PRIMER PARCIAL DE MATEMATICA I 7AM Una de las posibles soluciones de este parcial es la siguiente:
1).Dados los siguientes conjuntos de parejas ordenadas: f = −2, 0, −1, 1, 0, 4, 1, 9, 2, 16, 3, 5 g = −5, −4, −3, 0, 1, −4, 2, −1, 4, 2, 5, 2, 7, 3 a).Explique por qué f y g son funciones Respuesta f y g son funciones por que si una función está dada por parejas ordenadas, se debe cumplir que la primera componente de cada pareja ordenada deben ser diferentes (No se repite la primera componente de las parejas ordenadas). Otra respuesta posible es: f y g son funciones si y solo si cada elemento del primer conjunto le corresponde un único elemento en el segundo conjunto
b)Halle f ∘ g, y el dominio de f ∘ g Respuesta sabemos que f ∘ gx = fgx como tenemos funciones con dominios finitos calculamos la función compuesta punto a punto f ∘ g−5 = fg−5 = f−4 no existe f ∘ g−3 = fg−3 = f0 = 4 f ∘ g1 = fg1 = f−4 = no existe f ∘ g2 = fg2 = f−1 = 1 f ∘ g4 = fg4 = f2 = 16 f ∘ g5 = fg5 = f2 = 16 f ∘ g7 = fg7 = f3 = 5 f ∘ g = −3, 4, 2, 1, 4, 16, 5, 16, 7, 5 D f∘g = −3, 2, 4, 5, 7
c).Dando las explicaciones correspondientes, determine si las funciones dadas o alguna de ellas es uno a uno y sobre su dominio y en el caso de que sea hallar su inversa f = −2, 0, −1, 1, 0, 4, 1, 9, 2, 16, 3, 5
Respuesta f es uno a uno porque a cada elemento del dominio le corresponde una imagen diferente, f es sobre porque la imagen de f lo forman las segundas componentes de la parejas luego f tiene inversa su inversa es f −1 = 0, −2, 1, −1, 4, 0, 9, 1, 16, 2, 5, 3 Los elementos de la imagen de f se convierten en el dominio de f −1 y los elementos del dominio de f se convierten en la imagen de f −1 g no es uno a uno porque −5 ≠ 1 y f−5 = f1 y deben ser diferentes
2.) Dibuje la grafica de la función dada y determine el dominio y su rango
|2x + 10| fx =
si −6 ≤ x < −3
+1
si
0≤x<4
2 − x − 6 si
6 ≤ x < 15
x 2
4
y
3
2
1
-6 -5 -4 -3 -2 -1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15
x
-1
3.)Dada la función y = 2 sin3x −
Respuesta a.)Amplitud 2
periodo
2π 3
3π 2
desplazamiento de fase
π 2
b.)Halle todos los ceros reales de la función dada y = 2sen3x −
Respuesta solo tenemos que hacer y = 0 0 = 2sen3x − 3π 2 3π 2sen3x − 2 = 0 =0 sen3x − 3π 2
3π 2
arcsensen3x − 3π = arcsen0 2 a que valores se debe aplicar el seno para que nos de cero,claramente son 0,π y 2π 3x − 3π = 0 y 3x − 3π = π y 3x − 3π = 2π 2 2 2 3π 3π 3x = + 2 3x = π + 2 3x = 2π + 3π 2 π 1 x = + 3π = 2 x = + 5π 6 2 6
3 x =
7π 6
