ملزمة الرياضيات السادس العلمي الأحيائي الفصل الخامس المعادلات التفاضلية الأعتيادية الأستاذ علي حميد

Page 1

‫للعام الدراسي‬

‫طبعة جديدة‬ ‫ومنقحة‬

‫‪2017‬‬

‫أعداد األسـتاذ‬

‫‪ ‬شرح مفصل لجميع أمثلة وتمارين الفصل الخامس‬ ‫‪ ‬حلول التمارين العامة وجميع األسئلة الوزارية للفصل الخامس‪.‬‬ ‫‪ ‬أسئلة أضافية محلولة ‪.‬‬


‫أعذاد‪ /‬األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الخامس‪ /‬المعادالت التفاضلية‬

‫الفصل الخامس ‪ /‬المعادالت التفاضلٌة‬ ‫المعادلة التفاضلٌة‬ ‫هً المعادلة التً تحتوي على مشتمة واحدة أو أكثر للدالة المجهولة فً المعادلة ( أي للمتغٌر التابع فً المعادلة )‬ ‫مالحظة ‪ :‬المعادلة التفاضلٌة االعتٌادٌة هً عاللة بٌن متغٌرٌن ( المتغٌرر اوول متغٌرر مقرتمل ولرٌكن ) ( ودالرة‬ ‫غٌر معروفة ولتكن مثال ) ( وبعض مشتمات الدالة ) ( بالنقبة للمتغٌر ) ( مثال‬ ‫)𝟒(‬

‫𝟎‬

‫̿‬ ‫̅‬

‫𝟓‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫̅‬

‫𝟓‬

‫𝟐‬

‫كلها معادالت تفاضلٌة اعتٌادٌه الن المتغٌر ) ( ٌعتمد فمط على المتغٌر ) (‬

‫درجة المعادلة التفاضلٌة ‪:‬‬ ‫رتبة المعادلة التفاضلٌة ‪ :‬وهً رتبة أعلى مشتمة موجودة فً المعادلة التفاضلٌة ‪.‬‬

‫وهً أكبر لوة (اس) مرفوعة له اعلى مشتمة فً المعادلة التفاضلٌة ‪.‬‬ ‫𝟎‬

‫من الرتبة االولى والدرجة االولى‬ ‫من الرتبة الثانٌة والدرجة االولى‬

‫𝟑‬

‫من الرتبة الثالثة والدرجة الثانٌة‬ ‫من الرتبة الرابعة والدرجة الخامقة‬ ‫من الرتبة الثالثة والدرجة الثانٌة‬

‫مالحظة‬

‫𝟕‬

‫𝟏‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫̿‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫)̅‬ ‫̿(‬

‫̿‬

‫𝟓 )𝟒(‬

‫𝟕)̿(‬

‫̅‬

‫𝟕‬

‫𝟓‬

‫)‬

‫𝟐‬

‫)̿‬ ‫̅(‬

‫(‬

‫𝟑) ̿ ( ❺‬

‫‪ :‬عند اٌجاد درجة المعادلة التفاضلٌة ورتبتها ٌجب أزالة الجذور أو االقس الكقرٌة مثال ‪:‬‬ ‫𝟐‬

‫من الرتبة الثالثة والدرجة الثانٌة‬

‫)̿‬ ‫̅(‬

‫𝟓‬

‫𝟗)̅(‬

‫)بالتكعٌب(‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫)̿‬ ‫̅(‬

‫⇒‬

‫𝟓√‬

‫𝟑)̅( ❻‬

‫حل المعادلة التفاضلٌة االعتٌادٌة‬ ‫حرررل المعادلرررة التفاضرررلٌة االعتٌادٌرررة هرررو اٌرررة عاللرررة برررٌن متغٌررررات المعادلرررة التفاضرررلٌة بحٌررر أن هرررذ العاللرررة‬ ‫❶ خالٌة من المشتمة ❷ معرفة على فترة معٌنة ❸ تحمك المعادلة التفاضلٌة ‪.‬‬ ‫وزاري ‪ / 2013‬د‪3‬‬

‫مثال (‪ /)1‬بٌن ان العاللة‬

‫وزاري ‪ / 2014‬د‪1‬‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫حال للمعادلة التفاضلٌة‬

‫الحل ‪/‬‬

‫̅‬

‫𝟑‬ ‫𝟑‬ ‫𝟑‬

‫∴ العاللة المعطاة هً حل للمعادلة التفاضلٌة أعال‬

‫‪351‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫) 𝟑‬

‫̅‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐(‬

‫)𝟑‬ ‫𝟐‬

‫(‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫̅‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬


‫أعذاد‪ /‬األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الخامس‪ /‬المعادالت التفاضلية‬

‫الحل الخاص والحل العام للمعادلة التفاضلٌة‬ ‫أن الحل العـــــــام وي معادلة تفاضلٌة هرو الحرل الرذي ٌشرتمل علرى عردد مرن الثوابرت االختٌارٌرة مقــــرـاوي لرتبرة‬ ‫المعادلة ‪ ,‬فإذا كانت المعادلة من الرتبة اوولرى وجرب أن ٌكرون حلهرا مشرتمال علرى ثابرت اختٌراري واحرد (هرو ثابرت‬ ‫التكامل ) الذي ٌظهر عند اجراء خطوة التكامل الوحٌدة لمعادالت الرتبرة اوولرى ‪ ,‬أمرا اذا كانرت المعادلرة مرن الرتبرة‬ ‫الثانٌة وجب ان ٌكون حلها مشتمال على (ثابتً تكامل) نظرا وجرراء خطروتً تكامرل عنرد حرل معادلرة الرتبرة الثانٌرة‬ ‫وهكذا بالنقبة للمعادالت التً لها رتبة أعلى ‪.‬‬ ‫أحد حلول المعادلة‬

‫مثال (‪ /)2‬أثبت ان‬

‫𝟎‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫𝟏‬ ‫) (‬

‫)𝟏(‬

‫𝟏‬

‫)‬

‫∴ العاللة المعطاة )‬

‫(‬

‫(هً أحد حلول المعادلة التفاضلٌة أعال ‪.‬‬

‫وزاري ‪ / 2014‬د‪2‬‬

‫مثال (‪/)3‬‬

‫𝟐‬

‫بٌن‬

‫( حال للمعادلة 𝟎‬

‫حٌ )‬

‫̅𝟐‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫̅𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫∴ العاللة المعطاة )‬

‫مثال (‪/)4‬‬

‫هل 𝟐‬

‫̅𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫̅‬

‫) (𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫(هً حل للمعادلة التفاضلٌة أعال‬

‫حال للمعادلة التفاضلٌة‬

‫𝟔‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫؟‬

‫الحل ‪/‬‬

‫𝟔‬ ‫∴ العاللة المعطاة )𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫(هً حل للمعادلة التفاضلٌة أعال‬

‫‪352‬‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬


‫أعذاد‪ /‬األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الخامس‪ /‬المعادالت التفاضلية‬

‫وزاري ‪ / 2012‬د‪1‬‬

‫مثال (‪/)5‬‬

‫برهن ان ) 𝟐(‬

‫) 𝟐(‬

‫𝟐‬

‫هو حال للمعادلة التفاضلٌة‬

‫𝟑‬

‫𝟎‬

‫̿‬

‫𝟒‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫) 𝟐(‬

‫𝟔‬

‫) 𝟐(‬

‫∴ العاللة المعطاة ) 𝟐(‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫)𝟐() 𝟐(‬

