CURVAS DE TERCER ORDEN geometría - MAT 1307-1 semestre 2-2010 Pontificia Universidad Católica de Chile profesor: Manuel Corrada ayudante: Manuel Brahm alumnos: cynthia gonzález daniela olmos jean-baptiste vervaeck
INVESTIGACIÓN PRELIMINAR
ÂżCuĂĄles son las curvas de 3er orden?
curva hilbert primer orden
segundo orden
primer orden
“Un curva Hilbert es un fractal contínuo descrito por primera vez en 1981 por David Hilbert, matemático alemán.” * * http://en.wikipedia.org/wiki/Hilbert_curve
tercer orden
septimo orden
otro ejemplo
sexta transformación
sexto orden quinta transformación
quinto orden cuarta transformación
octavo orden septima transformación
primer orden
curva inicial
cuarto orden tercera transformación
Nº orden figura final
segundo orden primera transformación
tercer orden segunda transformación
arriba: “... vemos ocho órdenes de la curva dragon. Podemos darnos cuenta de que la curva de tercer orden está compuesta por dos curvas de segundo orden...” * http://www.jimloy.com/fractals/dragon.htm
pero... ÂżcuĂĄl es la propiedad que define a una curva de tercer orden?
definici贸n
Una recta es una l铆nea de primer orden...
definici贸n
Los c铆rculos, y otras secciones c贸nicas son ejemplos de curvas de segundo orden...
definici贸n
y las curvas de tercer orden...
otros ejemplos
se identifican al trazar una recta por encima de la curva y que la misma la corte en solamente tres puntos...
curvas de 3er orden
otros ejemplos de curvas de tercer orden...
EXPERIMENTACIÓN
arco inicio
fin
(X0 , Y0)
Trazando rectas encima del arco nos permite verificar rรกpidamente cuรกl es su orden...
arco inicio
fin
(X0 , Y0)
Trazando rectas encima del arco nos permite verificar rรกpidamente cuรกl es su orden...
arco inicio
fin
(X0 , Y0)
Trazando rectas encima del arco nos permite verificar rรกpidamente cuรกl es su orden...
arco inicio
fin
(X0 , Y0)
Trazando rectas encima del arco nos permite verificar rรกpidamente cuรกl es su orden...
un arco inicio
fin
(X0 , Y0)
Trazando rectas encima del arco nos permite verificar rรกpidamente cuรกl es su orden...
arco inicio
fin
(X0 , Y0)
Trazando rectas encima del arco nos permite verificar rรกpidamente cuรกl es su orden...
y 驴c贸mo es su representaci贸n param茅trica?
curva de 2º orden inicio
fin
(X0 , Y0)
rango paramétrico Los puntos, verde y rojo, demarcan el inicio y término del cuarto de círculo, respectivamente.
0
2
curva de 2º orden inicio
en este caso = 55º
fin
(X0 , Y0)
rango paramétrico trazando una recta desde el centro del arco hasta intersecrtarlo obtenemos su radio y un ángulo que nos permitirá representarlo de modo paramétrico...
0
2
curva de 2º orden inicio
en este caso = 55º
r fin
(X0 , Y0)
rango paramétrico trazando una recta desde el centro del arco hasta intersecrtarlo obtenemos su radio y un ángulo que nos permitirá representarlo de modo paramétrico...
0
2
curva de 2º orden (X , Y)
inicio
en este caso = 55º
r fin
(X0 , Y0)
rango paramétrico trazando una recta desde el centro del arco hasta intersecrtarlo obtenemos su radio y un ángulo que nos permitirá representarlo de modo paramétrico...
0
2
curva de 2º orden (X , Y) a fin
inicio
en este caso = 55º
r b
(X0 , Y0)
representación paramétrica
rango paramétrico trazando una recta desde el centro del arco hasta intersecrtarlo obtenemos su radio y un ángulo que nos permitirá representarlo de modo paramétrico...
0
2
curva de 2º orden (X , Y) a fin
inicio
en este caso = 55º
r b
(X0 , Y0)
representación paramétrica cos
b r
X
rango paramétrico trazando una recta desde el centro del arco hasta intersecrtarlo obtenemos su radio y un ángulo que nos permitirá representarlo de modo paramétrico...
