Matemáticas Tercero Primaria
Representación de conjuntos ¿Cómo identificar conjuntos? Observa las figuras:
Forma conjuntos con elementos de las mismas características. Para identificar los conjuntos usaremos las letras mayúsculas del abecedario. a) Conjunto de gafas
Número de elementos ___2__
b) Conjunto de Biblias
Número de elementos ___2__
c) Conjunto de perros
Número de elementos __2___
Un conjunto es una colección de elementos que tienen algo en común. Podemos formar conjuntos de niños, niñas, libros, etc. La cardinalidad es el número de elementos que tiene el conjunto. Hay varias formas de representar un conjunto. Por extensión, cuando se enumeran los elementos que forman el conjunto. Ejemplo: Conjunto D = {David, Raúl, Alex, Byron} Conjunto E = {a, e, i, o, u} Conjunto F = {sábado, domingo}
Por comprensión, cuando se describe alguna característica de los elementos del conjunto. Ejemplos:
G = {nombres de tus familiares} H = {libros del Nuevo Testamento} I = {números impares hasta 9} J = {las vocales} K = {días de la semana}
En la forma gráfica, cuando se dibujan los elementos en un diagrama de Venn.
L=
= figuras geométricas.
Los elementos de un conjunto Todo conjunto se integra con elementos. Estos pueden ser personas, animales, vegetales, cosas, figuras, letras o símbolos. Ejemplos: si A es el conjunto de ambiente de la casa: A = {sala, comedor, cocina, dormitorio, baño, lavandería} El conjunto A tiene seis elementos.
Sala es un elemento de A, Baño también es un elemento de A, Taller no es un elemento de A, Tienda no es un elemento de A.
Pertenencia y no pertenencia Observa estos dibujos.
J=
J = {animales}. El elemento conejo ∈ al conjunto F, El elemento bicicleta ∈ al conjunto F.
Usamos estos símbolos para indicar si un elemento pertenece o no a un conjunto determinado. ∈ = pertenece a, ∈ = no pertenece a
Si el conjunto K está formado por los discípulos de Jesús, tenemos: K = {Pedro, Andrés, Jacobo, Juan, Felipe, Bartolomé, Tomás, Mateo, Jacobo, Tadeo, Simón, Judas} Indica si pertenece o no al conjunto K, usando los símbolos ∈ / ∈. a) Bernabé _______________ al conjunto K. b) Julio
_______________ al conjunto K.
c) Pedro
_______________ al conjunto K.
d) Juan
_______________ al conjunto K.
Subconjuntos
El conjunto F = {familia}
La familia es un conjunto de personas que viven momentos felices cuando están unidos. Si tienes una familia debes apreciarla y orar para que Dios bendiga a todos sus miembros.
Observa que esta familia tiene seis elementos. Dos niños, dos padres y dos abuelos. Puedes dividir el conjunto F = {familia} en tres subconjuntos N = {niños}, P = {padres}, A = {abuelos}.
Otros conjuntos no son subconjuntos de F = {familia} Ejemplos: T = {vecinos}, M = {amigos del colegio}, Estos conjuntos no son parte de la familia, son ajenos a este conjunto.
Contención de conjuntos
⊂, ⊄
Un conjunto está contenido en otro cuando todos sus miembros también son elementos del otro conjunto. Para escribir si un conjunto está contenido o no contenido en otro, se usan estos símbolos: ⊂ = contenido en, ⊄ = no contenido en. En el ejemplo de la familia tenemos la siguiente contención de conjuntos: N ⊂ F (el conjunto N está contenido en el conjunto F) T ⊄ F (el conjunto T no está contenido en el conjunto F) M ⊄ F (el conjunto M no está contenido en el conjunto F) Si los nombres de los elementos de tu familia son los siguientes: F = {Julio, Sara, Lily, Byron, Jorge, Gaby} La pareja Julio y Sara está contenido en F. {Julio, Sara}, ⊄ F, mientras que, el conjunto Roberto y Luis no está contenido en F. {Roberto, Luis} ⊄ F.
Aplica lo aprendido Forma dos subconjuntos D y E con los elementos del conjunto C:
D=
1 C=
5
A O
7
U
8
6
4
E
2 I
9 E=
Observa los elementos que integran el conjunto A = {animales}, selecciona tres subconjuntos y colorea un color diferente cada subconjunto. Utiliza tu sentido común para definir cada subconjunto.
Clases de conjuntos Analiza: A = {los miembros de tu familia}, ¿puedes contarlos? B = {los maestros del colegio}, ¿es fácil averiguarlo? Cuando es posible contar los elementos de un conjunto se dice que es un Conjunto finito. C = {las estrellas del cielo} D = {los peces del mar} E = {1, 2, 3, 4, 5,…}, No terminarías de contar nunca. Ahora observa:
Conjunto infinito es el que contiene elementos que no es posible contarlos. Los signos suspensivos indican que la serie sigue al infinito. Ahora razona: F = {habitantes de la Luna}, no hay ninguno, por eso se dice que es un conjunto vacío. G = {perros que hablan}, no hay ninguno, es un conjunto vacío. Gráficamente se representan así:
ɸ
=
Vacío Conjunto vacío es el que no tiene elementos. Se identifica con el símbolo ϕ también se puede indicar así: { }
Ahora reflexiona sobre estos conjuntos: H = {Dios}, solo existe un Dios Verdadero, Él es Único. I = {madre}, solo tenemos una madre biológica.
U=
Observas un solo zapato Conjunto unitario, es el que tiene un solo elemento conocido.
Observa estos conjuntos: J={
,
,
H=
} H=K
G={
,
,
}
Tienen los mismos elementos
K=
Entonces J = G
Conjuntos iguales, son los que tienen los mismos elementos y poseen la misma cardinalidad.
Observa las siguientes figuras: A
B
A
B
=
≠
Equivalentes
No equivalentes
Conjuntos equivalentes, son los que tienen igual número de elementos pero de diferente clase.
Aplica lo aprendido:
A continuación se describen varios conjuntos, a la par debes indicar qué clase de conjunto es cada uno (unitario, vacío, infinito, finito). M = {las letras del alfabeto} N = {Jesús, el Hijo de Dios} Ñ = {los triángulos de cuatro lados} O = {los números impares} P = {los libros de la Biblia} R = {los limones dulces} S = {las gotas del mar} T = {Aníbal}
____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________ ____________________________________
Operaciones con conjuntos Intersección de conjuntos ∩ Puedes observar los siguientes conjuntos:
A
B
a u e
i o
D
Los elementos comunes de dos o más conjuntos forman una intersección.
s
Conjunto A = {a, e, i, o, u}, conjunto B = {D, i, o, s} Entonces decimos: A ∩ B = {i, o}, la parte sombreada es la intersección. Se representa con el signo ∩ = intersección.
C
D En estos conjuntos C y D no hay intersección porque no tienen ningún elemento común. La intersección es igual al conjunto vacío. C∩D=ϕ
Unión y diferencia de conjuntos Unión de conjuntos U La unión de conjuntos es cuando se reúnen todos los elementos de un conjunto con los de otro. Los elementos repetidos se anotan una sola vez. Se representa con el símbolo U.
A=
a, b c, d, e
B=
a, e, i, o u
C=
2, 4 6, 8
D=
1, 2, 3 4, 5, 6 7, 8, 9
Con base en las gráficas de los conjuntos A, B, C y D, escribe los elementos de las siguientes operaciones: A∩B={
}
CUD={
AUB={ }
} A∩B={
}
Diferencia de subconjuntos Observa detenidamente los conjuntos A y B. A B
La diferencia entre un conjunto y otro, está formada por los elementos que no son comunes entre ambos.
Resta los elementos de B, a los elementos de A. A–B=
{
,
}
,
Resta los elementos de A a los de B. B–A=
{
}
,
Observa este otro ejemplo: C = {a, b, c, d, e} D = {a, e, i, o, u}
C - D = {b, c, d}
D - C = {i, o, u}
Escribe los elementos que corresponden en las siguientes operaciones: R–S
1 3 R
5
2 4
S–R
6
1 3
8
S
R
5
R-S={
,
,
}, es la parte sombreada de celeste.
S-R={
,
,
}, es la parte sombreada de amarillo.
2 4
6 8
S
Escribe los siguientes conjuntos por extensión: C = {las vocales} ______________________________________________________________ D = {las lumbreras de la Tierra} _________________________________________________ E = {La Trinidad} ______________________________________________________________ Escribe los siguientes conjuntos por comprensión: F = {enero, febrero, marzo} _____________________________________________________ F = { _________________________________ }
G=
{
,
,
,
,
G = { _________________________________ }
H=
{
,
,
,
}
H = { _________________________________ }
}
Observa el conjunto J:
J=
{
,
,
,
,
}
Escribe si los siguientes elementos pertenecen a o no a J, utilizando los símbolos correspondientes: ∈, ∈.
_______,
_______,
_______,
,_______
Une con una línea cada conjunto con la frase de la otra columna según la clase de conjunto que es. A = {días de la semana}
Conjunto unitario
B = {aves de Marte}
Conjunto unitario
C = {satélite de la Tierra}
Conjunto unitario
D = {números pares}
Conjunto unitario
Conjuntos y subconjuntos Representa los siguientes conjuntos por comprensión: C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} D = {2, 4, 6, 8} E = {a, e, i, o, u} F = {a, e, o} G = {i, u}
________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________ ________________________________________________
Con base en los conjuntos anteriores, coloca los elementos que corresponden a cada conjunto usando las gráficas. Inicia colocando los elementos de los círculos más pequeños. Luego puedes colorearlas según la operación que se indica. D⊂C
D⊄ F
G⊂E
Observa los siguientes conjuntos: Pinta las áreas según las operaciones que se detallan. A
A m a e i
B 0
u 1 2
AUB
6 4
A m a e i
B 0
u 1 2
A∩B
6 4
A m a e i
B 0
u 1 2
A–B
6 4
m a e i
B 0
u 1 2
B–A
6 4
Decena de millar Los números tienen valor según el lugar que ocupan. Por ejemplo, el numero 22 222 está compuesto por cinco número y el número 2 se repite cinco veces, pero cada uno tiene diferente valor según el lugar que ocupa. El valor relativo va aumentando de derecha a izquierda. Decena de millar DM
Unidad de millar UM
Centena C
Decena D
Unidad U
2
2
2
2
2
Entonces leemos: Veintidós mil, doscientos veintidós. Decena de millar DM
Unidad de millar UM
Centena C
Decena D
Unidad U
1
3
5
2
8
En este otro caso se lee: Trece mil, quinientos veintiocho. Donde el valor de cada cifra se podría leer así: Decenas de millar DM
Unidades de millar UM
Centenas C
Decenas Unidades D U
8 unidades 2 decenas 5 centenas 3 unidades de millar 1 decena de millar
1
3 0
5 0 0
2 0 0 0
8 0 0 0 0
Decenas de millar exactas 10 000
20 000
30 000
40 000
50 000
60 000
70 000
80 000
90 000
El pueblo de Israel, pueblo escogido por Dios, estaba integrado por doce tribus. En el censo realizado por Abraham en el Sinaí se obtuvieron los siguientes datos de los hombres mayores de 20 años, (Números 1:1-46). Encuentra el pasaje en tu Biblia para confirmar las cantidades y escribe con letras los números de hombres de las siguientes tribus. Isacar 54 400 _____________________________________________________ Zabulón 57 400 _____________________________________________________ Manasés 32 200 _____________________________________________________ Dan 72 700 _____________________________________________________ Aser 41 500 _____________________________________________________ Neftalí 53 400 _____________________________________________________
Series numéricas Una serie es una secuencia lógica de números. Completa las series numéricas, buscando la secuencia correspondiente, en forma descendente o ascendente. a) 10 000, 9000, ___________, 7000, ___________, ___________, 4000 b) 10 000, ___________, ___________, 40 000 ___________, 60 000 ___________
Encuentra la constante de la serie, ya sea, ascendente o descendente.
Ascendiendo las gradas
15 500
14 500 14 000
13 000
10 200
15 000
10 000
________
10 600
14 500
20 000
___________
10 800
________
13 500
40 000
___________ ___________
70 000
Valor relativo Escribe los números según su valor relativo. La población del municipio de San Lucas Sacatepéquez es de 12 656. Si descomponemos el número en sus unidades, decenas, centenas y millares quedaría así: Valor relativo o posicional 6 unidades = 6 5 decenas = 50 6 centenas = 600 2 unidades de millar = 2000 1 decena de millar = 10 000 Suma igual a ………………………………………12 656 En forma horizontal puedes escribir la suma así: 10 000 + 2000 + 6000 + 50 + 6 Escribe los siguientes números descomponiéndolos según su valor en la tabla posicional. 75 432 _______________________________________________________________ 24 691 _______________________________________________________________ 37 215 _______________________________________________________________ 50 324 _______________________________________________________________ 15 135 _______________________________________________________________
Aproximación de decenas de millar El vehículo de Luis costó Q28 350. Por aproximación se puede decir que su valor fue de Q30 000. La moto costó Q11 350. Por aproximación se dice que su valor fue de Q10 000.
