أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل األول /األعداد المركبة تعرٌف :
مالحظة ٌمكننا كتابة الجذر ألي عدد حمٌمً سالب بداللة 𝒊 فمثالا :
مثال /)1أكتب ما ٌلً فً أبسط صورة :
𝟑𝟏𝒅 𝒊−
1
𝟑𝟗𝒄 𝒊𝟏𝟐𝒏+
𝟖𝟓𝒊 𝒃
𝟔𝟏𝒊 𝒂
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
3 − 5i
مالحظة
مثال / 2أكتب األعداد التالٌة على الصورة 𝒊𝒃 𝒂 + 𝟓𝟐𝟏 + − 𝟒
𝒅
𝟎𝟎𝟏−
𝟑𝒄 − 𝟏 − −
مثال /أكتب األعداد التالٌة بالصٌغة الجبرٌة للعدد المركب :
𝟓𝒂 −
𝒃
𝟏 𝟓𝟐𝟏 + − 𝒊𝟓𝟐 𝟓 𝟏 = + = 𝒊 + 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒
𝒅
𝒊𝟎 𝒂 𝒊𝟏𝟔 = 𝒊𝟒 𝟒 = 𝟏 𝟒 = 𝟏 = 𝟏 + 𝐢 𝒃 𝒊𝟏𝟓 = 𝒊𝟏𝟐 . 𝒊𝟑 = 𝟏 . −𝐢 = −𝐢 = 𝟎 − 𝟏 𝟒𝟐𝒊 𝒊 = 𝟐𝟑 = 𝟐𝟑 = 𝒊 = 𝟎 + 𝒊 𝒊
𝟑𝟐−
𝟖𝒊 𝟏 𝐢𝟎 = 𝟔 = 𝟔 = 𝒊𝟐 = −𝟏 = −𝟏 + 𝒊 𝒊 𝟏 𝟒𝟒𝒊 𝐢𝟎 = 𝟒𝟒 = 𝟒𝟒 = 𝟏 = 𝟏 + 𝒊 𝒊 𝒊 𝒊 −𝟏𝟑 = 𝒊 −𝟏𝟑 . 𝒊 𝟏𝟔 = 𝒊𝟑 = −𝒊 = 𝟎 −
𝒓𝒐
2
𝟏 𝟔𝟏𝒊 = 𝒊 = 𝒊𝟑 = −𝒊 = 𝟎 − 𝟑𝟏 𝟑𝟏 𝒊 𝒊
𝒊 𝒄
𝟔−
𝒊 𝒅
𝟒𝟒−
𝒊 𝒆
= 𝟑𝟏𝒇 𝒊 −
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مثال /أكتب كال مما ٌأتً بالصٌغة : bi ,
,
,
مثال /عٌن الجزء الحمٌمً والجزء التخٌلً لؤلعداد المركبة التالٌة ثم ضعها بالصٌغة الجبرٌة للعدد المركب .
ضع كالا مما ٌأتً بالصٌغة العادٌة أو الجبرٌة للعدد المركب
خاصٌة التساوي
مثال ( /)3جد لٌمة كل من x ,yالحمٌمٌتٌن التً تحممان المعادلة فً كل مما ٌأتً : 𝒊 𝟏 𝒂 𝟐𝒙 − 𝟏 + 𝟐𝒊 = 𝟏 + 𝒚 +
3
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝒊𝒚𝟖 𝒃 𝟑𝐱 + 𝟒𝒊 = 𝟐 +
𝒊𝟑 (c ) 𝟐𝒚 + 𝟏 – 𝟐𝒙 – 𝟏 𝒊 = −𝟖 +
عملٌة الجمع على األعداد المركبة عند جمع األعداد المركبة نجمع األجزاء الحمٌمٌة مع بعضها واألجززاء التخٌلٌزة مزع بعضزها والنزاته زو أٌضزا عزدد مركب وكما ٌلً : نفرض 𝒊 𝟏𝒃 𝑪𝟏 = 𝒂𝟏 +
و
𝒊 𝟐𝒃 𝑪𝟐 = 𝒂𝟐 +
عددان مركبان فأن :
𝒊 𝟐𝒃 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 = 𝒂𝟏 + 𝒂𝟐 + 𝒃𝟏 +
خواص الجمع على األعداد المركبة : مغلمة أبدالٌة تجمٌعٌة النظٌر الجمعً العنصر المحاٌد زمرة أبدالٌة مثال ( /)4جد مجموع العددٌن فً كل مما ٌأتً : 𝒊𝟐 𝟐𝒂 𝟑+𝟒 𝟐𝒊 , 𝟓− 𝟐 𝟐=𝟖+
𝟐 𝟐= 𝟑+𝟓 + 𝟒 𝟐 −
𝟐 𝟐𝟓−
𝟐 𝟒𝟑+
+
𝟓 𝟑 ,𝟐 − 𝟓=𝟓−
𝟓= 𝟑+𝟐 + 𝟎−
𝟓+ 𝟐−
𝟎𝟑+
𝟑 , 𝟐=𝟏+
4
𝟑 = 𝟏 + 𝟎 + −𝟏 +
𝟑+ 𝟎+
𝟏− 𝟏−
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مثال /أوجد ناته جمع األعداد المركبة التالٌة : = −𝟏 − = 3 +
+ 5+7−
=
+3−
,
𝟕=𝟑+
𝟓= 𝟏+
,
= +
+5 + 3+7 + − −
𝟐 , −𝟓+ 𝟐 𝟐 = −𝟑 +
= 𝟐−𝟓 +
𝟐 𝟐+
𝟐 + −𝟓 +
𝟏
+
𝟐𝟐 + −
𝟐
𝟐 𝟐+
طرح األعداد المركبة أذا كان
+
و
=
+
فأن
=
+ −
−
=
مثال ( /)5جد ناته : 𝟑𝟏 𝟕 −
𝟒− 𝟗+ 𝟒 + −𝟗 − 𝟕𝟏 = −𝟐 −
مثال ( /)6حل المعادلة
= −𝟓 +
𝟓 = −𝟕 +
مثال /أذا كان فأوجد ما ٌلً
,
𝟒 + −𝟐 +
𝟕 = −𝟏 −
,
𝟗 = −𝟏 −
𝟑
𝟑+
𝟐
𝟒− 𝟐−
𝟐= 𝟏+
𝟕 − 𝟒 −𝟏 −
𝟑𝟑 + −𝟑 −
أذا كان
= −𝟓 +
= −𝟓 +
𝟒 −𝟐 − 𝟏𝟏 + 𝟑 −𝟏 −
𝟏𝟏 = −𝟏 −
𝟒 𝟕 − 𝟗 + −𝟏𝟑 −
𝟒 𝟐 −حٌث ℂ
𝟒 = −𝟓 − 𝟐 + 𝟏 +
𝟏𝟏 = −𝟏 − 𝟑+
+
𝟑𝟏 𝟕 −
, + +
𝟖𝟐 + 𝟒 +
𝟒 = −𝟐 −
𝟑𝟑 = −𝟐 + 𝟒 − 𝟑 + −𝟒 + 𝟐𝟖 −
𝟕 = −𝟏 − 𝟑
𝟐 + 𝟑 = −𝟐 𝟏 +
𝟒 −𝟐 −
,
𝟐= 𝟏+
𝟐−𝟑 +𝟐 −𝟒 +
5
فأوجد ما ٌلً : 𝟑+
+
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
عملٌة الضرب على األعداد المركبة أذا كان
+
=
،
+
+
,
= −
+
k =
𝟐
فأن +
+
+
=
+
+
=
= .
+
= .
+
𝟏 𝟐
خواص عملٌة الضرب على األعداد المركبة ( )1عملٌة الضرب مغلمة أي أن الناته دائما عدد مركب = 𝟐 𝟏. ( )2عملٌة الضرب أبدالٌة أي أن 𝟏 𝟐 . ( )3عملٌة الضرب تجمٌعٌة أي أن 𝟑 = 𝟏 . 𝟐 . ( )4المحاٌد الضربً و ( )1وٌكتب 𝟎 𝟏 = 𝟏 + ( )5النظٌر الضربً للعدد ( ) cو
𝟏−
.
𝟑
.
𝟐
وٌمكن أن ٌكتب بالصٌغة
𝟏
𝟏
مثال ( / )7جد ناته كال مما ٌأتً : 𝟓𝟑− 𝟗 = 𝟔 − 𝟏𝟓 + −𝟏𝟎 −
𝟗𝟏 = −𝟗 −
𝟐
𝟓𝟏 = 𝟔 − 𝟏𝟎 − 𝟗 +
𝟒𝟐 = 𝟗 − 𝟏𝟔 + 𝟐𝟒 = −𝟕 +
𝟐
𝟑𝟐−
𝟓𝟑−
𝟑𝟐−
𝟐
𝟒𝟑+
𝟐
𝟔𝟏 = 𝟗 + 𝟐𝟒 +
𝟒𝟑+
𝟏+ 𝟐
= − 𝟏 = −𝟏 +
𝟏+
= +
𝟓− 𝟑𝟒+ 𝟐 𝟓𝟏
i
𝟐
= −𝟏𝟎 −
𝟑
𝟓 𝟐
𝟒 − 𝟐
𝟎= 𝟐=𝟐 −
𝟐
+ 𝟏−𝟐 +
𝟐
= 𝟏+𝟐 +
𝟓− 𝟐
=
𝟑𝟒+
+ 𝟏− 𝟐
𝟐
+ 𝟏−
𝟐
𝟓− 𝟐
𝟏+ 𝟏+
جد ناته كل مما ٌلً : 𝟐𝟏+ 𝟐
𝟑
𝟏+
𝟐
𝟑𝟏 + 𝟐 −
𝟑𝟐 + −
𝟏
−
𝟐𝟐 + −
𝟒
𝟐𝟑 + −𝟖 𝟐 + 𝟐 −
𝟑
6
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مرافك العدد المركب أذا كان Cعدد مركب فأن مرافمه ٌرمز له ̅ أي أذا كان فمثالا :
و مرافك العدد
𝟑+
=
𝟑 −وبالعكس ,وكذلن مرافك العدد
و مرافك العدد 𝟐 𝟑 −
𝟐𝟑+
+
فأن
− و
=̅.
−وبالعكس .
وبالعكس ,وكذلن مرافك العدد 𝟑 و 𝟑 .
مالحظة أذا كان
+
=
𝟏
عدد مركب مرافقه هو
−
=
و
𝟐
فأن 𝟐=𝟐 + 𝟏+ 𝟐= 𝟐 𝟐 = 𝟐 + 𝟐 𝟏 𝟏
الجدول أدناه ٌوضح المرافك للعدد المركب والنظٌر الجمعً والضربً : النظٌر الضربً النظٌر الجمعً العدد المركب +
𝟏 + 𝟏 𝟐𝟑− 𝟏 𝟒− 𝟏 𝟔−
− −
𝟐𝟑−
𝟐 −𝟑 +
𝟒−
𝟒
𝟔−
𝟔
𝟑
=
𝟑
−
𝟐
𝟏=
𝟐
−
𝟒𝟏 , − مثال ( / )8أذا كان
= 𝟏+
𝟏
المرافك − 𝟐𝟑+ 𝟒− 𝟔
𝟏 𝟑
𝟏= −
𝟐
=
𝟏 𝟒𝟏 , −
𝟒 −𝟏 ,
,
𝟏 𝟐 𝟑
𝟐=𝟑−
𝟐
𝟏 𝟐
𝟏= −
𝟐
𝟒𝟏 ,
فتحمك من : ̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝟏 𝟐 𝟏+ 𝟐 = 𝟏+
.
= .
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅ 𝟏+ 𝟐 = 𝟏+ +𝟑−𝟐 = 𝟒− =𝟒+
.
̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟐̅̅̅ ̅̅̅𝟏 + ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝟏 + + 𝟑−𝟐 =𝟏− +𝟑+𝟐 = 𝟒+
.
̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝟐 𝟐 𝟏− 𝟐 = 𝟏−
.
= .
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝟑 𝟏 − 𝟐 = 𝟏 + − 𝟑 + 𝟐 = −𝟐 + 𝟑 = −𝟐 −
.
̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟐̅̅̅ ̅̅̅𝟏 − ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝟏 + − 𝟐𝟑−𝟐 =𝟏− − 𝟑+
.
𝟑 = −𝟐 −
7
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
̅̅̅ ̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝟑 𝟐 𝟏. 𝟐 = 𝟏 . ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟐 𝟏 + . 𝟑 − ̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟐 𝟐 𝟑 − 𝟐 + 𝟑 − 𝟓+ =𝟓− =𝟓−
𝟐
𝟐=𝟑+𝟐 −𝟑 −
𝟐. 𝟑+
̅̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟐 𝟏.
.
̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟐̅̅̅ ̅̅̅𝟏 . ̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝟏 + . 𝟑−𝟐 = 𝟏−
.
𝟏 𝟏
= 𝟏̿̿̿
𝟒
̿̿̿̿̿̿̿ = 𝟏̿̿̿ ̅̅̅̅̅̅̅ = 𝟏 + = 𝟏− =𝟏+ 𝟎
̅̅̅̅̅̅ 𝟏̅̅̅ 𝟏 =) ( 𝟐̅̅̅ 𝟐
𝟐
𝟓
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝟏+ 𝟏+ 𝟐𝟑+ 𝟐 𝟐𝟑+𝟐 +𝟑 + 𝟓𝟏+ 𝟓𝟏− 𝟏 ( =) ( (=) )=. (=/ =) 𝟐𝟑− 𝟐𝟑− 𝟐𝟑+ 𝟒𝟗+ 𝟑𝟏 𝟑𝟏 𝟐 𝟓𝟏− 𝟑𝟏
𝟐
=
.
𝟏̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅ 𝟏+ 𝟏− 𝟏− = = = 𝟐̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝟐𝟑+ 𝟐𝟑+ 𝟐𝟑−
𝟐𝟑− 𝟐𝟑−𝟐 −𝟑 + = 𝟐𝟑− 𝟒𝟗+
.
مالحظة ( )1عند ظهور
فً الممام نضرب ممام البسط وكسره بمرافك الممام لتبسٌط الحل .
(ٌ )2مكن أستخدام التعبٌر (مملوب العدد المركب) بدل (النظٌر الضربً) وٌرمز له بالرمز مثال ( / )9جد النظٌر الضربً للعدد المركب
مثال ( / )10أذا كان
𝟐𝟑−
,
𝟓𝟏+
𝟐= 𝟐−
مترافمان فجد لٌمة كل من
,
𝟏 𝟏 = 𝟐𝟐− 𝟐𝟐−
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ − 𝟐𝟑− = ( ) 𝟓𝟏+
𝟓𝟏+ 𝟕𝟏 = −𝟕 +
−
𝟐
=
.
− 𝟐𝟑+ = − 𝟓𝟏+
−
و و ٌساوي
وضعه بالصٌغة العادٌة للعدد المركب
𝟐𝟐+ 𝟐𝟐+ 𝟐𝟐+ 𝟐𝟐+ 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 = = = = + = + 𝟐 𝟐𝟐+ 𝟐𝟐 + 𝟒𝟒+ 𝟖 𝟖 𝟖 𝟒 𝟒
−
𝟏−
𝟏
𝟐= 𝟑+
𝟎𝟏 = 𝟑 + 𝟏𝟓 + 𝟐 +
− 𝟐
+
− −
من تساوي األعداد المركبة نجد أن الحقيقي التخيلي
8
𝟕=
𝟕− = −
𝟕𝟏= −
−
𝟕𝟏 =
𝟏
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
مثال ( / )11أذا كان
𝟐=𝟑−
𝟏
أعداد /األستاذ علً حمٌد
=𝟏+
,
𝟐
̅̅̅̅̅̅ = )𝟏 (
̅̅̅̅ 𝟏
فتحمك من
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
̅̅̅̅ 𝟐
𝟐
̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝟐𝟑− 𝟐𝟑− 𝟏− 𝟐 𝟐𝟑−𝟑 −𝟐 + 𝟓𝟏− 𝟓𝟏+ 𝟓 𝟏 𝟏 ( =) ( (=) )=. / = ( ) = = + 𝟏+ 𝟏+ 𝟏− 𝟐𝟏 𝟏𝟐 + 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
.
𝟏̅̅̅ = ̅̅̅̅ 𝟐
.
𝟓𝟏+ 𝟓 𝟏 = + 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐
=
̅̅̅̅̅̅̅̅̅ 𝟐𝟑− 𝟐𝟑+ 𝟐𝟑+ = = ̅̅̅̅̅̅̅ 𝟏− 𝟏− 𝟏+
𝟏+ 𝟐𝟑+𝟑 +𝟐 + = 𝟏+ 𝟐𝟏 𝟏𝟐 +
لسمة األعداد المركبة عند لسمة عدد مركب على عدد مركب أخر نضرب بمرافك الممام وكما ٌلً مثال ( / )12ضع كال مما ٌأتً بالصورة
̅̅̅̅ 𝟐
𝟐
=
𝟐
:
+
𝟐 = =𝟎+ 𝟐 𝟏𝟏 𝟐 − 𝟏𝟏 𝟐 − 𝟐 𝟏𝟏 = = − 𝟔𝟏 𝟗 + 𝟓𝟐 𝟓𝟐 𝟓𝟐 𝟓𝟎− 𝟓− = =− =𝟎− 𝟓 𝟓
̅̅̅̅ 𝟐
𝟏
𝟏
𝟒𝟑− 𝟒𝟔−𝟖 −𝟑 + = 𝟒𝟑− 𝟐𝟒 𝟑𝟐 +
𝟐− 𝟒𝟑+
𝟐− 𝟒𝟑+
−𝟐 − 𝟐 −𝟐 − − 𝟒 − = −𝟐 − 𝟐𝟏 −𝟐 𝟐 +
𝟐𝟏+ −𝟐 +
𝟐𝟏+ −𝟐 +
𝟐
= 𝟐
=
𝟐
𝟏+ 𝟏+ + + = 𝟏+ 𝟐𝟏 𝟏𝟐 +
𝟏+ 𝟏−
𝟏+ 𝟏−
=
مالحظة ٌمكن تحلٌل
𝟐
+
𝟐
الى حاصل ضرب عددٌن مركبٌن كل منهما من الصورة +
−
=
𝟐 𝟐
−
𝟐
=
مثال ( / )13حلل كالا مما ٌأتً الى حاصل ضرب عاملٌن من الصورة
𝟐
+
+ 𝟐
حٌث
+
𝟗𝟑 𝟑+ 𝟐𝟕+ 𝟑 𝟔+
9
أي :
,
أعداد نسبٌة .
𝟑𝟓 = 𝟑−
𝟐
𝟏𝟎 = 𝟗 + 𝟏 = 𝟗 −
𝟐= 𝟕−
𝟐
𝟒 𝟓𝟑 = 𝟒𝟗 + 𝟒 = 𝟒𝟗 −
𝟑 = 𝟔−
𝟐
𝟑 𝟑𝟗 = 𝟑𝟔 + 𝟑 = 𝟑𝟔 −
𝟎𝟏
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
تمارين
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
−
س / 1ضع كالا مما ٌأتً بالصٌغة العادٌة للعدد المركب : , 𝟏𝟎 + 𝟑 𝟎 + 𝟔 , 𝟑𝟑+ 𝟑 𝟐+ 𝟒𝟏+ ( ) , , 𝟏+ 𝟏− 𝟒+
𝟐 + 𝟏𝟐 + ,
𝟑𝟐+
𝟐
𝟏𝟒 +
𝟑, 𝟐+ 𝟒𝟑+ , 𝟒𝟑−
,
𝟏𝟐 +
,
𝟗𝟗𝟗
𝟒
,
𝟒𝟐𝟏
,
,
𝟒
− 𝟏−
𝟔
,
𝟓
𝟏+
𝟑 𝟏+ 𝟑+ 𝟏− 𝟓 = 𝟒. = 𝟏 . = = 𝟎 + 𝟎 = 𝟏 −𝟏 = −𝟏 = −𝟏 + 𝟎=𝟏=𝟏+ . 𝟐 . = 𝟏. −𝟏 . = − = 𝟎 − = =𝟎+ 𝟒𝟏 + 𝟏𝟐 + 𝟐 = 𝟕 + 𝟎𝟔 = −𝟏𝟖 + 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
= 𝟏+𝟐 + 𝟐 𝟐− 𝟏−𝟐 + 𝟎−𝟒 𝟐 =𝟎=𝟎+
𝟐
𝟐
𝟒𝟐 −𝟕 + 𝟒𝟐 𝟕− = + 𝟔𝟏 𝟗 + 𝟓𝟐 𝟓𝟐
=
𝟒
𝟏 = .
𝟗 = 𝟒 + 𝟏𝟐 +
=
𝟒
= .
𝟒
− −𝟏𝟐 − = − 𝟐−
𝟒𝟑+ 𝟔𝟏 𝟗 + 𝟏𝟐 + 𝟏𝟐 + = 𝟒𝟑+ 𝟐𝟒 𝟑𝟐 +
𝟑 𝟏− 𝟐 𝟑−𝟑 + − 𝟑 𝟐𝟒− ) =. (= / 𝟑 ) = 𝟐− 𝟏− 𝟐𝟏 𝟏𝟐 + 𝟐 𝟒𝟐− = 𝟒−𝟒 + 𝟐 𝟐− = 𝟑−𝟒 𝟐− =𝟔−𝟑 −𝟖 +
= 𝟐
𝟑𝟐+ 𝟒
=
10
𝟏+ 𝟏𝟐 +
𝟒𝟑+ 𝟒𝟑+ = 𝟒𝟑− 𝟒𝟑−
𝟐
𝟑𝟐+
=
𝟑
𝟑𝟐+
𝟑 𝟑+ 𝟑+ ( (= ) 𝟏+ 𝟏+ = 𝟐−
𝟒𝟏+ 𝟏𝟏 𝟐 + 𝟖 + 𝟑 + 𝟏𝟐 𝟐 −𝟏𝟎 + 𝟏𝟏 −𝟏𝟎 + 𝟑𝟓+ = = = 𝟒+ 𝟐 𝟒+ −𝟒 − 𝟑𝟓− 𝟑𝟓− 𝟑𝟓+ 𝟐 𝟑𝟑 −𝟓𝟎 − 𝟑𝟎 + 𝟓𝟓 + 𝟓𝟐 −𝟖𝟑 + 𝟓𝟐 −𝟖𝟑 + 𝟓𝟐 𝟑𝟖− = = = = + 𝟐 𝟐 𝟑𝟓 + 𝟗 𝟐𝟓 + 𝟒𝟑 𝟒𝟑 𝟒𝟑 = 𝟏+ 𝟐 𝟏+ + 𝟏− 𝟐 𝟏− = 𝟏+𝟐 + 𝟐 𝟏+ + 𝟏−𝟐 + 𝟐 𝟏− 𝟎 = 𝟐 + 𝟐 𝟐 − 𝟐 + 𝟐 𝟐 = 𝟒 𝟐 = −𝟒 = −𝟒 +
𝟏𝟒 +
𝟑 𝟏𝟎 +
− 𝟏− 𝟏𝟐 +
𝟑
𝟏𝟏 = 𝟐 −
𝟑
.
𝟔𝟎+
𝟑𝟐− 𝟐𝟐 −𝟑 𝟐 𝟑+ 𝟐𝟑+ 𝟑 𝟐 𝟐 = = = = + 𝟐 𝟑𝟐− 𝟑𝟐 + 𝟗𝟒+ 𝟑𝟏 𝟑𝟏 𝟑𝟏
𝟐
𝟗𝟒𝟐 𝟒
=
𝟗𝟗𝟗
𝟐 + 𝟏𝟐 +
𝟖𝟏 = 𝟎 + 𝟔𝟎 + 𝟎 +
𝟐
𝟏𝟑 𝟒
=
𝟒𝟐𝟏
𝟏 =
𝟏 =
= 𝟏+ 𝟐 𝟐− 𝟏− 𝟒 = 𝟐 𝟐= 𝟐 𝟐 − −
𝟐𝟏 𝟏 − 𝟐𝟏 = 𝟏 − 𝟏 𝟐
𝟐
𝟗𝟒𝟐
𝟏𝟑
𝟐
.
𝟒
=
𝟔
+ 𝟏−
𝟑𝟐+ 𝟏−
𝟑
𝟏+
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
س / 2جد لٌمة كل من ,
أعداد /األستاذ علً حمٌد
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الحمٌمٌتٌن اللتٌن تحممان المعادالت األتٌة : 𝟐+
−𝟐 + 𝟒 +
𝟐
𝟐
𝟐 = 𝟓+
معادلة①
𝟐−
𝟐
+𝟓 = 𝟐 +
𝟐+
+
𝟐=
𝟒+
𝟓−𝟐 +
𝟐
𝟐
𝟐= 𝟓+ 𝟐 = 𝟓+
نعوض في معادلة① 𝟏 = 𝟐 𝟎=𝟐−𝟐=𝟐− 𝟎=
𝟏+ 𝟑−
𝟐+
𝟐+
= 𝟖 𝟑
معادلة①
𝟏+
=
نعوض في معادلة① 𝟑− 𝟎= 𝟏−
=𝟒− ② 𝟐 𝟎= 𝟑−𝟒 +
𝟏=
نعوض في معادلة
𝟒= 𝟑=
𝟐
/
𝟏− 𝟏− − + ) = −𝟑 + 𝟒 − . 𝟏− 𝟐𝟏 𝟏𝟐 + 𝟑= −
𝟓=
𝟓 = −𝟑 +
𝟏− 𝟏+
(−
+
𝟐 𝟑
=
1
𝟔−𝟑 −𝟐 + 1 +0 𝟐𝟏 𝟐 𝟐 +
𝟐= 𝟏+
=
𝟑𝟓 𝟏−
𝟐− ] 𝟐−
+
+
𝟏− 𝟑− [] + 𝟏− 𝟐+
𝟐− [ 𝟏+
=
𝟑− 𝟐+
+
𝟎𝟏 ( 𝟑𝟏− 𝟓𝟓− [] + ] =− ⇒ 𝟐 𝟓 𝟎𝟏 𝟓 − 𝟏𝟓 + 𝟏𝟎 − 𝟏𝟎 = 𝟎 −
[
تحل أنيآ بالجمع
معادلة
نعوض في معادلة① 𝟓− 𝟓𝟏𝟎 = − = 𝟎𝟏 𝟏=
𝟏− 𝟐
𝟐= 𝟏+
(
𝟐− 𝟏+
معادلة①
=
+ 𝟐
) نضرب بالعدد
𝟎𝟏= −
𝟏− )+ 𝟏+
𝟏− (− 𝟒) = 𝟏+𝟒 + 𝟏+ 𝟐− ( = −𝟑 + 𝟒 − ) = −𝟑 + 𝟒 + 𝟐
𝟐−𝟐 − + 0 𝟐𝟏 𝟏𝟐 +
𝟓+𝟐 𝟓−
⇒
𝟎=𝟏−
𝟏 𝟐
𝟐
𝟖= 𝟐𝟐 + 𝟑 = 𝟒−
𝟎=𝟑−
𝟏=
𝟒
= 𝟖 = 𝟖
𝟎=𝟑−
+ 𝟒 −
𝟐
= 𝟖
𝟒+𝟐 +𝟐 + 𝟐−𝟑 + 𝟐 +
𝟑=
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐+
𝟑=
نعوض في معادلة
𝟑=
𝟐+
𝟓=𝟓 𝟏 𝟐=
11
𝟎 = 𝟎𝟏 𝟓 + 𝟎𝟏−𝟏𝟓 − 𝟏𝟎 = − 𝟎𝟏−𝟏𝟎 = − 𝟎 = 𝟎𝟏 𝟓 𝟏 +
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
س / 3أثبت أن : 𝟖 𝟓𝟐 𝟐 𝟏 𝟐 𝟏 (= () − ) 𝟐− 𝟐+ 𝟐 𝟐 𝟐+ 𝟐− 𝟐 ( 𝟐 () − ) 𝟐𝟏 𝟐 + 𝟐𝟏 𝟐 +
𝟒𝟑+ 𝟒𝟑− ()− ) 𝟓𝟐 𝟓𝟐
𝟐
𝟐 𝟐− ) 𝟐−
𝟒−𝟒 + /−. 𝟓𝟐
(=/
=
𝟏 𝟐+
𝟐
𝟏 − 𝟐 𝟐+
𝟐
− 𝟐
𝟏 𝟐−
𝟐 𝟐+ 𝟏 () − 𝟐+ 𝟐+
𝟏 𝟐−
الطريقة األولى
𝟏 ( 𝟐−
𝟐 𝟐+ 𝟐 𝟐− 𝟒+𝟒 + ( () − ) =. 𝟓 𝟓 𝟓𝟐
𝟐
𝟒𝟑+𝟒 −𝟑+ 𝟖 = 𝟓𝟐 𝟓𝟐 𝟐 𝟒+𝟒 + 𝟐 − 𝟒−𝟒 + = 𝟐 𝟒−𝟒 + 𝟐 𝟒+𝟒 +
𝟐 𝟐
− 𝟐− 𝟐 𝟐+
𝟐
𝟐+ = 𝟐−
𝟒𝟑+𝟒 −𝟑+ 𝟖 𝟖 = = 𝟐 𝟐 𝟒𝟑 + 𝟓𝟐 𝟔𝟏 𝟗 + 𝟏 𝟏 − 𝟒𝟑− 𝟒𝟑+
=
𝟐
𝟏 𝟒+𝟒 +
−
𝟐
𝟒𝟑− 𝟒𝟑+ 𝟒𝟑− 𝟐 (=) 𝟐 ()− ) 𝟐 𝟒𝟑− 𝟒𝟑 + 𝟐𝟒 𝟑 +
𝟏 − 𝟐 𝟐+
الطريقة الثانية
𝟒𝟑+𝟒 − 𝟑− 𝟒𝟑−𝟒 𝟑+
=
𝟏 𝟒−𝟒 +
𝟐
𝟏 𝟐−
=
𝟐
𝟏 𝟐+
− 𝟐
𝟒𝟑+ 𝟏 ()− 𝟒𝟑+ 𝟒𝟑+
𝟏 𝟐−
الطريقة الثالثة
𝟏 ( 𝟒𝟑−
𝟒𝟑+ 𝟒𝟑− 𝟒𝟑+ 𝟒𝟑− 𝟒𝟑+𝟒 −𝟑+ 𝟖 ( ()− (=) ()− =) = 𝟔𝟏 𝟗 + 𝟔𝟏 𝟗 + 𝟓𝟐 𝟓𝟐 𝟓𝟐 𝟓𝟐
وزاري / 2012د3 𝟐
𝟐= − 𝟏+
𝟏+
𝟐 + 𝟐
𝟏−
𝟐
𝟐−
𝟏− + 𝟏+ 𝟐𝟏 𝟏𝟐 + =
𝟏+
𝟒−𝟐 − 𝟐 − = 𝟐= − 𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟏−
𝟑
=
+ 𝟏+𝟐 + 𝟏𝟏+ 𝟐
=
12
𝟐+ 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
=
𝟏+ 𝟏−
𝟐
+
𝟏− 𝟑+ 𝟏+ 𝟏+ 𝟏− 𝟏−
𝟐
𝟏−𝟐 + 𝟐
𝟐+𝟐 + 𝟐
𝟐 −𝟐 +
𝟏− 𝟏+
الطريقة األولى
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة 𝟏+ 𝟏+ 𝟏− 𝟏+ ) 𝟏+ 𝟏+
𝟏+ (+ 𝟏−
𝟐 +( ) 𝟏+ 𝟐
𝟏− ) 𝟏− 𝟏−
𝟐− ) 𝟏− 𝟐
𝟏− 𝟏− 𝟏+
+ 𝟏− 𝟏+ 𝟐
(=
𝟐= −𝟏 − 𝟏 = −
𝟐
𝟐− 𝟐 + 𝟏+ 𝟏−
+
𝟐
𝟐
=
+ +
𝟏+𝟐 + 𝟏−
=
(=
𝟐
𝟐
+
=
𝟏+ ) 𝟏+ 𝟏−
𝟏+ + + 𝟐𝟏 𝟏𝟐 +
/ 𝟏+ 𝟐
𝟐
𝟏+ + 𝟏− (+
𝟏+
𝟏−𝟐 + 𝟏+
𝟏− − + 𝟐𝟏 𝟏𝟐 +
/ 𝟏−
=− +
𝟐
=
𝟏− الطريقة الثانية 𝟏+
𝟏− ( ) 𝟏− 𝟏+ 𝟐
+.
𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
+
𝟏+ 𝟏−
𝟏− 𝟐
+
.
−
𝟏− 𝟏+
الطريقة الثالثة
الحظ عزٌزي الطالب نا تستطٌع أن تضرب كل جزء بالمرافك أو توجد المضاعف (توحٌد الممامات) 𝟒−𝟐 − 𝟐 − = 𝟐= − 𝟐 𝟐
𝟐
=
𝟐
𝟐+ 𝟏𝟏+ 𝟐
𝟏+ 1 𝟏+ 𝟐
1
1
𝟏+ 𝟐
𝟐
1+0
𝟏+ 𝟏𝟏+ 𝟏− 𝟐
𝟐
𝟐
=
𝟏− 𝟏+ 1+0 𝟏− 𝟏−
𝟏+
𝟐−
𝟐 −𝟐 + 𝟐 𝟐 + 𝟐 + = 𝟐𝟏 𝟏𝟐 +
1+0
1=0
𝟐
𝟏− =0 𝟏+
+𝟐 𝟏+ 𝟏− 𝟐
𝟏+ + 𝟏−
−𝟐 𝟏 − 𝟏+ 𝟐
𝟏− الطريقة الرابعة 𝟏+
𝟑 𝟏− 𝟑 𝟏+ 𝟏− 𝟐 𝟏− 𝟐 =0 𝟐 1+0 1=0 𝟐𝟏 𝟏 + 𝟐𝟏 𝟏 + 𝟏𝟏+
𝟏+𝟐 + 𝟐 𝟏+ 𝟐
1+0
𝟏−𝟐 + 𝟐 𝟏− 𝟐
=0
𝟐 𝟐 −𝟐 + 𝟐 𝟐𝟐 + 𝟐 −𝟐 − 𝟐 −𝟐 + =0 1+0 [=1 []+ 𝟐] = −𝟏 − − 𝟏 + = − 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
] 𝟏 + 𝟏 [𝟏 − − 𝟒=𝟐=𝟐+
𝟐
𝟐=𝟐−
𝟐
𝟐=𝟐+𝟐 −𝟐 −
س / 4حلززل ك زالا مززن األعززداد 𝟓𝟖 𝟐𝟗 , 𝟏𝟐𝟓 , 𝟒𝟏 , الصورة +حٌث ,عددان نسبٌان :
𝟒=
𝟑
𝟏−
𝟐
𝟏−
𝟏−
= 𝟏−
𝟑
𝟏−
𝟐
𝟏−
𝟏−
𝟐 [𝟏 + ] = 𝟏 −
𝟏−
𝟐𝟐+
الززى حاصززل ضززرب عززاملٌن مززن
𝟐 𝟐𝟗 = 𝟐𝟓 + 𝟒 = 𝟐𝟓 − 𝟒 𝟐 = 𝟓 − 𝟐 𝟓 + 𝟐 𝟏𝟐𝟓 = 𝟏𝟐𝟏 + 𝟒 = 𝟏𝟐𝟏 − 𝟒 𝟐 = 𝟏𝟏 − 𝟐 𝟏𝟏 + 𝟒 𝟒𝟏 = 𝟐𝟓 + 𝟏𝟔 = 𝟐𝟓 − 𝟏𝟔 𝟐 = 𝟓 − 𝟒 𝟓 + 𝟐 𝟖𝟓 = 𝟖𝟏 + 𝟒 = 𝟖𝟏 − 𝟒 𝟐 = 𝟗 − 𝟐 𝟗 +
13
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
س/ 5جد لٌمة
أعداد /األستاذ علً حمٌد
𝟔
أذا علمت أن
,
نغٌر إشارة البسط والممام للعدد التخٌلً 𝟔 𝟐+ 𝟑− 𝟎𝟑 𝟑𝟎 + = 𝟎𝟏 =
,
+ 𝟑+
𝟑+ 𝟐−
مترافمان .
لكً ٌصبح العددان متساوٌان ونحل المعالة .
𝟐−
𝟑−
+ 𝟓𝟔 𝟓+ 𝟏𝟗+
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐
=
=
+
𝟑− 𝟐+
𝟔 𝟐+
𝟑+ 𝟔 𝟔+𝟐 +𝟑 + = 𝟑+ 𝟐𝟏 𝟑𝟐 + =𝟑 , 𝟑=
=
𝟔 +
=
+
𝟔 𝟐+ 𝟑− 𝟑=𝟑+
+
******************************************************************
أمثلة أضافية محلولة مثال /أكتب بالصٌغة العادٌة أو الجبرٌة كل مما ٌأتً : 𝟐
𝟒=𝟓+
𝟖= 𝟐+
𝟒+ 𝟑−
𝟐
+ 𝟐−
+ 𝟒−𝟒 +
𝟐
𝟏+
𝟏
𝟑𝟓+
𝟑𝟓+𝟓 +𝟑 + 𝟗
𝟑 −
. / 𝟑 𝟏+ 𝟗
𝟗
𝟗 𝟒− ( = ) ) = − 𝟒
𝟐
𝟑 𝟑 −𝟑 − + 𝟐
𝟑
𝟗
( = /
𝟏𝟐 +
𝟑 𝟏−
𝟑 −
𝟑 𝟏−
𝟑 𝟏+
=− =𝟎− 𝟐
𝟐
𝟑+
𝟑 𝟒+ 𝟒−
𝟐
𝟑+
𝟑 𝟐= 𝟏−
𝟑 𝟔 = −𝟏 −
𝟗
𝟖
/ =.
𝟑 𝟏+
.
= −
𝟑+ 𝟐 − −
𝟐
𝟑 −
𝟐
𝟑 + 𝟐−
𝟑 𝟒+ 𝟏−
𝟐
𝟑𝟏 − −
𝟐
𝟑
𝟑 𝟏−
𝟑 𝟐 −𝟐 −
مثال /جد عددٌن مركبٌن مترافمٌن مجموعهما = 𝟔 وحاصل ضربهما = 𝟎𝟏 نفرض أن العدد هو
+
=
𝟏
عدد مركب مرافقه هو 𝟑=
𝟏= ∴ العددان هما
𝟑−
و
𝟏=
𝟐
𝟐=𝟔 𝟐
𝟑+
14
−
=
𝟐
𝟏𝟎 = 𝟑𝟐 +
𝟐= 𝟐
+
𝟐
+
𝟐
=
𝟐
𝟏 𝟏.
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
مثال /أكتب العدد
−𝟐 +
أعداد /األستاذ علً حمٌد
𝟐 𝟑 +بالصٌغة العادٌة ثم جد النظٌر الضربً له بالصٌغة الدٌكارتٌة . الصيغة االجبرية
𝟖− 𝟏 (= الصيغة الديكارتية ) , 𝟓𝟔 𝟓𝟔
مثال /أذا كان 𝟐 = −𝟏 +
𝟐
= −𝟖 −
−𝟐 +
𝟐 = −𝟔 + 𝟑 − 𝟒 +
−𝟖 + −𝟖 + 𝟏 𝟖− = = + 𝟐 𝟐 −𝟖 + 𝟏 −𝟖 + 𝟓𝟔 𝟓𝟔
فأوجد لٌمة المعادلة 𝟓 + 𝟐 + 𝟓+
𝟎 + 𝟓 = −𝟑 − 𝟒 − 𝟐 + 𝟒 + 𝟓 = 𝟎 = 𝟎 +
مثال /أذا كان ℂ
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟏 𝟏 = −𝟖 − −𝟖 −
𝟐
𝟐 + 𝟐 −𝟏 + 𝟒 + −𝟐 +
𝟐
𝟐
𝟐 + 𝟐 + 𝟓 = −𝟏 +
𝟐
𝟒= 𝟏−𝟒 +
و ̅ مرافك له جد العدد المركب الذي ٌحمك 𝟑 𝟑 + ̅ =𝟐 + − 𝟑=𝟐 +
−
𝟑𝟑 +
+
=̅
+
𝟑=𝟐 +
𝟑 𝟒
−
𝟏𝟑− 𝟒+
=
,
𝟕− 𝟐−
=
أثبت أن
𝟑
+
=
𝟑= 𝟒
𝟑=
𝟑 +
𝟏=
𝟐= 𝟐
𝟐=
𝟑 −
مترافمان ثم أحسب الممدا ر
,
=
+
𝟑 + 𝟒
مثال /أذا كان
𝟐𝟑+
=
𝟐
+
=
𝟐+
𝟐
.
نثبت أن ناتج عملية الجمع والضرب ينتمي الى مجموعة األعداد الحقيقية 𝟕𝟏 𝟓𝟏 − 𝟕𝟏 𝟏𝟓 = − =𝟑− 𝟕𝟏 𝟕𝟏 𝟕𝟏
𝟐
=
𝟓 𝟏𝟓 + =𝟑+ 𝟓
𝟒− 𝟓𝟐 − 𝟏𝟑 − 𝟒 + = 𝟒− 𝟐𝟏 𝟒𝟐 + 𝟐
=
𝟏𝟑 − 𝟏𝟑 − = = 𝟒+ 𝟒+
𝟐+ 𝟏𝟒 + 𝟕 − 𝟐 − = 𝟐+ 𝟐𝟏 𝟐𝟐 +
𝟕− 𝟕− = 𝟐− 𝟐−
𝟔=
+ 𝟑−
𝟑+
𝟑−
𝟑+
𝟎𝟏 = 𝟏 = 𝟑𝟐 + 𝟏𝟐 = 𝟗 +
مترافقان 𝟎𝟔 = 𝟔 𝟎𝟏 =
15
+
=
=
𝟐
, +
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مثال /أكتب بالصٌغة العادٌة أو الجبرٌة بدون الضرب بالعامل المنسب (المرافك) 𝟐=𝟏+
𝟓 𝟐 𝟒𝟏+𝟒 𝟏− 𝟐𝟏−𝟐 𝟏+ = = = 𝟐𝟏− 𝟐𝟏− 𝟐𝟏− 𝟐𝟏−
𝟓 𝟐𝟏−
𝟓 𝟒+𝟏 𝟒− = = 𝟐− 𝟐− 𝟐−
𝟓 𝟐−
𝟐− 𝟐+ 𝟐−
=𝟐+
𝟐= 𝟐 𝟏−
𝟐
=
𝟑=𝟐−
𝟑𝟏 𝟐 𝟗𝟒+𝟗 𝟒− 𝟑𝟐−𝟑 𝟐+ = = = 𝟑𝟐+ 𝟑𝟐+ 𝟑𝟐+ 𝟑𝟐+
𝟑𝟏 𝟑𝟐+
𝟐=𝟑−
𝟑𝟏 𝟐 𝟒𝟗+𝟒 𝟗− 𝟐𝟑−𝟐 𝟑+ = = = 𝟐𝟑+ 𝟐𝟑+ 𝟐𝟑+ 𝟐𝟑+
𝟑𝟏 𝟐𝟑+
𝟎𝟏 𝟓 𝟐 𝟒𝟐 𝟏+ 𝟒𝟐 𝟏− = = = 𝟐𝟏+ 𝟐𝟏+ 𝟐𝟏+ 𝟐𝟏+
𝟎𝟏 𝟐𝟏+
𝟐𝟐 𝟏−𝟐 𝟏+ 𝟐𝟏+
𝟐
=
𝟎𝟏 𝟒=𝟐− 𝟐𝟏+ 𝟐=𝟒−
𝟐 𝟐− 𝟐+ 𝟐+
= 𝟐 𝟐−
𝟐
=
𝟎𝟏 𝟐+
𝟎𝟏 𝟓 𝟐 𝟏𝟐 𝟒+ 𝟐 𝟒− = = = 𝟐+ 𝟐+ 𝟐+ 𝟐+
مثال /حلل الى عاملٌن لعددٌن مركبٌن كل مما ٌأتً : 𝟐+ 𝟓−
𝟓+ 𝟔𝟏 − )
𝟐
𝟏 𝟗
+
𝟒−
𝟏 𝟑
+
𝟐
𝟐− =
𝟐
𝟏 () 𝟑
𝟒+
=
=( −
𝟑
𝟏 𝟕𝟐
𝟑+
𝟒−
𝟏 𝟑 𝟐
𝟐−𝟐 +
𝟐−𝟐 −
+
𝟐
𝟐𝟏 −
𝟐+ =
𝟓𝟐 −
𝟐
𝟓+ 𝟐
𝟐−
𝟒−
16
= 𝟒𝟔 −
𝟑
𝟒𝟔 −
𝟑
𝟑
=
𝟏 𝟕𝟐
+
𝟑
𝟏 𝟕𝟐
+
𝟑
𝟒
=( −
𝟏 𝟕𝟐
+
𝟑
= 𝟐𝟏 +
−
𝟐
𝟕+
𝟐
𝟎𝟏 −
𝟐−
𝟒+
−
𝟐
=
𝟐
𝟐
𝟑
𝟐
=𝟒+ 𝟐
=
𝟒𝟔 +
𝟏 () 𝟑 −
𝟓𝟐 +
𝟐
𝟐
𝟒−
𝟐
𝟑
𝟏 ) − 𝟗 =
𝟐 𝟐
𝟐
=
𝟒+
𝟐
𝟏
𝟑
𝟎𝟏 + = 𝟒+
𝟓𝟐 +
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐𝟏 +
𝟐
−
𝟐
𝟓
𝟕+
𝟐
𝟔
𝟐−
𝟕
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
مثال /أوجد لٌمة
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الحمٌمٌتٌن والتً تحمك المعادلة فً كل مما ٌأتً :
,
𝟗−
𝟔+
𝟐
= 𝟒− 𝟗− 𝟓
معادلة
𝟐
𝟐𝟏 𝟗 +
𝟗+
𝟐
𝟑+
𝟐
=
𝟔+
𝟎=𝟗−𝟓 −
𝟐
𝟒
𝟗 𝟐
=
𝟗−
𝟐
𝟒= 𝟓
𝟐= −
𝟏−
𝟑+
𝟐= 𝟓+
= 𝟓
+
𝟗 𝟒
𝟗𝟒 −
𝟐+
+
=
𝟐= 𝟓+
+
+𝟓 = 𝟐 +
+
+𝟓 = 𝟐 +
𝟓 𝟑
𝟐
=
𝟐+ 𝟏𝟔 + 𝟖 + 𝟐 + = 𝟐+ 𝟐𝟏 𝟐𝟐 + 𝟐=
𝟏−
𝟐
𝟐=
𝟑= 𝟓
𝟐−
+
=
+
𝟐=𝟑+
+
𝟖+ 𝟖+ = 𝟐− 𝟐−
𝟏= − 𝟐+
𝟐
=
𝟑=
𝟐
− 𝟐+
=
− −
𝟐
17
𝟏 + − 𝟐+
=
𝟒
𝟎=𝟏+
=𝟖+
=
𝟐
𝟐 𝟓 𝟓𝟐 𝟎𝟓 𝟗 𝟓𝟎 − = 𝟏= 𝟐( ) −𝟏 = 𝟐( )− =𝟏− 𝟑 𝟗 𝟗 𝟗
=
+
𝟐
=
𝟎=𝟗𝟒 −
𝟏= −
نعوض في معادلة①
𝟎𝟏 𝟏𝟓 + 𝟐=𝟑+ 𝟓
𝟔 = 𝟐𝟏
𝟎= 𝟗−𝟓 −
𝟗= 𝟒
𝟏= 𝟐 = 𝟐 −
𝟐
𝟐
= 𝟒𝟗 −
= 𝟐
معادلة
𝟏𝟒 𝟗
𝟒 𝟗 + 𝟏𝟐 +
𝟗− 𝟗𝟐 𝟐− 𝟗𝟒 𝟐− = = 𝟓 𝟓 𝟓
𝟗 ) (𝟐 = 𝟐 = 𝟒
𝟐
𝟐
𝟐𝟑+
𝟐
𝟗−
𝟐
𝟎= 𝟏+ =
𝟐
=
𝟗−
نعوض في معادلة①
𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
=
+ 𝟏 +
𝟐
+ =
+
𝟐
+
=
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
= 𝟏𝟑 − −
= 𝟏𝟑 −
𝟐
+
𝟐
+
−
= 𝟏𝟑 −
+ −
معادلة معادلة
نعوض معادلة②في ①
𝟏+
𝟑𝟏 = 𝟏 + 𝟐 + 𝟎= 𝟐− 𝟐= −
𝟑+
+
=𝟔−
𝟑=
=
=
𝟐
نعوض في معادلة①
+
𝟐
𝟏+
− +
𝟎 = 𝟐𝟏 + 𝟐 −
𝟐=
=
𝟐
𝟗𝟒 − 𝟕𝟑 +
𝟗
=
𝟐
𝟗=
𝟐
𝟑
=
=
+
=
= − 𝟐
𝟐
𝟐
𝟎 = 𝟐−
𝟕𝟑 −𝟕 𝟑 + 𝟕𝟑 +
−𝟑 + 𝟐 −
𝟐
𝟎=𝟑+
معادلة 𝟑
𝟐
𝟑𝟏 =
𝟑= −
𝟏+𝟏=𝟐+
=
𝟐
+
𝟐
𝟏= −
⇒
𝟐
𝟕= 𝟑 −
+
𝟑𝟏 =
𝟗𝟒 𝟗 𝟐 + 𝟕𝟑 +
𝟐
𝟐
+
) نقسم المعادلة على 𝟐(
𝟐
𝟏 + 𝟏 = −𝟑 +
𝟐
+
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
= 𝟕𝟐+ 𝟑
− + 𝟐
𝟐
𝟐+
−𝟐 + 𝟐 −
−𝟑 + 𝟐 − 𝟑 = 𝟑−
𝟕= −
=−
𝟐
𝟐−
=−
س / 1حلل كل مما ٌأتً الى عاملٌن لعددٌن مركبٌن: 𝟏 𝟓𝟐𝟏
+
𝟑
𝟒
−
𝟐
𝟓
𝟐𝟏 −
𝟕+
𝟐
𝟔
𝟐
𝟐−
𝟑
𝟖
𝟔+
𝟗+
18
𝟗+ 𝟐
𝟒+
𝟐
𝟏
𝟔𝟏 +
𝟐
𝟐
𝟖−
𝟑
𝟑
𝟐
𝟏−
𝟕
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
س / 2أوجد لٌمة
أعداد /األستاذ علً حمٌد
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الحمٌمٌتٌن والتً تحمك المعادلة فً كل مما ٌأتً :
,
𝟒
𝟏=
𝟐= 𝟐+ 𝟑
𝟑 𝟑
𝟐 𝟑 𝟐−
𝟐
𝟏+
𝟏+ 𝟏−
𝟐+ +
𝟏−
=
+
𝟏 + = 𝟏+ 𝟏+ +
𝟐= 𝟓+
س / 3ضع كال مما ٌلً بالصٌغة العادٌة للعدد المركب : 𝟐
𝟐−
𝟒𝟑+
𝟏−
𝟐𝟏+
𝟐−
𝟒𝟑+
𝟐𝟓+
******************************************************************
الجذور التربٌعٌة للعدد المركب 𝟐
أما أذا كانت 𝟒 = = و ً الجذور التربٌعٌة للعد د أذا كان = 𝟐 فأن احد جذري المعادلة وألٌجاد الجذور التربٌعٌة للعدد المركب توجد طرٌمتان الحظ األمثلة التالٌة . مثال ( / )14جد الجذور التربٌعٌة للعدد
𝟔=𝟖+
𝟐 +
𝟐
𝟐
و
+
𝟔=𝟖+
𝟐 𝟐
𝟐+
+
𝟐
𝟔=𝟖+ معادلة①
نعوض معادلة②في ① 𝟎= 𝟏+
𝟐
𝟗−
𝟐
فأن 𝟐 =
𝟔=𝟖+
الطرٌمة ① /نفرض أن الجذر التربٌعً للعدد )(c −
زو
𝟑
معادلة②
𝟎 = 𝟗−
𝟐
𝟖−
𝟐
𝟒
= 𝟖=𝟗−
نعوض في معادلة② 𝟏 يهمل الجذران هما
𝟑 =
𝟏= −
, −𝟑−
𝟖=
𝟑=
𝟐
𝟒
=
𝟐
+ 𝟐
−
𝟔=
)نضرب 𝟐 (
⇒
𝟖=
𝟗 𝟐
𝟐 −
𝟐
𝟗= 𝟑 𝟑 = = 𝟑 𝟐 𝟎=𝟏+
𝟑+
الطرٌمة ② /نجزئ الجزء الحمٌمً الى عددٌن 𝟑+
=
بالجذر
⇒
𝟐
𝟑+
الجذران هما
19
=
𝟐
𝟗+𝟔 +
, −𝟑−
𝟑+
𝟐
= 𝟏= 𝟗+𝟔 −
𝟔𝟖+
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
مالحظة نفرض الجزذر زو عند أٌجاد الجذور التربٌعٌة لعدد مركب ٌحتوي على فً المثال التالً . مثال ( / )15جد الجذور التربٌعٌة لؤلعداد 𝟖 , − , −𝟏𝟕, −𝟐𝟓 :
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
ثزم نربعزه ونكمزل الحزل كمزا
+
𝟖
الطرٌمة ① /نفرض أن الجذر التربٌعً للعدد 𝟐 +
𝟐
−
𝟐
و
𝟖
+ 𝟐 𝟐
= 𝟖
𝟐+
+
𝟐
𝟐
= 𝟖
+
معادلة① نعوض معادلة②في ①
𝟒
معادلة②
𝟎= 𝟒+
𝟐
𝟐
𝟒−
نعوضها في معادلة ②
=
𝟐
𝟒= 𝟐
تهمل الجذران هما
𝟒=
𝟎 = 𝟔𝟏 − =
)نضرب 𝟐 (
𝟒
𝟐
,
𝟔𝟏 𝟐
𝟐 −
𝟐
𝟐
𝟎=𝟒− 𝟒 𝟒 = = 𝟐 𝟐 𝟎=𝟒+
𝟐
𝟒= −
𝟐
−
𝟐
𝟖= ⇒ 𝟎=
=
𝟐 −𝟐 −
𝟎=
= 𝟖
𝟐𝟐+
الطريقة ② / بالجذر
𝟐𝟐+
𝟐
⇒
الجذران هما
𝟐𝟐+
𝟐
= ,
𝟐 −𝟐 −
𝟒𝟒+𝟖 +
= 𝟒𝟖 = 𝟒+𝟖 −
𝟐𝟐+ −
الطرٌمة ① /نفرض أن الجذر التربٌعً للعدد 𝟐 +
𝟐
−
𝟐
نعوضها في معادلة ② 𝟏 𝟐
𝟏 𝟐 =
−
𝟐 𝟐
= −
نعوض معادلة②في ① 𝟎= 𝟏+
و
𝟐
=
𝟐
+
𝟏− 𝟐
معادلة② 𝟐 𝟏−
+
𝟐 𝟏 𝟐
𝟐+
=
𝟏− 𝟏 ) 𝟐
20
(𝟐 𝟐
= − معادلة① 𝟏− = 𝟐
=
𝟎=𝟏− 𝟐
𝟐
𝟐
𝟏= =
𝟒
𝟐
)نضرب
𝟒 𝟐
𝟐
+ 𝟎=
= − 𝟐
−
𝟏= − 𝟒( 𝟏 = 𝟎 ⇒ 𝟐 𝟒
𝟎 = 𝟏−
𝟏− 𝟏− = 𝟏 𝟐 (𝟐 ) 𝟐
𝟐
=
𝟐
𝟐
𝟐 −
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة 𝟏− 𝟐 𝟏
تهمل 𝟏
الجذران هما
𝟐
−
𝟏
,
𝟐
𝟐
= +
𝟐
𝟏= −
𝟐
𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟎=𝟏+
𝟐
𝟐
𝟏− 𝟐
الطريقة ② / 𝟏
)
𝟐
𝟏
الجذران هما
𝟐
−
−
𝟐
𝟏
(
𝟐
𝟏
= ) 𝟏
,
𝟐
𝟏
𝟐
−
𝟐 +
𝟏 𝟐
(√ =
𝟐
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 − =√ − − =√ − + 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟏− 𝟐 𝟕𝟏 −
𝟕𝟏
𝟐
=
𝟕𝟏
= 𝟏𝟏𝟕 −
= 𝟕𝟏−
=
𝟓𝟐
= 𝟏𝟐𝟓 −
= 𝟓𝟐−
=
𝟕𝟏= −
𝟐
𝟓𝟐 − 𝟓
𝟐
=
𝟓𝟐= −
𝟐
حل المعادلة التربٌعٌة فً ℂ كل معادلة تربٌعٌة ال ٌمكن حلها بطرٌمة التجربة فهً تحل بطرٌمة الدستور مثالا حٌث 𝟎
و
𝟒𝟐 −
فزأن
, ,
− 𝟐
𝟎=
+
+
𝟐
ونالحـزـظ أنــــزـه أذا كزان ممــزـدار الممٌـزـز
=
𝟒 𝟐 −سالبا ا فأن مجموعة الحلول الخاصة بالمعادلزة تنتمزً الزى مجموعزة األعزداد المركبزة وٌوجزد نوعزان من حل المعادالت التربٌعٌة . النوع األول /الممٌز ال ٌحتوي على مثال ( / )16حل المعادلة التربٌعٌة 𝟎 = 𝟓 + 𝟒 + حسب قانون الدستور فأن = 5
,
=4 ,
𝟐
فً مجموعة األعداد المركبة .
= 𝟒−
𝟒𝟏𝟔 − 𝟐𝟎 − 𝟒− = 𝟐 𝟐
=
𝟐
𝟐= − مجموعة حل المعادلة هي
} −𝟐 −
,
𝟓 𝟏 𝟒 𝟏𝟔 − 𝟏 𝟐 𝟒− 𝟐
{−𝟐 +
21
𝟒− 𝟐
=
=
𝟒−
𝟐
− 𝟐
𝟏𝟒 − 𝟒− 𝟒 = 𝟐 𝟐
𝟒−
= =
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
مالحظة من لانون الدستور نعلم أن جذري المعادلة التربٌعٌة
𝟎= 𝟒−
𝟐
+
+
− −
=
𝟐 𝟒−
𝟐
−
𝟒−
−
𝟐
− +
𝟐
𝟒−
=
𝟐
التً معامالتها الحمٌمٌة ً
− − 𝟐
−
)مجموع الجذرين(
=
𝟐
𝟒−
𝟐
+
𝟒−
+
𝟐 − +
𝟐
𝟐− 𝟐
𝟏 𝟐
𝟒−
𝟐 =
𝟐
𝟒 𝟒
=
𝟒+ 𝟐
𝟐
−
𝟐
𝟐
𝟒−
=
𝟒
𝟐
−
𝟒−
−
𝟐
𝟏
=
𝟐
+
=
𝟐
+
𝟏
− + +
=
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
− +
𝟐
− −
𝟒−
𝟐
𝟒−
,
𝟐
𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
=
𝟏.
𝟐
𝟐
=
𝟒
) حاصل ضرب الجذرين(
=
𝟏.
𝟐 𝟐
𝟏.
وٌمكن االستفادة من الخاصٌة أعاله فً أٌجاد الجذور التربٌعٌة وكما ٌلً : 𝟎=
−
+
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( −
𝟐
مثال ( / )17جد المعادلة التربٌعٌة التً جذرا ا مجموع الجذرين حاصل ضرب الجذرين
𝟐
𝟐𝟐+ 𝟎=𝟎+
𝟐 = −𝟐 + 𝟐 + −𝟐 +
𝟖= −𝟒 − 𝟖 + 𝟒 = −
𝟐
𝟐+ 𝟐+
𝟐 −𝟐 −
𝟐. 𝟐+
𝟐 −𝟐 −
𝟒 = −𝟒 − 𝟒 − 𝟒 −
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( −
𝟐
𝟎 −
𝟐
المعادلة التربيعية
𝟎= 𝟖−
مالحظة المعادلززة التربٌعٌززة التززً معامالتهززا حمٌمٌززة والتززً أحززد جززذرا ا والعكس صحٌح . −
𝟐
𝟎=
+
𝟖+ −
حٌززث 𝟎
فززأن الجززذر األخززر ززو
مثال ( / )18كون المعادلة التربٌعٌة التً معامالتها حمٌمٌة وأحد جذرٌها 𝟒 𝟑 − ∵ معامالت المعادلة حقيقية وأحد الجذرين هو 𝟒 𝟑 − ∴ الجذر األخر هو المرافق ويساوي 𝟒 𝟑 + مجموع الجذرين حاصل ضرب الجذرين
𝟔=
𝟓𝟐 = 𝟔𝟏 = 𝟗 +
𝟒 = 𝟑 + 𝟑 + −𝟒 + 𝟐
𝟔𝟏 = 𝟗 + 𝟏𝟐 − 𝟏𝟐 −
𝟒+ 𝟑+
𝟒𝟑−𝟒 . 𝟑+
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( −
المعادلة التربيعية
𝟎 = 𝟓𝟐 − 𝟔 +
22
𝟐
𝟒𝟑−
𝟎 = 𝟓𝟐 +
𝟔 −
𝟐 𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
تمارين − 2 س / 1حل المعادالت التربٌعٌة األتٌة وبٌن أي منها ٌكون جذرا ا مترافمان ؟ ) جذراها مترافقان(
𝟑 𝟐
𝟐
=
𝟐𝟏
𝟐𝟏= −
𝟐
𝟐𝟏 =
𝟐
𝟐
=
𝟐
𝟎= −𝟑 +𝟑+ تحل بالدستور
=𝟑+
𝟗−𝟒 𝟏 𝟑+ 𝟏 𝟐 𝟒 −𝟑 − 𝟐
معادلة①
𝟒 = −𝟑 −
𝟐+
𝟐
𝟑− − 𝟑
𝟐
𝟒 = −𝟑 −
𝟐−
معادلة③ )نضرب 𝟎= 𝟏−
=
𝟐
تربيع الطرفين
⇒ 𝟒 −𝟑 −
+
𝟐
𝟒+
𝟐
𝟒− 𝟐
=
(
𝟐
𝟑= −
نعوض في معادلة③
𝟏 𝟐
الجذران هما
∴ مجموعة الحل هي } , 𝟐 −
𝟒 𝟐
𝟎=𝟒− )يهمل(
𝟐 , −𝟏 +
𝟐 𝟒 𝟗 − 𝟏𝟐 − 𝟐
معادلة② نعوض معادلة③ في
=
𝟐
− 𝟑
ثم نعوضه فً المعادلة ①
األن نحسب ممدار الجذر 𝟒 −𝟑 − −
𝟑= − 𝟒−
𝟏=
𝟐
−
𝟒= −
= =
=
𝟒
𝟐
𝟐− 𝟏
=
𝟑− 𝟒 = −
𝟎=𝟒+
𝟐
𝟎 = 𝟏−
𝟐
𝟐−
=
𝟐 𝟏 −نعوض في المعادلة ① =𝟏+
𝟐𝟐+ 𝟐
=
𝟐𝟑−𝟏+ 𝟐
=
=𝟐−
𝟐𝟒− 𝟐
=
𝟐𝟑+𝟏− 𝟐
=
{𝟏 +والجذران غير مترافقان
23
𝟐
𝟒= −
𝟐
𝟐
𝟏=
𝟑= −
−
𝟐 𝟐− 𝟑− ( ) = −
𝟐
𝟑+
= 𝟐
+
𝟐 𝟐
𝟒
= =
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎 𝟐
𝟎 = 𝟑𝟏 − 𝟓 + تحل بالدستور 𝟑𝟏 = 𝟒𝟎𝟏 𝟐𝟓 − 𝟒
∴ مجموعة الحل هي -
𝟗𝟕 𝟒
−
𝟓
𝟗𝟕 𝟒
𝟓 𝟒
𝟗𝟕
𝟓
𝟒
𝟒
,
𝟒
𝟑𝟏 𝟐 𝟒 𝟐𝟓 − 𝟓 = 𝟐 𝟐 𝟗𝟕 𝟒
=
𝟓= −
𝟓− −
𝟐
𝟓
=
=
𝟗𝟕 𝟒
𝟒−
𝟐=
𝟐
−
تحل بالدستور
𝟐 𝟗𝟕− 𝟓 = 𝟒
𝟓
𝟐=𝟏+ 𝟐−
𝟐
=𝟐 −
𝟐−
𝟐𝟒−𝟒 𝟏 𝟏+ 𝟏 𝟐
=
𝟐−
=
+𝟐 +
𝟐−
=
𝟒−
𝟏=
𝟐
− 𝟐 𝟐−
𝟖− 𝟐
األن نحسب مقدار الجذر 𝟖 −ثم نعوضه في المعادلة ① 𝟐+
𝟖=𝟎−
𝟐
𝟐
𝟖= −
𝟐
تربيع الطرفين
⇒ 𝟖−
+
معادلة② نعوض معادلة③ في
نعوض في معادلة③
الجذران هما
𝟒−
معادلة③ )نضرب
𝟐 , −𝟐 +
𝟐
𝟖− 𝟐
=
𝟎=
𝟐
𝟎= 𝟒+
𝟐
(−
𝟐
=
𝟐
=
−
𝟐
𝟐
𝟒− 𝟐
=
𝟐
=− = −𝟐 + {−والجذران غير مترافقان
24
−
𝟐
) −
𝟐 𝟒−
𝟎 = 𝟔𝟏 − 𝟎=𝟒−
=
𝟐
𝟖= −
𝟎=
𝟐
𝟒=
𝟎=
+
𝟐
𝟔𝟏
𝟒−
=
𝟒−
𝟐
=
𝟐 𝟐 −نعوض في المعادلة ①
∴ مجموعة الحل هي } , − 𝟐 +
=
𝟐
𝟐=
معادلة①
−
=
, +والجذران مترافقان 𝟎=
𝟖𝟒−𝟒− 𝟐
𝟐
𝟐 −𝟐 + 𝟐 − 𝟐− = 𝟐 𝟐
=
𝟐 −𝟐 − 𝟐 + 𝟐 −𝟒 + = 𝟐 𝟐
=
𝟒
(
=
=
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
ٌمكن حل الفرع ) (dالسابك بطرٌمة أخرى بواسطة لانون التجربة الحظ الحل 𝟐−
𝟎= 𝟎=
+𝟐−
= −𝟐 + ∴ مجموعة الحل هي } , − 𝟐 +
+𝟐 +
+
=−
{−والجذران غير مترافقان
𝟐
𝟒
𝟐
𝟒
𝟎 = 𝟓𝟐 + 𝟓 𝟐
𝟐 𝟓𝟐 𝟒
= 𝟓
∴ مجموعة الحل هي -
𝟓
,
𝟐
𝟐
𝟐 𝟓𝟐 𝟒
√=
=
𝟓𝟐− 𝟒
𝟐
=
𝟐
=−
𝟑−
+
𝟑=
𝟎= +
𝟐
=
𝟑−
𝟐−
𝟐
𝟐
{−والجذران غير مترافقان
𝟐
∴ مجموعة الحل هي } 𝟑 ,
𝟎=𝟑+
𝟎= 𝟑−
تحل بالدستور 𝟑 =
𝟐
𝟐
𝟐−
𝟎=
) حل أخر(
𝟒
𝟓𝟐= −
,−والجذران مترافقان
𝟎=
∴ مجموعة الحل هي } 𝟑 ,
𝟐
=
𝟔𝟏− 𝟐
𝟑 𝟏 𝟒 −𝟒 − 𝟐 = 𝟏 𝟐
𝟎=𝟑+ 𝟐= −
𝟐− −
=
𝟒−
𝟐
𝟐− 𝟏=
𝟐
− 𝟐
=
{−والجذران غير مترافقان
س / 2كون المعادلة التربٌعٌة التً جذرا ا
,
حٌث : =𝟏−
مجموع الجذرين حاصل ضرب الجذرين
=𝟐+
𝟐=𝟏+
𝟏= 𝟏+𝟏 + 𝟐−
=𝟑+
𝟐
𝟐=𝟏− +𝟐 −
+ 𝟏−
𝟐𝟏+
𝟏+𝟐 . 𝟏−
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( −
𝟐
− 𝟐+
𝟐
المعادلة التربيعية
25
𝟎=
+ 𝟑+
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟐
𝟐
𝟒𝟐− 𝟐
𝟐=𝟏−
𝟐𝟏 = 𝟓 −
𝟐𝟏 = 𝟓 − مجموع الجذرين
𝟒𝟏 = 𝟔 −
حاصل ضرب الجذرين
𝟑− 𝟏+
𝟐= 𝟑−
𝟏− 𝟑−𝟑 − + = 𝟏− 𝟐𝟏 𝟏𝟐 +
=
𝟐
𝟐𝟐 = −𝟏𝟗 −
=
𝟑− 𝟑− = = 𝟏+ 𝟏+ 𝟐
𝟒 = 𝟗 − 𝟏𝟐 +
𝟐𝟏 = 𝟏 + 𝟓 + −𝟐 − 𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐= 𝟑−
𝟐𝟏 + 𝟓 −
𝟒𝟐 = 𝟓 − 𝟏𝟐 − 𝟏𝟎 +
𝟐𝟏−
𝟐𝟏 𝟏 − 𝟐 . 𝟓 −
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( −
𝟐
𝟒𝟏 − 𝟔 −
𝟐
المعادلة التربيعية
𝟐𝟐 + −𝟏𝟗 −
𝟎=
س / 3جد الجذور التربٌعٌة لؤلعداد المركبة األتٌة : 𝟔− 𝟔= −
𝟐 𝟐
+
𝟐+
𝟐
𝟔= −
𝟐
تربيع الطرفين
⇒
+
𝟔 =
𝟔= −
𝟐 +
معادلة① نعوض معادلة
في ①
𝟑−
معادلة②
𝟎=𝟗−
𝟒
)نضرب
𝟐
𝟔− 𝟐
=
(
⇒
𝟎=
𝟎= 𝟑+ نعوض في معادلة
=
𝟑
𝟑= 𝟑
) تهمل( الجذران هما
𝟐
𝟑 𝟑−
26
𝟗 𝟐
𝟑−
=
𝟐
−
𝟐
𝟐
−
𝟐
𝟐
𝟔= −
𝟐
𝟐 𝟑− 𝟎= ) (−
𝟐
𝟎=𝟗−
𝟐
𝟑− 𝟑
𝟑= −
𝟎=
𝟎=𝟑−
=
,
−
+
𝟐
𝟑 − 𝟑+
𝟐
𝟑−
=
𝟎=𝟑+
𝟐
=
𝟐
𝟒
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎 𝟒𝟐 𝟕 +
تربيع الطرفين
𝟐 + 𝟒𝟐 = 𝟕 + 𝟐 𝟐 − 𝟐 + 𝟒𝟐 = 𝟕 +
نعوض في معادلة① 𝟐
𝟐𝟏
معادلة②
𝟕 = 𝟒𝟒𝟏 −
)نضرب
𝟒
نعوض في معادلة②
𝟐
=
(
⇒
𝟎= 𝟗+ 𝟒
𝟒𝟐 = 𝟕 + ⇒ 𝟐 𝟐 + 𝟒𝟐 = 𝟕 +
𝟐
𝟗= −
𝟒𝟐 =
𝟐
𝟑 , −𝟒 −
𝟐
𝟐
𝟐 𝟒
𝟕−
𝟐
𝟎 = 𝟔𝟏 − 𝟐𝟏 = 𝟒
𝟐
−
𝟐
𝟐
𝟕=
𝟎 = 𝟒𝟒𝟏 −
=
𝟐+
𝟐
𝟐 𝟐𝟏 𝟕= ) (−
𝟐
𝟑 ) تهمل(
𝟐
−
𝟐
𝟔𝟏 =
الجذران هما
𝟒𝟒𝟏
𝟕= 𝟔𝟏 −
=
معادلة① 𝟒𝟐 = 𝟐
+
𝟐𝟏
𝟎=𝟗+
=
𝟐
𝟑𝟒+ 𝟒 𝟑 𝟏−
ٌجب تحوٌلة الى الصٌغة 𝟑 =𝟏+
عن طرٌك الضرب بمرافك الممام
+
𝟑 𝟒 𝟏+ 𝟒
𝟑 𝟒 𝟏+ 𝟑𝟏+
=
=
𝟑 𝟒 𝟏+ 𝟐
𝟑 𝟏+
=
𝟑 𝟏+
𝟏𝟐 +
𝟑
𝟒
𝟒
=
𝟑 𝟏−
𝟑 𝟏−
الطرٌمة ① / 𝟑 =𝟏+ 𝟑 = 𝟏+
𝟐
تربيع الطرفين
+ 𝟐
𝟐 +
𝟑 = √𝟏 +
⇒
−
𝟐
𝟑 =𝟏+
𝟐 𝟐
+
معادلة① نعوض في معادلة① 𝟐
نعوض في معادلة②
𝟒
𝟒=
𝟏 𝟐 𝟑 𝟐
𝟑
معادلة②
𝟐
)نضرب 𝟐 𝟒 (
𝟒𝟑−
⇒ 𝟎= 𝟏− 𝟏 𝟐 = 𝟐
=
𝟏= 𝟐
𝟐 𝟑+ 𝟏=
𝟐
𝟐
𝟐
) تهمل( الجذران هما
𝟏 𝟐
−
27
𝟑= − 𝟑 𝟐
−
,
𝟏=
𝟐
𝟏=
𝟏 𝟐
+
𝟐
𝟐
𝟎=𝟑− 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟑
/ − 𝟐 𝟒𝟒 𝟒+
𝟐 𝟑
=
𝟎=𝟑+ 𝟑
−
𝟐
𝟑 =
𝟎=𝟏−
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑 𝟑 = 𝟏 𝟏 (𝟐 ) (𝟐 𝟐 ) 𝟐 𝟐
=
𝟐+
=
𝟑 − 𝟐 𝟒 𝟐
𝟐
+
𝟐 𝟐
𝟐
=
.
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الطرٌمة ② / /
𝟏 𝟐
+
𝟑 𝟐
𝟐
.
= /
𝟏 𝟐
+
𝟑 𝟐
= √.
الجذران هما
𝟐
𝟏 𝟐
𝟏 + 𝟐
𝟏 𝟑 − 𝟑 =√ + 𝟐 𝟐
𝟑
𝟑
−
−
𝟐
𝟏
,
𝟐
+
𝟑 𝟑 =√ + 𝟐
𝟑 √𝟏 +
𝟐
س / 4ما المعادلة التربٌعٌة ذات المعامالت الحمٌمٌة وأحد جذرٌها و :
المعامالت أعداد حمٌمٌة لذا فان الجذر األخر و المرافك و و − مجموع الجذرين
𝟎=𝟎+
𝟏= 𝟎+𝟎 + 𝟏−
حاصل ضرب الجذرين
𝟏 = 𝟏= − −
𝟐
+ −
=−
. −
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( −
𝟐
𝟎 −
𝟐
المعادلة التربيعية
𝟎=𝟏+
𝟐
𝟎= 𝟏 +
𝟓− المعامالت أعداد حمٌمٌة لذا فان الجذر األخر و المرافك و و 𝟓 + مجموع الجذرين 𝟎𝟏 = 𝟏 + 𝟓 + = 𝟓 + 𝟓 + −𝟏 + حاصل ضرب الجذرين 𝟔𝟐 = 𝟏 . 𝟓 + = 𝟐𝟓 − 𝟓 + 𝟓 − 𝟐 = 𝟐𝟓 +
𝟓− 𝟓−
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( −
𝟐
𝟎 = 𝟔𝟐 − 𝟏𝟎 +
𝟐
المعادلة التربيعية
𝟑𝟐 + 𝟒
المعامالت أعداد حمٌمٌة لذا فان الجذر األخر و المرافك و و )
𝟑 𝟒
−
𝟐 𝟒
(
𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐 + /+. − = ) /=. + /+( − = مجموع الجذرين 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟐 𝟐
حاصل ضرب الجذرين
المعادلة التربيعية
.
𝟑 𝟐 𝟑 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 𝟗 𝟏𝟏 . + /.. − = ) (/=. / + + = 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒 𝟔𝟏 𝟔𝟏 𝟔𝟏 𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( −
𝟐
−.
𝟐
𝟏𝟏 𝟎= 𝟔𝟏
+
𝟏 𝟐
28
−
𝟐
𝟐 𝟏𝟏 𝟎=) (/ + 𝟐 𝟔𝟏
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
س / 5أذا كان 𝟑 +و أحزد جــــزـذري المعادلزة 𝟎 = وزاري / 2011د1 لٌمة الجذر األخر؟
−
𝟓+ 𝟓+
𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
؟ ومزا
فمزا لٌمزة
نفرض الجذر األخر و معادلة①
)مجموع الجذرين(
) حاصل ضرب الجذرين( )الجذر األخر(
𝟎𝟏 𝟐𝟎 + =𝟐+ 𝟎𝟏
𝟐
=
=
+
𝟓=𝟓+
𝟑+ .
𝟑+
𝟓𝟓+ 𝟓𝟓+ 𝟑− 𝟓 𝟏𝟓 − 𝟓 + 𝟏𝟓 − = = = 𝟑+ 𝟑+ 𝟑− 𝟐𝟏 𝟑𝟐 + =𝟐+ )نعوض في معادلة① ( =
𝟐=𝟓+
𝟑+
+ 𝟐+
+
=
𝟑+
******************************************************************
أمثلة أضافية محلولة مثال /أوجد الجذور التربٌعٌة للعدد المركب 𝟖𝟒 −𝟓𝟓 −ثم أســــتخدم الناته فً أٌجاد الحل للمعادلة التربٌعٌة 𝟐 𝟐+ 𝟏+ التالٌة 𝟎 = + 𝟏𝟑 𝟏 + + و نفرض أن الجذر التربٌعً للعدد 𝟖𝟒 −𝟓𝟓 − تربيع الطرفين
𝟐 𝟖𝟒 + = −𝟓𝟓 − ⇒ + 𝟖𝟒 = −𝟓𝟓 − 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐+ + 𝟖𝟒 = −𝟓𝟓 − − 𝟐 + 𝟖𝟒 = −𝟓𝟓 − 𝟐 𝟓𝟓− 𝟐 = − معادلة① 𝟖𝟒− 𝟒𝟐− 𝟐 𝟖𝟒= − = = معادلة② نعوض في معادلة① 𝟐 )نضرب 𝟐 ( 𝟔𝟕𝟓 𝟐 𝟒 − 𝟓𝟓= − ⇒ 𝟐 𝟓𝟓𝟓𝟕𝟔 − 𝟒 = − 𝟎 = 𝟔𝟕𝟓 − 𝟓𝟓 𝟐 − 𝟐
𝟎= 𝟗+ 𝟒𝟔 = 𝟖 = نعوض في معادلة② 𝟒𝟐−𝟐𝟒 − = = 𝟑 = 𝟖 𝟐 𝟐 𝟎=𝟗+ 𝟗= − يهمل
𝟐
𝟒𝟔 −
𝟐
𝟐
الجذران هما
األن نحل المعادلة 𝟎 =
+ 𝟏𝟑 𝟏 +
𝟐+ 𝟏+
𝟖𝟑−𝟖 , −𝟑+ 𝟐
بأستخدام لانون الدستور حٌث = 𝟏𝟑 𝟏 +
𝟑𝟏 𝟏 + 𝟐 𝟐 − 𝟒 𝟏 𝟏𝟑 + 𝟏 𝟐 𝟐𝟓 𝟏 + 𝟒 − 𝟒 − 𝟓𝟐 + 𝟐
𝟐− 𝟏+
=
29
,
𝟐− 𝟏+
𝟐𝟓 − 𝟓𝟐 +
𝟐
𝟐= 𝟏+ =
𝟒𝟏+𝟒 + 𝟏 𝟐
𝟒−
𝟐
=𝟏 , −
𝟐 𝟐− 𝟏+
=
=
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة 𝟖𝟒 −𝟓𝟓 −
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐𝟓 𝟏 + 𝟒 − 𝟒 − 𝟓𝟐 − 𝟐− 𝟏+ = 𝟐
𝟐
𝟐− 𝟏+
=
األن نعوض الجذور التً لمنا بحسابها سابما للعدد 𝟖𝟒 −𝟓𝟓 − 𝟐− 𝟏+
𝟖𝟑− 𝟐 𝟑 = −𝟐 +
𝟏
𝟖 −𝟏 − 𝟐 − 𝟑 + 𝟔 −𝟒 + = 𝟐 𝟐
=
𝟖 −𝟏 − 𝟐 − 𝟑 − 𝟐
=
𝟏
𝟓= 𝟏−
𝟐
𝟖 −𝟏 − 𝟐 + 𝟑 − 𝟎𝟏 𝟐 − = 𝟐 𝟐
=
𝟖 −𝟏 − 𝟐 + 𝟑 − 𝟐
=
𝟐
مجموعة الحل ً } 𝟓 , 𝟏 −
𝟑 {−𝟐 +
مثال /كون المعادلة التربٌعٌة التً جذر ا
=𝟑+
𝟎𝟏
, 𝟑−
𝟑−
𝟑+ 𝟏𝟎 𝟑 + 𝟏𝟎 𝟑 + 𝟐 = = 𝟐 𝟑+ 𝟏𝟑 + 𝟎𝟏
𝟐
مجموع الجذرين حاصل ضرب الجذرين
𝟔=
𝟎𝟏 𝟎𝟏 = 𝟑− 𝟑−
=
مثال /جد الجذور التكعٌبٌة للعدد المركب 𝟎=
𝟖−
,
𝟐
𝟏 = 𝟑 + 𝟑 + −𝟏 +
𝟎𝟏 = 𝟏 = 𝟗 +
𝟐
=𝟑−
+ 𝟑+ . 𝟑+
𝟑−
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( −
𝟐
𝟎 = 𝟎𝟏 − 𝟔 +
𝟐
𝟖−
𝟑
𝟎=
𝟎= 𝟒−
𝟐+
𝟐
𝟖−
𝟐
𝟑
𝟐−
𝟎= 𝟖+ =
𝟐
𝟒+ 𝟐=
𝟐+
𝟑
𝟐
𝟏
𝟐− 𝟎= 𝟐−
) بالدستور(
𝟒= −
𝟏
𝟑−
=𝟗+𝟑 −𝟑 −
المعادلة التربيعية
𝟑
=
𝟐= 𝟔𝟏 −𝟒 + 𝟐
⇒
𝟏= 𝟐
𝟒− 𝟒 𝟏 − 𝟐− = 𝟏 𝟐 𝟑
∴ مجموعة الحل هي }𝟑 {𝟐 , − + 𝟑 , − −
30
=−
𝟒
𝟎=𝟒− 𝟐−
𝟑 𝟐
= 𝟐−
𝟐
𝟐+ 𝟒−
=
𝟖= −
𝟑
𝟖−
𝟑
𝟑
𝟐
𝟐
− 𝟐
=
𝟐−
𝟐𝟏 𝟐
=
=
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مثال /جد الجذور التكعٌبٌة للعدد المركب 𝟖 𝟎= 𝟒+𝟐 +
𝟐
=𝟖−
𝟐−
𝟑
𝟎=𝟖− 𝟐=
𝟑
𝟖=
𝟎=𝟐−
) بالدستور(
𝟒=
𝟏=
𝟐= 𝟔𝟏 𝟒 − 𝟐 𝟑
∴ مجموعة الحل هي } 𝟑 , −𝟏 −
⇒
𝟐−
𝟑 𝟐
𝟏= −
𝟐
𝟐−
=
𝟐
𝟐−
𝟐𝟏
𝟒−
=
𝟐
𝟐− 𝟐
𝟐
−
𝟐𝟏−
=
𝟐− 𝟐
=
=
𝟑 {𝟐 , −𝟏 +
مثال /أوجد مجموعة الحل للمعادلة التالٌة
𝟎= 𝟐−𝟐 −
𝟐
) نقسم المعادلة على 𝟒
𝟎=𝟐−
𝟐
𝟎=𝟒+𝟐 +
𝟒 𝟏 𝟒𝟒− 𝟏 𝟐
=
𝟑
𝟑
𝟐−
𝟐
𝟐
𝟎=𝟐−
(
−
𝟎= 𝟐−𝟐 −
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
−
𝟐
𝟎=𝟐−
𝟐+
𝟐
𝟐
−
𝟎=
−
) تحل بالدستور(
𝟐=
𝟐= −
⇒
𝟏=
𝟐𝟐 𝟐 − 𝟒 𝟏 − 𝟐− = 𝟏 𝟐
𝟖 −𝟒 + 𝟐
𝟏
𝟐−
𝟒−
=
𝟐
𝟐
=−
𝟐− 𝟐
𝟒
=
𝟐− 𝟐
=
=
∴ مجموعة الحل هي }𝟏 {− + 𝟏 , − −
مثال /أوجد مجموعة الحل للمعادلة التالٌة 𝟎 = 𝟒 +
𝟒−
𝟐
) تحل بالدستور(
𝟒= −
𝟒=
𝟏=
𝟒 𝟏 𝟒−
𝟏− 𝟒
𝟒 𝟐
𝟐
𝟐
=
𝟐
⇒ 𝟒− 𝟏 𝟐
𝟔𝟏 𝟐 𝟐
𝟎=𝟒+ 𝟒− −
𝟒
𝟔𝟏 𝟐
= 𝟒
𝟔𝟏 − 𝟐
=
𝟐
=
𝟒 −
𝟒−
𝟐
𝟐 𝟔𝟏 𝟐
𝟒
𝟏𝟔 − 𝟐
𝟒 𝟐
∴ مجموعة الحل هي }
𝟐−
𝟐 ,
𝟐+
31
𝟐{
−
𝟐
=
= =
𝟐=
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
مثال /أوجد لٌمة كل من x , yمن المعادلة التالٌة
𝟎 = 𝟓𝟏 +
𝟖𝟖− 𝟏+
−
𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
+
𝟖𝟖− 𝟖𝟖− 𝟐 𝟎 = 𝟓𝟏 + 𝟐+ =𝟐 𝟐 + 𝟓𝟏 − 𝟏+ 𝟏+ 𝟖𝟖− 𝟏− 𝟐 𝟐− 𝟐 + (= 𝟓𝟏 ) − 𝟏+ 𝟏− 𝟐 𝟖𝟖−𝟖 −𝟖 + 𝟐 𝟐− 𝟐 + =. 𝟓𝟏 / − 𝟐𝟏 𝟏𝟐 + 𝟔𝟏− 𝟐 𝟐 𝟐− 𝟐 + (= 𝟓𝟏 ) − 𝟐− 𝟐 + 𝟓𝟏 = −𝟖 − 𝟐 𝟐 𝟓𝟏− 𝟐 = − معادلة① 𝟖− 𝟒− 𝟖𝟐 = − = = معادلة② نعوض في معادلة① 𝟐 −
𝟐
𝟓𝟏= −
𝟒
)نضرب
𝟐
𝟏𝟔 −
(
⇒
𝟓𝟏= −
𝟎= 𝟏+ نعوضها في معادلة②
𝟒
𝟐
𝟐
=
𝟔𝟏 − 𝟔𝟏 =
𝟐
مثال /أوجد لٌمة كل من x , yمن المعادلة التالٌة 𝟐𝟑− ) 𝟐𝟑−
𝟐𝟑+
𝟐 𝟑𝟔 − (= 𝟐𝟑+
𝟖𝟕 𝟏𝟎𝟒 − 𝟖𝟕 𝟏𝟎𝟒 − (=) ) 𝟒𝟗+ 𝟑𝟏 معادلة① نعوض في معادلة① 𝟐
𝟖=
𝟐 𝟐
𝟖=
−
𝟑−
)نضرب
𝟗−
𝟐
𝟖=
=
𝟐
𝟗+ 𝟏=
𝟑 تهمل
32
=.
𝟐+
𝟐
−
𝟔=𝟖−
𝟐+
𝟐
−
𝟐
𝟗= −
− 𝟐
𝟔= −
𝟖=
𝟐
𝟐
𝟎 = 𝟏− =
𝟑−
𝟐
=
𝟎=𝟗+
𝟐
𝟐
𝟐 𝟑− ( ) −
𝟎=𝟗−
𝟑− 𝟏 𝟐
=
𝟗
𝟐
=
=
𝟐
+ 𝟐
𝟔− 𝟐
(
𝟎= 𝟏− نعوضها في معادلة②
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟑𝟔 − 𝟐𝟑+
=
⇒
𝟏
𝟐
+
𝟎=𝟏+
𝟒 𝟏𝟎𝟖 − 𝟕𝟐 − 𝟔 + 𝟐𝟐 𝟑 𝟐 +
(=/ 𝟐
𝟎 = 𝟔𝟏 − 𝟒−𝟒 − = = 𝟒
𝟏= −
𝟐+
𝟐
𝟓𝟏 −
𝟒
𝟐
𝟐
+ 𝟐
معادلة② 𝟒
=
𝟎 = 𝟔𝟏 −
=
تهمل
𝟐 𝟒− ( ) −
𝟐
𝟓𝟏= −
𝟐 𝟐
𝟏
𝟐𝟑𝟔−
−
𝟔𝟏
𝟐
+
𝟐
𝟖+
𝟒
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
مثال /كون المعادلة التربٌعٌة التً معامالتها حمٌمٌة وأحد جذرا ا الجذر األول
𝟐
𝟐−
𝟐 𝟐= 𝟐−𝟐 𝟐 −𝟏 =𝟏−
معامالت المعادلة حمٌمٌة لذا فأن الجذر األخر و المرافك مجموع الجذرين
𝟐=
حاصل ضرب الجذرين 𝟗 = 𝟖 = 𝟏 +
𝟐
𝟐
−𝟐 𝟐 +
=
𝟐
𝟐
𝟐−
𝟐 𝟐𝟏+
𝟐 𝟐 = 𝟏 + 𝟏 + −𝟐 𝟐 +
𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐 𝟐+ 𝟏+
𝟐 𝟐 =𝟏+𝟐 𝟐 −𝟐 𝟐 −
𝟐 𝟐𝟏− 𝟐 𝟐𝟏−
𝟐 𝟐. 𝟏+
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( −
𝟐
𝟎=𝟗−𝟐 +
𝟐
المعادلة التربيعية
******************************************************************
جد الجذور التكعٌبٌة لؤلعداد التالٌة
𝟕𝟐−𝟔𝟒 , 𝟔𝟒 , 𝟏𝟐𝟓 , −
ثم جد الجذر التربٌعً للعدد
𝟒𝟔
الجذور التكعٌبٌة للواحد الصحٌح =
+
+
=
−
=
−
)الجذر األول( = 𝟏−
𝟑− 𝟐
=
𝟒𝟏−
=
𝟏− 𝟐
=
)بالدستور(
𝟏 𝟏 𝟒𝟏− 𝟏 𝟐
=
𝟏−
3 2 )الجذر الثاني( )الجذر الثالث(
نان ثالثة جذور للواحد الصحٌح و ً
𝟐
,
𝟏 ,حٌث أن الرمز
خواص الجذور التكعٌبٌة للواحد الصحٌح جذران تخٌلٌان مترافمان الجذران 𝟐 , 𝟐 𝟎=𝟏+ مجموع الجذور الثالثة ٌساوي صفر أي 𝟐 حاصل ضرب الجذور الثالثة ٌساوي واحد أي 𝟏 =
33
+
=
= +
+
𝟒−
=
𝟐
− 𝟐
𝟏− 𝟐
𝟑
=
𝟏− 𝟐
3 = 2
+
3 = 2
−
𝟏− 𝟐 𝟏− 𝟐
ٌمرأ أومٌكا
=
=
= =
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
أستنتاجات لخواص الجذور -1مجموع أي جذرين = سالب الجذر األخر مثال -2أي جذر =سالب مجموع الجذرين األخرين مثال -3
=
=
-4كل wهي مرافق
-5
3
-6
=
=
=−
+
,
=− −
=− ,
,
+
=− ,
=− −
−
=
=
=3 =4
.
3 +5 4 +2
الحظ 3 2 3 =+ 3 =/ 2 2 3 −2 3 =− 3 =/ 2 2
=
=− −
وبالعكس أي يمكن أستبدال أحدهما باألخر كما في المثالين التاليين +5 +2 −
+
3 𝟏− − /−. 2 𝟐 3 𝟏− + /−. 2 𝟐
𝟏− + 𝟐 𝟏− − . 𝟐 .
الحظ 2
2
𝟏− 3 𝟏− 3 𝟏− 3 3 4 + − /.. = = /=( ) +. / = + 𝟐 2 𝟐 2 𝟐 2 4 4 4
-7 -8نستخدم
=
+
..,
,حيث
= , ,2,3,4,5,
عددصحيح
في عمليات التبسيط
ومن ذه االستنتاجات نتوصل الى أن ناته wمرفوعة الى لوة معٌنة و أحد جذور الواحد األمثلة التالٌة : = 2
=
=
. 2
= =
}𝟐
= .
3
{𝟏 , ,الحظ
.
3
27
=
.
3
=
=
2
=
3 2
3 27
.
3
= = =
3 2
34
=
=
=
.
3
=
=
−
.
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
3
=
=
2
=
2
3
=
2
−
=
5
3 2
2
=
=
.
.
=
=
=
5
5
=
.
.
7
2
=
+
.
5
.
.
3 7
3 2
5
=
= .
6
+
=
+
.
=
مثال ( / )19جد ناته ما ٌلً ,
2
.
3
=
=
=
=
−
=
𝟖𝟓−
,
𝟓𝟐
,
=
−
+
=
−
−
=
−
𝟑𝟑 𝟏𝟏
𝟏= = 𝟏 𝟖.
=
𝟐
=
.
𝟏 =
𝟖 𝟑
𝟖𝟓𝟔𝟎−
𝟏𝟏 𝟑
=
=
𝟎𝟔
. .
𝟒𝟐
𝟖𝟓−
=
𝟑𝟑
=
𝟓𝟐
𝟖𝟓−
=
مثال ( / )20أثبت أن : 𝟎=𝟏+ =
+
=
=
+
+
𝟒= =4 ] +
= 2
= 5−3
+ ] = −4[2 − =4
+ 𝟑 𝟐
= 5+3 − +
.
𝟐+ + +
= −4[2
=
+
+
=
= −𝟒 𝟐 +
𝟐 𝟐
𝟑+
𝟑𝟓+
= 5+3
𝟐 𝟐
𝟑+
𝟑𝟓+
= −4 2 + 2
𝟑 𝟐
−𝟒 𝟐 +
𝟐+
= −4[− ] = −4 −
= −4 −
مثال ( / )21كون المعادلة التربٌعٌة التً جذرا ا :
وزاري / 2012د3 𝟐
,𝟏 − مجموع الجذرين حاصل ضرب الجذرين
=𝟐+ =
𝟏 =
𝟏 =𝟐+ 𝟐
𝟓
+
𝟕
−
−
= −
𝟑
= 𝟏+𝟏 + − 𝟐
+
𝟐
−
=𝟏−
−
𝟏−
+ −
− −
.
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( −
𝟐
− 𝟐+
𝟐
المعادلة التربيعية
35
𝟎= +
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐 𝟏− 𝟐𝟐+𝟐− 𝟏+𝟏−
+ +
𝟐
=
𝟑
𝟐𝟐−𝟐 +𝟐− 𝟏− − 𝟐+
4 2− −
4
=
2 𝟐 − +𝟐 − =) − − 𝟏− 𝟏𝟒 − 𝟐 − 𝟔 𝟐𝟒+ = = 𝟐= = 𝟏𝟐 − − 𝟑 𝟏𝟐+
=
+ −
+
𝟒 −
+
𝟐
2 −
()+
)مجموع الجذرين( =
,
𝟐 𝟏−
𝟏−
𝟒
=
2 =) − − 4 4 = = 2+ 3
𝟏−
)حاصل ضرب الجذرين (
2 −
().
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( −
𝟐
−𝟐 +
𝟐
4 𝟎= 3
المعادلة التربيعية
(
(
أمثلة أضافية محلولة مثال /أوجد الناته فً أبسط صورة ) = 8
−6
= 8
−5
= −3
−
5
/= − −2
+
−
𝟓
) (𝟏 −
+
𝟐
−
𝟐
2
/. 𝟐
𝟐
(𝟏 + +
−
𝟏
𝟏
.
𝟏
) 𝟐 (𝟏+ − 𝟏+
=
−2+
+
−2
/ = − +
=
−
−
) =. −
−
− 2 = − − 2 = −3
مثال /أذا كان )
𝟑− 𝟐
+
𝟏− 𝟐
(=
فأثبت أن
𝟎=
𝟑𝟐
+
𝟐𝟐
+
𝟐𝟏
وكذلن 𝟏 =
𝟐𝟑
−
−
+
.
𝟔𝟏
.
𝟐
(
=
𝟗
− −3 − 3 =. + =/ + = 2 2 2 2 =
+
+
=
+
+ =
36
= =
+ = . .
=
+ .
.
𝟑𝟐
+ =
𝟐𝟐
𝟐𝟑
+ .
𝟔𝟏
𝟐𝟏
.
𝟗
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
مثال /بر ن أن
𝟐 𝟐+
=
+
𝟒
𝟏 𝟐
𝟏+
√
− − −
√=
= = −
أعداد /األستاذ علً حمٌد
−
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
− 2+ −
√=
2+
√=
+
−
2+
√ =
+
√
+
∴ الطرف األيمن = الطرف األيسر مثال /بر ن أن 𝟏𝟖 =
𝟖 𝟐
−
الطرٌمة األولى : =8
3
= −9
) = 3
=
(=
3
=
3
=
3
𝟖 𝟐
−
الطرٌمة الثانٌة : = − −2
= −3
+
−2
+
=
=
−2 . =8
مثال /بر ن أن
𝟕=
𝟑 𝟖
−
−
+
+
𝟕
+ 𝟏−
𝟑 𝟒
= −
−
=− +8=7
𝟔 −
مثال /أوجد الناته − (/ ) −
2
𝟐
)𝟓 ( ) + 𝟏+ / .2 +
−
2+2 +2 2 3
= 3
2
= −2
𝟔
𝟐( )
)=.
−
𝟐
− 2 −
−
+
+
=
=− + 2
−
− −
+
−
+
+
=−
( 𝟒−
2 − ( ) ) (2 + +
/=( −
2+2
−
=
2
−
=
2
−
=
+2 =
−3
𝟏
=) (
=
=
𝟏+ −
𝟏
−
= 9
=
𝟖 𝟐
−
+
37
2 − + ). +
) (2
−
(
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
مثال /جد ناته x , yوالتً تحمك المعادلة التالٌة
𝟖− 𝟐
=
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
+
يمكن حله بطريقتين الحظ الحل 3 = −8 .− + /= 4−4 3 2 2 = −4 3 3 −2 + 2 4−4 3 4−4 3 = = 3 3 3 )(4) + (4 −2 + 2 (2) + . 2 /
= −8
=4 , −8 3 −2− 2
=
=4−4 3
+
−8 3 −2 − 2
=4−4 3 = −4 3
=4 ,
−8
=
+
=
−8
=
4−4 3
الطريقة األولى
+
=
+
=4−4 3
+
الطريقة الثانية
طرق حل المسائل التي تحتوي على 𝓦 نان بعض الطرق األساسٌة التً تستخدم فً تبسٌط حل المسائل و ً :
الطرٌمة األولى /أٌجاد عامل مشترن مثال /جد لٌمة : 𝟐 𝟏𝟏𝟐+𝟏𝟏 + 𝟐 𝟓𝟐−𝟓 −
2− −9 3 √= = 2+5 7 7
√=
+ +
2+ 2−5
√
2+ + 2−5 −5
√=
√
𝟐 𝟎𝟏 𝟏 + 𝟏𝟎 + 𝟐 𝟑𝟏−𝟑 − − −9 3 = √= +3 4 2
38
√=
+ +
+ −3
√ =
+ + −3 −3
√
√
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
مثال /أثبت أن
𝟏 𝟗
=−
]
𝟐 𝟐 𝟐
[ 2+2
+5 − 9
=
− 9
=
مثال /جد لٌم
9
+
2 −
+ 9
=
+ 𝟐
𝟐𝟐+𝟐 +
+5
+
أعداد /األستاذ علً حمٌد
=
9
𝟐
𝟐𝟐+𝟓 +
] +5 +
9
=
[ 2+2
+5
+
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
=
2 −
=
3
2+2 +5
]
+
+
+5
3
=
[2
+
+
+5
2+5 +2
] +5
−2
3+ +
+ ) − 4−2 +
4−2 2
+
−2 + 5
−
] +
+
) − [
+
+
(=
4−2 = 2
3+ +
) −
+
+
+
(=
+
=( − + −
+
=( −
+
=
+
3−3 + − +
=( − −
3+ +
) −
+
+
+
(=
+
) −
4−2 = 2
+
+
) −
4−2 =− − 2− 2
= −3 +
] [−
−
=
/
)
−
= −3 ,
x , yالتً تحمك المعادلة 𝟏 𝟐
(= /
+
x , yالتً تحمك المعادلة :
− −
مثال /جد لٌم
[2
−
= .
−
+
=
/
+
= .
−
+
=
/
+
/ = −
) يمكن حساب الجذر بطريقتين(
39
𝟐
+ 𝟐
+
=.
+
=.
+
− =. = −
+ +
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
الطرٌمة ① /نفرض أن الجذر التربٌعً للعدد 𝟐 +
𝟐
−
𝟐
− 𝟐 𝟐
= −
𝟐
𝟎= 𝟏+
𝟐+
+
𝟐 𝟏 𝟐
=
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐 𝟏−
𝟏
+
𝟏− معادلة② 𝟐
نعوضها في معادلة①
نعوضها في معادلة②
و
𝟐
𝟏=
𝟏−
=
𝟒
𝟒
𝟐
𝟏− 𝟏− = 𝟏 𝟐 (𝟐 ) 𝟐
𝟏= −
𝟐
𝟐
−
𝟏 𝟎= 𝟐 𝟒 𝟐
𝟎=𝟏−
𝟐
= − 𝟐
𝟏= −
⇒
𝟐
(𝟐 𝟐
الجذران هما
𝟎=
)نضرب 𝟐 𝟒 (
=
𝟏 𝟐 ) 𝟐 𝟏− 𝟐 = تهمل 𝟐 𝟏− 𝟏 𝟏 𝟏 + , − 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
+
معادلة① 𝟏− = 𝟐
=
𝟐
𝟐
= −
𝟎=𝟏− =
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐 −
𝟐
𝟐
=
𝟐
𝟎=𝟏+
𝟐
الطرٌمة ② / )
𝟏
−
𝟐 𝟏
الجذران هما
−
𝟐 𝟏
𝟏 𝟐
= )
(
𝟏
,
𝟐
=
𝟐
𝟐
,
𝟏
𝟏
𝟐 𝟏
𝟐
+
−
𝟐
(√ =
−
𝟏− 𝟐 𝟏
=
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 =√ − − =√ − + 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐
𝟏 𝟐
+
=
+
= −
مثال /جد لٌمة :
𝟐
𝟐
𝟒 = −𝟒 −
𝟐
𝟒−
+ 𝟓 −𝟏 − 𝟐
𝟒=
𝟐
𝟑− 𝟓+
𝟐− −
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐= −
𝟏− 𝟐
=
𝟑 𝟐
𝟓+
𝟑− 𝟓+
𝟒
𝟏−
𝟑 𝟐
𝟓+
𝟑− 𝟓+
𝟒
𝟏−
𝟓−𝟓− 𝟒=
40
𝟑− 𝟓+
𝟐 𝟐
𝟏−𝟐 +
= −𝟒 −
𝟐
= −𝟒 𝟏 +
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة 𝟐 𝟐
مثال /كون المعادلة التربٌعٌة التً جذرا ا )الجذر األول(
𝟗=
)الجذر الثاني(
𝟔𝟏 =
𝟐
𝟑= −
𝟐
𝟒 =
𝟐
𝟐
𝟏−
𝟐−
𝟐+𝟐+
𝟐𝟐−
,
𝟏−
+ 𝟐 −𝟏 −
𝟐 =
𝟐
𝟐= 𝟐−
𝟐
𝟐−𝟐−
𝟐
− 𝟐 −𝟏 −
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐
𝟏−
𝟐+ 𝟐
𝟐 =
مجموع الجذرين
𝟏−
𝟐 𝟐
𝟐= 𝟐−
𝟐 𝟐+
𝟐−
𝟓𝟐 = 6
حاصل ضرب الجذرين
𝟐
𝟐𝟐−
9 + 9 .
𝟒𝟒𝟏 = 6
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( −
المعادلة التربيعية مثال /كون المعادلة التربٌعٌة التً جذرا ا
,
𝟏−
𝟐
𝟎 = 𝟒𝟒𝟏 − 𝟐𝟓 +
𝟐
𝟐
𝟏−
𝟐
3
الجذر األول
−i
−
=
−
=
3
الجذر الثاني مجموع الجذرين i = 2 + i حاصل ضرب الجذرين = i
−
i= 2 +
2
+i −
=
−
+ − − −i +
+3 +2
= 2
= 3
−
−
−3 −2
−4−9−6
= −6
حاصل ضرب الجذرين = −7
المعادلة التربيعية
−i
2
=
+ −
−i −i
.
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( − − 𝟐+
𝟐
𝟐
𝟐−
𝟑
3
−3
=2
=3
مجموع الجذرين = −5i
=
2
−
=
𝟐
المعادلة التربيعية
مثال /كون المعادلة التربٌعٌة التً جذرا ا
+
−
=
−
−
3
+6
,
−2
+
i = 5i
=− 3+6
وزاري / 1999د1
𝟐
=2
−3
=2
−3
2
= 3
−2
= 3
−2
3
=5 i+5
+9 −
𝟐
𝟎=
𝟑−
+
+4
=6
= − 3+6 −
+2 2
+ 3
2
. 3
2
+2 2 +2
. 3
+3 +3
2 2
+3
2
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( −
𝟐
𝟓− −
𝟐
𝟎=𝟕−
𝟓+
41
𝟐
𝟎 = 𝟕+ −
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الطرٌمة الثانٌة /طرٌمة االستبدال 𝟐 𝟐
مثال /جد الناته
𝟑+
𝟏=
𝟏−
مثال /بر ن أن
𝟑 𝟐
= −
=
= 2+3 −3−3
𝟐
)𝟐
𝟏 + 𝟒 −𝟏 −
) 𝟐
𝟑𝟐+
𝟏 𝟒𝟑+𝟓 +
𝟓𝟑+
−𝟏 + − −𝟐 − ) =. −𝟐 − −𝟏 +
/ 𝟏𝟏 + 𝟒 − 𝟗
𝟐
=
𝟒𝟏+
+ 𝟗
𝟐
=
𝟐 −
𝟓𝟑+𝟒 +
𝟏 − −𝟏 +
𝟐
𝟒𝟏+𝟐 𝟐 𝟏+𝟒 + (= ) = ) 𝟐 𝟏𝟐+ 𝟐𝟑
𝟐
مثال /كون المعادلة التربٌعٌة التً جذرا ا =3−4
الجذر الثاني
𝟐
(= ) 𝟐
𝟓−
+5+5
,
= =2−
مجموع الجذرين =2 − 6 − 6 − − حاصل ضرب الجذرين
𝟐
= ) 𝟐
𝟐−
−6 +2+2
=7+4
𝟏 𝟒𝟑+𝟓 +
𝟐 𝟏 𝟏 (= ) 𝟒−𝟒− −𝟐 −
𝟏−𝟑 − = 𝟗 𝟑
الجذر األول
(
𝟏 𝟑 + 𝟒 + 𝟓 −𝟏 −
−
𝟐
= 2+3 +3 − −
𝟏
𝟐
𝟓𝟑+
−
−
𝟐𝟏+ (= ) 𝟐− − 𝟏 𝟒𝟑+𝟓 +
𝟐−
𝟐
−
𝟐
𝟏 𝟓+
( 𝟒𝟑+
𝟏 𝟓−𝟓−
𝟐
𝟐
( 𝟒𝟑+
−𝟏 + + 𝟐 + ( 𝟐−𝟐 + − 𝟏 ( 𝟓𝟑+𝟒 +
𝟔𝟏−
−6 −2 − − −5 − −
=
=2−
= =3−4 +7+4 = 2 + 2 − 28 − 6
= 37
2+3 +3
−6 −2 2−
−5
3−4
+ 7+4
=2 − 6 + 6+ 6
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( − المعادلة التربيعية
𝟎 = 𝟕𝟑 − 𝟏𝟎 +
𝟐 𝟐
الطرٌمة الثالثة /معامالت البسط والممام متساوٌة مثال /جد الناته
𝟑𝟏𝟎 + 𝟎𝟏𝟑 𝟐 +
=
42
+3 +
3
=
+3 +
+3 = + 3
3
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة 𝟒
−
مثال /أثبت أن 𝟗 = ) 𝟒
/
−
𝟐−
𝟐
𝟐
− 𝟐−
−
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟐
−
𝟐
𝟗=
𝟐
(
−
𝟒
− −
𝟑
𝟐 𝟐
𝟐
− 𝟐−
/ = .
𝟑= −
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐 𝟐
𝟑 = )
−
𝟑
𝟑
(=
𝟒
− −
/ = .
𝟐
− −
−
−
𝟐
− 𝟒
𝟒
𝟑
=
𝟒
−
𝟐
.
= )
−
𝟏
(
الطريقة الرابعة /أيجاد المضاعف المشترك 𝟐
مثال /أوجد الناته
𝟏
+ 𝟐
−
𝟐+
− 1 +2 + +
𝟏 𝟐+
*
− = 1 3
−2 9
𝟏−𝟑 − = 𝟗 𝟑
مثال /أثبت أن
𝟓𝟕− 𝟗𝟔𝟏
𝟐
= )𝟐 𝟐
= / 𝟐
−2− +2 +
1 =0 4+2
𝟓 𝟑−
=
−
−
=
𝟗
+
𝟐− 𝟗
=
𝟐+ 𝟐− / 𝟗𝟔𝟏
=0 5+2
+
+
𝟐− 𝟗
𝟐
𝟑− ) = 𝟐𝟓 . 𝟐 𝟑−
𝟏 − 𝟑−
𝟐
𝟏 ( 𝟓𝟐 = ) 𝟐 𝟑− 𝟐
− 𝟐+ − 𝟐+ = 𝟓𝟐 = 𝟓𝟐 / . / . 𝟑 𝟑 𝟏𝟎 − 𝟑 𝟐 − 𝟏𝟎 + 𝟑 − 𝟐 − 𝟐
𝟒
/ = 𝟐𝟓 .
=
(
𝟐
/
−
2+
2+
𝟑− 𝟐
− 𝟑− 𝟐 𝟑−
− 2+ 2+
− 1 =0 1 = 0 5+2 −
𝟐−
𝟓
2+ 1 =0 4+2
2+ ] =0 2+
−
[
−𝟐 𝟑+ 𝟗𝟔𝟏
𝟐
𝟒
/ = 𝟐𝟓 .
𝟐
−𝟑+ 𝟐−𝟑 +
𝟑− 𝟐𝟓 . 𝟑𝟗−
𝟐
− 𝟐+ − 𝟐+ = 𝟐𝟓 . / = 𝟐𝟓 . 𝟏 𝟑 𝟏𝟎 + 𝟑𝟏
𝟐+ 𝟐 − 𝟐 −𝟏 − 𝟑− 𝟓𝟕− =) / = 𝟐𝟓 . ( 𝟓𝟐 = / 𝟗𝟔𝟏 𝟗𝟔𝟏 𝟗𝟔𝟏 𝟗𝟔𝟏
43
𝟓 − 𝟑−
𝟓 ( 𝟑−
𝟐+ 𝟐 − / = 𝟐𝟓 . 𝟗𝟔𝟏
𝟒
= 𝟐𝟓 .
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
تمارين − 3 س / 1أكتب الممادٌر التالٌة فً أبسط صورة : ,
𝟒𝟐 −
𝟓𝟗 +
𝟏
𝟏+
𝟐𝟑−
𝟐𝟏 𝟐𝟑−
𝟒𝟔
𝟏+ 𝟒𝟔
=
.
= 𝟏.
𝟏𝟐 𝟑
=
𝟒𝟔
𝟓𝟐𝟑− 𝟑 𝟐
=
𝟖𝟎𝟏−
.
𝟏 =
𝟏
.
𝟖𝟎𝟏𝟑 −
=
𝟏−
.
𝟒𝟐𝟑−
𝟓𝟐𝟑−
=
𝟏 𝟐𝟏 𝟐𝟑−
𝟏 𝟏= 𝟖 𝟏
=
𝟏 𝟖 𝟑
=
𝟏 𝟒𝟐
=
𝟏 𝟐𝟏 𝟐
=
−
𝟏 𝟏+
𝟐𝟏
=
𝟏 −𝟑𝟐 .
𝟐𝟏 𝟑𝟑
𝟏+
=
𝟏+ 𝟏
𝟐𝟏 𝟐𝟑−
𝟒𝟐 − 𝟐
=
𝟏
𝟏 𝟑.
=
=
𝟏 𝟒
=
𝟏 𝟒
−
=
𝟒−
= −
𝟏+
𝟏+
𝟒𝟐 −
𝟏+
𝟓𝟗 + 𝟐
=
𝟐
= 𝟏.
𝟐
.
𝟑 𝟑
=
𝟓
.
𝟗
=
𝟓𝟗 +
س / 2كون المعادلة التربٌعٌة التً جذرا ا : 𝟐
,𝟏 +
مجموع الجذرين
𝟏=𝟏=𝟐−
=𝟐+
+
حاصل ضرب الجذرين
=
= 𝟏+𝟏 +
+ =
−
= −
+
𝟏+
+ +
+ +
.
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( −
𝟐
−
𝟐
المعادلة التربيعية
44
𝟎=𝟏+
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐
,
𝟐− 𝟐
𝟐
− +
𝟐 + = 𝟐𝟓−
𝟐− 𝟐 + 𝟐 𝟐− 𝟐 − 𝟐+𝟐 𝟐− = = 𝟐− 𝟐 𝟐− 𝟒−𝟐 −𝟐 𝟐+ 𝟐 + 𝟏− = = مجموع الجذرين 𝟏𝟓 − 𝟐 − 𝟕 𝟑 𝟏 = = حاصل ضرب الجذرين 𝟐 𝟐− 𝟐− 𝟕
𝟒 𝟑
حاصل ضرب الجذرين
المعادلة التربيعية
س / 3اذا كان + 𝟏 = 𝟎 :
+
+
𝟐
𝟏
𝟏−
𝟕
𝟕
𝟎=) () +
𝟏−
𝟑− 𝟐
𝟐−
وزاري / 2011د2
𝟐
𝟑= 𝟐 𝟑
𝟐
𝟐
𝟗=
− 𝟑=/ − −𝟑 𝟐 − 𝟑=. / −
𝟑+
.
𝟑
𝟑−
+
𝟑−
𝟑
, 𝟑
𝟑 𝟐
𝟑
𝟑 𝟐
𝟐
𝟐
= 𝟐
=
𝟑−
𝟑− −
𝟐
𝟑+
𝟐
𝟐
𝟑
𝟏𝟏 𝟑𝟏+𝟑 𝟏𝟎 +
فجد قيمة 𝟒𝟏−
𝟐
+
𝟐
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( − 𝟎 = 𝟗+ −
𝟑
𝟑− 𝟐
𝟖 𝟑𝟏−𝟑 𝟕 −
= =
𝟐
𝟐−
وزاري / 2014د3
𝟎=𝟗−
𝟐
𝟐
(−
+
𝟗= −
𝟐−
𝟐−
𝟐
وزاري / 2015د3
مجموع الجذرين 𝟑= 𝟑 −𝟏 = −
+ 𝟐
𝟎 = ) حاصل ضرب الجذرين( ) +مجموع الجذرين( −
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏 𝟏 𝟎= + 𝟕 𝟕
المعادلة التربيعية
𝟐
𝟐−
=
=
𝟏 𝟏 𝟒𝟏− 𝟏− = 𝟏 𝟐
)بالدستور( 𝟏−
3 2
= 𝟒−
= 𝟏− 𝟐
+
+
𝟐
− 𝟐 𝟑
=
𝟏− 𝟐
)الجذر األول(
3 = 2
+
)الجذر الثاني(
3 = 2
−
𝟏− 𝟐 𝟏− 𝟐
= =
= =
= 𝟏𝟏 − 𝟑 −𝟐 − = = 𝟑𝟏+ 𝟒 𝟐
=
+ +
+3 −3
=
+3 −3
+3 −3
=
. .
+3 −3
. .
+3 −3
=
نعيد الحل مرة أخرى بنفس الطريقة أليجاد قيمة المقدار
45
+3 −3 𝟐
+3 −3
=
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
وزاري / 2011د1
س / 4أثبت أن :
وزاري / 2015د1
𝟏− 𝟑 𝟐
/
− +
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐𝟓+
𝟐
−𝟐− 𝟐𝟐+ +
/ =. 𝟑
𝟐+ 𝟐𝟒+
𝟏−𝟏 − 𝟐 −𝟑 − = = = . . 𝟗 𝟗 𝟑
𝟐
/ = .
=
𝟐−
𝟐
𝟐
+
= )
𝟐
𝟐
𝟑
𝟒
+
𝟐
𝟐
𝟐+ 𝟐+
=
𝟗
𝟐
) =. 𝟐
− 𝟐+ 𝟐+
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐−
𝟐
𝟏 𝟐+ 𝟏 𝟐+
−
𝟏 𝟐+
− 𝟐
=
𝟑
𝟏 𝟐+
− 𝟐
𝟏 − 𝟏 −𝟏 − = 𝟐 − 𝟐 −𝟏 −
𝟐
+ +
𝟐
.
𝟐 𝟑
𝟏− = 𝟐 . 𝟐−
+ +
𝟑
𝟐
𝟐
=
𝟒𝟏
𝟐 𝟏− = 𝟐𝟓− 𝟑 𝟒
( = . .
𝟐𝟓−
𝟕
(
+ 𝟏𝟎 +
𝟒𝟏
𝟑 𝟏+ 𝟕− . 𝟎𝟏 = الطرف األيسر = 𝟑 𝟑 𝟓 . + 𝟐− 𝟐 𝟐− = = الطرف األيمن = 𝟑 𝟑−
وزاري / 2014د1
𝟖𝟏 = ) 𝟐
الطرف األيمن = 𝟖𝟏 =
𝟑
𝟓− 𝟖𝟏 =
𝟐
𝟏+ 𝟐
𝟔−
+
𝟐)= 𝟏− 𝟐
𝟑= −
𝟓
𝟓−
𝟐
+ −
𝟑
−
𝟓
) (𝟏 +
−
𝟐
− +
الطرف األيمن = 𝟐= −𝟏 − 𝟏 = −
𝟔
−
𝟑
=−
𝟑 𝟐
𝟐 𝟐
+ 𝟐
الطرف األيسر
= (𝟏 −
= 𝟏 − 𝟐 + −𝟏 −
𝟐= − = −
) (𝟏 +
𝟐
𝟐
(𝟏 −
𝟑
𝟑
+ 𝟏+
+ 𝟏+ 𝟑 𝟐
𝟑 𝟐
𝟏+
= 𝟏 +الطرف األيسر
******************************************************************
التمثٌل الهندسً لؤلعداد المركبة بالمحور − حٌث ٌسمى المحور , ٌمكن تمثٌله ندسٌا ا بالنمطة + العدد المركب فٌسمى المحور التخٌلً و و ٌمثل − الحمٌمً و و ٌمثل الجزء الحمٌمً للعدد المركب ,أما المحور الجزء التخٌلً للعدد المركب ,وٌمكن تمثٌل بعض العملٌات التً تجري على األعداد المركبة تمثٌالا ندسٌا ا وتسمى األشكال الناتجة بأشكال أرجاند وٌسمى المستوي الذي ٌحتوٌها بالمستوي المركب .
