖ ‖=
‖
‖= =
‖
‖= =
. 𝟐
+
𝟐
=‖ ‖= 𝟏 𝟐
=
=
‖ ‖
=
=
𝟑
مثال ( / )21اذا كان
= −𝟏 −
فجد المقٌاس والقٌمة األساسٌة للعدد 𝟐 = 𝟏= 𝟏+
الربع الثالث
𝟒
=
𝟏− 𝟐
=
‖ ‖
=
=
=
. 𝟐
+
𝟐
=‖ ‖= 𝟏− 𝟐
=
𝟓 𝟒
38
=
‖ ‖
=
𝟒
=
+
= =
=
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مثال ( / )22عبر عن كل من االعداد التالٌة بالصٌغة القطبٌة : وزاري / 2013د1
وزاري / 2012د2
𝟐−𝟐+ 𝟐 = −𝟐 +
𝟐𝟐 𝟑− 𝟐= 𝟐 𝟑− 𝟒 = 𝟏𝟐 +
𝟑 𝟐
𝟏− 𝟐
𝟐
= =
+
𝟐
𝟑 𝟐 𝟒 𝟐−
𝟏𝟏 𝟔
𝟒 =
𝟏𝟏 ) 𝟔
𝟒= 𝟒+
= =‖ ‖= 𝟒 = 𝟔𝟏 =
= =
𝟔
‖ ‖ ‖ ‖
=
=
=
=
𝟏− 𝟐
𝟏
=𝟐 − 𝟏𝟏 + 𝟔
( 𝟒=
𝟐−
=
𝟐 𝟐
𝟐
=
𝟐 =
𝟐
+
𝟐
𝟐 𝟐 𝟑 𝟒
= =‖ ‖= 𝟐 𝟐=𝟖 =
= =
=
𝟑 ) 𝟒
‖ ‖ ‖ ‖
𝟒
−
= =
= =
=
𝟑 + 𝟒
= ( 𝟐 𝟐=
مثال ( / )23عبر عن كل من االعداد التالٌة بالصٌغة القطبٌة : −
𝟏 − 𝟎 +
𝟎
𝟏= 𝟎𝟏=𝟏+
+ )
𝟏 = 𝟎 − 𝟏 = −𝟏 + +
𝟐
𝟑 ) 𝟐
𝟏
( 𝟏= =𝟎+
𝟐
𝟑 + 𝟐
( 𝟏 = − = 𝟎−
مالحظة من خالل المثال ( )23السابق نستنته طرٌقة ٌمكن تطبٌقها على األعداد المركبة وكما ٌلً : 𝟎
𝟎 + )
𝟐
+ 𝟑 + 𝟐
𝟑 ) 𝟐
39
𝟑= +
𝟐=
𝟐
𝟎𝟑= 𝟑 𝟏 =𝟑 𝟏+ (𝟓 =
𝟓 = 𝟓 𝟎+
𝟎 −𝟐 = 𝟐 −𝟏 = 𝟐 −𝟏 +
(𝟕 =
=𝟕 𝟎−
−𝟕 = 𝟕 −
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مبر نة دٌموافر 𝒎𝒆𝒓𝒐𝒆𝒉𝑻 𝒔 𝑫𝒆 𝑴𝒐𝒊𝒗𝒓𝒆′ لكل لكل
−
,
فأن
+
=
+
=
,
فأن
−
=
−
=
𝟏−
= 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑,
, 𝟒
𝟑
مثال ( / )24أحسب )
𝟖
𝟑 )=𝟎− 𝟐 مثال ( / )25بين لكل ]
−
𝟐𝟏 (=) 𝟖
(
+
فأن
, [=
+
)+
(
(
𝟖
𝟑 𝟐
+
))
𝟑
+
𝟐+
𝟐+
(
𝟏 ) (
=
+ −
وبجعل
−
=
= ]
=−
−
=
−
−
+
+
= الطرف األيسر −
[= [=
+ +
=
−
مالحظة القوانٌن التالٌة مهمة فً عملٌات التبسٌط :
مثال ( / )26أحسب بأستخدام مبر نة دٌموافر
𝟏𝟏
. 𝟏+
40
(
−
−
= ]
+ =
𝟐𝟏 𝟖
𝟒 𝟑 (= ) 𝟖
𝟑 𝟖
+
=
+
−
=
−
−
=
+
+
=
−
وزاري / 2013د2
وزاري / 2015د1
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة = 2
4
=
+
+
=
=
2
)) ( ( ) + i i 4 4 8 +3 8 +3 ( ( )+i i )) 4 4
=‖ ‖=
(
(
2
2
=
= ))
2
( ))+
( )+
2
= −32 + 32
] = 32 − +
( ( )) +
𝜃 𝜃+i i ( )+i i
4
2
+
− 2
2
(
4
(2 +
( )−
3 )/1 = 32 4
[ 2
=
2
3 3 )) ) + i i (2 + 4 4 2
+
=𝜃
=
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
‖ ‖
=
=
+
(
2
=
2 2
=
(* 2
= 32
(2 0
= 32
3 ( )) + . 4
(
=𝜃
=
( 2
=
مالحظة −
−
=
−
+
−
=
+
=
−
مثال ( / )27حل المعادلة 𝟎 = 𝟏 +
𝟑
𝟐 = 𝟎, 𝟏,
=
−
حٌث ℂ
بالجذر التكعيبي )
−
𝟐+ 𝟑
+
=
(
)+
𝟏 𝟑 = + 𝟐 𝟐
𝟑
𝟏= − 𝟐+ 𝟑
) ( 𝟑
𝟏= −𝟏 + 𝟎 = − 𝟏 𝟑 = − 𝟐 𝟐
(
𝟏 𝟑 , −𝟏 , + مجموعة الحل للمعادلة هي 3 𝟐 𝟐
مثال ( / )28أوجد الصٌغة القطبٌة للمقدار :
(
𝟏 𝟑
( )+ 𝟑 +
𝟓 ) 𝟑
𝟐
=
𝟑
𝟑+
41
𝟎=𝟏+
𝟓 )+ 𝟑
(
𝟏 𝟑 2 + 𝟐 𝟐
ثم جد الجذور الخمسة له .
+
=
=
𝟎=
=
𝟏=
=
𝟑
𝟐=
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة 𝟐=𝟏= 𝟑+
𝟔 )
𝟑
+
𝟑
(𝟒 =
75
𝟐
+ 𝟏 𝟐
=
𝟐
=‖ ‖=
=
𝟐
𝟔
𝟐( )+ 𝟑 7+i i 6 𝟓
𝟔
𝟐( )+ 𝟑 6 𝟓
])
𝟓 𝟑
𝟓 + 𝟑
𝟒
= )
4
𝟔+ 𝟑
+
𝟑
5+
(
+
𝟔
𝟏 𝟓
‖ ‖
𝟔
𝟏 ) ( ( 𝟓𝟒
𝟑
𝟔+ 𝟑 𝟓
4
46
𝟔+ 𝟓𝟏
(
[𝟒
)+ 𝟓
=
𝟕 + 𝟓𝟏
𝟒
𝟓
=
𝟐
𝟏=
𝟑𝟏 𝟓𝟏
𝟑𝟏 + 𝟓𝟏
𝟒
𝟓
=
𝟑
𝟐=
𝟗𝟏 𝟓𝟏
𝟗𝟏 + 𝟓𝟏
𝟒
𝟓
=
𝟒
𝟑=
𝟓𝟐 𝟓𝟏
𝟓𝟐 + 𝟓𝟏
𝟒
42
+
𝟓𝟏
𝟒
𝟓
=
𝟓
=
(𝟐 =
𝟏
𝟕 𝟓𝟏
𝟓
)
=
=
𝟎=
𝟓𝟏
=
𝟐
44
𝟔+ 𝟑 𝟓
57
𝟒 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑,
=
=
𝟐
)
+
= 𝟑+ 𝟑 𝟐
( 𝟐𝟐 =
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟒=
=
𝟏 𝟓 𝟐
=
𝟓
=
𝟐
𝟓
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
تمارين − 4 س / 1أحسب ما ٌلً : 𝟒
( − )+ 𝟔
𝟓 *=] 𝟔
( − )+ 𝟔
( 𝟔 )+
+
(𝟔) −
𝟎𝟐 [=] 𝟒𝟐
𝟓 𝟔
* ( 𝟔 )+ +
𝟎𝟐 𝟒𝟐
+
𝟏 𝟑 − + 𝟐 𝟐
+
=−
𝟔
𝟑− 𝟕 ] 𝟐𝟏
𝟕 ] 𝟒
−
𝟕− [=] 𝟒
𝟕 𝟒
+
𝟕− 𝟒
+
(𝟐 − )+ 𝟐
( 𝟒 )+
𝟏 𝟐
+
* ( 𝟒 )+ −
𝟏
(𝟐 − ) − (𝟒) +
𝟐
*=
( )+
𝟐
=
𝟒
𝟐
=) (
𝟐
𝟒
𝟐
+
𝟕 𝟐𝟏
[ *=
𝟒
(𝟒) −
𝟕 𝟐𝟏
[
𝟑− 𝟕 [= ] 𝟐𝟏
𝟏𝟐− 𝟐𝟏
+
𝟐
[
* =
𝟔
𝟏𝟐− [=] 𝟐𝟏
+
𝟓 𝟒𝟐
𝟒 𝟓 [= ] 𝟒𝟐
(𝟔) +
=
𝟓 ] 𝟒𝟐
+
𝟓 𝟒𝟐
[
𝟒
س / 2أحسب بأستخدام مبر نة دٌموافر (أو التعمٌم ) ما ٌأتً : وزاري / 2012د1 𝟕 𝟏− = 2 7 4
الربع الرابع
=
4
=2 −
+
=
+ −
,
2
7 7 +i i ) 4 4 ( + 2 ) + i i ( + 2 )+ 4 4 )+
2
) (4 i ( )+ 4
+
2
( )+ 4
=‖ ‖=
=
( 2
*
=𝜃 2 2
=
=
2
𝜃 𝜃+i i
) ) + ( i (4 )+ = 8
2
) ( )+ ( i
−
4
= 8+8
) (4
2
+
2
‖ ‖
=
49 49 +i i =) 4 4
2
43
= ,
) (4
* 2
−
( (*
) (
]=8 2
4
+
𝟕
=
= =𝜃
= 𝟏− 2
=
2 2
=
(* 2
=8
[ 2
=8
2
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
وزاري / 2014د2 𝟗−
=2 الربع األول
6
= 3+
=‖ ‖=
+
=
2
−
=
𝟑+ = 𝟑+
= 𝟑 2
=𝜃
𝟗−
س / 3بسط ما ٌأتً :
5 2
وزاري / 2013د2
𝟑 𝟎𝟏
=
+
+ +
𝟗
=
𝟒
] 𝜃 i
[
𝜃 𝜃i 4
𝜃 i
4𝜃 +
𝜃+ =
𝜃 i
𝜃−
= ] 𝜃 i
𝜃−
𝜃 i
= ] 𝜃 i
𝜃+
س / 4باستخدام مبر نة دٌموافر جد الجذور التربٌعٌة للعدد المركب =
+3 = 4=2 2 = − الربع الثاني 3 3 ) ( 2 2 ( =2 )) ( ( ) + i i 3 3 2 +6 2 +6 3 3 4 5+i i 4 57 2 2 ) (
) (
−
𝜃 i
=
) (
𝜃 𝜃+i i 57 = 2 6 ])
𝟏 = 𝟎,
𝟐 𝟑
𝟑
𝜃
+
𝟐 + 𝟑 +
𝜃 i
𝜃+
=
𝜃 i
𝜃+
=
[ 𝜃 i
𝜃+
=
=
) (
=− + 3
= 𝟏− 2
,
=
‖ ‖
=
=𝜃
= √− + 3 = − + 3
2 +2 5+i i 4 3 2
2 +2 43 2
= 26
2 +6 ( )+i i 6
2 +6 ( 6
[= 2
2 2 𝟏 𝟑 𝟏 𝟑 )+ ( ( )] = 2 + ) = 2. + + =/ 6 6 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 2 2 8 8 𝟒 𝟒 ( )+ ( ( )] = 2 + *𝟐 = ) ( + )+ ( + )+ 6 6 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 ( )− * ( )] + ( )+ ( )+ 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 𝟏− 𝟑 𝟏− 𝟑 ( )− ( )] = 2 . − − =/ 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 2 2
−
+
[
(
44
𝟓
𝜃+ 𝜃+
5 2
=
𝟑 −𝟏 +
=‖ ‖= 3 = =𝜃 2
+
𝟐 𝟑
𝟖
𝜃 i
2
𝟐 + 𝟑 +
[ = [
+ +
𝟑] 𝟑
(
=
−
=] [ − −
𝟓
𝟓] 𝟐
𝟑+
=
−
‖ ‖
= − ( 𝜃+i i 𝜃 − =2− +i i ) 6 6 −9 −9 −3 −3 ( ( )+i i = )) ( ( ( )+i i = )) ( 6 6 5 2 2 2 5 2
3 3 −i i ) 2 2
−
=
=
=𝜃
[= 2 [= 2 [= 2 = 2[−
𝟎= 𝟏=
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
س / 5باستخدام مبر نة دٌموافر جد الجذور التكعٌبٌة للعدد المركب 𝟕𝟐 = الربع االول 𝟏 ) ( 𝟑
)
𝟐 +
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
=𝟐 + 𝟕𝟐 = 𝟏= 𝟕𝟐
𝟕𝟐
= 𝟏 ) ( ( 𝟑
𝟐 = 𝟎, 𝟏,
=‖ ‖= =
𝟐+
55
𝟑
𝟑 𝟏 𝟑 𝟑 𝟑 = ( )] = 𝟑 0 + 1 + 6 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 5 * 𝟑 = ]) ( ( − )+ ( − )+ 6 6 6 𝟏 𝟑 − 𝟑 𝟑 𝟑− ( )+ = 𝟑 0 =+ 1 + 6 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑= −
3 ( )] = 𝟎 + 𝟑 − 2
س / 6جد الجذور األربعة للعدد
3 )+ 2
9 [ 𝟑 = ]) 6
(
= ,
+
𝟏 ) ( 𝟑
𝟐4
5+
( )+ 6 5 ( )+ 6 ( )+ 6
=
𝟎 𝟎= 𝟔𝟏 𝟏 ) ( 𝟒
+
𝟔𝟏 =
=
=4 𝟐 ] = 𝟐+
𝟏 𝟐
=
𝟏 ) ( 𝟒
,
𝟑
))
+2
𝟏 ( )] = 𝟐 [ + 4 𝟐
]) ( 𝟒
( )+ 𝟒
( − )] = 𝟐[− 𝟒
( − )+ 𝟒
]) ( 𝟒
( )− 𝟒
( + )] = 𝟐[− 𝟒
( + )+ 𝟒
𝟑 [𝟐 = ]) 𝟒
𝟓 [𝟐 = ]) 𝟒
[= 3 [= 3
𝟏=
]) (𝟐 − 𝟒
𝟕 [𝟐 = ]) 𝟒
(𝟐 − ) + 𝟒 𝟏
𝟐 ] = 𝟐− 𝟐
𝟏 ( )] = 𝟐 [ − 𝟒 𝟐
45
𝟑
=
𝟑
=
𝟑
𝟑
𝟐=
[= 3
𝟔𝟏= −
𝟔𝟏− 𝟏= − 𝟔𝟏 =
𝟏 ) ( 𝟒
𝟐
𝟐
(
[= 2
+
[𝟐 = 𝟏− 𝟐
𝟓 ( )+ 𝟒 𝟏
‖ ‖
−
=
𝟏−
(6
𝟒
= =
𝟎=
𝟐
𝟏=
[𝟐 = [𝟐 =
𝟐
=
𝟔𝟏−𝟏𝟔 = −
𝟑 ( )+ 𝟒 𝟏
=
+2
( )+i i
𝟐 ] =− 𝟐− (
𝟐4
𝟐𝟕 4
=
𝟐 ] =− 𝟐+ (
𝟕𝟐 = 𝟕𝟐
𝟎=
( )+ 4 (
=
= 𝟑 *−
𝟏 ) ( 𝟒
+
𝟏 ) ( 𝟑
𝟐+
9 ( )+ 6
(
𝟕𝟐 =
𝟎 = = 𝟎= 𝟕𝟐 ‖ ‖
𝟔𝟏 −باستخدام مبر نة دٌموافر . = 𝟐 𝟐+ =‖ ‖= 𝟔𝟏 = 𝟐 𝟔𝟏 =
𝟏 ) ( 𝟒
𝟕𝟐
𝟏 ) ( 𝟑
𝟕𝟐 =
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟑
𝟐=
[𝟐 =
𝟕 ( )+ 𝟒
[𝟐 =
( )− 𝟒
[𝟐 =
𝟒
𝟑=
𝟒
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
س / 7جد الجذور الستة للعدد
أعداد /األستاذ علً حمٌد
−64بأستخدام مبر نة دٌموافر . = 64
64
3 2 )
3 ( 3 +i i ) 2 2
3 +4 ( )+i i 2
])
]
𝟏 𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
=
+
𝟒𝟔− =− 64
=
(
) (
= 64
3 +4 ( 2
𝟏 ( )+ = 𝟐 [ + 𝟒 𝟐
=‖ ‖=
) (
=
𝟎 = 64
,
) (
=
) (
3 * 𝟐 = ]) ( 2
=
‖ ‖
=𝜃
=
−64 = −64
3 +2 5+i i 4 2 6
[ 57 = 2
( )+ 𝟒
=
=𝜃
𝜃 𝜃+i i
= −64
3 +2 42 6
3 ( )+ 2
=
64 6
[= 2
=
𝟎=
𝟐 = 𝟐+ ]) ( + 𝟒 𝟑
𝟕 [𝟐 = ]) ( 𝟐𝟏
( + )+ 𝟒 𝟑
𝟕 ( )+ 𝟐𝟏
[𝟐 =
𝟏=
𝟐
(* 𝟐 =
) ( ( )− ) ( ( ( )) + ) ( ( )+ ) ( ( ))+ 𝟑 𝟒 𝟑 𝟒 𝟑 𝟒 𝟑 𝟒 𝟏 𝟏 𝟏 𝟑 𝟏 𝟑 𝟏 𝟏 𝟏 𝟑 𝟑 𝟏 = 𝟐 0. − + − + /+ . /1 = 𝟐 0. /+ . /1 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟑+ 𝟑 𝟏− + = /1 𝟐 𝟐 𝟐
𝟏𝟑+ 𝟐 ]) 𝟐𝟏 ( ))+ 𝟐𝟏
( −
( )− 𝟐𝟏 ( − )+ 𝟔 𝟒
( ))+ 𝟔
)+ 𝟐𝟏
𝟏𝟏 [𝟐 = ]) 𝟐𝟏
( −
( ( )) + 𝟐𝟏 ( − )+ 𝟔 𝟒
𝟏𝟏 ( )+ 𝟐𝟏
(
( )+ 𝟐𝟏 ( )+ = *− 𝟐𝟏
[𝟐 =
𝟑
𝟐=
(* 𝟐 =
( )+ 𝟐𝟏
= 𝟐 *−
) ( ( )+ ) ( ( ( )) + ) ( ( )− ) ( 𝟒 𝟔 𝟒 𝟔 𝟒 𝟔 𝟒 𝟑 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟑 𝟏 𝟏 𝟏− 𝟑− 𝟏𝟑− = 𝟐 0− . + − + 1 /+ . /1 = 𝟐 0 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏− 𝟑− 𝟏𝟑− = + 𝟐 𝟐
(
𝟓 )+ 𝟒
(
5 [ 𝟐 = ]) 2
5 )+ 2
(
]) ( + ( )+ 𝟒
( ( )) +
𝟐 ]= − 𝟐−
𝟏 𝟐
−
𝟐
46
𝟒
( )−
𝟒
𝟏−
(
( + )+
𝟒
𝟒
𝟐 𝟐
( = 𝟐 *−
𝟓 ]) 𝟒
( ))+
/+ .
𝟑 𝟏−
= 𝟐 0.
𝟒
[𝟐 = (* 𝟐 =
𝟒
[ 𝟐 = ( )+
[= 2
( )− 𝟒
= 𝟐 *−
𝟑=
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة 𝟓 ]) 𝟐𝟏 𝟓 ])) ( 𝟐𝟏
𝟓 )+ 𝟐𝟏
(𝟐 −
𝟓 )− 𝟐𝟏
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد
(
(𝟐 −
𝟓 ( ( )) + 𝟐𝟏
𝟐 ( + )+ 𝟔 𝟒
( ))+ 𝟔
( + )− 𝟔 𝟒
𝟐
𝟓
([ 𝟐 =
𝟓 ( )− 𝟐𝟏
[𝟐 =
) ( ( )− ) ( ( ( )) − ) ( ( )+ ) ( 𝟒 𝟔 𝟒 𝟔 𝟒 𝟔 𝟒 𝟑 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟑 𝟏 𝟏 𝟏𝟑− 𝟏𝟑+ = 𝟐 0. − + − 1 /− . /1 = 𝟐 0 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟑− 𝟏𝟑+ = − 𝟐 𝟐
𝟐
(𝟐 −
( )− 𝟐𝟏
)+ 𝟐𝟏 𝟐
𝟑𝟐 ( [𝟐 = ]) 𝟐𝟏
(𝟐 −
( ( )) + 𝟐𝟏
( − )+ 𝟔 𝟒 ( ))+ 𝟔
𝟓 ( )+ 𝟐 𝟐𝟏 𝟓 * = ]) ( 𝟐𝟏
[𝟐 =
𝟒=
(* 𝟐 =
]) 𝟐𝟏 ( ))+ 𝟐𝟏
𝟗𝟏 ( [𝟐 = ]) 𝟐𝟏
𝟗𝟏 ( )+ 𝟐𝟏
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐
( − )− 𝟔 𝟒
𝟑𝟐 ( )+ 𝟐𝟏
( )+ 𝟐𝟏
* = ( )+ 𝟐𝟏
[𝟐 =
𝟐
𝟓=
𝟔
(* 𝟐 = *𝟐 =
( )− 𝟐𝟏
(* 𝟐 =
) ( ( )+ ) ( ( ( )) − ) ( ( )− ) ( 𝟒 𝟔 𝟒 𝟔 𝟒 𝟔 𝟒 𝟑 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟑 𝟏 𝟏 𝟏𝟑+ 𝟏𝟑− = 𝟐 0. + − − 1 /− . /1 = 𝟐 0 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟑+ 𝟏𝟑− = − 𝟐 𝟐
******************************************************************
حلول التمارين العامة الخاصة بالفصل األول س / 1جد قٌمة
,
والتً تحقق : 𝟐
−2
𝟒𝟐 +
𝟐+
𝟒− 𝟐+
=
𝟐
=
وزاري / 2013د3
𝟏+
𝟏− = 𝟏−
𝟐
𝟒+ 𝟐+
𝟏+
−
𝟐+
𝟐
𝟐− 𝟐+
𝟐= نعوض في معادلة
𝟒=
=
− 𝟐𝟏𝟏𝟐 +
=𝟐 −4 −
⇒
𝟐=
47
=
𝟏+
−
= −4
−
𝟐=𝟒
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
س / 2أذا كان
𝟑 𝟏− 𝟑𝟏+ −
أعداد /األستاذ علً حمٌد
عددا ا مركبا ا ,جد بأستخدام مبر نة دٌموافر
= 𝟐
𝟑𝟏−𝟐 𝟑 + 𝟑𝟏+
𝟐
=
𝟑 𝟏−
𝟐
=
𝟏𝟐 +
𝟑
𝟏 𝟐
𝟑 𝟏−
𝟑 𝟏−
𝟑 𝟏−
𝟑 𝟏+
𝟏− 𝟑 − 𝟐 𝟐 𝟐
𝟑 − 𝟐
تقع في الربع الثالث
=
𝟑 𝟏− 𝟑𝟏 + −
=
. =
𝟏
,
=
=‖ ‖=
𝟏
)𝟐( 𝟒 ) 𝟑
( − )+ 3
2 =) 3
𝟏 =
𝟏 ) ( 𝟐
=
=
+
= ,
) ( − 3 ( 𝟑 )+
(𝟑) −
3
(𝟑 )+
(2 − ) +
3
2
* ( 𝟑 )] +
(𝟑) −
5 =/ 3 2
.
5 /+ 3 * ( 𝟑 )] +
𝟏 𝟑 ( )= − 𝟑 𝟐 𝟐
2 2
48
4 ( )+ 6
𝟒 +2 𝟑4 2 =
(𝟑) +
[=
𝟏 𝟐
( )− 𝟑
=
𝟏 𝟐
(
𝟒 +2 𝟑4 5+ 2 .
𝟎𝟏 /+ 6
𝟑
=
𝟏− 𝟑 =. − / 𝟐 𝟐
𝟏 𝟐
𝟎𝟏 =/ 6
.
=
𝟒 +2 𝟑 5+i i 4 2
4 =) 6
𝟏 𝟑 ( )= − + 𝟑 𝟐 𝟐 𝟒 𝟔𝟒 + +2 𝟑 𝟑 4 = ]5 4 5+ 2 2
𝟔𝟒 + 𝟑 4 5 2 ) (2 −
(
2 ( )+ 3
𝟏 ) ( 𝟐
𝟏 ) ( 𝟐
+
57
=
𝟏− 𝟏( 𝟐 ) − = = = ‖ ‖ 𝟏 𝟐 𝟒 𝟑
𝟒 + 𝟑
=
𝟐
𝟑 − 𝟐 /
𝟏 ) ( ( 𝟐
=
𝟑 𝟐 −𝟐 − 𝟒
𝟏− 𝟑 − 𝟑 𝟏 𝟐 + 𝟐 = √. / +. 𝟏= 𝟏 = / =√ + 𝟐 𝟐 𝟒 𝟒
=
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟎=
[=
𝟏 𝟐
=
𝟏 𝟐
.
=6
(𝟑) +
2
[=
𝟏 𝟐
( )− 𝟑
2
=
𝟏 𝟐
𝟏=
𝟏 𝟐
𝟏 𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
حلول األسئلة الوزارية الخاصة بالفصل األول سؤال وزاري /98د :1ضع
𝟐
𝟐+ 𝟑−
𝟐
𝟑 𝟏 +بالصٌغة العادٌة للعد المركب.
الحل/
+6 +9 +9− 2 +4 + 6 − 9 + 9 − 2 − 4 = −3 − 6
سؤال وزاري /99د :1جذ قٍمتً xو yانحقٍقٍتٍه إرا عهمت أن:
𝟎𝟎𝟐 𝟑𝟒+
=
𝟐
𝟐𝟑 +
−
انحم/
−
. 2
−
=
− 6 = 32
= −4
+4
=
+ 2
−4
= 32 − 24
+ 2
−4
9
⇒ = −24 9
2
.
⇒ = 32 +4
,
..
= 32
−4
−
9
) = 32
(− 4
=− 6
9
يهمـــل = −
−
=
2 = 2 −2
,
= 𝟑−
=
سؤال وزاري /2000د :1إرا كان:
𝟑=𝟐+
= −5 + 2
,جذ قٍمة
= = −5 + 2 + 6 − 2
𝟐
− 32 =+4
=4
9
9 9 9 9أما أو
=−4
𝟐 +
𝟐
=4+ 2 +9
=8−6
49
+ 2 9
+
= −2
=
+
−
انحم/
= المقدار =
=9−6 +
. = 2+3 = 3−
= −5 + 2 + 2 8 − 6
+2
โ ซุฃุนุฏุงุฏโ ช /โ ฌุงุฃู ุณุชุงุฐ ุนู ู ุญู ู ุฏโ ฌ
โ ซุงู ู ุตู ุงุฃู ู ู โ ช /โ ฌุงุฃู ุนู ู ู ู ุฏุงุฏ ุงู ู ุฑู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ุจุฉโ ฌ
โ ซ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ โ ฌ
โ ซุณุคุงู ู ุฒุงุฑู โ ช/2000โ ฌุฏโ ช :2โ ฌุฌุฐ ู ู ู ุฉ ู ู ู ู โ ช xโ ฌู โ ช yโ ฌุงู ุญู ู ู ู ุชู ู ุฅุฑุง ุนู ู ุชโ ช:โ ฌโ ฌ โ ซโ ช+ = 3โ ฌโ ฌ โ ซุงู ุญู โ ช/โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช= 3+โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ
โ ซโ ชโ โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช.. 2โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ
โ ซ=โ ฌ
โ ซ= โ ชโ 2โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช+3โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ โ ซ=โ ฌ
โ ซโ ช+ = 3โ ฌโ ฌ โ ซโ ชโ โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ
โ ซ=โ ช+2 + โ 3โ ฌโ ฌ โ ซ=โ ชโ 6โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช= โ 2โ ฌโ ฌ
โ ซุณุคุคุคุคุงู ู ุฒุงุฑู โ ช/2001โ ฌุฏโ ช :1โ ฌุถุคุคุคุคู ุงู ู ู ุคุคุคุคุฐุงุฑโ ฌ
โ ซ๐ โ ช๐ +โ ฌโ ฌ โ ซ๐ ๐ โ ช๐ +โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช,โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ
โ ซโ ชโ โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช= 3โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช= 3โ ฌโ ฌ โ ซโ โ ฌ
โ ซ=โ ช+2 โ 2โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช= โ 3โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช=2+โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช.โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช= โ 3 +โ ฌโ ฌ โ ซโ ช=3โ ฌโ ฌ
โ ซโ ชโ โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช2โ ฌโ ฌ
โ ซ=โ ช+3โ ฌโ ฌ โ ซ=โ ชโ 2โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช=2โ ฌโ ฌ
โ ซุจุงู ุตุคุคุคู ุงุฉ ุงู ุนุงุฏู ุคุคุคุคุฉ ู ู ุนุคุคุคุคุฐุฏ ุงู ู ุฑู ุคุคุคุคุจ ุงุคุคุคู ุฌุคุคุคุคุฐ ุงู ู ู ู ุคุคุคุคุงุด ู ุงู ู ู ู ุคุคุคุคุฉโ ฌ
โ ซุงุฃู ุณุงุณู ุฉ ู ู ุณุนุฉโ ช.โ ฌโ ฌ โ ซุงู ุญู โ ช/โ ฌโ ฌ โ ซโ ชโ 3โ ฌโ ฌ โ ซโ ชโ โ ฌโ ฌ
โ ซ=๐ โ ชiโ ฌโ ฌ
โ ซโ ชโ โ ฌโ ฌ
โ ซ=โ ฌ โ ซโ ช๐ = ,โ ฌโ ฌ
โ ซุณุคุคุคุคุงู ู ุฒุงุฑู โ ช/2002โ ฌุฏโ ช :1โ ฌุถุคุคุคู โ ฌ โ ซู ุจุงู ุตู ุงุฉ ุงู ุนุงุฏู ุฉ ุฃู ุงู โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซุงู ุญู โ ช/โ ฌโ ฌ
โ ซโ ชโ โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ
โ ซโ ชโ โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช4=2,โ ฌโ ฌ
โ ซ๐ ุชู ุน ู ู ุงู ุฑุจุน ุงู ุฑุงุจุนโ ฌ
โ ซโ ชโ ๐ +โ ฌโ ฌ
โ ซ=โ ฌ
โ ซโ ชโ โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ
โ ซโ ชโ โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ
โ ซ= โ ช+3โ ฌโ ฌ
โ ซ=โ ฌ
โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ
โ ซ=โ ฌ โ ซ= ุงู ู ู ู ุงุณโ ฌ
โ ซ= โ ช ๐ = 2 โ โ ฌุงู ู ู ู ุฉ ุงุฃู ุณุงุณู ุฉ ู ู ุณุนุฉโ ฌ
โ ซ๐ โ ช ๐ +โ ฌุจุงู ุตุคุคุคู ุงุฉ ุงู ุนุงุฏู ุคุคุคุฉ ู ู ุนุคุคุคุฐุฏ ุงู ู ุฑู ุคุคุคุจ ุงุคุคุคู ุฌุคุคุคุฐ ู ู ุคุคุคุฑ ุงู ุคุคุคุฑุจู โ ฌ โ ซโ ช= โ 8 โ โ ฌโ ฌ โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ
โ ซุงู ู ุนุงุฏู ุฉ ุงู ุชุฑุจู ุนู ุฉโ ฌ
โ ซโ ช= โ 6 + 3 โ 4 + 2โ ฌโ ฌ โ ซโ ชโ โ ฌโ ฌ
โ ซ=โ ฌ โ ซ=โ ฌ
โ ซโ ช50โ ฌโ ฌ
โ ซโ ชโ +โ ฌโ ฌ โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ
โ ซ=โ ฌ
โ ซโ ชโ +โ ฌโ ฌ โ ซโ ชโ +โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช+ 5+6โ ฌโ ฌ
โ ซโ ชโ โ โ ฌโ ฌ
โ ซโ ชโ 2 +โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช3+2โ ฌโ ฌ
โ ซ= ุงู ู ุธู ุฑ ุงู ุถุฑุจู โ ฌ
โ ซโ ชโ โ 3 โ 4โ ฌโ ฌ
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
عددا ا مركباا ,أكتب الشكل الجبري لهذا العدد ثم جد مقٌاسه والقٌمة
سؤال /2002د :2اذا كان 𝟏 = − 𝟑, األساسٌة لسعته.
الشكل الجبري
الحل/ −
=𝜃 , i
,المقياس = 4 = 2
=𝜃 5 6
𝜃 تقع في الربع الثاني
سؤال وزاري /2003د :1إذا كان 𝟐 = 𝟑 +
=
6
−
=− 3+ = 3+
= 𝜃 القيمة األسياسية للسعة
إثبت أن
+
=
=4+ =4−
−
= 3+2 +
+
= 3+2 + − =3−2 + + = 4−
+
=
+
= 𝟏− ,
الحل/
║
. +
+
سؤال وزاري /2003د :1جد النظٌر الضربً للعدد المركب 𝟓 𝟑 +ثم ضعه بالصورة العادٌة. الحل/
−
=
−
=
− +
=
− −
+
=
+
= النظير الضربي
سؤال وزاري /2003د :2إذا كان Zعددا ا مركبا ا مقٌاسه ( )2وسزعته ) ( جزد كزال مزن الشزكل الزدٌكارتً والجبزري 𝟑 لهذا العدد. الحل/
=
= = 3
=
= الشكل الجبري الشكل الديكارتي
51
=
=𝜃 =𝜃 i
i + 3 , 3
= =
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
سؤال وزاري /2004د :1جد الصٌغة العادٌة للعد المركب الحل/
+4−4 𝟑 +3
𝟐
+ 𝟐−
𝟑
=
−2 𝟑 +3
𝟐
𝟑
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
. 𝟏−
𝟑
𝟑
+ 2−
−
=5−6 𝟑 −3−3 𝟑 =− −6 سؤال وزاري /2005د :1جد ناته الحل/
𝟑 + 𝟒 𝟐 + 𝟓 − 𝟑 𝟏 +بالصٌغة الدٌكارتٌة. = 9 + 24 + 6 + 5 + 5 − 3 − 3المقدار = 9 − 6 + 5 + 3 + 24 + 5 − 3 = + 26 ,26 الصيغة الديكارتية
سؤال /2005د :2إذا كان 𝟐 = −𝟏 +
فجد 𝟓 + 𝟑 +
𝟐
بالصٌغة الدٌكارتٌة.
+3 − +2 +5 −3+6 +5=− +2 الصيغة الديكارتية
+3 +5= − +2 =
−4 +4
− ,2 𝟓
سؤال وزاري /2006د :1إذا كان zعددا مركبا ا مقٌاسه ( )4وسعته االساسٌة ) ( فجد كال من الشكل الدٌكارتً 𝟔 والشكل الجبري للعدد .z الحل/
= −2 3
2 = −4 3 =2
2 =4 الشكل الجبري الشكل الديكارتي
52
−
= =
= =
= −2 3 + 2 = −2 3, 2
i
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
سؤال وزاري /2006د :1جد قٌمتً xو yالحقٌقٌتٌن من المعادلة= 𝟐 + 𝟗 : الحل/
=2+9
2
−2 + 4 + =
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
. 𝟐 +
𝟐+
=2+9 =2
+2
=4
+
2
. 2 =−9 +2
+2=9
4
+4
2
−2=2
2
=9 .
⇒
4
4 + =9
= −2
2
=8
=
4
4
= 4
= 2 2
=
=
4 −
=
=2
4 +
4 −
أما
أو
=−2
سؤال وزاري /2006د :2جد قٌمتً xو yالحقٌقٌتٌن إذا علمت أن: =7 الحل/
+7
=
+7 −
..
=
+
=
+
2 +
−
−2
= −2
=+ 2
. 2 =−7 +4
+4=7
3
−
=
−
=
−
= −2
53
= −
=
6 6 6
3 −2 =7 .
⇒ =
=
+3
+ 2 + 3 −2 ⇒
3
3 −
−
3 − 2( ) = 7 −
3 −4
3 =4 =
=3 −4 =
−
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
سؤال وزاري /2007د :1جد الجذر التربٌعً للعدد 𝟒 .𝟑 + الحل/
بالتربيع
2
.. 2 =
+
=
=2
−4
⇒ =4 =−4
2
−3
,
2+ −2 −
+ =𝜃
=
𝟐
=
=𝜃 i
=4
= +
+
−
−
=
=𝜃
=
=−4
𝟏+
,
= −2 + 2 3 ,
.
⇒
4
−
(.
سؤال وزاري /2008د :1جد المقٌاس والقٌمة األساسٌة للسعة للعدد المركب
−
=3 =3
−
3+4 =,
,
الحل/
−
..
2 {= −2
سؤال وزاري /2007د :2جد المقٌاس والسعة األساسٌة للعدد المركب )
=𝜃 i
+2
= 3+4
−4=3
= =−
الحل/
+
= 3 + 4نفرض
=𝜃
𝟐
−
=
−
= 2
+
=
+
= المقياس
+
𝟑 . 𝟏+
+2 3 +3
+ 3
=
= = 4 + 2المقياس
6=4 ,
تقع في الربع الثاني
= −
=
سؤال وزاري /2008د :2جد قٌمتً xو yالحقٌقٌتٌن واللتان تحققان المعادلة
الحل/
+3
−
+5 = 2 = =4
54
+
+5 =2
+
5=3 =
+
+5 = 2 +
−
, =
+2 .
−
− =
=2
= 2( ) −
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة 𝟐𝟏𝟒+
سؤال وزاري /2009د :1جد الجذر التربٌعً للعدد:
𝟏+
.
الحل/ −
= 8−6 +2
. 2 =
+
−
−9
=
−
= −3
= 8−6
⇒
=−9
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
= −6
−8
−
+
−
+ + −
=
بالتربيع
⇒
−
..
+
=
=8 .
−9=8
=
= 8 − 6نفرض
+
, 2
+
=8
⇒
− 9
−
يهمل 3 −3
=− =
{=
=9 3− −3 +
سؤال وزاري /2009د :2حل المعادلة 𝟎 = 𝟔𝟑 +
𝟐
𝟑𝟏 +
𝟒
=−9 8−6 =,
حٌث zعدد مركب.
الحل/
= +4 3 2
=
=
=9 =4
= −9 = −4
+9 =+9 =+4
} = {−2 , 2 , −3 , 3مج
55
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
سؤال وزاري /2010د :1جد قٌمتً xو yالحقٌقٌتٌن واللتان تحققان المعادلة: 𝟓 = 𝟏𝟐 + الحل/
+ 6 + −2 + 3
= 2+5
𝟐−
= 2+5 =
.
𝟑+
−6
+6= 2
2 =+5 − 8
+ 8=5
2
+3
=6
−2
−2 + 3 = 5 .
−2
−2 + 3 ( ) = 5
⇒
= −2 −
=
=
−
=
−
= =3
=
الحل/
+8
+2
−
= −8 + 6
𝟏+
=
=3
=6
بالتربيع
⇒
2
.
⇒ = −8
− 9 = −8
,
=− − +7 +7 +
−
= −8 + 6نفرض
. −
−
= −8
− ( ) = −8
يهمل =3 = −3
=−2
𝟕 = −𝟏 +
=
{=
=2 +9
=2
= −8 + 6
.. 2 =−9
2 = −9
= =
سؤال وزاري /2010د :2جد الجذرٌن التربٌعٌٌن للعدد المركب zحٌث
2 +9
=
+9
−
=+9
أما
−
أو
=
+3 −8 + 6 = , − −3
56
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
سؤال وزاري /2012د :1إذا كان الحل/
أعداد /األستاذ علً حمٌد
𝟓
,
+
+
+
+
−
𝟐+ 𝟑−
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مترافقٌن ,جد قٌمتً x , yالحقٌقٌتٌن.
=
+
= 5+5 +
=5
=
+
2− +
+
−
+
+
+
=
+
=5+5
+
+
=5 ,
سؤال وزاري /2012د :2ضع بالصٌغة العادٌة للعدد المركب المقدار :
𝟓
𝟓
+ 𝟏−
=
+
𝟏+
الحل/ 𝟏−
سؤال وزاري /2013د :1جد قٌمة : الحل/
𝟐
𝟑
= [ 𝟏 + 𝟐 ]𝟐 𝟏 + − [ 𝟏 − 𝟐 ]𝟐 𝟏 − 𝟐 = 𝟏+𝟐 + 𝟐 𝟐 𝟏+ − 𝟏−𝟐 + = 𝟐 𝟐 𝟏 + − −𝟐 𝟐 𝟏 − = −𝟒 𝟏 + − −𝟒 𝟏 − 𝟖 = −𝟒 − 𝟒 + 𝟒 − 𝟒 = −𝟖 = 𝟎 −
𝟏−
𝟐
𝟏−
𝟏−
ذا السؤال محلول فً الصفحة ) (13بصٌغة أثبت 𝟒 = ] 𝟐 [𝟏 + 𝟒=𝟐=𝟐+
𝟐
سؤال وزاري /2013د:3 أذا كان 𝟒𝟏 =𝟑+ الحل/
𝟐=𝟐−
,
𝟐
𝟑
𝟐
𝟏−
𝟏−
𝟏 + 𝟏 [𝟏 − − ] = 𝟏 −
= 𝟏−
𝟐𝟐+
= 𝟏−
𝟐=𝟐+𝟐 −𝟐 −
𝟐=𝟓+
𝟐
وضح فً شكل أرجاند
𝟒𝟑 , 𝟐𝟓 ,
=
𝟐
=
𝟐 𝟓 +
+ =
𝟏− 𝟑
+
𝟏−
𝟐
𝟏−
𝟏−
𝟏
𝟒 = 𝟑 +
𝟏 𝟐
𝟔𝟖 ,
57
𝟓
− 𝟏−
𝟓
𝟏+
𝟐 = 𝟓 + 𝟒 = 𝟑 + 𝟑
𝟐
+
𝟏
𝟔 = 𝟖 +
𝟑
𝟑
=
𝟏
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟐
سؤال وزاري /2014د :1جد الصٌغة القطبٌة للجذور الخمسة للمقدار : 𝟐=𝟏= 𝟑+
𝟔 )
𝟑
+
𝟑
(𝟒 =
75
𝟐
+ 𝟏 𝟐
=
𝟐
=
𝟐
𝟔
𝟐( )+ 𝟑 7+i i 6 𝟓
𝟐( )+ 𝟑 6 𝟓
])
𝟓 𝟑
𝟓 + 𝟑
= )
4
𝟔+ 𝟓𝟏
+
𝟑
5+
(
+
𝟔
𝟏 𝟓
‖ ‖
𝟔
𝟏 ( )𝟓(𝟒
𝟑
𝟔+ 𝟑 𝟓
4
46
𝟔+ 𝟓𝟏
(
[𝟒
)+ 𝟓
=
𝟕 + 𝟓𝟏
𝟒
𝟓
=
𝟐
𝟏=
𝟑𝟏 𝟓𝟏
𝟑𝟏 + 𝟓𝟏
𝟒
𝟓
=
𝟑
𝟐=
𝟗𝟏 𝟓𝟏
𝟗𝟏 + 𝟓𝟏
𝟒
𝟓
=
𝟒
𝟑=
𝟓𝟐 𝟓𝟏
𝟓𝟐 + 𝟓𝟏
𝟒
58
+
𝟓𝟏
𝟒
𝟓
=
𝟓
=
(𝟐 =
𝟏
𝟕 𝟓𝟏
𝟒
)
=
=
𝟎=
𝟓𝟏
𝟓
=
𝟐
44
𝟔+ 𝟑 𝟓
57
=
= 𝟑+ 𝟑 𝟐
( 𝟐𝟐 =
𝟔
𝟒 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑,
√
=
𝟐
)
+
𝟓
𝟑+
=‖ ‖=
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟒=
=
𝟏 𝟓 𝟐
=
𝟓
=
𝟐
𝟓
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
سؤال وزاري /2014د :3جد الصٌغة القطبٌة للعدد المركب 𝟓 = 𝟓 − الحل/ 𝟐
𝟐 𝟓 = 𝟎𝟓 = 𝟓𝟐 = 𝟐𝟓 + 𝟏− 𝟐
=
𝟓− 𝟐 𝟓
= ‖
𝟐
+
‖=
= 𝟏
,
𝟐
𝟐 𝟓 𝟕 𝟒
𝟕
+
𝟒
سؤال وزاري /2015د :2اذا كان
𝟓
=
الربع الرابع
𝟒 𝟐−
= ‖ ‖ =
و أحد جذري المعادلة 𝟎 = 𝟔 – +
معامالتها حقٌقٌة ,جد قٌمتً
=
= ‖
𝟒
‖=
−
𝟕
𝟐 = 𝟐 𝟓 =
𝟒
–
–
𝟐
𝟐 ,
,
الحل /بما ان المعامالت حقٌقٌة فان الجذران مترافقان 𝟒 = 𝟐+ 𝟒 =
,
𝟒 = 𝟐−
𝟒 + 𝟐+
𝟒 = 𝟐−
𝟎𝟐 = 𝟔𝟏 = 𝟒 +
𝟎 = 𝟎𝟒 + 𝟎 = 𝟔 −
+
59
𝟒 = 𝟐−
𝟐.
𝟖–
𝟐
𝟐
⇒ 𝟎 = 𝟎𝟐 +
–
𝟐
𝟐
بالمقارنة مع
𝟏 +
سؤال وزاري /2015د:3
𝟒 𝟐+
+ .
𝟒–
𝟐
𝟏 +
𝟕 =
𝟖 =
𝟔𝟒 =
𝟎𝟒 = 𝟔 –
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
جد مجموعة حل المعادلة فً مجموعة األعداد المركبة بأستخدام مبر نة دٌموافر − 𝟖 = 𝟎 : الحل/ بالجذر التكعيبي
( )+ 𝟐 𝟐+
57
])
𝟒+ 𝟔
(
𝟑
( )+ 𝟐
𝟐4
𝟐+
5+
𝟒+ 𝟔
)+
*𝟖 =
(
𝟑
𝟑
𝟖=
𝟎= 𝟖−
𝟑
𝟏 𝟑
𝟐4
( )/ = 𝟐 6 𝟐 𝟒+ 𝟐 𝟑
[ 𝟐 = 57
𝟑
𝟑
4
( )+ 𝟐 𝟒+ 𝟐 𝟑
5+
= 𝟐.
= 𝟐6
4
𝟐 = 𝟎, 𝟏, 𝟏 𝟑 ( )+ = 𝟐 0 + 1 𝟔 𝟐 𝟐
= 𝟑+
=− 𝟑+
( )+ 𝟔
*𝟐=
𝟎=
𝟓 𝟏 𝟑 − )] = 𝟐 0 + 1 𝟔 𝟐 𝟐
(
𝟓 ( )+ 𝟔
[𝟐=
𝟏=
𝟗 ] )] = 𝟐[𝟎 − 𝟔
(
𝟗 ( )+ 𝟔
[𝟐=
𝟏=
𝟐= −
مجموعة الحل للمعادلة هي }
{ 𝟑+
, −𝟐 , − 𝟑 +
سؤال وزاري /2016د :1بأستخدام مبر نة دٌموافر ,جد الجذور التكعٌبٌة للعدد 𝟖 . الحل/ 𝟖= الربع االول 𝟏 ) ( 𝟑
)
𝟐
𝟐 +
𝟐
𝟖
=
𝟖 𝟏= = 𝟖
=
𝟐
𝟐 = 𝟎, 𝟏,
𝟐
+
𝟐
=‖ ‖=
𝟏 ) ( ( 𝟑
𝟖 =
=
𝟏 ) ( 𝟑
55
=
𝟐+ 𝟑
𝟐4
𝟏 ) ( 𝟑
5+
=
60
𝟏 ) ( 𝟑
𝟐+ 𝟑
𝟑 𝟏 ( )] = 𝟐 0 + 1 = 𝟑 + 6 𝟐 𝟐 5 [= 2 * 𝟐 = ]) ( ( − )+ ( − )+ 6 6 6 𝟏 𝟑 − = 𝟐 *− ( )+ ( )+ = 𝟐 0 + 1 = − 𝟑+ 6 6 𝟐 𝟐 9 9 3 3 [= 2 ( )+ [ 𝟐 = ]) ( ( )+ ( )] = 𝟎 + 𝟐 − 6 6 2 2 ( )+ 6 5 ( )+ 6
𝟐= −
𝟎 = 𝟎= = 𝟖 ‖ ‖
, +
𝟖=
[= 2
𝟖 = 𝟖
𝟐4
𝟖4 𝟎= 𝟏=
𝟐=
= 𝟑
=
𝟑
=
𝟑
𝟑
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
أسئلة حول األعداد المركبة س /1إذا كان – 𝟗𝟏 −
𝟐
أحد الجذرٌن التربٌعٌن للعدد ( )3 + biحٌث 𝟐
−𝟑 −
,أعداد حقٌقٌة ,جد السعة للعدد المركب
=
س /2جد ناته ما ٌلً : 𝟓
𝟓
𝟑 − 𝟏+
𝟑 𝟏+ 𝟔 𝟏−
س /3أوجد الجدور التربٌعٌة للعدد س /4أذا كان 𝟑 +
=
=
+
س /5إذا كان
𝟐+ 𝟏−
س /6أذا كان
𝟏+
س /7العدد المركب
𝟒
𝟐 𝟒
𝟑
𝟐𝟏 𝟓 +
عدد مركب مقٌاسه 𝟐 ,جد قٌمة فأثبت أن 𝟕 =
]𝟑
+
𝟑
.
[𝟐
و أحد الجذور المعادلة التربٌعٌة للعدد
𝟐𝟏−
𝟑 𝟏− 𝟖 𝟏+
𝟏
و أحذ جذور المعادلة 𝟎 = 𝟕 −
س /8بأستخدام مبر نة دٌموافر ,حل المعادلة 𝟎 = 𝟕𝟐 +
𝟐
فجد قٌمتً
𝟒+ +
−𝟐 −
𝟐
, فجد قٌم
,
حٌث ℂ
س /9حل المعادالت التالٌة فً المجموعة ℂبطرٌقتٌن مختلفتٌن 𝟎= 𝟖−
𝟑
𝟐
𝟎=𝟖−
𝟑
𝟏
𝟎 = 𝟒𝟔 −
𝟑
𝟒
𝟎 = 𝟒𝟔 +
𝟑
𝟑
س /10أحسب بأستخدام مبر نة دٌموافر كالا مما ٌأتً : 𝟓
𝟏+
𝟕
−𝟏 +
61
𝟕
𝟑−
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الثانً/المطوع المخروطٌة مستمٌم ثابت فً المطع المخروطً :لٌكن ) 𝟏 𝟏 ( نمطة ثابتة فً المستوي ولٌكن 𝟎 المستوي نفسه لذا فان مجموعة كل النماط التً نسبة بعد كل منها عن النمطة ) 𝟏 𝟏 ( الى بعدها عن المستمٌم تساوي عدد ثابت ) ( تكون شكل هندسً ٌسمى بالمطع المخروطً أو هو مجموعة النمط 𝟎 التً بعدها عن نمطة معلومة ٌساوي بعدها عن مستمٌم معلوم حٌث ان لكل شكل مخروطً عدة مفاهٌم أساسٌة ٌتعٌن بها وهً : ① النمطة الثابتة
)𝟏
𝟏
( تسمى بإرة المطع المخروطً )
② المستمٌم الثابت 𝟎
ٌسمى دلٌل المطع المخروطً )
③ النسبة ) ( تسمى باالختالف المركزي ) نوع القطع زائد
)𝟏
(
( حٌث أذا كان
نوع القطع ناقص
(
(
نوع القطع مكافئ
(
)𝟏
(
)𝟏
④ المسافة بٌن البإرة والدلٌل =| 𝟐| المطع المكافئ :هو مجموعة النمط ) ( فً المستوي والتً ٌكون بعدها عن نمطة ثابتة )𝟎 ( تسمى مساوٌآ دائمآ لبعدها عن مستمٌم معلوم ) ( والذي ٌسمى الدلٌل وهو ال ٌحتوي البإرة البإرة حٌث 𝟎 أو بمعنى أخر هو مجموعة من النمط داخل مستوي والتً ٌكون بعدها عن نمطة معلومة مساوٌا لبعدها عن مستمٌم معلوم . معادلة المطع المكافئ الذي بإرته تنتمً لمحور السٌنات ) (x-axisوالرأس فً نمطة األصل : باستخدام التعرٌف ٌمكن أٌجاد المعادلة المٌاسٌة للمطع المكافئ باالعتماد على لانون البعد بٌن نمطتٌن )قانون البعد(
𝟐
)𝟏
𝟐
𝟐
(
)𝟏
𝟐
(√
) من تعرٌف القطع المكافئ ( ) تربٌع الطرفٌن(
𝟐)
𝟐)
( 𝟐
𝟎
(√ 𝟐
)المعادلة القٌاسٌة للقطع المكافئ(
𝟐
𝟐)𝟎 𝟐
𝟎
(
𝟐)
𝟐
(√ 𝟐
𝟒
𝟐
𝟐
وهذذذذ هذذذً المعادلذذذة المٌاسذذذٌة للمطذذذع المكذذذافئ الذذذذي بإرتذذذه تنتمذذذً لمحذذذور السذذذٌنات ( (x-axisوالذذذرأس فذذذً نمطذذذذة األصذذذذل حٌذذذذث تسذذذذمى النمطذذذذة " "Oبذذذذرأس المطذذذذع المكذذذذافئ حٌذذذذث بإرتذذذذه )𝟎 ( 𝟎
حٌث
وبنفس األسلوب ٌمكن أثبات
62
𝟒
𝟐
ومعادلذذذذة دلٌلذذذذه
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
معادلة المطع المكافئ الذي بإرته تنتمً لمحور الصادات ) (y-axisوالرأس فً نمطة األصل : باستخدام التعرٌف ٌمكن أٌجاد المعادلة المٌاسٌة للمطع المكافئ باالعتماد على لانون البعد بٌن نمطتٌن )قانون البعد(
𝟐
)𝟏
𝟐
𝟐
(
)𝟏
𝟐
(√
) من تعرٌف القطع المكافئ ( ) تربٌع الطرفٌن(
𝟐)
(
𝟐)
𝟐
(√ 𝟐
𝟐
)المعادلة القٌاسٌة للقطع المكافئ(
𝟐)
𝟐)𝟎
(
𝟐
𝟐
𝟐
𝟎
(√
𝟒
وهذ هً المعادلة المٌاسٌة للمطذع المكذافئ الذذي بإرتذه تنتمذً لمحذور الصذادات األصل حٌث تسمى النمطة " "Oبرأس المطع المكافئ حٌث بإرته ) 𝟎( ومعادلة دلٌله 𝟎
𝟐 𝟐
( (والذرأس فذً نمطذة
وبنفس األسلوب ٌمكن أثبات
𝟒
حٌذث
𝟐
نالحظ مما سبك انه ٌوجد معادلتٌن للمطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل )𝟎 𝟎( أحداهما عندما ٌكون على المحور السٌنً واألخرى عندما ٌكون على المحور الصادي والجدول أدنا ٌوضح ذلن . ( عىدما ٔكُن عهّ محُر انصاداث ) ( عىدما ٔكُن عهّ محُر انسٕىاث ) ( ①البإرة تنتمً لمحور الصادات ) ( ①انبؤرة تىتمٓ نمحُر انسٕىاث ) ②البإرة ) 𝟎( ومعادلة الدلٌل ②انبؤرة )𝟎 ( َمعادنت اندنٕم ③معادلة محور المطع هً 𝟎 ③معادنت محُر انمطع ٌٓ 𝟎 ④الدلٌل ٌوازي المحور السٌنً ④اندنٕم ُٔاسْ انمحُر انصادْ ⑤التناظر حول محور الصادات ⑤انتىاظز حُل محُر انسٕىاث ⑥المحور الصادي ٌنصف الدلٌل ⑥المحور السٌنً ٌنصف الدلٌل ⑦ المانون
𝟒
𝟐
⑦ المانون
𝟒
𝟐
مالحظات عامة : ❶ أشار البإرة عكس أشار الدلٌل والعكس صحٌح ❷ المسافة بٌن البإرة والدلٌل = 2p ❸ كل نمطة تنتمً للمطع المكافئ فهً تحمك معادلته (أي أن المطع المكافئ ٌمر بها ) ❹ كل نمطة تنتمً للمطع المكافئ بعدها عن البإرة ٌساوي بعدها عن الدلٌل 𝟒 ❺ رأس المطع المكافئ هو نمطة االصل ومعادلة الممٌز الخاصة به هً )𝟎 ❻ الجدول أدنا ٌوضح تفاصٌل أكثر عن معادالت المطع المكافئ البإرة الدلٌل المحور أتجا المطع التناظر )𝟎 ( الٌمٌن x-axis x-axis ( الٌسار )𝟎 x-axis x-axis ) 𝟎( األعلى y-axis y-axis 𝟎( ) األسفل y-axis y-axis
63
𝟐
( المعادلة 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
مثال ) /)1جد البإرة ومعادلة دلٌل المطع المكافئ
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐
𝟖
الحل /
𝟐
𝟖 𝟒
) بانمقاروت مع انمعادنت انقياسيت( 𝟖 𝟐 𝟒 انبؤرة )𝟎 𝟐 ( معادنت اندنيم 𝟐
𝟐
𝟒
𝟖
(
)𝟎
مثال ) /)2جد معادلة المطع المكافئ أذا علم :أ ) بإرته ) (3,0والرأس فً نمطة األصل . ب ) معادلة الدلٌل 𝟎 الحل /
𝟔
𝟐 ورأسه فً نمطة األصل .
أ) ) انمعادنت انقياسيت نهقطع انمكافئ(
البؤرة )𝟎 𝟑( )𝟎 ( 𝟐 𝟑
𝟒 𝟐
معادنت انقطع انمكافئ 𝟐𝟏 ___________________________ ب)
معادنت انقطع انمكافئ
مثال ) /)3جد بإرة ومعادلة دلٌل المطع المكافئ
𝟒
الحل /
𝟐
𝟐𝟏
)𝟑(𝟒
معادلة الدلٌل 𝟎 𝟔 𝟔 𝟑 𝟐 𝟑 𝟒 𝟐 )𝟑(𝟒
𝟐 𝟐 𝟐
ثم أرسمه ) بانمقاروت مع انمعادنت انقياسيت نهقطع انمكافئ(
𝟏 معادنت اندنيم √𝟐
𝟐 √𝟐
64
𝟐
𝟏 2
𝟎 𝟎
𝟒 𝟒 انبؤرة )𝟎 𝟏( 𝟏 )𝟏(𝟒 𝟒
𝟒
𝟐
𝟒
𝟐
𝟒
𝟒
)𝟎 ( 4
𝟐
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مثال ) /)4بؤستخدام التعرٌف جد معادلة المطع المكافئ أذا علم أن بإرته )𝟎 𝟑√( والرأس فً نمطة األصل . الحذذل /البذذإرة )𝟎 𝟑√( ولذذتكن النمطذذة ) ( نمطذذة تنتمذذً الذذى منحنذذً المطذذع المكذذافئ ولذذتكن النمطذذة ) 𝟑√ ( هً نمطة تماطع العمود المرسوم من ) ( على الدلٌل ⃡ فمن تعرٌف المطع المكافئ ) من تعرٌف القطع المكافئ ( ) تربٌع الطرفٌن(
𝟐)
(
𝟐
(√
)𝟑√
𝟐)𝟎
𝟐
) 𝟑√
𝟑
𝟑√𝟐
( 𝟐
𝟐
𝟐
(
)𝟑√ 𝟐
𝟐
𝟑
مثال ) /)5جد البإرة ومعادلة دلٌل المطع المكافئ الحل /
𝟒𝟐
𝟎
) وقسم طرفي انمعادنت عهى 𝟑(
) 𝟑√ 𝟑√𝟐
معادنت انقطع انمكافئ
𝟐
(√ ( 𝟐
𝟐
𝟑√𝟒
𝟑 𝟒𝟐
𝟐
𝟎
𝟑
𝟐
𝟒𝟐 𝟖 𝟒
𝟑 𝟐 𝟐
) بانمقاروت مع انمعادنت انقياسيت نهقطع انمكافئ( 𝟖 𝟒 𝟖 𝟐 𝟒 ) 𝟎( انبؤرة )𝟐 𝟎( معادنت اندنيم 𝟐
مثال ) /)6جد معادلة المطع المكافئ أذا علم :أ ) بإرته )𝟓 𝟎( ورأسه فً نمطة األصل . ب ) معادلة الدلٌل 𝟕 الحل /
ورأسه فً نمطة األصل .
أ) ) انمعادنت انقياسيت نهقطع انمكافئ(
البؤرة )𝟓 𝟎( ) 𝟎( 𝟐 𝟓
𝟒 𝟐
معادنت انقطع انمكافئ 𝟎𝟐 ___________________________ ب) ) انمعادنت انقياسيت نهقطع انمكافئ( معادنت انقطع انمكافئ
65
)𝟓(𝟒
) بانمقاروت مع معادنت اندنيم( 𝟐 𝟒 𝟖𝟐
𝟐
)𝟕(𝟒
𝟐
𝟕 𝟕 𝟐
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
مثال ) /)7جد معادلة المطع المكافئ الذي ٌمر بالنمطتٌن ) 𝟒 𝟐( )𝟒 الحل /
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐( ورأسه نمطة األصل
ثابتة لم تتغٌر )
النمطتان متناظرتان حول محور السٌنات (ألن لٌمة 𝟐 𝟒 انمعادنت انمٕاسٕت نهمطع انمكافئ ٌٓ وعُض أحدِ انىمطتٕه انهتٕه تحممان معادنت انمطع انمكافئ ألوً ٔمز بٍا َنتكه انىمطت )𝟒 𝟐( 𝟔𝟏 𝟖
𝟐 معادنت انقطع انمكافئ
𝟖 𝟖
𝟐
𝟐)𝟒(
)𝟐( 𝟒
𝟔𝟏 𝟐
)𝟐(𝟒
𝟒
مثال ) /)8جد معادلة المطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل وٌمر دلٌل المطع المكافئ بالنمطة )𝟓
𝟐
𝟑(
الحلٌ /وجد أحتمالٌن للمعادلة المٌاسٌة للمطع المكافئ لعدم تحدٔد انبؤرة َ ,االحتمانٕه ٌما : ثانٌا :البإرة تنتمً لمحور السٌنات أوال :البإرة تنتمً لمحور الصادات 𝟒 ) المعادلة القٌاسٌة للقطع المكافئ( )معادلة الدلٌل( 𝟓 𝟓 𝟐 𝟐 𝟒 )𝟓(𝟒 𝟐 𝟎𝟐 معادنت انقطع انمكافئ
𝟐
𝟒 ) المعادلة القٌاسٌة للقطع المكافئ( )معادلة الدلٌل( 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝟒 )𝟑 (𝟒 𝟐 𝟐𝟏 معادنت انقطع انمكافئ
تمارين)𝟏
𝟐
𝟐(
س / 1جد المعادلة للمطع المكافئ فً كل مما ٌؤتً ثم أرسم المنحنً البٌانً لها : ( أ ) البإرة )𝟎 𝟓( والرأس فً نمطة األصل الحل/ المعادلة القٌاسٌة 𝟐
𝟎𝟐 𝟏
√2
66
2√5
معادنت اندنيم )𝟓(𝟒 𝟐𝒚 𝟎 𝟎
𝒙
𝟓 𝟐
𝒚
)𝟎 𝟓( 𝟓 𝟐 𝒚 𝟒
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
( ب ) البإرة )𝟒
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟎( والرأس فً نمطة األصل
الحل/
𝟎(
)𝟒 المعادلة القٌاسٌة
معادنت اندنيم )𝟒(𝟒
𝑥2
𝟔𝟏 4
4√2
4 𝑥2
𝟒
y
𝑥2
𝟒
𝟎 𝟎
2
( ج ) البإرة ) 𝟐√ 𝟎( والرأس فً نمطة األصل الحل/ معادنت اندنيم 𝟐√ المعادلة القٌاسٌة )𝟐√(𝟒 2√2
( د ) معادلة دلٌل المطع المكافئ 𝟎 الحل/
y 𝑥2
𝟎
𝟐√√2
𝟎
𝟐√
𝟑
) 𝟐√ 𝟎( 𝟐√ 2 𝑥 𝟒
𝟒 والرأس فً نمطة األصل معادنت اندنيم
3 4
البؤرة المعادلة القٌاسٌة √6 𝟐
𝟑 𝟑√
67
y 3 4
𝟑
𝟒 3 4
F 𝑥2
3 4
𝟒 𝟎 𝟎
𝟎
𝟑
𝟒
p 𝑥2
𝟒
𝑥2
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
س / 2فً كل مما ٌؤتً جد البإرة والرأس ومعادلتً المحور والدلٌل للمطع المكافئ : 𝟐
𝟒 الحل/
البؤرة)𝟏 𝟎( ) معادلة الدلٌل(
الرأس)𝟎 𝟎(
𝑝
𝟏
) معادلة المحور(
𝟐
𝟔𝟏
الحل/
𝟏
𝟏
البؤرة )𝟎 𝟐𝟑 (
𝟐𝟑
𝟏
p
𝟖
س / 3جد معادلة المطع المكافئ المار بالنمطتٌن )𝟓 𝟐( )𝟓 الحل ∵ /النمطتان متناظرتان حول المحور السٌنً
𝟐
) معادلة المحور(
𝟒
𝟐 ) ( 𝟐
𝟐
𝟖
𝟏 𝟐𝟑
) معادلة الدلٌل(
الرأس)𝟎 𝟎(
𝟏
𝟒
𝟒 𝟎
𝟎
) (
𝟔𝟏
𝟎
𝟐( والرأس فً نمطة األصل
البإرة تنتمً لمحور السٌنات والمانون )
𝟐
𝟒
(
النمطتان تحممان المعادلة الن المطع المكافئ ٌمر بهما لذا نؤخذ النمطة )𝟓 𝟐( ونعوضها فً المعادلة المٌاسٌة 𝟓𝟐 𝟖 𝟓𝟐 𝟐
معادلة القطع المكافئ
𝒑𝟖
𝒑
)𝟐( 𝟒
𝟓𝟐 25 8
𝟐
𝟐)𝟓(
𝟒
𝟒
𝟐
س / 4أذا كان دلٌل المطذع المكذافئ ٌمذر بالنمطذة )𝟒 𝟑 ( والذرأس فذً نمطذة األصذل جذد معادلتذه علمذا أن بإرتذه تنتمً ألحد المحورٌن الحل ∵ /الدلٌل ٌمر بالنمطة )𝟒 𝟑 (
( والثانً )𝟒
هنان دلٌالن هما األول )𝟑
(
هنان لطعان مكافئان المطع المكافئ األول ( البإرة تنتمً لمحور السٌنات) 𝟑
المانون 𝟐𝟏
𝟐
المطع المكافئ الثانً ( البإرة تنتمً لمحور الصادات) 𝟒
𝟑
𝟒 )𝟑(𝟒
𝟐 𝟐
𝟔𝟏
68
𝟒 المانون 𝟐 )𝟒(𝟒
𝟒 𝟐 𝟐
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
س / 5لطع مكافئ معادلته 𝟎
𝟖
𝟐
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
ٌمر بالنمطة )𝟐 𝟏( جد لٌمة Aثم جد بإرته ودلٌله وأرسم المطع
الحل ∵ /المطع المكافئ ٌمر بالنمطة ) 𝟐 𝟏(
وزاري / 2011د1
النمطة ) 𝟐 𝟏( تحمك معادلة المطع المكافئ )𝟎 )𝟔𝟏
(
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟎
𝟖
𝟐
𝟖
𝟐
6
( 6
)بالمقارنة مع المعادلة القٌاسٌة
𝟒
𝟐
A
𝟎
𝟏 𝟐
(
𝟏 معادلة الدلٌل 𝟖
)𝟐(𝟖
𝟐
𝟏 𝟖
𝟏 𝟐
𝟎
𝟏 𝟐
𝒑
𝟏 البؤرة 𝟖 y 0
𝟐)𝟏(
F
𝟐
𝒑𝟒
)𝑝 (F
x 0 𝟏
𝟏
𝟐√ 𝟐
س / 6باستخدام التعرٌف جد معادلة المطع المكافئ : ( أ ) البإرة )𝟎 𝟕( والرأس فً نمطة األصل الحل/
معادلة الدلٌل
𝟕
𝟕
𝒙
) تعرٌف القطع المكافئ( )بتربٌع الطرفٌن( 𝟐)
(
𝟐)𝟕
(√ 𝟐)𝟕
𝟗𝟒 ) معادلة القطع المكافئ(
69
𝟐)𝟎 (
𝟐
𝟒𝟏 𝟖𝟐
𝟐
(
𝟐)𝟎 𝟐
𝟐)𝟕 𝟐)𝟕
( 𝟗𝟒
𝟒𝟏
(√
𝟒𝟏 𝟐
( 𝟐
𝟒𝟏
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
( ب ) معادلة الدلٌل 𝟑√
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
والرأس فً نمطة األصل
الحل/
𝑝
𝟑√
𝟑√
البؤرة )𝟑√
)
𝟎(
𝟎(
) تعرٌف القطع المكافئ( )بتربٌع الطرفٌن(
𝟐
)𝟑√
(√ )𝟑√
(
)𝟑√
𝟑
𝟑√𝟐
𝟐)
(
𝟐
)𝟑√
𝟐
𝟑 ) معادلة القطع المكافئ(
𝟐
𝟑√𝟐 𝟐
𝟑√𝟒
(√
𝟐)𝟎
( 𝟐
𝟑√𝟐
𝟐
( 𝟐
𝟐
𝟑√𝟐
𝟐
******************************************************************
أمثلة أضافٌة محلولة مثال /جد معادلة المطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل وٌحمك الشروط التالٌة : ) (1بإرته )𝟎 𝟓( انحم /البإرة تنتمً لمحور السٌنات 𝟎
معادلة المطع المكافئ هً
𝟎𝟐
𝟐
)𝟓(𝟒
) (2بإرته )𝟑 𝟎( انحم /البإرة تنتمً لمحور الصادات 𝟎
) (3معادلة دلٌله 𝟎
𝟔
𝟐
معادلة المطع المكافئ هً
𝟐𝟏
𝟐
)𝟑(𝟒
𝟒 )𝟎 𝟓(
𝟓
𝟐
𝟐
)𝟎 (
𝟐
𝟒 )𝟑 𝟎(
𝟑
) 𝟎(
𝟐
انحم / البؤرة )𝟑
𝟎(
𝟑
𝟔
𝟑
𝟐
𝟎
𝟔 𝟒
معادلة القطع المكافئ
70
𝟐𝟏
𝟐
)𝟑 (𝟒
𝟐 𝟐 𝟐
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
) (4بإرته تنتمً لمحور الصادات وٌمر بالنمطة )
𝟏
𝟐√(
𝟐
معادلة المطع المكافئ هً البإرة تنتمً لمحور الصادات 𝟏 النمطة ) 𝟐√( تنتمً للمطع فهً تحمك معادلته
انحم /
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐
𝟒
𝟐
𝟏 معادلة القطع المكافئ
)ٌ (5مر بالنمطتٌن )𝟓√
𝟐
𝟐
𝟐
𝟒
𝟏 𝟐 )𝟏(𝟒
𝟐
𝟒
)𝟐√( 𝟐
𝟒
𝟏( )𝟓√𝟐 𝟏( جد معادلته ومعادلة دلٌله
انحم /النمطتٌن متناظرتان حول محور السٌنات (ألن لٌمة xثابتة لم تتغٌر )
معادنتً ٌٓ
𝟐
𝟒
∴ وعُض أحدِ انىمطتٕه ألوً ٔمز بٍا معادنت اندنيم
𝟓
𝟓
معادلة القطع المكافئ
𝟒 𝟎𝟐
) (6بؤرتً تىتمٓ نمحُر انسٕىاث َدنٕهً ٔمز بانىمطت )𝟒 𝟐( معادنت انمطع انمكافئ ٌٓ بؤرتً تىتمٓ نمحُر انسٕىاث انحم / دنٕهً ٔمز بانىمطت )𝟒
𝟐( نذا فأن
معادلة القطع المكافئ
𝟐
انحم / 𝟐
مزكش اندائزة= )
)معامم 𝟐
)معامم 𝟐
(
( =)
)𝟒 ( 𝟐
َ انبؤرة تىتمٓ نمحُر انصاداث َمعادنت انمطع انمكافئ ٌٓ معادلة القطع المكافئ
𝟒
𝟏
𝟐
𝟐
𝟒
𝟐
𝟐
𝟐
𝟒
𝟐
)𝟐 (𝟒
) (7رأسً ومطت األصم َبؤرتً مزكش اندائزة انتٓ معادنتٍا 𝟎 (
)𝟓(𝟒
)𝟓√𝟐(
𝟒
ٌٓ معادنت اندنٕم ألن اندنٕم ٔمطع األحداثٓ انسٕىٓ
𝟐
𝟖
)𝟏( 𝟒
𝟎𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟎
𝟐 ( = )𝟐 𝟎( = انبؤرة 𝟐
𝟒 𝟖
𝟐
)𝟐(𝟒
𝟐
𝟒
َٔمز بانىمطت ) 𝟏 𝟐 ( ) (8دنٕهً ُٔاسْ انمحُر انصادْ َمعادنت محُري 𝟎 اندنٕم ُٔاسْ انمحُر انصادْ َٔمز بانىمطت ) 𝟏 𝟐 ( انحم / اندنٕم ٔمطع األحداثٓ انسٕىٓ انسانب َانبؤرة تمع عهّ األحداثٓ انسٕىٓ انمُجب 𝟐 𝟒 معادنت انمطع انمكافئ ٌٓ انمطع ٔمز بانىمطت ) 𝟏 𝟐 ( نذا فٍٓ تحممً 𝟏 𝟖
𝟖
𝟏
معادلة القطع المكافئ
71
𝟐)𝟏(
)𝟐 ( 𝟒 𝟏 𝟐
𝟐
𝟏 𝟖
𝟒
𝟐
𝟒
𝟐
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
)ٔ (9مطع مه انمستمٕم 𝟒
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
لطعت طُنٍا )𝟎𝟏( وحداث
انحم / رأسي انقطع انمكافئ )𝟓
انتىاظز حُل محُر انسٕىاث
𝟒()𝟓 𝟒(
معادنت انمطع انمكافئ
𝟓 𝟐
𝟒
𝟓𝟐 𝟔𝟏
𝟎𝟏
َانىمطت )𝟓 𝟒( تحممً 𝟐)𝟓(
)𝟒( 𝟒 𝟓𝟐 𝟒
𝟐
𝟓𝟐 𝟔𝟏
𝟐
𝟒
𝟒
𝟐
𝟒
𝟐
مثال /جد معادلة المطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل وٌحمك الشروط التالٌة 𝐢𝟐𝟒+ 𝐳 ) (1بإرته الصٌغة الدٌكارتٌة للعدد 𝐢 𝟐
انحم /
الصٌغة الدٌكارتٌة )𝟎 𝟐 (
𝟎𝟏 𝟓
𝟐
𝟐
معادلة القطع المكافئ
𝒊𝟒 𝒊𝟒 𝟓
𝟐
𝐩
𝒙𝟖
𝟐𝒚
𝒊 𝟐 𝐢𝟐 𝟒 𝟖 𝐳 × 𝐢 𝟐 𝒊 𝟐 البؤرة )𝟎 𝒑( )𝟎 𝟐 (
𝒙)𝟐 (𝟒
𝒙𝒑𝟒
) (2بإرته تنتمً ألحد المحورٌن ودلٌله ٌمر بالنمطة )(3,4 انحم / ٌوجد دلٌالن 𝟒 𝒑 ∵ الدلٌل ٌمر بالنمطة ) (3,4ولم ٌحدد الي المحورٌن ٌوازي ٌوجد بإرتان االولى )𝟒 𝟎( والثانٌة )𝟎 𝟑 ( مما ٌعنً وجدود لطعان مكافئان معادلة القطع المكافئ األول
𝟐𝒚
𝒙𝟐𝟏
معادلة القطع المكافئ انثاوي
𝟐𝒙
𝒚𝟔𝟏
𝟐𝒚
𝟑
𝒑
𝒙)𝟑(𝟒
𝒙𝒑𝟒
𝟐𝒚
𝒚)𝟒(𝟒
𝒚𝒑𝟒
𝟐𝒙
)ٌ (3مر برإوس المثلث ABCحٌث )𝒎 𝟐(𝑪 )𝟒 𝟐 (𝑩 )𝟎 𝟎(𝑨 ثم أوجد لٌمة m ∵ النمطة ) (2,mتمع أما فً الربع األول أو الرابع انحم / النمطة ) (2,mللربع األول لكً ٌتحمك المطع البإرة تمع على المحور الصادي و المانون 𝒚𝒑𝟒 ∵ المطع ٌمر بالنمطة )𝟒 𝟐 ( فهً تحممه معادنت انقطع 𝒚
𝟐𝒙
𝟏 𝒚 𝟒
𝟒
𝒚𝒑𝟒
𝟏 𝟒
𝟐𝒙
𝟐𝒙 𝟒 𝟔𝟏
𝐩
)𝟒(𝒑𝟒
𝒑
𝟐)𝟐 (
∵ النمطة ) (2,mتمع على المطع لذا فهً تحمك معادلة المطع 𝟒
) (4رأسه نمطة األصل ومعادلة دلٌله 𝟎
𝟑√
𝐦
𝟐)𝟐(
𝐦
𝒚𝟐
انحم / 𝟑√ 𝟐
𝟑√ 𝟐
𝐩
معادلة القطع المكافئ
72
𝐲 𝒚𝟑√𝟐
𝟑√ 𝟐𝒙
𝐲𝟐 𝟑√ 𝒚 𝟐
𝟎 𝟒
𝟑√
𝒚𝒑𝟒
𝒚𝟐 𝟐𝒙
โ ซุฃุนู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ุฏุงุฏโ ช /โ ฌุงุฃู ุณุชุงุฐ ุนู ู ุญู ู ู ู ู ู ู ู ุฏโ ฌ
โ ซุงู ู ุตู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ุงู ุซุงู ู โ ช /โ ฌุงู ู ุทู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ุน ุงู ู ุฎุฑู ุทู ุฉโ ฌ
โ ซ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ โ ฌ
โ ซุณ โ ช : 1โ ฌู ู ู ู ู ู ุง ู ุคุชู ุฌุฏ ุงู ุจุฅุฑุฉ ู ู ุนุงุฏู ุชู ุงู ู ุญู ุฑ ู ุงู ุฏู ู ู ู ู ู ุทุน ุงู ู ู ุงู ุฆ โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซ๐ โ ฌ
โ ซ) (โ ฌ
โ ซ๐ โ ฌ
โ ซ๐ โ ฌ
โ ซ) (โ ฌ
โ ซ๐ ๐ โ ฌ
โ ซ๐ โ ฌ
โ ซ) (โ ฌ
โ ซ๐ โ ฌ โ ซ๐ โ ฌ โ ซ๐ โ ฌ
โ ซุณ โ ช : 2โ ฌุฃุฐุง ู ุงู ุฏู ู ู ุงู ู ุทุน ุงู ู ู ุงู ุฆ ู ู ุฑ ุจุงู ู ู ุทุฉ )๐ ๐ ( ู ุงู ุฑุฃุณ ู ู ู ู ุทุฉ ุงุฃู ุตู ู ุฌุฏ ู ุนุงุฏู ุชู ุนู ู ุง ุฃู ุจุฅุฑุชู ู ู ู ู ู ู โ ฌ โ ซุชู ุชู ู ุฃู ุญุฏ ุงู ู ุญู ุฑู ู โ ฌ โ ซุณ โ ช :3โ ฌู ู ู ู ู ู ุง ู ุคุชู ุฌุฏ ู ุนุงุฏู ุฉ ุงู ู ุทุน ุงู ู ู ุงู ุฆ ุงู ุฐู โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซ(ุฃ) ุจุฅุฑุชู )๐ ๐ ( ู ุงู ุฑุฃุณ ู ู ู ู ุทุฉ ุงุฃู ุตู โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซ(ุจ) ู ุนุงุฏู ุฉ ุงู ุฏู ู ู ู ู ๐ โ ฌ
โ ซ๐ โ ฌ
โ ซ๐ ู ุงู ุฑุฃุณ ู ู ู ู ุทุฉ ุงุฃู ุตู โ ช.โ ฌโ ฌ
โ ซ(ุฌ) ุจุฅุฑุชู ุชู ุชู ู ู ู ุญู ุฑ ุงู ุณู ู ุงุช ู ู ู ุฑ ุจุงู ู ู ุทุฉ )๐ ๐ ( ู ุงู ุฑุฃุณ ู ู ู ู ุทุฉ ุงุฃู ุตู โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซ(ุฏ) ุจุฅุฑุชู ุชู ุชู ู ู ู ุญู ุฑ ุงู ุณู ู ุงุช ู ุฏู ู ู ู ู ู ุฑ ุจุงู ู ู ุทุฉ )๐ ๐ ( ู ุงู ุฑุฃุณ ู ู ู ู ุทุฉ ุงุฃู ุตู โ ช.โ ฌโ ฌ โ ซ(ุจ) ู ุนุงุฏู ุฉ ุงู ุฏู ู ู ู ู ๐ โ ฌ
โ ซ๐ โ โ ฌ
โ ซ๐ ู ุงู ุฑุฃุณ ู ู ู ู ุทุฉ ุงุฃู ุตู โ ช.โ ฌโ ฌ
โ ซุณ โ ช : 4โ ฌุจุคุณุชุฎุฏุงู ุงู ุชุนุฑู ู ุฌุฏ ู ุนุงุฏู ุฉ ุงู ู ุทุน ุงู ู ู ุงู ุฆ ุงู ุฐู โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซ( ุฃ ) ุจุฅุฑุชู )๐ ๐ ( ู ุงู ุฑุฃุณ ู ู ู ู ุทุฉ ุงุฃู ุตู โ ฌ โ ซู ุงู ุฑุฃุณ ู ู ู ู ุทุฉ ุงุฃู ุตู โ ฌ โ ซ( ุจ ) ู ุนุงุฏู ุฉ ุงู ุฏู ู ู ๐ ๐ โ ฌ
โ ซโ ช73โ ฌโ ฌ
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
المطع النالص( الرأس فً نمطة األصل ) : هو مجموعة نماط المستوي) تساوي عددا ثابتا لٌمته تساوي ) 𝟐( (
التً ٌكون مجموع بعدي أي نمطة منهذا عذن نمطتذٌن ثذابتتٌن تسذمٌان البإرتذان
معادلة المطع النالص الذي بإرتا تنتمٌان لمحور السٌنات ) (x-axisومركز نمطة األصل ) تعرٌف القطع الناقص( ( 𝟐) (√ 𝟐)𝟎 𝟐)𝟎 (√ ( 𝟐) 𝟐 𝟐)𝟎
𝟐
𝟐 )بتربٌـــــــع الطرفٌن ( 𝟐)𝟎 𝟐 𝟐 𝟐) ( 𝟐) 𝟐 )𝟒 ( )بتربٌـــــــع الطرفٌن ( 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
حٌث 𝟎
𝟐
𝟐)
( (
𝟐)
𝟐 𝟐 𝟐 (√ 𝟒 𝟐 𝟒 𝟐) ( 𝟐) (√ 𝟒 𝟒 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 √ 𝟐 (𝟐 𝟐 )𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐
[
)𝟐 )𝟐 𝟐
𝟒
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 (𝟐
𝟐 𝟐
)𝟐
𝟐 (𝟐
(
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
) معادلة القطع الناقص ( 𝟏
حٌث أن )
( )
(√ (√ 𝟐
𝟐 𝟐
]نفرض
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
(
وبإرتا هً )𝟎 ( 𝟏 )𝟎 رأسا المطع النالص هما )𝟎 ( 𝟏 )𝟎 (𝟐 بذذذنفس األسذذذلوب ٌمكننذذذا أٌجذذذاد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي بإرتذذذا تنتمٌذذذان لمحذذذور الصذذذادات وهذذذً (𝟐
𝟏 )
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟎( 𝟏
)
حٌذذذذث أن رأسذذذذذا المطذذذذذع النذذذذذالص همذذذذذا ) 𝟎( 𝟐
74
𝟎( 𝟏
)
𝟎( 𝟐
وبإرتذذذذذا هذذذذذً
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الحظ الشكل التالً :
مالحظات : ① دائما )
( )
② طول المحور الكبٌر
𝟐
③ طول المحور الصغٌر ④ البعد بٌن البإرتٌن ⑤ دائما ٌكون
( حٌث أن )𝟎
𝟐
(
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 √
⑥االختالف المركزي
( ولٌمة )
حٌث ٌالحظ أنه ٌكون )𝟏
𝟐
𝟐
√
⑦ مساحة المطع النالص 𝟐 𝟐+
⑧ محٌط المطع النالص
𝟐
√ 𝟐
𝟐𝟐
حٌث أن ) 𝟕
(
𝟐
⑨ النسبة بٌن طول محورٌه ⑩ أذا مر المطع بنمطة أحد إحداثٌاتها صفر فاإلحداثً الثانً هو أما ) ( أو ) ( واألكبر هو) ( واألصغر هو ) ( ⑪ الحظ الجدول أدنا : لطع نالص بإرتا على محور السٌنات لطع نالص بإرتا على محور الصادات 𝟐
المعادلة 𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
البإرتان ) الرأسان ) 𝟎( 𝟏
𝟎( 𝟏
المعادلة ) )
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟎( 𝟐
البإرتان )𝟎
(𝟏
)𝟎
(𝟐
𝟎( 𝟐
الرأسان )𝟎
(𝟏
)𝟎
(𝟐
75
(
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مثال ( /)9فً كل مما ٌؤتً جد طول كل من المحورٌن وأحداثً كل من البإرتٌن والرأسٌن واالختالف المركزي 𝟐
𝟒 𝟑
𝟐
𝟐
𝟑
𝟏
𝟒 ②
𝟐
𝟔𝟏
①
𝟓𝟐
الحل )(1
بالممارنة مع المعادلة المٌاسٌة للمطع النالص 𝟑
𝟗
c
𝟔𝟏
𝟐
𝟓𝟐
𝟏 𝑎2
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟒
البؤرتان )𝟎 𝟑
(𝟐
𝟓𝟐
𝑎2
طول المحور الكبٌر
وحدة 𝟎𝟏
)𝟓(𝟐
𝟐
طول المحور الصغٌر
وحدة 𝟖
)𝟒(𝟐
𝟐
البعد البؤري
وحدة 𝟔
)𝟑(𝟐
𝟐
𝟔𝟏
b
)𝟎 𝟑(
𝟐
𝟓
𝑎
الرأسان )𝟎 𝟓
𝟏
االختالف المركزي
(𝟐
)𝟎
𝟓( 𝟏
𝟑
𝟏
𝟓
الحل )(2 𝟑 𝟒 𝟐
𝟏
𝟏 𝟑
c
𝟏 𝟗
𝟏 𝟑
𝟒 𝟗
𝟐
𝟏 البؤرتان 𝟑
𝟐
𝟒 )𝟗( 𝑎2
𝟎
𝟐
𝟏 )𝟑( 𝟏
𝟐
𝟑√
𝟏 𝟑
𝟏
𝟐 𝟗 𝟒
b
𝟏 𝟑
𝟐
𝟐 𝟑
𝟐
طول المحور الصغٌر
وحدة 𝟐 الرأسان 𝟑
𝟏
𝟏
𝟐 𝟑 𝟒 ) 𝟑(
𝟏
𝟏 )𝟑(
طول المحور الكبٌر
االختالف المركزي
76
×
وحدة
𝟎
𝟒 𝟑
𝟐
𝑎 𝟒 𝟑
𝟐 𝟑
𝟐
𝟏
𝟑√
𝟑√
𝟎
𝟑
𝟐 𝟑
𝟐
𝟏
𝟏
𝟑
𝟏
)𝟑 (
𝟐
𝟐
𝟑
𝟐
)𝟑 (
𝟐
𝟒
𝟐 𝟒 𝟒 )𝟑(
𝟒 𝟗
𝑎2
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟎
𝟏
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
مثال ( /)10جد معادلــــــة المطع النالـــص الذي بإرتــــــا )𝟎 )𝟎 𝟓( 𝟏 )𝟎 𝟓 ( 𝟐 ومركز نمطة االصل .
