Algebra for alle by Forlaget Pind og Bjerre

Indhold Forord....................................................7 1 Indledning ..........................................9 Læsevejledning .............................. 16 2 Generalisering ................................ 25 Aktiviteter ......................................... 34 3 Behandling ...................................... 73 Aktiviteter ......................................... 83 4 Algebraiske fliser ......................... 113 Aktiviteter ....................................... 118 5 Fortolkning .................................... 197 Aktiviteter .......................................217 Litteratur ........................................243 Stikordsregister ............................245

1. Indledning Hvad er algebra? En kort, men ikke helt dækkende måde at sige det på er, at algebra er regning med bogstaver. Algebra er matematikkens sprog for det generelle i regning. Algebra ser på regning med tal lidt oppefra, og udtrykker sammenhænge og systemer mellem tal og regningsarter. En halv plus en tredjedel kan udregnes på denne måde: 1 1 3 2 5 2 + 3 = 6 + 6 = 6 Med algebra kan man udtrykke generelt, hvordan man lægger to brøker sammen: a c a·d c·b a·d+c·b b + d = b·d + d·b = b·d Med algebra udtrykkes, hvordan man kan bruge de to nævnere ganget sammen som fællesnævner, hvordan begge brøker forlænges og hvordan de sættes på fælles brøkstreg og tællerne lægges sammen. Eksemplet illustrerer, hvorfor algebra er svært for alle til at starte med, og hvorfor det bliver ved med at være svært for rigtig mange. Med tal kan vi regne undervejs, så fx mellemregningen 2 · 3 bliver til 6, og mellemregningerne 1 · 3 og 1 · 2 bliver til 3 og 2, i modsætning til b · d, a · d og c · b. Når vi regner undervejs, reduceres kompleksiteten hen ad vejen. Det kan man ikke med bogstaver. Der bevares generaliteten og det giver en grad af kompleksitet. Det er algebraens styrke, men desværre også grunden til, at det er svært. Det svært at forstå fordi det simpelthen er mere komplekst. Algebraiske udtryk kan typisk ikke rummes på én gang inde i hovedet, men skal læses og forstås i mindre bidder. Generaliteten gør, at algebraiske udtryk kan bruges til meget mere end én udregning, man kan erstatte bogstaverne med alle mulige tal, og på den måde lave alle mulige udregninger. Bogstaverne kaldes variable, netop fordi deres talværdi kan variere, de Indledning // Algebra for alle

kan stå for alle mulige talværdier. Pointen med algebra er altså, at man kan udtrykke sig generelt om regning, så det kan bruges til uanede mængder af udregninger med tal. Men, man kan faktisk også regne videre med disse algebraiske udtryk og finde nye sammenhænge, sammenhænge som ville have været svære eller nærmest umulige at finde i regning med tal alene, og så kan disse nye algebraiske udtryk bruges til nye udregninger med tal.

Algebraens rødder Man kan næsten høre det, når man siger ordet “algebra” højt. Ordet er arabisk, og det var da også de antikke babylonere, der opfandt algebraen for næsten 4000 år siden. De antikke babylonere, ægyptere, grækere, indere og kinesere opfandt forskellige former for avancerede beregninger, fx for at kunne forudse himmellegemernes bevægelse, og dermed fastlægge en kalender, tegne landkort, konstruere kæmpe bygningsværker og handle.

Ovenstående 4000 år gamle lertavle, viser 15 Pythagoræiske tal, altså talsæt der tilfredser Pythagoras' sætning: a2 + b2 = c2. Så allerede for 4000 år siden var der mennesker brugte Pythagoras' sætning og løste ligninger, og havde så meget brug for det, at de skrev det ned.

Hvorfor bogstaver? Hvorfor bruger man bogstaver, kan man ikke lige så godt bruge noget andet? Jo, man kan lige så godt vælge at bruge alle mulige andre symboler.

