Mefisto Número 12
Octubre de 2014
Mefisto
El buen cristiano debe estar precavido frente a los matemáticos y todos aquellos que hacen profecías vacías. Existe el peligro de que los matemáticos hayan hecho un pacto con el diablo para ofrecer el espíritu y confinar al hombre en el infierno. San Agustín, De genesi ad Litteram, II, xviii, 37.
En este número: Presentación
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Ana Beatriz Alonso Osorio
En las alturas
Pirámides
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Daniel Maisner Bush
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Acertijos
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Sudoku
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Fausto Cervantes Ortiz
El cielo de invierno
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Universidad Autónoma de la Ciudad de México Nada humano me es ajeno Rector Dr. Vicente Hugo Aboites Aguilar Secretaria General Lic. Carmen Alicia Pineda Sánchez
Mefisto Editor Fausto Cervantes Ortiz
Comité Editorial Ana Beatriz Alonso Osorio Octavio Campuzano Cardona Fausto Cervantes Ortiz
Coordinadora Académica
Daniel Maisner Bush
Dra. Micaela Rosalinda Cruz Monje
Verónica Puente Vera
Coordinador de Difusión Cultural y Extensión Universitaria Dr. Koulsy Lamko Coordinadora del Plantel San Lorenzo Tezonco Dra. María Elena Torres Bustillos Responsable del área de publicaciones Mtro. Carlos López Barrios
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Publicada electrónicamente en: http://issuu.com/gacetamefisto
Toda contribución deberá enviarse en versión electrónica a: gaceta.mefisto@gmail.com
Registro ISSN en trámite. Las opiniones expresadas en los artículos son puntos de vista del (los) autor(es) y no necesariamente reflejan la opinión del Comité Editorial.
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Presentación Ana Beatriz Alonso Osorio
Materiales Educativos de la Biblioteca del Estudiante Plantel San Lorenzo Tezonco
Bienvenidos a una nueva edición de la Gaceta Mefisto. En esta ocasión, iniciamos con una reflexión histórica sobre la necesidad humana de trascender a través del arte, en particular la arquitectura y la escultura a gran escala. Para ejemplificarlo, el autor nos lleva en un ameno recorrido internacional, narrando la feroz competencia entre los países por obtener el récord de las construcciones arquitectónicas más altas del mundo. Conoceremos representaciones de deidades y héroes, asociados a la reverencia y devoción ante lo sobrenatural; edificios y torres, símbolos de orgullo comunitario o de poder económico para amedrentar naciones; y encontraremos competencia también en la conquista de la cima del Everest, la formación montañosa natural más alta del mundo.
grupos para la venta directa. También nos habla de las características que conforman -y sostienenfiguras laborales o de ahorro basadas en el método Ponzzi, que prometen ganancias descomunales a sus integrantes, y que pueden convertirse en jugosos fraudes. El artículo nos explica asimismo el caso Madoff, y las estafas que acometen bancos y fondos de inversón contra los usuarios de sus servicios, aprovechando los mismos métodos de engaño que han llevado a supuestos colapsos financieros mundiales en tiempos recientes. De esta manera, tristemente comprendemos como, creyendo ingenuamente en la especulación, las ganancias virtuales y los intereses inexistentes, vivimos de dinero ficticio (tarjetas de crédito), que nunca acabaremos de deber a la banca la que, además, siempre se presentará como la víctima de sus exPresentamos después una detallada explicación plotados clientes. sobre fraudes económicos cotidianos, a los que estamos expuestos de diversas formas inadverti- En alusión al mencionado sistema piramidal fidamente. Mediante ejemplos y demostraciones nanciero, y aprovechando la travesía inicial por matemáticas que involucran a las funciones expo- las más altas construcciones del hombre, hemos nenciales, el autor nos clarifica cómo operan -por aprovechado para integrar a este número una codento y por fuera- los sistemas de crecimiento pi- lección fotográfica de las pirámides más bellas del ramidal, engaño que se basa en la formación de mundo.
Las pirámides de Giza, en Egipto.
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En las alturas Fausto Cervantes Ortiz
Academia de Matemáticas Plantel San Lorenzo Tezonco
Introducción La historia bíblica de la Torre de Babel es una de las historias más antiguas que reflejan el afán de la humanidad por conquistar las alturas. Se piensa que esa leyenda tuvo su origen en un zigurat construido por un monarca sumerio (Sargón de Acadia) aproximadamente 3500 años antes de Cristo. El mismo no pudo concluirse bajo su reinado porque una revuelta interna lo quitó del poder, y no se terminó de construir de inmediato; incluso adquirió fama por estar incompleto (como la sinfonía inconclusa de Schubert). Fue hasta alrededor del 580 aC que el rey caldeo Nabucodonosor lo completó y lo convirtió en sede de los célebres “jardines colgantes de Babilonia”, considerados una de las “maravillas” de la antigüedad por los griegos. Las otras maravillas que reconocieron los griegos fueron: el Coloso de Rodas, la estatua de Júpiter Olímpico, el Mausoleo en Halicarnaso, el templo de Diana en Éfeso, el faro de Alejandría y las pirámides de Egipto. De las siete maravillas, sólo las pirámides de Egipto continúan en pie hasta nuestros días.
Figura 2. El coloso de Rodas.
Figura 1. Los jardines colgantes de Babilonia.
Figura 3. La estatua de la libertad, en Nueva York.
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Figura 4. La esfinge de Gizah, en Egipto.
Estatuas Decía Carl Sagan, astrónomo estadunidense, que los dioses deben ser más grandes que los hombres, por lo cual las representaciones de los mismos deben ser muy grandes. Esto se reflejó constantemente en las estatuas que se hicieron de muchos dioses. Por ello es que, desde la antigüedad, muchas de las estatuas más grandes del mundo son representaciones de dioses, o de seres humanos a quienes se consideran más grandes que los humanos ordinarios. De las siete maravillas de la antigüedad consideradas por los griegos, dos de ellas eran estatuas enormes de dioses: el coloso de Rodas (que representaba a Helios, dios del Sol) y el Júpiter Olímpico. Ambas datan de épocas muy diferentes y tenían alturas muy distintas, pero una de ellas (coloso de
Figura 5. El Buda de Leshan, en China.
Figura 6. La estatua más alta del mundo, el Buda de Lushan.
Rodas) fue en algún momento la estatua más alta del mundo. La estatua de Júpiter (aproximadamente 12 m) existió entre 432 aC y 475 dC, mientras que el coloso de Rodas (aproximadamente 30 m) existió entre 280 y 226 aC. Muchos siglos después, cuando se construyó la estatua de la Libertad (46 m), se pensó en hacerla lo más parecida posible al coloso de Rodas. Probablemente la gran esfinge de Egipto también fue en su momento la estatua más alta del mundo, aunque ésta no representaba propiamente a un dios, pero tenía cualidades más grandes que las de los humanos. Una de las estatuas más antiguas y grandes del mundo, que aún se conserva en la actualidad, es un Buda tallado en la roca, localizado en China, en la provincia de Leshan (71 m). También fueron tallados en roca los Budas de Bamiyán (53 y 35 m), en Afganistán, entre los años 544 y 654, mismos que destruyó el Talibán en 2001.
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Figura 7. El Buda de Sagaing, Myanmar.
Figura 8. El Buda de Ibaraki, Japón.