𝟑( 𝟏
ورأســـــا النمطـــــتـــان
(𝟐
)𝟎 𝟑
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الحل/
∵ البإرتان والرأسان ٌمعان على محور السٌنات والمركز فً نمطة األصل ⇐
𝟔𝟏
𝟐𝒃
𝟔𝟏
𝟗
𝟓𝟐
𝟐𝒂
𝟐𝑪
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟗
𝟐𝑪
𝟑
𝟓𝟐
𝟐𝒂
𝟓
𝟐𝒃
𝟐𝒃
معادلة القطع الناقص
𝟏
𝟐𝑪
𝟐𝒂 𝟐
𝟐
𝟔𝟏
𝟓𝟐
مثال ( /)11جد معادلـــة المطع النالــــــص الذي مركز نمطة األصل وٌنطبك محورا على المحورٌــــن اإلحداثٌٌن وٌمطع من محور السـٌنات جزءا ً طوله )𝟖( وحدات ومن محور الصادات جزءا ً طوله )𝟐𝟏(وحدة,ثم جد المسافة بٌن البإرتٌن ومساحة منطمته ومحٌطه . الحل/ )البؤرة تقع على الصادات( 𝟔𝟑 6
𝟐𝒂
𝟔
𝒂
𝟐𝟏
𝑏2
4
b
𝟖
𝟐
𝟔𝟏
𝟎𝟐
المحور الصغٌر
𝟐
) معادلة القطع الناقص( 𝟔𝟑
المحور الكبٌر
𝟐𝒚 𝟔𝟑
𝟏 𝟐𝒄
𝟐𝒄
𝟓√𝟐 ) انمسافت بيه انبؤرتيه( )وحدة مربعة ( 𝟐𝟓 √ 2 2
24 𝟔𝟏 2
77
𝟎𝟐√
𝐜
𝟓√𝟒
𝟓√𝟐 𝟔
𝐜𝟐 انمساحت
2
2
2
√ 2
)وحدة ( 𝟓√ 𝟑
𝟐𝒃
𝟐𝒂
)(6)(4
𝟔𝟑 √ 2
𝑥2 𝟔𝟏
𝟔𝟐√2
انمحيط 𝐩
االختالف المركزي
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة 𝟐
مثال ( /)12لتكن 𝟔𝟑 )𝟎 𝟑√( جد لٌمة
𝟒
𝟐
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
معادلـــة لطع نالـــــــص مــركز نمطة األصـــــل وأحدى بإرتٌــــــــه وزاري / 2015د1
الحل/ )𝟔𝟑 ( 𝟏
∵ البإرة )𝟎 𝟑√( تنتمً لمحور السٌنات
⇐ المانون
𝟔𝟑
𝟑
𝑎2
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
)
𝟏 (
𝟐
𝟑
𝟔𝟑
𝟐𝟏
𝟗
𝟔𝟑
𝟐
𝟗
𝟔𝟑 𝟐𝟏
𝐤
𝟏
𝟐
𝟐
𝟑
𝟗
𝟔𝟑
𝟐
𝟐
𝟒
𝟐
𝟐 𝟒 𝟔𝟑
𝟔𝟑
𝟑√
𝟔𝟑
𝟐𝒄
𝟐𝒂
𝟐𝒃
مثال ( /)13جد معادلـــة المطع النالــص الذي مركز نمطة األصل وبإرتا على محور الســــــٌنات والمسافة بٌن البإرتٌن )𝟔( وحدات والفرق بٌن طولً المحورٌن )𝟐( وحدة . الحل/ 3 𝟏 𝟓
𝒂
𝟒
𝐛
𝟐
𝟖
𝟐𝒃
𝟗
𝟐𝒃
𝟐
𝟏 𝟗
𝟏
𝟐𝒃
𝟐)
𝟏(
) معادلة القطع الناقص(
c
𝟔
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐𝒄
𝟐𝒃
𝟐𝒂
𝟏
𝑦2 𝟔𝟏
𝟐𝒙 𝟓𝟐
مثال ( /)14جد معادلـــة المطع النالـــص الذي مركز نمطــــــة األصــــل وأحدى بإرتٌه بإرة المطـــع المكافــــئ 𝟐𝟏 𝟐 وطول محور الصغٌر ٌساوي )𝟎𝟏( وحدات . 𝟎 الحل /من المطع المكافئ المعطى : البورة) (3
3
p
المطع النالص :البإرتان )𝟎 𝟑 𝟒𝟑
𝑎2
2 (𝟐
𝟗
4p )𝟎 𝟓𝟐
𝟐
𝟒
𝟑( 𝟏
⇐
𝑎2
) بانمقاروت مع(
𝟑 𝟐
𝟐
𝑎2
𝟓
) معادلة القطع الناقص(
78
𝟐𝟏
𝟐
𝟎𝟏 𝟏
𝑦2 𝟓𝟐
𝟐𝒙 𝟒𝟑
𝟐
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مثال ( /)15بؤستخدام التعرٌف ,جد معادلة المطع النالص الذي بإرتا : )𝟎 𝟐 ( 𝟐 والعدد الثابت 𝟔 . )𝟎 𝟐( 𝟏
الحل/
) تعرٌف القطع الناقص( (√ ( 𝟐)𝟐 (√ 𝟐)𝟎 ( 𝟐)𝟐 )𝟑(𝟐 𝟐)𝟎 𝟐 )بتربٌـــــــع الطرفٌن ( 𝟐 (√ 𝟐)𝟐 (√ 𝟔 𝟐)𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( ( 𝟐)𝟐 (√𝟐𝟏 𝟔𝟑 𝟐)𝟐 𝟐)𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟒 (√𝟐𝟏 𝟔𝟑 𝟐)𝟐 𝟒 𝟒 𝟐 )𝟒 ( (√𝟐𝟏 𝟐)𝟐 𝟖 𝟔𝟑 𝟐 𝟐 (√𝟑 )𝟐 𝟐 𝟗 )بتربٌـــــــع الطرفٌن ( 𝟐 )𝟐 (𝟗 𝟒 𝟒 𝟔𝟑 𝟏𝟖 𝟐 𝟒 𝟔𝟑 𝟐 𝟗 𝟔𝟑 𝟏𝟖 𝟐 𝟗 𝟔𝟑 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟓 𝟗 𝟔𝟑 𝟏𝟖 𝟐 𝟐 )𝟓𝟒 ( 𝟓 𝟗 𝟓𝟒 𝟐
𝟐
𝟐
) معادلة القطع الناقص ( 𝟏
مالحظة لرسم لطع نالص ولٌكن المطع 𝟏 ① نعٌن النمطتٌن )𝟎 ② نعٌن النمطتٌن )
(𝟐 𝟎( 𝟐
③ نصل بٌن النماط األربعة ④ نعٌن البإرتٌن )𝟎
𝟐 (𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
)𝟎
(𝟏
)
𝟎( 𝟏
𝟐
)𝟎
𝟏
نتبع الخطوات التالٌة :
𝟏
بالترتٌب حتى ٌتكون منحنً متصل
(𝟏
79
𝟏
𝟐
𝟐
𝟓
𝟗
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
تمارين)𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐(
س / 1عذٌن كذل مذن البذإرتٌن والرأسذٌن والمطبذٌن والمركذز ثذم جذد طذول ومعادلذة كذل مذن المحذورٌن واالخذتالف المركزي نهمطُع انىالصت انمبٕىت معادالتٍا فٓ كم مما ٔأتٓ : 𝟐
𝟏
ⓐ
𝟐
𝟐
الحل/ 𝟏 𝟐√
b
𝟏 𝟐
𝟐
𝑏2
𝟏
𝑎
𝑎2
𝟏
وحدة 𝟐
)طىل انمحىرانكبير (
𝟏 𝟐
𝟏 𝟐√
𝟏 𝟐
𝟐𝒃
𝟏
𝟐𝒂
𝟐𝒄
القطبٌن)طرفا المحور الصغٌر(
𝟏
معادلة المحور الكبٌر )𝟎
( ومعادلة المحور الصغٌر )𝟎
80
𝟏 𝟐√
𝟏 𝟐√ 𝟏
( والمركز )𝟎 𝟎(
𝟏
𝟏 𝟐√
𝟎
𝟐𝒃
𝟐
(𝟐
𝟐𝒂
𝟐
𝟐√
الرأسان )𝟎 𝟏 البؤرتان 𝟎
𝟐
𝟐
𝟏
وحدة 𝟐√
𝟐√
)𝟏(𝟐
𝒂𝟐
𝟐√
𝟐𝒄
)انمسافت بي انبؤرتيه (
𝟏 )𝟐(
𝟏
𝟏
وحدة 𝟐√
)طىل انمحىرانصغير (
𝟐
)𝟎 𝟎
𝟏( 𝟏
𝟏 𝟐√
𝟏 𝟐
𝟐
𝟐√
𝟎
𝟏
𝟏
االختالف المركزي
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐
𝟕𝟏𝟏
𝟗 ⓑ
𝟐
𝟑𝟏
الحل /بالمسمة على )𝟕𝟏𝟏( 𝟐
𝟑
𝟗
b
𝑏2
𝑎
𝟑𝟏√
𝑎2
𝟑𝟏
)طىل انمحىرانكبير (
وحدة 𝟑𝟏√𝟐
)طىل انمحىرانصغير ( 𝟐
𝟒
𝟗
𝟐𝒃
𝟑𝟏
𝟏
𝟐𝒂
)انمسافت بي انبؤرتيه (
معادلة المحور الكبٌر )𝟎
)𝟑(𝟐
𝟐
(𝟐
القطبٌن )𝟑
( ومعادلة المحور الصغٌر )𝟎
)𝟑𝟏√(𝟐
𝟐𝒃
وحدة 𝟒
البؤرتان )𝟎 𝟐 𝟐
𝟑𝟏 𝒂𝟐
𝟐𝒄
الرأسان )𝟎 𝟑𝟏√
𝟏
𝟗
وحدة 𝟔 𝟐𝒄
𝟐
𝟐𝒂
)𝟐(𝟐 )𝟎
𝟐
𝟑𝟏√( 𝟏
(𝟐
)𝟎 𝟐(
𝟏
𝟎( 𝟐
)𝟑 𝟎(
𝟏
االختالف المركزي
𝟑𝟏√
( والمركز )𝟎 𝟎(
س / 2جد المعادلة المٌاسٌة للمطع النالص الذي مركز فً نمطة األصل فً كل مما ٌؤتً : (أ) البإرتان هما النمطتان )𝟎 𝟓( و )𝟎 𝟓 ( وطول محور الكبٌر ٌساوي )𝟐𝟏(وحدة الحل/ 𝟓𝟐
𝟐
𝟓 𝟔𝟑
𝟏𝟏
𝟐𝒃
𝟓𝟐
𝟔𝟑
𝟐𝒄
)𝟎 𝟓 𝟐𝒂
𝟐𝒂
𝟔
81
𝒂
𝟐𝒃
) معادلة القطع الناقص(
(𝟐
𝟐𝒄 𝟏
)𝟎
𝟓( 𝟏
𝟐𝟏
𝟐
𝟐𝒃
𝟐𝒂
y2 𝟏𝟏
𝟐𝒙 𝟔𝟑
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
(ب) البإرتان هما )𝟐
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟎( وٌتماطع مع محور السٌنات عند 𝟒
الحل/ ) البؤرتان تنتمٌان الى محور الصادات(
نمط التماطع مع محور السٌنات عند 𝟒
𝟒
𝟐
𝟐
)𝟐
تمثل المطبٌن وهً )𝟎 𝟒( )𝟎 𝟒 ( 𝟐𝒂
𝟎𝟐
𝟎( 𝟐
⇐
𝟒
𝟐
𝟔𝟏 𝟐𝒄
𝟔𝟏
) معادلة القطع الناقص(
)𝟐
𝟏
𝟎( 𝟏
𝟐𝒂
𝟐𝒃 y2
𝟐𝒙
𝟎𝟐
𝟔𝟏
(ج) أحدى بإرتٌه تبعد عن نهاٌتً محور الكبٌر بالعددٌن 𝟏 𝟓 وحدة على الترتٌب الحل/ 𝑎2
𝟗 𝟒 𝟓
𝟐
3 𝑐2
𝟒
𝑎 2
𝟗
𝟐𝒄
6 𝑐
𝑎2 4
𝟐𝒂
2c 𝟐𝒄
𝟐𝒃
𝟓
𝟏
𝟐
𝟏
𝟓
𝟐
𝟐𝒃
هنان حالتٌن لمعادلة المطع النالص وهما : عندما البإرتان تنتمً لمحور السٌنات ) معادلة القطع الناقص(
𝟏
y2 𝟓
عندما البإرتان تنتمً لمحور الصادات 𝟐𝒙 𝟗
) معادلة القطع الناقص(
82
𝟏
y2 𝟗
𝟐𝒙 𝟓
𝟐𝒂
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
(د) االختالف المركزي
𝟏 𝟐
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
وطول محور الصغٌر )𝟐𝟏( وحدة طولٌة
الحل/ 𝟐 𝟐
𝟒
𝟏 𝟐
c
𝟐
𝟐𝒃
𝟔𝟑 𝟖𝟒
𝟐
44
𝟐𝒂3
𝟐𝒂
𝟐𝒂 𝟒𝟒𝟏 𝟒
𝟐𝒂4
44
𝟏 𝟐
𝑐 𝑎 𝟔
𝟐
𝟐𝟏
𝟐 𝟐
𝒂
𝟔𝟑
𝟒
𝟐
𝟐
𝒄
𝒃
𝟐
𝒂
هنان حالتٌن لمعادلة المطع النالص وهما : عندما البإرتان تنتمً لمحور السٌنات ) معادلة القطع الناقص(
𝟏
y2 𝟔𝟑
عندما البإرتان تنتمً لمحور الصادات 𝟐𝒙 𝟖𝟒
) معادلة القطع الناقص(
𝟏
𝟐𝒙 𝟔𝟑
y2 𝟖𝟒
(هـ) المسافة بٌن بإرتٌه تساوي )𝟖( وحدات ونصف محور الصغٌر ٌساوي ) (3وحدة الحل/ b2
9 6 𝟓𝟐
3 c2
𝟐𝒂
𝑏
𝟏 ) 𝟐( 𝟐
𝟑
𝟒 𝟔𝟏
𝟗
𝟐𝒄
𝟖
𝟐
𝟐𝒃
𝟐𝒂
هنان حالتٌن لمعادلة المطع النالص وهما : عندما البإرتان تنتمً لمحور السٌنات ) معادلة القطع الناقص(
𝟏
y2 𝟗
عندما البإرتان تنتمً لمحور الصادات 𝟐𝒙 𝟓𝟐
) معادلة القطع الناقص(
83
𝟏
y2 𝟓𝟐
𝟐𝒙 𝟗
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
س / 3باستخدام التعرٌف جد معادلة المطع النالص أذا علم : ⓐبإرتا النمطتان )𝟐
𝟎( ومركز فً نمطة االصل .
𝟎( ورأسا النمطتان )𝟑
الحل/ 𝟐
𝟑 ) حسب التعرٌف( )𝟑(𝟐
𝟐)𝟐
𝟐)𝟎
( 𝟔
) بتربٌع الطرفٌن وفك األقواس( 𝟒
𝟒
𝟐
𝟐
𝟐)𝟐
𝟐)𝟐
(
𝟔𝟑
𝟖
𝟐)𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟒
𝟒
) 45
) معادلة القطع الناقص(
84
𝟔
𝟐)𝟐
(
𝟐
√
√𝟐𝟏
𝟔𝟑 𝟔𝟑
√
𝟐)𝟐
(
𝟐
√
𝟗
𝟐)𝟎
(√ √
𝟔𝟑
) بتربٌع الطرفٌن وفك األقواس(
𝟏𝟖
𝟐
𝟐
(
𝟒
)𝟒 (
𝟏𝟖
𝟐
(
( 𝟐
𝟐)𝟐
(√
𝟐)𝟐
𝟐
𝟏
)𝟒
𝟐
𝟒
𝟐
(
𝟐)𝟐
𝟐
𝟐
(
𝟒
𝟐
√𝟐𝟏 √𝟑
𝟐
(𝟗
𝟔𝟑
𝟐
𝟗
𝟐
𝟗
𝟔𝟑
𝟏𝟖
𝟐
𝟓
𝟐
𝟗
(
𝟓𝟒
𝟐
𝟓
𝟐
𝟗
𝟔𝟑
𝑦2 9
𝑥2 5
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
ⓑالمسافة بذٌن البذإرتٌن )𝟔( وحذدة والعذدد الثابذت )𝟎𝟏( والبإرتذان تمعذان علذى محذور السذٌنات ومركذز فذً نمطة االصل . الحل/ البؤرتان )𝟎 𝟑 ( الراسان)𝟎 𝟓 (
𝟑
𝟔 𝟎𝟏
𝟓
𝟐 𝟐
وباالعتماد على تعرٌف المطع النالص 𝟐 )𝟓(𝟐
𝟐)𝟎
) بتربٌع الطرفٌن وفك األقواس( 𝟐
𝟗
𝟔
𝟐
𝟐
(
𝟐)𝟑
𝟎𝟏
𝟐
𝟐
𝟐)𝟎
(√ 𝟐)𝟑
𝟐)𝟑
(√
𝟐
𝟐)𝟑
(√
(√
𝟐
𝟐)𝟑
(√
𝟎𝟏
𝟐
𝟐)𝟑
(√
𝟐)𝟑
(√𝟎𝟐
𝟎𝟎𝟏
)𝟒 (
𝟎𝟎𝟏
𝟐𝟏
(
𝟐 𝟐
𝟗 𝟐)𝟑
𝟐 𝟐)𝟑 𝟑 𝟓𝟐 ) بتربٌع الطرفٌن وفك األقواس( )𝟐 𝟐 𝟔 𝟗 𝟗 𝟎𝟓𝟏 𝟓𝟐𝟔 𝟐 𝟐 𝟎𝟓𝟏 𝟓𝟐 𝟓𝟐𝟐 𝟗 𝟎𝟓𝟏 𝟓𝟐𝟔 𝟐 𝟓𝟐 𝟓𝟐𝟐 𝟓𝟐𝟔 )𝟎𝟎𝟒 ( 𝟎𝟎𝟒 𝟐 𝟓𝟐
) معادلة القطع الناقص(
85
𝟏
𝑦2 6
𝟔
𝟐
(√𝟎𝟐 (√𝟓 𝟐 (𝟓𝟐 𝟐 𝟓𝟐 𝟐 𝟔𝟏 𝟐 𝟔𝟏
𝑥2 25
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
وزاري / 2014د2 س / 4جذذد معادلذذة المطذذع النذذالص الذذذي مركذذز فذذً نمطذذة االصذذل واحذذدى بإرتٌذذه هذذً بذذإرة المطذذع المكذذافئ الذي معادلته )𝟎 𝟖 𝟐 ( علما ان المطع النالص ٌمر بالنمطة )𝟑√ 𝟑√𝟐( الحل /فً المطع المكافئ : البورة)𝟎 𝟐 (
𝒑
𝟐
𝟒
𝟖
) بانمقاروت مع(
𝟐
𝟒
𝟐
𝟖
فً المطع النالص : البإرتان )𝟎 𝟐 ( )𝟎 𝟐(
⇐
والمانون هو
𝟐
𝟏
𝟐𝒚
𝟐𝒙
𝟐
𝟐𝒂
النمطة )𝟑√ 𝟑√𝟐( تحمك معادلة المطع النالص ألنه ٌمر بها ) معادلة ①(
𝟐𝒂
𝟐
𝟐 𝒂𝟑
𝟐
𝟏
𝟐𝟏
𝟑
𝟐𝟏
𝟐
𝟐𝒂
) وعىض في①( 𝟎
𝟐𝟏
𝟐
𝟏𝟏
𝟐
𝟒
𝟒
𝟒
𝟐𝒃𝟑
𝟐𝟏
𝟐
𝟐
)𝟑√(
𝟏 𝟐𝒃
𝟒 𝟐
𝟐𝟏
)𝟒
𝟎
𝟐𝒂
𝟐𝒄 𝟐
)𝟒
𝒃(
)𝟑√𝟐(
𝟐
𝟐𝒂 𝟐
𝟐
𝟐
)𝟏
𝟐𝒂
𝟐𝒃 𝟐
𝒃(𝟑
𝟐
()𝟐𝟏
𝟐 𝟐𝟏 𝟔𝟏 𝟐 𝒚 ) معادلة القطع الناقص( 𝟏 𝟐𝟏 ٌهمل 𝟏
𝟐𝟏 (
𝟐
𝟐𝒙 𝟔𝟏 𝟐
س / 5جذذذد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي مركذذذز فذذذً نمطذذذة االصذذذل وبإرتذذذا علذذذى محذذذور السذذذٌنات وٌمذذذر بالنمطتٌن )𝟐 𝟔( )𝟒 𝟑( ∵ البإرتان على محور السٌنات ⇐ المانون هو
الحل/
𝟏
𝟐𝒚
𝟐𝒙
𝟐
𝟐𝒂
∵ النمطة )𝟐 𝟔( تحمك معادلة المطع النالص ألنه ٌمر بها ) معادلة ①(
𝟐
𝟐𝒂
𝟐
𝟐 𝒂𝟒
𝟏
𝟔𝟑
𝟒
𝟔𝟑
𝟐
𝟐𝒂
∵ النمطة )𝟒 𝟑( تحمك معادلة المطع النالص ألنه ٌمر بها ) معادلة ②( 𝟐 𝟐𝒂 𝟐𝒂𝟔𝟏 𝟐 𝟗 وبحل المعادلتٌن انٌا بالطرح نحصل على المعادلة التالٌة 𝟐 𝟗 𝟒 𝟒 𝟗 𝟒
) وعىض في①( 𝟒
𝟗 𝟓𝟒
𝟐
𝟎𝟖𝟏 𝟐
𝟎𝟐
𝟐
𝟐𝒂 𝟐
𝟐
𝟓𝟒 𝟎
𝟐
)𝟎𝟐
𝟏
𝟐𝒂𝟒
𝟗
𝟐 𝟗 𝟒 𝟐
(
𝟐
𝟔𝟏
𝟐
𝟐
𝟗
𝟕𝟐 𝟐
𝟎
𝟗
𝟐
𝟐𝒂𝟐𝟏
𝟔𝟑 𝟐
𝟎𝟐
𝟐)𝟑(
𝟐
𝟐𝒂
𝟐𝒂𝟐𝟏
𝟐 𝟗 𝟒
𝟒
𝟐𝒂
𝟐)𝟒(
𝟎
) معادلة القطع الناقص(
86
𝟐
𝟏
𝟐𝒂
𝟐
𝟐)𝟐(
𝟏
𝟐)𝟔(
𝟐 𝟗 𝟒 𝟐
𝟎
𝟏
𝟐
𝟒
𝟎𝟖𝟏
𝟐𝒚 𝟎𝟐
𝟕𝟐 𝟐
𝟒
𝟐𝒙 𝟓𝟒
𝟔𝟑 𝟗
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
س / 6جـــــذذذـد معادلــــــذذذـة المطذذذع النالـــــذذذـص الذذذذي مركذذذز نمطذذذة االصــذذذـل وبإرتذذذا نمطتذذذا تمذذذاطع المنحنذذذً 𝟐 𝟐 𝟐 مع محور الصادات وٌمس دلٌل المطع المكافئ 𝟐𝟏 𝟑 𝟔𝟏 الحل ∵ /المنحنً )𝟔𝟏
𝟑
𝟐
𝟐
( ٌمطع المحور الصادي ⇐
𝟎 𝟒
البإرتان )𝟒
𝟎( )𝟒 𝟎(
⇐
𝟐
𝟔𝟏
والمانون هو
𝟔𝟏
𝐲
𝟏
𝟐
𝟐𝒚
𝟐𝒙
𝟐𝒂
𝟐
من المطع المكافئ المعطى 𝟑
𝟐𝟏
𝒑
𝟒
𝟐
𝟒
وقطت انتماس )𝟎 𝟑 (
𝟐𝟏
𝟐
𝐩
𝐱
) بانمقاروت مع(
دنيم انقطع انمكافئ 𝟑
𝒙
∵ النمطة )𝟎 𝟑 ( تحمك معادلة المطع النالص ألنه ٌمر بها 𝟐
𝟗
𝟗
𝟏
𝟐𝒃
𝟐𝒂
𝟓𝟐
𝟐)𝟎(
𝟏 6
𝟐𝒂
𝟐
𝑐2
9
) معادلة القطع الناقص(
𝟐)𝟑 (
𝟏
𝑏2 𝟐𝒚 𝟓𝟐
𝑎2 𝟐𝒙 𝟗
س / 7جـــــــــد معادلة المطع النذالص الذذي بإرتذا تنتمذً الذى محذور الســــــــذـٌنات ومركذز فذً نمطذة األصــذـل 𝟖 𝟐 عنذذد النمطذذة التذذً وطذذول محذذور الكبٌذذر ضذذعف طذذول محذذور الصذذغٌر وٌمطذذع المطذذع المكذذافئ 𝟎 احداثٌها السٌنً )𝟐 ( الحل ∵ /البإرتان تنتمً لمحور السٌنات
المانون هو
⇐
𝟏
𝟐𝒚
𝟐𝒙
𝟐
𝟐𝒂
∵ طول المحور الكبٌر ضعف طول المحور الصغٌر 𝟐
من المطع المكافئ المعطى نعوض لٌمة )𝟐 𝟎
𝟒
النقطتان )𝟒
𝟔𝟏
𝟐
𝟒
𝟐
) 𝟐 (𝟐
𝟐
𝟐
(
𝟎
𝟔𝟏
𝟐
𝟎
𝟐
)𝟐 (𝟖
𝟎
𝟐
𝟖
𝟐 ( )𝟒 𝟐 ( تنتمً للمطع المكافئ والمطع النالص لذا فهً تحمك معادلة المطع النالص 𝟏
𝟔𝟏
𝟏
𝟐
𝟐
𝟏
𝟔𝟏 𝟐
𝟒 𝟐 𝟒
𝟏
𝟒 𝟐𝒂
𝟔𝟏 𝟐
𝟕𝟏 𝟖𝟔
𝟐
) معادلة القطع الناقص(
87
𝟏
𝟐)𝟒( 𝟐
𝟐
𝟏 )𝟕𝟏(𝟒 𝟏
𝟐
𝟐𝒚 𝟕𝟏
𝟒
𝟐)𝟐 ( 𝟐𝒂 𝟕𝟏 𝟐 𝟐
𝟐𝒙 𝟖𝟔
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐 𝟐 و مركز نمطة االصل ومجموع مربعً طولً محورٌه س / 8لطع نالص معادلته 𝟔𝟑 𝟑√𝟒 𝟐 ما لٌمة كل من ٌساوي )𝟎𝟔( واحد بإرتٌه هً بإرة المطع المكافئ الذي معادلته
من المطع المكافئ المعطى
الحل/
𝟐
𝟒
) بانمقاروت مع(
𝟑√𝟒
𝒑
𝟑√𝟒
البؤرة )𝟎 𝟑√( 𝟐
بإرتا المطع النالص )𝟎 𝟑√ ( )𝟎 𝟑√( ⇐ 𝟑
𝟑√
⇐ المانون
𝟏
)𝟔𝟑 ( 𝟔𝟑
𝟔𝟑
𝟐
𝟐
𝟐𝒂 𝟐
𝟔𝟑
𝟐𝒂
𝒉
𝟐𝒚
𝟐𝒙
𝟐
𝟒
𝟐
𝟐𝒚
𝟏
𝟐𝒙 𝟔𝟑
𝟔𝟑
)𝒉(
) (
∵ مجموع مربعً طول محورٌه = 𝟎𝟔 𝟐
𝟐
𝟓𝟏 𝟗
𝟓𝟏
𝟐
𝟔
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐𝟏
𝟐
𝟎𝟔 𝟐
𝟐
𝟒 𝟐
3
𝟒
𝟐) 𝟐(
𝟎𝟔
𝟐
𝟐
𝟐
𝟓𝟏 𝟔𝟑 𝟗 𝟔𝟑 𝟔
𝟒 𝟔
𝟐) 𝟐( 𝟐
𝟔𝟑 𝒉 𝟔𝟑 𝒌
𝟐𝒂 𝟐𝒃
س / 9جـــذـد معادلــذـة المطذع النالــذـص الذذي مركذز نمطـــــــذـة االصـــــــذـل واحـــذـدى بإرتٌذه هذً بذإرة المطذع المكافئ 𝟒𝟐 𝟐 ومجموع طولً محورٌه )𝟔𝟑( وحدة . وزاري / 2012د3 الحل /من المطع المكافئ المعطى 𝟒
𝟐
) بانمقاروت مع(
البؤرة )𝟔 𝟎(
بإرتا المطع النالص )𝟔 𝟎( )𝟔
𝟎( ⇐ 𝟔𝟑 𝒃
36
𝟐
𝟐
𝟒𝟔
𝟔𝟑 𝟐
𝟐
𝟖𝟏
𝟒𝟐𝟑
𝟖
⇐ المانون 𝟖𝟏
𝒂 36
𝐛
𝟐
288 𝟎𝟎𝟏
𝟐
𝟔
𝟐
𝒃
)𝒃
𝒂
𝟎𝟏
𝟐𝒚
𝟐𝒙
𝟐𝒂
𝟐
𝟖
𝒃 𝟏
𝟐
𝟐
𝟔𝟑
𝟖𝟏
𝟒
𝟐
𝟐
36
) معادلة القطع الناقص(
88
𝟒𝟐
𝟔𝟑
𝟖𝟏(
𝟔𝟑
𝟒𝟐
𝐩
𝟏
𝟐
𝟐
𝟒𝟐𝟑 𝟖𝟏
𝒂
𝟐𝒚 𝟎𝟎𝟏
𝟐𝒙 𝟒𝟔
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
س / 10جذد معادلذة المطذع النذالص الذذي بإرتٌذه )𝟎 ٌساوي )𝟒𝟐( وحدة . بحٌث أن محٌــــــط المثلث 𝟐 𝟏
𝟒( 𝟐
)𝟎 𝟒 ( 𝟏 والنمطذة وزاري / 2014د1
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
تنتمذً للمطذع النذالص
الحل/ )𝟎 𝟒( 𝟐
𝟔𝟏
∵ محٌــــــط المثلث
𝟐 𝟏
)𝟎 𝟒 ( 𝟏
𝟐𝐂
𝟒
ٌساوي )𝟒𝟐( وحدة وحسب تعرٌف المطع النالص : )معادلة ① ( 𝟒𝟐 وحدة 𝟖
) المسافة بٌن البؤرتٌن(
) حسب تعرٌف القطع الناقص(
𝟐 𝟏
)𝟒 (𝟐
𝟐
𝐂𝟐
𝒂𝟐
𝟐
𝟏 𝟐 𝟏 𝟏
وبالتعوٌض فً )معادلة ① ( نحصل على ما ٌلً : 𝟒𝟔 𝟖𝟒
𝟐
𝟐
𝟖 𝟔𝟏
𝟒𝟔
𝒂
𝟐
بإرتا المطع النالص )𝟎 𝟒( )𝟎 𝟒 ( ⇐ المانون
6
𝟏
𝟔𝟏
𝟐
𝟐
𝟒𝟔
𝟐𝒚
𝟐𝒙
𝟐
𝟐𝒂
) معادلة القطع الناقص(
89
𝟒𝟐 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐𝒚 𝟖𝟒
𝟐
𝟖 𝟐
𝟐𝒙 𝟒𝟔
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
أمثلة أضافٌة محلولة مثال /لكل مما ٌؤتً جد معادلة المطع النالص الذي : ⓐبإرتا )𝟎 𝟑( )𝟎 𝟑 ( وطول المحور الكبٌر ) 𝟎𝟏 وحدات( ومركز نمطة األصل 𝟔𝟏
𝟒
𝟗
𝟐𝒄
𝟓𝟐
𝟐𝒃
𝟐𝒂
𝟓
𝟑
𝟎𝟏
) معادلة القطع الناقص(
ⓑرأسا )𝟔 𝟎( )𝟔
𝟏
𝑦2 𝟔𝟏
𝟐
𝟐𝒙 𝟓𝟐
𝟎( وطول المحور الصغٌر ) 𝟖 وحدات( ومركز نمطة األصل 𝟒
𝟔
𝟖
) معادلة القطع الناقص(
𝟏
𝑥2 𝟔𝟏
𝟐 𝟐𝒚 𝟔𝟑
𝟑
ⓒأحدى بإرتٌه )𝟒 𝟎( ومركز نمطة األصل والنسبة بٌن طول محور الصغٌر والمسافة بٌن بإرتٌه تساوي )𝟒( 𝟓
𝟓𝟐
𝟔𝟏
𝟗
𝟐𝒄
𝟐𝒃
𝟐𝒂
𝟑
𝟑 𝟒
𝟒
) معادلة القطع الناقص(
𝟏
𝑥2 𝟗
𝟐 𝟐 𝟐𝒚 𝟓𝟐
ⓓمركز نمطة األصل وٌمر بالنمطتٌن )𝟎 𝟒 ( )𝟑 𝟎( ثم جد مساحته ومحٌطه ) معادلة القطع الناقص(
)وحدة (
𝟏
2
)وحدة مربعة (
𝟐√5
𝑦2 𝟗
𝟓𝟐 √ 2 2
90
𝟐𝒙 𝟔𝟏
𝟑
)(4)(3 𝟗 2
𝟔𝟏 √ 2
𝟒 انمساحت
2
2
2
√ 2
انمحيط
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
ⓔمركز نمطة األصل وأحد لطبٌه ٌمر بؤحدى نمطتً تماطع المستمٌم الحل /ألٌجاد نمط التماطع نجعل )𝟎 )𝟎 𝟒(
𝟖
) معادلة القطع الناقص(
𝟖
𝟐
( ثم نجد لٌم ) ( ثم نجعل )𝟎 𝟎
𝒙𝟐 𝑦2 𝟒𝟔
𝟏
𝟐𝒙 𝟔𝟏
( ألٌجاد لٌم ) ( )𝟖 𝟎(
𝒚 𝒇𝒊 ) القانون ( 𝟏
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟖
𝑦2
𝟐𝒙
𝟐
𝟐
𝟎
𝒚
𝟖
𝟒
ⓕمركز نمطة األصل ومحور الكبٌر ٌنطبك على محذور السذٌنات والبعذد الثابذت لذه )𝟎𝟏 وحدات( وطذول محذور الصغٌر )𝟔 وحدات( ) معادلة القطع الناقص(
ⓖأحدى بإرتٌه )𝟑
𝑦2 𝟗
𝟏
𝟐𝒙 𝟓𝟐
3
𝟔
b
𝟐
𝟓𝟐𝟐
𝟎𝟏
𝟒
𝟎( ومركز نمطة األصل والنسبة بٌن طول محورٌه تساوي )𝟓( 𝟒 𝟓
𝟐𝒂𝟓𝟐
𝟓
𝟐
𝟐𝒂𝟔𝟏
𝟗
𝟐𝒂
𝟗
𝟓𝟐
𝟔𝟏
𝟐 6 𝒂 25 𝟐𝒄
𝟐𝒄 𝟐𝒂
𝒃
𝟐𝒂
𝟐𝒃
𝟒 𝟓
𝟐 𝟐
𝟐𝒃
𝟐𝒄
𝟐𝒂
𝟓𝟐
) معادلة القطع الناقص(
𝟑 𝟐𝒃
𝟓𝟐𝟐 𝟏
𝑥2 𝟔𝟏
𝟐𝒂 𝟐𝒂𝟗 𝟐𝒚 𝟓𝟐
𝟏
ⓗأحدى بإرتٌه )𝟎 𝟒( ومركز نمطة األصل واختالفه المركزي )𝟐( 𝟖𝟒
𝟐𝒃
𝟔𝟏
𝟒𝟔
𝟐𝒄
𝟐𝒂
𝟐𝒃
𝟖
4 𝑎
𝟏 𝟐
) معادلة القطع الناقص(
91
𝟒
𝟏
𝟐𝒚 𝟖𝟒
𝑥2 𝟒𝟔
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎 𝟑
ⓘمركز نمطة األصل وبإرتا تنتمٌان لمحور السٌنات ومساحته ) 𝟒𝟐( والنسبة بٌن طول محورٌه )𝟖( ) معادلة 𝟖
𝟗
𝟑
𝑏2
𝟐𝟕
(
𝑏8 𝟑
8𝑏 2
24 𝑏
𝑎
24 𝑏
𝟒𝟐
𝑏8 𝟑
𝑏8
𝟑 𝟖
𝑎3
) معادلة القطع الناقص(
𝟐 𝟐
𝟐𝒚 𝟗
𝟏
𝑥2 𝟒𝟔
ⓙمركز نمطة األصل ومحورا ٌنطبمان على المحورٌن اإلحداثٌٌن وأحدى بإرتٌه هً بإرة المطذع المكذافئ الذذي 𝟐𝟏 𝟐 ( وطول محور الكبٌر ضعف طول محور الصغٌر معادلته )𝟎 الحل /من المطع المكافئ : البورة)( 3
p
3
4p
2
𝟐
𝟒
) بانمقاروت مع(
𝟐
𝟐𝟏
من المطع النالص : البإرتان )𝟑 𝟑
𝟐
𝟗
𝟎( )𝟑 𝟎( 𝟐
𝟑
𝟗
𝟐
⇐ 𝟐
) معادلة القطع الناقص(
⇐المانون هو
𝟑 𝟗
𝟒 𝟏
𝑦2 𝟐𝟏
𝟐
𝟏
(𝟐 )2
𝟐𝒙 𝟑
𝟐
2
𝟐𝟏
𝑦2
𝟐𝒙
𝑎2
𝟐
𝟐
𝑎
𝑎2
𝟐 𝟐
)𝟑(𝟒
𝟒
2
𝑎
ٌ ⓚمر بالنمطة )𝟑 𝟎( والمسافة بٌن بإرتٌه )𝟔 وحدات(
) ألنه يمر بالنقطة( )توجد معادلتٌن للقطع الناقص( ) معادلة القطع الناقص الثانٌة (
𝟏
𝑦2 𝟗
𝟐𝒙 𝟖𝟏
92
𝟖𝟏
𝟐𝒂
𝟗
𝟗
𝟐𝒂
) معادلة القطع الناقص األولى (
3
c
3
b 𝟐𝒄 𝟏
𝟔
𝟐
𝟐𝒃
𝟐𝒂
𝑦2 𝟖𝟏
𝟐𝒙 𝟗
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مثال /جذد طذول كذل مذن المحذورٌن والبعذد البذإري وإحذداثٌات البذإرتٌن والرأسذٌن واالخذتالف المركذزي والمحذٌط والمساحة لمعادلة المطع التالٌة 𝟎𝟎𝟒 𝟐 𝟓𝟐 𝟐 𝟔𝟏 𝟏 𝟑
𝟗
c
𝟐
𝟐
𝟔𝟏
𝟓𝟐
𝟔𝟏
𝟐
𝟓𝟐
)المحور الصغٌر ( وحدة
𝟐 𝟓𝟐 𝟎𝟎𝟒
𝟏 𝑎2 )𝟒(𝟐
𝟖
𝟐
𝟐 𝟔𝟏 𝟎𝟎𝟒
𝟒
𝟐
)𝟎𝟎𝟒 ( 𝟎𝟎𝟒 𝟔𝟏
b
𝟐
𝟐
𝟓
𝟐
مثذذذذال /لذذذذتكن 𝟎𝟎𝟒
محور الكبٌر ومحور الصغٌر
𝟒 𝟓
𝑎2
𝟓𝟐
)المحور الكبٌر ( وحدة 𝟎𝟏
)𝟓(𝟐
𝟔
)𝟑(𝟐
𝟐
الرأسان )𝟎 𝟓 ( )𝟎 𝟓( 𝟑 𝟓
2
االختالف المركزي
)(5)(4
𝟏𝟒 √ 2 )وحدة ( 2
𝟔𝟏
𝟐
البؤرتان )𝟎 𝟑 ( )𝟎 𝟑(
𝟐
𝟓𝟐
𝑎
)البعد البؤري( وحدة
)وحدة مربعة (
𝟐
𝟔𝟏 2
𝟓𝟐 √ 2
انمساحت 2
2
2
√ 2
انمحيط
معادلذذذذة لطذذذذع نذذذذالص احذذذذدى بإرتٌذذذذه )𝟎 𝟑( والنسذذذذبة بذذذذٌن طذذذذول
فجد لٌم كل من
انحم / 𝟐
𝟏 )
𝟎𝟎𝟒
𝟐
(
)
𝟏
𝟎𝟎𝟒
(
𝟐
𝟐
𝟎𝟎𝟒
𝟎𝟎𝟒
)𝟎𝟎𝟒 (
𝟎𝟎𝟒
𝟐
𝟐
∵ البإرة تنتمً لمحور السٌنات المانون
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
⇐
𝟎𝟎𝟒
𝑎2
𝟎𝟎𝟒
𝟐 𝟔𝟏 𝟓𝟐
𝟐
𝟑
𝑏2
𝟗
93
𝟒 𝟓 𝟐
𝟔𝟏 𝟓𝟐
𝟐
𝟐𝒄
𝟒 𝟓
𝟐 𝟐
𝟐𝒃
𝟐𝒂
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة 𝑏2
𝟔𝟏
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد 𝟐
𝟓𝟐
𝟓𝟐𝟐
𝟐
𝟗
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎 𝟐
𝟓𝟐𝟐
𝟔𝟏
𝟎𝟎𝟒 𝟓𝟐
𝟔𝟏
) معادلة القطع الناقص (
بٌن بإرة المطع المكافئ )𝟎
𝟐
𝟒𝟐
𝟎𝟎𝟒 𝟐
𝟎𝟎𝟒 𝟔𝟏
𝟓𝟐
مثذذذال /جذذذد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي مسذذذاحته )
𝟐
𝟓𝟐
𝟎𝟎𝟒 𝟐
𝑦2 𝟔𝟏
𝟏
𝟐𝒙 𝟓𝟐
𝟎𝟖( والذذذذي ٌكذذذون البعذذذد بذذذٌن بإرتٌذذذه مسذذذاوٌا للبعذذذد
( ودلٌله
انحم /من المطع المكافئ 𝟒 2
𝟐
) بانمقاروت مع( 6
|2|p 36
𝟒𝟐
p
𝑐2
24 6
𝟐
4p
c
2
2
من المطع النالص : )معادلة
𝟎𝟎𝟒𝟔 ( 𝑎2 𝟎
𝟐
𝟎𝟖
𝟎𝟎𝟒𝟔
𝟑𝟔𝑎2
𝟎𝟖 𝟒
𝟔𝟑
𝟎𝟎𝟒𝟔 𝑎2
𝑎2 𝟎
يهمم 64
) معادلة القطع الناقص الثانٌة (
𝟏
𝑦2 𝟎𝟎𝟏
𝑎2
𝑟𝑜
𝟐𝒙 𝟒𝟔
94
𝟒𝟔
𝟐
)64
𝟐
) معادلة القطع الناقص األولى (
𝟐
)(𝑎2 𝑎2
𝟏
𝑦2 𝟒𝟔
𝑎2 (𝑎2 either
𝟐𝒙 𝟎𝟎𝟏
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة 𝟐
مثال /أذا كانت 𝟎 أحد بإرتٌه )
𝟐
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
معادلة لطع مكافئ دلٌله ٌمذر بالنفطذة )𝟐 𝟏 ( جذد معادلذة المطذع النذالص الذذي
𝟑
𝟑
𝟎( ومربع طول النسبة بٌن محورٌه
𝟒
الحل /من المطع المكافئ نالحظ أن المطع المكافئ من النوع السٌنً لذا فؤن معادلة الدلٌل له ( ألنه ٌمع على المحور السٌنً
]𝟏 [
) 𝟏 2
4
M
𝟑
𝟐
من المطع النالص :بإرتا
)𝟐
𝟒
𝟑(
𝟒
𝟐𝟏
𝟐
𝟔𝟏
𝟐
𝟔𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟒 𝟐
𝟐
𝟎( والمانون هو 𝟏
)𝟐 𝟎( )𝟐
) بانمقاروت مع(
𝟑 𝟒
𝟐
𝟒
𝟑 𝟒
𝟐
𝟒
)𝟐
𝟐
𝟐𝒄
) معادلة القطع الناقص (
مثال /جد معادلة المطع النذالص الذذي مركذز نمطذة األصذل وبإرتذا )𝟎 𝟐 𝟐𝟏 𝟐 بإرة المطع المكافئ 𝟎 𝟏𝟏
𝟐
𝟒 𝟒
𝟐
𝟐𝒃 𝑦2 𝟔𝟏
𝟏
)𝟎 𝟔√
𝟔√( 𝟐
𝟑(
𝟑 𝟒
𝟐
𝟐
𝟐𝒂 𝟐𝒙 𝟐𝟏
وٌمذر خذالل
(𝟏
الحل /من المطع المكافئ نرتب المعادلة بحٌث تكون حدود ) ( فً طرف وحدود ) ( فً الطرف األخر
𝟐𝟏
𝟏𝟏
𝟐
𝟐
نضٌف )𝟏( الى طرفً معادلة المطع المكافئ حتى تكون حدود) ( بشكل مربع كامل )𝟏
(𝟐𝟏
𝟐)𝟏
𝒚(
𝟐𝟏
بانمماروت مع انمعادنت انمٕاسٕت نهمطع انمكافئ )
𝟐𝟏
𝟐)𝟏
( 𝟒 انرأس)𝟏
)تحقق معادنت انقطع انىاقص( )
𝟐( 𝐹
)
𝟏
𝟑( 𝐹
𝒚(
𝟐)
𝟏
𝟏𝟏
𝟏
𝟐𝟏
𝟐
( وحصم عهّ
𝟏 (
)
)𝑘 ℎ
𝑝(F
(
𝟏
𝟏 𝟐𝟏
𝟑
من المطع النالص : ∵ بإرتً المطع النالص )𝟎 𝟔√( )𝟎 𝟔√ ( ⇐ المانون هو 𝟏 انىمطت )
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐( تحمك معادنت انمطع انىالص ألوً ٔمز بٍا ( بؤرة انمطع انمكافئ )
95
𝟐
𝟔
𝟐
𝟒
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟐 𝟐
) معادلة ① (
𝟐
) نعوض فً معادلة ① ( 𝟎
𝟔
𝟐
𝟐
𝟒
𝟒
𝟔
𝟐
) 𝟐 𝟐 ×(
𝟒
𝟐
𝟔 𝟔
𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐
𝟐
𝟐
𝟓
𝟐
)𝟔
𝑏2
يهمم 3
(
𝟐
𝟖
𝟐
𝟐
𝟐
) معادلة القطع الناقص (
𝟐
𝟐
𝟔
𝟐
𝟐𝒃()𝟑
)𝟐
𝟎 𝑟𝑜
𝟏
𝟏
𝟒
𝟒
𝟐𝒃(
2
𝑏2
𝑟𝑒𝑒𝑖𝑡ℎ
𝟏
𝑦2 𝟐
𝟐𝒙 𝟖
مثذذذذذذال /جذذذذذذد أحذذذذذذداثً البذذذذذذإرتٌن والرأسـذذذذذذـٌن والمطبذذذذذذٌن وطذذذذذذـول ومعادلذذذذذذـة كذذذذذذل مذذذذذذن المحذذذذذذورٌن للمطذذذذذذع 𝟖 𝟐 𝟒( ثم جد لٌمة e؟ 𝟔𝟑 𝟐 𝟗 النالص )𝟎 𝟒 انحم /نرتب المعادلة بحٌث تكون حدود ) ( وحدود ) ( مربع كامل وكما ٌلً : 𝟐
) 𝟒
𝟒
𝟐
) 𝟐
(𝟗
𝟒
(𝟒
𝟐
𝟔𝟑
𝟗
𝟐
𝟖
𝟒
بإضافة )𝟎𝟒( الى طرفً معادلة المطع انىالص حتى تكون حدود) ( وحدود ) ( بشكل مربع كامل )𝟔𝟑 ( 𝟔𝟑
𝟐)𝟐
(𝟗
𝟐)𝟏
(𝟒
بانمماروت مع انمعادنت انمٕاسٕت نهمطع انىالص 𝟏
𝟎𝟒
𝟐)
)𝟒
𝟒
معادلة القطع الناقص
𝟏
𝟐)
( 𝟐
√5
(
5
𝟐
𝟏( 2
)معادنت انمحىرانصغير(
𝑥
انبؤرتان )2
√5
انرأسان )2
(2
2
(2
)
𝟒
b
(
( 𝟗
𝟐 𝟐
𝟏 𝟑
وحدة 2√5 2
𝑎
𝟐
𝟗
)𝟐(√5 𝑦
𝟐
𝑘
√5
(
)
2 (ℎ
)
(ℎ
)2
(4
)
2 (ℎ
)
(ℎ
𝟏
96
𝟐)𝟏
𝟒
)معادنت انمحىرانكبير(
𝑥 )2
𝟐)𝟐
(
)انمسافت بي انبؤرتيه ( ℎ
(𝟗
𝟐
وحصم عهّ
𝟐
مركز القطع الناقص )𝟐 𝑐
𝟒
𝟐
)𝟏
𝟐
(𝟒
√5
3
𝑦
االختالف المركزي
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مثال /جذد أحذداثً البذإرتٌن والرأسذٌن والمطبذٌن و طذول ومعادلذة كذل مذن المحذورٌن وممذدار االخذتالف المركذزي ومعادلة المطع النالص الذذي مركذز )𝟒 𝟏( ومحذور الكبٌذر ٌذوازي محذور الصذادات وأحذدى بإرتٌذه تبعذد عذن الرأسٌن بالبعدٌن 2, 10وحدة طول انحم ∵ /مجمُع انبعدٔه 𝟒
𝐜
𝟐 𝟖
َانفزق بٕه انبعدٔه 𝐜𝟐
𝟐
𝟎𝟏
𝐜𝟐
∵ محُري انكبٕز ُٔاسْ محُر انصاداث ⇐ 𝟒
𝟏
𝟎𝟐
𝟐
𝟐 𝟔
𝒂
𝟐
𝟐𝟏
𝟔𝟏
𝟐𝒃
𝟔𝟑
𝟐𝒄
معادلة القطع الناقص
)معادنت انمحىرانصغير(
4
𝑦 انبؤرتان )8
انرأسان )
(2
𝟐
𝟐𝒃 𝟐)𝟒 𝟔𝟑
(
𝟏
𝟐𝒃
𝟐𝒂
𝟐)𝟏 𝟎𝟐
(
وحدة 8
)𝟐(4
)معادنت انمحىرانكبير(
𝑦 (2
𝟐
𝟐𝒄
)انمسافت بي انبؤرتيه ( 𝑘
(
𝟐)
(
𝟐)
انمعادنت انمٕاسٕت نهمطع انىالص 𝟏 𝟐𝒂
𝟎𝟏
𝟐
𝟐
)
𝑥
𝟐
ℎ
(
)
2 (ℎ
)
(ℎ
)( 2
)
2 (ℎ
)
(ℎ
𝟏
2 𝟑
4 𝟔
𝑥
االختالف المركزي
******************************************************************
س : 1جد أحداثً البذإرتٌن والرأسذٌن والمطبذٌن و طذول ومعادلذة كذل مذن المحذورٌن واالخذتالف المركذزي للمطذوع النالصة التالٌة : 𝟐
𝟓𝟐𝟐
𝟎𝟎𝟑
𝟗
𝟔𝟏
𝟐
𝟐
𝟓𝟐
𝟐
𝟓𝟐 ) ( 𝟐
𝟐
𝟒 ) ( 𝟐𝟏 ) (
س : 2بؤستخدام التعرٌف جد معادلة المطع المكافئ الذي : ( أ ) بإرتا النمطتان )𝟎 𝟑 ( ورأسا النمطتان )𝟎 𝟔 ( ومركز نمطة االصل . ( ب ) بإرتا تمعان على محور السٌنات ومركز نمطة االصل َأحدِ بؤرتًٕ تبعد عه انزأســـــــــــــــــٕه بانبعدٔه َ 2, 8حدة طُل .
97
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
المطع الزائد ( :الرأس فً نمطة األصل ) : هو مجموعـــة نماط المســتوي) ( التً تكون المٌمة المطلمة لفرق بعدي اي منها عن نمطتٌن ثذابتتٌن تسذمى ( البإرتٌن ) ٌساوي عددا ثابتا لٌمته ) 𝟐( معادلة المطع الزائد الذي بإرتا تنتمٌان لمحور السٌنات ) (x-axisومركز نمطة األصل ) حسب تعرٌف القطع الزائد(
|𝟐
𝟐 𝟐
|
𝟏 𝟏
𝟐
𝟐)𝒄
𝒙(√ (√ 𝟐)𝟎 𝒚( ( 𝟐) 𝟐 )𝟎 𝟐 (√ 𝟐𝒚 𝟐)𝒄 𝒙(√ 𝟐𝒚 𝟐 ) 𝟐 𝟐𝒚 𝟐)𝒄 𝒙(√ 𝟐𝒚 𝟐 ) )بتربٌـــــــع الطرفٌن ( (√ 𝟐 (√ 𝟒 𝟐 𝟒 𝟐𝒚 𝟐)𝒄 𝒙( ( 𝟐𝒚 𝟐 ) 𝟐𝒚 𝟐 ) (√ 𝟒 𝟐 𝟒 𝟐)𝒄 𝒙( ( 𝟐𝒚 𝟐 ) 𝟐) 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐𝒚
𝟐)
(√ 𝟒
)𝟒 (
𝟐
𝟒
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟒
𝟐 𝟒
]نفرض
𝟐
𝟐
𝟐
)𝟐
[ )𝟐 𝟐
) معادلة القطع الناقص (
⦁ رأسا المطع الزائـد هما )𝟎
( )𝟎
(
𝟏
)𝟐 𝟒
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
⦁ بنفس األسلوب ٌمكننا أٌجاد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا تنتمٌان لمحور الصادات وهً 𝟏 رأسا المطع الزائد هما )
𝟎( )
𝟎(
وبإرتا هً )
98
𝟎( )
𝟎(
)𝟐
𝟐 (𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
( والمعادلة 𝟏
𝟐 (𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
(√
𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
وبإرتا هً )𝟎
𝟐)
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
( )𝟎
(√ 𝟒
𝟐
𝟐 (𝟐
(
𝟐
𝟐)
𝟐𝒚
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
حٌث 𝟎
𝟒
𝟐𝒚
𝟒
)بتربٌـــــــع الطرفٌن ( 𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
حٌث أن
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مالحظات : ① دائما )
( )
( حٌث أن )𝟎
(
② طول المحور الحمٌمً
𝟐
③ طول المحور المرافك 𝟐 ④ البعد بٌن البإرتٌن
𝟐
⑤ االختالف المركزي )
( حٌث ٌالحظ أنه ٌكون )𝟏
𝟐
𝟐
(
𝟐
⑥ دائما ٌكون ⑦ النمطة التً تمع على احد المحورٌن وٌمر بها المطع الزائد تمثل رأسً المطع الزائد وتمثل لٌمة ) ( ⑧ تسمى المسافة بٌن بإرة المطع الزائد واي نمطة تنتمً للمطع (منتصف المطر البإري ) مثال (/)16
عٌن البإرتٌن والرأسٌن وطول كل من المحورٌن الحمٌمً والمرافك للمطع الزائد 𝟏
𝟐
𝟐
𝟔𝟑
𝟒𝟔
الحل/ وحدة
𝟔𝟏
𝒂𝟐
𝟖
𝒂
𝟒𝟔
𝟐
طىل انمحىر انمرافق وحدة
𝟐𝟏
𝒃𝟐
𝟔
𝒃
𝟔𝟑
𝟐
𝟒𝟔
𝟐
𝟐
𝟐𝒄
طىل انمحىر انحقيقي
𝟎𝟏
𝒄
𝟎𝟎𝟏
𝟐𝒄
𝟔𝟑
رأسا انقطع انزائد )𝟎 𝟖 ( 𝟐𝐕 )𝟎 𝟖( 𝟏𝐕
قطبا انقطع انزائد )𝟔
𝟎( 𝟐𝑷 )𝟔 𝟎( 𝟏𝑷
بؤرتا انقطع انزائد )𝟎 𝟎𝟏 ( 𝟐𝐅 )𝟎 𝟎𝟏( 𝟏𝐅
99
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
مثال ( /)17جد معادلة المطع الزائد الذي مركز نمطة االصل وطول محور الحمٌمً المركزي ٌساوي )𝟐( والبإرتان على محور السٌنات
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟔 وحدات واالخـتالف
الحل/ 𝟐𝒂
𝟗 𝟔𝟑
𝟐𝒄
𝟔
)𝟑()𝟐(
𝐜 𝟕𝟐
𝟐
𝟑
𝒄 𝟔𝟑
𝟗
𝒂
𝟐
𝟔
𝟐
𝟑
𝟐
𝟐
معادلة القطع الزائد
𝟏
𝟐𝒄
𝟐 𝟐
𝟐
𝟕𝟐
𝟗
مثال ( /)18جد معادلة المطع الزائد الذي مركز نمطة األصل وطول محور المرافك )𝟒( وحدات وبإرتا هـــــما النمطتان )𝟖√ )𝟖√ 𝟎( 𝟏 𝟎( 𝟐 ∵ البإرتان تنتمً لمحور الصادات الحل/
المعادلة المٌاسٌة للمطع الزائد هً 𝟏
𝟐𝒙
𝟐𝒚
𝟐
𝟐𝒂
𝟒
𝟐𝒃
𝟒
𝟖
𝟐 𝟖
𝟒
𝟐
𝟒
𝟐𝒄
𝟐
معادلة القطع الزائـد
𝟐
𝟖√ 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐𝒄
𝟐
𝟐
𝟒
𝟒
فً المثال ) (18أعال نالحظ أن طول المحور الحمٌمً مسا ٍو الى طول المحور المرافك مثل هذا النوع من المطوع الزائدة ٌدعى ( بالمطع الزائد المائم او متساوي األضالع ) ألن النماط األربعة تشكل رإوس مربع وفٌه ٌكون االختالف المركزي ) ( ممدار ثابت لٌمته ) 𝟐√( .
100
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
تمارين)𝟑
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐(
س / 1عٌن كل من البإرتٌن والرأسٌن ثم جد طول كل من المحورٌن واألختالف المركزي نهمطُع انشائدة االتٕت : 𝟐
𝟖𝟒
𝟐𝟏 ⓐ
𝟐
𝟒
الحل /ومسم طزفٓ انمعادنت عهّ )𝟖𝟒( 𝟐
𝟏 طىل انمحىر انحقيقي طىل انمحىر انمرافق
وحدة
𝟑√4
𝟔𝟏
𝟒 البؤرتان )𝟎 𝟒
(𝟐
وحدة
𝑎2
𝟑√𝟐
𝑏2
𝟐𝒄
)𝟎 𝟒(
4
2
𝟒
𝟐𝟏
𝟐𝟏
𝑎
𝑎2
𝟒
b
𝟐𝒄
𝟐𝒃
االختالف المركزي 𝟏
𝟒𝟒𝟏
𝟒
𝑏2
𝟐𝟏
الرأسان )𝟎 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐𝒂 (𝟐
𝟐( 𝟏
𝟒
𝟐
𝟐
)𝟎
𝟐𝒄
𝟐
𝟐
𝟗
𝟔𝟏 ⓑ
الحل /ومسم طزفٓ انمعادنت عهّ )𝟒𝟒𝟏( 𝟐
𝟏
طىل انمحىر انحقيقي طىل انمحىر انمرافق
وحدة 6
وحدة 8 𝟓𝟐
𝟓 البؤرتان )𝟎 𝟓
(𝟐
𝑎2
𝑏2 𝟐𝒄
)𝟎 𝟓(
𝟒 𝟔𝟏
𝟏
3
𝟔𝟏 𝟐𝒃
الرأسان )𝟎 𝟑 االختالف المركزي 𝟏
101
9
b 𝟗
𝟔𝟏
𝑎
𝟐𝒄
𝟐
𝟐𝒂
(𝟐
𝟓 𝟑
)𝟎
𝟗
𝑎2 𝑏2 𝟐𝒄 𝟑( 𝟏
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
س / 2أكتب معادلة المطع الزائد فً الحاالت التالٌة ثم ارسم المطع : ومركز فً نمطة االصل .
ⓐالبإرتان هما النمطتان )𝟎 𝟓 ( وٌتماطع مع محور السٌنات عند 𝟑 الحل/ ∵ بإرتا المطع الزائد )
(5
2
)
( 5
⇐ 𝟓
⇐ المانون
𝟏
𝟐𝒚
𝟐𝒙
𝟐
𝟐𝒂
∵ المطع الزائد ٌتماطع مع محور السٌنات عند 𝟑 ∴ الراسان )
) (3 𝟔𝟏
⇐ ( 3 𝟐𝒃
𝟐
𝟗 𝟗
𝟓𝟐
𝟐𝒂
𝟐𝒃
𝟐𝒄
𝟐𝒃
) معادلة القطع الزائد(
102
𝟐𝒃
𝟏
𝟐𝒂
𝟐𝐲 𝟔𝟏
𝟐𝒄
𝟐𝒙 𝟗
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
ⓑطذذذذول محذذذذور الحمٌمذذذذً )𝟐𝟏( وحذذذذدة وطذذذذول محذذذذور المرافذذذذك )𝟎𝟏( وحذذذذدات وٌنطبذذذذك محذذذذورا علذذذذى المحورٌن االحداثٌٌن ومركز نمطة االصل . الحل/ 𝟐𝒂
𝟔𝟑 𝟓𝟐 𝟏𝟔
∴ هنــــان حالتٌـــــــن للمطع الزائـــــــد وهما -: عندما ٌوازي محور الصادات الرأسان )𝟏𝟔√
𝟔
𝟐𝒃
𝟐𝑪
𝒂 𝟓
36
𝒃
25
𝟐𝒃
𝟐𝟏
𝟐
𝟎𝟏
𝟐
𝟐𝒂
𝟐𝒄
عندما ٌوازي محور السٌنات
𝟎( 𝟐𝑭 ) 𝟏𝟔√ 𝟎( 𝟏𝑭
الرأسان )𝟎 𝟏𝟔√ ( 𝟐𝑭 )𝟎 𝟏𝟔√( 𝟏𝑭
𝟎( 𝟐𝑽 )𝟔 𝟎( 𝟏𝑽
البؤرتان )𝟎 𝟔 ( 𝟐𝑽𝑭 )𝟎 𝟔( 𝟏𝑽
البؤرتان )𝟔 معادلة القطع الزائد
𝟏
𝟐
𝟐
𝟓𝟐
𝟔𝟑
معادلة القطع الزائد
𝟏
𝟐
𝟐
𝟓𝟐
𝟔𝟑
ⓒمركز نمطة االصل وبإرتذا علذى محذور الصذادات وطذول محذور المرافذك )𝟐√𝟐( وحذدة واختالفذه المركذزي ٌساوي )𝟑( وزاري / 2013 /د2 الحل ∵ /بإرتا المطع الزائد تنتمً لمحور الصادات ⇐ المانون
𝟏 𝟐
𝟐𝒃 𝒂𝟑
𝟐𝒙
𝟐𝒚
𝟐
𝟐𝒂
𝟐√ 𝒄
𝟐√𝟐
𝒃
𝟐
𝟑 𝟐𝒃
𝟐 𝟐𝒂 𝟐𝒂𝟗 𝟏 𝟗 𝟐 𝟐𝒂𝟖 𝟐𝒂 𝟐𝑪 𝟒 𝟒 𝟑 𝟑 𝟎( ) 𝟎 𝟎 البؤرتان 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝟎( ) 𝟎 𝟎 الراسان 𝟐 𝟐 𝟐𝒙 𝟐 𝐲 𝟏 ) معادلة القطع الزائد( 𝟏 𝟐 )𝟒(
103
𝟐𝒂
𝟐𝒄
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
س / 3جد باستخدام تعرٌف المطع الزائد الذي مركذز نمطذة االصذل وبإرتٌذه )𝟎 𝟐√𝟐()𝟎 𝟐√𝟐 ( وٌنطبذك محورا على المحورٌن االحداثٌٌن والمٌمة المطلمة للفرق بٌن بعدي اٌة نمطة عن بإرتٌه ٌساوي )𝟒( وحدات الحل/ 𝟐
نفرض ان النمطة )
𝒂
𝟐)𝟎
𝟒
(
) بتربٌع الطرفٌن وفك األقواس(
𝟐
(
𝟐
𝟐
𝟐
𝟖
𝟐
)𝟐√𝟐
𝟐√𝟒
𝟐
𝟐
𝟐
) 𝟐√𝟐
(√
𝟐)𝟎
(
) 𝟐√𝟐
(√
𝟒
) 𝟐√𝟐
(√ 𝟖
) 𝟐√𝟐
)𝟖 (
(√ 𝟖 𝟐√𝟖
𝟔𝟏
) بتربٌع الطرفٌن وفك األقواس(
𝟐√
𝟐
𝟐
𝟐√𝟒
𝟒
𝟐
𝑦2 4
معادلة القطع الزائد
104
𝑥2 4
)𝟒 ( ]
𝟏
)𝟐√𝟐
(√
)𝟐√𝟐
(√
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
|
𝟏
𝟐
𝟔𝟏
𝟔𝟏
|𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
للمطع الزائد
𝟐
𝟐
𝟒
(
)من تعرٌف القطع الزائد(
𝟐
)𝟐√𝟐
𝟖 𝟐
𝟐√𝟒
(√
)𝟐√𝟐
𝟖 𝟒
𝟐
(√𝟖
)𝟐√𝟐
𝟐
(
𝟐√𝟒
𝟐
𝟐
𝟐
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
س / 4لطع زائد طول محور الحمٌمً )𝟔( وحدات واحدى بإرتٌه هً بإرة المطع المكافئ الذي راسه نمطة االصل وٌمر بالنمطتٌن )𝟓√𝟐 𝟏()𝟓√𝟐 الزائد الذي مركز نمطة االصل . الحل/
𝟏( .جد معادلتً المطع المكافئ الذي راسه نمطة االصل والمطع وزاري / 2014د1 وزاري / 2013د3
من المطع المكافئ : ∵ النمطتان )𝟓√𝟐 𝟏()𝟓√𝟐 والمانون ) 𝟒 𝟐 (
𝟏( متناظرة مع المحور الســٌنً لذا فالبإرة تنتمً للمحور السٌنً
∴ النمطة )𝟓√𝟐 𝟏( تحمك معادلة المطع المكافئ ( ألنه ٌمر بها ) البؤرة ) 𝟎 𝟓(
𝟓
𝟒
)𝟏( 𝟒
) معادلة القطع المكافئ (
𝟐
𝟎𝟐
𝐩
𝟎𝟐
𝟎𝟐
فً المطع الزائد: 𝟐𝒂
𝟗
∵ بإرتا المطع الزائد )𝟎 𝟓()𝟎 𝟓 ( ⇐ 𝟓𝟐 𝟔𝟏
𝟐𝒃
𝟗
𝟐
⇐ المانون
𝟐𝒃
𝟓𝟐
𝟑
𝟐𝒂
𝟔
𝟐𝒄
) معادلة القطع الزائد( 𝟐
𝟐
𝟐𝒚
𝟐𝒙
𝟐
𝟐𝒂
𝟐𝒃
𝟐𝒂
𝟏 𝟐𝒃
𝟐
𝟐𝐲 𝟔𝟏
𝟏
𝟐𝒄 𝟐𝒙 𝟗
وطذول محذور الحمٌمذً )𝟐√𝟔( 𝟔𝟏 𝟐 𝟗 جــذـد لٌمـــــذـة كذل
س / 5لطذع زائذد مركذز نمطذة االصـــــــــذـل ومعادلتذه 𝟎𝟗 وحدة وبإرتا تنطبمان على بذإرتً المطذع النذالص الذذي معادلتذـه 𝟔𝟕𝟓 التً تنتمً الى مجموعة االعداد الحمٌمٌة من وزاري / 2012د2 𝟐
الحل/
من المطع النالص : 𝟏 𝟕√𝟐
𝟐
𝟖𝟐
بإرتا المطع النالص ) من المطع الزائد : بإرتا المطع الزائد )
𝟐
𝟐
𝟔𝟑
𝟒𝟔
𝟔𝟑
𝟒𝟔
)𝟔𝟕𝟓 ( ] 𝟐
𝟐
𝟕√𝟐( ) 𝟕√𝟐 ( ⇐ 𝟕√𝟐
𝟏
𝟔𝟕𝟓
𝟐
𝟔𝟑
𝟐
𝟔𝟏
𝟐
𝟒𝟔
𝟕√𝟐( ) 𝟕√𝟐 (
𝟐
𝟐
𝟎𝟏
𝟖𝟏
𝟖𝟏 𝟐
𝟏
𝟎𝟗 ) (
𝟗
105
𝟐𝒚
𝟐𝒙
𝟐
𝟐𝒂
𝟐√𝟔
𝟖𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟎𝟗
𝟎𝟗 ) (
𝟎𝟗 𝟖𝟏
𝟓
𝟏
𝟐√𝟑
𝟐
𝟎𝟏
⇐ المانون
𝟐
𝟖𝟏 معادلة القطع الزائد
𝟐
𝟐
𝟐
𝟎𝟗
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐𝒄 𝟐
𝟎𝟗
𝟐
𝟐
𝟎𝟗 𝟎𝟏
𝟎𝟗
𝟐
𝟗
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
س / 6اكتذذب معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي مركذذز نمطذذة االصـــــذذـل اذا علمذذت ان احـــذذـد راسذذٌه ٌبعذذد عذذن البذذإرتٌن بالعددٌن 𝟗 𝟏 وحدات على الترتٌب وٌنطبك محورا على المحورٌن االحداثٌٌن .وزاري / 2012د3 الحل/ 𝟐𝒄
𝟓𝟐
𝒄
𝟓
𝟐𝒂
𝟔𝟏 𝟐𝒃
𝟗
𝟔𝟏
𝟎𝟏
𝟐𝒂
𝟓𝟐
𝟒 𝟐𝒄
𝟐 𝒂
𝟐𝒃
𝟗
𝟏
𝟏
𝟓
𝟐𝒃
𝟐
𝟐𝒄
𝟐𝒂
∴ هنان أحتمـــــــــــــالٌن لمعادلة المطع الزائد معادلة القطع الزائد صادٌة 𝟏
𝟐
𝟐
𝟗
𝟔𝟏
𝟐
معادلة القطع الزائد سٌنٌة 𝟏 𝟐
س / 7جد معادلة المطع النالص الذي بإرتا هما بإرتا المطع الزائد الذي معادلته 𝟐𝟏 بٌن طولً محورٌه الحل/
𝟓 𝟑
ومركز نمطة االصل .
𝟐
𝟗 𝟐
𝟑
𝟔𝟏
والنسبة
وزاري / 2013د3
من المطع الزائد : 𝟏 𝟔𝟏
𝟒
∴ بإرتا المطع الزائد )
𝟐
𝟐
𝟐
𝟒
𝟐𝟏
𝟒
)𝟐𝟏 ( ] 𝟐
𝟐𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐𝟏 𝟐
𝟒
𝟐
𝟑 𝟐
𝟐𝟏
𝟒( ) 𝟒 (
من المطع النالص : بإرتا المطع النالص )
𝟓𝟐
𝟐
𝟗
𝟗
𝟐
𝟒𝟒𝟏
𝟐
𝟔𝟏
𝟒𝟒𝟏
𝟐
𝟗
𝟐
𝟗
𝟓𝟐
𝟐
𝟐𝒂
𝟐𝒂
𝟓
𝟐
𝟐
𝟑
𝟐
⇐ المانون
𝟒( ) 𝟒 ( ⇐ 𝟒 𝟐 𝟓𝟐
𝟐𝒚
𝟐𝒙
)𝟗 (
𝟐
𝟔𝟏
𝟐
25
2
𝟏
𝟓𝟐 𝟗 )25 (9 9
𝟐
𝟐
𝟐
25 9
2
𝒄 2
2
معادلة القطع الناقص
106
9
2
25
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
س / 8النمطة )
𝟐
تنتمً الى المطع الزائد الذي مركز نمطة االصل ومعادلته 𝟐𝟏
𝟔(
أ .لٌمة
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎 𝟐
𝟑
جد كال من:
ب .طول نصف المطر البإري للمطع المرسوم فً الجهة الٌمنى من النمطة
الحل( /أ) ∵ النمطة )
𝟔(
تنتمً الى المطع الزائد
∴ النمطة )
𝟔(
تحمك معادلة المطع الزائد )𝟐𝟏
L
2√2
𝟐
𝟖
𝟐
𝟑
𝟐 𝟐
24
𝟐
𝟑
𝟑
( 𝟔𝟑
𝟐𝟏 )𝟐√𝟐
𝟐
𝟐𝟏
𝟔( 𝟐
𝟐)𝟔(
𝟑 𝟔( 𝟏
)𝟐√𝟐
(ب) من المطع الزائد : 𝟐
𝟒 احداثً البؤرة االٌمن )𝟎 𝟒( )وحدة طول( )وحدة طول(
𝟑√𝟐 𝟑√𝟐
وزاري / 2011د1
𝟖
𝟐𝟏√ 𝟐𝟏√
𝟖
𝟐
𝟒√ 𝟐
)𝟎
𝟒√
وزاري / 2014د2
𝟐𝟏 𝟐𝒄
𝟔𝟏 )𝟎
𝟐
𝟏
𝟔(√
𝟐𝟏 𝟐𝒄
𝟐𝟏 𝟐 )𝟏
𝟔(√
𝟐)𝟒
𝟐√𝟐 (
𝟒
𝟐𝟏
𝟒
𝟐)𝟒
𝟐√𝟐(
𝟐
𝟐
(
𝟐
𝟐 )𝟏
𝟐
𝟐
𝟐𝒃 𝟐 )𝟏 𝟐 )𝟏
(
(√ (√
وٌمس دلٌل المطع المكافئ 𝟎
الحل/
𝟐𝒄 𝟏 𝟏
𝟏 𝟐
وزاري / 2015د1
س / 9جذذذذد معادلذذذذة المطذذذذع الزائذذذذد الذذذذذي بإرتذذذذا همــــذذذذـا بذذذذإرتً المطذذذذع النذذذذالص الذذذذذي معادلتذذذذـه 𝟏 𝟐𝟏
𝟑
𝟐𝒂
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟓𝟐
𝟗
𝟐
من المطع المكافئ : 𝟐
𝟒
) بانمقاروت مع( 𝟑
𝟐𝟏
𝐩
) معادلة الدلٌل (
𝟐
𝟐𝟏 𝟑
𝟒
𝐲
من المطع النالص : 𝟔𝟏
𝟒
𝟐𝒄
𝟐𝒄
𝟐
𝟐
𝟐
𝟗
البؤرتان )𝟒
𝟐
𝟓𝟐 𝟎()𝟒 𝟎(
من المطع الزائد: ∵ دلٌل المطع المكافئ ٌمطع المحور الصادي عند النمطة )𝟑 𝟎( وهً راس المطع الزائد 𝟐
𝟗 بإرتا المطع الزائد )𝟒 معادلة القطع الزائد
⇐ المانون
𝟎()𝟒 𝟎( ⇐ 𝟒 𝟏
𝟐
𝟐
𝟕
𝟗
𝟕
107
𝟐
𝟗
𝟏 𝟔𝟏
𝟐
𝟑 𝟐𝒙
𝟐𝒚
𝟐
𝟐𝒂
𝟐
𝟐
𝟐
𝒄
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
أمثلة أضافٌة محلولة مثذذال /جذذد معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي مركذذز نمطذذة االصــــذذـل والبإرتذذان علذذى محذذور الصـــذذـادات وطذذول المحذذور الحمٌمً له
𝟓
𝟔𝟏 والنسبة بٌن المسافة بٌن بإرتٌه وطول محور الحمٌمً
𝟒
الحل/ 𝟐𝒂
𝟒𝟔 𝟎𝟎𝟏
معادلة القطع الزائد
𝟏
𝟐
𝟐
𝟔𝟑
𝟒𝟔
𝟐𝒄
𝟐
𝟔𝟑
𝟎𝟏
𝟒𝟔
مثال /جد معادلة المطع الزائد الذي أحدى بإرتٌه بإرة المطع المكافئ
ٌساوي البعد بٌن بإرتً المطع النالص 𝟏 الحل/
𝟐
𝟐
𝟔𝟏
𝟗
𝐜
𝟓 𝟒
𝒄 𝟖
𝟓 𝟒
𝟐 𝟐
𝟐
𝟎𝟎𝟏 𝟐
𝟎𝟐
𝟖
𝒂
𝟔𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝒄
وطول محور المرافك
من المطع المكافئ : 𝟐
𝟒
) بانمقاروت مع(
البؤرة )𝟓 𝟎(
𝟓
𝐩
𝟐
𝟎𝟐 𝟒
𝟎𝟐
من المطع النالص : البعد البؤري 𝟕√𝟐
𝟐
𝟕
𝟕√
𝟐𝒄
𝟐𝒄
𝟐
𝟐
𝟗
𝟐
𝟐
𝟔𝟏
من المطع الزائد : 𝟕
بإرتا المطع الزائد )𝟓 𝟎( )𝟓 معادلة القطع الزائد
𝟏
𝟐
𝟕√
⇐ المانون
𝟎( ⇐ 𝟓
𝟐
𝟐
𝟕
𝟖𝟏
طول المحور المرافق 𝟕√𝟐
𝟖𝟏
108
𝟐
𝟕
𝟏 𝟓𝟐
𝟐
𝟐𝒙
𝟐𝒚
𝟐
𝟐𝒂
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐𝒄
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
مثال /جد معادلة المطع الزائد الذي ٌمر بالنمطتٌن )𝟔
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟑( )𝟐√𝟑 𝟎(
الحل/ ∵ المطذذذذذذذذع الزائذذذذذذذذد ٌمذذذذذذذذر بالنمطذذذذذذذذة )𝟐√𝟑 𝟎( لذذذذذذذذذا فالنمطذذذذذذذذة تمثذذذذذذذذل رأس المطذذذذذذذذع الزائذذذذذذذذد ولٌمذذذذذذذذة ( والمانون هو
)𝟐√𝟑
النقطة )𝟔
𝟏
𝟐𝒙
𝟐𝒚
𝟐
𝟐𝒂
𝟑( تنتمً للمطع الزائد لذا فهً تحمك معادلته 𝟗
𝟐
𝟏
𝟗 𝟐
𝟏
𝟗 𝟐
𝟐
𝟗
𝟏
𝟔𝟑 𝟖𝟏
𝟐
𝟏
𝟐𝒚
𝟐𝒙
𝟒𝟔
𝟎𝟎𝟏
𝟐
𝟐
𝟏
) معادلة القطع الزائد(
مثذذال /جذذد معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي بإرتذذا رأســـــــــذذـا المطذذع النذذالص 𝟏
𝟐)𝟑(
𝟐)𝟔 (
𝟐𝒙 𝟗
)𝟐√𝟑(
𝟐𝒚 𝟖𝟏
وطذذول محــــذذـور
الحمٌمً )𝟐𝟏( وحدة الحل /
من المطع النالص :
راسا القطع الناقص )𝟎 𝟎𝟏( )𝟎 𝟎𝟏 (
𝟎𝟏
𝟒𝟔
𝒂
𝟐
𝟐
𝟎𝟎𝟏
من المطع الزائد : بإرتا المطع الزائد )
()
( ⇐ 𝟎𝟏 𝟔𝟑
معادلة القطع الزائد
𝟏
𝟐
𝟐
𝟒𝟔
𝟔𝟑
⇐ المانون
𝟒𝟔
𝟐
109
𝟐
𝟏
𝟔 𝟔𝟑
𝟎𝟎𝟏
𝟐𝒚
𝟐𝒙
𝟐
𝟐𝒂
𝟐𝟏 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝒄
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
س : 1جذذد معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي مركذذز فذذً نمطذذة االصذذل و بإرتذذا تنتمذذً لمحذذور الصذذادات وطذذول محذذور المرافك ٌسذاوي البعذد بذٌن بذإرة المطذع المكذافئ ) 𝟐𝟏 𝟐 ( ودلٌلذه وطذول محذور الحمٌمذً ثالثذة امثذال طذول محور المرافك س : 2جذذد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي مركذذز فذذذً نمطذذذة االصذذذل و راسذذذا همذذا بذذذإرتً المطذذذع الزائذذذد الذذذذي معادلته )𝟒𝟒𝟏 𝟐𝒙𝟔𝟏 𝟐𝒚𝟗( ومجموع طولً المطع النالص )𝟔𝟏( وحدة طول س : 3لطعذذذان مخروطٌذذذان احذذذدهما نذذذالص واالخذذذر زائذذذد كذذذل منهمذذذا ٌمذذذر ببذذذإرة االخذذذر .فذذذاذا كانذذذت معادلذذذة 𝟐 𝟐 ( فجد معادلة االخر احدهما )𝟑 س : 4جذذذذذذذذد معادلذذذذذذذذة المطذذذذذذذذع النذذذذذذذذالص الذذذذذذذذذي ٌمذذذذذذذذر بذذذذذذذذالنمطتٌن )𝟏 𝟑() 𝟏 الكبٌر ٌساوي)𝟓𝟐( وحدة
𝟑( وطذذذذذذذذول محذذذذذذذذور
س :5جد معادلة المطع الزائد الذي مركز فً نمطة االصل و أحدى بإرتا هً بإرة المطع النالص الذي معادلته 𝟏
𝟐𝒚
𝟐𝒙
𝟎𝟐
𝟔𝟑
وأحد رأسٌه هً بإرة المطع المكافئ 𝟎
𝟖
𝟐
س : 6جذذذد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي مركذذذز فذذذً نمطذذذة االصذذذل و بإرتذذذا هذذذً بذذذإرتً المطذذذع الزائذذذد الذذذذي 𝟔𝟏 𝟐 ( معادلته )𝟐𝟑 𝟐𝒙 𝟐𝒚𝟖( وٌمس دلٌل المطع المكافئ )𝟎 𝟐𝒙
س :7لذذذذذذذذتكن)𝟑
𝟐𝒚( معادلذذذذذذذذة لطذذذذذذذذع زائذذذذذذذذد أحذذذذذذذذد بإرتٌذذذذذذذذه هذذذذذذذذً راس المطذذذذذذذذع النذذذذذذذذالص
الذي ٌمر بالنمطة )𝟐 𝟏 ( والذي احد بإرتٌه )𝟔√ 𝟎( فجد لٌمة 𝟐𝒙𝟒
س : 8لذذذذذتكن) معادلته )𝟎
𝟐
𝟓√
س : 9لذذذذذذذتكن)𝟎𝟗
𝟐𝒚𝟓( معادلذذذذذة لطذذذذذع زائذذذذذد أحذذذذذد بإرتٌذذذذذه هذذذذذً بذذذذذإرة المطذذذذذع المكذذذذذافئ الذذذذذذي 𝟒( فجد لٌمة
𝟐𝒚𝑵
الذذذذذذذذذذذذي معادلتذذذذذذذذذذذه )𝟔𝟕𝟓
𝟐𝒙 ( معادلذذذذذذذة لطذذذذذذذع زائذذذذذذذد بإرتٌذذذذذذذه هذذذذذذذً بإرتذذذذذذذا المطذذذذذذذع النذذذذذذذالص 𝟐𝒚𝟔𝟏
𝟐
𝟗( وطذذذذذذذذذذذول محذذذذذذذذذذذور الحمٌمذذذذذذذذذذذً
𝟐√𝟔 فجذذذذذذذذذذذد لٌمذذذذذذذذذذذة
س : 10لذذذذذذذذتكن) 𝟐𝒙𝟒 𝟐𝒚𝟓( معادلذذذذذذذذة لطذذذذذذذذع زائذذذذذذذذد احذذذذذذذذدى بإرتٌذذذذذذذذه هذذذذذذذذً بذذذذذذذذإرة المطذذذذذذذذع 𝟒( فجد لٌمة المكافئ الذي معادلته )𝟎 𝟐 𝟓
110
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
حلول التمارٌن العامة الخاصة بالفصل الثانً وزاري / 2014د3 س / 3لطع نالص مركز نمطة األصـــــــ ل ولطع زائد نمطة تماطع محورٌه نمطة األصذل أحذدهما ٌمذر ببذإرة األخذر فؤذا كانت 𝟓𝟐𝟐 𝟐 𝟓𝟐 𝟐 𝟗 معادلة المطع النالص فجد : (ب) محٌط المطع النالص . (أ) مساحة المطع النالص . (د) األختالف المركزي لكل منهما . (ج) معادلة المطع الزائد ثم أرسمه . الحل ( /أ) 𝟐
𝟐
𝟗
𝟓𝟐
𝟏 𝟑
)( 225
𝟐
𝟗
𝟐
𝟓𝟐𝟐
𝟓
وحدة مربعة
𝟓𝟏
𝟓𝟐
𝟗
𝟐
𝟓𝟐 )𝟑()𝟓(
𝟐
𝝅 𝒃𝒂
(ب)
وحدة
𝟕𝟏√ 𝟐
𝟒𝟑 √ 𝝅𝟐 𝟐
𝟐
𝟗 𝟓𝟐 √ 𝝅𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
√ 𝝅𝟐
المحٌط
𝒑
(ج) من المطع النالص : 𝟑 𝟒
𝐜
𝟗 𝟔𝟏
𝟐
𝟐
البؤرتان )𝟎 𝟒 ( )𝟎 𝟒(
𝟓 𝟗
𝟓𝟐
𝟐
𝟐
𝟓𝟐
𝟐
𝟐𝒃
𝟐
الرأسان )𝟎 𝟓 ( )𝟎 𝟓(
من المطع الزائد : المطع الزائد ٌمر ببإرة المطع النالص البؤرتان )𝟎 𝟓 ( )𝟎 𝟓(
111
الرأسان )𝟎 𝟒 ( )𝟎 𝟒(
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟗
𝟐
معادنت انقطع انزائد
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟔𝟏
𝟐
𝟓𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟗
𝟔𝟏
(د) األختالف المركزي للقطع الناقص
𝟏
𝟒 𝟓
األختالف المركزي للقطع الزائد
𝟏
𝟓 𝟒
112
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
وزاري / 2011د2
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
وزاري / 2015د3
س / 4جذد معـــــذذـادلة المطذذع النذذالص الذذذي بإرتذذا تنتمٌذان لمحذذور الســـــذذـٌنات ومركذذز نمطذذة األصذذل ومســـذذـاحة منطمته 𝟕 وحدة مربعة ومحٌطه ٌساوي 𝟎𝟏 وحدة . الحل / 𝟕 𝒂
) معادلة ① ( 𝟐
) معادلة ② (
𝟐
𝟐
√
𝟓
𝒃
𝟕
𝟐
) 𝟐 (
𝟐
√ 𝝅𝟐
𝟐
𝝅 𝒃𝒂 𝟐
𝟐
𝝅𝟎𝟏
√ 𝝅𝟐
𝟐
𝒑
بتعوٌض المعادلة ① فً المعادلة ② نحصل على : 𝟗𝟒 𝟐𝒂
) تربيع الطرفين (
𝟗𝟒
𝟒
𝟐
𝟎𝟓
) نعوض فً معادلة ① (
𝟐
𝟓
𝟗𝟒 𝟐𝒂
)𝟏
𝟕
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
(
𝟐
𝟏
𝟗𝟒 𝟐𝒂
) نعوض فً معادلة ① (
𝟏
𝟏 ٌهمل
𝟕
ألن لٌمة ) ( ٌجب أن تكون أكبر من لٌمة ) ( فً المطع النالص .
113
𝟓
𝟐
𝟓𝟐
𝟐
𝟎
𝟐
𝟗𝟒
𝟎
𝟗𝟒
𝟐
𝟕 𝟕
𝟕 𝒂
𝒃
معادنت انقطع انىاقص 𝟐
√
𝟐
𝟎𝟓
()𝟗𝟒 𝟗𝟒
𝟏
√
𝟐
) نضرب طرفً المعادلة ب 𝟐 (
𝟎
𝟐
𝟕 𝒂
𝟐
𝟏
𝟎𝟓
𝟐
𝟐
𝟏
𝟗𝟒
𝟎
𝟏
𝟐
𝟕 𝟏
𝟕 𝒂
𝒃
𝟒
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
حلول األسئلة الوزارٌة الخاصة بالفصل الثانً سإال وزاري /98د1 لطع زائد معادلته 𝟎𝟗
𝟐
النالص الذي معادلته 𝟔𝟕𝟓
𝟐 𝟐
𝟔𝟏
وطول محور الحمٌمً 𝟐√𝟔 وحذدة وبإرتذا تنطبمذان علذى بذإرتً المطذع 𝟐
𝟗 جد لٌمة .h , k
الحل: فً القطع الناقص: 576 2
36
]576
36
6 2
2
64
2
2
2
[9
2
64
2 √7
2
2
28
2
2
البؤرتان ) (2√7 ) ( 2√7 فً القطع الزائد :البؤرتان ) (2√7 ) ( 2√7 3√2 2
2
6√2 2
28
2 2
8
2√7
c
2
2
2
9
9 ℎ
5
ℎ
9
9
9 9
114
8ℎ
]
9
8
2
2
ℎ
2
2
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
سإال وزاري /99د2 𝟏
النمطة )𝟐 ( تنتمً إلى المطع المكافئ الذي رأسه فً نمطة األصل وبإرته تنتمً إلى محور السٌنات والتً هذً 𝟑 احدى بإرتً المطع النالص ,النسبة بٌن طولً محورٌه الحل: المكافئ:
البؤرة ) (3
𝟓 𝟒
,جد معادلة كل من المطعٌن المكافئ والنالص. 4
3
(2)2
) ( 4
2
2 الناقص
البؤرتان هما ) ⇐ (3 ) ( 3
4
2
)4(3
2
3
5 4
5 2
)6
(
]
25
2
9
5 4
4 2
2
2
9
2
44 4
6
2
6
2
2
معادلة القطع الناقص سإال وزاري /2000د2 جد معادلذة المطذع النذالص الذذي بإرتذا همذا بذإرتً المطذع الزائذد الذذي معادلتذه 𝟐𝟏 𝟓 طولً محورٌة 𝟑 الحل: فً المطع الزائد:
4 4
البؤرتان ) ( 4 ) (4 فً القطع الناقص :البؤرتان ) ( 4 ) (4
2
44 5
9
4 ) ( 2
2
4
5
25
) (5
2
2
6
⇐
2
2
2
6 3
5 25 2
2
9
2
معادلة القطع الناقص
115
25
) (5
5
2
2
6
44
2
2 2
𝟐
𝟑
)2
(
2
25
𝟐
والنسذبة بذٌن
2
2 2
2
3 2
5
3
2 2
2
2
2 2
44 2
6 2
25
2 2
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
سإال وزاري /2001د1 جذذد معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي بإرتذذا تنطبمذذان علذذى بذذإرتً المطذذع النذذالص الذذذي معادلتذذه 𝟎𝟐𝟏 والنسبة بٌن طول محور الحمٌمً والبعد بٌن بإرتٌه تساوي
𝟐
𝟐
𝟓
𝟑
𝟏 𝟐
الحل: فً المطع النالص:
2
24
4 4
البؤرتان ) ( 4 ) (4 فً القطع الزائد :البؤرتان ) ( 4 ) (4
2
2
) 2
2
(
2
2 2
6 ⇐
24
2
4
2
5
2
2
2
4 2
2
2 4
2
6
4
سإال وزاري /2001د2 جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا همذا بإرتذا المطعذٌن المكذافئٌن𝟐𝟎 : طولً محورٌه الحمٌمً والمرافك = 2وحدة. الحل: 2 2 فً المطع المكافئ: 4 2 5 البؤرة ) (5 ⇐
𝟐
2
2
25
2
2
2
2
𝟐
𝟎𝟐
والفذرق بذٌن
2
2
4 2 البؤرة ) ( 5
5
5 )( 2
2
2 2
2
معادلة القطع الزائد
2
2
4 2
فً المطع الزائد :البؤرتان ()-5,0( , )5,0
2
3
2
2
25 2
2
)2 )( 2
ٌهمل 4 3 4
116
( 24 )3
2 2
2
2 2
2 ()4
2 2
2 (
4 3 3 2
2
9
6
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
سإال وزاري /2002د1 جد معادلة المطع النالص الذي مركز نمطة األصل وبإرتا على محور السذٌنات والمسذافة بذٌن بإرتٌذه تسذاو ()8 وحدات ومجموع طولً محورٌه 16وحدة. 2 8 4 الحل: 2 2 6 8 8 2 2 2 2 2 2 (8 )2 6 64 6 6 6 48 3 8 3 5 2
معادلة القطع الناقص سإال وزاري /2002د2 جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا راسذا المطذع النذالص 𝟔𝟑 إلى البعد بٌن بإرتٌه =
𝟐
𝟗
𝟐
2
25
والنسذبة بذٌن طذول محذور الحمٌمذً
𝟏 𝟐
الحل: فً المطع النالص
6
الرأسان ) ( 6 ) (6 فً القطع الزائد البؤرتان ) ⇐ ( 6 ) (6
6
2
2
36
c 3 2
27
6
2 2
36
2 2
2 2
9
معادلة القطع الزائد سإال وزاري /2003د1 لطع نالص معادلته 𝟒 الحل:
𝟐
𝟒
𝟐
2
2
2
2
2
2
2
جد طول كل من محورٌه وأحداثً كل من بإرتٌه ورأسٌه. 4
2
2
2
2
)
(
4
2
2
4
2
طول المحور الكبٌر طول المحور الصغٌر الرأسان ) ( 2 ) (2
4 2
)2(2 ) (2
2 2 2
4 √3
البؤرتان ) (√3
) ( √3
117
2
2
3
2 2
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
سإال وزاري /2004د1 جد معادلة المطع المخروطً الذي محورا محوري االحداثٌات والذي احد رإوسه ( )3,0واحد بإرتٌه ()-5,0 الحل: 3 5 2 2 2 2 9 25 6 ( القطع الزائد ) ألن 2
معادلة القطع الزائد
2
2
سإال وزاري /2004د2 لطع زائد ولطع نالص احدهما ٌمر ببإرتً اآلخر .جد معادلة المطع الزائد إذا علمت أن معادلة المطع النالص هً 𝟏
𝟐
𝟐
𝟗
𝟓𝟐
علما أن محورٌهما على محوري االحداثٌات.
الحل: فً المطع النالص:
الرأسان ) ( 5 ) (5
5 2
البؤرتان ) ( 4 ) (4 4 فً القطع الزائد الرأسان ) ⇐ ( 4 ) (4 5 البؤرتان ) ⇐ ( 5 ) (5
4
9
2
2 2
6
2
25
25 9 9
2 2
2
6
2
25
2 2
معادلة القطع الزائد
2
2 2
سإال وزاري /2006د1 جد معادلة المطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل وٌمر بالنمطتٌن ( )3,6( , )-3,6ثم جد معادلة دلٌله. الحل: القطع من النوع الصادي وفتحة القطع إلى األعلى القطع متناظر حول محور الصادات 24 معادلة الدلٌل
9
معادلة القطع المكافئ
(3)2
)4 (6 2
4 2
) (4
2
2
سإال وزاري /2006د2 جد معادلة المطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل وٌمر بالنمطتٌن ( )1,3( , )1,-3ثم جد معادلة دلٌلة. الحل: القطع من النوع السٌنً وفتحة القطع إلى الٌمٌن. القطع متناظر حول محور السٌنات 4 4 معادلة القطع المكافئ
9
2
معادلة الدلٌل
118
(3)2
) ( 4
9
2
9 4
4
2
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
سإال وزاري /2007د1 جذذد معادلذذة المطذذع النذذالص الذذذي مركذذز نمطذذة األصذذل والبعذذد بذذٌن بإرتٌذذه ( )8وحذذدة ورأسذذا بإرتذذا المطذذع الزائذذد 𝟏
𝟐
𝟐
𝟗
𝟔𝟏
.
الحل: فً المطع الزائد
2
9 5
6
2
25
2
2
2
9
2
6
2
2
2
البؤرتان ) ( 5 ) (5 4 ⇐ 2 8 فً القطع الناقص الرأسان هما ) 5 ⇐ ( 5 ) (5 9
2
6
2
25
2
6
2
25
2 2
معادلة القطع الناقص سإال وزاري /2007د1 𝟐 𝟐 تمثل معادلة لطع زائد احدى بإرتٌه بإرة المطع المكافئ 𝟖 لتكن 𝟑 الحل: البؤرة ) (2 فً المطع المكافئ: c 2 فً القطع الزائد البؤرتان ) ⇐ ( 2 ) (2 2 2 3 2 2 3 3 3 ℎ ℎ 4 ℎ 3
2 2
25
𝟐
جد لٌمة .h 2
8 2
3 3
2
4 2
ℎ
2
2
سإال وزاري /2007د2 جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا هما بإرتا المطع النالص 𝟏 الحل: فً المطع النالص:
6
2
4
𝟐
𝟐
𝟔𝟏
𝟏𝟒
2
2
وطول محور المرافك ( )8وحدات. 2
2
6 5
البؤرتان ) ( 5 ) (5 فً القطع الزائد البؤرتان ) ( 5 ) (5 ⇐ 6 25
2
4 2
25
5 2
2
2
2
4
8 9
معادلة القطع الزائد
119
2
2 2 2
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
سإال وزاري /2008د1 جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا هما بإرتً المطعٌن المكافئٌن 𝟎𝟐 المرافك = 8وحدات. 2 2 الحل :المكافئ: 4 2 5 البؤرة ) (5 الزائد البؤرتان ) ( 5 ) (5
⇐
𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐
𝟎𝟐
وطول محور 2
4 2 البؤرة ) ( 5
5
5 4 9
2
25
2
6
8 2
سإال وزاري /2008د 1 لطع نالص معادلته الحل:
𝟐
𝟐
2
2
2
2
معادلة القطع الزائد
𝟐
2
2
𝟒 والبعد بٌن بإرتٌه = 𝟑√𝟐 وحدة .جد لٌمة .L √3 2
2
2 √3 2
]
2 2
2
4
2
2
2
2
2 2
3
2 سإال وزاري /2009د1 جد معادلة المطع النالص الذي ٌمر ببإرتً المطع الزائد 𝟒𝟒𝟏 طوله ( )12وحدة. الحل: فً المطع الزائد:
9
2
6 5
البؤرتان )5) ( 5 فً المطع النالص:
𝟐
2
25
2
2
3
4
𝟔𝟏
𝟐
2
2
2
4
2
2
2
𝟗 وٌمطع من محور السٌنات جزءا ً
(
)
9
2
44 6
2
6 2
2
2
( 6
2
معادلة القطع الناقص
120
2
5 2
25
9
2
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
سإال وزاري /2010د1 جد معادلة المطع النالص الذي مركز نمطة األصل ومحورا على المحورٌن االحداثٌٌن وٌمر ببذإرة المطذع المكذافئ 𝟐
𝟔𝟏
ومساحة منطمة المطع النالص 𝟎𝟐 وحدة مربعة.