Algebra for alle // Indledning

Det gør man jo også meget i de små klasser, hvor kasser og blanke linjer gør det ud for variable. I de små klasser skal elever løse opgaver som 3 + _ = 10 eller 3 + = 10. Men det skal ikke være talsymboler, det vil jo være stærkt forvirrende. Det skal heller ikke være symboler, som bruges til de fire regningsarter, eller symboler der kan forveksles med geometriske tegninger og så videre og så videre. Så valget faldt på latinske bogstaver. Det giver algebraen ca. 25 symboler at tage af, det rækker til det meste. Når man skal studere videregående matematik kan man ikke nøjes med de latinske bogstaver og der tager man de de græske bogstaver med. I hverdags-algebra, der skal læses af mennesker, der ikke elsker matematik, skriver man tit de variable med hele ord i stedet for et bogstav. Autoværkstedet Skorstensgaard angiver følgende formel for bremselængde, hvor man ikke bruger et bogstav for hastighed men hele ordet:

I regneark angiver man primært variable ved at bruge cellenavne. B7 angiver cellen i kolonne B, række 7, og et algebraisk udtryk kan være “=B7+10”, som betyder, at der skal lægges 10 til det tal, der står i celle B7, uanset hvilket tal det måtte være.

Start allerede i 0. klasse Man lærer sprog ved at bruge det. Den ovenfor nævnte kompleksitet ved algebra kan reduceres, hvis man lærer at tænke algebraisk tidligt. Ved at starte tidligt kan lære at rumme større algebraiske bidder ad gangen, og dermed lette brugen af algebra. Skiftet mod tidligere algebra er allerede godt igang, blandt andet gennem fokus på regnestrategier i de små klasser, hvor eleverne lærer at se systemer.

Indledning // Algebra for alle

Regnestykker tæt på Regnestykke med ord til regnstykke Følg bevægelser Sortere ligninger Algebraisk børnestavning Regn videre Rød+lys grøn=gul Top og bund på 6-sidet terning Aldersforskel Gæt min regel 2 linealer Taltavle-algebra Vælg x-værdierne til en funktion Målebæger Fra ord til formler Voksende mønstre Regnestykke til formler Regnehistorier til formler Modellering – toiletruller Modellering – vaffeljern Opstil ligninger

Algebra for alle // Indledning

Åben / Lukket Opg / Aktiv / Unders. Indskoling Mellemtrin – begynder Mellemtrin – øvede Udskoline – begyndere Udskoling – øvede Ungdomsuddannelser

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 19 20

Individuel / Par / Gruppe / Klasse

Kapitel 2. Generalisering

IPK IP IP PG PG PG IP IP IP P IPK IPK IP IP IPGK IP IP IP IP IP IP

L L L L Å Å Å L L Å Å L Å L Å L L Å Å Å L

O O O A A A A U U A U U O U A U O O U U O

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x

x x

x x x x

x x x x x x x

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19

Regnestykke = regnestykke Hver side for sig Det samme på begge sider Erstat variabel med andet udtryk Lav en ligning ud fra en løsning Andgebra Udtryk for omkreds og areal Er udtrykkene ækvivalente? Ligninger med tændstikæsker Flowchart Hvilke beregninger vil løse ligningen? Forklar ligningsløsning Ping pong ligningsløsning Løs ligning i blinde Hvad er gået galt? Taltricks Kalendermatematik Pythagoras' sætning algebraisk Summen af to ulige tal giver et lige tal

IP IP IP IP IP K IP IP P IP IPK IP P P IP IP IP IP IP

Åben / Lukket Opg / Aktiv / Unders. Indskoling Mellemtrin – begynder Mellemtrin – øvede Udskoline – begyndere Udskoling – øvede Ungdomsuddannelser

Individuel / Par / Gruppe / Klasse

Kapitel 3. Behandling

L Å Å Å Å Å Å L Å L

O O O A A A A O A O

x x x x

x x x x x x x

x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x x x Å O x x x Å O x x x Å O x L O x x x L O x L U x x x L A x x L A x