Es interesante notar que, entre las estatuas más altas del mundo, la mayoría son Budas o deidades relacionadas (Guanyin, principalmente). Por ejemplo, la estatua más alta del mundo es un Buda (128 m) en China, en la provincia de Lushan; la segunda es otro Buda (116 m) en Myanmar, en la división de Sagaing; y la tercera es otro Buda (110 m) en Japón, en la prefectura de Ibaraki. Entre las estatuas más altas que no representan a dioses, están el monumento a los emperadores Yang y Huang (106 m) en Zhengzhou, China; el monumento a Pedro I (97 m) en Moscú, Rusia; y el monumento a la Madre Tierra (87 m) en Volgogrado, Rusia. Si continuamos con la lista de estatuas más altas del mundo, después de pasar por muchos otros Budas, llegaremos a la primera estatua no localizada en Asia (si clasificamos a Moscú como perteneciente a ese continente, pues poca gente la considera como parte de Europa), el monumento
al Renacimiento Africano, (49 m) en Dakar, Senegal. Siguiendo por ahí llegaremos a la estatua de la Libertad (45 m), en Nueva York, EE. UU. y a la estatua de Morelos (40 m) en Michoacán, México. Es interesante notar que, es hasta llegar a las estatuas de menos de 50 m de altura, que empiezan a aparecer estatuas religiosas relacionadas con el cristianismo: la Virgen María (47 m) en Trujillo, Venezuela; la Virgen del Socavón (45 m) en Oruro, Bolivia; o Santa Rita de Cascia (42 m), en Río Grande, Brasil. Sin embargo, el turno de Cristo mismo sólo llega hasta las estatuas por debajo de los 40 m, con el Cristo Rey (36 m) de Swiedbozin, en Polonia; el Cristo de la Concordia (34 m) en Cochabamba, Bolivia; o el Cristo Redentor (30 m) de Río de Janeiro, Brasil. Alguien podría usar como argumento las alturas de las estatuas para comparar la grandeza de Buda y la de Cristo, y/o de las religiones fundadas por su causa.
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Figura 9. El Cristo rey de Swiebodzin, en Polonia.
el monumento a Washington alcanzó los 169 m y fue la estructura más alta del mundo por 5 años, para ceder su lugar a la famosa Torre Eiffel (300 m) en Francia. Ésta conservó el récord por más de 40 años, cuando se concluyó el edificio de Chrysler (319 m) en Nueva York en 1930, y al año siguiente el Empire State (381 m), también en Nueva York. A partir de entonces, la construcción de torres cada vez más altas se ha vuelto una competencia, donde los records se rompen en muy breve tiempo. En este afán competitivo, los estadunidenses constantemente han competido entre ellos para tener el edificio más alto del mundo, uniéndose a la competencia otras naciones progresivamente. Después del Empire State, otros edificios que rompieron record fueron las Torres Gemelas (417 m) en Nueva York, en 1972; la Torre de Sears (442 m) en Chicago, en 1974 –ahora conocida como Torre Willis--; las Torres Petronas (452 m) en Malasia, en 1998; el edificio Taipei 101 (509 m) en Taiwan, en 2004; y el edificio Burj Dubai (829.8 m) en Emiratos Árabes Unidos, en 2010 –ahora conocido como Burj Khalifa--. ¿Y dónde quedó la Torre CN (553 m, en Canadá, terminada en 1976)?
Figura 10. Estatua de Morelos en Janitzio, Michoacán.
Torres
La gran pirámide de Keops (139 m) en Egipto, fue durante miles de años la estructura artificial más alta del mundo. Fue hasta alrededor de 1439 que la Catedral de Estrasburgo (142 m), en Francia, superó esa altura. Después de ésta, varias catedrales la superaron por algunos metros. En 1884,
Figura 11. La Torre Eiffel, en París.
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Figura 12. El edificio Chrysler y el Empire State, ambos en Nueva York.
Figura 13. La torre CN, en Toronto, y la torre Ostankino, en Moscú.
Ah, es que, en ese mismo afán de tener el título del rascacielos más alto del mundo, algunos edificios añadían antenas en la punta del edificio, a fin de hacerlo aún más alto que la estructura arquitectónica. Por ello, en 1969 se formó el Council on Tall Buildings and Urban Habitat (CTBUH), organismo que desde entonces funge como árbitro para decidir el récord de altura de un rascacielos. El CTBUH decidió que no se consideraran los edificios que no tuvieran utilidad habitacional (como oficinas, hoteles, etc). Eso de inmediato dejó fuera de la competencia a la Torre Ostankino (540.1 m) en Moscú, terminada en 1967, así como a la Torre CN (¿Tendría algo que ver la carrera entre EE. UU. y la URSS como potencias en aquellos años?). Asimismo, en el año de 1996, el CTBUH decidió que las Torres Petronas eran más altas que la Torre Willis, aún cuando la antena que ésta tiene llega más alto que las agujas que las Petronas tienen en la punta. De acuerdo con los árbitros, quitar antenas no afecta la apariencia de los rascacielos, mien-
tras que quitar las agujas u otros ornamentos, sí que las afecta. Sin embargo, Canadá siempre continuó diciendo que la Torre CN era la “estructura autoestable” más alta del mundo. Lo de autoestable viene del hecho de que, depués de la Segunda Guerra Mundial, las telecomunicaciones demandaban la construcción de antenas de transmisión cada vez más altas, lo que llevó a que tales antenas fueran las estructuras artificiales más altas del mundo durante décadas; el pero que se les puso entonces fue que tales antenas no eran autoestables, sino que estaban sostenidas por cables, atados en los terrenos que las rodeaban. Así las cosas, la torre CN nunca fue contada como rascacielos. Al inaugurarse la Torre Burj Dubai, todas las clasificaciones o acotaciones que se hicieron antes perdieron todo sentido: la Burj Dubai rompía todos los récords, sin importar la categoría que se utilizara. Sin embargo, eso no impidió que los estadunidenses continuaran queriendo ser los prim-
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Figura 14. Las Torres Gemelas, en Nueva York, las Torres Petronas, en Kuala Lumpur; y el edificio Burj Khalifa, en Dubai.
eros en todo, por lo cual se inventaron que la Torre Willis era el rascacielos más alto del hemisferio occidental. Esto cambió en 2013, al inaugurarse la Torre One World Trade Center (541.1 m) en el lugar donde estuvieron las Torres Gemelas. Ahora bien, a diferencia de las estatuas donde, como vimos, la mayoría de las más altas está en países de Asia (representando Budas), en los países occidentales la competencia fue generalmente por los rascacielos. Puesto que en occidente el dios a adorar es el dinero, la competencia no se centra en las estatuas a los dioses, sino en edificios dedicados al dinero (WTC, Rockefeller Center, etc.), hasta antes de los años 90 del siglo pasado. A partir entonces, los países de orientetambién se suman a la carrera por los rascacielos, sobrepasando al líder EE. UU. en varias ocasiones, lo que tardará en revertirse con la construcción de la Torre Burj Dubai. Entonces, la carrera por los rascacielos, como la de las estatuas, también está siendo ganada por Asia. Es de notar que, de las cinco ciudades con más
rascacielos del mundo, la número uno no es Nueva York, como mucha gente piensa, sino Hong Kong. Si se consideran los edificios con más de 100 m de altura, resulta que Hong Kong tiene 2354, seguida muy de lejos por Nueva York, con tan sólo 794. Después están Tokio (556), Shanghai (430), Dubai (403), Bangkok (355), Chicago (341), Guangzhou (295), Seúl (282) y Kuala Lumpur (244). Para los que se lo están preguntando, la Ciudad de México está en el lugar 27, con 114 edificios que miden más de 100 m. Antes de pasar al siguiente tópico, mencionemos brevemente que, si bien en la Edad Media las técnicas de construcción no permitían tener edificios de gran altura (que además tuvieran utilidad habitacional, a diferencia de las pirámides de Egipto), sí hubo una competencia en cuanto al volumen (y belleza) de las catedrales góticas. Se dice que Constantino, al construir la Hagia Sofia, en Constantinopla, dijo “Te he superado, Salomón”, en referencia al templo que dicho rey construyó.
