SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES
Ejemplo 1: Resolver el siguiente sistema:
đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś = 4 { 2đ?‘Ľ − đ?‘Ś = 3 El sistema planteado estĂĄ compuesto por dos ecuaciones, cada una de ellas tiene infinitas soluciones. Resolver el sistema consiste en encontrar la soluciĂłn comĂşn a las dos ecuaciones. Resolveremos el sistema trabajando con ecuaciones equivalentes. ÂżCĂłmo se obtienen ecuaciones equivalentes?. Multiplicando a la ecuaciĂłn deseada por un nĂşmero real. Si a la ecuaciĂłn đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś = 4 la multiplicamos por 1, obtenemos una ecuaciĂłn equivalente
(đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś). 1 = 4.1 ↔ đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś = 4 Si a la ecuaciĂłn 2đ?‘Ľ − đ?‘Ś = 3 la multiplicamos por 2, obtenemos una ecuaciĂłn equivalente
(2đ?‘Ľ − đ?‘Ś). 2 = 3.2 ↔ 4đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś = 6 đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś = 4 đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś = 4 es equivalente al sistema { , por lo que ambos 2đ?‘Ľ − đ?‘Ś = 3 4đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś = 6
Entonces el sistema {
tienen el mismo conjunto soluciĂłn. đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś = 4 Trabajaremos entonces con el sistema { 4đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś = 6 ÂżPor quĂŠ? Porque si sumo ambas ecuaciones miembro a miembro puedo despejar una de las incĂłgnitas ya que se anula la otra. đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś = 4 4đ?‘Ľ − 2đ?‘Ś = 6 5đ?‘Ľ + 0đ?‘Ś = 10 5đ?‘Ľ = 10 đ?‘Ľ=
10 5
đ?‘Ľ=2
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Luego de que obtengo el valor de una incĂłgnita sustituyo en una de las ecuaciones del sistema original y calculo la otra. Tomo una de las ecuaciones del sistema y sustituyo đ?‘Ľ por el valor hallado, en este caso đ?‘Ľ = 2. đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś = 4 2 + 2đ?‘Ś = 4 2đ?‘Ś = 4 − 2 2đ?‘Ś = 2 đ?‘Ś=
2 2
đ?‘Ś=1
VerificaciĂłn: Con los valores hallados de đ?‘Ľ đ?‘’ đ?‘Ś (đ?‘Ľ = 2 đ?‘’ đ?‘Ś = 1) verifico en el sistema original: đ?‘Ľ + 2đ?‘Ś = 4 2 + 2.1 = 4 2+2=4 4=4 { →{ →{ →{ 2đ?‘Ľ − đ?‘Ś = 3 2.2 − 1 = 3 4−1=3 3=3
SoluciĂłn: {(2 , 1)}
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Ejemplo 2: Resolver el siguiente sistema de ecuaciones: {
−8đ?‘Ľ + 3đ?‘Ś = −2 7đ?‘Ľ + 4đ?‘Ś = 15
Multiplico la primer ecuaciĂłn por 4 y la segunda por −3. −8đ?‘Ľ + 3đ?‘Ś = −2 đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x; 4 { 7đ?‘Ľ + 4đ?‘Ś = 15 đ?‘?đ?‘œđ?‘&#x; − 3 Entonces obtengo el siguiente sistema equivalente: −32đ?‘Ľ + 12đ?‘Ś = −8 { −21đ?‘Ľ − 12đ?‘Ś = −45 Sumo ambas ecuaciones: −32đ?‘Ľ + 12đ?‘Ś = −8 −21đ?‘Ľ − 12đ?‘Ś = −45 −53đ?‘Ľ + 0đ?‘Ś = −53 −53đ?‘Ľ = −53
đ?‘Ľ=
−53 −53
đ?‘Ľ=1 Sustituyo đ?‘Ľ en una de las ecuaciones del sistema y despejo đ?‘Ś −32đ?‘Ľ + 12đ?‘Ś = −8 −32.1 + 12đ?‘Ś = −8 −32 + 12đ?‘Ś = −8 12đ?‘Ś = 32 − 8 12đ?‘Ś = 24 đ?‘Ś=
24 12
đ?‘Ś=2
SoluciĂłn: {(1 , 2)}
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