Para aproximar los números a decenas de millar, debes observar el dígito que está en el lugar de las unidades de millar. Si es igual a 5 o mayor que 5, la cantidad se aproxima a la siguiente decena. Por el contrario si la unidad de millar es menor que 5 se aproxima a la decena inferior. Si para construir una casa se usaron 12 780 clavos, podemos aproximar la cantidad a 10 000 clavos, porque en las unidades de millar el dígito es menor que 5. La aproximación se acostumbra hacer para facilitar la estimación de una cantidad, ya sea, en dinero o en unidades.
Comparación de números de cinco cifras Para comparar dos o más números observa sus dígitos del mayor al menor. Emplea el símbolo > mayor que, y < menor que, para comparar los siguientes números:
a)
25 389
b)
25 568
c)
56 700
d)
57 075
Para hacer la comparación debes descomponer cada números en sus valores relativos desde el mayor al menor, es decir, de izquierda a derecha para encontrar la diferencia. Literal
Decenas de millar
Unidades de millar
Centenas
Decenas
Unidades
a)
2
5
3
8
9
b)
2
5
5
6
8
En los números anteriores observas que las decenas y unidades de millar son iguales, por lo que la diferencia se establece en la cifra de las centenas. Entonces 25 568 > 25 389. Literal
Decenas de millar
Unidades de millar
Centenas
Decenas
Unidades
c)
5
6
7
0
0
d)
5
7
0
7
5
En este caso las decenas de millar son iguales, por lo que la diferencia se establece en las unidades de millar. Entonces 57 075 > 56 700
Escribe si es mayor o menor cada número y su respectiva pareja, aplica el signo correspondiente.
a) 75 607 __________ 78 350 b) 34 320 __________ 34 850
Sol lumbrera mayor
c) 23 245 __________ 22 280 d) 85 300 __________ 86 000 e) 98 305 __________ 79 505 f) 44 350 __________ 54 350 g) 80 350 __________ 79 980 h) 15 820 __________ 14 980 i) 18 345 __________ 19 000 j) 23 950 __________ 22 235
Luna lumbrera menor
Aplica lo aprendido:
Aproxima las cantidades de la izquierda a decenas de millar. Selecciona las respuestas correctas en la columna de la derecha y únelas con líneas como corresponda. 13 540
60 000
49 200
70 000
71 800
50 000
32 005
10 000
59 307
30 000
Indica la posición de cada número en la tabla de valores
5
3
2
8
9
El 9 ocupa el lugar de las _____________________________ El 8 ocupa el lugar de las _____________________________ El 2 ocupa el lugar de las _____________________________ El 3 ocupa el lugar de las _____________________________ El 5 ocupa el lugar de las _____________________________
Centena de millar Después del número 99 999 debes usar un nuevo dígito al pasar a 100 000. En este caso usamos la cifra de las centenas de millar. Cuenta por centenas de millar y escríbelas con letras en el renglón inferior. 100 000
200 000
300 000
400 000
500 000
____________ ____________ ____________ ____________ ____________ 600 000
700 000
800 000
900 000
____________ ____________ ____________ ____________ El número 125 340 es de seis cifras y se integra así: Millares
Unidades
Centenas de millar CM
Decenas de millar DM
Unidades de millar UM
Centenas C
Decenas D
Unidades U
1
2
5
3
4
0
0 unidades 4 decenas 3 centenas 5 unidades de millar 2 decena de millar 1 centena de millar
= = = = = =
0 40 300 5000 20 000 100 000
Suma igual a …………………………..… 125 340 El número se puede descomponer de la siguiente manera: 100 000 + 20 000 + 5000 + 300 + 40 + 0, igual a 125 340.
Ejercicios Aplicando el valor relativo puedes descomponer los siguientes números: 350 240 ______________________________________________ 534 255 ______________________________________________ 736 544 ______________________________________________ 305 438 ______________________________________________ 115 534 ______________________________________________
Identifica la cantidad representada en cada número según la posición indicada en las letras de la derecha y escribe su equivalente en unidades. El primer ejercicio te sirve de ejemplo. 356 780
las
5 decenas de millar 50 000 unidades DM = ____________________ = ____________________
540 786
las
CM = ____________________ = ____________________
300 589
las
U = ____________________ = ____________________
745 350
las
UM = ____________________ = ____________________
150 340
las
DM = ____________________ = ____________________
358 246
las
D = ____________________ = ____________________
455 233
las
C = ____________________ = ____________________
548 890
las
CM = ____________________ = ____________________
636 454
las
DM = ____________________ = ____________________
135 342
las
C = ____________________ = ____________________
382 545
las
UM = ____________________ = ____________________
Aproximación a centenas de millar Un número de seis cifras se puede aproximar observando el dígito de las decenas de millar. Si es igual o mayor a 5 se aproxima a la centena siguiente, si es menor que 5 se aproxima a la centena anterior.
Ejemplos: a)
520 890
b)
198 890
Observamos que en el número de la literal a) el dígito de las decenas de millar es menor que 5, por lo que podemos aproximar a 500 000. En cambio en el número de la literal b) el dígito de las decenas de millar es mayor que 5, por lo que podemos aproximar a la siguiente centena 200 000. Aplicando el criterio anteriormente aprendido, aproxima a centenas de millar las siguientes cantidades: 139 540
_______________________________
479 200
_______________________________
715 800
_______________________________
392 005
_______________________________
559 307
_______________________________
Los números ordinales En la Biblia usan los números ordinales para explicar los procesos que Dios estableció a su pueblo Israel y a su Iglesia. El Espíritu Santo descendió sobre los discípulos de Jesús en el día de Pentecostés, que era el quincuagésimo día después de la fiesta de la Pascua (Hechos 2: 1-13). Los números cardinales indican cantidad sin que interese el orden. Pero cuando queremos indicar el orden en forma numérica, se usan los números ordinales. Repasemos los números ordinales hasta el décimo:
1.º 2.º 3.º 4.º 5.º 6.º 7.º 8.º 9.º 10.º Primero, segundo, tercero, cuarto, quinto, sexto, séptimo, octavo, noveno, décimo.
Los otros ordinales se indican así: 11.º Undécimo o decimoprimero.
13.º Decimotercero.
17.º Decimoséptimo.
14.º Decimocuarto.
18.º Decimoctavo.
12.º Duodécimo o decimosegundo.
15.º Decimoquinto.
19.º Decimonoveno.
16.º Decimosexto.
20.º Vigésimo.
Al vigésimo se le van agregando los ordinales del primero al noveno sucesivamente. De igual manera se procede con cada serie de diez números. Números ordinales de 10 en 10 Ordinales 10.º 20.º 30.º 40.º 50.º
En letras Décimo Vigésimo Trigésimo Cuadragésimo Quincuagésimo
Ordinales 60.º 70.º 80.º 90.º 100.º
En letras Sexagésimo Septuagésimo Octogésimo Nonagésimo Centésimo
Escribe los números ordinales intermedios. Ordinales 23.º 45.º 31.º 97.º 56.º
En letras Vigésimo tercero
Ordinales 64.º 78.º 28.º 85.º 52.º
En letras
Responden las siguientes preguntas con números ordinales: 1. ¿En qué día de Junio se festeja el día del maestro? ___________________________________________________________________ 2. ¿En qué orden numérico de los meses del año está noviembre? ___________________________________________________________________ 3. ¿Qué orden ocupa el mes en que se celebra la Navidad? ___________________________________________________________________ 4. ¿Qué lugar de la Biblia ocupa el libro del Evangelio de San Juan? ___________________________________________________________________
Los números romanos hasta mil (M) El sistema de numeración romana se basa en letras que tienen valor numérico y algunas pueden repetirse hasta tres veces.
I 1
V 5
X 10
L 50
C 100
D 500
M 1000
Cada letra tiene un valor numérico con los que se forman los diferentes valores de acuerdo a las siguientes reglas.
1) La I, X, C y la M se pueden repetir hasta tres veces.
Ejemplos:
I = 1, X = 10, C = 100, M = 1000,
II = 2, XX = 20, CC = 200, MM = 2000,
III = 3, XXX = 30, CCC = 300, MMM = 3000.
2) La V, L, D no se pueden repetir. V = 5,
L= 50,
D = 500.
3) Una letra a la derecha de otra de igual o menor valor, se suma.
Ejemplos:
VI = 6,
VII = 7,
VIII = 8,
XI = 11,
XXII = 22,
XXXIII = 33,
LI = 51,
LV = 55,
LX = 60,
CI = 101,
CCX = 210,
CLXV = 165.
4) La I, X y C escritas a la izquierda de otra de mayor valor se resta.
IV = 4,
Ejemplos:
XC = 90,
IX = 9, CD = 400,
XL = 40, CM = 900.
Observa la siguiente cantidad: CDXLIV = 444 Notarás que en este número se realizan tres restas y tres sumas. CD = 500 – 100 = 400, XL = 50 - 10 = 40, IV =
5-
1=
4.
400 + 40 + 4 = 444
Ahora observa esta otra cantidad: CCCXXIV= 324 Observa que en este número se realizan dos sumas y una resta, luego se suman los parciales para integrar el valor total.
CCC = 100 + 100 +100 = 300 XX =
10 + 10 = 20
IV =
5–
1=
300 + 20+ 4 = 324
4
Aplicando las reglas escribe las siguientes cantidades en romanos: a) 494 _______________________ b) 950 _______________________ c) 783 _______________________ d) 87 _______________________ e) 168 _______________________ f) 371 _______________________ g) 810 _______________________ h) 606 _______________________ i)
55 _______________________
j) 333 _______________________
Los números mayas hasta 400
Los antepasados mayas construyeron monumentos y objetos cerámicos donde grabaron fechas históricas utilizando sus propios símbolos numéricos. Estela E en el sitio arqueológico de Quiriguá. Izabal. La más grande del mundo maya, pesa 65 toneladas y tiene 10.6 metros de altura.
El sistema de numeración maya se basa en la posición de los símbolos. En el caso de los números decimales la posición es horizontal de derecha a izquierda y se van multiplicando por diez. En cambio en la numeración maya es vertical, de abajo hacia arriba. Cada nivel tiene un valor mayor. El sistema es vigesimal porque cambia de 20 en 20. Solo se usan tres signos para construir los números mayas.
=0,
.
= 1, y
=5
En la línea inferior el valor se multiplica por 1. En el segundo nivel el valor se multiplica por 20. En el tercer nivel el valor se multiplica por 400.
Ejemplos: Nivel
Multiplicador
2.º
x 20
1.º
x 1
Ejemplo A
Ejemplo B
Ejemplo C
33
110
86
Observa la integración de los siguientes números mayas:
Multiplicamos 10 x 20 Multiplicamos 0 x 1 Luego sumamos
= 200 = 0 200
200
Multiplicamos 4 x 20 Multiplicamos 7 x 1 Sumamos
= 80 = 7 87
87
Multiplicamos 7 x 20 Multiplicamos 4 x 1 Luego sumamos 144
= 140 = 4 144
Para facilitar tus operaciones en el segundo nivel puedes multiplicar el valor absoluto por 2 y agregar un 0 al resultado. Ejemplo: 7X20, se multiplica 7X2 = 14, se agrega 0 y tenemos 140. Ejercita la escritura de números mayas observando los niveles y sus valores. Traduce estos números al sistema decimal.
_______
_______
_______
_______
_______
_______
_______
Comparación de los tres sistemas de numeración Escribe los siguientes números en las tres formas aprendidas. Números Ochenta y nueve Ciento cincuenta y cinco Doscientos treinta y seis Setenta y uno Ciento veintiocho
Decimales
Mayas
Romanos
Identifica la serie y llena los espacios vacíos colocando el número que corresponda.
_______
_______
_______
_______
_______
_______
_______
Identifica los siguientes números y ordena en forma ascendente.
Resuelve los siguientes problemas aplicando los números decimales, ordinales, romanos y mayas. 1. En una carrera participaron cincuenta personas, tu amigo Byron llegó antes de los dos últimos, ¿en qué lugar llegó Byron? Escribe con números y letras. ___________________________________________________________________ 2. Al contar los libros de la biblioteca, Fernando registró cien libros con números romanos, ¿qué número romano le correspondió a los primeros 5 libros de la novena decena? Escribe con números y letras. ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________
3. Byron y Fernando observaron el calendario en el mes de mayo y ambos decidieron usar los números mayas para cada día. ¿Qué número maya le pusieron a los últimos 5 días?
_______
_______
_______
_______
_______
4. La fecha del nacimiento del maestro de artes es el 25 de mayo de 1980, ¿Cómo lo anotarías con números romanos?
_______
/
_______
/
____________
5. De Guatemala a Cuatro Caminos, San Cristóbal Totonicapán hay 185 000 metros, si deseas dar una cifra aproximada a centenas de millar, ¿cómo la expresarías? ___________________________________________________________________ 6. Según el censo de 2002, en Sololá habitaban 152 132 hombres y 155 529 mujeres, ¿Cuál número es mayor? ¿En qué posición se marca la diferencia? ___________________________________________________________________ ___________________________________________________________________
Adición o suma Adiciones sin agrupar Silvia y Fredy guardaron monedas en sus alcancías durante todo el año, al llegar diciembre las rompieron y encontraron las siguientes cantidades de monedas. Silvia contó 145 unidades de un quetzal, mientras que Fredy encontró 232de igual valor, ¿cuánto reunieron entre ambos?
