PERNILLE PIND
MATEMATIK
FOR ALLE Håndbog i matematikundervisning FORLAGET PIND OG BJERRE
Indhold 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25
Forord.......................................................7 Hvorfor undervise i matematik?.......9 At undervise i matematik.................21 Naturlige tal..........................................51 Negative tal.......................................... 63 Decimaltal.............................................71 Brøker.....................................................81 Potenser og rødder............................91 Addition................................................ 99 Subtraktion........................................ 113 Multiplikation.................................... 125 Division............................................... 141 Procent................................................ 157 Regneregler....................................... 169 Ligninger............................................. 179 Funktioner..........................................203 Økonomi............................................ 219 Former................................................. 231 Mål ......................................................245 Pythagoras' sætning.......................265 Tegning................................................ 275 Mønstre...............................................285 Statistik............................................... 297 Sandsynlighed.................................. 313 Aktiviteter........................................... 327 Ordlister.............................................. 359 Stikordsregister................................. 367
9 Subtraktion Introduktion Subtraktion er, sammen med division, de to sværeste regningsarter for de fleste elever. Begge er beregningsmæssigt sværere end addition. Begge skiller ad, hvor addition og multiplikation samler. Og endelig har både subtraktion og division indbygget en dobbelthed i den måde, de skal forstås på. For eksempel kan 8 – 3 både opfattes som at tage 3 væk fra 8 og som forskellen mellem 3 og 8. Og 8 : 2 kan både opfattes som, at 8 deles i 2 lige store portioner, og som hvor mange gange man kan tage grupper på 2 ud af 8. Subtraktion kommer til udtryk på mange, væsentlig forskellige måder i sproget, og derfor kan det være vanskeligt at vide, hvornår subtraktion er den rigtige regneoperation. Det vigtigste ved læring af subtraktion er, at eleverne • lærer at splitte små tal op, for eksempel at 8 = 5 + 3 og 10 = 7 + 3 • lærer at bruge ovenstående opsplitninger til de tilhørende minusstykker, for eksempel at 10 – 7 = 3 og 8 – 3 = 5 • lærer de to forskellige forståelser af subtraktion • lærer at bygge ovenpå ovenstående til regnemetoder for subtraktion af andre tal, herunder større tal og decimaltal • lærer at genkende mange forskellige situationer, hvor et tal skal trækkes fra et andet • lærer at håndtere en lommeregner til subtraktion.
Omstændigheder Sprog De fleste børn har ikke klare begreber til at håndtere subtraktion, før de kommer i skole. Når noget er blevet væk, er det interessante ofte ikke det, Subtraktion // Matematik for alle
113
der er tilbage, men det, der er blevet væk. Forskelsbegrebet har mange børn dog et forhold til, for eksempel ved de, når de har mindre end andre. Arbejdet med subtraktion baseres på førfaglige begreber om blandt andet at tage væk, tilbage, forskel, sammenligning og opfyldning. Tekstopgaver Subtraktion viser sig i mange forskellige situationer, både i tekstopgaver og i den virkelige verden. Nedenfor gennemgås de mest almindelige typer af situationer for subtraktion. Alle er udtryk for regnestykket 8 – 3. Reduktion Reduktion af det, man har. Per har 8 æbler, men spiser 3. Hvor mange æbler har Per så? Forskel efterspørges Sammenligning, hvor forskellen efterspørges. Per har 8 æbler, og Eva har 3 æbler. Hvor mange færre har Eva? Hvor mange flere har Per? Hvor mange er der til forskel? Forskel givet Sammenligning, hvor forskellen er givet. Per har 8 æbler. Eva har 3 æbler færre end Per. Hvor mange æbler har Eva? Opdeling Forskellige ting fra et overbegreb fordeles i deres underbegreber. I en kurv er der 8 stykker frugt, både æbler og pærer. I kurven er der 3 æbler. Hvor mange pærer er der? Opfyldning Man har noget og har et mål for, hvad man ønsker i alt.
114
Matematik for alle // Subtraktion
Eva har 3 æbler. Hvor mange flere æbler skal hun have, før hun har 8 æbler? Mange elever tæller op fra 3 til 8 og opfatter det dermed som addition. Mangel Man har et mål for, hvad man ønsker i alt, og et antal, som man allerede har. Eva vil gerne have 8 æbler, men hun har kun 3. Hvor mange æbler mangler Eva? Næsten det samme som opfyldning, men de fleste elever tænker her på det som en subtraktion, fordi det største tal gives først, og ord som for eksempel “mangler” signalerer subtraktion. Efter en forøgelse En slags ligning. Der er lagt et tal til det efterspurgte tal, og det er givet, hvad der derefter er. Per har lige fået 3 æbler og har nu 8 æbler. Hvor mange æbler havde Per til at begynde med? Mange elever vil fejlagtigt opfatte det som et additionsstykke, da ord som for eksempel “fået” signalerer addition. Mange lærebøger introducerer subtraktionsbegrebet via reduktion, og denne opfattelse kan risikere at blive den eneste situation, eleverne kan genkende. Det bør undgås, da der er mange flere subtraktionssituationer end reduktion. De forskellige sammenligningssituationer er hyppigere, både i virkelighedens verden og i tekstopgaverne i de ældre klasser. Desuden er det ærgerligt ikke at bygge videre på forskelsbegrebet, som mange elever har et forhold til fra andre sammenhænge.
