B΄ ΤΕΥΧΟΣ
ΜΑΘΗΜΑΤΙΚΑ ΓΕΝΙΚΗΣ ΠΑΙ∆ΕΙΑΣ γ΄ λυκείου ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ
κεφάλαιο
3
Πιθανότητες
3.ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 3.1 3.1.1
Στοιχεία από τα σύνολα
Η έννοια του συνόλου
Σύμφωνα με τον G. Cantor, ο οποίος θεωρείται θεμελιωτής της θεωρίας των συνόλων, Σύνολο είναι κάθε συλλογή αντικειμένων, τα οποία προέρχονται από την εμπειρία μας ή τη σκέψη μας, ξεχωρίζουν το ένα από το άλλο και είναι καλά ορισμένα, δηλαδή αναγνωρίζονται με σιγουριά. π. χ Οι ακέραιοι αριθμοί από το 0 μέχρι και το 9 αποτελούν ένα σύνολο, οι τίτλοι των βιβλίων της βιβλιοθήκης μας αποτελούν ένα σύνολο, ενώ τα ωραία τραγούδια δεν αποτελούν σύνολο, γιατί δεν είναι τα ίδια για όλους μας και επομένως δεν αναγνωρίζονται με σιγουριά. Τα αντικείμενα που περιέχονται (ανήκουν) σε ένα σύνολο, τα λέμε στοιχεία του συνόλου και τα συμβολίζουμε συνήθως με μικρά γράμματα, ενώ τα σύνολα τα συμβολίζουμε με κεφαλαία γράμματα του Ελληνικού ή Λατινικού αλφάβητου. π. χ το σύνολο Α περιέχει τα στοιχεία α, β, γ, … Ακόμη: Με το γράμμα συμβολίζουμε το σύνολο των φυσικών αριθμών, με το συμβολίζουμε το σύνολο των ακέραιων αριθμών, με το συμβολίζουμε το σύνολο των ρητών αριθμών και με το συμβολίζουμε το σύνολο των πραγματικών αριθμών. .
Για να δηλώσουμε ότι το α είναι στοιχείο του συνόλου Α, γράφουμε α Α και διαβάζουμε « το α ανήκει ή περιέχεται στο Α », για να δηλώσουμε ότι το α δεν είναι στοιχείο του συνόλου Α, γράφουμε α Α και διαβάζουμε « το α δεν ανήκει ή δεν περιέχεται στο Α ». 2 3 π. χ 2 , , , 3 , 2 , 1.525252... . 3 4
Παράσταση συνόλου Για να παραστήσουμε ένα σύνολο χρησιμοποιούμε έναν από τους παρακάτω δυο τρόπους: α) Αναγραφή είναι ο τρόπος σύμφωνα με τον οποίο, γράφουμε όλα τα στοιχεία του συνόλου χωρίζοντάς τα με κόμμα, και τα κλείνουμε ανάμεσα σε δυο άγκιστρα. Η παράσταση του συνόλου με αναγραφή των στοιχείων του χρησιμοποιείται συνήθως, όταν ξέρουμε τα στοιχεία του συνόλου και είναι λίγα σε πλήθος. π. χ Αν το σύνολο Α έχει ως στοιχεία τα α, β, γ, τότε γράφουμε: Α = {α, β, γ }. Ο τρόπος της αναγραφής χρησιμοποιείται και όταν τα στοιχεία του συνόλου είναι πολλά ή άπειρα σε πλήθος. Στην περίπτωση αυτή γράφουμε μερικά στοιχεία του συνόλου, ενώ στη θέση των υπολοίπων που έχουμε παραλείψει γράφουμε τρεις τελείες. Βέβαια, για να χρησιμοποιήσουμε αυτόν τον τρόπο, πρέπει να είναι σαφές ποια στοιχεία έχουμε παραλείψει. π. χ i) οι φυσικοί αριθμοί γράφονται = {0, 1, 2, … }, ενώ * = {1, 2, … } και τα γράμματα του Ελληνικού αλφάβητου {α, β, γ, … , ω}. ii) Το σύνολο των θετικών ακεραίων αριθμών που είναι μικρότεροι του 100 και πολλαπλάσια του 5 συμβολίζεται με: Α = {5, 10, 15, … ,95}, ενώ το σύνολο όλων των θετικών ακέραιων που είναι πολλαπλάσια του 5 συμβολίζεται με: Α = {5, 10, 15, … }. Είναι φανερό ότι το σύνολο των ρητών αριθμών και το σύνολο των πραγματικών αριθμών δεν μπορούν να παρασταθούν με αναγραφή. Δηλαδή, υπάρχουν σύνολα που δεν μπορούν να παρασταθούν με αναγραφή. β) Περιγραφή είναι ο τρόπος σύμφωνα με τον οποίο, από ένα σύνολο Ω επιλέγουμε όλα τα στοιχεία του, που αυτά και μόνο έχουν μια ορισμένη ιδιότητα Ι. Με τα επιλεγμένα στοιχεία φτιάχνουμε ένα νέο
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
199
θα ανήκει στο Ω. Γι’ αυτό το Ω λέγεται βέβαιο ενδεχόμενο. Αντιθέτως, το ενδεχόμενο δεν πραγματοποιείται σε καμιά εκτέλεση του πειράματος τύχης. Γι’ αυτό λέμε ότι το είναι το αδύνατο ενδεχόμενο. Το πλήθος των στοιχείων ενός ενδεχομένου Α ή αλλιώς το πλήθος των ευνοϊκών περιπτώσεων του Α συμβολίζεται με Ν(Α). Έτσι, αν {1, 2,3, 4,5,6} και {2, 4,6} έχουμε ( ) 3 , () 6 και () 0 .
3.2.4
Πράξεις με ενδεχόμενα
Στα προηγούμενα είδαμε ότι τα ενδεχόμενα είναι υποσύνολα του δειγματικού χώρου Ω. Επομένως η χρήση των συνόλων για την περιγραφή των ενδεχομένων μας επιτρέπει να εκφράσουμε τις πράξεις μεταξύ των ενδεχομένων με τις γνωστές πράξεις μεταξύ των συνόλων και μάλιστα με τους ίδιους συμβολισμούς. Έτσι, αν Α και Β είναι δύο ενδεχόμενα, έχουμε: AB
Το ενδεχόμενο , που διαβάζεται «Α τομή Β» ή «Α και Β» και πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιούνται ταυτόχρονα τα ενδεχόμενα Α και Β.
Α Β Ω
π. χ Στη ρίψη ενός ζαριού, το ενδεχόμενο να φέρουμε αριθμό μικρότερο του 4 είναι {1, 2,3} , ενώ το ενδεχόμενο να φέρουμε περιττό είναι {1,3,5} . Το ενδεχόμενο να φέρουμε περιττό και μικρότερο του 4 είναι το = {1, 3} και πραγματοποιείται όταν φέρουμε 1 ή 3. Το ενδεχόμενο , που διαβάζεται «Α ένωση Β» ή «Α ή Β» και πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιούνται ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Α και Β. π. χ Στη ρίψη ενός ζαριού το ενδεχόμενο να φέρουμε αριθμό περιττό ή μικρότερο του 4 είναι το = {1, 2, 3, 5} και πραγματοποιείται όταν φέρουμε 1 ή 2 ή 3 ή 5.
AB Β
Α Ω
Το ενδεχόμενο , που διαβάζεται «συμπληρωματικό του Α» ή «αντίθετο του Α» ή «όχι Α» και πραγματοποιείται, όταν δεν πραγματοποιείται το ενδεχόμενο Α.
Α΄
Α
Τα ενδεχόμενα Α και Α΄ λέγονται συμπληρωματικά. Γενικά: Δύο ενδεχόμενα Α και Β είναι συμπληρωματικά, όταν ισχύουν συγχρόνως και . π. χ Στη ρίψη ενός ζαριού το ενδεχόμενο να μη φέρουμε αριθμό περιττό είναι το συμπληρωματικό του Β, δηλαδή {2, 4, 6} και πραγματοποιείται όταν φέρουμε 2 ή 4 ή 6. Το ενδεχόμενο , που διαβάζεται «διαφορά του Β από το Α» ή «Α και όχι Β» και πραγματοποιείται, όταν πραγματοποιείται το Α αλλά όχι το Β. Είναι εύκολο να δούμε ότι .
