Autoevaluacion Unidad 3 Matematicas 3º ESO

COLEGIO INTERNACIONAL SEK-ATLÁNTICO DEPARTAMENTO DE CIENCIA Y TECNOLOGÍA – SEMINARIO DE MATEMÁTICAS MATEMÁTICAS 3º E.S.O. CURSO 2 011 / 2 012 AUTOEVALUACIÓN UNIDAD 3: LOS POLINOMIOS CORRECCIÓN NO SACAR DEL AULA INTELIGENTE 2

5

2

1.- Dado el polinomio P(x) = –3x + 4x – 5x + x + 2, responde a lo siguiente: • Ordénalo en forma decreciente ..............................................................

• Redúcelo ................................................................................................

• Indica si está completo ...........................................................................

• ¿Cuál es su grado? ................................................................................

• ¿Cuál es su término independiente? ......................................................

• ¿Cuál es su valor numérico para x = −1? ...............................................

SOL.: ● ● ● ● ● ●

4x 5 – 3x 2 + x 2 – 5x + 2 4x 5 – 2x 2 – 5x + 2 No, faltan términos de grado 4 y 3.

5, pues es el grado del término de máximo grado.

2, el número que no acompaña a ninguna variable.

4(−1)5 – 3(−1)2 + (−1)2 – 5(−1) + 2 = −4 – 2 + 5 + 2 = 1

2.- Realiza las siguientes operaciones con los polinomios que se dan a continuación.

3 2 2 P(x) = 2x + 25x + 2x − 4, Q(x) = 5x – 2, R(x) = 5x + 2, S(x) = 3x – 3x + 3 a) [P(x) – Q(x) R(x)] S(x) c) P(x):S(x) e) Hallar P(−1), Q(2), S(3)

b) P(x):R(x) 2 2 d) P(x) S(x) – Q(x) + R(x)

SOL.: a) [P(x) − Q(x) R(x)] S(x) = = [2x 3 + 25x 2 + 2x − 4 – (5x – 2) (5x + 2)] (3x 2 – 3x + 3) Q(x) R(x) = (5x – 2) (5x + 2) = 25x 2 − 4 = [2x 3 + 25x 2 + 2x − 4 – (25x 2 − 4)] (3x 2 – 3x + 3) = = (2x 3 + 25x 2 + 2x − 4 – 25x 2 + 4) (3x 2 – 3x + 3) = = (2x 3 + 2x) (3x 2 – 3x + 3) = = 6x 5 − 6x 4 – 6x 3 + 6x 3 − 6x 2 + 6x = = 6x 5 − 6x 4 − 6x 2 + 6x

1

=

b) P(x):R(x)

2x 3 + 25x 2 + −2x 3 −

2x

−4

4 2 x 5

5x + 2 2 2 121 192 x + x− 5 25 125

121 2 x + 2x 5 121 2 242 − x − x 5 25

−

−4

192 x –4 25 192 384 x+ 25 125 116 125

2 2 121 192 x + x− 5 25 125 116 R(x) = 125

C(x) =

c) P(x):S(x)

2x 3 + 25x 2 +

−2 x 3 + 2 x 2 –

2x − 4

3x 2 – 3x + 3

2x

2 x+9 3

−4 27x 2 2 −27x + 27x – 27 27x – 31 2 x+9 3 R(x) = 27x – 31

C(x) =

d) P(x) S(x) – Q(x)2 + R(x)2 = = (2x 3 + 25x 2 + 2x − 4) (3x 2 – 3x + 3) – (5x – 2)2 + (5x + 2)2

=

P(x) S(x) = (2x 3 + 25x 2 + 2x − 4) (3x 2 – 3x + 3) = = 6x 5 – 6x 4 + 6x 3 + 75x 4 − 75x 3 + 75x 2 + 6x 3 − 6x 2 + 6x − 12x 2 + 12x − 12 = = 6x 5 + 69x 4 − 63x 3 + 57x 2 + 18x − 12 = 6x 5 + 69x 4 − 63x 3 + 57x 2 + 18x − 12 – (25x 2 – 20x + 4) + (25x 2 + 20x + 4) = = 6x 5 + 69x 4 − 63x 3 + 57x 2 + 58x − 12 e) P(−1) = 2(−1)3 + 25(−1)2 + 2(−1) − 4 = −2 + 25 – 2 – 4 = 17 Q(2) = 5 2 – 2 = 8 S(3) = 3 32 – 3 3 + 3 = 21

2

3.- Efectúa aplicando las fórmulas de las igualdades notables.

a)

(x + 2y ) =

c)