‫) 𝟐(‬ ‫]) 𝟐(‬

‫)𝟐() 𝟐(‬

‫𝟐‬

‫) 𝟐(‬

‫𝟖‬

‫) 𝟐(‬

‫𝟐‬

‫) 𝟐(‬

‫𝟑‬

‫)𝟐() 𝟐(‬

‫𝟐𝟏‬ ‫) 𝟐(‬

‫𝟑[‪4‬‬

‫) 𝟐(‬

‫̅‬

‫𝟖‬

‫) 𝟐(‬

‫) 𝟐(‬

‫𝟖‬ ‫𝟐𝟏‬

‫𝟐‬

‫)𝟐() 𝟐(‬

‫𝟒‬

‫) 𝟐(‬

‫) 𝟐(‬

‫𝟐𝟏‬

‫) 𝟐(‬

‫𝟑‬

‫𝟖‬

‫𝟔‬ ‫̿‬

‫𝟒‬

‫) 𝟐(‬

‫̅‬

‫𝟐𝟏‬

‫هً حل للمعادلة التفاضلٌة أعال‬

‫𝟑‬

‫وزاري ‪ / 2011‬د‪2‬‬

‫مثال (‪ /)6‬هل ان‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫هو حال للمعادلة التفاضلٌة‬

‫𝟓‬

‫𝟐)̅(‬

‫𝟑‬

‫؟‬

‫̿‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫) 𝟐 (‬

‫𝟔‬

‫∴ العاللة المعطاة‬

‫𝟐‬

‫)𝟑‬

‫)̅ 𝟐(̅‬

‫𝟔‬ ‫𝟑‬

‫‪5‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫)̅ ( 𝟐‬ ‫𝟐)̅ (‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫̅ 𝟐‬

‫𝟔‬

‫)̅ (‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟐)̅ (‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫)̅ (‬

‫( لٌقت حل للمعادلة التفاضلٌة أعال‬

‫وزاري ‪ / 2015‬د‪3‬‬

‫مثال (‪ /)7‬بٌن ان‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫هو حال للمعادلة التفاضلٌة 𝟎‬

‫̅‬

‫𝟔‬

‫̿‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫𝟑‬

‫]‬

‫𝟑‬

‫𝟗‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫[‪6‬‬

‫̿‬

‫𝟒‬ ‫]‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬ ‫𝟑‬

‫𝟐[‬ ‫𝟑‬

‫∴ العاللة المعطاة )‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫(هً حل للمعادلة التفاضلٌة أعال‬

‫‪353‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟗‬ ‫𝟔‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫̅‬ ‫𝟒‬ ‫‪6‬‬

‫𝟔‬ ‫𝟑‬

‫𝟔‬

‫𝟐‬

‫̿‬

‫̅‬ ‫𝟐‬

‫𝟔‬

‫𝟐‬


‫أعذاد‪ /‬األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الخامس‪ /‬المعادالت التفاضلية‬

‫𝟓(‬

‫تمارين)𝟏‬ ‫س ‪ / 1‬بٌن رتبة ودرجة كل من المعادالت التفاضلٌة التالٌة ‪:‬‬

‫𝟎‬

‫من الرتبة االولى والدرجة االولى‬

‫)𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫𝟕‬

‫من الرتبة الثانٌة والدرجة االولى‬

‫𝟓‬

‫𝟑‬

‫من الرتبة الثالثة والدرجة الثالثة‬

‫𝟐‬

‫̅𝟐‬

‫𝟖‬

‫𝟐‬

‫𝟓‬

‫من الرتبة الثالثة والدرجة الثانٌة‬

‫س ‪ / 2‬برهن ان‬

‫𝟎‬

‫هو حل للمعادلة 𝟎‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫(𝟐‬

‫)‬

‫)̿‬ ‫̅(‬

‫𝟑‬

‫)‬

‫𝟑‬

‫(‬

‫̿‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫̅‬

‫̿‬ ‫𝟎‬

‫∴ العاللة المعطاة )‬

‫̿‬

‫(هً حل للمعادلة التفاضلٌة أعال‬

‫س ‪ / 3‬برهن ان العاللة ) 𝟑(‬

‫) 𝟑(‬

‫𝟔‬

‫هً حل للمعادلة 𝟎‬

‫𝟖‬

‫𝟐‬

‫𝟗‬

‫𝟐‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫) 𝟑(‬

‫𝟖𝟏‬

‫) 𝟑(‬

‫)𝟑() 𝟑(‬

‫𝟒𝟐‬

‫𝟔‬

‫)𝟑() 𝟑(‬

‫) 𝟑(‬

‫𝟐𝟕‬

‫) 𝟑(‬

‫𝟖‬

‫) 𝟑(‬

‫𝟔‬

‫𝟖‬ ‫𝟐‬

‫) 𝟑(‬

‫𝟒𝟓‬

‫)𝟑() 𝟑(‬

‫)𝟑() 𝟑(‬

‫𝟖𝟏‬

‫𝟒𝟐‬ ‫𝟐‬

‫]) 𝟑(‬

‫𝟔‬ ‫𝟎‬

‫∴ العاللة المعطاة ) 𝟑(‬

‫𝟔‬

‫) 𝟑(‬ ‫) 𝟑(‬

‫) 𝟑(‬

‫) 𝟑(‬

‫𝟖[𝟗‬ ‫𝟒𝟓‬

‫) 𝟑(‬

‫𝟖‬

‫‪354‬‬

‫𝟒𝟓‬ ‫𝟐𝟕‬

‫) 𝟑(‬ ‫) 𝟑(‬

‫𝟐𝟕‬ ‫𝟒𝟓‬

‫هً حل للمعادلة التفاضلٌة أعال‬

‫𝟗‬ ‫) 𝟑(‬

‫𝟐‬

‫𝟐𝟕‬

‫𝟐‬


‫الفصل الخامس‪ /‬المعادالت التفاضلية‬

‫س ‪ / 4‬هل ان 𝟐‬

‫أعذاد‪ /‬األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫حال للمعادلة‬

‫̿ ؟‬

‫̅𝟑‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫̿‬

‫𝟎‬ ‫𝟓‬

‫∴ العاللة المعطاة )𝟐‬

‫س ‪ / 5‬هل‬

‫𝟐‬

‫)𝟐‬

‫𝟑‬

‫̅‬

‫𝟏‬ ‫(‬

‫)𝟏(𝟑‬

‫𝟐‬ ‫̅𝟑‬

‫𝟎‬

‫̿‬

‫( لٌقت حل للمعادلة التفاضلٌة أعال‬

‫)𝟐‬

‫حال للمعادلة‬

‫𝟏( 𝟐‬

‫̿‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫𝟐‬

‫)‬

‫𝟐‬

‫(‬ ‫𝟐‬

‫∴ العاللة المعطاة )‬

‫𝟐‬

‫س ‪ / 6‬هل 𝟏‬

‫̿‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫)‬

‫𝟐‬

‫̅‬

‫𝟏(‬

‫)𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏( 𝟐‬

‫( حل للمعادلة التفاضلٌة أعال‬

‫𝟐‬

‫𝟐 حال للمعادلة 𝟐‬

‫̿‬

‫𝟑‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫𝟐‬

‫̅‬

‫̅‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫)𝟐 (‬

‫⇒‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫̿‬

‫̅ 𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫)‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫̅ 𝟐‬

‫(‬

‫)𝟏(𝟐‬

‫) ̅ ()‬

‫)𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫∴ العاللة المعطاة )𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐 ( حل للمعادلة التفاضلٌة أعال‬

‫‪355‬‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫)‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫(𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫(‬

‫𝟑‬

‫)‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫̿‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫̿‬

‫̿‬


‫الفصل الخامس‪ /‬المعادالت التفاضلية‬

‫س ‪ / 7‬هل‬

‫أعذاد‪ /‬األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫حال للمعادلة‬

‫𝟓‬

‫𝟎‬

‫̅𝟐‬

‫𝟓𝟐‬

‫؟‬

‫̿‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫𝟓‬

‫̅‬

‫𝟓𝟐‬

‫̿‬

‫𝟎‬

‫∴ العاللة المعطاة ) 𝟓‬

‫وزاري ‪ / 2012‬د‪3‬‬

‫̅‬

‫𝟓‬ ‫̅𝟐‬

‫𝟓𝟐‬

‫̅‬

‫𝟓‬

‫̿‬

‫𝟓‬ ‫𝟓‬

‫𝟎‬

‫𝟓𝟐‬

‫̿‬

‫̅𝟐‬

‫( حل للمعادلة التفاضلٌة أعال‬

‫وزاري ‪ / 2013‬د‪1‬‬

‫هو حال للمعادلة 𝟎‬

‫س ‪ / 8‬بٌن ان‬

‫̅‬

‫حٌ )‬

‫(‬

‫الحل ‪/‬‬

‫̅‬ ‫̅‬

‫𝟎‬

‫( حل للمعادلة التفاضلٌة أعال‬

‫∴ العاللة المعطاة )‬

‫وزاري ‪ / 2015‬د‪2‬‬ ‫𝟐‬

‫س ‪ / 9‬بٌن ان‬

‫‪,‬‬

‫| |‬

‫هو حال للمعادلة‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫̅‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫)̅ ( 𝟐‬