Indledning // Algebra for alle

x x x

x x x x x x x x x

12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23

Oversæt fra udtryk til fliser Oversæt fra udtryk til resultat Trække fra på anden måde Oversæt fra fliser til udtryk til resultat Fra resultat til 3 forskellige udtryk En variabel mere Vis tal gange tal Vælg selv produktet til tallet Vis produkter med parentes Vis produkter med to parenteser Vis produkter med parentes med negative faktorer Lav produkter om til produkter i parenteser Oversæt fliser til algebraiske udtryk Oversæt algebraiske udtryk til fliser Reducer algebraiske udtryk Find selv på led Kvadratsætningerne To variable Tre parenteser Oversæt fliser til algebraiske udtryk Oversæt algebraiske udtryk til fliser Hæv minusparenteser Hæv minusparenteser i en linje

Algebra for alle // Indledning

Åben / Lukket Opg / Aktiv / Unders. Indskoling Mellemtrin – begynder Mellemtrin – øvede Udskoline – begyndere Udskoling – øvede Ungdomsuddannelser

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11

Individuel / Par / Gruppe / Klasse

Kapitel 4. Algebraiske fliser

IP IP IP IP IP IP IP IP IP IP

L L L L Å Å L Å L L

L O

x x x x

Å O

x x x x

IP IP IP IP IPG IP IP IP IP IP IP

L L L Å L Å L L L L L

O O O O O O O O O O

O O O O O O O O O O O

x x x x x x x x x x

x x x x

x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x

x x x x x x

x x x x x x x x x x x

Åben / Lukket Opg / Aktiv / Unders. Indskoling Mellemtrin – begynder Mellemtrin – øvede Udskoline – begyndere Udskoling – øvede Ungdomsuddannelser

24 Find selv på led 25 Find udtryk ud fra sum og differens 26 Simpel faktorisering, tal udenfor parentes 27 Faktorisering med to parenteser 28 Faktorisering med to parenteser negativ koefficient 29 Faktorisering til et kvadrat 30 Flisernes begrænsninger 31 Ikke alt kan faktoriseres 32 Skærmleg 33 Ligninger af 1. grad – tag væk og del op 34 Ligninger af 1. grad – 0-metode 35 Ligninger af 1. grad – parenteser 36 Ligninger med ingen eller uendelig mange løsninger 37 Lav selv ligninger 38 Løs ligningssystemer 39 Lav selv ligningssystemer 40 Løs andengradsligninger 41 Andengradsligninger uden løsninger

Individuel / Par / Gruppe / Klasse

Kapitel 4. Algebraiske fliser - fortsat

IP IP

Å O L O

x x x x x x

L O

x x x

L O

x x x

L O

x x x

IP IP IP P IP IP IP

L L L Å L L L

L O

x x x x x

IP P P IP IP

Å L Å L L

x x x x x x x x

O O O A O O O

A O A O O

x x x x x x x x x

Indledning // Algebra for alle

x x x x x x x

x x x x x

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Fysiske formler Formler med it-støtte Knas og quiz om begreber Det usagte “Quiz og byt” om begreber Mix og match funktioner Skærmleg med grafer Læg grafer sammen Tolkning Funktioner og deres kontekst “Quiz og byt” om at læse algebra Gæt en formel Der er gået noget galt - hvad? Hvad sker der med y når x ændres? Hvilket udtryk er udenfor? Altid, nogle gange eller aldrig sandt Vrøvleformler Terningealgebra Hvad kan man sige om a? Hvilket udtryk er mindst?

Algebra for alle // Indledning

K IP GK G K K P IP P IP K K IP IP PG PG K P IPK IPK

Åben / Lukket Opg / Aktiv / Unders. Indskoling Mellemtrin – begynder Mellemtrin – øvede Udskoline – begyndere Udskoling – øvede Ungdomsuddannelser