AB Α
Β
Ω
π. χ Στη ρίψη ενός ζαριού το ενδεχόμενο να φέρουμε αριθμό μικρότερο του 4, αλλά όχι περιττό είναι το είναι {2} και πραγματοποιείται όταν φέρουμε 2.
3.2.5
Ασυμβίβαστα ενδεχόμενα
Δύο ενδεχόμενα Α και Β λέγονται ασυμβίβαστα ή ξένα ή αμοιβαίως αποκλειόμενα, όταν δεν έχουν κανένα κοινό στοιχείο, δηλαδή όταν A B .
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
205
Δ: Και τα δύο ζάρια φέρνουν άρτια ένδειξη. Ε: Το πρώτο ζάρι φέρνει περιττή ένδειξη. Ζ: Μόνο το δεύτερο ζάρι φέρνει άρτια ένδειξη. Η: Μόνο το ένα ζάρι φέρνει άρτια ένδειξη. Θ: Και τα δύο ζάρια φέρνουν περιττή ένδειξη. Ι: Ένα τουλάχιστον ζάρι φέρνει περιττή ένδειξη. 15. Να γράψετε με τη βοήθεια των πράξεων των συνόλων το ενδεχόμενο που παριστάνει το σκιασμένο εμβαδόν σε καθένα από τα παρακάτω διαγράμματα Venn. Α
Β (α)
Ω
Α
Β
Α (β)
Ω
Β
(γ)
16. Αν Α και Β είναι ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, να αποδείξετε ότι: Αν A B , τότε B A .
17. Να αντιστοιχίσετε τα διαγράμματα με τις σχέσεις:
1) (A B) , 2) ( ) ( ) ( ) , 4) [( ) ( ) ( )] , 5) A B , Α
(α) Α
(δ)
Β
Β Γ
Α
Α
(β)
Γ
Α
(ε)
3) A B ,
Β
(γ)
Γ Β Γ
Β Γ
Ω
232
οπότε f (x)
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
2(4x 5) 2(4x 5) 3 3 και lim f (x) lim 2 . Άρα ( ) . 2 x 2 x 2 4 4 x 4 x 4
─∙─ 2(4x 5) 3 η f έχει τύπο f (x) 2 για κάθε x . 4 x 4 2 2(4x 5) 2 4(2x 3) Έχουμε: g(x) f (x) 2 2 g(x) 2 . 2 x 4 x 4 x 4 x 4 8(x 2 4) 8x(2x 3) 8(x 2 3x 4) 8(x 4)(x 1) Είναι: g(x) . (x 2 4) 2 (x 2 4) 2 (x 2 4) 2
β) Για την τιμή ( )
Επειδή (x 2 4) 2 0 για κάθε x , το πρόσημο της g(x) εξαρτάται από το πρόσημο της παράστασης 8(x 4)(x 1) . Από το διπλανό πίνακα μεταβολών παρατηρούμε ότι η g παρουσιάζει ελάχιστο για x = –1 που είναι ίσο με g(–1) = – 4 και μέγιστο για x = 4 που είναι ίσο με g(4) = 1. Άρα τα τοπικά ακρότατα της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g είναι τα σημεία Α(–1, –4) και Β(4, 1).
–1
x
g g
+
4 +
─∙─ 3 4
1 2
γ) i) Έστω ότι τα Α, Β είναι ασυμβίβαστα Τότε θα ισχύει: ( ) ( ) () Δηλαδή έχουμε ( ) 1 , πράγμα αδύνατο. Άρα τα Α, Β δεν είναι ασυμβίβαστα.
5 1. 4
3 4
ii) Ισχύει , οπότε ( ) ( ) ή P(A B) . 1 . (1) 2 Από τον προσθετικό νόμο των πιθανοτήτων έχουμε : 3 1 ( ) ( ) ( ) ( ) ή ( ) ( ) . 4 2 5 1 Όμως ( ) 1 , οπότε ( ) 1 ( ) . (2) 4 4 1 1 Από τις (1) και (2) προκύπτει ότι P(A B) . 4 2
iii) Ισχύουν , οπότε ( ) ()
34. Αν Α, Β
είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω και ισχύει P(A B)
να αποδείξετε ότι P(A) P(B) .
P(A) P(B) , 2
Λύση P(A) P(B) γράφεται ισοδύναμα: 2 2P(A B) P(A) P(B) P(A) P(B) 2P(A B) 0 P(A) P(A B) P(B) P(A B) 0 P(A B) P(B ) 0 . (1) Γνωρίζουμε ότι P(A B) 0 P(B ) 0 , οπότε αφού ισχύει η (1) θα είναι P(A B) 0 P(B ) 0 . Επειδή Ρ(Α – Β) = 0 το ενδεχόμενο Α – Β είναι αδύνατο. Δηλαδή το σύνολο Α – Β είναι το κενό και επειδή τα Α, Β έχουν στοιχεία θα είναι . Ομοίως συμπεραίνουμε ότι . Αφού και θα είναι Α = Β, οπότε P(A) P(B) .
Η ισότητα P(A B)
35.
Έστω Α, Β δυο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω ο οποίος έχει 1000 στοιχεία. Αν το ενδεχόμενο Β έχει 640 στοιχεία και για την πιθανότητα του ενδεχομένου Α ισχύουν 0 < Ρ(Α) < 1 και
ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ
235
δ) Ισχύει , οπότε ( ) ( ) και επειδή 0 ( ) ( ) 1 e , θα είναι 1 ln 1 f (( )) f (( )) f ( ) f (( )) e e . 1 e e
3.3.6
Ασκήσεις
1. Να χαρακτηρίσετε σωστές ή λάθος τις παρακάτω προτάσεις.
α) Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω, τότε ισχύει P(A) P(A) 1 . β) Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα ενός πειράματος τύχης με δειγματικό χώρο Ω, τότε ισχύει
(B A) (B A) (A B) γ) Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος τύχης ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται κ φορές, τότε ο λόγος f A λέγεται σχετική συχνότητα του ενδεχομένου. δ) Αν A B τότε P(A) P(B) 1 . ε) Αν P(A) P(A) τότε 2P(A) P() . στ) Όταν ζητάμε την πιθανότητα να μη πραγματοποιείται κανένα από τα ενδεχόμενα Α, Β είναι το ίδιο με το να ζητάμε την πιθανότητα [( )] . ζ) Ισχύει ( ) ( ) () . η) Ισχύει η ισοδυναμία ( ) () . θ) Αν , τότε ( ) () . ι) Αν , τότε ( ) ( ) . ια) Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω, τότε μπορεί να ισχύει P(A) P() 1 . 1 ιβ) Αν {1 , 2 ,..., } , με i απλά ενδεχόμενα , τότε (i ) , για κάθε i 1, 2,..., . ιγ) Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω και ( ) () 1 τότε τα Α, Β είναι πάντοτε ασυμβίβαστα. ιδ) Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω, τότε ( ) ( ) 0 . ιε) Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω και , τότε ( ) () . 1 3 ιστ) Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω, () και ( ) , τότε τα Α, Β 3 4 είναι ασυμβίβαστα. 1 3 ιζ) Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω, () και ( ) , τότε η μικρότερη 3 4 3 τιμή που μπορεί να πάρει η ( ) είναι . 4 1 3 ιη) Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω, () και ( ) , τότε η 3 4 1 μεγαλύτερη τιμή που μπορεί να πάρει η ( ) είναι . 3 ιθ) Αν Α, Β είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω, τότε ισχύει ( ) ( ) . κ) Αν ( ) () , τότε . κα) Αν , τότε ( ) () . κβ) Αν ( ) () 1 , τότε . κγ) Αν ( ) (A ) , τότε τα Α, Β δεν είναι ασυμβίβαστα. κδ) Το άθροισμα των ενδείξεων στη ρίψη δύο ζαριών είναι ένας από τους αριθμούς 2,3,4, …, 12. Άρα 1 καθένα από τα ενδεχόμενα αυτά έχει πιθανότητα . 11 2. Στα παρακάτω να κυκλώσετε το σωστό. α) Αν η πιθανότητα πραγματοποίησης ενός ενδεχομένου είναι 0,3, τότε η πιθανότητα της μη πραγματοποίησής του ενδεχομένου αυτού είναι: α) 0,1 β) 0,9 γ) 0,7 δ) 1,3 ε) 0,3.
