ΑΛΓΕΒΡΑ β΄ λυκείου ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ
ΝΤΙΝΟΣ ΖΑΦΕΙΡΟΠΟΥΛΟΣ
άλγεβρα Β΄ λυκείου
Βιβλιογραφία 1. 2. 3. 4.
Όλα τα κατά καιρούς εκδοθέντα από τον Ο.Ε.Δ.Β σχολικά βιβλία. Περιοδικά Ευκλείδης Β΄ και Γ΄ της Ε.Μ.Ε. Ασκήσεις που κατά καιρούς έχουν προτείνει συνάδελφοι στα σχολεία (κυρίως της Καλλιθέας). θέματα που έχουν δοθεί στις πανελλήνιες εξετάσεις και θέματα που έχουν προ-ταθεί από το Παιδαγωγικό Ινστιτούτο. 5. Χριστόφορος Αχτσαλωτίδης – Άλγεβρα Β΄ λυκείου 6. Ντίνος Ζαφειρόπουλος – Άλγεβρα Α΄ Λυκείου. 7. Ντίνος Ζαφειρόπουλος – Ανάλυση – Τόμος Α΄. 8. Μαρίνος Ζήβας – Τριγωνομετρία. 9. Θεόδωρος Ν. Καζαντζής – Άλγεβρα. 10. Σπύρος Κανέλλος – Άλγεβρα. 11. Παναγιώτης Ν. Μάγειρας – Αλγεβρικά θέματα μετά σημειώσεων αναλύσεως. 12. Ιωάννης Μαντάς – Γενικές ασκήσεις άλγεβρας 13. Αριστείδης Φ. Πάλλας – Μεγάλη Άλγεβρα. 14. Ιωάννης Φ. Πανάκης – Τριγωνομετρία 15. Ιωάννης Φ. Πανάκης – Αλγεβρικός Λογισμός . 16. Νίκος Σ. Παξινός – Μαθήματα άλγεβρας (πολυώνυμα) 17. Παναγιώτης Χ. Πούντζας – Αλγεβρικός Υπολογισμός. 18. Γεώργιος Ι. Πρωτόπαπα – Άλγεβρα. 19. Νίκος Ρούτσης – Πολυώνυμα 20. Βάσος Σαββαίδης – Άλγεβρα. 21. Πέτρος Τόγκας – Άλγεβρα και συμπληρώματα άλγεβρας 22. Παναγιώτης Φιλίππου – Άλγεβρα 23. C. J. Tranter, C. G. Lambe – Advanced level mathematics 24. Dennis G. Zill, Jacqeline M. Dewar – Algebra and Trigonometry 25. M. Dolciani, S. Berman, J. Freilich – Modern Algebra 26. N. Antonov, M. Vygodwky – Problems in elementary mathematics 27. C. Cosnita, F. Turtoiu – Probleme de algebra 28. C. Ionescu – Tiu, Liviu Pirsan – Algebra si analiza matematika
ΠΕΡΙΕΧΟΜΕΝΑ Ο
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 1 : ΓΡΑΜΜΙΚΑ ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 1.1 .1 1.1 .2 1.1 .3 1.1 .4 1.1 .5 1.1 .6 1.1 .7 1.2 1.2 .1 1.2 .2
Γραμμ ικ ά συ στή ματα Η Εξίσωση αx + βy = γ Γ ρα μ μι κό σύστ ημ α 2 x 2 Γραφική επίλυση γραμμικού συστήματος 2 x 2 Λύση – Διερεύνηση γραμμικού συστήματος 2 x 2 Γ ρα μ μι κό σύστ ημ α 3 x 3 Εφ αρ μο γές Α σκήσεις Μη γραμμ ικ ά συ στή ματα Εφ αρ μο γές Α σκήσεις
Σελ. 1 1 2 2 3 8 10 14 20 23 24
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 2 Ο : ΙΔΙΟΤΗΤΕΣ ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΩΝ 2.1 Μ ον οτονί α – ακ ρότατα – συμ μ ετρί ες 2.1 .1 Μ ο νο το νί α συνάρτησης 2.1 .2 Ελάχιστο και μέγιστο συνάρτησης 2.1 .3 Άρ τι α συνάρτηση 2.1 .4 Περιττή συνάρτηση 2.1 .5 Εφ αρ μο γές 2.1 .6 Α σκήσεις 2.2 Κ ατακόρυ φη - ορι ζ όν τι α μ ετατόπι ση 2.2 .1 Κ ατα κόρ υφ η με τατ όπι ση καμ πύλης 2.2 .2 Ορ ι ζό ντ ια μ ετα τόπι ση κα μπ ύλης 2.2 .3 Α σκήσεις
26 26 28 29 30 30 33 37 37 38 39
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 3 Ο : ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ 3.1 Τ ρι γ ων ομ ετρικ οί αρι θμ οί γ ω νί ας 3.1 .1 Τρι γω νο με τρι κο ί α ρι θμ οί ο ξεί ας γω νί ας 3.1 .2 Τρι γω νο με τρι κο ί α ρι θμ οί γω νί ας ω , με 0 ο ≤ω ≤360 0 3.1 .3 Τρι γω νο με τρι κο ί α ρι θμ οί γω νί ας ω , με ω > 360 ο ή ω < 0 ο 3.1 .4 Ο τρι γω νο μετ ρι κό ς κύκλος 3.1 .5 Το α κτ ί νιο ως μ ονά δα μέ τρ ησης γωνιώ ν 3.1 .6 Εφ αρ μο γές 3.1 .7 Α σκήσε ις 3.2 Β ασικ ές τρι γω ν ομ ετρι κ ές ταυ τότη τες 3.2 .1 Εφ αρ μο γές 3.2 .2 Α σκήσεις 3.3 Α ν αγ ω γή στο 1ο τεταρτη μόριο 3.3 .1 Γ ω νί ες αντί θετε ς 3.3 .2 Γ ω νί ες π αρ απ ληρω ματ ι κές 3.3 .3 Γ ω νί ες πο υ έ χο υν δια φο ρά 180ο 3.3 .4 Γ ω νί ες συμ π ληρ ωμ ατ ικές 3.3 .5 Εφ αρ μο γές 3.3 .6 Α σκήσε ις 3.4 Οι τριγ ω ν ομ ετρικ ές συ ναρτή σεις 3.4 .1 Π ερι ο δι κές συνα ρτήσε ις 3.4 .2 Τρ ιγω νομε τρι κέ ς συνα ρτ ήσεις πρ α γμα τικώ ν αρ ιθ μ ών 3.4 .3 Με λέ τη τ ης συνάρτ ησης f(x) = ημx 3.4 .4 Με λέ τη τ ης συνάρτ ησης f(x) = συνx 3.4 .5 Με λέ τη τ ης συνάρτ ησης f(x) = εφx 3.4 .6 Με λέ τη τ ης συνάρτ ησης f(x) = σφ x
41 41 42 42 43 45 47 51 54 55 59 63 63 64 64 65 66 71 75 75 75 77 78 80 81
3.4 .7 3.4 .8 3.5 3.5 .1 3.5 .2 3.5 .3 3.5 .4 3.5 .5
Εφ αρ μο γέ ς Α σκήσ εις Β ασικ ές τριγ ω νομ ετρικ ές εξ ι σώ σει ς Η εξ ίσω ση ημ x = α Η εξ ίσω ση συνx = α Οι εξ ισ ώ σε ις ε φx = α κα ι σφ x = α Εφα ρμ ο γές Ασκήσει ς
82 83 85 85 86 87 89 92
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 4 Ο : ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ - ΠΟΛΥΩΝΥΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ 4.1 Πολυ ώνυ μ α 4.1 .1 Η έ ννοι α τ ου π ολυω νύμ ου 4.1 .2 Αρι θ μητι κή τ ιμ ή πο λυωνύμο υ 4.1 .3 Π ρά ξει ς με πο λυώ νυμ α 4.1 .4 Εφ αρ μο γέ ς 4.1 .5 Α σκήσεις 4.2 Δι αίρεση π ολυ ω νύμ ω ν 4.2 .1 Α λγο ρι θμ ι κή δ ια ίρε ση 4.2 .2 Δια ίρε ση πο λυω νύμ ο υ με x – ρ 4.2 .3 Σ χήμα H or ner 4.2 .4 Εφ αρ μο γέ ς 4.2 .5 Α σκήσεις 4.3 Πολυ ω νυ μικ ές εξι σώ σεις 4.3 .1 Γε νικά 4.3 .2 Π αρ ά γο ντ ες τ ης μ ορφ ής x – ρ 4.3 .3 Α νι σώ σεις σε μ ο ρφή γι νο μέ νου 4.3 .4 Π ρο σδι ορι σμό ς ρί ζας μ ε π ρο σέ γγι ση 4.3 .5 Εξ ι σώ σε ις και α νι σώ σεις π ου α νά γο ντ αι σε π ολυω νυμ ικές 4.3 .6 Εφ αρ μο γέ ς 4.3 .7 Ασκήσει ς
95 95 96 96 97 101 104 104 106 107 108 115 119 119 120 124 127 128 131 145
ΚΕΦΑΛΑΙΟ 5 Ο : ΕΚΘΕΤΙΚΗ – ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ -ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ 5.1 Ε κθετικ ή συν άρτη ση 5.1 .1 Δυνάμε ις με ρ ητό ε κθέτ η 5.1 .2 Δυνάμε ις με ά ρ ρητ ο εκθέτ η 5.1 .3 Ε κθετι κή συνά ρ τηση 5.1 .4 Ο νόμ ος της ε κθετι κής μ ετα β ολής 5.1 .5 Εφ αρ μο γές 5.1 .6 Α σκήσε ις 5.2 Λ ογάρι θμ οι 5.2 .1 Η έ ννοι α το υ λογαρ ίθ μο υ 5.2 .2 Ιδ ιό τητες τω ν λογαρ ίθ μ ων 5.2 .3 Α λλα γή βά σης 5.2 .4 Λο γα ρι θμ ι κή συνά ρτ ηση 5.2 .5 Εφα ρμ ο γές 5.2 .6 Α σκήσε ις
151 151 152 153 154 155 161 165 165 166 168 168 170 180
1.ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ 1.1 1.1.1
Γραμμικά συστήματα
Η εξίσωση αx + βy = γ
Κάθε εξίσωση της μορφής x y , με 0 ή 0 λέγεται γραμμική εξίσωση με δύο αγνώστους. Θα αποδείξουμε ότι: Κάθε γραμμική εξίσωση της μορφής x y , με 0 ή 0 παριστάνει ευθεία γραμμή.
