Mefisto 05

Mefisto

Mefisto Universidad Autónoma de la Ciudad de México Nada humano me es ajeno

Número 5

Abril de 2012

Mefisto Editor Fausto Cervantes Ortiz

Comité Editorial Ana Beatriz Alonso Osorio Octavio Campuzano Cardona Fausto Cervantes Ortiz Daniel Maisner Bush Verónica Puente Vera Publicada electrónicamente en: http://issuu.com/gacetamefisto http://gacetamefisto.webs.com Toda contribución deberá enviarse en versión electrónica a: gaceta.mefisto@gmail.com Registro ISSN en trámite. Las opiniones expresadas en los artículos son puntos de vista del (los) autor(es) y no necesariamente reflejan la opinión del Comité Editorial.

El buen cristiano debe estar precavido frente a los matemáticos y todos aquellos que hacen profecías vacías. Existe el peligro de que los matemáticos hayan hecho un pacto con el diablo para ofrecer el espíritu y confinar al hombre en el infierno.

San Agustín, De genesi ad Litteram, libro II, capítulo xviii, verso 37.

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Mefisto

Contenido Presentaci贸n 3 Ana Beatriz Alonso Osorio

Teor铆a de c贸digos correctores de errores 6 Daniel Maisner Bush

El cielo de primavera Frases c茅lebres Semana Santa

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19 20

Fausto Cervantes Ortiz

Acertijos

22

Sudoku

24

programa de materiales educativos para estudiantes de la uacm

matsedusuacm@gmail.com san lorenzo tezonco E-207 5850-1901 x 14507

www.freewebs.com/matsedusuacm

2

Mefisto Friederich Wilhelm Murnau, director de la obra maestra Nosferatu, también filmó en Alemania Faust, en 1926. Emil Jannings personifica a Mefisto.

La escena de la fotografía El vuelo del demonio se produjo con cuerdas, ventiladores y cortinas de humo, y su filmación tardó cerca de cuatro horas.

Presentación:

Mephisto und Hexe (Mefisto y la bruja), pintado en 1961, es una innovadora acuarela de la pintora y diseñadora gráfica alemana Margaret Hofheinz-Döring, quien dedicó dos series de su Ana Beatriz Alonso Osorio vasta obra pictórica a este tema.

Materiales educativos En su colección también se encuentran acrílicos, óleos y collages.

Gráfica mínima de Mefisto

El nombre Mefistófeles “destructor”, y tophel, “mentiroso”. MeMephisto, personaje de deriva del hebreo, y significa: mephitz, Fotografía de la película fisto clásicas y contemporáneas de la literatura, la historietas de, como Marvel personaje Comics. Su o como nombre, figura en obras Mephisto, adaptada de la novela ficha técnica dice: “Nació en homónima de Klaus Mann, y música, la escultura, la danza, la pintura, el teatro y el cine. Actualmente también está presente en histosu existencia es protagonizada por el austriaco rietas,1968, series de televisión, video juegos, marcas de ropa, vehículos, productos de consumo y logotipos. desconocida para el público en Klaus Maria Brandauer, donde general, es originario del hace el rol de un actor que Según crónicas orales al que Moiséseninvocaba para realizar sus Infierno y frecuentemente se leantiguas, Mefistófeles era un espíritu personifica a Mefisto el confunde conen el Egipto.

Satanás de teatro; que irónicamente milagros Enlalos llamados Libros sexto y séptimo depero Moisés, aparece esta útil descripción: Biblia. Tiene una hija llamada termina vendiendo su conciencia Mephista, seis dedos en cada al partido Nazi. Dirigida por el Mefistófeles estásuslisto para servir, y aparece en húngaro la forma de un joven.

Estáeldispuesto a ayudar mano y es autodidacta.

Entre István Szabó, recibió en todas las elartes múltiples poderes están robocalificadas, y entrega al espíritu Servos, Óscartambién a la mejorllamado película “familiares”. Trae de almas ytesoros la juventud eterna.” extranjera de 1981. de la tierra y de las profundidades muy rápidamente.

Hacia el final de la edad media, Mefistófeles –o Mefisto– ya se había convertido en uno de los princiDiseño de imagen y logotipo Portada del compacto del pales demonios de la tradición literaria germánica, surgiendo endisco la antigua leyenda del psíquico itineranpara papelería y folletería grupo Sturmgeist (espíritu de la te J. G. Faust –registrada comercial de la Compañía de por escrito en 1501– y apareciendo desde entonces en distintas manifestaciones tormenta), con música de estilo Teatro Mephisto, localizada en una versión emparentada con el diablo. del arte y la cultura como dark metal. El álbum se llama Galway, Irlanda. El autor es el Meister Mephisto y salió a la diseñador gráfico de origen venta en 2005.

La ilustración En Faust, obra escrita por Johan Wolfgang Von Goethe en 1808, Mefisto es convocado por el inquieto y inglés Patrick Cusack. emula la su etiqueta de una botella. atribulado doctor quien, después de haber intentado saciar sed ilimitada de conocimiento, pacta con (c. 2004) él para vivir placeres terrenales a fin de experimentar un solo instante de auténtica felicidad. Mefisto accede y, a cambio de esto, habrá de llevarse el alma de Faust al morir.

En esta personificación teatral de Mefisto, espíritu Al igual que el todo ser es imaginario del que es imposible obtener un único modelo fidedigno, Mefisto ha interpretado por la premiada sido representado por interpretación subjetiva que de este actriz Ofelia Popii durante elartistas de diversos tiempos y espacios. Cada Gaceta Mefisto. enigmático demonio de se nos ofrece es tan cierta como las demás, y entreUACM todas continúan alimentando Festival Internacional Edimburgo 2009.

La inusual nuestra fantasía en torno al mito.

Número 1 · Abril de 2011 obra es una adaptación libre del Fausto de Goethe, y fue llevada Con por el propósito de hacer un homenaje gráfico al ser que desde hace un año inspira el nombre de nuesa escena el director rumano tra Gaceta, presentamos Silviu Purcarete. una breve selección de imágenes que nos ofrecen una mirada cronológica del

arte, la inspiración y hasta la tecnología en torno a este personaje.

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Mefisto Portada del tratado de magia donde por primera vez aparece el nombre Mephisto - Philes. Praxis Magia Faustiana, impreso en Alemania en 1527.

El texto se le atribuye al alquimista, astrólogo y mago Johann Georg Faust, de quien se origina la leyenda y de cuya vida se cuentan historias asombrosas.

Grabado en madera de 1590, para una versión flamenca del Libro de Faust, que fue escrito a mano (manuscrito) e impreso simultáneamente gracias al arribo de la nueva tecnología: la imprenta. Se cree que este texto anónimo es la fuente de las obras sobre Faust que después se harían famosas. Ésta podría ser la primera imagen de Mefisto.

Portada de la edición inglesa de 1620 de la obra de teatro educativa de Christopher Marlow La trágica historia de la vida y la muerte del Doctor Faust, donde aparece Mefisto saliendo del piso a través de una puerta secreta.

Mephistopheles dans les airs, volando sobre la ciudad de Wittenberg en Alemania, 1828. Una de las muchas litografías que el artista francés Eugène Delacroix realizó para ilustrar la obra de Goethe.

Escena en el laboratorio de Faust, grabado del alemán Moritz Retzsch, para una elegante versión impresa y encuadernada en piel con bajorrelieves, en Alemania en 1836.

Pacto con el diablo o Teufelspakt Faust-Mephisto, donde los personajes se estrechan la mano. Grabado del dibujante y modelista Julius Nisle para ilustrar una edición alemana de 1840.