‫𝟐‬

‫̅‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫∴ العاللة المعطاة )‬

‫𝟐‬

‫̅‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬ ‫)‬

‫𝟐‬

‫𝟐( 𝟐‬

‫̅‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫̅‬

‫)̅( 𝟐‬

‫( حل للمعادلة التفاضلٌة أعال‬

‫******************************************************************‬

‫س ‪ : 1‬هل ان‬ ‫س ‪ : 2‬هل ان‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫𝟓‬

‫حال للمعادلة التفاضلٌة‬ ‫حال للمعادلة التفاضلٌة 𝟎‬

‫‪356‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫) 𝟓‬

‫̅(‬

‫̅ حٌ )‬ ‫̅𝟐‬

‫(‬


‫أعذاد‪ /‬األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الخامس‪ /‬المعادالت التفاضلية‬

‫طرق حل المعادالت التفاضلٌة من الرتبة اوولى والدرجة اوولى‬ ‫اوو ‪ :‬المعادالت التً تنفصل متغٌراتها‬ ‫فرررً هرررذا النرررو مررر ن المعرررادالت نقرررتطٌع أن نعرررزل كرررل الحررردود الترررً تحتررروي علرررى ) ( مرررع )‬ ‫) (‬ ‫والحرررردود التررررً تحترررروي علررررى ) ( مررررع ) ( فررررً الطررررر اوخررررر فنحصررررل علررررى‬ ‫ثم نكامل الطرفان فنحصل على‬ ‫مثال (‪ /)1‬حل المعادلة 𝟓‬

‫( فرررً طرررر‬ ‫) (‬

‫) ( ∫ حٌ ٌمثل) ( ثابت التكامل ‪.‬‬

‫) ( ∫‬ ‫𝟐‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫𝒙𝒅)𝟓‬ ‫𝟓‬

‫مثال ( )‪/‬‬

‫حل المعادلة‬

‫𝟐(‬

‫𝟓‬

‫𝟐‬

‫𝒙𝒅 )𝟓‬

‫𝟐‬

‫𝟐(∫‬

‫∫‬

‫𝟏‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫𝒙𝒅)𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫)حٌث 𝟐‬

‫مثال (‪ /)3‬حل المعادلة‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫)𝟐 (‬

‫⇒‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫حٌ‬

‫)𝟎‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝒙𝒅 )𝟏‬

‫𝟐‬

‫√‬

‫𝟐‬

‫𝝅‬

‫𝒚𝒔𝒐𝒄(‬

‫𝟐‬

‫)𝟏‬

‫(∫‬ ‫𝟐‬

‫𝒏𝟐(‬

‫𝟐‬

‫∫‬

‫√‬

‫𝒚‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫)‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫⇒‬

‫𝟐‬

‫∫‬

‫‪357‬‬

‫𝟐‬

‫∫‬


‫أعذاد‪ /‬األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الخامس‪ /‬المعادالت التفاضلية‬

‫وزاري ‪ / 2016‬د‪1‬‬

‫أوجد حل المعادلة 𝟎‬

‫مثال (‪/)4‬‬

‫√‬

‫̅ عندما‬

‫𝒚‬

‫𝟗‬

‫𝒙‬

‫𝟐‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟐) (‬

‫𝟏‬

‫𝟐) (‬

‫𝟏‬

‫𝟐) (‬

‫𝟎‬

‫√‬

‫𝟐) (‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫√𝟐‬

‫𝟐‬

‫نعوض 𝟗‬

‫𝟐‬

‫𝒚‬

‫𝟏‬

‫𝟐) (‬ ‫𝟏‬ ‫) (‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫∫‬

‫) (∫‬

‫𝒙 فٌنتج ‪:‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟔‬

‫𝟐‬

‫) تربٌع الطرفٌن(‬

‫𝟐‬

‫𝟐)𝟐(‬ ‫𝟐‬

‫√‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫)𝟐‬

‫𝟗√𝟐‬

‫𝟒‬

‫⇒‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫) حل المعادلة(‬

‫√𝟐‬

‫𝟐‬

‫)𝟐‬

‫𝟒‬

‫(‬

‫وزاري ‪ / 2015‬د‪1‬‬

‫مثال (‪/)5‬‬

‫𝟐‬

‫حل المعادلة‬

‫عندما‬

‫𝒚‬

‫𝟎‬

‫𝒙‬

‫𝟎‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫) 𝟐 (‬ ‫𝟐‬

‫نعوض 𝟎‬

‫)‬

‫) 𝟐 (‬

‫(‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝒚‬

‫)‬

‫𝟎‬

‫)‬

‫𝟐‬

‫)‬

‫𝟏‬ ‫()𝟐(∫‬ ‫𝟐‬

‫(‬

‫⇒‬

‫(‬ ‫)‬

‫)‬

‫(∫‬

‫𝒙 فٌنتج ‪:‬‬

‫𝟐‬ ‫|‬

‫) 𝟐 (∫‬

‫()𝟏 (∫‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫() 𝟐 (‬

‫)‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫|‬

‫𝟐‬

‫)𝟑‬ ‫|‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫(‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫|‬

‫‪358‬‬

‫)نأخذ‬

‫∴‬

‫𝟐‬

‫للطرفٌن(‬

‫⇒‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫)𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫(‬


‫أعذاد‪ /‬األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الخامس‪ /‬المعادالت التفاضلية‬

‫وزاري ‪ / 2015‬د‪2‬‬

‫جد الحل العام للمعادلة التفاضلٌة ‪:‬‬

‫مثال (‪/)6‬‬

‫)𝟏‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫(‬

‫)𝟏‬

‫𝟐)𝟏‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫)𝟏‬ ‫(‬

‫𝟐‬

‫| |‬

‫| |‬ ‫(‬ ‫𝟐)𝟏‬

‫𝟐‬ ‫(‬

‫)𝟏‬

‫)نأخذ‬

‫)حٌث‬

‫𝟏‬

‫(‬

‫)𝟏‬ ‫| |‬

‫𝟐‬

‫⇒‬

‫𝟐)𝟏‬

‫(‬

‫(‬

‫)𝟏‬

‫(‬

‫)𝟏‬

‫| |‬ ‫(‬ ‫𝟐)𝟏‬

‫للطرفٌن(‬

‫𝟐‬ ‫∫𝟐‬

‫𝟐)𝟏‬

‫∫‬

‫(‬

‫𝟐)𝟏‬

‫𝟏‬

‫(‬

‫| |‬ ‫| |‬

‫(‬

‫******************************************************************‬

‫𝟓(‬

‫تمارين)𝟐‬ ‫س ‪ / 1‬حل المعادالت التفاضلٌة اوتٌة بطرٌمة فصل المتغٌرات ‪:‬‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫)‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫)‬

‫(‬

‫)‬

‫𝟑‬

‫(‬

‫)‬

‫𝟑‬

‫̅ ) (‬ ‫𝟑‬

‫(‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫∫‬

‫𝟐‬

‫∫‬

‫)‬

‫𝟐‬

‫()‬

‫وزاري ‪ / 2014‬د‪3‬‬ ‫𝟐‬ ‫∫‬

‫)‬

‫𝟑(‬

‫∫ )𝟏 (‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫|‬

‫𝟑|‬

‫𝟐)𝟏(‬

‫)𝟏‬

‫𝟐‬ ‫(‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫)𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟏 (𝟐‬