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Figura 15. El monte Everest, en la frontera entre Nepal y China.
Montañas Las montañas, a diferencia de las estatuas o las torres, no las construyen los seres humanos (aunque en ocasiones sí las destruyen, como la que está detrás del Plantel San Lorenzo Tezonco de nuestra Universidad). Éstas han sido objeto de competencia para ver quién alcanza primero la cima. Algunas de las montañas más altas del mundo fueron conquistadas sólo hasta el siglo pasado, por lo que en ese siglo fueron objeto de arduas competencias. El monte más alto del mundo es el Everest, en el Himalaya, haciendo frontera entre Nepal y China (con la provincia autónoma del Tibet). Los tibetanos lo llaman Chomolungma, mientras que los nepalíes lo llaman Sagarmatha. Fue “descubierto” en 1856 por George Everest (igual que América, un continente con ciudades y culturas florecientes, fue “descubierta” en 1492), por lo que lleva su nombre. Eso no les importa a los nepalíes o tibetanos, quienes siguen usando sus nombres tradicionales. Siendo que los nativos de las regiones del Himalaya consideraban a sus montañas lugares sagrados
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--o incluso, dioses(as)--, escalarlas no era siquiera imaginable. Por ello, los primeros intentos por escalar los llevaron a cabo expediciones de países europeos (principalmente Inglaterra). La historia del intento por conquistar la cima del Monte Everest está plagada de muertes y otras desgracias. Un escalador muy persistente (asistió a las expediciones de 1921, 1922 y 1924) llamado George Mallory perdió la vida en las nieves del Everest en 1924. Su cuerpo muerto se halló hasta 1999, y por el lugar y la posición en que se encontró, hizo pensar a muchos que probablemente sí llegó a la cima y perdió la vida durante el descenso. Pasando por alto esto, las sucesivas expediciones fueron rompiendo records de altitud alcanzada. Sin embargo, después de numerosos intentos, probar nuevas rutas, nuevos diseños de ropa térmica y botas, se llegó a la conclusión de que, para garantizar el éxito de una escalada, era fundamental llevar tanques de oxígeno, puesto que el enrarecimiento de la atmósfera con la altitud no permitía respirar adecuadamente, lo que impedía al cuerpo desempeñarse al 100% durante la escalada.
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Figura 17. Edmund Hillary y Tenzing Norgay de regreso de cumplir con su hazaña.
y Norgay les valió a Hunt y a Hillary el título de caballeros de la orden inglesa. Norgay por su parte obtuvo una medalla del Reino Unido. Después de la primera escalada, los sucesivos ascensos han agregado otros “retos”, para poder decir que fueron los primeros. Que si se llegó por una ruta más difícil, que si se llegó a la cima sin llevar oxígeno, que si la persona que llegó a la cima era de sexo femenino, que si es la persona más vieja, que si la más joven, etc. Pero lo que es imposible hacer es escalar una montaña más alta. El record lo tiene sólo el Monte Everest, y ya no se puede ser el priFigura 16. Tenzing Norgay en la cima del Everest. mero en llegar a la cima, por lo que cualquier otro calificativo es simplemente un intento por tratar de La expedición de 1953, comandada por John decir que se es el primero en algo que en realidad Hunt (Inglaterra), ascendió al Everest llevando no se es. cargadores nepalíes, y guías experimentados que habían escalado en expediciones anteriores. Después de establecer un campamento de base a Conclusión 6000 metros de altitud, eligió a dos parejas para realizar el “asalto final”. La primera pareja estaba Ya sea construyendo, o escalando, el afán del ser formada por Tom Bourdillon y Charles Evans (In- humano por conquistar las alturas se ha manifestaglaterra), quienes escalaron el 26 de mayo hasta do continuamente a lo largo de la historia. Y ya sea aproximadamente 8750 metros, pero tuvieron casualidad (Monte Everest) o causalidad (estatuas que regresar por problemas con los equipos de y edificios), cuando de alturas se trata, los records oxígeno. La segunda pareja estaba formada por están en Asia, fundamentalmente China. También Edmund Hillary (Nueva Zelanda) y Tenzing Nor- en esto los estadunidenses se están quedando atrás. gay (Nepal) quienes el 29 de mayo, después de dos días de fuertes vientos, partieron muy temprano Referencias hacia la cima, con clima soleado y vientos tranquilos. Hacia las 11:30, alcanzaron la cima. Tomaron Enciclopedia Universal Ilustrada. Espasa-Calpe. fotografías, enterraron en la nieve una cruz, y re- Madrid, 1905-2014. gresaron con todo cuidado. La hazaña de Hillary Wikipedia, the free encyclopaedia.
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El cielo de oto単o Fases de la Luna Luna nueva 23 de octubre 2i de noviembre 21 de diciembre Cuarto creciente 1 de octubre 30 de octubre 28 de noviembre 28 de diciembre Luna llena 7 de octubre 6 de noviembre 5 de diciembre Cuarto menguante 15 de octubre 13 de noviembre 13 de diciembre Eclipse total de Luna: 8 de octubre (3:16 - 8:34 hrs) Eclipse parcial de Sol: 23 de octubre (17:31 - 18:43 hrs)
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Planetas Mercurio en Virgo Venus en Libra Marte en Escorpión Júpiter en Cáncer Saturno en Libra Urano en Piscis Neptuno en Acuario
Lluvias de estrellas Dracónidas:
7 y 8 de octubre
Oriónidas:
21 de octubre
Táuridas del sur:
4 y 5 de noviembre
Táuridas del norte: 11 y 12 de noviembre Leónidas:
16 y 17 de noviembre
Gemínidas:
13 y 14 de diciembre
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Pirámides
Esquemas piramidales Daniel Maisner Bush Academia de Matemáticas Daniel MaisnerTezonco Bush Plantel San Lorenzo
24 de octubre de 2014
1.