Grabado en madera Faust y Mefisto en el estudio, obra del pintor francés Antoine Johannot, uno de los más prolíficos ilustradores de obras clásicas. El detallado molde de madera se entintaba para pasar la imagen al papel; pero por su desgaste, los grabados comenzaron a hacerse en placas metálicas. La edición es de 1846.

Mephistopheles creado en mármol blanco por Mark Matveevich Antokolski, escultor ruso reconocido por la expresividad de sus imágenes. La pieza fue premiada y aclamada internacionalmente, y se le colocó de forma tal que pueda apreciarse desde todos los ángulos. Museo Estatal Hermitage en San Petersburgo, Rusia, 1884.

Esta fotografía al sepia muestra una escenificación teatral, donde apreciamos la expresión burlona de Mefisto observando a Faust y Margarita. La barba afilada y la eterna pluma en su tocado descritas por Goethe son constantes de su caracterización. La fotografía es propiedad de Josef Novak, y se desconocen su origen y fecha exactos. (c.

1885)

Esculturas de Mefisto y Faust a la entrada del Auerbachs Keller, taberna en Leipzig, Alemania, donde Goethe se reunía con sus compañeros estudiantes a beber vino. La pieza de bronce, que rememora la visita de ambos personajes a ese sótano que hoy sigue dando servicio, fue fundida para el escultor alemán Matthieu Molitor y colocada ahí en 1913.

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Mefisto Botón metálico estampado, con alfiler para ropa, cuya producción masiva fue lanzada por la fábrica norteamericana de taladros Mephisto Tools con el fin de hacerse publicidad alrededor de 1920.

Es propiedad del coleccionista de insignias Alex Winter.

Impactante duotono de estilo Art Nouveau, del vitralista e ilustrador de libros irlandés Harry Clarke que, entre muchos otros, dibujó a una tinta para la primera edición de Faust impresa en Norteamérica. Nueva York, 1925.

Friederich Wilhelm Murnau, director de la obra maestra Nosferatu, también filmó en Alemania Faust, en 1926.

Emil Jannings personifica a Mefisto.

La escena de la fotografía El vuelo del demonio se produjo con cuerdas, ventiladores y cortinas de humo, y tomó casi cuatro horas en ser filmada.

Mephisto und Hexe (Mefisto y la bruja), pintado en 1961, es una innovadora acuarela de la pintora y diseñadora gráfica alemana Margaret Hofheinz-Döring, quien dedicó dos series de su vasta obra pictórica a este tema. En su colección también se encuentran acrílicos, óleos y collages.

Mephisto, personaje de historietas de Marvel Comics. Su ficha técnica dice: “Nació en 1968, su existencia es desconocida para el público en general, es originario del Infierno y frecuentemente se le confunde con el Satanás de la Biblia. Tiene una hija llamada Mephista, seis dedos en cada mano y es autodidacta. Entre sus múltiples poderes están el robo de almas y la juventud eterna”.

Fotografía de la película Mephisto, adaptada de la novela homónima de Klaus Mann, y protagonizada por el austriaco Klaus Maria Brandauer, donde hace el rol de un actor que personifica a Mefisto en el teatro; pero que irónicamente termina vendiendo su conciencia al partido Nazi.

Dirigida por el húngaro István Szabó, recibió el Óscar a la mejor película extranjera de 1981.

Diseño de imagen y logotipo para papelería y folletería comercial de la Compañía de Teatro Mephisto, localizada en Galway, Irlanda. El autor es el diseñador gráfico de origen inglés Patrick Cusack. (c. 2004)

Portada del disco compacto del grupo Sturmgeist (espíritu de la tormenta), con música de estilo dark metal. El álbum se llama Meister Mephisto y salió a la venta en 2005. La ilustración emula la etiqueta de una botella.

En esta personificación teatral de Mefisto, el espíritu es interpretado por la premiada actriz Ofelia Popii durante el Festival Internacional de Edimburgo 2009. La inusual obra es una adaptación libre del Faust de Goethe, y la llevó a escena el director rumano Silviu Purcarete.

Gaceta Mefisto.

UACM Número 1 • Abril de 2011

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Mefisto

Códigos correctores de errores Daniel maisner Bush

Academia de Matemáticas, SLT

C´ odigos correctores de errores Daniel Maisner Bush

1.

Introducci´ on

La teor´ıa de c´ odigos estudia m´etodos para hacer m´as eficiente la transmisi´on de informaci´on, espec´ıficamente ayuda a recuperar informaci´ on perdida durante dicha transmisi´on. Esta teor´ıa se aplica principalmente en la inform´ atica. Sin embargo, una parte importante de las t´ecnicas utilizadas tanto en la teor´ıa como en la pr´ actica provienen del ´ algebra abstracta, en particular del ´algebra lineal y la geometr´ıa aritm´etica.

Como la aplicaci´ on del ´ algebra lineal en c´odigos es relativamente reciente, no suele encontrarse ni en los libros de texto ni en los programas de estudio de ´esta asignatura, los cuales, cuando mencionan aplicaciones, suelen centrarse en el uso de matrices para la soluci´on de sistemas de ecuaciones diferenciales ordinarias. Esto contribuye a que gran parte del bagaje te´orico del ´algebra lineal que se estudia en los cursos elementales, como son la definici´ on de campo o la de espacio vectorial, d´e la impresi´on de ser rebuscado, innecesario y s´ olo importante para los matem´ aticos puros. En el estudio de los c´odigos lineales, en cambio, estos conceptos surgen de manera natural.

En el presente art´ıculo presentaremos una breve introducci´on a la teor´ıa de c´ odigos detectores y correctores de errores (en adelante simplemente c´ odigos) y finalizaremos el mismo esbozando algunas de las aplicaciones del ´ algebra lineal a dicha teor´ıa. Las primeras tres secciones se presentan los problemas b´asicos de la teor´ıa y se ha buscado usar el m´ınimo posible de matem´aticas para que est´e al alcance de todo p´ ublico. En la cuarta secci´ on introducimos algunas t´ecnicas del a´lgebra lineal para esbozar parte del trabajo que se realiza en el area en la actualidad. De todas maneras hemos intentado usar el m´ınimo de teor´ıa posible para que pueda ser ´ entendido por los lectores no especializados.

2.

2.1.

Algunas ideas intuitivas C´ odigo de la tres-repetici´ on

Bety sostiene el tel´efono con una mano y con la otra una pluma, est´a anotando un importante n´ umero telef´ onico que le trasmite Tania desde el otro lado de la l´ınea. En ese momento entra a la coordinaci´on Ver´onica y comienza a platicar con Vicki en voz alta, provocando gran alboroto.

A causa del ruido Beatriz no ha podido escuchar con claridad el mensaje de Tania y no est´a segura de haberlo apuntado correctamente. Amablemente solicita a Tania que lo repita lentamente a la vez que, de manera infructuosa, hace se˜ nas a las platicadoras para que bajen la voz. El ruido no ha disminuido y Bety m´ as que o´ır, adivina un nuevo n´ umero que anota debajo del primero.

Consternada, descubre que ambos n´ umeros no coinciden, esto le permite concluir que al menos uno de los dos n´ umeros es err´ oneo. ¿Cu´ al es el correcto?, ¿o ser´an los dos incorrectos? En la duda, llena de verg¨ uenza, con voz temblorosa, solicita a Tania que le repita una vez m´as el n´ umero, mientras hace gestos cada vez menos amables a las alborotadoras para que guarden silencio.

Como ya habr´ an adivinado nuestros atentos lectores, tras colgar el tel´efono, Bety decubre que tiene anotados tres n´ umeros telef´ onicos diferentes Primera recepci´ on Segunda recepci´ on Tercera recepci´ on

5 5 5

8 8 8

5 5 6

1 0 0

1 1 1

9 0 9

0 0 0

1, 1, 1,

¿C´ omo puede recuperar el n´ umero correcto sin pasar una nueva verg¨ uenza ante Tania?, ¿con la informaci´ on que cuenta puede al menos encontrar un n´ umero que tenga buenas probabilidades de ser el correcto?