46
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
أذا كان 𝟐, 𝟐
𝟏 𝟐
+ فأن : 𝟏
=
𝟏
,
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟐
+
=
𝟐
عددان مركبان ممثالن بالنمطتٌن
𝟐
𝟐
وٌمكن تمثٌل 𝟐 + وكما موضح بالشكل :
𝟏
بالنمطة
𝟐
+
𝟏
,
𝟐
+
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟏
𝟑
+
𝟏
+
𝟐
+
,
𝟏
=
𝟏
𝟐
مثال ( / )22مثل العملٌات األتٌة ندسٌا ا فً شكل أرجاند : 𝟐+ 𝟓+ 𝟒 𝟑, 𝟐 𝟓,
𝟑
𝟏 𝟐
𝟐= 𝟑+𝟒 + 𝟓+ 𝟔= 𝟑 = 𝟖+
𝟐𝟔, − 𝟓 −𝟐,
𝟏 𝟐
𝟒𝟑+
𝟒=𝟑+ 𝟐=𝟓+
𝟓− 𝟐−
𝟐 𝟐
𝟏 𝟐
+ 𝟏+ 𝟏
𝟐𝟔−
𝟐=𝟔− 𝟓=𝟐−
𝟏 𝟐
𝟓 + − 𝟐 = 𝟔 − 𝟐 + −𝟐 + 𝟑𝟏+ 𝟐 = 𝟑 = 𝟒+ 𝟑𝟑 = 𝟒+ 𝟑 𝟑 𝟒, 𝟏
47
𝟏
+
𝟏
وذلن بأستخدام المعلومات المتعلمة بالمتجهات
أي أن ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑𝟏 + ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑𝟐 = ⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑⃑𝟑 :
𝟔 𝟖,
𝟏
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
تمارين − 4 س / 1أكتب النظٌر الجمعً لكل من االعداد األتٌة ثم مثل ذه االعداد ونظائر ا الجمعٌة على شكل أرجاند . =
𝟒
,
=𝟏−
تمثٌله البٌانً
𝟑
,
𝟑 = −𝟏 +
نظٌره الجمعً
العدد
𝟑 𝟏 = −𝟐 − 𝟑 𝟏 = −𝟐 , −
− −
𝟑𝟏 =𝟐+ 𝟑𝟏 = 𝟐 ,
𝟐
− −
𝟐
𝟑 = −𝟏 + 𝟑 𝟐 = −𝟏 ,
𝟑
− −
𝟑
=𝟏− 𝟏𝟑 = 𝟏 , −
𝟒
− −
= 𝟏𝟒 = 𝟎 ,
𝟑=𝟏− 𝟑 𝟐 = 𝟏 ,−
= −𝟏 + 𝟏 𝟑 = −𝟏 ,
=− 𝟏𝟒 = 𝟎 , −
48
𝟐
,
𝟑=𝟐+
𝟏
𝟒
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
س / 2أكتب العدد المرافك لكل من االعداد التالٌة ثم مثل األعداد ومرافماتها على شكل أرجاند 𝟐= −
𝟒
,
=𝟏−
تمثٌله البٌانً
𝟑
,
𝟐 = −𝟑 +
𝟐
مرافك العدد
49
,
𝟑=𝟓+
𝟏
العدد
𝟑 ̅𝟏 = 𝟓 − 𝟑 ̅𝟏 = 𝟓 , − 𝟏
𝟏
𝟑=𝟓+ 𝟏 𝟑𝟏 = 𝟓 ,
𝟐 ̅ 𝟐 = −𝟑 − 𝟐 ̅ 𝟐 = −𝟑 , − 𝟐
𝟐
𝟐 = −𝟑 + 𝟐 𝟐 𝟐 = −𝟑 ,
̅𝟑 = 𝟏 + 𝟏 ̅𝟑 = 𝟏 , 𝟑
𝟑
=𝟏− 𝟑 𝟏𝟑 = 𝟏 , −
𝟐 = 𝟒̅ 𝟐 ̅𝟒 = 𝟎 , 𝟒
𝟐= − 𝟐𝟒 = 𝟎 , −
𝟒
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
س / 3أذا كان
𝟐= 𝟒+
س / 4أذا كان
𝟐=𝟒−
أعداد /األستاذ علً حمٌد
فوضح على شكل أرجاند كآل من
,−
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
,
= 4,2 = 4 , −2 − = −4 , −2
𝟏
=𝟏+𝟐 ,
𝟐
=4+2 =4−2 − = −4 − 2
فوضح على شكل أرجاند كآل من : +
𝟐
−3
= −3 , −6
= 8 , −4
𝟏
,
𝟐
−
𝟏
= −3 − 6 2
,
𝟏
+2
=8−4
𝟐 ,
𝟑−
𝟐
−3
= −3 = 2 4−2
= 3−4
= 4 − + −2 − 2 = 3, −4
+2
= 4−2 − = = 3−4
− −
= 5+ i
= 4 + + −2 + 2 = 5,
= 4−2 + +2 = = 5+ i
+ +
50
2
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الصورة المطبٌة 𝒎𝒓𝒐𝑭 𝒓𝒂𝒍𝒐𝑷 للعدد المركب ارا كان
,
+
=
فان
=
=
انجضء انحقٍقً نهعذد انمشكب حقٍقً غٍش سانب وٌسمى = أو ٌكتب
حٍث
و
=
=
انجضء انتخٍهً نهعذد انمشكب )
( مقٍاط انعذد انمشكب وهو عذد
𝟐[ 𝟎 ,
وٌمكه انقول أن
‖ ‖=
+
= 𝟐
مثال ( / )23اذا كان 𝟑 = 𝟏 +
فجد الممٌاس والمٌمة األساسٌة لسعة 𝟐= 𝟑= 𝟏+
الربع األول
=
وٌشمض نه بانشمض ‖ ‖ و تسمى ( 𝜃 ) سعة انعذد انمشكب وتكتب
+
𝟑
حٍث أن
𝟑 𝟐
=
=
‖ ‖
=
𝟐
+
=‖ ‖=
‖
‖= =
‖
‖= =
. 𝟐
+
𝟐
=‖ ‖= 𝟏 𝟐
=
=
‖ ‖
=
=
𝟑
مثال ( / )24اذا كان
= −𝟏 −
فجد الممٌاس والمٌمة األساسٌة للعدد 𝟐 = 𝟏= 𝟏+
الربع الثالث
𝟒
=
𝟏− 𝟐
=
‖ ‖
=
=
=
. 𝟐
+
𝟐
=‖ ‖= 𝟏− 𝟐
=
𝟓 𝟒
51
=
‖ ‖
=
𝟒
=
+
= =
=
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مثال ( / )25عبر عن كل من االعداد التالٌة بالصٌغة المطبٌة : وزاري / 2013د1
وزاري / 2012د2
𝟐−𝟐+ 𝟐 = −𝟐 +
𝟐𝟐 𝟑− 𝟐= 𝟐 𝟑− 𝟒 = 𝟏𝟐 +
𝟑 𝟐
𝟏− 𝟐
𝟐
= =
+
𝟐
𝟑 𝟐 𝟒 𝟐−
𝟏𝟏 𝟔
𝟒 =
𝟏𝟏 ) 𝟔
𝟒= 𝟒+
= =‖ ‖= 𝟒 = 𝟔𝟏 =
= =
𝟔
‖ ‖ ‖ ‖
=
=
=
=
𝟏− 𝟐
𝟏
=𝟐 − 𝟏𝟏 + 𝟔
( 𝟒=
𝟐−
=
𝟐 𝟐
𝟐
=
𝟐 =
𝟐
+
𝟐
𝟐 𝟐 𝟑 𝟒
= =‖ ‖= 𝟐 𝟐=𝟖 =
= =
=
𝟑 ) 𝟒
‖ ‖ ‖ ‖
𝟒
−
= =
= =
=
𝟑 + 𝟒
= ( 𝟐 𝟐=
مثال ( / )26عبر عن كل من االعداد التالٌة بالصٌغة المطبٌة : −
𝟏 − 𝟎 +
𝟎
𝟏= 𝟎𝟏=𝟏+
+ )
𝟏 = 𝟎 − 𝟏 = −𝟏 + +
𝟐
𝟑 ) 𝟐
𝟏
( 𝟏= =𝟎+
𝟐
𝟑 + 𝟐
( 𝟏 = − = 𝟎−
مالحظة من خالل المثال ( )26السابك نستنته طرٌمة ٌمكن تطبٌمها على األعداد المركبة وكما ٌلً : 𝟎
𝟎 + )
𝟐
+ 𝟑 + 𝟐
𝟑 ) 𝟐
52
𝟑= +
𝟐=
𝟐
𝟎𝟑= 𝟑 𝟏 =𝟑 𝟏+ (𝟓 =
𝟓 = 𝟓 𝟎+
𝟎 −𝟐 = 𝟐 −𝟏 = 𝟐 −𝟏 +
(𝟕 =
=𝟕 𝟎−
−𝟕 = 𝟕 −
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مبر نة دٌموافر 𝒎𝒆𝒓𝒐𝒆𝒉𝑻 𝒔 𝑫𝒆 𝑴𝒐𝒊𝒗𝒓𝒆′ لكل لكل
−
,
فأن
+
=
+
=
,
فأن
−
=
−
=
𝟏−
= 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑,
, 𝟒
𝟑
مثال ( / )27أحسب )
𝟖
𝟑 )=𝟎− 𝟐 مثال ( / )28بين لكل ]
−
𝟐𝟏 (=) 𝟖
(
+
فأن
, [=
+
)+
(
(
𝟖
𝟑 𝟐
+
))
𝟑
+
𝟐+
𝟐+
(
𝟏 ) (
=
+ −
وبجعل
−
=
= ]
=−
−
=
−
−
+
+
= الطرف األيسر −
[= [=
+ +
=
−
مالحظة الموانٌن التالٌة مهمة فً عملٌات التبسٌط :
53
(
−
−
= ]
+ =
𝟐𝟏 𝟖
𝟒 𝟑 (= ) 𝟖
𝟑 𝟖
+
=
+
−
=
−
−
=
+
+
=
−
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة 𝟏𝟏
مثال ( / )29أحسب بأستخدام مبر نة دٌموافر = 2
4
+
. 𝟏+
=
=
8 +3 8 +3 ( ( )+i i )) 4 4
=‖ ‖=
+ =
2
)) ( ( ) + i i 4 4
(
(
وزاري / 2013د2
2
2
= ))
2
=
( ))+
2
( )+
= −32 + 32
2
𝜃 𝜃+i i ( )+i i
4
] = 32 − +
2
+
− 2
2
(
4
(2 +
( )−
3 )/1 = 32 4
[ 2
=
2
3 3 )) ) + i i (2 + 4 4 ( ( )) +
وزاري / 2015د1 +
=𝜃
=
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
‖ ‖
=
=
+
(
2
=
2 2
=
(* 2
= 32
(2 0
= 32
3 ( )) + . 4
(
=𝜃
=
( 2
=
مالحظة −
−
=
−
+
−
=
+
=
−
مثال ( / )30حل المعادلة 𝟎 = 𝟏 +
𝟑
𝟐 = 𝟎, 𝟏,
=
−
حٌث ℂ
بالجذر التكعيبي )
−
𝟐+ 𝟑
+
=
(
)+
𝟏 𝟑 = + 𝟐 𝟐
𝟑
𝟏= − 𝟐+ 𝟑
) ( 𝟑
𝟏= −𝟏 + 𝟎 = −
=
(
𝟏 𝟑
( )+ 𝟑 +
𝟓 ) 𝟑
𝟏 𝟑 = − 𝟐 𝟐
(
𝟏 𝟑 , −𝟏 , + مجموعة الحل للمعادلة هي 3 𝟐 𝟐
54
𝟑
𝟎=𝟏+
𝟓 )+ 𝟑
(
𝟏 𝟑 2 + 𝟐 𝟐
+
=
=
𝟎=
=
𝟏=
=
𝟑
𝟐=
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
مثال ( / )31أوجد الصٌغة المطبٌة للممدار :
𝟐
𝟐=𝟏= 𝟑+
𝟔 )
𝟑
+
𝟑
(𝟒 =
75
ثم جد الجذور الخمسة له .
𝟑+ 𝟐
+ 𝟏 𝟐
=
𝟐
=‖ ‖=
=
𝟐
𝟔
𝟐( )+ 𝟑 7+i i 6 𝟓
𝟐( )+ 𝟑 6 𝟓
])
𝟓 𝟑
𝟓 + 𝟑
= )
4
𝟔+ 𝟑
+
𝟑
5+
(
+
𝟔
𝟏 𝟓
‖ ‖
𝟔
𝟏 ( )𝟓(𝟒
𝟑
𝟔+ 𝟑 𝟓
4
46
𝟔+ 𝟓𝟏
(
[𝟒
)+ 𝟓
=
𝟕 + 𝟓𝟏
𝟒
𝟓
=
𝟐
𝟏=
𝟑𝟏 𝟓𝟏
𝟑𝟏 + 𝟓𝟏
𝟒
𝟓
=
𝟑
𝟐=
𝟗𝟏 𝟓𝟏
𝟗𝟏 + 𝟓𝟏
𝟒
𝟓
=
𝟒
𝟑=
𝟓𝟐 𝟓𝟏
𝟓𝟐 + 𝟓𝟏
𝟒
55
+
𝟓𝟏
𝟒
𝟓
=
𝟓
=
(𝟐 =
𝟏
𝟕 𝟓𝟏
𝟒
)
=
=
𝟎=
𝟓𝟏
𝟓
𝟐
44
𝟔+ 𝟑 𝟓
57
=
= 𝟑 𝟐
( 𝟐𝟐 =
𝟔
𝟒 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑,
= 𝟑+
=
𝟐
)
+
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟒=
=
𝟏 𝟓 𝟐
=
𝟓
=
𝟐
𝟓
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
تمارين − 5 س / 1أحسب ما ٌلً : 𝟒
( − )+ 𝟔
𝟓 *=] 𝟔
( − )+ 𝟔
( 𝟔 )+
+
(𝟔) −
𝟎𝟐 [=] 𝟒𝟐
𝟓 𝟔
* ( 𝟔 )+ +
𝟎𝟐 𝟒𝟐
+
𝟏 𝟑 − + 𝟐 𝟐
+
=−
𝟔
𝟑− 𝟕 ] 𝟐𝟏
𝟕 ] 𝟒
−
𝟕− [=] 𝟒
𝟕 𝟒
+
𝟕− 𝟒
+
(𝟐 − )+ 𝟐
( 𝟒 )+
𝟏 𝟐
+
* ( 𝟒 )+ −
𝟏
(𝟐 − ) − (𝟒) +
𝟐
*=
( )+
𝟐
=
𝟒
𝟐
=) (
𝟐
𝟒
𝟐
+
𝟕 𝟐𝟏
[ *=
𝟒
(𝟒) −
𝟕 𝟐𝟏
[
𝟑− 𝟕 [= ] 𝟐𝟏
𝟏𝟐− 𝟐𝟏
+
𝟐
[
* =
𝟔
𝟏𝟐− [=] 𝟐𝟏
+
𝟓 𝟒𝟐
𝟒 𝟓 [= ] 𝟒𝟐
(𝟔) +
=
𝟓 ] 𝟒𝟐
+
𝟓 𝟒𝟐
[
𝟒
س / 2أحسب بأستخدام مبر نة دٌموافر (أو التعمٌم ) ما ٌأتً : وزاري / 2012د1 𝟕 𝟏− = 2 7 4
الربع الرابع
=
4
=2 −
+
=
+ −
,
2
7 7 +i i ) 4 4 ( + 2 ) + i i ( + 2 )+ 4 4 )+
2
) (4 i ( )+ 4
+
2
( )+ 4
=‖ ‖=
=
( 2
*
=𝜃 2 2
=
=
2
𝜃 𝜃+i i
) ) + ( i (4 )+ = 8
2
) ( )+ ( i
−
4
= 8+8
) (4
2
+
2
‖ ‖
=
49 49 +i i =) 4 4
2
56
= ,
) (4
* 2
−
( (*
) (
]=8 2
4
+
𝟕
=
= =𝜃
= 𝟏− 2
=
2 2
=
(* 2
=8
[ 2
=8
2
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
وزاري / 2014د2 𝟗−
=2 الربع األول
6
= 3+
=‖ ‖=
+
=
2
−
=
𝟑+ = 𝟑+
= 𝟑 2
=𝜃
𝟗−
س / 3بسط ما ٌأتً :
5 2
وزاري / 2013د2
𝟑 𝟎𝟏
=
+
+ +
𝟗
=
𝟒
] 𝜃 i
[
𝜃 𝜃i 4
𝜃 i
4𝜃 +
𝜃+ =
𝜃 i
𝜃−
= ] 𝜃 i
𝜃−
𝜃 i
= ] 𝜃 i
𝜃+
س / 4باستخدام مبر نة دٌموافر جد الجذور التربٌعٌة للعدد المركب =
+3 = 4=2 2 = − الربع الثاني 3 3 ) ( 2 2 ( =2 )) ( ( ) + i i 3 3 2 +6 2 +6 3 3 4 5+i i 4 57 2 2 ) (
) (
−
𝜃 i
=
) (
𝜃 𝜃+i i 57 = 2 6 ])
𝟏 = 𝟎,
𝟐 𝟑
𝟑
𝜃
+
𝟐 + 𝟑 +
𝜃 i
𝜃+
=
𝜃 i
𝜃+
=
[ 𝜃 i
𝜃+
=
=
) (
=− + 3
= 𝟏− 2
,
=
‖ ‖
=
=𝜃
= √− + 3 = − + 3
2 +2 5+i i 4 3 2
2 +2 43 2
= 26
2 +6 ( )+i i 6
2 +6 ( 6
[= 2
2 2 𝟏 𝟑 𝟏 𝟑 )+ ( ( )] = 2 + ) = 2. + + =/ 6 6 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 2 2 8 8 𝟒 𝟒 ( )+ ( ( )] = 2 + *𝟐 = ) ( + )+ ( + )+ 6 6 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 ( )− * ( )] + ( )+ ( )+ 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 𝟏− 𝟑 𝟏− 𝟑 ( )− ( )] = 2 . − − =/ 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 2 2
−
+
[
(
57
𝟓
𝜃+ 𝜃+
5 2
=
𝟑 −𝟏 +
=‖ ‖= 3 = =𝜃 2
+
𝟐 𝟑
𝟖
𝜃 i
2
𝟐 + 𝟑 +
[ = [
+ +
𝟑] 𝟑
(
=
−
=] [ − −
𝟓
𝟓] 𝟐
𝟑+
=
−
‖ ‖
= − ( 𝜃+i i 𝜃 − =2− +i i ) 6 6 −9 −9 −3 −3 ( ( )+i i = )) ( ( ( )+i i = )) ( 6 6 5 2 2 2 5 2
3 3 −i i ) 2 2
−
=
=
=𝜃
[= 2 [= 2 [= 2 = 2[−
𝟎= 𝟏=
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
س / 5باستخدام مبر نة دٌموافر جد الجذور التكعٌبٌة للعدد المركب 𝟕𝟐 = الربع االول 𝟏 ) ( 𝟑
)
𝟐 +
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
=𝟐 + 𝟕𝟐 = 𝟏= 𝟕𝟐
𝟕𝟐
= 𝟏 ) ( ( 𝟑
𝟐 = 𝟎, 𝟏,
=‖ ‖= =
𝟐+
55
𝟑
𝟑 𝟏 𝟑 𝟑 𝟑 = ( )] = 𝟑 0 + 1 + 6 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 5 * 𝟑 = ]) ( ( − )+ ( − )+ 6 6 6 𝟏 𝟑 − 𝟑 𝟑 𝟑− ( )+ = 𝟑 0 =+ 1 + 6 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟑= −
3 ( )] = 𝟎 + 𝟑 − 2
س / 6جد الجذور األربعة للعدد
3 )+ 2
9 [ 𝟑 = ]) 6
(
= ,
+
𝟏 ) ( 𝟑
𝟐4
5+
( )+ 6 5 ( )+ 6 ( )+ 6
=
𝟎 𝟎= 𝟔𝟏 𝟏 ) ( 𝟒
+
𝟔𝟏 =
=
=4 𝟐 ] = 𝟐+
𝟏 𝟐
=
𝟏 ) ( 𝟒
,
𝟑
))
+2
𝟏 ( )] = 𝟐 [ + 4 𝟐
]) ( 𝟒
( )+ 𝟒
( − )] = 𝟐[− 𝟒
( − )+ 𝟒
]) ( 𝟒
( )− 𝟒
( + )] = 𝟐[− 𝟒
( + )+ 𝟒
𝟑 [𝟐 = ]) 𝟒
𝟓 [𝟐 = ]) 𝟒
[= 3 [= 3
𝟏=
]) (𝟐 − 𝟒
𝟕 [𝟐 = ]) 𝟒
(𝟐 − ) + 𝟒 𝟏
𝟐 ] = 𝟐− 𝟐
𝟏 ( )] = 𝟐 [ − 𝟒 𝟐
58
𝟑
=
𝟑
=
𝟑
𝟑
𝟐=
[= 3
𝟔𝟏= −
𝟔𝟏− 𝟏= − 𝟔𝟏 =
𝟏 ) ( 𝟒
𝟐
𝟐
(
[= 2
+
[𝟐 = 𝟏− 𝟐
𝟓 ( )+ 𝟒 𝟏
‖ ‖
−
=
𝟏−
(6
𝟒
= =
𝟎=
𝟐
𝟏=
[𝟐 = [𝟐 =
𝟐
=
𝟔𝟏−𝟏𝟔 = −
𝟑 ( )+ 𝟒 𝟏
=
+2
( )+i i
𝟐 ] =− 𝟐− (
𝟐4
𝟐𝟕 4
=
𝟐 ] =− 𝟐+ (
𝟕𝟐 = 𝟕𝟐
𝟎=
( )+ 4 (
=
= 𝟑 *−
𝟏 ) ( 𝟒
+
𝟏 ) ( 𝟑
𝟐+
9 ( )+ 6
(
𝟕𝟐 =
𝟎 = = 𝟎= 𝟕𝟐 ‖ ‖
𝟔𝟏 −باستخدام مبر نة دٌموافر . = 𝟐 𝟐+ =‖ ‖= 𝟔𝟏 = 𝟐 𝟔𝟏 =
𝟏 ) ( 𝟒
𝟕𝟐
𝟏 ) ( 𝟑
𝟕𝟐 =
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟑
𝟐=
[𝟐 =
𝟕 ( )+ 𝟒
[𝟐 =
( )− 𝟒
[𝟐 =
𝟒
𝟑=
𝟒
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
س / 7جد الجذور الستة للعدد
أعداد /األستاذ علً حمٌد
−64بأستخدام مبر نة دٌموافر . = 64
64
3 2 )
3 ( 3 +i i ) 2 2
3 +4 ( )+i i 2
])
]
𝟏 𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
=
+
𝟒𝟔− =− 64
=
(
) (
= 64
3 +4 ( 2
𝟏 ( )+ = 𝟐 [ + 𝟒 𝟐
=‖ ‖=
) (
=
𝟎 = 64
,
) (
=
) (
3 * 𝟐 = ]) ( 2
=
‖ ‖
=𝜃
=
−64 = −64
3 +2 5+i i 4 2 6
[ 57 = 2
( )+ 𝟒
=
=𝜃
𝜃 𝜃+i i
= −64
3 +2 42 6
3 ( )+ 2
=
64 6
[= 2
=
𝟎=
𝟐 = 𝟐+ ]) ( + 𝟒 𝟑
𝟕 [𝟐 = ]) ( 𝟐𝟏
( + )+ 𝟒 𝟑
𝟕 ( )+ 𝟐𝟏
[𝟐 =
𝟏=
𝟐
(* 𝟐 =
) ( ( )− ) ( ( ( )) + ) ( ( )+ ) ( ( ))+ 𝟑 𝟒 𝟑 𝟒 𝟑 𝟒 𝟑 𝟒 𝟏 𝟏 𝟏 𝟑 𝟏 𝟑 𝟏 𝟏 𝟏 𝟑 𝟑 𝟏 = 𝟐 0. − + − + /+ . /1 = 𝟐 0. /+ . /1 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟑+ 𝟑 𝟏− + = /1 𝟐 𝟐 𝟐
𝟏𝟑+ 𝟐 ]) 𝟐𝟏 ( ))+ 𝟐𝟏
( −
( )− 𝟐𝟏 ( − )+ 𝟔 𝟒
( ))+ 𝟔
)+ 𝟐𝟏
𝟏𝟏 [𝟐 = ]) 𝟐𝟏
( −
( ( )) + 𝟐𝟏 ( − )+ 𝟔 𝟒
𝟏𝟏 ( )+ 𝟐𝟏
(
( )+ 𝟐𝟏 ( )+ = *− 𝟐𝟏
[𝟐 =
𝟑
𝟐=
(* 𝟐 =
( )+ 𝟐𝟏
= 𝟐 *−
) ( ( )+ ) ( ( ( )) + ) ( ( )− ) ( 𝟒 𝟔 𝟒 𝟔 𝟒 𝟔 𝟒 𝟑 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟑 𝟏 𝟏 𝟏− 𝟑− 𝟏𝟑− = 𝟐 0− . + − + 1 /+ . /1 = 𝟐 0 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏− 𝟑− 𝟏𝟑− = + 𝟐 𝟐
(
𝟓 )+ 𝟒
(
5 [ 𝟐 = ]) 2
5 )+ 2
(
]) ( + ( )+ 𝟒
( ( )) +
𝟐 ]= − 𝟐−
𝟏 𝟐
−
𝟐
59
𝟒
( )−
𝟒
𝟏−
(
( + )+
𝟒
𝟒
𝟐 𝟐
( = 𝟐 *−
𝟓 ]) 𝟒
( ))+
/+ .
𝟑 𝟏−
= 𝟐 0.
𝟒
[𝟐 = (* 𝟐 =
𝟒
[ 𝟐 = ( )+
[= 2
( )− 𝟒
= 𝟐 *−
𝟑=
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة 𝟓 ]) 𝟐𝟏 𝟓 ])) ( 𝟐𝟏
𝟓 )+ 𝟐𝟏
(𝟐 −
𝟓 )− 𝟐𝟏
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد
(
(𝟐 −
𝟓 ( ( )) + 𝟐𝟏
𝟐 ( + )+ 𝟔 𝟒
( ))+ 𝟔
( + )− 𝟔 𝟒
𝟐
𝟓
([ 𝟐 =
𝟓 ( )− 𝟐𝟏
[𝟐 =
) ( ( )− ) ( ( ( )) − ) ( ( )+ ) ( 𝟒 𝟔 𝟒 𝟔 𝟒 𝟔 𝟒 𝟑 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟑 𝟏 𝟏 𝟏𝟑− 𝟏𝟑+ = 𝟐 0. − + − 1 /− . /1 = 𝟐 0 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟑− 𝟏𝟑+ = − 𝟐 𝟐
𝟐
(𝟐 −
( )− 𝟐𝟏
)+ 𝟐𝟏 𝟐
𝟑𝟐 ( [𝟐 = ]) 𝟐𝟏
(𝟐 −
( ( )) + 𝟐𝟏
( − )+ 𝟔 𝟒 ( ))+ 𝟔
𝟓 ( )+ 𝟐 𝟐𝟏 𝟓 * = ]) ( 𝟐𝟏
[𝟐 =
𝟒=
(* 𝟐 =
]) 𝟐𝟏 ( ))+ 𝟐𝟏
𝟗𝟏 ( [𝟐 = ]) 𝟐𝟏
𝟗𝟏 ( )+ 𝟐𝟏
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐
( − )− 𝟔 𝟒
𝟑𝟐 ( )+ 𝟐𝟏
( )+ 𝟐𝟏
* = ( )+ 𝟐𝟏
[𝟐 =
𝟐
𝟓=
𝟔
(* 𝟐 = *𝟐 =
( )− 𝟐𝟏
(* 𝟐 =
) ( ( )+ ) ( ( ( )) − ) ( ( )− ) ( 𝟒 𝟔 𝟒 𝟔 𝟒 𝟔 𝟒 𝟑 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝟑 𝟏 𝟏 𝟏𝟑+ 𝟏𝟑− = 𝟐 0. + − − 1 /− . /1 = 𝟐 0 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟏𝟑+ 𝟏𝟑− = − 𝟐 𝟐
******************************************************************
حلول التمارين العامة الخاصة بالفصل األول س / 1جد لٌمة
,
والتً تحمك : 𝟐
−2
𝟒𝟐 +
𝟐+
𝟒− 𝟐+
=
𝟐
=
وزاري / 2013د3
𝟏+
𝟏− = 𝟏−
𝟐
𝟒+ 𝟐+
𝟏+
−
𝟐+
𝟐
𝟐− 𝟐+
𝟐= نعوض في معادلة
𝟒=
=
− 𝟐𝟏𝟏𝟐 +
=𝟐 −4 −
⇒
𝟐=
60
=
𝟏+
−
= −4
−
𝟐=𝟒
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة 𝟔
س / 2جد ناته : 𝟔
)
𝟒
+
س / 3أذا كان
)𝟒
+
𝟐
𝟑] 𝟐
𝟒
𝟓 +
𝟗
+
𝟑(
𝟔
𝟓 𝟔
𝟓
أعداد /األستاذ علً حمٌد
]
𝟑
𝟒 𝟑.
𝟏 𝟑( = )
+ 𝟒[−𝟏 −
+
𝟓 𝟑.
𝟐
𝟔 𝟐
𝟓= 𝟑+
𝟔
+
𝟑 𝟑
𝟑( = )
𝟒
𝟒+
𝟒
𝟓/ = 𝟑+
𝟑 𝟏− 𝟑𝟏+ −
عددا ا مركبا ا ,جد بأستخدام مبر نة دٌموافر
=
𝟑
+
𝟑𝟏−𝟐 𝟑 + = 𝟑𝟏+
𝟐
𝟑 𝟏−
𝟐
=
𝟏𝟐 +
𝟑
𝟑 𝟏−
𝟑 𝟏−
𝟑 𝟏−
𝟑 𝟏+
𝟓
𝟐
𝟐
𝟑 − 𝟐
تقع في الربع الثالث
𝟏
)𝟐( 𝟒 ) 𝟑
𝟒 + 𝟑
=
2 =) ( − )+ ) ( − 3 3 3 (𝟑) − ( 𝟑 )+
=
𝟏
𝟏 =
(2 − ) +
3
2
,
=
(𝟑) −
5 =/ 3 2
.
=
𝟑 𝟏−
=
𝟑𝟏 + −
=
=
𝟏 ) ( 𝟐
57
2 ( )+ 3 * ( 𝟑 )] +
5 /+ 3
2 2
61
4 ( )+ 6
=
𝟏 𝟐
(𝟑) +
[=
𝟏 𝟐
( )− 𝟑
=
𝟏 𝟐
(
𝟒 +2 𝟑4 5+ 2
𝟎𝟏 =/ 6
* ( 𝟑 )] +
𝟏 𝟑 ( )= − 𝟑 𝟐 𝟐
𝟏 𝟏− 𝟐 𝟑 =. − )𝟐( = / + 𝟐 𝟐 𝟒 𝟒 +2 +2 𝟑 =6 4 𝟑 5+i i 4 2 2
4 =) 6
.
=‖ ‖=
=
𝟏 ) (
𝟏 𝟑 ( )= − + 𝟑 𝟐 𝟐 𝟒 𝟔𝟒 + +2 𝟑 𝟑4 = ]5 4 5+ 2 2
𝟔𝟒 + 𝟑 4 5 2
𝟓= 𝟑+ = [ 𝟏+
𝟏− 𝟏( 𝟐 ) − = = = = ‖ ‖ 𝟏 𝟐 𝟒 = = + 𝟑 𝟑
.
= , (
= .𝟑 +
𝟐
𝟑 − 𝟐 /
𝟏 ) ( ( 𝟐
𝟑(
𝟑 𝟐 −𝟐 − 𝟒
𝟏− 𝟑 − 𝟑 𝟏 𝟐 + 𝟐 = √. / +. 𝟏= 𝟏 = / =√ + 𝟐 𝟐 𝟒 𝟒
(𝟑 )+
𝟓
+
𝟗
𝟏 𝟐
𝟏− 𝟑 − 𝟐 𝟐
3
+
𝟒
𝟔 𝟑
𝟓
𝟔 𝟑] 𝟐 − 𝟒 − 𝟒 𝟔 = −𝟏 + = [ −𝟏 + = [𝟏 − 𝟐 + 𝟐 𝟕𝟐− 𝟐 ]𝟑 = [− − 𝟐 ]𝟑 = [−𝟑 ]𝟑 = −𝟐𝟕 𝟑 = −
𝟐
) (2 −
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
.
𝟎𝟏 /+ 6
𝟎=
[=
𝟏 𝟐
=
𝟏 𝟐
.
(𝟑) +
2
[=
𝟏 𝟐
( )− 𝟑
2
=
𝟏 𝟐
𝟏=
𝟏 𝟐
𝟏 𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
حلول األسئلة الوزارية الخاصة بالفصل األول سؤال وزاري /98د :1ضع
𝟐
𝟐+ 𝟑−
𝟐
𝟑 𝟏 +بالصٌغة العادٌة للعد المركب.
الحل/
+6 +9 +9− 2 +4 + 6 − 9 + 9 − 2 − 4 = −3 − 6
سؤال وزاري /98د :1جد الجذر التربٌعً للعدد:
𝟐 +
𝟕+
𝟐 −
𝟏−
− −+
الحل/
=
+
−
−
−
+
=
+
+
+
−
= 3−4 +2 ... 2 +
=
−
=
= −2
−4
−
بالتربيع
= 3−4
⇒ = −4 =−4
⇒
2
−3
....
−4=3
=
+
+
−
−
=
= 3 − 4نفرض
+
,
−
= المقدار =
=3
−
⇒ =3
−
.
يهمل −
=−
=
=
2 = 2 −2
=−4
=4
2− 3−4 = , −2 + سؤال وزاري /98د :2أكتب المعادلة التربٌعٌة التً جذر ا الحل/
+
+2
+
−
𝟐
𝟐 ,
𝟐
−
−
= −
−
+2
−
2
−
.
−2
= −4 − 2
+
= −3 − 2
−2 +
−2
−2
=4 +
= −3 + 2 المعادلة التزبيعية
62
=
𝟐 . = 2مجموع الجذرين =
= 2حاصل ضرب الجذرين
+ −3 + 2
−2
−
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة 𝟐 𝟑
سؤال وصاسي /99د :1كون انمعادنة انتشبٍعٍة انتً جزسها انحم/
+
= −5
=5
+5
−
𝟐,
+2
=3
+3
=2
=5
+3
+3 +6
−
− − − −
+2
2
𝟑
−
=3
3 i−
−
=2
2 i−
= 3مجموع الجذرين
+2
= 3حاصل ضزب الجذرين
+2
+4 .
𝟐 𝟐
+9
=6
−9−4−6
= −6
= − 3 + 6 = −7
−6
= − 3−6
+
= − 3−6
المعادلة التزبيعية سؤال وصاسي /99د :1جذ قٍمتً xو yانحقٍقٍتٍه إرا عهمت أن:
𝟎𝟎𝟐 𝟑𝟒+
=
=−7
𝟐
انحم/
+
−
. 2
−
=
− 6 = 32
= −4
+4
=
+ 2
−4
= 32 − 24
+ 2
−4
9
⇒ = −24 9
=
2
.
⇒ = 32 +4
,
..
= 32
−4
−
9
) = 32
(− 4
=− 6
9
يهمـــل = −
−
=
=
63
+ 2 9
+
= −2
+5
𝟐𝟑 +
− −
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
2 = 2 −2
=4
− 32 =+4 =−4
9
9 9 9 9أما أو
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
سؤال وصاسي /2000د :1إرا كان:
أعداد /األستاذ علً حمٌد
,
𝟑=𝟐+
انحم/
,جذ قٍمة
= 𝟑− = −5 + 2
سؤال وزاري /2000د :1جد لٌمة: الحل/
.
−2+
𝟐
𝟏
) 𝟐 𝟏+ =
𝟏
−
𝟐
.
=4+ 2 +9
=8−6 = = −5 + 2 + 6 − 2
𝟐
𝟐 +
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
= 2+3 = 3−
=9−6 +
+2
= −5 + 2 + 2 8 − 6
(.
𝟏+
− 2
+
= −3
) = − +
=
+
− 2 = −2 −
−
−
(−
=
سؤال وصاسي /2000د :2جذ قٍمة كم مه xو yانحقٍقٍتٍه إرا عهمت: + = 3 انحم/
= 3+
+
−
.. 2
+
=
= −2
+3
+
+ =
+
−
=+2 + − 3 =−6
= −2
سؤال وصاسي /2001د :1جذ قٍمة انمقذاس
𝟐 𝟐
انحم/ +4
= 8− 2 −8
= 8 + 8 = 26
+
+
64
= 3 ⇒
𝟐
= 3
+
+
+ 2
=+3
=2
=−2
𝟐. 𝟑−
+9− 2 .
+
+
=+2 − 2
= −3
=2+
𝟐+ 𝟑− +4
,
−
.
+
= −3 + =3
−
+ = 3
+
+
+4
= 8−8
= 9 − 2 + 4المقدار = 8− 2 −8 = 8−8 −8
โ ซุฃุนุฏุงุฏโ ช /โ ฌุงุฃู ุณุชุงุฐ ุนู ู ุญู ู ุฏโ ฌ
โ ซุงู ู ุตู ุงุฃู ู ู โ ช /โ ฌุงุฃู ุนู ู ู ู ุฏุงุฏ ุงู ู ุฑู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ุจุฉโ ฌ โ ซ๐ โ ช๐ +โ ฌโ ฌ
โ ซุณุคุคุคุคุงู ู ุตุงุณู โ ช/2001โ ฌุฏโ ช :1โ ฌุถุคุคุคุคู ุงู ู ู ุคุคุคุคุฐุงุณโ ฌ
โ ซ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ โ ฌ
โ ซุจุงู ุตุคุคุคู ุงุฉ ุงู ุนุงุฏู ุคุคุคุคุฉ ู ู ุนุคุคุคุคุฐุฏ ุงู ู ุดู ุคุคุคุคุจ ุงุคุคุคู ุฌุคุคุคุคุฐ ุงู ู ู ู ุคุคุคุคุงุท ู ุงู ู ู ู ุคุคุคุคุฉโ ฌ
โ ซ๐ ๐ โ ช๐ +โ ฌโ ฌ
โ ซุงุฃู ุณุงุณู ุฉ ู ู ุณุนุฉโ ช.โ ฌโ ฌ โ ซุงู ุญู โ ช/โ ฌโ ฌ โ ซโ ชโ 3โ ฌโ ฌ โ ซโ ชโ โ ฌโ ฌ
โ ซ=๐ โ ชiโ ฌโ ฌ
โ ซโ ชโ โ ฌโ ฌ
โ ซ=โ ฌ โ ซโ ช๐ = ,โ ฌโ ฌ
โ ซุณุคุคุคุคุงู ู ุตุงุณู โ ช/2002โ ฌุฏโ ช :1โ ฌุถุคุคุคู โ ฌ โ ซู ุจุงู ุตู ุงุฉ ุงู ุนุงุฏู ุฉ ุฃู ุงู โ ช.โ ฌโ ฌ
โ ซโ ชโ ๐ +โ ฌโ ฌ
โ ซุณุคุงู ู ุตุงุณู โ ช/2001โ ฌุฏโ ช :2โ ฌู ู ู ุงู ู ุนุงุฏู ุฉ ุงู ุชุดุจู ุนู ุฉ ุงู ุชู ุฌุฒุณู ุงโ ฌ โ ซโ ชโ 4 = โ 3 โ 4โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ
โ ซโ ชโ 6โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช=9โ ฌโ ฌ
โ ซ=โ ฌ
โ ซ๐ โ ชโ โ ฌโ ฌ
โ ซ=โ ฌ โ ซ= ุงู ู ู ู ุงุณโ ฌ
โ ซ= โ ช+3โ ฌโ ฌ
โ ซโ ชโ 2โ ฌโ ฌ
โ ซโ ชโ +โ ฌโ ฌ โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ โ ซ๐ โ ฌ
โ ซ=โ ฌ
โ ซโ ชโ 2 +โ ฌโ ฌ
โ ซโ ชโ +โ ฌโ ฌ โ ซโ ชโ +โ ฌโ ฌ
โ ซ๐ โ ชโ ๐ ,โ ฌโ ฌ
โ ซโ ชโ โ โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช3+2โ ฌโ ฌ
โ ซ= ุงู ู ุธู ุฒ ุงู ุถุฒุจู โ ฌ
โ ซ๐ โ ช.โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช = 3 โ 2 + 3โ ฌู ุฌู ู ุน ุงู ุฌุฐุฑู ู โ ฌ
โ ซโ ชโ 2 =3โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช = 3 โ 2โ ฌุญุงุตู ุถุฒุจ ุงู ุฌุฐุฑู ู โ ฌ
โ ซโ ช3โ ฌโ ฌ
โ ซโ ชโ 4=5+6โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ
โ ซุงู ู ุนุงุฏู ุฉ ุงู ุชุฑุจู ุนู ุฉโ ฌ โ ซุณุคุงู โ ช/2002โ ฌุฏโ ช :2โ ฌุงุฐุง ู ุงู ๐ โ ช= โ ๐ ,โ ฌโ ฌ โ ซุงุฃู ุณุงุณู ุฉ ู ุณุนุชู โ ช.โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช= โ 6 + 3 โ 4 + 2โ ฌโ ฌ โ ซโ ชโ โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช+4โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ
โ ซ= โ ช ๐ = 2 โ โ ฌุงู ู ู ู ุฉ ุงุฃู ุณุงุณู ุฉ ู ู ุณุนุฉโ ฌ
โ ซโ ช= โ 8 โ โ ฌโ ฌ
โ ซโ ชโ 6โ ฌโ ฌ
โ ซ=โ ฌ
โ ซโ ชโ โ ฌโ ฌ
โ ซ=โ ฌ
โ ซ๐ โ ช ๐ +โ ฌุจุงู ุตุคุคุคู ุงุฉ ุงู ุนุงุฏู ุคุคุคุฉ ู ู ุนุคุคุคุฐุฏ ุงู ู ุดู ุคุคุคุจ ุงุคุคุคู ุฌุคุคุคุฐ ู ู ุคุคุคุด ุงู ุคุคุคุดุจู โ ฌ
โ ซุงู ุญู โ ช/โ ฌโ ฌ
โ ซุงู ุญู โ ช/โ ฌโ ฌ
โ ซโ ชโ โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ
โ ซโ ชโ โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช4=2,โ ฌโ ฌ
โ ซ๐ ุชู ุบ ู ู ุงู ุฒุจุบ ุงู ุฒุงุจุบโ ฌ
โ ซโ ชโ โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช+โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช=9โ 6โ ฌโ ฌ โ ซ=โ ฌ
โ ซโ ช+ 5+6โ ฌโ ฌ
โ ซโ ชโ โ 3 โ 4โ ฌโ ฌ
โ ซุนุฏุฏุง ุง ู ุฑู ุจุงุงโ ช ,โ ฌุฃู ุชุจ ุงู ุดู ู ุงู ุฌุจุฑู ู ู ุฐุง ุงู ุนุฏุฏ ุซู ุฌุฏ ู ู ู ุงุณู ู ุงู ู ู ู ุฉโ ฌ
โ ซุงู ุดู ู ุงู ุฌุจุฑู โ ฌ
โ ซุงู ุญู โ ช/โ ฌโ ฌ โ ซ=๐ โ ช, iโ ฌโ ฌ
โ ซโ ชโ โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช ,โ ฌุงู ู ู ู ุงุณ โ ช= 4 = 2โ ฌโ ฌ
โ ซ=๐ โ ฌ
โ ซ๐ ุชู ุน ู ู ุงู ุฑุจุน ุงู ุซุงู ู โ ฌ
โ ซโ ช65โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช5โ ฌโ ฌ โ ซโ ช6โ ฌโ ฌ
โ ซ=โ ฌ
โ ซโ ช6โ ฌโ ฌ
โ ซโ ชโ โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช=โ 3+โ ฌโ ฌ โ ซโ ช= 3+โ ฌโ ฌ
โ ซ= ๐ ุงู ู ู ู ุฉ ุงุฃู ุณู ุงุณู ุฉ ู ู ุณุนุฉโ ฌ
โ ซโ โ ฌ
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
سؤال وزاري /2002د :2جد لٌمة
𝟐+
𝟐
𝟑𝟐+
𝟐
الحل/
−
=4+3 +9 = −5 + 6
+ −6
+
+3
=4
+ 3 ][2
+
= 4 𝟐
سؤال وزاري /2002د :1كون المعادلة التربٌعٌة التً جذر ا الحل/
𝟑 . −𝟏 +
] =4
=4−3
+3
= [−
+
−2
=
+3
𝟑. 𝟐−
𝟑, 𝟐−
= 2 − 3مجموع الجذرين
+2−3
=4−6
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
= 2 − 3حاصل الضرب
2−3
= −5 − 6 المعادلة التربيعية
سؤال وزاري /2003د :1إذا كان 𝟐 = 𝟑 +
=
− 4+3
+ −5 + 6 إثبت أن
+
=
=4+ =4−
−
= 3+2 +
+
= 3+2 + − =3−2 + + = 4−
+
=
+
= 𝟏− ,
الحل/
. +
+ سؤال وزاري /2003د :1جد النظٌر الضربً للعدد المركب 𝟓 𝟑 +ثم ضعه بالصورة العادٌة. الحل/
−
سؤال وزاري /2003د :1جد لٌمة الممدار
=
−
−
=
𝟏 𝟐 𝟒𝟑+𝟓 +
+
+
−
=
−
𝟏 𝟐
𝟓𝟑+𝟒 +
+
الحل/ − +
− − −
+
. − −
+
=
= النظير الضربي
− −
=
+
=
+
− −
− + − − + −
+
−
+
66
− −
+
+
+ − −
=
=−
+ − −
+
− +
− + −
=
− − − +
−
= = = =
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
سؤال وزاري /2003د :2إذا كان Zعددا ا مركبا ا ممٌاسه ( )2وسزعته ) ( جزد كزال مزن الشزكل الزدٌكارتً والجبزري 𝟑 لهذا العدد. الحل/
=
= = 3
=
=
=𝜃
=
i
الشكل الجبري
=𝜃 i + 3
الشكل الديكارتي 𝟓
سؤال وزاري /2004د :1كون المعادلة التربٌعٌة التً جذر ا ) ) , ( − الحل/
−5
=
+2 = 5+2 −5
+ 25
+
+ 25
= − +
−5
−
𝟓
=
.( −
𝟐
−5
= −
=
−
= − 5 + − 5مجموع الجذرين
= −5 =
,
, 3
=
−5
= حاصل ضرب الجذرين
−5
= − −5 = 24 + 5
المعادلة التربيعية
=
+ 24 + 5
سؤال وزاري /2004د :1جد الصٌغة العادٌة للعد المركب الحل/
+4−4 𝟑 +3
− 5+2 𝟐
𝟑
−2 𝟑 +3
+ 𝟐− =
𝟐
𝟑
. 𝟏−
𝟑
+ 2−
𝟑
−
=5−6 𝟑 −3−3 𝟑 =− −6 سؤال وزاري /2004د :2جد لٌمة الحل/
+
𝟐
+ .
+ 𝟐+ +
𝟐 𝟐
. 𝟐+
=8+4 = 3
67
+4+4 + =4−
+ +
= 4 + 4المقدار =8−4+
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟑 + 𝟒 𝟐 + 𝟓 − 𝟑 𝟏 +بالصٌغة الدٌكارتٌة. = 9 + 24 + 6 + 5 + 5 − 3 − 3المقدار = 9 − 6 + 5 + 3 + 24 + 5 − 3 = + 26 ,26 الصيغة الديكارتية
سؤال وزاري /2005د :1جد ناته الحل/
سؤال وزاري /2005د :1كون المعادلة التربٌعٌة التً جذرا ا ) الحل/
−3
=
+2 =3+2 +9
= −
+
−3
= −3 −3
𝟑
.( − ) , ( −
−
=
𝟐
𝟑
−3
,
=
−3
=− −3
المعادلة التربيعية فجد 𝟓 + 𝟑 +
سؤال /2005د :2إذا كان 𝟐 = −𝟏 +
=
−3+6 +5=− +2
+ 8+3
+3 +5= − +2 −4 +4
𝟐
+
𝟏+
𝟐
−
𝟏−
.
الحل/
−
−
−
+
=− −
= −
=
+
=
− ,2
سؤال وزاري /2005د :2جد الجذر التربٌعً للممدار
. 2
− 3+2
بالصٌغة الدٌكارتٌة.
+3 − +2 +5
الصيغة الديكارتية
= حاصل الضرب
−3
+
𝟐
= −
−
= − 3مجموع الجذرين
+ −3
+9=8+3
−
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
+2
−
=
=−
2
−
2
−
⇒
, =
=
بالتربيع
= − 2
+
=
+
− + −−+
+
= −نفرض =
.
−
−
=
+
..
−
=
+
+
−
4
⇒
=
يهمل
=
+
− 2
أما
= =
−
=
=8
=
2
=
−
2
− +
68
− = 8−
أو
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟓
سؤال وزاري /2006د :1إذا كان zعددا مركبا ا ممٌاسه ( )4وسعته االساسٌة ) ( فجد كال من الشكل الدٌكارتً 𝟔 والشكل الجبري للعدد .z الحل/
= −2 3
2 = −4 3 =2
=
2 =4
− =
الشكل الجبري
=
سؤال وزاري /2006د :1كون المعادلة التربٌعٌة التً جذرا ا الحل/
−2
=
+4 −4= 2 −
+ +
+2
= 25 +
+
+5+2
= 5 + 2مجموع الجذرين
5+2
= 5 + 2حاصل الضرب
= 25 + المعادلة التربيعية
+ 2 −
=
سؤال وزاري /2006د :1جد لٌمتً xو yالحمٌمٌتٌن من المعادلة= 𝟐 + 𝟗 : الحل/
=2+9
= −2 3, 2
𝟐 .𝟓 +
𝟐, 𝟓+ =
−2 + 4 +
2
=
−2
𝟐+
=2+9 =2
+2
=4
=−9 +2
+2=9
4
4
+
2
=8
=
4
4 =
69
= 2 2
=
=2
+4
2
−2=2
2
=9 .
⇒
= −2
= 4
−
. 𝟐 +
. 2
2
i
= −2 3 + 2
الشكل الديكارتي
𝟐
=
=
4 +
4 + =9 4 −
4 −
=−2
أما
أو
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐. 𝟑− سؤال وزاري /2006د :2كون المعادلة التربٌعٌة التً جذرا ا 𝟐 𝟐 , 𝟑 − = 3 − 2 + 3 − 2مجموع الجذرين =6−2 + = 6+2 الحل/ −6
+4
= 3 − 2حاصل الضرب =9−6
3−2 =9−6 + −4= 5+6
المعادلة التربيعية سؤال وزاري /2006د :2جد لٌمتً xو yالحمٌمٌتٌن إذا علمت أن:
=
+ 5+6 =7
الحل/
+7
=
+7 −
..
=
+
=
− 6+2
+
2 +
−
−2
⇒
=−7 +4
.
⇒ =
−
=
−
−
=
= −
= −2
=
6
3 −2 =7
3
=
6 6
=+ 2
. 2 3
+3
+ 2 + 3 −2
= −2
+4=7
3 −
−
3 − 2( ) = 7 3 −4
−
=3 −4
3 =4 =
−
=
سؤال وزاري /2007د :1جد الجذر التربٌعً للعدد 𝟒 .𝟑 + بالتربيع
الحل/
2
.. 2 =
+
= −4
⇒ =4
=2 =−4
−3
70
2
+2
= 3+4
2 {= −2
3+4 =,
−
=3
.. .
−4=3
= =− 2+ −2 −
,
+
= 3 + 4نفرض
⇒ =4
=3
− 4
−
=−4
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
سؤال وزاري /2007د :1جد لٌمة ) −
+
+
− −
−
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد
+ −
𝟏 𝟐
) (𝟏 − =)
𝟏
+ +
− ]= −
.(𝟏 −
[]
−
=4
الحل/ =𝜃 i
=𝜃
=
,
𝟐
= −2 (.
𝟏+
+
= + =𝜃
,
= −2 + 2 3 =𝜃 i
=
−
,
−
=
−
=
=𝜃
=
تقع في الربع الثاني سؤال وزاري /2008د :1أكتب المعادلة التربٌعٌة التً جذرا ا
𝟐
+
الحل/
= −3 − +
+
+
+
+3
+3
=9
+
3
−
.
= 8−3 المعادلة التربيعية
71
=
=
+ 3
=
=3 +
= 3
=3
+
𝟑.
+
+
= المقياس
= −
= 3 + +
+
+
= = 4 + 2المقياس
6=4 ,
𝟐
−
=
𝟑 . 𝟏+
+2 3 +3
𝟑 ,
−
= 2
𝟐
سؤال وزاري /2008د :1جد الممٌاس والمٌمة األساسٌة للسعة للعدد المركب الحل/
[=
+
−2
سؤال وزاري /2007د :2جد الممٌاس والسعة األساسٌة للعدد المركب ) +
= ( −المقدار
+ )( − +
= 4
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
+
+3
=3
3 + +
3
= 3 +المجموع
= 3 +حاصل الضرب
+3
=9+3
+
=8+3
+ 8−3
− −3 −
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
سؤال وزاري /2008د :2جد لٌمتً xو yالحمٌمٌتٌن واللتان تحممان المعادلة
الحل/
+3
+5 = 2
−
=
سؤال وزاري /2009د :1جد لٌمة الممدار
𝟐 𝟐
𝟓+
𝟒
] +3 −4
.
=
−
𝟏+
.
𝟐𝟏𝟒+ 𝟏+
+
. 2 =
+
−
−9
= −3 =−9
⇒ −8
=2
= 2( ) −
= المقدار
[
+
[ +2 +
=
= −4 − 4
.
−
= 8−6
=
=
= −4
الحل/
−
−
] − [5
+
=4
+2
+2
= ] ] − [−5 + 3
4
سؤال وزاري /2009د :1جد الجذر التربٌعً للعدد:
,
−
=
𝟑− 𝟓+
الحل/
+
+5 =2
+
5=3 =4
+
+5 = 2 +
= 8−6
= −6
=
بالتربيع
, 2
⇒
−
+
−
+ + −
=
−
+
=
= 8 − 6نفرض
+
..
=8 .
−9=8
+
⇒
=8
− 9
−
يهمل =− =
3 −3
{=
=9 3− −3 +
72
=−9 8−6 =,
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة 𝟐
سؤال وزاري /2009د :2حل المعادلة 𝟎 = 𝟔𝟑 +
𝟑𝟏 +
𝟒
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
حٌث zعدد مركب.
الحل/
= +4 3 2
=
=
=9
+9
= −9
=4
=+9 =+4
= −4
} = {−2 , 2 , −3 , 3مج 𝟐
سؤال وزاري /2009د :2جد لٌمة الممدار )
𝟐
𝟓+
𝟐 𝟐
𝟐
+ 𝟐) (𝟓 + )
+5
𝟑
+
] [5
+
] [−5 + 2 =9
=9
=9
= (2 +المقدار
+ 2) (5 +
5+2 +5 ] +2
𝟐( .
. 9
=9
+2
= 2 +3
+3
= [2
]
+
= [−2
+3
=
=
−3
سؤال وزاري /2010د :1جد لٌمتً xو yالحمٌمٌتٌن واللتان تحممان المعادلة: 𝟓 = 𝟏𝟐 + الحل/
+ 6 + −2 + 3
= 2+5
𝟐−
= 2+5 =
.
𝟑+
−6
=6
+6= 2
2 =+5 − 8
+ 8=5
2
−2
+3
−2 + 3 = 5 .
⇒
−2 + 3 ( ) = 5 = −2
−
=
=
−
=
= =3
73
−
=
= =
−2
2 = −9 =2
2 +9 =2 +9 =−2
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
سؤال وزاري /2010د :1جد لٌمة )𝟏 +
𝟏
𝟐
𝟒 + 𝟐) ( +
الحل/
𝟐 𝟑+
𝟐
(.
) +4 +
( )+ 3 2 + 2
+4 +
+3 2 + 2
] +4
[ ] +3 2
+
− +4 = 24
= 24
سؤال وزاري /2010د :2جد الجذرٌن التربٌعٌٌن للعدد المركب zحٌث الحل/
=−9
3
𝟏+
𝟕 = −𝟏 +
+8
+2
−
= −8 + 6
=
=3
=6
⇒
2
.
⇒ = −8
− 9 = −8
,
−
= 2 2
=− − +7 +7 +
= −8 + 6نفرض
. −
−
= −8
− ( ) = −8
يهمل =3 = −3
=
= [ 2
3
=
{=
2
+
8
بالتربيع
(=
= − 2 +3 2
= −8 + 6
.. 2
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
=
+9
−
=+9
أما
−
أو
=
+3 −8 + 6 = , − −3
74
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
سؤال وزاري /2010د :2أكتب المعادلة التربٌعٌة التً جذرا ا +
الحل/
,
𝟐𝟏+ +
+ +
=
+
𝟐
𝟐 𝟐𝟏+
+
=
3
=
+
5+2
=
=
+4
− −
=
+
+
+
+
=
+2 +2
= مجموع الجذرين
+
+ +
=
.
+
+
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
+ +
=
+
+ + + +
+2
+
=
+
= حاصل ضرب الجذرين
+2
المعادلة التربيعية سؤال وزاري /2012د :1إذا كان الحل/
𝟓
,
+
+
+
+
−
𝟐+ 𝟑−
−
= +
مترافمٌن ,جد لٌمتً x , yالحمٌمٌتٌن.
=
+
= 5+5 +
=5
=
+
2− +
+
+
=5 ,
سؤال وزاري /2012د :2ضع بالصٌغة العادٌة للعدد المركب الممدار :
+ 𝟏−
𝟓
+
+
=
+
=5+5
+
+
𝟓
−
=
+
𝟏+
الحل/ 𝟏−
سؤال وزاري /2013د :1جد لٌمة : الحل/
𝟐
𝟑
= [ 𝟏 + 𝟐 ]𝟐 𝟏 + − [ 𝟏 − 𝟐 ]𝟐 𝟏 − 𝟐 = 𝟏+𝟐 + 𝟐 𝟐 𝟏+ − 𝟏−𝟐 + = 𝟐 𝟐 𝟏 + − −𝟐 𝟐 𝟏 − = −𝟒 𝟏 + − −𝟒 𝟏 − 𝟖 = −𝟒 − 𝟒 + 𝟒 − 𝟒 = −𝟖 = 𝟎 −
𝟏−
𝟐
𝟏−
𝟏−
ذا السؤال محلول فً الصفحة ) (13بصٌغة أثبت 𝟒 = ] 𝟐 [𝟏 + 𝟒=𝟐=𝟐+
𝟐
𝟐=𝟐−
𝟐
𝟑
𝟏−
𝟐
𝟏−
𝟏 + 𝟏 [𝟏 − − ] = 𝟏 −
= 𝟏−
𝟐𝟐+
= 𝟏−
𝟐=𝟐+𝟐 −𝟐 −
75
𝟓
− 𝟏−
𝟓
𝟏− 𝟑
𝟏−
𝟐
𝟏−
𝟏−
𝟏+
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
سؤال وزاري /2013د:3 أذا كان 𝟒𝟏 =𝟑+ الحل/
,
أعداد /األستاذ علً حمٌد
𝟐=𝟓+
وضح فً شكل أرجاند
𝟐
𝟒𝟑 , 𝟐𝟓 ,
=
𝟐 𝟓 +
+
𝟐=𝟏= 𝟑+
𝟔 )
𝟑
+
𝟑
(𝟒 =
75
𝟐
𝟏 𝟐
=
𝟐
=
𝟐
𝟔
𝟐( )+ 𝟑 7+i i 6 𝟓
𝟐( )+ 𝟑 6 𝟓
])
𝟓 𝟑
𝟓 + 𝟑
+
𝟔
𝟏 ( )𝟓(𝟒
𝟑
𝟔+ 𝟑 𝟓
4
46
𝟔+ 𝟓𝟏
(
[𝟒
)+ 𝟓
=
𝟕 + 𝟓𝟏
𝟒
𝟓
=
𝟐
𝟏=
𝟑𝟏 𝟓𝟏
𝟑𝟏 + 𝟓𝟏
𝟒
𝟓
=
𝟑
𝟐=
𝟗𝟏 𝟓𝟏
𝟗𝟏 + 𝟓𝟏
𝟒
𝟓
=
𝟒
𝟑=
𝟓𝟐 𝟓𝟏
𝟓𝟐 + 𝟓𝟏
𝟒
76
+
𝟓𝟏
𝟒
𝟓
=
𝟓
= (𝟐 =
𝟏
𝟕 𝟓𝟏
𝟒
𝟑
‖ ‖
=
𝟎=
𝟓𝟏
𝟓
+
5+
=
𝟔
𝟏 𝟓
(
𝟐
= 𝟑+
)
4
𝟔+ 𝟓𝟏
𝟔 = 𝟖 +
𝟑
=
𝟐
44
+
√
𝟑+
= )
𝟐
𝟓
𝟑 𝟐
𝟔+ 𝟑 𝟓
57
=
𝟒 = 𝟑 +
=
𝟏
𝟏
𝟑
𝟑 𝟐
( 𝟐𝟐 =
𝟔
𝟒 = 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑,
𝟐 = 𝟓 +
=
𝟐
)
+
𝟒 = 𝟑 +
=‖ ‖=
=
𝟏
𝟏 𝟐
سؤال وزاري /2014د :1جد الصٌغة المطبٌة للجذور الخمسة للممدار : +
𝟐
=
𝟔𝟖 ,
+
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟒=
=
𝟏 𝟓 𝟐
=
𝟓
=
𝟐
𝟓
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟔 𝟏𝟓 𝟐 −
سؤال وزاري /2014د :2اثبت ان 𝟏) = −
𝟓+
(
الحل/ 𝟔
/
𝟓 + 𝟓+
𝟔 𝟑
𝟐
𝟐
𝟐
+ 𝟓+
/ = .
𝟓
𝟔
𝟐
𝟑
/ = .
𝟏= −
𝟐
𝟐
−𝟏 − 𝟓+
𝟐𝟏
𝟔
𝟏𝟓 𝟐 − 𝟓 . / = . 𝟓+
𝟔
=
𝟐
=
سؤال وزاري /2014د :3جد الصٌغة المطبٌة للعدد المركب 𝟓 = 𝟓 − الحل/ 𝟐
𝟐 𝟓 = 𝟎𝟓 = 𝟓𝟐 = 𝟐𝟓 + 𝟏− 𝟐
=
𝟓− 𝟐 𝟓
= ‖
+
‖=
𝟐
= ‖ ‖ =
= 𝟏
,
𝟐
𝟓
=
𝟐 𝟓 𝟕
الربع الرابع
𝟒
𝟕
+
𝟒
= ‖
=
𝟒
‖=
−
𝟕
𝟐 = 𝟐 𝟓 =
𝟒
𝟐 𝟑𝟏−
سؤال وزاري /2015د :2عبر عن العدد بالصٌغة المطبٌة
𝟐 −
𝟏−
الحل/ 𝟒𝟒− 𝟐 –𝟐 = 𝟐
=
𝟒 𝟏+
𝟏− 𝟏−
𝟒 𝟏+
=
=
𝟐
𝟐 𝟐 = 𝟖 = 𝟒𝟒+ 𝟏− 𝟐
زاوٌة االسناد ى
𝟒
=
𝟐− 𝟐 𝟐
=
والسعة
𝟑𝟏+ 𝟏− + =
الصورة القطبية
𝟕 ) 𝟒
77
𝟐+ −
=
𝟐
𝟏
,
𝟐
𝟐
=
= 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐
=
+
𝟐
=
=
تمع بالربع الرابع 𝟕 𝟒
𝟕 + 𝟒
𝟐
=
𝟐
𝟐 𝟑𝟏− 𝟏− −
=
=
𝟒
( 𝟐 𝟐 =
−
𝟐 = +
= =
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
سؤال وزاري /2015د :2اذا كان 𝟒 𝟐 −و أحد جذري المعادلة 𝟎 = 𝟔 – + , معامالتها حمٌمٌة ,جد لٌمتً
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
–
–
𝟐
𝟐 ,
الحل /بما ان المعامالت حمٌمٌة فان الجذران مترافمان 𝟒 = 𝟐+ 𝟒 =
,
𝟒 = 𝟐−
𝟒 + 𝟐+
𝟒 = 𝟐−
𝟎𝟐 = 𝟔𝟏 = 𝟒 +
𝟎 = 𝟎𝟒 + +
𝟎 = 𝟔 −
𝟒 𝟐+
𝟒 = 𝟐−
𝟐.
𝟖–
𝟐
𝟐
⇒ 𝟎 = 𝟎𝟐 +
–
𝟐
𝟐
بالمقارنة مع
𝟏 +
بالجذر التكعيبي
( )+ 𝟐 57
])
𝟒+ 𝟔
(
𝟐+ 𝟑
)+
( )+ 𝟐
𝟐4
5+
𝟒+ 𝟔
(
𝟐+ 𝟑
𝟔𝟒 =
𝟎𝟒 = 𝟔 –
𝟖=
𝟑
𝟏 +
𝟑
𝟎= 𝟖−
𝟑
𝟏 𝟑
( )/ = 𝟐 6 𝟐 𝟒+ 𝟐 𝟑
[ 𝟐 = 57
𝟒–
5+
4
( )+ 𝟐 𝟒+ 𝟐 𝟑
4
= 𝟐.
= 𝟐6
𝟐 = 𝟎, 𝟏, = 𝟑+
=− 𝟑+
𝟐= −
𝟏 𝟑 ( )+ = 𝟐 0 + 1 𝟔 𝟐 𝟐
( )+ 𝟔
*𝟐=
𝟎=
𝟓 𝟏 𝟑 − )] = 𝟐 0 + 1 𝟔 𝟐 𝟐
(
𝟓 ( )+ 𝟔
[𝟐=
𝟏=
𝟗 ] )] = 𝟐[𝟎 − 𝟔
(
𝟗 ( )+ 𝟔
[𝟐=
𝟏=
مجموعة الحل للمعادلة هي }
, −𝟐 , − 𝟑 +
78
𝟐
𝟕 =
𝟑
𝟐4
.
𝟖 =
سؤال وزاري /2015د:3 جد مجموعة حل المعادلة فً مجموعة األعداد المركبة بأستخدام مبر نة دٌموافر − 𝟖 = 𝟎 : الحل/ *𝟖 =
+
{ 𝟑+
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة 𝟔
سؤال وزاري /2016د :1أثبت أن:
𝟑
+
𝟒𝟔 = )𝟐
𝟓
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
. (𝟓 −
𝟏𝟐 +
الحل/ 𝟔
𝟔 𝟑
/
𝟑
𝟐
𝟑
+
𝟔] 𝟑 + = 64
𝟑
𝟏 = 64
= 64
𝟓
𝟐
𝟔
) = .𝟓 +
)
𝟑 𝟐
𝟑
+
𝟐
𝟏𝟐 +
𝟓 = (𝟓 − − 𝟐
𝟓= 𝟓+
+ 𝟑 ]𝟔 = [−𝟐 ]𝟔 = 64
= [𝟓 −
= [𝟓 𝟏 +
𝟔
+
𝟓
= (𝟓 −الطرف األيمن
𝟑+
سؤال وزاري /2016د :1بأستخدام مبر نة دٌموافر ,جد الجذور التكعٌبٌة للعدد 𝟖 . الحل/ 𝟖= الربع االول 𝟏 ) ( 𝟑
)
𝟐
𝟐 +
𝟐
𝟖
=
𝟖 𝟏= 𝟖
= 𝟏 ) ( ( 𝟑
𝟐
𝟐 = 𝟎, 𝟏,
𝟐
+
𝟐
𝟖 =
=‖ ‖= =
𝟏 ) ( 𝟑
𝟐+
55
𝟑
( − )+ 6
5 * 𝟐 = ]) 6
(
𝟏 𝟑 − ( )+ = 𝟐 0 + 1 = − 𝟑+ 6 𝟐 𝟐 𝟐= −
3 ( )] = 𝟎 + 𝟐 − 2
3 )+ 2
(
9 [ 𝟐 = ]) 6
79
=
𝟏 ) ( 𝟑
𝟐4
5+
=
=
𝟏 ) ( 𝟑
𝟐+ 𝟑
‖ ‖
=
𝟖 = 𝟖
𝟐4
𝟖4
( )+ 6
[= 2
𝟎=
(
[= 2
𝟏=
5 )+ 6 ( )+ 6
(
𝟎 𝟎= 𝟖
, +
𝟑 𝟏 ( )] = 𝟐 0 + 1 = 𝟑 + 6 𝟐 𝟐 ( − )+ 6
=
𝟖=
9 ( )+ 6
= 𝟐 *− [= 2
𝟐=
= 𝟑
=
𝟑
=
𝟑
𝟑
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل األول /األعــــداد المركــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
أسئلة حول األعداد المركبة س /1إذا كان ( )a – iأحد الجذرٌن التربٌعٌن للعدد ( )3 + biحٌث b ,aأعداد حمٌمٌة ,جد السعة للعدد المركب 𝟗𝟏 −
𝟐
−𝟑 −
𝟑
س /2أثبت أن= 𝟓 : س/3
𝟐
𝟐
𝟐
ل أن العددٌن
= −
𝟒
−
𝟓−
𝟐+ , 𝟐−
𝟐
𝟔 𝟏 −مترافمتان.
𝟐−
س /4جد ناته ما ٌلً : 𝟓
𝟓
𝟑 − 𝟏+
𝟑 𝟏+
𝟐
𝟏−
𝟒
𝟔
س /5أوجد الجدور التربٌعٌة للعدد س /6أذا كان 𝟑 +
=
=
+
س /7إذا كان
𝟐+ 𝟏−
س /8أذا كان
𝟏+
س /9العدد المركب
𝟕
𝟓
𝟖
𝟏+
𝟑
𝟐𝟏 𝟓 +
عدد مركب ممٌاسه 𝟐 ,جد لٌمة فأثبت أن 𝟕 =
]𝟑
+
𝟑
.
[𝟐
و أحد الجذور المعادلة التربٌعٌة للعدد
𝟐𝟏−
+
√
𝟏
و أحذ جذور المعادلة 𝟎 = 𝟕 −
س /10بأستخدام مبر نة دٌموافر ,حل المعادلة 𝟎 = 𝟕𝟐 +
𝟐
𝟒+ +
فجد لٌمتً −𝟐 −
𝟐
, فجد لٌم
,
حٌث ℂ
س /11حل المعادالت التالٌة فً المجموعة ℂبطرٌمتٌن مختلفتٌن 𝟎= 𝟖−
𝟑
𝟐
𝟎=𝟖−
𝟑
𝟏
𝟎 = 𝟒𝟔 −
𝟑
𝟒
𝟎 = 𝟒𝟔 +
𝟑
𝟑
س /12أحسب بأستخدام مبر نة دٌموافر كالا مما ٌأتً : 𝟓
𝟏+
𝟕
−𝟏 +
80
𝟕
𝟑−
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الثانً/المطوع المخروطٌة مستمٌم ثابت فً المطع المخروطً :لٌكن ) 𝟏 𝟏 ( نمطة ثابتة فً المستوي ولٌكن 𝟎 المستوي نفسه لذا فان مجموعة كل النماط التً نسبة بعد كل منها عن النمطة ) 𝟏 𝟏 ( الى بعدها عن المستمٌم تساوي عدد ثابت ) ( تكون شكل هندسً ٌسمى بالمطع المخروطً أو هو مجموعة النمط 𝟎 التً بعدها عن نمطة معلومة ٌساوي بعدها عن مستمٌم معلوم حٌث ان لكل شكل مخروطً عدة مفاهٌم أساسٌة ٌتعٌن بها وهً : ① النمطة الثابتة
)𝟏
𝟏
( تسمى بإرة المطع المخروطً )
② المستمٌم الثابت 𝟎
ٌسمى دلٌل المطع المخروطً )
③ النسبة ) ( تسمى باالختالف المركزي ) نوع القطع زائد
)𝟏
(
( حٌث أذا كان
نوع القطع ناقص
(
(
نوع القطع مكافئ
(
)𝟏
(
)𝟏
④ المسافة بٌن البإرة والدلٌل =| 𝟐| المطع المكافئ :هو مجموعة النمط ) ( فً المستوي والتً ٌكون بعدها عن نمطة ثابتة )𝟎 ( تسمى مساوٌآ دائمآ لبعدها عن مستمٌم معلوم ) ( والذي ٌسمى الدلٌل وهو ال ٌحتوي البإرة البإرة حٌث 𝟎 أو بمعنى أخر هو مجموعة من النمط داخل مستوي والتً ٌكون بعدها عن نمطة معلومة مساوٌا لبعدها عن مستمٌم معلوم . معادلة المطع المكافئ الذي بإرته تنتمً لمحور السٌنات ) (x-axisوالرأس فً نمطة األصل : باستخدام التعرٌف ٌمكن أٌجاد المعادلة المٌاسٌة للمطع المكافئ باالعتماد على لانون البعد بٌن نمطتٌن )قانون البعد(
𝟐
)𝟏
𝟐
𝟐
(
)𝟏
𝟐
(√
) من تعرٌف القطع المكافئ ( ) تربٌع الطرفٌن(
𝟐)
𝟐)
( 𝟐
𝟎
(√ 𝟐
)المعادلة القٌاسٌة للقطع المكافئ(
𝟐
𝟐)𝟎 𝟐
𝟎
(
𝟐)
𝟐
(√ 𝟐
𝟒
𝟐
𝟐
وهذذذذ هذذذً المعادلذذذة المٌاسذذذٌة للمطذذذع المكذذذافئ الذذذذي بإرتذذذه تنتمذذذً لمحذذذور السذذذٌنات ( (x-axisوالذذذرأس فذذذً نمطذذذذة األصذذذذل حٌذذذذث تسذذذذمى النمطذذذذة " "Oبذذذذرأس المطذذذذع المكذذذذافئ حٌذذذذث بإرتذذذذه )𝟎 ( 𝟎
حٌث
وبنفس األسلوب ٌمكن أثبات
81
𝟒
𝟐
ومعادلذذذذة دلٌلذذذذه
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
معادلة المطع المكافئ الذي بإرته تنتمً لمحور الصادات ) (y-axisوالرأس فً نمطة األصل : باستخدام التعرٌف ٌمكن أٌجاد المعادلة المٌاسٌة للمطع المكافئ باالعتماد على لانون البعد بٌن نمطتٌن )قانون البعد(
𝟐
)𝟏
𝟐
𝟐
(
)𝟏
𝟐
(√
) من تعرٌف القطع المكافئ ( ) تربٌع الطرفٌن(
𝟐)
(
𝟐)
𝟐
(√ 𝟐
𝟐
)المعادلة القٌاسٌة للقطع المكافئ(
𝟐)
𝟐)𝟎
(
𝟐
𝟐
𝟐
𝟎
(√
𝟒
وهذ هً المعادلة المٌاسٌة للمطذع المكذافئ الذذي بإرتذه تنتمذً لمحذور الصذادات األصل حٌث تسمى النمطة " "Oبرأس المطع المكافئ حٌث بإرته ) 𝟎( ومعادلة دلٌله 𝟎
𝟐 𝟐
( (والذرأس فذً نمطذة
وبنفس األسلوب ٌمكن أثبات
𝟒
حٌذث
𝟐
نالحظ مما سبك انه ٌوجد معادلتٌن للمطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل )𝟎 𝟎( أحداهما عندما ٌكون على المحور السٌنً واألخرى عندما ٌكون على المحور الصادي والجدول أدنا ٌوضح ذلن . ( عىذما ٔكُن عهّ محُر انصاداخ ) ( عىذما ٔكُن عهّ محُر انسٕىاخ ) ( ①البإرة تنتمً لمحور الصادات ) ( ①انثؤرج تىتمٓ نمحُر انسٕىاخ ) ②البإرة ) 𝟎( ومعادلة الدلٌل ②انثؤرج )𝟎 ( َمعادنح انذنٕم ③معادلة محور المطع هً 𝟎 ③معادنح محُر انمطع ٌٓ 𝟎 ④الدلٌل ٌوازي المحور السٌنً ④انذنٕم ُٔاسْ انمحُر انصادْ ⑤التناظر حول محور الصادات ⑤انتىاظز حُل محُر انسٕىاخ ⑥المحور الصادي ٌنصف الدلٌل ⑥المحور السٌنً ٌنصف الدلٌل ⑦ المانون
𝟒
𝟐
⑦ المانون
𝟒
𝟐
مالحظات عامة : ❶ أشار البإرة عكس أشار الدلٌل والعكس صحٌح ❷ المسافة بٌن البإرة والدلٌل = 2p ❸ كل نمطة تنتمً للمطع المكافئ فهً تحمك معادلته (أي أن المطع المكافئ ٌمر بها ) ❹ كل نمطة تنتمً للمطع المكافئ بعدها عن البإرة ٌساوي بعدها عن الدلٌل 𝟒 ❺ رأس المطع المكافئ هو نمطة االصل ومعادلة الممٌز الخاصة به هً )𝟎 ❻ الجدول أدنا ٌوضح تفاصٌل أكثر عن معادالت المطع المكافئ البإرة الدلٌل المحور أتجا المطع التناظر )𝟎 ( الٌمٌن x-axis x-axis ( الٌسار )𝟎 x-axis x-axis ) 𝟎( األعلى y-axis y-axis 𝟎( ) األسفل y-axis y-axis
82
𝟐
( المعادلة 𝟒 𝟒 𝟒 𝟒
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
مثال ) /)1جد البإرة ومعادلة دلٌل المطع المكافئ
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐
𝟖
الحل /
𝟐
𝟖 𝟒
) بانمقاروت مع انمعادنت انقٍاسٍت( 𝟖 𝟐 𝟒 انبؤرة )𝟎 𝟐 ( معادنت اندنٍم 𝟐
𝟐
𝟒
𝟖
(
)𝟎
مثال ) /)2جد معادلة المطع المكافئ أذا علم :أ ) بإرته ) (3,0والرأس فً نمطة األصل . ب ) معادلة الدلٌل 𝟎 الحل /
𝟔
𝟐 ورأسه فً نمطة األصل .
أ) ) انمعادنت انقٍاسٍت نهقطع انمكافئ(
البؤرة )𝟎 𝟑( )𝟎 ( 𝟐 𝟑
𝟒 𝟐
معادنت انقطع انمكافئ 𝟐𝟏 ___________________________ ب)
معادنت انقطع انمكافئ
مثال ) /)3جد بإرة ومعادلة دلٌل المطع المكافئ
𝟒
الحل /
𝟐
𝟐𝟏
)𝟑(𝟒
معادلة الدلٌل 𝟎 𝟔 𝟔 𝟑 𝟐 𝟑 𝟒 𝟐 )𝟑(𝟒
𝟐 𝟐 𝟐
ثم أرسمه ) بانمقاروت مع انمعادنت انقٍاسٍت نهقطع انمكافئ(
𝟏 معادنت اندنٍم √𝟐
𝟐 √𝟐
83
𝟐
𝟏 2
𝟎 𝟎
𝟒 𝟒 انبؤرة )𝟎 𝟏( 𝟏 )𝟏(𝟒 𝟒
𝟒
𝟐
𝟒
𝟐
𝟒
𝟒
)𝟎 ( 4
𝟐
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مثال ) /)4بؤستخدام التعرٌف جد معادلة المطع المكافئ أذا علم أن بإرته )𝟎 𝟑√( والرأس فً نمطة األصل . الحذذل /البذذإرة )𝟎 𝟑√( ولذذتكن النمطذذة ) ( نمطذذة تنتمذذً الذذى منحنذذً المطذذع المكذذافئ ولذذتكن النمطذذة ) 𝟑√ ( هً نمطة تماطع العمود المرسوم من ) ( على الدلٌل ⃡ فمن تعرٌف المطع المكافئ ) من تعرٌف القطع المكافئ ( ) تربٌع الطرفٌن(
𝟐)
(
𝟐
(√
)𝟑√
𝟐)𝟎
𝟐
) 𝟑√
𝟑
𝟑√𝟐
( 𝟐
𝟐
𝟐
(
)𝟑√ 𝟐
𝟐
𝟑
مثال ) /)5جد البإرة ومعادلة دلٌل المطع المكافئ الحل /
𝟒𝟐
𝟎
) وقسم طرفً انمعادنت عهى 𝟑(
) 𝟑√ 𝟑√𝟐
معادنت انقطع انمكافئ
𝟐
(√ ( 𝟐
𝟐
𝟑√𝟒
𝟑 𝟒𝟐
𝟐
𝟎
𝟑
𝟐
𝟒𝟐 𝟖 𝟒
𝟑 𝟐 𝟐
) بانمقاروت مع انمعادنت انقٍاسٍت نهقطع انمكافئ( 𝟖 𝟒 𝟖 𝟐 𝟒 ) 𝟎( انبؤرة )𝟐 𝟎( معادنت اندنٍم 𝟐
مثال ) /)6جد معادلة المطع المكافئ أذا علم :أ ) بإرته )𝟓 𝟎( ورأسه فً نمطة األصل . ب ) معادلة الدلٌل 𝟕 الحل /
ورأسه فً نمطة األصل .
أ) ) انمعادنت انقٍاسٍت نهقطع انمكافئ(
البؤرة )𝟓 𝟎( ) 𝟎( 𝟐 𝟓
𝟒 𝟐
معادنت انقطع انمكافئ 𝟎𝟐 ___________________________ ب) ) انمعادنت انقٍاسٍت نهقطع انمكافئ( معادنت انقطع انمكافئ
84
)𝟓(𝟒
) بانمقاروت مع معادنت اندنٍم( 𝟐 𝟒 𝟖𝟐
𝟐
)𝟕(𝟒
𝟐
𝟕 𝟕 𝟐
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
مثال ) /)7جد معادلة المطع المكافئ الذي ٌمر بالنمطتٌن ) 𝟒 𝟐( )𝟒 الحل /
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐( ورأسه نمطة األصل
ثابتة لم تتغٌر )
النمطتان متناظرتان حول محور السٌنات (ألن لٌمة 𝟐 𝟒 انمعادنح انمٕاسٕح نهمطع انمكافئ ٌٓ وعُض أحذِ انىمطتٕه انهتٕه تحممان معادنح انمطع انمكافئ ألوً ٔمز تٍا َنتكه انىمطح )𝟒 𝟐( 𝟔𝟏 𝟖
𝟐 معادنت انقطع انمكافئ
𝟖 𝟖
𝟐
)𝟐( 𝟒
𝟔𝟏 )𝟐(𝟒
𝟐)𝟒(
𝟐
مثال ) /)8جد معادلة المطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل وٌمر دلٌل المطع المكافئ بالنمطة )𝟓
𝟐
𝟒
𝟑(
الحلٌ /وجد أحتمالٌن للمعادلة المٌاسٌة للمطع المكافئ لعدم تحذٔذ انثؤرج َ ,االحتمانٕه ٌما : ثانٌا :البإرة تنتمً لمحور السٌنات أوال :البإرة تنتمً لمحور الصادات 𝟒 ) المعادلة القٌاسٌة للقطع المكافئ( )معادلة الدلٌل( 𝟓 𝟓 𝟐 𝟐 𝟒 )𝟓(𝟒 𝟐 𝟎𝟐 معادنت انقطع انمكافئ
𝟐
𝟒 ) المعادلة القٌاسٌة للقطع المكافئ( )معادلة الدلٌل( 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝟒 )𝟑 (𝟒 𝟐 𝟐𝟏 معادنت انقطع انمكافئ
انسحاب المحاور للمطع المكافئ: Ⓘالمعادلة المٌاسٌة للمطع المكافئ الذي رأسه النمطة )
تعذ االوسحاب (̅ )
لثم االوسحاب انعىصز )𝟎 (
انثؤرج انذنٕم
𝟎 )
( 𝟒
𝟐)
(
𝟒
انمحُر 𝟐
انماوُن
85
( َمحُري ُٔاسْ محُر انسٕىاخ )
(
𝟐
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
َٔمكه أن تكُن فتحح انمطع انمكافئ تاالتجاي انسانة نمحُر انسٕىاخ الحع انزسم أدواي َانمُاوٕه انخاصح : تعذ االوسحاب )
لثم االوسحاب
انعىصز
(
انثؤرج
(̅
)𝟎
(
𝟒
انذنٕم 𝟎 ( 𝟒
)
②المعادلة المٌاسٌة للمطع المكافً الذي رأسه النمطة )
تعذ االوسحاب (̅ )
)
( 𝟒
𝟐)
(
𝟐)
انمحُر 𝟐
انماوُن
( َمحُري ُٔاسْ محُر انصاداخ )
(
لثم االوسحاب انعىصز انثؤرج ) 𝟎( انذنٕم انمحُر 𝟎 𝟐 انماوُن 𝟒
َٔمكه أن تكُن فتحح انمطع انمكافئ تاالتجاي األسفم نمحُر انصاداخ الحع انزسم أدواي َانمُاوٕه انخاصح : تعذ االوسحاب )
(̅
𝟐)
(
انعىصز انثؤرج انذنٕم انمحُر انماوُن
لثم االوسحاب 𝟎( ) 𝟎
( 𝟒
)
𝟒
𝟐
والجدول أدنا ٌوضح الفروق بٌن المعادالت بٌن كال المحورٌن عىذما ٔكُن عهّ محُر انسٕىاخ ) ①انثؤرج ) ( َمعادنح انذنٕم ②انذنٕم ُٔاسْ انمحُر انصادْ ③الرأس والبإرة ٌمعان على األحداثً السٌنً ( ④انرأس ) ⑤المانون ) ⑥معادلة المحور
( 𝟒
𝟐)
(
(
عىذما ٔكُن عهّ محُر انصاداخ ) ①البإرة ) ( ومعادلة الدلٌل ②الدلٌل ٌوازي المحور السٌنً ③الرأس والبإرة ٌمعان على األحداثً الصادي ( ④الرأس ) ⑤المانون ) ⑥معادلة المحور
86
( 𝟒
𝟐)
(
(
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مالحظح : انزأص ٌُ مىتصف انثعذ تٕه انثؤرج َانذنٕم أْ أن
)دنٍهه(
)انبؤرة(
مثال ) /)9مه معادنح انمطع انمكافئ )𝟐 انذنٕم الحل /تانمماروح مع انمعادنح انمٕاسٕح نهمطع انمكافئ )
انبؤرة )𝟏
)انرأس(
𝟐
(𝟒
𝟑(𝑭
َكذنك
𝟐)𝟏
)𝟏
مثال ) /)10نالش المطع المكافئ
𝟐
( 𝟒 انرأس )𝟏
𝟐(
𝟏(𝑭
)𝒌 𝒉
( وحصم عهّ (
)
𝟏
𝟏
𝒑(𝑭
معادنت انمحىر معادنت اندنٍم
)انبؤرة(
( عٕه انزأص ,انثؤرج ,معادنح انمحُر ,معادنح 𝟐)
𝟐
)دنٍهه(
)انرأس(
𝟏
𝟐
𝟐
𝟏
𝟒
𝟒
𝟏 𝒙
𝟐
𝟒
الحل /نضٌف )𝟒( الى طرفً معادلة المطع المكافئ حتى تكون حدود) ( بشكل مربع كامل 𝟐)𝟐
) بانمقاروت مع المعادلة القٌاسٌة للقطع المكافئ ( انرأس )𝟒 3 انبؤرة 4
3
2
𝟐 (
)
𝐹
15 4
(
2
𝟒
𝐹
(
𝟒
𝟒 )
𝟐
4
𝟏 𝟒
2
)𝑘
𝐹
𝑝 F(ℎ
معادنت انمحىر معادنت اندنٍم
𝟏 𝟒
𝟒
𝟕𝟏 𝟒
𝟏
𝟔𝟏 𝟒
87
𝟏 𝟒
𝟒
𝟐 𝟏 𝟒
𝐲
𝟒
𝟐
𝟒 𝟐)
( 𝟒 𝟏
( 𝟒
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
تمارين)𝟏
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐(
س / 1جد المعادلة للمطع المكافئ فً كل مما ٌؤتً ثم أرسم المنحنً البٌانً لها : ( أ ) البإرة )𝟎 𝟓( والرأس فً نمطة األصل الحل/ المعادلة القٌاسٌة
𝟎𝟐
𝟐
𝟏
2√1
( ب ) البإرة )𝟒
معادنت اندنٍم )𝟓(𝟒 𝟐𝒚
𝟓
)𝟎 𝟓( 𝟓 𝟐 𝒚 𝟒
𝒙 𝟐
𝒚
𝟎 𝟎
2√5
𝟎( والرأس فً نمطة األصل
الحل/
𝟎(
)𝟒 المعادلة القٌاسٌة
𝑥2
𝟔𝟏
4√2
4
2
1
معادنت اندنٍم )𝟒(𝟒
4 2
y 𝑥
𝟒 𝟒
2
𝑥
𝟎 𝟎
( ج ) البإرة ) 𝟐√ 𝟎( والرأس فً نمطة األصل الحل/ معادنت اندنٍم 𝟐√ المعادلة القٌاسٌة )𝟐√(𝟒 2√2
𝟐√√2 1
𝟐√
88
𝟎 𝟎
y 𝑥2
) 𝟐√ 𝟎( 𝟐√ 2 𝑥 𝟒
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
( د ) معادلة دلٌل المطع المكافئ 𝟎
𝟑
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟒 والرأس فً نمطة األصل
الحل/
3 4
معادنت اندنٍم
y 3 4
البؤرة المعادلة القٌاسٌة
𝟒 3 4
F 3 4
𝑥2
𝟑
√6 𝟐
𝟑
𝟎
𝟒
𝟒
𝟑
p 𝑥2
𝑥2
𝟒
𝟎 𝟎
𝟑√ 1
س / 2فً كل مما ٌؤتً جد البإرة والرأس ومعادلتً المحور والدلٌل للمطع المكافئ : 𝟐
𝟒 الحل/
البؤرة)𝟏 𝟎(
1
𝟏
) معادلة المحور(
𝟎
𝟐
𝟔𝟏
) معادلة الدلٌل(
الرأس)𝟎 𝟎(
𝑝
𝟎 الحل/
𝟏
البؤرة )𝟎 𝟐𝟑 ( الرأس)𝟎 𝟎(
𝟏
𝟏
p
𝟐𝟑
𝟒
𝟖
) معادلة الدلٌل(
𝟏
𝟒
𝟐
𝟐
𝟖
𝟏 𝟐𝟑
) معادلة المحور(
)𝟐
الحل /تانمماروح مع انمعادنح انمٕاسٕح نهمطع انمكافئ )
𝟐)
( 𝟒 انرأس)𝟎 𝟐( ̅
انبؤرة )𝟎 𝟏 ( ̅ 𝑭
)𝟎 𝟐
𝟏 (̅ 𝑭
)𝒌 𝒉
معادنت اندنٍم
89
𝟒
𝟐 ) ( 𝟐
𝟔𝟏
𝟎
(𝟒
𝟐
( وحصم عهّ )
(̅
𝒑 (𝐅
2
𝟎 𝟏
معادنت انمحىر 3
) (
𝟎 𝟏
𝒙
𝟐 𝟒
𝟒
) (
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
)𝟏
الحل /تانمماروح مع انمعادنح انمٕاسٕح نهمطع انمكافئ )
𝟐)
( 𝟒 انرأس)𝟏 𝟏( ̅
انبؤرة )𝟑 𝟏( ̅ 𝑭
)𝟏
𝟐 𝟏( ̅ 𝑭
(̅
معادنت اندنٍم
𝟏
𝟐
معادنت انمحىر 1
(𝟖
𝟏
𝒑 𝒉(𝐅
𝟏
𝟐)𝟏
( ) (
( وحصم عهّ )
)𝒌
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟒
𝟖
𝟏 y
𝟐
َسارْ / 2012د1 𝟔
𝟐
الحل /نرتب المعادلة بحٌث تكون حدود ) ( فً طرف وحدود ) ( فً الطرف األخر
)𝟔
𝟒 𝟐
𝟐
) ( 𝟐
𝟒
(
نضٌف )𝟒( الى طرفً معادلة المطع المكافئ حتى تكون حدود) ( بشكل مربع كامل 𝟐
𝟐)𝟐
𝟐
𝒚(
𝟒
𝟔
معادلة القطع المكافئ
تانمماروح مع انمعادنح انمٕاسٕح نهمطع انمكافئ )
( 𝟒 انرأس)𝟐
انبؤرة 𝟐
𝟑 𝟐
̅ 𝑭
𝟐
𝟏
𝟏 𝟐
̅ 𝑭
𝟐) 𝟏 (̅ )𝒌 𝒉
معادنت اندنٍم
90
)𝟏
𝟒
𝟐)𝟐
(𝟐
( وحصم عهّ (̅
) 𝒑 (𝐅
1
𝟐 𝟏 𝟐
معادنت انمحىر 1 2
𝟐
𝟒
𝟐 𝟏 𝟐
𝒙
𝟏 𝟐
𝟒
𝟐
𝒚(
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟎
الحل /نرتب المعادلة بحٌث تكون حدود ) ( فً طرف وحدود ) ( فً الطرف األخر
𝟐
𝟔
)
𝟐
𝟔
) (
(
نضٌف )𝟗( الى طرفً معادلة المطع المكافئ حتى تكون حدود) ( بشكل مربع كامل معادلة القطع المكافئ
𝟓𝟑 انبؤرة 𝟒
3
𝟐)
( 𝟒
𝟑 (̅
انرأس)𝟗 𝐹
(
)𝟗
تانمماروح مع انمعادنح انمٕاسٕح نهمطع انمكافئ )
9
𝟏 𝟒
𝟐)𝟑
𝐹
3
𝒙(
)
(̅
𝟗
𝑝 F(ℎ
𝟏 𝟒
معادنت انمحىر 𝟕𝟑 𝟒
معادنت اندنٍم
1
9
4
س / 3جد معادلة المطع المكافئ المار بالنمطتٌن )𝟓 𝟐( )𝟓 الحل ∵ /النمطتان متناظرتان حول المحور السٌنً
𝟗
𝟔
( وحصم عهّ
)𝑘
36
𝟗
𝟐
𝟑 𝟒
𝟏
𝟑
𝟏 𝟒
y
𝟐( والرأس فً نمطة األصل
البإرة تنتمً لمحور السٌنات والمانون )
𝟐
𝟒
(
النمطتان تحممان المعادلة الن المطع المكافئ ٌمر بهما لذا نؤخذ النمطة )𝟓 𝟐( ونعوضها فً المعادلة المٌاسٌة 𝟓𝟐 𝟖
𝟓𝟐 𝟐
معادلة القطع المكافئ
𝒑𝟖
𝒑
)𝟐( 𝟒
𝟓𝟐
25 8
𝟐
𝟐)𝟓(
𝟒
𝟒
𝟐
س / 4أذا كان دلٌل المطذع المكذافئ ٌمذر بالنمطذة )𝟒 𝟑 ( والذرأس فذً نمطذة األصذل جذد معادلتذه علمذا أن بإرتذه تنتمً ألحد المحورٌن الحل ∵ /الدلٌل ٌمر بالنمطة )𝟒 𝟑 (
( والثانً )𝟒
هنان دلٌالن هما األول )𝟑
(
هنان لطعان مكافئان المطع المكافئ األول ( البإرة تنتمً لمحور السٌنات) 𝟑
المانون 𝟐𝟏
𝟐
المطع المكافئ الثانً ( البإرة تنتمً لمحور الصادات)
𝟑
𝟒 )𝟑(𝟒
𝟒 𝟐 𝟐
𝟔𝟏
91
𝟒 المانون 𝟐 )𝟒(𝟒
𝟒 𝟐 𝟐
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
س / 5لطع مكافئ معادلته 𝟎
𝟖
𝟐
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
ٌمر بالنمطة )𝟐 𝟏( جد لٌمة Aثم جد بإرته ودلٌله ثم أرسم المطع
الحل ∵ /المطع المكافئ ٌمر بالنمطة ) 𝟐 𝟏(
وزاري / 2011د1
النمطة ) 𝟐 𝟏( تحمك معادلة المطع المكافئ )𝟎 )𝟔𝟏
(
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟎
𝟖
𝟐
𝟖
𝟐
16
)بالمقارنة مع المعادلة القٌاسٌة
( 16
𝟒
𝟐
A
𝟎
𝟏 𝟐
(
𝟏 معادلة الدلٌل 𝟖
)𝟐(𝟖
𝟐
𝟏 𝟖
𝟏 𝟐
𝟎
𝟏 𝟐
𝒑
𝟏 البؤرة 𝟖 y 0
𝟐)𝟏(
F
𝟐
𝒑𝟒
)𝑝 (F
x 0 𝟏
𝟏
𝟐√ 𝟐
1
س / 6باستخدام التعرٌف جد معادلة المطع المكافئ : ( أ ) البإرة )𝟎 𝟕( والرأس فً نمطة األصل الحل/
معادلة الدلٌل
𝟕
𝟕
𝒙
) تعرٌف القطع المكافئ( )بتربٌع الطرفٌن( 𝟐)
(
𝟐)𝟕
(√ 𝟐)𝟕
𝟗𝟒 ) معادلة القطع المكافئ(
92
𝟐)𝟎 (
𝟐
𝟒𝟏 𝟖𝟐
𝟐
(
𝟐)𝟎 𝟐
𝟐)𝟕 𝟐)𝟕
( 𝟗𝟒
𝟒𝟏
(√
𝟒𝟏 𝟐
( 𝟐
𝟒𝟏
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
( ب ) معادلة الدلٌل 𝟑√
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
والرأس فً نمطة األصل
الحل/
𝑝
𝟑√
𝟑√
البؤرة )𝟑√
)
𝟎(
𝟎(
) تعرٌف القطع المكافئ( 𝟐
)بتربٌع الطرفٌن(
)𝟑√
(√ )𝟑√
(
)𝟑√
𝟑
𝟑√𝟐
𝟐)
(
𝟐
)𝟑√
𝟐
𝟑√𝟐
𝟑 ) معادلة القطع المكافئ(
𝟐
𝟐
𝟑√𝟒
(√
𝟐)𝟎
( 𝟐
𝟑√𝟐
𝟐
( 𝟐
𝟐
𝟑√𝟐
𝟐
******************************************************************
أمثلة أضافٌة محلولة مثال /جد معادلة المطع المكافئ الذي ٌمر بالنمط )𝟎𝟏
𝟑𝟏 ( )𝟎𝟏
𝟏𝟏( والذي رأسه )𝟐 𝟏 (
الحل /لٌمة المحور الصادي للنمطتٌن ثابتة وهذا ٌدل على أن محور التماثل هو ) ( 1
𝟏
𝒙
𝟐 𝟐
نالحظ أن محور التماثل ٌوازي المحور الصادي وهذا ٌعنً أن المانون هو
𝟏𝟏 𝟑𝟏 𝟐
)
صٌغة معادلة القطع المكافئ النمطة )𝟎𝟏
𝟏𝟏(
( 𝟒 )𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐) ( 𝟒
( 𝟐)𝟏
(
للمطع المكافئ لذا فهً تحمك معادلته ) الفتحة الى األسفل( 3 معادلة القطع المكافئ
)𝟐
(𝟐𝟏
p 𝟐)𝟏
93
𝟒 (
𝟐𝟏 )𝟐
)𝟐𝟏 ( 𝟒 ()𝟑 (𝟒
𝟐)𝟏
𝟐)𝟐𝟏( (
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟐
مثذذال /الذذنمط )𝟎 𝟎( )𝟔 𝟒( )𝟔 𝟐𝟏 ( تنتمذذذً للمطذذع المكذذذافئ ) البإرة ومعادلة الدلٌل والرأس والبعد البإري الحل /
النمطة )𝟎 𝟎(
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
( جذذد أحذذذداثً
للمطع المكافئ لذا فهً تحمك معادلته 𝟎
النمطة )𝟔
𝟒(
النمطة )𝟔
𝟐𝟏 (
𝟎
𝟎
𝟎
للمطع المكافئ لذا فهً تحمك معادلته ) معادلة
(
𝟐
𝟑
)𝟐 ( ]
𝟖
𝟒
𝟔
𝟔𝟏
للمطع المكافئ لذا فهً تحمك معادلته ) معادلة
(
𝟐
𝟏
)𝟔 ( ]
𝟒𝟐
𝟐𝟏
𝟔
𝟒𝟒𝟏
نحل المعادلتٌن حال أنٌا فنحصل على : 1
b
2
2b
2b
3
معادلة القطع المكافئ
1
𝟖
𝟑
𝟖
𝟏 𝟖
𝟐
𝟐
𝟏 𝟖
8 𝟐
𝟖
𝟒 𝟏 𝟖
𝟐
𝟖
𝟐𝟑
بإضافة )𝟔𝟏( الى طرفً معادلة المطع المكافئ حتى تكون حدود) ( بشكل مربع كامل )𝟐
(𝟖
𝟐)𝟒
𝒙(
𝟔𝟏
تانمماروح مع انمعادنح انمٕاسٕح نهمطع انمكافئ )
𝟖
𝟐)𝟒
( 𝟒
𝟐)
انرأس)𝟐 𝟒 ( ̅ انبؤرة) 𝐹( 4
)𝟐
𝟐
)𝑘
𝐹( 4
𝒙(
𝟔𝟏
(̅
𝟐
معادنت اندنٍم
F(ℎ
𝟐
𝟖
𝟒
𝟒 𝟐
y 𝟖
94
𝟒
𝟐
معادنت انمحىر 4
𝟔𝟏
( وحصم عهّ )
𝑝
𝟖
𝟖
𝟐
𝟒
انبعد انبؤري
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مثال /جد معادلة المطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل وٌحمك الشروط التالٌة : ) (1بإرته )𝟎 𝟓( انحم /البإرة تنتمً لمحور السٌنات 𝟎
معادلة المطع المكافئ هً 𝟐
𝟎𝟐
)𝟓(𝟒
) (2بإرته )𝟑 𝟎( انحم /البإرة تنتمً لمحور الصادات 𝟎
) (3معادلة دلٌله 𝟎
𝟔
𝟐
𝟒 )𝟎 𝟓(
𝟓
معادلة المطع المكافئ هً 𝟐
𝟐𝟏
𝟐
)𝟑(𝟒
𝟐
)𝟎 (
𝟐
𝟒 )𝟑 𝟎(
𝟑
) 𝟎(
𝟐
انحم / البؤرة )𝟑
𝟎(
𝟑
𝟔
𝟑
𝟎
𝟐
𝟐
𝟔
𝟐
𝟒 معادلة القطع المكافئ
) (4بإرته تنتمً لمحور الصادات وٌمر بالنمطة )
𝟏
𝟐
𝟐𝟏
)𝟑 (𝟒
𝟐√(
𝟐
معادلة المطع المكافئ هً البإرة تنتمً لمحور الصادات 𝟏 النمطة ) 𝟐√( تنتمً للمطع فهً تحمك معادلته
انحم /
𝟐
𝟒
𝟐
𝟏 معادلة القطع المكافئ
)ٌ (5مر بالنمطتٌن )𝟓√
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟒
𝟏 𝟐 )𝟏(𝟒
𝟐
𝟒
)𝟐√( 𝟐
𝟒
𝟏( )𝟓√𝟐 𝟏( جد معادلته ومعادلة دلٌله
انحم /النمطتٌن متناظرتان حول محور السٌنات (ألن لٌمة xثابتة لم تتغٌر )
معادنتً ٌٓ
𝟐
𝟒
∴ وعُض أحذِ انىمطتٕه ألوً ٔمز تٍا معادنت اندنٍم
𝟓
𝟓
معادلة القطع المكافئ
𝟒 𝟎𝟐
) (6تؤرتً تىتمٓ نمحُر انسٕىاخ َدنٕهً ٔمز تانىمطح )𝟒 𝟐( معادنح انمطع انمكافئ ٌٓ تؤرتً تىتمٓ نمحُر انسٕىاخ انحم / دنٕهً ٔمز تانىمطح )𝟒
𝟐( نذا فأن
معادلة القطع المكافئ
𝟐
انحم / 𝟐
مزكش انذائزج= )
)معامم 𝟐
)معامم 𝟐
(
( =)
)𝟒 ( 𝟐
َ انثؤرج تىتمٓ نمحُر انصاداخ َمعادنح انمطع انمكافئ ٌٓ معادلة القطع المكافئ
95
𝟐
𝟒
𝟒
𝟏
𝟐
)𝟓√𝟐( 𝟐
𝟒
𝟐
𝟒
𝟐
)𝟐 (𝟒
) (7رأسً ومطح األصم َتؤرتً مزكش انذائزج انتٓ معادنتٍا 𝟎 (
)𝟓(𝟒
ٌٓ معادنح انذنٕم ألن انذنٕم ٔمطع األحذاثٓ انسٕىٓ
𝟐
𝟖
)𝟏( 𝟒
𝟎𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟎
𝟐 ( = )𝟐 𝟎( = انثؤرج 𝟐
𝟒 𝟖
𝟐
)𝟐(𝟒
𝟒
𝟐
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
َٔمز تانىمطح ) 𝟏 𝟐 ( ) (8دنٕهً ُٔاسْ انمحُر انصادْ َمعادنح محُري 𝟎 انذنٕم ُٔاسْ انمحُر انصادْ َٔمز تانىمطح ) 𝟏 𝟐 ( انحم / انذنٕم ٔمطع األحذاثٓ انسٕىٓ انسانة َانثؤرج تمع عهّ األحذاثٓ انسٕىٓ انمُجة 𝟐 𝟒 معادنح انمطع انمكافئ ٌٓ انمطع ٔمز تانىمطح ) 𝟏 𝟐 ( نذا فٍٓ تحممً 𝟏 𝟖
𝟖
)𝟐 ( 𝟒
𝟏
𝟏 𝟐
معادلة القطع المكافئ
)ٔ (9مطع مه انمستمٕم 𝟒
𝟐)𝟏( 𝟏 𝟖
𝟐
𝟒
𝟐
𝟒
𝟐
لطعح طُنٍا )𝟎𝟏( وحداث
انحم / رأسً انقطع انمكافئ )𝟓
انتىاظز حُل محُر انسٕىاخ
𝟒()𝟓 𝟒(
معادنح انمطع انمكافئ
𝟓 𝟐
𝟒
𝟓𝟐 𝟔𝟏
𝟎𝟏
َانىمطح )𝟓 𝟒( تحممً 𝟐)𝟓(
)𝟒( 𝟒 𝟓𝟐 𝟒
𝟐
𝟓𝟐 𝟔𝟏
𝟐
𝟒
𝟒
𝟐
𝟒
𝟐
مثال /جد معادلة المطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل وٌحمك الشروط التالٌة 𝐢𝟐 𝟒 𝐳 ) (1بإرته الصٌغة الدٌكارتٌة للعدد 𝐢 𝟐
انحم /
الصٌغة الدٌكارتٌة )𝟎 𝟐 (
𝟎𝟏 𝟓
𝟐
𝟐
معادلة القطع المكافئ
𝒊𝟒 𝒊𝟒 𝟓
𝟐
𝐩
𝒙𝟖
𝟐𝒚
𝒊 𝟐 𝐢𝟐 𝟒 𝟖 𝐳 × 𝐢 𝟐 𝒊 𝟐 البؤرة )𝟎 𝒑( )𝟎 𝟐 (
𝒙)𝟐 (𝟒
𝒙𝒑𝟒
) (2بإرته تنتمً ألحد المحورٌن ودلٌله ٌمر بالنمطة )(3,4 انحم / ٌوجد دلٌالن 𝟒 𝒑 ∵ الدلٌل ٌمر بالنمطة ) (3,4ولم ٌحدد الي المحورٌن ٌوازي ٌوجد بإرتان االولى )𝟒 𝟎( والثانٌة )𝟎 𝟑 ( مما ٌعنً وجدود لطعان مكافئان معادلة القطع المكافئ األول
𝟐𝒚
𝒙𝟐𝟏
معادلة القطع المكافئ انثاوً
𝟐𝒙
𝒚𝟔𝟏
𝟐𝒚
𝟑
𝒑
𝒙)𝟑(𝟒
𝒙𝒑𝟒
𝟐𝒚
𝒚)𝟒(𝟒
𝒚𝒑𝟒
𝟐𝒙
)ٌ (3مر برإوس المثلث ABCحٌث )𝒎 𝟐(𝑪 )𝟒 𝟐 (𝑩 )𝟎 𝟎(𝑨 ثم أوجد لٌمة m ∵ النمطة ) (2,mتمع أما فً الربع األول أو الرابع انحم / النمطة ) (2,mللربع األول لكً ٌتحمك المطع البإرة تمع على المحور الصادي و المانون 𝒚𝒑𝟒 ∵ المطع ٌمر بالنمطة )𝟒 𝟐 ( فهً تحممه معادنت انقطع 𝒚
𝟐𝒙
𝟏 𝒚 𝟒
𝟒
𝒚𝒑𝟒
𝟏 𝟒
𝟐𝒙
𝐩
𝟐𝒙 𝟒 𝟔𝟏
)𝟒(𝒑𝟒
𝒑
𝟐)𝟐 (
∵ النمطة ) (2,mتمع على المطع لذا فهً تحمك معادلة المطع 𝟒
96
𝐦
𝐦
𝟐)𝟐(
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
) (4رأسه نمطة األصل ومعادلة دلٌله 𝟎
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
𝟑√
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝒚𝟐
انحم / 𝟑√ 𝟐
𝟑√ 𝟐
𝐩
معادلة القطع المكافئ
𝐲
𝐲𝟐
𝟑√
𝟑√ 𝒚 𝟐
𝟐𝒙
𝒚𝟑√𝟐
𝟎 𝟒
𝟑√
𝒚𝒑𝟒
𝒚𝟐 𝟐𝒙
******************************************************************
س : 1فً كل مما ٌؤتً جد البإرة ومعادلتً المحور والدلٌل للمطع المكافئ : )𝟐
𝟐
) (
𝟒
𝟐
) (
𝟖𝟐
𝟐
) (
(𝟖
𝟎 𝟎
س : 2أذا كان دلٌل المطع المكافئ ٌمر بالنمطة )𝟓 𝟐 ( والرأس فً نمطة األصل فجد معادلته علما أن بإرتــــــه تنتمً ألحد المحورٌن س :3فً كل مما ٌؤتً جد معادلة المطع المكافئ الذي : (أ) بإرته )𝟎 𝟕 ( والرأس فً نمطة األصل . (ب) معادلة الدلٌل له 𝟎
𝟑
𝟐 والرأس فً نمطة األصل .
(ج) بإرته تنتمً لمحور السٌنات وٌمر بالنمطة )𝟔 𝟑( والرأس فً نمطة األصل . (د) بإرته تنتمً لمحور السٌنات و دلٌله ٌمر بالنمطة )𝟓 𝟒 ( والرأس فً نمطة األصل . (ب) معادلة الدلٌل له 𝟎
𝟑√
𝟐 والرأس فً نمطة األصل .
س :4أذا كانت النمطة )𝟒 𝟐( تنتمً للمطع المكافئ ومعادلة الدلٌل
)𝟒
(
س : 5بؤستخدام التعرٌف جد معادلة المطع المكافئ الذي : ( أ ) بإرته )𝟎 𝟒( والرأس فً نمطة األصل والرأس فً نمطة األصل ( ب ) معادلة الدلٌل 𝟎 𝟓
97
𝟐
فجد لٌمة ) ( ثم جد أحداثً البإرة
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
المطع النالص( الرأس فً نمطة األصل ) : هو مجموعة نماط المستوي) تساوي عددا ثابتا لٌمته تساوي ) 𝟐( (
التً ٌكون مجموع بعدي أي نمطة منهذا عذن نمطتذٌن ثذابتتٌن تسذمٌان البإرتذان
معادلة المطع النالص الذي بإرتا تنتمٌان لمحور السٌنات ) (x-axisومركز نمطة األصل ) تعرٌف القطع الناقص( ( 𝟐) (√ 𝟐)𝟎 𝟐)𝟎 (√ ( 𝟐) 𝟐 𝟐)𝟎
𝟐
𝟐 )بتربٌـــــــع الطرفٌن ( 𝟐)𝟎 𝟐 𝟐 𝟐) ( 𝟐) 𝟐 )𝟒 ( )بتربٌـــــــع الطرفٌن ( 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
حٌث 𝟎
𝟐
𝟐)
( (
𝟐)
𝟐 𝟐 𝟐 (√ 𝟒 𝟐 𝟒 𝟐) ( 𝟐) (√ 𝟒 𝟒 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 √ 𝟐 (𝟐 𝟐 )𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐
[
)𝟐 )𝟐 𝟐
𝟒
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 (𝟐
𝟐 𝟐
)𝟐
𝟐 (𝟐
(
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
) معادلة القطع الناقص ( 𝟏
حٌث أن )
( )
(√ (√ 𝟐
𝟐 𝟐
]نفرض
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
(
وبإرتا هً )𝟎 ( 𝟏 )𝟎 رأسا المطع النالص هما )𝟎 ( 𝟏 )𝟎 (𝟐 بذذذنفس األسذذذلوب ٌمكننذذذا أٌجذذذاد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي بإرتذذذا تنتمٌذذذان لمحذذذور الصذذذادات وهذذذً (𝟐
𝟏 )
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟎( 𝟏
)
حٌذذذذث أن رأسذذذذذا المطذذذذذع النذذذذذالص همذذذذذا ) 𝟎( 𝟐
98
𝟎( 𝟏
)
𝟎( 𝟐
وبإرتذذذذذا هذذذذذً
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الحظ الشكل التالً :
مالحظات : ① دائما )
( حٌث أن )𝟎
( )
② طول المحور الكبٌر
𝟐
③ طول المحور الصغٌر ④ البعد بٌن البإرتٌن ⑤ دائما ٌكون
𝟐
(
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 √
⑥االختالف المركزي
( ولٌمة )
حٌث ٌالحظ أنه ٌكون )𝟏
𝟐
𝟐
√
⑦ مساحة المطع النالص 𝟐
⑧ محٌط المطع النالص
𝟐
𝟐
√ 𝟐
𝟐𝟐
حٌث أن ) 𝟕
(
𝟐
⑨ النسبة بٌن طول محورٌه ⑩ أذا مر المطع بنمطة أحد إحداثٌاتها صفر فاإلحداثً الثانً هو أما ) ( أو ) ( واألكبر هو) ( واألصغر هو ) ( ⑪ الحظ الجدول أدنا : لطع نالص بإرتا على محور السٌنات لطع نالص بإرتا على محور الصادات 𝟐
المعادلة 𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
البإرتان ) الرأسان ) 𝟎( 𝟏
𝟎( 𝟏
المعادلة ) )
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟎( 𝟐
البإرتان )𝟎
(𝟏
)𝟎
(𝟐
𝟎( 𝟐
الرأسان )𝟎
(𝟏
)𝟎
(𝟐
99
(
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مثال ( /)11فً كل مما ٌؤتً جد طول كل من المحورٌن وأحداثً كل من البإرتٌن والرأسٌن واالختالف المركزي 𝟐
𝟒 𝟑
𝟐
𝟐
𝟑
𝟏
𝟒 ②
𝟐
𝟔𝟏
①
𝟓𝟐
الحل )(1
بالممارنة مع المعادلة المٌاسٌة للمطع النالص 𝟑
𝟗
c
𝟔𝟏
𝟐
𝟓𝟐
𝟏 𝑎2
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟒
البؤرتان )𝟎 𝟑
(𝟐
𝟓𝟐
𝑎2
طول المحور الكبٌر
وحدة 𝟎𝟏
)𝟓(𝟐
𝟐
طول المحور الصغٌر
وحدة 𝟖
)𝟒(𝟐
𝟐
البعد البؤري
وحدة 𝟔
)𝟑(𝟐
𝟐
𝟔𝟏
b
)𝟎 𝟑(
𝟐
𝟓
𝑎
الرأسان )𝟎 𝟓
𝟏
االختالف المركزي
(𝟐
)𝟎
𝟓( 𝟏
𝟑
𝟏
𝟓
الحل )(2 𝟑 𝟒 𝟐
𝟏
𝟏 𝟑
c
𝟏 𝟗
𝟏 𝟑
𝟒 𝟗
𝟐
𝟏 البؤرتان 𝟑
𝟒 )𝟗( 𝑎2
𝟎
𝟐
𝟐
𝟏 )𝟑( 𝟏
𝟐
𝟑√
𝟏 𝟑
𝟏
𝟐 𝟗 𝟒
b
𝟏 𝟑
𝟐
𝟐 𝟑
𝟐
طول المحور الصغٌر
وحدة 𝟐 الرأسان 𝟑
𝟏
𝟏
𝟐 𝟑 𝟒 ) 𝟑(
𝟏
𝟏 )𝟑(
طول المحور الكبٌر
االختالف المركزي
100
×
وحدة
𝟎
𝟒 𝟑
𝟐
𝑎 𝟒 𝟑
𝟐 𝟑
𝟐
𝟏
𝟑√
𝟑√
𝟎
𝟑
𝟐 𝟑
𝟐
𝟏
𝟏
𝟑
𝟏
)𝟑 (
𝟐
𝟐
𝟑
𝟐
)𝟑 (
𝟐
𝟒
𝟐 𝟒 𝟒 )𝟑(
𝟒 𝟗
𝑎2
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟎
𝟏
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
مثال ( /)12جد معادلــــــة المطع النالـــص الذي بإرتــــــا )𝟎 )𝟎 𝟓( 𝟏 )𝟎 𝟓 ( 𝟐 ومركز نمطة االصل .
𝟑( 𝟏
ورأســـــا النمطـــــتـــان
(𝟐
)𝟎 𝟑
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الحل/
∵ البإرتان والرأسان ٌمعان على محور السٌنات والمركز فً نمطة األصل ⇐
𝟔𝟏
𝟐𝒃
𝟔𝟏
𝟗
𝟓𝟐
𝟐𝒂
𝟐𝑪
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟗
𝟐𝑪
𝟑
𝟓𝟐
𝟐𝒂
𝟓
𝟐𝒃
𝟐𝒃
معادلة القطع الناقص
𝟏
𝟐𝑪
𝟐𝒂 𝟐
𝟐
𝟔𝟏
𝟓𝟐
مثال ( /)13جد معادلـــة المطع النالــــــص الذي مركز نمطة األصل وٌنطبك محورا على المحورٌــــن اإلحداثٌٌن وٌمطع من محور السـٌنات جزءا ً طوله )𝟖( وحدات ومن محور الصادات جزءا ً طوله )𝟐𝟏(وحدة,ثم جد المسافة بٌن البإرتٌن ومساحة منطمته ومحٌطه . الحل/ )البؤرة تقع على الصادات( 𝟔𝟑
𝟐𝒂
𝟔
𝒂
𝟐𝟏
16
𝑏2
4
b
𝟖
𝟐
𝟔𝟏
𝟎𝟐
المحور الصغٌر
𝟐
) معادلة القطع الناقص( 𝟔𝟑
المحور الكبٌر
𝟐𝒚 𝟔𝟑
𝟏 𝟐𝒄
𝟐𝒄
𝟓√𝟐 ) انمسافت بٍه انبؤرتٍه( )وحدة مربعة ( 𝟐𝟓 √ 2 2
24 𝟔𝟏 2
101
𝟎𝟐√
𝐜
𝟓√𝟒
𝟓√𝟐 𝟔
𝐜𝟐 انمساحت
2
2
2
√ 2
)وحدة ( 𝟓√ 𝟑
𝟐𝒃
𝟐𝒂
)(6)(4
𝟔𝟑 √ 2
𝑥2 𝟔𝟏
𝟔𝟐√2
انمحٍط 𝐩
االختالف المركزي
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة 𝟐
مثال ( /)14لتكن 𝟔𝟑 )𝟎 𝟑√( جد لٌمة
𝟒
𝟐
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
معادلـــة لطع نالـــــــص مــركز نمطة األصـــــل وأحدى بإرتٌــــــــه وزاري / 2015د1
الحل/ )𝟔𝟑 ( 𝟏
∵ البإرة )𝟎 𝟑√( تنتمً لمحور السٌنات
⇐ المانون
𝟔𝟑
𝟑
𝑎2
𝟔𝟑 𝟐𝟏
𝐤
𝟏
𝟗
𝟔𝟑
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
)
𝟐
𝟗
𝟏 (
𝟐
𝟑
𝟔𝟑
𝟐𝟏
𝟐
𝟐
𝟑
𝟗
𝟔𝟑
𝟐
𝟐
𝟒
𝟐
𝟐 𝟒 𝟔𝟑
𝟔𝟑
𝟑√
𝟔𝟑
𝟐𝒄
𝟐𝒂
𝟐𝒃
مثال ( /)15جد معادلـــة المطع النالــص الذي مركز نمطة األصل وبإرتا على محور الســــــٌنات والمسافة بٌن البإرتٌن )𝟔( والفرق بٌن طولً المحورٌن )𝟐( وحدة . الحل/ 3 𝟏 𝟓
𝒂
𝟒
𝐛
𝟐
𝟖
𝟐𝒃
𝟗
𝟐𝒃
𝟐
𝟏 𝟗
𝟏
𝟐𝒃
𝟐)
𝟏(
) معادلة القطع الناقص(
c
𝟔
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐𝒄
𝟐𝒃
𝟐𝒂
𝟏
𝑦2 𝟔𝟏
𝟐𝒙 𝟓𝟐
مثال ( /)16جد معادلـــة المطع النالـــص الذي مركز نمطــــــة األصــــل وأحدى بإرتٌه بإرة المطـــع المكافــــئ 𝟐𝟏 𝟐 وطول محور الصغٌر ٌساوي )𝟎𝟏( وحدات . 𝟎 الحل /من المطع المكافئ المعطى : البورة) (3
3
p
المطع النالص :البإرتان )𝟎 𝟑 𝟒𝟑
𝑎2
12 (𝟐
𝟗
)𝟎 𝟓𝟐
4p
𝟐
𝟒
𝟑( 𝟏
⇐
𝑎2
) بانمقاروت مع(
𝟑 𝟐
𝟐
𝑎2
𝟓
) معادلة القطع الناقص(
102
𝟐𝟏
𝟐
𝟎𝟏 𝟏
𝑦2 𝟓𝟐
𝟐𝒙 𝟒𝟑
𝟐
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مثال ( /)17بؤستخدام التعرٌف ,جد معادلة المطع النالص الذي بإرتا : )𝟎 𝟐 ( 𝟐 والعدد الثابت 𝟔 . )𝟎 𝟐( 𝟏
الحل/
) تعرٌف القطع الناقص( (√ ( 𝟐)𝟐 (√ 𝟐)𝟎 ( 𝟐)𝟐 )𝟑(𝟐 𝟐)𝟎 𝟐 )بتربٌـــــــع الطرفٌن ( 𝟐 (√ 𝟐)𝟐 (√ 𝟔 𝟐)𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ( ( 𝟐)𝟐 (√𝟐𝟏 𝟔𝟑 𝟐)𝟐 𝟐)𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒 𝟒 (√𝟐𝟏 𝟔𝟑 𝟐)𝟐 𝟒 𝟒 𝟐 )𝟒 ( (√𝟐𝟏 𝟐)𝟐 𝟖 𝟔𝟑 𝟐 𝟐 (√𝟑 )𝟐 𝟐 𝟗 )بتربٌـــــــع الطرفٌن ( 𝟐 )𝟐 (𝟗 𝟒 𝟒 𝟔𝟑 𝟏𝟖 𝟐 𝟒 𝟔𝟑 𝟐 𝟗 𝟔𝟑 𝟏𝟖 𝟐 𝟗 𝟔𝟑 𝟐 𝟒 𝟐 𝟐 𝟓 𝟗 𝟔𝟑 𝟏𝟖 𝟐 𝟐 )𝟓𝟒 ( 𝟓 𝟗 𝟓𝟒 𝟐
𝟐
𝟐
) معادلة القطع الناقص ( 𝟏
مالحظة لرسم لطع نالص ولٌكن المطع 𝟏 ① نعٌن النمطتٌن )𝟎 ② نعٌن النمطتٌن )
(𝟐 𝟎( 𝟐
③ نصل بٌن النماط األربعة ④ نعٌن البإرتٌن )𝟎
𝟐 (𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
)𝟎
(𝟏
)
𝟎( 𝟏
𝟐
)𝟎
𝟏
نتبع الخطوات التالٌة :
𝟏
بالترتٌب حتى ٌتكون منحنً متصل
(𝟏
103
𝟏
𝟐
𝟐
𝟓
𝟗
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
المطع النالص (:أنسحاب محاور ) : ①المعادلة المٌاسٌة للمطع النالص الذي مركز النمطة )
تعذ األوسحاب لثم األوسحاب انعىصز تعذ األوسحاب )
(
)
( )
𝟏
𝟐)
(
)𝟎 )𝟎 (
𝟐)
𝟐
(
( 𝟐
( )𝟎 𝟎(
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐 𝟐
انزأسان انثؤرتان انمزكش
تعذ األوسحاب لثم األوسحاب انعىصز تعذ األوسحاب )
(
)
𝟎(
انزأسان
)
(
)
𝟎(
انثؤرتان
)𝟎 𝟎(
انمزكش
) 𝟏
𝟐)
( 𝟐
𝟐)
( 𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐 𝟐
لثم األوسحاب
المحذذور الكبٌذذر ٌذذوازي محذذور السذذٌنات ومعادلتذذه )𝒌 𝒚( والمحذذور الصذذغٌر ٌذذذذذوازي محذذذذذور الصذذذذذادات ومعادلتذذذذذه )𝒉 𝒙(
انماوُن
②المعادلة المٌاسٌة للمطع النالص الذي مركز النمطة )
(
( ومحور الكبٌر ٌوازي المحور السٌنً:
انماوُن
104
( َمحُري انكثٕز ُٔاسْ محُر انصاداخ
لثم األوسحاب المحذذور الكبٌذذر ٌذذوازي محذذور الصذذادات ومعادلتذذه )𝒉 𝒙( والمحذذور الصذذغٌر ٌذذذذذذوازي محذذذذذذور السذذذذذذٌنات ومعادلتذذذذذذه )𝒌 𝒚(
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مالحظات : ①معادلة المحور الكبٌر للمطع النالص الذي ٌوازي محور السٌنات ورأسه )
( هً )
(
②معادلة المحور الكبٌر للمطع النالص الذي ٌوازي محور الصادات ورأسه )
( هً )
(
③ احداثٌات المطبٌن او نهاٌتً المحور الصغٌر للمطع النالص الذي ٌوازي محور السٌنات هً )
(
④ احداثٌات المطبٌن او نهاٌتً المحور الصغٌر للمطع النالص الذي ٌوازي محور الصادات هً )
(
⑤ ستمتصرررز دراسرررتىا فرررٓ مُارررُى االوسرررحاب عهرررّ أٔجررراد مزكرررش انمطرررع انىرررال َتؤرتررراي َانزاسررران َطرررُل محُرٔررررً انكثٕررررز َانصرررركٕز َمعادنررررح كررررم مرررره انمحررررُرٔه َحسرررراب مسرررراحح َمحررررٕ انمطررررع انىررررال َأجرررراد االختالف انمزكشْ .