Απόδειξη Διακρίνουμε δύο περιπτώσεις:
y
Αν 0 , η εξίσωση γράφεται ισοδύναμα: x y y x y x . Η τελευταία εξίσωση παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης και τέμνει τον άξονα y΄y στο σημείο .
γ β γ α
αx βy γ, β 0
x
Ο
Αν 0 , τότε η ευθεία τέμνει τους άξονες στα σημεία ( , 0) και (0, ) .
y
Αν 0 , τότε η εξίσωση παίρνει τη μορφή y ευθεία. Η ευθεία αυτή τέμνει τον άξονα y΄y στο
γ β αx βy γ, α 0
που παριστάνει
και είναι παράλληλη
στον άξονα x΄x. Αν 0 , οπότε υποχρεωτικά 0 , η εξίσωση γράφεται: x x . Η εξίσωση αυτή παριστάνει ευθεία που είναι παράλληλη στον άξονα y΄y και τέμνει τον άξονα x΄x στο σημείο . Δίνουμε δύο παραδείγματα.
1 2
y αx βy γ, β 0
Ο
α) Η εξίσωση x 2y 2 παίρνει τη μορφή y x 1 , η οποία παριστάνει ευθεία που έχει συντελεστή διεύθυνσης τους άξονες στα σημεία (2, 0) και (0, 1) .
1 και τέμνει 2
β) Η εξίσωση y 2 παριστάνει ευθεία, που είναι παράλληλη στον άξονα x΄x και τέμνει τον άξονα y΄y στο 2. Η εξίσωση x 2 παριστάνει ευθεία, που είναι παράλληλη στον άξονα y΄y και τέμνει τον άξονα x΄x στο – 2.
x
Ο
γ α
x
y
–2
Ο
x –1
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
15
3. Δίνεται η εξίσωση
2x y 5 . α) Να αποδείξετε ότι το ζεύγος (1,7) είναι λύση αυτής της εξίσωσης. β) Αν x 6 να βρείτε το y, ώστε το ζεύγος (6, y) να είναι λύση της εξίσωσης. γ) Να παραστήσετε γραφικά τις λύσεις της παραπάνω εξίσωσης σε ένα ορθοκανο-νικό σύστημα αξόνων. 4. Να σχεδιάσετε τις ευθείες που έχουν εξισώσεις: α) x 2 , β) y 1 , γ) y x , δ) x y .
5.
Δίνεται η εξίσωση 4x 5y 15 . Να αποδείξετε ότι, η εξίσωση επαληθεύεται από το ζεύγος (x 5, y 3 4 ) , .
6. Η γραμμική εξίσωση που επαληθεύεται με κάθε ζεύγος της μορφής είναι: Α. y x 3
Β. x 2y 7
Γ. 2x y 3
x 1 και y 2 1 , Δ. 3x y 4 Ε. 4x 2y 6 .
7. Στην εξίσωση
x 3y 3 κυκλώστε το ζεύγος που δέχεται για γενική λύση: Α. ( ,3) Β. ( , ) Γ. ( ,3 3) Δ. ( , 1) Ε. ( ,3 3) . 3 3 8. Δίνεται η εξίσωση 3x 6y 8 (1). α) Να γραφεί μια άλλη εξίσωση που να έχει τις ίδιες ακριβώς λύσεις με την (1). β) Να γραφεί μια άλλη εξίσωση που να μην έχει καμία κοινή λύση με την (1). 9. Δίνεται η ευθεία ε με εξίσωση x 3y 5 . α) Να γραφεί η εξίσωση ευθείας 2 που να ταυτίζεται με την ε. β) Να γραφεί εξίσωση ευθείας 1 παράλληλης προς την ε.
10.
Όπως γνωρίζουμε η εξίσωση x y , όπου 0 ή 0 παριστάνει ευθεία. Η εξίσωση 2 x (2 1)y 7 παριστάνει ευθεία για κάθε πραγματική τιμή του κ. Δικαιολογήστε την απάντηση σας. 11. Η γραμμική εξίσωση ( 3)x ( 2)y 4 δεν παριστάνει ευθεία, όταν ο λ πάρει την τιμή: Α. 3 Β. 0 Γ. 1 Δ. 2 Ε. 4. 12. Έστω η γραμμική εξίσωση x y 18 (1). α) Να προσδιοριστούν οι α, β, αν η ευθεία που παριστάνει η (1) τέμνει τον άξονα x΄x στο σημείο 6 και τον άξονα y΄y στο σημείο –3. β) Για τις τιμές των α, β που βρήκατε να παραστήσετε γραφικά τις άπειρες λύσεις της εξίσωσης. γ) Να βρεθούν τα ζεύγη που επαληθεύουν την παραπάνω εξίσωση και ικανοποιούν τη σχέση y x 2 .
13. Να βρείτε τους α και β έτσι, ώστε το σύστημα
x 2y να έχει λύση το ζεύγος (3, 5) . 4x y 7
x 5y 15 επαληθεύεται για δύο ζεύγη (x, y) , τότε ο α ισούται με: xy3 Α. - 5 Β. 5 Γ. 1 Δ. 15 Ε. 3. 3x 7y 50 15. Δίνεται το σύστημα . Προσθέστε κατά μέλη τις εξισώσεις του. Αφαιρέστε κατά μέλη 7x 3y 10 τις εξισώσεις του. Στη συνέχεια να λύσετε το σύστημα των δύο νέων εξισώσεων που προέκυψαν. 16. Να συμπληρώσετε καθένα από τα κενά με μία από τις φράσεις: «έχει μια λύση» - «έχει άπειρες 0x 0y 0 λύσεις» - «είναι αδύνατο». Α. ……………………………..….. x 0y 0
14. Αν το σύστημα
x 0y 1 0x 0y 1 Β. ……………………………….. Γ. ………………………………… 0x 2y 4 0x 0y 0 17. Πόσες λύσεις έχει καθένα από τα παρακάτω συστήματα; Δικαιολογήστε την απάντησή σας. 2x 5y 3 2x 30y 10 2x 3y 7 α) , β) , γ) . 2x 5y 4 3x 45y 15 3x 45y 51
18. Αν το σύστημα
2x y 8 , έχει άπειρες λύσεις, τότε οι τιμές των α και β είναι: x y
18
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
30. Να βρεθεί η θέση που έχουν μεταξύ τους οι ευθείες: 1 :2x 3y 5 , 2 :2x y 1 , 3 : 4x 2y 2 .
31. Βρείτε το
το ίδιο σημείο.
, ώστε οι ευθείες: 2x 5y 4 , x y 1 και 3x 2y 2 1 , να διέρχονται από
Β΄ Ομάδα
2x 3y 11 , . x 5y 7 α) Να αποδείξετε ότι, το σύστημα έχει λύση για κάθε . β) Να υπολογίσετε τα x και y. γ) Για ποια τιμή του λ η λύση (x, y) , που βρήκατε στο (β), επαληθεύει την ισότητα x y 1 .
32. Δίνεται το σύστημα
x 6y 5 3 . α , είναι αδύνατο το σύστημα: x ( 7)y 7 29 ( 1)x 2y 1 2x ( 5)y 4 34. Βρείτε τα , ώστε να είναι συγχρόνως αδύνατα τα και . x 3y 2 6x 2y 5 35. Να βρεθούν οι πραγματικοί αριθμοί α, β ώστε τα συστήματα Σ1 και Σ2 να είναι συγχρόνως αδύνατα: ( 1)x y 2 x 3y 1 , 2 : . 1 : x y 0 x y 2
33. Για ποιες τιμές του
36. Να λυθεί ένα γραμμικό σύστημα D 2x
D 2y
2Χ2 με αγνώστους x, y για το οποίο ισχύει 5D 2D(D x 2D y ) και D 0 . 2
37. Σ’ ένα γραμμικό σύστημα δύο εξισώσεων με αγνώστους x, y ισχύει D 2 D 2x D 2y 4(D D x 2D y 6) . Βρείτε τη λύση του συστήματος.
38.
Τι συμπεραίνετε για ένα 2 2 γραμμικό σύστημα για το οποίο ισχύει μια από τις παρακάτω σχέσεις; α) D 2 4 0 , β) D D x D y 0 , γ) D 0 και D x 0 ή D y 0 .
39. Για τις διάφορες τιμές των παραμέτρων να λύσετε τα συστήματα: ( 1)x 2y 1 , 4x ( 1)y 2
α)
( 2)x 5y 5 , x ( 2)y 5
x 3 3y 2 3
41.
στ)
4 x 2 y 2 Να λύσετε τα συστήματα: α) , 6 x 5 y 27
5x 3 7y 2 1
δ)
2( 1)x y 2 , δ) ( 2)x ( 1)y 3
γ)
( 1)x y 1 , (8 5)x ( 5)y 5
ε)
40.
(2x y) 4 , x ( 1)y 2
β)
,
x y 7
ε) , xy 3
x y 1 , x 3y 2 3
( )x ( )y 2 2
ζ)
2 2 ( )x ( )y
2 x y 4 β) , 3 x 5 y 6
.