+
C
D
U
1
4
5
2
3
2
3
7
7
Primero sumamos las unidades, después las decenas y por ultimo las centenas. Las cifras deben estar colocadas en la columna respectiva relacionada con su valor relativo. El resultado se llama suma o total, mientras que los números que se suman se llaman sumandos. Ejemplo: Sumando ……………..….. 542 Sumando …………..…. + 137 Suma o total ……………... 679
Julio leyó su Biblia diariamente. En noviembre leyó 236 versículos y en diciembre 413. ¿Cuántos versículos leyó durante los dos meses?
Suma: + Total:
Para hacer la prueba de la suma se realiza una sustracción. Al total le restamos el primer sumando y nos dará como resultado el otro sumando.
236 413 649
Suma o total (-) Primer sumando da el segundo sumando
-
649 236 413
Suma o total (-) segundo sumando da el primer sumando
-
649 413 236
Realiza las siguientes adiciones o sumas con los siguientes números y efectúa la prueba respectiva:
536 + 130
243 + 251
341 + 308
826 + 173
651 + 316
- 826 173
- 651 316
Ahora realiza las pruebas con el primer sumando.
- 536 130
- 243 251
- 341 308
Aplica la lógica matemática en las siguientes operaciones encontrando el elemento que hace falta.
201 + 651
+ 249 579
311 +555555 856
+ 528 771
624 +555555 986
Adiciones agrupando Cuando la suma de dos o más cifras no llega a 10, no es necesario agrupar a la siguiente posición.
UM
C
D
U
2
3
0
7
3
5
4
1
5
8
4
8
Se dice que son sumas sin agrupar.
+
Cuando la suma de dos o más cifras llega a 10 o más que 10, se debe agrupar a la siguiente posición. Ejemplos:
+
Sumamos las unidades 6 + 6 = 12, como excede de 9 agrupamos una decena a la columna de las decenas, luego sumamos las decenas agregando la que agrupamos, 1 + 4 + 8 = 13, tenemos 13 decenas, agrumas una centena a la columna respectiva. Sumamos las centenas 1 + 3 + 4 = 8 y finalmente sumamos las unidades de millar 1 + 2 =3.
110 1346 2486 3832
Resuelve las siguientes adiciones agrupando a las posiciones siguientes los valores que correspondan.
4675 + 1405
2756 + 3586
8468 + 1863
7875 + 5235
4329 + 2384
Ahora que conoces los resultados puedes hacer la prueba de cada operación aplicando la sustracción.
-
-
-
-
-
Complementa con las cantidades que hagan falta. a) 3 4 8 0 + 1 3 5 9 = __________ ,
d) 5 6 4 7 + __________ = 1 0 1 3 4
b) _________ + 3 7 5 9 = 5 8 2 8 ,
e) 5 5 0 0 + 2 8 9 9 = ___________
c) 3 4 8 3 + __________ = 5 8 4 7,
f) _________ + 7 2 8 0 = 7 8 6 5
Ahora realiza las siguientes adiciones agrupando, decenas o centenas según el caso.
328 + 556
267 + 263
580 + 349
485 + 856
326 + 298
189 + 421
344 + 284
350 + 277
264 + 526
575 + 255
Propiedades de la adición Propiedad conmutativa Observa las siguientes adiciones:
537 + 441 978
441 + 537 978
Puedes observar que aunque se invierta la posición de los sumandos el resultado es el mismo, porque los sumandos son los mismos. La propiedad conmutativa de la adición consiste en que es posible cambiar el orden de los sumandos y el resultado será el mismo.
Resuelve las siguientes adiciones y luego hazlas de nuevo cambiando el orden de los sumandos. Utiliza hojas adicionales para las operaciones.
a) 134 + 245 =
f) 435 + 302 =
b) 735 + 230 =
g) 124 + 514 =
c) 444 + 222 =
h) 230 + 468 =
d) 503 + 392 =
i) 743 + 135 =
e) 197 + 402 =
j) 255 + 523 =
Propiedad conmutativa Observa los siguientes conjuntos: A
C
B
En el conjunto A hay 18 estrellas, en el B hay 12 estrellas y en el C hay 8 estrellas. Al sumar los tres conjuntos tenemos: 18 + 12 + 8 = 38. Podemos asociar dos cantidades y sumarlas a la tercera así: (18 + 12) =30, luego sumamos a (8), así: 30 + 8 = 38. También podemos asociar las dos cantidades pequeñas y sumarlas después a la cantidad grande, así: (12 + 8) = 20, luego sumamos a (18), así: 20 + 18 = 38.
Cuando agrupamos dos o más sumandos antes de hacer la suma completa se aplica la propiedad asociativa. Esta propiedad nos ayuda en sumas grandes cuando varios sumandos son iguales. Por ejemplo: En la piñata de Jorge los amigos recogieron deliciosos bombones, Luis 5, Juanito 8, Rodrigo 5, Sindy 5, Heidy 12 bombones. Si aplicamos la propiedad asociativa podemos sumar los bombones de Luis, Rodrigo y Sindy así (5 + 5 + 5) = 15, y sumamos los bombones de Juanito 8 y Heidy 12 así (8 + 12) = 20, finalmente sumamos los dos resultados así: 15 + 20 = 35 Los sumandos son 5 + 8 + 5 + 5 + 12 =35. Asociando: Luis, Rodrigo y Sindy Juanito y Heidy Suma …………………
= = =
(5 + 5 + 5) = 1 5 (8 + 12) = 20 15 + 20 = 35
Realiza las siguientes sumas haciendo las asociaciones que sean más fáciles y prácticas. a) 235 + 540 + 60 = _____________________________________________ b) 350 + 157 + 150 = _____________________________________________ c) 200 + 100 + 389 = _____________________________________________ d) 137 + 220 + 130 = _____________________________________________ e) 120 + 100 + 267 = _____________________________________________
Propiedad del elemento Observa las siguientes operaciones:
0 + 439 439
237 + 0 237
330 + 000 330
El 0 sumado a otro número da como resultado el mismo número. La propiedad del elemento neutro o modulativa de la suma consiste en que todo número sumado al 0 da como resultado el mismo número.
Anota la cantidad que hace falta en las siguientes operaciones:
0 + 270
532 + 000
0 + 439
0 + 0000 158
+ 000 934
Aplica las propiedades de la suma en los siguientes ejercicios:
Propiedad conmutativa:
560 + 140 + 17 = ______________________________
Propiedad asociativa:
167 + 150 + 50 = ______________________________
Propiedad modulativa:
568 +
0 +
0 = ______________________________
La sustracción o resta Abraham intercedió ante Dios para pedir que no destruyera Sodoma, él fue restando el número de justos, primero dijo 50, después restó 5, (45) luego restó otros 5 (40), después siguió restando hasta llegar a 10. Pero lamentablemente no había ni 10 justos en Sodoma y fue destruida.
Elementos de la sustracción 5637 -3205 2432
Minuendo, cantidad mayor. Sustraendo, cantidad menor. Diferencia entre ambos números.
Sustracción en la tabla de valores.
_
UM
C
D
U
4
3
9
0
2
1
6
0
2
2
3
0
Sustracción sin desagrupar Cuando los dígitos del minuendo son mayores a los del sustraendo, no es necesario desagrupar para realizar la resta. En este caso se dice que son restas sin prestar la posición siguiente. Realiza las sustracciones siguientes:
8786 - 5564
8665 - 5335
5977 - 1624
4264 - 4030
3864 - 1821
8470 - 1230
7038 - 3036
6291 - 3250
3548 - 1243
9296 - 3275
Sustracción desagrupando Cuando una cifra del minuendo es menor a la otra del sustraendo debemos desagrupar en la posición siguiente para agregarlo a la cifra a la que le vamos a restar. Ejemplo: En una población hay 4932 personas, si de ellas 2465 son mujeres, ¿cuántos hombres hay? -1 10
_
4592 2465 2127
En la columna de las unidades. El 2 es menor a 5, entonces, desagrupamos en la columna siguiente, a 3 decenas le quitamos 1, se la agregamos al 2 y tendremos 12 12 – 5 = 7, en la columna de las decenas restamos 1 y nos quedan 8. 8 – 6 = 2, continuamos restando las centenas y las unidades de millar.
De igual manera, podemos hacer las sustracciones en las decenas, centenas y demás valores. Realiza los siguientes ejercicios desagrupando donde sea necesario.
5486 - 2168
8050 - 3245
4873 - 1136
6439 - 3670
3282 - 1524
2835 - 146
4864 - 2748
5268 - 3528
1476 - 168
3476 - 2635
Aplica la sustracción en los siguientes problemas:
1. A un concierto cristiano asistieron 3568 personas, pero solo había 3412 sillas, ¿cuántas sillas faltaron?
2. En una reunión se contaron 2846 personas, de las cuales 1386 eran niños, ¿cuántos adultos hubo en la reunión?
3. La distancia entre la ciudad de Panamá y la ciudad de Chimaltenango es de 1939 kilómetros. Mientras que entre la ciudad Panamá y Antigua Guatemala es de 1918 kilómetros. ¿Cuál es la diferencia entre las dos distancias?
______________________________________
4. En la bodega de William hay 3237 jugos de naranja, mientras que en la bodega de Ernesto hay 4260. ¿Cuántos jugos tiene de más la bodega de Ernesto?
______________________________________
5. En una librería hay 1454 Biblias y en la comunidad viven 3504 personas. ¿Cuántas Biblias faltarían para obsequiar a cada persona de la comunidad?
______________________________________
En la Biblia tenemos los mejores consejos para vivir como Dios quiere
Colorea esta figura y no olvides leer la Biblia
Propiedades de la sustracción Propiedad del elemento neutro o modulativa La sustracción no posee la propiedad conmutativa ni la asociativa que posee la adición. En cambio sí tiene la propiedad del elemento neutro o modulativa. Cuando a un número se le resta el 0, el resultado es el mismo número. Propiedad del elemento neutro o modulativa.
345 - 000 345
minuendo sustraendo diferencia
Esta propiedad se puede aplicar parcialmente en los dígitos donde aparece el 0. 589 - 400 189
minuendo sustraendo diferencia
Propiedad fundamental Si al sustraendo le sumamos la diferencia nos da como resultado el minuendo.
8674 - 2352 6322
minuendo sustraendo diferencia
2352 + 6322 8674
(sustraendo) (diferencia) (minuendo)
Esta propiedad nos sirve para hacer la prueba de la sustracción.
Realiza las siguientes sustracciones y su respectiva prueba: Prueba
Prueba
Prueba
8563 - 3185
3450 - 1230
7264 - 3138
En una granja hay 5348 aves, de las cuales 4285 son gallinas y el resto son patos. Desconocemos el número de patos. Para averiguarlo restamos las gallinas del total de aves y tendremos el número de patos. 5348 aves 4285 gallinas
5348 - 4285 1 0 6 3 patos
En las siguientes operaciones de adición y sustracción, hace falta un término. Descúbrelo y completa.
4267 - 3185
+2438 5812
7264 - 3528 4622
6350 + 168 8204
+2105 4362
Traza una línea desde la operación hasta el término que falta. a) 2854 + _______ = 5356
963
b) _______ - 4370 = 5469
2135
c) 7348 – 2385
2502
= _______
d) _______ + 1987 = 2950
9839
e) 7480 - _______ = 5345
4963
Operaciones con cinco cifras Frecuentemente hay que hacer operaciones con cantidades que no tienen las mismas cifras. Observa las siguientes sumas.
DM
UM
C
D
U
3
4
5
0
4
3
2
4
6
7
7
5
0
DM
UM
C
D
U
5
3
4
2
8
1
3
5
9
2
0
6
9
+ 3
-
5
Responde: 1) En la adición, ¿dónde tuvimos que agrupar? ___________________________________________________________________ 2) En la sustracción ¿dónde tuvimos que desagrupar? ___________________________________________________________________ 3) ¿Cómo compruebas que la adición está correcta? ___________________________________________________________________ 4) ¿Cómo compruebas que la sustracción está correcta? ___________________________________________________________________
Resuelve: a) 95 356 + 4 560 = ____________
90 346 + 62 350 = ____________
b) 48 248 - 13 248 = ____________
e) 85 450 - 24 465 = ____________
c) 75 035 - 5 436 = ____________
f) 35 340 - 15 288 = ____________
d) 15 340 + 12 348 = ____________
g) 50 825 + 3 987 = ____________
Ejercita con los siguientes problemas.
