EL TUTOR Y SU ALUMNO
Tutor.-Veamos las siguientes funciones ● fx = x 4 − 5x 2 − 10x − 6 ● fx = x 32x−3 −3x−2 ●
*
fx =
2 x+2 −x x 3 +x 2 −5x+3
fx =∣ x + 2 ∣ + ∣ x − 1 ∣ −x + 4 −3x + 3 si
-
●
*
fx =
Sea fx =
1 x2
x < −2
−x + 7
si −2 ≤ x < 1
x−5
si
y gx =
x≥1 2
x−1
PRIMER ACTO Alumno.- Que es lo que me quiere explicar Tutor.-Vamos a estudiar función por funcion Alumno.-No lo entiendo son muchos ejercicios Tutor.- Veamos la primera función fx = x 2 − 2x − 3 A esta función le podemos hallar el dominio en forma muy sencilla preguntemonos que valores puede tomar la variable x? Alumno.- Todos los reales Tutor.- Eso es, no hay fracciones o sea no existe el peligro de dividir por cero ni hay raices cuadradas que impidan colocar números negativos Tutor -Podemos graficarla? Alumno Sabemos que su representación es una parábola que se abre hacia arriba,pero no recuerdo muy bien como graficarla Tutor.- Bien hallemos el vértice de dicha parábola completando cuadradrados, lo recuerda? Alumno.- Creo que si fx = x 2 − 2x − 3 = x − 1 2 − 4 de donde fx − 4 = x − 1 2 Tutor -y como lo hizo?
Fabioval
Alumno.- Tomé al coeficiente dos de la variable x lo dividí mentalmente por dos y me dió uno, lo eleve al cuadrado lo sume y lo reste pero yo no se que hacer con este resultado Tutor.- Recordemos la fórmula de la parábola x − h 2 = 4py − k, tenemos fx − 4 = x − 1 2 es decir y − 4 = x − 1 2 el vértice de la parábola es 1, 4, solo basta hallar los intersectos con el eje x, lo recuerda? Alumno.-Hacemos y = 0 y nos queda fx = x 2 − 2x − 3 = x + 1x − 3 x + 1x − 3 = 0 tenemos x = −1 y x = 3 donde −1, 0 y3, 0 son los intersectos con el eje x Tutor.- Como hallar el intersecto con el eje y ? Alumno.-Hacemos x = 0 en fx = x 2 − 2x − 3 y nos queda f0 = 0 2 − 20 − 3 = −3 es decir y = −3 el punto de intersección con el eje y es 0, −3 Tutor.- Veamos esto en una gráfica de fx = x 2 − 2x − 3
y
10 8 6 4 2
-5
-4
-3
-2
-1
1 -2
2
3
4
5
x
-4 -6 -8 -10
se observan los puntos de corte con el eje x que llamamos raices o ceros de una función. Tutor.- Estudiemos un caso interesante, que ud lo verá más adelante cuando estudie derivadas. Tracemos una secante cualesquiera Alumno.- Y que es secante? Tutor.- Es toda recta que corte dos puntos de la parábola tal como se vé en la gráfica
Fabioval
y 30
20
10
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
Tutor.- Ud puede reconocer que representa esta expresión
3
4
fx+h−fx h
5
x
en la gráfica
anterior Alumno.- No se que decir, solo veo una recta que corta una parábola en dos puntos Tutor.- Recuerda la ecuación de la pendiente de una recta m = dos puntos x 1, y 1 x 2 , y 2 No es mas que ud haga los reemplazos por esto dos puntos x, fx y x + h, fx + h
y 2− −y 1 x 2 −x 1
que pasa por