مثال (/)18
جــــــــــد البإرتٌن والرأســـــــــــــــــٌن والمطبٌن و طـــــــــــــول ومعادلة كل من المحورٌن للمطع
النالص 𝟏 الحل/
𝟐)𝟏
(
𝟐)𝟐
𝟓𝟐
(
ثم جد لٌمة e؟
𝟗
بالممارنة مع المعادلة المٌاسٌة للمطع النالص 𝟏
𝟐)
𝟐)
( 𝟐
( 𝟐
مركز القطع الناقص )(2 1
4
C
)معادنت انمحىرانصغٍر(
1
)𝑘 (ℎ
𝟏
)طول المحور الكبٌر( وحدة 𝟎𝟏
2
)طول المحور الصغٌر( وحدة 𝟔
2
16 𝑦
9
𝑘
25
انبؤرتان )3 انرأسان )4
2 (2
انقطبان )1 1
(2
𝟐
𝑎 3
𝟐
𝟓𝟐
𝟐
𝟗
𝟐
b 𝟐
𝟐
𝟐
2
𝑥
)(2 5
)
2 (ℎ
)
(ℎ
)(2 6
)
2 (ℎ
)
(ℎ
)
(ℎ
)
)(5 1 𝟏
105
𝟓
)معادنت انمحىرانكبٍر(
𝑦 2 (2
𝟐
𝟐
𝟒 𝟓
2 (ℎ
𝑥
ℎ
االختالف المركزي
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
تمارين)𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐(
س / 1عذٌن كذل مذن البذإرتٌن والرأسذٌن والمطبذٌن والمركذز ثذم جذد طذول ومعادلذة كذل مذن المحذورٌن واالخذتالف المركزي نهمطُى انىالصح انمثٕىح معادالتٍا فٓ كم مما ٔأتٓ : 𝟐
𝟏
ⓐ
𝟐
𝟐
الحل/ 𝟏 𝟐√
b
𝟏 𝟐
𝟐
𝑏2
1
𝟏
𝑎
𝑎2
𝟏
وحدة 𝟐
)طىل انمحىرانكبٍر (
𝟏 𝟐√
𝟏 𝟐
𝟏 𝟐
𝟐𝒃
𝟏
𝟐𝒂
𝟐𝒄
القطبٌن)طرفا المحور الصغٌر(
𝟏
معادلة المحور الكبٌر )𝟎
( ومعادلة المحور الصغٌر )𝟎
106
𝟏 𝟐√
𝟏 𝟐√ 𝟏
( والمركز )𝟎 𝟎(
𝟏
𝟏 𝟐√
𝟎
𝟐𝒃
𝟐
(𝟐
𝟐𝒂
𝟐
𝟐√
الرأسان )𝟎 𝟏 البؤرتان 𝟎
𝟐
𝟐
𝟏
وحدة 𝟐√
𝟐√
)𝟏(𝟐
𝒂𝟐
𝟐√
𝟐𝒄
)انمسافت بً انبؤرتٍه (
𝟏 )𝟐(
𝟏
𝟏
وحدة 𝟐√
)طىل انمحىرانصغٍر (
𝟐
)𝟎 𝟎
𝟏( 𝟏
𝟏 𝟐√
𝟏 𝟐
𝟐
𝟐√
𝟎
𝟏
𝟏
االختالف المركزي
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐
𝟕𝟏𝟏
𝟗 ⓑ
𝟐
𝟑𝟏
الحل /بالمسمة على )𝟕𝟏𝟏( 𝟐
𝟑
𝟗
b
𝑏2
𝑎
𝟑𝟏√
𝑎2
𝟑𝟏
)طىل انمحىرانكبٍر (
وحدة 𝟑𝟏√𝟐
)طىل انمحىرانصغٍر ( 𝟐
𝟗
𝟒
𝟐𝒃
𝟑𝟏
𝟏
𝟐𝒂
)انمسافت بً انبؤرتٍه (
معادلة المحور الكبٌر )𝟎
𝟐)
2√14
(
انبؤرتان )1
انرأسان )1
5
انقطبٍه )6
(
ⓒ
𝟓𝟐 )𝑘 (ℎ
𝟐
𝟗 1
𝑎 𝑘
𝟏𝟖
𝟐
4
ℎ
)طىل انمحىرانكبٍر (
وحدة 𝟖𝟏
)𝟗 (𝟐
𝒂𝟐
)طىل انمحىرانصغٍر (
وحدة 𝟎𝟏
)𝟓(𝟐
𝟐
𝟓𝟐
𝟐𝒃
𝟏𝟖
𝟐𝒄
𝟐𝒂
𝟐𝒄
وحدة 4√14 1 4
𝟐𝒃
𝟐𝒂 𝟐
)𝟐(2√14 𝑦
𝑘
𝑦
𝑥
ℎ
𝑥
2√14
(4
)
2 (ℎ
)
(ℎ
)1
(13
)
2 (ℎ
)
(ℎ
)(4 4
)
2 (ℎ
)
(ℎ
𝟏
2√14 𝟗
(2 2 (4
107
𝟎( 𝟐
)𝟑 𝟎(
𝟏
(
)معادنت انمحىرانصغٍر(
2√14
(𝟐
)𝟎 𝟐(
𝟐)𝟒 𝟏𝟖
(
)معادنت انمحىرانكبٍر( 2 (4
𝟑𝟏√( 𝟏
𝟐
)انمسافت بً انبؤرتٍه (
)1
)𝟐(𝟐
االختالف المركزي
𝟐)𝟏 𝟓𝟐
𝟐)
b 5 انمركز )(4 1
𝑐
𝟐
𝟏
𝟑𝟏√
𝟐
𝟔𝟓
𝟐𝒂
( والمركز )𝟎 𝟎(
وزاري / 2013د2
الحل/
𝟐𝒃
)𝟎
𝟐
𝟏
بالممارنة مع المعادلة المٌاسٌة للمطع النالص 𝟏
)𝟑(𝟐
𝟐
(𝟐
القطبٌن )𝟑
( ومعادلة المحور الصغٌر )𝟎
)𝟑𝟏√(𝟐
وحدة 𝟒
البؤرتان )𝟎 𝟐
𝟑𝟏 𝒂𝟐
𝟐𝒄
الرأسان )𝟎 𝟑𝟏√
𝟏
𝟗
وحدة 𝟔 𝟐𝒄
𝟐
االختالف المركزي
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟐)𝟐
وزاري / 2013د1 الحل/
𝟐)
𝟐)
(
(
𝟐
انمركز )2
b
( 3
𝟐
𝟗
𝟓𝟐
𝟐
3
ℎ
وحدة 𝟎𝟏
)𝟓 (𝟐
𝒂𝟐
وحدة 𝟔
)𝟑(𝟐
𝟐
𝟓
)𝑘 (ℎ
𝟗
𝟐𝒃
𝟓𝟐
𝟐𝒂
𝑘
𝟐𝒄
)انمسافت بً انبؤرتٍه (
انبؤرتان )6 انرأسان )7 انقطبٍه )2
3 3
6
(2 (2
(2
𝟐𝒄
𝟐𝒃
وحدة 8
𝟐𝒂
)𝟐(4
𝟐
)معادنت انمحىرانكبٍر(
3
𝑥
ℎ
𝑥
)معادنت انمحىرانصغٍر(
2
𝑦
𝑘
𝑦
)( 3 2
)
2 (ℎ
)
(ℎ
)( 3 3
)
2 (ℎ
)
(ℎ
)
(ℎ
)2
)
(
𝟒𝟒𝟏
2 (ℎ
4 𝟓
𝟏
𝟎
𝑎
2
)طىل انمحىرانصغٍر ( 𝑐
𝟗
(
)طىل انمحىرانكبٍر (
𝟔𝟏
(
𝟐
3
الحل/
𝟐)𝟑
𝟓𝟐
بالممارنة مع المعادلة المٌاسٌة للمطع النالص 𝟏
4
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟔𝟗
االختالف المركزي
𝟐𝟕
𝟐
𝟐
𝟔𝟏
𝟗 ⓔ
نرتب المعادلة بحٌث تكون حدود ) ( وحدود ) ( مربع كامل وكما ٌلً : 𝟒𝟒𝟏
) 𝟔
𝟐
بإضافة )𝟖𝟖𝟐( الى طرفً معادلة المطع انىال
(𝟔𝟏
) 𝟖
𝟐
𝟒𝟒𝟏
(𝟗
𝟐𝟕
𝟔𝟗
𝟐
𝟐
𝟔𝟏
𝟗
حتى تكون حدود) ( وحدود ) ( بشكل مربع كامل 𝟖𝟖𝟐
𝟒𝟒𝟏
)𝟗
𝟐
𝟔
)𝟒𝟒𝟏 ( 𝟒𝟒𝟏 معادلة القطع الناقص
108
𝟏
)𝟔𝟏
(𝟔𝟏 𝟐)𝟑 𝟐)𝟑 𝟗
𝟖
(𝟔𝟏
𝟐)𝟒
(
𝟐)𝟒 𝟔𝟏
𝟐
(𝟗 (𝟗 (
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
تانمماروح مع انمعادنح انمٕاسٕح نهمطع انىال
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد 𝟐)
𝟏
𝟐)
( 𝟐
(
3
√7
𝑐
)معادنت انمحىرانصغٍر(
4
وحصم عهّ
𝟐
مركز القطع الناقص )𝟑 𝟒(
𝟕
)
b
(
𝟑
𝟐
𝟗
)طىل انمحىرانكبٍر (
وحدة 𝟖
)𝟒 (𝟐
𝒂𝟐
)طىل انمحىرانصغٍر (
وحدة 𝟔
)𝟑(𝟐
𝟐
𝟐𝒃
𝟔𝟏
𝟒
𝟐𝒂
انبؤرتان )√7 3
انقطبٍه )
وحدة 2√7
(2
𝟎
)𝟐(√7 𝑦
3
𝟐 𝑦
𝑘
(4
)
2 (ℎ
)(8 3
)
2 (ℎ
)
(ℎ
)
(ℎ
)(4 6
2 (4
𝟐𝒃
)
)
2 (ℎ
√7 𝟒
𝟏
الحل/
𝟐𝒄
𝟐𝒂
(ℎ
)√7 3
انرأسان )3
𝟐𝒄
)معادنت انمحىرانكبٍر(
𝑥
2 (4
𝟐
𝑎
)انمسافت بً انبؤرتٍه ( 𝑥
𝟒 𝟔𝟏
𝟗
ℎ
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟒𝟎𝟐
االختالف المركزي
𝟎𝟓𝟏
𝟐
𝟒
ⓕ
𝟐
𝟓𝟐
نرتب المعادلة بحٌث تكون حدود ) ( وحدود ) ( مربع كامل وكما ٌلً : 𝟒𝟎𝟐
𝟐
) 𝟔
بإضافة )𝟗𝟐𝟐( الى طرفً معادلة المطع انىال )𝟓𝟐 ( 𝟓𝟐
𝟐)𝟑
(𝟓𝟐
𝟐)𝟐
تانمماروح مع انمعادنح انمٕاسٕح نهمطع انىال
𝟐
) 𝟒
(𝟓𝟐
(
𝟎𝟓𝟏
𝟒𝟎𝟐
𝟐
𝟒
𝟐
𝟓𝟐
حتى تكون حدود) ( وحدود ) ( بشكل مربع كامل (
𝟏
𝟗𝟐𝟐
𝟐)
)𝟗
𝟔
𝟒𝟎𝟐
معادلة القطع الناقص
𝟏
𝟐)
( 𝟐
( 𝟐
مركز القطع الناقص )𝟑 𝟐 ( 1
109
b
𝟐
(𝟓𝟐
𝟐)𝟑
)𝟒 (
𝟏
𝟒 𝟐)𝟐 𝟓𝟐
𝟐
(
وحصم عهّ : (
) 𝟏
𝟑 𝟐
𝟓
𝟐 𝑎
𝟓𝟐
𝟐
(
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
)طىل انمحىرانكبٍر (
وحدة 𝟎𝟏
)𝟓 (𝟐
𝒂𝟐
وحدة 𝟐
)𝟏(𝟐
𝟐
)طىل انمحىرانصغٍر ( 2√6
𝑐
√24
𝟒𝟐
𝑐
𝟏
𝟐𝒃
𝟓𝟐
𝟐𝒂
)انمسافت بً انبؤرتٍه ( )معادنت انمحىرانصغٍر(
2
انبؤرتان )2√6 3
𝑥
ℎ
2
(2
𝟐𝒄
𝟐𝒄
وحدة 4√6
)معادنت انمحىرانكبٍر(
𝑥
𝟐𝒂
𝟐𝒃
) 𝟐(2√6 𝑦
3
𝟐 𝑦
𝑘
)2√6 3
( 2
)
2 (ℎ
)
(ℎ
(2
)(3 3
)
2 (ℎ
)
(ℎ
)
(ℎ
انرأسان )7 3 انقطبٍه )2 2
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
)( 2 4
(2
2 (ℎ
) √24 𝟓
𝟏
االختالف المركزي
س / 2جد المعادلة المٌاسٌة للمطع النالص الذي مركز فً نمطة األصل فً كل مما ٌؤتً : (أ) البإرتان هما النمطتان )𝟎 𝟓( و )𝟎 𝟓 ( وطول محور الكبٌر ٌساوي )𝟐𝟏(وحدة الحل/ 𝟓𝟐
𝟐
𝟓
𝟏𝟏
𝟐𝒃
𝟔𝟑
𝟓𝟐
𝟐𝒄
)𝟎 𝟓 𝟐𝒂
𝟔𝟑
𝟐𝒂
𝒂
𝟔 𝟐𝒃
𝟐𝟏
𝟐
𝟐𝒃
𝟐𝒂
𝟐𝒄
) معادلة القطع الناقص(
(ب) البإرتان هما )𝟐
(𝟐
)𝟎
y2 𝟏𝟏
𝟏
𝟓( 𝟏
𝟐𝒙 𝟔𝟑
𝟎( وٌتماطع مع محور السٌنات عند 𝟒
الحل/ ) البؤرتان تنتمٌان الى محور الصادات(
نمط التماطع مع محور السٌنات عند 𝟒
𝟒
𝟐
𝟐
)𝟐
تمثل المطبٌن وهً )𝟎 𝟒( )𝟎 𝟒 ( 𝟎𝟐
𝟐𝒂
𝟒
) معادلة القطع الناقص(
110
𝟎( 𝟐
⇐
)𝟐
𝟔𝟏
𝟏
𝟐
𝟔𝟏 𝟐𝒄
𝟎( 𝟏
𝟐𝒂
𝟐𝒃 y2
𝟐𝒙
𝟎𝟐
𝟔𝟏
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
(ج) أحدى بإرتٌه تبعد عن نهاٌتً محور الكبٌر بالعددٌن 𝟏 𝟓 وحدة على الترتٌب الحل/ 𝑎2
𝟗 𝟒 𝟐
𝟓
3 𝑐2
𝟒
𝑎 2
𝟗
6 𝑐
𝟐𝒄
𝑎2 4
𝟐𝒂
2c 𝟐𝒄
𝟐𝒃
𝟓
𝟏
𝟐
𝟏
𝟓
𝟐
𝟐𝒃
𝟐𝒂
هنان حالتٌن لمعادلة المطع النالص وهما : عندما البإرتان تنتمً لمحور الصادات 𝒙 y2 𝟏 ) معادلة القطع الناقص( 𝟓 𝟗
عندما البإرتان تنتمً لمحور السٌنات 𝒙 y2 𝟏 ) معادلة القطع الناقص( 𝟗 𝟓 𝟐
(د) االختالف المركزي
𝟏 𝟐
𝟐
وطول محور الصغٌر )𝟐𝟏( وحدة طولٌة
الحل/ 𝟐 𝟐
𝟐
𝟒
𝟏 𝟐
c 𝟐
𝟖𝟒
𝟐
144
𝟐𝒂3
𝟐𝒂
𝟐𝒂4
144
هنان حالتٌن لمعادلة المطع النالص وهما : عندما البإرتان تنتمً لمحور السٌنات 𝟐 𝒙 y2 𝟏 ) معادلة القطع الناقص( 𝟔𝟑 𝟖𝟒
𝟔𝟑 𝟐𝒂 𝟒𝟒𝟏 𝟐𝒂 𝟒
𝒃
𝟏 𝟐 𝟐𝟏
𝑐 𝑎 𝟔
𝟐
𝟐
𝟔𝟑
𝟒
𝟐𝒃
𝟐𝒄
𝟐𝒂
عندما البإرتان تنتمً لمحور الصادات 𝒙 y2 𝟏 ) معادلة القطع الناقص( 𝟖𝟒 𝟔𝟑 𝟐
(هـ) المسافة بٌن بإرتٌه تساوي )𝟖( وحدات ونصف محور الصغٌر ٌساوي ) (3وحدة الحل/ 9
b2 16
𝟓𝟐
3 c2
𝟐
𝒂
𝑏 𝟒
𝟔𝟏
𝟗
𝟏 𝟑 ) 𝟐( 𝟐 𝟐 𝟖 𝟐 𝒂 𝟐𝒄 𝟐𝒃
هنان حالتٌن لمعادلة المطع النالص وهما : عندما البإرتان تنتمً لمحور السٌنات ) معادلة القطع الناقص(
𝟏
y2 𝟗
عندما البإرتان تنتمً لمحور الصادات 2
𝟐
𝒙 𝟓𝟐
) معادلة القطع الناقص(
111
𝟏
y 𝟓𝟐
𝟐
𝒙 𝟗
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
س / 3باستخدام التعرٌف جد معادلة المطع النالص أذا علم : ⓐبإرتا النمطتان )𝟐
𝟎( ومركز فً نمطة االصل .
𝟎( ورأسا النمطتان )𝟑
الحل/ 𝟐
𝟑 ) حسب التعرٌف( 𝟐)𝟐
)𝟑(𝟐
𝟐)𝟎
( 𝟔
) بتربٌع الطرفٌن وفك األقواس( 𝟒
𝟒
𝟐
𝟐
𝟐)𝟐
𝟐)𝟐
(
𝟔𝟑
𝟖
𝟐)𝟐
𝟐
𝟐
𝟒
𝟒
) معادلة القطع الناقص(
𝟐
𝟒
)𝟒
𝟐
𝟐
(
𝟐)𝟐
𝟐
) 45
112
𝟔
𝟐)𝟐
(
𝟐
√
√𝟐𝟏
𝟔𝟑 𝟔𝟑
√
𝟐)𝟐
(
𝟐
√
𝟗
𝟐)𝟎
(√ √
𝟔𝟑
) بتربٌع الطرفٌن وفك األقواس(
𝟏𝟖
𝟐
𝟐
(
𝟒
)𝟒 (
𝟏𝟖
𝟐
(
( 𝟐
𝟐)𝟐
(√
𝟐)𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
(
𝟒
𝟐
√𝟐𝟏 √𝟑
𝟐
(𝟗
𝟔𝟑
𝟐
𝟗
𝟐
𝟗
𝟔𝟑
𝟏𝟖
𝟐
𝟓
𝟐
𝟗
(
𝟓𝟒
𝟐
𝟓
𝟐
𝟗
𝟔𝟑
1
𝑦2 9
𝑥2 5
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
ⓑالمسافة بذٌن البذإرتٌن )𝟔( وحذدة والعذدد الثابذت )𝟎𝟏( والبإرتذان تمعذان علذى محذور السذٌنات ومركذز فذً نمطة االصل . الحل/ البؤرتان )𝟎 𝟑 ( الراسان)𝟎 𝟓 (
𝟑
𝟔 𝟎𝟏
𝟓
𝟐 𝟐
وباالعتماد على تعرٌف المطع النالص 𝟐 )𝟓(𝟐
𝟐)𝟎
) بتربٌع الطرفٌن وفك األقواس( 𝟐
𝟗
𝟔
𝟐
𝟐
(
𝟐)𝟑
𝟎𝟏
𝟐
𝟐
𝟐)𝟎
(√ 𝟐)𝟑
𝟐)𝟑
(√
𝟐
𝟐)𝟑
(√
(√
𝟐
𝟐)𝟑
(√
𝟎𝟏
𝟐
𝟐)𝟑
(√
𝟐)𝟑
(√𝟎𝟐
𝟎𝟎𝟏
)𝟒 (
𝟎𝟎𝟏
𝟐𝟏
(
𝟐 𝟐
𝟗 𝟐)𝟑
𝟐 𝟐)𝟑 𝟑 𝟓𝟐 ) بتربٌع الطرفٌن وفك األقواس( )𝟐 𝟐 𝟔 𝟗 𝟗 𝟎𝟓𝟏 𝟓𝟐𝟔 𝟐 𝟐 𝟎𝟓𝟏 𝟓𝟐 𝟓𝟐𝟐 𝟗 𝟎𝟓𝟏 𝟓𝟐𝟔 𝟐 𝟓𝟐 𝟓𝟐𝟐 𝟓𝟐𝟔 )𝟎𝟎𝟒 ( 𝟎𝟎𝟒 𝟐 𝟓𝟐
) معادلة القطع الناقص(
113
𝟏
1
𝑦2 16
𝟔
𝟐
(√𝟎𝟐 (√𝟓 𝟐 (𝟓𝟐 𝟐 𝟓𝟐 𝟐 𝟔𝟏 𝟐 𝟔𝟏
𝑥2 25
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
وزاري / 2014د2 س / 4جذذد معادلذذة المطذذع النذذالص الذذذي مركذذز فذذً نمطذذة االصذذل واحذذدى بإرتٌذذه هذذً بذذإرة المطذذع المكذذافئ الذي معادلته )𝟎 𝟖 𝟐 ( علما ان المطع النالص ٌمر بالنمطة )𝟑√ 𝟑√𝟐( الحل /فً المطع المكافئ : البورة)𝟎 𝟐 (
𝒑
𝟐
𝟒
𝟖
) بانمقاروت مع(
𝟐
𝟒
𝟐
𝟖
فً المطع النالص : البإرتان )𝟎 𝟐 ( )𝟎 𝟐(
⇐
والمانون هو
𝟐
𝟏
𝟐𝒚
𝟐𝒙
𝟐
𝟐𝒂
النمطة )𝟑√ 𝟑√𝟐( تحمك معادلة المطع النالص ألنه ٌمر بها ) معادلة ①(
𝟐𝒂
𝟐
𝟐 𝒂𝟑
𝟐
𝟏
𝟐𝟏
𝟑
𝟐𝟏
𝟐
𝟐𝒂
) وعىض فً①( 𝟎
𝟐𝟏
𝟐
𝟏𝟏
𝟐
𝟒
𝟒
𝟒
𝟐𝒃𝟑
𝟐𝟏
𝟐
𝟐
)𝟑√(
𝟏 𝟐𝒃
𝟒 𝟐
𝟐𝟏
)𝟒
𝟎
𝟐𝒂
𝟐𝒄 𝟐
)𝟒
𝒃(
)𝟑√𝟐(
𝟐
𝟐𝒂 𝟐
𝟐
𝟐
)𝟏
𝟐𝒂
𝟐𝒃 𝟐
𝒃(𝟑
𝟐
()𝟐𝟏
𝟐 𝟐𝟏 𝟔𝟏 𝟐 𝒚 ) معادلة القطع الناقص( 𝟏 𝟐𝟏 ٌهمل 𝟏
𝟐𝟏 (
𝟐
𝟐𝒙 𝟔𝟏 𝟐
س / 5جذذذد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي مركذذذز فذذذً نمطذذذة االصذذذل وبإرتذذذا علذذذى محذذذور السذذذٌنات وٌمذذذر بالنمطتٌن )𝟐 𝟔( )𝟒 𝟑( ∵ البإرتان على محور السٌنات ⇐ المانون هو
الحل/
𝟏
𝟐𝒚
𝟐𝒙
𝟐
𝟐𝒂
∵ النمطة )𝟐 𝟔( تحمك معادلة المطع النالص ألنه ٌمر بها ) معادلة ①(
𝟐
𝟐𝒂
𝟐
𝟐 𝒂𝟒
𝟏
𝟔𝟑
𝟒
𝟔𝟑
𝟐
𝟐𝒂
∵ النمطة )𝟒 𝟑( تحمك معادلة المطع النالص ألنه ٌمر بها ) معادلة ②( 𝟐 𝟐𝒂 𝟐𝒂𝟔𝟏 𝟐 𝟗 وبحل المعادلتٌن انٌا بالطرح نحصل على المعادلة التالٌة 𝟐 𝟗 𝟒 𝟒 𝟗 𝟒
) وعىض فً①( 𝟒
𝟗 𝟓𝟒
𝟐
𝟎𝟖𝟏 𝟐
𝟎𝟐
𝟐
𝟐𝒂 𝟐
𝟐
𝟓𝟒 𝟎
𝟐
)𝟎𝟐
𝟏
𝟐𝒂𝟒
𝟗
𝟐 𝟗 𝟒 𝟐
(
𝟐
𝟔𝟏
𝟐
𝟐
𝟗
𝟕𝟐 𝟐
𝟎
𝟗
𝟐
𝟐𝒂𝟐𝟏
𝟔𝟑 𝟐
𝟎𝟐
𝟐)𝟑(
𝟐
𝟐𝒂
𝟐𝒂𝟐𝟏
𝟐 𝟗 𝟒
𝟒
𝟐𝒂
𝟐)𝟒(
𝟎
) معادلة القطع الناقص(
114
𝟐
𝟏
𝟐𝒂
𝟐
𝟐)𝟐(
𝟏
𝟐)𝟔(
𝟐 𝟗 𝟒 𝟐
𝟎
𝟏
𝟐
𝟒
𝟎𝟖𝟏
𝟐𝒚 𝟎𝟐
𝟕𝟐 𝟐
𝟒
𝟐𝒙 𝟓𝟒
𝟔𝟑 𝟗
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
س / 6جـــــذذذـد معادلــــــذذذـة المطذذذع النالـــــذذذـص الذذذذي مركذذذز نمطذذذة االصــذذذـل وبإرتذذذا نمطتذذذا تمذذذاطع المنحنذذذً 𝟐 𝟐 𝟐 مع محور الصادات وٌمس دلٌل المطع المكافئ 𝟐𝟏 𝟑 𝟔𝟏 الحل ∵ /المنحنً )𝟔𝟏
𝟑
𝟐
𝟐
( ٌمطع المحور الصادي ⇐
𝟎 𝟒
البإرتان )𝟒
𝟎( )𝟒 𝟎(
⇐
𝟐
𝟔𝟏
والمانون هو
𝟔𝟏
𝐲
𝟏
𝟐
𝟐𝒚
𝟐𝒙
𝟐𝒂
𝟐
من المطع المكافئ المعطى 𝟑
𝟐𝟏
𝒑
𝟒
𝟐
𝟒
وقطت انتماس )𝟎 𝟑 (
𝟐𝟏
𝟐
𝐩
𝐱
) بانمقاروت مع(
دنٍم انقطع انمكافئ 𝟑
𝒙
∵ النمطة )𝟎 𝟑 ( تحمك معادلة المطع النالص ألنه ٌمر بها 𝟐
𝟗
𝟗
𝟏
𝟐𝒃
𝟐𝒂
𝟓𝟐
𝟐)𝟎(
𝟏 16
𝟐𝒂
𝟐
𝑐2
9
) معادلة القطع الناقص(
𝟐)𝟑 (
𝟏
𝑏2 𝟐𝒚 𝟓𝟐
𝑎2 𝟐𝒙 𝟗
س / 7جـــــــــد معادلة المطع النذالص الذذي بإرتذا تنتمذً الذى محذور الســــــــذـٌنات ومركذز فذً نمطذة األصــذـل 𝟖 𝟐 عنذذد النمطذذة التذذً وطذذول محذذور الكبٌذذر ضذذعف طذذول محذذور الصذذغٌر وٌمطذذع المطذذع المكذذافئ 𝟎 احداثٌها السٌنً )𝟐 ( الحل ∵ /البإرتان تنتمً لمحور السٌنات
المانون هو
⇐
𝟏
𝟐𝒚
𝟐𝒙
𝟐
𝟐𝒂
∵ طول المحور الكبٌر ضعف طول المحور الصغٌر 𝟐
من المطع المكافئ المعطى نعوض لٌمة )𝟐 𝟎
𝟒
النقطتان )𝟒
𝟔𝟏
𝟐
𝟒
𝟐
) 𝟐 (𝟐
𝟐
𝟐
(
𝟎
𝟔𝟏
𝟐
𝟎
𝟐
)𝟐 (𝟖
𝟎
𝟐
𝟖
𝟐 ( )𝟒 𝟐 ( تنتمً للمطع المكافئ والمطع النالص لذا فهً تحمك معادلة المطع النالص 𝟏
𝟔𝟏
𝟏
𝟐
𝟐
𝟏
𝟔𝟏 𝟐
𝟒 𝟐 𝟒
𝟏
𝟒 𝟐𝒂
𝟔𝟏 𝟐
𝟕𝟏 𝟖𝟔
𝟐
) معادلة القطع الناقص(
115
𝟏
𝟐)𝟒( 𝟐
𝟐
𝟏 )𝟕𝟏(𝟒 𝟏
𝟐
𝟐𝒚 𝟕𝟏
𝟒
𝟐)𝟐 ( 𝟐𝒂 𝟕𝟏 𝟐 𝟐
𝟐𝒙 𝟖𝟔
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐 𝟐 و مركز نمطة االصل ومجموع مربعً طولً محورٌه س / 8لطع نالص معادلته 𝟔𝟑 𝟑√𝟒 𝟐 ما لٌمة كل من ٌساوي )𝟎𝟔( واحد بإرتٌه هً بإرة المطع المكافئ الذي معادلته
من المطع المكافئ المعطى
الحل/
𝟐
𝟒
) بانمقاروت مع(
𝟑√𝟒
𝒑
𝟑√𝟒
البؤرة )𝟎 𝟑√( 𝟐
بإرتا المطع النالص )𝟎 𝟑√ ( )𝟎 𝟑√( ⇐ 𝟑
𝟑√
⇐ المانون
𝟏
)𝟔𝟑 ( 𝟔𝟑
𝟔𝟑
𝟐
𝟐
𝟐𝒂 𝟐
𝟔𝟑
𝟐𝒂
𝒉
𝟐𝒚
𝟐𝒙
𝟐
𝟒
𝟐
𝟐𝒚
𝟏
𝟐𝒙 𝟔𝟑
𝟔𝟑
)𝒉(
) (
∵ مجموع مربعً طول محورٌه = 𝟎𝟔 𝟐
𝟐
𝟓𝟏 𝟗
𝟓𝟏
𝟐
𝟔
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐𝟏
𝟐
𝟎𝟔 𝟐
𝟐
𝟒 𝟐
3
𝟒
𝟐) 𝟐(
𝟎𝟔
𝟐
𝟐
𝟐
𝟓𝟏 𝟔𝟑 𝟗 𝟔𝟑 𝟔
𝟒 𝟔
𝟐) 𝟐( 𝟐
𝟔𝟑 𝒉 𝟔𝟑 𝒌
𝟐𝒂 𝟐𝒃
س / 9جـــذـد معادلــذـة المطذع النالــذـص الذذي مركذز نمطـــــــذـة االصـــــــذـل واحـــذـدى بإرتٌذه هذً بذإرة المطذع المكافئ 𝟒𝟐 𝟐 ومجموع طولً محورٌه )𝟔𝟑( وحدة . وزاري / 2012د3 الحل /من المطع المكافئ المعطى 𝟒
𝟐
) بانمقاروت مع(
البؤرة )𝟔 𝟎(
بإرتا المطع النالص )𝟔 𝟎( )𝟔
𝟎( ⇐ 𝟔𝟑 𝒃
36
𝟐
𝟐
𝟒𝟔
𝟔𝟑 𝟐
𝟐
𝟖𝟏
𝒂
𝟒𝟐𝟑
𝟖
⇐ المانون 𝟖𝟏
36
𝐛
𝟐
288 𝟎𝟎𝟏
𝟐
𝟔
𝟐
𝒃
)𝒃
𝒂
𝟎𝟏
𝟐𝒚
𝟐𝒙
𝟐𝒂
𝟐
𝟖
𝒃 𝟏
𝟐
𝟐
𝟔𝟑
𝟖𝟏
𝟒
𝟐
𝟐
36
) معادلة القطع الناقص(
116
𝟒𝟐
𝟔𝟑
𝟖𝟏(
𝟔𝟑
𝟒𝟐
𝐩
𝟏
𝟐
𝟐
𝟒𝟐𝟑 𝟖𝟏
𝒂
𝟐𝒚 𝟎𝟎𝟏
𝟐𝒙 𝟒𝟔
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
تنتمً للمطع النالص س / 10جد معادلة المطع النالص الذي بإرتٌه )𝟎 𝟒( 𝟐 )𝟎 𝟒 ( 𝟏 والنمطة وزاري / 2014د1 ٌساوي )𝟒𝟐( وحدة . بحٌث أن محٌــــــط المثلث 𝟐 𝟏 الحل/ )𝟎 𝟒( 𝟐
𝟔𝟏
∵ محٌــــــط المثلث
𝟐 𝟏
)𝟎 𝟒 ( 𝟏
𝟐𝐂
𝟒
ٌساوي )𝟒𝟐( وحدة وحسب تعرٌف المطع النالص : )معادلة ① ( 𝟒𝟐 وحدة 𝟖
) المسافة بٌن البؤرتٌن(
) حسب تعرٌف القطع الناقص(
𝟐 𝟏
)𝟒 (𝟐
𝟐
𝐂𝟐
𝒂𝟐
𝟐
𝟏 𝟐 𝟏 𝟏
وبالتعوٌض فً )معادلة ① ( نحصل على ما ٌلً : 𝟒𝟔 𝟖𝟒
𝟐
𝟐
𝟖 𝟔𝟏
𝟒𝟔
𝒂
𝟐
بإرتا المطع النالص )𝟎 𝟒( )𝟎 𝟒 ( ⇐ المانون
16
𝟏
𝟔𝟏
𝟐
𝟐
𝟒𝟔
𝟐𝒚
𝟐𝒙
𝟐
𝟐𝒂
) معادلة القطع الناقص(
117
𝟒𝟐 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐𝒚 𝟖𝟒
𝟐
𝟖 𝟐
𝟐𝒙 𝟒𝟔
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
أمثلة أضافٌة محلولة مثال /لكل مما ٌؤتً جد معادلة المطع النالص الذي : ⓐبإرتا )𝟎 𝟑( )𝟎 𝟑 ( وطول المحور الكبٌر ) 𝟎𝟏 وحدات( ومركز نمطة األصل 𝟔𝟏
𝟒
𝟗
𝟐𝒄
𝟓𝟐
𝟐𝒃
𝟐𝒂
𝟓
𝟑
𝟎𝟏
) معادلة القطع الناقص(
ⓑرأسا )𝟔 𝟎( )𝟔
𝟏
𝑦2 𝟔𝟏
𝟐
𝟐𝒙 𝟓𝟐
𝟎( وطول المحور الصغٌر ) 𝟖 وحدات( ومركز نمطة األصل 𝟒
𝟔
𝟖
) معادلة القطع الناقص(
𝟏
𝑥2 𝟔𝟏
𝟐 𝟐𝒚 𝟔𝟑
𝟑
ⓒأحدى بإرتٌه )𝟒 𝟎( ومركز نمطة األصل والنسبة بٌن طول محور الصغٌر والمسافة بٌن بإرتٌه تساوي )𝟒( 𝟓
𝟓𝟐
𝟔𝟏
𝟗
𝟐𝒄
𝟐𝒃
𝟐𝒂
𝟑
𝟑 𝟒
𝟒
) معادلة القطع الناقص(
𝟏
𝑥2 𝟗
𝟐 𝟐 𝟐𝒚 𝟓𝟐
ⓓمركز نمطة األصل وٌمر بالنمطتٌن )𝟎 𝟒 ( )𝟑 𝟎( ثم جد مساحته ومحٌطه ) معادلة القطع الناقص( )وحدة مربعة (
)وحدة (
𝟐√5
𝑦2 𝟗
𝟏
12 𝟓𝟐 √ 2 2
118
𝟐𝒙 𝟔𝟏
𝟑
)(4)(3 𝟗 2
𝟔𝟏 √ 2
𝟒 انمساحت
2
2
2
√ 2
انمحٍط
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
ⓔمركز نمطة األصل وأحد لطبٌه ٌمر بؤحدى نمطتً تماطع المستمٌم الحل /ألٌجاد نمط التماطع نجعل )𝟎 )𝟎 𝟒(
𝟖
) معادلة القطع الناقص(
𝟖
𝟐
( ثم نجد لٌم ) ( ثم نجعل )𝟎 𝟎
𝒙𝟐 𝑦2 𝟒𝟔
𝟏
𝟐𝒙 𝟔𝟏
( ألٌجاد لٌم ) ( )𝟖 𝟎(
𝒚 𝒇𝒊 ) القانون ( 𝟏
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟖
𝑦2
𝟐𝒙
𝟐
𝟐
𝟎
𝒚
𝟖
𝟒
ⓕمركز نمطة األصل ومحور الكبٌر ٌنطبك على محذور السذٌنات والبعذد الثابذت لذه )𝟎𝟏 وحدات( وطذول محذور الصغٌر )𝟔 وحدات( ) معادلة القطع الناقص(
ⓖأحدى بإرتٌه )𝟑
𝑦2 𝟗
𝟏
𝟐𝒙 𝟓𝟐
3
𝟔
b
𝟐
𝟓𝟐𝟐
𝟎𝟏
𝟒
𝟎( ومركز نمطة األصل والنسبة بٌن طول محورٌه تساوي )𝟓( 𝟒 𝟓
𝟐𝒂𝟓𝟐
𝟓
𝟐
𝟐𝒂𝟔𝟏
𝟗
𝟐𝒂
𝟗
𝟓𝟐
𝟔𝟏
𝟐 16 𝒂 25 𝟐𝒄
𝟐𝒄 𝟐𝒂
𝒃
𝟐𝒂
𝟐𝒃
𝟒 𝟓
𝟐 𝟐
𝟐𝒃
𝟐𝒄
𝟐𝒂
𝟓𝟐
) معادلة القطع الناقص(
𝟑 𝟐𝒃
𝟓𝟐𝟐 𝟏
𝑥2 𝟔𝟏
𝟐𝒂 𝟐𝒂𝟗 𝟐𝒚 𝟓𝟐
𝟏
ⓗأحدى بإرتٌه )𝟎 𝟒( ومركز نمطة األصل واختالفه المركزي )𝟐( 𝟖𝟒
𝟐𝒃
𝟔𝟏
𝟒𝟔
𝟐𝒄
𝟐𝒂
𝟐𝒃
𝟖
4 𝑎
𝟏 𝟐
) معادلة القطع الناقص(
119
𝟒
𝟏
𝟐𝒚 𝟖𝟒
𝑥2 𝟒𝟔
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎 𝟑
ⓘمركز نمطة األصل وبإرتا تنتمٌان لمحور السٌنات ومساحته ) 𝟒𝟐( والنسبة بٌن طول محورٌه )𝟖( ) معادلة 𝟖
𝟗
𝟑
𝑏2
𝟐𝟕
(
𝑏8 𝟑
8𝑏 2
24 𝑏
𝑎
24 𝑏
𝟒𝟐
𝑏8 𝟑
𝑏8
𝟑 𝟖
𝑎3
) معادلة القطع الناقص(
𝟐 𝟐
𝟐𝒚 𝟗
𝟏
𝑥2 𝟒𝟔
ⓙمركز نمطة األصل ومحورا ٌنطبمان على المحورٌن اإلحداثٌٌن وأحدى بإرتٌه هً بإرة المطذع المكذافئ الذذي 𝟐𝟏 𝟐 ( وطول محور الكبٌر ضعف طول محور الصغٌر معادلته )𝟎 الحل /من المطع المكافئ : البورة)( 3
3
12
p
4p
𝟐
𝟒
) بانمقاروت مع(
𝟐
𝟐𝟏
من المطع النالص : البإرتان )𝟑 𝟑
𝟐
𝟗
𝟎( )𝟑 𝟎( 𝟐
𝟑
𝟗
𝟐
⇐ 𝟐
) معادلة القطع الناقص(
⇐المانون هو
𝟑 𝟗
𝟒 𝟏
𝑦2 𝟐𝟏
𝟐
𝟏
(𝟐 )2
𝟐𝒙 𝟑
𝟐
2
𝟐𝟏
𝑦2
𝟐𝒙
𝑎2
𝟐
𝟐
𝑎
𝑎2
𝟐 𝟐
)𝟑(𝟒
𝟒
2
𝑎
ٌ ⓚمر بالنمطة )𝟑 𝟎( والمسافة بٌن بإرتٌه )𝟔 وحدات(
) ألنه يمر بالنقطة( )توجد معادلتٌن للقطع الناقص( ) معادلة القطع الناقص الثانٌة (
𝟏
𝑦2 𝟗
𝟐𝒙 𝟖𝟏
120
𝟖𝟏
𝟐𝒂
𝟗
𝟗
𝟐𝒂
) معادلة القطع الناقص األولى (
3
c
3
b 𝟐𝒄 𝟏
𝟔
𝟐
𝟐𝒃
𝟐𝒂
𝑦2 𝟖𝟏
𝟐𝒙 𝟗
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مثال /جذد طذول كذل مذن المحذورٌن والبعذد البذإري وإحذداثٌات البذإرتٌن والرأسذٌن واالخذتالف المركذزي والمحذٌط والمساحة لمعادلة المطع التالٌة 𝟎𝟎𝟒 𝟐 𝟓𝟐 𝟐 𝟔𝟏 𝟏 𝟑
c
𝟗
𝟔𝟏
𝟐
𝟐
𝟔𝟏
𝟓𝟐
𝟓𝟐
)المحور الصغٌر ( وحدة
𝟐 𝟓𝟐 𝟎𝟎𝟒
𝟏
𝟐
𝑎2
𝟖
𝟐
)𝟒(𝟐
𝟐 𝟔𝟏 𝟎𝟎𝟒
𝟒
𝟐
)𝟎𝟎𝟒 ( 𝟎𝟎𝟒
b
𝟐
𝟔𝟏
𝟐
𝟓
𝟓𝟐
𝑎
)المحور الكبٌر ( وحدة 𝟎𝟏
)𝟓(𝟐
𝟐
𝟔
)𝟑(𝟐
𝟐
البؤرتان )𝟎 𝟑 ( )𝟎 𝟑(
الرأسان )𝟎 𝟓 ( )𝟎 𝟓( 𝟑 𝟓
2
االختالف المركزي
)(5)(4
𝟏𝟒 √ 2 )وحدة ( 2
𝟔𝟏
𝑎2
𝟓𝟐
)البعد البؤري( وحدة
)وحدة مربعة (
𝟐
𝟔𝟏 2
انمساحت
2
𝟓𝟐 √ 2
2
√ 2
2
انمحٍط
مثال /عٌن كل من البإرتٌن والرأسٌن ثم جد طول ومعادلة كل من المحورٌن واالخذتالف المركذزي للمطذع النذالص 𝟎𝟎𝟏 𝟐 𝟗 𝟐 𝟓𝟐 𝟒𝟓 الذي معادلته هً 𝟎 𝟒𝟒 انحم /نرتب المعادلة بحٌث تكون حدود ) ( وحدود ) ( مربع كامل وكما ٌلً : 𝟒𝟒
𝟐
) 𝟔
(𝟗
𝟐)𝟐
تانمماروح مع انمعادنح انمٕاسٕح نهمطع انىال
𝟏
)𝟓𝟐𝟐 ( 𝟓𝟐𝟐
𝟐)𝟑
) 𝟒
(𝟗
بإضافة )𝟏𝟖𝟏( الى طرفً معادلة المطع انىال
𝟐
(𝟓𝟐
𝟒𝟒
𝟏𝟖𝟏
)𝟗
𝟒𝟒
𝟐)
𝟐)
( 𝟐
(
مركز القطع الناقص )𝟑 𝟔𝟏
𝟏
(𝟗
𝟐)𝟑 𝟓𝟐
𝟒
(
𝟐)𝟐
( 𝟗
𝟐( 3
b
(
) 𝟗
𝟑 𝟐
)انمسافت بً انبؤرتٍه (
121
)𝟒
𝟐
(𝟓𝟐
وحصم عهّ
𝟐
𝟐
𝟐
𝟔
معادلة القطع الناقص
4
𝟎𝟎𝟏
𝟗
حتى تكون حدود) ( وحدود ) ( بشكل مربع كامل (𝟓𝟐
𝑐
𝟒𝟓
𝟐
𝟐
𝟓𝟐
𝟓
𝟐 𝑎
𝟓𝟐
وحدة 8
)𝟐(4
𝟐
𝟐
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة )معادنت انمحىرانصغٍر(
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
3
𝑘
𝑦
)معادنت انمحىرانكبٍر(
𝑦
انبؤرتان )7 انرأسان )8
2 (2 2 (2
𝟐
مثذذذذال /لذذذذتكن 𝟎𝟎𝟒
𝟒
محور الكبٌر ومحور الصغٌر
𝟓
𝑥
2
𝑥
ℎ
)(2 1
)
2 (ℎ
)
(ℎ
)(2 2
)
2 (ℎ
)
(ℎ
4 𝟓
𝟏
𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
االختالف المركزي
معادلذذذذة لطذذذذع نذذذذالص احذذذذدى بإرتٌذذذذه )𝟎 𝟑( والنسذذذذبة بذذذذٌن طذذذذول
فجد لٌم كل من
انحم / 𝟐
𝟏 )
𝟎𝟎𝟒
𝟐
(
)
𝟐
𝟏
𝟎𝟎𝟒
(
𝟐
𝟎𝟎𝟒
)𝟎𝟎𝟒 (
𝟎𝟎𝟒
𝟎𝟎𝟒
𝟐
𝟐
∵ البإرة تنتمً لمحور السٌنات المانون
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟎𝟎𝟒
⇐
𝑎2
𝟎𝟎𝟒
𝟐
𝟐 𝟔𝟏 𝟓𝟐
𝟑
2
𝟗 𝟔𝟏
𝑏2
𝟓𝟐
𝟐
𝟓𝟐𝟐
𝟐
𝟒 𝟓
𝑏
𝟐
𝟔𝟏 𝟓𝟐
𝟗
𝟐
𝟓𝟐𝟐 𝟔𝟏
𝟓𝟐
) معادلة القطع الناقص (
122
𝟐𝒄 𝟐
𝟔𝟏
𝟎𝟎𝟒 𝟓𝟐 𝟎𝟎𝟒 𝟔𝟏 𝟏
𝟒 𝟓
𝟐 𝟐
𝟐𝒃
𝟐𝒂
𝟐
𝟓𝟐
𝟎𝟎𝟒 𝟐
𝟎𝟎𝟒 𝟐
𝑦2 𝟔𝟏
𝟐𝒙 𝟓𝟐
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
مثذذذال /جذذذد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي مسذذذاحته ) 𝟒𝟐 𝟐 ( ودلٌله بٌن بإرة المطع المكافئ )𝟎
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟎𝟖( والذذذذي ٌكذذذون البعذذذد بذذذٌن بإرتٌذذذه مسذذذاوٌا للبعذذذد
انحم /من المطع المكافئ 𝟐
𝟒 12
) بانمقاروت مع( 6
|2|p
36
𝟒𝟐
p
𝑐2
𝟐
24
6
4p
c
2
12
من المطع النالص : 𝟎𝟎𝟒𝟔 ( 𝑎2
)معادلة
𝟐
𝟎
𝟎𝟖
𝟎𝟎𝟒𝟔
𝟑𝟔𝑎2
𝟎𝟖 𝟒
𝟎𝟎𝟒𝟔 𝑎2
𝟔𝟑
𝑎2
𝑎2
ٌهمم 64 ) معادلة القطع الناقص الثانٌة ( 𝟐
مثال /أذا كانت 𝟎 أحد بإرتٌه )
𝟏
𝟐
𝟐𝒙 𝟒𝟔
𝑦2 𝟎𝟎𝟏
𝟐
𝟒𝟔
𝟐
)(𝑎2
)64
𝟎 𝑟𝑜
𝟐
) معادلة القطع الناقص األولى (
𝟏
(𝑎2
1
𝑎2
1
𝑎2
𝑦2 𝟒𝟔
either 𝟐𝒙 𝟎𝟎𝟏
معادلة لطع مكافئ دلٌله ٌمذر بالنفطذة )𝟐 𝟏 ( جذد معادلذة المطذع النذالص الذذي
𝟑
𝟎( ومربع طول النسبة بٌن محورٌه
𝟑 𝟒
الحل /من المطع المكافئ نالحظ أن المطع المكافئ من النوع السٌنً لذا فؤن معادلة الدلٌل له ( ألنه ٌمع على المحور السٌنً
]𝟏 [
) 𝟏 2
4
M
𝟑
𝟐
من المطع النالص :بإرتا
𝟒
)𝟐 𝟎( )𝟐
𝟑(
)𝟐
𝟒 𝟐𝟏
𝟐
𝟔𝟏
𝟐
𝟔𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
𝟒
𝟎( والمانون هو 𝟏
𝟐
𝟒
) بانمقاروت مع(
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑 𝟒
𝟐
𝟒
𝟐
𝟑 𝟒
𝟑(
𝟑 𝟒
𝟐
𝟐
) معادلة القطع الناقص (
123
)𝟐
𝟐𝒄 𝟏
𝟐
𝟐𝒃 𝑦2 𝟔𝟏
𝟐
𝟒 𝟒
𝟐
𝟐𝒂 𝟐𝒙 𝟐𝟏
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
مثال /جد معادلة المطع النذالص الذذي مركذز نمطذة األصذل وبإرتذا )𝟎 بإرة المطع المكافئ 𝟎
𝟏𝟏
𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
)𝟎 𝟔√
𝟔√( 𝟐
وٌمذر خذالل
(𝟏
𝟐
𝟐𝟏
الحل /من المطع المكافئ نرتب المعادلة بحٌث تكون حدود ) ( فً طرف وحدود ) ( فً الطرف األخر
𝟐𝟏
𝟏𝟏
𝟐
𝟐
نضٌف )𝟏( الى طرفً معادلة المطع المكافئ حتى تكون حدود) ( بشكل مربع كامل )𝟏
(𝟐𝟏
𝟐)𝟏
𝒚(
𝟐𝟏
𝟐𝟏
تانمماروح مع انمعادنح انمٕاسٕح نهمطع انمكافئ )
𝟐)𝟏
𝟐)
( 𝟒 انرأس)𝟏
)تحقق معادنت انقطع انىاقص( )1
𝟐( 𝐹
)1
𝟑( 𝐹
𝟏
𝒚(
𝟏𝟏
𝟏
𝟏
𝟐𝟏
𝟐
𝟐
( وحصم عهّ (
𝟏 (
)
)𝑘 ℎ
𝑝(F
𝟏
𝟏 𝟑
𝟒
𝟐𝟏
من المطع النالص : ∵ بإرتً المطع النالص )𝟎 𝟔√( )𝟎 𝟔√ ( ⇐ المانون هو 𝟏 انىمطح )1
𝟐( تحمك معادنح انمطع انىال
𝟐 𝟐
) نعوض فً معادلة ① ( 𝟎
𝟔
𝟐
𝟐
𝟐
𝟔
ألوً ٔمز تٍا ( تؤرج انمطع انمكافئ )
) معادلة ① (
𝟒
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟔
𝟒
𝟐
𝟐
𝟔 𝟔
𝟐
𝟐
) 𝟐 𝟐 ×(
𝟒 𝟐
𝟐
𝟐
𝟓
𝟐
)𝟔 𝟎
ٌهمم 3
𝑏2
𝑟𝑜
𝟖
𝟐
) معادلة القطع الناقص (
124
𝟏
𝟏
𝟒
𝟐
𝟐
𝟐
(
𝟐
𝟐
𝟔
)𝟐
𝟐
𝟐𝒃()𝟑
𝟒
𝟐𝒃(
2
𝑏2
𝑟𝑒𝑒𝑖𝑡ℎ
𝟏
𝑦2 𝟐
𝟐𝒙 𝟖
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مثذذذذذذال /جذذذذذذد أحذذذذذذداثً البذذذذذذإرتٌن والرأسـذذذذذذـٌن والمطبذذذذذذٌن وطذذذذذذـول ومعادلذذذذذذـة كذذذذذذل مذذذذذذن المحذذذذذذورٌن للمطذذذذذذع 𝟖 𝟐 𝟒( ثم جد لٌمة e؟ 𝟔𝟑 𝟐 𝟗 النالص )𝟎 𝟒 انحم /نرتب المعادلة بحٌث تكون حدود ) ( وحدود ) ( مربع كامل وكما ٌلً : 𝟐
) 𝟒
𝟒
𝟐)𝟏
(𝟒
تانمماروح مع انمعادنح انمٕاسٕح نهمطع انىال
𝟏
)𝟔𝟑 ( 𝟔𝟑
𝟐)𝟐
(𝟗
) 𝟐
(𝟗
بإضافة )𝟎𝟒( الى طرفً معادلة المطع انىال
𝟐
(𝟒
𝟔𝟑
𝟎𝟒
𝟐)
)𝟒
𝟒
معادلة القطع الناقص
𝟏
𝟒
𝟐)
( 𝟐
(
𝑐
𝟐
𝟏( 2
)معادنت انمحىرانصغٍر( انبؤرتان )2
𝑥
) b
√5
2 (1
انرأسان )2
2
(2
𝟐)𝟐
𝟐)𝟏
( 𝟒
( 𝟗
( 𝟐
𝟒
𝟏 𝟑
𝑎
وحدة 2√5
)معادنت انمحىرانكبٍر(
𝑥 )2
(𝟗
𝟐
𝟐
)انمسافت بً انبؤرتٍه ( ℎ
𝟐
)𝟏
𝟐
(𝟒
وحصم عهّ
𝟐
5
1
𝟖
حتى تكون حدود) ( وحدود ) ( بشكل مربع كامل
مركز القطع الناقص )𝟐 √5
𝟒
𝟐
𝟗
𝟐
𝟒
𝟐
𝟗
)𝟐(√5 𝑦
2
𝟐 𝑦
𝑘
√5
(1
)
2 (ℎ
)
(ℎ
)2
(4
)
2 (ℎ
)
(ℎ
√5
𝟏
االختالف المركزي
3
مثال /جذد أحذداثً البذإرتٌن والرأسذٌن والمطبذٌن و طذول ومعادلذة كذل مذن المحذورٌن وممذدار االخذتالف المركذزي ومعادلة المطع النالص الذذي مركذز )𝟒 𝟏( ومحذور الكبٌذر ٌذوازي محذور الصذادات وأحذدى بإرتٌذه تبعذد عذن الرأسٌن بالبعدٌن 2, 10وحدة طول انحم ∵ /مجمُى انثعذٔه 𝟒
𝐜
𝟐 𝟖
َانفزق تٕه انثعذٔه 𝐜𝟐
𝟐
𝟎𝟏
∵ محُري انكثٕز ُٔاسْ محُر انصاداخ ⇐ 𝟒
𝟏
𝟎𝟐
𝟐
𝟐 𝟔
𝐜𝟐
𝒂
𝟐𝟏
انمعادنح انمٕاسٕح نهمطع انىال 𝟔𝟏
𝟔𝟑
𝟐𝒃
𝟐𝒄
معادلة القطع الناقص
125
𝟐
𝟏
𝟐𝒂 𝟏
𝟎𝟏
𝟐
𝟐
(
𝟐)
(
𝟐) 𝟐
𝟐𝒃
𝟐𝒄
𝟐)𝟒 𝟔𝟑
(
𝟐
𝟐𝒃
𝟐𝒂
𝟐)𝟏 𝟎𝟐
(
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
)انمسافت بً انبؤرتٍه ( )معادنت انمحىرانصغٍر(
4
𝑦
𝑘
انبؤرتان )8 انرأسان ) 1
𝑦 2 (1
2 (1
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
وحدة 8
)معادنت انمحىرانكبٍر(
)𝟐(4 𝑥
1
𝟐
ℎ
) (1
)
2 (ℎ
)
(ℎ
)(1 2
)
2 (ℎ
)
(ℎ
𝟏
2 𝟑
4 𝟔
𝑥
االختالف المركزي
******************************************************************
س : 1جد أحداثً البذإرتٌن والرأسذٌن والمطبذٌن و طذول ومعادلذة كذل مذن المحذورٌن واالخذتالف المركذزي للمطذوع النالصة التالٌة : 𝟐
𝟓𝟐𝟐
𝟎𝟎𝟑
𝟗
𝟔𝟏
𝟐
𝟐
𝟓𝟐
𝟐
𝟓𝟐 ) ( 𝟐
𝟐
𝟒 ) ( 𝟐𝟏 ) (
س : 2بؤستخدام التعرٌف جد معادلة المطع المكافئ الذي : ( أ ) بإرتا النمطتان )𝟎 𝟑 ( ورأسا النمطتان )𝟎 𝟔 ( ومركز نمطة االصل . ( ب ) بإرتا تمعان على محور السٌنات ومركز نمطة االصل َأحذِ تؤرتًٕ تثعذ عه انزأســـــــــــــــــٕه تانثعذٔه َ 2, 8حذج طُل .
126
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
المطع الزائد ( :الرأس فً نمطة األصل ) : هو مجموعـــة نماط المســتوي) ( التً تكون المٌمة المطلمة لفرق بعدي اي منها عن نمطتٌن ثذابتتٌن تسذمى ( البإرتٌن ) ٌساوي عددا ثابتا لٌمته ) 𝟐( معادلة المطع الزائد الذي بإرتا تنتمٌان لمحور السٌنات ) (x-axisومركز نمطة األصل ) حسب تعرٌف القطع الزائد(
|𝟐
𝟐 𝟐
|
𝟏 𝟏
𝟐
𝟐)𝒄
𝒙(√ (√ 𝟐)𝟎 𝒚( ( 𝟐) 𝟐 )𝟎 𝟐 (√ 𝟐𝒚 𝟐)𝒄 𝒙(√ 𝟐𝒚 𝟐 ) 𝟐 𝟐𝒚 𝟐)𝒄 𝒙(√ 𝟐𝒚 𝟐 ) )بتربٌـــــــع الطرفٌن ( (√ 𝟐 (√ 𝟒 𝟐 𝟒 𝟐𝒚 𝟐)𝒄 𝒙( ( 𝟐𝒚 𝟐 ) 𝟐𝒚 𝟐 ) (√ 𝟒 𝟐 𝟒 𝟐)𝒄 𝒙( ( 𝟐𝒚 𝟐 ) 𝟐) 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐𝒚
𝟐)
(√ 𝟒
)𝟒 (
𝟐
𝟒
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟒
𝟐 𝟒
]نفرض
𝟐
𝟐
𝟐
)𝟐
[ )𝟐 𝟐
) معادلة القطع الناقص (
⦁ رأسا المطع الزائـد هما )𝟎
( )𝟎
(
𝟏
)𝟐 𝟒
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
⦁ بنفس األسلوب ٌمكننا أٌجاد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا تنتمٌان لمحور الصادات وهً 𝟏 رأسا المطع الزائد هما )
𝟎( )
𝟎(
وبإرتا هً )
127
𝟎( )
𝟎(
)𝟐
𝟐 (𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
( والمعادلة 𝟏
𝟐 (𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
(√
𝟐 𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
وبإرتا هً )𝟎
𝟐)
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
( )𝟎
(√ 𝟒
𝟐
𝟐 (𝟐
(
𝟐
𝟐)
𝟐𝒚
𝟐 𝟐 𝟐 𝟐
حٌث 𝟎
𝟒
𝟐𝒚
𝟒
)بتربٌـــــــع الطرفٌن ( 𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
حٌث أن
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مالحظات : ① دائما )
( )
( حٌث أن )𝟎
(
② طول المحور الحمٌمً
𝟐
③ طول المحور المرافك 𝟐 ④ البعد بٌن البإرتٌن
𝟐
⑤ االختالف المركزي )
( حٌث ٌالحظ أنه ٌكون )𝟏
𝟐
𝟐
(
𝟐
⑥ دائما ٌكون ⑦ النمطة التً تمع على احد المحورٌن وٌمر بها المطع الزائد تمثل رأسً المطع الزائد وتمثل لٌمة ) ( ⑧ تسمى المسافة بٌن بإرة المطع الزائد واي نمطة تنتمً للمطع (منتصف المطر البإري ) مثال (/)19
عٌن البإرتٌن والرأسٌن وطول كل من المحورٌن الحمٌمً والمرافك للمطع الزائد 𝟏
𝟐
𝟐
𝟔𝟑
𝟒𝟔
الحل/ وحدة
𝟔𝟏
𝒂𝟐
𝟖
𝒂
𝟒𝟔
𝟐
طىل انمحىر انمرافق وحدة
𝟐𝟏
𝒃𝟐
𝟔
𝒃
𝟔𝟑
𝟐
𝟒𝟔
𝟐
𝟐
𝟐𝒄
طىل انمحىر انحقٍقً
𝟎𝟏
𝒄
𝟎𝟎𝟏
𝟐𝒄
𝟔𝟑
رأسا انقطع انزائد )𝟎 𝟖 ( 𝟐𝐕 )𝟎 𝟖( 𝟏𝐕
قطبا انقطع انزائد )𝟔
𝟎( 𝟐𝑷 )𝟔 𝟎( 𝟏𝑷
بؤرتا انقطع انزائد )𝟎 𝟎𝟏 ( 𝟐𝐅 )𝟎 𝟎𝟏( 𝟏𝐅
128
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
مثال ( /)20جد معادلة المطع الزائد الذي مركز نمطة االصل وطول محور الحمٌمً المركزي ٌساوي )𝟐( والبإرتان على محور السٌنات
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟔 وحدات واالخـتالف
الحل/ 𝟐𝒂
𝟗 𝟔𝟑
𝟐𝒄
𝟔
)𝟑()𝟐(
𝐜 𝟕𝟐
𝟐
𝟑
𝒄 𝟔𝟑
𝟗
𝒂
𝟐
𝟔
𝟐
𝟑
𝟐
𝟐
معادلة القطع الزائد
𝟏
𝟐𝒄
𝟐 𝟐
𝟐
𝟕𝟐
𝟗
مثال ( /)21جد معادلة المطع الزائد الذي مركز نمطة األصل وطول محور المرافك )𝟒( وحدات وبإرتا هـــــما النمطتان )𝟖√ )𝟖√ 𝟎( 𝟏 𝟎( 𝟐 ∵ البإرتان تنتمً لمحور الصادات الحل/
المعادلة المٌاسٌة للمطع الزائد هً 𝟏
𝟐𝒙
𝟐𝒚
𝟐
𝟐𝒂
𝟒
𝟐𝒃
𝟒
𝟖
𝟐 𝟖
𝟒
𝟐
𝟒
𝟐𝒄
𝟐
معادلة القطع الزائـد
𝟐
𝟖√ 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐𝒄
𝟐
𝟐
𝟒
𝟒
فً المثال ) (21أعال نالحظ أن طول المحور الحمٌمً مسا ٍو الى طول المحور المرافك مثل هذا النوع من المطوع الزائدة ٌدعى ( بالمطع الزائد المائم او متساوي األضالع ) ألن النماط األربعة تشكل رإوس مربع وفٌه ٌكون االختالف المركزي ) ( ممدار ثابت لٌمته ) 𝟐√( .
129
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
المطع الزائد ( :أنسحاب محاور ) : Ⓘالمعادلة المٌاسٌة للمطع الزائد الذي مركز النمطة )
( َمحُري انحمٕمٓ ُٔاسْ محُر انسٕىاخ:
تعذ األوسحاب لثم األوسحاب انعىصز تعذ األوسحاب )
(
)𝟎
( انزأسان
)
(
)𝟎
( انثؤرتان
) 𝟏
𝟐)
(
(
𝟐)
𝟐
( 𝟐
)𝟎 𝟎( 𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
لثم األوسحاب
انمزكش انماوُن
②المعادلة المٌاسٌة للمطع الزائد الذي مركز النمطة )
( َمحُري انحمٕمٓ ُٔاسْ محُر انصاداخ
تعذ األوسحاب لثم األوسحاب انعىصز تعذ األوسحاب )
(
)
𝟎(
انزأسان
)
(
)
𝟎(
انثؤرتان
)𝟎 𝟎(
انمزكش
) 𝟏
𝟐)
( 𝟐
𝟐)
( (
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐 𝟐
انماوُن
130
لثم األوسحاب
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مالحظات : ①معادلة المحور للمطع الزائد الذي ٌوازي محور السٌنات هً )
(
②معادلة المحور للمطع الزائد الذي ٌوازي محور الصادات هً )
(
③ احداثٌات المطبٌن او نهاٌتً المحور الصغٌر للمطع الزائد الذي ٌوازي محور السٌنات هً )
(
④ احداثٌات المطبٌن او نهاٌتً المحور الصغٌر للمطع الزائد الذي ٌوازي محور الصادات هً )
(
َتؤرتررراي َانزاسررران َطرررُل
⑤ ستمتصرررز دراسرررتىا فرررٓ مُارررُى االوسرررحاب عهرررّ أٔجررراد مزكرررش انمطرررع انىرررال محُرًٔ انكثٕز َانصكٕز َمعادنح كم مه انمحُرٔه َأجاد االختالف انمزكشْ . مثذذذال (/)22
جذذذد أحذذذداثٌا المركذذذز والبذذذإرتٌن والرأسذذذٌن و االخذذذتالف المركذذذزي و طذذذول المحذذذورٌن للمطذذذع
الزائد الذي معادلته 𝟏
𝟐)𝟏 𝟒
(
𝟐)𝟐
(
𝟗 𝟐)
الحل /بالممارنة مع المعادلة المٌاسٌة للمطع الزائد 𝟏
𝟐)
( 𝟐
𝟐
مركز القطع الزائد )( 2 1 طىل انمحىر انحقٍقً
√13
انبؤرتان )√13 1
2
(2
)𝑘 (ℎ
وحدة
طىل انمحىر انمرافق 𝑐
(
13
وحدة 𝟐𝒄
6 4
1 𝑎2 𝑏2 𝟒
𝟑𝟏
ℎ
2 𝟑
𝑎
𝟗
𝟐
𝟐
𝑏
𝟒
𝟐
𝟐
𝟗
𝟐
𝟐𝒄
)√13 1
( 2
)
(ℎ
)
(ℎ
(2
)(1 1
)
2 (ℎ
)
(ℎ
انرأسان )5 1
االختالف المركزي
131
𝟏
√13 𝟑
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
تمارين)𝟑
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐(
س / 1عٌن كل من البإرتٌن والرأسٌن ثم جد طول كل من المحورٌن واألختالف المركزي نهمطُى انشائذج االتٕح : 𝟐
𝟖𝟒
𝟐𝟏 ⓐ
𝟐
𝟒
الحل /ومسم طزفٓ انمعادنح عهّ )𝟖𝟒( 𝟐
𝟏 طىل انمحىر انحقٍقً طىل انمحىر انمرافق
وحدة
𝟑√4
𝟔𝟏
𝟒 البؤرتان )𝟎 𝟒
(𝟐
وحدة
𝑎2
𝟑√𝟐
𝑏2
𝟐𝒄
)𝟎 𝟒(
4
2
𝟒
𝟐𝟏
𝟐𝟏
𝑎
𝑎2
𝟒
b
𝟐𝒄
𝟐𝒃
االختالف المركزي 𝟏
𝟒𝟒𝟏
𝟒
𝑏2
𝟐𝟏
الرأسان )𝟎 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐𝒂 (𝟐
𝟐( 𝟏
𝟒
𝟐
𝟐
)𝟎
𝟐𝒄
𝟐
𝟐
𝟗
𝟔𝟏 ⓑ
الحل /ومسم طزفٓ انمعادنح عهّ )𝟒𝟒𝟏( 𝟐
𝟏
طىل انمحىر انحقٍقً طىل انمحىر انمرافق
وحدة 6
وحدة 8 𝟓𝟐
𝟓 البؤرتان )𝟎 𝟓
(𝟐
𝑎2
𝑏2 𝟐𝒄
)𝟎 𝟓(
𝟒 𝟔𝟏
𝟏
3
𝟔𝟏 𝟐𝒃
الرأسان )𝟎 𝟑 االختالف المركزي 𝟏
132
9
b 𝟗
𝟔𝟏
𝑎
𝟐𝒄
𝟐
𝟐𝒂
(𝟐
𝟓 𝟑
)𝟎
𝟗
𝑎2 𝑏2 𝟐𝒄 𝟑( 𝟏
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
وزاري / 2011د2
𝟐)𝟏
𝟖
𝟐)𝟏
(𝟒
ⓒ
(𝟐
الحل /ومسم طزفٓ انمعادنح عهّ )𝟖( 𝟏
𝟐)
𝟐)
( 𝟐
(
) بانمقاروت مع(
𝟏
𝟐
مركز القطع الزائد )(ℎ 𝑘) (1 1 وحدة 2𝑎 4 طىل انمحىر انحقٍقً
طىل انمحىر انمرافق
وحدة
𝟐√2
𝑐
𝟔
√6 انبؤرتان )√6
1
) √6
2 (1
انرأسان )3
1
2 (1
(
𝟒
𝟐
1 2
𝑏2 𝟐
𝟐)𝟏
𝟐)𝟏
b
𝟐𝒄
𝟒
1 𝟒
𝑎
𝟐√
(
ℎ 𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐𝒄
𝟐
(1
)
2 (ℎ
)
(ℎ
)(1 1
)
2 (ℎ
)
(ℎ
√6 𝟐
االختالف المركزي 𝟏
𝟓𝟖𝟏
𝟐
𝟖𝟏
𝟗
𝟐
𝟎𝟔𝟏
𝟔𝟏
الحل /وزتة معادنح انمطع انشائذ تشكم مزتع كامم كما ٔهٓ : 𝟐
) 𝟐
𝟓𝟖𝟏
𝟐
) 𝟎𝟏
(𝟗
(𝟔𝟏
بإضافة )𝟏𝟗𝟑( الى طرفً معادلة المطع انشائذ حتى تكون حدود) ( وحدود ) ( بشكل مربع كامل 𝟓𝟖𝟏
𝟔𝟕𝟓 𝟔𝟕𝟓
𝟐)𝟏 𝟔𝟕𝟓
(𝟗
)𝟏
𝟏𝟗𝟑
(𝟔𝟏 𝟐)𝟓 𝟔𝟕𝟓
𝟐
𝟐
𝟔𝟕𝟓 معادلة القطع الزائد
تانمماروح مع انمعادنح انمٕاسٕح نهمطع انشائذ 𝟏
𝟐
𝟐)
( 𝟐
𝟐) 𝟐
مركز القطع الزائد )( 5 1
وحدة 12 طىل انمحىر انحقٍقً طىل انمحىر انمرافق وحدة 16 𝟎𝟎𝟏 𝟐𝒄 𝑐 1
𝑎2 𝑏2 𝟒𝟔
انبؤرتان )15 1 انرأسان )11 1
(2 (2
)𝟏
(𝟗
𝟐
(
)𝟓
(𝟔𝟏
)𝟓 𝟐
(
𝟔𝟑
1
6 𝟖 𝟔𝟑 )
)
5
𝑎 b 2 (ℎ 𝟐 (ℎ
ℎ 𝟐
𝟔𝟑 𝟒𝟔
𝟐
االختالف المركزي 𝟏
133
𝟎𝟏
(𝟔𝟏
وحصم عهّ )𝑘 (ℎ
)(5 1 )(1 1
(𝟗
𝟐)𝟏 𝟒𝟔
𝟏 (
)𝟓𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
) )
𝟐𝒄 (ℎ 𝟏 (ℎ
5
𝟑
𝟎𝟏 6
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
س / 2أكتب معادلة المطع الزائد فً الحاالت التالٌة ثم ارسم المطع : ومركز فً نمطة االصل .
ⓐالبإرتان هما النمطتان )𝟎 𝟓 ( وٌتماطع مع محور السٌنات عند 𝟑 الحل/ ∵ بإرتا المطع الزائد )
(5
2
)
( 5
⇐ 𝟓
⇐ المانون
𝟏
𝟐𝒚
𝟐𝒙
𝟐
𝟐𝒂
∵ المطع الزائد ٌتماطع مع محور السٌنات عند 𝟑 ∴ الراسان )
) (3 𝟔𝟏
⇐ ( 3 𝟐𝒃
𝟐
𝟗 𝟗
𝟓𝟐
𝟐𝒂
𝟐𝒃
𝟐𝒄
𝟐𝒃
) معادلة القطع الزائد(
134
𝟐𝒃
𝟏
𝟐𝒂
𝟐𝐲 𝟔𝟏
𝟐𝒄
𝟐𝒙 𝟗
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
ⓑطذذذذول محذذذذور الحمٌمذذذذً )𝟐𝟏( وحذذذذدة وطذذذذول محذذذذور المرافذذذذك )𝟎𝟏( وحذذذذدات وٌنطبذذذذك محذذذذورا علذذذذى المحورٌن االحداثٌٌن ومركز نمطة االصل . الحل/ 𝟐𝒂
𝟔𝟑 𝟓𝟐 𝟏𝟔
∴ هنــــان حالتٌـــــــن للمطع الزائـــــــد وهما -: عندما ٌوازي محور الصادات الرأسان )𝟏𝟔√
𝟔
𝟐𝒃
𝟐𝑪
𝒂 𝟓
36
𝒃
25
𝟐𝒃
𝟐𝟏
𝟐
𝟎𝟏
𝟐
𝟐𝒂
𝟐𝒄
عندما ٌوازي محور السٌنات
𝟎( 𝟐𝑭 ) 𝟏𝟔√ 𝟎( 𝟏𝑭
الرأسان )𝟎 𝟏𝟔√ ( 𝟐𝑭 )𝟎 𝟏𝟔√( 𝟏𝑭
𝟎( 𝟐𝑽 )𝟔 𝟎( 𝟏𝑽
البؤرتان )𝟎 𝟔 ( 𝟐𝑽𝑭 )𝟎 𝟔( 𝟏𝑽
البؤرتان )𝟔 معادلة القطع الزائد
𝟏
𝟐
𝟐
𝟓𝟐
𝟔𝟑
معادلة القطع الزائد
𝟏
𝟐
𝟐
𝟓𝟐
𝟔𝟑
ⓒمركز نمطة االصل وبإرتذا علذى محذور الصذادات وطذول محذور المرافذك )𝟐√𝟐( وحذدة واختالفذه المركذزي ٌساوي )𝟑( وزاري / 2013 /د2 الحل ∵ /بإرتا المطع الزائد تنتمً لمحور الصادات ⇐ المانون
𝟏 𝟐
𝟐𝒃 𝒂𝟑
𝟐𝒙
𝟐𝒚
𝟐
𝟐𝒂
𝟐√ 𝒄
𝟐√𝟐
𝒃
𝟐
𝟑 𝟐𝒃
𝟐 𝟐𝒂 𝟐𝒂𝟗 𝟏 𝟗 𝟐 𝟐𝒂𝟖 𝟐𝒂 𝟐𝑪 𝟒 𝟒 𝟑 𝟑 𝟎( ) 𝟎 𝟎 البؤرتان 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝟎( ) 𝟎 𝟎 الراسان 𝟐 𝟐 𝟐𝒙 𝟐 𝐲 𝟏 ) معادلة القطع الزائد( 𝟏 𝟐 )𝟒(
135
𝟐𝒂
𝟐𝒄
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
س / 3جد باستخدام تعرٌف المطع الزائد الذي مركذز نمطذة االصذل وبإرتٌذه )𝟎 𝟐√𝟐()𝟎 𝟐√𝟐 ( وٌنطبذك محورا على المحورٌن االحداثٌٌن والمٌمة المطلمة للفرق بٌن بعدي اٌة نمطة عن بإرتٌه ٌساوي )𝟒( وحدات الحل/ 𝟐
نفرض ان النمطة )
𝒂
𝟐)𝟎
𝟒
(
) بتربٌع الطرفٌن وفك األقواس(
𝟐
(
𝟐
𝟐
𝟐
𝟖
𝟐
)𝟐√𝟐
𝟐√𝟒
𝟐
𝟐
𝟐
) 𝟐√𝟐
(√
𝟐)𝟎
(
) 𝟐√𝟐
(√
𝟒
) 𝟐√𝟐
(√ 𝟖
) 𝟐√𝟐
)𝟖 (
(√ 𝟖 𝟐√𝟖
𝟔𝟏
) بتربٌع الطرفٌن وفك األقواس(
𝟐√
𝟐
𝟐
𝟐√𝟒
𝟒
𝟐
معادلة القطع الزائد
1
136
𝑦2 4
𝑥2 4
)𝟒 ( ]
𝟏
)𝟐√𝟐
(√
)𝟐√𝟐
(√
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
|
𝟏
𝟐
𝟔𝟏
𝟔𝟏
|𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
للمطع الزائد
𝟐
𝟐
𝟒
(
)من تعرٌف القطع الزائد(
𝟐
)𝟐√𝟐
𝟖 𝟐
𝟐√𝟒
(√
)𝟐√𝟐
𝟖 𝟒
𝟐
(√𝟖
)𝟐√𝟐
𝟐
(
𝟐√𝟒
𝟐
𝟐
𝟐
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
س / 4لطع زائد طول محور الحمٌمً )𝟔( وحدات واحدى بإرتٌه هً بإرة المطع المكافئ الذي راسه نمطة االصل وٌمر بالنمطتٌن )𝟓√𝟐 𝟏()𝟓√𝟐 الزائد الذي مركز نمطة االصل . الحل/
𝟏( .جد معادلتً المطع المكافئ الذي راسه نمطة االصل والمطع وزاري / 2014د1 وزاري / 2013د3
من المطع المكافئ : ∵ النمطتان )𝟓√𝟐 𝟏()𝟓√𝟐 والمانون ) 𝟒 𝟐 (
𝟏( متناظرة مع المحور الســٌنً لذا فالبإرة تنتمً للمحور السٌنً
∴ النمطة )𝟓√𝟐 𝟏( تحمك معادلة المطع المكافئ ( ألنه ٌمر بها ) البؤرة ) 𝟎 𝟓(
𝟓
𝟒
)𝟏( 𝟒
) معادلة القطع المكافئ (
𝟐
𝟎𝟐
𝐩
𝟎𝟐
𝟎𝟐
فً المطع الزائد: 𝟐𝒂
𝟗
∵ بإرتا المطع الزائد )𝟎 𝟓()𝟎 𝟓 ( ⇐ 𝟓𝟐 𝟔𝟏
𝟐𝒃
𝟗
𝟐
⇐ المانون
𝟐𝒃
𝟓𝟐
𝟑
𝟐𝒂
𝟔
𝟐𝒄
) معادلة القطع الزائد( 𝟐
𝟐
𝟐𝒚
𝟐𝒙
𝟐
𝟐𝒂
𝟐𝒃
𝟐𝒂
𝟏 𝟐𝒃
𝟐
𝟐𝐲 𝟔𝟏
𝟏
𝟐𝒄 𝟐𝒙 𝟗
وطذول محذور الحمٌمذً )𝟐√𝟔( 𝟔𝟏 𝟐 𝟗 جــذـد لٌمـــــذـة كذل
س / 5لطذع زائذد مركذز نمطذة االصـــــــــذـل ومعادلتذه 𝟎𝟗 وحدة وبإرتا تنطبمان على بذإرتً المطذع النذالص الذذي معادلتذـه 𝟔𝟕𝟓 التً تنتمً الى مجموعة االعداد الحمٌمٌة من وزاري / 2012د2 𝟐
الحل/
من المطع النالص : 𝟏 𝟕√𝟐
𝟐
𝟖𝟐
بإرتا المطع النالص ) من المطع الزائد : بإرتا المطع الزائد )
𝟐
𝟐
𝟔𝟑
𝟒𝟔
𝟔𝟑
𝟒𝟔
)𝟔𝟕𝟓 ( ] 𝟐
𝟐
𝟕√𝟐( ) 𝟕√𝟐 ( ⇐ 𝟕√𝟐
𝟏
𝟔𝟕𝟓
𝟐
𝟔𝟑
𝟐
𝟔𝟏
𝟐
𝟒𝟔
𝟕√𝟐( ) 𝟕√𝟐 (
𝟐
𝟐
𝟎𝟏
𝟖𝟏
𝟖𝟏 𝟐
𝟏
𝟎𝟗 ) (
𝟗
137
𝟐𝒚
𝟐𝒙
𝟐
𝟐𝒂
𝟐√𝟔
𝟖𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟎𝟗
𝟎𝟗 ) (
𝟎𝟗 𝟖𝟏
𝟓
𝟏
𝟐√𝟑
𝟐
𝟎𝟏
⇐ المانون
𝟐
𝟖𝟏 معادلة القطع الزائد
𝟐
𝟐
𝟐
𝟎𝟗
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐𝒄 𝟐
𝟎𝟗
𝟐
𝟐
𝟎𝟗 𝟎𝟏
𝟎𝟗
𝟐
𝟗
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
س / 6اكتذذب معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي مركذذز نمطذذة االصـــــذذـل اذا علمذذت ان احـــذذـد راسذذٌه ٌبعذذد عذذن البذذإرتٌن بالعددٌن 𝟗 𝟏 وحدات على الترتٌب وٌنطبك محورا على المحورٌن االحداثٌٌن .وزاري / 2012د3 الحل/ 𝟐𝒄
𝟓𝟐
𝒄
𝟓
𝟐𝒂
𝟔𝟏 𝟐𝒃
𝟗
𝟔𝟏
𝟎𝟏
𝟐𝒂
𝟓𝟐
𝟒 𝟐𝒄
𝟐 𝒂
𝟐𝒃
𝟗
𝟏
𝟏
𝟓
𝟐𝒃
𝟐
𝟐𝒄
𝟐𝒂
∴ هنان أحتمـــــــــــــالٌن لمعادلة المطع الزائد معادلة القطع الزائد صادٌة 𝟏
𝟐
𝟐
𝟗
𝟔𝟏
𝟐
معادلة القطع الزائد سٌنٌة 𝟏 𝟐
س / 7جد معادلة المطع النالص الذي بإرتا هما بإرتا المطع الزائد الذي معادلته 𝟐𝟏 𝟓 وزاري / 2013د3 ومركز نمطة االصل . بٌن طولً محورٌه
𝟐
𝟗 𝟐
𝟑
𝟔𝟏
والنسبة
𝟑
من المطع الزائد :
الحل/
𝟏 𝟔𝟏
𝟒
∴ بإرتا المطع الزائد )
𝟐
𝟐
𝟐
𝟒
𝟐𝟏
𝟒
)𝟐𝟏 ( ] 𝟐
𝟐𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐𝟏 𝟐
𝟒
𝟐
𝟑 𝟐
𝟐𝟏
𝟒( ) 𝟒 (
من المطع النالص : بإرتا المطع النالص )
𝟓𝟐
𝟐
𝟗
𝟗
𝟐
𝟒𝟒𝟏
𝟐
𝟔𝟏
𝟒𝟒𝟏
𝟐
𝟗
𝟐
𝟗
𝟓𝟐
𝟐
𝟐𝒂
𝟐𝒂
𝟓
𝟐
𝟐
𝟑
𝟐
𝟓𝟐 𝟗
𝟐𝒄
⇐ المانون
𝟒( ) 𝟒 ( ⇐ 𝟒 𝟐 𝟓𝟐
𝟐𝒚
𝟐𝒙
)𝟗 (
𝟐
𝟔𝟏
𝟐
25
2
𝟏
)25 (9 9
2
𝟐
𝟐
25 9
2
2
معادلة القطع الناقص 1
138
9
2
25
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
س / 8النمطة )
𝟐
تنتمً الى المطع الزائد الذي مركز نمطة االصل ومعادلته 𝟐𝟏
𝟔(
أ .لٌمة
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎 𝟐
𝟑
جد كال من:
ب .طول نصف المطر البإري للمطع المرسوم فً الجهة الٌمنى من النمطة
الحل( /أ) ∵ النمطة )
𝟔(
تنتمً الى المطع الزائد
∴ النمطة )
𝟔(
تحمك معادلة المطع الزائد )𝟐𝟏
L
2√2
𝟐
𝟖
𝟐
𝟑
𝟐 𝟐
24
𝟐
𝟑
𝟑
( 𝟔𝟑
𝟐𝟏 )𝟐√𝟐
𝟐
𝟐𝟏
𝟔( 𝟐
𝟐)𝟔(
𝟑 𝟔( 𝟏
)𝟐√𝟐
(ب) من المطع الزائد : 𝟐
𝟒 احداثً البؤرة االٌمن )𝟎 𝟒( )وحدة طول( )وحدة طول(
𝟑√𝟐 𝟑√𝟐
وزاري / 2011د1
𝟖
𝟐𝟏√ 𝟐𝟏√
𝟖
𝟐
𝟒√ 𝟐
)𝟎
𝟒√
وزاري / 2014د2
𝟐𝟏 𝟐𝒄
𝟔𝟏 )𝟎
𝟐
𝟏
𝟔(√
𝟐𝟏 𝟐𝒄
𝟐𝟏 𝟐 )𝟏
𝟔(√
𝟐)𝟒
𝟐√𝟐 (
𝟒
𝟐𝟏
𝟒
𝟐)𝟒
𝟐√𝟐(
𝟐
𝟐
(
𝟐
𝟐 )𝟏
𝟐
𝟐
𝟐𝒃 𝟐 )𝟏 𝟐 )𝟏
(
(√ (√
وٌمس دلٌل المطع المكافئ 𝟎
الحل/
𝟐𝒄 𝟏 𝟏
𝟏 𝟐
وزاري / 2015د1
س / 9جذذذذد معادلذذذذة المطذذذذع الزائذذذذد الذذذذذي بإرتذذذذا همــــذذذذـا بذذذذإرتً المطذذذذع النذذذذالص الذذذذذي معادلتذذذذـه 𝟏 𝟐𝟏
𝟑
𝟐𝒂
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟓𝟐
𝟗
𝟐
من المطع المكافئ : 𝟐
𝟒
) بانمقاروت مع( 𝟑
𝟐𝟏
𝐩
) معادلة الدلٌل (
𝟐
𝟐𝟏 𝟑
𝟒
𝐲
من المطع النالص : 𝟔𝟏
𝟒
𝟐𝒄
𝟐𝒄
𝟐
𝟐
𝟐
𝟗
البؤرتان )𝟒
𝟐
𝟓𝟐 𝟎()𝟒 𝟎(
من المطع الزائد: ∵ دلٌل المطع المكافئ ٌمطع المحور الصادي عند النمطة )𝟑 𝟎( وهً راس المطع الزائد 𝟐
𝟗 بإرتا المطع الزائد )𝟒 معادلة القطع الزائد
⇐ المانون
𝟎()𝟒 𝟎( ⇐ 𝟒 𝟏
𝟐
𝟐
𝟕
𝟗
𝟕
139
𝟐
𝟗
𝟏 𝟔𝟏
𝟐
𝟑 𝟐𝒙
𝟐𝒚
𝟐
𝟐𝒂
𝟐
𝟐
𝟐
𝒄
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
أمثلة أضافٌة محلولة مثذذال /جذذد أحذذداثٌا المركذذز والبذذإرتٌن والرأســـــذذـٌن و األخذذتالف المركذذزي و طذذول المحذذورٌن للمطذذع الزائذذد الذذذي 𝟔𝟏 𝟐 𝟒 𝟒𝟓 𝟐 𝟗 معادلته 𝟏 1 الحل/ 𝟐
) 𝟔
𝟏𝟎𝟏
𝟐
) 𝟒
(𝟗
𝟏𝟎𝟏
(𝟒
𝟐
𝟒𝟓
𝟗
𝟐
𝟔𝟏
𝟒
بإضافة )𝟓𝟔 ( الى طرفً معادلة المطع انشائذ حتى تكون حدود) ( وحدود ) ( بشكل مربع كامل )𝟔𝟑 (
𝟔𝟑
𝟐)𝟑
𝟐)𝟐
(𝟗
𝟐
𝟓𝟔
(𝟒
)𝟗
𝟏𝟎𝟏
𝟐)
تانمماروح مع انمعادنح انمٕاسٕح نهمطع انشائذ 𝟏
𝟐)
( 𝟐
مركز القطع الزائد )𝟑 √13
𝑐
𝟑𝟏
𝟒
𝟐𝒄
𝟐
𝟐
√13
2 (2
)3
𝟗
انبؤرتان )3
انرأسان )3
1
𝟐𝒄
2
√13
(2 )3
(2
𝟏
(
𝟒 𝟐)𝟐
𝟒
𝟐
(
𝟗
وحصم عهّ :
𝟐
𝟐(
𝟐)𝟑
𝟐
𝟔
معادلة القطع الزائد (
𝟐
(𝟗
)𝟒
𝟐
(𝟒
) b
(
𝟑 𝟐
𝟒 )3
(5
𝟐 𝑎
𝟑
𝟐
𝟗
√13
(2
)
(ℎ
3
(2
)
(ℎ
)3 √13 𝟑
االختالف المركزي
مثذذال /جذذد معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي مركذذز نمطذذة االصــــذذـل والبإرتذذان علذذى محذذور الصـــذذـادات وطذذول المحذذور الحمٌمً له
𝟓
𝟔𝟏 والنسبة بٌن المسافة بٌن بإرتٌه وطول محور الحمٌمً
𝟒
الحل/ 𝟒𝟔 𝟎𝟎𝟏
معادلة القطع الزائد
𝟏
𝟐
𝟐
𝟔𝟑
𝟒𝟔
𝟔𝟑
140
𝟐
𝟐𝒄
𝟎𝟏
𝟒𝟔
𝟐𝒂 𝐜
𝟎𝟎𝟏
𝟐
𝟖
𝒂
𝟔𝟏
𝟐
𝟓 𝟒
𝒄 𝟖
𝟓 𝟒
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐𝒄
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
مثال /جد معادلة المطع الزائد الذي أحدى بإرتٌه بإرة المطع المكافئ
ٌساوي البعد بٌن بإرتً المطع النالص 𝟏 الحل/
𝟐
𝟐
𝟔𝟏
𝟗
𝟐
𝟎𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
وطول محور المرافك
من المطع المكافئ : 𝟐
𝟒
) بانمقاروت مع(
البؤرة )𝟓 𝟎(
𝟓
𝟐
𝟎𝟐
𝐩
𝟒
𝟎𝟐
من المطع النالص : البعد البؤري 𝟕√𝟐
𝟐
𝟐𝒄
𝟕
𝟕√
𝟐
𝟐𝒄
𝟐
𝟐
𝟗
𝟐
𝟔𝟏
من المطع الزائد : 𝟐
𝟕
بإرتا المطع الزائد )𝟓 𝟎( )𝟓 معادلة القطع الزائد
𝟏
𝟕√
⇐ المانون
𝟎( ⇐ 𝟓
𝟐
𝟐
𝟕
𝟖𝟏
𝟖𝟏
مثال /جد معادلة المطع الزائد الذي ٌمر بالنمطتٌن )𝟔
طول المحور المرافق 𝟕√𝟐
𝟐
𝟕
𝟏 𝟓𝟐
𝟐𝒙
𝟐𝒚
𝟐
𝟐𝒂
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐𝒄
𝟐
𝟑( )𝟐√𝟑 𝟎(
الحل/ ∵ المطذذذذذذذذع الزائذذذذذذذذد ٌمذذذذذذذذر بالنمطذذذذذذذذة )𝟐√𝟑 𝟎( لذذذذذذذذذا فالنمطذذذذذذذذة تمثذذذذذذذذل رأس المطذذذذذذذذع الزائذذذذذذذذد ولٌمذذذذذذذذة )𝟐√𝟑
( والمانون هو
النقطة )𝟔
𝟏
𝟐𝒙
𝟐𝒚
𝟐
𝟐𝒂
𝟑( تنتمً للمطع الزائد لذا فهً تحمك معادلته 𝟗
𝟐
𝟏
𝟗 𝟐
𝟏
𝟗 𝟐
𝟐
𝟏
𝟗 𝟐
𝟔𝟑 𝟖𝟏
) معادلة القطع الزائد(
141
𝟏
𝟏
𝟐)𝟑( 𝟐
𝟐𝒙 𝟗
𝟐)𝟔 ( 𝟐
)𝟐√𝟑(
𝟐𝒚 𝟖𝟏
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
مثذذال /جذذد معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي بإرتذذا رأســـــــــذذـا المطذذع النذذالص 𝟏
𝟐𝒚
𝟐𝒙
𝟒𝟔
𝟎𝟎𝟏
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
وطذذول محــــذذـور
الحمٌمً )𝟐𝟏( وحدة الحل /
من المطع النالص :
راسا القطع الناقص )𝟎 𝟎𝟏( )𝟎 𝟎𝟏 (
𝟎𝟏
𝟒𝟔
𝒂
𝟐
𝟐
𝟎𝟎𝟏
من المطع الزائد : بإرتا المطع الزائد )
) (1
𝟏𝟎 ⇐ ( 1 𝟔𝟑
معادلة القطع الزائد
𝟏
𝟐
𝟐
𝟒𝟔
𝟔𝟑
⇐ المانون 𝟐
𝟐
𝟒𝟔
𝟏
𝟔 𝟔𝟑
𝟎𝟎𝟏
𝟐𝒚
𝟐𝒙
𝟐
𝟐𝒂
𝟐𝟏 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝒄
******************************************************************
س : 1جذذد معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي مركذذز فذذً نمطذذة االصذذل و بإرتذذا تنتمذذً لمحذذور الصذذادات وطذذول محذذور المرافك ٌسذاوي البعذد بذٌن بذإرة المطذع المكذافئ ) 𝟐𝟏 𝟐 ( ودلٌلذه وطذول محذور الحمٌمذً ثالثذة امثذال طذول محور المرافك س : 2جذذد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي مركذذز فذذذً نمطذذذة االصذذذل و راسذذذا همذذا بذذذإرتً المطذذذع الزائذذذد الذذذذي معادلته )𝟒𝟒𝟏 𝟐𝒙𝟔𝟏 𝟐𝒚𝟗( ومجموع طولً المطع النالص )𝟔𝟏( وحدة طول س : 3جذذذذذذد معادلذذذذذذة المطذذذذذذع الزائذذذذذذد الذذذذذذذي بإرتذذذذذذا وراســـــذذذذذذـا همذذذذذذا بـــذذذذذذـإرة وراس المطذذذذذذع المكذذذذذذافئ ( (𝟒 𝟐)𝟏 )𝟑 س : 4لطعذذذان مخروطٌذذذان احذذذدهما نذذذالص واالخذذذر زائذذذد كذذذل منهمذذذا ٌمذذذر ببذذذإرة االخذذذر .فذذذاذا كانذذذت معادلذذذة 𝟐 𝟐 ( فجد معادلة االخر احدهما )𝟑 س : 5جذذذذذذذذد معادلذذذذذذذذة المطذذذذذذذذع النذذذذذذذذالص الذذذذذذذذذي ٌمذذذذذذذذر بذذذذذذذذالنمطتٌن )𝟏 𝟑() 𝟏 الكبٌر ٌساوي)𝟓𝟐( وحدة
𝟑( وطذذذذذذذذول محذذذذذذذذور
س :6جد معادلة المطع الزائد الذي مركز فً نمطة االصل و أحدى بإرتا هً بإرة المطع النالص الذي معادلته 𝟏
𝟐𝒚
𝟐𝒙
𝟎𝟐
𝟔𝟑
وأحد رأسٌه هً بإرة المطع المكافئ 𝟎
142
𝟖
𝟐
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
س : 7جذذذد معادلذذذة المطذذذع النذذذالص الذذذذي مركذذذز فذذذً نمطذذذة االصذذذل و بإرتذذذا هذذذً بذذذإرتً المطذذذع الزائذذذد الذذذذي 𝟔𝟏 𝟐 ( معادلته )𝟐𝟑 𝟐𝒙 𝟐𝒚𝟖( وٌمس دلٌل المطع المكافئ )𝟎 𝟐𝒚( معادلذذذذذذذذة لطذذذذذذذذع زائذذذذذذذذد أحذذذذذذذذد بإرتٌذذذذذذذذه هذذذذذذذذً راس المطذذذذذذذذع النذذذذذذذذالص
س : 8لذذذذذذذذتكن)𝟑 𝟐𝒙 الذي ٌمر بالنمطة )𝟐 𝟏 ( والذي احد بإرتٌه )𝟔√ 𝟎( فجد لٌمة 𝟐𝒙𝟒
س : 9لذذذذذتكن) معادلته )𝟎
𝟐
𝟓√
س : 10لذذذذذذذتكن)𝟎𝟗
𝟐𝒚𝟓( معادلذذذذذة لطذذذذذع زائذذذذذد أحذذذذذد بإرتٌذذذذذه هذذذذذً بذذذذذإرة المطذذذذذع المكذذذذذافئ الذذذذذذي 𝟒( فجد لٌمة
𝟐𝒚𝑵
الذذذذذذذذذذذذي معادلتذذذذذذذذذذذه )𝟔𝟕𝟓
𝟐𝒙 ( معادلذذذذذذذة لطذذذذذذذع زائذذذذذذذد بإرتٌذذذذذذذه هذذذذذذذً بإرتذذذذذذذا المطذذذذذذذع النذذذذذذذالص 𝟐𝒚𝟔𝟏
𝟐
𝟐√𝟔 فجذذذذذذذذذذذد لٌمذذذذذذذذذذذة
𝟗( وطذذذذذذذذذذذول محذذذذذذذذذذذور الحمٌمذذذذذذذذذذذً
س : 12لذذذذذذذذتكن) 𝟐𝒙𝟒 𝟐𝒚𝟓( معادلذذذذذذذذة لطذذذذذذذذع زائذذذذذذذذد احذذذذذذذذدى بإرتٌذذذذذذذذه هذذذذذذذذً بذذذذذذذذإرة المطذذذذذذذذع 𝟒( فجد لٌمة المكافئ الذي معادلته )𝟎 𝟐 𝟓 ******************************************************************
حلول التمارٌن العامة الخاصة بالفصل الثانً وزاري / 2014د3 س / 4لطع نالص مركز نمطة األصـــــــ ل ولطع زائد نمطة تماطع محورٌه نمطة األصذل أحذدهما ٌمذر ببذإرة األخذر فؤذا كانت 𝟓𝟐𝟐 𝟐 𝟓𝟐 𝟐 𝟗 معادلة المطع النالص فجد : (ب) محٌط المطع النالص . (أ) مساحة المطع النالص . (د) األختالف المركزي لكل منهما . (ج) معادلة المطع الزائد ثم أرسمه . الحل ( /أ) 𝟏 𝟑
𝟐
𝟐
𝟗
𝟓𝟐
)( 225
𝟐
𝟗
وحدة مربعة
𝟐
𝟓𝟐𝟐
𝟓 𝟓𝟏
𝟓𝟐
𝟓𝟐 )𝟑()𝟓(
𝟐
𝟗
𝟐
𝝅 𝒃𝒂
(ب) وحدة
𝟕𝟏√ 𝟐
𝟒𝟑 √ 𝝅𝟐 𝟐
𝟗 𝟓𝟐 √ 𝝅𝟐 𝟐
143
𝟐
𝟐
𝟐
√ 𝝅𝟐
𝒑
المحٌط
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
(ج) من المطع النالص : 𝟑 𝟒
𝐜
𝟗 𝟔𝟏
𝟐
𝟓
𝟐
𝟓𝟐
𝟗
البؤرتان )𝟎 𝟒 ( )𝟎 𝟒(
𝟐
𝟐
𝟓𝟐
𝟐
𝟐𝒃
𝟐
الرأسان )𝟎 𝟓 ( )𝟎 𝟓(
من المطع الزائد : المطع الزائد ٌمر ببإرة المطع النالص البؤرتان )𝟎 𝟓 ( )𝟎 𝟓( 𝟗
الرأسان )𝟎 𝟒 ( )𝟎 𝟒( 𝟐
معادنت انقطع انزائد
𝟔𝟏
𝟐
𝟓𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟗
𝟔𝟏
(د) األختالف المركزي للقطع الناقص
𝟏
𝟒 𝟓
األختالف المركزي للقطع الزائد
𝟏
𝟓 𝟒
144
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
وزاري / 2011د2
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
وزاري / 2015د3
س / 5جذد معـــــذذـادلة المطذذع النذذالص الذذذي بإرتذذا تنتمٌذان لمحذذور الســـــذذـٌنات ومركذذز نمطذذة األصذذل ومســـذذـاحة منطمته 𝟕 وحدة مربعة ومحٌطه ٌساوي 𝟎𝟏 وحدة . الحل / 𝟕 𝒂
) معادلة ① ( 𝟐
) معادلة ② (
𝟐
𝟐
√
𝟓
𝒃
𝟕
𝟐
) 𝟐 (
𝟐
√ 𝝅𝟐
𝟐
𝝅 𝒃𝒂 𝟐
𝟐
𝝅𝟎𝟏
√ 𝝅𝟐
𝟐
𝒑
بتعوٌض المعادلة ① فً المعادلة ② نحصل على : 𝟗𝟒 𝟐𝒂
) تربيع الطرفين (
𝟗𝟒
𝟒
𝟐
𝟎𝟓
) نعوض فً معادلة ① (
𝟐
𝟓
𝟗𝟒 𝟐𝒂
)𝟏
𝟕
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
(
𝟐
𝟏
𝟗𝟒 𝟐𝒂
) نعوض فً معادلة ① (
𝟏
𝟏 ٌهمل
𝟕
ألن لٌمة ) ( ٌجب أن تكون أكبر من لٌمة ) ( فً المطع النالص .
145
𝟓
𝟐
𝟓𝟐
𝟐
𝟎
𝟐
𝟗𝟒
𝟎
𝟗𝟒
𝟐
𝟕 𝟕
𝟕 𝒂
𝒃
معادنت انقطع انىاقص 𝟐
√
𝟐
𝟎𝟓
()𝟗𝟒 𝟗𝟒
𝟏
√
𝟐
) نضرب طرفً المعادلة ب 𝟐 (
𝟎
𝟐
𝟕 𝒂
𝟐
𝟏
𝟎𝟓
𝟐
𝟐
𝟏
𝟗𝟒
𝟎
𝟏
𝟐
𝟕 𝟏
𝟕 𝒂
𝒃
𝟒
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
حلول األسئلة الوزارٌة الخاصة بالفصل الثانً سإال وزاري /98د1 لطع زائد معادلته 𝟎𝟗
𝟐
النالص الذي معادلته 𝟔𝟕𝟓
𝟐 𝟐
𝟔𝟏
وطول محور الحمٌمً 𝟐√𝟔 وحذدة وبإرتذا تنطبمذان علذى بذإرتً المطذع 𝟐
𝟗 جد لٌمة .h , k
الحل: فً القطع الناقص: 576 2
36
2
2
]576 2
64 36
16 2
1 2
64
2 √7
2
[9 2
2
28
2
2
البؤرتان ) (2√7 ) ( 2√7 فً القطع الزائد :البؤرتان ) (2√7 ) ( 2√7 3√2 2
1 2
1
6√2 28
2
2 2
18
2√7
c
2
2
2
9
9 ℎ
5
ℎ
9
9
9 9
146
]
9
18ℎ
18
1
1
2
2
ℎ
2
2
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
سإال وزاري /99د2 𝟏
النمطة )𝟐 ( تنتمً إلى المطع المكافئ الذي رأسه فً نمطة األصل وبإرته تنتمً إلى محور السٌنات والتً هذً 𝟑 احدى بإرتً المطع النالص ,النسبة بٌن طولً محورٌه الحل: المكافئ:
البؤرة ) (3
𝟓 𝟒
,جد معادلة كل من المطعٌن المكافئ والنالص. 4
3
(2)2
) ( 4
2
12 الناقص
البؤرتان هما ) ⇐ (3 ) ( 3
4
2
)4(3
2
3
5 4 )( 16
5
9
2
144
2
]
25 2 16 9
5 4
4 2
2
2
144 4
16 16
2
فً المطع الزائد:
2
4
12
4 البؤرتان ) ( 4 ) (4 فً القطع الناقص :البؤرتان ) ( 4 ) (4
144 5
2
16
⇐
9
2
1
12
4
5
25
) (5
2
2
4 )(1 2
2
16 3
5 25 2
2
9
2
معادلة القطع الناقص
147
𝟐
𝟑
)2
(
2
1 𝟐
والنسذبة بذٌن
2
12
2
3 2
5
3
2 2
2
2
144 2
2
25
2
1
25
) (5
معادلة القطع الناقص
2
2 2
5
سإال وزاري /2000د2 جد معادلذة المطذع النذالص الذذي بإرتذا همذا بذإرتً المطذع الزائذد الذذي معادلتذه 𝟐𝟏 𝟓 طولً محورٌة 𝟑 الحل:
2 2
2 2
16 2
25
2 2
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
سإال وزاري /2001د1 جذذد معادلذذة المطذذع الزائذذد الذذذي بإرتذذا تنطبمذذان علذذى بذذإرتً المطذذع النذذالص الذذذي معادلتذذه 𝟎𝟐𝟏 والنسبة بٌن طول محور الحمٌمً والبعد بٌن بإرتٌه تساوي
𝟐
𝟐
𝟓
𝟑
𝟏 𝟐
الحل: فً المطع النالص:
2
24
4 4
البؤرتان ) ( 4 ) (4 فً القطع الزائد :البؤرتان ) ( 4 ) (4
2
1
12
2
2
16 ⇐
2
) 2
2
(
24
2
4
2
12
2
2
4 2
1 2 4
2 2
16
سإال وزاري /2001د2 جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا همذا بإرتذا المطعذٌن المكذافئٌن𝟐𝟎 : طولً محورٌه الحمٌمً والمرافك = 2وحدة. الحل: 2 2 فً المطع المكافئ: 4 2 5 البؤرة ) (5
25
2
2
1 2
4 2
⇐
𝟐
𝟐
2
2
1
𝟎𝟐
2 2
2
معادلة القطع الزائد
2
5
4 2
فً المطع الزائد :البؤرتان ()-5,0( , )5,0
2
3
2
2
والفذرق بذٌن
2
2
4 2 البؤرة ) ( 5
5
5 2
1 12
1 25
)( 2
1 2 2
)2
2
(1
)( 2
24 )3
ٌهمل 4 3 4
2 2
2 2
2 ()4
2 (
4 3 3
1
148
2
2
1
2
2
9
16
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
سإال وزاري /2002د1 جد معادلة المطع النالص الذي مركز نمطة األصل وبإرتا على محور السذٌنات والمسذافة بذٌن بإرتٌذه تسذاو ()8 وحدات ومجموع طولً محورٌه 16وحدة. 2 8 4 الحل: 2 2 16 8 8 2 2 2 2 2 2 (8 )2 16 64 16 16 16 48 3 8 3 5
معادلة القطع الناقص سإال وزاري /2002د2 جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا راسذا المطذع النذالص 𝟔𝟑 إلى البعد بٌن بإرتٌه =
𝟐
𝟗
𝟐
2
1
2
25
والنسذبة بذٌن طذول محذور الحمٌمذً
𝟏 𝟐
الحل: فً المطع النالص
6
الرأسان ) ( 6 ) (6 فً القطع الزائد البؤرتان ) ⇐ ( 6 ) (6
6
2
36
2
1
c 3 2
27
6
2 2
36
2 2
2 2
9
معادلة القطع الزائد 1 سإال وزاري /2003د1 لطع نالص معادلته 𝟒 الحل:
𝟐
𝟒
𝟐
2
2
2
2
2
2
جد طول كل من محورٌه وأحداثً كل من بإرتٌه ورأسٌه. 2
طول المحور الكبٌر طول المحور الصغٌر الرأسان ) ( 2 ) (2
4 1 4 2
1 )2(2 )2(1
2
2
1
2
)
149
4
2 2 1
4 √3
) ( √3
(
4
2
2
2
2
البؤرتان ) (√3
2
2
2
3
2 2
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
سإال وزاري /2004د1 جد معادلة المطع المخروطً الذي محورا محوري االحداثٌات والذي احد رإوسه ( )3,0واحد بإرتٌه ()-5,0 الحل: 3 5 2 2 2 2 9 25 16 ( القطع الزائد ) ألن
معادلة القطع الزائد
2
1
2
2
سإال وزاري /2004د2 لطع زائد ولطع نالص احدهما ٌمر ببإرتً اآلخر .جد معادلة المطع الزائد إذا علمت أن معادلة المطع النالص هً 𝟏
𝟐
𝟐
𝟗
𝟓𝟐
علما أن محورٌهما على محوري االحداثٌات.
الحل: فً المطع النالص:
الرأسان ) ( 5 ) (5
5 2
البؤرتان ) ( 4 ) (4 4 فً القطع الزائد الرأسان ) ⇐ ( 4 ) (4 5 البؤرتان ) ⇐ ( 5 ) (5
4
9
2
2 2
16
2
25
معادلة القطع الزائد
25 9 9
2 2
2
16
2
25
2 2
1
2
2 2
سإال وزاري /2006د1 جد معادلة المطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل وٌمر بالنمطتٌن ( )3,6( , )-3,6ثم جد معادلة دلٌله. الحل: القطع من النوع الصادي وفتحة القطع إلى األعلى القطع متناظر حول محور الصادات 24 معادلة الدلٌل
9
معادلة القطع المكافئ
(3)2
)4 (6 2
4 2
) (4
2
2
سإال وزاري /2006د2 جد معادلة المطع المكافئ الذي رأسه نمطة األصل وٌمر بالنمطتٌن ( )1,3( , )1,-3ثم جد معادلة دلٌلة. الحل: القطع من النوع السٌنً وفتحة القطع إلى الٌمٌن. القطع متناظر حول محور السٌنات 4 4 معادلة القطع المكافئ
9
2
معادلة الدلٌل
150
(3)2
)4 (1
9
2
9 4
4
2
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
سإال وزاري /2007د1 جذذد معادلذذة المطذذع النذذالص الذذذي مركذذز نمطذذة األصذذل والبعذذد بذذٌن بإرتٌذذه ( )8وحذذدة ورأسذذا بإرتذذا المطذذع الزائذذد 𝟏
𝟐
𝟐
𝟗
𝟔𝟏
.
الحل: فً المطع الزائد
2
9 5
16
2
25
2
2
9
2
1 2
16
2
2
2
البؤرتان ) ( 5 ) (5 4 ⇐ 2 8 فً القطع الناقص الرأسان هما ) 5 ⇐ ( 5 ) (5 9
2
16
2
25
2
16
2
25
معادلة القطع الناقص سإال وزاري /2007د1 𝟐 𝟐 تمثل معادلة لطع زائد احدى بإرتٌه بإرة المطع المكافئ 𝟖 لتكن 𝟑 الحل: البؤرة ) (2 فً المطع المكافئ: c 2 فً القطع الزائد البؤرتان ) ⇐ ( 2 ) (2 2 2 3 2 2 1 3 3 3 ℎ ℎ 4 1 ℎ 3
2 2
1
𝟐
2 2
25
جد لٌمة .h 2
8 2
3 2
3
4 2
ℎ
2
2
سإال وزاري /2007د2 جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا هما بإرتا المطع النالص 𝟏 الحل: فً المطع النالص:
16
2
41
𝟐
𝟐
𝟔𝟏
𝟏𝟒
2
2
وطول محور المرافك ( )8وحدات. 2
2
16 5
البؤرتان ) ( 5 ) (5 فً القطع الزائد البؤرتان ) ( 5 ) (5 ⇐ 16 25
41 25
2 2
5 2
2
2
2
4
8 9
معادلة القطع الزائد
151
1
2
2 2 2
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
سإال وزاري /2008د1 جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا هما بإرتً المطعٌن المكافئٌن 𝟎𝟐 المرافك = 8وحدات. 2 2 الحل :المكافئ: 4 2 5 البؤرة ) (5 الزائد البؤرتان ) ( 5 ) (5
⇐
𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐
𝟎𝟐
وطول محور 2
4 2 البؤرة ) ( 5
5
5 4 9
2
25
سإال وزاري /2008د 1 لطع نالص معادلته الحل:
𝟐
𝟐
8
2
16
2
معادلة القطع الزائد
𝟐
2
2 2
2 2
1
2
𝟒 والبعد بٌن بإرتٌه = 𝟑√𝟐 وحدة .جد لٌمة .L √3 2
1
2
2 √3 2
]
2 2
2
4
2
2
2
2
2 2
3
12 سإال وزاري /2009د1 جد معادلة المطع النالص الذي ٌمر ببإرتً المطع الزائد 𝟒𝟒𝟏 طوله ( )12وحدة. الحل: فً المطع الزائد:
9
2
16 5
البؤرتان )5) ( 5 فً المطع النالص:
2
𝟐
1 25
2
2
3
4
𝟔𝟏
𝟐
2
2
2
4
2
2
2
𝟗 وٌمطع من محور السٌنات جزءا ً
(
)
9
2
144
16
2
16
2
2
2
( 6
12
معادلة القطع الناقص
152
2
1
5 2
25
9
2
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
سإال وزاري /2010د1 جد معادلة المطع النالص الذي مركز نمطة األصل ومحورا على المحورٌن االحداثٌٌن وٌمر ببذإرة المطذع المكذافئ 𝟐
𝟔𝟏
ومساحة منطمة المطع النالص 𝟎𝟐 وحدة مربعة.
الحل: فً المطع المكافئ:
4
4
16
2
16
البؤرة ) (4 فً المطع النالص:
2
)(1
المطع النالص ٌمر بالنمطة ()4,0
2
2
النمطة ( )4,0أما تمثل رأس أو لطب وهذا غٌر ممكن
5 2
5
2
4 2
4
4
b
4
والمطع من النوع الصادي
معادلة القطع الناقص
1
2
2
25
سإال وزاري /2010د2 𝟐
𝟑
𝟐
منطمته تساوي
𝟐 مع محور الصادات علما ً أن مساحة
لطع نالص ٌمر بنمطة تماطع المستمٌم 𝟑√
حٌث بإرتذا تنتمٌذان لمحذور السذٌنات ومركذز نمطذة
𝟑√𝟐 وحدة مساحة .جد لٌمة
االصل. الحل :المستمٌم:
√3
عندما
⇐
2 ) (2
√3
y
⇐ √3
نقطة التقاطع )( √3 فً المطع النالص :بما أن المطع من النوع السٌنً 1
𝟑√
⇐ 2
2
1
2
) ألن القطع من النوع السٌنً( √2
2
2
2
2
√2
4
ℎ
12
3ℎ
153
3 2
2 √3
√ 2
2
3
12
4
ℎ
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
وزاري /2012د1 جد معادلة المطع النالص الذي مركز نمطة االصل وبإرتا على محور السٌنات ومجموع طولً محورٌه = 16 𝟐 وحدة طول وبإرتا تنطبمان على بإرتً المطع الزائد الذي معادلته 𝟔 𝟐 𝟐 الحل: فً المطع الزائد:
2
1
2
2
3 9
3
2
2
2
6
3
2
6
2
2
6
2 2
2
البؤرتان ) (3 ) ( 3 فً المطع النالص:
البؤرتان
) (3
) ( 3
⇐
c
3 8
9
2
2
16
2
8
64
2
9 55
)2 55 55
معادلة القطع الناقص
1
2
2
2
2 2
16
2
(8
2
2
16
9
64
2
1
2
16
55
8
2
2
2
2
) (
2
2
) (
وزاري /2012د2 جد معادلة المطع النالص الذي مركز نمطة االصل وٌنطبك محورا على المحورٌن االحداثٌٌن وٌمطع من محور السٌنات جزءا ً طوله 8وحدات ومساحة منمطته 𝟒𝟐 وحدة مساحة. الحل:
2
24
24
بما أن المطع النالص ٌمطع من محور السٌنات جزا ً طوله ( )8وحدات فؤن هذا الجزء أما ٌمثل طذول المحذور الكبٌذر أو طول المحور الصغٌر .فؤذا كان هذا الجزء ٌمثل طول المحور الكبٌر فٌكون: 6 وهذا غٌر ممكن ألن
2
4
2
8
دائما ً فً المطع النالص .لذا فؤن الجزء الممطوع ٌمثل طول المحور الصغٌر: 6
4
2
8
والمطع من النوع الصادي:
معادلة القطع الناقص 154
1
2
2
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
وزاري /2013د1 لطع مخروطً بإرتا )𝟎 𝟒
(𝟐
)𝟎
𝟒( 𝟏
واختالفه المركزي = ,2جد معادلته.
الحل: 2
⇐
القطع زائد الن 1
4
⇐
2 12
2
4
4
2
16
2 2
16
2 2
4
معادلة القطع الزائد
2
2 2
1
2
2
وزاري /2014د3 جد بإرة ودلٌل المطع المكافئ ,معادلة المحور ورأس المطع المكافئ
𝟐
𝟐
𝟖 مع الرسم
𝟕
الحل /نرتب المعادلة بحٌث تكون حدود ) ( فً طرف وحدود ) ( فً الطرف األخر
)𝟕
𝟐
𝟖
𝟐
(
نضٌف )𝟏( الى طرفً معادلة المطع المكافئ حتى تكون حدود) ( بشكل مربع كامل معادلة القطع المكافئ
تانمماروح مع انمعادنح انمٕاسٕح نهمطع انمكافئ ) الرأس) 𝟏
)𝟏
(𝟖
( 𝟒 𝟏 (
𝟐)𝟏
𝟐) )
𝒙(
𝟖
𝟖
𝟏
( وحصم عهّ (
𝟏
𝟏 𝟐 البؤرة )𝟏 𝟏 (
معادلة الدلٌل
𝟑
معادلة المحور
155
𝟐
𝟐
𝟏
𝟖 )
𝟒 (
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
وزاري /2015د2 لتكن جد لٌمة
𝟐
𝟐
𝟒
𝟐
𝟓 معادلة لطذع زائذد أحذدى بإرتٌــذـه هذً بذإرة المطذع المكذافئ 𝟎
𝟒
𝟓√
.
الحل: فً المطع المكافئ : 𝟒
𝟐
𝟐
𝟓√
𝟓√
𝟏 𝟓√
البؤرة
فً المطع الزائد :البإرتان )
𝟏 𝟓√
𝟏 𝟓√
𝟎 𝟎(
𝟏
)
𝟓√
𝟏
𝟎( ⇐
𝟓√
𝟗 𝟒
𝟒
𝟓
𝟓
𝟗
𝟒 𝟒
)𝟎𝟐×(
𝟐
𝟒
=c
𝟐
𝟏
𝟒
𝟒
𝟓√
𝟐
𝟒
𝟎
𝟒
𝟐 𝟐
𝟒
𝟐
𝟓√
𝟒
]
𝟒
)
(
𝟐
𝟒
𝟐
𝟓
𝟓
𝟓
𝟏 [ 𝟓
𝟐
𝟐
𝟐
وزاري /2015د2 جذذذذذد معادلذذذذذة المطذذذذذع النذذذذذالص الذذذذذذي بإرتذذذذذا تنتمٌذذذذذان لمحذذذذذور الصذذذذذادات ,مسذذذذذاحته 𝟐𝟑 وحذذذذذدة مسذذذذذاحة والنسبة بٌن طولً محورٌه
𝟏 𝟐
الحل:
𝟐 𝟖
𝟒
𝟔𝟏
𝟐
معادلة المطع النالص
𝟐𝟑
𝟏
156
× 𝟐
𝟐
𝟐
𝟔𝟏
𝟒𝟔
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐𝟑
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
سإال وزاري /2015د3 جد معادلة المطع الزائد الذي بإرتا هما بإرتً المطعٌن المكافئٌن 𝟎𝟐 المرافك = 8وحدات. 2 2 الحل :المكافئ: 4 2 5 البؤرة ) (5 الزائد البؤرتان ) ( 5 ) (5
⇐
𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐
𝟎𝟐
وطول محور 2
2
4 2 البؤرة ) ( 5
5
5 4 2
9
25
8
2
16
معادلة القطع الزائد
2
2
2 2
1
2 2
سإال وزاري /2016د1 جذذد معادلذذذة المطذذع النذذذالص الذذذي مركذذذز نمطذذة األصذذذل وبعذذد البذذذإري مسذذاوٌا ً لبعذذذد بذذإرة المطذذذع المكذذافئ عذذذن 𝟐 𝟎𝟖 𝟒𝟐 𝟐 ,أذا علمت أن مساحة المطع النالص دلٌله 𝟎 الحل: فً المطع المكافئ : 𝟐 𝟐 𝟐 𝟒𝟐 𝟎 𝟒𝟐 𝟒 ) بالمقارنة مع( )البعد بٌن بؤرة القطع المكافئ ودلٌه( فً المطع النالص :
𝟐
𝟐𝟏
)𝟒
𝟔 𝟔𝟑
)𝟏(
(
𝟐
𝟒
𝟔 𝟐
𝟔𝟑
𝟐𝟏 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟎𝟖
)𝟐(
𝟒𝟐
𝟐
𝟎𝟖
نعوض المعادلة )𝟐( فً المعدلة )𝟏( فٌنتج : 𝟎
𝟎𝟎𝟒𝟔
𝟐
𝟔𝟑
𝟒𝟔
𝟐
𝟒
𝟔𝟑
𝟎𝟎𝟒𝟔
𝟎𝟎𝟒𝟔 𝟎𝟎𝟏
𝟐
𝟒
𝟎 𝟎𝟎𝟒𝟔
) 𝟐 ×(
)𝟒𝟔
𝟔𝟑 𝟐
𝟐
()𝟎𝟎𝟏 𝟎𝟎𝟏
𝟐
𝟎𝟎𝟒𝟔
ٌهمل 𝟒𝟔
𝟐
𝟐 𝟐
(
𝟐
أما
𝟐
أو
∴ هنان معادلتان للمطع النالص ألن مولع البإرتٌن غٌر محدد وهما : 𝟐
𝟏
𝟎𝟎𝟏
157
𝟐
𝟒𝟔
𝟐
𝟏
𝟒𝟔
𝟐
𝟎𝟎𝟏
أعــــــــــــداد /األستاذ علً حمٌــــــد
الفصــــــــــل الثانً /المطــــــــــــــــــــــوع المخروطٌة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
سإال وزاري /2016د1 جذذذد معادلذذذة المطذذذع الزائذذذد والنذذذالص أذا كذذذان كذذذل ٌمذذذر ببذذذإرتً األخذذذر وكالهمذذذا ٌمعذذذان علذذذى محذذذور السذذذٌنات وطول المحور الكبٌر ٌساوي 𝟐√𝟔 وحدة طول وطول المحور الحمٌمً ٌساوي 𝟔 وحدة طول . الحل: كل من المطعٌن ٌمر ببإرة األخر ∴ رأسا المطع النالص ٌمثالن بإرتا المطع الزائد وبإرتا المطع النالص تمثالن رأسا المطع الزائد
𝟖𝟏
𝟐
فً المطع النالص : 𝟐√𝟑
𝟐
𝟐√𝟔 𝟗
𝟐
𝟗
𝟐
معادلة القطع الناقص
𝟗 𝟏
𝟐
𝟐
𝟖𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟗
𝟖𝟏
𝟗
𝟐
فً المطع الزائد : 𝟑
𝟔
𝟐
𝟖𝟏
𝟐 𝟐
𝟗
𝟐
𝟗
𝟐
𝟐
𝟖𝟏
𝟐
𝟐
معادلة القطع الزائد
158
𝟐
𝟏
𝟗
𝟐
𝟗
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل المواعد األساسٌة للمشتمة ( مراجعة ) الماعدة األولى :مشتمة الدالة الثابتة تساوي صفر
الماعدة الثانٌة :أذا كان
فأن
) (
𝟐
𝟏
𝟏 / 𝟐
√𝟐
.