3x 2 y 2 3 γ) 2 , 2 7x 3y 1
y x 1 0
στ) . y x 1 0
Αν 1 , 2 οι ρίζες της εξίσωσης 2 7 3 0 , χωρίς να βρείτε τις ρίζες της, να λύσετε το
3( 2 )x 51 2 y 1 2 σύστημα : 1 . 2y 6x 212 42. Να αποδείξετε ότι, οι ευθείες με εξισώσεις: 2 x 3y 5 0 , 6 x 10 y 15 0 , 6 x 9 y 20 0 και 3x 5 y 20 0 σχηματίζουν παραλληλόγραμμο, του οποίου ζητούνται τα μήκη των πλευρών και των διαγωνίων του. 43. Να λυθεί η εξίσωση: x 3y 1 2x y 5 0 .
44.
Σε ένα σύστημα δύο γραμμικών εξισώσεων με αγνώστους x, y ισχύουν: D x D y 9D
και
D x D y D . Αν το σύστημα έχει μοναδική λύση, να βρεθεί η λύση αυτή.
45. Για ποιες τιμές των x και y η
7 2x 3y (x y 1) 0 , αληθεύει για κάθε πραγματικό αριθμό λ;
20
ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ
1.2
Μη γραμμικά συστήματα
Στην προσπάθειά μας να επιλύσουμε ένα πρόβλημα, φθάνουμε συχνά σε ένα σύνολο εξισώσεων, από τις οποίες κάποιες δεν είναι γραμμικές, και των οποίων ζητούμε τις κοινές λύσεις. Δηλαδή φθάνουμε να ζητούμε την επίλυση ενός συστήματος το οποίο δεν είναι γραμμικό. Για την επίλυση ενός μη γραμμικού συστήματος, λόγω του πλήθους των περιπτώσεων, δεν έχουμε συγκεκριμένους τρόπους, αλλά με τη βοήθεια των ιδιοτήτων της ισότητας και των πράξεων προσπαθούμε να φθάσουμε στη λύση του. Βέβαια υπάρχουν περιπτώσεις που μπορούμε να χρησιμοποιήσουμε ένα γενικό κανόνα. Για παράδειγμα, όταν έχουμε ένα σύστημα με δύο αγνώστους και δύο εξισώσεις, από τις οποίες η μία είναι πρωτοβάθμια και η άλλη δευτεροβάθμια, τότε λύνουμε συνήθως την πρωτοβάθμια ως προς έναν άγνωστο και αντικαθιστούμε στη δευτεροβάθμια. Γενικά λοιπόν, για να λύσουμε ένα σύστημα, προσπαθούμε να φθάσουμε σε μια εξίσωση, η οποία έχει μόνο έναν άγνωστο και να τη λύσουμε. Ύστερα γυρίζοντας πίσω, μπορούμε να βρούμε τις τιμές και των άλλων αγνώστων. Δίνουμε μερικά παραδείγματα. x y 4 xy 3
α) Να λύσετε το σύστημα :
(1) (2)
Λύση 1ος τρόπος Λύνουμε την (1) ως προς x και αντικαθιστούμε στη (2). Έτσι έχουμε: x y 4 x 4 y (3) και xy 3 (4 y)y 3 y 2 4y 3 0 y 1 ή y 3 . Από την (3) για y = 1 βρίσκουμε x = 3, ενώ για y = 3 βρίσκουμε x = 1. Άρα το σύστημα έχει δύο λύσεις, τα ζεύγη (x, y) = (1, 3) και (x, y) = (3, 1).
2ος τρόπος Παρατηρούμε ότι, στο σύστημα αναζητούμε δυο αριθμούς που έχουν άθροισμα 4 και γινόμενο 3. Επομένως από τους τύπους του Vieta συμπεραίνουμε ότι, οι αριθμοί αυτοί είναι ρίζες της δευτεροβάθμιας εξίσωσης: 2 4 3 0 . Οι λύσεις της εξίσωσης είναι οι αριθμοί 1 και 3. Άρα οι λύσεις του συστήματος είναι τα ζεύγη (1, 3) και (3, 1).
Σχόλιο
y
Η εξίσωση x y 4 παριστάνει ευθεία που διέρχεται από τα 3 σημεία (4, 0) και (0, 4), ενώ η xy 3 y παριστάνει x υπερβολή, που βρίσκεται στο 1ο και στο 3ο τεταρτημόριο. Μπορούμε λοιπόν, να λύσουμε το σύστημα και γραφικά, προσδιορίζοντας τις συντεταγμένες των κοινών σημείων της ευθείας και της υπερβολής, όπως φαίνεται στο σχήμα.
A(1, 3) Β(3, 1)
O
x 2 y 2 10 (1) (2) xy 3
β) Να λύσετε το σύστημα : Λύση 1ος τρόπος
Από την ταυτότητα x 2 y 2 (x y) 2 2xy και τις εξισώσεις (1) και (2) έχουμε: 10 (x y) 2 2 3 (x y) 2 16 x y 4 .
x
28
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
2.1.2
Ελάχιστο και μέγιστο συνάρτησης
Στο διπλανό σχήμα έχουμε τη γραφική παράσταση μιας συνάρτησης f, που έχει πεδίο ορισμού το διάστημα [α, β]. Παρατηρούμε ότι:
y f (x1 )
α) Όταν το x παίρνει την τιμή x1, τότε η συνάρτηση παίρνει τη μέγιστη τιμή της, που είναι το f(x1). Δηλαδή, για κάθε x [α,β] , ισχύει f (x) f (x1 ) .
f (x 2 )
Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι, η συνάρτηση παρουσιάζει μέγιστο στο x1, που είναι ίσο με f(x1). Γενικά:
Ο
α
x2
x1
β x
Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, παρουσιάζει σε ένα σημείο x0 του Α (ολικό) μέγιστο όταν ισχύει: f (x) f (x 0 ) , για κάθε x A Το x 0 A λέγεται θέση μέγιστου, ενώ το f(x0) ολικό μέγιστο ή απλώς μέγιστο και συμβολίζεται με max f(x). π. χ Έστω η συνάρτηση f : , με f (x) 2x 2 3 . Επειδή 2x 2 0 , για κάθε x , θα είναι 2x 2 0 , για κάθε x , οπότε 2x 2 3 3 , για κάθε x . Είναι όμως f(0) = 3. Επομένως: f (x) f (0) , για κάθε x . Άρα η f παρουσιάζει μέγιστο στο x 0 0 , το f(0) = 3.
β) Όταν το x παίρνει την τιμή x2, τότε η συνάρτηση παίρνει τη ελάχιστη τιμή της, που είναι το f(x2). Δηλαδή, για κάθε x [α,β] , ισχύει f (x) f (x 2 ) . Στην περίπτωση αυτή λέμε ότι, η συνάρτηση παρουσιάζει ελάχιστο στο x2, που είναι ίσο με f(x2). Γενικά: Μια συνάρτηση f, με πεδίο ορισμού ένα σύνολο Α, παρουσιάζει σε ένα σημείο x0 του Α (ολικό) ελάχιστο όταν ισχύει: f (x) f (x 0 ) , για κάθε x A Το x 0 A λέγεται θέση ελάχιστου, ενώ το f(x0) ολικό ελάχιστο ή απλώς ελάχιστο και συμβολίζεται με min f(x). π. χ Έστω η συνάρτηση f : , με f (x) 2x 2 3 . Επειδή 2x 2 0 , για κάθε x , θα είναι 2x 2 3 3 , για κάθε x . Είναι όμως f(0) = 3. Επομένως: f (x) f (0) , για κάθε x . Άρα η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x 0 0 , το f(0) = 3. Το (ολικό) μέγιστο και το (ολικό) ελάχιστο ονομάζονται ολικά ακρότατα της συνάρτησης.
Σχόλια α) Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη στο διάστημα (, ) και υπάρχει x 0 (, ) , ώστε η f να είναι αύξουσα στο (, x 0 ] και φθίνουσα στο [x 0 , ) , τότε η f παρουσιάζει μέγιστο στο x 0 . Αν μια συνάρτηση f είναι ορισμένη στο διάστημα (, ) και υπάρχει x 0 (, ) , ώστε η f να είναι φθίνουσα στο (, x 0 ] και αύξουσα στο [x 0 , ) , τότε η f παρουσιάζει ελάχιστο στο x 0 . Για παράδειγμα: Ας προσπαθήσουμε να βρούμε τα ακρότατα της συνάρτησης f (x) 2x 2 1 .
ΣΥΝΑΡΤΗΣΕΙΣ
2.2 2.2.1
37
Κατακόρυφη – οριζόντια μετατόπιση Κατακόρυφη μετατόπιση καμπύλης
α) Θεωρούμε τη συνάρτηση f (x) x 2 , που έχει προφανώς πεδίο ορισμού το και ο τύπος της x 2, αν x 0 παίρνει τη μορφή f (x) . x 2, αν x 0 Η γραφική παράσταση της f αποτελείται από τις ημιευθείες :
y y x 2 2
2
y x 2 , για x 0 και y x 2 , για x 0 .
2 2
Αυτές έχουν αρχή το σημείο (0, 2) του άξονα y΄y και είναι παράλληλες με τις διχοτόμους της 2ης και 1ης γωνίας των αξόνων αντιστοίχως. Όμως, οι διχοτόμοι της 1ης και 2ης γωνίας των αξόνων αποτελούν τη γραφική παράσταση της συνάρτησης g(x) x .
2
y x
x
Ο
Επομένως, αν μετατοπίσουμε τη γραφική παράσταση της g(x) x κατακόρυφα προς τα πάνω κατά 2 μονάδες, τότε αυτή θα συμπέσει με τη γραφική παράσταση της f (x) x 2 . Το συμπέρασμα αυτό, εξάλλου, ήταν αναμενόμενο, αφού ισχύει: f (x) g(x) 2 , για κάθε x , δηλαδή, το f(x) είναι πάντοτε κατά 2 μονάδες μεγαλύτερο από το g(x). Γενικά: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, με: f (x) g(x) c , όπου c > 0, προκύπτει από κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της g κατά c μονάδες προς τα πάνω.