0
2
curva de 2º orden (X , Y) a fin
inicio
en este caso = 55º
r b
(X0 , Y0)
representación paramétrica sen
a r
Y
rango paramétrico trazando una recta desde el centro del arco hasta intersecrtarlo obtenemos su radio y un ángulo que nos permitirá representarlo de modo paramétrico...
0
2
curva de 2º orden (X , Y) a fin
inicio
en este caso = 55º
r b
(X0 , Y0)
representación paramétrica cos sen
b r a r
X Y
rango paramétrico trazando una recta desde el centro del arco hasta intersecrtarlo obtenemos su radio y un ángulo que nos permitirá representarlo de modo paramétrico...
0
2
pero si extendemos la curva 多sigue siendo de 2do orden?
curva de 2º orden inicio
(X0 , Y0)
fin cuando extendemos el arco de cuarto círculo a uno de medio círculo, sigue siendo de segundo orden...
y su representaci贸n param茅trica 驴c贸mo es?
curva de 2º orden inicio
en este caso = 25º
(X0 , Y0)
fin rango paramétrico su representación paramétrica también sigue siendo parecida, aunque modificamos sólo el parametro del punto final...
0
curva de 2º orden inicio
en este caso = 25º
b a (X , Y)
r
(X0 , Y0)
parametrización
fin rango paramétrico su representación paramétrica también sigue siendo parecida, aunque modificamos sólo el parametro del punto final...
0
curva de 2º orden inicio
en este caso = 25º
b a (X , Y)
r
(X0 , Y0)
parametrización cos
b r
X
fin rango paramétrico su representación paramétrica también sigue siendo parecida, aunque modificamos sólo el parametro del punto final...
0
curva de 2º orden inicio
en este caso = 25º
b a (X , Y)
r
(X0 , Y0)
parametrización sen
a r
Y
fin rango paramétrico su representación paramétrica también sigue siendo parecida, aunque modificamos sólo el parametro del punto final...
0
curva de 2º orden inicio
en este caso = 25º
b a (X , Y)
r
(X0 , Y0)
parametrización cos
fin
sen
b r a r
X Y
rango paramétrico su representación paramétrica también sigue siendo parecida, aunque modificamos sólo el parametro del punto final...
0
entonces... Âżen quĂŠ momento aparece la curva de 3er orden?
curva de 2º orden inicio
en este caso = 48º
(X0 ,Y0)
b r
fin
a
parametrización cos
(X ,Y) incluso, cuando seguimos extendiendo el arco hasta formar un círculo, sigue siendo de segundo orden...
sen
b r a r
X Y
rango paramétrico 3 0 2
círculo inicio fin
r (X0 , Y0)
en este caso = 28º
a
b
(X , Y)
parametrización cos sen
b r a r
X Y
rango paramétrico incluso, cuando seguimos extendiendo el arco hasta formar un círculo, sigue siendo de segundo orden...
0
2
Âży cuando aparecerĂĄ entonces la curva de tercer orden?
¿es esta una curva de 3º orden? inicio
fin
(X0 ,Y0)
si seguimos extendiendo el arco original, achicándolo en 50% a modo de que quede inscrito dentro del primer círculo
curva de 4ยบ orden
(X0 ,Y0)
observamos que pasamos directamente de una curva de 2do orden a una de 4to, sin haber visto siquiera la curva de tercer orden....
curva de 4ยบ orden
(X0 ,Y0)
observamos que pasamos directamente de una curva de 2do orden a una de 4to, sin haber visto siquiera la curva de tercer orden....
curva de 4ยบ orden
(X0 ,Y0)
observamos que pasamos directamente de una curva de 2do orden a una de 4to, sin haber visto siquiera la curva de tercer orden....
curva de 4ยบ orden
(X0 ,Y0)
observamos que pasamos directamente de una curva de 2do orden a una de 4to, sin haber visto siquiera la curva de tercer orden....
hip贸tesis: las curvas de tercer orden se encuentran contenidas dentro de otras curvas de orden superior, o formadas por curvas de orden inferior
es s贸lo al extraerlas de su contexto original que podemos verlas y medirlas
ejemplo cotidiano #1
La tĂpica banca tiene en sus costados detalles decorativos que estĂĄn formados por una serie de curvas de tercer orden...