4.ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ 4.1 4.1.1
Διαφορικός λογισμός
Ερωτήσεις θεωρίας
1. α) Δώστε τους ορισμούς: i) Συνάρτηση,
ii) άθροισμα συναρτήσεων,
iii) πηλίκο συναρτήσεων,
iv) γραφική παράσταση συνάρτησης, v) εξίσωση γραφικής παράστασης. β) Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση είναι πραγματική; γ) Τι κάνουμε για να βρούμε το πεδίο ορισμού μιας συνάρτησης; δ) Ποια είναι η ανεξάρτητη και ποια η εξαρτημένη μεταβλητή; ε) Αν φέρουμε μια παράλληλη προς τον άξονα y΄y σε πόσα το πολύ σημεία μπορεί να τέμνει τη γραφική
παράσταση μιας συνάρτησης; στ) Πότε λέμε ότι μια συνάρτηση είναι ορισμένη; ζ) Όταν γράφουμε f (x) 2x 2 3 και f () 22 3 εννοούμε την ίδια συνάρτηση ή διαφορετικές; η) Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης μπορεί να τέμνει τον κατακόρυφο άξονα σε τρία σημεία; θ) Η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης μπορεί να μην τέμνει τον οριζόντιο άξονα; Δείξτε την απάντησή σας με σχήμα. ι) Πως βρίσκουμε τα σημεία που η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης τέμνει τους άξονες; ια) Τι σημαίνει όταν λέμε ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται κάτω από τον άξονα x΄x, και τι ότι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f βρίσκεται πάνω από τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g; ιβ) Σχεδιάστε πρόχειρα τις γραφικές παραστάσεις των συναρτήσεων: f (x) 2x 4 , f (x) 2x 2 , 3 f (x) , f (x) e x , f (x) ln x , f (x) x , f (x) x . x 2. α) Δώστε τους ορισμούς: i) γνησίως φθίνουσα συνάρτηση, ii) τοπικό μέγιστο συνάρτησης, iii) ολικό ελάχιστο, iv) ακρότατα συνάρτησης. β) Πότε η συνάρτηση f (x) x , 0 είναι γνησίως φθίνουσα; γ) Σε πόσα το πολύ σημεία τέμνει η γραφική παράσταση μιας γνησίως μονότονης συνάρτησης τον οριζόντιο άξονα; δ) Αν μια συνάρτηση f είναι γνησίως φθίνουσα, τότε η εξίσωση f(x) = 0 μπορεί να έχει 3 πραγματικές ρίζες διαφορετικές; ε) Ένα τοπικό μέγιστο είναι ή μπορεί να είναι και ολικό; στ) Ένα ολικό μέγιστο είναι οπωσδήποτε και τοπικό; ζ) Όταν για ένα τοπικό μέγιστο έχουμε f(2) = 5, τότε λέμε ότι η f παρουσιάζει τοπικό μέγιστο στο 5, ή το μέγιστο είναι 5; η) Είναι δυνατόν ένα τοπικό ελάχιστο να είναι μεγαλύτερο από ένα τοπικό μέγιστο; Δείξτε το με σχήμα. 3. α) Δώστε τους ορισμούς: i) Συνεχής συνάρτηση σε ένα σημείο x0, ii) συνεχής συνάρτηση. β) Αν η f ορίζεται στο (0, 1,999) (2,001, 4), τότε μπορούμε να αναζητήσουμε το όριο της f στο 2; x2 1 x2 1 γ) Βρείτε χωρίς χαρτί και μολύβι τα: lim , lim , lim x 3 , lim 1 . x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 δ) Αν lim f (x) 3 και lim(f (x) g(x)) 4 , πόσο είναι το lim g(x) ; x 2
x 2
x 2
ε) Αν lim(f (x) g(x)) 10 , τότε ποιο από τα παρακάτω είναι πιο σωστό: lim f (x) 5 και lim g(x) 2 x 2
x 2
ή lim f (x) 10 και lim g(x) 1 ; x 2
x 2
x 2
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
251
f (x) 0 για κάθε x (5, 7) , τότε η f είναι γνησίως φθίνουσα στο (2, 7); ε) Αν f (4) 0 , αυτό σημαίνει ότι στο 4 η f παρουσιάζει ακρότατο; στ) Αν f (x) 0 για κάθε x που ανήκει σε ένα διάστημα (α, β), τότε υπάρχει περίπτωση η f να έχει ακρότατο στο (α, β); ζ) Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη και παραγωγίσιμη στο διάστημα (1, 5) και ισχύει f (x) 0 για κάθε x (1, 3) και f (x) 0 για κάθε x (3, 5) , πότε η f θα είναι γνησίως φθίνουσα στο (1, 5); η) Υπάρχει περίπτωση μια παράγωγος να είναι παντού θετική σε ένα διάστημα (α, β) εκτός από ένα εσωτερικό σημείο του (α, β) στο οποίο να είναι μηδέν; θ) Αν μια συνάρτηση f που είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα (α, β) παρουσιάζει ακρότατο σε ένα σημείο x 0 (α, β) , τότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f στο σημείο (x 0 , f (x 0 )) τι συντελεστή διεύθυνσης έχει; ι) Τι ενέργειες κάνουμε για να βρούμε τα ακρότατα μιας παραγωγίσιμης συνάρτησης;
4.1.2
Ασκήσεις
(2 1)x με x 0 και 3 . x α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(1,f(1)). β) Να αποδείξετε ότι το εμβαδόν του τριγώνου που σχηματίζεται από την ευθεία (ε) και τους άξονες x΄x, 16 y΄y είναι το λιγότερο τ.μ. 9 γ) Θεωρούμε τη συνάρτηση g(x) (OM) 2 , όπου Μ τυχαίο σημείο (x,f (x)) της γραφικής παράστασης της f και Ο η αρχή των αξόνων. Να βρείτε την τιμή του κ για την οποία ο ρυθμός μεταβολής της g, όταν x 1 γίνεται ελάχιστος. 2. Έστω μια συνάρτηση f παραγωγίσιμη στο και μια συνάρτηση g για την οποία ισχύει g(x) 3f (x) 2e x 1 ημ(x 1) για κάθε x . (1) Αν η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της g στο σημείο της Α(1, 1) είναι παράλληλη της ευθείας 7x y 2 , τότε: α) Να βρείτε την εξίσωση της εφαπτομένης (ε) της γραφικής παράστασης της f στο σημείο Α(1,f(1)). f (x) xe x 1 1 e x 1 β) Να βρείτε το lim . x 1 x2 1 γ) Αν για την f ισχύει επί πλέον ότι f (x) e x 1 κx λ για κάθε x , τότε:
1. Δίνεται η συνάρτηση
f (x) 6x ln x
e3 για κάθε x . 27 iii) Να αποδείξετε ότι για κάθε x 1 3ln 2 η g είναι γνησίως φθίνουσα. 3. Η συνάρτηση θέσης ενός κινητού που εκτελεί ευθύγραμμη κίνηση είναι x(t) t(t 6) 2 , όπου το t εκφράζεται σε δευτερόλεπτα και το x σε μέτρα. i) Να βρείτε την ταχύτητα του κινητού σε χρόνο t και κατόπιν την ταχύτητά του σε 3 δευτερόλεπτα. ii) Υπάρχουν στιγμές που το κινητό μένει ακίνητο; iii) Να βρείτε πότε το κινητό κινείται στη θετική και πότε στην αρνητική κατεύθυνση. iv) Να βρείτε το ολικό διάστημα που έχει διανύσει το κινητό στο χρονικό διάστημα [0, 8]. v) Να βρείτε την επιτάχυνση του κινητού σε χρόνο t και κατόπιν σε 7 δευτερόλεπτα 4. Δίνεται η συνάρτηση f (x) αx 3 βx 2 12x 2α , x . α) Αν η γραφική παράσταση της f εφάπτεται του x΄x στο Α(2, 0), να δείξετε ότι α = –2 και β = 9. β) Αν α = –2 και β = 9, τότε: i) Nα μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. ii) Να βρείτε πότε η εφαπτομένη της γραφικής παράστασης της f έχει τον μέγιστο συντελεστή διεύθυνf (x) σης και ποια είναι τότε η τιμή του. iii) Να βρείτε το lim . 1 4x 7 3 x