β) Θεωρούμε τη συνάρτηση f (x) x 2 , που έχει προφανώς πεδίο ορισμού το και ο τύπος της x 2, αν x 0 παίρνει τη μορφή f (x) . x 2, αν x 0 Η γραφική παράσταση της f αποτελείται από τις ημιευθείες :
y x 2 , για x 0 και y x 2 , για x 0 .
Αυτές έχουν αρχή το σημείο (0, – 2) του άξονα y΄y και είναι παράλληλες με τις διχοτόμους της 2ης και 1ης γωνίας των αξόνων αντιστοίχως,. Επομένως, αν μετατοπίσουμε τη γραφική παράσταση της g(x) x κατακόρυφα προς τα κάτω κατά 2 μονάδες, τότε αυτή θα συμπέσει με τη γραφική παράσταση της f (x) x 2 .
y
y x 2
2
2
2
x
Ο –2
y x 2
Το συμπέρασμα αυτό, εξάλλου, ήταν αναμενόμενο, αφού ισχύει: f (x) g(x) 2 , για κάθε x , δηλαδή, το f(x) είναι πάντοτε κατά 2 μονάδες μικρότερο από το g(x). Γενικά: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f, με f (x) g(x) c , όπου c > 0, προκύπτει από κατακόρυφη μετατόπιση της γραφικής παράστασης της g κατά c μονάδες προς τα κάτω.
Σχόλιο Μπορούμε να συγχωνεύσουμε τις δύο παραπάνω προτάσεις στην εξής: Η γραφική παράσταση της συνάρτησης f (x) g(x) c , με c , προκύπτει από κατακόρυφη μετατόπιση κατά c μονάδες της γραφικής παράστασης της συνάρτησης g.
44
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
Ο άξονας των εφαπτομένων Έστω η ευθεία ε που είναι εφαπτομένη του τριγωνομετρικού κύκλου στο σημείο Α. Έστω ακόμη, Μ(x, y) το σημείο που η τελική πλευρά μιας γωνίας ω τέμνει τον τριγωνομετρικό κύκλο. Αν η τελική πλευρά της ω βρίσκεται στο 1ο τεταρτημόριο και η ευθεία ΟΜ τέμνει την ε στο σημείο Τ, τότε από το ορθογώνιο ( ) ( ) τρίγωνο ΑΟΤ έχουμε: εφω ( ) . () 1 Αν με yε παραστήσουμε την τεταγμένη του Τ, τότε θα έχουμε: εφω = (ΑΤ) = yε. Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε και όταν η τελική πλευρά της γωνίας ω βρίσκεται σε οποιοδήποτε τεταρτημόριο. Επομένως σε κάθε περίπτωση ισχύει:
y
ε Β Μ
Α΄
Ο
ω
Τ(1, yε) Α
x
Β΄
εφω = yε = τεταγμένη του σημείου Τ. Για το λόγο αυτό η ευθεία ε, η οποία έχει εξίσωση x = 1, λέγεται άξονας των εφαπτόμενων.
Ο άξονας των συνεφαπτομένων Έστω η ευθεία σ που είναι εφαπτομένη του τριγωνομετρικού κύκλου στο σημείο Β. Έστω ακόμη, Μ(x, y) το y σημείο που η τελική πλευρά μιας γωνίας ω τέμνει τον σ τριγωνομετρικό κύκλο. Β ο Σ(x , 1) Αν η τελική πλευρά της ω βρίσκεται στο 1 τεταρτημόριο σ Μ και η ευθεία ΟΜ τέμνει την σ στο σημείο Σ, τότε από το ορθογώνιο τρίγωνο ΒΟΣ έχουμε: ω Α΄ Α () () x Ο σφω () . () 1 Αν με xσ παραστήσουμε την τετμημένη του Σ, τότε θα έχουμε: Β΄ σφω = (ΑΣ) = xσ. Στο ίδιο συμπέρασμα καταλήγουμε και όταν η τελική πλευρά της γωνίας ω βρίσκεται σε οποιοδήποτε τεταρτημόριο. Επομένως σε κάθε περίπτωση ισχύει: σφω = xσ = τετμημένη του σημείου Σ. Για το λόγο αυτό η ευθεία σ, η οποία έχει εξίσωση y = 1, λέγεται άξονας των συνεφαπτομένων.
Σχόλιο Τα πρόσημα των τριγωνομετρικών αριθμών μιας γωνίας ω, ανάλογα με το τεταρ-τημόριο στο οποίο βρίσκεται η τελική πλευρά της, φαίνονται στον παρακάτω πίνακα. ημω συνω εφω σφω
1ο + + + +
2ο + – – –
3ο – – + +
4ο – + – –
Ένας πρακτικός κανόνας, για να θυμόμαστε τα πρόσημα των τριγωνομετρικών αριθμών, είναι η λέξη ΟΗΕΣ, όπου κάθε γράμμα αντιστοιχεί με τη σειρά στα τεταρτημόρια α , β, γ, δ. Έτσι: Στο α΄ τεταρτημόριο όλοι ( Ο ) οι τριγωνομετρικοί αριθμοί είναι θετικοί. Στο β΄ τεταρτημόριο θετικό είναι μόνο το ημίτονο ( Η ). Στο γ΄ τεταρτημόριο θετική είναι μόνο η εφαπτομένη ( Ε ). Στο δ΄ τεταρτημόριο θετικό είναι μόνο το συνημίτονο ( Σ ). Η συνεφαπτομένη δεν αναφέρεται, γιατί έχει το ίδιο πρόσημο με την εφαπτομένη.
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
3.1.7
51
Ασκήσεις
Α΄ Ομάδα
1.
Τους τριγωνομετρικούς αριθμούς τους μετράμε σε: Α Ν μοίρες, Β ακτίνια, Γ μέτρα, Δ εκατοστά, Ε καμιά μονάδα. Γ 2. Ποιο από τα δύο τρίγωνα του διπλανού σχήματος θα Α χρησιμοποιήσουμε για να υπολογίσουμε το ημω; Να δικαιολογήσετε την απάντησή σας. )ω 3. Δίνεται ορθογώνιο τρίγωνο ΑΒΓ, με Aˆ 90o . Ο Β Δ Μ 5 α) Αν ΑΓ = 35 cm και συνΓ = , να υπολογίσετε τις άλλες 6 πλευρές του τριγώνου. β) Το ίδιο, όταν ΒΓ = 4,8 και εφΓ = 0,6 . 4. Ένα ορθογώνιο ισοσκελές τρίγωνο έχει κάθετες πλευρές 2 cm. Να υπολογίσετε την υποτείνουσά του και τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των 45ο. 5. Να κατασκευάσετε γωνία ω, όταν είναι γνωστό ότι, εφω = 0,8. 6. Σε ένα ισόπλευρο τρίγωνο ΑΒΓ φέρουμε το ύψος ΑΔ. Αν το μήκος της πλευράς του τριγώνου είναι 3 cm, να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των 30ο και 60ο. 7. Οι γωνίες φ = 760ο και –320ο έχουν την ίδια τελική πλευρά; 8. Να εκφράσετε σε ακτίνια τις γωνίες ενός τριγώνου με Α = 72Ο και Β = 18ο. 9. Στον τριγωνομετρικό κύκλο σε ποιο τεταρτημόριο βρίσκεται η τελική πλευρά γωνίας 1 rad, 3 rad, –2 rad, –5 rad, 14 rad ; 10. Να επαληθεύσετε τις ισότητες: α) συν90ο συν60ο συν30ο ημ60ο ημ30ο
β) συν60ο συν 2 30ο ημ 2 30ο
11. Ένα τρίγωνο
γ) συν60ο 1 2ημ 2 30ο
δ) ημ90ο 2ημ45ο συν45ο .
ΑΒΓ έχει ΑΒ = 6 μονάδες, ΓΔ = 3 μονάδες, όπου ΑΔ ύψος και Β = 30ο, με. Να υπολογίσετε τις πλευρές του και τις γωνίες του . 12. Να βρείτε το πρόσημο των τριγωνομετρικών αριθμών των τόξων , 19 και 572ο . 10 4 ο ο ο 13. Να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς γωνίας 1830 , 2940 , 1980 , 3600ο. 14. Σε ποιο τεταρτημόριο βρίσκεται η τελική πλευρά της γωνίας θ, όταν: α) ημθ > 0 και συνθ < 0, β) εφθ < 0 και συνθ < 0, γ) σφθ > 0 και συνθ > 0, δ) ημθ > 0 και εφθ < 0. 15. Η τιμή του γινομένου συν0οσυν90οσυν180οσυν270οσυν360ο είναι: Α.1, Β.– 1, Γ. 0, Δ. 2, Ε.1/2. 16. Αν 0 θ 2π και ημθ συνθ 1 , τότε η γωνία θ παίρνει: Α. καμία τιμή, Β. μια τιμή, Γ. 3 τιμές, Δ. άπειρες τιμές, Ε. 5 τιμές. 17. Αν ημθ συνθ 0 , τότε η τελική πλευρά της γωνίας θ βρίσκεται: Α. στο 1ο τεταρτημόριο, Β. στο 2ο, Γ. στο 3ο, Δ. στο 4ο, Ε. δεν υπάρχει γωνία που να ικανοποιεί αυτή τη σχέση. 18. Αν κ = 2συνφ + 5 , τότε η μεγαλύτερη τιμή του κ είναι : Α. 5, Β. 3, Γ. – 2, Δ. 7, Ε. –7. 19. Να χαρακτηρίσετε με σωστό (Σ) ή λάθος (Λ) τις προτάσεις: α) Το μέτρο μιας γωνίας σε μοίρες βρίσκεται, αν πολ/σουμε το μέτρο της γωνίας σε ακτίνια επί . 180 β) Αν ο αριθμός α αλλάζει πρόσημο, τότε αλλάζει πρόσημο και το ημα και το συνα. γ) Για οποιαδήποτε γωνία x ισχύει: ημ2x = 2ημx. δ) Υπάρχουν γωνίες ω τέτοιες, ώστε να ισχύει: ημω + συνω = 1. ε) Αν ισχύει ημθ = 0, τότε είναι και συνθ = 0. στ) Αν α – β = 2κπ, κ , τότε οι α, β έχουν ίδιους τριγωνομετρικούς αριθμούς. ζ) Ισχύει ημ60ο 2ημ30ο . η) Αν 0 < x < π/2 , τότε ημ2x > 0. ι) Ισχύει πάντοτε εφ x x .