‫⇒‬

‫𝟐‬

‫|𝟐‬

‫‪359‬‬

‫𝟑‬ ‫𝟑‬

‫𝟑|‬

‫𝟑|‬ ‫)𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟑|‬

‫|‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫) (‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫|‬

‫وزاري ‪ / 2013‬د‪2‬‬

‫𝟑(‬

‫)‬

‫𝟑(‬

‫)‬

‫)𝟏(‬

‫𝟏‬

‫(‬

‫)𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫(‬

‫𝟎‬

‫𝟑‬


‫أعذاد‪ /‬األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الخامس‪ /‬المعادالت التفاضلية‬

‫)𝟏‬

‫)𝟏‬ ‫𝟏‬

‫(∫‬

‫)‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫)𝟏‬

‫)𝟏‬

‫∫‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫)‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫)𝟏‬

‫)𝟏‬

‫(‬

‫)نأخذ‬

‫(‬

‫⇒‬

‫𝟑‬ ‫)𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫)𝟏‬

‫(‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫(‬

‫)𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬ ‫𝟐 )𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟏( ) (‬

‫𝟒‬

‫𝟑‬ ‫𝟐) 𝟐‬

‫(∫‬

‫𝟑‬ ‫𝟐 )𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟏√‬

‫د𝟐‬ ‫𝟑‬

‫) حٌث‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟏(√𝟒‬

‫(‬

‫(∫‬

‫) (‬

‫̅‬

‫𝟑‬ ‫𝟐) 𝟐‬

‫𝟏(𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟒√‬

‫‪360‬‬

‫𝟑‬ ‫𝟐 )𝟐‬

‫𝟒∫‬

‫𝟏‬

‫وزاري 𝟏𝟏𝟎𝟐‬

‫𝟏‬

‫( ) (‬

‫)𝟏‬

‫)𝟏‬

‫𝟏(𝟒‬

‫𝟏‬ ‫𝟏( ) (𝟐 ∫‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫(‬

‫𝟏(‬

‫𝟒∫‬

‫𝟏‬

‫(‬

‫)𝟏‬

‫̅ )𝟏‬

‫𝟑) 𝟐‬ ‫𝟑‬ ‫𝟐) 𝟐‬

‫()𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫للطرفٌن(‬

‫𝟏‬

‫𝟒‬

‫()𝟏‬

‫) (‬

‫∫‬ ‫𝟒‬

‫𝟒√‬

‫𝟒‬

‫𝟏‬ ‫𝟐 )𝟐‬

‫𝟏( ) (∫‬

‫𝟏(‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟎‬

‫) (‬ ‫𝟑‬

‫∫‬ ‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬


‫أعذاد‪ /‬األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الخامس‪ /‬المعادالت التفاضلية‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫∫𝟐‬

‫∫‬

‫)𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟖‬

‫(‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫⇒‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟖‬

‫𝟏‬

‫𝟎‬

‫𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟑‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫√‬

‫𝟖‬

‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫(‬

‫)𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟏‬

‫̅ ) (‬

‫𝟐‬

‫⇒‬ ‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟖‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫) (‬ ‫𝟐‬ ‫𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫س ‪ /2‬جد الحل العام للمعادالت التفاضلٌة اوتٌة ‪:‬‬ ‫𝟐‬

‫)𝟐‬

‫𝟐‬

‫)𝟐‬

‫𝟏(‬ ‫∫‬

‫𝟏‬ ‫𝟒 )𝟐‬

‫𝒙𝒄‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟒)𝒙𝒄(‬

‫)نأخذ‬

‫𝟏(‬ ‫𝟐‬

‫للطرفٌن(‬

‫⇒‬

‫𝟏‬ ‫𝒙𝒄‬

‫𝟏‬

‫) حٌث 𝟒𝒄𝟐‬

‫|𝒙𝒄|𝒏𝒍‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟒𝒙 𝟏𝒄‬

‫𝟏𝒄(‬

‫)𝟐‬ ‫𝟏‬ ‫𝟒 )𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟏(‬

‫𝟐‬

‫)𝟒 ( 𝟏‬ ‫∫‬ ‫𝟐 𝟏(‬ ‫𝟒‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟏√‬

‫∫‬

‫𝟏(𝒏𝒍‬

‫|𝒄|𝒏𝒍‬

‫𝒙𝒄‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟒𝒙 𝟒𝒄𝟐‬

‫𝟏‬

‫)𝟐‬

‫𝟏(‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏√‬

‫𝟏‬ ‫𝟏 𝒏𝒍‬ ‫𝟒‬

‫𝟏‬ ‫𝟒) 𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟒)𝒙𝒄(‬

‫𝟐‬

‫∫‬

‫𝟏‬

‫𝒙𝒄‬

‫𝟒‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫|𝒙|𝒏𝒍‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫√‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫) (‬

‫𝟏(‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫وزاري ‪/ 2015‬د‪1‬‬ ‫) (‬

‫𝟎‬ ‫)‬ ‫|‬

‫|‬

‫|‬

‫|‬

‫(‬ ‫)‬

‫(‬

‫)‬ ‫(∫‬

‫𝒄𝒆‬

‫)‬ ‫|‬

‫‪361‬‬

‫(∫‬ ‫|‬

‫)‬ ‫|‬

‫(‬ ‫|‬

‫)‬ ‫|‬

‫(‬ ‫|‬


‫أعذاد‪ /‬األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الخامس‪ /‬المعادالت التفاضلية‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬ ‫∫‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫⇒‬

‫𝟐‬

‫)حٌث 𝟏𝒄‬

‫𝟐‬

‫⇒‬

‫𝟐‬

‫)𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫)‬

‫∫‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫∫‬

‫𝟐‬

‫𝒄𝟐(‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫∫‬

‫)‬

‫𝟐‬

‫)𝟏‬

‫𝟐‬

‫(∫‬

‫𝟐‬

‫∫‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟏(∫‬

‫) (‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫∫‬ ‫∫‬

‫∫‬

‫) (‬ ‫𝟐‬

‫∫‬

‫𝟐‬

‫∫‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟏(∫‬ ‫𝟐‬

‫) 𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫∫‬ ‫𝟏‬ ‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫∫‬ ‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫∫‬ ‫)حٌث 𝟏𝒄‬

‫د𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝒄𝟐 (‬

‫∫‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪362‬‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫(‬ ‫𝟐‬

‫) (‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫𝟑(∫‬

‫𝟐‬

‫̅‬

‫) (‬

‫𝟐‬

‫() (‬ ‫𝟐‬

‫(‬

‫)‬

‫∫‬

‫𝟎‬ ‫)‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑 𝟑‬ ‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫) 𝟐‬

‫وزاري 𝟏𝟏𝟎𝟐‬

‫نوفر المشتمة‬

‫)‬

‫∫‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫) (‬

‫)𝟐‬

‫(‬

‫⇒‬

‫̅‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬


‫أعذاد‪ /‬األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الخامس‪ /‬المعادالت التفاضلية‬

