Mefisto10

Mefisto Número 10

Abril de 2014

Mefisto

En este número: Presentación

3

Fausto Cervantes Ortiz

La transformación de Möbious

4

Emiliano Geneyro Squarzon

El cielo de invierno

12

Jorge Luis Borges y su libro de páginas de arena 14 Joel García León

Frases célebres

21

Acertijos

22

Sudoku

24

El buen cristiano debe estar precavido frente a los matemáticos y todos aquellos que hacen profecías vacías. Existe el peligro de que los matemáticos hayan hecho un pacto con el diablo para ofrecer el espíritu y confinar al hombre en el infierno.

San Agustín, De genesi ad Litteram, II, xviii, 37.

1

Mefisto

Universidad Autónoma de la Ciudad de México Nada humano me es ajeno Rector Interino Dr. Enrique Dussel Ambrosini

Mefisto Editor Fausto Cervantes Ortiz

Comité Editorial Ana Beatriz Alonso Osorio

Secretario General Mtro. Ernesto Aréchiga Córdoba

Fausto Cervantes Ortiz

Coordinadora Académica

Daniel Maisner Bush

Mtra. María del Rayo Ramírez Fierro

Verónica Puente Vera

Coordinador de Difusión Cultural y Extensión Universitaria Mtro. Miguel Ángel Godínez Gutiérrez Coordinadora del Plantel San Lorenzo Tezonco Dra. María Elena Torres Bustillos Responsable del área de publicaciones Mtro. Carlos López Barrios

2

Octavio Campuzano Cardona

Publicada electrónicamente en: http://issuu.com/gacetamefisto

Toda contribución deberá enviarse en versión electrónica a: gaceta.mefisto@gmail.com

Registro ISSN en trámite. Las opiniones expresadas en los artículos son puntos de vista del (los) autor(es) y no necesariamente reflejan la opinión del Comité Editorial.

Mefisto

Presentación

Fausto Cervantes Ortiz

Academia de Matemáticas Plantel San Lorenzo Tezonco

La tarea fundamental de los matemáticos consiste en demostrar teoremas. Es por ello que, cuando algún despistado acude a ellos para realizar operaciones difíciles en tiempo record, generalmente no obtiene el comportamiento esperado. Por otro lado, los no matemáticos que usan las matemáticas como herramienta para hacer su trabajo (ingenieros, físicos, economistas, etc.), generalmente encuentran en libros u otros medios fórmulas, y las usan sin preocuparse de la teoría que fundamenta a las mismas. Correspondientemente, los matemáticos frecuentemente usan herramientas como las computadoras y sus programas, sin preocuparse de la teoría electrónica y de software que las hace funcionar, y que permite realizar programas, gráficas, etc., con resultados de uso diario en esta disciplina.

Sin embargo, cuando unos y otros se asoman al campo del otro, puede ser muy estimulante enterarse de la forma en que trabaja cada quien, aprender cosas nuevas, y hasta aplicarlas a su propio campo de estudio.

En este número, Emiliano Geneyro nos expone la deducción de la fórmula de Möbius paso a paso, así como una aplicación al conteo de polinomios mónicos irreducibles. El conteo o combinatoria, es una de las ramas de la matemática que en la actualidad está teniendo un renacer, al observarse la utilidad que ésta tiene en criptografía, base de los modernos sistemas de seguridad computarizada.

Es así como una rama de las matemáticas que aparentemente no tenía mucha utilidad práctica, de manera súbita se vuelve indispensable en la vida diaria. Esto nos recuerda la aseveración de Luis

Pasteur: No hay ciencias aplicadas, hay aplicaciones de la ciencia. Como Emiliano nos lo dice claramente, hacer matemáticas puede no ser tan simple como usarlas, pero por otro lado puede ser altamente estimulante.

Las matemáticas han recibido menos atención de la que merecen en algunas manifestaciones del arte, a pesar de lo cual ,en los casos en que sí se les involucra, los resultados pueden ser altamente estimulantes a nivel intelectual Baste recordar la obra de Leonardo Da Vinci y otros artistas renacentistas, mismos que al hacer uso de hechos matemáticos obtuvieron resultados artísticos asombrosos. Pero el uso de las matemáticas en el arte no se limita a las artes visuales; también en la literatura se han hecho obras importantes.

En esta ocasión Joel García se interna en la literatura para analizar el contenido matemático de algunas de las obras más conocidas del escritor argentino Jorge Luis Borges. Como el autor admite en su artículo, él mismo no es especialista en literatura, sin embargo considera oportuno realizar un análisis que difícilmente veríamos hacer a un especialista literario. Es entonces que Joel nos explica algunos de los conceptos matemáticos presentes en la obra de Borges, como los infinitos, las curvas que llenan espacios completos, la geometría plana y esférica, etc.

Como de costumbre, a los artículos presentados se añaden las secciones usuales en nuestra gaceta: mapa estelar, frases, acertijos y sudokus. Esperamos que nuestros lectores disfruten este número de Mefisto.

3

Mefisto

La transformación de Möbius Emiliano Geneyro Squarzon

Deduciendo la f´ ormula de inversi´ obius Facultad de Ciencias, UNAM on de M¨ Emiliano Geneyro Squarzon Facultad de Ciencias, UNAM

Introducci´ on Dentro de las matem´aticas existen muchas herramientas que nos permiten alcanzar nuestros objetivos. Algunas de ellas suelen ser complejas en su desarrollo o en su presentaci´on final; sin embargo existen otras de gran simpleza pero no por eso con menor grado de importancia. Un ejemplo de estas u ´ltimas es la f´ormula de inversi´on de M¨obius, la cual posee una expresi´on simple.

La f´ormula de inversi´on de M¨obius fue introducida en la teor´ıa de n´ umeros por August Ferdinand M¨obius (1790-1868). En ella se establece que si dos funciones aritm´eticas (funciones definidas en los naturales que contribuyen al estudio de las propiedades aritm´eticas de los n´ umeros) f y g poseen una relaci´on entre ellas, dada por la siguiente f´ormula:

f (n) = g(d) d|n

donde d|n significa que “d divide a n” o “d es divisor de n”; entonces, esta relaci´on se puede invertir para todo entero n > 1, es decir g puede escribirse como una suma de im´agenes de f de la siguiente manera: n f (d). µ g(n) = d d|n

La funci´on µ que aparece en la f´ormula se definir´a m´as adelante.