6

1

Mefisto Ver´ onica sugiere a Bety el siguiente m´etodo para obtener el tel´efono correcto: consultar d´ıgito por d´ıgito de cada uno de los n´ umeros recibidos y, cuando un d´ıgito se repita en al menos dos, considerarlo como correcto.

Siguiendo el consejo, Bety realiz´o la tabla que reproducimos a continuaci´ on a la cual le hemos agregado el n´ umero que, de forma infructuosa, estuvo transmitiendo Tania: N´ umero telef´ onico Tel´ efono Trasmitido Primera recepci´ on Segunda recepci´ on Tercera recepci´ on Tel´ efono Arreglado

5 5 5 5 5

8 8 8 8 8

5 5 5 6 5

0 1 0 0 0

1 1 1 1 1

9 9 0 9 9

0 0 0 0 0

1, 1, 1, 1, 1.

Existen errores en la tercera, cuarta y sexta columnas y cada uno de ellos se corrigi´ o con el m´etodo propuesto.

Por ejemplo, en la tercera columna, como el n´ umero 5 aparece en los dos primeros renglones, aunque en el tercero hay un n´ umero 6 consideramos el 5 como correcto.

El proceso seguido por Bety se conoce como c´ odigo de la 3-repetici´ on: repetir tres veces un mensaje para detectar, y de ser posible corregir, errores de trasmisi´ on. Con la segunda recepci´ on, Bety detect´ o la existencia de errores y con la tercera, fue capaz de corregirlos.

En el ejemplo anterior existen 3 errores de transmisi´ on. Sin embargo, hagamos notar que con el m´etodo propuesto, no existe plena certeza de corregir cualquier n´ umero de errores. De hecho, en este ejemplo hemos supuesto que en los tres n´ umeros telef´onicos recibidos hubo errores en diferentes d´ıgitos (columnas en las tablas). En cambio, si se hubieran cometido dos o m´ as errores en un mismo n´ umero el m´etodo hubiera fallado como se ilustra en las siguientes tablas: Mismo error Tel´ efono Trasmitido Primera recepci´ on Segunda recepci´ on Tercera recepci´ on Tel´ efono Arreglado

en 5 5 5 5 5

dos 8 8 8 8 8

columnas 5 0 5 1 5 1 6 0 5 1

1 1 1 1 1

9 9 9 9 9

Errores distintos en el mismo n´ umero: Tel´ efono Trasmitido 5 8 5 0 1 9 Primera recepci´ on 5 8 5 0 1 7 2 1 9 Segunda recepci´ on 5 8 5 Tercera recepci´ on 5 8 5 6 1 9 Tel´ efono Arreglado 5 8 5 ?

1 9

0 0 0 0 0 0 0 0 0 0

1, 1, 1, 1, 1.

1 1 1 1 1.

Cuando se trasmite un mensaje a trav´es de un canal ruidoso, donde entendemos por ruido cualquier mecanismo que perturbe la transmisi´ on, pueden cometerse muchos errores, cre´ andose grandes diferencias entre el mensaje enviado y el recibido. La teor´ıa de c´ odigos estudia m´etodos matem´ aticos que permiten detectar errores de transmisi´ on y en ocasiones, adicionalmente, m´etodos para corregir dichos errores.

En general, detectar y corregir errores son problemas diferentes. Evidentemente, para corregir un error primero es necesario detectarlo, pero, en muchos problemas pr´ acticos, s´ olo se requiere detectar los errores. Por ejemplo, al introducir un n´ umero de cuenta bancaria para realizar una transferencia electr´ onica, es u ´til contar con un c´ odigo que detecte si se cometi´o un error tipogr´ afico, lo cual puede evitar transferencias a cuentas inexistentes o equivocadas. Sin embargo, no existe el inter´es de que el programa sugiera y mucho menos que sustituya, un n´ umero de cuenta corregido. En estos casos s´ olo se le avisa al usuario que vuelva a teclear el n´ umero.

2.2.

Detecci´ on y correcci´ on de errores en la lectura usual

Para darnos una idea de c´omo funcionan los c´ odigos, desarrollaremos un nuevo ejemplo haciendo ´enfasis en c´ omo nosotros detectamos y corregimos errores al leer un texto.

7

Mefisto Fausto se encuentra leyendo un posible art´ıculo de Agust´ın para la prestigiosa gaceta Mefisto, y se topa con la palabra Explicami´ on.

Casi sin darse cuenta, en autom´atico, Fausto detecta que hubo un error, porque la palabra Explicami´ on no existe en nuestra lengua, y sin mayor problema propone la correcci´ on: Explicaci´ on.

Impl´ıcitamente, Fausto supuso que el error tipogr´ afico es m´ınimo, que existe una sola letra equivocada y que, al no existir en nuestro vocabulario ninguna otra palabra que difiera en una letra de Explicami´ on, la palabra correcta debe ser Explicaci´ on.

M´ as adelante, Fausto se encuentra con un problema de mayor dificultad al leer la palabra: Caxa.

Se trata sin lugar a dudas de una errata; pero Fausto no es capaz de sugerir una posible correcci´ on, dado que se le han ocurrido varias palabras de la lengua que son igualmente semejantes (difieren en una letra) a la le´ıda: casa, cara, cata, capa, cana, cama, caza, etc.

Para corregir este error Fausto recurri´o al contexto, leyendo la frase completa que contiene la errata: El glifo maya que representa dicho n´ umero, es una caxa, cuyos ojos · · · .

En el contexto de la frase, existe una u ´nica palabra coherente cercana a caxa (difiriendo en una letra): cara. As´ı, vemos que la frase entera ofrece informaci´on adicional que permite distinguir la palabra correcta de entre todas las cercanas. Para nuestros fines, pensaremos el contexto en que se encuentra una palabra como informaci´ on redundante, que nos permite elegir una u ´nica palabra como la m´ as cercana a la palabra err´ onea y considerarla el mejor candidato para la correcci´on.

En resumen, tenemos dos ideas b´asicas que se generalizan al definir un c´ odigo detector y corrector de errores: 1. Detectar un error consiste, esencialmente, en comprobar cu´ ando una palabra recibida, no pertenece a la lengua ´ o c´ odigo en que se est´a trabajando.

2. Corregir un error consiste en localizar una u ´nica palabra, perteneciente al c´ odigo, que sea lo m´ as cercana posible a la recibida en el contexto en que se est´ a trabajando.

El ejemplo anterior nos ayuda a perfilar ideas para comprender en qu´e consiste un c´ odigo. Sin embargo, es importante aclarar que la mayor´ıa de los mensajes con los que se trabaja en las ciencias exactas no est´ an escritos en la lengua usual. Generalmente se trata de sucesiones num´ericas. En este caso, el contexto es sustituido por el agregado de nuevas entradas, en general redundantes, a dichas sucesiones.

Un ejemplo del uso de c´odigos es la transmisi´ on de im´ agenes digitalizadas desde un sat´elite. En este caso el ruido est´ a dado por la interferencia producida por rayos c´ osmicos, y la informaci´ on son los pixeles de la fotograf´ıa. A esta informaci´on se le agrega informaci´ on adicional que permite la reconstrucci´ on de la imagen una vez que ha sido recibida en la Tierra.

3.

Ejemplos elementales

En esta secci´ on presentamos algunos ejemplos de c´ odigos de los que se entiende su funcionamiento sin conocer la definici´ on formal.