Indre billeder Subtraktion forstås både som forskel og reduktion. Reduktion er, når noget tages væk, forskel er, når tallene sammenlignes. Mange børn forestiller sig, at subtraktion udelukkende handler om noget, der forsvinder. Dette kan være en endog meget rigid forestilling, der gør, at kun de subtraktionssituationer, der handler om reduktion, genkendes som subtraktion. Subtraktion // Matematik for alle
115
8 – 3 som forskel Der er 5 enheder mellem 3 og 8. 8 – 3 som at tage væk Der er taget 3 enheder fra 8, der er 5 tilbage.
0
1
2
3
4
5
6
7
8
0
1
2
3
4
5
6
7
8
Skolen Indskolingen Subtraktion er for mange det første møde med vanskeligheder i matematik. Hvor addition føles naturligt for de fleste, og hvor fingrene helt naturligt tages til hjælp, føles subtraktion for nogle mere naturstridig, og der er også flere, der ikke ved, hvordan fingrene kan hjælpe ved subtraktion. I indskolingen skal eleverne lære at genkende og udføre subtraktion i konkrete mundtlige situationer (regnehistorier), og de skal lære at udføre subtraktion i symbolregnestykker. Det er også vigtigt at arbejde med sammenhængen mellem de to repræsentationer, da eleverne med tiden skal lære at oversætte mellem dem. Eleverne skal i indskolingen lære begge forståelser af subtraktion, både som reduktion (tage væk) og som forskel. Eleverne skal lære sammenhængen mellem addition og subtraktion, og de skal lære, hvordan det at splitte tal op kan bruges til at finde de tilhørende minusstykker. Da 8 = 5 + 3, er 8 – 5 = 3 og 8 – 3 = 5. I alt arbejde med subtraktion i indskolingen er det naturligt, at eleverne støtter sig til konkrete materialer. Det kan være udmærket, men hjælp dem til at opleve fordelene ved andre hjælpemidler som skriftlige notater og lommeregner.
Mellemtrinnet På mellemtrinnet skal eleverne lære at bruge en og gerne flere forskellige regnemetoder til subtraktion af vilkårlige tal. Elevernes brug af regnemetoder skal baseres på deres talforståelse og regnestrategier fra regning med små tal.
116
Matematik for alle // Subtraktion
Eleverne skal på mellemtrinnet arbejde både med skriftlig notatregning, hovedregning, overslagsregning og regning med digitale hjælpemidler. Det er stadig vigtigt at arbejde med både den mundtlige repræsentation af subtraktionsstykker (som i regnehistorier) og med den skriftlige symbolrepræsentation af subtraktionsstykkerne. På mellemtrinnet føjes endnu en repræsentation til, nemlig den skriftlige tekstopgave. På mellemtrinnet skal man i højere grad end i indskolingen lægge vægt på, at eleverne lærer at oversætte mellem repræsentationerne, i særlig grad skal der lægges vægt på, at eleverne lærer at oversætte en tekstopgave til et regnestykke. På mellemtrinnet skal eleverne lære at bruge de fire regningsarter i sammenhæng, for eksempel 240 – 20 · 3 + 200. De skal blive bevidste om de regler og sammenhænge, som mange af eleverne allerede ubevidst bruger, nemlig at subtraktion ikke er kommutativ, og at addition og subtraktion er hinandens omvendte. Vedrørende regningsarternes hierarki skal eleverne lære, at multiplikation og division udregnes før addition og subtraktion.
Udskolingen Ligesom ved addition er det vigtigt ikke at glemme hovedregningen og de mundtlige regnehistorier i udskolingen. På dette trin skal eleverne også møde subtraktion af bogstaver, for eksempel 4x – x. Slet ikke alle elever vil komme til at arbejde med sådanne udtryk, og det er tilstrækkeligt, hvis de kan anvende dem konkret og indsætte tal for bogstaverne. Men nogle elever vil kunne regne med bogstaverne og omforme udtryk med bogstaver til andre udtryk, for eksempel omforme 4x – x til 3x.
