Campo Gravitatorio Física 2º Bachillerato
Curso 2013-14 IES “Ojos del Guadiana”
Campo Gravitatorio 1.-Diferentes modelos del universo 1.1.-Primeras observaciones Las primeras civilizaciones consideraban a la Tierra plana con su ciudad en el centro de ella. Hacia el año 400 a.C. está generalizada la idea de que la Tierra tiene la forma de una esfera. Aristóteles sitúa a la Tierra inmóvil en el centro del Universo y a distancias crecientes se encuentran las esferas que trasladan a la Luna, el Sol, Venus, Mercurio, Marte, Júpiter y Saturno, que giran con movimiento circular uniforme. Más alejada estaría la esfera de las estrellas y que aparentemente no se mueve, por lo que estas parecen estar fijas. 1.2.-Modelo geocentrista Propuesto por Ptolomeo 140 d.c. No explica la trayectoria aparente que siguen los planetas. En ocasiones parecen retroceder para luego seguir con su camino, es lo que se denomina movimiento retrógado. Las trayectorias que siguen los planetas se denominan epiciclos.
1.3.-Modelo heliocentrista. N. Copérnico (1473-1543) concibe la idea de que es el Sol y no la Tierra el centro del universo. Con este modelo se explican fenómenos como: alternancia de los días y de las noches, las fases de la Luna y el movimiento retrógado de los planetas. Las ideas de Copérnico no sólo no se aceptaron, sino que las combatieron activamente tanto la iglesia Luterana como la iglesia Católica.
2.-Leyes del KEPLER Basándose en los datos de Tysho Brahe descubrió: Que las trayectorias de los planetas alrededor del sol eran elipses. Que la velocidad de los planetas alrededor del Sol no era constante Una relación matemática precisa que relacionaba el periodo del planeta y la distancia media al Sol.
Posteriormente estas aportaciones adquirieron el rango de leyes.
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Campo Gravitatorio Primera ley Todos los planetas se mueven en órbitas elípticas con el Sol situado en uno de los focos. Planeta Perihelio
Sol
Afelio
Perihelio de la Tierra: 147,2 mill km Afelio de la Tierra: 149,6 mill km Segunda ley El radio vector que une cualquier planeta con el Sol barre áreas iguales en tiempos iguales. Sol
Planeta
B
C A
B
SBC / tBC
<
SBA / tBA
Tercera ley El periodo de cualquier planeta es proporcional al cubo de la distancia media del planeta al Sol
T 2 = c R3 T: periodo del planeta R: distancia media del planeta al Sol C: constante de proporcionalidad Visitad siguiente página para ver simulaciones: http:// http://www.walter-fendt.de/ph14s/ 3
Campo Gravitatorio 4.-Conservación del momento angular. El momento angular es una magnitud física de carácter vectorial que se define como el producto vectorial del vector de posición de una partícula respecto de un sistema de referencia por el vector cantidad de movimiento: L p r O
trayectoria
L=rxp Para estudiar la variación de esta magnitud física, la derivamos respecto del tiempo:
dL dt
d (rxmv) dt
dr mdv xmv rx dt dt
rxF
M
La variación del momento angular de una partícula con respecto a un punto en la unidad de tiempo es igual al momento resultante de las fuerzas que actúan sobre la partícula con respecto a dicho punto. Veamos que consecuencias tiene que el momento angular se conserve: Si M = 0 dL/dt = 0
L = cte
Un caso especial de conservación de L es cuando las fuerzas que actúan sobre la partícula son centrales, es decir que la dirección de la fuerza siempre pasa por el mismo punto. Esto ocurre con las fuerzas de atracción entre el Sol y la Tierra, o en general entre cualquier planeta. 4
Campo Gravitatorio Las consecuencias que se derivan son las siguientes:
Por conservar la dirección. El momento angular será perpendicular al plano que forman los vectores r y v, por tanto la trayectoria de la partícula debe estar en un plano. Por conservar el sentido. La partícula siempre recorrerá la órbita en el mismo sentido, y por tanto las trayectorias de los cuerpos en el seno de campos de fuerzas centrales serán curvas planas. Por conservar el módulo. La velocidad areolar también permanecerá constante.