Ejemplo 1. (C´ odigo de cardinalidad) Supongamos que estamos dise˜ nando una solicitud de ingreso a un empleo y requerimos conocer los tel´efonos de los candidatos. Como en la Ciudad de M´exico los n´ umeros telef´ onicos constan de ocho d´ıgitos, escribimos en el rengl´ on correspondiente a tel´efono:

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Mefisto

de tal manera que el usuario detecte si le falt´o alg´ un d´ıgito al teclear el n´ umero correspondiente. Sin mayor problema sabemos que el n´ umero: 55 62 77 35 4 no existe. De manera semejante, un n´ umero de cuenta bancaria clabe consta de 18 d´ıgitos: cualquier n´ umero que difiera de esta cantidad de d´ıgitos es err´oneo.

Una variante la encontramos al pedir la cuenta en el mercado, cuando el dependiente, tras realizar la suma de lo consumido, comprueba que no ha cometido errores corroborando que el n´ umero de sumandos anotados es igual al n´ umero de mercanc´ıas consumidas.

Para ir acostumbr´ andonos al lenguaje utilizado en la teor´ıa de c´odigos expresemos el ejemplo anterior de la siguiente forma: Al transmitir una sucesi´ on alfa-num´erica: (a1 , · · · , ak )

nuestro c´ odigo consiste de todas las posibles sucesiones de k elementos. Cualquier palabra que no tenga esta cantidad de elementos no pertenece al c´ odigo y por tanto existe un error de transmisi´on.

Claramente, este c´ odigo no detecta errores en sucesiones con la cantidad de d´ıgitos correcta, por lo que es muy limitado. De hecho, cualquier c´ odigo se define como la imagen de una funci´on, y el ejemplo que acabamos de desarrollar s´ olo impone pertenecer a la imagen; es decir, el ejemplo anterior est´a incluido en la definici´ on de cualquier c´ odigo.

Ejemplo 2. (C´ odigo m´ odulo 9) Queremos trasmitir una sucesi´on de n´ umeros (por ejemplo un n´ umero de un error durante la trasmisi´on. Agreguemos a la sucesi´on el n´ umero cuenta) (a1 , · · · , ak ) y detectar si hubo alg´ b, que se obtiene como residuo al dividir el n´ umero con d´ıgitos a1 , · · · , ak entre 9.

Por ejemplo, en el mensaje (1, 2, 1, 4, 5) debemos agregar como informaci´ on adicional el n´ umero b = 4, obteniendo (1, 2, 1, 4, 5, 4).

En efecto, al dividir 12145 entre 9 el cociente es 1349 y el residuo 4: 12145 = (9)1349 + 4.

Es sabido que este n´ umero es u ´nico y se calcula f´acilmente de la siguiente forma: Sea b = a1 + · · · + ak ,

si b es un n´ umero de una u ´nica cifra entonces b = b es el n´ umero buscado. En caso contrario, se suman las

umero obtenido es de una cifra utilizamos este n´ umero y finalizamos el proceso. Iteramos el cifras de b , si el n´ proceso hasta obtener un n´ umero de una sola cifra: ´este es el n´ umero buscado. Por ejemplo, al mensaje (0, 7, 3, 5, 1) le debemos agregar el n´ umero 7 porque 0 + 7 + 3 + 5 + 1 = 16 y 1 + 6 = 7.

Como el residuo es u ´nico, si hay un d´ıgito equivocado cambiar´a b y sabremos que se cometi´o un error. Si al trasmitir (0, 7, 3, 5, 1, 7) (1) hubo un error en el cuarto n´ umero y se recibi´o (0, 7, 3, 2, 1, 7)

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Mefisto lo hemos detectado porque: 0 + 7 + 3 + 2 + 1 = 13, pero 1 + 3 = 4 = 7.

Con ´este c´ odigo tenemos la certeza de detectar un u ´nico error de transmisi´on pero en el caso de existir un n´ umero mayor de errores, el m´etodo puede fallar. Si al enviar (1) se cometieron 2 errores (2a y 3a coordenadas) y se recibi´ o (0, 8, 2, 5, 1, 7) los errores no son detectados porque: 0 + 8 + 2 + 5 + 1 = 16

y

1+6=7

obteniendo el mismo valor corrector. Dicho de otra manera, s´olo detectamos que hubo errores si la palabra recibida no es de la forma: (a1 , · · · , ak , = qr + b).

(2)

En este caso, las palabras usadas son todas las sucesiones de k + 1 elementos, pero s´olo pertenecen al c´ odigo (y por tanto se consideran libres de errores) las de la forma (2). En este lenguaje diremos que se cometi´ o al menos un error si la palabra recibida no pertenece al c´odigo.

Ya mencionamos que, en general, los c´ odigos se aplican en m´etodos computacionales y que su leguaje natural son sucesiones num´ericas, principalmente binarias. Presentamos ahora un ejemplo t´ıpico en esta direcci´ on.

Ejemplo 3. (C´ odigo de paridad) Si trasmitimos una secuencia de ceros y unos (a1 , · · · , ak ) podemos detectar un error si agregamos al mensaje la informaci´on adicional

0 si a1 + · · · + ak es par, b= 1 si a1 + · · · + ak es impar.

As´ı, al mensaje (1, 1, 0, 1, 0, 0, 1)

(3)

le debemos agregar el n´ umero 0 porque 1+1+0+1+0+0+1=4 que es un n´ umero par. Trasmitimos entonces (1, 1, 0, 1, 0, 0, 1, 0).

(4)

Cualquier modificaci´ on en una coordenada del mensaje anterior cambia la paridad y, por lo tanto, este c´ odigo detecta el error. Sin embargo, con este c´ odigo no somos capaces de detectar un n´ umero mayor de errores.

M´ as precisamente, si se comete un n´ umero par de errores, el c´odigo no lo detecta y, en el caso en que sea un n´ umero impar, no es distinguible si fue un error o m´as. En el ejemplo (4), si se recibi´o: (0, 1, 1, 1, 0, 0, 1, 0) habiendo errores en la primera y tercera coordenadas, el receptor no tiene constancia de los 2 errores cometidos, porque la paridad es correcta. Si se cometieron 3 errores, por ejemplo: (0, 1, 1, 1, 1, 0, 1, 0), s´ olo se tiene informaci´ on de que hubo un error.

En el lenguaje que introducimos en el ejemplo anterior, el c´odigo consta de todas las sucesiones binarias de k + 1 elementos, de la forma: (a1 , · · · , ak , paridad{a1 + · · · + ak }).

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Mefisto Detectamos un error cuando la palabra recibida no pertenece al c´odigo, esto es cuando es de la forma: (a1 , · · · , ak , b )

con

b = paridad{a1 + · · · + ak }.

Ejemplo 4. (Claves de registro o archivo) En los registros legales, es necesario que cada objeto registrado tenga un u ´nico n´ umero de registro, por lo cual es bueno contar con un c´odigo que permita identificar si se cometi´ o alg´ un error al inscribir o buscar dicho objeto. Por ejemplo, el ISBN (International Standard Book Number) que regula los derechos de autor para los libros, cuenta con un c´odigo detector de errores.

El u ´ltimo d´ıgito del registro se calcula de la siguiente manera: si el registro es a1 · · · a9 , entonces a10 es el residuo de dividir a1 + 2a2 + 3a3 + · · · + 9a9 entre 11. Si este n´ umero es igual a 10, para no utilizar dos cifras se escribe la letra X. Por ejemplo, el diablo de los n´ umeros de Enzenberger tiene un registro ISBN: 84 − 7844 − 374 − 6 y el 6 se obtiene de la siguiente manera: 8 + 4(2) + 7(3) + 8(4) + 4(5) + 4(6) + 3(7) + 7(8) + 4(9) = 226 = 20(11) + 6.

