للعام الدراسي
طبعة جديدة ومنقحة
2017
أعداد األسـتاذ
شرح مفصل لجميع أمثلة وتمارين الفصل الرابع . حلول التمارين العامة وجميع األسئلة الوزارية للفصل الرابع . أسئلة أضافية محلولة .
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
الفصل الرابع/التكامل النظرٌة األساسٌة للتكامــــــــــل – الدالة الممابلة دالة مستمرة على الفترة -
أذا كانت
,بحٌث :
,فأنه توجد دالة Fمستمرة على الفترة - )
وٌكون ) (
) (
∫ حٌث تسمى
) (
مثال ( /)1أذا كانت ) (
) (
(
الدالة الممابلة للدالة fعلى الفترة -
دالة مستمرة على الفترة ,𝟏 𝟓-بحٌث
𝟐
𝟑
) (
, 𝟓
) ( دالة ممابلة للدالة fفجد لٌمة
) ( 𝟏∫
الحل / 𝟓
𝟐𝟕
𝟑
)𝟏(𝟑
𝟓𝟕
)𝟓𝟐(𝟑
)𝟏(
) (
)𝟓(
∫ 𝟏
وٌمكن أن نكتب ذلن بالصورة األتٌة : 𝟐𝟕
𝟑
𝟓𝟕
𝟓 𝟏
𝟐
𝟓 ) ( ,𝟏
𝟑,
𝟓
) (
∫ 𝟏
مثال ( /)2أذا كانت fدالة مستمرة على الفترة 0𝟎 1و أن الدالة الممابلة للدالة fهً : 𝟐
0𝟎 𝟐 1
) (
,
) ( 𝟐𝟎∫
فأوجد لٌمة
الحل / 𝟎
𝟑
مثال ( /)3أثبت أن الدالة 𝟐 الحل ∵ /
𝟐
𝟑
) (
) (
𝟎
,
𝟏
)𝟎(
. / 𝟐
هً دالة ممابلة للدالة
,𝟏 𝟑 -
هً دالة مستمرة ولابلة لألشتماق على
)𝟎(
, ( )-
. / 𝟐
𝟐
𝟑
) (
𝟎
) (
( ألنها كثٌرة حدود )
∴ Fهً دالة مستمرة على ,𝟏 𝟑-و لابلة لألشتماق على )𝟑 𝟏( )𝟑 𝟏( ∴ Fهً دالة ممابلة للدالة
على ,𝟏 𝟑-
272
𝟐
∫
) (
𝟐
𝟑
) (
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
مثال ( /)4أثبت أن الدالة ) (
𝟐 ثم جد لٌمة
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎 𝟏
𝟐
) (
𝟐
هً دالة ممابلة للدالة
,
, 𝟐
𝟒𝟎∫
الحل /
∵
𝟐 𝟐
𝟏 𝟐
) (
هً دالة مستمرة و لابلة لألشتماق
) (
هً دالة مستمرة ولابلة لألشتماق أٌضا ) (
∴
)𝟐( 𝟐
𝟐
𝟏 𝟐
) (
هً دالة مقابلة للدالة ) (
𝟏 𝟐
𝟏 )𝟎( 𝟐
𝟏 )𝟏( 𝟐
]𝟎
𝟏 𝟐
[
]. / 𝟐
𝟏 𝟐
[
])𝟎(𝟐
273
𝟏 𝟐
[
]𝟐 . / 𝟒
𝟏 𝟐
[
) (
𝟒
] 𝟐
𝟎
𝟏 𝟐
) ( ∫
[
𝟐
𝟒
∫
𝟎
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
الجدول أدناه ٌوضح العاللة بٌن fوالدالة الممابلة لها F الدالة ) (
الدالة الممابلة لها ) (
𝟏
𝟏
𝟏 𝟏
𝟏
𝟏 𝟏
)
) ( ,𝟏
)
(
𝟏
( )
(
)
(
)
𝟏
) (
, ( )-
(
𝟏 (
) 𝟏 )
(𝟐
𝟏 )
(𝟐
𝟏
𝟏
من الجدول نستنتج مجموعة الدوال الممابلة ألٌة دالة
) (
) ( ∫ كما فً الجدول أعاله هً F+Cحٌث أن Cعدد ثابت حمٌمً
274
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
مثال ( /)5أوجد
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟐
𝟒𝟎∫
الحل /
𝟏
𝟐
مثال ( /)6أوجد
𝟏
𝟎
𝟎
𝟒𝟎-
𝟒
𝟒
𝟐
,
∫
𝟎
𝟐∫ 𝟒
الحل /
𝟏-
𝟏
مثال ( /)7أوجد
𝟎,
1
𝟒
𝟐-
0
𝟐
𝟐
𝟐
,
𝟒
∫
𝟒
𝟑𝟎∫
الحل /
𝟏
𝟏
مثال ( /)8أوجد
𝟐
𝟏 𝟏 . / 𝟐
𝟏
𝟑
𝟏 𝟎
𝟏
𝟎
𝟑𝟎-
𝟑
𝟑
𝟑
,
∫
𝟎
𝟑
𝟏∫
الحل /
𝟎𝟐
275
𝟎𝟖 𝟒
𝟏 ] 𝟒
𝟏𝟖 𝟒
𝟑 𝟒
[
+ 𝟏
𝟒
𝟑
*
𝟑
∫ 𝟏
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
خواص التكامـــــل المحدد أوال Ⓘ :أذا كانت
,وكانت -
دالة مستمرة على - مثالً : ) ( ∫
فأن 𝟎
,
) (
𝟎
𝟐
𝟎
𝑥𝑑
𝟐
ألن ∶
∫
𝑥𝜖, 1 2-
2
0
𝑥
)𝑥(𝑓 )𝑎(
𝟏 𝟑
𝟎 > 𝑥𝑑 )𝟑( ∫
ألن ∶
3>0
𝑥𝜖, 2 3-
)𝑥(𝑓 )𝑏(
𝟐 𝟑
( ∫
𝟎 > 𝑥𝑑 )𝟏
ألن ∶
𝑥𝜖,2 3-
𝑥(
1) > 0
)𝑥(𝑓 )𝑐(
𝟐
② أذا كانت
دالة مستمرة على - مثالً : ) ( ∫
فأن 𝟎
,وكانت -
,
) (
𝟎
𝟐
𝟎 < 𝑥𝑑 )𝟐 ( ∫
ألن ∶
(𝑎) 𝑓(𝑥) < 0
𝑥𝜖,1 2-
𝟏 𝟏
∫
𝟎 < 𝑥𝑑
ألن ∶
1-
(𝑏) 𝑓(𝑥) < 0
𝑥𝜖, 2
𝟐
ثانٌا :أذا كانت
دالة مستمرة على -
𝒃 )𝒙(𝒇 𝒂∫ 𝑪
مثال ( /)9أذا كان 𝟖
)𝒙(𝒇𝑪
,وكان Cعدد حقٌقً ثابت فأن
𝒃 𝒂∫ 𝟓
) ( 𝟐∫ فأوجد
𝟓
) ( 𝟓 𝟐∫
الحل / 𝟎𝟒
276
)𝟖(𝟓
𝟓
) (
∫𝟓
𝟐
) (
𝟓
𝟓
∫ 𝟐
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
ثالثا :أذا كانت
𝟐
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
دالتٌن مستمرة على -
𝟏
𝒃
,فأن
𝒃
𝒂∫
𝟐
)𝟐
𝒂∫
𝟏
وٌمكننا تعمٌم هذه الخاصٌة على مجموع أي عدد محدد من الدوال المستمرة على - مثال (/)10
أذا كانت 𝟕𝟏
)
(𝟐
𝟑
,
𝟏∫
)
𝟓𝟏
(𝟏
𝟑
))
)
(𝟐
𝟏
,
فأوجد كال من :
𝟏∫
𝟑 (𝟏
𝒃
( 𝒂∫
𝟑 )) ( 𝟐
( ∫
) (𝟏 ( ∫ 𝟏
𝟏
الحل / 𝟑
32
17
15
)
(𝟐
2
17
15
)
(𝟐
𝟑
)
∫
(𝟏
مثال ( /)11أذا كانت
𝟐
𝟏
𝟑
)
∫
(𝟏
𝟑
))
∫
𝟏
𝟐
(𝟐
)
(𝟏
( ∫
𝟏
𝟑
𝟑
))
∫
𝟏
(𝟐
)
(𝟏
( ∫ 𝟏
𝟏
𝟐
فأوجد
) (
𝟑
) ( 𝟏∫
الحل / 𝟐
𝟐 𝟐
𝟐 ∫
10
رابعا :أذا كانت ) (
3
دالة مستمرة على -
) 𝟐
𝟑 ∫
𝟏
7
𝟐 𝟐
𝟑( ∫
𝟏
(4
)1
𝟏
)1
,وكانت )
(
𝟐 𝟏
(8
𝟐
𝟐 𝟏
,
مثال ( /)12أذا كانت 𝟖
𝟕
) ( 𝟑∫
,
𝟑
,
𝒃
𝑥𝑑)𝑥(𝒇 ∫
𝒄
𝟓
𝟏
𝒄
𝑥𝑑)𝑥(𝒇 ∫ ) ( 𝟏∫
) ( ∫
فأن : 𝒃
𝟑
𝟐
𝒂
𝑥𝑑)𝑥(𝒇 ∫ 𝒂
𝟕
فأوجد
) ( 𝟏∫
الحل / 𝟕
𝟑𝟏
𝟖
𝟓
) ( ∫ 𝟑
277
𝟑
) ( ∫ 𝟏
𝟕
) ( ∫ 𝟏
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
مثال ( /)13أذا كان | |
الحل /
) (
أوجد
𝟒 𝟑
) (
∫
دالة مستمرة على , 𝟑 𝟒-ولها لاعدتان هما : 𝟎 𝟎< 𝟒
𝟐
𝟎
مثال (/)14 الحل /
𝟏 أذا كان 𝟏<
الدالة
𝟏
𝟎 𝟐
𝟐
+
,
)
9
16
25 2
2
) (
فأوجد
) (
9 ]) 2
[
(
𝟑
[0
𝟓
) ( 𝟎∫ ( ألن معرفة 𝟑 )𝟏
𝟑
) 𝟏( 𝟐
𝟏
) 𝟏(
𝟑
{
) (
) (
∴ الدالة ∵ الدالة
مستمرة على كل من > 𝟏+ مستمرة على الفترة ,𝟎 𝟓- 𝟓
𝟖𝟐
𝟑
𝟏
𝟐-
𝟏
𝟓
) ( 𝟏∫
𝟑 𝟎∫ 𝟎𝟑,
=
𝟏
∵ ∴
𝟏
*
𝟏
𝟐( 𝟏∫
)𝟏
𝟏𝟑
* < 𝟏+
موجودة 𝟑
) (
) (
𝟏
𝟐
) 𝟏(
)(
𝟐(
) (
𝟑
𝟐
) (
∫
𝟑
16 2
مستمرة على الفترة ,𝟎 𝟓-وذلن ألنها مستمرة عند )𝟏
𝟏
𝟒
( ∫
𝟎
]0
2 𝟎
) ( ∫
*
𝟐
𝟑
𝟐 2 𝟑
𝟒
) (
𝟎-
278
𝟑,
𝟓 𝟏
) ( 𝟎∫ 𝟐
,
𝟏 𝟑,𝟎
) (
𝟓
𝟎∫ ∴
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
مثال /أذا كان 𝟏 𝟏< الحل /
الدالة
𝟐 𝟏
𝟐
𝟑{ 𝟔
فأوجد
) (
𝟑 𝟐
) (
∫ ( ألن
مستمرة على الفترة , 𝟐 𝟑-وذلن ألنها مستمرة عند )𝟏 معرفة 𝟓 𝟓
𝟏
𝟓
𝟐
) 𝟏( 𝟐 𝟐
) 𝟐
𝟐) 𝟏( 𝟑
) 𝟏(
𝟑(
) (
)𝟏
) (
{
𝟔(
𝟐
) 𝟏( ∴ الدالة ∵ الدالة
مستمرة على كل من > 𝟏+ مستمرة على الفترة , 𝟐 𝟑- ) 𝟐
𝟐
𝟑
𝟑( 𝟏∫
)𝟏
𝟒𝟑
𝟐𝟏
𝟐-
مثال /أذا كان 𝟑
| |
) (
𝟐𝟐
الحل /
𝟔𝟑,
) (
* < 𝟏+
𝟏
فأوجد
=
∵
𝟏
∴
𝟏
*
𝟑
𝟔(𝟐 ∫ 𝟏𝟒-
موجودة 𝟓
) (
) (
𝟏
) (
𝟏
)(
) ( 𝟏∫ 𝟑 𝟏
𝟐,
𝟐
𝟑
,
) ( 𝟏 𝟐
𝟐
𝟏 𝟐
) (
∫
𝟑 𝟐
∫ ∴
𝟑,
𝟒 𝟑
) (
∫
نفس طرٌمة أثبات الحل فً السؤال السابك 𝟎 𝟎< 𝟒
𝟑 + 𝟎
𝟎 𝟐
𝟐
𝟐
*
𝟕𝟔 𝟐
+ 𝟑
𝟑
𝟒
𝟐
𝟎𝟒
𝟑
𝟕𝟐 𝟐
279
𝟑*
)𝟑
𝟎
( ∫
)
𝟑( ∫
𝟎
]𝟎
)𝟐𝟏
𝟔𝟏 ([ 𝟐
2
) (
𝟑
𝟗 ]) 𝟐
𝟗 (
𝟒
) (
∫ 𝟑
𝟎[
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
خامسا: ) (
) ( ∫) (
∫
) (
𝟎
∫) (
مثالً : 9 2
𝟎
𝟑
9 2
𝟑
𝟐
+ 𝟑
𝟐
∫) (
*
𝟑
𝟑 𝟐
𝟐 𝟐
𝟑 ∫
𝟑 ∫) (
𝟐
19
27
8
3 2
,27
8-
تمارين)𝟏
𝟑
,
𝟒(
س /1أحسب كال من التكامالت التالٌة : 𝟎𝟏
𝟖
𝟐
)𝟒
𝟔(
𝟔(
)𝟒
)𝟒(𝟑 𝟐
𝟒+
𝟐
𝟏
𝟐
]
*
𝟒+
𝟐
𝟏 (
𝟒
𝟏 𝟐
𝟐𝟐𝟑 𝟓
𝟎𝟖 𝟐𝟒𝟐 𝟓
𝟒
𝟔𝟏
𝟏
𝟐𝟒𝟐 𝟓
𝟓
)𝟏
]𝟐
𝟏 𝟓
[
]𝟖𝟏
280
)𝟐
𝟑𝟒𝟐 𝟓
𝟐
𝟐
+
[
𝟐
𝟐 +
𝟐 𝟐 𝟐
𝟏
𝟏 𝟐
)𝟒(𝟑 * 𝟐
𝟏
𝟏
𝟐
𝟑*
𝟑( ∫ ) (
)𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
*
𝟏 𝟏 𝟐
+ 𝟏
)𝟏
𝟐
𝟐
( ∫) ( 𝟏
(
𝟑
[
𝟐
𝟑
𝟓 𝟐
𝟐
𝟓
*
) 𝟒
𝟒
( ∫) ( 𝟏
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝟐
| ∫) (
|𝟏
𝟎
𝟏 𝟏< 2
2
+
2
2
+
* 1 2
𝟏
]/
𝟐
.
|𝟏
𝟐
2
*
2
( ∫
)1
)
|𝟏
∫ (1
| ∫ 𝟎
1 2
1 ( 2
])1
)2
𝟐
. / 𝟐 [ 𝟐
𝟏 𝟏
2
|
(𝟎)+
]0
[(2
𝟎
𝟐)𝟎( * 𝟐
1 ) 2
[(1
𝟎
𝟐
+
𝟐
)
*
( ∫) ( 𝟐
𝟐 𝟐 𝟐
𝟐
𝟏
𝟖 مالحظة
)
)𝟏
𝟏
59 6
)
12
𝟑 5 𝟏
12
)𝟏
4
,
𝟐
( ∫ 18
+
27
𝟎-
()𝟏
54
𝟐
)2+
(
𝟏 𝟏
∫
4 2
*
8 3
)𝟐
𝟓
𝟑
3+
9 2
𝟑 𝟐 3
27 3
4
1
2
*
𝟒
2
𝟓
𝟐( ∫
15
5 3
5 3
5
8
281
5 3
3
5-
2
𝟑 3
2
3
𝟒
𝟑
,1
5 ] 3
12
𝟐
∫) (
*
𝟐
𝟏
4
2
+
*(
𝟑
𝟏 𝟏
∫
𝟑
5
10 3
(𝟑
𝟏
6
2
𝟖
𝟐
𝟐
16
]𝟏
[
𝟎,
(
𝟑 𝟐
)𝟒(
𝟐
𝟑
∫) ( 𝟏
[9
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
س /2أثبت أن الدالة ) ( 𝟔
) (
𝟏
) ( حٌث
لـكً نثبت أن ) (
نثبت أن ) (
هً دالة ممابلة للدالة ) f(xحٌث
حٌث
0𝟎 1
الحل /
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
ثم أحسب
0𝟎 1 𝟔
) ( 𝟔𝟎∫
دالة ممابلة للدالة ) (
0𝟎 1
مستمرة على الفترة
𝟔
1
𝟔
𝟎0
-
,
) (
) (
) (
) (
∴ ) (
مستمرة فً مجالها
∴ ) (
دالة ممابلة للدالة ) (
) (
𝟑 𝟔
𝟏 𝟐
𝟔
𝟎-
𝟏
,
𝟎
) (̅
]
𝟔
𝟔
) (
)𝟎(
[
) (
) (
𝟔
𝟔
∫
𝟎
س /3أوجد كال من التكامالت التالٌة : 𝟒
)𝟐
𝟒
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
*
𝟖-
𝟒
( ∫
𝟐
)𝟏
𝟐
()𝟐
𝟐+
𝟑 𝟐
𝟏 𝟒
𝟐)𝟏
( ∫
𝟏
()𝟐
𝟏
𝟒
𝟒𝟐
𝟒
( ∫ ) (
𝟒𝟔,
𝟒
𝟓 𝟔𝟑𝟏 𝟒
𝟓 𝟒
] 𝟐 𝟏
𝟏𝟒𝟏 𝟒
282
𝟐 𝟑 𝟐
𝟏
𝟒
𝟒
)𝟐
[
𝟑
𝟑
( ∫ 𝟏
𝟒𝟑
𝟐
𝟑 𝟐
𝟏 𝟒
𝟐𝟑
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝟏
| ∫) (
|𝟏
𝟏
𝟏 ) خارج الفترة( 𝟏 < 1
𝟐
𝟑
)𝟏
𝟐
( ∫
()𝟏
1
)1
)𝟏
𝟐
𝟐
]𝟐
𝟐
𝟖 𝟑
𝟗 𝟐
]𝟑
𝟒[ 𝟑𝟏𝟑 𝟐𝟏
)𝟒
()𝟏 𝟏
𝟐
)𝟏
𝟐
+
[
𝟏 . / ( 𝟐
𝟖𝟒
𝟑
𝟐
𝟑
𝟖 𝟑
𝟗 𝟐
𝟏𝟖 𝟒
𝟔𝟕 𝟓𝟏
𝟎𝟒 𝟎𝟑 𝟓𝟏
𝟔
𝟎
𝟖 ] 𝟑
𝟐
𝟐 𝟓
[
𝟐 2 𝟔
𝟑 س /4أذا كانت 𝟑< الحل /نبرهن أن الدالة ) (
) (
*
𝟑 . / 𝟐
𝟐
𝟒
𝟓 . / 𝟐
𝟓 . / 𝟐
) (
( ∫
𝟖 𝟑
𝟒
𝟖
𝟗 𝟐
𝟐𝟏
𝟏𝟖 𝟒
𝟏
𝟐
( √ ∫
√( √ ∫ ) (
)𝟐
𝟏 . / ) 𝟐
[
𝟎
𝟒
𝟒
𝟑 . / 𝟐
𝟏
( ∫ 𝟎
𝟒
𝟏∫
مستمرة على الفترة ,𝟏 𝟒-
𝟔
𝟏
𝟔𝟏,
𝟔-
𝟖𝟏,
𝟒 𝟑
𝟐
,
283
𝟑 𝟏
𝟔,
(
)𝟑(𝟐
𝟔
)(
)𝟑(
) 𝟐(
)𝟑(𝟐 𝟐
) الدالة مستمرة عندما 𝟑
𝟗𝟏
𝟑
𝟐
√𝟒
𝟐