الحل: فً المطع المكافئ:
4
4
6
2
6
البؤرة ) (4 فً المطع النالص:
2
) (
المطع النالص ٌمر بالنمطة ()4,0
2
2
النمطة ( )4,0أما تمثل رأس أو لطب وهذا غٌر ممكن
2
5 2
5
4 2
4
4
b
4
والمطع من النوع الصادي 2
معادلة القطع الناقص
2
25
سإال وزاري /2010د2 𝟐
𝟑
𝟐
منطمته تساوي
𝟐 مع محور الصادات علما ً أن مساحة
لطع نالص ٌمر بنمطة تماطع المستمٌم 𝟑√
حٌث بإرتذا تنتمٌذان لمحذور السذٌنات ومركذز نمطذة
𝟑√𝟐 وحدة مساحة .جد لٌمة
االصل. الحل :المستمٌم:
√3
عندما
⇐
2 ) (2
√3
y
⇐ √3
نقطة التقاطع )( √3 فً المطع النالص :بما أن المطع من النوع السٌنً
𝟑√
⇐ 2
2
2
2
2
2
) ألن القطع من النوع السٌنً( √2
2
√2
4
ℎ
2
3ℎ
121
3 2
2 √3
√ 2
2
3
2
4
ℎ
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
وزاري /2012د1 جد معادلة المطع النالص الذي مركز نمطة االصل وبإرتا على محور السٌنات ومجموع طولً محورٌه = 16 𝟐 وحدة طول وبإرتا تنطبمان على بإرتً المطع الزائد الذي معادلته 𝟔 𝟐 𝟐 الحل: 2
فً المطع الزائد:
2
2
3 9
3
2
2
2
6
3
2
6
2
2
6
2 2
2
البؤرتان ) (3 ) ( 3 فً المطع النالص:
البؤرتان
) (3
) ( 3
⇐
c
3 8
9
2
2
6
2
8
64
2
9 55
)2 55 55
معادلة القطع الناقص
2
2
2
2 2
6
(8 6
2
2
2
2
9
64
6
55
2
8
2
2
2
2
) (
2
2
) (
وزاري /2012د2 جد معادلة المطع النالص الذي مركز نمطة االصل وٌنطبك محورا على المحورٌن االحداثٌٌن وٌمطع من محور السٌنات جزءا ً طوله 8وحدات ومساحة منمطته 𝟒𝟐 وحدة مساحة. الحل:
2
24
24
بما أن المطع النالص ٌمطع من محور السٌنات جزا ً طوله ( )8وحدات فؤن هذا الجزء أما ٌمثل طذول المحذور الكبٌذر أو طول المحور الصغٌر .فؤذا كان هذا الجزء ٌمثل طول المحور الكبٌر فٌكون: 6 وهذا غٌر ممكن ألن
2
4
2
8
دائما ً فً المطع النالص .لذا فؤن الجزء الممطوع ٌمثل طول المحور الصغٌر: 6
4
2
8
والمطع من النوع الصادي:
معادلة القطع الناقص 122
2
2
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
وزاري /2013د1 لطع مخروطً بإرتا )𝟎 𝟒
(𝟐
واختالفه المركزي = ,2جد معادلته.
𝟒( 𝟏
)𝟎
الحل: 2
القطع زائد الن
⇐
4
⇐
2 2
2
4
4
2
6
2 2
6
2 2
4
2 2
معادلة القطع الزائد
2 2
2
وزاري /2015د2 لتكن جد لٌمة
𝟐
𝟒–
𝟐
𝟓 معادلة لطذع زائذد أحذدى بإرتٌــذـه هذً بذإرة المطذع المكذافئ 𝟎
𝟐
𝟒
𝟓√
.
الحل: فً المطع المكافئ : 𝟒
𝟐
𝟐
𝟓√
𝟓√
𝟏 𝟓√
البؤرة
فً المطع الزائد :البإرتان )
𝟏 𝟓√
𝟏 𝟓√
𝟎 𝟎(
)
𝟏 𝟓√
𝟎( ⇐
𝟏 𝟓√
𝟗 𝟒
𝟒
𝟓
𝟗
𝟓
𝟒 𝟒
)𝟎𝟐×(
123
𝟐
𝟒
=c
𝟐
𝟏
𝟒
𝟒
𝟓√
𝟐
𝟒
𝟎
𝟒
𝟐 𝟐
𝟒
𝟐
𝟓√
𝟒
]
𝟒
)
(
𝟐
𝟒–
𝟐
𝟓
𝟓
𝟓
𝟏 [ 𝟓
𝟐
𝟐
𝟐
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
وزاري /2015د2 جذذذذذد معادلذذذذذة المطذذذذذع النذذذذذالص الذذذذذذي بإرتذذذذذا تنتمٌذذذذذان لمحذذذذذور الصذذذذذادات ,مسذذذذذاحته 𝟐𝟑 وحذذذذذدة مسذذذذذاحة 𝟏
والنسبة بٌن طولً محورٌه
𝟐
الحل:
𝟐 𝟖
𝟔𝟏
𝟒
𝟐
معادلة المطع النالص
𝟐𝟑
𝟏
× 𝟐
𝟐
𝟐
𝟔𝟏
𝟒𝟔
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐𝟑
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
سإال وزاري /2015د3 جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا هما بإرتً المطعٌن المكافئٌن 𝟎𝟐
𝟐
𝟐
𝟎𝟐
وطول محور
المرافك = 8وحدات. الحل :المكافئ:
2
2 2
5
2 4
2
5
البؤرة ) (5 الزائد البؤرتان ) ( 5 ) (5
⇐
2
4
البؤرة ) ( 5
5 4 9
2
25
6
2
معادلة القطع الزائد
124
8 2
2
2 2
2 2
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
سإال وزاري /2016د1 جذذد معادلذذذة المطذذع النذذذالص الذذذي مركذذذز نمطذذة األصذذذل وبعذذد البذذذإري مسذذاوٌا ً لبعذذذد بذذإرة المطذذذع المكذذافئ عذذذن دلٌله 𝟎
𝟒𝟐
𝟐
,أذا علمت أن مساحة المطع النالص
𝟐
𝟎𝟖
الحل: فً المطع المكافئ : 𝟐
𝟒
)البعد بٌن بؤرة القطع المكافئ ودلٌه(
) بالمقارنة مع( 𝟐𝟏
𝟐
𝟒𝟐
𝟐
𝟎 (
)𝟒
𝟔
𝟐
𝟒𝟐
𝟒𝟐
𝟒
فً المطع النالص : 𝟔𝟑 )𝟏(
𝟐
𝟔 𝟐
𝟔𝟑
𝟐𝟏 𝟐
𝟐
𝟐
𝟎𝟖
)𝟐(
𝟐 𝟐
𝟎𝟖
نعوض المعادلة )𝟐( فً المعدلة )𝟏( فٌنتج : 𝟎
𝟎𝟎𝟒𝟔
𝟐
𝟔𝟑
𝟐
𝟒
𝟔𝟑
𝟒
𝟎𝟎𝟒𝟔
𝟎 𝟒𝟔
𝟎𝟎𝟒𝟔 𝟎𝟎𝟏
𝟐
𝟎𝟎𝟒𝟔
) 𝟐 ×(
)𝟒𝟔
𝟔𝟑 𝟐
𝟐
()𝟎𝟎𝟏 𝟎𝟎𝟏
𝟐
𝟎𝟎𝟒𝟔
ٌهمل 𝟒𝟔
𝟐
𝟐 𝟐
(
𝟐
أما
𝟐
أو
∴ هنان معادلتان للمطع النالص ألن مولع البإرتٌن غٌر محدد وهما : 𝟐
𝟏
𝟎𝟎𝟏
125
𝟐
𝟒𝟔
𝟐
𝟏
𝟒𝟔
𝟐
𝟎𝟎𝟏
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
سإال وزاري /2016د1 جذذذد معادلذذذة المطذذذع الزائذذذد والنذذذالص أذا كذذذان كذذذل ٌمذذذر ببذذذإرتً األخذذذر وكالهمذذذا ٌمعذذذان علذذذى محذذذور السذذذٌنات وطول المحور الكبٌر ٌساوي 𝟐√𝟔 وحدة طول وطول المحور الحمٌمً ٌساوي 𝟔 وحدة طول . الحل: كل من المطعٌن ٌمر ببإرة األخر ∴ رأسا المطع النالص ٌمثالن بإرتا المطع الزائد وبإرتا المطع النالص تمثالن رأسا المطع الزائد
𝟖𝟏
𝟐
فً المطع النالص : 𝟐√𝟑
𝟐
𝟐√𝟔 𝟗
𝟐
𝟗
𝟐
معادلة القطع الناقص
𝟗 𝟏
𝟐
𝟐
𝟖𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟗
𝟖𝟏
𝟗
𝟐
فً المطع الزائد : 𝟑
𝟔
𝟐
𝟖𝟏
𝟐 𝟐
𝟗
𝟐
𝟗
𝟐
𝟐
𝟖𝟏
𝟐
𝟐
معادلة القطع الزائد
126
𝟐
𝟏
𝟗
𝟐
𝟗
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل المواعد األساسٌة للمشتمة ( مراجعة ) الماعدة األولى :مشتمة الدالة الثابتة تساوي صفر
الماعدة الثانٌة :أذا كان
فأن
) (
𝟐
𝟏
𝟏 / 𝟐
√𝟐
.
𝟕
الماعدة الثالثة :أذا كان
) (
(
)𝟏
𝟏 𝟐 𝟖
)
𝟏 / 𝟐
√𝟐
𝟏 ) (𝟕 𝟐
.
𝟓𝟏
𝟒
𝟒
𝟏 . / 𝟐
𝟕
𝟕
) (
)𝟏(
) (
)𝟐(
) (
)𝟑(
حٌث ) (̅
𝟒𝟐
𝟒 𝟏 . / 𝟐
) (̅
𝟕
) (̅
𝟓𝟏
√
) (̅
) (̅
(
𝟑
) (̅
𝟑
𝟕
𝟎
) (̅
𝟐 𝟓
) (
)𝟑(
) (̅
𝟑
𝟖
فأن
𝟎
) (̅
𝟒√
) (
)𝟐(
) (̅
(
)𝟏
𝟎
) (̅
𝟑
) (
)𝟏(
𝟗
𝟑
𝟔
) (
)𝟏(
√𝟕
) (
)𝟐(
𝟓
) (
)𝟑(
) (
)𝟒(
) (̅
𝟗
الماعدة الرابعة :مشتمة مجموعة دوال = مجوع مشتماتها 𝟕 𝟏 𝟐
𝟏
𝟓 𝟓
𝟐
𝟐 𝟏 / 𝟐
𝟐 𝟓
.
𝟏 . / 𝟐
𝟕
𝟏 ) (𝟕 𝟐
𝟐
𝟕
𝟐
√𝟐
127
𝟐
𝟑
𝟑
) (̅
𝟒𝟐
) (̅
) ( ) (̅ ) (̅
𝟑
) (
)𝟏(
𝟔
) (
)𝟐(
√𝟕
) (
)𝟑(
𝟕 𝟏
𝟓
𝟐
𝟒
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل الماعدة الخامسة ] :مشتمة حاصل ضرب دالتٌن = الدالة األولى 𝟑
𝟒𝟏
𝟒𝟐
𝟑
𝟒𝟏
𝟖
)𝟕
الماعدة السادسة :مشتمة لسمة دالتٌن = 𝟑
𝟔 𝟖 𝟐)𝟏
𝟒
𝟒
𝟐
𝟔 (
مشتمة الدالة الثانٌة +الدالة الثانٌة
𝟐𝟏() 𝟐(
الممام
𝟐 𝟓
𝟔
)
𝟒) 𝟕
𝟑
𝟒()𝟓𝟑
(𝟐𝟐)𝟑 ,
𝟏)(𝟏)-
𝟐
𝟐)𝟐 (𝟐)-
𝟐( ( 𝟑)𝟐
)𝟏
)𝟕
𝟐(𝟐
, ( )-
𝟐𝟏( 𝟒) 𝟕
𝟏
𝟐) 𝟐
𝟑
𝟒( 𝟐
𝟐
)𝟐 𝟏
𝟐) 𝟐
𝟐𝟏( 𝟑
𝟒(𝟓
𝟐(𝟑𝟏)𝟐 , 𝟐( 𝟐)𝟏
(𝟔
) (̅
𝟐) 𝟐
𝟑
𝟑
𝟒(
𝟏
𝟐 )𝟐 ,𝟐 -
𝟒(
𝟐
𝟑)𝟐
𝟏
𝟑
𝟒(𝟐 𝟐
𝟖
𝟒
𝟐
𝟔𝟏 𝟐
𝟑
𝟒
𝟐
𝟐𝟏
𝟑
) 𝟐
𝟒( 𝟒
)𝟐
𝟐) 𝟐
𝟑
𝟏
𝟒√𝟐
𝟑
𝟒(
) (
)𝟏(
(
) (
)𝟐(
𝟐
√𝟐
) (
𝟒
𝟏 𝟒( ) (6 𝟐 𝟐𝟏(
) (
) (̅
𝟐( 𝟐)𝟏
𝟐
𝟐𝟏( 𝟐 ) 𝟐
𝟑
𝟐
𝟒
(, ( )-
𝟓) 𝟕
) ( 𝟐
𝟐)7
)𝟏
) (̅
(
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
(
𝟑
𝟏 𝟏
) (̅
فأن ) ( ̅
) (
) (̅
𝟐)𝟐
) 𝟐() 𝟕
)الممام(
𝟒()𝟏
𝟐
البسط
𝟑
𝟒(
) (
مشتمة الممام
𝟑 𝟐( ) 𝟔()𝟏 𝟐)𝟏 𝟒 (
الماعدة السابعة :مشتمة مجموعة دوال مرفوعة ألس معٌن 𝟎𝟔(
)𝟐() 𝟕
مشتمة البسط
𝟑
𝟑
𝟒(
) (̅
مشتمة الدالة األولى[
)𝟑(
) (̅
𝟐
𝟐
) (̅
𝟒(𝟐
المواعد األساسٌة ألشتماق الدوال الدائرٌة ) (
𝟐
) (̅
) (
) (
)𝟒(
) (̅
) (
)𝟓(
) (
) (̅
) (
)𝟔(
)
(𝟐
) (̅
) (
)𝟏(
) (̅
) (
)𝟐(
) (̅
) (
)𝟑(
بعض الموانٌن والعاللات المهم 𝟐
) 𝟐(
𝟐
𝟐 𝟐
𝟏
𝟐 𝟐
𝟏
) 𝟐(
𝟐
𝟏 𝟐 𝟏
128
𝟏
𝟐
𝟏
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل 𝟐 𝟐
𝟏
𝟏
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05 𝟐
) 𝟐(
)
𝟏
) 𝟐(
(
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
) 𝟐(
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
)تعكس األشارة(
)
(
)
(
مثال /جد مشتمة كالً مما ٌأتً : 𝟏
) (̅
) (
)𝟏(
) (
)𝟐(
) (
)𝟑(
) (
)𝟒(
) (
)𝟓(
) (
)𝟔(
) (̅
𝟐)
(
𝟐
) (
)𝟕(
) (̅
𝟐)
(
𝟐
) (
)𝟖(
) (
)𝟗(
√𝟐 𝟏 𝟐
𝟏
) (̅
)𝟏
) (̅
) (̅
(
√
𝟐
) (̅ ) (̅ 𝟏
√
√𝟐 𝟏 √𝟐
𝟐 𝟐 )
(
)
𝟐
) 𝟐(
𝟏
𝟏 )𝟏
𝟐 𝟐 𝟐
129
) (̅
) (̅ ) (̅ ) (̅
( 𝟐
) (̅
(
√
) (̅ ) (̅ ) (̅
√
) (
)𝟗(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
المشتمات ذات الرتب العلٌا دالة تتوافر فٌها شروط األشتماق فأن مشتمتها األولى هً ̅ ( )1
أذا كانت ) (
̅ 0وهً تمثل
دالة جدٌدة ,والدالة الجدٌدة أذا كانت لابلة لألشتماق فأن مشتمتها الثانٌة تكون أٌضا دالة جدٌدة وٌرمز لها بالرمز 𝟐 ̅ حٌث ̅ ( )1 ̅ , 0والدالة الجدٌدة أذا كانت لابلة لألشتماق فأن مشتمتها الثالثة تكون أٌضا دالة 𝟐
𝟑
̅ حٌث ̅ ( )1 جدٌدة وٌرمز لها بالرمز ̅
̅ ̅ 0وهكذا فأذا كان ) (nعدد صحٌح موجب فأن المشتمة
𝟑
) (
من الرتبة ) (nتكون كالتالً ( )1
0
مالحظات عامة ,حٌث ) ( تمثل أزاحة الجسم عند أي زمن ) ( لذا فأن :
أذا كانت ( ) - ① ) (̅ ② ) (̅ ̅̅ ③) (
(المشتمة األولى) وهً تمثل السرعة اللحظٌة للجسم وٌرمز لها بالرمز ) ( 𝟐 𝟐 𝟑 𝟑
(المشتمة الثانٌة) وهً تمثل التعجٌل للجسم (معدل تغٌٌر السرعة ) وٌرمز لها بالرمز ) ( (المشتمة الثالثة) وهً تمثل (معدل التغٌٌر الزمنً للتعجٌل)
④ بعض الدوال لابلة لألشتماق أكثر من مرة ,لذا فأن مشتمة ناتج األشتماق األول تسمى بالمشتمة الثانٌة ,ومشتمة ناتج األشتماق الثانً تسمى بالمشتمة الثالثة
المشتمـــــــــة الضمنٌة دالة بداللة ) ( فعند أشتماق معادلة تحتوي على ) ( و ) ( بالنسبة للـ ) ( نضٌف )̅ ( بعد
أذا كانت ) (
كل مشتمة لل ) ( ( وتستخدم المشتمة الضمنٌة عندما ٌكون لٌمة أس ) ( أكبر من واحد ) كما فً المثال التالً : مثال /أوجد )̅( لكالً مما ٌأتً : 𝟐
𝟒 ̅
̅
̅
)𝟐 (
⇒
̅
𝟑 ̅
̅
130
𝟐
①
) (
𝟐 )̅
𝟐
(
②
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال ) /)1أذا كان
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
فجد
𝟐
𝟒 𝟒
الحل /
𝟐
𝟐
)𝟐() 𝟐
𝟒
𝟐
𝟐 (
𝟐
𝟐
)𝟐() 𝟐
𝟐
(
𝟒
𝟐
)𝟐() 𝟐
𝟔𝟏 𝟐
مثال ) ) /أذا علمت بأن 𝟏
𝟐
𝟖(
𝟑
𝟐
𝟒
فبرهن على أن :
𝟐
𝟎
𝟐
)𝟐() 𝟐
𝟖
𝟒(
𝟑
𝟑
𝟑
𝟑
الحل /
𝟏 )𝟐 ( )واالن نشتك الطرفٌن بالنسبة للمتغٌر
𝟐
𝟎
(
𝟐
𝟐
)
( 𝟐
𝟎
(
) 𝟐
𝟎
)
𝟏
(
( )
5
𝟐
𝟐
)واالن نشتك الطرفٌن بالنسبة للمتغٌر
𝟎
/
𝟐 𝟐
𝟑.
𝟑/
𝟑
مرة أخرى (
𝟎
.
𝟎
𝟎 𝟐/
𝟐
.
𝟏
𝟐
4 𝟐
(
) 𝟐/
𝟐
5
.
4
𝟐
𝟑/
𝟑
.
𝟐
)وهو المطلوب(
مثال /لتكن 𝟎
𝟑𝟏
حٌث 𝟎
𝟎
𝟐
𝟑
𝟑
𝟑
فجد المشتمة الثانٌة
𝟎
الحل / 𝟎
المشتمة األولى
𝟎
𝟎 𝟐
𝟎
̅
)𝟏(̅
المشتمة الثانٌة
131
̅
𝟎
̅𝟐
̅
𝟐
𝟎
̅𝟐
̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل 𝟐
مثال /أذا كانت
وكان 𝟓
) (
)𝟏( ̅ فجد
)𝟏( ̅ وكان 𝟒
)𝟏( وكان 𝟑
الحل /
معادلة ① معادلة ②
𝟑
𝟒
𝟐 𝟒
)𝟐 (𝟐
𝟑
𝟎
مثال /أذا كانت
) 𝟏( ̅
𝟐
𝟑 𝟕
فبرهن أن
) 𝟏( ̅
) 𝟏( 𝟐
𝟑
𝟕
) 𝟏(
𝟓
𝟐
نعوض فً ② نعوض فً ①
𝟓
𝟐
𝟐) 𝟏(
𝟓
) 𝟏( 𝟐
) (̅
𝟐
) (̅ 𝟐
𝟑 ) 𝟕(
𝟓
)𝟐 (
𝟐
𝟐
𝟐
الحل /
𝟐
)
𝟐
(
𝟐
𝟐
𝟐
س / 1جد
𝟐
𝟐
𝟐
تمارين)𝟏 𝟐
𝟐 𝟐
𝟑(
لكل مما ٌأتً : 𝟐
) (
𝟐√
الحل / 𝟏 𝟐
𝟏 𝟐( 𝟐
)
)𝟏 (
𝟏 𝟑)
𝟏 𝟐
)
𝟏 𝟐(√ 𝟒
𝟑 𝟐)
132
𝟏 𝟐( 𝟐
𝟏 𝟐) 𝟑
)𝟏 ( 𝟐 ) 𝟐(𝟒
𝟏 𝟏 𝟐( ) ( ) 𝟐 𝟐
𝟐( 𝟐
(
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05 𝟐 ) ( 𝟐 𝟐
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
الحل / 𝟐
)
𝟒
𝟐(𝟒
𝟐)
𝟐 𝟐)
𝟐(
)𝟏()
𝟐
𝟐( 𝟐)
𝟐(
𝟐(
)𝟏 () 𝟐(
𝟐
𝟖 𝟑)
)𝟏( 𝟑 )
𝟐(
𝟎
𝟐()𝟐 ()𝟒 (
𝟐
𝟓
𝟎
𝟐
𝟐 ) (
𝟒
الحل /
𝟎 𝟐
𝟐
𝟐(
)𝟒
𝟒
𝟎
𝟐(
)𝟒
[𝟐
] 𝟒
𝟎
𝟐
𝟐
𝟐
𝟎
𝟐
𝟒
𝟐
𝟐
𝟐
𝟒 𝟐
𝟐 𝟐)𝟐
𝟐
(
)𝟒
𝟖 𝟐)𝟐
𝟐(
(𝟒
𝟐)𝟒
𝟎
𝟐
𝟐
𝟒
𝟐
)𝟒
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐(
𝟐
𝟐
𝟐
𝟖
7
𝟐6
𝟐(
)𝟒 (
)𝟒
𝟐(
𝟐
طرٌمة أخرى لحل السؤال 𝟓 𝟏
)𝟐
𝟓 ( 𝟐
𝟓
𝟓 )𝟐 𝟐
𝟓 𝟑)𝟐
(𝟐 )𝟐
𝟓
𝟐(
)𝟒 𝟓 ( 𝟐
)𝟏( 𝟐 )𝟐
𝟐 𝟑
(
𝟐
133
)𝟐
(𝟓
)𝟏( 𝟑 )𝟐
𝟒 )𝟒
𝟐 𝟐(
𝟓 ()𝟏 ( 𝟐 𝟓 ()𝟐 ( 𝟐
𝟐 𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
̅ س / 2جد )𝟏( ̅ لكل مما ٌأ تً : 𝟐
𝟑
) (
𝟔√𝟒
) (
الحل / 𝟏
𝟐) 𝟐
𝟑
𝟐) 𝟐
𝟐𝟏 𝟓
𝟐) 𝟐
𝟓
𝟐) 𝟐
𝟏 𝟔( ) ( 𝟒 𝟐
) (̅
)𝟐 ( 𝟐 ) 𝟐
𝟏 𝟔( ) 𝟐
(𝟒
) (̅
)𝟐 ( 𝟐 ) 𝟐
𝟑 𝟔( ) 𝟐
(𝟒
) (̅
𝟏
)𝟐 ( 𝟐 ) 𝟐
𝟔(𝟒
𝟑
𝟔(𝟒
𝟓
𝟔(𝟐𝟏
𝟔( 𝟑 𝟖
𝟐𝟏 𝟓)𝟐(
𝟐𝟏 𝟐𝟑
𝟐𝟏
𝟐𝟏
𝟐𝟏
𝟓 𝟐) 𝟐𝟐(
𝟓 𝟐)𝟒(
𝟏
𝟐) 𝟐
) (
𝟔(𝟒
̅ )𝟏(̅
𝟓 𝟐)𝟐
𝟔(
) (
) (
الحل / ) (̅
) ( 𝟐
) (
𝟑
𝟑
) ( (𝟑
)𝟏
) (̅
)𝟏(
𝟐
) ( ̅̅
𝟑
)𝟏( ̅
𝟑
𝟐
𝟐
) (
الحل / 𝟐 𝟑
𝟖𝟏 𝟒)
𝟒
𝟐(
) )
)
𝟐( 𝟐(
𝟐(𝟖𝟏
)𝟏 ( )
(
)𝟏 (
𝟑
𝟒
) )
𝟐
)
𝟐(𝟑
𝟐()𝟐 (𝟑 𝟐()
(
) (
134
) (̅ ) (̅ ̅ ) (̅ ̅ )𝟏(̅
𝟏
)
𝟐(𝟑
) (
) (
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
س / 3أذا كانت
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
فبرهن أن
)𝟐
𝟐
𝟏( 𝟐
)𝟏
حٌث
𝟐
𝟐( 𝟐
الحل / 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟏 𝟐
)𝟐
فبرهن أن 𝟎 :
س / 4أذا كانت
𝟏( 𝟐
)
𝟐
𝟐
𝟏(
𝟐
)𝟒(
𝟒
الحل / )𝟏( 𝟐
𝟐
𝟐
)𝟏(
𝟐
𝟐
(
)
𝟐
𝟑
𝟐
̅
𝟐
𝟐
𝟑
𝟐
𝟒
𝟐
𝟐
𝟒
̅
𝟐
𝟒
𝟒 𝟒
/و هـ م.
𝟎
𝟒
) 𝟒(
𝟎
𝟐
𝟐
𝟒
المعدالت المرتبطة لحل مسائل المعدالت المرتبطة بالزمن وهً أحدى تطبٌمات المشتمة الضمنٌة نتبع الخطوات التالٌة : ① نرســـــــــم مخطــط للمســــــــألة (أن أحتجــت الــى ذلــن ) ونحــدد المترٌــرات والثوابــت ونضــع لهــا الرمــوز ونحــدد العاللــة الرئٌسٌة لحل السؤال ② نحاول أٌجاد عاللة أخرى بٌن المترٌرات لكً ٌمل عدد المترٌرات الداخلة فً الحل ③ نشتك الطرفٌن بالنسبة للمترٌر ( tالزمن) ④ نعوض معطٌات السؤال من المترٌرات بعد األشتماق فٌنتج المطلوب
135
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟐 ٌتســــرب منه
مثال ( /)1خزان مملوء بالماء على شكل متوازي سطوح مستطٌلة لاعدته مربعة طول ضلعها الماء بمعدل 𝟎 𝟒 𝟑 ⁄جد معدل ترٌر أنخفاض الماء فً الخزان عند أي زمن t وزاري / 2013د2 وزاري / 2011د1 الحل /
نفرض ارتفاع الماء فً الخزان مســـــــــــــاحة الماعـــــــــدة نفرض حجم الماء فً الخزان
{
فً أي زمن t
العاللة هً لانون حجم الخزان ) ( = ] مساحة الماعدة
األرتفاع[
𝟐)𝟐(
𝟒
األن نشتك بالنسبة للزمن 𝟒 𝟒𝟎 𝟒
) 𝟎𝟏 ( ⁄
𝟒
∴ معدل ترٌر أنخفاض الماء فً الخزان = ) ⁄
𝟒𝟎
𝟏 𝟎(
𝟐 𝟔𝟗 ٌتمـدد طولــــــها بمعـدل ⁄ مثال ( /)2صفٌحة مستطٌلة من المعـدن مسـاحتها تسـاوي 𝟖 تبمى مساحتها ثابتة ,جد معدل النمصان فً عرضها عندما ٌكون عرضها وزاري / 2014د 3وزاري / 2011د2
𝟐 بحٌـث
الحل / نفرض طول المستطٌل نفرض عرض المستطٌل
8
فً اي زمن t
العاللة هً مساحة المستطٌل ) ( = -
,
)نحسب لٌمة ( 𝟐𝟏
معادلة①
𝟔𝟗 𝟖
𝟔𝟗 )𝟖(
𝟔𝟗
األن نشتك معادلة ① بالنسبة للزمن 𝟎
)𝟐()𝟖(
)𝟐𝟏(
𝟎 𝟒 ( 𝟑
𝟔𝟏 𝟐𝟏
∴ معدل التنالص فً عرض المستطٌل = ⁄ /
𝟒
) ⁄
𝟑
.
136
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟖 مرطـى بطبمـة مـن الجلٌـد بحٌـث شـكله ٌبمـى مكعـب ,فـأذا بـدأ الجلٌـد مثال ( /)3مكعب صلد طـول حرفـه 𝟑⁄ 𝟏 𝟔 فجد معدل النمصان بسمن الجلٌد فً اللحظة التً ٌكون فٌها هذا السمن = بالذوبان بمعدل وزاري / 2015د1
الحل / نفرض سمن الجلٌد نفرض حجم الجلٌد
8فً أي زمن t
المطلوب حساب . /عندما ) 𝟏
حجم الجلٌد
𝟑⁄
( حٌث /
حجم المكعب مغطى بالجلٌد
𝟔
حجم المكعب األصلً 𝟑)𝟖(
)نشتك بالنسبة للزمن( 𝟎
𝟑) 𝟐
)𝟐( 𝟐) 𝟐 ))𝟏(𝟐
𝟖(𝟔
𝟔
𝟐)𝟎𝟏(
𝟏
𝟏 𝟎𝟎𝟏
لذا فأن معدل النمصان فً سمن الجلٌد = ⁄
𝟖(
𝟖(𝟑
𝟐
⁄
.
0.01
مثال ( /)4سلم طوله 𝟎𝟏 ٌستند طرفه االسفل على أرض أفمٌة وطرفه العلوي على حائط رأســــً ,فاذا انزلـك الطـر األسفل مبتعد مبتعدا عن الحائط بمعدل 𝟐 ⁄عندما ٌكون الطر األسفل على بعد 𝟖 عن الحائط فجد : ② سرعة ترٌر الزاوٌة بٌن السلم واألرض ① معدل أنزالق الطر العلوي
وزاري / 2014د2 الحل ① / نفرض بعد الطر األسفل عن الحائط فً أي لحظة نفرض بعد الطر األعلى عن األرض فً أي لحظة نفرض لـــــٌاس الزاوٌـــــة بٌــــن الســــلم واألرض )فٌثاغورس( 𝟔
𝟎𝟎𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟎𝟎𝟏
𝟐
𝟒𝟔
)نشتك الطرفٌن(
𝟎𝟎𝟏
𝟐
𝟐
𝟔𝟑
𝟎 𝟎 𝟐𝟑
𝟐𝟏
𝟐 )𝟔(𝟐 𝟎
𝟐 )𝟐()𝟖(𝟐
𝟐𝟏
𝟖 ) ( ⁄ 𝟑
∴ معدل انزالق الطرف العلوي = ⁄
𝟖 𝟑
137
𝟐𝟑
وزاري / 2012د1
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
الحل ② / )نشتك الطرفٌن(
) نعوض لٌمة
(
) نضرب الطرفٌن ب 𝟎𝟏 (
) نمسم الطرفٌن على 𝟖 ( سرعة تغٌٌر الزاوٌة بٌن السلم واالرض
(
) ⁄
𝟒𝟐 وطــول لطــر مثــال ( /)5مرشــح مخروطــً لاعدتــه أفمٌــة ورأســــــــه الــى االســفل ارتفاعــه ٌســـــــاوي 𝟑⁄ 𝟑⁄ 𝟏 جـد معـدل 𝟓 بٌنما ٌتسرب منه السا ئل بمعـدل 𝟔𝟏 ٌصب فٌه سائل بمعدل لاعدته 𝟐𝟏 ترٌر عمك السائل فً اللحظة التً ٌكون فٌها عمك السائل الحل / نفرض أرتفاع الســـــــائل نفرض نصف لطر الماعدة نفرض حجم الســــــــائل
مالحظة
{ فً أي زمن t
معدل تغٌر حجم السائل معدل الصب معدل التسرب )
𝟑⁄
( 𝟒 𝟏 𝟓
العاللة هً حجم السائل فً المرشح المخروطً 𝟏
𝟐
معادلة①
𝟑
نعوض فً معادلة①
𝟑
𝟐
𝟏 𝟕𝟐
) ( 𝟑
𝟏 𝟑
𝟐 𝟑
)نشتك بالنسبة للزمن(
𝟕𝟐 𝟐
𝟐)𝟐𝟏(
𝟗
معدل أزدٌاد أرتفاع السائل ) ⁄
𝟏 𝟑
𝟑
𝟕𝟐
𝟐
𝟒
𝟗
(
𝟏 𝟒
)𝟗()𝟒( 𝟒𝟒𝟏
138
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟒 𝟐 بحٌــث ٌكــون معــدل أبتعادهــا عــن النمطــة مثــال ( /)6لــتكن Mنمطــة متحركــة علــى منحنــً المطــع المكــاف )𝟎 𝟕( ٌســــاوي ⁄ 𝟐 𝟎 جــــد المعــــدل الزمنــــً لترٌــــر األحــــداثً الســــٌنً للنمطــــة Mعنــــدما ٌكــــون 𝟒 الحل / لتكن النمطة )
(
لتكن النمطة )
(
للمطع المكافئ
Sالمسافة بٌن N , M 𝟐 𝟐
𝟗𝟒 )
𝟒
𝟐
𝟒𝟏 𝟐
)𝟏
𝟐
√
(
𝟏
)نشتك بالنسبة للزمن(
(
𝟐)𝟎 𝟒
𝟐)𝟗𝟒
𝟐
𝟐
𝟎𝟏
)𝟏
𝟐
𝟐)𝟕
( 𝟗𝟒
(
𝟒𝟏
𝟗𝟒
𝟐( 𝟐 )𝟗𝟒
𝟗𝟒 𝟗𝟒 𝟐 𝟎𝟏 ) ⁄
( 𝟏
𝟐𝟎
𝟐
𝟎𝟏
√
𝟏 ( 𝟐
𝟐
𝟎𝟏
𝟐
√𝟐
)𝟒(𝟐
)𝟒(𝟎𝟏
√
𝟐
𝟎𝟏
𝟎𝟏 𝟎𝟏
(√ 𝟐
𝟏
)𝟎𝟏
(√
𝟐)𝟒(√ 𝟐 𝟐 𝟓𝟐√𝟐 𝟐𝟎
139
𝟐𝟎 𝟐𝟎 𝟐𝟎
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟑(
تمارين)𝟐
س / 1سلم ٌستند طرفه األسفل على أرض أفمٌة وطرفـه األعلـى علـى حـائط رأسـً فـأذا أنزلـك الطـر 𝟐 فجد معدل أنزالق الطر
الحائط بمعدل
العلوي عندما ٌكون لٌاس الزاوٌة بٌن السلم واألرض تساوي
الحل /
الطريقة① نـــــفرض طــــــــــول الســـــــــــــلم نفرض بعد لاعدة الســــــــــلم عن الجدار نفرض بعد رأس السلم عن عن األرض نفرض الزاوٌة بٌن الســــــــلم و األرض
{فً أي زمن t
العاللة هً فٌثاغورس 𝟐
معادلة① 𝟑√ 𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
𝟏 𝟐
𝟑
األن نشتك المعادلة ① بالنسبة للزمن 𝟑√ 𝟐4 5 𝟐
𝟎
) ( ⁄ معدل االنزالق الطر
𝟏 )𝟐( ) ( 𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟑√
𝟑√
العلوي للسلم = m/s
𝟎 𝟎
𝟐 𝟑√
𝟐 𝟐
𝟐 𝟑√
الطرٌمة② 𝟑√
𝟑√
𝟑
األن نشتك المعادلة ① بالنسبة للزمن 𝟎
)𝟐() (𝟐
) 𝟑√(𝟐
) ( ⁄
𝟐
𝟒
𝟑√
𝟑√𝟐
األسـفل مبتعـدا عــن
𝟎 𝟎
140
𝟐 𝟑√𝟐
𝟐 𝟒
𝟑
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟐 𝟕 فــً نهاٌتــه مصــباح ٌتحــرن رجــل طولــــــــــه س / 2عمــود طولـــــه 𝟑𝟎 ⁄جد معدل ترٌٌر طول ظل الرجل وبســــرعة
𝟖 𝟏 مبتعــدا عــن العمــود وزاري / 2013د1
الحل / نفرض بعد الرجل عن لاعدة المصباح نفرض طــــــول ظل الرجــــــــــــل
حٌث 𝟎𝟑
8فً أي زمن t
العاللة هً تشابه مثلثات او أستعمال )(tan 𝟐𝟕
فً المثلث الكبٌر
𝟖𝟏
فً المثلث الصغٌر 𝟒
𝟏
𝟖𝟏
)نشتك بداللة ( 𝟏𝟎 ( ⁄
)
معدل ترٌٌر طول ظل الرجل = )
𝟑 /
𝟎𝟑 𝟑
𝟐𝟕 𝟒
.
𝟑
𝟑
𝟏𝟎 ( ⁄ 𝟐
𝟒 𝟖 س / 3جد النمط التً تنتمً للدائرة 𝟖𝟎𝟏 لترٌٌر ) ( ٌساوي المعدل الزمنً لترٌٌر ) ( بالنسبة للزمن t
𝟐
الحل / العاللة معطاة وهً
)𝟖𝟎𝟏
) نعوض بدل كل
ب
)نمسم المعادلة على
𝟐(
𝟖
𝟒
(
𝟎
𝟖
𝟎
)𝟒
𝟔𝟗 ()𝟐𝟏
(
𝟎 𝟎𝟏 𝟔
النمطتان)
()
𝟖 𝟖
𝟎 )
𝟐(𝟒
𝟐
𝟒
𝟐
𝟐
𝟖
𝟖
𝟐
𝟐 𝟒
𝟐𝟏 𝟖𝟒
𝟐
𝟒
𝟐
𝟖𝟎𝟏 𝟐
𝟒
𝟖
𝟖𝟎𝟏
𝟔𝟏
𝟐
𝟎
) نعوضها فً العاللة المعطاة(
𝟐
( حٌث
𝟐
𝟐 𝟐) 𝟐
𝟖𝟎𝟏
𝟐
𝟐( 𝟒 𝟐
𝟔𝟏 𝟖𝟒
𝟐𝟏
𝟐
𝟐𝟏
)𝟒 (
𝟐
𝟒
(
141
𝟒
𝟖
𝟐 𝟐
والتً عندها ٌكون المعدل الزمنً وزاري / 2012د3
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل 𝟐
س / 4لتكن Mنمطة تتحرن على المطع المكاف
جد أحداثً النمطة Mعندما ٌكون المعدل الزمنً ألبتعادها
𝟑
وزاري / 2012د2
عن النمطة ٌ .𝟎 /ساوي ثلثً المعدل الزمنً لترٌٌر األحداثً الصا دي للنمطة M 𝟐
الحل /
لتكن النمطة )
𝟐
للمطع المكافئ
(
𝟑
𝟑
لتكن النمطة .𝟎 𝟐 / Sالمسافة بٌن N , M 𝟐 )𝟏
𝟗 ) 𝟒
𝟑
𝟐
𝟐 𝟑 ) 𝟐
√
(
𝟐
(
𝟐 )𝟏
(
𝟐
𝟐 𝟑 ) 𝟐
√
̅̅̅̅̅
(√
𝟐
(
𝟐)𝟎
𝟐 𝟗 ) 𝟒
𝟐
(√
𝟏
)نشتك بالنسبة للزمن( 𝟏
)
𝟐
𝟐(
)𝟐
) تربٌع الطرفٌن (
𝟐 )𝟏
𝟗 𝟒
(𝟑
𝟐
𝟎
𝟐
𝟐 )𝟏
√𝟐
𝟗 𝟒 𝟐
(𝟗
𝟖𝟏
𝟐
𝟐 𝟗
)𝟐
𝟐(
𝟏
)𝟏 𝟐
(
𝟐
𝟐 𝟗 𝟒/
𝟐. 𝟐
𝟏 ( 𝟐
𝟐
)𝟐
𝟐 𝟑
𝟏
𝟐 𝟗 𝟒/
𝟐
𝟐 𝟗 ) 𝟐( 𝟒
𝟐
(
𝟐 𝟎 تهمل)𝟎 𝟎( 𝟎 )𝟐 𝟐√ ( 𝟐√
(𝟐 𝟐
𝟐 𝟗 ) 𝟒 𝟗
𝟐.
√ 𝟐 𝟐
𝟗
𝟐 𝟑
𝟖 𝟎𝟏
𝟎 𝟎 𝟐 )𝟐 𝟐√ (
𝟐
(𝟒 𝟐 𝟐
𝟒 𝟓
س / 5متوازي سطوح مستطٌلة ابعاده تترٌر بحٌث تبمى لاعدتـه مربعـة الشـكل ز ٌـزداد طـول ضـلع الماعـدة بمعـدل ) ⁄ 𝟑( 𝟒(واالرتفاع ) 𝟓 𝟎( جد معدل ترٌٌر الحجم عندما ٌكون طول ضلع الماعدة ) وأرتفاعه ٌتنالص بمعدل ) ⁄ الحل / نفرض طول ضلع الماعدة نفرض ارتفاعـــــــــــــه حجمــــــــــــــــــــــه
{فً أي زمن t العرض
العاللة هً لانون الحجم حٌث الطول
𝟐
)نشتك بالنسبة للزمن(
) نعوض المجاهٌل(
)
𝟑⁄
(𝟖 𝟎
𝟐𝟕
االرتفاع 𝟐
) 𝟐(
)𝟑 𝟎()𝟒
𝟐( )𝟑(
)𝟓 𝟎 ( 𝟐)𝟒(
𝟖
)𝟖()𝟗 𝟎(
)𝟓 𝟎 ()𝟔𝟏(
142
𝟑 𝟎(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
أمثلة أضافٌة محلولة مثال /سلم ٌستند طرفه األسفل على أرض أفمٌة وطرفه األعلى على حائط رأسً فأذا أنزلك الطر األسفل مبتعدا 𝟐( فجد معدل أنزالق الطر العلوي عندما ٌكون لٌاس الزاوٌة بٌن السلم واألرض عـن الحائط بمعدل ) تساوي 𝟒
الحل /
الطريقة① نــــــفرض طــــــــــول الســـــــــــــلم نفرض بعد لاعدة الســــــــــلم عن الجدار نفرض بعد رأس السلم عن عن األرض نفرض الزاوٌة بٌن الســــــــلم و األرض
{فً أي زمن t
العاللة هً فٌثاغورس 𝟐
معادلة①
𝟐
𝟐
𝟏 𝟒
𝟐√ 𝟏
𝟒
𝟐√
األن نشتك المعادلة ① بالنسبة للزمن )
𝟎
𝟏 𝟐√
) 𝟐( ⁄
∴ معدل االنزالق = )
(𝟐
𝟏 (𝟐 )𝟐( ) 𝟐√ 𝟐√𝟐
𝟎 𝟎
𝟐√
𝟐
𝟐
𝟐√
𝟐√𝟐
(𝟐
الطريقة② 𝟏
𝟒
األن نشتك المعادلة ① بالنسبة للزمن 𝟎
) (𝟐 ) 𝟐( ⁄
)𝟐() (𝟐 𝟒 𝟐
𝟎
𝟐 𝟎
143
𝟐 𝟐
𝟒
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال /لطعة معدنٌة على شكل لطـع نـالص بمسـاحة ثابتـة تسـاوي ) 𝟎𝟔( وحـدة مربعـة فـأذا أزداد طـول محـوره األصـرر بمعـدل )𝟐 𝟎( وحــدة طول/دلٌمـة فجـد معــدل النمصـان فـً طــول محـوره االكبـر عنــدما ٌكـون طـول محــوره االصرر )𝟐𝟏( وحدة طول الحل / نفرض طول المحور االكبر نفرص طول المحور االصغر
8فً اي زمن t
العاللة هً لانون المساحة حٌث 𝟎𝟔 ) نضرب الطرفٌن ب
(
. /. / 𝟐 𝟐
𝟎𝟒𝟐
𝟎𝟒𝟐 𝟏
)نشتك بالنسبة للزمن( )
𝟎𝟒𝟐 𝟐
𝟐
( 𝟖𝟒 𝟒𝟒𝟏
𝟏 𝟑
𝟏
∴ معدل النمصان فً طول محوره االكبر
𝟑
𝟎𝟔
𝟎𝟒𝟐
𝟎𝟒𝟐
𝟎𝟒𝟐 )𝟐 𝟎( ) 𝟐)𝟐𝟏(
(
)وحدة طول ⁄دلٌمة (
******************************************************************
س : 1كــرة مملــؤة بالرــاز ٌتســرب منهــا الرــاز بمعدل ) عندمـــــا ٌكون حجمها /
𝟑⁄
𝟑 ( جــد معــدل النمصــان فــً طــول نصـ
لطرهــا
𝟐𝟑 𝟑
.
س : 2نمطة مادٌة تتحرن على المنحنً الذي معادلته 𝟕 𝟐 √ فأذا كان معدل ترٌـــــر األحداثً السـٌنً للنمطة = ) ⁄ 𝟑( عندما , x=4جد معدل ترٌر بعد النمطة عن نمطة األصل )(0,0 س : 3رجل طوله )ٌ (175 cmم أمام مصباح ٌرتفع عن سطح األرض ) (7 mفـاذا أخـذ الرجـل باالبتعـاد عـن لاعدة المصباح بمعدل ) (6 m/sفجد معدل ازدٌاد طول ظل الرجل
144
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مبرهنتا رول والمٌمة المتوسطة دالة معرفة على الفترة المرلمة - أذا كانت , تأخذ لٌمة عظمى عند حٌث - ①
,فأن : أذا وفمط أذا :
,
أذا وفمط أذا :
) ( ②
تأخذ لٌمة صررى عند
حٌث -
) (
) ( مبرهنة)𝟏 𝟑( أذا كانت دالة معرفة على الفترة المرلمة - وأن ) ( ̅ موجودة فأن 𝟎 ) ( ̅ ( عند Cحـٌث )
) (
,وكان للدالة
مبرهنة)𝟐 𝟑( لتكن الدالة أذا كان 𝟎 ) ( ̅ أو ان الدالــــة غٌر لابلة لالشتماق فً Cوتسمى )) (
لكل -
,
لكل -
,
𝒙 𝒙
لٌمـة عظمـى أو لٌمـة صـررى
معرفة عند العدد ٌ Cـمال عــــــــن العدد Cبأنه عدد حرج )(critical number
مثال ( /)1لتكن |
|
) (
,بٌن هل الدالة
, 𝟏 𝟏-
( بالنمطة الحرجة تمتلن لٌمة عظمى او صررى
الحل / الدالة
تمتلن أعظم لٌمة عند كل من 𝟏
الدالة
غٌر لابلة لألشتماق عند 𝟎
𝟏
وتمتلن أصرر لٌمة عند 𝟎
أي أن )𝟎( ̅ غٌر موجودة وهذا ال ٌشترط أن ٌكون 𝟎
) (̅
( وٌالحظ أن الدالة معرفة عند الصفر وأن )𝟎( ̅ غٌر موجودة لذا ٌمال أن العدد " صفر " هو العدد الحرج للدالة النمطة ))𝟎( 𝟎( هً النمطة الحرجة )ز
مبرهنة رول ()ROLLE'S THEOREM اذا كانت الدالة f ② لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )
① مستمرة فً الفترة المرلمة -
,
فأنه ٌوجد على األلل لٌمة واحدة
تنتمً الى الفترة )
( بحٌث 𝟎
145
(
) ( ̅ كما مبٌن أدناه
③ ) (
) (
وأن
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مالحظات 𝟏 هذه النظرٌة تعنً هندسـٌا وجود نمطة واحدة على األلل تنتمً للمنحنً وتكون موازٌة لمحور السٌنات 𝟐 عند عدم توفر أحد الشروط الثالثة فأن مبرهنة رول ال تنطبك
الممكنة :
مثال ( /)2بٌن هل أن مبرهنة رول تتحمك لكل من الدوال التالٌة ؟ ثم جد لٌمة
𝟐)
,𝟎 𝟒-
) (
𝟐(
) (
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة ,𝟎 𝟒-النها كثٌرة حدود ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟒 𝟎( النها كثٌرة حدود ③ نوجد )𝟎( )𝟒(
)𝟒( الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض )
)𝟎(
) (̅
𝟐(𝟐 )
𝟎
𝟐)𝟐 (
𝟐)𝟒
𝟐(
) (
) (̅
( ونفرض 𝟎 )
𝟐)𝟐(
𝟐)𝟎
𝟐(
) (
𝟐) )
𝟐(𝟐
𝟐(
𝟑
, 𝟏 𝟏-
) (̅
𝟐(𝟐 )𝟒 𝟎(
𝟐
) (
𝟗
𝟑
𝟐
) (
) (
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟏 𝟏-النها كثٌرة حدود ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟏 𝟏 ( النها كثٌرة حدود ③ نوجد )𝟏( )𝟏 ( 𝟏 𝟏
𝟑
𝟗
𝟑
𝟗 𝟑)𝟏 (
)𝟏( الدالة ال تحمك مبرهنة رول ألن الشرط الثالث لم ٌتحمك
146
𝟑)𝟏(
𝟐)𝟏(𝟑
𝟐)𝟏 (𝟑
)𝟏 (
) (
)𝟏(𝟗
)𝟏 (𝟗
)
(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟐 𝟏 ,, 𝟒 𝟏-
𝟐
𝟏
) (
{
𝟏
) (
الحل / 𝟐 𝟒 ,مجال الدالة ① الشرط األول 𝟐
𝟏
الدالة غٌر مستمرة ألن 𝟐 الدالة ال تحمك مبرهنة رول
𝟏
)𝟏
)𝟏 (
𝟏
𝟐
𝟐
(
)𝟏 ( )𝟏 (
فً الفترة , 𝟒 𝟐-
-
) (
,
) (
الحل / ,النها دالة ثابتة ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة - ( ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة ) ③ نوجد ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ٌمكن أن تكون أي لٌمة ضمن الفترة )
الدالة تحمك مبرهنة رول وأن لٌمة
) (
(
******************************************************************
أمثلة أضافٌة محلولة عند تحمك المبرهنة
مثال /بٌن هل أن مبرهنة رول تتحمك لكل من الدوال التالٌة ؟ ثم جد لٌمة
𝟐
, 𝟐 𝟐-
𝟖
𝟒
) (
)𝟏(
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟐 𝟐-النها كثٌرة حدود ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟐 𝟐 ( ③ نوجد )𝟐 ( )𝟐( 𝟔𝟏 𝟐𝟑
𝟔𝟏
𝟐𝟑 𝟔𝟏
𝟐)𝟐 (𝟖
) ( الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض )
𝟔𝟏 𝟎 )𝟐 𝟐 (
𝟐
𝟒
𝟐
147
)𝟒
𝟒 𝟐
𝟒)𝟐 (
)𝟐 (
) (
) (̅
( ونفرض 𝟎 𝟑
𝟐)𝟐(𝟖
𝟔𝟏
𝟒)𝟐(
)𝟐(
) (̅
𝟐
( 𝟒 )𝟐 𝟐 (
) 𝟑 (𝟒
) (𝟔𝟏 𝟎
𝟖
𝟒
𝟎
𝟒
) ( ) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
) (
,𝟎 𝟐 -
)𝟐(
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة ,𝟎 𝟐 -ألنها دالة دائرٌة ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة ) 𝟐 𝟎( ③ نوجد ) 𝟐( )𝟎( )𝟎( ) 𝟐( )𝟎( ) 𝟐( الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض )
) ( ) 𝟐(
) (̅
( ونفرض 𝟎
) (̅ ) ( ) 𝟐 𝟎(
𝟑 𝟐
𝟑 𝟐
) ( ) (̅
) (
) 𝟐 𝟎(
𝟐
𝟐
,𝟓 𝟗-
𝟗
) (
)𝟑(
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة ,𝟓 𝟗-النها دالة ثابتة ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟗 𝟓( ③ نوجد )𝟗( )𝟓( 𝟗 𝟗 )𝟗( الدالة تحمك مبرهنة رول وأن لٌمة
) ( ) (
)𝟓(
ٌمكن أن تكون أي لٌمة ضمن الفترة )𝟗 𝟓(
𝟐
, 𝟐 𝟐-
𝟔𝟏√
) (
)𝟒(
الحل / 𝟒 𝟒 ,𝟒 أوسع مجال للدالة ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟒 𝟒-النها مستمرة على المجموعات الجزئٌة ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟒 𝟒 ( الحظ
𝟔𝟏
𝟐
𝟐
𝟎 𝟐
𝟐
③ نوجد )𝟐 ( )𝟐(
𝟔𝟏√
𝟐
𝟔𝟏√𝟐
𝟔𝟏
) (̅
𝟐)𝟐(
𝟔𝟏√ ) ( 𝟒 𝟔𝟏√ 𝟐𝟏√ 𝟐 )𝟐 ( 𝟔𝟏√ ) ( 𝟒 𝟔𝟏√ 𝟐𝟏√ )𝟐( )𝟐 ( ( ونفرض 𝟎 ) ( ̅
الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض ) )𝟒 𝟒 (
𝟎
𝟎
148
𝟐
𝟔𝟏√
) (̅
𝟐
𝟔𝟏√
) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟐
, 𝟏 𝟏-
𝟑
√
) (
)𝟓(
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟏 𝟏-النها مستمرة على المجموعة الحمٌمٌة R ② غٌر لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟏 𝟏 ( ألنها غٌر معرفة عند الصفر الحظ 𝟐
𝟏 𝟑
𝟐
𝟑
𝟏 𝟑5
√𝟑
𝟐 𝟑
𝟑4
) (̅
∴ ال تتحمك مبرهنة رول وال ٌمكن تطبٌمها ألن الشرط الثانً غٌر متحمك
******************************************************************
بٌن هل أن مبرهنة رول تتحمك لكل من الدوال التالٌة ؟ وجد لٌمة Cالممكنة الفترة, 𝟓 𝟓-
الفترة, 𝟏 𝟎-
𝟑 𝟏 ,, 𝟓 𝟏-
𝟏
𝟑
𝟐
𝟒
𝟐
𝟑
𝟏
الفترة, 𝟏 𝟒-
, 𝟏 𝟏-
𝟑
|𝟑
𝟗
) ( )𝟒(
{
) ( )𝟔(
(
) ( )𝟖(
𝟐
𝟏 𝟐)𝟑
الفترة, 𝟓 𝟑-
𝟒
) ( )𝟐(
𝟐
الفترة, 𝟒 𝟒-
𝟏𝟏
𝟐)
الفترة, 𝟒 𝟒-
الفترة-
الفترة, 𝟓 𝟑-
𝟐
) ( )𝟎𝟏(
𝟐|
) ( )𝟐𝟏( الفترة𝟐 -
149
𝟐𝟏
الفترة, 𝟑 𝟑-
𝟐 ,
𝟐
𝟑
) ( )𝟏(
𝟐(
) ( )𝟑(
) ( )𝟓(
,
𝟗
𝟒)𝟏
𝟐
𝟐
𝟑
) ( )𝟕(
(
) ( )𝟗(
) ( )𝟏𝟏(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مبرهنة المٌمة المتوسطة ()THE MEAN VALUE THEOREM اذا كانت
دالة مستمرة فً الفترة المرلمة - ( وتحمك
لٌمة واحدة Cتنتمً الى )
,ولابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة ) ) (
) (
) (̅
او ٌكتب ) ( ̅ )
(
( فأنه ٌوجد على األلل ) (
) (
المخطط التالً ٌبٌن التفسٌر الهندسً لمبرهنة المٌمة المتوسطة ① المماس ٌوازي الوتر ̅̅̅̅ ② مٌل الوتر المار بالنمطتٌن
③ ميل المماس للمنحنً ػنذ
ٌساوي
) (
) (
= المشتقت األولى للذالت
أً . ̅ ( )/
ػنذ
④ المماس والوتـــــــــر متوازٌـــــــــــــــــــان لذا ٌتساوى مٌلهما ,أي أن
) (
) (
) (̅
مالحظات 𝟏 مبرهنة رول تعتبر حالة خاصة من مبرهنة المٌمة المتوسطة السبب/
) ( غٌر موجود فً مبرهنة المٌمة المتوسطة
ألن الشرط ) (
𝟐 فً مبرهنة رول :الممــــــاس والوتــــــــــر كالهــــــما ٌــــــــوازي المحــــــــور الســـــــــــــــــٌنً أي أن 𝟎 اي فرق الصادات
𝟎
لذا ٌصبح المٌل
𝟑 ألٌجاد لٌمة Cالتً تحمك
) (
) (
𝟎 ) ( ̅ ٌجب توافر الشرطٌن التالٌٌن :
① أن تكون
دالة مستمرة فً الفترة المرلمة -
② أن تكون
لابلة لالشتماق فً الفترة المفتوحة )
, (
150
) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال ( /)3برهن أن الدوال األتٌة تحمك شروط مبرهنة المٌمة المتوسطة و أوجد لٌمة وزاري 𝟐𝟏𝟎𝟐 ⁄د 𝟑
, 𝟏 𝟕-
: 𝟔
𝟒
𝟐
) (
) (
الحل /
① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟏 𝟕-النها كثٌرة حدود ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟕 𝟏 ( النها كثٌرة حدود مبرهنة المٌمة المتوسطة متحممة الشروط متحممة نبحث عن النمطة Cالتً تحمك المبرهنة ) مٌل المماس( ) مٌل الوتر(
𝟎
∵ مـــــــٌل الممـــــاس = مـــــــٌل الوتـــــــر
𝟐 ) (̅ 𝟔 ) 𝟕( 𝟏𝟏 𝟏𝟏 )𝟏 ( )𝟏 ( 𝟕 𝟖𝟏 𝟔
) (̅
𝟐 𝟔 ) ( ) (
𝟎 𝟐 )𝟕 𝟏 (
, 𝟒 𝟎-
𝟔 𝟑
𝟓𝟐√
𝟐
) (̅ 𝟐
) (
) (
الحل / 𝟓 𝟓 ,) أوسع مجال للدالة ( ① نبحث أستمرارٌة الدالة فً الفترة المفتوحة )𝟎 𝟒 ( 𝟑
∴ الدالة
𝟓
𝟓𝟐√
𝟎
𝟓𝟐√.
𝟐/
𝟓𝟐√
𝟔𝟏
𝟗√ 𝟓
𝟐
𝟓𝟐
𝟐/
𝟓𝟐√
𝟎
) (
)𝟒 (
𝟓𝟐√.
𝟐
𝟓𝟐
)𝟒 (
) (
)𝟎(
)𝟎(
مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟒 𝟎-
②الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟎 𝟒 ( مبرهنة المٌمة المتوسطة متحممة الشروط متحممة نبحث عن النمطة Cالتً تحمك المبرهنة ) مٌل المماس(
𝟐
𝟓𝟐√ 𝟏 𝟐
/مٌل الوتر.
𝟐
) (̅ 𝟐 𝟒
𝟐
𝟑
𝟐
𝟓𝟐√
)𝟎( )𝟒 ( )𝟒 ( 𝟎
𝟓 𝟒
) (̅
𝟓𝟐√𝟐 ) (
) (
) (̅
∵ مـــــــٌل الممـــــاس = مـــــــٌل الوتـــــــر )تربٌع الطرفٌن(
√
𝟓 )𝟎 𝟒 (
𝟐
𝟐
𝟐
𝟓𝟐 √
151
𝟓𝟐√ 𝟐
𝟐 𝟐
𝟓
)𝟎 𝟒 (
𝟓𝟐√ 𝟐
𝟒 √
𝟏 𝟐 𝟓𝟐
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال ( /)4أذا كانت وكانت
𝟐
𝟒
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05 𝟑
,𝟎 -
) (
𝟐
تحمك مبرهنة المٌمة المتوسطة عند
فجد لٌمة
𝟑
الحل /
𝟐𝟏 𝟑
) (̅
) مٌل المماس( 𝟒
) مٌل الوتر(
𝟒
𝟐
𝟎
𝟐
𝟔𝟏 𝟑
𝟒
𝟒 𝟑 𝟑
𝟑
) (̅
𝟔𝟏 𝟑
𝟒 ) (𝟑 𝟗
)𝟎( 𝟎
𝟐
𝟖 𝟐 ) ( 𝟑
) (
) (̅
𝟑
𝟐 ) (𝟑 𝟑
) (
𝟐 ) (̅ 𝟑
) (
) (̅
∵ مـــــــٌل الممـــــاس = مـــــــٌل الوتـــــــر 𝟐
𝟎
)𝟐
()𝟐
(
𝟎
𝟐
𝟒
𝟒
******************************************************************
أمثلة أضافٌة محلولة مثال /اثبت فً كل مما ٌأتً تحمك شروط مبرهنة المٌمة المتوسطة على الفترة ) ,𝟎 𝟏-
( المعطاة ثم أوجد لٌمة C 𝟏
𝟐
𝟐
)𝟏(
) (
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة ,𝟎 𝟏-النها كثٌرة حدود ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟏 𝟎( الشروط متحممة
مبرهنة المٌمة المتوسطة متحممة
نبحث عن النمطة Cالتً تحمك المبرهنة ) مٌل المماس( /مٌل الوتر.
𝟑
𝟐
)𝟏 ( 𝟏
) (̅
𝟐 𝟐
)𝟎( 𝟎
)𝟏( 𝟏
𝟐 ) (
𝟐 ) (
) (̅ ) (̅
∵ مـــــــٌل الممـــــاس = مـــــــٌل الوتـــــــر )𝟏 𝟎(
152
𝟏 𝟐
𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
,𝟎 𝟒-
) (
𝟒√
)𝟐(
الحل / ) أوسع مجال للدالة (
𝟒
𝟒
𝟎
① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة ,𝟎 𝟒-النها مستمرة على المجموعات الجزئٌة ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟒 𝟎( الشروط متحممة
مبرهنة المٌمة المتوسطة متحممة
نبحث عن النمطة Cالتً تحمك المبرهنة 𝟏
) مٌل المماس(
𝟒√𝟐 )𝟐( 𝟒
𝟏 𝟐
/مٌل الوتر.
) (̅ )𝟎( 𝟎
𝟎
𝟏 𝟒√𝟐 )𝟒( 𝟒
) (
) (
) (̅ ) (̅
∵ مـــــــٌل الممـــــاس = مـــــــٌل الوتـــــــر )تربٌع الطرفٌن(
𝟏
𝟏
)𝟒 𝟎(
𝟑
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟎
)
) (̅ )
𝟒√𝟐 𝟏 𝟒
) (
𝟐 ) (
𝟐(
)𝟑(
) (
) (
) (̅
𝟎
∵ مـــــــٌل الممـــــاس = مـــــــٌل الوتـــــــر 𝟎(
𝟏
𝟎,
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة ,𝟎 -ألنها دالة دائرٌة ② الذالت لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة ) 𝟎( مبرهنة المٌمة المتوسطة متحممة الشروط متحممة نبحث عن النمطة Cالتً تحمك المبرهنة 𝟐 ) (̅ ) مٌل المماس( ) (
𝟎
𝟐
𝟒
𝟏
-
/مٌل الوتر.
𝟏 𝟐
𝟒√
𝟏
) (
) (
𝟐
𝟐
******************************************************************
اثبت فً كل مما ٌأتً تحمك شروط مبرهنة المٌمة المتوسطة على الفترة ) ,𝟏 𝟒-
𝟏
𝟒
) (
)𝟐(
𝟒 𝟐 ,, 𝟏 𝟏-
153
( المعطاة ثم أوجد لٌمة C 𝟏 𝟐)𝟑
𝟐
𝟐
(
) (
)𝟏(
) (
)𝟑(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
التمرٌب بأستخدام مبرهنة المٌمة المتوسطة ( نتٌجة مبرهنة المٌمة المتوسطة ) دالة مستمرة ومعرفة على - 𝟎 ( حٌث
أذا كانت )
) (
(
)
( ولـــــو أعتبرنا ) ,ولابلة لألشـــــتماق فً ) فأنه بموجب مبرهنة المٌمة المتوسطة نحصل على -: ) (
) (̅
)
(
) (
) (̅ ) (̅
) لانون التغٌٌر التمرٌبً للدالة (
( فأن ) (
) (
) (̅ (
)
وعندما ٌكون ألتراب ) ( من ) ( لربا ً كافٌا ً تكون فً هذه الحالة ) ( صرٌرة وٌصبح الوتر صرٌرا ً ونهاٌتٌه لرٌبتان من ) ( ,أي أن المماس عند ) ( سٌكون مماسا ً للمنحنً عند نمطة لرٌبة جدا من النمطة حٌث ) ( وٌصبح : ) (̅
) (
)
وٌمال للممدار ) ( ̅ الترٌٌر التمرٌبً للدالة
(
هنان ثالث أنواع لمسائل التمرٌب النوع األول :عندما تكون الدالة غٌر موجودة فً السؤال الحظ مثال ()5 مثال ( /)5جد بأستخدام نتٌجة مبرهنة المٌمة المتوسطة تمرٌبا مناسبا ً للعدد 𝟔𝟐√ الحل /
نفرض )𝟓𝟐
( ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه
نفرض )𝟔𝟐
( معطى 𝟏
𝟏 √𝟐
𝟏
) (̅
𝟏 . / 𝟐
𝟏 / 𝟐
.
𝟐 𝟓
𝟏𝟎
𝟏 𝟎𝟏
)𝟓𝟐( ̅
𝟏 )𝟓()𝟐(
𝟏 𝟐
) (̅
𝟏 . / 𝟐
)𝟓𝟐( )𝟓𝟐( ̅
𝟓𝟐√ 𝟏 𝟓𝟐√𝟐
𝟓𝟐
) (
𝟏𝟓
)
()𝟏(
𝟓
√
)𝟓𝟐(
√ 𝟏
)𝟓𝟐( ̅ ) (̅
)𝟔𝟐(
𝟔𝟐
)𝟓𝟐( ̅ )𝟏(
√𝟐 ) ( )𝟓𝟐( 𝟏𝟓
154
) (
) ( ) (̅
)
(
)𝟏
𝟓𝟐( 𝟔𝟐√
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
النوع الثانً :عندما تكون الدالة موجودة فً السؤال الحظ مثال ()6 مثال ( /)6أذا كانت 𝟓
𝟐
𝟒
𝟑
𝟑
فجد بصورة تمرٌبٌة )𝟏𝟎𝟎 𝟏(
) (
الحل /
( ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه
نفرض )𝟏
( معطى
نفرض )𝟏𝟎𝟎 𝟏
𝟏𝟎𝟎 𝟎 𝟒 ) 𝟏(
𝟑𝟏
𝟓 𝟑𝟏
𝟐
𝟔
𝟑
𝟐) 𝟏( 𝟑
) 𝟏( 𝟒
) 𝟏( ̅
𝟒
) (̅
𝟑) 𝟏(
) 𝟏( 𝟔
) 𝟏(
𝟏 𝟓
𝟒
𝟐
𝟑
𝟑
) (
𝟓
𝟒
𝟐
𝟑
𝟑
) (
) 𝟏( ̅
𝟐) 𝟏( 𝟑
𝟏𝟎𝟎 𝟏
𝟒
𝟔
) (̅ )𝟑𝟏()𝟏𝟎𝟎 𝟎(
𝟑𝟏
)𝟏( ̅ )𝟏𝟎𝟎 𝟎(
)𝟏𝟎𝟎 𝟏(
𝟑𝟏𝟎 𝟑𝟏
)𝟏𝟎𝟎 𝟏(
𝟐
𝟑
) (̅
)
(
) ( ) 𝟏(
𝟑𝟏𝟎 𝟎
𝟏(
)𝟏𝟎𝟎 𝟎
)𝟏𝟎𝟎 𝟏(
𝟑𝟏
النوع الثالث :عندما تكون الدالة فً السؤال عبارة عن لانون مساحة او حجم او ما شابه ذلن الحظ مثال ()7 مثال (/)7
مكعب طول حرفه )
𝟖𝟗 𝟗( جد حجمه بصورة تمرٌبٌة بأستخدام نتٌجة مبرهنة المٌمة المتوسطة
الحل / لٌكن
حجم المكعب الذي طول حرفه ) (
نفرض )𝟎𝟏
( ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه ( معطى
نفرض )𝟖𝟗 𝟗
𝟐𝟎 𝟎 𝟐
𝟎𝟎𝟎𝟏 𝟎𝟎𝟑
𝟑
𝟑)𝟎𝟏(
)𝟎𝟏( )𝟎𝟏(̅
𝟐)𝟎𝟏(𝟑
𝟎𝟏 ) (̅ )𝟎𝟏( )𝟎𝟏(̅ ) (̅
)𝟎𝟏(̅ )𝟐𝟎 𝟎 ( 𝟑
𝟒𝟗𝟗
)𝟖𝟗 𝟗(
𝟔
155
𝟎𝟎𝟎𝟏
𝟖𝟗 𝟗
)𝟎𝟏(
)𝟎𝟎𝟑()𝟐𝟎 𝟎 (
𝟑
) (
𝟑
) ( 𝟑
) (̅
)
(
))𝟐𝟎 𝟎 (
𝟎𝟏(
𝟐
) (
𝟎𝟎𝟎𝟏
)𝟖𝟗 𝟗(
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال (/)8
لتكن
𝟐
𝟑
√
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
) (
من 𝟖 الى 𝟔𝟎 𝟖 فما ممدار الترٌٌر التمرٌبً للدالة ؟
فاذا ترٌرت
الحل /
نفرض )𝟖 نفرض )𝟔𝟎 𝟖
( معطى ( معطى 𝟐 𝟑
√ 𝟑 𝟏 𝟑
) (̅
𝟏 𝟐 ( ). 𝟑 / 𝟑
𝟐 𝟔
)𝟖( ̅
( ).𝟑/
) (
𝟐
) (̅ 𝟐
)𝟖( ̅
𝟖√ 𝟑
𝟏 ) ( )𝟔𝟎 𝟎( 𝟑
𝟐𝟎 𝟎
𝟎𝟏( فـأذا كـان سـمن الطـالء )
𝟑
√
𝟐
𝟐
)𝟖( ̅
𝟑
ممدار التغٌٌر التمرٌبً
مثال (ٌ /)9راد طالء مكعب طـول حرفـه )
𝟔𝟎 𝟎
𝟖
𝟔𝟎 𝟖
𝟑
√ 𝟑
)𝟖( ̅
) ( ) (̅
) (̅
𝟓𝟏 𝟎( أوجـد حجـم الطـالء بصـورة
تمرٌبٌة وبأستخدام نتٌجة مبرهنة المٌمة المتوسطة الحل / لٌكن
حجم المكعب الذي طول حرفه ) (
نفرض )𝟎𝟏 نفرض )𝟑 𝟎𝟏
( ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه ( 𝟑𝟎 𝟐
𝟎𝟎𝟑
)𝟎𝟏(̅
𝟐)𝟎𝟏(𝟑
حجم الطالء بصورة تمرٌبٌة
156
𝟑
𝟎𝟗
𝟑
𝟎𝟏
𝟑 𝟎𝟏
) (̅
𝟑
)𝟎𝟏(̅ )𝟎𝟎𝟑()𝟑 𝟎(
𝟐
)𝟎𝟏(̅
𝟑
) ( ) (̅ ) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثــال ( /)10بأســــــــــــتخدام نتٌجــة مبرهنــة المٌمــة المتوســـــــــــطة جــد وبصــورة تمرٌبٌــــــــــــة وممربــا ً لــثالث مراتب عشرٌة على األلل كالً من : 𝟑
𝟖 𝟕√ ) (
𝟑
𝟑
𝟐𝟏 𝟎√ ) (
𝟑
𝟓
𝟑)𝟖𝟗 𝟎(√ ) ( 𝟒)𝟖𝟗 𝟎( 𝟒 𝟕𝟏√ ) ( 𝟕𝟏√ 𝟓
𝟒)𝟖𝟗 𝟎(
𝟑)𝟖𝟗 𝟎(√ ) (
الحل /
( ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه نفرض )𝟏 ( معطى نفرض )𝟖𝟗 𝟎 𝟐𝟎 𝟎 𝟒
𝟑 𝟑
𝟓
)𝟏( ) 𝟏( ̅
𝟔𝟒
)𝟔 𝟒()𝟐𝟎 𝟎 ( 𝟖𝟎𝟗 𝟒
𝟑
𝟑
𝟒
𝟐
) (̅
𝟓
√ 𝟓
𝟒𝟏
𝟑 𝟑 𝟓
𝟒
𝟑
( ). 𝟓/
𝟑 (𝟏 ). 𝟓/ 𝟓
𝟐𝟏√
)𝟖𝟗 𝟎(
𝟓
𝟑
) 𝟏( 𝟑
𝟑) 𝟏( 𝟒
) (
𝟓
𝟑
𝟒 𝟑 √ 𝟐 𝟑 ( ). 𝟓 / 𝟓
𝟒
) 𝟏( ̅
𝟑
𝟒
) (̅ )𝟏( ̅ )𝟐𝟎 𝟎 ( )𝟏(
𝟑)𝟖𝟗 𝟎(√
𝟑 ) . 𝟓/
𝟒
𝟑
𝟓
𝟒)𝟖𝟗 𝟎(
𝟏
𝟖𝟗 𝟎 𝟓
) ( ) (̅ ) (
(
𝟑
) (̅
𝟓
𝟐
√ 𝟓 ) ) ( ))𝟐𝟎 𝟎 (
𝟐𝟗𝟎 𝟎
( 𝟏(
)𝟖𝟗 𝟎(
𝟓
𝟑
وزاري 𝟏𝟏𝟎𝟐 ⁄د𝟏
𝟖 𝟕√ ) (
الحل /
( ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه نفرض )𝟖 ( معطى نفرض )𝟖 𝟕 𝟐𝟎 𝟏 . / 𝟑
𝟏 𝟐
𝟑
√ 𝟑 𝟐
𝟑𝟖𝟎 𝟎
)𝟖 ( ̅ )𝟑𝟖𝟎 𝟎()𝟐 𝟎 (
𝟐 . / 𝟑
) 𝟖(
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟐𝟏
)𝟒()𝟑(
𝟑
𝟑
𝟐 ) 𝟖 𝟕( 𝟒𝟑𝟖𝟗 𝟏
𝟒𝟔√ )𝟑(
𝟑
𝟖 𝟕√
157
𝟐𝟖√ 𝟑
𝟑
) (
𝟏
) (̅
𝟖
𝟖𝟕
) (̅ 𝟑 𝟑 𝟖√
𝟐 / 𝟑
.
𝟑
) 𝟖(
) 𝟖( ̅
√ 𝟏 𝟑 √
𝟏 𝟑
𝟐 √ 𝟑
) ( ) (̅ ) (
) (̅
) (̅ ( ) ) ( ) 𝟖( ̅ ) 𝟐 𝟎 ( ) 𝟖( ))𝟐 𝟎 ( 𝟖( 𝟔𝟔𝟏𝟎 𝟎 𝟐 )𝟖 𝟕(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟒
𝟕𝟏√ ) (
𝟕𝟏√ الحل /
( ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه ( معطى
نفرض )𝟔𝟏 نفرض )𝟕𝟏
𝟏 𝟏 . / 𝟒
𝟑
𝟏
𝟏
√ 𝟒
√ 𝟐
𝟔
)𝟔𝟏(
𝟒
𝟏 )𝟖()𝟒(
𝟏 . / 𝟐
𝟏
) (̅
𝟑 . / 𝟒
𝟒 𝟒 𝟐 𝟒 𝟔𝟏√ 𝟏 𝟏
𝟏 )𝟒()𝟐(
𝟒
) 𝟔𝟓𝟏 𝟎()𝟏(
𝟔𝟓𝟏 𝟔
𝟐 𝟔𝟏√
𝟕𝟏√
𝟑 / 𝟒
𝟏 𝟒
.
)𝟔𝟏(
𝟏 . / 𝟐
√
√ 𝟏
)𝟔𝟏( ̅
𝟏
𝟒
𝟑
√𝟐
√𝟒
𝟓
𝟏 𝟒
𝟏
𝟏
𝟐𝟑
𝟐𝟑
𝟐𝟑
𝟖
) ( )𝟔𝟏(
𝟕𝟏√
) (̅ ) ( ) (̅
)𝟔𝟏( ̅ ) )𝟏
𝟔𝟓𝟏 𝟎
) (
√ 𝟏 𝟐
𝟒
) (̅ )𝟔𝟏( ̅ )𝟏(
)𝟕𝟏(
𝟔
√
)𝟔𝟏( ̅
𝟔𝟓𝟏 𝟎
𝟒
𝟒
) (̅
𝟔𝟏√ 𝟐
𝟑)𝟔𝟏(√ 𝟒
𝟔𝟏
) (
𝟏 𝟏 . / 𝟐
𝟕𝟏
( 𝟔𝟏( )𝟕𝟏(
𝟔
𝟑
𝟐𝟏 𝟎√ ) ( الحل /
نفرض )𝟓𝟐𝟏 𝟎 نفرض )𝟐𝟏 𝟎
( ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه ( معطى 𝟓𝟐𝟏 𝟎
𝟓𝟎𝟎 𝟎 𝟏 . / 𝟑
𝟏 )𝟓𝟐 𝟎()𝟑(
𝟑
𝟏 𝟐
𝟏 𝟐
𝟓𝟐𝟏 𝟎√
(𝟑)(𝟎 𝟏𝟐𝟓).𝟑/ (𝟑)((𝟎 𝟓)𝟑 ).𝟑/ 𝟑𝟑𝟑 𝟏 )𝟓𝟐𝟏 𝟎( ̅
𝟐 . / 𝟑
) (̅
𝟐 . / 𝟑
𝟓𝟎
𝟑
) (
𝟏 )𝟓𝟐𝟏 𝟎(
𝟐𝟏 𝟎
𝟑
𝟒 𝟑
𝟓𝟕
𝟏 𝟐 𝟑
. / 𝟏 𝟓𝟕 𝟎
) (̅ ) )𝟓𝟐𝟏 𝟎( ̅ )𝟓𝟎𝟎 𝟎 ( )𝟓𝟐𝟏 𝟎( ))𝟓𝟎𝟎 )𝟑𝟑𝟑 𝟏()𝟓𝟎𝟎 𝟎 ( 𝟑 𝟓𝟔𝟔𝟔𝟎𝟎 𝟎 𝟓𝟑𝟑𝟑𝟗𝟒 𝟎 𝟐𝟏 𝟎√
158
) (̅ ) (
√
𝟎( ̅ 𝟎𝟎𝟏
√ 𝟏 𝟑 𝟑
)𝟓𝟐𝟏 𝟎(
)𝟓𝟐𝟏
) (
) (̅ 𝟑 )𝟓𝟐𝟏
𝟎( ̅
( ) ( 𝟎 ( 𝟓𝟐𝟏 𝟎( 𝟓 𝟎 )𝟐𝟏 𝟎( 𝟓 𝟎 )𝟐𝟏 𝟎(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟑(
تمارين)𝟑 س / 1أوجد لٌمة Cالتً تعٌنها مبرهنة رول فً كل مما ٌأتً : , 𝟑 𝟑-
𝟑
𝟗
) (
) (
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟑 𝟑-النها كثٌرة حدود ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟑 𝟑 ( النها كثٌرة حدود ③ نوجد )𝟑 ( )𝟑( 𝟎 𝟕𝟐 𝟕𝟐 𝟕𝟐 )𝟑 (
𝟎 الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض )
𝟑
𝟐
𝟐
𝟗
) (̅
( ونفرض 𝟎 𝟐
𝟎
𝟑
𝟕𝟐 )𝟑(𝟗 𝟑)𝟑( )𝟑( )𝟑 (𝟗 𝟑)𝟑 ( )𝟑 ( )𝟑(
) (̅
𝟑 𝟗
𝟐
𝟑
𝟗
𝟑
𝟐
𝟗 )𝟑 𝟑 (
𝟏 ]𝟐 𝟐
𝟐
[
) ( ) (̅
𝟑
𝟑√
) (
𝟐
) (
الحل / 𝟏
𝟏
① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة 0𝟐 𝟐1الن 0𝟐 𝟐1
𝟎 𝟏
𝟏
② الذالت لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة .𝟐 𝟐/الن 0𝟐 𝟐1 ③ نوجد )𝟐(
𝟎
𝟏
.𝟐 / 𝟏
𝟓
𝟐 )𝟐(
𝟒
)𝟐(
)𝟐(𝟐
𝟒
𝟓
)𝟐( الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض ) 𝟐 𝟐
𝟐
) (̅
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
) (̅
𝟐 𝟎
𝟏 𝟐
𝟐 𝟐
159
𝟐
𝟏 𝟏
𝟏 ) (𝟐 𝟐
.𝟐 /
) (̅
( ونفرض 𝟎 𝟐
𝟐 𝟏 .𝟐/
𝟏 ) ( 𝟐
𝟐
𝟐
) (
𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟏 نهمل السالب )𝟐 ( 𝟐
𝟐 𝟐
𝟏
) (
𝟐
) (̅
𝟐 𝟏
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟐)𝟑
, 𝟏 𝟏-
𝟐
) (
(
) (
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟏 𝟏-النها كثٌرة حدود ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟏 𝟏 ( النها كثٌرة حدود ③ نوجد )𝟏 ( )𝟏( 𝟒 𝟐)𝟐 ( 𝟐)𝟑 𝟏( 𝟐)𝟑 𝟐𝟏( )𝟏( 𝟐)𝟐 ( 𝟐)𝟑 𝟏( 𝟐)𝟑 𝟐)𝟏 (( )𝟏 ( )𝟏( )𝟏 (
𝟒 الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض ) )𝟑
𝟐
( 𝟒
) (̅
( ونفرض 𝟎 𝟐
) 𝟐()𝟑
(𝟐 )𝟑
𝟎
) (̅ 𝟐
𝟐)𝟑
( 𝟒
)𝟏 𝟏 ( )𝟏 𝟏 (
𝟐
)𝟑
𝟎 𝟐
(
) (̅
( 𝟒
𝟎
𝟑
𝟑√
𝟐
) (
𝟒
𝟎
𝟐
𝟑
س / 2جد تمرٌبا ً لكل مما ٌأتً بأستخدام مبرهنة المٌمة المتوسطة : 𝟑
𝟑𝟔√) (
𝟑𝟔√ الحل / ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه
نفرض 𝟒𝟔
معطى
نفرض 𝟑𝟔
𝟏
𝟏 𝟐
𝟏
𝟑
√ 𝟑
√𝟐
𝟐𝟏
)𝟒𝟔(
𝟏 )𝟔𝟏()𝟑(
𝟐 𝟏 ( ). 𝟑 / 𝟑
𝟒 𝟏 )𝟖()𝟐(
𝟏 √𝟐 𝟖
𝟏
( ).𝟑/
) (̅
𝟑
)𝟒𝟔(
𝟒𝟔√ 𝟏
)𝟒𝟔( ̅
𝟏 𝟑
𝟐)𝟒𝟔(√ 𝟑 𝟑𝟖𝟎 𝟎
𝟒𝟔√ 𝟐
) (
𝟑
√
√
)𝟒𝟔(
𝟑
√
) (
√ 𝟏
)𝟒𝟔( ̅ 𝟏 𝟐𝟏
)𝟒𝟔( ̅
𝟒𝟔
) (
√
𝟒𝟔√
𝟐
𝟏 𝟑 𝟖𝟒
𝟒 𝟖𝟒
) (̅ )𝟒𝟔( ̅ )𝟏 ( 𝟕𝟏𝟗 𝟏𝟏
𝟑
)𝟑𝟔√
𝟑𝟔√(
𝟑𝟖𝟎 𝟎
160
𝟐𝟏
𝟑𝟔
)𝟒𝟔(
𝟏
𝟑
√𝟑 𝟏 𝟖𝟒
) (
√𝟐 𝟏 𝟔𝟏
) (̅ )𝟒𝟔( ̅
)
(
) )𝟏 (
𝟒𝟔(
𝟐𝟏
)𝟑𝟔(
)𝟑𝟖𝟎 𝟎( )𝟏 (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟑)𝟒𝟎 𝟏( ) (
𝟒)𝟒𝟎 𝟏(𝟑 الحل / ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه
نفرض 𝟏
نفرض 𝟒𝟎 𝟏 = bمعطى 𝟒𝟎 𝟎 𝟑
𝟒
)𝟏(
𝟓𝟏
)𝟏( ̅
𝟐
𝟐𝟏
𝟑)𝟏(𝟐𝟏
𝟏
) (̅
𝟑
𝟒)𝟏(𝟑
𝟒𝟎 𝟏
𝟑)𝟏(
𝟐)𝟏(𝟑
)𝟏( )𝟏( ̅
𝟑
) (̅
)𝟒𝟎 𝟏(
𝟔𝟒
𝟒
𝟑
𝟑
) (
𝟒
𝟑
𝟑
) (
𝟐
𝟐𝟏
) (
)𝟏( ̅
)𝟒𝟎
𝟎(
𝟔𝟎
𝟒
)𝟓𝟏( )𝟒𝟎 𝟎(
)𝟏(
) (̅
𝟑
(
)
𝟏(
)𝟒𝟎 𝟎
)𝟒𝟎 𝟏(
𝟒
𝟏 𝟑
𝟗√
) (
الحل / ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه معطى
نفرض 𝟖 نفرض 𝟗
𝟏 𝟒 𝟏 ( ). 𝟑 / 𝟑
𝟏 𝟐
𝟏 𝟐
)𝟖( 𝟏
(𝟑).𝟐𝟒 /
)𝟖( ̅
𝟏
)𝟐(
)𝟒𝟑 ( 𝟑 𝟏 .𝟐 / 𝟑
𝟏 / 𝟑
) (̅
𝟏
(𝟐𝟑 ). 𝟑 /
)𝟖(
𝟏
(𝟖). 𝟑 /
𝟒 𝟏 ) ( 𝟑 )𝟖( 𝟑
)𝟖( ̅
𝟏 𝟖𝟒
𝟖 𝟏
.
𝟏 . / 𝟑
𝟏 𝟖𝟒
𝟗𝟕𝟒 𝟎
)𝟗(
161
𝟏 𝟐
.
𝟏 )𝟔𝟏()𝟑(
) ( )𝟖(
𝟏 ) 𝟖𝟒
( )𝟏(
) ( ) (
𝟒 𝟏 ) ( 𝟑 ) ( 𝟑
) (̅ )𝟖( ̅ )𝟏( 𝟑𝟐 𝟖𝟒
√
)𝟖(
)𝟖( ̅
𝟏 𝟒𝟐 𝟖𝟒
𝟑
𝟏 / 𝟑
)𝟖( ̅
𝟏 𝟖𝟒
𝟗 𝟏
) (̅ )𝟖( ̅
) )𝟏
( 𝟖(
𝟏 𝟐
)𝟗(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05 𝟏 ) ( 𝟏𝟎𝟏
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
الحل / ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه معطى
نفرض 𝟎𝟎𝟏 نفرض 𝟏𝟎𝟏
𝟏 𝟐
)𝟎𝟎𝟏(
𝟏𝟎 𝟎
𝟏 𝟐)𝟎𝟎𝟏( 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟎
𝟗𝟗𝟎𝟎 𝟎
𝟏 𝟎𝟎𝟏
)𝟎𝟎𝟏( ̅
𝟐
)𝟎𝟎𝟏(
𝟏
)𝟎𝟎𝟏( ̅
𝟏 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏
𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟎
𝟏
)𝟎𝟎𝟏(
)𝟎𝟎𝟏( 𝟏
)𝟎𝟎𝟏( ̅
)𝟏𝟎𝟏(
) (̅
) (𝟏 𝟏
𝟎𝟎𝟏
𝟏𝟎𝟏 𝟏
𝟐
) ( ) ( ) (̅
) (𝟏
)𝟎𝟎𝟏( ̅
) (̅ ( ) ) ( )𝟏 𝟎𝟎𝟏( )𝟎𝟎𝟏( ̅ )𝟏( )𝟎𝟎𝟏( 𝟏𝟎 𝟎 )𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟎 ( )𝟏( 𝟏𝟎 𝟎 )𝟏𝟎𝟏(
وزاري 𝟒𝟏𝟎𝟐 ⁄د 𝟐
𝟏 √ ) ( 𝟐
وزاري 𝟐𝟏𝟎𝟐 ⁄د 𝟐
الحل / نفرض 𝟗𝟒 𝟎
ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه
نفرض 𝟎𝟓 𝟎
معطى 𝟏𝟎 𝟎 𝟏 √𝟐 𝟕𝟎
𝟒𝟏𝟕 𝟎
)𝟗𝟒 𝟎( ̅
)𝟗𝟒 𝟎( 𝟏 𝟒𝟏
𝟗𝟒 𝟎√
𝟏 )𝟕 𝟎()𝟐(
𝟏 𝟗𝟒 𝟎√𝟐
𝟗𝟒 𝟎 ) (̅
√
) (
)𝟗𝟒 𝟎(
√
) (
𝟒𝟏𝟕𝟎𝟕 𝟎
𝟏 ) ( 𝟐
𝟒𝟏𝟕𝟎𝟎 𝟎
162
𝟕𝟎
𝟏
)𝟗𝟒 𝟎( ̅ ) (̅
)𝟗𝟒 𝟎( ̅ )𝟏𝟎 𝟎(
𝟎𝟓 𝟎
√𝟐 ) (
)𝟗𝟒 𝟎(
)𝟒𝟏𝟕 𝟎( )𝟏𝟎 𝟎(
)
) (̅ (
)𝟏𝟎 𝟎
𝟗𝟒 𝟎(
𝟕𝟎
)𝟓 𝟎(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
س / 3كرة نص لطرها ) مبرهنة المٌمة المتوسطةز الحل /
𝟏 𝟎( جـد كمٌـة الطـالء بصـورة تمرٌبٌـة بأسـتخدام وزاري / 2014د1
𝟔( طلٌت بطالء سمكه )
حجم كمٌة الطالء = حجم الكرة مع الطالء – حجم الكرة ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه
نفرض 𝟔 ونفرض 𝟏 𝟔
المطر للكرة مضافا ً له كمٌة الطالء ز
وٌمثل نص
𝟏𝟎 𝟐
س / 4كرة حجمها
̅
𝟒 𝟒𝟏
𝟒 𝟑
𝟑
)𝟔( ̅
𝟐)𝟔( 𝟒
𝟑
) كمٌة الطالء بصورة تمرٌبٌة(
)𝟑
𝟒
)𝟔( ̅
𝟒𝟒𝟏
𝟒𝟖( جد نص
)𝟐
𝟑(
𝟒 𝟑
𝟔
𝟏𝟔
𝟐
) 𝟒𝟒𝟏( )𝟏 𝟎(
) (̅
𝟒
) (̅
)𝟔( ̅
لطرها بصورة تمرٌبٌة بأستخدام مبرهنة المٌمة المتوسطة ز
الحل / نفرض الحجم نفرض نص
المطر 𝟒 𝟑
𝟑
𝟑
𝟑𝟔
𝟑𝟔√ نفرض 𝟒𝟔
)𝟏𝟐() (
) 𝟒𝟖()𝟑( 𝟒
𝟑
𝟑
𝟒 𝟑
𝟒𝟖
ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه معطى
نفرض 𝟑𝟔
𝟏 𝟐 𝟏 ( ). 𝟑 / 𝟑
)𝟒𝟔(
𝟒 )𝟐
𝟏 ()𝟒( 𝟑 𝟐𝟎 𝟎
𝟏
(𝟒𝟑 ).𝟑/
𝟏 𝟑 . 𝟐/ 𝟑 ) 𝟒( 𝟑
𝟏 )𝟔𝟏()𝟑(
)𝟒𝟔(̅
𝟏 . / 𝟑
) (̅ 𝟏
(𝟔𝟒).𝟑/
𝟏 ) 𝟐𝟒()𝟑(
)𝟒𝟔( ̅
𝟐𝟎 𝟎
163
) ( ) ( ) (̅
)𝟒𝟔(̅
)𝟒𝟔( ̅ )𝟏 ( 𝟖𝟗 𝟑
√
𝟐 𝟏 ( ). 𝟑 / 𝟑
) (̅
)𝟑𝟔(
𝟑
𝟏 . / 𝟑
)𝟒𝟔(
𝟐 𝟏 (𝟔𝟒). 𝟑 / 𝟑
)𝟒𝟔( ̅
𝟒𝟔
𝟑𝟔
𝟒
)𝟒𝟔(
)
(
) (
) )𝟏 (
𝟒𝟔(
𝟒
)𝟑𝟔(
)𝟐𝟎 𝟎( )𝟏 (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟖𝟗 𝟐( فجـد حجمـه
س / 5مخروط دائري لائم أرتفاعه ٌساوي طول لطر الماعدة فأذا كان ارتفاعه ٌساوي ) بصورة تمرٌبٌة بأستخدام مبرهنة المٌمة المتوسطة أو نتٌجتها ز الحل / نفرض األرتفاع نفرض نص
المطر 𝟏 𝟐
)
𝟐
𝟐
( 𝟐
𝟑
نفرض 𝟑 نفرض 𝟖𝟗 𝟐
ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه معطى
𝟓𝟐 𝟐
)𝟑(
𝟓𝟐 𝟐
)𝟑( ̅
𝟗 𝟒 𝟗 𝟒
)𝟐
𝟒 𝟕𝟐 𝟐𝟏 )𝟑( ̅
𝟑(
𝟑)𝟑(
𝟑
𝟓𝟎𝟐 𝟐
𝟓𝟒𝟎 𝟎
𝟐𝟎 𝟎 ̅
𝟐𝟏
)
𝟓𝟐 𝟐
𝟑
𝟐𝟏
)𝟐𝟎 𝟎
𝟑
𝟖𝟗 𝟐 𝟑
𝟐𝟏 𝟑
)𝟑(
𝟏 𝟐)𝟑( 𝟒
)𝟑( ̅ )𝟖𝟗 𝟐(
) ( 𝟐
𝟐𝟏
𝟐
𝟑
)𝟑( ̅
𝟐𝟏 𝟏 𝟒
𝟐
) (̅ ( )𝟑(
) ( ))𝟐𝟎
𝟓𝟐 𝟐( )𝟐𝟎 𝟎 (
) ( ) (̅
( 𝟑(
)
(
𝟎
)𝟖𝟗 𝟐(
𝟓𝟐 𝟐
س / 6بٌن أن كل دالة من الدوال التالٌة تحمك مبرهنة رول على الفترة المعطاة ازاء كل منها ثم جد لٌمة C وزاري 𝟏𝟏𝟎𝟐 ⁄د𝟐
𝟒)𝟏
, 𝟏 𝟑-
(
) (
) (
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟏 𝟑-النها كثٌرة حدود ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟑 𝟏 ( النها كثٌرة حدود ③ نوجد )𝟏 ( )𝟑( 𝟒)𝟐 (
𝟔𝟏
𝟒)𝟐(
𝟔𝟏
)𝟑(
( ونفرض 𝟎
الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض )
𝟑)𝟏 𝟎 )𝟑 𝟏 (
164
𝟏
(𝟒 𝟑)𝟏
𝟒)𝟏
𝟏 ( 𝟒)𝟏
)𝟏 (
𝟑(
)𝟑(
)𝟏 (
) (̅ ) (̅
𝟒)𝟏 𝟑)𝟏
(𝟒 𝟎
𝟏
𝟎
(
) (
(𝟒
) (̅
𝟑)𝟏
(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل ⁄د
وزاري
𝟑
, 𝟏 𝟏-
) (
) (
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟏 𝟏-النها كثٌرة الحدود ② الذالت لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟏 𝟏 ( النها كثٌرة الحدود ③ نوجد )𝟏( )𝟏 ( 𝟑)𝟏 (
)𝟏 (
)𝟏 ( )𝟏( الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض )
) (
)𝟏 (
) (̅
( ونفرض 𝟎
𝟐
𝟏
) (̅
𝟑
𝟐
𝟏
𝟑
𝟑
𝟐
𝟏
𝟏
)𝟏 𝟏 (
)
𝟑)𝟏(
(
) ( ) (̅
𝟑
𝟐
𝟐
𝟑√
, 𝟏 𝟒-
𝟐
𝟑
) (
𝟑
) (
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟏 𝟒-النها كثٌرة الحدود ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟒 𝟏 ( النها كثٌرة الحدود ③ نوجد )𝟒(
)𝟏 ( 𝟑
𝟒 𝟒
𝟏 𝟐𝟏
)𝟏 (𝟑 𝟔𝟏 )𝟒(
الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض )
( ونفرض 𝟎 𝟑
)𝟒 𝟏 (
𝟑 𝟐
𝟐
165
𝟐)𝟏 (
)𝟏 (
𝟐)𝟒(
)𝟒(𝟑
)𝟒(
)𝟏 (
) (̅ 𝟐 𝟎
) (̅ 𝟑
𝟑 𝟐
𝟑
𝟐
) ( 𝟐
) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
) (
,𝟎 𝟐 -
) 𝟐(
𝟐
) (
) (
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة ,𝟎 𝟐 - ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة ) 𝟐 𝟎( ③ نوجد ) 𝟐( )𝟎( 𝟑 الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض ) 𝟐 ) 𝟐( ) ( ) ( 𝟐 ) 𝟐( 𝟎
𝟏-
) (
𝟐( ),
𝟎 ) 𝟐 𝟎(
𝟐 )𝟎 ( 𝟏 )𝟎( 𝟐 ) 𝟒( ) 𝟐( )𝟎( ) 𝟐(
𝟑 )𝟏(𝟐 )𝟏(𝟐 𝟏
) (̅
( ونفرض 𝟎 ) (̅
𝟐
𝟐 ) 𝟐( ) ( 𝟐 ) 𝟐( ) ( 𝟐
𝟐 ) (
) (
) ( 𝟑
) السالب ٌمع فً الربع الثانً و الثالث(
𝟐 𝟐
𝟎 𝟎
فً الربع الثانً فً الربع الثالث
) 𝟐 𝟎(
) (
) 𝟐(
) (
𝟏
𝟐 𝟑 𝟒 𝟑
) ( ) (̅
) (
𝟎
) ( ) 𝟐 𝟎(
)𝟎( ) 𝟐(
𝟐
𝟑 𝟑
س / 7أختبر أمكانٌة تطبٌك مبرهنة المٌمة المتوسطة للدوال األتٌة على الفتـرة المعطـاة ازاءهـا مـع ذكـر السـبب. وأن تحممت المبرهنة جد لٌم Cالممكنة 𝟏
, 𝟏 𝟐-
𝟑
) (
) (
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟏 𝟐-النها كثٌرة حدود ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟐 𝟏 ( النها كثٌرة حدود الشروط متحممة
مبرهنة المٌمة المتوسطة متحممة
نبحث عن النمطة Cالتً تحمك المبرهنة ) مٌل المماس( /مٌل الوتر.