En este caso, las palabras posibles son las sucesiones de 10 elementos; y el c´odigo consta de aquellas donde el u ´ltimo d´ıgito se calcula como se explic´ o. Cualquier palabra que no pertenezca al c´odigo es err´onea.

Hasta ahora s´ olo hemos presentado ejemplos de c´odigos detectores de errores, pero ninguno de ellos corrige errores. A continuaci´ on, presentamos de forma m´as rigurosa, el ejemplo con que comenzamos el presente art´ıculo.

Ejemplo 5. ( -repetici´ on) Este c´ odigo consiste en repetir veces el mensaje.

Este c´ odigo puede ser muy u ´til cuando los mensajes son cortos, pero en general, es muy ineficiente por su alto costo computacional. A modo de ejemplo, describamos el c´odigo de 4 repeticiones: Si tenemos un mensaje (a1 , · · · , ak ) trasmitimos el mismo repetido 4 veces: (b1 , · · · , b4k ) = (a1 , · · · , ak ,

a1 , · · · , a k ,

a1 , · · · , a k ,

a1 , · · · , ak ).

Como estamos repitiendo cuatro veces el mismo mensaje, en caso de no cometerse errores, para cada i debe suceder: ai = bi = bk+i = b2k+i = b3k+i .

Si alguna de estas igualdades no se cumple, detectamos la existencia de errores. Por ejemplo, si k = 2 y estamos trabajando con n´ umeros binarios, podemos detectar que el mensaje (b1 , b2 , b3 , b4 , b5 , b6 , b7 , b8 ) = (1, 0, 1, 1, 1, 0, 0, 1)

(5)

contiene al menos 3 errores porque: 1 = b1 = b3 = b5 pero b7 = 0,

b2 = 0 = b6 pero b4 = b8 = 1.

Sabememos que hay un elemento diferente en la primera coordenada y dos en la segunda.

Observemos que en general no podemos detectar 4 errores. Si tenemos una trasmisi´on: (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1) → (0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1)

(6)

no detectamos los errores, porque la palabra imagen tambi´en pertenece al c´odigo, es decir, cumple:

11

Mefisto

El cielo de primavera

Fases de la Luna Luna nueva 21 de abril 21 de mayo 19 de junio Cuarto creciente 28 de abril 8 de mayo 27 de junio Luna llena 7 de abril 6 de mayo 4 de junio Cuarto menguante 13 de abril 13 de mayo 11 de junio

12

Mefisto

Planetas Venus en Tauro Marte en Leo Neptuno en Acuario Plutón en Sagitario Tránsito de Venus 5 de junio

Lluvias de estrellas Líridas 22 de abril Pi Púpidas 23 de abril Eta Acuáridas 5 de mayo Bootidas 27 de junio

13

Mefisto 0 = b1 = b3 = b5 = b7

y

b2 = b4 = b6 = b8 = 1.

Por otro lado, en el caso en que se cometa un u ´nico error, podemos corregirlo. Para fijar ideas, supongamos que se cometi´ o un error en el lugar b1 y se trasmiti´o: (a, b2 , · · · , b8 ) con a = b3 = b5 = b7 y b2 = b4 = b6 = b8 entonces podemos substituir a por b3 y corregir el error. En cambio, si se cometieron dos o m´as errores, puede suceder que existan 2 candidatos, indistiguibles, con posibiliddes de ser la correcci´on. Por ejemplo, si se recibi´ o el mensaje: (1, 1, 0, 1, 1, 1, 0, 1) detectamos 2 errores al ser b1 = b5 = 1 pero diferentes de b3 = b7 = 0. Sin embargo tenemos 2 posibles correcciones igualmente v´ alidas, que consisten en suponer la segunda coordenada cero o uno: (1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1)

y

(0, 1, 0, 1, 0, 1, 0, 1).

Hasta ahora, sin expresarlo expl´ıcitamente, hemos pensado las palabras de un c´odigo como vectores. Veamos un ejemplo en que se utilizan matrices de 3 × 3.

Ejemplo 6. (C´ odigo de paridad bidimensional [9,4]) Supongamos que nuestros mensajes constan de 4 caracteres binarios (a, b, c, d) que podemos expresar como la matriz de 2 × 2:

a b A= . c d Vamos a trasmitir nueve caracteres en una matriz de 3 × 3 de la siguiente forma:     a11 a12 a13 a b a+b a21 a22 a23  =  c  d c+d a+c b+d a+b+c+d a31 a32 a33 =

 

A a+c

b+d

 a+b  c+d a+b+c+d

Los elementos a31 , a32 comprueban que la paridad de sus respectivas columnas sea la correcta, como en el ejemplo (3). An´ alogamente los elementos a13 y a23 comprueban la paridad de sus renglones. Finalmente, a33 hace una comprobaci´ on de paridad de la tercera columna y el tercer rengl´on.

4.

Definici´ on de c´ odigo y sus par´ ametros

Hemos visto que la idea b´ asica de un c´ odigo consiste en agregar informaci´on redundante a los mensajes enviados que permita detectar y corregir errores. En esta secci´on precisaremos estos t´erminos.

Llamaremos alfabeto a un conjunto finito A, y palabras en este alfabeto a cualquier sucesi´on de elementos de longitud k; es decir, a cualquier elemento perteneciente a Ak .1 Hemos visto que para detectar o corregir errores necesitamos informaci´on adicional, que juegue el papel del contexto en la lectura usual. Esto lo conseguimos agregando un n´ umero fijo de coordenadas a nuestras palabras, es decir consideraremos a nuestro c´ odigo inmerso en un espacio m´as grande An . M´as precisamente: Definici´ on 4.1. Un [k, n]-c´ odigo C es la imagen de una funci´ on uno a uno: E : Ak → An 1 En

k < n, siendo A un alfabeto.

la lengua usual estamos acostumbrados a palabras de diferente longitud, pero el pedir que todas las palabras sean del mismo tama˜ no no cambia la fuerza de la lengua y facilita todos los c´ alculos.

14

Mefisto As´ı, en el ejemplo del c´ odigo de paridad (ejemplo 3) nuestro alfabeto consta de las sucesiones de ceros y unos de longitud k: A = Fk2 := {0, 1}k

siendo F2 el u ´nico campo de dos elementos.

A estas sucesiones agregamos una coordenada con la paridad de la suma, es decir, nuestro c´odigo es la imagen de la funci´ on:

Dado que en F2 :

E : Fk2 → Fk+1 , 2

E((a1 , · · · , ak )) = (a1 , · · · , ak , a1 + · · · + ak ).

a1 + · · · + a k =

0 si 1 si

a1 + · · · + ak es par, a1 + · · · + ak es impar,

detectar un error consiste simplemente en determinar si la palabra recibida pertenece o no al c´odigo; y se puede corregir si existe un vector en el c´ odigo que sea m´as cercano a la palabra err´onea que todos los dem´as elementos del c´ odigo.

Para dar sentido matem´ atico al concepto de m´ as cercano, lo definiremos formalmente.

Definici´ on 4.2. La distancia de Hamming entre dos palabras v = (a1 , · · · , an ), w = (b1 , · · · , bn ) ∈ An es el n´ umero de coordenadas en que difieren: δ(v, w) := #{ai = bi , 1 ≤ i ≤ n}.

Por ejemplo, si A es el campo de dos elementos F2 y n = 4, entonces: δ((0, 1, 1, 0), (1, 1, 0, 1)) = 3 porque difieren en tres coordenadas: la primera, la tercera y la cuarta.

La distancia de Hamming determina una m´etrica en An y permite definir con precisi´on qu´e entendemos por detectar y corregir errores. odigo, entonces: Definici´ on 4.3. Sea C ⊂ An un c´ 1. C detecta hasta s > 0 errores, si para cualesquiera c = c ∈ C δ(c, c ) ≥ s + 1.

