Άλγεβρα α΄λυκείου ΚΕΝΤΡΟ ΔΙΔΑΣΚΑΛΙΑΣ&ΜΕΛΕΤΗΣ ΚΑΛΛΙΘΕΑ by κεντρο διδασκαλιας και μελετης

ΑΛΓΕΒΡΑ α΄ λυκείου ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ

Βιβλιογραφία 1. 2. 3. 4.

Όλα τα κατά καιρούς εκδοθέντα από τον Ο.Ε.Δ.Β σχολικά βιβλία. Περιοδικά Ευκλείδης Β΄ και Γ΄ της Ε.Μ.Ε. Ασκήσεις που κατά καιρούς έχουν προτείνει συνάδελφοι στα σχολεία (κυρίως της Καλλιθέας). θέματα που έχουν δοθεί στις πανελλήνιες εξετάσεις και θέματα που έχουν προ-ταθεί από το Παιδαγωγικό Ινστιτούτο. 5. Χριστόφορος Αχτσαλωτίδης – Άλγεβρα Β΄ λυκείου 6. Ντίνος Ζαφειρόπουλος – Άλγεβρα Α΄ Λυκείου. 7. Ντίνος Ζαφειρόπουλος – Ανάλυση – Τόμος Α΄. 8. Μαρίνος Ζήβας – Τριγωνομετρία. 9. Θεόδωρος Ν. Καζαντζής – Άλγεβρα. 10. Σπύρος Κανέλλος – Άλγεβρα. 11. Στρατής Κουνιάς – Χρόνης Μωυσιάδης – Θεωρία πιθανοτήτων 12. Παναγιώτης Ν. Μάγειρας – Αλγεβρικά θέματα μετά σημειώσεων αναλύσεως. 13. Ιωάννης Μαντάς – Γενικές ασκήσεις άλγεβρας 14. Αριστείδης Φ. Πάλλας – Μεγάλη Άλγεβρα. 15. Ιωάννης Φ. Πανάκης – Τριγωνομετρία 16. Ιωάννης Φ. Πανάκης – Αλγεβρικός Λογισμός . 17. Νίκος Σ. Παξινός – Μαθήματα άλγεβρας (πολυώνυμα) 18. Παναγιώτης Χ. Πούντζας – Αλγεβρικός Υπολογισμός. 19. Γεώργιος Ι. Πρωτόπαπα – Άλγεβρα. 20. Νίκος Ρούτσης – Πολυώνυμα 21. Βάσος Σαββαίδης – Άλγεβρα. 22. Πέτρος Τόγκας – Άλγεβρα και συμπληρώματα άλγεβρας 23. Παναγιώτης Φιλίππου – Άλγεβρα 24. C. J. Tranter, C. G. Lambe – Advanced level mathematics 25. Dennis G. Zill, Jacqeline M. Dewar – Algebra and Trigonometry 26. M. Dolciani, S. Berman, J. Freilich – Modern Algebra 27. N. Antonov, M. Vygodwky – Problems in elementary mathematics 28. C. Cosnita, F. Turtoiu – Probleme de algebra 29. C. Ionescu – Tiu, Liviu Pirsan – Algebra si analiza matematika

ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ο

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 : ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΛΟΓΙΚΗ ΚΑΙ ΤΑ ΣΥΝΟΛΑ 1.1 Σ τοιχ εί α απ ό τη λ ογικ ή 1.1 .1 Η συνε πα γω γή 1.1 .2 Η ι σο δ υνα μί α ή δι πλή συνε πα γω γή 1.1 .3 Ο σύνδ εσμ ος « ή» 1.1 .4 Ο σύνδ εσμ ος « κα ι» 1.1 .5 Α σκήσεις 1.2 Σ τοιχ εί α απ ό τα σύ νολ α 1.2 .1 Η έ ννο ια το υ συνό λου 1.2 .2 Π αρ ά στα ση συνόλο υ 1.2 .3 Ίσα σύνο λα – υπο σύνο λα – κε νό σύνο λο 1.2 .4 Β α σι κό σύνολο – Διά γρ αμ μ α Ve nn 1.2 .5 Π ρά ξεις μ ε σύνολα 1.2 .6 Λυμέ νες ασκήσεις 1.2 .7 Α σκήσεις

Σελ. 1 1 2 2 2 3 3 3 4 4 5 5 6 7

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 2.1 Δειγματικός χώρος – ενδεχόμενα 2.1 .1 Π είρ αμ α τύχης 2.1 .2 Δει γμα τι κό ς χώ ρος 2.1 .3 Ε νδε χόμ ε να 2.1 .4 Π ρά ξεις μ ε ε νδ εχόμ ενα 2.1 .5 Α συμ βί βα στ α ε νδ εχό με να 2.1 .6 Λυμέ νες ασκήσεις 2.1 .7 Α σκήσεις 2.2 Έννοια της πιθανότητας 2.2 .1 Σ χε τι κή συχνότ ητ α 2.2 .2 Κ λα σσι κός ορ ισμός πι θ ανότ ητ ας 2. 2. 3 Αξιωματικός ορισμός πιθανότητας 2.2 .4 Κ ανό νες λο γι σμ ού τ ων π ιθ α νοτ ήτ ω ν 2.2 .5 Λυ μέ νες ασκήσεις 2.2 .6 Α σκήσεις

9 9 9 10 11 11 12 14 16 16 17 19 19 22 27

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ 3.1 Οι πράξεις και οι ιδιότητές τους 3.1 .1 Οι φυσικοί και οι ακέραιοι αριθμοί 3.1 .2 Οι ρητοί και οι πραγματικοί αριθμοί 3.1.3 Δυνάμεις 3.1 .4 Τα υτ ότ ητε ς 3.1 .5 Π αρ α γο ντ οπ οί ηση 3.1 .6 Κ λα σμα τι κές π α ρα στά σεις 3.1 .7 Α να λο γίε ς 3.1 .8 Μ έθ οδ οι απ ό δει ξης 3.1 .9 Λυμέ νες ασκήσεις 3.1 .10 Α σκήσεις 3.2 Δι ά ταξη π ραγ μ ατι κώ ν αρι θμ ώ ν 3.2 .1 Έννοι α τ ης δι άτ αξ ης 3.2 .2 Ιδ ιό τητες α νι σο τήτ ω ν 3.2 .3 Μ ό νι μες α νι σότ ητες 3.2 .4 Τρ όπο ι λύσης α σκήσεω ν α νι σοτ ήτ ων 3.2 .5 Δια στ ήμα τα 3.2 .6 Λυμέ νες ασκήσεις

32 32 34 37 39 41 42 43 44 47 51 56 56 58 60 60 62 63

3.2 .7 Α σκήσεις 3.3 Απ όλυτη τι μή π ραγ ματικ ού αρι θμ ού 3.3 .1 Ορι σμό ς τ ης α π όλυτ ης τι μ ής 3.3 .2 Ιδ ιό τητες τω ν α πο λύτω ν τι μ ών 3.3 .3 Απ όστα ση δ ύο αρι θμ ώ ν 3.3 .4 Λυμέ νες ασκήσεις 3.3 .5 Α σκήσεις 3.4 Ρί ζ ες π ραγ μ ατικ ών αρι θμώ ν 3.4 .1 ν–ο στ ή ρ ί ζα μ η αρ νητ ικο ύ αρι θ μο ύ 3.4 .2 Ιδ ιό τητες τω ν ρ ιζώ ν 3.4 .3 Δυνάμε ις με ρ ητό ε κθέτ η 3.4 .4 Λυμέ νες ασκήσεις 3.4 .5 Α σκήσεις

67 71 71 73 76 79 83 86 86 86 93 93 99

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο : ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 4.1 Εξ ι σώ σεις 1 ο υ βα θμ ού 104 4.1 .1 Η Εξίσωση αx + β = 0 104 4.1 .2 Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις 1ου βαθμού 106 4.1 .3 Λυμέ νες ασκήσεις 108 4.1 .4 Α σκήσεις 110 4.2 Η Εξίσωση xν = α 114 4.2 .1 Α σκήσεις 114 4.3 Εξ ι σώ σεις 2 ο υ βαθμ ού 115 4.3 .1 Λύση της εξίσωσης αx2 + βx + γ = 0 – Λ υμέ νες α σκήσεις – ασκήσεις 115 4.3 .2 Άθροισμα και γινόμενο ριζών– Λ υμέ νες α σκήσεις – ασκήσεις 124 4.3 .3 Εξισώσεις που ανάγονται σε εξισώσεις 2ου βαθμού - ασκήσεις 135

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 5.1 Α νι σώ σει ς 1 ο υ βαθμ ού 5.1 .1 Οι ανισώσεις αx + β > 0 και αx + β < 0 5.1 .2 Α νι σώ σεις μ ε α πό λυτες τι μές 5.1 .3 Λυμέ νες ασκήσεις 5.1 .4 Α σκήσεις 5.2 Τριώνυμο – Ανισώσεις 5.2 .1 Μορφές τριωνύμου 5.2 .2 Π ρό σημ ο τω ν τ ιμ ώ ν τ ο υ τριωνύμου 5.2 .3 Α νι σώ σεις τ ης μο ρφ ής αx2 + βx + γ > 0 και αx2 + βx + γ < 0 5.2 .4 Λυμέ νες ασκήσεις 5.2 .5 Α σκήσεις

139 139 141 141 143 145 145 147 149 150 153

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 6 Ο : ΠΡΟΟΔΟΙ 6.1 Α κολ ου θί ες 6.1 .1 Η έννοι α τ ης α κολο υθ ίας 6.1 .2 Ακο λο υθίε ς π ο υ ορί ζο ντα ι α να δρ ομ ι κά 6.1 .3 Λ υμέ νες α σκήσεις 6.1 .4 Α σκήσε ις 6.2 Α ρι θμη τι κή π ρόοδος 6.2 .1 Γε νικά 6.2 .2 Νιο στ ός όρ ος α ριθ μ ητι κής πρ οό δο υ 6.2 .3 Αρι θ μητι κός μέ σο ς 6.2 .4 Ά θρο ι σμ α ν δι α δ οχι κώ ν όρ ω ν αρ ιθ μ ητι κής πρ οό δο υ 6.2 .5 Λυμέ νες α σκήσεις 6.2 .6 Α σκήσεις 6.3 Γ εωμ ετρι κή π ρόοδος 6.3 .1 Γε νικά 6.3 .2 Νι ο στ ός όρ ος γεω μετρ ι κ ής π ρο όδ ο υ 6.3 .3 Γε ω μετ ρι κό ς μέ σο ς 6.3 .4 Άθ ροι σμα ν δι αδ οχι κώ ν όρ ω ν γε ω μετ ρι κής προ ό δο υ

156 156 156 157 158 159 159 159 160 160 162 168 172 172 172 173 173

6.3 .5 Λ υμέ νες α σκήσεις 6.3 .6 Α σκήσε ις 6.4 Α νατοκ ι σμ ός - ί σες κ αταθέσεις 6.4 .1 Α νατ ο κι σμός 6.4 .2 Ίσες κατ α θέ σει ς 6.4 .3 Χρ εο λυσί α 6.4 .4 Α σκήσε ις

175 181 185 185 186 187 188

ΚΕΦΑΛΑΙΟ 7 Ο : ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7.1 Η έν νοι α της συ νάρτη σης 7.1 .1 Εισαγωγή 7.1 .2 Συντομογραφία συνάρτησης 7.1 .3 Ισότητα και πράξεις 7.1 .4 Λυμέ νες ασκήσεις 7.1 .5 Α σκήσεις 7.2 Γραφική παράσταση συνάρτησης 7.2 .1 Καρτεσιανές συντεταγμένες 7.2 .2 Απ ό στα ση σημε ίω ν 7.2 .3 Γραφική παράσταση συνάρτησης 7.2 .4 Λυ μέ νες ασκήσεις 7.2 .5 Α σκήσεις 7.3 Η συν άρτη ση f( x) = αx + β 7.3 .1 Συντελεστής διεύθυνσης ευθείας 7.3 .2 Γραφική παράσταση της f( x) = α x + β 7.3 .3 Η συνάρτ ηση f( x) = α x 7.3 .4 Σ χε τι κές θ έσεις δ ύο ε υθε ι ών 7.3 .5 Λυμέ νες ασκήσεις 7.3 .6 Α σκήσεις 7.4 Μ ελ έτη τη ς f (x ) = αx2 + βx + γ 7.4 .1 Με λέ τη τ ης f(x ) = αx 2 7.4 .2 Με λέ τη τ ης f(x ) = αx2 + βx + γ 7.4 .3 Λυμέ νες ασκήσεις 7.4 .4 Α σκήσεις

189 189 190 191 192 194 197 197 198 198 200 201 203 203 203 204 205 205 208 211 211 213 216 220

1.ΣΤΟΙΧΕΙΑ ΑΠΟ ΤΗ ΛΟΓΙΚΗ & ΤΑ ΣΥΝΟΛΑ

1.1

Στοιχεία από τη λογική

Είναι γνωστό σε όλους μας ότι, το χαρακτηριστικό γνώρισμα του ανθρώπου είναι ο λόγος. Με τη λέξη “Λόγος” εννοούμε συνήθως και τη σκέψη και την ίδια την έκφρασή της με τη γλώσσα. Με τη γλώσσα ασχολείται η επιστήμη που ερευνά τα στοιχεία του λόγου και τη δομή τους, δηλαδή η Γραμματική και το Συντακτικό, ενώ με τη σκέψη ασχολείται η Λογική. Λογική είναι η ικανότητα ή η διαδικασία μέσω της οποίας οι άνθρωποι κάνουν σκέψεις, καθώς και ο κλάδος ο οποίος ερευνά συστηματικά αυτή τη διαδικασία. Είναι το εργαλείο που βοηθά τον άνθρωπο να διακρίνει, ποια από τα προϊόντα της σκέψης είναι ορθά και ποια λαθεμένα. Πατέρας της λογικής θεωρείται ο Αριστοτέλης (384 – 322 π. Χ). Εδώ δεν θα ασχοληθούμε εκτενώς με τη λογική, αλλά θα γνωρίσουμε μερικές βασικές έννοιες της, τις οποίες θα χρησιμοποιήσουμε, όπου είναι απαραίτητο, για να διατυπώσουμε σαφέστερα κάποιες μαθηματικές έννοιες, προτάσεις κτλ.