𝟔 𝟑
𝟐
𝟏 )𝟏 ( 𝟑
𝟓
𝟑
) (̅
)𝟐( )𝟏 ( )𝟏 ( 𝟐
𝟏 ) (
𝟐
) (̅
𝟑
) (
) (̅
∵ مـــــــٌل الممـــــاس = مـــــــٌل الوتـــــــر 𝟏
𝟏
𝟐
𝟑 )𝟐 𝟏 (
166
𝟐
𝟑
𝟐
𝟏
)𝟐 𝟏 (
𝟐
𝟑
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟓
, 𝟏 𝟓-
𝟐
𝟒
) (
) (
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟏 𝟓-النها كثٌرة حدود ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟓 𝟏 ( النها كثٌرة حدود الشروط متحممة
مبرهنة المٌمة المتوسطة متحممة
نبحث عن النمطة Cالتً تحمك المبرهنة ) مٌل المماس( ) مٌل الوتر(
𝟎
𝟒
𝟎
𝟎𝟏
𝟎𝟏
𝟔
𝟏
𝟓
) (̅
𝟐
)𝟓(
)𝟏 ( )𝟏 (
𝟒 ) (
𝟐 ) (
𝟓
) (̅ ) (̅
∵ مـــــــٌل الممـــــاس = مـــــــٌل الوتـــــــر )𝟓 𝟏 (
𝟒
𝟐
𝟐
𝟒
𝟎
𝟒
, 𝟏 𝟐-
𝟐
) (
𝟐
) (
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟏 𝟐-ألن , 𝟏 𝟐-
𝟐
② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟐 𝟏 ( ألن )𝟐 𝟏 ( الشروط متحممة
𝟐
مبرهنة المٌمة المتوسطة متحممة
نبحث عن النمطة Cالتً تحمك المبرهنة 𝟒 𝟐)𝟐
) مٌل المماس( ) مٌل الوتر(
𝟏
𝟑 𝟑
𝟏
𝟒 𝟑
𝟒 𝟐)𝟐
) (̅
(
)𝟏 ( )𝟏 (
)𝟐(
) (
( ) (
𝟐
) (̅ ) (̅
∵ مـــــــٌل الممـــــاس = مـــــــٌل الوتـــــــر /جذر الطرفٌن .
𝟒
𝟐)𝟐
𝟒 𝟐)𝟐
(
𝟏
𝟎
𝟐
𝟐 )𝟐 𝟏 ( )𝟐 𝟏 (
167
𝟒
𝟐
𝟐 𝟐
(
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟐)𝟏
, 𝟐 𝟕-
𝟑
(√
) (
) (
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟐 𝟕- ( ألن )𝟕 𝟐 (
② الدالة غٌر لابلة لالشتماق عند )𝟏
𝟏
∴ ال ٌمكن تطبٌك نظرٌة المٌمة المتوسطة ألن الدالة غٌر لابلة لالشتماق عند )𝟏
(
******************************************************************
أمثلة أضافٌة محلولة مثال /أختبر أمكانٌة تطبٌك مبرهنة المٌمة المتوسطة للدالة األتٌـة علـى الفتـرة المعطـاة ازاءهـا مـع ذكـر السـبب. وأن تحممت المبرهنة جد لٌم Cالممكنة , 𝟏 𝟑-
𝟐
𝟏
𝟑
) (
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟏 𝟑-النها كثٌرة حدود ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟑 𝟏 ( النها كثٌرة حدود الشروط متحممة
مبرهنة المٌمة المتوسطة متحممة
نبحث عن النمطة Cالتً تحمك المبرهنة ) مٌل المماس(
𝟏
𝟐
𝟐 𝟔𝟏 𝟒
/مٌل الوتر.
) (̅
𝟑
𝟏
)𝟑( )𝟏 ( )𝟏 ( 𝟑
𝟎 𝟔𝟏 𝟒
𝟐
𝟐 ) (
) (̅
𝟑
) (
) (̅
∵ مـــــــٌل الممـــــاس = مـــــــٌل الوتـــــــر 𝟎
)𝟏
()𝟓
𝟑(
𝟎 )𝟐 𝟏 (
𝟓
𝟐
𝟐
𝟓 𝟑
𝟑 𝟓
)𝟐 𝟏 (
168
𝟒 𝟑 𝟏
𝟏
𝟐
𝟎
𝟓 𝟎
𝟐
𝟑 𝟏
𝟑 أما أو
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال /جد تمرٌبا ً لكل مما ٌأتً بأستخدام مبرهنة المٌمة المتوسطة أو نتٌجتها : 𝟒
𝟐𝟖√ )𝟏( الحل / ( ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه ( معطى
نفرض )𝟏𝟖 نفرض )𝟐𝟖
𝟏 𝟑 / 𝟒
𝟗𝟎𝟎 𝟎
)𝟏𝟖( ̅
.
𝟏 𝟒 𝟑
𝟏 . / 𝟒
) (̅
𝟏𝟖
) ( 𝟒
)𝟏𝟖( 𝟑 . / 𝟒
) (̅
𝟗𝟎𝟎 𝟑
)𝟐𝟖(
) (
)𝟗𝟎𝟎 𝟎( )𝟏(
𝟑
𝟒
) (
𝟒
) (
√
)𝟏𝟖( 𝟏𝟖√ 𝟑 𝟏 𝟏 𝟒 . 𝟑/ )𝟏𝟖( ̅ )𝟏𝟖( ̅ (𝟖𝟏). 𝟒 / 𝟒 ) 𝟑( 𝟒 𝟒 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 )𝟏𝟖( ̅ )𝟑 ()𝟑( 𝟑 𝟒 )𝟑( 𝟒 𝟖𝟎𝟏 𝟗𝟎𝟎 𝟎
𝟐𝟖
√ 𝟏 𝟒
) (̅
)
(
𝟑
)𝟐𝟖(
𝟑
𝟔𝟐𝟏 𝟎√
)𝟐(
الحل / نفرض )𝟓𝟐𝟏 𝟎 نفرض )𝟔𝟐𝟏 𝟎
( ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه ( معطى 𝟏𝟎𝟎 𝟎 𝟐 / 𝟑
𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟏
.
𝟏 𝟑
𝟓𝟐𝟏 𝟎 𝟏 . / 𝟑
) (̅ 𝟑
𝟔𝟐𝟏𝟎
) (
𝟑
√
) (
)𝟓𝟐𝟏 𝟎(
𝟑
) (
𝟓 𝟎 )𝟓𝟐𝟏 𝟎( 𝟓𝟐𝟏 𝟎√ 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 )𝟓𝟐𝟏 𝟎( ̅ )𝟓𝟐𝟏 𝟎( ̅ (𝟎 𝟏𝟐𝟓). 𝟑 / ((𝟎 𝟓)𝟑 ). 𝟑 / 𝟑 𝟑 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 ( )𝟐 )𝟓𝟐𝟏 𝟎( ̅ )𝟓𝟐𝟏 𝟎( ̅ )𝟓 𝟎( 𝟑 𝟐)𝟓 𝟎( 𝟑 𝟓𝟕 𝟎
) (̅
𝟑𝟑𝟏𝟎𝟓 𝟎
)𝟔𝟐𝟏 𝟎(
𝟑𝟑𝟏𝟎𝟎 𝟎
169
𝟓𝟎
)𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟏( )𝟏𝟎𝟎 𝟎(
𝟐 . / 𝟑
) ( 𝟓𝟎
√ 𝟏 𝟑
)
) (̅
(
)𝟔𝟐𝟏 𝟎(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟓
𝟏𝟑 √
)𝟑(
الحل / ( ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه ( معطى
نفرض )𝟐𝟑 نفرض )𝟏𝟑
𝟏 𝟏 . 𝟒/ 𝟓 𝟓 )𝟐𝟑 (
)𝟐𝟑 (
𝟏 . / 𝟓
) (̅
𝟓
) (
𝟓
) (
)𝟐𝟑 (
𝟓
) (
√
𝟐 𝟐𝟑 √ 𝟒 𝟏 )𝟐𝟑 ( ̅ )𝟐𝟑 ( ̅ ( 𝟑𝟐). 𝟓 / 𝟓 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 )𝟐𝟑 ( ̅ )𝟒 ()𝟐 ( 𝟒 𝟓 )𝟐( 𝟓 𝟎𝟖
𝟒 𝟏 𝟓 .𝟓/ ) )𝟐 (( 𝟓 𝟓𝟐𝟏𝟎 𝟎 )𝟐𝟑 ( ̅
) (̅
)𝟏𝟑 (
𝟓𝟕𝟖𝟗 𝟏
مثال /أذا كانت
𝟐
𝟑
𝟑
) (
𝟏𝟑
𝟓𝟐𝟏𝟎 𝟎
𝟒 . / 𝟓
) (
)𝟓𝟐𝟏𝟎 𝟎( )𝟏(
𝟐
جد بصورة تمرٌبٌة )𝟏𝟎𝟎 𝟏(
√ 𝟏 𝟓
) (̅
)
( )𝟏𝟑 (
𝟐
ولثالث مراتب عشرٌة
الحل / ( ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه نفرض )𝟏 ( معطى نفرض )𝟏𝟎𝟎 𝟎 𝟔 𝟐 𝟑 𝟐)𝟏(𝟑 𝟑)𝟏( )𝟏(𝟔 𝟐)𝟏(𝟑
)𝟏( )𝟏( ̅
𝟒 𝟗
𝟏𝟎𝟎 𝟎 𝟏 𝟏𝟎𝟎 𝟏 𝟑 ) (̅ ) ( 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 ) ( )𝟏( 𝟑 𝟔 𝟐 𝟑 ) (̅ )𝟏( ̅
) (̅ 𝟗𝟎𝟎 𝟒
مثال /أذا كانت 𝟏
𝟑√
)𝟏𝟎𝟎 𝟏(
) (
𝟗𝟎𝟎 𝟎
) (
)𝟗( )𝟏𝟎𝟎 𝟎(
𝟒
(
)
)𝟏𝟎𝟎 𝟏(
𝟒
جد بصورة تمرٌبٌة )𝟗𝟗 𝟎(
الحل / ( ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه نفرض )𝟏 ( معطى نفرض )𝟗𝟗 𝟎 𝟏𝟎 𝟎 𝟑 𝟏 𝟓𝟕 𝟎
𝟑√ 𝟐 𝟐 )𝟏( 𝟑 𝟒
)𝟏( ̅
)𝟏( ̅
𝟏
𝟏).𝟐/
) (̅
𝟏 𝟑 𝟏
𝟑(
) (
𝟏
)𝟏(𝟑√
)𝟏(
𝟏
)𝟏(𝟑√ 𝟐
)𝟏( ̅
) (̅ 𝟓𝟐𝟗𝟗 𝟏
)𝟗𝟗 𝟎(
𝟓𝟕𝟎𝟎 𝟎
170
𝟏
𝟗𝟗 𝟎
𝟐
𝟑√
) (
𝟑√
) (
𝟑 𝟏
𝟑√ 𝟐
) (
)𝟓𝟕 𝟎( )𝟏𝟎 𝟎 (
) 𝟐
) (̅
( )𝟗𝟗 𝟎(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال /بأستخدام مبرهنة المٌمة المتوسطة جد بصورة تمرٌبٌة طول ضلع مربع مساحته
)𝟐
𝟎𝟓(
الحل / ∵ مساحة المربع = مربع طول الضلع نفرض )𝟗𝟒 نفرض )𝟎𝟓
( ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه ( معطى 𝟏 𝟐
𝟎𝟓√ 𝟏 𝟕 )𝟗𝟒( 𝟏 )𝟗𝟒( ̅ 𝟒𝟏
)𝟗𝟒( ̅
𝟏𝟕𝟎 𝟎
𝟏𝟕𝟎 𝟕
𝟎𝟓
) (̅
√𝟐 𝟗𝟒√
)𝟗𝟒( 𝟏
𝟗𝟒√ 𝟐 𝟏𝟕𝟎 𝟎
𝟕
𝟏
)𝟗𝟒( ̅
) (̅
)𝟎𝟓(
𝟗𝟒
𝟎𝟓 𝟐
√
) (
√
) ( ) (̅
√𝟐
) (
)𝟏𝟕𝟎 𝟎( )𝟏(
)
(
𝟕
)𝟎𝟓(
******************************************************************
جد بصورة تمرٌبٌة بأستخدام مبرهنة المٌمة المتوسطة كل مما ٌأتً : 𝟑
) (
𝟖𝟖 𝟓𝟏√
) (
𝟓
) (
𝟒
) (
𝟑
𝟑)𝟐𝟏 𝟖(
) (
) (
𝟒𝟏 𝟕𝟐√ 𝟖𝟐 𝟏𝟑√ 𝟓
𝟑)𝟐𝟏 𝟖(
𝟐
171
𝟎𝟖√ 𝟐𝟏 𝟗 √
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
دراســـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــة الدالة النمطة الحرجة :هً النمطة التً تنتمً لمنحنً الدالة والتً ٌكون عندها 𝟎
) ( ̅ أو تكون غٌر معرفة ز
كٌفٌة اٌجاد النمط الحرجة الحالة األولى :نجد ) ( ̅ ثم نجعل 𝟎
) ( ̅ ثم نحل المعادلة المتكونة ونجد لٌم ) (Xولتكن ) (X1 ,X2 , X3 ,….ثـم نعوض لٌم ) (Xفً الدالة األصلٌة ونجد لٌم ) (Yالممابلة لها فتكون … (X1,Y1),(X2,Y2),(X3,Y3),هً النمط الحرجة مثال توضٌحً /جد النمط الحرجة للدوال التالٌة : 𝟐 𝟐 ) ( ) ( 𝟏 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
) (̅ (
)𝟎
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟎
𝟎 𝟏 𝟐 𝟏 )𝟏( النمطة الحرجة هً)𝟑 𝟏(
𝟐 𝟑
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
)غٌر ممكن ( 𝟎
𝟏 𝟐
𝟑
) (̅ (
)𝟎
𝟑 𝟑 𝟐
𝟑
) (
) (
) ( ) (̅
) (̅ 𝟎
𝟑( )𝟑() 𝟐 𝟏( 𝟔 𝟑
) (̅
𝟐) 𝟐 𝟏( 𝟐 𝟔
)نجعل 𝟎
)
)غٌر ممكن ( 𝟎
𝟐) 𝟐 𝟏( 𝟏 (̅( 𝟐) 𝟐 𝟏(
) (
𝟐
𝟐 𝟏
) (̅
𝟐 𝟑 𝟐 ) (̅ )نجعل 𝟎 ) ( ̅ ( 𝟎 ) (̅ )غٌر ممكن ( 𝟎 𝟐 التوجد نمطة حرجة
) (
𝟑
التوجد نمطة حرجة 𝟐( ) ( ) ( 𝟔 𝟑)𝟏 𝟐(𝟑 ) ( ̅ 𝟔 )𝟐( 𝟐)𝟏 𝟐(𝟔 ) ( ̅ 𝟔 𝟐)𝟏 )𝟔 ( 𝟐(𝟔 𝟎 𝟔 𝟐)𝟏 𝟐( 𝟎 𝟏 𝟐)𝟏 𝟒 𝟐 𝟒 𝟎 𝟏 𝟏 𝟐 )𝟒 ( 𝟒 𝟒 𝟎 𝟐 ( 𝟎 𝟎 )𝟏 𝟎 𝟏 𝟏 𝟓 النمط الحرجة هً)𝟏 𝟎()𝟓 𝟏( 𝟏 𝟑 ) ( ) ( )𝟐 ()𝟏
𝟑 𝟔 𝟔 ) (̅ 𝟔 )نجعل 𝟎 ) ( ̅ ( 𝟔 𝟎 𝟔 𝟎 𝟏 )𝟏(𝟔 𝟐)𝟏(𝟑 )𝟏( 𝟑 النمطة الحرجة هً)𝟑 𝟏(
) (
) (
𝟐
𝟑 𝟏
𝟏
) (̅
𝟐
𝟑
𝟑
) ( ) (̅
𝟐
) (̅ 𝟏 𝟎 𝟐) 𝟐 𝟏( التوجد نمطة حرجة
172
𝟐
𝟑
) ( 𝟑 𝟗 𝟓 𝟔 𝟐 𝟑 ) (̅ 𝟗 )نجعل 𝟎 ) ( ̅ ( )𝟑 ( 𝟔 𝟐 𝟑 𝟎 𝟗 𝟐 𝟐 𝟎 𝟑 ( ()𝟑 𝟎 )𝟏 𝟑 𝟏 𝟓 𝟕𝟐 𝟕𝟐 𝟕𝟐 )𝟑( 𝟐𝟐 )𝟏 ( 𝟎𝟏 𝟓 𝟗 𝟑 𝟏 النمط الحرجة هً)𝟐𝟐 𝟑( )𝟎𝟏 𝟏 ( 𝟒 ) ( 𝟏 𝟐 𝟐 𝟒 𝟑 𝟒 ) (̅ )نجعل 𝟎 ) ( ̅ ( )𝟒 ( 𝟒 𝟑 𝟒 𝟎 𝟑 𝟎 )𝟏 𝟐 ( 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 النمط الحرجة هً)𝟎 𝟏 ()𝟎 𝟏( )𝟏 𝟎(
) (
) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
الحالة الثانٌة :اذا أعطٌت نمطة حرجة ٌستفاد من ذلن فً أٌجاد الثوابت فً الدالة المعطاة مثال توضٌحً ① /لتكن 𝟓 لٌم الثوابت
𝟑
𝟐
وكانت للدالـة نمطـة حرجـة هـً )𝟎𝟏 𝟏 ( فجـد
) (
الحل / ) (-1,10تحمك دالة المنحنً 𝟐
𝟐
𝟑
𝟓
𝟏
) (̅
𝟐
وبحل المعادلتٌن أنٌا ً نحصل على :
مثال توضٌحً② /لتكن
𝟐)𝟏 (𝟑
𝟎𝟏
𝟐
𝟔
)𝟏 ( ̅
𝟗
) معادلة①( 𝟐
𝟎
𝟑
/معادلة②.
𝟑
وكانت للدالة نمطة حرجة هً ) (1,3فجد لٌم الثوابت
) (
الحل / )𝟑 𝟏( تحمك دالة المنحنً 𝟐
𝟏
𝟑 𝟐
) ( 𝟎
)معادلة①(
𝟐
) (̅
𝟐)𝟏(
)𝟏( 𝟐
)𝟏( ̅
𝟐 /معادلة②.
وبحل المعادلتٌن أنٌا ً نحصل على :
𝟏
𝟐
أختبار التزاٌد والتنالص للدالة بأستخدام المشتمة األولى لتكن
دالة مستمرة فً الفترة المرلمة -
,ولابلة لألشتماق فً الفترة المفتوحة )𝑏 𝑎( فأذا كانت : متزاٌدة
𝟎
) (̅
)
(
①
متنالصة
𝟎
) (̅
)
(
②
طرٌمة أٌجاد مناطك التزاٌد والتنالص oنجد لٌم ) ( التً تجعل المشتمة االولى مساوٌة للصفر أو غٌر موجودة كما تعلمنا سابما ز oنختبر المٌم على خط األعداد فأذا كانت ) ̅( الدالة متزاٌدة ( ) ) ̅( الدالة متنالصة ( )
173
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال ( /)1لتكن
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
ز جد مناطك التزاٌد والتنالص
) (
الحل / ) (̅ .
/نجعل 𝟎
) (̅
) (̅ * ) (̅ *
متزاٌدة فً + متنالصة فً +
مثال ( /)2جد مناطك التزاٌد والتنالص لكل من الدالتٌن األتٌتٌن : 𝟐
𝟑
𝟗
𝟑
) (
) (
الحل / ) (̅ .
/نجعل 𝟎 ) 𝟏
𝟎
𝟑
)𝟏
(
()𝟑
نختبر على خط األعداد إشارة المشتمة األولى بالتعوٌض بمٌم مجاورة للعددٌن 𝟑
* 𝟏+ متنالصة فً 𝟑+ متزاٌدة فً الفترة المفتوحة )𝟑 𝟏 (
(
𝟐
𝟔 𝟑 𝟐 𝟑 𝟎 𝟑
𝟗
𝟐
*
𝟑
√
) ( ) (
الحل/ 𝟐 𝟑
√𝟑 ( أي ان )𝟎
) (̅
𝟏 𝟑
) (
( عدد حرج
نختبر على خط األعداد إشارة المشتمة األولى بالتعوٌض بمٌم مجاورة للعدد 𝟎 متنالصة فً 𝟎+ متزاٌدة فً 𝟎+
𝟔 𝟐
𝟗
𝟏
𝟐
) ( ̅ غٌر معرفة أذا كانت )𝟎
) (̅
* *
174
𝟐 𝟑
) (̅
𝟐 𝟑)
(
) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
النهاٌة العظمى والنهاٌة الصررى المحلٌة دالــة مســـــــــــتمرة علــى الفتــرة - لــتكن المفتوحة ) ( فأذا كانت :
( التــً تنتمــــــً الــى الفتـــــرة
,ولابلــة لألشــتماق عنــد ) ) )
( (
𝟎 𝟎 𝟎
) (̅ ) ( ) (̅ ) (̅
) )
( (
𝟎 𝟎 𝟎
) (̅ ) ( ) (̅ ) (̅
مالحظة اذا كانت النمطة نمطة نهاٌة صغرى
)
(
نمطة نهاٌة عظمى
(
)
حرجة فمط
(
)
)
(
مثال ( /)3جد نمط النهاٌات العظمى والصررى المحلٌة للدالة fفً حالة وجودها أذا علمت أن : 𝟒𝟐
𝟐
𝟗
𝟑
) (
) (
𝟐) 𝟐
(
) (
𝟏
) (
𝟐) 𝟐
(
𝟏
) (
) (
𝟐) 𝟐
(
𝟏
) (
) (
الحل/ ) (̅ .
𝟐
/نجعل 𝟎 𝟎 𝟐
متنالصة فً + متزاٌدة فً + النمطة ))𝟐( 𝟐(
* )𝟏 𝟐( تمثل نمطة نهاٌة صررى محلٌة
175
𝟎 )𝟐 𝟐( 𝟏 ) 𝟐(
(𝟐
𝟏
*
)𝟐
(
) (̅
𝟐) 𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟐) 𝟐
(
) (
𝟏
) (
الحل/ ) (̅ .
/نجعل 𝟎 𝟎
𝟐
)𝟐
𝟐
متنالصة فً 𝟐+ متزاٌدة فً + النمطة ))𝟐( 𝟐(
(
𝟎 )𝟐 𝟐( 𝟏
𝟐) 𝟐
𝟏
) (̅
(𝟐
) 𝟐(
* * )𝟏 𝟐( تمثل نمطة نهاٌة عظمى محلٌة
𝟐
𝟒𝟐
𝟑
𝟗
) (
) (
الحل/ /نجعل 𝟎 𝟎
𝟖
) (̅ . )𝟑 (
𝟐
𝟔
𝟒
𝟎𝟐 𝟖𝟒 𝟔𝟑 𝟖 𝟔𝟏 𝟔𝟗 𝟒𝟒𝟏 𝟒𝟔
النمطة ))𝟐( 𝟐( النمطة ))𝟒( 𝟒(
𝟖𝟏
𝟎 𝟒𝟐 𝟎 )𝟐
⇒
𝟐
متنالصة فً الفترة المفتوحة ) * + متزاٌدة فً +
𝟒𝟐
𝟐 𝟑
𝟐)
𝟐( 𝟗 𝟐) 𝟒( 𝟗
)𝟐(𝟒𝟐 )𝟒(𝟒𝟐
𝟖𝟏 ()𝟒
𝟑)
𝟐( 𝟑) 𝟒(
) (̅ 𝟐 𝟑
(
) 𝟐( ) 𝟒(
( *
)𝟎𝟐 𝟐( تمثل نمطة نهاٌة عظمى محلٌة )𝟔𝟏 𝟒(تمثل نمطة نهاٌة صررى محلٌة
تمعر وتحدب المنحنٌات ونمط األنمالب بأنهـا محدبـــــة أذا كانـت
أذا كانت fدالـــــة لابلة لألشتماق فً الفترة المفتوحـــة ) ( فٌمال عن الدالـــــة ̅ متنالصة خالل تلن الفترة وتسمى ممعرة اذا كانت ̅ متزاٌدة خالل تلن الفترة ز مالحظة
,ولها مشــــــتمة أولى ومشـــــتمة ثـــــانٌة على ) أذا كـــــانت fمـــــعرفة فـــــً - 𝟎 ) (̅ ( ) تكون ممعـرة على ) ( أذا حممت الشرط األتً : تكون محدبة على )
( أذا حممت الشرط األتً :
𝟎
176
) (̅
)
(
( فأنهــا :
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال (/)1
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
أدرس تمعر وتحدب كل من الدالتٌن : 𝟑
) (
) (
𝟐
) (
) (
𝟐
) (
) (
الحل/ ) (̅
) الدالة ممعرة على
) (̅
(
𝟑
الحل/ ) (̅
نجعل
ممعرة فً + محدبة فً + النمطة ))𝟎( 𝟎(
) (̅
) ( 𝟐
) ( ̅ ألٌجاد مناطك التمعر والتحدب 𝟎 )𝟎( 𝟎 𝟎
) ( ) (̅
𝟔
* * )𝟎 𝟎( تسمى نمطة أنمالب
نمطة األنمالب : هً النمطة التً تنتمً لمنحنً الدالــــة والتً عندها ٌنملب المنحنً مـن حالـة التحـدب الـى حالـة التمعـر أو بـالعكس ( تنتمـً لمنحنـً الدالـة والمشـتمة ( هً نمطة أنمـالب أذا كانـت النمطـة ) (أو بأسلوب أخر) النمطة ) الثانٌة عندها تساوي صفر )
) ( (
177
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
كٌفٌة اٌجاد نمط األنمالب ) (̅ ̅ ثـم نحـــل المعادلــــة المتكونـة ونجـد لــــــــٌم الحالة األولى :نجد ) ( ̅ ومــن ثـــم نجـد ) ( ثـم نجعـــل 𝟎 ) (Xولـتكن ) ( X1 ,X2 , X3,..ثـــــــم نــــــعوض لـٌم ) (Xفـً الدالـة األصلٌـــــــــة ونجـد لـــــــٌم ) (Yالممابلـــــة لهــــــــــــا فتكون … (X1,Y1),(X2,Y2),(X3,Y3),هً نمط االنمالب
مالحظات حول طرٌمة أٌجاد مناطك التمعر والتحدب :
نجد لٌم ) ( التً تجعل المشتمة الثانٌة مساوٌة للصفر ومن ثم نجد لٌم ) ( الممابلة لها ̅
نختبر المٌم على خط األعداد فأذا كانت ̅ اذا لم تترٌر إشارة ) ( فأن النمطة هً لٌست نمطة أنمالب وأنما هً نمطة حرجة /
مثال ( /)2جد نمطة األنمالب للمنحنً :
𝟏
) (
الدالة محدبة .أو /
𝟐𝟏
𝟐
𝟑
𝟑
𝟐
) (
̅
الدالة ممعرة .
) (
الحل/ 𝟐𝟏 ) ( ̅ 𝟔 ̅ ) ( ألٌجاد مناطك التمعر والتحدب نجعل
𝟐𝟏
𝟔
ممعرة فً 3 محدبة فً 3 𝟏
النمطة (𝟐)/
𝟏
𝟐.
𝟐
𝟔
𝟎
𝟐𝟏 𝟏𝟏 𝟐
) (̅
𝟔 𝟔
𝟏 ) ( 𝟐
𝟐𝟏
𝟏 𝟐
) (̅ 2الن ̅ 2الن ) ( سالبة
موجبة
𝟏𝟏 / 𝟐
𝟏
𝟐 .هً نمطة أنمالب
مثال ( /)3جد مناطك التحدب والتمعر ونمط األنمالب أن وجدت للدوال التالٌة : 𝟑
𝟒
) (
) (
) (
) (
(
𝟒
) (
) (
𝟐
𝟑
) (
) (
) (
) (
𝟏
𝟎 𝟒) 𝟐 𝟐
𝟑
178
𝟒
𝟐
𝟑
𝟒
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟒
الحل/ 𝟐
نجعل
𝟑
) (̅ 𝟑 𝟒 ) ( ̅ ألٌجاد مناطك التمعر والتحدب
𝟎
)𝟐𝟏 (
𝟐
𝟐
) (̅
𝟐
𝟎 𝟔𝟏
) 𝟎(
𝟎
𝟐
𝟎
⇒
𝟎
) (
𝟒
) (
(
)
) 𝟐(
*و+ محدبة فً + ممعرة فً الفترة المفتوحة ) ( النمطتان ) ( ) ( هما نمطتا أنمالب *
الحل/
𝟏
𝟎 𝟐 𝟑
) (
) ( 𝟏
) (̅
) (̅
𝟐
)𝟎( ̅ غٌر معرفة * محدبة فً + * ممعرة فً + ال توجد نمطة أنمالب ألن 0ال ٌنتمً لمجال الدالة
𝟒) 𝟐
الحل/
𝟐)𝟐 نجعل
محدبة فً𝟐+ الدالــــــــة ∴ ال توجد نمطـة أنمـالب عنـد ) على جهتٌها
* * و 𝟐+ ( ألن الدالـة محدبـة
179
(
) (
𝟒
) (̅ ( 𝟑)𝟐 ̅ ) ( ألٌجاد مناطك التمعر والتحدب 𝟐 ( )𝟐 𝟎 𝟎 𝟐)𝟐 𝟎 𝟐 (
) ( ) (̅̅̅
(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟐
الحل/
𝟐
) (̅
𝟑 𝟐
) (
) ( ) (̅
𝟐
) (̅
ال ٌمكن جعل الدالــــــــة محدبة فً ∴ ال توجد نمطة أنمالب
الحل/
𝟑 𝟎
الدالــــــــة
ممعرة فً
𝟔
𝟐
𝟐𝟏
𝟐
𝟑
) (̅
𝟒
) ( 𝟑 𝟒
𝟔
) ( ) (̅
لذا ال توجد نمطة أنمالب
أختبار المشتمة الثانٌة لنمط النهاٌات العظمى والصررى المحلٌة ٌستفاد من المشتمة الثانٌة فً فحص ومعرفة نوعٌة النمط الحرجة دون دراستها على خط االعداد وكما ٌلً :
) ̅( فأنـه ٌمكننـا أسـتخدام فبدال ً مـن مالحظـة كٌفٌـة ترٌٌـر إشـارة ̅ عنـد المـرور بالنمطـة الحرجـة حٌـث األختبار التالً لنمرر فٌما أذا كانت النمطة الحرجة تمثل نمطة نهاٌة عظمى أو صررى محلٌة وذلن بأستخدام أختبار المشتمة الثانٌة وكما ٌأتً : تمتلن نهاٌة عظمى محلٌة عند ) (ز ) ̅( فأن ) ̅( وأن ) ( أذا كانت ) ̅(
) ( أذا كانت
) ̅(
وأن
) ( أذا كانــت
) ̅(
أو ) ̅( غٌــر معرفــة فــال ٌصــح هــذا األختبــار ( وٌعــاد األختبــار بواســطة الطرٌمــة
فأن
(ز
تمتلن نهاٌة صررى محلٌة عند )
السابمة عن طرٌك المشتمة األولى ) ز
مالحظة
:
ٌستفاد من نمطة االنمالب فً أٌجاد الثوابت كما هو الحال فً النمطة الحرجة مثال ( /)1بأستخدام أختبار المشتمة الثانٌة أن أمكن ,جد النهاٌات المحلٌة للدوال األتٌة : 𝟏
𝟐
𝟑 𝟒
𝟎
𝟐
𝟗 𝟒) 𝟏
180
𝟔
𝟐
𝟑 (
𝟑
𝟒
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل الحل/
𝟐
𝟏
) (̅.
/نجعل 𝟎 )𝟏( ̅
𝟎
𝟏 𝟎
∵ 𝟎 )𝟏( ̅ و 𝟎 𝟔 ( ∴ توجد نهاٌة عظمى محلٌة عند )𝟏 𝟐 )𝟏(𝟑 ∴ النهاٌة العظمى المحلٌة هً 𝟏 𝟐 :
𝟑
𝟔
𝟔
) (̅
𝟔
𝟔 𝟔 )𝟏( ̅
𝟔
) (
) (
𝟔 ) (̅
𝟎
𝟔
𝟔
)𝟏( ̅
)𝟏(
)𝟏(𝟔
الحل/
𝟒
𝟎
𝟐
𝟎
)𝟐 ( ̅
𝟐
𝟑
𝟖
𝟎 𝟒𝟐
𝟎 ∵ 𝟎 )𝟐 ( ̅ و 𝟎 ∴ توجد نهاٌة عظمى محلٌة عند )𝟐 ∴ النهاٌة العظمى المحلٌة هً 𝟑 :
𝟑
𝟎
𝟑
𝟒𝟐
) (̅
𝟒
𝟐
𝟏
𝟐
)𝟐 (
الحل/
𝟐
) (̅.
/نجعل 𝟎 𝟎
عندما 𝟏 𝟎 𝟐𝟏 فأن 𝟎 ∴ توجد نهاٌة عظمى محلٌة عند )𝟏 ∴ النهاٌة العظمى المحلٌة هً 𝟗 𝟓 : عندما 𝟑 فأن 𝟎 )𝟑( ̅ و 𝟎 𝟐𝟏 ∴ توجد نهاٌة صررى محلٌة عند )𝟑 ∴ النهاٌة الصررى المحلٌة هً 𝟐𝟕 :
𝟖
𝟏
( 𝟒 𝟒
𝟗
)𝟏 ( ̅ و
𝟑
)𝟐 ( ̅
𝟔𝟏
)𝟐 ( ̅
𝟖
𝟏
) (̅
𝟖
) (̅.
/نجعل 𝟎
) (
) (
𝟑 𝟏
𝟐
𝟑 𝟗
)𝟑 (
𝟐
⇒
𝟑
)𝟏 ( ̅
( 𝟑
𝟏
) 𝟏 (𝟗
𝟐)𝟏
(𝟑
𝟑)𝟏
(
)𝟏 (
)𝟑( ̅
( 𝟕𝟐
𝟕𝟐
𝟕𝟐
)𝟑(𝟗
181
𝟐)𝟑(𝟑
𝟑) 𝟑(
)𝟑(
𝟑
𝟔
𝟎 𝟗 𝟎 )𝟏 𝟔
𝟐
) (
) (
𝟑
) (̅ 𝟐
𝟑
𝟔 ( ()𝟑 𝟔 ) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟒) 𝟏
(
) (
𝟒
) (
الحل/ ) (̅.
/نجعل 𝟎 )𝟏 ( ̅
𝟎
𝟎
𝟏
𝟑)𝟏
𝟏 𝟎
∵
𝟎
𝟎 )𝟏 ( ̅
𝟎
𝟑)𝟏
(𝟒
(
𝟐)𝟏
)𝟏 ( ̅ أذن هذه الطرٌمة ال تنفع لذا نعود الى مالحظة ترٌٌر إشارة ̅
fمتزاٌدة فً 𝟏+ * fمتنالصة فً 𝟏+ ∴ توجد نهاٌة عظمى محلٌة هً 𝟒 :
𝟑)𝟏
(𝟒
) (̅
بجوار )𝟏
) (̅
(𝟐𝟏
(
*
مثال (/)2 فجـد لٌمـة محلٌة ز
𝟒)𝟏
𝟒
𝟏 (
)𝟏 (
𝟐 ) ( 𝟎 لتكن علمـا ً أن الدالـة تمتلـن نمطـة أنمـالب عنـد
ال تمتلـن نهاٌـة عظمـى
,ثـم بـٌن أن الدالـة
الحل/ /نجعل 𝟎
) (̅ .
𝟐
𝟐
𝟐 𝟑)𝟏(
𝟐
𝟐
)𝟏( ̅
𝟐
𝟑
𝟏 )نجعل 𝟎 𝟏 𝟐
√
𝟎 𝟏
𝟔 𝟑
∴ توجد نهاٌة صررى محلٌة عند √ 5 𝟐 ∴ الدالة
𝟐
𝟏 𝟐
𝟑
) (̅
𝟒
4
ال تمتلن نهاٌة عظمى محلٌة
182
𝟐 𝟏
) (̅(
𝟐
𝟑
𝟐
) (̅
𝟐 𝟏 .𝟐/
𝟐
𝟐
𝟐
𝟎
𝟏
) (̅ 𝟑
𝟎
𝟏
𝟐
) (̅
) (̅
𝟐
𝟐
𝟐
) ( 𝟏
𝟎 𝟐 𝟑
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
وزاري/ 2013د3 وزاري / 2013د2 وزاري / 2012د1 لكً ٌكون لمنحنً الدالـة مثال ( /)3عٌن لٌمتً الثابتٌن ثم جد نمطة األنمالب ز ونهاٌة عظمى محلٌة عند 𝟐 عند 𝟏 𝟑
𝟐
نهاٌة عظمى محلٌة
الحل/ 𝟐
𝟐 ∵ للدالة نهاٌة عظمى محلٌة عند
𝟏
∵ للدالة نهاٌة صررى محلٌة عند
𝟐
⇐ ) معادلة
(
) معادلة
𝟑
̅
𝟎
𝟎
⇐ 𝟎
𝟐
̅
𝟑
𝟐
𝟐)𝟏 (𝟑
)𝟏 ( 𝟐
𝟑
𝟎
̅
(
𝟒
𝟎
𝟐)𝟐(𝟑
)𝟐( 𝟐
𝟐𝟏
𝟎
وبحل المعادلتٌن ( )1و ( )2أنٌا نحصل على : 𝟑 𝟐
𝟔 )نجعل 𝟎
̅(
𝟑
̅
𝟔
𝟔
𝟐
𝟑
𝟑
𝟏 𝟐 𝟏 𝟐
𝟑𝟏 𝟒 الدالة fممعرة الدالة fمحدبة
∴ /
𝟑𝟏
𝟏
𝟒
𝟐
𝟔𝟐 𝟖
4 5 𝟏 فً 3 𝟐 𝟏 فً 3 𝟐
𝟏
𝟒𝟐 𝟑 𝟖
̅
𝟑 𝟖
𝟑
𝟏 𝟐
𝟏 𝟖
𝟔4 5
𝟐
𝟔
𝟑
𝟑 𝟐
𝟔
𝟑
𝟎
𝟐 𝟏 𝟑 4 5 𝟐 𝟐
𝟑
𝟑
𝟏 4 5 𝟐
𝟔
𝟏 4 5 𝟐
2 2
.نمطة أنمالب
مثال ( /)4أذا كان منحنً الدالة وٌمس المستمٌم 𝟐𝟖 :
𝟑
𝟐
𝟗
* ومحـدب فً 𝟏+ ) ( ممعـــر فـــً 𝟏+ عند النمطة )𝟏 𝟑( فجد لٌم األعداد الحمٌمٌة
الحل/
*
وزاري / 2014د1
∵ الدالة مستمرة ألنها كثٌرة الحدود و ممعـــرة فــــً 𝟏+
* ومحـــدبة فً 𝟏+
*
∴ الدالة تمتلن نمطة أنمالب عند 𝟏 /نجعل 𝟎
)𝟏( ̅ .
∵ مٌل المماس للمستمٌم 𝟖𝟐
)𝟏( ̅
𝟐
𝟔
) معادلة
(
𝟐
𝟗
𝟔
𝟑
هو )𝟗
) (̅
𝟎
𝟐 𝟑
)𝟐 (
⇒
𝟐
𝟑
𝟎
) (̅
𝟔
𝟐
̅( عند 𝟑
∴ )𝟑( ̅ هو مٌل المماس لمنحنً الدالة fعند 𝟑 /معادلة
𝟐
.
النمطة )𝟏 𝟑( تحمك معادلة منحنً الدالة
𝟗
)𝟑 (
𝟑
𝟐
⇒
𝟑
𝟔
𝟕𝟐
𝟗
𝟔
𝟕𝟐
)𝟑( ̅
) ( ) معادلة ③(
𝟗
𝟕𝟐
𝟏
وبتعوٌض المعادلة ( )1فً ( )2نحصل على :
𝟑 وبتعوٌض (𝟏
) و (𝟑
𝟑
𝟏
𝟑
𝟔
𝟗
𝟑
) فً المعادلة ) (3نحصل على :
𝟏
183
𝟕𝟐
𝟕𝟐
𝟏
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال (/)5
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
أذا كان للدالة فجد لٌمة عند
نهاٌة عظمى محلٌــة تســــاوي , 8و نمطة األنمالب وزاري / 2015د2
) (
الحل/ ∵ للدالة نمطة أنمالب عند
𝟔 ⇐ 𝟎
𝟏
̅
𝟔
𝟔
𝟐
𝟑
̅
𝟏 ∵ للدالة نهاٌة عظمى محلٌة تساوي )𝟖( )𝟐
̅
⇐ 𝟎
̅
( 𝟑
𝟎
𝟔 𝟔
𝟐
𝟑
𝟔
𝟔 𝟐
𝟔
𝟎
)𝟏( 𝟔
̅
𝟑
𝟐
𝟎
𝟎
****************************************************************** ) ( نهاٌة صررى محلٌــــة تســــاوي , 4و نمطة األنمالب واجب /أذا كان للدالة فجد لٌمة عند
تمارين)𝟒 س / 1لتكن
𝟐
𝟔
(أ) الدالة fمحدبة
) (
حيث
𝟑(
* 𝟒 𝟖+ ,
جد قيمة
اذا كانت :
(ب) الدالة fممعرة
الحل/
𝟐 /أ .أذا كانت الدالة
) (̅
𝟐
𝟔
محدبة 𝟒
/ب .أذا كانت الدالة
) (̅
𝟔
𝟐
) (
𝟎
𝟎
𝟐
𝟎
) (̅
مقعرة 𝟎
𝟖
184
𝟎
𝟐
𝟎
) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
س / 2أذا كانت ) (2,6تمثل نمطة حرجـــــة لمنحنً الدالة 𝟒) النمطة الحرجةز
) (
(
فجد لٌمة
وبٌن نوع
)𝟏( 𝟑)
) (̅
الحل/ 𝟑) )نجعل 𝟎
) ( ̅ ( عندما 𝟐
) (̅
(𝟒
(𝟒
ألن النمطة )𝟔 𝟐( نمطة حرجة 𝟑)
/بالجذر الثالث .
𝟐(
)𝟒
𝟎
(
𝟑)
⇒
𝟐(𝟒
𝟎
𝟐 النمطة )𝟔 𝟐( تحمك معادلة منحنً الدالة 𝟒)𝟐
(
𝟎
) ( 𝟎
𝟔
𝟒
𝟔
)𝟐
𝟐(
𝟔
(𝟒
) (̅
لبٌان نوع النمطة الحرجة نالحظ الرسم : ∴ النمطة )
𝟑)𝟐 ( تمتلن نهاٌة عظمى محلٌة
𝟑 𝟐 ) ( وكان 𝟐𝟏 𝟏 ) ( س / 3أذا كان نمطة األنمالب وكانت للدالة fنمطة أنمالب ) (1, -11فجد لٌم الثوابت
متماســـــــان عند
وكان كل من
وزاري / 2014د2
الحل/
∵ الدالتٌن ) ( ) ( متماستان عند نمطة األنمالب ∴ مٌل الدالتٌن ) ( ) ( عند ) ( متساوٌان أي أن
) (̅ 𝟑 ) (
𝟐
𝟐
) (̅ 𝟐
) (̅
𝟐𝟏 ) معادلة①(
∵ النمطة )
𝟐𝟏
𝟐
( نمطة أنمالب لدالة ) ( ) معادلة②(
النمطة )
)𝟏( 𝟐
𝟑
⇐
𝟐)𝟏(
) ( ̅ ( عندما )
)𝟎
𝟎
𝟑
)𝟐 (
⇒
𝟐
𝟑
𝟐𝟏
𝟑
𝟏 𝟐
) ( ) ( 𝟐
( 𝟐
𝟔
𝟔
) (̅
( تحمك معادلة الدالة ) ( ) معادلة③(
وبحل المعادالت ① و ② و ③ أنٌا ً سو
) (
𝟏𝟏
نحصل على بالطرح بالطرح
185
𝟑
) معادلة①( ) معادلة③( ) معادلة②(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
س / 4أذا كانت )𝟔( تمثل نهاٌة صررى محلٌة لمنحنً الدالــــة معادلة المماس للمنحنً فً نمطة انمالبه ؟
𝟐
𝟑
فجد لٌمة
) (
𝟑
ثم جد
الحل/
) (̅ (
)نجعل 𝟎
𝟐
النمطة )
𝟐
𝟎
𝟑
) (̅
𝟔
𝟐(
)
𝟑
𝟐
𝟎
)𝟑 (
𝟐
⇒
𝟐 𝟐
) (
𝟑 𝟑
𝟔
𝟎
( تنتمً لمنحنً الدالة ) ( 𝟑)𝟎(
𝟔
𝟐)𝟎(𝟑
) (̅ .
/نجعل 𝟎
𝟔
𝟔 𝟔
𝟑 𝟐
) (̅
𝟔
𝟏
𝟑
𝟑
𝟑
𝟑
𝟑
𝟑 𝟐 ) ( وكانت ممعــــــرة )𝟏 س / 5أذا كانت وللدالة fنمطة نهاٌة عظمى محلٌة هً )𝟓 𝟏 ( فجد لٌم الثوابت
𝟐
) 𝟐)𝟏(𝟑
𝟔
(𝟑 𝟖 )𝟏 ) معادلة المماس للمنحنً(
𝟖
𝟑
𝟔
𝟔
𝟏( 𝟑 ) 𝟏( 𝟖 𝟔 𝟏 𝟑 𝟔 𝟑) 𝟏( 𝟖 )𝟏( ∴ النمطة ) ( تمثل نمطة أنمالب وهً نمطة مٌل المماس ( اي نحسب ) ̅( عندما 𝟑
𝟑 𝟔
𝟐)
)𝟏( ̅
𝟐
)
𝟑
)𝟏(𝟔
) (̅
𝟔
𝟎
) ( )𝟏( ̅
(
( ومحدبــــــة )𝟏
الحل/
) (
(
وزاري / 2012د3
النمطة )𝟓 𝟏 ( تحمك دالة المنحنً ) ( ) معادلة①(
𝟐
)𝟏 (
𝟓
)𝟏 (
النمطة )𝟓 𝟏 ( نمطة نهاٌة عظمى محلٌة للدالة ⇐ f ) معادلة②(
∵ الدالة ∴ نجعل 𝟎
𝟐
𝟎
ممعـــرة )𝟏
( ومحدبـــــة )𝟏
̅ ) ( عندما )𝟏
𝟎
)𝟏 ( 𝟐
𝟑
𝟑
)𝟏 (
𝟐
𝟓
عندما )𝟏
) ( 𝟐
)𝟏 ( 𝟑
𝟑
) (
(
𝟎
𝟐
𝟐
𝟑
) (
(
( النه توجد نمطة انمالب
) معادلة③(
وبحل المعادالت ① و ② و ③ أنٌا ً سو
𝟎
𝟔
𝟐
𝟐
)𝟏( 𝟔
𝟐
𝟎
نحصل على ) معادلة①(
بالجمع
) معادلة②( )
بالجمع
) معادلة③(
)
186
(
(
𝟔
) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
) (
س / 6لتكن
ال تمتلن نهاٌة عظمى محلٌة ز
برهن أن الدالة
وزاري / 2013د1
الحل/ )نجعل 𝟎
) (̅ (
/معادلة
𝟐
𝟐
.
) (̅
𝟐
𝟑
𝟐
) (̅
𝟐
𝟑
/معادلة
𝟐
𝟐
.
𝟑
𝟐
𝟐
) (̅
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
) (
𝟑
𝟐
𝟎
) (̅
𝟐
وبتعوٌض المعادلة ( )1فً ( )2نحصل على : ) (̅
𝟔 ∴ الدالة ∴ الدالة
𝟒
𝟔
𝟐
𝟐
4 5
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐 /
) (̅
تمتلن نهاٌة صررى محلٌة ألن 𝟎 𝟔 ال تمتلن نهاٌة عظمى محلٌة مهما كانت لٌمة ) (
س / 7المســـتمٌم 𝟕 محلٌة عند
𝟑 ٌمس المنحنً جد لٌمة
𝟏 𝟐
الحل/
النمطة )𝟏
𝟐
عند )𝟏
) معادلة①(
𝟏
∵ للمنحنً نهاٌة محلٌة عند
𝟒
(
𝟏 𝟐
)𝟐(
وزاري / 2016د1
)𝟐(
𝟐
𝟏
عندما
⇐
𝟐
.
,وما نوع النهاٌة ؟
𝟐( تحمك معادلة المنحنً :حٌث نعوض )𝟐 𝟏
𝟐
𝟐( وكانت له نهاٌــــــة
وزاري / 2015د1 𝟐
𝟐
) (̅
) معادلة②(
) ( 𝟐
𝟎
𝟐
𝟎
نجد معادلة مٌل المستمٌم المماس من معادلته : معامل معامل نجد مٌل منحنً الدالة عند نمطة التماس ( اي نجد
)
عندما
𝟒 ∵ مٌل المستمٌم المماس
𝟐
مٌل منحنً الدالة عند نمطة التماس ) معادلة③(
𝟒
𝟑
بحل المعادلتٌن ( )2و ( )3أنٌا ً نحصل على : بالطرح
) معادلة②( ) معادلة③(
)نعوض فً معادلة②( )نعوض فً معادلة ① ألٌجاد 𝐜 ( ) ( ) (
𝟑 𝟏 𝟒 𝟏 ∴ النمطة 𝟑 𝟒/ 𝟑
𝟐
) (
𝟏 𝟏 𝟏 𝟑 𝟐 𝟐 𝟒 𝟏 𝟐 .تمثل نهاٌة صررى محلٌة
187
𝟒
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
أمثلة أضافٌة محلولة مثال /جد أن وجدت مناطك التزاٌد والتنالص والنمط الحرجة ولٌم نماط النهاٌات للدوال األتٌة: 𝟐
) (̅ .
/نجعل 𝟎 النمط الحرجة هً)
𝟎 𝟎
𝟐 𝟎 ()
)𝟐
𝟑
𝟑
) ( ) (
) (̅
( 𝟒
(
النمطة( (0,0نهاٌة عظمى محلٌة لٌمة النهاٌة العظمى المحلٌة تساوي ) ( النمطة( (2,-4نهاٌة صررى محلٌة لٌمة النهاٌة الصررى المحلٌة تساوي ) ( مناطك التزاٌد
2
3
مناطك التنالص = الفترة )
(
𝟒 /نجعل 𝟓 النمط الحرجة هً)𝟓
𝟒 𝟑(
𝟖𝟏
𝟗
النمطة ( (3,-5نهاٌة صررى محلٌة لٌمة النهاٌة الصررى المحلٌة تساوي ) * مناطك التزاٌد + * مناطك التنالص +
) (̅ .
𝟔
𝟐
) ( ) (
) (̅
𝟑
(
𝟒
/نجعل 𝟎 النمط الحرجة هً)𝟎 𝟎( النمطة( (0,0نهاٌة صررى محلٌة لٌمة النهاٌة الصررى المحلٌة تساوي ) ( * مناطك التزاٌد + * مناطك التنالص +
188
) (̅ .
) (̅
) ( ) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟑
𝟐
) (̅ .
/الٌمكن جعل
𝟎
) ( ) ( ) (̅
ال توجد نمط حرجة مناطك التزاٌد
*
+
𝟎𝟏
) (̅ (
) نجعل 𝟎
𝟐
)𝟒
𝟏 𝟒 𝟏 النمط الحرجة هً ) 𝟒 𝟏
النمطة /
𝟒
𝟐 𝟑 𝟐
𝟐
𝟐
(
)𝟒
𝟎
𝟏 𝟒
𝟐
) 𝟐()𝟏 𝟐 ( ) 𝟐()𝟒 𝟐 (
𝟖 𝟑 𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
(
𝟎
)𝟒
𝟎𝟏
𝟐
(
𝟎
) ( ) ( ) (̅
𝟎𝟏 𝟐)𝟒 𝟐 (
𝟎(
𝟎 .نهاٌة عظمى محلٌة
لٌمة النهاٌة العظمى المحلٌة = { و مناطك التنالص
مناطك التزاٌد الفترة)
مثال /جد لٌم الثوابت محلٌة هً )
(
{ (
الفترة)
) ( نمطة نهاٌة صررى
أذا كان لمنحنً الدالــــــــــة (
الحل/ النمطة ) (3,-5تحمك دالة المنحنً والمشتمة األولى عندها تساوي صفر عندما )𝟑 معادلة①
𝟑
𝟑
)𝟑 (
⇒
𝟑
𝟗
𝟗
𝟒
𝟑
𝟗 𝟓 ̅ ) ( .
/نجعل معادلة②
وبحل المعادلة ① والمعادلة ② حالً أنٌا ً نحصل على :
189
(
𝟎
𝟒
𝟐
𝟐 𝟔
)𝟑( 𝟐
) ( ) (̅ 𝟎
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال /جد لٌم الثوابت صررى محلٌة هً ) الحل/
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
أذا كان لمنحنً الدالــــــة
(
)
نمطة نهاٌــــــة
) (
(
النمطة )𝟔 𝟏( تحمك دالة المنحنً والمشتمة عندها تساوي صفر معادلة① /نجعل
(
)
)
𝟔 ) (̅ .
(
)
) ( ) (̅
( )
)𝟐 (
معادلة② نعوض المعادلة ② فً المعادلة ① فنحصل على :
⇒
𝟏
𝟎
)𝟐
()𝟑
(
𝟎
(
𝟎
)
𝟔
(
)ٌهمل(
مثال /لتكن
) ( جد لٌم الثوابت
عندما ) الحل/
اذا علمت أن للدالة نمطة نهاٌة عظمى محلٌـــة
( ونهاٌة صررى محلٌة عندما )
(
فً هذا السؤال حدد نماط النهاٌات العظمى والصررى فمط لذلن نعتمد فً الحل على المشتمة األولى فمط /نجعل 𝟎
) معادلة①( ) معادلة②( 𝟕𝟐
𝟑
) ( ̅ ثم نعوض لٌم )
𝟒
) ( ) (̅
. ) ( ) (
( ) (
𝟏 𝟑
وبحل المعادلة ① والمعادلة ② حالً أنٌا ً نحصل على : 𝟑 𝟐
نعوض فً معادلة ①
𝟔𝟏
𝟒𝟐 𝟑
)
مثال /أذا كانت ) (5تمثل نهاٌة عظمى محلٌة للدالة الحل/
𝟑
𝟑
𝟑
𝟐
(
) ( فجد لٌمة
( فمط لذا ٌجب أٌجاد لٌم فً هذا السؤال لم تعطى النمطة كاملة وأنما لٌمة )𝟓 محلٌة او صررى محلٌة عندما مشتمة الدالة تساوي صفر )𝟎 ) ( ̅ ( /نجعل 𝟎 ( ()𝟏 𝟎 )𝟏 𝟏 𝟏
حتى ٌكون للدالة نمطة نهـــــاٌة عظمى ) (̅ .
) (̅
النمطة ( (-1,5نهاٌة عظمى محلٌة وتحمك الدالة 𝟏
𝟑
) (
𝟑
190
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال /أذا علمت أن لمنحنً الدالة الحل/
) ( نمطة نهاٌة صررى محلٌة هً ) (3,10فجد لٌمة
النمطة ) (3,10تحمك دالة المنحنً والمشتمة عندها تساوي صفر ) معادلة①(
) نجعل
𝟔
) (̅ (
)
) معادلة②(
𝟎𝟐
)𝟐 (
⇒
𝟎𝟏
) (̅
(
𝟎
𝟑
𝟑
)
) (
𝟎𝟏
) (̅
(
)
) (
(
)𝟒 (
⇒
𝟒
)
وبحل المعادلة ① والمعادلة ② حالً أنٌا ً نحصل على :
(
نعوض فً معادلة ②
) 𝟐
( 𝟎𝟐
𝟎𝟏
) (
مثال /أذا كانت
𝟗
𝟐
𝟑
)𝟑( ̅ و 𝟓
وكانت 𝟎
) (
فجد لٌم
)𝟏 (
الحل/ )
)
(
(
)
(
) معادلة①( 𝟗
/معادلة②𝟑 .
𝟐
)𝟑( 𝟐
) (
)𝟏 ( 𝟒
𝟐)𝟑( 𝟑
𝟗
𝟓 )𝟑( ̅
𝟐
𝟗
𝟐
𝟑
𝟎
) (̅ 𝟎
مثال /جد أن وجدت مناطك التحدب ومناطك التمعر ونمط االنمالب للدوال التالٌة : 𝟐
/نجعل
) (̅
̅ ) ( .
𝟏 النمطة)
( نمطة انمالب مرشحة
النمطة ) ( نمطة انمالب * مناطك التحدب + * مناطك التمعر +
191
𝟑
𝟑
) ( ) ( ) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟒)𝟏 ̅ ) ( .
/نجعل
)
) (̅
(
)
𝟏
)
( ) (̅
(
(
) ( ) (
(
)
النمطة)𝟎 𝟏( حرجة مرشحة مناطك التمعر
*
}* +
𝟐 ̅ ) ( .
/نجعل 𝟎
𝟒𝟐
𝟐
𝟑
𝟑
) (̅
) ( ) ( ) (̅
)
(
)
(
)
(
النمطة)𝟖𝟐 𝟏 (نمطة انمالب مرشحة مناطك التحدب 𝟏+ مناطك التمعر 𝟏+
* *
𝟐 وكان * 𝟐 𝟓+ ) ( حٌث مثال /لتكن فجد لٌمة Aاذا كانت الدالة ) (ممعرة ) ( محدبة
الحل/
) (̅ تكون الدالة محدبة أو ممعرة اعتمادا على أشاره
لذلن سو ) (̅
) (̅ نجد ) (̅
) (
) ( أذا الدالة ممعرة ) (̅ ) ( أذا الدالة محدبة ) (̅
192
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل 𝟐
مثال /منحنً الدالــــــــــــــة 𝟓
𝟑
) (
ٌمس محــور الســـٌنات عند النمطة )(2,0
وله نمطــــــة أنمالب هً ) (0,5فجد لٌم الثوابت الحل /النمطة )𝟓 𝟎( تحمك دالة المنحنً والمشتمة الثانٌة عندها تساوي صفر ولٌمة ) ( عندها تساوي صفر ) ال ٌنفع(
𝟎
𝟓
𝟎
𝟐
𝟐
)𝟎(
)𝟎( 𝟔
)𝟎(
)𝟎(
) (
𝟐
𝟔
𝟎
𝟐
𝟓 ) (̅
𝟑
) (
𝟐
𝟐
) (̅
𝟑
النمطة )𝟎 𝟐( تحمك دالة المنحنً معادلة①
𝟓
𝟖
𝟐
𝟐
𝟓
المشتمة األولى ) (̅ عند النمطة )𝟎 𝟐( تساوي )صفر) عندما )𝟐
𝟑
( ألنها تمس محور السٌنات ) (̅
𝟐
) نعوضها فً معادلة①(
𝟓
𝟓
𝟔𝟏
𝟒𝟐
𝟓
𝟖
) 𝟐𝟏 (𝟐
𝟓
𝟖
𝟓 ) ( 𝟔𝟏
𝟐
مثال /لتكن
) (
محلٌة عندما )𝟒
𝟑
) (
𝟐
𝟖
𝟓 𝟔𝟏
اذا علمت أن للدالـــــــة نهاٌة صــــــررى
جد لٌم كل من
( ونمطة انمالب عندما )𝟏
(
الحل/ 𝟐
𝟔
) (̅
𝟐
𝟐
𝟑
) (̅
𝟐
) (̅
) ( ) ()
(
193
𝟐
𝟐
𝟑
) (̅
𝟑
) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل 𝟐
مثال /أذا كانت ) (6تمثـل نهاٌـة عظمـى محلٌـة للدالـة معادلة المماس للمنحنً عند نمطة انمالبه ز
𝟑
𝟑
فجـد لٌمـة
) (
ثـم جـد
الحل/ ) (̅ (
) نجعل
𝟐
𝟔
)
𝟐
) (
𝟑
(
𝟑
𝟐
𝟐
𝟑
) ( 𝟐
𝟔
𝟑
𝟎
النمطة ) (0,6نمطة نهاٌة عظمى محلٌة وتحمك الدالة
𝟔 /نجعل 𝟎 𝟔
النمطة )
𝟑
𝟎 ̅ ) ( .
𝟔
𝟎 𝟔
𝟐
𝟔 ) (̅
𝟑
𝟑 𝟐
𝟔
) (
) ( ) (
𝟑 𝟔
𝟔
( نمطة انمالب وتحمك معادلة مٌل المماس
األن نجد مٌل المماس عند نمطة األنمالب حٌث (مٌل المماس = المشتمة األولى) ونستخدم لانون معادلة المماس 𝟔
𝟑 𝟑
𝟑
)𝟏(𝟔
𝟑
)𝟏
𝟒
𝟐)𝟏(𝟑 (𝟑
𝟐
𝟔
𝟑
)𝟏
𝟒
) معادلة المماس للمنحنً عند نمطة انمالبه (
(
𝟎
𝟕
) ( 𝟏
𝟑
******************************************************************
جد أن وجدت مناطك التزاٌد والتنالص والنمط الحرجة ولٌم نماط النهاٌات للدوال األتٌة :
𝟏 𝟏
𝟐 𝟑
) ( ) (
𝟐
) ( ) (
194
𝟐 )
𝟑
𝟏 𝟑
) ( ) (
𝟒(
𝟑
) ( ) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
رســم المخطط البٌانً للدالة لرسم المخطط البٌانً ألي دالة معطاة نتبع الخطوات التالٌة والتً تمثل النمط األساسٌة للرسم :
❶ اوسع مجال للدالة ❷ نمط التماطع مع المحورٌن ❸ التناظر ❹ المحاذٌات ❺ دراسة ) ( ̅ ❻ دراسة ) ( وما ٌنتج عنها ❼ تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
وما ٌنتج عنها
❶ اوسع مجال للدالة :أذا كانت بواسطة الدالة ) ( ولهذا ٌمكن تمسٌم الدوال الى ثالث أشكال حسب المترٌرات الموجودة فٌها
هً دالة الى ) ( فأن أوسع مجال للدالة هو كل لٌم ) ( الحمٌمٌة التً لها صــور) (
ⓐالــدوال كثٌــرات الحــدود :وهــً الــدوال التــً مترٌرهــا ) ( غٌــر موجــود فــً ممــام الدالــة وكــذلن غٌــر موجــود فــً داخــل الجذر وٌكون اوسع مجال لها ⓑالــــدوال الكســــــــــــــرٌة :وهــــــــــً الــــدوال التــــً مترٌرهــــــــــا ) ( موجــــود فــــً ممــــام الدالـــــــــــة وٌكـــــــــــون اوســــــــــع مجــــــال لــها
}المٌم
التً تجعل الممام 𝟎{
ⓒالدوال الجـــــــــــــــذرٌة :وهً الدوال التً مترٌرها ) ( موجود فً داخل الجذر وهً نوعان : النوع األول :دوال جذرٌة دلٌل جذرها فردي وٌكون اوسع مجال لها هو لٌم ) ( التً تجعل الجذر معرفا النوع الثانً :دوال جذرٌة دلٌل جذرها زوجً وٌكون اوسع مجال لها هو لٌم ) (التً تجعل الجذر معرفا
مثال توضٌحً ① /جد أوسع مجال لكل من الدوال التالٌة : ) أوســـــــــع مجال للدالة
ألنها كثيرات الحدود(
➨
) (
) أوســـــــــع مجال للدالة
ألنها كثيرات الحدود(
➨
) أوســـــــــع مجال للدالة
ألنها كثيرات الحدود(
➨
) أوســـــــــع مجال للدالة
ألنها كثيرات الحدود(
➨
) ( ⓑ ) ( ⓒ ) ( ⓓ
) أوســـــــــع مجال للدالة
ألنها كثيرات الحدود(
➨
) ( Ⓔ
) أوســـــــــع مجال للدالة
ألنها كثيرات الحدود(
➨
) ( Ⓕ
) أوســـــــــع مجال للدالة
ألنها كثيرات الحدود(
➨
) أوســـــــــع مجال للدالة
ألنها كثيرات الحدود(
➨
) أوســـــــــع مجال للدالة
ألنها كثيرات الحدود(
➨
)
√
195
)
(
()
(
√
√
ⓐ
) ( Ⓖ
) ( Ⓗ ) ( Ⓘ
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال توضٌحً ② /جد أوسع مجال لكل من الدوال التالٌة : 𝟑 𝟐
➨
⁄*𝟐+
⁄* 𝟐+
➨
⁄* 𝟏+
➨
𝟐
) ( ①
𝟐
) ( ②
𝟐
𝟒 𝟏 𝟏
) ( ③
𝟐
ال تستخذم طرق تبسيظ المقام النها تؤدي الى الحل الخاطئ ) حل خاطئ(
𝟏
⁄* 𝟏+
𝟏 (
)𝟏
)𝟏
()𝟏
➨
)
𝟏 𝟏
( 𝟑 𝟑 /
⁄* 𝟑+
) ( ④
𝟐. 𝟐( 𝟐
➨
⁄*𝟎+
𝟐
𝟐
𝟐 ( )𝟑
𝟑
) (
) (
𝟑
) (
أما الدوال الجذرٌة فالمنهج خالً من الدوال الجذرٌة ولم ٌعطً أي مثال علٌها لذلن سأضع أمثلة لالطالع
مثال توضٌحً ③ /جد أوسع مجال لكل من الدوال التالٌة: ➨
*
𝟒+
𝟖
𝟐√ 𝟏
➨
⁄*𝟒+
𝟐
𝟖
𝟐
𝟐
√
) ( ①
) ( ②
❷ نمط التماطع مع المحورٌن :وهو على نوعٌن : ( )aالتماطع مع المحور الصادي ) ( )bالتماطع مع المحور السٌنً )
(الٌجاد لٌم ) ( ( الٌجاد لٌم ) (
( :ألٌجاد نمط التماطع مع المحور) ( نجعل )𝟎 ( :ألٌجاد نمط التماطع مع المحور) ( نجعل )𝟎
مثال توضٌحً ④ /جد نمط التماطع لكل من الدوال التالٌة : 𝟒 𝟎 𝟎
)𝟐
()𝟐
(
نمط التماطع
𝟎
)𝟒
𝟐
(
) 𝟎 𝟎( )𝟎 𝟐 ( )𝟎 𝟐(
196
𝟎
𝟒
𝟑
) ( 𝟎
𝟑
𝟎
) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟑)𝟐
) (
(
𝟖 𝟐 نمط التماطع
)𝟖
𝟎
𝟑)𝟐
𝟎
(
𝟎
𝟎( )𝟎 𝟐(
𝟑
) (
𝟒 𝟑 𝟒 𝟑 نمط التماطع
) (
𝟑 𝟑 ) 𝟒
𝟎
𝟑
𝟎
) (
𝟎
𝟒
𝟎( )𝟎 𝟑(
❸ التناظر :وهو على نوعٌن : (ٌ )aكون المنحنً متناظر مع المحور الصادي) (y-axisاذا كانت أسس المترٌر ) (xكلها زوجٌة أي أن ) ( ) ( ) ( (ٌ )bكون المنحنً متناظر حول نمطة األصل اذا كانت أسس المترٌر ) (xكلها فردٌة أي أن ) (
➨
(
➨
) (
)
)
( أي أن
)
) ( ( أي أن )
(
مثال توضٌحً ⑤ /جد التناظر لكل من الدوال التالٌة ثم برهن ذلن فً حالة وجود التناظر : ⓐ
/متناظرة مع الصادي الن أسس
كلها زوجية➨ .
/متناظرة مع الصادي الن أسس
كلها زوجية➨ .
) ( ⓑ
/متناظرة مع الصادي الن أسس
كلها زوجية➨ .
) ( ⓒ
/متناظرة مع الصادي الن أسس
كلها زوجية➨ .
/متناظرة مع الصادي الن أسس
كلها زوجية➨ .
) ( Ⓔ
/متناظرة مع نقطة االصل الن أسس
كلها فرديـــــــة➨ .
) ( Ⓕ
/متناظرة مع نقطة االصل الن أسس
كلها فرديـــــــة➨ .
) ( Ⓖ
/متناظرة مع نقطة االصل الن أسس
كلها فرديـــــــة➨ .
) ( Ⓗ
) ال يوجد تناظر الختالف اسس المتغيير ( ➨
197
) (
) (
} )
(
) ( ) ( ) (
ⓓ
Ⓘ
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل البرهان متشابه فً جمٌع األمثلة السابمة لذا سنبرهن مثال لكل نوع من التناظر ) (
) (
)
)
(
(
)
-
(
,
)
(
)
(
)
(
)
)
(
) ( Ⓔ
(
)
) ( Ⓕ
(
❹ المحاذٌات :دراستنا للمحاذٌات تمتصر على الدوال الكسرٌة فمط
المحاذي األفمً الموازي لمحور السٌنات الطرٌمة األولى : نجعل
) (
ثم نجعل 𝟎
) (
ونجد لٌم ) ( ولتكن )
) (
( فهً تمثل معادلة المستمٌم األفمً ز
الطرٌمة الثانٌة : هذا العدد هو حاصـــل لسمة معامل الحد االكبر درجة من البسط على معامل الحد االكبر درجة من
تكون معادلته عدد
الممام بشرط تساوي الدرجتٌن
المحاذي الشالولً الموازي لمحور الصادات الطرٌمة األولى : نجعل
) (
ثم نجعل 𝟎
) (
ونجد لٌم ) ( ولتكن )
) (
( فهً تمثل معادلة المستمٌم الشالولً ز
الطرٌمة الثانٌة : هذا العدد هو العدد الذي ٌستثنى من المجموعة Rفً الممام عند حساب أوسع مجال ز
تكون معادلته عدد
مثال توضٌحً ⑥ /جد أوسع مجال ومعادالت المستمٌمات المحاذٌة لكل من الدوال التالٌة : 𝟒 𝟐 المستمٌم المحاذي الشالولً 𝟐
𝟒
)𝟑
(
𝟐
𝟒
𝟒
𝟑
المستمٌم المحاذي األفمً
𝟑
𝟑 𝟎
𝟑
𝟐 𝟒 𝟐
𝟐
𝟑 𝟐 𝟑
𝟑
𝟒
او الحظ الطرٌمة الثانٌة +
*⁄
المستمٌم المحاذي الشالولً المستمٌم المحاذي األفمً
198
𝟑
) ( 𝟎
𝟒 𝟐
𝟑
) ( 𝟐 ) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟑 𝟒
+
) (
𝟐
) (
*⁄ المحاذٌات الشالولٌة
)نساوي الدرجتٌن(
𝟐
𝟑
𝟑 𝟒
𝟎
𝟐
𝟒
المحاذٌات االفمٌة
𝟐
𝟑
𝟐
𝟑
) (
𝟓
) (
⁄* + المحاذٌات الشالولٌة 𝟑 )نساوي الدرجتٌن( 𝟓
𝟐
𝟑 𝟐
𝟑
𝟎
𝟑
𝟐
المحاذٌات االفمٌة
𝟓 غٌر معرف
𝟓
) (
) (
⁄* + المحاذٌات الشالولٌة
)نساوي الدرجتٌن(
𝟓
𝟎
𝟓
مثال ( /)1أرسم باألستعانة بمعلوماتن فً التفاضل منحنً الدالة : الحل/
𝟓
المحاذٌات االفمٌة
) ( وزاري / 2013د3
أوسع مجال للدالة التناظر /المنحنً متناظر حول نمطة األصل ألن : ) (
) ) (
المحاذٌات /ال توجد ألن الدالة لٌست نسبٌة ( كسرٌة )
نمط التماطع مع المحورٌن
(
➨ 𝟓
𝟎 𝟎 النمطة )𝟎 𝟎( نمطة تماطع مع المحورٌن األحداثٌٌن
199
)
(
𝟓)
(
𝟎 𝟎
)
(
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
دراسة ) (
وما ٌنتج عنها
دراسة ) (
وما ٌنتج عنها
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05 ) نجعل 𝟎
) (̅ (
𝟎 𝟎
𝟎
/نجعل 𝟎
)𝟎(
𝟓
̅ ) ( .
𝟑
200
𝟎 𝟎
)𝟎(
𝟎𝟐 𝟑
𝟓
𝟓 𝟒 𝟓 ) (
𝟎
𝟎 𝟎
𝟒
) (̅
) (̅
𝟎𝟐 ) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال ( /)2أرسم باألستعانة بمعلوماتن بالتفاضل الدالة : الحل/
𝟐
𝟒
𝟑
𝟑
) (
أوسع مجال للدالة التناظر / 𝟑 𝟒 𝟐 𝟒 𝟐) ∴ ال ٌوجد تناظر مع محور الصادات او مع نمطة األصل ألن :
𝟑)
(𝟑
(
)
) (
المحاذٌات /ال توجد ألن الدالة لٌست نسبٌة ( كسرٌة )
نمط التماطع مع المحورٌن
➨
( )
)
(
(
) (
)
𝟒
(
𝟎 𝟎
) ال ٌمكن حل المعادلة( النمطة )𝟒 𝟎(نمطة التماطع مع المحور الصادي
دراسة ) (
دراسة ) (
وما ٌنتج عنها
) نجعل 𝟎 𝟐
𝟎
𝟎
)𝟐
(
) (̅ ( 𝟐 𝟎
𝟐
𝟔 𝟐
)𝟒 𝟎( )𝟎 𝟐(
𝟑 𝟐
𝟔
𝟎
𝟒 𝟎
𝟒 𝟎
) (̅ 𝟑
)𝟎( )𝟐(
وما ٌنتج عنها ̅ ) ( .
/نجعل 𝟎
𝟔
𝟏 )𝟐 𝟏(
201
𝟔 𝟐
𝟔
) (̅
𝟔 𝟔
𝟎 𝟐
𝟔 )𝟏(
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
𝟏
مثال ( /)3أرسم باألستعانة بمعلوماتن بالتفاضل الدالة : الحل/
𝟑
) (
𝟏
أوسع مجال للدالة }/{-1 التناظر / ∵ العدد )𝟏( ٌنتمً الى مجال الدالة ولكن العدد )𝟏 ( ال ٌنتمً الى مجال الدالــــــة لذلن فالمنحنً غٌر متناظر مع محور الصادات وغٌر متناظر مع نمطة األصل ∴ ال ٌوجد تناظر المحاذٌات /
المستمٌم المحاذي الشالولً 𝟏
)𝟑
(
𝟑
𝟏
المستمٌم المحاذي األفمً
𝟑
𝟏
𝟏
𝟑
𝟎
𝟑
𝟎 𝟏 𝟏
𝟑
) (
𝟏
𝟑
نمط التماطع مع المحورٌن 𝟏 𝟏 𝟑
النمط )𝟏
𝟏
دراسة ) (
𝟎( 𝟎/
𝟑
𝟏
𝟏
𝟎
𝟑
𝟏
𝟎 𝟑
𝟎
𝟎
𝟏
𝟏
.نمط التماطع مع المحورٌن
𝟑
وما ٌنتج عنها ) () )
(
)
) غٌر ممكن(
202
(
𝟎
( )
𝟒
𝟎
(
) () (
) (̅
𝟒 𝟐 )𝟏
(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
دراسة ) (
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
وما ٌنتج عنها 𝟖 𝟑)𝟏
𝟏)-
(𝟖 )𝟏 ( 𝟒)𝟏
(
(𝟐
(𝟐𝟏) 𝟎) 𝟒, ( 𝟒)𝟏
) غٌر ممكن(
𝟐
مثال ( /)4بأستخدام معلوماتن بالتفاضل أرسم المنحنً : الحل/
(
أوسع مجال للدالة التناظر / 𝟐
) (
𝟐) 𝟐
𝟏
∴ المنحنً متناظر حول محور الصادات ألن ( ) :
)
) (̅
) (
𝟐
𝟏
(
𝟏 )
( 𝟐)
(
(
)
➨
)
(
(
المحاذٌات /
ال ٌوجد محاذي عمودي
𝟎
𝟏
𝟐
𝟐
)𝟏
(𝟐
المستمٌم المحاذي األفمً
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟏
203
𝟎
𝟏
) ( 𝟐
𝟏
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
نمط التماطع مع المحورٌن 𝟎 𝟎
𝟎 𝟎 )𝟎 𝟎( نمطة التماطع مع المحورٌن
دراسة ) (
وما ٌنتج عنها
دراسة ) (
وما ٌنتج عنها
) )
)
(
()
(
( )
)
() (
𝟐
𝟎
) ) (̅
/نجعل
(
)
), (
)-
(
, )
(
(
) (̅
(
𝟐 )𝟏
(
) ( ) (
. )
√ )
. / . /
⇒
)
(
(
√ )
204
(
) √
(
√
(
) (
) (̅
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
𝟑(
تمارين)𝟓 أرسم بأستخدام معلوماتن فً التفاضل الدوال التالٌة :
𝟐
الحل/
𝟑
) (
𝟎𝟏
أوسع مجال للدالة التناظر / 𝟐 𝟑 𝟎𝟏 𝟐) ( ∴ ال ٌوجد تناظر مع محور الصادات او مع نمطة األصل ألن :
)
(𝟑
)
𝟎𝟏
المحاذٌات /ال توجد ألن الدالة لٌست نسبٌة (كسرٌة )
نمط التماطع مع المحورٌن
➨
(
) (
)
)
(
( )
) (
𝟎𝟏 )
()
(
𝟎
( 𝟐
)𝟏(
نمط التماطع
) 𝟎𝟏 𝟎( )𝟎 𝟐( )𝟎 𝟓 (
دراسة ) (
وما ٌنتج عنها ) نجعل 𝟎
𝟓
) (̅ (
𝟑
𝟐
𝟐
𝟗𝟒
𝟗 𝟖𝟏 𝟎𝟒
𝟗
𝟗
𝟒
𝟒
𝟒
𝟐
𝟎𝟏
205
𝟐 𝟑
.𝟐/
𝟑 𝟑
𝟑. / 𝟐
𝟐 𝟎
𝟎𝟏
) (̅
𝟑 𝟐 𝟑
𝟑
.𝟐/
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
النمطة /
𝟗𝟒 𝟒
𝟑 𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
.نمطة نهاٌة عظمى محلٌة
) ( متزاٌدة فً 3
𝟑
2
𝟐
𝟑 ) ( متنالصة فً } 𝟐
دراسة ) (
{
وما ٌنتج عنها ) سالب دائما مهما تكون لٌمة
) ( محدبة فً+
فلهذا منحنً الدالة محدب دائما وال توجد نمطة انمالب (
*
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
𝟑 الحل/
) (̅
𝟒
𝟐
) 𝟐(
) (
أوسع مجال للدالة التناظر / 𝟐 𝟑 ) 𝟒 𝟑 ∴ ال ٌوجد تناظر مع محور الصادات او مع نمطة األصل ألن :
(𝟒
𝟐)
( ) (
المحاذٌات /ال توجد ألن الدالة لٌست نسبٌة (كسرٌة )
نمط التماطع مع المحورٌن
)
➨
( )
(
𝟑 ) نمط التماطع
) 𝟑 𝟎( )𝟎 𝟏 ( )𝟎 𝟑 (
206
()
(
)
( )
) (
𝟎
(
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
دراسة ) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
وما ٌنتج عنها ) (̅ (
) نجعل 𝟎
𝟏
𝟒
𝟐
) (̅
𝟎
𝟐
𝟐
𝟒
𝟐 ( نمطة نهاٌة صررى محلٌة
النمطة )𝟏 ) ( متزاٌدة فً𝟐+ ) ( متنالصة فً𝟐+
* *
دراسة ) (
وما ٌنتج عنها
∴) (
ممعرة فً+
) موجب دائما مهما تكون لٌمة *
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
وزاري 𝟑𝟏𝟎𝟐 ⁄د𝟐 الحل/
فلهذا منحنً الدالة ممعر دائما وال توجد نمطة انمالب (
𝟐
) (̅
وزاري 𝟏𝟏𝟎𝟐 ⁄د𝟐
𝟑)
𝟏
𝟏(
) 𝟑(
) (
أوسع مجال للدالة التناظر / 𝟏 𝟑) 𝟏( 𝟏 ∴ ال ٌوجد تناظر مع محور الصادات او مع نمطة األصل ألن :
𝟑
))
(
)
𝟏( ) (
المحاذٌات /ال توجد ألن الدالة لٌست نسبٌة (كسرٌة)
نمط التماطع مع المحورٌن 𝟐 بالجذر الثالث للطرفٌن
نمط التماطع
𝟐 𝟏 𝟏 𝟏( 𝟑)
) 𝟐 𝟎( )𝟎 𝟐(
207
𝟏
( )
𝟑
➨
)
(
)𝟎 𝟏( 𝟏 𝟑)
( )
) (
𝟎 𝟏(
(
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
دراسة ) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
وما ٌنتج عنها ) (̅ (
) نجعل
(
)
) (̅
)
( ) )نجذر الطرفٌن ( 𝟏
𝟏
𝟎
𝟏
𝟑)𝟏
𝟏(
)𝟏(
𝟏
( )
)
(
( )
𝟑)
𝟏(
( ) (
النمطة )𝟏 𝟏( نمطة حرجة فمط
) ( متنالصة فً 𝟏+
دراسة ) (
*
* 𝟏+
وما ٌنتج عنها /نجعل
̅ ) ( .
)
(
) (̅
)
( )
( )
∴ النمطة ) (1,1نمطة أنمالب * ) ( ممعرة فً𝟏 + * ) ( محدبة فً𝟏 +
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
208
) (̅ (
) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟑
وزاري 𝟓𝟏𝟎𝟐 ⁄د𝟏 الحل/
) (
𝟔
) 𝟒(
أوسع مجال للدالة التناظر / 𝟑
)𝟑 𝟔( ∴ التناظر حول نمطة األصل ألن :
𝟔
𝟑)
(
)
(𝟔
)
➨
(
(
) ) (
المحاذٌات /ال توجد ألن الدالة لٌست نسبٌة
نمط التماطع مع المحورٌن 𝟎 )𝟐
𝟑
𝟔(
(
)
𝟎 𝟔 أما
نمط التماطع
دراسة ) (
)𝟎
√ ( )𝟎
𝟐
√ √( )𝟎 𝟎(
𝟐
𝟔
أو
وما ٌنتج عنها ) نجعل 𝟎
) (̅
) (̅ (
√ ) ( √ 𝟐√𝟒
النمطة النمطة
) ( ) (
√ 𝟐√𝟐
√ 𝟑
𝟐√𝟔
)𝟐√ (
)𝟐√ (𝟔
)𝟐√ (
√( نهاٌة عظمى محلٌة
) √ √ ( نهاٌة صررى محلٌة ) √ متزاٌدة فً ) √ √ ( { } 𝟐√ متنالصة فً }𝟐√
دراسة ) (
) √(
) √(
) √(
{
وما ٌنتج عنها /نجعل 𝟎
∴ النمطة ) (0,0نمطة أنمالب * ) ( ممعرة فً𝟎 + * ) ( محدبة فً𝟎 +
209
̅ ) ( .
) (̅
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
𝟏 الحل/
)𝟓(
) (
أوسع مجال للدالة = *𝟎+ التناظر / 𝟏
𝟏 ) (
(
)
➨
(
)
∴ التناظر مع نمطة األصل ألن : ) (
المحاذٌات
نمط التماطع مع المحورٌن ال ٌوجد تماطع مع محور الصادات الن )𝟎 ال ٌوجد تماطع مع محور السٌنات الن )𝟎
)
المستمٌم المحاذي الشالولً المستمٌم المحاذي األفمً
دراسة ) (
𝟏
𝟎
𝟎 𝟏
𝟏
(
) (
الن 𝟏 𝟎( الن 𝟏 𝟎(
وما ٌنتج عنها ) نجعل 𝟎
) (̅ (
𝟏
𝟐
𝟐
)غٌر ممكن(
∴ ال توجد نمطة حرجة
210
) (̅
𝟎
𝟏
𝟏
) (
𝟎
𝟏 𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
دراسة ) (
∴ ال توجد نمطة أنمالب * ) ( ممعرة فً𝟎 + * ) ( محدبة فً𝟎 + تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
وما ٌنتج عنها /نجعل 𝟎
) (̅
̅ ) ( . )غٌر ممكن(
𝟏 𝟏 الحل/
أوسع مجال للدالة + التناظر /
) (
*
∴ ال ٌوجد تناظر مع محور الصادات او مع نمطة األصل ألن :
𝟏 𝟏
) ) (
) 𝟔(
➨
( )
)
(
( )
) (
(
المحاذٌات /
المستمٌم المحاذي الشالولً 𝟏
)𝟏
(
المستمٌم المحاذي األفمً
𝟏
𝟏 𝟏 𝟏
𝟏
𝟎
𝟏
211
𝟎
𝟏
𝟏
𝟏 ) (
𝟏
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
نمط التماطع مع المحورٌن 𝟏 𝟏 النمط )𝟏
دراسة ) (
𝟎
𝟎
𝟏
𝟏
𝟎
𝟎
𝟏
𝟎( )𝟎 𝟏( نمط التماطع مع المحورٌن وما ٌنتج عنها 𝟐 𝟐)𝟏
𝟏
𝟏 𝟐)𝟏
(
)𝟏()𝟏 (
( 𝟐)𝟏
)𝟏()𝟏
(
) (̅
(
𝟎
𝟐 𝟐)𝟏
(
ال توجد نمطة حرجة
دراسة ) (
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
وما ٌنتج عنها ) )
(
( )
)(
( , ) ) غٌر ممكن(
212
(
) ( ) ( )
) (̅ (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟐) 𝟏 الحل/
(
()𝟐
) 𝟕(
) (
أوسع مجال للدالة التناظر / 𝟐)𝟏 ∴ ال ٌوجد تناظر مع محور الصادات او مع نمطة األصل ألن :
(
()𝟐
)
) (
المحاذٌات /ال توجد ألن الدالة لٌست نسبٌة (كسرٌة)
نمط التماطع مع المحورٌن )𝟏()𝟐(
𝟐
𝟎
𝟏
➨
( )
)
(
) (
𝟐
)𝟏 𝟎()𝟐 𝟎( ( ()𝟐 𝟐)𝟏 𝟎 𝟐 𝟎 𝟐)𝟏
𝟐 𝟏
( )
(
𝟎 𝟎
𝟎
(
النمط )𝟐 𝟎( )𝟎 𝟐 ( )𝟎 𝟏( نمط التماطع مع المحورٌن
دراسة ) (
وما ٌنتج عنها 𝟏-
𝟎 𝟒
𝟒
𝟐)𝟏 𝟏()𝟐 𝟏( 𝟐)𝟏 𝟏 ()𝟐 𝟏 (
)𝟏( ( 𝟐𝟏), ) نجعل 𝟎
)𝟏( )𝟏 (
𝟐)𝟏
)𝟏𝟑-
(
) (̅ (
𝟎
𝟏 𝟏
(𝟐𝟐), 𝟑𝟏), 𝟑𝟏), 𝟑( (
) (̅ ) (̅
(
𝟏 𝟑
𝟎
𝟑
النماط )𝟎 𝟏( )𝟒 𝟏 ( نماط حرجة
) ( متزاٌدة فً 𝟏+
* 𝟏+
*
) ( متنالصة فً الفترة المفتوحة )𝟏 𝟏 ( ∴ النمطة )𝟎 𝟏( صررى محلٌة ∴ النمطة )𝟒 𝟏 ( عظمى محلٌة
دراسة ) (
وما ٌنتج عنها ) () /نجعل 𝟎 𝟐
𝟐)𝟏
𝟎()𝟐
𝟎(
∴ النمطة )𝟐 𝟎( نمطة أنمالب
) ( محدبة فً 𝟎+ ) ( ممعرة فً 𝟎+
* *
213
)𝟎(
( ) (̅
) ()
( ) (̅
. 𝟎
𝟔
) (̅
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
𝟐
𝟏 𝟏 الحل/
ألن )
أوسع مجال للدالة التناظر /
∴ التناظر مع محور الصادات ألن
➨
𝟐
𝟏
𝟎 𝟐
𝟏 𝟏 )
) (
𝟐
𝟐
𝟏
(
𝟐) 𝟐)
𝟏 𝟏
) (
𝟐
( (
)
➨
(
(
)
(
المحاذٌات /
ال ٌوجد مستمٌم المحاذي الشالولً 𝟏
)𝟏
𝟏
𝟐
(𝟐
المستمٌم المحاذي األفمً
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝟎
𝟎 𝟏 𝟏
𝟐
𝟏
𝟏
𝟐
𝟐
) (
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
نمط التماطع مع المحورٌن 𝟏 𝟏 النمط )𝟏
)𝟖(
دراسة ) (
𝟎
)𝟏
(
()𝟏
𝟎
𝟏
𝟐
𝟏 𝟏
𝟐
𝟎( )𝟎 𝟏( )𝟎 𝟏 ( نمط التماطع مع المحورٌن
𝟎 𝟎
𝟎
𝟐
وما ٌنتج عنها 𝟐
𝟑
𝟐 𝟐)𝟏
𝟐
𝟐 (
𝟑
𝟐
) 𝟐()𝟏
) نجعل 𝟎
𝟐
( 𝟐)𝟏
𝟐
) 𝟐()𝟏 𝟐 ( 𝟒
) (̅ (
𝟐)𝟏
𝟎
𝟐
)
𝟏
214
(
) (̅
𝟏
)𝟏(
) (̅
( (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
∴ النمطة )𝟏 ) ( متزاٌدة فً 𝟎+ ) ( متزاٌدة فً 𝟎+
𝟎( نمطة نهاٌة صررى محلٌة
دراسة ) (
* *
وما ٌنتج عنها () )
)
( ) -
))
(
()
( () )
( , (
)
,
)
𝟐
( ),
(
𝟐
𝟎
) ( )
) ) (̅
/نجعل 𝟎 𝟐
(
( (
𝟏 𝟐
𝟐 𝟒
𝟏 𝟐
∴ النماط /
𝟏 𝟐
𝟏 𝟑√
) ( محدبة فً } ) ( ممعرة فً )
𝟐 𝟑 𝟒 𝟑
𝟐 𝟒
/ . 𝟏
𝟑√ 𝟏
𝟑√
𝟑 𝟑 𝟑 𝟑
𝟐 𝟑 𝟒 𝟑
𝟏
𝟏 𝟑 𝟏 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑
𝟏 𝟑 𝟏 𝟑
𝟏
.