ejemplo cotidiano #1
La tĂpica banca tiene en sus costados detalles decorativos que estĂĄn formados por una serie de curvas de tercer orden...
ejemplo cotidiano #2
Los basureros, vistos de perfĂl tambiĂŠn nos presentan un vistazo fugaz de una curva de tercer orden...
ejemplo cotidiano #2
Los basureros, vistos de perfĂl tambiĂŠn nos presentan un vistazo fugaz de una curva de tercer orden...
ejemplo cotidiano #3
Detalle decorativo del techo alrededor de la biblioteca Sergio LarraĂn, formado entre otros, por un par de curvas de tercer orden...
ejemplo cotidiano #3
Detalle decorativo del techo alrededor de la biblioteca Sergio LarraĂn, formado entre otros, por un par de curvas de tercer orden...
ejemplo cotidiano #4
La tapa de un taz贸n tipo starbucks tambi茅n nos presenta una curva de tercer orden...
ejemplo cotidiano #4
La tapa de un taz贸n tipo starbucks tambi茅n nos presenta una curva de tercer orden...
ejemplo cotidiano #5
Este nudo sin fin dibujado con tiza sobre hormig贸n tambi茅n nos muestra otro ejemplo de una curva de tercer orden. (lo contador, pasillo adyacente a la biblioteca)
ejemplo cotidiano #5
Este nudo sin fin dibujado con tiza sobre hormig贸n tambi茅n nos muestra otro ejemplo de una curva de tercer orden. (lo contador, pasillo adyacente a la biblioteca)
ejemplo cotidiano #6
La goma protectora de los rieles para el movimiento giratorio que hacen las puertas de las micros tambiĂŠn es otro ejemplo...
ejemplo cotidiano #6
La goma protectora de los rieles para el movimiento giratorio que hacen las puertas de las micros tambiĂŠn es otro ejemplo...
ejemplo cotidiano #6
y estas ondas marinas dibujadas con tiza sobre pizarrón al estilo Ukiyoe japonés también están compuestas por curvas de tercer orden...
ejemplo cotidiano #6
y estas ondas marinas dibujadas con tiza sobre pizarrón al estilo Ukiyoe japonés también están compuestas por curvas de tercer orden...
ademรกs, las curvas de tercer orden tienen otra propiedad...
CASO DE DISEﾃ前
luminaria “Defecto”
Esta luminaria esta hecha a partir de CD desechos, una tira de lámparas LED y fibras ópticas de variados largos...
luminaria “Defecto�
arriba: vista trasera de la luminaria abajo izquierdo: vista muro intermedio con la tira de LEDs embutido derecha: vista de noche con las lĂĄmparas prendidas
luminaria “Defecto”
Antes de poder taladrar los hoyos circulares en el muro intermedio para embutir los LEDs, tuve que calcular la distribución de estos círculos para que coincidiera con el espacio entre las lámparas de la tira LED...
rhinoceros
El software de modelamiento 3D, Rhinoceros, tiene una herramienta que supuestamente facilita la distribuci贸n/ubicaci贸n de una forma a lo largo de una curva (en este caso de 4to orden) con un espacio igual entre las formas...
rhinoceros
pero después de varios intentos probando con la herramienta “array on curve”, tuve que buscar otra forma de hacer esta operación para obtener la precisión que quería...
intento 1
pero después de varios intentos probando con la herramienta “array on curve”, tuve que buscar otra forma de hacer esta operación para obtener la precisión que quería...
intento 1
pero después de varios intentos probando con la herramienta “array on curve”, tuve que buscar otra forma de hacer esta operación para obtener la precisión que quería...
intento 1
éste fue el primer intento, en que se me había olvidado incorporar el ancho de las lámparas LED en el cáculo de la distancia entre hoyos circulares...
intento 2
sumando el diámetro de los hoyos para las lámparas LED a la distancia que quería entre los hoyos circulares, volví a intentar distribuir los círculos a lo largo de la curva...