ια) Είναι x x 1.
ιβ) Ισχύει σφ90ο 3σφ30ο .
ιδ) Αν π/2 < φ < ω < π , τότε ημφ < ημω.
ιγ) Αν ν * , τότε x x .
ιε) Αν 0 x
, τότε ημx < εφx. 2
56
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
3π 4 θ 2π , θα είναι συνθ . 2 5
Επειδή
2
16 9 4 Από τον τύπο ημ θ 1 συν θ έχουμε ημ θ 1 1 25 25 5 4 1 Τέλος από τον τύπο σφθ βρίσκουμε σφθ . 3 εφθ 2
3 και ημθ . 5
2
2
3. Αν
συνθ
1 π 2ημθ 4 3συνθ 7 3 και . θ π , να βρείτε την τιμή της παράστασης: 2 2 εφθ 3σφθ
Λύση 1 3 π 3 . , και επειδή θ π είναι ημθ 4 4 2 2 1 ημθ 1 Από τους τύπους εφθ και σφθ παίρνουμε: εφθ 3 και σφθ . συνθ εφθ 3 Αντικαθιστώντας τις τιμές η παράσταση γράφεται: 3 1 2 4 3( ) 7 3 3 2 3 7 3 4 3 2 2. 2 1 3 3 2 3 3 3( ) 3
Από την ισότητα ημ 2θ 1 συν 2θ έχουμε: ημ 2θ 1
4. α) Να αποδείξετε ότι, για κάθε β) Αν
λ υπάρχει γωνία ω τέτοια, ώστε να ισχύει: συνω
π ω π , να βρείτε την τιμή της εφω. 2
2λ . λ 1 2
Λύση α) Επειδή για κάθε γωνία ω ισχύει συνω 1 , πρέπει να είναι Έχουμε:
2λ 1. λ 1 2
2λ 2λ 2λ 1 2 1 1 2 λ 1 λ 1 λ 1 2
2
2 λ λ2 1 λ 2 λ 1 0 ( λ 1) 2 0 , που ισχύει.
Άρα για κάθε λ υπάρχει γωνία ω τέτοια, ώστε να ισχύει συνω
2λ . λ 1 2
π ω π το συνω αποκλείεται να είναι 0, οπότε η εφω ορίζεται. 2 Στο δεύτερο τεταρτημόριο έχουμε συνω < 0 και εφω < 0. 2λ Από συνω < 0 έπεται 2 0 και επειδή λ2 1 0 είναι λ < 0. λ 1 1 1 1 Από τον τύπο συν 2 ω έχουμε 1 εφ 2ω και εφ 2 ω 1 , 2 2 συν ω συν 2 ω 1 εφ ω
β) Επειδή
εφ 2 ω
λ2 1 λ2 1 1 (λ2 1) 2 λ4 2λ2 1 4λ2 (λ2 1) 2 εφω 1 και . 1 2 2λ 2λ (2λ) 2 4λ2 4λ2 2λ 2 λ 1
5. Να δειχθεί ότι Λύση
2
(3ημω 5συνω) (3συνω 5ημω) 2 34 , για κάθε γωνία ω.
οπότε
72
ΤΡΙΓΩΝΟΜΕΤΡΙΑ
α) 1560o, β) –1770o, γ) 2745o, δ)
3. Να επαληθεύσετε τις ισότητες: α) ημ(x – y) = – ημ(y – x),
605π , 6
ε)
44π , 3
στ)
β) συν(x – π) = συν(x + π),
4. Δίνεται η συνάρτηση f με τύπο
2
111π . 4
γ) ημ(x – π) = ημ(x + π). 2
f (x) ημx συν (π x) εφ x . Να αποδείξετε ότι f (x) f (π x) . 5. Αν f (x) 2ημ(x π ) ημ(x π ) 5συν2x 2συν( 3π x) να βρείτε το f ( π ) . 4 4 4 4 6. Να αποδείξετε ότι έχει σταθερή τιμή ανεξάρτητη του θ η παράσταση: π συν 2 (π θ) 2συν 2 ( θ) ημ(π θ)ημ(2π θ) . 2 7. Αν 0 , τότε: (180 )(90 )(360 ) . (180 )(90 )
8. Σε κάθε τρίγωνο να αποδείξετε ότι: α)
( ) , AB AB β) ημ = συν , γ) εφ = σφ , δ) ημ2Β + συν 2(Α + Γ) = 1. 2 2 2 2 ˆ 9. Σε κάθε ορθογώνιο τρίγωνο ( 90 ) να αποδείξετε ότι:
α) 2 2 1 ,
β) 1 .
10. Με την παραδοχή ότι έχουν έννοια, να απλοποιηθούν οι παραστάσεις: α)
(3 )(7 ) , (3 )(4 )
5 7 4 4 6 3 , β) 4 5 7 2 3 4 6
13 π ( x) (x )( x)(17 x) ημ(π α)ημ( α)ημ(3π α)σφ(7π α)συνα 2 2 γ) , δ) 23 7 11 3 συν(α)συν(π α)συν(3π α)σφ(4π α)ημα (x )( x)( x)(x ) 2 2 2 2 5π 3π 5π 19π x) ημ( ω)ημ(2π ω)ημ( ω)συν( ω) 2 2 2 2 ε) , στ) , 17π π 7π 13π 7π ημ(19π x)συν( x)εφ( x) εφ( ω)σφ( ω)συν( ω)συν( ω) 2 2 2 2 2 (180 ) (270 )(270 ) ( 90 ) ζ) . (360 ) 2 (90 ) σφ(π x)συν(2π x)συν(
11. Αν 12. Αν
ημ37ο = α, να βρείτε την τιμή της παράστασης: Α = 5ημ53ο – 5συν143ο + 4εφ323ο. ημ42ο = 0,66 , να βρείτε το ημ138ο και το συν222ο . 13. Αν συν36ο 5 1 , να βρείτε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των 54ο και 144ο και 216ο. 4 3π 3π ημ(π φ)συν( φ)εφ( φ) π 4 3 2 2 14. Αν 0 φ και ημφ , να αποδείξετε ότι: . ημ(2π φ) 5 2 5 4 6 5 1 και , όταν συν = . 5 5 5 4 16. Να δειχθεί ότι η εφαπτομένη κάθε εξωτερικής γωνίας οξυγωνίου τριγώνου είναι αρνητικός αριθμός 17. Να χαρακτηρίσετε με σωστό ή λάθος τις ισότητες: α) ημ500ο = ημ140ο β) συν750ο = συν30ο γ) εφ(–1200ο) = εφ(–120ο) δ) Αν μια γωνία φ είναι αρνητική, τότε ένας τουλάχιστον από τους ημφ και συνφ είναι αρνητικός αριθμός , ε) Αν μια γωνία ω αυξηθεί κατά π, τότε το συνω και το ημω αλλάζουν πρόσημο στ) Αν ω + φ = 900, τότε συν2ω = ημ2φ ζ) Αν α + β = 0, τότε ημα = ημβ
15. Να υπολογίσετε τους τριγωνομετρικούς αριθμούς των
3.4 3.4.1
Οι τριγωνομετρικές συναρτήσεις
Περιοδικές συναρτήσεις
Παρατηρώντας ένα ρολόι βλέπουμε ότι, κάθε χρονική στιγμή ο ωροδείκτης έχει μια συγκεκριμένη θέση. Έτσι μπορούμε να ορίσουμε μια συνάρτηση f, η οποία με τη βοήθεια του χρόνου x, δίνει τη θέση f(x) του ωροδείκτη. Γνωρίζουμε όμως, ότι ο ωροδείκτης κάνει μια πλήρη περιστροφή κάθε 12 ώρες. Επομένως, αν τη χρονική στιγμή x ο ωροδείκτης βρίσκεται σε μια θέση Α, τότε και τη χρονική στιγμή x + 12, αλλά και τη χρονική στιγμή x – 12 θα βρίσκεται στη θέση Α. Δηλαδή θα είναι: f(x + 12) = f(x – 12) = f(x). Η συνάρτηση f που ικανοποιεί την παραπάνω σχέση, λέμε ότι είναι περιοδική με περίοδο Τ = 12. Γενικά: Μια συνάρτηση f με πεδίο ορισμού Α λέγεται περιοδική, όταν υπάρχει θετικός αριθμός Τ τέτοιος, ώστε για κάθε x Α να ισχύουν: i) (x T) A , (x T) A και ii) f (x T) f (x T) f (x) Ο θετικός αριθμός Τ ονομάζεται περίοδος της συνάρτησης f.
Σχόλια α) Από τον ορισμό είναι φανερό ότι, για μια τιμή του x που θα πάρουμε από το πεδίο ορισμού Α, οσοδήποτε μεγάλη, το x + T είναι στοιχείο του Α. Αυτό σημαίνει ότι το σύνολο Α έχει αναγκαστικά δεξιό άκρο το . Ομοίως, αφού το x T είναι στοιχείο του Α, το σύνολο Α έχει αναγκαστικά αριστερό άκρο το .
β) Επειδή οι τιμές μιας περιοδικής συνάρτησης επαναλαμβάνονται με τον ίδιο τρόπο σε κάθε διάστημα μιας περιόδου, μπορούμε να μελετήσουμε μια περιοδική συνάρτηση σε διάστημα μιας περιόδου και να βγάλουμε συμπεράσματα για τη συμπεριφορά της συνάρτησης σε όλο το πεδίο ορισμού της.
y
γ) Προφανώς η γραφική παράσταση μιας περι-
οδικής συνάρτησης θα είναι ένα σχήμα με ίδια επαναλαμβανόμενα τμήματα. π. χ Το διπλανό σχήμα είναι γραφική παράσταση μιας περιοδικής συνάρτησης.