‫قؤال خارجي ‪ /‬أثبت أن كال من ‪:‬‬ ‫𝒙𝒆𝑩‬

‫𝒙𝒆𝑨‬

‫هو حل للمعادلة التفاضلٌة‬

‫𝒚 )𝒄(‬ ‫𝒚‬

‫𝟎‬

‫𝒚 )𝒃(‬

‫𝒙𝟑‬

‫𝒙̅‬ ‫𝒚‬

‫𝟏(̿‬ ‫𝒚‬

‫)𝒙‬

‫̅‬ ‫𝒚‬

‫𝒙𝒆𝟐‬ ‫𝟎‬

‫𝒙𝒆𝟐‬

‫𝒙𝒆𝟐‬

‫∴ العاللة المعطاة ) 𝒙𝒆𝟐‬

‫𝒙𝒆𝒙𝟐‬

‫𝒙𝒆𝟐‬

‫𝒙𝒆𝟐‬

‫∴ العاللة المعطاة )𝒙𝟑‬

‫𝒚 ( حل للمعادلة التفاضلٌة 𝟎‬

‫𝒙̅‬ ‫𝒚‬

‫)𝒙‬

‫𝟎‬

‫̅‬ ‫𝒚‬

‫𝒚‬

‫𝒙̅‬ ‫𝒚‬

‫𝒙𝟑‬

‫𝒚 ( حل للمعادلة التفاضلٌة 𝟎‬

‫𝒚‬

‫𝒙̅‬ ‫𝒚‬

‫)𝒙‬

‫𝟏(̿‬ ‫𝒚‬

‫𝒙𝒆𝑩‬

‫𝒙𝒆𝑨‬

‫̅‬ ‫𝒚‬

‫) 𝒙𝒆𝑩‬ ‫𝟎‬

‫𝒙𝒆𝑨‬

‫𝒙𝒆𝑩‬

‫𝒙𝒆𝑨‬ ‫𝒙𝒆𝑨(‬

‫)𝒙‬

‫𝒙𝒆𝑨‬

‫𝟏() 𝒙𝒆𝑩‬

‫𝒙𝒆𝒙𝑩‬

‫𝒚 ( حل للمعادلة التفاضلٌة 𝟎‬

‫‪363‬‬

‫𝒚‬

‫𝒙𝒆𝑨(‬

‫𝒙𝒆𝒙𝑨‬

‫𝒚‬

‫𝒙𝒆𝒙𝑩‬

‫𝒙̅‬ ‫𝒚‬

‫)𝒙‬

‫̅‬ ‫𝒚‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫̅‬ ‫𝒚‬

‫𝒙𝒆𝟐‬

‫𝒚 )𝒂(‬

‫𝟏(̿‬ ‫𝒚‬

‫𝟏(̿‬ ‫𝒚‬

‫)𝒙‬

‫𝒙𝒆𝑨(‬

‫∴ العاللة المعطاة ) 𝒙𝒆𝑩‬

‫)𝒙‬

‫𝟏( 𝒙𝒆𝟐‬

‫𝒙𝒆𝟐‬

‫̅‬ ‫𝒚‬

‫𝟏()𝟎(‬

‫𝒙𝒆𝑩‬ ‫) 𝒙𝒆𝑩‬

‫𝒙𝒆𝟐‬

‫𝒚‬

‫𝟎‬

‫𝒙𝒆𝟐‬

‫𝒚 )𝒂(‬

‫𝒙̅‬ ‫𝒚‬

‫𝒙𝟑‬ ‫)𝒙‬

‫𝒙𝒆𝑩‬

‫𝒚‬

‫𝒙̅‬ ‫𝒚‬

‫𝒙𝒆𝒙𝑨‬

‫)𝒙‬

‫)𝒙‬ ‫𝒙𝒆𝑩‬

‫𝟏(̿‬ ‫𝒚‬

‫𝒚 )𝒃(‬

‫𝟏(̿‬ ‫𝒚‬

‫𝒙𝒆𝑨‬ ‫𝟏(̿‬ ‫𝒚‬ ‫𝒙𝒆𝑨‬

‫𝒚 )𝒄(‬


‫أعذاد‪ /‬األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الخامس‪ /‬المعادالت التفاضلية‬

‫ثانٌا ‪ :‬المعادلة التفاضلٌة المتجانقة‬ ‫هً المعادلة التً نقتطٌع كتابتها بالشكل‬ ‫كتابتها على الصورة‬

‫* فمثال المعادلرة‬

‫‪( )+‬‬

‫) بقسمة طرفً المعادلة على‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟑‬

‫𝟒‬

‫)𝟒‬

‫( ٌمكرن‬

‫(‬

‫) ( 𝟏‬

‫مثال ‪ /‬بٌن أي المعادالت التالٌة متجانقة ؟‬ ‫𝟑‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫) نقسم البسط والمقام على 𝟎‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫(‬ ‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬ ‫𝟐‬

‫) (𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫∴ المعادلة متجانقة‬

‫𝟎‬ ‫) نقسم البسط والمقام على 𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫(‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫) (‬

‫𝟐‬

‫̅‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫) (𝟐‬

‫𝟎‬

‫) (‬

‫) (𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫) (𝟐‬

‫) (‬

‫∴ المعادلة متجانقة‬

‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫المعادلة غٌر متجانسة النه الٌمكن كتابتها بالشكل ] ) (‬

‫[‬

‫‪364‬‬

‫̅) (𝟐‬


‫أعذاد‪ /‬األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الخامس‪ /‬المعادالت التفاضلية‬

‫طرٌمة حل المعادلة التفاضلٌة المتجانقة‬ ‫لحل المعادلة التفاضلٌة المتجانقة نتبع الخطوات التالٌة ‪:‬‬

‫❶ نكتب المعادلة بالصورة ‪( ) +‬‬ ‫❷ نشتك ]‬

‫* ثم نعوض عن كل ‪+‬‬

‫* أو ]‬

‫[ بالنقبة الى ) ( فنحصل على ‪+‬‬

‫❸ نربط بٌن الخطوتٌن ❶ و ❷ فنحصل على ‪+‬‬

‫❹ بعد فصل المتغٌرات نحصل على ‪+‬‬

‫*‬ ‫) (‬

‫) (‬

‫) (‬

‫مثال (‪ /)1‬حل المعادلة التفاضلٌة‬

‫𝟐‬

‫*‬

‫*‬

‫❺ نكامل الطرفٌن فنحصل على الحل العام وأخٌرا نعوض عن ‪+‬‬

‫𝟐 𝟑‬

‫[ حٌ ) ( دالة الى ) (‬

‫*‬

‫̅‬

‫𝟐‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫) نقسم البسط والمقام على 𝟎‬

‫(‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫) (𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫) (𝟐‬

‫𝟐‬

‫) وضعنا‬

‫𝟏‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬ ‫∵‬

‫نعوض المعادلة‬ ‫𝟏‬

‫فٌنتج ‪:‬‬

‫فً المعادلة‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫| |‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫| |‬

‫𝟏‬

‫)𝟐‬

‫𝟐‬

‫(‬ ‫)‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫)‬ ‫(‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫)𝟏‬

‫𝒙‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫∫‬ ‫)نأخذ‬

‫𝟐‬ ‫𝟏‬

‫‪365‬‬

‫𝟏‬

‫∫‬

‫⇒‬

‫(‬

‫𝟐‬ ‫𝟏‬

‫للطرفٌن(‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫)𝟏‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫∴‬

‫| |‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫)𝟏‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫∵‬


‫أعذاد‪ /‬األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الخامس‪ /‬المعادالت التفاضلية‬

‫مثال (‪ /)2‬حل المعادلة التفاضلٌة‬ ‫الحل ‪/‬‬ ‫) نقسم البسط والمقام على 𝟎‬

‫(‬

‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫) وضعنا‬

‫𝟏‬ ‫𝟏‬

‫(‬

‫∵‬

‫نعوض المعادلة‬

‫فٌنتج ‪:‬‬

‫فً المعادلة‬ ‫)𝟏‬

‫𝟏‬

‫(‬

‫𝟏‬ ‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫| |‬

‫| |‬ ‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫|‬

‫𝟐√‬

‫𝟐‬

‫|‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫) نضرب طرفً المعادلة ب‬ ‫)حٌث‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫‪366‬‬

‫𝟏‬ ‫𝟏‬

‫|‬

‫⇒‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫|‬

‫) تربٌع الطرفٌن(‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫)𝟐 (∫‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫|‬ ‫𝟐√‬

‫(‬ ‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫∫‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫∫‬

‫𝟐‬

‫|‬ ‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫∫‬

‫𝟐‬

‫𝟐√‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫∴‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫) (‬ ‫𝟐‬

‫) (𝟐‬ ‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫∵‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬


‫أعذاد‪ /‬األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الخامس‪ /‬المعادالت التفاضلية‬

‫وزاري ‪ / 2013‬د‪2‬‬

‫مثال (‪ /)3‬حل المعادلة التفاضلٌة‬

‫𝟑(‬

‫̅)‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫) نقسم البسط والمقام على‬

‫(‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫𝟑‬ ‫) وضعنا‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫(‬