Esta f´ormula permaneci´o en el olvido durante mucho tiempo, hasta avanzado el siglo XX cuando Louis Weisner (1935) y Phillip Hall (1936), de manera independiente, dieran una generalizaci´on motivados por diversos problemas de la teor´ıa de grupos. Sin embargo, ellos se restringieron a las aplicaciones de la f´ormula de su inter´es y ninguno profundiz´o en la teor´ıa relacionada con la inversi´on de M¨obius.

No fue hasta 1964, cuando Gian-Carlo Rota public´o un art´ıculo dedicado a la funci´on de M¨obius, que comenz´o a tomar relevancia en el desarrollo de otras ramas de las matem´aticas.

Rota no s´olo profundiz´o en la teor´ıa relacionada a esta f´ormula, sino que generaliz´o dichos resultados a cualquier conjunto que posea una relaci´on binaria de orden que cumpla con ser reflexiva, transitiva y antisim´etrica; a estos conjuntos se les denomina conjuntos parcialmente ordenados. Esta generalizaci´on le permiti´o a Gian-Carlo Rota encontrar diversas aplicaciones, principalmente en problemas de conteo en el ´area conocida como combinatoria. Desde entonces, la teor´ıa de la f´ormula de inversi´on de M¨obius se ha convertido en una herramienta sumamente u ´til dentro de la combinatoria.

4

1

Mefisto En matem´aticas estamos acostumbrados a ver resultados presentados en su versi´on final; es decir, se nos da el resultado y la demostraci´on de la veracidad de ´este. Sin embargo, es com´ un que surjan cuestionamientos naturales ´o inquietudes sobre el proceso deductivo que siguieron quienes llegaron al resultado, por ejemplo: ¿C´omo se le ocurri´o esto?, ¿cu´al era la motivaci´on para llegar a este resultado?, ¿cu´ales eran los intereses cient´ıficos del autor?, ¿c´omo pas´o de este paso al siguiente?, ¿cu´al es la teor´ıa que est´a utilizando?, etc.

En particular, en la teor´ıa relacionada a la f´ormula de inversi´on de M¨obius, es com´ un que en quien se adentra en ella tenga este tipo de inquietudes. Por ello, en la primera secci´on del presente trabajo mostraremos c´omo se deducen algunos elementos necesarios para el planteamiento de dicha f´ormula de inversi´on y su generalizaci´on. Posteriormente mostraremos c´omo se utiliza esta f´ormula en combinatoria.

Deducci´ on de la f´ ormula El principio de inclusi´ on y exclusi´ on y la funci´ on µ El primer elemento que descibiremos es la funci´on µ, que aparece expl´ıcitamente en la f´ormula de inversi´on de M¨obius.

La funci´on µ se obtiene al buscar una f´ormula para contar todos aquellos n´ umeros enteros positivos menores a un entero n que sean primos relativos con ´este, es decir, el m´aximo com´ un divisor sea 1. La funci´on ϕ(n) de Euler se define como esta cantidad: ϕ(n) := |{x ∈ {1, 2, . . . , n} : M.C.D(x, n) = 1}|.

Lo que buscamos entonces, es dar una expresi´on simple de ϕ(n) que nos permita obtener estas cantidades para cualquier n´ umero entero positivo que queramos. Para esto utilizaremos una de las herramientas de conteo m´as importantes, el Principio de Inclusi´ on y Exclusi´ on (P.I.E) que describimos a continuaci´on: Sea C un conjunto con N elementos y sean S1 , · · · Sr subconjuntos de C no necesariamente diferentes. Para cada subconjunto M ⊂ {1, · · · , r} definamos N (M ) como el n´ umero de elementos de C pertenecientes a la intersecci´on de los Si con i ∈ M , es decir

Si | siendo M ⊆ {1, . . . , r} N (M ) = | i∈M

y sea Nj :=

N (M ) con 0 ≤ j ≤ r

|M |=j

es decir, Nj es la suma de la cantidad de elementos de C que est´an en las distintas intersecciones de j elementos de los subconjuntos {S1 , . . . , Sr }.

Entonces, el Principio de Inclusi´ on y Exclusi´ on afirma que el n´ umero de elementos de C que no pertenecen a ninguno de los Si , 1 ≤ i ≤ r es: N − N1 + N2 − N3 + · · · + (−1)r Nr 2

5

Mefisto A continuaci´on utilizaremos el principio P.I.E para encontrar una expresi´on en t´erminos de la descomposici´on en primos de n para ϕ(n). Como cualquier n´ umero entero se puede factorizar en producto de n´ umeros primos (aquellos cuyos u ´nicos divisores son productos de las unidades ± 1 y ´el mismo).

Sea n = pα1 1 · pα2 2 · · · pαr r ,

pi primo, 1 ≤ i ≤ r

y 0 ≤ αi .

Calcular la cantidad de primos relativos a n es equivalente a determinar aquellos enteros menores que n que no sean divisibles por ninguno de los pi . Sean entonces Si = {x ∈ {1, 2, 3, . . . , n} : pi divide a x}, aplicando el P.I.E. tenemos: ϕ(n) = n − N1 + N2 − N3 + · · · + (−1)r Nr donde: N1 =

r

|{x ∈ {1, 2, . . . , n} : pi divide a x}|

i=1

N2 =

|{x ∈ {1, 2, . . . , n} :

pi · pj divide a x}|

1≤i<j≤r

N3 =

|{x ∈ {1, 2, . . . , n} :

pi · pj · pk divide a x}|

1≤i<j<k≤r

Nr

.. . = |{x ∈ {1, 2, . . . , n} :

p1 · p2 · p3 · · · pr divide a x}|

Ahora bien, los n´ umeros x < n que son divididos por pi son de la forma x = βpi , donde β ∈ {1, 2, 3, . . . , pα1 1 pα2 2 · · · piαi −1 · · · pαr r } y por tanto la cantidad de n´ umeros enteros menores o iguales a n que son divididos por pi es pni .

An´alogamente, la cantidad de n´ umeros menores o iguales a n que son divididos por p1 · · · pr es: n . p1 ···pr Usando los resultados anteriores vemos que: r

n n n + − · · · + (−1)r ϕ(n) = n − p pp p 1 p2 · · · p r i=1 i 1≤i<j≤r i j

r

1 1 1 = n 1− + − · · · + (−1)r p p p p1 p2 · · · p r i=1 i 1≤i<j≤r i j

(1) (2) (3)

6

3

Mefisto Si bien de esto u ´ltimo es posible encontrar una f´ormula para ϕ(n), recordemos que nuestro prop´osito es deducir la funci´on µ que aparece en la f´ormula de inversi´on de M¨obius.