1.1.1

Η συνεπαγωγή

Ας θεωρήσουμε δυο πραγματικούς αριθμούς α, β. Ξέρουμε ότι, αν οι αριθμοί α, β είναι ίσοι, τότε και τα τετράγωνά τους θα είναι ίσα. Αυτό σημαίνει ότι: Αν ο ισχυρισμός α = β είναι αληθής (σωστός), τότε και ο ισχυρισμός α 2  β 2 θα είναι αληθής (σωστός). Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι, ο ισχυρισμός α = β συνεπάγεται τον ισχυρισμό α 2  β 2 και γράφουμε: α  β  α 2  β 2 . Γενικά:

Έστω P και Q δυο ισχυρισμοί. Λέμε ότι, ο P συνεπάγεται τον Q και γράφουμε P  Q , αν οι ισχυρισμοί είναι τέτοιοι ώστε, όταν αληθεύει ο P να αληθεύει και ο Q. Ο ισχυρισμός P  Q λέγεται συνεπαγωγή και διαβάζεται: P συνεπάγεται Q ή αν P, τότε Q. Ο P λέγεται υπόθεση και ο Q συμπέρασμα της συνεπαγωγής.

Σχόλια α) Είπαμε προηγουμένως ότι, ο ισχυρισμός α = β συνεπάγεται τον ισχυρισμό α 2  β 2 . Είναι φανερό ότι, αν ο ισχυρισμός α 2  β 2 δεν είναι αληθής, τότε και ο ισχυρισμός α = β δεν είναι αληθής. Με άλλα λόγια, αν ο ισχυρισμός α 2  β 2 είναι αληθής, τότε και ο ισχυρισμός α  β είναι αληθής . Γενικά από τον ορισμό της συνεπαγωγής P  Q προκύπτει ότι: Αν ο ισχυρισμός Q δεν είναι αληθής, τότε και ο P δεν είναι αληθής ή αν ο ισχυρισμός Q είναι ψευδής(λάθος), τότε και ο P είναι ψευδής(λάθος). Από τα παραπάνω συμπεραίνουμε ότι: Για να ισχύει ο P πρέπει υποχρεωτικά να ισχύει ο Q.

β) Για να αποδείξουμε την αλήθεια μιας συνεπαγωγής P  Q , ξεκινάμε με την παραδοχή ότι ισχύει ο ισχυρισμός P και με τη βοήθεια της κατάλληλης θεωρίας και των ιδιοτήτων των πράξεων καταλήγουμε ότι ισχύει ο ισχυρισμός Q.

ΛΟΓΙΚΗ - ΣΥΝΟΛΑ

π. χ Αν Α = {1, 2, 3} και Β = {2, 3, 5}, τότε Α  Β = {2, 3}.  Ένα στοιχείο x είναι στοιχείο της τομής Α  Β, όταν ανήκει και στο Α Α και στο Β. Δηλαδή το x ανήκει συγχρόνως και στα δύο σύνολα . Β  Ένα στοιχείο x δεν είναι στοιχείο της τομής, όταν δεν ανήκει σε ένα Ω τουλάχιστον από τα δύο σύνολα.  Δυο σύνολα που δεν έχουν κοινά στοιχεία , ονομάζονται ξένα μεταξύ τους και ισχύει Α  Β =  .  Ισχύουν οι ιδιότητες : i) A  B  A και A  B  B , ii) Α  Α = Α, iii) Α  Β = Β  Α, iv) Α  Ω = Α, v) Α  (Β  Γ) = (Α  Β)  Γ, vi) Α   = , vii) Αν Α  Β, τότε Α  Β = Α, viii) Aν Α =  ή Β =  , τότε Α  Β =  .  Για την τομή και την ένωση ισχύουν : Α  (Β  Γ) = (Α  Β)  (Α  Γ) και Α  (Β  Γ) = (Α  Β)  (Α  Γ). (επιμεριστικές)

Συμπλήρωμα Αν Α είναι υποσύνολο ενός βασικού συνόλου Ω, ονομάζουμε συμπλήρωμα του Α και συμβολίζουμε Α', το σύνολο των στοιχείων του Ω που δεν ανήκουν στο Α. Δηλαδή είναι: Α' = {x Ω / x  Α}. π. χ Αν Α = {1, 2, 3} και Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, τότε Α' = {4, 5, 6}.  Ένα στοιχείο x του Ω ανήκει στο Α', όταν δεν είναι στοιχείο του Α.  Ισχύουν οι ιδιότητες: i) Α  Α' = , ii) Α  Α' = Ω, iii) Ω ' =  και  ' = Ω, iv) (Α')' = Α, v) (Α  Β)' = Α'  Β' και

(Α  Β)' = Α'  Β'.

Διαφορά Αν Α, Β είναι δύο υποσύνολα ενός βασικού συνόλου Ω, ονομάζουμε διαφορά του συνόλου Β από το σύνολο Α, και συμβολίζουμε Α – Β, το σύνολο των στοιχείων του Ω που ανήκουν στο Α και δεν ανήκουν στο Β. Δηλαδή είναι: Α – Β = { xΩ / xΑ και x  Β}. π. χ Αν Ω = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, Α = {1, 2, 3, 4, 5} και Β = {2, 3, 5}, τότε Α – Β = {1, 4}.  Ισχύουν οι ιδιότητες : i) Α – Β = Α  Β', ii) Α – Α =  , iii) Α –  = Α και  – Α =  , iv) (Α – Β)  Β =  , v) Α  Β = Α – (Α – Β), vi) Α  Β = Β  (Α – Β) , vii) Α – Α΄ = Α, viii) Ω – Α = Α΄, ix) Αν Α  Β =  , τότε Α – Β = Α x) Αν Α  Β, τότε Α – Β =  .

1.2.6

Λυμένες ασκήσεις

Έστω Ω = {1,2,3,…,12,13}, A  {1,2,3,4} , B  {5,7,8,10} ,   {1,2,3,4,5,9,10,11} και   . Να βρείτε τα σύνολα :    , B   , (   )   ,    ,    ΄, (   )   , (Α  Β)΄, (Α  Γ)΄  Β΄.

Λύση Έχουμε:    = {1,2,3,4,5,7,8,10}, B   = Β   = Β, (   )   = {1,2,3,4,5,7,8,9,10,11},    = {1,2,3,4},    ΄ = Α   ΄= Α  Ω = Α, (   )   =  – Δ =  , (Α  Β)΄ = {6,9,11,12,13} και (Α  Γ)΄  Β΄ = Α΄  Β΄ = (Α  Β)΄ = {6,9,11,12,13}. 

Σε έναν σύλλογο προπονούνται 500 παιδιά στο ποδόσφαιρο, στο μπάσκετ και στο βόλεϊ ως εξής : Ποδόσφαιρο 329, μπάσκετ 186, βόλεϊ 295, ποδόσφαιρο και μπάσκετ 83, ποδόσφαιρο και βόλεϊ 217 και μπάσκετ και βόλεϊ 63.

2.ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ 2.1 2.1.1

Δειγματικός χώρος - Ενδεχόμενα Πείραμα τύχης

Αν θερμάνουμε αποσταγμένο νερό σε 100ο Κελσίου στην επιφάνεια της θάλασσας, δηλαδή σε ατμοσφαιρική πίεση 760 mmHg, το νερό θα βράσει, όσες φορές και να κάνουμε το πείραμα με τις ίδιες συνθήκες. Το παραπάνω είναι ένα πείραμα του οποίου μπορούμε να προβλέψουμε με ακρίβεια το αποτέλεσμα. Κάθε τέτοιο πείραμα κατά το οποίο η γνώση των συνθηκών κάτω από τις οποίες εκτελείται καθορίζει πλήρως το αποτέλεσμα λέγεται αιτιοκρατικό πείραμα. Υπάρχουν όμως και πειράματα των οποίων δεν μπορούμε εκ των προτέρων να προβλέψουμε το αποτέλεσμα, μολονότι επαναλαμβάνονται (φαινομενικά τουλάχιστον) κάτω από τις ίδιες συνθήκες. Για παράδειγμα, δεν μπορούμε να προβλέψουμε τη διάρκεια μιας τηλεφωνικής συνδιάλεξης ή τον αριθμό των τροχαίων ατυχημάτων που συμβαίνουν σε μια εβδομάδα σε ένα σημείο μιας εθνικής οδού. Κάθε τέτοιο πείραμα του οποίου το αποτέλεσμα δεν είναι γνωστό εκ των προτέρων (τυχαίο) λέγεται πείραμα τύχης. π. χ πειράματα τύχης είναι τα: 1. Ρίχνεται ένα νόμισμα και καταγράφεται η όψη που φαίνεται. 2. Ο αριθμός των ψήφων που παίρνει ένα κόμμα σε συγκεκριμένη εκλογική περιφέρεια. 3. Διαλέγεται αυθαίρετα μια οικογένεια με δύο παιδιά και εξετάζεται ως προς το φύλο των παιδιών και τη σειρά γέννησής τους. 4. Ρίχνεται ένα νόμισμα ώσπου να φέρουμε «γράμματα» αλλά όχι περισσότερο από τρεις φορές. 5. Επιλέγεται τυχαία μια μέρα της εβδομάδας και μετριέται ο αριθμός των τηλεθεατών που παρακολούθησαν το βραδινό δελτίο ειδήσεων ενός συγκεκριμένου καναλιού. 6. Γίνεται η κλήρωση του λαϊκού λαχείου και καταγράφεται το αποτέλεσμα.

2.1.2

Δειγματικός χώρος

Αν ρίξουμε ένα νόμισμα και συμβολίσουμε με Κ την περίπτωση να εμφανιστεί ‘κεφαλή’ και με Γ την περίπτωση να εμφανιστεί ‘γράμματα’, τότε όλα τα αποτελέσματα που μπορούν να εμφανιστούν είναι δύο, τα εξής: Κ, Γ, ενώ αν ρίξουμε ένα νόμισμα δύο διαδοχικές φορές, τότε όλα τα αποτελέσματα που μπορούν να εμφανιστούν είναι 4, τα εξής:: ΚΚ, ΚΓ, ΓΚ, ΓΓ. Όλα τα αποτελέσματα που μπορούν να εμφανιστούν σε ένα πείραμα τύχης λέγονται δυνατά αποτελέσματα ή δυνατές περιπτώσεις του πειράματος και συμβολίζονται συνήθως με 1 , 2 ,...,  . Το σύνολο των δυνατών αποτελεσμάτων ενός πειράματος τύχης λέγεται δειγματικός χώρος και συμβολίζεται συνήθως με το γράμμα Ω. Είναι δηλαδή   {1 , 2 ,...,  } Δίνουμε τρία παραδείγματα

α) Ρίχνεται ένα κανονικό ζάρι και καταγράφεται η ένδειξη της άνω έδρας του. Οι δυνατές περιπτώσεις

του πειράματος είναι: 1, 2, 3, 4, 5, 6, οπότε ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι:   {1, 2,3, 4,5,6} . 

