Tema ondas curso 2013 14 by Emilio Sancho

Departamento de Física y Química

MOVIMIENTO ONDULATORIO FÍSICA 2º BACHILLERATO ESR

Curso 2013-14

Física 2º Bachillerato

Movimiento ondulatorio

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1.-Movimiento vibratorio armónico simple (MAS) 1.1.-Características El movimiento armónico simple tiene las siguientes propiedades: Trayectoria rectilínea Movimiento periódico Variado no uniforme

  

1.2.-Magnitudes características 



 



Vibración, oscilación, ciclo: Es el movimiento de un extremo al otro de la trayectoria y retorno al punto de partida. Periodo (T): Es el tiempo que emplea el cuerpo vibrante en dar una oscilación completa. Frecuencia (f,ν): Es el número de oscilaciones dadas por segundo. Se mide en ciclos/s, s-1, Hz. Elongación (x,y): Distancia que separa el punto oscilante de la posición de equilibrio en un momento dado. Amplitud: Es el valor máximo de la elongación. Frecuencia angular (w): Es la magnitud que informa de la rapidez con la que se suceden las oscilaciones. Se mide en rad/s. Relaciones entre magnitudes: f = 1/T; w = 2πf = 2π/T.

1.3.-Ecuación del movimiento armónico simple Es una expresión matemática que nos permite determinar la posición del cuerpo oscilante en cualquier instante. a) Ecuación de la posición o elongación. y = A sen (wt + φ0 ) ó A cos (wt + φ1 )

φ0 = φ1 + π/2

Fase (wt + φ0 ): Es el argumento de la función senosoidal Fase inicial ( φ0 ): Nos informa de la posición del cuerpo oscilante en el instante inicial. b) Ecuación de la velocidad. v = dy(t)/dt = Aw (cos wt + φ0 ) v=

c) Ecuación de la aceleración. a = dv/dt = -Aw2sen (wt + φ0 ) = -w2 y Visitad la siguiente url: IES “Ojos del Guadiana”

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http://www.walter-fendt.de/ph14s/springpendulum_s.htm para comprobar gráficas y vectores. 1.4.-Dinámica del MAS Se trata de determinar la fuerza que origina este movimiento. Esta fuerza se denomina recuperadora, pues siempre tiende a llevar al cuerpo vibrante hacia la posición de equilibrio. Este tipo de fuerza responde a la siguiente expresión: F = -k y Por otra parte F = ma = m (-w2y) = -mw2y Identificando términos se llega a la siguiente conclusión: k = mw2 = m4π2/T2 T = 2π

m k

1.5.-Energía del MAS a) Energía potencial EP = ky2/2 b) Energía cinética EC = mv2/2 = m A2w2cos2wt/2 = mA2w2 (1-sen2wt)/2 = mw2 (A2A2sen2wt)/2 = k(A2-y2)/2. Ec = k(A2-y2)/2. c) Energía mecánica Em = Ec + EP = kA2/2 = mw2A2/2 = 2mπ2f2A2 Representaciones gráficas de la energía

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1.6.-Péndulo simple. Llamamos péndulo simple a un ente ideal constituido por una masa puntual suspendido de un hilo inextensible y sin peso, capaz de oscilar libremente en el vacío y sin rozamiento. Al separar la masa de su posición de equilibrio, oscila a ambos lados de dicha posición, realizando un movimiento armónico simple. En la posición de uno de los extremos se produce un equilibrio de fuerzas, según observamos en el gráfico: El peso de la bola se descompone en dos componentes: una primera componente que se equilibra con la tensión del hilo, de manera que:

La segunda componente, perpendicular a la anterior, es la que origina el movimiento oscilante:

Sin embargo, para oscilaciones de valores de ángulos pequeños, se cumple: Por consiguiente, podremos escribir, teniendo en cuenta, el valor del seno del ángulo:

Se observa que la fuerza recuperadora, que hace oscilar al péndulo, es función de la elongación (X), con lo que podemos afirmar que se trata de un M. A. S. Por ello, podemos comparar la ecuación que caracteriza a este tipo de movimientos, que vemos a continuación: , con la ecuación obtenida anteriormente IES “Ojos del Guadiana”

