Modellering og estimering - læseprøve

ERIK BJERRE OG PERNILLE PIND

I MATEMATIKUNDERVISNINGEN Modellering er et svært område, som er underprioriteret i dagens matematikundervisning. Det er ærgerligt, da matematisk modellering er et område, hvor matematikken møder omverdenen og tager fat i matematiklivets store spørgsmål såsom: hvad ønsker man svar på, hvad kan man få svar på, hvordan får man det, og hvor godt stemmer resultaterne overens med den verden, de skal spille ind i.

Denne bog hjælper lærere med at undervise i modellering både i udskolingen i grundskolen og på ungdomsuddannelserne.

Eleverne vil opnå en forståelse af, at man kan stille spørgsmål til de valg, der ligger bag enhver matematisk model ved selv at udvikle og analysere modeller og ikke blot anvende modeller.

Bogen introducerer modellering generelt og præsenterer en teori for, hvordan man kan arbejde med matematiske modeller. Der gennemgås 11 konkrete eksempler på modeller, som eleverne kan udvikle i klassen, og 5 eksempler på modeller, som eleverne kan analysere.

MODELLERING OG ESTIMERING I MATEMATIKUNDERVISNINGEN

MODELLERING OG ESTIMERING

ERIK BJERRE OG PERNILLE PIND

MODELLERING OG ESTIMERING

FORLAGET PIND OG BJERRE

I MATEMATIKUNDERVISNINGEN

Erik Bjerre og Pernille Pind Modellering og estimering i matematikundervisningen 1. udgave 2019 ISBN: 978-87-92435-52-1 © Forfatterne og Forlaget Pind og Bjerre 2019 Omslag: Harvey Macaulay, Imperiet Tegninger: Erik Bjerre Tryk: Kolind Bogtrykkeri Forlaget Pind og Bjerre Grenåvej 664 C 8541 Skødstrup Tlf. 21 41 56 97 www.pindogbjerre.dk Kopiering fra denne bog må kun finde sted på institutioner eller virksomheder, der har indgået aftale med Copydan Tekst & Node, og kun inden for de rammer, der er nævnt i aftalen.

1 2 3 4 5 6 7

8 9

10

Indhold Indledning Læsevejledning Regn på verden Modeller i omverdenen Udvikling af modeller Modeller i undervisningen Modelleringsspiralen En case Udvikling af modeller – eksempler Model af et menneske Hvor langt rækker en agurk?

Foldning af håndklæder Overfladeareal af håndklæder Overfladeareal af et menneske Længde af lakridsspiral Rumfang af snapseglas Rumfang af fryseposer Vand i sugerør Længde af snørebånd Længde af æbleskræl Analyse af modeller i undervisningen Analyse af modeller – eksempler Idealvægt Politiske meningsmålinger Skriftstørrelse på skilte Befolkningsprognose Lysregulering af vejkryds Værktøjer Algebra Start enkelt Overslagsregning Gode referencer Litteraturliste

7 9 11 14 18 22 26 34 46 46 52 58 66 74 80 86 94 100 106 118 130 140 140 146 154 160 168 174 174 177 179 182 186

5 Modelleringsspiralen I dette kapitel introduceres modelleringsspiralen. Modelleringsspiralen er en teori, bygget på andres teori om modelleringsprocesser1 og vores egne analyser af modelleringsprocesser. Modelleringsspiralen er ikke en opskrift, som nødvendigvis skal følges for at få et godt resultat. Mange gode modeller er udviklet, uden at modeludvikleren slavisk fulgte en teori om modeludviklingsprocessen.

Teorier er generelle beskrivelser, som er løsrevet fra den konkrete kontekst. Når man som lærer har sat sig ind i modelleringsspiralen, kan man altid bruge den som støtte, når man skal hjælpe elever med modellering.

Hvis elever synes det hele virker uoverskueligt, kan man hjælpe med at dele processen op i mindre delprocesser, som kan serveres for eleverne én ad gangen. Hvis elever kæmper med at modellere ørets overfladeareal, når det handler om at udvikle en model for overfladearealet af et menneske, så kan lærerens kendskab til forbedringsrunden være det redskab, der skal til, for at få eleverne til at vente med øret.