3.4.2
x
Τριγωνομετρικές συναρτήσεις πραγματικών αριθμών
Όπως γνωρίζουμε, για κάθε γωνία x ακτινίων υπάρχει μια μόνο τιμή για το ημx, με 1 ημx 1 . Έτσι ορίζεται μια συνάρτηση με την οποία κάθε γωνία αντιστοιχίζεται στο ημίτονό της. Στην § 3.1.5 έχουμε αναφέρει ότι, αν το x δηλώνει ακτίνια, τότε το ημx ορίζεται για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό x και παίρνει τιμές στο διάστημα [ – 1, 1]. Για τους παραπάνω λόγους μπορούμε να ορίσουμε τη συνάρτηση με την οποία κάθε πραγματικός αριθμός x αντιστοιχίζεται στο ημ(x rad). Η συνάρτηση αυτή λέγεται συνάρτηση ημίτονο και συμβολίζεται με ημ. Είναι δηλαδή: ημx = ημ(x rad), για κάθε x . Με τον ίδιο τρόπο ορίζουμε τις παρακάτω συναρτήσεις. Συνάρτηση συνημίτονο λέγεται η συνάρτηση με την οποία κάθε πραγματικός αριθμός x αντιστοιχίζεται στο συν(x rad) και συμβολίζεται με συν. Είναι δηλαδή: συνx = συν(x rad), για κάθε x .
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ
97
β) Αν P(x) 2x 3 5x 2 4x 5 και Q(x) 2x 3 5x 2 3x 1 , τότε: P(x) Q(x) (2x 3 5x 2 4x 5) (2x 3 5x 2 3x 1) 2x 3 5x 2 4x 5 2x 3 5x 2 3x 1 x 4 και P(x) Q(x) (2x 3 5x 2 4x 5) (2x 3 5x 2 3x 1) 2x 3 5x 2 4x 5 2x 3 5x 2 3x 1 4x 3 10x 2 7x 6 .
γ) Αν P(x) 2x 3 5x 2 4x 5 και Q(x) 2x 3 5x 2 4x 1 , τότε: P(x) Q(x) (2x 3 5x 2 4x 5) (2x 3 5x 2 4x 1) 2x 3 5x 2 4x 5 2x 3 5x 2 4x 1 4
και P(x) Q(x) (2x 3 5x 2 4x 5) (2x 3 5x 2 4x 1) 2x 3 5x 2 4x 5 2x 3 5x 2 4x 1 4x 3 10x 2 8x 6 .
Από τα παραδείγματα φαίνεται, αλλά και αποδεικνύεται ότι: Αν το άθροισμα ή η διαφορά δύο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι μη μηδενικό πολυώνυμο, τότε ο βαθμός του αθροίσματος ή της διαφοράς είναι μικρότερος ή ίσος από το μέγιστο των βαθμών των δύο πολυωνύμων.
δ) Αν P(x) 2x 3 5x 2 4x 5 και Q(x) x 2 x 1 , τότε: P(x) Q(x) (2x 3 5x 2 4x 5)(x 2 x 1) 2x 3 (x 2 x 1) 5x 2 (x 2 x 1) 4x(x 2 x 1) 5(x 2 x 1) 2x 5 2x 4 2x 3 5x 4 5x 3 5x 2 4x 3 4x 2 4x 5x 2 5x 5 2x 5 7x 4 11x 3 14x 2 9x 5 .
Αποδεικνύεται ότι: Ο βαθμός του γινομένου δύο μη μηδενικών πολυωνύμων είναι ίσος με το άθροισμα των βαθμών των δύο πολυωνύμων.
4.1.4
Εφαρμογές
1. Να υπολογίσετε τους πραγματικούς αριθμούς α, β, γ, ώστε τα πολυώνυμα:
1 (x) ( 2 )x 2 2
και P2 (x) (5 4 )x 2 (3 4 6 )x 5 6 11 3 να είναι ίσα.
Λύση Πρέπει να ισχύουν οι ισότητες: 2 5 4 , 3 4 6 0 και 5 6 11 3 2 ή (1) (2) (3) 4 2 5 0 6 3 4 0 11 5 6 1 5 4 4 5 Οι (1) και (2) γράφονται: 2 και 2 , οπότε 0. 2 3 3 2 Για γ = 0 η (1) γράφεται β = 2α και με τη βοήθειά της από την (3) παίρνουμε 11α – 10α = 1 ή α = 1. Άρα, α =1, β = 2 και γ = 0.
2.
Να υπολογίσετε τις τιμές των , ώστε οι αριθμοί 1 και
P(x) 3x 4 x 3 6x 2 x 1 .
1 να είναι ρίζες του πολυωνύμου 3
Λύση 1 Πρέπει να είναι P(1) 0 και P( ) 0 , οπότε: 3 4 3 2 3 1 1 6 1 1 1 0 ή 1 4 1 3 1 2 1 3 ( ) ( ) 6 ( ) ( ) 1 0 3 3 3 3
4 2 1 . Άρα α = –1 και β = 5. 27 3 1 3 27
104
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ
4.2 4.2.1
Διαίρεση πολυωνύμων
Αλγοριθμική διαίρεση
Από το Δημοτικό γνωρίζουμε τη δοκιμή της διαίρεσης, όπου για να βρούμε το διαιρετέο, πολλαπλασιάζουμε το διαιρέτη με το πηλίκο και προσθέτουμε το υπόλοιπο. Έτσι, αν Δ είναι ο διαιρετέος, δ ο διαιρέτης, π το πηλίκο και υ το υπόλοιπο, τότε θα πρέπει να ισχύει η ισότητα: . Την ισότητα αυτή τη συναντήσαμε και στο Γυμνάσιο ως ταυτότητα της Ευκλείδειας ή αλγοριθμικής διαίρεσης μεταξύ θετικών ακεραίων αριθμών. Συγκεκριμένα, για κάθε ζεύγος θετικών ακεραίων αριθμών Δ και δ, με 0 , υπάρχουν δύο μοναδικοί θετικοί ακέραιοι αριθμοί π και υ τέτοιοι, ώστε να ισχύουν: , 0 Η έννοια της διαίρεσης στα πολυώνυμα είναι ανάλογη με την Ευκλείδεια διαίρεση που αναφέραμε παραπάνω. Συγκεκριμένα, ισχύει το παρακάτω θεώρημα: Για κάθε ζεύγος πολυωνύμων Δ(x) και δ(x), όπου το δ(x) δεν είναι το μηδενικό πολυώνυμο, υπάρχουν δύο μοναδικά πολυώνυμα π(x) και υ(x) τέτοια, ώστε να ισχύει: Δ(x) = δ(x) π(x) + υ(x), (1) όπου το υ(x) έχει βαθμό μικρότερο του βαθμού του δ(x) ή είναι το μηδενικό πολυώνυμο. Η ισότητα (1) λέγεται ταυτότητα της διαίρεσης, το πολυώνυμο Δ(x) λέγεται διαιρετέος, το (x) διαιρέτης, το (x) πηλίκο και το (x) υπόλοιπο της διαίρεσης του (x) με το (x) . Για να βρούμε το πηλίκο και το υπόλοιπο μιας διαίρεσης πολυωνύμων, ακολουθούμε διαδικασία ανάλογη με εκείνη της διαίρεσης των θετικών ακεραίων. Στο παράδειγμα που ακολουθεί περιγράφουμε βήμα προς βήμα αυτή τη διαδικασία. Έστω ότι θέλουμε να διαιρέσουμε το πολυώνυμο (x) x 2 1 2x 4 3x 3 2x (Δ(x) διαιρετέος) με το (x) x 2 (δ(x) διαιρέτης). Πρώτα γράφουμε και τα δύο πολυώνυμα κατά τις φθίνουσες δυνάμεις του x. Στην περίπτωσή μας το Δ(x) γράφεται: (x) 2x 4 3x 3 x 2 2x 1 , ενώ το δ(x) είναι έτοιμο. Διαιρούμε τον πρώτο όρο του διαιρετέου (στο παράδειγμά μας το 2x 4 ) με τον πρώτο όρο του διαιρέτη (εδώ με το x). Το αποτέλεσμα είναι ο πρώτος όρος του πηλίκου(στο παράδειγμά μας το 2x 3 ). Πολλαπλασιάζουμε το παραπάνω αποτέλεσμα ( 2x 3 ) με το διαιρέτη (x – 2) και το γινόμενο ( 2x 4 4x 3 ) το αφαιρούμε από το διαιρετέο. Βρίσκουμε έτσι το πρώτο μερικό υπόλοιπο x 3 x 2 2x 1 . Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία με νέο διαιρετέο το x 3 x 2 2x 1 . Βρίσκουμε έτσι το δεύτερο μερικό υπόλοιπο 3x 2 2x 1 . Επαναλαμβάνουμε την ίδια διαδικασία όσες φορές χρειάζεται, μέχρι να βρούμε το πηλίκο (x) 2x 3 x 2 3x 4 και το τελικό υπόλοιπο (x) 7 . Όλα τα παραπάνω φαίνονται στο γνωστό σχήμα της διαίρεσης 2x 4 3x 3 x 2 2x 1 x 2 2x 4 4x 3 2x 3 x 2 3x 4 3 2 x x 2x 1 x 3 2x 2 3x 2 2x 1 3x 2 6x 4x 1 4x 8 7
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ
4.3 4.3.1
119
Πολυωνυμικές εξισώσεις και ανισώσεις Γενικά
Οι εξισώσεις της μορφής x 0 , x 2 x 0 , x 2 x 0 , x 0 που έχουμε μάθει, είναι ειδικές περιπτώσεις μιας μεγάλης κατηγορίας εξισώσεων, η οποία περιλαμβάνει όλες τις εξισώσεις της μορφής Ρ(x) = 0, όπου Ρ(x) είναι ένα πολυώνυμο και οι οποίες λέγονται πολυωνυμικές εξισώσεις. Γενικά: Κάθε εξίσωση της μορφής: x 1x 1 ... 1x 0 0 , 0 ονομάζεται πολυωνυμική εξίσωση ν βαθμού. π. χ Οι εξισώσεις 2x 3 0 , x 3 x 2 x 1 0 , x 4 5x 3 6x 2 5x 1 0 είναι πολυωνυμικές εξισώσεις πρώτου, τρίτου και τετάρτου βαθμού αντίστοιχα. Κάθε ρίζα του πολυωνύμου P(x) x 1x 1 ... 1x 0 , 0 λέγεται ρίζα μιας πολυωνυμικής εξίσωσης, δηλαδή κάθε αριθμός ρ, για τον οποίο ισχύει P() 0 . π. χ Ο αριθμός 1 είναι ρίζα (λύση) της πολυωνυμικής εξίσωσης P(x) x 3 x 2 x 1 0 , γιατί P(1) 13 12 1 1 0 .