Esquemas piramidales Lea este art´ıculo detenidamente y despu´es d´eselo a leer a 5 personas m´ as o tendr´ a 15 a˜ nos de mala suerte. Cadena piramidal t´ıpica
Venta de caf´ e ¿Casualidad?, ¿destino? – pensaba mientras sub´ıa a mi coche y emprend´ıa el regreso a casa. Llevaba un par de meses d´andole vueltas a la idea de escribir un art´ıculo sobre los esquemas de crecimiento piramidal, y justo ese d´ıa (quiz´a un martes 13, sin que lo recuerde) hab´ıa sido invitado al negocio del siglo, consistente en una pir´ amide de venta de caf´e. En realidad –perdonad mi incredulidad–, ni casualidad ni destino; los esquemas piramidales para generar r´ apido crecimiento siguen siendo de uso com´ un, se encuentran por todas partes y, simplemente, el estar reflexionando sobre ellos me hizo reparar en su presencia. Las ideas matem´aticas intr´ınsecas del caso, que podr´ıamos resumir en la frase las funciones exponenciales crecen m´ as r´ apido que lo esperado por nuestra intuici´ on, son tan conocidas que dudaba en que fuera u ´til volver a escribir sobre el tema. Por ejemplo, el libro Matem´ aticas recreativas de Perelman ([Perelman]) le dedica al crecimiento exponencial un cap´ıtulo entero, y ya era un cl´ asico de divulgaci´ on cuando yo era ni˜ no. Sin embargo, no est´ a de m´ as difundir de nuevo estos conocimientos con ejemplos de actualidad. Comencemos por resumir la propuesta de venta de caf´e que, durante un par de horas, escuchamos aquel d´ıa. Eliminando una enorme cantidad de adornos que la acompa˜ naban, podemos sintetizarla de la siguiente forma: 1. La empresa due˜ na del negocio propon´ıa un sistema de “asociados”, por no decir vendedores, que ofrecer´ıan caf´e entre sus conocidos, bajo el argumento de que este funcionamiento le era m´ as barato que lanzar su producto con gastos de propaganda a los supermercados. Al fin y al cabo se trata de un producto de alto consumo y f´acil venta. 2. Cada asociado invetir´ıa una cantidad de dinero, lo cual se traduc´ıa en la pr´ actica en comprar a semi-mayoreo para posteriormente venderlo a menudeo. 3. Lo anterior s´olo era una pantalla. La parte principal radicaba en que, si un asociado introduc´ıa a otros miembros, a quienes llamaremos descendientes (hijos, nietos, etc.), aumentaba su porcentaje de ganancias. M´as a´ un, a mayor n´ umero de descendientes, mayor porcentaje. Se hab´ıa formado la pir´ amide. Cuando he platicado la propuesta con diversos amigos todos conocen alguna historia similar, aunque cambia el producto. Los m´as comunes son productos de limpieza, recipientes tipo tupperware y los casos profundamente amargos de venta de productos de belleza, piramidales o no. Mis conocidos me han presentado una gran cantidad de argumentos contra la falacia de la f´acil venta, del precio de ganga y de que la empresa prefiera este mecanismo a la venta tradicional; que podr´ıamos resumir en la siguiente pregunta: ¿si el producto es tan bueno, tan vendible y tan barato, por qu´e los grandes almacenes no buscan su venta? Sin embargo, casi nadie reflexiona sobre el hecho de que en estos casos el esquema piramidal es, en s´ı mismo, un mecanismo de estafa. En efecto, suponiendo que el producto de verdad es de calidad intachable y de f´ acil venta, la matem´ atica nos dice que es poco probable que tengamos ganancias extraordinarias, que dif´ıcilmente tendremos muchos descendientes y que lo m´as probable es que, al final del d´ıa, daremos gracias si logramos salir a mano. Para explicar la afirmaci´on anterior hagamos una simplificaci´ on del problema pens´ andolo del siguiente modo: supongamos que cada d´ıa se incrementa al doble nuestro ´ arbol geneal´ ogico; el primer d´ıa hemos incorporado dos nuevos socios, el segundo d´ıa cada uno de ellos han convencido a dos nuevos socios y as´ı sucesivamente, cada d´ıa
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se agrega el doble de descendientes que el anterior. ¿Cu´antos d´ıas tardar´a el que no haya m´as posibles interesados en hacerse asociados, ni mucho menos en consumir el producto? Querido lector si no est´as familizarizado con este tipo de cuentas haz un peque˜ no alto e intenta dar respuesta a la pregunta anterior usando s´olo tu intuici´ on. En la siguiente tabla calculamos qu´e sucede en los primeros 5 d´ıas: D´ıa 1◦ 2◦ 3◦ 4◦ 5◦
Nuevos miembros 1 = 20 2 = 21 4 = 22 8 = 23 16 = 24
Total de miembros en la pir´ amide 1=2−1 1 + 2 = 3 = 22 − 1 1 + 2 + 4 = 7 = 23 − 1 1 + 2 + 4 + 8 = 15 = 24 − 1 1 + 2 + 4 + 8 + 16 = 31 = 25 − 1
Como podemos ver en la tabla anterior los primeros d´ıas nuestra intuici´on coincide con la realidad, el crecimiento de la pir´amide es lento. Quien haya ingresado en estos primeros d´ıas probablemente tenga un buen rendimiento, pero siendo tan pocos, es poco probable que seas t´ u uno de los afortunados. En la tabla hemos remarcado una manera sencilla de contabilizar el n´ umero de nuevos incorporados y del total de miembros en el d´ıa correspondiente. El d´ıa n se incorporar´an 2n−1 nuevos miembros y habr´a un total acumulado de 2n − 1.
(1)
Esta f´ormula es el caso particular para x = 2 de la suma de una progresi´on geom´etrica, que recordemos se expresa en la siguiente igualdad: xn − 1 1 + x + x2 + x3 + · · · + xn−1 = . (2) x−1 Aplicando la ecuaci´ on (1) podemos continuar nuestra tabla estudiando el comportamiento cada 5 d´ıas hasta llegar al vig´esimo quinto: D´ıa
Total de Incorporados D´ıa
Total de Incorporados
10◦ 15◦
210 − 1 = 1023, 215 − 1 = 32, 767,
220 − 1 = 1, 048, 575, 225 − 1 = 33, 554, 431.