Bare fordi det er nyttigt for læreren at kende en teori om modelleringsspiralen, er det ikke det samme, som at eleverne nødvendigvis skal kende den. Mange børn er blevet kompetente voksne, uden at deres forældre kendte til teorier for børns udviklingsstadier, og mange mennesker er kommet helskindet gennem tabet af en ægtefælle uden at kende til sorgens faser. Teorier er en hjælp for os, der skal hjælpe andre. Teorier kan naturligvis også være en selvhjælp, men er ikke nødvendig for at komme frem til et resultat.

Pointen er altså ikke, at eleverne skal undervises i modelleringsspiralens delprocesser, eller at de skal tvinges til at følge modelleringsspiralens delprocesser i deres arbejde med at udvikle modeller. Elever vi kunne springe delprocesser over, og de vil gå baglæns i forhold til modelleringsspiralen og alligevel få en god modeludviklingsproces med en god model som resultat. Estimering er dog så vigtig en delproces (og selvstændig proces), at eleverne skal kende og kunne bruge begrebet. Hvis man vil arbejde med estimering som en selvstændig aktivitet, kan Fermi-problemer2 give god inspiration.

Vi gennemgår modelleringsspiralen teoretisk og krydrer beskrivelsen af arbejdsmetoden med et eksempel, nemlig udvikling af en model for 1 Se f.eks. Arseven (2015), Blomhøj (2006), Niss (2012), Skånstrøm og Blomhøj (2003) og Jensen (2007), 2 Se Albarracín og Gorgorió (2013)

26

Modellering og estimering i matematikundervisningen

rumfang af en frysepose. Dette eksempel vender vi tilbage til i kapitel 6, hvor vi gennemgår et eksempel på nogle konkrete elevers arbejde med modeludvikling.

Opdeling i delprocesser Før selve modelleringsprocessen kan gå i gang, skal scenen sættes. Det handler om at forstå den omverden, som ønskes modelleret, og fastlægge et formål med modelleringen. Derefter synes vi, det er nyttigt at opfatte modelleringsprocessen som en spiralproces, der går indad.

Hver runde indeholder tre delprocesser: systematisering, matematisering og evaluering. Hver runde i spiralen afsluttes således med en evaluering, hvor en model vurderes op mod omverdenen. Resultaterne af evalueringen kan starte en ny runde i spiralen. Næste runde starter med den delproces, vi kalder systematisering.

I denne delproces prøver man at afgrænse omverdenen og få (matematisk) system i den, i forhold til de mål man har med modellen. Hver gang man træder ind i denne delproces, overvejes, om nye elementer af omverdenen skal beskrives matematisk i modellen, om nogle elementer i modellen skal ud, eller om nogle elementer skal beskrives på en ny måde.

ons tru s Forb kt ed

ing tiser ma

Sys Estim te eri n K g

e nd nde ru sru n unde io gsr rin

tematisering Ma

Evalueri ng

Virkelighed Formål

Modellering og estimering i matematikundervisningen

27

6 En case I dette kapitel arbejder vi videre med eksemplet med modellering af rumfanget af en frysepose, nu med fokus på, hvordan elevers arbejde med modellering helt konkret kan se ud.

Casen er fra en 8. klasse, som Pernille havde et forløb i. Vi følger tre par elever: Anna og Anders, Bilal og Bolette samt Christian og Caroline.

Jeg præsenterer programmet Rumfang af frysepo ser for forløbet på smartboardet: • Introduktion til opgaven.

• Introduktion til opgaven.

• Fælles estimerin g.

• Arbejde i gruppe r.

• Fælles estimering.

• Arbejde i grupper.

Jeg fortæller, at jeg har afsat to dobbeltlektioner til forløbet.