Έστω η πολυωνυμική εξίσωση P(x) x 4 ( 2)x 3 2x 3 0 . Αν μας ζητούν να βρούμε την τιμή του , ώστε η εξίσωση να έχει ρίζα τον αριθμό –1, τότε σύμφωνα με τον ορισμό θα πρέπει να είναι 4 (1) 0 , οπότε: (1) 4 ( 2)(1)3 2 (1) 3 0 ή . 3 Μέχρι τώρα ξέρουμε να επιλύουμε εξισώσεις 1ου και 2ου βαθμού, δηλαδή εξισώσεις της μορφής x 0 και x 2 x 0 , καθώς και εξισώσεις που η λύση τους ανάγεται στη λύση μιας εξίσωσης 2ου βαθμού, όπως για παράδειγμα οι εξισώσεις της μορφής x 2 x 0 . Για τις εξισώσεις 3ου και 4ου βαθμού έχουν βρεθεί γενικοί τρόποι επίλυσης, οι οποίοι όμως, απαιτούν γνώσεις που είναι έξω από το σκοπό αυτού του βιβλίου. Ακόμη έχει αποδειχθεί ότι, δεν υπάρχει γενικός τρόπος επίλυσης μιας εξίσωσης που έχει βαθμό μεγαλύτερο του 4. Για τους παραπάνω λόγους, όταν έχουμε να επιλύσουμε μια πολυωνυμική εξίσωση P(x) 0 που έχει βαθμό μεγαλύτερο του 2, προσπαθούμε να μετασχηματίσουμε το πολυώνυμο P(x) σε γινόμενο παραγόντων P1 (x), P2 (x),..., P (x) , οπότε η επίλυση της P(x) 0 ανάγεται στην επίλυση πολυωνυμικών εξισώσεων μικρότερου βαθμού. Είναι δηλαδή: P(x) 0 P1 (x) P2 (x) ... P (x) 0 P1 (x) 0 ή P2 (x) 0 ή … ή P (x) 0 . Δίνουμε μερικά παραδείγματα.
α) Η εξίσωση x 3 5x 2 6x 0 γράφεται ισοδύναμα:
x(x 2 5x 6) 0 x 0 ή x 2 5x 6 0 x 0 ή x 3 ή x 2 .
β) Για την εξίσωση x 5x 5x 1 0 έχουμε: 3
2
(x 3 1) 5x(x 1) 0 (x 1)(x 2 x 1) 5x(x 1) 0 (x 1)(x 2 6x 1) 0 ...
γ) Η x 4 x 3 x 2 x 2 0 γράφεται ισοδύναμα:
(x 4 x 2 ) (x 3 1) (x 1) 0 x 2 (x 1)(x 1) (x 1)(x 2 x 1) (x 1) 0 (x 1)(x 3 2x 2 x 2) 0 (x 1)[x 2 (x 2) (x 2)] 0 (x 1)(x 2)(x 2 1) 0 x 1 ή x 2 , γιατί x 2 1 0 , για κάθε x .
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ
125
Από την τελευταία γραμμή συμπεραίνουμε ότι το γινόμενο είναι θετικό για 4 x 1 , αρνητικό για x 4 ή 1 x 2 ή 2 x 3 ή x 3 . Τέλος είναι μηδέν για x 4 ή x 1 ή x 2 ή x 3 .
Ανισώσεις που είναι σε μορφή γινομένου Άμεση εφαρμογή των παραπάνω έχουμε στην επίλυση ανισώσεων της μορφής (x) B(x) (x)... (x) ή 0 . Για να λύσουμε τέτοιας μορφής ανισώσεις, βρίσκουμε για τις διάφορες τιμές του x το πρόσημο του γινομένου P(x) (x) B(x) (x)... (x) , όπως στα δύο προηγούμενα παραδείγματα και έπειτα από την τελευταία γραμμή του πίνακα παίρνουμε τις τιμές του x οι οποίες δίνουν τις λύσεις της ανίσωσης. π. χ Για την επίλυση της ανίσωσης (x 1)(x 2 5x 6)(x 2 x 1) 0 βρίσκουμε το πρόσημο του γινομένου (x 1)(x 2 5x 6)(x 2 x 1) , (παράδ. i) και από την τελευταία γραμμή του πίνακα διαλέγουμε τις τιμές του x για τις οποίες το γινόμενο γίνεται αρνητικό. Άρα η ανίσωση αληθεύει για κάθε x με x < 1 ή 2 < x < 3. Με διαστήματα η λύση είναι x (, 1) (2, 3) . 2
2
Για την επίλυση της ανίσωσης (x 1)(x 4x 3)(x 2) 2 (3 x)(x 4)3 0 βρίσκουμε το πρόσημο του γινομένου (x 2 1)(x 2 4x 3)(x 2) 2 (3 x)(x 4)3 , (παράδ. ii) και από την τελευταία γραμμή του πίνακα διαλέγουμε τις τιμές του x για τις οποίες το γινόμενο γίνεται θετικό ή μηδέν. Άρα η ανίσωση αληθεύει για κάθε x με 4 x 1 ή x = 2 ή x = 3.
Πολυωνυμικές ανισώσεις Όταν έχουμε να επιλύσουμε μια πωλυωνυμική ανίσωση της μορφής P(x) ή 0 , αναλύουμε το πολυώνυμο Ρ(x) σε γινόμενο παραγόντων και βρίσκουμε, όπως παραπάνω, το πρόσημο του Ρ(x). Δίνουμε ένα παράδειγμα. Να λυθεί η ανίσωση x 3 6x 2 x 6 0 .
Λύση Οι διαιρέτες του σταθερού όρου του πολυωνύμου P(x) x 3 6x 2 x 6 είναι οι 1, 2, 3, 6 . Παρατηρούμε ότι P(6) P(1) P(1) 0 . Δηλαδή τα πολυώνυμα x 6 , x 1 και x 1 είναι παράγοντες του P(x) . Με τη βοήθεια του σχήματος Horner αναλύουμε το P(x) σε γινόμενο παραγόντων. Έτσι έχουμε: P(x) (x 6)(x 1)(x 1) και η ανίσωση γράφεται ισοδύναμα: (x 6)(x 1)(x 1) 0 . Βρίσκουμε με τη βοήθεια του παρακάτω πίνακα το πρόσημο του γινομένου. x x 1 x 1 x6 Γινόμενο
– – – –
-1
+ – – +
1
+ + – –
6
+ + + +
Άρα η ανίσωση αληθεύει για κάθε x (1, 1) (6, ) .