Alumno.- Lo veo muy facil x 1, y 1 = x, fx y hacemos x 2 , y 2 = x + h, fx + h fx+h−fx fx+h−fx nos queda x+h−x = y que hago h con esto? Tutor.- Solo pregunte que hace la funcion ? y ud mismo se debe responder " Toma el valor que voy a calcular y lo eleva al cuadrado, luego le resta dos veces este mismo valor y al final le resta tres Alumno.- Voy a hacerlo y me corrige fx + h = x + h 2 − 2x + h − 3 = : x 2 + 2hx + h 2 − 2x − 2h − 3 fx = x 2 − 2x − 3 y hacemos la resta fx + h − fx = x 2 + 2hx + h 2 − 2x − 2h − 3 − x 2 − 2x − 3 fx + h − fx = x 2 + 2hx + h 2 − 2x − 2h − 3 − x 2 + 2x + 3 fx + h − fx = 2hx + h 2 − 2h = hh + 2x − 2 de donde hh+2x−2 fx+h−fx x 2 +2hx+h 2 −2x−2h−3−x 2 −2x−3 = = = h + 2x − 2 h h h Tutor -Muy bien, pero sabe ese resultado que indica ? Alumno.- No No se, porque no me lo explica? Tutor.- Esta fórmula
Fabioval
fx+h−fx h
indica la pendiente de cualquier recta que intersecte en
estos dos puntos x, fx y x + h, fx + h a función fx = x 2 − 2x − 3
SEGUNDO ACTO Tutor.- Estudiemos la función fx = x 4 − 5x 2 − 10x − 6 Alumno.- Pienso que el dominio de la función son todos los números reales, segun ud no hay ningun problema Tutor.-Y como lo justifica Alumno.- Muy sencillo, veo que no hay problema de reemplazar la variable por cualquier número real Tutor.- Factorícelo en los numeros reales, Alumno.-Esa pregunta la veo un poco larga, pero facil .Hay unos teoremas que no le recuerdo el nombre pero los se utilizar Tutor.- Los teoremas son: el teorema del residuo , el teorema del factor y el teorema de las raices racionales de un polinomio de grado n Alumno si si eso creo, El teorema de los ceros racionales me dice que dado un polinomio fx = a 0 + a 1 x + a 2 x 2 + + + + +a n x n donde cada coeficiente es un número real, las posibles raices o ceros son de la forma ± dc donde c esta dado por los factores de a 0 y d esta dado por los factores de a n en nuestro caso a 0 = 6 y sus factores son ±1, ±2, ±3, ±6 y a n = 1 n = 4 los factores de 1 son ±1 las raices son de la forma ± 11 , ± 21 , ± 31 , ± 61 en forma simplificada son ±1, ±2, ±3, ±6 planteamos la división sintética con los coeficientes del polinomio, colocando un cero donde no aparezca la potencia 1 0 − 5 − 10 − 6 ⌊+1 __1___1___ − 4__ − 14__ 1 1 − 4 − 14 − 20 este es el residuo y segun el teorema del factor este tiene que dar cero para poder factorizar ensayamos con los otras posibles raices, hagamoslo con −1 1 0 − 5 − 10 − 6 ⌊−1 __−1__1___4____6__ 1 −1 −4 −6 0 vemos que el residuo es cero, x = −1es una raiz racional x 3 − x 2 − x − 6 seguimos aplicando la división sintética hasta
Fabioval
llegar a un polinomio de grado dos
1 0 − 5 − 10 − 6 ⌊−1 __−1__1___ 4____6___ 1 −1 −4 −6 0
1 −1 −4 − 6 ⌊3 ___3____6____6__ 1 2 2 0 nuevamente obtenemos el residuo cero x = 3 es otra raiz x 2 + 2x + 2
pero no se que hacer porque no se deja
factorizar?