Observemos que los t´erminos de ϕ(n) con productos con una cantidad impar de factores primos son negativos, y los t´erminos que poseen un producto par de primos son positivos. Ahora bien, los divisores de n que no est´an libres de cuadrados (aquellos que est´an divididos por alguna potencia mayor o igual a 2 de los primos pi ) no aparecen en los sumandos de la f´ormula 1 de ϕ(n). De las observaciones anteriores, podemos definir la siguiente funci´on:   − 1 Si d es producto impar de primos distintos, 1 si d es producto par de primos distintos, µ(d) :=  0 si d no est´a libre de cuadrados A esta funci´on es a la que llamamos funci´ on de M¨ obius cl´ asica.

De esta manera hemos obtenido la funci´on principal involucrada en la f´ormula de inversi´on de M¨obius.

Deducci´ on de la f´ ormula Para demostrar la f´ormula, sean f (n) y g(n) funciones definidas para todo entero positivo n, tales que: � f (n) = g(d), donde d|n significa d divide a n d|n

Como d es un divisor de n si y s´olo si n/d lo es, tenemos: �n� � �n� � µ(d)f µ = f (d) d d d|n

d|n

al tener los mismos sumandos. Adem´as, como d tambi´en es un entero, tenemos que: � g(d′ ) f (d) = d′ |d

Finalmente, si d′ es divisor de d tambi´en lo es de n, podemos reescribir los anteriores resultados como: �n� � �n� � � � � �n� � µ µ g(d′ ) = g(d′ ) µ(m) = f (d) = µ(d)f d d d ′ ′ ′ d|n

d|n

d |d

d|n

d |n

m|(n/d )

Hasta aqu´ı solamente hemos utilizado propiedades de los divisores de n, lo cual nos lleva a la necesidad de encontrar alguna propiedad de µ que nos permita avanzar m´as en la simplificaci´on de la u ´ltima suma.

En concreto, necesitamos saber cu´anto vale la suma de todos los valores de µ sobre los divin sores de un n´ umero entero (en nuestro caso ′ ). d

4

7

Mefisto Sea â&#x201E;&#x201C; un entero positivo. Si â&#x201E;&#x201C; = 1 se tiene que Âľ(1) = 1, ya que por definici´on 1 posee un numero par de factores primos (al tener 0 factores). Ahora si â&#x201E;&#x201C; > 1, se descompone como â&#x201E;&#x201C; = pÎą1 1 ¡ ¡ ¡ pÎą2 2 ¡ ¡ ¡ pÎąr r , pi primo , Îąi > 0.

Sin p´erdida de generalidad podemos suponer que Îąi = 1 para toda i porque en caso contrario â&#x201E;&#x201C; no ser´Ĺa libre de cuadrados y la funci´on Âľ valdr´Ĺa 0.

Ahora bien, existen ri divisores de â&#x201E;&#x201C; con i factores por lo cual:

Âľ(d) =

r

r i=0

d|â&#x201E;&#x201C;

i

(â&#x2C6;&#x2019;1)i = (1 â&#x2C6;&#x2019; 1)r = 0

donde la u ´ltima igualdad se obtiene por la f´ormula del binomio de Newton.

Con lo cual podemos concluir que:

1 â&#x201E;&#x201C;=1 Âľ(d) = 0 en otro caso d|â&#x201E;&#x201C;

Este resultado nos permite concluir que

Âľ(m) = 0

m|(n/dâ&#x20AC;˛ )

excepto cuando n/dâ&#x20AC;˛ = 1; con lo cual la suma anterior es 0 excepto para dâ&#x20AC;˛ = n.

Retomando el desarrollo (4) tenemos: n

g(dâ&#x20AC;˛ ) Âľ(m) = 0 + 0 + ¡ ¡ ¡ + g(n) + 0 + 0 + ¡ ¡ ¡ = g(n) = Âľ(d)f d â&#x20AC;˛ â&#x20AC;˛ d|n

d |n

m|(n/d )

y por lo tanto: g(n) =

n

n Âľ(d)f f (d) = Âľ d d d|n

d|n

Con esto hemos obtenido: Teorema: (F´ ormula de Inversi´ on de M¨ obius:) Sean f (n) y g(n) funciones definidas para todo entero positivo n, tales que

f (n) = g(d) d|n

entonces g(n) satisface g(n) =

Âľ(d)f

d|n

n d

En el proceso de la deducci´on de la f´ormula hemos construido su demostraci´on.

8

5

(4)

Mefisto

Algunas aplicaciones La f´ormula de inversi´on que hemos obtenido tiene diversas aplicaciones. En particular, recientemente han habido importantes contribuciones a los problemas de conteo en el ´area de la combinatoria.

A continuaci´on ejemplificamos el uso de la f´ormula de inversi´on de M¨obius contando el n´ umero de polinomios m´onicos irreducibles de grado n con coeficientes en un campo finito k = Fq .

La f´ormula buscada la obtendremos de manera indirecta realizando de dos formas diferentes el conteo de todos los polinomios m´onicos de grado n en k.

Sea k[x]mon = {fj (x)}∞ (5) j=1 = {f1 (x), f2 (x), f3 (x), · · · } un listado de todos los polinomios m´onicos e irreducibles.

Adem´as denotemos por k[x]mon d a los polinomios m´onicos de grado exactamente d ≥ 1.

Sea Nd el n´ umero de polinomios m´onicos irreducibles de grado d ≥ 1, es decir |.

Nd = |k[x]mon d Ahora bien, todo polinomio f (x) ∈ k[x]mon factoriza de manera u ´nica, fijando el orden en los d polinomios como en (5), como un producto de polinomios irreducibles: f (x) = fid11 · · · fidss , donde fi ∈ kdi [x]mon , d = i1 d1 + · · · + is ds .