1) De la casa de Luis a la de Lily hay 56 230 centímetros. Mientras que del mismo punto a la iglesia hay 35 405 centímetros. Escribe la diferencia entre ambas distancias. ___________________________________________________________________ 2) En Villa Canales se reportó un flujo de 85 250 vehículos diarios que ascienden a la ciudad capital. Si de ellos 3542 vehículos no ha cancelado su calcomanía. ¿Cuántos cuentan con calcomanía del año? ___________________________________________________________________ 3) La pared norte de un edificio se construyó con 12 350 ladrillos, mientras que para la pared sur se usaron 8055. ¿Cuántos ladrillos se usaron en total? ___________________________________________________________________ 4) En un vivero hay 8542 arbolitos de pino y 600 de ciprés. ¿Cuántos arbolitos hay en total? ___________________________________________________________________
Sumas y restas con números mayas
.
Recuerdas que los símbolos mayan son:
=0,
= 1, y
=5
Puedes utilizarlos para realizar adiciones o sustracciones, teniendo el cuidado de agrupar o desagrupar conforme a las normas del sistema maya. Recuerda que el punto se puede repetir solo hasta cuatro veces y la línea solo hasta tres veces. Asimismo que los valores se establecen por el nivel que ocupan.
.... ... ..
Ejemplo de sumas utilizando números mayas: +
=
(4 + 3 = 7)
Como no podemos usar más de cuatro veces el punto, debemos agrupar usando la línea que vale 5 y agregar los dos puntos restantes para formar el 7. Otros ejemplos:
.... .. . . . +
+
=
=
= (9 + 2 =11)
= (10 + 6 = 16)
En el caso de la resta debemos desagrupar. Ejemplo:
... ... ... -
=
= (13 – 4 = 9)
En este caso el minuendo solo tiene tres puntos y dos líneas, por lo que al restarle el sustraendo que tiene cuatro puntos, necesitamos desagrupar una línea, para eliminar cuatro unidades y formar el 9, que es la diferencia. Otros ejemplos:
. .... .. -
-
=
=
= (10 – 5 = 5)
= (16 – 14 = 2)
Realiza los siguientes ejercicios de adición y sustracción.
. . .. .... .... .
. . ... .... . ....
+
= _________,
-
= _________
+
= _________,
-
= _________
+
= _________,
-
= _________
+
= _________,
-
= _________
La multiplicación Cuando sumamos varias cantidades iguales, podemos abreviar el procedimiento usando la multiplicación. Observa las siguientes figuras:
+
+
+
Tienes 4 cuadros y en cada uno hay 6 caritas, de modo que puedes sumar cuatro veces la misma cantidad para que te dé el total de caritas, así: 6 + 6 + 6 + 6 = 24. Podemos convertir la suma en una multiplicación, así: 4 cuadros por 6 caritas. Símbolo
4 X 6 = 24
Producto
Factores
La multiplicación es una suma abreviada, que puedes aplicar cuando las cantidades a sumar son iguales.
Observa los siguientes conjuntos:
= 5 pelotitas
= 5 pelotitas
= 5 pelotitas
= 5 pelotitas
Tenemos 4 filas y en cada una hay 5 pelotitas. Al sumar repetiríamos los sumandos cuatros veces; Así: 5 + 5 + 5 + 5 = 20 Mientras que usando la multiplicación tendríamos 2 factores, el 4 que representa el número de filas y el 5 que representa el número de pelotitas en cada una. 4 x 5 = 20 A continuación realiza las siguientes multiplicaciones:
3 X 6 = _______
5 X 8 = _______
7 X 2 = _______
6 X 6 = _______
4 X 3 = _______
9 X 5 = _______
5 X 5 = _______
1 X 9 = _______
Resuelve:
1. Para ir a los bautismos de la iglesia se usaron 4 vehículos, si en cada vehículo cupieron 5 personas, ¿cuántos fueros a los bautismos?
4 X 5 = _____________
2. Para la merienda, la maestra llevó 3 bolsas de galletas, en cada bolsa había 8 galletas, ¿cuántas galletas había por todas?
3 X 8 = _____________
3. El padre de Sergio llevó 3 piñatas para celebrar el cumpleaños de su hijo. En cada uno echó 7 chocolates, ¿cuántos chocolates había en total?
3 X 7 = _____________
4. La maestra llevó al aula 6 bolsas con 8 helados de frutas cada una, ¿cuántos helados llevó en total?
6 X 8 = _____________
La tabla de multiplicar En la siguiente tabla tienes varias cantidades que están colocadas según sus factores. Para identificar los factores solo tienes que multiplicar el número de la columna y el de la fila que se alinean con cada número inscrito en la tabla. Ejemplo: Los factores del 15 son: en la columna es el 5 y en la fila 3, entonces, 15 = 5 X 3. Factores en las columnas 1 Factores en las filas
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
2
3
4
5
6
7
8
9
10
14 15 24 40 30 7 48 63
Según la tabla, indica ¿cuáles son los factores que forman cada producto?
10 = __________
14 = __________
63 = __________
24 = __________
40 = __________
30 = __________
7 = __________
48 = __________
Múltiplos de un número Múltiplos del número 3. 0, 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21, 24, 27, 30, etc. Se obtiene multiplicando el número por todos los números naturales restantes. Múltiplos de los siguientes números.
Múltiplos del 3 0
X
3
0
1
X
3
3
2
X
3
6
3
X
3
9
4
X
3
12
5
X
3
15
6
X
3
18
7
X
3
21
8
X
3
24
9
X
3
27
10
X
3
30
Ahora observa los múltiplos que son comunes a las dos series. Encuentras que el 12 y el 24 son múltiplos comunes del 3 y del 4. Entre estos múltiplos comunes el de menor valor es el 12, por lo que decimos que el mínimo común múltiplo del 3 y el 4 es 12.
Ejercicio Elabora en la tabla numérica los múltiplos de 2 y los múltiplos de 5, multiplicando hasta 10, luego marca los múltiplos comunes de ambos y anota el mínimo común múltiplo.
Indica cuál es el mínimo común múltiplo del 2 y el 5 según los resultados de las tablas.
mcm =
Propiedades de la multiplicación La multiplicación al igual que la suma y la resta tiene propiedades. Estas son cuatro, la propiedad conmutativa, la asociativa, la del elemento neutro y la distributiva.
Propiedad conmutativa Observa la siguiente multiplicación: 5 X 7 = 35 invirtiendo el orden de los factores 7 X 5 = 35 El orden de los factores no altera el producto. Propiedad conmutativa. En toda multiplicación se puede cambiar la posición de los factores, y el resultado será el mismo.
Aplica esta propiedad con las siguientes operaciones: En la línea de la par de cada operación anota el resultado. Une con una línea las multiplicaciones que sean iguales aplicando la propiedad conmutativa. a) 7 X 5 = _______________
f) 6 X 3 = _______________
b) 8 X 7 = _______________
g) 4 X 2 = _______________
c) 4 X 9 = _______________
h) 7 X 8 = _______________
d) 2 X 4 = _______________
i) 5 X 7 = _______________
e) 3 X 6 = _______________
j) 9 X 4 = _______________
Propiedad asociativa Cuando la multiplicación consta de tres factores o más, es posible asociar los factores de diferente manera: Ejemplo: 3 X 5 X 4 = 60 La operación la podemos hacer de otra manera. Multiplicando primero dos factores y luego multiplicando por el otro factor.
(3 x 5 = 15) luego por el otro factor, 15 x 4 = 60.
Si agrupamos factores de diferente manera, el producto será el mismo. Propiedad asociativa.
Otros ejemplos: 5 X 2 X 6 aplicando la propiedad asociativa puedes ser así:
(5 X 2) X 6
=
5 X (2 X 6)
10 X 6
5 X 12
60
60
Encuentra el número que hace falta en las siguientes multiplicaciones. a. (5 X 3) X b. (
= 30 X 3) X 4 = 24
6X( c. 5 X ( 4 X
X 3) = 90 ) = 80
Propiedad distributiva Reflexiona sobre este problema:
Un profesor dijo a sus alumnos Jorge Y Lily que coleccionaran monedas antiguar y que cuando las tuvieran les daría cinco dulces por cada moneda coleccionada. Si Jorge coleccionó 4 monedas antiguar y Lily coleccionó 8 monedas, ¿cuántos dulces acumularon entre los dos? En este caso es una multiplicación y una suma donde podemos aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación.
4 monedas
8 monedas
Formas de resolver la operación a) Sumamos las monedas y el resultado lo multiplicamos por el número de dulces (5). b) Multiplicamos el número de dulces por cada número de monedas, las de Jorge y las de Lily, y después sumamos los resultados.
a) (4 + 8) X 5
=
b) (5 X 4) + (5 X 8)
12 X 5
20 + 40
60
60
La propiedad distributiva consiste en que un número multiplicado por la suma de otros dos, es igual a multiplicar por cada número en forma individual y luego sumar el resultado.
Propiedad de elemento neutro Observa estas multiplicaciones: a) 7 X 1 = 7,
c) 9 X 1 = 9,
b) 15 X 1 = 15
d) 23 X 1 = 23
Todo número multiplicado por uno (1) da como resultado el mismo número. Esta es la propiedad del elemento neutro.
Multiplicación por decenas, centenas y millares Cuando multiplicamos por 10, lo hacemos por uno y se agrega el 0 al final. Ejemplo:
458 X 10 igual a 458 X 1 = 458,
agregamos 0 = 4580
Otros ejemplos:
246 x 10 = 2460
508 x 10 = 5080
370 x 10 = 3700
En este caso estamos multiplicando decenas (10) por eso multiplicamos por 1 y solo agregamos el 0. Si multiplicamos por 100 se procede igual con la diferencia que al final se agregan dos ceros, porque estamos multiplicando por centenas. Ejemplos:
465 X 100 = 46 500,
780 X 100 = 78 000,
307 X 100 = 30 700,
500 X 100 = 50 000.
Procedimiento Cada vez que realices operaciones por 10, 100, 1000, 10 000, solo multiplicas por uno y agregas los ceros que correspondan al multiplicando. Multiplicación por 1000 248 X 1000 = 248 000
135 X 1000 = 135 000
354 X 1000 = 354 000
200 X 1000 = 200 0000
De igual manera sucede con multiplicadores de dos o más decenas o centenas, cuando son exactas. Ejemplo: 4 X 20 = multiplicamos por 2, (4 X 2) = 8, agregamos el cero, y tenemos 80. Ejercicios Multiplica por centenas: 7 X 200 = (7 X 2) = _________, agregamos ceros = __________________
5 X 300 = (5 X 3) = _________, agregamos ceros = __________________
8 X 400 = (8 X 4) = _________, agregamos ceros = __________________
6 X 500 = (6 X 5) = _________, agregamos ceros = __________________
Multiplica por millares: 9 X 1000 = (9 X 1) = _________, agregamos ceros = __________________
5 X 5000 = (5 X 5) = _________, agregamos ceros = __________________
3 X 4000 = (3 X 4) = _________, agregamos ceros = __________________
4 X 2000 = (4 X 2) = _________, agregamos ceros = __________________
Realiza los siguientes ejercicios. 450 X 10 = _______
742 X 10 = _______
139 X 100 = ______
380 X 10 = _______
775 X 100 = ______
317 X 1000 = _____
342 X 100 = ______
235 X 10 = _______
645 X 1000 = _____
Reflexiona:
Si en el colegio hay 125 alumnos y cada uno lleva 10 dulces para una piñata, ¿cuántos dulces se reunirán? Multiplicaciones con multiplicador de una cifra Agrupando decenas y centenas. Empezamos la operación por las unidades, cuando el resultado es igual o mayor que 10 debemos agrupar a las decenas cuando el resultado de las decenas es igual o mayor que 10 debemos agrupar a las centenas.
Ejemplos varios
Al multiplicar las unidades debemos agrupar una decena porque 3 X 5 = 15, anotamos 5 en las unidades y agrupamos una decena para sumarla al producto de las decenas.
1
215 x 3 645
En este caso no es necesario agrupar decenas, en cambio debemos agrupar una centena porque 4 X 4 = 16, anotamos 6 en las decenas y agrupamos una centena para sumarla al producto de las centenas.
1
241 x 4 964
1 1
232 x 5 1160
1
En este caso agrupamos una decena y una centena porque ambos productos son mayores que 9.