β) Δύο ποδοσφαιρικές ομάδες Α, Β παίζουν μεταξύ τους σε μια ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει σε δύο αγώνες στη σειρά ή σε δύο αγώνες ανεξαρτήτως σειράς. Να βρείτε το δειγματικό χώρο Ω των αποτελεσμάτων των αγώνων

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

π. χ Στη ρίψη ενός ζαριού, αν Α είναι το ενδεχόμενο να φέρουμε άρτιο αριθμό και Β το ενδεχόμενο να φέρουμε περιττό αριθμό, έχουμε A  {2, 4,6} και B  {1,3,5} . Παρατηρούμε ότι A  B   , δηλαδή τα Α και Β είναι ασυμβίβαστα .

Σχόλιο

Στον παρακάτω πίνακα τα Α και Β συμβολίζουν ενδεχόμενα ενός πειράματος και το ω ένα αποτέλεσμα του πειράματος αυτού. Στην αριστερή στήλη του πίνακα αναγράφονται διάφορες σχέσεις για τα Α και Β διατυπωμένες στην κοινή γλώσσα, και στη δεξιά στήλη αναγράφονται οι ίδιες σχέσεις αλλά διατυπωμένες στη γλώσσα των συνόλων. Το ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται Το ενδεχόμενο Α δεν πραγματοποιείται Ένα τουλάχιστον από τα Α και Β πραγματοποιείται Πραγματοποιούνται αμφότερα τα Α και Β Δεν πραγματοποιείται κανένα από τα Α και Β Πραγματοποιείται μόνο το Α Η πραγματοποίηση του Α συνεπάγεται την πραγματοποίηση του Β

    (ή   )          (   )     (ή     ) 

π. χ Στη ρίψη ενός ζαριού έστω τα ενδεχόμενα A  {1, 2,3, 4} και B  {2, 4,6} . Αν το αποτέλεσμα της ρίψης είναι ο αριθμός 1, τότε τα ενδεχόμενα Α, A  B , A  B , B πραγματοποιούνται, ενώ τα A , Β, (A  B) , (A  B) , A  B δεν πραγματοποιούνται.

2.1.6

Λυμένες ασκήσεις

1. Η διεύθυνση ενός νοσοκομείου κωδικοποιεί τους ασθενείς σύμφωνα με το αν είναι ασφαλισμένοι ή όχι και σύμφωνα με την κατάσταση της υγεία τους, η οποία χαρακτηρίζεται ως καλή, μέτρια, σοβαρή ή κρίσιμη. Η διεύθυνση καταγράφει με 0 τον ανασφάλιστο ασθενή και με 1 τον ασφαλισμένο, και στη συνέχεια δίπλα γράφει ένα από τα γράμματα α, β, γ ή δ, ανάλογα με το αν η κατάστασή του είναι καλή, μέτρια, σοβαρή ή κρίσιμη. Θεωρούμε το πείραμα της κωδικοποίησης ενός νέου ασθενούς. Να βρείτε: i) Το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος. ii) Το ενδεχόμενο Α: «η κατάσταση του ασθενούς είναι σοβαρή ή κρίσιμη και είναι ανασφάλιστος». iii) Το ενδεχόμενο Β: «η κατάσταση του ασθενούς είναι καλή ή μέτρια». iv) Το ενδεχόμενο Γ: «ο ασθενής είναι ασφαλισμένος». v) Να περιγράψετε πρώτα και έπειτα να βρείτε τα ενδεχόμενα    και    .

Λύση i) Ο δειγματικός χώρος του πειράματος είναι:

Ω = {(0, α), (0, β), (0, γ), (0, δ), (1, α), (1, β), (1, γ), (1, δ)}. ii) Α = {(0, γ), (0, δ)}. iii) Β ={(0, α), (0, β), (1, α), (1, β)}. iv) Γ = {(1, α), (1, β), (1, γ), (1, δ)}. v) Το ενδεχόμενο    είναι: «η κατάσταση του ασθενούς είναι καλή ή μέτρια και είναι ασφαλισμένος », ενώ του    είναι: «η κατάσταση του ασθενούς είναι καλή ή μέτρια αλλά δεν είναι ασφαλισμένος ». Έχουμε:    = {(1, α), (1, β)} και    = {(0, α), (0, β)}. 

2. Ρίχνουμε ένα ζάρι δύο φορές. Να βρείτε: i) Το δειγματικό χώρο Ω του πειράματος.

ii) Το ενδεχόμενο Α: «Εμφανίζεται ακριβώς ένα εξάρι ». iii) Το ενδεχόμενο Β: «Το άθροισμα των ενδείξεων στις δύο ρίψεις είναι 8 ». iv) «Το αποτέλεσμα της 1ης ρίψης είναι μεγαλύτερο από το διπλάσιο του αποτελέσματος της 2ης ρίψης».

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

vi) Πραγματοποιείται μόνο το Α ή μόνο το Β. vii) Το Β πραγματοποιείται. viii) Πραγματοποιείται μόνο το Α. ix) Πραγματοποιείται μόνο το Β. 13. Ψάχνοντας κάποιος για ταξί θεωρεί ότι θα είναι τυχερός αν εξυπηρετηθεί το πολύ με το πέμπτο ταξί που περνά. Να βρεθεί ο δειγματικός χώρος. 14. Δύο ομάδες Α, Β παίζουν μεταξύ τους σε μια σχολική ποδοσφαιρική συνάντηση (οι αγώνες δεν τελειώνουν ποτέ με ισοπαλία). Νικήτρια θεωρείται η ομάδα που θα νικήσει σε δύο αγώνες στη σειρά ή σε δύο αγώνες ανεξαρτήτως σειράς. Να βρείτε: α) Το δειγματικό χώρο Ω των αποτελεσμάτων των αγώνων της συνάντησης. β) Τα ενδεχόμενα: i) ακριβώς μία νίκη της ομάδας Α, ii) καμία νίκη της ομάδας Α, iii) τουλάχιστον μία νίκη της ομάδας Α. γ) Πόσους αγώνες το πολύ θα είχε μία τέτοια ποδοσφαιρική συνάντηση. δ) Τι παρατηρείτε για τα ενδεχόμενα β(ii) και β(iii); 15. Δύο παίκτες παίζουν σκάκι και συμφωνούν νικητής να είναι εκείνος που θα κερδίσει πρώτος 3 παρτίδες ανεξαρτήτως σειράς. Αν Α είναι το αποτέλεσμα να κερδίσει μια παρτίδα ο πρώτος παίκτης και Β το αποτέλεσμα να κερδίσει μια παρτίδα ο δεύτερος παίκτης, τότε να βρεθούν: α) Όλα τα πιθανά αποτελέσματα, μέχρι να νικήσει κάποιος από τους παίκτες. β) Πόσες το πολύ και πόσες τουλάχιστον παρτίδες θα παιχτούν; γ) Τα ενδεχόμενα: i) Α: Παίζονται 4 παρτίδες. ii) Β: Κανένας παίκτης δεν κερδίζει δυο παρτίδες συνεχόμενες. iii) Γ: Ένας παίκτης κερδίζει τις δύο τελευταίες παρτίδες χωρίς να κερδίσει 3 συνεχόμενες. δ) Τα ενδεχόμενα:   ,   ,    .

2.2 2.2.1

Έννοια της πιθανότητας Σχετική συχνότητα

Αν σε ν εκτελέσεις ενός πειράματος τύχης ένα ενδεχόμενο Α πραγματοποιείται κ φορές, τότε το   πηλίκο ονομάζεται σχετική συχνότητα του Α και συμβολίζεται με f A . Είναι δηλαδή f A  .   π. χ Ρίχνουμε ένα ζάρι 60 φορές και παίρνουμε 7 φορές 1, 12 φορές 2, 13 φορές 3, 9 φορές 4, 10 φορές 5 και 9 φορές 6. Τότε:  Το ενδεχόμενο Α να φέρουμε 5 πραγματοποιείται 10 φορές, οπότε η σχετική συχνότητα του Α είναι 10 1 fA   . 60 6  Το ενδεχόμενο Β να φέρουμε αριθμό μεγαλύτερο του 4, δηλαδή να φέρουμε 5 ή 6 πραγματοποιείται 19 10 + 9 = 19 φορές, οπότε η σχετική συχνότητα του Β είναι f   . 60  Το ενδεχόμενο Γ να φέρουμε άρτιο αριθμό, δηλαδή να φέρουμε 2 ή 4 ή 6 πραγματοποιείται 12 + 9 + 30 1 9 = 30 φορές, οπότε η σχετική συχνότητα του Γ είναι f    . 60 2 Έστω ότι ο δειγματικός χώρος ενός πειράματος τύχης είναι το πεπερασμένο σύνολο   {1 , 2 ,...,  } , όπου {1} , {2 } , …, { } είναι τα απλά ενδεχόμενα του πειράματος. Τότε οι σχετικές συχνότητες των απλών ενδεχομένων γράφονται f  1 ή f 1 , f  2 ή f 2 , … , f   ή f  . Αν σε ν εκτελέσεις του πειράματος τα απλά ενδεχόμενα {1} , {2 } , …, { } πραγματοποιούνται    1 ,  2 ,...,   φορές αντιστοίχως, τότε οι σχετικές συχνότητές τους είναι f1  1 , f 2  2 , …, f       αντιστοίχως.

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

Σε ένα σχολείο το 5% των μαθητών δεν έχει κινητό, το 10% δεν έχει πρόσβαση στο internet και το 4% δεν έχει ούτε κινητό ούτε πρόσβαση στο internet. Επιλέγουμε τυχαίως ένα μαθητή. Να βρείτε την πιθανότητα να έχει κινητό και πρόσβαση στο internet.

Λύση Αν Α είναι το ενδεχόμενο να μην έχει κινητό και Β το ενδεχόμενο να μην έχει πρόσβαση στο internet, 5 10 4 τότε έχουμε: ( )   0,05 , ()   0,10 και (   )   0,04 . 100 100 100 Το ενδεχόμενο να μην έχει κινητό ή πρόσβαση στο internet είναι το    , ενώ το ενδεχόμενο να έχει κινητό και πρόσβαση στο internet είναι το (   ) Η ζητούμενη πιθανότητα είναι: [(   )]  1  (   )  1  [( )  ()  (   )]  89 . 100 Άρα 89 % είναι η πιθανότητα να έχει ένας μαθητής κινητό και πρόσβαση στο internet. 1  [0,05  0,10  0,04]  1  0,11  0,89 

10.



Σε έναν πάγκο ενός καταστήματος είναι ανακατωμένα παντελόνια τριών μεγεθών 1, 2, 3. Τα παντελόνια μεγέθους 3 είναι το 30% όλων των παντελονιών, ενώ τα παντελόνια μεγέθους 1 είναι το 40% των παντελονιών μεγέθους 2. Αν πάρουμε από τον πάγκο ένα παντελόνι στην τύχη για να το δοκιμάσουμε, ποια η πιθανότητα: α) Να μας κάνει, αν το μέγεθος που φοράμε είναι το 2; β) Να είναι μεγέθους 3 ή να μην είναι μεγέθους 1;

Λύση α) Αν Α, Β, Γ είναι τα ενδεχόμενα να είναι μεγέθους 1, 2, 3 αντίστοιχα, τότε τα Α, Β, Γ είναι προφανώς

ασυμβίβαστα, οπότε Ρ(Α) + Ρ(Β) + Ρ(Γ) = 1. (1) Από τα δεδομένα συμπεραίνουμε ότι: 30 3 40 4 και ( )   ( )    (  )   ( ) . 100 10 100 10 4 3 7 1 Από την (1) έχουμε: ()  ()   1  14()  7  ()   . 10 10 14 2 β) Το ενδεχόμενο «Να είναι μεγέθους 3 ή να μην είναι μεγέθους 1» είναι ισοπίθανο με το ενδεχόμενο «Να είναι μεγέθους 3 ή μεγέθους 2» δηλαδή το Επομένως . 4 4 1 1 7  (    )   (  )   (  )   (  )   ( )     . 10 10 2 2 10 

11. Σε μια τάξη της Β΄ λυκείου υπάρχουν 20 κορίτσια και 18 αγόρια. Από τα κορίτσια το

1 και από τα 4

1 είναι άριστοι στα Μαθηματικά. Καλούμε τυχαία ένα άτομο για μια εξέταση. Ποια η 3 πιθανότητα: α) Να μην είναι άριστο στα Μαθηματικά. β) Να είναι κορίτσι. γ) Να είναι κορίτσι άριστο στα Μαθηματικά. δ) Να είναι κορίτσι ή να μην είναι άριστο στα Μαθηματικά.

