UNIVERSIDADE TECNOLOGICA DE PEREIRA DEPARTAMENTO DE MATEMATICA PROFESOR FABIO VALENCIA M FUNCIONES HIPERBOLICAS
FUNCIONES HIPERBร LICAS E HIPERBร LICAS INVERSAS
Definiciรณn El seno hiperbรณlico. Sea x un nรบmero real el seno hiperbรณlico de x se denota y=senh(x) y se define mediante la fรณrmula e e
y senh x 2 Y su grรกfica estรก dada por :(utilice cรกlculo para llegar a la grรกfica que se dรก)
y=senh(x)
De la grรกfica podemos afirmar lim senh x lim
โ
e e
โ
2
lim senh x lim
Y en cualquier punto, por ser la funciรณn continua e e
e e lim senh x lim
2 2
La derivada D senh x D
=
=cosh(x)
D senh x cosh x La derivada es positiva en todo su dominio luego la función es creciente Su dominio son todos los números reales y su imagen son todos los reales, es una función inyectiva y sobreyectiva luego tiene inversa en todo su dominio
y=senh·'(x)
Y su fórmula es y= senh ! x ln x √x 1 La derivada de y= senh ! x D senh ! x
1
√x 1
DefiniciĂłn El coseno hiperbĂłlico. Sea x un nĂşmero real el coseno hiperbĂłlico de x se denota y=cosh(x) y se define mediante la fĂłrmula e e
y cosh x 2 Y su grĂĄfica estĂĄ dada por :(utilice cĂĄlculo para llegar a la grĂĄfica que se dĂĄ)
y=cosh(x)
Df=lR
De la grĂĄfica podemos afirmar lim cosh x lim
∞
e e
∞
2
lim cosh x lim
Y en cualquier punto, por ser la funciĂłn continua e e
e e lim cosh x lim
2 2 La derivada D cosh x D
=
=senh(x)
D cosh x senh x
La derivada es negativa en (-∞,0) luego la funciĂłn es decreciente en (-∞,0)
La derivada es positiva en (0,+∞) luego la función es creciente en (0,+∞) Como cambia de derivada negativa a positiva en x=0 existe un mínimo y el mínimo es (0,1) El dominio son todos los números reales y la imagen es [1,+∞), la función no tiene inversa en todo su dominio, restrinjamos su dominio a [0,+∞)
y=cosh(x)
Aquí si tiene inversa y=cosh ! x Y=cosh ! x
y=argcosh(x)
Su dominio [1,+∞) Y su fórmula es :
La derivada
y=cosh ! x =ln(x+√x 1 D cosh ! x
!
√$ % !
x≥1
DefiniciĂłn La tangente hiperbĂłlica. Sea x un nĂşmero real la tangente hiperbĂłlica de x se denota y=tanh(x) y se define mediante la fĂłrmula e e
y tanh x
e e
Y su grĂĄfica estĂĄ dada por :(utilice cĂĄlculo para llegar a la grĂĄfica que se dĂĄ)
y=tanh(x)
De la grĂĄfica podemos afirmar lim tanh x lim
lim tanh x lim
1 y=-1 es asĂntota horizontal
1 y=1 es una asĂntota horizontal
Y en cualquier punto, por ser la funciĂłn continua e e
e e lim tanh x lim
e e
e e ) *+
La derivada D tanh x D = ,-)+
,-)+ ,-)+ ) + ) *+ ,-)+% ) *+% = ,-)+ % ,-)+ %
D tanh x
1 sech x cosh x
D tanh x sech x
La derivada es positiva en todo su dominio luego es creciente Su dominio son todos los números reales y su imagen es ,[-1,1] es inyectiva y sobreyectiva luego tiene inversa y=tanh ! x
y=argtanh(x)
Su dominio es [-1,1] x=-1 y x=1 son asíntotas verticales
Su inversa está dada por la fórmula !
y=tanh ! x ln Su derivada
!