)
𝟏
(
𝟐
𝟎
)𝟏
𝟏 𝟑 𝟏 𝟑
𝟏 𝟑 𝟏 𝟑
𝟏 𝟏
𝟏
.نماط أنمالب 𝟑√ 𝟏
𝟐
{ }
𝟏
𝟑√
𝟑√
{
(
215
𝟑√
𝟐 𝟏 ) 𝟑√ 𝟐 𝟏 ) ( 𝟑√ 𝟏 𝟏
) (̅
𝟐
(
𝟏
) (̅
(
𝟏 𝟏
) (̅
𝟐
𝟏 𝟏
𝟐 𝟏 ) 𝟑√ 𝟐 𝟏 ) ( 𝟑√ (
)
𝟐
𝟏 𝟏
𝟏 𝟑√
𝟐 𝟐
)
(
𝟏 𝟑√
(
𝟐
(
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
𝟒
وزاري 𝟐𝟏𝟎𝟐 ⁄د𝟐 الحل/
𝟐
) (
𝟐
أوسع مجال للدالة التناظر / 𝟒 𝟐 𝟐 ∴ التناظر مع محور الصادات ألن :
𝟒)
𝟐)
(
المحاذٌات /ال توجد ألن الدالة لٌست نسبٌة ( كسرٌة )
نمط التماطع مع المحورٌن
𝟒
(𝟐
) (
)
𝟐
)
𝟐
(
➨
(
)
(
𝟎 )𝟐
𝟐( 𝟐
𝟎 𝟐
𝟒
𝟐 𝟐
نمط التماطع
) 𝟗(
دراسة ) ( 𝟏
)𝟎
√ ( )𝟎
) ( ) (
أو
𝟐
وما ٌنتج عنها 𝟎
𝟏 𝟏
النمطة النمطة النمطة
𝟐
√ √( )𝟎 𝟎(
𝟐
أما
) ) ) متزاٌدة فً )𝟏 𝟎( 𝟏+ متنالصة فً )𝟎 𝟏 ( 𝟏+
𝟐
)𝟏 𝟏
) نجعل 𝟎
) (̅ (
𝟎
𝟑
(
𝟒
𝟎
( نهاٌة صررى محلٌة ( نهاٌة عظمى محلٌة ( نهاٌة عظمى محلٌة
* *
216
𝟐
𝟐
𝟑 )𝟒
) (
(
⇒
𝟎
𝟒 𝟑
) (̅
𝟒 𝟒
𝟒
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
دراسة ) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
وما ٌنتج عنها ̅ ) ( .
/نجعل 𝟎 𝟏 𝟑
𝟏 𝟑√
𝟐
𝟓 𝟗
النمط )
𝟓
𝟏
𝟗 𝟑√
𝟓 𝟏
()
) ( ممعرة فً )
𝟏
𝟗 𝟑√
𝟑√ 𝟑√
𝟏 ) ( محدبة فً 9 𝟑√
𝟏
𝟎 𝟔
𝟏 𝟗
( نمط أنمالب مرشحة (
𝟏 9 8 𝟑√
𝟐
8
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
217
𝟏 𝟗
𝟑 𝟐 𝟑
𝟐 )𝟒
𝟏 𝟒
)
(
𝟏 𝟑√
⇒ 𝟐
(
)
𝟏 𝟑√
𝟐𝟏 𝟐
(𝟐
) (̅
𝟒 𝟒
𝟐𝟏 )
𝟏 𝟑√
𝟎 (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟔 𝟑 الحل/
ألن ) 𝟎
أوسع مجال للدالة التناظر /
𝟐
𝟑
( 𝟔
∴ التناظر مع محور الصادات ألن
المحاذٌات /
نمط التماطع مع المحورٌن
𝟐
𝟑 ) (
) (
𝟐
)
𝟔 𝟐)
𝟑
)
(
➨
(
(
)
(
ال ٌوجد محاذي الشالولً 𝟑
𝟐
𝟔
𝟔
المستمٌم المحاذي األفمً
𝟑
𝟎
𝟔
𝟔 النمطة )𝟐 𝟎( نمطة التماطع مع المحور الصادي
𝟐
𝟎
𝟔
𝟎
𝟐
) (
𝟐
𝟑
𝟎
𝟎
𝟐
𝟑
𝟑
𝟔
𝟐
𝟑
𝟎
𝟐
دراسة ) (
)𝟎𝟏(
وما ٌنتج عنها 𝟐𝟏
) (̅ (
) نجعل 𝟎
)
)
) ()
( )
(
( (
𝟎
) (̅
𝟐𝟏
𝟐
)𝟎(
𝟐
∴ النمطة )𝟐 𝟎( نمطة نهاٌة عظمى محلٌة
) ( متزاٌدة فً 𝟎+ ) ( متنالصة فً 𝟎+
دراسة ) (
* *
وما ٌنتج عنها )
(
() )
) (
))
(
( ()
()
( )
)
𝟐
218
)
( )
(
), (
̅ ) ( . 𝟐
( )
(
( /نجعل 𝟎
)
(
)
𝟎
( 𝟐
) (̅ ) (̅ ) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل 𝟑 𝟐 𝟑 𝟔 𝟐 𝟒
∴ النماط /
𝟑
𝟑
𝟐
𝟐
𝟏/ .
𝟔 𝟒
𝟐)𝟏(
𝟑 𝟔 𝟑 𝟐)𝟏 (
)
(
𝟏 .نماط أنمالب
) ( ممعرة فً 𝟏+ ) ( محدبة فً )𝟏
𝟔
) (
*
* 𝟏+
𝟏 (
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
******************************************************************
مثال ( /)1باستخدام معلوماتن فً التفاضل أرسم منحنً كل من الدوال األتٌة 𝟑)𝟏 𝟒
𝟐( 𝟐
𝟐
) ( ) (
) ( ) (
𝟏
𝟐
𝟐
𝟓
) (
) (
𝟒
) (
) (
𝟐 ( ) ( متنــاظرة حــول محــور الصــادات جــد لٌمــة ) (bومــن ثــم )𝟏 مثــال ( /)2أذا كانــت 𝟏 استخدام معلوماتن فً التفاضل وأرسم منحنً الدالة ز
مثــال ( /)3أذا كانــت الدالــة للدالة جد كل من
𝟐
) ( وكانــت النمطــة ) (-1,3نمطــة تمــاطع المحاذٌــات االفمٌــة والعمودٌــة
ومن ثم استخدام معلوماتن فً التفاضل وأرسم منحنً الدالة ز
219
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
تطبٌمــــــات عملٌة على النهاٌــات العظمى والصررى المحلٌة: ظهرت فـً الفٌزٌـاء الكثٌـر مـن المسـائل التـً أدت الـى تطـور حسـاب التفاضـل والتكامـل ومـن هـذه المسـائل مسـائل حساب ألصى أرتفاع تصله لذٌفة أطلمت بزواٌا مختلفة أو ألصى أرتفاع ٌصله جسم ممذو شالولٌا ً الـى األعلـى أو ألل كلفة أو ألل زمن ومسائل من الصناعات مثل ألل مساحة وأكبر حجم وألل محٌط ,ززز ألخ ز لحل المسائل المتعلمة بهذا الموضوع نتبع الخطوات التالٌة : Ⓘنرسم رسـم توضـٌحً للمسـألة كلمـا كـان ذلـن ممكنـا ونثبـت علـى الشـكل كـل المترٌـرات والثوابـت ومـن ثـم نبـدأ بتكوٌن الفرضٌة التً تعتمد على كلمة (جد ,ماهً ,عٌن ,احسب ,ززز ) أي نكون الفرضٌة على أساس المطلوبز ② نكــون الدالــــــة المطلــوب أٌجـــــــاد النهاٌــة العظمــى أو الصــررى لهـــــــا ز بمعنــى أخــر نبحــث فــً المســألة عــن الكلمات التً تدل على النهاٌـــــات العظمى أو الصررى المحلٌـة مــــثل (اكبـر مـا ٌمكـن ,اصـرر مــــا ٌمكـن ,الـــــل كمٌة ,اطول مسافة ,ززز) ثم نبدأ بتكوٌن الدالة على أساس هذه الكلمات وفً أكثر األحٌان تكون هذه الدالة (لانون حجم ,مساحة ,محٌط ,فٌثاغورس ,تشابه مثلثات ,دوال دائرٌة ,ززز) ③ اذا كانت الدالة المكونة اعاله تعتمد على اكثر من مترٌر لذا ٌجب اٌجاد عاللـة بـٌن المترٌـرات لتكـوٌن دالـة ذات مترٌر واحد وأكثر االحٌان هذه العاللة هً (لانون حجم ,مساحة ,ززززززززززز) مشابهة للموانٌن السابمةز ④ أخٌر نبدأ بدراسة الدالة المتكونة والتً تحتوي على مترٌر واحد ألٌجاد النهاٌة العظمى أو الصررى المحلٌة كما تعلمنــــــا ســــــابما عــــــن طرٌــــــك أٌجــــــاد األعــــــداد الحرجــــــة فــــــً أطــــــرا الفتــــــرة أي ( أٌجــــــاد لــــــٌم الدالــــــة)ز الى مربعه ٌكون الناتج أصرر ما ٌمكن :
مثال ( /)1جد العدد الذي أذا أضٌ الحل/
األختبار
الفرضيت :نفرض الؼذد = مربغ الؼذد =
𝟐
الذالت :الؼذد +مربؼو 𝟐
) (
الذراست: ) (̅ (
) نجؼل 𝟎
𝟏 𝟐 𝟎
∴ توجد نهاية صغرى محلية عندما 𝟏
𝟐
𝟐
𝟏 𝟐
𝟎 𝟏 ̅ 4 5 𝟐
) (̅
𝟐
𝟏 𝟐
∴ العدد هو . 𝟐 /
220
𝟏 ) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟐𝟏( وذلـن بمـص أربـع مثال ( /)2صنع صندوق مفتوح من لطعة مـن النحـاس مربعـة الشـكل طـول ضـلعها ) مربعات متساوٌة األبعاد من أركانها األربعة ثم ثنً األجزاء البارزة لها ز ما هو الحجم األعظم لهذه العلبة ؟ وزاري / 2015د1
الحل/ الفرضٌة :نفرض طول ضلع المربع الممطوع ( أبعاد الصندوق = ) 𝟐 𝟐𝟏 𝟐 𝟐𝟏 الدالة :هً لانون حجم الصندوق = حاصل ضرب أبعاده الثالثة
) () 𝟐 𝟐𝟏() 𝟐 𝟐𝟏( 𝟖𝟒 𝟒𝟒𝟏( ) () 𝟐 𝟒 𝟒𝟒𝟏 𝟑 𝟒 𝟐 𝟖𝟒 العاللة :ال نحتاج الى عاللة الن المعادلة تحتوي مترٌر واحد الدراسة : ) نجعل 𝟎
𝟐
(
)𝟐𝟏 ( 𝟎
)
𝟐()
𝟎 𝟔(
𝟐𝟏 𝟐
𝟒𝟒𝟏
𝟔𝟗 𝟐𝟏
𝟎 ال ٌمكن
𝟔𝟗 𝟐
𝟒𝟒𝟏 𝟖
𝟔 𝟐
∴ عندما )𝟐
( توجد نهاٌة عظمى للحجم تساوي : 𝟑
𝟖𝟐𝟏
)𝟐()𝟖()𝟖(
األختبار ( :لألطالع )
221
𝟐𝟏
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال ( /)3جد بعدي أكبر مثلث متساوي السالٌن ٌمكن أن ٌوضع داخـل دائـرة نصـ 𝟑√𝟑
أن نسبة مساحة المثلث الى مساحة الدائرة كنسبة
𝟒
الحل/ الفرضٌة :نفرض أرتفاع المثلث = h
طول لاعدة المثلث = 𝟐
الدالة :هً لانون مساحة المثلث
) () 𝟐( العاللة :فٌثاغورس 𝟐)𝟐𝟏( 𝟒𝟒𝟏
𝟒𝟒𝟏
𝟑
𝟒𝟐√
)𝟐𝟏 𝟒𝟐
𝟐
𝟒𝟐√
𝟐 𝟒
𝟐
/
𝟏 𝟐
(
𝟐
𝟐
𝟐
𝟒𝟐
𝟐
𝟒𝟐√.
𝟐
الدراسة: 𝟑
) نجعل 𝟎
(
𝟒
𝟒
𝟑
𝟎 )𝟒 (
𝟑
𝟎
𝟑√𝟔
𝟒 ) 𝟎
)الٌمكن (
𝟐𝟕
𝟒𝟐√)𝟐( 𝟑 𝟒 𝟐 𝟐𝟕
𝟒
𝟎
𝟑 𝟒𝟐√)𝟐( 𝟐 𝟐𝟕 𝟖𝟏( 𝟐
𝟖𝟏 )𝟖𝟏(𝟒𝟐√
𝟐)𝟖𝟏(
)𝟔()𝟖𝟏(√
𝟐
∴ طول لاعدة المثلث تساوي : 𝟑√𝟐𝟏
𝟐
) 𝟑√𝟔(𝟐
نسبة مساحة المثلث الى مساحة الدائرة : مساحة الدائرة
𝟐
𝟒𝟒𝟏
𝟐)𝟐𝟏(
)𝟖𝟏()𝟑√𝟔( مساحة المثلث
𝟐
𝟐
𝟏 ) () 𝟐( 𝟐 𝟑√𝟖𝟎𝟏
𝟏 𝟐 𝟐
𝟑√𝟑
𝟑√𝟖𝟎𝟏
𝟐
مساحة المثلث
𝟒
𝟒𝟒𝟏
𝟏
مساحة الدائرة
األختبار ( :لألطالع )
222
لطرهـا )
𝟐𝟏( ثـم بـرهن
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال ( /)4جد بعدي أكبر مستطٌل ٌمكن أن ٌوضع داخل مثلـث طـول لاعدتـه ) (24 cmوأرتفاعـه ) (18 cmبحٌـث أن رأسٌن متجاورٌن من رؤوسه تمعان على الماعدة والرأسٌن البالٌان تمعان على سالٌه ز وزاري / 2013د2 الحل/ الفرضٌة :نفرض بعدي المستطٌل : حاصل ضرب بعدٌه الدالة :هً مساحة المستطٌل
العاللة :تشـــــــابه المثلثات ( btr , bcqلتســـاوي زواٌاهما المتناظرة لذا تتناسب أضالعهما المتناظرة وكذلن أرتفاعهما ) 𝟖𝟏 𝟖𝟏
) )𝟐
𝟒 𝟖𝟏( 𝟑 𝟒 𝟖𝟏( 𝟑
𝟒𝟐
𝟖𝟏 ) ( 𝟒𝟐 𝟖𝟏 𝟒 𝟖𝟏( ( 𝟑
))
الدراسة: ) نجعل 𝟎
(
𝟒 ) 𝟑 𝟐𝟏
) 𝟐
(
𝟗
𝟒 𝟖𝟏( 𝟑
𝟎
) 𝟐
𝟎
𝟐
𝟒 𝟖𝟏( 𝟑 𝟖𝟏
∴ بعدي المستطٌل هما )𝟐𝟏( )𝟗( األختبار ( :لألطالع )
طرٌمة ثانٌة لألختبار : 𝟎
𝟖 𝟑
هذا ٌعنً أن للدالة مساحة نهاٌة عظمى محلٌة عندما )
𝟐
𝟒 )𝟐 ( 𝟑 𝟗
𝟐
(
223
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟎𝟔( أثبـت أنـه عنـدما ٌكـون مجمـوع مسـاحتً الشـكلٌن أصـرر مـا مثال ( /)5مجموع محٌطً دائرة ومربـع ) وزاري / 2013د3 ٌمكن فأن طول لطر الدائرة ٌساوي طول ضلع المربع ز الحل/ الفرضٌة :نفرض طول ضلع المربع = x cm الدالة :هً مساحة المربع +مساحة الدائرة
لطر الدائرة = R cm
ونص
𝟐
𝟐
العاللة :محٌط المربع +محٌط الدائرة= 60 cm )𝟐 ( 𝟐
𝟎𝟑
𝟐
𝟎𝟑 (
𝟐
) )𝟐
𝟒
𝟎𝟎𝟗(
𝟎𝟐𝟏
𝟏
𝟐
𝟐
𝟒
𝟐
𝟎𝟑
𝟐
𝟐
𝟐) 𝟐
𝟎𝟔
𝟐
𝟎𝟑(
𝟏
𝟐
الدراسة: ) نجعل 𝟎
/ 𝟎𝟔
𝟐
(
) 𝟖
.
𝟎
(
)𝟒
𝟎𝟐𝟏 ( ) 𝟖 𝟎
𝟎𝟐𝟏 ) 𝟒 𝟎𝟔 𝟒
𝟎𝟑(
) 𝟒
𝟐
𝟎𝟑
(
𝟐
𝟏
𝟒
𝟐
𝟎𝟔 𝟎𝟔 𝟒
𝟏 𝟎𝟑( 𝟐 4
𝟎𝟐𝟏 𝟎𝟐𝟏 ) 𝟒
𝟐
𝟎𝟐𝟏 (
طول ضلع المربع
𝟐 )5
𝟏
𝟐 𝟎𝟑 𝟐 (
لطر الدائرة
لطر الدائرة
األختبار : 𝟎
)𝟖(
𝟏
𝟐
𝟐
هذا ٌعنً أن الدالة تمتلن نهاٌة صررى محلٌة
224
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال ( /)6جد نمطة أو نماط تنتمً للمطع الزائد 𝟑
𝟐
𝟐
بحٌث تكون ألرب ما ٌمكن للنمطة )𝟒 𝟎( وزاري / 2011د2
الحل/ الفرضٌة :نفرض أن النمطة ) الدالة :هً لانون المسافة
𝟐)𝟒 العاللة𝟑) :
(
𝟐)𝟎
( 𝟐
هً من نمط المنحنً 𝟑
𝟐
𝟐
وزاري / 2013د1
بحٌث تكن ألرب ما ٌمكن للنمطة )𝟒 𝟎(
(√
𝟐 (
𝟔𝟏 𝟔𝟏
𝟐
𝟖
𝟐
𝟖
𝟐
√
𝟐 (√
)𝟑 𝟑𝟏
𝟐
𝟖
𝟐√
الدراسة: ) نجعل 𝟎
𝟖
(
𝟑𝟏
𝟐
𝟖 𝟖
𝟎 𝟎
𝟒
𝟑𝟏
𝟒 𝟐
𝟖
𝟐
𝟐√)𝟐(
𝟎
𝟐√)𝟐( 𝟒
𝟖
𝟐 𝟏 النماط هً )𝟐 𝟏 (
𝟏
𝟑
𝟒
𝟑
𝟐
𝟐
)𝟐 𝟏(
******************************************************************
مالحظات : ٌ Ⓘمكن المول عن دالة المساحة فً بعض األحٌان أكبر أو أصرر مسطح للشكل ② ٌمكن المول عن دالة الحجم أو السعة فً بعض األحٌان أكبر أو أصرر مجسم للشكل ③ فً كال الحالتٌن أعاله ٌكون الحل هو نفس الحل السابك عن طرٌك أٌجاد الفرضٌة ,الدالة ,العاللة (فمط فً حالة وجود أكثر من مترٌر) ,الدراسة ,االختبار
225
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
تمارين)𝟔
𝟑(
س / 1جد عددٌن موجبٌن مجموعهما ) (75وحاصل ضرب أحدهما فً مربع األخر أكبر ما ٌمكن ز الحل/ والعدد الثانً = الفرضٌة :نفرض العدد األول = حاصل ضرب العدد األول مربع العدد الثانً = الدالة :هً عاللة عددٌة )معادلة
𝟐
( 𝟓𝟕
)معادلة ②(
𝟓𝟕
نعوض معادلة ② فً معادلة
𝟐
𝟓𝟕( 𝟐 𝟓𝟕
)
𝟑
الدراسة: ) نجعل 𝟎
̅(
𝟐
𝟑
𝟎𝟓𝟏 𝟐
)𝟑 ( 𝟎 𝟎
𝟓𝟐
𝟎𝟓
𝟓𝟕
)
𝟎𝟓(
)ٌهمل( 𝟓𝟕
̅
𝟎
𝟎𝟓𝟏
𝟑 𝟐
𝟎𝟓
𝟎 𝟎𝟓
العدد األول )𝟓𝟐( والعدد الثانً )𝟎𝟓( األختبار :لألطالع
226
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
س / 2جد أرتفاع أكبر أسطوانة دائرٌة لائمة توضع داخل كرة نص
لطرها
√𝟒
وزاري / 2012د3
الحل/ الفرضٌة :نفرض نص
ونفرض أرتفاع االسطوانة =
لطر لاعدة االسطوانة =
الدالة :هً لانون حجم االسطوانة
)معادلة (
)
𝟐( 𝟐
العاللة :فٌثاغورس 𝟐
.𝟒√𝟑/ 𝟐
)معادلة②(
𝟐
𝟐
𝟖𝟒( 𝟐
𝟐 𝟖𝟒( 𝟐
)𝟑
)معادلة③(
𝟐
𝟖𝟒
نعوض معادلة ② فً معادلة )𝟐
𝟐
الدراسة: ) نجعل 𝟎
)
𝟎
(
)𝟐
𝟖𝟒( 𝟐
𝟑
) 𝟐 ( 𝟎 )𝟐 𝟑 𝟐 )𝟑 ( 𝟑 𝟎 𝟐 𝟒( 𝟒() 𝟎 𝟒 ) ٌهمل ( 𝟒 𝟐𝟑
𝟐√𝟒
𝟔𝟏
𝟖𝟒
𝟐
𝟖𝟒( 𝟐 𝟖𝟒 𝟔𝟏
𝟖𝟒
𝟐
أكبر ارتفاع لالسطوانة : 𝟖
األختبار:
) 𝟒(𝟐
𝟐
( لألطالع )
227
𝟐
ونفرض الحجم =
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
دائرة نص
س / 3جد بعدي أكبر مستطٌل ٌوضع داخل نص
لطرها
√𝟒
وزاري / 2012د1
الحل/ الفرضٌة :نفرض طول المستطٌل = 𝟐
ونفرض مساحة المستطٌل = A
نفرض عرض المستطٌل
الدالة :هً لانون مساحة المستطٌل
)معادلة (
𝟐
العاللة :فٌثاغورس فً المثلث المائم )(ABC 𝟐
𝟐𝟑
𝟐
𝟐
نعوض معادلة ② فً معادلة 𝟐
)𝟒
𝟐
)معادلة②( 𝟐/
𝟐
.𝟒√𝟐/
𝟐𝟑√
𝟐𝟑√𝟐 .
𝟐
𝟐
𝟐𝟑√𝟐 .
𝟒/
𝟐𝟑(𝟒√
𝟐
𝟒
𝟐
𝟖𝟐𝟏√
الدراسة: 𝟑
) نجعل 𝟎
(
𝟔𝟏
𝟒/
𝟔𝟓𝟐 𝟖𝟐𝟏√𝟐 .
𝟐
𝟑
𝟎
𝟑
𝟔𝟓𝟐
𝟔𝟏 )𝟐
(
𝟎
)
𝟔𝟏
𝟒
𝟔𝟓𝟐
𝟐
𝟖𝟐𝟏√( 𝟐
𝟑
𝟎 ) ٌهمل(
𝟔𝟏
𝟎 𝟐
)ٌهمل السالب ( ) عرض المستطٌل ( √ ) طول المستطٌل (
𝟐𝟑√
𝟐
𝟖
𝟒 𝟒 𝟐𝟑√ )𝟒(𝟐
األختبار :لألطالع
228
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
س / 4جد أكبر مساحة لمثلث متساوي السالٌن طول كل من سالٌه
√𝟖
الحل/ الفرضٌة :نفرض أرتفاع المثلث الدالة :هً لانون مساحة المثلث
ونفرض طول لاعدة المثلث = 𝟐
)معادلة (
𝟏
) 𝟐(
𝟐
العاللة :فٌثاغورس 𝟐
𝟖𝟐𝟏 )معادلة②(
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
.𝟖√𝟐/
𝟐
𝟖𝟐𝟏√
𝟐
𝟖𝟐𝟏
نعوض معادلة ② فً معادلة
𝟐
𝟖𝟐𝟏√.
𝟐/
𝟐
𝟒
𝟖𝟐𝟏√
الدراسة: 𝟑
) نجعل 𝟎
(
)𝟒
𝟔𝟓𝟐
𝟒
𝟖𝟐𝟏√( 𝟐
𝟐
𝟑
𝟎
𝟑
𝟔𝟓𝟐
𝟒 𝟎
)
𝟐
𝟎
𝟒𝟔(
𝟐
𝟒𝟔
)
) ٌهمل ( 𝟖
𝟒
𝟒
𝟔𝟓𝟐 𝟐
𝟖𝟐𝟏√(𝟐
𝟑
𝟎
) ٌهمل( 𝟎 𝟐 𝟒𝟔 𝟎 𝟖 األرتفاع
) طول لاعدة المثلث(
𝟔𝟏
)𝟖(𝟐
اكبر مساحة للمثلث : 𝟐
األختبار:
𝟒𝟔
𝟒𝟔
)𝟖()𝟖(
لألطالع
229
𝟐
ونفرض مساحة المثلث =
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل 𝟐
س / 5جد ألل محٌط ممكن للمستطٌل الذي مساحته
𝟔𝟏
الحل/ الفرضٌة :نفرض طول المستطٌل = ونفرض مساحة المستطٌل =
ونفرض محٌط المستطٌل =
ونفرض عرض المستطٌل =
الدالة :هً لانون محٌط المستطٌل
)معادلة ( العاللة :مساحة المستطٌل
)معادلة②(
𝟐
𝟔𝟏
𝟐
𝟔𝟏
نعوض معادلة ② فً معادلة 5
𝟔𝟏
𝟐4
𝟐 𝟏
𝟐
𝟐
𝟐𝟑
𝟐
الدراسة: ) نجعل 𝟎
𝟐
(
)𝟐 ( 𝟒
)نضرب المعادلة ب 𝟒
𝟐
(
𝟐𝟑 𝟎 𝟎
𝟎
𝟐
𝟐 𝟐𝟑
𝟐
𝟔𝟏
𝟔𝟏
𝟐
ألل محٌط ممكن : 𝟔𝟏
األختبار:
)𝟒 (𝟐
)𝟒 (𝟐
𝟐
𝟐
لألطالع
230
𝟐 𝟏
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
س / 6جد حجم أكبر مخروط دائري لائم ٌمكن وضعه داخل كرة نص
لطرها )(3 cm
الحل/ الفرضٌة :نفرض نص
ونفرض أرتفاع المخروط =
لطر لاعدة المخروط =
الدالة :هً لانون حجم المخروط
𝟏 𝟑
𝟐
)معادلة (
العاللة :فٌثاغورس ( للمثلث المائم الزاوٌة ) ABC 𝟐
)معادلة②(
𝟐)𝟑( 𝟗 𝟗
𝟐
𝟔
نعوض معادلة ② فً معادلة )
𝟑
𝟐
الدراسة:
𝟔(
𝟑
)
𝟏 𝟔( 𝟑
𝟐
) نجعل 𝟎
𝟐)𝟑 𝟔
( )𝟑
)
𝟐
𝟐
𝟏 𝟑
𝟑
𝟑
𝟐𝟏(
𝟐
𝟎
𝟒( 𝟎 ) ) ٌهمل( األرتفاع 𝟖 )𝟔𝟏( )𝟒(𝟔 نصف المطر
)
(
𝟐
𝟐𝟏(
𝟎
( )
𝟐
(
𝟐
𝟑
𝟐
𝟒 𝟐
𝟎
𝟒
𝟎 𝟒 𝟐
𝟐√𝟐
𝟔
𝟐
𝟖√
أكبر حجم للمخروط : 𝟑
𝟐𝟑 𝟑
𝟏 𝟐 )𝟒( )𝟐√𝟐( 𝟑
𝟑
𝟐
𝟏 𝟑
األختبار :لألطالع
231
ونفرض الحجم =
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
س / 7جد معادلة المستمٌم الذي ٌمر بالنمطة ) (6,8والذي ٌصنع مع المحورٌن فً الربع األول أصرر مثلث الحل/ الفرضٌة :نفرض )𝟎 ( نمطة تماطع المستمٌم مع المحور ونفرض مساحة المثلث = A نفرض أبعاد المثلث = x , y الدالة :هً لانون مساحة المثلث 𝟏 )معادلة ( 𝟐 العاللة :لانون المٌل ( مٌل ̅̅̅̅ = مٌل ̅̅̅̅ ) تنتمً للمستمٌم ̅̅̅̅
النمطة )𝟖 𝟔(
𝟎
𝟖 𝟔
𝟖 𝟔
𝟎 )
𝟖𝟒 𝟖 𝟎
𝟖𝟒
𝟏
𝟐
( 𝟔 𝟔
𝟔()𝟖 𝟖𝟒 𝟖
𝟖
)معادلة②(
𝟏
𝟐
)
𝟖
𝟔
𝟔(
نعوض معادلة ② فً معادلة 𝟐
)معادلة③(
𝟒
𝟐
𝟒
𝟐
𝟖
𝟐)
)
𝟔
الدراسة: )𝟏
𝟖𝟒
() 𝟐
𝟔(
) نمسم على 𝟒 ( 𝟎
( 𝟐
𝟖𝟒
)𝟐𝟏
𝟔
𝟒 ( 𝟐)
) نجعل 𝟎
𝟎
𝟖
𝟏 𝟐
(
𝟔(
) 𝟖 () 𝟔( 𝟖𝟒 𝟐 𝟒 𝟔( 𝟐) 𝟎
𝟒 𝟎
( ) ٌهمل(
𝟒 𝟑
𝟎 𝟖 𝟐𝟏 𝟔
𝟐
𝟖𝟒 𝟐)
𝟒
𝟔( 𝟐
𝟐𝟏
𝟎 𝟐𝟏 ( المحور السٌنً )
∴ )𝟎 𝟐𝟏( نمطة تماطع المستمٌم مع المحور 𝟖 𝟔
𝟏 𝟐
𝟐
𝟏 𝟏
معادلة المستمٌم الذي ٌمر بالنمطة ) (6,8الذي مٌله /
)̅̅̅̅(
𝟐
𝟒 𝟑
.هً :
( )𝟏 )𝟑 ( 𝟒 () ( 𝟖 𝟑 ⇒ )𝟔 𝟑 𝟑 𝟎 𝟖𝟒 𝟏
𝟒𝟐
𝟒
𝟒𝟐
232
𝟒
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟐 𝟐𝟏 ) ( س / 8جــد بعــدي أكبــر مســــــتطٌل ٌوضــــــع داخــل المنطمــة المحــددة بالدالـــــة الســـــٌنات ,رأسان من رؤوسه على المنحنً والرأسان األخران على محور السٌنات ,ثم جد محٌطه ز
الحل/
ومحــور
وزاري / 2012د2
الفرضٌة :نفرض طول المستطٌل = 𝟐
نفرض عرض المستطٌل =
الدالة :هً لانون مساحة المستطٌل
)معادلة ( العاللة :المعادلة
)𝟐
𝟐
(
𝟐𝟏
𝟐
)معادلة②(
𝟐𝟏
نعوض معادلة ② فً معادلة )𝟐
𝟐𝟏( 𝟐 𝟑
𝟐 𝟒𝟐
𝟐
الدراسة: ) نجعل 𝟎
𝟎
العرض
الطول 𝟖
𝟐
𝟒
𝟐
(
𝟒 𝟐 𝟒
𝟔 𝟐
𝟎
𝟐𝟏
𝟒𝟐 𝟔
𝟐 𝟐𝟏
𝟐
أكبر محٌط للمستطٌل : ) 𝟒𝟐
𝟔𝟏
𝟖
)𝟖(𝟐
)𝟐(𝟒
𝟐(𝟐 𝟒 𝟐
األختبار ( :لألطالع )
233
𝟒𝟐
ونفرض مساحة المستطٌل
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
س / 9جد مســــــــاحة أكبر أسطوانة دائرٌة لائمة توضـع داخـل مخـروط دائـري لـائم أرتفاعــــه ) 𝟐𝟏( لطر لاعدته )
𝟖( وطـول
الحل/ الفرضٌة :نفرض نص لطر لاعدة األسطوانة =R الدالة :هً لانون حجم االسطوانة
ونفرض أرتفاع األسطوانة =h 𝟐
)معادلة ( العاللة :تشابه مثلثات )(ADE , ABC 𝟏
) نقسم الطرفين على 𝟒 𝟒𝟐 /معادلة②. 𝟑
𝟐
𝟔
(
𝟖 𝟖
𝟑
𝟒
𝟒𝟐
نعوض معادلة ② فً معادلة )
𝟑
𝟐
𝟒
𝟒𝟐(
الدراسة:
)
𝟑
) نجعل 𝟎
) 𝟒
(
𝟎
𝟐
𝟒
𝟒 𝟑
)
(
𝟎
𝟐
𝟐
𝟖𝟒(
𝟐𝟏
𝟎
𝟔𝟏
)
𝟒𝟐 (
𝟐
)
𝟒( ) ٌهمل(
𝟐
𝟑
𝟐𝟏
𝟖𝟒(
𝟐
𝟎
𝟒
𝟎
𝟖 𝟑
𝟒
أكبر مساحة لألسطوانة ( لألطالع ) : )محٌط الماعدة
𝟐𝟑
𝟒𝟔 𝟑
مساحة الماعدتٌن 𝟖 𝟐)𝟒( 𝟐 ) ( )𝟒( 𝟐 𝟑 𝟎𝟔𝟏 𝟐 𝟑
𝟐
األرتفاع( 𝟐
𝟐
𝟒𝟔
𝟔𝟗 𝟑
234
𝟑
ونفرض حجم المخروط=V
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟑√𝟔 دورة كاملة حول س / 10جد حجم أكبر مخروط دائري ناتج من دوران مثلث لائم الزاوٌة طول وتره وزاري / 2014د 1وزاري / 2011د1 أحد ضلعٌه المائمٌن الحل/ الفرضٌة :نفرض نص لطر لاعدة المخروط =R الدالة :هً لانون حجم المخروط
ونفرض أرتفاع المخروط =h 𝟐
)معادلة ( العاللة :فٌثاغورس على المثلث المائم الزاوٌة
𝟑
𝟐
𝟐
𝟐
𝟖𝟎𝟏
𝟐
)𝟑√𝟔(
نعوض معادلة ② فً معادلة )𝟑
𝟖𝟎𝟏(
الدراسة:
)معادلة②(
)𝟐
𝟑
𝟖𝟎𝟏(
) نجعل 𝟎
)
𝟎
(
𝟐
(
𝟐
)
𝟐
𝟑
𝟐
𝟑 𝟖𝟎𝟏(
𝟑
𝟎
𝟔𝟑
) ٌهمل(
)
𝟐
𝟑
𝟑 𝟖𝟎𝟏(
𝟐
𝟎 𝟔
𝟔𝟑
𝟔
𝟐𝟕
𝟔𝟑
𝟐
𝟖𝟎𝟏
𝟐
𝟖𝟎𝟏 𝟐𝟕√
أكبر حجم للمخروط : 𝟑
𝟒𝟒𝟏
)𝟔()𝟐𝟕( 𝟑
𝟐
)𝟔( )𝟐𝟕√(
𝟐
𝟑
𝟑
235
𝟑
ونفرض حجم المخروط=V
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
س / 11علبة أسـطوانٌة الشـكل مفتوحـة مـن األعلـى سـعتها المعدن المستخدم فً صناعتها ألل ما ٌمكن ز
)
𝟓𝟐𝟏( جـد أبعادهـا عنـدما تكـون مســــــاحة
𝟑
الحل/ الفرضٌة :نفرض نص
لطر االسطوانة =R
نفرض أرتفاع األسطوانة =h
الدالة :هً لانون المساحة المساحةالجانبٌة
مساحة لاعدة واحدة
)معادلة (
𝟐
𝟐
العاللة :لانون حجم األسطوانة 𝟐
𝟐
𝟓𝟐𝟏
𝟓𝟐𝟏
)معادلة②(
𝟐
نعوض معادلة ② فً معادلة
)
𝟓𝟐𝟏 𝟐
(
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟏
𝟐
𝟎𝟓𝟐
الدراسة: ) نجعل 𝟎
)
𝟐
𝟎𝟓𝟐
( (
𝟐
𝟎
𝟐
𝟐
𝟓𝟐𝟏
𝟎𝟓𝟐
) 𝟐 (
𝟎
⇒
𝟐
𝟎 𝟓
𝟓𝟐𝟏 𝟓𝟐
𝟓𝟐𝟏 𝟐
𝟐 𝟎𝟓𝟐
𝟐
𝟐
)𝟓𝟐𝟏
𝟑
𝟓
األختبار ( :لألطالع )
236
(
ونفرض المساحة الكلٌة بدون غطاء =A
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
س / 12خزان على شكل متوازي سطوح مستطٌلة طول لاعدته ضـع عرضـها فـأذا كانـت مسـاحة المعـدن المسـتعمل فـً صناعته 𝟐 𝟖𝟎𝟏 جد أبعاد الخزان لكً ٌكون حجمه أكبر ما ٌمكن علما ان الخزان ذو غطاء كامل
الحل/ الفرضٌة :نفرض عرض الماعدة = xونفرض طول الماعدة = 2x الدالة :هً لانون حجم الخزان 𝟐
)معادلة (
ونفرض االرتفاع =y
) () () 𝟐(
𝟐
العاللة :مساحة المعدن مساحة الماعدتٌن
المساحة الجانبٌة 𝟐
)
𝟒 𝟐
)𝟐 (
𝟐(𝟐 𝟖𝟎𝟏 ) 𝟑(𝟐 𝟖𝟎𝟏 𝟑 𝟒𝟓 𝟐
𝟒 𝟐
𝟐
𝟐
)معادلة②(
𝟒𝟓
𝟐
مساحة المعدن
𝟐
𝟑
𝟑
𝟒𝟓
نعوض معادلة ② فً معادلة )𝟑
𝟐
𝟐 𝟒𝟓( 𝟑
𝟐
5
𝟐 𝟑
𝟒𝟓 4
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
الدراسة: ) نجعل 𝟎
)𝟔
(
𝟎
𝟐
𝟔
(
)𝟐
𝟒𝟓
𝟐 𝟒𝟓( 𝟑
𝟔
)𝟐
𝟎 𝟎
طول الماعدة
𝟐 𝟔 𝟖𝟏 𝟒𝟓 𝟔𝟑 𝟗 𝟗 عرض الماعدة 𝟐
𝟐 𝟒𝟓( 𝟑
𝟔 𝟐
𝟗
𝟑 𝟐
𝟒𝟓 𝟑 𝟒
األختبار ( :لألطالع )
مالحظة للتذكٌر ( :لوانٌن المساحة لمتوازي السطوح المستطٌلة ) المساحت الجانبيت = محيظ القاػذة × االرتفاع المساحت الكليت = المساحت الجانبيت +مجمىع مساحتً القاػذتين
237
ونفرض حجم الخزان= V
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
أمثلة أضافٌة محلولة مثال /مخروط دائري لائم مجموع نص الحل/ الفرضٌة :نفرض نص
لطر لاعدته وأرتفاعه ) (12 cmجد أكبر حجم لهذا المخروط ز ونفرض أرتفاع المخروط = h
لطر المخروط = R
الدالة :هً لانون حجم المخروط 𝟐
)معادلة (
𝟑
العاللة: )معادلة②(
𝟐𝟏
𝟐𝟏
نعوض معادلة ② فً معادلة 𝟐𝟏( 𝟐
)
𝟐
𝟑
𝟑
)𝟑
)معادلة③(
𝟐
𝟐𝟏(
𝟑
الدراسة: ) نجعل 𝟎
𝟎
)𝟐
( 𝟖(
)
𝟖(
)الٌمكن (
𝟐𝟏
𝟎
)𝟐
𝟒𝟐(
𝟑 )𝟐
𝟎
𝟑 𝟒𝟐(
𝟑 𝟐
𝟎
𝟖
𝟎 𝟖
𝟒
أكبر حجم للمخروط : 𝟑
𝟔𝟓𝟐 𝟑
)𝟒( 𝟐)𝟖(
𝟐
𝟑
𝟑
238
𝟑
ونفرض حجم المخروط = V
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
لطرهـا
مثال /اسطوانة دائرٌـة لائمـة موضـوعة داخـل كـرة نصـ حجمها أكبر ما ٌمكن ز
𝟗 أحسـب أرتفـاع االسـطوانة لكـً ٌكـون
الحل/ ونفرض أرتفاع االسطوانة = 2 h الفرضٌة :نفرض نص لطر لاعدة االسطوانة = R الدالة :هً لانون حجم االسطوانة ) 𝟐( 𝟐 )معادلة ( العاللة :فٌثاغورس 𝟐
)معادلة②(
𝟐
𝟏𝟖
نعوض معادلة ② فً معادلة )𝟐
𝟐𝟗
𝟐
𝟐 𝟐 𝟏𝟖( 𝟐
𝟏𝟖( 𝟐 )𝟑
)معادلة③(
𝟐
الدراسة: ) نجعل 𝟎
𝟎
𝟐
𝟑
)𝟐
( 𝟏𝟖
)
𝟑
(
)
⇒ 𝟎 )
𝟏𝟖( 𝟐
(
𝟐 ⇒ 𝟕𝟐 ) ٌهمل( 𝟑√𝟑
𝟔√𝟑
𝟐 𝟐
𝟏𝟖( 𝟐
𝟑
𝟏𝟖
𝟑
𝟑√𝟑
أكبر ارتفاع لالسطوانة : 𝟑√𝟔
) 𝟑√𝟑(𝟐
األرتفاع
𝟐
مثال /عددان الفرق بٌنهما ) (12جد هذان العددان بحٌث ٌكون حاصل ضربهما أكبر ما ٌمكن ز الفرضٌة :نفرض العدد األول = xوالعدد الثانً =𝟐𝟏 وحاصل ضربهما =y الدالة :هً عاللة عددٌة 𝟐 ( )𝟐𝟏 𝟐𝟏 الدراسة: ) نجعل 𝟎
𝟎
𝟔
) (̅ (
𝟐
𝟐𝟏
𝟐𝟏
𝟎 𝟔
العدد األول )𝟔( والعدد الثانً )𝟔 (
239
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال /جد بعدي مستطٌل مساحته
𝟐
𝟓𝟐 بحٌث ٌكون محٌطه ألل ما ٌمكن
الحل/ ونفرض محٌطه =m الفرضٌة :نفرض بعدي المستطٌل هما x, y الدالة :هً لانون محٌط المستطٌل 𝟐 𝟐 )معادلة ( العاللة :مساحة المستطٌل 𝟓𝟐
)معادلة②( نعوض معادلة ② فً معادلة
𝟐 𝟏
)معادلة③(
𝟎𝟓
)
𝟐
𝟓𝟐
𝟐 𝟐
(𝟐
الدراسة: ) نجعل 𝟎 𝟐
𝟎 𝟓𝟐 ) ٌهمل( 𝟓
𝟐
(
𝟓𝟐
𝟏
𝟎𝟓 𝟐
𝟎 𝟎 𝟓
𝟐
𝟐 𝟎𝟓 𝟐
𝟓𝟐
𝟓
𝟐
𝟓
مثــال /حــوض علــى شــكل متــوازي ســطوح مســتطٌلة لاعدتــه مربعــة الشــكل ,فــأذا كــان مجمــوع محــٌط لاعدتــه وأرتفاعه , 24 mجد ابعاد الحوض لكً تكون سعته (حجمه ) أكبر ما ٌمكنز الحل/ الفرضٌة :نفرض ابعاد الحوض x , x, yونفرض حجمه =V الدالة :هً لانون حجم الحوض 𝟐 )معادلة ( العاللة ( :محٌط الماعدة المربعة +االرتفاع ) للحوض )معادلة②(
نعوض معادلة ② فً معادلة
𝟒
𝟒𝟐
𝟒
𝟐 𝟒𝟐
𝟒
𝟒𝟐 𝟐
𝟑
) 𝟒
𝟒𝟐(
𝟐
الدراسة: ) نجعل 𝟎
𝟎
𝟐
𝟖
( 𝟒
𝟐
𝟐𝟏 𝟎
𝟖𝟒 𝟐
𝟎 ) ٌهمل( 𝟎 𝟒
𝟐𝟏 )
𝟖𝟒 𝟒(
240
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال /جد بعدي أكبر مستطٌل محٌطه
𝟎𝟎𝟏
الحل/ الفرضٌة :نفرض بعدي المستطٌل هما x, y الدالة :هً لانون مساحة المستطٌل )معادلة ( العاللة :محٌط المستطٌل
ونفرض مساحته =A
𝟎𝟎𝟏
/معادلة②.
𝟐
𝟐 𝟎𝟓
𝟎𝟓
نعوض معادلة ② فً معادلة 𝟐
𝟎𝟓
𝟎𝟓(
)
الدراسة: ) نجعل 𝟎
𝟐
( 𝟓𝟐 𝟓𝟐
𝟎
𝟎𝟓 𝟐
𝟎
𝟎𝟓
𝟓𝟐
مثال /مستطٌل محٌطه ) (30 cmأدٌر حول أحد أضالعه فكون أسطوانة دائرٌـة لائمـة ,جـد بعـدي هـذا المسـتطٌل لكً ٌكون حجم األسطوانة المتكونة أكبر ما ٌمكن ز الحل/ الفرضٌة :نفرض نص لطر لاعدة االسطوانة = x الدالة :هً لانون حجم االسطوانة )معادلة ( العاللة :محٌط المستطٌل )معادلة②(
𝟓𝟏
𝟓𝟏
ونفرض أرتفاع االسطوانة = y 𝟐
𝟎𝟑
𝟐
𝟐
نعوض معادلة ② فً معادلة 𝟓𝟏( 𝟐
)
)𝟑
𝟐 𝟐
𝟓𝟏(
الدراسة: ) نجعل 𝟎
(
)𝟐 𝟑
𝟎𝟑(
𝟐 𝟎 )𝟐 𝟑 𝟎𝟏 𝟎 𝟎𝟏( 𝟎 ) 𝟎 ) ٌهمل( 𝟎𝟏 𝟓 بعدي األسطوانة هً )(10 cm , 5 cm
𝟎𝟑(
241
ونفرض الحجم =V
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال /جد حجم أكبر أسطوانة دائرٌة لائمـة ٌمكـن وضـعها داخـل مخـروط دائـري لـائم أرتفاعـه ) (12 cmونصـ لطر لاعدته ) (9 cmبحٌث أحد لاعدتً األسطوانة والمخروط متماستان ز الحل/ الفرضٌة :نفرض نص لطر لاعدة االسطوانة =R الدالة :هً لانون حجم االسطوانة )معادلة ( العاللة :تشابه مثلثات
ونفرض أرتفاع االسطوانة = h 𝟐
𝟐𝟏 𝟐𝟏
)𝟑 ( 𝟒
𝟑
𝟔𝟑
𝟒 𝟒
)معادلة②(
)𝟑
𝟐
𝟒
𝟔𝟑(
الدراسة: ) نجعل 𝟎
)
(
𝟐
𝟎
(
𝟐𝟏 𝟎
𝟒
)
)𝟐
𝟐𝟕
𝟑 𝟔𝟑
𝟗
𝟔𝟑
𝟑
نعوض معادلة ② فً معادلة 𝟑
ونفرض الحجم =V
𝟔𝟑 (
𝟑
𝟐𝟕(
𝟐𝟏 )𝟐
𝟎
𝟔( ) ) ٌهمل( 𝟒
𝟐
𝟑
𝟐𝟏
𝟐𝟕(
𝟐
𝟔
𝟑
𝟎 𝟔
أكبر حجم لالسطوانة : 𝟒𝟒𝟏
𝟐
)𝟒( 𝟐)𝟔(
******************************************************************
𝟐
جد مساحة أكبر مستطٌل رأسان منه ٌمعان على المنحنً 𝟖 ② جد مساحة أكبر مستطٌل ٌمكن رسمه داخل دائرة نص ③أوجد النمط التً تنتمً لمنحنً الدالة
𝟐
𝟏 𝟐
𝟗
والرأسان األخران ٌمعان على المستمٌم 𝟒
لطرها )
𝟐(
بحٌث تكون ألرب ما ٌمكن من نمطة األصل
④ جد حجم أكبر أسطوانة دائرٌة لائمة ٌمكن وضعها داخل مخروط دائري أرتفاعه ) ⑤ جد العدد الذي : ⒜زيادته على مربعه يكون أكبر ما يمكن ⒝عند أضافته الى مربعه يكون أصغر ما يمكن ⒞عند أضافته الى مقلوبه يكون الناتج أصغر ما يمكن ⑥ أذا كان 𝟒𝟐
𝟒
جد لٌم كل من x , yالتً تجعل
𝟐
أكبر ما ٌمكن
242
𝟐𝟏( ونص
لطر لاعدته )
𝟗(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
حلول التمارٌن العامة الخاصة بالفصل الثالث س / 5جد
( مرتبطة بموضوع التكامل
لكل مما ٌأتً :الفروع )
𝟑 𝟐 𝟐
𝟓
𝟑
𝟐 𝟐
𝟑
𝟐
𝟒
𝟑
𝟐 𝟓
𝟑
)𝟐
𝟓
𝟐
𝟐(
𝟐
) 𝟐 𝟑( 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐
𝟓
𝟑
)
𝟓
𝟐
𝟒
𝟐
𝟐
𝟐
𝟒
)𝟐( 𝟐
𝟑
𝟑
𝟐
𝟑 𝟓 𝟑 𝟐
𝟐 ) 𝟒( 𝟒
𝟐(
𝟐 𝟐 𝟐
𝟐
𝟐 𝟑
) (
) (
𝟒
𝟐
𝟒
س / 6أستخدم مبرهنة رول ثم مبرهنة المٌمة المتوسطة ألٌجاد لٌم Cللدالة 𝟐
𝟐 𝟐 ,الحل /
وزاري /2013د2
𝟒
𝟐
) (
وزاري / 2013د3
① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟐 𝟐-النها كثٌرة الحدود ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟐 𝟐 ( النها كثٌرة الحدود ③ نوجد )𝟐( )𝟐 ( 𝟖 𝟖
𝟖
𝟖
𝟔𝟏
𝟐)𝟐(𝟐
𝟐)𝟐 (𝟐
𝟔𝟏
𝟒)𝟐(
𝟒)𝟐 (
)𝟐 ( أوال :الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض )
𝟑 𝟒
𝟎
)𝟏
𝟐
(
)𝟐 𝟐 (
𝟎 𝟏
𝟑
)
(
⇒
𝟎
)𝟐 𝟐 (
243
)𝟐(
𝟐
) (̅
𝟒 𝟏
)𝟐 (
) (̅
( ونفرض 𝟎
𝟒
)𝟐(
𝟑
𝟒
𝟒
𝟐 𝟒
)𝟐 𝟐 (
𝟑
𝟎
𝟒
) (
) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل ثانٌا :الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة المٌمة المتوسطة ∴ نبحث عن النمطة Cالتً تحمك المبرهنة ) مٌل المماس(
𝟑 𝟒
𝟒 𝟎 𝟒
/مٌل الوتر.
𝟖
) (̅
𝟒
)𝟐( )𝟐 ( )𝟐 ( 𝟐
𝟖 𝟒
𝟑 𝟒
) (
) (̅
) (
) (̅
∵ مـــــــٌل الممـــــاس = مـــــــٌل الوتـــــــر 𝟎
)𝟐 𝟐 ( 𝟐 ) ( 𝟒 س𝟓 / 7 تنتمً للفترة ) 𝟏 ( فجد لٌمة
𝟐 (
)𝟏
𝟎
)𝟐 𝟐 (
𝟏
)
𝟑
(
⇒
𝟏
دالة تحمك شـروط مبرهنـة رول علـى الفتـرة -
𝟒
𝟎
)𝟐 𝟐 (
𝟑 𝟒
𝟎
𝟏 ,فـأذا كانـت 𝟐
الحل /
الدالة
تحمك شروط مبرهنة رول ز
)𝟐(̅
𝟎 𝟒 𝟎 𝟒 𝟒 𝟐 𝟓 )𝟏 ( 𝟒 𝟒 ( ()𝟓 )𝟏
𝟏
𝟓 𝟎
𝟒 𝟐) 𝟏 ( 𝟎 𝟓
𝟒
ٌهمل
𝟒
𝟐 ) (
)𝟏 ( 𝟐
𝟒
𝟎
) 𝟐( ̅
𝟒 ) (
) (̅ ) (̅ ) (
𝟓
𝟎𝟏 𝟎 𝟎
𝟓 𝟏
𝟒
𝟐
أما أو
𝟓 𝟏
س / 8متوازي سطوح مستطٌلة لاعدته مربعة و أرتفاعه ثالثة أمثال طول لاعدته ,جد الحجم التمرٌبً لـه عنـدما 𝟕𝟗 𝟐( ٌكون طول لاعدته ) الحل / نفرض طول الماعدة ∴ األرتفاع
𝟑 𝟑
𝟑
𝟑
) (
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
) ( 𝟐
نفرض 𝟑
𝟗
) (̅
ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه معطى
نفرض 𝟕𝟗 𝟐
𝟑𝟎 𝟎
𝟏𝟖
)𝟗 (𝟗
𝟐)𝟑(𝟗
)𝟑( ̅
𝟑
𝟏𝟖
)𝟕𝟐(𝟑
) (̅ )𝟑( ̅ )𝟏 ( 𝟑
𝟕𝟓 𝟖𝟕
)𝟕𝟗 𝟐(
𝟑𝟒 𝟐
244
𝟏𝟖
𝟕𝟗 𝟐
)𝟑(
𝟑)𝟑(𝟑
)𝟑(
)
(
) (
))𝟑𝟎 𝟎 (
)𝟏𝟖( )𝟑𝟎 𝟎 (
𝟏𝟖
𝟑(
)𝟕𝟗 𝟐(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
س / 9مخــروط دائــري لــائم حجمـــــــ ــه أرتفاعه )
)𝟑
لطــر لاعدتــه أذا كــان
𝟎𝟏𝟐( جــد المٌمـــــة التمرٌبٌــة لنص ـ
وزاري / 2013د2
𝟎𝟏(
الحل / )𝟑()𝟏𝟐(
)𝟑()𝟎𝟏𝟐( 𝟎𝟏
𝟐
𝟐
𝟏 𝟑
)𝟎𝟏( 𝟐
𝟐
𝟎𝟏𝟐
𝟐
𝟑𝟔
𝟑𝟔√ نفرض 𝟒𝟔
𝟏 𝟑
ألرب رلم للعدد ٌسهل حسابه
نفرض 𝟑𝟔 𝟏 𝟖 𝟏 𝟔𝟏
𝟑𝟔𝟎 𝟎
)𝟒𝟔(
𝟒𝟔√
𝟏 )𝟖()𝟐(
𝟏
𝟒𝟔
) ( )𝟒𝟔( ̅
𝟒𝟔√ 𝟐
)𝟒𝟔( ̅ )𝟏 (
𝟏
) (̅
√𝟐
𝟕𝟑𝟗 𝟕 𝟓
س / 10أذا كانـــت 𝟏
)𝟒𝟔(
)
) )𝟏 (
𝟒𝟔(
𝟖
)𝟑𝟔(
جـــد بأســـــــتخدام نتٌجـــــــة مبرهنـــة المٌمــــــة المتوســــــطة المٌمــــــة
) (
𝟏𝟑√
𝟑𝟔𝟎 𝟎
) (
) (̅
(
)𝟑𝟔𝟎 𝟎( )𝟏 (
𝟖
) (
√
) (̅
)𝟑𝟔(
𝟑𝟔
وزاري / 2013د1
التمرٌبٌة الى )𝟏𝟎 𝟏( الحل / نفرض 𝟏
ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه معطى
نفرض 𝟏𝟎 𝟏
𝟏𝟎 𝟎 𝟏
𝟐 𝟓𝟕𝟖𝟑 𝟎
𝟓 𝟓
.𝟐 /
𝟏𝟑 𝟎𝟖
𝟏 𝟓)
𝟏𝟑 𝟒)𝟐(𝟓
𝟏 𝟓)
𝟐𝟑(
𝟏
𝟏𝟑(
𝟏𝟑
𝟏𝟑
𝟒 𝟓) 𝟓𝟐(𝟓
𝟒 𝟓)𝟐𝟑(𝟓
𝟏 𝟓)
)𝟏(
𝟏
𝟏𝟑
)𝟏( ̅
𝟒 𝟓)𝟏
𝟏
𝟏𝟑(
𝟓𝟕𝟖𝟑𝟎𝟎 𝟐
)𝟏𝟎 𝟏(
245
𝟏𝟑√
𝟏
𝟏 𝟏𝟑( 𝟓
𝟒
𝟏𝟑(𝟓
)𝟏( ̅ )𝟏𝟎 𝟎( 𝟓𝟕𝟖𝟑𝟎𝟎 𝟎
𝟓
)𝟏𝟑( 𝟓 )𝟏
) (̅
𝟐
𝟏𝟎 𝟏
)𝟏(
)
) (
)𝟓𝟕𝟖𝟑 𝟎( )𝟏𝟎 𝟎(
) (̅
(
))𝟏𝟎 𝟎( 𝟐
) (
𝟏(
)𝟏𝟎 𝟏(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟐
س / 11بأستخدام معلوماتن فً التفاضل أرسم المنحنً البٌانً للدالة 𝟏 الحل/
𝟏
𝟏
𝟐
أوسع مجال للدالة
التناظر /المنحنً متناظر حول المحور الصادي ألن :
المحاذٌات /
نمط التماطع مع المحورٌن ⁄ال ٌوجد تماطع مع المحورٌن ألن 𝟎
𝟐
⁄ *𝟎+
)
) (
➨
( ) (
المستمٌم المحاذي الشالولً المستمٌم المحاذي األفمً
دراسة ) (
وما ٌنتج عنها
دراسة ) (
وما ٌنتج عنها
) 𝟎
𝟐
) (̅ (
𝟑
الدالة ممعرة فً الفترتٌن 𝟎+
*
𝟎+
246
𝟏
𝟐
𝟐)
)
(
𝟎
𝟎 𝟏
𝟎
( 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟎
𝟑
𝟐
𝟎/
*
)
𝟏
(
) (̅
̅ ) ( .
𝟏
𝟐
𝟔 𝟒
𝟐
𝟒
𝟔
) (
) (̅
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
******************************************************************
حلول األسئلة الوزارٌة الخاصة بالفصل الثالث سؤال وزاري /96د1 جد نمطة على الدائرة التً معادلتها 𝟒
𝟒
𝟐
𝟐
ٌكون عندها معدل ازدٌاد yمساوٌا ً لمعدل ازدٌاد xز
الحل: ) ( نمسم على )
-
(
) ( ) )
نمسم على ) (
(
⇒
النمطة ) النمطة )
(
247
(
(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري /97د1 سٌارة تسٌر بسرعة ( )30m/sاجتازت إشارة مرورٌة حمراء ارتفاعها ( )3mعن سطح األرض وبعد أن ابتعدت عنها مسافة ) 𝟑√𝟑( اصطدمت بسٌارة أخرى نتٌجة عدم االلتزام بموانٌن المرورز جد سرعة ترٌر المسافة بٌن السٌارة واالشارة الضوئٌةز الحل:
√ فٌثاغورس ) √ (
Y 3m
√
√
)
√
السٌارة
( √
√ X
سؤال وزاري /98د1 إذا كانت ( )1,6تمثل نهاٌة صررى محلٌة للدالة 𝟐) الموجبتٌنز الحل:
)
(
𝟐
) ( جد لٌمة كل من , b
الحمٌمٌتٌن
الدالة
(
تحمك معادلتها
(
)
) (
) ( )
-
(
) (
) ( )
()
(
ٌهمل
248
)
(
) (̀
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري /98د1 𝟔𝟏𝟐( جد ابعادها إذا كانت مساحة المعدن المستخدم فً حاوٌة على هٌئة اسطوانة دائرٌة لائمة حجمها صناعتها ألل ما ٌمكنز مع العلم أن الحاوٌة مفتوحة من األعلىز )𝟑
المانون الرئٌسً
الحل: العاللة
/ )
) (
.
(
̅
⇒
سؤال وزاري /98د1 𝟑 𝟐 ) ( ٌمر بالنمطة ( )-2,2وكانت للدالة نمطة انمالب عند x=1جد لٌمتً إذا كان المنحنً ثم جد نمطة النهاٌة العظمى المحلٌة للدالة fز ) ( الدالة الحل: ) ( تحمك معادلتها ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) (̅ ) ̅( ) ( ) ( ) (̀ ) ̅( ) ( ) (
)
()
)
(
) )
( نهاٌة عظمى محلٌة تزاٌد
إشارة (̀ )x
تنالص
++++++
(
)
+++++++ -1
249
→
تزاٌد
------3
(
(
)
(
) ( ) ( ) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري /98د 2 لطرها ()3cmز
جد أبعاد مخروط دائري لائم حجمه ألل ما ٌمكن وٌحٌط بكرة نص الحل :نفرض أبعاد المخروط r ,h
المانون الرئٌسً فً المثلث abcالمائم الزاوٌة فً :b )
√
(
من تشابه المثلثٌن ade , abcنحصل على: بالتربٌع )
)
(
(
√ )
(
)
(
العاللة
)-
( ,
)
(
) )
نضع
)
) (
)
(
)
(
(
) )
(
(
(
(
(
(, )
)
(
)
)
-
)
√
̀
(
,
)
(
̀
(
̀ )
(
)
(
⇒
(
)
ٌهمل )
(
) )
( ( √
250
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري /99د1 جد إبعاد اسطوانة دائرٌة لائمة مساحتها الجانبٌة أكبر ما ٌمكن موضوعة داخل كرة نص الحل:
لتكن
المساحة الجانبٌة
𝟐√𝟔ز
لطرها
المانون الرئٌسً
نفرض أبعاد االسطوانة r, 2h فٌثاغورس العاللة
√
)
(
)
)
(
( )
(
√
( √
)
√ )
) √ (
(
)
(
)
→ )
̅ ̅
( ( ٌهمل √
√ االرتفاع
) (
سؤال وزاري /2000د2 اسطوانة دائرٌة لائمة ٌزداد ارتفاعها بمعدل ( )0.5 cm/sبحٌث ٌظل حجمها دائما ً مساوٌا ً معدل ترٌر نص لطر الماعدة عندما ٌكون االرتفاع ()5 cmز
)𝟑
𝟎𝟐𝟑( جد
الحل: العاللة
)
(
251
)
( ̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري /2000د2 𝟐
خزان من الحدٌد ذو غطاء كامل على شكل متوازي سطوح مستطٌلة لاعدته مربعة وحجمه لتكون مساحة الصفائح المستخدمة فً صنعة ألل ما ٌمكنز االرتفاع × محٌط الماعدة الحل :لتكن Aالمساحة الكلٌة
𝟔𝟏𝟐 جد ابعاده
المانون الرئٌسً
نفرض طول المربع ,xاالرتفاع y العاللة ̅
/ )
.
) (
(
→
̅
⇒
سؤال وزاري /2001د1 جد بعدي علبة اسطوانٌة دائرٌة لائمة مسدودة من نهاٌتها ,مساحتها السطحٌة تساوي حجمها أكبر ما ٌمكنز
𝟐
𝟒𝟐 عندما ٌكون
الحل :نفرض ابعاد االسطوانة r , h المانون الرئٌسً
)
(
⇒
العاللة ) )
( )
(
⇒
252
(
⇒
(
) )
(
)
(
̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري /2002د1 لتكن 𝟖 𝟐 جد نمطة تنتمً إلى المنحنً وتكون ألرب ما ٌمكن إلى النمطة ()6,0 الحل :نفترض النمطة ()x ,y ( ) المانون الرئٌسً √ العاللة (
)
)
√
̅ (
) نجعل
(√
)
√
√ (
)
̅
( ) (
النماط ()2,-4( , )2,4 سؤال وزاري /2002د2 جد نمطة االنمالب لمنحنً الدالة 𝟐 الحل:
𝟑
𝟑
) ( ثم جد معادلة مماس المنحنً عند نمطة انمالبهز ) ( )
) ( ( نمطة انمالب ) ( )
( ) معادلة المماس سؤال وزاري /2003د2 𝟑 ٌمس المنحنً المستمٌم 𝟕 𝟏 جد لٌمة محلٌة عند 𝟐 الحل:
𝟐
)
(
⇒
) (̀ (
مٌل المماس
عند النمطة ( )2,-1وللمنحنً نهاٌة صررى ̀ المٌل
) ( معامل
) ( بالطرح
) (̀
المٌل
معامل 𝟏 ) عند 𝟐
) (
(
⇒
)
( ̀
) ( )
(
الدالة
تحمك معادلتها )
(
253
) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري /2004د1 لطعة سلن طولها 8 cmلطعت إلى لطعتٌن بحٌث صنع من األولى دائرة ومن الثانٌة مستطٌل طوله نص جد طول كل لطعة لٌكون مجموع مساحتً المستطٌل والدائرة ألل ما ٌمكنز
عرضه
الحل :لٌكن محٌط الدائرة x نفرض عرض المستطٌل y محٌط المستطٌل هو 8-x طول المستطٌل = 2y االرتفاع × محٌط الماعدة
المانون
) محٌط المستطٌل
( (
)
العاللة) (
العاللة ) ( )
محٌط الدائرة )
( )
)
(
(
)
.
/
)
( )
(
(
)
(
()
(
̀ ̀
طول المطعة االولى
)
254
(
طول المطعة الثانٌة
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري /2005د1 𝟐 لتكن 𝟏 توجد نمطة انمالب للدالة؟ز الحل:
)
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
𝟑
هل
) ( )-1,2( ,نمطة نهاٌة عظمى محلٌة للدالةز جد لٌمتً الدالة
(
تحمك معادلتها ) ( )
)
(
) (̀
( ) ( ) (
) ( ) ( ) /
(
.تمثل نمطة انمالب
سؤال وزاري /2007د1 إذا كانت الحل:
𝟑
𝟐
)
(
جد لٌمة
إذا علمت أن المنحنً الدالة نمطة انمالب هً ( )1,2ز تحمك معادلتها
الدالة
) (
) (
) ( ) (̀ )𝟐 𝟏( نمطة انمالب ⇐ 𝟎
) ( ̿ عندما )𝟏
) (̀
( ) (
) ( بالطرح
255
) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري /2007د2 عددان موجبان حاصل ضربهما ( )16ومجموعهما اصرر ما ٌمكنز فما العددان؟ز المانون الرئٌسً
الحل :نفرض العددان x, y
العاللة ̅ )
(
⇒
سؤال وزاري /2008د2 جد مساحة أكبر مستطٌل ٌمكن رسمه داخل مثلث متساوي االضالع وارتفاعه الحل :نفرض أبعاد المستطٌل 2x, y
𝟑 √𝟒
المانون الرئٌسً
A=2x y
فً المثلث abcالمائم الزاوٌة فً :b √
√
√
√
√
من تشابه المثلثٌن dec , abcنحصل على: )
(
√
√
√ العاللة
√ )
√ √ (
√ √
) √
(
√
√
√ √
256
√
√
√
√
√
) √ () (
̀
โ ซุฃุนุฏุงุฏโ ช /โ ฌุงุฃู ุณุชุงุฐ ุนู ู ุญู ู ุฏ ๐ โ ช๐ ๐ 8๐ 083๐ 05โ ฌโ ฌ
โ ซุงู ู ุตู ุงู ุซุงู ุซโ ช /โ ฌุชุทุจู ู ุงุช ุงู ุชู ุงุถู โ ฌ
โ ซุณุคุงู ู ุฒุงุฑู โ ช/2009โ ฌุฏโ ช1โ ฌโ ฌ โ ซุทุฑู ู ุงู ู ุชุนุงู ุฏุงู ู ู ุชู ู ุงู ู ู โ ชmโ ฌุฒ ุชุญุฑู ุช ุณู ุงุฑุชุงู ู ู ู ู ุทุฉ โ ช mโ ฌู ู ู ู ู ู ุง ู ู ุทุฑู ู ู ู ุงู ู ุนุฏู ุณุฑุนุฉ ุงู ุณู ุงุฑุฉโ ฌ โ ซุงุฃู ู ู โ ช 80km/hโ ฌู ู ุนุฏู ุณุฑุนุฉ ุงู ุณู ุงุฑุฉ ุงู ุซุงู ู ุฉ โ ช60km/hโ ฌุฒ ุฌุฏ ู ุนุฏู ุงุงู ุจุชุนุงุฏ ุจู ู ุงู ุณู ุงุฑุชู ู ุจุนุฏ ุฑุจุน ุณุงุนุฉ ู ู ุจุฏุกโ ฌ โ ซุงู ุญุฑู ุฉ ู ู โ ชmโ ฌุฒโ ฌ โ ซุงู ุญู โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซุงู ู ุณุงู ุฉ ุงู ุชู ู ุทุนุชู ุง ุงู ุณู ุงุฑุฉ ุงุฃู ู ู ู ุจุนุฏ ุฑุจุน ุณุงุนุฉโ ฌ
โ ซโ ช. /โ ฌโ ฌ
โ ซุงู ู ุณุงู ุฉ ุงู ุชู ู ุทุนุชู ุง ุงู ุณู ุงุฑุฉ ุงู ุซุงู ู ุฉ ุจุนุฏ ุฑุจุน ุณุงุนุฉโ ฌ
โ ซโ ช. /โ ฌโ ฌ โ ซุณู ุงุฑุฉ โ ช2โ ฌโ ฌ
โ ซู ู ุซุงุบู ุฑุณโ ฌ โ ซ)โ ฌ
โ ซ(โ ฌ
โ ซ)โ ฌ
โ ซ(โ ฌ โ ซโ ชYโ ฌโ ฌ
โ ซโ ชZโ ฌโ ฌ
โ ซโ ฌโ ซ)โ ฌ
โ ซ(โ ฌ
โ ซ(โ ฌ
โ ซ)โ ฌ
โ ซโ ช. /โ ฌโ ฌ
โ ซุณู ุงุฑุฉ โ ช1โ ฌโ ฌ
โ ซโ ชmโ ฌโ ฌ
โ ซโ ชXโ ฌโ ฌ
โ ซุณุคุงู ู ุฒุงุฑู โ ช/2009โ ฌุฏโ ช1โ ฌโ ฌ โ ซุฅุฐุง ู ุงู ุช ๐ )โ ฌ โ ซุงู ุญุฑุฌุฉุฒโ ฌ โ ซุงู ุญู โ ช:โ ฌโ ฌ
โ ซ)โ ฌ
โ ซ๐ โ ฌ
โ ซ(โ ฌ
โ ซ(โ ฌ
โ ซ) (โ ฌ
โ ซู ุงู ู ู ุทุฉ (โ ช )1,-2โ ฌุญุฑุฌุฉุฒ ุฌุฏ ู ู ู ุฉ โ ช b,aโ ฌุงู ู ู ุฌุจุชู ู ุซู ุจู ู ู ู ุน ุงู ู ู ุทุฉโ ฌ โ ซุชุญู ู ู ุนุงุฏู ุชู ุงโ ฌ
โ ซุงู ุฏุงู ุฉโ ฌ
โ ซ)โ ฌ โ ซ)โ ฌ
โ ซ(โ ฌ โ ซ(โ ฌ
โ ซ) (โ ฌ โ ซโ ช-โ ฌโ ฌ
โ ซ)โ ฌ
โ ซโ ช257โ ฌโ ฌ
โ ซ(โ ฌ
โ ซ) (โ ฌ
โ ซ)โ ฌ
โ ซ(โ ฌ
โ ซ) (ฬ โ ฌ
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
) ( )
(
()
ٌهمل
)
) (̀
(
( نهاٌة صغرى محلٌة
)
سؤال وزاري /2009د2 إذا كان المستمٌم 𝟖𝟐 الحل:
)
(
𝟗
مماسا للدالة 𝟏
𝟑
𝟐
الدالة
) ( عند النمطة ( )3,1جد لٌمة
تحمك معادلتها )
) (
ز
) (
( ) ( ) (
) مٌل المماس(
) (
) (̀
) (̀ ) (̀ معامل معامل )
) (
مٌل المماس
(
⇒
وبضرب المعادلة) ( بالعدد) ( نحصل
نعوض فً المعادلة)𝟏( لحساب لٌمة ) ( )
258
(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري /2009د2 سلم طوله (ٌ )13mرتكز على حائط شالولًز فاذا تحرن الطر األسفل للسلم مبتعدا من الحائط بمعدل 4m/sجد معدل انزالق الطر األعلى للسلم عن األرض فً اللحظة التً ٌكون فٌها الطر األسفل على بعد 5mمن الحائطز الحل: فٌثاغورس )
(
Y 13m
) (
) ( ⁄
5m
سؤال وزاري /2010د2 جد مساحة أكبر مثلث متساوي السالٌن ٌمكن رسمه داخل دائرة نص الحل :نفرض ابعاد المثلث 2x, h
X
لطرها ()6 cmز )
(
المانون الرئٌسً ) العاللة
√ (
) )
(
)
)
(
√ )
√ (
( )
̅
( )
(
(
̅
⇒ ٌهمل
√
√ √
259
) ()
(√
) () √ (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري /2014د1 𝟐
لتكن ) ( نمطة تتحرن على المطع المكاف
جد أحداثً النمطة ) ( عندما ٌكون المعدل الزمنً ألبتعادها
𝟑
عن النمطة ٌ .𝟎 /ساوي ثلث المعدل الزمنً لترٌٌر األحداثً الصا دي للنمطة ) ( 𝟐
الحل /
لتكن النمطة )
(
𝟏
للمطع المكافئ
𝟑
𝟑
لتكن النمطة .𝟎 𝟐 / Sالمسافة بٌن N , M 𝟐 )𝟏
𝟗 ) 𝟒
𝟑
𝟐
(
𝟐 𝟑 ) 𝟐
√
(
𝟐
(
(√
𝟐
𝟐 𝟑 ) 𝟐
√
𝟐
𝟐 )𝟏
̅̅̅̅̅
(
𝟐)𝟎
𝟐 𝟗 ) 𝟒
𝟐
(√
𝟏
)نشتك بالنسبة للزمن( 𝟏
) )𝟐
𝟐
𝟐(
) تربٌع الطرفٌن (
𝟐 )𝟏
(𝟑
𝟐
𝟐(
𝟏
𝟐 𝟗 / 𝟒
𝟐. 𝟗 𝟒
𝟐
𝟐
)𝟏
√
)𝟏 𝟔𝟑
𝟐
𝟐
𝟗 𝟒
)𝟒 (
𝟐 𝟐𝟕
𝟐
𝟐
𝟐
𝟓 √ 𝟐𝟑
𝟏√
𝟐
𝟖 𝟐
𝟓 √ 𝟐𝟑
260
𝟐𝟑
𝟐 𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝟒
𝟐
𝟐)𝟏
𝟓 √ 𝟐𝟑
𝟏
𝟐
𝟐
𝟒𝟔
𝟏
𝟏 𝟑
√ 𝟐
𝟗 𝟐 (𝟗 𝟒 𝟔𝟑 𝟗
𝟕𝟐 𝟐 𝟎 𝟕𝟐 ⇒ 𝟐 𝟎 𝟐𝟑 𝟕𝟐 )نضٌف العدد )𝟏( الى طرفً المعادلة لكً ٌصبح مربع كامل( 𝟐𝟑 𝟕𝟐 𝟏 𝟏 𝟐𝟑 𝟓 )جذر الطرفٌن( 𝟐𝟑 𝟓 𝟐𝟑
𝟐.
(𝟐
)𝟐𝟑 (
√
𝟏 ( 𝟐
𝟐
)𝟐
𝟏 𝟑
𝟏
𝟐 𝟗 / 𝟒
𝟐
𝟐(
𝟐 𝟗 ) 𝟒
𝟐
(
(
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري /2014د3 جــــــد معادلــة المنحنــً عندها ٌساوي )𝟏( )
الحل /
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05 𝟑
𝟐
حٌــث النمطــة )𝟒 𝟏 ( نمطــة أنمــالب لــه ومٌــل الممــاس
) (
الدالة
(
تحمك معادلتها ) ( مٌل المماس عند نمطة األنمالب ٌساوي )(1 ̅( ) ∴ ) ( ) (
) ( )
)
(
(̀ ) ( ) (
)
(
)
(
) (̀
تحل أنٌا ) ( ( نمطة أنمالب ⇐
النمطة ) ( )
̅(
)
)
̿( ) ) ( ) (
(
) ̿(
تحل أنٌا نعوض فً معادلة ) ( نعوض فً معادلة ) (
) )
)
(
(
( ) (
سؤال وزاري /2014د3 جــــد العدد الذي أذا أضٌ الى نظٌره الضربً ٌكون الناتج أكبر ما ٌمكن ز الحل / الفرضيت :نفرض الؼذد = النظير الضربً للؼذد =
𝟏
الذالت :الؼذد +نظيره الضربً 𝟏
) (
الذراست: ) نجؼل 𝟎
𝟏
𝟏
𝟏
) (̅ (
𝟐
𝟏
𝟐
𝟑
𝟏
)𝟏 ( ̅
𝟏
𝟏
𝟐
𝟐
𝟎
𝟏
𝟐
𝟏
𝟏
𝟎 𝟑
) (̅
𝟐 𝟎
𝟐
𝟏 𝟑
261
𝟏 ) (̅ )𝟏( ̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
∴ توجد نهاية عظمي محلية عندما 𝟏 سؤال وزاري /2014د3 أرسم منحنً الدالة الحل/
𝟑
) (
𝟐
أوسع مجال للدالة
بأستخدام معلوماتن فً التفاضل
⁄ *𝟎+
التناظر /المنحنً متناظر حول المحور الصادي ألن :
المحاذٌات /
نمط التماطع مع المحورٌن ⁄ال ٌوجد تماطع مع المحورٌن ألن 𝟎
) (
(
)
➨
) (
المستمٌم المحاذي الشالولً المستمٌم المحاذي األفمً
دراسة ) (
وما ٌنتج عنها
دراسة ) (
وما ٌنتج عنها
) 𝟎
𝟔
) (̅ (
𝟑
𝟑 𝟐)
𝟐
)
(
𝟎
𝟎 𝟏
𝟎
( 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟎
𝟑
𝟔
𝟎/
262
)
𝟑
(
) (̅
̅ ) ( .
𝟐
𝟖𝟏 𝟒
𝟑
𝟒
𝟑 𝟐
𝟖𝟏
) (
) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل الدالة ممعرة فً الفترتٌن 𝟎+
*
*
𝟎+
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
1
𝟑√
2
𝟑 √ 𝟐
3
𝟏
سؤال وزاري / 2015د2 أذا كان
𝟏
) (
√
من 𝟒 الى 𝟏𝟎 𝟒 ؟
جد ممدار الترٌٌر التمرٌبً للدالة أذا ترٌرت
الحل /
( معطى
نفرض )𝟒
( معطى
نفرض )𝟏𝟎 𝟒
𝟏𝟎 𝟎 𝟏 𝟑
𝟓𝟐𝟔𝟎 𝟎
√ 𝟐
)𝟒( ̅
) (̅ 𝟏 𝟔𝟏
ممدار التغٌٌر التمرٌبً
𝟑 𝟏 ( ). 𝟐 / 𝟐
𝟏 )𝟖(𝟐
)𝟒( ̅
𝟓𝟐𝟔𝟎𝟎𝟎 𝟎
263
𝟏
( ). 𝟐 /
) (̅ 𝟏 𝟑)𝟒(√
𝟐
𝟏𝟎 𝟒
𝟒
𝟏
) (
)𝟒( ̅
)𝟓𝟐𝟔𝟎 𝟎 ()𝟏𝟎 𝟎(
√ 𝟏 𝟑
) 𝟒( ̅
√ 𝟐
) ( ) (̅
) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري / 2015د2 جد نمطة تنتمً للمنحنً 𝟓
𝟐
𝟐
لكً تكون ألرب ما ٌمكن من النمطة )𝟎 𝟒(
الحل/ الفرضٌة :نفرض أن النمطة )
(
هً من نمط المنحنً 𝟓
الدالة :هً لانون المسافة
𝟐)𝟎 العاللة𝟓) :
𝟐)𝟒
( 𝟐
𝟐 ( 𝟐
𝟔𝟏
𝟐 (
)
(√ 𝟐
𝟖
𝟔𝟏
𝟐 √
𝟖
𝟏𝟐
√
𝟐√
𝟐
𝟖
الدراسة: ) نجعل 𝟎
(
𝟖
𝟐 𝟐√)𝟐(
𝟏𝟐
𝟎
𝟎
𝟖
𝟒
𝟏𝟐
𝟐
𝟖
𝟒
𝟖
𝟐 𝟐√)𝟐( 𝟎
𝟒
𝟖
𝟐 𝟑 النماط هً )𝟑
𝟗
(
𝟒
𝟐
𝟐
)𝟑 𝟐(
264
𝟐
𝟐
بحٌث تكن ألرب ما ٌمكن للنمطة )𝟎 𝟒(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري / 2015د2 مصـباح علـى أرتفــاع 𝟒 𝟔 متـر مثبـت علــى عمـود شــالولً وشـخص طولـــــــــه 𝟔 𝟏 متــر ٌتحـرن مبتعـدا عــن 𝟑𝟎 ⁄جد سرعة ترٌٌر طول ظل الرجل العمود وبســــرعة الحل / نفرض بعد الرجل عن لاعدة المصباح نفرض طــــــول ظل الرجــــــــــــل
حٌث 𝟎𝟑
8فً أي زمن t
العاللة هً تشابه مثلثات او أستعمال )(tan 𝟒𝟔
فً المثلث الكبٌر
𝟔𝟏
فً المثلث الصغٌر 𝟒
𝟏
⇒
)نشتك بداللة ( )
𝟎𝟑 𝟑
𝟏𝟎 ( ⁄
معدل ترٌٌر طول ظل الرجل = )
𝟔𝟏
)𝟔 𝟏 (
𝟒𝟔
𝟑 /
𝟒
.
𝟑
𝟑
𝟏𝟎 ( ⁄
سؤال وزاري / 2015د3 ســلم ٌرتكــز طرفــه األعلــى علــى حــائط شــالولً وطرفــه األســفل علــى أرض أفمٌــة ,فــأذا كانــت ســرعة حركــة طرفــه األســفل 𝟏
/
𝟓
, .جد معدل أنزالق طرفه األعلى فً اللحظة التً تكون الزاوٌة المحصورة بٌن السلم واألرض
الحل /
الطريقة① نـــــفرض طــــــــــول الســـــــــــــلم نفرض بعد لاعدة الســــــــــلم عن الحائط نفرض بعد رأس السلم عن األرض نفرض الزاوٌة بٌن الســــــــلم و األرض
{فً أي زمن t
العاللة هً فٌثاغورس معادلة① 𝟑√ 𝟐 𝟏 𝟐
𝟑 𝟑
265
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل األن نشتك المعادلة ① بالنسبة للزمن 𝟑√ 5 𝟐
𝟎
𝟐4
𝟏
) ( ⁄ معدل االنزالق الطر
𝟏 𝟏 ) () (𝟐 𝟐 𝟓 𝟑√𝟓
𝟑√𝟓
العلوي للسلم = m/s
𝟎
𝟐
𝟐
𝟎
𝟑√
𝟏 𝟓
𝟐 𝟑√
الطرٌمة② 𝟑√
𝟑√
𝟑
األن نشتك المعادلة ① بالنسبة للزمن 𝟎
𝟏 ) ( ) (𝟐 𝟓
) 𝟑√(𝟐
) ( ⁄
𝟐
𝟏
𝟑√𝟎𝟏
𝟑√𝟓
سؤال وزاري / 2015د3 𝟑 𝟐√ ) ( أذا كانت 𝟔
𝟎
𝟐
𝟐
𝟎
𝟑√𝟐
𝟐 𝟓
جد بأستخدام نتٌجة مبرهنة المٌمة المتوســطة المٌمـة التمرٌبٌة لـ )𝟐𝟎 𝟏(
الحل / ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه
نفرض 𝟏 نفرض 𝟐𝟎 𝟏
معطى 𝟐𝟎 𝟎 𝟏
𝟑 𝟑
.𝟐 /
𝟐 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟏 𝟎
𝟏 𝟔
𝟏 𝟑)
𝟐 𝟐)𝟐(𝟑
𝟖(
𝟏 𝟑)
𝟔
𝟐(
𝟐
𝟐
𝟐 𝟑) 𝟑𝟐(𝟑
𝟐 𝟑)𝟖(𝟑
𝟏 𝟑)
)𝟏(
𝟏
𝟔
𝟐(
𝟐
)𝟏( ̅
𝟐 𝟑)𝟔
𝟑𝟑𝟑𝟎𝟎 𝟐
)𝟏𝟎 𝟏(
266
𝟐√
𝟔
𝟏 𝟐( 𝟑
𝟐
𝟐(𝟑
)𝟏( ̅ )𝟐𝟎 𝟎( 𝟑𝟑𝟑𝟎𝟎 𝟎
𝟑
)𝟐( 𝟑 )𝟔
) (̅
𝟐
𝟐𝟎 𝟏
)𝟏(
)
) (
)𝟔𝟔𝟔𝟔𝟏 𝟎( )𝟐𝟎 𝟎(
) (̅
(
))𝟐𝟎 𝟎( 𝟐
) (
𝟏(
)𝟐𝟎 𝟏(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري / 2015د3 جد مساحة أكبر مستطٌل ٌمكن رسمه داخل نص
لطرها 𝟔 سم
دائرة نص
الحل/ الفرضٌة :نفرض طول المستطٌل = 𝟐
ونفرض مساحة المستطٌل = A
نفرض عرض المستطٌل
الدالة :هً لانون مساحة المستطٌل
)معادلة (
𝟐
العاللة :فٌثاغورس فً المثلث المائم )(ABC 𝟐 𝟔𝟑 )معادلة②(
𝟐)
𝟐
𝟐
𝟔(
𝟐
𝟔𝟑√
نعوض معادلة ② فً معادلة
𝟐/ )𝟒
𝟐
𝟔𝟑√𝟐 .
𝟐
𝟐
𝟔𝟑√𝟐 .
𝟒/
𝟔𝟑(𝟒√
𝟐
𝟒
𝟐
𝟒𝟒𝟏√
الدراسة: 𝟑
) نجعل 𝟎
(
𝟔𝟏
𝟒/
𝟖𝟖𝟐
𝟐
𝟒𝟒𝟏√𝟐 .
𝟑
𝟎
𝟑
𝟖𝟖𝟐
𝟔𝟏 )𝟐
𝟎
(
)
𝟔𝟏 𝟐
𝟒
𝟖𝟖𝟐 𝟒𝟒𝟏√( 𝟐
𝟑
𝟎 ) ٌهمل(
𝟖𝟏
𝟎 𝟐
)ٌهمل السالب (
𝟐√𝟑
) عرض المستطٌل ( 𝟐√𝟑 √ ) طول المستطٌل (
مساحة أكبر مستطٌل
𝟐
𝟔𝟑
𝟐√𝟑 𝟔𝟑√ 𝟐√𝟔
𝟐 𝟔𝟑√ )𝟐√𝟑(𝟐
)𝟐√𝟑()𝟐√𝟔(
𝟐
األختبار :لألطالع
267
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري / 2015د3 𝟑 ٌمــس المنحنــً المســـــتمٌم 𝟕 جد لٌمة محلٌة صررى عند 𝟓
𝟐
عنــد )𝟏
𝟐( وكــان للمنحنــً نهاٌـــــ ــة
الحل/
النمطة )𝟏
𝟐( تحمك معادلة المنحنً
) معادلة①(
𝟏
𝟐
∵ للمنحنً نهاٌة صررى محلٌة عند 𝟓 ) معادلة②(
𝟐
)𝟐( عندما
𝟒
⇐ 𝟎
)𝟐(
𝟐
𝟏
) ( 𝟐
𝟎𝟏
𝟐
𝟎
نجد معادلة مٌل المستمٌم المماس من معادلته : معامل معامل نجد مٌل منحنً الدالة عند نمطة التماس ( اي نجد
)
عندما
𝟒 ∵ مٌل المستمٌم المماس
𝟐
مٌل منحنً الدالة عند نمطة التماس ) معادلة③(
𝟑
𝟒
𝟒
بحل المعادلتٌن ( )2و ( )3أنٌا ً نحصل على : ) معادلة②(
بالطرح
) معادلة③(
)نعوض فً معادلة②( )نعوض فً معادلة ① ألٌجاد 𝐜 (
) ) (
268
)
(
(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري / 2016د1 جـد أبعـاد أكبـر أســــــطوانة دائرٌـة لائمــــة توضـــــع داخـل مخـروط دائـري لـائم أرتفاعـــــه ) 𝟎𝟏( لاعدته )
𝟔( وطـول لطــر
الحل/ الفرضٌة :نفرض نص لطر لاعدة األسطوانة =R الدالة :هً لانون حجم االسطوانة
ونفرض أرتفاع المخروط =h 𝟐
)معادلة ( العاللة :تشابه مثلثات )(ADE , ABC
𝟓
𝟔
/معادلة②.