Jeg introducerer opgaven ved at vise en 8-liters frysepose og stille spørgsmålet: Gad vide, om det egentlig passer? Jeg præsenterer dem for den overordnede moIntroduktion til op gaven delleringsopgave, som de skal Når man køber fry seposer har produc enten skrevet et ant ken, f.eks. 8 liter. Me arbejde med i forløbet, nemlig al liter på pakn rummer en pose virkelig 8 liter? For er, at det gør den nok nem ikke, i hvert tilfæld at lave en model for, hvor meget på den. Men vi kan jo regne på det. e ikke, når vi binder enmeknulsende vand der kan være i en fryseJeres opgave er at lav e en model for, hvo r meget der kan væ en frysepose. re i pose. Spørgsmålet skal kunne besvares uden at fylde posen Modellen er her et regnestykke og en gen erel forklaring af ber den, gerne som form egningsmetoler. først. Jeg forklarer, at en model her er en udregning af rumfanget, og gerne en formel, der kan bruges på alle mulige fryseposer.

Modellering og estime ring Forlaget Pind og Bjerre

Side 26

Rumfang af frysepo ser

Fælles estimering Eleverne får udleveret en frysepose, hvorpå fabrikanten har påtrykt størrelsen 8 liter.

Den første afgrænsning bliver aftalt fælles for hele klassen: Posen skal ikke lukkes, men fyldes helt op til randen, og eleverne skal regne, som om en fyldt frysepose har form som en kasse med kvadratisk bund. Det understreges, at her under estimeringen skal der ikke måles med lineal, men eleverne skal gætte på de tal, de har brug for. Eleverne må gerne bruge

34

Modellering og estimering i matematikundervisningen

lommeregner. Eleverne får 10 minutter til at snakke om opgaven parvis.

Anna og Anders Anna og Anders sidder længe med posen og kigger på den, de siger ikke rigtig noget, hverken til hinanden eller andre. På et tidspunkt foreslår Anna, at de bare kan sige, den er 30 cm bred og 50 cm lang, “Det ser ud til at de andre bare siger den er 30 cm og 50 cm.” hører jeg hende sige. De begynder så at snakke om, hvad de skal bruge tallene til, og på et tidspunkt finder de produktet af dem. De kalder på mig og viser mig resultatet på deres papir: 30 ∙ 50 = 1500. Jeg minder dem om, at der skal en enhed på. Lidt efter kommer jeg igen, og der står nu: 1500 liter. Jeg beder dem læse resultatet op for mig. Anders: “Femten hundrede liter … Det er vist for meget, ikk’?” Jo, det giver jeg dem ret i. Anna foreslår milliliter: “Et tusinde og fem hundrede milliliter – det kan godt være rigtigt, kan det ikke?” Jeg bekræfter, at milliliter er en enhed for rumfang, og at 1500 mL er bedre end 1500 L. Vi lader det blive ved et estimat på 1500 mL. Bilal og Bolette Bilal og Bolette er hurtigt igang, og der er gang i både snak og hænder.

Bolette holder posen op og ud med hænderne. Bilals hænder er også ved posen og holder bunden ud i et rektangel. På et tidspunkt hører jeg “9, der kan være 9 liter, selvom der står 8 på posen.” “Hvorfor siger du 9?” spørger Bolette. “Fordi der kan være 9 liter mælk, 3 på den ene led og 3 på den anden led.” Bolette er enig, og de præsenterer mig for deres estimat. “Og vi ved jo heller ikke, om producenten regner med, at posen skal lukkes, så det kan fint passe, at vores tal er større,” afslutter Bolette.

Christian og Caroline Christian og Caroline er allerede fra starten modløse og kalder på mig. “Vi ved slet ikke hvad vi skal. Vi ved ikke, hvordan man regner rumfanget ud af den her, vi har jo bare længde og bredde, det er jo ikke nok til rumfang.” Jeg gentager, at de lige nu skal regne, som om den fyldte pose får form som en kasse med kvadratisk bund. Jeg opfodrer dem til at holde posen ud med hænderne, så den får den ønskede form, og så bare gætte på sidelængden af kvadratet og højden af kassen.

Lidt senere kalder de igen på mig. De har brugt mit råd og regnet på 15 cm ∙ 15 cm ∙ 50 cm og fået estimatet 11,25 L. “Er det godt nok, det er jo meget mere end tallet 8 liter på posen?” Jeg minder dem om, at et estimat gerne må være ret langt fra det virkelige og minder dem derudover om, at vi ikke ved, om producentens tal er rigtigt.