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vemos que la pulsación es:

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,y teniendo en cuenta que

donde T es el período: Tiempo utilizado en realizar una oscilación completa, llegamos a:

2.-Movimiento ondulatorio. 2.1.-Definición y propiedades. El movimiento ondulatorio es cualquier perturbación producida en un punto y que es capaz de propagarse. Características más significativas:  

El movimiento ondulatorio no lleva asociado transporte de materia El movimiento ondulatorio lleva asociado transporte de energía

2.2.-Tipos de ondas Según el criterio utilizado pueden establecerse los siguientes tipos de ondas: a) Dependiendo del medio por el cual se propaguen: 



Ondas mecánicas: Necesitan un medio material para propagarse (sonido). Ondas electromagnéticas: Se propagan en el vacío (ondas de radio)

b) Según al ámbito de propagación:  



Monodimensionales: (ondas en cuerdas y muelles) Bidimensionales o superficiales : (ondas en la superficie de líquidos) Tridimensionales: (sonoras, electromagnéticas)

c) Según las direcciones de propagación y perturbación: 

Longitudinales: Si la dirección de propagación y perturbación coinciden.

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Transversales: Si las direcciones perturbación son perpendiculares.

propagación

2.3.-Magnitudes de una onda a) Longitud de onda (λ): Es la distancia mínima entre dos puntos que tienen el mismo estado de vibración. b) Velocidad de propagación(v): Mide la rapidez con la que se propaga la perturbación. Las características del medio influyen notablemente en esta magnitud. c) Amplitud (A): Es el máximo desplazamiento de cualquier partícula del medio respecto de su posición de equilibrio con el paso de la onda. d) Periodo (T): Es el tiempo que tarda la perturbación en recorrer un espacio igual a la longitud de onda y coincide con el tiempo que tarda el punto vibrante en realizar una oscilación completa. e) Número de onda (k): Es el número de longitudes de onda que hay en una distancia de 2π metros. f) Relación entre magnitudes: λ = v T = v/f 2.4.-Función o ecuación de onda. Es una función matemática que nos relaciona la posición de la partícula vibrante con la distancia al foco emisor y a al tiempo transcurrido. Deducción de la ecuación de una onda monodimensional:

foco O

foco

x=v t

La ecuación del foco emisor: y = Asen wt

será

La ecuación de una partícula del medio trascurrido un tiempo “ t” y(x,t) = A sen [w(t- t)] = A sen [w(t-x/v)] Otras formas de presentar una ecuación de onda: IES “Ojos del Guadiana”

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y(x,t) = A sen 2π (t/T- x/Tv) y(x,t) = A sen 2π (t/T- x/λ) y(x,t) = A sen (2πt/T- 2πx/λ) y(x,t) = A sen (wt- kx) Observaciones:  El signo negativo significa que la onda se desplaza de izquierda a derecha. 2.5.-Energía e intensidad de una onda. a) Energía de una onda. La propagación de una onda lleva consigo transporte de energía. Las partículas al paso de una onda, adquieren energía cinética y energía potencial, y suponiendo que el medio es perfectamente elástico (no hay fuerzas disipativas), la energía mecánica de las partículas permanecerá constante. Si suponemos que un instante dado una partícula tiene energía cinética máxima, esta coincidirá con su energía mecánica. Partiendo de la ecuación de una onda: y(x,t) = A sen (wt- kx) su velocidad será: v(x,t) = Aw cos (wt- kx), tomando el valor máximo vmax = Aw y por tanto su energía cinética máxima será: Ecmax = Em = mvmax2 /2 = 2m π2A2 f2 b) Intensidad de una onda. Se define como la energía media que atraviesa por segundo, la unidad de superficie perpendicular a la dirección de propagación del movimiento. Representa esta magnitud la rapidez con que se transfiere la energía. I=

E St

P (w/m2) S

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Veamos a continuación las causas que hacen disminuir la intensidad de una onda al propagarse. 1) Por atenuación. Supongamos una onda esférica que se propaga por un medio homogéneo e isótropo.