2
546 x 4 2184
1
2
135 x 5 675
2 1
374 x 3 1122
Realiza los siguientes ejercicios:
742 X 4
358 X 5
805 X 3
128 X 6
X 7 3556
X 2 1350
Encuentra el factor que hace falta:
425 X00000 2550
538 X00000 4304
Resuelve los siguientes problemas numéricos
1) En el Antiguo Testamento hay 39 libros, y en el Nuevo Testamento hay 27 libros. Si Fernando lee 5 versículos de cada libro, ¿cuántos versículos leerá en total? ___________________________________________________________________ 2) En la iglesia de Juanito hay 468 miembros, si cada uno lleva 4 libros para la biblioteca, ¿cuántos libros se reunirán? ___________________________________________________________________ 3) Teresita reunió alimentos para ayudar a las familias pobres de su barrio. Los niños reunieron 5 libras de azúcar cada uno y las niñas reunieron 7 libras cada una. Si participaron 25 niños y 34 niñas, ¿cuántas libras de azúcar se reunieron? ___________________________________________________________________ 4) En una competencia las niñas y los niños corrieron 5 hectómetros, si participaron 45 niños y 26 niñas, ¿cuántos kilómetros sumaron entre todos, niñas y niñas? Aplica la propiedad distributiva. ___________________________________________________________________
Multiplicador de dos cifras Observa esta operación y analiza el procedimiento: 1. er Paso
2.º Paso
3.º Paso
325 X 53 975
325 X 53 975 1625
325 X 53 975 1625 17225
Multiplico por 3
Multiplico por 5
Sumo ambos productos
Cuando multiplicamos por dos cifras tenemos un multiplicador que consta de unidades y decenas. Multiplicamos por las unidades, anotamos el resultado. Multiplicamos por las decenas, anotamos el resultado corriendo un espacio. Sumamos ambos resultados para tener el producto. Puedes verlo en la tabla de valores. 1 5 4 X 2 4 = 3696.
UM
C
D
U
1
5
4
2
4
6
1
6
3
0
8
3
6
9
X
+
6
Siguiendo el mismo procedimiento, realiza en la tabla las siguientes operaciones:
5 X
3 X
4 3
2 5
0 5
7 2
1 X
5 X
3 1
6 2
4 4
6 6
2
5 2
0 1
6
4 5
0 6
X
X
Cuando el multiplicador consta de 2 números iguales, se multiplica por la cifra de las unidades del multiplicador y el resultado se copia para las decenas, después se suman, ejemplo: 358 X 33 1074 1074 11814
resultado en las unidades resultado en las decenas
Ejercita con las siguientes operaciones: a)
f)
567 X 5
670 X 4
b)
g)
854 X 15
543 X 55
c)
h)
946 X 23
469 X 22
d)
i)
507 X 56
577 X 24
e)
j)
289 X 31
895 X 13
La división
Para la clausura de la escuela bíblica de vacaciones, se llenaron cinco piñatas. A Lucy le correspondió distribuir los dulces en cada piñata. Si tenía 45 bombones, ¿Cuántos bombones tuvo que poner en cada una?
9 (d) divisor
5
45
cociente (c) Dividendo (D)
45 00
residuo (r)
División exacta e inexacta Para indicar una división también se puede utilizar el símbolo ÷ o una diagonal (/). Existe una relación inversa entre la división y la multiplicación. Se usa la división para encontrar el factor desconocido en una multiplicación. Una división es exacta cuando el residuo es 0. Asocia la división con la multiplicación. Si divides 32 ÷ 4 =8, entonces, 4 X 8 = 32.
Convierte las divisiones en multiplicaciones. 63 ÷ 9 = 7 entonces: 9 X 7 = ______________________ 18 ÷ 2 = 9 entonces: 2 X 9 = ______________________ 36 ÷ 6 = 6 entonces: 6 X 6 = ______________________ 48 ÷ 8 = 6 entonces: 8 X 6 = ______________________ 27 ÷ 3 = 9 entonces: 3 X 9 = ______________________ Ahora observas una función inversa. 5 X 9 = 45 entonces: 45 ÷ 5 = _____________________ 8 X 3 = 24 entonces: 24 ÷ 3 = _____________________ 6 X 7 = 42 entonces: 42 ÷ 6 = _____________________ 3 X 9 = 27 entonces: 27 ÷ 9 = _____________________ 8 X 6 = 48 entonces: 48 ÷ 8 = _____________________ Convierte las siguientes multiplicaciones en divisiones. Las anteriores divisiones son exactas, porque no queda ningún residuo. Usamos la división para distribuir materiales, alimentos, o cosas en forma equitativa, es decir, a todos por igual. No siempre la distribución es exacta, a veces, sobran unidades.
Ejemplo: En una bolsa hay 38 dulces, Luis desea repartirlos entre 5 amiguitos. ¿Cuántos dulces le toca a cada amigo? El dividendo es 38, mientras que el divisor es 5. 7 5
38 35 3
A cada amigo le correspondieron 7 dulces y sobraron 3. Prueba de la división, se realiza con la función inversa, es decir, con una multiplicación y una suma así: D = d X c + r Si lo trasladamos a los números de la anterior división tenemos: 38 = 5 X 7 + 3
35 + 3 = 38 Si el resultado es igual, se dice que la división está correcta. Cuando dividimos y nos sobran elementos se dice que la división no es exacta. También se dice que es inexacta.
Ejercita con las siguientes divisiones inexactas. En tu clase bíblica hay 8 niños. El maestro o guía les distribuye en forma igualitaria los capítulos del libro de Mateo, pero para que cada uno los lea durante la semana. ¿Cuántos capítulos corresponde a cada uno y cuántos capítulos sobran?
Primero averigua ¿Cuántos capítulos tiene Mateo? Luego divide el número de capítulos de Mateo entre 8 y observa, ¿cuántos capítulos sobras después de la distribución?
División con divisor de una cifra
17 4
68 4 28 28 0
Primero tomas la cifra de las decenas en el dividendo, lo divides entre el divisor. 6 entre 4 = 1, colocas el 1 como el cociente. Luego lo multiplicas por el divisor y el resultado lo colocas debajo de la cifra de las decenas del dividendo y resta. 6 – 4 =2, luego bajas la cifra de las unidades y se forma el número 28. Lo divides dentro de 4 y te da 7 que colocas en el cociente a la par del 1. Multiplicas 7 X 4 = 28, lo restas del minuendo y te da 0. Es una división exacta.
Ejercita tu conocimiento con las siguientes operaciones con divisor de una cifra, a la par indica si es exacta o inexacta.
60 ÷ 5 =
exacta 12 ______ _______________
56 ÷ 3 =
______ _______________
65 ÷ 6 =
______ _______________
28 ÷ 2 =
______ _______________
44 ÷ 4 =
______ _______________
39 ÷ 3 =
______ _______________
82 ÷ 6 =
______ _______________
90 ÷ 4 =
______ _______________
75 ÷ 5 =
______ _______________
64 ÷ 5 =
______ _______________
Divisores de un número Un número puede ser dividido exactamente por uno o más números.
Observa:
20 se puede dividir por los siguientes números: 20 ÷ 1 = 20 20 ÷ 2 = 10 1, 2, 4, 5, 10, 20 Son divisores de 20.
20 ÷ 4 = 5 20 ÷ 10 = 2 20 ÷ 20 = 1
Todo número es divisible exactamente por el 1 y por el mismo número. Un número es divisor de otro, si el resultado de la división es exacta. Si un número divide a otro y el resultado es inexacto, se dice que no es divisor de dicho número. Encuentra los divisores de los siguientes números: 12
30
18
15
División entre dos
Cuando un número se puede dividir entre 2 y el resultado es exacto, se dice que es un número par. Los números que no pueden dividirse exactamente por 2, son impares. Divide entre 2 los siguientes números: 10 ÷ 2 = ________
20 ÷ 2 = ________
12 ÷ 2 = ________
30 ÷ 2 = ________
8 ÷ 2 = ________
6 ÷ 2 = ________
Todos los números que terminan en 1, 3, 5, 7, 9 son impares. Todos los números que terminan en 0, 2, 4,6, 8 son pares. Une con una línea los cuadritos con números pares. 32
64
75 50
49
38 16
Divide los siguientes números entre 2 y observa si el resultado es exacto o inexacto, luego identifica cuáles son pares o impares según el residuo y coloca en las líneas respectivas las respuestas. 2 24
2 33
2 25
2 28
2 18
2 51
24 _______, 33 _______, 25 _______, 28 _______, 18 _______, 51 _______.
Propiedades de la división Propiedad fundamental El dividendo es igual a la multiplicación del divisor por el cociente más el residuo, así: D = d X c + r. Ejemplo 37 ÷ 5 = 7 sobrando 2 unidades. Entonces, 5 X 7 + 2 es igual a 37. Otro ejemplo:
75
÷
6
12 6
75
luego
6
12 X
15 12 3
Propiedad del elemento neutro Cuando el divisor es 1 el resultado es igual al dividendo. Ejemplo: 35 1
35 0
6 72
+
3 75
Ejercicios 85 ÷ 1 = ___________
156 ÷ 1 = ___________
104 ÷ 1 = ___________
248 ÷ 1 = ___________
215 ÷ 1 = ___________
45 ÷ 1 = ___________
Propiedad del cero Cuando el dividendo y el divisor tienen uno o más ceros al final, pueden suprimirse sin alterar la división. Se suprimen igual número de ceros en cada elemento. Ejemplos: 160 ÷ 20 = 8
es igual a
16 ÷ 2 = 8
150 ÷ 30 = 5
es igual a
15 ÷ 3 = 5
También puede aplicarse cuando el dividendo tiene ceros y el divisor no. En este caso se suprime temporalmente el cero y luego se vuelve a agregar el resultado. Ejemplo 80 ÷ 4 suprimimos temporalmente el 0, y decimos 8 ÷ 4 = 2
Luego volvemos a agregar el 0 y tenemos como resultado 20.
Resuelve las siguientes operaciones aplicando la propiedad del cero. 150 ÷ 10 = ________
750 ÷ 50 = ________
300 ÷ 60 = ________
640 ÷ 80 = ________
280 ÷ 70 = ________
540 ÷ 90 = ________
900 ÷ 60 = ________
480 ÷ 80 = ________
240 ÷ 40 = ________
400 ÷ 10 = ________
650 ÷ 50 = ________
770 ÷ 70 = ________
Ejercicios de reflexión para aplicar operaciones de división. 1. El domingo asistieron a tu congregación 36 niños. Ellos se distribuyeron en partes iguales entre 3 maestras, ¿cuántos niños les correspondió a cada una?
2. Para el cumpleaños de Fernando se distribuyeron en forma igualitaria 66 bombones. Si participaron 20 niños, ¿cuántos bombones correspondió a cada niño y cuántos sobraron?
3. En tu congregación se compraron 550 folletos de versículos bíblicos. El líder convocó a 8 jóvenes para distribuirlos entre ellos y salir a repartirlos a diferentes lugares, ¿cuántos folletos entregó a cada uno y cuántos sobraron?
4. El comité de socorro llevó un canasto con 450 panes para distribuirlos entre 30 familias, ¿cuántos panes correspondió a cada familia?
División con divisor de dos cifras Observa el ejemplo: 840 ÷ 24. Paso 1 Como el divisor tiene dos cifras, separamos las dos cifras del dividendo que corresponden a las decenas. Luego preguntamos ¿cuántas veces cabe 24 en 84? Para saberlo multiplicamos 24 por otro número, que dé como resultado 84 o menos. Este número es 3, lo colocamos en el cociente.
Paso 2 Multiplicamos 3 X 24 = 72, lo colocamos debajo del dividendo alineando con las decenas, y procedemos a restar así 84 – 72 = 12.
Paso 3 Bajamos la cifra de las unidades que en este ejemplo es “0”, lo colocamos a la par del 12 y tenemos 120.
Paso 4 Preguntamos ¿Cuántas veces cabe 24 en 120? Para ello buscamos un número que al multiplicarlo por 24 dé 120 o menos. Este número es 5, lo colocamos en el cociente a la par del 3.
Paso 5 Multiplicamos 24 X 5 = 120, lo colocamos debajo del dividendo y restamos. Nos da 0. El resultado es 35, y es una división exacta porque el residuo es 0
Ejercita tus habilidades con las siguientes operaciones de división, con divisores de 2 cifras. 25
58
16
46
35
735
12
492
32
740
10
940
23
41
20
450
29
609
50
775
65
800
15
355
Colorea el faro
La Biblia es como un faro para orientar tu vida hacia una salvación segura.
Fracciones Observa las siguientes figuras:
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
1 2
En las figuras tienes que cada círculo se dividió en dos fracciones que se llaman medios. En total hay seis medios. La fracción se escribe así:
6 2
numerador denominador
Las fracciones son divisiones de una unidad cuando las partes son iguales. El denominador indica las partes en que se divide la unidad y el numerador las partes que se toman de la unidad. En el ejemplo anterior el numerador es mayor que el denominador porque necesitamos varias unidades para completar la fracción. Si tomas solo los medios amarillos tendrías tres medios que se escribe así: 3 2
Las fracciones reciben un nombre de acuerdo a las veces en que se divide la unidad.
Medios
Quintos
Octavos
Tercios
Cuartos
Sextos
Séptimos
Novenos
Décimos
Observa las siguientes figuras y escribe las fracciones que están sombreadas. Estas fracciones son menores que la unidad y se les conoce como propias. Escribe la fracción a la par de cada figura.
Fracciones equivalentes Hay fracciones que son equivalentes cuando representan una misma porción de la unidad. Marca con una X si son equivalentes o no.
1 4
2 3
2 8 sí
4 6
sí
no o
no o
Observa estas parejas de fracciones. En el cuadrito anota si son equivalentes o no usando el símbolo = equivalente ≠ no equivalente.