Modellering og estimering i matematikundervisningen

35

“Og vi brugte jo ikke rigtig længde og bredde af posen til noget,” kommenterer Caroline. Jeg fortæller, at det et er god pointe – som de passende kan arbejde videre med om lidt, efter vores fælles afrunding af estimeringen.

Fælles diskussion Når de fleste har fundet et estimat, skal det evalueres. Jeg foreslår en eksperimentiel tilgang og får et par elever til at måle vand af og fylder det i posen foran resten af klassen. Det viser sig, at posen kan rumme 9,5 liter, når den fyldes helt til randen. “Wow, vi er gode!” råber Bilal.

Andre er knap så begejstrede. Bolette fortæller, hvad deres estimat var, og hvordan de kom frem til det. “Måtte man bare gøre sådan?” spørger Anna. “Jeg troede, man skulle sige sige nogle tal for længde og bredde og regne på dem.” Bilal forsvarer sig med, at det gjorde de faktisk også. “Vi regnede bare i mælkekartoner.”

Anna fortæller, hvad de gjorde, og vil gerne have at vide, hvorfor det er forkert. Der er andre, der har regnet ligesom Anna og Anders, og de er heller ikke helt med. Caroline forklarer: “Når man ganger to længder, altså to tal med enheden cm, så får man kvadratcentimeter. Det er et areal, altså ikke noget rumfang. I har egentlig resultatet 1500 kvadratcentimeter.” “Vi har”, fortsætter hun, “regnet, som vi skulle, og sagt at posen bliver til en kasse med kvadratisk bund. Vi har sagt, at kassen er 15 cm på den ene led og 15 cm på den anden led i bunden og 50 cm høj. Vi ganger de tre tal og får 11250. Enheden er cm gange cm gange cm, altså kubikcentimeter.” “Jamen det er da heller ikke noget med liter” kommenterer Anna. “Jo, det er det faktisk. 1000 kubikcentimeter er 1 liter. Så vores 11250 kubikcentimeter er det samme som 11,25 liter, altså lidt over 11 liter. Så vores estimat er faktisk bedre end Bilals”.

Jeg bryder ind, inden der bliver råbekor om, hvis der er bedst. Jeg minder om, at “bedst” afhænger af mange ting, for eksempel hvad man skal bruge estimatet til, og opfordrer til at se på producentens tal. Bilal er hurtig med. “Det er faktisk underligt, at de laver tallet mindre, end det faktisk kunne være. De kunne jo skrive 9,5 på posen. Jeg mener, man skulle tro at de gerne ville have rumfanget så stort som muligt, så får køberen jo mest for pengene.” “Jeg tror altså de vil være så ærlige som muligt” bryder Christian ind, “der kan jo ikke være 9,5 liter, hvis posen skal lukkes og kommes i fryseren.”

Kommentarer til estimeringen Mange elever, som Anna og Anders, følger skolekoden: Når man har en længde og en bredde, så plejer man at skulle gange de to tal. Det er som regel rigtigt, og det er i mange situationer godt at kunne genkende situa-

36

Modellering og estimering i matematikundervisningen

tionen og følge sådanne vaner. I modellering af rumfang af en frysepose udfordres denne skolekode, så det er kun naturligt og godt, at denne fejl opstår.

Christian og Caroline indser med det samme, at skolekoden ikke holder her, og bliver slået ud af det. De har ikke modet til at beslutte sig til noget, som de ikke er sikre på, er helt korrekt. Også åbenheden og den manglende præcision udfordrer Christian og Caroline. Særligt estimeringsdelen af modellering kræver en åben og undersøgende tilgang, som mange elever ikke er trænede i.

Elever som Bilal og Bolette får lejlighed til at bruge deres særlige kompetencer i aktiviteter som denne. De tør kaste sig ud i ting, de ikke er sikre i, og de gennemfører det, de er i gang med, og de trækker på deres hverdags­erfaringer, som de hele tiden bruger og evaluerer ud fra.

Arbejde i grupper

Fælles estimering

Efter arbejdet med estimering er det tid til at gå videre med konstruktionsrunden.

Hvert par af elever får udleveret tre fryseposer: 2-liters, 4-liters og en 8-liters.

Eleverne får at vide, at de må bruge alle de værktøjer og hjælpemidler, som de har brug for, f.eks. linealer, målebånd, målebægere, regneark og lommeregnere.