i) Nα υπολογίσετε τα κ, λ , ii) Να αποδείξετε ότι f (x) ln
2
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
255
2 ti 1 2 i 1 2 2 2 2 ιβ) Από τον τύπο s t i (31) να αποδείξετε τον τύπο s (x ) (x) . (32) i 1
ιγ) Από τον τύπο s 2
1 2 2 (33) να αποδείξετε τον τύπο (x x) s i (x i x)2 fi . (35) i i 1 i 1
ιδ) Πότε χρησιμοποιείται ο τύπος s 2
1 1 (t i x) 2 (29), πότε οι (31), (32), (33), s 2 x i2 i (x) 2 i 1
(34), (35) και s 2 x i2 f i (x) 2 (36); i 1
ιε) Τι εκφράζει η τυπική απόκλιση; ιστ) Είναι σωστό ή λάθος ότι το εύρος προσφέρεται σε αλγεβρικούς υπολογισμούς και έτσι
χρησιμοποιείται πολύ στη στατιστική συμπερασματολογία; ιζ) Στη διασπορά ή στο εύρος χρησιμοποιούνται όλες οι παρατηρήσεις; ιη) Να αναφέρετε ένα μειονέκτημα της διακύμανσης και της τυπικής απόκλισης. 10. α) Σε μια κανονική κατανομή βρείτε τα διαστήματα που αναφέρεται: το 68% των παρατηρήσεων, το 99,7%, το 34%, το 2,35%, το 95%, το 13,5%. β) Σε μια κανονική κατανομή βρείτε τα διαστήματα που αναφέρεται: το πολύ το 0, 15% των παρατηρήσεων, τουλάχιστον το 16%, το πολύ το 16%, το πολύ το 84%, τουλάχιστον το 97,5%. γ) Σε μια κανονική κατανομή βρείτε τα ποσοστά που αναφέρονται στα διαστήματα: το πολύ x 2s , τουλάχι-στον x s , στο (x 3s, x 2s) , στο (x 2s, x 3s) , το πολύ x 3s , στο (x 2s, x 2s) , τουλάχιστον x 3s , το πολύ x 2s , τουλάχιστον x 3s , στο (x, x s) , στο (x s, x s) . 11. α) Δώστε τον ορισμό του συντελεστή μεταβολής β) Τι εκφράζει ο συντελεστής μεταβολής; γ) Πότε ένα δείγμα θεωρείται ομοιογενές; δ) Πότε ένα δείγμα Α έχει μικρότερη ομοιογένεια από ένα δείγμα Β; 12. Έστω x1 , x 2 ,..., x ν το πλήθος παρατηρήσεις με μέση τιμή x , διάμεσο δ και τυπική απόκλιση s. Πόση είναι η μέση τιμή , η διάμεσος και η τυπική απόκλιση των παρατηρήσεων yi 5x i 4 , i 1, 2,..., ν ;
4.2.2
Ασκήσεις
1.Έχουμε τις παρατηρήσεις 1, 2, 3, 4, 5 με συχνότητες αντίστοιχα
ν1 , ν 2 , ν 3 , ν 4 , ν 5 και μέση τιμή όλων των παρατηρήσεων 3. Να αποδείξετε ότι η μέση τιμή δεν θα αλλάξει, αν σε κάθε συχνότητα προστεθεί μια ακόμα παρατήρηση. 2. Ένα δείγμα μεγέθους 200 έχει μέση τιμή 12. Ένα άλλο δείγμα μεγέθους μεγαλύτερο του πρώτου κατά 25% έχει μέση τιμή κατά 2 μονάδες μεγαλύτερη της μέσης τιμής του πρώτου. Να βρεθεί η μέση τιμή των δύο δειγμάτων μαζί. 3. Από κάποια στοιχεία ενός δείγματος αφαιρούμε τον αριθμό 5, ενώ στα υπόλοιπα προσθέτουμε τον αριθμό 3. Αν το πλήθος του δείγματος είναι 100 και η μέση τιμή του δείγματος αυξήθηκε κατά 1 μονάδα, να βρείτε σε πόσα στοιχεία προσθέσαμε το 3 και από πόσα αφαιρέσαμε το 5. 4. Η μεταβλητή Χ σε ένα δείγμα μεγέθους ν παίρνει τιμές x1 , x 2 ,..., xκ με κ < ν. Δεχόμαστε ότι το δείγμα ακολουθεί περίπου την κανονική κατανομή με μέση τιμή x και s x τυπική απόκλιση. Γνωρίζουμε ότι το 84% του δείγματος παίρνει τιμές μεγαλύτερες του 18, το 2,5% του δείγματος παίρνει τιμές μεγαλύτερες του 24 και ότι
ισχύει
2
κ 2 2 2 ν 40.400 . α) Να αποδείξετε ότι i) x x i ν i ν (x) , ii) i i i 1 i 1 κ
κ
x i2 ν i ν[s 2x (x) 2 ] . i 1
260
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
4.3 4.3.1
Πιθανότητες
Ερωτήσεις θεωρίας
1. α) Ποιους τρόπους έχουμε για να παραστήσουμε ένα σύνολο; χρησιμοποιούμε έναν από τους παρακάτω δυο τρόπους
β) Υπάρχουν σύνολα που δεν μπορούν να παρασταθούν με αναγραφής; Αν ναι, δώστε παράδειγμα. γ) Δώστε τους ορισμούς: i) Ίσα σύνολα, ii) Κενό σύνολο, iii) Υποσύνολο, iv) Βασικό σύνολο. δ) Τι είναι τα διαγράμματα του Venn; ε) Ποιες ιδιότητες ισχύουν για τα υποσύνολα; στ) Δώστε τους ορισμούς: i) Τομή συνόλων, ii) Ένωση, iii) Συμπλήρωμα, iv) Διαφορά. ζ) Με διαγράμματα του Venn να παραστήσετε τα σύνολα: i) (A B) (B A) , ii) (A B) B . στ) Συμπληρώστε τις σχέσεις: i) (A B) (B A) , ii) A B A B , iii) A B A B iv) (A B) (A B) (B A) , v) (A B) (A B) . 2. α) Δώστε τους ορισμούς: i) αιτιοκρατικό πείραμα, ii) πείραμα τύχης, iii) δυνατό αποτέλεσμα, iv) δειγματικός χώρος. β) Δώστε τους ορισμούς: i) ενδεχόμενο, ii) απλό και σύνθετο ενδεχόμενο, iii) βέβαιο και αδύνατο ενδεχόμενο. γ) Τι σχέση μπορεί να έχει ένα ενδεχόμενο με ένα δειγματικό χώρο; δ) Ένα ενδεχόμενο μπορεί να ταυτίζεται με ένα δειγματικό χώρο; ε) Το κενό σύνολο είναι ενδεχόμενο κάποιου δειγματικού χώρου Ω; στ) Τι σημαίνει η φράση: Το ενδεχόμενο πραγματοποιείται. ζ) Υπάρχει στις πιθανότητες διαφορά ανάμεσα στις λέξεις «συμβαίνει» και «πραγματοποιείται». η) Πως λέγονται τα στοιχεία ενός ενδεχομένου; θ) Πως συμβολίζεται το πλήθος των στοιχείων ενός ενδεχομένου; ι) Αν Ω είναι ο δειγματικός χώρος και Α ένα ενδεχόμενό του, ποιο είναι σωστό από τα: Α = Ω, A , A , , , ; ια) Το είναι βέβαιο ενδεχόμενο; 2. α) Να ορίσετε όλες τις πράξεις με ενδεχόμενα και να τις παραστήσετε με διαγράμματα του Venn. β) Να συμπληρώσετε τον πίνακα. Το ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται (ή )
Ένα τουλάχιστον από τα Α και Β πραγματοποιείται
Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β (ή )
Η πραγματοποίηση του Α συνεπάγεται και την πραγματοποίηση του Β ω ( ) ( )
γ) Πότε δυο ενδεχόμενα είναι ασυμβίβαστα; δ) Όταν δυο ενδεχόμενα είναι συμπληρωματικά ποιες σχέσεις ισχύουν; ε) Όταν λέμε ασυμβίβαστα ενδεχόμενα και αμοιβαίως αποκλειόμενα ενδεχόμενα εννοούμε το ίδιο πράγμα ή όχι; στ) Ποια ζευγάρια από τα ενδεχόμενα Α – Β, A B και Β – Α είναι ασυμβίβαστα; 3. α) Δώστε τους ορισμούς: i) σχετική συχνότητα ενδεχομένου, ii) στατιστική ομαλότητα. β) Να αποδείξετε ότι 0 fi 1 , i 1, 2,...,λ και f1 f 2 ... f 1 .