Fagligt Regneoperationen at trække et tal fra et andet kaldes subtraktion, symbolet – kaldes minus. 8 – 3 læses “otte minus tre”, og man siger, at “man subtraherer 3 fra 8”, eller “man trækker 3 fra 8”. Det er ikke bredt accepteret at sige “man minusser 3 fra 8”, men det er dog forståeligt. I hverdagssproget udtrykkes subtraktion ofte ved en forskel (differens) mellem to tal. Addition og subtraktion er hinandens omvendte, for eksempel er 100 – 25 + 25 = 100, og x + 3 = 15 kan løses ved at beregne 15 – 3. Subtraktion er ikke kommutativ, 3 – 2 er forskellig fra 2 – 3. Subtraktion // Matematik for alle
117
Subtraktion hænger sammen med division opfattet som måling, hvor man måler, hvor mange gange et givet tal kan være i et andet tal, man kan sige, at måling er gentaget subtraktion. For eksempel er 8 : 2 = 4, da 8 – 2 – 2 – 2 – 2 = 0. I regningsarternes hierarki er addition sammen med subtraktion nederst, det vil sige alle andre regneoperationer i et regnestykke udregnes før addition og subtraktion. Når man trækker et mindre tal fra et større, får man et positivt resultat. Når man trækker et større tal fra et mindre, får man et negativt resultat. I hånden udregnes dette, ved at man udregner det modsatte regnestykke og tilføjer et minus til resultatet. Den klassiske algoritme, lodret opstilling, anbefales ikke som en regnemetode, som eleverne skal bruge, da den er ufleksibel, svær at forstå, svær at huske og umulig at bruge til overslagsregning. Eleverne kan i slutningen af skoleforløbet have glæde af at blive præsenteret for den klassiske algoritme, da den er klassisk og illustrerer en smuk optimering af, hvordan man effektivt kan regne i hånden, hvilket tidligere var vigtigt. Det gennemgående regneeksempel nedenfor er 904 – 849. Med regne strategier, uden at bruge en regnemetode, kan man for eksempel regne “900 – 850, det er 50, og så havde vi egentlig 4 mere, det er 54, og så trak vi 1 for meget fra, det giver 55.” Nedenfor gennemgås forskellige regnemetoder med regnestykket, altså forskellige måder at regne på, hvis ens regnestrategier ikke slår til.
Fylde op Fylde op kaldes også kassedamemetoden. Som en kassedame før i tiden gav tilbage, starter man fra det mindste beløb og fylder op, indtil man når det største beløb. Regnestykket 904 – 849 kan se således ud med fylde op. En meget naturlig måde at holde regnskab på i denne metode er at anvende den tomme tallinje. 849 850
1
900
50
904
4
55
Udregningen går således: “Fra 849 er det nemt at fylde op til 850, det er 1. Fra 850 til 900, det er 50. Fra 900 til 904, det er 4.
118
Matematik for alle // Subtraktion
Så lægger vi sammen, det er 1 + 50 + 4 = 55.” Man kan også anvende denne skrivemåde: 904 – 849 = 55 4
50
1
55
Og med lidt øvelse kan udregningen komme til at se således ud: 904 – 849 = 1 + 50 + 4 = 55
Man fremmer arbejdet med fylde op ved at tale med eleverne om, hvilke tal det er godt at fylde op til (det er typisk tal i 10-tabellen), og hvilke hop der kan være nemme. Som overslagsregning kunne denne metode gå således: “Regnestykket er tæt på 900 – 850. Fra 850 op til 900 er der 50.” Fordelene ved metoden er, at den baserer sig på addition, som er den nemmeste regningsart for de fleste. Man kan tage de enkelte trin så store eller små, som man kan overskue, og eleverne regner med tal og ikke kun med cifre.
Lidt ad gangen I lidt ad gangen splittes tallet til højre op i passende portioner, og man fjerner lidt ad gangen fra tallet til venstre. Der holdes regnskab, ved at hver linje repræsenterer hele regnestykket. Det er vigtigt at sørge for at holde subtrahenden fra minuenden. Det er centralt, fordi subtraktion ikke er kommutativ. Man kan undervejs strege de tal ud, som man har brugt. Regnestykket 904 – 849 kan se således ud med lidt ad gangen.
904 – 849 904
800
1 00
40
40
5
4
5
Udregningen går således: 60 5 “Fra 849 splittes op i 800 og 40 og 5 og 4. 55 Jeg vælger at splitte 9 op i 5 og 4, da jeg kan se et 4-tal i 904, som jeg gerne vil af med. Fra 904 kan jeg nu relativt nemt fjerne 800 og 4. Så er der 100 tilbage af venstre tal og 40 og 5 tilbage af højre tal. Subtraktion // Matematik for alle
119
Så fjerner jeg 40 fra de 100. Og nu er der 60 tilbage af venstre tal og 5 tilbage af højre tal. De sidste 5 fjernes, resultatet er 55.” Og med lidt øvelse kan udregningen komme til at se således ud:
904 – 849 1 00
45
55
En variant af denne metode er at tænke i, at man fjerner lige meget fra begge tal, indtil højre tal er væk. Denne variant kaldes også rullegardinmetoden. Udregningen går således: “Først fjernes 800 fra begge tal. Det giver tallene 104 og 49. Så kan man tage 4 væk, det giver 100 og 45. 40 væk fra begge tal giver 60 og 5. Og til sidst tages 5 væk. Tallet til højre er nu 0, og tallet til venstre er resultatet: 55.”
904 – 849 1 04
49
100
45
60
5
55
0
Med lidt øvelse kan denne udregning forkortes ligesom ovenfor. Som overslagsregning kunne denne metode gå således: “Regnestykket er tæt på 900 – 850. Vi splitter op og fjerner først 800 fra begge tal, så er det 100 minus 50, det giver 50.” For de fleste elever kan det være en god introduktion til at bruge denne metode, at de starter med at splitte tallet til højre op i hundreder, tiere og enere. Derefter kan de splitte yderligere op, afhængigt af hvad der ser ud til at virke bedst i forhold til tallet til venstre. Fordelene ved denne metode er, at eleverne kan fjerne i de mængder og det tempo, der passer dem bedst selv, og at eleverne som i fylde op regner med tal og ikke kun med cifre.