𝟕
الماعدة الثالثة :أذا كان
) (
(
)𝟏
𝟏 𝟐 𝟖
)
𝟏 / 𝟐
√𝟐
𝟏 ) (𝟕 𝟐
.
𝟓𝟏
𝟒
𝟒
𝟏 . / 𝟐
𝟕
𝟕
) (
)𝟏(
) (
)𝟐(
) (
)𝟑(
حٌث ) (̅
𝟒𝟐
𝟒 𝟏 . / 𝟐
) (̅
𝟕
) (̅
𝟓𝟏
√
) (̅
) (̅
(
𝟑
) (̅
𝟑
𝟕
𝟎
) (̅
𝟐 𝟓
) (
)𝟑(
) (̅
𝟑
𝟖
فأن
𝟎
) (̅
𝟒√
) (
)𝟐(
) (̅
(
)𝟏
𝟎
) (̅
𝟑
) (
)𝟏(
𝟗
𝟑
𝟔
) (
)𝟏(
√𝟕
) (
)𝟐(
𝟓
) (
)𝟑(
) (
)𝟒(
) (̅
𝟗
الماعدة الرابعة :مشتمة مجموعة دوال = مجوع مشتماتها 𝟕 𝟏 𝟐
𝟏
𝟓 𝟓
𝟐
𝟐 𝟏 / 𝟐
𝟐 𝟓
.
𝟏 . / 𝟐
𝟕
𝟏 ) (𝟕 𝟐
𝟐
𝟕
𝟐
√𝟐
159
𝟐
𝟑
𝟑
) (̅
𝟒𝟐
) (̅
) ( ) (̅ ) (̅
𝟑
) (
)𝟏(
𝟔
) (
)𝟐(
√𝟕
) (
)𝟑(
𝟕 𝟏
𝟓
𝟐
𝟒
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل الماعدة الخامسة ] :مشتمة حاصل ضرب دالتٌن = الدالة األولى 𝟑
𝟒𝟏
𝟒𝟐
𝟑
𝟒𝟏
𝟖
)𝟕
الماعدة السادسة :مشتمة لسمة دالتٌن = 𝟑
𝟔 𝟖 𝟐)𝟏
𝟒
𝟒
𝟐
𝟔 (
مشتمة الدالة الثانٌة +الدالة الثانٌة
𝟐𝟏() 𝟐(
الممام
𝟐 𝟓
𝟔
)
𝟒) 𝟕
𝟑
𝟒()𝟓𝟑
(𝟐𝟐)𝟑 ,
𝟏)(𝟏)-
𝟐
𝟐)𝟐 (𝟐)-
𝟐( ( 𝟑)𝟐
)𝟏
)𝟕
𝟐(𝟐
, ( )-
𝟐𝟏( 𝟒) 𝟕
𝟏
𝟐) 𝟐
𝟑
𝟒( 𝟐
𝟐
)𝟐 𝟏
𝟐) 𝟐
𝟐𝟏( 𝟑
𝟒(𝟓
𝟐(𝟑𝟏)𝟐 , 𝟐( 𝟐)𝟏
(𝟔
) (̅
𝟐) 𝟐
𝟑
𝟑
𝟒(
𝟏
𝟐 )𝟐 ,𝟐 -
𝟒(
𝟐
𝟑)𝟐
𝟏
𝟑
𝟒(𝟐 𝟐
𝟖
𝟒
𝟐
𝟔𝟏 𝟐
𝟑
𝟒
𝟐
𝟐𝟏
𝟑
) 𝟐
𝟒( 𝟒
)𝟐
𝟐) 𝟐
𝟑
𝟏
𝟒√𝟐
𝟑
𝟒(
) (
)𝟏(
(
) (
)𝟐(
𝟐
√𝟐
) (
𝟒
𝟏 𝟒( ) (6 𝟐 𝟐𝟏(
) (
) (̅
𝟐( 𝟐)𝟏
𝟐
𝟐𝟏( 𝟐 ) 𝟐
𝟑
𝟐
𝟒
(, ( )-
𝟓) 𝟕
) ( 𝟐
𝟐)7
)𝟏
) (̅
(
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
(
𝟑
𝟏 𝟏
) (̅
فأن ) ( ̅
) (
) (̅
𝟐)𝟐
) 𝟐() 𝟕
)الممام(
𝟒()𝟏
𝟐
البسط
𝟑
𝟒(
) (
مشتمة الممام
𝟑 𝟐( ) 𝟔()𝟏 𝟐)𝟏 𝟒 (
الماعدة السابعة :مشتمة مجموعة دوال مرفوعة ألس معٌن 𝟎𝟔(
)𝟐() 𝟕
مشتمة البسط
𝟑
𝟑
𝟒(
) (̅
مشتمة الدالة األولى[
)𝟑(
) (̅
𝟐
𝟐
) (̅
𝟒(𝟐
المواعد األساسٌة ألشتماق الدوال الدائرٌة ) (
𝟐
) (̅
) (
) (
)𝟒(
) (̅
) (
)𝟓(
) (
) (̅
) (
)𝟔(
)
(𝟐
) (̅
) (
)𝟏(
) (̅
) (
)𝟐(
) (̅
) (
)𝟑(
بعض الموانٌن والعاللات المهم 𝟐
) 𝟐(
𝟐
𝟐 𝟐
𝟏
𝟐 𝟐
𝟏
) 𝟐(
𝟐
𝟏 𝟐 𝟏
160
𝟏
𝟐
𝟏
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل 𝟐 𝟐
𝟏
𝟏
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05 𝟐
) 𝟐(
)
𝟏
) 𝟐(
(
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
) 𝟐(
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
)تعكس األشارة(
)
(
)
(
مثال /جد مشتمة كالً مما ٌأتً : 𝟏
) (̅
) (
)𝟏(
) (
)𝟐(
) (
)𝟑(
) (
)𝟒(
) (
)𝟓(
) (
)𝟔(
) (̅
𝟐)
(
𝟐
) (
)𝟕(
) (̅
𝟐)
(
𝟐
) (
)𝟖(
) (
)𝟗(
√𝟐 𝟏 𝟐
𝟏
) (̅
)𝟏
) (̅
) (̅
(
√
𝟐
) (̅ ) (̅ 𝟏
√
√𝟐 𝟏 √𝟐
𝟐 𝟐 )
(
)
𝟐
) 𝟐(
𝟏
𝟏 )𝟏
𝟐 𝟐 𝟐
161
) (̅
) (̅ ) (̅ ) (̅
( 𝟐
) (̅
(
√
) (̅ ) (̅ ) (̅
√
) (
)𝟗(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
المشتمات ذات الرتب العلٌا دالة تتوافر فٌها شروط األشتماق فأن مشتمتها األولى هً ̅ ( )1
أذا كانت ) (
̅ 0وهً تمثل
دالة جدٌدة ,والدالة الجدٌدة أذا كانت لابلة لألشتماق فأن مشتمتها الثانٌة تكون أٌضا دالة جدٌدة وٌرمز لها بالرمز 𝟐 ̅ حٌث ̅ ( )1 ̅ , 0والدالة الجدٌدة أذا كانت لابلة لألشتماق فأن مشتمتها الثالثة تكون أٌضا دالة 𝟐
𝟑
̅ حٌث ̅ ( )1 جدٌدة وٌرمز لها بالرمز ̅
̅ ̅ 0وهكذا فأذا كان ) (nعدد صحٌح موجب فأن المشتمة
𝟑
) (
من الرتبة ) (nتكون كالتالً ( )1
0
مالحظات عامة ,حٌث ) ( تمثل أزاحة الجسم عند أي زمن ) ( لذا فأن :
أذا كانت ( ) - ① ) (̅ ② ) (̅ ̅̅ ③) (
(المشتمة األولى) وهً تمثل السرعة اللحظٌة للجسم وٌرمز لها بالرمز ) ( 𝟐 𝟐 𝟑 𝟑
(المشتمة الثانٌة) وهً تمثل التعجٌل للجسم (معدل تغٌٌر السرعة ) وٌرمز لها بالرمز ) ( (المشتمة الثالثة) وهً تمثل (معدل التغٌٌر الزمنً للتعجٌل)
④ بعض الدوال لابلة لألشتماق أكثر من مرة ,لذا فأن مشتمة ناتج األشتماق األول تسمى بالمشتمة الثانٌة ,ومشتمة ناتج األشتماق الثانً تسمى بالمشتمة الثالثة
المشتمـــــــــة الضمنٌة دالة بداللة ) ( فعند أشتماق معادلة تحتوي على ) ( و ) ( بالنسبة للـ ) ( نضٌف )̅ ( بعد
أذا كانت ) (
كل مشتمة لل ) ( ( وتستخدم المشتمة الضمنٌة عندما ٌكون لٌمة أس ) ( أكبر من واحد ) كما فً المثال التالً : مثال /أوجد )̅( لكالً مما ٌأتً : 𝟐
𝟒 ̅
̅
̅
)𝟐 (
⇒
̅
𝟑 ̅
̅
162
𝟐
①
) (
𝟐 )̅
𝟐
(
②
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال ) /)1أذا كان
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
فجد
𝟐
𝟒 𝟒
الحل /
𝟐
𝟐
)𝟐() 𝟐
𝟒
𝟐
𝟐 (
𝟐
𝟐
)𝟐() 𝟐
𝟐
(
𝟒
𝟐
)𝟐() 𝟐
𝟔𝟏 𝟐
مثال ) ) /أذا علمت بأن 𝟏
𝟐
𝟖(
𝟑
𝟐
𝟒
فبرهن على أن :
𝟐
𝟎
𝟐
)𝟐() 𝟐
𝟖
𝟒(
𝟑
𝟑
𝟑
𝟑
الحل /
𝟏 )𝟐 ( )واالن نشتك الطرفٌن بالنسبة للمتغٌر
𝟐
𝟎
(
𝟐
𝟐
)
( 𝟐
𝟎
(
) 𝟐
𝟎
)
𝟏
(
( )
5
𝟐
𝟐
)واالن نشتك الطرفٌن بالنسبة للمتغٌر
𝟎
/
𝟐 𝟐
𝟑.
𝟑/
𝟑
مرة أخرى (
𝟎
.
𝟎
𝟎 𝟐/
𝟐
.
𝟏
𝟐
4 𝟐
(
) 𝟐/
𝟐
5
.
4
𝟐
𝟑/
𝟑
.
𝟐
)وهو المطلوب(
مثال /لتكن 𝟎
𝟑𝟏
حٌث 𝟎
𝟎
𝟐
𝟑
𝟑
𝟑
فجد المشتمة الثانٌة
𝟎
الحل / 𝟎
المشتمة األولى
𝟎
𝟎 𝟐
𝟎
̅
)𝟏(̅
المشتمة الثانٌة
163
̅
𝟎
̅𝟐
̅
𝟐
𝟎
̅𝟐
̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل 𝟐
مثال /أذا كانت
وكان 𝟓
) (
)𝟏( ̅ فجد
)𝟏( ̅ وكان 𝟒
)𝟏( وكان 𝟑
الحل /
معادلة ① معادلة ②
𝟑
𝟒
𝟐 𝟒
)𝟐 (𝟐
𝟑
𝟎
مثال /أذا كانت
) 𝟏( ̅
𝟐
𝟑 𝟕
فبرهن أن
) 𝟏( ̅
) 𝟏( 𝟐
𝟑
𝟕
) 𝟏(
𝟓
𝟐
نعوض فً ② نعوض فً ①
𝟓
𝟐
𝟐) 𝟏(
𝟓
) 𝟏( 𝟐
) (̅
𝟐
) (̅ 𝟐
𝟑 ) 𝟕(
𝟓
)𝟐 (
𝟐
𝟐
𝟐
الحل /
𝟐
)
𝟐
(
𝟐
𝟐
𝟐
س / 1جد
𝟐
𝟐
𝟐
تمارين)𝟏 𝟐
𝟐 𝟐
𝟑(
لكل مما ٌأتً : 𝟐
) (
𝟐√
الحل / 𝟏 𝟐
𝟏 𝟐( 𝟐
)
)𝟏 (
𝟏 𝟑)
𝟏 𝟐
)
𝟏 𝟐(√ 𝟒
𝟑 𝟐)
164
𝟏 𝟐( 𝟐
𝟏 𝟐) 𝟑
)𝟏 ( 𝟐 ) 𝟐(𝟒
𝟏 𝟏 𝟐( ) ( ) 𝟐 𝟐
𝟐( 𝟐
(
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05 𝟐 ) ( 𝟐 𝟐
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
الحل / 𝟐
)
𝟒
𝟐(𝟒
𝟐)
𝟐 𝟐)
𝟐(
)𝟏()
𝟐
𝟐( 𝟐)
𝟐(
𝟐(
)𝟏 () 𝟐(
𝟐
𝟖 𝟑)
)𝟏( 𝟑 )
𝟐(
𝟎
𝟐()𝟐 ()𝟒 (
𝟐
𝟓
𝟎
𝟐
𝟐 ) (
𝟒
الحل /
𝟎 𝟐
𝟐
𝟐(
)𝟒
𝟒
𝟎
𝟐(
)𝟒
[𝟐
] 𝟒
𝟎
𝟐
𝟐
𝟐
𝟎
𝟐
𝟒
𝟐
𝟐
𝟐
𝟒 𝟐
𝟐 𝟐)𝟐
𝟐
(
)𝟒
𝟖 𝟐)𝟐
𝟐(
(𝟒
𝟐)𝟒
𝟎
𝟐
𝟐
𝟒
𝟐
)𝟒
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐(
𝟐
𝟐
𝟐
𝟖
7
𝟐6
𝟐(
)𝟒 (
)𝟒
𝟐(
𝟐
طرٌمة أخرى لحل السؤال 𝟓 𝟏
)𝟐
𝟓 ( 𝟐
𝟓
𝟓 )𝟐 𝟐
𝟓 𝟑)𝟐
(𝟐 )𝟐
𝟓
𝟐(
)𝟒 𝟓 ( 𝟐
)𝟏( 𝟐 )𝟐
𝟐 𝟑
(
𝟐
165
)𝟐
(𝟓
)𝟏( 𝟑 )𝟐
𝟒 )𝟒
𝟐 𝟐(
𝟓 ()𝟏 ( 𝟐 𝟓 ()𝟐 ( 𝟐
𝟐 𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
̅ س / 2جد )𝟏( ̅ لكل مما ٌأ تً : 𝟐
𝟑
) (
𝟔√𝟒
) (
الحل / 𝟏
𝟐) 𝟐
𝟑
𝟐) 𝟐
𝟐𝟏 𝟓
𝟐) 𝟐
𝟓
𝟐) 𝟐
𝟏 𝟔( ) ( 𝟒 𝟐
) (̅
)𝟐 ( 𝟐 ) 𝟐
𝟏 𝟔( ) 𝟐
(𝟒
) (̅
)𝟐 ( 𝟐 ) 𝟐
𝟑 𝟔( ) 𝟐
(𝟒
) (̅
𝟏
)𝟐 ( 𝟐 ) 𝟐
𝟔(𝟒
𝟑
𝟔(𝟒
𝟓
𝟔(𝟐𝟏
𝟔( 𝟑 𝟖
𝟐𝟏 𝟓)𝟐(
𝟐𝟏 𝟐𝟑
𝟐𝟏
𝟐𝟏
𝟐𝟏
𝟓 𝟐) 𝟐𝟐(
𝟓 𝟐)𝟒(
𝟏
𝟐) 𝟐
) (
𝟔(𝟒
̅ )𝟏(̅
𝟓 𝟐)𝟐
𝟔(
) (
) (
الحل / ) (̅
) ( 𝟐
) (
𝟑
𝟑
) ( (𝟑
)𝟏
) (̅
)𝟏(
𝟐
) ( ̅̅
𝟑
)𝟏( ̅
𝟑
𝟐
𝟐
) (
الحل / 𝟐 𝟑
𝟖𝟏 𝟒)
𝟒
𝟐(
) )
)
𝟐( 𝟐(
𝟐(𝟖𝟏
)𝟏 ( )
(
)𝟏 (
𝟑
𝟒
) )
𝟐
)
𝟐(𝟑
𝟐()𝟐 (𝟑 𝟐()
(
) (
166
) (̅ ) (̅ ̅ ) (̅ ̅ )𝟏(̅
𝟏
)
𝟐(𝟑
) (
) (
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
س / 3أذا كانت
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
فبرهن أن
)𝟐
𝟐
𝟏( 𝟐
)𝟏
حٌث
𝟐
𝟐( 𝟐
الحل / 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟏 𝟐
)𝟐
فبرهن أن 𝟎 :
س / 4أذا كانت
𝟏( 𝟐
)
𝟐
𝟐
𝟏(
𝟐
)𝟒(
𝟒
الحل / )𝟏( 𝟐
𝟐
𝟐
)𝟏(
𝟐
𝟐
(
)
𝟐
𝟑
𝟐
̅
𝟐
𝟐
𝟑
𝟐
𝟒
𝟐
𝟐
𝟒
̅
𝟐
𝟒
𝟒 𝟒
/و هـ م.
𝟎
𝟒
) 𝟒(
𝟎
𝟐
𝟐
𝟒
المعدالت المرتبطة لحل مسائل المعدالت المرتبطة بالزمن وهً أحدى تطبٌمات المشتمة الضمنٌة نتبع الخطوات التالٌة : ① نرســـــــــم مخطــط للمســــــــألة (أن أحتجــت الــى ذلــن ) ونحــدد المترٌــرات والثوابــت ونضــع لهــا الرمــوز ونحــدد العاللــة الرئٌسٌة لحل السؤال ② نحاول أٌجاد عاللة أخرى بٌن المترٌرات لكً ٌمل عدد المترٌرات الداخلة فً الحل ③ نشتك الطرفٌن بالنسبة للمترٌر ( tالزمن) ④ نعوض معطٌات السؤال من المترٌرات بعد األشتماق فٌنتج المطلوب
167
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟐 ٌتســــرب منه
مثال ( /)1خزان مملوء بالماء على شكل متوازي سطوح مستطٌلة لاعدته مربعة طول ضلعها الماء بمعدل 𝟎 𝟒 𝟑 ⁄جد معدل ترٌر أنخفاض الماء فً الخزان عند أي زمن t وزاري / 2013د2 وزاري / 2011د1 الحل /
نفرض ارتفاع الماء فً الخزان مســـــــــــــاحة الماعـــــــــدة نفرض حجم الماء فً الخزان
{
فً أي زمن t
العاللة هً لانون حجم الخزان ) ( = ] مساحة الماعدة
األرتفاع[
𝟐)𝟐(
𝟒
األن نشتك بالنسبة للزمن 𝟒 𝟒𝟎 𝟒
) 𝟎𝟏 ( ⁄
𝟒
∴ معدل ترٌر أنخفاض الماء فً الخزان = ) ⁄
𝟒𝟎
𝟏 𝟎(
𝟐 𝟔𝟗 ٌتمـدد طولــــــها بمعـدل ⁄ مثال ( /)2صفٌحة مستطٌلة من المعـدن مسـاحتها تسـاوي 𝟖 تبمى مساحتها ثابتة ,جد معدل النمصان فً عرضها عندما ٌكون عرضها وزاري / 2014د 3وزاري / 2011د2
𝟐 بحٌـث
الحل / نفرض طول المستطٌل نفرض عرض المستطٌل
8
فً اي زمن t
العاللة هً مساحة المستطٌل ) ( = -
,
)نحسب لٌمة ( 𝟐𝟏
معادلة①
𝟔𝟗 𝟖
𝟔𝟗 )𝟖(
𝟔𝟗
األن نشتك معادلة ① بالنسبة للزمن 𝟎
)𝟐()𝟖(
)𝟐𝟏(
𝟎 𝟒 ( 𝟑
𝟔𝟏 𝟐𝟏
∴ معدل التنالص فً عرض المستطٌل = ⁄ /
𝟒
) ⁄
𝟑
.
168
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟖 مرطـى بطبمـة مـن الجلٌـد بحٌـث شـكله ٌبمـى مكعـب ,فـأذا بـدأ الجلٌـد مثال ( /)3مكعب صلد طـول حرفـه 𝟑⁄ 𝟏 𝟔 فجد معدل النمصان بسمن الجلٌد فً اللحظة التً ٌكون فٌها هذا السمن = بالذوبان بمعدل وزاري / 2015د1
الحل / نفرض سمن الجلٌد نفرض حجم الجلٌد
8فً أي زمن t
المطلوب حساب . /عندما ) 𝟏
حجم الجلٌد
𝟑⁄
( حٌث /
حجم المكعب مغطى بالجلٌد
𝟔
حجم المكعب األصلً 𝟑)𝟖(
)نشتك بالنسبة للزمن( 𝟎
𝟑) 𝟐
)𝟐( 𝟐) 𝟐 ))𝟏(𝟐
𝟖(𝟔
𝟔
𝟐)𝟎𝟏(
𝟏
𝟏 𝟎𝟎𝟏
لذا فأن معدل النمصان فً سمن الجلٌد = ⁄
𝟖(
𝟖(𝟑
𝟐
⁄
.
0.01
مثال ( /)4سلم طوله 𝟎𝟏 ٌستند طرفه االسفل على أرض أفمٌة وطرفه العلوي على حائط رأســــً ,فاذا انزلـك الطـر األسفل مبتعد مبتعدا عن الحائط بمعدل 𝟐 ⁄عندما ٌكون الطر األسفل على بعد 𝟖 عن الحائط فجد : ② سرعة ترٌر الزاوٌة بٌن السلم واألرض ① معدل أنزالق الطر العلوي
وزاري / 2014د2 الحل ① / نفرض بعد الطر األسفل عن الحائط فً أي لحظة نفرض بعد الطر األعلى عن األرض فً أي لحظة نفرض لـــــٌاس الزاوٌـــــة بٌــــن الســــلم واألرض )فٌثاغورس( 𝟔
𝟎𝟎𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟎𝟎𝟏
𝟐
𝟒𝟔
)نشتك الطرفٌن(
𝟎𝟎𝟏
𝟐
𝟐
𝟔𝟑
𝟎 𝟎 𝟐𝟑
𝟐𝟏
𝟐 )𝟔(𝟐 𝟎
𝟐 )𝟐()𝟖(𝟐
𝟐𝟏
𝟖 ) ( ⁄ 𝟑
∴ معدل انزالق الطرف العلوي = ⁄
𝟖 𝟑
169
𝟐𝟑
وزاري / 2012د1
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
الحل ② / )نشتك الطرفٌن(
) نعوض لٌمة
(
) نضرب الطرفٌن ب 𝟎𝟏 (
) نمسم الطرفٌن على 𝟖 ( سرعة تغٌٌر الزاوٌة بٌن السلم واالرض
(
) ⁄
𝟒𝟐 وطــول لطــر مثــال ( /)5مرشــح مخروطــً لاعدتــه أفمٌــة ورأســــــــه الــى االســفل ارتفاعــه ٌســـــــاوي 𝟑⁄ 𝟑⁄ 𝟏 جـد معـدل 𝟓 بٌنما ٌتسرب منه السا ئل بمعـدل 𝟔𝟏 ٌصب فٌه سائل بمعدل لاعدته 𝟐𝟏 ترٌر عمك السائل فً اللحظة التً ٌكون فٌها عمك السائل الحل / نفرض أرتفاع الســـــــائل نفرض نصف لطر الماعدة نفرض حجم الســــــــائل
مالحظة
{ فً أي زمن t
معدل تغٌر حجم السائل معدل الصب معدل التسرب )
𝟑⁄
( 𝟒 𝟏 𝟓
العاللة هً حجم السائل فً المرشح المخروطً 𝟏
𝟐
معادلة①
𝟑
نعوض فً معادلة①
𝟑
𝟐
𝟏 𝟕𝟐
) ( 𝟑
𝟏 𝟑
𝟐 𝟑
)نشتك بالنسبة للزمن(
𝟕𝟐 𝟐
𝟐)𝟐𝟏(
𝟗
معدل أزدٌاد أرتفاع السائل ) ⁄
𝟏 𝟑
𝟑
𝟕𝟐
𝟐
𝟒
𝟗
(
𝟏 𝟒
)𝟗()𝟒( 𝟒𝟒𝟏
170
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟒 𝟐 بحٌــث ٌكــون معــدل أبتعادهــا عــن النمطــة مثــال ( /)6لــتكن Mنمطــة متحركــة علــى منحنــً المطــع المكــاف )𝟎 𝟕( ٌســــاوي ⁄ 𝟐 𝟎 جــــد المعــــدل الزمنــــً لترٌــــر األحــــداثً الســــٌنً للنمطــــة Mعنــــدما ٌكــــون 𝟒 الحل / لتكن النمطة )
(
لتكن النمطة )
(
للمطع المكافئ
Sالمسافة بٌن N , M 𝟐 𝟐
𝟗𝟒 )
𝟒
𝟐
𝟒𝟏 𝟐
)𝟏
𝟐
√
(
𝟏
)نشتك بالنسبة للزمن(
(
𝟐)𝟎 𝟒
𝟐)𝟗𝟒
𝟐
𝟐
𝟎𝟏
)𝟏
𝟐
𝟐)𝟕
( 𝟗𝟒
(
𝟒𝟏
𝟗𝟒
𝟐( 𝟐 )𝟗𝟒
𝟗𝟒 𝟗𝟒 𝟐 𝟎𝟏 ) ⁄
( 𝟏
𝟐𝟎
𝟐
𝟎𝟏
√
𝟏 ( 𝟐
𝟐
𝟎𝟏
𝟐
√𝟐
)𝟒(𝟐
)𝟒(𝟎𝟏
√
𝟐
𝟎𝟏
𝟎𝟏 𝟎𝟏
(√ 𝟐
𝟏
)𝟎𝟏
(√
𝟐)𝟒(√ 𝟐 𝟐 𝟓𝟐√𝟐 𝟐𝟎
171
𝟐𝟎 𝟐𝟎 𝟐𝟎
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟑(
تمارين)𝟐
س / 1سلم ٌستند طرفه األسفل على أرض أفمٌة وطرفـه األعلـى علـى حـائط رأسـً فـأذا أنزلـك الطـر 𝟐 فجد معدل أنزالق الطر
الحائط بمعدل
العلوي عندما ٌكون لٌاس الزاوٌة بٌن السلم واألرض تساوي
الحل /
الطريقة① نـــــفرض طــــــــــول الســـــــــــــلم نفرض بعد لاعدة الســــــــــلم عن الجدار نفرض بعد رأس السلم عن عن األرض نفرض الزاوٌة بٌن الســــــــلم و األرض
{فً أي زمن t
العاللة هً فٌثاغورس 𝟐
معادلة① 𝟑√ 𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
𝟏 𝟐
𝟑
األن نشتك المعادلة ① بالنسبة للزمن 𝟑√ 𝟐4 5 𝟐
𝟎
) ( ⁄ معدل االنزالق الطر
𝟏 )𝟐( ) ( 𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟑√
𝟑√
العلوي للسلم = m/s
𝟎 𝟎
𝟐 𝟑√
𝟐 𝟐
𝟐 𝟑√
الطرٌمة② 𝟑√
𝟑√
𝟑
األن نشتك المعادلة ① بالنسبة للزمن 𝟎
)𝟐() (𝟐
) 𝟑√(𝟐
) ( ⁄
𝟐
𝟒
𝟑√
𝟑√𝟐
األسـفل مبتعـدا عــن
𝟎 𝟎
172
𝟐 𝟑√𝟐
𝟐 𝟒
𝟑
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟐 𝟕 فــً نهاٌتــه مصــباح ٌتحــرن رجــل طولــــــــــه س / 2عمــود طولـــــه 𝟑𝟎 ⁄جد معدل ترٌٌر طول ظل الرجل وبســــرعة
𝟖 𝟏 مبتعــدا عــن العمــود وزاري / 2013د1
الحل / نفرض بعد الرجل عن لاعدة المصباح نفرض طــــــول ظل الرجــــــــــــل
حٌث 𝟎𝟑
8فً أي زمن t
العاللة هً تشابه مثلثات او أستعمال )(tan 𝟐𝟕
فً المثلث الكبٌر
𝟖𝟏
فً المثلث الصغٌر 𝟒
𝟏
𝟖𝟏
)نشتك بداللة ( 𝟏𝟎 ( ⁄
)
معدل ترٌٌر طول ظل الرجل = )
𝟑 /
𝟎𝟑 𝟑
𝟐𝟕 𝟒
.
𝟑
𝟑
𝟏𝟎 ( ⁄ 𝟐
𝟒 𝟖 س / 3جد النمط التً تنتمً للدائرة 𝟖𝟎𝟏 لترٌٌر ) ( ٌساوي المعدل الزمنً لترٌٌر ) ( بالنسبة للزمن t
𝟐
الحل / العاللة معطاة وهً
)𝟖𝟎𝟏
) نعوض بدل كل
ب
)نمسم المعادلة على
𝟐(
𝟖
𝟒
(
𝟎
𝟖
𝟎
)𝟒
𝟔𝟗 ()𝟐𝟏
(
𝟎 𝟎𝟏 𝟔
النمطتان)
()
𝟖 𝟖
𝟎 )
𝟐(𝟒
𝟐
𝟒
𝟐
𝟐
𝟖
𝟖
𝟐
𝟐 𝟒
𝟐𝟏 𝟖𝟒
𝟐
𝟒
𝟐
𝟖𝟎𝟏 𝟐
𝟒
𝟖
𝟖𝟎𝟏
𝟔𝟏
𝟐
𝟎
) نعوضها فً العاللة المعطاة(
𝟐
( حٌث
𝟐
𝟐 𝟐) 𝟐
𝟖𝟎𝟏
𝟐
𝟐( 𝟒 𝟐
𝟔𝟏 𝟖𝟒
𝟐𝟏
𝟐
𝟐𝟏
)𝟒 (
𝟐
𝟒
(
173
𝟒
𝟖
𝟐 𝟐
والتً عندها ٌكون المعدل الزمنً وزاري / 2012د3
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل 𝟐
س / 4لتكن Mنمطة تتحرن على المطع المكاف
جد أحداثً النمطة Mعندما ٌكون المعدل الزمنً ألبتعادها
𝟑
وزاري / 2012د2
عن النمطة ٌ .𝟎 /ساوي ثلثً المعدل الزمنً لترٌٌر األحداثً الصا دي للنمطة M 𝟐
الحل /
لتكن النمطة )
𝟐
للمطع المكافئ
(
𝟑
𝟑
لتكن النمطة .𝟎 𝟐 / Sالمسافة بٌن N , M 𝟐 )𝟏
𝟗 ) 𝟒
𝟑
𝟐
𝟐 𝟑 ) 𝟐
√
(
𝟐
(
𝟐 )𝟏
(
𝟐
𝟐 𝟑 ) 𝟐
√
̅̅̅̅̅
(√
𝟐
(
𝟐)𝟎
𝟐 𝟗 ) 𝟒
𝟐
(√
𝟏
)نشتك بالنسبة للزمن( 𝟏
)
𝟐
𝟐(
)𝟐
) تربٌع الطرفٌن (
𝟐 )𝟏
𝟗 𝟒
(𝟑
𝟐
𝟎
𝟐
𝟐 )𝟏
√𝟐
𝟗 𝟒 𝟐
(𝟗
𝟖𝟏
𝟐
𝟐 𝟗
)𝟐
𝟐(
𝟏
)𝟏 𝟐
(
𝟐
𝟐 𝟗 𝟒/
𝟐. 𝟐
𝟏 ( 𝟐
𝟐
)𝟐
𝟐 𝟑
𝟏
𝟐 𝟗 𝟒/
𝟐
𝟐 𝟗 ) 𝟐( 𝟒
𝟐
(
𝟐 𝟎 تهمل)𝟎 𝟎( 𝟎 )𝟐 𝟐√ ( 𝟐√
(𝟐 𝟐
𝟐 𝟗 ) 𝟒 𝟗
𝟐.
√ 𝟐 𝟐
𝟗
𝟐 𝟑
𝟖 𝟎𝟏
𝟎 𝟎 𝟐 )𝟐 𝟐√ (
𝟐
(𝟒 𝟐 𝟐
𝟒 𝟓
س / 5متوازي سطوح مستطٌلة ابعاده تترٌر بحٌث تبمى لاعدتـه مربعـة الشـكل ز ٌـزداد طـول ضـلع الماعـدة بمعـدل ) ⁄ 𝟑( 𝟒(واالرتفاع ) 𝟓 𝟎( جد معدل ترٌٌر الحجم عندما ٌكون طول ضلع الماعدة ) وأرتفاعه ٌتنالص بمعدل ) ⁄ الحل / نفرض طول ضلع الماعدة نفرض ارتفاعـــــــــــــه حجمــــــــــــــــــــــه
{فً أي زمن t العرض
العاللة هً لانون الحجم حٌث الطول
𝟐
)نشتك بالنسبة للزمن(
) نعوض المجاهٌل(
)
𝟑⁄
(𝟖 𝟎
𝟐𝟕
االرتفاع 𝟐
) 𝟐(
)𝟑 𝟎()𝟒
𝟐( )𝟑(
)𝟓 𝟎 ( 𝟐)𝟒(
𝟖
)𝟖()𝟗 𝟎(
)𝟓 𝟎 ()𝟔𝟏(
174
𝟑 𝟎(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
أمثلة أضافٌة محلولة مثال /سلم ٌستند طرفه األسفل على أرض أفمٌة وطرفه األعلى على حائط رأسً فأذا أنزلك الطر األسفل مبتعدا 𝟐( فجد معدل أنزالق الطر العلوي عندما ٌكون لٌاس الزاوٌة بٌن السلم واألرض عـن الحائط بمعدل ) تساوي 𝟒
الحل /
الطريقة① نــــــفرض طــــــــــول الســـــــــــــلم نفرض بعد لاعدة الســــــــــلم عن الجدار نفرض بعد رأس السلم عن عن األرض نفرض الزاوٌة بٌن الســــــــلم و األرض
{فً أي زمن t
العاللة هً فٌثاغورس 𝟐
معادلة①
𝟐
𝟐
𝟏 𝟒
𝟐√ 𝟏
𝟒
𝟐√
األن نشتك المعادلة ① بالنسبة للزمن )
𝟎
𝟏 𝟐√
) 𝟐( ⁄
∴ معدل االنزالق = )
(𝟐
𝟏 (𝟐 )𝟐( ) 𝟐√ 𝟐√𝟐
𝟎 𝟎
𝟐√
𝟐
𝟐
𝟐√
𝟐√𝟐
(𝟐
الطريقة② 𝟏
𝟒
األن نشتك المعادلة ① بالنسبة للزمن 𝟎
) (𝟐 ) 𝟐( ⁄
)𝟐() (𝟐 𝟒 𝟐
𝟎
𝟐 𝟎
175
𝟐 𝟐
𝟒
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال /لطعة معدنٌة على شكل لطـع نـالص بمسـاحة ثابتـة تسـاوي ) 𝟎𝟔( وحـدة مربعـة فـأذا أزداد طـول محـوره األصـرر بمعـدل )𝟐 𝟎( وحــدة طول/دلٌمـة فجـد معــدل النمصـان فـً طــول محـوره االكبـر عنــدما ٌكـون طـول محــوره االصرر )𝟐𝟏( وحدة طول الحل / نفرض طول المحور االكبر نفرص طول المحور االصغر
8فً اي زمن t
العاللة هً لانون المساحة حٌث 𝟎𝟔 ) نضرب الطرفٌن ب
(
. /. / 𝟐 𝟐
𝟎𝟒𝟐
𝟎𝟒𝟐 𝟏
)نشتك بالنسبة للزمن( )
𝟎𝟒𝟐 𝟐
𝟐
( 𝟖𝟒 𝟒𝟒𝟏
𝟏 𝟑
𝟏
∴ معدل النمصان فً طول محوره االكبر
𝟑
𝟎𝟔
𝟎𝟒𝟐
𝟎𝟒𝟐
𝟎𝟒𝟐 )𝟐 𝟎( ) 𝟐)𝟐𝟏(
(
)وحدة طول ⁄دلٌمة (
******************************************************************
س : 1كــرة مملــؤة بالرــاز ٌتســرب منهــا الرــاز بمعدل ) عندمـــــا ٌكون حجمها /
𝟑⁄
𝟑 ( جــد معــدل النمصــان فــً طــول نصـ
لطرهــا
𝟐𝟑 𝟑
.
س : 2نمطة مادٌة تتحرن على المنحنً الذي معادلته 𝟕 𝟐 √ فأذا كان معدل ترٌـــــر األحداثً السـٌنً للنمطة = ) ⁄ 𝟑( عندما , x=4جد معدل ترٌر بعد النمطة عن نمطة األصل )(0,0 س : 3رجل طوله )ٌ (175 cmم أمام مصباح ٌرتفع عن سطح األرض ) (7 mفـاذا أخـذ الرجـل باالبتعـاد عـن لاعدة المصباح بمعدل ) (6 m/sفجد معدل ازدٌاد طول ظل الرجل
176
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مبرهنتا رول والمٌمة المتوسطة دالة معرفة على الفترة المرلمة - أذا كانت , تأخذ لٌمة عظمى عند حٌث - ①
,فأن : أذا وفمط أذا :
,
أذا وفمط أذا :
) ( ②
تأخذ لٌمة صررى عند
حٌث -
) (
) ( مبرهنة)𝟏 𝟑( أذا كانت دالة معرفة على الفترة المرلمة - وأن ) ( ̅ موجودة فأن 𝟎 ) ( ̅ ( عند Cحـٌث )
) (
,وكان للدالة
مبرهنة)𝟐 𝟑( لتكن الدالة أذا كان 𝟎 ) ( ̅ أو ان الدالــــة غٌر لابلة لالشتماق فً Cوتسمى )) (
لكل -
,
لكل -
,
𝒙 𝒙
لٌمـة عظمـى أو لٌمـة صـررى
معرفة عند العدد ٌ Cـمال عــــــــن العدد Cبأنه عدد حرج )(critical number
مثال ( /)1لتكن |
|
) (
,بٌن هل الدالة
, 𝟏 𝟏-
( بالنمطة الحرجة تمتلن لٌمة عظمى او صررى
الحل / الدالة
تمتلن أعظم لٌمة عند كل من 𝟏
الدالة
غٌر لابلة لألشتماق عند 𝟎
𝟏
وتمتلن أصرر لٌمة عند 𝟎
أي أن )𝟎( ̅ غٌر موجودة وهذا ال ٌشترط أن ٌكون 𝟎
) (̅
( وٌالحظ أن الدالة معرفة عند الصفر وأن )𝟎( ̅ غٌر موجودة لذا ٌمال أن العدد " صفر " هو العدد الحرج للدالة النمطة ))𝟎( 𝟎( هً النمطة الحرجة )ز
مبرهنة رول ()ROLLE'S THEOREM اذا كانت الدالة f ② لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )
① مستمرة فً الفترة المرلمة -
,
فأنه ٌوجد على األلل لٌمة واحدة
تنتمً الى الفترة )
( بحٌث 𝟎
177
(
) ( ̅ كما مبٌن أدناه
③ ) (
) (
وأن
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مالحظات 𝟏 هذه النظرٌة تعنً هندسـٌا وجود نمطة واحدة على األلل تنتمً للمنحنً وتكون موازٌة لمحور السٌنات 𝟐 عند عدم توفر أحد الشروط الثالثة فأن مبرهنة رول ال تنطبك
الممكنة :
مثال ( /)2بٌن هل أن مبرهنة رول تتحمك لكل من الدوال التالٌة ؟ ثم جد لٌمة
𝟐)
,𝟎 𝟒-
) (
𝟐(
) (
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة ,𝟎 𝟒-النها كثٌرة حدود ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟒 𝟎( النها كثٌرة حدود ③ نوجد )𝟎( )𝟒(
)𝟒( الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض )
)𝟎(
) (̅
𝟐(𝟐 )
𝟎
𝟐)𝟐 (
𝟐)𝟒
𝟐(
) (
) (̅
( ونفرض 𝟎 )
𝟐)𝟐(
𝟐)𝟎
𝟐(
) (
𝟐) )
𝟐(𝟐
𝟐(
𝟑
, 𝟏 𝟏-
) (̅
𝟐(𝟐 )𝟒 𝟎(
𝟐
) (
𝟗
𝟑
𝟐
) (
) (
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟏 𝟏-النها كثٌرة حدود ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟏 𝟏 ( النها كثٌرة حدود ③ نوجد )𝟏( )𝟏 ( 𝟏 𝟏
𝟑
𝟗
𝟑
𝟗 𝟑)𝟏 (
)𝟏( الدالة ال تحمك مبرهنة رول ألن الشرط الثالث لم ٌتحمك
178
𝟑)𝟏(
𝟐)𝟏(𝟑
𝟐)𝟏 (𝟑
)𝟏 (
) (
)𝟏(𝟗
)𝟏 (𝟗
)
(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟐 𝟏 ,, 𝟒 𝟏-
𝟐
𝟏
) (
{
𝟏
) (
الحل / 𝟐 𝟒 ,مجال الدالة ① الشرط األول 𝟐
𝟏
الدالة غٌر مستمرة ألن 𝟐 الدالة ال تحمك مبرهنة رول
𝟏
)𝟏
)𝟏 (
𝟏
𝟐
𝟐
(
)𝟏 ( )𝟏 (
فً الفترة , 𝟒 𝟐-
-
) (
,
) (
الحل / ,النها دالة ثابتة ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة - ( ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة ) ③ نوجد ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ٌمكن أن تكون أي لٌمة ضمن الفترة )
الدالة تحمك مبرهنة رول وأن لٌمة
) (
(
******************************************************************
أمثلة أضافٌة محلولة عند تحمك المبرهنة
مثال /بٌن هل أن مبرهنة رول تتحمك لكل من الدوال التالٌة ؟ ثم جد لٌمة
𝟐
, 𝟐 𝟐-
𝟖
𝟒
) (
)𝟏(
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟐 𝟐-النها كثٌرة حدود ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟐 𝟐 ( ③ نوجد )𝟐 ( )𝟐( 𝟔𝟏 𝟐𝟑
𝟔𝟏
𝟐𝟑 𝟔𝟏
𝟐)𝟐 (𝟖
) ( الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض )
𝟔𝟏 𝟎 )𝟐 𝟐 (
𝟐
𝟒
𝟐
179
)𝟒
𝟒 𝟐
𝟒)𝟐 (
)𝟐 (
) (
) (̅
( ونفرض 𝟎 𝟑
𝟐)𝟐(𝟖
𝟔𝟏
𝟒)𝟐(
)𝟐(
) (̅
𝟐
( 𝟒 )𝟐 𝟐 (
) 𝟑 (𝟒
) (𝟔𝟏 𝟎
𝟖
𝟒
𝟎
𝟒
) ( ) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
) (
,𝟎 𝟐 -
)𝟐(
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة ,𝟎 𝟐 -ألنها دالة دائرٌة ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة ) 𝟐 𝟎( ③ نوجد ) 𝟐( )𝟎( )𝟎( ) 𝟐( )𝟎( ) 𝟐( الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض )
) ( ) 𝟐(
) (̅
( ونفرض 𝟎
) (̅ ) ( ) 𝟐 𝟎(
𝟑 𝟐
𝟑 𝟐
) ( ) (̅
) (
) 𝟐 𝟎(
𝟐
𝟐
,𝟓 𝟗-
𝟗
) (
)𝟑(
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة ,𝟓 𝟗-النها دالة ثابتة ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟗 𝟓( ③ نوجد )𝟗( )𝟓( 𝟗 𝟗 )𝟗( الدالة تحمك مبرهنة رول وأن لٌمة
) ( ) (
)𝟓(
ٌمكن أن تكون أي لٌمة ضمن الفترة )𝟗 𝟓(
𝟐
, 𝟐 𝟐-
𝟔𝟏√
) (
)𝟒(
الحل / 𝟒 𝟒 ,𝟒 أوسع مجال للدالة ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟒 𝟒-النها مستمرة على المجموعات الجزئٌة ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟒 𝟒 ( الحظ
𝟔𝟏
𝟐
𝟐
𝟎 𝟐
𝟐
③ نوجد )𝟐 ( )𝟐(
𝟔𝟏√
𝟐
𝟔𝟏√𝟐
𝟔𝟏
) (̅
𝟐)𝟐(
𝟔𝟏√ ) ( 𝟒 𝟔𝟏√ 𝟐𝟏√ 𝟐 )𝟐 ( 𝟔𝟏√ ) ( 𝟒 𝟔𝟏√ 𝟐𝟏√ )𝟐( )𝟐 ( ( ونفرض 𝟎 ) ( ̅
الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض ) )𝟒 𝟒 (
𝟎
𝟎
180
𝟐
𝟔𝟏√
) (̅
𝟐
𝟔𝟏√
) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟐
, 𝟏 𝟏-
𝟑
√
) (
)𝟓(
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟏 𝟏-النها مستمرة على المجموعة الحمٌمٌة R ② غٌر لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟏 𝟏 ( ألنها غٌر معرفة عند الصفر الحظ 𝟐
𝟏 𝟑
𝟐
𝟑
𝟏 𝟑5
√𝟑
𝟐 𝟑
𝟑4
) (̅
∴ ال تتحمك مبرهنة رول وال ٌمكن تطبٌمها ألن الشرط الثانً غٌر متحمك
******************************************************************
بٌن هل أن مبرهنة رول تتحمك لكل من الدوال التالٌة ؟ وجد لٌمة Cالممكنة الفترة, 𝟓 𝟓-
الفترة, 𝟏 𝟎-
𝟑 𝟏 ,, 𝟓 𝟏-
𝟏
𝟑
𝟐
𝟒
𝟐
𝟑
𝟏
الفترة, 𝟏 𝟒-
, 𝟏 𝟏-
𝟑
|𝟑
𝟗
) ( )𝟒(
{
) ( )𝟔(
(
) ( )𝟖(
𝟐
𝟏 𝟐)𝟑
الفترة, 𝟓 𝟑-
𝟒
) ( )𝟐(
𝟐
الفترة, 𝟒 𝟒-
𝟏𝟏
𝟐)
الفترة, 𝟒 𝟒-
الفترة-
الفترة, 𝟓 𝟑-
𝟐
) ( )𝟎𝟏(
𝟐|
) ( )𝟐𝟏( الفترة𝟐 -
181
𝟐𝟏
الفترة, 𝟑 𝟑-
𝟐 ,
𝟐
𝟑
) ( )𝟏(
𝟐(
) ( )𝟑(
) ( )𝟓(
,
𝟗
𝟒)𝟏
𝟐
𝟐
𝟑
) ( )𝟕(
(
) ( )𝟗(
) ( )𝟏𝟏(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مبرهنة المٌمة المتوسطة ()THE MEAN VALUE THEOREM اذا كانت
دالة مستمرة فً الفترة المرلمة - ( وتحمك
لٌمة واحدة Cتنتمً الى )
,ولابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة ) ) (
) (
) (̅
او ٌكتب ) ( ̅ )
(
( فأنه ٌوجد على األلل ) (
) (
المخطط التالً ٌبٌن التفسٌر الهندسً لمبرهنة المٌمة المتوسطة ① المماس ٌوازي الوتر ̅̅̅̅ ② مٌل الوتر المار بالنمطتٌن
③ ميل المماس للمنحنً ػنذ
ٌساوي
) (
) (
= المشتقت األولى للذالت
أً . ̅ ( )/
ػنذ
④ المماس والوتـــــــــر متوازٌـــــــــــــــــــان لذا ٌتساوى مٌلهما ,أي أن
) (
) (
) (̅
مالحظات 𝟏 مبرهنة رول تعتبر حالة خاصة من مبرهنة المٌمة المتوسطة السبب/
) ( غٌر موجود فً مبرهنة المٌمة المتوسطة
ألن الشرط ) (
𝟐 فً مبرهنة رول :الممــــــاس والوتــــــــــر كالهــــــما ٌــــــــوازي المحــــــــور الســـــــــــــــــٌنً أي أن 𝟎 اي فرق الصادات
𝟎
لذا ٌصبح المٌل
𝟑 ألٌجاد لٌمة Cالتً تحمك
) (
) (
𝟎 ) ( ̅ ٌجب توافر الشرطٌن التالٌٌن :
① أن تكون
دالة مستمرة فً الفترة المرلمة -
② أن تكون
لابلة لالشتماق فً الفترة المفتوحة )
, (
182
) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال ( /)3برهن أن الدوال األتٌة تحمك شروط مبرهنة المٌمة المتوسطة و أوجد لٌمة وزاري 𝟐𝟏𝟎𝟐 ⁄د 𝟑
, 𝟏 𝟕-
: 𝟔
𝟒
𝟐
) (
) (
الحل /
① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟏 𝟕-النها كثٌرة حدود ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟕 𝟏 ( النها كثٌرة حدود مبرهنة المٌمة المتوسطة متحممة الشروط متحممة نبحث عن النمطة Cالتً تحمك المبرهنة ) مٌل المماس( ) مٌل الوتر(
𝟎
∵ مـــــــٌل الممـــــاس = مـــــــٌل الوتـــــــر
𝟐 ) (̅ 𝟔 ) 𝟕( 𝟏𝟏 𝟏𝟏 )𝟏 ( )𝟏 ( 𝟕 𝟖𝟏 𝟔
) (̅
𝟐 𝟔 ) ( ) (
𝟎 𝟐 )𝟕 𝟏 (
, 𝟒 𝟎-
𝟔 𝟑
𝟓𝟐√
𝟐
) (̅ 𝟐
) (
) (
الحل / 𝟓 𝟓 ,) أوسع مجال للدالة ( ① نبحث أستمرارٌة الدالة فً الفترة المفتوحة )𝟎 𝟒 ( 𝟑
∴ الدالة
𝟓
𝟓𝟐√
𝟎
𝟓𝟐√.
𝟐/
𝟓𝟐√
𝟔𝟏
𝟗√ 𝟓
𝟐
𝟓𝟐
𝟐/
𝟓𝟐√
𝟎
) (
)𝟒 (
𝟓𝟐√.
𝟐
𝟓𝟐
)𝟒 (
) (
)𝟎(
)𝟎(
مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟒 𝟎-
②الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟎 𝟒 ( مبرهنة المٌمة المتوسطة متحممة الشروط متحممة نبحث عن النمطة Cالتً تحمك المبرهنة ) مٌل المماس(
𝟐
𝟓𝟐√ 𝟏 𝟐
/مٌل الوتر.
𝟐
) (̅ 𝟐 𝟒
𝟐
𝟑
𝟐
𝟓𝟐√
)𝟎( )𝟒 ( )𝟒 ( 𝟎
𝟓 𝟒
) (̅
𝟓𝟐√𝟐 ) (
) (
) (̅
∵ مـــــــٌل الممـــــاس = مـــــــٌل الوتـــــــر )تربٌع الطرفٌن(
√
𝟓 )𝟎 𝟒 (
𝟐
𝟐
𝟐
𝟓𝟐 √
183
𝟓𝟐√ 𝟐
𝟐 𝟐
𝟓
)𝟎 𝟒 (
𝟓𝟐√ 𝟐
𝟒 √
𝟏 𝟐 𝟓𝟐
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال ( /)4أذا كانت وكانت
𝟐
𝟒
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05 𝟑
,𝟎 -
) (
𝟐
تحمك مبرهنة المٌمة المتوسطة عند
فجد لٌمة
𝟑
الحل /
𝟐𝟏 𝟑
) (̅
) مٌل المماس( 𝟒
) مٌل الوتر(
𝟒
𝟐
𝟎
𝟐
𝟔𝟏 𝟑
𝟒
𝟒 𝟑 𝟑
𝟑
) (̅
𝟔𝟏 𝟑
𝟒 ) (𝟑 𝟗
)𝟎( 𝟎
𝟐
𝟖 𝟐 ) ( 𝟑
) (
) (̅
𝟑
𝟐 ) (𝟑 𝟑
) (
𝟐 ) (̅ 𝟑
) (
) (̅
∵ مـــــــٌل الممـــــاس = مـــــــٌل الوتـــــــر 𝟐
𝟎
)𝟐
()𝟐
(
𝟎
𝟐
𝟒
𝟒
******************************************************************
أمثلة أضافٌة محلولة مثال /اثبت فً كل مما ٌأتً تحمك شروط مبرهنة المٌمة المتوسطة على الفترة ) ,𝟎 𝟏-
( المعطاة ثم أوجد لٌمة C 𝟏
𝟐
𝟐
)𝟏(
) (
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة ,𝟎 𝟏-النها كثٌرة حدود ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟏 𝟎( الشروط متحممة
مبرهنة المٌمة المتوسطة متحممة
نبحث عن النمطة Cالتً تحمك المبرهنة ) مٌل المماس( /مٌل الوتر.
𝟑
𝟐
)𝟏 ( 𝟏
) (̅
𝟐 𝟐
)𝟎( 𝟎
)𝟏( 𝟏
𝟐 ) (
𝟐 ) (
) (̅ ) (̅
∵ مـــــــٌل الممـــــاس = مـــــــٌل الوتـــــــر )𝟏 𝟎(
184
𝟏 𝟐
𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
,𝟎 𝟒-
) (
𝟒√
)𝟐(
الحل / ) أوسع مجال للدالة (
𝟒
𝟒
𝟎
① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة ,𝟎 𝟒-النها مستمرة على المجموعات الجزئٌة ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟒 𝟎( الشروط متحممة
مبرهنة المٌمة المتوسطة متحممة
نبحث عن النمطة Cالتً تحمك المبرهنة 𝟏
) مٌل المماس(
𝟒√𝟐 )𝟐( 𝟒
𝟏 𝟐
/مٌل الوتر.
) (̅ )𝟎( 𝟎
𝟎
𝟏 𝟒√𝟐 )𝟒( 𝟒
) (
) (
) (̅ ) (̅
∵ مـــــــٌل الممـــــاس = مـــــــٌل الوتـــــــر )تربٌع الطرفٌن(
𝟏
𝟏
)𝟒 𝟎(
𝟑
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟎
)
) (̅ )
𝟒√𝟐 𝟏 𝟒
) (
𝟐 ) (
𝟐(
)𝟑(
) (
) (
) (̅
𝟎
∵ مـــــــٌل الممـــــاس = مـــــــٌل الوتـــــــر 𝟎(
𝟏
𝟎,
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة ,𝟎 -ألنها دالة دائرٌة ② الذالت لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة ) 𝟎( مبرهنة المٌمة المتوسطة متحممة الشروط متحممة نبحث عن النمطة Cالتً تحمك المبرهنة 𝟐 ) (̅ ) مٌل المماس( ) (
𝟎
𝟐
𝟒
𝟏
-
/مٌل الوتر.
𝟏 𝟐
𝟒√
𝟏
) (
) (
𝟐
𝟐
******************************************************************
اثبت فً كل مما ٌأتً تحمك شروط مبرهنة المٌمة المتوسطة على الفترة ) ,𝟏 𝟒-
𝟏
𝟒
) (
)𝟐(
𝟒 𝟐 ,, 𝟏 𝟏-
185
( المعطاة ثم أوجد لٌمة C 𝟏 𝟐)𝟑
𝟐
𝟐
(
) (
)𝟏(
) (
)𝟑(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
التمرٌب بأستخدام مبرهنة المٌمة المتوسطة ( نتٌجة مبرهنة المٌمة المتوسطة ) دالة مستمرة ومعرفة على - 𝟎 ( حٌث
أذا كانت )
) (
(
)
( ولـــــو أعتبرنا ) ,ولابلة لألشـــــتماق فً ) فأنه بموجب مبرهنة المٌمة المتوسطة نحصل على -: ) (
) (̅
)
(
) (
) (̅ ) (̅
) لانون التغٌٌر التمرٌبً للدالة (
( فأن ) (
) (
) (̅ (
)
وعندما ٌكون ألتراب ) ( من ) ( لربا ً كافٌا ً تكون فً هذه الحالة ) ( صرٌرة وٌصبح الوتر صرٌرا ً ونهاٌتٌه لرٌبتان من ) ( ,أي أن المماس عند ) ( سٌكون مماسا ً للمنحنً عند نمطة لرٌبة جدا من النمطة حٌث ) ( وٌصبح : ) (̅
) (
)
وٌمال للممدار ) ( ̅ الترٌٌر التمرٌبً للدالة
(
هنان ثالث أنواع لمسائل التمرٌب النوع األول :عندما تكون الدالة غٌر موجودة فً السؤال الحظ مثال ()5 مثال ( /)5جد بأستخدام نتٌجة مبرهنة المٌمة المتوسطة تمرٌبا مناسبا ً للعدد 𝟔𝟐√ الحل /
نفرض )𝟓𝟐
( ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه
نفرض )𝟔𝟐
( معطى 𝟏
𝟏 √𝟐
𝟏
) (̅
𝟏 . / 𝟐
𝟏 / 𝟐
.
𝟐 𝟓
𝟏𝟎
𝟏 𝟎𝟏
)𝟓𝟐( ̅
𝟏 )𝟓()𝟐(
𝟏 𝟐
) (̅
𝟏 . / 𝟐
)𝟓𝟐( )𝟓𝟐( ̅
𝟓𝟐√ 𝟏 𝟓𝟐√𝟐
𝟓𝟐
) (
𝟏𝟓
)
()𝟏(
𝟓
√
)𝟓𝟐(
√ 𝟏
)𝟓𝟐( ̅ ) (̅
)𝟔𝟐(
𝟔𝟐
)𝟓𝟐( ̅ )𝟏(
√𝟐 ) ( )𝟓𝟐( 𝟏𝟓
186
) (
) ( ) (̅
)
(
)𝟏
𝟓𝟐( 𝟔𝟐√
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
النوع الثانً :عندما تكون الدالة موجودة فً السؤال الحظ مثال ()6 مثال ( /)6أذا كانت 𝟓
𝟐
𝟒
𝟑
𝟑
فجد بصورة تمرٌبٌة )𝟏𝟎𝟎 𝟏(
) (
الحل /
( ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه
نفرض )𝟏
( معطى
نفرض )𝟏𝟎𝟎 𝟏
𝟏𝟎𝟎 𝟎 𝟒 ) 𝟏(
𝟑𝟏
𝟓 𝟑𝟏
𝟐
𝟔
𝟑
𝟐) 𝟏( 𝟑
) 𝟏( 𝟒
) 𝟏( ̅
𝟒
) (̅
𝟑) 𝟏(
) 𝟏( 𝟔
) 𝟏(
𝟏 𝟓
𝟒
𝟐
𝟑
𝟑
) (
𝟓
𝟒
𝟐
𝟑
𝟑
) (
) 𝟏( ̅
𝟐) 𝟏( 𝟑
𝟏𝟎𝟎 𝟏
𝟒
𝟔
) (̅ )𝟑𝟏()𝟏𝟎𝟎 𝟎(
𝟑𝟏
)𝟏( ̅ )𝟏𝟎𝟎 𝟎(
)𝟏𝟎𝟎 𝟏(
𝟑𝟏𝟎 𝟑𝟏
)𝟏𝟎𝟎 𝟏(
𝟐
𝟑
) (̅
)
(
) ( ) 𝟏(
𝟑𝟏𝟎 𝟎
𝟏(
)𝟏𝟎𝟎 𝟎
)𝟏𝟎𝟎 𝟏(
𝟑𝟏
النوع الثالث :عندما تكون الدالة فً السؤال عبارة عن لانون مساحة او حجم او ما شابه ذلن الحظ مثال ()7 مثال (/)7
مكعب طول حرفه )
𝟖𝟗 𝟗( جد حجمه بصورة تمرٌبٌة بأستخدام نتٌجة مبرهنة المٌمة المتوسطة
الحل / لٌكن
حجم المكعب الذي طول حرفه ) (
نفرض )𝟎𝟏
( ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه ( معطى
نفرض )𝟖𝟗 𝟗
𝟐𝟎 𝟎 𝟐
𝟎𝟎𝟎𝟏 𝟎𝟎𝟑
𝟑
𝟑)𝟎𝟏(
)𝟎𝟏( )𝟎𝟏(̅
𝟐)𝟎𝟏(𝟑
𝟎𝟏 ) (̅ )𝟎𝟏( )𝟎𝟏(̅ ) (̅
)𝟎𝟏(̅ )𝟐𝟎 𝟎 ( 𝟑
𝟒𝟗𝟗
)𝟖𝟗 𝟗(
𝟔
187
𝟎𝟎𝟎𝟏
𝟖𝟗 𝟗
)𝟎𝟏(
)𝟎𝟎𝟑()𝟐𝟎 𝟎 (
𝟑
) (
𝟑
) ( 𝟑
) (̅
)
(
))𝟐𝟎 𝟎 (
𝟎𝟏(
𝟐
) (
𝟎𝟎𝟎𝟏
)𝟖𝟗 𝟗(
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال (/)8
لتكن
𝟐
𝟑
√
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
) (
من 𝟖 الى 𝟔𝟎 𝟖 فما ممدار الترٌٌر التمرٌبً للدالة ؟
فاذا ترٌرت
الحل /
نفرض )𝟖 نفرض )𝟔𝟎 𝟖
( معطى ( معطى 𝟐 𝟑
√ 𝟑 𝟏 𝟑
) (̅
𝟏 𝟐 ( ). 𝟑 / 𝟑
𝟐 𝟔
)𝟖( ̅
( ).𝟑/
) (
𝟐
) (̅ 𝟐
)𝟖( ̅
𝟖√ 𝟑
𝟏 ) ( )𝟔𝟎 𝟎( 𝟑
𝟐𝟎 𝟎
𝟎𝟏( فـأذا كـان سـمن الطـالء )
𝟑
√
𝟐
𝟐
)𝟖( ̅
𝟑
ممدار التغٌٌر التمرٌبً
مثال (ٌ /)9راد طالء مكعب طـول حرفـه )
𝟔𝟎 𝟎
𝟖
𝟔𝟎 𝟖
𝟑
√ 𝟑
)𝟖( ̅
) ( ) (̅
) (̅
𝟓𝟏 𝟎( أوجـد حجـم الطـالء بصـورة
تمرٌبٌة وبأستخدام نتٌجة مبرهنة المٌمة المتوسطة الحل / لٌكن
حجم المكعب الذي طول حرفه ) (
نفرض )𝟎𝟏 نفرض )𝟑 𝟎𝟏
( ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه ( 𝟑𝟎 𝟐
𝟎𝟎𝟑
)𝟎𝟏(̅
𝟐)𝟎𝟏(𝟑
حجم الطالء بصورة تمرٌبٌة
188
𝟑
𝟎𝟗
𝟑
𝟎𝟏
𝟑 𝟎𝟏
) (̅
𝟑
)𝟎𝟏(̅ )𝟎𝟎𝟑()𝟑 𝟎(
𝟐
)𝟎𝟏(̅
𝟑
) ( ) (̅ ) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثــال ( /)10بأســــــــــــتخدام نتٌجــة مبرهنــة المٌمــة المتوســـــــــــطة جــد وبصــورة تمرٌبٌــــــــــــة وممربــا ً لــثالث مراتب عشرٌة على األلل كالً من : 𝟑
𝟖 𝟕√ ) (
𝟑
𝟑
𝟐𝟏 𝟎√ ) (
𝟑
𝟓
𝟑)𝟖𝟗 𝟎(√ ) ( 𝟒)𝟖𝟗 𝟎( 𝟒 𝟕𝟏√ ) ( 𝟕𝟏√ 𝟓
𝟒)𝟖𝟗 𝟎(
𝟑)𝟖𝟗 𝟎(√ ) (
الحل /
( ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه نفرض )𝟏 ( معطى نفرض )𝟖𝟗 𝟎 𝟐𝟎 𝟎 𝟒
𝟑 𝟑
𝟓
)𝟏( ) 𝟏( ̅
𝟔𝟒
)𝟔 𝟒()𝟐𝟎 𝟎 ( 𝟖𝟎𝟗 𝟒
𝟑
𝟑
𝟒
𝟐
) (̅
𝟓
√ 𝟓
𝟒𝟏
𝟑 𝟑 𝟓
𝟒
𝟑
( ). 𝟓/
𝟑 (𝟏 ). 𝟓/ 𝟓
𝟐𝟏√
)𝟖𝟗 𝟎(
𝟓
𝟑
) 𝟏( 𝟑
𝟑) 𝟏( 𝟒
) (
𝟓
𝟑
𝟒 𝟑 √ 𝟐 𝟑 ( ). 𝟓 / 𝟓
𝟒
) 𝟏( ̅
𝟑
𝟒
) (̅ )𝟏( ̅ )𝟐𝟎 𝟎 ( )𝟏(
𝟑)𝟖𝟗 𝟎(√
𝟑 ) . 𝟓/
𝟒
𝟑
𝟓
𝟒)𝟖𝟗 𝟎(
𝟏
𝟖𝟗 𝟎 𝟓
) ( ) (̅ ) (
(
𝟑
) (̅
𝟓
𝟐
√ 𝟓 ) ) ( ))𝟐𝟎 𝟎 (
𝟐𝟗𝟎 𝟎
( 𝟏(
)𝟖𝟗 𝟎(
𝟓
𝟑
وزاري 𝟏𝟏𝟎𝟐 ⁄د𝟏
𝟖 𝟕√ ) (
الحل /
( ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه نفرض )𝟖 ( معطى نفرض )𝟖 𝟕 𝟐𝟎 𝟏 . / 𝟑
𝟏 𝟐
𝟑
√ 𝟑 𝟐
𝟑𝟖𝟎 𝟎
)𝟖 ( ̅ )𝟑𝟖𝟎 𝟎()𝟐 𝟎 (
𝟐 . / 𝟑
) 𝟖(
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟐𝟏
)𝟒()𝟑(
𝟑
𝟑
𝟐 ) 𝟖 𝟕( 𝟒𝟑𝟖𝟗 𝟏
𝟒𝟔√ )𝟑(
𝟑
𝟖 𝟕√
189
𝟐𝟖√ 𝟑
𝟑
) (
𝟏
) (̅
𝟖
𝟖𝟕
) (̅ 𝟑 𝟑 𝟖√
𝟐 / 𝟑
.
𝟑
) 𝟖(
) 𝟖( ̅
√ 𝟏 𝟑 √
𝟏 𝟑
𝟐 √ 𝟑
) ( ) (̅ ) (
) (̅
) (̅ ( ) ) ( ) 𝟖( ̅ ) 𝟐 𝟎 ( ) 𝟖( ))𝟐 𝟎 ( 𝟖( 𝟔𝟔𝟏𝟎 𝟎 𝟐 )𝟖 𝟕(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟒
𝟕𝟏√ ) (
𝟕𝟏√ الحل /
( ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه ( معطى
نفرض )𝟔𝟏 نفرض )𝟕𝟏
𝟏 𝟏 . / 𝟒
𝟑
𝟏
𝟏
√ 𝟒
√ 𝟐
𝟔
)𝟔𝟏(
𝟒
𝟏 )𝟖()𝟒(
𝟏 . / 𝟐
𝟏
) (̅
𝟑 . / 𝟒
𝟒 𝟒 𝟐 𝟒 𝟔𝟏√ 𝟏 𝟏
𝟏 )𝟒()𝟐(
𝟒
) 𝟔𝟓𝟏 𝟎()𝟏(
𝟔𝟓𝟏 𝟔
𝟐 𝟔𝟏√
𝟕𝟏√
𝟑 / 𝟒
𝟏 𝟒
.
)𝟔𝟏(
𝟏 . / 𝟐
√
√ 𝟏
)𝟔𝟏( ̅
𝟏
𝟒
𝟑
√𝟐
√𝟒
𝟓
𝟏 𝟒
𝟏
𝟏
𝟐𝟑
𝟐𝟑
𝟐𝟑
𝟖
) ( )𝟔𝟏(
𝟕𝟏√
) (̅ ) ( ) (̅
)𝟔𝟏( ̅ ) )𝟏
𝟔𝟓𝟏 𝟎
) (
√ 𝟏 𝟐
𝟒
) (̅ )𝟔𝟏( ̅ )𝟏(
)𝟕𝟏(
𝟔
√
)𝟔𝟏( ̅
𝟔𝟓𝟏 𝟎
𝟒
𝟒
) (̅
𝟔𝟏√ 𝟐
𝟑)𝟔𝟏(√ 𝟒
𝟔𝟏
) (
𝟏 𝟏 . / 𝟐
𝟕𝟏
( 𝟔𝟏( )𝟕𝟏(
𝟔
𝟑
𝟐𝟏 𝟎√ ) ( الحل /
نفرض )𝟓𝟐𝟏 𝟎 نفرض )𝟐𝟏 𝟎
( ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه ( معطى 𝟓𝟐𝟏 𝟎
𝟓𝟎𝟎 𝟎 𝟏 . / 𝟑
𝟏 )𝟓𝟐 𝟎()𝟑(
𝟑
𝟏 𝟐
𝟏 𝟐
𝟓𝟐𝟏 𝟎√
(𝟑)(𝟎 𝟏𝟐𝟓).𝟑/ (𝟑)((𝟎 𝟓)𝟑 ).𝟑/ 𝟑𝟑𝟑 𝟏 )𝟓𝟐𝟏 𝟎( ̅
𝟐 . / 𝟑
) (̅
𝟐 . / 𝟑
𝟓𝟎
𝟑
) (
𝟏 )𝟓𝟐𝟏 𝟎(
𝟐𝟏 𝟎
𝟑
𝟒 𝟑
𝟓𝟕
𝟏 𝟐 𝟑
. / 𝟏 𝟓𝟕 𝟎
) (̅ ) )𝟓𝟐𝟏 𝟎( ̅ )𝟓𝟎𝟎 𝟎 ( )𝟓𝟐𝟏 𝟎( ))𝟓𝟎𝟎 )𝟑𝟑𝟑 𝟏()𝟓𝟎𝟎 𝟎 ( 𝟑 𝟓𝟔𝟔𝟔𝟎𝟎 𝟎 𝟓𝟑𝟑𝟑𝟗𝟒 𝟎 𝟐𝟏 𝟎√
190
) (̅ ) (
√
𝟎( ̅ 𝟎𝟎𝟏
√ 𝟏 𝟑 𝟑
)𝟓𝟐𝟏 𝟎(
)𝟓𝟐𝟏
) (
) (̅ 𝟑 )𝟓𝟐𝟏
𝟎( ̅
( ) ( 𝟎 ( 𝟓𝟐𝟏 𝟎( 𝟓 𝟎 )𝟐𝟏 𝟎( 𝟓 𝟎 )𝟐𝟏 𝟎(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟑(
تمارين)𝟑 س / 1أوجد لٌمة Cالتً تعٌنها مبرهنة رول فً كل مما ٌأتً : , 𝟑 𝟑-
𝟑
𝟗
) (
) (
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟑 𝟑-النها كثٌرة حدود ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟑 𝟑 ( النها كثٌرة حدود ③ نوجد )𝟑 ( )𝟑( 𝟎 𝟕𝟐 𝟕𝟐 𝟕𝟐 )𝟑 (
𝟎 الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض )
𝟑
𝟐
𝟐
𝟗
) (̅
( ونفرض 𝟎 𝟐
𝟎
𝟑
𝟕𝟐 )𝟑(𝟗 𝟑)𝟑( )𝟑( )𝟑 (𝟗 𝟑)𝟑 ( )𝟑 ( )𝟑(
) (̅
𝟑 𝟗
𝟐
𝟑
𝟗
𝟑
𝟐
𝟗 )𝟑 𝟑 (
𝟏 ]𝟐 𝟐
𝟐
[
) ( ) (̅
𝟑
𝟑√
) (
𝟐
) (
الحل / 𝟏
𝟏
① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة 0𝟐 𝟐1الن 0𝟐 𝟐1
𝟎 𝟏
𝟏
② الذالت لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة .𝟐 𝟐/الن 0𝟐 𝟐1 ③ نوجد )𝟐(
𝟎
𝟏
.𝟐 / 𝟏
𝟓
𝟐 )𝟐(
𝟒
)𝟐(
)𝟐(𝟐
𝟒
𝟓
)𝟐( الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض ) 𝟐 𝟐
𝟐
) (̅
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
) (̅
𝟐 𝟎
𝟏 𝟐
𝟐 𝟐
191
𝟐
𝟏 𝟏
𝟏 ) (𝟐 𝟐
.𝟐 /
) (̅
( ونفرض 𝟎 𝟐
𝟐 𝟏 .𝟐/
𝟏 ) ( 𝟐
𝟐
𝟐
) (
𝟐 𝟐 𝟎 𝟐 𝟏 نهمل السالب )𝟐 ( 𝟐
𝟐 𝟐
𝟏
) (
𝟐
) (̅
𝟐 𝟏
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟐)𝟑
, 𝟏 𝟏-
𝟐
) (
(
) (
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟏 𝟏-النها كثٌرة حدود ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟏 𝟏 ( النها كثٌرة حدود ③ نوجد )𝟏 ( )𝟏( 𝟒 𝟐)𝟐 ( 𝟐)𝟑 𝟏( 𝟐)𝟑 𝟐𝟏( )𝟏( 𝟐)𝟐 ( 𝟐)𝟑 𝟏( 𝟐)𝟑 𝟐)𝟏 (( )𝟏 ( )𝟏( )𝟏 (
𝟒 الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض ) )𝟑
𝟐
( 𝟒
) (̅
( ونفرض 𝟎 𝟐
) 𝟐()𝟑
(𝟐 )𝟑
𝟎
) (̅ 𝟐
𝟐)𝟑
( 𝟒
)𝟏 𝟏 ( )𝟏 𝟏 (
𝟐
)𝟑
𝟎 𝟐
(
) (̅
( 𝟒
𝟎
𝟑
𝟑√
𝟐
) (
𝟒
𝟎
𝟐
𝟑
س / 2جد تمرٌبا ً لكل مما ٌأتً بأستخدام مبرهنة المٌمة المتوسطة : 𝟑
𝟑𝟔√) (
𝟑𝟔√ الحل / ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه
نفرض 𝟒𝟔
معطى
نفرض 𝟑𝟔
𝟏
𝟏 𝟐
𝟏
𝟑
√ 𝟑
√𝟐
𝟐𝟏
)𝟒𝟔(
𝟏 )𝟔𝟏()𝟑(
𝟐 𝟏 ( ). 𝟑 / 𝟑
𝟒 𝟏 )𝟖()𝟐(
𝟏 √𝟐 𝟖
𝟏
( ).𝟑/
) (̅
𝟑
)𝟒𝟔(
𝟒𝟔√ 𝟏
)𝟒𝟔( ̅
𝟏 𝟑
𝟐)𝟒𝟔(√ 𝟑 𝟑𝟖𝟎 𝟎
𝟒𝟔√ 𝟐
) (
𝟑
√
√
)𝟒𝟔(
𝟑
√
) (
√ 𝟏
)𝟒𝟔( ̅ 𝟏 𝟐𝟏
)𝟒𝟔( ̅
𝟒𝟔
) (
√
𝟒𝟔√
𝟐
𝟏 𝟑 𝟖𝟒
𝟒 𝟖𝟒
) (̅ )𝟒𝟔( ̅ )𝟏 ( 𝟕𝟏𝟗 𝟏𝟏
𝟑
)𝟑𝟔√
𝟑𝟔√(
𝟑𝟖𝟎 𝟎
192
𝟐𝟏
𝟑𝟔
)𝟒𝟔(
𝟏
𝟑
√𝟑 𝟏 𝟖𝟒
) (
√𝟐 𝟏 𝟔𝟏
) (̅ )𝟒𝟔( ̅
)
(
) )𝟏 (
𝟒𝟔(
𝟐𝟏
)𝟑𝟔(
)𝟑𝟖𝟎 𝟎( )𝟏 (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟑)𝟒𝟎 𝟏( ) (
𝟒)𝟒𝟎 𝟏(𝟑 الحل / ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه
نفرض 𝟏
نفرض 𝟒𝟎 𝟏 = bمعطى 𝟒𝟎 𝟎 𝟑
𝟒
)𝟏(
𝟓𝟏
)𝟏( ̅
𝟐
𝟐𝟏
𝟑)𝟏(𝟐𝟏
𝟏
) (̅
𝟑
𝟒)𝟏(𝟑
𝟒𝟎 𝟏
𝟑)𝟏(
𝟐)𝟏(𝟑
)𝟏( )𝟏( ̅
𝟑
) (̅
)𝟒𝟎 𝟏(
𝟔𝟒
𝟒
𝟑
𝟑
) (
𝟒
𝟑
𝟑
) (
𝟐
𝟐𝟏
) (
)𝟏( ̅
)𝟒𝟎
𝟎(
𝟔𝟎
𝟒
)𝟓𝟏( )𝟒𝟎 𝟎(
)𝟏(
) (̅
𝟑
(
)
𝟏(
)𝟒𝟎 𝟎
)𝟒𝟎 𝟏(
𝟒
𝟏 𝟑
𝟗√
) (
الحل / ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه معطى
نفرض 𝟖 نفرض 𝟗
𝟏 𝟒 𝟏 ( ). 𝟑 / 𝟑
𝟏 𝟐
𝟏 𝟐
)𝟖( 𝟏
(𝟑).𝟐𝟒 /
)𝟖( ̅
𝟏
)𝟐(
)𝟒𝟑 ( 𝟑 𝟏 .𝟐 / 𝟑
𝟏 / 𝟑
) (̅
𝟏
(𝟐𝟑 ). 𝟑 /
)𝟖(
𝟏
(𝟖). 𝟑 /
𝟒 𝟏 ) ( 𝟑 )𝟖( 𝟑
)𝟖( ̅
𝟏 𝟖𝟒
𝟖 𝟏
.
𝟏 . / 𝟑
𝟏 𝟖𝟒
𝟗𝟕𝟒 𝟎
)𝟗(
193
𝟏 𝟐
.
𝟏 )𝟔𝟏()𝟑(
) ( )𝟖(
𝟏 ) 𝟖𝟒
( )𝟏(
) ( ) (
𝟒 𝟏 ) ( 𝟑 ) ( 𝟑
) (̅ )𝟖( ̅ )𝟏( 𝟑𝟐 𝟖𝟒
√
)𝟖(
)𝟖( ̅
𝟏 𝟒𝟐 𝟖𝟒
𝟑
𝟏 / 𝟑
)𝟖( ̅
𝟏 𝟖𝟒
𝟗 𝟏
) (̅ )𝟖( ̅
) )𝟏
( 𝟖(
𝟏 𝟐
)𝟗(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05 𝟏 ) ( 𝟏𝟎𝟏
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
الحل / ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه معطى
نفرض 𝟎𝟎𝟏 نفرض 𝟏𝟎𝟏
𝟏 𝟐
)𝟎𝟎𝟏(
𝟏𝟎 𝟎
𝟏 𝟐)𝟎𝟎𝟏( 𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟎
𝟗𝟗𝟎𝟎 𝟎
𝟏 𝟎𝟎𝟏
)𝟎𝟎𝟏( ̅
𝟐
)𝟎𝟎𝟏(
𝟏
)𝟎𝟎𝟏( ̅
𝟏 𝟎𝟎𝟎𝟎𝟏
𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟎
𝟏
)𝟎𝟎𝟏(
)𝟎𝟎𝟏( 𝟏
)𝟎𝟎𝟏( ̅
)𝟏𝟎𝟏(
) (̅
) (𝟏 𝟏
𝟎𝟎𝟏
𝟏𝟎𝟏 𝟏
𝟐
) ( ) ( ) (̅
) (𝟏
)𝟎𝟎𝟏( ̅
) (̅ ( ) ) ( )𝟏 𝟎𝟎𝟏( )𝟎𝟎𝟏( ̅ )𝟏( )𝟎𝟎𝟏( 𝟏𝟎 𝟎 )𝟏𝟎𝟎𝟎 𝟎 ( )𝟏( 𝟏𝟎 𝟎 )𝟏𝟎𝟏(
وزاري 𝟒𝟏𝟎𝟐 ⁄د 𝟐
𝟏 √ ) ( 𝟐
وزاري 𝟐𝟏𝟎𝟐 ⁄د 𝟐
الحل / نفرض 𝟗𝟒 𝟎
ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه
نفرض 𝟎𝟓 𝟎
معطى 𝟏𝟎 𝟎 𝟏 √𝟐 𝟕𝟎
𝟒𝟏𝟕 𝟎
)𝟗𝟒 𝟎( ̅
)𝟗𝟒 𝟎( 𝟏 𝟒𝟏
𝟗𝟒 𝟎√
𝟏 )𝟕 𝟎()𝟐(
𝟏 𝟗𝟒 𝟎√𝟐
𝟗𝟒 𝟎 ) (̅
√
) (
)𝟗𝟒 𝟎(
√
) (
𝟒𝟏𝟕𝟎𝟕 𝟎
𝟏 ) ( 𝟐
𝟒𝟏𝟕𝟎𝟎 𝟎
194
𝟕𝟎
𝟏
)𝟗𝟒 𝟎( ̅ ) (̅
)𝟗𝟒 𝟎( ̅ )𝟏𝟎 𝟎(
𝟎𝟓 𝟎
√𝟐 ) (
)𝟗𝟒 𝟎(
)𝟒𝟏𝟕 𝟎( )𝟏𝟎 𝟎(
)
) (̅ (
)𝟏𝟎 𝟎
𝟗𝟒 𝟎(
𝟕𝟎
)𝟓 𝟎(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
س / 3كرة نص لطرها ) مبرهنة المٌمة المتوسطةز الحل /
𝟏 𝟎( جـد كمٌـة الطـالء بصـورة تمرٌبٌـة بأسـتخدام وزاري / 2014د1
𝟔( طلٌت بطالء سمكه )
حجم كمٌة الطالء = حجم الكرة مع الطالء – حجم الكرة ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه
نفرض 𝟔 ونفرض 𝟏 𝟔
المطر للكرة مضافا ً له كمٌة الطالء ز
وٌمثل نص
𝟏𝟎 𝟐
س / 4كرة حجمها
̅
𝟒 𝟒𝟏
𝟒 𝟑
𝟑
)𝟔( ̅
𝟐)𝟔( 𝟒
𝟑
) كمٌة الطالء بصورة تمرٌبٌة(
)𝟑
𝟒
)𝟔( ̅
𝟒𝟒𝟏
𝟒𝟖( جد نص
)𝟐
𝟑(
𝟒 𝟑
𝟔
𝟏𝟔
𝟐
) 𝟒𝟒𝟏( )𝟏 𝟎(
) (̅
𝟒
) (̅
)𝟔( ̅
لطرها بصورة تمرٌبٌة بأستخدام مبرهنة المٌمة المتوسطة ز
الحل / نفرض الحجم نفرض نص
المطر 𝟒 𝟑
𝟑
𝟑
𝟑𝟔
𝟑𝟔√ نفرض 𝟒𝟔
)𝟏𝟐() (
) 𝟒𝟖()𝟑( 𝟒
𝟑
𝟑
𝟒 𝟑
𝟒𝟖
ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه معطى
نفرض 𝟑𝟔
𝟏 𝟐 𝟏 ( ). 𝟑 / 𝟑
)𝟒𝟔(
𝟒 )𝟐
𝟏 ()𝟒( 𝟑 𝟐𝟎 𝟎
𝟏
(𝟒𝟑 ).𝟑/
𝟏 𝟑 . 𝟐/ 𝟑 ) 𝟒( 𝟑
𝟏 )𝟔𝟏()𝟑(
)𝟒𝟔(̅
𝟏 . / 𝟑
) (̅ 𝟏
(𝟔𝟒).𝟑/
𝟏 ) 𝟐𝟒()𝟑(
)𝟒𝟔( ̅
𝟐𝟎 𝟎
195
) ( ) ( ) (̅
)𝟒𝟔(̅
)𝟒𝟔( ̅ )𝟏 ( 𝟖𝟗 𝟑
√
𝟐 𝟏 ( ). 𝟑 / 𝟑
) (̅
)𝟑𝟔(
𝟑
𝟏 . / 𝟑
)𝟒𝟔(
𝟐 𝟏 (𝟔𝟒). 𝟑 / 𝟑
)𝟒𝟔( ̅
𝟒𝟔
𝟑𝟔
𝟒
)𝟒𝟔(
)
(
) (
) )𝟏 (
𝟒𝟔(
𝟒
)𝟑𝟔(
)𝟐𝟎 𝟎( )𝟏 (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟖𝟗 𝟐( فجـد حجمـه
س / 5مخروط دائري لائم أرتفاعه ٌساوي طول لطر الماعدة فأذا كان ارتفاعه ٌساوي ) بصورة تمرٌبٌة بأستخدام مبرهنة المٌمة المتوسطة أو نتٌجتها ز الحل / نفرض األرتفاع نفرض نص
المطر 𝟏 𝟐
)
𝟐
𝟐
( 𝟐
𝟑
نفرض 𝟑 نفرض 𝟖𝟗 𝟐
ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه معطى
𝟓𝟐 𝟐
)𝟑(
𝟓𝟐 𝟐
)𝟑( ̅
𝟗 𝟒 𝟗 𝟒
)𝟐
𝟒 𝟕𝟐 𝟐𝟏 )𝟑( ̅
𝟑(
𝟑)𝟑(
𝟑
𝟓𝟎𝟐 𝟐
𝟓𝟒𝟎 𝟎
𝟐𝟎 𝟎 ̅
𝟐𝟏
)
𝟓𝟐 𝟐
𝟑
𝟐𝟏
)𝟐𝟎 𝟎
𝟑
𝟖𝟗 𝟐 𝟑
𝟐𝟏 𝟑
)𝟑(
𝟏 𝟐)𝟑( 𝟒
)𝟑( ̅ )𝟖𝟗 𝟐(
) ( 𝟐
𝟐𝟏
𝟐
𝟑
)𝟑( ̅
𝟐𝟏 𝟏 𝟒
𝟐
) (̅ ( )𝟑(
) ( ))𝟐𝟎
𝟓𝟐 𝟐( )𝟐𝟎 𝟎 (
) ( ) (̅
( 𝟑(
)
(
𝟎
)𝟖𝟗 𝟐(
𝟓𝟐 𝟐
س / 6بٌن أن كل دالة من الدوال التالٌة تحمك مبرهنة رول على الفترة المعطاة ازاء كل منها ثم جد لٌمة C وزاري 𝟏𝟏𝟎𝟐 ⁄د𝟐
𝟒)𝟏
, 𝟏 𝟑-
(
) (
) (
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟏 𝟑-النها كثٌرة حدود ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟑 𝟏 ( النها كثٌرة حدود ③ نوجد )𝟏 ( )𝟑( 𝟒)𝟐 (
𝟔𝟏
𝟒)𝟐(
𝟔𝟏
)𝟑(
( ونفرض 𝟎
الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض )
𝟑)𝟏 𝟎 )𝟑 𝟏 (
196
𝟏
(𝟒 𝟑)𝟏
𝟒)𝟏
𝟏 ( 𝟒)𝟏
)𝟏 (
𝟑(
)𝟑(
)𝟏 (
) (̅ ) (̅
𝟒)𝟏 𝟑)𝟏
(𝟒 𝟎
𝟏
𝟎
(
) (
(𝟒
) (̅
𝟑)𝟏
(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل ⁄د
وزاري
𝟑
, 𝟏 𝟏-
) (
) (
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟏 𝟏-النها كثٌرة الحدود ② الذالت لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟏 𝟏 ( النها كثٌرة الحدود ③ نوجد )𝟏( )𝟏 ( 𝟑)𝟏 (
)𝟏 (
)𝟏 ( )𝟏( الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض )
) (
)𝟏 (
) (̅
( ونفرض 𝟎
𝟐
𝟏
) (̅
𝟑
𝟐
𝟏
𝟑
𝟑
𝟐
𝟏
𝟏
)𝟏 𝟏 (
)
𝟑)𝟏(
(
) ( ) (̅
𝟑
𝟐
𝟐
𝟑√
, 𝟏 𝟒-
𝟐
𝟑
) (
𝟑
) (
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟏 𝟒-النها كثٌرة الحدود ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟒 𝟏 ( النها كثٌرة الحدود ③ نوجد )𝟒(
)𝟏 ( 𝟑
𝟒 𝟒
𝟏 𝟐𝟏
)𝟏 (𝟑 𝟔𝟏 )𝟒(
الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض )
( ونفرض 𝟎 𝟑
)𝟒 𝟏 (
𝟑 𝟐
𝟐
197
𝟐)𝟏 (
)𝟏 (
𝟐)𝟒(
)𝟒(𝟑
)𝟒(
)𝟏 (
) (̅ 𝟐 𝟎
) (̅ 𝟑
𝟑 𝟐
𝟑
𝟐
) ( 𝟐
) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
) (
,𝟎 𝟐 -
) 𝟐(
𝟐
) (
) (
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة ,𝟎 𝟐 - ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة ) 𝟐 𝟎( ③ نوجد ) 𝟐( )𝟎( 𝟑 الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض ) 𝟐 ) 𝟐( ) ( ) ( 𝟐 ) 𝟐( 𝟎
𝟏-
) (
𝟐( ),
𝟎 ) 𝟐 𝟎(
𝟐 )𝟎 ( 𝟏 )𝟎( 𝟐 ) 𝟒( ) 𝟐( )𝟎( ) 𝟐(
𝟑 )𝟏(𝟐 )𝟏(𝟐 𝟏
) (̅
( ونفرض 𝟎 ) (̅
𝟐
𝟐 ) 𝟐( ) ( 𝟐 ) 𝟐( ) ( 𝟐
𝟐 ) (
) (
) ( 𝟑
) السالب ٌمع فً الربع الثانً و الثالث(
𝟐 𝟐
𝟎 𝟎
فً الربع الثانً فً الربع الثالث
) 𝟐 𝟎(
) (
) 𝟐(
) (
𝟏
𝟐 𝟑 𝟒 𝟑
) ( ) (̅
) (
𝟎
) ( ) 𝟐 𝟎(
)𝟎( ) 𝟐(
𝟐
𝟑 𝟑
س / 7أختبر أمكانٌة تطبٌك مبرهنة المٌمة المتوسطة للدوال األتٌة على الفتـرة المعطـاة ازاءهـا مـع ذكـر السـبب. وأن تحممت المبرهنة جد لٌم Cالممكنة 𝟏
, 𝟏 𝟐-
𝟑
) (
) (
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟏 𝟐-النها كثٌرة حدود ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟐 𝟏 ( النها كثٌرة حدود الشروط متحممة
مبرهنة المٌمة المتوسطة متحممة
نبحث عن النمطة Cالتً تحمك المبرهنة ) مٌل المماس( /مٌل الوتر.
𝟔 𝟑
𝟐
𝟏 )𝟏 ( 𝟑
𝟓
𝟑
) (̅
)𝟐( )𝟏 ( )𝟏 ( 𝟐
𝟏 ) (
𝟐
) (̅
𝟑
) (
) (̅
∵ مـــــــٌل الممـــــاس = مـــــــٌل الوتـــــــر 𝟏
𝟏
𝟐
𝟑 )𝟐 𝟏 (
198
𝟐
𝟑
𝟐
𝟏
)𝟐 𝟏 (
𝟐
𝟑
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟓
, 𝟏 𝟓-
𝟐
𝟒
) (
) (
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟏 𝟓-النها كثٌرة حدود ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟓 𝟏 ( النها كثٌرة حدود الشروط متحممة
مبرهنة المٌمة المتوسطة متحممة
نبحث عن النمطة Cالتً تحمك المبرهنة ) مٌل المماس( ) مٌل الوتر(
𝟎
𝟒
𝟎
𝟎𝟏
𝟎𝟏
𝟔
𝟏
𝟓
) (̅
𝟐
)𝟓(
)𝟏 ( )𝟏 (
𝟒 ) (
𝟐 ) (
𝟓
) (̅ ) (̅
∵ مـــــــٌل الممـــــاس = مـــــــٌل الوتـــــــر )𝟓 𝟏 (
𝟒
𝟐
𝟐
𝟒
𝟎
𝟒
, 𝟏 𝟐-
𝟐
) (
𝟐
) (
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟏 𝟐-ألن , 𝟏 𝟐-
𝟐
② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟐 𝟏 ( ألن )𝟐 𝟏 ( الشروط متحممة
𝟐
مبرهنة المٌمة المتوسطة متحممة
نبحث عن النمطة Cالتً تحمك المبرهنة 𝟒 𝟐)𝟐
) مٌل المماس( ) مٌل الوتر(
𝟏
𝟑 𝟑
𝟏
𝟒 𝟑
𝟒 𝟐)𝟐
) (̅
(
)𝟏 ( )𝟏 (
)𝟐(
) (
( ) (
𝟐
) (̅ ) (̅
∵ مـــــــٌل الممـــــاس = مـــــــٌل الوتـــــــر /جذر الطرفٌن .
𝟒
𝟐)𝟐
𝟒 𝟐)𝟐
(
𝟏
𝟎
𝟐
𝟐 )𝟐 𝟏 ( )𝟐 𝟏 (
199
𝟒
𝟐
𝟐 𝟐
(
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟐)𝟏
, 𝟐 𝟕-
𝟑
(√
) (
) (
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟐 𝟕- ( ألن )𝟕 𝟐 (
② الدالة غٌر لابلة لالشتماق عند )𝟏
𝟏
∴ ال ٌمكن تطبٌك نظرٌة المٌمة المتوسطة ألن الدالة غٌر لابلة لالشتماق عند )𝟏
(
******************************************************************
أمثلة أضافٌة محلولة مثال /أختبر أمكانٌة تطبٌك مبرهنة المٌمة المتوسطة للدالة األتٌـة علـى الفتـرة المعطـاة ازاءهـا مـع ذكـر السـبب. وأن تحممت المبرهنة جد لٌم Cالممكنة , 𝟏 𝟑-
𝟐
𝟏
𝟑
) (
الحل / ① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟏 𝟑-النها كثٌرة حدود ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟑 𝟏 ( النها كثٌرة حدود الشروط متحممة
مبرهنة المٌمة المتوسطة متحممة
نبحث عن النمطة Cالتً تحمك المبرهنة ) مٌل المماس(
𝟏
𝟐
𝟐 𝟔𝟏 𝟒
/مٌل الوتر.
) (̅
𝟑
𝟏
)𝟑( )𝟏 ( )𝟏 ( 𝟑
𝟎 𝟔𝟏 𝟒
𝟐
𝟐 ) (
) (̅
𝟑
) (
) (̅
∵ مـــــــٌل الممـــــاس = مـــــــٌل الوتـــــــر 𝟎
)𝟏
()𝟓
𝟑(
𝟎 )𝟐 𝟏 (
𝟓
𝟐
𝟐
𝟓 𝟑
𝟑 𝟓
)𝟐 𝟏 (
200
𝟒 𝟑 𝟏
𝟏
𝟐
𝟎
𝟓 𝟎
𝟐
𝟑 𝟏
𝟑 أما أو
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال /جد تمرٌبا ً لكل مما ٌأتً بأستخدام مبرهنة المٌمة المتوسطة أو نتٌجتها : 𝟒
𝟐𝟖√ )𝟏( الحل / ( ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه ( معطى
نفرض )𝟏𝟖 نفرض )𝟐𝟖
𝟏 𝟑 / 𝟒
𝟗𝟎𝟎 𝟎
)𝟏𝟖( ̅
.
𝟏 𝟒 𝟑
𝟏 . / 𝟒
) (̅
𝟏𝟖
) ( 𝟒
)𝟏𝟖( 𝟑 . / 𝟒
) (̅
𝟗𝟎𝟎 𝟑
)𝟐𝟖(
) (
)𝟗𝟎𝟎 𝟎( )𝟏(
𝟑
𝟒
) (
𝟒
) (
√
)𝟏𝟖( 𝟏𝟖√ 𝟑 𝟏 𝟏 𝟒 . 𝟑/ )𝟏𝟖( ̅ )𝟏𝟖( ̅ (𝟖𝟏). 𝟒 / 𝟒 ) 𝟑( 𝟒 𝟒 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 )𝟏𝟖( ̅ )𝟑 ()𝟑( 𝟑 𝟒 )𝟑( 𝟒 𝟖𝟎𝟏 𝟗𝟎𝟎 𝟎
𝟐𝟖
√ 𝟏 𝟒
) (̅
)
(
𝟑
)𝟐𝟖(
𝟑
𝟔𝟐𝟏 𝟎√
)𝟐(
الحل / نفرض )𝟓𝟐𝟏 𝟎 نفرض )𝟔𝟐𝟏 𝟎
( ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه ( معطى 𝟏𝟎𝟎 𝟎 𝟐 / 𝟑
𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟏
.
𝟏 𝟑
𝟓𝟐𝟏 𝟎 𝟏 . / 𝟑
) (̅ 𝟑
𝟔𝟐𝟏𝟎
) (
𝟑
√
) (
)𝟓𝟐𝟏 𝟎(
𝟑
) (
𝟓 𝟎 )𝟓𝟐𝟏 𝟎( 𝟓𝟐𝟏 𝟎√ 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 )𝟓𝟐𝟏 𝟎( ̅ )𝟓𝟐𝟏 𝟎( ̅ (𝟎 𝟏𝟐𝟓). 𝟑 / ((𝟎 𝟓)𝟑 ). 𝟑 / 𝟑 𝟑 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 ( )𝟐 )𝟓𝟐𝟏 𝟎( ̅ )𝟓𝟐𝟏 𝟎( ̅ )𝟓 𝟎( 𝟑 𝟐)𝟓 𝟎( 𝟑 𝟓𝟕 𝟎
) (̅
𝟑𝟑𝟏𝟎𝟓 𝟎
)𝟔𝟐𝟏 𝟎(
𝟑𝟑𝟏𝟎𝟎 𝟎
201
𝟓𝟎
)𝟑𝟑𝟑𝟑 𝟏( )𝟏𝟎𝟎 𝟎(
𝟐 . / 𝟑
) ( 𝟓𝟎
√ 𝟏 𝟑
)
) (̅
(
)𝟔𝟐𝟏 𝟎(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟓
𝟏𝟑 √
)𝟑(
الحل / ( ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه ( معطى
نفرض )𝟐𝟑 نفرض )𝟏𝟑
𝟏 𝟏 . 𝟒/ 𝟓 𝟓 )𝟐𝟑 (
)𝟐𝟑 (
𝟏 . / 𝟓
) (̅
𝟓
) (
𝟓
) (
)𝟐𝟑 (
𝟓
) (
√
𝟐 𝟐𝟑 √ 𝟒 𝟏 )𝟐𝟑 ( ̅ )𝟐𝟑 ( ̅ ( 𝟑𝟐). 𝟓 / 𝟓 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 )𝟐𝟑 ( ̅ )𝟒 ()𝟐 ( 𝟒 𝟓 )𝟐( 𝟓 𝟎𝟖
𝟒 𝟏 𝟓 .𝟓/ ) )𝟐 (( 𝟓 𝟓𝟐𝟏𝟎 𝟎 )𝟐𝟑 ( ̅
) (̅
)𝟏𝟑 (
𝟓𝟕𝟖𝟗 𝟏
مثال /أذا كانت
𝟐
𝟑
𝟑
) (
𝟏𝟑
𝟓𝟐𝟏𝟎 𝟎
𝟒 . / 𝟓
) (
)𝟓𝟐𝟏𝟎 𝟎( )𝟏(
𝟐
جد بصورة تمرٌبٌة )𝟏𝟎𝟎 𝟏(
√ 𝟏 𝟓
) (̅
)
( )𝟏𝟑 (
𝟐
ولثالث مراتب عشرٌة
الحل / ( ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه نفرض )𝟏 ( معطى نفرض )𝟏𝟎𝟎 𝟎 𝟔 𝟐 𝟑 𝟐)𝟏(𝟑 𝟑)𝟏( )𝟏(𝟔 𝟐)𝟏(𝟑
)𝟏( )𝟏( ̅
𝟒 𝟗
𝟏𝟎𝟎 𝟎 𝟏 𝟏𝟎𝟎 𝟏 𝟑 ) (̅ ) ( 𝟐 𝟑 𝟑 𝟐 ) ( )𝟏( 𝟑 𝟔 𝟐 𝟑 ) (̅ )𝟏( ̅
) (̅ 𝟗𝟎𝟎 𝟒
مثال /أذا كانت 𝟏
𝟑√
)𝟏𝟎𝟎 𝟏(
) (
𝟗𝟎𝟎 𝟎
) (
)𝟗( )𝟏𝟎𝟎 𝟎(
𝟒
(
)
)𝟏𝟎𝟎 𝟏(
𝟒
جد بصورة تمرٌبٌة )𝟗𝟗 𝟎(
الحل / ( ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه نفرض )𝟏 ( معطى نفرض )𝟗𝟗 𝟎 𝟏𝟎 𝟎 𝟑 𝟏 𝟓𝟕 𝟎
𝟑√ 𝟐 𝟐 )𝟏( 𝟑 𝟒
)𝟏( ̅
)𝟏( ̅
𝟏
𝟏).𝟐/
) (̅
𝟏 𝟑 𝟏
𝟑(
) (
𝟏
)𝟏(𝟑√
)𝟏(
𝟏
)𝟏(𝟑√ 𝟐
)𝟏( ̅
) (̅ 𝟓𝟐𝟗𝟗 𝟏
)𝟗𝟗 𝟎(
𝟓𝟕𝟎𝟎 𝟎
202
𝟏
𝟗𝟗 𝟎
𝟐
𝟑√
) (
𝟑√
) (
𝟑 𝟏
𝟑√ 𝟐
) (
)𝟓𝟕 𝟎( )𝟏𝟎 𝟎 (
) 𝟐
) (̅
( )𝟗𝟗 𝟎(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال /بأستخدام مبرهنة المٌمة المتوسطة جد بصورة تمرٌبٌة طول ضلع مربع مساحته
)𝟐
𝟎𝟓(
الحل / ∵ مساحة المربع = مربع طول الضلع نفرض )𝟗𝟒 نفرض )𝟎𝟓
( ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه ( معطى 𝟏 𝟐
𝟎𝟓√ 𝟏 𝟕 )𝟗𝟒( 𝟏 )𝟗𝟒( ̅ 𝟒𝟏
)𝟗𝟒( ̅
𝟏𝟕𝟎 𝟎
𝟏𝟕𝟎 𝟕
𝟎𝟓
) (̅
√𝟐 𝟗𝟒√
)𝟗𝟒( 𝟏
𝟗𝟒√ 𝟐 𝟏𝟕𝟎 𝟎
𝟕
𝟏
)𝟗𝟒( ̅
) (̅
)𝟎𝟓(
𝟗𝟒
𝟎𝟓 𝟐
√
) (
√
) ( ) (̅
√𝟐
) (
)𝟏𝟕𝟎 𝟎( )𝟏(
)
(
𝟕
)𝟎𝟓(
******************************************************************
جد بصورة تمرٌبٌة بأستخدام مبرهنة المٌمة المتوسطة كل مما ٌأتً : 𝟑
) (
𝟖𝟖 𝟓𝟏√
) (
𝟓
) (
𝟒
) (
𝟑
𝟑)𝟐𝟏 𝟖(
) (
) (
𝟒𝟏 𝟕𝟐√ 𝟖𝟐 𝟏𝟑√ 𝟓
𝟑)𝟐𝟏 𝟖(
𝟐
203
𝟎𝟖√ 𝟐𝟏 𝟗 √
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
دراســـــــــــــــــــــــــــــــــــــــــــة الدالة النمطة الحرجة :هً النمطة التً تنتمً لمنحنً الدالة والتً ٌكون عندها 𝟎
) ( ̅ أو تكون غٌر معرفة ز
كٌفٌة اٌجاد النمط الحرجة الحالة األولى :نجد ) ( ̅ ثم نجعل 𝟎
) ( ̅ ثم نحل المعادلة المتكونة ونجد لٌم ) (Xولتكن ) (X1 ,X2 , X3 ,….ثـم نعوض لٌم ) (Xفً الدالة األصلٌة ونجد لٌم ) (Yالممابلة لها فتكون … (X1,Y1),(X2,Y2),(X3,Y3),هً النمط الحرجة مثال توضٌحً /جد النمط الحرجة للدوال التالٌة : 𝟐 𝟐 ) ( ) ( 𝟏 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
) (̅ (
)𝟎
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟎
𝟎 𝟏 𝟐 𝟏 )𝟏( النمطة الحرجة هً)𝟑 𝟏(
𝟐 𝟑
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
)غٌر ممكن ( 𝟎
𝟏 𝟐
𝟑
) (̅ (
)𝟎
𝟑 𝟑 𝟐
𝟑
) (
) (
) ( ) (̅
) (̅ 𝟎
𝟑( )𝟑() 𝟐 𝟏( 𝟔 𝟑
) (̅
𝟐) 𝟐 𝟏( 𝟐 𝟔
)نجعل 𝟎
)
)غٌر ممكن ( 𝟎
𝟐) 𝟐 𝟏( 𝟏 (̅( 𝟐) 𝟐 𝟏(
) (
𝟐
𝟐 𝟏
) (̅
𝟐 𝟑 𝟐 ) (̅ )نجعل 𝟎 ) ( ̅ ( 𝟎 ) (̅ )غٌر ممكن ( 𝟎 𝟐 التوجد نمطة حرجة
) (
𝟑
التوجد نمطة حرجة 𝟐( ) ( ) ( 𝟔 𝟑)𝟏 𝟐(𝟑 ) ( ̅ 𝟔 )𝟐( 𝟐)𝟏 𝟐(𝟔 ) ( ̅ 𝟔 𝟐)𝟏 )𝟔 ( 𝟐(𝟔 𝟎 𝟔 𝟐)𝟏 𝟐( 𝟎 𝟏 𝟐)𝟏 𝟒 𝟐 𝟒 𝟎 𝟏 𝟏 𝟐 )𝟒 ( 𝟒 𝟒 𝟎 𝟐 ( 𝟎 𝟎 )𝟏 𝟎 𝟏 𝟏 𝟓 النمط الحرجة هً)𝟏 𝟎()𝟓 𝟏( 𝟏 𝟑 ) ( ) ( )𝟐 ()𝟏
𝟑 𝟔 𝟔 ) (̅ 𝟔 )نجعل 𝟎 ) ( ̅ ( 𝟔 𝟎 𝟔 𝟎 𝟏 )𝟏(𝟔 𝟐)𝟏(𝟑 )𝟏( 𝟑 النمطة الحرجة هً)𝟑 𝟏(
) (
) (
𝟐
𝟑 𝟏
𝟏
) (̅
𝟐
𝟑
𝟑
) ( ) (̅
𝟐
) (̅ 𝟏 𝟎 𝟐) 𝟐 𝟏( التوجد نمطة حرجة
204
𝟐
𝟑
) ( 𝟑 𝟗 𝟓 𝟔 𝟐 𝟑 ) (̅ 𝟗 )نجعل 𝟎 ) ( ̅ ( )𝟑 ( 𝟔 𝟐 𝟑 𝟎 𝟗 𝟐 𝟐 𝟎 𝟑 ( ()𝟑 𝟎 )𝟏 𝟑 𝟏 𝟓 𝟕𝟐 𝟕𝟐 𝟕𝟐 )𝟑( 𝟐𝟐 )𝟏 ( 𝟎𝟏 𝟓 𝟗 𝟑 𝟏 النمط الحرجة هً)𝟐𝟐 𝟑( )𝟎𝟏 𝟏 ( 𝟒 ) ( 𝟏 𝟐 𝟐 𝟒 𝟑 𝟒 ) (̅ )نجعل 𝟎 ) ( ̅ ( )𝟒 ( 𝟒 𝟑 𝟒 𝟎 𝟑 𝟎 )𝟏 𝟐 ( 𝟎 𝟎 𝟏 𝟏 𝟎 𝟏 𝟎 النمط الحرجة هً)𝟎 𝟏 ()𝟎 𝟏( )𝟏 𝟎(
) (
) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
الحالة الثانٌة :اذا أعطٌت نمطة حرجة ٌستفاد من ذلن فً أٌجاد الثوابت فً الدالة المعطاة مثال توضٌحً ① /لتكن 𝟓 لٌم الثوابت
𝟑
𝟐
وكانت للدالـة نمطـة حرجـة هـً )𝟎𝟏 𝟏 ( فجـد
) (
الحل / ) (-1,10تحمك دالة المنحنً 𝟐
𝟐
𝟑
𝟓
𝟏
) (̅
𝟐
وبحل المعادلتٌن أنٌا ً نحصل على :
مثال توضٌحً② /لتكن
𝟐)𝟏 (𝟑
𝟎𝟏
𝟐
𝟔
)𝟏 ( ̅
𝟗
) معادلة①( 𝟐
𝟎
𝟑
/معادلة②.
𝟑
وكانت للدالة نمطة حرجة هً ) (1,3فجد لٌم الثوابت
) (
الحل / )𝟑 𝟏( تحمك دالة المنحنً 𝟐
𝟏
𝟑 𝟐
) ( 𝟎
)معادلة①(
𝟐
) (̅
𝟐)𝟏(
)𝟏( 𝟐
)𝟏( ̅
𝟐 /معادلة②.
وبحل المعادلتٌن أنٌا ً نحصل على :
𝟏
𝟐
أختبار التزاٌد والتنالص للدالة بأستخدام المشتمة األولى لتكن
دالة مستمرة فً الفترة المرلمة -
,ولابلة لألشتماق فً الفترة المفتوحة )𝑏 𝑎( فأذا كانت : متزاٌدة
𝟎
) (̅
)
(
①
متنالصة
𝟎
) (̅
)
(
②
طرٌمة أٌجاد مناطك التزاٌد والتنالص oنجد لٌم ) ( التً تجعل المشتمة االولى مساوٌة للصفر أو غٌر موجودة كما تعلمنا سابما ز oنختبر المٌم على خط األعداد فأذا كانت ) ̅( الدالة متزاٌدة ( ) ) ̅( الدالة متنالصة ( )
205
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال ( /)1لتكن
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
ز جد مناطك التزاٌد والتنالص
) (
الحل / ) (̅ .
/نجعل 𝟎
) (̅
) (̅ * ) (̅ *
متزاٌدة فً + متنالصة فً +
مثال ( /)2جد مناطك التزاٌد والتنالص لكل من الدالتٌن األتٌتٌن : 𝟐
𝟑
𝟗
𝟑
) (
) (
الحل / ) (̅ .
/نجعل 𝟎 ) 𝟏
𝟎
𝟑
)𝟏
(
()𝟑
نختبر على خط األعداد إشارة المشتمة األولى بالتعوٌض بمٌم مجاورة للعددٌن 𝟑
* 𝟏+ متنالصة فً 𝟑+ متزاٌدة فً الفترة المفتوحة )𝟑 𝟏 (
(
𝟐
𝟔 𝟑 𝟐 𝟑 𝟎 𝟑
𝟗
𝟐
*
𝟑
√
) ( ) (
الحل/ 𝟐 𝟑
√𝟑 ( أي ان )𝟎
) (̅
𝟏 𝟑
) (
( عدد حرج
نختبر على خط األعداد إشارة المشتمة األولى بالتعوٌض بمٌم مجاورة للعدد 𝟎 متنالصة فً 𝟎+ متزاٌدة فً 𝟎+
𝟔 𝟐
𝟗
𝟏
𝟐
) ( ̅ غٌر معرفة أذا كانت )𝟎
) (̅
* *
206
𝟐 𝟑
) (̅
𝟐 𝟑)
(
) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
النهاٌة العظمى والنهاٌة الصررى المحلٌة دالــة مســـــــــــتمرة علــى الفتــرة - لــتكن المفتوحة ) ( فأذا كانت :
( التــً تنتمــــــً الــى الفتـــــرة
,ولابلــة لألشــتماق عنــد ) ) )
( (
𝟎 𝟎 𝟎
) (̅ ) ( ) (̅ ) (̅
) )
( (
𝟎 𝟎 𝟎
) (̅ ) ( ) (̅ ) (̅
مالحظة اذا كانت النمطة نمطة نهاٌة صغرى
)
(
نمطة نهاٌة عظمى
(
)
حرجة فمط
(
)
)
(
مثال ( /)3جد نمط النهاٌات العظمى والصررى المحلٌة للدالة fفً حالة وجودها أذا علمت أن : 𝟒𝟐
𝟐
𝟗
𝟑
) (
) (
𝟐) 𝟐
(
) (
𝟏
) (
𝟐) 𝟐
(
𝟏
) (
) (
𝟐) 𝟐
(
𝟏
) (
) (
الحل/ ) (̅ .
𝟐
/نجعل 𝟎 𝟎 𝟐
متنالصة فً + متزاٌدة فً + النمطة ))𝟐( 𝟐(
* )𝟏 𝟐( تمثل نمطة نهاٌة صررى محلٌة
207
𝟎 )𝟐 𝟐( 𝟏 ) 𝟐(
(𝟐
𝟏
*
)𝟐
(
) (̅
𝟐) 𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟐) 𝟐
(
) (
𝟏
) (
الحل/ ) (̅ .
/نجعل 𝟎 𝟎
𝟐
)𝟐
𝟐
متنالصة فً 𝟐+ متزاٌدة فً + النمطة ))𝟐( 𝟐(
(
𝟎 )𝟐 𝟐( 𝟏
𝟐) 𝟐
𝟏
) (̅
(𝟐
) 𝟐(
* * )𝟏 𝟐( تمثل نمطة نهاٌة عظمى محلٌة
𝟐
𝟒𝟐
𝟑
𝟗
) (
) (
الحل/ /نجعل 𝟎 𝟎
𝟖
) (̅ . )𝟑 (
𝟐
𝟔
𝟒
𝟎𝟐 𝟖𝟒 𝟔𝟑 𝟖 𝟔𝟏 𝟔𝟗 𝟒𝟒𝟏 𝟒𝟔
النمطة ))𝟐( 𝟐( النمطة ))𝟒( 𝟒(
𝟖𝟏
𝟎 𝟒𝟐 𝟎 )𝟐
⇒
𝟐
متنالصة فً الفترة المفتوحة ) * + متزاٌدة فً +
𝟒𝟐
𝟐 𝟑
𝟐)
𝟐( 𝟗 𝟐) 𝟒( 𝟗
)𝟐(𝟒𝟐 )𝟒(𝟒𝟐
𝟖𝟏 ()𝟒
𝟑)
𝟐( 𝟑) 𝟒(
) (̅ 𝟐 𝟑
(
) 𝟐( ) 𝟒(
( *
)𝟎𝟐 𝟐( تمثل نمطة نهاٌة عظمى محلٌة )𝟔𝟏 𝟒(تمثل نمطة نهاٌة صررى محلٌة
تمعر وتحدب المنحنٌات ونمط األنمالب بأنهـا محدبـــــة أذا كانـت
أذا كانت fدالـــــة لابلة لألشتماق فً الفترة المفتوحـــة ) ( فٌمال عن الدالـــــة ̅ متنالصة خالل تلن الفترة وتسمى ممعرة اذا كانت ̅ متزاٌدة خالل تلن الفترة ز مالحظة
,ولها مشــــــتمة أولى ومشـــــتمة ثـــــانٌة على ) أذا كـــــانت fمـــــعرفة فـــــً - 𝟎 ) (̅ ( ) تكون ممعـرة على ) ( أذا حممت الشرط األتً : تكون محدبة على )
( أذا حممت الشرط األتً :
𝟎
208
) (̅
)
(
( فأنهــا :
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال (/)1
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
أدرس تمعر وتحدب كل من الدالتٌن : 𝟑
) (
) (
𝟐
) (
) (
𝟐
) (
) (
الحل/ ) (̅
) الدالة ممعرة على
) (̅
(
𝟑
الحل/ ) (̅
نجعل
ممعرة فً + محدبة فً + النمطة ))𝟎( 𝟎(
) (̅
) ( 𝟐
) ( ̅ ألٌجاد مناطك التمعر والتحدب 𝟎 )𝟎( 𝟎 𝟎
) ( ) (̅
𝟔
* * )𝟎 𝟎( تسمى نمطة أنمالب
نمطة األنمالب : هً النمطة التً تنتمً لمنحنً الدالــــة والتً عندها ٌنملب المنحنً مـن حالـة التحـدب الـى حالـة التمعـر أو بـالعكس ( تنتمـً لمنحنـً الدالـة والمشـتمة ( هً نمطة أنمـالب أذا كانـت النمطـة ) (أو بأسلوب أخر) النمطة ) الثانٌة عندها تساوي صفر )
) ( (
209
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
كٌفٌة اٌجاد نمط األنمالب ) (̅ ̅ ثـم نحـــل المعادلــــة المتكونـة ونجـد لــــــــٌم الحالة األولى :نجد ) ( ̅ ومــن ثـــم نجـد ) ( ثـم نجعـــل 𝟎 ) (Xولـتكن ) ( X1 ,X2 , X3,..ثـــــــم نــــــعوض لـٌم ) (Xفـً الدالـة األصلٌـــــــــة ونجـد لـــــــٌم ) (Yالممابلـــــة لهــــــــــــا فتكون … (X1,Y1),(X2,Y2),(X3,Y3),هً نمط االنمالب
مالحظات حول طرٌمة أٌجاد مناطك التمعر والتحدب :
نجد لٌم ) ( التً تجعل المشتمة الثانٌة مساوٌة للصفر ومن ثم نجد لٌم ) ( الممابلة لها ̅
نختبر المٌم على خط األعداد فأذا كانت ̅ اذا لم تترٌر إشارة ) ( فأن النمطة هً لٌست نمطة أنمالب وأنما هً نمطة حرجة /
مثال ( /)2جد نمطة األنمالب للمنحنً :
𝟏
) (
الدالة محدبة .أو /
𝟐𝟏
𝟐
𝟑
𝟑
𝟐
) (
̅
الدالة ممعرة .
) (
الحل/ 𝟐𝟏 ) ( ̅ 𝟔 ̅ ) ( ألٌجاد مناطك التمعر والتحدب نجعل
𝟐𝟏
𝟔
ممعرة فً 3 محدبة فً 3 𝟏
النمطة (𝟐)/
𝟏
𝟐.
𝟐
𝟔
𝟎
𝟐𝟏 𝟏𝟏 𝟐
) (̅
𝟔 𝟔
𝟏 ) ( 𝟐
𝟐𝟏
𝟏 𝟐
) (̅ 2الن ̅ 2الن ) ( سالبة
موجبة
𝟏𝟏 / 𝟐
𝟏
𝟐 .هً نمطة أنمالب
مثال ( /)3جد مناطك التحدب والتمعر ونمط األنمالب أن وجدت للدوال التالٌة : 𝟑
𝟒
) (
) (
) (
) (
(
𝟒
) (
) (
𝟐
𝟑
) (
) (
) (
) (
𝟏
𝟎 𝟒) 𝟐 𝟐
𝟑
210
𝟒
𝟐
𝟑
𝟒
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟒
الحل/ 𝟐
نجعل
𝟑
) (̅ 𝟑 𝟒 ) ( ̅ ألٌجاد مناطك التمعر والتحدب
𝟎
)𝟐𝟏 (
𝟐
𝟐
) (̅
𝟐
𝟎 𝟔𝟏
) 𝟎(
𝟎
𝟐
𝟎
⇒
𝟎
) (
𝟒
) (
(
)
) 𝟐(
*و+ محدبة فً + ممعرة فً الفترة المفتوحة ) ( النمطتان ) ( ) ( هما نمطتا أنمالب *
الحل/
𝟏
𝟎 𝟐 𝟑
) (
) ( 𝟏
) (̅
) (̅
𝟐
)𝟎( ̅ غٌر معرفة * محدبة فً + * ممعرة فً + ال توجد نمطة أنمالب ألن 0ال ٌنتمً لمجال الدالة
𝟒) 𝟐
الحل/
𝟐)𝟐 نجعل
محدبة فً𝟐+ الدالــــــــة ∴ ال توجد نمطـة أنمـالب عنـد ) على جهتٌها
* * و 𝟐+ ( ألن الدالـة محدبـة
211
(
) (
𝟒
) (̅ ( 𝟑)𝟐 ̅ ) ( ألٌجاد مناطك التمعر والتحدب 𝟐 ( )𝟐 𝟎 𝟎 𝟐)𝟐 𝟎 𝟐 (
) ( ) (̅̅̅
(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟐
الحل/
𝟐
) (̅
𝟑 𝟐
) (
) ( ) (̅
𝟐
) (̅
ال ٌمكن جعل الدالــــــــة محدبة فً ∴ ال توجد نمطة أنمالب
الحل/
𝟑 𝟎
الدالــــــــة
ممعرة فً
𝟔
𝟐
𝟐𝟏
𝟐
𝟑
) (̅
𝟒
) ( 𝟑 𝟒
𝟔
) ( ) (̅
لذا ال توجد نمطة أنمالب
أختبار المشتمة الثانٌة لنمط النهاٌات العظمى والصررى المحلٌة ٌستفاد من المشتمة الثانٌة فً فحص ومعرفة نوعٌة النمط الحرجة دون دراستها على خط االعداد وكما ٌلً :
) ̅( فأنـه ٌمكننـا أسـتخدام فبدال ً مـن مالحظـة كٌفٌـة ترٌٌـر إشـارة ̅ عنـد المـرور بالنمطـة الحرجـة حٌـث األختبار التالً لنمرر فٌما أذا كانت النمطة الحرجة تمثل نمطة نهاٌة عظمى أو صررى محلٌة وذلن بأستخدام أختبار المشتمة الثانٌة وكما ٌأتً : تمتلن نهاٌة عظمى محلٌة عند ) (ز ) ̅( فأن ) ̅( وأن ) ( أذا كانت ) ̅(
) ( أذا كانت
) ̅(
وأن
) ( أذا كانــت
) ̅(
أو ) ̅( غٌــر معرفــة فــال ٌصــح هــذا األختبــار ( وٌعــاد األختبــار بواســطة الطرٌمــة
فأن
(ز
تمتلن نهاٌة صررى محلٌة عند )
السابمة عن طرٌك المشتمة األولى ) ز
مالحظة
:
ٌستفاد من نمطة االنمالب فً أٌجاد الثوابت كما هو الحال فً النمطة الحرجة مثال ( /)1بأستخدام أختبار المشتمة الثانٌة أن أمكن ,جد النهاٌات المحلٌة للدوال األتٌة : 𝟏
𝟐
𝟑 𝟒
𝟎
𝟐
𝟗 𝟒) 𝟏
212
𝟔
𝟐
𝟑 (
𝟑
𝟒
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل الحل/
𝟐
𝟏
) (̅.