20◦ 25◦
Podemos observar en la tabla como, a partir del vig´esimo d´ıa, ya es muy complicado conseguir nuevos miembros, tanto para vendedores como para compradores. Si redondeamos a 21 millones la poblaci´on de la ciudad de M´exico tenemos que alrededor del 5 % (que es igual a 1, 050, 000) ya est´a dentro de la pir´amide: posible, pero poco probable. Adem´ as, para el d´ıa vig´esimo quinto, esta poblaci´on ha superado la de nuestra amada ciudad. ¿Cu´ anto tardar´ıamos en rebasar la poblaci´ on del pa´ıs? M´as adelante regresaremos a esta pregunta. Dicho de otra manera, entre dos y tres semanas despu´es de iniciada la pir´amide, sus miembros comienzan a no encontrar a qui´en vender el producto y mucho menos, quienes quieran incorporarse. Entre los conocidos sucede el siguiente fen´omeno: o no est´ an interesados, o ya fueron reclutados con anterioridad. En este momento la pir´ amide se colapsa y los u ´ltimos en incorporarse, que son cientos de miles ´o quiz´as millones de personas, habr´ an perdido su inversi´on. Remarquemos esto u ´ltimo: no importa en qu´e momento colapse la pir´ amide, siempre el u ´ltimo piso habr´ a perdido su inversi´ on. En el ejemplo, hemos hecho la simplificaci´on de que cada generaci´on nueva consta del doble de la anterior, es decir, cada individuo tiene s´ olo dos hijos. En general, el n´ umero de hijos por persona puede crecer tanto como queramos. La f´ormula (2) permite calcular crecimientos piramidales de cualquier n´ umero fijo de descendientes. Lo que debemos dejar en claro es que, si cada miembro tiene m´as de dos hijos, el crecimiento del total de incorporados ser´a m´as r´apido que el ejemplo calculado; y con mayor raz´on, habr´a un pronto colapso de la pir´amide. Para redondear esta secci´ on, calculemos cu´anto tiempo tardar´ıa una pir´amide que triplica sus miembros en cada generaci´on (cada miembro tiene 3 hijos) en superar el n´ umero de habitantes de M´exico redondeado a 120 millones. Aplicando (2) tenemos que en el n−´esimo d´ıa, el total de miembros es: 3n − 1 3n − 1 = . 3−1 2 Un c´alculo sencillo utilizando logaritmos muestra que para n ≥ 18 hemos rebasado los 120 millones. De hecho, el d´ıa 18 pr´acticamente hemos alcanzado esta cantidad, 1 + 3 + 32 + · · · + 3n−1 =
318 − 1 = 193, 710, 244. 2
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Mefisto 3 Se deja como un ejercicio al lector calcular la n correspondiente para diversos casos variando el n´ umero de hijos. El ejemplo que acabamos de presentar supone, por decirlo de alguna manera, de una estafa legal. A final de cuentas, s´ olo se est´an exagerando las bondades de un producto y la facilidad de su venta. ¿Imaginan ustedes un mundo en el que esto fuera ilegal y verdaderamente perseguido? Sin embargo, los esquemas de crecimiento piramidal se encuentran en muchos lados y van desde estafas descaradas, hasta simples m´etodos de crecimiento r´ apido que no pueden calificarse como tales. Mencionemos algunos ejemplos cotidianos de diversa ´ındole: 1. Cadenas de cartas del tipo mande usted 10 pesos al remitente y 10 cartas iguales a la presente a otras 10 personas o tendr´a mala suerte por el resto de su existencia y la de sus sucesores hasta en 15 generaciones. Con su variante moderna el spam: consistente en cadenas de mensajes electr´ onicos que se reenvian en las redes de c´ omputo, a veces utilizadas como m´etodos de desinformaci´ on y que, en exceso, cada tanto colapsan las redes. Un ejercicio similar a los ejemplos presentados en la secci´on es plantearnos la pregunta: ¿cu´ antas veces debe un mensaje reenviarse para retornar a quien lo gener´ o?, ¿cu´ antos mensajes se necesitan para colapsar un servidor? Una variante curiosa es el facebook, que ha basado su crecimiento en que cada persona incorpora a sus amigos, haciendo realidad el dicho de que si los amigos de mis amigos tambi´en son mis amigos, todo el mundo es mi amigo. 2. Propagaci´ on de rumores. Cuando existe una noticia “importante”, todo individuo se la trasmite a sus conocidos, y en poco tiempo es conocida por casi todo el mundo. Una variante ´ıntimamente relacionada con lo que se presentar´ a en la u ´ltima secci´on son las burbujas financieras, donde el rumor del alza de alg´ un producto produce compra masiva de ´el, y hay nueva alza de precio hasta colapsar. 3. Incorporaci´ on a grupos pol´ıticos o religiosos a trav´es del convencimiento a nuevas personas por miembros ya incorporados.
2.
M´ etodo Ponzi Nadie vende pesos a noventa centavos. Dicho popular
La caja voladora Poco tiempo despu´es de que Perla entr´o a trabajar en un laboratorio de an´ alisis cl´ınicos, uno de los contadores dej´o de asistir al trabajo. Son cosas que suceden y ella no le dio mayor importancia, pero, para su sorpresa, los trabajadores s´ı, quienes asist´ıan a toda hora preguntando sobre el paradero del susodicho, con un mal disimulado apremio. Indagando, Perla descubri´o que el contador dirig´ıa una caja de ahorros que ofrec´ıa ganancias extraordinarias en la cual gran parte de los trabajadores, sus familiares y amigos hab´ıan depositado sus ahorros. Ante las enormes ganancias que mes a mes recib´ıan, nadie hab´ıa optado por retirar ni sus ganancias ni mucho menos sus ahorros, reinvirti´endolos en la busqueda de mayores ganancias. Tampoco cuestionaban qu´e clase de negocio era aqu´el, que pod´ıa ofrecer rendimientos de m´as del 90 %. Ante la oportunidad –que la consideraban como la oportunidad de su vida–, muchos hab´ıan introducido a familiares y amigos. Un d´ıa, de improviso apareci´o el contador explicando que hab´ıa tenido algunos problemas con el dinero pero que pronto restablecer´ıa todos los ahorros y se normalizar´ıa la situaci´ on; y para muestra, entreg´ o una peque˜ na cantidad de dinero a los asustados ahorradores. Despu´es de ese d´ıa, nunca m´ as volvieron a saber de ´el, ni mucho menos, de sus dineros. La historia anterior se repite d´ıa con d´ıa en nuestro mundo. Incluye desde las peque˜ nas cajas de ahorros, como la del relato inicial, hasta los grandes bancos y casas de bolsa, y es una muestra del llamado m´etodo o esquema Ponzi. El m´etodo Ponzi, llamado as´ı por el celebre estafador Carlo Ponzi (1842-1949), consiste en una sociedad de inversi´ on que paga a sus inversionistas con su propio dinero, o con el de nuevos inversionistas. Aunque existen muchas variantes, podemos mencionar que cuenta con las siguientes caracter´ısticas: Figura 1. Templo de las Inscripciones, en Palenque, Chiapas. 1. Suele tratarse de una sociedad de inversi´on aparentemente seria que ofrece ganancias de muy buenas a extraordinarias, pero que en realidad no existen: s´ olo son virtuales. Muchas veces viene acompa˜ nado de un
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se presentar´a en la u ´ltima secci´on son las burbujas financieras, donde el rumor del alza de alg´ un producto produce compra masiva de ´el, y hay nueva alza de precio hasta colapsar. 3. Incorporaci´on a grupos pol´ıticos o religiosos a trav´es del convencimiento a nuevas personas por miembros ya Mefisto incorporados.
2.