Es decir, al modificar s letras en cualquier palabra c ∈ C, no se obtiene otro elemento del c´ odigo.

2. C puede corregir hasta t > 0 errores, si para cualquier palabra y ∈ An \C existe c ∈ C cumpliendo

δ(c, y) ≤ t, δ(c, y) < δ(c , y) para c = c ∈ C. En analog´ıa con lo que sucede en el Rn definamos la bola de radio r y centro c como: Br (c) = {v ∈ An : δ(c, v) ≤ r} .

Entonces, el inciso 2 de la definici´ on anterior se puede expresar simplemente como: y ∈ Bt (c)

y

y ∈ Bt (c ) para c = c ∈ C.

Ejemplo 7. ( -repetici´ on II) Veamos que el c´odigo definido en el ejemplo 5 detecta hasta − 1 errores.

15

Mefisto

Como toda coordenada del c´odigo est´a repetida veces, cualesquiera dos palabras diferentes del c´ odigo distan por lo menos en elementos: δ(c, c ) ≥ ≥ − 1 + 1.

Adem´as, existen palabras dentro del c´odigo que distan exactamente , por lo cual − 1 es el m´aximo de errores que se pueden detectar.

En general, determinar con exactitud cuantos errores detecta y corrige un c´odigo es muy dif´ıcil por lo que una parte de la teor´ıa busca cotas para estos n´ umeros.

La distancia m´ınima de un c´odigo es el m´ınimo de las distancias entre sus elementos y se denota por d: d(C) :=

m´ın

v,w∈C,v =w

{δ(v, w)}

siendo δ la distancia de Hamming.

La m´ınima distancia juega un papel tan importante dentro del c´odigo que denotaremos [k, n, d] a un c´ odigo C = Im(E) ⊂ An , E : Ak → An inyectiva y d a su distancia m´ınima.

Entre m´as grande sea d, mayor ser´a la cantidad de errores que detecte y corrija C. Intuitivamente, si trazamos alrededor de cada elemento del c´odigo una bola de radio menor a d/2, ´estas ser´an ajenas entre s´ı y por tanto el c´odigo corregir´a hasta [d/2] − 1 siendo:  d

si d es par,  2 d :=  d−1 2 si d es impar.

2 M´as rigurosamente, si

δ(c, y) ≤ [d/2] − 1

entonces, para c = c se tiene por la desigualdad del tri´angulo:

d d

− 1 + δ(y, c ) < + δ(y, c ) d ≤ δ(c, c ) ≤ δ(c, y) + δ(y, c ) ≤ 2 2 en consecuencia:

d d d ≥ > − 1 ≥ δ(c, y) y por tanto d(y, c) < d(y, c ). δ(y, c ) > d − 2 2 2

Finalmente observemos que, para que un c´odigo sea efectivo computacionalmente y adem´as corrija la mayor cantidad posible de errores, es necesario que simultaneamente se agregue la menor cantidad de informaci´ on adicional (k sea la m´as cercano posible a n), y la distancia m´ınima entre dos puntos del c´odigo sea lo m´ as grande posible (d cercano a n).

M´as precisamente, si denominamos respectivamente tasa de trasmisi´ on al cociente k/n y distancia relativa a d/n, un buen c´odigo ser´a aquel en que ambos n´ umeros se aproximen a 1.

5.

C´ odigos Lineales y c´ odigos de Goppa

Hasta ahora hemos visto algunos ejemplos sencillos de c´odigos y algunas definiciones elementales. Para tener una teor´ıa m´as completa, formulemos dos preguntas fundamentales que est´an presentes en el desarrollo de la teor´ıa: 1. ¿Existen c´odigos que detecten y corrijan errores para cualquier canal de trasmisi´on sin importar qu´e tan ruidoso sea?

2. ¿Pueden construirse c´odigos y familias de c´odigos con los mejores par´ametros posibles, es decir con tasa de trasmisi´ on y distancia relativa grandes?

16

Mefisto

La primera pregunta tiene respuesta positiva. En 1948 C.E. Shannon prob´o que, sin importar el nivel de ruido de un canal, siempre existir´an buenos c´odigos para ´el. Desafortunadamente, la demostraci´on de este resultado est´ a fuera de los alcances del presente art´ıculo. El lector interesado puede encontrar una prueba y mucho m´ as en el art´ıculo del propio Shannon [1] Respecto a la segunda pregunta, en la actualidad existen avances importantes de muy diversa ´ındole para responderla, destacando los trabajos de V.D. Goppa y de sus disc´ıpulos quienes, utilizando geometr´ıa algebraica, construyeron familias de c´odigos con muy buenos par´ametros.

Explicar algunos de estos resultados tambi´en rebasa las posibilidades del presente art´ıculo; sin embargo, no queremos finalizar el mismo sin dedicarle unas l´ıneas.

C´ odigos lineales Los ejemplos que hemos visto en las primeras secciones, son construcciones ad hoc de ciertos c´odigos. Sin embargo, para poder contestar la segunda pregunta, es necesario contar con m´etodos generales de construcci´on de familias de c´odigos con tasa de trasmisi´on y distancia relativa grandes. Explicaremos brevemente el ejemplo de los c´ odigos lineales.

En la definici´on de c´odigo con la que hemos trabajado hasta ahora, se ha planteado a priori un alfabeto A como un conjunto finito cualquiera. En aras de obtener mejores resultados tanto te´oricos como pr´acticos, es importante dotar a A de una estructura matem´atica adicional (en general algebraica) que permita mayor fuerza y maleabilidad para la obtenci´on de c´odigos con buenos par´ametros.

Sea A = Fq

el u ´nico campo finito de q = pa , elementos con p un n´ umero primo, y supongamos que E : Ak → A n

es una funci´ on inyectiva y lineal. Entonces, C = Im(E) es un c´odigo y simult´aneamente un subespacio vectorial de An = Fnq de dimensi´on k. A estos c´odigos los llamaremos lineales. Rec´ıprocamente, cualquier subespacio vectorial de Fnq puede pensarse como una copia de Fkq que por tanto da lugar a un c´odigo lineal C. Para darnos una idea de la fuerza del ´algebra lineal, observemos que fijando bases para Fkq y Fnq podemos escribir a la funci´on E como la multiplicaci´on por una matriz G que denominaremos matriz generadora de C. Es decir, todo c ∈ C cumple c = Gv para alg´ un v ∈ Fnq . Cambiando de base, si es necesario, siempre podemos suponer que

I G= k A con Ik la identidad de k × k y A una matriz de (n − k) × k.

Ejemplo 8. El c´odigo [7, 4, 3, ] de Hamming est´a definido por la funci´on lineal: E : F42 → F72 , E(x1 , x2 , x3 , x4 ) = (x1 , x2 , x3 , x4 , x2 + x3 + x4 , x1 + x3 + x4 , x1 + x2 + x4 ), que puede pensarse como todos los vectores que se obtienen como el  1 0 0     0 1 0  Ik x1  0 1 1 1  x2  0 0 1     = 0 0 0 1 0 1 1  x3   0 1 1  x4 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0

producto matricial:  0   0  x1  0   x2  1  x3  .

1  x4 1 1

17

Mefisto

Hemos visto entonces que cualquier subespacio vectorial de Fnq de dimensi´on k da lugar a un c´odigo lineal, la pregunta es ¿cu´ ales de estos c´ odigos tienen buenos par´ametros?

Para darnos una idea de la dificultad que encierra la pregunta anterior mencionaremos que los par´ ametros de un c´ odigo lineal est´ an ´ıntimamente relacionados. Por ejemplo, siempre se cumple la desigualdad: m + d ≤ n + 1, conocida como cota de Singleton (v´ease [3]).