Tutor.- tenemos x 2 + 2x + 2 = 0 recuerde la fórmula x = −2± 4−8
−b± b 2 −4ac 2a
y tratemos de
−2± −4
aplicarla x = donde x = 2 2 nos encontramos con un problema donde la raiz cuadrada contiene una cantidad negativa esto nos indica que no se puede resolver en el conjunto de los reales Alumno.- y donde se puede factorizar Tutor.- En el conjunto de los números complejos x 4 − 5x 2 − 10x − 6 = −2+ 4 i
−2+ 4 i
x − 3x + 1x − 7x − 2 x + 2 x 4 − 5x 2 − 10x − 6 = x − 3x + 1x − 7x − −1 + ix + −1 − i x 4 − 5x 2 − 10x − 6 = x − 3x + 1x − 7x + 1 − ix − 1 − i y en el conjunto de los reales. la factorizacion esta dada por fx = x 4 − 5x 2 − 10x − 6 = x − 3x + 1x 2 + 2x + 2
y
40 30 20 10
-5
-4
-3
-2
-1
1 -10 -20 -30
Fabioval
2
3
4
x
su comportamiento se asemeja al de una parábola que se abre hacia arriba. Alumno - Pero no disque el número de las raices debe ser igual al exponente de la mayor potencia? Tutor estas en lo cierto, en este caso hay dos raices racionales que son −1, 3 y dos complejas, en total son cuatro Alumno - y como serían las complejas? Tutor.- Recuerdas la ecuación x 2 + 2x + 2 la igualamos a cero y aplicamos la −2± −4
−2± 4 i
fórmula x = 2a donde x = 2 simplificando x = −2±2i = −1 + i aqui estan las dos raices complejas x = −1 + i y su 2 conjugada x = −1 − i
TERCER ACTO Tutor.- Cual es el dominio de la función fx = x 32x−3 −3x−2 Alumno.- Todos los números reales Tutor.- Debemos fijarnos bien reemplaza la variable x por 2 y se dará cuenta que el denominador se convierte en cero Alumno.- Ya recuerdo profesor factorizamos el denominador x 3 − 3x − 2 utilizando la división sintética 1 0 − 3 − 2 ⌊−1 −1 1 2 1 − 1 − 2 0 El residuo es cero esta es una raiz x = −1 El polinomio es de grado tres, despues de aplicar la división sintética los coeficientes los reemplazo en un polinomio de grado dos x 2 − x − 2 = x + 1x − 2 de donde x = −1, x = 2 luego las raices son −1 de multiplicidad dos y 2 es decir x 3 − 3x − 2 = x − 2x + 1 2 pero no se que hacer con esto Tutor.-Recordemos el dominio de la funcion D f = x ∈ R /x 3 − 3x − 2 ≠ 0 encontramos que x 3 − 3x − 2 = x − 2x + 1 2 y la funcion fx = x 32x−3 no puede calcularse en los valores −1, 2 porque el −3x−2 denominador es cero y esto no se puede dar
Fabioval
porque sería una indeterminación luego D f = R − −1, 2 Alumno.- y que pasa con el numerador Tutor.- Este tambien es analizado px = 2x − 3 pero sirve cualquier número real y al hacer las interseciones de los dominios da el dominio del denominador ,como el dominio de la función racional. Tutor.-Hallar los intersectos con los ejes Alumno:- hacemos y = 0 y encontramos los intersectos con el eje x 2x−3 fx = x 32x−3 = x+1 factorizamos y hacemos las simplifcaciones 2 x−2 −3x−2 correspondientes haciendo y = 0 tenemos
2x−3 x+1 2 x−2
=0
recordemos si ab = 0 entonces a = 0 porque sabemos que b ≠ 0 2x − 3 = 0entonces x = 3/2 se intersecta en el punto 3/2, 0 Tutor.- y donde corta el eje y Alumno.- Hacemos x = 0 f0 =
20−3 0 3 −30−2
= 3/2 el punto de interseccion con el eje
y es 0, 3/2 Alumno Me gustaria saber como es la gráfica Tutor - Para poder hacer la gráfica fx =
2x−3 x 3 −3x−2
necesitamos elementos de cálculo
y 3 2 1
-5
-4
-3
-2
-1
1
2
3
4
5
x
-1 -2 -3 -4
En la gráfica se pueden observar los intersectos y cuales son los puntos que no estan en el dominio
Fabioval
CUARTO ACTO Tutor.- Veamos la siguiente función fx =
x+2 −x x 3 +x 2 −5x+3
como hallamos su dominio?