intento 2
sumando el diámetro de los hoyos para las lámparas LED a la distancia que quería entre los hoyos circulares, volví a intentar distribuir los círculos a lo largo de la curva...
intento 2
sin poder explicarme por qué el software no mantenía los centros de los círculos por sobre la curva guía, volví a intentar, esta vez modificando otros parametros de la herramienta...
intento 3
sin poder explicarme por qué el software no mantenía los centros de los círculos por sobre la curva guía, volví a intentar, esta vez modificando otros parametros de la herramienta...
intento 3
... pero seguĂa distribuyendo los cĂrculos de manera desordenada...
intento 4
... y mientras probaba las otras opciones de la herramienta...
intento 4
... peor quedaba la distribuci贸n de los c铆rculos...
intento final
Fue así que decidí hacerlo “a mano”...
rhinoceros
Fue así que decidí hacerlo “a mano”...
rhinoceros
Cómo la primera parte de la curva de guía era recta, copíe el primer círculo y lo desplacé utilizando la herramienta “move” especificando la distancia de 9.5 mm que quería entre los centros de los círculos...
rhinoceros
Cómo la primera parte de la curva de guía era recta, copíe el primer círculo y lo desplacé utilizando la herramienta “move” especificando la distancia de 9.5 mm que quería entre los centros de los círculos...
rhinoceros
Cómo la primera parte de la curva de guía era recta, copíe el primer círculo y lo desplacé utilizando la herramienta “move” especificando la distancia de 9.5 mm que quería entre los centros de los círculos...
rhinoceros
Cómo la primera parte de la curva de guía era recta, copíe el primer círculo y lo desplacé utilizando la herramienta “move” especificando la distancia de 9.5 mm que quería entre los centros de los círculos...
rhinoceros
Cómo la primera parte de la curva de guía era recta, copíe el primer círculo y lo desplacé utilizando la herramienta “move” especificando la distancia de 9.5 mm que quería entre los centros de los círculos...
rhinoceros
El tercer círculo, por la forma de la curva guía, requirió otra estrategia para lograr ubicarlo a una distancia equivalente de los primeros dos... por lo tanto, partí tirando un arco, con un radio de 4mm desde...
rhinoceros
... el punto de intersección entre el segundo círculo y la curva de guía, cuidando que el arco también intersectara con la misma...
rhinoceros
Para verificar que efectivamente había una distancia de 4 mm entre el punto de intersección del arco que había trazado y el borde del segundo círculo, tracé otro círculo entre ambos puntos...
rhinoceros
al haber comprobado la primera medición, me dí cuenta de que el centro del círculo de verificación no coincidía con la curva guía...
rhinoceros
asĂ que decidĂ tirar el siguiente arco con radio de 2.75mm, valor que corresponde a la mitad del diĂĄmetro de los hoyos circulares que necesitaba taladrar posteriormente...
rhinoceros
asegurando nuevamente que el arco intersectara con la curva de guĂa...
rhinoceros
Utilizando ese punto de intersecci贸n como centro para el siguiente hoyo circular, especifiqu茅 que tuviera un diametro de 5.5mm, tal como los dos hoyos circulares anteriores...
rhinoceros
De esta manera, aseguraba que el centro de los hoyos circulares quedara puesto justamente por sobre el de la curva de guĂa, lo que me ayudarĂa a producir el muro estructural interior de la luminaria...
rhinoceros
y asĂ sucesivamente fui utilizando una curva de tercer orden para orientar la ubicaciĂłn de los hoyos circulares hasta llegar al final de la curva de guĂa...
rhinoceros
y asĂ sucesivamente fui utilizando una curva de tercer orden para orientar la ubicaciĂłn de los hoyos circulares hasta llegar al final de la curva de guĂa...
rhinoceros
y asĂ sucesivamente fui utilizando una curva de tercer orden para orientar la ubicaciĂłn de los hoyos circulares hasta llegar al final de la curva de guĂa...
rhinoceros
Cuando llegué al final de la curva guía, comencé a borrar todos los trazos que ya no me servían, incluyendo las curvas de tercer orden que me habian facilitado distribuir los círculos con el grado de precisión que quería...
y ademĂĄs ÂżdĂłnde podemos encontrar las curvas de 3er orden?