فأوجد
𝟐
𝟕
𝟐
𝟎
𝟏
𝟐𝟏
𝟐
)𝟏
) الدالة معرفة عندما 𝟑
𝟗-
𝟑
∫) (
𝟑
𝟏
∫
𝟏 𝟑 . / 𝟐
𝟎
∫
𝟏
)𝟒
𝟒
𝟏 𝟏
𝟐
𝟎
]
𝟐
(
|𝟏
| ∫
𝟒
𝟒
𝟐
()𝟏
𝟑
𝟏
𝟐 𝟑
)1
( ∫
*
2
∫
𝟒𝟓 𝟑𝟒𝟐 𝟐𝟏
𝟒
+
(𝟑
()𝟏
𝟏𝟖 𝟒
𝟗
𝟐𝟑
𝟏 . / 𝟐
1 2
(
2
1 ( 2
)1
𝟏
{ 𝟏
|
|𝟏
) (
) (
𝟔
(
{
)𝟔(
) (
𝟔
) (
)𝟑(
𝟒
𝟑
𝟐 ∫
𝟔 ∫
𝟑
) (
𝟏
) (
)𝟑(
)𝟑(
) 𝟒
) (
∫ 𝟏
(
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل 𝟐
س /5أذا كان 𝟎 𝟎< الحل /نبرهن أن الدالة ) (
𝟑{ 𝟐
) (
𝟑 𝟏
) (
فأوجد
مستمرة على الفترة , 𝟏 𝟑-وذلن بأثبات أنها مستمرة عند )𝟎 ) الدالة معرفة عندما 𝟎
𝟏
𝟐
(
𝟐
) الدالة مستمرة عندما 𝟎
𝟔𝟐
𝟕𝟐
𝟏
𝟕𝟐,
𝟏-
𝟎,
𝟑 𝟎
𝟑
,
𝟎 𝟏
)𝟐
𝟑(
)𝟎(𝟐
) 𝟐(
(
𝟔
𝟎
𝟐
,
𝟐)𝟎(𝟑
𝟎
)𝟎(
) (
{
) (
)𝟎(
)
(
𝟑
) (
𝟐 ∫
𝟎
) (
)𝟎(
𝟎
𝟑 ∫
)(
𝟎
)𝟎(
𝟑 𝟐
(
𝟎
𝟐)𝟎(𝟑
𝟎
𝟏
𝟎-
∫
وزاري / 2014د1
𝟏
∫ 𝟏
******************************************************************
التكامـــل الغٌــر المحدد المستمرة على الفترة - ,دالة ممابلة Fفأنه ٌوجد عدد ال نهائً من الدوال الممابلة للدالة fوكل أذا كانت للدالة منها ٌساوي F + Cحٌث ٌ Cمثل عدد ثابت والفرق بٌن أكثر من أثنٌن منها ٌساوي عدد ثابت تســـــمى مجموعــــة الدوال الممابلـــــة على الصورة F+Cبالتكامل غٌر المحدد للدالةة 𝒇 المسةتمرة علةى الفتةرة ,وٌرمز لها بالرمز 𝒙𝒅)𝒙(𝒇 ∫ أذا كان رمز متغٌر الدالة هو 𝒙 ٌ صطلح على كتابة التكامل غٌر المحدد بالصورة 𝐑 𝑪 𝑪 )𝒙(𝑭 𝒙𝒅)𝒙(𝒇 ∫ عملٌة التكامل غٌر المحدد هو العملٌة المعاكسة لعملٌة التفاضل أي أحداهما تنهً دور األخرى مثال (/)1
أوجد التكامل للدوال التالٌة : 𝒄
𝒙
𝟐𝒙
𝒄
𝟑𝒙 𝟏 𝒙
𝒄
𝟐𝒙 𝟐
𝒙
𝟐
𝟏
𝒄
𝒙 𝐧𝐢𝐬
𝒄
𝒄
284
𝒙
𝟏 𝒙𝒄𝒆𝒔
)𝟒
𝟑𝒙 𝟑
𝒙𝒅)𝟏
𝟑
𝒙 𝐧𝐢𝐬
𝟐𝒙 𝟐
𝒙𝟐
𝒙𝒅) 𝟐 𝒙
𝟐𝒙𝟑(∫ )𝒂(
𝒙 𝐬𝐨𝐜(∫ )𝒃(
𝒙𝒅)𝒙 𝐧𝐚𝐭 𝒙 𝐜𝐞𝐬
𝟏 𝒙𝟐(𝐬𝐨𝐜 𝟐
𝒙𝒅 )𝟒
𝒙(∫ )𝒄(
𝒙𝟐(𝐧𝐢𝐬 ∫ )𝒅(
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
مثال (/)2
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
جد التكامالت لكل مما ٌأتً : 𝟑
)𝟑
𝒄 𝟔
𝒙𝒅)𝟒
𝒙𝟑()𝟓) (2
𝒄
𝟕)𝟓
𝒙𝟖
𝟏 𝟐
𝟐𝒙𝟑(
𝒙𝟖
𝟔
𝒙𝒅)𝟒
𝒙𝟑( )𝟓
𝟕)𝟓
𝒄
𝟒𝟏
𝒙𝒅)𝒙𝟐( )𝟑
𝟑
𝟐𝒙𝟑(∫ ) (
1
𝟐𝒙 (
𝟐
𝒙𝟖
𝟐𝒙𝟑(
𝒙𝟖 𝟕
𝑥 𝟕𝒏𝒂𝒕 𝟕
𝒄
)𝒂(
𝟐𝒙𝟑(∫ )𝒃(
𝟏 𝟐
𝒙 𝟓𝐧𝐢𝐬 𝟓
𝒄
𝟐𝒙(∫
𝒙𝒅 𝒙 𝐬𝐨𝐜 𝒙 𝟒𝐧𝐢𝐬 ∫ )𝒄(
𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝐜𝐞𝐬 𝑥 𝟔𝒏𝒂𝒕 ∫ )𝒅(
بعض العاللات فً الدوال المثلثٌة
𝜽𝟐𝒏𝒊𝒔𝟐 𝟏
𝟏
𝜽 𝟐𝒔𝒐𝒄𝟐
𝜽 𝟐𝒏𝒊𝒔 )𝜽 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝟏
𝜽 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝜽 𝟐𝒏𝒊𝒔 )𝟏(
𝜽 𝟐𝒏𝒊𝒔
𝜽 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝜽𝟐𝒔𝒐𝒄 )𝟐(
𝟏(
𝜽𝟐𝒔𝒐𝒄 )𝟑(
𝜽 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝜽𝟐𝒔𝒐𝒄 )𝟒(
)𝜽𝟐𝒔𝒐𝒄
𝟏 𝟏( 𝟐
𝜽 𝟐𝒏𝒊𝒔 )𝟓(
)𝜽𝟐𝒔𝒐𝒄
𝟏 𝟏( 𝟐
𝜽 𝟐𝒔𝒐𝒄 )𝟔(
)𝜽 𝟐𝒏𝒊𝒔 𝟏(
𝟏
𝜽 𝟐𝒏𝒂𝒕
𝜽 𝟐 𝐜𝐞𝐬
)𝟕(
𝑩)𝒙-
𝑨(𝒏𝒊𝒔
𝒙)𝑩
𝟏 𝑨(𝒏𝒊𝒔, 𝟐
𝐱𝑩𝒔𝒐𝒄 𝒙𝑨𝒏𝒊𝒔 )𝟖(
𝑩)𝒙-
𝑨(𝒔𝒐𝒄
𝒙)𝑩
𝟏 𝑨(𝒔𝒐𝒄, 𝟐
𝐱𝑩𝒔𝒐𝒄 𝒙𝑨𝒔𝒐𝒄 )𝟗(
𝑩)𝒙-
𝑨(𝒔𝒐𝒄
𝒙)𝑩
𝟏 𝑨(𝒔𝒐𝒄, 𝟐
𝒙𝑩𝒏𝒊𝒔 𝒙𝑨𝒏𝒊𝒔 )𝟎𝟏(
𝜃𝑠𝒐𝒄 𝜽𝒏𝒊𝒔𝟐
285
𝜽𝟐𝒏𝒊𝒔 )𝟏𝟏(
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
تكامالت الدوال المثلثٌة التربٌعٌة 𝒄
𝜽𝒏𝒂𝒕
𝒄
𝒄
𝜽
𝜽𝒏𝒂𝒕
𝒄
𝜽
𝜽𝒕𝒐𝒄
𝜽𝒅 ∫
𝜽𝒅 ∫
𝜽𝒅 𝜽 𝟐 𝐜𝐞𝐬 ∫
𝜽𝒅) 𝟏
𝜽 𝟐 𝐜𝐞𝐬(∫
𝜽𝒅 𝜽 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫ )𝟑(
𝜽𝒅 𝜽 𝟐 𝐜𝐬𝐜 ∫
𝜽𝒅) 𝟏
𝜽 𝟐 𝐜𝐬𝐜(∫
𝜽𝒅 𝜽 𝟐𝒕𝒐𝒄 ∫ )𝟒(
∫
𝜽𝒅 𝜽 𝟐𝐧𝐢𝐬 ∫ )𝟓(
𝒄
𝟏 )𝜽𝟐 𝐧𝐢𝐬 𝟐
𝟏 𝜽( 𝟐
𝟏 )𝜽𝒅)𝟐(𝜽𝟐 𝐬𝐨𝐜 ∫ 𝟐
𝒄
𝟏 )𝜽𝟐 𝐧𝐢𝐬 𝟐
𝟏 𝜽( 𝟐
𝟏 )𝜽𝒅)𝟐(𝜽𝟐 𝐬𝐨𝐜 ∫ 𝟐
𝜽𝟐 𝐬𝐨𝐜 𝟏 𝜽𝒅 𝜽𝒅 ∫( 𝟐 𝟐 𝟏 𝑐 𝜽𝟐 𝐧𝐢𝐬 𝟒
أمثلة ( من الكتاب صفحة 185وصفحة ) 186
𝒙𝒅 𝒙 𝐬𝐨𝐜 𝒙 𝐧𝐢𝐬 𝟐 𝒙𝒅 𝟐)𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒄
)𝒙𝒏𝒊𝒔
𝒙𝒏𝒊𝒔(
𝒙𝒔𝒐𝒄(∓
𝒄
∫
𝟏 𝟑
)𝒙𝒏𝒊𝒔
𝒙𝒅 𝟑𝒙 𝐧𝐢𝐬 𝟐𝒙𝟑 ∫
𝒙 𝟐𝐬𝐨𝐜
𝒙𝒅 𝒙 𝟐 𝐬𝐨𝐜 𝒙𝒔𝒐𝒄 (
𝟏
𝟏 𝜽 𝟐 𝟏
𝒙 𝟐𝐧𝐢𝐬
∫
𝜽𝒅 𝜽 𝟐𝒔𝒐𝒄 ∫ )𝟔(
∫
𝟏 𝜽 𝟐
𝒙𝒅 𝒙𝟑 𝐧𝐢𝐬 𝟗 ∫ )𝟏(
𝒙𝒅 𝒙𝟑 𝐧𝐢𝐬 𝟑 ∫ 𝟑
𝒙𝟑 𝒔𝒐𝒄𝟑
𝟑𝒙 𝒔𝒐𝒄
𝒄
𝜽𝒅 𝜽 𝟐𝒄𝒔𝒄 ∫ )𝟐(
𝜽𝒕𝒐𝒄
𝜽𝟐 𝐬𝐨𝐜 𝟏 𝜽𝒅 𝜽𝒅 ∫( 𝟐 𝟐 𝟏 𝒄 𝜽𝟐 𝐧𝐢𝐬 𝟒
𝒄
𝜽𝒅 𝜽 𝟐 𝐜𝐞𝐬 ∫ )𝟏(
𝟏 𝟑
𝒙𝒅 𝟑𝒙 𝐧𝐢𝐬 𝟐𝒙 ∫ )𝟐(
𝒙𝒅 𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔
𝒙 𝐬𝐨𝐜 𝒙 𝐧𝐢𝐬 𝟐
𝒙 𝟐𝐧𝐢𝐬
∫
𝒙𝒅 )𝒙𝒔𝒐𝒄
𝒙𝒏𝒊𝒔(
∫
𝟏√ ∫ )𝟑(
وزاري / 2012د3 𝒙𝒅 )𝒙𝟐 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄𝟐
𝟏 𝟒
𝟏( ∫
𝟐
𝒙𝒅 𝒄𝒐𝒔𝟐𝒙)+
𝟏 𝟏( * ∫ 𝟐
𝟐
𝟐
𝒙𝒅 ∫ .𝒔𝒊𝒏 𝒙/
𝟏 𝟏 𝟏 𝒙𝒅 ) 𝒙𝟐 𝟐𝒔𝒐𝒄 ∫ 𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄𝟐 ∫ (∫ 1 𝒙𝒅 ))𝒙𝟒𝒔𝒐𝒄 𝟏( ∫ 𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄𝟐 ∫ (∫ 1 𝟒 𝟒 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟑 𝟏 𝟏 𝒙 𝒄 )𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔 𝒄 )𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔 𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 𝒙( 𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 𝒙 ( 𝟒 𝟐 𝟖 𝟐 𝟒 𝟖 𝟑 𝟏 𝟏 𝒙 )𝒙𝟐(𝒏𝒊𝒔 𝒄 )𝒙𝟒(𝒏𝒊𝒔 𝟖 𝟒 𝟐𝟑
286
𝟒
𝒙𝒅 𝒙 𝒏𝒊𝒔 ∫ )(4
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝟖)𝐱 𝐬𝐨𝐜 𝟖
𝒄
𝟏 𝒙 𝟐𝐧𝐚𝐭 𝟐
𝒄
𝒙
𝒄
𝟐
𝐧𝐚𝐭
𝒙 𝟑𝐧𝐢𝐬 𝟑
𝐱𝐝)𝐱𝐧𝐢𝐬
𝟐
𝒙𝒅 𝒙 𝐜𝐞𝐬 𝒙
𝟐
𝒙𝒅)𝒙 𝟐𝐧𝐢𝐬 𝒄
𝐱𝐧𝐢𝐬(
𝟏(𝒙 𝐬𝐨𝐜 ∫
𝐱 𝐬𝐨𝐜( 𝟕)𝐱 𝐬𝐨𝐜
𝟑
𝒙 𝒏𝒊𝒔
𝒙 𝟐𝐧𝐚𝐭 𝒙𝒅 𝒙 𝟑𝐧𝐚𝐭
𝐧𝐚𝐭 ∫
𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝐬𝐨𝐜 𝒙 𝐬𝐨𝐜 ∫ 𝟐
𝒙𝒅 𝒙 𝐬𝐨𝐜 𝒙 𝐧𝐢𝐬 ∫
𝐱𝐧𝐢𝐬(∫ )𝟓(
𝟏
∫ )𝟔(
𝒙𝒅𝒙 𝟑𝐬𝐨𝐜 ∫ )𝟕(
𝒙𝒅𝒙𝐬𝐨𝐜 ∫
وزاري / 2014د2 𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕 𝟐
𝒄
𝒙𝒅
)𝒙 𝟐𝐜𝐞𝐬(
𝒙𝒏𝒂𝒕 𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝒙𝒏𝒂𝒕 ∫
وزاري / 2014د3 𝒙𝒅)𝐱𝟑𝐧𝐢𝐬(𝐱𝟑 𝟑𝐬𝐨𝐜 ∫ 𝟐 𝐱𝟑 𝟒𝐬𝐨𝐜
𝐜
𝟏
𝐜
𝟔
وزاري / 2016د1
𝒙𝒅 𝐱𝟑 𝟐𝐬𝐨𝐜 )𝐱𝟑𝐬𝐨𝐜 𝐱𝟑𝐧𝐢𝐬𝟐(∫
𝐱𝟑 𝟒𝐬𝐨𝐜 𝟐 ) ( 𝟑 𝟒
∫ )𝟖(
𝒙𝒅 𝐱𝟑 𝟐𝐬𝐨𝐜 𝐱𝟔𝐧𝐢𝐬 ∫ )𝟗(
𝟐 𝒙𝒅)𝟑 ()𝐱𝟑𝐧𝐢𝐬(𝐱𝟑 𝟑𝐬𝐨𝐜 ∫ 𝟑
مالحظة 𝟒)𝐱𝟑 𝐬𝐨𝐜(
𝟒
𝐱𝟑 𝐬𝐨𝐜
وزاري / 2014د1 𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄(
)𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄()𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 𝒙𝒅 𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄 𝟏 𝟏 𝒙𝒅)𝟐( )𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 𝒄 𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄 𝟐 𝟐
𝒄
𝟏 𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔 𝟐𝟏
𝒄
𝒄
𝒙
𝒙
𝟏 𝒙 𝟐
𝒄
𝟏 𝒙𝟓𝒕𝒐𝒄 𝟓
𝟏 𝒙𝟕 𝒏𝒂𝒕 𝟕
∫
𝒙𝟐 𝟐𝒏𝒊𝒔 𝒙𝒅 𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔
𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄(∫
𝟏 )𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔 𝟔
𝟏 𝒙( 𝟐
𝒙𝟐 𝟐𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄 𝟏 𝟐
∫
𝒙𝟒𝒔𝒐𝒄 𝒙𝒅 𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄
𝒙𝒅)𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔
∫ )𝟎𝟏(
𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄(∫
𝟏 𝟐
𝟏( * ∫
𝐱𝐝 𝐱𝟑 𝟐𝐧𝐢𝐬 ∫ )𝟏𝟏(
𝒙𝒅 ∫
𝒙𝒅 𝒙𝟓 𝟐𝒄𝒔𝒄 ∫
𝒙𝒅)𝟏
𝒙𝟓 𝟐𝒄𝒔𝒄(∫
𝒙𝒅 𝒙𝟓 𝟐𝒕𝒐𝒄 ∫ )𝟐𝟏(
𝒙𝒅 ∫
𝒙𝒅 𝒙𝟕 𝟐𝒄𝒆𝒔 ∫
𝐱𝐝)𝟏
𝒙𝟕 𝟐𝒄𝒆𝒔(∫
𝐱𝐝 𝐱𝟕 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫ )𝟑𝟏(
287
𝐱𝐝 𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙)+
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
أمثلة أضافٌة محلولة مثال /أوجد التكامالت األتٌة : 𝟒 𝟑
𝟏 𝟐𝒙𝟑( 𝟖
) (
𝒄
𝟒 𝟑
) (
)𝟏
𝒄
)𝒙 𝟐( 𝟔𝒏𝒂𝒕 𝟐𝟏
𝒄
𝒄
)𝟏 𝟐𝒙𝟑( 𝟏 ) ( 𝟒 𝟔 ) ( 𝟑
)𝒙 𝟒( 𝟒𝐬𝐨𝐜 𝟔𝟏
𝒄
𝒄
)𝒙𝟐( 𝟒𝐧𝐢𝐬 𝟖
𝒄
𝟑 . / 𝟐
𝟑)𝟗 𝟐𝒙( 𝟑
)𝟗 𝟑
𝒄
𝒙𝒅)𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔
𝟏( 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙 𝟑𝒏𝒊𝒔 ∫
𝟒 . / 𝟑
𝒙𝒅
𝟏 . / 𝟑 )𝟐
𝒙𝒅
𝟏 . / 𝟐 )𝟗
𝒙 𝟒𝒏𝒊𝒔 𝟒
𝒄 𝒄
𝟑 )𝟏 𝒙(
)𝒙𝟓 𝟏
𝒄
𝟐𝒙 𝟐 )𝟏 𝒙(𝟑 𝟏 (
𝟐𝒙
𝒙( ∫
𝒙𝒅
𝟐
𝒙𝒅 𝟐)𝟓
𝒙(∫ 𝟑
288
𝒙𝒅
𝟑
𝒙( 𝟑 𝟐)𝟏
𝒙(
𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙 𝒏𝒊𝒔( ∫
𝒙𝒅 𝒙 𝒏𝒂𝒕 𝒙 𝒄𝒆𝒔 ∫ )𝟖(
𝒙𝒅 𝟑𝒙𝟐
)𝒙(∫
∫
𝟒 . / 𝟑
)𝟐
𝒙𝒅 𝟓𝟐 ∫
𝟐𝒙 𝒙 ∫ )𝟔(
𝟓
𝒙𝒅 𝒙𝒏𝒂𝒕 𝒙 𝒄𝒆𝒔 𝒙 𝒄𝒆𝒔 ∫
𝟑
∫ )𝟓(
𝒙𝒅 𝒙 𝟑 𝐬𝐨𝐜 𝒙 𝟑𝒏𝒊𝒔 ∫ )𝟕(
𝒙𝒅)𝒙𝐬𝒐𝒄 𝒙 𝒏𝒊𝒔
𝟒
𝟐𝒙( )𝒙(∫
)𝟏
𝒙𝒅 𝟗
𝟓
𝒙𝒅 𝟐
)𝒙𝟐( 𝟑𝐧𝐢𝐬 𝒙𝒅 )𝒙𝟐(𝒄𝒆𝒔
𝟐𝒙( 𝒙 ∫
𝒄
𝒙𝒅)𝟓
𝒙𝒅 ) 𝟑𝒙( 𝟓𝐬𝐨𝐜 𝟐𝒙 ∫ )𝟒(
𝒙𝒅 𝒙 𝟐 𝐬𝐨𝐜 𝒙 𝐬𝒐𝒄 𝒙 𝟑𝒏𝒊𝒔 ∫
𝒙 𝟔𝒏𝒊𝒔 𝟔
𝒙 𝟓𝒄𝒆𝒔 𝟓
(
𝒙𝒅)𝒙𝟒(𝒏𝒊𝒔 )𝒙 𝟒( 𝟑𝐬𝐨𝐜 ∫ )𝟑(
)𝒙𝟐( 𝟑𝐧𝐢𝐬 ∫ 𝒙𝒅 𝟏 ( ) )𝒙𝟐(𝒔𝒐𝒄
𝐧𝐢𝐬 ∫
𝟑
𝒙 ∫ )𝟏(
𝒙𝒅 )𝒙𝟐( 𝟐𝐜𝐞𝐬 )𝒙 𝟐( 𝟓𝒏𝒂𝒕 ∫ )𝟐(
) (
)𝒙𝟐( 𝟑
𝟐𝒙𝟑
𝒙𝒅 𝟏
) 𝟑𝒙( 𝟔𝐬𝐨𝐜 𝟏 𝟑 𝟔
𝒄
)𝟗 𝟐𝒙( 𝟏 ) ( 𝟑 𝟐 . / 𝟐
𝒄
𝒄
𝒄
𝒄
)𝒙 𝟒( 𝟒𝐬𝐨𝐜 𝟏 ) 𝟒 𝟒
𝒙𝒅)𝒙𝟐(𝒔𝒐𝒄
𝒄
)𝟐 𝟐𝒙( 𝟏 ) ( 𝟒 𝟐 .𝟑/
𝒄
)𝒙 𝟐( 𝟔𝒏𝒂𝒕 𝟏 𝟐 𝟔
𝟑 . / 𝟐
𝟐𝒙(
𝟐𝒙𝟑( 𝒙 ∫
) (
) 𝟑𝒙 ( 𝟔𝐬𝐨𝐜 𝟖𝟏
𝒄 )𝒙𝟐( 𝟒𝐧𝐢𝐬 𝟏 ) ( 𝟐 𝟒
𝒙𝒅
𝟏 ) ( 𝟑 )𝟏
𝒙𝒅
)𝟏
𝟓𝒙
𝟑
∫ )𝟗(
𝟑 𝟐𝒙( ) ( 𝟖 𝒙𝟎𝟏 𝟑 𝒙𝟐
𝟐𝒙 𝟐𝒙(
∫ )𝟎𝟏( ∫ )𝟏𝟏(
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل 𝟒
𝟑𝒙 𝟏).𝟓/ 𝟒 . / 𝟓
𝒄
𝟑𝒙( 𝟏 ) ( 𝟑
𝟏 / 𝟓
𝒙𝒅
.
