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GUIA #4 MAGNITUDES FÍSICAS Las magnitudes físicas o variables se clasifican en dos grandes grupos: ESCALARES Son aquellas que quedan definidas exclusivamente por un módulo, es decir, por un número acompañado de una unidad de medida. Es el caso de masa, tiempo, temperatura, distancia. Por ejemplo, 5.5 kg, 2.7 s, 400 °C y 7.8 km, respectivamente. VECTORIALES Son aquellas que quedan totalmente definidas con un módulo, una dirección y un sentido. Es el caso de la fuerza, la velocidad, el desplazamiento. En estas magnitudes es necesario especificar hacia dónde se dirigen y, en algunos casos, dónde se encuentran aplicadas. Todas las magnitudes vectoriales se representan gráficamente mediante vectores, que se simbolizan a través de una flecha. VECTOR Un vector tiene tres características esenciales: módulo, dirección y sentido. Para que dos vectores sean considerados iguales, deben tener igual módulo, igual dirección e igual sentido. Los vectores se representan geométricamente con flechas y se le asigna por lo general una letra que en su parte superior lleva una pequeña flecha de izquierda a derecha como se muestra en la figura.
Magnitud La magnitud en un vector indica el valor numérico del vector a través de una unidad de medida. Dirección
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Por lo general los vectores poseen una dirección, y pueden representarse mediante un plano cartesiano rectangular, entre cuatro cuadrantes y con la división de 90° cada uno, el lado positivo comienza a partir del eje “x”. Sentido Para representar el sentido en un vector, se le asigna una punta de flecha e indica hacia dónde se dirige dicho vector, donde libremente puede ser hacia arriba, abajo, derecha, e izquierda. TIPOS DE VECTORES A pesar de que un vector es un vector (en definición), existen algunos tipos de vectores que iremos viendo a través de este blog, pero que es necesario mencionarlos para entender mucho mejor el tema. Vectores Coplanares Los vectores coplanares, son aquellos vectores que están sobre el mismo plano, en dos ejes. Por ejemplo:
Vectores No Coplanares Como su nombre lo dice, los vectores no coplanares son aquellos vectores que no están en el mismo plano, tal como se ilustra en la imagen:
Vectores Libres Son aquellos vectores que no posee un punto de aplicación en particular, tal como se ilustra en la imagen:
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Vectores Colineales Son aquellos vectores que se encuentran en la misma dirección o línea de acción, tal como se ilustra en la imagen:
Vectores Concurrentes o angulares Los vectores concurrentes son aquellos vectores que se cruzan en algún punto sobre la misma dirección o línea de acción, y asumen también el nombre de vectores angulares que son aquellos que forman un ángulo entre ellos. tal como se ilustra en la imagen:
SUMA DE VECTORES Método del Triángulo Para poder aprender a sumar vectores primero debemos aprender muy bien las propiedades y características de cada vector, una vez entendiendo sus propiedades podemos seguir el algoritmo para poder realizar el cálculo de manera efectiva y correcta y así resolver cualquier problema que se nos presente ¿Qué es el Método del Triángulo? El método del triángulo es un método que consiste en trasladar los vectores sin cambiar sus propiedades de tal forma que la punta de la flecha de uno se conecta con el origen del otro. De esta forma el vector resultante se representa por la flecha que une la punta libre con el origen libre, y de ahí es que se formará un triángulo que se puede representar mediante la letra R, esto puede ser de
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esta manera, sino también puede usarse alguna u otra variable para representar a la resultante.
Pasos para realizar el método del triángulo Vamos a realizar paso a paso lo que se necesita para realizar una suma de vectores por este método de manera correcta. Paso 1: Vamos a imaginar dos vectores, de la siguiente manera:
Paso 2: Vamos a posicionar al vector a en el origen de un plano cartesiano.
Paso 3: Vamos a colocar al vector b en la punta de la flecha del vector a.
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Paso 4: Ahora vamos a unir el origen con la punta de la flecha del vector b, esto es para formar el vector resultante (la suma de ambos vectores).
Ejercicio Resuelto con el método del triángulo Para entender mejor el tema, el siguiente ejemplo está resuelto para el método del triángulo. Ejemplo 1: Encuentra el valor de la suma resultante entre los vectores que se ilustran en la imagen
Solución: Siguiendo los pasos colocados anteriormente, podemos unir la punta de la flecha del vector a, en la cola del vector b, y trazar la resultante, de tal forma que nuestro triángulo quede de la siguiente forma:
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Método Analítico En Física es común encontrarse una suma de cantidades vectoriales, y aunque podemos recurrir a diversos métodos como el del triángulo, del polígono o el paralelogramo, es importante tener en cuenta que la forma analítica nos conducirá a un resultado más exacto. Ahora veamos que necesitamos para comprender por completo el método analítico, además de resolver varios ejercicios paso a paso. En el método analítico es posible aplicar el teorema de Pitágoras solamente si los dos vectores forman un ángulo de 90°, de otra forma tendremos que aplicar la Ley de Cosenos, y si se desea calcular el ángulo de la resultante es posible también recurrir a la Ley de Senos. Veamos la manera general de sumar dos vectores, y de entender cómo se nos puede presentar diversos problemas:
Para realizar la suma analítica, basta con trazar la resultante a partir de sus proyecciones como vectores deslizantes, de tal manera que:
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Realizar estos movimientos nos favorece mucho la forma de solución de la resultante, es por ello que si deseamos sumar dos vectores, será mucho más fácil. Ejercicios Resueltos de Suma de Vectores (Método Analítico) Veamos el siguiente ejercicio. Ejemplo 1: Realice la suma de los siguientes vectores y encuentre el ángulo de la dicha suma
Solución: Si dichos vectores se deslizan podemos trazar la resultante, de tal forma que:
A simple vista podemos calcular el ángulo Φ, puesto que es un ángulo complementario con los 34° que forman parte del vector F1 con la horizontal, entonces podemos decir que:
Para poder encontrar la resultante, tendremos que recurrir a la ley de cosenos.