4.-Ley de Newton de la gravitación universal. Newton consiguió en el siglo XVII un notable avance en el estudio de los planetas, averiguando la causa de ese movimiento. La causa es una fuerza que varía directamente proporcional al producto de las masas de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. M1
M2 F21
F12 R12
Módulo:
F12 = F21 = G M1 M2 / R122
G= constante de gravitación universal = 6,67 10-11 Nm2/kg2 Expresión vectorial:
F12 = - (G M1 M2 / R122 )u12 Enunciado de la ley de gravitación universal: “Todo cuerpo ejerce una fuerza atractiva sobre otro cuerpo que es proporcional a las masas de los cuerpos e inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa.” 5
Campo Gravitatorio 5.-Campo gravitatorio. 5.1.-Concepto de campo gravitatorio El concepto de campo se utiliza en Física para describir interacciones a distancia. Para el caso del campo gravitatorio nos referimos a una magnitud física de carácter vectorial que se define como la fuerza ejercida sobre la unidad de masa presente en esa región. Se representa por “g”.
g = F/m (N/kg) Para los casos de que el campo gravitatorio esté creado por masas puntuales, su expresión es la siguiente: g
P
M Su módulo:
g P = GM/R2 Dirección: La recta que une el punto y la masa que crea el campo gravitatorio. Sentido: Hacia la masa que crea el campo gravitatorio 5.2.-Representación gráfica El campo gravitatorio, como campo de fuerzas que es, se representa por líneas de campo que tienen como característica principal que son tangentes al vector intensidad de campo gravitatorio. Ejemplos:
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Campo Gravitatorio 6.-Principio de superposición El campo gravitatorio satisface el principio de superposición m1
g
m2
g1 g2
g3
m3 El campo gravitatorio resultante es la suma vectorial de los vectores intensidad de campo creados por cada masa.
g=
i n
gi i 1
7.-Campo conservativo. Definiciones:
Campo: magnitud física que se manifiesta en una determinada región del espacio. Campos vectoriales(la magnitud física es de carácter vectorial) y escalares (la magnitud física es de carácter escalar) Campos conservativos: son campos de fuerzas conservativas Fuerzas conservativas: son aquellas cuyo trabajo realizado en una trayectoria cerrada es nulo. También se puede definir como aquellas fuerzas cuyo trabajo realizado entre dos puntos no depende del camino seguido.
El campo gravitatorio como ejemplo de campo conservativo: B SAB
SBA
A P 7
WT = WAB + WBA WAB = P. SAB WBA = P. SBA WT = 0
Campo Gravitatorio Todo campo de fuerzas conservativo lleva asociado una función que depende de la posición EP(r), tal que el trabajo realizado es igual a la diferencia de los valores que toma dicha función entre el punto inicial y el punto final. A esta función se la denomina energía potencial. B
WAB =
Fdr
= Ep (A) - Ep (B)
A
8.-Energía potencial gravitatoria. La energía potencia gravitatoria de un cuerpo de masa “m” en un punto “P”, se define como el trabajo realizado por las fuerzas del campo gravitatorio para trasladar el cuerpo de masa “m” desde el el origen del campo (se suele tomar a distancia infinita) hasta el punto P. r
(origen el c. gravitatorio)
P M
r
EP =
m
r
r
Fdr
GMm
dr r2
F
GMm
1 r
dr
GMm C r
9.-Potencial gravitatorio Es la energía potencial por unidad de masa en dicho punto. Se puede definir también como el trabajo realizado por las fuerzas del campo para trasladar la unidad de masa desde el origen del campo hasta dicho punto.
V=
Ep m
G
M r
(J/kg)
Expresiones relacionadas con el potencial gravitatorio:
WAB = EP(A)-EP(B) = m (VA – VB )
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Campo Gravitatorio 10.-Campo gravitatorio terrestre. Cuando la masa que crea el campo gravitatorio no es una masa puntual, sino un cuerpo esférico (nuestro planeta), con su masa uniformemente distribuida, se mantienen todas las expresiones anteriores, pero las distancias se miden ahora desde el centro geométrico de la esfera.