)𝟏
𝟑𝒙()𝟏
𝒙𝟑
𝟐𝒙( ∫ 𝟒
𝟏).𝟓/
𝒄 𝒄
𝒙 𝟒 𝐬𝐨𝐜 𝟒
)𝟐 (
𝒙𝒅 𝒙 𝟑 𝐬𝐨𝐜 𝒙𝒏𝒊𝒔 ∫ 𝟐
𝒙𝒅
𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄𝟗 𝟐
𝑐
𝒄
𝟏 𝒙𝟑
𝟏
𝟓
𝟑𝒙√
∫ )𝟐𝟏(
𝟑 𝟓 𝒙( 𝟐𝟏
𝒙𝟑
𝒙𝒅 𝒙 𝟐 𝐬𝐨𝐜 𝒙 𝒔𝒐𝒄 𝒙 𝒏𝒊𝒔𝟐 ∫
𝟐𝒙
𝒙𝒅 𝒙 𝟐 𝐬𝐨𝐜 𝒙𝟐 𝐧𝐢𝐬 ∫ )𝟑𝟏(
𝟏 𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄 ) 𝟐
𝒙𝒅 𝒙𝟐 𝐧𝐢𝐬𝟗 ∫ )𝟒𝟏(
(𝟗
مثال /أوجد التكامالت للدوال األتٌة : 𝒄
𝒙
𝟏 𝒙𝟑𝒏𝒂𝒕 𝟑
𝒄
𝒙
𝟏 𝒙𝟕𝒕𝒐𝒄 𝟕
𝒙𝒅 ∫
𝒙𝒅 𝒙𝟑 𝟐𝒄𝒆𝒔 ∫
𝐱𝐝)𝟏
𝒙𝟑 𝟐𝒄𝒆𝒔(∫
𝒙𝒅 𝒙𝟑 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫ )𝟏(
𝒙𝒅 𝒙𝟕 𝟐𝒄𝒔𝒄 ∫
𝐱𝐝)𝟏
𝒙𝟕 𝟐𝒄𝒔𝒄(∫
𝒙𝒅 𝒙𝟕 𝟐𝒕𝒐𝒄 ∫ )𝟐(
𝒙𝒅 ∫
𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒔𝒐𝒄 𝒙𝒏𝒊𝒔 ∫ 𝟐 2 𝒙 𝟑𝒔𝒐𝒄 𝟑
𝐜 𝒙𝒅 )𝟏 𝒄
𝒙
𝒙𝒄𝒔𝒄𝟐
𝒙𝒅 𝟐)𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒄
𝒙 𝟑𝒕𝒐𝒄
𝒙𝒏𝒊𝒔( ∫
)𝒙𝒏𝒊𝒔
𝒄
𝒄
𝟏 𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔 𝟐𝟏
𝒙 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝟏
𝟐
𝒙𝒔𝒐𝒄 (
𝒙 𝟔𝒄𝒔𝒄
𝟐
𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔 ∫ 𝒙𝒅 )𝒙𝒔𝒐𝒄
𝒙𝒅 )𝒙𝟒𝒔𝒐𝒄
𝒙𝒅)𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄
𝟏(∫
𝟏 𝒙 𝟐
289
𝒄
𝟏
𝟐
𝒙𝒕𝒐𝒄 𝒙𝒄𝒔𝒄(∫ )𝟒(
𝟐
𝒙𝒅 𝒙 𝒕𝒐𝒄 𝒙 𝒄𝒔𝒄 ∫
𝒙𝒅 ) 𝒙𝒄𝒔𝒄𝒙𝒕𝒐𝒄( 𝒙 𝒄𝒔𝒄 ∫
𝒙𝟐 𝟐𝒏𝒊𝒔(∫
𝟏 𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔 𝟖
𝒙𝒅 𝟐)𝟏
𝟓
𝟔
𝒙𝒅)𝒙𝟑 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝟏 𝒙 𝟐
𝒙𝒅 𝒙𝒕𝒐𝒄 𝒙𝒄𝒔𝒄 ∫ 𝟐
)𝒙𝒏𝒊𝒔
𝒄
𝒙𝒅 )𝒙𝟔𝒔𝒐𝒄
𝒙 𝟐𝒕𝒐𝒄 𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄(∫
𝒙𝒅 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙𝒏𝒊𝒔𝟐
𝒙𝒔𝒐𝒄(∓
𝟏(∫
𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒔𝒐𝒄 𝒙𝒏𝒊𝒔 ∫ 𝟐
𝒙𝒕𝒐𝒄 𝒙𝒄𝒔𝒄𝟐
𝒙𝒅 ∫
𝟑
𝒙𝒅 𝒙 𝒔𝒐𝒄 )𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙𝒏𝒊𝒔𝟐(∫
𝒙𝒅 𝒙 𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 ∫ )𝟑(
𝒙𝒅 𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 𝒙𝒏𝒊𝒔( ∫
𝟔
𝒙𝒅 𝒙𝒕𝒐𝒄 𝒙 𝒄𝒔𝒄 ∫ )𝟔(
𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔()𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄
𝒙𝒅 𝒙𝟑 𝟐𝒔𝒐𝒄 ∫
𝟏√ ∫ )𝟓(
𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔(∫ )𝟕(
𝒙𝒅 𝒙𝟐 𝟐𝒏𝒊𝒔 ∫
𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝒙( )𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔 𝒙( )𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔 𝟐 𝟒 𝟐 𝟔 𝟏 𝟏 𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔 𝒄 𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔 𝟖 𝟐𝟏
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝟏 𝟏 𝒙𝒅 ∫,𝒔𝒊𝒏(𝟓 𝟏)𝒙 𝒔𝒊𝒏(𝟓 𝟏)𝒙- 𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔∫, 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝒄 )𝒙𝟔𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟒𝒔𝒐𝒄 𝒄 𝒙𝟔𝒔𝒐𝒄 𝟔 𝟖 𝟐𝟏
𝒙𝒅 𝒔𝒊𝒏𝟔𝒙-
𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔 𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫
𝒙
𝒄
𝒙𝒅 )𝟏
𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔 ( 𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫ 𝒙 𝟑𝒏𝒂𝒕
𝒙𝒏𝒂𝒕
𝟑
𝒙𝒅 𝟐)𝟏
𝒄
𝒙𝒏𝒂𝒕
𝒙 𝟑𝒏𝒂𝒕 𝟑
𝒙 𝟓𝒏𝒂𝒕 𝟓
𝟐
𝟐
𝒙𝒅 )𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔(𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔 ∫ 𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕 𝟐
𝒙𝒅 )𝟏
𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔 𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫ 𝟐
𝒙𝒅 𝒙 𝟒𝒏𝒂𝒕 ∫ )𝟗(
𝒙𝒅 𝒙 𝒄𝒆𝒔 𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫
𝟐
𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕( 𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔 ∫
𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔 ∫
𝟏 𝟏 ( 𝒙𝟒𝒔𝒐𝒄 𝟒 𝟐
𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕 𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫
𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔(∫
𝒙𝒅 )𝟏
𝒙𝒅 )𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟓𝒏𝒊𝒔(∫ )𝟖(
𝒙𝒅 𝒙 𝟔𝒄𝒆𝒔 ∫ )𝟎𝟏(
𝒙 𝟒𝒏𝒂𝒕( 𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔 ∫
𝒙𝒅 )𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔 𝒙 𝟒𝒏𝒂𝒕( ∫
واجب ∶ حل السؤال)𝟎𝟏( ولكن أجعل األس)𝟒( بدل من)𝟔( ) نقسم البسط على المقام ثم نكامل(
𝒄
𝟏 𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔 𝟖
𝒄
𝟏 𝒙 𝟐
𝒄
𝟐𝒙 𝟐
𝒙
𝟏 )𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔 𝟒
𝒄
𝟏 𝟑𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝟑 𝟏 𝟐𝒙 𝐜𝐞𝐬 𝟐
𝟏 𝒙𝐝)𝟐( 𝟐𝒙 𝒏𝒂𝒕 𝟐𝒙 𝐜𝐞𝐬 𝐱 ∫ 𝟐
𝐱𝐝 𝟐𝒙 𝒏𝒂𝒕 𝟐𝒙 𝐜𝐞𝐬 𝐱 ∫ )𝟒𝟏(
𝒄
𝒄
𝑥8
𝒄
𝟑𝒙 2 𝟑 𝒙
𝟐𝒙 𝟐
𝐱𝐝 𝒄𝒐𝒔𝟒𝒙)+
𝟏 𝟐
𝟏( * ∫
𝐱𝐝 𝐱𝟐 𝟐𝐬𝐨𝐜 ∫ )𝟐𝟏(
𝟏 𝟐 𝒙𝐝 𝟑𝒙𝒕𝒐𝒄 𝟑𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝒙)𝟑( ∫ 𝟑
𝟏 𝒙𝟕 𝐭𝐨𝐜 𝟕
𝒄
𝟐
𝒙𝒅 )𝟏
𝟏 𝒙( 𝟐
𝒙
𝒙(∫
𝐱𝐝 𝟑𝒙𝒕𝒐𝒄 𝟑𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝟐𝒙 ∫ )𝟑𝟏(
𝒄
𝒙𝒅
𝟑𝒙 𝟑
𝟐
𝟏 𝟒𝒙 𝟓𝒙 𝟑 ∫ )𝟏𝟏( 𝒙𝒅 𝒙 𝟏 𝒙
)4
𝒙2 𝟑𝒙 𝟑
𝒙3
𝟐𝒙 𝟐
𝒙𝒅 )3
𝟐𝒙()2)(𝑥 2 𝑥 2 𝟒𝒙 𝟒
𝒙𝒅 )8
𝒙𝒅 )1
𝑥
𝑥(∫
𝑥(
𝟐
𝟏 𝐱𝐝)𝟕( 𝐱𝟕 𝟐𝐜𝐬𝐜 ∫ 𝟕
∫
𝒙2
𝟐𝒙(∫
𝒙𝒅
𝒙𝒅
𝑥4
𝒙𝒅
290
)3
𝟐𝒙()4 𝑥 2
)4
𝟑
𝒙(∫
)1
𝑥()3 𝑥 3
𝒙𝒅 )4
𝑥 𝟐𝒙()1 𝑥 1
𝑥( 𝟐𝒙(
𝟐
∫
∫
𝒙()2
𝑥(
∫
𝐱𝐝 𝐱𝟕 𝟐𝐜𝐬𝐜 ∫ )𝟓𝟏(
𝒙𝟐 9 𝒙𝒅 𝟑 𝒙
∫ )𝟔𝟏(
𝟒𝒙 𝒙
∫ )𝟕𝟏(
16 𝒙𝒅 𝟐 𝑥(∫
𝒙𝟑 1 𝒙𝒅 𝒙 1
∫ )𝟖𝟏(
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝒄
1 (𝒙𝟑 𝟓)2 × 1 3 2
𝒄
𝒙 𝟗 𝟒 𝐭𝐨𝐜 𝟏 × 𝟗 𝟒
𝒙𝒅
2
)𝟓
1 𝟑𝒙( 𝟐𝒙)∫(3 3
𝒙𝒅
2
)𝟓
𝟑𝒙( 𝟐
𝒙𝒅
𝒙∫
𝒄 𝟏 𝐱𝐝)𝟗 ( 𝒙 𝟗 𝟐 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝟗 𝟑 𝐭𝐨𝐜 ∫ 𝟗 𝒄 𝒄
𝟓
𝟐
𝟐𝒙 𝟑𝒙√
𝟓 𝟑𝒙
∫ )𝟗𝟏(
2 3
𝟑
𝐱𝐝 𝒙 𝟗 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝟗 𝐭𝐨𝐜 ∫ )𝟎𝟐(
𝟏 𝒙𝟗 𝒔𝒐𝒄 𝟗
𝟏 𝐱𝐝 )𝟗( 𝒙 𝟗 𝐧𝐢𝐬 ∫ 𝟗
𝐱𝐝 𝒙 𝟗 𝐧𝐢𝐬 ∫ )𝟏𝟐(
𝟏 𝒙𝟕 𝒔𝒐𝒄 𝟕
𝟏 𝐱𝐝 )𝟕( 𝒙 𝟕 𝐬𝐨𝐜 ∫ 𝟕
𝐱𝐝 𝒙 𝟕 𝒔𝒐𝒄 ∫ )𝟐𝟐(
وزاري / 2012د2 𝐱𝐝𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄) 𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝒕𝒐𝒄
𝐱𝐝 𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝐜𝐬𝐜 𝒙 𝒕𝒐𝒄 ∫
(∫
𝒄 𝐱𝐝 𝒙𝟑 𝟒𝒄𝒆𝒔 𝒙𝟑 𝐜𝐞𝐬 𝒙 𝟑 𝒏𝒂𝒕 ∫
𝐜
𝟏 𝒙𝟑 𝟓𝒄𝒆𝒔 𝟓𝟏
مثال :جد معادلة المنحنً الذي مٌله /
𝟐
𝟏 𝟐
𝐜
𝒙𝟑 𝟓𝒄𝒆𝒔 𝟏 × 𝟑 𝟓
𝐱𝐝 𝒙 𝟑𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝒕𝒐𝒄 ∫ )𝟑𝟐(
𝟏 𝒙 𝟑𝒄𝒔𝒄 𝟑 𝐱𝐝 𝒙𝟑 𝟓𝒄𝒆𝒔 𝒙𝟑 𝒏𝒂𝒕 ∫ )𝟒𝟐(
𝟏 𝐱𝐝 𝒙𝟑 𝟒𝒄𝒆𝒔) 𝒙𝟑 𝐜𝐞𝐬 𝒙 𝟑 𝒏𝒂𝒕 (𝟑 ∫ 𝟑
𝟐 .وٌمر بالنمطة )(0 , 1
الحل / ) نعوض النقطة)𝟏 𝟎((
𝟑
معادلة المنحنً
𝟏 𝟔
𝟐
𝟏
291
)
𝟑
𝟏 𝟔
𝟐
𝟐
𝟏 𝟐
∫
𝟐( ∫
𝟏
)المٌل(∫
𝟎
𝟎
𝟏
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل 𝟐
مثال :جد معادلة المنحنً الذي مٌله )
𝟑( وٌمر بالنمطة )(0 , 1
الحل / 𝟑 𝟑
) نعوض النقطة)𝟏 𝟎((
𝟑
𝟑
)
معادلة المنحنً
مثال :جد معادلة المنحنً الذي مٌله )𝟗
𝟐
𝟔
𝟐
𝟑(∫
∫
𝟑
𝟐
)المٌل(∫
𝟐
𝟏
𝟏
𝟑( والمنحنً ٌمتلن نهاٌة عظمى محلٌة تساوي )(15
الحل / 𝟎
𝟐
𝟑
)𝟑 (
𝟐
⇒
𝟗
𝟎
𝟐
𝟔
) نجعل 𝟎
𝟑 𝟏
𝟗
( 𝟎
𝟑
𝟔 )𝟏
𝟐
𝟑
()𝟑
(
النمطة )𝟓𝟏 𝟏 ( نهاٌة عظمى محلٌة
) نعوض النقطة)𝟓𝟏 𝟏 (( معادلة المنحنً
مثال :جد معادلة المنحنً 𝟔 /
𝟗 𝟎𝟏
𝟐
𝟗
𝟑
𝟑 𝟐
)𝟗
𝟑
𝟔
𝟐
𝟑
𝟑(∫
∫
𝟎𝟏
)المٌل(∫ 𝟗
𝟑
𝟓𝟏
𝟏
.والمنحنً ٌمتلن نمطة حرجة عند )(-1,4
الحل / 𝟑
𝟎
𝟐
𝟑
) نجعل 𝟎
) نعوض النقطة)𝟒 𝟏 (( معادلة المنحنً
عندما 𝟏 𝟑 𝟐
292
(
𝟑
)𝟑 𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
𝟑
𝟑(∫
) 𝟔(∫ ∫
𝟐
∫ )المٌل(∫ 𝟑
𝟏
𝟒
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
مثال :جد معادلة المنحنً الذي مٌله )
𝟑 مماسا له عندما 𝟐
𝟐( والمستمٌم 𝟕
الحل / Ⓘنعوض لٌمة ) (xفً معادلة المستمٌم الستخراج لٌمة ) (yثم أٌجاد نمطة التماس نقطة التماس )𝟏
𝟐(
𝟏
)𝟐(𝟑
𝟕
𝟑
𝟕
② نشتك معادلة المستمٌم إلٌجاد المٌل أي بمعنى أخر المشتمة األولى
𝟑 ③ نجد لٌمة المجاهٌل فً معادلة مٌل المنحنً حٌث )𝟑 معادلة مٌل المنحنً
𝟏
𝟐
𝟑
𝟕
𝟑
𝟕
( 𝟏
𝟑
)𝟐(𝟐
𝟒
𝟐
𝟑
④ نكامل معادلة مٌل المنحنً ثم نجد لٌمة ثابت التكامل ) (Cفٌتم الحصول على معادلة المنحنً المطلوبة ) نعوض النقطة)1
𝟐
((2
معادلة المنحنً
𝟑
𝟐
)𝟏
𝟐(∫ 𝟑
∫
)المٌل(∫ 𝟐
𝟒
𝟏
مالحظات : ال تكامل مٌل منحنً وفٌه ثابت مجهول مثل ) (Cاو ) (Pحتى تجد لٌمة المجهول . ألٌجاد معادلة منحنً دالة ٌفضل أن تجد أوال نمطة كاملة من معلومات السؤال ألستخدمها فً أٌجاد ثوابت التكامل المجهولة
293
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝟒(
تمارين)𝟐 جد تكامالت كل مما ٌأتً ضمن مجال الدالة : 𝒄
𝟑𝒙𝟒 𝟑
𝒙𝟐𝟏
)𝟐𝟏 𝟐𝒙𝟒( 𝟐𝒙 𝐱𝐝 𝟐𝒙
𝐱𝐝
∫
𝟒𝒙𝟒(
) 𝟐𝒙𝟐𝟏
𝟐𝒙
𝟕
)نوفر المشتقة(
√𝟓 (√𝒙)/
𝒙𝒅
)𝒙√(
𝟖 𝟖
𝒄
𝒙𝒅
1
) 𝒙𝟓√
𝟑(
)𝒙𝒏𝒊𝒔
𝟏()𝒙𝒏𝒊𝒔 𝒙𝒏𝒊𝒔 𝟏
𝟓𝟑√ 𝟒
𝒄
𝒄
𝒙 𝒄𝒔𝒄
𝟏 𝒙 𝒏𝒊𝒔
𝐜
حل أخر : 𝒄
𝒄
𝟏(𝒙 𝐬𝐨𝐜 𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔 𝟐 𝒙
𝟕
∫
𝟏 𝟕√
𝟑𝟐 . ) ( 𝟓√ 𝟕√
∫
𝒙𝒅 )𝒙𝒏𝒊𝒔 𝒙𝒔𝒐𝒄
𝒙𝒏𝒊𝒔
√𝟓 (√𝒙)/
𝒙𝒅
)𝒙√( 𝟕√
𝒙𝒅
√𝟓 (√𝒙)/
𝒄
𝟓 . / 𝟑
)𝟓
𝟏
𝒏𝒊𝒔
𝒙𝒅
𝟓 . / 𝟑
)𝟓 𝟓 .𝟑/
𝒙𝒅 )𝒙𝒏𝒊𝒔 𝒙 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝒙𝒅 )𝒙𝒔𝒐𝒄( 𝒙
𝟒
∫
∫
𝒙𝒔𝒐𝒄(∫
)𝒙𝟓√
𝒙𝒅
𝒙𝟕√
∫ )𝟐(
𝟐 𝟑√𝟓 . ( ∫) ( ) 𝟐 𝟓√ 𝟕√
𝒙 𝟐𝒔𝒐𝒄 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙𝒅 𝒙𝒏𝒊𝒔 𝟏
𝒙 𝟑 𝐬𝐨𝐜 𝒙𝒅 𝒙𝒏𝒊𝒔 𝟏
∫
𝒙𝒅 )𝒙𝒏𝒊𝒔
𝟐
𝒏𝒊𝒔 ∫
𝟏 𝒙𝒅 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔
𝒙𝒔𝒐𝒄 𝟏 ∫ 𝒙𝒅 𝒏𝒊𝒔 𝒙 𝒏𝒊𝒔
𝟏 𝟐𝒙𝟑( 𝒙)𝟔(∫ 𝟔
)𝟓
𝒙(
𝒙𝒏𝒊𝒔( ∫ 𝒄
𝟕
𝟑(
𝟏
)𝒙√(
∫ )𝟑(
𝟏(𝒙 𝐬𝐨𝐜 ∫
𝒙𝒅
𝐱𝐝
𝟐 . / 𝟑 )𝟓
𝒙(∫
𝒙𝒅 )𝒙 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝟒
𝟐
𝒙𝟑( 𝒙 ∫
)𝟓
𝐱𝐝 𝟐)𝟓
𝟏( 𝒙𝒏𝒊𝒔 ∫
𝒙(
𝟑
∫
𝒙
𝒙𝒅
𝟒)𝟓
𝒙𝟎𝟏
𝐱𝐝 𝟓𝟐
𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔 𝒙𝒏𝒊𝒔 ∫
𝒙 𝟑𝒔𝒐𝒄 𝟑
𝒙𝒔𝒐𝒄
𝒙
𝟏√ 𝒏𝒊𝒔 𝟐
𝒙 𝟏√𝒔𝒐𝒄 𝟏 ) 𝐱𝐝 𝟐 𝒙 𝟏√
294
𝒙𝒅 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄 ∫
𝟐𝒙𝟑(
∫ )𝟓(
𝟏 𝟑)𝟓 𝟐𝒙𝟑( 𝟖𝟏
𝒙𝒅 )𝒙𝒏𝒊𝒔 ( 𝒙 𝟐𝒔𝒐𝒄 ∫
𝒄
∫
𝒙𝒅 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄 ∫ )𝟒(
𝟏 ∫ 𝒙𝒅 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔
𝒄
𝟑 𝒙( 𝟓
∫
وزاري / 2013د1
𝒙𝒅 𝒙 𝒕𝒐𝒄 𝒙 𝒄𝒔𝒄 ∫
𝒄
𝟑.
𝟕
)𝒙 𝟐𝐧𝐢𝐬 𝟏(𝒙 𝐬𝐨𝐜 𝒙𝒅 𝒙𝒏𝒊𝒔 𝟏
𝟏
)𝟓 𝟐𝒙𝟑( 𝟏 𝟔 𝟑
∫
𝟏
𝟖
𝐜
𝒙 𝒄𝒔𝒄 𝟑
√𝟓 (√𝒙)/
𝒄
𝟑.
𝐱𝐝
𝟗
𝟐𝒙𝟐𝟏 𝟐𝒙
)𝟗
𝟒𝒙𝟒(
𝐱𝐝
𝟐)𝟑 𝟐𝒙
𝟗
𝟐𝒙(2
∫ )(1
𝟐𝒙
𝟑
∫ )𝟔(
𝒙𝒅 𝒙 𝟑𝒏𝒊𝒔 ∫ )𝟕(
𝒙𝒅𝒙𝒏𝒊𝒔 ∫
( ∫ )𝟐 (
𝒙𝒅
𝟏√𝒔𝒐𝒄
𝒙 𝒙
𝟏√
∫ )𝟖(
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
/لو كان المثال.
𝒙𝒅 )𝒙√ 𝒙𝒅
𝒄
𝟏 𝟏 . / 𝟐 . / ) 𝟐𝒙
𝒄
𝒙
𝟏√ 𝒔𝒐𝒄 𝟐 𝟓 𝟗 𝒙 𝟓
𝟑𝒙𝟐
𝟑
𝟏( )𝒙√ ( ) 𝟒 𝒙( ∫
𝟏 / 𝟏( ] 𝟐
𝟑 𝟏 . / 𝟐 . / ) 𝟐𝒙
𝒄
𝒙
.
𝒙[ ∫
𝒙𝒅 )𝒙√
𝒄
𝟐 ) 𝟒
𝟑
𝒙( ∫
𝟏 𝟏 . / 𝟐 . / ) 𝟐𝒙
𝒙𝒅
𝟐
𝒙
𝟐
𝟒𝒙𝟗(∫
𝒙𝒅 )𝒙√
𝒙
𝒙𝒅
𝒙√
𝒙
∫ )𝟎𝟏(
𝟒
𝟑𝒙√
𝟑 𝟏 ) 𝟒𝒙( ) 𝟒
𝟏(
𝟏√
𝟐𝒙𝟑(∫ )𝟗(
𝒙𝒅 )𝟏
𝟏(𝒙√ ) 𝟒 𝒙( ∫
𝟏(
𝟑 . / 𝟐
𝟐𝒙𝟔
𝒙𝒅)𝟏
𝒙𝒅 )𝒙√
𝟏(
𝟑 𝟏 . / 𝟐 . / ) 𝟐𝒙
𝟒 𝟏( 𝟑
𝒙 𝟏√𝒏𝒊𝒔 𝟏 ) 𝐱𝐝 𝟐 𝒙 𝟏√
( ∫ )𝟐 (
𝒙𝒅
𝟏√𝒏𝒊𝒔
∫
𝒙( ∫
𝟏 . 𝟏/ [ ∫ )𝟐 ( 𝟏( ] 𝟐 𝒙 𝟐 𝟒 𝟏( 𝟑
𝟑
)𝒙√
𝒄
/لو كان المثال.
𝒙𝒅
𝟏 . / 𝟐
𝒄
)𝟏 𝟑 . / 𝟐
𝟑
𝒙𝒅 )𝟏
𝒙√( )𝒙√ ( ) 𝟒 𝒙( ∫
.