En klassisk algoritme: lodret opstilling I den lodrette opstilling udnytter man i høj grad positionssystemet. Man trækker et tal fra et andet tal ciffer for ciffer, startende fra højre mod venstre, og når det ikke går (altså giver et negativt tal), udnytter man, at cifferet til venstre er ti gange så stort, og tager dette med ind i beregningen.
120
Matematik for alle // Subtraktion
Når næste ciffer på denne måde inddrages i beregningen, kaldes dette, at “man veksler en tier” eller at “man låner en tier”. Da metoden baserer sig på positionerne, er det hensigtsmæssigt med den lodrette opstilling, hvor man skriver cifre i samme position under hinanden. Tallene skrives altså, så de står under hinanden og flugter i højre side, når der er tale om hele tal, og med komma over komma, når der er tale om decimaltal. 635 – 238 ser således ud udregnet med den lodrette opstilling: 10 10
6/ /3 5 −238 397
Et ciffer med streg over betyder, at cifferet er blevet én mindre, fordi der er vekslet én af disse til 10 af den mindre potens. Den vekslede tier skrives ovenover cifferet til højre for. Den vekslede tier lægges til øverste ciffer, hvorefter det nederste ciffer nu kan trækkes fra. Udregningen går således: “5 minus 8, det kan man ikke. Veksl 10. 15 minus 8 er 7. 2 (som er 3 – 1) minus 3. Det kan man ikke. Veksl 10. 12 minus 3 er 9. 5 (som er 6 – 1) minus 2, det er 3.” Når man ser på, hvorfor den lodrette opstilling virker, er udregningerne følgende: Vi ser først på enerne og venter med at se på resten. 5 – 8 er et negativt tal, så vi må veksle 10. 10 + 5 – 8 = 7. Første del af resultatet er på plads. Vi ser derefter på tierne. (30 – de vekslede 10) – 30 giver et negativt tal, så vi må veksle 100. 100 + (30 – 10) – 30 = 90. Anden del af resultatet er nu på plads. Til slut ser vi på hundrederne. (600 – de vekslede 100) – 200 = 300. Tredje del af resultatet er nu på plads. Denne algoritme støtter ikke overslagsregning. Subtraktion // Matematik for alle
121
Almindelige fejl Elever, der kun kender reduktionssituationer, kan udvikle en dobbelt tælle strategi, hvor eleven prøver at tælle ned i talrækken, samtidig med at de tæller op, hvor langt de er nået i nedtællingen. For eksempel udføres 19 – 5 som “18, det er 1 væk, 17, det er 2 væk, 16, det er 3 væk, 15, det er 4 væk, 14, det er 5 væk”. Den strategi er både besværlig og risikabel, da der let kan opstå tællefejl i den ene eller den anden retning. Når elever bruger tallinjen som konkret materiale ved subtraktion, optræder den samme fejl som ved addition: De tæller streger og ikke mellemrum. Ved fylde op og lidt ad gangen er de almindeligste fejl, at der ikke splittes korrekt op. Det kan både være forkert i forhold til 10-talssystemet og bare forkert. Eleverne kan også blive forvirrede undervejs og pludselig lægge sammen i stedet for at trække fra eller trække det forkerte fra det forkerte. 849 850
1
900
50
904
4
45
1 og 4 trækkes fra 50 i stedet for at blive lagt til. 9 splittes fejlagtigt op i 4 og 4.
904 – 849 904
800
100
40
60
40
4
4
4
4
56
849 splittes fejlagtigt op i 800 og 4 og 9, altså cifferet 4 og ikke det korrekt tal 40.
904 – 849 904
800
1 00
9
4
9
91
En af de almindeligste fejl ved subtraktionsudregninger i den lodrette opstilling er, at eleverne trækker det mindste ciffer fra det største – uanset hvilket ciffer der står øverst.
122
Matematik for alle // Subtraktion
635 − 2 38 403
En anden fejl er, at eleven opfinder den manglende tier og ikke trækker den fra det næste ciffer, og altså slet ikke veksler. 10
635 − 2 38 407
Særlig når man skal veksle hen over nogle nuller, opfinder elever en manglende tier. 10 10
605 / −1 79 436
Den korrekte metode er først at veksle en hundreder og derefter veksle en tier herfra. 1/ 0 10
605 / −1 79 42 6
Bemærk stregen over den vekslede tier, som illustrerer, at vi ikke kunne veksle fra 0-et, men skulle veksle fra en position længere ude.
Ekstra materialer I arbejdet med subtraktion kan der anvendes forskellige konkrete materialer: tyver-perlekæde, kuglerammer, tallinjer, Cuisenairestænger og enkelt elementer som knapper, perler, sten eller Centicubes. Når man bruger konkrete materialer til hjælp ved subtraktion, er der forskellige strategier: Subtraktion // Matematik for alle
123
• tæl hvert af tallene op i to bunker, sammenlign de to bunker • find det mindste tal, fyld op ved at tælle til det største tal, find forskellen • find det største antal, og reducer med det mindste ved at tælle dette antal fra igen. Det er vigtigt, at eleverne arbejder med de forskellige strategier, da de passer til forskellige subtraktionssituationer og lægger grunden for forskellige regnemetoder. 8-5 Sammenlign
=
Fyld op “seks, syv, otte – det er tre mere” Reducer/tag væk
=
I arbejdet med alle strategier er det vigtigt at arbejde med regruppering/opsplitning af tallene, så det ikke ender i endeløst tælleri. Regruppering/ opsplitning giver gode mentale billeder af bestemte antal og forskelle, som kan udnyttes i al anden talbehandling.