Podemos reescribir esta igualdad como un producto formal: f (x) = (f1 (x))i1 · · · (fj (x))ij · · · , con fi ∈ k[ x]mon . umero finito. en donde los exponenetes ij son cero para casi toda j, es decir cero salvo un n´ (N) mon Por tanto podemos establecer una correspondencia uno a uno entre k[x] y Z+ las sucesiones de enteros positivos Xj = {i1 , · · · , ij , · · · }, ij = 0 para casi toda j y en particular se tiene una correspondencia entre k[x]mon y las sucesiones: d (N)

Zd

(N)

:= {Xj ∈ Z+ con d = i1 d1 + · · · + is ds .}

Esta correspondencia nos permitir´a contar el n´ umero de polinomios m´onicos de grado d de dos formas diferentes.

Observemos que el n´ umero de polinomios m´onicos de grado n es q n dado que cualquier polinomio de esta forma tiene d coeficientes diferentes y cada uno de ellos puede elegirse de q maneras.

Esta cantidad aparece en la siguiente serie de potencias como el coeficiente correspondiente a xn : 1 = 1 + qx + (qx)2 + (qx)3 + · · · 1 − qx 6

9

Mefisto (N)

Por otro lado, el n´ umero de sucesiones Xj â&#x2C6;&#x2C6; Zn i1 , i2 , i3 , . . . que cumplen con la condici´on n = i1 d1 + i2 d2 + i3 d3 + ¡ ¡ ¡ se puede obtener como el coeficiente de xn en la multiplicaci´on de las siguientes series de potencias: (1 + xd1 + x2d1 + x3d1 + ¡ ¡ ¡ )(1 + xd2 + x2d2 + x3d2 + ¡ ¡ ¡ ) ¡ ¡ ¡ Juntando ambos resultados obtenemos: â&#x2C6;&#x17E;

â&#x2C6;&#x17E;

1 1 = = 1 â&#x2C6;&#x2019; qx i=1 1 â&#x2C6;&#x2019; xd1 d=1

1 1 â&#x2C6;&#x2019; xd

N d

.

Aplicando el logaritmo en ambos lados de la igual, se tiene que: â&#x2C6;&#x17E;

N d

1 1 log = log .

1 â&#x2C6;&#x2019; qx 1 â&#x2C6;&#x2019; xd d=1 Utilizando las propiedades del logaritmo y de su expresi´on como suma infinita, obtenemos: â&#x2C6;&#x17E;

(qx)n n=1

n

=

â&#x2C6;&#x17E;

Nd ¡ log

n=1

1 1 â&#x2C6;&#x2019; xd

=

â&#x2C6;&#x17E;

Nd

d=1

El coeficiente de xn en la serie del lado izquierdo es

â&#x2C6;&#x17E;

(xd )j j=1

j

qd . d

Para obtener dicho coeficiente en â&#x2C6;&#x17E;

(xd )j la serie de la derecha debemos considerar u ´nicamente los sumandos de que cumplen la j j=1

condici´on n = jd, equivalentemente cuando j = nd , es decir cuando d|n; de donde tenemos que el coeficiente de xn es:

1 Nd ¡ n/d d|n

Juntando ambos resultados, se tiene que:

qn 1 1 = â&#x2021;&#x2019; qn = )n = Nd ¡ Nd ¡ ( Nd ¡ d n n/d n/d d|n

d|n

d|n

Es decir qn =

Nd ¡ d

d|n

Esta expresi´on cumple con todas las hip´otesis de la f´ormula de inversi´on de M¨obius, que al aplicarla haciendo f (n) = q n y g(d) = Nd ¡ d, se obtiene: n ¡ Nn =

n 1 n d Âľ q d â&#x2021;&#x2019; Nn = q Âľ d n d d|n

d|n

10

7

Mefisto De esta forma hemos obtenido que el n´ umero de polinomios m´onicos irreducibles de grado n, en un campo con q elementos es 1 n d q µ n d d|n

Con esto hemos mostrado parte del proceso deductivo que se hace para formular y demostrar la f´ormula de inversi´on y como hacer uso de ´esta para obtener resultados importantes. Este proceso deductivo no es evidente y muchas veces requiere dedicaci´on para comprender claramente los diferentes pasos que nos permiten desarrollar la teor´ıa deseada.

Tambi´en la aplicaci´on de la teor´ıa puede no ser clara y directa como uno esperar´ıa. Muchas veces este uso puede surgir de manera indirecta al desarrollar otro resultado. En nuestro ejemplo el conteo de polinomios m´onicos irreducibles se obtiene de manera indirecta al contar algo m´as sencillo como es la cantidad de polinomios m´onicos en general.

As´ı pues, las matem´aticas poseen procesos deductivos y constructivos que requieren destreza y dedicaci´on. El proceso de aprendizaje dentro de las distintas ramas de la matem´aticas, constituye un reto intelectual para cualquier persona ya que esta debe llenar los espacios vac´ıos que conectan los distintos pasos de la teor´ıa para poder comprenderla a profundidad. Por ello es fundamental mantener siempre vigentes las preguntas m´as b´asicas durante la construcci´on del pensamiento matem´atico. Nada es evidente, pero con dedicaci´on y perseverancia todo puede serlo.

8

11

Mefisto

El cielo de primavera Fases de la Luna Luna nueva 28 de abril 28 de mayo 26 de junio Cuarto creciente 6 de abril 6 de mayo 5 de junio Luna llena 14 de abril 14 de mayo 12 de junio Cuarto menguante 21 de abril 21 de mayo 19 de junio

12

Mefisto Planetas Mercurio en Piscis Venus en Acuario Marte en Libra Júpiter en Cáncer Saturno en Escorpión Urano en Aries Neptuno en Piscis

Lluvias de estrellas Líridas 21 y 22 de abril h Acuáridas 6 de mayo

13

Mefisto

Frases célebres

Más que por la fuerza, nos dominan por el engaño

Es más fácil engañar a la gente, que convencerlos de que han sido engañados.

Simón Bolivar (1783 - 1830) Político venezolano.

Mark Twain (1835 - 1910) Escritor estadunidense.

La ciencia ha hecho más en cien años por el desarrollo de la civilización occidental que lo que ha hecho el cristianismo en mil ochocientos años

La ciencia no deja mucho espacio para milagros, ni para Dios

John Burroughs (1837 1921) Biólogo estadunidense.

La violencia crea más problemas sociales que los que resuelve

Martin Luther King Jr. (1929 - 1968) Líder social estadunidense.

14

Stephen Hawking (1942 - ) Físico inglés.