Idea de Goppa Para obtener c´ odigos con buenos par´ ametros, el matem´atico ruso Valery Goppa utiliz´o algunos espacios vectoriales asociados a curvas algebraicas definidas sobre un campo finito.

En t´erminos generales, dada una curva algebraica X, Fq -definida de g´enero g y un conjunto finito de puntos en ella {P1 , · · · , Pn }, se le puede asociar un c´ odigo [k, n, d] cumpliendo: g k d 1 1 − ≤ + ≤1+ , n n n n n ([2], p´ agina 14), donde los sumandos de la desigualdad de enmedio son la tasa y distancia relativas. De estas desigualdades vemos que si una curva algebraica tiene g´enero g peque˜ no y un n´ umero grande de puntos N , con ella se pueden generar buenos c´ odigos utilizando un n´ umero de puntos n ≤ N grande.

Para finalizar este art´ıculo es importante mencionar 2 aspectos fundamentales de los resultados de Goppa: 1+

1. Una cantidad considerable de los c´ odigos construidos con otras t´ecnicas, anteriores a los trabajos de Goppa, pueden pensarse como c´ odigos de Goppa para curvas adecuadas, lo cual permite usar a Goppa como un buen marco te´ orico para estudiar propiedades de los c´odigos.

2. El problema de determinar cu´ antos puntos puede tener una curva de g´enero g fue estudiado a profundidad como problema te´ orico antes del desarrollo de la teor´ıa de c´odigos (y como estudio paralelo a ella) hasta que Goppa encontr´ o el v´ınculo. Los trabajos de Goppa tienden un puente entre estas dos teor´ıas con resultados sorprendentes.

A modo de ejemplo de este tipo de resultados, finalicemos este art´ıculo con uno de los m´as importantes, la cota de Serre-Weil: Sea N el n´ umero de puntos de una curva de g´enero g definida sobre Fq entonces √ |N − q + 1| ≤ g[2 q] donde los corchetes denotan la parte entera.

Referencias [1] C.E. Shannon. A Mathematical Theory of Communication, Bell Syst. Tech. J. vol 27, 379-423, 1948. (disponible en http://guohanwei.51.net/ code/A %20Mathematical %20Theory %20of %20Communication.pdf) [2] R. Shoof. Algebraic Curves and Coding Theory,Universit`a di Trento 1990. Preprint 336, 1990 (disponible en http://www.mat.uniroma2.it/˜schoof/papers.html) [3] R. Singleton. Maximum Distance Q-Nary Codes, IEEE Trans. Inform. Theory IT-10, 1964.116-118.

18

Mefisto

Frases célebres

Las deudas son como cualquier otra trampa en la que es muy fácil caer, pero de la que es difícil salir.

Bienaventurados los que contrajeron deudas, porque alguna vez alguien hizo algo por ellos.

George Bernard Shaw (1856-1950) Escritor irlandés.

Joan Manuel Serrat (1943 - ) Cantautor español.

El que lee mucho y anda mucho, ve mucho y sabe mucho.

... porque la letra mata, mas el espíritu vivifica.

2a epístola a los Corintios 3:6

Miguel de Cervantes Saavedra (1547-1616) Escritor español.

San Pablo (5 - 67)

El éxito es aprender a ir de fracaso en fracaso sin desesperarse.

El éxito consiste en obtener lo que se desea. La felicidad en disfrutar lo que se obtiene.

Winston Churchill (1874 -1965) Político Británico.

Ralph Waldo Emerson (1803 - 1882) Poeta estadounidense.

19

Mefisto

Semana Santa Fausto Cervantes Ortiz

Academia de Matemáticas

Los astros regulan nuestras vidas La Semana Santa, una de las fiestas más importantes en el cristianismo (heredada del judaísmo), es regulada por los astros. La Pascua debe celebrarse siempre el primer domingo después de la primera Luna llena que coincide con (o que sucede a) el equinoccio de primavera. De esta manera, el Miércoles de Ceniza se realiza el miércoles de la sexta semana que precede a la Semana Santa.

La Tierra gira alrededor de su propio eje, en un movimiento llamado de rotación. También gira en una órbita alrededor del Sol en un movimiento llamado de traslación. Por su parte, la Luna gira alrededor de la Tierra. El movimiento de rotación se cuenta desde que un punto sobre la superficie de la Tierra (el meridiano de Greenwich) coincide con la posición del Sol en el cenit. El movimiento de traslación se cuenta desde que la posición del Sol visto desde la Tierra coincide con un punto del cielo al que se le llama punto vernal, y que marca el inicio de la primavera.

Pero cuando la Luna completa un ciclo, no coincide con la posición de la Tierra en la Luna llena anterior. Y cuando la Tierra completa un ciclo alrededor del Sol tampoco están ni la Tierra ni la Luna en la misma posición en que estaban antes de esa vuelta.

Sin embargo, esta excepción se deja de cumplir cada 400 años, por lo que en 2000 sí hubo año bisiesto. Y estos años bisiestos con sus excepciones son los que hacen que los ciclos de rotación y de traslación se emparejen en determinados periodos de tiempo.

No obstante, con respecto a la Luna, es menos lo que se puede hacer para empatar los ciclos. Nuestra cultura lleva un calendario de actividades fundamentalmente solar. Por esta razón, la introducción de un evento lunar, como lo es el plenilunio, desfasa el calendario de Semana Santa hasta por cerca de un mes. De manera que si el 21 de marzo, fecha del equinoccio de primavera, es domingo y hay Luna llena; ese será el domingo de Pascua.

Sin embargo, si la Luna llena cae el domingo 20 de marzo, será hasta 36 días después cuando se dé el domingo de Pascua, el cual puede caer en una fecha tan lejana como el 25 de abril, pero no más tarde.

Ahora bien, diversas culturas basan también sus calendarios en otros ciclos astronómicos. Los musulmanes celebran el Ramadán en diferentes épocas del año. Esto es porque su calendario es puramente lunar, lo que hace que a veces el Ramadán se celebre en invierno, a veces en verano, primaveEste tipo de imprecisiones se van acumulando de ra u otoño. manera paulatina hasta formar más días, por lo que para hacer coincidir los días con los años se También el calendario chino antiguo sufre variainventaron los años bisiestos. Pero lo que no todo ciones, debido a su carácter lunar. El año nuevo mundo sabe es que a veces no hay años bisiestos, chino generalmente comienza con la primera a pesar de que han pasado cuatro años desde el Luna nueva que sucede al solsticio de invierno. Sin anterior. Esto sucede con muy poca frecuencia. embargo, puede suceder también durante la seEl aconteciemiento más reciente de este tipo data gunda Luna nueva, dado que a veces se introduce del año 1900. Los años bisiestos se cumplen cada un mes embolismal (análogo a los días bisiestos). cua-tro años, excepto en aquellos en que se cumpla Esto hace que la fecha del año nuevo chino varíe alguna centuria. mucho con respecto al calendario gregoriano.

20

Mefisto Las vacaciones de primavera, por tanto, las dictan los astros, por eso las fechas son tan cambiantes año con año. Y generalmente los planes de vida se basan en las fechas de las vacaciones. Como se ve, los astros regulan nuestras vidas.

La noche anterior, Jesús toma la última cena con sus discípulos y anuncia que alguien lo va a traicionar. Esa noche es la de preparación para la Pascua.

En ese día se preparaba el borrego para comerlo al día siguiente, en la Pascua.

¿Cuándo murió Jesús?

Por su parte, el Evangelio según San Juan establece el día de la muerte de Jesús como el Jueves Santo, según se establece en el capítulo 19, verso 14:

Dos borrachitos están en la cantina discutiendo: - ¡Jesús murió el jueves santo!

- ¡No!, ¡fue el viernes santo!

And it was the preparation of the passover, ...