𝟔 𝟔
𝟎𝟑
𝟓
𝟓
𝟔
𝟎𝟑
نعوض معادلة ② فً معادلة )
𝟑
𝟐
𝟔
𝟎𝟑(
الدراسة:
)
𝟓
) نجعل 𝟎
)𝟔
(
𝟐
𝟎
𝟔 𝟓
(
𝟎𝟑 (
)
𝟐
𝟐
𝟐
𝟎𝟔(
𝟖𝟏
𝟖𝟏
𝟎𝟔
𝟎
𝟎
) 𝟑
𝟎𝟏(
𝟎
𝟎𝟐
𝟎𝟑
𝟎𝟏 𝟓
𝟓
𝟐
𝟑
)
) ٌهمل( 𝟎𝟏 𝟑 𝟎𝟏 𝟔. 𝟑 / 𝟓
𝟐
𝟖𝟏
𝟓 𝟎𝟔(
𝟓
𝟎𝟏
𝟎 𝟎
𝟎𝟑
𝟑
𝟔
𝟎𝟏
𝟎𝟑 𝟓 𝟐
∴ أبعاد أكبر أسطوانة هً :
𝟎𝟏
𝟐 ,
𝟑
مالحظة ٌ :مكن كتابة العاللة فً السؤال السابك بالشكل التالً : العاللة :تشابه مثلثات )(ADE , ABC
𝟓 𝟔
𝟔 𝟎𝟑
𝟔 𝟓
𝟓
𝟎𝟑
269
𝟔
ونفرض حجم المخروط=V
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري / 2016د1 𝟔𝟗 ٌتمـدد عرضـها بمعـدل ⁄ صــــفٌحة معدنٌة مستطٌلة الشكل مسـاحتها 𝟐𝟏 ثابتة ,جد معدل ترٌٌر الطول عندما ٌكون الطول مساوٌا ً لـ 𝟐
𝟐 بحٌـث تبمـى مســـــاحتها
الحل /
نفرض طول المستطٌل نفرض عرض المستطٌل
فً اي زمن t
8
العاللة هً مساحة المستطٌل ) ( = -
,
)نحسب لٌمة
(
𝟖
𝟔𝟗 𝟐𝟏
𝟔𝟗
معادلة① )𝟐𝟏(
𝟔𝟗
األن نشتك معادلة ① بالنسبة للزمن 𝟎
)𝟖(
)𝟐()𝟐𝟏(
𝟎
) ⁄
𝟒𝟐 𝟖
( 𝟑
∴ معدل التنالص فً طول المستطٌل = ) ⁄
سؤال وزاري / 2016د1 𝟑 ) ( أذا كانـــت 𝟐 𝟒 عـــندما
𝟐
حٌـــث
𝟑 (
-
وكانـــت
𝟎,
تحمـــك مــــــبرهنة المٌمــــــة المتوســـــــطة
فجد لٌمة
𝟑
الحل / 𝟐
𝟖
𝟑
) (̅
𝟐
𝟒
𝟑
) (
الدالة تحمك شروط مبرهنة المٌمة المتوسطة
) مـــــــٌل الوتـــــــر
𝟒 𝟐
𝟐
𝟐𝟏 𝟑
𝟒 𝟎
)𝟐
()𝟐
𝟔𝟏 𝟑
𝟐
) (
مـــــــٌل الممـــــاس (
𝟒 𝟑
(
𝟎
270
𝟒
)𝟎(
)𝟐
) 𝟒
𝟐
𝟒
𝟐
𝟒 (
) ( 𝟑
(
) (̅
𝟖
𝟑
𝟐 𝟐 ) (𝟑 𝟑
𝟐 ) (𝟖 𝟑 𝟒
𝟐
𝟐
𝟒
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
لوانٌن مفٌدة جدا ) العرض
𝟐
محٌط المستطٌل
الطول(𝟐
حجم المخروط
𝟑
العرض
الطول
مساحة المستطٌل
)طول الضلع(𝟒
𝟐
مساحة المربع
الدائرة محٌط
𝟐
محٌط الماعدة
مساحة الماعدتٌن
مساحة الكرة
𝟒 𝟐
حجم األسطوانة 𝟒 𝟑
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟐
األرتفاع
المساحة الجانبٌة
المٌل
271
المساحة السطحٌة للمكعب
المساحة الجانبٌة لمتوازي المستطٌالت
المساحة الكلٌة لمتوازي المستطٌالت
األرتفاع
حجم متوازي المستطٌالت
مجموع أطوال أضالعه الثالثة
محٌط المثلث
𝟏 )األرتفاع()الماعدة( 𝟐
مساحة المثلث
𝟐
حجم الكرة
𝟐
) طول الضلع(𝟔
مساحة الماعدة
مساحة الدائرة
𝟐
𝟑
𝟐
محٌط المربع
) طول الضلع(
𝟐
𝟑
) طول الضلع(
حجم المكعب
)𝟏
(
𝟐
)𝟏
(√
المسافة
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
الفصل الرابع/التكامل النظرٌة األساسٌة للتكامــــــــــل – الدالة الممابلة دالة مستمرة على الفترة -
أذا كانت
,بحٌث :
,فأنه توجد دالة Fمستمرة على الفترة - )
وٌكون ) (
) (
∫ حٌث تسمى
) (
مثال ( /)1أذا كانت ) (
) (
(
الدالة الممابلة للدالة fعلى الفترة -
دالة مستمرة على الفترة ,𝟏 𝟓-بحٌث
𝟐
𝟑
) (
, 𝟓
) ( دالة ممابلة للدالة fفجد لٌمة
) ( 𝟏∫
الحل / 𝟓
𝟐𝟕
𝟑
)𝟏(𝟑
𝟓𝟕
)𝟓𝟐(𝟑
)𝟏(
) (
)𝟓(
∫ 𝟏
وٌمكن أن نكتب ذلن بالصورة األتٌة : 𝟐𝟕
𝟑
𝟓𝟕
𝟓 𝟏
𝟐
𝟓 ) ( ,𝟏
𝟑,
𝟓
) (
∫ 𝟏
مثال ( /)2أذا كانت fدالة مستمرة على الفترة 0𝟎 1و أن الدالة الممابلة للدالة fهً : 𝟐
0𝟎 𝟐 1
) (
,
) ( 𝟐𝟎∫
فأوجد لٌمة
الحل / 𝟎
𝟑
مثال ( /)3أثبت أن الدالة 𝟐 الحل ∵ /
𝟐
𝟑
) (
) (
𝟎
,
𝟏
)𝟎(
. / 𝟐
هً دالة ممابلة للدالة
,𝟏 𝟑 -
هً دالة مستمرة ولابلة لألشتماق على
)𝟎(
, ( )-
. / 𝟐
𝟐
𝟑
) (
𝟎
) (
( ألنها كثٌرة حدود )
∴ Fهً دالة مستمرة على ,𝟏 𝟑-و لابلة لألشتماق على )𝟑 𝟏( )𝟑 𝟏( ∴ Fهً دالة ممابلة للدالة
على ,𝟏 𝟑-
272
𝟐
∫
) (
𝟐
𝟑
) (
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
مثال ( /)4أثبت أن الدالة ) (
𝟐 ثم جد لٌمة
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎 𝟏
𝟐
) (
𝟐
هً دالة ممابلة للدالة
,
, 𝟐
𝟒𝟎∫
الحل /
∵
𝟐 𝟐
𝟏 𝟐
) (
هً دالة مستمرة و لابلة لألشتماق
) (
هً دالة مستمرة ولابلة لألشتماق أٌضا ) (
∴
)𝟐( 𝟐
𝟐
𝟏 𝟐
) (
هً دالة مقابلة للدالة ) (
𝟏 𝟐
𝟏 )𝟎( 𝟐
𝟏 )𝟏( 𝟐
]𝟎
𝟏 𝟐
[
]. / 𝟐
𝟏 𝟐
[
])𝟎(𝟐
273
𝟏 𝟐
[
]𝟐 . / 𝟒
𝟏 𝟐
[
) (
𝟒
] 𝟐
𝟎
𝟏 𝟐
) ( ∫
[
𝟐
𝟒
∫
𝟎
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
الجدول أدناه ٌوضح العاللة بٌن fوالدالة الممابلة لها F الدالة ) (
الدالة الممابلة لها ) (
𝟏
𝟏
𝟏 𝟏
𝟏
𝟏 𝟏
)
) ( ,𝟏
)
(
𝟏
( )
(
)
(
)
𝟏
) (
, ( )-
(
𝟏 (
) 𝟏 )
(𝟐
𝟏 )
(𝟐
𝟏
𝟏
من الجدول نستنتج مجموعة الدوال الممابلة ألٌة دالة
) (
) ( ∫ كما فً الجدول أعاله هً F+Cحٌث أن Cعدد ثابت حمٌمً
274
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
مثال ( /)5أوجد
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐
𝟒𝟎∫
الحل /
𝟏
𝟐
مثال ( /)6أوجد
𝟏
𝟎
𝟎
𝟒𝟎-
𝟒
𝟒
𝟐
,
∫
𝟎
𝟐∫ 𝟒
الحل /
𝟏-
𝟏
مثال ( /)7أوجد
𝟎,
1
𝟒
𝟐-
0
𝟐
𝟐
𝟐
,
𝟒
∫
𝟒
𝟑𝟎∫
الحل /
𝟏
𝟏
مثال ( /)8أوجد
𝟐
𝟏 𝟏 . / 𝟐
𝟏
𝟑
𝟏 𝟎
𝟏
𝟎
𝟑𝟎-
𝟑
𝟑
𝟑
,
∫
𝟎
𝟑
𝟏∫
الحل /
𝟎𝟐
275
𝟎𝟖 𝟒
𝟏 ] 𝟒
𝟏𝟖 𝟒
𝟑 𝟒
[
+ 𝟏
𝟒
𝟑
*
𝟑
∫ 𝟏
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
خواص التكامـــــل المحدد أوال Ⓘ :أذا كانت
,وكانت -
دالة مستمرة على - مثالً : ) ( ∫
فأن 𝟎
,
) (
𝟎
𝟐
𝟎
𝑥𝑑
𝟐
ألن ∶
∫
𝑥𝜖, 1 2-
2
0
𝑥
)𝑥(𝑓 )𝑎(
𝟏 𝟑
𝟎 > 𝑥𝑑 )𝟑( ∫
ألن ∶
3>0
𝑥𝜖, 2 3-
)𝑥(𝑓 )𝑏(
𝟐 𝟑
( ∫
𝟎 > 𝑥𝑑 )𝟏
ألن ∶
𝑥𝜖,2 3-
𝑥(
1) > 0
)𝑥(𝑓 )𝑐(
𝟐
② أذا كانت
دالة مستمرة على - مثالً : ) ( ∫
فأن 𝟎
,وكانت -
,
) (
𝟎
𝟐
𝟎 < 𝑥𝑑 )𝟐 ( ∫
ألن ∶
(𝑎) 𝑓(𝑥) < 0
𝑥𝜖,1 2-
𝟏 𝟏
∫
𝟎 < 𝑥𝑑
ألن ∶
1-
(𝑏) 𝑓(𝑥) < 0
𝑥𝜖, 2
𝟐
ثانٌا :أذا كانت
دالة مستمرة على -
𝒃 )𝒙(𝒇 𝒂∫ 𝑪
مثال ( /)9أذا كان 𝟖
)𝒙(𝒇𝑪
,وكان Cعدد حقٌقً ثابت فأن
𝒃 𝒂∫ 𝟓
) ( 𝟐∫ فأوجد
𝟓
) ( 𝟓 𝟐∫
الحل / 𝟎𝟒
276
)𝟖(𝟓
𝟓
) (
∫𝟓
𝟐
) (
𝟓
𝟓
∫ 𝟐
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
ثالثا :أذا كانت
𝟐
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
دالتٌن مستمرة على -
𝟏
𝒃
,فأن
𝒃
𝒂∫
𝟐
)𝟐
𝒂∫
𝟏
وٌمكننا تعمٌم هذه الخاصٌة على مجموع أي عدد محدد من الدوال المستمرة على - مثال (/)10
أذا كانت 𝟕𝟏
)
(𝟐
𝟑
,
𝟏∫
)
𝟓𝟏
(𝟏
𝟑
))
)
(𝟐
𝟏
,
فأوجد كال من :
𝟏∫
𝟑 (𝟏
𝒃
( 𝒂∫
𝟑 )) ( 𝟐
( ∫
) (𝟏 ( ∫ 𝟏
𝟏
الحل / 𝟑
32
17
15
)
(𝟐
2
17
15
)
(𝟐
𝟑
)
∫
(𝟏
مثال ( /)11أذا كانت
𝟐
𝟏
𝟑
)
∫
(𝟏
𝟑
))
∫
𝟏
𝟐
(𝟐
)
(𝟏
( ∫
𝟏
𝟑
𝟑
))
∫
𝟏
(𝟐
)
(𝟏
( ∫ 𝟏
𝟏
𝟐
فأوجد
) (
𝟑
) ( 𝟏∫
الحل / 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 ∫
10
رابعا :أذا كانت ) (
3
دالة مستمرة على -
) 𝟐
𝟑 ∫
𝟏
7
𝟐 𝟐
𝟑( ∫
𝟏
(4
)1
𝟏
)1
,وكانت )
(
𝟐 𝟏
(8
𝟐
𝟐 𝟏
,
مثال ( /)12أذا كانت 𝟖
𝟕
) ( 𝟑∫
,
𝟑
,
𝒃
𝑥𝑑)𝑥(𝒇 ∫
𝒄
𝟓
𝟏
𝒄
𝑥𝑑)𝑥(𝒇 ∫ ) ( 𝟏∫
) ( ∫
فأن : 𝒃
𝟑
𝟐
𝒂
𝑥𝑑)𝑥(𝒇 ∫ 𝒂
𝟕
فأوجد
) ( 𝟏∫
الحل / 𝟕
𝟑𝟏
𝟖
𝟓
) ( ∫ 𝟑
277
𝟑
) ( ∫ 𝟏
𝟕
) ( ∫ 𝟏
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
مثال ( /)13أذا كان | |
الحل /
) (
أوجد
𝟒 𝟑
) (
∫
دالة مستمرة على , 𝟑 𝟒-ولها لاعدتان هما : 𝟎 𝟎< 𝟒
𝟐
𝟎
مثال (/)14 الحل /
𝟏 أذا كان 𝟏<
الدالة
𝟏
𝟎 𝟐
𝟐
+
,
)
9
16
25 2
2
) (
فأوجد
) (
9 ]) 2
[
(
𝟑
[0
𝟓
) ( 𝟎∫ ( ألن معرفة 𝟑 )𝟏
𝟑
) 𝟏( 𝟐
𝟏
) 𝟏(
𝟑
{
) (
) (
∴ الدالة ∵ الدالة
مستمرة على كل من > 𝟏+ مستمرة على الفترة ,𝟎 𝟓- 𝟓
𝟖𝟐
𝟑
𝟏
𝟐-
𝟏
𝟓
) ( 𝟏∫
𝟑 𝟎∫ 𝟎𝟑,
=
𝟏
∵ ∴
𝟏
*
𝟏
𝟐( 𝟏∫
)𝟏
𝟏𝟑
* < 𝟏+
موجودة 𝟑
) (
) (
𝟏
𝟐
) 𝟏(
)(
𝟐(
) (
𝟑
𝟐
) (
∫
𝟑
16 2
مستمرة على الفترة ,𝟎 𝟓-وذلن ألنها مستمرة عند )𝟏
𝟏
𝟒
( ∫
𝟎
]0
2 𝟎
) ( ∫
*
𝟐
𝟑
𝟐 2 𝟑
𝟒
) (
𝟎-
278
𝟑,
𝟓 𝟏
) ( 𝟎∫ 𝟐
,
𝟏 𝟑,𝟎
) (
𝟓
𝟎∫ ∴
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
مثال /أذا كان 𝟏 𝟏< الحل /
الدالة
𝟐 𝟏
𝟐
𝟑{ 𝟔
فأوجد
) (
𝟑 𝟐
) (
∫ ( ألن
مستمرة على الفترة , 𝟐 𝟑-وذلن ألنها مستمرة عند )𝟏 معرفة 𝟓 𝟓
𝟏
𝟓
𝟐
) 𝟏( 𝟐 𝟐
) 𝟐
𝟐) 𝟏( 𝟑
) 𝟏(
𝟑(
) (
)𝟏
) (
{
𝟔(
𝟐
) 𝟏( ∴ الدالة ∵ الدالة
مستمرة على كل من > 𝟏+ مستمرة على الفترة , 𝟐 𝟑- ) 𝟐
𝟐
𝟑
𝟑( 𝟏∫
)𝟏
𝟒𝟑
𝟐𝟏
𝟐-
مثال /أذا كان 𝟑
| |
) (
𝟐𝟐
الحل /
𝟔𝟑,
) (
* < 𝟏+
𝟏
فأوجد
=
∵
𝟏
∴
𝟏
*
𝟑
𝟔(𝟐 ∫ 𝟏𝟒-
موجودة 𝟓
) (
) (
𝟏
) (
𝟏
)(
) ( 𝟏∫ 𝟑 𝟏
𝟐,
𝟐
𝟑
,
) ( 𝟏 𝟐
𝟐
𝟏 𝟐
) (
∫
𝟑 𝟐
∫ ∴
𝟑,
𝟒 𝟑
) (
∫
نفس طرٌمة أثبات الحل فً السؤال السابك 𝟎 𝟎< 𝟒
𝟑 + 𝟎
𝟎 𝟐
𝟐
𝟐
*
𝟕𝟔 𝟐
+ 𝟑
𝟑
𝟒
𝟐
𝟎𝟒
𝟑
𝟕𝟐 𝟐
279
𝟑*
)𝟑
𝟎
( ∫
)
𝟑( ∫
𝟎
]𝟎
)𝟐𝟏
𝟔𝟏 ([ 𝟐
2
) (
𝟑
𝟗 ]) 𝟐
𝟗 (
𝟒
) (
∫ 𝟑
𝟎[
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
خامسا: ) (
) ( ∫) (
∫
) (
𝟎
∫) (
مثالً : 9 2
𝟎
𝟑
9 2
𝟑
𝟐
+ 𝟑
𝟐
∫) (
*
𝟑
𝟑 𝟐
𝟐 𝟐
𝟑 ∫
𝟑 ∫) (
𝟐
19
27
8
3 2
,27
8-
تمارين)𝟏
𝟑
,
𝟒(
س /1أحسب كال من التكامالت التالٌة : 𝟎𝟏
𝟖
𝟐
)𝟒
𝟔(
𝟔(
)𝟒
)𝟒(𝟑 𝟐
𝟒+
𝟐
𝟏
𝟐
]
*
𝟒+
𝟐
𝟏 (
𝟒
𝟏 𝟐
𝟐𝟐𝟑 𝟓
𝟎𝟖 𝟐𝟒𝟐 𝟓
𝟒
𝟔𝟏
𝟏
𝟐𝟒𝟐 𝟓
𝟓
)𝟏
]𝟐
𝟏 𝟓
[
]𝟖𝟏
280
)𝟐
𝟑𝟒𝟐 𝟓
𝟐
𝟐
+
[
𝟐
𝟐 +
𝟐 𝟐 𝟐
𝟏
𝟏 𝟐
)𝟒(𝟑 * 𝟐
𝟏
𝟏
𝟐
𝟑*
𝟑( ∫ ) (
)𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
*
𝟏 𝟏 𝟐
+ 𝟏
)𝟏
𝟐
𝟐
( ∫) ( 𝟏
(
𝟑
[
𝟐
𝟑
𝟓 𝟐
𝟐
𝟓
*
) 𝟒
𝟒
( ∫) ( 𝟏
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝟐
| ∫) (
|𝟏
𝟎
𝟏 𝟏< 2
2
+
2
2
+
* 1 2
𝟏
]/
𝟐
.
|𝟏
𝟐
2
*
2
( ∫
)1
)
|𝟏
∫ (1
| ∫ 𝟎
1 2
1 ( 2
])1
)2
𝟐
. / 𝟐 [ 𝟐
𝟏 𝟏
2
|
(𝟎)+
]0
[(2
𝟎
𝟐)𝟎( * 𝟐
1 ) 2
[(1
𝟎
𝟐
+
𝟐
)
*
( ∫) ( 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐
𝟐
𝟏
𝟖 مالحظة
)
)𝟏
𝟏
59 6
)
12
𝟑 5 𝟏
12
)𝟏
4
,
𝟐
( ∫ 18
+
27
𝟎-
()𝟏
54
𝟐
)2+
(
𝟏 𝟏
∫
4 2
*
8 3
)𝟐
𝟓
𝟑
3+
9 2
𝟑 𝟐 3
27 3
4
1
2
*
𝟒
2
𝟓
𝟐( ∫
15
5 3
5 3
5
8
281
5 3
3
5-
2
𝟑 3
2
3
𝟒
𝟑
,1
5 ] 3
12
𝟐
∫) (
*
𝟐
𝟏
4
2
+
*(
𝟑
𝟏 𝟏
∫
𝟑
5
10 3
(𝟑
𝟏
6
2
𝟖
𝟐
𝟐
16
]𝟏
[
𝟎,
(
𝟑 𝟐
)𝟒(
𝟐
𝟑
∫) ( 𝟏
[9
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
س /2أثبت أن الدالة ) ( 𝟔
) (
𝟏
) ( حٌث
لـكً نثبت أن ) (
نثبت أن ) (
هً دالة ممابلة للدالة ) f(xحٌث
حٌث
0𝟎 1
الحل /
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
ثم أحسب
0𝟎 1 𝟔
) ( 𝟔𝟎∫
دالة ممابلة للدالة ) (
0𝟎 1
مستمرة على الفترة
𝟔
1
𝟔
𝟎0
-
,
) (
) (
) (
) (
∴ ) (
مستمرة فً مجالها
∴ ) (
دالة ممابلة للدالة ) (
) (
𝟑 𝟔
𝟏 𝟐
𝟔
𝟎-
𝟏
,
𝟎
) (̅
]
𝟔
𝟔
) (
)𝟎(
[
) (
) (
𝟔
𝟔
∫
𝟎
س /3أوجد كال من التكامالت التالٌة : 𝟒
)𝟐
𝟒
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
*
𝟖-
𝟒
( ∫
𝟐
)𝟏
𝟐
()𝟐
𝟐+
𝟑 𝟐
𝟏 𝟒
𝟐)𝟏
( ∫
𝟏
()𝟐
𝟏
𝟒
𝟒𝟐
𝟒
( ∫ ) (
𝟒𝟔,
𝟒
𝟓 𝟔𝟑𝟏 𝟒
𝟓 𝟒
] 𝟐 𝟏
𝟏𝟒𝟏 𝟒
282
𝟐 𝟑 𝟐
𝟏
𝟒
𝟒
)𝟐
[
𝟑
𝟑
( ∫ 𝟏
𝟒𝟑
𝟐
𝟑 𝟐
𝟏 𝟒
𝟐𝟑
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝟏
| ∫) (
|𝟏
𝟏
𝟏 ) خارج الفترة( 𝟏 < 1
𝟐
𝟑
)𝟏
𝟐
( ∫
()𝟏
1
)1
)𝟏
𝟐
𝟐
]𝟐
𝟐
𝟖 𝟑
𝟗 𝟐
]𝟑
𝟒[ 𝟑𝟏𝟑 𝟐𝟏
)𝟒
()𝟏 𝟏
𝟐
)𝟏
𝟐
+
[
𝟏 . / ( 𝟐
𝟖𝟒
𝟑
𝟐
𝟑
𝟖 𝟑
𝟗 𝟐
𝟏𝟖 𝟒
𝟔𝟕 𝟓𝟏
𝟎𝟒 𝟎𝟑 𝟓𝟏
𝟔
𝟎
𝟖 ] 𝟑
𝟐
𝟐 𝟓
[
𝟐 2 𝟔
𝟑 س /4أذا كانت 𝟑< الحل /نبرهن أن الدالة ) (
) (
*
𝟑 . / 𝟐
𝟐
𝟒
𝟓 . / 𝟐
𝟓 . / 𝟐
) (
( ∫
𝟖 𝟑
𝟒
𝟖
𝟗 𝟐
𝟐𝟏
𝟏𝟖 𝟒
𝟏
𝟐
( √ ∫
√( √ ∫ ) (
)𝟐
𝟏 . / ) 𝟐
[
𝟎
𝟒
𝟒
𝟑 . / 𝟐
𝟏
( ∫ 𝟎
𝟒
𝟏∫
مستمرة على الفترة ,𝟏 𝟒-
𝟔
𝟏
𝟔𝟏,
𝟔-
𝟖𝟏,
𝟒 𝟑
𝟐
,
283
𝟑 𝟏
𝟔,
(
)𝟑(𝟐
𝟔
)(
)𝟑(
) 𝟐(
)𝟑(𝟐 𝟐
) الدالة مستمرة عندما 𝟑
𝟗𝟏
𝟑
𝟐
√𝟒
𝟐
فأوجد
𝟐
𝟕
𝟐
𝟎
𝟏
𝟐𝟏
𝟐
)𝟏
) الدالة معرفة عندما 𝟑
𝟗-
𝟑
∫) (
𝟑
𝟏
∫
𝟏 𝟑 . / 𝟐
𝟎
∫
𝟏
)𝟒
𝟒
𝟏 𝟏
𝟐
𝟎
]
𝟐
(
|𝟏
| ∫
𝟒
𝟒
𝟐
()𝟏
𝟑
𝟏
𝟐 𝟑
)1
( ∫
*
2
∫
𝟒𝟓 𝟑𝟒𝟐 𝟐𝟏
𝟒
+
(𝟑
()𝟏
𝟏𝟖 𝟒
𝟗
𝟐𝟑
𝟏 . / 𝟐
1 2
(
2
1 ( 2
)1
𝟏
{ 𝟏
|
|𝟏
) (
) (
𝟔
(
{
)𝟔(
) (
𝟔
) (
)𝟑(
𝟒
𝟑
𝟐 ∫
𝟔 ∫
𝟑
) (
𝟏
) (
)𝟑(
)𝟑(
) 𝟒
) (
∫ 𝟏
(
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل 𝟐
س /5أذا كان 𝟎 𝟎< الحل /نبرهن أن الدالة ) (
𝟑{ 𝟐
) (
𝟑 𝟏
) (
فأوجد
مستمرة على الفترة , 𝟏 𝟑-وذلن بأثبات أنها مستمرة عند )𝟎 ) الدالة معرفة عندما 𝟎
𝟏
𝟐
(
𝟐
) الدالة مستمرة عندما 𝟎
𝟔𝟐
𝟕𝟐
𝟏
𝟕𝟐,
𝟏-
𝟎,
𝟑 𝟎
𝟑
,
𝟎 𝟏
)𝟐
𝟑(
)𝟎(𝟐
) 𝟐(
(
𝟔
𝟎
𝟐
,
𝟐)𝟎(𝟑
𝟎
)𝟎(
) (
{
) (
)𝟎(
)
(
𝟑
) (
𝟐 ∫
𝟎
) (
)𝟎(
𝟎
𝟑 ∫
)(
𝟎
)𝟎(
𝟑 𝟐
(
𝟎
𝟐)𝟎(𝟑
𝟎
𝟏
𝟎-
∫
وزاري / 2014د1
𝟏
∫ 𝟏
******************************************************************
التكامـــل الغٌــر المحدد المستمرة على الفترة - ,دالة ممابلة Fفأنه ٌوجد عدد ال نهائً من الدوال الممابلة للدالة fوكل أذا كانت للدالة منها ٌساوي F + Cحٌث ٌ Cمثل عدد ثابت والفرق بٌن أكثر من أثنٌن منها ٌساوي عدد ثابت تســـــمى مجموعــــة الدوال الممابلـــــة على الصورة F+Cبالتكامل غٌر المحدد للدالةة 𝒇 المسةتمرة علةى الفتةرة ,وٌرمز لها بالرمز 𝒙𝒅)𝒙(𝒇 ∫ أذا كان رمز متغٌر الدالة هو 𝒙 ٌ صطلح على كتابة التكامل غٌر المحدد بالصورة 𝐑 𝑪 𝑪 )𝒙(𝑭 𝒙𝒅)𝒙(𝒇 ∫ عملٌة التكامل غٌر المحدد هو العملٌة المعاكسة لعملٌة التفاضل أي أحداهما تنهً دور األخرى مثال (/)1
أوجد التكامل للدوال التالٌة : 𝒄
𝒙
𝟐𝒙
𝒄
𝟑𝒙 𝟏 𝒙
𝒄
𝟐𝒙 𝟐
𝒙
𝟐
𝟏
𝒄
𝒙 𝐧𝐢𝐬
𝒄
𝒄
284
𝒙
𝟏 𝒙𝒄𝒆𝒔
)𝟒
𝟑𝒙 𝟑
𝒙𝒅)𝟏
𝟑
𝒙 𝐧𝐢𝐬
𝟐𝒙 𝟐
𝒙𝟐
𝒙𝒅) 𝟐 𝒙
𝟐𝒙𝟑(∫ )𝒂(
𝒙 𝐬𝐨𝐜(∫ )𝒃(
𝒙𝒅)𝒙 𝐧𝐚𝐭 𝒙 𝐜𝐞𝐬
𝟏 𝒙𝟐(𝐬𝐨𝐜 𝟐
𝒙𝒅 )𝟒
𝒙(∫ )𝒄(
𝒙𝟐(𝐧𝐢𝐬 ∫ )𝒅(
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
مثال (/)2
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
جد التكامالت لكل مما ٌأتً : 𝟑
)𝟑
𝒄 𝟔
𝒙𝒅)𝟒
𝒙𝟑()𝟓) (2
𝒄
𝟕)𝟓
𝒙𝟖
𝟏 𝟐
𝟐𝒙𝟑(
𝒙𝟖
𝟔
𝒙𝒅)𝟒
𝒙𝟑( )𝟓
𝟕)𝟓
𝒄
𝟒𝟏
𝒙𝒅)𝒙𝟐( )𝟑
𝟑
𝟐𝒙𝟑(∫ ) (
1
𝟐𝒙 (
𝟐
𝒙𝟖
𝟐𝒙𝟑(
𝒙𝟖 𝟕
𝑥 𝟕𝒏𝒂𝒕 𝟕
𝒄
)𝒂(
𝟐𝒙𝟑(∫ )𝒃(
𝟏 𝟐
𝒙 𝟓𝐧𝐢𝐬 𝟓
𝒄
𝟐𝒙(∫
𝒙𝒅 𝒙 𝐬𝐨𝐜 𝒙 𝟒𝐧𝐢𝐬 ∫ )𝒄(
𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝐜𝐞𝐬 𝑥 𝟔𝒏𝒂𝒕 ∫ )𝒅(
بعض العاللات فً الدوال المثلثٌة
𝜽𝟐𝒏𝒊𝒔𝟐 𝟏
𝟏
𝜽 𝟐𝒔𝒐𝒄𝟐
𝜽 𝟐𝒏𝒊𝒔 )𝜽 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝟏
𝜽 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝜽 𝟐𝒏𝒊𝒔 )𝟏(
𝜽 𝟐𝒏𝒊𝒔
𝜽 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝜽𝟐𝒔𝒐𝒄 )𝟐(
𝟏(
𝜽𝟐𝒔𝒐𝒄 )𝟑(
𝜽 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝜽𝟐𝒔𝒐𝒄 )𝟒(
)𝜽𝟐𝒔𝒐𝒄
𝟏 𝟏( 𝟐
𝜽 𝟐𝒏𝒊𝒔 )𝟓(
)𝜽𝟐𝒔𝒐𝒄
𝟏 𝟏( 𝟐
𝜽 𝟐𝒔𝒐𝒄 )𝟔(
)𝜽 𝟐𝒏𝒊𝒔 𝟏(
𝟏
𝜽 𝟐𝒏𝒂𝒕
𝜽 𝟐 𝐜𝐞𝐬
)𝟕(
𝑩)𝒙-
𝑨(𝒏𝒊𝒔
𝒙)𝑩
𝟏 𝑨(𝒏𝒊𝒔, 𝟐
𝐱𝑩𝒔𝒐𝒄 𝒙𝑨𝒏𝒊𝒔 )𝟖(
𝑩)𝒙-
𝑨(𝒔𝒐𝒄
𝒙)𝑩
𝟏 𝑨(𝒔𝒐𝒄, 𝟐
𝐱𝑩𝒔𝒐𝒄 𝒙𝑨𝒔𝒐𝒄 )𝟗(
𝑩)𝒙-
𝑨(𝒔𝒐𝒄
𝒙)𝑩
𝟏 𝑨(𝒔𝒐𝒄, 𝟐
𝒙𝑩𝒏𝒊𝒔 𝒙𝑨𝒏𝒊𝒔 )𝟎𝟏(
𝜃𝑠𝒐𝒄 𝜽𝒏𝒊𝒔𝟐
285
𝜽𝟐𝒏𝒊𝒔 )𝟏𝟏(
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
تكامالت الدوال المثلثٌة التربٌعٌة 𝒄
𝜽𝒏𝒂𝒕
𝒄
𝒄
𝜽
𝜽𝒏𝒂𝒕
𝒄
𝜽
𝜽𝒕𝒐𝒄
𝜽𝒅 ∫
𝜽𝒅 ∫
𝜽𝒅 𝜽 𝟐 𝐜𝐞𝐬 ∫
𝜽𝒅) 𝟏
𝜽 𝟐 𝐜𝐞𝐬(∫
𝜽𝒅 𝜽 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫ )𝟑(
𝜽𝒅 𝜽 𝟐 𝐜𝐬𝐜 ∫
𝜽𝒅) 𝟏
𝜽 𝟐 𝐜𝐬𝐜(∫
𝜽𝒅 𝜽 𝟐𝒕𝒐𝒄 ∫ )𝟒(
∫
𝜽𝒅 𝜽 𝟐𝐧𝐢𝐬 ∫ )𝟓(
𝒄
𝟏 )𝜽𝟐 𝐧𝐢𝐬 𝟐
𝟏 𝜽( 𝟐
𝟏 )𝜽𝒅)𝟐(𝜽𝟐 𝐬𝐨𝐜 ∫ 𝟐
𝒄
𝟏 )𝜽𝟐 𝐧𝐢𝐬 𝟐
𝟏 𝜽( 𝟐
𝟏 )𝜽𝒅)𝟐(𝜽𝟐 𝐬𝐨𝐜 ∫ 𝟐
𝜽𝟐 𝐬𝐨𝐜 𝟏 𝜽𝒅 𝜽𝒅 ∫( 𝟐 𝟐 𝟏 𝑐 𝜽𝟐 𝐧𝐢𝐬 𝟒
أمثلة ( من الكتاب صفحة 185وصفحة ) 186
𝒙𝒅 𝒙 𝐬𝐨𝐜 𝒙 𝐧𝐢𝐬 𝟐 𝒙𝒅 𝟐)𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒄
)𝒙𝒏𝒊𝒔
𝒙𝒏𝒊𝒔(
𝒙𝒔𝒐𝒄(∓
𝒄
∫
𝟏 𝟑
)𝒙𝒏𝒊𝒔
𝒙𝒅 𝟑𝒙 𝐧𝐢𝐬 𝟐𝒙𝟑 ∫
𝒙 𝟐𝐬𝐨𝐜
𝒙𝒅 𝒙 𝟐 𝐬𝐨𝐜 𝒙𝒔𝒐𝒄 (
𝟏
𝟏 𝜽 𝟐 𝟏
𝒙 𝟐𝐧𝐢𝐬
∫
𝜽𝒅 𝜽 𝟐𝒔𝒐𝒄 ∫ )𝟔(
∫
𝟏 𝜽 𝟐
𝒙𝒅 𝒙𝟑 𝐧𝐢𝐬 𝟗 ∫ )𝟏(
𝒙𝒅 𝒙𝟑 𝐧𝐢𝐬 𝟑 ∫ 𝟑
𝒙𝟑 𝒔𝒐𝒄𝟑
𝟑𝒙 𝒔𝒐𝒄
𝒄
𝜽𝒅 𝜽 𝟐𝒄𝒔𝒄 ∫ )𝟐(
𝜽𝒕𝒐𝒄
𝜽𝟐 𝐬𝐨𝐜 𝟏 𝜽𝒅 𝜽𝒅 ∫( 𝟐 𝟐 𝟏 𝒄 𝜽𝟐 𝐧𝐢𝐬 𝟒
𝒄
𝜽𝒅 𝜽 𝟐 𝐜𝐞𝐬 ∫ )𝟏(
𝟏 𝟑
𝒙𝒅 𝟑𝒙 𝐧𝐢𝐬 𝟐𝒙 ∫ )𝟐(
𝒙𝒅 𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔
𝒙 𝐬𝐨𝐜 𝒙 𝐧𝐢𝐬 𝟐
𝒙 𝟐𝐧𝐢𝐬
∫
𝒙𝒅 )𝒙𝒔𝒐𝒄
𝒙𝒏𝒊𝒔(
∫
𝟏√ ∫ )𝟑(
وزاري / 2012د3 𝒙𝒅 )𝒙𝟐 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄𝟐
𝟏 𝟒
𝟏( ∫
𝟐
𝒙𝒅 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙)+
𝟏 𝟏( * ∫ 𝟐
𝟐
𝟐
𝒙𝒅 ∫ .𝒔𝒊𝒏 𝒙/
𝟏 𝟏 𝟏 𝒙𝒅 ) 𝒙𝟐 𝟐𝒔𝒐𝒄 ∫ 𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄𝟐 ∫ (∫ 1 𝒙𝒅 ))𝒙𝟒𝒔𝒐𝒄 𝟏( ∫ 𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄𝟐 ∫ (∫ 1 𝟒 𝟒 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟑 𝟏 𝟏 𝒙 𝒄 )𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔 𝒄 )𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔 𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 𝒙( 𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 𝒙 ( 𝟒 𝟐 𝟖 𝟐 𝟒 𝟖 𝟑 𝟏 𝟏 𝒙 )𝒙𝟐(𝒏𝒊𝒔 𝒄 )𝒙𝟒(𝒏𝒊𝒔 𝟖 𝟒 𝟐𝟑
286
𝟒
𝒙𝒅 𝒙 𝒏𝒊𝒔 ∫ )(4
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝟖)𝐱 𝐬𝐨𝐜 𝟖
𝒄
𝟏 𝒙 𝟐𝐧𝐚𝐭 𝟐
𝒄
𝒙
𝒄
𝟐
𝐧𝐚𝐭
𝒙 𝟑𝐧𝐢𝐬 𝟑
𝐱𝐝)𝐱𝐧𝐢𝐬
𝟐
𝒙𝒅 𝒙 𝐜𝐞𝐬 𝒙
𝟐
𝒙𝒅)𝒙 𝟐𝐧𝐢𝐬 𝒄
𝐱𝐧𝐢𝐬(
𝟏(𝒙 𝐬𝐨𝐜 ∫
𝐱 𝐬𝐨𝐜( 𝟕)𝐱 𝐬𝐨𝐜
𝟑
𝒙 𝒏𝒊𝒔
𝒙 𝟐𝐧𝐚𝐭 𝒙𝒅 𝒙 𝟑𝐧𝐚𝐭
𝐧𝐚𝐭 ∫
𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝐬𝐨𝐜 𝒙 𝐬𝐨𝐜 ∫ 𝟐
𝒙𝒅 𝒙 𝐬𝐨𝐜 𝒙 𝐧𝐢𝐬 ∫
𝐱𝐧𝐢𝐬(∫ )𝟓(
𝟏
∫ )𝟔(
𝒙𝒅𝒙 𝟑𝐬𝐨𝐜 ∫ )𝟕(
𝒙𝒅𝒙𝐬𝐨𝐜 ∫
وزاري / 2014د2 𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕 𝟐
𝒄
𝒙𝒅
)𝒙 𝟐𝐜𝐞𝐬(
𝒙𝒏𝒂𝒕 𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝒙𝒏𝒂𝒕 ∫
وزاري / 2014د3 𝒙𝒅)𝐱𝟑𝐧𝐢𝐬(𝐱𝟑 𝟑𝐬𝐨𝐜 ∫ 𝟐 𝐱𝟑 𝟒𝐬𝐨𝐜
𝐜
𝟏
𝐜
𝟔
وزاري / 2016د1
𝒙𝒅 𝐱𝟑 𝟐𝐬𝐨𝐜 )𝐱𝟑𝐬𝐨𝐜 𝐱𝟑𝐧𝐢𝐬𝟐(∫
𝐱𝟑 𝟒𝐬𝐨𝐜 𝟐 ) ( 𝟑 𝟒
∫ )𝟖(
𝒙𝒅 𝐱𝟑 𝟐𝐬𝐨𝐜 𝐱𝟔𝐧𝐢𝐬 ∫ )𝟗(
𝟐 𝒙𝒅)𝟑 ()𝐱𝟑𝐧𝐢𝐬(𝐱𝟑 𝟑𝐬𝐨𝐜 ∫ 𝟑
مالحظة 𝟒)𝐱𝟑 𝐬𝐨𝐜(
𝟒
𝐱𝟑 𝐬𝐨𝐜
وزاري / 2014د1 𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄(
)𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄()𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 𝒙𝒅 𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄 𝟏 𝟏 𝒙𝒅)𝟐( )𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 𝒄 𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄 𝟐 𝟐
𝒄
𝟏 𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔 𝟐𝟏
𝒄
𝒄
𝒙
𝒙
𝟏 𝒙 𝟐
𝒄
𝟏 𝒙𝟓𝒕𝒐𝒄 𝟓
𝟏 𝒙𝟕 𝒏𝒂𝒕 𝟕
∫
𝒙𝟐 𝟐𝒏𝒊𝒔 𝒙𝒅 𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔
𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄(∫
𝟏 )𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔 𝟔
𝟏 𝒙( 𝟐
𝒙𝟐 𝟐𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄 𝟏 𝟐
∫
𝒙𝟒𝒔𝒐𝒄 𝒙𝒅 𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄
𝒙𝒅)𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔
∫ )𝟎𝟏(
𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄(∫
𝟏 𝟐
𝟏( * ∫
𝐱𝐝 𝐱𝟑 𝟐𝐧𝐢𝐬 ∫ )𝟏𝟏(
𝒙𝒅 ∫
𝒙𝒅 𝒙𝟓 𝟐𝒄𝒔𝒄 ∫
𝒙𝒅)𝟏
𝒙𝟓 𝟐𝒄𝒔𝒄(∫
𝒙𝒅 𝒙𝟓 𝟐𝒕𝒐𝒄 ∫ )𝟐𝟏(
𝒙𝒅 ∫
𝒙𝒅 𝒙𝟕 𝟐𝒄𝒆𝒔 ∫
𝐱𝐝)𝟏
𝒙𝟕 𝟐𝒄𝒆𝒔(∫
𝐱𝐝 𝐱𝟕 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫ )𝟑𝟏(
287
𝐱𝐝 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙)+
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
أمثلة أضافٌة محلولة مثال /أوجد التكامالت األتٌة : 𝟒 𝟑
𝟏 𝟐𝒙𝟑( 𝟖
) (
𝒄
𝟒 𝟑
) (
)𝟏
𝒄
)𝒙 𝟐( 𝟔𝒏𝒂𝒕 𝟐𝟏
𝒄
𝒄
)𝟏 𝟐𝒙𝟑( 𝟏 ) ( 𝟒 𝟔 ) ( 𝟑
)𝒙 𝟒( 𝟒𝐬𝐨𝐜 𝟔𝟏
𝒄
𝒄
)𝒙𝟐( 𝟒𝐧𝐢𝐬 𝟖
𝒄
𝟑 . / 𝟐
𝟑)𝟗 𝟐𝒙( 𝟑
)𝟗 𝟑
𝒄
𝒙𝒅)𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔
𝟏( 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙 𝟑𝒏𝒊𝒔 ∫
𝟒 . / 𝟑
𝒙𝒅
𝟏 . / 𝟑 )𝟐
𝒙𝒅
𝟏 . / 𝟐 )𝟗
𝒙 𝟒𝒏𝒊𝒔 𝟒
𝒄 𝒄
𝟑 )𝟏 𝒙(
)𝒙𝟓 𝟏
𝒄
𝟐𝒙 𝟐 )𝟏 𝒙(𝟑 𝟏 (
𝟐𝒙
𝒙( ∫
𝒙𝒅
𝟐
𝒙𝒅 𝟐)𝟓
𝒙(∫ 𝟑
288
𝒙𝒅
𝟑
𝒙( 𝟑 𝟐)𝟏
𝒙(
𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙 𝒏𝒊𝒔( ∫
𝒙𝒅 𝒙 𝒏𝒂𝒕 𝒙 𝒄𝒆𝒔 ∫ )𝟖(
𝒙𝒅 𝟑𝒙𝟐
)𝒙(∫
∫
𝟒 . / 𝟑
)𝟐
𝒙𝒅 𝟓𝟐 ∫
𝟐𝒙 𝒙 ∫ )𝟔(
𝟓
𝒙𝒅 𝒙𝒏𝒂𝒕 𝒙 𝒄𝒆𝒔 𝒙 𝒄𝒆𝒔 ∫
𝟑
∫ )𝟓(
𝒙𝒅 𝒙 𝟑 𝐬𝐨𝐜 𝒙 𝟑𝒏𝒊𝒔 ∫ )𝟕(
𝒙𝒅)𝒙𝐬𝒐𝒄 𝒙 𝒏𝒊𝒔
𝟒
𝟐𝒙( )𝒙(∫
)𝟏
𝒙𝒅 𝟗
𝟓
𝒙𝒅 𝟐
)𝒙𝟐( 𝟑𝐧𝐢𝐬 𝒙𝒅 )𝒙𝟐(𝒄𝒆𝒔
𝟐𝒙( 𝒙 ∫
𝒄
𝒙𝒅)𝟓
𝒙𝒅 ) 𝟑𝒙( 𝟓𝐬𝐨𝐜 𝟐𝒙 ∫ )𝟒(
𝒙𝒅 𝒙 𝟐 𝐬𝐨𝐜 𝒙 𝐬𝒐𝒄 𝒙 𝟑𝒏𝒊𝒔 ∫
𝒙 𝟔𝒏𝒊𝒔 𝟔
𝒙 𝟓𝒄𝒆𝒔 𝟓
(
𝒙𝒅)𝒙𝟒(𝒏𝒊𝒔 )𝒙 𝟒( 𝟑𝐬𝐨𝐜 ∫ )𝟑(
)𝒙𝟐( 𝟑𝐧𝐢𝐬 ∫ 𝒙𝒅 𝟏 ( ) )𝒙𝟐(𝒔𝒐𝒄
𝐧𝐢𝐬 ∫
𝟑
𝒙 ∫ )𝟏(
𝒙𝒅 )𝒙𝟐( 𝟐𝐜𝐞𝐬 )𝒙 𝟐( 𝟓𝒏𝒂𝒕 ∫ )𝟐(
) (
)𝒙𝟐( 𝟑
𝟐𝒙𝟑
𝒙𝒅 𝟏
) 𝟑𝒙( 𝟔𝐬𝐨𝐜 𝟏 𝟑 𝟔
𝒄
)𝟗 𝟐𝒙( 𝟏 ) ( 𝟑 𝟐 . / 𝟐
𝒄
𝒄
𝒄
𝒄
)𝒙 𝟒( 𝟒𝐬𝐨𝐜 𝟏 ) 𝟒 𝟒
𝒙𝒅)𝒙𝟐(𝒔𝒐𝒄
𝒄
)𝟐 𝟐𝒙( 𝟏 ) ( 𝟒 𝟐 .𝟑/
𝒄
)𝒙 𝟐( 𝟔𝒏𝒂𝒕 𝟏 𝟐 𝟔
𝟑 . / 𝟐
𝟐𝒙(
𝟐𝒙𝟑( 𝒙 ∫
) (
) 𝟑𝒙 ( 𝟔𝐬𝐨𝐜 𝟖𝟏
𝒄 )𝒙𝟐( 𝟒𝐧𝐢𝐬 𝟏 ) ( 𝟐 𝟒
𝒙𝒅
𝟏 ) ( 𝟑 )𝟏
𝒙𝒅
)𝟏
𝟓𝒙
𝟑
∫ )𝟗(
𝟑 𝟐𝒙( ) ( 𝟖 𝒙𝟎𝟏 𝟑 𝒙𝟐
𝟐𝒙 𝟐𝒙(
∫ )𝟎𝟏( ∫ )𝟏𝟏(
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل 𝟒
𝟑𝒙 𝟏).𝟓/ 𝟒 . / 𝟓
𝒄
𝟑𝒙( 𝟏 ) ( 𝟑
𝟏 / 𝟓
𝒙𝒅
.
)𝟏
𝟑𝒙()𝟏
𝒙𝟑
𝟐𝒙( ∫ 𝟒
𝟏).𝟓/
𝒄 𝒄
𝒙 𝟒 𝐬𝐨𝐜 𝟒
)𝟐 (
𝒙𝒅 𝒙 𝟑 𝐬𝐨𝐜 𝒙𝒏𝒊𝒔 ∫ 𝟐
𝒙𝒅
𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄𝟗 𝟐
𝑐
𝒄
𝟏 𝒙𝟑
𝟏
𝟓
𝟑𝒙√
∫ )𝟐𝟏(
𝟑 𝟓 𝒙( 𝟐𝟏
𝒙𝟑
𝒙𝒅 𝒙 𝟐 𝐬𝐨𝐜 𝒙 𝒔𝒐𝒄 𝒙 𝒏𝒊𝒔𝟐 ∫
𝟐𝒙
𝒙𝒅 𝒙 𝟐 𝐬𝐨𝐜 𝒙𝟐 𝐧𝐢𝐬 ∫ )𝟑𝟏(
𝟏 𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄 ) 𝟐
𝒙𝒅 𝒙𝟐 𝐧𝐢𝐬𝟗 ∫ )𝟒𝟏(
(𝟗
مثال /أوجد التكامالت للدوال األتٌة : 𝒄
𝒙
𝟏 𝒙𝟑𝒏𝒂𝒕 𝟑
𝒄
𝒙
𝟏 𝒙𝟕𝒕𝒐𝒄 𝟕
𝒙𝒅 ∫
𝒙𝒅 𝒙𝟑 𝟐𝒄𝒆𝒔 ∫
𝐱𝐝)𝟏
𝒙𝟑 𝟐𝒄𝒆𝒔(∫
𝒙𝒅 𝒙𝟑 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫ )𝟏(
𝒙𝒅 𝒙𝟕 𝟐𝒄𝒔𝒄 ∫
𝐱𝐝)𝟏
𝒙𝟕 𝟐𝒄𝒔𝒄(∫
𝒙𝒅 𝒙𝟕 𝟐𝒕𝒐𝒄 ∫ )𝟐(
𝒙𝒅 ∫
𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒔𝒐𝒄 𝒙𝒏𝒊𝒔 ∫ 𝟐 2 𝒙 𝟑𝒔𝒐𝒄 𝟑
𝐜 𝒙𝒅 )𝟏 𝒄
𝒙
𝒙𝒄𝒔𝒄𝟐
𝒙𝒅 𝟐)𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒄
𝒙 𝟑𝒕𝒐𝒄
𝒙𝒏𝒊𝒔( ∫
)𝒙𝒏𝒊𝒔
𝒄
𝒄
𝟏 𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔 𝟐𝟏
𝒙 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝟏
𝟐
𝒙𝒔𝒐𝒄 (
𝒙 𝟔𝒄𝒔𝒄
𝟐
𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔 ∫ 𝒙𝒅 )𝒙𝒔𝒐𝒄
𝒙𝒅 )𝒙𝟒𝒔𝒐𝒄
𝒙𝒅)𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄
𝟏(∫
𝟏 𝒙 𝟐
289
𝒄
𝟏
𝟐
𝒙𝒕𝒐𝒄 𝒙𝒄𝒔𝒄(∫ )𝟒(
𝟐
𝒙𝒅 𝒙 𝒕𝒐𝒄 𝒙 𝒄𝒔𝒄 ∫
𝒙𝒅 ) 𝒙𝒄𝒔𝒄𝒙𝒕𝒐𝒄( 𝒙 𝒄𝒔𝒄 ∫
𝒙𝟐 𝟐𝒏𝒊𝒔(∫
𝟏 𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔 𝟖
𝒙𝒅 𝟐)𝟏
𝟓
𝟔
𝒙𝒅)𝒙𝟑 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝟏 𝒙 𝟐
𝒙𝒅 𝒙𝒕𝒐𝒄 𝒙𝒄𝒔𝒄 ∫ 𝟐
)𝒙𝒏𝒊𝒔
𝒄
𝒙𝒅 )𝒙𝟔𝒔𝒐𝒄
𝒙 𝟐𝒕𝒐𝒄 𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄(∫
𝒙𝒅 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙𝒏𝒊𝒔𝟐
𝒙𝒔𝒐𝒄(∓
𝟏(∫
𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒔𝒐𝒄 𝒙𝒏𝒊𝒔 ∫ 𝟐
𝒙𝒕𝒐𝒄 𝒙𝒄𝒔𝒄𝟐
𝒙𝒅 ∫
𝟑
𝒙𝒅 𝒙 𝒔𝒐𝒄 )𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙𝒏𝒊𝒔𝟐(∫
𝒙𝒅 𝒙 𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 ∫ )𝟑(
𝒙𝒅 𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 𝒙𝒏𝒊𝒔( ∫
𝟔
𝒙𝒅 𝒙𝒕𝒐𝒄 𝒙 𝒄𝒔𝒄 ∫ )𝟔(
𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔()𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄
𝒙𝒅 𝒙𝟑 𝟐𝒔𝒐𝒄 ∫
𝟏√ ∫ )𝟓(
𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔(∫ )𝟕(
𝒙𝒅 𝒙𝟐 𝟐𝒏𝒊𝒔 ∫
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝒙( )𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔 𝒙( )𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔 𝟐 𝟒 𝟐 𝟔 𝟏 𝟏 𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔 𝒄 𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔 𝟖 𝟐𝟏
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝟏 𝟏 𝒙𝒅 ∫,𝒔𝒊𝒏(𝟓 𝟏)𝒙 𝒔𝒊𝒏(𝟓 𝟏)𝒙- 𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔∫, 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝒄 )𝒙𝟔𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟒𝒔𝒐𝒄 𝒄 𝒙𝟔𝒔𝒐𝒄 𝟔 𝟖 𝟐𝟏
𝒙𝒅 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙-
𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔 𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫
𝒙
𝒄
𝒙𝒅 )𝟏
𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔 ( 𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫ 𝒙 𝟑𝒏𝒂𝒕
𝒙𝒏𝒂𝒕
𝟑
𝒙𝒅 𝟐)𝟏
𝒄
𝒙𝒏𝒂𝒕
𝒙 𝟑𝒏𝒂𝒕 𝟑
𝒙 𝟓𝒏𝒂𝒕 𝟓
𝟐
𝟐
𝒙𝒅 )𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔(𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔 ∫ 𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕 𝟐
𝒙𝒅 )𝟏
𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔 𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫ 𝟐
𝒙𝒅 𝒙 𝟒𝒏𝒂𝒕 ∫ )𝟗(
𝒙𝒅 𝒙 𝒄𝒆𝒔 𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫
𝟐
𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕( 𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔 ∫
𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔 ∫
𝟏 𝟏 ( 𝒙𝟒𝒔𝒐𝒄 𝟒 𝟐
𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕 𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫
𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔(∫
𝒙𝒅 )𝟏
𝒙𝒅 )𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟓𝒏𝒊𝒔(∫ )𝟖(
𝒙𝒅 𝒙 𝟔𝒄𝒆𝒔 ∫ )𝟎𝟏(
𝒙 𝟒𝒏𝒂𝒕( 𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔 ∫
𝒙𝒅 )𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔 𝒙 𝟒𝒏𝒂𝒕( ∫
واجب ∶ حل السؤال)𝟎𝟏( ولكن أجعل األس)𝟒( بدل من)𝟔( ) نقسم البسط على المقام ثم نكامل(
𝒄
𝟏 𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔 𝟖
𝒄
𝟏 𝒙 𝟐
𝒄
𝟐𝒙 𝟐
𝒙
𝟏 )𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔 𝟒
𝒄
𝟏 𝟑𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝟑 𝟏 𝟐𝒙 𝐜𝐞𝐬 𝟐
𝟏 𝒙𝐝)𝟐( 𝟐𝒙 𝒏𝒂𝒕 𝟐𝒙 𝐜𝐞𝐬 𝐱 ∫ 𝟐
𝐱𝐝 𝟐𝒙 𝒏𝒂𝒕 𝟐𝒙 𝐜𝐞𝐬 𝐱 ∫ )𝟒𝟏(
𝒄
𝒄
𝑥8
𝒄
𝟑𝒙 2 𝟑 𝒙
𝟐𝒙 𝟐
𝐱𝐝 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙)+
𝟏 𝟐
𝟏( * ∫
𝐱𝐝 𝐱𝟐 𝟐𝐬𝐨𝐜 ∫ )𝟐𝟏(
𝟏 𝟐 𝒙𝐝 𝟑𝒙𝒕𝒐𝒄 𝟑𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝒙)𝟑( ∫ 𝟑
𝟏 𝒙𝟕 𝐭𝐨𝐜 𝟕
𝒄
𝟐
𝒙𝒅 )𝟏
𝟏 𝒙( 𝟐
𝒙
𝒙(∫
𝐱𝐝 𝟑𝒙𝒕𝒐𝒄 𝟑𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝟐𝒙 ∫ )𝟑𝟏(
𝒄
𝒙𝒅
𝟑𝒙 𝟑
𝟐
𝟏 𝟒𝒙 𝟓𝒙 𝟑 ∫ )𝟏𝟏( 𝒙𝒅 𝒙 𝟏 𝒙
)4
𝒙2 𝟑𝒙 𝟑
𝒙3
𝟐𝒙 𝟐
𝒙𝒅 )3
𝟐𝒙()2)(𝑥 2 𝑥 2 𝟒𝒙 𝟒
𝒙𝒅 )8
𝒙𝒅 )1
𝑥
𝑥(∫
𝑥(
𝟐
𝟏 𝐱𝐝)𝟕( 𝐱𝟕 𝟐𝐜𝐬𝐜 ∫ 𝟕
∫
𝒙2
𝟐𝒙(∫
𝒙𝒅
𝒙𝒅
𝑥4
𝒙𝒅
290
)3
𝟐𝒙()4 𝑥 2
)4
𝟑
𝒙(∫
)1
𝑥()3 𝑥 3
𝒙𝒅 )4
𝑥 𝟐𝒙()1 𝑥 1
𝑥( 𝟐𝒙(
𝟐
∫
∫
𝒙()2
𝑥(
∫
𝐱𝐝 𝐱𝟕 𝟐𝐜𝐬𝐜 ∫ )𝟓𝟏(
𝒙𝟐 9 𝒙𝒅 𝟑 𝒙
∫ )𝟔𝟏(
𝟒𝒙 𝒙
∫ )𝟕𝟏(
16 𝒙𝒅 𝟐 𝑥(∫
𝒙𝟑 1 𝒙𝒅 𝒙 1
∫ )𝟖𝟏(
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝒄
1 (𝒙𝟑 𝟓)2 × 1 3 2
𝒄
𝒙 𝟗 𝟒 𝐭𝐨𝐜 𝟏 × 𝟗 𝟒
𝒙𝒅
2
)𝟓
1 𝟑𝒙( 𝟐𝒙)∫(3 3
𝒙𝒅
2
)𝟓
𝟑𝒙( 𝟐
𝒙𝒅
𝒙∫
𝒄 𝟏 𝐱𝐝)𝟗 ( 𝒙 𝟗 𝟐 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝟗 𝟑 𝐭𝐨𝐜 ∫ 𝟗 𝒄 𝒄
𝟓
𝟐
𝟐𝒙 𝟑𝒙√
𝟓 𝟑𝒙
∫ )𝟗𝟏(
2 3
𝟑
𝐱𝐝 𝒙 𝟗 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝟗 𝐭𝐨𝐜 ∫ )𝟎𝟐(
𝟏 𝒙𝟗 𝒔𝒐𝒄 𝟗
𝟏 𝐱𝐝 )𝟗( 𝒙 𝟗 𝐧𝐢𝐬 ∫ 𝟗
𝐱𝐝 𝒙 𝟗 𝐧𝐢𝐬 ∫ )𝟏𝟐(
𝟏 𝒙𝟕 𝒔𝒐𝒄 𝟕
𝟏 𝐱𝐝 )𝟕( 𝒙 𝟕 𝐬𝐨𝐜 ∫ 𝟕
𝐱𝐝 𝒙 𝟕 𝒔𝒐𝒄 ∫ )𝟐𝟐(
وزاري / 2012د2 𝐱𝐝𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄) 𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝒕𝒐𝒄
𝐱𝐝 𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝒕𝒐𝒄 ∫
(∫
𝒄 𝐱𝐝 𝒙𝟑 𝟒𝒄𝒆𝒔 𝒙𝟑 𝐜𝐞𝐬 𝒙 𝟑 𝒏𝒂𝒕 ∫
𝐜
𝟏 𝒙𝟑 𝟓𝒄𝒆𝒔 𝟓𝟏
مثال :جد معادلة المنحنً الذي مٌله /
𝟐
𝟏 𝟐
𝐜
𝒙𝟑 𝟓𝒄𝒆𝒔 𝟏 × 𝟑 𝟓
𝐱𝐝 𝒙 𝟑𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒕𝒐𝒄 ∫ )𝟑𝟐(
𝟏 𝒙 𝟑𝒄𝒔𝒄 𝟑 𝐱𝐝 𝒙𝟑 𝟓𝒄𝒆𝒔 𝒙𝟑 𝒏𝒂𝒕 ∫ )𝟒𝟐(
𝟏 𝐱𝐝 𝒙𝟑 𝟒𝒄𝒆𝒔) 𝒙𝟑 𝐜𝐞𝐬 𝒙 𝟑 𝒏𝒂𝒕 (𝟑 ∫ 𝟑
𝟐 .وٌمر بالنمطة )(0 , 1
الحل / ) نعوض النقطة)𝟏 𝟎((
𝟑
معادلة المنحنً
𝟏 𝟔
𝟐
𝟏
291
)
𝟑
𝟏 𝟔
𝟐
𝟐
𝟏 𝟐
∫
𝟐( ∫
𝟏
)المٌل(∫
𝟎
𝟎
𝟏
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل 𝟐
مثال :جد معادلة المنحنً الذي مٌله )
𝟑( وٌمر بالنمطة )(0 , 1
الحل / 𝟑 𝟑
) نعوض النقطة)𝟏 𝟎((
𝟑
𝟑
)
معادلة المنحنً
مثال :جد معادلة المنحنً الذي مٌله )𝟗
𝟐
𝟔
𝟐
𝟑(∫
∫
𝟑
𝟐
)المٌل(∫
𝟐
𝟏
𝟏
𝟑( والمنحنً ٌمتلن نهاٌة عظمى محلٌة تساوي )(15
الحل / 𝟎
𝟐
𝟑
)𝟑 (
𝟐
⇒
𝟗
𝟎
𝟐
𝟔
) نجعل 𝟎
𝟑 𝟏
𝟗
( 𝟎
𝟑
𝟔 )𝟏
𝟐
𝟑
()𝟑
(
النمطة )𝟓𝟏 𝟏 ( نهاٌة عظمى محلٌة
) نعوض النقطة)𝟓𝟏 𝟏 (( معادلة المنحنً
مثال :جد معادلة المنحنً 𝟔 /
𝟗 𝟎𝟏
𝟐
𝟗
𝟑
𝟑 𝟐
)𝟗
𝟑
𝟔
𝟐
𝟑
𝟑(∫
∫
𝟎𝟏
)المٌل(∫ 𝟗
𝟑
𝟓𝟏
𝟏
.والمنحنً ٌمتلن نمطة حرجة عند )(-1,4
الحل / 𝟑
𝟎
𝟐
𝟑
) نجعل 𝟎
) نعوض النقطة)𝟒 𝟏 (( معادلة المنحنً
عندما 𝟏 𝟑 𝟐
292
(
𝟑
)𝟑 𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
𝟑
𝟑(∫
) 𝟔(∫ ∫
𝟐
∫ )المٌل(∫ 𝟑
𝟏
𝟒
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
مثال :جد معادلة المنحنً الذي مٌله )
𝟑 مماسا له عندما 𝟐
𝟐( والمستمٌم 𝟕
الحل / Ⓘنعوض لٌمة ) (xفً معادلة المستمٌم الستخراج لٌمة ) (yثم أٌجاد نمطة التماس نقطة التماس )𝟏
𝟐(
𝟏
)𝟐(𝟑
𝟕
𝟑
𝟕
② نشتك معادلة المستمٌم إلٌجاد المٌل أي بمعنى أخر المشتمة األولى
𝟑 ③ نجد لٌمة المجاهٌل فً معادلة مٌل المنحنً حٌث )𝟑 معادلة مٌل المنحنً
𝟏
𝟐
𝟑
𝟕
𝟑
𝟕
( 𝟏
𝟑
)𝟐(𝟐
𝟒
𝟐
𝟑
④ نكامل معادلة مٌل المنحنً ثم نجد لٌمة ثابت التكامل ) (Cفٌتم الحصول على معادلة المنحنً المطلوبة ) نعوض النقطة)1
𝟐
((2
معادلة المنحنً
𝟑
𝟐
)𝟏
𝟐(∫ 𝟑
∫
)المٌل(∫ 𝟐
𝟒
𝟏
مالحظات : ال تكامل مٌل منحنً وفٌه ثابت مجهول مثل ) (Cاو ) (Pحتى تجد لٌمة المجهول . ألٌجاد معادلة منحنً دالة ٌفضل أن تجد أوال نمطة كاملة من معلومات السؤال ألستخدمها فً أٌجاد ثوابت التكامل المجهولة
293
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝟒(
تمارين)𝟐 جد تكامالت كل مما ٌأتً ضمن مجال الدالة : 𝒄
𝟑𝒙𝟒 𝟑
𝒙𝟐𝟏
)𝟐𝟏 𝟐𝒙𝟒( 𝟐𝒙 𝐱𝐝 𝟐𝒙
𝐱𝐝
∫
𝟒𝒙𝟒(
) 𝟐𝒙𝟐𝟏
𝟐𝒙
𝟕
)نوفر المشتقة(
√𝟓 (√𝒙)/
𝒙𝒅
)𝒙√(
𝟖 𝟖
𝒄
𝒙𝒅
1
) 𝒙𝟓√
𝟑(
)𝒙𝒏𝒊𝒔
𝟏()𝒙𝒏𝒊𝒔 𝒙𝒏𝒊𝒔 𝟏
𝟓𝟑√ 𝟒
𝒄
𝒄
𝒙 𝒄𝒔𝒄
𝟏 𝒙 𝒏𝒊𝒔
𝐜
حل أخر : 𝒄
𝒄
𝟏(𝒙 𝐬𝐨𝐜 𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔 𝟐 𝒙
𝟕
∫
𝟏 𝟕√
𝟑𝟐 . ) ( 𝟓√ 𝟕√
∫
𝒙𝒅 )𝒙𝒏𝒊𝒔 𝒙𝒔𝒐𝒄
𝒙𝒏𝒊𝒔
√𝟓 (√𝒙)/
𝒙𝒅
)𝒙√( 𝟕√
𝒙𝒅
√𝟓 (√𝒙)/
𝒄
𝟓 . / 𝟑
)𝟓
𝟏
𝒏𝒊𝒔
𝒙𝒅
𝟓 . / 𝟑
)𝟓 𝟓 .𝟑/
𝒙𝒅 )𝒙𝒏𝒊𝒔 𝒙 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝒙𝒅 )𝒙𝒔𝒐𝒄( 𝒙
𝟒
∫
∫
𝒙𝒔𝒐𝒄(∫
)𝒙𝟓√
𝒙𝒅
𝒙𝟕√
∫ )𝟐(
𝟐 𝟑√𝟓 . ( ∫) ( ) 𝟐 𝟓√ 𝟕√
𝒙 𝟐𝒔𝒐𝒄 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙𝒅 𝒙𝒏𝒊𝒔 𝟏
𝒙 𝟑 𝐬𝐨𝐜 𝒙𝒅 𝒙𝒏𝒊𝒔 𝟏
∫
𝒙𝒅 )𝒙𝒏𝒊𝒔
𝟐
𝒏𝒊𝒔 ∫
𝟏 𝒙𝒅 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔
𝒙𝒔𝒐𝒄 𝟏 ∫ 𝒙𝒅 𝒏𝒊𝒔 𝒙 𝒏𝒊𝒔
𝟏 𝟐𝒙𝟑( 𝒙)𝟔(∫ 𝟔
)𝟓
𝒙(
𝒙𝒏𝒊𝒔( ∫ 𝒄
𝟕
𝟑(
𝟏
)𝒙√(
∫ )𝟑(
𝟏(𝒙 𝐬𝐨𝐜 ∫
𝒙𝒅
𝐱𝐝
𝟐 . / 𝟑 )𝟓
𝒙(∫
𝒙𝒅 )𝒙 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝟒
𝟐
𝒙𝟑( 𝒙 ∫
)𝟓
𝐱𝐝 𝟐)𝟓
𝟏( 𝒙𝒏𝒊𝒔 ∫
𝒙(
𝟑
∫
𝒙
𝒙𝒅
𝟒)𝟓
𝒙𝟎𝟏
𝐱𝐝 𝟓𝟐
𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔 𝒙𝒏𝒊𝒔 ∫
𝒙 𝟑𝒔𝒐𝒄 𝟑
𝒙𝒔𝒐𝒄
𝒙
𝟏√ 𝒏𝒊𝒔 𝟐
𝒙 𝟏√𝒔𝒐𝒄 𝟏 ) 𝐱𝐝 𝟐 𝒙 𝟏√
294
𝒙𝒅 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄 ∫
𝟐𝒙𝟑(
∫ )𝟓(
𝟏 𝟑)𝟓 𝟐𝒙𝟑( 𝟖𝟏
𝒙𝒅 )𝒙𝒏𝒊𝒔 ( 𝒙 𝟐𝒔𝒐𝒄 ∫
𝒄
∫
𝒙𝒅 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄 ∫ )𝟒(
𝟏 ∫ 𝒙𝒅 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔
𝒄
𝟑 𝒙( 𝟓
∫
وزاري / 2013د1
𝒙𝒅 𝒙 𝒕𝒐𝒄 𝒙 𝒄𝒔𝒄 ∫
𝒄
𝟑.
𝟕
)𝒙 𝟐𝐧𝐢𝐬 𝟏(𝒙 𝐬𝐨𝐜 𝒙𝒅 𝒙𝒏𝒊𝒔 𝟏
𝟏
)𝟓 𝟐𝒙𝟑( 𝟏 𝟔 𝟑
∫
𝟏
𝟖
𝐜
𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝟑
√𝟓 (√𝒙)/
𝒄
𝟑.
𝐱𝐝
𝟗
𝟐𝒙𝟐𝟏 𝟐𝒙
)𝟗
𝟒𝒙𝟒(
𝐱𝐝
𝟐)𝟑 𝟐𝒙
𝟗
𝟐𝒙(2
∫ )(1
𝟐𝒙
𝟑
∫ )𝟔(
𝒙𝒅 𝒙 𝟑𝒏𝒊𝒔 ∫ )𝟕(
𝒙𝒅𝒙𝒏𝒊𝒔 ∫
( ∫ )𝟐 (
𝒙𝒅
𝟏√𝒔𝒐𝒄
𝒙 𝒙
𝟏√
∫ )𝟖(
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
/لو كان المثال.
𝒙𝒅 )𝒙√ 𝒙𝒅
𝒄
𝟏 𝟏 . / 𝟐 . / ) 𝟐𝒙
𝒄
𝒙
𝟏√ 𝒔𝒐𝒄 𝟐 𝟓 𝟗 𝒙 𝟓
𝟑𝒙𝟐
𝟑
𝟏( )𝒙√ ( ) 𝟒 𝒙( ∫
𝟏 / 𝟏( ] 𝟐
𝟑 𝟏 . / 𝟐 . / ) 𝟐𝒙
𝒄
𝒙
.
𝒙[ ∫
𝒙𝒅 )𝒙√
𝒄
𝟐 ) 𝟒
𝟑
𝒙( ∫
𝟏 𝟏 . / 𝟐 . / ) 𝟐𝒙
𝒙𝒅
𝟐
𝒙
𝟐
𝟒𝒙𝟗(∫
𝒙𝒅 )𝒙√
𝒙
𝒙𝒅
𝒙√
𝒙
∫ )𝟎𝟏(
𝟒
𝟑𝒙√
𝟑 𝟏 ) 𝟒𝒙( ) 𝟒
𝟏(
𝟏√
𝟐𝒙𝟑(∫ )𝟗(
𝒙𝒅 )𝟏
𝟏(𝒙√ ) 𝟒 𝒙( ∫
𝟏(
𝟑 . / 𝟐
𝟐𝒙𝟔
𝒙𝒅)𝟏
𝒙𝒅 )𝒙√
𝟏(
𝟑 𝟏 . / 𝟐 . / ) 𝟐𝒙
𝟒 𝟏( 𝟑
𝒙 𝟏√𝒏𝒊𝒔 𝟏 ) 𝐱𝐝 𝟐 𝒙 𝟏√
( ∫ )𝟐 (
𝒙𝒅
𝟏√𝒏𝒊𝒔
∫
𝒙( ∫
𝟏 . 𝟏/ [ ∫ )𝟐 ( 𝟏( ] 𝟐 𝒙 𝟐 𝟒 𝟏( 𝟑
𝟑
)𝒙√
𝒄
/لو كان المثال.
𝒙𝒅
𝟏 . / 𝟐
𝒄
)𝟏 𝟑 . / 𝟐
𝟑
𝒙𝒅 )𝟏
𝒙√( )𝒙√ ( ) 𝟒 𝒙( ∫
.
𝟐 ) 𝟒
𝟏 𝟏 / . / 𝟐 𝒙( ] 𝟐
𝒙[ ∫
𝒙√(
𝒙𝒅 )𝟏 𝟑 . / 𝟐
)𝟏
𝟒 .𝟏/ 𝟐 𝒙( 𝟑
𝒙( ∫
𝟏 . / 𝟐 𝒙(
)𝟏
𝒄
𝒙𝒅 )𝟏
𝟐
𝟑 .𝟐/
𝒙𝒅
𝟑
𝒙√(𝒙√ ) 𝟒 𝒙( ∫
𝒙𝒅 )𝟏 𝟏 . / 𝟐
)𝟏
𝒙𝒅
𝟑 𝟏 ) 𝟒𝒙( ) 𝟒
𝒙√(
𝒙√
𝒙 𝟒
𝟑𝒙√
∫
𝒙( ∫
𝟏 𝟏 𝟏 (𝟐) ∫ ( ) [𝒙. 𝟐 / ] (𝒙.𝟐/ 𝟐
𝟒 𝒙√( 𝟑
𝟑
)𝟏
𝒄
وزاري / 2013د2 𝒙𝒅 𝒙𝟑 𝟐𝒔𝒐𝒄 ∫
𝒙𝒅 𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄 ∫ 𝟐
𝒙𝒅 ∫
𝒙𝒅 )𝒙𝟑 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄𝟐
𝟏(∫
𝒙𝒅 𝟐)𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄
𝟏(∫ )𝟏𝟏(
𝟏 𝟐 𝟏 𝒙 𝒙𝒅 𝒙𝟑 𝟐𝒔𝒐𝒄 ∫ 𝒙𝟑𝒏𝒊𝒔 ) ( 𝟐 𝒙𝒅 ])𝒙𝟔𝒔𝒐𝒄 𝟏( [ ∫ 𝒙𝟑𝒏𝒊𝒔 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝒙 ( ∫ 𝒙𝟑𝒏𝒊𝒔 𝒙 𝒙𝒅 )𝒙𝟔𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟑𝒏𝒊𝒔 𝒙 𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔 ) ( 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 𝟔 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏 𝒙 𝒙𝟑𝒏𝒊𝒔 𝒄 𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔 𝟐 𝟑 𝟐𝟏 𝒙
𝒄
𝒄
𝟏 𝒙𝟒𝒏𝒂𝒕 𝟒
𝒄
𝟏 𝒙𝟐𝒕𝒐𝒄 𝟐 𝒙
𝟏 𝒙𝟖𝒏𝒂𝒕 𝟖
295
𝟏 𝒙𝒅 𝒙𝟒 𝟐𝒄𝒆𝒔 )𝟒(∫ ) ( 𝟒
𝒙𝒅 𝒙𝟒 𝟐𝒄𝒆𝒔 ∫ )𝟐𝟏(
𝒙𝒅 𝒙𝟐 𝟐𝒄𝒔𝒄 )𝟐(∫ ) (
𝒙𝒅 𝒙𝟐 𝟐𝒄𝒔𝒄 ∫ )𝟑𝟏(
𝟏 𝟐
𝒙𝒅 )𝟏
𝒙𝟖 𝟐𝒄𝒆𝒔(∫
𝒙𝒅 𝒙𝟖 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫ )𝟒𝟏(
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
وزاري / 2016د1 𝟏 𝟏 𝒙𝒅 𝟐)𝒙𝟐 𝒕𝒐𝒄( 𝟐 𝒙𝟐 𝒏𝒊𝒔
𝟏
𝒙𝒅 𝟐)𝒙𝟐 𝒕𝒐𝒄( 𝒙𝟐 𝟐𝒄𝒔𝒄 ∫
𝟏 𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔 𝟖
𝒄 𝒄
𝒙𝒅 𝒙𝟔 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝟏 𝒙𝟔𝟏𝒏𝒊𝒔 𝟐𝟑 𝒙𝟔𝒔𝒐𝒄𝟐
𝟏 𝟏 𝟒
𝟐)𝒙𝟐 𝒕𝒐𝒄( 𝟏 𝟑 𝟐 .𝟐/
𝒄
𝟏 𝒙 𝟐
𝟏 𝒙 𝟐
𝒄
𝟏 )𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔 𝟒
𝟏 )𝒙𝟔𝟏𝒏𝒊𝒔 𝟔𝟏
𝒄
𝟐
∫
∫
𝟑
𝟑 𝟏 𝟐)𝒙𝟐 𝒕𝒐𝒄( 𝟑
𝒄
𝟏
𝟐)𝒙𝟐 𝒕𝒐𝒄( ∫ 𝒙𝒅 𝒙𝟐 𝟐𝒏𝒊𝒔
𝒙𝒅 )𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙-
𝟏 𝟐 𝟏 ]𝒙𝒅 )𝒙𝟐𝟏𝒔𝒐𝒄 𝟏( ∫ 𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔 𝒙[ 𝟒 𝟔 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝒙 𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔 𝒙 𝒄 𝒙𝟐𝟏 𝒏𝒊𝒔 𝟒 𝟐𝟏 𝟖 𝟔𝟗
𝒙𝟐 𝒕𝒐𝒄√ ∫ )𝟓𝟏( 𝒙𝒅 𝒙𝟐 𝟐𝒔𝒐𝒄 𝟏
𝟏 𝟏 𝒙𝒅 𝟐)𝒙𝟐 𝒕𝒐𝒄( 𝒙𝟐 𝟐𝒄𝒔𝒄)𝟐 (∫ 𝟐
𝟏 𝒙( 𝟐 𝟏 𝒙( 𝟐 𝟏 𝟏∫ ( , 𝟐
)𝒙𝟒𝒔𝒐𝒄
𝟏 𝟏(∫ 𝟐
𝒙𝒅 𝒙𝟐 𝟐𝒔𝒐𝒄 ∫ )𝟔𝟏(
)𝒙𝟔𝟏𝒔𝒐𝒄
𝟏 𝟏(∫ 𝟐
𝒙𝒅 𝒙𝟖 𝟐𝒏𝒊𝒔 ∫ )𝟕𝟏(
𝒙𝒅 )𝒙𝟑 𝟐𝒔𝒐𝒄(∫
𝒙𝒅 𝒙𝟑 𝟒𝒔𝒐𝒄 ∫ )𝟖𝟏(
𝟐
𝟏 )𝒙𝒅 𝒙𝟔 𝟐𝒔𝒐𝒄 ∫ 𝒙𝒅 𝒙𝟔𝒔𝒐𝒄𝟐 ∫ 𝒙𝒅 ∫( 𝟒 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔 𝒙( 𝒄 ])𝒙𝟐𝟏 𝒏𝒊𝒔 𝒙[ 𝟒 𝟑 𝟐 𝟐𝟏 𝟑 𝟏 𝟏 𝒙 𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔 𝑐 𝒙𝟐𝟏 𝒏𝒊𝒔 𝟖 𝟐𝟏 𝟔𝟗
******************************************************************
أمثلة أضافٌة محلولة مثال /جد التكامالت التالٌة: 𝒄
𝟏 𝒙𝟒𝒄𝒆𝒔 𝟐 𝒄
𝒂 𝒙 ∫ 0𝐬𝐞𝐜 𝟐 . / 𝟐
𝒙𝒅 𝟏1
𝐜
𝟐 𝟑)𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄( 𝟗
𝐜
𝒙√𝒔𝒐𝒄𝟐
𝒙√𝒏𝒊𝒔 𝟏 ) ( ∫ )𝟐( 𝒙𝒅 𝒙√ 𝟐
𝒂 𝒙 𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐 .𝟐/ 𝒂 ∫ 𝒙𝒅 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝐭𝐚𝐧𝟐 . / 𝒂 𝟐 𝒙 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐 . / 𝟐 𝟐 𝒂 𝒄 𝒙 𝒙 𝒕𝒂𝒏 . / 𝒂 𝟐
𝒙𝒅𝒙𝟑𝒏𝒊𝒔 𝟐)𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄( ∫ 𝟐 𝟑)𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄( 𝟐 × 𝟑 𝟑
𝒄
𝟏 𝒙𝟒𝒄𝒆𝒔 ) ( 𝟐 𝟒
𝒙𝒅 𝒙𝟒 𝒏𝒂𝒕 𝒙𝟒 𝒄𝒆𝒔𝟐 ∫ )(1
𝒙𝒅 𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄)𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟑𝒏𝒊𝒔𝟐(∫ 𝟐 𝒙𝒅)𝒙𝟑𝒏𝒊𝒔 ∫ (𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙)𝟐 ( 3 𝟑
296
𝒙𝒅
𝒙√𝒏𝒊𝒔 𝒙√
𝒙𝒂𝒔𝒐𝒄 𝒙𝒅 𝒙𝒂𝒏𝒊𝒔
∫ )𝟐(
𝟏 ∫ )𝟑( 𝟏
𝒙𝒅 𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔 ∫ )𝟒(
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل 𝟏 . / 𝟐
𝒙𝒅 )𝒙𝟒𝒔𝒐𝒄𝟒(
)𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔 𝒄
𝟏 𝒙𝒅 ) ( 𝒏𝒂𝒕 𝟐
𝒄
𝟑 . / 𝟐
1 𝟏(∫ 4
𝟏 . / 𝟐
𝒙𝒅 𝒙𝟒𝒔𝒐𝒄 𝟏(
)𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔 𝟔
)𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔
𝟑 . / 𝟐
𝟏 𝒙𝒅 . / 𝟐 ∫ 𝟏 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐 . / 𝟐
𝟏 𝟏 𝒙𝒅𝒙 ) ( 𝟐𝒄𝒆𝒔 ) ( ∫ 𝟐 𝟐 𝟏
𝒙𝒅 𝒙𝟒𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔
𝟏( 𝟏 ) ( 𝟒
)𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔 𝟑 . / 𝟐
𝒄
𝟏(∫
𝟏 𝒙𝒅 . / 𝟐
𝐱𝐝
𝟏 𝟏( . / 𝟐
)𝒙𝒔𝒐𝒄
∫
𝒙𝒅 ∫ )𝟔( 𝒙𝒅 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝟏
𝟏
𝒙𝐝)𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙𝒏𝒊𝒔𝟐( 𝟐 )𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔
𝒙𝐝)𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔( 𝟐 )𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔
𝟏(∫
𝟏√ ∫ )𝟓(
𝒙𝒅
𝟏(∫
𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔
∫ )𝟕(
𝟏
𝟏
𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔
𝒄
𝒙𝐝)𝒄𝒔𝒄 𝒙𝒕𝒐𝒄
𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄(∫
𝟏 𝐱𝐝 ) ( 𝐬𝐨𝐜 𝒙
𝟏 𝒙
) ( 𝒏𝒊𝒔𝟑
𝐜 𝟏 𝐱𝐝 ) 𝒙𝒏𝒊𝒔
𝟏 𝟐
𝒄 𝟒
𝟒 𝒙𝒏𝒊𝒔 (∫ 𝒙𝒅 ) 𝒙𝒔𝒐𝒄
𝒙𝒅
𝟏 0 1 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝟏 0 1 𝒏𝒊𝒔
𝟒 𝒙𝒄𝒆𝒔 ∫. 𝒙𝒅 / 𝒙𝒄𝒔𝒄
∫
𝟏 𝟐𝒙
𝒙𝒔𝒐𝒄 𝐱𝐝 ) 𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔
𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄( ∫
𝒙𝒕𝒐𝒄
𝒄
𝟐)𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔 𝟏 . / 𝟐
𝟏(
𝟑 𝟏 𝒙𝒅 ) ( 𝒔𝒐𝒄 𝟐 𝒙 𝒙
∫ )𝟑 ( 𝟏 (∫ 𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔
𝒙𝒄𝒔𝒄
𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔
𝟏
∫ )𝟖(
∫ )𝟗(
𝒙𝒕𝒐𝒄 𝟐)𝟏 𝒙𝒅 𝟐)𝟏
𝟐)𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔( ∫ 𝒙𝒅 𝟐)𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄(
𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕( ∫ )𝟎𝟏( 𝒙 𝟐𝒕𝒐𝒄(
𝒙𝒅 𝒙 𝟒𝒏𝒂𝒕 ∫
ثم نكمل الحل كما فً المثال ) (9فً الصفحة )(36 𝟒 . / 𝟑
)𝒙𝟕 𝟒 .𝟑/
𝒄
𝟓( 𝟏
𝒙𝒅 𝒙
𝟕
𝟏 . / 𝟑
𝟓(
)𝒙𝟕 𝒙
𝟏
𝟕𝒙 .𝟑/ 𝒙𝒅 𝒙 ) 𝟑𝒙
∫
𝒙𝒅
𝟐
𝟒
𝒙( / 𝟓
)𝟓 𝐜
𝒙
𝟕∫. 𝒙
𝟕 𝟓 𝒙 . / 𝟓 𝒙 𝟓𝟐 𝒙𝒅
𝟏 𝟑
) (
)𝟏
𝒙𝒅 𝒄
𝟐
)𝟓
𝟓 𝒙 𝟕 .𝒙 𝟓/ 𝟓 𝟓 𝟏 𝟐
𝟐𝒙()𝒙𝟐(∫ ) (
𝒙𝒅
𝟏 𝟑
𝒙𝒅 𝟐)𝟓
𝟓 (∫ 𝟒 . / 𝟑
)𝒙𝟕
𝒄
𝟒𝒙 𝒙( ∫𝟕 𝟒)𝟓 𝒙(
𝟏
𝟕 .𝟑/ 𝒙𝒅 𝒙 ) 𝟐𝒙
𝟒𝒙𝟕 𝒙( 𝟒)𝟓
𝒙(
𝟓 𝟑 ( ∫ )𝟏𝟏( 𝒙
𝟑 𝟓( 𝟖𝟐 ∫
𝟒𝒙𝟕 𝒙𝒅 𝟔)𝟓 𝒙(
∫ )𝟐𝟏(
𝟕 𝟒 𝒙 𝟏 ( ) ∫(𝟓) . [ / 𝒙𝒅 ] 𝟐)𝟓 𝒙( 𝟓 𝟓 𝒙
) (
)𝟏
𝟐𝒙()𝒙(∫
𝒄
297
𝟒 𝟑
) (
)𝟏
𝒙𝒅 𝟏 𝟐 𝟑 𝒙( 𝟖
𝟑
𝟐𝒙 )𝒙(∫ 𝟒 𝟑
) (
𝒄
𝒙𝒅 𝟑𝒙
)𝟏 𝟐𝒙( 𝟏 ) ( 𝟒 𝟐 ) ( 𝟑
𝟓𝒙
𝟑
∫ )𝟑𝟏(
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل 𝟏 . / 𝟐
)𝟑
𝒙𝒅
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟏 𝟐𝒙𝟓(𝒙)𝟎𝟏(∫ ) ( 𝟎𝟏
𝒙𝒅 𝟑 𝟐
𝒄
𝒙𝒅 𝟎𝟏)𝟑
𝟕)𝟑
1 𝒙𝟓( 𝟓𝟑
1 𝟑𝒙( 𝟐𝒙∫ 3 3
𝒙𝒅 𝟎𝟏)𝟑 𝒄
𝒙𝒅
𝟏 . / 𝟐
)𝟏
𝟕 𝟒𝒙( 𝟑𝒙)𝟒(∫ ) ( 𝟒
)𝟑
𝟒 𝟏 .𝟑/ . / ) 𝟐 𝒙𝟕
𝟕)𝟑 𝒙𝟓( 𝟏 ) ( 𝟓 𝟕
𝐱𝐝 𝟔)𝟑
𝟑 𝟏 𝒙( 𝟑𝟑
𝒙𝒅 𝟏 𝑐
𝟒 𝟏 . / 𝟑 . / ) 𝟐 𝒙𝟕
𝒄
𝟑 . / 𝟐
𝟒 .𝟑/
𝒙𝟓(∫
𝒙𝒅 𝟓) 𝟐𝟑- 𝒄
𝟒𝒙 𝟑𝒙𝟕 ∫ )𝟏
𝒄
)𝟑 𝟐𝒙𝟓( 𝟏 ) ( 𝟑 𝟎𝟏 ) ( 𝟐
𝟏 𝟏 . / 𝟏 𝟑 . / . / 𝒙𝒅 𝟐 )𝒙( ) 𝟐 𝒙𝟕
𝟑 𝟓( 𝟒𝟏
𝟑𝒙( 𝟐𝒙 ∫
𝟏𝟏)𝟑
𝟑 𝟐
𝟐𝒙𝟓 𝒙 ∫
) (
1 𝟐𝒙𝟓( 𝟓𝟏
𝟐 𝟕 𝟓( ] [ ∫ ] [ 𝟕 𝟐
𝒄
𝒄
)𝟑
) (
𝒄
𝟏 𝟏 . / 𝟏 𝟑 . / . / 𝒙𝒅 𝟐 )𝒙( ) 𝟐 𝒙𝟕
𝟏 . / 𝟐
𝟐𝒙𝟓(𝒙 ∫
𝒙𝒅 𝟑
𝟒 𝟕 𝒙( 𝟔
298
𝒙𝒅 𝟐𝒙𝟑
𝟒𝒙𝟓 ∫ )𝟒𝟏(
𝟔 𝟑 𝐱𝐝 )] 𝒙
𝟑𝒙∫ 𝒙𝟐 (,
𝟓( ∫
𝒙√𝟕 𝒙𝒅 𝒙√
𝟓
𝟑
∫ )𝟓𝟏(
𝟓( 𝟐 ] [ 𝟕
𝟓[ 𝒙( ∫
𝒙𝒅 𝟓)𝟗
𝟔 𝟑 𝒙𝒅 ) 𝒙
𝟓( 𝟔𝒙 ∫ )𝟔𝟏(
𝟑𝒙𝟔
𝟔𝒙( 𝟐𝒙 ∫ )𝟕𝟏(
𝟏𝟏)𝟑 𝟑𝒙( 𝟏 ) ( 𝟑 𝟏𝟏
𝒙𝒅 )𝟏
𝟒𝒙( 𝟐𝒙 𝟐𝒙𝟕 ∫ 𝟑 . / 𝟐
𝒄
)𝟏 𝟒𝒙( 𝟕 ) ( 𝟑 𝟒 . / 𝟐
𝒙𝒅 𝟐𝒙
𝟔𝒙 𝟐𝒙𝟕 ∫ )𝟖𝟏(
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
اللوغارٌتم الطبٌعـــً لةةةةةةةةتكن uدالةةةةةةةةة موجبةةةةةةةةة لابلةةةةةةةةة لالشةةةةةةةةتماق بالنسةةةةةةةةبة الةةةةةةةةى xفةةةةةةةةأن مشةةةةةةةةتمة اللوغةةةةةةةةارٌتم الطبٌعةةةةةةةةً للدالةةةةةةةةة uهةةةةةةةةً /
.
مشتقة الدالة
)
الدالة
(
وعلٌه فأن
𝟏
| |
∫ شرط أن تكون الدالة ) ( موجبةة وتسةتخدم هةذه
الدالة فً توفٌر المشتمة األولى فً بعض الدوال التً ٌصعب اشتمالها وهً تمتلن مجموعة من الخصائص الخاصة مثل : ) مثال ( /)1اذا كان )𝟒
𝟐
)
(
فأوجد
𝟑(
𝟔 𝟐
𝟒
مثال ( /)2جد
𝜃𝑑 𝜃 𝜃
(
𝟎
𝟐
)𝟒
𝟑
𝟑(
𝟏∫ 𝜃
𝟏
𝜃 𝜃 |𝜃
𝟏|
𝜃
| |
𝜃
𝜃𝑑 𝜃 𝜃
∫
𝟏
مثال : /جد مشتمة الدوال التالٌة : ) 𝟐
(
𝟐
)𝟐
𝟐
)
(
/
.
𝟏
)
(
) )
(
( /
)
(
.
)
299
(
(
∫
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
مثال /جد التكامل لكل مما ٌأتً : 𝟐)
(
∫
∫
)
)𝟐( 𝟏 𝟐 ∫) ( 𝟐 1
∫
𝟐 |1
𝟐
𝟏 𝟐
|
(
1
𝟏
| | |
|
| 𝟑
𝟏|
∫
∫
∫
∫
|
∫
∫
| 𝟏 𝟑
𝟐
𝟑 𝟑
𝟐
𝟑
𝟑 𝟏 ∫ 𝟏 𝟑
𝟑
𝟐
𝟏
∫
دالة اللوغارٌتم الطبٌعً هةةةً دالةةةة عكسةةةٌة لدالةةةة اللوغةةةارٌتم الطبٌعةةةً بمعنةةةى أخةةةر هنةةةان بعةةةض الةةةدوال عنةةةدما نشةةةتمها أو الدالةةةة األسةةةٌة نكاملهةةةا نةةةدخل علٌهةةةا الدالةةةة األسةةةٌة ثةةةم عنةةةدما ننتهةةةً نمةةةوم بألغةةةاط الدالةةةة األسةةةٌة عةةةن طرٌةةةك أدخةةةال دالةةةة اللوغةةةارٌتم الطبٌعً الهدف من هذه العملٌة هً لتغٌٌر شكل الدالة المراد العمل علٌها لةةةذا فةةةأن مشةةةتمة اي دالةةةة أسةةةٌة مرفوعةةةة للمةةةوة uهةةةً
)
)
(
)مشتقة االس()الدالة(
(∫ وهً تمتلن مجموعة من الخصائص الخاصة مثل
𝟏
𝟏
مثال ( /)3لتكن
)
𝟎
(
𝟖𝟐𝟖𝟏𝟕 𝟐
فجد )
مثال ( /)4جد
)
(
وعلٌةةةه فةةةأن
𝟐
∫
𝟐
(
وزاري / 2013د3 𝟐
300
𝟏 𝟐
𝟐
𝟏 𝟐∫ 𝟐
𝟐
∫
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
الدالة األسٌــــة ( األساس عدد ثابت) نفةةةةةةرض أن ) ( عةةةةةةدد ثابةةةةةةت ٌمثةةةةةةل أسةةةةةةاس الدالةةةةةةة األسةةةةةةٌة فةةةةةةأ ن مشةةةةةةتمة اي دالةةةةةةة أسةةةةةةٌة مرفوعةةةةةةة للمةةةةةةوة uهةةةةةةً )
()
(
)مشتقة االس() األساس
)
()الدالة(
𝟏
وعلٌةةةةةةةةةةةةةةةةةه فةةةةةةةةةةةةةةةةةأن
(
)
)
(
وتتمٌز ببعض الخصائص التً ذكرناها فً الدالة األسٌة السابمة وسوف نوضح ذلن فً المثال التالً .