124
Matematik for alle // Subtraktion
Stikordsregister Symboler 1. akse .................................................... 206 1. ordenssprog ........................... 22, 52–53 2. akse .................................................... 206 2. ordenssprog ........................................ 22 3. ordenssprog ........................................ 22 10-talssystemet .................................57, 74 25%-fraktil ............................................ 303 50%-fraktil ............................................ 303 75%-fraktil ............................................ 303
A addition ...........................................99–112 addition af brøker .................................. 85 additionsprincip .................................. 318 afdrag .................................................... 224 afgifter ................................................... 224 afhængig variabel ................................. 206 afrunding ................................................ 78 akse ........................................................ 279 aksonometrisk tegning ....................... 280 aktiviteter .........................37–41, 327–358 algebraiske fliser ...........................192–194 algebraisk ligningsløsning ..........186–188 analytisk tænkning ..........................25–26 andengradsfunktion ....................210–213 andengradsligning .......................191–194 andengradspolynomium ............210–213 andenordenssprog ................................. 22 annuitet ................................................. 226 annuitetslån .......................................... 226 arbejdshukommelse .............................. 28 areal – cirkel ......................................... 252 arealmetoden .............. 130–133, 147–148
areal – parallelogram ..................251–252 areal – rektangel ................................... 250 areal – trapez ........................................ 252 areal – trekant ...................................... 251 associative lov ...............................174–175 automatisere ......................................... 102
B balancevægt ......................... 186–187, 201 basismultiplikationer ............................ 76 begreber .................................................. 14 begrebsnet ......................................48, 351 bevis ...................................... 239, 268–272 billedplan .............................................. 281 blandet tal ............................................... 85 boksplot ........................................305, 308 bortmønster .......................................... 289 brændpunkt .......................................... 241 brøker ................................................81–90 brøkstreg ................................................. 84 børnehaveklasse ................................... 328
C CAD ...................................................... 244 centervinkel .......................................... 241 centi ......................................................... 95 centiliter ................................................ 256 centralprojektion ................................. 281 centrum ................................................. 240 cirkel ..............................................240–241 cirkelbue ............................................... 241 cirkeldiagram ...................... 164, 304, 307 cirkelperiferi ......................................... 240 cosinus .................................................. 258 Cuisenairestænger ............................... 112 Stikordsregister // Matematik for alle
367
cylinder ................................................. 242
evaluering .........................................46–50
D
F
data ........................................................ 299 deci .......................................................... 95 deciliter ................................................. 256 decimaltal .........................................71–80 decimaltalsleg ....................................... 341 dele ................................................141–156 deskriptiv statistik .......................299–309 deskriptorer ..................................301–303 det usagte ......................................349–350 diagonal ................................................ 236 diameter ................................................ 240 didaktisk kontrakt ...........................40–41 differens ................................................ 117 diskriminant ......................................... 191 distributive lov ..................................... 175 dividende .............................................. 144 division .........................................141–156 division med brøk ............................86–87 divisor ................................................... 144 dobbelt op ............................................. 135 drejning .........................................288–289 dyskalkuli ................................................ 27
faglige begreber ...................................... 23 faktorer .................................................. 126 Fibonacci-talfølge ................................ 291 figurrækker ...................................291–294 firkant ............................................239–240 flad ......................................................... 235 fladedækkende mønstre ...................... 289 flytning ..........................................288–289 forkorte brøk .......................................... 85 forlænge brøk ......................................... 85 formativ evaluering .........................46–47 former ...........................................231–244 forskel ............................................117, 174 forskel efterspørges .............................. 114 forskel givet .......................................... 114 forstørrelsesfaktor ................................ 236 fortjeneste ............................................. 221 forøgelse ................................................ 100 frekvens .........................................300–301 frisemønstre ......................................... 289 frontplan ............................................... 281 funktion ........................................203–218 funktionsforskrift ................................ 207 fylde op .........................................118–119 fællesnævner .......................................... 85 færdigheder ............................................ 15 føle former ............................................ 349 førfaglige begreber ................................. 22 førstegradsligning ........................183–189 førsteordenssprog .................................. 22
E efter en forøgelse .................................. 115 efter en reduktion ................................ 100 eksplicit formel .................................... 290 eksponent ............................................... 93 eksponentialfunktion .......................... 213 eksponentiel vækst ......................213–214 ekstern evaluering ................................. 47 elevreaktioner ............................ 29, 31–32 ellipse .................................................... 241 enhedscirkel ......................................... 258 enkeltelementer ..............................54, 111 ensvinklede trekanter .......................... 236 en-til-en-observationstest .................... 49
368
Matematik for alle // Stikordsregister
G gaffelfunktion ....................................... 223 gange .............................................125–140 gange med 9 ......................................... 136 gange med 11 ....................................... 136 gange parenteser sammen ..........175–177