Soluciones S 1 = x ∈ R/x = π2 + 2πk, k ∈ Z S 2 = x ∈ R/x = + 5π + 2πk, k ∈ Z 6 S 3 = x ∈ R/x = 7π + 2πk, k ∈ Z 6 Solución total . Estos son los ceros reales S 1 ∪ S 2 ∪ S 3 c).Halle todos los cortes de la gráfica de la función dada y = 2sen3x − 3π con la 2 recta y = −2 Respuesta reemplazamos y = −2 y = 2sen3x − 3π 2 3π −2 = 2sen3x − 2 2sen3x − 3π = −2 2 3π sen3x − 2 = −1 Sen −1 sen3x − 3π = sen −1 −1 2 3x − 3π = 3π 2 2 3π 3x = 3π + = 3π 2 2 x = π valor en una vuelta de la circunferencia unitaria En todos los reales los cortes de la función con la recta y = −2 es el conjunto x ∈ R/ x = π + 2πk, k ∈ Z
4). Utlice la siguiente identidad sena − senb = 2cos a+b sen a−b para hallar todas 2 2 las soluciones de la ecuación sen3x − senx = 0 Respuesta En nuestro caso a = 3x y b = x reemplazando tenemos sen3x − senx = 2cos 3x+x sen 3x−x = 2cos2xsenx = 0 2 2 2cos2xsenx = 0 cos2xsenx = 0 cos2x = 0 o senx = 0 de cos2x = 0 tenemos 2x = π2 o 2x = 3π 2 x=
π 4
o x=
3π 4
valores en una vuelta de la
circunferencia unitaria La solución entodos los reales es: S 1 = x ∈ R/x = π4 + 2πk, k ∈ Z ∪ x ∈ R/x = 3π + 2πk, k ∈ Z 4 De senx = 0 tenemos x = 0 x = π, x = 2π tomaremos x = 0 y aqui quedan las soluciones de x = 2π
S 2 = x ∈ R/x = 2πk, k ∈ Z ∪ x ∈ R/x = π + 2πk, k ∈ Z La solución total es s 1 ∪ s 2
SOLUCION DEL PARCIAL DE MATEMATICA I 10AM
Una de tantas formas de solucionar el parcial es la siguiente: 1.) Dados los siguientes conjuntos de parejas ordenadas f = −2, −1, −1, 0, 0, 3, 1, 8, 2, −4, 3, 7, g = −2, 0, −1, 4, 1, 5, 2, 7, 1, 6, 3, 5 y h = −3, 5, −1, 0, 1, −4, 3, 0, 5, 12 a)Determine cuáles de estos conjuntos de parejas ordenadas es función. Justifique por qué es, o no es función Respuesta f y h son funciones, Justificación: Si una función está dada por parejas ordenadas, se debe cumplir que la primera componente de cada pareja ordenada deben ser diferentes (no se repite la primera componente de la parejas ordenadas) g no es función falla la justificación anterior contiene las parejas 1, 5, 1, 6
b)Determine cuáles de las funciones encontradas en el literal a) es uno a uno sobre su dominio Respuesta f tiene inversa porque es uno a uno sobre su dominio, ya que para dos valores diferentes del domino, le corresponden imagenes diferentes h no tiene inversa porque no es uno a uno, a dos elementos diferentes del dominio le corresponde la misma imagen estos son −1, 0 y 3, 0 La inversa de f es f −1 = −1, −2, 0, −1, 3, 0, 8, 1, −4, 2, 7, 3 los elementos del dominio de f se convierten en la imagen de f −1 y los elementos de la imagen de f se convierten en el dominio de f −1
2) sea fx =
x−2 −x x 2 −4x−5
y sea gx =
4 x−1
hallar f ∘ gx y el dominio de f ∘ g, D f∘g
a)Hallar f ∘ gx Respuesta f ∘ gx = fgx = f
=
4 x−1 2
−2 −
4 x−1
4−2x+2 x−1 2
= 4 4 − 4 x−1 −5 −4 x−1 se puede continuar pero hasta este resultado es un buen trabajo 4 x−1
4 x−1
−
4 x−1
4 x−1
−5
=