Individuel / Par / Gruppe / Klasse

Kapitel 5. Fortolkning

L O L O Å L L L L L L

A A A A O O O

x x x x x x x x x x x x x x x x x x x x

x x x L L Å Å L Å L L L

A O O A A A A A A

x x x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x

x x x x x x x x x x x x x x x x x

2. Generalisering Dette kapitel handler om det, der på mange måder er matematikkens kerne og store berettigelse: Muligheden for at generalisere beregninger. Eleverne skal arbejde med at se systemer og sammenhænge, finde måder at udtrykke disse, og bruge sammenhængene til at finde andre sammenhænge. Arbejdet starter med en introduktion til matematikkens redskaber til at generalisere, det første skridt ind i algebraen. Jeg starter med hvad algebraisk tænkning er, dernæst gennemgås to vigtige redskaber i algebraen nemlig brug af lighedstegn og brug af bogstaver som repræsentanter for tal. Dernæst introduceres begrebet sammenhænge mellem variable, som er selve kernen af algebraen. Til sidst kommer jeg omkring, hvordan man kan generalisere for at ende op med algebraiske udtryk: Først lidt om hvordan mange ens udregning kan generaliseres, så om hvordan modelleringsprocessen ender i algebraiske formler og til sidst hvordan et problem i tekst kan ende som et system af ligninger.

At tænke og udtrykke sig generelt Algebraisk tænkning Som skrevet i det indledende kapitel er fokus på regnestrategier i indskolingen en måde at få eleverne til at tænke algebraisk. I stedet for bare at fokusere på resultatet, så lærer man eleverne at lede efter systemer og se sammenhænge, gøre disse sammenhænge eksplicitte og derefter bruge dem på andre tal. Det er algebraisk tænkning selvom der ikke indgår et eneste bogstav. Det gælder for alle klassetrin i skolen at algebraisk tænkning omhandler at se systemer og sammenhænge, være eksplicit om disse og bruge disse erkendelser i nye sammenhænge. Der er mange måder, hvorpå man kan være eksplicit om systemer og sammenhænge, fx mundtligt, gennem eksempler og gennem tegninger. Algebraen er matematikkens skriftlige måde at gøre disse sammenhænge eksplicitte.

Generalisering // Algebra for alle

3. Behandling Matematik er et fantastisk redskab til at løse problemer med. Første skridt er at få problemerne formuleret på en matematisk måde. Her er algebraen en stor hjælp, og det var det kapitel 2 handlede om: At bruge algebra som et sprog. Det er kun første skridt, næste skridt er at ræsonnere med algebraen, så der fremkommer en løsning, og efterfølgende bruge algebraen til at bevise rigtigheden af løsningen. Det er fokus i dette kapitel.

At ræsonnere og argumentere For de fleste er det svært at argumentere og ræsonnere med algebra. Det er abstrakt og regnereglerne virker pludselig meget vanskeligere med bogstaver end med tal. Og som lærer får man yderligere det problem, at i mange tilfælde er det både lettere og hurtigere at løse problemerne uden algebra. Jeg har set mange gå død i algebraisk løsning af grublere, hvor dem, der løser dem på andre måder, hurtigere kommer frem til løsninger, der endda er smartere. De allerfleste børn kan løse ligninger som 5 + ? = 8 uden at bruge algebra. De tænker konkret: Hvad skal jeg lægge til 5 for at få 8? Når man arbejder algebraisk tænker man generelt, fx i modsatte regningsarter og operationer på begge sider af lighedstegnet. Ved nemme ligninger er det at skyde gråspurve med kanoner, men når ligningerne bliver sværere bliver algebraen et uundværligt redskab. Når man skal ræsonnere med algebra skal man kunne give slip på taltænkningen og stole på regnereglerne. Man kan ikke hele tiden kontrollere, om det man laver også kan lade sig gøre med tal indsat. Det bliver for tungt. Man skal kun tænke i regneregler. Men for at tænke i regneregler, skal man virkelig forstå dem, helt ud i alle deres ekstremer. Og man skal have dem så meget ind under huden, at man ikke hele tiden skal have en formelsamling åben. Der er rigtig langt før man kommer derhen, hvor algebraen bliver en uundværlig hjælp til at klare komplekse problemer. Og det kræver at man orker at bruge algebra mange steder, hvor det vitterligt er meget nemmere, hurtigere, sikrere og pænere at bruge tal. Det er indsatsen værd – algebra er et fantastisk redskab at tænke med. Behandling // Algebra for alle