/نجعل 𝟎 )𝟏( ̅
𝟎
𝟏 𝟎
∵ 𝟎 )𝟏( ̅ و 𝟎 𝟔 ( ∴ توجد نهاٌة عظمى محلٌة عند )𝟏 𝟐 )𝟏(𝟑 ∴ النهاٌة العظمى المحلٌة هً 𝟏 𝟐 :
𝟑
𝟔
𝟔
) (̅
𝟔
𝟔 𝟔 )𝟏( ̅
𝟔
) (
) (
𝟔 ) (̅
𝟎
𝟔
𝟔
)𝟏( ̅
)𝟏(
)𝟏(𝟔
الحل/
𝟒
𝟎
𝟐
𝟎
)𝟐 ( ̅
𝟐
𝟑
𝟖
𝟎 𝟒𝟐
𝟎 ∵ 𝟎 )𝟐 ( ̅ و 𝟎 ∴ توجد نهاٌة عظمى محلٌة عند )𝟐 ∴ النهاٌة العظمى المحلٌة هً 𝟑 :
𝟑
𝟎
𝟑
𝟒𝟐
) (̅
𝟒
𝟐
𝟏
𝟐
)𝟐 (
الحل/
𝟐
) (̅.
/نجعل 𝟎 𝟎
عندما 𝟏 𝟎 𝟐𝟏 فأن 𝟎 ∴ توجد نهاٌة عظمى محلٌة عند )𝟏 ∴ النهاٌة العظمى المحلٌة هً 𝟗 𝟓 : عندما 𝟑 فأن 𝟎 )𝟑( ̅ و 𝟎 𝟐𝟏 ∴ توجد نهاٌة صررى محلٌة عند )𝟑 ∴ النهاٌة الصررى المحلٌة هً 𝟐𝟕 :
𝟖
𝟏
( 𝟒 𝟒
𝟗
)𝟏 ( ̅ و
𝟑
)𝟐 ( ̅
𝟔𝟏
)𝟐 ( ̅
𝟖
𝟏
) (̅
𝟖
) (̅.
/نجعل 𝟎
) (
) (
𝟑 𝟏
𝟐
𝟑 𝟗
)𝟑 (
𝟐
⇒
𝟑
)𝟏 ( ̅
( 𝟑
𝟏
) 𝟏 (𝟗
𝟐)𝟏
(𝟑
𝟑)𝟏
(
)𝟏 (
)𝟑( ̅
( 𝟕𝟐
𝟕𝟐
𝟕𝟐
)𝟑(𝟗
213
𝟐)𝟑(𝟑
𝟑) 𝟑(
)𝟑(
𝟑
𝟔
𝟎 𝟗 𝟎 )𝟏 𝟔
𝟐
) (
) (
𝟑
) (̅ 𝟐
𝟑
𝟔 ( ()𝟑 𝟔 ) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟒) 𝟏
(
) (
𝟒
) (
الحل/ ) (̅.
/نجعل 𝟎 )𝟏 ( ̅
𝟎
𝟎
𝟏
𝟑)𝟏
𝟏 𝟎
∵
𝟎
𝟎 )𝟏 ( ̅
𝟎
𝟑)𝟏
(𝟒
(
𝟐)𝟏
)𝟏 ( ̅ أذن هذه الطرٌمة ال تنفع لذا نعود الى مالحظة ترٌٌر إشارة ̅
fمتزاٌدة فً 𝟏+ * fمتنالصة فً 𝟏+ ∴ توجد نهاٌة عظمى محلٌة هً 𝟒 :
𝟑)𝟏
(𝟒
) (̅
بجوار )𝟏
) (̅
(𝟐𝟏
(
*
مثال (/)2 فجـد لٌمـة محلٌة ز
𝟒)𝟏
𝟒
𝟏 (
)𝟏 (
𝟐 ) ( 𝟎 لتكن علمـا ً أن الدالـة تمتلـن نمطـة أنمـالب عنـد
ال تمتلـن نهاٌـة عظمـى
,ثـم بـٌن أن الدالـة
الحل/ /نجعل 𝟎
) (̅ .
𝟐
𝟐
𝟐 𝟑)𝟏(
𝟐
𝟐
)𝟏( ̅
𝟐
𝟑
𝟏 )نجعل 𝟎 𝟏 𝟐
√
𝟎 𝟏
𝟔 𝟑
∴ توجد نهاٌة صررى محلٌة عند √ 5 𝟐 ∴ الدالة
𝟐
𝟏 𝟐
𝟑
) (̅
𝟒
4
ال تمتلن نهاٌة عظمى محلٌة
214
𝟐 𝟏
) (̅(
𝟐
𝟑
𝟐
) (̅
𝟐 𝟏 .𝟐/
𝟐
𝟐
𝟐
𝟎
𝟏
) (̅ 𝟑
𝟎
𝟏
𝟐
) (̅
) (̅
𝟐
𝟐
𝟐
) ( 𝟏
𝟎 𝟐 𝟑
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
وزاري/ 2013د3 وزاري / 2013د2 وزاري / 2012د1 لكً ٌكون لمنحنً الدالـة مثال ( /)3عٌن لٌمتً الثابتٌن ثم جد نمطة األنمالب ز ونهاٌة عظمى محلٌة عند 𝟐 عند 𝟏 𝟑
𝟐
نهاٌة عظمى محلٌة
الحل/ 𝟐
𝟐 ∵ للدالة نهاٌة عظمى محلٌة عند
𝟏
∵ للدالة نهاٌة صررى محلٌة عند
𝟐
⇐ ) معادلة
(
) معادلة
𝟑
̅
𝟎
𝟎
⇐ 𝟎
𝟐
̅
𝟑
𝟐
𝟐)𝟏 (𝟑
)𝟏 ( 𝟐
𝟑
𝟎
̅
(
𝟒
𝟎
𝟐)𝟐(𝟑
)𝟐( 𝟐
𝟐𝟏
𝟎
وبحل المعادلتٌن ( )1و ( )2أنٌا نحصل على : 𝟑 𝟐
𝟔 )نجعل 𝟎
̅(
𝟑
̅
𝟔
𝟔
𝟐
𝟑
𝟑
𝟏 𝟐 𝟏 𝟐
𝟑𝟏 𝟒 الدالة fممعرة الدالة fمحدبة
∴ /
𝟑𝟏
𝟏
𝟒
𝟐
𝟔𝟐 𝟖
4 5 𝟏 فً 3 𝟐 𝟏 فً 3 𝟐
𝟏
𝟒𝟐 𝟑 𝟖
̅
𝟑 𝟖
𝟑
𝟏 𝟐
𝟏 𝟖
𝟔4 5
𝟐
𝟔
𝟑
𝟑 𝟐
𝟔
𝟑
𝟎
𝟐 𝟏 𝟑 4 5 𝟐 𝟐
𝟑
𝟑
𝟏 4 5 𝟐
𝟔
𝟏 4 5 𝟐
2 2
.نمطة أنمالب
مثال ( /)4أذا كان منحنً الدالة وٌمس المستمٌم 𝟐𝟖 :
𝟑
𝟐
𝟗
* ومحـدب فً 𝟏+ ) ( ممعـــر فـــً 𝟏+ عند النمطة )𝟏 𝟑( فجد لٌم األعداد الحمٌمٌة
الحل/
*
وزاري / 2014د1
∵ الدالة مستمرة ألنها كثٌرة الحدود و ممعـــرة فــــً 𝟏+
* ومحـــدبة فً 𝟏+
*
∴ الدالة تمتلن نمطة أنمالب عند 𝟏 /نجعل 𝟎
)𝟏( ̅ .
∵ مٌل المماس للمستمٌم 𝟖𝟐
)𝟏( ̅
𝟐
𝟔
) معادلة
(
𝟐
𝟗
𝟔
𝟑
هو )𝟗
) (̅
𝟎
𝟐 𝟑
)𝟐 (
⇒
𝟐
𝟑
𝟎
) (̅
𝟔
𝟐
̅( عند 𝟑
∴ )𝟑( ̅ هو مٌل المماس لمنحنً الدالة fعند 𝟑 /معادلة
𝟐
.
النمطة )𝟏 𝟑( تحمك معادلة منحنً الدالة
𝟗
)𝟑 (
𝟑
𝟐
⇒
𝟑
𝟔
𝟕𝟐
𝟗
𝟔
𝟕𝟐
)𝟑( ̅
) ( ) معادلة ③(
𝟗
𝟕𝟐
𝟏
وبتعوٌض المعادلة ( )1فً ( )2نحصل على :
𝟑 وبتعوٌض (𝟏
) و (𝟑
𝟑
𝟏
𝟑
𝟔
𝟗
𝟑
) فً المعادلة ) (3نحصل على :
𝟏
215
𝟕𝟐
𝟕𝟐
𝟏
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال (/)5
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
أذا كان للدالة فجد لٌمة عند
نهاٌة عظمى محلٌــة تســــاوي , 8و نمطة األنمالب وزاري / 2015د2
) (
الحل/ ∵ للدالة نمطة أنمالب عند
𝟔 ⇐ 𝟎
𝟏
̅
𝟔
𝟔
𝟐
𝟑
̅
𝟏 ∵ للدالة نهاٌة عظمى محلٌة تساوي )𝟖( )𝟐
̅
⇐ 𝟎
̅
( 𝟑
𝟎
𝟔 𝟔
𝟐
𝟑
𝟔
𝟔 𝟐
𝟔
𝟎
)𝟏( 𝟔
̅
𝟑
𝟐
𝟎
𝟎
****************************************************************** ) ( نهاٌة صررى محلٌــــة تســــاوي , 4و نمطة األنمالب واجب /أذا كان للدالة فجد لٌمة عند
تمارين)𝟒 س / 1لتكن
𝟐
𝟔
(أ) الدالة fمحدبة
) (
حيث
𝟑(
* 𝟒 𝟖+ ,
جد قيمة
اذا كانت :
(ب) الدالة fممعرة
الحل/
𝟐 /أ .أذا كانت الدالة
) (̅
𝟐
𝟔
محدبة 𝟒
/ب .أذا كانت الدالة
) (̅
𝟔
𝟐
) (
𝟎
𝟎
𝟐
𝟎
) (̅
مقعرة 𝟎
𝟖
216
𝟎
𝟐
𝟎
) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
س / 2أذا كانت ) (2,6تمثل نمطة حرجـــــة لمنحنً الدالة 𝟒) النمطة الحرجةز
) (
(
فجد لٌمة
وبٌن نوع
)𝟏( 𝟑)
) (̅
الحل/ 𝟑) )نجعل 𝟎
) ( ̅ ( عندما 𝟐
) (̅
(𝟒
(𝟒
ألن النمطة )𝟔 𝟐( نمطة حرجة 𝟑)
/بالجذر الثالث .
𝟐(
)𝟒
𝟎
(
𝟑)
⇒
𝟐(𝟒
𝟎
𝟐 النمطة )𝟔 𝟐( تحمك معادلة منحنً الدالة 𝟒)𝟐
(
𝟎
) ( 𝟎
𝟔
𝟒
𝟔
)𝟐
𝟐(
𝟔
(𝟒
) (̅
لبٌان نوع النمطة الحرجة نالحظ الرسم : ∴ النمطة )
𝟑)𝟐 ( تمتلن نهاٌة عظمى محلٌة
𝟑 𝟐 ) ( وكان 𝟐𝟏 𝟏 ) ( س / 3أذا كان نمطة األنمالب وكانت للدالة fنمطة أنمالب ) (1, -11فجد لٌم الثوابت
متماســـــــان عند
وكان كل من
وزاري / 2014د2
الحل/
∵ الدالتٌن ) ( ) ( متماستان عند نمطة األنمالب ∴ مٌل الدالتٌن ) ( ) ( عند ) ( متساوٌان أي أن
) (̅ 𝟑 ) (
𝟐
𝟐
) (̅ 𝟐
) (̅
𝟐𝟏 ) معادلة①(
∵ النمطة )
𝟐𝟏
𝟐
( نمطة أنمالب لدالة ) ( ) معادلة②(
النمطة )
)𝟏( 𝟐
𝟑
⇐
𝟐)𝟏(
) ( ̅ ( عندما )
)𝟎
𝟎
𝟑
)𝟐 (
⇒
𝟐
𝟑
𝟐𝟏
𝟑
𝟏 𝟐
) ( ) ( 𝟐
( 𝟐
𝟔
𝟔
) (̅
( تحمك معادلة الدالة ) ( ) معادلة③(
وبحل المعادالت ① و ② و ③ أنٌا ً سو
) (
𝟏𝟏
نحصل على بالطرح بالطرح
217
𝟑
) معادلة①( ) معادلة③( ) معادلة②(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
س / 4أذا كانت )𝟔( تمثل نهاٌة صررى محلٌة لمنحنً الدالــــة معادلة المماس للمنحنً فً نمطة انمالبه ؟
𝟐
𝟑
فجد لٌمة
) (
𝟑
ثم جد
الحل/
) (̅ (
)نجعل 𝟎
𝟐
النمطة )
𝟐
𝟎
𝟑
) (̅
𝟔
𝟐(
)
𝟑
𝟐
𝟎
)𝟑 (
𝟐
⇒
𝟐 𝟐
) (
𝟑 𝟑
𝟔
𝟎
( تنتمً لمنحنً الدالة ) ( 𝟑)𝟎(
𝟔
𝟐)𝟎(𝟑
) (̅ .
/نجعل 𝟎
𝟔
𝟔 𝟔
𝟑 𝟐
) (̅
𝟔
𝟏
𝟑
𝟑
𝟑
𝟑
𝟑
𝟑 𝟐 ) ( وكانت ممعــــــرة )𝟏 س / 5أذا كانت وللدالة fنمطة نهاٌة عظمى محلٌة هً )𝟓 𝟏 ( فجد لٌم الثوابت
𝟐
) 𝟐)𝟏(𝟑
𝟔
(𝟑 𝟖 )𝟏 ) معادلة المماس للمنحنً(
𝟖
𝟑
𝟔
𝟔
𝟏( 𝟑 ) 𝟏( 𝟖 𝟔 𝟏 𝟑 𝟔 𝟑) 𝟏( 𝟖 )𝟏( ∴ النمطة ) ( تمثل نمطة أنمالب وهً نمطة مٌل المماس ( اي نحسب ) ̅( عندما 𝟑
𝟑 𝟔
𝟐)
)𝟏( ̅
𝟐
)
𝟑
)𝟏(𝟔
) (̅
𝟔
𝟎
) ( )𝟏( ̅
(
( ومحدبــــــة )𝟏
الحل/
) (
(
وزاري / 2012د3
النمطة )𝟓 𝟏 ( تحمك دالة المنحنً ) ( ) معادلة①(
𝟐
)𝟏 (
𝟓
)𝟏 (
النمطة )𝟓 𝟏 ( نمطة نهاٌة عظمى محلٌة للدالة ⇐ f ) معادلة②(
∵ الدالة ∴ نجعل 𝟎
𝟐
𝟎
ممعـــرة )𝟏
( ومحدبـــــة )𝟏
̅ ) ( عندما )𝟏
𝟎
)𝟏 ( 𝟐
𝟑
𝟑
)𝟏 (
𝟐
𝟓
عندما )𝟏
) ( 𝟐
)𝟏 ( 𝟑
𝟑
) (
(
𝟎
𝟐
𝟐
𝟑
) (
(
( النه توجد نمطة انمالب
) معادلة③(
وبحل المعادالت ① و ② و ③ أنٌا ً سو
𝟎
𝟔
𝟐
𝟐
)𝟏( 𝟔
𝟐
𝟎
نحصل على ) معادلة①(
بالجمع
) معادلة②( )
بالجمع
) معادلة③(
)
218
(
(
𝟔
) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
) (
س / 6لتكن
ال تمتلن نهاٌة عظمى محلٌة ز
برهن أن الدالة
وزاري / 2013د1
الحل/ )نجعل 𝟎
) (̅ (
/معادلة
𝟐
𝟐
.
) (̅
𝟐
𝟑
𝟐
) (̅
𝟐
𝟑
/معادلة
𝟐
𝟐
.
𝟑
𝟐
𝟐
) (̅
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
) (
𝟑
𝟐
𝟎
) (̅
𝟐
وبتعوٌض المعادلة ( )1فً ( )2نحصل على : ) (̅
𝟔 ∴ الدالة ∴ الدالة
𝟒
𝟔
𝟐
𝟐
4 5
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐 /
) (̅
تمتلن نهاٌة صررى محلٌة ألن 𝟎 𝟔 ال تمتلن نهاٌة عظمى محلٌة مهما كانت لٌمة ) (
س / 7المســـتمٌم 𝟕 محلٌة عند
𝟑 ٌمس المنحنً جد لٌمة
𝟏 𝟐
الحل/
النمطة )𝟏
𝟐
عند )𝟏
) معادلة①(
𝟏
∵ للمنحنً نهاٌة محلٌة عند
𝟒
(
𝟏 𝟐
)𝟐(
وزاري / 2016د1
)𝟐(
𝟐
𝟏
عندما
⇐
𝟐
.
,وما نوع النهاٌة ؟
𝟐( تحمك معادلة المنحنً :حٌث نعوض )𝟐 𝟏
𝟐
𝟐( وكانت له نهاٌــــــة
وزاري / 2015د1 𝟐
𝟐
) (̅
) معادلة②(
) ( 𝟐
𝟎
𝟐
𝟎
نجد معادلة مٌل المستمٌم المماس من معادلته : معامل معامل نجد مٌل منحنً الدالة عند نمطة التماس ( اي نجد
)
عندما
𝟒 ∵ مٌل المستمٌم المماس
𝟐
مٌل منحنً الدالة عند نمطة التماس ) معادلة③(
𝟒
𝟑
بحل المعادلتٌن ( )2و ( )3أنٌا ً نحصل على : بالطرح
) معادلة②( ) معادلة③(
)نعوض فً معادلة②( )نعوض فً معادلة ① ألٌجاد 𝐜 ( ) ( ) (
𝟑 𝟏 𝟒 𝟏 ∴ النمطة 𝟑 𝟒/ 𝟑
𝟐
) (
𝟏 𝟏 𝟏 𝟑 𝟐 𝟐 𝟒 𝟏 𝟐 .تمثل نهاٌة صررى محلٌة
219
𝟒
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
أمثلة أضافٌة محلولة مثال /جد أن وجدت مناطك التزاٌد والتنالص والنمط الحرجة ولٌم نماط النهاٌات للدوال األتٌة: 𝟐
) (̅ .
/نجعل 𝟎 النمط الحرجة هً)
𝟎 𝟎
𝟐 𝟎 ()
)𝟐
𝟑
𝟑
) ( ) (
) (̅
( 𝟒
(
النمطة( (0,0نهاٌة عظمى محلٌة لٌمة النهاٌة العظمى المحلٌة تساوي ) ( النمطة( (2,-4نهاٌة صررى محلٌة لٌمة النهاٌة الصررى المحلٌة تساوي ) ( مناطك التزاٌد
2
3
مناطك التنالص = الفترة )
(
𝟒 /نجعل 𝟓 النمط الحرجة هً)𝟓
𝟒 𝟑(
𝟖𝟏
𝟗
النمطة ( (3,-5نهاٌة صررى محلٌة لٌمة النهاٌة الصررى المحلٌة تساوي ) * مناطك التزاٌد + * مناطك التنالص +
) (̅ .
𝟔
𝟐
) ( ) (
) (̅
𝟑
(
𝟒
/نجعل 𝟎 النمط الحرجة هً)𝟎 𝟎( النمطة( (0,0نهاٌة صررى محلٌة لٌمة النهاٌة الصررى المحلٌة تساوي ) ( * مناطك التزاٌد + * مناطك التنالص +
220
) (̅ .
) (̅
) ( ) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟑
𝟐
) (̅ .
/الٌمكن جعل
𝟎
) ( ) ( ) (̅
ال توجد نمط حرجة مناطك التزاٌد
*
+
𝟎𝟏
) (̅ (
) نجعل 𝟎
𝟐
)𝟒
𝟏 𝟒 𝟏 النمط الحرجة هً ) 𝟒 𝟏
النمطة /
𝟒
𝟐 𝟑 𝟐
𝟐
𝟐
(
)𝟒
𝟎
𝟏 𝟒
𝟐
) 𝟐()𝟏 𝟐 ( ) 𝟐()𝟒 𝟐 (
𝟖 𝟑 𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
(
𝟎
)𝟒
𝟎𝟏
𝟐
(
𝟎
) ( ) ( ) (̅
𝟎𝟏 𝟐)𝟒 𝟐 (
𝟎(
𝟎 .نهاٌة عظمى محلٌة
لٌمة النهاٌة العظمى المحلٌة = { و مناطك التنالص
مناطك التزاٌد الفترة)
مثال /جد لٌم الثوابت محلٌة هً )
(
{ (
الفترة)
) ( نمطة نهاٌة صررى
أذا كان لمنحنً الدالــــــــــة (
الحل/ النمطة ) (3,-5تحمك دالة المنحنً والمشتمة األولى عندها تساوي صفر عندما )𝟑 معادلة①
𝟑
𝟑
)𝟑 (
⇒
𝟑
𝟗
𝟗
𝟒
𝟑
𝟗 𝟓 ̅ ) ( .
/نجعل معادلة②
وبحل المعادلة ① والمعادلة ② حالً أنٌا ً نحصل على :
221
(
𝟎
𝟒
𝟐
𝟐 𝟔
)𝟑( 𝟐
) ( ) (̅ 𝟎
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال /جد لٌم الثوابت صررى محلٌة هً ) الحل/
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
أذا كان لمنحنً الدالــــــة
(
)
نمطة نهاٌــــــة
) (
(
النمطة )𝟔 𝟏( تحمك دالة المنحنً والمشتمة عندها تساوي صفر معادلة① /نجعل
(
)
)
𝟔 ) (̅ .
(
)
) ( ) (̅
( )
)𝟐 (
معادلة② نعوض المعادلة ② فً المعادلة ① فنحصل على :
⇒
𝟏
𝟎
)𝟐
()𝟑
(
𝟎
(
𝟎
)
𝟔
(
)ٌهمل(
مثال /لتكن
) ( جد لٌم الثوابت
عندما ) الحل/
اذا علمت أن للدالة نمطة نهاٌة عظمى محلٌـــة
( ونهاٌة صررى محلٌة عندما )
(
فً هذا السؤال حدد نماط النهاٌات العظمى والصررى فمط لذلن نعتمد فً الحل على المشتمة األولى فمط /نجعل 𝟎
) معادلة①( ) معادلة②( 𝟕𝟐
𝟑
) ( ̅ ثم نعوض لٌم )
𝟒
) ( ) (̅
. ) ( ) (
( ) (
𝟏 𝟑
وبحل المعادلة ① والمعادلة ② حالً أنٌا ً نحصل على : 𝟑 𝟐
نعوض فً معادلة ①
𝟔𝟏
𝟒𝟐 𝟑
)
مثال /أذا كانت ) (5تمثل نهاٌة عظمى محلٌة للدالة الحل/
𝟑
𝟑
𝟑
𝟐
(
) ( فجد لٌمة
( فمط لذا ٌجب أٌجاد لٌم فً هذا السؤال لم تعطى النمطة كاملة وأنما لٌمة )𝟓 محلٌة او صررى محلٌة عندما مشتمة الدالة تساوي صفر )𝟎 ) ( ̅ ( /نجعل 𝟎 ( ()𝟏 𝟎 )𝟏 𝟏 𝟏
حتى ٌكون للدالة نمطة نهـــــاٌة عظمى ) (̅ .
) (̅
النمطة ( (-1,5نهاٌة عظمى محلٌة وتحمك الدالة 𝟏
𝟑
) (
𝟑
222
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال /أذا علمت أن لمنحنً الدالة الحل/
) ( نمطة نهاٌة صررى محلٌة هً ) (3,10فجد لٌمة
النمطة ) (3,10تحمك دالة المنحنً والمشتمة عندها تساوي صفر ) معادلة①(
) نجعل
𝟔
) (̅ (
)
) معادلة②(
𝟎𝟐
)𝟐 (
⇒
𝟎𝟏
) (̅
(
𝟎
𝟑
𝟑
)
) (
𝟎𝟏
) (̅
(
)
) (
(
)𝟒 (
⇒
𝟒
)
وبحل المعادلة ① والمعادلة ② حالً أنٌا ً نحصل على :
(
نعوض فً معادلة ②
) 𝟐
( 𝟎𝟐
𝟎𝟏
) (
مثال /أذا كانت
𝟗
𝟐
𝟑
)𝟑( ̅ و 𝟓
وكانت 𝟎
) (
فجد لٌم
)𝟏 (
الحل/ )
)
(
(
)
(
) معادلة①( 𝟗
/معادلة②𝟑 .
𝟐
)𝟑( 𝟐
) (
)𝟏 ( 𝟒
𝟐)𝟑( 𝟑
𝟗
𝟓 )𝟑( ̅
𝟐
𝟗
𝟐
𝟑
𝟎
) (̅ 𝟎
مثال /جد أن وجدت مناطك التحدب ومناطك التمعر ونمط االنمالب للدوال التالٌة : 𝟐
/نجعل
) (̅
̅ ) ( .
𝟏 النمطة)
( نمطة انمالب مرشحة
النمطة ) ( نمطة انمالب * مناطك التحدب + * مناطك التمعر +
223
𝟑
𝟑
) ( ) ( ) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟒)𝟏 ̅ ) ( .
/نجعل
)
) (̅
(
)
𝟏
)
( ) (̅
(
(
) ( ) (
(
)
النمطة)𝟎 𝟏( حرجة مرشحة مناطك التمعر
*
}* +
𝟐 ̅ ) ( .
/نجعل 𝟎
𝟒𝟐
𝟐
𝟑
𝟑
) (̅
) ( ) ( ) (̅
)
(
)
(
)
(
النمطة)𝟖𝟐 𝟏 (نمطة انمالب مرشحة مناطك التحدب 𝟏+ مناطك التمعر 𝟏+
* *
𝟐 وكان * 𝟐 𝟓+ ) ( حٌث مثال /لتكن فجد لٌمة Aاذا كانت الدالة ) (ممعرة ) ( محدبة
الحل/
) (̅ تكون الدالة محدبة أو ممعرة اعتمادا على أشاره
لذلن سو ) (̅
) (̅ نجد ) (̅
) (
) ( أذا الدالة ممعرة ) (̅ ) ( أذا الدالة محدبة ) (̅
224
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل 𝟐
مثال /منحنً الدالــــــــــــــة 𝟓
𝟑
) (
ٌمس محــور الســـٌنات عند النمطة )(2,0
وله نمطــــــة أنمالب هً ) (0,5فجد لٌم الثوابت الحل /النمطة )𝟓 𝟎( تحمك دالة المنحنً والمشتمة الثانٌة عندها تساوي صفر ولٌمة ) ( عندها تساوي صفر ) ال ٌنفع(
𝟎
𝟓
𝟎
𝟐
𝟐
)𝟎(
)𝟎( 𝟔
)𝟎(
)𝟎(
) (
𝟐
𝟔
𝟎
𝟐
𝟓 ) (̅
𝟑
) (
𝟐
𝟐
) (̅
𝟑
النمطة )𝟎 𝟐( تحمك دالة المنحنً معادلة①
𝟓
𝟖
𝟐
𝟐
𝟓
المشتمة األولى ) (̅ عند النمطة )𝟎 𝟐( تساوي )صفر) عندما )𝟐
𝟑
( ألنها تمس محور السٌنات ) (̅
𝟐
) نعوضها فً معادلة①(
𝟓
𝟓
𝟔𝟏
𝟒𝟐
𝟓
𝟖
) 𝟐𝟏 (𝟐
𝟓
𝟖
𝟓 ) ( 𝟔𝟏
𝟐
مثال /لتكن
) (
محلٌة عندما )𝟒
𝟑
) (
𝟐
𝟖
𝟓 𝟔𝟏
اذا علمت أن للدالـــــــة نهاٌة صــــــررى
جد لٌم كل من
( ونمطة انمالب عندما )𝟏
(
الحل/ 𝟐
𝟔
) (̅
𝟐
𝟐
𝟑
) (̅
𝟐
) (̅
) ( ) ()
(
225
𝟐
𝟐
𝟑
) (̅
𝟑
) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل 𝟐
مثال /أذا كانت ) (6تمثـل نهاٌـة عظمـى محلٌـة للدالـة معادلة المماس للمنحنً عند نمطة انمالبه ز
𝟑
𝟑
فجـد لٌمـة
) (
ثـم جـد
الحل/ ) (̅ (
) نجعل
𝟐
𝟔
)
𝟐
) (
𝟑
(
𝟑
𝟐
𝟐
𝟑
) ( 𝟐
𝟔
𝟑
𝟎
النمطة ) (0,6نمطة نهاٌة عظمى محلٌة وتحمك الدالة
𝟔 /نجعل 𝟎 𝟔
النمطة )
𝟑
𝟎 ̅ ) ( .
𝟔
𝟎 𝟔
𝟐
𝟔 ) (̅
𝟑
𝟑 𝟐
𝟔
) (
) ( ) (
𝟑 𝟔
𝟔
( نمطة انمالب وتحمك معادلة مٌل المماس
األن نجد مٌل المماس عند نمطة األنمالب حٌث (مٌل المماس = المشتمة األولى) ونستخدم لانون معادلة المماس 𝟔
𝟑 𝟑
𝟑
)𝟏(𝟔
𝟑
)𝟏
𝟒
𝟐)𝟏(𝟑 (𝟑
𝟐
𝟔
𝟑
)𝟏
𝟒
) معادلة المماس للمنحنً عند نمطة انمالبه (
(
𝟎
𝟕
) ( 𝟏
𝟑
******************************************************************
جد أن وجدت مناطك التزاٌد والتنالص والنمط الحرجة ولٌم نماط النهاٌات للدوال األتٌة :
𝟏 𝟏
𝟐 𝟑
) ( ) (
𝟐
) ( ) (
226
𝟐 )
𝟑
𝟏 𝟑
) ( ) (
𝟒(
𝟑
) ( ) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
رســم المخطط البٌانً للدالة لرسم المخطط البٌانً ألي دالة معطاة نتبع الخطوات التالٌة والتً تمثل النمط األساسٌة للرسم :
❶ اوسع مجال للدالة ❷ نمط التماطع مع المحورٌن ❸ التناظر ❹ المحاذٌات ❺ دراسة ) ( ̅ ❻ دراسة ) ( وما ٌنتج عنها ❼ تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
وما ٌنتج عنها
❶ اوسع مجال للدالة :أذا كانت بواسطة الدالة ) ( ولهذا ٌمكن تمسٌم الدوال الى ثالث أشكال حسب المترٌرات الموجودة فٌها
هً دالة الى ) ( فأن أوسع مجال للدالة هو كل لٌم ) ( الحمٌمٌة التً لها صــور) (
ⓐالــدوال كثٌــرات الحــدود :وهــً الــدوال التــً مترٌرهــا ) ( غٌــر موجــود فــً ممــام الدالــة وكــذلن غٌــر موجــود فــً داخــل الجذر وٌكون اوسع مجال لها ⓑالــــدوال الكســــــــــــــرٌة :وهــــــــــً الــــدوال التــــً مترٌرهــــــــــا ) ( موجــــود فــــً ممــــام الدالـــــــــــة وٌكـــــــــــون اوســــــــــع مجــــــال لــها
}المٌم
التً تجعل الممام 𝟎{
ⓒالدوال الجـــــــــــــــذرٌة :وهً الدوال التً مترٌرها ) ( موجود فً داخل الجذر وهً نوعان : النوع األول :دوال جذرٌة دلٌل جذرها فردي وٌكون اوسع مجال لها هو لٌم ) ( التً تجعل الجذر معرفا النوع الثانً :دوال جذرٌة دلٌل جذرها زوجً وٌكون اوسع مجال لها هو لٌم ) (التً تجعل الجذر معرفا
مثال توضٌحً ① /جد أوسع مجال لكل من الدوال التالٌة : ) أوســـــــــع مجال للدالة
ألنها كثيرات الحدود(
➨
) (
) أوســـــــــع مجال للدالة
ألنها كثيرات الحدود(
➨
) أوســـــــــع مجال للدالة
ألنها كثيرات الحدود(
➨
) أوســـــــــع مجال للدالة
ألنها كثيرات الحدود(
➨
) ( ⓑ ) ( ⓒ ) ( ⓓ
) أوســـــــــع مجال للدالة
ألنها كثيرات الحدود(
➨
) ( Ⓔ
) أوســـــــــع مجال للدالة
ألنها كثيرات الحدود(
➨
) ( Ⓕ
) أوســـــــــع مجال للدالة
ألنها كثيرات الحدود(
➨
) أوســـــــــع مجال للدالة
ألنها كثيرات الحدود(
➨
) أوســـــــــع مجال للدالة
ألنها كثيرات الحدود(
➨
)
√
227
)
(
()
(
√
√
ⓐ
) ( Ⓖ
) ( Ⓗ ) ( Ⓘ
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال توضٌحً ② /جد أوسع مجال لكل من الدوال التالٌة : 𝟑 𝟐
➨
⁄*𝟐+
⁄* 𝟐+
➨
⁄* 𝟏+
➨
𝟐
) ( ①
𝟐
) ( ②
𝟐
𝟒 𝟏 𝟏
) ( ③
𝟐
ال تستخذم طرق تبسيظ المقام النها تؤدي الى الحل الخاطئ ) حل خاطئ(
𝟏
⁄* 𝟏+
𝟏 (
)𝟏
)𝟏
()𝟏
➨
)
𝟏 𝟏
( 𝟑 𝟑 /
⁄* 𝟑+
) ( ④
𝟐. 𝟐( 𝟐
➨
⁄*𝟎+
𝟐
𝟐
𝟐 ( )𝟑
𝟑
) (
) (
𝟑
) (
أما الدوال الجذرٌة فالمنهج خالً من الدوال الجذرٌة ولم ٌعطً أي مثال علٌها لذلن سأضع أمثلة لالطالع
مثال توضٌحً ③ /جد أوسع مجال لكل من الدوال التالٌة: ➨
*
𝟒+
𝟖
𝟐√ 𝟏
➨
⁄*𝟒+
𝟐
𝟖
𝟐
𝟐
√
) ( ①
) ( ②
❷ نمط التماطع مع المحورٌن :وهو على نوعٌن : ( )aالتماطع مع المحور الصادي ) ( )bالتماطع مع المحور السٌنً )
(الٌجاد لٌم ) ( ( الٌجاد لٌم ) (
( :ألٌجاد نمط التماطع مع المحور) ( نجعل )𝟎 ( :ألٌجاد نمط التماطع مع المحور) ( نجعل )𝟎
مثال توضٌحً ④ /جد نمط التماطع لكل من الدوال التالٌة : 𝟒 𝟎 𝟎
)𝟐
()𝟐
(
نمط التماطع
𝟎
)𝟒
𝟐
(
) 𝟎 𝟎( )𝟎 𝟐 ( )𝟎 𝟐(
228
𝟎
𝟒
𝟑
) ( 𝟎
𝟑
𝟎
) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟑)𝟐
) (
(
𝟖 𝟐 نمط التماطع
)𝟖
𝟎
𝟑)𝟐
𝟎
(
𝟎
𝟎( )𝟎 𝟐(
𝟑
) (
𝟒 𝟑 𝟒 𝟑 نمط التماطع
) (
𝟑 𝟑 ) 𝟒
𝟎
𝟑
𝟎
) (
𝟎
𝟒
𝟎( )𝟎 𝟑(
❸ التناظر :وهو على نوعٌن : (ٌ )aكون المنحنً متناظر مع المحور الصادي) (y-axisاذا كانت أسس المترٌر ) (xكلها زوجٌة أي أن ) ( ) ( ) ( (ٌ )bكون المنحنً متناظر حول نمطة األصل اذا كانت أسس المترٌر ) (xكلها فردٌة أي أن ) (
➨
(
➨
) (
)
)
( أي أن
)
) ( ( أي أن )
(
مثال توضٌحً ⑤ /جد التناظر لكل من الدوال التالٌة ثم برهن ذلن فً حالة وجود التناظر : ⓐ
/متناظرة مع الصادي الن أسس
كلها زوجية➨ .
/متناظرة مع الصادي الن أسس
كلها زوجية➨ .
) ( ⓑ
/متناظرة مع الصادي الن أسس
كلها زوجية➨ .
) ( ⓒ
/متناظرة مع الصادي الن أسس
كلها زوجية➨ .
/متناظرة مع الصادي الن أسس
كلها زوجية➨ .
) ( Ⓔ
/متناظرة مع نقطة االصل الن أسس
كلها فرديـــــــة➨ .
) ( Ⓕ
/متناظرة مع نقطة االصل الن أسس
كلها فرديـــــــة➨ .
) ( Ⓖ
/متناظرة مع نقطة االصل الن أسس
كلها فرديـــــــة➨ .
) ( Ⓗ
) ال يوجد تناظر الختالف اسس المتغيير ( ➨
229
) (
) (
} )
(
) ( ) ( ) (
ⓓ
Ⓘ
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل البرهان متشابه فً جمٌع األمثلة السابمة لذا سنبرهن مثال لكل نوع من التناظر ) (
) (
)
)
(
(
)
-
(
,
)
(
)
(
)
(
)
)
(
) ( Ⓔ
(
)
) ( Ⓕ
(
❹ المحاذٌات :دراستنا للمحاذٌات تمتصر على الدوال الكسرٌة فمط
المحاذي األفمً الموازي لمحور السٌنات الطرٌمة األولى : نجعل
) (
ثم نجعل 𝟎
) (
ونجد لٌم ) ( ولتكن )
) (
( فهً تمثل معادلة المستمٌم األفمً ز
الطرٌمة الثانٌة : هذا العدد هو حاصـــل لسمة معامل الحد االكبر درجة من البسط على معامل الحد االكبر درجة من
تكون معادلته عدد
الممام بشرط تساوي الدرجتٌن
المحاذي الشالولً الموازي لمحور الصادات الطرٌمة األولى : نجعل
) (
ثم نجعل 𝟎
) (
ونجد لٌم ) ( ولتكن )
) (
( فهً تمثل معادلة المستمٌم الشالولً ز
الطرٌمة الثانٌة : هذا العدد هو العدد الذي ٌستثنى من المجموعة Rفً الممام عند حساب أوسع مجال ز
تكون معادلته عدد
مثال توضٌحً ⑥ /جد أوسع مجال ومعادالت المستمٌمات المحاذٌة لكل من الدوال التالٌة : 𝟒 𝟐 المستمٌم المحاذي الشالولً 𝟐
𝟒
)𝟑
(
𝟐
𝟒
𝟒
𝟑
المستمٌم المحاذي األفمً
𝟑
𝟑 𝟎
𝟑
𝟐 𝟒 𝟐
𝟐
𝟑 𝟐 𝟑
𝟑
𝟒
او الحظ الطرٌمة الثانٌة +
*⁄
المستمٌم المحاذي الشالولً المستمٌم المحاذي األفمً
230
𝟑
) ( 𝟎
𝟒 𝟐
𝟑
) ( 𝟐 ) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟑 𝟒
+
) (
𝟐
) (
*⁄ المحاذٌات الشالولٌة
)نساوي الدرجتٌن(
𝟐
𝟑
𝟑 𝟒
𝟎
𝟐
𝟒
المحاذٌات االفمٌة
𝟐
𝟑
𝟐
𝟑
) (
𝟓
) (
⁄* + المحاذٌات الشالولٌة 𝟑 )نساوي الدرجتٌن( 𝟓
𝟐
𝟑 𝟐
𝟑
𝟎
𝟑
𝟐
المحاذٌات االفمٌة
𝟓 غٌر معرف
𝟓
) (
) (
⁄* + المحاذٌات الشالولٌة
)نساوي الدرجتٌن(
𝟓
𝟎
𝟓
مثال ( /)1أرسم باألستعانة بمعلوماتن فً التفاضل منحنً الدالة : الحل/
𝟓
المحاذٌات االفمٌة
) ( وزاري / 2013د3
أوسع مجال للدالة التناظر /المنحنً متناظر حول نمطة األصل ألن : ) (
) ) (
المحاذٌات /ال توجد ألن الدالة لٌست نسبٌة ( كسرٌة )
نمط التماطع مع المحورٌن
(
➨ 𝟓
𝟎 𝟎 النمطة )𝟎 𝟎( نمطة تماطع مع المحورٌن األحداثٌٌن
231
)
(
𝟓)
(
𝟎 𝟎
)
(
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
دراسة ) (
وما ٌنتج عنها
دراسة ) (
وما ٌنتج عنها
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05 ) نجعل 𝟎
) (̅ (
𝟎 𝟎
𝟎
/نجعل 𝟎
)𝟎(
𝟓
̅ ) ( .
𝟑
232
𝟎 𝟎
)𝟎(
𝟎𝟐 𝟑
𝟓
𝟓 𝟒 𝟓 ) (
𝟎
𝟎 𝟎
𝟒
) (̅
) (̅
𝟎𝟐 ) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال ( /)2أرسم باألستعانة بمعلوماتن بالتفاضل الدالة : الحل/
𝟐
𝟒
𝟑
𝟑
) (
أوسع مجال للدالة التناظر / 𝟑 𝟒 𝟐 𝟒 𝟐) ∴ ال ٌوجد تناظر مع محور الصادات او مع نمطة األصل ألن :
𝟑)
(𝟑
(
)
) (
المحاذٌات /ال توجد ألن الدالة لٌست نسبٌة ( كسرٌة )
نمط التماطع مع المحورٌن
➨
( )
)
(
(
) (
)
𝟒
(
𝟎 𝟎
) ال ٌمكن حل المعادلة( النمطة )𝟒 𝟎(نمطة التماطع مع المحور الصادي
دراسة ) (
دراسة ) (
وما ٌنتج عنها
) نجعل 𝟎 𝟐
𝟎
𝟎
)𝟐
(
) (̅ ( 𝟐 𝟎
𝟐
𝟔 𝟐
)𝟒 𝟎( )𝟎 𝟐(
𝟑 𝟐
𝟔
𝟎
𝟒 𝟎
𝟒 𝟎
) (̅ 𝟑
)𝟎( )𝟐(
وما ٌنتج عنها ̅ ) ( .
/نجعل 𝟎
𝟔
𝟏 )𝟐 𝟏(
233
𝟔 𝟐
𝟔
) (̅
𝟔 𝟔
𝟎 𝟐
𝟔 )𝟏(
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
𝟏
مثال ( /)3أرسم باألستعانة بمعلوماتن بالتفاضل الدالة : الحل/
𝟑
) (
𝟏
أوسع مجال للدالة }/{-1 التناظر / ∵ العدد )𝟏( ٌنتمً الى مجال الدالة ولكن العدد )𝟏 ( ال ٌنتمً الى مجال الدالــــــة لذلن فالمنحنً غٌر متناظر مع محور الصادات وغٌر متناظر مع نمطة األصل ∴ ال ٌوجد تناظر المحاذٌات /
المستمٌم المحاذي الشالولً 𝟏
)𝟑
(
𝟑
𝟏
المستمٌم المحاذي األفمً
𝟑
𝟏
𝟏
𝟑
𝟎
𝟑
𝟎 𝟏 𝟏
𝟑
) (
𝟏
𝟑
نمط التماطع مع المحورٌن 𝟏 𝟏 𝟑
النمط )𝟏
𝟏
دراسة ) (
𝟎( 𝟎/
𝟑
𝟏
𝟏
𝟎
𝟑
𝟏
𝟎 𝟑
𝟎
𝟎
𝟏
𝟏
.نمط التماطع مع المحورٌن
𝟑
وما ٌنتج عنها ) () )
(
)
) غٌر ممكن(
234
(
𝟎
( )
𝟒
𝟎
(
) () (
) (̅
𝟒 𝟐 )𝟏
(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
دراسة ) (
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
وما ٌنتج عنها 𝟖 𝟑)𝟏
𝟏)-
(𝟖 )𝟏 ( 𝟒)𝟏
(
(𝟐
(𝟐𝟏) 𝟎) 𝟒, ( 𝟒)𝟏
) غٌر ممكن(
𝟐
مثال ( /)4بأستخدام معلوماتن بالتفاضل أرسم المنحنً : الحل/
(
أوسع مجال للدالة التناظر / 𝟐
) (
𝟐) 𝟐
𝟏
∴ المنحنً متناظر حول محور الصادات ألن ( ) :
)
) (̅
) (
𝟐
𝟏
(
𝟏 )
( 𝟐)
(
(
)
➨
)
(
(
المحاذٌات /
ال ٌوجد محاذي عمودي
𝟎
𝟏
𝟐
𝟐
)𝟏
(𝟐
المستمٌم المحاذي األفمً
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟏
235
𝟎
𝟏
) ( 𝟐
𝟏
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
نمط التماطع مع المحورٌن 𝟎 𝟎
𝟎 𝟎 )𝟎 𝟎( نمطة التماطع مع المحورٌن
دراسة ) (
وما ٌنتج عنها
دراسة ) (
وما ٌنتج عنها
) )
)
(
()
(
( )
)
() (
𝟐
𝟎
) ) (̅
/نجعل
(
)
), (
)-
(
, )
(
(
) (̅
(
𝟐 )𝟏
(
) ( ) (
. )
√ )
. / . /
⇒
)
(
(
√ )
236
(
) √
(
√
(
) (
) (̅
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
𝟑(
تمارين)𝟓 أرسم بأستخدام معلوماتن فً التفاضل الدوال التالٌة :
𝟐
الحل/
𝟑
) (
𝟎𝟏
أوسع مجال للدالة التناظر / 𝟐 𝟑 𝟎𝟏 𝟐) ( ∴ ال ٌوجد تناظر مع محور الصادات او مع نمطة األصل ألن :
)
(𝟑
)
𝟎𝟏
المحاذٌات /ال توجد ألن الدالة لٌست نسبٌة (كسرٌة )
نمط التماطع مع المحورٌن
➨
(
) (
)
)
(
( )
) (
𝟎𝟏 )
()
(
𝟎
( 𝟐
)𝟏(
نمط التماطع
) 𝟎𝟏 𝟎( )𝟎 𝟐( )𝟎 𝟓 (
دراسة ) (
وما ٌنتج عنها ) نجعل 𝟎
𝟓
) (̅ (
𝟑
𝟐
𝟐
𝟗𝟒
𝟗 𝟖𝟏 𝟎𝟒
𝟗
𝟗
𝟒
𝟒
𝟒
𝟐
𝟎𝟏
237
𝟐 𝟑
.𝟐/
𝟑 𝟑
𝟑. / 𝟐
𝟐 𝟎
𝟎𝟏
) (̅
𝟑 𝟐 𝟑
𝟑
.𝟐/
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
النمطة /
𝟗𝟒 𝟒
𝟑 𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
.نمطة نهاٌة عظمى محلٌة
) ( متزاٌدة فً 3
𝟑
2
𝟐
𝟑 ) ( متنالصة فً } 𝟐
دراسة ) (
{
وما ٌنتج عنها ) سالب دائما مهما تكون لٌمة
) ( محدبة فً+
فلهذا منحنً الدالة محدب دائما وال توجد نمطة انمالب (
*
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
𝟑 الحل/
) (̅
𝟒
𝟐
) 𝟐(
) (
أوسع مجال للدالة التناظر / 𝟐 𝟑 ) 𝟒 𝟑 ∴ ال ٌوجد تناظر مع محور الصادات او مع نمطة األصل ألن :
(𝟒
𝟐)
( ) (
المحاذٌات /ال توجد ألن الدالة لٌست نسبٌة (كسرٌة )
نمط التماطع مع المحورٌن
)
➨
( )
(
𝟑 ) نمط التماطع
) 𝟑 𝟎( )𝟎 𝟏 ( )𝟎 𝟑 (
238
()
(
)
( )
) (
𝟎
(
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
دراسة ) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
وما ٌنتج عنها ) (̅ (
) نجعل 𝟎
𝟏
𝟒
𝟐
) (̅
𝟎
𝟐
𝟐
𝟒
𝟐 ( نمطة نهاٌة صررى محلٌة
النمطة )𝟏 ) ( متزاٌدة فً𝟐+ ) ( متنالصة فً𝟐+
* *
دراسة ) (
وما ٌنتج عنها
∴) (
ممعرة فً+
) موجب دائما مهما تكون لٌمة *
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
وزاري 𝟑𝟏𝟎𝟐 ⁄د𝟐 الحل/
فلهذا منحنً الدالة ممعر دائما وال توجد نمطة انمالب (
𝟐
) (̅
وزاري 𝟏𝟏𝟎𝟐 ⁄د𝟐
𝟑)
𝟏
𝟏(
) 𝟑(
) (
أوسع مجال للدالة التناظر / 𝟏 𝟑) 𝟏( 𝟏 ∴ ال ٌوجد تناظر مع محور الصادات او مع نمطة األصل ألن :
𝟑
))
(
)
𝟏( ) (
المحاذٌات /ال توجد ألن الدالة لٌست نسبٌة (كسرٌة)
نمط التماطع مع المحورٌن 𝟐 بالجذر الثالث للطرفٌن
نمط التماطع
𝟐 𝟏 𝟏 𝟏( 𝟑)
) 𝟐 𝟎( )𝟎 𝟐(
239
𝟏
( )
𝟑
➨
)
(
)𝟎 𝟏( 𝟏 𝟑)
( )
) (
𝟎 𝟏(
(
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
دراسة ) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
وما ٌنتج عنها ) (̅ (
) نجعل
(
)
) (̅
)
( ) )نجذر الطرفٌن ( 𝟏
𝟏
𝟎
𝟏
𝟑)𝟏
𝟏(
)𝟏(
𝟏
( )
)
(
( )
𝟑)
𝟏(
( ) (
النمطة )𝟏 𝟏( نمطة حرجة فمط
) ( متنالصة فً 𝟏+
دراسة ) (
*
* 𝟏+
وما ٌنتج عنها /نجعل
̅ ) ( .
)
(
) (̅
)
( )
( )
∴ النمطة ) (1,1نمطة أنمالب * ) ( ممعرة فً𝟏 + * ) ( محدبة فً𝟏 +
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
240
) (̅ (
) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟑
وزاري 𝟓𝟏𝟎𝟐 ⁄د𝟏 الحل/
) (
𝟔
) 𝟒(
أوسع مجال للدالة التناظر / 𝟑
)𝟑 𝟔( ∴ التناظر حول نمطة األصل ألن :
𝟔
𝟑)
(
)
(𝟔
)
➨
(
(
) ) (
المحاذٌات /ال توجد ألن الدالة لٌست نسبٌة
نمط التماطع مع المحورٌن 𝟎 )𝟐
𝟑
𝟔(
(
)
𝟎 𝟔 أما
نمط التماطع
دراسة ) (
)𝟎
√ ( )𝟎
𝟐
√ √( )𝟎 𝟎(
𝟐
𝟔
أو
وما ٌنتج عنها ) نجعل 𝟎
) (̅
) (̅ (
√ ) ( √ 𝟐√𝟒
النمطة النمطة
) ( ) (
√ 𝟐√𝟐
√ 𝟑
𝟐√𝟔
)𝟐√ (
)𝟐√ (𝟔
)𝟐√ (
√( نهاٌة عظمى محلٌة
) √ √ ( نهاٌة صررى محلٌة ) √ متزاٌدة فً ) √ √ ( { } 𝟐√ متنالصة فً }𝟐√
دراسة ) (
) √(
) √(
) √(
{
وما ٌنتج عنها /نجعل 𝟎
∴ النمطة ) (0,0نمطة أنمالب * ) ( ممعرة فً𝟎 + * ) ( محدبة فً𝟎 +
241
̅ ) ( .
) (̅
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
𝟏 الحل/
)𝟓(
) (
أوسع مجال للدالة = *𝟎+ التناظر / 𝟏
𝟏 ) (
(
)
➨
(
)
∴ التناظر مع نمطة األصل ألن : ) (
المحاذٌات
نمط التماطع مع المحورٌن ال ٌوجد تماطع مع محور الصادات الن )𝟎 ال ٌوجد تماطع مع محور السٌنات الن )𝟎
)
المستمٌم المحاذي الشالولً المستمٌم المحاذي األفمً
دراسة ) (
𝟏
𝟎
𝟎 𝟏
𝟏
(
) (
الن 𝟏 𝟎( الن 𝟏 𝟎(
وما ٌنتج عنها ) نجعل 𝟎
) (̅ (
𝟏
𝟐
𝟐
)غٌر ممكن(
∴ ال توجد نمطة حرجة
242
) (̅
𝟎
𝟏
𝟏
) (
𝟎
𝟏 𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
دراسة ) (
∴ ال توجد نمطة أنمالب * ) ( ممعرة فً𝟎 + * ) ( محدبة فً𝟎 + تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
وما ٌنتج عنها /نجعل 𝟎
) (̅
̅ ) ( . )غٌر ممكن(
𝟏 𝟏 الحل/
أوسع مجال للدالة + التناظر /
) (
*
∴ ال ٌوجد تناظر مع محور الصادات او مع نمطة األصل ألن :
𝟏 𝟏
) ) (
) 𝟔(
➨
( )
)
(
( )
) (
(
المحاذٌات /
المستمٌم المحاذي الشالولً 𝟏
)𝟏
(
المستمٌم المحاذي األفمً
𝟏
𝟏 𝟏 𝟏
𝟏
𝟎
𝟏
243
𝟎
𝟏
𝟏
𝟏 ) (
𝟏
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
نمط التماطع مع المحورٌن 𝟏 𝟏 النمط )𝟏
دراسة ) (
𝟎
𝟎
𝟏
𝟏
𝟎
𝟎
𝟏
𝟎( )𝟎 𝟏( نمط التماطع مع المحورٌن وما ٌنتج عنها 𝟐 𝟐)𝟏
𝟏
𝟏 𝟐)𝟏
(
)𝟏()𝟏 (
( 𝟐)𝟏
)𝟏()𝟏
(
) (̅
(
𝟎
𝟐 𝟐)𝟏
(
ال توجد نمطة حرجة
دراسة ) (
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
وما ٌنتج عنها ) )
(
( )
)(
( , ) ) غٌر ممكن(
244
(
) ( ) ( )
) (̅ (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟐) 𝟏 الحل/
(
()𝟐
) 𝟕(
) (
أوسع مجال للدالة التناظر / 𝟐)𝟏 ∴ ال ٌوجد تناظر مع محور الصادات او مع نمطة األصل ألن :
(
()𝟐
)
) (
المحاذٌات /ال توجد ألن الدالة لٌست نسبٌة (كسرٌة)
نمط التماطع مع المحورٌن )𝟏()𝟐(
𝟐
𝟎
𝟏
➨
( )
)
(
) (
𝟐
)𝟏 𝟎()𝟐 𝟎( ( ()𝟐 𝟐)𝟏 𝟎 𝟐 𝟎 𝟐)𝟏
𝟐 𝟏
( )
(
𝟎 𝟎
𝟎
(
النمط )𝟐 𝟎( )𝟎 𝟐 ( )𝟎 𝟏( نمط التماطع مع المحورٌن
دراسة ) (
وما ٌنتج عنها 𝟏-
𝟎 𝟒
𝟒
𝟐)𝟏 𝟏()𝟐 𝟏( 𝟐)𝟏 𝟏 ()𝟐 𝟏 (
)𝟏( ( 𝟐𝟏), ) نجعل 𝟎
)𝟏( )𝟏 (
𝟐)𝟏
)𝟏𝟑-
(
) (̅ (
𝟎
𝟏 𝟏
(𝟐𝟐), 𝟑𝟏), 𝟑𝟏), 𝟑( (
) (̅ ) (̅
(
𝟏 𝟑
𝟎
𝟑
النماط )𝟎 𝟏( )𝟒 𝟏 ( نماط حرجة
) ( متزاٌدة فً 𝟏+
* 𝟏+
*
) ( متنالصة فً الفترة المفتوحة )𝟏 𝟏 ( ∴ النمطة )𝟎 𝟏( صررى محلٌة ∴ النمطة )𝟒 𝟏 ( عظمى محلٌة
دراسة ) (
وما ٌنتج عنها ) () /نجعل 𝟎 𝟐
𝟐)𝟏
𝟎()𝟐
𝟎(
∴ النمطة )𝟐 𝟎( نمطة أنمالب
) ( محدبة فً 𝟎+ ) ( ممعرة فً 𝟎+
* *
245
)𝟎(
( ) (̅
) ()
( ) (̅
. 𝟎
𝟔
) (̅
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
𝟐
𝟏 𝟏 الحل/
ألن )
أوسع مجال للدالة التناظر /
∴ التناظر مع محور الصادات ألن
➨
𝟐
𝟏
𝟎 𝟐
𝟏 𝟏 )
) (
𝟐
𝟐
𝟏
(
𝟐) 𝟐)
𝟏 𝟏
) (
𝟐
( (
)
➨
(
(
)
(
المحاذٌات /
ال ٌوجد مستمٌم المحاذي الشالولً 𝟏
)𝟏
𝟏
𝟐
(𝟐
المستمٌم المحاذي األفمً
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝟎
𝟎 𝟏 𝟏
𝟐
𝟏
𝟏
𝟐
𝟐
) (
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
نمط التماطع مع المحورٌن 𝟏 𝟏 النمط )𝟏
)𝟖(
دراسة ) (
𝟎
)𝟏
(
()𝟏
𝟎
𝟏
𝟐
𝟏 𝟏
𝟐
𝟎( )𝟎 𝟏( )𝟎 𝟏 ( نمط التماطع مع المحورٌن
𝟎 𝟎
𝟎
𝟐
وما ٌنتج عنها 𝟐
𝟑
𝟐 𝟐)𝟏
𝟐
𝟐 (
𝟑
𝟐
) 𝟐()𝟏
) نجعل 𝟎
𝟐
( 𝟐)𝟏
𝟐
) 𝟐()𝟏 𝟐 ( 𝟒
) (̅ (
𝟐)𝟏
𝟎
𝟐
)
𝟏
246
(
) (̅
𝟏
)𝟏(
) (̅
( (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
∴ النمطة )𝟏 ) ( متزاٌدة فً 𝟎+ ) ( متزاٌدة فً 𝟎+
𝟎( نمطة نهاٌة صررى محلٌة
دراسة ) (
* *
وما ٌنتج عنها () )
)
( ) -
))
(
()
( () )
( , (
)
,
)
𝟐
( ),
(
𝟐
𝟎
) ( )
) ) (̅
/نجعل 𝟎 𝟐
(
( (
𝟏 𝟐
𝟐 𝟒
𝟏 𝟐
∴ النماط /
𝟏 𝟐
𝟏 𝟑√
) ( محدبة فً } ) ( ممعرة فً )
𝟐 𝟑 𝟒 𝟑
𝟐 𝟒
/ . 𝟏
𝟑√ 𝟏
𝟑√
𝟑 𝟑 𝟑 𝟑
𝟐 𝟑 𝟒 𝟑
𝟏
𝟏 𝟑 𝟏 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑
𝟏 𝟑 𝟏 𝟑
𝟏
.
)
𝟏
(
𝟐
𝟎
)𝟏
𝟏 𝟑 𝟏 𝟑
𝟏 𝟑 𝟏 𝟑
𝟏 𝟏
𝟏
.نماط أنمالب 𝟑√ 𝟏
𝟐
{ }
𝟏
𝟑√
𝟑√
{
(
247
𝟑√
𝟐 𝟏 ) 𝟑√ 𝟐 𝟏 ) ( 𝟑√ 𝟏 𝟏
) (̅
𝟐
(
𝟏
) (̅
(
𝟏 𝟏
) (̅
𝟐
𝟏 𝟏
𝟐 𝟏 ) 𝟑√ 𝟐 𝟏 ) ( 𝟑√ (
)
𝟐
𝟏 𝟏
𝟏 𝟑√
𝟐 𝟐
)
(
𝟏 𝟑√
(
𝟐
(
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
𝟒
وزاري 𝟐𝟏𝟎𝟐 ⁄د𝟐 الحل/
𝟐
) (
𝟐
أوسع مجال للدالة التناظر / 𝟒 𝟐 𝟐 ∴ التناظر مع محور الصادات ألن :
𝟒)
𝟐)
(
المحاذٌات /ال توجد ألن الدالة لٌست نسبٌة ( كسرٌة )
نمط التماطع مع المحورٌن
𝟒
(𝟐
) (
)
𝟐
)
𝟐
(
➨
(
)
(
𝟎 )𝟐
𝟐( 𝟐
𝟎 𝟐
𝟒
𝟐 𝟐
نمط التماطع
) 𝟗(
دراسة ) ( 𝟏
)𝟎
√ ( )𝟎
) ( ) (
أو
𝟐
وما ٌنتج عنها 𝟎
𝟏 𝟏
النمطة النمطة النمطة
𝟐
√ √( )𝟎 𝟎(
𝟐
أما
) ) ) متزاٌدة فً )𝟏 𝟎( 𝟏+ متنالصة فً )𝟎 𝟏 ( 𝟏+
𝟐
)𝟏 𝟏
) نجعل 𝟎
) (̅ (
𝟎
𝟑
(
𝟒
𝟎
( نهاٌة صررى محلٌة ( نهاٌة عظمى محلٌة ( نهاٌة عظمى محلٌة
* *
248
𝟐
𝟐
𝟑 )𝟒
) (
(
⇒
𝟎
𝟒 𝟑
) (̅
𝟒 𝟒
𝟒
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
دراسة ) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
وما ٌنتج عنها ̅ ) ( .
/نجعل 𝟎 𝟏 𝟑
𝟏 𝟑√
𝟐
𝟓 𝟗
النمط )
𝟓
𝟏
𝟗 𝟑√
𝟓 𝟏
()
) ( ممعرة فً )
𝟏
𝟗 𝟑√
𝟑√ 𝟑√
𝟏 ) ( محدبة فً 9 𝟑√
𝟏
𝟎 𝟔
𝟏 𝟗
( نمط أنمالب مرشحة (
𝟏 9 8 𝟑√
𝟐
8
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
249
𝟏 𝟗
𝟑 𝟐 𝟑
𝟐 )𝟒
𝟏 𝟒
)
(
𝟏 𝟑√
⇒ 𝟐
(
)
𝟏 𝟑√
𝟐𝟏 𝟐
(𝟐
) (̅
𝟒 𝟒
𝟐𝟏 )
𝟏 𝟑√
𝟎 (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟔 𝟑 الحل/
ألن ) 𝟎
أوسع مجال للدالة التناظر /
𝟐
𝟑
( 𝟔
∴ التناظر مع محور الصادات ألن
المحاذٌات /
نمط التماطع مع المحورٌن
𝟐
𝟑 ) (
) (
𝟐
)
𝟔 𝟐)
𝟑
)
(
➨
(
(
)
(
ال ٌوجد محاذي الشالولً 𝟑
𝟐
𝟔
𝟔
المستمٌم المحاذي األفمً
𝟑
𝟎
𝟔
𝟔 النمطة )𝟐 𝟎( نمطة التماطع مع المحور الصادي
𝟐
𝟎
𝟔
𝟎
𝟐
) (
𝟐
𝟑
𝟎
𝟎
𝟐
𝟑
𝟑
𝟔
𝟐
𝟑
𝟎
𝟐
دراسة ) (
)𝟎𝟏(
وما ٌنتج عنها 𝟐𝟏
) (̅ (
) نجعل 𝟎
)
)
) ()
( )
(
( (
𝟎
) (̅
𝟐𝟏
𝟐
)𝟎(
𝟐
∴ النمطة )𝟐 𝟎( نمطة نهاٌة عظمى محلٌة
) ( متزاٌدة فً 𝟎+ ) ( متنالصة فً 𝟎+
دراسة ) (
* *
وما ٌنتج عنها )
(
() )
) (
))
(
( ()
()
( )
)
𝟐
250
)
( )
(
), (
̅ ) ( . 𝟐
( )
(
( /نجعل 𝟎
)
(
)
𝟎
( 𝟐
) (̅ ) (̅ ) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل 𝟑 𝟐 𝟑 𝟔 𝟐 𝟒
∴ النماط /
𝟑
𝟑
𝟐
𝟐
𝟏/ .
𝟔 𝟒
𝟐)𝟏(
𝟑 𝟔 𝟑 𝟐)𝟏 (
)
(
𝟏 .نماط أنمالب
) ( ممعرة فً 𝟏+ ) ( محدبة فً )𝟏
𝟔
) (
*
* 𝟏+
𝟏 (
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
******************************************************************
مثال ( /)1باستخدام معلوماتن فً التفاضل أرسم منحنً كل من الدوال األتٌة 𝟑)𝟏 𝟒
𝟐( 𝟐
𝟐
) ( ) (
) ( ) (
𝟏
𝟐
𝟐
𝟓
) (
) (
𝟒
) (
) (
𝟐 ( ) ( متنــاظرة حــول محــور الصــادات جــد لٌمــة ) (bومــن ثــم )𝟏 مثــال ( /)2أذا كانــت 𝟏 استخدام معلوماتن فً التفاضل وأرسم منحنً الدالة ز
مثــال ( /)3أذا كانــت الدالــة للدالة جد كل من
𝟐
) ( وكانــت النمطــة ) (-1,3نمطــة تمــاطع المحاذٌــات االفمٌــة والعمودٌــة
ومن ثم استخدام معلوماتن فً التفاضل وأرسم منحنً الدالة ز
251
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
تطبٌمــــــات عملٌة على النهاٌــات العظمى والصررى المحلٌة: ظهرت فـً الفٌزٌـاء الكثٌـر مـن المسـائل التـً أدت الـى تطـور حسـاب التفاضـل والتكامـل ومـن هـذه المسـائل مسـائل حساب ألصى أرتفاع تصله لذٌفة أطلمت بزواٌا مختلفة أو ألصى أرتفاع ٌصله جسم ممذو شالولٌا ً الـى األعلـى أو ألل كلفة أو ألل زمن ومسائل من الصناعات مثل ألل مساحة وأكبر حجم وألل محٌط ,ززز ألخ ز لحل المسائل المتعلمة بهذا الموضوع نتبع الخطوات التالٌة : Ⓘنرسم رسـم توضـٌحً للمسـألة كلمـا كـان ذلـن ممكنـا ونثبـت علـى الشـكل كـل المترٌـرات والثوابـت ومـن ثـم نبـدأ بتكوٌن الفرضٌة التً تعتمد على كلمة (جد ,ماهً ,عٌن ,احسب ,ززز ) أي نكون الفرضٌة على أساس المطلوبز ② نكــون الدالــــــة المطلــوب أٌجـــــــاد النهاٌــة العظمــى أو الصــررى لهـــــــا ز بمعنــى أخــر نبحــث فــً المســألة عــن الكلمات التً تدل على النهاٌـــــات العظمى أو الصررى المحلٌـة مــــثل (اكبـر مـا ٌمكـن ,اصـرر مــــا ٌمكـن ,الـــــل كمٌة ,اطول مسافة ,ززز) ثم نبدأ بتكوٌن الدالة على أساس هذه الكلمات وفً أكثر األحٌان تكون هذه الدالة (لانون حجم ,مساحة ,محٌط ,فٌثاغورس ,تشابه مثلثات ,دوال دائرٌة ,ززز) ③ اذا كانت الدالة المكونة اعاله تعتمد على اكثر من مترٌر لذا ٌجب اٌجاد عاللـة بـٌن المترٌـرات لتكـوٌن دالـة ذات مترٌر واحد وأكثر االحٌان هذه العاللة هً (لانون حجم ,مساحة ,ززززززززززز) مشابهة للموانٌن السابمةز ④ أخٌر نبدأ بدراسة الدالة المتكونة والتً تحتوي على مترٌر واحد ألٌجاد النهاٌة العظمى أو الصررى المحلٌة كما تعلمنــــــا ســــــابما عــــــن طرٌــــــك أٌجــــــاد األعــــــداد الحرجــــــة فــــــً أطــــــرا الفتــــــرة أي ( أٌجــــــاد لــــــٌم الدالــــــة)ز الى مربعه ٌكون الناتج أصرر ما ٌمكن :
مثال ( /)1جد العدد الذي أذا أضٌ الحل/
األختبار
الفرضيت :نفرض الؼذد = مربغ الؼذد =
𝟐
الذالت :الؼذد +مربؼو 𝟐
) (
الذراست: ) (̅ (
) نجؼل 𝟎
𝟏 𝟐 𝟎
∴ توجد نهاية صغرى محلية عندما 𝟏
𝟐
𝟐
𝟏 𝟐
𝟎 𝟏 ̅ 4 5 𝟐
) (̅
𝟐
𝟏 𝟐
∴ العدد هو . 𝟐 /
252
𝟏 ) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟐𝟏( وذلـن بمـص أربـع مثال ( /)2صنع صندوق مفتوح من لطعة مـن النحـاس مربعـة الشـكل طـول ضـلعها ) مربعات متساوٌة األبعاد من أركانها األربعة ثم ثنً األجزاء البارزة لها ز ما هو الحجم األعظم لهذه العلبة ؟ وزاري / 2015د1
الحل/ الفرضٌة :نفرض طول ضلع المربع الممطوع ( أبعاد الصندوق = ) 𝟐 𝟐𝟏 𝟐 𝟐𝟏 الدالة :هً لانون حجم الصندوق = حاصل ضرب أبعاده الثالثة
) () 𝟐 𝟐𝟏() 𝟐 𝟐𝟏( 𝟖𝟒 𝟒𝟒𝟏( ) () 𝟐 𝟒 𝟒𝟒𝟏 𝟑 𝟒 𝟐 𝟖𝟒 العاللة :ال نحتاج الى عاللة الن المعادلة تحتوي مترٌر واحد الدراسة : ) نجعل 𝟎
𝟐
(
)𝟐𝟏 ( 𝟎
)
𝟐()
𝟎 𝟔(
𝟐𝟏 𝟐
𝟒𝟒𝟏
𝟔𝟗 𝟐𝟏
𝟎 ال ٌمكن
𝟔𝟗 𝟐
𝟒𝟒𝟏 𝟖
𝟔 𝟐
∴ عندما )𝟐
( توجد نهاٌة عظمى للحجم تساوي : 𝟑
𝟖𝟐𝟏
)𝟐()𝟖()𝟖(
األختبار ( :لألطالع )
253
𝟐𝟏
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال ( /)3جد بعدي أكبر مثلث متساوي السالٌن ٌمكن أن ٌوضع داخـل دائـرة نصـ 𝟑√𝟑
أن نسبة مساحة المثلث الى مساحة الدائرة كنسبة
𝟒
الحل/ الفرضٌة :نفرض أرتفاع المثلث = h
طول لاعدة المثلث = 𝟐
الدالة :هً لانون مساحة المثلث
) () 𝟐( العاللة :فٌثاغورس 𝟐)𝟐𝟏( 𝟒𝟒𝟏
𝟒𝟒𝟏
𝟑
𝟒𝟐√
)𝟐𝟏 𝟒𝟐
𝟐
𝟒𝟐√
𝟐 𝟒
𝟐
/
𝟏 𝟐
(
𝟐
𝟐
𝟐
𝟒𝟐
𝟐
𝟒𝟐√.
𝟐
الدراسة: 𝟑
) نجعل 𝟎
(
𝟒
𝟒
𝟑
𝟎 )𝟒 (
𝟑
𝟎
𝟑√𝟔
𝟒 ) 𝟎
)الٌمكن (
𝟐𝟕
𝟒𝟐√)𝟐( 𝟑 𝟒 𝟐 𝟐𝟕
𝟒
𝟎
𝟑 𝟒𝟐√)𝟐( 𝟐 𝟐𝟕 𝟖𝟏( 𝟐
𝟖𝟏 )𝟖𝟏(𝟒𝟐√
𝟐)𝟖𝟏(
)𝟔()𝟖𝟏(√
𝟐
∴ طول لاعدة المثلث تساوي : 𝟑√𝟐𝟏
𝟐
) 𝟑√𝟔(𝟐
نسبة مساحة المثلث الى مساحة الدائرة : مساحة الدائرة
𝟐
𝟒𝟒𝟏
𝟐)𝟐𝟏(
)𝟖𝟏()𝟑√𝟔( مساحة المثلث
𝟐
𝟐
𝟏 ) () 𝟐( 𝟐 𝟑√𝟖𝟎𝟏
𝟏 𝟐 𝟐
𝟑√𝟑
𝟑√𝟖𝟎𝟏
𝟐
مساحة المثلث
𝟒
𝟒𝟒𝟏
𝟏
مساحة الدائرة
األختبار ( :لألطالع )
254
لطرهـا )
𝟐𝟏( ثـم بـرهن
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال ( /)4جد بعدي أكبر مستطٌل ٌمكن أن ٌوضع داخل مثلـث طـول لاعدتـه ) (24 cmوأرتفاعـه ) (18 cmبحٌـث أن رأسٌن متجاورٌن من رؤوسه تمعان على الماعدة والرأسٌن البالٌان تمعان على سالٌه ز وزاري / 2013د2 الحل/ الفرضٌة :نفرض بعدي المستطٌل : حاصل ضرب بعدٌه الدالة :هً مساحة المستطٌل
العاللة :تشـــــــابه المثلثات ( btr , bcqلتســـاوي زواٌاهما المتناظرة لذا تتناسب أضالعهما المتناظرة وكذلن أرتفاعهما ) 𝟖𝟏 𝟖𝟏
) )𝟐
𝟒 𝟖𝟏( 𝟑 𝟒 𝟖𝟏( 𝟑
𝟒𝟐
𝟖𝟏 ) ( 𝟒𝟐 𝟖𝟏 𝟒 𝟖𝟏( ( 𝟑
))
الدراسة: ) نجعل 𝟎
(
𝟒 ) 𝟑 𝟐𝟏
) 𝟐
(
𝟗
𝟒 𝟖𝟏( 𝟑
𝟎
) 𝟐
𝟎
𝟐
𝟒 𝟖𝟏( 𝟑 𝟖𝟏
∴ بعدي المستطٌل هما )𝟐𝟏( )𝟗( األختبار ( :لألطالع )
طرٌمة ثانٌة لألختبار : 𝟎
𝟖 𝟑
هذا ٌعنً أن للدالة مساحة نهاٌة عظمى محلٌة عندما )
𝟐
𝟒 )𝟐 ( 𝟑 𝟗
𝟐
(
255
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟎𝟔( أثبـت أنـه عنـدما ٌكـون مجمـوع مسـاحتً الشـكلٌن أصـرر مـا مثال ( /)5مجموع محٌطً دائرة ومربـع ) وزاري / 2013د3 ٌمكن فأن طول لطر الدائرة ٌساوي طول ضلع المربع ز الحل/ الفرضٌة :نفرض طول ضلع المربع = x cm الدالة :هً مساحة المربع +مساحة الدائرة
لطر الدائرة = R cm
ونص
𝟐
𝟐
العاللة :محٌط المربع +محٌط الدائرة= 60 cm )𝟐 ( 𝟐
𝟎𝟑
𝟐
𝟎𝟑 (
𝟐
) )𝟐
𝟒
𝟎𝟎𝟗(
𝟎𝟐𝟏
𝟏
𝟐
𝟐
𝟒
𝟐
𝟎𝟑
𝟐
𝟐
𝟐) 𝟐
𝟎𝟔
𝟐
𝟎𝟑(
𝟏
𝟐
الدراسة: ) نجعل 𝟎
/ 𝟎𝟔
𝟐
(
) 𝟖
.
𝟎
(
)𝟒
𝟎𝟐𝟏 ( ) 𝟖 𝟎
𝟎𝟐𝟏 ) 𝟒 𝟎𝟔 𝟒
𝟎𝟑(
) 𝟒
𝟐
𝟎𝟑
(
𝟐
𝟏
𝟒
𝟐
𝟎𝟔 𝟎𝟔 𝟒
𝟏 𝟎𝟑( 𝟐 4
𝟎𝟐𝟏 𝟎𝟐𝟏 ) 𝟒
𝟐
𝟎𝟐𝟏 (
طول ضلع المربع
𝟐 )5
𝟏
𝟐 𝟎𝟑 𝟐 (
لطر الدائرة
لطر الدائرة
األختبار : 𝟎
)𝟖(
𝟏
𝟐
𝟐
هذا ٌعنً أن الدالة تمتلن نهاٌة صررى محلٌة
256
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال ( /)6جد نمطة أو نماط تنتمً للمطع الزائد 𝟑
𝟐
𝟐
بحٌث تكون ألرب ما ٌمكن للنمطة )𝟒 𝟎( وزاري / 2011د2
الحل/ الفرضٌة :نفرض أن النمطة ) الدالة :هً لانون المسافة
𝟐)𝟒 العاللة𝟑) :
(
𝟐)𝟎
( 𝟐
هً من نمط المنحنً 𝟑
𝟐
𝟐
وزاري / 2013د1
بحٌث تكن ألرب ما ٌمكن للنمطة )𝟒 𝟎(
(√
𝟐 (
𝟔𝟏 𝟔𝟏
𝟐
𝟖
𝟐
𝟖
𝟐
√
𝟐 (√
)𝟑 𝟑𝟏
𝟐
𝟖
𝟐√
الدراسة: ) نجعل 𝟎
𝟖
(
𝟑𝟏
𝟐
𝟖 𝟖
𝟎 𝟎
𝟒
𝟑𝟏
𝟒 𝟐
𝟖
𝟐
𝟐√)𝟐(
𝟎
𝟐√)𝟐( 𝟒
𝟖
𝟐 𝟏 النماط هً )𝟐 𝟏 (
𝟏
𝟑
𝟒
𝟑
𝟐
𝟐
)𝟐 𝟏(
******************************************************************
مالحظات : ٌ Ⓘمكن المول عن دالة المساحة فً بعض األحٌان أكبر أو أصرر مسطح للشكل ② ٌمكن المول عن دالة الحجم أو السعة فً بعض األحٌان أكبر أو أصرر مجسم للشكل ③ فً كال الحالتٌن أعاله ٌكون الحل هو نفس الحل السابك عن طرٌك أٌجاد الفرضٌة ,الدالة ,العاللة (فمط فً حالة وجود أكثر من مترٌر) ,الدراسة ,االختبار
257
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
تمارين)𝟔
𝟑(
س / 1جد عددٌن موجبٌن مجموعهما ) (75وحاصل ضرب أحدهما فً مربع األخر أكبر ما ٌمكن ز الحل/ والعدد الثانً = الفرضٌة :نفرض العدد األول = حاصل ضرب العدد األول مربع العدد الثانً = الدالة :هً عاللة عددٌة )معادلة
𝟐
( 𝟓𝟕
)معادلة ②(
𝟓𝟕
نعوض معادلة ② فً معادلة
𝟐
𝟓𝟕( 𝟐 𝟓𝟕
)
𝟑
الدراسة: ) نجعل 𝟎
̅(
𝟐
𝟑
𝟎𝟓𝟏 𝟐
)𝟑 ( 𝟎 𝟎
𝟓𝟐
𝟎𝟓
𝟓𝟕
)
𝟎𝟓(
)ٌهمل( 𝟓𝟕
̅
𝟎
𝟎𝟓𝟏
𝟑 𝟐
𝟎𝟓
𝟎 𝟎𝟓
العدد األول )𝟓𝟐( والعدد الثانً )𝟎𝟓( األختبار :لألطالع
258
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
س / 2جد أرتفاع أكبر أسطوانة دائرٌة لائمة توضع داخل كرة نص
لطرها
√𝟒
وزاري / 2012د3
الحل/ الفرضٌة :نفرض نص
ونفرض أرتفاع االسطوانة =
لطر لاعدة االسطوانة =
الدالة :هً لانون حجم االسطوانة
)معادلة (
)
𝟐( 𝟐
العاللة :فٌثاغورس 𝟐
.𝟒√𝟑/ 𝟐
)معادلة②(
𝟐
𝟐
𝟖𝟒( 𝟐
𝟐 𝟖𝟒( 𝟐
)𝟑
)معادلة③(
𝟐
𝟖𝟒
نعوض معادلة ② فً معادلة )𝟐
𝟐
الدراسة: ) نجعل 𝟎
)
𝟎
(
)𝟐
𝟖𝟒( 𝟐
𝟑
) 𝟐 ( 𝟎 )𝟐 𝟑 𝟐 )𝟑 ( 𝟑 𝟎 𝟐 𝟒( 𝟒() 𝟎 𝟒 ) ٌهمل ( 𝟒 𝟐𝟑
𝟐√𝟒
𝟔𝟏
𝟖𝟒
𝟐
𝟖𝟒( 𝟐 𝟖𝟒 𝟔𝟏
𝟖𝟒
𝟐
أكبر ارتفاع لالسطوانة : 𝟖
األختبار:
) 𝟒(𝟐
𝟐
( لألطالع )
259
𝟐
ونفرض الحجم =
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
دائرة نص
س / 3جد بعدي أكبر مستطٌل ٌوضع داخل نص
لطرها
√𝟒
وزاري / 2012د1
الحل/ الفرضٌة :نفرض طول المستطٌل = 𝟐
ونفرض مساحة المستطٌل = A
نفرض عرض المستطٌل
الدالة :هً لانون مساحة المستطٌل
)معادلة (
𝟐
العاللة :فٌثاغورس فً المثلث المائم )(ABC 𝟐
𝟐𝟑
𝟐
𝟐
نعوض معادلة ② فً معادلة 𝟐
)𝟒
𝟐
)معادلة②( 𝟐/
𝟐
.𝟒√𝟐/
𝟐𝟑√
𝟐𝟑√𝟐 .
𝟐
𝟐
𝟐𝟑√𝟐 .
𝟒/
𝟐𝟑(𝟒√
𝟐
𝟒
𝟐
𝟖𝟐𝟏√
الدراسة: 𝟑
) نجعل 𝟎
(
𝟔𝟏
𝟒/
𝟔𝟓𝟐 𝟖𝟐𝟏√𝟐 .
𝟐
𝟑
𝟎
𝟑
𝟔𝟓𝟐
𝟔𝟏 )𝟐
(
𝟎
)
𝟔𝟏
𝟒
𝟔𝟓𝟐
𝟐
𝟖𝟐𝟏√( 𝟐
𝟑
𝟎 ) ٌهمل(
𝟔𝟏
𝟎 𝟐
)ٌهمل السالب ( ) عرض المستطٌل ( √ ) طول المستطٌل (
𝟐𝟑√
𝟐
𝟖
𝟒 𝟒 𝟐𝟑√ )𝟒(𝟐
األختبار :لألطالع
260
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
س / 4جد أكبر مساحة لمثلث متساوي السالٌن طول كل من سالٌه
√𝟖
الحل/ الفرضٌة :نفرض أرتفاع المثلث الدالة :هً لانون مساحة المثلث
ونفرض طول لاعدة المثلث = 𝟐
)معادلة (
𝟏
) 𝟐(
𝟐
العاللة :فٌثاغورس 𝟐
𝟖𝟐𝟏 )معادلة②(
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
.𝟖√𝟐/
𝟐
𝟖𝟐𝟏√
𝟐
𝟖𝟐𝟏
نعوض معادلة ② فً معادلة
𝟐
𝟖𝟐𝟏√.
𝟐/
𝟐
𝟒
𝟖𝟐𝟏√
الدراسة: 𝟑
) نجعل 𝟎
(
)𝟒
𝟔𝟓𝟐
𝟒
𝟖𝟐𝟏√( 𝟐
𝟐
𝟑
𝟎
𝟑
𝟔𝟓𝟐
𝟒 𝟎
)
𝟐
𝟎
𝟒𝟔(
𝟐
𝟒𝟔
)
) ٌهمل ( 𝟖
𝟒
𝟒
𝟔𝟓𝟐 𝟐
𝟖𝟐𝟏√(𝟐
𝟑
𝟎
) ٌهمل( 𝟎 𝟐 𝟒𝟔 𝟎 𝟖 األرتفاع
) طول لاعدة المثلث(
𝟔𝟏
)𝟖(𝟐
اكبر مساحة للمثلث : 𝟐
األختبار:
𝟒𝟔
𝟒𝟔
)𝟖()𝟖(
لألطالع
261
𝟐
ونفرض مساحة المثلث =
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل 𝟐
س / 5جد ألل محٌط ممكن للمستطٌل الذي مساحته
𝟔𝟏
الحل/ الفرضٌة :نفرض طول المستطٌل = ونفرض مساحة المستطٌل =
ونفرض محٌط المستطٌل =
ونفرض عرض المستطٌل =
الدالة :هً لانون محٌط المستطٌل
)معادلة ( العاللة :مساحة المستطٌل
)معادلة②(
𝟐
𝟔𝟏
𝟐
𝟔𝟏
نعوض معادلة ② فً معادلة 5
𝟔𝟏
𝟐4
𝟐 𝟏
𝟐
𝟐
𝟐𝟑
𝟐
الدراسة: ) نجعل 𝟎
𝟐
(
)𝟐 ( 𝟒
)نضرب المعادلة ب 𝟒
𝟐
(
𝟐𝟑 𝟎 𝟎
𝟎
𝟐
𝟐 𝟐𝟑
𝟐
𝟔𝟏
𝟔𝟏
𝟐
ألل محٌط ممكن : 𝟔𝟏
األختبار:
)𝟒 (𝟐
)𝟒 (𝟐
𝟐
𝟐
لألطالع
262
𝟐 𝟏
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
س / 6جد حجم أكبر مخروط دائري لائم ٌمكن وضعه داخل كرة نص
لطرها )(3 cm
الحل/ الفرضٌة :نفرض نص
ونفرض أرتفاع المخروط =
لطر لاعدة المخروط =
الدالة :هً لانون حجم المخروط
𝟏 𝟑
𝟐
)معادلة (
العاللة :فٌثاغورس ( للمثلث المائم الزاوٌة ) ABC 𝟐
)معادلة②(
𝟐)𝟑( 𝟗 𝟗
𝟐
𝟔
نعوض معادلة ② فً معادلة )
𝟑
𝟐
الدراسة:
𝟔(
𝟑
)
𝟏 𝟔( 𝟑
𝟐
) نجعل 𝟎
𝟐)𝟑 𝟔
( )𝟑
)
𝟐
𝟐
𝟏 𝟑
𝟑
𝟑
𝟐𝟏(
𝟐
𝟎
𝟒( 𝟎 ) ) ٌهمل( األرتفاع 𝟖 )𝟔𝟏( )𝟒(𝟔 نصف المطر
)
(
𝟐
𝟐𝟏(
𝟎
( )
𝟐
(
𝟐
𝟑
𝟐
𝟒 𝟐
𝟎
𝟒
𝟎 𝟒 𝟐
𝟐√𝟐
𝟔
𝟐
𝟖√
أكبر حجم للمخروط : 𝟑
𝟐𝟑 𝟑
𝟏 𝟐 )𝟒( )𝟐√𝟐( 𝟑
𝟑
𝟐
𝟏 𝟑
األختبار :لألطالع
263
ونفرض الحجم =
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
س / 7جد معادلة المستمٌم الذي ٌمر بالنمطة ) (6,8والذي ٌصنع مع المحورٌن فً الربع األول أصرر مثلث الحل/ الفرضٌة :نفرض )𝟎 ( نمطة تماطع المستمٌم مع المحور ونفرض مساحة المثلث = A نفرض أبعاد المثلث = x , y الدالة :هً لانون مساحة المثلث 𝟏 )معادلة ( 𝟐 العاللة :لانون المٌل ( مٌل ̅̅̅̅ = مٌل ̅̅̅̅ ) تنتمً للمستمٌم ̅̅̅̅
النمطة )𝟖 𝟔(
𝟎
𝟖 𝟔
𝟖 𝟔
𝟎 )
𝟖𝟒 𝟖 𝟎
𝟖𝟒
𝟏
𝟐
( 𝟔 𝟔
𝟔()𝟖 𝟖𝟒 𝟖
𝟖
)معادلة②(
𝟏
𝟐
)
𝟖
𝟔
𝟔(
نعوض معادلة ② فً معادلة 𝟐
)معادلة③(
𝟒
𝟐
𝟒
𝟐
𝟖
𝟐)
)
𝟔
الدراسة: )𝟏
𝟖𝟒
() 𝟐
𝟔(
) نمسم على 𝟒 ( 𝟎
( 𝟐
𝟖𝟒
)𝟐𝟏
𝟔
𝟒 ( 𝟐)
) نجعل 𝟎
𝟎
𝟖
𝟏 𝟐
(
𝟔(
) 𝟖 () 𝟔( 𝟖𝟒 𝟐 𝟒 𝟔( 𝟐) 𝟎
𝟒 𝟎
( ) ٌهمل(
𝟒 𝟑
𝟎 𝟖 𝟐𝟏 𝟔
𝟐
𝟖𝟒 𝟐)
𝟒
𝟔( 𝟐
𝟐𝟏
𝟎 𝟐𝟏 ( المحور السٌنً )
∴ )𝟎 𝟐𝟏( نمطة تماطع المستمٌم مع المحور 𝟖 𝟔
𝟏 𝟐
𝟐
𝟏 𝟏
معادلة المستمٌم الذي ٌمر بالنمطة ) (6,8الذي مٌله /
)̅̅̅̅(
𝟐
𝟒 𝟑
.هً :
( )𝟏 )𝟑 ( 𝟒 () ( 𝟖 𝟑 ⇒ )𝟔 𝟑 𝟑 𝟎 𝟖𝟒 𝟏
𝟒𝟐
𝟒
𝟒𝟐
264
𝟒
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟐 𝟐𝟏 ) ( س / 8جــد بعــدي أكبــر مســــــتطٌل ٌوضــــــع داخــل المنطمــة المحــددة بالدالـــــة الســـــٌنات ,رأسان من رؤوسه على المنحنً والرأسان األخران على محور السٌنات ,ثم جد محٌطه ز
الحل/
ومحــور
وزاري / 2012د2
الفرضٌة :نفرض طول المستطٌل = 𝟐
نفرض عرض المستطٌل =
الدالة :هً لانون مساحة المستطٌل
)معادلة ( العاللة :المعادلة
)𝟐
𝟐
(
𝟐𝟏
𝟐
)معادلة②(
𝟐𝟏
نعوض معادلة ② فً معادلة )𝟐
𝟐𝟏( 𝟐 𝟑
𝟐 𝟒𝟐
𝟐
الدراسة: ) نجعل 𝟎
𝟎
العرض
الطول 𝟖
𝟐
𝟒
𝟐
(
𝟒 𝟐 𝟒
𝟔 𝟐
𝟎
𝟐𝟏
𝟒𝟐 𝟔
𝟐 𝟐𝟏
𝟐
أكبر محٌط للمستطٌل : ) 𝟒𝟐
𝟔𝟏
𝟖
)𝟖(𝟐
)𝟐(𝟒
𝟐(𝟐 𝟒 𝟐
األختبار ( :لألطالع )
265
𝟒𝟐
ونفرض مساحة المستطٌل
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
س / 9جد مســــــــاحة أكبر أسطوانة دائرٌة لائمة توضـع داخـل مخـروط دائـري لـائم أرتفاعــــه ) 𝟐𝟏( لطر لاعدته )
𝟖( وطـول
الحل/ الفرضٌة :نفرض نص لطر لاعدة األسطوانة =R الدالة :هً لانون حجم االسطوانة
ونفرض أرتفاع األسطوانة =h 𝟐
)معادلة ( العاللة :تشابه مثلثات )(ADE , ABC 𝟏
) نقسم الطرفين على 𝟒 𝟒𝟐 /معادلة②. 𝟑
𝟐
𝟔
(
𝟖 𝟖
𝟑
𝟒
𝟒𝟐
نعوض معادلة ② فً معادلة )
𝟑
𝟐
𝟒
𝟒𝟐(
الدراسة:
)
𝟑
) نجعل 𝟎
) 𝟒
(
𝟎
𝟐
𝟒
𝟒 𝟑
)
(
𝟎
𝟐
𝟐
𝟖𝟒(
𝟐𝟏
𝟎
𝟔𝟏
)
𝟒𝟐 (
𝟐
)
𝟒( ) ٌهمل(
𝟐
𝟑
𝟐𝟏
𝟖𝟒(
𝟐
𝟎
𝟒
𝟎
𝟖 𝟑
𝟒
أكبر مساحة لألسطوانة ( لألطالع ) : )محٌط الماعدة
𝟐𝟑
𝟒𝟔 𝟑
مساحة الماعدتٌن 𝟖 𝟐)𝟒( 𝟐 ) ( )𝟒( 𝟐 𝟑 𝟎𝟔𝟏 𝟐 𝟑
𝟐
األرتفاع( 𝟐
𝟐
𝟒𝟔
𝟔𝟗 𝟑
266
𝟑
ونفرض حجم المخروط=V
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟑√𝟔 دورة كاملة حول س / 10جد حجم أكبر مخروط دائري ناتج من دوران مثلث لائم الزاوٌة طول وتره وزاري / 2014د 1وزاري / 2011د1 أحد ضلعٌه المائمٌن الحل/ الفرضٌة :نفرض نص لطر لاعدة المخروط =R الدالة :هً لانون حجم المخروط
ونفرض أرتفاع المخروط =h 𝟐
)معادلة ( العاللة :فٌثاغورس على المثلث المائم الزاوٌة
𝟑
𝟐
𝟐
𝟐
𝟖𝟎𝟏
𝟐
)𝟑√𝟔(
نعوض معادلة ② فً معادلة )𝟑
𝟖𝟎𝟏(
الدراسة:
)معادلة②(
)𝟐
𝟑
𝟖𝟎𝟏(
) نجعل 𝟎
)
𝟎
(
𝟐
(
𝟐
)
𝟐
𝟑
𝟐
𝟑 𝟖𝟎𝟏(
𝟑
𝟎
𝟔𝟑
) ٌهمل(
)
𝟐
𝟑
𝟑 𝟖𝟎𝟏(
𝟐
𝟎 𝟔
𝟔𝟑
𝟔
𝟐𝟕
𝟔𝟑
𝟐
𝟖𝟎𝟏
𝟐
𝟖𝟎𝟏 𝟐𝟕√
أكبر حجم للمخروط : 𝟑
𝟒𝟒𝟏
)𝟔()𝟐𝟕( 𝟑
𝟐
)𝟔( )𝟐𝟕√(
𝟐
𝟑
𝟑
267
𝟑
ونفرض حجم المخروط=V
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
س / 11علبة أسـطوانٌة الشـكل مفتوحـة مـن األعلـى سـعتها المعدن المستخدم فً صناعتها ألل ما ٌمكن ز
)
𝟓𝟐𝟏( جـد أبعادهـا عنـدما تكـون مســــــاحة
𝟑
الحل/ الفرضٌة :نفرض نص
لطر االسطوانة =R
نفرض أرتفاع األسطوانة =h
الدالة :هً لانون المساحة المساحةالجانبٌة
مساحة لاعدة واحدة
)معادلة (
𝟐
𝟐
العاللة :لانون حجم األسطوانة 𝟐
𝟐
𝟓𝟐𝟏
𝟓𝟐𝟏
)معادلة②(
𝟐
نعوض معادلة ② فً معادلة
)
𝟓𝟐𝟏 𝟐
(
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟏
𝟐
𝟎𝟓𝟐
الدراسة: ) نجعل 𝟎
)
𝟐
𝟎𝟓𝟐
( (
𝟐
𝟎
𝟐
𝟐
𝟓𝟐𝟏
𝟎𝟓𝟐
) 𝟐 (
𝟎
⇒
𝟐
𝟎 𝟓
𝟓𝟐𝟏 𝟓𝟐
𝟓𝟐𝟏 𝟐
𝟐 𝟎𝟓𝟐
𝟐
𝟐
)𝟓𝟐𝟏
𝟑
𝟓
األختبار ( :لألطالع )
268
(
ونفرض المساحة الكلٌة بدون غطاء =A
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
س / 12خزان على شكل متوازي سطوح مستطٌلة طول لاعدته ضـع عرضـها فـأذا كانـت مسـاحة المعـدن المسـتعمل فـً صناعته 𝟐 𝟖𝟎𝟏 جد أبعاد الخزان لكً ٌكون حجمه أكبر ما ٌمكن علما ان الخزان ذو غطاء كامل
الحل/ الفرضٌة :نفرض عرض الماعدة = xونفرض طول الماعدة = 2x الدالة :هً لانون حجم الخزان 𝟐
)معادلة (
ونفرض االرتفاع =y
) () () 𝟐(
𝟐
العاللة :مساحة المعدن مساحة الماعدتٌن
المساحة الجانبٌة 𝟐
)
𝟒 𝟐
)𝟐 (
𝟐(𝟐 𝟖𝟎𝟏 ) 𝟑(𝟐 𝟖𝟎𝟏 𝟑 𝟒𝟓 𝟐
𝟒 𝟐
𝟐
𝟐
)معادلة②(
𝟒𝟓
𝟐
مساحة المعدن
𝟐
𝟑
𝟑
𝟒𝟓
نعوض معادلة ② فً معادلة )𝟑
𝟐
𝟐 𝟒𝟓( 𝟑
𝟐
5
𝟐 𝟑
𝟒𝟓 4
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
الدراسة: ) نجعل 𝟎
)𝟔
(
𝟎
𝟐
𝟔
(
)𝟐
𝟒𝟓
𝟐 𝟒𝟓( 𝟑
𝟔
)𝟐
𝟎 𝟎
طول الماعدة
𝟐 𝟔 𝟖𝟏 𝟒𝟓 𝟔𝟑 𝟗 𝟗 عرض الماعدة 𝟐
𝟐 𝟒𝟓( 𝟑
𝟔 𝟐
𝟗
𝟑 𝟐
𝟒𝟓 𝟑 𝟒
األختبار ( :لألطالع )
مالحظة للتذكٌر ( :لوانٌن المساحة لمتوازي السطوح المستطٌلة ) المساحت الجانبيت = محيظ القاػذة × االرتفاع المساحت الكليت = المساحت الجانبيت +مجمىع مساحتً القاػذتين
269
ونفرض حجم الخزان= V
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
أمثلة أضافٌة محلولة مثال /مخروط دائري لائم مجموع نص الحل/ الفرضٌة :نفرض نص
لطر لاعدته وأرتفاعه ) (12 cmجد أكبر حجم لهذا المخروط ز ونفرض أرتفاع المخروط = h
لطر المخروط = R
الدالة :هً لانون حجم المخروط 𝟐
)معادلة (
𝟑
العاللة: )معادلة②(
𝟐𝟏
𝟐𝟏
نعوض معادلة ② فً معادلة 𝟐𝟏( 𝟐
)
𝟐
𝟑
𝟑
)𝟑
)معادلة③(
𝟐
𝟐𝟏(
𝟑
الدراسة: ) نجعل 𝟎
𝟎
)𝟐
( 𝟖(
)
𝟖(
)الٌمكن (
𝟐𝟏
𝟎
)𝟐
𝟒𝟐(
𝟑 )𝟐
𝟎
𝟑 𝟒𝟐(
𝟑 𝟐
𝟎
𝟖
𝟎 𝟖
𝟒
أكبر حجم للمخروط : 𝟑
𝟔𝟓𝟐 𝟑
)𝟒( 𝟐)𝟖(
𝟐
𝟑
𝟑
270
𝟑
ونفرض حجم المخروط = V
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
لطرهـا
مثال /اسطوانة دائرٌـة لائمـة موضـوعة داخـل كـرة نصـ حجمها أكبر ما ٌمكن ز
𝟗 أحسـب أرتفـاع االسـطوانة لكـً ٌكـون
الحل/ ونفرض أرتفاع االسطوانة = 2 h الفرضٌة :نفرض نص لطر لاعدة االسطوانة = R الدالة :هً لانون حجم االسطوانة ) 𝟐( 𝟐 )معادلة ( العاللة :فٌثاغورس 𝟐
)معادلة②(
𝟐
𝟏𝟖
نعوض معادلة ② فً معادلة )𝟐
𝟐𝟗
𝟐
𝟐 𝟐 𝟏𝟖( 𝟐
𝟏𝟖( 𝟐 )𝟑
)معادلة③(
𝟐
الدراسة: ) نجعل 𝟎
𝟎
𝟐
𝟑
)𝟐
( 𝟏𝟖
)
𝟑
(
)
⇒ 𝟎 )
𝟏𝟖( 𝟐
(
𝟐 ⇒ 𝟕𝟐 ) ٌهمل( 𝟑√𝟑
𝟔√𝟑
𝟐 𝟐
𝟏𝟖( 𝟐
𝟑
𝟏𝟖
𝟑
𝟑√𝟑
أكبر ارتفاع لالسطوانة : 𝟑√𝟔
) 𝟑√𝟑(𝟐
األرتفاع
𝟐
مثال /عددان الفرق بٌنهما ) (12جد هذان العددان بحٌث ٌكون حاصل ضربهما أكبر ما ٌمكن ز الفرضٌة :نفرض العدد األول = xوالعدد الثانً =𝟐𝟏 وحاصل ضربهما =y الدالة :هً عاللة عددٌة 𝟐 ( )𝟐𝟏 𝟐𝟏 الدراسة: ) نجعل 𝟎
𝟎
𝟔
) (̅ (
𝟐
𝟐𝟏
𝟐𝟏
𝟎 𝟔
العدد األول )𝟔( والعدد الثانً )𝟔 (
271
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال /جد بعدي مستطٌل مساحته
𝟐
𝟓𝟐 بحٌث ٌكون محٌطه ألل ما ٌمكن
الحل/ ونفرض محٌطه =m الفرضٌة :نفرض بعدي المستطٌل هما x, y الدالة :هً لانون محٌط المستطٌل 𝟐 𝟐 )معادلة ( العاللة :مساحة المستطٌل 𝟓𝟐
)معادلة②( نعوض معادلة ② فً معادلة
𝟐 𝟏
)معادلة③(
𝟎𝟓
)
𝟐
𝟓𝟐
𝟐 𝟐
(𝟐
الدراسة: ) نجعل 𝟎 𝟐
𝟎 𝟓𝟐 ) ٌهمل( 𝟓
𝟐
(
𝟓𝟐
𝟏
𝟎𝟓 𝟐
𝟎 𝟎 𝟓
𝟐
𝟐 𝟎𝟓 𝟐
𝟓𝟐
𝟓
𝟐
𝟓
مثــال /حــوض علــى شــكل متــوازي ســطوح مســتطٌلة لاعدتــه مربعــة الشــكل ,فــأذا كــان مجمــوع محــٌط لاعدتــه وأرتفاعه , 24 mجد ابعاد الحوض لكً تكون سعته (حجمه ) أكبر ما ٌمكنز الحل/ الفرضٌة :نفرض ابعاد الحوض x , x, yونفرض حجمه =V الدالة :هً لانون حجم الحوض 𝟐 )معادلة ( العاللة ( :محٌط الماعدة المربعة +االرتفاع ) للحوض )معادلة②(
نعوض معادلة ② فً معادلة
𝟒
𝟒𝟐
𝟒
𝟐 𝟒𝟐
𝟒
𝟒𝟐 𝟐
𝟑
) 𝟒
𝟒𝟐(
𝟐
الدراسة: ) نجعل 𝟎
𝟎
𝟐
𝟖
( 𝟒
𝟐
𝟐𝟏 𝟎
𝟖𝟒 𝟐
𝟎 ) ٌهمل( 𝟎 𝟒
𝟐𝟏 )
𝟖𝟒 𝟒(
272
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال /جد بعدي أكبر مستطٌل محٌطه
𝟎𝟎𝟏
الحل/ الفرضٌة :نفرض بعدي المستطٌل هما x, y الدالة :هً لانون مساحة المستطٌل )معادلة ( العاللة :محٌط المستطٌل
ونفرض مساحته =A
𝟎𝟎𝟏
/معادلة②.
𝟐
𝟐 𝟎𝟓
𝟎𝟓
نعوض معادلة ② فً معادلة 𝟐
𝟎𝟓
𝟎𝟓(
)
الدراسة: ) نجعل 𝟎
𝟐
( 𝟓𝟐 𝟓𝟐
𝟎
𝟎𝟓 𝟐
𝟎
𝟎𝟓
𝟓𝟐
مثال /مستطٌل محٌطه ) (30 cmأدٌر حول أحد أضالعه فكون أسطوانة دائرٌـة لائمـة ,جـد بعـدي هـذا المسـتطٌل لكً ٌكون حجم األسطوانة المتكونة أكبر ما ٌمكن ز الحل/ الفرضٌة :نفرض نص لطر لاعدة االسطوانة = x الدالة :هً لانون حجم االسطوانة )معادلة ( العاللة :محٌط المستطٌل )معادلة②(
𝟓𝟏
𝟓𝟏
ونفرض أرتفاع االسطوانة = y 𝟐
𝟎𝟑
𝟐
𝟐
نعوض معادلة ② فً معادلة 𝟓𝟏( 𝟐
)
)𝟑
𝟐 𝟐
𝟓𝟏(
الدراسة: ) نجعل 𝟎
(
)𝟐 𝟑
𝟎𝟑(
𝟐 𝟎 )𝟐 𝟑 𝟎𝟏 𝟎 𝟎𝟏( 𝟎 ) 𝟎 ) ٌهمل( 𝟎𝟏 𝟓 بعدي األسطوانة هً )(10 cm , 5 cm
𝟎𝟑(
273
ونفرض الحجم =V
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
مثال /جد حجم أكبر أسطوانة دائرٌة لائمـة ٌمكـن وضـعها داخـل مخـروط دائـري لـائم أرتفاعـه ) (12 cmونصـ لطر لاعدته ) (9 cmبحٌث أحد لاعدتً األسطوانة والمخروط متماستان ز الحل/ الفرضٌة :نفرض نص لطر لاعدة االسطوانة =R الدالة :هً لانون حجم االسطوانة )معادلة ( العاللة :تشابه مثلثات
ونفرض أرتفاع االسطوانة = h 𝟐
𝟐𝟏 𝟐𝟏
)𝟑 ( 𝟒
𝟑
𝟔𝟑
𝟒 𝟒
)معادلة②(
)𝟑
𝟐
𝟒
𝟔𝟑(
الدراسة: ) نجعل 𝟎
)
(
𝟐
𝟎
(
𝟐𝟏 𝟎
𝟒
)
)𝟐
𝟐𝟕
𝟑 𝟔𝟑
𝟗
𝟔𝟑
𝟑
نعوض معادلة ② فً معادلة 𝟑
ونفرض الحجم =V
𝟔𝟑 (
𝟑
𝟐𝟕(
𝟐𝟏 )𝟐
𝟎
𝟔( ) ) ٌهمل( 𝟒
𝟐
𝟑
𝟐𝟏
𝟐𝟕(
𝟐
𝟔
𝟑
𝟎 𝟔
أكبر حجم لالسطوانة : 𝟒𝟒𝟏
𝟐
)𝟒( 𝟐)𝟔(
******************************************************************
𝟐
جد مساحة أكبر مستطٌل رأسان منه ٌمعان على المنحنً 𝟖 ② جد مساحة أكبر مستطٌل ٌمكن رسمه داخل دائرة نص ③أوجد النمط التً تنتمً لمنحنً الدالة
𝟐
𝟏 𝟐
𝟗
والرأسان األخران ٌمعان على المستمٌم 𝟒
لطرها )
𝟐(
بحٌث تكون ألرب ما ٌمكن من نمطة األصل
④ جد حجم أكبر أسطوانة دائرٌة لائمة ٌمكن وضعها داخل مخروط دائري أرتفاعه ) ⑤ جد العدد الذي : ⒜زيادته على مربعه يكون أكبر ما يمكن ⒝عند أضافته الى مربعه يكون أصغر ما يمكن ⒞عند أضافته الى مقلوبه يكون الناتج أصغر ما يمكن ⑥ أذا كان 𝟒𝟐
𝟒
جد لٌم كل من x , yالتً تجعل
𝟐
أكبر ما ٌمكن
274
𝟐𝟏( ونص
لطر لاعدته )
𝟗(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
حلول التمارٌن العامة الخاصة بالفصل الثالث س / 6جد
( مرتبطة بموضوع التكامل
لكل مما ٌأتً :الفروع )
𝟑 𝟐 𝟐
𝟓
𝟑
𝟐 𝟐
𝟑
𝟐
𝟒
𝟑
𝟐 𝟓
𝟑
)𝟐
𝟓
𝟐
𝟐(
𝟐
) 𝟐 𝟑( 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐
𝟓
𝟑
)
𝟓
𝟐
𝟒
𝟐
𝟐
𝟐
𝟒
)𝟐( 𝟐
𝟑
𝟑
𝟐
𝟑 𝟓 𝟑 𝟐
𝟐 ) 𝟒( 𝟒
𝟐(
𝟐 𝟐 𝟐
𝟐
𝟐 𝟑
) (
) (
𝟒
𝟐
𝟒
س / 7أستخدم مبرهنة رول ثم مبرهنة المٌمة المتوسطة ألٌجاد لٌم Cللدالة 𝟐
𝟐 𝟐 ,الحل /
وزاري /2013د2
𝟒
𝟐
) (
وزاري / 2013د3
① الدالة مستمرة فً الفترة المرلمة , 𝟐 𝟐-النها كثٌرة الحدود ② الدالة لابلة لالشتماق على الفترة المفتوحة )𝟐 𝟐 ( النها كثٌرة الحدود ③ نوجد )𝟐( )𝟐 ( 𝟖 𝟖
𝟖
𝟖
𝟔𝟏
𝟐)𝟐(𝟐
𝟐)𝟐 (𝟐
𝟔𝟏
𝟒)𝟐(
𝟒)𝟐 (
)𝟐 ( أوال :الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة رول لذا نفرض )
𝟑 𝟒
𝟎
)𝟏
𝟐
(
)𝟐 𝟐 (
𝟎 𝟏
𝟑
)
(
⇒
𝟎
)𝟐 𝟐 (
275
)𝟐(
𝟐
) (̅
𝟒 𝟏
)𝟐 (
) (̅
( ونفرض 𝟎
𝟒
)𝟐(
𝟑
𝟒
𝟒
𝟐 𝟒
)𝟐 𝟐 (
𝟑
𝟎
𝟒
) (
) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل ثانٌا :الدالة ضمن الفترة المعطاة تحمك مبرهنة المٌمة المتوسطة ∴ نبحث عن النمطة Cالتً تحمك المبرهنة ) مٌل المماس(
𝟑 𝟒
𝟒 𝟎 𝟒
/مٌل الوتر.
𝟖
) (̅
𝟒
)𝟐( )𝟐 ( )𝟐 ( 𝟐
𝟖 𝟒
𝟑 𝟒
) (
) (̅
) (
) (̅
∵ مـــــــٌل الممـــــاس = مـــــــٌل الوتـــــــر 𝟎
)𝟐 𝟐 ( 𝟐 ) ( 𝟒 س𝟓 / 8 تنتمً للفترة ) 𝟏 ( فجد لٌمة
𝟐 (
)𝟏
𝟎
)𝟐 𝟐 (
𝟏
)
𝟑
(
⇒
𝟏
دالة تحمك شـروط مبرهنـة رول علـى الفتـرة -
𝟒
𝟎
)𝟐 𝟐 (
𝟑 𝟒
𝟎
𝟏 ,فـأذا كانـت 𝟐
الحل /
الدالة
تحمك شروط مبرهنة رول ز
)𝟐(̅
𝟎 𝟒 𝟎 𝟒 𝟒 𝟐 𝟓 )𝟏 ( 𝟒 𝟒 ( ()𝟓 )𝟏
𝟏
𝟓 𝟎
𝟒 𝟐) 𝟏 ( 𝟎 𝟓
𝟒
ٌهمل
𝟒
𝟐 ) (
)𝟏 ( 𝟐
𝟒
𝟎
) 𝟐( ̅
𝟒 ) (
) (̅ ) (̅ ) (
𝟓
𝟎𝟏 𝟎 𝟎
𝟓 𝟏
𝟒
𝟐
أما أو
𝟓 𝟏
س / 9متوازي سطوح مستطٌلة لاعدته مربعة و أرتفاعه ثالثة أمثال طول لاعدته ,جد الحجم التمرٌبً لـه عنـدما 𝟕𝟗 𝟐( ٌكون طول لاعدته ) الحل / نفرض طول الماعدة ∴ األرتفاع
𝟑 𝟑
𝟑
𝟑
) (
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
) ( 𝟐
نفرض 𝟑
𝟗
) (̅
ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه معطى
نفرض 𝟕𝟗 𝟐
𝟑𝟎 𝟎
𝟏𝟖
)𝟗 (𝟗
𝟐)𝟑(𝟗
)𝟑( ̅
𝟑
𝟏𝟖
)𝟕𝟐(𝟑
) (̅ )𝟑( ̅ )𝟏 ( 𝟑
𝟕𝟓 𝟖𝟕
)𝟕𝟗 𝟐(
𝟑𝟒 𝟐
276
𝟏𝟖
𝟕𝟗 𝟐
)𝟑(
𝟑)𝟑(𝟑
)𝟑(
)
(
) (
))𝟑𝟎 𝟎 (
)𝟏𝟖( )𝟑𝟎 𝟎 (
𝟏𝟖
𝟑(
)𝟕𝟗 𝟐(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
س / 10مخــروط دائــري لــائم حجمــــــه أرتفاعه )
)𝟑
لطــر لاعدتــه أذا كــان
𝟎𝟏𝟐( جــد المٌمـــــة التمرٌبٌــة لنصــ
وزاري / 2013د2
𝟎𝟏(
الحل / )𝟑()𝟏𝟐(
)𝟑()𝟎𝟏𝟐( 𝟎𝟏
𝟐
𝟐
𝟏 𝟑
)𝟎𝟏( 𝟐
𝟐
𝟎𝟏𝟐
𝟐
𝟑𝟔
𝟑𝟔√ نفرض 𝟒𝟔
𝟏 𝟑
ألرب رلم للعدد ٌسهل حسابه
نفرض 𝟑𝟔 𝟏 𝟖 𝟏 𝟔𝟏
𝟑𝟔𝟎 𝟎
)𝟒𝟔(
𝟒𝟔√
𝟏 )𝟖()𝟐(
𝟏
𝟒𝟔
) ( )𝟒𝟔( ̅
𝟒𝟔√ 𝟐
)𝟒𝟔( ̅ )𝟏 (
𝟏
) (̅
√𝟐
𝟕𝟑𝟗 𝟕 𝟓
س / 11أذا كانـــت 𝟏
)𝟒𝟔(
)
) )𝟏 (
𝟒𝟔(
𝟖
)𝟑𝟔(
جـــد بأســـــــتخدام نتٌجـــــــة مبرهنـــة المٌمــــــة المتوســــــطة المٌمــــــة
) (
𝟏𝟑√
𝟑𝟔𝟎 𝟎
) (
) (̅
(
)𝟑𝟔𝟎 𝟎( )𝟏 (
𝟖
) (
√
) (̅
)𝟑𝟔(
𝟑𝟔
وزاري / 2013د1
التمرٌبٌة الى )𝟏𝟎 𝟏( الحل / نفرض 𝟏
ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه معطى
نفرض 𝟏𝟎 𝟏
𝟏𝟎 𝟎 𝟏
𝟐 𝟓𝟕𝟖𝟑 𝟎
𝟓 𝟓
.𝟐 /
𝟏𝟑 𝟎𝟖
𝟏 𝟓)
𝟏𝟑 𝟒)𝟐(𝟓
𝟏 𝟓)
𝟐𝟑(
𝟏
𝟏𝟑(
𝟏𝟑
𝟏𝟑
𝟒 𝟓) 𝟓𝟐(𝟓
𝟒 𝟓)𝟐𝟑(𝟓
𝟏 𝟓)
)𝟏(
𝟏
𝟏𝟑
)𝟏( ̅
𝟒 𝟓)𝟏
𝟏
𝟏𝟑(
𝟓𝟕𝟖𝟑𝟎𝟎 𝟐
)𝟏𝟎 𝟏(
277
𝟏𝟑√
𝟏
𝟏 𝟏𝟑( 𝟓
𝟒
𝟏𝟑(𝟓
)𝟏( ̅ )𝟏𝟎 𝟎( 𝟓𝟕𝟖𝟑𝟎𝟎 𝟎
𝟓
)𝟏𝟑( 𝟓 )𝟏
) (̅
𝟐
𝟏𝟎 𝟏
)𝟏(
)
) (
)𝟓𝟕𝟖𝟑 𝟎( )𝟏𝟎 𝟎(
) (̅
(
))𝟏𝟎 𝟎( 𝟐
) (
𝟏(
)𝟏𝟎 𝟏(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
𝟐
س / 12بأستخدام معلوماتن فً التفاضل أرسم المنحنً البٌانً للدالة 𝟏 الحل/
𝟏
𝟏
𝟐
أوسع مجال للدالة
التناظر /المنحنً متناظر حول المحور الصادي ألن :
المحاذٌات /
نمط التماطع مع المحورٌن ⁄ال ٌوجد تماطع مع المحورٌن ألن 𝟎
𝟐
⁄ *𝟎+
)
) (
➨
( ) (
المستمٌم المحاذي الشالولً المستمٌم المحاذي األفمً
دراسة ) (
وما ٌنتج عنها
دراسة ) (
وما ٌنتج عنها
) 𝟎
𝟐
) (̅ (
𝟑
الدالة ممعرة فً الفترتٌن 𝟎+
*
𝟎+
278
𝟏
𝟐
𝟐)
)
(
𝟎
𝟎 𝟏
𝟎
( 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟎
𝟑
𝟐
𝟎/
*
)
𝟏
(
) (̅
̅ ) ( .
𝟏
𝟐
𝟔 𝟒
𝟐
𝟒
𝟔
) (
) (̅
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
******************************************************************
حلول األسئلة الوزارٌة الخاصة بالفصل الثالث سؤال وزاري /96د1 جد نمطة على الدائرة التً معادلتها 𝟒
𝟒
𝟐
𝟐
ٌكون عندها معدل ازدٌاد yمساوٌا ً لمعدل ازدٌاد xز
الحل: ) ( نمسم على )
-
(
) ( ) )
نمسم على ) (
(
⇒
النمطة ) النمطة )
(
279
(
(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري /97د1 سٌارة تسٌر بسرعة ( )30m/sاجتازت إشارة مرورٌة حمراء ارتفاعها ( )3mعن سطح األرض وبعد أن ابتعدت عنها مسافة ) 𝟑√𝟑( اصطدمت بسٌارة أخرى نتٌجة عدم االلتزام بموانٌن المرورز جد سرعة ترٌر المسافة بٌن السٌارة واالشارة الضوئٌةز الحل:
√ فٌثاغورس ) √ (
Y 3m
√
√
)
√
السٌارة
( √
√ X
سؤال وزاري /98د1 إذا كانت ( )1,6تمثل نهاٌة صررى محلٌة للدالة 𝟐) الموجبتٌنز الحل:
)
(
𝟐
) ( جد لٌمة كل من , b
الحمٌمٌتٌن
الدالة
(
تحمك معادلتها
(
)
) (
) ( )
-
(
) (
) ( )
()
(
ٌهمل
280
)
(
) (̀
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري /98د1 𝟔𝟏𝟐( جد ابعادها إذا كانت مساحة المعدن المستخدم فً حاوٌة على هٌئة اسطوانة دائرٌة لائمة حجمها صناعتها ألل ما ٌمكنز مع العلم أن الحاوٌة مفتوحة من األعلىز )𝟑
المانون الرئٌسً
الحل: العاللة
/ )
) (
.
(
̅
⇒
سؤال وزاري /98د1 𝟑 𝟐 ) ( ٌمر بالنمطة ( )-2,2وكانت للدالة نمطة انمالب عند x=1جد لٌمتً إذا كان المنحنً ثم جد نمطة النهاٌة العظمى المحلٌة للدالة fز ) ( الدالة الحل: ) ( تحمك معادلتها ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) (̅ ) ̅( ) ( ) ( ) (̀ ) ̅( ) ( ) (
)
()
)
(
) )
( نهاٌة عظمى محلٌة تزاٌد
إشارة (̀ )x
تنالص
++++++
(
)
+++++++ -1
281
→
تزاٌد
------3
(
(
)
(
) ( ) ( ) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري /98د 2 لطرها ()3cmز
جد أبعاد مخروط دائري لائم حجمه ألل ما ٌمكن وٌحٌط بكرة نص الحل :نفرض أبعاد المخروط r ,h
المانون الرئٌسً فً المثلث abcالمائم الزاوٌة فً :b )
√
(
من تشابه المثلثٌن ade , abcنحصل على: بالتربٌع )
)
(
(
√ )
(
)
(
العاللة
)-
( ,
)
(
) )
نضع
)
) (
)
(
)
(
(
) )
(
(
(
(
(
(, )
)
(
)
)
-
)
√
̀
(
,
)
(
̀
(
̀ )
(
)
(
⇒
(
)
ٌهمل )
(
) )
( ( √
282
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري /99د1 جد إبعاد اسطوانة دائرٌة لائمة مساحتها الجانبٌة أكبر ما ٌمكن موضوعة داخل كرة نص الحل:
لتكن
المساحة الجانبٌة
𝟐√𝟔ز
لطرها
المانون الرئٌسً
نفرض أبعاد االسطوانة r, 2h فٌثاغورس العاللة
√
)
(
)
)
(
( )
(
√
( √
)
√ )
) √ (
(
)
(
)
→ )
̅ ̅
( ( ٌهمل √
√ االرتفاع
) (
سؤال وزاري /2000د2 اسطوانة دائرٌة لائمة ٌزداد ارتفاعها بمعدل ( )0.5 cm/sبحٌث ٌظل حجمها دائما ً مساوٌا ً معدل ترٌر نص لطر الماعدة عندما ٌكون االرتفاع ()5 cmز
)𝟑
𝟎𝟐𝟑( جد
الحل: العاللة
)
(
283
)
( ̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري /2000د2 𝟐
خزان من الحدٌد ذو غطاء كامل على شكل متوازي سطوح مستطٌلة لاعدته مربعة وحجمه لتكون مساحة الصفائح المستخدمة فً صنعة ألل ما ٌمكنز االرتفاع × محٌط الماعدة الحل :لتكن Aالمساحة الكلٌة
𝟔𝟏𝟐 جد ابعاده
المانون الرئٌسً
نفرض طول المربع ,xاالرتفاع y العاللة ̅
/ )
.