Vivimos en un mundo donde hay que esconderse para hacer el amor, pero donde la violencia se practica a la vista de todos John Lennon (1940 - 1980) Músico inglés.

Mefisto

Jorge Luis Borges y su libro de páginas de arena Joel García León

Academia de Matemáticas, SLT

Introducción Confieso que hacer un ensayo sobre Jorge Luis Borges no sólo es presuntuoso, sino una ardua tarea, al menos desde la óptica de un matemático que se limitó a disfrutar algunas de sus obras. Es por ello que sólo expresaré mi experiencia como lector; un placer que por primera vez sentí, cuando descubrí su obra más famosa a mi entender: El Aleph.

El maestro Jorge Luis Jorge Luis Borges es —al menos para mí— un filósofo griego contemporáneo nacido en la Argentina: para muchos de nosotros, él nos introduce en la Grecia antigua, quizá sin proponérselo. Nos recuerda aquella imagen del hermoso toro blanco robándose a la bella Europa quien, sentada en su lomo, observa la arena de la playa hasta que ambos desaparecen en el mar.

Los laberintos y el infinito aparecen recurrentemente en la obra de Borges: El espía Yu Tsun, al servicio del espionaje alemán durante la segunda guerra mundial, casualmente encuentra que su bisabuelo, el sabio y astrólogo Ts’ui Pên, fue un personaje que durante toda su vida pretendió dos cosas: escribir un libro de páginas infinitas y crear un laberinto con infinitos caminos. Él nos recuerda cómo un náufrago estelar, venido del cielo, cae en una isla griega, paulatinamente se convierte en el Minotauro —hijo del Toro blanco y Pesífae— y vive en un laberinto extraordinario.

Cada vez que el personaje pasa por alguno de sus puntos, jamás regresa a él, tiene que verlo por primera y última vez, pues es un laberinto sin final ni principio. La isla de Creta es su prisión y su casa al mismo tiempo.

El libro infinito es la obsesión, la acumulación de dudas, la falta de explicación que tanto necesita la

humanidad sobre el mundo que le rodea; es simplemente lo que nunca agotaremos y lo que nunca supimos cuándo empezamos. Los griegos tenían ese temor también, para ellos el infinito era un tabú: la paradoja de Xenón nos llegó como explicación del no movimiento. El infinito de Borges es palpable, contraria y paradójicamente a las intenciones de Xenón, lo cosifica en un aparato extraño en el cual vemos todo lo que sucede en distintos lugares al mismo tiempo, e inversamente, también vemos lo que sucede en un sólo lugar en tiempos distintos: el infinito de Borges es un instrumento de movimiento.

Naturalmente, su obra recuerda aquel reto que Demócrito lanzó a sus contrincantes (cito de memoria): “Escribid un libro que contenga tantas hojas como granos de arena tiene la playa”. El libro infinito, entonces, se convierte en añoranza para algunos lectores: ojalá alguno hubiese vivido lo suficiente para escribir tal libro, tan humanamente imposible y tan cercano a la inteligencia que Borges representa. Quiero suponer que su frase célebre “No soy un buen escritor, pero sí un buen lector” tiene que ver con aceptar que no podría escribir tal libro, humildad que todo escritor debe aprender como una buena lección.

El infinito Los libros religiosos se estrellan ante la lógica borgiana, la palabra de Dios es infinita y él sería el autor del libro que exigía Demócrito. No hay libro religioso que cumpla con este requisito; cualquiera de ellos, por muy grande que sea su número de páginas, siempre será finito. Esto significa que Dios no escribió un libro para los humanos, o que simplemente Dios está aún ausente entre nosotros.

La herencia dejada en El Aleph es complicada: de haber un infinito, entonces hay más de un infinito. ¿Son todos iguales entre sí? La respuesta se deja

15

Mefisto como ejercicio mental al lector, el que lee la pregunta es quien debe de dar su propia respuesta; sin embargo, hay una luz que nos deja: hay dos infinitos que son iguales; ver todo al mismo tiempo y ver todo en tiempos distintos.

Su idea no es irreal, cualquiera que sea su concepto de realidad. Para visualizarlo, pensemos en cómo aprende a contar un infante sin saber números: colocando en filas horizontales los objetos que se quieren contar; cotejamos uno a uno los elementos sin repetir, que es lo mismo que decir “las filas son iguales, o tienen el mismo número de elementos”. De este modo, Borges rompe una regla socialmente aceptada: el total es mayor que sus partes.

Para tener la certeza de que no siempre el total es mayor que sus partes, tomemos el ejemplo de los números conocidos como naturales y pongamos nuestras listas antes mencionadas:

Infinitos “grandes” e infinitos “pequeños”

Surgen infinidad de preguntas de tan sólo leer la obra de Borges, por ejemplo: ¿Hay un infinito más pequeño? La respuesta contundente es “sí”. Naturalmente diríamos que no hay un infinito más grande; siempre hay uno más grande que el anterior, de otro modo tenemos sólo un número finito de infinitos, lo cual contradice el principio del infinito.

Por supuesto el infinito más pequeño es aquél que tiene tantos números como el conjunto de los números naturales, que puede ser representado como una sucesión interminable de puntos alineados. El “siguiente infinito”, lo conocemos con el nombre de números reales, o el conjunto de todos los números que se pueden escribir con representación decimal. También —por razones geomé1 2 3 4 5 6 ... tricas— es el que se puede representar como una línea recta que se puede trazar sin despegar el lápiz 2 4 6 8 10 12 ... del papel, o una sucesión continua de puntos interminables, y que es nombrado “el continuo”.

Notemos dos cosas cruciales: la primera de el3 6 9 12 15 18 ... las es que los números naturales son ordenados, mientras que el continuo no lo es. ¿Qué significa 4 8 12 16 20 24 ... ello? Significa que el primer número natural está representado por el 1, el segundo, por el 2 y así Los puntos suspensivos indican que no nos de- sucesivamente; es decir si tenemos un número tenemos. Si seguimos la lista hacia la derecha y ha- natural podemos decir con precisión cuál es el cia abajo notamos que tienen el mismo número de siguiente en el orden dado. Esto no ocurre con el elementos; esto es, los números tienen la propie- continuo, a pregunta expresa ¿cuál es el sucesor del dad siguiente: hay al menos uno de ellos que, número uno en el continuo? Como simples lectosiendo una parte “pequeña” del original, tiene el res diríamos el 1.1, pero inmediatamente notamos mismo tamaño. En este caso, los números pares, nuestro error: los múltiplos de tres, los múltiplos de cuatro, etc., 1.01 > 1 y < 1.1; todos tienen el mismo tamaño que los números naturales, que es el total que los contiene.