E St

P S

P 4 R2

Al propagarse la onda, aumenta su superficie el frente de onda y por tanto disminuye su intensidad. Las expresiones matemáticas que permiten conocer la relación de la intensidad con la amplitud y con la distancia al foco emisor son las siguientes: Si I es proporcional a E y E es proporcional a A2 por tanto I es proporcional a A2 Si I es proporcional a 1/S y S es proporcional a R2 por tanto I es proporcional a 1/R2 Para dos puntos del medio se pueden establecer las siguientes relaciones: I1 /I2 = A12 /A22

I1 /I2 = R22 /R12

A1 /A2 = R2/R1 2) Por absorción. Una onda pierde intensidad por absorción cuando parte de la energía que emite el foco va siendo absorbida por el medio, debido al rozamiento entre las partículas fundamentalmente. x (espesor) I0

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Experimentalmente se demuestra que cuando una onda atraviesa un medio, la perdida de intensidad depende tres factores:   

del espesor del medio de la naturaleza del medio de la intensidad inicial de la onda

Matemáticamente se expresa en forma diferencial como: dI = -Iβdx Separando variables e integrando obtenemos las siguientes relaciones: I

dI I I0

dx 0

[ln I]IoI = -β [x]oe ln I/Io = -βl

I = Io e-βx

Esta última expresión se denomina Ley de Lambert, siendo la representación gráfica de esta función la siguiente:

Intensidad Io

x (espesor)

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3.-Principio de superposición. Cuando dos o más ondas coinciden simultáneamente en un punto del medio en el que se propagan, la perturbación producida en dicho medio es igual a la suma de las perturbaciones que, individualmente e independientemente, originaría en dicho lugar cada una de ellas. 1)

2) 3) 3.1.-Consecuencias del principio de superposición. a) Interferencias. Supongamos que dos ondas con la misma frecuencia (coherentes), amplitud y velocidad de propagación interfieren en un punto P del medio en el que se propagan. A

x1 P B

El estado de perturbación del punto P, será la suma de las perturbaciones producidas por cada onda en ese punto: Y = YA + YB = Asen(wt-kx1)+Asen(wt-kx2) Teniendo en cuenta que sen

Y = 2 A cos k

+ sen β =2 cos

sen

x 2 x1 x1 x 2 sen (wt – k( ) = A’ sen (wt – kd) 2 2

Donde A’ es la amplitud variable del punto P y puede ser: 1)Máxima (interferencia constructiva) cuando: IES “Ojos del Guadiana”

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cos k

x 2 x1 = 2

-1

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x 2 x1 = nπ 2

x2 – x1 = nλ

2)Nula (interferencia destructiva) cuando:

cos k

x 2 x1 x 2 x1 =0;k = (2n+1)π/2 2 2

x2 – x1 = (2n+1)λ/2

b) Ondas estacionarias. Es el resultado de la superposición de dos ondas iguales que se propagan en sentidos opuestos. Las ondas se pueden originar cuando el extremo es libre o cuando el extremo es fijo. 1) Ecuación de una onda estacionaria con extremo libre. Y = A sen (wt + kx)

Y = Acos (wt – kx) Y = A sen (wt + kx) + A sen (wt – kx) Teniendo en cuenta que sen

+ sen β =2 cos

sen

Resulta la siguiente ecuación: Y = 2A cos kx sen wt Que puede indicarse también como Y = A’ sen wt, donde A’ representa la amplitud de la onda estacionaria resultante. Veamos a continuación cuando esta amplitud es máxima o nula.



A’ = 2Acos kx máxima (vientres) IES “Ojos del Guadiana”

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A’ será máxima cuando cos kx =



-1;

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kx = nπ

x = nλ/2

A’ = 2Acos kx nula (nodos)

A’ se anulará cuando cos kx = 0; kx = (2n+1)π/2

x =(2n+1)λ/4

2) Ecuación de una onda estacionaria con extremo fijo. y = Asen(wt+kx)

y = -Asen(wt-kx) La ecuación de la onda estacionaria resultante al superponerse las ondas que viajan en sentidos contrarios es: Y = Asen(wt+kx) -Asen(wt-kx) Si tenemos en cuenta que sen

- sen β =2 sen

cos

Se obtiene la siguiente ecuación Y = 2A sen kx cos wt Que se puede indicar como Y = A’ cos wt, siendo A’ la amplitud de la onda estacionaria resultante. Veamos cuando se hace máxima(vientres) y cuando se anula(nodos). 