M´ etodo Ponzi Nadie vende pesos a noventa centavos. Dicho popular
La caja voladora Poco tiempo despu´es de que Perla entr´o a trabajar en un laboratorio de an´ alisis cl´ınicos, uno de los contadores dej´ o de asistir al trabajo. Son cosas que suceden y ella no le dio mayor importancia, pero, para su sorpresa, los trabajadores s´ı, quienes asist´ıan a toda hora preguntando sobre el paradero del susodicho, con un mal disimulado apremio. Indagando, Perla descubri´o que el contador dirig´ıa una caja de ahorros que ofrec´ıa ganancias extraordinarias en la cual gran parte de los trabajadores, sus familiares y amigos hab´ıan depositado sus ahorros. Ante las enormes ganancias que mes a mes recib´ıan, nadie hab´ıa optado por retirar ni sus ganancias ni mucho menos sus ahorros, reinvirti´endolos en la busqueda de mayores ganancias. Tampoco cuestionaban qu´e clase de negocio era aqu´el, que pod´ıa ofrecer rendimientos de m´as del 90 %. Ante la oportunidad –que la consideraban como la oportunidad de su vida–, muchos hab´ıan introducido a familiares y amigos. Un d´ıa, de improviso apareci´o el contador explicando que hab´ıa tenido algunos problemas con el dinero pero que pronto restablecer´ıa todos los ahorros y se normalizar´ıa la situaci´ on; y para muestra, entreg´ o una peque˜ na cantidad de dinero a los asustados ahorradores. Despu´es de ese d´ıa, nunca m´ as volvieron a saber de ´el, ni mucho menos, de sus dineros. La historia anterior se repite d´ıa con d´ıa en nuestro mundo. Incluye desde las peque˜ nas cajas de ahorros, como la del relato inicial, hasta los grandes bancos y casas de bolsa, y es una muestra del llamado m´etodo o esquema Ponzi. El m´etodo Ponzi, llamado as´ı por el celebre estafador Carlo Ponzi (1842-1949), consiste en una sociedad de inversi´ on que paga a sus inversionistas con su propio dinero, o con el de nuevos inversionistas. Aunque existen muchas variantes, podemos mencionar que cuenta con las siguientes caracter´ısticas: 1. Suele tratarse de una sociedad de inversi´ on aparentemente seria que ofrece ganancias de muy buenas a extraordinarias, pero que en realidad no existen: s´ olo son virtuales. Muchas veces viene acompa˜ nado de un
Figura 2. Pirámide del Adivino, en Uxmal, Yucatán.
Figura 3. Templo del Jaguar, en Tikal, Guatemala.
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4
Mefisto
supuesto conocimiento de una verdadera “mina”por parte del organizador, en donde se invertir´a el dinero de forma segura y muy rentable. En el caso m´as puro se trata de una sociedad que no genera ninguna ganancia propia. Pero para entender la realidad, debemos considerar tambi´en las empresas que informan de ganancias que exceden con mucho a la realidad. 2. La mayor´ıa de los inversionistas, al conocer de las ganancias supuestamente obtenidas, no retira ni total ni parcialmente sus ahorros, reinvierti´endolos sistem´aticamente. 3. Cuando el esquema est´a bien planteado, el n´ umero de inversores crece exponencialmente durante un periodo de tiempo, de forma an´aloga a los esquemas piramidales. Si en el ejemplo del principio de esta secci´on suponemos que cada uno de los trabajadores comunica su descubrimiento a dos personas y las convence de ingresar al negocio, hemos generado una pir´amide como la del inicio del art´ıculo. Este u ´ltimo punto merece una reflexi´on extra. Los esquemas piramidales se basan en el crecimiento de sus miembros y colapsan cuando disminuye, hasta casi desaparecer, el n´ umero de individuos interesados en ingresar. En cambio, en los esquemas Ponzi, lo que los lleva al colapso es el crecimiento, tambi´en exponencial, de la diferencia entre las ganancias virtuales y el dinero realmente existente. Esto implica que una vez bien establecido el esquema Ponzi, puede permanecer sin colapsarse durante largos periodos de tiempo. El esquema Ponzi, como casi todos los procesos de estafa, tiene una base psicol´ogica que apela a dos caracter´ısticas muy humanas. Por un lado, la confianza acr´ıtica en la empresa inversora, dado que si los inversores retiran su dinero el esquema colapsar´a y por otro, la ambici´ on que los anima a no retirar sus ganancias reinvirti´endolas. Curiosamente, ambas cosas se consiguen de manera relativamente f´acil con una buena presentaci´on y con la promesa de ganancias extraordinarias, aunque una m´ınima reflexi´on muestre que esto llevar´a a la quiebra sin remedio. Es el viejo mecanismo donde el estafador hace creer al estafado que ´el est´a estafando al estafador. Por otro lado, desde el punto de vista matem´atico nos enfrentamos, nuevamente, a un crecimiento exponencial que supera muy r´apido nuestra intuici´on. Esto se genera en primer lugar con el crecimiento de los inversionistas y posteriormente con el de las ganancias virtuales. Por ejemplo, supongamos que una sociedad de inversi´on nos ofrece una ganancia de 30 % de inter´es mensual con la condici´ on de que invirtamos arriba de $10, 000. ¿C´omo podemos saber que se trata de un fraude? Si invertimos $10,000, ¿cu´ antos meses pasar´an antes de que las ganancias sean incubribles? 1 El primer mes tendremos una ganacia de $3, 000: total despu´ es de un mes = 10, 000 + (·30)10, 000 = 10, 000(1 +· 30) = 13, 000. El segundo mes ganaremos entonces el 30 % de 13, 000, es decir, 3, 900. Para obtener una f´ormula general escribamos lo anterior como: 10, 000(1 +· 30) + ·30(10, 000(1 +· 30)) = 10, 000(1 +· 30)(1 +· 30) = 10, 000(1· 30)2 . En general, despu´es de n meses tendremos un total de pesos de: 10, 000(1· 30)n . Aplicando la f´ormula anterior presentamos una tabla con las ganancias durante los primeros dos a˜ nos (aproximando con 2 decimales): 6 meses 18 meses
48 , 268,09 1, 124554,06
12 meses 232, 980· 85 24 meses 5, 428, 007,70
De la tabla vemos que es pr´acticamente imposible que la empresa pueda pagar las ganacias de sus inversores al t´ermino de un a˜ no. De manera an´aloga puede calcularse cualquier proceso que involucre inter´es compuesto. Si R es el porcentaje de crecimiento (30 en nuestro caso), y C es el capital inicial (10,000 en el ejemplo) entonces al cabo de n unidades de tiempo (meses, a˜ nos,etc) la cantidad ha crecido en: R n ) . (3) 100 El exponente n es variable mientras que C y R son constantes y nos indica que el inter´es compuesto crece exponencialmente, y por tanto, muy r´apido para valores de n suficientemente grandes. C(1 +
1 ¡Cuidado!
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En estos casos no se calcula el total sacando el 30 % del capital y multiplicando por el n´ umero de meses.
Mefisto 5
En la pr´ actica, tanto los esquemas piramidales como los Ponzi, rara vez se presentan en un estado puro como en los ejemplos que hemos presentado en las secciones anteriores. Terminemos esta secci´on con un ejemplo cl´asico mixto.
Las bolitas de yogurt Entre los a˜ nos 1993 y 1995, en la Ciudad de M´exico abri´o sus puertas una supuesta empresa europea de cosm´eticos, anunciando que necesitaba para su producci´on algunos derivados l´acteos que consideraba eran m´as f´ aciles de producir por la gente com´ un que en un laboratorio, por lo cual invitaba a los habitantes del D.F. a asociarse con ellos. Cada interesado invertir´ıa dinero en la empresa recibiendo una cantidad de l´ acteos para producir en su casa, que peri´odicamente entregar´ıa a cambio de sus ganancias. Se trataba de ganancias enormes, y sobra decir que en su mayor´ıa eran reinvertidas. Bajo una pantalla de un trabajo muy bien remunerado, se hab´ıa montado un t´ıpico esquema Ponzi. Adem´as, cada asociado que convenciera a otros de ingresar al negocio, mejorar´ıa su rango de ganancias, y as´ı simult´aneamente se completaba con un esquema piramidal. Como siempre, un d´ıa los due˜ nos desaparecieron con todo el dinero, dejando enormes filas de gente que ven´ıa a entregar el jocoque ´arabe que hab´ıan afanosamente fabricado en casa. S´olo dejaron tras de s´ı a unas pobres secretarias que no sab´ıan nada del asunto, pero que, ante la magnitud del esc´andalo, fueron encarceladas. Fue un fraude de tales dimensiones que es dif´ıcil encontrar a alguien que, siendo adulto en esa ´epoca, no haya sido esquilmado, o al menos invitado a participar.