‫∵‬

‫نعوض المعادلة‬ ‫𝟏‬

‫فٌنتج ‪:‬‬

‫فً المعادلة‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫(‬ ‫(‬

‫)𝟑‬ ‫𝟐)𝟏‬

‫∫‬

‫∫‬

‫𝟐‬ ‫𝟐)𝟏‬

‫(‬

‫∫‬ ‫)𝟏‬ ‫𝟐)𝟏‬

‫∫‬

‫𝟑(‬ ‫)‬ ‫(‬ ‫𝟐)𝟏‬

‫∫‬ ‫(‬ ‫(‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫∫‬

‫𝟐‬ ‫)𝟏‬

‫| |‬

‫∫‬

‫𝟐‬

‫)𝟏‬ ‫𝟏‬

‫(‬

‫|𝟏‬

‫| |‬ ‫𝟐‬

‫𝟑‬ ‫]𝟐 )𝟏‬ ‫𝟐)𝟏‬

‫∫‬

‫∫‬

‫|‬

‫𝟐)𝟏‬

‫|𝟏‬

‫(‬

‫(∫ )𝟐(‬ ‫)𝟏‬

‫∫ )𝟏 (‬

‫𝟏‬

‫()𝟐(‬

‫|𝟏‬

‫𝟏‬

‫([‬ ‫(‬

‫|‬

‫| |‬

‫|‬

‫∵‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫|‬

‫|‬

‫𝟐‬

‫|)𝟏‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫|‬ ‫)‬

‫‪367‬‬

‫|𝟏‬ ‫(‬

‫∫‬

‫|‬

‫| |‬


‫الفصل الخامس‪ /‬المعادالت التفاضلية‬

‫وزاري ‪ / 2012‬د‪1‬‬

‫أعذاد‪ /‬األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫وزاري ‪ / 2014‬د‪1‬‬

‫وزاري ‪ / 2012‬د‪3‬‬

‫مثال (‪ /)4‬جد الحل العـــــام للمعادلة التفاضـــلٌة‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫) نقسم البسط والمقام على 𝟎‬ ‫𝟐‬

‫) (‬

‫𝟐‬

‫𝟐 (‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫) وضعنا‬

‫𝟏‬

‫(‬

‫𝟐‬ ‫∵‬

‫نعوض المعادلة‬ ‫𝟏‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫فٌنتج ‪:‬‬

‫فً المعادلة‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫∫‬

‫) نضع‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫(𝟐 ∫‬

‫)𝟏‬

‫∫‬

‫| |‬

‫(‬ ‫| |‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐)𝟏‬

‫(‬ ‫𝟐‬ ‫𝟏‬

‫| |‬ ‫𝟐‬

‫| |‬ ‫)‬

‫‪368‬‬

‫(‬

‫𝟐)𝟏‬

‫∫‬

‫𝟐‬ ‫𝟏‬

‫𝟐‬ ‫| |‬

‫𝟏‬

‫| |‬ ‫(‬

‫(𝟐‬

‫)𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫𝟐‬ ‫𝟏‬

‫𝟐‬ ‫| |‬


‫أعذاد‪ /‬األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الخامس‪ /‬المعادالت التفاضلية‬ ‫𝟐‬

‫مثال محلول‪ /‬حل المعادلة التفاضلٌة 𝟎‬

‫𝟐‬

‫̅‬

‫𝟐‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫̅‬

‫𝟐‬

‫) نقسم البسط والمقام على‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫) (‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫) (𝟐‬

‫𝟐‬

‫) وضعنا‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫(‬

‫𝟐‬ ‫∵‬

‫نعوض المعادلة‬

‫فٌنتج ‪:‬‬

‫فً المعادلة‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫)𝟏‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫(‬

‫𝟐‬ ‫| |‬ ‫𝟏‬ ‫| |‬

‫)𝟏‬

‫𝟐‬

‫| |‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫(‬

‫𝟐‬ ‫∫‬

‫)𝟏‬

‫𝟐‬

‫)𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫∫‬

‫| |‬

‫(‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟏‬

‫)𝟏‬

‫(‬

‫𝟏‬ ‫(‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫)‬

‫‪369‬‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫)𝟏‬

‫𝟐‬

‫| |‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫)‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫(‬

‫(‬

‫∴‬


‫أعذاد‪ /‬األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الخامس‪ /‬المعادالت التفاضلية‬

‫𝟓(‬

‫تمارين)𝟑‬ ‫حل كال من المعادالت التفاضلٌة اوتٌة ‪:‬‬

‫وزاري ‪ / 2012‬د‪2‬‬

‫وزاري ‪ / 2013‬د‪1‬‬

‫̅ )𝟏(‬ ‫) وضعنا‬

‫(‬ ‫∵‬

‫نعوض المعادلة‬

‫فٌنتج ‪:‬‬

‫فً المعادلة‬

‫∫‬

‫∫‬

‫∫‬ ‫) (‬

‫∫‬

‫| |‬

‫| |‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫)‬

‫( ) 𝟐(‬

‫𝟐‬

‫) نقسم البسط والمقام على‬

‫(‬

‫)𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫(‬ ‫𝟐‬

‫) (‬

‫) (‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫) وضعنا‬

‫) نعوض المعادلة‬ ‫∫‬

‫| |‬

‫فً المعادلة‬ ‫𝟐‬

‫(‬

‫∵‬

‫(‬

‫∫‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫| |‬

‫)𝟏‬

‫(‬

‫⇒‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫∴‬ ‫𝟏‬

‫| |‬

‫| |‬

‫𝟏‬

‫) (‬

‫)حٌث‬

‫‪370‬‬

‫𝟏‬

‫(‬

‫𝟏‬

‫| |‬


‫أعذاد‪ /‬األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الخامس‪ /‬المعادالت التفاضلية‬

‫) 𝟑‬

‫𝟎‬ ‫) نقسم البسط والمقام على‬

‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫(‬

‫) 𝟐‬

‫𝟐‬ ‫) (𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬ ‫) 𝟑‬ ‫𝟒‬ ‫)𝟏‬

‫∫‬

‫(‬

‫𝟐(‬

‫𝟐‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟐 𝟏‬ ‫𝟑 𝟐‬

‫(‬

‫∵‬

‫(‬ ‫𝟐 𝟏‬ ‫𝟑 𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟐(𝟐‬ ‫∫) (‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐 𝟑(‬

‫∫‬

‫𝟒‬

‫|𝟏‬

‫𝟐 𝟏‬ ‫𝟑 𝟐‬

‫) 𝟑‬ ‫𝟒‬ ‫)𝟏‬ ‫𝟐‬

‫| |‬

‫) 𝟑‬

‫𝟐‬

‫) وضعنا‬

‫) نعوض المعادلة‬

‫) 𝟐‬

‫𝟏‬

‫) (𝟑‬

‫فً المعادلة‬

‫𝟐(‬

‫( )𝟑(‬

‫𝟐‬

‫𝟑|‬

‫𝟐(‬ ‫𝟐‬

‫𝟑(‬

‫)𝟏‬

‫∫‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫∴‬ ‫𝟐‬

‫𝟒‬ ‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫| |‬

‫𝟑(‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫)𝟒(‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫) نقسم البسط والمقام على‬ ‫𝟐‬

‫) (‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫) (𝟐‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫) وضعنا‬

‫) نعوض المعادلة‬ ‫𝟐‬

‫فً المعادلة‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫| |‬

‫| |‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬ ‫∵‬

‫𝟐‬ ‫𝟏‬

‫(‬

‫∫‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫)𝟐‬

‫𝟏(‬

‫‪371‬‬

‫𝟏(‬

‫𝟏‬

‫∴‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬ ‫)𝟐‬

‫𝟏(‬

‫∫‬

‫𝟐‬ ‫)𝟐‬

‫𝟏‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟐‬

‫| |‬

‫)𝟐‬ ‫)𝟐‬

‫𝟏(‬

‫𝟐‬ ‫𝟏(‬


‫أعذاد‪ /‬األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الخامس‪ /‬المعادالت التفاضلية‬