) (
(
→
̅
⇒
سؤال وزاري /2001د1 جد بعدي علبة اسطوانٌة دائرٌة لائمة مسدودة من نهاٌتها ,مساحتها السطحٌة تساوي حجمها أكبر ما ٌمكنز
𝟐
𝟒𝟐 عندما ٌكون
الحل :نفرض ابعاد االسطوانة r , h المانون الرئٌسً
)
(
⇒
العاللة ) )
( )
(
⇒
284
(
⇒
(
) )
(
)
(
̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري /2002د1 لتكن 𝟖 𝟐 جد نمطة تنتمً إلى المنحنً وتكون ألرب ما ٌمكن إلى النمطة ()6,0 الحل :نفترض النمطة ()x ,y ( ) المانون الرئٌسً √ العاللة (
)
)
√
̅ (
) نجعل
(√
)
√
√ (
)
̅
( ) (
النماط ()2,-4( , )2,4 سؤال وزاري /2002د2 جد نمطة االنمالب لمنحنً الدالة 𝟐 الحل:
𝟑
𝟑
) ( ثم جد معادلة مماس المنحنً عند نمطة انمالبهز ) ( )
) ( ( نمطة انمالب ) ( )
( ) معادلة المماس سؤال وزاري /2003د2 𝟑 ٌمس المنحنً المستمٌم 𝟕 𝟏 جد لٌمة محلٌة عند 𝟐 الحل:
𝟐
)
(
⇒
) (̀ (
مٌل المماس
عند النمطة ( )2,-1وللمنحنً نهاٌة صررى ̀ المٌل
) ( معامل
) ( بالطرح
) (̀
المٌل
معامل 𝟏 ) عند 𝟐
) (
(
⇒
)
( ̀
) ( )
(
الدالة
تحمك معادلتها )
(
285
) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري /2004د1 لطعة سلن طولها 8 cmلطعت إلى لطعتٌن بحٌث صنع من األولى دائرة ومن الثانٌة مستطٌل طوله نص جد طول كل لطعة لٌكون مجموع مساحتً المستطٌل والدائرة ألل ما ٌمكنز
عرضه
الحل :لٌكن محٌط الدائرة x نفرض عرض المستطٌل y محٌط المستطٌل هو 8-x طول المستطٌل = 2y االرتفاع × محٌط الماعدة
المانون
) محٌط المستطٌل
( (
)
العاللة) (
العاللة ) ( )
محٌط الدائرة )
( )
)
(
(
)
.
/
)
( )
(
(
)
(
()
(
̀ ̀
طول المطعة االولى
)
286
(
طول المطعة الثانٌة
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري /2005د1 𝟐 لتكن 𝟏 توجد نمطة انمالب للدالة؟ز الحل:
)
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
𝟑
هل
) ( )-1,2( ,نمطة نهاٌة عظمى محلٌة للدالةز جد لٌمتً الدالة
(
تحمك معادلتها ) ( )
)
(
) (̀
( ) ( ) (
) ( ) ( ) /
(
.تمثل نمطة انمالب
سؤال وزاري /2007د1 إذا كانت الحل:
𝟑
𝟐
)
(
جد لٌمة
إذا علمت أن المنحنً الدالة نمطة انمالب هً ( )1,2ز تحمك معادلتها
الدالة
) (
) (
) ( ) (̀ )𝟐 𝟏( نمطة انمالب ⇐ 𝟎
) ( ̿ عندما )𝟏
) (̀
( ) (
) ( بالطرح
287
) (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري /2007د2 عددان موجبان حاصل ضربهما ( )16ومجموعهما اصرر ما ٌمكنز فما العددان؟ز المانون الرئٌسً
الحل :نفرض العددان x, y
العاللة ̅ )
(
⇒
سؤال وزاري /2008د2 جد مساحة أكبر مستطٌل ٌمكن رسمه داخل مثلث متساوي االضالع وارتفاعه الحل :نفرض أبعاد المستطٌل 2x, y
𝟑 √𝟒
المانون الرئٌسً
A=2x y
فً المثلث abcالمائم الزاوٌة فً :b √
√
√
√
√
من تشابه المثلثٌن dec , abcنحصل على: )
(
√
√
√ العاللة
√ )
√ √ (
√ √
) √
(
√
√
√ √
288
√
√
√
√
√
) √ () (
̀
โ ซุฃุนุฏุงุฏโ ช /โ ฌุงุฃู ุณุชุงุฐ ุนู ู ุญู ู ุฏ ๐ โ ช๐ ๐ 8๐ 083๐ 05โ ฌโ ฌ
โ ซุงู ู ุตู ุงู ุซุงู ุซโ ช /โ ฌุชุทุจู ู ุงุช ุงู ุชู ุงุถู โ ฌ
โ ซุณุคุงู ู ุฒุงุฑู โ ช/2009โ ฌุฏโ ช1โ ฌโ ฌ โ ซุทุฑู ู ุงู ู ุชุนุงู ุฏุงู ู ู ุชู ู ุงู ู ู โ ชmโ ฌุฒ ุชุญุฑู ุช ุณู ุงุฑุชุงู ู ู ู ู ุทุฉ โ ช mโ ฌู ู ู ู ู ู ุง ู ู ุทุฑู ู ู ู ุงู ู ุนุฏู ุณุฑุนุฉ ุงู ุณู ุงุฑุฉโ ฌ โ ซุงุฃู ู ู โ ช 80km/hโ ฌู ู ุนุฏู ุณุฑุนุฉ ุงู ุณู ุงุฑุฉ ุงู ุซุงู ู ุฉ โ ช60km/hโ ฌุฒ ุฌุฏ ู ุนุฏู ุงุงู ุจุชุนุงุฏ ุจู ู ุงู ุณู ุงุฑุชู ู ุจุนุฏ ุฑุจุน ุณุงุนุฉ ู ู ุจุฏุกโ ฌ โ ซุงู ุญุฑู ุฉ ู ู โ ชmโ ฌุฒโ ฌ โ ซุงู ุญู โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซุงู ู ุณุงู ุฉ ุงู ุชู ู ุทุนุชู ุง ุงู ุณู ุงุฑุฉ ุงุฃู ู ู ู ุจุนุฏ ุฑุจุน ุณุงุนุฉโ ฌ
โ ซโ ช. /โ ฌโ ฌ
โ ซุงู ู ุณุงู ุฉ ุงู ุชู ู ุทุนุชู ุง ุงู ุณู ุงุฑุฉ ุงู ุซุงู ู ุฉ ุจุนุฏ ุฑุจุน ุณุงุนุฉโ ฌ
โ ซโ ช. /โ ฌโ ฌ โ ซุณู ุงุฑุฉ โ ช2โ ฌโ ฌ
โ ซู ู ุซุงุบู ุฑุณโ ฌ โ ซ)โ ฌ
โ ซ(โ ฌ
โ ซ)โ ฌ
โ ซ(โ ฌ โ ซโ ชYโ ฌโ ฌ
โ ซโ ชZโ ฌโ ฌ
โ ซโ ฌโ ซ)โ ฌ
โ ซ(โ ฌ
โ ซ(โ ฌ
โ ซ)โ ฌ
โ ซโ ช. /โ ฌโ ฌ
โ ซุณู ุงุฑุฉ โ ช1โ ฌโ ฌ
โ ซโ ชmโ ฌโ ฌ
โ ซโ ชXโ ฌโ ฌ
โ ซุณุคุงู ู ุฒุงุฑู โ ช/2009โ ฌุฏโ ช1โ ฌโ ฌ โ ซุฅุฐุง ู ุงู ุช ๐ )โ ฌ โ ซุงู ุญุฑุฌุฉุฒโ ฌ โ ซุงู ุญู โ ช:โ ฌโ ฌ
โ ซ)โ ฌ
โ ซ๐ โ ฌ
โ ซ(โ ฌ
โ ซ(โ ฌ
โ ซ) (โ ฌ
โ ซู ุงู ู ู ุทุฉ (โ ช )1,-2โ ฌุญุฑุฌุฉุฒ ุฌุฏ ู ู ู ุฉ โ ช b,aโ ฌุงู ู ู ุฌุจุชู ู ุซู ุจู ู ู ู ุน ุงู ู ู ุทุฉโ ฌ โ ซุชุญู ู ู ุนุงุฏู ุชู ุงโ ฌ
โ ซุงู ุฏุงู ุฉโ ฌ
โ ซ)โ ฌ โ ซ)โ ฌ
โ ซ(โ ฌ โ ซ(โ ฌ
โ ซ) (โ ฌ โ ซโ ช-โ ฌโ ฌ
โ ซ)โ ฌ
โ ซโ ช289โ ฌโ ฌ
โ ซ(โ ฌ
โ ซ) (โ ฌ
โ ซ)โ ฌ
โ ซ(โ ฌ
โ ซ) (ฬ โ ฌ
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
) ( )
(
()
ٌهمل
)
) (̀
(
( نهاٌة صغرى محلٌة
)
سؤال وزاري /2009د2 إذا كان المستمٌم 𝟖𝟐 الحل:
)
(
𝟗
مماسا للدالة 𝟏
𝟑
𝟐
الدالة
) ( عند النمطة ( )3,1جد لٌمة
تحمك معادلتها )
) (
ز
) (
( ) ( ) (
) مٌل المماس(
) (
) (̀
) (̀ ) (̀ معامل معامل )
) (
مٌل المماس
(
⇒
وبضرب المعادلة) ( بالعدد) ( نحصل
نعوض فً المعادلة)𝟏( لحساب لٌمة ) ( )
290
(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري /2009د2 سلم طوله (ٌ )13mرتكز على حائط شالولًز فاذا تحرن الطر األسفل للسلم مبتعدا من الحائط بمعدل 4m/sجد معدل انزالق الطر األعلى للسلم عن األرض فً اللحظة التً ٌكون فٌها الطر األسفل على بعد 5mمن الحائطز الحل: فٌثاغورس )
(
Y 13m
) (
) ( ⁄
5m
سؤال وزاري /2010د2 جد مساحة أكبر مثلث متساوي السالٌن ٌمكن رسمه داخل دائرة نص الحل :نفرض ابعاد المثلث 2x, h
X
لطرها ()6 cmز )
(
المانون الرئٌسً ) العاللة
√ (
) )
(
)
)
(
√ )
√ (
( )
̅
( )
(
(
̅
⇒ ٌهمل
√
√ √
291
) ()
(√
) () √ (
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري /2014د1 𝟐
لتكن ) ( نمطة تتحرن على المطع المكاف
جد أحداثً النمطة ) ( عندما ٌكون المعدل الزمنً ألبتعادها
𝟑
عن النمطة ٌ .𝟎 /ساوي ثلث المعدل الزمنً لترٌٌر األحداثً الصا دي للنمطة ) ( 𝟐
الحل /
لتكن النمطة )
(
𝟏
للمطع المكافئ
𝟑
𝟑
لتكن النمطة .𝟎 𝟐 / Sالمسافة بٌن N , M 𝟐 )𝟏
𝟗 ) 𝟒
𝟑
𝟐
(
𝟐 𝟑 ) 𝟐
√
(
𝟐
(
(√
𝟐
𝟐 𝟑 ) 𝟐
√
𝟐
𝟐 )𝟏
̅̅̅̅̅
(
𝟐)𝟎
𝟐 𝟗 ) 𝟒
𝟐
(√
𝟏
)نشتك بالنسبة للزمن( 𝟏
) )𝟐
𝟐
𝟐(
) تربٌع الطرفٌن (
𝟐 )𝟏
(𝟑
𝟐
𝟐(
𝟏
𝟐 𝟗 / 𝟒
𝟐. 𝟗 𝟒
𝟐
𝟐
)𝟏
√
)𝟏 𝟔𝟑
𝟐
𝟐
𝟗 𝟒
)𝟒 (
𝟐 𝟐𝟕
𝟐
𝟐
𝟐
𝟓 √ 𝟐𝟑
𝟏√
𝟐
𝟖 𝟐
𝟓 √ 𝟐𝟑
292
𝟐𝟑
𝟐 𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝟒
𝟐
𝟐)𝟏
𝟓 √ 𝟐𝟑
𝟏
𝟐
𝟐
𝟒𝟔
𝟏
𝟏 𝟑
√ 𝟐
𝟗 𝟐 (𝟗 𝟒 𝟔𝟑 𝟗
𝟕𝟐 𝟐 𝟎 𝟕𝟐 ⇒ 𝟐 𝟎 𝟐𝟑 𝟕𝟐 )نضٌف العدد )𝟏( الى طرفً المعادلة لكً ٌصبح مربع كامل( 𝟐𝟑 𝟕𝟐 𝟏 𝟏 𝟐𝟑 𝟓 )جذر الطرفٌن( 𝟐𝟑 𝟓 𝟐𝟑
𝟐.
(𝟐
)𝟐𝟑 (
√
𝟏 ( 𝟐
𝟐
)𝟐
𝟏 𝟑
𝟏
𝟐 𝟗 / 𝟒
𝟐
𝟐(
𝟐 𝟗 ) 𝟒
𝟐
(
(
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري /2014د3 جــــــد معادلــة المنحنــً عندها ٌساوي )𝟏( )
الحل /
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05 𝟑
𝟐
حٌــث النمطــة )𝟒 𝟏 ( نمطــة أنمــالب لــه ومٌــل الممــاس
) (
الدالة
(
تحمك معادلتها ) ( مٌل المماس عند نمطة األنمالب ٌساوي )(1 ̅( ) ∴ ) ( ) (
) ( )
)
(
(̀ ) ( ) (
)
(
)
(
) (̀
تحل أنٌا ) ( ( نمطة أنمالب ⇐
النمطة ) ( )
̅(
)
)
̿( ) ) ( ) (
(
) ̿(
تحل أنٌا نعوض فً معادلة ) ( نعوض فً معادلة ) (
) )
)
(
(
( ) (
سؤال وزاري /2014د3 جــــد العدد الذي أذا أضٌ الى نظٌره الضربً ٌكون الناتج أكبر ما ٌمكن ز الحل / الفرضيت :نفرض الؼذد = النظير الضربً للؼذد =
𝟏
الذالت :الؼذد +نظيره الضربً 𝟏
) (
الذراست: ) نجؼل 𝟎
𝟏
𝟏
𝟏
) (̅ (
𝟐
𝟏
𝟐
𝟑
𝟏
)𝟏 ( ̅
𝟏
𝟏
𝟐
𝟐
𝟎
𝟏
𝟐
𝟏
𝟏
𝟎 𝟑
) (̅
𝟐 𝟎
𝟐
𝟏 𝟑
293
𝟏 ) (̅ )𝟏( ̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
∴ توجد نهاية عظمي محلية عندما 𝟏 سؤال وزاري /2014د3 أرسم منحنً الدالة الحل/
𝟑
) (
𝟐
أوسع مجال للدالة
بأستخدام معلوماتن فً التفاضل
⁄ *𝟎+
التناظر /المنحنً متناظر حول المحور الصادي ألن :
المحاذٌات /
نمط التماطع مع المحورٌن ⁄ال ٌوجد تماطع مع المحورٌن ألن 𝟎
) (
(
)
➨
) (
المستمٌم المحاذي الشالولً المستمٌم المحاذي األفمً
دراسة ) (
وما ٌنتج عنها
دراسة ) (
وما ٌنتج عنها
) 𝟎
𝟔
) (̅ (
𝟑
𝟑 𝟐)
𝟐
)
(
𝟎
𝟎 𝟏
𝟎
( 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟎
𝟑
𝟔
𝟎/
294
)
𝟑
(
) (̅
̅ ) ( .
𝟐
𝟖𝟏 𝟒
𝟑
𝟒
𝟑 𝟐
𝟖𝟏
) (
) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل الدالة ممعرة فً الفترتٌن 𝟎+
*
*
𝟎+
تحدٌد النمط الخاصة بالرسم ومن ثم رسمها
1
𝟑√
2
𝟑 √ 𝟐
3
𝟏
سؤال وزاري / 2015د2 أذا كان
𝟏
) (
√
من 𝟒 الى 𝟏𝟎 𝟒 ؟
جد ممدار الترٌٌر التمرٌبً للدالة أذا ترٌرت
الحل /
( معطى
نفرض )𝟒
( معطى
نفرض )𝟏𝟎 𝟒
𝟏𝟎 𝟎 𝟏 𝟑
𝟓𝟐𝟔𝟎 𝟎
√ 𝟐
)𝟒( ̅
) (̅ 𝟏 𝟔𝟏
ممدار التغٌٌر التمرٌبً
𝟑 𝟏 ( ). 𝟐 / 𝟐
𝟏 )𝟖(𝟐
)𝟒( ̅
𝟓𝟐𝟔𝟎𝟎𝟎 𝟎
295
𝟏
( ). 𝟐 /
) (̅ 𝟏 𝟑)𝟒(√
𝟐
𝟏𝟎 𝟒
𝟒
𝟏
) (
)𝟒( ̅
)𝟓𝟐𝟔𝟎 𝟎 ()𝟏𝟎 𝟎(
√ 𝟏 𝟑
) 𝟒( ̅
√ 𝟐
) ( ) (̅
) (̅
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري / 2015د2 جد نمطة تنتمً للمنحنً 𝟓
𝟐
𝟐
لكً تكون ألرب ما ٌمكن من النمطة )𝟎 𝟒(
الحل/ الفرضٌة :نفرض أن النمطة )
(
هً من نمط المنحنً 𝟓
الدالة :هً لانون المسافة
𝟐)𝟎 العاللة𝟓) :
𝟐)𝟒
( 𝟐
𝟐 ( 𝟐
𝟔𝟏
𝟐 (
)
(√ 𝟐
𝟖
𝟔𝟏
𝟐 √
𝟖
𝟏𝟐
√
𝟐√
𝟐
𝟖
الدراسة: ) نجعل 𝟎
(
𝟖
𝟐 𝟐√)𝟐(
𝟏𝟐
𝟎
𝟎
𝟖
𝟒
𝟏𝟐
𝟐
𝟖
𝟒
𝟖
𝟐 𝟐√)𝟐( 𝟎
𝟒
𝟖
𝟐 𝟑 النماط هً )𝟑
𝟗
(
𝟒
𝟐
𝟐
)𝟑 𝟐(
296
𝟐
𝟐
بحٌث تكن ألرب ما ٌمكن للنمطة )𝟎 𝟒(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري / 2015د2 مصـباح علـى أرتفــاع 𝟒 𝟔 متـر مثبـت علــى عمـود شــالولً وشـخص طولـــــــــه 𝟔 𝟏 متــر ٌتحـرن مبتعـدا عــن 𝟑𝟎 ⁄جد سرعة ترٌٌر طول ظل الرجل العمود وبســــرعة الحل / نفرض بعد الرجل عن لاعدة المصباح نفرض طــــــول ظل الرجــــــــــــل
حٌث 𝟎𝟑
8فً أي زمن t
العاللة هً تشابه مثلثات او أستعمال )(tan 𝟒𝟔
فً المثلث الكبٌر
𝟔𝟏
فً المثلث الصغٌر 𝟒
𝟏
⇒
)نشتك بداللة ( )
𝟎𝟑 𝟑
𝟏𝟎 ( ⁄
معدل ترٌٌر طول ظل الرجل = )
𝟔𝟏
)𝟔 𝟏 (
𝟒𝟔
𝟑 /
𝟒
.
𝟑
𝟑
𝟏𝟎 ( ⁄
سؤال وزاري / 2015د3 ســلم ٌرتكــز طرفــه األعلــى علــى حــائط شــالولً وطرفــه األســفل علــى أرض أفمٌــة ,فــأذا كانــت ســرعة حركــة طرفــه األســفل 𝟏
/
𝟓
, .جد معدل أنزالق طرفه األعلى فً اللحظة التً تكون الزاوٌة المحصورة بٌن السلم واألرض
الحل /
الطريقة① نـــــفرض طــــــــــول الســـــــــــــلم نفرض بعد لاعدة الســــــــــلم عن الحائط نفرض بعد رأس السلم عن األرض نفرض الزاوٌة بٌن الســــــــلم و األرض
{فً أي زمن t
العاللة هً فٌثاغورس معادلة① 𝟑√ 𝟐 𝟏 𝟐
𝟑 𝟑
297
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل األن نشتك المعادلة ① بالنسبة للزمن 𝟑√ 5 𝟐
𝟎
𝟐4
𝟏
) ( ⁄ معدل االنزالق الطر
𝟏 𝟏 ) () (𝟐 𝟐 𝟓 𝟑√𝟓
𝟑√𝟓
العلوي للسلم = m/s
𝟎
𝟐
𝟐
𝟎
𝟑√
𝟏 𝟓
𝟐 𝟑√
الطرٌمة② 𝟑√
𝟑√
𝟑
األن نشتك المعادلة ① بالنسبة للزمن 𝟎
𝟏 ) ( ) (𝟐 𝟓
) 𝟑√(𝟐
) ( ⁄
𝟐
𝟏
𝟑√𝟎𝟏
𝟑√𝟓
سؤال وزاري / 2015د3 𝟑 𝟐√ ) ( أذا كانت 𝟔
𝟎
𝟐
𝟐
𝟎
𝟑√𝟐
𝟐 𝟓
جد بأستخدام نتٌجة مبرهنة المٌمة المتوســطة المٌمـة التمرٌبٌة لـ )𝟐𝟎 𝟏(
الحل / ألرب رلم للعدد المعطى ٌسهل حسابه
نفرض 𝟏 نفرض 𝟐𝟎 𝟏
معطى 𝟐𝟎 𝟎 𝟏
𝟑 𝟑
.𝟐 /
𝟐 𝟔𝟔𝟔𝟔𝟏 𝟎
𝟏 𝟔
𝟏 𝟑)
𝟐 𝟐)𝟐(𝟑
𝟖(
𝟏 𝟑)
𝟔
𝟐(
𝟐
𝟐
𝟐 𝟑) 𝟑𝟐(𝟑
𝟐 𝟑)𝟖(𝟑
𝟏 𝟑)
)𝟏(
𝟏
𝟔
𝟐(
𝟐
)𝟏( ̅
𝟐 𝟑)𝟔
𝟑𝟑𝟑𝟎𝟎 𝟐
)𝟏𝟎 𝟏(
298
𝟐√
𝟔
𝟏 𝟐( 𝟑
𝟐
𝟐(𝟑
)𝟏( ̅ )𝟐𝟎 𝟎( 𝟑𝟑𝟑𝟎𝟎 𝟎
𝟑
)𝟐( 𝟑 )𝟔
) (̅
𝟐
𝟐𝟎 𝟏
)𝟏(
)
) (
)𝟔𝟔𝟔𝟔𝟏 𝟎( )𝟐𝟎 𝟎(
) (̅
(
))𝟐𝟎 𝟎( 𝟐
) (
𝟏(
)𝟐𝟎 𝟏(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري / 2015د3 جد مساحة أكبر مستطٌل ٌمكن رسمه داخل نص
لطرها 𝟔 سم
دائرة نص
الحل/ الفرضٌة :نفرض طول المستطٌل = 𝟐
ونفرض مساحة المستطٌل = A
نفرض عرض المستطٌل
الدالة :هً لانون مساحة المستطٌل
)معادلة (
𝟐
العاللة :فٌثاغورس فً المثلث المائم )(ABC 𝟐 𝟔𝟑 )معادلة②(
𝟐)
𝟐
𝟐
𝟔(
𝟐
𝟔𝟑√
نعوض معادلة ② فً معادلة
𝟐/ )𝟒
𝟐
𝟔𝟑√𝟐 .
𝟐
𝟐
𝟔𝟑√𝟐 .
𝟒/
𝟔𝟑(𝟒√
𝟐
𝟒
𝟐
𝟒𝟒𝟏√
الدراسة: 𝟑
) نجعل 𝟎
(
𝟔𝟏
𝟒/
𝟖𝟖𝟐
𝟐
𝟒𝟒𝟏√𝟐 .
𝟑
𝟎
𝟑
𝟖𝟖𝟐
𝟔𝟏 )𝟐
𝟎
(
)
𝟔𝟏 𝟐
𝟒
𝟖𝟖𝟐 𝟒𝟒𝟏√( 𝟐
𝟑
𝟎 ) ٌهمل(
𝟖𝟏
𝟎 𝟐
)ٌهمل السالب (
𝟐√𝟑
) عرض المستطٌل ( 𝟐√𝟑 √ ) طول المستطٌل (
مساحة أكبر مستطٌل
𝟐
𝟔𝟑
𝟐√𝟑 𝟔𝟑√ 𝟐√𝟔
𝟐 𝟔𝟑√ )𝟐√𝟑(𝟐
)𝟐√𝟑()𝟐√𝟔(
𝟐
األختبار :لألطالع
299
𝟐
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري / 2015د3 𝟑 ٌمــس المنحنــً المســـــتمٌم 𝟕 جد لٌمة محلٌة صررى عند 𝟓
𝟐
عنــد )𝟏
𝟐( وكــان للمنحنــً نهاٌـــــ ــة
الحل/
النمطة )𝟏
𝟐( تحمك معادلة المنحنً
) معادلة①(
𝟏
𝟐
∵ للمنحنً نهاٌة صررى محلٌة عند 𝟓 ) معادلة②(
𝟐
)𝟐( عندما
𝟒
⇐ 𝟎
)𝟐(
𝟐
𝟏
) ( 𝟐
𝟎𝟏
𝟐
𝟎
نجد معادلة مٌل المستمٌم المماس من معادلته : معامل معامل نجد مٌل منحنً الدالة عند نمطة التماس ( اي نجد
)
عندما
𝟒 ∵ مٌل المستمٌم المماس
𝟐
مٌل منحنً الدالة عند نمطة التماس ) معادلة③(
𝟑
𝟒
𝟒
بحل المعادلتٌن ( )2و ( )3أنٌا ً نحصل على : ) معادلة②(
بالطرح
) معادلة③(
)نعوض فً معادلة②( )نعوض فً معادلة ① ألٌجاد 𝐜 (
) ) (
300
)
(
(
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري / 2016د1 جـد أبعـاد أكبـر أســــــطوانة دائرٌـة لائمــــة توضـــــع داخـل مخـروط دائـري لـائم أرتفاعـــــه ) 𝟎𝟏( لاعدته )
𝟔( وطـول لطــر
الحل/ الفرضٌة :نفرض نص لطر لاعدة األسطوانة =R الدالة :هً لانون حجم االسطوانة
ونفرض أرتفاع المخروط =h 𝟐
)معادلة ( العاللة :تشابه مثلثات )(ADE , ABC
𝟓
𝟔
/معادلة②.
𝟔 𝟔
𝟎𝟑
𝟓
𝟓
𝟔
𝟎𝟑
نعوض معادلة ② فً معادلة )
𝟑
𝟐
𝟔
𝟎𝟑(
الدراسة:
)
𝟓
) نجعل 𝟎
)𝟔
(
𝟐
𝟎
𝟔 𝟓
(
𝟎𝟑 (
)
𝟐
𝟐
𝟐
𝟎𝟔(
𝟖𝟏
𝟖𝟏
𝟎𝟔
𝟎
𝟎
) 𝟑
𝟎𝟏(
𝟎
𝟎𝟐
𝟎𝟑
𝟎𝟏 𝟓
𝟓
𝟐
𝟑
)
) ٌهمل( 𝟎𝟏 𝟑 𝟎𝟏 𝟔. 𝟑 / 𝟓
𝟐
𝟖𝟏
𝟓 𝟎𝟔(
𝟓
𝟎𝟏
𝟎 𝟎
𝟎𝟑
𝟑
𝟔
𝟎𝟏
𝟎𝟑 𝟓 𝟐
∴ أبعاد أكبر أسطوانة هً :
𝟎𝟏
𝟐 ,
𝟑
مالحظة ٌ :مكن كتابة العاللة فً السؤال السابك بالشكل التالً : العاللة :تشابه مثلثات )(ADE , ABC
𝟓 𝟔
𝟔 𝟎𝟑
𝟔 𝟓
𝟓
𝟎𝟑
301
𝟔
ونفرض حجم المخروط=V
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
سؤال وزاري / 2016د1 𝟔𝟗 ٌتمـدد عرضـها بمعـدل ⁄ صــــفٌحة معدنٌة مستطٌلة الشكل مسـاحتها 𝟐𝟏 ثابتة ,جد معدل ترٌٌر الطول عندما ٌكون الطول مساوٌا ً لـ 𝟐
𝟐 بحٌـث تبمـى مســـــاحتها
الحل /
نفرض طول المستطٌل نفرض عرض المستطٌل
فً اي زمن t
8
العاللة هً مساحة المستطٌل ) ( = -
,
)نحسب لٌمة
(
𝟖
𝟔𝟗 𝟐𝟏
𝟔𝟗
معادلة① )𝟐𝟏(
𝟔𝟗
األن نشتك معادلة ① بالنسبة للزمن 𝟎
)𝟖(
)𝟐()𝟐𝟏(
𝟎
) ⁄
𝟒𝟐 𝟖
( 𝟑
∴ معدل التنالص فً طول المستطٌل = ) ⁄
سؤال وزاري / 2016د1 𝟑 ) ( أذا كانـــت 𝟐 𝟒 عـــندما
𝟐
حٌـــث
𝟑 (
-
وكانـــت
𝟎,
تحمـــك مــــــبرهنة المٌمــــــة المتوســـــــطة
فجد لٌمة
𝟑
الحل / 𝟐
𝟖
𝟑
) (̅
𝟐
𝟒
𝟑
) (
الدالة تحمك شروط مبرهنة المٌمة المتوسطة
) مـــــــٌل الوتـــــــر
𝟒 𝟐
𝟐
𝟐𝟏 𝟑
𝟒 𝟎
)𝟐
()𝟐
𝟔𝟏 𝟑
𝟐
) (
مـــــــٌل الممـــــاس (
𝟒 𝟑
(
𝟎
302
𝟒
)𝟎(
)𝟐
) 𝟒
𝟐
𝟒
𝟐
𝟒 (
) ( 𝟑
(
) (̅
𝟖
𝟑
𝟐 𝟐 ) (𝟑 𝟑
𝟐 ) (𝟖 𝟑 𝟒
𝟐
𝟐
𝟒
أعداد /األستاذ علً حمٌد 𝟎𝟎𝟕8𝟏083𝟕05
الفصل الثالث /تطبٌمات التفاضل
لوانٌن مفٌدة جدا ) العرض
𝟐
محٌط المستطٌل
الطول(𝟐
حجم المخروط
𝟑
العرض
الطول
مساحة المستطٌل
)طول الضلع(𝟒
𝟐
مساحة المربع
الدائرة محٌط
𝟐
محٌط الماعدة
مساحة الماعدتٌن
مساحة الكرة
𝟒 𝟐
حجم األسطوانة 𝟒 𝟑
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟐
األرتفاع
المساحة الجانبٌة
المٌل
303
المساحة السطحٌة للمكعب
المساحة الجانبٌة لمتوازي المستطٌالت
المساحة الكلٌة لمتوازي المستطٌالت
األرتفاع
حجم متوازي المستطٌالت
مجموع أطوال أضالعه الثالثة
محٌط المثلث
𝟏 )األرتفاع()الماعدة( 𝟐
مساحة المثلث
𝟐
حجم الكرة
𝟐
) طول الضلع(𝟔
مساحة الماعدة
مساحة الدائرة
𝟐
𝟑
𝟐
محٌط المربع
) طول الضلع(
𝟐
𝟑
) طول الضلع(
حجم المكعب
)𝟏
(
𝟐
)𝟏
(√
المسافة
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
الفصل الرابع/التكامل اٌجاد لٌمة تمرٌبٌة لمساحة منطمة مستوٌة أذا كانت 𝒇 دالة ( منحنً ) وكانت 𝑨 المنطمة المحصورة بٌنها وبيٌ اححيدا ً السيٌنً ايً الفتيرة 𝒃 𝒂,كميا هو مبٌ اً الشكل أدناه ,اٌمكننا أٌجاد مساحة المنطمة 𝑨 المحددة بالرسم .
مالحظات : ① نرسم مستطٌالً م أدنى نمطة اً المنحنً ضم الفترة ② نرسم مستطٌالً م أعلى نمطة اً المنحنً ضم الفترة ③ نوجد مساحة المنطمتٌ المستطٌلتٌ 𝟏 و 𝟐 .
, ,
ونرمز له بالرمز ونرمز له بالرمز
④ المطلوب هو حساب المٌمة التمرٌبٌة لمساحة المنطمة Aباالعتماد على المانو
𝟏 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
⑤ مساحة أي منطمة هً عدد حمٌمً غٌر سالب مساحة مساحة 𝟐 اأ مساحة 𝟏 𝟏 ⑥ أذا كانت 𝟐 ⑦ ٌمكننا تحدٌد أبعاد المنطمتٌ المسيتطٌلتٌ مي ليالل إحيدا ٌات النمياط ايً نهياٌتً الفتيرة الميذكورة ايً السي ال وتعوٌضها اً الدالة احصلٌة . حٌث ⑧ نرمز حرتفاع المستطٌل الصغٌر 𝟏 بالرمز ⑨ نرمز حرتفاع المستطٌل الكبٌر م ال (/)1
𝟐
بالرمز
اوجد لٌمة تمرٌبٌة لمساحة المنطمة Aحٌث }𝟏
حٌث ,
√
𝟎 𝟓,
{ ,
𝟐
الحل / 𝟑 𝟏
𝟐
𝟐
المساحة التقرٌبٌة للمنطقة
304
𝟐
𝟏 𝟒 𝟐 𝟏 𝟒 𝟐
𝟐 𝟏
𝟓
𝟏 𝟓√ 𝟑 𝟐
𝟔 𝟗 𝟐
𝟐
𝟏 𝟐√ 𝟑 𝟏
𝟑
𝟑
𝟔 𝟐
𝟓
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
م ال (/)2
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
اوجد لٌمة تمرٌبٌة لمساحة المنطمة Aحٌث }𝟏
𝟐
𝟐,
{ ,
𝟏
الحل / 𝟏 𝟐
𝟐 𝟐
𝟓 𝟏 𝟐
𝟐
م ال /
اوجد لٌمة تمرٌبٌة لمساحة المنطمة Aحٌث }𝟏
𝟐
,
𝟏
𝟐
𝟐
𝟏 𝟓 𝟓
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
المساحة التقرٌبٌة للمنطقة
𝟏
𝟏 𝟐
𝟓
𝟑
𝟏
𝟏
𝟐
𝟕 𝟐
𝟐
𝟏 𝟐
𝟎 𝟑,
𝟏
𝟐
𝟐 𝟑
{ ,
𝟏
الحل / 𝟐 𝟐
𝟐 𝟒 𝟎𝟏 𝟎𝟐 المساحة التقرٌبٌة للمنطقة
م ال /
اوجد لٌمة تمرٌبٌة لمساحة المنطمة Aحٌث }𝟐
𝟐
𝟐
𝟐𝟏
𝟑
𝟐
𝟓 ,
𝟏 𝟏
𝟏
𝟐 𝟐 𝟐
𝟒𝟐 𝟐
𝟑
𝟏
𝟑
𝟑
𝟐 𝟎𝟏 𝟎𝟐
𝟐
𝟒
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
{ ,
الحل / 𝟑 𝟎𝟏
2
𝟑𝟕
2 𝟎𝟑
2
2
𝟐
المساحة التقرٌبٌة للمنطقة
واجب /:اوجد لٌمة تمرٌبٌة لمساحة المنطمة Aحٌث
}𝟏
𝟐
305
𝟏 𝟐
,
𝟐
2
𝟗𝟒𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟑 𝟎𝟏
𝟗𝟏𝟐 𝟒𝟐𝟏
𝟐
𝟓
𝟏
𝟓
𝟓
𝟑 𝟑𝟕
𝟗𝟏𝟐
𝟐
𝟎𝟑
𝟐
𝟐 𝟎 𝟒,
𝟏
𝟐 𝟏
{ ,
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
مساحة منطمة مستوٌة بدلة أكبر Ⓘنجزأ الفترة المعطاة
,
الى اترات حسب الطلب ولٌك عدد الفترات هو ) (nوبذلن ٌكو طول الفترة
حٌث ٌرمز لالعداد م ) (1,2,…,nبالرمز )𝛔( (سكما ) حٌث أ ② نحسب مساحة أكبر منطمة مستطٌلة دالل Aحٌث تساوي ③ نحسب مساحة أصغر منطمة مستطٌلة دالل Aحٌث تساوي ) ∑
④ نجييد مسيياحة المنطميية Aحسييب المييانو التييالً
𝟏, 𝟐, 𝟑, 𝟒,
,
𝟑
𝟐 𝟑
∑
𝟏 𝟐
(
𝟏
ونالحييظ أنييه كلمييا زادت عييدد نميياط التجز يية اييأ
المحصلة النها ٌة تمل وتصبح المٌمٌة التمرٌبٌة لمساحة المنطمة ) (Aأك ر دلة . م يييال ( ) /اوجيييد لٌمييية تمرٌبٌييية لمسييياحة المنطمييية Aحٌيييث }𝟏 باستلدام التجز ة
𝟐
𝟓 ,
وذلييين
{ ,
𝟐
𝟏𝛔
𝟓 𝟐, 𝟑, 𝟓 𝟐, 𝟑, 𝟒,
𝟐
الحل / 𝟐
𝟓𝟐
𝟐𝟔 𝟏 𝟐
𝟐
𝟎𝟐
𝟑𝟒
𝟏
𝟐 𝟑 𝟎𝟏 𝟏
𝟏
(
𝟐 𝟑 𝟓 𝟔𝟐 𝟐 𝟎𝟏
𝟐𝟓
𝟕𝟖 𝟐
𝟓 𝟑, 𝟑 𝟓 𝟏 𝟎𝟏 𝟐 𝟓
𝟑 𝟐, 𝟐 𝟑 𝟓 𝟏
𝟓𝟐
𝟐𝟔
)𝟐
𝟐
∴ القٌمة التقرٌبٌة لمساحة المنطقة
=
𝟓 𝟐, 𝟑, 𝟐
𝟏𝛔 𝟏 𝟏
𝟐
𝟐
𝟏 𝟐
𝟏
𝟏
𝟐 𝟏
𝟐
𝟐 𝟑𝟒
الحل / 𝟓 𝟒, 𝟐𝟑
𝟑
𝟑𝟓
𝟕𝟏
𝟓𝟖 𝟐
𝟒 𝟎𝟏
𝟐𝟑
𝟑𝟓
𝟓 𝟐 𝟔𝟐 𝟏 )𝟑
𝟑 𝟒 𝟕𝟏 𝟏 𝟐
𝟐
وذلن باستلدام التجز ة 𝟓 𝟐, 𝟑, 𝟒,
𝟐
𝟐
𝟐
,
𝟓 𝟐, 𝟑,
𝟏𝛔 𝟏
306
𝟏
(
𝟏
𝟑
𝟐 𝟑 𝟎𝟏 𝟏 𝟑
𝟐
القٌمة التقرٌبٌة لمساحة المنطقة
واجب /:اوجد لٌمة تمرٌبٌة لمساحة المنطمة Aحٌث }𝟑
𝟑 𝟐,
𝟐 𝟑 𝟒 𝟑 𝟒 𝟓 𝟏 𝟎𝟏 𝟏 𝟕𝟏 𝟏 𝟎𝟏 𝟓
𝟕𝟏
𝟔𝟐
𝟒 𝟑,
𝟓 𝟐, 𝟑, 𝟒,
𝟐 𝟑 𝟓 𝟏
𝟐
𝟎 𝟓 ,
𝟐
𝟑
𝟐
𝟐𝛔 𝟐 𝟏
𝟏
𝟐
𝟏
𝟏 𝟐𝟒 𝟐
𝟐
{ ,
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
المجامٌــــع العلٌا والمجامٌع السفلى
, , حٌث أ , وٌرمز للمجامٌع السفلى بالرمز ٌرمز للمجامٌع العلٌا بالرمز , مستمرة على الفترة ,حٌث ٌمك أ تكو الدالة متزاٌدة أو متنالصة أو تحتوي على نمطة حرجة , سنعتبر الدالة : أذا كانت التجزٌ ات متساوٌة والدالة هً عبارة ع ابت اً هذه الحالة ٌتساوى المجموع احعلى مع المجموع احسفل نعوض الرلم احكبر الذي تنتهً به الفترة نعوض الرلم احصغر لبداٌة الفترة واذا اردنا استلراج اذا أردنا استلراج اً حالة أحتواء الفترة الجز ٌة ع لى نمطة حرجة نحسب لٌم بداٌية الفتيرة ونهاٌتهيا ولٌمية النمطية الحرجية وتكيو المٌمية الصيغٌرة هيً والمٌمة احكبر هً عييدد موجييب أو سييالب أو صييفروبالم ل , اييأ م ي المتولييع ظهييور المجموعيية السييفلى أذا لييم نشييترط أ تكييو 𝟎 واح سنألذ أم لة لتوضٌح النماط السابمة بالتفصٌــــــــــــــــــــــــــــــل , للمجموعة العلٌا
م يييال ( /)4ليييتك احعلى ,
𝟐
وليييتك
𝟓
اأوجيييد المجميييوع احسيييفل
𝟒 𝟏,
والمجميييوع
,
الحل / ) الدالة متزاٌدة(
𝟐
𝟐
) ثالث فترات(
𝟒 𝟏, 𝟐 , 𝟐, 𝟑 , 𝟑,
𝟏
𝟏
𝟓
𝟒 𝟑
𝟑 طول الفترة
الفترة ][a,b
𝟗 𝟏
𝟏
𝟕
𝟕 𝟏
𝟏
𝟗
𝟐
𝟏
𝟕
𝟏
𝟏
1
][1,2
𝟏𝟏
𝟏𝟏 𝟏
𝟐
𝟗
𝟗 𝟏
𝟐
𝟏𝟏
𝟑
𝟐
𝟗
𝟐
𝟐
1
][2,3
𝟑𝟏
𝟑𝟏 𝟏
𝟑
𝟏𝟏 𝟏
𝟑
𝟑𝟏
𝟒
𝟑
𝟏𝟏
𝟑
𝟑
1
][3,4
𝟗
𝟏𝟏
𝟕𝟐 𝟑𝟑
307
𝟏𝟏 𝟑𝟏
𝟗
𝟕
∑
,
𝟏𝟏
𝟗
∑
,
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل 𝟐 ولييتك 𝟑 مستلدما أربعة تجزٌ ات منتظمة
م ييال ( /)5لييتك احعلى ,
اأوجييد المجمييوع احسييفل
𝟒 𝟎,
والمجمييوع
,
الحل / 𝟒 𝟎, 𝟏 , 𝟏, 𝟐 , 𝟐, 𝟑 , 𝟑, 𝟒 𝟎,
𝟑 𝟐
𝟑
,
𝟐
𝟏 𝟒
𝟐
𝟎
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
𝟏 𝟒
𝟐
𝟐
𝟐
𝟗 𝟒
𝟐
𝟑
𝟑 ) ( 𝟐
𝟏
𝟐
𝟑
𝟐 𝟏,
طول الفترة 𝟐 𝟏 𝟒
𝟐 𝟏
𝟏
𝟏 ) 𝟐( 𝟏 𝟒
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟏
𝟑
𝟎
𝟎
𝟎 𝟏
𝟒
𝟐
𝟎
𝟒
𝟐
𝟏
𝟐 𝟏
𝟐
𝟏 𝟐 𝟒
𝟑 𝟐
𝟎 𝟏
𝟒
𝟏
𝟎
𝟏
𝟎
1
𝟏
𝟑 𝟐
الفترة ][a,b ][0,1
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
1
][1,2
𝟎 𝟏
𝟑
𝟐
𝟐
𝟑
𝟎
𝟑
𝟑
1
][2,3
𝟏
𝟒
𝟎
𝟑
𝟒
𝟒
𝟒
1
][3,4
𝟒
𝟐
𝟒 𝟏 𝟒
𝟔
𝟎 𝟐
𝟏 𝟒
𝟐
𝟎
∑
,
𝟐
𝟐
∑
,
مالحظة : تحتوي الفترة الجز ٌة 𝟐 𝟏,اً الم ال ) (5السابك على نمطة حرجة لذا نحسب لٌم بداٌة الفترة ونهاٌتها ولٌمة والمٌمة احكبر هً النمطة الحرجة وتكو المٌمة الصغٌرة هً
308
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل 𝟐
م ال /لتك 𝟑 علما أ ,
ولتك
𝟐 𝟑 𝟏, 𝟎, 𝟐,
اأوجد المجميوع احسيفل
𝟑 𝟏,
والمجميوع احعليى
,
الحل / 𝟑 𝟏, 𝟎 , 𝟎, 𝟐 , 𝟐, 𝟐 𝟎,
𝟐
𝟏
𝟎
𝟐
,
𝟑
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
𝟐
𝟐
𝟑
𝟏
𝟎
𝟑
𝟐
𝟐
𝟐 𝟎,
𝟏 الفترة ][a,b ][-1,0 ][0,2 ][2,3
طول الفترة 𝟔 𝟏 𝟑 𝟐 𝟔 𝟏
𝟔 𝟔 𝟔
𝟑 𝟒 𝟑
𝟏 𝟐 𝟑
𝟑 𝟏 𝟐 𝟐 𝟑 𝟏
𝟏
𝟔
𝟏
𝟐
𝟑
𝟑
𝟔
𝟑 𝟐 𝟑
𝟎 𝟏 𝟐
𝟎𝟏
𝟑
𝟏
𝟎 𝟑
𝟐 𝟑
𝟖𝟏
1 2 1
𝟏 𝟐 𝟑
𝟔
𝟑
𝟒
𝟔
𝟔
∑ ∑
, ,
مالحظة : اً الم ال اللارجً (أعاله ) تحتوي الفترة الجز ٌة 𝟐 𝟎,على نمطة حرجية ليذا نحسيب ليٌم بداٌية الفتيرة ونهاٌتهيا ولٌمية والمٌمة احكبر هً النمطة الحرجة وتكو المٌمة الصغٌرة هً
وليتك
م ال /لتك علما أ )
,
𝟐
,
𝟑
اأوجيد المجميوع احسيفل
𝟎,
والمجميوع احعليى
,
,
(
𝟎,
الحل / 𝟎,
𝟎
𝟎,
الفترة ][a,b
طول الفترة 𝟏 ) (
𝟏
𝟐𝟏
𝟏 ) () ( 𝟐 𝟔
𝟐
𝟎
𝟎 ) (
𝟑
𝟑
𝟑
𝟓 𝟐𝟏
𝟐
𝟐𝟏
𝟐 𝟑
𝟔
𝟏 ) () ( 𝟐 𝟑
𝟏
𝟎
𝟎 ) (
𝟐
) (
𝟑
𝟔
𝟏
∑
𝟐
,
𝟏
𝟎
𝟏 𝟐
𝟑
𝟎
𝟏
𝟎
𝟐
) (
𝟑
309
𝟑 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
,
𝟏 𝟐
𝟑 𝟔
𝟐
𝟎
𝟏
𝟑
𝟐
𝟔
𝟐
𝟐 𝟔
] [0, 𝟑
] [ , 𝟐 𝟑
] ∑
[ , 𝟐
,
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل واجب /:لتك 𝟐 𝟑 أربعة تجزٌ ات منتظمة
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎 ولتك
𝟔
واجب /:لتك جز ٌتٌ منتظمتٌ
اأوجد المجموع احسفل
𝟒 𝟎,
ولتك
𝟐 𝟎,
اأوجد المجموع احسفل
تمارين 𝟏 اوجد كل م
,
,
,
والمجموع احعلى
,
والمجموع احعلى
,
مستلدما
,
مستلدما اترتتٌ
,
𝟒
لكل مما ٌأتً : ,
𝟑
𝟏
𝟏 𝟐, 𝟏 𝟐, 𝟎,
تقسٌم الفترة 2,
الحل /
الى ثالث فترات جزئٌة منتظمة
الفترات هً ][-2,0] , [0,1 ) التوجد نقط حرجة والدالة متناقصة(
𝟎
𝟑
𝟏
الفترة ][a,b ][-2,0 ][0,1
طول الفترة 𝟎𝟏 𝟑
𝟓 𝟐 𝟑 𝟏
𝟏 𝟐
𝟔 𝟐
𝟑 𝟐 𝟐 𝟏
𝟏
𝟓
𝟐
𝟑
𝟐
𝟑 𝟐
𝟏
𝟎
𝟐
𝟎 𝟏
𝟏 𝟐
𝟖 𝟑𝟏
الحل /
2 1
𝟐 𝟑
𝟔
∑
,
𝟎𝟏
∑
,
تمسم الفترة الى الث اترات جز ٌة منتظمة 𝟑
𝟏 ) التوجد نقط حرجة والدالة متناقصة(
𝟎
𝟐
𝟑
𝟏 𝟑 𝟑
𝟏 طول الفترة
𝟓 𝟒 𝟑
𝟓 𝟏 𝟒 𝟏 𝟑 𝟏
𝟏 𝟐 𝟑
𝟒 𝟑 𝟐
𝟒 𝟏 𝟑 𝟏 𝟐 𝟏
𝟏 𝟐 𝟑
𝟓 𝟒
𝟐 𝟏 𝟑
𝟏 𝟐
𝟎
310
𝟑
𝟏
𝟒
1 1 1
𝟏
𝟑 𝟐
𝟎 𝟏
𝟐 𝟑
الفترة ][a,b ][-2,-1 ][-1,0 ][0,1
𝟗
𝟐
𝟑
𝟒
∑
,
𝟐𝟏
𝟑
𝟒
𝟓
∑
,
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل 𝟐
أذا كا
,
𝟒
𝟐
𝟒 𝟎,
𝟒 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑,
الحل /الفترات هً ][0,1] , [1,2] , [2,3] , [3,4 𝟐 𝟏,
𝟐
𝟐
𝟒
𝟐
𝟎
𝟐
𝟒
𝟐
𝟒
𝟒
توجد نمطة حرجة هً ) (2,4وهً نهاٌة عظمى محلٌة وال تجزئ الفترة
𝟐
𝟑
𝟑
𝟑
𝟑
1
𝟑
𝟑
𝟎
𝟒
𝟒
1
𝟒
𝟒 𝟏
𝟐
𝟑
𝟑 𝟏
𝟐
𝟒
𝟒 𝟏
𝟑
𝟑
𝟑 𝟏
𝟑
𝟒
𝟑
𝟑 𝟏
𝟒
𝟎
𝟎 𝟏
𝟒
𝟑
𝟒𝟏
𝟑
][3,4
𝟐
𝟐
𝟑
𝟏
𝟐
𝟑
𝟑 𝟏
𝟏
𝟎
𝟒
][2,3
𝟑 𝟒
𝟏
𝟏
𝟎
𝟎
𝟎 𝟏
𝟒
1 1
][0,1 ][1,2
𝟏
𝟏
𝟑
طول الفترة
الفترة ][a,b
,
∑
𝟔
,
𝟎
𝟑
𝟑
𝟎
∑
,
أحٌانا ً ٌطلب أٌجاد لٌمة تمرٌبٌة لمساحة المنطمة 𝐴 وكما ٌلً : أذا كا 𝟐𝒙 𝒙𝟒 𝝈 𝟒 𝟎, 𝟏, 𝟐, 𝟑,
𝒙 𝒇 𝑹 ,
𝟒 𝒇 𝟎,جد لٌمة تمرٌبٌة لمسياحة المنطمية Aتحيت المنحنيً أذا كيا
نفس الحل أعاله وٌضاف له
𝟎𝟏
𝟎𝟐 𝟐
𝟔
𝟒𝟏 𝟐
∴ المٌمة التمرٌبٌة لمساحة المنطمة = A
𝟏𝑨
𝟐𝑨 𝟐
𝟐
𝑨
𝒕𝒊𝒏𝒖 𝟎𝟏
311
𝟒𝟏
𝒇 𝑼 𝝈,
𝟐𝑨
𝟔
𝒇 𝑳 𝝈,
𝟏𝑨 𝒕𝒆𝒍
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝟐
𝟐
,
𝟑
𝟑
𝟒 𝟏, 𝟒 𝟏, 𝟐,
أستخدام ثالث تجزٌئات متساوٌة
الحل /
الفترات هً ][1,2] , [2,4 𝟏 𝟑
𝟒 𝟏,
𝟔
𝟐
𝟔
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑 الفترة ][a,b ][1,2 ][2,4
طول الفترة 𝟔𝟏 𝟐𝟏𝟏
𝟔𝟏 𝟏 𝟔𝟓 𝟐
𝟓 𝟐𝟑
𝟏 𝟐
𝟓 𝟏 𝟔𝟏 𝟐
𝟔𝟏 𝟔𝟓
𝟏 𝟐
𝟐 𝟒
𝟓 𝟔𝟏
𝟏 𝟐
𝟏 𝟐
𝟕𝟑 𝟖𝟐𝟏
الحل /
1 2
𝟏 𝟐
𝟐𝟑
𝟐𝟏𝟏
𝟓
∑
,
𝟔𝟏
∑
,
أستخدام ثالث تجزٌئات متساوٌة
𝟒 𝟏, 𝟐, 𝟑,
𝟑 𝟑
𝟏
𝟒
𝟏 𝟑
الفترات هً ][1,2] , [2,3] , [3,4 𝟏 𝟑
𝟒 𝟏,
𝟔𝟏 𝟑𝟑 𝟔𝟓
𝟔𝟏 𝟏 𝟑𝟑 𝟏 𝟔𝟓 𝟏
𝟏 𝟐 𝟑
𝟓 𝟔𝟏 𝟑𝟑
𝟐
𝟓 𝟏 𝟔𝟏 𝟏 𝟑𝟑 𝟏
𝟏 𝟐 𝟑
𝟔
𝟔𝟏 𝟑𝟑 𝟔𝟓
𝟐
𝟐 𝟑 𝟒
𝟔
𝟓 𝟔𝟏 𝟑𝟑
𝟏 𝟐 𝟑
𝟒𝟓 𝟓𝟎𝟏
312
𝟐
𝟏 𝟐 𝟑
𝟑𝟑 𝟔𝟓
𝟏 𝟐 𝟑
𝟔𝟏 𝟑𝟑
𝟐
𝟑
طول الفترة
الفترة ][a,b
1 1 1
][1,2 ][2,3 ][3,4
𝟓
∑
,
𝟔𝟏
∑
,
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
أمثلة أضافٌة محلولة 𝟐
م ييييال /أذا كييييا 𝟓 𝟏, 𝟐, 𝟒,
,
𝟒
جييييد لٌميييية تمرٌبٌيييية لمسيييياحة المنطميييية Aتحييييت المنحنييييً اذا
𝟓 𝟏,
𝛔 𝟐
𝟐
𝟒
𝟎
𝟒
𝟒 𝟏
𝟏
𝟑
𝟑 𝟏
𝟏
𝟖
𝟒 𝟐
𝟐
𝟎
𝟎 𝟐
𝟐
𝟎
𝟎 𝟏
𝟑
𝟏
𝟑
𝟓
𝟓
𝟐𝟏
𝟐
𝟐
𝟎𝟏 𝟐
𝟓
𝟒 𝟒
𝟐
𝟏
𝟑
𝟏
𝟐
𝟐
𝟎
𝟒
𝟐
𝟎
𝟒
𝟑
𝟓
𝟑
,
𝟐
م ال /أذا كا 𝟏
𝟖
𝟎
𝟒 𝟏, 𝟐, 𝟑,
) الدالة متزاٌدة(
𝟒 𝟏,
𝟓 𝟏
𝟏
𝟐
𝟐 𝟏
𝟏
𝟕𝟏 𝟐
𝟐
𝟎𝟏
𝟓 𝟐
𝟐
𝟗𝟑
𝟐𝟏
,
طول الفترة
الفترة ][a,b ][1,2 ][2,4
1
][4,5
1 2 𝟎
𝟓
𝟐
𝟐
𝟑 ,
, 𝟏
جد لٌمة تمرٌبٌة لمساحة المنطمة Aتحت المنحنً اذا
𝟒 𝟏,
𝟎
, 𝟐𝟏
𝟐
,
𝟓
𝟒
𝟏
𝟐
𝟐
𝟒
𝟒
𝟏
𝟐𝟏 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟒
𝛔
𝟎
𝟒 𝟏, 𝟐,
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝛔
الفترة ][a,b ][1,2 ][2,4 ,
طول الفترة 𝟓 𝟒𝟑
𝟏 𝟐
𝟐
𝟓𝟐
𝟏𝟓 𝟐
) الدالة متزاٌدة(
𝟐
𝟐
𝟐
𝟓 𝟏
𝟏
𝟐
𝟐 𝟏
𝟏
𝟎𝟏
𝟎𝟏 𝟏
𝟐
𝟓
𝟓 𝟏
𝟐
𝟕𝟏
𝟕𝟏 𝟏
𝟑
𝟎𝟏 𝟏
𝟑
𝟏 𝟐
𝟒𝟐
𝟗𝟒 𝟐
𝟕𝟏
𝟐𝟑 𝟐
𝟎
𝟓
𝟐
,
𝟗𝟑
𝟐
𝟒 𝟏,
𝟎𝟏
𝟐
𝟓
𝟏
𝟎
𝟓
𝟓 𝟒 𝟕𝟏 𝟗𝟑 𝟒𝟑 𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
,
𝟐
𝟏 𝟐
,
𝟐𝟏
𝟐
𝟐𝟏
𝟓 𝟎𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
𝟑
𝟐
𝟓
𝟐
𝟐
𝟕𝟏
𝟒
𝟑
𝟎𝟏
𝟑
𝟑
𝟐𝟑
𝟕𝟏
𝟐
𝟏
, 𝟐𝟑
𝟐
313
,
𝟐
𝟓
𝟐
, ,
𝟕𝟏 𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
𝟏
𝟎𝟏
1 2 𝟎𝟏
طول الفترة
الفترة ][a,b ][1,2 ][2,3
1
][3,4
1 1 𝟎𝟏
𝟕𝟏
𝟓
𝟐 ,
, 𝟏
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
مالحظة : أذا ذكر اً الم ال السابك أستلدم الث تجزٌ ات متساوٌة االحل ٌكو نفس الفرع ) (bالسابك بالضبط واجب //:أذا كا
𝟏
𝟐
,
𝟐
جد لٌمة تمرٌبٌة لمساحة المنطمة Aتحت المنحنً اذا
𝟕 𝟏,
أستخدم أربع تجزٌئات متساوٌة
𝟕 𝟏, 𝟐, 𝟒,
𝛔
تعرٌف التكامـــل أذا كانت اً الفترة
,
, اأ
دالة مستمرة على الفترة , ,
نسمً العدد Kالتكامل المحدد للدالة الى ل bللدالة
ونسمً
اأنه ٌوجد عدد حمٌمً وحٌد kبحٌث حي تجز ة )𝛔(
,
على الفترة
ونرمز له بالرمز
,
∫ وٌمرأ التكامل مي
حدي التكامل المحدد
,
مالحظات ① أذا كانيييت الدالييية
مسيييتمرة عليييى الفتيييرة
المٌمة التمرٌبٌة لهذا التكامل ② أذا كانت الدالة 𝟎
, ,
∫ ,
ايييأ - , 𝟐
اأ
,
وهو عدد غٌر سالب dx ,تشٌر الى أ حدي التكامل ,أما ③ أذا كانييت الداليية 𝟎
,
,
∫
∫ ٌعطً مساحة المنطمة Aتحت المنحنيً f ,
لٌمتا للمتغٌر x
اييأ 𝟎
,
∫ وهييذا ال ٌييدل علييى المسيياحة ,أمييا
مساحة المنطمة Aاهً ستساوي | ④أ لٌمة
∫ تتولف على الفترة
,
,وتكيييو
∫| ,
وعلى لٌمة
314
∫
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
م ال ( )/
لتك
𝟑 𝟏, 𝟐
أوجد لٌمة تمرٌبٌة للتكامل الحل /الدالة
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎 حٌث
𝟐
𝟏∫
أذا جز ت الفترة 𝟑 𝟏,الى تجز تٌ
𝟑
دالة مستمرة على الفترة 𝟑 𝟏,حنها ك ٌرة حدود 𝟎
𝟑 𝟏,
𝟐
𝟎
𝟐
𝟐
𝟑 𝟏, 𝟐,
𝟐 𝟐
𝟏
𝟑
𝟏 𝟐
الفترة ][a,b ][1,2 ][2,3
طول الفترة 𝟒
𝟒 𝟏
𝟏
𝟏
𝟏 𝟏
𝟏
𝟗
𝟗 𝟏
𝟐
𝟒
𝟒 𝟏
𝟐
𝟑𝟏
𝟗
𝟒 𝟗
𝟒
𝟐
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟑
𝟐
𝟒
𝟐
𝟐
∑ تقرٌبا
م ال ( /)2لتك الحل /الدالة
𝟓 𝟐,
حٌث 𝟑
,
𝟗
, 𝟑𝟏 𝟐
𝟖𝟏 𝟐
𝟓 𝟓
𝟏
𝟒 ,
,
∑ 𝟑
,
𝟐
𝟐
∫ 𝟏
𝟓
,أوجد
𝟐
1 1
𝟐∫
دالة مستمرة على الفترة 𝟓 𝟐,حنها ك ٌرة حدود 𝟎
𝟐
𝟐
𝟑
𝛔
𝟓 𝟐, 𝟑 , 𝟑,
𝟐
𝟓 𝟐, 𝟑, طول الفترة
𝟑
𝟑 𝟏
𝟏
𝟏
𝟏 𝟏
𝟏
𝟒𝟏
𝟕 𝟐
𝟐
𝟔
𝟑 𝟐
𝟐
𝟕𝟏
𝟒𝟏
𝟑 تقرٌبا
𝟑 𝟕
𝟑
𝟏
𝟓
𝟐
∑
𝟐𝟏
𝟏 𝟑
, 𝟒𝟐 𝟐
315
, 𝟕𝟏 𝟐
𝟕
𝟐
𝟏
𝟑
𝟐
𝟕
𝟔
,
1 2 𝟏 ,
𝟐
∑
𝛔 الفترة ][a,b ][2,3 ][3,5 , 𝟑
𝟑
𝟐 ∫ 𝟏
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
م ال ( /)3لتك
,
𝟑
الحل /الدالة
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
,
𝟓 𝟏,
𝟓
أوجد
𝟏∫
دالة مستمرة على الفترة 𝟓 𝟏,حنها ك ٌرة حدود 𝟎
𝟓 𝟏, 𝟑 , 𝟑,
𝟑
𝛔
𝟓 𝟏, 𝟑, طول الفترة
𝟔
𝟑 𝟐
𝟏
𝟔
𝟑 𝟐
𝟏
𝟔
𝟐 𝟐
𝟐
𝟔
𝟑 𝟐
𝟐
𝟐𝟏
𝟔
𝟔
𝟑 𝟑
𝟑
𝟏
𝟑
𝟏
𝟏
𝟓
𝟐
𝟑
𝟑
𝟐
,
∑ تقرٌبا
, 𝟒𝟐 𝟐
𝟐𝟏
تمارين 𝟐 الحل /الدالة
𝟑 𝟐
𝟐𝟏
∑
,
الفترة ][a,b ][1,3 ][3,5 , 𝟓
,
𝟑 ∫
𝟐
𝟏
𝟒
𝟏∫ بأستلدام التجز ة 𝟑 𝟏, 𝟐,
𝛔
دالة مستمرة على الفترة 𝟑 𝟏,حنها ك ٌرة حدود
𝟑
𝟑
𝟐𝟏
𝟔
𝟐
𝟑𝟑
س / 1أوجد لٌمة تمرٌبٌة للتكامل
𝟐𝟏
𝟔
2 2
𝛔
𝟑 𝟏
𝟏
𝟑 ) ( 𝟏 𝟐 𝟗
𝟐
𝟐
𝟑 𝟐 𝟏
𝟔
𝟑 𝟐
𝟑 𝟐
𝟑
𝟑
𝟎
𝟑 ) ( 𝟏 𝟐
𝟏
𝟏 𝟏
𝟐
∑
𝟐
𝟏
𝟑 𝟑 𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
, 𝟏 𝟐
𝟑
𝟎
𝟑
316
طول الفترة
الفترة ][a,b
𝟑 𝟐
𝟐
𝟏
1
][1,2
𝟏
𝟑
𝟐
1
][2,3
𝟑
𝟓
, 𝟕 𝟐
𝟑
𝟐
𝟒𝟏 )𝟐 𝟐
(
𝟗 𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
𝟐
𝟐
𝟓 𝟐
,
∑
𝟏 , 𝟐
,
𝟑
𝟑
∫ . / 𝟏
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
س / 2لتك
𝟑
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
,
𝟑
وزاري / 2015د1
𝟒 𝟏,
𝟒
𝟏∫ بأستلدام التجز ة 𝟒 𝟏, 𝟐, 𝟑,
أوجد لٌمة التكامل
𝛔
م تحمك هندسٌا بحساب المنطمة تحت منحنً الدالة F
الحل /الدالة
دالة مستمرة على الفترة 𝟒 𝟏,حنها ك ٌرة حدود ) التوجد نقطة حرجة و الدالة متزاٌدة(
𝟑
𝟑 𝟏
𝟏
𝟎
𝟎 𝟏
𝟏
𝟔
𝟔 𝟏
𝟐
𝟑
𝟑 𝟏
𝟐
𝟗
𝟗 𝟏
𝟑
𝟔
𝟔 𝟏
𝟑
𝟗
𝟖𝟏
𝟑
𝟔
𝟑
𝟎
𝟑
𝟑 𝟔
𝟐
𝟏
𝟎
𝟏
𝟏
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
𝟐
𝟗
𝟒
𝟑
𝟔
𝟑
𝟑
∑
, 𝟏 𝟐
, 𝟕𝟐 𝟐
𝟑𝟏
𝟗
𝟖𝟏
𝟔
𝟐
طول الفترة
الفترة ][a,b ][1,2 ][2,3
1
][3,4
1 1
𝟎
𝟑
,
𝟗
𝟑
∑
, 𝟒
,
𝟑
𝟐
𝟑 ∫ 𝟏
الحل الهندسً : 𝟏 𝟒
𝟎 𝟑 𝟑 𝟎 𝟏, 𝟗 𝟑 𝟐𝟏 𝟗 𝟒, 𝟏 مساحة ) األرتفاع() طول القاعدة( ) ( 𝟐 𝟏 𝟕𝟐 𝟏 𝟗 𝟏 𝟒 ) ( مساحة 𝟑𝟏 𝟐 𝟐 𝟐
س / 3أوجد لٌمة تمرٌبٌة للتكامل
𝟑
𝟐
𝟒
𝟑 𝟐∫ بأستلدام التجز ة 𝟒 𝟐, 𝟑,
𝛔
الحل /الفترات 𝟒 𝟐, 𝟑 , 𝟑, الدالة متزاٌدة
𝟎
𝟒 𝟐,
𝟒𝟐
𝟒𝟐 𝟏
𝟏
𝟓𝟒
𝟓𝟒 𝟏
𝟐
𝟗𝟔
𝟎
𝟑
طول الفترة 𝟗 𝟏
𝟏
𝟒𝟐
𝟑
𝟏
𝟗
𝟐
𝟏
1
الفترة ][a,b ][2,3
𝟒𝟐 𝟏
𝟐
𝟓𝟒
𝟒
𝟐
𝟒𝟐
𝟑
𝟐
1
][3,4
𝟗 𝟒𝟐
𝟔
𝟔
𝟐
𝟑
𝟓𝟒
𝟒𝟐
∑
,
𝟏𝟓
𝟐𝟎𝟏 𝟐
317
, 𝟑𝟑
𝟗𝟔
𝟐
𝟑𝟑
𝟒𝟐
,
𝟗 ,
𝟐
∑
,
)𝟑
𝟐 𝟑( ∫
𝟒
𝟐
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل 𝟐 𝟑
س / 4أوجد لٌمة تمرٌبٌة للتكامل الحل /الدالة
∫ حٌث أ 𝟒 حنها ك ٌرة حدود
دالة مستمرة على الفترة 𝟐 𝟑,
𝟎
𝟐𝟏
𝟒
𝟑
𝟏
𝟖
𝟒
𝟐
𝟐
𝟐𝟏
𝟒
𝟑
𝟏
𝟒
𝟎
𝟏
𝟖
𝟒
𝟐
𝟐
𝟒
𝟐
𝟐
𝟖
𝟎𝟐
∑
𝟐𝟏
طول الفترة 𝟏
3
الفترة ][a,b ][-3,0
𝟒
𝟎
𝟐
2
][0,2
𝟎𝟐
𝟖
𝟐𝟏
𝟒
,
,
𝟒
𝟑
,
∑
أو نحل حسب التجزٌ ات التالٌة
𝟐𝟏
𝟒
𝟑
𝟏
𝟖
𝟒
𝟐
𝟐
𝟐𝟏
𝟒
𝟑
𝟏
𝟖
𝟒
𝟐
𝟐
𝟖
𝟎𝟐
𝟏
𝟒
𝟒
𝟐
∑
𝟐𝟏
س /5أوجد لٌمة التكامل
𝟒
𝟐
,
, 𝟎𝟒 𝟐
𝟎𝟐
𝟑
𝟒
𝟏
𝟑 𝟏
𝟎𝟐 𝟎𝟐
𝟖
طول الفترة 𝟏
2
الفترة ][a,b ][-3,-1
𝟐
3
][-1,2
𝟐𝟏
∑
,
𝟎𝟐
,
𝟐
, 𝟐
𝟒
𝟐
∫ 𝟑
𝟓
𝟏∫ بأستلدام أربعة تجزٌ ات ممكنة
الحل / ) التوجد نقطة حرجة و الدالة متزاٌدة(
𝟐 𝟑
𝟎
𝟑
𝟒 𝟒
𝟏
𝟓
𝟏 𝟒
الفترات 𝟓 𝟏, 𝟐 , 𝟐, 𝟑 , 𝟑, 𝟒 , 𝟒, طول الفترة 𝟖 𝟏
𝟏
𝟖 𝟕𝟐
𝟕𝟐 𝟏
𝟐
𝟔4
𝟒𝟔 𝟏
𝟑
𝟓𝟐𝟏 𝟏
𝟒
𝟓𝟐𝟏
𝟒𝟐𝟐
𝟓𝟐𝟏
𝟒𝟔
𝟕𝟐
𝟏
𝟏 𝟏
𝟖 𝟕𝟐 𝟔4
𝟖
𝟖 𝟕𝟐
𝟏
𝟖 𝟏 𝟕𝟐 𝟏
𝟑
𝟒𝟔
𝟒𝟔 𝟏
𝟒
𝟓𝟐𝟏
∑
𝟐
,
𝟐
𝟖 𝟕𝟐
𝟑 𝟒
𝟑
𝟓
𝟒
𝟒𝟔
𝟎𝟎𝟏
𝟒𝟔
,
𝟐𝟔𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟐
𝟒𝟐𝟑 𝟐
318
𝟒𝟐𝟐
𝟏
𝟐 𝟑
𝟑
1
][3,4
𝟒
𝟒
1
][4,5
𝟕𝟐
𝟎𝟎𝟏
𝟐
1 1
الفترة ][a,b ][1,2 ][2,3
𝟐
𝟖
𝟏
,
∑ ,
𝟐
, 𝟓 𝟑 ∫ 𝟏
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
أمثلة أضافٌة محلولة م ييييال /لييييتك 𝟑 𝟎, 𝟏, 𝟐,
𝟑 𝟎, ولييييتك 𝟒 𝟐 𝟑 𝛔 أو بأستلدام الث تجزٌ ات متساوٌة
أوجــييييـد لٌمــييييـة تمرٌبٌيييية للتكامييييل باســييييـتلدام التجز يييية
الحل / 𝟐 𝟑
𝟏𝟎 ,
𝟔
𝟒
𝟒 أصغر قٌمة 𝟑
أكبر قٌمة 𝟎
𝟒
𝟏
𝟔
𝟒
𝟒 𝟑
𝟏
𝟐
𝟐 ) ( 𝟑
𝟎
𝟑 𝟑
𝟏
𝟐 𝟑
𝟎
𝟎
𝟑
𝟑 𝟑
الفترات 𝟑 𝟎, 𝟏 , 𝟏, 𝟐 , 𝟐,
𝟓𝟏
𝟎
𝟎 𝟏
𝟏
𝟒
𝟒 𝟏
𝟐
𝟓𝟏 𝟏
𝟑
𝟗𝟏
𝟒 𝟑
𝟒 / 𝟑
𝟏 .
𝟏
𝟎
𝟎
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟐
𝟒
𝟐
𝟐
𝟒 𝟏
𝟑
𝟓𝟏
𝟑
𝟑
𝟒
𝟓𝟏 𝟏𝟑 𝟑
𝟒
𝟎
𝟏 𝟐𝟔 ) () 𝟐 𝟑
(
∑
,
𝟐𝟔 ) ( 𝟑 𝟐
𝟕𝟓 ) 𝟑 𝟐
319
𝟒 𝟑
. /
𝟏
1
][0,1
𝟏
𝟐
1
][1,2
𝟐
𝟑
1
][2,3
𝟐 𝟑
𝟏
𝟒
𝟓 𝟑
, 𝟓 (
طول الفترة
الفترة ][a,b
𝟓 ) ( 𝟑
𝟗𝟏 𝟐
𝟒
𝟏
𝟒 𝟑
,
∑ ,
𝟐
, 𝟑
∫ 𝟎
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
ولتك
م ال /لتك
𝟎,
أوجد لٌمة تمرٌبٌة للتكامل بأستلدام تجز تٌ متساوٌتا
الحل / 𝟎,
𝟎
𝟐 أصغر قٌمة 𝟎
أكبر قٌمة 𝟏
𝟎
) ( 𝟐
𝟏
𝟎
𝟎
𝟐
طول الفترة
𝟐 𝟐
𝟏 ) (
𝟏
𝟎
𝟎 ) (
𝟏
𝟏
𝟏 ) (
𝟐
𝟎
𝟎 ) (
𝟐
𝟏
𝟐 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟎
𝟐
𝟐
𝟎
∑
𝟐
,
𝟎
𝟎
, 𝟎 𝟐
𝟎
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐 𝟎
,
𝟐
] [𝟎 , 𝟐
] ∑
,
الفترة ][a,b
[𝟐,
, ∫
𝟐
𝟎
******************************************************************
𝟏
𝟐
س : 1أوجييد لٌميية التكامييل
𝟎∫ بأسييتلدام التجز يية ) 𝟏 ,
𝟑
,
𝟒
𝟏
,
𝟐
𝟏 𝟒
( 𝟎,
𝛔
أي بأسييتلدام أربييع
تجزٌ ات منتظمة 𝟐
س : 2أوجد لٌمة التكامل س : 3ليييتك تجزٌ ات منتظمة
وليييتك
س : 4ليييييتك ) , 𝟎, 𝟔
𝟔
𝟏
𝟎∫ بأستلدام التجز ة ) 𝟏 ,
وليييييتك ,
𝟐
(
𝟗 𝟎𝟏
,
𝟏 𝟑
,
𝟏 𝟒
( 𝟎,
𝛔
أوجـــيييـد لٌمييية تمرٌبٌييية للتكاميييل بأســــيييـتلدام أربيييع
,
, +
𝟔 𝟐
*
𝛔
320
أوجيييييد لٌمييييية تمرٌبٌييييية للتكامــيييييـل باســـيييييـتلدام
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
النظرٌة احساسٌة للتكامــــــــــل – الدالة الممابلة أذا كانت
دالة مستمرة على الفترة
,
اأنه توجد دالة Fمستمرة على الفترة
بحٌث :
, ,
∫ حٌث تسمى
وٌكو م ال ( ) /أذا كانت
,
الدالة الممابلة للدالة fعلى الفترة 𝟐
دالة مستمرة على الفترة 𝟓 𝟏,بحٌث
, 𝟓
دالة ممابلة للدالة fاجد لٌمة
𝟑
𝟏∫
الحل / 𝟓
𝟐𝟕
𝟑
𝟏 𝟑
𝟓𝟕
𝟏
𝟓𝟐 𝟑
∫
𝟓
𝟏
وٌمك أ نكتب ذلن بالصورة احتٌة : 𝟓 𝟐𝟕
𝟑
𝟓𝟕
𝟐
𝟓
𝟓
𝟑
𝟏
∫ 𝟏
𝟏
م ال ( /)2أذا كانت fدالة مستمرة على الفترة *𝟎, +و أ الدالة الممابلة للدالة fهً : 𝟐
*𝟎, 𝟐 +
,
𝟐𝟎∫
اأوجد لٌمة
الحل / 𝟎
𝟑
م ال ( /)3أ بت أ الدالة 𝟐 الحل ∵ /
𝟐
𝟑
𝟎
𝟏
,
𝟎
𝟑 𝟏,
هً دالة مستمرة ولابلة لألشتماق على
∴ Fهً دالة مستمرة على 𝟑 𝟏,و لابلة لألشتماق على
) ( 𝟐
هً دالة ممابلة للدالة
) ( 𝟐
𝟐
𝟎
𝟑
( حنها ك ٌرة حدود )
𝟑 𝟏, 𝟑 𝟏,
∴ Fهً دالة ممابلة للدالة
𝟎
𝟐
على 𝟑 𝟏,
321
∫
𝟐
𝟑
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
م ال ( /)4أ بت أ الدالة 𝟐
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎 𝟏
𝟐
,
𝟐
هً دالة ممابلة للدالة
,
م جد لٌمة
𝟐
𝟒𝟎∫
الحل /
∵
هً دالة مستمرة و لابلة لألشتماق
𝟐 𝟐
𝟏
هً دالة مستمرة ولابلة لألشتماق أٌضا
𝟐
𝟐
∴
𝟐
𝟐
𝟏 𝟐
هً دالة مقابلة للدالة
∫
𝟏 𝟐
𝟏 𝟎 𝟐
𝟏 𝟏 𝟐
]𝟎
𝟏 𝟐
[
]) ( 𝟐
𝟏 𝟐
[
] 𝟎 𝟐
322
𝟏 𝟐
[
]) ( 𝟐 𝟒
𝟏 𝟐
[
𝟒
] 𝟐
𝟎
𝟏 𝟐
[
𝟐
𝟒
∫
𝟎
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
والجدول أدناه ٌوضح العاللة بٌ fوالدالة الممابلة لها F الدالة
الدالة الممابلة لها
𝟏
𝟏
𝟏
,
𝟏
𝟏
𝟏
,
𝟏
𝟏
𝟏
,
𝟏 𝟏
𝟏 𝟐
𝟏 𝟐
𝟏
𝟏
من الجدول نستنتج مجموعة الدوال الممابلة حٌة دالة
∫ كما اً الجدول أعاله هً F+Cحٌث أ Cعدد ابت حمٌمً
323
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
م ال ( ) /أوجد
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐
𝟒𝟎∫
الحل /
𝟏
𝟐
م ال ( /)6أوجد
𝟏
𝟎
𝟎
𝟒 𝟎
𝟒
𝟒
𝟐
∫
𝟎
𝟐∫ 𝟒
الحل /
𝟏
م ال ( /)7أوجد
𝟏
+
𝟎
𝟒
𝟐
*
𝟐
𝟐
𝟐
𝟒
∫
𝟒
𝟑𝟎∫
الحل /
𝟏
𝟏
م ال ( /)8أوجد
𝟐
𝟏 𝟏 ) ( 𝟐
𝟏
𝟑
𝟏 𝟎
𝟏
𝟎
𝟑 𝟎
𝟑
𝟑
𝟑
∫
𝟎
𝟑
𝟏∫
الحل /
𝟎𝟐
324
𝟎𝟖 𝟒
𝟏 ] 𝟒
𝟏𝟖 𝟒
𝟑 𝟒
[
1 𝟏
𝟒
𝟑
0
𝟑
∫ 𝟏
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
لواص التكامـــــل المحدد أوال Ⓘ :أذا كانت
دالة مستمرة على
فأن 𝟎
وكانت
,
𝟎 ,
,
مثالً :
∫ 𝟐 𝟐
ألن ∶
∫
𝟎
𝑥𝑑
𝟎
𝑥𝑑 𝟑 ∫
,2
,
𝜖𝑥
2
0
𝑥
𝑎
𝑥 𝑓
𝟏 𝟑
ألن ∶
2,
,
𝜖𝑥
0
𝑏
𝑥 𝑓
𝟐 𝟑
𝟎
∫
𝑥𝑑 𝟏
ألن ∶
𝑥𝜖 2,
,
𝑥
0
𝑐
𝑥 𝑓
𝟐
② أذا كانت
, دالة مستمرة على مثالً : ∫
فأن 𝟎
وكانت
𝟎 ,
,
𝟐
∫
𝟎 < 𝑥𝑑 𝟐
ألن ∶
𝑥𝜖 ,2
,
𝑎
𝑓 𝑥 <0
𝟏 𝟏
∫
𝟎 < 𝑥𝑑
ألن ∶
2,
𝜖𝑥
,
𝑏
𝑓 𝑥 <0
𝟐
انٌا :أذا كانت 𝒙
دالة مستمرة على
𝒃 𝒇 𝒂∫ 𝑪
م ال ( /)9أذا كا
𝒙 𝒇𝑪 𝟖
,
وكان Cعدد حقٌقً ثابت فأن
𝒃 𝒂∫ 𝟓
𝟐∫ اأوجد
𝟓
𝟓 𝟐∫
الحل / 𝟎𝟒
325
𝟖𝟓
𝟓
∫𝟓
𝟐
𝟓
𝟓
∫ 𝟐
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
ال ا :أذا كانت
𝟐
,
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
دالتٌن مستمرة على
𝟏
𝒃
فأن
,
𝒃
𝒂∫
𝟐
𝒂∫
𝟏
وٌمكننا تعمٌم هذه الخاصٌة على مجموع أي عدد محدد من الدوال المستمرة على م ال (/)10
𝟑
أذا كانت 𝟕𝟏
,
𝟏∫
𝟐
𝟑
𝟓𝟏
𝟏
)
𝟐
𝟏
𝟐
,
اأوجد كال م :
𝟏∫
𝟑 𝟏
𝒃
𝒂∫
𝟑
,
( ∫
)
𝟏
𝟐
( ∫ 𝟏
𝟏
الحل / 𝟑
2
𝟐
2
𝟐
𝟑
∫
∫
𝟏
𝟏
م ال ( /)11أذا كانت
𝟐
𝟏
𝟑
∫
𝟑
∫
𝟏
𝟏
𝟐
)
𝟐
𝟏
( ∫
𝟏
𝟑
)
𝟐
𝟏
( ∫
𝟏
𝟏
𝟐
اأوجد
𝟑
𝟑
𝟏∫
الحل / 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 ∫
𝟐
𝟑 ∫
𝟏
𝟐
𝟐
𝟑 ∫
𝟏
𝟏
𝟐
0
رابعا :أذا كانت
دالة مستمرة على
𝟑∫
,
𝟏
فأن :
,
𝒃
𝒄
𝑥𝑑 𝑥 𝒇 ∫ م ال ( /)12أذا كانت 𝟖
𝟑
𝟓
𝟏∫
𝒃
𝑥𝑑 𝑥 𝒇 ∫
𝒄 𝟕
𝟏
𝟑
𝟏
,
∫
𝟐 𝟐
4
وكانت
𝟐
𝒂
𝑥𝑑 𝑥 𝒇 ∫ 𝒂
𝟕
اأوجد
𝟏∫
الحل / 𝟕
𝟑𝟏
𝟖
326
𝟓
𝟑
𝟕
∫
∫
∫
𝟑
𝟏
𝟏
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
م ال ( /)13أذا كا
الحل /
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎 𝟒 𝟑
أوجد
| |
دالة مستمرة على 𝟒 𝟑,
∫
ولها لاعدتا هما : 𝟎 𝟎< 𝟒
𝟎 𝟐
𝟐
1
𝟐
𝟎
م ال (/)14 الحل /
أذا كا
الدالة
𝟏 𝟏<
0
𝟐
𝟑
2 2
𝟏
𝟒
∫ 9
∫
𝟑
9 ]) 2
[
(
𝟑
[0
𝟓
اأوجد
𝟎∫
مستمرة على الفترة 𝟓 𝟎,وذلن حنها مستمرة عند 𝟏
ح معرفة 𝟑
𝟏
𝟒
∫
6 2
]0
2
𝟐 , 𝟑
𝟎
𝟎
6
,
𝟏
𝟑
𝟑
𝟐
𝟏
𝟏
𝟏 𝟐
𝟐 {
𝟑
𝟏
𝟐
𝟏 ∴ الدالة ∵ الدالة
مستمرة على كل م }𝟏 مستمرة على الفترة 𝟓 𝟎,
𝟏
𝟏
{ < 𝟏} ,
𝟓
موجودة 𝟑
𝟓
𝟑 𝟎∫
𝟏
𝟎∫
𝟏∫ 𝟏
𝟓 𝟏𝟑
𝟖𝟐
𝟑
𝟐
𝟎𝟑
∴
𝟏
{
𝟏
𝟐 𝟏∫
=
𝟏
∵
𝟎
𝟐
𝟑 𝟏
327
𝟑 𝟎
𝟓
𝟎∫ ∴
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
م ال /أذا كا الحل /
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟏 𝟏<
الدالة
𝟐
𝟐 𝟏
𝟑{ 𝟔
𝟑 𝟐
اأوجد
مستمرة على الفترة 𝟑 𝟐,
∫ ح
وذلن حنها مستمرة عند 𝟏 معرفة 𝟓 𝟓
𝟏
𝟓
𝟐
𝟏 𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟏
𝟏 𝟑
𝟑
{
𝟔
𝟏
𝟐
𝟏 ∴ الدالة ∵ الدالة
مستمرة على كل م }𝟏 مستمرة على الفترة 𝟑 𝟐, 𝟐
𝟐
𝟏
{ < 𝟏} ,
𝟑
𝟏
𝟑 𝟏∫
𝟔
موجودة 𝟓
𝟏 𝟐
𝟐𝟐
𝟒𝟑
𝟐𝟏
𝟑
| |
𝟐
𝟑
الحل /
∴
𝟏
𝟐
𝟐
𝟑 𝟐
∫
∫ ∴
𝟏 𝟐
𝟑
𝟏
م ال /أذا كا
𝟏 𝟐
𝟏∫
𝟑 𝟔𝟑
𝟏
{
∫
𝟒𝟏
=
∵
𝟑
𝟐
𝟒 𝟑
اأوجد
∫
نفس طرٌمة أ بات الحل اً الس ال السابك 𝟎 𝟎< 𝟒
𝟑 1 𝟎
𝟎 𝟐
𝟐
𝟐
0
𝟕𝟔 𝟐
1 𝟑
𝟑
𝟒
𝟐
𝟎𝟒
𝟑
𝟕𝟐 𝟐
328
𝟑0
𝟑
𝟎
∫
]𝟎
)𝟐𝟏
𝟒
𝟑 ∫
𝟎
𝟔𝟏 ([ 𝟐
,
𝟑
𝟗 ]) 𝟐
𝟗 (
∫ 𝟑
𝟎[
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
لامسا: ∫
,
∫
∫
𝟎
مثالً : 9 2
𝟎
𝟑
9 2
𝟐
1 𝟑
𝟑
𝟐
∫
0
𝟑
𝟑 𝟐
𝟐 𝟐
𝟑 ∫
𝟑 ∫
𝟐
2
9
𝟑
2 2
تمارين 𝟑
𝟒
س /1أحسب كال م التكامالت التالٌة : 𝟎𝟏
𝟖
𝟐
𝟒
𝟔
𝟔
𝟒
𝟒 𝟑 𝟐
𝟒1
𝟐
𝟏
𝟐
]
0
𝟐
1
𝟏
𝟏 𝟐
𝟐𝟐𝟑 𝟓
𝟎𝟖 𝟐𝟒𝟐 𝟓
𝟒
𝟔𝟏
𝟏
𝟏 𝟐
𝟐𝟒𝟐 𝟓
𝟒 𝟑 0 𝟐
𝟒1
[
𝟏
𝟓
𝟏
]𝟐
𝟏
𝟏 𝟓
[
𝟏
]𝟖𝟏
329
𝟐
𝟑𝟒𝟐 𝟓
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐 𝟐 )𝟐
𝟐
𝟐 1
𝟑0
𝟑 ∫
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
0
𝟏
𝟏
𝟐
∫
(
𝟑
1
𝟏
𝟐
𝟏
𝟏 𝟐
𝟒
[
𝟐
𝟑
𝟓 𝟐
𝟐
𝟓
0
𝟒
𝟒
∫ 𝟏
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝟐
| ∫
|𝟏
𝟎
𝟏 𝟏< 2
2
1
2
2
0
𝟏
1
2
])
𝟐
(
|𝟏
𝟐
2
0
2
∫
|𝟏
∫
| ∫ 𝟎
])
2
( 2
2
𝟐 𝟎 0 𝟐
𝟎
𝟐
) ( 𝟐 [ 𝟐
𝟏 𝟏
,
|
𝟎 1
[ 2
)
]0
([
2
𝟎
𝟐
1
𝟐
∫
0
𝟐
𝟐 𝟐 𝟐
𝟖
)𝟒(
𝟐
𝟏
𝟏
]𝟏
𝟖
𝟐
[
𝟎
𝟎
مالحظة
𝟑 𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
∫
9 6
/
2
2
𝟏
2
4
6
𝟐
21/
.
𝟏 𝟏
∫
𝟏
𝟐
6
𝟑
4 2
0
𝟑
1
𝟑
9 2
4
2
1
4
2
0
𝟓
𝟒
𝟏 𝟏
∫ 𝟐
2
.0
𝟐 ∫
1
𝟓
0
4
330
𝟑
0
2
2
𝟒
𝟑
𝟐
𝟏
𝟏
∫
2 2
𝟑 𝟐
𝟑
𝟑
𝟐
]
2
𝟐
𝟑
∫ 𝟏
[9
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
س /2أ بت أ الدالة 𝟔
حٌث
𝟏
ن بت أ
هً دالة ممابلة للدالة ) f(xحٌث
حٌث
*𝟎, +
الحل /
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
لـكً ن بت أ
م أحسب
*𝟎, + 𝟔
𝟔𝟎∫
دالة ممابلة للدالة
*𝟎, +
مستمرة على الفترة
𝟔
*𝟎, +
,
𝟔
∴
مستمرة اً مجالها
∴
دالة ممابلة للدالة
̅
𝟏
𝟑 𝟔
𝟏 𝟐
𝟔
𝟎
𝟎
]
𝟔
𝟔
𝟎
[
𝟔
) (
𝟔
𝟎
س /3أوجد كال م التكامالت التالٌة : 𝟒
)𝟐
𝟒
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
0
𝟖
𝟒
( ∫
𝟐
)𝟏
𝟐
( 𝟐
∫
𝟏
𝟐1
𝟑 𝟐
𝟏 𝟒
𝟏
∫
𝟐
𝟏
𝟒
𝟒𝟐
𝟒 𝟐
𝟒𝟔
𝟐 𝟑 𝟐
𝟒
𝟓 𝟔𝟑𝟏 𝟒
𝟓 𝟒
] 𝟐 𝟏
𝟏𝟒𝟏 𝟒
331
𝟏
𝟒
𝟒
)𝟐
[
𝟑
𝟑
( ∫ 𝟏
𝟒𝟑
𝟐
∫
𝟑 𝟐
𝟏 𝟒
𝟐𝟑
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝟏
| ∫
|𝟏
𝟏
𝟏
𝟏 ) خارج الفترة( 𝟏 <
{ 𝟏
|
|𝟏
2
)
𝟐
𝟑
)𝟏
𝟐
( 𝟏
𝟐
)𝟏
∫
2
𝟐
]𝟐
𝟐
𝟖 𝟑
𝟗 𝟐
]𝟑
𝟒[ 𝟑𝟏𝟑 𝟐𝟏
𝟏 ) ( 𝟐
)𝟒
(
( 𝟏 𝟏
( 2
∫
𝟐
)𝟏
∫ 𝟑
𝟐
1
[
𝟏 ) ( ( 𝟐
𝟖𝟒
()𝟏
𝟑
𝟔𝟕 𝟓𝟏
𝟎𝟒 𝟎𝟑 𝟓𝟏
𝟔
𝟎
𝟖 ] 𝟑
𝟐
𝟐 𝟓
[
𝟐
𝟑
𝟖 𝟑
𝟗 𝟐
𝟏𝟖 𝟒
0
𝟐 , 𝟔
𝟑 س /4أذا كانت 𝟑< الحل /نبره أ الدالة
∫
𝟑 ) ( 𝟐
𝟒
𝟖 𝟑
𝟒
√𝟒
𝟐
𝟓 ) ( 𝟐
𝟐
𝟓 ) ( 𝟐
𝟑
( ∫
𝟖
𝟗 𝟐
𝟐𝟏
𝟏𝟖 𝟒
𝟏
𝟐
( √ ∫
√( √ ∫
)𝟐
𝟏 ) ( ) 𝟐
[
𝟎
𝟒
𝟒
𝟑 ) ( 𝟐
𝟏
( ∫ 𝟎
𝟒
اأوجد
𝟏∫
مستمرة على الفترة 𝟒 𝟏,
𝟐
𝟔
𝟏
𝟒
𝟗
𝟔𝟏
𝟔
𝟑 𝟐
𝟖𝟏 𝟑
332
𝟔 𝟏
(
𝟑 𝟐 𝟐
) الدالة مستمرة عندما 𝟑
𝟗𝟏
𝟐
𝟎
𝟏
𝟕
∫
𝟐
) الدالة معرفة عندما 𝟑
𝟐𝟏
𝟐
)𝟏
𝟏
)𝟒
𝟑
𝟑
𝟏
𝟏 𝟑 ) ( 𝟐
𝟎
∫ 𝟐
𝟎
]
𝟑
𝟒
𝟏 𝟏
𝟒
𝟒
𝟐
𝟐
(
𝟏
𝟐
𝟒𝟓 𝟑𝟒𝟐 𝟐𝟏
𝟒
2
𝟑
𝟏
𝟏𝟖 𝟒
𝟗
𝟐𝟑
)
1
0
|𝟏
| ∫
𝟔
𝟑
𝟑 𝟐
𝟐 𝟔
(
{
𝟔 𝟔
𝟑
𝟑
𝟒
𝟑
𝟐 ∫
𝟔 ∫
𝟑
𝟑
𝟏
𝟒
∫ 𝟏
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل 𝟐
𝟎 𝟎<
س /5أذا كا
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الحل /نبره أ الدالة
𝟑{ 𝟐
𝟑 𝟏
اأوجد
مستمرة على الفترة 𝟑 𝟏,
وذلن بأ بات أنها مستمرة عند 𝟎
) الدالة معرفة عندما 𝟎
𝟏
( 𝟐
𝟎
𝟏 𝟐
𝟔𝟐
𝟕𝟐
𝟏
𝟎
𝟕𝟐
𝟏
𝟎
𝟎 𝟑
(
𝟐
𝟎
𝟎 𝟑
{
𝟎
𝟎
𝟎 𝟎
𝟑 ∫
𝟑
𝟐 ∫
𝟎
𝟏
𝟎
𝟎
𝟑 𝟐
𝟎
𝟐 𝟔
𝟎 𝟑
𝟐
𝟑
𝟎 𝟐
) الدالة مستمرة عندما 𝟎
𝟐
𝟎
𝟎
𝟐
𝟑
∫
وزاري / 2014د1
∫ 𝟏
𝟏
******************************************************************
التكامـــل الغٌــر المحدد دالة ممابلة Fاأنه ٌوجد عدد ال نها ً م الدوال الممابلة للدالة fوكل المستمرة على الفترة , أذا كانت للدالة منها ٌساوي F + Cحٌث ٌ Cم ل عدد ابت والفرق بٌ أك ر م أ نٌ منها ٌساوي عدد ابت تســـــمى مجموعــــة الدوال الممابلـــــة على الصورة F+Cبالتكامل غٌر المحدد للدالية 𝒇 المسيتمرة عليى الفتيرة ,وٌرمز لها بالرمز 𝒙𝒅 𝒙 𝒇 ∫ أذا كا رمز متغٌر الدالة هو 𝒙 ٌ صطلح على كتابة التكامل غٌر المحدد بالصورة 𝐑 𝑪 𝑪 , 𝒙 𝑭 𝒙𝒅 𝒙 𝒇 ∫ عملٌة التكامل غٌر المحدد هو العملٌة المعاكسة لعملٌة التفاضل أي أحداهما تنهً دور احلرى م ال (/)1
أوجد التكامل للدوال التالٌة : 𝒄
𝒙
𝟐𝒙
𝒄
𝟑𝒙 𝟏 𝒙
𝒄
𝟐𝒙 𝟐
𝒙
𝟐
𝟏
𝒄
𝒙 𝐧𝐢𝐬
𝒄
𝒄
333
𝒙
𝟏 𝒙𝒄𝒆𝒔
𝟒
𝟑𝒙 𝟑
𝒙𝒅)𝟏
𝟑
𝒙 𝐧𝐢𝐬
𝟐𝒙 𝟐
𝒙𝟐
𝒙𝒅) 𝟐 𝒙
𝟐𝒙𝟑(∫
𝒂
𝒙 𝐬𝐨𝐜(∫
𝒃
𝒙 ∫
𝒄
𝒙𝟐 𝐧𝐢𝐬 ∫
𝒅
𝒙𝒅 𝒙 𝐧𝐚𝐭 𝒙 𝐜𝐞𝐬
𝟏 𝒙𝟐 𝐬𝐨𝐜 𝟐
𝒙𝒅 𝟒
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
م ال (/)2
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
جد التكامالت لكل مما ٌأتً : 𝟑
)𝟑
𝒄 𝒙𝟑 2
𝒙𝒅 𝟒
𝟔
𝒙𝟖
)𝟓
𝟏 𝟐
𝟕
𝒄
𝟕
𝟓
𝒙𝟖
𝒄
𝟒𝟏
𝟔
𝒙𝒅 𝟒
𝒙𝟑 )𝟓
𝟓
𝒙𝟖
𝟐𝒙𝟑
𝒙𝟖
𝒄
𝟐
𝒙 𝟓𝐧𝐢𝐬 𝟓
𝑥 𝟕𝒏𝒂𝒕 𝟕
𝟐𝒙𝟑(∫
𝒃
𝟏
𝟕 𝒄
𝒂
𝒙𝒅 𝒙𝟐 )𝟑
𝟑
𝟐𝒙𝟑(∫ . /
𝟐𝒙𝟑
𝟐𝒙 (
𝟐
𝟐𝒙(∫
𝟒
𝒙𝒅 𝒙 𝐬𝐨𝐜 𝒙 𝐧𝐢𝐬 ∫
𝒄
𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝐜𝐞𝐬 𝑥 𝟔𝒏𝒂𝒕 ∫
𝒅
بعض العاللات اً الدوال الم ل ٌة
𝜽𝟐𝒏𝒊𝒔𝟐 𝟏
𝟏
𝜽 𝟐𝒔𝒐𝒄𝟐
𝟏
𝜽 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝜽 𝟐𝒏𝒊𝒔 𝟏
𝜽 𝟐𝒏𝒊𝒔
𝜽 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝜽𝟐𝒔𝒐𝒄 𝟐
𝜽 𝟐𝒏𝒊𝒔 )𝜽 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝜽 𝟐𝒏𝒊𝒔
𝟏
𝜽𝟐𝒔𝒐𝒄 𝟑
𝜽 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝜽𝟐𝒔𝒐𝒄
𝟒
𝜽𝟐𝒔𝒐𝒄
𝟏 𝟏 𝟐
𝜽 𝟐𝒏𝒊𝒔
𝟓
𝜽𝟐𝒔𝒐𝒄
𝟏 𝟏 𝟐
𝜽 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝟔
𝟏(
𝟏
𝜽 𝟐𝒏𝒂𝒕
𝜽 𝟐 𝐜𝐞𝐬
𝟕
𝒙 𝑩
𝑨 𝒏𝒊𝒔
𝒙 𝑩
𝟏 𝑨 𝒏𝒊𝒔 𝟐
𝐱𝑩𝒔𝒐𝒄 𝒙𝑨𝒏𝒊𝒔 𝟖
𝒙 𝑩
𝑨 𝒔𝒐𝒄
𝒙 𝑩
𝟏 𝑨 𝒔𝒐𝒄 𝟐
𝐱𝑩𝒔𝒐𝒄 𝒙𝑨𝒔𝒐𝒄 𝟗
𝒙 𝑩
𝑨 𝒔𝒐𝒄
𝒙 𝑩
𝟏 𝑨 𝒔𝒐𝒄 𝟐
𝒙𝑩𝒏𝒊𝒔 𝒙𝑨𝒏𝒊𝒔 𝟎𝟏
𝜃𝑠𝒐𝒄 𝜽𝒏𝒊𝒔𝟐
334
𝜽𝟐𝒏𝒊𝒔 𝟏𝟏
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
تكامالت الدوال المثلثٌة التربٌعٌة 𝒄
𝜽𝒏𝒂𝒕
𝒄
𝒄
𝜽
𝜽𝒏𝒂𝒕
𝒄
𝜽
𝜽𝒕𝒐𝒄
𝜽𝒅 ∫
𝜽𝒅 ∫
𝜽𝒅 𝜽 𝟐 𝐜𝐞𝐬 ∫
𝜽𝒅 𝟏
𝜽 𝟐 𝐜𝐞𝐬 ∫
𝜽𝒅 𝜽 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫ 𝟑
𝜽𝒅 𝜽 𝟐 𝐜𝐬𝐜 ∫
𝜽𝒅 𝟏
𝜽 𝟐 𝐜𝐬𝐜 ∫
𝜽𝒅 𝜽 𝟐𝒕𝒐𝒄 ∫ 𝟒
∫
𝜽𝒅 𝜽 𝟐𝐧𝐢𝐬 ∫ 𝟓
𝒄
𝟏 )𝜽𝟐 𝐧𝐢𝐬 𝟐
𝟏 𝜽( 𝟐
𝟏 )𝜽𝒅 𝟐 𝜽𝟐 𝐬𝐨𝐜 ∫ 𝟐
𝒄
𝟏 )𝜽𝟐 𝐧𝐢𝐬 𝟐
𝟏 𝜽( 𝟐
𝟏 )𝜽𝒅 𝟐 𝜽𝟐 𝐬𝐨𝐜 ∫ 𝟐
𝜽𝟐 𝐬𝐨𝐜 𝟏 𝜽𝒅 𝜽𝒅 ∫( 𝟐 𝟐 𝟏 𝑐 𝜽𝟐 𝐧𝐢𝐬 𝟒
أم لة ( م الكتاب صفحة 185وصفحة ) 186
𝒙𝒅 𝒙 𝐬𝐨𝐜 𝒙 𝐧𝐢𝐬 𝟐 𝒙𝒅 𝒄
𝟐
𝒙𝒏𝒊𝒔
𝒙𝒔𝒐𝒄
𝒙𝒏𝒊𝒔 𝒄
𝒙𝒔𝒐𝒄 ∓
∫
𝟏 𝟑
𝒙𝒏𝒊𝒔
𝒙𝒅 𝟑𝒙 𝐧𝐢𝐬 𝟐𝒙𝟑 ∫
𝒙 𝟐𝐬𝐨𝐜
𝒙𝒅 𝒙 𝟐 𝐬𝐨𝐜 𝒙𝒔𝒐𝒄
𝟏
𝟏 𝜽 𝟐 𝟏
𝒙 𝟐𝐧𝐢𝐬
∫
𝒙 𝐬𝐨𝐜 𝒙 𝐧𝐢𝐬 𝟐 𝒙𝒅 𝒙𝒔𝒐𝒄
𝜽𝒅 𝜽 𝟐𝒔𝒐𝒄 ∫ 𝟔
∫
𝟏 𝜽 𝟐
𝒙𝒅 𝒙𝟑 𝐧𝐢𝐬 𝟑 ∫ 𝟑
𝒙𝟑 𝒔𝒐𝒄𝟑
𝟑𝒙 𝒔𝒐𝒄
𝒄
𝜽𝒅 𝜽 𝟐𝒄𝒔𝒄 ∫ 𝟐
𝜽𝒕𝒐𝒄
𝜽𝟐 𝐬𝐨𝐜 𝟏 𝜽𝒅 𝜽𝒅 ∫( 𝟐 𝟐 𝟏 𝒄 𝜽𝟐 𝐧𝐢𝐬 𝟒
𝒄
𝜽𝒅 𝜽 𝟐 𝐜𝐞𝐬 ∫ 𝟏
𝟏 𝟑
𝒙𝒅 𝒙𝟑 𝐧𝐢𝐬 𝟗 ∫ 𝟏 𝒙𝒅 𝟑𝒙 𝐧𝐢𝐬 𝟐𝒙 ∫ 𝟐
𝒙𝒅 𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 𝒙 𝟐𝐧𝐢𝐬
∫
𝒙𝒏𝒊𝒔
∫
𝟏√ ∫
𝟑
وزاري / 2012د3 𝒙𝒅 )𝒙𝟐 𝟐𝒔𝒐𝒄 𝟏 𝟏 𝟐
𝒙𝒅 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 / 𝒄
𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄𝟐 ∫
𝟏 𝟒
𝟏( ∫
𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄𝟐 ∫
𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙/ 𝟖
𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔
𝟐
𝒙𝒅 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙 1
𝟏 𝟏 ∫0 𝟐
𝟐
𝟐
𝒙𝒅 )𝒙 𝒏𝒊𝒔( ∫
𝟏 𝟏 ∫( 𝒙𝒅 ) 𝒙𝟐 𝟐𝒔𝒐𝒄 ∫ 𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄𝟐 ∫ ∫. 𝟒 𝟒 𝟏 𝟏 𝟏 𝟑 𝟏 𝒙 𝒄 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙/ 𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 𝒙. 𝒙 . 𝟒 𝟐 𝟖 𝟐 𝟒 𝟑 𝟏 𝟏 𝒙 𝒙𝟐 𝒏𝒊𝒔 𝒙𝟒 𝒏𝒊𝒔 𝒄 𝟖 𝟒 𝟐𝟑
335
𝟒
𝒙𝒅 𝒙 𝒏𝒊𝒔 ∫
4
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل 𝟖
𝐱 𝐬𝐨𝐜 𝟖
𝒙
𝟐
𝒄
𝟏 𝒙 𝟐𝐧𝐚𝐭 𝟐
𝒄
𝒄
𝐧𝐚𝐭
𝒙 𝟑𝐧𝐢𝐬 𝟑
𝐱𝐝 𝐱𝐧𝐢𝐬
𝟐
𝒙𝒅 𝒙 𝐜𝐞𝐬 𝒙
𝟐
𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝐧𝐢𝐬 𝒄
𝐱𝐧𝐢𝐬
𝟏 𝒙 𝐬𝐨𝐜 ∫
𝟑
𝐱 𝐬𝐨𝐜
𝒙 𝟐𝐧𝐚𝐭 𝒙𝒅 𝒙 𝟑𝐧𝐚𝐭
𝐧𝐚𝐭 ∫
𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝐬𝐨𝐜 𝒙 𝐬𝐨𝐜 ∫ 𝟐
𝒙 𝒏𝒊𝒔
𝟕
𝐱 𝐬𝐨𝐜
𝒙𝒅 𝒙 𝐬𝐨𝐜 𝒙 𝐧𝐢𝐬 ∫
𝐱𝐧𝐢𝐬 ∫
𝟏
𝟓
∫
𝟔
𝒙𝒅𝒙 𝟑𝐬𝐨𝐜 ∫
𝟕
𝒙𝒅𝒙𝐬𝐨𝐜 ∫
وزاري / 2014د2 𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕 𝟐
𝒄
𝒙𝒅
)𝒙 𝟐𝐜𝐞𝐬(
𝒙𝒏𝒂𝒕 ∫ 𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝒙𝒏𝒂𝒕 ∫
وزاري / 2014د3 𝒙𝒅 𝐱𝟑𝐧𝐢𝐬 𝐱𝟑 𝟑𝐬𝐨𝐜 ∫ 𝟐 𝐱𝟑 𝟒𝐬𝐨𝐜
𝐜
𝟏
𝐜
𝟔
وزاري / 2016د1
𝒙𝒅 𝐱𝟑 𝟐𝐬𝐨𝐜 𝐱𝟑𝐬𝐨𝐜 𝐱𝟑𝐧𝐢𝐬𝟐 ∫
𝐱𝟑 𝟒𝐬𝐨𝐜 𝟐 . / 𝟑 𝟒
𝒙𝒅 𝟑
𝟖
𝒙𝒅 𝐱𝟑 𝟐𝐬𝐨𝐜 𝐱𝟔𝐧𝐢𝐬 ∫
𝟗
𝟐 𝐱𝟑𝐧𝐢𝐬 𝐱𝟑 𝟑𝐬𝐨𝐜 ∫ 𝟑
مالحظة 𝟒
𝟒
𝐱𝟑 𝐬𝐨𝐜
𝐱𝟑 𝐬𝐨𝐜
وزاري / 2014د1
𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 𝒙𝒅 𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄 𝟏 𝟏 𝒙𝒅 𝟐 𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 𝒄 𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄 𝟐 𝟐
∫
𝒙𝟐 𝟐𝒏𝒊𝒔 𝒙𝒅 𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔
𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔
∫
𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄
𝒄
𝟏 𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔 𝟐𝟏
𝒄
𝒄
𝒙
𝒙
𝟏 𝒙 𝟐
𝒄
𝟏 𝒙𝟓𝒕𝒐𝒄 𝟓
𝟏 𝒙𝟕 𝒏𝒂𝒕 𝟕
𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄
𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙/ 𝟔
𝟏 𝒙. 𝟐
𝒙𝟐 𝟐𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄
∫
𝒙𝟒𝒔𝒐𝒄 𝒙𝒅 𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄
𝟏 𝟐
𝒙𝒅 𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔
∫
𝟐
∫0
𝐱𝐝 𝐱𝟑 𝐧𝐢𝐬 ∫
𝟏𝟏
𝒙𝒅 ∫
𝒙𝒅 𝒙𝟓 𝟐𝒄𝒔𝒄 ∫
𝒙𝒅)𝟏
𝒙𝟓 𝟐𝒄𝒔𝒄(∫
𝒙𝒅 𝒙𝟓 𝟐𝒕𝒐𝒄 ∫
𝟐𝟏
𝒙𝒅 ∫
𝒙𝒅 𝒙𝟕 𝟐𝒄𝒆𝒔 ∫
𝐱𝐝)𝟏
𝒙𝟕 𝟐𝒄𝒆𝒔(∫
𝐱𝐝 𝐱𝟕 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫
𝟑𝟏
336
𝐱𝐝 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙 1
𝟏 𝟏 𝟐
𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄
∫
𝟎𝟏
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
أمثلة أضافٌة محلولة م ال /أوجد التكامالت احتٌة : 𝟒 𝟑
𝟏 𝟐𝒙𝟑( 𝟖
) (
𝒄
𝟒 𝟑
) (
)𝟏
𝒄
)𝟏 𝟐𝒙𝟑( 𝟏 . / 𝟒 𝟔 ) ( 𝟑 𝒙 𝟐 𝟔𝒏𝒂𝒕 𝟐𝟏
𝒄
𝒙 𝟒 𝟒𝐬𝐨𝐜 𝟔𝟏
𝒄
𝒙𝟐 𝟒𝐧𝐢𝐬 𝟖
𝒄
𝟑
𝒄
𝒄
𝟑 ) ( 𝟐
𝟗 𝟐𝒙 𝟑
)𝟗 𝟑
𝒄
𝒙𝒅)𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔
𝒄
𝟏( 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙 𝟑𝒏𝒊𝒔 ∫
𝟒 ) ( 𝟑
𝒙𝒅
𝟏 ) ( 𝟑 )𝟐
𝒙𝒅 𝒙𝟐 𝟐𝐜𝐞𝐬 𝒙 𝟐 𝟓𝒏𝒂𝒕 ∫
𝟐
𝒙𝒅 𝒙𝟒 𝒏𝒊𝒔 𝒙 𝟒 𝟑𝐬𝐨𝐜 ∫
𝟑
𝒙𝒅 𝟑𝒙 𝟓𝐬𝐨𝐜 𝟐𝒙 ∫
𝟒
𝒙𝟐 𝟑𝐧𝐢𝐬 ∫ 𝒙𝒅 𝒙𝟐 𝒄𝒆𝒔
𝟓
𝒙𝟐 𝟑𝐧𝐢𝐬 ∫ 𝒙𝒅 𝟏 ( ) 𝒙𝟐 𝒔𝒐𝒄
𝒙𝒅
𝟏 ) ( 𝟐 )𝟗
𝟐𝒙( 𝒙 ∫
𝒙 𝟒𝒏𝒊𝒔 𝟒
𝟓
𝟐𝒙( 𝒙 ∫
𝟐𝒙
𝒙𝒅 𝟐
𝒄 𝒄
𝟑 𝟏 𝒙
𝟓𝒙/ 𝟏
𝒄
𝟐𝒙 𝟐 𝟏 𝒙 𝟑 𝟏 .
𝒙𝒅 𝟓 𝒙𝒅
𝒙 𝟐
𝟏
∫
𝒙𝒅
𝒙 ∫𝟑
337
𝟐
𝟓
𝒙𝒅
∫ 𝟑
𝟐
𝟏
𝒙
𝒙𝒅 𝒙 𝒏𝒂𝒕 𝒙 𝒄𝒆𝒔 ∫
𝒙𝒅 𝟑𝒙𝟐
𝒙 ∫ 𝒄
𝒙
𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙 𝒏𝒊𝒔( ∫
𝟓
𝒙𝒅 𝒙𝒏𝒂𝒕 𝒙 𝒄𝒆𝒔 𝒙 𝒄𝒆𝒔 ∫
𝟑
𝒙𝒅 𝒙 𝟑 𝐬𝐨𝐜 𝒙 𝟑𝒏𝒊𝒔 ∫
𝟕
𝟑
𝒙𝒅)𝒙𝐬𝒐𝒄 𝒙 𝒏𝒊𝒔
𝟒
𝟐𝒙 𝒙 ∫
𝟔
𝒙𝒅 𝟗
𝒙𝒅 𝒙 𝟐 𝐬𝐨𝐜 𝒙 𝐬𝒐𝒄 𝒙 𝟑𝒏𝒊𝒔 ∫
𝒙 𝟔𝒏𝒊𝒔 𝟔
𝒙 𝟓𝒄𝒆𝒔 𝟓
𝒙𝒅 𝟏
𝟑𝒙 𝟔𝐬𝐨𝐜 𝟏 𝟑 𝟔
𝒄
)𝟗 𝟐𝒙( 𝟏 ) ( 𝟑 𝟐 ) ( 𝟐
.