Para puntos exteriores a la superficie terrestre: g = G
En la superficie terrestre: g0 = G
M ( R h) 2
M 9,81m / s 2 . Este valor puede R2 sufrir variaciones debido a dos factores. Uno porque el radio polar es menor que el radio ecuatorial y el segundo factor es debido al movimiento de rotación de la Tierra. Ambos factores hacen que el valor de g disminuya a medida que subimos de latitud. Para puntos interiores: g = 4πGρr/3
Como resumen se puede apreciar como varia el valor de la intensidad del campo gravitatorio terrestre con el siguiente gráfico: g G M/R2
RT 11.-Movimiento de planetas y satélites artificiales. Consecuencias de la interacción gravitatoria. 11.1.-Velocidad de escape de un satélite. Es la velocidad que se debe de adquirir en el momento del lanzamiento para escapar del campo gravitatorio del planeta en el que se encuentre. Para su cálculo se aplica el principio de conservación de la energía mecánica en el punto de lanzamiento y en el infinito: Em(punto de lanzamiento) = Em (infinito) 1mve2/2 + (-GMm/R) = 0 9
Campo Gravitatorio
ve =
2GM R
2g0R
En la superficie de la Tierra tiene un valor de 11,2 km/s. 11.2.-Velocidad orbital de un satélite Cuando un satélite se encuentra en órbita alrededor de la Tierra a una cierta altura R, la única fuerza que actúa sobre él es la fuerza de atracción gravitatoria. Esta es una fuerza centrípeta dirigida hacia el centro de la Tierra. Según la segunda ley de Newton:
G
Mm R2
ma
m
v2 R
Tierra
v
G
Sol
M R
11.3.-Energía orbital de un satélite. Es la energía mecánica del mismo cuando se encuentra en órbita y es la suma de la energía cinética más la energía potencial:
E
1 mv 2 2
GMm R
1 GM m 2 R
GMm R
1 GMm 2 R
Ep 2
Energía negativa que significa que el satélite está atrapado por el planeta o que ambos forman un sistema ligado. 11.4.-Estudio energético de las trayectorias. a) Cuando el satélite tiene una energía mecánica menor que cero.
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Su Energía cinética es menor que su energía potencial (Ec<EP). El sistema se denomina ligado. Da lugar a trayectorias cerradas (elipses o circunferencias). Ejemplos: satélites alrededor de la Tierra, Tierra alrededor del Sol.
Campo Gravitatorio b) Cuando el satélite tiene una energía mecánica mayor o igual que cero.
Su Energía cinética es mayor o igual que su energía potencial (Ec mayor o igual que EP). El sistema se denomina no ligado. Da lugar a trayectorias abiertas (hipérbolas). Ejemplos: cometas.
Velocidad inicial v0 Energía Órbita v0 < vc Elíptica incompleta Em<0 v0 = vc Circunferencia vc < v0 < ve Elipse v0 = ve Em = 0 Parábola v0 > ve Em > 0 Hipérbola Vc = velocidad centrípeta; ve = velocidad de escape 11.5.-Satélites geoestacionarios. Son satélites geoestacionarios los que tienen el mismo periodo que el tiempo que tarda la Tierra en dar una vuelta completa y por tanto se encuentran siempre sobre el mismo punto de la superficie terrestre. Veamos cómo se determina la altura de una órbita geoestacionaria: La velocidad orbital del satélite será: 11
Campo Gravitatorio
v
GM R
Y el tiempo empleado en dar una vuelta a la Tierra
T
2 R v
2 R GM R
4 2 R3 T2= GM
R
3
T 2GM 4 2
4,22.107 m
Y la altura sobre la superficie terrestre: H = R – RT = 4,22.10 7 m – 6,37.10 6m = 3,58.10 7m = 35.863 km
11.6.-Puesta en órbita de un satélite Tiene lugar en varias etapas: 1. El satélite es lanzado desde un transbordador espacial o lanzadera con la velocidad necesaria para mantenerse en una órbita de transferencia. Ésta, sin embargo, no es la órbita definitiva 2. En el apogeo de esta órbita (punto más lejano de la Tierra), eí satélite es inyectado en su órbita definitiva mediante motores propulsores. 3. Una vez situado en su órbita definitiva, el satélite puede corregir las desviaciones que se produzcan gracias a sus motores.
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