gennemsnit ...................................301–302 gentaget addition .........................126, 135 geometri – former .......................231–244 geometri – mål .............................245–264 geometriske mønstre ...................289–290 giga .......................................................... 95 grader .................................................... 257 graf ......................................................... 207 grafisk ligningsløsning ......188–189, 194, 197 grafisk repræsentation .303–305, 307–308 grublere ................................................... 39 grundflade ............................................ 242 grundlinje ............................................. 238 grundtal .................................................. 93 grupperede observationer ..........305–309 græshoppetænkning .......................25–26 gunstige udfald .................................... 316 gæt antal ................................................ 353 gæt mål ..........................................353–354 gæt og prøv efter ................. 151, 184–185 gøre omvendt ...............................187–188
H halvering ............................................... 151 halvåbent interval ................................ 306 hektar .................................................... 256 hele tal ..................................................... 65 histogram ......................................307–308 Hjernevask ............................................ 357 hjælpemiddelkompetence .................... 14 hjælpemidler .......................................... 34 holistisk tænkning ...........................25–26 horisontlinje ......................................... 281 hosliggende katete ............................... 258 hovedforsvindingspunkt ..................... 281 hovedregningsstrategier .............336–341 hovedstol ............................................... 224 hukommelsesstrategier ....................... 102 hulbrikker ............................................. 112
hverdagens matematik .............................9 hverdagsviden ........................................ 27 hvor mange og hvad ............................ 354 hyperbel ................................................ 215 hypotenuse ........................................... 237 hyppighed .....................................300–301 hældningskoefficient ........................... 209 hældningstal ......................................... 209 hændelse ............................................... 316 hæve minusparentes .............................. 68 højde – firkant ...................................... 240 højde – trekant ..................................... 237 højtpræsterende ...............................31–34
I ikkegrupperede observationer ...299–305 improvisationsteater ....................346–347 individets dannelse ................................ 17 individets nytte ...................................... 17 indre billeder ....................................25–26 indskreven cirkel ................................. 239 indtægt .................................................. 221 intern evaluering ................................... 47 interval .................................................. 305 intervalhyppighed ............................... 306 irrationale tal ........................... 74, 96, 249 isometrisk tegning ............................... 280
J jævnt fordelt ......................................... 324
K kant ........................................................ 236 kardinaltal .........................................51, 56 kasse ...................................................... 242 kassedamemetoden .....................118–119 katete ..................................................... 237 kegle ...................................................... 242 kilo ........................................................... 95 klassetest ................................................. 49 Stikordsregister // Matematik for alle
369
klassificere .............................................. 53 koefficient ............................................. 195 kombination ......................................... 320 kombinatorik ........................................ 316 kombinatorisk sandsynlighed ............ 316 kommatal ................................................ 71 kommunikationskompetence .............. 13 kommutativ ......................... 104, 130, 174 kommutative lov .................................. 174 kongruent ............................................. 236 konkav ................................................... 240 konkrete materialer ............................... 35 konstruktion ......................................... 241 konveks ................................................. 240 konventioner ........................................ 169 koordinatsystem .................................. 206 korde ..................................................... 240 korttidshukommelse ............................. 28 kritisk stillingtagen .............................. 309 krum ...................................................... 235 krystallografisk mønster ..................... 290 kube ....................................................... 242 kubikrod ................................................. 95 kugle ...................................................... 242 kugleramme ...................................59, 112 kurvediagram ....................................... 305 kvadrat .................................................. 239 kvadratrod .............................................. 95 kvadratsætninger .........................176–177 kvartilsæt .............................................. 303 kvotient ................................................. 144
L lang division .................................149–150 langtidshukommelse ............................. 28 lidt ad gangen .....106–107, 119–120, 148 ligebenet trekant .................................. 237 ligedannede .......................................... 236 ligedeling ......................................145–147 ligefrem proportional .......................... 210
370
Matematik for alle // Stikordsregister
ligesidet trekant .................................... 237 lige store koefficienter .................195–197 ligninger ........................................179–202 ligningssystem ...................................... 183 lineal ...................................................... 262 lineær funktion ............................208–210 linjestykke ............................................. 238 liter ........................................................ 256 lodret opstilling – addition .........107–109 lodret opstilling – multiplikation ............. 133–134 lodret opstilling – subtraktion ...120–121 logbog ...................................................... 48 logiske forbindelsesord ......................... 23 lommeregner .......................................... 36 LOVPORT ............................... 44–46, 329 lukket interval ...................................... 305 længde ................................................... 249 længdemål ............................................ 235 læs selv matematik ............................... 343 lån ..................................................224–227
M magisk opfattelse af regneoperationer ..... 127–128 maksimum ............................................ 302 mangel ................................................... 115 matematikkens sprog ..................346–352 matematikteater ................................... 348 matematikvanskeligheder ...............26–31 matematisk bevis ................................. 266 matematisk løft ...................................... 33 matematisk sætning ............................ 266 median – statistik ........................302–303 median – trekant .................................. 239 mega ........................................................ 95 middeltal .............................. 301–302, 306 middelværdi .................................301–302 midtnormal .......................................... 238 milli ......................................................... 95