αγόρια το

Λύση Άριστοι στα Μαθηματικά είναι 5 κορίτσια και 6 αγόρια, ενώ 15 κορίτσια και 12 αγόρια δεν είναι άριστοι. α) Ο αριθμός όλων των μαθητών είναι 38, ο αριθμός όλων των άριστων στα Μαθηματικά είναι 11, ενώ των μη άριστων 27. Αν Μ είναι το ενδεχόμενο να είναι κάποιο άριστο στα Μαθηματικά, τότε η πιθανότητα να είναι μην 27 είναι άριστο είναι ( )  . 38 20 β) Αν Κ είναι το ενδεχόμενο να είναι κορίτσι, τότε η πιθανότητα είναι ( )  . 38

ΠΙΘΑΝΟΤΗΤΕΣ

λουκάνικο. Στις παραγγελίες που έγιναν μια ημέρα το 50% είχαν λουκάνικο, το 70% μανιτάρια., ενώ το 10% είχαν λουκάνικο αλλά όχι μανιτάρια. Επιλέγουμε μία πίτσα από αυτές που παραγγέλθηκαν στην τύχη. Να βρείτε τις πιθανότητες των ενδεχομένων: α) Η πίτσα να μην έχει μανιτάρια. β) Η πίτσα να έχει λουκάνικο. γ) Η πίτσα να έχει λουκάνικο και μανιτάρια. δ) Η πίτσα να έχει λουκάνικο ή μανιτάρια. ε) Η πίτσα να έχει μανιτάρια αλλά όχι λουκάνικο. 29. Από τους Κρητικούς που ζουν στην Αθήνα μία έρευνα έδειξε ότι το 60% πηγαίνουν διακοπές στην Κρήτη. Η πιθανότητα να μην πάνε διακοπές με καράβι είναι 30%, ενώ η πιθανότητα να πάνε στη Κρήτη αλλά όχι με καράβι είναι 10%. Επιλέγουμε τυχαία έναν Κρητικό που ζει στην Αθήνα. Να βρείτε τις πιθανότητες των παρακάτω ενδεχομένων: α) Να χρησιμοποιήσει ο Κρητικός, για να πάει διακοπές καράβι. β) Να πάει στην Κρήτη με καράβι. γ) Να πάει με καράβι αλλά όχι στην Κρήτη. δ) Να πάει στην Κρήτη ή να πάει με καράβι στο μέρος που έχει επιλέξει. ε) Να πάει στην Κρήτη αλλά όχι με καράβι ή να πάει με καράβι αλλά όχι στην Κρήτη . 30. Στο σύλλογο καθηγητών ενός λυκείου το 55% είναι γυναίκες, το 40% των καθηγητών είναι φιλόλογοι και το 30% είναι γυναίκες φιλόλογοι. Επιλέγουμε τυχαία έναν καθηγητή για να εκπροσωπήσει το σύλλογο σε κάποια επιτροπή. Να υπολογίσετε τις πιθανότητες ο καθηγητής να είναι: α) Γυναίκα ή φιλόλογος. β) Γυναίκα και όχι φιλόλογος. γ) Άνδρας και φιλόλογος. δ) Άνδρας ή φιλόλογος. 31. Για τα ενδεχόμενα Α, Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύουν Ρ(Α) = 0,4, P(A  B)  5P(A  B) και P(B)  2P(A) . Να αποδείξετε ότι: το ενδεχόμενο    είναι βέβαιο.

32. Αν P(A)  P(B) , τότε μπορούμε να πούμε ότι A  B ; Αν όχι τότε δώστε παράδειγμα. 33. Αν Α, Β είναι δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω, να αποδείξετε ότι: α) ( )  ()  1  (   ) .

2 3 και ()  , τότε τα Α, Β δεν είναι ασυμβίβαστα. 5 5 γ) (   )  1  ( ΄)  (΄) .

β) Αν ισχύει ( ) 

34.

Αν Α και Β είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω με ( )  0,6 και ()  0,7 , να αποδείξετε ότι 0,3  (   )  0,6 .

35.

Έστω Α και Β δύο ενδεχόμενα ενός δειγματικού χώρου Ω με P(A)  0, 4 και P(B)  0,8 . Να αποδείξετε ότι 0,6  P[(A  B)]  0,8 . 36. Αν Α και Β είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω, τέτοια ώστε να ισχύει ( )  1 και 2 2 ()  , τότε: α) Να αποδείξετε ότι: 3 1 1 1 5 1 i)  (   )  , ii)  [(   )]  , iii) (   )  . 6 2 2 6 3 β) Αν επιπλέον ισχύει Ρ[ (   ) ] = 2/3 να βρεθεί η πιθανότητα να πραγματοποιείται ένα ακριβώς από τα Α, Β . 37. Έστω ο δειγματικός χώρος   {1 , 2 } . Αν 2[(1 )]2  2[(2 )]2  1 , τότε να αποδείξετε ότι τα 1 , 2 είναι ισοπίθανα.

38. Αν για τα ενδεχόμενα Α και Β ενός δειγματικού χώρου Ω ισχύει

P(A  B)  P(A)  P(B) , να αποδείξετε ότι P[(A  B)]  P(A)  P(B) .

39.

Να δείξετε ότι 1  (   )  ( )  ()  2 (   ) , όπου Α, Β είναι ενδεχόμενα του ίδιου δειγματικού χώρου Ω. 40. Έστω Ω ένας δειγματικός χώρος με πεπερασμένο πλήθος στοιχείων και Α, Β υποσύνολα του Ω. Υποθέτουμε ότι ( )  0, 28 και ()  0,71 . Να αποδείξετε ότι: α) P(A  B)  1,01  (   ) και β)      .

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

3. Να βρείτε τις αριθμητικές τιμές των παραστάσεων που ακολουθούν, για x = 0,8 και α) x 7 y3 (x 3 y 4 ) 2 : (x 2 : y) 2 ,

y  1, 25 .

β) [(x 2 y 1 ) 2 : (xy7 ) 1 ]3 .

4. Για ποια τιμή του κ η παράσταση

α 2κ 1  β3κ 4 γράφεται στη μορφή (αβ) λ ;

5. Να βρείτε τα αποτελέσματα στις παρακάτω πράξεις:: 3

α) 2 2  4 2 ,

β) (0,015) 2  5 2  (0,18) 3  6 3 ,

γ) 3 2  33  (3 2 ) 3  (3 3 ) 2 .

6. Με τη βοήθεια των ιδιοτήτων των δυνάμεων να απλοποιήσετε την παράσταση Α=

302  48  2, 25  72  144  (0,001) 2 3

(0,12)3  (15) 4  52  4001  69

3.1.4

και να εξετάσετε, αν είναι ίση με 3.

Ταυτότητες

Από το γυμνάσιο μας είναι γνωστή η έννοια της ταυτότητας Συγκεκριμένα: Κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται για όλες τις τιμές των μεταβλητών αυτών λέγεται ταυτότητα. π. χ η ισότητα α + β = β + α είναι ταυτότητα , γιατί αληθεύει όποια τιμή και αν πάρουν οι α, β, ενώ η α + 2 = 4 δεν είναι , γιατί αληθεύει μόνο για α = 2. Αναφέρουμε τις πιο γνωστές ταυτότητες:

1, (α  β) 2  α 2  2αβ  β 2

2. (α  β) 2  α 2  2αβ  β 2

Δίνουμε μερικά παραδείγματα.

α) 1092  (100  9) 2  1002  2  100  9  92  11.881 , β) 982  (100  2) 2  1002  2  100  2  22  9.604 , 3 3 3 12 3 9 x y  y 2 και 5 5 5 5 25 δ) (α  2β) 2  (2α  β) 2  α 2  4αβ  4β 2  4α 2  4αβ  β 2  5α 2  5β 2 .

γ) (2x 3  y) 2  (2x 3 ) 2  2  2x 3  y  ( y) 2  4x 6 

3. α 2  β 2  (α  β)(α  β) Δίνουμε μερικά παραδείγματα.

α) 107 2  7 2  (107  7)(107  7)  114  100  11.400 , β) 89  111  (100  11)(100  11)  1002  112  10.000  121  9.879 , γ) (2x  1) 2  (x  3) 2  [(2x  1)  (x  3)][(2x  1)  (x  3)]  (3x  2)(x  4) και (α  β  γ)(β  γ  α)  [γ  (α  β)][γ  (α  β)]  γ 2  (α  β) 2  γ 2  α 2  β 2  2αβ .

δ) (4x 2  y 2 )(2x  y)(2x  y)  (4x 2  y 2 )(4x 2  y 2 )  (4x 2 ) 2  (y 2 ) 2  16x 4  y 4 4. (α  β) 3  α 3  3α 2β  3αβ 2  β 3

5. (α  β) 3  α 3  3α 2β  3αβ 2  β 3

Δίνουμε δυο παραδείγματα.

α) (2x  3y)3  (2x)3  3  (2x) 2  3y  3  2x  (3y) 2  (3y)3  8x 3  36x 2 y  54xy 2  27y3 , β) (α  β)5  (α  β) 3 (α  β) 2  (α 3  3α 2β  3αβ 2  β 3 )(α 2  2αβ  β 2 )  α5  2α 4β  α3β 2  3α 4β  6α 3β 2  3α 2β 3  3α 3β 2  6α 2β 3  3αβ 4  α 2β 3  2αβ 4  β 5  α5  5α 4β  10α3β 2  10α 2β3  5αβ 4  β 5 .

6. α 3  β 3  (α  β)(α 2  αβ  β 2 )

7. α 3  β 3  (α  β)(α 2  αβ  β 2 )

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

με x, του δεύτερου με y και του τρίτου με z) x 3  xyz y3  yzx z3  xyz x 3  y3  z3  3xyz Έστω λ  , τότε λ  ή   αx βy γz αx  βy  γz λ

(x  y  z)(x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx) . (2) αx  βy  γz

x 2  yz έχουμε αλ  x 2  yz . Ομοίως βλ  y 2  zx και αλ  z 2  xy , α οπότε αλ  βλ  γλ  x 2  y 2  z 2  xy  yz  zx . (x  y  z)(αλ  βλ  γλ) Από τη (2) έχουμε λ  ή αx  βy  γz λ(αx  βy  γz)  λ(x  y  z)(α  β  γ) ή αx  βy  γz  (x  y  z)(α  β  γ) .

Από λ 

3.1.10

Ασκήσεις

Α΄ Ομάδα

1. Συμπληρώστε τις παρακάτω ταυτότητες

α) (  .......)2  ........  .........  4 , γ) .........  ........  (x  .......)(......  2) , ε) (  ........)3  .........  3 2  ........  ........ ,

β) (......  .......)2  ........  6x  ........ , δ) (  ......) 3  .......  ......  .......  8 , στ) 3  ........  (........  3)(.....  ........  .......) ,

x 3 2. Να συμπληρώσετε τα κενά ώστε να προκύπτουν τέλεια τετράγωνα.

ζ) (  .......)2  ........  x  .......... α) x 2  2x  ..... , δ) x 2  2  ........... ,

β) 36x 2  ........  25y 2 , ε) 36x 2  ...........  49 y 2 ,

γ) 9x 2  5  ...... στ) 4x 2  5x  ............. .

3. Να σημειώσετε τη σωστή απάντηση στις παρακάτω ερωτήσεις:

α) Αν ισχύει (  ) 2   2   2 , τότε είναι: Α.   0 μόνο, Β.   0 μόνο, Γ.   0 ή   0 , Δ.     0 . β) Η παράσταση  2   2 είναι ίση με: Α. (  ) 2 , Β. (  ) 2  2 , Γ. 2  (  ) 2 , Δ. (  ) 2  2 .

γ) Η παράσταση 2   2   2 είναι ίση με: Α. (  ) 2 , Β.  (  ) 2 , Γ.  (  ) 2 , Δ. (  )(  ) .

4. Συνδέστε με μια γραμμή κάθε ταυτότητα της στήλης Α με το ανάπτυγμά της στη στήλη Β Στήλη (Α) Ταυτότητα 1  x   x 

(2 - x)2

x2 – 4  1 1    x

Στήλη (Β) Ανάπτυγμα x2 

(x – 2) (x + 2) x2 

1 2 x2

1 x2

x2 - 4x + 4

(1 - x) (1 + x) x 2  2x  1 x2

5. Ποιες από τις παρακάτω προτάσεις είναι σωστές;

α) (  ) 2  (  ) 2 , β) (  ) 2  (  ) 2 , γ) (  ) 3  (  ) 3 , δ)  2   2   2  () 2 , ε) (     ) 2  (     ) 2 . 6. Με κατάλληλη χρήση των ταυτοτήτων, βρείτε τα αποτελέσματα: α) 1012 , β) 11288, 7. Να αποδείξετε τις ταυτότητες: α) ( 2   2 ) 2  (2) 2  ( 2   2 ) 2 . β) (α 2  β 2 )(γ 2  δ 2 )  (αγ  βδ) 2  (αδ  βγ) 2 . γ) α 4  β 4  γ 4  2α 2β 2  2β 2 γ 2  2γ 2 α 2  (α  β  γ)(α  β  γ)(α  β  γ)(α  β  γ) .