1 5
3 10
,
2 12
1 6
,
4 8
1 2
,
8 12
1 3
3 8
2 4
,
5 10
1 2
,
7 8
1 7
,
4 16
2 8
Fracciones propias e impropias Observa las siguientes barras y pinta las partes que se indica en la fracción. 3 4
3 5
6 10
2 4
2 8
4 12
1 2
5 6
Cuando el numerador es menor que el denominador se dice que la fracción es propia.
Observa: 7 3
1 3 1 3
1 3 1 3
1 3
1 3
1 3
Para representar la fracción tuvimos que emplear tres unidades.
Observa estas figuras:
1 5
5 5
1 5
1 5
1 5
4 4
1 5
1 4
1 4
1 4
1 4
Para representar la fracción tuvimos que emplear la unidad completa. Cuando el numerador es mayor que el denominador se dice que la fracción es impropia. Cuando el numerador es igual al denominador la fracción es igual a la unidad.
Observa varios círculos donde están escritas fracciones. Pinta aquellos que contienen una fracción impropia.
7 14
8 5
4 2
6 12
4 8
5 2
8 12
10 4
Amplificación y simplificación de fracciones Las fracciones se pueden ampliar o simplificar según lo que se desee hacer. Observa esta fracción:
4 ampliar 4 x 2 = 8 6 6x2 12
4 simplificar 4 ÷ 2 = 2 6 6÷2 3
Cuando se multiplica el numerador y el denominador por dos o por cualquiera otro número, la fracción se amplía en forma equivalente. Cuando la fracción se divide por un número que sea divisor tanto el numerador como el denominador, la fracción se simplifica.
Si tienes un pastel de ocho porciones, pero te das cuenta que llegaron más amigos a felicitarte, y no tiene oportunidad de ir a comprar otro, entonces, se amplía el número de fracciones de manera que el pastel alcance para todos.
Octavos
Dieciseisavos
Amplía o simplifica las siguientes fracciones, según la operación que se indica a la par de cada una. 4 X 3 = _________, 5 X 3 = _________,
6 X 2 = _________, 10 X 2 = _________,
2 X 5 = _________, 3 X 5 = _________,
6 ÷ 2 = _________, 8 ÷ 2 = _________,
12 ÷ 4 = _________, 20 ÷ 4 = _________,
8 ÷ 8 = _________, 24 ÷ 8 = _________,
Una fracción se puede simplificar y ampliar varias veces.
Simplifica:
12 36
= =
6 18
= =
3 9
= =
1 3
Hemos simplificado a su menor expresión. En sentido inverso una fracción puede ampliarse al infinito. Ejemplo: 1 2
= =
2 4
= =
4 8
= =
8 16
= =
16 32
= =
32 64
etc. etc.
Simplifica hasta su menor expresión las siguientes fracciones: 12 = ________ = ________ 20
24 = ________ = ________ 48
24 = ________ = ________ 30
18 = ________ = ________ 36
Amplifica tres veces las siguientes fracciones: Ejemplos: Estas fracciones se han multiplicado por 2 para amplificarlas.
2 = 4 = 8 = 16 5 10 20 40 1 = 3 = 9 = 27 2 6 18 54
En este otro ejemplo las fracciones se han multiplicado por 3.
Amplifica tres veces:
Cuando alabamos a Dios amplificamos la voz.
3 6
=
_______
=
_______
=
_______
5 10
=
_______
=
_______
=
_______
6 9
=
_______
=
_______
=
_______
1 5
=
_______
=
_______
=
_______
3 4
=
_______
=
_______
=
_______
Fracción con igual denominador Gaby y Roberto colaboraron con su mamá para vender frutas. A cada uno le entregaron una docena de manzanas. Gaby vendió 7 manzanas y Roberto vendió 4 manzanas.
Si la docena es la unidad. La representación de lo vendido por cada uno se escribe
así:
7 4 12 12 Gaby vendió _____, mientras Roberto vendió ______.
Las fracciones tienen el mismo denominador, pero diferente numerador. En este caso una fracción es mayor que otra. Al comparar fracciones de igual denominador usamos los símbolos: (= igual que), (> mayor que) o (< menor que).
7 > _____ 4 Entonces ____ 12 12
En la recta numérica se puede ejemplificar la porción de cada fracción.
0
4 12
7 12
1
Señala en la recta numérica las siguientes expresiones fraccionarias:
2 , 5 , 8 , 1 4 4 4 4 0
1
2
La fracción mayor es la que se encuentra más lejos del eje 0 en la recta numérica.
Resuelve:
1. La madre de Julia hizo un pastel y lo partió en 18 porciones iguales, si vendió 12, ¿Cuántas porciones sobraron y cómo se escribe la fracción sobrante?
2. El tío de Ernesto compró una pizza de 8 porciones. Obsequió una porción a cada sobrino. Si los sobrinos eran 5, ¿qué fracción le sobró?
Adición de fracciones Cuando las fracciones tienen el mismo denominador, la adición la realizamos sumando los numeradores y poniendo como denominador el mismo. Ejemplo:
En esta figura podemos escribir la fracción amarilla y la fracción celeste. 2 porción celeste ___ 4 Porción amarilla ___, 8 8
Si sumamos la fracción amarilla con la celeste tenemos: 2 8
+ +
4 8
= +
6 8
Otro ejemplo: 2 10 6 10
2 _____ + 10
Adición:
6 _____ 10
8 _____ 10
=
Ejercicios de adición con igual denominador. 5 + _____ 7 = ____
__________
5 + _____ 3 = ____
__________
3 + _____ 4 = ____
__________
7 + _____ 7 = ____
__________
4 + _____ 8 = ____
__________
2 + _____ 3 = ____
__________
12
12
12
12
7
15
7
15
9
8
9
8
Sustracción de fracciones Para realizar una sustracción de fracciones con igual denominador, se restan los numeradores y se coloca el mismo denominador. 12 20
__
12 veinteavos
7 20
=
Menos
5 20
7 veinteavos
=
5 veinteavos
Realiza los siguientes ejercicios de sustracción con igual denominador. 5 - _____ 3 = ____ 10
10
3 - _____ 1 = ____ 15
10
_____
_____
16
_____
____
25
6 - _____ 4 = ____ 4
_____
8
12 - _____ 8 = ____ 25
_____
12
5 - _____ 3 = ____ 8
_____
17
7 - _____ 7 = ____ 12
10
8 - _____ 6 = ____ 16
_____
16
5 - _____ 3 = ____
5 - _____ 3 = ____
17
15
8 - _____ 4 = ____ 16
_____
4
____
Decimales Cuando las fracciones tienen como denominador la unidad seguida de ceros, se dice que son decimales.
Representación grafica
5 , cinco décimos _____ 10 80 ochenta centésimos _____,
Las fracciones con denominador 10 se llaman decimales. Asimismo si tienen denominador cien o mil.
100 25 veinticinco milésimos _____, 1000
Las fracciones decimales las podemos convertir a números decimales. Para esto debemos utilizar el punto que indica la separación entre los enteros y los decimales. Ejemplos:
7 ____ 10
= 0.7
8 _____ 100
= 0.08
5 ______
= 0.005
1000
Los décimos se colocan después del punto, los centésimos en la segunda cifra después del punto y los milésimos en la tercera cifra después del punto. Es decir, según el número de ceros del denominador así serán las cifras decimales.
Convierte las siguientes fracciones en números decimales:
3 ___ 10
5 ____ 100
Colorea 0.6
Colorea 0.50
25 _____ 1000
colorea 0.4
colorea 0.35
En estas figuras observamos que se tienen tres unidades divididas en 10, de las cuales 24 están coloreadas en verde. Las partas coloreadas se representan numéricamente 24 se lee 24 decimos. así: En fracciones ___, 10
La fracción anterior, es impropia porque incluye 2 enteros sobrando 4 décimos. Recuerda que el numerador indica las partes que tomas y el denominador indica las partes en que está dividida la unidad. 24 se escribe 2.4 y se lee dos unidades con cuatro décimos. En números decimales ____ 10
Cuando el número fraccionario es menor que la unidad, en números decimales se escribe 0 en los enteros, luego el punto y después los décimos, centésimos o milésimos.
Representación de los números decimales en la recta numérica Debes dividir la recta en unidades y cada unidad en diez partes para poder representar un número decimal.
0
1
2
3
4
5
6
7
Localiza en la recta, las cifras que se te dan a continuación. a) 3.5,
b) 5.8,
c) 1.2,
d) 7.5,
e) 2.5,
f) 9.0,
g) 4.3
8
9
En una competencia escolar de salto largo los resultados fueron: 1. Luis saltó 2.50 m
¿Cómo ser un triunfador?
Siendo muy disciplinado en tu formación integral.
2. Julia 3.30 3. Felipe 2.80 4. Mary 1.80
¿Quién de ellos saltó más?
_______________________________________
¿Quién de ellos saltó menos?
_______________________________________
¿Qué niña saltó más?
_______________________________________
Puedes representar en la recta numérica cada uno de los saltos.
En la recta numérica, todo valor que está más a la derecha del cero, es mayor.
Adición de decimales Para sumar números decimales debes cuidar la colocación de las cifras en forma ordenada respetando el punto que separa las unidades de los decimales.
Lucy
Estatura
1.25 m
Byron
Flor
1.15 m
1.09 m
La estatura de Lucy es de 1 metro 25 centésimos de metro. La estatura de Byron es de 1 metro 15 centésimos de metro. La estatura de Flor es de 1 metro con 9 centésimos de metro.
Si deseamos sumar la estatura de los tres tendríamos: Niños
Unidades
Punto
Décimos
Centésimos
Lucy
1
.
2
5
Byron Flor Total
1 1 3
. . .
1 0 4
5 9 9
Resuelve las siguientes operaciones: Debes tener cuidado de volver a colocar el punto que separa los enteros de los decimales.
75.35 + 12.28
34.28 + 12.83
14.56 + 24.52
58.09 + 18.53
33.23 + 15.28
48.54 + 25.90
173.55 + 125.97
501.85 + 234.25
82.80 + 32.65
239.92 + 450.50
Resuelve: 1. De la puerta de la casa de Julio a la panadería hay 78.80 metros, ¿cuánto recorre Julio ida y vuelta?
2. Una tira de cohetes tiene 12.50 metros, si la sumamos a otra de 8.25 metros, ¿cuántos metros y centésimos tendríamos en total?
Sustracción de decimales Para restar números decimales se debe tener cuidado de colocar los números en columna, respetando que el punto decimal quede bien alineado. Si una cuerda mide 8.40 m, y la distancia entre dos postes es de 12.85 m. ¿Cuánto hace falta para amarrar una cuerda entre ambos postes?
-
1 2 . 8 5 m, es la distancia entre los postes. 8 . 4 0 m, mide la cuerda. 4 . 4 5 m, parte que hace falta
Realiza las siguientes operaciones:
-
85.34 25.26
533.28 - 315.24
42.26 - 21.38
248.45 - 25.90
-
34.65 14.25
183.95 - 105.79
92.09 - 28.07
361.85 - 334.25
72.50 - 23.56
838.99 - 550.50
Medición de longitud Lo que no se puede medir es el amor de Dios, porque es tan grande e infinito que no tiene fin. Domina todo el universo, llena todo tu ser.
El metro sirve para medir la longitud de un objeto. Cuando no tienes un instrumento de medida puedes hacer un cálculo mental, se dice que haces una estimación. Ejemplo: La altura de tu casa, la distancia entre tu casa y el templo. Así es posible calcular alguna medida a manera de estimación.
Un metro tiene 100 centímetros, y cada centímetro se divide en diez milímetros.
Múltiplos y submúltiplos del metro
El metro es una unidad de medida. Puede dividirse en medidas más pequeñas o multiplicarse por medidas mayores. Símbolo (m).
Múltiplos El metro se multiplica para obtener otras medidas más grandes. 10 metros hace un decámetro (dam) 100 metros hacen un hectómetro (hm) y 1000 metros hacen un kilómetro (km).
Submúltiplos El metro se divide en otras medidas más pequeñas.
1 metro =
10 decímetros (dm), 100 centímetros (cm) y 1000 milímetros (mm).
Conversión de medidas. 5 m = 500 cm
50 m = 500 dm
3 km = 3000 m
4 hm = 4000 dm
40 km = 4000 dam
8 km = 80 hm
4 km = 40 hm
60 dm = 6 m
Ejercita:
Usa la regla con centímetros y milímetros, mide la longitud que tiene lo que se te indica: ¿Cuánto mide tu lápiz?
____________________________________
¿Cuánto mide tu zapato?
____________________________________
¿Cuánto mide tu dedo anular?
____________________________________
¿Cuánto mide tu libro de Matemáticas?
____________________________________
¿Cuánto mide tu borrador?