𝟐 ) 𝟒
𝟏 𝟏 / . / 𝟐 𝒙( ] 𝟐
𝒙[ ∫
𝒙√(
𝒙𝒅 )𝟏 𝟑 . / 𝟐
)𝟏
𝟒 .𝟏/ 𝟐 𝒙( 𝟑
𝒙( ∫
𝟏 . / 𝟐 𝒙(
)𝟏
𝒄
𝒙𝒅 )𝟏
𝟐
𝟑 .𝟐/
𝒙𝒅
𝟑
𝒙√(𝒙√ ) 𝟒 𝒙( ∫
𝒙𝒅 )𝟏 𝟏 . / 𝟐
)𝟏
𝒙𝒅
𝟑 𝟏 ) 𝟒𝒙( ) 𝟒
𝒙√(
𝒙√
𝒙 𝟒
𝟑𝒙√
∫
𝒙( ∫
𝟏 𝟏 𝟏 (𝟐) ∫ ( ) [𝒙. 𝟐 / ] (𝒙.𝟐/ 𝟐
𝟒 𝒙√( 𝟑
𝟑
)𝟏
𝒄
وزاري / 2013د2 𝒙𝒅 𝒙𝟑 𝟐𝒔𝒐𝒄 ∫
𝒙𝒅 𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄 ∫ 𝟐
𝒙𝒅 ∫
𝒙𝒅 )𝒙𝟑 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄𝟐
𝟏(∫
𝒙𝒅 𝟐)𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄
𝟏(∫ )𝟏𝟏(
𝟏 𝟐 𝟏 𝒙 𝒙𝒅 𝒙𝟑 𝟐𝒔𝒐𝒄 ∫ 𝒙𝟑𝒏𝒊𝒔 ) ( 𝟐 𝒙𝒅 ])𝒙𝟔𝒔𝒐𝒄 𝟏( [ ∫ 𝒙𝟑𝒏𝒊𝒔 𝟑 𝟑 𝟐 𝟐 𝟏 𝟏 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝒙 ( ∫ 𝒙𝟑𝒏𝒊𝒔 𝒙 𝒙𝒅 )𝒙𝟔𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟑𝒏𝒊𝒔 𝒙 𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔 ) ( 𝟑 𝟐 𝟐 𝟑 𝟐 𝟔 𝟐 𝟑 𝟐 𝟏 𝒙 𝒙𝟑𝒏𝒊𝒔 𝒄 𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔 𝟐 𝟑 𝟐𝟏 𝒙
𝒄
𝒄
𝟏 𝒙𝟒𝒏𝒂𝒕 𝟒
𝒄
𝟏 𝒙𝟐𝒕𝒐𝒄 𝟐 𝒙
𝟏 𝒙𝟖𝒏𝒂𝒕 𝟖
295
𝟏 𝒙𝒅 𝒙𝟒 𝟐𝒄𝒆𝒔 )𝟒(∫ ) ( 𝟒
𝒙𝒅 𝒙𝟒 𝟐𝒄𝒆𝒔 ∫ )𝟐𝟏(
𝒙𝒅 𝒙𝟐 𝟐𝒄𝒔𝒄 )𝟐(∫ ) (
𝒙𝒅 𝒙𝟐 𝟐𝒄𝒔𝒄 ∫ )𝟑𝟏(
𝟏 𝟐
𝒙𝒅 )𝟏
𝒙𝟖 𝟐𝒄𝒆𝒔(∫
𝒙𝒅 𝒙𝟖 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫ )𝟒𝟏(
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
وزاري / 2016د1 𝟏 𝟏 𝒙𝒅 𝟐)𝒙𝟐 𝒕𝒐𝒄( 𝟐 𝒙𝟐 𝒏𝒊𝒔
𝟏
𝒙𝒅 𝟐)𝒙𝟐 𝒕𝒐𝒄( 𝒙𝟐 𝟐𝒄𝒔𝒄 ∫
𝟏 𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔 𝟖
𝒄 𝒄
𝒙𝒅 𝒙𝟔 𝟐𝒔𝒐𝒄
𝟏 𝒙𝟔𝟏𝒏𝒊𝒔 𝟐𝟑 𝒙𝟔𝒔𝒐𝒄𝟐
𝟏 𝟏 𝟒
𝟐)𝒙𝟐 𝒕𝒐𝒄( 𝟏 𝟑 𝟐 .𝟐/
𝒄
𝟏 𝒙 𝟐
𝟏 𝒙 𝟐
𝒄
𝟏 )𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔 𝟒
𝟏 )𝒙𝟔𝟏𝒏𝒊𝒔 𝟔𝟏
𝒄
𝟐
∫
∫
𝟑
𝟑 𝟏 𝟐)𝒙𝟐 𝒕𝒐𝒄( 𝟑
𝒄
𝟏
𝟐)𝒙𝟐 𝒕𝒐𝒄( ∫ 𝒙𝒅 𝒙𝟐 𝟐𝒏𝒊𝒔
𝒙𝒅 )𝒄𝒐𝒔𝟔𝒙-
𝟏 𝟐 𝟏 ]𝒙𝒅 )𝒙𝟐𝟏𝒔𝒐𝒄 𝟏( ∫ 𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔 𝒙[ 𝟒 𝟔 𝟐 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝒙 𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔 𝒙 𝒄 𝒙𝟐𝟏 𝒏𝒊𝒔 𝟒 𝟐𝟏 𝟖 𝟔𝟗
𝒙𝟐 𝒕𝒐𝒄√ ∫ )𝟓𝟏( 𝒙𝒅 𝒙𝟐 𝟐𝒔𝒐𝒄 𝟏
𝟏 𝟏 𝒙𝒅 𝟐)𝒙𝟐 𝒕𝒐𝒄( 𝒙𝟐 𝟐𝒄𝒔𝒄)𝟐 (∫ 𝟐
𝟏 𝒙( 𝟐 𝟏 𝒙( 𝟐 𝟏 𝟏∫ ( , 𝟐
)𝒙𝟒𝒔𝒐𝒄
𝟏 𝟏(∫ 𝟐
𝒙𝒅 𝒙𝟐 𝟐𝒔𝒐𝒄 ∫ )𝟔𝟏(
)𝒙𝟔𝟏𝒔𝒐𝒄
𝟏 𝟏(∫ 𝟐
𝒙𝒅 𝒙𝟖 𝟐𝒏𝒊𝒔 ∫ )𝟕𝟏(
𝒙𝒅 )𝒙𝟑 𝟐𝒔𝒐𝒄(∫
𝒙𝒅 𝒙𝟑 𝟒𝒔𝒐𝒄 ∫ )𝟖𝟏(
𝟐
𝟏 )𝒙𝒅 𝒙𝟔 𝟐𝒔𝒐𝒄 ∫ 𝒙𝒅 𝒙𝟔𝒔𝒐𝒄𝟐 ∫ 𝒙𝒅 ∫( 𝟒 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔 𝒙( 𝒄 ])𝒙𝟐𝟏 𝒏𝒊𝒔 𝒙[ 𝟒 𝟑 𝟐 𝟐𝟏 𝟑 𝟏 𝟏 𝒙 𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔 𝑐 𝒙𝟐𝟏 𝒏𝒊𝒔 𝟖 𝟐𝟏 𝟔𝟗
******************************************************************
أمثلة أضافٌة محلولة مثال /جد التكامالت التالٌة: 𝒄
𝟏 𝒙𝟒𝒄𝒆𝒔 𝟐 𝒄
𝒂 𝒙 ∫ 0𝐬𝐞𝐜 𝟐 . / 𝟐
𝒙𝒅 𝟏1
𝐜
𝟐 𝟑)𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄( 𝟗
𝐜
𝒙√𝒔𝒐𝒄𝟐
𝒙√𝒏𝒊𝒔 𝟏 ) ( ∫ )𝟐( 𝒙𝒅 𝒙√ 𝟐
𝒂 𝒙 𝟐𝒔𝒊𝒏𝟐 .𝟐/ 𝒂 ∫ 𝒙𝒅 𝒙 𝒅𝒙 ∫ 𝐭𝐚𝐧𝟐 . / 𝒂 𝟐 𝒙 𝟐𝒄𝒐𝒔𝟐 . / 𝟐 𝟐 𝒂 𝒄 𝒙 𝒙 𝒕𝒂𝒏 . / 𝒂 𝟐
𝒙𝒅𝒙𝟑𝒏𝒊𝒔 𝟐)𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄( ∫ 𝟐 𝟑)𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄( 𝟐 × 𝟑 𝟑
𝒄
𝟏 𝒙𝟒𝒄𝒆𝒔 ) ( 𝟐 𝟒
𝒙𝒅 𝒙𝟒 𝒏𝒂𝒕 𝒙𝟒 𝒄𝒆𝒔𝟐 ∫ )(1
𝒙𝒅 𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄)𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟑𝒏𝒊𝒔𝟐(∫ 𝟐 𝒙𝒅)𝒙𝟑𝒏𝒊𝒔 ∫ (𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙)𝟐 ( 3 𝟑
296
𝒙𝒅
𝒙√𝒏𝒊𝒔 𝒙√
𝒙𝒂𝒔𝒐𝒄 𝒙𝒅 𝒙𝒂𝒏𝒊𝒔
∫ )𝟐(
𝟏 ∫ )𝟑( 𝟏
𝒙𝒅 𝒙𝟑𝒔𝒐𝒄𝒙𝟔𝒏𝒊𝒔 ∫ )𝟒(
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل 𝟏 . / 𝟐
𝒙𝒅 )𝒙𝟒𝒔𝒐𝒄𝟒(
)𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔 𝒄
𝟏 𝒙𝒅 ) ( 𝒏𝒂𝒕 𝟐
𝒄
𝟑 . / 𝟐
1 𝟏(∫ 4
𝟏 . / 𝟐
𝒙𝒅 𝒙𝟒𝒔𝒐𝒄 𝟏(
)𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔 𝟔
)𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔
𝟑 . / 𝟐
𝟏 𝒙𝒅 . / 𝟐 ∫ 𝟏 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐 . / 𝟐
𝟏 𝟏 𝒙𝒅𝒙 ) ( 𝟐𝒄𝒆𝒔 ) ( ∫ 𝟐 𝟐 𝟏
𝒙𝒅 𝒙𝟒𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔
𝟏( 𝟏 ) ( 𝟒
)𝒙𝟒𝒏𝒊𝒔 𝟑 . / 𝟐
𝒄
𝟏(∫
𝟏 𝒙𝒅 . / 𝟐
𝐱𝐝
𝟏 𝟏( . / 𝟐
)𝒙𝒔𝒐𝒄
∫
𝒙𝒅 ∫ )𝟔( 𝒙𝒅 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝟏
𝟏
𝒙𝐝)𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙𝒏𝒊𝒔𝟐( 𝟐 )𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔
𝒙𝐝)𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔( 𝟐 )𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔
𝟏(∫
𝟏√ ∫ )𝟓(
𝒙𝒅
𝟏(∫
𝒙𝟐𝒏𝒊𝒔 𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔
∫ )𝟕(
𝟏
𝟏
𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔
𝒄
𝒙𝐝)𝒄𝒔𝒄 𝒙𝒕𝒐𝒄
𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄(∫
𝟏 𝐱𝐝 ) ( 𝐬𝐨𝐜 𝒙
𝟏 𝒙
) ( 𝒏𝒊𝒔𝟑
𝐜 𝟏 𝐱𝐝 ) 𝒙𝒏𝒊𝒔
𝟏 𝟐
𝒄 𝟒
𝟒 𝒙𝒏𝒊𝒔 (∫ 𝒙𝒅 ) 𝒙𝒔𝒐𝒄
𝒙𝒅
𝟏 0 1 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝟏 0 1 𝒏𝒊𝒔
𝟒 𝒙𝒄𝒆𝒔 ∫. 𝒙𝒅 / 𝒙𝒄𝒔𝒄
∫
𝟏 𝟐𝒙
𝒙𝒔𝒐𝒄 𝐱𝐝 ) 𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔
𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄( ∫
𝒙𝒕𝒐𝒄
𝒄
𝟐)𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔 𝟏 . / 𝟐
𝟏(
𝟑 𝟏 𝒙𝒅 ) ( 𝒔𝒐𝒄 𝟐 𝒙 𝒙
∫ )𝟑 ( 𝟏 (∫ 𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔
𝒙𝒄𝒔𝒄
𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒏𝒊𝒔
𝟏
∫ )𝟖(
∫ )𝟗(
𝒙𝒕𝒐𝒄 𝟐)𝟏 𝒙𝒅 𝟐)𝟏
𝟐)𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔( ∫ 𝒙𝒅 𝟐)𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄(
𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕( ∫ )𝟎𝟏( 𝒙 𝟐𝒕𝒐𝒄(
𝒙𝒅 𝒙 𝟒𝒏𝒂𝒕 ∫
ثم نكمل الحل كما فً المثال ) (9فً الصفحة )(36 𝟒 . / 𝟑
)𝒙𝟕 𝟒 .𝟑/
𝒄
𝟓( 𝟏
𝒙𝒅 𝒙
𝟕
𝟏 . / 𝟑
𝟓(
)𝒙𝟕 𝒙
𝟏
𝟕𝒙 .𝟑/ 𝒙𝒅 𝒙 ) 𝟑𝒙
∫
𝒙𝒅
𝟐
𝟒
𝒙( / 𝟓
)𝟓 𝐜
𝒙
𝟕∫. 𝒙
𝟕 𝟓 𝒙 . / 𝟓 𝒙 𝟓𝟐 𝒙𝒅
𝟏 𝟑
) (
)𝟏
𝒙𝒅 𝒄
𝟐
)𝟓
𝟓 𝒙 𝟕 .𝒙 𝟓/ 𝟓 𝟓 𝟏 𝟐
𝟐𝒙()𝒙𝟐(∫ ) (
𝒙𝒅
𝟏 𝟑
𝒙𝒅 𝟐)𝟓
𝟓 (∫ 𝟒 . / 𝟑
)𝒙𝟕
𝒄
𝟒𝒙 𝒙( ∫𝟕 𝟒)𝟓 𝒙(
𝟏
𝟕 .𝟑/ 𝒙𝒅 𝒙 ) 𝟐𝒙
𝟒𝒙𝟕 𝒙( 𝟒)𝟓
𝒙(
𝟓 𝟑 ( ∫ )𝟏𝟏( 𝒙
𝟑 𝟓( 𝟖𝟐 ∫
𝟒𝒙𝟕 𝒙𝒅 𝟔)𝟓 𝒙(
∫ )𝟐𝟏(
𝟕 𝟒 𝒙 𝟏 ( ) ∫(𝟓) . [ / 𝒙𝒅 ] 𝟐)𝟓 𝒙( 𝟓 𝟓 𝒙
) (
)𝟏
𝟐𝒙()𝒙(∫
𝒄
297
𝟒 𝟑
) (
)𝟏
𝒙𝒅 𝟏 𝟐 𝟑 𝒙( 𝟖
𝟑
𝟐𝒙 )𝒙(∫ 𝟒 𝟑
) (
𝒄
𝒙𝒅 𝟑𝒙
)𝟏 𝟐𝒙( 𝟏 ) ( 𝟒 𝟐 ) ( 𝟑
𝟓𝒙
𝟑
∫ )𝟑𝟏(
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل 𝟏 . / 𝟐
)𝟑
𝒙𝒅
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
𝟏 𝟐𝒙𝟓(𝒙)𝟎𝟏(∫ ) ( 𝟎𝟏
𝒙𝒅 𝟑 𝟐
𝒄
𝒙𝒅 𝟎𝟏)𝟑
𝟕)𝟑
1 𝒙𝟓( 𝟓𝟑
1 𝟑𝒙( 𝟐𝒙∫ 3 3
𝒙𝒅 𝟎𝟏)𝟑 𝒄
𝒙𝒅
𝟏 . / 𝟐
)𝟏
𝟕 𝟒𝒙( 𝟑𝒙)𝟒(∫ ) ( 𝟒
)𝟑
𝟒 𝟏 .𝟑/ . / ) 𝟐 𝒙𝟕
𝟕)𝟑 𝒙𝟓( 𝟏 ) ( 𝟓 𝟕
𝐱𝐝 𝟔)𝟑
𝟑 𝟏 𝒙( 𝟑𝟑
𝒙𝒅 𝟏 𝑐
𝟒 𝟏 . / 𝟑 . / ) 𝟐 𝒙𝟕
𝒄
𝟑 . / 𝟐
𝟒 .𝟑/
𝒙𝟓(∫
𝒙𝒅 𝟓) 𝟐𝟑- 𝒄
𝟒𝒙 𝟑𝒙𝟕 ∫ )𝟏
𝒄
)𝟑 𝟐𝒙𝟓( 𝟏 ) ( 𝟑 𝟎𝟏 ) ( 𝟐
𝟏 𝟏 . / 𝟏 𝟑 . / . / 𝒙𝒅 𝟐 )𝒙( ) 𝟐 𝒙𝟕
𝟑 𝟓( 𝟒𝟏
𝟑𝒙( 𝟐𝒙 ∫
𝟏𝟏)𝟑
𝟑 𝟐
𝟐𝒙𝟓 𝒙 ∫
) (
1 𝟐𝒙𝟓( 𝟓𝟏
𝟐 𝟕 𝟓( ] [ ∫ ] [ 𝟕 𝟐
𝒄
𝒄
)𝟑
) (
𝒄
𝟏 𝟏 . / 𝟏 𝟑 . / . / 𝒙𝒅 𝟐 )𝒙( ) 𝟐 𝒙𝟕
𝟏 . / 𝟐
𝟐𝒙𝟓(𝒙 ∫
𝒙𝒅 𝟑
𝟒 𝟕 𝒙( 𝟔
298
𝒙𝒅 𝟐𝒙𝟑
𝟒𝒙𝟓 ∫ )𝟒𝟏(
𝟔 𝟑 𝐱𝐝 )] 𝒙
𝟑𝒙∫ 𝒙𝟐 (,
𝟓( ∫
𝒙√𝟕 𝒙𝒅 𝒙√
𝟓
𝟑
∫ )𝟓𝟏(
𝟓( 𝟐 ] [ 𝟕
𝟓[ 𝒙( ∫
𝒙𝒅 𝟓)𝟗
𝟔 𝟑 𝒙𝒅 ) 𝒙
𝟓( 𝟔𝒙 ∫ )𝟔𝟏(
𝟑𝒙𝟔
𝟔𝒙( 𝟐𝒙 ∫ )𝟕𝟏(
𝟏𝟏)𝟑 𝟑𝒙( 𝟏 ) ( 𝟑 𝟏𝟏
𝒙𝒅 )𝟏
𝟒𝒙( 𝟐𝒙 𝟐𝒙𝟕 ∫ 𝟑 . / 𝟐
𝒄
)𝟏 𝟒𝒙( 𝟕 ) ( 𝟑 𝟒 . / 𝟐
𝒙𝒅 𝟐𝒙
𝟔𝒙 𝟐𝒙𝟕 ∫ )𝟖𝟏(
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
اللوغارٌتم الطبٌعـــً لةةةةةةةةتكن uدالةةةةةةةةة موجبةةةةةةةةة لابلةةةةةةةةة لالشةةةةةةةةتماق بالنسةةةةةةةةبة الةةةةةةةةى xفةةةةةةةةأن مشةةةةةةةةتمة اللوغةةةةةةةةارٌتم الطبٌعةةةةةةةةً للدالةةةةةةةةة uهةةةةةةةةً /
.
مشتقة الدالة
)
الدالة
(
وعلٌه فأن
𝟏
| |
∫ شرط أن تكون الدالة ) ( موجبةة وتسةتخدم هةذه
الدالة فً توفٌر المشتمة األولى فً بعض الدوال التً ٌصعب اشتمالها وهً تمتلن مجموعة من الخصائص الخاصة مثل : ) مثال ( /)1اذا كان )𝟒
𝟐
)
(
فأوجد
𝟑(
𝟔 𝟐
𝟒
مثال ( /)2جد
𝜃𝑑 𝜃 𝜃
(
𝟎
𝟐
)𝟒
𝟑
𝟑(
𝟏∫ 𝜃
𝟏
𝜃 𝜃 |𝜃
𝟏|
𝜃
| |
𝜃
𝜃𝑑 𝜃 𝜃
∫
𝟏
مثال : /جد مشتمة الدوال التالٌة : ) 𝟐
(
𝟐
)𝟐
𝟐
)
(
/
.
𝟏
)
(
) )
(
( /
)
(
.
)
299
(
(
∫
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
مثال /جد التكامل لكل مما ٌأتً : 𝟐)
(
∫
∫
)
)𝟐( 𝟏 𝟐 ∫) ( 𝟐 1
∫
𝟐 |1
𝟐
𝟏 𝟐
|
(
1
𝟏
| | |
|
| 𝟑
𝟏|
∫
∫
∫
∫
|
∫
∫
| 𝟏 𝟑
𝟐
𝟑 𝟑
𝟐
𝟑
𝟑 𝟏 ∫ 𝟏 𝟑
𝟑
𝟐
𝟏
∫
دالة اللوغارٌتم الطبٌعً هةةةً دالةةةة عكسةةةٌة لدالةةةة اللوغةةةارٌتم الطبٌعةةةً بمعنةةةى أخةةةر هنةةةان بعةةةض الةةةدوال عنةةةدما نشةةةتمها أو الدالةةةة األسةةةٌة نكاملهةةةا نةةةدخل علٌهةةةا الدالةةةة األسةةةٌة ثةةةم عنةةةدما ننتهةةةً نمةةةوم بألغةةةاط الدالةةةة األسةةةٌة عةةةن طرٌةةةك أدخةةةال دالةةةة اللوغةةةارٌتم الطبٌعً الهدف من هذه العملٌة هً لتغٌٌر شكل الدالة المراد العمل علٌها لةةةذا فةةةأن مشةةةتمة اي دالةةةة أسةةةٌة مرفوعةةةة للمةةةوة uهةةةً
)
)
(
)مشتقة االس()الدالة(
(∫ وهً تمتلن مجموعة من الخصائص الخاصة مثل
𝟏
𝟏
مثال ( /)3لتكن
)
𝟎
(
𝟖𝟐𝟖𝟏𝟕 𝟐
فجد )
مثال ( /)4جد
)
(
وعلٌةةةه فةةةأن
𝟐
∫
𝟐
(
وزاري / 2013د3 𝟐
300
𝟏 𝟐
𝟐
𝟏 𝟐∫ 𝟐
𝟐
∫
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
الدالة األسٌــــة ( األساس عدد ثابت) نفةةةةةةرض أن ) ( عةةةةةةدد ثابةةةةةةت ٌمثةةةةةةل أسةةةةةةاس الدالةةةةةةة األسةةةةةةٌة فةةةةةةأ ن مشةةةةةةتمة اي دالةةةةةةة أسةةةةةةٌة مرفوعةةةةةةة للمةةةةةةوة uهةةةةةةً )
()
(
)مشتقة االس() األساس
)
()الدالة(
𝟏
وعلٌةةةةةةةةةةةةةةةةةه فةةةةةةةةةةةةةةةةةأن
(
)
)
(
وتتمٌز ببعض الخصائص التً ذكرناها فً الدالة األسٌة السابمة وسوف نوضح ذلن فً المثال التالً .
مثال ( /)5جد
لكل مما ٌأتً : 𝟓
)
𝟐
𝟐𝟑 )𝟑
𝟐(
)𝟐()𝟑
𝟐 (
𝟐()𝟐
(
𝟓
) 𝟐 ()𝟐 )
𝟐𝟑 𝟐
( (
()𝟓
𝟐𝟑
𝟓
𝟐
𝟐
𝟐 𝟓
𝟓
******************************************************************
أمثلة أضافٌة محلولة مثال /جد
لكل مما ٌأتً : 𝟐(
)𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
)
(
,
-
-
),
𝟒)(𝟏)-
( () 𝟒
( 𝟒𝟑),
)
𝟐
) 𝟐 𝟓
𝟐𝟑 𝟑
𝟐 )𝟓
301
𝟐(
𝟐( )𝟑
) 𝟒
𝟐
𝟐 𝟐
) 𝟐(𝟑
(
𝟐
𝟐(𝟑 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐( (
𝟐
𝟓
𝟐𝟑 𝟓
𝟓
𝟐𝟑 𝟓
(∫
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
مثال /جد التكامل لكل مما ٌأتً :
𝟏 𝟕
𝟕
𝟕
)
∫ ∫
(
∫ √ √
𝟐
√
√) 𝟐(
∫ ) 𝟐(
√
∫
مثال /جد التكامل لكل مما ٌأتً :
𝟏 ) 𝟒 𝟏 ) 𝟐 𝟏 𝟑
𝟑
𝟏 ) 𝟑
(
𝟏 𝟑) ( 𝟕
𝟕 𝟐
)
𝟑
𝟓
𝟏 ) 𝟐
(
𝟓
𝟏 𝟑𝟐 ) ( 𝟑
𝟒𝟐 𝟐
𝟑
) 𝟕 𝟑 𝟑
𝟐
𝟑𝟐 (∫ 𝟐
𝟑𝟐 ∫
1 𝟏 ( 𝟐𝟐 ) ( ) 2 𝟐
𝟏 )𝟑(∫ 𝟑
𝟑 (
𝟏 𝟑)𝟕(∫ ) ( 𝟕
𝟕 𝟐
𝟐𝟐 ∫
) 𝟓
(
( 𝟒
𝟐
𝟒𝟐
𝟑
𝟑
𝟐
)𝟑
𝟐
𝟑𝟐
𝟑
𝟑
∫
𝟏
𝟒(𝟐
𝟏 𝟑 𝟐) 𝟑( ∫ ) ( 𝟑
)
(
𝟐∫
) 𝟕
∫
)𝟑
𝟑
𝟒∫
𝟐
𝟕
( 𝟐𝟒
𝟑
𝟑
𝟐
𝟑𝟐
∫
𝟑(𝟐(∫
1 𝟐𝟐)𝟐(∫ ) ( 2
𝟐
302
𝟑∫
∫
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
تمارين)𝟑
س /1جد
𝟒(
لكل مما ٌأتً : 𝟏
𝟏 𝒙
𝟑 𝒙
𝟏
𝒙𝟑
𝟏 𝟐 ) ( ) ( 𝟐 𝒙
𝟏 .𝟐/ 𝒙 .𝟐/
𝐲 )𝒃(
𝟐 𝒙
𝒙𝟐 𝟐𝒙
) 𝟐𝒙(𝒏𝒍
𝒚 )𝒄(
𝟏 ) ( 𝒙𝒏𝒍 𝟐 𝒙
𝟐)𝒙𝒏𝒍(
𝐲 )𝒅(
𝟑 𝟏 ) ( 𝒏𝒍 𝒙
𝒚 )𝒆(
𝟐(𝒏𝒍
𝒚 )𝒇(
(𝒆
𝐲 )𝒈(
𝒙 √𝟗
𝒚 )𝒉(
𝟕. 𝟒 /
𝒚 )𝒊(
𝟑
(
)𝟓 𝒙𝟑 𝟐𝒙𝟓
(𝒆 )𝟑
𝒙𝟎𝟏 (
𝟑-
𝒙𝟎𝟏 ,
)𝟗𝒏𝒍( 𝒍𝒏𝟕 . 𝒙/ 𝟒 𝟕 𝟒 )𝟐
𝒙 𝒏𝒍
)𝒙𝒏𝒊𝒔 ( 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝟐
𝒙𝒏𝒊𝒔 𝒙𝒔𝒐𝒄 𝟐
)𝟓 𝒙𝟑 𝟐𝒙𝟓
𝒙 √𝟗 𝒙 √𝟐 𝟏 ) 𝟒 (
303
𝟑 𝒙 𝐥𝐧 . / 𝟐
𝟐 𝐱𝐧𝐥 𝒙 𝟒 𝒙𝟑 ) 𝟑 𝒙
𝟑 𝟑
)𝒂(
)
𝒚
)𝒙𝒔𝒐𝒄
)𝟓 𝒙𝟑 𝟐𝒙𝟓
(𝒆
𝟏 𝒙 √𝟐
( )𝟗𝒏𝒍( 𝒙
( )𝟕𝒏𝒍( 𝟕. 𝟒 / 𝟐
𝟐
𝒙 √𝟗
𝒙
𝟐
) (
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
س /2جد التكامالت األتٌة : 𝟐𝒏𝒍𝟐
𝟐𝟐𝒏𝒍
𝟒𝒏𝒍
)𝟐(𝟑𝒏𝒍
𝟎
𝟒𝒏𝒍
)𝟐(𝟓𝒏𝒍
𝟏𝒏𝒍
𝟗𝒏𝒍
𝟒𝒏𝒍
𝟓𝟐𝒏𝒍
|𝟏
|𝟗
𝟎|𝒏𝒍
𝟎|𝒏𝒍
|𝟏
|𝟗
𝟑|𝒏𝒍
𝟔𝟏|𝒏𝒍 𝟓 𝟑
𝟑 |𝟏𝟎
𝒏𝒍𝟐
𝒙|𝒏𝒍,
𝟒 |𝟗𝟎
𝟐
𝟑𝒏𝒍𝟐
𝒙𝒅
𝒙𝒅
|𝒏𝒍,
𝟖
𝟏 𝟔𝟏,𝟐
𝟏 𝟐
𝟏 𝟐
𝟏
𝟗-
𝟏 𝟓𝟐, 𝟐
𝟏
𝟏1
1
𝟐)𝟑(
𝟏1
𝟐0
𝟏 0 𝟐
𝟐)𝟓(
𝟏 )𝟐(
)𝟑
)𝟓
(𝟐
𝟎
0
𝟓 𝟑 𝟐 𝟎
3
] ) 𝟎𝒆 𝟖
𝟑)𝒆
𝟑
𝟏(
(1
𝟏 𝟑
3
) 𝟏𝒆
[ (1
𝟑)𝟐(
𝟑)𝒆
𝟏
1
)3 -
3
𝟏(,
𝟎
𝟏
𝟏(
𝟑 )𝟏
𝟑
1 3 𝟏(
+
𝟑)𝒆
𝟗
𝟎
𝟐
𝒙𝒅
∫ )𝒄( 𝟑
𝒙𝒅
,
)𝒅(
∫ 𝟎
𝟏(
3
0
𝟐
𝟐
وزاري / 2011د1 1
𝟐
𝟓
𝟏 , 𝟐
𝟐
-
)3
𝟒
∫ )𝒃(
وزاري / 2012د1
𝟏 𝟐
𝟐
𝟏
𝟓𝒏𝒍𝟐
وزاري / 2014د2 (𝟐
1
∫ )𝑎(
وزاري / 2013د2 )2
𝒙𝒅
*
𝟏
𝟏( ∫
)𝒆(
𝟎
𝟏(
𝟏 𝟑
لو كان السؤال : 𝟑 𝟐
𝟐𝒆 𝟐
𝟏𝒆
𝟎𝒆 + 𝟐
𝟎
𝟑𝒏𝒍
𝟏𝒏𝒍
1
𝟐𝒆 𝟎𝒆* + 𝟐
𝟏𝒆*
𝟎
𝟔𝒏𝒍
𝒙𝟐𝒆 + 𝟐 0
𝒙𝒆*
𝟏
𝒙𝒅 ) 𝟐
𝟏
𝒙𝒅
( ∫
)
𝟎
𝟎
وزاري / 2011د2 𝟏 𝟔𝒏𝒍
𝟏𝒏𝒍
𝟏) -
𝟔𝒏𝒍
𝟒
𝟑
(𝒏𝒍,
وزاري / 2013د1 𝒙𝒅
𝟎
وزاري / 2015د2 𝟏𝒆
𝟏( ∫
𝟐𝒆
𝒆√𝟏 1
𝟒√𝒆0
𝟐
𝟒 𝟏
𝟏
𝟑
∫ )𝒇(
𝟑
𝟒
𝟎
وزاري / 2012د2 𝟒 𝟎
𝟒
√ √
,
𝒙𝒅
√𝟐
∫ )𝒈( 𝟏
وزاري / 2011د1 𝟑𝒏𝒍
𝟑𝒏𝒍
|
𝟒
𝟐| 𝒏𝒍
|
𝟒
𝟐| 𝒏𝒍
𝟒 |𝟒
304
𝟐
𝟐|𝒏𝒍 ,
𝒙𝒅 )
𝟒
𝟐
( ∫ )𝒉( 𝟒
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝟐
𝟐 ,𝟐√𝒔𝒊𝒏𝒙 -
]
𝟔 𝟐√
𝟐
𝒆
𝟏
𝟏
).𝟐/ 𝟏 .𝟐/
𝟔
𝟐
𝟏 𝟐
𝟐
𝟐√
𝟐
𝟓
)𝟏 𝟓
∫
𝐱𝐝
[
𝒏𝒊𝒔 𝟐
𝟔
𝟐
𝟐
(∫
∫
√
𝟐
𝟓
) 𝟓
𝟐
(∫
) 𝟓
∫ 𝟏 𝟎𝟏
𝟐
∫
)𝒊(
𝟔
𝒏𝒊𝒔 𝟐
𝟓
𝟓
𝟏 |𝒙𝟓 𝒏𝒊𝒔|𝒏𝒍 𝟓
𝒄
(
𝒙𝒅
𝟔
𝟏√ 𝟐
𝟓 𝒙𝒅 𝟓
(
𝟏 ). 𝟐 /
𝟐
𝟐
𝟓
𝟓
𝟓 𝒙𝒅 𝟓
∫
,
𝒙𝒅 )
𝟓 𝟓
𝟑
𝟐
𝟐
∫) ( (∫
𝟏 ) 𝟓
𝟐
(
وزاري / 2015د1 𝟎
𝟏-
,
1
/
)𝟎(
.