En la historia de Juan, Jesús no toma la última cena, sino que es el mismo día de la preparación cuando muere: el día en que se debería sacrificar el borrego para la Pascua.

Como no podían llegar a un acuerdo, van con otro borrachín que estaba cerca y lo interrogan “amistosamente”: En los otros dos evangelios oficiales (San Mateo y San Lucas), se establece igualmente el viernes - ¿Verdad que Jesús murió el Jueves Santo? preguntó como el día de la muerte de Jesús. Los estudiosos el primero, y mientras esto preguntaba, saca una de la Biblia han concluido que esto se debe a que pistola y le apunta al corazón. ambos evangelistas se basaron en la historia de Marcos, escrita antes que la de Juan. Entonces en - ¿Verdad que murió el Viernes Santo? pregunta la actualidad, democráticamente, se decide que el el segundo, sacando un filosa navaja de muelle y día de la muerte de Jesús es el viernes, ignorando colocándosela en la yugular. olímpicamente a San Juan.

El aludido, bastante nervioso, sólo acierta a con- ¿Por qué la historia de Juan difiere de las otras? La testar: conclusión de los teólogos es que Juan quería establecer claramente que Jesús era el cordero a sacri- Este . . . pues . . . yo lo único que recuerdo es que ya ficar por los pecados del mundo, por lo cual debía desde el miércoles amaneció muy malito. morir el día anterior a la Pascua. Por ello debe crear esta discrepancia. Este es un ejemplo de las muchas El chiste anterior es malo, pero bastante ilustra- contradicciones contenidas en la Biblia, que incotivo. Los Evangelios, única fuente acerca de los modan a aquellos que insisten en que todo lo que hechos concernientes a Jesús, mencionan los dos afirma la Biblia es infaliblemente cierto. Evidentedías como aquellos en que murió Jesús. A lo largo mente, no puede haber dos días diferentes para la de los años, los cristianos fundamentalistas han muerte de Jesús (en dos horas diferentes también, tratado de conciliar esta contradicción, sin éxito según se lee en los evangelios citados). Así pues, la alguno. Y es que la contradicción es de origen. pregunta inicial queda sin respuesta.

En el Evangelio según San Marcos, el día de la muerte de Jesús es el Viernes Santo, según se establece en el capítulo 14, verso 12: And the first day of unleavened bread, when they killed the passover, ...

Referencias King James Bible. International Biblical Society Ehrman, B. D. Jesus, Interrupted. Harper John.

New York, 2009.

21

Mefisto

Acertijos 1 Dos caminantes van por un mismo camino en una dirección. El primero va 8 km más adelante que el segundo y va a una velocidad de 4 km/h; mientras que el segundo va a 6 km/h. Uno de los caminantes tiene un perro, que de pronto echa a correr hasta donde está el otro caminante a una velocidad de 15 km/h, tras lo cual regresa hasta donde está su dueño. Acto seguido, vuelve a correr hasta el otro caminante y regresa a su amo, y así sigue hasta que el segundo caminante alcanza al primero. ¿Cuál es el recorrido total del perro?

2 x3 ¿

2 Tres hombres musulmanes van acompañados de sus mujeres y tienen que pasar a la otra orilla de un río, pero sólo encontraron una lancha con dos asientos, así que no pueden pasar más de dos personas a la otra orilla. Pero las mujeres de los musulmanes no deben quedarse en alguna orilla con hombres extraños sin estar presente su marido. ¿Cómo tienen que pasar el río sin romper esta regla del Islam?

4 22

5

3 Cuatro hombres musulmanes y sus esposas deben pasar a la otra orilla de un río en una lancha con tres asientos. ¿Cómo deben arreglárselas para pasar sin romper la regla del problema 2?

6 9 z 8 ?

4 Juan desea comprar el mejor caballo del municipio, por lo que se presenta en el establo y solicita el mejor caballo. El precio del caballo es de $6, que Juan paga gustoso. A los pocos días, los del establo le solicitan a Juan nuevamente el caballo, porque lo necesitan para presentarlo en un evento y no tienen tiempo de preparar otro caballo. Juan se los revende en $7. Después de ganar el evento, Juan vuelve a comprar el caballo, pero esta vez le cuesta $8. Finalmente, el compadre de Juan le ruega que le venda su caballo, ya que es el mejor de esos lugares. Juan le debe muchos favores a su compadre, así que accede a vendérselo, esta vez en $9. ¿Cuánto ganó o perdió Juan al final de sus transacciones comerciales con el caballo?

y

Mefisto

Acertijos Solución a los anteriores 1 De la forma en que está planteado el problema, hay por lo menos dos cosas obvias: el número buscado tiene como primera cifra al dos, y como última cifra al uno, contando de derecha a izquierda. Recorriendo desde la primera cifra, vemos que para que se cumplan las condiciones del problema, cada cifra hacia la izquierda debe resultar de multiplicar por dos la inmediata de la derecha. Por ello, la segunda cifra debe ser 4, la tercera 8, la cuarta 6 (y llevamos 1), la quinta 3 (6 por 2 es 12, más 1 que llevábamos 13), etc., hasta llegar al 1 SIN LLEVAR nada, lo que significa que al llegar al número 157 894 736 842 aún no nos podemos detener, dado que en este paso llevamos 1. Siguiendo con el proceso descrito, llegamos al número buscado: 105 263 157 894 736 842.

3 En este ejercicio se tiene que buscar el número siguiente al que sea múltiplo de los números 2, 3, 4, 5, y 6, tal que al dividir entre 7 dé 6 como residuo. El menor de estos números es el 361. Ese es el número de huevos. Entonces el costo total es de $72.20.

2 Este ejercicio se puede hacer buscando no el número que al dividir nos dé los residuos indicados, sino el número que sigue, dado que ese número es múltiplo de todos los números involucrados, excepto el 7, que al dividir nos dará como residuo 1. De los primeros múltiplos de 2, 3, 4, 5 y 6, el menor que cumple con tales requerimientos es 120, por lo que el número buscado es el 119.

4 En este ejercicio se busca una secuencia de traslados de un recipiente a otro tal que al final se tengan 5 litros en los recipientes de 5 y 7 litros, mientras que el de 3 vuelve a quedar vacío. La forma más fácil de describir esta secuencia es por medio de una tabla, como se da a continuación.

2

y2

+

1

x2

0

7

z

Contenedor de Contenedor de Contenedor de 5 litros 3 litros 7 litros 4 0 6 1 3 6 1 2 7 6 2 2 5 3 2 5 0 5

p

23

Mefisto

Sudoku F谩cil 6 3 4 7 1 2 5 8 2 6 8 7 4 3 5 1 6 6 5 9 7 4 1 8 3 7

Soluci贸n al anterior

2 6 7 4 1 5 4 9 2 7 8 3 4 7 9

9 2 5 4 7 6 1 8 3 3 7 1 5 8 9 6 4 2 8 4 6 1 2 3 5 7 9 1 3 9 2 2 6 4 7 5 8 7 3 4 1 3 6 6 5 8 9 7

9 2

8

4 8 7 5 6 9 5 8 3 1 6 1 9 2 4 5 7 2 3 2 4 1 4

9 8 1 7

3 6 5

Dif铆cil 1

Soluci贸n al anterior 9

4

2 3 6 7 8 9 4 1

3 5 7 6 1 2 4 7 5 8 8 9 3 6 1 2 6 4

5

8

1 5 8 2 7 6 9 3 4

9 2 3 1 5 4 7 3 5 5 3 4 7 8 9 6 6 1 7 5 2 4 8 2 8 9 1 3 6 7

24

6 1 2 7 8 9 1 2 9 3 4 5

5

9

8 3 4 6 6 2 9 7

7 6 5

4

2 9 3 2 4 7

4 1 5

8

3