Anna og Anders Anna og Anders går i gang med at måle længde og bredde på de tre poser. De laver et skema og skriver deres mål ind i skemaet:

Til estimatet opfatte r vi en fyldt frysep ose som en kasse me bund. d kvadratisk I skal give et bud på kvadratets sidelængd I skal regne jer frem e og højden af kassen til rumfanget af den . ne model af en fyld frysepose. t I skal vurdere, om

det lyder rimeligt.

Man estimerer ved at gæt

te på nogle størrels

er og regne med dem

.

Arbejde i grupper Materialer: Forske llige fryseposer, må leb

æger og lineal.

I skal vælge en elle r flere geometriske figurer, som en fyld pose kan modellere t fryses af.

I skal måle på den tomme frysepose, så I kan beregne rum af en fyldt pose me fanget d jeres model.

I skal vurdere jeres model ved at måle nogle forskellige fyld posers rumfang me te frysed målebæger.

I skal forklare, hvo rdan frysepose. Gerne me I kan finde rumfanget af en anden fyld d formler. t Modellering og estime ring Forlaget Pind og Bjerre

Side 27 Rumfang af frysepo ser

De kalder på mig: “Hvad skal vi nu?” Jeg spørger, om de forstod kassemodellen. Anders svarer: “Måske, men vil du ikke forklare den igen?” I fællesModellering og estimering i matematikundervisningen

37

Rumfang af fryseposer Niveau: Varighed: Materialer:

Avanceret.

2 - 4 timer.

Forskellige fryseposer (for eksempel 2, 4, 8 og 11 L), et målebæger (for eksempel ½ L) pr. gruppe og adgang til vand.

Hjælpemidler: Lineal.

Matematisk indhold: Rumfang af kasse og cylinder.

Enhederne cm, cm3, mL og L.

Omverden Når man køber fryseposer, har producenten skrevet et antal liter på pakken for eksempel 8 liter. Men rummer poserne virkelig 8 liter? Fornemmelsen er, at det gør de nok ikke, i hvert tilfælde ikke, når vi binder en knude på dem. Men vi kan jo regne på det.

Formål Formålet er at lave en model for, hvordan man finder rumfanget af en frysepose uden at fylde den. Det afhænger af mange ting, blandt andet om posen skal kunne lukkes, og hvordan man lukker den.

Estimeringsrunden Estimeringsrunden starter og slutter fælles i hele klassen. Hver gruppe får udleveret én pose med samme dimensioner, for eksempel får alle grupper udleveret en 8-liters pose.

Systematisering Man kan snakke med eleverne om, hvilke mål der er mulige og relevante i forhold til at beregne rumfanget af en frysepose. Den naturlige systematisering er at se på længden og bredden af posen.

Nogle elever vil allerede nu foreslå at inddrage længden af svejsekanten. Det er bestemt et muligt mål at knytte til fryseposen, og det har også indflydelse på rumfanget, men fortæl eleverne, at i denne omgang kan de se bort fra svejsekanten. Andre vil måske også foreslå noget med, hvor meget plastikken kan udvide sig, også det vælger vi at se bort fra, da plastikken faktisk ikke kan udvide sig nævneværdigt.

Vi vurderer, at en 8-liters pose er ca. 50 cm lang og ca. 30 cm bred.

94

Modellering og estimering i matematikundervisningen

Matematisering Eleverne får at vide, at de i estimeringsrunden kan forestille sig, at posen får form som en kasse med kvadratisk bund, når den fyldes. De får også at vide, at de skal lave en model, hvor posen ikke skal lukkes.

Nogle få elever vil ud fra deres vurderinger af længde og bredde af posen kunne lave en beregning for sidelængderne af den kasse, som de skal forestille sig.

De fleste elever vil ikke umiddelbart kunne bruge deres længde- og bredde-estimater for posen til beregning af rumfang af en kasse. Lad derfor disse elever holde posen ud som en kasse og lad dem estimere sidelængden af posen som kasse.

Eleverne skal finde det regnestykke, der giver rumfanget af posen som kasse. Regnestykket er de tre sidelængder ganget sammen.

Sidelængden af den kvadratiske bund er halvdelen af posens bredde. I vores eksempel er det 15 cm.