𝟐
𝟐-
0
𝟐
(
∫ )𝒌(
𝟎
𝟏
𝟏
𝟐 ,𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
𝒙𝒅 ∫
𝒙𝒅
𝟏
) (
∫
𝟏
𝒙𝒅
𝟐
𝟏 ) (
𝟐
∫
𝟏
∫ )𝑳(
𝒙𝒅
𝟏
𝟏
س /3أثبت أن : 𝟏
𝟐 𝟖 𝟑 𝟐
𝟏 𝟑
)𝟏
𝟏]
𝟑 𝟐
𝟏 𝟐
( 𝟑
𝟐 𝟏 𝟑 ( 𝟑
)𝟏
𝟏 𝟐
𝟖
𝟏 ) ( ∫𝟑 𝟑 𝟏
∫
[ 𝟑 𝟐
] )𝟏
𝟑 𝟐
𝟏 𝟑𝟏(
)𝟏
𝟏 𝟑𝟖([ 𝟐
] )𝟏
𝟏 𝟑
([ 𝟐
𝟏
األٌمن
𝟐
)𝟏(𝟐
]𝟎
𝟑
𝟐)𝟏([ 𝟐
305
𝟑
] 𝟐)𝟏
𝟏(
𝟑
𝟐)𝟏
𝟖
𝟑
√
𝟖 𝟏
𝟖 𝟑 𝟐
√ 𝟐
𝟐 𝟏 𝟑 ( 𝟑
)𝟏
𝟑
𝟐([ 𝟐
األٌسر
∫) ( 𝟏
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝟒
𝟎𝟑
𝟑| ∫ ) (
𝒙𝒅 |𝟔
𝟐
مالحظة
𝟔
𝟐
𝟑 2 <2
𝟒
3 2 * 2
6 + 𝟐
الطرف األٌمن
2
2
𝟎𝟑
6 3
|6
2
3 2 + 2 6
3 2 6
|3
*6
∫ (3
𝑥𝑑 )6
∫ (6
𝑥𝑑 ) 3
2
18
6
𝟔,
)12-
∫ |3
𝑥𝑑 |6
2
24
( 24
الطرف األٌسر
2
, 12
)6-
𝟔-
(,12
وزاري / 2016د1 س ( ) /4 ) (
دالة مستمرة على الفترة , 𝟐 𝟔-فأذا كان 𝟔
𝟔
) ( 𝟏∫ وكان 𝟐𝟑
𝟑-
𝟔
) ( ∫ 𝟐,فجـــــد
𝟏 𝟐
∫ 𝟔
𝟑-
𝟐𝟑
) ( ∫ , 𝟐 𝟔
𝟔
) (
𝟑 ∫
𝟐𝟑
∫ 𝟐
𝟐
𝟔
𝟐𝟑
𝟐 𝟔| 𝟑|
( 𝟔)-
𝟖𝟏,
) (
𝟐𝟑
𝟒𝟐
) (
𝟖
) (
) (
∫ 𝟐 𝟔
𝟐𝟑
∫ 𝟐 𝟔
∫ 𝟐 𝟔
∫ 𝟐
𝟔
) ( ∫
𝟏
) (
𝟏
𝟔
) (
∫
∫ 𝟐
𝟐 𝟏
) (
𝟔
∫
𝟖
𝟐 𝟏
) (
𝟐
∫ 𝟐
306
𝟏
𝟔
𝟖
) (
∫ 𝟐
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
س /5جد لٌمة
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎 𝟐
أذا علمت أن
𝟒𝟎∫ 𝟐
/
𝟏
∫𝟏 .
𝟐
الحل / 𝟒𝟎-
𝟐
𝟏 + 𝟏 𝟐
𝟐,
𝟐
𝟒
𝟐
*
𝟎-
)𝟐
𝟎
𝟏𝟐,
()𝟑
𝟏
(
𝟐 𝟎
]𝟎
𝟔
𝟏 ) 𝟐
[𝟐
𝟒 ⇒
𝟑
𝟐
𝟏 ( 𝟐
س /6لتكن الحل /
𝟐
𝟐
)
𝟐
𝟐
(
𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
) ( حٌث
𝟏
𝟐
𝟐
)𝟐×(
𝟐
∫𝟐
𝟎
𝟐
𝟐
𝟏 ) 𝟐
( ∫
𝟏
𝟐
𝟐
𝟑 𝟑
دالة نهاٌتها الصغرى تساوي )𝟓 ( فجد
) ( 𝟏∫
للدالة نهاٌة صغرى ∴ 𝟎
) (̅ 𝟐
𝟐 )𝟐 (
𝟏
∴ النمطة )𝟓
𝟐
⇒
𝟐
𝟐
𝟎
𝟐
𝟏 ( نمطة نهاٌة صغرى محلٌة وهً تحمك معادلة الدالة ) ( 𝟐 𝟏 𝟓 𝟒
𝟐
)𝟏 (𝟐 𝟒 𝟑
𝟑 𝟐
𝟒
+ )𝟑
𝟔𝟐 𝟑
𝟏 𝟑
(
) 𝟒
*
𝟑 𝟔
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏
)𝟒
𝟖 𝟖𝟏 𝟑
𝟏 𝟑
𝟏 𝟖 ) 𝟑
307
(
( 𝟔
)𝟐𝟏 𝟗
𝟏
)
𝟑
(
𝟐
𝟐
) (̅
)𝟏 (
𝟓
) ( 𝟑
( ∫
𝟗
𝟐
) (
) ( ∫ 𝟏
𝟗( 𝟔
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝟑)𝟑
س /7أذا كةةةان للمنحنةةةً 𝟏 ) ( 𝟎∫ الحل /
) (
(
نمطةةةةة انمـــــةةةـالب )
) (
( جةةةد المٌمةةةةة العددٌةةةة للممةةةةدار وزاري / 2015د3
𝟎∫
للدالة نمطة أنمالب ∴ 𝟎
) (̅
𝟑)𝟑
(
) (
𝟐)𝟑
(𝟑
) (̅
)𝟑
(𝟔
) (̅
𝟑)𝟑
𝟑(
)𝟑(
𝟏
𝟎
𝟑
)𝟔 (
𝟑
𝟎
⇒
(𝟔
)𝟑
𝟏 ∴ نمطة األنمالب )
( هً )𝟏 𝟑( أي أن
𝟏
𝟏
𝟑
𝟑
)𝟑
𝟏 𝟐
(𝟔 ∫
)𝟑
+
𝟐)𝟑
+
𝟐
𝟐)𝟑
𝟑( 𝟐
𝟎
( 𝟐
𝟎
*𝟔
+ ]
𝟏
*𝟔
𝟐
𝟑)𝟑
+
𝟑
𝟏( 𝟑
𝟎[ 𝟔
]
]
𝟗 𝟐
𝟕𝟐
𝟖
𝟑
[𝟔 𝟔𝟒
308
(
𝟑)𝟑
𝟎(
𝟎
𝟑
𝟎
𝟑)𝟑
𝟗
) ( ∫
∫
𝟎 𝟑
𝟐)𝟑
) (
(𝟑 ∫
𝟎
𝟎(
𝟏
𝟑
] 𝟕𝟐
𝟗𝟏 𝟑
*𝟑
*𝟑 [𝟑 [𝟑
𝟗𝟏
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
أمثلة أضافٌة محلولة مثال /جد التكامالت التالٌة : 𝒄
|𝒙𝒏𝒂𝒕
𝒄
|𝒙𝒕𝒐𝒄
𝒙𝒏𝒂𝒕 𝐱𝐜𝐞𝐬 𝒙 𝟐𝒄𝒆𝒔 ∫ 𝐱𝐝 𝒙𝒏𝒂𝒕 𝒙𝒄𝒆𝒔
𝒙𝒄𝒆𝒔|𝒏𝐥
)𝒙𝒏𝒂𝒕 𝒙𝒄𝒆𝒔(𝒙𝒄𝒆𝒔 ∫ 𝒙𝒅 )𝒙𝒏𝒂𝒕 𝒙𝒄𝒆𝒔( 𝒙𝟓
𝒄
𝟑𝒙 𝟑
𝟐
𝒙𝒅)𝟓
𝒙(∫
𝒙𝒅
𝟐
𝟐
𝟐𝒆𝟐
𝟏-
𝟐𝒆,
𝒄
𝒙𝒏𝒍
𝟏√𝟐
𝒄
𝒆𝟐 -
𝒙𝒅 𝒙𝒆 ∫
𝟏,
𝒙𝒅
𝒙
𝟏
𝒄
𝟐)𝒙𝒏𝒍 𝟏 .𝟐/
|𝒙𝒄𝒆𝒔|𝒏𝒍
𝒄
𝒙𝒕𝒐𝒄 𝒙𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝟐𝒄𝒔𝒄 ∫ 𝒙𝒅 𝒙𝒕𝒐𝒄 𝒙𝒄𝒔𝒄 𝒄
|𝒙√𝒏𝒂𝒕
𝒄
𝟐)𝒙𝒏𝒍( 𝟐
𝟏(
𝟎
𝟐
𝒆 ∫ 𝟐
𝟐
𝒄
𝟏 𝒙𝒆 𝒆
𝟏
𝒄
) 𝒙𝒆 𝟏
309
∫
𝒙𝒏𝒊𝒔 𝒙𝒅 𝒙𝒔𝒐𝒄
𝒙𝒏𝒍
𝟏√𝒙
∫ )𝟒(
∫
𝒙𝒅 𝒙𝒕𝒐𝒄 ∫ )𝟔(
)𝒙𝒕𝒐𝒄 𝒙𝒄𝒔𝒄(𝒙𝒄𝒔𝒄 ∫ 𝒙𝒅 )𝒙𝒕𝒐𝒄 𝒙𝒄𝒔𝒄(
𝒙𝒅 𝒙𝒄𝒔𝒄 ∫ )𝟕(
𝒙𝒔𝒐𝒄 𝒙𝒅 𝒙𝒏𝒊𝒔
|𝒙𝒏𝒊𝒔|𝒏𝒍
𝒙√𝒄𝒆𝒔 𝒙𝒅 𝒙√)𝟐(
𝒙𝒏𝒍 𝒙𝒅 𝒙
∫
𝒙𝒅
𝟐 )𝒙
𝒆
∫𝟐
𝟏 𝒙𝒅 ∫ 𝒙 𝒄
𝒆(
𝒙𝒅
∫
𝒙√𝒄𝒆𝒔|𝒏𝒍𝟐
𝒙𝒏𝒍
𝒆 ∫ )𝟐(
𝒙𝒅 𝒙𝒏𝒂𝒕 ∫ )𝟓(
|𝒙𝒔𝒐𝒄|𝒏𝒍 𝒄
𝒙𝒄𝒔𝒄|𝒏𝒍
𝟏
𝒙𝒅 𝟐 )𝒙𝒏𝒍 𝒙
)𝟓 𝟐𝒙(𝒏𝒍
𝒙𝒅 |𝒙|𝒆 ∫ )𝟑(
𝟎
𝟏(
𝒙𝒅 𝐱𝐜𝐞𝐬 ∫ )𝟏(
𝟒)𝒙𝒏𝒍( 𝟒 𝒆( 𝒙
𝒆∫
𝒙√𝒄𝒆𝒔 𝒙𝒅 𝒙√
𝒙𝒏𝒍 𝒙𝒅 ) 𝒙
∫ )𝟖(
𝟏 ( ∫ )𝟗( 𝒙
𝟑)𝒙𝒏𝒍( ∫ )𝟎𝟏( 𝒙𝒅 𝒙 𝒙𝒆 ∫ )𝟒𝟏( 𝒙𝒅 𝟐) 𝒙𝒆 𝒆(
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
مثال /جد
للدوال
التالٌة : 𝟏 ) (
)𝟏( )
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
) (
𝟏( ) ( 𝟏 ) ( )
)
𝟐)
𝟐 𝟐
𝟏(
(
)
) (
(
𝟐
)
(𝟐
)
( ) 𝟑𝟑 𝟐 )𝟏
)
𝒙 ) 𝟒(
(
𝒙
)
(𝟐
)-
(𝟐
𝒙 𝒙, (𝟐
(𝟐
) )𝟏 𝟑(
)𝟑( 𝒙
)
𝟑(
(
(𝟐
)
) (
)𝟐(
𝟐
(𝟐
(𝟐
)
(
(
(𝟐
)
) (
(
𝟏) ,
)
𝟏
()
)
)𝟏(
) 𝟑𝟑
𝒙 () ( 𝟐)𝟏
𝟑(
)𝟏()𝟏 𝟑(
𝟑
𝟏
)𝟓(
مثال /جد معادلة المماس للمنحنً للدوال التالٌة : ⒜
عندما 𝟎 نقطة التماس )𝟏 𝟎(
𝟏 𝟎
𝟏 /معادلة المماس.
𝟎
𝟏
𝟏
310
𝟎
𝟏 𝟎
مٌل المماس 𝟏
𝟏 𝟏
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
)(b
𝟐
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
عندما 𝟏 نقطة التماس )𝟐 𝟏( 𝟐𝟐
𝟒 )معادلة المماس(
)(c
(𝟒
)𝟏
𝟏𝟐
𝟐 ) 𝟏𝟐(
𝟐
مٌل المماس
) 𝟐(
𝟐
𝟐 𝟏
𝟐
𝟐
𝟏
𝟒
𝟏
عندما نقطة التماس ) 𝟐
𝟏
)𝟏(
( 𝟏
𝟏
)معادلة المماس(
)
(
)
𝟏 ) (
)𝟏(
𝟏 (𝟐
مٌل المماس 𝟏
𝟐
𝟏
مثال /أثبت أن الدالة ) جد لٌمة
,
) (
(
0𝟎 1 𝟒
دالة ممابلة للدالة
) (
ثم
) ( 𝟒𝟎∫
الحل /
) (
هً دالة مستمرة و لابلة لألشتماق وكذلن ) (
هً دالة مستمرة ولابلة لألشتماق أٌضا )
) (
(
)
)𝟏
𝟐√(
)𝟎
𝟐
𝟏(
) (
هً دالة مقابلة للدالة
)𝟏
𝟐√(
)-
(
(
,
𝟒
∫
𝟎
311
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
مالحظة: أذا كان مٌل المنحنً ٌحتوي على المتغٌر ) ( نستخدم . /للمٌل ثم نضع كل متغٌر على جهة ثم نكامل الطرفٌن ******************************************************************
س : 1جد منحنً الدالة الذي ٌمس المستمٌم 𝟕 س : 2أذا كانت المشتمة الثانٌةة 𝟔 بأستخدام التفاضل أرسم منحنً الدالة
𝟑 ومٌله عند كل نمطة من نماطه ٌساوي 𝟔
𝟐
𝟑
وكةان للدالةة النمطةة )𝟒 𝟏 ( نمطةة نهاٌةة عظمةى محلٌةة جةد منحنةً الدالةة ثةم 𝟐
س : 3جد معادلة منحنً الدالة الذي مٌله عند كل نمطة من نمطه ٌساوي ) 𝟔 )𝟑 ( وكان المنحنً ممعر )𝟏 > ( ومحدب لكل )𝟏 < (
( وله نهاٌةة صةغرى محلٌةة لٌمتهةا
س : 4جد معادلة المنحنً المار بالنمطة )𝟐 𝟏 ( ومٌله عند كل نمطة من نمطه ٌساوي س : 5جد معادلة المنحنٌات أذا علمت أن مٌلها عند كل نمطة من نمطها )
( هو
𝟏
𝟐 𝟐 𝟑
𝟑
𝟐 𝟐 𝟑
𝟐 𝟐
******************************************************************
اٌجاد مساحة المنطمة المستوٌة مساحة المنطمة المستوٌة المحددة بمنحنً ومحور الســـٌنات لتكن ) (
دالة مستمرة على الفترة -
السٌنات والمستمٌمٌن
,ولتكن Aمسةاحة المنطمةة المحةددة بةالمنحنً ) ( ومحةور
فأن |
) (
∫|
خطوات الحل : الٌجاد المساحة بٌن منحنً ومحور السٌنات نتبع ما ٌلً : Ⓘنجعةةةةل 𝟎 ) ( الٌجةةةةاد نمةةةةاط التمةةةةاطع مةةةةع محةةةةور السةةةةٌنات فةةةةأذا كةةةةان النةةةةات ٌنتمةةةةً للفتةةةةرة - الفترة كما تعلمنا سابما واذا كان النات الٌنتمً للفترة فٌهمل وتؤخذ الفترة المعطاة فمط . ② اذا لم تعطى مع الدالة فترة فالفترة ٌتم تحدٌدها من خالل نماط تماطع الدالة مع محور السٌنات ③ المساحة = مجموع المٌم المطلمة للتكامالت المجزئة
312
,فنجةةةةزي
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
مثةةةةال ( /)1جةةةةد مسةةةةاحة المنطمةةةةة المحةةةةددة بمنحنةةةةً الدالةةةةة الفترة , 𝟐 𝟐-
𝟑
𝟒
) ( ومحةةةةور السةةةةٌنات وعلةةةةى
الحل / نجعل 𝟎
الٌجاد نمط التماطع
) (
𝟐
𝟎
𝟐
)𝟐
𝟎
(
()𝟐
𝟎
𝟐
)𝟒
(
𝟒
𝟎
𝟑
∴ فترات التكامل هً )𝟐 𝟎( )𝟎 𝟐 ( 𝟐
𝟎
𝟒
+
𝟐
𝟐
𝟒
𝟎
+
*
𝟐
𝟒 𝟐
𝟐
𝟒
𝟐
) وحدة مربعة( 𝟖
*
𝟑
) 𝟒
|
𝟎
( ∫|
𝟑
) 𝟒
|
( ∫|
𝟎
|𝟒 |
|)𝟎(
𝟒
𝟐
𝟒(|
)𝟖
𝟒(
|)𝟖
)𝟎(|
وزاري / 2013د3 𝟐
مثةةةةةةةال ( /)2جةةةةةةةد مســـةةةةةةةـاحة المنطمةةةةةةةة المحـــةةةةةةةـددة بمنحنةةةةةةةً الدالــةةةةةةةـة 𝟏 والمستمٌمٌن 𝟑
ومحةةةةةةةور السةةةةةةةٌنات
الحل / الٌجاد نمط التماطع
نجعل 𝟎
,𝟏 𝟑-
𝟎
𝟎
𝟐
𝟑
𝟔𝟐 ) وحدة مساحة( 𝟑
𝟕𝟐 ] 𝟑
𝟏 |] [ 𝟑
𝟑
𝟑
[|
+
𝟑
𝟐
|
*
∫| 𝟏
𝟏
وزاري / 2013د1
مثال ( /)3جد مساحة المنطمة المحددة بمنحنً الدالة
𝟐
𝟐
𝟑
𝟑
) ( ومحور السٌنات
الحل / نجعل 𝟎
الٌجاد نمط التماطع
) ( 𝟐
𝟏
𝟐
+ 𝟏
𝟎 𝟒
𝟐
𝟑
𝟒
𝟎
𝟏
*
𝟏 ) وحدة مساحة( 𝟐
+
)𝟐
(
()𝟏
)𝟐
𝟎
𝟐
𝟒
𝟎
𝟐 𝟒
𝟏 | 𝟒
|
𝟎
𝟐
𝟒 𝟑
𝟑
𝟐
(
𝟐
*
) 𝟐
|
𝟐
𝟑
𝟑
( ∫|
𝟏
|
) 𝟐
𝟐
𝟑
𝟑
𝟏
𝟏 𝟒
|)𝟏
𝟏
313
𝟏 ( 𝟒
)𝟒
𝟖
𝟐
𝟑
( ∫| 𝟎
𝟒(|
|)𝟎(
)𝟏
𝟏
𝟏 (| 𝟒
𝟑
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل 𝟐
مثةةةال ( /)4جةةةةد مسةةةةاحة المنطمةةةة المحةةةةددة بمنحنةةةةً الدالةةةة 𝟏 الفترة , 𝟐 𝟑- الحل /نجعل 𝟎
) (
) ( ومحةةةةور السةةةةٌنات وعلةةةةى
الٌجاد نمط التماطع , 𝟐 𝟑-
𝟏
)𝟏
𝟎
()𝟏
𝟑
|
𝟐
)𝟏
|
𝟐
)𝟏
|])𝟏
𝟏 ) وحدة مساحة( 𝟑
مثةةةةال (/)5 الفترة 1
𝟗
𝟖𝟐 𝟑
𝟏 𝟑
𝟎𝟐 𝟑
(
𝟏
𝟑
𝟏
𝟏 ( 𝟑
*
الحل /نجعل 𝟎
+
𝟑
𝟏
)𝟏
𝟏 ([ 𝟑
])𝟐
𝟒 𝟑
𝟏 | 𝟑
𝟕|
|𝟐
𝟒 𝟑
𝟏
𝟑
𝟖 𝟑
جةةةةد مســـةةةةـاحة المنطمةةةةة المحةةةةددة بمنحنةةةةً الدالةةةةة 𝟐
)𝟏
( ∫| 𝟐
𝟑
+
)𝟑
|
𝟐
𝟏 𝟑
𝟗([
𝟏
( ∫|
𝟏
𝟏
𝟎
𝟏
( ∫|
])𝟏
(
𝟐
𝟑
+
*
𝟑
𝟐
(
𝟏 𝟑
)𝟏
𝟐 | 𝟑
([|
𝟕 𝟑
|𝟏
*
|
) ( ومحةةةةور السةةةةٌنات وعلةةةةى
0 ) (
الٌجاد نمط التماطع ]
| - 𝟎 ) وحدة مساحة( 𝟑
𝟐
|𝟏 |
𝟏-
𝟏,
| ,
|
𝟎 -
,
[
𝟐
𝟎
𝟎
|
∫|
|
𝟎-
𝟏 ,
314
∫|
|
𝟎
𝟐 |)𝟎(
𝟎
) (
|
|/
𝟐
𝟐
.