____________________________________
Anota la equivalencia indicada en cada cuadrito:
15 m = _________ cm
12 dm = ________ cm
150 cm = ______ mm
100 mm = ______ cm
8 hm = _________ m
3 km = _________ hm
2 km = ________ dam
20 hm = ________ km
500 m = ________ km
300 hm = ________ m
Resuelve: 1. De la cada de Juanito a la iglesia hay dos kilómetros y medio. ¿Cuántos metros hay? ______________________
2. Julio mide 1 m con 25 cm. ¿Cuántos milímetros mide Julio? ___________________________________________________________________
3. Un terreno mide 20 dam de largo y 5 dam de ancho. ¿Cuántos metros mide de largo y de ancho? ___________________________________________________________________
4. Un rollo de tela para camisas mide 60 m de largo. ¿Cuántos dm mide de largo? ___________________________________________________________________
Otras medidas de longitud
En los clavos, en la madera o en las telas observarás que se usan otras medidas no decimales.
Hay clavos de media pulgada, una pulgada, pulgada y media, etc.
De igual manera las telas se miden por yardas.
Los caminos se miden por leguas, la lámina para el techo de las casa se mide por pies.
Medidas no decimales y equivalencia
Medida
Equivalencia
1 pulgada (pulg)
2.54 centímetros
1 pie (pie)
12 pulgadas
1 yarda (yd)
3 pies
1 legua
4 kilómetros
1 milla
1609 m, 1.61 km
El valor de un pie se aproxima a 31 cm y el de la yarda a 91 cm.
Traza una línea entre los valores equivalentes.
9 pies
15 pies
18 pulgadas
96 pulgadas
5 yardas
24 pulgadas
8 pies
3 yardas
2 pies
1.5 pies
En las transacciones cotidianas de las comunidades se acostumbra usar otras medidas que no son decimales ni estandarizadas. Observa las figuras:
cuarta
brazada
paso
codo
Cuando no se dispone de instrumentos, en algunos lugares se usan las partes del cuerpo para medir objetos como tela, cuerdas, tramos de terreno, etc.
Ejercita:
1. Una cortina de la iglesia mide 6 yardas de largo. Si la doblas en dos partes, ¿cuántos pies tendrá doblada?
2. El techo del patio tiene 5 yardas de largo. Si lo deseamos cubrir con lámina, ¿de cuántos pies debe ser la lámina para cubrir el largo?
3. Si tiene una regla de madera de 6 pies, ¿cuántas yardas puedes abarcar con ella?
4. Si no tienes instrumentos de medida, usa las partes de tu cuerpo y responde: ¿Cuántas cuartas mide de alto tu mesa? ________________________________________________________________ ¿Cuantas brazadas tiene de ancho el aula? ________________________________________________________________ ¿Cuántos pies tiene de ancho la puerta de entrada al aula? ________________________________________________________________ ¿Cuántos codos tiene de largo la pizarra? ________________________________________________________________
5. En el patio de tu colegio puedes practicar otras medidas: ¿Cuántos pasos hay de tu aula al centro del patio? ________________________________________________________________ ¿Cuántas brazadas de largo tiene el patio? ________________________________________________________________ ¿Cuántos pies mide de ancho el patio? ________________________________________________________________
Medida de superficie y volumen La superficie Es la parte externa de un cuerpo. Su medida se llama área. Si deseas medir el área de una superficie rectangular o cuadrada, mides el ancho y el largo y luego multiplicas los valores. El área de una figura se expresa en unidades cuadradas.
Largo mide 6 metros A n c h o 4 m
El área de la superficie se obtiene multiplicando. 6 X 4 = 24 Área: 24 metro cuadrados.
Puedes contar las unidades cuadradas y comprobaras que tiene 24 cuadros iguales. Puedes medir cuántas pulgadas tiene tu cuaderno de matemáticas de ancho y de largo y luego indica, ¿cuál es el área de la superficie de tu cuaderno? Si tu cuaderno mide 9 pulgadas de largo por 6 de ancho el área será entonces de 9 X 6 = 54 pulgadas. Puedes calcular el área de tu mesa, o el área de la pizarra. En cambio si deseas saber el perímetro de la superficie de tu cuaderno. Solo debes sumas el valor de cada lago, así: 9 pulgadas + 6 pulgadas + 9 pulgadas + 6 pulgadas = 30 pulgadas. El perímetro de tu cuaderno es de 30 pulgadas.
Remarca un perímetro de 30 cuadritos, según las medidas de tu cuaderno en el ejemplo anterior.
Colorea un área de 20 cuadritos, largo 5 cuadrados y ancho 4 cuadros.
El volumen Es el espacio que ocupa un cuerpo.
altura 4 metros ancho 3 metros largo 4 metros
Volumen igual a: 4 metros x 4 metros x 3 metros = 48 metros cúbicos
Es decir, que este cuerpo está formado por 48 cubos iguales. Para tener el volumen de un cuerpo se debe multiplicar el largo por el ancho y por la altura. El volumen de un cuerpo se expresa en unidades cúbicas. Calcula el área de las siguientes superficies: 1) largo 40, ancho 10, área = __________________ 2) largo 15, ancho 5, área = __________________ 3) largo 120, ancho 20, área = __________________ Calcula el volumen: 1) largo 18, ancho 6, altura 4, volumen = __________________ 2) largo 50, ancho 10, altura 6, volumen = __________________ 3) largo 30, ancho 12, altura 20, volumen = __________________
Medida de masa
El café, el azúcar, la carne, las palomitas se miden por la masa que contienen. Para medir la cantidad de masa de los granos o cuerpos sólidos, usamos varias unidades. En el sistema decimal se usa el gramo y sus múltiplos.
Medidas
Equivalencias
Abreviaturas
1 gramo
1g
1 decagramo
1 dag
10 g
1 hectogramo 1 hg
100 g
10 dag
1 kilogramo
1 kg
1000 g
100 dag
10 hg
1 tonelada
1t
1000 kg
100 000 dag
10 000 hg
Aplica las unidades de medida a los siguientes problemas:
1. Un camión lleva 2 toneladas de maíz para vender en la plaza de Totonicapán. Si vende 1500 kg durante el día, ¿Cuántos kilogramos le sobran?
2. En tu congregación se reunieron granos para socorrer a los hermanos que tienen dificultades de sobrevivencia. Se contabilizaron 200 kg de leche y 800 kg de cereal, ¿Cuántos hectogramos de cada producto se reunieron?
3. Jorge tiene 60 kg de masa, mientras que Esther tiene 52 kg, ¿Cuántos gramos tiene más Jorge que Esther?
4. Para construir un puente se necesitan 20 toneladas de piedra. Si ya se han recolectado 15 toneladas, ¿Cuántos kg hacen falta?
Convierte las siguientes cantidades a las unidades sugeridas: 5 t = _______ kg
3 hg = ______ g
70 dag = ____ g
3000 g = _____ t
50 hg = ___ dag
21 hg = ___ dag
5 hg = ______ g
50 kg = ______ g
8 kg = _______ g
Otras medidas de masa En los mercados cantonales se venden diversos productos usando otras medidas diferentes al kilogramo.
¿Cómo puedes racimo de uvas?
medir
este
Puedes usar la libra.
¿Qué otras cosas puedes medir usando la libra?
En la balanza se pesan granos, concentrado para las mascotas, papas, tomates, cebollas, por libras y arrobas. Hay especias que se venden por onzas como la pimienta, el achiote, etc.
Unidad
Equivalencias
Abreviaturas
1 onza
oz
1 libra
lb
16 oz
1 arroba
@
400 oz
25 lb
1 quintal
q
1 600 oz
100 lb
4@
Conversión de medidas
Medida inicial
Medidas a convertir
Equivalencia
onzas
5 X 16 = 80 oz
libras
3 X 100 = 300 lb
libras
6 X 25 = 150 lb
20 arrobas de trigo
quintales
20 ÷ 4 = 5 q
400 libras de arroz
arrobas
400 ÷ 25 = 16 @
libras
160 ÷ 16 = 10 lb
5 libras de harina 3 quintales de leche en polvo 6 arrobas de frijol
160 onzas de ajonjolí
Realizas las siguientes conversiones:
a) 75 libras de frijol es igual a: ________________ @ b) 64 oz de ajonjolí es igual a: ________________ lb c) 2 q de arroz es igual a: ________________ lb d) 10 lb de cereal es igual a: ________________ oz e) 300 lb de maíz es igual a: ________________ q f) 24 @ de trigo es igual a: ________________ q
Medidas apropiadas para los productos que se ven en las siguientes figuras. Marca la opción más conveniente
onzas quintales
Canela
toneladas libras
Tomate
quintales onzas Una persona correcta mide de forma cabal el peso de los productos.
Maíz en grano
arrobas kilogramos
Leche en polvo
Medidas de capacidad Observa las siguientes figuras:
1 vaso,
1 botella,
1 litro,
1 galón
La cantidad de líquido que guarda un recipiente es lo que se llama medida de capacidad. En el sistema decimal la unidad de medida es el litro. Luego se tienen los múltiplos y submúltiplos de litro. Unidades
Equivalencias
1 vaso
250 ml
1 botella
750 ml
3 vasos
1 litro (L)
1000 ml
4 vasos
1 galón (gl)
5 botellas
15 vasos
Resuelve los siguientes problemas:
1. Para el cumpleaños de Josefina se compraron 12 litro de gaseosa. Si a cada invitado se le dará un vaso de gaseosa, ¿para cuántos invitados alcanzará el líquido comprado? ___________________________________________________________________ 2. La madre de Julio llevó un litro de leche para el desayuno. Si se consumieron tres vasos. ¿cuántos mililitros sobraron? ___________________________________________________________________
Medidas de tiempo El tiempo es algo que no podemos ver pero que existe en nuestras vidas y podemos medirlo.
Muchas veces el reloj nos hace correr para no llegar tarde a la iglesia o al colegio. Todos los días estamos pendientes del tiempo. Planificamos sobre la base del tiempo.
Estimaciones del tiempo Haciendo un cálculo mental estima el tiempo que te llevan las siguientes actividades. Bañarte: _________________________________________________________ Desayunar: ______________________________________________________ Hacer la tarea de Matemáticas: _______________________________________ Dar una palmada: _________________________________________________ Tomar un vaso de jugo: _____________________________________________
El tiempo se mide de acuerdo a los movimientos de la Tierra. Cuando cumples un año, habrás dado una vuelta alrededor del Sol. Tu nave es la Tierra.
Dios gobierna el universo y decide sobre el tiempo.
El reloj
Segundero Horario Minutero
Nos sirve para medir el tiempo dentro de un día. El día tiene 24 horas. Es decir, que la aguja horario da dos vueltas durante el día. La primera vuelta es por la mañana o antes del meridiano o mediodía, a.m. .
La segunda vuelta es por la tarde o pasando meridiano, p.m., es decir, después del mediodía.
El segundo es una unidad de medida del tiempo, y se divide en decisegundos. 60 segundos = 1 minuto 1 segundo es como un parpadeo de tus ojos.
60 minutos = 1 hora 24 horas = 1 día 7 días = 1 semana
Relaciona con una línea las cantidades de la izquierda y sus equivalencias. 5 horas
168 horas
72 horas
8 horas
30 segundos
3 días
480 minutos
300 minutos
7 días
Medio minuto
Anota la hora en cada reloj, según lo que se te pide en la línea de abajo.
5 : 35
7 : 15
11 : 05
10 : 25
1 : 30
12 : 45
8 : 40
9 : 15
El calendario Para medir los días usamos el calendario.
El calendario contiene 12 meses, unos de 30 días y otros de 31 días. El mes de febrero varía Si el año es normal tiene 28 días Si el año es bisiesto tiene 29 días.
1 año tiene 365 días si es normal y 366 días si es bisiesto. Nosotros usamos el calendario gregoriano. Pero otros usan diferentes calendarios. 2 años es un bienio 3 años es un trienio 4 años es un cuatrienio 5 años es un lustro o un quinquenio 10 años es una década o un decenio 100 años es un siglo o una centuria 1000 años es un milenio
En el calendario marcamos fechas memorables para cada uno y para toda la comunidad. Anota las fechas que recuerdas: 1. La independencia patria __________________________________________ 2. La Navidad ____________________________________________________ 3. Tu cumpleaños _________________________________________________ 4. El día del maestro _______________________________________________ 5. El día de la amistad ______________________________________________
El calendario maya En Guatemala se ha logrado reconstruir el calendario que usaban los mayas hace mucho tiempo. Se usa en forma ceremonial en algunas regiones de Guatemala, México y Honduras.
En los códices mayas y en los templos de los antepasados, existen cálculos sobre el tiempo, estos se han usado para reconstruir el calendario maya. El calendario llamado Haab’ tiene 365 días. El calendario llamado Tz`olkin tiene 260 días. Los meses tienen 20 días y cada uno tiene su nombre y símbolo.
Kin = 1 día Tun = 1 año Katun = 20 años Baktun = 400 años Era = 2500 años
Medidas monetarias
Cada vez que deseamos comprar alguna cosa o cobrar algo que hemos vendido o un trabajo realizado usamos el dinero. Cada país tiene su propia moneda. Las monedas pueden ser representadas en forma metálica o en papel (billetes). En Guatemala la moneda es el Quetzal, el honor al ave símbolo de la identidad nacional.