γ) 97 2.

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

1  2  ...     έχουμε:    ...      ...  ή     . Αντίστροφο: Θα χρησιμοποιήσουμε την απαγωγή σε άτοπο. Υποθέτουμε ότι, από     δεν έπεται α > β. Τότε θα είναι ή α = β ή α < β. 

Αν α = β, από τις ιδιότητες της ισότητας έχουμε:    ...      ...  ή     , που είναι άτοπο.



Αν α < β, τότε β > α , οπότε από το ευθύ έχουμε:     ή     , που είναι άτοπο. Άρα, α > β.

8. Ισχύει η ισοδυναμία: Αν α, β είναι θετικοί αριθμοί και ν θετικός ακέραιος, τότε:        Απόδειξη Ευθύ: Αν α = β, από τις ιδιότητες της ισότητας έχουμε:    ...      ...  ή     . Αντίστροφο: Θα χρησιμοποιήσουμε την απαγωγή σε άτοπο. Υποθέτουμε ότι, από     δεν έπεται α = β. Τότε θα είναι α  β. Δηλαδή ή α > β ή α < β. 

Αν α > β, τότε από την προηγούμενη ιδιότητα παίρνουμε     , που είναι άτοπο.



Αν α < β, τότε     , που είναι άτοπο. Άρα, α = β.

3.2.3

Μόνιμες ανισότητες

Είδαμε σε προηγούμενη παράγραφο ότι, κάθε ισότητα που επαληθεύεται για όλες τις τιμές των μεταβλητών που περιέχει είναι ταυτότητα. Αντίστοιχα κάθε ανισότητα που επαληθεύεται για όλες τις τιμές των μεταβλητών που περιέχει λέγεται μόνιμη ανισότητα. Οι πιο γνωστές μόνιμες ανισότητες είναι οι παρακάτω:

i) x 2  y 2   2xy ,

ii) (x  y)2  4xy ,

iii) x 2  xy  y 2  0

Απόδειξη i) Ισχύει (x  y) 2  0 ή x 2  2xy  y 2  0 , οπότε x 2  y 2  2xy . ii) Η (x  y) 2  4xy γράφεται ισοδύναμα x 2  2xy  y 2  4xy ή x 2  2xy  y 2  0

(x  y) 2  0 που ισχύει, οπότε ισχύει και η (x  y) 2  4xy .

iii) Έστω ότι ισχύει x 2  xy  y 2  0 . Τότε 2(x 2  xy  y 2 )  0  2x 2  2xy  2y 2  0  x 2  2xy  y 2  x 2  y 2  0  (x  y) 2  x 2  y 2  0 , η οποία ισχύει.

3.2.4

Τρόποι λύσης ασκήσεων ανισοτήτων

Όταν θέλουμε να αποδείξουμε την αλήθεια μιας ανισότητας ακολουθούμε συνήθως έναν από τους παρακάτω τρόπους. (Αναφέρουμε εδώ τους πιο συνηθισμένους. Ο καθένας που προσπαθεί να λύσει μια άσκηση στα μαθηματικά μπορεί να προσεγγίσει τη λύση με το δικό του τρόπο, αρκεί ο τρόπος αυτός να είναι σύμφωνος με τους κανόνες της θεωρίας και της λογικής. Να θυμάστε ότι, σχεδόν πάντα μια άσκηση δεν έχει ένα μόνο τρόπο λύσης).

Α. Ξεκινάμε από τα δεδομένα και με τη βοήθεια των ιδιοτήτων των ανισοτήτων προσπαθούμε να φθάσουμε στο ζητούμενο.

Δίνουμε δύο παραδείγματα. x y  ,   ενώ αν α < β < 0 και 0 < x < y να αποδείξετε ότι βx > αy .

i) Αν 0 < β < α και 0 < x < y να αποδείξετε ότι Λύση

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

Το σύνολο των πραγματικών αριθμών x, με α < x, συμβολίζεται με (α,   ) . Το σύνολο των πραγματικών αριθμών x, με x < α, συμβολίζεται με (  , α) . Τα σύμβολα   και   διαβάζονται «συν άπειρο» και «πλην άπειρο» αντίστοιχα, και δεν παριστάνουν πραγματικούς αριθμούς. Όλα τα παραπάνω συνοψίζονται στον παρακάτω πίνακα  

ΔΙΑΣΤΗΜΑ

3.2.6

ΑΝΙΣΟΤΗΤΑ ΣΥΜΒΟΛΙΣΜΟΣ

x΄

α x β

[α, β]

x΄

α x β

[α, β)

x΄

α x β

(α, β]

x΄

α x β

(α, β)

x΄

x α

[α,  )

x΄

x α

(α,  )

x΄

x α

(, α]

x΄

x α

(, α)

Λυμένες ασκήσεις

1 , όταν x αρνητικός. x β) 2(αx + βy) και (α +β)( x + y), αν α > β > 0 και x > y > 0.

1. Να συγκρίνετε τους αριθμούς : α) 2

και x 

Λύση

α) Βρίσκουμε το πρόσημο της διαφοράς x  Έχουμε: x 

1 2. x

1 1 x 2  1  2x (x  1) 2 2   0 . Άρα x   2 . x x x x

─∙─

β) Έχουμε: (α  β)(x  y)  2(αx  βy)  αx  αy  βx  βy  2αx  2βy  αy  βx  αx  βy  α(y  x)  β(y  x)  (y  x)(α  β) . Επειδή y – x < 0 και α – β > 0 είναι (y  x)(α  β) < 0, οπότε (α  β)(x  y)  2(αx  βy) 

2. Αν

α < β – 2 και β < 5, να αποδείξετε ότι α < 3.

Λύση Οι δυο ανισότητες έχουν την ίδια φορά, οπότε μπορούμε να τις προσθέσουμε κατά μέλη και έχουμε α + β < β – 2 + 5 ή α < 3. 

3. Αν  1  x  3 και  2  y  5 , να βρεθεί μεταξύ ποιών αριθμών περιέχεται η τιμή της 2 4 3 6 παράστασης Α = 8x – 12y + 3. Λύση Πολλαπλασιάζουμε την 

1 3  x  με το 8 και έχουμε 4  8x  6 . (1) 2 4

3.3  Απόλυτη τιμή πραγματικού αριθμού 3.3.1

Ορισμός της απόλυτης τιμής

Έστω ο πραγματικός αριθμός α και Α η εικόνα του πάνω σε έναν άξονα x΄x. H απόσταση του x΄

σημείου Α από την αρχή Ο, δηλαδή το μήκος του ευθύγραμμου τμήματος ΟΑ, ονομάζεται απόλυτη τιμή του πραγματικού αριθμού α, και συμβολίζεται με α . Έτσι, αν Α είναι η εικόνα του 4 στον άξονα, τότε το μήκος του ΟΑ είναι 4 μονάδες, οπότε 4  4 . 3 3  και γενικά: α  α , για κάθε α > 0. 5 5 Δηλαδή: Η απόλυτη τιμή ενός θετικού αριθμού είναι ο ίδιος ο αριθμός.

Ομοίως

3  3 , 3,14  3,14 ,

-2 x΄

4 Ο

Αν Β είναι η εικόνα του – 2 στον άξονα, τότε το μήκος του ΟΒ είναι 2 μονάδες, οπότε 2  2 . 2 2  και γενικά: α   α , για κάθε α < 0. 7 7 Δηλαδή: Η απόλυτη τιμή ενός αρνητικού αριθμού είναι ο αντίθετός του. Η αρχή των αξόνων Ο είναι εικόνα του 0, οπότε 0  0 . Από τα παραπάνω μπορούμε να δώσουμε τον ακόλουθο αλγεβρικό ορισμό της απόλυτης τιμής πραγματικού αριθμού.

Ομοίως  2  2 , 5, 2  5, 2 , 

Η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού α συμβολίζεται με α και ορίζεται από τον τύπο:  α, αν α  0 α    α, αν α  0

π. χ 

7  7 ,

5  2  3  3 , 2  5  3  3 .

5  2  5  2 , γιατί

5  2 , οπότε

5  2  0 , ενώ 2  5  (2  5)  5  2 .

 Αν α < β < γ, τότε        ,        , γιατί α – β < 0 και γ – β > 0.  x 2  4 x  4  x 2  4 x  4 , γιατί x 2  4 x  4  ( x  2) 2  0 .

Πως ” διώχνουμε ” από μια παράσταση τα απόλυτα Στις ασκήσεις, όπου εμφανίζονται παραστάσεις με απόλυτα, θα πρέπει να γράψουμε συνήθως τις παραστάσεις χωρίς απόλυτα, δηλαδή, θα πρέπει όπως λέμε, να διώξουμε τα απόλυτα. π. χ Αν θέλουμε να υπολογίσουμε την τιμή της παράστασης   2 4  3 2  5 2  4 έχουμε:   2 4  3 2  5 2  2  4  3  2  5  2  4 .

Στο παράδειγμα δεν αντιμετωπίσαμε κανένα πρόβλημα, γιατί οι αριθμοί που βρίσκονται μέσα στο σύμβολο του απόλυτου είναι συγκεκριμένοι. Η δυσκολία υπάρχει, όταν οι αριθμοί που βρίσκονται μέσα στο σύμβολο του απόλυτου είναι είναι γενικοί, όπως για παράδειγμα η παράσταση   x  3  2  x , όπου ο x είναι ένας οποιοσδήποτε πραγματικός αριθμός. Σ’ αυτές τις περιπτώσεις προσπαθούμε να βρούμε το πρόσημο κάθε παράστασης που βρίσκεται μέσα

ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΟΙ ΑΡΙΘΜΟΙ

3.3.2

Ιδιότητες των απολύτων τιμών

Από τους παραπάνω ορισμούς, τις πράξεις και τις ιδιότητές τους προκύπτουν για τις απόλυτες τιμές οι παρακάτω ιδιότητες.

Για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό α ισχύει

α 0

Δηλαδή, η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού είναι πάντοτε μη αρνητικός αριθμός. Αυτό συμβαίνει γιατί το μήκος ενός ευθύγραμμου τμήματος ΟΑ είναι πάντοτε θετικός αριθμός ή μηδέν (μη αρνητικός) και η απόλυτη τιμή είναι ίση με το μήκος του ΟΑ. π.χ. i) 4  4  0 ,

ii) Για το x  3 έχουμε: Αν x > 3, τότε x  3  x  3  0 . Αν x < 3, τότε

x  3   x  3  0 . Τέλος αν x = 3, τότε x  3  0 .

Άρα σε κάθε περίπτωση x  3  0 .

Για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό α ισχύει

α  α

Δηλαδή, οι απόλυτες τιμές δύο αντίθετων αριθμών είναι ίσες. Πράγματι. Αν   0 , τότε    και α  α . Αν α < 0, τότε    και α  α , γιατί – α > 0. π. χ

7  7  7 ,

52  25 3, x 2  2x .

Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύουν    και   

Δηλαδή, η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού είναι πάντοτε μεγαλύτερη ή ίση και από τον αριθμό και από τον αντίθετό του. Πράγματι. Έστω ότι έχουμε το θετικό αριθμό α. Τότε    > – α. Δηλαδή    και    Αν ο α είναι αρνητικός, τότε    > α. Δηλαδή    και    2

Για κάθε πραγματικό αριθμό α ισχύει α  α 2  α 2

Δηλαδή, αν η απόλυτη τιμή ενός πραγματικού αριθμού είναι υψωμένη στο τετράγωνο, τότε μπορούμε να διώξουμε το απόλυτο. 2

Πράγματι. Αν   0 , τότε    και    2 , ενώ αν α < 0, τότε    ή

  (  ) 2   2 .

 Το παραπάνω ισχύει και όταν ο εκθέτης είναι οποιοσδήποτε άρτιος αριθμός.

Δηλαδή, αν κ ακέραιος , τότε 

2

  2 . 2

π. χ i) 2  2  1  (  1) 2  (  1) 2    1 και α  2β  7

 (α  2β  7)12 .

( x  1)( x  1) x  1 x 1 x2 1  ii) , για x  0 .   x( x  1) x x( x  1) x( x  1)

αβ  α  β

Δηλαδή, η απόλυτη τιμή του γινομένου δύο πραγματικών αριθμών ισούται με το γινόμενο των απολύτων τιμών τους.