3.
El piso de arriba. ¿Quiere usted una tarjeta de cr´ edito? El verdadero ladr´ on no roba bancos, los funda. Dicho popular
Los ejemplos presentados hasta ahora son casos simples y por ende f´aciles de analizar. Pero si nos restringi´eramos a su presentaci´ on, dar´ıamos la impresi´on de que los mecanismos mencionados s´olo se presentan en estafas ilegales y de baja escala. Por lo cual, en esta u ´ltima secci´on le dedicaremos unas l´ıneas al llamado popularmente piso de arriba. La crisis financiera que vivimos desde el 2005 tiene much´ısimas caracter´ısticas de los esquema Ponzi, y se debe en gran medida a la generaci´on incontrolada de ganancias virtuales. Expliquemos brevemente algunas ideas de este complejo problema, que ni los especialistas en econom´ıa comprenden en su totalidad.
Madoff y la crisis financiera Corr´ıa el a˜ no 2005 y los medios masivos de comunicaci´on, junto con los gobiernos, hac´ıan oficial la noticia: est´ abamos en crisis econ´omica a nivel mundial. Una enorme cantidad de bancos se hab´ıan declarado en quiebra y, tanto en Espa˜ na como EE.UU. el boom de la construcci´ on s´ ubitamente se hab´ıa transformado en crack inmobiliario. Tres a˜ nos depu´es, en 2008, se arrestaba a Bernard Madoff, acusado de haber fraguado un fraude de alrededor de 60 millones de d´olares en el mundo financiero, utilizando un esquema Ponzi. Impl´ıcitamente, se le culpaba de la crisis, convirti´endolo en un chivo expiatorio. Dos caracter´ısticas convert´ıan este hecho en ins´olito: por un lado se daba el arresto de un ladr´on de cuello blanco y su condena perpetua; y por el otro, se encontraba que entre los principales defraudados se hallaban presentes gran cantidad de bancos y sociedades de inversi´on. El lobo mayor se hab´ıa comido a sus hermanos m´as peque˜ nos, mordiendo con los mismos dientes. El caso Madoff romp´ıa gran cantidad de mitos sobre los banqueros y los obligaba moment´aneamente a ense˜ nar el cobre. Aunque con un chivo expiatorio se nos informaba, como en las series de televisi´ on, que el mal hab´ıa sido erradicado, se derrumbaba el mito de que el mundo formal y legal garantiza seriedad y seguridad en los ahorros. Te´ oricamente, los bancos y las sociedades de inversi´on “seguras”deber´ıan invertir el dinero de sus inversores en actividades productivas, pero la mayor´ıa de ellos, si no es que todos, simplemente especula, y muy a menudo lo invierte en otras sociedades de inversi´on dise˜ nadas para capitales m´as grandes, como las empresas de Madoff. Para los habitantes del tercer mundo, que hab´ıamos vivido casos locales como el fraude de la Bolsa Mexicana de Valores (1987), fraguado entre otros por Eduardo Legorreta, ´o el corralito en Argentina; tambi´en se desmoronaba el mito de que estas cosas s´olo nos suceden a nosotros y no en el primer mundo, donde todo funciona como debe. Por otro lado, se mostraba la cara real de las autoridades, tanto gubernamentales como las mal llamadas Figura 4. Pirámide del Sol, en Teotihuacan, Estado de México. independientes que, supuestamente de forma imparcial, regulan las actividades financieras justamente para que no sucedan actos que lleven a las grandes crisis. Estos organismos no tomaron ninguna medida precautoria previa a la crisis, no investigaron a fondo casos semejantes a los de Madoff, y no han tomado ninguna medida importante para
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desaparecieron con todo el dinero, dejando enormes filas de gente que ven´ıa a entregar el jocoque ´arabe que hab´ıan afanosamente fabricado en casa. S´olo dejaron tras de s´ı a unas pobres secretarias que no sab´ıan nada del asunto, pero que, ante la magnitud del esc´andalo, fueron encarceladas. Fue un fraude de tales dimensiones que es dif´ıcil Mefisto encontrar a alguien que, siendo adulto en esa ´epoca, no haya sido esquilmado, o al menos invitado a participar.
3.
El piso de arriba. ¿Quiere usted una tarjeta de cr´ edito? El verdadero ladr´ on no roba bancos, los funda. Dicho popular
Los ejemplos presentados hasta ahora son casos simples y por ende f´aciles de analizar. Pero si nos restringi´eramos a su presentaci´ on, dar´ıamos la impresi´on de que los mecanismos mencionados s´olo se presentan en estafas ilegales y de baja escala. Por lo cual, en esta u ´ltima secci´on le dedicaremos unas l´ıneas al llamado popularmente piso de arriba. La crisis financiera que vivimos desde el 2005 tiene much´ısimas caracter´ısticas de los esquema Ponzi, y se debe en gran medida a la generaci´on incontrolada de ganancias virtuales. Expliquemos brevemente algunas ideas de este complejo problema, que ni los especialistas en econom´ıa comprenden en su totalidad.
Madoff y la crisis financiera Corr´ıa el a˜ no 2005 y los medios masivos de comunicaci´on, junto con los gobiernos, hac´ıan oficial la noticia: est´ abamos en crisis econ´omica a nivel mundial. Una enorme cantidad de bancos se hab´ıan declarado en quiebra y, tanto en Espa˜ na como EE.UU. el boom de la construcci´ on s´ ubitamente se hab´ıa transformado en crack inmobiliario. Tres a˜ nos depu´es, en 2008, se arrestaba a Bernard Madoff, acusado de haber fraguado un fraude de alrededor de 60 millones de d´olares en el mundo financiero, utilizando un esquema Ponzi. Impl´ıcitamente, se le culpaba de la crisis, convirti´endolo en un chivo expiatorio. Dos caracter´ısticas convert´ıan este hecho en ins´olito: por un lado se daba el arresto de un ladr´on de cuello blanco y su condena perpetua; y por el otro, se encontraba que entre los principales defraudados se hallaban presentes gran cantidad de bancos y sociedades de inversi´on. El lobo mayor se hab´ıa comido a sus hermanos m´as peque˜ nos, mordiendo con los mismos dientes. El caso Madoff romp´ıa gran cantidad de mitos sobre los banqueros y los obligaba moment´aneamente a ense˜ nar el cobre. Aunque con un chivo expiatorio se nos informaba, como en las series de televisi´ on, que el mal hab´ıa sido erradicado, se derrumbaba el mito de que el mundo formal y legal garantiza seriedad y seguridad en los ahorros. Te´ oricamente, los bancos y las sociedades de inversi´on “seguras”deber´ıan invertir el dinero de sus inversores en actividades productivas, pero la mayor´ıa de ellos, si no es que todos, simplemente especula, y muy a menudo lo invierte en otras sociedades de inversi´on dise˜ nadas para capitales m´as grandes, como las empresas de Madoff. Para los habitantes del tercer mundo, que hab´ıamos vivido casos locales como el fraude de la Bolsa Mexicana de Valores (1987), fraguado entre otros por Eduardo Legorreta, ´o el corralito en Argentina; tambi´en se desmoronaba el mito de que estas cosas s´olo nos suceden a nosotros y no en el primer mundo, donde todo funciona como debe. Por otro lado, se mostraba la cara real de las autoridades, tanto gubernamentales como las mal llamadas independientes que, supuestamente de forma imparcial, regulan las actividades financieras justamente para que no sucedan actos que lleven a las grandes crisis. Estos organismos no tomaron ninguna medida precautoria previa a la crisis, no investigaron a fondo casos semejantes a los de Madoff, y no han tomado ninguna medida importante para
Figura 5. El Castillo, en Chichén Itzá, Yucatán.
