Algebras Booleanas
MarĂa Aponte
Álgebra Booleana
El álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno (falso y verdadero). Un operador binario " º " definido en éste juego de valores acepta un par de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano AND acepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana. Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iniciales, de aquí se pueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el álgebra booleana a menudo emplea los siguientes postulados:
Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano. Conmutativo. Se dice que un operador binario " º " es conmutativo si A º B = B º A para todos los posibles valores de A y B. Asociativo. Se dice que un operador binario " º " es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) para todos los valores booleanos A, B, y C. Distributivo. Dos operadores binarios " º " y " % " son distributivos si A º (B % C) = (A º B) % (A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C. Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario " º " si A º I = A. Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano " º " si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.
Demostrar si los siguientes polinomios son equivalentes:
P (w, x, y, z) = wx + (x’’ + z’) + (y + z’) Q (w, x, y, z) = x + z’ + y Solucion: wx + (x’’+z) + ( y+z’ )= x+z’+y wx +(x+z’)+(y+z’) :Involución en x (wx+x)+(z’+y+z’) :Asociativa x+(z’+y+z’) : Absorción en wx+x x+(z’+z’)+y : Asociativa x+z’+y : Idempotencia en z’+z’ x+z’+y= x+z’ +ysi existe equivalencia
Encuentre el polinomio en Forma Normal Conjuntiva asociado al siguiente Polinomio:
P (x, y, z) = (x + y’) (x’ + z’) (y’ + z)
X
Y
Z
0
0
0
P(x, y, z) 1
0
0
1
1
0
1
0
0
X+y’+z
0
1
1
0
X+y’+z’
1
0
0
1
1
0
1
0
X’+y+z’
1
1
0
0
X’+y’+z
1
1
1
0
X’+y’+z’
Forma normal conjuntiva: P(x,y,z)= (x+y’+z) (x+y’+z’) (x’+y+z’) (x’+y’+z) (x’+y’+z’)
El matemático que inventó hace más de 150 años la forma en que hoy busca Google
Cada vez que haces una simple búsqueda en Google, o en cualquier otro buscador informático, entre los mecanismos de programación que hacen posible que encuentres lo que buscas hay unos principios de lógica que fueron concebidos hace más de 150 años. Fue el matemático inglés George Boole quien inventó un sistema de álgebra que es clave para la programación de hoy en día. La álgebra de Boole, o álgebra booleana, es una estructura algebraica que esquematiza las operaciones lógicas, y está presente en todas partes a nuestro alrededor: desde la programación detrás de los videojuegos a los que jugamos, hasta el código de las aplicaciones que usamos y los programas de las computadoras que utilizamos. Se puede decir que los ladrillos con los que se construye la programación, que son los comandos o instrucciones que se le da a un sistema informático, están todos basados en la lógica de Boole. Boole utilizó el concepto de puertas lógicas, o preguntas, que exploran un enunciado. Las puertas lógicas más básicas son, en el lenguaje original de Boole, AND, OR o NOT. Es decir, Y, O o No en español.
La búsqueda booleana o como hacer tus búsquedas más inteligentes
A simple vista la búsqueda booleana puede parecernos un concepto complejo y superavanzado. La realidad sin embargo es bien distinta. La búsqueda booleana tiene su origen en el siglo XIX, y le debe su nombre a George Boole que creo el álgebra Booleana.
Hoy día, algunos motores de búsqueda y la mayoría de directorios de bases de datos, permiten el uso de estos operadores booleanos que establecen relaciones simples entre los términos de búsqueda. Estos operadores son perfectos si queremos refinar nuestras búsquedas y además su uso no es nada complejo. Emplear los operadores booleanos, te permitirá hacer tus búsquedas de información más sofisticadas y efectivas.
Encuentre el polinomio en Forma Normal Disyuntiva asociado al siguiente Polinomio: P (x, y, z) = (x + y’)z´ X
Y
Z
P(x, y, z)
0
0
0
1
0
0
1
0
0
1
0
0
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
0
1
1
0
0
Forma normal disyuntiva: P(x, y, z)= (x’ y’z’)+ (xy’z’)+ (xyz’)
X’y’z’
Xy’z’
Xyz’
Encuentre el circuito lógico asociado al siguiente polinomio P (w, x, y, z) = wx + (x’’ + z’)´ + (yz’)´w´
Algebra Booleana. Sistemas Digitales
Cuando se trabaja con circuitos digitales es muy común que al final de un diseño se tenga un circuito con un número de partes (circuitos integrados y otros) mayor al necesario. Para lograr que el circuito tenga la cantidad de partes correcta (la menor posible) hay que optimizarlo (reducirlo). Un diseño óptimo causará que: - El circuito electrónico sea más simple - El número de componentes sea el menor - El precio de proyecto sea el más bajo - La demanda de potenciadel circuito sea menor - El mantenimiento del circuito sea más fácil. - Es espacio necesario (en el circuito impreso) para la implementación del circuito será menor. En consecuencia que el diseño sea el más económico posible. Una herramienta para reducir las expresiones lógicas de circuitos digitales es la matemáticas de expresiones lógicas, que fue presentada por George Boole en 1854, herramienta que desde entonces se conoce como álgebra de Boole.