‫)𝟐‬

‫𝟎‬

‫وزاري ‪ / 2014‬د‪2‬‬

‫)𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫(‬ ‫𝟐‬

‫) نقسم البسط والمقام على‬

‫𝟐‬

‫(‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫) (‬

‫( )𝟓(‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫) (‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫) وضعنا‬

‫𝟏‬

‫(‬

‫∵‬

‫نعوض المعادلة‬ ‫𝟐‬

‫فً المعادلة‬ ‫𝟐‬

‫فٌنتج ‪:‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫| |‬

‫|‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏|‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟒‬

‫|‬

‫𝟏‬

‫𝟒 𝟐‬

‫)𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏(‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫𝟒‬

‫∫‬

‫)𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫)𝟒 ( 𝟏‬ ‫∫‬ ‫𝟒‬ ‫𝟐 𝟏(‬

‫)𝟐‬

‫𝟏(‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫)‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏( |‬

‫𝟏‬ ‫𝟒 𝟐‬

‫) ) (𝟐‬

‫‪372‬‬

‫)𝟒( 𝟐‬

‫| |‬

‫𝟏(‬

‫|‬

‫𝟏‬ ‫𝟒) 𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏|‬

‫∴‬ ‫𝟐‬

‫𝟏(‬


‫أعذاد‪ /‬األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الخامس‪ /‬المعادالت التفاضلية‬

‫)𝟑‬

‫وزاري ‪ / 2016‬د‪1‬‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫)𝟔(‬

‫𝟐‬

‫) نقسم البسط والمقام على‬

‫(‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟐‬

‫) (‬ ‫𝟑‬

‫) (‬

‫) وضعنا‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫(‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫∵‬

‫نعوض المعادلة‬

‫فٌنتج ‪:‬‬

‫فً المعادلة‬ ‫𝟒‬ ‫𝟑‬

‫𝟒‬

‫𝟏‬ ‫)‬

‫| |‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫𝟑 𝟑‬

‫𝟒‬

‫| |‬

‫(∫‬

‫𝟏‬ ‫∫‬

‫)𝟏‬

‫(‬

‫⇒‬

‫𝟑‬

‫∫‬

‫| |‬

‫)‬

‫𝟏‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫)𝟑‬

‫(∫‬

‫𝟏(‬

‫𝟒‬ ‫𝟑‬

‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫𝟑‬

‫)حٌث‬

‫𝟏‬

‫‪373‬‬

‫𝟑‬

‫𝟏‬

‫| |‬

‫| |‬ ‫(‬

‫𝟏‬

‫| |‬

‫𝟑‬ ‫𝟏‬ ‫𝟑‬

‫) (𝟑‬

‫| |‬ ‫| |‬


‫أعذاد‪ /‬األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الخامس‪ /‬المعادالت التفاضلية‬

‫)‬

‫) وضعنا‬

‫(‬

‫)𝟕(‬

‫(‬ ‫∵‬

‫نعوض المعادلة‬

‫فٌنتج ‪:‬‬

‫فً المعادلة‬ ‫∫‬ ‫)‬

‫∫‬

‫(‬ ‫|‬

‫|‬

‫| |‬

‫|‬

‫| |‬

‫| |‬

‫|‬

‫∫‬

‫∫‬ ‫∴‬

‫******************************************************************‬

‫س ‪ : 1‬حل المعادلة التفاضلٌة التالٌة‬

‫𝟑‬

‫̅)‬ ‫𝟐‬

‫س ‪ : 2‬أوجد حل المعادلة التفاضلٌة التالٌة‬

‫س ‪ : 3‬أوجد الحل العام للمعادلة التفاضلٌة التالٌة‬ ‫س ‪ : 4‬حل المعادلة التفاضلٌة التالٌة‬ ‫س ‪ : 5‬حل المعادلة التفاضلٌة التالٌة‬

‫𝟒‬

‫𝟒(‬ ‫)𝟐‬

‫𝟏(‬ ‫)𝟐‬

‫)𝟐‬

‫) (‬

‫‪374‬‬

‫̅‬ ‫𝟐‬

‫√‬ ‫𝟐‬

‫(‬ ‫(‬


‫أعذاد‪ /‬األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الخامس‪ /‬المعادالت التفاضلية‬

‫حلول التمارٌن العامة الخاصة بالفصل الخامس‬ ‫س‪ / 13‬حل المعادلة التفاضلٌة اوتٌة ‪𝟏 :‬‬

‫𝝅‬

‫𝒙‬

‫𝒚 𝟐𝒔𝒐𝒄‬

‫𝒚‬

‫𝟒‬

‫̅‬ ‫𝒚‬

‫𝒙‬

‫الحل ‪/‬‬

‫)𝒚 𝟐𝒔𝒐𝒄 𝒙‬

‫(‬

‫𝒙𝒅𝒚 𝟐𝒔𝒐𝒄‬

‫]‬

‫𝒙𝒅‬ ‫𝒙‬ ‫)نعوض 𝟏‬

‫𝒙‬

‫𝝅‬ ‫𝟒‬

‫𝒚(‬

‫𝒚 𝟐𝒔𝒐𝒄‬ ‫𝒙‬

‫𝒚𝒅‬ ‫𝒚 𝟐𝒔𝒐𝒄‬

‫∫‬

‫𝒄‬

‫∫‬

‫𝒙𝒅‬ ‫𝒙‬

‫|𝒙|𝒏𝒍‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟎‬

‫𝒙𝒅‬ ‫𝒙‬

‫𝒚𝒅‬

‫س‪ / 14‬حل المعادلة التفاضلٌة اوتٌة ‪𝟐𝒙 𝒕𝒂𝒏 𝒚 :‬‬

‫𝒙𝒅‬

‫𝝅‬ ‫𝟒‬

‫|𝟏|𝒏𝒍‬

‫|𝒙|𝒏𝒍‬

‫𝟏‬

‫𝒙 عندما‬

‫حٌ أن 𝟎‬

‫𝒚𝒅‬ ‫𝒚 𝟐𝒔𝒐𝒄‬

‫𝒚𝒅 𝒚 𝟐𝒄𝒆𝒔 ∫‬

‫∫‬

‫𝒄‬

‫𝒚𝒅‬ ‫𝒙𝒅‬

‫𝝅‬ ‫𝟐‬

‫∴‬

‫𝒚‬

‫الحل ‪/‬‬

‫)𝒚 𝒏𝒂𝒕‬ ‫𝒙𝒅 𝒙𝟐 ∫‬ ‫𝟐𝒙‬ ‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝒄‬

‫𝒚𝒅‬ ‫𝒚 𝒏𝒊𝒔‬ ‫(‬ ‫)‬ ‫𝒚 𝒔𝒐𝒄‬

‫|𝒚 𝒏𝒊𝒔|𝒏𝒍‬

‫)نعوض 𝟎‬ ‫𝟎‬

‫𝒄‬ ‫𝟐𝒙‬

‫𝒆‬

‫∫‬

‫‪375‬‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝟐‬

‫𝒚(‬

‫𝟐𝒙‬

‫𝒄‬

‫𝟏 𝒏𝒍‬

‫𝒚 𝒏𝒊𝒔‬

‫𝒙𝒅 𝒚 𝒏𝒂𝒕 𝒙𝟐‬

‫𝒙𝒅 𝒙𝟐 ∫‬ ‫𝝅‬ ‫𝟐‬

‫𝒙‬

‫(‬

‫]‬

‫𝒄‬ ‫)نأخذ‬

‫للطرفٌن(‬

‫⇒‬

‫𝒚𝒅‬

‫𝒚𝒅‬ ‫𝒚 𝒏𝒂𝒕‬

‫𝒚 𝒔𝒐𝒄‬ ‫∫‬ ‫𝒚𝒅‬ ‫𝒚 𝒏𝒊𝒔‬ ‫|𝒚 𝒏𝒊𝒔|𝒏𝒍‬

‫𝟎‬

‫𝟐𝒙‬

‫𝝅‬ ‫|‬ ‫𝟐‬

‫𝒏𝒊𝒔| 𝒏𝒍‬

‫|𝒚 𝒏𝒊𝒔|𝒏𝒍‬

‫∴‬


‫أعذاد‪ /‬األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الخامس‪ /‬المعادالت التفاضلية‬