262
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
α) Την τιμή του α. β) Την πιθανότητα του ενδεχομένου A {x / x ά } . γ) Την πιθανότητα του ενδεχομένου {x / x .5} . δ) Την πιθανότητα να είναι περιττός, αλλά όχι πολλαπλάσιο του 5.
5.
Έστω {4, 3,..., 5} ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης. Για τις πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων του Ω ισχύει ότι οι πιθανότητες των περιττών απλών ενδεχομένων, δηλαδή των –3, –1, 1, 3, 5 είναι μεταξύ τους ίσες, οι πιθανότητες των άρτιων απλών ενδεχομένων είναι ίσες 1 4 μεταξύ τους, η πιθανότητα του 0 είναι και η πιθανότητα του 1 είναι τα της πιθανότητας του 4. 5 5 Α. Βρείτε τις πιθανότητες των στοιχειωδών ενδεχομένων του Ω. 2
Β. Έστω η συνάρτηση f (x) e x ex , x , και τα ενδεχόμενα { / f (0) 12} , { / f (0) ( 1)f (0) 6( 2 1) 0} . α) Να παρασταθούν με αναγραφή τα ενδεχόμενα Α και Β και να βρεθεί η πιθανότητα καθενός. β) Να βρεθούν οι πιθανότητες των ενδεχομένων: i) Να συμβαίνει το Α και να μη συμβαίνει το Β. ii) Να συμβαίνει ένα μόνο από τα Α και Β. iii) Να μη συμβαίνει κανένα από τα Α και Β. γ) Για μ = 2 να μελετήσετε τη μονοτονία της f και να αποδείξετε ότι 4f (x) 1 0 , για κάθε x . (ν 2) x x 2 2x x και g(x) , όπου ν είναι ένας θετικός x 3 x 2 1 ακέραιος, με ν 2. Δίνεται ακόμη ο δειγματικός χώρος {2, 4,6,..., 2 ν} , ν ενός πειράματος τύχης με Ρ(2), Ρ(4), Ρ(6), …, Ρ(2ν) πιθανότητες των απλών ενδεχομένων του. α) Να βρείτε τα πεδία ορισμού των f, g. β) Να βρείτε το lim f (x)
6. Δίνονται
οι συναρτήσεις f (x)
x 3
γ) Να προσδιορίσετε το δειγματικό χώρο του πειράματος, όταν η εφαπτομένη της γραφικής παρά-
στασης της συνάρτησης h(x) f (x)g(x) στο σημείο της Α(4, h(4)) διέρχεται από το σημείο Β(5, 1). δ) Να βρείτε τη σχέση που ισχύει μεταξύ των Ρ(2) και Ρ(4) ώστε να είναι συνεχής η συνάρτηση f (x), x [2,3) (3, ) (x) 3 . x 3 [P(2) 4P(4)], 4 ε) Αν είναι γνωστό ότι η εξίσωση ω2 λω 12(2)(4) 0, λ έχει ρίζες δυο αντίστροφους πραγματικούς αριθμούς, να βρείτε τις πιθανότητες όλων των απλών ενδεχομένων του Ω. 3 7. Δίνεται το σύνολο των αριθμών { x 8 , 3x 2 7, 5, 5, 5 x, 9 6ln x} , x > 0. 3 α) Να βρείτε για ποια τιμή του x η μέση τιμή των παραπάνω αριθμών γίνεται ελάχιστη . β) Να υπολογίσετε τους αριθμούς, τη μέση τιμή , τη διάμεσό και τη διακύμανσή τους. γ) Έστω ότι το Ω είναι ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και Α, Β, Γ, ενδεχόμενα του Ω, με x3 8 x3 8 {3x 2 7, , 9 6ln x} , B {5 x, 5, , 9 6ln x} και {3x 2 7, 5, 9 6ln x} . 3 3 1 3 Να βρείτε τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων του Ω, αν γνωρίζετε ότι P(A) P(), P(B) , 2 4 5 P(A B) , και P(5 x) 3(5) . 6 8. Έστω Ω δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης με {0, 1, 2, 3, 4, 5} και η συνάρτηση
f (x) x 3 9x 2 24x 2κ 2 3 , x και κ στοιχείο του Ω. α) Να μελετήσετε την f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. β) Να αποδείξετε ότι f(1) = f(4) και f(2) = f(5). γ) Να βρείτε τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων του Ω, αν είναι γνωστό ότι: x 3 2 2x 10P(0) lim , 2P(0) P(3) P(5) , P(0) P(1) P(3) και P(4) P(5) 3P(2) . x 1 3x 7 2 x δ) Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων Α: « Η ελάχιστη τιμή της συνάρτησης f στο διάστημα [1, 5] είναι μικρότερη ή ίση του 21», Β: «Η μέγιστη τιμή της f στο διάστημα [1, 5] είναι
276
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
α. Να βρείτε τη μέση τιμή της βαθμολογίας των 15 υπόλοιπων μαθητών. Μονάδες 12 β. Αν το άθροισμα των τετραγώνων των βαθμών των 25 αυτών μαθητών είναι 5000, να βρείτε το συντελεστή μεταβολής (CV) . Μονάδες 13 ΘΕΜΑ 4o Έστω {1, 2,3, 4,5,6} ο δειγματικός χώρος της ρίψης ενός μη αμερόληπτου ζαριού και η 1 συνάρτηση f : με τύπο f (x) x 3 kx 2 4x 2 , όπου k . 3 Αν P(1) P(3) P(5) 2P(2) 4P(4) 2P(6) , τότε να βρείτε: α. Τις πιθανότητες των απλών ενδεχομένων P(1), P(3), P(5), P(2), P(4), P(6) . Μονάδες 8 β. Τις πιθανότητες των ενδεχομένων Α και Β, όπου Α: «Η ένδειξη του ζαριού είναι άρτιος αριθμός» Β: «Η ένδειξη του ζαριού είναι περιττός αριθμός». Μονάδες 8 γ. Την πιθανότητα του ενδεχομένου Γ, όπου Γ: «Η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα στο ». Μονάδες 9
(2005 A)
ΘΕΜΑ 1o Α. Να αποδειχθεί ότι για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει: Μονάδες 10 P(A B) P(A) P(B) P(A B) . Β. α. Ποιες μεταβλητές λέγονται ποσοτικές; Μονάδες 3 β. Πότε μια ποσοτική μεταβλητή ονομάζεται διακριτή και πότε συνεχής; Μονάδες 4 Γ. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Αν μια συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και ισχύει f (x) 0 για κάθε εσωτερικό σημείο του Δ, τότε η f είναι γνησίως αύξουσα στο Δ. Μονάδες 2 f (x) f (x)g(x) f (x)g(x) β. Ισχύει , όπου f, g παραγωγίσιμες συναρτήσεις. Μονάδες 2 (g(x)) 2 g(x) γ. Η διακύμανση είναι μέτρο θέσης. Μονάδες 2 δ. Αν A B τότε P(A) P(B) . Μονάδες 2 ΘΕΜΑ 2o Σε ένα διαγώνισμα Βιολογίας η βαθμολογία των μαθητών δίνεται από το παρακάτω ιστόγραμμα συχνοτήτων ν i : α. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας και να συμπληρώσετε τον παρακάτω πίνακα:
νi 25 20 15 10 5 Ο
Κλάσεις
xi
νi
4
8
fi
12
16
Ni
Βαθμός
20
Fi
[4,8) [8,12) [12,16) [16, 20) Σύνολο
β. Να βρείτε τη μέση τιμή των βαθμών. γ. Πόσοι μαθητές έχουν βαθμό μέχρι και 10;
Μονάδες 11 Μονάδες 8 Μονάδες 6
ΘΕΜΑ 3o Έστω Α, Β ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, ώστε να ισχύουν: (i) Η πιθανότητα να πραγματοποιηθεί ένα τουλάχιστον από τα ενδεχόμενα Α, Β είναι 7 / 8 .