)𝟎(
|
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
مثةةةةال ( /)6جةةةةد مســةةةةـاحة المنطمةةةةة المحةةةةددة بمنحنةةةةً الدالـــةةةةـة , الفترة - الحل /نجعل 𝟎
ومحةةةةور السةةةةٌنات وعلةةةةى
الٌجاد نمط التماطع
) (
-
-
|
,
|
𝟐
| |
𝟐 -
| 𝟐
| |
,
-
|
,
|
,
∫|
𝟎
𝟐
𝟐
|
𝟐
∫|
𝟐
|
∫|
𝟐
𝟐 ) (
|. / 𝟐 ) وحدة مساحة( 𝟒
𝟏
|/
|
𝟐
𝟐
.
|𝟏 |
𝟏
. / 𝟐
𝟎|
|𝟏
|
|𝟏 |
𝟐
|)
(
|𝟏
/ 𝟏|
𝟐
.
| 𝟏 |
|𝟎
******************************************************************
أمثلة أضافٌة محلولة 𝟐
مثةةةةةال /جةةةةةد مســـةةةةةـاحة المنطمةةةةةة المحةةةةةددة بمنحنةةةةةً الدالةةةةةة 𝟒 الفترة , 𝟏 𝟑- الحل /نجعل 𝟎
) (
) ( ومحةةةةةور السةةةةةٌنات وعلةةةةةى
الٌجاد نمط التماطع ) ٌهمل السالب(
, 𝟏 𝟑-
𝟑
𝟑
| 𝟒 + 𝟐
|𝟖
𝟖 𝟑
𝟑
𝟐 𝟐
*|
𝟑 |
𝟒𝟑 /وحدة مساحة. 𝟑
|
𝟑
𝟏
|𝟒
𝟗 𝟑
|
𝟕 𝟕𝟐 𝟑
315
*|
)𝟒
|
𝟐
𝟐
( ∫|
|
)𝟒
𝟐
( ∫|
𝟐
𝟖 ( 𝟑
|)𝟖
𝟕 𝟑
()𝟐
𝟎
𝟑
𝟑
𝟒 +
𝟖
𝟎
)𝟐
(
𝟗
)𝟐𝟏
𝟖 𝟓𝟏 | 𝟑
𝟗(| |
𝟒
𝟏
𝟏 𝟑
|)𝟒
|𝟗 |
𝟖 | 𝟑
(
)𝟖
𝟖 (| 𝟑
𝟓|
|𝟐𝟏
𝟑|
𝟐
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
مثال /جد مســـــاحة المنطمة المحددة بمنحنً الدالــــة الحل /نجعل 𝟎
) (
) ( ومحور الســــٌنات وعلى الفترة ,𝟎 𝟐-
الٌجاد نمط التماطع
) الٌمكن ألنه دائما عدد موجب أكبر من الصفر (
𝟎 𝟐
) وحدة مربعة( )𝟏
𝟐
(
|
𝟐
𝟎
|
∫|
|
𝟎
𝟐
مثةةةةال /جةةةةد مسةةةةاحة المنطمةةةةة المحةةةةددة بمنحنةةةةً الدالةةةةة
𝟐
) ( ومحةةةةور السةةةةٌنات
وعلى الفترة 0𝟎 1 𝟐
الحل /نجعل 𝟎
) (
الٌجاد نمط التماطع ]
])𝟏
𝟏 𝟎( [ 𝟐
𝟐
𝟎[
])𝟎
𝟒 𝟏 𝟏( [ 𝟐
𝟐
𝟐 𝟐
| ] 𝟐 𝟒
𝟏 𝟐
[|
𝟒
| ] 𝟐 𝟎
𝟎
𝟏 𝟐
[|
𝟐
𝟐
𝟎
𝟐
|
𝟐
∫|
|
𝟐
𝟒
𝟐
𝟎
𝟒
) وحدة مربعة( 𝟏
∫|
𝟏 | 𝟐
|
𝟏 𝟐
******************************************************************
مساحة المنطمة المحددة بمنحنٌٌن لتكن ) (
) (
دالتٌن مستمرتان على الفترة - هً
|
)) (
,فأن المساحة المحةددة بةالمنحنٌٌن f,gوالمسةتمٌمٌن
) ( ( ∫|
خطوات الحل : الٌجاد المساحة بٌن منحنً دالتٌن نتبع ماٌلً :
) ( الٌجةةةاد نمةةةةاط التمةةةاطع فةةةأذا كةةةةان النةةةات ٌنتمةةةةً للفتةةةرة - Ⓘنجعةةةل ) ( سابما واذا كان النات الٌنتمً للفترة فٌهمل وتؤخذ الفترة المعطاة فمط . ②اذا لم تعطى مع الدالة فترة فالفترة ٌتم تحدٌدها من خالل نماط تماطع الدالتٌن .
③ المساحة = مجموع المٌم المطلمة للتكامالت المجزئة ( للدالة األكبر – الدالة األصغر )
316
,فنجةةةزي الفتةةةةرة كمةةةا تعلمنةةةةا
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
وزاري / 2011د1
مثال ( /)1جد مساحة المنطمة المحددة بالمنحنً
والمستمٌم
√
الحل / نجد نمط التماطع وذلن بجعل 𝟏
√ 𝟎
𝟏
] + 𝟎
𝟎
(
)𝟏 𝟏
𝟐
𝟑
𝟐
√ 𝟐 *[ 𝟑
| ]
𝟎 𝟑 . / 𝟐
𝟐
𝟑 .𝟐/
𝟐
𝟎
𝟐
|
[|
مثال (/)2
⇒ 𝟏
𝟏
|
( ∫|
√( ∫|
)
𝟎
/وحدة مساحة.
جد مساحة المنطمة المحصورة بٌن المنحنً
𝟐
𝟏 . / 𝟐
)
)بالتربٌع(
√
𝟑
𝟏 𝟔
𝟎
𝟒
𝟑
])𝟎(
𝟔
𝟐 ([ 𝟑
𝟏 ) 𝟐
والمستمٌم
الحل / 𝟑
نجد نمط التماطع وذلن بجعل
𝟎
𝟏 𝟏 𝟐
| + 𝟎
𝟐
𝟒
𝟒
)𝟏
𝟎 𝟎 𝟐
*|
)وحدة مساحة(
| + 𝟏
𝟏 𝟐
𝟐
(
𝟏
𝟒
𝟒
𝟐 𝟏 | 𝟒
317
|
𝟑
𝟎
𝟑
|
*|
)
𝟑
𝟎
( ∫|
|
)
𝟑
𝟎
𝟏 𝟒
|)𝟎(
𝟏 ) 𝟐
𝟏 (| 𝟒
( ∫| 𝟏
𝟏 |) 𝟐
𝟏 ( 𝟒
)𝟎(|
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
مثةةةةةةةةال (/)3 وعلى الفترة 1
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
جةةةةةةةةد مســـةةةةةةةةـاحة المنطمةةةةةةةةة المحةةةةةةةةددة بةةةةةةةةالمنحنٌٌن 𝟐
𝟐
و
) (
) (
0
الحل /نجعل ) (
الٌجاد نمط التماطع
) (
)األتجاه الموجب( ]
𝟐 || -
𝟒 || -
|, |
𝟐 𝟐
|, |
[
𝟏
𝟒
𝟐
)
|
( ∫|
𝟒
)
|
( ∫|
𝟒
𝟒
𝟐
𝟐 . / 𝟒
|). / 𝟒
). / 𝟐
(
/وحدة مساحة.
. / 𝟐
𝟐√𝟐
𝟏
(|
.
|)/ 𝟐 𝟏 𝟏 ( |) 𝟐√ 𝟐√
𝟏
𝟐√
𝟐√
/
.
𝟐
). / 𝟒
(
. / 𝟒 𝟏 𝟏
(|
)𝟎 𝟏(| |)𝟎 𝟏 ( ) (| 𝟐√ 𝟐√ 𝟐 𝟐 𝟏| |𝟏 | 𝟏| |𝟏 𝟐√| | 𝟐√ 𝟐√
|𝟐√
******************************************************************
أمثلة أضافٌة محلولة مثةةةةةةةال /جةةةةةةةد مسةةةةةةةاحة المنطمةةةةةةةة المحةةةةةةةددة بةةةةةةةالمنحنٌٌن 𝟏 وعلى الفترة , 𝟐 𝟑- الحل /نجعل ) (
𝟐
) (
)𝟏
(
()𝟒
𝟒
𝟎
| 𝟒 + 𝟏
𝟏
𝟑
𝟑
*|
𝟐 𝟑 𝟐
| 𝟒 + 𝟐
|)𝟒 𝟐𝟏𝟏 | 𝟔
|
𝟕𝟏 𝟔
|
𝟑 𝟐
𝟏 𝟑
𝟒𝟐
𝟗
(
𝟓
𝟏
𝟑𝟐
𝟒
𝟐
𝟏
𝟑
𝟑
𝟑
𝟐
𝟑
𝟑𝟐 𝟑
) (
الٌجاد نمط التماطع 𝟎
𝟐 𝟑 𝟐
𝟐
و 𝟓
) (
*|
|
)𝟒
𝟑
𝟐
𝟏
( ∫|
|
𝟑
)𝟒
𝟐
( ∫|
𝟏
)𝟐𝟏 𝟐 𝟐𝟕 𝟔
𝟕𝟐 𝟐
𝟗(|
𝟏𝟖
𝟒𝟓 |
|)𝟖 |
𝟖𝟒
) وحدة مساحة(
318
𝟐
𝟖 𝟑
𝟔 𝟔𝟑
)𝟒
(
𝟒𝟐
𝟔𝟏
𝟑 𝟐 𝟗
𝟔 𝟑𝟒 𝟐
𝟗𝟐𝟏 𝟔
𝟐𝟏𝟏 𝟔
𝟏 𝟑 𝟐
(| |
𝟕𝟏 𝟔
𝟐
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل 𝟒
مثال /جد المساحة المحددة بالمنحنٌٌن 𝟐𝟏
𝟐
و
الحل / نجعل ) (
الٌجاد نمط التماطع
) (
ٌهمل 𝟑 √∓
𝟎
𝟐
𝟖 𝟑
𝟐𝟒+
𝟐𝟑 𝟓 𝟖 𝟓𝟏
) وحدة مساحة(
*
𝟎𝟒
𝟐
)𝟑
𝟐𝟒+
𝟖 𝟑
𝟖𝟎𝟔 𝟓𝟏
𝟒𝟎𝟑 𝟓𝟏
𝟐
()𝟒
(
𝟐𝟑 𝟓
| 𝟏𝟐 +
*
𝟐
𝟒𝟎𝟑 | 𝟓𝟏
|
𝟐𝟏
𝟎
𝟐
|
𝟑
𝟓
𝟑
𝟓
𝟎𝟔𝟑
𝟎𝟒 𝟓𝟏
𝟐
مثةةةةةةال /جةةةةةةد مسةةةةةةاحة المنطمةةةةةةة المحةةةةةةددة بةةةةةةالمنحنٌٌن 𝟏
𝟐
𝟒
𝟐
)𝟐𝟏
|
*|
𝟐
𝟐𝟏
𝟒
𝟒
𝟐
( ∫| 𝟐
𝟔𝟗
|
𝟎𝟔𝟑 𝟎𝟒 | 𝟓𝟏
) (
𝟐
و
𝟔𝟗
𝟐
|
) (
وعلى الفترة 0𝟎 1 𝟐
الحل / نجعل ) (
الٌجاد نمط التماطع
) ( 𝟏
𝟐
𝟏
𝟎
𝟐
𝟏
𝟐
) ٌهمل( 𝟏 𝟐
|
∫
) 𝟐
𝟏 𝟐
|𝟎1
0
𝟎
|
𝟒
|
|
𝟐
𝟒
|
𝟐
]
𝟏 𝟐 ( ∫| 𝟐 𝟎
]𝟎
|
𝟐
∫
)
𝟎
)𝟎
𝟏 × ([| 𝟐 𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐 𝟎[
𝟏 𝟏
𝟐 𝟐
( ∫|
|
𝟐
)𝟏
𝟎
| 𝟐𝟎, -
𝟐
( ∫| 𝟎
𝟐
] 𝟐
𝟎
𝟏 𝟒
) وحدة مساحة(
319
𝟐
𝟏 [| 𝟐 𝟒
𝟐
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
مثال /جد مساحة المنطمة المحصورة بٌن المنحنٌٌن 𝟐 𝟏 𝟏<
الحل / نجعل ) (
) (
𝟏 𝟑
|𝟏
2
𝟓
| 𝟔 + 𝟏
𝟒𝟓 | 𝟎𝟏
𝟏 𝟏<
𝟐 𝟔 *| 𝟎𝟏
𝟓𝟏|
|
𝟒 + 𝟓
|𝟎𝟏
𝟒𝟒 𝟎𝟏
𝟐 𝟐
2 𝟏
𝟓
𝟒
𝟐 𝟒 *| 𝟎𝟏 𝟔 𝟎𝟏
)𝟔
|
(
/وحدة مساحة.
𝟒𝟐
𝟎𝟒𝟐 𝟎𝟏
𝟏
𝟐
𝟐
𝟐
) (
𝟑
|
𝟒𝟓
𝟒 ( ∫| 𝟓 𝟓
)𝟒
𝟎𝟏(
|)𝟎𝟐
|
𝟏
𝟏
𝟔 ( ∫| 𝟓 𝟏
)𝟎𝟑
|
𝟒 𝟓
𝟕
𝟏 𝟓
𝟓
𝟓𝟏 (|
|)𝟔
𝟔 𝟓
𝟕
𝟏 𝟓
𝟒 𝟎𝟏
)𝟒
𝟎𝟓𝟏 𝟎𝟎𝟏 𝟎𝟏
(|
𝟒𝟒
|
وعلى الفترة ,𝟎 𝟏-
) (
𝟏 𝟐
𝟏 𝟐
𝟑𝟑 𝟒 𝟐
𝟖
𝟏 𝟐
𝟏 𝟒 𝟐
)بالدستور(
⇒
𝟎
𝟏 𝟐
𝟐
𝟐
)(0
)(0
< 0 𝟒
𝟒𝟐 𝟐𝟏
𝟑
|)𝟎(
𝟏 𝟐
𝟐 𝟑𝟑√
𝟏𝟎 نختبر الدالة 2
𝟏
) (
الٌجاد نمط التماطع
) ( 𝟑𝟑√ 𝟐 𝟐
𝟔
𝟓
𝟏
مثال /جد مساحة المنطمة المحددة بالمنحنٌٌن
𝟑𝟑√ 𝟒
𝟓
الٌجاد نمط التماطع
𝟏<
𝟏
و 𝟕
) (
) (
𝟏
الحل /نجعل ) (
|
𝟏
) (
𝟏
𝟒
لذا فأن الدالة ) ( هً الدالة األكبر 𝟏 ) 𝟑
𝟐
𝟏 (| 𝟒
𝟏 𝟑
| + 𝟎
𝟑
𝟐
𝟐
𝟒
𝟏
*|
|
)
𝟐
𝟐
𝟏 ( ∫| 𝟐 𝟎
/وحدة مساحة.
320
𝟑𝟐 𝟐𝟏
𝟐
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
المســــــافة لةةةتكن ) ( الزمنٌة
𝟐-
سةةةرعة جسةةةم ٌتحةةةرن علةةةى خةةةط مسةةةتمٌم وفةةةً مسةةةتوي مةةةا فةةةأن المسةةةافة الممطوعةةةة فةةةً الفتةةةرة 𝟏
,هً :
𝟐 |) ( | ∫ 𝟏
حٌث تمثل ) ( ممدار المسافة وهً كمٌة غٌر متجهة أمــــــــــةةةةةةـا األزاحةةةةةةة ) ( والســـــــةةةةةةـرعة ) ( والتعجٌةةةةةةل ) ( فهةةةةةةً كمٌــــةةةةةةـات متجهةةةةةةة وأن أزاحـــــــةةةةةةـة الجسم هً و سرعة الجسم
) (
𝟐 𝟏
∫
) ( ∫
مالحظات : Ⓘاألزاحة تكامل محدد للسرعة وٌكون بدون مطلك ألن النات ال ٌهم أذا كان موجب أو سالب أو صفر ② وجود المطلك فً لانون المسافة هو لكً ال ٌكون النات سالب ③ أذا طلب فً السؤال مثال جد األزاحة خالل الثانٌة الثامنة فهذا ٌعنً حساب الدالة ∫ ④أذا طلب فً السؤال مثال جد األزاحة خالل الثوانً الخمس األولى فهذا ٌعنً حساب الدالة ∫ ⑤ أذا أعطً فً السؤال تعجٌل الجسم فأن التعجٌل ∫
) (
السرعة وهو تكامل غٌر محدد
⑥ فةةةً حالةةةة أٌجةةةاد المسةةةافة ٌتغٌةةةر أتجةةةاه الجسةةةم وهةةةذا ٌعنةةةً حةةةدوث تجزئةةةة فةةةً التكامةةةل أن وجةةةد وفةةةً حالةةةة األزاحة ٌكون أتجاه الجسم ثابت لذا تهمل التجزئة فً التكامل أن وجدت .
321
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
مثال ( /)1جسم ٌتحرن على خط مستمٌم بسرعة ⁄
𝟒
فجــــــــــــــد :
) (
𝟐
ⓐالمسافة الممطوعة فً الفترة ,𝟏 𝟑 -
ⓑاألزاحة الممطوعة فً الفترة ,𝟏 𝟑 -
ⓒالمسافة الممطوعة فً الثانٌة الخامسة
ⓓبعده بعد مضً ) (4ثوانً من بدط الحركة
الحل /
,1 3𝟑 |𝟒 - 𝟐
𝟐
𝟏
𝟏
𝟐
𝟑 |
|𝟒
𝟐 |𝟒 - 𝟏
|,
|𝟑
𝟒 |
𝟎
𝟑
𝟑
)𝟒
𝟓
|𝟏𝟔)-
𝟔𝟏(
4
𝟐
0
2
𝟑 𝟐
|
|,
𝟐
𝟐( ∫|
)𝟒
|
𝟐( ∫|
)𝟒
𝟐
𝟒(
|)𝟖 𝟏(
)𝟐𝟏
)𝟎𝟐
𝟓𝟐(|,
𝟏
𝟗(|
)𝟐𝟏
𝟓 |𝟒 - 𝟒
𝟏(
|)𝟒
𝟑 𝟒𝟏
𝟗(
𝟒(|
)𝟖
𝟑 𝟐
𝟐( ∫
)𝟒
,
𝟏 𝟓 𝟐
|
|,
𝟐( ∫|
)𝟒
𝟒
𝟒
𝟎
(𝟎)-
)𝟔𝟏
𝟔𝟏(,
𝟒 𝟐
|𝟒 -
|,
𝟐( ∫
)𝟒
𝟎
𝟎
مثةةةةال ( /)2جسةةةةم ٌتحةةةةرن علةةةةةى خةةةةط مسةةةةتمٌم بتعجٌةةةةل ) 𝟐 ⁄ ) 𝟐𝟖( بعد مرور ) (4ثوانً من بدط الحركة فجد : ⓐالمسافة خالل الثانٌة الثالثة
4
𝟖𝟏( فةةةةةأذا كانةةةةت سةةةةرعته لةةةةد أصةةةةةبحت
ⓑبعده عن نمطة بدط الحركة بعد مرور ) (3ثوانً
الحل / 𝟖𝟏
𝟖𝟏 𝟎𝟏
𝟐𝟕
) ( ∫
𝟖𝟏 ∫
)𝟒(𝟖𝟏
𝟐𝟖
𝟎𝟏 𝟑
𝟓𝟓
𝟔𝟓
𝟏𝟏𝟏
|)𝟎𝟐
𝟔𝟑(
)𝟎𝟑
𝟏𝟖(|
𝟐
𝟗|,
|
)𝟎𝟏
𝟏𝟏𝟏
)𝟎(
𝟖𝟏
𝟖𝟏( ∫| 𝟐
𝟐
)𝟎𝟑
𝟐𝟖
𝟑
| 𝟏𝟎 -
𝟏𝟖(
𝟑 𝟎𝟏𝟎
𝟑 𝟐
𝟗,
)𝟎𝟏
𝟖𝟏( ∫ 𝟎
ⓒفً المثال أعاله جد السرعة بعد مرور ) (10ثوانً 𝟎𝟗𝟏
𝟎𝟏
𝟎𝟖𝟏
𝟎𝟏
)𝟎𝟏(𝟖𝟏
322
2
)𝟎𝟏(
𝟎𝟏
𝟖𝟏
) (
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
تمارين)𝟔 𝟒
س /1جد المسـاحة المحددة بالمنحنً الحل /نجعل 𝟎
, 𝟏 𝟏-
𝟏
𝟑 𝟎𝟏
𝟓
𝟕 𝟎𝟏
𝟐
𝟑
𝟎
*|
𝟓
𝟒
𝟎
𝟏 𝟒
)
|
𝟎
( ∫|
𝟒
)
|
𝟎
𝟓 𝟐 |) 𝟎𝟏
𝟑
𝟏 ) 𝟐
|)𝟎(
( |
( ∫| 𝟏
𝟏 (| 𝟓
𝟏 𝟓
𝟏 |) 𝟐
(
)𝟎(|
) ( وعلى الفترة , 𝟐 𝟑-ومحور السٌنات
𝟓
*|
𝟑
|
𝟓
𝟐
𝟖
𝟐𝟑 𝟓
(
س /3جد المسـاحة المحددة بالدالة
𝟐
|
*|
𝟒
𝟎
𝟐
)𝟒
𝟒
𝟑
𝟐
|
( ∫|
𝟐
)𝟒
𝟒
𝟑
𝟐
)𝟐𝟏
𝟑𝟒𝟐
𝟕𝟐
𝟓𝟏𝟏 |
𝟒
(
𝟐
𝟓 𝟏𝟏𝟐
𝟓
|)𝟖
(|
𝟎𝟔𝟏 | 𝟓
|
𝟒
𝟑
𝟑
𝟔𝟗 |𝟔𝟗 | 𝟓
𝟐𝟗𝟏 𝟓
𝟐
()𝟒
𝟓
𝟒 +
|)𝟖 /وحدة مساحة.
𝟐
𝟐
)𝟏
𝟎
𝟐
𝟑
𝟐
الحل /نجعل 𝟎
𝟏
𝟐
𝟑 𝟐 ,𝟓
) (
| +
)𝟏
𝟓
𝟐
𝟑
(
𝟒
الٌجاد نمط التماطع
) (
| 𝟒 +
*|
𝟎
𝟐
𝟓 𝟐 |) (| 𝟎𝟏
س /2جد المسـاحة المحددة بالدالة 𝟒
ٌهمل 𝟏
𝟎
𝟓
𝟐
𝟎
𝟎𝟏 𝟎𝟏
, 𝟏 𝟏-
𝟐
| +
𝟏
وزاري / 2012د2
𝟏 𝟏
الحل /نجعل 𝟎
ومحور السٌنات والمستمٌمٌن 𝟏
الٌجاد نمط التماطع
) (
/وحدة مساحة.
𝟒(
𝟐
𝟐𝟑
𝟖 𝟒𝟔
( ∫|
𝟓
(
𝟏𝟏𝟐 𝟓
|𝟑𝟐
|
)𝟖
|
𝟐𝟑
𝟖
𝟓
(|
𝟒𝟔 𝟓
|𝟐𝟑
|
ومحور السٌنات
) (
الٌجاد نمط التماطع
𝟏
𝟎
𝟏 𝟏 𝟑
| + 𝟎
/وحدة مساحة.