Απόδειξη

3.4  Ρίζες πραγματικών αριθμών 3.4.1

ν-οστή ρίζα μη αρνητικού αριθμού

Στο Γυμνάσιο μάθαμε την έννοια της τετραγωνικής ρίζας μη αρνητικού αριθμού. Συγκεκριμένα: Τετραγωνική ρίζα ενός μη αρνητικού αριθμού α είναι ο μη αρνητικός αριθμός x, που συμβολίζεται με  και που, αν υψωθεί στο τετράγωνο, δίνει τον α. Γενικεύοντας τον παραπάνω ορισμό για οποιονδήποτε θετικό ακέραιο ν, δίνουμε τον ορισμό της ν-οστής ρίζας. ν – οστή ρίζα (ν θετικός ακέραιος) ενός μη αρνητικού αριθμού α είναι ο μη αρνητικός αριθμός x, που συμβολίζεται με   και που, αν υψωθεί στη ν, δίνει τον α. Η ν – οστή ρίζα διαβάζεται: νιοστή ρίζα του α ή ρίζα ν τάξης του α. είναι το σύμβολο της ρίζας, ο θετικός ακέραιος ν ονομάζεται δείκτης της ρίζας και ο αριθμός α ονομάζεται υπόρριζο ή υπόρριζη ποσότητα.  Το σύμβολο



 Γράφουμε:

   και

 .

 Η τρίτη ρίζα του α, δηλαδή η

 , διαβάζεται και κυβική ρίζα του α.

 Από τον ορισμό είναι φανερό ότι, αν   0 , τότε ισχύει η ισοδυναμία: 

Το παραπάνω σημαίνει ότι η π. χ



  x  x  

 ,   0 , παριστάνει τη μη αρνητική λύση της εξίσωσης x    .

9  3 , γιατί 32  9 ,

32  2 , γιατί 25  32 και

1  1 , γιατί 14  1 .

Σχόλια α) Από τον ορισμό της ρίζας είναι φανερό ότι, το σύμβολο της ρίζας χρησιμοποιείται μόνο στην περίπτωση που το υπόρριζο είναι μη αρνητικός αριθμός και ο δείκτης θετικός ακέραιος. π. χ 4

Μπορούμε να γράφουμε

(2) 4 γιατί (2) 4  0 , αλλά όχι

4

5

(2) 3 , γιατί (2) 3  0 .

 Όταν λοιπόν, γράφουμε

εξασφαλίσει, ότι A  0 .



A , όπου Α μπορεί να είναι και μια παράσταση, πρέπει να έχουμε

π. χ Η x 2  1 έχει πάντοτε έννοια, γιατί x 2  1  0 , για κάθε τιμή του x,ενώ η μόνο όταν x  1  0 , δηλαδή, όταν x  1

x  1 έχει έννοια,

β) Από τον ορισμό της ρίζας είναι φανερό επίσης ότι, το αποτέλεσμα μιας ρίζας, είναι μη αρνητικός αριθμός. Δηλαδή αν π. χ



A  B , τότε Β  0.

9  3 και όχι – 3, παρόλο ότι (3) 2  9 .

3.4.2

16  2 και όχι – 2, παρόλο ότι (2) 4  16 .

Ιδιότητες των ριζών

1. Αν υψώσουμε μια ρίζα στο δείκτη της, παίρνουμε το υπόρριζο. Δηλαδή

Απόδειξη

Για κάθε α  0 ισχύει ( ν α ) ν  α

4.ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 4.1

Εξισώσεις 1ου βαθμού

4.1.1 Η εξίσωση

αx + β = 0

Γνωρίζουμε ότι: Εξίσωση λέγεται κάθε ισότητα που περιέχει μεταβλητές και επαληθεύεται μόνο για ορισμένες τιμές των μεταβλητών της. π. χ η ισότητα β – 2 = 5 είναι εξίσωση, γιατί αληθεύει μόνο για β = 7, όπως και η x 2  5x  6 , γιατί αληθεύει μόνο για x = 2 ή x = 3. Ο αριθμοί 7 για την πρώτη και 2 και 3 για τη δεύτερη εξίσωση του παραδείγματος, δηλαδή, οι τιμές των μεταβλητών που επαληθεύουν την εξίσωση, λέγονται ρίζες ή λύσεις της εξίσωσης. Η διαδικασία που ακολουθούμε για να βρούμε τις ρίζες μιας εξίσωσης, λέγεται επίλυση ή λύση της εξίσωσης. Κάθε εξίσωση της μορφής αx + β = 0 , όπου α, β είναι πραγματικοί αριθμοί και α  0 , λέγεται εξίσωση πρώτου βαθμού.  Στο Γυμνάσιο μάθαμε τον τρόπο επίλυσης εξισώσεων της μορφής αx + β = 0 για συγκεκριμένους

πραγματικούς αριθμούς α, β με α  0 . Τον θυμίζουμε με δύο παραδείγματα:

x 2x  1 1 6 x   (  ) 6 3 3 5 3 x 2x  1 6 x εκτελούμε πρώτα τις πράξεις    , 6 3 15 9 βρίσκουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο όλων των παρονομαστών, εδώ είναι το 90, και πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους με το Ε.Κ.Π: x 2x  1 6 x ή 15x  30(2x  1)  6  6  10x . 90   90   90   90  6 3 15 9 Εκτελούμε τις πράξεις: 15x  60x  30  36  10x , χωρίζουμε γνωστούς από άγνωστους: 15x  60x  10x  36  30 ή 35x  6 και τέλος διαιρούμε με το 35x 6 6 συντελεστή του άγνωστου: ή x .  35 35 35

α) Για να επιλύσουμε την εξίσωση



x 8 x  4 12 β) Για να επιλύσουμε την εξίσωση ,   2 x 1 x 1 x 1 αναλύουμε όλους τους παρονομαστές σε γινόμενο παραγόντων και βρίσκουμε πότε έχουν έννοια τα x 8 x  4 12 κλάσματα: , πρέπει x  1 και x  1 .   x  1 x  1 (x  1)(x  1) Βρίσκουμε το Ε.Κ.Π όλων των παρονομαστών που είναι το (x  1)(x  1) και πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους με το Ε.Κ.Π: x 8 x4 12 (x  1)(x  1)  (x  1)(x  1)  (x  1)(x  1)  x 1 x 1 (x  1)(x  1) (x  1)(x  8)  (x  1)(x  4)  12  x 2  8x  x  8  (x 2  4x  x  4)  12 

x 2  8x  x  8  x 2  4x  x  4  12  8x  x  4x  x  12  8  4  10x 16 8 10x  16    x   , η οποία είναι δεκτή, γιατί δεν είναι το 1 ή το – 1. 10 10 5

124

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

38. α) Να επιλύσετε την εξίσωση

(x  3)3  (3x  4)3  (7  4x)3  0 . (1) β) Αν ρ είναι ακέραια λύση της εξίσωσης (1), τότε να αποδείξετε ότι, η ως προς x εξίσωση (κ 1) 2 x 2  (κ 2  3λ  κ  κρλ)x  3κλ  0 (2) έχει άνισες ρίζες για κάθε κ  1 και κ  3λ .

39. Για τους διάφορους μεταξύ τους αριθμούς α, β, γ ισχύει η ανισότητα. (2   )[(   ) 2  2( 2   )]  2( 2   2    2    2 ) . (1)

Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x 2  2x    0 έχει δυο ρίζες άνισες.

40. Ένα τηλεφώνημα γρίφος

Εβελίνα γεια. Ωραίο το στήσιμο του Σαββάτου. Άσε Νικόλα, υποχρεώσεις. Δηλαδή; Έχουν έλθει με την ανταλλαγή 3 Ιταλοί και τους πήγαμε για φαγητό. Ξηλωθήκαμε πάλι . Πολλά ; Όλοι μαζί 120 € . Ήσασταν πολλοί ; Επειδή είχαμε τους Ιταλούς, πληρώσαμε 9 € ο καθένας παραπάνω . Πλάκα μου κάνεις; Άλλο σε ρώτησα . Νίκο μη με ζαλίζεις, σου απάντησα. Άντε γεια τώρα γιατί βιάζομαι. Δεν πρόλαβα να μιλήσω, γιατί έκλεισε το τηλέφωνο . Η περιέργεια με σκότωσε. Πόσοι άραγε ήταν στην παρέα; 41. Να αποδείξετε ότι, η εξίσωση  2 x 2  3 2 x  2 x  6 2    22  0 με α, β , γ ρητούς, έχει ρητές ρίζες. 42. Από το στόμιο πηγαδιού αφήνουμε μια πέτρα να πέσει. Ο χρόνος, που μετρήσαμε από τη στιγμή που αφήνουμε την πέτρα μέχρι να ακούσουμε το χτύπο της στο νερό, βρέθηκε ίσος με 3 sec.Να υπολογίσετε το βάθος του πηγαδιού, αν δίνεται g  10m / sec 2 και η ταχύτητα του ήχου είναι 340m/sec.

43.

Το μήκος τμήματος ενός ποταμού ανάμεσα σε δύο πόλεις Α και Β είναι 3,5 km. Μια βάρκα χρειάστηκε μία ώρα και 40 λεπτά για να πάει από την πόλη Α στην πόλη Β και να γυρίσει. Αν το ρεύμα του ποταμού έχει ταχύτητα 2 km/h, να βρείτε την ταχύτητα της βάρκας σε ακίνητο νερό. 44. Δεξαμενή γεμάτη νερό αδειάζει από δύο βρύσες που είναι ανοιχτές συγχρόνως για 15 ώρες. Η μία από αυτές αδειάζει μόνη της τη δεξαμενή, αν είναι ανοιχτή 16 ώρες περισσότερο από τη δεύτερη. Σε πόσο χρόνο αδειάζει τη δεξαμενή κάθε βρύση μόνη της; 45. Ο θαλαμίσκος ενός ασανσέρ κατεβαίνει μέσα στο φρεάτιο με σταθερή ταχύτητα   5m / sec . Όταν ο θαλαμίσκος έχει διατρέξει 30m, μια πέτρα αφήνεται από την κορυφή του φρεατίου. Να βρείτε σε ποια θέση και μετά πόσο χρόνο, η πέτρα θα φτάσει το θαλαμίσκο. (Δίνεται: g  10m / sec 2 ).

46. α) Αν x, y ρητοί, λ > 0 και

 άρρητος τότε να αποδείξετε ότι: x  y   0  x  0 και y  0 .

β) Να δειχθεί ότι, αν α, β, γ, κ ρητοί αριθμοί, λ > 0 και  άρρητος και η εξίσωση, αx 2 + βx + γ = 0 με α  0, έχει ρίζα τον αριθμό    , τότε έχει ρίζα και τον    . π.χ Η εξίσωση x2 – 4x – 41 = 0 έχει ρίζες τους αριθμούς: 2 +3 5 και 2 – 3 5 .

4.3.2

Άθροισμα και γινόμενο ριζών

Άθροισμα και γινόμενο ριζών Αν ρ1, ρ2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης αx2 + βx + γ = 0, α  0 και συμβολίσουμε με S το άθροισμα και με P το γινόμενο των ριζών της , τότε θα έχουμε: β (β) 2  (  ) 2         S = ρ1 + ρ2 = + = – και P = ρ1ρ2 = . =  α 4α 2 2 2 2 2 β 2   β 2  β 2  4αγ 4αγ γ   2  . Έχουμε λοιπόν τους τύπους: 4α 2 4α α 4α 2

ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

131

[(1  2 ) 2  212 ]2  2(1 2 ) 2 (  2  2 ) 2  2 2  4  4 2   2 2 .   4 4 4 

13. Αν ρ είναι ρίζα της

x  x    0 , να αποδείξετε ότι        .

Λύση Επειδή ο ρ είναι ρίζα της εξίσωσης έχουμε: 2      0   2       2         .

Επειδή        ,

2  



    έχουμε:        . 

14. Αν

0  1  2  0 είναι οι ρίζες της εξίσωσης x 2  x  2  0 , να βρείτε την τιμή του αριθμού λ,

ώστε να ισχύει: 13  12 (21  2 )  21  1 . (1)

Λύση 2

Ισχύει 1  1  2  0 , οπότε 12  1  2 . (2) 3

Πολλαπλασιάζουμε τη (2) με λ, οπότε: 1  1  21 . (3) 2

Η (1) λόγω της (3) γράφεται: 1  21  1 2 (21   2 )  21  1 . (4) 2

Επειδή 1 2 = 2λ και 1  2  1 , η (4) γράφεται: 1  21  2 (21   2 )  21  1 ή 12  2 (1  21  2 )  21  1 ή 12  2 (1  2 )  21  1 ή 2

1  2  21  1 και λόγω της (2) 1  2  2  21  1 ή 1 4 1  , οπότε από την ισότητα 1  2  1 έπεται 2   . 3 3 1 4 2 Από την 1 2 = 2λ τέλος έχουμε  ( )  2     . 3 3 9 

15.