مثال ( /)5جد
لكل مما ٌأتً : 𝟓
)
𝟐
𝟐𝟑 )𝟑
𝟐(
)𝟐()𝟑
𝟐 (
𝟐()𝟐
(
𝟓
) 𝟐 ()𝟐 )
𝟐𝟑 𝟐
( (
()𝟓
𝟐𝟑
𝟓
𝟐
𝟐
𝟐 𝟓
𝟓
******************************************************************
أمثلة أضافٌة محلولة مثال /جد
لكل مما ٌأتً : 𝟐(
)𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
)
(
,
-
-
),
𝟒)(𝟏)-
( () 𝟒
( 𝟒𝟑),
)
𝟐
) 𝟐 𝟓
𝟐𝟑 𝟑
𝟐 )𝟓
301
𝟐(
𝟐( )𝟑
) 𝟒
𝟐
𝟐 𝟐
) 𝟐(𝟑
(
𝟐
𝟐(𝟑 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐( (
𝟐
𝟓
𝟐𝟑 𝟓
𝟓
𝟐𝟑 𝟓
(∫
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
مثال /جد التكامل لكل مما ٌأتً :
𝟏 𝟕
𝟕
𝟕
)
∫ ∫
(
∫ √ √
𝟐
√
√) 𝟐(
∫ ) 𝟐(
√
∫
مثال /جد التكامل لكل مما ٌأتً :
𝟏 ) 𝟒 𝟏 ) 𝟐 𝟏 𝟑
𝟑
𝟏 ) 𝟑
(
𝟏 𝟑) ( 𝟕
𝟕 𝟐
)
𝟑
𝟓
𝟏 ) 𝟐
(
𝟓
𝟏 𝟑𝟐 ) ( 𝟑
𝟒𝟐 𝟐
𝟑
) 𝟕 𝟑 𝟑
𝟐
𝟑𝟐 (∫ 𝟐
𝟑𝟐 ∫
1 𝟏 ( 𝟐𝟐 ) ( ) 2 𝟐
𝟏 )𝟑(∫ 𝟑
𝟑 (
𝟏 𝟑)𝟕(∫ ) ( 𝟕
𝟕 𝟐
𝟐𝟐 ∫
) 𝟓
(
( 𝟒
𝟐
𝟒𝟐
𝟑
𝟑
𝟐
)𝟑
𝟐
𝟑𝟐
𝟑
𝟑
∫
𝟏
𝟒(𝟐
𝟏 𝟑 𝟐) 𝟑( ∫ ) ( 𝟑
)
(
𝟐∫
) 𝟕
∫
)𝟑
𝟑
𝟒∫
𝟐
𝟕
( 𝟐𝟒
𝟑
𝟑
𝟐
𝟑𝟐
∫
𝟑(𝟐(∫
1 𝟐𝟐)𝟐(∫ ) ( 2
𝟐
302
𝟑∫
∫
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
تمارين)𝟑
س /1جد
𝟒(
لكل مما ٌأتً : 𝟏
𝟏 𝒙
𝟑 𝒙
𝟏
𝒙𝟑
𝟏 𝟐 ) ( ) ( 𝟐 𝒙
𝟏 .𝟐/ 𝒙 .𝟐/
𝐲 )𝒃(
𝟐 𝒙
𝒙𝟐 𝟐𝒙
) 𝟐𝒙(𝒏𝒍
𝒚 )𝒄(
𝟏 ) ( 𝒙𝒏𝒍 𝟐 𝒙
𝟐)𝒙𝒏𝒍(
𝐲 )𝒅(
𝟑 𝟏 ) ( 𝒏𝒍 𝒙
𝒚 )𝒆(
𝟐(𝒏𝒍
𝒚 )𝒇(
(𝒆
𝐲 )𝒈(
𝒙 √𝟗
𝒚 )𝒉(
𝟕. 𝟒 /
𝒚 )𝒊(
𝟑
(
)𝟓 𝒙𝟑 𝟐𝒙𝟓
(𝒆 )𝟑
𝒙𝟎𝟏 (
𝟑-
𝒙𝟎𝟏 ,
)𝟗𝒏𝒍( 𝒍𝒏𝟕 . 𝒙/ 𝟒 𝟕 𝟒 )𝟐
𝒙 𝒏𝒍
)𝒙𝒏𝒊𝒔 ( 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝟐
𝒙𝒏𝒊𝒔 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝟐
)𝟓 𝒙𝟑 𝟐𝒙𝟓
𝒙 √𝟗 𝒙 √𝟐 𝟏 ) 𝟒 (
303
𝟑 𝒙 𝐥𝐧 . / 𝟐
𝟐 𝐱𝐧𝐥 𝒙 𝟒 𝒙𝟑 ) 𝟑 𝒙
𝟑 𝟑
)𝒂(
)
𝒚
)𝒙𝒔𝒐𝒄
)𝟓 𝒙𝟑 𝟐𝒙𝟓
(𝒆
𝟏 𝒙 √𝟐
( )𝟗𝒏𝒍( 𝒙
( )𝟕𝒏𝒍( 𝟕. 𝟒 / 𝟐
𝟐
𝒙 √𝟗
𝒙
𝟐
) (
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
س /2جد التكامالت األتٌة : 𝟐𝒏𝒍𝟐
𝟐𝟐𝒏𝒍
𝟒𝒏𝒍
)𝟐(𝟑𝒏𝒍
𝟎
𝟒𝒏𝒍
)𝟐(𝟓𝒏𝒍
𝟏𝒏𝒍
𝟗𝒏𝒍
𝟒𝒏𝒍
𝟓𝟐𝒏𝒍
|𝟏
|𝟗
𝟎|𝒏𝒍
𝟎|𝒏𝒍
|𝟏
|𝟗
𝟑|𝒏𝒍
𝟔𝟏|𝒏𝒍 𝟓 𝟑
𝟑 |𝟏𝟎
𝒏𝒍𝟐
𝒙|𝒏𝒍,
𝟒 |𝟗𝟎
𝟐
𝟑𝒏𝒍𝟐
𝒙𝒅
𝒙𝒅
|𝒏𝒍,
𝟖
𝟏 𝟔𝟏,𝟐
𝟏 𝟐
𝟏 𝟐
𝟏
𝟗-
𝟏 𝟓𝟐, 𝟐
𝟏
𝟏1
1
𝟐)𝟑(
𝟏1
𝟐0
𝟏 0 𝟐
𝟐)𝟓(
𝟏 )𝟐(
)𝟑
)𝟓
(𝟐
𝟎
0
𝟓 𝟑 𝟐 𝟎
3
] ) 𝟎𝒆 𝟖
𝟑)𝒆
𝟑
𝟏(
(1
𝟏 𝟑
3
) 𝟏𝒆
[ (1
𝟑)𝟐(
𝟑)𝒆
𝟏
1
)3 -
3
𝟏(,
𝟎
𝟏
𝟏(
𝟑 )𝟏
𝟑
1 3 𝟏(
+
𝟑)𝒆
𝟗
𝟎
𝟐
𝒙𝒅
∫ )𝒄( 𝟑
𝒙𝒅
,
)𝒅(
∫ 𝟎
𝟏(
3
0
𝟐
𝟐
وزاري / 2011د1 1
𝟐
𝟓
𝟏 , 𝟐
𝟐
-
)3
𝟒
∫ )𝒃(
وزاري / 2012د1
𝟏 𝟐
𝟐
𝟏
𝟓𝒏𝒍𝟐
وزاري / 2014د2 (𝟐
1
∫ )𝑎(
وزاري / 2013د2 )2
𝒙𝒅
*
𝟏
𝟏( ∫
)𝒆(
𝟎
𝟏(
𝟏 𝟑
لو كان السؤال : 𝟑 𝟐
𝟐𝒆 𝟐
𝟏𝒆
𝟎𝒆 + 𝟐
𝟎
𝟑𝒏𝒍
𝟏𝒏𝒍
1
𝟐𝒆 𝟎𝒆* + 𝟐
𝟏𝒆*
𝟎
𝟔𝒏𝒍
𝒙𝟐𝒆 + 𝟐 0
𝒙𝒆*
𝟏
𝒙𝒅 ) 𝟐
𝟏
𝒙𝒅
( ∫
)
𝟎
𝟎
وزاري / 2011د2 𝟏 𝟔𝒏𝒍
𝟏𝒏𝒍
𝟏) -
𝟔𝒏𝒍
𝟒
𝟑
(𝒏𝒍,
وزاري / 2013د1 𝒙𝒅
𝟎
وزاري / 2015د2 𝟏𝒆
𝟏( ∫
𝟐𝒆
𝒆√𝟏 1
𝟒√𝒆0
𝟐
𝟒 𝟏
𝟏
𝟑
∫ )𝒇(
𝟑
𝟒
𝟎
وزاري / 2012د2 𝟒 𝟎
𝟒
√ √
,
𝒙𝒅
√𝟐
∫ )𝒈( 𝟏
وزاري / 2011د1 𝟑𝒏𝒍
𝟑𝒏𝒍
|
𝟒
𝟐| 𝒏𝒍
|
𝟒
𝟐| 𝒏𝒍
𝟒 |𝟒
304
𝟐
𝟐|𝒏𝒍 ,
𝒙𝒅 )
𝟒
𝟐
( ∫ )𝒉( 𝟒
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝟐
𝟐 ,𝟐√𝒔𝒊𝒏𝒙 -
]
𝟔 𝟐√
𝟐
𝒆
𝟏
𝟏
).𝟐/ 𝟏 .𝟐/
𝟔
𝟐
𝟏 𝟐
𝟐
𝟐√
𝟐
𝟓
)𝟏 𝟓
∫
𝐱𝐝
[
𝒏𝒊𝒔 𝟐
𝟔
𝟐
𝟐
(∫
∫
√
𝟐
𝟓
) 𝟓
𝟐
(∫
) 𝟓
∫ 𝟏 𝟎𝟏
𝟐
∫
)𝒊(
𝟔
𝒏𝒊𝒔 𝟐
𝟓
𝟓
𝟏 |𝒙𝟓 𝒏𝒊𝒔|𝒏𝒍 𝟓
𝒄
(
𝒙𝒅
𝟔
𝟏√ 𝟐
𝟓 𝒙𝒅 𝟓
(
𝟏 ). 𝟐 /
𝟐
𝟐
𝟓
𝟓
𝟓 𝒙𝒅 𝟓
∫
,
𝒙𝒅 )
𝟓 𝟓
𝟑
𝟐
𝟐
∫) ( (∫
𝟏 ) 𝟓
𝟐
(
وزاري / 2015د1 𝟎
𝟏-
,
1
/
)𝟎(
.
𝟐
𝟐-
0
𝟐
(
∫ )𝒌(
𝟎
𝟏
𝟏
𝟐 ,𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝒙𝒅 ∫
𝒙𝒅
𝟏
) (
∫
𝟏
𝒙𝒅
𝟐
𝟏 ) (
𝟐
∫
𝟏
∫ )𝑳(
𝒙𝒅
𝟏
𝟏
س /3أثبت أن : 𝟏
𝟐 𝟖 𝟑 𝟐
𝟏 𝟑
)𝟏
𝟏]
𝟑 𝟐
𝟏 𝟐
( 𝟑
𝟐 𝟏 𝟑 ( 𝟑
)𝟏
𝟏 𝟐
𝟖
𝟏 ) ( ∫𝟑 𝟑 𝟏
∫
[ 𝟑 𝟐
] )𝟏
𝟑 𝟐
𝟏 𝟑𝟏(
)𝟏
𝟏 𝟑𝟖([ 𝟐
] )𝟏
𝟏 𝟑
([ 𝟐
𝟏
األٌمن
𝟐
)𝟏(𝟐
]𝟎
𝟑
𝟐)𝟏([ 𝟐
305
𝟑
] 𝟐)𝟏
𝟏(
𝟑
𝟐)𝟏
𝟖
𝟑
√
𝟖 𝟏
𝟖 𝟑 𝟐
√ 𝟐
𝟐 𝟏 𝟑 ( 𝟑
)𝟏
𝟑
𝟐([ 𝟐
األٌسر
∫) ( 𝟏
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝟒
𝟎𝟑
𝟑| ∫ ) (
𝒙𝒅 |𝟔
𝟐
مالحظة
𝟔
𝟐
𝟑 2 <2
𝟒
3 2 * 2
6 + 𝟐
الطرف األٌمن
2
2
𝟎𝟑
6 3
|6
2
3 2 + 2 6
3 2 6
|3
*6
∫ (3
𝑥𝑑 )6
∫ (6
𝑥𝑑 ) 3
2
18
6
𝟔,
)12-
∫ |3
𝑥𝑑 |6
2
24
( 24
الطرف األٌسر
2
, 12
)6-
𝟔-
(,12
وزاري / 2016د1 س ( ) /4 ) (
دالة مستمرة على الفترة , 𝟐 𝟔-فأذا كان 𝟔
𝟔
) ( 𝟏∫ وكان 𝟐𝟑
𝟑-
𝟔
) ( ∫ 𝟐,فجـــــد
𝟏 𝟐
∫ 𝟔
𝟑-
𝟐𝟑
) ( ∫ , 𝟐 𝟔
𝟔
) (
𝟑 ∫
𝟐𝟑
∫ 𝟐
𝟐
𝟔
𝟐𝟑
𝟐 𝟔| 𝟑|
( 𝟔)-
𝟖𝟏,
) (
𝟐𝟑
𝟒𝟐
) (
𝟖
) (
) (
∫ 𝟐 𝟔
𝟐𝟑
∫ 𝟐 𝟔
∫ 𝟐 𝟔
∫ 𝟐
𝟔
) ( ∫
𝟏
) (
𝟏
𝟔
) (
∫
∫ 𝟐
𝟐 𝟏
) (
𝟔
∫
𝟖
𝟐 𝟏
) (
𝟐
∫ 𝟐
306
𝟏
𝟔
𝟖
) (
∫ 𝟐
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
س /5جد لٌمة
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎 𝟐
أذا علمت أن
𝟒𝟎∫ 𝟐
/
𝟏
∫𝟏 .
𝟐
الحل / 𝟒𝟎-
𝟐
𝟏 + 𝟏 𝟐
𝟐,
𝟐
𝟒
𝟐
*
𝟎-
)𝟐
𝟎
𝟏𝟐,
()𝟑
𝟏
(
𝟐 𝟎
]𝟎
𝟔
𝟏 ) 𝟐
[𝟐
𝟒 ⇒
𝟑
𝟐
𝟏 ( 𝟐
س /6لتكن الحل /
𝟐
𝟐
)
𝟐
𝟐
(
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
) ( حٌث
𝟏
𝟐
𝟐
)𝟐×(
𝟐
∫𝟐
𝟎
𝟐
𝟐
𝟏 ) 𝟐
( ∫
𝟏
𝟐
𝟐
𝟑 𝟑
دالة نهاٌتها الصغرى تساوي )𝟓 ( فجد
) ( 𝟏∫
للدالة نهاٌة صغرى ∴ 𝟎
) (̅ 𝟐
𝟐 )𝟐 (
𝟏
∴ النمطة )𝟓
𝟐
⇒
𝟐
𝟐
𝟎
𝟐
𝟏 ( نمطة نهاٌة صغرى محلٌة وهً تحمك معادلة الدالة ) ( 𝟐 𝟏 𝟓 𝟒
𝟐
)𝟏 (𝟐 𝟒 𝟑
𝟑 𝟐
𝟒
+ )𝟑
𝟔𝟐 𝟑
𝟏 𝟑
(
) 𝟒
*
𝟑 𝟔
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
)𝟒
𝟖 𝟖𝟏 𝟑
𝟏 𝟑
𝟏 𝟖 ) 𝟑
307
(
( 𝟔
)𝟐𝟏 𝟗
𝟏
)
𝟑
(
𝟐
𝟐
) (̅
)𝟏 (
𝟓
) ( 𝟑
( ∫
𝟗
𝟐
) (
) ( ∫ 𝟏
𝟗( 𝟔
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝟑)𝟑
س /7أذا كةةةان للمنحنةةةً 𝟏 ) ( 𝟎∫ الحل /
) (
(
نمطةةةةة انمـــــةةةـالب )
) (
( جةةةد المٌمةةةةة العددٌةةةة للممةةةةدار وزاري / 2015د3
𝟎∫
للدالة نمطة أنمالب ∴ 𝟎
) (̅
𝟑)𝟑
(
) (
𝟐)𝟑
(𝟑
) (̅
)𝟑
(𝟔
) (̅
𝟑)𝟑
𝟑(
)𝟑(
𝟏
𝟎
𝟑
)𝟔 (
𝟑
𝟎
⇒
(𝟔
)𝟑
𝟏 ∴ نمطة األنمالب )
( هً )𝟏 𝟑( أي أن
𝟏
𝟏
𝟑
𝟑
)𝟑
𝟏 𝟐
(𝟔 ∫
)𝟑
+
𝟐)𝟑
+
𝟐
𝟐)𝟑
𝟑( 𝟐
𝟎
( 𝟐
𝟎
*𝟔
+ ]
𝟏
*𝟔
𝟐
𝟑)𝟑
+
𝟑
𝟏( 𝟑
𝟎[ 𝟔
]
]
𝟗 𝟐
𝟕𝟐
𝟖
𝟑
[𝟔 𝟔𝟒
308
(
𝟑)𝟑
𝟎(
𝟎
𝟑
𝟎
𝟑)𝟑
𝟗
) ( ∫
∫
𝟎 𝟑
𝟐)𝟑
) (
(𝟑 ∫
𝟎
𝟎(
𝟏
𝟑
] 𝟕𝟐
𝟗𝟏 𝟑
*𝟑
*𝟑 [𝟑 [𝟑
𝟗𝟏
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
أمثلة أضافٌة محلولة مثال /جد التكامالت التالٌة : 𝒄
|𝒙𝒏𝒂𝒕
𝒄
|𝒙𝒕𝒐𝒄
𝒙𝒏𝒂𝒕 𝐱𝐜𝐞𝐬 𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔 ∫ 𝐱𝐝 𝒙𝒏𝒂𝒕 𝒙𝒄𝒆𝒔
𝒙𝒄𝒆𝒔|𝒏𝐥
)𝒙𝒏𝒂𝒕 𝒙𝒄𝒆𝒔(𝒙𝒄𝒆𝒔 ∫ 𝒙𝒅 )𝒙𝒏𝒂𝒕 𝒙𝒄𝒆𝒔( 𝒙𝟓
𝒄
𝟑𝒙 𝟑
𝟐
𝒙𝒅)𝟓
𝒙(∫
𝒙𝒅
𝟐
𝟐
𝟐𝒆𝟐
𝟏-
𝟐𝒆,
𝒄
𝒙𝒏𝒍
𝟏√𝟐
𝒄
𝒆𝟐 -
𝒙𝒅 𝒙𝒆 ∫
𝟏,
𝒙𝒅
𝒙
𝟏
𝒄
𝟐)𝒙𝒏𝒍 𝟏 .𝟐/
|𝒙𝒄𝒆𝒔|𝒏𝒍
𝒄
𝒙𝒕𝒐𝒄 𝒙𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄 ∫ 𝒙𝒅 𝒙𝒕𝒐𝒄 𝒙𝒄𝒔𝒄 𝒄
|𝒙√𝒏𝒂𝒕
𝒄
𝟐)𝒙𝒏𝒍( 𝟐
𝟏(
𝟎
𝟐
𝒆 ∫ 𝟐
𝟐
𝒄
𝟏 𝒙𝒆 𝒆
𝟏
𝒄
) 𝒙𝒆 𝟏
309
∫
𝒙𝒏𝒊𝒔 𝒙𝒅 𝒙𝒔𝒐𝒄
𝒙𝒏𝒍
𝟏√𝒙
∫ )𝟒(
∫
𝒙𝒅 𝒙𝒕𝒐𝒄 ∫ )𝟔(
)𝒙𝒕𝒐𝒄 𝒙𝒄𝒔𝒄(𝒙𝒄𝒔𝒄 ∫ 𝒙𝒅 )𝒙𝒕𝒐𝒄 𝒙𝒄𝒔𝒄(
𝒙𝒅 𝒙𝒄𝒔𝒄 ∫ )𝟕(
𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙𝒅 𝒙𝒏𝒊𝒔
|𝒙𝒏𝒊𝒔|𝒏𝒍
𝒙√𝒄𝒆𝒔 𝒙𝒅 𝒙√)𝟐(
𝒙𝒏𝒍 𝒙𝒅 𝒙
∫
𝒙𝒅
𝟐 )𝒙
𝒆
∫𝟐
𝟏 𝒙𝒅 ∫ 𝒙 𝒄
𝒆(
𝒙𝒅
∫
𝒙√𝒄𝒆𝒔|𝒏𝒍𝟐
𝒙𝒏𝒍
𝒆 ∫ )𝟐(
𝒙𝒅 𝒙𝒏𝒂𝒕 ∫ )𝟓(
|𝒙𝒔𝒐𝒄|𝒏𝒍 𝒄
𝒙𝒄𝒔𝒄|𝒏𝒍
𝟏
𝒙𝒅 𝟐 )𝒙𝒏𝒍 𝒙
)𝟓 𝟐𝒙(𝒏𝒍
𝒙𝒅 |𝒙|𝒆 ∫ )𝟑(
𝟎
𝟏(
𝒙𝒅 𝐱𝐜𝐞𝐬 ∫ )𝟏(
𝟒)𝒙𝒏𝒍( 𝟒 𝒆( 𝒙
𝒆∫
𝒙√𝒄𝒆𝒔 𝒙𝒅 𝒙√
𝒙𝒏𝒍 𝒙𝒅 ) 𝒙
∫ )𝟖(
𝟏 ( ∫ )𝟗( 𝒙
𝟑)𝒙𝒏𝒍( ∫ )𝟎𝟏( 𝒙𝒅 𝒙 𝒙𝒆 ∫ )𝟒𝟏( 𝒙𝒅 𝟐) 𝒙𝒆 𝒆(
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
مثال /جد
للدوال
التالٌة : 𝟏 ) (
)𝟏( )
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
) (
𝟏( ) ( 𝟏 ) ( )
)
𝟐)
𝟐 𝟐
𝟏(
(
)
) (
(
𝟐
)
(𝟐
)
( ) 𝟑𝟑 𝟐 )𝟏
)
𝒙 ) 𝟒(
(
𝒙
)
(𝟐
)-
(𝟐
𝒙 𝒙, (𝟐
(𝟐
) )𝟏 𝟑(
)𝟑( 𝒙
)
𝟑(
(
(𝟐
)
) (
)𝟐(
𝟐
(𝟐
(𝟐
)
(
(
(𝟐
)
) (
(
𝟏) ,
)
𝟏
()
)
)𝟏(
) 𝟑𝟑
𝒙 () ( 𝟐)𝟏
𝟑(
)𝟏()𝟏 𝟑(
𝟑
𝟏
)𝟓(
مثال /جد معادلة المماس للمنحنً للدوال التالٌة : ⒜
عندما 𝟎 نقطة التماس )𝟏 𝟎(
𝟏 𝟎
𝟏 /معادلة المماس.
𝟎
𝟏
𝟏
310
𝟎
𝟏 𝟎
مٌل المماس 𝟏
𝟏 𝟏
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
)(b
𝟐
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
عندما 𝟏 نقطة التماس )𝟐 𝟏( 𝟐𝟐
𝟒 )معادلة المماس(
)(c
(𝟒
)𝟏
𝟏𝟐
𝟐 ) 𝟏𝟐(
𝟐
مٌل المماس
) 𝟐(
𝟐
𝟐 𝟏
𝟐
𝟐
𝟏
𝟒
𝟏
عندما نقطة التماس ) 𝟐
𝟏
)𝟏(
( 𝟏
𝟏
)معادلة المماس(
)
(
)
𝟏 ) (
)𝟏(
𝟏 (𝟐
مٌل المماس 𝟏
𝟐
𝟏
مثال /أثبت أن الدالة ) جد لٌمة
,
) (
(
0𝟎 1 𝟒
دالة ممابلة للدالة
) (
ثم
) ( 𝟒𝟎∫
الحل /
) (
هً دالة مستمرة و لابلة لألشتماق وكذلن ) (
هً دالة مستمرة ولابلة لألشتماق أٌضا )
) (
(
)
)𝟏
𝟐√(
)𝟎
𝟐
𝟏(
) (
هً دالة مقابلة للدالة
)𝟏
𝟐√(
)-
(
(
,
𝟒
∫
𝟎
311
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
مالحظة: أذا كان مٌل المنحنً ٌحتوي على المتغٌر ) ( نستخدم . /للمٌل ثم نضع كل متغٌر على جهة ثم نكامل الطرفٌن ******************************************************************
س : 1جد منحنً الدالة الذي ٌمس المستمٌم 𝟕 س : 2أذا كانت المشتمة الثانٌةة 𝟔 بأستخدام التفاضل أرسم منحنً الدالة
𝟑 ومٌله عند كل نمطة من نماطه ٌساوي 𝟔
𝟐
𝟑
وكةان للدالةة النمطةة )𝟒 𝟏 ( نمطةة نهاٌةة عظمةى محلٌةة جةد منحنةً الدالةة ثةم 𝟐
س : 3جد معادلة منحنً الدالة الذي مٌله عند كل نمطة من نمطه ٌساوي ) 𝟔 )𝟑 ( وكان المنحنً ممعر )𝟏 > ( ومحدب لكل )𝟏 < (
( وله نهاٌةة صةغرى محلٌةة لٌمتهةا
س : 4جد معادلة المنحنً المار بالنمطة )𝟐 𝟏 ( ومٌله عند كل نمطة من نمطه ٌساوي س : 5جد معادلة المنحنٌات أذا علمت أن مٌلها عند كل نمطة من نمطها )
( هو
𝟏
𝟐 𝟐 𝟑
𝟑
𝟐 𝟐 𝟑
𝟐 𝟐
******************************************************************
اٌجاد مساحة المنطمة المستوٌة مساحة المنطمة المستوٌة المحددة بمنحنً ومحور الســـٌنات لتكن ) (
دالة مستمرة على الفترة -
السٌنات والمستمٌمٌن
,ولتكن Aمسةاحة المنطمةة المحةددة بةالمنحنً ) ( ومحةور
فأن |
) (
∫|
خطوات الحل : الٌجاد المساحة بٌن منحنً ومحور السٌنات نتبع ما ٌلً : Ⓘنجعةةةةل 𝟎 ) ( الٌجةةةةاد نمةةةةاط التمةةةةاطع مةةةةع محةةةةور السةةةةٌنات فةةةةأذا كةةةةان النةةةةات ٌنتمةةةةً للفتةةةةرة - الفترة كما تعلمنا سابما واذا كان النات الٌنتمً للفترة فٌهمل وتؤخذ الفترة المعطاة فمط . ② اذا لم تعطى مع الدالة فترة فالفترة ٌتم تحدٌدها من خالل نماط تماطع الدالة مع محور السٌنات ③ المساحة = مجموع المٌم المطلمة للتكامالت المجزئة
312
,فنجةةةةزي
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
مثةةةةال ( /)1جةةةةد مسةةةةاحة المنطمةةةةة المحةةةةددة بمنحنةةةةً الدالةةةةة الفترة , 𝟐 𝟐-
𝟑
𝟒
) ( ومحةةةةور السةةةةٌنات وعلةةةةى
الحل / نجعل 𝟎
الٌجاد نمط التماطع
) (
𝟐
𝟎
𝟐
)𝟐
𝟎
(
()𝟐
𝟎
𝟐
)𝟒
(
𝟒
𝟎
𝟑
∴ فترات التكامل هً )𝟐 𝟎( )𝟎 𝟐 ( 𝟐
𝟎
𝟒
+
𝟐
𝟐
𝟒
𝟎
+
*
𝟐
𝟒 𝟐
𝟐
𝟒
𝟐
) وحدة مربعة( 𝟖
*
𝟑
) 𝟒
|
𝟎
( ∫|
𝟑
) 𝟒
|
( ∫|
𝟎
|𝟒 |
|)𝟎(
𝟒
𝟐
𝟒(|
)𝟖
𝟒(
|)𝟖
)𝟎(|
وزاري / 2013د3 𝟐
مثةةةةةةةال ( /)2جةةةةةةةد مســـةةةةةةةـاحة المنطمةةةةةةةة المحـــةةةةةةةـددة بمنحنةةةةةةةً الدالــةةةةةةةـة 𝟏 والمستمٌمٌن 𝟑
ومحةةةةةةةور السةةةةةةةٌنات
الحل / الٌجاد نمط التماطع
نجعل 𝟎
,𝟏 𝟑-
𝟎
𝟎
𝟐
𝟑
𝟔𝟐 ) وحدة مساحة( 𝟑
𝟕𝟐 ] 𝟑
𝟏 |] [ 𝟑
𝟑
𝟑
[|
+
𝟑
𝟐
|
*
∫| 𝟏
𝟏
وزاري / 2013د1
مثال ( /)3جد مساحة المنطمة المحددة بمنحنً الدالة
𝟐
𝟐
𝟑
𝟑
) ( ومحور السٌنات
الحل / نجعل 𝟎
الٌجاد نمط التماطع
) ( 𝟐
𝟏
𝟐
+ 𝟏
𝟎 𝟒
𝟐
𝟑
𝟒
𝟎
𝟏
*
𝟏 ) وحدة مساحة( 𝟐
+
)𝟐
(
()𝟏
)𝟐
𝟎
𝟐
𝟒
𝟎
𝟐 𝟒
𝟏 | 𝟒
|
𝟎
𝟐
𝟒 𝟑
𝟑
𝟐
(
𝟐
*
) 𝟐
|
𝟐
𝟑
𝟑
( ∫|
𝟏
|
) 𝟐
𝟐
𝟑
𝟑
𝟏
𝟏 𝟒
|)𝟏
𝟏
313
𝟏 ( 𝟒
)𝟒
𝟖
𝟐
𝟑
( ∫| 𝟎
𝟒(|
|)𝟎(
)𝟏
𝟏
𝟏 (| 𝟒
𝟑
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل 𝟐
مثةةةال ( /)4جةةةةد مسةةةةاحة المنطمةةةة المحةةةةددة بمنحنةةةةً الدالةةةة 𝟏 الفترة , 𝟐 𝟑- الحل /نجعل 𝟎
) (
) ( ومحةةةةور السةةةةٌنات وعلةةةةى
الٌجاد نمط التماطع , 𝟐 𝟑-
𝟏
)𝟏
𝟎
()𝟏
𝟑
|
𝟐
)𝟏
|
𝟐
)𝟏
|])𝟏
𝟏 ) وحدة مساحة( 𝟑
مثةةةةال (/)5 الفترة 1
𝟗
𝟖𝟐 𝟑
𝟏 𝟑
𝟎𝟐 𝟑
(
𝟏
𝟑
𝟏
𝟏 ( 𝟑
*
الحل /نجعل 𝟎
+
𝟑
𝟏
)𝟏
𝟏 ([ 𝟑
])𝟐
𝟒 𝟑
𝟏 | 𝟑
𝟕|
|𝟐
𝟒 𝟑
𝟏
𝟑
𝟖 𝟑
جةةةةد مســـةةةةـاحة المنطمةةةةة المحةةةةددة بمنحنةةةةً الدالةةةةة 𝟐
)𝟏
( ∫| 𝟐
𝟑
+
)𝟑
|
𝟐
𝟏 𝟑
𝟗([
𝟏
( ∫|
𝟏
𝟏
𝟎
𝟏
( ∫|
])𝟏
(
𝟐
𝟑
+
*
𝟑
𝟐
(
𝟏 𝟑
)𝟏
𝟐 | 𝟑
([|
𝟕 𝟑
|𝟏
*
|
) ( ومحةةةةور السةةةةٌنات وعلةةةةى
0 ) (
الٌجاد نمط التماطع ]
| - 𝟎 ) وحدة مساحة( 𝟑
𝟐
|𝟏 |
𝟏-
𝟏,
| ,
|
𝟎 -
,
[
𝟐
𝟎
𝟎
|
∫|
|
𝟎-
𝟏 ,
314
∫|
|
𝟎
𝟐 |)𝟎(
𝟎
) (
|
|/
𝟐
𝟐
.
)𝟎(
|
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
مثةةةةال ( /)6جةةةةد مســةةةةـاحة المنطمةةةةة المحةةةةددة بمنحنةةةةً الدالـــةةةةـة , الفترة - الحل /نجعل 𝟎
ومحةةةةور السةةةةٌنات وعلةةةةى
الٌجاد نمط التماطع
) (
-
-
|
,
|
𝟐
| |
𝟐 -
| 𝟐
| |
,
-
|
,
|
,
∫|
𝟎
𝟐
𝟐
|
𝟐
∫|
𝟐
|
∫|
𝟐
𝟐 ) (
|. / 𝟐 ) وحدة مساحة( 𝟒
𝟏
|/
|
𝟐
𝟐
.
|𝟏 |
𝟏
. / 𝟐
𝟎|
|𝟏
|
|𝟏 |
𝟐
|)
(
|𝟏
/ 𝟏|
𝟐
.
| 𝟏 |
|𝟎
******************************************************************
أمثلة أضافٌة محلولة 𝟐
مثةةةةةال /جةةةةةد مســـةةةةةـاحة المنطمةةةةةة المحةةةةةددة بمنحنةةةةةً الدالةةةةةة 𝟒 الفترة , 𝟏 𝟑- الحل /نجعل 𝟎
) (
) ( ومحةةةةةور السةةةةةٌنات وعلةةةةةى
الٌجاد نمط التماطع ) ٌهمل السالب(
, 𝟏 𝟑-
𝟑
𝟑
| 𝟒 + 𝟐
|𝟖
𝟖 𝟑
𝟑
𝟐 𝟐
*|
𝟑 |
𝟒𝟑 /وحدة مساحة. 𝟑
|
𝟑
𝟏
|𝟒
𝟗 𝟑
|
𝟕 𝟕𝟐 𝟑
315
*|
)𝟒
|
𝟐
𝟐
( ∫|
|
)𝟒
𝟐
( ∫|
𝟐
𝟖 ( 𝟑
|)𝟖
𝟕 𝟑
()𝟐
𝟎
𝟑
𝟑
𝟒 +
𝟖
𝟎
)𝟐
(
𝟗
)𝟐𝟏
𝟖 𝟓𝟏 | 𝟑
𝟗(| |
𝟒
𝟏
𝟏 𝟑
|)𝟒
|𝟗 |
𝟖 | 𝟑
(
)𝟖
𝟖 (| 𝟑
𝟓|
|𝟐𝟏
𝟑|
𝟐
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
مثال /جد مســـــاحة المنطمة المحددة بمنحنً الدالــــة الحل /نجعل 𝟎
) (
) ( ومحور الســــٌنات وعلى الفترة ,𝟎 𝟐-
الٌجاد نمط التماطع
) الٌمكن ألنه دائما عدد موجب أكبر من الصفر (
𝟎 𝟐
) وحدة مربعة( )𝟏
𝟐
(
|
𝟐
𝟎
|
∫|
|
𝟎
𝟐
مثةةةةال /جةةةةد مسةةةةاحة المنطمةةةةة المحةةةةددة بمنحنةةةةً الدالةةةةة
𝟐
) ( ومحةةةةور السةةةةٌنات
وعلى الفترة 0𝟎 1 𝟐
الحل /نجعل 𝟎
) (
الٌجاد نمط التماطع ]
])𝟏
𝟏 𝟎( [ 𝟐
𝟐
𝟎[
])𝟎
𝟒 𝟏 𝟏( [ 𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
| ] 𝟐 𝟒
𝟏 𝟐
[|
𝟒
| ] 𝟐 𝟎
𝟎
𝟏 𝟐
[|
𝟐
𝟐
𝟎
𝟐
|
𝟐
∫|
|
𝟐
𝟒
𝟐
𝟎
𝟒
) وحدة مربعة( 𝟏
∫|
𝟏 | 𝟐
|
𝟏 𝟐
******************************************************************
مساحة المنطمة المحددة بمنحنٌٌن لتكن ) (
) (
دالتٌن مستمرتان على الفترة - هً
|
)) (
,فأن المساحة المحةددة بةالمنحنٌٌن f,gوالمسةتمٌمٌن
) ( ( ∫|
خطوات الحل : الٌجاد المساحة بٌن منحنً دالتٌن نتبع ماٌلً :
) ( الٌجةةةاد نمةةةةاط التمةةةاطع فةةةأذا كةةةةان النةةةات ٌنتمةةةةً للفتةةةرة - Ⓘنجعةةةل ) ( سابما واذا كان النات الٌنتمً للفترة فٌهمل وتؤخذ الفترة المعطاة فمط . ②اذا لم تعطى مع الدالة فترة فالفترة ٌتم تحدٌدها من خالل نماط تماطع الدالتٌن .
③ المساحة = مجموع المٌم المطلمة للتكامالت المجزئة ( للدالة األكبر – الدالة األصغر )
316
,فنجةةةزي الفتةةةةرة كمةةةا تعلمنةةةةا
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
وزاري / 2011د1
مثال ( /)1جد مساحة المنطمة المحددة بالمنحنً
والمستمٌم
√
الحل / نجد نمط التماطع وذلن بجعل 𝟏
√ 𝟎
𝟏
] + 𝟎
𝟎
(
)𝟏 𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
√ 𝟐 *[ 𝟑
| ]
𝟎 𝟑 . / 𝟐
𝟐
𝟑 .𝟐/
𝟐
𝟎
𝟐
|
[|
مثال (/)2
⇒ 𝟏
𝟏
|
( ∫|
√( ∫|
)
𝟎
/وحدة مساحة.
جد مساحة المنطمة المحصورة بٌن المنحنً
𝟐
𝟏 . / 𝟐
)
)بالتربٌع(
√
𝟑
𝟏 𝟔
𝟎
𝟒
𝟑
])𝟎(
𝟔
𝟐 ([ 𝟑
𝟏 ) 𝟐
والمستمٌم
الحل / 𝟑
نجد نمط التماطع وذلن بجعل
𝟎
𝟏 𝟏 𝟐
| + 𝟎
𝟐
𝟒
𝟒
)𝟏
𝟎 𝟎 𝟐
*|
)وحدة مساحة(
| + 𝟏
𝟏 𝟐
𝟐
(
𝟏
𝟒
𝟒
𝟐 𝟏 | 𝟒
317
|
𝟑
𝟎
𝟑
|
*|
)
𝟑
𝟎
( ∫|
|
)
𝟑
𝟎
𝟏 𝟒
|)𝟎(
𝟏 ) 𝟐
𝟏 (| 𝟒
( ∫| 𝟏
𝟏 |) 𝟐
𝟏 ( 𝟒
)𝟎(|
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
مثةةةةةةةةال (/)3 وعلى الفترة 1
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
جةةةةةةةةد مســـةةةةةةةةـاحة المنطمةةةةةةةةة المحةةةةةةةةددة بةةةةةةةةالمنحنٌٌن 𝟐
𝟐
و
) (
) (
0
الحل /نجعل ) (
الٌجاد نمط التماطع
) (
)األتجاه الموجب( ]
𝟐 || -
𝟒 || -
|, |
𝟐 𝟐
|, |
[
𝟏
𝟒
𝟐
)
|
( ∫|
𝟒
)
|
( ∫|
𝟒
𝟒
𝟐
𝟐 . / 𝟒
|). / 𝟒
). / 𝟐
(
/وحدة مساحة.
. / 𝟐
𝟐√𝟐
𝟏
(|
.
|)/ 𝟐 𝟏 𝟏 ( |) 𝟐√ 𝟐√
𝟏
𝟐√
𝟐√
/
.
𝟐
). / 𝟒
(
. / 𝟒 𝟏 𝟏
(|
)𝟎 𝟏(| |)𝟎 𝟏 ( ) (| 𝟐√ 𝟐√ 𝟐 𝟐 𝟏| |𝟏 | 𝟏| |𝟏 𝟐√| | 𝟐√ 𝟐√
|𝟐√
******************************************************************
أمثلة أضافٌة محلولة مثةةةةةةةال /جةةةةةةةد مسةةةةةةةاحة المنطمةةةةةةةة المحةةةةةةةددة بةةةةةةةالمنحنٌٌن 𝟏 وعلى الفترة , 𝟐 𝟑- الحل /نجعل ) (
𝟐
) (
)𝟏
(
()𝟒
𝟒
𝟎
| 𝟒 + 𝟏
𝟏
𝟑
𝟑
*|
𝟐 𝟑 𝟐
| 𝟒 + 𝟐
|)𝟒 𝟐𝟏𝟏 | 𝟔
|
𝟕𝟏 𝟔
|
𝟑 𝟐
𝟏 𝟑
𝟒𝟐
𝟗
(
𝟓
𝟏
𝟑𝟐
𝟒
𝟐
𝟏
𝟑
𝟑
𝟑
𝟐
𝟑
𝟑𝟐 𝟑
) (
الٌجاد نمط التماطع 𝟎
𝟐 𝟑 𝟐
𝟐
و 𝟓
) (
*|
|
)𝟒
𝟑
𝟐
𝟏
( ∫|
|
𝟑
)𝟒
𝟐
( ∫|
𝟏
)𝟐𝟏 𝟐 𝟐𝟕 𝟔
𝟕𝟐 𝟐
𝟗(|
𝟏𝟖
𝟒𝟓 |
|)𝟖 |
𝟖𝟒
) وحدة مساحة(
318
𝟐
𝟖 𝟑
𝟔 𝟔𝟑
)𝟒
(
𝟒𝟐
𝟔𝟏
𝟑 𝟐 𝟗
𝟔 𝟑𝟒 𝟐
𝟗𝟐𝟏 𝟔
𝟐𝟏𝟏 𝟔
𝟏 𝟑 𝟐
(| |
𝟕𝟏 𝟔
𝟐
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل 𝟒
مثال /جد المساحة المحددة بالمنحنٌٌن 𝟐𝟏
𝟐
و
الحل / نجعل ) (
الٌجاد نمط التماطع
) (
ٌهمل 𝟑 √∓
𝟎
𝟐
𝟖 𝟑
𝟐𝟒+
𝟐𝟑 𝟓 𝟖 𝟓𝟏
) وحدة مساحة(
*
𝟎𝟒
𝟐
)𝟑
𝟐𝟒+
𝟖 𝟑
𝟖𝟎𝟔 𝟓𝟏
𝟒𝟎𝟑 𝟓𝟏
𝟐
()𝟒
(
𝟐𝟑 𝟓
| 𝟏𝟐 +
*
𝟐
𝟒𝟎𝟑 | 𝟓𝟏
|
𝟐𝟏
𝟎
𝟐
|
𝟑
𝟓
𝟑
𝟓
𝟎𝟔𝟑
𝟎𝟒 𝟓𝟏
𝟐
مثةةةةةةال /جةةةةةةد مسةةةةةةاحة المنطمةةةةةةة المحةةةةةةددة بةةةةةةالمنحنٌٌن 𝟏
𝟐
𝟒
𝟐
)𝟐𝟏
|
*|
𝟐
𝟐𝟏
𝟒
𝟒
𝟐
( ∫| 𝟐
𝟔𝟗
|
𝟎𝟔𝟑 𝟎𝟒 | 𝟓𝟏
) (
𝟐
و
𝟔𝟗
𝟐
|
) (
وعلى الفترة 0𝟎 1 𝟐
الحل / نجعل ) (
الٌجاد نمط التماطع
) ( 𝟏
𝟐
𝟏
𝟎
𝟐
𝟏
𝟐
) ٌهمل( 𝟏 𝟐
|
∫
) 𝟐
𝟏 𝟐
|𝟎1
0
𝟎
|
𝟒
|
|
𝟐
𝟒
|
𝟐
]
𝟏 𝟐 ( ∫| 𝟐 𝟎
]𝟎
|
𝟐
∫
)
𝟎
)𝟎
𝟏 × ([| 𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟎[
𝟏 𝟏
𝟐 𝟐
( ∫|
|
𝟐
)𝟏
𝟎
| 𝟐𝟎, -
𝟐
( ∫| 𝟎
𝟐
] 𝟐
𝟎
𝟏 𝟒
) وحدة مساحة(
319
𝟐
𝟏 [| 𝟐 𝟒
𝟐
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
مثال /جد مساحة المنطمة المحصورة بٌن المنحنٌٌن 𝟐 𝟏 𝟏<
الحل / نجعل ) (
) (
𝟏 𝟑
|𝟏
2
𝟓
| 𝟔 + 𝟏
𝟒𝟓 | 𝟎𝟏
𝟏 𝟏<
𝟐 𝟔 *| 𝟎𝟏
𝟓𝟏|
|
𝟒 + 𝟓
|𝟎𝟏
𝟒𝟒 𝟎𝟏
𝟐 𝟐
2 𝟏
𝟓
𝟒
𝟐 𝟒 *| 𝟎𝟏 𝟔 𝟎𝟏
)𝟔
|
(
/وحدة مساحة.
𝟒𝟐
𝟎𝟒𝟐 𝟎𝟏
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
) (
𝟑
|
𝟒𝟓
𝟒 ( ∫| 𝟓 𝟓
)𝟒
𝟎𝟏(
|)𝟎𝟐
|
𝟏
𝟏
𝟔 ( ∫| 𝟓 𝟏
)𝟎𝟑
|
𝟒 𝟓
𝟕
𝟏 𝟓
𝟓
𝟓𝟏 (|
|)𝟔
𝟔 𝟓
𝟕
𝟏 𝟓
𝟒 𝟎𝟏
)𝟒
𝟎𝟓𝟏 𝟎𝟎𝟏 𝟎𝟏
(|
𝟒𝟒
|
وعلى الفترة ,𝟎 𝟏-
) (
𝟏 𝟐
𝟏 𝟐
𝟑𝟑 𝟒 𝟐
𝟖
𝟏 𝟐
𝟏 𝟒 𝟐
)بالدستور(
⇒
𝟎
𝟏 𝟐
𝟐
𝟐
)(0
)(0
< 0 𝟒
𝟒𝟐 𝟐𝟏
𝟑
|)𝟎(
𝟏 𝟐
𝟐 𝟑𝟑√
𝟏𝟎 نختبر الدالة 2
𝟏
) (
الٌجاد نمط التماطع
) ( 𝟑𝟑√ 𝟐 𝟐
𝟔
𝟓
𝟏
مثال /جد مساحة المنطمة المحددة بالمنحنٌٌن
𝟑𝟑√ 𝟒
𝟓
الٌجاد نمط التماطع
𝟏<
𝟏
و 𝟕
) (
) (
𝟏
الحل /نجعل ) (
|
𝟏
) (
𝟏
𝟒
لذا فأن الدالة ) ( هً الدالة األكبر 𝟏 ) 𝟑
𝟐
𝟏 (| 𝟒
𝟏 𝟑
| + 𝟎
𝟑
𝟐
𝟐
𝟒
𝟏
*|
|
)
𝟐
𝟐
𝟏 ( ∫| 𝟐 𝟎
/وحدة مساحة.
320
𝟑𝟐 𝟐𝟏
𝟐
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
المســــــافة لةةةتكن ) ( الزمنٌة
𝟐-
سةةةرعة جسةةةم ٌتحةةةرن علةةةى خةةةط مسةةةتمٌم وفةةةً مسةةةتوي مةةةا فةةةأن المسةةةافة الممطوعةةةة فةةةً الفتةةةرة 𝟏
,هً :
𝟐 |) ( | ∫ 𝟏
حٌث تمثل ) ( ممدار المسافة وهً كمٌة غٌر متجهة أمــــــــــةةةةةةـا األزاحةةةةةةة ) ( والســـــــةةةةةةـرعة ) ( والتعجٌةةةةةةل ) ( فهةةةةةةً كمٌــــةةةةةةـات متجهةةةةةةة وأن أزاحـــــــةةةةةةـة الجسم هً و سرعة الجسم
) (
𝟐 𝟏
∫
) ( ∫
مالحظات : Ⓘاألزاحة تكامل محدد للسرعة وٌكون بدون مطلك ألن النات ال ٌهم أذا كان موجب أو سالب أو صفر ② وجود المطلك فً لانون المسافة هو لكً ال ٌكون النات سالب ③ أذا طلب فً السؤال مثال جد األزاحة خالل الثانٌة الثامنة فهذا ٌعنً حساب الدالة ∫ ④أذا طلب فً السؤال مثال جد األزاحة خالل الثوانً الخمس األولى فهذا ٌعنً حساب الدالة ∫ ⑤ أذا أعطً فً السؤال تعجٌل الجسم فأن التعجٌل ∫
) (
السرعة وهو تكامل غٌر محدد
⑥ فةةةً حالةةةة أٌجةةةاد المسةةةافة ٌتغٌةةةر أتجةةةاه الجسةةةم وهةةةذا ٌعنةةةً حةةةدوث تجزئةةةة فةةةً التكامةةةل أن وجةةةد وفةةةً حالةةةة األزاحة ٌكون أتجاه الجسم ثابت لذا تهمل التجزئة فً التكامل أن وجدت .
321
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
مثال ( /)1جسم ٌتحرن على خط مستمٌم بسرعة ⁄
𝟒
فجــــــــــــــد :
) (
𝟐
ⓐالمسافة الممطوعة فً الفترة ,𝟏 𝟑 -
ⓑاألزاحة الممطوعة فً الفترة ,𝟏 𝟑 -
ⓒالمسافة الممطوعة فً الثانٌة الخامسة
ⓓبعده بعد مضً ) (4ثوانً من بدط الحركة
الحل /
,1 3𝟑 |𝟒 - 𝟐
𝟐
𝟏
𝟏
𝟐
𝟑 |
|𝟒
𝟐 |𝟒 - 𝟏
|,
|𝟑
𝟒 |
𝟎
𝟑
𝟑
)𝟒
𝟓
|𝟏𝟔)-
𝟔𝟏(
4
𝟐
0
2
𝟑 𝟐
|
|,
𝟐
𝟐( ∫|
)𝟒
|
𝟐( ∫|
)𝟒
𝟐
𝟒(
|)𝟖 𝟏(
)𝟐𝟏
)𝟎𝟐
𝟓𝟐(|,
𝟏
𝟗(|
)𝟐𝟏
𝟓 |𝟒 - 𝟒
𝟏(
|)𝟒
𝟑 𝟒𝟏
𝟗(
𝟒(|
)𝟖
𝟑 𝟐
𝟐( ∫
)𝟒
,
𝟏 𝟓 𝟐
|
|,
𝟐( ∫|
)𝟒
𝟒
𝟒
𝟎
(𝟎)-
)𝟔𝟏
𝟔𝟏(,
𝟒 𝟐
|𝟒 -
|,
𝟐( ∫
)𝟒
𝟎
𝟎
مثةةةةال ( /)2جسةةةةم ٌتحةةةةرن علةةةةةى خةةةةط مسةةةةتمٌم بتعجٌةةةةل ) 𝟐 ⁄ ) 𝟐𝟖( بعد مرور ) (4ثوانً من بدط الحركة فجد : ⓐالمسافة خالل الثانٌة الثالثة
4
𝟖𝟏( فةةةةةأذا كانةةةةت سةةةةرعته لةةةةد أصةةةةةبحت
ⓑبعده عن نمطة بدط الحركة بعد مرور ) (3ثوانً
الحل / 𝟖𝟏
𝟖𝟏 𝟎𝟏
𝟐𝟕
) ( ∫
𝟖𝟏 ∫
)𝟒(𝟖𝟏
𝟐𝟖
𝟎𝟏 𝟑
𝟓𝟓
𝟔𝟓
𝟏𝟏𝟏
|)𝟎𝟐
𝟔𝟑(
)𝟎𝟑
𝟏𝟖(|
𝟐
𝟗|,
|
)𝟎𝟏
𝟏𝟏𝟏
)𝟎(
𝟖𝟏
𝟖𝟏( ∫| 𝟐
𝟐
)𝟎𝟑
𝟐𝟖
𝟑
| 𝟏𝟎 -
𝟏𝟖(
𝟑 𝟎𝟏𝟎
𝟑 𝟐
𝟗,
)𝟎𝟏
𝟖𝟏( ∫ 𝟎
ⓒفً المثال أعاله جد السرعة بعد مرور ) (10ثوانً 𝟎𝟗𝟏
𝟎𝟏
𝟎𝟖𝟏
𝟎𝟏
)𝟎𝟏(𝟖𝟏
322
2
)𝟎𝟏(
𝟎𝟏
𝟖𝟏
) (
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
تمارين)𝟔 𝟒
س /1جد المسـاحة المحددة بالمنحنً الحل /نجعل 𝟎
, 𝟏 𝟏-
𝟏
𝟑 𝟎𝟏
𝟓
𝟕 𝟎𝟏
𝟐
𝟑
𝟎
*|
𝟓
𝟒
𝟎
𝟏 𝟒
)
|
𝟎
( ∫|
𝟒
)
|
𝟎
𝟓 𝟐 |) 𝟎𝟏
𝟑
𝟏 ) 𝟐
|)𝟎(
( |
( ∫| 𝟏
𝟏 (| 𝟓
𝟏 𝟓
𝟏 |) 𝟐
(
)𝟎(|
) ( وعلى الفترة , 𝟐 𝟑-ومحور السٌنات
𝟓
*|
𝟑
|
𝟓
𝟐
𝟖
𝟐𝟑 𝟓
(
س /3جد المسـاحة المحددة بالدالة
𝟐
|
*|
𝟒
𝟎
𝟐
)𝟒
𝟒
𝟑
𝟐
|
( ∫|
𝟐
)𝟒
𝟒
𝟑
𝟐
)𝟐𝟏
𝟑𝟒𝟐
𝟕𝟐
𝟓𝟏𝟏 |
𝟒
(
𝟐
𝟓 𝟏𝟏𝟐
𝟓
|)𝟖
(|
𝟎𝟔𝟏 | 𝟓
|
𝟒
𝟑
𝟑
𝟔𝟗 |𝟔𝟗 | 𝟓
𝟐𝟗𝟏 𝟓
𝟐
()𝟒
𝟓
𝟒 +
|)𝟖 /وحدة مساحة.
𝟐
𝟐
)𝟏
𝟎
𝟐
𝟑
𝟐
الحل /نجعل 𝟎
𝟏
𝟐
𝟑 𝟐 ,𝟓
) (
| +
)𝟏
𝟓
𝟐
𝟑
(
𝟒
الٌجاد نمط التماطع
) (
| 𝟒 +
*|
𝟎
𝟐
𝟓 𝟐 |) (| 𝟎𝟏
س /2جد المسـاحة المحددة بالدالة 𝟒
ٌهمل 𝟏
𝟎
𝟓
𝟐
𝟎
𝟎𝟏 𝟎𝟏
, 𝟏 𝟏-
𝟐
| +
𝟏
وزاري / 2012د2
𝟏 𝟏
الحل /نجعل 𝟎
ومحور السٌنات والمستمٌمٌن 𝟏
الٌجاد نمط التماطع
) (
/وحدة مساحة.
𝟒(
𝟐
𝟐𝟑
𝟖 𝟒𝟔
( ∫|
𝟓
(
𝟏𝟏𝟐 𝟓
|𝟑𝟐
|
)𝟖
|
𝟐𝟑
𝟖
𝟓
(|
𝟒𝟔 𝟓
|𝟐𝟑
|
ومحور السٌنات
) (
الٌجاد نمط التماطع
𝟏
𝟎
𝟏 𝟏 𝟑
| + 𝟎
/وحدة مساحة.
𝟒 𝟓𝟏
𝟎 𝟎 𝟑
𝟓
𝟑 𝟐 | 𝟓𝟏
)𝟏
𝟓 |
*|
| + 𝟏
𝟐 | 𝟓𝟏
|
(𝟐
()𝟏
𝟎
𝟑
𝟓 𝟑 | 𝟓𝟏
|
323
𝟎
𝟏
𝟓
𝟓
)𝟏
𝟐 (𝟐
*|
)𝟐
|
𝟒
𝟎
( ∫|
|
𝟒
)𝟐
𝟎
𝟓 𝟑 | 𝟓𝟏
|
|)𝟎(
𝟏 ) 𝟑
𝟐
( ∫| 𝟏
𝟏 (| 𝟓
𝟏 |) 𝟑
𝟏 𝟓
(
)𝟎(|
𝟒
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
س /4جد المسـاحة المحددة بالمنحنً
ومحور السٌنات وعلى الفترة 0𝟎 1
𝟑
𝟐
الحل / نجعل 𝟎
) ( 1
𝟐
الٌجاد نمط التماطع 𝟐 𝟑
𝟎0
1
𝟎0
𝟐
1
𝟑 𝟐
| +
𝟑
𝟑
| +
*|
𝟑
𝟑 .𝟑/
) ( |+
وحدة مساحة
𝟏 𝟑
𝟏
𝟑
]
*
𝟑
𝟏 | 𝟑
|
𝟐
𝟐
|
∫|
𝟎
𝟑
𝟑
|
)𝟎(𝟑
|+
[|
)𝟐(
[|
𝟑
𝟏 𝟑
)𝟏 ( |+
|
)𝟎( |+
*
𝟑
𝟑 .𝟑/
*
𝟑
]
𝟑
𝟏 |+ 𝟑
[|
𝟑 ) ( +
*
|,𝟎-
∫|
𝟎
𝟑
𝟑
]
𝟎
𝟑
𝟑
𝟏 | 𝟑
س /5جد المسـاحة المحددة بالمنحنً 𝟏
*|
𝟑 .𝟐/
[
𝟑
𝟐 𝟑
𝟑
𝟎
𝟑
|]
𝟐
𝟎
𝟎0
𝟐
𝟑
𝟑
*|
𝟑
)𝟏 ( +
*
*|
𝟑
ومحور السٌنات وعلى الفترة 0𝟎 1
𝟐
𝟐
الحل / نجعل 𝟎
) ( 0𝟎 1 𝟐
الٌجاد نمط التماطع 𝟑
𝟑
0𝟎 1 𝟐
𝟒
𝟐
𝟒
𝟐 𝟐 | + 𝟐
𝟒 𝟐 | + 𝟐 𝟎
*|
𝟒
. / | 𝟐
𝟐
) (
𝟐
|
)𝟎( |
𝟐
. / 𝟐
𝟐
|
𝟐
𝟐
𝟎
*|
|
𝟐 .𝟒/ 𝟐
𝟐
وحدة مساحة
𝟏
324
𝟏 𝟐
𝟐
∫|
|
𝟏 𝟒
𝟐
𝟏 𝟐
𝟏 | 𝟐
|
|
𝟐 .𝟒/
)𝟎(𝟐 | 𝟐 𝟏 𝟐
| |
𝟏 | 𝟐
∫|
𝟎
𝟒
𝟐 .𝟐/
|
𝟐
𝟐
𝟎
𝟐
𝟐 𝟎|
|𝟎
|
𝟏 𝟐
|
𝟐
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
س /6جد المساحة المحددة بالدالتٌن 𝟏 الحل /نجعل ) ( ,𝟐 𝟓-
𝟏
√
وعلى الفترة ][2,5
𝟐
الٌجاد نمط التماطع
) ( 𝟐
𝟐)𝟐
𝟎
(
𝟎
𝟐)𝟏
(𝟐
𝟓 𝟑
| ]
𝟒
𝟒
𝟒
| ]
[|
𝟐
𝟐
𝟐 |) 𝟑
𝟏(
𝟕 𝟐𝟏
) وحدة مساحة(
𝟒
س /7جد المساحة المحددة بالدالتٌن 𝟐𝟏
𝟏
𝟑 .𝟐/
𝟑
𝟓𝟐 | 𝟒
𝟐)𝟏(𝟐 | 𝟑
|
𝟒𝟔 𝟐𝟏
𝟕 | 𝟐𝟏
|
𝟒
𝟓
𝟏 ] 𝟐)𝟏
|
[|
𝟒
𝟑
𝟐) 𝟐𝟐(𝟐 𝟑
⇒
𝟐
(
𝟐)𝟏
𝟏 𝟒
𝟐
⇒
𝟓 𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
)𝟒 ×(
)/بالتربٌع(.
𝟏 𝟐
𝟏 [ ∫| 𝟐 𝟐
(
𝟑
𝟐)𝟒(𝟐 𝟑
𝟏 𝟓𝟕
𝟏 | 𝟑
|
𝟏
𝟓𝟐 | 𝟒 𝟓𝟐 𝟒
𝟔𝟏 𝟑
|
𝟐
الحل /محلول صفحة )𝟖𝟒(
وزاري / 2014د1
س /8جد المســـــاحة المحددة بالدالتٌن الحل /نجعل ) (
) (
حٌث ,𝟎 𝟐 -
) (
الٌجاد نمط التماطع
) (
𝟎 ,𝟎 𝟐 -
)𝟏
,𝟎 𝟐 -
𝟐
,𝟎 𝟐 -
(
𝟎
,𝟎 𝟐 -
𝟎
,𝟎 𝟐 -
𝟐
𝟎
𝟏
𝟎
𝟐
)
|
( ∫|
)
|
( ∫| 𝟎
𝟐
𝟐
| +
|( )+
)
وحدة مساحة
(𝟐
𝟐 𝟒
* 𝟐
)
(𝟐 )+ |𝟐 |
𝟐( 𝟐
*|
𝟐 |𝟏
𝟏|
|𝟏
𝟏 |
325
*|
𝟐 )𝟎( 𝟐
|(𝟎)+ |)𝟏
𝟐
𝟐 𝟎(
)𝟏
| +
𝟐
𝟎
* 𝟎(|
)
( )+ |)𝟏
(𝟐
𝟐 𝟎(
)𝟏
*|
*| 𝟎(|
√
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
وزاري / 2013د2 س /9جد المساحة المحددة بالدالتٌن 𝟏 الحل /نجعل ) ( 𝟑 ] 𝟐
) (
𝟐
) (
𝟐
الٌجاد نمط التماطع
𝟑 𝟐
𝟎[
) (
حٌث 1
𝟑
𝟎0
𝟎
𝟏
𝟎
𝟏
𝟐
𝟏 𝟑 𝟐
𝟑
| 𝟐𝟎-
|𝟏
𝟑 𝟐
س /10جد المساحة المحددة بالدالة
𝟑
وحدة مساحة
الحل /نجعل 𝟎
𝟏
𝟑 𝟐
|
𝟑 ) 𝟐
|)𝟏 (
𝟐
𝟒
)𝟏
|
𝟎
|)𝟎
𝟎(|
𝟑
|,
( ∫|
𝟑 ) 𝟐
(
𝟎
𝟑 𝟐
(|
ومحور السٌنات
الٌجاد نمط التماطع
)𝟑
𝟎 𝟏
𝟑
𝟐
𝟒
𝟎
(
𝟎
𝟑
)𝟑
𝟎
𝟐
()𝟏
𝟎
|
𝟐
) 𝟑
𝟑
𝟒
|
𝟐
) 𝟑
𝟑
𝟒
( ∫|
𝟏 𝟎
𝟐 𝟑 | + 𝟏 𝟐 𝟑 |) 𝟐 |
𝟖𝟏
𝟒 𝟑
𝟏 𝟒
𝟔𝟏 𝟐𝟏
) 𝟎 (|
( 𝟑
|
) وحدة مساحة(
326
|
𝟑 𝟏
𝟒
𝟕𝟐 |) 𝟐
𝟒
*|
𝟔𝟑
𝟐𝟔𝟏
𝟐𝟑𝟒
𝟑
𝟕𝟑 𝟐𝟏
𝟏 𝟐𝟏
( 𝟏
( ∫|
𝟑 𝟒 𝟑
𝟒
𝟐 𝟑 | + 𝟑 𝟐 𝟏𝟖 𝟒
(
𝟑𝟒𝟐 𝟐𝟏
𝟑 𝟒 𝟑 𝟑 ) 𝟐
𝟖𝟏
𝟓 𝟐𝟑 𝟐𝟏
𝟒
𝟒
*|
𝟒 𝟑
𝟏 (| 𝟒
𝟔𝟏
𝟑
𝟓 | 𝟐𝟏
|
|
𝟐𝟑 𝟐𝟏
𝟑
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
س /11جسم ٌتحرن على خط مستمٌم بسرعة ⓐالمسافة الممطوعة فً الفترة ,2 4- الحل/
)𝟑
𝟐 𝟑( ) ( أحسب ⓑاألزاحة فً الفترة ,0 5-
𝟔
وزاري / 2015د1 )( 3 ,2 4-
𝟔𝟐
|𝟐
𝟖𝟐|
|)𝟔
1 𝟖(
𝟐𝟏
(𝟎)-
𝟓𝟔
𝟎 )𝟐𝟏
)𝟓𝟏
𝟓𝟕
0
𝟏
𝟖𝟒
)1
𝟒 |𝟑 - 𝟐
𝟒𝟔(|
()1
0
𝟔
𝟏
𝟐
𝟐 𝟒
𝟐
𝟑
𝟑
|
|,
)𝟑
𝟔
𝟐
𝟔
𝟐
𝟑( ∫| 𝟐
𝟓 |𝟑 - 𝟎
𝟓𝟐𝟏(,
0
(
𝟑
𝟐
𝟑
𝟓 𝟐
𝟑
𝟑
)𝟑
|,
𝟑( ∫ 𝟎
وزاري / 2011د2 𝟐
س /12جســــةةةةةـ م ٌتحةةةةةرن علةةةةةى خةةةةةط مسةةةةةتمٌم بتعجٌةةةةةل لةةةةةدره 𝟎𝟗 أحسب مرور )(4ثوانً تساوي
𝟒( وكانةةةةةت سةةةةةرعته بعةةةةةد
)𝟐𝟏
ⓐالسرعة عندما 𝟐 ⓑالمسافة خالل الفترة ,1 2- ⓒاالزاحة بعد ) (10ثوانً من بدط الحركة الحل / 𝟐
𝟐𝟏 𝟎𝟏
𝟐𝟒
|)𝟎𝟏
𝟔
𝟎𝟖
𝟎𝟗
𝟎𝟏
𝟒𝟐
(
)𝟎𝟐
𝟐 𝟑
𝟖𝟒 𝟖
𝟒𝟐
𝟎𝟏
)𝟐(𝟐𝟏
|)𝟎(
)𝟎𝟎𝟏
𝟎𝟎𝟔
𝟎𝟎𝟎𝟐 (| 𝟑
𝟐
𝟏
𝟒𝟖
𝟒𝟏 𝟑
𝟎𝟏
𝟏𝟎 + 𝟎
𝟎𝟗
𝟔
𝟎𝟏
𝟑 𝟐 * 𝟔 𝟑 |𝟖𝟐
𝟑 𝟐
)𝟒(𝟐𝟏
)𝟐(
)𝟒(𝟐
𝟏𝟎 +
𝟖𝟗 𝟑
𝟐
𝟐𝟑
𝟐
𝟔𝟏 (| 𝟑
)𝟐𝟏
𝟒𝟏 𝟑
𝟐
𝟑
*
𝟎𝟎𝟏𝟒 𝟑
327
) ( ∫
𝟒(∫
)(
)𝟔𝟏(𝟐 𝟐
𝟐𝟏
)(
𝟐
𝟐
)𝟎𝟏
𝟐
𝟐𝟏
𝟐( ∫ 𝟏
|
|𝟔𝟏
𝟐 𝟑
𝟒𝟒
𝟔𝟏 𝟑
|
𝟎𝟏
)𝟎𝟏
𝟐𝟏
𝟐
𝟐( ∫ 𝟎
𝟎𝟎𝟑
𝟎𝟎𝟖𝟏 𝟑
𝟎𝟗
𝟎𝟎𝟎𝟐
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
س /13تتحرن نمطة من السكون وبعد
)6 2
ثانٌة من بدط الحركةة اصةبحت سةرعتها
الزمن الالزم لعودة النمطة الى موضعها االول الذي بدات منه ثم أحسب التعجٌل عندها .
(100أوجةد
وزاري / 2014د2
الحل /
)6 2
نكامل الطرفٌن 𝟑
𝟐
2
(100
6 2/
𝟎𝟓
) (
∫.100
النقطة تتحرك من السكون ∴
𝟎
𝟎 𝟓𝟎(0)2
𝟑)𝟎(𝟐
𝟎
𝟑
2
𝟐
𝟎
𝟎𝟓
عند عودة النقطة الى موضعها األول ٌعنً أن األزاحة ) ( تساوي صفر لذا ٌكون : 𝟎
الزمن الالزم لعودة النقطة الى موضعها األول
𝟐
𝟓𝟐
⁄
𝟎𝟎𝟐
328
) 𝟐
𝟎𝟓(
ٌهمل
𝟎
𝟎𝟓
𝟎𝟎𝟑
𝟎𝟎𝟏
2
𝟑
𝟎
𝟐
𝟐
2
𝟎 𝟎
2
𝟎𝟓
2
50
التعجٌل
) (̅
) (
12
100
) (
)𝟓𝟐(𝟐𝟏
𝟎𝟎𝟏
)𝟓𝟐(
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
الحجــوم الدورانٌــة: .1لحسةةاب حجةةم الشةةكل المتولةةد مةةن دوران المنطمةةة المحةةددة بةةٌن منحنةةً الدالةةة ) ( حول محور السٌنات نطبك العاللة التالٌة
𝟐
المسةةتمرة مةةن
∫
.2لحسةةاب حجةةم الشةةكل المتولةةد مةةن دوران المنطمةةة المحةةددة بةةٌن منحنةةً الدالةةة ) ( حول محور الصادات نطبك العاللة التالٌة
الى
𝟐
الى
المسةةتمرة مةةن
∫
وزاري / 2013د3
مثةةةةةةال ( /)1المنطمةةةةةةة المحةةةةةةددة بةةةةةةٌن المنحنةةةةةةً 4 حول محور السٌنات ,جد حجمها .
0
ومحةةةةةةور السةةةةةةٌنات ,دارت
√
الحل / ) وحدة مكعبة(
])(0
8
𝟒
2
16 ) ([ 2
+
2
*
𝟐
∫
𝟒
) √( ∫
𝟎
𝟐
∫
𝟎
وزاري / 2014د3
مثال ( /)2المنطمة المحددة بٌن المنحنً 𝟒
𝟏
𝟏
دارت حول محور الصادات .جد حجمها .
الحل / ) وحدة مكعبة(
𝟐
𝟐
𝟏-
𝟒
𝟒 𝟏
,
𝟒 𝟏 ) ( ∫
,
𝟐
)
𝟏
𝟒 𝟐
( ∫
𝟏
∫
𝟏
وزاري / 2011د2
مثةةةال ( /)3أوجةةةةد الحجةةةةم النةةةات مةةةةن دوران المسةةةةاحة المحةةةةددة بةةةالمطع المكةةةةاف الةةةةذي معادلتةةةةه حول المحور السٌنً 2 والمستمٌمٌن 0
2
8
الحل / ) وحدة مكعبة(
0-
16
,16
𝟐 𝟎
𝟐 2
∫ 8
,4
𝟐
∫
𝟎
2
مثةةةال ( /)4أوجةةةد الحجةةةم النةةةات مةةةن دوران المسةةةاحة المحةةةددة بةةةالمطع المكةةةاف الةةةذي معادلتةةةه حول المحور السٌنً 0 والمستمٌمٌن 5
2
الحل/ ) وحدة مكعبة(
𝟎𝟎𝟓𝟐
(𝟎)+
𝟓)𝟓(𝟒 𝟓
𝟓
*
𝟓 𝟒 * + 𝟎 𝟓
329
𝟓 𝟒
𝟒 ∫ 𝟎
𝟐 𝟐
)
𝟓
𝟐( ∫ 𝟎
𝟐
∫
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
2
مثةةةةةةةةال ( /)5أوجةةةةةةةةد الحجةةةةةةةةم النةةةةةةةةات مةةةةةةةةن دوران الم سةةةةةةةةاحة المحةةةةةةةةددة بةةةةةةةةالمطع المكةةةةةةةةاف حول المحور الصادي 0 والمستمٌمٌن 16
4
الحل/ ) وحدة مكعبة(
مثةةةةال (/)6 𝟑
𝟐𝟑
(𝟎)+
𝟔𝟏 𝟐
𝟐)𝟔𝟏( * 𝟖
+ 𝟎
𝟖
𝟔𝟏
. / 𝟒
*
𝟐
∫
∫
𝟎
أوجةةةةد الحجةةةةم الناشةةةة مةةةةن دوران المنطمةةةةة المحصةةةةورة بةةةةٌن محةةةةور الصةةةةادات ومنحنةةةةً الدالةةةةة 1دورة كاملة حول المحور الصادي .
3 ,
الحل/
𝟐 ] 𝟑
[ 𝟖𝟏
]𝟏
𝟏 𝟑
𝟑
[ 𝟖𝟏
𝟏
] [
𝟑
]
𝟖𝟏
𝟏
𝟖𝟏
𝟗
) 𝟐
[
𝟏
𝟑 𝟐
( ∫
∫
𝟏
) وحدة مكعبة(
𝟐𝟏
وزاري / 2015د3 𝟏
أوجد الحجم الناش من دوران المنطمةة المحصةورة بةٌن محةور الصةادات ومنحنةً الدالةة 2
1
والمسةتمٌمٌن
دورة كاملة حول المحور الصادي .
الحل/
) وحدة مكعبة(
𝟏 𝟐
]𝟏
𝟏 𝟐
[
𝟐𝟏 ]
[
𝟏
𝟏
) 𝟐
1
1
2
1 2
𝟐 𝟐
( ∫
∫
𝟏
وزاري / 2013د2
أوجةةةد حجةةةةم المنطمةةةةة المحصةةةةورة بةةةٌن منحنةةةةً الدالةةةةة
𝟏
والمسةةةةتمٌمٌن 1
ومحةةةةور
2
الصادات دورة كاملة حول المحور الصادي الحل/ ) وحدة مكعبة(
𝟏 𝟐
]𝟏
𝟏 𝟐
330
[
𝟐𝟏 ] 𝟏
[
𝟏
) 𝟐
𝟐
( ∫ 𝟏
𝟐
∫
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝟒(
تمارين)𝟕
2
س ) /:(1أوجةةةةةةد الحجةةةةةةم الةةةةةةدورانً المتولةةةةةةد مةةةةةةن دوران المسةةةةةةاحة المحةةةةةةددة بةةةةةةالمطع المكةةةةةةاف حول المحور السٌنً 1 والمستمٌمٌن 2 الحل/ 31 5
) وحدة مكعبة(
32 5
1 ] 5
2
[
𝟐
+
5
*
𝟐 2 )2
∫
𝟐
( ∫
𝟏
∫
𝟏
وزاري / 2013د1
س /2أوجةةةةةةد الحجةةةةةةم النةةةةةةات مةةةةةةن دوران المسةةةةةةاحة المحصةةةةةةورة بةةةةةةٌن منحنةةةةةةً الدالةةةةةةة حول المحور الصادي والمستمٌم 4
2
1
الحل/ 1 2
1 ) وحدة مكعبة(
𝟏 𝟐
𝟏 ] 𝟐
𝟒
𝟏 ( 𝟐
])𝟏
𝟒[
𝟒
)𝟒
𝟐
+
𝟖([
2
1
𝟒
𝟐
𝟏
0
*
𝟐
( ∫
)𝟏
∫
𝟏
س /3أحسةةةةةةةةب الحجةةةةةةةةم المتولةةةةةةةةد مةةةةةةةةن دوران المسةةةةةةةةاحة المحصةةةةةةةةورة بةةةةةةةةٌن المنحنةةةةةةةةً حول المحور الصادي والمستمٌم 0
2
1
الحل/ 2
)حدود التكامل( 𝟏
+ 𝟏
𝟓
𝟓
) وحدة مكعبة(
𝟑 𝟐 𝟑 𝟔𝟏 𝟓𝟏
)4
*
2
𝟏
1 2
1 𝟏
𝟐
1
𝟐) 2
𝟏( ∫
𝟔
𝟎𝟐 𝟓𝟏
𝟎𝟑
𝟐 ] 𝟓
𝟎
𝟏 𝟐
∫ (1
𝟏
𝟒 𝟑
2
∫
𝟏
𝟏 ]) 𝟓
𝟐[
𝟐 𝟑
𝟏 (
𝟏 ) 𝟓
𝟐 𝟑
𝟏([
وزاري / 2014د2 س /4أحسةةةةةةةةةب الحجةةةةةةةةةم المتولةةةةةةةةةد مةةةةةةةةةن دوران المسةةةةةةةةةاحة المحصةةةةةةةةةورة بةةةةةةةةةٌن المنحنةةةةةةةةةً حول المحور السٌنً 0 والمستمٌمان 2
2
الحل/ ) وحدة مكعبة(
4
]0
331
16 4
2
[
+
𝟐
4
*
∫ 𝟎
𝟐
∫
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
حلول التمارٌن العامة الخاصة بالفصل الرابع س / 5جد
( مرتبطة بموضوع التفاضل
لكل مما ٌأتً :الفروع )
𝟐
| 𝟐| 𝟐 𝟐
| 𝟐|
) 𝟐(
𝟐
𝟐
𝟏 )𝟐 ( 𝟐
| 𝟐|
𝟐
) (𝟐
)
)
) (
( (𝟐
()
𝟐
| | | |
𝟏
) 𝟐( | |
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
) (
𝟐
𝟐
|
|
) (
𝟏
(𝟐
)
) (
𝟐
) ( ()
)
)
(
()
𝟐) )
𝟐
𝟎
( 𝟐
𝟐
)
(
𝟐) 𝟐
𝟒 𝟐)
𝟎
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐)
𝟐
)
332
𝟐
𝟐 ( )
(
(
(
𝟐
(
(
( )
) ( (
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
س / 12جد تكامالت كالً مما ٌأتً :
)𝟏() 𝟐
)
(∫
𝟐
𝟐
𝟐
)𝟐 ∫𝟐 𝟏 𝟏(∫ 𝟐
) 𝟒
∫𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
) 𝟐( 𝟐
∫
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏 ( 𝟐
𝟐
𝟐
(∫
𝟐
𝟐
)𝟐 ( 𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
𝟐
∫ 𝟏 ∫ 𝟐 𝟏 𝟐
𝟑
𝟒
𝟏 𝟖
𝟏 𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
𝟏 𝟔
𝟒
𝟏 𝟖
𝟓 𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
𝟏 𝟔
𝟐)
(
𝟏
| |
∫
𝟑
𝟐
√
𝟑
√
𝟔
𝟏 𝟑
𝟔
𝟏 𝟑
𝟐 / 𝟑
333
.
𝟏 ) ( ∫ )𝟑(𝟐 𝟑
𝟏 𝟑
) (
∫
𝟐
𝟐
) (
(∫
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏 𝟒
) 𝟒
𝟐
𝟐
𝟐
()𝟏
𝟐∫
𝟐
𝟏 (∫ 𝟐
)𝟐() 𝟐
𝟐
∫
()
𝟐
𝟐
(∫
𝟏 𝟐
)𝟐 𝟐
)
𝟒
𝟒
(∫
) (
𝟑
√
𝟐 / 𝟑
.
∫
) (
𝟐∫
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝟑
∫
) (
𝟑 𝟐
)
𝟑
𝟐
(∫
∫ 𝟓
𝟏 𝟑) 𝟐
𝟓
)𝟐
𝟑( ∫ 𝟒 𝟑) 𝟐
𝟓 𝟒 𝟑
𝟓
𝟑(
𝟑
)𝟐
∫
𝟑( 𝟏 × 𝟎𝟏
𝟏 𝟑) 𝟐
𝟑
𝟓
𝟑( 𝟑
𝟓
𝟓
𝟗𝟒 𝟏 𝟕
𝟏
)𝟕 𝟏
(
)𝟕
𝟓
𝟑 𝟑( 𝟎𝟒
𝟏 𝟒𝟏
∫
𝟐)𝟕 𝟑
𝟑
334
𝟏 𝟑
𝟐
𝟏
(∫
𝟑
𝟑
∫
𝟏 𝟑( )𝟎𝟏 (∫ 𝟎𝟏 𝟒 𝟑) 𝟐
𝟐
𝟑
𝟑
∫ ) (
𝟑 𝟑
𝟐
(
𝟐
) (
∫
∫
𝟏 )𝟑(∫ 𝟑
) (
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
حلول األسئلة الوزارٌة الخاصة بالفصل الرابع سؤال وزاري / 96د ⁄ 1جد نات : 2
)
(∫ )(1
3 3
1 √1 2
2
4
] [2(1)2
] [2(22 )2
[2(1
] )2
)2
]
(1 1 2
)2
[
3 3
3 3
2 3
1 3
3
3
3
2
) 3
2
∫2 3
سؤال وزاري /96د ⁄ 2جد نات : ) 1 ∫(1 2
) 2 2
1 4
2
∫ )(3
∫(1
3
∫
3
1 3
() )
∫
1 2
∫(1 6
2
2 9
∫ )(2
) 2
2
1 2
(∫ 2
(∫
1 ( 2
سؤال وزاري /97د ⁄ 1جد نات : 15
15)2
114
2
0 (1) 1
0 (72 ) 1
335
2
1 ( ∫2 2
15) 1
2
2
15)2
( 0
+
)
2
( ∫
(
*2
√
∫
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
سؤال وزاري /97د ⁄ 1جد نات : 2
2
1 ∫ 2
2
1 ∫ 2
2
1 16
4
) 2
1 1 ∫(1 2 2
) 4 1 4
1 (1 2
1 4
2
) 4
∫
2
1 1 )∫(2 2 2
2 1 4
2
∫
1 ( 4
1 4
2
سؤال وزاري /97د ⁄ 2جد نات : 3 )2 1 ∫(1 2
) 6
6
1 12
3 3
∫2 2 3
) 3
∫ 3 2
2
3
1 6
) 6
2
1 ( 2
∫(1
∫(1 2 3
3
سؤال وزاري /98د :1جد: 2 )2 2
2
(2
∫2
) 2 ) 4
1 ∫(1 2
) ) 4
1 4 4
1 ( 2 1 8
1 2 4
336
3
1 2
) 2
1 ( 2
1 4
2 4 3
(∫ 1 ∫(1 2
) 2
4 3 1 8
2
2
4
(∫
2
1 2 1 4
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
سؤال وزاري /98د :1إذا كان
𝟗
)𝟑
𝟒
(𝟏 ∫ ما لٌمة
2
0
9
1
2
1
2
2
؟
9
2
0
2
1 0
1
2
8
2
2
1
0
×( 9 ⇒ 4
)
2
0 0
2
1 4
4
2
8 2
)2
2
سؤال وزاري /98د :2إذا كان 𝟐𝟏
4
𝟐( ∫ وكان 𝟑
)𝟑
2
2 2
()4
0
2
4
ما لٌمة
𝟐
(
2
ٌهمل 2 2
2
0
؟
الحل/ )(1 3 -
12 12
2
3
2
3
0 )
(
⇒0
30
21
2
3
0
12
6
12 0
12
9
6 )5
,
3 -
2
)3 ,
2
3 -
,
3(3
2 )2
(3
3
)2
4
12
(9
3
2
2
4
12
9
3
2
(
0
10
7
2
9 ()2
1
)2(2
3
2
0
2
7
)2(5
3
5
0
5
337
∫(2
2
) 2
12
2
2 12
3
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝟐
سةةةةةةةؤال وزاري /2000د : 2جةةةةةةةد المسةةةةةةةاحة المحةةةةةةةددة بمنحنةةةةةةةً الدالةةةةةةةة
𝟐
) ( ومحةةةةةةةور
𝟏
السٌنات وعلى الفترة 0𝟎 1 𝟐
الحل: 2
-
2
1 فترات التكامل 1
2
2
0 3 4
𝟎0
𝟐
2
2
0 1
𝟐
𝟎0
1
2 4
00 1 0
2
1 [| 2
2
| ] 2
2
1 [| 2
| ] 2
|
2
|
∫|
1 1 [| [ ] |] 2 2 2 1 1 1 1 |)(1 وحدة مربعة 1 )| (0 2 2 2 2
∫|
2
1 1 [| [ ] 2 2 2 1 1 |)(0 )| (1 2 2
|]0
سؤال وزاري /96د :1جد: 2 2
1 ∫ [ (2 2 1 2 ∫ 2 4 1 1 8 32
]) ) 4
1 1 ∫(1 4 2 4
2
-2
∫
∫,
2 1 (∫ ) 2 2 1 1 ) 4 ( 8 4
سؤال وزاري /2001د :2جد: 2
)2 ) 2 ( 2
1 ∫(3 2
2
] 2 5
4 10
1 ) 2 5
1 10
338
) 2
∫(3
2
) 2 + 1
[ 2(3 1 10
)2
1 2
1 ] )2(5
4
(3
12
∫
1 (3 2 [
*
1 [ ] )2(1
9
∫
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝟑
سةةةةؤال وزاري /2001د :1جةةةةد المسةةةةاحة المحةةةةددة بمنحنةةةةً الدالةةةةة 𝟗 الفترة ., 𝟑 𝟑- الحل/
0
2
9
0
0
ومحةةةةور السةةةةٌنات وعلةةةةى 2
)9
(
0
3 ∴ فترات التكامل ,0 3-
|,0-
1
2
2
9
, 3 0) 9
| |0
9
|1
0
2
|,0-
( ∫| | 1
| 1
|0
2
2
وحدة مربعة 40
) 9
|
|
2
2
|
( ∫| |0
2
|
2
|
سؤال وزاري /2001د :1جد لٌمة: 5 (2
)5
2
] 5 )2 432 3
144
2 ( [ 3
]
5 )2 3 2
2 )(216 3
الحل/
0
2
4
4
3
𝟐
2 ] [ (0)2 3
𝟑 2
3 0
ٌهمل)0
2
1
(
2
2
96 وحدة مربعة 5
96 | 5
|
|32
64 5
|
|0
|
8
32 5
|]8
339
)1
2
2
4
2
| 4 1
3
4
)4 [
2
]8
.
2
()4 0
4
2 (|∫ 2
3 8
32 [| 5
(∫
2 [ (16 3
] 20)2
𝟒
𝟒
2
5 )2 (2
)5
[
2 ] [ (62 )2 3
سؤال وزاري /2002د :1جد المساحة المحددة بمنحنً الدالتٌن 2
2
(
2
( 2
∫
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
سؤال وزاري /2002د :1جد المساحة المحددة بمنحنً الدالتٌن الحل:
0
(
)2
,0 3| 1
2
2
|0
2
|4
|
| 1
|1
2
|
4
) 2
|41
0
وحدة مربعة 2
𝟒 𝟐
2
2
|
2
,0 3-
|,9
| |
2
( |∫2
9-
2
𝟗
2
𝟐 2
0
|
سؤال وزاري /2004د :1إذا كان 𝟐
0
2
|0
𝟐
وعلى .,𝟏 𝟑-
2
|0 |
| |11
0
41
|
|3
|
|
2
( ∫|
) 2
2
0
∫ فجد لٌمة .h
الحل/ 2
1 ( ∫2 2
2
9) 2
2 بالتربٌع
⇒ 3
2
)9
2
9) 2
0(16
2
+
)9
2
9) 1
2
5
(0
9) 1
)9
2
(
2
0 سؤال وزاري /2006د :1جد لٌمة 2
الحل/
1 1 3
2 6
2
9)2 2
(
2
( ∫
2
∫
0
)
(
(
) (52
2
9
*2
9
𝟐
𝟏∫.
𝟐) 𝟐 𝟓(
) 2
( 2
3
1 6
)( 2
0
1 6
1 2
]
2
1 )2
340
) 2
[ 2(5
2
∫ (5 ]
1 )4
2 2
[ 2(5
2
) 2
2
]
(
∫ (5 1
) 2
2(5
[
2
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل 𝟐
سؤال وزاري /2006د :2جد لٌمة
𝟐)𝟒 2 )
𝟏∫.
𝟑(
(
1
3
0
2
2
سؤال وزاري /2008د :1إذا كان 𝟑 ) (
∫ (3
)4 1
) (
2
)
0
(
1
(
)
)4 2
0
∫ وكانت -
) (
∫ 𝟓
2
2
∫ (3 1
(
)
0
جد لٌمة
,
∫
الحل/ 3
) (
سؤال وزاري /2008د :2جد المشتقة
𝟐 )1
∫
𝟐
5
) (
∫
2
) (
∫
) ( 3
) (
∫ ) (
5
∫
∫
∫ 2
4
الدالة
2
∫ )
∫
1)2
∫(4 2
(
2
∫(2 ∫4 ∫4
∫4
∫4
(
)
4 سؤال وزاري /2009د :1جسم ٌتحرن بسرعة 𝟗 - 1المسافة الممطوعة خالل الفترة [.]0,2 𝟐 -2الزمن الذي ٌصبح فٌه التعجٌل الحل/
𝟐𝟏
𝟐
4
) ( فً أي زمن tإحسب:
𝟑
𝟖𝟏. 3 0
-
0
()3
(
,0 2-
3
)1
,0 2-
9 0
12
2
4
2
3
1
0
3
0
1
(1) 3
2
2 | 9 - 1
6
2
2
6
4
|,
1 | 9 - 0
|4
|2
2
||4
|,
6
|9-
|
6
)9
,1
12
18-
2
|∫(3
24
|,8
12 5
30
6
341
12
18
|
6 6
)9
12
|,0-
9-
) (̅ 12
2
|∫(3
6
|,1
) ( 6
18
)(2
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل 𝟖
سؤال وزاري /2009د :2جد لٌمة
𝟐
𝟑∫
𝟑
الحل/ ]
2
4
6
(
1)2 1 2
1) 2
[
∫
(∫ 1)2
] [2(32 )2
] [2(22 )2
[2(3
] 1)2
سؤال وزاري /2009د :2جد المساحة المحددة بٌن المنحنٌن: الحل/
[2(8
] 1)2
𝟐
1
𝟐
𝟎0
3 4
1
𝟐
1 2
2
| ] 2
𝟐
2
|1 وحدة مربعة 1
1 2
| ] 2
2 2
0
سؤال وزاري /2010د :1جد المساحة المحددة بٌن المنحنٌن 𝟏
2
2
0
2
|
[|
1
∫|
2
2
|)(1
2
2
3 2 2
2
2
] 1)2
𝟐
4 [|
([2
فً الفترة .0𝟎 1
2 𝟎0
(2
)1
(
∫
01
0
2
2
1
0
|)(0
) (
𝟐√
2
)| (0
2
|
∫|
2
2
|0
)| (1 2
2
فً الفترة [.]1,5
) (
الحل/ تربٌع الطرفٌن
1 0
0
√2
1)2
(
0
|
1)2
1 1
1
√2 2
2
2
1 |
∫|
2
| +
2
24 |] 2
*|
[
| 1 ] 3
] 1)2
20 | 6
342
| +
1 |] 2
[| |
0 |
2
1 |[ (2 3
1 (32 )2 3
10 وحدة مربعة 3
|∫(2
|
2
25 2 72
1
*|
[ 2 6
2
1
1)2
]
√2
|∫ [(2
1 (2 1)2 [| | ] 3 2 2 1 ] (1)2 3 54
|
24 | 2
1 (9)2 3
[|
1 3
|9
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝟐)
سؤال وزاري /2010د :1جد لٌمة
(𝟐𝟎∫.
الحل/ 2
)1
2
)
∫(2
2
1 ])(1 2
[
]
2
1 2
2
]
1 )( 1 2
2
2
]0
[
)1
[ 1 2
0
وحدة مربعة / سؤال وزاري /2010د :1منحنً مشتمته األولى
𝟐 𝟒
𝟒
]
[
2
𝟐
2
2
وبما ان )(1 2
المنحنً
(
2
2
2
) (
)2
2
) ( ∫
) (
(∫ 2
) (
2
2
2
𝟐
سةةةةةةةةةةةةةةةةةؤال وزاري /2010د :2إذا كةةةةةةةةةةةةةةةةةان 𝟔
) ( 𝟏∫
) (
𝟐
2
2 2
معادلة المنحنً
𝟒 -
1 2
1 2
تحقق معادلته 0
) (
2
2
) (
(∫
)2 2
1 2
[
ٌمر بالنمطة ( )1,2جد معادلة المنحنً.
الحل/
) (
2
( ∫
2
.1
بتكامل الطرفٌن
)2
2
(∫
) (
2
𝟑
𝟏∫ جةةةةةةةةةةةةةةةةةد لٌمةةةةةةةةةةةةةةةةةة:
𝟑
) ( ∫𝟏 ,
الحل/ ) (
∫ 4 20
16
4
2-
) (
∫ ,18
343
4
∫ 2 -3
1
,2
4 -
) (
4
1
2
) ( ∫ , 0
2
6
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝟒 𝟐 𝟑 ) ( جد المسافة سؤال وزاري /2010د :2جسم ٌتحرن على خط مستمٌم بحٌث سرعته 𝟕 التً ٌمطعها الجسم بعد مضً ( )4ثوانً من بدط الحركة ,ثم جد التعجٌل عندها علما ً أن المسافة تماس باألمتار. الحل/
124
,0-
28-
4 0
,64
32
2
7 -
7 >0
4
2
3
)7
4
2
∫ (3
,
2
التعجٌل فً أي لحظة 2
سؤال وزاري /2012د :1جد المساحة المحددة بالمنحنً 𝟑)𝟏
الحل/
, 1 3|
(
)1 4
|
وحدة مساحة 8
+
4
4
28
0
1
)1 4 ||4
24
)(4
)6(4
0
1
|
)1
(∫|
|| 4
|0+
)(2 4
*
4
) (̅
) (
) ( ومحور السٌنات فً الفترة [. ]-1,3
(
(
4
4
6
) (
)1
(∫ |
)( 2 |+ 4
|*0
|
*|
)1
𝟐
سةةةؤال وزاري /2012د :1جةةةد الحجةةةم النةةةات مةةةن دوران المسةةةاحة المحصةةةورة بةةةٌن المنحنةةةً 𝟏 حول المحور الصادي. 𝟐 والمستمٌمٌن 𝟏 الحل/ ])1
1 2
(
)2
4 2
2
([
2
2
+ وحدة مكعبة
2
2
344
)1
*
/
2
.0
2
(∫
/1
2
.
)2
∫
0(2
(
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
2
سةةةةةةؤال وزاري /2012د :2جةةةةةةد الحجةةةةةةم النةةةةةةا ت مةةةةةةن دوران المسةةةةةةاحة المحةةةةةةددة بةةةةةةالمنحنً حول المحور السٌنً 2 والمستمٌمٌن 1
√5
الحل/ ) وحدة مكعبة(
𝟓𝟐𝟏𝟑
𝟓 𝟓 𝟎
𝟓)𝟓(
)𝟎(
𝟐 𝟒
𝟐
2/
𝟓 ∫
𝟐
5
𝟐
∫ .
𝟏
∫
𝟏
سةةةؤال وزاري /2012د :3جسةةةم ٌتحةةةرن علةةةى خةةةط مسةةةتمٌم بتعجٌةةةل ) 𝟐 ⁄ أصبحت ) 𝟐𝟖( بعد مرور ) (4ساعات من بدط الحركة فجد :
𝟖𝟏( فةةةأذا كانةةةت سةةةرعته لةةةد
ⓐالمسافة التً لطعها خالل الساعة الثانٌة ⓑبعده عن نمطة بدط الحركة بعد مرور ) (3ساعات الحل / 𝟖𝟏
𝟖𝟏 𝟐𝟕
𝟎𝟏
𝟖𝟏 ∫
) ( ∫ )𝟒(𝟖𝟏
𝟐𝟖
𝟎𝟏
𝟖𝟏
𝟐
𝟕𝟑
𝟗𝟏
|)𝟎𝟏
𝟔𝟓
𝟗(
𝟔𝟑(|
)𝟎𝟐
𝟐
| 𝟏𝟎 -
𝟐
𝟗|,
|
)𝟎𝟏
𝟖𝟏( ∫| 𝟏
𝟏 𝟑
𝟏𝟏𝟏
)𝟎(
)𝟎𝟑
𝟏𝟖(
𝟏𝟎 -
𝟑 𝟐
𝟗,
)𝟎𝟏
𝟖𝟏( ∫ 𝟎
𝟎
𝒙𝒏𝒂𝒕
𝟐𝟖
𝝅
سؤال وزاري /2013د :1جد 𝒙𝒅 𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄 𝟒𝟎∫ الحل/ 𝟏 𝟐
𝟎
𝟏 𝟐
)𝟎( 𝟐𝒏𝒂𝒕 𝟐
𝝅 𝒕𝒂𝒏𝟐 . 𝟒 / 𝟐
345
𝝅 𝟒
𝝅
𝟒 𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕 * + 𝟎 𝟐
𝒙𝒅 )𝒙
𝟐 𝐜𝐞𝐬(
𝒙𝒏𝒂𝒕 ∫ 𝟎
𝝅 𝟒
𝒙𝒏𝒂𝒕 ∫ 𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒔𝒐𝒄 𝟎
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝟒
|𝟔
سؤال وزاري /2014د :3أثبت أن 𝟎𝟑
𝟑|𝟐 ∫
الحل/
الدالة
𝟑 𝟑(
𝟔 𝟐 )𝟔 𝟐< ( ألن : مستمرة على الفترة , 𝟐 𝟒-وذلن ألنها مستمرة عند )𝟐 معرفة 𝟎 𝟔 𝟑( 𝟎 )𝟔 𝟏 ) 𝟐(
) 𝟑
𝟎
𝟐
𝟔(
|𝟔
{
)𝟐(
)𝟐(𝟑 ) (
{
𝟐
) (
)𝟐(
𝟐 𝟒
)𝟔
) (
)( ) (
𝟐
) 𝟐(
موجودة 𝟎
𝟑|
=
𝟑( ∫
𝟐 𝟒
𝟑 ( ∫
𝟐
𝟏
∴
𝟐
)𝟔
∵
𝟑| ∫
|𝟔
𝟐
𝟐 𝟐
𝟏𝟐)-
𝟔(
𝟒 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 ] 𝟔 ] 𝟔 [ [ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟔 (, )𝟐𝟏 𝟔 ( )𝟐𝟏𝟒𝟐(, 𝟎𝟑 𝟔 𝟖𝟏 𝟔
)𝟒𝟐
سؤال وزاري /2014د :3جد
𝟐
𝟒
√∫
الحل/ 𝟐
𝟐
)𝟐
∫
(𝟐
𝟒
√∫
𝟐
√∫
𝟓 𝟐 𝟒 𝟑 𝟐 𝟑
سؤال وزاري /2015د :1جد
𝟏∫
𝟐
الحل/ 5 ] 𝑥
𝟑
𝟏
𝑥4
𝟐
[
10 3
+
1
5
𝟐
𝑥4
)𝟐
*
𝟒
𝟓
𝟐
𝟓
𝟐( ∫
𝟒
𝟑
𝟐
𝟐
𝟏
15
5 3
5 3
5
8
346
𝟓 3
3
5-
4
𝟑
∫ 𝟏
𝟏,
𝟓 ] 3
12
𝟗[
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
سةةةةةؤال وزاري /2015د :2جةةةةةد مسةةةةةاحة المنطمةةةةةة المحةةةةةددة بمنحنةةةةةً الدالةةةةةة السٌنات وعلى الفترة , 𝟑 𝟑-
𝟑
𝟗
) ( ومحةةةةةور
الحل /
محلول فً الصفحة )𝟖𝟔( سؤال وزاري /2001د:1
سةةةؤال وزاري /2015د :2جسةةةم ٌتحةةةرن علةةةى خةةةط مسةةةتمٌم بتعجٌةةةل ) 𝟐 ⁄ الحركة أصبحت السرعة ) 𝟒𝟐( ,أحسب : ⓐالمسافة الممطوعة فً الثانٌة الخامسة . ⓑبعد الجسم بعد مضً ) 4ثوانً ) .