Así, entendemos una de las reglas más preciadas entonces diríamos que ése es el elegido. Nuevaque la inteligencia humana ha producido: la idea mente caemos en un error, pues del infinito como el total, y éste puede ser exacta1.001 > 1 y < 1.01. mente igual a una de sus “pequeñas partes”. Ésa es su esencia, es lo que lo diferencia de lo finito, donde el total de lo finito siempre es mayor que cu- Este proceso se vuelve infinito, y terminamos con la frustración de no poder elegir el sucesor del alquiera de sus partes, que por supuesto es finita.

16

Mefisto número 1, lo cual ocurre en realidad con cualquier otro número en el continuo: simplemente no tiene sucesor, mientras que en los números naturales sí lo podemos señalar.

La segunda observación es que nunca se puede establecer una relación entre los números reales y los naturales, como la que se realiza entre los números pares y los naturales, lo cual quiere decir que el continuo es mayor que los naturales. Esta diferencia entre el continuo y los naturales se sintetiza de la manera siguiente: “mientras los naturales es un conjunto numerable, el continuo no lo es, o bien, el continuo es inconmensurable”.

Un juego que fascinaba y retaba la inteligencia entre los filósofos de la antigüedad griega es el siguiente: “Dado un punto sobre una recta, éste representa un número; inversamente, dado un número hay un punto en la recta que lo representa.

Decidme, cuando doy el número, ¿podeís trazarlo exactamente con sólo regla y compás en la recta continua? Inversamente, al tener un número, ¿qué punto representa en la recta?”. La respuesta es “sí se pude”; sin embargo, no nos describieron el método para ello, de tal suerte que, de manera lógica, se puede reducir al problema ya tratado: “¿Qué número precede a la unidad?”

de millones” es poco: se necesita una infinidad mayor que con la que cuentan los números naturales, esto es, el continuo es un infinito mayor necesario para generar dichas cantidades, como ya lo habíamos previsto. Esta misma incógnita se traslada a las figuras geométricas planas: si tenemos un cuadrado, ¿cuántas curvas necesitamos para llenar el cuadrado?; o bien, ¿hay una curva con la cual podamos llenar un cuadrado? La solución de este problema tardó siglos en llegar.

La clave está en la siguiente construcción: si el cuadrado lo subdividimos en cuatro cuadrados iguales contenidos en el original, al tomar sus centros podemos unirlos con una poligonal. El siguiente paso es subdividir el mismo cuadro pero ahora en ocho cuadrados iguales contenidos en el original. El siguiente es dividirlo en dieciséis cuadrados y seguir este procedimiento de manera indefinida; nótese que le número de cuadrados debe ser igual al número de centros. Al final del proceso, tendremos la curva que llena el cuadrado.

Gráficamente podremos ver los primeros pasos de este proceso en la Figura 1. Los únicos requisitos que debe cumplir nuestro trazo son los siguientes:

• El trazo debe ser continuo; esto es, no se debe despegar el lápiz de la hoja de papel • No se debe pasar por el mismo punto más de El infinito y el laberinto una vez • No se deben cruzar ni repetir las líneas Es sabido que la recta no tiene grosor. En el len• Por cada punto en el rectángulo debe existir guaje moderno diremos que la línea no tiene área, una polígonal que lo contenga aunque tiene longitud. Sin embargo, el punto no tiene longitud, mientras que la línea si la tiene, Esta curvas son conocidas como curvas de Peano o ¿cómo puede ser ello si la línea es una sucesión de curvas de Hilbert. Éste es el laberinto referido por puntos, mientras que el plano es una sucesión de el cual camina el Minotauro, o bien el laberinto líneas? Esta incógnita es parte de la crisis intelecinfinito creado en los libros de Borges: en efecto, tual a la que no sobrevivió la Grecia antigua. El al recorrer este laberinto, por cada lugar que pasamiedo al infinito es justificado: no es gratuito que mos jamás regresamos a él; por tanto, la cantidad la humanidad tardó más de diecinueve siglos en de paisajes contemplados son inagotables. Y los entender la profundidad de este problema. más importante: no estamos posibilitados para dePara pasar de un estatus a otro (es decir, una línea jar dicho laberinto, estamos atrapados en él de por tiene longitud, pero para un punto la longitud es vida. nula), la pregunta inmediata es: ¿cuántos puntos En la actualidad, este problema de “llenar figunecesitamos para llenar la recta?; o bien, en térras geométricas” con curva, ha llevado al estudio minos de longitudes: ¿cuántos puntos se requieren de distintas ramas de las matemáticas, una de ellas para generar un longitud positiva? Decir “millones conocida como “fractales”. Aquí el problema es in-

17

Mefisto

Figura 1. Curva de Hilbert.

teresante: Dado un “paisaje” o “mapa”, ¿lo podemos llenar con una curva? Parece sencillo; no lo es.

Más aún: es un terreno nuevo en las matemáticas y las ciencias de la computación. El ejemplo de la figura 2 fue hecho con computadora, y nos muestra cómo es posible llenar una figura con curvas continuas: Es sencillo ahora concluir: el laberinto no necesariamente es rectangular; puede tener cualquier forma, sin importar cuán complicada sea y, por supuesto, éste es infinito: es decir, es un laberinto del cual, una vez dentro, es imposible salir.

El Aleph El Aleph, es la primera letra del alfabeto hebreo, que indica el comienzo y la unidad entre dios y los hombres, según reza el judaísmo. ¿De dónde obtuvo Borges el título de este cuento? Aleph cero es conocido como el número de elementos de los números naturales, el “infinito más pequeño”; el número de elementos es, a su vez, nombrado car-

18

Figura 2. Lena, curva generada con una computadora.

Mefisto dinalidad y de ahí surgen los números cardinales.

Vemos todo al mismo tiempo y, en el mismo lugar, vemos que ocurre en distintos tiempos: en principio, sólo los dioses pueden hacerlo. Borges encontró que ese principio no es así. A pesar del miedo, su Aleph nos acercó a la verdad: no es privativo de los habitantes del Olimpo; por el contrario, algún Prometeo, al igual que el fuego, trajo esta verdad a la Tierra y la donó a la humanidad como un regalo inconmensurable.