4. Algebraiske fliser Dette kapitel handler om, hvordan eleverne kan arbejde med algebraiske udtryk som ren matematik. De skal lære at regne med bogstaver og øve sig i det, så de kan jonglere med dem næsten lige så let som de jonglerer med tal. Når elever skal lære at regne med tal, skal det ske på en måde, der øger deres talforståelse, deres forståelse for regningsarterne og gør dem bedre til overslagsregning. Dermed bliver de i stand til at forholde sig til – og kritisk vurdere – udregninger foretaget digitalt, som jo er den måde de oftest vil møde udregninger på, både i og udenfor skolen. Eleverne skal lære at regne med bogstaver af de samme årsager. De skal lære at regne med bogstaver på en måde så det øger deres talforståelse, deres forståelse af regningsarterne og gør dem bedre i stand til at vurdere digitale udregninger med bogstaver, som er den måde de oftest vil møde bogstav-udregninger i deres liv, både i grundskolen og i deres fremtidige uddannelser og liv. Alle aktiviteter i dette kapitel arbejder med brug af algebraiske fliser. De algebraiske fliser er en visuel og konkret støtte i arbejdet, og er med til at skabe gode indre billeder. Målet er, at de indre billeder med tiden kan stå alene uden den fysiske repræsentation, men for alle elever er det rart at vide, at den fysiske hjælp er mulig, hvis ikke hovedet kan rumme det hele. I denne bog bruger jeg tre forskellige algebraiske fliser: • et lille kvadrat, • et stort kvadrat • et rektangel, hvor den korte sidelængde er den samme som det lille kvadrats sidelængde, og hvor den lange sidelængde er den samme som det store kvadrats sidelængde. Rektanglet illustrerer en variabel ganget med 1, men når man laver fliserne fysisk bliver man nødt til at vælge en konkret længde, og dermed er den jo ikke længere variabel. Vi har valgt at lave vore rektangler, så det er tydeligt, at de ikke er et helt antal af de små kvadrater. De tre fliser har en rød side og en side med en anden farve. Den røde side er den negative side, hvormed man kan arbejde med udtryk som 3a − 2a, der kan vises som 3 rektangler med den grønne side opad og 2 rektangler med den røde side opad. Algebraiske fliser // Algebra for alle

113

5. Fortolkning Kapitel 3 og 4 handler om at blive god til at regne med og omforme udtryk med bogstaver. I dette sidste kapitel sættes fokus på at forholde sig til algebra. Det handler om at bruge formler og funktioner, men ikke bare sætte tal ind og få tal ud, men om at forholde sig til dem, fortolke dem. Have forventninger til dem, hvad siger de noget om, hvad er de bygget op af, hvad ser mærkeligt ud, hvad ser forventeligt ud? Er der noget særligt man skal være opmærksom på? Er der konventioner på området? Er der matematiske sammenhænge der afslører noget?

At forholde sig til algebra At have forventninger til algebra Vi skal ikke alle udvikle formler i vores arbejde og da slet ikke i vores hverdag, men vi kommer alle til at møde formler i hverdag eller på arbejde. Formlerne kan være skrevet i et hverdagssprog som “du skal tage din vægt i kilo og dividere med din højde i meter ganget med sig selv” eller i en blanding af sprog og matematiske symboler som “vægt : (højde · højde)” eller i rent symbolsprog som “ hv2 ”. Alle tre måder er algebra og formler, da de giver en generel sammenhæng mellem nogle variable værdier. Det er både godt for den enkelte og for samfundet, når vi både kan og vil forholde os til de ting vi møder i vores hverdag, herunder algebra. Vi skal ikke vende ryggen til og undvige, men møde algebraen og bruge den. Men forholde sig betyder mere end bare at bruge. Det betyder at have forventninger til det man skal forholde sig til. At forholde sig til ovenstående formel om BMI handler om ikke bare at sætte tal ind i formlen, men fx have den forventning at et højt tal som resultat ikke er godt for sundheden, også have en forventning til at resultaterne ikke er tal i 100’erne eller under 1, at det ikke overrasker en at man skal bruge sin vægt eller sin højde. At have en forventning til formler og funktioner handler også om at man ved at der kan være noget med enhederne man skal være opmærksom på, at man måske skal bruge højden i meter og ikke i centimeter, og det måske kan være grunden til at man fik alt et helt vildt lille tal. Forholde sig til er noget andet end at forstå. Det er ikke nødvendigt Fortolkning // Algebra for alle

197