A’ máxima (vientres)

Cuando sen kx = +- 1; kx = (2n+1)π/2  A’ nula (nodos)

x = (2n+1)λ/4

Cuando sen kx = 0; kx = nπ

x = nλ/2

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4.-Principio de Huygens. Este principio, que es puramente geométrico, permite construir el frente de ondas en un instante dado, conocido dicho frente en un instante anterior. Su enunciado es el siguiente: “Todo punto de un frente de ondas se convierte en centro emisor de ondas elementales o secundarias que se propagan en todo sentido”.

5.-Reflexión de una onda. Es el cambio de dirección que experimenta una onda cuando incide sobre una superficie reflectante.

Leyes de la reflexión: 1) El rayo de incidencia, la normal y el rayo reflejado están contenidos en un mismo plano. 2) El ángulo de incidencia y de reflexión son iguales. 6.-Refracción de una onda. Es el cambio de dirección que experimenta una onda al pasar oblicuamente de un medio a otro en el que se propaga con diferente velocidad.

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n1< n2 Leyes de la refracción: 1) El rayo de incidencia, la normal y el rayo refractado están contenidos en un mismo plano. 2) La razón entre el seno del ángulo de incidencia y el seno del ángulo de refracción, es para dos medios constante e igual a la razón entre las velocidades v1 y v2 con las que se propagan las ondas en ambos medios. Se define el índice de refracción de un medio como el cociente entre la velocidad de propagación de una onda luminosa en el vacío y la velocidad en ese medio.

seni senr

v1 v2

c n1 c v2

n2 n1

n1 sen i = n2 sen r Se denomina ley de Snell. 7.-Difracción. Fenómeno que consiste en la desviación de la propagación rectilínea de las ondas luminosas cuando chocan o interceptan orificios de tamaño igual o menor al de la longitud de onda.

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8.-Efecto Doppler. Consiste en la variación de la frecuencia percibida por un observador cuando existe un movimiento relativo entre el foco emisor y el observador. Cuando el foco y observador se aproximan la frecuencia percibida aumenta y cuando se alejan disminuye. 9.-Ondas sonoras. 9.1.-Conceptos de onda sonora y sonido. Una onda sonora es una onda longitudinal generada por compresiones y dilataciones del aire. El sonido es un concepto diferente que se produce cuando la onda sonora llega hasta nuestro tímpano, las vibraciones originadas en esta membrana se propagan del oído externo hasta el oído interno a través de la cadena de huesecillos que componen el oído medio. En el oido interno o cóclea los impulsos mecánicos se transforman en impulsos nerviosos que se trasladan hasta nuestro cerebro por el nervio auditivo. En el cerebro percibimos el sonido como sensación sonora.

9.2.-Cualidades del sonido. Las cualidades del sonido son las siguientes: a) Intensidad del sonido (sonoridad). Está relacionada con la intensidad de la onda sonora y con la sensibilidad del oído. Debido a la amplia gama de valores de intensidades sonoras que nuestro oído puede percibir se ha establecido una escala logarítmica para su cuantificación. N(dB) = 10 log IES “Ojos del Guadiana”

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b) Tono. Es la cualidad del sonido que está relacionada con la frecuencia de la onda sonora: Con esta cualidad nos permite distinguir los sonidos agudos (elevada frecuencia) de los sonidos graves (baja frecuencia). Los sonidos que nuestro oído puede distinguir oscilan entre 20 y 20.000 Hz de frecuencia. c) Timbre. Es la cualidad del sonido relacionada con la complejidad de la onda sonora. Permite distinguir sonidos de diferentes instrumentos musicales con el mismo tono e intensidad. 9.3.-Aplicaciones de las ondas sonoras.  



Realización de sondeos Aplicaciones biológicas o Esterilización o Destrucción y localización de tumores o Ecografías Aplicaciones químicas o Activación de reacciones químicas

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