Al descubrir el hecho anterior, el narrador del cuento pierde el control y corre a la calle despavorido, esa reacción que la humanidad tuvo en su primer contacto con la eternidad, ese miedo que aún hoy en día se le tiene al infinito y a su representante en la tierra: los números, aquéllos que muchos odian sin meditarlo, y sólo unos cuantos cultivan como un arte que la humanidad heredó de los dioses.

Los mortales nacemos y morimos, nuestra corta vida se rige por la relación espacio-tiempo: si bien no podemos ocupar dos lugares al mismo tiempo, sí podemos vivir el mismo lugar en tiempos distintos aunque notamos, con cierta tristeza, que ese tiempo para nosotros es finito.

Borges nos hace trascender este concepto, el Aleph nos infunde miedo, desasosiego e incertidumbre; sin embargo, éstos desaparecen si entendemos y manejamos nuestra propia relación espacio-tiempo.

Figura 3. Relación espacio-tiempo.

Imaginemos que el tiempo es una recta interminable, sin principio alguno ni final específico.

Al mismo tiempo —valga la redundancia—, pensemos en todos los sitios en el espacio como una recta similar. Así, a cada tiempo, vivimos en un lugar determinado. De este modo imaginaremos la relación espacio-tiempo como un plano con dos medidas únicas; éstas las expresamos gráficamente como la Figura 3, abajo, donde E representa el espacio y t el tiempo. Cada punto, en dicho plano, nos informa de un lugar determinado en un tiempo dado.

Pensemos nuevamente en la Figura 3. Al expresar nuestra relación y tomar un punto, como aquél ubicado en la intersección de las líneas punteadas, indica que estamos en un lugar y un tiempo específicos. Así, si iniciamos nuestro camino desde este punto, ya sea hacia arriba o hacia abajo, estamos recorriendo todos los lugares del espacio al mismo tiempo. Contrariamente, si tomamos el camino de la línea horizontal punteada, ya sea izquierda o derecha, recorremos todos los tiempos en el mismo lugar.

Durante siglos, la humanidad ha cultivado la manía de dibujar mapas y fabricar globos terráqueos; mientras los primeros son planos, los segundos son esféricos. Esta actividad de aplanar esferas y envolver esferas con planos, contribuye a nuestra comprensión del Aleph de Borges.

Figura 4. El Aleph.

19

Mefisto En la esfera, las rectas se convierten en meridianos, como se muestra arriba en la Figura 4. Entonces, nuestra relación obligada, explicada en el plano, se convierte en una relación en la esfera. El efecto es el mismo: si recorremos el meridiano vertical identificado por la letra E, recorremos todos los lugares al mismo tiempo; mientras que caminar sobre el meridiano horizontal t nos permite recorrer un sólo lugar en todos los tiempos. Éste es el Aleph de Borges: una esfera. Si nos ubicamos en un punto de ella nos posibilita ver todos los lugares al mismo tiempo y, a su vez, desde un sólo lugar, ver todos los tiempos.

El libro de arena “La línea consta de un número infinito de puntos; el plano, de un número infinito de líneas; el volumen de un número infinito de planos; el híper-volumen de un número infinito de volúmenes …”. Así inicia su libro de arena, aunque la siguiente línea niega éste como un buen principio; por el contrario, es un excelente principio a nuestro entender. El libro de arena está compuesto por un número infinito de páginas, tantas como granos de arena tiene una playa, dicho metafóricamente según la visión de Demócrito.

El número de páginas de este libro es el mismo que el continuo, esto es, la numeración de dichas hojas impresas tiene que ser usando el punto decimal. Así, este extraño libro tiene tantas hojas como la recta puntos, de otra manera sería un libro con número de hojas infinito numerable.

El leer este libro es placer de unos cuantos, tiene un número incontable de cuentos, novelas, y poesías, es el libro que registra todo, es el libro que da cuenta de todo lo que pasa, incluso de escritos futuros —si es que ello es posible—, historias enterradas en la memoria de la humanidad, que por supuesto se hacen imperecederas gracias al libro de arena.

Para imaginar la magnitud del libro de arena adaptamos la paradoja de Xenón: Adso de Montealbán y Buenaventura era poseedor del libro de arena, tutor del novicio Daniel Ambrosio Raiwzc.

Teniendo fama de lector de zagas y entendedor de

20

sus dominios, ante los dioses Adso juró educar a su discípulo para caminar por la brecha del bien y el camino de la sabiduría; así retó a su iniciado a leer el libro de arena como primer comienzo; más aún, le concedió ventaja de tres páginas: —Antes que la aurora repunte, habré leído más que tú—, sentenció Adso.

Daniel replicó ante la arrogancia de su maestro: —Con toda humildad, le contradigo su aventurada aseveración maestro y le pido disculpas por ello—.

Intrigado, el sabio le pidió a cambio una explicación del porqué de su atrevimiento; esto fue lo que respondió: —Si mi comienzo es la página tres, entonces usted señor tendría que llegar primero a la página uno—.

—Cierto—, dijo Adso, —¿y eso qué argumenta?—, respondió sabedor de su excelente retórica.

—Antes de que usted llegue a la página uno, tendrá que pasar por la página enumerada por 0.5 que antecede a la número 1, y antes de ello, tiene que leer aquella numerada por 0.25, que es anterior a la página 0.5, pero entonces tiene primero que leer una anterior a 0.25, digamos la 0.125—.

Con esto el mentor entendió lo que nunca cruzó por mente: Ambos nunca terminarían el libro y Daniel siempre llevaría una ventaja imposible de rebasar.

—Tienes razón Adso, te pido mil perdones por mi arrebato de pedantería, con este libro nadie sale ganando—, terminó diciendo de manera humilde.

El libro inconmensurable tiene un defecto: al abrir un página, se tiene que leer sin descanso, se tiene que abarcar lo más posible; de otro modo, al cerrarse el libro, jamás se vuelve a la misma página, imposible regresar a la lectura donde se dejó, esto es precisamente lo que se obtiene de la numeración de sus hojas, encontrar el lugar preciso donde se estaba es imposible. Si se siguen sus reglas, los lec-

Mefisto La familia de ella se vuelve el único enlace entre el tores paulatinamente se convierten en el libro, sus voluntades son doblegadas y sus vidas como hu- narrador y su Beatriz, como un enlace irrompible, manos son parte de lo imposible: El libro de arena. el hilo de longitud infinita que los une. Eso es Beatriz y ese amor por Beatriz permanecerá eternamente ente ambos como un lazo irrompible.