El quetzal es la unidad monetaria de nuestro país. Un quetzal se divide en 100 centavos. Circulan quetzales en monedas de metal y en billetes.
Indica a la par de cada billete, ¿qué valor tiene cada uno?
______________
______________
______________
______________
_______________
_______________ Valores de los billetes: Q1.00, Q5.00, Q10.00, Q20.00, Q50.00, Q100.00, Q200.00.
_____________ Reconoce cada una de las monedas por su respectivo valor.
1⊄
5⊄
10⊄
25⊄
50⊄
Q1.00
Relaciona por medio de una línea el artículo con el billete que le corresponde:
Antiguamente solo se intercambiaban los productos entre sí, pero era dificultoso. Ahora se usa la moneda para vender y comprar los productos que necesitamos. Para escribir con números los valores de las monedas en Guatemala usamos el signo “Q” y dos decimales. Cuando hacemos cuentas sumamos o restamos según los valores.
0
Observa los valores de los billetes y monedas.
Verifica la suma de los valores anteriores, según el orden en que aparecen. Q5.00 + Q100.00 + Q20.00 + Q20.00 + Q2.00 + Q0.50 + Q.20 = Q127.70
En Guatemala también se usan otras monedas para importar productos del exterior. La moneda más usada para comprar en el exterior es el dólar americano.
Los dólares americanos tienen un valor diferente con al quetzal y se usan para comprar en el exterior objetos como vehículos, aparatos eléctricos, maquinaria, etc.
Resuelve:
1. Una Biblia económica tiene un valor de Q75.00, si María tiene un billete de Q100.00; ¿cuánto le sobrará luego de comprar la Biblia?
2. Carlos es el responsable de contar la ofrende de la iglesia, y el domingo se reunió, un billete de Q50.00, ocho billetes de Q20.00, doce de Q5.00, diez monedas de Q1.00 y seis de Q0.25, ¿cuánto se reunió de ofrenda?
3. Federico gastó en la tienda del colegio lo siguiente: un emparedado de Q6.00, un jugo de Q2.50, y frutas por Q3.50, ¿cuánto gastó en total?
4. El padre de Rosita tiene Q600.00, necesita comprar una arroba de azúcar que cuesta Q75.00, cereales por Q145.00 y medicina por Q366.00, ¿cuánto dinero le sobra?
Desplazamiento y ubicación
Oeste …………………………………………………………...……………….... Este Una línea recta es la que se prolonga por ambos lados, es decir, es infinita.
Línea recta
Para orientar nuestro desplazamiento usamos como referencia los cuatro puntos cardinales: Norte, Sur, Este, Oeste. La semirrecta es cuando se conoce el punto de partida aunque no el de llegada.
Línea semirrecta
La niña se desplaza en línea recta desde un punto de partida de oeste hacia el este donde se ubica el semáforo. La niña tiene una distancia y una dirección para hacer su recorrido. Segmento es cuando se conoce el punto de partida y el de llegada.
Segmento
Diferentes clases de rectas y semirrectas Perpendiculares. Son las que al cruzarse forman ángulos rectos. Es decir, que forman ángulos de 90 grados.
90º 90º
Paralelas. Son las que no se cruzan nunca. Guardan la misma distancia entre sí siempre.
Secantes. Son las que no forman ángulos rectos, pueden ser obtusos y agudos.
obtuso
agudo
Sentido de orientación
Si por la mañana te pones frente al Sol, estarás viendo hacia el Este, si es por la tarde estarás viendo hacia el Oeste. Si estas frente al Sol por la mañana y extiendes tus brazos a ambos lados, tu brazo izquierdo señalará el Norte y el derecho el Sur.
El Sol es un buen referente para encontrar la ubicación de los puntos cardinales.
Se usa este símbolo para señalar los cuatro puntos cardinales. El Norte se coloca en la parte superior, el Sur en la parte inferior. El Este a la derecha y el Oeste a la izquierda de la figura.
Ubicación en el plano cartesiano Para la ubicación de los objetos se usa el plano cartesiano. El cuadrante más usado es el de la derecha. Este cuadrante tiene dos líneas perpendiculares que forman dos ejes que se intersectan en el punto (0,0). Sirve para localizar puntos que se denominan pares ordenados.
6
Para ubicar al cachorrito cuentas los cuadritos de izquierda a derecha. Observa que tiene tres (3), luego cuentas los cuadritos hacia arriba y tiene cuatro (4). Entonces, decimos que es una posición (3,4). Mientras que el gallo está en la ubicación (5,3). Esto significa 5 espacios a la derecha y 3 espacios hacia arriba.
5 4 3 2 1 1
2
3
4
5
6
6 5
Indica ¿cuál es la posición de las figuras?
4
pelota ____________
3
vehículo ____________
2
perro ____________
1 1
2
3
4
5
6
Los ángulos A lado
vértice
ángulo
0
lado
B
El ángulo es el espacio entre dos semirrectas que parten de un punto en común. Las semirrectas se llaman lados y el punto es el vértice del ángulo.
Los ángulos se miden por medio de grados. Se toma de base los grados que forman la circunferencia, 360 grados (360º). La circunferencia es una línea curva cerrada, donde todos sus puntos están equidistante del centro. Si partimos con dos semirrectas la circunferencia tenemos cuatro ángulos iguales de 90º. Hay varias clases de ángulos. El ángulo recto es el que tiene 90º.
ángulo
Los ángulos que tienen menos de 90º se denominan agudos.
Los ángulos que tienen más de 90º se denominan obtusos.
Para medir los grados de un ángulo usamos un instrumento llamado transportador, que se coloca sobre uno de los ejes para ver el espacio hacia el otro eje en grados. Identifica con la letra (r) los ángulos rectos, con (a) los agudos y con (o) los obtusos que encuentras en las siguientes figuras.
Observa las siguientes rectas e indica qué clase de ángulos se forman en la figura. C
F
H J
A
B
D
E
G
I
< ABC es _______ < CDE es _______ < FGH es _______
Figuras geométricas Los triángulos Los triángulos son figuras geométricas de tres lados, tienen diferentes formas según las medidas de sus lados y de sus ángulos.
En estas figuras se observan varios triángulos que forman figuras de objetos. Según sus lados un triángulo puede ser: Equilátero Es el que tiene tres lados iguales.
Isósceles Es el que tiene dos lados iguales y uno diferente.
Escaleno Es el que tiene tres lados desiguales.
Según sus ángulos se clasifican así:
Rectángulo Tiene un ángulo recto de 90 grados.
90º
Acutángulo Es el que tiene tres ángulos agudos.
Obtusángulo Es el que tiene un ángulo obtuso.
Colorea los siguientes triángulos y anota abajo qué clase de triángulos son según sus lados.
_________________
_________________
_________________
Colorea estos otros triángulos e indica ¿qué clase de triángulos son según sus ángulos?
_________________
_________________
_________________
Los cuadriláteros Son figuras geométricas que tienen cuatro lados, se clasifican en paralelogramos, trapecios y trapezoides. Paralelogramos son las figuras que tienen lados opuestos paralelos. El cuadrado tiene los cuatro lados iguales, mientras que el rectángulo tiene cuatro ángulos rectos pero tiene pares de lados desiguales.
Rectángulo
Cuadrado
Rombo
Trapecios son los que tienen dos lados opuestos paralelos y dos no paralelos.
Trapecios Trapezoides son los que no tienen lados opuestos paralelos.
Trapezoides
Pinta las figuras de diferentes colores como se indica. Rectángulo (rojo), cuadrado (azul), rombo (verde), trapecio (café), trapezoide (amarillo).
Otras figuras geométricas Las figuras se clasifican por el número de lados que tienen. Triángulo
Pentágono
Cuadrado
Heptágono
Hexágono
Octágono
Cuerpos geométricos Cuerpos con diferentes superficies.
Esfera
Superficies curvas
Cono
Cilindro
Superficies curvas y planas
Cubo
Superficies planas
Los cuerpos redondos como la esfera, cono y cilindro son aquellos que al menos tienen una superficie curva. El cubo es un cuerpo formado por 6 caras que son cuadradas.
Los prismas y las pirámides Prismas Los prismas son cuerpos con dos bases iguales y varias caras en forma rectangular.
Prismas Triangular
Rectangular
Pentagonal
Cara
Arista
Cara Vértice
Arista
Vértice
Pirámides
Cúspide
Vértice
Cara Arista Base
Base
Pirámide cuadrangular
Pirámide hexagonal
La pirámide es un cuerpo geométrico cuya base es un polígono y sus caras laterales son triángulos que se juntan en un vértice común. Su nombre se relaciona con la forma de la base.
Estadística Recolección y organización de datos Para elegir el uniforme del equipo del colegio se realizaron consultas entre dos propuestas. Al revisar las papeletas se contabilizaron los siguientes datos: por el color azul 12 votos, por el color rojo 22 votos. En total participaron 34 personas.
Un sondeo de opinión a través de preguntas se llama encuesta.
En este caso hay dos variables, los que prefirieron el color azul y los que lo hicieron por el color rojo. Cuando ordenamos datos, los clasificamos, tabulamos, analizamos y representamos en gráficas, se dice que estamos usando la Estadística.
La encuesta Luis hizo una encuesta sobre qué fruta prefieren los niños del colegio al refaccionar. Entrevistó a 125 compañeros. El resultado fue:
Tabla de frecuencias Frutas
Preferencia
manzana
35
banana
60
fresa
13
naranja
17
Total
35
En la tabla de frecuencias se ordenan los datos según cada variable. La frecuencia es el número de veces que aparece o se repite una variable. Por ejemplo un color, un suceso, un objeto, etc.
Si deseas tabular cuántos visitantes han llegado a tu congregación durante el primer cuatrimestre del año. Podrías tener los siguientes datos: enero 14 visitantes, febrero 6 visitantes, marzo 8 y abril 5, total 33 visitantes. Entonces, la tabla de frecuencia seria así:
Tabla de frecuencias Meses
Visitantes
Enero
14
Febrero
6
Marzo
8
Abril
5
Total
33
Representación gráfica de los datos Luego podemos representar los datos en un diagrama de frecuencias. Para eso usamos las barras o los puntos en la tabla numérica. Colocamos las frecuencias en el eje vertical y las variables en el eje horizontal.
Enero Febrero Marzo Abril
También se puede graficar con líneas y puntos.
Serie 1
Cuando los datos que organizamos se refieren a la distribución de algún producto o cosa, se acostumbra hacer la gráfica de manera circular. Ejemplo: Si al clasificar la ropa de la tienda encontramos 9 camisas color amarillo, 15 color rojo, 3 color lila y 5 color celeste. ¿Cuál es el total de camisas? _____________________________________________ Ilustra los colores de camisas mediante una gráfica. Para dicho caso usamos el diagrama de sectores. En tu computadora, usando el programa Excel encontrarás las opciones para insertar las gráficas que desees.
Celeste Lila Rojo Amarillo
Tabla de frecuencias Colores de camisas Celeste Lila Rojo Amarillo Total
Cantidad 5 3 15 9 32
Resuelve el siguiente problema: En la tienda de José se vendieron el domingo, aguas gaseosas de los siguientes sabores: cola 12, naranja 4, limón 5, fresa 10. Elabora la tabla de frecuencias y la gráfica de barras respectiva. Tabla de frecuencias Sabores
Frecuencias
Total Grafica de barras:
Grafica con líneas:
El promedio La Estadística nos ayuda a encontrar datos que son estimaciones para calcular algunos fenómenos. Es común que nuestras notas de las materias varíen unas de otras. Pero es importante que midamos nuestro aprendizaje a través del promedio. El promedio se obtiene de la suma de los datos que tenemos entre el número de variables. Sirve para estimar el nivel de rendimiento.
Ejemplo: Materias
Punteos
1
Matemática
85
2
Comunicación
78
3
Ciencias naturales
89
4
Ciencias sociales
92
Total
344
El total es 344 Son 4 materias
4
344 32 24 24 0
El promedio es 86, que representa el nivel de aprendizaje que se ha logrado en forma general.
Averigua cuál es el promedio de lo que gastan cinco niños en la tienda escolar durante una semana. Luis gasta Q35.00, Ernesto Q25.00, Evelyn Q40.00, Zaida Q35.00 y Jorge Q50.00. Niños
gasto
1
Luis
35
2
Ernesto
25
3
Evelyn
40
4
Zaida
35
5
Jorge
50
El total es ______________ El promedio es __________
Total Establece el promedio de los siguientes datos: 1) 35, 60, 55, 30 = ______________________________________________________ 2) 66, 80, 52 = ________________________________________________________ 3) 48, 64, 56, 52, + 85 = _________________________________________________ Cuando el promedio contiene decimales, se deberá aproximar al entero más cercano. Ejemplo: 65 + 35 + 48 + 83 = 231 seguidamente 231 ÷ 4 = 57.75 En este caso se aproxima la cantidad a 58, porque el decima está más cerca de 58 que de 57. Cuando un décimo es igual o mayor que 5, se aproxima al entero superior. Cuándo es menor que 5 se aproxima al entero inferior, para que la cantidad quede representada en enteros.