Alumno.-Lo haré con el mismo cuidado que en la anterior función, recordando que no se puede dividir por cero y que los elementos en la raiz cuadrada deben ser positivos D f = x ∈ R / x + 2 ≥ 0, ∧, x 3 + x 2 − 5x + 3 ≠ 0 debemos intersectar los dos resultados Resultado (1) x + 2 ≥ 0 luego x ≥ 2 primera solución s 1 = −2, +∞ Resultado (2) x 3 + x 2 − 5x + 3 ≠ 0 se tiene x 3 + x 2 − 5x + 3 = x + 3x − 1 2 = 0 luego x no puede ser ni 1 ni −3 la solución s 2 = R − 1, −3 Para la función fx =
x+2 −x x 3 +x 2 −5x+3 3 2
su dominio es D f = s 1 ∩ s 2 = −2, +∞ − 1
Tutor.-Como factorizó x + x − 5x + 3 Alumno.- Hice una división sintética como en los ejercicios anteriores Tutor.- segun eso tambien puede hallar los intersectos sin problemas Alumno.- Considero que si, y todo esto por las buenas orientaciones suyas Para hallar los puntos de intersección con el eje x hacemos y = 0 y hallamos las raices o ceros o intersecto con el eje x y=0
x+2 −x x 3 +x 2 −5x+3
= 0 factorizamos numerador y denominador si se puede y
simplificamos, en nuestro caso x+2 −x x 3 +x 2 −5x+3
=
x+2 −x x+3x−1 2
= 0 recordamos si a/b = 0 entonces a = 0 en nuestro caso
x + 2 − x = 0 se tiene x + 2 = +x y elevamos al cuadrado x + 2 = x 2 y tenemos una ecuación de segundo grado x 2 − x − 2 = x + 1x − 2 = 0 x = −1 son las dos raices, debemos verificar el resultado . Los intersectos con el eje x son −1, 0 y 2, 0 Para los intersectos con el eje y hacemos x = 0 f0 = y=
2 3
el punto de intersecto con el eje y es 0,
Fabioval
2 3
0+2 −0 0 3 +0 2 −50+3
=
2 3
tenemos
QUINTO ACTO Tutor.- Que podemos hacer con la función
fx = ∣ x + 2 ∣ + ∣ x − 1 ∣ −x + 4
Alumno.-No lo recuerdo mucho Tutor Estudiemos, que valor no se puede remplazar en la varible x Alumno.- ya se su dominio, son todos los números reales Tutor.-Puede escribir esta función como una función a trozos? Alumno.- no lo recuerdo muy bien deme una pista Tutor.- Hay que recordar la función valor absoluto
∣ x ∣=
x
si x ≥ 0
−x si x < 0
En la función fx =∣ x + 2 ∣ + ∣ x − 1 ∣ −x + 4 hay dos valores absolutos, que podemos igualar a cero x + 2 = 0 y x − 1 = 0 y ubiquemoslos − 2y 1en una recta Alumno.- ya recuerdo ———-2—————0——1—————————— región(1) región(2) región (3) esos puntos plantean tres regiones de trabajo región (1) x < −2 región (2) −2 ≤ x < 1 región (3) x≥1 f 1 si Nuestra funcion a trozos es fx =
x < −2
f 2 si −2 ≤ x < 1 f 3 si
x≥1
Hallemos las funciones f 1, f 2 f 3 Región(1) si x<-2 f 1 x = −x + 2 − x − 1 − x + 4 = −x − 2 − x + 1 − x + 4 = −3x + 3 f 1 x = −x − 2 − x + 1 − x + 4 = −3x + 3
Fabioval
−3x + 3 si La función a trozos es fx =
x < −2
f2
si −2 ≤ x < 1
f3
si
x≥1
Tutor.- Como lo hizo Alumno.- Tome un valor que esta en la región (1) es decir menor que -2 y lo reeplace en los valores absolutos y aplique la definición de valor absoluto Región (2) si −2 ≤ x < 1 f 2 x = x + 2 − x − 1 − x + 4 f 2 x = x + 2 − x + 1 − x + 4 f 2 x = −x + 7 −3x + 3 si seguimos completando al función fx =