Αν οι αριθμοί 1 , 2  0 είναι ρίζες των εξισώσεων x 2  x    0 και x 2     x     0 , με ν   θετικό ακέραιο και άρτιο, να αποδείξετε ότι οι αριθμοί 1 , 2 είναι ρίζες της εξίσωσης 2 1 x   1  (x  1)  0 .

Λύση 2

2



1    1    0 ,   (1   2 )    1 2 , οπότε: 1  [(1  2 )] 1  (1 2 )  0

Είναι



και αν διαιρέσουμε με 1 , 1  (1  2 )   2  0 ή 



 1   1        1  1  0 ( διαιρέσαμε με 1 ). Η τελευταία δηλώνει ότι ο αριθμός    2  2   της x   1  (x  1)  0 . Ομοίως για τον 2 . 1

1 είναι ρίζα 2



16.

Αν 1 , 2 είναι οι ρίζες της εξίσωσης x 2  x    0 , με α  0 έχουμε: 1  1    0 και 2



 1

 2



 1

 2

2  2    0 , οπότε: 1  1  1  0 και 2  2  2  0 . Προσθέτουμε τις τελευταίες ισότητες κατά μέλη και έχουμε:    1  1  2  2 (1  2 )  (1   2 )   (1   2 )  0 ή S  S 1  S  2  0 ( Τ )

Ο τύπος (Τ) χρησιμοποιείται για να υπολογίζουμε το άθροισμα των ν - οστών δυνάμεων των ριζών. π.χ Αν θέλουμε να υπολογίσουμε το S5 στην εξίσωση x 2 – 2x – 1 = 0, βρίσκουμε διαδοχικά: S1 = 2.

5.ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ 5.1 Ανισώσεις 1ου βαθμού 5.1.1 Οι ανισώσεις

αx + β > και αx + β < 0

 Στο Γυμνάσιο μάθαμε τον τρόπο επίλυσης ανισώσεων της μορφής αx + β > 0 ή αx + β < 0, για

συγκεκριμένους πραγματικούς αριθμούς α, β με α  0 . Τον θυμίζουμε με ένα παράδειγμα:

x 2x  1 1 6 x   (  ) 6 3 3 5 3 x 2x  1 6 x εκτελούμε πρώτα τις πράξεις    , 6 3 15 9 βρίσκουμε το ελάχιστο κοινό πολλαπλάσιο όλων των παρονομαστών, εδώ είναι το 90, και πολλαπλασιάζουμε όλους τους όρους και στα δύο μέλη με το Ε.Κ.Π:

Για να επιλύσουμε την ανίσωση

ΠΡΟΣΟΧΗ !!! Για να πολλαπλασιάσουμε με το Ε.Κ.Π πρέπει να ξέρουμε το πρόσημό του. Έτσι:

Αν το Ε.Κ.Π είναι θετικός αριθμός, πολλαπλασιάζουμε χωρίς να αλλάξουμε τη φορά της ανίσωσης, ενώ αν είναι αρνητικός, πολλαπλασιάζουμε και συγχρόνως αλλάζουμε τη φορά της ανίσωσης. Εδώ έχουμε Ε.Κ.Π = 90 > 0, οπότε πολλαπλασιάζουμε χωρίς να αλλάξουμε τη φορά της ανίσωσης. x 2x  1 6 x ή 15x  30(2x  1)  6  6  10x . 90   90   90   90  6 3 15 9 Εκτελούμε τις πράξεις: 15x  60x  30  36  10x , χωρίζουμε γνωστούς από άγνωστους: 15x  60x  10x  36  30 ή 35x  6 και τέλος διαιρούμε και τα δύο μέλη με το συντελεστή του άγνωστου:

ΠΡΟΣΟΧΗ !!! Για να διαιρέσουμε με το συντελεστή του άγνωστου πρέπει να ξέρουμε το πρόσημό του. Συγκεκριμένα :

Αν ο συντελεστής του άγνωστου (συνήθως του x) είναι θετικός, διαιρούμε και αφήνουμε την ίδια φορά. Αν ο συντελεστής του άγνωστου είναι αρνητικός, διαιρούμε και συγχρόνως αλλάζουμε φορά. Εδώ ο συντελεστής του άγνωστου είναι –35 < 0, οπότε διαιρούμε και αλλάζουμε συγχρόνως τη φορά της 35x 6 6 6 ανίσωσης. ή x   . Άρα η ανίσωση αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό x   .  35 35 35 35 Η λύση της ανίσωσης φαίνεται παρακάτω στον άξονα των πραγματικών αριθμών.

 Γενικότερα, η επίλυση μιας ανίσωσης της μορφής αx + β > 0, όχι μόνο για συγκεκριμένους αριθμούς

α, β, αλλά για οποιουσδήποτε πραγματικούς αριθμούς α, β επιτυγχάνεται με τη βοήθεια των ιδιοτήτων των πράξεων ως εξής:

Επίλυση της ανίσωσης αx + β > 0. αx  β  0  αx  β  β  0  β  αx  β . (1) Διακρίνουμε τις περιπτώσεις:

150

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

τριώνυμο είναι ομόσημο του   1 , δηλαδή θετικό για κάθε x  1 . Επομένως οι λύσεις της (α) είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί x, με x  1 , της (β) είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί, ενώ η (γ) είναι αδύνατη. Στον άξονα οι λύσεις αντίστοιχα των (α) και (β) σημειώνονται ως εξής:  





 







iii) Να λυθoύν οι ανισώσεις: α) x  x  2  0 , 2

β) x 2  x  2  0 .

Λύση α) Η διακρίνουσα του τριωνύμου x 2  x  1 είναι   7  0 , οπότε το τριώνυμο είναι ομόσημο του   1 , δηλαδή θετικό, για κάθε x. Επομένως οι λύσεις της ανίσωσης (α) είναι όλοι οι πραγματικοί αριθμοί, ενώ η (β) είναι αδύνατη. Στον άξονα οι λύσεις της (α) σημειώνονται ως εξής:  







iv) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x  (  2)x   2  3  0 , δεν έχει πραγματικές ρίζες για καμιά τιμή 2

του μ.

Λύση Η διακρίνουσα της εξίσωσης είναι   (  2) 2  4( 2  3)  3 2  4  8 . Αυτή είναι ένα τριώνυμο ως προς μ, οπότε για να βρούμε το πρόσημο της Δ, αρκεί να βρούμε το πρόσημο του τριωνύμου P()  3 2  4  8 . Η διακρίνουσα του Ρ(μ) είναι – 80 < 0. Συνεπώς το Ρ(μ) είναι ομόσημο του α = – 3 < 0 για κάθε τιμή του μ. Δηλαδή ισχύει Ρ(μ) < 0 για κάθε μ ή Δ < 0 για κάθε μ, οπότε η αρχική εξίσωση δεν έχει ποτέ πραγματικές ρίζες.

5.2.4

Λυμένες ασκήσεις

Αν α, β πραγματικοί αριθμοί, να αναλύσετε σε γινόμενο παραγόντων το τριώνυμο: P(x)  2x 2  (3α  4β)x  α 2  3αβ  2β 2 .

Λύση Είναι   (3α  4β) 2  4  2(α 2  3αβ  2β 2 )  9α 2  24αβ  16β 2  8α 2  24αβ  16β 2  α 2  0 . (3α  4β)  α α  2β (3α  4β)  α Οι ρίζες του τριωνύμου είναι: ρ1  και ρ 2    α  β . 4 2 4 Επειδή η Δ  0 το τριώνυμο παίρνει τη μορφή P(x)  α(x  ρ 1)(x  ρ 2 ) , οπότε έχουμε α  2β α  2β ][x  (α  β)]  [2x  2  ](x  α  β)  2 2 [2x  (α  2β)](x  α  β)  (2x  α  2β)(x  α  β) . P(x)  2[x 



2. Να απλοποιήσετε το κλάσμα:



α  ( 2  1)α  2 . 3α 2  (3 2  1)α  2

Λύση Για τον αριθμητή έχουμε:   ( 2  1) 2  4  ( 2)  ( 2) 2  2 2  1  4 2  ( 2) 2  2 2  1  ( 2  1) 2 , οπότε ρ1 

αριθμητής γράφεται (α 1)(α  2) .

( 2  1)  ( 2  1) ( 2  1)  ( 2  1)  1 , ρ2    2 και ο 2 2

152

ΑΝΙΣΩΣΕΙΣ

 Για λ = 3 η εξίσωση γράφεται 0x = 0 και είναι ταυτότητα.  Για λ = 1 η εξίσωση γράφεται 0x = – 2 και είναι αδύνατη. 

Αν α, β, γ είναι τα μήκη πλευρών τριγώνου, να βρεθούν οι τιμές του x για τις οποίες αληθεύει η ανίσωση x 2  2αx  (β  γ) 2  0 .

Λύση Είναι   4α 2  4(β  γ) 2  4(α  β  γ)(α  β  γ) . Αφού τα α, β, γ είναι πλευρές τριγώνου ισχύουν: α + β + γ > 0 και

β  γ  α  α  β  γ  0 , οπότε

  0 . Συνεπώς το τριώνυμο P(x)  x  2αx  (β  γ) παίρνει τιμές ομόσημες του συντελεστή του x2 που είναι το 1 για κάθε τιμή του x. Άρα η ανίσωση αληθεύει για κάθε τιμή του x. 2



Αν το τριώνυμο P(x)  x 2  4x    2 είναι θετικό για κάθε τιμή του x, να βρείτε το πλήθος των

ριζών της εξίσωσης (  1)P(x)  (x 2  2)(  2) .

Λύση Αφού το P(x) είναι πάντοτε θετικό, δηλαδή ομόσημο του α, η διακρίνουσά του είναι αρνητική. Έτσι έχουμε 16  4(λ  2)  0 ή 4  λ  2  0  λ  2 . (1) Η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα: (  1)(x 2  4x    2)  (x 2  2)(  2)  0 

x 2  4x   2  2  x 2  4x    2   x 2  2x 2  2  4  0  x 2  4(  1)x   2    2  0 . (2) Η διακρίνουσα της (2) είναι:   16(λ  1) 2  4(λ2  λ  2)  4(4λ2  8λ  4  λ2  λ  2)  4(3λ2  7λ  2) . (3) 1 Το τριώνυμο Q(λ)  3λ2  7λ  2 έχει διακρίνουσα 25 και ρίζες 2 και . 3 Είναι όμως από την (1) λ > 2, δηλαδή το λ παίρνει τιμές εκτός των ριζών του Q(λ), οπότε το Q(λ) είναι ομόσημο του 3 > 0. Συνεπώς ισχύει Q(λ) > 0, οπότε από την (3) έχουμε Δ > 0. Άρα η εξίσωση (2) έχει 2 ρίζες άνισες. 

9. Να βρείτε το διάστημα μεταβολής της παραμέτρου λ, ώστε να ισχύει

4x 2  2(y  11)x  y 2  7y  2λ  4  0 , (1) για κάθε πραγματικό αριθμό x, y.

Λύση Η (1) ισχύει για κάθε x, όταν η διακρίνουσα του πρώτου μέλους είναι αρνητική, αφού α = 4 > 0. Έχουμε   4(y  11) 2  16(y 2  7y  2λ  4)  4(y 2  22y  121  4y 2  28y  8λ 16)  4(3y 2  6y  137  8λ) . (2) Το τριώνυμο 3y 2  6y  137  8λ θέλουμε να είναι αρνητικό για κάθε τιμή του y, δηλαδή ομόσημο του α = – 3. Συνεπώς πρέπει η διακρίνουσά του να είναι αρνητική, δηλαδή πρέπει 35 . 36  4(137  8λ)( 3)  0 ή 140  8λ  0  λ  2 

10. Για ποιες τιμές του λ

η εξίσωση 3x  2x    6  0 έχει δύο ρίζες άνισες και θετικές;

Λύση Πρέπει να ισχύουν συγχρόνως: Δ > 0, Ρ > 0 και S > 0.    4λ2 12(λ  6)  0  λ2  3λ 18  0 . Οι ρίζες του τριωνύμου είναι – 3 και 6, οπότε η ανίσωση αληθεύει για κάθε λ με λ < - 3 ή λ > 6. (1) λ6    0  λ  6  0  λ  6 . (2) 3 2λ  S  0  λ  0 . (3) 3

ΠΡΟΟΔΟΙ

6.2 6.2.1

159

Αριθμητική πρόοδος Γενικά

Στην ακολουθία 1, 4, 7, 10, 13, ... παρατηρούμε ότι, κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενό του με πρόσθεση του αριθμού 3. Δηλαδή για την ακολουθία αυτή ισχύει:  1     3 ή  1     3 . Η ακολουθία (  ) λέγεται αριθμητική πρόοδος με πρώτο όρο το 1 και διαφορά 3. Στην ακολουθία 40, 30, 20, 10, 0,  10,  20, ... κάθε όρος προκύπτει από τον προηγούμενό του με πρόσθεση του αριθμού –10. Δηλαδή για την ακολουθία αυτή ισχύει:  1     10 ή  1     10 . Όπως και προηγουμένως, η ακολουθία (  ) λέγεται αριθμητική πρόοδος με πρώτο όρο το 40 και διαφορά –10. Γενικότερα: Μια ακολουθία ονομάζεται αριθμητική πρόοδος, όταν κάθε όρος της προκύπτει από τον προηγούμενό του αν προσθέσουμε τον ίδιο πάντοτε αριθμό. Τον αριθμό αυτό τον συμβολίζουμε με ω και τον ονομάζουμε διαφορά της προόδου. Είναι προφανές από τα παραπάνω ότι: Μια ακολουθία (  ) είναι αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω, αν και μόνο αν ισχύει:

 1     

 1     

π. χ Η ακολουθία που ορίζεται από τον αναδρομικό τύπο  1     4 και έχει α1 = 2, είναι μια αριθμητική πρόοδος με διαφορά ω = 4.