𝟐𝒙𝟑
𝟑
𝒙∫
𝟏
. /
𝒙𝒅 𝒙𝟐 𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟐 𝐧𝐢𝐬 ∫
𝒄
𝒄
𝒄
𝒙 𝟒 𝟒𝐬𝐨𝐜 𝟏 / 𝟒 𝟒
𝟑
𝒄
)𝟐 𝟐𝒙( 𝟏 ) ( 𝟒 𝟐 )𝟑(
𝒄
𝒙 𝟐 𝟔𝒏𝒂𝒕 𝟏 𝟐 𝟔
𝟑 ) ( 𝟐
𝟐𝒙(
𝟐𝒙𝟑( 𝒙 ∫
. /
𝟑𝒙 𝟔𝐬𝐨𝐜 𝟖𝟏
𝒄 𝒙𝟐 𝟒𝐧𝐢𝐬 𝟏 ) ( 𝟐 𝟒
𝒙𝒅
𝟏 ) ( 𝟑 )𝟏
𝟒 ) ( 𝟑
)𝟐
𝒙𝒅 𝟓𝟐 ∫
𝒙𝒅
𝟗
𝟑 𝟐𝒙( ) ( 𝟖 𝒙𝟎𝟏
𝟏
𝟓𝒙
𝟑
∫
𝟖
𝟑 𝒙𝟐
𝟐𝒙 𝟐𝒙
∫
𝟎𝟏
∫
𝟏𝟏
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل 𝟒 ) ( 𝟓
𝒄
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟑𝒙 𝟏 ) ( 𝟑
𝟏 𝒙𝟑 𝟒 ) ( 𝟓
𝟏 ) 𝟓
𝒙𝒅
(
𝟏
𝟑𝒙 𝟏
𝒙𝟑
𝟐𝒙 ∫ 𝟒 ) ( 𝟓
𝒄 𝒄
𝒙 𝟒 𝐬𝐨𝐜 𝟒
𝒙𝒅 𝒙 𝟑 𝐬𝐨𝐜 𝒙𝒏𝒊𝒔 ∫ 𝟐
𝟐
𝟏
𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄𝟗 𝟐
𝑐
𝒄
𝟏
𝒙𝒅
𝟏
𝟏 𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄 ) 𝟐
𝟓
𝟑𝒙√
𝒙𝟑
∫
𝟐𝟏
𝟑 𝟓 𝒙 𝟐𝟏
𝒙𝟑
𝒙𝒅 𝒙 𝟐 𝐬𝐨𝐜 𝒙 𝒔𝒐𝒄 𝒙 𝒏𝒊𝒔𝟐 ∫
𝟐𝒙
𝒙𝒅 𝒙 𝟐 𝐬𝐨𝐜 𝒙𝟐 𝐧𝐢𝐬 ∫
𝟑𝟏
𝒙𝒅 𝒙𝟐 𝐧𝐢𝐬𝟗 ∫
𝟒𝟏
(𝟗
م ال /أوجد التكامالت للدوال احتٌة : 𝒄
𝒙
𝟏 𝒙𝟑𝒏𝒂𝒕 𝟑
𝒄
𝒙
𝟏 𝒙𝟕𝒕𝒐𝒄 𝟕
𝒙𝒅 ∫
𝒙𝒅 𝒙𝟑 𝟐𝒄𝒆𝒔 ∫
𝐱𝐝)𝟏
𝒙𝟑 𝟐𝒄𝒆𝒔(∫
𝒙𝒅 𝒙𝟑 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫
𝟏
𝒙𝒅 𝒙𝟕 𝟐𝒄𝒔𝒄 ∫
𝐱𝐝)𝟏
𝒙𝟕 𝟐𝒄𝒔𝒄(∫
𝒙𝒅 𝒙𝟕 𝟐𝒕𝒐𝒄 ∫
𝟐
𝒙𝒅 𝒙 𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 ∫
𝟑
𝒙𝒅 ∫
𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒔𝒐𝒄 𝒙𝒏𝒊𝒔 ∫ 𝟐 2 𝒙 𝟑𝒔𝒐𝒄 𝟑
𝐜 𝒙𝒅 𝟏 𝒄
𝒙𝒅
𝒙 𝟐
𝒙 𝟑𝒕𝒐𝒄
𝒙𝒄𝒔𝒄𝟐
𝒙𝒔𝒐𝒄
𝒄
𝒙𝒏𝒊𝒔
𝒙𝒏𝒊𝒔
∫
𝒄
𝒄
𝟏 𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔 𝟐𝟏
𝒙 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝟏
𝟐
𝒙𝒔𝒐𝒄
𝒙 𝟔𝒄𝒔𝒄
𝟐
𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔 ∫ 𝒙𝒅 𝒙𝒔𝒐𝒄
𝒙𝒅 𝒙𝟒𝒔𝒐𝒄
𝒙𝒅 𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄
𝟏 ∫
𝟏 𝒙 𝟐
338
𝒄
𝟏
𝟐
𝟐
𝟏
𝒙𝒕𝒐𝒄 𝒙𝒄𝒔𝒄 ∫ 𝟒
𝟐
𝒙𝒅 𝒙 𝒕𝒐𝒄 𝒙 𝒄𝒔𝒄 ∫
𝒙𝒅 𝒙𝒄𝒔𝒄𝒙𝒕𝒐𝒄 𝒙 𝒄𝒔𝒄 ∫
𝒙𝟐 𝟐𝒏𝒊𝒔 ∫
𝟏 𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔 𝟖
𝒙𝒅
𝟓
𝟔
𝒙𝒅 𝒙𝟑 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝟏 𝒙 𝟐
𝒙𝒅 𝒙𝒕𝒐𝒄 𝒙𝒄𝒔𝒄 ∫ 𝟐
𝒙𝒏𝒊𝒔
𝒄
𝒙𝒅 𝒙𝟔𝒔𝒐𝒄
𝒙 𝟐𝒕𝒐𝒄 𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄 ∫
𝒙𝒅 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙𝒏𝒊𝒔𝟐
𝒙𝒔𝒐𝒄 ∓
𝟏 ∫
𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒔𝒐𝒄 𝒙𝒏𝒊𝒔 ∫ 𝟐
𝒙𝒕𝒐𝒄 𝒙𝒄𝒔𝒄𝟐
𝒙𝒅 ∫
𝟑
𝒙𝒅 𝒙 𝒔𝒐𝒄 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙𝒏𝒊𝒔𝟐 ∫
𝒙𝒅 𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 𝒙𝒏𝒊𝒔
∫
𝟔
𝒙𝒅 𝒙𝒕𝒐𝒄 𝒙 𝒄𝒔𝒄 ∫ 𝟔
𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄
𝒙𝒅 𝒙𝟑 𝟐𝒔𝒐𝒄 ∫
𝟏√ ∫
𝟓
𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 ∫ 𝟕
𝒙𝒅 𝒙𝟐 𝟐𝒏𝒊𝒔 ∫
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝒙( )𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔 𝒙( )𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔 𝟐 𝟒 𝟐 𝟔 𝟏 𝟏 𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔 𝒄 𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔 𝟖 𝟐𝟏
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝟏 𝟏 𝒙𝒅 𝒙 𝟏 𝟓 𝒏𝒊𝒔 𝒙 𝟏 𝟓 𝒏𝒊𝒔 ∫ 𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔 ∫ 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝒄 )𝒙𝟔𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟒𝒔𝒐𝒄 𝒄 𝒙𝟔𝒔𝒐𝒄 𝟔 𝟖 𝟐𝟏
𝒙𝒅 𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔
𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔 𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫
𝒙
𝒄
𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔 ( 𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫
𝒙𝒅 )𝟏
𝒙 𝟑𝒏𝒂𝒕
𝒙𝒏𝒂𝒕 𝒙𝒅
𝟐
𝟑
𝒄
𝒙𝒏𝒂𝒕
𝒙 𝟑𝒏𝒂𝒕 𝟑
𝒙 𝟓𝒏𝒂𝒕 𝟓
𝟐
𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔 ∫
𝟐
𝒙𝒅 )𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔(𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔 ∫
𝒙𝒅 𝟏
𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕 𝟐
𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔 𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫ 𝟐
𝒙𝒅 𝒙 𝟒𝒏𝒂𝒕 ∫ 𝟗
𝒙𝒅 𝒙 𝒄𝒆𝒔 𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫
𝟐
𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕 𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔 ∫
𝟏
𝟏 𝟏 ( 𝒙𝟒𝒔𝒐𝒄 𝟒 𝟐
𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕 𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫
𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔 ∫
𝒙𝒅 𝟏
𝒙𝒅 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟓𝒏𝒊𝒔 ∫ 𝟖
𝒙𝒅 𝒙 𝟔𝒄𝒆𝒔 ∫ 𝟎𝟏
𝒙 𝟒𝒏𝒂𝒕 𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔 ∫
𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔 𝒙 𝟒𝒏𝒂𝒕 ∫
واجب ∶ حل السؤال 𝟎𝟏 ولكن أجعل األس 𝟒 بدل من 𝟔 𝟏 𝟒𝒙 𝟓𝒙 𝟑 ∫ 𝒙𝒅 𝒙 𝟏 𝒙
𝟏𝟏
𝐱𝐝 𝐱𝟐 𝟐𝐬𝐨𝐜 ∫
𝟐𝟏
𝟏 𝟑𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝟑
𝟏 𝟐 𝒙𝐝 𝟑𝒙𝒕𝒐𝒄 𝟑𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝟑 ∫ 𝟑
𝐱𝐝 𝟑𝒙𝒕𝒐𝒄 𝟑𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝟐𝒙 ∫
𝟑𝟏
𝟏 𝟐𝒙 𝐜𝐞𝐬 𝟐
𝟏 𝒙𝐝 𝟐 𝟐𝒙 𝒏𝒂𝒕 𝟐𝒙 𝐜𝐞𝐬 𝐱 ∫ 𝟐
𝐱𝐝 𝟐𝒙 𝒏𝒂𝒕 𝟐𝒙 𝐜𝐞𝐬 𝐱 ∫
𝟒𝟏
𝐱𝐝 𝐱𝟕 𝟐𝐜𝐬𝐜 ∫
𝟓𝟏
𝒙𝟐 9 𝒙𝒅 𝟑 𝒙
∫
𝟔𝟏
𝟒𝒙 𝒙
∫
𝟕𝟏
) نقسم البسط على المقام ثم نكامل(
𝒄
𝟏 𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔 𝟖
𝒄
𝟏 𝒙 𝟐
𝒄 𝒄
𝟐𝒙 𝟐
𝒙
𝟏 𝒔𝒊𝒏𝟒𝒙/ 𝟒
𝒄
𝒄
𝑥
𝒄
𝟑𝒙 2 𝟑 𝒙
𝟐𝒙 𝟐
𝟐
𝟐𝒙 𝟐
𝒄
𝒙
4
𝟐𝒙 2 𝑥 2 𝑥 2
𝒙2 𝟑𝒙 𝟑
𝟒𝒙 𝟒 𝒙𝒅
𝟏 𝒙. 𝟐
𝒙𝒅
𝑥
∫
𝒙2
𝟐𝒙 ∫
𝒙𝒅
339
𝟏 𝟏 𝟐
∫0
𝟏 𝐱𝐝 𝟕 𝐱𝟕 𝟐𝐜𝐬𝐜 ∫ 𝟕 𝑥
𝒙𝒅
𝒙𝒅
𝑥4
𝒙
𝒙 ∫
𝐱𝐝 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙 1
𝑥 ∫ 𝑥
𝟐
𝒙𝒅
𝒙𝒅 𝟏
𝟏 𝒙𝟕 𝐭𝐨𝐜 𝟕
𝒄
𝒙𝒅
𝟑𝒙 𝟑
𝟐
𝟑
𝑥 𝑥
𝟐𝒙 4 𝑥 2
4
𝒙 ∫ 𝑥
𝟐𝒙
∫
∫
𝒙𝒅 4
𝟐
𝟐𝒙 𝑥
𝑥
𝒙 2
∫
6 𝒙𝒅 𝟐 𝑥 ∫
𝒙𝒅
𝟑𝒙 𝒙
∫
𝟖𝟏
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝒄
2
𝟑𝒙
𝟓
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝒙𝒅
×
2
𝟓
𝟑
𝟐
𝒙 𝒙
𝒙𝒅
∫
2
𝟓
𝟑
𝟐
𝒙𝒅
𝒙 𝒙∫
2 𝒄 𝒄
𝒙 𝟗 𝟒 𝐭𝐨𝐜 𝟏 × 𝟗 𝟒
𝟏 𝒙 𝟗 𝟐 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝟗 𝟑 𝐭𝐨𝐜 ∫ 𝟗
𝐱𝐝 𝟗
𝒄 𝒄
𝟓
𝟐
𝟐𝒙 𝟑𝒙√
𝟓 𝟑𝒙
𝟗𝟏
∫
2
𝟑
𝐱𝐝 𝒙 𝟗 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝟗 𝐭𝐨𝐜 ∫
𝟎𝟐
𝟏 𝒙𝟗 𝒔𝒐𝒄 𝟗
𝟏 𝐱𝐝 𝟗 𝒙 𝟗 𝐧𝐢𝐬 ∫ 𝟗
𝐱𝐝 𝒙 𝟗 𝐧𝐢𝐬 ∫
𝟏𝟐
𝟏 𝒙𝟕 𝒔𝒐𝒄 𝟕
𝟏 𝐱𝐝 𝟕 𝒙 𝟕 𝐬𝐨𝐜 ∫ 𝟕
𝐱𝐝 𝒙 𝟕 𝒔𝒐𝒄 ∫
𝟐𝟐
وزاري / 2012د2 𝐱𝐝𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄
𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝒕𝒐𝒄
𝐱𝐝 𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝒕𝒐𝒄 ∫
∫
𝟏 𝒙 𝟑𝒄𝒔𝒄 𝟑
𝒄 𝐱𝐝 𝒙𝟑 𝟒𝒄𝒆𝒔 𝒙𝟑 𝐜𝐞𝐬 𝒙 𝟑 𝒏𝒂𝒕 ∫
𝐜
𝟏 𝒙𝟑 𝟓𝒄𝒆𝒔 𝟓𝟏
م ال :جد معادلة المنحنً الذي مٌله )
𝟐
𝟏 𝟐
𝐜
𝒙𝟑 𝟓𝒄𝒆𝒔 𝟏 × 𝟑 𝟓
𝐱𝐝 𝒙 𝟑𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒕𝒐𝒄 ∫
𝟑𝟐
𝐱𝐝 𝒙𝟑 𝟓𝒄𝒆𝒔 𝒙𝟑 𝒏𝒂𝒕 ∫
𝐱𝐝 𝒙𝟑 𝟒𝒄𝒆𝒔
𝟒𝟐
𝟏 𝒙𝟑 𝐜𝐞𝐬 𝒙 𝟑 𝒏𝒂𝒕 𝟑 ∫ 𝟑
𝟐( وٌمر بالنمطة )(0 , 1
الحل / ) نعوض النقطة 𝟏 ( 𝟎 ,
𝟑
معادلة المنحنً
𝟏 𝟔
𝟐
𝟏
340
)
𝟑
𝟏 𝟔
𝟐
𝟐
𝟏 𝟐
∫
𝟐( ∫
𝟏
)المٌل(∫
𝟎
𝟎
𝟏
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل 𝟐
م ال :جد معادلة المنحنً الذي مٌله
𝟑 وٌمر بالنمطة )(0 , 1
الحل / 𝟑 𝟑
) نعوض النقطة 𝟏 ( 𝟎 ,
𝟑
𝟑
)
معادلة المنحنً
م ال :جد معادلة المنحنً الذي مٌله 𝟗
𝟐
𝟔
𝟐
𝟑(∫
∫
𝟑
𝟐
)المٌل(∫
𝟐
𝟏
𝟏
𝟑 والمنحنً ٌمتلن نهاٌة عظمى محلٌة تساوي )(15
الحل / 𝟎
𝟐
𝟑
𝟑
𝟐
⇒
𝟗
𝟎
𝟐
𝟔
) نجعل 𝟎
𝟑 𝟏
النمطة 𝟓𝟏 𝟏,
𝟗
( 𝟎
𝟑
𝟔
𝟐
𝟏
𝟑 𝟑
نهاٌة عظمى محلٌة
) نعوض النقطة 𝟓𝟏 𝟏 ,
𝟗
(
معادلة المنحنً
م ال :جد معادلة المنحنً ) 𝟔
𝟎𝟏
𝟐
𝟗
𝟑
𝟑 𝟐
)𝟗
𝟑
𝟔
𝟐
𝟑
𝟑(∫
∫
𝟎𝟏
)المٌل(∫ 𝟗
𝟑
𝟓𝟏
𝟏
( والمنحنً ٌمتلن نمطة حرجة عند )(-1,4
الحل / 𝟑
𝟎
𝟐
𝟑
) نعوض النقطة 𝟒 𝟏 ,
) نجعل 𝟎 ( معادلة المنحنً
عندما 𝟏 𝟑 𝟐
341
(
𝟑
)𝟑 𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
𝟑
𝟑(∫
𝟔 ∫ ∫
𝟐
∫ )المٌل(∫ 𝟑
𝟏
𝟒
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
م ال :جد معادلة المنحنً الذي مٌله
𝟑 مماسا له عندما 𝟐
𝟐 والمستمٌم 𝟕
الحل / Ⓘنعوض لٌمة ) (xاً معادلة المستمٌم الستلراج لٌمة ) (yم أٌجاد نمطة التماس نقطة التماس 𝟏 𝟐,
𝟏
𝟐 𝟑
𝟕
𝟑
𝟕
② نشتك معادلة المستمٌم إلٌجاد المٌل أي بمعنى ألر المشتمة احولى
𝟑
𝟑
𝟕
𝟑
𝟕
③ نجد لٌمة المجاهٌل اً معادلة مٌل المنحنً حٌث 𝟑 معادلة مٌل المنحنً
𝟏
𝟐
𝟏
𝟑
𝟐 𝟐
𝟒
𝟐
𝟑
④ نكامل معادلة مٌل المنحنً م نجد لٌمة ابت التكامل ) (Cاٌتم الحصول على معادلة المنحنً المطلوبة ) نعوض النقطة
𝟐
( 2,
معادلة المنحنً
𝟑
𝟐
𝟏
𝟐 ∫ 𝟑
∫
)المٌل(∫ 𝟐
𝟒
𝟏
مالحظات : ال تكامل مٌل منحنً واٌه ابت مجهول م ل ) (Cاو ) (Pحتى تجد لٌمة المجهول . حٌجاد معادلة منحنً دالة ٌفضل أ تجد أوال نمطة كاملة م معلومات الس ال حستلدمها اً أٌجاد وابت التكامل المجهولة
342
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
تمارين 𝟒
𝟒
جد تكامالت كل مما ٌأتً ضم مجال الدالة : 𝒄
𝟑𝒙𝟒 𝟑
𝒙𝟐𝟏
𝟐𝟏 𝟐𝒙𝟒 𝟐𝒙 𝐱𝐝 𝟐𝒙
𝐱𝐝
∫
𝟒𝒙𝟒
𝟐𝒙𝟐𝟏
𝟐𝒙
𝟕
)نوفر المشتقة(
))𝒙√( 𝟓√
𝒙𝒅
)𝒙√(
𝟖 𝟖
𝒄
𝒙𝒅
) 𝒙𝟓√
𝟑(
𝒙𝒏𝒊𝒔
𝟏 𝒙𝒏𝒊𝒔 𝒙𝒏𝒊𝒔 𝟏
𝟓𝟑√ 𝟒
𝒄
𝒄
𝒙 𝒄𝒔𝒄
𝟏 𝒙 𝒏𝒊𝒔
𝐜
حل ألر : 𝒄
𝒄
𝟏 𝒙 𝐬𝐨𝐜 𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔 𝟐 𝒙
𝟕
∫
𝟏 𝟕√
𝟑( 𝟐 ) ( 𝟓√ 𝟕√
∫
𝒙𝒅 𝒙𝒏𝒊𝒔 𝒙𝒔𝒐𝒄
𝒙𝒏𝒊𝒔
))𝒙√( 𝟓√
𝒙𝒅
)𝒙√( 𝟕√ ))𝒙√( 𝟓√
𝒙𝒅
𝒄
𝟓 ) ( 𝟑
𝟓
𝟑 𝒙 𝟓
𝟏
𝒏𝒊𝒔
𝒙𝒅
𝟓 𝟓 )𝟑(
𝒙𝒅 )𝒙𝒏𝒊𝒔 𝒙 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝒙𝒅 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙
𝟒
𝒙𝒔𝒐𝒄 ∫
)𝒙𝟓√
𝒙𝒅
𝒙𝟕√
∫
𝟐
𝟐 𝟑( 𝟓√ ( )∫ . / 𝟐 𝟓√ 𝟕√ 𝒙 𝟑 𝐬𝐨𝐜 𝒙𝒅 𝒙𝒏𝒊𝒔 𝟏
∫
𝒙𝒅 𝒙𝒏𝒊𝒔
𝟐
𝟏 𝒙𝒅 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔
𝒏𝒊𝒔 ∫
𝒙𝒔𝒐𝒄 𝟏 ∫ 𝒙𝒅 𝒏𝒊𝒔 𝒙 𝒏𝒊𝒔
𝟏 𝟐𝒙𝟑( 𝒙 𝟔 ∫ 𝟔
)𝟓
𝒙
𝐱𝐝
𝒙𝒏𝒊𝒔( ∫ 𝒄
∫
𝒙 𝟐𝒔𝒐𝒄 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙𝒅 𝒙𝒏𝒊𝒔 𝟏
∫
𝟑
𝟏 𝒙 𝐬𝐨𝐜 ∫
𝒙𝒅
𝟐 ) ( 𝟑
𝒙 ∫
𝟓
𝒙𝒅 )𝒙 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝒙 𝟑𝒔𝒐𝒄 𝟑
𝒙𝒔𝒐𝒄
𝒙
𝟏√ 𝒏𝒊𝒔 𝟐
𝒄
𝐱𝐝
𝟐
𝟒
𝟓
𝟏( 𝒙𝒏𝒊𝒔 ∫
𝒙𝒅 𝒙𝒏𝒊𝒔
𝟐
𝒙𝟑( 𝒙 ∫
)𝟓
𝒙
𝟑
𝟑
∫
𝒙 𝟐𝒔𝒐𝒄 ∫
𝟒
𝒙𝒅 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄 ∫
𝒙
𝒙𝒅
𝟒
𝟓
𝟏 𝟓 𝟐𝒙𝟑 𝟖𝟏
𝒙𝟎𝟏
𝐱𝐝 𝟓𝟐
𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔 𝒙𝒏𝒊𝒔 ∫
𝒙 𝟏√𝒔𝒐𝒄 𝟏 ) 𝐱𝐝 𝟐 𝒙 𝟏√
343
∫
𝒙𝒅 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄 ∫
𝟏 ∫ 𝒙𝒅 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔
𝒄
𝒄
𝟕
𝟑(
𝟏
)𝒙√(
∫
𝟗
𝟑 𝟐𝒙
وزاري / 2013د1
𝒙𝒅 𝒙 𝒕𝒐𝒄 𝒙 𝒄𝒔𝒄 ∫
𝟓 ) ( 𝟑
∫
𝟑(
𝟕
)𝒙 𝟐𝐧𝐢𝐬 𝟏(𝒙 𝐬𝐨𝐜 𝒙𝒅 𝒙𝒏𝒊𝒔 𝟏
𝟏
)𝟓 𝟐𝒙𝟑( 𝟏 𝟔 𝟑
∫
𝟏
𝟖
𝐜
𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝟑
))𝒙√( 𝟓√
𝒄
𝟑(
𝐱𝐝
𝟗
𝟐𝒙𝟐𝟏 𝟐𝒙
𝟗
𝟒𝒙𝟒
𝐱𝐝
𝟐
𝟐𝒙2
∫
𝟐𝒙𝟑
𝟐𝒙
𝟑
∫
𝟓
∫
𝟔
𝒙𝒅 𝒙 𝟑𝒏𝒊𝒔 ∫
𝟕
𝒙𝒅𝒙𝒏𝒊𝒔 ∫
(∫ 𝟐
𝒙𝒅
𝟏√𝒔𝒐𝒄
𝒙 𝒙
𝟏√
∫
𝟖
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
)لو كان المثال(
𝒙𝒅 )𝒙√ 𝒙𝒅
𝒄
𝟏 ) ( 𝟏 𝟐 ) ( ) 𝟐𝒙
𝒄
𝒙
𝟏√ 𝒔𝒐𝒄 𝟐 𝟓 𝟗 𝒙 𝟓
𝟑𝒙𝟐
𝟑
𝟏( ∫ (𝒙 𝟒 ) . √𝒙/
𝟏 ) 𝟏( ] 𝟐
𝟑 ) ( 𝟏 𝟐 ) ( ) 𝟐𝒙
𝒄
𝒙
(
𝒙[ ∫
𝒙𝒅 )𝒙√
𝒄
𝟐 ) 𝟒
𝟏 ) ( 𝟏 𝟐 ) ( ) 𝟐𝒙
𝒙𝒅
𝒙
𝟐
𝟒𝒙𝟗(∫
𝒙𝒅 )𝒙√
𝒙
𝒙𝒅
𝒙√
𝒙
∫
𝟒
𝟑𝒙√
𝟑 𝟏 ) 𝟒𝒙( ) 𝟒
𝟏(
𝟏√
𝟐𝒙𝟑(∫
𝒙𝒅 )𝟏
𝟑
𝒙( ∫
𝟐
(∫ 𝟐
𝟏(𝒙√ ) 𝟒 𝒙( ∫
𝟏(
𝟑 ) ( 𝟐
𝟐𝒙𝟔
𝒙𝒅)𝟏
𝒙𝒅 )𝒙√
𝟏(
𝟑 ) ( 𝟏 𝟐 ) ( ) 𝟐𝒙
𝟒 𝟏( 𝟑
𝒙 𝟏√𝒏𝒊𝒔 𝟏 ) 𝐱𝐝 𝟐 𝒙 𝟏√
𝒙𝒅
𝟏√𝒏𝒊𝒔
∫
𝟗
𝟎𝟏
𝒙( ∫
)𝟏 ( 𝟏 [∫ 𝟐 𝟏( ] 𝟐 𝒙 𝟐 𝟒 𝟏( 𝟑
𝟑
)𝒙√
𝒄
)لو كان المثال(
𝒙𝒅
𝟏 ) ( 𝟐
𝒄
)𝟏 𝟑 ) ( 𝟐
𝟑
𝒙𝒅 )𝟏
𝒙√( ∫ (𝒙 𝟒 ) . √𝒙/
(
𝟐 ) 𝟒
𝟏 𝟏 ) ) ( 𝟐 𝒙( ] 𝟐
𝒙[ ∫
𝒙√(
𝒙𝒅 )𝟏 𝟑 ) ( 𝟐
)𝟏
)𝟏( 𝟒 𝟐 𝒙( 𝟑
𝒙( ∫
𝟏 ) ( 𝟐 𝒙(
)𝟏
𝒄
𝒙𝒅 )𝟏
𝟐
𝟑 )𝟐(
𝒙𝒅
𝟑
𝒙√(𝒙√ ) 𝟒 𝒙( ∫
𝒙𝒅 )𝟏 𝟏 ) ( 𝟐
)𝟏
𝒙𝒅
𝟑 𝟏 ) 𝟒𝒙( ) 𝟒
𝒙√(
𝒙√
𝒙 𝟒
𝟑𝒙√
∫
𝒙( ∫
𝟏 𝟏 𝟏 ) ( ) ( 𝟐 𝒙( ] 𝟐 𝒙[ ) ( ∫ 𝟐 𝟐
𝟒 𝒙√( 𝟑
𝟑
)𝟏
𝒄
وزاري / 2013د2 𝒙𝒅 𝒙𝟑 𝟐𝒔𝒐𝒄 ∫
𝒙𝒅 𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄 ∫ 𝟐
𝒙𝒅 ∫
𝒙𝒅 )𝒙𝟑 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄𝟐
𝟏(∫
𝒙𝒅
𝟐
𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄
𝟏 ∫
𝟏𝟏
𝟏 𝟐 𝟏 𝒙 𝒙𝒅 𝒙𝟑 𝟐𝒔𝒐𝒄 ∫ 𝒙𝟑𝒏𝒊𝒔 ) ( 𝟐 𝒙𝒅 ] 𝒙𝟔𝒔𝒐𝒄 𝟏 [ ∫ 𝒙𝟑𝒏𝒊𝒔 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝒙 ( ∫ 𝒙𝟑𝒏𝒊𝒔 𝒙 𝒙𝒅 )𝒙𝟔𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟑𝒏𝒊𝒔 𝒙 𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔 ) ( 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 𝟔 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏 𝒙 𝒙𝟑𝒏𝒊𝒔 𝒄 𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔 𝟐 𝟑 𝟐𝟏 𝒙
𝒄
𝒄
𝟏 𝒙𝟒𝒏𝒂𝒕 𝟒
𝒄
𝟏 𝒙𝟐𝒕𝒐𝒄 𝟐 𝒙
𝟏 𝒙𝟖𝒏𝒂𝒕 𝟖
344
𝟏 𝒙𝒅 𝒙𝟒 𝟐𝒄𝒆𝒔 𝟒 ∫ ) ( 𝟒 𝟏 𝟐
𝒙𝒅 𝒙𝟐 𝟐𝒄𝒔𝒄 𝟐 ∫ . /
𝒙𝒅 )𝟏
𝒙𝟖 𝟐𝒄𝒆𝒔(∫
𝒙𝒅 𝒙𝟒 𝟐𝒄𝒆𝒔 ∫ 𝟐𝟏 𝒙𝒅 𝒙𝟐 𝟐𝒄𝒔𝒄 ∫
𝟑𝟏
𝒙𝒅 𝒙𝟖 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫
𝟒𝟏
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
وزاري / 2016د1 𝟏 𝒙𝒅 𝟐
𝟏 𝒙𝒅 𝟐
𝒙𝟐 𝒕𝒐𝒄 𝒙𝟐 𝟐𝒄𝒔𝒄 ∫
𝟏 𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔 𝟖
𝒄 𝒄
𝒙𝒅 𝒙𝟔 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝟏 𝒙𝟐 𝒕𝒐𝒄 𝟑
𝟑 𝟐
𝒄
𝟏 𝒙𝟐 𝒕𝒐𝒄 𝒙𝟐 𝟐𝒏𝒊𝒔
𝟏 𝒙𝟔𝟏𝒏𝒊𝒔 𝟐𝟑
𝟏 𝟏 𝟒
𝒙𝟔𝒔𝒐𝒄𝟐
𝒄
𝟏 𝒙 𝟐
𝟏 𝒙 𝟐
𝟑 𝟐
𝒄
𝟏 )𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔 𝟒
𝟐
∫
∫
𝒙𝟐 𝒕𝒐𝒄 𝟏 𝟑 𝟐 )𝟐(
𝟏 )𝒙𝟔𝟏𝒏𝒊𝒔 𝟔𝟏
𝒄
𝟏
𝟐 𝒙𝟐 𝒕𝒐𝒄 ∫ 𝒙𝒅 𝒙𝟐 𝟐𝒏𝒊𝒔
𝒙𝒅 ) 𝒙𝟔𝒔𝒐𝒄
𝟏 𝟐 𝟏 ]𝒙𝒅 𝒙𝟐𝟏𝒔𝒐𝒄 𝟏 ∫ 𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔 𝒙[ 𝟒 𝟔 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝒙 𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔 𝒙 𝒄 𝒙𝟐𝟏 𝒏𝒊𝒔 𝟒 𝟐𝟏 𝟖 𝟔𝟗
𝟏 𝒙𝒅 𝟐
𝟏 𝒙( 𝟐 𝟏 𝒙( 𝟐 𝟏 𝟏 (∫ 𝟐
𝒙𝟐 𝒕𝒐𝒄√ ∫ 𝒙𝒅 𝒙𝟐 𝟐𝒔𝒐𝒄 𝟏
𝟓𝟏
𝟏 ∫ 𝟐
𝒙𝟐 𝒕𝒐𝒄 𝒙𝟐 𝟐𝒄𝒔𝒄 𝟐
𝒙𝟒𝒔𝒐𝒄
𝟏 𝟏 ∫ 𝟐
𝒙𝒅 𝒙𝟐 𝟐𝒔𝒐𝒄 ∫
𝟔𝟏
𝒙𝟔𝟏𝒔𝒐𝒄
𝟏 𝟏 ∫ 𝟐
𝒙𝒅 𝒙𝟖 𝟐𝒏𝒊𝒔 ∫
𝟕𝟏
𝒙𝒅 )𝒙𝟑 𝟐𝒔𝒐𝒄(∫
𝒙𝒅 𝒙𝟑 𝟒𝒔𝒐𝒄 ∫
𝟖𝟏
𝟐
𝟏 )𝒙𝒅 𝒙𝟔 𝟐𝒔𝒐𝒄 ∫ 𝒙𝒅 𝒙𝟔𝒔𝒐𝒄𝟐 ∫ 𝒙𝒅 ∫( 𝟒 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔 𝒙( 𝒄 ])𝒙𝟐𝟏 𝒏𝒊𝒔 𝒙[ 𝟒 𝟑 𝟐 𝟐𝟏 𝟑 𝟏 𝟏 𝒙 𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔 𝑐 𝒙𝟐𝟏 𝒏𝒊𝒔 𝟖 𝟐𝟏 𝟔𝟗
******************************************************************
أمثلة أضافٌة محلولة م ال /جد التكامالت التالٌة: 𝒄
𝟏 𝒙𝟒𝒄𝒆𝒔 𝟐 𝒄
𝒂 𝒙 ) ( 𝟐 𝐜𝐞𝐬* ∫ 𝟐
𝒙𝒅 𝟏+
𝒙𝒅𝒙𝟑𝒏𝒊𝒔 𝐜
𝟑
𝟐 𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄 𝟗
𝟑
𝐜
𝟐
𝒙√𝒏𝒊𝒔 𝟏 ) (∫ 𝟐 𝒙𝒅 𝒙√ 𝟐
𝒙√𝒔𝒐𝒄𝟐
𝒂 𝒙 )𝟐( 𝟐𝒏𝒊𝒔𝟐 𝒂 ∫ 𝒙𝒅 𝒙 ) ( 𝟐𝐧𝐚𝐭 ∫ 𝒙𝒅 𝒂 𝟐 𝒙 ) ( 𝟐𝒔𝒐𝒄𝟐 𝟐 𝟐 𝒂 𝒄 𝒙 𝒙 ) ( 𝒏𝒂𝒕 𝒂 𝟐
𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄 ∫ 𝟐
𝟐 𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄 × 𝟑 𝟑
𝒄
𝟏 𝒙𝟒𝒄𝒆𝒔 ) ( 𝟐 𝟒
𝒙𝒅 𝒙𝟒 𝒏𝒂𝒕 𝒙𝟒 𝒄𝒆𝒔𝟐 ∫
𝒙𝒅 𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟑𝒏𝒊𝒔𝟐 ∫ 𝒙𝒅 𝒙𝟑𝒏𝒊𝒔
345
𝟐
𝟐 𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄 ∫ 𝟑
𝒙𝒅
𝒙√𝒏𝒊𝒔
∫
𝟐
𝟏 ∫ 𝟏
𝟑
𝒙𝒅 𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔 ∫
𝟒
𝒙√
𝒙𝒂𝒔𝒐𝒄 𝒙𝒅 𝒙𝒂𝒏𝒊𝒔
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل 𝟏 ) ( 𝟐
𝒙𝒅 𝒙𝟒𝒔𝒐𝒄𝟒
𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔 𝒄
𝟏 𝒙𝒅 ) ( 𝒏𝒂𝒕 𝟐
𝒄
𝟏∫
𝟑 ) ( 𝟐
𝟏 ) ( 𝟐
𝒙𝒅 𝒙𝟒𝒔𝒐𝒄
4
𝟏
𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔 𝟔
𝟑 ) ( 𝟐
𝒄
𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔
𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔 𝟑 ) ( 𝟐
𝟏 𝒙𝒅 ) ( 𝟐 ∫ 𝟏 𝒙 ) ( 𝟐𝒔𝒐𝒄 𝟐
𝟏 𝟏 𝒙𝒅𝒙 ) ( 𝟐𝒄𝒆𝒔 ) ( ∫ 𝟐 𝟐 𝟏
𝟏 ∫
𝒙𝒅 𝒙𝟒𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔
𝟏 𝟏 ) ( 𝟒 𝟏 𝒙𝒅 ) ( 𝟐
𝐱𝐝
𝟏 𝟏 ) ( 𝟐
𝒙𝒔𝒐𝒄
∫
𝒙𝒅 ∫ 𝒙𝒅 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝟏
𝟏
𝒙𝐝 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙𝒏𝒊𝒔𝟐 𝟐 )𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔
𝒙𝐝 𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 𝟐 )𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔
𝟏(∫
𝟏√ ∫
𝟓
𝒙𝒅
𝟏(∫
𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔
𝟔
∫ 𝟕
𝟏
𝟏
𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔
𝒄
𝟏 𝒙
𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄(∫
𝒙𝐝)𝒄𝒔𝒄 𝒙𝒕𝒐𝒄
𝒄 𝟒
𝟒 𝒙𝒏𝒊𝒔 (∫ 𝒙𝒅 ) 𝒙𝒔𝒐𝒄
𝒙𝒅
𝟏 * + 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝟏 * + 𝒏𝒊𝒔
𝟑 𝟏 𝒙𝒅 ) ( 𝒔𝒐𝒄 𝟐 𝒙 𝒙
∫ 𝟑 𝟏 (∫ 𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔
𝒙𝒄𝒔𝒄 𝟐
𝟒 𝒙𝒄𝒆𝒔 (∫ 𝒙𝒅 ) 𝒙𝒄𝒔𝒄
∫
𝟏 𝟐𝒙
𝒙𝒔𝒐𝒄 𝐱𝐝 ) 𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔
𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄( ∫
𝒙𝒕𝒐𝒄
𝒄
𝟏 𝐱𝐝 ) ( 𝐬𝐨𝐜 𝒙
) ( 𝒏𝒊𝒔𝟑
𝐜 𝟏 𝐱𝐝 ) 𝒙𝒏𝒊𝒔
𝟏 𝟐
𝟐)𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔 𝟏 ) ( 𝟐
𝟏(
𝒙𝒅 𝟐
𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔
𝟏
∫
𝟖
∫
𝟗
𝒙𝒕𝒐𝒄 𝟐
𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔 ∫ 𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄
𝒙𝒅
𝟐
𝟏 𝟏
𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫ 𝟎𝟏 𝒙 𝟐𝒕𝒐𝒄
𝒙𝒅 𝒙 𝟒𝒏𝒂𝒕 ∫
م نكمل الحل كما اً الم ال ) (9اً الصفحة )(36 𝟒 ) ( 𝟑
𝒄
𝟓 𝟏
𝒙𝟕 𝟒 )𝟑(
𝟕
(∫𝟕 𝒙
𝒙𝒅
𝒙𝒅 𝒙
𝟏 ) ( 𝟑
𝟓
𝒙𝟕 𝒙
𝟏
)𝟑( 𝒙𝟕 𝒙𝒅 𝒙 ) 𝟑𝒙
∫
𝒙𝒅
𝟐
𝟒
𝒙
𝟓 𝐜
) 𝟓
𝒙
𝟕 𝟓 𝒙 ( ) 𝟓 𝒙 𝟓𝟐 𝒙𝒅
𝟏 𝟑
) (
)𝟏
𝒄
𝟐
𝟓
𝒙
𝟒
𝟒𝒙 ∫𝟕 𝟓 𝒙
𝟓 𝒙 )𝟓 𝒙( 𝟕 𝟓 𝟓 𝟏 𝟐
𝟐𝒙( 𝒙𝟐 ∫ . /
𝒙𝒅
𝟏 𝟑
𝒙𝒅 𝟐
𝟓
𝟓 (∫ 𝟒 ) ( 𝟑
𝒄
𝟏
)𝟑( 𝟕 𝒙𝒅 𝒙 ) 𝟐𝒙
𝒙𝟕
𝟒𝒙𝟕 𝒙 𝟒 𝟓
𝒙
𝟓 𝟑 (∫ 𝒙
𝟏𝟏
𝟑 𝟓 𝟖𝟐 ∫
𝒙𝒅 𝟔
𝟒𝒙𝟕 ∫ 𝟐𝟏 𝟓 𝒙
𝟕 𝟒 𝒙 𝟏 ( 𝟓 ∫) ( [ ) 𝒙𝒅 ] 𝟓 𝟓 𝒙 𝟐 𝟓 𝒙
) (
)𝟏
𝟐𝒙( 𝒙 ∫
𝒄
346
𝟒 𝟑
) (
)𝟏
𝒙𝒅 𝟏 𝟐 𝟑 𝒙( 𝟖
𝟐𝒙 𝟒 𝟑
𝟑
) (
𝒄
𝒙 ∫
𝒙𝒅 𝟑𝒙
)𝟏 𝟐𝒙( 𝟏 . / 𝟒 𝟐 ) ( 𝟑
𝟓𝒙
𝟑
∫
𝟑𝟏
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل 𝟏 ) ( 𝟐
)𝟑
𝒙𝒅
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟏 𝟐𝒙𝟓(𝒙 𝟎𝟏 ∫ ) ( 𝟎𝟏
𝒙𝒅 𝟑 𝟐
𝟏 ) 𝒙𝒅 𝟐
(
𝒙
𝟕
𝒄
𝒙𝒅
𝟎𝟏
𝟑
𝟑
𝒙𝟓
𝟓𝟑
𝟑𝒙 𝟐𝒙 ∫
𝒄
𝒙𝒅
𝟎𝟏
𝒄
𝒙𝒅
𝟏 ) ( 𝟐
)𝟏
𝟕 𝟒𝒙( 𝟑𝒙 𝟒 ∫ ) ( 𝟒
𝟐𝒙𝟓(
)𝟑
𝟒 )𝟑( 𝟏 ) ( ) 𝟐 𝒙𝟕
𝟑 𝒙𝟓 𝟏 ) ( 𝟓 𝟕
𝟏𝟏
𝒙𝒅 𝟏 𝑐
𝟓𝟏
𝟏 ) 𝒙𝒅 𝟐
𝐱𝐝 𝟔 𝟑
𝟑 𝟏 𝒙 𝟑𝟑
𝟑
𝒄
𝟑 ) ( 𝟐
𝒙
𝟒 )𝟑(
𝒙𝟓 ∫
𝒙𝒅
𝟏 ) ( 𝟏 𝟑 ) ( ) 𝟐 𝒙𝟕
𝒄
𝟓 𝟐
𝒄
𝟒 𝟕 𝒙( 𝟔
347
𝟔 𝟑 𝐱𝐝 )] 𝒙
𝟑𝒙 𝟐𝒙 ∫
𝟑
𝟏𝟏
𝟒𝒙 𝟑𝒙𝟕 ∫ )𝟏
(
)𝟑 𝟐𝒙𝟓( 𝟏 . / 𝟑 𝟎𝟏 ) ( 𝟐
𝟒 ) ( 𝟏 𝟑 ) ( ) 𝟐 𝒙𝟕
𝟑 𝟓( 𝟒𝟏
𝟑𝒙 𝟐𝒙 ∫
𝟑
𝟑 𝟐
𝟐𝒙𝟓 𝒙 ∫
) (
𝟐 𝟕 𝟓( ] [ ∫ ] [ 𝟕 𝟐
𝒄
𝟕
)𝟑
) (
𝒄
𝟏 ) ( 𝟏 𝟑 ) ( ) 𝟐 𝒙𝟕
𝟏 ) ( 𝟐
𝟐𝒙𝟓(𝒙 ∫
𝒙𝒅 𝟑
𝒙𝒅 𝟐𝒙𝟑
𝟒𝒙𝟓 ∫
𝟒𝟏
𝟓( ∫
𝒙√𝟕 𝒙𝒅 𝒙√
𝟓
𝟑
∫
𝟓𝟏
𝟓( 𝟐 ] [ 𝟕
𝟔 𝟑 𝒙𝒅 ) 𝒙
𝟓[ 𝒙( ∫
𝒙𝒅
𝟓
𝟗
𝟑𝒙𝟔
𝟓( 𝟔𝒙 ∫
𝟔𝟏
𝟔𝒙 𝟐𝒙 ∫ 𝟕𝟏
𝟑 𝟑𝒙 𝟏 ) ( 𝟑 𝟏𝟏
𝒙𝒅 𝟏
𝟒𝒙 𝟐𝒙 𝟐𝒙𝟕 ∫ 𝟑 ) ( 𝟐
𝒄
)𝟏 𝟒𝒙( 𝟕 ) ( 𝟑 𝟒 ) ( 𝟐
𝒙𝒅 𝟐𝒙
𝟔𝒙 𝟐𝒙𝟕 ∫
𝟖𝟏
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
اللوغارٌتم الطبٌعـــً لييييييييتك uداليييييييية موجبيييييييية لابليييييييية لالشييييييييتماق بالنسييييييييبة الييييييييى xاييييييييأ مشييييييييتمة اللوغييييييييارٌتم الطبٌعييييييييً للداليييييييية uهييييييييً )
(
مشتقة الدالة
| |
وعلٌه اأ
الدالة
𝟏
موجبية وتسيتلدم هيذه
∫ شرط أ تكو الدالة
الدالة اً تواٌر المشتمة احولى اً بعض الدوال التً ٌصعب اشتمالها وهً تمتلن مجموعة م اللصا ص اللاصة م ل : ,
م ال ( ) /اذا كا
𝟒
𝟐
𝟑
𝟎 ,
,
اأوجد 𝟔 𝟐
𝟒
م ال ( /)2جد
𝜃𝑑 𝜃 𝜃
𝟐
𝟒
𝟑
𝟑
𝟏∫ 𝜃
𝟏
𝜃 𝜃 |𝜃
𝟏|
𝜃
| |
∫
𝜃𝑑 𝜃 𝜃
م ال : /جد مشتمة الدوال التالٌة :
𝟐
𝟐 𝟐
)
𝟏
( )
348
(
𝟐
𝜃 𝟏
∫
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
م ال /جد التكامل لكل مما ٌأتً : 𝟐
)
𝟐 |
𝟐
𝟏 𝟐
|
( 𝟐 𝟐
∫
∫
𝟏 ∫) ( 𝟐
∫
𝟐
𝟏
| | |
|
∫
∫
∫
|
∫
∫
|
| 𝟑
𝟏|
𝟏 𝟑
∫
𝟑 𝟑
𝟐
𝟑
𝟑 𝟏 ∫ 𝟏 𝟑
𝟑
𝟐
𝟏
∫
دالة اللوغارٌتم الطبٌعً هيييً دالييية عكسيييٌة لدالييية اللوغيييارٌتم الطبٌعيييً بمعنيييى ألييير هنيييان بعيييض اليييدوال عنيييدما نشيييتمها أو الدالييية احسيييٌة نكاملهيييا نيييدلل علٌهيييا الدالييية احسيييٌة يييم عنيييدما ننتهيييً نميييوم بألغييياء الدالييية احسيييٌة عييي طرٌيييك أدليييال دالييية اللوغيييارٌتم الطبٌعً الهدف م هذه العملٌة هً لتغٌٌر شكل الدالة المراد العمل علٌها
)مشتقة االس()الدالة(
ليييذا ايييأ مشيييتمة اي دالييية أسيييٌة مراوعييية للميييوة uهيييً
وعلٌيييه ايييأ
∫ وهً تمتلن مجموعة م اللصا ص اللاصة م ل
𝟏
𝟏
م ال ( /)3لتك
𝟎
𝟖𝟐𝟖𝟏𝟕 𝟐
اجد 𝟐
م ال ( /)4جد
𝟐
∫
وزاري / 2013د3 𝟐
349
𝟏 𝟐
𝟐
𝟏 𝟐∫ 𝟐
𝟐
∫
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
الدالة احسٌــــة ( احساس عدد ثابت) نفييييييرض أ
عييييييدد ابييييييت ٌم ييييييل أسيييييياس الداليييييية احسييييييٌة اييييييأ مشييييييتمة اي داليييييية أسييييييٌة مراوعيييييية للمييييييوة uهييييييً )مشتقة االس() األساس
𝟏
وعلٌيييييييييييييييييه ايييييييييييييييييأ
()الدالة(
∫
وتتمٌز ببعض اللصا ص التً ذكرناها اً الدالة احسٌة السابمة وسوف نوضح ذلن اً الم ال التالً .
م ال ( ) /جد
لكل مما ٌأتً : 𝟓
)
𝟐
𝟐𝟑 𝟑 𝟐( 𝟐
𝟐
𝟐 𝟑
𝟐
𝟐
𝟐𝟑
𝟓
𝟐
𝟐 𝟓
𝟐𝟑
𝟓
𝟐
𝟐
𝟐 𝟓
𝟓
******************************************************************
أمثلة أضافٌة محلولة م ال /جد
لكل مما ٌأتً : 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟏 𝟒
𝟒
𝟒 𝟑
𝟐
𝟐 𝟓
𝟐𝟑 𝟑
𝟐 𝟓
350
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟑
𝟐𝟑 𝟐
𝟐 𝟐
𝟒
𝟐𝟑
𝟐
𝟓
𝟐𝟑 𝟓
𝟓
𝟐𝟑 𝟓
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
م ال /جد التكامل لكل مما ٌأتً :
𝟏 𝟕
𝟕
𝟕
∫ ∫ ∫
√ √
𝟐
√
√ 𝟐
∫ 𝟐
√
∫
م ال /جد التكامل لكل مما ٌأتً :
𝟏 ) 𝟒 𝟏 ) 𝟐 𝟏 𝟑
𝟑
𝟏 ) 𝟑
(
𝟏 𝟑) ( 𝟕
𝟕 𝟐
/
𝟑
𝟓
𝟏 ) 𝟐
(
𝟓
𝟏 𝟑𝟐 ) ( 𝟑
𝟒𝟐 𝟐
𝟕 𝟑 𝟑
𝟐
( 𝟐𝟐 ) ( 2
𝟐
) 𝟓
𝟐∫
𝟐 𝟑
𝟏 𝟑 𝟕 ∫) ( 𝟕
𝟕
𝟐𝟐 ∫
( 𝟒
𝟏 𝟑 ∫ 𝟑
𝟑
𝟑𝟐 ∫. 𝟐
𝟑𝟐 ∫
𝟏 ) 𝟐
𝟑
(
𝟒𝟐
𝟑
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
𝟒∫
𝟑𝟐
𝟏
∫
𝟒𝟐
𝟏 𝟑𝟐 𝟑 ∫ ) ( 𝟑
𝟕
𝟑
𝟑
∫
𝟑 𝟕
𝟐
𝟐𝟒
𝟑
𝟑
𝟐
𝟑𝟐
∫
𝟑 𝟐(∫
𝟐𝟐 𝟐 ∫ ) ( 2
𝟐
351
𝟑∫
∫
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
تمارين 𝟓
س /1جد
𝟒
لكل مما ٌأتً : 𝟏
𝟏 𝒙
𝟏 𝟐 ) ( ) ( 𝟐 𝒙
𝟏 )𝟐( 𝒙 )𝟐(
𝒙 ) ( 𝐧𝐥 𝟐
𝐲
𝒃
𝟐 𝒙
𝒙𝟐 𝟐𝒙
𝟐𝒙 𝒏𝒍
𝒚
𝒄
𝒙𝒏𝒍
𝐲
𝒅
𝟑 𝟏 ) ( 𝒏𝒍 𝒙
𝒚
𝒆
𝟐 𝒏𝒍
𝒚
𝒇
(𝒆
𝐲
𝒈
𝒙 √𝟗
𝒚
𝒉
) 𝟒 (𝟕
𝒚
𝒊
𝟐 𝐱𝐧𝐥 𝒙 𝟑 𝒙
𝟏
𝒙𝟑
𝟒 𝒙𝟑 / 𝟑 𝒙
)𝟓 𝒙𝟑 𝟐𝒙𝟓
(𝒆 𝟑
𝒙𝟎𝟏
𝟑
𝟑
𝒙𝒏𝒊𝒔 𝒙𝒔𝒐𝒄
𝒙𝟎𝟏
𝟗𝒏𝒍 )𝒙 ( 𝟕𝒏𝒍 𝟒 𝟕 𝟒
𝟏 ) ( 𝒙𝒏𝒍 𝟐 𝒙
.
𝒙𝒏𝒊𝒔 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝟐
𝟑 𝟑
𝟑
𝒂
𝒙 √𝟐 𝟏 ) 𝟒
𝟐
)
𝒚
𝒙𝒔𝒐𝒄
)𝟓 𝒙𝟑 𝟐𝒙𝟓
(𝒆
𝟏 𝒙 √𝟐
𝒙 √𝟗
( 𝟗𝒏𝒍 𝒙
( 𝟕𝒏𝒍 ) 𝟒 (𝟕 𝟐
352
𝒙 𝒏𝒍
𝟐
)𝟓 𝒙𝟑 𝟐𝒙𝟓
𝒙 √𝟗
𝟐
𝟐
𝒙
𝟐
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
س /2جد التكامالت احتٌة : 𝟐𝒏𝒍𝟐
𝟑
𝟐𝟐𝒏𝒍
𝟎
𝟒𝒏𝒍
𝟏𝒏𝒍
𝟒𝒏𝒍
|𝟏
𝟒𝒏𝒍
|𝟏
𝟎|𝒏𝒍
|𝟏
𝟑|𝒏𝒍
𝒙𝒅
𝒙|𝒏𝒍
𝟎
𝟐
𝟐 𝟑𝒏𝒍
𝟒 𝟓𝒏𝒍
𝟓𝟐𝒏𝒍
𝟗𝒏𝒍
𝟎|𝒏𝒍
|𝟗
𝟔𝟏|𝒏𝒍
|𝟗
𝟐
|𝟗
𝒙𝒅
|𝒏𝒍
𝟎 𝟓 𝟑
𝟑𝒏𝒍𝟐
𝒏𝒍𝟐
𝟖
𝟏 𝟔𝟏 𝟐
𝟏 𝟐
𝟏 𝟐
𝟏
𝟗
𝟏 𝟓𝟐 𝟐
𝟏
𝟏+
+
𝟐 𝟑
𝟐*
𝟏 * 𝟐
𝟐 𝟓
𝟏 𝟐
𝟏+
𝟑
𝟓
𝟐
𝟎
*
𝟓
𝟏 𝟐
𝟐
𝟗
𝟎
𝟓
𝟏 𝟐
𝟐
𝟑
𝟐
𝒙𝒅
∫ 𝒄 𝟑
𝟐
𝒙𝒅
∫
(
𝟏
) 𝟏𝒆
𝟏
([
1
𝟎 𝟑
𝒆
𝟏
𝟏 𝟑
𝟑
𝟐
𝟑
𝒆
وزاري / 2013د2 2
𝒙𝒅
0
𝟏
𝟏
∫
𝟑
𝟑
𝟏
𝟏
𝒆
𝟎
0
𝟏
𝟏
𝟏
𝒅
𝟎
𝟎
] ) 𝟎𝒆
𝟑
𝟐
𝟐
𝟐
𝟒
∫
𝒃
وزاري / 2012د1
وزاري / 2011د1
𝟖
𝟏
𝟓𝒏𝒍𝟐
وزاري / 2014د2 𝟐
∫
𝑎
𝟑
𝒆
𝟏
𝟏 𝟑
لو كا الس ال : 𝟑 𝟐
𝟐𝒆 𝟐
𝟏𝒆
𝟎𝒆 1 𝟐
𝟎
𝟑𝒏𝒍
𝟏𝒏𝒍
𝟐𝒆 𝟎𝒆1 0 𝟐
𝟏𝒆0
𝟎
𝟔𝒏𝒍
𝒙𝟐𝒆 1 𝟐 0
𝒙𝒆0
𝟏
𝒙𝒅 ) 𝟐
𝟏
( ∫
𝒙𝒅
𝟏
𝟎
𝟎
وزاري / 2011د2 𝟏 𝟔𝒏𝒍
𝟏𝒏𝒍
𝟔𝒏𝒍
𝟒
)𝟏
𝟑
(𝒏𝒍
وزاري / 2013د1 𝒙𝒅
𝟎
وزاري / 2015د2
𝟐
𝟒 𝟏
𝟐𝒆
𝒆√𝟏 +
𝟏
𝟑
∫
𝟑
𝟒
𝒇
𝟎
وزاري / 2012د2 𝟒
𝟏𝒆
∫
𝟒√𝒆*
𝟒
√ √
𝒙𝒅
√𝟐
𝟎
∫
𝒈
𝟏
وزاري / 2011د1 𝟒 𝟑𝒏𝒍
𝟑𝒏𝒍
|
𝟒
𝟐| 𝒏𝒍
|
𝟒
|
𝟐| 𝒏𝒍 𝟒
353
𝟐
𝟐|𝒏𝒍
𝒙𝒅 /
𝟒
𝟐
𝒉 ∫ . 𝟒
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝟏 𝟐 ) ( 𝟐
𝟐
]
𝒙𝒏𝒊𝒔√𝟐 𝟔 𝟐√
𝟐
𝒆
𝟏
𝟏 )𝟐(
𝟔
𝟐
𝟏 𝟐
𝟐
𝟐√
𝟐
𝟓
𝟏
∫ 𝒄
𝟓
𝐱𝐝
𝒙𝒅
∫
√
𝟔
𝟏√ 𝟐
𝟓 𝒙𝒅 𝟓
[
𝟏 ) ( 𝟐
𝟐
𝟐
𝒏𝒊𝒔 𝟐
𝟔
𝟐
𝟐
∫
𝟐
𝟏 |𝒙𝟓 𝒏𝒊𝒔|𝒏𝒍 𝟓
𝟓
∫ 𝟓
𝟐
∫
𝟓
𝟐
𝟏 𝟎𝟏
*
𝟐
𝟔
𝒏𝒊𝒔 𝟐
𝟓
𝟓
∫
𝒊
𝟓
𝟓
𝟓 𝒙𝒅 𝟓
𝟓 𝟓
∫
𝟑
𝟐
𝟐
∫ 𝟏 ) 𝟓
𝟐
∫
(
وزاري / 2015د1 𝟎
𝟏
+
)
𝟎
𝟐
(
𝟐
𝒙𝒅
∫ 𝒌
𝟎
𝟐 𝟏
𝟏
𝟐
𝟐
𝒙𝒅 ∫
𝟐
𝒙𝒅
𝟏
∫
𝟏
𝟏
𝒙𝒅
𝟐
𝟏
𝟐
∫
𝟏
∫ 𝑳
𝒙𝒅
𝟏
𝟏
س /3أ بت أ : 𝟏
𝟐 𝟖 𝟑 𝟐
𝟏 𝟑
)𝟏
𝟏]
𝟑 𝟐
𝟏 𝟐
( 𝟑
𝟐 𝟏 𝟑 ( 𝟑
)𝟏
𝟏 𝟐
𝟖
𝟏 ) ( ∫𝟑 𝟑 𝟏
∫
[ 𝟑 𝟐
] )𝟏
𝟑 𝟐
𝟏 𝟑𝟏(
)𝟏
𝟏 𝟑𝟖([ 𝟐
] )𝟏
𝟏 𝟑
([ 𝟐
𝟏
األٌمن
𝟐
𝟏 𝟐
]𝟎
𝟑 𝟐
354
𝟏 [𝟐
𝟑
]𝟐 𝟏
𝟏
𝟑 𝟐
𝟏
𝟖
𝟑
√
𝟖 𝟏
𝟖 𝟑 𝟐
√ 𝟐
𝟐 𝟏 𝟑 ( 𝟑
)𝟏
𝟑
𝟐 [𝟐
األٌسر
∫ 𝟏
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝟒
𝟎𝟑
𝟑| ∫
𝒙𝒅 |𝟔
𝟐
مالحظة
𝟔
𝟐
𝟑 2 <2
𝟒
2 2
2
6 1
2
𝟐
0
الطرف األٌمن
1 2
𝟎𝟑
6
, 6
|
|6
2
2 6
06
∫
𝑥𝑑 6
∫ 6
𝑥𝑑
2
6
𝟔
)2
| ∫
𝑥𝑑 |6
2
24
( 24
الطرف األٌسر
2
2
6
2
𝟔
وزاري / 2016د1 دالة مستمرة على الفترة 𝟔 𝟐,
س /4
اأذا كا
𝟔
𝟏∫ وكا
𝟔
𝟐𝟑
𝟔 𝟐
∫ اجـــــد
𝟑
𝟏 𝟐
∫ 𝟔
𝟐𝟑
∫
𝟑 𝟐 𝟔
𝟔
𝟑 ∫
𝟐𝟑
∫ 𝟐
𝟐
𝟔
𝟐𝟑
𝟐 𝟔| 𝟑|
𝟔
𝟖𝟏
∫ 𝟐 𝟔
𝟐𝟑
∫ 𝟐 𝟔
𝟐𝟑
∫
𝟒𝟐 𝟐
𝟔
∫
𝟖 𝟐 𝟔
𝟏
∫
𝟔
∫
𝟏
∫ 𝟐
𝟐 𝟏
∫
𝟔
𝟖
𝟐 𝟏
∫
𝟐 𝟐
355
𝟏
𝟔
∫
𝟖 𝟐
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
س /5جد لٌمة
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎 𝟐
أذا علمت أ
𝟒𝟎∫ 𝟐
)
𝟏
( 𝟏∫
𝟐
الحل / 𝟒
𝟏 1 𝟏 𝟐
𝟐
𝟎
𝟐
𝟐
𝟒
𝟐
0
𝟎
𝟎
𝟏𝟐
𝟐
𝟏
𝟑
𝟐
]𝟎
𝟔
𝟎
𝟏 ) 𝟐
[𝟐
𝟒 ⇒
𝟑
𝟐
𝟏 ( 𝟐
س /6لتك الحل /
𝟐
𝟐
/
𝟐
𝟐
.
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
حٌث
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐×
𝟐
∫𝟐
𝟎
𝟐
𝟐
𝟏 ) 𝟐
( ∫
𝟐
𝟐
𝟑
دالة نهاٌتها الصغرى تساوي 𝟓
𝟑
اجد
𝟏∫
للدالة نهاٌة صغرى ∴ 𝟎
̅ 𝟐
𝟐 𝟐
𝟏
∴ النمطة 𝟓 𝟏,
𝟐
⇒
𝟐
𝟐
𝟎
𝟐
نمطة نهاٌة صغرى محلٌة وهً تحمك معادلة الدالة 𝟐 𝟏 𝟓 𝟒
𝟐
𝟐
𝟏 𝟒 𝟑
𝟑 𝟐
𝟒
1 )𝟑
𝟔𝟐 𝟑
0
𝟑 𝟏 𝟑
(
𝟔
𝟐
)𝟒
𝟖 𝟖𝟏 𝟑
𝟖 ) 𝟑
356
𝟒
𝟐
(
𝟐𝟏
𝟗
𝟗
𝟏
𝟏 𝟑
𝟏 (
𝟐
𝟔
)
𝟑
(
𝟐
̅
𝟐
𝟓
𝟏
𝟐 𝟑
∫
∫
𝟏
𝟏
𝟗 𝟔
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
س /7أذا كيييا للمنحنيييً 𝟏
𝟑
𝟎∫
𝟎∫
الحل /
نمطيييية انمـــــيييـالب
𝟑
جيييد المٌميييية العددٌييية للممييييدار
,
وزاري / 2015د3
للدالة نمطة أنمالب ̅
∴ 𝟎
𝟑
𝟏 𝟐
𝟎
𝟑
𝟔
𝟑
𝟎
⇒
𝟔
𝟑
𝟏 ∴ نمطة احنمالب
هً 𝟏 𝟑,أي أ
,
𝟏 ,
𝟏
𝟑
𝟑
𝟐
𝟑 ∫
𝟑
𝟎 𝟑 𝟐
1 1
𝟐
𝟐
𝟑
𝟑 𝟐
𝟏 𝟑
𝟑
𝟔0
𝟐
𝟎
𝟐
𝟑
𝟑
𝟑
𝟑
𝟎
𝟑
𝟑
𝟔
̅
𝟏
𝟔 ∫
𝟎
𝟑
𝟑
̅
𝟑
𝟏
𝟑
𝟑
𝟔0
1 ]
𝟗 𝟐
1
𝟑
𝟑0
𝟑 𝟑
𝟑
𝟑
𝟏 𝟑
𝟎[ 𝟔
]
]
𝟗 𝟐
𝟕𝟐
𝟖
𝟑
[𝟔 𝟔𝟒
357
𝟎
𝟎
𝟑
𝟎
𝟎
∫
∫
𝟑
] 𝟕𝟐
𝟗𝟏 𝟑
𝟑0 [𝟑 [𝟑
𝟗𝟏
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
أمثلة أضافٌة محلولة م ال /جد التكامالت التالٌة : 𝒄
|𝒙𝒏𝒂𝒕
𝒄
|𝒙𝒕𝒐𝒄
𝒙𝒏𝒂𝒕 𝐱𝐜𝐞𝐬 𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔 ∫ 𝐱𝐝 𝒙𝒏𝒂𝒕 𝒙𝒄𝒆𝒔
𝒙𝒄𝒆𝒔|𝒏𝐥
𝒙𝒏𝒂𝒕 𝒙𝒄𝒆𝒔 𝒙𝒄𝒆𝒔 ∫ 𝒙𝒅 𝒙𝒏𝒂𝒕 𝒙𝒄𝒆𝒔 𝒙𝟓
𝒄
𝟑𝒙 𝟑
𝟐
𝒙𝒅 𝟓
𝒙𝒅
𝒙 ∫
𝟐
𝟐
𝟐𝒆𝟐
𝟏
𝒄
𝒙𝒏𝒍
𝟏√𝟐
𝟐𝒆
𝟐𝒆
𝒄
𝟏 𝟐
𝒄
𝒙𝒏𝒍 𝟏 )𝟐(
|𝒙𝒄𝒆𝒔|𝒏𝒍
𝒄
𝒙𝒕𝒐𝒄 𝒙𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄 ∫ 𝒙𝒅 𝒙𝒕𝒐𝒄 𝒙𝒄𝒔𝒄 |𝒙√𝒏𝒂𝒕
𝒄
𝒙𝒅
𝒙
𝟐
𝒄
𝒙𝒏𝒍 𝟐
𝟏
𝒙𝒏𝒍 𝒙
∫
𝒙𝒅 𝒙𝒏𝒂𝒕 ∫
𝟓
∫
𝒙𝒅 𝒙𝒕𝒐𝒄 ∫
𝟔
𝒙𝒕𝒐𝒄 𝒙𝒄𝒔𝒄 𝒙𝒄𝒔𝒄 ∫ 𝒙𝒅 𝒙𝒕𝒐𝒄 𝒙𝒄𝒔𝒄
𝒙𝒅 𝒙𝒄𝒔𝒄 ∫
𝒙√𝒄𝒆𝒔 𝒙𝒅 𝒙√ 𝟐
𝒙𝒏𝒍 𝒙𝒅 𝒙
𝒄
𝟏 𝒙𝒆 𝒆
𝟏
𝒄
358
𝒙𝒅
𝒆
𝒙
𝒙𝒏𝒍 𝟒
𝒆 𝒆∫
𝟏√𝒙
𝒙√𝒄𝒆𝒔 𝒙𝒅 𝒙√
∫𝟐
𝟏 𝒙𝒅 ∫ 𝒙
∫
𝒙
𝒙𝒏𝒍
𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙𝒅 𝒙𝒏𝒊𝒔
|𝒙𝒏𝒊𝒔|𝒏𝒍
𝟐
∫
𝒙𝒏𝒊𝒔 𝒙𝒅 𝒙𝒔𝒐𝒄
𝒄 𝒙𝒆 𝟏
𝒙𝒅
∫
𝟒
𝒆
𝟐
𝟒
𝒙√𝒄𝒆𝒔|𝒏𝒍𝟐
𝒙𝒏𝒍
𝒙𝒅 |𝒙|𝒆 ∫
𝟑
𝟐
|𝒙𝒔𝒐𝒄|𝒏𝒍 𝒄
𝒙𝒄𝒔𝒄|𝒏𝒍
𝟏
𝒆∫
𝟐
𝟐
𝒆 ∫
𝟎 𝟏 𝒙𝒅 𝟐
)𝟓 𝟐𝒙(𝒏𝒍
𝟎
𝒙𝒅 𝒙𝒆 ∫
𝟏
𝒙𝒅 𝐱𝐜𝐞𝐬 ∫
𝟏
𝒙𝒏𝒍 𝒙𝒅 ) 𝒙 𝟑
𝒙𝒅 𝒙𝒅 𝟐
𝟕
∫ 𝟖
𝟏 (∫ 𝟗 𝒙
𝒙𝒏𝒍 ∫ 𝟎𝟏 𝒙
𝒙𝒆 ∫ 𝟒𝟏 𝒙𝒆 𝒆
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
للدوال
م ال /جد
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
التالٌة : 𝟏 ) (
𝟏
𝟏
𝟏 𝟏 ) ( )
𝟏
𝟐
𝟐 𝟐
𝟏
𝟐 )
(
𝟐
𝟐
(
𝟑 𝟐
𝟏 𝟐
𝒙
𝟐
𝒙
𝟒
𝒙 𝟐
𝟐 𝟐
𝒙
𝟐
𝒙 𝟐
𝟐
𝟑𝟑 𝟐
𝟏
𝟏 𝟑
𝟑
𝒙
𝟑𝟑 𝟐
𝟏
𝟑
𝟏 𝟏 𝟑
𝟑
𝟏
𝟓
م ال /جد معادلة المماس للمنحنً للدوال التالٌة : ⒜
عندما 𝟎 نقطة التماس 𝟏 𝟎,
𝟏 𝟎
𝟏 )معادلة المماس(
𝟎
𝟏
𝟏
359
𝟎
𝟏 𝟎
مٌل المماس 𝟏
𝟏 𝟏
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
)(b
𝟐
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
عندما 𝟏 نقطة التماس 𝟐 𝟏, 𝟐𝟐
𝟒 )معادلة المماس(
)(c
𝟒
𝟏
𝟏𝟐
𝟐 𝟏𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟏
𝟐
𝟐 مٌل المماس
𝟐 𝟏
𝟒
𝟏
عندما نقطة التماس 𝟐
𝟏
,
𝟏
𝟏 𝟏
𝟏
)معادلة المماس(
𝟏 ) (
𝟏
𝟐
𝟐
مٌل المماس 𝟏 𝟏
م ال /أ بت أ الدالة جد لٌمة
,
*𝟎, + 𝟒
دالة ممابلة للدالة
م
𝟒𝟎∫
الحل /
هً دالة مستمرة ولابلة لألشتماق أٌضا
هً دالة مستمرة و لابلة لألشتماق وكذلن
𝟐
)
𝟏
𝟐√
𝟎
𝟏
هً دالة مقابلة للدالة
𝟏
𝟐√
( 𝟒
∫
𝟎
360
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
مالحظة: نستلدم ) ( للمٌل م نضع كل متغٌر على جهة م نكامل الطراٌ
أذا كا مٌل المنحنً ٌحتوي على المتغٌر
******************************************************************
س : 1جد منحنً الدالة الذي ٌمس المستمٌم 𝟕 س : 2أذا كانت المشتمة ال انٌية 𝟔 بأستلدام التفاضل أرسم منحنً الدالة
𝟑 ومٌله عند كل نمطة م نماطه ٌساوي 𝟔
وكيا للدالية النمطية 𝟒 𝟏,
نمطية نهاٌية عظميى محلٌية جيد منحنيً الدالية يم
س : 3جد معادلة منحنً الدالة الذي مٌله عند كل نمطة م نمطه ٌساوي ومحدب لكل 𝟏 < 𝟑 وكا المنحنً ممعر 𝟏 س : 4جد معادلة المنحنً المار بالنمطة 𝟐 𝟏,
𝟐
𝟔
ومٌله عند كل نمطة م نمطه ٌساوي
س : 5جد معادلة المنحنٌات أذا علمت أ مٌلها عند كل نمطة م نمطها
𝟐
𝟑
,
هو
وله نهاٌية صيغرى محلٌية لٌمتهيا
𝟏
𝟐 𝟐 𝟑
𝟑
𝟐 𝟐 𝟑
𝟐 𝟐
******************************************************************
اٌجاد مساحة المنطمة المستوٌة مساحة المنطمة المستوٌة المحددة بمنحنً ومحور الســـٌنات لتك السٌنات والمستمٌمٌ
دالة مستمرة على الفترة ,
اأ
,
ولتك Aمسياحة المنطمية المحيددة بيالمنحنً
|
ومحيور
∫|
لطوات الحل : الٌجاد المساحة بٌ منحنً ومحور السٌنات نتبع ما ٌلً : الٌجيييياد نميييياط التميييياطع مييييع محييييور السييييٌنات اييييأذا كييييا النييييات ٌنتمييييً للفتييييرة Ⓘنجعييييل 𝟎 الفترة كما تعلمنا سابما واذا كا النات الٌنتمً للفترة اٌهمل وت لذ الفترة المعطاة امط . ② اذا لم تعطى مع الدالة اترة االفترة ٌتم تحدٌدها م لالل نماط تماطع الدالة مع محور السٌنات ③ المساحة = مجموع المٌم المطلمة للتكامالت المجز ة
361
,
انجييييزي
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
م ييييال ( /)1جييييد مسيييياحة المنطميييية المحييييددة بمنحنييييً الداليييية الفترة 𝟐 𝟐,
𝟑
𝟒
ومحييييور السييييٌنات وعلييييى
الحل / الٌجاد نمط التماطع
نجعل 𝟎 𝟐
𝟎
𝟐
𝟐
𝟎
𝟎
𝟐
𝟐
𝟒
𝟒
𝟎
𝟑
∴ اترات التكامل هً 𝟐 𝟐, 𝟎 , 𝟎, 𝟐
𝟎
𝟒
1
𝟐
𝟐
𝟒
𝟎
1
0
𝟐
𝟒 𝟐
𝟐
𝟒
𝟐
) وحدة مربعة( 𝟖
|
0
𝟑
𝟒
𝟎
|
∫|
𝟑
𝟒
∫|
𝟎
|𝟒 |
| 𝟎
𝟒
𝟐
𝟒 |
𝟖
| 𝟖
𝟎 |
𝟒
وزاري / 2013د3 𝟐
م يييييييال ( /)2جيييييييد مســـيييييييـاحة المنطمييييييية المحـــيييييييـددة بمنحنيييييييً الدالــيييييييـة 𝟏, والمستمٌمٌ 𝟑
ومحيييييييور السيييييييٌنات
الحل / الٌجاد نمط التماطع
نجعل 𝟎
𝟑 𝟏,
𝟎
𝟎
𝟐
𝟑
𝟔𝟐 ) وحدة مساحة( 𝟑
𝟕𝟐 ] 𝟑
𝟏 |] [ 𝟑
𝟑
𝟑
[|
1
𝟑
𝟐
|
0
∫| 𝟏
𝟏
وزاري / 2013د1
م ال ( ) /جد مساحة المنطمة المحددة بمنحنً الدالة
𝟐
𝟐
𝟑
𝟑
ومحور السٌنات
الحل / الٌجاد نمط التماطع
نجعل 𝟎
𝟏
𝟐 𝟐
1 𝟏
𝟎 𝟏
𝟒 𝟐
𝟑
𝟒
𝟎
0
𝟏 ) وحدة مساحة( 𝟐
1
𝟏
𝟐
)𝟐
𝟎
𝟐
𝟒 𝟑
𝟐
𝟒
𝟎
𝟐 𝟒
𝟏 | 𝟒
|
𝟑
𝟐
𝟎
(
𝟐
0
𝟐
|
𝟐
𝟑
𝟑
𝟏
∫|
|
𝟐
𝟐
𝟑
𝟑
𝟏
𝟏 𝟒
|)𝟏
𝟏
362
𝟏 ( 𝟒
𝟒
𝟐
𝟑
𝟖
∫| 𝟎
𝟒 |
| 𝟎
)𝟏
𝟏
𝟏 (| 𝟒
𝟑
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
م يييال (/)4 الفترة 𝟑 𝟐,
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎 𝟐
جييييد مسيييياحة المنطمييية المحييييددة بمنحنييييً الدالييية 𝟏
الحل /نجعل 𝟎
ومحييييور السييييٌنات وعلييييى
الٌجاد نمط التماطع 𝟑 𝟐,
𝟎
𝟏
𝟏
𝟏
𝟑
|
𝟐
𝟏
|
∫|
𝟐
𝟏
|])𝟏
𝟏 ) وحدة مساحة( 𝟑
م ييييال (/)5 الفترة , +
𝟗
𝟏 𝟑
])𝟏
𝟎𝟐 𝟑
𝟖𝟐 𝟑
(
𝟒 𝟑
𝟏
𝟑
𝟏
𝟏 ( 𝟑
0
𝟏
𝟑
1
𝟑
𝟏
)𝟏
𝟏 ([ 𝟑
])𝟐
𝟖 𝟑
𝟒 𝟑
𝟏 | 𝟑
𝟕|
|𝟐
جييييد مســـييييـاحة المنطميييية المحييييددة بمنحنييييً الداليييية 𝟐
𝟏
∫| 𝟐
𝟑
1
𝟑
|
𝟐
𝟏 𝟑
𝟗 [
𝟏
∫|
𝟏
𝟏
𝟎
𝟏
𝟐
0
𝟑
1
𝟑
𝟐
(
𝟏 𝟑
)𝟏
𝟐 | 𝟑
([|
𝟕 𝟑
|𝟏
0
|
ومحييييور السييييٌنات وعلييييى
*
الحل /نجعل 𝟎
الٌجاد نمط التماطع
] ,
[
𝟐
𝟎
𝟎
𝟎 |
|
|
𝟎 ) وحدة مساحة( 𝟑
𝟐
|𝟏 |
𝟏
𝟏
𝟎
|
∫|
|
𝟎
𝟏
363
|
𝟎
𝟐 | 𝟎
∫|
|
|)
𝟐
𝟐
(
𝟎
|
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
م ييييال ( /)6جييييد مســييييـاحة المنطميييية المحييييددة بمنحنييييً الدالـــييييـة الفترة , الحل /نجعل 𝟎
ومحييييور السييييٌنات وعلييييى
الٌجاد نمط التماطع ,
|
| 𝟐
| |
𝟐
| 𝟐
| |
|
∫|
|
𝟎
𝟐
𝟐
|
𝟐
∫|
𝟐
|
∫|
𝟐
𝟐 |) ( 𝟐
|)
|
) وحدة مساحة( 𝟒
𝟏
𝟐
𝟐
(
|𝟏 |
𝟏
) ( 𝟐
|
|𝟏 |
𝟐
)
| 𝟎|
|𝟏
|𝟏
𝟏|
𝟐
(
|𝟎
| 𝟏 |
******************************************************************
أمثلة أضافٌة محلولة 𝟐
م يييييال /جيييييد مســـيييييـاحة المنطمييييية المحيييييددة بمنحنيييييً الدالييييية 𝟒 الفترة 𝟑 𝟏, الحل /نجعل 𝟎
ومحيييييور السيييييٌنات وعليييييى
الٌجاد نمط التماطع ) ٌهمل السالب(
𝟑 𝟏,
𝟑
𝟑
| 𝟒 1 𝟐
|𝟖
𝟖 𝟑
𝟐 𝟐
𝟑
|0
𝟑 |
𝟒𝟑 ) وحدة مساحة( 𝟑
|
𝟑
𝟏
|𝟒
𝟐
𝟗 𝟑
|
𝟕 𝟕𝟐 𝟑
364
|0
𝟒
|
𝟐
𝟐
∫|
𝟒
|
𝟐
𝟐
𝟖 ( 𝟑
|)𝟖
𝟕 𝟑
𝟎
𝟑
𝟑
𝟒 1
𝟖
𝟎
𝟐
𝟗
𝟐𝟏
𝟖 𝟓𝟏 | 𝟑
𝟗 | |
𝟒 ∫| 𝟏
𝟏 𝟑
|)𝟒
|𝟗 |
𝟖 | 𝟑
(
)𝟖
𝟖 (| 𝟑
𝟓|
|𝟐𝟏
𝟑|
𝟐
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
م ال /جد مســـــاحة المنطمة المحددة بمنحنً الدالــــة الحل /نجعل 𝟎
ومحور الســــٌنات وعلى الفترة 𝟐 𝟎,
الٌجاد نمط التماطع
) الٌمكن ألنه دائما عدد موجب أكبر من الصفر (
𝟎 𝟐
) وحدة مربعة(
𝟏
𝟐
|
𝟐
𝟎
|
∫|
|
𝟎
𝟐
م ييييال /جييييد مسيييياحة المنطميييية المحييييددة بمنحنييييً الداليييية
𝟐
ومحييييور السييييٌنات
وعلى الفترة *𝟎, + 𝟐
الٌجاد نمط التماطع
الحل /نجعل 𝟎
] [𝟎,
𝟐
] 𝟏
𝟏 𝟎 𝟐
[
] 𝟎
𝟒 𝟏 𝟏 𝟐
[
𝟐
𝟐 𝟐
| ] 𝟐 𝟒
𝟏 𝟐
𝟒
| ] 𝟐
[|
𝟎
𝟎
𝟏 𝟐
[|
𝟐
|
𝟐
𝟎
𝟐
𝟐
∫|
|
𝟐
𝟒
𝟐
𝟎
𝟒
) وحدة مربعة( 𝟏
∫|
𝟏 | 𝟐
|
𝟏 𝟐
******************************************************************
مساحة المنطمة المحددة بمنحنٌٌ لتك
, ,
دالتٌ مستمرتا هً
|
على الفترة
,
اأ المساحة المحيددة بيالمنحنٌٌ f,gوالمسيتمٌمٌ
∫|
لطوات الحل : الٌجاد المساحة بٌ منحنً دالتٌ نتبع ماٌلً :
الٌجييياد نميييياط التمييياطع ايييأذا كييييا النيييات ٌنتمييييً للفتيييرة Ⓘنجعيييل سابما واذا كا النات الٌنتمً للفترة اٌهمل وت لذ الفترة المعطاة امط . ②اذا لم تعطى مع الدالة اترة االفترة ٌتم تحدٌدها م لالل نماط تماطع الدالتٌ .
③ المساحة = مجموع المٌم المطلمة للتكامالت المجز ة ( للدالة احكبر – الدالة احصغر )
365
,
انجيييزي الفتييييرة كميييا تعلمنييييا
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
وزاري / 2011د1
م ال ( /)1جد مساحة المنطمة المحددة بالمنحنً
والمستمٌم
√
الحل / نجد نمط التماطع وذلن بجعل 𝟏
√ 𝟎
𝟏
] 1 𝟎
𝟏
𝟎
𝟎
𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
𝟑 ) ( 𝟐
𝟐
√ 𝟐 [0 𝟑
| ]
𝟐
𝟑 )𝟐(
𝟐
𝟎
[|
)
|
م ال (/)2
𝟐
⇒
𝟏
𝟏 ) ( 𝟐
𝟏
|
( ∫|
√( ∫|
)
𝟎
) وحدة مساحة(
جد مساحة المنطمة المحصورة بٌ المنحنً
)بالتربٌع(
√
𝟑
𝟏 𝟔
𝟎
𝟒
𝟑
] 𝟎
𝟔
𝟐 ([ 𝟑
𝟏 ) 𝟐
والمستمٌم
الحل / 𝟑
نجد نمط التماطع وذلن بجعل 𝟏
𝟎 𝟏 𝟐
| 1 𝟎
𝟐
𝟎 𝟎 𝟐
𝟒
𝟒
|0
)وحدة مساحة(
| 1 𝟏
𝟏 𝟐
𝟐
𝟏
𝟏
𝟒
𝟒
𝟐 𝟏 | 𝟒
366
|
𝟑
𝟎
𝟑
|0
𝟑
|
𝟎
∫|
𝟑
|
𝟎
𝟏 𝟒
| 𝟎
𝟏 ) 𝟐
𝟏 (| 𝟒
∫| 𝟏
𝟏 |) 𝟐
𝟏 ( 𝟒
𝟎 |
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
م ييييييييال (/)3
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
جييييييييد مســـييييييييـاحة المنطميييييييية المحييييييييددة بييييييييالمنحنٌٌ
وعلى الفترة , + 𝟐
𝟐
*
الحل /نجعل
الٌجاد نمط التماطع
)األتجاه الموجب( ] , 𝟐 𝟐
| |
و
𝟐
| |
| |
𝟒
| |
[
𝟏
𝟒
𝟐
|
∫|
𝟒
|
𝟒
𝟒
∫|
𝟐
𝟐 ) ( 𝟒
|( )/ 𝟒
( )/ 𝟐
.
) وحدة مساحة(
) ( 𝟐
𝟐√𝟐
𝟏
|.
(
|)/ 𝟐 𝟏 𝟏 ( |) 𝟐√ 𝟐√
𝟏
𝟐√
𝟐√
)
(
𝟐 𝟎
𝟏 | |𝟏
𝟏|
|𝟐√
( )/ 𝟒
.
| 𝟎 𝟐√|
) ( 𝟒 𝟏 𝟏
𝟏
|.
) (| 𝟐√ 𝟐√ 𝟐 𝟏| |𝟏 | 𝟐√
𝟐
| 𝟐√
******************************************************************
أمثلة أضافٌة محلولة م يييييييال /جيييييييد مسييييييياحة المنطمييييييية المحيييييييددة بيييييييالمنحنٌٌ وعلى الفترة 𝟑 𝟐, الحل /نجعل
𝟏
𝟐
الٌجاد نمط التماطع 𝟎
𝟒
𝟏
𝟒
𝟎
| 𝟒 1 𝟏
𝟐 𝟑 𝟐
𝟏
𝟑
𝟑
|0
𝟐 𝟑 𝟐
| 𝟒 1 𝟐
|)𝟒 𝟐𝟏𝟏 | 𝟔
|
𝟕𝟏 𝟔
|
𝟑 𝟐
𝟏 𝟑
𝟒𝟐
𝟗
(
𝟓
𝟏
𝟑 𝟐,
𝟒
|0
|
𝟒
𝟑
𝟐
𝟏
|
∫|
𝟑
𝟒
𝟐
𝟏
)𝟐𝟏 𝟐 𝟐𝟕 𝟔
𝟕𝟐 𝟐
𝟗(|
𝟏𝟖
𝟒𝟓 |
|)𝟖 |
𝟖𝟒
) وحدة مساحة(
367
𝟐
𝟏
𝟑
𝟑
𝟑
𝟐
𝟑
𝟑 𝟐, 𝟑
𝟐
و 𝟓
∫| 𝟐
𝟖 𝟑
𝟔 𝟔𝟑
)𝟒
(
𝟒𝟐
𝟔𝟏
𝟑 𝟐 𝟗
𝟔 𝟑𝟒 𝟐
𝟗𝟐𝟏 𝟔
𝟐𝟏𝟏 𝟔
𝟏 𝟑 𝟐
(| |
𝟕𝟏 𝟔
𝟐
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
م ال /جد المساحة المحددة بالمنحنٌٌ
𝟒
𝟐𝟏
𝟐
و
الحل / الٌجاد نمط التماطع
نجعل ٌهمل 𝟑 √∓
𝟎
𝟐
𝟖 𝟑
𝟐𝟒1
𝟐𝟑 𝟓 𝟖 𝟓𝟏
) وحدة مساحة(
0
𝟎𝟒
𝟐
𝟑
𝟐𝟒1
𝟖 𝟑
𝟖𝟎𝟔 𝟓𝟏
𝟒𝟎𝟑 𝟓𝟏
𝟐
𝟒
𝟐𝟑 𝟓
| 𝟏𝟐 1
0
𝟐
𝟒𝟎𝟑 | 𝟓𝟏
|
م ييييييال /جييييييد مسيييييياحة المنطميييييية المحييييييددة بييييييالمنحنٌٌ
𝟐𝟏
𝟎
𝟐
|
𝟑
𝟓
𝟑
𝟓
𝟎𝟔𝟑
𝟎𝟒 𝟓𝟏
𝟏
𝟐
𝟐
𝟒
𝟐
)𝟐𝟏
|
|0
𝟐
𝟐𝟏
𝟒
𝟒
𝟐
( ∫| 𝟐
𝟔𝟗
|
𝟎𝟔𝟑 𝟎𝟒 | 𝟓𝟏
و
𝟐
𝟔𝟗
|
𝟐
وعلى الفترة *𝟎, + 𝟐
الحل / الٌجاد نمط التماطع
نجعل 𝟏
𝟐
𝟏
𝟎
𝟐
𝟏
𝟐
|
∫
) 𝟐
|𝟎+
*
𝟎
|
𝟒
|
|
𝟐
𝟒
|
𝟐
𝟐
𝟏 𝟐 ( ∫| 𝟐 𝟎
]𝟎
𝟐
] [𝟎,
) ٌهمل( 𝟏 𝟏 𝟐
𝟐
|
𝟐
∫
𝟎
)𝟎
𝟏 × ([| 𝟐 𝟐
𝟏 𝟏
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
|
∫|
𝟐
𝟏
𝟎
𝟐 |𝟎
𝟐
∫|
𝟎
𝟐
] 𝟐
𝟎
𝟏 𝟒
) وحدة مساحة(
368
𝟐
𝟏 [| 𝟐 𝟒
𝟐
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
م ال /جد مساحة المنطمة المحصورة بٌ المنحنٌٌ 𝟏 𝟏<
الحل / نجعل
𝟏 𝟑
𝟐
𝟓
𝟏 𝟏<
,
𝟏
𝟐 𝟐
, 𝟏
الٌجاد نمط التماطع 𝟏
𝟓
𝟏< 𝟓
| 𝟔 1 𝟏
𝟒𝟓 | 𝟎𝟏
𝟐 𝟔 |0 𝟎𝟏
𝟓𝟏|
|
|𝟎𝟏
𝟒 1 𝟓
𝟒𝟒 𝟎𝟏
الحل /نجعل
𝟔
𝟓
𝟏
𝟒
𝟐 𝟒 |0 𝟎𝟏 𝟔 𝟎𝟏
)𝟔
|
.
) وحدة مساحة(
𝟒𝟐
𝟎𝟒𝟐 𝟎𝟏
𝟏
𝟐
𝟒 𝟓
𝟕
𝟏 𝟓
,
𝟐
|
𝟑
|
𝟒𝟓
𝟒 ( ∫| 𝟓 𝟓
)𝟒
| 𝟎𝟐
|
𝟏
𝟏
𝟔 ( ∫| 𝟓 𝟏
𝟎𝟑
|
𝟔 𝟓
𝟕
𝟏 𝟓
𝟓
𝟓𝟏
|𝟔/
م ال /جد مساحة المنطمة المحددة بالمنحنٌٌ
𝟑𝟑√ 𝟒
و𝟕,
|
|𝟏
𝟏
𝟎𝟏
𝟒 𝟎𝟏
𝟒/
𝟎𝟓𝟏 𝟎𝟎𝟏 𝟎𝟏
𝟐
|.
𝟒𝟒
|
وعلى الفترة 𝟏 𝟎,
الٌجاد نمط التماطع 𝟏
𝟑𝟑√ 𝟐 𝟐
𝟏 𝟐
𝟏 𝟐
𝟑𝟑 𝟒 𝟐
𝟖
𝟏 𝟐
𝟏 𝟒 𝟐
)بالدستور(
⇒
𝟎
𝟏 𝟐
𝟐
𝟐
نلتبر الدالة 2
0
< 0 𝟒
𝟒𝟐 𝟐𝟏
0 𝟑
| 𝟎
لذا اأ الدالة 𝟏 ) 𝟑
𝟐
𝟏 (| 𝟒
𝟐 𝟑𝟑√
𝟏 𝟎,
𝟏 𝟐 𝟏
𝟒
هً الدالة احكبر 𝟏 𝟑
| 1 𝟎
𝟑
𝟐
𝟐
𝟒
𝟏
|0
|
)
𝟐
𝟐
𝟏 ( ∫| 𝟐 𝟎
) وحدة مساحة(
369
𝟑𝟐 𝟐𝟏
𝟐
โ ซุฃุนุฏุงุฏโ ช /โ ฌุงุฃู ุณุชุงุฐ ุนู ู ุญู ู ุฏ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ โ ฌ
โ ซุงู ู ุตู ุงู ุฑุงุจุนโ ช /โ ฌุงู ุชู ุงู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู โ ฌ
โ ซุงู ู ุณู ู ู ู ู ู ุงุงุฉโ ฌ โ ซู ู ู ู ุชู โ ฌ โ ซุงู ุฒู ู ู ุฉโ ฌ
โ ซุณู ู ู ุฑุนุฉ ุฌุณู ู ู ู ู ุชุญู ู ู ุฑู ุนู ู ู ู ู ู ู ู ู ุท ู ุณู ู ู ุชู ู ู ู ุงู ู ู ู ู ุณู ู ู ุชู ู ู ู ู ู ุง ุงู ู ู ุฃ ุงู ู ุณู ู ู ุงุงุฉ ุงู ู ู ุทู ุนู ู ู ุฉ ุงู ู ู ู ุงู ู ุชู ู ู ุฑุฉโ ฌ โ ซ๐ โ ฌ
โ ซโ ช,โ ฌโ ฌ
โ ซ๐ โ ฌ
โ ซุญู ุซ ุชู ู โ ฌ
โ ซู ู โ ช:โ ฌโ ฌ
โ ซู ุณุฑุนุฉ ุงู ุฌุณู โ ฌ
โ ซ๐ โ ฌ
โ ซู ู ุฏุงุฑ ุงู ู ุณุงุงุฉ ู ู ู ู ู ู ุฉ ุบู ุฑ ู ุชุฌู ุฉโ ฌ
โ ซุฃู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ุง ุงุญุฒุงุญู ู ู ู ู ู ุฉโ ฌ โ ซุงู ุฌุณู ู ู โ ฌ
โ ซ|โ ฌ
โ ซ๐ โ ฌ โ ซ| โ ซโ ฌ
โ ซู ุงู ุณู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ุฑุนุฉโ ฌ โ ซ๐ โ ฌ โ ซ๐ โ ฌ
โ ซู ุงู ุชุนุฌู ู ู ู ู ู ู ู โ ฌ
โ ซุงู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ุงุช ู ุชุฌู ู ู ู ู ู ู ุฉ ู ุฃ ุฃุฒุงุญู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ุฉโ ฌ
โ ซโ ซโ ฌ โ ซโ ซโ ฌ
โ ซู ุงู ุญุธุงุช โ ช:โ ฌโ ฌ โ ซโ ช โ พโ ฌุงุญุฒุงุญุฉ ุชู ุงู ู ู ุญุฏุฏ ู ู ุณุฑุนุฉ ู ู ู ู ุจุฏู ู ุทู ู ุญ ุงู ู ุงุช ุงู ู ู ู ุฃุฐุง ู ุง ู ู ุฌุจ ุฃู ุณุงู ุจ ุฃู ุตู ุฑโ ฌ โ ซโ ก ู ุฌู ุฏ ุงู ู ุทู ู ุงู ู ุงู ู ุงู ู ุณุงุงุฉ ู ู ู ู ู ุงู ู ู ู ุงู ู ุงุช ุณุงู ุจโ ฌ โ ซโ ข ุฃุฐุง ุทู ุจ ุงู ุงู ุณ ุงู ู ุงู ุฌุฏ ุงุญุฒุงุญุฉ ู ุงู ู ุงู ุงู ู ุฉ ุงู ุงู ู ุฉ ุงู ุฐุง ู ุนู ู ุญุณุงุจ ุงู ุฏุงู ุฉ โ ซโ ฌ โ ซโ ฃุฃุฐุง ุทู ุจ ุงู ุงู ุณ ุงู ู ุงู ุฌุฏ ุงุญุฒุงุญุฉ ู ุงู ู ุงู ู ุงู ู ุงู ู ู ุณ ุงุญู ู ู ุงู ุฐุง ู ุนู ู ุญุณุงุจ ุงู ุฏุงู ุฉ โ ซโ ฌ โ ซโ ค ุฃุฐุง ุฃุนุทู ุงู ุงู ุณ ุงู ุชุนุฌู ู ุงู ุฌุณู ุงุฃโ ฌ
โ ซุงู ุชุนุฌู ู โ ซโ ฌ
โ ซุงู ุณุฑุนุฉ ู ู ู ุชู ุงู ู ุบู ุฑ ู ุญุฏุฏโ ฌ
โ ซโ ฅ ุงู ู ู ู ุญุงู ู ู ู ุฉ ุฃู ุฌู ู ู ุงุฏ ุงู ู ุณู ู ู ุงุงุฉ ู ุชุบู ู ู ู ุฑ ุฃุชุฌู ู ู ุงู ุงู ุฌุณู ู ู ู ู ู ู ู ู ุฐุง ู ุนู ู ู ู ู ุญู ู ู ุฏู ุซ ุชุฌุฒ ู ู ู ุฉ ุงู ู ู ู ุงู ุชู ุงู ู ู ู ู ุฃ ู ุฌู ู ู ุฏ ู ุงู ู ู ู ุญุงู ู ู ู ุฉโ ฌ โ ซุงุญุฒุงุญุฉ ู ู ู ุฃุชุฌุงู ุงู ุฌุณู ุงุจุช ู ุฐุง ุชู ู ู ุงู ุชุฌุฒ ุฉ ุงู ุงู ุชู ุงู ู ุฃ ู ุฌุฏุช โ ช.โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช370โ ฌโ ฌ
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
م ال ( ) /جسم ٌتحرن على لط مستمٌم بسرعة ⁄
𝟒
اجــــــــــــــد :
𝟐
ⓐالمسااة الممطوعة اً الفترة 𝟑 𝟏,
ⓑاحزاحة الممطوعة اً الفترة 𝟑 𝟏,
ⓒالمسااة الممطوعة اً ال انٌة اللامسة
ⓓبعده بعد مضً ) (4وانً م بدء الحركة
الحل /
, 𝟑
|
𝟐
|
𝟐
𝟏
𝟐
𝟒
|
𝟒
|
𝟑 |
𝟐
𝟐 ∫|
|
𝟐 ∫|
𝟒
𝟐
𝟏
𝟒 |
|𝟑
2
𝟑
|
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟒
|𝟒
4
0
| 𝟖
𝟒
𝟗 |
𝟐𝟏
𝟏
| 𝟒
𝟏
𝟒 |
𝟖
𝟑
𝟎
𝟑
𝟓
| 𝟔𝟏
𝟒
𝟑
𝟏
𝟐𝟏
𝟎𝟐
𝟓𝟐 |
𝟑
𝟗
𝟐
𝟒
𝟐 ∫
𝟒
𝟏
𝟏 𝟓
𝟔𝟏
𝟓
|
𝟐
𝟒
|
|
𝟐 ∫|
𝟒
𝟒
𝟒 𝟒
𝟎
𝟔𝟏
𝟎
𝟔𝟏
𝟒
|
𝟐
𝟒
|
𝟐 ∫
𝟒
𝟎
𝟎
م ييييال ( /)2جسييييم ٌتحييييرن عليييييى لييييط مسييييتمٌم بتعجٌييييل 𝟐𝟖 بعد مرور ) (4وانً م بدء الحركة اجد : ⓐالمسااة لالل ال انٌة ال ال ة
𝟐
4
𝟖𝟏 ايييييأذا كانييييت سييييرعته لييييد أصيييييبحت
⁄
ⓑبعده ع نمطة بدء الحركة بعد مرور ) (3وانً
الحل / 𝟖𝟏
𝟖𝟏 𝟎𝟏
𝟐𝟕
∫
𝟖𝟏 ∫
𝟒 𝟖𝟏
𝟐𝟖
𝟎𝟏 𝟑
𝟓𝟓
𝟔𝟓
𝟏𝟏𝟏
| 𝟎𝟐
𝟔𝟑
𝟏𝟖 |
𝟎𝟑
|
𝟎𝟏
𝟐
𝟗|
|
𝟎𝟏
𝟏𝟏𝟏
𝟖𝟏 ∫| 𝟐
𝟑
𝟎
𝟖𝟏 𝟑
𝟐
𝟎𝟑
𝟏𝟖
𝟑
𝟎𝟏
𝟐
𝟗
𝟎𝟏
𝟖𝟏 ∫ 𝟎
𝟎
ⓒاً الم ال أعاله جد السرعة بعد مرور ) (10وانً 𝟎𝟗𝟏
𝟎𝟏
𝟎𝟖𝟏
𝟎𝟏
𝟎𝟏 𝟖𝟏
371
2
𝟎𝟏
𝟎𝟏
𝟖𝟏
𝟐𝟖
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
تمارين 𝟔 𝟒
س /1جد المسـاحة المحددة بالمنحنً الحل /نجعل 𝟎
𝟒
ومحور السٌنات والمستمٌمٌ
الٌجاد نمط التماطع 𝟏 𝟏,
) وحدة مساحة(
𝟏
𝟑 𝟎𝟏
𝟓
𝟕 𝟎𝟏
|0
𝟎
| 1
𝟐
𝟏
𝟐
𝟎
|0
𝟓
𝟒
|
𝟎
∫|
𝟒
|
𝟎
( |
𝟒
𝟏 ) 𝟐
| 𝟎
𝟒
𝟎
𝟏
𝟓 𝟐 |) 𝟎𝟏
𝟑
𝟑
𝟏
𝟓
𝟐
𝟓 𝟐 |) (| 𝟎𝟏
س /2جد المسـاحة المحددة بالدالة 𝟒 الحل /نجعل 𝟎
𝟎
𝟓
𝟐
𝟎
𝟎𝟏 𝟎𝟏
𝟏 𝟏,
𝟐
| 1
𝟏
وزاري / 2012د2
𝟏 𝟏
𝟏,
∫| 𝟏
𝟏 (| 𝟓
𝟏 |) 𝟐
وعلى الفترة 𝟑 𝟐,
𝟏 𝟓
𝟎 |
(
ومحور السٌنات
الٌجاد نمط التماطع
ٌهمل 𝟏
𝟐
𝟑 𝟐,
,
𝟑 𝟑
𝟓
𝟐
𝟐 𝟐
𝟓
| 𝟒 1
|
|0
𝟓
𝟖
𝟐𝟑 𝟓
(
𝟐
𝟒
𝟎
𝟑
𝟑
|
|0
𝟐
)𝟒
𝟒
𝟑
𝟐
|
( ∫|
𝟐
)𝟒
𝟒
𝟑
𝟐
)𝟐𝟏
𝟔𝟗 |𝟔𝟗 | 𝟓
س /3جد المسـاحة المحددة بالدالة الحل /نجعل 𝟎
𝟑
𝟐
𝟐𝟗𝟏 𝟓
𝟏
𝟒
𝟓
𝟒 1
|)𝟖 ) وحدة مساحة(
𝟎
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑𝟒𝟐
𝟕𝟐
𝟓𝟏𝟏 |
𝟓 𝟏𝟏𝟐
𝟓
𝟒
|)𝟖
(|
𝟎𝟔𝟏 | 𝟓
|
𝟒
𝟐
𝟐𝟑
𝟖 𝟒𝟔
( ∫|
𝟓
(
𝟏𝟏𝟐 𝟓
|𝟑𝟐
|
)𝟖
|
𝟐𝟑
𝟖
(|
𝟓
𝟒𝟔 𝟓
|𝟐𝟑
|
ومحور السٌنات
الٌجاد نمط التماطع 𝟏
𝟎
𝟏 𝟏 𝟑
| 1 𝟎
) وحدة مساحة(
𝟒 𝟓𝟏
𝟎 𝟎 𝟑
𝟓
𝟑 𝟐 | 𝟓𝟏
𝟓 |
𝟏
|0
| 1 𝟏
𝟐 | 𝟓𝟏
|
𝟐
𝟏
𝟎
𝟑
𝟓 𝟑 | 𝟓𝟏
|
372
𝟎
𝟏
𝟓
𝟓
𝟏
𝟐
𝟐
|0
𝟐
|
𝟒
𝟎
∫|
|
𝟒
𝟐
𝟎
𝟓 𝟑 | 𝟓𝟏
|
| 𝟎
𝟏 ) 𝟑
𝟐
∫| 𝟏
𝟏 (| 𝟓
𝟏 |) 𝟑
𝟏 𝟓
(
𝟎 |
𝟒
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
س /4جد المسـاحة المحددة بالمنحنً
ومحور السٌنات وعلى الفترة *𝟎, +
𝟑
𝟐
الحل / الٌجاد نمط التماطع
نجعل 𝟎
𝟐 𝟑
*𝟎, + 𝟐
*𝟎, + 𝟐
*𝟎, + 𝟐
𝟑 𝟐
| 1
𝟎
𝟑
𝟑
| 1
|0
𝟑
)𝟑( 𝟑
|]
𝟑
]
𝟑
|
𝟎𝟑
|1
[|
𝟑
|1
وحدة مساحة
𝟏 𝟑
𝟏
𝟐 𝟑
0
𝟑 𝟏 | 𝟑
𝟏 | 𝟑
|
𝟐
س /5جد المسـاحة المحددة بالمنحنً 𝟏
𝟑
𝟑
|
)𝟐(
[|
𝟑
𝟏 𝟑
|1
|
|1
𝟏
0
𝟑
𝟎
)𝟑( 𝟑
]
𝟑
𝟏 |1 𝟑
[|
𝟑
0
𝟎|
∫|
𝟎
0
𝟑
𝟑
]
∫|
𝟎
𝟑
)𝟐( 𝟑
[
𝟑
|0
𝟑
𝟎
𝟑
𝟐 𝟎, ,
𝟐
𝟑
𝟑
1
|0
𝟑
1
0
𝟏
|0
𝟑
ومحور السٌنات وعلى الفترة *𝟎, +
𝟐
𝟐
الحل / الٌجاد نمط التماطع
نجعل 𝟎 *𝟎, + 𝟐
𝟑
𝟑
*𝟎, + 𝟐
𝟒
𝟐
𝟒
𝟐 𝟐 | 1 𝟐
,
𝟒 𝟐 | 1 𝟐 𝟎
|0
𝟒
) ( | 𝟐
𝟐
𝟐
|
|
) ( 𝟐
𝟎
𝟐
𝟐
|
𝟐
𝟐
𝟎
|0
|
)𝟒( 𝟐 𝟐
𝟐
وحدة مساحة
𝟏
373
𝟏 𝟐
𝟐
∫|
|
𝟏 𝟒
𝟐
𝟏 𝟐
𝟏 | 𝟐
|
|
)𝟒( 𝟐
𝟎𝟐 | 𝟐 𝟏 𝟐
| |
𝟏 | 𝟐
∫|
𝟎
𝟒
)𝟐( 𝟐
|
𝟐
𝟐
𝟎
𝟐
𝟐 𝟎|
|𝟎
|
𝟏 𝟐
|
𝟐
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
س /6جد المساحة المحددة بالدالتٌ الحل /نجعل
𝟏
𝟏
,
√
وعلى الفترة ][2,5
𝟐
الٌجاد نمط التماطع
𝟓 𝟐,
𝟐
𝟐
𝟎
𝟐 𝟓 𝟑 𝟐
| ]
𝟏
𝟎
𝟒
𝟐
𝟐
𝟒
𝟑
𝟐
𝟒
𝟓 𝟑 𝟐
[|
| ]
𝟐
𝟒 ×
𝟐
𝟏 𝟒
𝟐
⇒
𝟏
𝟐
𝟑 )𝟐(
𝟒
𝟑
𝟐 |) 𝟑
𝟐) 𝟐𝟐(𝟐 𝟑
𝟏(
𝟕 𝟐𝟏
) وحدة مساحة(
س /7جد المساحة المحددة بالدالتٌ
𝟒
𝟐𝟏
𝟓𝟐 | 𝟒 𝟕 | 𝟐𝟏
|
𝟏
⇒ 𝟏 ]𝟐
|
[|
𝟑 𝟐
|
|
)) بالتربٌع((
𝟏 𝟐 𝟑
𝟒
𝟏 𝟐 𝟓
𝟒𝟔 𝟐𝟏
𝟏 [ ∫| 𝟐 𝟐
𝟏
𝟑 𝟐
𝟏 𝟓𝟕
𝟏
𝟒 𝟐 𝟑
𝟏 | 𝟑
|
𝟓𝟐 | 𝟒 𝟓𝟐 𝟒
𝟔𝟏 𝟑
|
𝟐
,
الحل /محلول صفحة 𝟓𝟔
وزاري / 2014د1
س /8جد المســـــاحة المحددة بالدالتٌ الحل /نجعل
حٌث
,
𝟐 𝟎,
الٌجاد نمط التماطع 𝟎 𝟐
𝟐 𝟎,
𝟎
𝟏
𝟐 𝟎,
𝟐 𝟎,
𝟐 𝟎,
𝟐
𝟎
𝟐 𝟎,
𝟎
𝟏
𝟎
𝟐
∫|
|
∫|
|
𝟎 𝟐
𝟐
| 1 𝟐
|1
𝟐 وحدة مساحة
𝟒
0 𝟐
1
𝟐
𝟐 |𝟐 |
𝟐 |𝟏
𝟏|
|𝟏
|𝟎 1
𝟏 |
374
𝟎
| 𝟏
𝟐
𝟎
𝟐
𝟐 𝟎
| 1
|0
𝟐
𝟐
|0
𝟐
𝟏
|0
𝟐
0 𝟎 |
1
𝟐 | 𝟏
𝟎
𝟏
|0 𝟎 |
√
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
وزاري / 2013د2 س /9جد المساحة المحددة بالدالتٌ الحل /نجعل
𝟐
𝟏
حٌث +
,
𝟑 𝟐
*𝟎,
الٌجاد نمط التماطع 𝟑 ] 𝟐
𝟑 𝟐
[𝟎,
𝟎
𝟏
𝟏
𝟑 𝟐 𝟎
|
|𝟏
𝟑 𝟐
س /10جد المساحة المحددة بالدالة
𝟑
وحدة مساحة
الحل /نجعل 𝟎
𝟏
𝟑 𝟐
|
𝟑 ) 𝟐
| 𝟏
𝟐
𝟒
|
𝟏 𝟑 𝟐
𝟏
|
∫|
𝟎
| 𝟎
𝟎(|
𝟑
𝟎
𝟐
𝟑 ) 𝟐
𝟎
𝟑 𝟐
(|
ومحور السٌنات
الٌجاد نمط التماطع
𝟎 𝟑
𝟑
𝟏
𝟐
𝟒
𝟎
𝟎 𝟎
𝟐
𝟑
𝟑
𝟏
𝟎
|
𝟐
𝟑
𝟑
𝟒
𝟏
∫|
|
𝟐
𝟑
𝟑
𝟒
∫|
𝟏 𝟎
𝟐 𝟑 | 1 𝟏 𝟐 𝟑 |) 𝟐 |
𝟖𝟏
𝟒 𝟑
𝟏 𝟒
𝟔𝟏 𝟐𝟏
(
𝟑 𝟒 𝟑
𝟎 | 𝟑
|
) وحدة مساحة(
375
|
𝟑 𝟏
𝟒
𝟕𝟐 |) 𝟐
𝟒
|0
𝟔𝟑
𝟐𝟔𝟏
𝟐𝟑𝟒
𝟑
𝟕𝟑 𝟐𝟏
𝟏 𝟐𝟏
𝟒
𝟐 𝟑 | 1 𝟑 𝟐 𝟏𝟖 𝟒
(
𝟑𝟒𝟐 𝟐𝟏
𝟑 𝟒 𝟑 𝟑 ) 𝟐
𝟖𝟏
𝟓 𝟐𝟑 𝟐𝟏
𝟒
𝟒
|0
𝟒 𝟑
𝟏 (| 𝟒
𝟔𝟏
𝟑
𝟓 | 𝟐𝟏
|
|
𝟐𝟑 𝟐𝟏
𝟑
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
س /11جسم ٌتحرن على لط مستمٌم بسرعة ⓐالمسااة الممطوعة اً الفترة 2,4 الحل/
𝟑
أحسب 𝟐 𝟑 ⓑاحزاحة اً الفترة 0,
𝟔
وزاري / 2015د1 0 2,4
𝟔𝟐
|𝟐
| 𝟔
𝟖𝟐|
𝟎
𝟐𝟏
𝟐𝟏
𝟖
0
𝟏
𝟖𝟒
𝟒 | 𝟐
𝟒𝟔 |
𝟑
0
𝟔
𝟏
𝟓𝟔
𝟓𝟏
𝟎
𝟓𝟕
𝟓𝟐𝟏
𝟐
𝟐 𝟒
𝟐
𝟑
𝟑
𝟑
|
|
)𝟑
𝟔
𝟐
𝟑
𝟔
𝟐
𝟑( ∫| 𝟐
𝟓
|
𝟐
𝟑
𝟓 𝟐
𝟑
𝟑
𝟑
|
𝟑 ∫ 𝟎
𝟎
وزاري / 2011د2 𝟐
س /12جســــيييييـ م ٌتحيييييرن عليييييى ليييييط مسيييييتمٌم بتعجٌيييييل ليييييدره 𝟎𝟗 أحسب مرور ) (4وانً تساوي
𝟐𝟏
وكانيييييت سيييييرعته بعيييييد
𝟒
ⓐالسرعة عندما 𝟐 ⓑالمسااة لالل الفترة ,2 ⓒاالزاحة بعد ) (10وانً م بدء الحركة الحل / 𝟐
𝟐𝟏 𝟎𝟏
𝟐𝟒
|)𝟎𝟏
𝟔
𝟎𝟖
𝟎𝟗
𝟎𝟏
𝟒𝟐
(
)𝟎𝟐
𝟐 𝟑
𝟖𝟒 𝟖
𝟒𝟐
𝟎𝟏
𝟐 𝟐𝟏
| 𝟎
)𝟎𝟎𝟏
𝟎𝟎𝟔
𝟎𝟎𝟎𝟐 (| 𝟑
𝟐
𝟏
𝟒𝟏
𝟒𝟖 𝟑
𝟎𝟏
𝟏𝟎 1 𝟎
𝟔
𝟒 𝟐𝟏
𝟐
𝟎𝟏
𝟑 𝟐 0 𝟔 𝟑 |𝟖𝟐
𝟑 𝟐
𝟒𝟏 𝟑
𝟐
𝟑
0
𝟎𝟎𝟏𝟒 𝟑
376
𝟒 ∫
𝟎𝟗
𝟒 𝟐
𝟏𝟎 1
𝟖𝟗 𝟑
𝟐
𝟐𝟑
𝟐
𝟔𝟏 (| 𝟑
𝟐𝟏
∫ 𝟔𝟏 𝟐 𝟐
𝟐𝟏
𝟐
𝟐
)𝟎𝟏
𝟐
𝟐𝟏
𝟐( ∫ 𝟏
|
|𝟔𝟏
𝟐 𝟑
𝟔𝟏 𝟑
𝟒𝟒
|
𝟎𝟏
𝟎𝟏
𝟐𝟏
𝟐
𝟐
∫ 𝟎
𝟎𝟎𝟑
𝟎𝟎𝟖𝟏 𝟑
𝟎𝟎𝟎𝟐
𝟎𝟗
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
س /13تتحرن نمطة م السكو وبعد
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎 2
انٌة م بدء الحركية اصيبحت سيرعتها
الزم الالزم لعودة النمطة الى موضعها االول الذي بدات منه م أحسب التعجٌل عندها .
6
أوجيد
00
وزاري / 2014د2
الحل / 2
نكامل الطرفٌن 𝟑
𝟐
2
00
6 )6 2
𝟎𝟓
∫( 00
النقطة تتحرك من السكون ∴
𝟎
𝟎 , 𝟑
𝟎
𝟎 𝟐
2
0
𝟐
2
𝟎𝟓
𝟑
عند عودة النقطة الى موضعها األول ٌعنً أن األزاحة
تساوي صفر لذا ٌكون : 𝟎
𝟐 ٌهمل
الزمن الالزم لعودة النقطة الى موضعها األول
𝟓𝟐
𝟎𝟓
2
𝟎
𝟎𝟓
𝟐
⁄
377
𝟎𝟎𝟑
𝟎𝟎𝟏
𝟑
𝟎
𝟐
𝟎
𝟐
2
2
𝟎
التعجٌل
𝟎𝟎𝟐
𝟎𝟓
𝟎
0
2
̅
2
00
𝟓𝟐 𝟐𝟏
𝟎𝟎𝟏
𝟓𝟐
𝟎𝟓
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
الحجــوم الدورانٌــة: .1لحسيياب حجييم الشييكل المتولييد مي دورا المنطميية المحييددة بييٌ منحنييً الداليية حول محور السٌنات نطبك العاللة التالٌة
𝟐
المسييتمرة مي
∫
.2لحسيياب حجييم الشييكل المتولييد مي دورا المنطميية المحييددة بييٌ منحنييً الداليية حول محور الصادات نطبك العاللة التالٌة
𝟐
الى
الى
المسييتمرة مي
∫
وزاري / 2013د3
م ييييييال ( ) /المنطميييييية المحييييييددة بييييييٌ المنحنييييييً 4 حول محور السٌنات ,جد حجمها .
, 0
ومحييييييور السييييييٌنات ,دارت
√
الحل / ) وحدة مكعبة(
] 0
6 ) 2
𝟒
2
1
([
2
0
𝟐
∫
𝟒
) √( ∫
𝟎
𝟐
∫
𝟎
وزاري / 2014د3
م ال ( /)2المنطمة المحددة بٌ
المنحنً 𝟒
𝟏
𝟏,
دارت حول محور الصادات .جد حجمها .
الحل / 𝟒 ) وحدة مكعبة(
𝟐
𝟐
𝟏
𝟒 𝟏 ) ( ∫
𝟒
𝟐
/
𝟏
𝟒
∫ .
𝟏
𝟏
𝟐
∫
𝟏
وزاري / 2011د2 2
م يييال ( ) /أوجييييد الحجييييم النيييات ميييي دورا المسيييياحة المحييييددة بيييالمطع المكيييياا الييييذي معادلتييييه حول المحور السٌنً 2 , والمستمٌمٌ 0 الحل / 𝟐
) وحدة مكعبة(
6
0
2
6 𝟎
378
𝟐
4
∫ 𝟎
𝟐
∫
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
2
م يييال ( /)4أوجيييد الحجيييم النيييات مييي دورا المسييياحة المحيييددة بيييالمطع المكييياا اليييذي معادلتيييه حول المحور السٌنً 0 , والمستمٌمٌ
2
الحل/ 𝟓
) وحدة مكعبة(
𝟎𝟎𝟓𝟐
𝟎 1
𝟓 𝟒 𝟓
𝟓
0
𝟓 𝟒 1 𝟎 𝟓
𝟓 𝟒
0
𝟓
𝟐 𝟐
𝟒 ∫
𝟐
𝟐( ∫
)
𝟎
∫
𝟎
2
م ييييييييال ( /)5أوجييييييييد الحجييييييييم النييييييييات ميييييييي دورا الم سيييييييياحة المحييييييييددة بييييييييالمطع المكيييييييياا حول المحور الصادي 0 , والمستمٌمٌ 6
4
الحل/ 𝟐
) وحدة مكعبة(
𝟐𝟑
𝟎 1
𝟔𝟏 0 𝟖
𝟔𝟏 𝟐
1 𝟎
𝟖
𝟔𝟏
0
) ( 𝟒
𝟐
∫
∫
𝟎
وزاري / 2015د3
م ييييال (/)6 𝟏
أوجييييد الحجييييم الناشيييي ميييي دورا المنطميييية المحصييييورة بييييٌ محييييور الصييييادات ومنحنييييً الداليييية
والمستمٌمٌ
2
,
دورة كاملة حول المحور الصادي .
الحل/
2 ) وحدة مكعبة(
𝟏 𝟐
]𝟏
𝟏 𝟐
[
𝟐𝟏 ]
[
𝟏
𝟏
) 𝟐
2
𝟐 𝟐
( ∫
∫
𝟏
وزاري / 2013د2
أوجيييد حجييييم المنطميييية المحصييييورة بيييٌ منحنييييً الداليييية
𝟏
والمسييييتمٌمٌ
ومحييييور
2 ,
الصادات دورة كاملة حول المحور الصادي الحل/ ) وحدة مكعبة(
𝟏 𝟐
]𝟏
𝟏 𝟐
379
[
𝟐𝟏 ] [ 𝟏
)
𝟏 𝟐
𝟐
( ∫ 𝟏
𝟐
∫
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
تمارين 𝟕
𝟒 2
س ) /:(1أوجييييييد الحجييييييم الييييييدورانً المتولييييييد ميييييي دورا المسيييييياحة المحييييييددة بييييييالمطع المكيييييياا حول المحور السٌنً , والمستمٌمٌ 2 الحل/ ) وحدة مكعبة(
2
]
2
[
𝟐
0
1
𝟐 2 2
∫ 𝟏
𝟐
∫
∫
𝟏
وزاري / 2013د1 2
س /2أوجييييييد الحجييييييم النييييييات ميييييي دورا المسيييييياحة المحصييييييورة بييييييٌ منحنييييييً الداليييييية حول المحور الصادي والمستمٌم 4 الحل/
0 2
) وحدة مكعبة(
𝟏 𝟐
𝟏 ] 𝟐
𝟒
𝟏 ( 𝟐
])𝟏
𝟒[
𝟒
𝟖 [
𝟒
𝟐
1
𝟒
𝟐
𝟏
2
𝟏
0
𝟐
∫
∫
𝟏
2
س /3أحسييييييييب الحجييييييييم المتولييييييييد ميييييييي دورا المسيييييييياحة المحصييييييييورة بييييييييٌ المنحنييييييييً حول المحور الصادي والمستمٌم 0 الحل/ 2
)حدود التكامل( 𝟏
1 𝟏
𝟓
𝟓
) وحدة مكعبة(
𝟑 𝟐 𝟑 𝟔𝟏 𝟓𝟏
)4
0
2
2 2
𝟏 𝟏
𝟐
𝟐) 2
𝟏( ∫
𝟏
𝟔
𝟎𝟐 𝟓𝟏
𝟎𝟑
𝟐 ] 𝟓
𝟐
( ∫
𝟏
𝟒 𝟑
𝟎 ∫
𝟏
𝟏 ]) 𝟓
𝟐[
𝟐 𝟑
𝟏 (
𝟏 ) 𝟓
𝟐 𝟑
𝟏([
وزاري / 2014د2 س /4أحسيييييييييب الحجيييييييييم المتوليييييييييد مييييييييي دورا المسييييييييياحة المحصيييييييييورة بيييييييييٌ المنحنيييييييييً حول المحور السٌنً 0 , 2 والمستمٌما
2
الحل/ ) وحدة مكعبة(
4
]0
380
6 4
2
[
1
𝟐
4
0
∫ 𝟎
𝟐
∫
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
حلول التمارٌن العامة الخاصة بالفصل الرابع س / 6جد
لكل مما ٌأتً :الفروع
مرتبطة بموضوع التفاضل
,
𝟐
| 𝟐| 𝟐
| 𝟐|
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏 𝟐 𝟐
| 𝟐|
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
| | | |
𝟐
𝟐
𝟏
| | 𝟐
| 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
| 𝟏
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟎
𝟐
𝟐
𝟎
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟒
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
381
𝟐
𝟐
𝟐
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
س / 13جد تكامالت كالً مما ٌأتً :
𝟐
𝟏
𝟐
∫
𝟐
𝟐 𝟐 ∫𝟐 ∫𝟐
𝟐
𝟐
𝟏 𝟏 ∫ 𝟐
𝟒
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
∫
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏 ( 𝟐
𝟐
𝟐
∫
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
∫
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏 𝟒
𝟐
𝟐
𝟏 ∫ 𝟐
𝟐
𝟏
𝟐∫
𝟐
) 𝟒
𝟐
𝟐
∫
𝟐
𝟐
∫
𝟏 𝟐
𝟐
𝟐
𝟒
𝟒
∫
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
∫ 𝟏 ∫ 𝟐 𝟏 𝟐
𝟑
𝟒
𝟏 𝟖
𝟏 𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
𝟏 𝟔
𝟒
𝟏 𝟖
𝟓 𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
𝟏 𝟔
| | 𝟐
∫
𝟏
∫
𝟐 𝟑
𝟐
√
𝟐 𝟑
√
𝟔
𝟏 𝟑
𝟔
𝟏 𝟑
𝟐 ) 𝟑
382
(
𝟏 ) (∫ 𝟑 𝟐 𝟑
𝟏 𝟑
𝟑
√
𝟐 ) 𝟑
(
∫ 𝟐∫
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝟑
∫
𝟑 𝟐
𝟐
∫
𝟑
∫ 𝟓
𝟏 𝟑 𝟐
𝟓
𝟑
𝟐
∫ 𝟒 𝟑 𝟐
𝟓 𝟒 𝟑
𝟓
𝟑
𝟑
𝟐
∫
𝟏 𝟑 × 𝟎𝟏
𝟏 𝟑 𝟐
𝟓
𝟑
𝟓 𝟓
𝟑
𝟏 𝟕
𝟏
𝟕 𝟏
𝟓
𝟑 𝟑 𝟎𝟒
𝟏 𝟒𝟏
∫
𝟕
𝟐
𝟑
𝟑
383
𝟏 𝟑
𝟑
𝟐
𝟏
∫
𝟕 𝟑
𝟑
∫
𝟏 ∫ 𝟎𝟏
𝟎𝟏
𝟗𝟒
𝟑
𝟑
𝟑
𝟒 𝟑 𝟐
𝟐
𝟑
𝟑
∫
𝟐
𝟐
∫ ∫
𝟏 𝟑 ∫ 𝟑
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
حلول األسئلة الوزارٌة الخاصة بالفصل الرابع س ال وزاري / 96د ⁄ 1جد نات : 2
∫
√ 2
2
4
]2
[2
] [2 22 2
]2
]
[2
2
[
∫ 2
∫
2
2 6 2
2
2
2
∫
∫
∫
∫2 2 9
س ال وزاري /96د ⁄ 2جد نات :
∫ 2 2
∫
4
2
2
2
∫ ) 2
2
2
(
2
∫
2
س ال وزاري /97د ⁄ 1جد نات : 2
2
2
4
2
+
*
+
2
*
384
+
∫2
2
2 2
2
*
1
∫
02
√
∫
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
س ال وزاري /97د ⁄ 1جد نات : 2
2
2
∫
2
2
∫
4 4
6
4
2 ∫
2
2 2
) 4
4
2
2
2 2 4
∫
∫ 2 (
2
2 2
2
4
∫
4
س ال وزاري /97د ⁄ 2جد نات : 2
∫
6 6
∫2
2
2
∫
2 2
) 6
2
∫
2 (
6
∫ 2
2
س ال وزاري /98د :1جد: 2
2 4
∫
2
2
2
2 ) 4
4
(
385
4
(
2
2
2 4
∫
) 2 4
4
∫
2 4
2
2 2
2
∫2
∫
4 2
2 2 2
4
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل 𝟗
س ال وزاري /98د :1إذا كا
𝟑 𝟏
𝟒
2
0
9
2
∫ ما لٌمة +
2
2
؟
2
+
*
2
9 2
0
2
+
*
2
× 9 ⇒ 4
2
2
4
4 2
0 0
2
2
2
س ال وزاري /98د :2إذا كا 𝟐𝟏
𝟐 ∫ وكا
𝟑
2
𝟑
2
4 2
0
2
4
ما لٌمة
𝟐
2
2
ٌهمل 2 4
2
*
,؟
الحل/ 2 2
2 2
2
2
0 ⇒0
0
2
2
0
2
2 2
2 6
2
9
6
9 2
0 2 2 2
386
2
2
2
∫ 2 2 2
2
2
4
2
9
2
4
2
9
0 2
2
2 2
0 0 0
2
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝟐
سييييييي ال وزاري /2000د : 2جيييييييد المسييييييياحة المحيييييييددة بمنحنيييييييً الدالييييييية
𝟐
ومحيييييييور
𝟏
السٌنات وعلى الفترة *𝟎, + 𝟐
الحل: 2
,
2
2
2
0
*𝟎, + 𝟐
2
0 ,
4
2
2
*𝟎, + 𝟐
4
فترات التكامل *0, + , * , + 2
2 2
| ] 2
| ] 2
[| 2
|]
[| 2 [ 2
2
وحدة مربعة
|
2
]
[| 2
|
2
∫|
2
0
2
|
|]0
[ 2
|
| 0
2
2
∫|
2
[| 2
]
2
2
|
س ال وزاري /96د :1جد: 2
2
∫
2 2
∫[ 2 2
]
∫ 2
∫
4
2
4 2 4
2
4
) 2
∫
) 4
2
2
(∫ (
4
س ال وزاري /2001د :2جد: 2
2
2
∫
2
2
2 ]
2
4 0
2 0
387
2
∫
[ 2 0
2
4
∫
2
2
1
2
2
2 ]
2
[
]
0
[ 2
9
∫
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝟑
سيييي ال وزاري /2001د :1جييييد المسيييياحة المحييييددة بمنحنييييً الداليييية 𝟗 الفترة 𝟑 . 𝟑, الحل/
0
2
9
0
0
ومحييييور السييييٌنات وعلييييى 2
9
9
0
2
9 ∴ فترات التكامل
,0 , 0, |
|0
+
*|
2
|+
*
2
9 |0
∫| | +
2
|
2
9 | +
*|
2
وحدة مربعة 40
|
2
|
∫| *|
2
|
2
|
س ال وزاري /2001د :1جد لٌمة: 2
2
2 [
2
]2
]
∫
2
2
2
[
2
2
∫
2 4 2
44
2
2 6
2 ] [ 62 2
س ال وزاري /2002د :1جد المساحة المحددة بمنحنً الدالتٌ الحل/
0
2
4
4
𝟐
𝟑
2 ][ 0 2
𝟒 ,
2
2
2
ٌهمل 0
2
| 4 +
*|
2
وحدة مربعة
96
|
96
|
|2
64
|
|]
388
2
4
2
| 2
4 [
.
4
0 2
] 20 2
𝟒
2
]
6
2
4
4
0
2 |∫ 2
2
[|
2
2 [
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل 𝟐
س ال وزاري /2002د :1جد المساحة المحددة بمنحنً الدالتٌ الحل:
2
0 0, | +
2
2
*|
2
|4
|
| +
|
2
|
4
0 2
|4+
9
* 2
وحدة مربعة 2
| |
𝟒
س ال وزاري /2004د :1إذا كا 𝟐
𝟗
𝟐
2
2
2
2
2
𝟐
2
2
0
|
*|
,
وعلى 𝟑 . 𝟏,
0, |
|∫2 |9
|+
|
|
|
2
2
2
2
0 ∫|
*
4+
*|
|
|
|
∫ اجد لٌمة .h
الحل/ 2
2
9
2
بالتربٌع
9
⇒
∫2
2
2
2
9
2
∫
الحل/
2
+ 2 6
2 2
2
9 +
2
2
2
*
9 +
* 6
2
2
9
0 س ال وزاري /2006د :1جد لٌمة
∫
2
1
02
2
9 0
9
2
2
2
9
9
𝟐
𝟏∫.
𝟐 𝟐 𝟓 2 2
*
2
2
2
2
∫
2 2
2
2
∫
2
6
6
2
]
2
389
[ 2
]
4
[ 2
]
2
2
[
2
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
س ال وزاري /2006د :2جد
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎 𝟐
لٌمة 𝟐 𝟒 2
𝟑
𝟏∫.