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Figura 6. El Castillo, en Tulum, Quintana Roo.
Mefisto6 evitar que vuelva a suceder otra cat´astrofe financiera. Peor a´ un, en la versi´ on oficial, la banca paso de victimaria a v´ıctima, y los gobiernos de diversos pa´ıses inyectaron dinero a los bancos, sacrificando partidas destinadas al bienestar social, con la honrosa excepci´on del gobierno de Islandia. El caso Madoff est´a lejos de ser un caso aislado ´ o excepcional: la aplicaci´ on de cierto nivel de esquema Ponzi es inherente a la propia banca. El ofrecimiento de intereses irreales sobre los peque˜ nos y grandes ahorros y la generaci´on de ganancias virtuales superiores a las reales es indisoluble de los procesos de competencia entre los diferentes actores del capital financiero. Para un banco, no generarlos es sin´ onimo de rezago con respecto a los dem´as. Las ganancias virtuales para los inversores no son el u ´nico mecanismo que genera dinero ficticio por parte de la banca. No podemos terminar ´este art´ıculo sin mencionar el crecimiento de las deudas. En la ecuaci´on (3) vimos que el inter´es compuesto crece exponencialmente, y en consecuencia tambi´en lo hacen las deudas contra´ıdas con la banca, que muchas veces se convierten en impagables; no importa si se trata de las tarjetas de cr´edito y deudas hipotecarias de los ciudadanos comunes, o las grandes deudas de los empresarios y de los estados. Sin embargo, los bancos informan de ellas como si fueran dinero real, generando nuevamente dinero y ganancias virtuales que crecen exponencialmente. El efecto creado asemeja al del exceso de circulante cuando los gobiernos de los pa´ıses generan mayor cantidad de moneda no respaldada, que ya se sabe que a mediano y largo plazo provocan finales desastrosos. En resumen, una parte fundamental de la crisis financiera radica en generar, por diferentes caminos, ganancias virtuales muy por encima de las reales, provenientes del mundo productivo. Por supuesto, dado el poder del capital financiero, estas pr´acticas fraudulentas no se atacan por los gobiernos, ni por las organizaciones financieras que se supone que las regulan, ni siquiera se califican como fraudes o estafas a nivel de los medios masivos de comunicaci´on. Peor a´ un, hemos visto c´omo se penaliza de la crisis al ciudadano com´ un y c´ omo, bajo el pretexto de atacarla, los gobiernos llevan a cabo medidas como rescates, devaluaciones o corralitos, que no s´ olo no atacan al gran capital financiero, sino que lo fortalecen. Finalicemos este art´ıculo parafraseando a Monsieur Verdoux: Estafar a una persona hace de uno un canalla; estafar a millones, un h´eroe. Las cantidades santifican.
Referencias [Perelman] Y. Perelman , Matem´ aticas recreativas, disponible en http://biblio3.url.edu.gt/Libros/2011/mat recre.pdf
Figura 7. Templo de Tlahuizcalpantecuhtli, en Tula, Hidalgo.
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Mefisto
Acertijos
6
1 Margarita hizo un pastel que dividió en cuatro 3 Dos descuentos sucesivos de 10% y 20% son porciones: dos de un cuarto, una de un tercio y una equivalentes a un descuento único de, ¿qué porde un sexto. Ella comió una de las porciones y le centaje? dio las otras tres a su hermano Juan, quien a su vez comió una porción y sus dos hijos (Margarita y Pedro) comieron las restantes. El gemelo del que comió la mayor porción y quien comió la menor, son de sexo opuesto. Quien comió más y quien comió menos tienen la misma edad. ¿Qué parte del pastel comió cada uno?
0
3
8
2 Se coloca un número entero en cada una de las casillas de la cuadrícula de 3 x 3. Si cada número de la tercera columna es la suma de los dos números a su izquierda, mientras que cada número del tercer renglón es el producto de los dos números arriba de él, llenar la cuadrícula especificada.
z 22
9 4 El promedio de un conjunto de diez números es 46. Si dos de los números, el 52 y el 72, se eliminan, ¿cuál será el promedio del conjunto de números restante?
x
¿
5
Mefisto
Acertijos Solución a los anteriores 1 Sean x el número de ovejas del primer pastor, y y el número de ovejas del segundo pastor. De lo que dice el primer pastor se tiene la ecuación:
2
De lo que contesta el segundo pastor se obtiene 2(x - 1) = y + 1. Resolviendo el sistema de ecuaciones, se obtiene que x = 5 y y = 7.
y2
x + 1 = y - 1.
x
3 Como Alfonso y Rodolfo fueron a ver el cantante, ninguno de ellos es el cantante. Como el escritor y Carlos encargaron retratos al pintor, Carlos no es el escritor ni el pintor. Como el escritor va a escribir de Wenceslao y Alfonso, ellos no son escritores, por lo que sólo queda Rodolfo para ser el escritor. Como Alfonso nunca ha oído hablar de Rodolfo, no es el pintor, por lo que sólo le queda ser el bailarín. Como Carlos no es el pintor, sólo le queda 2 El primer jugador puede elegir cualquiera de las ser el cantante, y entonces Wenceslao es el pintor. 5 playeras, el segundo va a elegir entre las 4 restantes, el tercero entre las 3 restantes, el cuarto entre las 2 restantes, y el último se queda con la última playera. Entonces hay 5 x 4 x 3 x 2 x 1 = 120 formas diferentes.
7
4
y
2
?
z
2
1
23
Mefisto
Sudoku F谩cil 3 8 6
8 5
8 2 3 9 3 2 7 9 2 1 6 9 2 1 5 7 1 4
2 7
Soluci贸n al anterior
2 5
9 8 4 6 1 3 2 5 7
2 3 5 7 1 7 9 4 2 8 6 1 8 4 9 9 5 3 1 2 1 4 7 3 6 8 6 2 9 5 3 2 6 8 4 5 7 1 6 3
4 6 8 5 2 9 3 7 1 7
9 5 8 4 2 1 3 6
3
4
8 9
5 7
6 5 3 7 8 4 1 9 2
Dif铆cil
Soluci贸n al anterior 9
3 6 1 2 4 7 5 8 3 6 2 4 8 9 5 1 7 6 7 1 2 4 5 8
24
9
3
5 2 7 6 8 3 1 7 2 9
4 5 6 3
9 8 1 4
3 9 5 8 1 6 4 7 2
1 4 8 7 9 5 2 3 6 4 1 9 3 5 7 6 8 2
5 7 9 2
4
9 5 9 2
8
2 4 9 7 3 5 6 1
1 6
6
3
4
7
4 5 6 4 2 3
5 3
6 7 8 9