Σχόλιο Όταν η ανίσωση που μας ζητούν να επιλύσουμε δεν έχει δοθεί σε μορφή γινομένου, θα πρέπει να θυμόμαστε τα εξής: Αν είναι πρώτου βαθμού, τότε, όπως ξέρουμε, χωρίζουμε γνωστούς από αγνώστους και όταν φθάσουμε στην τελική της μορφή αx > β ή αx < β, διαιρούμε με το συντελεστή του αγνώστου, προσέχοντας πάντα το πρόσημο του α. Σε κάθε άλλη περίπτωση φέρνουμε όλους τους όρους στο πρώτο μέλος, στο δεύτερο μέλος μένει το
ΠΟΛΥΩΝΥΜΑ
145
(x 2 1)(15x 4 128x 3 290x 2 128x 15) 0 15x 4 128x 3 290x 2 128x 15 0 . 1 1 Η (2) γράφεται ισοδύναμα: 15 x 2 2 128 x 290 0 . x x 1 1 Θέτουμε x y , οπότε x 2 2 y 2 2 και η (3) γράφεται: x x 15(y 2 2) 128y 290 0 15y 2 128y 260 0 . Λύνουμε την εξίσωση (4). 64 14 26 10 Έχουμε: y1, 2 και y 2 . y1 15 5 3 1 26 1 x 5x 2 26x 5 0 x , x 5 . x 5 5 1 10 1 2 x 3x 10x 3 0 x 3 , x . x 3 3 x 1
ή
4.3.7
(2) (3)
(4)
Ασκήσεις
Α΄ Ομάδα
1. Να επιλέξετε τη σωστή απάντηση:
α) Ποια από τις παρακάτω εξισώσεις δεν έχει ρίζα πραγματικό αριθμό; Α . x 2 – 2x + 1 = 0,
Β . x 5 – 2x 3 + 1 = 0, Γ . 2x 3 – 5x + 3 = 0, Δ . x 4 + 5x 2 + 7 = 0, Ε . x 4 – 1 = 0. 3 2 β) Η εξίσωση x – 6x + κx + 4 = 0, κ Ζ, αποκλείεται να έχει ρίζα τον: Α . – 1, Β . – 2, Γ . 1, Δ . 2, Ε . 5. γ) Ποια από τις παρακάτω εξισώσεις δεν έχει ρίζα ακέραιο αριθμό; Α . x 2 –5x + 6 = 0, Β . x 3 –2x 2 + x –2 = 0, Γ . 3x 4 – 2x 3 + x –2 = 0, Δ . 3x 4 + x 2 + 7 = 0, Ε . 2x 3 + x + 3 = 0. δ) Για να δεχθούμε τον ρ ως ρίζα της εξίσωσης 3 x x 2 x 5 πρέπει: Α. ρ (0, + ), Β. ρ (3, + ), Γ. ρ [3, + ), Δ. ρ (- , 3], Ε. ρ (- , 3). 2. Να χαρακτηρίσετε τις προτάσεις που ακολουθούν, γράφοντας στο τετράδιό σας την ένδειξη σωστό ή λάθος . α) Η εξίσωση 3x 3 – 5x + 6 = 0 έχει ρίζα το 4. β) Η εξίσωση 4x 4 + 5x2 + 7x + 4 = 0 έχει ρίζα το 2. γ) Η εξίσωση 6x 6 –3x3 + 2x 2 –x + 2 = 0 δεν έχει ρίζα το – 3. δ) Οι ρίζες της x 2(x – 3) = 2(3x – 4) είναι διαδοχικοί όροι αριθμητικής προόδου. 3. Να επιλύσετε χωρίς τη βοήθεια του σχήματος Horner τις εξισώσεις: α) 2x 3 7x 2 7x 2 0 , β) 4x 4 17x 3 17x 4 0 , γ) 3x 3 13x 2 13x 3 0 , δ) x 4 9x 2 4x 12 0 , ε) x 4 2x 3 3x 2 4x 4 0 , στ) 2x 2 (x 2) 3x 2 15x 18 , ζ) x 3 – 2x 2 – 5x + 6 = 0, η) x 3 + 8 = 7(x 2 + 5x + 6) + 9x 2 – 36, θ) 7(3x + 2)2(1 – x)2 – (3x + 2)(1 – x)3 = 0. 4. Να επιλύσετε με τη βοήθεια του σχήματος Horner τις εξισώσεις: α) x 3 5x 2 2x 8 0 , β) x 3 3x 2 3x 14 0 , γ) 6x 3 x 2 4x 1 0 , δ) 2x 3 9x 2 7x 6 0 , ε) 4x 4 4x 3 25x 2 x 6 0 , στ) 6x 4 19x 3 14x 2 x 2 0 , ζ) x 4 x 3 5x 2 3x 6 0 , η) x 5 3x 4 2x 3 x 2 3x 2 0 , θ) x 4 x 3 7x 2 x 6 0 , ι) 2x 5 11x 4 14x 3 2x 2 12x 9 0 , 1 3 1 2 1 4 5 22 5 ια) ιβ) x 3 x 2 x 0 . x x x 0, 10 2 5 5 6 3 2 3 2 5. Να βρείτε τις ακέραιες ρίζες των εξισώσεων: α) x – 3x + x + 2 = 0, β) 3x 3 + 8x 2 –15x + 4 = 0. 6. α) Να αποδείξετε ότι η εξίσωση x 4 + 3x – 2 = 0 δεν έχει ακέραια ρίζα . β) Το ίδιο για την 2x 4 – 3x 3 + 6x 2 – 24x + 5 = 0 . 7. Να λυθούν οι ανισώσεις: α) (1 4x 2 )( x 7) 0 , β) (x 2 1)(x 6) 0 , γ) x 2 (3 x 2 ) 0 ,
δ) (2 x x 2 )(x 2 2x 1) 0 , ε) (x 1)(x 2 2)(x 2 9) 0 .
5. ΕΚΘΕΤΙΚΗ &
ΛΟΓΑΡΙΘΜΙΚΗ ΣΥΝΑΡΤΗΣΗ
5.1 5.1.1
Εκθετική συνάρτηση
Δυνάμεις με ρητό εκθέτη
Στον Α΄ τόμο ορίσαμε τις δυνάμεις με βάση έναν πραγματικό αριθμό και εκθέτη ακέραιο, Συγκεκριμένα: Αν ο α είναι πραγματικός αριθμός και ο ν φυσικός μεγαλύτερος του 1, ορίσαμε ότι ο αριθμός , όπου ο α λέγεται βάση και ο ν εκθέτης, είναι ίσος με το γινόμενο ν παραγόντων ίσων με α. Δηλαδή: α ν α α α .... α ν παράγοντες
Για ν = 1 ορίσαμε: Για ν = 0 και α 0 ορίσαμε:
α1 = α. α0 = 1
Τέλος για α 0 ορίσαμε:
αν
3
π. χ 2 2 2 2 8 , 45
5
1 1 , 45 4
4
1
α ν
.
1
0
2 2 2 2 16 2 2 2 5 , και 1 . 5 5 5 5 625 7 7 5 8 2
2
2 3 9 4 3 2
και 6 3
1 , με α 0. 6 7
1
Στη συνέχεια ορίσαμε παραστάσεις της μορφής 2 5 , 3 4 , 5 4 και γενικά της μορφής , όπου 0 , κ ακέραιος και λ θετικός ακέραιος. Τις παραστάσεις αυτές τις ονομάσαμε δυνάμεις με ρητό εκθέτη. Ο ορισμός έγινε με τέτοιο τρόπο, ώστε να διατηρούνται οι γνωστές ιδιότητες των δυνάμεων. Γενικά: Αν α 0 , κ ακέραιος και λ θετικός ακέραιος, τότε ορίσαμε ως δύναμη του α με εκθέτη το ρητό κ
κ
αριθμό
κ και συμβολίσαμε α λ . λ κ 0λ
Ακόμη ορίσαμε ότι: 3 5 2
π. χ 8
2 3
1 2 83
5
7 34
3
2 , 1
1
α λ λ ακ
Είναι δηλαδή:
0
4 37 4 34 33 3 4 33 ,
1 1 2 , 3 6 3 2 4 2 8 2
27
4 3
3 27 4
3
1 1 1 4. 4 3 4 27 3 27
Αποδεικνύεται ότι, όλες οι ιδιότητες των δυνάμεων με εκθέτη ακέραιο ισχύουν και για τις δυνάμεις με
εκθέτη ρητό.
ΛΟΓΑΡΙΘΜΟΙ
165
5.2 5.2.1
Λογάριθμοι
Η έννοια του λογαρίθμου
Στην προηγούμενη ενότητα είδαμε ότι, η εκθετική συνάρτηση f (x) x , με βάση το α, όπου α > 0 και 1 , είναι μόνο γνησίως αύξουσα ή μόνο γνησίως φθίνουσα στο . Δηλαδή είναι γνησίως μονότονη στο . Επιπλέον έχει σύνολο τιμών το διάστημα (0, + ) των θετικών πραγματικών αριθμών. Επομένως, αν ο αριθμός θ ανήκει στο σύνολο τιμών της, δηλαδή είναι θετικός, τότε η εξίσωση x , έχει μοναδική λύση. Τη μοναδική αυτή λύση τη συμβολίζουμε με log και την ονομάζουμε λογάριθμο του θ ως προς βάση α. Έχουμε λοιπόν τον παρακάτω ορισμό: Ο μοναδικός πραγματικός αριθμός x που επαληθεύει την ισότητα: x , όπου 0 , 1 και 0 , ονομάζεται λογάριθμο του θ ως προς βάση α και συμβολίζεται log . Ο log δηλαδή, είναι ο εκθέτης στον οποίο πρέπει να υψώσουμε τον α για να βρούμε το θ. Άμεση συνέπεια του πιο πάνω ορισμού είναι η ισοδυναμία: Αν 0 με 1 και 0 , τότε: π. χ log 2 16 4 , γιατί 16 24 ,
log 9 3 2
log 1 0, 25 2 , γιατί 0, 25 2
x x log 1
1 , γιατί 3 9 2 , 2
log10 0,01 2 , γιατί 0,01 102 ,
1
1 1 , 4 2
1 log 2 3 2 , γιατί 2 3 3 2 , 3
log 5 1 0 , γιατί 50 1 .
Επειδή από τον παραπάνω ορισμό έχουμε x , η ισότητα x log γράφεται log x x , ενώ από τη x log η ισότητα x γράφεται log . Επομένως, αν 0 με 1 , τότε για κάθε x και για κάθε 0 ισχύει: log x x
και
log
Εξάλλου, επειδή 1 0 και 1 , ισχύει: log 1 0
και
log 1
Δηλαδή, ο λογάριθμος του 1, ως προς οποιαδήποτε βάση , είναι 0 και ο λογάριθμος της βάσης είναι το 1. π. χ 2log 2 5 5 ,
log 2 27 7 ,
log 2 1 0
και
log 2 2 1 .
Από τα παραπάνω είναι φανερό ότι, μπορούμε να σχηματίσουμε άπειρα συστήματα λογαρίθμων, αφού μπορούμε να πάρουμε για βάση, οποιονδήποτε θετικό πραγματικό αριθμό διαφορετικό από το ένα. Έχει επικρατήσει όμως, λόγω μεγαλύτερης ευκολίας στους υπολογισμούς να χρησιμοποιούμε δύο λογαριθμικά συστήματα: Το δεκαδικό λογαριθμικό σύστημα, στο οποίο ως βάση παίρνουμε το 10. Οι λογάριθμοι με βάση το 10 λέγονται δεκαδικοί ή κοινοί λογάριθμοι. Ο δεκαδικός λογάριθμος ενός θετικού αριθμού θ, συμβολίζεται απλά με log και όχι με log10 . Επομένως: log x 10 x
Ελ. Βενιζέλου 150, 176 76 Καλλιθέα τηλ.: 210 95 92 070 fax: 210 95 65 108 e-mail: zafirop@acci.gr
Μαντζαγριωτάκη 89, 176 72 Καλλιθέα τηλ. / fax: 210 95 33 254 e-mail: ster14@otenet.gr