+
2
*
2
4 +
2
س ال وزاري /2008د :1إذا كا 𝟑
2
∫ +
*
∫𝟓 ,
4 2
*
∫ وكانت
2
+
∫ *
جد لٌمة
,
∫ الحل/ ∫
∫ 2 س ال وزاري /2008د :2جد
𝟐
𝟐
∫ ∫
∫
∫ 2
المشتقة
∫
الدالة
4
2
∫ 4 2
∫ 2
∫
2
∫4
∫4
∫ 2 ∫4 ∫4
4 س ال وزاري /2009د :1جسم ٌتحرن بسرعة 𝟗 - 1المسااة الممطوعة لالل الفترة [.]0,2 𝟐 -2الزم الذي ٌصبح اٌه التعجٌل الحل/
𝟐
𝟐𝟏
4
اً أي زم tإحسب:
𝟑
𝟖𝟏. 0 0
9
2
2 4
0 0,2
2
0 0
0,2 2
|
2
9
6
2
2
|
6
4
|4
|
0
|2
9
2
||4
6
|
|9
0
|
2
9
6
6
390
2
2
∫|
|
24
|
2
6 6
9
2
|0
9
̅ 2
2
∫|
6
|
2 6
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل 𝟖
س ال وزاري /2009د :2جد لٌمة
𝟐
𝟑∫
𝟑
الحل/ ]
2
[
∫
2
∫
2
4
6
2
2
2 2 2 ]
] [2 22 2
[2
[2
]2
]2
𝟐
س ال وزاري /2009د :2جد المساحة المحددة بٌ المنحنٌ : الحل/
[2
𝟐
2
*𝟎, + 𝟐
4
2
4
[2
اً الفترة .*𝟎, +
2 *𝟎, + , 𝟐
]2
𝟐
,
∫
2
2
, 2 2
2
0
2 2
| ] 2
2
| ] 2
[|
|+
2
وحدة مربعة
2
2
2
*
[|
+
2
|
2
س ال وزاري /2010د :1جد المساحة المحددة بٌ المنحنٌ 𝟏
|
∫|
2
0+
*
| 0
2
2
2
*
| 0
2
𝟐√
|
∫|
+
2
2
2
*|
2
|
اً الفترة [.]1,5
,
الحل/ تربٌع الطرفٌن
0
√2 0
2
√2 2
2
|∫ 2
|
0
√2 2
2 0
|
|
∫|
2
2
| 1
2
2
2
24 |] 2
]
|0
[
|
]2
]
وحدة مربعة
2
2 2
0
[|
[| 20 | 6
391
|] |
| 1
2 2
2 |
2
2
|0
|∫ [ 2
| ]
2
2
2 [ 2 6
]2
4
2
|
24 | 2
9
[| 2
[| |9
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل 𝟐
س ال وزاري /2010د :1جد لٌمة
𝟐𝟎∫.
الحل/ 2
2 2
∫ 2
2
]
2
[
]
2
2
2
2
]
2
]0
[
[
0
س ال وزاري /2010د :1منحنً مشتمته احولى
𝟒
𝟒
[
2
]
2
𝟐
2
وبما ان ,2
المنحنً
2
2
2
∫ ∫2
2
تحقق معادلته 0
2
2
2
𝟐
سييييييييييييييييي ال وزاري /2010د :2إذا كيييييييييييييييييا 𝟔
2
2 2
معادلة المنحنً
𝟒
2
2
2
∫
2
2
2
[
ٌمر بالنمطة ( )1,2جد معادلة المنحنً.
الحل/
2
2
∫
2
(
بتكامل الطرفٌن
2
2
2
وحدة مربعة ) 𝟐
2
∫
2
𝟑
𝟏∫ جيييييييييييييييييد لٌمييييييييييييييييية:
𝟏∫ 𝟐 ,
𝟑
𝟏∫
الحل/ ∫ 4 20
∫ 6
4
2
∫ 4
392
4 2
2
4
∫ +
2
*
2
6
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
جد المسااة 𝟒 𝟐 𝟑 س ال وزاري /2010د :2جسم ٌتحرن على لط مستمٌم بحٌث سرعته 𝟕 التً ٌمطعها الجسم بعد مضً ( )4وانً م بدء الحركة ,م جد التعجٌل عندها علما ً أ المسااة تماس باحمتار. الحل/ 0 24
2
0
2
4 0
64
2
2
س ال وزاري /2012د :1لتك
حٌث
𝟑 𝟏,
4
2
2
التعجٌل فً أي لحظة
𝟐
4
2
2
4
4
̅
6 4
24
∫
6 4
𝟑
,جد لٌمة تمرٌبٌة للتكامل
𝟐
4
𝟏∫ إذا
لسمت الفترة [ ]1,3إلى اترتٌ جز ٌتٌ منتظمتٌ . الحل/
0
,
4
0
2
4
2
2
8 18 26
8 18
2 8 10
طول الفترة
الفترة ][a,b
1 1
[]1,2 []2,3
2 8
0
26
∫
2 س ال وزاري /2012د :1جد المساحة المحددة بالمنحنً
الحل/
𝟑
ومحور السٌنات اً الفترة [. ]-1,3
𝟏
, |
4
وحدة مساحة
|
0 1
4
4
4 ||4
0
|
|| 4
393
0 ∫|
|01
2 4
|0
∫|
| 2 |1 4
|00
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝟐
سييي ال وزاري /2012د :1جيييد الحجيييم النيييات مييي دورا المسييياحة المحصيييورة بيييٌ المنحنيييً 𝟏 حول المحور الصادي. 𝟐, والمستمٌمٌ 𝟏 الحل/ ])
2
4 2
)2
(
2
([
2
2
1
2
وحدة مكعبة
∫
0
)
2
2
(0
2
)+
2
2
(
∫
* 2 2
سيييييي ال وزاري /2012د :2جييييييد الحجييييييم النييييييا ت ميييييي دورا المسيييييياحة المحييييييددة بييييييالمنحنً حول المحور السٌنً 2 , والمستمٌمٌ
√
الحل/ ) وحدة مكعبة(
𝟓𝟐𝟏𝟑
𝟓
𝟎
𝟐
𝟓 𝟓 𝟎
𝟓
𝟒
𝟐
𝟐
)2
𝟓 ∫
( ∫
𝟏
سييي ال وزاري /2012د :3جسيييم ٌتحيييرن عليييى ليييط مسيييتمٌم بتعجٌيييل 𝟐𝟖 بعد مرور ) (4ساعات م بدء الحركة اجد : أصبحت
𝟐
∫
𝟏
𝟐
𝟖𝟏 ايييأذا كانيييت سيييرعته ليييد
⁄
ⓐالمسااة التً لطعها لالل الساعة ال انٌة ⓑبعده ع نمطة بدء الحركة بعد مرور ) (3ساعات الحل / 𝟖𝟏
𝟖𝟏 𝟐𝟕
𝟎𝟏
∫
𝟖𝟏 ∫
𝟒 𝟖𝟏
𝟐𝟖
𝟎𝟏 𝟐
𝟕𝟑
𝟗𝟏
𝟔𝟓
| 𝟎𝟏
𝟎𝟐
𝟗
𝟔𝟑 |
|
𝟐
𝟎𝟏
𝟐
𝟗|
|
𝟎𝟏
𝟑
𝟏𝟏𝟏
𝟎
𝟏𝟖
𝟑
𝟎𝟏 𝟎
394
𝟖𝟏 ∫| 𝟏
𝟏
𝟎𝟑
𝟖𝟏
𝟐
𝟗
𝟎𝟏
𝟖𝟏 ∫ 𝟎
𝟐𝟖
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
س ال وزاري /2012د :3جد لٌمة تمرٌبٌة للتكامل احتً مستلدما تجز ة واحدة امط : الحل/
2
4
0
-20 -20
-4
-20 -20
20
س ال وزاري /2013د :1جد 𝒙𝒅
𝒙𝒏𝒂𝒕 𝒙 𝟐𝒔𝒐𝒄
4
طول الفترة
الفترة ][a,b
5
[]-3,2
-4 20 2
∫
20 20 2
∫
𝝅 𝟒
𝟎∫
الحل/ 𝟏 𝟐
𝟎
𝟏 𝟐
𝝅 ) 𝟒 ( 𝟐𝒏𝒂𝒕
𝟎 𝟐𝒏𝒂𝒕 𝟐
𝟐
𝒙𝒏𝒂𝒕 ∫ 𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝟐
𝒙𝒅 𝒙 𝐜𝐞𝐬 𝒙𝒏𝒂𝒕 ∫
𝟎
𝟎
𝟒
|𝟔
س ال وزاري /2014د :3أثبت أن 𝟎𝟑
𝝅 𝟒
𝝅
𝟒 𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕 0 1 𝟎 𝟐
𝝅 𝟒
𝟑|𝟐 ∫
الحل/
الدالة
مستمرة على الفترة 𝟒 𝟐,
𝟔 , 𝟐 𝟔 , 𝟐< ح : وذلن حنها مستمرة عند 𝟐 معرفة 𝟎 𝟔 𝟑 𝟔 𝟎 𝟏 𝟐
𝟐
𝟎
𝟔
𝟑
𝟑 𝟑
|𝟔
{
𝟐
𝟐 𝟑 {
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
موجودة 𝟎
𝟐 𝟒
𝟔
𝟑 ∫ 𝟐
𝟒
] 𝟔 𝟐
𝟐𝟏
𝟔
𝟒𝟐
𝟒𝟐
𝟔
𝟑 𝟐
𝟐 𝟐 𝟑 𝟑 ] 𝟔 [ 𝟐 [ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟔 𝟐𝟏 𝟐𝟏 𝟔 𝟎𝟑 𝟔 𝟖𝟏 𝟔
395
=
𝟏
𝟒
|𝟔
∵ ∴
𝟐
𝟐
∫
𝟑|
𝟑| ∫ 𝟐
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
س ال وزاري /2014د :3جد
𝟒
𝟐
√∫
الحل/ 𝟐
𝟐
𝟐
∫
𝟐
𝟒
√∫
𝟐
√∫
𝟓 𝟐 𝟒 𝟑 𝟐 𝟑
س ال وزاري /2015د :1جد
𝟏∫
𝟐
الحل/ 𝟑
𝟏
]
𝑥
𝑥4
𝟐
[
1
𝟐
𝑥4
𝟐
0
𝟓
𝟐
𝟒
𝟐
𝟓
∫
𝟒
𝟑
𝟐
𝟐
𝟏
𝟓
0
4
سييييي ال وزاري /2015د :2جيييييد مسييييياحة المنطمييييية المحيييييددة بمنحنيييييً الدالييييية السٌنات وعلى الفترة 𝟑 𝟑,
𝟑
∫ 𝟏
]
𝟏
𝟓
2
𝟑
𝟗
𝟗[
ومحيييييور
الحل /
محلول اً الصفحة 𝟓𝟖 س ال وزاري /2001د:1
سييي ال وزاري /2015د :2جسيييم ٌتحيييرن عليييى ليييط مسيييتمٌم بتعجٌيييل 𝟒𝟐 ,أحسب : الحركة أصبحت السرعة ⓐالمسااة الممطوعة اً ال انٌة اللامسة . ⓑبعد الجسم بعد مضً ) 4وانً ) .
𝟐
𝟎𝟏 وبعيييد 2انٌييية مييي بيييدء
⁄
الحل / 𝟎𝟏
𝟎𝟏 𝟎𝟐
𝟒
∫
𝟎𝟏 ∫
𝟐 𝟎𝟏
𝟒𝟐
𝟒 𝟓
𝟗𝟒
𝟔𝟗
𝟓𝟒𝟏
| 𝟔𝟏
𝟎𝟖
𝟎𝟐
𝟓𝟐𝟏 |
|
𝟓 𝟐
𝟒
𝟓|
|
𝟒
𝟒
𝟔𝟗
𝟎
𝟎𝟖
𝟒
𝟒 𝟎
396
𝟎𝟏 ∫| 𝟒
𝟒
𝟔𝟏
𝟎𝟏
𝟐
𝟓
𝟒
𝟎𝟏 ∫ 𝟎
𝟒𝟐
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
س ال وزاري /2015د :3جد تكامل :
2
∫
√
الحل /
)عند الضرب تجمع األسس (
2
9
2
2
9
2
6
∫
2
2
𝟑𝒙
س ال وزاري /2015د :3جد كالً من التكامالت األتٌة 𝒅𝒙 :
𝒙
2
2
∫
𝒙𝒅
2
∫
√ ∫
2
𝑥∫ 𝑠𝑖𝑛2
𝑥𝑐𝑜𝑠2
الحل / 𝑥𝑑 𝑥2𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2
𝑥𝑑 𝑥𝑐𝑜𝑠 2 2
∫
𝑐
𝒄
𝟐𝒙 𝟐
𝒙
𝟑𝒙 𝟑
𝒙𝒅
𝑥2𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2
𝑥𝑐𝑜𝑠4
𝑥
𝑥
4
𝑥𝑑 𝑥∫ 𝑠𝑖𝑛4
𝟐𝒙 ∫
س ال وزاري /2016د :1جد المٌمة التمرٌبٌة للتكامل
𝑥∫ 𝑠𝑖𝑛2 2
𝒙𝒅
𝟐
𝟐
𝒙𝒅
𝑥𝑑 ∫
𝟐𝒙 𝑥
𝑥
2
𝑥
𝑥∫ 𝑠𝑖𝑛2
𝑥𝑐𝑜𝑠2
𝑥𝑑 𝑥𝑠𝑖𝑛4
∫
∫
𝟑𝒙 𝒙
𝒙𝒅
𝟓
𝟐 𝟑∫ بأستلدام التجز ة 𝟓 𝟑, 𝟒,
2
∫
𝛔
الحل /الفترات 𝟓 𝟑, 𝟒 , 𝟒, الدالة متزاٌدة
𝟓 𝟑,
𝟒
𝟎
𝟒
𝟎
𝟎𝟑
𝟎𝟑 𝟏
𝟏
𝟔𝟏
𝟔𝟏 𝟏
𝟏
𝟎𝟑
𝟒
𝟏
𝟖𝟒
𝟖𝟒 𝟏
𝟐
𝟎𝟑
𝟎𝟑 𝟏
𝟐
𝟖𝟒
𝟓
𝟐
𝟖𝟕
𝟖𝟒
𝟎𝟑
∑ 𝟐𝟔
, 𝟒𝟐𝟏 𝟐
397
𝟐
𝟔𝟏 𝟎𝟑
, 𝟖𝟕
𝟔𝟒 𝟔𝟒
𝟐
𝟐
𝟐
طول الفترة 𝟑
𝟏
1
الفترة ][a,b ][3,4
𝟒
𝟐
1
][4,5
𝟎𝟑 ,
𝟔𝟏 ,
𝟐
∑
,
)𝟐
𝟐 𝟐( ∫
𝟓
𝟑
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
أس لة إضااٌة حول التكامل س /1جد كالً م التكامالت اآلتٌة: 𝐱𝐝𝐱 𝟓𝒏𝒊𝒔 ∫
𝟑
𝐱𝐝 𝐱𝐜𝐞𝐬 𝐱 𝟑𝒏𝒂𝒕 ∫
𝟔
𝐱𝐝 𝐱𝟑𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟕𝒏𝒊𝒔 ∫
𝟗
𝐱𝐝 𝐱 𝟕𝐬𝐨𝐜 𝐱 𝟒𝒏𝒊𝒔 ∫ 𝟐
𝐱𝐝 𝐱 𝟐𝐬𝐨𝐜 𝐱 𝟑𝒏𝒊𝒔 ∫
𝟏
𝟓
𝐱𝐝𝐱 𝟒𝒏𝒊𝒔 𝐱 𝟐𝐬𝐨𝐜 ∫
𝟒
𝐱𝐝 𝐱𝟑𝒏𝒊𝒔 𝒙𝟕𝒏𝒊𝒔 ∫
𝟕
𝐱𝐝 𝐱 𝟒 𝐜𝐞𝐬 𝐱 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫
𝐱𝐝 𝐱𝟑𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟕𝒔𝒐𝒄 ∫
𝟖
𝒙 𝒙𝒅 ) ( 𝟑𝒔𝒐𝒄 ∫ 𝟐𝟏 𝟑
𝒙𝒅 𝒙𝟑 𝟓𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟑 𝟑𝒏𝒊𝒔 ∫ 𝟏𝟏
𝒙𝒅 𝒙𝟑 𝟐𝒔𝒐𝒄 ∫ 𝟎𝟏
𝐱𝐝 𝐱𝟓𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟑𝒏𝒊𝒔 ∫ 𝟓𝟏
𝐱𝐝 𝐱𝟐𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟒𝒔𝒐𝒄 ∫ 𝟒𝟏
𝒙𝒅 𝒙𝟑 𝟐𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟑 𝟒𝒏𝒊𝒔 ∫ 𝟑𝟏
𝒙𝒅 𝒙 𝟓𝒏𝒂𝒕 ∫ 𝟕𝟏
𝟏√ ∫ 𝟔𝟏
𝟑 ) ( 𝒙𝒅 𝟐
𝟏 ∫ 𝟖𝟏
𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄
𝒙𝒅 𝒙𝒔𝒐𝒄
𝒙𝒅 𝒙𝟐 𝟑𝒕𝒐𝒄 ∫ 𝟏𝟐
𝒙𝒅 𝒙𝟑 𝟒𝒄𝒆𝒔 𝒙𝟑 𝟑𝒏𝒂𝒕 ∫ 𝟎𝟐
𝒙𝒅 𝒙𝟐 𝟒𝒄𝒆𝒔 ∫ 𝟗𝟏
∫ 𝟒𝟐
𝒙𝒅 𝒙 𝟓𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝟑𝒕𝒐𝒄 ∫ 𝟑𝟐
𝒙𝒅 𝒙 𝟔𝒄𝒔𝒄 ∫ 𝟐𝟐
𝟑 𝟒
𝟒
𝟏 𝟏
√
∫ 𝟕𝟐 𝟎
𝟏 √
𝟏 √
𝟗
𝟏
𝟐
𝟐
𝟑
∫ 𝟎𝟑
∫ 𝟔𝟐
𝟑
|𝟒
𝟎
𝟐 𝟐𝟐
𝟑
𝟖 ∫ 𝟐
𝟓𝟐
𝟏
𝟐|∫
𝟗𝟐
| | 𝟑∫
𝟖𝟐
𝟑
𝟐
𝟔
𝟐
𝟒
∫ 𝟑𝟑
∫ 𝟐𝟑
∫ 𝟏𝟑
𝟎 𝟒
398
𝟐
𝟎
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
س /2اوجد لٌمة تمرٌبٌة لمساحة المنطمة A حٌث }𝟔
𝟐 𝟐
س /3لييتك احعلى
𝟓
𝟐
𝟑 𝟑
, ولييتك
𝟑
𝟎 𝟖 , 𝟒 𝟏,
{ ,
𝟓
اأوجييد المجمييوع احسييفل
,
والمجمييوع
,
س /4أوجد لٌمة التكامل
𝟖
س /5جد معادلة المنحنً الذي مٌله
𝟐
𝟒
𝟑 𝟐∫ بأستلدام التجز ة 𝟒 𝟏, 𝟐, 𝟑,
𝛔
وٌمر بالنمطة )(3,1
س /6أذا علمييت أ المشييتمة ال انٌيية لداليية عنييد أي نمطيية تسيياوي
حٌييث
,
جييد معادليية هييذا
المنحنً أذا كا ٌمتلن نمطة أنمالب ) (0,1ونمطة نهاٌة صغرى محلٌة عند )(1,-1 س /7تتحييرن نمطيية م ي السييكو وبعييد tانٌيية م ي بييدء الحركيية اصييبحت سييرعتها الزم الالزم لعودة النمطة الى موضعها االول الذي بدات منه م أحسب التعجٌل عندها
399
𝟐
𝟎𝟎𝟏 أوجييد
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلٌة المعادلة التفاضلٌة هً المعادلة التً تحتوي على مشتمة واحدة أو أكثر للدالة المجهولة فً المعادلة ( أي للمتغٌر التابع فً المعادلة ) مالحظة :المعادلة التفاضلٌة االعتٌادٌة هً عاللة بٌن متغٌرٌن ( المتغٌرر اوول متغٌرر مقرتمل ولرٌكن ) ( ودالرة غٌر معروفة ولتكن مثال ) ( وبعض مشتمات الدالة ) ( بالنقبة للمتغٌر ) ( مثال )𝟒(
𝟎
̿ ̅
𝟓
𝟐
𝟐
̅
𝟓
𝟐
كلها معادالت تفاضلٌة اعتٌادٌه الن المتغٌر ) ( ٌعتمد فمط على المتغٌر ) (
درجة المعادلة التفاضلٌة : رتبة المعادلة التفاضلٌة :وهً رتبة أعلى مشتمة موجودة فً المعادلة التفاضلٌة .
وهً أكبر لوة (اس) مرفوعة له اعلى مشتمة فً المعادلة التفاضلٌة . 𝟎
من الرتبة االولى والدرجة االولى من الرتبة الثانٌة والدرجة االولى
𝟑
من الرتبة الثالثة والدرجة الثانٌة من الرتبة الرابعة والدرجة الخامقة من الرتبة الثالثة والدرجة الثانٌة
مالحظة
𝟕
𝟏
𝟎
𝟐
𝟑
̿
𝟐 𝟐
)̅ ̿(
̿
𝟓 )𝟒(
𝟕)̿(
̅
𝟕
𝟓
)
𝟐
)̿ ̅(
(
𝟑) ̿ ( ❺
:عند اٌجاد درجة المعادلة التفاضلٌة ورتبتها ٌجب أزالة الجذور أو االقس الكقرٌة مثال : 𝟐
من الرتبة الثالثة والدرجة الثانٌة
)̿ ̅(
𝟓
𝟗)̅(
)بالتكعٌب(
𝟑
𝟐
)̿ ̅(
⇒
𝟓√
𝟑)̅( ❻
حل المعادلة التفاضلٌة االعتٌادٌة حرررل المعادلرررة التفاضرررلٌة االعتٌادٌرررة هرررو اٌرررة عاللرررة برررٌن متغٌررررات المعادلرررة التفاضرررلٌة بحٌررر أن هرررذ العاللرررة ❶ خالٌة من المشتمة ❷ معرفة على فترة معٌنة ❸ تحمك المعادلة التفاضلٌة . وزاري / 2013د3
مثال ( /)1بٌن ان العاللة
وزاري / 2014د1
𝟑
𝟐
𝟐
حال للمعادلة التفاضلٌة
الحل /
̅
𝟑 𝟑 𝟑
∴ العاللة المعطاة هً حل للمعادلة التفاضلٌة أعال
400
𝟐
𝟐
𝟐
) 𝟑
̅
𝟐 𝟐
𝟐(
)𝟑 𝟐
(
𝟑
𝟐
̅ 𝟐
𝟐
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
الحل الخاص والحل العام للمعادلة التفاضلٌة أن الحل العـــــــام وي معادلة تفاضلٌة هرو الحرل الرذي ٌشرتمل علرى عردد مرن الثوابرت االختٌارٌرة مقــــرـاوي لرتبرة المعادلة ,فإذا كانت المعادلة من الرتبة اوولرى وجرب أن ٌكرون حلهرا مشرتمال علرى ثابرت اختٌراري واحرد (هرو ثابرت التكامل ) الذي ٌظهر عند اجراء خطوة التكامل الوحٌدة لمعادالت الرتبرة اوولرى ,أمرا اذا كانرت المعادلرة مرن الرتبرة الثانٌة وجب ان ٌكون حلها مشتمال على (ثابتً تكامل) نظرا وجرراء خطروتً تكامرل عنرد حرل معادلرة الرتبرة الثانٌرة وهكذا بالنقبة للمعادالت التً لها رتبة أعلى . أحد حلول المعادلة
مثال ( /)2أثبت ان
𝟎
الحل / 𝟏 ) (
)𝟏(
𝟏
)
∴ العاللة المعطاة )
(
(هً أحد حلول المعادلة التفاضلٌة أعال .
وزاري / 2014د2
مثال (/)3
𝟐
بٌن
( حال للمعادلة 𝟎
حٌ )
̅𝟐
الحل / ̅𝟐
𝟎
𝟐
∴ العاللة المعطاة )
مثال (/)4
هل 𝟐
̅𝟐
𝟑
𝟏
̅
) (𝟐
𝟐
𝟐
(هً حل للمعادلة التفاضلٌة أعال
حال للمعادلة التفاضلٌة
𝟔
𝟐 𝟐
؟
الحل /
𝟔 ∴ العاللة المعطاة )𝟐
𝟑
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
(هً حل للمعادلة التفاضلٌة أعال
401
𝟑
𝟐
𝟑
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
وزاري / 2012د1
مثال (/)5
برهن ان ) 𝟐(
) 𝟐(
𝟐
هو حال للمعادلة التفاضلٌة
𝟑
𝟎
̿
𝟒
الحل / ) 𝟐(
𝟔
) 𝟐(
∴ العاللة المعطاة ) 𝟐(
𝟐
𝟒
)𝟐() 𝟐(
) 𝟐( ]) 𝟐(
)𝟐() 𝟐(
𝟐
) 𝟐(
𝟖
) 𝟐(
𝟐
) 𝟐(
𝟑
)𝟐() 𝟐(
𝟐𝟏 ) 𝟐(
𝟑[4
) 𝟐(
̅
𝟖
) 𝟐(
) 𝟐(
𝟖 𝟐𝟏
𝟐
)𝟐() 𝟐(
𝟒
) 𝟐(
) 𝟐(
𝟐𝟏
) 𝟐(
𝟑
𝟖
𝟔 ̿
𝟒
) 𝟐(
̅
𝟐𝟏
هً حل للمعادلة التفاضلٌة أعال
𝟑
وزاري / 2011د2
مثال ( /)6هل ان
𝟐
𝟑
𝟐
𝟑
هو حال للمعادلة التفاضلٌة
𝟓
𝟐)̅(
𝟑
؟
̿
الحل / ) 𝟐 (
𝟔
∴ العاللة المعطاة
𝟐
)𝟑
)̅ 𝟐(̅
𝟔 𝟑
5 𝟐
𝟑
)̅ ( 𝟐 𝟐)̅ (
𝟑
𝟐
𝟑
𝟑
̅ 𝟐
𝟔
)̅ (
𝟑
𝟐
𝟐)̅ (
𝟑
𝟑
)̅ (
( لٌقت حل للمعادلة التفاضلٌة أعال
وزاري / 2015د3
مثال ( /)7بٌن ان
𝟐
𝟑
هو حال للمعادلة التفاضلٌة 𝟎
̅
𝟔
̿
الحل / 𝟑
]
𝟑
𝟗 𝟐
𝟐
[6
̿
𝟒 ]
𝟑
𝟑
𝟑
𝟐
𝟑 𝟑
𝟐[ 𝟑
∴ العاللة المعطاة )
𝟑
𝟐
(هً حل للمعادلة التفاضلٌة أعال
402
𝟐
𝟐 𝟐
𝟗 𝟔
𝟐
𝟑
̅ 𝟒 6
𝟔 𝟑
𝟔
𝟐
̿
̅ 𝟐
𝟔
𝟐
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
𝟓(
تمارين)𝟏 س / 1بٌن رتبة ودرجة كل من المعادالت التفاضلٌة التالٌة :
𝟎
من الرتبة االولى والدرجة االولى
)𝟐
𝟑
𝟐
(
𝟐
𝟕
من الرتبة الثانٌة والدرجة االولى
𝟓
𝟑
من الرتبة الثالثة والدرجة الثالثة
𝟐
̅𝟐
𝟖
𝟐
𝟓
من الرتبة الثالثة والدرجة الثانٌة
س / 2برهن ان
𝟎
هو حل للمعادلة 𝟎
𝟑
𝟑
(𝟐
)
)̿ ̅(
𝟑
)
𝟑
(
̿
الحل / ̅
̿ 𝟎
∴ العاللة المعطاة )
̿
(هً حل للمعادلة التفاضلٌة أعال
س / 3برهن ان العاللة ) 𝟑(
) 𝟑(
𝟔
هً حل للمعادلة 𝟎
𝟖
𝟐
𝟗
𝟐
الحل / ) 𝟑(
𝟖𝟏
) 𝟑(
)𝟑() 𝟑(
𝟒𝟐
𝟔
)𝟑() 𝟑(
) 𝟑(
𝟐𝟕
) 𝟑(
𝟖
) 𝟑(
𝟔
𝟖 𝟐
) 𝟑(
𝟒𝟓
)𝟑() 𝟑(
)𝟑() 𝟑(
𝟖𝟏
𝟒𝟐 𝟐
]) 𝟑(
𝟔 𝟎
∴ العاللة المعطاة ) 𝟑(
𝟔
) 𝟑( ) 𝟑(
) 𝟑(
) 𝟑(
𝟖[𝟗 𝟒𝟓
) 𝟑(
𝟖
403
𝟒𝟓 𝟐𝟕
) 𝟑( ) 𝟑(
𝟐𝟕 𝟒𝟓
هً حل للمعادلة التفاضلٌة أعال
𝟗 ) 𝟑(
𝟐
𝟐𝟕
𝟐
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
س / 4هل ان 𝟐
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
حال للمعادلة
̿ ؟
̅𝟑
الحل / ̿
𝟎 𝟓
∴ العاللة المعطاة )𝟐
س / 5هل
𝟐
)𝟐
𝟑
̅
𝟏 (
)𝟏(𝟑
𝟐 ̅𝟑
𝟎
̿
( لٌقت حل للمعادلة التفاضلٌة أعال
)𝟐
حال للمعادلة
𝟏( 𝟐
̿
الحل / 𝟐
)
𝟐
( 𝟐
∴ العاللة المعطاة )
𝟐
س / 6هل 𝟏
̿
𝟐 𝟐
𝟐
)
𝟐
̅
𝟏(
)𝟐
𝟐
𝟏( 𝟐
( حل للمعادلة التفاضلٌة أعال
𝟐
𝟐 حال للمعادلة 𝟐
̿
𝟑
الحل / 𝟐
̅
̅
𝟐 𝟐
𝟐
𝟒
)𝟐 (
⇒
𝟐
𝟐
𝟐
̿
̅ 𝟐
𝟒
𝟒
)
𝟐
𝟐
𝟎
̅ 𝟐
(
)𝟏(𝟐
) ̅ ()
)𝟐
𝟐
𝟐 ∴ العاللة المعطاة )𝟏
𝟐
𝟐
𝟐 ( حل للمعادلة التفاضلٌة أعال
404
𝟒
𝟐
)
(
𝟐
(𝟐 𝟐
𝟐
𝟏
(
𝟑
)
(
𝟐
𝟒
̿
𝟐
𝟑
𝟐
𝟐
̿
̿
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
س / 7هل
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
حال للمعادلة
𝟓
𝟎
̅𝟐
𝟓𝟐
؟
̿
الحل / 𝟓
̅
𝟓𝟐
̿
𝟎
∴ العاللة المعطاة ) 𝟓
وزاري / 2012د3
̅
𝟓 ̅𝟐
𝟓𝟐
̅
𝟓
̿
𝟓 𝟓
𝟎
𝟓𝟐
̿
̅𝟐
( حل للمعادلة التفاضلٌة أعال
وزاري / 2013د1
هو حال للمعادلة 𝟎
س / 8بٌن ان
̅
حٌ )
(
الحل /
̅ ̅
𝟎
( حل للمعادلة التفاضلٌة أعال
∴ العاللة المعطاة )
وزاري / 2015د2 𝟐
س / 9بٌن ان
,
| |
هو حال للمعادلة
𝟐
𝟐
𝟒
̅
الحل / )̅ ( 𝟐
𝟐
̅
𝟐 𝟐
∴ العاللة المعطاة )
𝟐
̅
𝟐
𝟒
𝟐 )
𝟐
𝟐( 𝟐
̅
𝟐
𝟐
̅
)̅( 𝟐
( حل للمعادلة التفاضلٌة أعال
******************************************************************
س : 1هل ان س : 2هل ان
𝟏 𝟑
𝟓
حال للمعادلة التفاضلٌة حال للمعادلة التفاضلٌة 𝟎
405
𝟐
𝟐
) 𝟓
̅(
̅ حٌ ) ̅𝟐
(
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
طرق حل المعادالت التفاضلٌة من الرتبة اوولى والدرجة اوولى اوو :المعادالت التً تنفصل متغٌراتها فرررً هرررذا النرررو مررر ن المعرررادالت نقرررتطٌع أن نعرررزل كرررل الحررردود الترررً تحتررروي علرررى ) ( مرررع ) ) ( والحرررردود التررررً تحترررروي علررررى ) ( مررررع ) ( فررررً الطررررر اوخررررر فنحصررررل علررررى ثم نكامل الطرفان فنحصل على مثال ( /)1حل المعادلة 𝟓
( فرررً طرررر ) (
) ( ∫ حٌ ٌمثل) ( ثابت التكامل .
) ( ∫ 𝟐
الحل / 𝒙𝒅)𝟓 𝟓
مثال ( )/
حل المعادلة
𝟐(
𝟓
𝟐
𝒙𝒅 )𝟓
𝟐
𝟐(∫
∫
𝟏
الحل / 𝒙𝒅)𝟏
𝟐
𝟐
)حٌث 𝟐
مثال ( /)3حل المعادلة
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
(
𝟐
)𝟐 (
⇒ 𝟐
𝟏
حٌ
)𝟎
(
𝟐
𝟐 𝟐
𝟏
𝒙𝒅 )𝟏
𝟐
√
𝟐
𝝅
𝒚𝒔𝒐𝒄(
𝟐
)𝟏
(∫ 𝟐
𝒏𝟐(
𝟐
∫
√
𝒚
الحل / ) 𝟐
𝟐
(
⇒
𝟐
∫
406
𝟐
∫
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
وزاري / 2016د1
أوجد حل المعادلة 𝟎
مثال (/)4
√
̅ عندما
𝒚
𝟗
𝒙
𝟐
الحل / 𝟏
𝟏
𝟐) (
𝟏
𝟐) (
𝟏
𝟐) (
𝟎
√
𝟐) ( 𝟐
𝟐
√𝟐
𝟐
نعوض 𝟗
𝟐
𝒚
𝟏
𝟐) ( 𝟏 ) ( 𝟐
𝟐
𝟏 𝟐
∫
) (∫
𝒙 فٌنتج : 𝟐
𝟒
𝟔
𝟐
) تربٌع الطرفٌن(
𝟐
𝟐)𝟐( 𝟐
√
𝟒
𝟐
(
)𝟐
𝟗√𝟐
𝟒
⇒
𝟐
𝟐
) حل المعادلة(
√𝟐
𝟐
)𝟐
𝟒
(
وزاري / 2015د1
مثال (/)5
𝟐
حل المعادلة
عندما
𝒚
𝟎
𝒙
𝟎
الحل / ) 𝟐 ( 𝟐
نعوض 𝟎
)
) 𝟐 (
(
𝟏 𝟐
𝒚
)
𝟎
)
𝟐
)
𝟏 ()𝟐(∫ 𝟐
(
⇒
( )
)
(∫
𝒙 فٌنتج :
𝟐 |
) 𝟐 (∫
()𝟏 (∫
𝟑 𝟐
𝟐 𝟑
() 𝟐 (
)
𝟐
𝟐
|
𝟐
)𝟑 |
𝟐
𝟑
(
𝟏 𝟑 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐 𝟑
𝟏 𝟐
𝟎
𝟐
|
407
)نأخذ
∴
𝟐
للطرفٌن(
⇒
𝟐
𝟏 𝟐
)𝟑
𝟐
𝟏 𝟐
𝟎
(
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
وزاري / 2015د2
جد الحل العام للمعادلة التفاضلٌة :
مثال (/)6
)𝟏
𝟐
(
الحل / (
)𝟏
𝟐)𝟏
𝟐
(
)𝟏 (
𝟐
| |
| | ( 𝟐)𝟏
𝟐 (
)𝟏
)نأخذ
)حٌث
𝟏
(
)𝟏 | |
𝟐
⇒
𝟐)𝟏
(
(
)𝟏
(
)𝟏
| | ( 𝟐)𝟏
للطرفٌن(
𝟐 ∫𝟐
𝟐)𝟏
∫
(
𝟐)𝟏
𝟏
(
| | | |
(
******************************************************************
𝟓(
تمارين)𝟐 س / 1حل المعادالت التفاضلٌة اوتٌة بطرٌمة فصل المتغٌرات :
𝟑
𝟏 )
𝟐
(
)
(
)
𝟑
(
)
𝟑
̅ ) ( 𝟑
(
𝟐 𝟐
∫
𝟐
∫
)
𝟐
()
وزاري / 2014د3 𝟐 ∫
)
𝟑(
∫ )𝟏 (
𝟏 𝟐 𝟐
𝟐
𝟏 𝟐
|
𝟑|
𝟐)𝟏(
)𝟏
𝟐 (
𝟏 𝟐
)𝟐
𝟏 𝟏 (𝟐
⇒
𝟐
|𝟐
408
𝟑 𝟑
𝟑|
𝟑| )𝟐
𝟏 𝟐
(
𝟐
𝟏 𝟐 𝟐
𝟑
𝟑|
|
𝟏 𝟐 𝟐
𝟑
) (
𝟐
𝟐
|
وزاري / 2013د2
𝟑(
)
𝟑(
)
)𝟏(
𝟏
(
)𝟐
𝟏 𝟐
(
𝟎
𝟑
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
)𝟏
)𝟏 𝟏
(∫
)
𝟐
𝟐
(
)𝟏
)𝟏
∫
(
𝟐
)
𝟐
(
)𝟏
)𝟏
(
)نأخذ
(
⇒
𝟑 )𝟑
𝟐
𝟐
)𝟏
(
𝟑 𝟐
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
𝟐 𝟑
(
)𝟑
𝟐
𝟑 𝟐 )𝟐
𝟒
𝟏( ) (
𝟒
𝟑 𝟐) 𝟐
(∫
𝟑 𝟐 )𝟐
𝟐
𝟒
𝟒
𝟒
𝟒
𝟏√
د𝟐 𝟑
) حٌث
𝟒
𝟐
𝟒 𝟐
𝟒
𝟏(√𝟒
(
(∫
) (
̅
𝟑 𝟐) 𝟐
𝟏(𝟒
𝟒
𝟒
𝟒√
409
𝟑 𝟐 )𝟐
𝟒∫
𝟏
وزاري 𝟏𝟏𝟎𝟐
𝟏
( ) (
)𝟏
)𝟏
𝟏(𝟒
𝟏 𝟏( ) (𝟐 ∫ 𝟐
𝟒
(
𝟐
𝟒
𝟐
𝟐 𝟐
(
𝟏(
𝟒∫
𝟏
(
)𝟏
̅ )𝟏
𝟑) 𝟐 𝟑 𝟐) 𝟐
()𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
(
𝟐
للطرفٌن(
𝟏
𝟒
()𝟏
) (
∫ 𝟒
𝟒√
𝟒
𝟏 𝟐 )𝟐
𝟏( ) (∫
𝟏(
𝟏 𝟐
𝟏 𝟐
𝟑
𝟎
) ( 𝟑
∫ 𝟒
𝟒
𝟒
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
𝟏 𝟐 𝟑
∫𝟐
∫
)𝟑
𝟐
𝟐
𝟑
𝟒
𝟒
𝟖
(
𝟑
𝟐
𝟒
𝟐
⇒
𝟐
𝟐
𝟐
𝟖
𝟏
𝟎
𝟏
𝟒
𝟑
𝟒
𝟐
√
𝟖
𝟐 𝟑
𝟐 𝟐
(
)𝟐
𝟒
𝟏
̅ ) (
𝟐
⇒ 𝟎
𝟐
𝟐
𝟒
𝟏
𝟒
𝟖
𝟐 𝟐
𝟏 ) ( 𝟐 𝟏
𝟒
𝟐
س /2جد الحل العام للمعادالت التفاضلٌة اوتٌة : 𝟐
)𝟐
𝟐
)𝟐
𝟏( ∫
𝟏 𝟒 )𝟐
𝒙𝒄
𝟐
𝟏
𝟐
𝟒)𝒙𝒄(
)نأخذ
𝟏( 𝟐
للطرفٌن(
⇒
𝟏 𝒙𝒄
𝟏
) حٌث 𝟒𝒄𝟐
|𝒙𝒄|𝒏𝒍 𝟐
𝟐
𝟏 𝟒𝒙 𝟏𝒄
𝟏𝒄(
)𝟐 𝟏 𝟒 )𝟐
𝟏
𝟐
𝟏(
𝟐
)𝟒 ( 𝟏 ∫ 𝟐 𝟏( 𝟒 𝟐
𝟒
𝟏√
∫
𝟏(𝒏𝒍
|𝒄|𝒏𝒍
𝒙𝒄
𝟐
𝟐
𝟏 𝟒𝒙 𝟒𝒄𝟐
𝟏
)𝟐
𝟏(
𝟐 𝟐
𝟐
𝟏√
𝟏 𝟏 𝒏𝒍 𝟒
𝟏 𝟒) 𝟐
𝟏 𝟒)𝒙𝒄(
𝟐
∫
𝟏
𝒙𝒄
𝟒
𝟏 𝟐
𝟐
|𝒙|𝒏𝒍
𝟏
𝟏 √ 𝟐
𝟐
) (
𝟏(
𝟐 𝟐
𝟏
𝟐
وزاري / 2015د1 ) (
𝟎 ) |
|
|
|
( )
(
) (∫
𝒄𝒆
) |
410
(∫ |
) |
( |
) |
( |
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
𝟐
𝟎 ∫
𝟐
𝟐
𝟐
(
⇒
𝟐
)حٌث 𝟏𝒄
𝟐
⇒
𝟐
)𝟐
𝟐
𝟐
)
∫
𝟐
𝟐
(
𝟐
∫
𝟐
𝒄𝟐(
𝟐
𝟐
𝟏
∫
)
𝟐
)𝟏
𝟐
(∫
𝟐
∫
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
𝟏(∫
) (
𝟐
𝟑
∫ ∫
∫
) ( 𝟐
∫
𝟐
∫
𝟑
𝟑
𝟐
𝟏 𝟏(∫ 𝟐
) 𝟐
𝟐
𝟐
∫ 𝟏 𝟒
𝟐
∫ 𝟏 𝟐
∫ )حٌث 𝟏𝒄
د𝟏
𝟏 𝟐
𝟐
𝒄𝟐 (
∫
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
411
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏 ( 𝟐
) (
𝟑 𝟐
𝟑(∫
𝟐
̅
) (
𝟐
() ( 𝟐
(
)
∫
𝟎 )
𝟐
𝟐
𝟑 𝟑 𝟑
𝟑
𝟐
𝟏 𝟐
) 𝟐
وزاري 𝟏𝟏𝟎𝟐
نوفر المشتمة
)
∫
𝟐
𝟐
) (
)𝟐
(
⇒
̅ 𝟐
𝟏 𝟐
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
قؤال خارجي /أثبت أن كال من : 𝒙𝒆𝑩
𝒙𝒆𝑨
هو حل للمعادلة التفاضلٌة
𝒚 )𝒄( 𝒚
𝟎
𝒚 )𝒃(
𝒙𝟑
𝒙̅ 𝒚
𝟏(̿ 𝒚
)𝒙
̅ 𝒚
𝒙𝒆𝟐 𝟎
𝒙𝒆𝟐
𝒙𝒆𝟐
∴ العاللة المعطاة ) 𝒙𝒆𝟐
𝒙𝒆𝒙𝟐
𝒙𝒆𝟐
𝒙𝒆𝟐
∴ العاللة المعطاة )𝒙𝟑
𝒚 ( حل للمعادلة التفاضلٌة 𝟎
𝒙̅ 𝒚
)𝒙
𝟎
̅ 𝒚
𝒚
𝒙̅ 𝒚
𝒙𝟑
𝒚 ( حل للمعادلة التفاضلٌة 𝟎
𝒚
𝒙̅ 𝒚
)𝒙
𝟏(̿ 𝒚
𝒙𝒆𝑩
𝒙𝒆𝑨
̅ 𝒚
) 𝒙𝒆𝑩 𝟎
𝒙𝒆𝑨
𝒙𝒆𝑩
𝒙𝒆𝑨 𝒙𝒆𝑨(
)𝒙
𝒙𝒆𝑨
𝟏() 𝒙𝒆𝑩
𝒙𝒆𝒙𝑩
𝒚 ( حل للمعادلة التفاضلٌة 𝟎
412
𝒚
𝒙𝒆𝑨(
𝒙𝒆𝒙𝑨
𝒚
𝒙𝒆𝒙𝑩
𝒙̅ 𝒚
)𝒙
̅ 𝒚
𝟑
𝟑
̅ 𝒚
𝒙𝒆𝟐
𝒚 )𝒂(
𝟏(̿ 𝒚
𝟏(̿ 𝒚
)𝒙
𝒙𝒆𝑨(
∴ العاللة المعطاة ) 𝒙𝒆𝑩
)𝒙
𝟏( 𝒙𝒆𝟐
𝒙𝒆𝟐
̅ 𝒚
𝟏()𝟎(
𝒙𝒆𝑩 ) 𝒙𝒆𝑩
𝒙𝒆𝟐
𝒚
𝟎
𝒙𝒆𝟐
𝒚 )𝒂(
𝒙̅ 𝒚
𝒙𝟑 )𝒙
𝒙𝒆𝑩
𝒚
𝒙̅ 𝒚
𝒙𝒆𝒙𝑨
)𝒙
)𝒙 𝒙𝒆𝑩
𝟏(̿ 𝒚
𝒚 )𝒃(
𝟏(̿ 𝒚
𝒙𝒆𝑨 𝟏(̿ 𝒚 𝒙𝒆𝑨
𝒚 )𝒄(
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
ثانٌا :المعادلة التفاضلٌة المتجانقة هً المعادلة التً نقتطٌع كتابتها بالشكل كتابتها على الصورة
* فمثال المعادلرة
( )+
) بقسمة طرفً المعادلة على
𝟒
𝟒
𝟑
𝟒
)𝟒
( ٌمكرن
(
) ( 𝟏
مثال /بٌن أي المعادالت التالٌة متجانقة ؟ 𝟑
𝟑 𝟐
) نقسم البسط والمقام على 𝟎
𝟑
𝟑
( 𝟑
𝟑
𝟏
𝟑
𝟑 𝟐
) (𝟑
𝟑
𝟑
∴ المعادلة متجانقة
𝟎 ) نقسم البسط والمقام على 𝟎
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
( 𝟐
𝟐
𝟎
) (
𝟐
̅
𝟐
𝟐
𝟐
) (𝟐
𝟎
) (
) (𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
) (𝟐
) (
∴ المعادلة متجانقة
𝟐 𝟑
المعادلة غٌر متجانسة النه الٌمكن كتابتها بالشكل ] ) (
[
413
̅) (𝟐
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
طرٌمة حل المعادلة التفاضلٌة المتجانقة لحل المعادلة التفاضلٌة المتجانقة نتبع الخطوات التالٌة :
❶ نكتب المعادلة بالصورة ( ) + ❷ نشتك ]
* ثم نعوض عن كل +
* أو ]
[ بالنقبة الى ) ( فنحصل على +
❸ نربط بٌن الخطوتٌن ❶ و ❷ فنحصل على +
❹ بعد فصل المتغٌرات نحصل على +
* ) (
) (
) (
مثال ( /)1حل المعادلة التفاضلٌة
𝟐
*
*
❺ نكامل الطرفٌن فنحصل على الحل العام وأخٌرا نعوض عن +
𝟐 𝟑
[ حٌ ) ( دالة الى ) (
*
̅
𝟐
الحل / 𝟐 𝟐
) نقسم البسط والمقام على 𝟎
(
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝟑
) (𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
𝟐
) (𝟐
𝟐
) وضعنا
𝟏
(
𝟐
𝟑
𝟐 ∵
نعوض المعادلة 𝟏
فٌنتج :
فً المعادلة 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 | |
𝟐
𝟏
𝟏 𝟐
𝟐
𝟏
𝟑
𝟑
𝟐
| |
𝟏
)𝟐
𝟐
( )
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
) (
𝟑
𝟐
)𝟏
𝒙
𝟐
𝟏
𝟐
∫ )نأخذ
𝟐 𝟏
414
𝟏
∫
⇒
(
𝟐 𝟏
للطرفٌن(
𝟐 𝟐
𝟐
𝟑
)𝟏
𝟐
(
𝟐
∴
| |
𝟐
(
)𝟏
𝟐
(
∵
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
مثال ( /)2حل المعادلة التفاضلٌة الحل / ) نقسم البسط والمقام على 𝟎
(
𝟏 𝟏 ) وضعنا
𝟏 𝟏
(
∵
نعوض المعادلة
فٌنتج :
فً المعادلة )𝟏
𝟏
(
𝟏 𝟏
𝟏 𝟐
𝟏
𝟏 𝟏 𝟐
𝟐
𝟏
𝟏
𝟏 𝟐
𝟏 | |
| | 𝟏 𝟐
𝟏
𝟏
|
𝟐√
𝟐
|
𝟏 𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
) نضرب طرفً المعادلة ب )حٌث
𝟏 𝟐
(
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
415
𝟏 𝟏
|
⇒
𝟏 𝟐
𝟐
𝟏 𝟐
|
) تربٌع الطرفٌن(
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏 )𝟐 (∫ 𝟐 𝟐
𝟐
| 𝟐√
( 𝟏
𝟐
∫
𝟏
𝟐
𝟏
𝟏
𝟏 𝟐 𝟏
𝟐
𝟏
∫
𝟐
| 𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟏
𝟐
∫
𝟐
𝟐√
𝟐
𝟏
∴
𝟐
𝟏 𝟐
) ( 𝟐
) (𝟐 𝟏 𝟐
∵ 𝟐
𝟐
𝟐
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
وزاري / 2013د2
مثال ( /)3حل المعادلة التفاضلٌة
𝟑(
̅)
الحل / ) نقسم البسط والمقام على
(
𝟑
𝟏 𝟑
𝟑 ) وضعنا
𝟏 𝟑
(
∵
نعوض المعادلة 𝟏
فٌنتج :
فً المعادلة
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟑
𝟏 𝟑
𝟑
𝟑
( (
)𝟑 𝟐)𝟏
∫
∫
𝟐 𝟐)𝟏
(
∫ )𝟏 𝟐)𝟏
∫
𝟑( ) ( 𝟐)𝟏
∫ ( (
𝟏 𝟑
∫
𝟐 )𝟏
| |
∫
𝟐
)𝟏 𝟏
(
|𝟏
| | 𝟐
𝟑 ]𝟐 )𝟏 𝟐)𝟏
∫
∫
|
𝟐)𝟏
|𝟏
(
(∫ )𝟐( )𝟏
∫ )𝟏 (
𝟏
()𝟐(
|𝟏
𝟏
([ (
|
| |
|
∵
𝟏 𝟐
|
|
𝟐
|)𝟏
(
𝟐
| )
416
|𝟏 (
∫
|
| |
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
وزاري / 2012د1
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
وزاري / 2014د1
وزاري / 2012د3
مثال ( /)4جد الحل العـــــام للمعادلة التفاضـــلٌة
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
الحل / ) نقسم البسط والمقام على 𝟎 𝟐
) (
𝟐
𝟐 (
𝟐 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
) وضعنا
𝟏
(
𝟐 ∵
نعوض المعادلة 𝟏
𝟐 𝟐
فٌنتج :
فً المعادلة 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐 𝟐
∫
) نضع
𝟏 𝟐
(𝟐 ∫
)𝟏
∫
| |
( | |
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐)𝟏
( 𝟐 𝟏
| | 𝟐
| | )
417
(
𝟐)𝟏
∫
𝟐 𝟏
𝟐 | |
𝟏
| | (
(𝟐
)𝟏 𝟏 𝟐 𝟏
𝟐 | |
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية 𝟐
مثال محلول /حل المعادلة التفاضلٌة 𝟎
𝟐
̅
𝟐
الحل / 𝟐
𝟐
̅
𝟐
) نقسم البسط والمقام على
𝟐
(
𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
) (
𝟐
𝟐
𝟐
) (𝟐
𝟐
) وضعنا
𝟐
𝟏
(
𝟐 ∵
نعوض المعادلة
فٌنتج :
فً المعادلة
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏 𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏
𝟐 𝟐
)𝟏
𝟐 𝟐
𝟏
(
𝟐 | | 𝟏 | |
)𝟏
𝟐
| |
𝟏
𝟐
𝟏
(
𝟐 ∫
)𝟏
𝟐
)𝟏
𝟐
𝟏
𝟐
∫
| |
(
𝟏 𝟐
𝟐
𝟐 𝟏
)𝟏
(
𝟏 (
𝟏 𝟐
𝟐
)
418
𝟐
𝟏
𝟐
)𝟏
𝟐
| |
𝟏 𝟐
𝟏 𝟐
(
𝟐
)
𝟐
𝟐 𝟐
(
(
∴
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
𝟓(
تمارين)𝟑 حل كال من المعادالت التفاضلٌة اوتٌة :
وزاري / 2012د2
وزاري / 2013د1
̅ )𝟏( ) وضعنا
( ∵
نعوض المعادلة
فٌنتج :
فً المعادلة
∫
∫
∫ ) (
∫
| |
| |
𝟐
𝟎
𝟐
)
( ) 𝟐(
𝟐
) نقسم البسط والمقام على
(
)𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
( 𝟐
) (
) (
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟏
𝟐
) وضعنا
) نعوض المعادلة ∫
| |
فً المعادلة 𝟐
(
∵
(
∫
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
| |
)𝟏
(
⇒
𝟏
𝟐
∴ 𝟏
| |
| |
𝟏
) (
)حٌث
419
𝟏
(
𝟏
| |
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
) 𝟑
𝟎 ) نقسم البسط والمقام على
𝟐 𝟑
(
) 𝟐
𝟐 ) (𝟐
𝟐
𝟑
𝟐 𝟐
𝟐
𝟑 ) 𝟑 𝟒 )𝟏
∫
(
𝟐(
𝟐 𝟑
𝟐
𝟐 𝟏 𝟑 𝟐
(
∵
( 𝟐 𝟏 𝟑 𝟐
𝟏
𝟏 𝟐(𝟐 ∫) ( 𝟐 𝟐 𝟑(
∫
𝟒
|𝟏
𝟐 𝟏 𝟑 𝟐
) 𝟑 𝟒 )𝟏 𝟐
| |
) 𝟑
𝟐
) وضعنا
) نعوض المعادلة
) 𝟐
𝟏
) (𝟑
فً المعادلة
𝟐(
( )𝟑(
𝟐
𝟑|
𝟐( 𝟐
𝟑(
)𝟏
∫
𝟏 𝟐
∴ 𝟐
𝟒 𝟑
𝟐
𝟏
| |
𝟑(
𝟒
𝟐
𝟐
𝟑
𝟐
)𝟒(
𝟐 𝟐
) نقسم البسط والمقام على 𝟐
) (
𝟐
(
𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
) (𝟐
𝟐 𝟐
) وضعنا
) نعوض المعادلة 𝟐
فً المعادلة 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐 | |
| |
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
𝟐
𝟏 𝟐
𝟏
𝟐 𝟐
𝟐 ∵
𝟐 𝟏
(
∫
𝟐
𝟐
)𝟐
𝟏(
420
𝟏(
𝟏
∴
𝟐 𝟐 )𝟐
𝟏(
∫
𝟐 )𝟐
𝟏
(
𝟐
𝟏 𝟐
| |
)𝟐 )𝟐
𝟏(
𝟐 𝟏(
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
)𝟐
𝟎
وزاري / 2014د2
)𝟐
𝟐
𝟐
( 𝟐
) نقسم البسط والمقام على
𝟐
( 𝟐
𝟐
) (
( )𝟓(
𝟏
𝟐 𝟐
𝟐
) (
𝟐 𝟐
) وضعنا
𝟏
(
∵
نعوض المعادلة 𝟐
فً المعادلة 𝟐
فٌنتج : 𝟐
𝟏
| |
|
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏|
𝟏
𝟏 𝟒
|
𝟏
𝟒 𝟐
)𝟐
𝟐
𝟏(
𝟐
𝟏 𝟒
∫
)𝟐
𝟐
𝟏
𝟏
)𝟒 ( 𝟏 ∫ 𝟒 𝟐 𝟏(
)𝟐
𝟏(
𝟐
𝟏
)
𝟐
𝟐
𝟏( |
𝟏 𝟒 𝟐
) ) (𝟐
421
)𝟒( 𝟐
| |
𝟏(
|
𝟏 𝟒) 𝟐
𝟐
𝟏|
∴ 𝟐
𝟏(
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
)𝟑
وزاري / 2016د1
𝟑
𝟐
(
)𝟔(
𝟐
) نقسم البسط والمقام على
(
𝟑
𝟑
𝟐
) ( 𝟑
) (
) وضعنا
𝟑
𝟏
𝟑
𝟑
𝟑
𝟑
(
𝟑
𝟏 ∵
نعوض المعادلة
فٌنتج :
فً المعادلة 𝟒 𝟑
𝟒
𝟏 )
| |
𝟑
𝟏
𝟏 𝟑 𝟑
𝟒
| |
(∫
𝟏 ∫
)𝟏
(
⇒
𝟑
∫
| |
)
𝟏
𝟑
𝟏
𝟒
𝟒
)𝟑
(∫
𝟏(
𝟒 𝟑
𝟏 𝟑
𝟑
)حٌث
𝟏
422
𝟑
𝟏
| |
| | (
𝟏
| |
𝟑 𝟏 𝟑
) (𝟑
| | | |
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
)
) وضعنا
(
)𝟕(
( ∵
نعوض المعادلة
فٌنتج :
فً المعادلة ∫ )
∫
( |
|
| |
|
| |
| |
|
∫
∫ ∴
******************************************************************
س : 1حل المعادلة التفاضلٌة التالٌة
𝟑
̅) 𝟐
س : 2أوجد حل المعادلة التفاضلٌة التالٌة
س : 3أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلٌة التالٌة س : 4حل المعادلة التفاضلٌة التالٌة س : 5حل المعادلة التفاضلٌة التالٌة
𝟒
𝟒( )𝟐
𝟏( )𝟐
)𝟐
) (
423
̅ 𝟐
√ 𝟐
( (
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
حلول التمارٌن العامة الخاصة بالفصل الخامس س / 14حل المعادلة التفاضلٌة اوتٌة 𝟏 :
𝝅
𝒙
𝒚 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝒚
𝟒
̅ 𝒚
𝒙
الحل /
)𝒚 𝟐𝒔𝒐𝒄 𝒙
(
𝒙𝒅𝒚 𝟐𝒔𝒐𝒄
]
𝒙𝒅 𝒙 )نعوض 𝟏
𝒙
𝝅 𝟒
𝒚(
𝒚 𝟐𝒔𝒐𝒄 𝒙
𝒚𝒅 𝒚 𝟐𝒔𝒐𝒄
∫
𝒄
∫
𝒙𝒅 𝒙
|𝒙|𝒏𝒍
𝟏
𝟏
𝟎
𝒙𝒅 𝒙
𝒚𝒅
س / 15حل المعادلة التفاضلٌة اوتٌة 𝟐𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒚 :
𝒙𝒅
𝝅 𝟒
|𝟏|𝒏𝒍
|𝒙|𝒏𝒍
𝟏
𝒙 عندما
حٌ أن 𝟎
𝒚𝒅 𝒚 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝒚𝒅 𝒚 𝟐𝒄𝒆𝒔 ∫
∫
𝒄
𝒚𝒅 𝒙𝒅
𝝅 𝟐
∴
𝒚
الحل /
)𝒚 𝒏𝒂𝒕 𝒙𝒅 𝒙𝟐 ∫ 𝟐𝒙 𝟐 𝟐
𝒄
𝒚𝒅 𝒚 𝒏𝒊𝒔 ( ) 𝒚 𝒔𝒐𝒄
|𝒚 𝒏𝒊𝒔|𝒏𝒍
)نعوض 𝟎 𝟎
𝒄 𝟐𝒙
𝒆
∫
424
𝒙𝒅 𝒙𝟐
𝒚(
𝟐𝒙
𝒄
𝟏 𝒏𝒍
𝒚 𝒏𝒊𝒔
𝒙𝒅 𝒚 𝒏𝒂𝒕 𝒙𝟐
𝒙𝒅 𝒙𝟐 ∫ 𝝅 𝟐
𝒙
(
]
𝒄 )نأخذ
للطرفٌن(
⇒
𝒚𝒅
𝒚𝒅 𝒚 𝒏𝒂𝒕
𝒚 𝒔𝒐𝒄 ∫ 𝒚𝒅 𝒚 𝒏𝒊𝒔 |𝒚 𝒏𝒊𝒔|𝒏𝒍
𝟎
𝟐𝒙
𝝅 | 𝟐
𝒏𝒊𝒔| 𝒏𝒍
|𝒚 𝒏𝒊𝒔|𝒏𝒍
∴
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
وزاري / 2013د3
س / 16حل المعادلة التفاضلٌة
𝒚
𝒙
̅ 𝒚 𝒙 حٌ أن 𝟏
𝒚
𝒙
𝟏
الحل /
)𝒙
(
𝒙
𝒚𝒅 𝒙𝒅
𝒚 𝒙
𝒚
𝒚𝒅 𝒙𝒅
𝒚 𝒙
𝒚𝒅 𝒙𝒅
𝒙 𝟏 ) وضعنا
𝒙
𝟏
(
∵
نعوض المعادلة
فً المعادلة
فٌنتج : 𝟏 𝒙𝒅 𝒙
𝐜 نعوض 𝟏
𝒙
𝟏
𝟏 )𝒙 (
𝒗𝒅
| |
𝐜
] 𝒙𝒅 𝒙
| |
∫
𝒗𝒅 ∫
𝒚 وٌجاد لٌمة الثابت 𝒄 𝐜
𝟏
𝟎
𝐜
𝟏 𝟏
425
| |
|𝟏|
𝟏 𝟏 ∴
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
س / 17حل المعادلة التفاضلٌة اوتٌة
𝟎
𝒙𝒅) 𝟐𝒚𝟑
𝒚𝒅 𝒚𝒙𝟐
𝟐𝒙(
الحل /
𝒙𝒅) 𝟐𝒚𝟑
𝒚𝒅 𝒚𝒙𝟐 𝟐𝒚𝟑 ) نقسم البسط والمقام على
𝒚𝒅 𝒙𝒅
𝟐𝒙
𝟐𝒚𝟑 𝒚𝒙𝟐
(
𝟐𝒚 𝟐 𝟑 𝒙 𝒚𝒙𝟐 𝟐𝒙
) وضعنا
𝒚𝒙𝟐
𝟐𝒙
𝒚𝒅 𝒙𝒅
𝟐𝒙 𝟐𝒙
𝟐 𝒚 ) (𝟑 𝒙 𝒚 ) 𝒙( 𝟐 𝟐𝒗𝟑 𝒗𝟐
(
𝟐𝒙(
𝒚𝒅 𝒙𝒅
𝟏
𝒚𝒅 𝒙𝒅
𝟏
∵ نعوض المعادلة
فً المعادلة
𝟐𝒗𝟐 𝟐𝒗𝟑 𝒗𝟐
𝟏
𝟐𝒗( 𝒄
𝒙
𝟐𝒗𝟑 𝒗𝟐
𝒗 ∫
)𝟏
فٌنتج :
𝒗𝟐 𝟏 𝟐𝒗 )𝟏
𝟐𝒗𝟑 𝒗𝟐
𝟏
𝟏 𝟐𝒗 𝒗𝟐
𝒗𝟐 𝟏 𝟐𝒗
∫
𝟐𝒗( 𝒄
| 𝒙|𝒏𝒍 )
𝟐𝒙 𝟐𝒙
426
𝟐𝒚 (𝒄
|𝒙|𝒏𝒍 𝒙
𝟏
| | )𝟏
𝟏
𝟐𝒗
𝟐𝒚 𝟐 (𝒄 𝒙
𝒙
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
حلول األسئلة الوزارٌة الخاصة بالفصل الخامس قؤال وزاري / 2012د2 حل المعادلة التفاضلٌة )𝟏
حٌ
(
()𝟏
عندما 𝟐
𝟐
الحل /
)𝟏
(∫
)𝟏
(
)𝟏
∫
(
(
)𝟏
)𝟏
()𝟏
(
)𝟏
()𝟏
(
𝟐
)𝟏
𝟐
نعوض 𝟐
𝒙
𝟐
(
𝒚 وٌجاد لٌمة الثابت 𝒄 𝟒
𝟒
𝟐
𝟎
𝟐
𝟏
𝟐
𝟒
𝟐
قؤال وزاري / 2014د3 أثبت ان
أحد حلول المعادلة
𝟎
الحل / 𝟏
)𝟏(
𝟏 ) (
)
∴ العاللة المعطاة )
(هً أحد حلول المعادلة التفاضلٌة أعال
427
𝟏(
)𝟏
(
∴
أعذاد /األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الخامس /المعادالت التفاضلية
قؤال وزاري / 2015د3 𝟐
جد الحل العام للمعادلة التفاضلٌة
𝟐
𝟐
) نقسم البسط والمقام على
(
𝟐 𝟐
𝟐
) ( 𝟐
𝟏
𝟐
) وضعنا
(
𝟏 ∵
نعوض المعادلة
فً المعادلة
فٌنتج : 𝟐
𝟏
𝟐
𝟐
𝟏 )
𝟏
𝟏( ∫
𝟐
𝟏 ∫
∫
)
| |
𝟏
)حٌث
428
(
)𝟏
(∫ )𝟏
| | 𝟏
𝟏
(
| |
⇒ 𝟏
| |
(
| | | |
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل السادس الهندسة الفضائٌةSPACE GEOMETRY/ مراجعة: -1لكل مستقٌمٌن متقاطعٌن ٌوجد مست ٍو وحٌد ٌحتوٌهما. -2لكل مستقٌمٌن متوازٌٌن ٌوجد مست ٍو وحٌد ٌحتوٌهما. -3عبارة التوازي (إذا علم مستقٌم ونقطة ال تنتمً إلٌه فٌوجد مستقٌم وحٌد ٌمر من تلك النقطة وٌوازي المستقٌم المعلوم). -4فً المستوى الواحد المستقٌم العمودي على أحد مستقٌمٌن متوازٌٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر. -5المستقٌم العمودي على أحد مستوٌٌن متوازٌٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر. -6فً المستوى الواحد ٌمكن رسم مستقٌم واحد فقط عمودي على مستقٌم معلوم من نقطة معلومة ( تنتمً للمستقٌم أو ال تنتمً إلٌه). -7إذا توازى مستقٌمان فالمستوي الذي ٌحوي احدهما ونقطة من اآلخر فأنه ٌحتوٌهما. -8المستوى العمودي على أحد مستقٌمٌن متوازٌٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر. -9فً المستوى الواحد المستقٌمان العمودٌان على مستقٌم واحد متوازٌان. - 11إذا توازى مستقٌمان فالمستوي الذي ٌحوي احدهما ٌوازي اآلخر. - 11المستقٌم العمودي على مستقٌمٌن متقاطعٌن من نقطة تقاطعهما ٌكون عمودٌا ً على مستوٌهما. - 12المستقٌم العمودي على مست ٍو ٌكون عمودٌا ً على جمٌع المستقٌمات المرسومة من أثره ضمن المستوي. - 13إذا كان كل من مستقٌمٌن متقاطعٌن ٌوازٌان مستوي معلوم فأن مستوٌهما ٌوازي المستوي المعلوم. - 14إذا وازى ضلعا زاوٌة ضلعً زاوٌة أخرى تساوت الزاوٌتان وتوازى مستوٌهما. - 15قطعة المستقٌم الواصلة بٌن منتصفً ضلعً مثلث توازي الضلع الثالث وتساوي نصفه بالقٌاس. - 16العمود النازل من رأس المثلث المتساوي الساقٌن على القاعدة ٌنصفها. - 17إذا وازى مستقٌم مستوي فالمستقٌم المرسوم من أٌة نقطة من نقااط المساتوي موازٌاا ً للمساتقٌم المعلاوم ٌكون محتوى فً ذلك المستوي. - 18المستقٌمان العمودٌان على مست ٍو واحد متوازٌان. - 19المستقٌمان الموازٌان لمستقٌم ثالث فً الفراغ متوازٌان. ٌ - 21كون الشكل الرباعً متوازي أضالع إذا توازى كل ضلعٌن متقابلٌن فٌه. ٌ - 21كون الشكل الرباعً متوازي أضالع إذا توازى وتساوى ضلعٌن متقابلٌن فٌه. - 22المستطٌل هو متوازي أضالع أحدى زواٌاه قائمة. ٌ - 23مكن رسم مستقٌم وحٌد عمودي على مست ٍو معلوم من نقطة معلومة. ٌ - 24تطابق المثلثان بضلعٌن وزاوٌة محددة بهما. - 25العمود النازل من نقطة معلومة على مست ٍو هو أقصر مسافة بٌن النقطة المعلومة والمستوي. - 26مبرهنة األعمدة الثالثة ونتٌجتها.
429
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الزاوٌة الزوجٌة والمستوٌات المتعامدة الزاوٌة الزوجٌة :اتحاد نصفً مستوٌٌن لهما حافة ( )Edgeمشتركة. وتسمى الحافة المشتركة بـ (حرف الزاوٌة الزوجٌة). وٌسمى كل من نصفً المستوٌٌن بـ (وجه الزاوٌة الزوجٌة) كما فً الشكل:
⃡ هو حرف الزاوٌة الزوجٌة
حٌث
( )Xو ( )Yهما وجهاها وٌعبر عن الزاوٌة الزوجٌة بالتعبٌر:
–
⃡–
وقد ٌعبر عنها بحرف الزاوٌة الزوجٌة أن لم ٌكن مشتركا ً مع زاوٌة أخرى. مثالً: الزاوٌة الزوجٌة: –
⃡–
–
⃡–
–
⃡–
وال ٌمكن أن تكتب الزاوٌة الزوجٌة بشكل
⃡ فً هذا المثال ألن الحرف
مالحظة :عندما تكون أربع نقاط لٌست فً مست ٍو واحد نكتب الزاوٌة الزوجٌة – D
⃡ – Aأو
الزاوٌة الزوجٌة بٌن المستوٌٌن ) (DBCو ( )ABCكما فً الشكل:
431
⃡ مشترك فً أكثر من زاوٌة زوجٌة.
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
وتقاس الزاوٌة الزوجٌة كاآلتً: ⃡ ونرسم من Dالعمود
⃡ فً
نأخذ نقطة Dعلى الحافة المشتركة ⃡ فٌكون قٌاس الزاوٌة الزوجٌة بٌن المستوٌٌن هو قٌاس الزاوٌة للزاوٌة الزوجٌة ,كما فً الشكل:
بعبارة أخرى لدٌنا الزاوٌة الزوجٌة
⃡
وتسمى الزاوٌة
الزاوٌة العائدة
⃡–
⃡
⃡
ولدٌنا
–
والعمود
⃡ فً
على الحرف
⃡
⃡
⃡
∢ هً الزاوٌة العائدة للزاوٌة الزوجٌة
⃡ أو
–
⃡–
الزاوٌة المستوٌة العائدة للزاوٌة الزوجٌة :هً الزاوٌة التً ضلعاها عمودٌان على حرف الزاوٌة الزوجٌة من نقطة تنتمً إلٌه وكل منهما فً أحد وجهً الزاوٌة الزوجٌة. أو :هً اتحاد شعاعٌن عمودٌٌن على حرف الزاوٌة الزوجٌة من نقطة تنتمً إلٌه وكل منهما فً أحد وجهً الزاوٌة الزوجٌة. ومن تعرٌف الزاوٌتٌن العائدة والزوجٌة ٌمكن استنتاج اآلتً: -1قٌاس زاوٌة عائدة لزاوٌة زوجٌة ثابت. -2قٌاس الزاوٌة الزوجٌة ٌساوي قٌاس الزاوٌة العائدة لها وبالعكس. إذا كانت الزاوٌة الزوجٌة قائمة فأن المستوٌٌن متعامدان وبالعكس. أي :أذا كان قٌاس 𝟗𝟎°
–
⃡–
فأن
431
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مبرهنة (( :)7وزاري /2011د )1و (وزاري /2013د )2و(وزاري /2015د: )3 إذا تعامد مستوٌان فالمستقٌم المرسوم فً احدهما والعمودي على مستقٌم التقاطع ٌكون عمودٌا ً على المستوي اآلخر.
أي أنه: إذا كان: ⃡ ⃡
⃡
⃡ في ⃡
فأن
المعطٌات :فً نقطة , D
⃡
المطلوب إثباته:
⃡
⃡
⃡
⃡
البرهان: فً
⃡
نرسم
⃡ (فً المستوى الواحد ٌمكن رسم مستقٌم وحٌد عمودي على مستقٌم فٌه من نقطة معلومة)
⃡
⃡
⃡ (معطى)
(تعرٌف الزاوٌة العائدة) – ⃡– ∢ عائدة للزاوٌة الزوجٌة (قٌاس الزاوٌة الزوجٌة ٌساوي قٌاس الزاوٌة العائدة لها وبالعكس) ∢ 𝟎𝟗 ⃡ ⃡ (إذا كان قٌاس الزاوٌة بٌن مستقٌمٌن 𝟎𝟗 فأن المستقٌمٌن متعامدان وبالعكس) ⃡ (المستقٌم العمودي على مستقٌمٌن متقاطعٌن من نقطة تقاطعهما ٌكون عمودٌا ً على مستوٌهما) (و .هـ .م) نتٌجة مبرهنة (( :)7وزاري /2013د )3و (وزاري /2015د:)2 إذا تعامد مستوٌان فالمستقٌم المرسوم من نقطة فً احدهما عمودٌا ً على المستوى اآلخر ٌكون محتوى فٌه. ⃡
المعطٌات:
⃡
المطلوب إثباته: البرهان :لٌكن ان لم ٌكن
⃡ ⃡
⃡ وعمودي على نرسم (فً المستوى الواحد ٌوجد مستقٌم وحٌد عمودي على مستقٌم فٌه من نقطة معلومة) ⃡
432
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
(معطى) ⃡(مبرهنة ( )7إذا تعامد مستوٌان فالمستقٌم المرسوم فً احدهما العمودي على مستقٌم التقاطع ٌكون عمودٌا ً على المستوى اآلخر) ⃡ (معطى) ولكن ⃡ ⃡ (ٌوجد مستقٌم وحٌد عمودي على مست ٍو معلوم من نقطة تنتمً أو ال تنتمً إلٌه) ⃡ (و .هـ .م) مبرهنة (( :)8وزاري /2011د )1و (وزاري /2016د: )1 كل مست ٍو مار بمستقٌم عمودي على مست ٍو آخر ٌكون عمودٌا ً على ذلك المستوي أو ٌ :تعامد المستوٌان إذا احتوى أحدهما على مستقٌم عمودي على اآلخر. أي أنه : ⃡ 𝑩𝑨 𝒙 𝑥
⇒
𝑦
𝒚 ⃡
المعطٌات:
,
𝑩𝑨⃡ ⃡⃡
المطلوب إثباته : البرهان :لٌكن
⃡ ⃡
فً
⃡
نرسم ⃡ ( معطى)
(ٌتقاطع المستوٌان بخط مستقٌم) (مستقٌم التقاطع ٌحتوي على النقاط المشتركة) ⃡ (فً المستوى الواحد ٌوجد مستقٌم وحٌد عمودي على مستقٌم فٌه من نقطة معلومة)
⃡ ⃡ ⃡ (المستقٌم العمودي على مستوى ٌكون عمودٌا ً على جمٌع المستقٌمات المحتوى فً المستوي والمارة من أثره) ⃡ (معطى) ∢ عائدة للزاوٌة الزوجٌة ⃡ (تعرٌف الزاوٌة العائدة) ⃡ ألن ⃡ ∢ 𝟗𝟎° (قٌاس الزاوٌة الزوجٌـــــة ٌســــاوي قٌاس الزاوٌة العائدة – ⃡– قٌاس الزاوٌة الزوجٌة 𝟗𝟎° لها وبالعكس) ( إذا كان قٌاس الزاوٌة الزوجٌة 90 °فأن المستوٌٌن متعامدان وبالعكس )
(و .هـ .م)
433
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مبرهنة (( :)9وزاري /2014د:)1 من مستقٌم غٌر عمودي على مست ٍو معلوم ٌوجد مست ٍو وحٌد عمودي على المستوى المعلوم . أي أنه:
⃡غٌر عمودي على ⃡ وعمودي على
فٌوجد مستوي وحٌد ٌحتوي المعطٌات ⃡ :غٌر عمودي على
المطلوب إثباته :إٌجاد مست ٍو وحٌد ٌحتوي البرهان: من نقطة ⃡
⃡ وعمودي على
⃡ (ٌوجد مستقٌم وحٌد عمودي على مست ٍو معلوم من نقطة ال تنتمً إلٌه)
نرسم ⃡ متقاطعان
ٌحوٌهما (لكل مستقٌمٌن متقاطعٌن ٌوجد مست ٍو وحٌد ٌحوٌهما)
ٌوجد مست ٍو وحٌد مثل
(مبرهنة ٌ( )8تعامد المستوٌان إذا احتوى أحدهما على مستقٌم عمودي على اآلخر) ولبرهنة الوحدانٌة: لٌكن ( )Zمستوي آخر ٌحوي ⃡ وعمودي على ⃡ (بالبرهان) ⃡ (نتٌجة مبرهنة )7 (لكل مستقٌمٌن متقاطعٌن ٌوجد مست ٍو وحٌد ٌحوٌهما) (و .هـ .م) نتٌجة مبرهنة (( :)9وزاري /2012د:)3 إذا كان كل من مستوٌٌن متقاطعٌن عمودٌا ً على مست ٍو ثالث فأن مستقٌم تقاطعهما ٌكون عمودٌا ً على المستوى الثالث. المعطٌات:
⃡
المطلوب إثباته: البرهان :إن لم ٌكن
⃡ ⃡ عمودٌا ً على
لما وجد أكثر من مستوي ٌحوي
⃡ وعمودي على
(مبرهنة )9
⃡ (و .هـ .م)
434
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مثال (:)1 فً ∆ ABC 𝟑𝟎°
̅̅̅̅̅
∢ 𝟎𝟏
𝟓
– ̅̅̅̅ –
جد قٌاس الزاوٌة الزوجٌة
المعطٌات: 𝟓
𝟑𝟎°
𝟎𝟏
المطلوب إثباته :إٌجاد قٌاس الزاوٌة الزوجٌة
̅̅̅̅̅
∢
– ̅̅̅̅ –
البرهان: فً المستوى من نقطة معلومة) ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅
نرسم ̅̅̅̅
̅̅̅̅ فً نقطة
(فً المستوى الواحد ٌوجد مستقٌم وحٌد عمودي على آخر
(معطى)
̅̅̅̅ (مبرهنة األعمدة الثالثة) ∢ عائدة للزاوٌة الزوجٌة ̅̅̅̅ (تعرٌف الزاوٌة العائدة)
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ (المســـتقٌم العمودي على مستوي ٌكون عمودٌا ً على جمٌع المستقٌمات المحتواة فً المستوى والمارة من أثره) ∆ DBEقائم الزاوٌة فً B فً ∆ BEAالقائم الزاوٌة فً :E ⇒
𝟓
𝟎𝟏
𝟏 𝟐
𝟎𝟑
⇒
فً ∆ DBEالقائم الزاوٌة فً :B 𝟏 قٌاس𝟒𝟓°
𝟓 𝟓
∢
∢
قٌاس الزاوٌة الزوجٌة 𝟒𝟓°
– ̅̅̅̅ –
( قٌاس الزاوٌة الزوجٌة هو قٌاس الزاوٌة العائدة لها وبالعكس)
(و .هـ .م)
435
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مثال (:)2 لٌكن ABCمثلثا ً ولٌكن ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
برهن أن: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ المعطٌات: ̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
المطلوب إثباته: ̅̅̅̅
̅̅̅̅
̅̅̅̅
البرهان: ̅̅̅̅ (معطى) (مبرهنة ٌ( )8تعامد المستوٌان إذا احتوى احدهما على مستقٌم عمودي على اآلخر) ̅̅̅̅
̅̅̅̅ (معطى) ̅̅̅̅ (مبرهنة ( )7إذا تعامد مستوٌان فالمستقٌم المرسوم فً احدهما والعمودي على مستقٌم التقاطع
ٌكون عمودٌا ً على اآلخر) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ (معطى) ̅̅̅̅ (نتٌجة مبرهنة االعمدة الثالثة)
(و .هـ .م)
436
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مثال (( :)3وزاري /2012د )2 مستوٌان متعامدان , ⃡ عمودٌان على
⃡
⃡ وٌقطعان
فً C, Dعلى الترتٌب
⃡
برهن أن:
المعطٌات: إن )
⃡
,
⃡
⃡ عمودٌٌن على
⃡ وٌقطعان
فً C, Dعلى الترتٌب.
⃡
المطلوب إثباته: البرهان:
مستوي المستقٌمٌن المتقاطعٌن
لٌكن
⃡
⃡
⃡
⃡ (لكل مستقٌمٌن متقاطعٌن ٌوجد مستوٌا ً وحٌداً ٌحوٌهما)
⃡ (معطى)
⃡ (المستقٌم العمودي على مستقٌمٌن متقاطعٌن من نقطة تقاطعهما ٌكون عمودٌا ً على مستوٌهما) ⃡ (معطى) (ٌتعامد المستوٌان إذا احتوى احدهما على مستقٌم عمودي على اآلخر) (معطى) ولما كان
⃡
(ألنه محتوى فً كل منهما) ⃡ (إذا كان كل من مستوٌٌن متقاطعٌن عمودٌا ً على مست ٍو ثالث فأن مستقٌم تقاطعهما ٌكون عمودٌا ً على المستوي الثالث)
(و .هـ .م)
437
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
تمارين س / 1برهن أن مستوي الزاوٌة العائدة لزاوٌة زوجٌة ٌكون عمودٌا ً على حرفها.
(وزاري / 2013د )1
– ⃡– المعطٌات :الزاوٌة الزوجٌة والزاوٌة CDEزاوٌة مستوٌة عائدة لها. ⃡ المطلوب إثباته: البرهان: ⃡–
الزاوٌة CDEزاوٌة عائدة للزاوٌة الزوجٌة ⃡ ⃡ (من تعرٌف الزاوٌة العائدة لزاوٌة زوجٌة) –
⃡
⃡
(معطى)
(هً الزاوٌة الناتجة من اتحاد شعاعٌن عمودٌٌن على حرف الزاوٌة الزوجٌة من نقطة تنتمً إلٌه وكل منهما فً احد وجهً الزاوٌة الزوجٌة) ⃡ (المستقٌم العمودي على مستقٌمٌن متقاطعٌن من نقطة تقاطعهما ٌكون عمودٌا ً على مستوٌهما)
(و .هـ .م) (وزاري /2014د)3 س / 2برهن أنه إذا وازى مستقٌم مستوٌا ً وكان عمودٌا ً على مست ٍو آخر فأن المستوٌٌن متعامدان. ⃡
المعطٌات: المطلوب إثباته: البرهان: ٌقطع أن لم ٌكن ⃡ (معطى)
⃡
فأن
⃡ (المستقٌم العمودي على احد مستوٌٌن متوازٌٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر) يقطع ولكن هذا خالف المعطٌات ولٌكن ⃡ (ٌتقاطع المستوٌان بخط مستقٌم) ⃡
لتكن تنتمً إلٌه)
,ولتكن
⃡
⃡ (عبارة التوازيٌ :وجد مستقٌم وحٌد ٌوازي مستقٌم معلوم من نقطة ال
⃡ (معطى) ⃡ (إذا وازى مستقٌم مستوٌا ً فالمستقٌم المرسوم من أٌة نقطة من نقط المستوي موازٌا ً للمستقٌم المعلوم ٌكون محتوى فٌه) ⃡ ⃡ (المستوي العمود على احد مستقٌمٌن متوازٌٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر) (ٌتعامد المستوٌان إذا احتوى احدهما على مستقٌم عمودي على اآلخر) أو (كل مست ٍو مار بمستقٌم عمودي على مست ٍو ٌكون عمودي على المست ٍو اآلخر) (و .هـ .م)
438
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
(وزاري / 2014د) 2 س / 3برهن أن المستوي العمودي على احد مستوٌٌن متوازٌٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر أٌضاً. المعطٌات: المطلوب إثباته: البرهان: لٌكن ⃡ ٌتقاطع المستوٌان بخط مستقٌم ⃡ ⃡ ولتكن ⃡ بحٌث ⃡ ⃡ نرسم (ٌمكن رسم مستقٌم وحٌد عمودي على مستقٌم معلوم من نقطة ال تنتمً إلٌه)
(معطى ) ⃡ (إذا تعامد مستوٌان فالمستقٌم المرســـوم فً احدهما والعمودي على مســــتقٌم التقاطع ٌكون عمودٌا ً على اآلخر) (معطى) ولكن ⃡ (المستقٌم العمودي على احد مستوٌٌن متوازٌٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر) (ٌتعامد المستوٌان إذا احتوى احدهما على مستقٌم عمودي على اآلخر) (و .هـ .م) س A, B, C, D / 4أربع نقاط لٌست فً مست ٍو واحد بحٌث . عائدة للزاوٌة الزوجٌة – ̅̅̅̅ – برهن
و ̅̅̅̅
فإذا كانت
المعطٌات A, B, C, D :أربع نقاط مختلفة لٌست فً مست ٍو واحد ∢ عائدة للزاوٌة الزوجٌة
– ̅̅̅̅ –
المطلوب إثباته: البرهان: ∢ عائدة للزاوٌة الزوجٌة – ̅̅̅̅ – (معطى) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ (الزاوٌة العائدة هً الزاوٌة الناتجة من اتحاد شعاعٌن عمودٌٌن على حرف الزاوٌة الزوجٌة ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ من نقطة تنتمً إلٌه وكل منهما فً أحد وجهً الزاوٌة الزوجٌة) (معطى) فً المثلث ABC (العمود النازل من رأس مثلث متساوي الساقٌن على القاعدة ٌنصفها) المثلثان DEBو DECفٌهما: (قوائم) 𝟏∢ 𝟐∢ (ضلع مشترك) ( CE = BEبالبرهان) ٌتطابق المثلثان بضلعٌن وزاوٌة محددة بهما. ومن التطابق ٌنتج: (و .هـ .م)
439
∢
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
(وزاري / 2015د)1 س / 5برهن أنه إذا وازى كل من مستقٌمٌن متقاطعٌن مستوٌا ً معلوم وكانا عمودٌٌن على مستوٌٌن متقاطعٌن فأن مستقٌم تقاطع المستوٌٌن المتقاطعٌن ٌكون عمودٌا ً على المستوى المعلوم.
⃡
المعطٌات: ⃡
⃡
⃡ يوازيان ⃡ ⃡
المطلوب إثباته: البرهان: لٌكن
مستوي المستقٌمٌن المتقاطعٌن ⃡
⃡
⃡ (لكل مستقٌمٌن متقاطعٌن ٌوجد مستوي وحٌد ٌحتوٌهما)
⃡ (معطى) (إذا كان كل من مستقٌمٌن متقاطعٌن ٌوازٌان مستوٌا ً معلوما ً فإن مستوٌهما ٌوازي المستوي المعلوم)
ولكن
⃡ (معطى) ⃡ (ٌتعامد المستوٌان إذا احتوى أحدهما على مستقٌم عمودي على اآلخر) (معطى) ⃡ ( إذا كان كل من مستوٌٌن متقاطعٌن عمودٌا ً على مست ٍو ثالث فأن مستقٌم تقاطعهما ٌكون عمودٌا ً
على المستوي الثالث) ⃡ (المستقٌم العمودي على احد مستوٌٌن متوازٌٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر) (و .هـ .م)
441
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
س / 6دائرة قطرها ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ عمودي على مســــتوٌها D ,نقطة تنتمً للدائرة برهن أن
عمودي
على المعطٌات: ̅̅̅̅ قطر فً دائرة و ̅̅̅̅̅
مستوي الدائرة.
Dنقطة تنتمً للدائرة. المطلوب إثباته:
البرهان: ∢ 𝟗𝟎° ̅̅̅̅
زاوٌة محٌطٌة ∢
(الزاوٌة المحٌطٌة المقابلة لنصف دائرة قائمة)
̅̅̅̅ (إذا كانت الزاوٌة بٌن مستقٌمٌن قائمة فأن المستقٌمٌن متعامدٌن)
̅̅̅̅ عمودي على مستوي الدائرة (معطى) ̅̅̅̅
̅̅̅̅ (مبرهنة االعمدة الثالثة)
اصبح لدٌنا̅̅̅̅ ̅̅̅̅ :
̅̅̅̅̅ (بالبرهان)
̅̅̅̅̅ (المستقٌم العمودي على مستقٌمٌن متقاطعٌن من نقطة تقاطعهما ٌكون عمودٌا ً على مستوٌهما) ولكن
̅̅̅̅ (ٌتعامد المستوٌان إذا احتوى أحدهما على مستقٌم عمودي على اآلخر) (و .هـ .م)
441
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
االسقاط العمودي على مست ٍو -1مسقط نقطة على مست ٍو :هو أثر العمود المرسوم من تلك النقطة على المستوي. -2مسقط مجموعة نقط على مستوي :لتكن Lمجموعة من نقاط فً الفراغ فأن مسقطهما هو مجموعة كل اثار االعمدة المرسومة من نقاطه على المستوي. -3مسقط قطعة مستقٌم غٌر عمودٌة على مست ٍو معلوم :هو قطعة المستقٌم المحددة بأثري العمودٌن المرسومٌن من نهاٌتً القطعة على المستوي المعلوم. لٌكن ̅̅̅̅ غٌر عمودي على ولٌكن
̅̅̅̅
مسقط Aعلى
هو
̅̅̅̅̅
مسقط Bعلى
هو
هو ̅̅̅̅
مسقط ̅̅̅̅ على
̅̅̅̅ فأن
مالحظة :إذا كان
-4المستقٌم المائل على مست ٍو :هو المستقٌم غٌر العمودي على المستوي وقاطع له. -5زاوٌة المٌل :هً الزاوٌة المحددة بالمائل ومسقطه على المستوي. فً لٌكن ⃡ مائالً على ̅̅̅̅ فً
ولٌكن مسقط كذلك
على
حٌث
مسقط نفسها حٌث
̅̅̅̅ مسقط ̅̅̅̅ على أي أن 𝟗𝟎° 𝟎 𝟗𝟎°
𝛉
𝟎
𝜽
-6طول المسقط :طول مسقط قطعة مستقٌم على مست ٍو = طول المائل
جٌب تمام زاوٌة المٌل.
فعندما تكون ̅̅̅̅ مائالً على
وزاوٌة مٌلة 𝜽 ومسقطه ̅̅̅̅ فأن 𝛉
-7مسقط مستوي مائل على الزوجٌة بٌنهما.
:زاوٌة مٌل مست ٍو على مست ٍو معلوم هو قٌاس الزاوٌة المستوٌة العائدة للزاوٌة
مساحة مسقط منطقة مائلة على مست ٍو معلوم = مساحة المنطقة المائلة مساحة المنطقة المائلة و
جٌب تمام زاوٌة المٌل
مساحة المسقط و 𝜽 قٌاس زاوٌة المٌل 𝛉
442
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مثال (( :)4وزاري /2013د :)2 إذا وازى أحد ضلعً زاوٌة قائمة مستوٌا ً معلوما ً فأن مسقطً ضلعٌهما على المستوي متعامدان. ∢ قائمة فً B المعطٌات: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅ هو مسقط ̅̅̅̅ على ̅̅̅̅̅̅ هو مسقط ̅̅̅̅ على المطلوب إثباتهA'B' ┴ B'C' : البرهان: ̅̅̅̅̅̅ مسقط ̅̅̅̅ (معطى) ̅̅̅̅̅̅ مسقط ̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ (مسقط قطعة مستقٌم على مست ٍو معلوم هو القطعة المحددة بأثري العمودٌن المرسومٌن على المستوي من طرفً القطعة المستقٌمة) ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅ (المستقٌمان العمودٌان على مست ٍو واحد متوازٌان) نعٌن بالمستقٌمٌن المتوازٌٌن ( لكل مستقٌمٌن متوازٌٌن ٌوجد مست ٍو وحٌد ٌحتوٌهما ) نعٌن بالمستقٌمٌن المتوازٌٌن يحتويهما ̅̅̅̅ (معطى) لكن (ٌتقاطع المستوٌان بخط مستقٌم) ̅̅̅̅̅̅
̅̅̅̅ (إذا وازى مستقٌم مستوٌا ً معلوما ً فأنه ٌوازي جمٌع المســــتقٌمات الناتجة من تقاطع هذا المستوي والمستوٌات التً تحوي المستقٌم)
كذلك ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ (المستقٌم العمودي على مستوي ٌكون عمودٌا ً على جمٌع المستقٌمات المرسومة من أثره ضمن ذلك المستوي)
̅̅̅̅̅ لكن ̅̅̅̅
̅̅̅̅ ( فً المستوي الواحد :المستقٌم العمودي على أحد مستقٌمٌن متوازٌٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر ) ̅̅̅̅ ( ألن 𝟎𝟗
∢
معطى)
̅̅̅̅̅̅ (المستوي العمودي على أحد مستقٌمٌن متوازٌٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر) ̅̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅̅̅(المستقٌم العمودي على مستوي ٌكون عمودٌا ً على جمٌع المستقٌمات المرسومة من أثره ضمن ذلك المستوي). (و .هـــ .م)
443
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
مثال (:)5 ̅̅̅̅ والزاوٌة الزوجٌة بٌن مستوي المثلث
مثلث, 𝟎𝟏 ∆ ABCعلى
.
المعطٌات:
̅̅̅̅
𝟑𝟏
قٌاس 𝟔𝟎°
علااى
ثاام جااد مساااحة مسااقط
⃡–
–
𝟎𝟏
والمستوي
جااد مسااقط المثلااث
قٌاسها 𝟔𝟎°فإذا كان
𝟑𝟏 على
المطلوب إثباته :إٌجاد مسقط على وإٌجاد مساحة مسقط البرهان: (ٌمكن رسم عمود على مستوي من نقطة معلومة) فً نرسم ̅̅̅̅ مسقط ̅̅̅̅̅ (مسقط قطعة مستقٌم على مست ٍو معلوم هو القطعة المحددة بأثري العمودٌن ̅̅̅̅ مسقط ̅̅̅̅ المرسومٌن على المستوي من طرفً القطعة المستقٌمة) ̅̅̅̅ مسقط نفسه على على
مسقط
̅̅̅̅ فً
نرسم ̅̅̅̅
فً وبما أن
(فً المستوى الواحد ٌمكن رسم مستقٌم عمود على آخر من نقطة معلومة)
(معطى) (العمود النازل من رأس مثلث متساوي الساقٌن على القاعدة ٌنصفها)
𝟓
̅̅̅̅ ̅̅̅̅ (نتٌجة مبرهنة االعمدة الثالثة) ∢ عائدة للزاوٌة الزوجٌة ̅̅̅̅ (تعرٌف الزاوٌة العائدة) لكن قٌاس الزاوٌة الزوجٌة ̅̅̅̅ فً
القائم فً :
فً
:
القائم فً
( 𝟔𝟎°معطى) 𝟐𝟏 𝟔 𝟐
𝟒𝟒𝟏√
⇒ 𝟎𝟑
(و .هـ .م)
444
𝟓𝟐
𝟔
𝟏 𝟐𝟏
𝟎𝟏
𝟐 𝟏 𝟐
⇒
𝟗𝟔𝟏√ 𝟎𝟔
= مساحة المثلث BCD
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
تمارين س / 1برهن أن طول قطعة المســتقٌم الموازي لمســت ٍو معلوم ٌســـــاوي طول مســـقطه على المستوي المعلوم وٌوازٌه( .وزاري /2011د 1و /2014د 1و /2016د ) 1 ̅̅̅̅
المعطٌات:
̅̅̅̅ مسقط ̅̅̅̅ على المطلوب إثباته: أوال ً :
̅̅̅̅
̅̅̅̅
ثانٌا ً : البرهان:
̅̅̅̅ مسقط ̅̅̅̅ على
(معطى)
̅̅̅̅̅ ̅̅̅̅ عمودان على
(مسقط قطعة مستقٌم على مست ٍو هو القطعة المحددة بأثري العمودٌن المرسـومٌن من طرفً القطعة على المستوي)
̅̅̅̅̅
̅̅̅̅ (المستقٌمان العمودٌان على مست ٍو واحد متوازٌان)
بالمستقٌمٌن المتوازٌٌن
نعٌن
(لكل مستقٌمٌن متوازٌٌن ٌوجد مست ٍو وحٌد ٌحتوٌهما)
̅̅̅̅ (معطى) ̅̅̅̅
̅̅̅̅ (مستقٌم تقاطع مستوٌٌن ٌوازي كل مستقٌم محتوى فً احدهما وٌوازي اآلخر) أو (إذا وازى مستقٌم مستوٌا ً معلوما ً فأنه ٌوازي جمٌع المستقٌمات الناتجة من تقاطع هذا المستوي مع المستوٌات التً تحوي هذا المستقٌم) (و .هـ .م) ()1
الشكل
متوازي أضالع (ألن كل ضلعٌن متقابلٌن فٌه متوازٌٌن) خواص متوازي األضالع ( كل ضلعٌن متقابلٌن فٌه متساوٌٌن بالطول) (و .هـ .م) ()2
445
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
س / 2برهن أنه إذا قطع مســـتوٌان متوازٌان بمستقٌم فأن مٌله على احدهما ٌساوي مٌل اآلخر علٌه. (وزاري /2012د )2و (وزاري /2015د )3 المعطٌات: ⃡
} {
⃡
} { المطلوب إثباته: ⃡ على
مٌل
⃡ على
مٌل
البرهان: ⃡ ( ٌمكن رسم مستقٌم وحٌد عمودي على مست ٍو معلوم من نقطة معلومة )
نرسم
(معطى) ⃡ فً نقطة ⃡ على
⃡ مسقط وكذلك
(المستقٌم العمودي على أحد مستوٌٌن متوازٌٌن ٌكون عمودٌا ً على اآلخر)
⃡ مسقط
⃡ على
𝟏∢ هً زاوٌة مٌل
⃡ على
𝟐∢ هً زاوٌة مٌل
⃡ على
⃡ 𝟐∢ مٌل
(مسقط قطعة مستقٌم غٌر عمودٌة على مست ٍو معلوم هو قطعة المستقٌم المحددة بأثري العمودٌن المرسومٌن من طرفً القطعة على المستوي) ( زاوٌة مٌل مستقٌم مائل على مست ٍو معلوم هاً الزاوٌاة المحاددة بالمائل ومسقطه على ذلك المستوي )
⃡ ( خطأ تقاطع مستوٌٌن متوازٌٌن بمست ٍو ثالث متوازٌان ) 𝟏∢ ⃡ على
( إذا وازى ضلعا زاوٌة ضلعً زاوٌة أخرى تساوى قٌاسهما وتوازى مستوٌهما ) مٌل
⃡ على
(و .هـ .م)
446
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
س / 3برهن على أن للمستقٌمات المتوازٌة المائلة على مست ٍو المٌل نفسه. ( وزاري /2011د ( )3وزاري /2013د )3 المعطٌات: ⃡
⃡ وكل منهما مائل على
المطلوب إثباته: ⃡ على
قٌاس زاوٌة مٌل
= قٌاس زاوٌة مٌل
⃡ على
البرهان: ⃡ فً
لٌكن
( ٌمكن رسم مستقٌم وحٌد عمودي على مست ٍو معلوم من نقطة معلومة )
⃡ فً
ولٌكن ⃡ مسقط
⃡ على
⃡ مسقط
⃡ على
( مسااقط قطعااة مسااتقٌم غٌاار عمودٌااة علااى مساات ٍو معلااوم هااو قطعااة المسااتقٌم المحددة بأثري العمودٌن المرسومٌن من طرفً القطعة على المستوي )
∢ 1هً زاوٌة مٌل
⃡ على
∢ 2هً زاوٌة مٌل
⃡ على
( زاوٌة مٌل مستقٌم مائل على مست ٍو معلوم هً الزاوٌة المحددة بالمائل ومسقطه على المستوي المعلوم )
⃡
⃡ ( معطى )
⃡
⃡ ( المستقٌمان العمودٌان على مست ٍو متوازٌان )
𝟒∢ 𝟗𝟎°
𝟑∢ 𝟔∢
( إذا وازى ضلعا زاوٌة ضلعً زاوٌة أخرى تساوى قٌاسهما وتوازي مستوٌهما ) 𝟓∢
( المســتقٌم العمودي على مســتوي ٌكون عمودٌا ً على جمـٌع المســــتقٌمات المرسومة من أثره ضمن ذلك المستوي )
) 𝟏𝟖𝟎° 𝟏 ∢ ( مجموع قٌاسات زواٌا المثلث 𝟐∢ قٌاس زاوٌة مٌل ⃡ على قٌاس زاوٌة مٌل ⃡ على (و .هـ .م)
447
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
س / 4برهن على أنه إذا رسم مائالن مختلفان فً الطول من نقطة ال تنتمً إلى مست ٍو معلوم فإن أطولهما زاوٌة مٌله على المستوي أصغر من زاوٌة مٌل اآلخر علٌه. المعطٌات:
المطلوب إثباته: زاوٌة مٌل ̅̅̅̅ على
زاوٌة مٌل ̅̅̅̅ على البرهان:
̅̅̅̅ ( ٌمكن رسم مستقٌم وحٌد عمودي على مست ٍو من نقطة ال تنتمً إلٌه )
لٌكن
⃡ مسقط
⃡ على
⃡ مسقط
⃡ على
( مسااقط قطعااة مسااتقٌم غٌاار عمودٌااة علااى مساات ٍو معلااوم هااو قطعااة المسااتقٌم المحددة بأثري العمودٌن المرسومٌن من طرفً القطعة على المستوي )
𝟏𝛉 ∢ هً زاوٌة مٌل
⃡ على
𝟐𝛉 ∢ هً زاوٌة مٌل
⃡ على
( زاوٌة مٌل مستقٌم مائل على مست ٍو معلوم هً الزاوٌة المحددة بالمائل ومسقطه على ذلك المستوي )
( معطى ) 𝟏
𝟏
(خواص التراجح)
وبضرب طرفً المتراجحة بـ 𝟐𝜽 𝟐𝜽
𝟏𝜽
ٌنتج:
( وبرفع
الطرفٌن ألن دالة
𝟏𝛉
زاوٌة مٌل ̅̅̅̅ على
زاوٌة مٌل ̅̅̅̅ على
(و .هـ .م)
448
دالة متزاٌدة)
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
س / 5برهن على أنه إذا رسم مائالن من نقطة ما إلى مست ٍو فأصغرهما مٌالً هو األطول. المعطٌات: ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ مائالن على زاوٌة مٌل̅̅̅̅ على
زاوٌة مٌل ̅̅̅̅ على
المطلوب إثباته:
البرهان: ̅̅̅̅ ( ٌمكن رسم مستقٌم عمودي على مست ٍو من نقطة ال تنتمً إلٌه )
لٌكن
̅̅̅̅̅ مسقط ̅̅̅̅ على وكذلك ̅̅̅̅ مسقط ̅̅̅̅ على
( مسقط قطعة مستقٌم غٌار عمودٌاة علاى مسات ٍو معلاوم هاو قطعاة المساتقٌم المحددة بأثري العمودٌن المرسومٌن من طرفً القطعة على المستوي )
𝟏𝛉 ∢ هً زاوٌة مٌل ̅̅̅̅ على 𝟐𝛉 ∢ هً زاوٌة مٌل ̅̅̅̅ على 𝟐𝜽 ∢
𝟏𝛉 ∢
وبأخذ دالة الـ 𝟐𝛉
( زاوٌة مٌل مستقٌم مائل على مست ٍو معلوم هً الزاوٌة المحددة بالمائل ومسقطه على المستوي المعلوم )
للطرفٌن: 𝟏𝛉 و بقسمة طرفً المتراجحة على AD
𝟏
𝟏
وبقلب التراجح ٌنتج : ( خواص التراجح )
(و .هـ .م)
449
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
س / 6برهن على أنه زاوٌة المٌل بٌن المستقٌم ومسقطه على مست ٍو أصغر من الزاوٌة المحصورة بٌن المستقٌم (وزاري /2012د)3 نفسه وأي مستقٌم آخر مرسوم من موقعه ضمن ذلك المستوي. المعطٌات: ̅̅̅̅ ,مسقط ̅̅̅̅ على
̅̅̅̅ مائل على
∢ محددة بـ ̅̅̅̅ و ̅̅̅̅
̅̅̅̅̅ ,
∢ محددة بـ ̅̅̅̅ و ̅̅̅̅̅ المطلوب إثباته: ∢
∢ البرهان:
̅̅̅̅ (ٌمكن رسم مستقٌم وحٌد عمودي على مستوي معلوم من نقطة ال تنتمً إلٌه)
نرسم ونرسم ̅̅̅̅̅
̅̅̅̅ (ٌمكن رسم مستقٌم وحٌد عمودي على مستوي معلوم من نقطة ال تنتمً إلٌه)
لتكن 𝟏𝜽
𝟐𝜽
∢
̅̅̅̅ مسقط ̅̅̅̅ على AD
∢
(معطى)
( ACالعمود النازل من نقطة على مستوي هو أقصر مسافة بٌن النقطة المعلومة والمستوي)
وبالقسمة على AB (خواص التراجح) 𝟏𝜽
𝟐𝜽 𝟏𝜽
𝟐𝜽 ∢
∢
(و .هـ .م)
451
โ ซุฃุนุฏุงุฏโ ช /โ ฌุงุฃู ุณุชุงุฐ ุนู ู ุญู ู ุฏโ ฌ
โ ซุงู ู ุตู ุงู ุณุงุฏุณโ ช /โ ฌุงู ู ู ุฏุณุฉ ุงู ู ุถุงุฆู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ู ุจุฉโ ฌ
โ ซ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ ๐ โ ฌ
โ ซุงู ู ุฌุณู ุงุชโ ฌ โ ซุณุจู ู ู ุทุงู ุจ ุฏุฑุงุณุฉ ุงู ู ุฌุณู ุงุช ู ู ุงู ู ุฑุญู ุฉ ุงู ู ุชู ุณุทุฉ ู ู ู ุฎุต ู ู ู ุง ู ู ู ู ู ุงู ู ู ุงู ุญุฌู ู ู ุงู ู ุณุงุญุงุช ุงู ุฌุงู ุจู ุฉโ ฌ โ ซู ุงู ู ู ู ุฉ ู ุจุนุถ ุงู ู ุฌุณู ุงุช ุนู ู ุง ู ุฃู ุงู ุญุฏู ุซ ุนู ุญุฌู ู ุฌุณู ู ู ุตุฏ ุจู ุญุฌู ุงู ู ู ุทู ุฉ ู ู ุงู ู ุฑุงุบ (ุงู ู ุถุงุก) ุงู ู ุงู ุนุฉโ ฌ โ ซุฏุงุฎู ุงู ู ุฌุณู ู ู ุง ู ู ุงู ุฌุฏู ู โ ช:โ ฌโ ฌ
โ ซโ ช โ 1โ ฌุงู ู ู ุดู ุฑ (ุงู ู ู ุดู ุฑ ุงู ู ุงุฆู ) โ ชRight Prismโ ฌโ ฌ
โ ซุงู ุฑุณู โ ฌ
โ ซุงู ุญุฌู โ ฌ โ ซโ ชVolumeโ ฌโ ฌ โ ซุงู ู ุณุงุญุฉ ุงู ุฌุงู ุจู ุฉโ ฌ โ ซโ ชLateral Areaโ ฌโ ฌ โ ซุงู ู ุณุงุญุฉ ุงู ู ู ู ุฉโ ฌ โ ซโ ชTotal Areaโ ฌโ ฌ
โ ซู ุณุงุญุฉ ุงู ู ุงุนุฏุฉ ร ุงุงู ุฑุชู ุงุนโ ฌ โ ซู ุฌู ู ุน ู ุณุงุญุงุช ุงุฃู ู ุฌู ุงู ุฌุงู ุจู ุฉ = ู ุญู ุท ุงู ู ุงุนุฏุฉ ร ุงุงู ุฑุชู ุงุนโ ฌ โ ซุงู ู ุณุงุญุฉ ุงู ุฌุงู ุจู ุฉ โ ช +โ ฌู ุณุงุญุฉ ุงู ู ุงุนุฏุชู ู โ ฌ
โ ซโ ช โ 2โ ฌู ุชู ุงุฒู ุงู ุณุทู ุญ ุงู ู ุณุชุทู ู ุฉ ( ู ุชู ุงุฒู ุงู ู ุณุชุทู ุงู ุช ) โ ชParallel pipedโ ฌโ ฌ
โ ซุงู ุฑุณู โ ฌ
โ ซุงู ุญุฌู โ ฌ โ ซโ ชVolumeโ ฌโ ฌ โ ซุงู ู ุณุงุญุฉ ุงู ุฌุงู ุจู ุฉโ ฌ โ ซโ ชLateral Areaโ ฌโ ฌ โ ซุงู ู ุณุงุญุฉ ุงู ู ู ู ุฉโ ฌ โ ซโ ชTotal Areaโ ฌโ ฌ
โ ซ๐ โ ฌ โ ซ๐ โ ฌ โ ซโ ช451โ ฌโ ฌ
โ ซ๐ โ ฌ
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
–3المكعب Cube
الرسم
الحجم Volume المساحة الجانبٌة Lateral Area المساحة الكلٌة Total Area
𝟑 𝟐
𝟒
𝟐
𝟔
–4األسطوانة الدائرٌة القائمة Right Circular Cylinder
الرسم
الحجم Volume المساحة الجانبٌة Lateral Area المساحة الكلٌة Total Area
𝟐
𝟐 𝟐
𝟐
452
𝟐
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
–5الهرم Pyramid األرتفاع الجانبً
𝒃 ∶ مساحة القاعدة
الرسم 𝒉 ∶ األرتفاع
الحجم Volume المساحة الجانبٌة Lateral Area المساحة الكلٌة Total Area
𝟏 𝟑 ) طول األرتفاع الجانبي( المساحة الجانبية
𝟏 ) محيط القاعدة( 𝟐
مساحة القاعدة
–6المخروط الدائري القائم Right Circular Cone
الرسم
الحجم Volume المساحة الجانبٌة Lateral Area المساحة الكلٌة Total Area
𝟐
𝟐
453
𝟏 𝟑
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
–7الكرة Sphere
الرسم
𝟑
الحجم Volume المساحة الكلٌة Total Area
𝟒 𝟑
مساحة مسطح الكرة = مساحة 4دوائر عظٌمة 𝟐
مالحظة: - 1ذو الوجوه األربعة المنتظم :هرم ثالثً قائم منتظم أوجهه االربعة مثلثات متساوٌة األضالع ومتطابقة. - 2إذا قطع المخروط الدائري بمستوي مار من أحد مولداته فأن المقطع مثلث وٌكون المثلث فً المخروط الدائري القائم متساوي الساقٌن.
454
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
تمارين 𝟐
س / 1إذا كانت المساحة الكلٌة لمتوازي المستطٌالت 𝟐 𝟎𝟏𝟏 جد ابعاده وحجمه. احد أوجهه الجانبٌة
𝟐
𝟒𝟐𝟕 ومساحة قاعدته
𝟐𝟑𝟏 ومساحة
المعطٌات ABCD – EFGH :متوازي مستطٌالت مساحته الكلٌة
𝟐
𝟒𝟐𝟕
ومساحة الوجه الجانبً CBFG ومساحة القاعدة EFGH
𝟐
𝟐
𝟎𝟏𝟏
𝟐𝟑𝟏
المطلوب إثباته: - 1إٌجاد أبعاد متوازي المستطٌالت ABCD – EFGH - 2إٌجاد حجم متوازي المستطٌالت ABCD – EFGH المساحة الجانبٌة لمتوازي المستطٌالت البرهان :لتكن المساحة الكلٌة له عرض قاعدته طول قاعدة متوازي المستطٌالت ولٌكن 𝟐
̅̅̅̅
̅̅̅̅
مساحة الوجهٌن المتقابلٌن
𝟎𝟔𝟒
مساحة الوجه ̅̅̅̅̅
𝟎𝟒𝟐
𝟎𝟐𝟏 𝟐𝟑𝟏
معادلة 𝟏
𝟎𝟐𝟏
معادلة 𝟐 𝟎𝟐𝟏 𝟐𝟑𝟏
𝟐𝟑𝟏 𝟐 – 𝟒𝟐𝟕
𝟎𝟏𝟏 𝟐 – 𝟎𝟔𝟒 𝟐
𝟐
ارتفاعه
𝟒𝟔𝟐 – 𝟒𝟐𝟕
حجمه
𝟐
𝟎𝟏𝟏
⇒
𝟎𝟏𝟏
𝟎𝟐𝟏 𝟐𝟑𝟏
𝟒𝟒𝟏 𝟎𝟏 𝟑
𝟏𝟏 𝟎𝟐𝟑𝟏
455
𝟎𝟏 𝟏𝟏 𝟐𝟏
⇒
𝟐𝟑𝟏
⇒
𝟎𝟐𝟏
⇒
𝟎𝟏𝟏
𝟎𝟐𝟏 𝟎𝟑𝟏 𝟎𝟏𝟏
𝟐
𝟐𝟏 الحجم
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟐 𝟎𝟎𝟒 وحجمها س / 2اسطوانة دائرٌة قائمة مساحتها الجانبٌة قطر قاعدتها( .وزاري / 2014د )2و (وزاري / 2015د)2
𝟑
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟎𝟎𝟎𝟐 أوجد ارتفاعها ونصف
المعطٌات: 𝟐
اسطوانة دائرٌة قائمة مساحتها الجانبٌة وحجمها
𝟑
𝟎𝟎𝟒
𝟎𝟎𝟎𝟐
المطلوب إثباته: - 1إٌجاد ارتفاع االسطوانة الدائرٌة القائمة. - 2إٌجاد نصف قطر االسطوانة الدائرٌة القائمة. البرهان: لٌكن طول نصف قطر االسطوانة الدائرٌة القائمة
,وحجمها
,وارتفاعها
ومساحتها الجانبٌة المساحة الجانبٌة = محٌط القاعدة × االرتفاع 𝟐 𝟏
)
𝟎𝟎𝟐
تقسيم 𝟐(
⇒
𝟐 𝟐
حجم االسطوانة = مساحة القاعدة × االرتفاع 𝟐
𝟎𝟎𝟒
𝟐
𝟎𝟎𝟎𝟐
)
تقسيم (
𝟐
⇒
𝟎𝟎𝟎𝟐
وبقسمة معادلة ( )2على معادلة (:)1 𝟎𝟏 وبتعوٌض قٌمة
𝟎𝟎𝟎𝟐 𝟎𝟎𝟐
⇒
𝟐
فً معادلة (ٌ )1نتج: 𝟎𝟐
(و .هـ .م)
456
⇒
𝟎𝟎𝟐
𝟎𝟏
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
س / 3برهن على أن حجم ذو الوجوه االربعة المنتظم والذي طول حرفه Lهو (وزاري /2012د )1و (وزاري /2014د )3
𝟐𝟏√ 𝟐𝟏
𝟑
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
وحدة مكعبة.
المعطٌات A – DBC :ذو الوجوه االربعة المنتظم وطول حرفه .L المطلوب إثباته :وحدة مكعبة
𝟑
𝟐𝟏√
= الحجم
𝟐𝟏
البرهان: ذو الوجوه االربعة المنتظم هو هرم ثالثً قائم منتظم أوجهه االربعة مثلثات متساوٌة االضالع ومتطابقة. القاعدة BCDمثلث متساوي االضالع. نرسم االعمدة المنصفة من رؤوس ∆ BCDعلى القاعدة فٌنصفها (العمود النازل من رأس مثلث متساوي الساقٌن على القاعدة ٌنصفها) قٌاس كل زاوٌة من زواٌا المثلث المتساوي االضالع 𝟑𝟎°
𝟔𝟎°
∢
لٌكن ارتفاع ذو الوجوه االربعة المنتظم ∆ BEFقائم الزاوٌة فً
𝟎𝟑
𝟏 𝟑√ 𝟐 ⇒ 𝟐 𝟑√ ∆ AEBقائم الزاوٌة فً ( Eالمستقٌم العمودي على مست ٍو ٌكون عمودٌا ً على جمٌع المستقٌمات المرسومة من أثره ضمن ذلك المستوي) 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐√ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 ⇒ 𝟐 ⇒ ⇒ 𝟑 𝟑 𝟑 𝟑√ 𝟏
حجم الهرم = مساحة القاعدة × االرتفاع 𝟑
𝟑
𝟐√ 𝟐𝟏
𝟐√
)
𝟑√
()
𝟐
𝟏
𝟑√( )𝟐𝟏(
+
𝟐
𝟑√ 𝟒
*
(و .هـ .م)
مالحظة : مساحة قاعدة الهرم
مساحة مثلث متساوي األضالع
457
𝟐 𝟑√ 𝑳 𝟒
حيث 𝒍 هو طول الحرف للهرم
𝟏 𝟑
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
س / 4مخروط دائري قائم مر برأسه مست ٍو فقطع قاعدته بقطعة مستقٌم تبعد عن مركز القاعدة بمقدار , 8 cm 𝟐 𝟓𝟏 أحسب: 𝟐𝟎𝟏 وارتفاع المخروط فإذا كانت مساحة المقطع ③مساحته الكلٌة. ② مساحته الجانبٌة. ① حجمه. (وزاري / 2015د)1 المعطٌات: مخروط دائري قائم مر برأسه مست ٍو فقطع قاعدته بقطعة مستقٌم تبعد عن مركز القاعدة بمقدار , 8 cmفإذا كانت 𝟐 𝟓𝟏 𝟐𝟎𝟏 وارتفاع المخروط مساحة المقطع المطلوب إثباته: - 1حساب حجم المخروط. - 2حساب مساحته الجانبٌة. - 3حساب مساحته الكلٌة. البرهان: وٌمثل االرتفاع ٌ V ,مثل الحجم , وٌمثل طول نصف قطر قاعدة المخروط , لٌكن = L.Aالمساحة الجانبٌة L =AB ,وٌمثل االرتفاع الجانبً = T.A ,المساحة الكلٌة. فً المثلث ADEالقائم الزاوٌة فً ( Dالمستقٌم العمودي على مستوي ٌكون عمودٌا ً على جمٌع المستقٌمات المرسومة من أثره ضمن ذلك المستوي ) 𝟐
⇒ 𝟗𝟖𝟐 𝟒𝟔 𝟓𝟐𝟐 𝟕𝟏 𝟗𝟖𝟐√ ̅̅̅̅ عمودي على مستوي القاعدة ( ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ,ألنه بعد بٌن نقطة ومستقٌم) ̅̅̅̅ ̅̅̅̅ ( مبرهنة االعمدة الثالثة ) 𝟏
مساحة المثلث
𝟐𝟎𝟏
𝟐
𝟑𝟏√𝟓 حجم المخروط =
𝟏 𝟑
⇒
𝟐
𝟐 𝟐
𝟔𝟑 𝟐
𝟎𝟎𝟏
𝟓𝟏
𝟐𝟏
𝟐
ولكن ( BE = ECالعمود النازل من مركز دائرة على وتر فٌها ٌنصفه) 𝟐 فً المثلث DEBالقائم الزاوٌة فً :E 𝟒𝟔 ⇒ 𝟎𝟎𝟏 𝟎𝟏 𝟐 فً المثلث ADBالقائم الزاوٌة فً :D 𝟓𝟐𝟑
𝟖
𝟏
𝟕𝟏
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
𝟓𝟐𝟐
مساحة القاعدة × االرتفاع 𝟑
و .هـ .م ()1 المساحة الجانبٌة للمخروط =
𝟏 𝟐
𝟎𝟎𝟓
𝟐
𝟓𝟏
𝟎𝟏
محٌط القاعدة × االرتفاع الجانبً و .هـ .م ()2
𝟐
𝟑𝟏√𝟎𝟓
المساحة الكلٌة للمخروط = المساحة الجانبٌة +مساحة القاعدة 𝟐 )𝟐 𝟑𝟏√( 𝟎𝟓 و .هـ .م ()3
458
)𝟑𝟏√𝟓( 𝟐
𝟎𝟏
𝟎𝟏
𝟐
𝟏 𝟐
𝟑𝟏√𝟎𝟓
𝟏 𝟑
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
س / 5إذا علمت أنه ٌمكن رسم كرة خارج ذو االوجه االربعة المنتظم . برهن أن نصف قطر الكرة =
(وزاري /2011د)1
االرتفاع
المعطٌات: رسمت الكرة التً مركزها Cخارج ذو االوجه االربعة المنتظم D – EFG المطلوب إثباته: نصف قطر الكرة =
𝟑 𝟒
االرتفاع
البرهان: ذو االوجه االربعة المنتظم هو هرم ثالثً قائم منتظم ,أوجهه االربعة مثلثات متساوٌة االضالع ومتطابقة . وارتفـــــاع الهرم
لتكن مســــــاحة القاعدة قطر الكره
وطول نصف
وحجمــــــه
مركز الكرة Cقسم الهرم الكبٌر D – EFGإلى أربعة اهرامات متساوٌة بالحجم لتساوي القاعدة واالرتفاع وهً: C – DEFو C – GDEو C – FGDو C – EFGوارتفاع كل منها حجم ذي الوجوه االربعة
𝟒
حجم الهرم
–
– 𝟒 )
وبالقسمة على )
𝟏 𝟑
(𝟒
𝟏 𝟑
𝟏
( نحصل على: 𝟑 –
𝟒
𝟒– 𝟒
𝟑 𝟒 (و .هـ .م)
459
⇒
– 𝟒
𝟒
𝟑
𝟒
أعداد /األستاذ علً حمٌد
الفصل السادس /الهندسة الفضائــــــــــــــــبة
𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
حلول األسئلة الوزارية الخاصة بالفصل السادس سؤال وزاري /2013د1 𝟑
س / 1إذا كانت المساحة الكلٌة لمتوازي المستطٌالت 𝟑 𝟒𝟐 جد ابعاده وحجمه. احد أوجهه الجانبٌة
𝟎𝟖𝟏 ومساحة قاعدته
𝟑
𝟖𝟒 ومساحة
المعطٌات ABCD – EFGH :متوازي مستطٌالت مساحته الكلٌة
𝟑
𝟎𝟖𝟏
ومساحة الوجه الجانبً CBFG ومساحة القاعدة EFGH
𝟑
𝟑
𝟒𝟐
𝟖𝟒
المطلوب إثباته: - 1إٌجاد أبعاد متوازي المستطٌالت ABCD – EFGH - 3إٌجاد حجم متوازي المستطٌالت ABCD – EFGH المساحة الجانبٌة لمتوازي المستطٌالت البرهان :لتكن المساحة الكلٌة له عرض قاعدته طول قاعدة متوازي المستطٌالت ولٌكن 𝟐
̅̅̅̅
̅̅̅̅
مساحة الوجهٌن المتقابلٌن
𝟒𝟖
مساحة الوجه ̅̅̅̅̅
𝟖𝟒 𝟐 – 𝟎𝟖𝟏
𝟒𝟐 𝟐 – 𝟒𝟖 𝟐
𝟐
ارتفاعه
𝟔𝟗 – 𝟎𝟖𝟏
حجمه
𝟔𝟑
𝟖𝟏 𝟖𝟒
معادلة 𝟏
𝟖𝟏
معادلة 𝟐 𝟖𝟏 𝟖𝟒
𝟐
𝟒𝟐
𝟒𝟐
⇒
𝟖𝟏 𝟖𝟒
𝟑
461
𝟖 𝟒𝟒𝟏
⇒
𝟕𝟏
⇒ 𝟔𝟑
𝟑
⇒
𝟖𝟒
𝟑 𝟖 𝟔
𝟒𝟐
𝟖𝟏 𝟖𝟒 𝟒𝟐
𝟐
𝟔 الحجم