6.2.2

Νιοστός όρος αριθμητικής προόδου

Αν σε μια αριθμητική πρόοδο γνωρίζουμε τον πρώτο όρο της 1 και τη διαφορά της ω, τότε ο αναδρομικός της τύπος  1      επιτρέπει να βρούμε με διαδοχικά βήματα τον οποιονδήποτε όρο της. π. χ Στην αριθμητική πρόοδο που έχει α1 = 2 και ω = 4, από τον αναδρομικό τύπο  1     4 μπορούμε να υπολογίσουμε τον 4ο όρο, υπολογίζοντας πρώτα τους όρους 2ο και 3ο. Βέβαια ο τρόπος αυτός είναι πολύ κουραστικός, αν για παράδειγμα ζητηθεί να υπολογίσουμε τον 100ο όρο. Σ’ αυτή την περίπτωση είναι καλύτερα να ξέρουμε το νιοστό ή γενικό όρο, οπότε με απλή αντικατάσταση του ν με το 100, βρίσκουμε τον 100ο όρο. Θα αποδείξουμε ότι ισχύει η πρόταση: Ο νιοστός όρος μιας αριθμητικής προόδου με πρώτο όρο 1 και διαφορά ω είναι:    1  (   1)

Απόδειξη

Από τον ορισμό της αριθμητικής προόδου έχουμε:

1  1  2  1   3   2    4  3   ..................  1    2       1  

7. ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ 7.1 7.1.1

Η έννοια της συνάρτησης Εισαγωγή

Ο τύπος    2 δίνει το εμβαδόν ενός τετραγώνου πλευράς α. Δηλαδή ο τύπος αυτός περιγράφει μια διαδικασία, με την οποία κάθε τιμή του α αντιστοιχίζεται σε μία ακριβώς τιμή του Ε. Για παράδειγμα, αν α = 2, έχουμε ένα Ε = 4, αν α = 5, τότε Ε = 25, ενώ αν α = 10, έχουμε ένα μόνο αποτέλεσμα Ε = 100. Αν x ευρώ στοιχίζει η τιμή μονάδος ενός προϊόντος, τότε τα χρήματα y που απαιτούνται για να αγοραστούν 8 μονάδες βρίσκονται από την ισότητα y = 8x. Ο τύπος y = 8x περιγράφει μια διαδικασία, με την οποία κάθε τιμή του x αντιστοιχίζεται σε μία ακριβώς τιμή του y. Έτσι για x = 1, έχουμε ακριβώς μία τιμή για το y, το 8, ενώ για x = 3, έχουμε ακριβώς ένα y, το 24. Ο τόκος Τ που αποδίδει κεφάλαιο 3000 ευρώ σε ένα χρόνο με επιτόκιο ε %, δίνεται από τον τύπο  T  2000   20 . 100 Ο τύπος Τ = 20ε περιγράφει έναν κανόνα, με τη βοήθεια του οποίου, κάθε τιμή του ε αντιστοιχίζεται σε μία ακριβώς τιμή του Τ. Για παράδειγμα, αν ε = 2, έχουμε ακριβώς ένα Τ = 40 ευρώ, ενώ αν ε = 3, έχουμε ακριβώς ένα Τ = 60 ευρώ. Σε καθένα από τα παραπάνω παραδείγματα εμφανίζονται δύο μεγέθη, τα οποία μεταβάλλονται με τέτοιο τρόπο, ώστε κάθε φορά η τιμή του ενός να αντιστοιχίζεται σε μια ακριβώς τιμή του άλλου. Η διαδικασία με την οποία αντιστοιχίζονται τα δύο μεγέθη στα παραπάνω παραδείγματα, δίνεται από ένα μαθηματικό τύπο. (    2 , y = 8x και T = 20ε) Σε όλα τα παραπάνω παραδείγματα παρατηρούμε ότι, υπάρχουν δύο μη κενά σύνολα Α και Β και μια διαδικασία (τρόπος, κανόνας), με την οποία κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του συνόλου Β. Μια τέτοια διαδικασία ονομάζεται συνάρτηση από το Α στο Β. Δηλαδή: Συνάρτηση από ένα σύνολο Α σε ένα σύνολο Β λέγεται μια διαδικασία (κανόνας, τρόπος) με την οποία, κάθε στοιχείο του συνόλου Α αντιστοιχίζεται σε ένα ακριβώς στοιχείο του συνόλου Β.  Οι συναρτήσεις παριστάνονται συνήθως με τα μικρά γράμματα f , g , h , … του Λατινικού αλφάβητου.  Το σύνολο Α ονομάζεται πεδίο ή σύνολο ορισμού της συνάρτησης και συμβολίζεται με.  f ή Df .  Αν με μια συνάρτηση f από το Α στο Β, το στοιχείο x του Α αντιστοιχίζεται στο στοιχείο y του Β, τότε γράφουμε: y = f(x) και διαβάζουμε « y ίσον f του x ».  Το f(x) που διαβάζεται " εφ του x " λέγεται τιμή της f στο x.  Το γράμμα x, που παριστάνει οποιοδήποτε στοιχείο του πεδίου ορισμού Α της συνάρτησης f, λέγεται ανεξάρτητη μεταβλητή, ενώ το y, που παριστάνει την τιμή της συνάρτησης f στο x, λέγεται εξαρτημένη μεταβλητή.  Σε μια συνάρτηση f από το Α στο Β, το σύνολο, που έχει ως στοιχεία του όλες τις τιμές f(x) για όλα τα x του Α, λέγεται σύνολο τιμών της f, συμβολίζεται με f(Α) και είναι υποσύνολο του Β.  Η παραπάνω συνάρτηση f από το Α στο Β συμβολίζεται ως εξής: f:Α  Β x  f(x)

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

211

7.4 7.4.1

Μελέτη της f(x) = αx2 + βx + γ

Μελέτη της f(x) = αx2

Η συνάρτηση f(x) = x2 Για να σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x)  x 2 κατά-σκευάζουμε έναν πίνακα τιμών για διάφορες τιμές του x,, όπως ο παρακάτω: x y

-2 4

-1 1

0 0

1 1

2 4

Σε ένα σύστημα αξόνων σημειώνουμε τα σημεία που αντιστοιχούν στα ζεύγη του παραπάνω πίνακα και σχεδιάζουμε την καμπύλη που διέρχεται από αυτά. Η καμπύλη αυτή είναι η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x)  x 2 και ονομάζεται παραβολή. Από το σχήμα φαίνεται πως: α) Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x)  x 2 κατεβαίνει όταν το x παίρνει τιμές αριστερά του μηδέν και ανεβαίνει όταν το x παίρνει τιμές δεξιά του μηδέν. Γενικά, όταν η γραφική παράσταση μιας συνάρτησης κατεβαίνει σε ένα διάστημα, όπως τη βλέπουμε από αριστερά προς τα δεξιά, τότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα αυτό, ενώ όταν ανεβαίνει τη λέμε γνησίως αύξουσα. Έτσι λέμε ότι: Η συνάρτηση f (x)  x 2 είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα (, 0] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [0,  ) . β) Η παραβολή έχει κορυφή το σημείο Ο(0, 0) και βρίσκεται πάνω από τον άξονα x΄x. Αυτό σημαίνει ότι ισχύει y  f (x)  0 για κάθε x   . Γενικά μια κορυφή της γραφικής παράστασης μιας συνάρτησης λέγεται ακρότατο της συνάρτησης. Μάλιστα η πιο ψηλή και η πιο χαμηλή κορυφή, εφόσον βέβαια υπάρχουν στο σχήμα τέτοιες, λέγονται ολικά ακρότατα. Ειδικά η πιο ψιλή κορυφή λέγεται ολικό μέγιστο ή απλά μέγιστο, ενώ η πιο χαμηλή κορυφή λέγεται ολικό ελάχιστο ή απλά ελάχιστο. Έτσι λέμε ότι: Η συνάρτηση f (x)  x 2 παρουσιάζει ελάχιστο για x = 0 που είναι ίσο με το f(0) = 0 ή παίρνει ελάχιστη τιμή y = 0 για x = 0. Δηλαδή το σημείο Ο(0, 0) είναι ελάχιστο της παραβολής y  x 2 .

γ) Ισχύει f (2)  f (2)  4 και γενικά η συνάρτηση παίρνει τις ίδιες τιμές y για αντίθετες τιμές του x. Δηλαδή η γραφική παράσταση της f (x)  x 2 έχει άξονα συμμετρίας τον άξονα y΄y.

Η συνάρτηση f(x) = -x2 Με τον ίδιο τρόπο μπορούμε να σχεδιάσουμε τη γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x)   x 2 που είναι επίσης μια παραβολή. Από το σχήμα φαίνεται πως: α) Η συνάρτηση f (x)   x 2 είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα (, 0] και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [0,  ) .

y O

216

ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ

 Αν   0 , το τριώνυμο δεν έχει πραγματικές ρίζες. Στην περίπτωση αυτή η παραβολή δεν έχει κοινά σημεία με τον άξονα x΄x. y

y Δ<0 α>0

x Δ<0 α<0

Αν α > 0 η γραφική παράσταση βρίσκεται πάντοτε πάνω από τον άξονα x΄x, ενώ αν α < 0 όταν η γραφική παράσταση βρίσκεται πάντοτε κάτω από τον x΄x.

7.4.3

Λυμένες ασκήσεις

1. Να μελετήσετε και να παραστήσετε γραφικά τις συναρτήσεις: α) f (x)  3x 2 ,

β) f (x)  2x 2 ,

γ) f (x)  2x 2  4x  3 .

Λύση α) Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το  . Επειδή α = 3 > 0  Είναι γνησίως φθίνουσα στο διάστημα ( , 0] και γνησίως αύξουσα στο διάστημα [0,  ) .  Παρουσιάζει στο x = 0 ελάχιστο, το f(0) = 0. y  Η γραφική της παράσταση είναι μια παραβολή ανοικτή προς τα πάνω, με κορυφή την αρχή Ο των αξόνων και άξονα συμμετρίας τον άξονα y΄y.  Κατασκευάζουμε έναν πίνακα τιμών x y

-2 12

-1 3

0 0

1 3

Α(1, 3)

2 12

φαίνεται στο διπλανό σχήμα.

─∙─

β) Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το  . Επειδή   2  0  Είναι γνησίως αύξουσα στο διάστημα ( , 0] και γνησίως φθίνουσα στο διάστημα [0,  ) .

 Παρουσιάζει στο x = 0 μέγιστο, το f(0) = 0.  Η γραφική της παράσταση είναι μια παραβολή ανοικτή προς τα κάτω, με κορυφή την αρχή Ο των αξόνων και άξονα συμμετρίας τον άξονα y΄y.  Κατασκευάζουμε έναν πίνακα τιμών x y

-2 -8

-1 -2

0 0

 Η γραφική της παράσταση βρίσκεται στο 1ο και 2ο τεταρτημόριο και

1 -2

y O

x Α(1, – 2

2 -8

 Η γραφική της παράσταση βρίσκεται στο 3ο και 4ο τεταρτημόριο και φαίνεται στο διπλανό σχήμα. ─∙─ γ) Η συνάρτηση έχει πεδίο ορισμού το  . Έχουμε: α = 2 > 0, β = – 4, γ = 3, Δ = – 8 < 0, 

   1 και   f (1)  1 . 2 4

)

Ελ. Βενιζέλου 150, 176 76 Καλλιθέα τηλ.: 210 95 92 070 fax: 210 95 65 108 e-mail: zaﬁrop@acci.gr

Μαντζαγριωτάκη 89, 176 72 Καλλιθέα τηλ. / fax: 210 95 33 254 e-mail: ster14@otenet.gr