‫وزاري ‪ / 2013‬د‪3‬‬

‫س‪ / 15‬حل المعادلة التفاضلٌة‬

‫𝒚‬

‫𝒙‬

‫̅‬ ‫𝒚 𝒙 حٌ أن 𝟏‬

‫𝒚‬

‫𝒙‬

‫𝟏‬

‫الحل ‪/‬‬

‫)𝒙‬

‫(‬

‫𝒙‬

‫𝒚𝒅‬ ‫𝒙𝒅‬

‫𝒚‬ ‫𝒙‬

‫𝒚‬

‫𝒚𝒅‬ ‫𝒙𝒅‬

‫𝒚‬ ‫𝒙‬

‫𝒚𝒅‬ ‫𝒙𝒅‬

‫𝒙‬ ‫𝟏‬ ‫) وضعنا‬

‫𝒙‬

‫𝟏‬

‫(‬

‫∵‬

‫نعوض المعادلة‬

‫فً المعادلة‬

‫فٌنتج ‪:‬‬ ‫𝟏‬ ‫𝒙𝒅‬ ‫𝒙‬

‫𝐜‬ ‫نعوض 𝟏‬

‫𝒙‬

‫𝟏‬

‫𝟏‬ ‫)𝒙 (‬

‫𝒗𝒅‬

‫| |‬

‫𝐜‬

‫]‬ ‫𝒙𝒅‬ ‫𝒙‬

‫| |‬

‫∫‬

‫𝒗𝒅 ∫‬

‫𝒚 وٌجاد لٌمة الثابت 𝒄‬ ‫𝐜‬

‫𝟏‬

‫𝟎‬

‫𝐜‬

‫𝟏‬ ‫𝟏‬

‫‪376‬‬

‫| |‬

‫|𝟏|‬

‫𝟏‬ ‫𝟏‬ ‫∴‬


‫أعذاد‪ /‬األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الخامس‪ /‬المعادالت التفاضلية‬

‫س‪ / 16‬حل المعادلة التفاضلٌة اوتٌة‬

‫𝟎‬

‫𝒙𝒅) 𝟐𝒚𝟑‬

‫𝒚𝒅 𝒚𝒙𝟐‬

‫𝟐𝒙(‬

‫الحل ‪/‬‬

‫𝒙𝒅) 𝟐𝒚𝟑‬

‫𝒚𝒅 𝒚𝒙𝟐‬ ‫𝟐𝒚𝟑‬ ‫) نقسم البسط والمقام على‬

‫𝒚𝒅‬ ‫𝒙𝒅‬

‫𝟐𝒙‬

‫𝟐𝒚𝟑‬ ‫𝒚𝒙𝟐‬

‫(‬

‫𝟐𝒚‬ ‫𝟐 𝟑‬ ‫𝒙‬ ‫𝒚𝒙𝟐‬ ‫𝟐𝒙‬

‫) وضعنا‬

‫𝒚𝒙𝟐‬

‫𝟐𝒙‬

‫𝒚𝒅‬ ‫𝒙𝒅‬

‫𝟐𝒙‬ ‫𝟐𝒙‬

‫𝟐 𝒚‬ ‫) (𝟑‬ ‫𝒙‬ ‫𝒚‬ ‫) 𝒙( 𝟐‬ ‫𝟐𝒗𝟑‬ ‫𝒗𝟐‬

‫(‬

‫𝟐𝒙(‬

‫𝒚𝒅‬ ‫𝒙𝒅‬

‫𝟏‬

‫𝒚𝒅‬ ‫𝒙𝒅‬

‫𝟏‬

‫∵‬ ‫نعوض المعادلة‬

‫فً المعادلة‬

‫𝟐𝒗𝟐 𝟐𝒗𝟑‬ ‫𝒗𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐𝒗( 𝒄‬

‫𝒙‬

‫𝟐𝒗𝟑‬ ‫𝒗𝟐‬

‫𝒗‬ ‫∫‬

‫)𝟏‬

‫فٌنتج ‪:‬‬

‫𝒗𝟐‬ ‫𝟏 𝟐𝒗‬ ‫)𝟏‬

‫𝟐𝒗𝟑‬ ‫𝒗𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟏 𝟐𝒗‬ ‫𝒗𝟐‬

‫𝒗𝟐‬ ‫𝟏 𝟐𝒗‬

‫∫‬

‫𝟐𝒗( 𝒄‬

‫| 𝒙|𝒏𝒍‬ ‫)‬

‫𝟐𝒙‬ ‫𝟐𝒙‬

‫‪377‬‬

‫𝟐𝒚‬ ‫(𝒄‬

‫|𝒙|𝒏𝒍‬ ‫𝒙‬

‫𝟏‬

‫| |‬ ‫)𝟏‬

‫𝟏‬

‫𝟐𝒗‬

‫𝟐𝒚‬ ‫𝟐 (𝒄‬ ‫𝒙‬

‫𝒙‬


‫أعذاد‪ /‬األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الخامس‪ /‬المعادالت التفاضلية‬

‫حلول األسئلة الوزارٌة الخاصة بالفصل الخامس‬ ‫قؤال وزاري ‪/ 2012‬د‪2‬‬ ‫حل المعادلة التفاضلٌة )𝟏‬

‫حٌ‬

‫(‬

‫()𝟏‬

‫عندما 𝟐‬

‫𝟐‬

‫الحل ‪/‬‬

‫)𝟏‬

‫(∫‬

‫)𝟏‬

‫(‬

‫)𝟏‬

‫∫‬

‫(‬

‫(‬

‫)𝟏‬

‫)𝟏‬

‫()𝟏‬

‫(‬

‫)𝟏‬

‫()𝟏‬

‫(‬

‫𝟐‬

‫)𝟏‬

‫𝟐‬

‫نعوض 𝟐‬

‫𝒙‬

‫𝟐‬

‫(‬

‫𝒚 وٌجاد لٌمة الثابت 𝒄‬ ‫𝟒‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫𝟎‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟒‬

‫𝟐‬

‫قؤال وزاري ‪/ 2014‬د‪3‬‬ ‫أثبت ان‬

‫أحد حلول المعادلة‬

‫𝟎‬

‫الحل ‪/‬‬ ‫𝟏‬

‫)𝟏(‬

‫𝟏‬ ‫) (‬

‫)‬

‫∴ العاللة المعطاة )‬

‫(هً أحد حلول المعادلة التفاضلٌة أعال‬

‫‪378‬‬

‫𝟏(‬

‫)𝟏‬

‫(‬

‫∴‬


‫أعذاد‪ /‬األستار علي حميذ 𝟎𝟓𝟎𝟕𝟑𝟖𝟎𝟏𝟖𝟕𝟎‬

‫الفصل الخامس‪ /‬المعادالت التفاضلية‬

‫قؤال وزاري ‪/ 2015‬د‪3‬‬ ‫𝟐‬

‫جد الحل العام للمعادلة التفاضلٌة‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫) نقسم البسط والمقام على‬

‫(‬

‫𝟐‬ ‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫) (‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫) وضعنا‬

‫(‬

‫𝟏‬ ‫∵‬

‫نعوض المعادلة‬

‫فً المعادلة‬

‫فٌنتج ‪:‬‬ ‫𝟐‬

‫𝟏‬

‫𝟐‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫)‬

‫𝟏‬

‫𝟏( ∫‬

‫𝟐‬

‫𝟏‬ ‫∫‬

‫∫‬

‫)‬

‫| |‬

‫𝟏‬

‫)حٌث‬

‫‪379‬‬

‫(‬

‫)𝟏‬

‫(∫‬ ‫)𝟏‬

‫| |‬ ‫𝟏‬

‫𝟏‬

‫(‬

‫| |‬

‫⇒‬ ‫𝟏‬

‫| |‬

‫(‬

‫| |‬ ‫| |‬


Turn static files into dynamic content formats.

Create a flipbook
Issuu converts static files into: digital portfolios, online yearbooks, online catalogs, digital photo albums and more. Sign up and create your flipbook.