milliliter ................................................ 256 mindsteværdi ....................................... 302 minimum .............................................. 302 minus .............................................113–124 modellering ....................................39, 330 modelleringskompetence ..................... 11 modstående katete ............................... 259 moms ..................................................... 224 Multi Math ........................................... 356 multiplikation ..............................125–140 multiplikation med brøk ....................... 86 multiplikation som areal ..................... 126 multiplikation som forhold ................ 127 multiplikation som rate ...................... 126 multiplikationsprincip ........................ 318 mængdetal .............................................. 56 mønster .........................................285–296 mål .................................................245–264 målebånd .............................................. 262 målerlarvetænkning ........................25–26 målestoksforhold .........................278–279 måletal ..................................................... 56
N nabovinkler .......................................... 235 naturlige mål ................................246–247 naturlige tal ......................................51–62 nedre kvartil ......................................... 303 negative tal ........................................63–70 neurologiske vanskeligheder ................ 28 n fakultet ............................................... 319 Nim ........................................................ 358 n-kant ............................................236–237 normalfordeling ................................... 298 n’te rod .................................................... 95 nul ............................................................ 56 numre ...................................................... 56 nævner .................................................... 84 nøgletal .........................................301–303
O observationer ....................................... 299 observer .................................................. 49 omdrejningspunkt ............................... 288 omkreds – cirkel .................................. 249 omkreds – rektangel ............................ 249 omskreven cirkel .................................. 238 omsætning ....................................255–257 omvendt proportionalitet ...........214–215 opdeling ................................................ 114 opfyldning ............................................ 114 opløse i faktorer ...........................135–136 opsplitning ............................................ 124 opstilling af ligning ......................197–199 optrævling ............................................ 185 ordenstal ................................................. 56 ordinaltal ................................................ 56 ordindsætning ...................................... 346 ordnet med tilbagelægning ........322–326 ordnet uden tilbagelægning .......320–321 ordning ...........................................65, 319 overfladeareal – cylinder .................... 252 overfladeareal – kegle .......................... 253 overfladeareal – kugle ......................... 253
P parabel ................................................... 212 parallel ................................................... 235 parallelforskydning ............................. 289 parallelogram ....................................... 240 parallelprojektion ................................ 279 parenteser ............................................. 172 parentessætninger .......................176–177 passer ..................................................... 243 periferivinkel ........................................ 241 perlekæde ................................ 59, 62, 112 permutation .......................................... 321 perspektivtegning ........................281–282 pi ............................................................ 249
Stikordsregister // Matematik for alle
371
plantegning ...................................279–280 plus ..................................................99–112 pluspar .................................................. 102 polyeder ........................................241–242 polygon .........................................236–237 polynomium ......................................... 210 portefølje ................................................. 47 positionssystem ...................................... 57 positive tal .............................................. 65 potenser ............................................91–98 potensopløftning .............................93–95 primtal ..................................................... 56 prisme ................................................... 242 problembehandling ............................. 329 problembehandlingskompetence ........ 11 procent ..........................................157–168 procentelastik ....................................... 167 procentpoint ......................................... 158 procentuel vækst ..........................213–214 produkt ................................................. 126 projektarbejde ........................................ 39 promille ................................................. 160 proportional ......................................... 210 pyramide ............................................... 242 Pythagoras’ sætning ....................265–274
Q quiz og byt ....................................351–358
R rabat ....................................................... 221 radianer ................................................. 257 radius ..................................................... 240 rationale tal .......................................55, 84 reduktion – ligningsløsning .......190–191 reduktion – tekstopgave ..................... 114 reelle tal ................................................... 56 regnehistorie ......................................... 103 regnehuller .......................................27, 31 regnemetoder ....................................... 103
372
Matematik for alle // Stikordsregister
regneregler ....................................169–178 regnestrategier .................... 101, 336–341 regning med sandsynligheder ....323–325 regningsarternes hierarki ................... 173 regression .............................................. 211 regruppere ............................................ 101 regruppering ........................................ 124 regulær polyeder .................................. 241 regulær polygon ................................... 236 rektangel ............................................... 239 rekursiv formel ..................................... 290 renter .............................................224–227 renters rente ......................................... 225 rentesregning ........................................ 213 repræsentationskompetence ................ 13 rest ......................................................... 144 retfærdig ............................................... 325 ret vinkel ............................................... 257 retvinklet trekant ................................. 237 rombe .................................................... 240 roset ....................................................... 290 rotation .........................................288–289 rumfang – cylinder .............................. 254 rumfang – kasse ................................... 254 rumfang – kegle ................................... 254 rumfang – kugle ...........................254–255 rumfang – prisme ................................ 254 rumfang – pyramide ........................... 254 rumlige figurer .............................241–242 ræsonnementskompetence ................... 12 rødder ....................................... 91–98, 212
S samfundets dannelse ............................. 18 samfundets nytte ................................... 17 sammenligning .................................... 100 sammenlægning .................................. 100 sammensat rente .................................. 226 sandsynlighed ..............................313–326 selvevaluering ......................................... 48