!
donde
D tanh ! x
1<x<1
1 donde |x| 0 1 1 x
DefiniciĂłn La cotangente hiperbĂłlica. Sea x un nĂşmero real la cotangente hiperbĂłlica de x se denota y=cotanh(x) y se define mediante la fĂłrmula e e
y cotanh x
e e
Y su grĂĄfica estĂĄ dada por :(utilice cĂĄlculo para llegar a la grĂĄfica que se dĂĄ)
y=cotanh(x)
De la grĂĄfica podemos afirmar lim cotanh x lim
1 y=-1 es asĂntota
horizontal
lim cotanh x lim
1 y=1 es una asĂntota horizontal
Y en cualquier punto diferente de cero, por ser la funciĂłn continua e e
e e limco tanh x lim
e e
e e La derivada ,-)+
) *+ ) *+ ,-)+ ,-)+ ) *+% ,-)+% = ) *+ % ) *+ %
D cotanh x D = ) *+
D cotanh x
1 cosech x cosch x
D cotanh x cosech x
Su dominio son todos los números reales menos el cero y su imagen (-∞,1)∪(1,+∞), y=1 y Y=-1 son asíntotas horizontales. La función tiene inversa y se nota y=cotanh ! x , su gráfica es
y=argcoth(x)
Su dominio es (-∞,-1)∪(1,+∞) y x=-1 , x=1 son asíntotas verticales Esta dado por la fórmula !
Y=cotanh ! x ln
!
!
donde |x| ≥ 1 es lo mismo x 2 ∞, 1 ∪ 1, ∞ dominio de la inversa su derivada !
D cotanh ! x =!
% 45647 |x| & 1 es lo mismo x 2 ∞, 1 ∪ 1, ∞
Revisar la diferencia con D tanh ! x
DefiniciĂłn La secante hiperbĂłlica. Sea x un nĂşmero real la secante hiperbĂłlica de x se denota y=sech(x) y se define mediante la fĂłrmula 1 2 y sech x
cosh x e e
Y su grĂĄfica estĂĄ dada por :(utilice cĂĄlculo para llegar a la grĂĄfica que se dĂĄ)
y=sech(x)
! ,-)+
De la grĂĄfica podemos afirmar lim sech x lim
lim
=0 y=0 es asĂntota
horizontal lim sech x lim
!
,-)+
lim
y=0 es una asĂntota horizontal
Y en cualquier punto, por ser la funciĂłn continua
1 2
cosh x e e
limsec h x lim
Su derivada D sech(x)=D
!
) *+ = ,-)+% ,-)+
sech x tanh x
D sech(x) sech x tanh x Su dominio son todos los reales y su imagen es (0,1] y=0 es una asĂntota horizontal, no tiene inversa en todo su dominio, debemos restringirlo a un dominio [0,+â&#x2C6;&#x17E;) y allĂ si tiene inversa
y=sech(x)
Su inversa es y=sech ! x
y=argsech(x)
El dominio de y=sech ! x es (0,1] y su imagen es [0,+∞), x=0 es una asíntota vertical ! √!
% 9
Su fórmula es y=sech ! x ln 8
x∈(0,1]
Su derivada D sech ! x =
!
√!
%
donde 0<x≤1
DefiniciĂłn La cosecante hiperbĂłlica. Sea x un nĂşmero real la cosecante hiperbĂłlica de x se denota y=cosech(x) y se define mediante la fĂłrmula 1 2 y cosech x
senh x e e
Y su grĂĄfica estĂĄ dada por :(utilice cĂĄlculo para llegar a la grĂĄfica que se dĂĄ)
y=cosech(x)
! ) *+
De la grĂĄfica podemos afirmar lim cosech x lim 0 es una asintota horizontal
lim
0 donde y
1 2 lim
0
senh x
e e
lim cosech x lim
Y en cualquier punto diferente de cero, por ser la funciĂłn continua 1 2 lim cosech x lim
senh x e e !
,-)+
La derivada D cosech x D ) *+ = ) *+% =-cosech(x).cotanh(x) D cosech x cosech x cotanh x
Su dominio es (-â&#x2C6;&#x17E;,0)â&#x2C6;Ş(0,+â&#x2C6;&#x17E;) y su imagen son todos los nĂşmeros reales sin el cero, x=0 es una asĂntota vertical y y=0 es una asĂntota horizontal, la funciĂłn tiene inversa en todo su dominio Y esta dado por la grĂĄfica y se nota y= cosch ! x
Y=argcosch(x)
Su dominio es (-∞,0)∪(0,+∞) y su imagen es (-∞,0)∪(0,+∞) donde x=0 es asíntota vertical y y=0 es una asíntota horizontal So fórmula !
!
y= cosch ! x ln ? @1 % A
Su derivada D cosch ! x
!
| |√! %
donde x≠0