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
287
k xiν i k 1 . κιλά». Δίνεται ο τύπος s 2 x i2 ν i i 1 Μονάδες 6 ν i 1 ν ΘΕΜΑ Δ Έστω Α, Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με αντίστοιχες πιθανότητες 1 ( ), () και η συνάρτηση f (x) ln(x P(A)) (x P(A)) 2 P(B) , x P(A) . 2 Δ.1. Να μελετήσετε τη συνάρτηση f ως προς τη μονοτονία και τα ακρότατα. Μονάδες 13 5 Δ.2. Αν η συνάρτηση f παρουσιάζει ακρότατο στο σημείο x 0 με τιμή f (x 0 ) 0 , να αποδείξετε ότι 3 2 1 Μονάδες 2 P(A) και P(B) . 3 2 5 Λαμβάνοντας υπόψη το Δ.2. και επιπλέον ότι P(A B) , να βρείτε την πιθανότητα: 6 Δ.3. να μην πραγματοποιηθούν ταυτόχρονα τα ενδεχόμενα Α, Β. Μονάδες 5 Δ.4. να πραγματοποιηθεί μόνο ένα από τα ενδεχόμενα Α, Β. Μονάδες 5
(2010 Β)
ΘΕΜΑ Α A.1. Αν η συνάρτηση f είναι παραγωγίσιμη σε ένα διάστημα Δ και c , να αποδείξετε ότι Μονάδες 9 (cf (x)) cf (x) , x . Α.2. Πότε μια συνάρτηση f λέγεται γνησίως φθίνουσα σε ένα διάστημα Δ του πεδίου ορισμού της; Μονάδες 3
Α.3. Πώς ορίζεται ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης; Μονάδες 3 Α.4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. f α. Αν οι συναρτήσεις f, g έχουν κοινό πεδίο ορισμού το Α, τότε η συνάρτηση έχει πάντα πεδίο g ορισμού το Α. β. Ισχύει lim (συνx) συνx 0 . x x0
γ. Σε μια ομαδοποιημένη κατανομή με κλάσεις ίσου πλάτους οι διαδοχικές κεντρικές τιμές των κλάσεων διαφέρουν μεταξύ τους όσο και το πλάτος κάθε κλάσης δ. Σε μια ομαδοποιημένη κατανομή με κλάσεις ίσου πλάτους το εμβαδόν του χωρίου που ορίζεται από το πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων και τον οριζόντιο άξονα είναι ίσο με το μέγεθος ν του δείγματος. ε. Αν είναι η πιθανότητα ενός ενδεχομένου P(A) A {α1,α 2 ,...,α κ} , τότε Μονάδες 10 ( ) (α1 ) (α 2 ) ... (α κ ) . ΘΕΜΑ Β Οι βαθμοί 60 μαθητών σε ένα διαγώνισμα Μαθηματικών κυμαίνονται από 10 έως 20 και έχουν ομαδοποιηθεί σε 5 κλάσεις ίσου πλάτους. Αν: Η γωνία του κυκλικού τομέα που αντιστοιχεί στην κλάση [14,16) του κυκλικού διαγράμματος είναι 144ο Οι σχετικές συχνότητες των δύο πρώτων κλάσεων είναι ίσες. 48 μαθητές πήραν βαθμό έως 16 και 6 μαθητές πήραν βαθμό τουλάχιστον 18, τότε: Β.1. Να μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παρακάτω πίνακα σωστά συμπληρωμένο. ΒΑΘΜΟΛΟΓΙΑ
[)
ΣΥΝΟΛΟ
ΚΕΝΤΡΙΚΗ ΤΙΜΗ x i
ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ ν i
ΣΧΕΤΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ f i
ΣΧΕΤΙΚΗ ΣΥΧΝΟΤΗΤΑ fi %
Μονάδες 10
288
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
Β.2. Να βρείτε τη μέση τιμή x της βαθμολογίας των μαθητών. Β.3. Να βρείτε πόσοι μαθητές πήραν βαθμολογία από 10 έως 14. Β.4. Να βρείτε το ποσοστό των μαθητών που πήραν βαθμολογία τουλάχιστον 17.
Μονάδες 6 Μονάδες 4 Μονάδες 5
ΘΕΜΑ Γ Έστω {ω1,ω 2 ,ω 3,ω 4} ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης και τα ενδεχόμενά ν 1 ν 1 του {ω 1,ω 3} και {ω 2 ,ω 4 } . Αν είναι ( ) και ( ) , όπου ν θετικός ν4 2ν ακέραιος, τότε: Γ.1. Να αποδείξετε ότι ( ) ( ) και ( ) () . Μονάδες 6 Γ.2. Να αποδείξετε ότι ν 4 . Μονάδες 10 Γ.3. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες των ενδεχομένων Α και Β. Μονάδες 4 Γ.4. Να υπολογίσετε την πιθανότητα του ενδεχομένου . Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Δ Έστω t1 , t 2 ,,..., tν οι παρατηρήσεις μιας ποσοτικής μεταβλητής Χ ενός δείγματος μεγέθους ν, 1 3 που έχουν μέση τιμή x και τυπική απόκλιση s. Θεωρούμε επίσης τη συνάρτηση f (t) t x , 2 300s t και s 0 . Δ.1. Να αποδείξετε ότι η συνάρτηση f είναι γνησίως αύξουσα. Μονάδες 5 Δ.2. Να αποδείξετε ότι ο ρυθμός μεταβολής της συνάρτησης f γίνεται ελάχιστος για t x και να βρείτε την ελάχιστη τιμή του. Μονάδες 6 Δ.3. Αν f (0) 1 , να υπολογίσετε το συντελεστή μεταβολής CV των παραπάνω παρατηρήσεων και να εξετάσετε αν το δείγμα είναι ομοιογενές. Μονάδες 8 1 Δ.4. Να αποδείξετε ότι η μέση τιμή των αριθμών f (t1 ),f (t 2 ),...,f (t ν ) είναι ίση με . Μονάδες 6 100 (2011 Α)
ΘΕΜΑ Α Α.1. Για δύο ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω, να αποδείξετε ότι Μονάδες 7 P(A B) P(A) P(A B) . Α.2. Πότε δύο ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω λέγονται ασυμβίβαστα; Μονάδες 4 Α.3. Τι εκφράζει η σχετική συχνότητα fi μιας παρατήρησης x i ενός δείγματος. Μονάδες 4 Α.4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση. α. Η διακύμανση εκφράζεται στις ίδιες μονάδες με τις οποίες εκφράζονται οι παρατηρήσεις. Μονάδες 2 β. Σε μια κανονική κατανομή το εύρος ισούται περίπου με έξι φορές τη μέση τιμή, δηλαδή R 6x . Μονάδες 2
γ. Για την παράγωγο μιας σύνθετης συνάρτησης ισχύει (f (g(x)) f (g(x)) g(x) . Μονάδες 2 δ. Πάντοτε ένα μεγαλύτερο δείγμα δίνει πιο αξιόπιστα αποτελέσματα από ένα μικρότερο δείγμα. Μονάδες 2
ε. Ένα δείγμα τιμών μιας μεταβλητής είναι ομοιογενές, αν ο συντελεστής μεταβλητότητας δεν ξεπερνά το 10%. Μονάδες 2