𝟒 𝟓𝟏
𝟎 𝟎 𝟑
𝟓
𝟑 𝟐 | 𝟓𝟏
)𝟏
𝟓 |
*|
| + 𝟏
𝟐 | 𝟓𝟏
|
(𝟐
()𝟏
𝟎
𝟑
𝟓 𝟑 | 𝟓𝟏
|
323
𝟎
𝟏
𝟓
𝟓
)𝟏
𝟐 (𝟐
*|
)𝟐
|
𝟒
𝟎
( ∫|
|
𝟒
)𝟐
𝟎
𝟓 𝟑 | 𝟓𝟏
|
|)𝟎(
𝟏 ) 𝟑
𝟐
( ∫| 𝟏
𝟏 (| 𝟓
𝟏 |) 𝟑
𝟏 𝟓
(
)𝟎(|
𝟒
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
س /4جد المسـاحة المحددة بالمنحنً
ومحور السٌنات وعلى الفترة 0𝟎 1
𝟑
𝟐
الحل / نجعل 𝟎
) ( 1
𝟐
الٌجاد نمط التماطع 𝟐 𝟑
𝟎0
1
𝟎0
𝟐
1
𝟑 𝟐
| +
𝟑
𝟑
| +
*|
𝟑
𝟑 .𝟑/
) ( |+
وحدة مساحة
𝟏 𝟑
𝟏
𝟑
]
*
𝟑
𝟏 | 𝟑
|
𝟐
𝟐
|
∫|
𝟎
𝟑
𝟑
|
)𝟎(𝟑
|+
[|
)𝟐(
[|
𝟑
𝟏 𝟑
)𝟏 ( |+
|
)𝟎( |+
*
𝟑
𝟑 .𝟑/
*
𝟑
]
𝟑
𝟏 |+ 𝟑
[|
𝟑 ) ( +
*
|,𝟎-
∫|
𝟎
𝟑
𝟑
]
𝟎
𝟑
𝟑
𝟏 | 𝟑
س /5جد المسـاحة المحددة بالمنحنً 𝟏
*|
𝟑 .𝟐/
[
𝟑
𝟐 𝟑
𝟑
𝟎
𝟑
|]
𝟐
𝟎
𝟎0
𝟐
𝟑
𝟑
*|
𝟑
)𝟏 ( +
*
*|
𝟑
ومحور السٌنات وعلى الفترة 0𝟎 1
𝟐
𝟐
الحل / نجعل 𝟎
) ( 0𝟎 1 𝟐
الٌجاد نمط التماطع 𝟑
𝟑
0𝟎 1 𝟐
𝟒
𝟐
𝟒
𝟐 𝟐 | + 𝟐
𝟒 𝟐 | + 𝟐 𝟎
*|
𝟒
. / | 𝟐
𝟐
) (
𝟐
|
)𝟎( |
𝟐
. / 𝟐
𝟐
|
𝟐
𝟐
𝟎
*|
|
𝟐 .𝟒/ 𝟐
𝟐
وحدة مساحة
𝟏
324
𝟏 𝟐
𝟐
∫|
|
𝟏 𝟒
𝟐
𝟏 𝟐
𝟏 | 𝟐
|
|
𝟐 .𝟒/
)𝟎(𝟐 | 𝟐 𝟏 𝟐
| |
𝟏 | 𝟐
∫|
𝟎
𝟒
𝟐 .𝟐/
|
𝟐
𝟐
𝟎
𝟐
𝟐 𝟎|
|𝟎
|
𝟏 𝟐
|
𝟐
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
س /6جد المساحة المحددة بالدالتٌن 𝟏 الحل /نجعل ) ( ,𝟐 𝟓-
𝟏
√
وعلى الفترة ][2,5
𝟐
الٌجاد نمط التماطع
) ( 𝟐
𝟐)𝟐
𝟎
(
𝟎
𝟐)𝟏
(𝟐
𝟓 𝟑
| ]
𝟒
𝟒
𝟒
| ]
[|
𝟐
𝟐
𝟐 |) 𝟑
𝟏(
𝟕 𝟐𝟏
) وحدة مساحة(
𝟒
س /7جد المساحة المحددة بالدالتٌن 𝟐𝟏
𝟏
𝟑 .𝟐/
𝟑
𝟓𝟐 | 𝟒
𝟐)𝟏(𝟐 | 𝟑
|
𝟒𝟔 𝟐𝟏
𝟕 | 𝟐𝟏
|
𝟒
𝟓
𝟏 ] 𝟐)𝟏
|
[|
𝟒
𝟑
𝟐) 𝟐𝟐(𝟐 𝟑
⇒
𝟐
(
𝟐)𝟏
𝟏 𝟒
𝟐
⇒
𝟓 𝟑
𝟐
𝟑
𝟐
)𝟒 ×(
)/بالتربٌع(.
𝟏 𝟐
𝟏 [ ∫| 𝟐 𝟐
(
𝟑
𝟐)𝟒(𝟐 𝟑
𝟏 𝟓𝟕
𝟏 | 𝟑
|
𝟏
𝟓𝟐 | 𝟒 𝟓𝟐 𝟒
𝟔𝟏 𝟑
|
𝟐
الحل /محلول صفحة )𝟖𝟒(
وزاري / 2014د1
س /8جد المســـــاحة المحددة بالدالتٌن الحل /نجعل ) (
) (
حٌث ,𝟎 𝟐 -
) (
الٌجاد نمط التماطع
) (
𝟎 ,𝟎 𝟐 -
)𝟏
,𝟎 𝟐 -
𝟐
,𝟎 𝟐 -
(
𝟎
,𝟎 𝟐 -
𝟎
,𝟎 𝟐 -
𝟐
𝟎
𝟏
𝟎
𝟐
)
|
( ∫|
)
|
( ∫| 𝟎
𝟐
𝟐
| +
|( )+
)
وحدة مساحة
(𝟐
𝟐 𝟒
* 𝟐
)
(𝟐 )+ |𝟐 |
𝟐( 𝟐
*|
𝟐 |𝟏
𝟏|
|𝟏
𝟏 |
325
*|
𝟐 )𝟎( 𝟐
|(𝟎)+ |)𝟏
𝟐
𝟐 𝟎(
)𝟏
| +
𝟐
𝟎
* 𝟎(|
)
( )+ |)𝟏
(𝟐
𝟐 𝟎(
)𝟏
*|
*| 𝟎(|
√
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
وزاري / 2013د2 س /9جد المساحة المحددة بالدالتٌن 𝟏 الحل /نجعل ) ( 𝟑 ] 𝟐
) (
𝟐
) (
𝟐
الٌجاد نمط التماطع
𝟑 𝟐
𝟎[
) (
حٌث 1
𝟑
𝟎0
𝟎
𝟏
𝟎
𝟏
𝟐
𝟏 𝟑 𝟐
𝟑
| 𝟐𝟎-
|𝟏
𝟑 𝟐
س /10جد المساحة المحددة بالدالة
𝟑
وحدة مساحة
الحل /نجعل 𝟎
𝟏
𝟑 𝟐
|
𝟑 ) 𝟐
|)𝟏 (
𝟐
𝟒
)𝟏
|
𝟎
|)𝟎
𝟎(|
𝟑
|,
( ∫|
𝟑 ) 𝟐
(
𝟎
𝟑 𝟐
(|
ومحور السٌنات
الٌجاد نمط التماطع
)𝟑
𝟎 𝟏
𝟑
𝟐
𝟒
𝟎
(
𝟎
𝟑
)𝟑
𝟎
𝟐
()𝟏
𝟎
|
𝟐
) 𝟑
𝟑
𝟒
|
𝟐
) 𝟑
𝟑
𝟒
( ∫|
𝟏 𝟎
𝟐 𝟑 | + 𝟏 𝟐 𝟑 |) 𝟐 |
𝟖𝟏
𝟒 𝟑
𝟏 𝟒
𝟔𝟏 𝟐𝟏
) 𝟎 (|
( 𝟑
|
) وحدة مساحة(
326
|
𝟑 𝟏
𝟒
𝟕𝟐 |) 𝟐
𝟒
*|
𝟔𝟑
𝟐𝟔𝟏
𝟐𝟑𝟒
𝟑
𝟕𝟑 𝟐𝟏
𝟏 𝟐𝟏
( 𝟏
( ∫|
𝟑 𝟒 𝟑
𝟒
𝟐 𝟑 | + 𝟑 𝟐 𝟏𝟖 𝟒
(
𝟑𝟒𝟐 𝟐𝟏
𝟑 𝟒 𝟑 𝟑 ) 𝟐
𝟖𝟏
𝟓 𝟐𝟑 𝟐𝟏
𝟒
𝟒
*|
𝟒 𝟑
𝟏 (| 𝟒
𝟔𝟏
𝟑
𝟓 | 𝟐𝟏
|
|
𝟐𝟑 𝟐𝟏
𝟑
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
س /11جسم ٌتحرن على خط مستمٌم بسرعة ⓐالمسافة الممطوعة فً الفترة ,2 4- الحل/
)𝟑
𝟐 𝟑( ) ( أحسب ⓑاألزاحة فً الفترة ,0 5-
𝟔
وزاري / 2015د1 )( 3 ,2 4-
𝟔𝟐
|𝟐
𝟖𝟐|
|)𝟔
1 𝟖(
𝟐𝟏
(𝟎)-
𝟓𝟔
𝟎 )𝟐𝟏
)𝟓𝟏
𝟓𝟕
0
𝟏
𝟖𝟒
)1
𝟒 |𝟑 - 𝟐
𝟒𝟔(|
()1
0
𝟔
𝟏
𝟐
𝟐 𝟒
𝟐
𝟑
𝟑
|
|,
)𝟑
𝟔
𝟐
𝟔
𝟐
𝟑( ∫| 𝟐
𝟓 |𝟑 - 𝟎
𝟓𝟐𝟏(,
0
(
𝟑
𝟐
𝟑
𝟓 𝟐
𝟑
𝟑
)𝟑
|,
𝟑( ∫ 𝟎
وزاري / 2011د2 𝟐
س /12جســــةةةةةـ م ٌتحةةةةةرن علةةةةةى خةةةةةط مسةةةةةتمٌم بتعجٌةةةةةل لةةةةةدره 𝟎𝟗 أحسب مرور )(4ثوانً تساوي
𝟒( وكانةةةةةت سةةةةةرعته بعةةةةةد
)𝟐𝟏
ⓐالسرعة عندما 𝟐 ⓑالمسافة خالل الفترة ,1 2- ⓒاالزاحة بعد ) (10ثوانً من بدط الحركة الحل / 𝟐
𝟐𝟏 𝟎𝟏
𝟐𝟒
|)𝟎𝟏
𝟔
𝟎𝟖
𝟎𝟗
𝟎𝟏
𝟒𝟐
(
)𝟎𝟐
𝟐 𝟑
𝟖𝟒 𝟖
𝟒𝟐
𝟎𝟏
)𝟐(𝟐𝟏
|)𝟎(
)𝟎𝟎𝟏
𝟎𝟎𝟔
𝟎𝟎𝟎𝟐 (| 𝟑
𝟐
𝟏
𝟒𝟖
𝟒𝟏 𝟑
𝟎𝟏
𝟏𝟎 + 𝟎
𝟎𝟗
𝟔
𝟎𝟏
𝟑 𝟐 * 𝟔 𝟑 |𝟖𝟐
𝟑 𝟐
)𝟒(𝟐𝟏
)𝟐(
)𝟒(𝟐
𝟏𝟎 +
𝟖𝟗 𝟑
𝟐
𝟐𝟑
𝟐
𝟔𝟏 (| 𝟑
)𝟐𝟏
𝟒𝟏 𝟑
𝟐
𝟑
*
𝟎𝟎𝟏𝟒 𝟑
327
) ( ∫
𝟒(∫
)(
)𝟔𝟏(𝟐 𝟐
𝟐𝟏
)(
𝟐
𝟐
)𝟎𝟏
𝟐
𝟐𝟏
𝟐( ∫ 𝟏
|
|𝟔𝟏
𝟐 𝟑
𝟒𝟒
𝟔𝟏 𝟑
|
𝟎𝟏
)𝟎𝟏
𝟐𝟏
𝟐
𝟐( ∫ 𝟎
𝟎𝟎𝟑
𝟎𝟎𝟖𝟏 𝟑
𝟎𝟗
𝟎𝟎𝟎𝟐
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
س /13تتحرن نمطة من السكون وبعد
)6 2
ثانٌة من بدط الحركةة اصةبحت سةرعتها
الزمن الالزم لعودة النمطة الى موضعها االول الذي بدات منه ثم أحسب التعجٌل عندها .
(100أوجةد
وزاري / 2014د2
الحل /
)6 2
نكامل الطرفٌن 𝟑
𝟐
2
(100
6 2/
𝟎𝟓
) (
∫.100
النقطة تتحرك من السكون ∴
𝟎
𝟎 𝟓𝟎(0)2
𝟑)𝟎(𝟐
𝟎
𝟑
2
𝟐
𝟎
𝟎𝟓
عند عودة النقطة الى موضعها األول ٌعنً أن األزاحة ) ( تساوي صفر لذا ٌكون : 𝟎
الزمن الالزم لعودة النقطة الى موضعها األول
𝟐
𝟓𝟐
⁄
𝟎𝟎𝟐
328
) 𝟐
𝟎𝟓(
ٌهمل
𝟎
𝟎𝟓
𝟎𝟎𝟑
𝟎𝟎𝟏
2
𝟑
𝟎
𝟐
𝟐
2
𝟎 𝟎
2
𝟎𝟓
2
50
التعجٌل
) (̅
) (
12
100
) (
)𝟓𝟐(𝟐𝟏
𝟎𝟎𝟏
)𝟓𝟐(
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
الحجــوم الدورانٌــة: .1لحسةةاب حجةةم الشةةكل المتولةةد مةةن دوران المنطمةةة المحةةددة بةةٌن منحنةةً الدالةةة ) ( حول محور السٌنات نطبك العاللة التالٌة
𝟐
المسةةتمرة مةةن
∫
.2لحسةةاب حجةةم الشةةكل المتولةةد مةةن دوران المنطمةةة المحةةددة بةةٌن منحنةةً الدالةةة ) ( حول محور الصادات نطبك العاللة التالٌة
الى
𝟐
الى
المسةةتمرة مةةن
∫
وزاري / 2013د3
مثةةةةةةال ( /)1المنطمةةةةةةة المحةةةةةةددة بةةةةةةٌن المنحنةةةةةةً 4 حول محور السٌنات ,جد حجمها .
0
ومحةةةةةةور السةةةةةةٌنات ,دارت
√
الحل / ) وحدة مكعبة(
])(0
8
𝟒
2
16 ) ([ 2
+
2
*
𝟐
∫
𝟒
) √( ∫
𝟎
𝟐
∫
𝟎
وزاري / 2014د3
مثال ( /)2المنطمة المحددة بٌن المنحنً 𝟒
𝟏
𝟏
دارت حول محور الصادات .جد حجمها .
الحل / ) وحدة مكعبة(
𝟐
𝟐
𝟏-
𝟒
𝟒 𝟏
,
𝟒 𝟏 ) ( ∫
,
𝟐
)
𝟏
𝟒 𝟐
( ∫
𝟏
∫
𝟏
وزاري / 2011د2
مثةةةال ( /)3أوجةةةةد الحجةةةةم النةةةات مةةةةن دوران المسةةةةاحة المحةةةةددة بةةةالمطع المكةةةةاف الةةةةذي معادلتةةةةه حول المحور السٌنً 2 والمستمٌمٌن 0
2
8
الحل / ) وحدة مكعبة(
0-
16
,16
𝟐 𝟎
𝟐 2
∫ 8
,4
𝟐
∫
𝟎
2
مثةةةال ( /)4أوجةةةد الحجةةةم النةةةات مةةةن دوران المسةةةاحة المحةةةددة بةةةالمطع المكةةةاف الةةةذي معادلتةةةه حول المحور السٌنً 0 والمستمٌمٌن 5
2
الحل/ ) وحدة مكعبة(
𝟎𝟎𝟓𝟐
(𝟎)+
𝟓)𝟓(𝟒 𝟓
𝟓
*
𝟓 𝟒 * + 𝟎 𝟓
329
𝟓 𝟒
𝟒 ∫ 𝟎
𝟐 𝟐
)
𝟓
𝟐( ∫ 𝟎
𝟐
∫
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
2
مثةةةةةةةةال ( /)5أوجةةةةةةةةد الحجةةةةةةةةم النةةةةةةةةات مةةةةةةةةن دوران الم سةةةةةةةةاحة المحةةةةةةةةددة بةةةةةةةةالمطع المكةةةةةةةةاف حول المحور الصادي 0 والمستمٌمٌن 16
4
الحل/ ) وحدة مكعبة(
مثةةةةال (/)6 𝟑
𝟐𝟑
(𝟎)+
𝟔𝟏 𝟐
𝟐)𝟔𝟏( * 𝟖
+ 𝟎
𝟖
𝟔𝟏
. / 𝟒
*
𝟐
∫
∫
𝟎
أوجةةةةد الحجةةةةم الناشةةةة مةةةةن دوران المنطمةةةةة المحصةةةةورة بةةةةٌن محةةةةور الصةةةةادات ومنحنةةةةً الدالةةةةة 1دورة كاملة حول المحور الصادي .
3 ,
الحل/
𝟐 ] 𝟑
[ 𝟖𝟏
]𝟏
𝟏 𝟑
𝟑
[ 𝟖𝟏
𝟏
] [
𝟑
]
𝟖𝟏
𝟏
𝟖𝟏
𝟗
) 𝟐
[
𝟏
𝟑 𝟐
( ∫
∫
𝟏
) وحدة مكعبة(
𝟐𝟏
وزاري / 2015د3 𝟏
أوجد الحجم الناش من دوران المنطمةة المحصةورة بةٌن محةور الصةادات ومنحنةً الدالةة 2
1
والمسةتمٌمٌن
دورة كاملة حول المحور الصادي .
الحل/
) وحدة مكعبة(
𝟏 𝟐
]𝟏
𝟏 𝟐
[
𝟐𝟏 ]
[
𝟏
𝟏
) 𝟐
1
1
2
1 2
𝟐 𝟐
( ∫
∫
𝟏
وزاري / 2013د2
أوجةةةد حجةةةةم المنطمةةةةة المحصةةةةورة بةةةٌن منحنةةةةً الدالةةةةة
𝟏
والمسةةةةتمٌمٌن 1
ومحةةةةور
2
الصادات دورة كاملة حول المحور الصادي الحل/ ) وحدة مكعبة(
𝟏 𝟐
]𝟏
𝟏 𝟐
330
[
𝟐𝟏 ] 𝟏
[
𝟏
) 𝟐
𝟐
( ∫ 𝟏
𝟐
∫
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝟒(
تمارين)𝟕
2
س ) /:(1أوجةةةةةةد الحجةةةةةةم الةةةةةةدورانً المتولةةةةةةد مةةةةةةن دوران المسةةةةةةاحة المحةةةةةةددة بةةةةةةالمطع المكةةةةةةاف حول المحور السٌنً 1 والمستمٌمٌن 2 الحل/ 31 5
) وحدة مكعبة(
32 5
1 ] 5
2
[
𝟐
+
5
*
𝟐 2 )2
∫
𝟐
( ∫
𝟏
∫
𝟏
وزاري / 2013د1
س /2أوجةةةةةةد الحجةةةةةةم النةةةةةةات مةةةةةةن دوران المسةةةةةةاحة المحصةةةةةةورة بةةةةةةٌن منحنةةةةةةً الدالةةةةةةة حول المحور الصادي والمستمٌم 4
2
1
الحل/ 1 2
1 ) وحدة مكعبة(
𝟏 𝟐
𝟏 ] 𝟐
𝟒
𝟏 ( 𝟐
])𝟏
𝟒[
𝟒
)𝟒
𝟐
+
𝟖([
2
1
𝟒
𝟐
𝟏
0
*
𝟐
( ∫
)𝟏
∫
𝟏
س /3أحسةةةةةةةةب الحجةةةةةةةةم المتولةةةةةةةةد مةةةةةةةةن دوران المسةةةةةةةةاحة المحصةةةةةةةةورة بةةةةةةةةٌن المنحنةةةةةةةةً حول المحور الصادي والمستمٌم 0
2
1
الحل/ 2
)حدود التكامل( 𝟏
+ 𝟏
𝟓
𝟓
) وحدة مكعبة(
𝟑 𝟐 𝟑 𝟔𝟏 𝟓𝟏
)4
*
2
𝟏
1 2
1 𝟏
𝟐
1
𝟐) 2
𝟏( ∫
𝟔
𝟎𝟐 𝟓𝟏
𝟎𝟑
𝟐 ] 𝟓
𝟎
𝟏 𝟐
∫ (1
𝟏
𝟒 𝟑
2
∫
𝟏
𝟏 ]) 𝟓
𝟐[
𝟐 𝟑
𝟏 (
𝟏 ) 𝟓
𝟐 𝟑
𝟏([
وزاري / 2014د2 س /4أحسةةةةةةةةةب الحجةةةةةةةةةم المتولةةةةةةةةةد مةةةةةةةةةن دوران المسةةةةةةةةةاحة المحصةةةةةةةةةورة بةةةةةةةةةٌن المنحنةةةةةةةةةً حول المحور السٌنً 0 والمستمٌمان 2
2
الحل/ ) وحدة مكعبة(
4
]0
331
16 4
2
[
+
𝟐
4
*
∫ 𝟎
𝟐
∫
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
حلول التمارٌن العامة الخاصة بالفصل الرابع س / 5جد
( مرتبطة بموضوع التفاضل
لكل مما ٌأتً :الفروع )
𝟐
| 𝟐| 𝟐 𝟐
| 𝟐|
) 𝟐(
𝟐
𝟐
𝟏 )𝟐 ( 𝟐
| 𝟐|
𝟐
) (𝟐
)
)
) (
( (𝟐
()
𝟐
| | | |
𝟏
) 𝟐( | |
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
) (
𝟐
𝟐
|
|
) (
𝟏
(𝟐
)
) (
𝟐
) ( ()
)
)
(
()
𝟐) )
𝟐
𝟎
( 𝟐
𝟐
)
(
𝟐) 𝟐
𝟒 𝟐)
𝟎
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
𝟐)
𝟐
)
332
𝟐
𝟐 ( )
(
(
(
𝟐
(
(
( )
) ( (
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
س / 12جد تكامالت كالً مما ٌأتً :
)𝟏() 𝟐
)
(∫
𝟐
𝟐
𝟐
)𝟐 ∫𝟐 𝟏 𝟏(∫ 𝟐
) 𝟒
∫𝟐
𝟐
𝟐
𝟐
) 𝟐( 𝟐
∫
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏 ( 𝟐
𝟐
𝟐
(∫
𝟐
𝟐
)𝟐 ( 𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
𝟐
∫ 𝟏 ∫ 𝟐 𝟏 𝟐
𝟑
𝟒
𝟏 𝟖
𝟏 𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
𝟏 𝟔
𝟒
𝟏 𝟖
𝟓 𝟐
𝟐
𝟐
𝟑
𝟏 𝟔
𝟐)
(
𝟏
| |
∫
𝟑
𝟐
√
𝟑
√
𝟔
𝟏 𝟑
𝟔
𝟏 𝟑
𝟐 / 𝟑
333
.
𝟏 ) ( ∫ )𝟑(𝟐 𝟑
𝟏 𝟑
) (
∫
𝟐
𝟐
) (
(∫
𝟐
𝟐
𝟐
𝟏 𝟒
) 𝟒
𝟐
𝟐
𝟐
()𝟏
𝟐∫
𝟐
𝟏 (∫ 𝟐
)𝟐() 𝟐
𝟐
∫
()
𝟐
𝟐
(∫
𝟏 𝟐
)𝟐 𝟐
)
𝟒
𝟒
(∫
) (
𝟑
√
𝟐 / 𝟑
.
∫
) (
𝟐∫
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝟑
∫
) (
𝟑 𝟐
)
𝟑
𝟐
(∫
∫ 𝟓
𝟏 𝟑) 𝟐
𝟓
)𝟐
𝟑( ∫ 𝟒 𝟑) 𝟐
𝟓 𝟒 𝟑
𝟓
𝟑(
𝟑
)𝟐
∫
𝟑( 𝟏 × 𝟎𝟏
𝟏 𝟑) 𝟐
𝟑
𝟓
𝟑( 𝟑
𝟓
𝟓
𝟗𝟒 𝟏 𝟕
𝟏
)𝟕 𝟏
(
)𝟕
𝟓
𝟑 𝟑( 𝟎𝟒
𝟏 𝟒𝟏
∫
𝟐)𝟕 𝟑
𝟑
334
𝟏 𝟑
𝟐
𝟏
(∫
𝟑
𝟑
∫
𝟏 𝟑( )𝟎𝟏 (∫ 𝟎𝟏 𝟒 𝟑) 𝟐
𝟐
𝟑
𝟑
∫ ) (
𝟑 𝟑
𝟐
(
𝟐
) (
∫
∫
𝟏 )𝟑(∫ 𝟑
) (
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
حلول األسئلة الوزارٌة الخاصة بالفصل الرابع سؤال وزاري / 96د ⁄ 1جد نات : 2
)
(∫ )(1
3 3
1 √1 2
2
4
] [2(1)2
] [2(22 )2
[2(1
] )2
)2
]
(1 1 2
)2
[
3 3
3 3
2 3
1 3
3
3
3
2
) 3
2
∫2 3
سؤال وزاري /96د ⁄ 2جد نات : ) 1 ∫(1 2
) 2 2
1 4
2
∫ )(3
∫(1
3
∫
3
1 3
() )
∫
1 2
∫(1 6
2
2 9
∫ )(2
) 2
2
1 2
(∫ 2
(∫
1 ( 2
سؤال وزاري /97د ⁄ 1جد نات : 15
15)2
114
2
0 (1) 1
0 (72 ) 1
335
2
1 ( ∫2 2
15) 1
2
2
15)2
( 0
+
)
2
( ∫
(
*2
√
∫
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
سؤال وزاري /97د ⁄ 1جد نات : 2
2
1 ∫ 2
2
1 ∫ 2
2
1 16
4
) 2
1 1 ∫(1 2 2
) 4 1 4
1 (1 2
1 4
2
) 4
∫
2
1 1 )∫(2 2 2
2 1 4
2
∫
1 ( 4
1 4
2
سؤال وزاري /97د ⁄ 2جد نات : 3 )2 1 ∫(1 2
) 6
6
1 12
3 3
∫2 2 3
) 3
∫ 3 2
2
3
1 6
) 6
2
1 ( 2
∫(1
∫(1 2 3
3
سؤال وزاري /98د :1جد: 2 )2 2
2
(2
∫2
) 2 ) 4
1 ∫(1 2
) ) 4
1 4 4
1 ( 2 1 8
1 2 4
336
3
1 2
) 2
1 ( 2
1 4
2 4 3
(∫ 1 ∫(1 2
) 2
4 3 1 8
2
2
4
(∫
2
1 2 1 4
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
سؤال وزاري /98د :1إذا كان
𝟗
)𝟑
𝟒
(𝟏 ∫ ما لٌمة
2
0
9
1
2
1
2
2
؟
9
2
0
2
1 0
1
2
8
2
2
1
0
×( 9 ⇒ 4
)
2
0 0
2
1 4
4
2
8 2
)2
2
سؤال وزاري /98د :2إذا كان 𝟐𝟏
4
𝟐( ∫ وكان 𝟑
)𝟑
2
2 2
()4
0
2
4
ما لٌمة
𝟐
(
2
ٌهمل 2 2
2
0
؟
الحل/ )(1 3 -
12 12
2
3
2
3
0 )
(
⇒0
30
21
2
3
0
12
6
12 0
12
9
6 )5
,
3 -
2
)3 ,
2
3 -
,
3(3
2 )2
(3
3
)2
4
12
(9
3
2
2
4
12
9
3
2
(
0
10
7
2
9 ()2
1
)2(2
3
2
0
2
7
)2(5
3
5
0
5
337
∫(2
2
) 2
12
2
2 12
3
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝟐
سةةةةةةةؤال وزاري /2000د : 2جةةةةةةةد المسةةةةةةةاحة المحةةةةةةةددة بمنحنةةةةةةةً الدالةةةةةةةة
𝟐
) ( ومحةةةةةةةور
𝟏
السٌنات وعلى الفترة 0𝟎 1 𝟐
الحل: 2
-
2
1 فترات التكامل 1
2
2
0 3 4
𝟎0
𝟐
2
2
0 1
𝟐
𝟎0
1
2 4
00 1 0
2
1 [| 2
2
| ] 2
2
1 [| 2
| ] 2
|
2
|
∫|
1 1 [| [ ] |] 2 2 2 1 1 1 1 |)(1 وحدة مربعة 1 )| (0 2 2 2 2
∫|
2
1 1 [| [ ] 2 2 2 1 1 |)(0 )| (1 2 2
|]0
سؤال وزاري /96د :1جد: 2 2
1 ∫ [ (2 2 1 2 ∫ 2 4 1 1 8 32
]) ) 4
1 1 ∫(1 4 2 4
2
-2
∫
∫,
2 1 (∫ ) 2 2 1 1 ) 4 ( 8 4
سؤال وزاري /2001د :2جد: 2
)2 ) 2 ( 2
1 ∫(3 2
2
] 2 5
4 10
1 ) 2 5
1 10
338
) 2
∫(3
2
) 2 + 1
[ 2(3 1 10
)2
1 2
1 ] )2(5
4
(3
12
∫
1 (3 2 [
*
1 [ ] )2(1
9
∫
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝟑
سةةةةؤال وزاري /2001د :1جةةةةد المسةةةةاحة المحةةةةددة بمنحنةةةةً الدالةةةةة 𝟗 الفترة ., 𝟑 𝟑- الحل/
0
2
9
0
0
ومحةةةةور السةةةةٌنات وعلةةةةى 2
)9
(
0
3 ∴ فترات التكامل ,0 3-
|,0-
1
2
2
9
, 3 0) 9
| |0
9
|1
0
2
|,0-
( ∫| | 1
| 1
|0
2
2
وحدة مربعة 40
) 9
|
|
2
2
|
( ∫| |0
2
|
2
|
سؤال وزاري /2001د :1جد لٌمة: 5 (2
)5
2
] 5 )2 432 3
144
2 ( [ 3
]
5 )2 3 2
2 )(216 3
الحل/
0
2
4
4
3
𝟐
2 ] [ (0)2 3
𝟑 2
3 0
ٌهمل)0
2
1
(
2
2
96 وحدة مربعة 5
96 | 5
|
|32
64 5
|
|0
|
8
32 5
|]8
339
)1
2
2
4
2
| 4 1
3
4
)4 [
2
]8
.