15 cm ∙ 15 cm ∙ 50 cm = 11250 cm3 = 11,25 L ≈ 11 L. Estimatet for rumfanget af en 8-liters pose er 11 liter.

Flere elever vil have behov for hjælp i forhold til at holde styr på deres enheder og omregne mellem cm3, mL og L. Evaluering Vi laver en fælles evaluering i klassen. Eleverne bliver bedt om at beskrive deres kassemodeller, dvs. hvilke mål de har valgt for kassens tre dimensioner.

Dernæst evaluerer vi elevernes resultater for rumfang. Først forholder vi os til, at producenten har kaldt posen for en 8-liters pose. Dernæst fylder vi i fællesskab én 8-liters pose med vand og måler, hvor meget den kan rumme, når man fylder den helt op.

Vi tager også et blik på, hvilken facon en fyldt frysepose har, at den er nærmere en cylinder end en kasse. Det kan man eventuelt tage i betragtning senere.

Vi finder, at vores pose kan rumme 9,5 L. Et estimat på 11 l er ikke tosset, når det faktiske rumfang er 9,5 L.

Konstruktionsrunden Hver gruppe får udleveret forskellige poser, for eksempel en 2-liters pose og en 4-liters pose. Det er en god ide at lade eleverne skrive numre på poModellering og estimering i matematikundervisningen

95

Overslagsregning Både i livet udenfor skolen og i matematiktimerne er det godt at vurdere sine resultater; lyder det rimeligt? I arbejdet med matematiske modeller er det helt essentielt, at man altid har denne kritiske holdning til resultaterne.

I dette afsnit giver vi et par bud på, hvordan man kan lave gode overslag.

Sammenligning med andre referencer Mange gange kan man vurdere et resultat ved direkte at sammenligne med nogle andre referencer, det kan være tal fra ens hverdag eller data, man søger på internettet. Regner man på rumfanget af en frysepose, er der mange af os, der har konkrete erfaringer med, hvordan en 4-liters pose ser ud, eller har et indre billede af, hvor meget fire mælkekartoner fylder, og så kan vi umiddelbart vurdere et resultat på 4 liter. Er man for eksempel ved at regne på overfladearealet af et menneske, har vi nok ikke lige en reference fra vores hverdag, men internettet kan give flere bud på ca. 2 m2.

Andre gange er det ikke muligt at finde en direkte reference at sammenligne med. Her er det, at overslagsregning kan komme ind. Overslagsregning er en måde at vurdere udregninger.

Formålet med overslaget Når man skal beregne et overslag, er det en god ide at starte med at overveje formålet med overslaget. Er man ude for at købe ind, vil formålet ofte være at vurdere, om man har penge nok, og så man er interesseret i, at overslaget netop er et overslag, hvor man hellere rammer lidt for højt end for lavt. Skal man lave et overslag for, hvor meget suppe der kan være i en frysepose, er det bedre at overslaget er for lille end for stort, så man ikke risikerer, at der ikke er plads til al suppen.

Ofte er man ligeglad med, om overslaget er for højt eller for lavt, bare det cirka giver det rigtige. Og aller oftest har man mest brug for et overslag, der bare bekræfter, at det, man har regnet, ikke er helt ude i skoven.

Hvornår er et overslag godt nok?

Man skal altid overveje, hvor præcist et overslag man ønsker. Det er vores oplevelse, at de fleste mennesker stiller alt for store krav til deres egne overslag. De ønsker at komme alt for tæt på det rigtige resultat, hvilket desværre ofte betyder, at de slet ikke laver et overslag.

Lærere bør være overbærende i forhold til elevernes overslag, acceptere selv meget afvigende overslag og opfordre eleverne til også at være meget large overfor sig selv. Har man lavet et overslag på rumfanget af en frysepose på 25 liter, hvor det faktiske rumfang er 4 liter, er 25 liter alt for Modellering og estimering i matematikundervisningen

179

meget, men er dog i stand til at sortere et resultat på 1500 liter væk. Selv en meget grov overslagsberegning er bedre end slet ingen.

Ikke kun hovedregning Før i tiden var overslagsregning ensbetydende med hovedregning og en måde at vurdere de (efterfølgende) udregninger, udført på en lommeregner eller computer.