ΘΕΜΑ Β Ένα κουτί περιέχει άσπρες, κόκκινες και μαύρες σφαίρες. Παίρνουμε τυχαία μια σφαίρα. Η 1 πιθανότητα να είναι μαύρη είναι P(M) , η πιθανότητα να είναι άσπρη είναι P(A) 4 2 και η 4 7 πιθανότητα να είναι κόκκινη είναι P(K) 5 , όπου . Αν για το πλήθος () των σφαιρών 4 που υπάρχουν στο κουτί ισχύει 64 () 72 , τότε: Β.1. Να δείξετε ότι () 68 . Μονάδες 6 Β.2. Να υπολογιστεί η τιμή του λ. Μονάδες 8 Β.3. Να βρείτε πόσες άσπρες, πόσες μαύρες και πόσες κόκκινες σφαίρες υπάρχουν στο κουτί. Μονάδες 6 Β.4. Παίρνουμε τυχαία μια σφαίρα. Να βρεθεί η πιθανότητα αυτή να είναι άσπρη ή μαύρη. Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Γ Οι πωλήσεις, σε χιλιάδες ευρώ, που έγιναν από τους πωλητές μιας εταιρείας κατά τη διάρκεια ενός έτους ομαδοποιήθηκαν σε πίνακα συχνοτήτων με κλάσεις ίσου πλάτους. Το αντίστοιχο πολύγωνο σχετικών συχνοτήτων fi % έχει διαδοχικές κορυφές τις: A(8,0) , B(10,10) , (12, 20) , (14, y ) , (16, y ) , (18,10) , (20,0) , όπου y , y E οι τεταγμένες των κορυφών Δ και Ε του πολυγώνου
290
ΕΠΑΝΑΛΗΨΗ
Β.3. Για 3 να βρείτε τις ώρες που η θερμοκρασία της περιοχής είναι 0 o C . (t) Β.4. Να υπολογίσετε το lim 2 . t 4 t 16
Μονάδες 5 Μονάδες 7
ΘΕΜΑ Γ Οι ηλικίες των εργαζομένων σε μια εταιρεία έχουν ομαδοποιηθεί σε 4 κλάσεις ίσου πλάτους, όπως εμφανίζονται στον παρακάτω πίνακα συχνοτήτων. ΗΛΙΚΙΕΣ (χρόνια) [25, ) [ , ) [ , ) [ , ) Σύνολο
xi
νi
fi %
Ni
Fi %
i x i
x x 20 2x x 2 6x
50
Γ.1. Να βρεθούν οι σχετικές συχνότητες fi % , i 1, 2,3, 4 . Μονάδες 6 Γ.2. Αν η διάμεσος της κατανομής των ηλικιών είναι 50 χρόνια, να αποδείξετε ότι το πλάτος της κλάσης είναι c 10 . Μονάδες 8 Γ.3 Αφού μεταφέρετε στο τετράδιό σας τον παραπάνω πίνακα συμπληρωμένο κατάλληλα, να υπολογίσετε την μέση τιμή x των ηλικιών. Μονάδες 6 Γ.4. Πόσοι εργαζόμενοι, των οποίων οι ηλικίες ανήκουν στην πρώτη κλάση, πρέπει να προσληφθούν, ώστε η νέα μέση ηλικία να είναι 40 χρόνια; Μονάδες 5 ΘΕΜΑ Δ Εξακόσιοι απόφοιτοι Δευτεροβάθμιας Εκπαίδευσης, οι οποίοι έχουν τα ίδια τυπικά και ουσιαστικά προσόντα, υποβάλλουν αίτηση πρόσληψης σε δύο εταιρείες Α και Β. Δίνεται ότι η πιθανότητα, ένας τυχαία επιλεγμένος από αυτούς: 1 • να κριθεί κατάλληλος για πρόσληψη σε μια μόνο από τις εταιρείες Α και Β είναι , 0 3 3 1 • να κριθεί κατάλληλος για πρόσληψη το πολύ σε μια από τις εταιρείες Α και Β είναι , 0 3 1 • να μην κριθεί κατάλληλος για πρόσληψη σε καμία από τις δύο εταιρείες είναι , 2 2 Δ.1. να αποδείξετε ότι 4 . Μονάδες 8 Δ.2. Από τους 600 αποφοίτους που υπέβαλλαν αίτηση πρόσληψης στις εταιρείες Α και Β, η εταιρεία Α έκρινε κατάλληλους για πρόσληψη 50 λιγότερους από όσους έκρινε η εταιρεία Β. α) Πόσοι απόφοιτοι κρίθηκαν κατάλληλοι για πρόσληψη μόνο από την εταιρεία Α, πόσοι απόφοιτοι κρίθηκαν κατάλληλοι για πρόσληψη μόνο από την εταιρεία Β και πόσοι απόφοιτοι θα βρεθούν στο δίλημμα να επιλέξουν σε ποια από τις δύο εταιρείες στις οποίες κρίθηκαν κατάλληλοι για πρόσληψη, επιθυμούν να εργαστούν; Μονάδες 7 β) Να αποδείξετε ότι 300 απόφοιτοι κρίθηκαν κατάλληλοι για πρόσληψη, από τις εταιρείες Α ή Β. Μονάδες 6
Δ.3. Στους αποφοίτους που δεν κρίθηκαν κατάλληλοι για πρόσληψη δίνεται η δυνατότητα παρακολούθησης προγράμματος επιμόρφωσης. Αν η πιθανότητα εύρεσης εργασίας για αυτούς που θα παρακολουθήσουν το πρόγραμμα είναι διπλάσια από την αντίστοιχη εκείνων που δεν θα το παρακολουθήσουν, να υπολογίσετε πόσοι απόφοιτοι από αυτούς, που δεν κρίθηκαν κατάλληλοι για πρόσληψη, θα βρουν δουλειά. Μονάδες 4 (2012 Α)
ΘΕΜΑ Α Α.1. Aν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο , να αποδείξετε ότι Μονάδες 7 (f (x) g(x)) f (x) g(x) , x . Α.2. Σε ένα πείραμα με ισοπίθανα αποτελέσματα να δώσετε τον κλασικό ορισμό της πιθανότητας ενός ενδεχομένου Α. Μονάδες 4 Α.3. Πώς ορίζεται ο συντελεστής μεταβολής ή συντελεστής μεταβλητότητας μιας μεταβλητής X, αν Μονάδες 4 x 0 και πώς, αν x 0 ; Α.4. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη Σωστό ή Λάθος δίπλα στο γράμμα που αντιστοιχεί σε κάθε πρόταση.
Απαντήσεις Υποδείξεις
1. ΔΙΑΦΟΡΙΚΟΣ ΛΟΓΙΣΜΟΣ
ή x 2 7x 8 0 A f [2,1) (1, ) ,
1 1 1
-7 2 -5 2 2 4
6 -6 0 -6 6 0
2
xi) Πρέπει x 2 5x 6 0 , x 2 4 0 . A f (6, 2] , xii) Πρέπει x 1 0 , Πρέπει
4x 0 και x 1 , A f [1, 4] , x 1
2x 2 x 0
και
ln(2x 2 x) 0 ,
xv) Πρέπει x 2 2x 0 και 2x 2 7x 4 0 , οπότε
οπότε A f (0, ) , 2
vii) x 2 4 x 3 0 x 4 x 3 0 , 4 , x 1 ή x 3 , άρα A {3, 1,1,3} , 3 viii) [ , ) , ix) (,3] , x) A [2, 2] , 2 xi) x 2 x 1 x 2 x 1 αδύνατη ή 3 3 , άρα A { } , 2 2 xii) (,0] [9, ) , xiii) [4, 4] , x 2 1 x x
xiv) Πρέπει 2x 5 0 και x 2 4x 3 0 x 1 ή 5 x 3 . Η συναλήθευση δίνει A [ ,1] [3, ) , 2 x 2 8x 9 18 2 xv) Πρέπει x 8x 9 18 ή 2 x 8x 9 18
x (, 9] [1, ) ή , άρα (, 9] [1, ) , ύ
xvii) (,1) (2, ) ,
xviii) Πρέπει x 2 3x 0 και x 2 7x 12 0 , άρα A f (, 0) (0,3) [4, ) ,
x2 5 0 , γιατί x 0 x(x 2 5) 0 , x x 0 f [ 5,0) [ 5, ) .