simulering ............................................. 325 sinus ...................................................... 258 skat .................................................222–224 skema .................................................... 318 skitsetegning ......................................... 280 skyggeleg .......................................354–355 skærmleg .......................................348–349 snorlinge ............................................... 112 spejling .................................................. 288 spejlingsakse ......................................... 288 spejlvende tal .......................................... 58 spids vinkel ........................................... 257 spidsvinklet trekant ............................. 237 spil ..................................43, 325, 356–358 split efter 10-talssystemet ...........105–106 splitte op ............................................... 101 stabeldiagram ....................................... 304 stambrøk ................................................. 85 startskud ................................................. 42 statistik ..........................................297–312 statistiske deskriptorer ................301–303 statistisk sandsynlighed ..... 316, 322–323 stigningstal ........................................... 209 stikprøver ......................................319–322 store tals lov .......................................... 322 strategier ...........................................16, 30 stump vinkel ......................................... 257 stumpvinklet trekant ........................... 237 stykkevis lineær funktion ................... 223 størsteværdi .......................................... 302 subitize .................................................... 54 subitizing ................................................ 28 subtraktion ...................................113–124 subtraktion af brøker ............................ 86 sum ........................................................ 104 sumkurve .............................................. 308 summativ evaluering .......................46–47 summeret frekvens .............................. 300 summeret hyppighed .......................... 300 symboler ................................................. 23
symbol- og formalismekompetence .... 13 symmetri ............................................... 286 synsretning ........................................... 281 særlige behov ....................................26–34 sætning ..........................................265–266 søjlediagram .................................303, 307
T tabel ...................................... 207, 299–300 tabelperlekæde ..................................... 140 talblindhed ............................................. 27 talfliser .................................................... 60 talfølger .........................................290–291 talhus ....................................................... 75 talkort ...................................................... 61 tallinje ................................54, 59, 80, 112 tal med enheder ..................................... 51 talord ....................................................... 58 tal som antal ........................................... 51 tal som navngivning .............................. 51 tal som ordenstal ................................... 51 taltavle .............................................59, 112 taltromle ................................................. 60 tangens .................................................. 258 tangent .................................................. 240 tankegangskompetence ...................10–11 tapetmønster ................................289–290 tegning ..........................................275–284 tegninger ................................................. 23 teknisk tegning ..................................... 279 tekstopgaver ............................ 24, 38, 342 tekstopgaver – addition ................99–100 tekstopgaver – division ...............141–142 tekstopgaver – multiplikation ....126–127 tekstopgaver – subtraktion .........114–115 teoretisk sandsynlighed ..............316–317 tera ........................................................... 95 termin .................................................... 224 terning ................................................... 242 tessellation ............................................ 290 Stikordsregister // Matematik for alle
373
tidsmål .................................................. 257 tidsmåling ............................................... 56 tier-venner ............................................ 102 todimensional ...................................... 235 to ligninger med to ubekendte ...194–197 tommestok ............................................ 262 tomme tallinje .................60–61, 112, 338 toppunkt ............................................... 212 topvinkel ............................................... 235 tovtrækning .......................................... 338 trapez ..................................................... 240 trappediagram ...................................... 304 tredimensional ..................................... 235 tredjeordenssprog .................................. 22 trekant ...........................................237–239 trigonometriske funktioner ........258–260 triptæller ................................................. 61 træningsopgaver .................................... 38 tyngdepunkt ......................................... 239 typeinterval ..................................306–307 typetal .................................................... 302 tælle baglæns .......................................... 55 tælle i hop ............................................... 55 tællematerialer ....................................... 58 tæller ....................................................... 84 tælleremse ............................................... 53 tælle smart .............................................. 52 tællestrategier ...............................101–102 tælletal ..................................................... 56 tælletræ .........................................317–318 tælle videre ............................................. 55 tønde land ............................................. 256
uendelig mange decimaler ................... 74 ulighed ..........................................189–190 undersøgelser .......................... 42–43, 334 universitetsmatematik ..............................9 uordnet med tilbagelægning ......321–322 usynligt ler ....................................347–348 uægte brøk .............................................. 85
U
Æ
uafhængig variabel .............................. 206 ubekendt ............................................... 183 udfald .................................................... 316 udfaldsrum ........................................... 316 udfoldning ............................................ 282 udgift ..................................................... 221
ægte brøk ................................................ 85
374
Matematik for alle // Stikordsregister
V valuta .............................................221–222 valutakurs ............................................. 221 variabel ..........................................182, 207 variationsbredde .................................. 302 videnskabelig notation .......................... 98 vinkelben .............................................. 235 vinkelhalveringslinje ...................238–239 vinkelmål ............................. 235, 257–260 vinkelmåler ........................................... 263 vinkelsum ............................................. 239 vægtmål ................................................ 257 værksted .................................................. 40 værktøjer ................................................. 34
X x-akse .................................................... 206
Y y-akse .................................................... 206 ydelse ..................................................... 224
Z Z ............................................................... 65
Ø økonomi ........................................219–230 øvre kvartil ........................................... 303
Å åbent interval ....................................... 306 åbne opgaver ...................41–42, 331–335
Stikordsregister // Matematik for alle
375