I dag, hvor vi alle har en lommeregner tæt på, kan man også lave overslagsregning på en lommeregner. Det er stadig nyttigt, da man regner på en anden måde, når man laver et overslag. Alene det at regne på tingene på to forskellige måder giver en større tillid til resultaterne.

Når man beregner overslag, skal de tal, der regnes på, være “nemme”, så de er nemmere at forholde sig til. Allerede når man skal vælge nemme tal, kan eventuelle fejl fanges.

Det er selvfølgelig en god ide at vælge så nemme tal, at man kan lave overslagsberegningerne i hovedet, men manglende hovedregningsevner må ikke stå i vejen for overslagsberegningerne.

Hvad er nemme tal?

Etcifrede tal er de nemmeste tal at regne med, da de fleste af os (mere eller mindre) har automatiseret regning med disse. Det betyder, at det er nemmest at lave overslagsregning med tal, der er afrundet til tal med kun et ciffer forskellig fra nul, og for eksempel regne med 3000 i stedet for 3417,69.

At regne med disse tal er som at regne med etcifrede tal – vi skal bare have styr på det med nullerne.

Nogle gange kan man, af hensyn til præcisionen, vælge at regne med to cifre forskellig fra nul. Så er det normalt en god ide at bruge 5 som det andet ciffer. De fleste synes, at det er nemmere at regne med 3500 end med 3400. Generelt er tal med cifrene 1, 2 og 5 nemmest at regne med.

Afrund fornuftigt For at afbøde de afvigelser, man laver i en overslagsregning, kan man vurdere, om man runder tal af opad eller nedad. Ved udregninger med addition eller multiplikation begrænser man afvigelserne ved at runde et tal op og det andet ned, når man regner, i stedet for at afrunde begge tal samme vej. For eksempel er 44 + 22 (= 66) tættere på 50 + 20 = 70 end på 40 + 20 = 60 og 44 ∙ 22 (= 968) er tættere på 50 ∙ 20 = 1000 end på 40 ∙ 20 = 800.

I udregninger med subtraktion og division begrænser man fejlen ved at justere begge tal i samme retning i stedet for i hver sin retning. For ek-

180

Modellering og estimering i matematikundervisningen

sempel er 44 - 22 (= 22) tættere på 40 - 20 = 20 end på 50 - 20 = 30 og 44 : 22 (= 2) tættere på (faktisk lig med) 40 : 20 = 2 end på 50 : 20 = 2,5.

I overslagsregning skal man altså ikke altid anvende de korrekte afrundingsregler, når man laver sine tal om til nemmere tal. Dels skal man overveje ovenstående anbefalinger i forhold til at justere tal samme vej eller hver sin vej afhængig af regningsart, og dels skal man overveje at justere sine tal til tal, som man selv finder nemme at regne med og meningsfulde.

Vælg simplere formler I de situationer, hvor en korrekt udregning kræver indviklede formler, kan man erstatte svære beregninger med sund fornuft og enkle formler og tit få resultater, der er acceptable.

Hvis man for eksempel skal vurdere ydelsen på et lån, er annuitetsformlen, som man bruger dertil, ret indviklet. Men man kan lave et overslag i to dele. Først tager man lånets hovedstol og deler med løbetid og får det gennemsnitlige årlige afdrag. Dernæst kan man sjusse sig til renten ved at gange lånets rentesats på halvdelen af lånets hovedstol, det giver så'en cirka den gennemsnitlige rente, der skal betales. Summen af de to tal er cirka den årlige ydelse. r Formlen for den præcise beregning er: y = G ⋅ r er rentesat1− (1+ r)−n sen, n antal terminer, og G hovedstolen.

Et eksempel på et lån på 1.000.000 kr. Lånet løber i 10 år med en årlig rente på 5%.

Men den simple regnemetode giver det et årligt afdrag på 100.000 kr og en gennemsnitlig rente på 25.000 kr, en ydelse på 125.000 kr. om året i alt.

Med formlen for beregning af annuitetslån giver det en ydelse på godt 129.000 kr. om året, hvis man betaler en gang om året.

Modellering og estimering i matematikundervisningen

181