El amor

Una lección más que nos da el maestro es acerca del amor. Si bien nadie ha expuesto una definición precisa de éste, negar que es finito resulta inútil.

Como sentimiento humano, que comprende una parte y su antípoda, que va acompañado de una mezcla de inumerables experiencias, que éstas a su vez contienen otras experiencias, como cuento de nunca acabar, como páginas del libro de arena, como caminos que tiene el laberinto impuesto al Minotauro en castigo, decir que el amor es finito es imponernos limitaciones innecesarias.

Beatriz Viterbo es la heroína desparecida, la representación no corporal del amor que el maestro Borges nos muestra; quién es y cómo era resultan preguntas irrelevantes. El amor se mantiene más allá de la muerte, la vida se aleja de Beatriz Viterbo, y él se da cuenta por un cartel de teatro pegado en la calle, que la vida ya no es ella pero su amor vive.

Con la lejanía corporal de Beatriz no se rompe ni desaparece el amor, él sigue ahí dentro sin que nadie más que el narrador y Beatriz lo noten.

Epílogo Sin proponérselo quizá, el maestro nos explica el infinito y sus paradojas, como un ente real y al mismo tiempo imaginario, como una forma de explicar la eternidad, el tiempo, el amor y otros tabúes.

El Maestro Borges seguirá hasta donde la humanidad llegue, a pesar del mundo destructivo que nos tocó vivir, él será recordado hasta que el último ser humano perezca, y para ello falta todavía un Aleph.

Referencias Borges, Jorge Luis El Aleph, Siglo XXI, México, 1949.

Borges, Jorge Luis El jardín de los senderos que se bifurcan, Alfaguara, México, 1941.

Borges, Jorge Luis Cuentos completos, Lumen, México, 2011.

21

Mefisto

Acertijos

3

0

5

3 En un cajón hay 47 calcetines, 23 de ellos azules y 24 negros. ¿Cuántos calcetines se deben sacar, sin verlos, para estar seguros de que se tiene un par del mismo color?

6

1 Un rey dejó como herencia un cierto número de perlas para repartirse entre sus hijas. La repartición se efectuó de la siguiente manera: A la primera hija le tocó una perla más la séptima parte de las perlas que quedaban; a la segunda le tocaron dos perlas más la séptima parte de las que quedaban; a la tercera tres perlas más la séptima parte de las que quedaban, y así sucesivamente. Si toda la herencia se repartió y cada hija recibió la misma cantidad de perlas, ¿cuántas perlas y cuántas hijas había?

8

2 9

2 Un hombre comienza un trabajo cuando las manecillas del reloj coinciden entre las 8 y las 9 de la mañana, y termina entre las 2 y las 3 de la tarde, cuando las manecillas forman un ángulo de 180º.

4 Un cubo de madera se pinta de color rojo. ¿Cuántos minutos tardó en realizar el trabajo?

Después de ello, se divide en 1000 cubitos iguales. ¿Cuántos de esos cubitos tienen una sola cara pintada de rojo?

22

x

¿

z

Mefisto

Acertijos Solución a los anteriores

y2

1 Si el pegaso miente, ese día tendría que ser el lunes, pero ese día el unicornio dice la verdad y no podría decir lo que dijo, porque el domingo también dice la verdad. Si el pegaso dice la verdad, ese día tendría que ser jueves, y el unicornio mentiría, lo cual también tendría que ser el jueves. Por lo tanto, el único día de la semana en que puede ocurrir la situación descrita, es el jueves.

2

x

2 Para hallar la solución, escribimos en forma matemática lo que el burro está diciendo: y + 1 = 2(x - 1) y-2=x+2 donde x es el número de bultos que carga el caballo, y y es el número de bultos que carga el burro.

Resolviendo este sistema se encuentra que x = 7 y y = 22.

2

?

z

3 Notemos que entre las 12 y antes de la 1, las manecillas hacen dos veces ángulo de 90º, y lo mismo entre 1 y antes de las 2. Pero entre las 2 y antes de las 3, sólo ocurre 1 vez (la segunda ocurre exactamente a las 3). Entre 3 y antes de las 4, 4 y antes de las 5, y 5 y antes de las 6 también ocurre 2 veces. Entonces en total hay sólo 11 veces en que las manecillas hacen un ángulo de 90º.

7

4

4 Al dividir 5 entre 8, resulta que a cada niño se le deben dar 5/8 de pliego. Esto se lograría recortando a la mitad cuatro pliegos, y el último en octavos, pero esto inutilizaría los últimos trozos. Sin embargo, si en lugar de repartirles sus 5/8 como 1/2 + 1/8 se les reparten como 1/4 + 3/8, también se tienen 5/8 sin cortar en trozos de 1/8. Esto se logra cortando un pliego en cuartos y los otros cuatro en trozos de 3/8, 3/8 y1/4, con lo que se reparte a cada niño un trozo de 1/4 y uno de 1/8, sin que haya desperdicio.

1

y 23

Mefisto

Sudoku F谩cil 4 9 8 5 3

3

5 3 8 2 7 7 9

5 9

4

2 6 1 4

3

8

7

Soluci贸n al anterior 9 4 5 2 3 8 7 7 6 2 4 9 1 5 3 8 1 5 6 7 2 4 2 7 1 5 9 3 8 5 9 3 2 6 4 6 1 3 7 8 4 9 1 3 4 6 7 2 8 2 9 6 8 4 5 1

9

1 3 8 5

5

7 8

9

1 3

1 6 8 3 4 9 6 8 7 1 5 2 9 5

3 7 6 2 4

Dif铆cil

Soluci贸n al anterior 9

3

8 4

4 1 5 2 6 7 5 4 1 3 7 6 8 9 2 6 5 3 7 8 9 1

24

2 4

6 8 7 5 1 2 3

1 7

5 6 2 9 7 3 3 5 9 1 9 2 6 8 4 8 1 2 6 3 4 5 7 4 8 9 5 1 2 4

9 8

6

2 8 4 3 9 7 1

6 3 7 5

8 4 6 1 5 1 7 2 5 1 9 8 7 5 4 5 1 7 8 2 7

9 8 6 6 1 3