𝟎𝟏( وبعةةةد 2ثانٌةةةة مةةةن بةةةدط
الحل / 𝟎𝟏
𝟎𝟏 𝟒
𝟎𝟐
𝟒𝟐
𝟓 |𝟒 - 𝟒
𝟐
) ( ∫
𝟎𝟏 ∫
)𝟐(𝟎𝟏 𝟒
𝟗𝟒
𝟔𝟗
𝟓𝟒𝟏
|)𝟔𝟏
𝟎𝟖(
𝟓𝟐𝟏(|
)𝟎𝟐
)𝟎(
𝟔𝟗
)𝟔𝟏
|
𝟓 |,
𝟎𝟏( ∫|
)𝟒
𝟒 𝟒
𝟒 -
𝟐
𝟓,
𝟎𝟏( ∫
)𝟒
𝟎
𝟎
سؤال وزاري /2015د :3جد تكامل :
2
√
𝟎𝟏 𝟓
𝟒
𝟎𝟖(
𝟒𝟐
∫
الحل /
)عند الضرب تجمع األسس (
)2
(
9 5
)2
)2
9 ( 5
347
()2 )2
(∫ 3 (
5 3
3
2
)2
6
3
2
√ (∫ 3
∫
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل 𝟑𝒙
سؤال وزاري /2015د :3جد كالً من التكامالت األتٌة 𝒅𝒙 :
𝒙
𝒙𝒅 𝑐𝑜𝑠2𝑥)2
∫ )(2
𝑥(1) ∫(𝑠𝑖𝑛2
الحل / 𝑥𝑑 )𝑥2𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2
𝑥𝑑)𝑥𝑐𝑜𝑠 2 2
∫(1
𝑐
𝒄
𝒙
𝟐𝒙 𝟐
𝟑𝒙 𝟑
𝒙𝒅 )1
𝑥2𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2
1 𝑥𝑐𝑜𝑠4 4
𝑥
𝟐
𝑥
𝒙(∫
𝑥∫(𝑠𝑖𝑛2 2
𝑥𝑑 𝑥∫ 𝑠𝑖𝑛4
𝒙𝒅
348
)1
𝒙𝒅 𝑐𝑜𝑠2𝑥)2
𝑥𝑑 ∫
𝑥 𝟐𝒙()1 𝑥 1
𝑥(
𝑥(1) ∫(𝑠𝑖𝑛2
𝑥𝑑 ) 𝑥𝑠𝑖𝑛4
∫
1 𝒙𝒅 1
∫(1
𝟑𝒙 ∫ 𝒙
)(2
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
أسئلة إضافٌة حول التكامل س /1جد كالً من التكامالت اآلتٌة: 𝐱𝐝𝐱 𝟓𝒏𝒊𝒔 ∫ )𝟑(
𝐱𝐝 𝐱 𝟕𝐬𝐨𝐜 𝐱 𝟒𝒏𝒊𝒔 ∫ )𝟐(
𝐱𝐝 𝐱 𝟐𝐬𝐨𝐜 𝐱 𝟑𝒏𝒊𝒔 ∫ )𝟏(
𝐱𝐝 𝐱𝐜𝐞𝐬 𝐱 𝟑𝒏𝒂𝒕 ∫ )𝟔(
𝐱𝐝 𝐱 𝟒 𝐜𝐞𝐬 𝐱 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫ )𝟓(
𝐱𝐝𝐱 𝟒𝒏𝒊𝒔 𝐱 𝟐𝐬𝐨𝐜 ∫ )𝟒(
)𝟗(
)𝟖(
𝐱𝐝 𝐱𝟑𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟕𝒏𝒊𝒔 ∫
𝐱𝐝 𝐱𝟑𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟕𝒔𝒐𝒄 ∫
𝐱𝐝 𝐱𝟑𝒏𝒊𝒔 𝒙𝟕𝒏𝒊𝒔 ∫ )𝟕(
𝒙 𝒙𝒅 (𝟏𝟐) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟑 . / 𝟑
𝒙𝒅 )𝒙𝟑( 𝟓𝒔𝒐𝒄)𝒙𝟑( 𝟑𝒏𝒊𝒔 ∫ )𝟏𝟏(
𝒙𝒅 )𝒙𝟑( 𝟐𝒔𝒐𝒄 ∫ )𝟎𝟏(
𝐱𝐝 𝐱𝟓𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟑𝒏𝒊𝒔 ∫ )𝟓𝟏(
𝐱𝐝 𝐱𝟐𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟒𝒔𝒐𝒄 ∫ )𝟒𝟏(
𝒙𝒅 )𝒙𝟑( 𝟐𝒔𝒐𝒄)𝒙𝟑( 𝟒𝒏𝒊𝒔 ∫ )𝟑𝟏(
𝒙𝒅 𝒙 𝟓𝒏𝒂𝒕 ∫ )𝟕𝟏(
𝟏√ ∫ )𝟔𝟏(
𝟑
𝒙𝒅 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙).𝟐/
𝟏(∫ )𝟖𝟏(
𝒙𝒅 𝒙𝒔𝒐𝒄
𝒙𝒅 )𝒙𝟐( 𝟑𝒕𝒐𝒄 ∫ )𝟏𝟐(
𝒙𝒅 )𝒙𝟑( 𝟒𝒄𝒆𝒔)𝒙𝟑( 𝟑𝒏𝒂𝒕 ∫ )𝟎𝟐(
𝒙𝒅 )𝒙𝟐( 𝟒𝒄𝒆𝒔 ∫ )𝟗𝟏(
∫ )𝟒𝟐(
𝒙𝒅 𝒙 𝟓𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝟑𝒕𝒐𝒄 ∫ )𝟑𝟐(
𝒙𝒅 𝒙 𝟔𝒄𝒔𝒄 ∫ )𝟐𝟐(
𝟑 𝟒
𝟒
𝟏 𝟏
√
∫ )𝟕𝟐( 𝟎
𝟏 ) √
𝟏( √
𝟗
𝟏
𝟐
𝟐
𝟑
∫ )𝟎𝟑(
𝟑
|𝟒
𝟎
𝟐 𝟐𝟐
∫ )𝟔𝟐(
𝟑
𝟖 ∫ )𝟓𝟐( 𝟐 𝟏
𝟐|∫ )𝟗𝟐(
| | 𝟑 ∫ )𝟖𝟐(
𝟑
𝟐
𝟔
𝟐
𝟒
∫ )𝟑𝟑(
∫ )𝟐𝟑(
∫ )𝟏𝟑(
𝟎 𝟒
349
𝟐
𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
س /2أوجد لٌمة التكامل
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
) 𝟖
س /3جد معادلة المنحنً الذي مٌله
𝟐
𝟒
𝟑( 𝟐∫ وٌمر بالنمطة ). (3,1
س /4أذا علمةةت أن المشةةتمة الثانٌةةة لدالةةة عنةةد أي نمطةةة تسةةاوي )
جةةد معادلةةة هةةذا
(حٌةةث
المنحنً أذا كان ٌمتلن نمطة أنمالب ) (0,1ونمطة نهاٌة صغرى محلٌة عند ). (1,-1 س /5تتحةةرن نمطةةة مةةن السةةكون وبعةةد tثانٌةةة مةةن بةةدط الحركةةة اصةةبحت سةةرعتها الزمن الالزم لعودة النمطة الى موضعها االول الذي بدات منه ثم أحسب التعجٌل عندها .
350
)𝟐
𝟎𝟎𝟏( أوجةةد
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلٌة المعادلة التفاضلٌة هً المعادلة التً تحتوي على مشتمة واحدة أو أكثر للدالة المجهولة فً المعادلة ( أي للمتغٌر التابع فً المعادلة ) مالحظة :المعادلة التفاضلٌة االعتٌادٌة هً عاللة بٌن متغٌرٌن ( المتغٌرر اوول متغٌرر مقرتمل ولرٌكن ) ( ودالرة غٌر معروفة ولتكن مثال ) ( وبعض مشتمات الدالة ) ( بالنقبة للمتغٌر ) ( مثال )𝟒(
𝟎
̿ ̅
𝟓
𝟐
𝟐
̅
𝟓
𝟐
كلها معادالت تفاضلٌة اعتٌادٌه الن المتغٌر ) ( ٌعتمد فمط على المتغٌر ) (
درجة المعادلة التفاضلٌة : رتبة المعادلة التفاضلٌة :وهً رتبة أعلى مشتمة موجودة فً المعادلة التفاضلٌة .
وهً أكبر لوة (اس) مرفوعة له اعلى مشتمة فً المعادلة التفاضلٌة . 𝟎
من الرتبة االولى والدرجة االولى من الرتبة الثانٌة والدرجة االولى
𝟑
من الرتبة الثالثة والدرجة الثانٌة من الرتبة الرابعة والدرجة الخامقة من الرتبة الثالثة والدرجة الثانٌة
مالحظة
𝟕
𝟏
𝟎
𝟐
𝟑
̿
𝟐 𝟐
)̅ ̿(
̿
𝟓 )𝟒(
𝟕)̿(
̅
𝟕
𝟓
)
𝟐
)̿ ̅(
(
𝟑) ̿ ( ❺
:عند اٌجاد درجة المعادلة التفاضلٌة ورتبتها ٌجب أزالة الجذور أو االقس الكقرٌة مثال : 𝟐
من الرتبة الثالثة والدرجة الثانٌة
)̿ ̅(
𝟓
𝟗)̅(
)بالتكعٌب(
𝟑
𝟐
)̿ ̅(
⇒
𝟓√
𝟑)̅( ❻
حل المعادلة التفاضلٌة االعتٌادٌة حرررل المعادلرررة التفاضرررلٌة االعتٌادٌرررة هرررو اٌرررة عاللرررة برررٌن متغٌررررات المعادلرررة التفاضرررلٌة بحٌررر أن هرررذ العاللرررة ❶ خالٌة من المشتمة ❷ معرفة على فترة معٌنة ❸ تحمك المعادلة التفاضلٌة . وزاري / 2013د3
مثال ( /)1بٌن ان العاللة
وزاري / 2014د1
𝟑
𝟐
𝟐
حال للمعادلة التفاضلٌة
الحل /
̅
𝟑 𝟑 𝟑
∴ العاللة المعطاة هً حل للمعادلة التفاضلٌة أعال
351
𝟐
𝟐
𝟐
) 𝟑
̅
𝟐 𝟐
𝟐(
)𝟑 𝟐
(
𝟑
𝟐
̅ 𝟐
𝟐
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
الحل الخاص والحل العام للمعادلة التفاضلٌة أن الحل العـــــــام وي معادلة تفاضلٌة هرو الحرل الرذي ٌشرتمل علرى عردد مرن الثوابرت االختٌارٌرة مقــــرـاوي لرتبرة المعادلة ,فإذا كانت المعادلة من الرتبة اوولرى وجرب أن ٌكرون حلهرا مشرتمال علرى ثابرت اختٌراري واحرد (هرو ثابرت التكامل ) الذي ٌظهر عند اجراء خطوة التكامل الوحٌدة لمعادالت الرتبرة اوولرى ,أمرا اذا كانرت المعادلرة مرن الرتبرة الثانٌة وجب ان ٌكون حلها مشتمال على (ثابتً تكامل) نظرا وجرراء خطروتً تكامرل عنرد حرل معادلرة الرتبرة الثانٌرة وهكذا بالنقبة للمعادالت التً لها رتبة أعلى . أحد حلول المعادلة
مثال ( /)2أثبت ان
𝟎
الحل / 𝟏 ) (
)𝟏(
𝟏
)
∴ العاللة المعطاة )
(
(هً أحد حلول المعادلة التفاضلٌة أعال .
وزاري / 2014د2
مثال (/)3
𝟐
بٌن
( حال للمعادلة 𝟎
حٌ )
̅𝟐
الحل / ̅𝟐
𝟎
𝟐
∴ العاللة المعطاة )
مثال (/)4
هل 𝟐
̅𝟐
𝟑
𝟏
̅
) (𝟐
𝟐
𝟐
(هً حل للمعادلة التفاضلٌة أعال
حال للمعادلة التفاضلٌة
𝟔
𝟐 𝟐
؟
الحل /
𝟔 ∴ العاللة المعطاة )𝟐
𝟑
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
(هً حل للمعادلة التفاضلٌة أعال
352
𝟑
𝟐
𝟑
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
وزاري / 2012د1
مثال (/)5
برهن ان ) 𝟐(
) 𝟐(
𝟐
هو حال للمعادلة التفاضلٌة
𝟑
𝟎
̿
𝟒
الحل / ) 𝟐(
𝟔
) 𝟐(
∴ العاللة المعطاة ) 𝟐(
𝟐
𝟒
)𝟐() 𝟐(
) 𝟐( ]) 𝟐(
)𝟐() 𝟐(
𝟐
) 𝟐(
𝟖
) 𝟐(
𝟐
) 𝟐(
𝟑
)𝟐() 𝟐(
𝟐𝟏 ) 𝟐(
𝟑[4
) 𝟐(
̅
𝟖
) 𝟐(
) 𝟐(
𝟖 𝟐𝟏
𝟐
)𝟐() 𝟐(
𝟒
) 𝟐(
) 𝟐(
𝟐𝟏
) 𝟐(
𝟑
𝟖
𝟔 ̿
𝟒
) 𝟐(
̅
𝟐𝟏
هً حل للمعادلة التفاضلٌة أعال
𝟑
وزاري / 2011د2
مثال ( /)6هل ان
𝟐
𝟑
𝟐
𝟑
هو حال للمعادلة التفاضلٌة
𝟓
𝟐)̅(
𝟑
؟
̿
الحل / ) 𝟐 (
𝟔
∴ العاللة المعطاة
𝟐
)𝟑
)̅ 𝟐(̅
𝟔 𝟑
5 𝟐
𝟑
)̅ ( 𝟐 𝟐)̅ (
𝟑
𝟐
𝟑
𝟑
̅ 𝟐
𝟔
)̅ (
𝟑
𝟐
𝟐)̅ (
𝟑
𝟑
)̅ (
( لٌقت حل للمعادلة التفاضلٌة أعال
وزاري / 2015د3
مثال ( /)7بٌن ان
𝟐
𝟑
هو حال للمعادلة التفاضلٌة 𝟎
̅
𝟔
̿
الحل / 𝟑
]
𝟑
𝟗 𝟐
𝟐
[6
̿
𝟒 ]
𝟑
𝟑
𝟑
𝟐
𝟑 𝟑
𝟐[ 𝟑
∴ العاللة المعطاة )
𝟑
𝟐
(هً حل للمعادلة التفاضلٌة أعال
353
𝟐
𝟐 𝟐
𝟗 𝟔
𝟐
𝟑
̅ 𝟒 6
𝟔 𝟑
𝟔
𝟐
̿
̅ 𝟐
𝟔
𝟐
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
𝟓(
تمارين)𝟏 س / 1بٌن رتبة ودرجة كل من المعادالت التفاضلٌة التالٌة :
𝟎
من الرتبة االولى والدرجة االولى
)𝟐
𝟑
𝟐
(
𝟐
𝟕
من الرتبة الثانٌة والدرجة االولى
𝟓
𝟑
من الرتبة الثالثة والدرجة الثالثة
𝟐
̅𝟐
𝟖
𝟐
𝟓
من الرتبة الثالثة والدرجة الثانٌة
س / 2برهن ان
𝟎
هو حل للمعادلة 𝟎
𝟑
𝟑
(𝟐
)
)̿ ̅(
𝟑
)
𝟑
(
̿
الحل / ̅
̿ 𝟎
∴ العاللة المعطاة )
̿
(هً حل للمعادلة التفاضلٌة أعال
س / 3برهن ان العاللة ) 𝟑(
) 𝟑(
𝟔
هً حل للمعادلة 𝟎
𝟖
𝟐
𝟗
𝟐
الحل / ) 𝟑(
𝟖𝟏
) 𝟑(
)𝟑() 𝟑(
𝟒𝟐
𝟔
)𝟑() 𝟑(
) 𝟑(
𝟐𝟕
) 𝟑(
𝟖
) 𝟑(
𝟔
𝟖 𝟐
) 𝟑(
𝟒𝟓
)𝟑() 𝟑(
)𝟑() 𝟑(
𝟖𝟏
𝟒𝟐 𝟐
]) 𝟑(
𝟔 𝟎
∴ العاللة المعطاة ) 𝟑(
𝟔
) 𝟑( ) 𝟑(
) 𝟑(
) 𝟑(
𝟖[𝟗 𝟒𝟓
) 𝟑(
𝟖
354
𝟒𝟓 𝟐𝟕
) 𝟑( ) 𝟑(
𝟐𝟕 𝟒𝟓
هً حل للمعادلة التفاضلٌة أعال
𝟗 ) 𝟑(
𝟐
𝟐𝟕
𝟐
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
س / 4هل ان 𝟐
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
حال للمعادلة
̿ ؟
̅𝟑
الحل / ̿
𝟎 𝟓
∴ العاللة المعطاة )𝟐
س / 5هل
𝟐
)𝟐
𝟑
̅
𝟏 (
)𝟏(𝟑
𝟐 ̅𝟑
𝟎
̿
( لٌقت حل للمعادلة التفاضلٌة أعال
)𝟐
حال للمعادلة
𝟏( 𝟐
̿
الحل / 𝟐
)
𝟐
( 𝟐
∴ العاللة المعطاة )
𝟐
س / 6هل 𝟏
̿
𝟐 𝟐
𝟐
)
𝟐
̅
𝟏(
)𝟐
𝟐
𝟏( 𝟐
( حل للمعادلة التفاضلٌة أعال
𝟐
𝟐 حال للمعادلة 𝟐
̿
𝟑
الحل / 𝟐
̅
̅
𝟐 𝟐
𝟐
𝟒
)𝟐 (
⇒
𝟐
𝟐
𝟐
̿
̅ 𝟐
𝟒
𝟒
)
𝟐
𝟐
𝟎
̅ 𝟐
(
)𝟏(𝟐
) ̅ ()
)𝟐
𝟐
𝟐 ∴ العاللة المعطاة )𝟏
𝟐
𝟐
𝟐 ( حل للمعادلة التفاضلٌة أعال
355
𝟒
𝟐
)
(
𝟐
(𝟐 𝟐
𝟐
𝟏
(
𝟑
)
(
𝟐
𝟒
̿
𝟐
𝟑
𝟐
𝟐
̿
̿
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
س / 7هل
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
حال للمعادلة
𝟓
𝟎
̅𝟐
𝟓𝟐
؟
̿
الحل / 𝟓
̅
𝟓𝟐
̿
𝟎
∴ العاللة المعطاة ) 𝟓
وزاري / 2012د3
̅
𝟓 ̅𝟐
𝟓𝟐
̅
𝟓
̿
𝟓 𝟓
𝟎
𝟓𝟐
̿
̅𝟐
( حل للمعادلة التفاضلٌة أعال
وزاري / 2013د1
هو حال للمعادلة 𝟎
س / 8بٌن ان
̅
حٌ )
(
الحل /
̅ ̅
𝟎
( حل للمعادلة التفاضلٌة أعال
∴ العاللة المعطاة )
وزاري / 2015د2 𝟐
س / 9بٌن ان
,
| |
هو حال للمعادلة
𝟐
𝟐
𝟒
̅
الحل / )̅ ( 𝟐
𝟐
̅
𝟐 𝟐
∴ العاللة المعطاة )
𝟐
̅
𝟐
𝟒
𝟐 )
𝟐
𝟐( 𝟐
̅
𝟐
𝟐
̅
)̅( 𝟐
( حل للمعادلة التفاضلٌة أعال
******************************************************************
س : 1هل ان س : 2هل ان
𝟏 𝟑
𝟓
حال للمعادلة التفاضلٌة حال للمعادلة التفاضلٌة 𝟎
356
𝟐
𝟐
) 𝟓
̅(
̅ حٌ ) ̅𝟐
(
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
طرق حل المعادالت التفاضلٌة من الرتبة اوولى والدرجة اوولى اوو :المعادالت التً تنفصل متغٌراتها فرررً هرررذا النرررو مررر ن المعرررادالت نقرررتطٌع أن نعرررزل كرررل الحررردود الترررً تحتررروي علرررى ) ( مرررع ) ) ( والحرررردود التررررً تحترررروي علررررى ) ( مررررع ) ( فررررً الطررررر اوخررررر فنحصررررل علررررى ثم نكامل الطرفان فنحصل على مثال ( /)1حل المعادلة 𝟓
( فرررً طرررر ) (
) ( ∫ حٌ ٌمثل) ( ثابت التكامل .
) ( ∫ 𝟐
الحل / 𝒙𝒅)𝟓 𝟓
مثال ( )/
حل المعادلة
𝟐(
𝟓
𝟐
𝒙𝒅 )𝟓
𝟐
𝟐(∫
∫
𝟏
الحل / 𝒙𝒅)𝟏
𝟐
𝟐
)حٌث 𝟐
مثال ( /)3حل المعادلة
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
(
𝟐
)𝟐 (
⇒ 𝟐
𝟏
حٌ
)𝟎
(
𝟐
𝟐 𝟐
𝟏
𝒙𝒅 )𝟏
𝟐
√
𝟐
𝝅
𝒚𝒔𝒐𝒄(
𝟐
)𝟏
(∫ 𝟐
𝒏𝟐(
𝟐
∫
√
𝒚
الحل / ) 𝟐
𝟐
(
⇒
𝟐
∫
357
𝟐
∫
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
وزاري / 2016د1
أوجد حل المعادلة 𝟎
مثال (/)4
√
̅ عندما
𝒚
𝟗
𝒙
𝟐
الحل / 𝟏
𝟏
𝟐) (
𝟏
𝟐) (
𝟏
𝟐) (
𝟎
√
𝟐) ( 𝟐
𝟐
√𝟐
𝟐
نعوض 𝟗
𝟐
𝒚
𝟏
𝟐) ( 𝟏 ) ( 𝟐
𝟐
𝟏 𝟐
∫
) (∫
𝒙 فٌنتج : 𝟐
𝟒
𝟔
𝟐
) تربٌع الطرفٌن(
𝟐
𝟐)𝟐( 𝟐
√
𝟒
𝟐
(
)𝟐
𝟗√𝟐
𝟒
⇒
𝟐
𝟐
) حل المعادلة(
√𝟐
𝟐
)𝟐
𝟒
(
وزاري / 2015د1
مثال (/)5
𝟐
حل المعادلة
عندما
𝒚
𝟎
𝒙
𝟎
الحل / ) 𝟐 ( 𝟐
نعوض 𝟎
)
) 𝟐 (
(
𝟏 𝟐
𝒚
)
𝟎
)
𝟐
)
𝟏 ()𝟐(∫ 𝟐
(
⇒
( )
)
(∫
𝒙 فٌنتج :
𝟐 |
) 𝟐 (∫
()𝟏 (∫
𝟑 𝟐
𝟐 𝟑
() 𝟐 (
)
𝟐
𝟐
|
𝟐
)𝟑 |
𝟐
𝟑
(
𝟏 𝟑 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐 𝟑
𝟏 𝟐
𝟎
𝟐
|
358
)نأخذ
∴
𝟐
للطرفٌن(
⇒
𝟐
𝟏 𝟐
)𝟑
𝟐
𝟏 𝟐
𝟎
(
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
وزاري / 2015د2
جد الحل العام للمعادلة التفاضلٌة :
مثال (/)6
)𝟏
𝟐
(
الحل / (
)𝟏
𝟐)𝟏
𝟐
(
)𝟏 (
𝟐
| |
| | ( 𝟐)𝟏
𝟐 (
)𝟏
)نأخذ
)حٌث
𝟏
(
)𝟏 | |
𝟐
⇒
𝟐)𝟏
(
(
)𝟏
(
)𝟏
| | ( 𝟐)𝟏
للطرفٌن(
𝟐 ∫𝟐
𝟐)𝟏
∫
(
𝟐)𝟏
𝟏
(
| | | |
(
******************************************************************
𝟓(
تمارين)𝟐 س / 1حل المعادالت التفاضلٌة اوتٌة بطرٌمة فصل المتغٌرات :
𝟑
𝟏 )
𝟐
(
)
(
)
𝟑
(
)
𝟑
̅ ) ( 𝟑
(
𝟐 𝟐
∫
𝟐
∫
)
𝟐
()
وزاري / 2014د3 𝟐 ∫
)
𝟑(
∫ )𝟏 (
𝟏 𝟐 𝟐
𝟐
𝟏 𝟐
|
𝟑|
𝟐)𝟏(
)𝟏
𝟐 (
𝟏 𝟐
)𝟐
𝟏 𝟏 (𝟐
⇒
𝟐
|𝟐
359
𝟑 𝟑
𝟑|
𝟑| )𝟐
𝟏 𝟐
(
𝟐
𝟏 𝟐 𝟐
𝟑
𝟑|
|
𝟏 𝟐 𝟐
𝟑
) (
𝟐
𝟐
|
وزاري / 2013د2
𝟑(
)
𝟑(
)
)𝟏(
𝟏
(
)𝟐
𝟏 𝟐
(
𝟎
𝟑
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
)𝟏
)𝟏 𝟏
(∫
)
𝟐
𝟐
(
)𝟏
)𝟏
∫
(
𝟐
)
𝟐
(
)𝟏
)𝟏
(
)نأخذ
(
⇒
𝟑 )𝟑
𝟐
𝟐
)𝟏
(
𝟑 𝟐
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
𝟐 𝟑
(
)𝟑
𝟐
𝟑 𝟐 )𝟐
𝟒
𝟏( ) (
𝟒
𝟑 𝟐) 𝟐
(∫
𝟑 𝟐 )𝟐
𝟐
𝟒
𝟒
𝟒
𝟒
𝟏√
د𝟐 𝟑
) حٌث
𝟒
𝟐
𝟒 𝟐
𝟒
𝟏(√𝟒
(
(∫
) (
̅
𝟑 𝟐) 𝟐
𝟏(𝟒
𝟒
𝟒
𝟒√
360
𝟑 𝟐 )𝟐
𝟒∫
𝟏
وزاري 𝟏𝟏𝟎𝟐
𝟏
( ) (
)𝟏
)𝟏
𝟏(𝟒
𝟏 𝟏( ) (𝟐 ∫ 𝟐
𝟒
(
𝟐
𝟒
𝟐
𝟐 𝟐
(
𝟏(
𝟒∫
𝟏
(
)𝟏
̅ )𝟏
𝟑) 𝟐 𝟑 𝟐) 𝟐
()𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
(
𝟐
للطرفٌن(
𝟏
𝟒
()𝟏
) (
∫ 𝟒
𝟒√
𝟒
𝟏 𝟐 )𝟐
𝟏( ) (∫
𝟏(
𝟏 𝟐
𝟏 𝟐
𝟑
𝟎
) ( 𝟑
∫ 𝟒
𝟒
𝟒
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
𝟏 𝟐 𝟑
∫𝟐
∫
)𝟑
𝟐
𝟐
𝟑
𝟒
𝟒
𝟖
(
𝟑
𝟐
𝟒
𝟐
⇒
𝟐
𝟐
𝟐
𝟖
𝟏
𝟎
𝟏
𝟒
𝟑
𝟒
𝟐
√
𝟖
𝟐 𝟑
𝟐 𝟐
(
)𝟐
𝟒
𝟏
̅ ) (
𝟐
⇒ 𝟎
𝟐
𝟐
𝟒
𝟏
𝟒
𝟖
𝟐 𝟐
𝟏 ) ( 𝟐 𝟏
𝟒
𝟐
س /2جد الحل العام للمعادالت التفاضلٌة اوتٌة : 𝟐
)𝟐
𝟐
)𝟐
𝟏( ∫
𝟏 𝟒 )𝟐
𝒙𝒄
𝟐
𝟏
𝟐
𝟒)𝒙𝒄(
)نأخذ
𝟏( 𝟐
للطرفٌن(
⇒
𝟏 𝒙𝒄
𝟏
) حٌث 𝟒𝒄𝟐
|𝒙𝒄|𝒏𝒍 𝟐
𝟐
𝟏 𝟒𝒙 𝟏𝒄
𝟏𝒄(
)𝟐 𝟏 𝟒 )𝟐
𝟏
𝟐
𝟏(
𝟐
)𝟒 ( 𝟏 ∫ 𝟐 𝟏( 𝟒 𝟐
𝟒
𝟏√
∫
𝟏(𝒏𝒍
|𝒄|𝒏𝒍
𝒙𝒄
𝟐
𝟐
𝟏 𝟒𝒙 𝟒𝒄𝟐
𝟏
)𝟐
𝟏(
𝟐 𝟐
𝟐
𝟏√
𝟏 𝟏 𝒏𝒍 𝟒
𝟏 𝟒) 𝟐
𝟏 𝟒)𝒙𝒄(
𝟐
∫
𝟏
𝒙𝒄
𝟒
𝟏 𝟐
𝟐
|𝒙|𝒏𝒍
𝟏
𝟏 √ 𝟐
𝟐
) (
𝟏(
𝟐 𝟐
𝟏
𝟐
وزاري / 2015د1 ) (
𝟎 ) |
|
|
|
( )
(
) (∫
𝒄𝒆
) |
361
(∫ |
) |
( |
) |
( |
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
𝟐
𝟎 ∫
𝟐
𝟐
𝟐
(
⇒
𝟐
)حٌث 𝟏𝒄
𝟐
⇒
𝟐
)𝟐
𝟐
𝟐
)
∫
𝟐
𝟐
(
𝟐
∫
𝟐
𝒄𝟐(
𝟐
𝟐
𝟏
∫
)
𝟐
)𝟏
𝟐
(∫
𝟐
∫
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
𝟏(∫
) (
𝟐
𝟑
∫ ∫
∫
) ( 𝟐
∫
𝟐
∫
𝟑
𝟑
𝟐
𝟏 𝟏(∫ 𝟐
) 𝟐
𝟐
𝟐
∫ 𝟏 𝟒
𝟐
∫ 𝟏 𝟐
∫ )حٌث 𝟏𝒄
د𝟏
𝟏 𝟐
𝟐
𝒄𝟐 (
∫
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
362
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏 ( 𝟐
) (
𝟑 𝟐
𝟑(∫
𝟐
̅
) (
𝟐
() ( 𝟐
(
)
∫
𝟎 )
𝟐
𝟐
𝟑 𝟑 𝟑
𝟑
𝟐
𝟏 𝟐
) 𝟐
وزاري 𝟏𝟏𝟎𝟐
نوفر المشتمة
)
∫
𝟐
𝟐
) (
)𝟐
(
⇒
̅ 𝟐
𝟏 𝟐
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
قؤال خارجي /أثبت أن كال من : 𝒙𝒆𝑩
𝒙𝒆𝑨
هو حل للمعادلة التفاضلٌة
𝒚 )𝒄( 𝒚
𝟎
𝒚 )𝒃(
𝒙𝟑
𝒙̅ 𝒚
𝟏(̿ 𝒚
)𝒙
̅ 𝒚
𝒙𝒆𝟐 𝟎
𝒙𝒆𝟐
𝒙𝒆𝟐
∴ العاللة المعطاة ) 𝒙𝒆𝟐
𝒙𝒆𝒙𝟐
𝒙𝒆𝟐
𝒙𝒆𝟐
∴ العاللة المعطاة )𝒙𝟑
𝒚 ( حل للمعادلة التفاضلٌة 𝟎
𝒙̅ 𝒚
)𝒙
𝟎
̅ 𝒚
𝒚
𝒙̅ 𝒚
𝒙𝟑
𝒚 ( حل للمعادلة التفاضلٌة 𝟎
𝒚
𝒙̅ 𝒚
)𝒙
𝟏(̿ 𝒚
𝒙𝒆𝑩
𝒙𝒆𝑨
̅ 𝒚
) 𝒙𝒆𝑩 𝟎
𝒙𝒆𝑨
𝒙𝒆𝑩
𝒙𝒆𝑨 𝒙𝒆𝑨(
)𝒙
𝒙𝒆𝑨
𝟏() 𝒙𝒆𝑩
𝒙𝒆𝒙𝑩
𝒚 ( حل للمعادلة التفاضلٌة 𝟎
363
𝒚
𝒙𝒆𝑨(
𝒙𝒆𝒙𝑨
𝒚
𝒙𝒆𝒙𝑩
𝒙̅ 𝒚
)𝒙
̅ 𝒚
𝟑
𝟑
̅ 𝒚
𝒙𝒆𝟐
𝒚 )𝒂(
𝟏(̿ 𝒚
𝟏(̿ 𝒚
)𝒙
𝒙𝒆𝑨(
∴ العاللة المعطاة ) 𝒙𝒆𝑩
)𝒙
𝟏( 𝒙𝒆𝟐
𝒙𝒆𝟐
̅ 𝒚
𝟏()𝟎(
𝒙𝒆𝑩 ) 𝒙𝒆𝑩
𝒙𝒆𝟐
𝒚
𝟎
𝒙𝒆𝟐
𝒚 )𝒂(
𝒙̅ 𝒚
𝒙𝟑 )𝒙
𝒙𝒆𝑩
𝒚
𝒙̅ 𝒚
𝒙𝒆𝒙𝑨
)𝒙
)𝒙 𝒙𝒆𝑩
𝟏(̿ 𝒚
𝒚 )𝒃(
𝟏(̿ 𝒚
𝒙𝒆𝑨 𝟏(̿ 𝒚 𝒙𝒆𝑨
𝒚 )𝒄(
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
ثانٌا :المعادلة التفاضلٌة المتجانقة هً المعادلة التً نقتطٌع كتابتها بالشكل كتابتها على الصورة
* فمثال المعادلرة
( )+
) بقسمة طرفً المعادلة على
𝟒
𝟒
𝟑
𝟒
)𝟒
( ٌمكرن
(
) ( 𝟏
مثال /بٌن أي المعادالت التالٌة متجانقة ؟ 𝟑
𝟑 𝟐
) نقسم البسط والمقام على 𝟎
𝟑
𝟑
( 𝟑
𝟑
𝟏
𝟑
𝟑 𝟐
) (𝟑
𝟑
𝟑
∴ المعادلة متجانقة
𝟎 ) نقسم البسط والمقام على 𝟎
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
( 𝟐
𝟐
𝟎
) (
𝟐
̅
𝟐
𝟐
𝟐
) (𝟐
𝟎
) (
) (𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
) (𝟐
) (
∴ المعادلة متجانقة
𝟐 𝟑
المعادلة غٌر متجانسة النه الٌمكن كتابتها بالشكل ] ) (
[
364
̅) (𝟐
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
طرٌمة حل المعادلة التفاضلٌة المتجانقة لحل المعادلة التفاضلٌة المتجانقة نتبع الخطوات التالٌة :
❶ نكتب المعادلة بالصورة ( ) + ❷ نشتك ]
* ثم نعوض عن كل +
* أو ]
[ بالنقبة الى ) ( فنحصل على +
❸ نربط بٌن الخطوتٌن ❶ و ❷ فنحصل على +
❹ بعد فصل المتغٌرات نحصل على +
* ) (
) (
) (
مثال ( /)1حل المعادلة التفاضلٌة
𝟐
*
*
❺ نكامل الطرفٌن فنحصل على الحل العام وأخٌرا نعوض عن +
𝟐 𝟑
[ حٌ ) ( دالة الى ) (
*
̅
𝟐
الحل / 𝟐 𝟐
) نقسم البسط والمقام على 𝟎
(
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝟑
) (𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
𝟐
) (𝟐
𝟐
) وضعنا
𝟏
(
𝟐
𝟑
𝟐 ∵
نعوض المعادلة 𝟏
فٌنتج :
فً المعادلة 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 | |
𝟐
𝟏
𝟏 𝟐
𝟐
𝟏
𝟑
𝟑
𝟐
| |
𝟏
)𝟐
𝟐
( )
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
) (
𝟑
𝟐
)𝟏
𝒙
𝟐
𝟏
𝟐
∫ )نأخذ
𝟐 𝟏
365
𝟏
∫
⇒
(
𝟐 𝟏
للطرفٌن(
𝟐 𝟐
𝟐
𝟑
)𝟏
𝟐
(
𝟐
∴
| |
𝟐
(
)𝟏
𝟐
(
∵
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
مثال ( /)2حل المعادلة التفاضلٌة الحل / ) نقسم البسط والمقام على 𝟎
(
𝟏 𝟏 ) وضعنا
𝟏 𝟏
(
∵
نعوض المعادلة
فٌنتج :
فً المعادلة )𝟏
𝟏
(
𝟏 𝟏
𝟏 𝟐
𝟏
𝟏 𝟏 𝟐
𝟐
𝟏
𝟏
𝟏 𝟐
𝟏 | |
| | 𝟏 𝟐
𝟏
𝟏
|
𝟐√
𝟐
|
𝟏 𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
) نضرب طرفً المعادلة ب )حٌث
𝟏 𝟐
(
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
366
𝟏 𝟏
|
⇒
𝟏 𝟐
𝟐
𝟏 𝟐
|
) تربٌع الطرفٌن(
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏 )𝟐 (∫ 𝟐 𝟐
𝟐
| 𝟐√
( 𝟏
𝟐
∫
𝟏
𝟐
𝟏
𝟏
𝟏 𝟐 𝟏
𝟐
𝟏
∫
𝟐
| 𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟐
∫
𝟐
𝟐√
𝟐
𝟏
∴
𝟐
𝟏 𝟐
) ( 𝟐
) (𝟐 𝟏 𝟐
∵ 𝟐
𝟐
𝟐
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
وزاري / 2013د2
مثال ( /)3حل المعادلة التفاضلٌة
𝟑(
̅)
الحل / ) نقسم البسط والمقام على
(
𝟑
𝟏 𝟑
𝟑 ) وضعنا
𝟏 𝟑
(
∵
نعوض المعادلة 𝟏
فٌنتج :
فً المعادلة
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟑
𝟏 𝟑
𝟑
𝟑
( (
)𝟑 𝟐)𝟏
∫
∫
𝟐 𝟐)𝟏
(
∫ )𝟏 𝟐)𝟏
∫
𝟑( ) ( 𝟐)𝟏
∫ ( (
𝟏 𝟑
∫
𝟐 )𝟏
| |
∫
𝟐
)𝟏 𝟏
(
|𝟏
| | 𝟐
𝟑 ]𝟐 )𝟏 𝟐)𝟏
∫
∫
|
𝟐)𝟏
|𝟏
(
(∫ )𝟐( )𝟏
∫ )𝟏 (
𝟏
()𝟐(
|𝟏
𝟏
([ (
|
| |
|
∵
𝟏 𝟐
|
|
𝟐
|)𝟏
(
𝟐
| )
367
|𝟏 (
∫
|
| |
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
وزاري / 2012د1
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
وزاري / 2014د1
وزاري / 2012د3
مثال ( /)4جد الحل العـــــام للمعادلة التفاضـــلٌة
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
الحل / ) نقسم البسط والمقام على 𝟎 𝟐
) (
𝟐
𝟐 (
𝟐 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
) وضعنا
𝟏
(
𝟐 ∵
نعوض المعادلة 𝟏
𝟐 𝟐
فٌنتج :
فً المعادلة 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐 𝟐
∫
) نضع
𝟏 𝟐
(𝟐 ∫
)𝟏
∫
| |
( | |
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐)𝟏
( 𝟐 𝟏
| | 𝟐
| | )
368
(
𝟐)𝟏
∫
𝟐 𝟏
𝟐 | |
𝟏
| | (
(𝟐
)𝟏 𝟏 𝟐 𝟏
𝟐 | |
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية 𝟐
مثال محلول /حل المعادلة التفاضلٌة 𝟎
𝟐
̅
𝟐
الحل / 𝟐
𝟐
̅
𝟐
) نقسم البسط والمقام على
𝟐
(
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
) (
𝟐
𝟐
𝟐
) (𝟐
𝟐
) وضعنا
𝟐
𝟏
(
𝟐 ∵
نعوض المعادلة
فٌنتج :
فً المعادلة
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏 𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐 𝟐
)𝟏
𝟐 𝟐
𝟏
(
𝟐 | | 𝟏 | |
)𝟏
𝟐
| |
𝟏
𝟐
𝟏
(
𝟐 ∫
)𝟏
𝟐
)𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
∫
| |
(
𝟏 𝟐
𝟐
𝟐 𝟏
)𝟏
(
𝟏 (
𝟏 𝟐
𝟐
)
369
𝟐
𝟏
𝟐
)𝟏
𝟐
| |
𝟏 𝟐
𝟏 𝟐
(
𝟐
)
𝟐
𝟐 𝟐
(
(
∴
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
𝟓(
تمارين)𝟑 حل كال من المعادالت التفاضلٌة اوتٌة :
وزاري / 2012د2
وزاري / 2013د1
̅ )𝟏( ) وضعنا
( ∵
نعوض المعادلة
فٌنتج :
فً المعادلة
∫
∫
∫ ) (
∫
| |
| |
𝟐
𝟎
𝟐
)
( ) 𝟐(
𝟐
) نقسم البسط والمقام على
(
)𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
( 𝟐
) (
) (
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟏
𝟐
) وضعنا
) نعوض المعادلة ∫
| |
فً المعادلة 𝟐
(
∵
(
∫
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
| |
)𝟏
(
⇒
𝟏
𝟐
∴ 𝟏
| |
| |
𝟏
) (
)حٌث
370
𝟏
(
𝟏
| |
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
) 𝟑
𝟎 ) نقسم البسط والمقام على
𝟐 𝟑
(
) 𝟐
𝟐 ) (𝟐
𝟐
𝟑
𝟐 𝟐
𝟐
𝟑 ) 𝟑 𝟒 )𝟏
∫
(
𝟐(
𝟐 𝟑
𝟐
𝟐 𝟏 𝟑 𝟐
(
∵
( 𝟐 𝟏 𝟑 𝟐
𝟏
𝟏 𝟐(𝟐 ∫) ( 𝟐 𝟐 𝟑(
∫
𝟒
|𝟏
𝟐 𝟏 𝟑 𝟐
) 𝟑 𝟒 )𝟏 𝟐
| |
) 𝟑
𝟐
) وضعنا
) نعوض المعادلة
) 𝟐
𝟏
) (𝟑
فً المعادلة
𝟐(
( )𝟑(
𝟐
𝟑|
𝟐( 𝟐
𝟑(
)𝟏
∫
𝟏 𝟐
∴ 𝟐
𝟒 𝟑
𝟐
𝟏
| |
𝟑(
𝟒
𝟐
𝟐
𝟑
𝟐
)𝟒(
𝟐 𝟐
) نقسم البسط والمقام على 𝟐
) (
𝟐
(
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
) (𝟐
𝟐 𝟐
) وضعنا
) نعوض المعادلة 𝟐
فً المعادلة 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐 | |
| |
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏 𝟐
𝟏
𝟐 𝟐
𝟐 ∵
𝟐 𝟏
(
∫
𝟐
𝟐
)𝟐
𝟏(
371
𝟏(
𝟏
∴
𝟐 𝟐 )𝟐
𝟏(
∫
𝟐 )𝟐
𝟏
(
𝟐
𝟏 𝟐
| |
)𝟐 )𝟐
𝟏(
𝟐 𝟏(
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
)𝟐
𝟎
وزاري / 2014د2
)𝟐
𝟐
𝟐
( 𝟐
) نقسم البسط والمقام على
𝟐
( 𝟐
𝟐
) (
( )𝟓(
𝟏
𝟐 𝟐
𝟐
) (
𝟐 𝟐
) وضعنا
𝟏
(
∵
نعوض المعادلة 𝟐
فً المعادلة 𝟐
فٌنتج : 𝟐
𝟏
| |
|
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏|
𝟏
𝟏 𝟒
|
𝟏
𝟒 𝟐
)𝟐
𝟐
𝟏(
𝟐
𝟏 𝟒
∫
)𝟐
𝟐
𝟏
𝟏
)𝟒 ( 𝟏 ∫ 𝟒 𝟐 𝟏(
)𝟐
𝟏(
𝟐
𝟏
)
𝟐
𝟐
𝟏( |
𝟏 𝟒 𝟐
) ) (𝟐
372
)𝟒( 𝟐
| |
𝟏(
|
𝟏 𝟒) 𝟐
𝟐
𝟏|
∴ 𝟐
𝟏(
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
)𝟑
وزاري / 2016د1
𝟑
𝟐
(
)𝟔(
𝟐
) نقسم البسط والمقام على
(
𝟑
𝟑
𝟐
) ( 𝟑
) (
) وضعنا
𝟑
𝟏
𝟑
𝟑
𝟑
𝟑
(
𝟑
𝟏 ∵
نعوض المعادلة
فٌنتج :
فً المعادلة 𝟒 𝟑
𝟒
𝟏 )
| |
𝟑
𝟏
𝟏 𝟑 𝟑
𝟒
| |
(∫
𝟏 ∫
)𝟏
(
⇒
𝟑
∫
| |
)
𝟏
𝟑
𝟏
𝟒
𝟒
)𝟑
(∫
𝟏(
𝟒 𝟑
𝟏 𝟑
𝟑
)حٌث
𝟏
373
𝟑
𝟏
| |
| | (
𝟏
| |
𝟑 𝟏 𝟑
) (𝟑
| | | |
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
)
) وضعنا
(
)𝟕(
( ∵
نعوض المعادلة
فٌنتج :
فً المعادلة ∫ )
∫
( |
|
| |
|
| |
| |
|
∫
∫ ∴
******************************************************************
س : 1حل المعادلة التفاضلٌة التالٌة
𝟑
̅) 𝟐
س : 2أوجد حل المعادلة التفاضلٌة التالٌة
س : 3أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلٌة التالٌة س : 4حل المعادلة التفاضلٌة التالٌة س : 5حل المعادلة التفاضلٌة التالٌة
𝟒
𝟒( )𝟐
𝟏( )𝟐
)𝟐
) (
374
̅ 𝟐
√ 𝟐
( (
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
حلول التمارٌن العامة الخاصة بالفصل الخامس س / 13حل المعادلة التفاضلٌة اوتٌة 𝟏 :
𝝅
𝒙
𝒚 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝒚
𝟒
̅ 𝒚
𝒙
الحل /
)𝒚 𝟐𝒔𝒐𝒄 𝒙
(
𝒙𝒅𝒚 𝟐𝒔𝒐𝒄
]
𝒙𝒅 𝒙 )نعوض 𝟏
𝒙
𝝅 𝟒
𝒚(
𝒚 𝟐𝒔𝒐𝒄 𝒙
𝒚𝒅 𝒚 𝟐𝒔𝒐𝒄
∫
𝒄
∫
𝒙𝒅 𝒙
|𝒙|𝒏𝒍
𝟏
𝟏
𝟎
𝒙𝒅 𝒙
𝒚𝒅
س / 14حل المعادلة التفاضلٌة اوتٌة 𝟐𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒚 :
𝒙𝒅
𝝅 𝟒
|𝟏|𝒏𝒍
|𝒙|𝒏𝒍
𝟏
𝒙 عندما
حٌ أن 𝟎
𝒚𝒅 𝒚 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝒚𝒅 𝒚 𝟐𝒄𝒆𝒔 ∫
∫
𝒄
𝒚𝒅 𝒙𝒅
𝝅 𝟐
∴
𝒚
الحل /
)𝒚 𝒏𝒂𝒕 𝒙𝒅 𝒙𝟐 ∫ 𝟐𝒙 𝟐 𝟐
𝒄
𝒚𝒅 𝒚 𝒏𝒊𝒔 ( ) 𝒚 𝒔𝒐𝒄
|𝒚 𝒏𝒊𝒔|𝒏𝒍
)نعوض 𝟎 𝟎
𝒄 𝟐𝒙
𝒆
∫
375
𝒙𝒅 𝒙𝟐
𝒚(
𝟐𝒙
𝒄
𝟏 𝒏𝒍
𝒚 𝒏𝒊𝒔
𝒙𝒅 𝒚 𝒏𝒂𝒕 𝒙𝟐
𝒙𝒅 𝒙𝟐 ∫ 𝝅 𝟐
𝒙
(
]
𝒄 )نأخذ
للطرفٌن(
⇒
𝒚𝒅
𝒚𝒅 𝒚 𝒏𝒂𝒕
𝒚 𝒔𝒐𝒄 ∫ 𝒚𝒅 𝒚 𝒏𝒊𝒔 |𝒚 𝒏𝒊𝒔|𝒏𝒍
𝟎
𝟐𝒙
𝝅 | 𝟐
𝒏𝒊𝒔| 𝒏𝒍
|𝒚 𝒏𝒊𝒔|𝒏𝒍
∴
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
وزاري / 2013د3
س / 15حل المعادلة التفاضلٌة
𝒚
𝒙
̅ 𝒚 𝒙 حٌ أن 𝟏
𝒚
𝒙
𝟏
الحل /
)𝒙
(
𝒙
𝒚𝒅 𝒙𝒅
𝒚 𝒙
𝒚
𝒚𝒅 𝒙𝒅
𝒚 𝒙
𝒚𝒅 𝒙𝒅
𝒙 𝟏 ) وضعنا
𝒙
𝟏
(
∵
نعوض المعادلة
فً المعادلة
فٌنتج : 𝟏 𝒙𝒅 𝒙
𝐜 نعوض 𝟏
𝒙
𝟏
𝟏 )𝒙 (
𝒗𝒅
| |
𝐜
] 𝒙𝒅 𝒙
| |
∫
𝒗𝒅 ∫
𝒚 وٌجاد لٌمة الثابت 𝒄 𝐜
𝟏
𝟎
𝐜
𝟏 𝟏
376
| |
|𝟏|
𝟏 𝟏 ∴
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
س / 16حل المعادلة التفاضلٌة اوتٌة
𝟎
𝒙𝒅) 𝟐𝒚𝟑
𝒚𝒅 𝒚𝒙𝟐
𝟐𝒙(
الحل /
𝒙𝒅) 𝟐𝒚𝟑
𝒚𝒅 𝒚𝒙𝟐 𝟐𝒚𝟑 ) نقسم البسط والمقام على
𝒚𝒅 𝒙𝒅
𝟐𝒙
𝟐𝒚𝟑 𝒚𝒙𝟐
(
𝟐𝒚 𝟐 𝟑 𝒙 𝒚𝒙𝟐 𝟐𝒙
) وضعنا
𝒚𝒙𝟐
𝟐𝒙
𝒚𝒅 𝒙𝒅
𝟐𝒙 𝟐𝒙
𝟐 𝒚 ) (𝟑 𝒙 𝒚 ) 𝒙( 𝟐 𝟐𝒗𝟑 𝒗𝟐
(
𝟐𝒙(
𝒚𝒅 𝒙𝒅
𝟏
𝒚𝒅 𝒙𝒅
𝟏
∵ نعوض المعادلة
فً المعادلة
𝟐𝒗𝟐 𝟐𝒗𝟑 𝒗𝟐
𝟏
𝟐𝒗( 𝒄
𝒙
𝟐𝒗𝟑 𝒗𝟐
𝒗 ∫
)𝟏
فٌنتج :
𝒗𝟐 𝟏 𝟐𝒗 )𝟏
𝟐𝒗𝟑 𝒗𝟐
𝟏
𝟏 𝟐𝒗 𝒗𝟐
𝒗𝟐 𝟏 𝟐𝒗
∫
𝟐𝒗( 𝒄
| 𝒙|𝒏𝒍 )
𝟐𝒙 𝟐𝒙
377
𝟐𝒚 (𝒄
|𝒙|𝒏𝒍 𝒙
𝟏
| | )𝟏
𝟏
𝟐𝒗
𝟐𝒚 𝟐 (𝒄 𝒙
𝒙
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
حلول األسئلة الوزارٌة الخاصة بالفصل الخامس قؤال وزاري / 2012د2 حل المعادلة التفاضلٌة )𝟏
حٌ
(
()𝟏
عندما 𝟐
𝟐
الحل /
)𝟏
(∫
)𝟏
(
)𝟏
∫
(
(
)𝟏
)𝟏
()𝟏
(
)𝟏
()𝟏
(
𝟐
)𝟏
𝟐
نعوض 𝟐
𝒙
𝟐
(
𝒚 وٌجاد لٌمة الثابت 𝒄 𝟒
𝟒
𝟐
𝟎
𝟐
𝟏
𝟐
𝟒
𝟐
قؤال وزاري / 2014د3 أثبت ان
أحد حلول المعادلة
𝟎
الحل / 𝟏
)𝟏(
𝟏 ) (
)
∴ العاللة المعطاة )
(هً أحد حلول المعادلة التفاضلٌة أعال
378
𝟏(
)𝟏
(
∴
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
قؤال وزاري / 2015د3 𝟐
جد الحل العام للمعادلة التفاضلٌة
𝟐
𝟐
) نقسم البسط والمقام على
(
𝟐 𝟐
𝟐
) ( 𝟐
𝟏
𝟐
) وضعنا
(
𝟏 ∵
نعوض المعادلة
فً المعادلة
فٌنتج : 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟏 )
𝟏
𝟏( ∫
𝟐
𝟏 ∫
∫
)
| |
𝟏
)حٌث
379
(
)𝟏
(∫ )𝟏
| | 𝟏
𝟏
(
| |
⇒ 𝟏
| |
(
| | | |
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل السادس الهندسة الفضائٌةSPACE GEOMETRY/ مراجعة: -1لكل مستقٌمٌن متقاطعٌن ٌوجد مست ٍو وحٌد ٌحتوٌهما. -2لكل مستقٌمٌن متوازٌٌن ٌوجد مست ٍو وحٌد ٌحتوٌهما. -3عبارة التوازي (إذا علم مستقٌم ونقطة ال تنتمً إلٌه فٌوجد مستقٌم وحٌد ٌمر من تلك النقطة وٌوازي المستقٌم المعلوم). -4فً المستوى الواحد المستقٌم العمودي على أحد مستقٌمٌن متوازٌٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر. -5المستقٌم العمودي على أحد مستوٌٌن متوازٌٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر. -6فً المستوى الواحد ٌمكن رسم مستقٌم واحد فقط عمودي على مستقٌم معلوم من نقطة معلومة ( تنتمً للمستقٌم أو ال تنتمً إلٌه). -7إذا توازى مستقٌمان فالمستوي الذي ٌحوي احدهما ونقطة من اآلخر فأنه ٌحتوٌهما. -8المستوى العمودي على أحد مستقٌمٌن متوازٌٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر. -9فً المستوى الواحد المستقٌمان العمودٌان على مستقٌم واحد متوازٌان. - 10إذا توازى مستقٌمان فالمستوي الذي ٌحوي احدهما ٌوازي اآلخر. - 11المستقٌم العمودي على مستقٌمٌن متقاطعٌن من نقطة تقاطعهما ٌكون عمودٌا ً على مستوٌهما. - 12المستقٌم العمودي على مست ٍو ٌكون عمودٌا ً على جمٌع المستقٌمات المرسومة من أثره ضمن المستوي. - 13إذا كان كل من مستقٌمٌن متقاطعٌن ٌوازٌان مستوي معلوم فأن مستوٌهما ٌوازي المستوي المعلوم. - 14إذا وازى ضلعا زاوٌة ضلعً زاوٌة أخرى تساوت الزاوٌتان وتوازى مستوٌهما. - 15قطعة المستقٌم الواصلة بٌن منتصفً ضلعً مثلث توازي الضلع الثالث وتساوي نصفه بالقٌاس. - 16العمود النازل من رأس المثلث المتساوي الساقٌن على القاعدة ٌنصفها. - 17إذا وازى مستقٌم مستوي فالمستقٌم المرسوم من أٌة نقطة من نقااط المساتوي موازٌاا ً للمساتقٌم المعلاوم ٌكون محتوى فً ذلك المستوي. - 18المستقٌمان العمودٌان على مست ٍو واحد متوازٌان. - 19المستقٌمان الموازٌان لمستقٌم ثالث فً الفراغ متوازٌان. ٌ - 20كون الشكل الرباعً متوازي أضالع إذا توازى كل ضلعٌن متقابلٌن فٌه. ٌ - 21كون الشكل الرباعً متوازي أضالع إذا توازى وتساوى ضلعٌن متقابلٌن فٌه. - 22المستطٌل هو متوازي أضالع أحدى زواٌاه قائمة. ٌ - 23مكن رسم مستقٌم وحٌد عمودي على مست ٍو معلوم من نقطة معلومة. ٌ - 24تطابق المثلثان بضلعٌن وزاوٌة محددة بهما. - 25العمود النازل من نقطة معلومة على مست ٍو هو أقصر مسافة بٌن النقطة المعلومة والمستوي. - 26مبرهنة األعمدة الثالثة ونتٌجتها.
380
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الزاوٌة الزوجٌة والمستوٌات المتعامدة الزاوٌة الزوجٌة :اتحاد نصفً مستوٌٌن لهما حافة ( )Edgeمشتركة. وتسمى الحافة المشتركة بـ (حرف الزاوٌة الزوجٌة). وٌسمى كل من نصفً المستوٌٌن بـ (وجه الزاوٌة الزوجٌة) كما فً الشكل:
⃡ هو حرف الزاوٌة الزوجٌة
حٌث
( )Xو ( )Yهما وجهاها وٌعبر عن الزاوٌة الزوجٌة بالتعبٌر:
–
⃡–
وقد ٌعبر عنها بحرف الزاوٌة الزوجٌة أن لم ٌكن مشتركا ً مع زاوٌة أخرى. مثالً: الزاوٌة الزوجٌة: –
⃡–
–
⃡–
–
⃡–
وال ٌمكن أن تكتب الزاوٌة الزوجٌة بشكل
⃡ فً هذا المثال ألن الحرف
مالحظة :عندما تكون أربع نقاط لٌست فً مست ٍو واحد نكتب الزاوٌة الزوجٌة – D
⃡ – Aأو
الزاوٌة الزوجٌة بٌن المستوٌٌن ) (DBCو ( )ABCكما فً الشكل:
381
⃡ مشترك فً أكثر من زاوٌة زوجٌة.
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
وتقاس الزاوٌة الزوجٌة كاآلتً: ⃡ ونرسم من Dالعمود
⃡ فً
نأخذ نقطة Dعلى الحافة المشتركة ⃡ فٌكون قٌاس الزاوٌة الزوجٌة بٌن المستوٌٌن هو قٌاس الزاوٌة للزاوٌة الزوجٌة ,كما فً الشكل:
بعبارة أخرى لدٌنا الزاوٌة الزوجٌة
⃡
وتسمى الزاوٌة
الزاوٌة العائدة
⃡–
⃡
⃡
ولدٌنا
–
والعمود
⃡ فً
على الحرف
⃡
⃡
⃡
∢ هً الزاوٌة العائدة للزاوٌة الزوجٌة
⃡ أو
–
⃡–
الزاوٌة المستوٌة العائدة للزاوٌة الزوجٌة :هً الزاوٌة التً ضلعاها عمودٌان على حرف الزاوٌة الزوجٌة من نقطة تنتمً إلٌه وكل منهما فً أحد وجهً الزاوٌة الزوجٌة. أو :هً اتحاد شعاعٌن عمودٌٌن على حرف الزاوٌة الزوجٌة من نقطة تنتمً إلٌه وكل منهما فً أحد وجهً الزاوٌة الزوجٌة. ومن تعرٌف الزاوٌتٌن العائدة والزوجٌة ٌمكن استنتاج اآلتً: -1قٌاس زاوٌة عائدة لزاوٌة زوجٌة ثابت. -2قٌاس الزاوٌة الزوجٌة ٌساوي قٌاس الزاوٌة العائدة لها وبالعكس. إذا كانت الزاوٌة الزوجٌة قائمة فأن المستوٌٌن متعامدان وبالعكس. أي :أذا كان قٌاس 𝟗𝟎°
–
⃡–
فأن
382
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مبرهنة (( :)7وزاري /2011د )1و (وزاري /2013د )2و(وزاري /2015د: )3 إذا تعامد مستوٌان فالمستقٌم المرسوم فً احدهما والعمودي على مستقٌم التقاطع ٌكون عمودٌا ً على المستوي اآلخر.
أي أنه: إذا كان: ⃡ ⃡
⃡
⃡ في ⃡
فأن
المعطٌات :فً نقطة , D
⃡
المطلوب إثباته:
⃡
⃡
⃡
⃡
البرهان: فً
⃡
نرسم
⃡ (فً المستوى الواحد ٌمكن رسم مستقٌم وحٌد عمودي على مستقٌم فٌه من نقطة معلومة)
⃡
⃡
⃡ (معطى)
(تعرٌف الزاوٌة العائدة) – ⃡– ∢ عائدة للزاوٌة الزوجٌة (قٌاس الزاوٌة الزوجٌة ٌساوي قٌاس الزاوٌة العائدة لها وبالعكس) ∢ 𝟎𝟗 ⃡ ⃡ (إذا كان قٌاس الزاوٌة بٌن مستقٌمٌن 𝟎𝟗 فأن المستقٌمٌن متعامدان وبالعكس) ⃡ (المستقٌم العمودي على مستقٌمٌن متقاطعٌن من نقطة تقاطعهما ٌكون عمودٌا ً على مستوٌهما) (و .هـ .م) نتٌجة مبرهنة (( :)7وزاري /2013د )3و (وزاري /2015د:)2 إذا تعامد مستوٌان فالمستقٌم المرسوم من نقطة فً احدهما عمودٌا ً على المستوى اآلخر ٌكون محتوى فٌه. ⃡
المعطٌات:
⃡
المطلوب إثباته: البرهان :لٌكن ان لم ٌكن
⃡ ⃡
⃡ وعمودي على نرسم (فً المستوى الواحد ٌوجد مستقٌم وحٌد عمودي على مستقٌم فٌه من نقطة معلومة) ⃡
383
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
(معطى) ⃡(مبرهنة ( )7إذا تعامد مستوٌان فالمستقٌم المرسوم فً احدهما العمودي على مستقٌم التقاطع ٌكون عمودٌا ً على المستوى اآلخر) ⃡ (معطى) ولكن ⃡ ⃡ (ٌوجد مستقٌم وحٌد عمودي على مست ٍو معلوم من نقطة تنتمً أو ال تنتمً إلٌه) ⃡ (و .هـ .م) مبرهنة (( :)8وزاري /2011د )1و (وزاري /2016د: )1 كل مست ٍو مار بمستقٌم عمودي على مست ٍو آخر ٌكون عمودٌا ً على ذلك المستوي أو ٌ :تعامد المستوٌان إذا احتوى أحدهما على مستقٌم عمودي على اآلخر. أي أنه : ⃡ 𝑩𝑨 𝒙 𝑥
⇒
𝑦
𝒚 ⃡
المعطٌات:
,
𝑩𝑨⃡ ⃡⃡
المطلوب إثباته : البرهان :لٌكن
⃡ ⃡
فً
⃡
نرسم ⃡ ( معطى)
(ٌتقاطع المستوٌان بخط مستقٌم) (مستقٌم التقاطع ٌحتوي على النقاط المشتركة) ⃡ (فً المستوى الواحد ٌوجد مستقٌم وحٌد عمودي على مستقٌم فٌه من نقطة معلومة)
⃡ ⃡ ⃡ (المستقٌم العمودي على مستوى ٌكون عمودٌا ً على جمٌع المستقٌمات المحتوى فً المستوي والمارة من أثره) ⃡ (معطى) ∢ عائدة للزاوٌة الزوجٌة ⃡ (تعرٌف الزاوٌة العائدة) ⃡ ألن ⃡ ∢ 𝟗𝟎° (قٌاس الزاوٌة الزوجٌـــــة ٌســــاوي قٌاس الزاوٌة العائدة – ⃡– قٌاس الزاوٌة الزوجٌة 𝟗𝟎° لها وبالعكس) ( إذا كان قٌاس الزاوٌة الزوجٌة 90 °فأن المستوٌٌن متعامدان وبالعكس )
(و .هـ .م)
384
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مبرهنة (( :)9وزاري /2014د:)1 من مستقٌم غٌر عمودي على مست ٍو معلوم ٌوجد مست ٍو وحٌد عمودي على المستوى المعلوم . أي أنه:
⃡غٌر عمودي على ⃡ وعمودي على
فٌوجد مستوي وحٌد ٌحتوي المعطٌات ⃡ :غٌر عمودي على
المطلوب إثباته :إٌجاد مست ٍو وحٌد ٌحتوي البرهان: من نقطة ⃡
⃡ وعمودي على
⃡ (ٌوجد مستقٌم وحٌد عمودي على مست ٍو معلوم من نقطة ال تنتمً إلٌه)
نرسم ⃡ متقاطعان
ٌحوٌهما (لكل مستقٌمٌن متقاطعٌن ٌوجد مست ٍو وحٌد ٌحوٌهما)
ٌوجد مست ٍو وحٌد مثل
(مبرهنة ٌ( )8تعامد المستوٌان إذا احتوى أحدهما على مستقٌم عمودي على اآلخر) ولبرهنة الوحدانٌة: لٌكن ( )Zمستوي آخر ٌحوي ⃡ وعمودي على ⃡ (بالبرهان) ⃡ (نتٌجة مبرهنة )7 (لكل مستقٌمٌن متقاطعٌن ٌوجد مست ٍو وحٌد ٌحوٌهما) (و .هـ .م) نتٌجة مبرهنة (( :)9وزاري /2012د:)3 إذا كان كل من مستوٌٌن متقاطعٌن عمودٌا ً على مست ٍو ثالث فأن مستقٌم تقاطعهما ٌكون عمودٌا ً على المستوى الثالث. المعطٌات:
⃡
المطلوب إثباته: البرهان :إن لم ٌكن
⃡ ⃡ عمودٌا ً على
لما وجد أكثر من مستوي ٌحوي
⃡ وعمودي على
(مبرهنة )9
⃡ (و .هـ .م)
385
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مثال (:)1 فً ∆ ABC 𝟑𝟎°
̅̅̅̅̅
∢ 𝟎𝟏
𝟓
– ̅̅̅̅ –
جد قٌاس الزاوٌة الزوجٌة
المعطٌات: 𝟓
𝟑𝟎°
𝟎𝟏
المطلوب إثباته :إٌجاد قٌاس الزاوٌة الزوجٌة
̅̅̅̅̅
∢
– ̅̅̅̅ –
البرهان: فً المستوى من نقطة معلومة) ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅
نرسم ̅̅̅̅
̅̅̅̅ فً نقطة
(فً المستوى الواحد ٌوجد مستقٌم وحٌد عمودي على آخر
(معطى)
̅̅̅̅ (مبرهنة األعمدة الثالثة) ∢ عائدة للزاوٌة الزوجٌة ̅̅̅̅ (تعرٌف الزاوٌة العائدة)
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ (المســـتقٌم العمودي على مستوي ٌكون عمودٌا ً على جمٌع المستقٌمات المحتواة فً المستوى والمارة من أثره) ∆ DBEقائم الزاوٌة فً B فً ∆ BEAالقائم الزاوٌة فً :E ⇒
𝟓
𝟎𝟏
𝟏 𝟐
𝟎𝟑
⇒
فً ∆ DBEالقائم الزاوٌة فً :B 𝟏 قٌاس𝟒𝟓°
𝟓 𝟓
∢
∢
قٌاس الزاوٌة الزوجٌة 𝟒𝟓°
– ̅̅̅̅ –
( قٌاس الزاوٌة الزوجٌة هو قٌاس الزاوٌة العائدة لها وبالعكس)
(و .هـ .م)
386
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مثال (:)2 لٌكن ABCمثلثا ً ولٌكن ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
برهن أن: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ المعطٌات: ̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
المطلوب إثباته: ̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
البرهان: ̅̅̅̅ (معطى) (مبرهنة ٌ( )8تعامد المستوٌان إذا احتوى احدهما على مستقٌم عمودي على اآلخر) ̅̅̅̅
̅̅̅̅ (معطى) ̅̅̅̅ (مبرهنة ( )7إذا تعامد مستوٌان فالمستقٌم المرسوم فً احدهما والعمودي على مستقٌم التقاطع
ٌكون عمودٌا ً على اآلخر) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ (معطى) ̅̅̅̅ (نتٌجة مبرهنة االعمدة الثالثة)
(و .هـ .م)
387
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مثال (( :)3وزاري /2012د )2 مستوٌان متعامدان , ⃡ عمودٌان على
⃡
⃡ وٌقطعان
فً C, Dعلى الترتٌب
⃡
برهن أن:
المعطٌات: إن )
⃡
,
⃡
⃡ عمودٌٌن على
⃡ وٌقطعان
فً C, Dعلى الترتٌب.
⃡
المطلوب إثباته: البرهان:
مستوي المستقٌمٌن المتقاطعٌن
لٌكن
⃡
⃡
⃡
⃡ (لكل مستقٌمٌن متقاطعٌن ٌوجد مستوٌا ً وحٌداً ٌحوٌهما)
⃡ (معطى)
⃡ (المستقٌم العمودي على مستقٌمٌن متقاطعٌن من نقطة تقاطعهما ٌكون عمودٌا ً على مستوٌهما) ⃡ (معطى) (ٌتعامد المستوٌان إذا احتوى احدهما على مستقٌم عمودي على اآلخر) (معطى) ولما كان
⃡
(ألنه محتوى فً كل منهما) ⃡ (إذا كان كل من مستوٌٌن متقاطعٌن عمودٌا ً على مست ٍو ثالث فأن مستقٌم تقاطعهما ٌكون عمودٌا ً على المستوي الثالث)
(و .هـ .م)
388
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
تمارين س / 1برهن أن مستوي الزاوٌة العائدة لزاوٌة زوجٌة ٌكون عمودٌا ً على حرفها.
(وزاري / 2013د )1
– ⃡– المعطٌات :الزاوٌة الزوجٌة والزاوٌة CDEزاوٌة مستوٌة عائدة لها. ⃡ المطلوب إثباته: البرهان: ⃡–
الزاوٌة CDEزاوٌة عائدة للزاوٌة الزوجٌة ⃡ ⃡ (من تعرٌف الزاوٌة العائدة لزاوٌة زوجٌة) –
⃡
⃡
(معطى)
(هً الزاوٌة الناتجة من اتحاد شعاعٌن عمودٌٌن على حرف الزاوٌة الزوجٌة من نقطة تنتمً إلٌه وكل منهما فً احد وجهً الزاوٌة الزوجٌة) ⃡ (المستقٌم العمودي على مستقٌمٌن متقاطعٌن من نقطة تقاطعهما ٌكون عمودٌا ً على مستوٌهما)
(و .هـ .م) (وزاري /2014د)3 س / 2برهن أنه إذا وازى مستقٌم مستوٌا ً وكان عمودٌا ً على مست ٍو آخر فأن المستوٌٌن متعامدان. ⃡
المعطٌات: المطلوب إثباته: البرهان: ٌقطع أن لم ٌكن ⃡ (معطى)
⃡
فأن
⃡ (المستقٌم العمودي على احد مستوٌٌن متوازٌٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر) يقطع ولكن هذا خالف المعطٌات ولٌكن ⃡ (ٌتقاطع المستوٌان بخط مستقٌم) ⃡
لتكن تنتمً إلٌه)
,ولتكن
⃡
⃡ (عبارة التوازيٌ :وجد مستقٌم وحٌد ٌوازي مستقٌم معلوم من نقطة ال
⃡ (معطى) ⃡ (إذا وازى مستقٌم مستوٌا ً فالمستقٌم المرسوم من أٌة نقطة من نقط المستوي موازٌا ً للمستقٌم المعلوم ٌكون محتوى فٌه) ⃡ ⃡ (المستوي العمود على احد مستقٌمٌن متوازٌٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر) (ٌتعامد المستوٌان إذا احتوى احدهما على مستقٌم عمودي على اآلخر) أو (كل مست ٍو مار بمستقٌم عمودي على مست ٍو ٌكون عمودي على المست ٍو اآلخر) (و .هـ .م)
389
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
(وزاري / 2014د) 2 س / 3برهن أن المستوي العمودي على احد مستوٌٌن متوازٌٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر أٌضاً. المعطٌات: المطلوب إثباته: البرهان: لٌكن ⃡ ٌتقاطع المستوٌان بخط مستقٌم ⃡ ⃡ ولتكن ⃡ بحٌث ⃡ ⃡ نرسم (ٌمكن رسم مستقٌم وحٌد عمودي على مستقٌم معلوم من نقطة ال تنتمً إلٌه)
(معطى ) ⃡ (إذا تعامد مستوٌان فالمستقٌم المرســـوم فً احدهما والعمودي على مســــتقٌم التقاطع ٌكون عمودٌا ً على اآلخر) (معطى) ولكن ⃡ (المستقٌم العمودي على احد مستوٌٌن متوازٌٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر) (ٌتعامد المستوٌان إذا احتوى احدهما على مستقٌم عمودي على اآلخر) (و .هـ .م) س A, B, C, D / 4أربع نقاط لٌست فً مست ٍو واحد بحٌث . عائدة للزاوٌة الزوجٌة – ̅̅̅̅ – برهن
و ̅̅̅̅
فإذا كانت
المعطٌات A, B, C, D :أربع نقاط مختلفة لٌست فً مست ٍو واحد ∢ عائدة للزاوٌة الزوجٌة
– ̅̅̅̅ –
المطلوب إثباته: البرهان: ∢ عائدة للزاوٌة الزوجٌة – ̅̅̅̅ – (معطى) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ (الزاوٌة العائدة هً الزاوٌة الناتجة من اتحاد شعاعٌن عمودٌٌن على حرف الزاوٌة الزوجٌة ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ من نقطة تنتمً إلٌه وكل منهما فً أحد وجهً الزاوٌة الزوجٌة) (معطى) فً المثلث ABC (العمود النازل من رأس مثلث متساوي الساقٌن على القاعدة ٌنصفها) المثلثان DEBو DECفٌهما: (قوائم) 𝟏∢ 𝟐∢ (ضلع مشترك) ( CE = BEبالبرهان) ٌتطابق المثلثان بضلعٌن وزاوٌة محددة بهما. ومن التطابق ٌنتج: (و .هـ .م)
390
∢
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
(وزاري / 2015د)1 س / 5برهن أنه إذا وازى كل من مستقٌمٌن متقاطعٌن مستوٌا ً معلوم وكانا عمودٌٌن على مستوٌٌن متقاطعٌن فأن مستقٌم تقاطع المستوٌٌن المتقاطعٌن ٌكون عمودٌا ً على المستوى المعلوم.
⃡
المعطٌات: ⃡
⃡
⃡ يوازيان ⃡ ⃡
المطلوب إثباته: البرهان: لٌكن
مستوي المستقٌمٌن المتقاطعٌن ⃡
⃡
⃡ (لكل مستقٌمٌن متقاطعٌن ٌوجد مستوي وحٌد ٌحتوٌهما)
⃡ (معطى) (إذا كان كل من مستقٌمٌن متقاطعٌن ٌوازٌان مستوٌا ً معلوما ً فإن مستوٌهما ٌوازي المستوي المعلوم)
ولكن
⃡ (معطى) ⃡ (ٌتعامد المستوٌان إذا احتوى أحدهما على مستقٌم عمودي على اآلخر) (معطى) ⃡ ( إذا كان كل من مستوٌٌن متقاطعٌن عمودٌا ً على مست ٍو ثالث فأن مستقٌم تقاطعهما ٌكون عمودٌا ً
على المستوي الثالث) ⃡ (المستقٌم العمودي على احد مستوٌٌن متوازٌٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر) (و .هـ .م)
391
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
س / 6دائرة قطرها ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ عمودي على مســــتوٌها D ,نقطة تنتمً للدائرة برهن أن
عمودي
على المعطٌات: ̅̅̅̅ قطر فً دائرة و ̅̅̅̅̅
مستوي الدائرة.
Dنقطة تنتمً للدائرة. المطلوب إثباته:
البرهان: ∢ 𝟗𝟎° ̅̅̅̅
زاوٌة محٌطٌة ∢
(الزاوٌة المحٌطٌة المقابلة لنصف دائرة قائمة)
̅̅̅̅ (إذا كانت الزاوٌة بٌن مستقٌمٌن قائمة فأن المستقٌمٌن متعامدٌن)
̅̅̅̅ عمودي على مستوي الدائرة (معطى) ̅̅̅̅
̅̅̅̅ (مبرهنة االعمدة الثالثة)
اصبح لدٌنا̅̅̅̅ ̅̅̅̅ :
̅̅̅̅̅ (بالبرهان)
̅̅̅̅̅ (المستقٌم العمودي على مستقٌمٌن متقاطعٌن من نقطة تقاطعهما ٌكون عمودٌا ً على مستوٌهما) ولكن
̅̅̅̅ (ٌتعامد المستوٌان إذا احتوى أحدهما على مستقٌم عمودي على اآلخر) (و .هـ .م)
392
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
االسقاط العمودي على مست ٍو -1مسقط نقطة على مست ٍو :هو أثر العمود المرسوم من تلك النقطة على المستوي. -2مسقط مجموعة نقط على مستوي :لتكن Lمجموعة من نقاط فً الفراغ فأن مسقطهما هو مجموعة كل اثار االعمدة المرسومة من نقاطه على المستوي. -3مسقط قطعة مستقٌم غٌر عمودٌة على مست ٍو معلوم :هو قطعة المستقٌم المحددة بأثري العمودٌن المرسومٌن من نهاٌتً القطعة على المستوي المعلوم. لٌكن ̅̅̅̅ غٌر عمودي على ولٌكن
̅̅̅̅
مسقط Aعلى
هو
̅̅̅̅̅
مسقط Bعلى
هو
هو ̅̅̅̅
مسقط ̅̅̅̅ على
̅̅̅̅ فأن
مالحظة :إذا كان
-4المستقٌم المائل على مست ٍو :هو المستقٌم غٌر العمودي على المستوي وقاطع له. -5زاوٌة المٌل :هً الزاوٌة المحددة بالمائل ومسقطه على المستوي. فً لٌكن ⃡ مائالً على ̅̅̅̅ فً
ولٌكن مسقط كذلك
على
حٌث
مسقط نفسها حٌث
̅̅̅̅ مسقط ̅̅̅̅ على أي أن 𝟗𝟎° 𝟎 𝟗𝟎°
𝛉
𝟎
𝜽
-6طول المسقط :طول مسقط قطعة مستقٌم على مست ٍو = طول المائل
جٌب تمام زاوٌة المٌل.
فعندما تكون ̅̅̅̅ مائالً على
وزاوٌة مٌلة 𝜽 ومسقطه ̅̅̅̅ فأن 𝛉
-7مسقط مستوي مائل على الزوجٌة بٌنهما.
:زاوٌة مٌل مست ٍو على مست ٍو معلوم هو قٌاس الزاوٌة المستوٌة العائدة للزاوٌة
مساحة مسقط منطقة مائلة على مست ٍو معلوم = مساحة المنطقة المائلة مساحة المنطقة المائلة و
جٌب تمام زاوٌة المٌل
مساحة المسقط و 𝜽 قٌاس زاوٌة المٌل 𝛉
393
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مثال (( :)4وزاري /2013د :)2 إذا وازى أحد ضلعً زاوٌة قائمة مستوٌا ً معلوما ً فأن مسقطً ضلعٌهما على المستوي متعامدان. ∢ قائمة فً B المعطٌات: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ هو مسقط ̅̅̅̅ على ̅̅̅̅̅̅ هو مسقط ̅̅̅̅ على المطلوب إثباتهA'B' ┴ B'C' : البرهان: ̅̅̅̅̅̅ مسقط ̅̅̅̅ (معطى) ̅̅̅̅̅̅ مسقط ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ (مسقط قطعة مستقٌم على مست ٍو معلوم هو القطعة المحددة بأثري العمودٌن المرسومٌن على المستوي من طرفً القطعة المستقٌمة) ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ (المستقٌمان العمودٌان على مست ٍو واحد متوازٌان) نعٌن بالمستقٌمٌن المتوازٌٌن ( لكل مستقٌمٌن متوازٌٌن ٌوجد مست ٍو وحٌد ٌحتوٌهما ) نعٌن بالمستقٌمٌن المتوازٌٌن يحتويهما ̅̅̅̅ (معطى) لكن (ٌتقاطع المستوٌان بخط مستقٌم) ̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅ (إذا وازى مستقٌم مستوٌا ً معلوما ً فأنه ٌوازي جمٌع المســــتقٌمات الناتجة من تقاطع هذا المستوي والمستوٌات التً تحوي المستقٌم)
كذلك ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ (المستقٌم العمودي على مستوي ٌكون عمودٌا ً على جمٌع المستقٌمات المرسومة من أثره ضمن ذلك المستوي)
̅̅̅̅̅ لكن ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ( فً المستوي الواحد :المستقٌم العمودي على أحد مستقٌمٌن متوازٌٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر ) ̅̅̅̅ ( ألن 𝟎𝟗
∢
معطى)
̅̅̅̅̅̅ (المستوي العمودي على أحد مستقٌمٌن متوازٌٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر) ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅(المستقٌم العمودي على مستوي ٌكون عمودٌا ً على جمٌع المستقٌمات المرسومة من أثره ضمن ذلك المستوي). (و .هـــ .م)
394
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مثال (:)5 ̅̅̅̅ والزاوٌة الزوجٌة بٌن مستوي المثلث
مثلث, 𝟎𝟏 ∆ ABCعلى
.
المعطٌات:
̅̅̅̅
𝟑𝟏
قٌاس 𝟔𝟎°
علااى
ثاام جااد مساااحة مسااقط
⃡–
–
𝟎𝟏
والمستوي
جااد مسااقط المثلااث
قٌاسها 𝟔𝟎°فإذا كان
𝟑𝟏 على
المطلوب إثباته :إٌجاد مسقط على وإٌجاد مساحة مسقط البرهان: (ٌمكن رسم عمود على مستوي من نقطة معلومة) فً نرسم ̅̅̅̅ مسقط ̅̅̅̅̅ (مسقط قطعة مستقٌم على مست ٍو معلوم هو القطعة المحددة بأثري العمودٌن ̅̅̅̅ مسقط ̅̅̅̅ المرسومٌن على المستوي من طرفً القطعة المستقٌمة) ̅̅̅̅ مسقط نفسه على على
مسقط
̅̅̅̅ فً
نرسم ̅̅̅̅
فً وبما أن
(فً المستوى الواحد ٌمكن رسم مستقٌم عمود على آخر من نقطة معلومة)
(معطى) (العمود النازل من رأس مثلث متساوي الساقٌن على القاعدة ٌنصفها)
𝟓
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ (نتٌجة مبرهنة االعمدة الثالثة) ∢ عائدة للزاوٌة الزوجٌة ̅̅̅̅ (تعرٌف الزاوٌة العائدة) لكن قٌاس الزاوٌة الزوجٌة ̅̅̅̅ فً
القائم فً :
فً
:
القائم فً
( 𝟔𝟎°معطى) 𝟐𝟏 𝟔 𝟐
𝟒𝟒𝟏√
⇒ 𝟎𝟑
(و .هـ .م)
395
𝟓𝟐
𝟔
𝟏 𝟐𝟏
𝟎𝟏
𝟐 𝟏 𝟐
⇒
𝟗𝟔𝟏√ 𝟎𝟔
= مساحة المثلث BCD
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
تمارين س / 1برهن أن طول قطعة المســتقٌم الموازي لمســت ٍو معلوم ٌســـــاوي طول مســـقطه على المستوي المعلوم وٌوازٌه( .وزاري /2011د 1و /2014د 1و /2016د ) 1 ̅̅̅̅
المعطٌات:
̅̅̅̅ مسقط ̅̅̅̅ على المطلوب إثباته: أوال ً :
̅̅̅̅
̅̅̅̅
ثانٌا ً : البرهان:
̅̅̅̅ مسقط ̅̅̅̅ على
(معطى)
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ عمودان على
(مسقط قطعة مستقٌم على مست ٍو هو القطعة المحددة بأثري العمودٌن المرسـومٌن من طرفً القطعة على المستوي)
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅ (المستقٌمان العمودٌان على مست ٍو واحد متوازٌان)
بالمستقٌمٌن المتوازٌٌن
نعٌن
(لكل مستقٌمٌن متوازٌٌن ٌوجد مست ٍو وحٌد ٌحتوٌهما)
̅̅̅̅ (معطى) ̅̅̅̅
̅̅̅̅ (مستقٌم تقاطع مستوٌٌن ٌوازي كل مستقٌم محتوى فً احدهما وٌوازي اآلخر) أو (إذا وازى مستقٌم مستوٌا ً معلوما ً فأنه ٌوازي جمٌع المستقٌمات الناتجة من تقاطع هذا المستوي مع المستوٌات التً تحوي هذا المستقٌم) (و .هـ .م) ()1
الشكل
متوازي أضالع (ألن كل ضلعٌن متقابلٌن فٌه متوازٌٌن) خواص متوازي األضالع ( كل ضلعٌن متقابلٌن فٌه متساوٌٌن بالطول) (و .هـ .م) ()2
396
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
س / 2برهن أنه إذا قطع مســـتوٌان متوازٌان بمستقٌم فأن مٌله على احدهما ٌساوي مٌل اآلخر علٌه. (وزاري /2012د )2و (وزاري /2015د )3 المعطٌات: ⃡
} {
⃡
} { المطلوب إثباته: ⃡ على
مٌل
⃡ على
مٌل
البرهان: ⃡ ( ٌمكن رسم مستقٌم وحٌد عمودي على مست ٍو معلوم من نقطة معلومة )
نرسم
(معطى) ⃡ فً نقطة ⃡ على
⃡ مسقط وكذلك
(المستقٌم العمودي على أحد مستوٌٌن متوازٌٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر)
⃡ مسقط
⃡ على
𝟏∢ هً زاوٌة مٌل
⃡ على
𝟐∢ هً زاوٌة مٌل
⃡ على
⃡ 𝟐∢ مٌل
(مسقط قطعة مستقٌم غٌر عمودٌة على مست ٍو معلوم هو قطعة المستقٌم المحددة بأثري العمودٌن المرسومٌن من طرفً القطعة على المستوي) ( زاوٌة مٌل مستقٌم مائل على مست ٍو معلوم هاً الزاوٌاة المحاددة بالمائل ومسقطه على ذلك المستوي )
⃡ ( خطأ تقاطع مستوٌٌن متوازٌٌن بمست ٍو ثالث متوازٌان ) 𝟏∢ ⃡ على
( إذا وازى ضلعا زاوٌة ضلعً زاوٌة أخرى تساوى قٌاسهما وتوازى مستوٌهما ) مٌل
⃡ على
(و .هـ .م)
397
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
س / 3برهن على أن للمستقٌمات المتوازٌة المائلة على مست ٍو المٌل نفسه. ( وزاري /2011د ( )3وزاري /2013د )3 المعطٌات: ⃡
⃡ وكل منهما مائل على
المطلوب إثباته: ⃡ على
قٌاس زاوٌة مٌل
= قٌاس زاوٌة مٌل
⃡ على
البرهان: ⃡ فً
لٌكن
( ٌمكن رسم مستقٌم وحٌد عمودي على مست ٍو معلوم من نقطة معلومة )
⃡ فً
ولٌكن ⃡ مسقط
⃡ على
⃡ مسقط
⃡ على
( مسااقط قطعااة مسااتقٌم غٌاار عمودٌااة علااى مساات ٍو معلااوم هااو قطعااة المسااتقٌم المحددة بأثري العمودٌن المرسومٌن من طرفً القطعة على المستوي )
∢ 1هً زاوٌة مٌل
⃡ على
∢ 2هً زاوٌة مٌل
⃡ على
( زاوٌة مٌل مستقٌم مائل على مست ٍو معلوم هً الزاوٌة المحددة بالمائل ومسقطه على المستوي المعلوم )
⃡
⃡ ( معطى )
⃡
⃡ ( المستقٌمان العمودٌان على مست ٍو متوازٌان )
𝟒∢ 𝟗𝟎°
𝟑∢ 𝟔∢
( إذا وازى ضلعا زاوٌة ضلعً زاوٌة أخرى تساوى قٌاسهما وتوازي مستوٌهما ) 𝟓∢
( المســتقٌم العمودي على مســتوي ٌكون عمودٌا ً على جمـٌع المســــتقٌمات المرسومة من أثره ضمن ذلك المستوي )
) 𝟏𝟖𝟎° 𝟏 ∢ ( مجموع قٌاسات زواٌا المثلث 𝟐∢ قٌاس زاوٌة مٌل ⃡ على قٌاس زاوٌة مٌل ⃡ على (و .هـ .م)
398
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
س / 4برهن على أنه إذا رسم مائالن مختلفان فً الطول من نقطة ال تنتمً إلى مست ٍو معلوم فإن أطولهما زاوٌة مٌله على المستوي أصغر من زاوٌة مٌل اآلخر علٌه. المعطٌات:
المطلوب إثباته: زاوٌة مٌل ̅̅̅̅ على
زاوٌة مٌل ̅̅̅̅ على البرهان:
̅̅̅̅ ( ٌمكن رسم مستقٌم وحٌد عمودي على مست ٍو من نقطة ال تنتمً إلٌه )
لٌكن
⃡ مسقط
⃡ على
⃡ مسقط
⃡ على
( مسااقط قطعااة مسااتقٌم غٌاار عمودٌااة علااى مساات ٍو معلااوم هااو قطعااة المسااتقٌم المحددة بأثري العمودٌن المرسومٌن من طرفً القطعة على المستوي )
𝟏𝛉 ∢ هً زاوٌة مٌل
⃡ على
𝟐𝛉 ∢ هً زاوٌة مٌل
⃡ على
( زاوٌة مٌل مستقٌم مائل على مست ٍو معلوم هً الزاوٌة المحددة بالمائل ومسقطه على ذلك المستوي )
( معطى ) 𝟏
𝟏
(خواص التراجح)
وبضرب طرفً المتراجحة بـ 𝟐𝜽 𝟐𝜽
𝟏𝜽
ٌنتج:
( وبرفع
الطرفٌن ألن دالة
𝟏𝛉
زاوٌة مٌل ̅̅̅̅ على
زاوٌة مٌل ̅̅̅̅ على
(و .هـ .م)
399
دالة متزاٌدة)
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
س / 5برهن على أنه إذا رسم مائالن من نقطة ما إلى مست ٍو فأصغرهما مٌالً هو األطول. المعطٌات: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ مائالن على زاوٌة مٌل̅̅̅̅ على
زاوٌة مٌل ̅̅̅̅ على
المطلوب إثباته:
البرهان: ̅̅̅̅ ( ٌمكن رسم مستقٌم عمودي على مست ٍو من نقطة ال تنتمً إلٌه )
لٌكن
̅̅̅̅̅ مسقط ̅̅̅̅ على وكذلك ̅̅̅̅ مسقط ̅̅̅̅ على
( مسقط قطعة مستقٌم غٌار عمودٌاة علاى مسات ٍو معلاوم هاو قطعاة المساتقٌم المحددة بأثري العمودٌن المرسومٌن من طرفً القطعة على المستوي )
𝟏𝛉 ∢ هً زاوٌة مٌل ̅̅̅̅ على 𝟐𝛉 ∢ هً زاوٌة مٌل ̅̅̅̅ على 𝟐𝜽 ∢
𝟏𝛉 ∢
وبأخذ دالة الـ 𝟐𝛉
( زاوٌة مٌل مستقٌم مائل على مست ٍو معلوم هً الزاوٌة المحددة بالمائل ومسقطه على المستوي المعلوم )
للطرفٌن: 𝟏𝛉 و بقسمة طرفً المتراجحة على AD
𝟏
𝟏
وبقلب التراجح ٌنتج : ( خواص التراجح )
(و .هـ .م)
400
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
س / 6برهن على أنه زاوٌة المٌل بٌن المستقٌم ومسقطه على مست ٍو أصغر من الزاوٌة المحصورة بٌن المستقٌم (وزاري /2012د)3 نفسه وأي مستقٌم آخر مرسوم من موقعه ضمن ذلك المستوي. المعطٌات: ̅̅̅̅ ,مسقط ̅̅̅̅ على
̅̅̅̅ مائل على
∢ محددة بـ ̅̅̅̅ و ̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ ,
∢ محددة بـ ̅̅̅̅ و ̅̅̅̅̅ المطلوب إثباته: ∢
∢ البرهان:
̅̅̅̅ (ٌمكن رسم مستقٌم وحٌد عمودي على مستوي معلوم من نقطة ال تنتمً إلٌه)
نرسم ونرسم ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅ (ٌمكن رسم مستقٌم وحٌد عمودي على مستوي معلوم من نقطة ال تنتمً إلٌه)
لتكن 𝟏𝜽
𝟐𝜽
∢
̅̅̅̅ مسقط ̅̅̅̅ على AD
∢
(معطى)
( ACالعمود النازل من نقطة على مستوي هو أقصر مسافة بٌن النقطة المعلومة والمستوي)
وبالقسمة على AB (خواص التراجح) 𝟏𝜽
𝟐𝜽 𝟏𝜽
𝟐𝜽 ∢
∢
(و .هـ .م)
401