xix) Πρέπει
2
4. i) A f {2 , } , 3 2
x) Πρέπει x 0 και ln 2 x 4ln x 3 0 . A f (0,e) (e,e3 ) (e3 , ) ,
1 A f (, ) (1, ) , 2 xiv) Πρέπει 2x 2x x 0 , 5 f * { , , } , 12 12
vi) x x 0 x x x 0 , άρα πρέπει x 0 ,
iii) [ , ) ,
A f [e 1 ,e] ,
xiii)
1
{3, 1,1, 2} ,
xvi) (2, ) ,
άρα
ix) Πρέπει x 0 και 1 ln 2 x 0 e 1 x e , άρα
-1 -5 -6 -5 8 3
x 8 ,
(e x 8)(e x 1) 0 A f [ln 8, ) ,
1. α) Λ, β) Λ, γ) Λ, δ) Σ, ε) Σ, στ) Σ, ζ) Λ, η) Λ, θ) Λ, ι) Σ, ια) Σ, ιβ) Λ, ιγ) Λ. 2. α) Γ, β) Γ, γ) Α, δ) Γ, ε) Β, στ) Γ. 3 3. i) , ii) , iii) , iv) {0,5} , 2 4 3 2 v) x x 7x x 6 (x 1)(x 2)(x 2 4x 3) , 1 1 2
και
viii) Πρέπει e 2x 7e x 8 0
1.1 Συναρτήσεις 1.1.7
1
x 1
ii) A f ,
iv) A f {1} ,
v) Πρέπει ln x 2 0 . Έστω ln x 2 0 ln x 2 vi) * , x e 2 , άρα A f {e 2 } , vii) Πρέπει 3x 3 x 2 6x 8 0 x 2 και
1 1 A f (, ) ( ,0) (2, 4) (4, ) . 2 2 1 1 5. α) Πρέπει 0 2x 1 7 x 4 A h [ , 4] , 2 2
β) Πρέπει 0 x 2 3 7 A g [2, 2] , γ) Πρέπει 0 ln x 7 1 x e7 A t [1,e7 ] , δ) Πρέπει
A s ( ,1) .
0 ex 7 e 7 ex e x 1 ,
4 3
6. Πρέπει 0 .
άρα
7. e, e, e – 2, e + 2.
x 2 8x 7 0 , A f (1,1) (1, 7) . 1 x2 5 5 β) H εξίσωση γράφεται (ln 2 ) 2 (ln ) 2 0 3 3 2 1 που έχει ρίζες ή . 5 5 ln ln 3 3 3 3 1 9. , 0, , . 7 8 4 f () f () 20 2 202 20 . 10. β) 2 2 2 2 8. α) Πρέπει
f ( ) f ( ) 20 [( ) 2 ( ) 2 ] … f () f () 20 ( 2 2 ) 11. Η διαγώνιος τετραγώνου πλευράς α είναι γ)
2 . οπότε () 4 4 2
2 2 2 2
2 2 2 . ( ) 4 2 e x ( x) x 12. i) f ( x) , x 1 e x e 1 iii) f (x) f ( x) 2
ln(e 2x e x 1) ln(
e 2x e x 1 ) ln e 2x 2x , e 2x
και
ΑΠΑΝΤΗΣΕΙΣ
307
59. α) α = 2, α = 4, β) γνησίως αύξουσα στο [0, 1] , γνησίως φθίνουσα στο [1, ) , μέγιστο για x 1 , γ) Για α = 2, f(1) = e + 6 < 9, οπότε δεν ρυπαίνει, για α = 4 ρυπαίνει. 60. Αν x είναι το μήκος του ορθογωνίου , το πλάτος 4 είναι . Οι διαστάσεις του μέρους που θα φυτευτεί x 4 0, 4 , οπότε το εμβαδόν είναι είναι x 0, 4 και x 4 E(x) (x 0, 4)( 0.4) και παρουσιάζει μέγιστο x για x = 2. E(2) = 2,56m2, 64 κρεμμύδια. 61. Το τετράγωνο της απόστασης δίνεται από την f (t) (20 40t) 2 (20t) 2 που παρουσιάζει ελάχιστο 20 για x . Όχι. 41 62. E(x) MA 2 MB2 (1 x) 2 2(3 x) 2 (x 5) 2 1 5 M( , ) . 2 2 63. f (x) x(100 x) , 2500.
64. f (x) x 2 (20 x) 2 , 10 και 10. 65. Το τετράγωνο πλευράς 10. 66. α) κ = 4, β) y x 3 , γ)
4 , x
8 , για x = 2, ε) x = 1. x2 67. V(x) (60 2x) 2 x , για x = 10. 68. Αν x η ακτίνα του ημικυκλίου, τότε δ) (x) 2x
1 5 E(x) 5x 2x 2 πx 2 , x . 2 4π
69. Αν x η πλευρά του τετραγώνου, τότε 1 λ , … E(x) x 2 (λ 4x) 2 , x 4π π4 70. Αν x η πλευρά του ορθογωνίου, τότε
E(x) x 4ρ 2 x 2 . 71. Αν x η απόσταση του κέντρου του κύκλου από τη βάση του τριγώνου, τότε E(x) (ρ x) ρ 2 x 2
ρ . 2 72. α) Ο(0, 0), Α(2, 0), β) i) ( ) (x) x 2 2x και Ε΄(1) = 0, και x
ii) ( H)
1 4 16 x( x 2 2x) , για x , . 2 3 27
2. ΣΤΑΤΙΣΤΙΚΗ 2.1 Βασικές έννοιες 2.1.3 1. α) Το σύνολο των κιβωτίων της αποθήκης. β) Τα 10 κιβώτια που ζυγίστηκαν. γ) Το σύνολο των κιβωτίων που ζυγίστηκαν. δ) Το βάρος των κιβωτίων και τιμές της μεταβλητής οι αριθμοί 12,15,17, 18, 19, 20, 22, 24, 25. 2. Ποιοτικές: γ, δ, ε, ζ. - Ποσοτικές διακριτές: β, η, θ, ι. - Ποσοτικές συνεχείς: α, στ. 3. Δ. 4. Ποιοτικές: Διαγωγή, κατεύθυνση. - Ποσοτικές διακριτές: Απουσίες, προφορικός βαθμός στα Μαθηματικά. - Ποσοτικές συνεχείς: βάρος, ύψος. 5. α) Μισθός (συνεχής), σπουδές - φύλο (ποιοτικές), νούμερο παπουτσιών (διακριτή). β) Παράταξη που ψήφισαν, τόπος γέννησης (ποιοτικές), ηλικία σύμφωνα με την αστυνομία (διακριτή), βάρος (συνεχής). γ) Χρόνος παρακολούθησης (συνεχής), σταθμός προτίμησης (ποιοτική) 6. Σ, Σ, Λ, Σ, Λ, Λ, Λ, Λ, Σ.
2.2 2.2.5
Παρουσίαση στατιστικών δεδομένων
1. Σ, Σ, Λ, Σ, Λ, Λ, Λ, Λ, Λ, Σ, Σ, Λ, Σ, Σ, Λ, Λ, Λ. 2. Α, Ε, Β, Β, Γ, Δ, Γ. 3. έτος 20 21 30 31 Σύνολο 2000 52 133 127 312 2001 48 164 122 334 2002 29 146 94 269 2003 14 125 90 229 2004 16 137 110 263 2005 16 189 138 343 2006 8 152 116 276 2007 7 122 125 254 2008 10 85 117 212 2009 7 78 129 214 έτος
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006 2007 2008 2009
Γυναίκες 20 22 18 19 22 27 30 16 7 17
Άνδρες 292 312 251 210 241 316 246 238 205 197
Σύνολο 312 334 269 229 263 343 276 254 212 214
4. (α, 3), (β, 4), (γ, 1), (δ, 5), (ε, 2). 5. α) Είναι F f1 f 2 ... f 1 και 1 2 ... , οπότε
F 1 0, 01 0, 01 100 .
Ελ. Βενιζέλου 150, 176 76 Καλλιθέα τηλ.: 210 95 92 070 fax: 210 95 65 108 e-mail: zafirop@acci.gr
Μαντζαγριωτάκη 89, 176 72 Καλλιθέα τηλ. / fax: 210 95 33 254 e-mail: ster14@otenet.gr