b).Hallar el dominio de f ∘ g 4 Respuesta Hallamos primero el dominio de g gx = x−1 D g = R − 1 x−2 −x x−2 −x hallemos el dominio de f fx = 2 = el dominio de f x − 5x + 1 x − 4x − 5 D f = 2, ∞ − 5 Dominio de f ∘ g D f∘g = x ∈ D g /gx ∈ D f
4 x−1
6−2x x−1 2
−4
−
4 x−1 4 x−1
−5
4 gx = x−1 D f = 2, ∞ − 5 4 Los valores de g(x) deben estar en el intervalo es decir x−1 ≥2 y 4 −2 ≥ 0 x−1 4−2x+2 ≥0 x−1 6−2x ≥0 x−1 Resolvamos la inecuación 6 − 2x _+__+___+____0_+__+_+++_3_-___-___-__
x−1 6−2x x−1
4 x−1
≠5
__-___-___-____0_-_1_+__+___+____+__ __-___-___-____0_-_1_+++_+_3_-__-__-___-__
4 ≥ 0 es 1, 3 falta resolver x−1 ≠ 5 hagamos 4 = 5 entonces 4 = 5x − 5 de donde x = 9 esto me indica que 9 no pertenece al x−1 5 5 dominio de la compuesta
Solución de la inecuación
6−2x x−1
D f∘g = 1, 3 − 9/5 3)Determinar el dominio y los ceros reales de la función x2 + x − 2 fx = 3 2x − 11x 2 + 13x − 4 Respuesta para hallar el dominio de la función debemos factorizar el denominador, aplicando la división sintética 2x 3 − 11x 2 + 13x − 4 = x − 12x − 1x − 4 x2 + x − 2 x2 + x − 2 fx = = 3 2 x − 12x − 1x − 4 2x − 11x + 13x − 4 D f = R − 12 , 1, 4 Los ceros reales de la función, los encontramos haciendo y = 0, factorizando el numerador y simplicando x2 + x − 2 0= 3 2x − 11x 2 + 13x − 4 x + 2x − 1 0= = x − 12x − 1x − 4 x + 2 0= 2x − 1x − 4 el único cero real es x = −2 4).Dada la función y = 4cos3x + π2 a) Respuesta Su amplitud es 4, el periodo es T = 2π el desplazamiento de fase 3 π − es 2 = − π 3 6 Grafiquemosla en un periodo para ello resolvamos 0 ≤ 3x + π2 ≤ 2π
En este periodo T =
2π 3
= 4π 6
- π2 ≤ 3x ≤ 2π − π2 = 3π 2 - π2 ≤ 3x ≤ 3π 2 - π6 ≤ x ≤ 3π 6 graficamos la función
y = 4cos3x +
π 2
Hagamos la gráfica pedida en − 5π , 6
4π 3
o lo que es lo mismo − 5π , 6
8π 6
b)Hallar los ceros reales y = 4cos3x + π2 Hacemos y = 0 y tenemos la ecuación 0 = 4 cos3x + π2 , 4cos3x + π2 = 0 cos3x + π2 = 0 cos −1 cos3x + π2 = cos −1 0 3x + π2 = π2 o tambien 3x + π2 = − 3π 2 O tambien podría decir "a que valores aplico el coseno para que el resultado sea 0, la respuesta es π2 , − 3π en una vuelta de la circunferencia unitaria" 2 3x + π2 = π2 3x = 0 entonces x = 0 s 1 = x ∈ R/x = 2πk, k ∈ Z
s2 =
de 3x + π2 = − 3π 2 3x = − 4π 2 x = − 4π = − 2π 6 3 x ∈ R/x = − 2π + 2πk, k ∈ Z 3
Solución s 1 ∪ s 2 c)Hallar todos los cortes de la gráfica de la función y = 4cos3x + y=4 Solo tenemos que resolver la ecuación 4 cos3x + π2 = 4 cos3x + π2 = 1 cos −1 cos3x + π2 = cos −1 1
π 2
con la recta
= 0 o 3x + π2 = 2π x = − π6 o x = 3π = π2 valores en una 6 vuelta dela circunferencia unitaria Solución en los reales S 1 ∪ S 2 donde s 1 = x ∈ R/x = − π6 + 2πk, k ∈ z y s 2 = x ∈ R/x = π2 + 2πk, k ∈ z 3x +
π 2