2
()4 0
4
2 (|∫ 2
3 8
32 [| 5
(∫
2 [ (16 3
] 20)2
𝟒
𝟒
2
5 )2 (2
)5
[
2 ] [ (62 )2 3
سؤال وزاري /2002د :1جد المساحة المحددة بمنحنً الدالتٌن 2
2
(
2
( 2
∫
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
سؤال وزاري /2002د :1جد المساحة المحددة بمنحنً الدالتٌن الحل:
0
(
)2
,0 3| 1
2
2
|0
2
|4
|
| 1
|1
2
|
4
) 2
|41
0
وحدة مربعة 2
𝟒 𝟐
2
2
|
2
,0 3-
|,9
| |
2
( |∫2
9-
2
𝟗
2
𝟐 2
0
|
سؤال وزاري /2004د :1إذا كان 𝟐
0
2
|0
𝟐
وعلى .,𝟏 𝟑-
2
|0 |
| |11
0
41
|
|3
|
|
2
( ∫|
) 2
2
0
∫ فجد لٌمة .h
الحل/ 2
1 ( ∫2 2
2
9) 2
2 بالتربٌع
⇒ 3
2
)9
2
9) 2
0(16
2
+
)9
2
9) 1
2
5
(0
9) 1
)9
2
(
2
0 سؤال وزاري /2006د :1جد لٌمة 2
الحل/
1 1 3
2 6
2
9)2 2
(
2
( ∫
2
∫
0
)
(
(
) (52
2
9
*2
9
𝟐
𝟏∫.
𝟐) 𝟐 𝟓(
) 2
( 2
3
1 6
)( 2
0
1 6
1 2
]
2
1 )2
340
) 2
[ 2(5
2
∫ (5 ]
1 )4
2 2
[ 2(5
2
) 2
2
]
(
∫ (5 1
) 2
2(5
[
2
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل 𝟐
سؤال وزاري /2006د :2جد لٌمة
𝟐)𝟒 2 )
𝟏∫.
𝟑(
(
1
3
0
2
2
سؤال وزاري /2008د :1إذا كان 𝟑 ) (
∫ (3
)4 1
) (
2
)
0
(
1
(
)
)4 2
0
∫ وكانت -
) (
∫ 𝟓
2
2
∫ (3 1
(
)
0
جد لٌمة
,
∫
الحل/ 3
) (
سؤال وزاري /2008د :2جد المشتقة
𝟐 )1
∫
𝟐
5
) (
∫
2
) (
∫
) ( 3
) (
∫ ) (
5
∫
∫
∫ 2
4
الدالة
2
∫ )
∫
1)2
∫(4 2
(
2
∫(2 ∫4 ∫4
∫4
∫4
(
)
4 سؤال وزاري /2009د :1جسم ٌتحرن بسرعة 𝟗 - 1المسافة الممطوعة خالل الفترة [.]0,2 𝟐 -2الزمن الذي ٌصبح فٌه التعجٌل الحل/
𝟐𝟏
𝟐
4
) ( فً أي زمن tإحسب:
𝟑
𝟖𝟏. 3 0
-
0
()3
(
,0 2-
3
)1
,0 2-
9 0
12
2
4
2
3
1
0
3
0
1
(1) 3
2
2 | 9 - 1
6
2
2
6
4
|,
1 | 9 - 0
|4
|2
2
||4
|,
6
|9-
|
6
)9
,1
12
18-
2
|∫(3
24
|,8
12 5
30
6
341
12
18
|
6 6
)9
12
|,0-
9-
) (̅ 12
2
|∫(3
6
|,1
) ( 6
18
)(2
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل 𝟖
سؤال وزاري /2009د :2جد لٌمة
𝟐
𝟑∫
𝟑
الحل/ ]
2
4
6
(
1)2 1 2
1) 2
[
∫
(∫ 1)2
] [2(32 )2
] [2(22 )2
[2(3
] 1)2
سؤال وزاري /2009د :2جد المساحة المحددة بٌن المنحنٌن: الحل/
[2(8
] 1)2
𝟐
1
𝟐
𝟎0
3 4
1
𝟐
1 2
2
| ] 2
𝟐
2
|1 وحدة مربعة 1
1 2
| ] 2
2 2
0
سؤال وزاري /2010د :1جد المساحة المحددة بٌن المنحنٌن 𝟏
2
2
0
2
|
[|
1
∫|
2
2
|)(1
2
2
3 2 2
2
2
] 1)2
𝟐
4 [|
([2
فً الفترة .0𝟎 1
2 𝟎0
(2
)1
(
∫
01
0
2
2
1
0
|)(0
) (
𝟐√
2
)| (0
2
|
∫|
2
2
|0
)| (1 2
2
فً الفترة [.]1,5
) (
الحل/ تربٌع الطرفٌن
1 0
0
√2
1)2
(
0
|
1)2
1 1
1
√2 2
2
2
1 |
∫|
2
| +
2
24 |] 2
*|
[
| 1 ] 3
] 1)2
20 | 6
342
| +
1 |] 2
[| |
0 |
2
1 |[ (2 3
1 (32 )2 3
10 وحدة مربعة 3
|∫(2
|
2
25 2 72
1
*|
[ 2 6
2
1
1)2
]
√2
|∫ [(2
1 (2 1)2 [| | ] 3 2 2 1 ] (1)2 3 54
|
24 | 2
1 (9)2 3
[|
1 3
|9
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝟐)
سؤال وزاري /2010د :1جد لٌمة
(𝟐𝟎∫.
الحل/ 2
)1
2
)
∫(2
2
1 ])(1 2
[
]
2
1 2
2
]
1 )( 1 2
2
2
]0
[
)1
[ 1 2
0
وحدة مربعة / سؤال وزاري /2010د :1منحنً مشتمته األولى
𝟐 𝟒
𝟒
]
[
2
𝟐
2
2
وبما ان )(1 2
المنحنً
(
2
2
2
) (
)2
2
) ( ∫
) (
(∫ 2
) (
2
2
2
𝟐
سةةةةةةةةةةةةةةةةةؤال وزاري /2010د :2إذا كةةةةةةةةةةةةةةةةةان 𝟔
) ( 𝟏∫
) (
𝟐
2
2 2
معادلة المنحنً
𝟒 -
1 2
1 2
تحقق معادلته 0
) (
2
2
) (
(∫
)2 2
1 2
[
ٌمر بالنمطة ( )1,2جد معادلة المنحنً.
الحل/
) (
2
( ∫
2
.1
بتكامل الطرفٌن
)2
2
(∫
) (
2
𝟑
𝟏∫ جةةةةةةةةةةةةةةةةةد لٌمةةةةةةةةةةةةةةةةةة:
𝟑
) ( ∫𝟏 ,
الحل/ ) (
∫ 4 20
16
4
2-
) (
∫ ,18
343
4
∫ 2 -3
1
,2
4 -
) (
4
1
2
) ( ∫ , 0
2
6
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝟒 𝟐 𝟑 ) ( جد المسافة سؤال وزاري /2010د :2جسم ٌتحرن على خط مستمٌم بحٌث سرعته 𝟕 التً ٌمطعها الجسم بعد مضً ( )4ثوانً من بدط الحركة ,ثم جد التعجٌل عندها علما ً أن المسافة تماس باألمتار. الحل/
124
,0-
28-
4 0
,64
32
2
7 -
7 >0
4
2
3
)7
4
2
∫ (3
,
2
التعجٌل فً أي لحظة 2
سؤال وزاري /2012د :1جد المساحة المحددة بالمنحنً 𝟑)𝟏
الحل/
, 1 3|
(
)1 4
|
وحدة مساحة 8
+
4
4
28
0
1
)1 4 ||4
24
)(4
)6(4
0
1
|
)1
(∫|
|| 4
|0+
)(2 4
*
4
) (̅
) (
) ( ومحور السٌنات فً الفترة [. ]-1,3
(
(
4
4
6
) (
)1
(∫ |
)( 2 |+ 4
|*0
|
*|
)1
𝟐
سةةةؤال وزاري /2012د :1جةةةد الحجةةةم النةةةات مةةةن دوران المسةةةاحة المحصةةةورة بةةةٌن المنحنةةةً 𝟏 حول المحور الصادي. 𝟐 والمستمٌمٌن 𝟏 الحل/ ])1
1 2
(
)2
4 2
2
([
2
2
+ وحدة مكعبة
2
2
344
)1
*
/
2
.0
2
(∫
/1
2
.
)2
∫
0(2
(
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
2
سةةةةةةؤال وزاري /2012د :2جةةةةةةد الحجةةةةةةم النةةةةةةا ت مةةةةةةن دوران المسةةةةةةاحة المحةةةةةةددة بةةةةةةالمنحنً حول المحور السٌنً 2 والمستمٌمٌن 1
√5
الحل/ ) وحدة مكعبة(
𝟓𝟐𝟏𝟑
𝟓 𝟓 𝟎
𝟓)𝟓(
)𝟎(
𝟐 𝟒
𝟐
2/
𝟓 ∫
𝟐
5
𝟐
∫ .
𝟏
∫
𝟏
سةةةؤال وزاري /2012د :3جسةةةم ٌتحةةةرن علةةةى خةةةط مسةةةتمٌم بتعجٌةةةل ) 𝟐 ⁄ أصبحت ) 𝟐𝟖( بعد مرور ) (4ساعات من بدط الحركة فجد :
𝟖𝟏( فةةةأذا كانةةةت سةةةرعته لةةةد
ⓐالمسافة التً لطعها خالل الساعة الثانٌة ⓑبعده عن نمطة بدط الحركة بعد مرور ) (3ساعات الحل / 𝟖𝟏
𝟖𝟏 𝟐𝟕
𝟎𝟏
𝟖𝟏 ∫
) ( ∫ )𝟒(𝟖𝟏
𝟐𝟖
𝟎𝟏
𝟖𝟏
𝟐
𝟕𝟑
𝟗𝟏
|)𝟎𝟏
𝟔𝟓
𝟗(
𝟔𝟑(|
)𝟎𝟐
𝟐
| 𝟏𝟎 -
𝟐
𝟗|,
|
)𝟎𝟏
𝟖𝟏( ∫| 𝟏
𝟏 𝟑
𝟏𝟏𝟏
)𝟎(
)𝟎𝟑
𝟏𝟖(
𝟏𝟎 -
𝟑 𝟐
𝟗,
)𝟎𝟏
𝟖𝟏( ∫ 𝟎
𝟎
𝒙𝒏𝒂𝒕
𝟐𝟖
𝝅
سؤال وزاري /2013د :1جد 𝒙𝒅 𝒙𝟐𝒔𝒐𝒄 𝟒𝟎∫ الحل/ 𝟏 𝟐
𝟎
𝟏 𝟐
)𝟎( 𝟐𝒏𝒂𝒕 𝟐
𝝅 𝒕𝒂𝒏𝟐 . 𝟒 / 𝟐
345
𝝅 𝟒
𝝅
𝟒 𝒙 𝟐𝒏𝒂𝒕 * + 𝟎 𝟐
𝒙𝒅 )𝒙
𝟐 𝐜𝐞𝐬(
𝒙𝒏𝒂𝒕 ∫ 𝟎
𝝅 𝟒
𝒙𝒏𝒂𝒕 ∫ 𝒙𝒅 𝒙 𝟐𝒔𝒐𝒄 𝟎
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
𝟒
|𝟔
سؤال وزاري /2014د :3أثبت أن 𝟎𝟑
𝟑|𝟐 ∫
الحل/
الدالة
𝟑 𝟑(
𝟔 𝟐 )𝟔 𝟐< ( ألن : مستمرة على الفترة , 𝟐 𝟒-وذلن ألنها مستمرة عند )𝟐 معرفة 𝟎 𝟔 𝟑( 𝟎 )𝟔 𝟏 ) 𝟐(
) 𝟑
𝟎
𝟐
𝟔(
|𝟔
{
)𝟐(
)𝟐(𝟑 ) (
{
𝟐
) (
)𝟐(
𝟐 𝟒
)𝟔
) (
)( ) (
𝟐
) 𝟐(
موجودة 𝟎
𝟑|
=
𝟑( ∫
𝟐 𝟒
𝟑 ( ∫
𝟐
𝟏
∴
𝟐
)𝟔
∵
𝟑| ∫
|𝟔
𝟐
𝟐 𝟐
𝟏𝟐)-
𝟔(
𝟒 𝟐 𝟑 𝟐 𝟑 ] 𝟔 ] 𝟔 [ [ 𝟐 𝟐 𝟐 𝟐 𝟔 (, )𝟐𝟏 𝟔 ( )𝟐𝟏𝟒𝟐(, 𝟎𝟑 𝟔 𝟖𝟏 𝟔
)𝟒𝟐
سؤال وزاري /2014د :3جد
𝟐
𝟒
√∫
الحل/ 𝟐
𝟐
)𝟐
∫
(𝟐
𝟒
√∫
𝟐
√∫
𝟓 𝟐 𝟒 𝟑 𝟐 𝟑
سؤال وزاري /2015د :1جد
𝟏∫
𝟐
الحل/ 5 ] 𝑥
𝟑
𝟏
𝑥4
𝟐
[
10 3
+
1
5
𝟐
𝑥4
)𝟐
*
𝟒
𝟓
𝟐
𝟓
𝟐( ∫
𝟒
𝟑
𝟐
𝟐
𝟏
15
5 3
5 3
5
8
346
𝟓 3
3
5-
4
𝟑
∫ 𝟏
𝟏,
𝟓 ] 3
12
𝟗[
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
سةةةةةؤال وزاري /2015د :2جةةةةةد مسةةةةةاحة المنطمةةةةةة المحةةةةةددة بمنحنةةةةةً الدالةةةةةة السٌنات وعلى الفترة , 𝟑 𝟑-
𝟑
𝟗
) ( ومحةةةةةور
الحل /
محلول فً الصفحة )𝟖𝟔( سؤال وزاري /2001د:1
سةةةؤال وزاري /2015د :2جسةةةم ٌتحةةةرن علةةةى خةةةط مسةةةتمٌم بتعجٌةةةل ) 𝟐 ⁄ الحركة أصبحت السرعة ) 𝟒𝟐( ,أحسب : ⓐالمسافة الممطوعة فً الثانٌة الخامسة . ⓑبعد الجسم بعد مضً ) 4ثوانً ) .
𝟎𝟏( وبعةةةد 2ثانٌةةةة مةةةن بةةةدط
الحل / 𝟎𝟏
𝟎𝟏 𝟒
𝟎𝟐
𝟒𝟐
𝟓 |𝟒 - 𝟒
𝟐
) ( ∫
𝟎𝟏 ∫
)𝟐(𝟎𝟏 𝟒
𝟗𝟒
𝟔𝟗
𝟓𝟒𝟏
|)𝟔𝟏
𝟎𝟖(
𝟓𝟐𝟏(|
)𝟎𝟐
)𝟎(
𝟔𝟗
)𝟔𝟏
|
𝟓 |,
𝟎𝟏( ∫|
)𝟒
𝟒 𝟒
𝟒 -
𝟐
𝟓,
𝟎𝟏( ∫
)𝟒
𝟎
𝟎
سؤال وزاري /2015د :3جد تكامل :
2
√
𝟎𝟏 𝟓
𝟒
𝟎𝟖(
𝟒𝟐
∫
الحل /
)عند الضرب تجمع األسس (
)2
(
9 5
)2
)2
9 ( 5
347
()2 )2
(∫ 3 (
5 3
3
2
)2
6
3
2
√ (∫ 3
∫
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل 𝟑𝒙
سؤال وزاري /2015د :3جد كالً من التكامالت األتٌة 𝒅𝒙 :
𝒙
𝒙𝒅 𝑐𝑜𝑠2𝑥)2
∫ )(2
𝑥(1) ∫(𝑠𝑖𝑛2
الحل / 𝑥𝑑 )𝑥2𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2
𝑥𝑑)𝑥𝑐𝑜𝑠 2 2
∫(1
𝑐
𝒄
𝒙
𝟐𝒙 𝟐
𝟑𝒙 𝟑
𝒙𝒅 )1
𝑥2𝑠𝑖𝑛2𝑥 𝑐𝑜𝑠2
1 𝑥𝑐𝑜𝑠4 4
𝑥
𝟐
𝑥
𝒙(∫
𝑥∫(𝑠𝑖𝑛2 2
𝑥𝑑 𝑥∫ 𝑠𝑖𝑛4
𝒙𝒅
348
)1
𝒙𝒅 𝑐𝑜𝑠2𝑥)2
𝑥𝑑 ∫
𝑥 𝟐𝒙()1 𝑥 1
𝑥(
𝑥(1) ∫(𝑠𝑖𝑛2
𝑥𝑑 ) 𝑥𝑠𝑖𝑛4
∫
1 𝒙𝒅 1
∫(1
𝟑𝒙 ∫ 𝒙
)(2
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
أسئلة إضافٌة حول التكامل س /1جد كالً من التكامالت اآلتٌة: 𝐱𝐝𝐱 𝟓𝒏𝒊𝒔 ∫ )𝟑(
𝐱𝐝 𝐱 𝟕𝐬𝐨𝐜 𝐱 𝟒𝒏𝒊𝒔 ∫ )𝟐(
𝐱𝐝 𝐱 𝟐𝐬𝐨𝐜 𝐱 𝟑𝒏𝒊𝒔 ∫ )𝟏(
𝐱𝐝 𝐱𝐜𝐞𝐬 𝐱 𝟑𝒏𝒂𝒕 ∫ )𝟔(
𝐱𝐝 𝐱 𝟒 𝐜𝐞𝐬 𝐱 𝟐𝒏𝒂𝒕 ∫ )𝟓(
𝐱𝐝𝐱 𝟒𝒏𝒊𝒔 𝐱 𝟐𝐬𝐨𝐜 ∫ )𝟒(
)𝟗(
)𝟖(
𝐱𝐝 𝐱𝟑𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟕𝒏𝒊𝒔 ∫
𝐱𝐝 𝐱𝟑𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟕𝒔𝒐𝒄 ∫
𝐱𝐝 𝐱𝟑𝒏𝒊𝒔 𝒙𝟕𝒏𝒊𝒔 ∫ )𝟕(
𝒙 𝒙𝒅 (𝟏𝟐) ∫ 𝒄𝒐𝒔𝟑 . / 𝟑
𝒙𝒅 )𝒙𝟑( 𝟓𝒔𝒐𝒄)𝒙𝟑( 𝟑𝒏𝒊𝒔 ∫ )𝟏𝟏(
𝒙𝒅 )𝒙𝟑( 𝟐𝒔𝒐𝒄 ∫ )𝟎𝟏(
𝐱𝐝 𝐱𝟓𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟑𝒏𝒊𝒔 ∫ )𝟓𝟏(
𝐱𝐝 𝐱𝟐𝒔𝒐𝒄 𝒙𝟒𝒔𝒐𝒄 ∫ )𝟒𝟏(
𝒙𝒅 )𝒙𝟑( 𝟐𝒔𝒐𝒄)𝒙𝟑( 𝟒𝒏𝒊𝒔 ∫ )𝟑𝟏(
𝒙𝒅 𝒙 𝟓𝒏𝒂𝒕 ∫ )𝟕𝟏(
𝟏√ ∫ )𝟔𝟏(
𝟑
𝒙𝒅 𝒄𝒐𝒔𝟑𝒙).𝟐/
𝟏(∫ )𝟖𝟏(
𝒙𝒅 𝒙𝒔𝒐𝒄
𝒙𝒅 )𝒙𝟐( 𝟑𝒕𝒐𝒄 ∫ )𝟏𝟐(
𝒙𝒅 )𝒙𝟑( 𝟒𝒄𝒆𝒔)𝒙𝟑( 𝟑𝒏𝒂𝒕 ∫ )𝟎𝟐(
𝒙𝒅 )𝒙𝟐( 𝟒𝒄𝒆𝒔 ∫ )𝟗𝟏(
∫ )𝟒𝟐(
𝒙𝒅 𝒙 𝟓𝒄𝒔𝒄 𝒙 𝟑𝒕𝒐𝒄 ∫ )𝟑𝟐(
𝒙𝒅 𝒙 𝟔𝒄𝒔𝒄 ∫ )𝟐𝟐(
𝟑 𝟒
𝟒
𝟏 𝟏
√
∫ )𝟕𝟐( 𝟎
𝟏 ) √
𝟏( √
𝟗
𝟏
𝟐
𝟐
𝟑
∫ )𝟎𝟑(
𝟑
|𝟒
𝟎
𝟐 𝟐𝟐
∫ )𝟔𝟐(
𝟑
𝟖 ∫ )𝟓𝟐( 𝟐 𝟏
𝟐|∫ )𝟗𝟐(
| | 𝟑 ∫ )𝟖𝟐(
𝟑
𝟐
𝟔
𝟐
𝟒
∫ )𝟑𝟑(
∫ )𝟐𝟑(
∫ )𝟏𝟑(
𝟎 𝟒
349
𝟐
𝟎
الفصل الرابع /التكامــــــــــــــــــل
س /2أوجد لٌمة التكامل
أعداد /األستاذ علي حميد 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎
) 𝟖
س /3جد معادلة المنحنً الذي مٌله
𝟐
𝟒
𝟑( 𝟐∫ وٌمر بالنمطة ). (3,1
س /4أذا علمةةت أن المشةةتمة الثانٌةةة لدالةةة عنةةد أي نمطةةة تسةةاوي )
جةةد معادلةةة هةةذا
(حٌةةث
المنحنً أذا كان ٌمتلن نمطة أنمالب ) (0,1ونمطة نهاٌة صغرى محلٌة عند ). (1,-1 س /5تتحةةرن نمطةةة مةةن السةةكون وبعةةد tثانٌةةة مةةن بةةدط الحركةةة اصةةبحت سةةرعتها الزمن الالزم لعودة النمطة الى موضعها االول الذي بدات منه ثم أحسب التعجٌل عندها .
350
)𝟐
𝟎𝟎𝟏( أوجةةد