Obteniendo el ángulo de la resultante: Documento realizado por: Fidel Fernández Franco
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Para obtener el ángulo de la resultante, le hemos colocado ángulo beta “β”. Aplicamos la ley de senos, de tal manera que la relación del ángulo desconocido nos quede de la siguiente manera:
Despejando a “Sen β”
Despejando a “Beta”
Por lo que la resultante tiene una magnitud de 71.73 N y un ángulo de 15.83° Ejemplo 2: En la siguiente suma de vectores encontrar la resultante y el ángulo que forma con el eje horizontal
Solución: Si hemos entendido el ejercicio anterior, será mucho más sencillo comprender este ejemplo. Hagamos las proyecciones correspondientes y tracemos la resultante:
Para poder obtener el ángulo fi ( Φ ) , tendremos que restarle a 180° por ser un ángulo suplementario, de tal forma que:
Con este dato es mucho más fácil calcular la resultante, por lo que aplicamos la ley de cosenos.
Luego
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Obteniendo la raíz cuadrada:
Obteniendo el ángulo de la resultante: Nuevamente aplicaremos lo mismo que el ejemplo 1, con los datos que tenemos podemos decir que:
Despejando a senβ
Por lo que en este problema la resultante tiene una magnitud de 262.49N y un ángulo de 25.53° Con esto damos por finalizado el ejercicio. Método del Polígono El Método del Polígono lo podemos encontrar de dos formas, por medio del método gráfico o por medio del método analítico, en nuestro sitio web solamente hablaremos del método analítico, ya que para el método gráfico es necesario tener una regla, un transportador y una escala para determinar la resultante y el ángulo, pero en este caso solamente nos interesan los cálculos. De forma Gráfica Cuando se trata de un problema de suma de vectores por el método gráfico, los vectores se tienen que colocar paralelamente a sí mismos a los vectores que se irán sumando, de tal forma que uno de los vectores será la base, y los demás se irán colocando uno detrás de otro hasta llegar al último vector. La resultante será el vector que una el origen de los vectores con la punta del último vector, y su sentido estará orientado hacia el extremo del último vector Veamos un ejemplo de manera gráfica, asumiendo que tenemos 4 vectores:
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Para sumar los 4 vectores, los podemos colocar de la manera que queramos, no necesariamente seguir (1, 2, 3 y 4), puede ser que primero tomemos al vector 4 como primero, y así sucesivamente.
Sin embargo, para poder obtener un resultado más exacto, es necesario tener que usar el método analítico. El método analítico Para realizar el método analítico necesitamos realizar los siguientes pasos: 1.- Descomponer en componentes rectangulares cada vector 2.- Una vez descomponiendo cada vector, es importante hacer la suma de componentes en “x” y “y” para cada vector, de tal forma que los vectores se reduzcan a un valor resultante en “x” y un valor resultante en “y” con esto lograremos obtener el valor de la resultante final.
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3.- Utilizar el teorema de Pitágoras para encontrar la magnitud resultante de los dos vectores perpendiculares. 4.- Utilizar la función tangente para calcular el ángulo de la resultante respecto a la horizontal. Ejercicios Resueltos de Método Analítico (Polígono) Imaginando que deseamos resolver el ejercicio anterior, tendríamos que analizar los 4 vectores, de esta forma: Ejemplo 1: De la imagen anterior de vectores, encuentre la suma total por el método analítico de sus componentes rectangulares. Analizando el Vector F1 El vector F1 es un vector horizontal, que no posee ningún componente en el eje “y”, solamente en el eje “x” con esto podemos tener el primer valor para “x” una magnitud de 8N.
Analizando el Vector F2 El vector F2 tiene una magnitud de 6 N, y 40°, es decir; que posee componentes tanto en “x” como en “y”, entonces lo descomponemos mediante las funciones trigonométricas correspondientes:
Analizando el Vector F3 Lo que podemos observar de este vector, es que está en el cuarto cuadrante y con 30° respecto a la horizontal, por lo que sus componentes serán negativos tanto para “x” como para “y”
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Lo único que haremos será cambiar de signo a los valores de las componentes
Analizando el Vector F4 Este vector es un vector vertical, por lo que solamente tiene componentes en el eje “y”, es decir una magnitud de 5N
Calculando la sumatoria de fuerzas en el eje “x”
Calculando la sumatoria de fuerzas en el eje “y”
Obteniendo la resultante Aplicando el teorema de pitágoras
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Por lo que
Esta sería nuestra magnitud. Obteniendo el ángulo de la resultante: Aplicamos la tangente (cateto opuesto/cateto adyacente) para obtener el ángulo.
aplicamos el arcotangente
Por lo que tendríamos un ángulo de 36.35° de la resultante respecto a la horizontal.
Actividad de vectores
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