UNIVERSIDAD TECNOLOGICA DE PEREIRA DEPARTAMENTO DE MATEMATICA UN CASO DE MODELO MATEMATICO PROFESOR FABIO VALENCIA OCTUBRE 2011
MODELOS MATEMATICOS Se dice que no se hace matemática si no se resuelven problemas matemáticos que modelan problemas de la vida real I)Suponga que el agua que fluye del extremo de un tubo, el cual se encuentra a 25 pies del suelo, describe una curva parabólica, de modo que el vértice de la parábola es el extremo del tubo. Si en un punto 4 pies debajo del tubo el flujo de agua en su trayectoria curva se localiza a 8 pies de distancia de la recta vertical que pasa por el extremo del tubo. Exprese la distancia desde la recta vertical que pasa por el extremo del tubo hasta el flujo de agua en su trayectoria curva, en función de b pies debajo del tubo
Sugerencias para resolver un problema 1)Lea cuidadosamente el enunciado del problema, procurando entender cada una de las palabras de tal manera que pueda repetirlo mentalmente. 2)Haga un bosquejo mental en tercera dimensión del problema
3)Convertir el bosquejo mental en tercera dimensión, en una figura geométrica plana (en nuestro caso un pedazo de parábola)
4)Tomar como marco de referencia el plano cartesiano y sobre el bosquejar el pedazo de parﾃ｡bola, ubicando las distancias dadas en el problema. (0,25) 4
(8,21) 8pies
25pies
21pies
5)Seﾃｱalar claramente en LA PARﾃ。OLA,la pregunta del problema (Exprese la distancia desde la recta vertical que pasa por el extremo del tubo hasta el flujo de agua en su trayectoria curva, en funciﾃｳn de b pies debajo del tubo)
(0,25) 4 bpies
25-b pies
(8,21) 8pies xpies
(x,25-b)
5)Nuestro problema es encontrar el punto (x,25-b) en la parábola y para ello debemos conocer la ecuación de la parábola Recordemos. Si conocemos el vértice (0,25) y un punto de la parábola (8,21) podemos conocer su ecuación 4 0 4 25 Reemplazamos el punto (8,21) 8 0 4 21 25 64 4 4 64 16
64 4 16
La ecuación de la parábola es 16 25 Nuestro problema es encontrar el punto (x,25-b) Reeplazando y=25-b 16 25 25 16 16 4√ pies 0 b 25 Esta es la distancia desde la recta vertical que pasa por el extremo del tubo hasta el flujo de agua en su trayectoria curva, en función de b pies debajo del tubo
Ejercicios A)Para el problema anterior utilice como marco de referencia el vértice de la parábola en el origen
B)Uno de los cables de un puente colgante pende en forma de parábola cuando la carga esta uniformemente distribuida de manera horizontal. La distancia entre las dos torres es de 160 metros, los puntos del cable están a 24 m arriba de la carretera, y el punto más bajo del cable está a 8 m sobre dicha carretera. Determinar la distancia vertical de la carretera al cable de un punto que se encuentra a b m de la base de una torre. Exprese esta distancia vertical y en función de b m .Indique el dominio admisible para b C)Un arco parabólico tiene una altura de 25 m y un ancho de 40m en la base Si el vértice de la parábola está en la parte superior del arco, a que altura sobre la base tiene un ancho de b m?