−x + 7 f3
región(3) si x ≥ 1
si −2 ≤ x < 1 x≥1
si
f 3 x = x + 2 + x − 1 − x + 4 f 3 x = x + 5
−3x + 3 si fx =
x < −2
x < −2
−x + 7
si −2 ≤ x < 1
x+5
si
x≥1
y
18
16
14
12
10
8
-5
-4
-3
Esta es la función a trozos
Fabioval
-2
-1
0
1
2
3
4
5
x
SEXTO ACTO fx =
3x + 4
si −1 ≤ x < 0
x+4
si 0 ≤ x < 2
−2x + 10 si
2≤x≤6
Tutor estudiemos la función a trozos Alumno.- La voy a graficar como la función de valor absoluto que hicimos anteriormente f 1 x = 3x + 4 f 2 x = −x + 7 f 3 x = −2x + 10 Tenemos tres regiones (1) si −1 ≤ x < 0 f 1 x = 3x + 4 (2) si 0 ≤ x < 2 f 2 x = −x + 7 (3) si 2 ≤ x ≤ 6 f 3 x = −2x + 10 las funciones son lineas rectas Esta es su gráfica
y
6 5 4 3 2 1
-10
-8
-6
-4
-2
2
4
-1
6
8
10
x
-2 -3 -4 -5
Tutor teniendo encuenta esta gráfica bosquejar la función a) g(x)=f(x)+5 b) g(x)=f(x+2) c) g(x)=f(2x) Alumno La función a es un desplazamiento en el eje y cada punto en la gráfica le aumento la variable y en 5 unidades −1, 1se convierte en −1, 6 0, 4 se convierte en 0, 9 2, 6 se convierte en 2, 11 6, −2 se convierte en 6, 3 Ubicamos los puntos y como son rectas recordamos que por dos puntos psa un única recta La funcion b) es un desplazamiento en el eje x y cambia de signo en esta caso cada punto se desplaza en x dos unidades Fabioval
hacia la izquierda −1, 1 se convierte en −3, 1 0, 4 se convierte en −2, 4 2, 6 se convierte en 0, 6 6, −2 se convierte en 4, −2 Ubicamos los puntos y aplicamos lo mismo que en caso a)
SEPTIMO ACTO Tutor.– Para terminar estudiemos la composición de funciones, una de las operaciones mas importantes sea fx= x12
g(x)= x − 1
y
hallar la composición
Alumno.-La voy a realizar (f ∘ gx = fgx = f x − 1 = luego f ∘ gx =
f ∘ gx 1 x−1 2
=
y su domio 1 x−1
1 x−1
Tutor.- Y cual es su dominio? 1 Alumno.- Yo me confundo, lo veo muy facil como tengo f ∘ gx = x−1 pienso que son todos los reales menos el uno Tutor.- Borre ese error de su mente En la función compuesta, su dominio depende del dominio de f y del dominio de g y se podría afirmar que el dominio de la función compuesta f ∘ g está contenido o es igual al dominio de g Alumno.- Ya recuerdo D f∘g = x ∈ D g /gx ∈ D f para ello debemos encontrar D f = R − 0 D g = x ∈ R/ x − 1 ≥ 0 = 1, ∞ Con esto sabemos que el dominio de la funcion compuesta (f ∘ g debe estar contenido o ser igual al D g = 1, ∞ D f∘g = x ∈ D g /gx ∈ D f g(x)= x − 1 sus resultados deben estar contenidos en R-0 podemos afirmar que el dominio de la funcion compuesta es todo el dominio de g D f∘g = x ∈ D g /gx ∈ D f = 1, ∞ Tutor.- Justifiqueme porque −4 y 1 no pertenece al dominio de D f∘g Alumno.- Muy sencillo −4 no pertenece al D g , y 1 si pertenece al dominio de g ,pero g1 = 0 no pertenece al dominio de f recordemos que el D f∘g es el conjunto de todos los elementos del dominio de g D g cuyas imagenes pertenecen al dominio de f
Fabioval