(2a

2

3  2 b)  x − y  = 4  5

2 2

2

)(

2

)

e)

(3 x + 2)

2

1  1  d)  x − 2  + 4  x + 2  = 3  3 

− 3b 2a + 3b = 2

2

2

2  − 6  x −  − 3 (x + 3 )( x − 3) = 3 

SOL.: a) x 2 + 4xy 2 + 4y 4 b)

4 2 3 9 2 x − xy + y 25 5 16

c) 4a 4 – 9b 2 d)

x 2 4x 4 x 2 16 x 5x 2  x 2 4x  x 2 4x − + 4 + 4  + + 4 = − +4+ + + 16 = + 4 x + 20 9 3 3 9 3 9 3 9  9 

4x 4   e) 9x 2 + 12x + 4 – 6  x 2 − +  − 3(x 2 – 9) = 3 9  8 85 − 3x 2 + 27 = 20x + = 9x 2 + 12x + 4 – 6x 2 + 8x − 3 3 4.- Completa las siguientes expresiones, sabiendo que son el desarrollo de un binomio al cuadrado: 2 2 2 a) a + ..... + b = (..... .....)

2 2 b) z – 4zy + ..... = (..... .....)

SOL.: a) a 2 + 2ab + b 2 = (a + b)2

b) z 2 – 4zy + 4y 2 = (z – 2y)2 2

5.- Dados los siguientes monomios: P = 36x y z operaciones: a) (P Q):R

4

5

2

; Q = 6x y z

4

4

2

5

; R = 18(x y z) :(x y ), efectúa las

b) (Q R):P

SOL.: a) (P Q):R = [(36x 2 y z 4) (6x 5 y 2 z 4)]:[18(x y z)4:(x 2y 5)] =  x 2z4  = (216x 7y 3z 8): 18  = 12x 5y 4z 4 y   5 2 4 4 b) (Q R):P = {(6x y z ) [18(x y z) :(x 2y 5)]}:(36x 2 y z 4) =  x 2z4  = [(6x 5 y 2 z 4 18  ]:(36x 2 y z 4) = (108x 7yz 8):(36x 2 y z 4) = y   5 4 = 3x z

3

6.- Efectúa aplicando la regla de Ruffini:

5

(3x + 2x + 1):(x + 1)

SOL.: 3 −1 3

0

0

0

2

1

−3

3

−3

3

−5

C(x) = 3x 4 – 3x 3 + 3x 2 – 3x + 5

−3

3

−3

5

−4

R(x) = −4

5

4

3

2

7.- Sin hacer la división, indica si el polinomio 4x + 12x – 2x – 6x + 3x + 9 es divisible por el binomio x + 3.

SOL.: Aplicamos el teorema del resto: el resto de la división de un polinomio P(x) entre un binomio x – a es igual al valor numérico de ese polinomio para x = a.

Calculamos el valor numérico P(−3): P(−3) = 4 (−3)5 + 12 (−3)4 – 2 (−3)3 – 6 (−3)2 + 3 (−3) + 9 = = −4 243 + 12 81 + 2 27 – 6 9 – 3 3 + 9 = 0 Sí, es divisible 4

3

8.- Calcula, sin hacer la división, el valor de “m” para que al dividir el polinomio P(x) = 3x + 11x + 2 + mx – 13x entre el binomio x + 3 se obtenga como resto 12.

SOL.: Aplicamos el teorema del resto (ver ejercicio anterior).

Calculamos el valor numérico P(−3): P(−3) = 3 (−3)4 + 11 (−3)3 + m (−3)2 – 13 (−3) = = 3 81 − 11 27 + m 9 + 13 3 = = 243 − 297 + 9m + 39 = −15 + 9m = 12 27 ⇒ m= =3 9 3

⇒

2

9.- Halla las raíces enteras del polinomio P(x) = x – 3x – 4x + 12

SOL.: Divisores del término independiente: ±1, ±2, ±3, ±4, ±6, ±12 3 2 NO P(1) = 1 – 3 1 – 4 1 + 12 = 1 – 3 – 4 + 12 ≠ 0 P(−1) = (−1)3 – 3 (−1)2 – 4 (−1) + 12 = −1 – 3 + 4 + 12 ≠ 0 NO P(2) = 23 – 3 22 – 4 2 + 12 = 8 – 12 – 8 + 12 = 0 SÍ 3 2 P(−2) = (−2) – 3 (−2) – 4 (−2) + 12 = −8 – 12 + 8 + 12 = 0 SÍ P(3) = 33 – 3 32 – 4 3 + 12 = 27 – 27 – 12 + 12 = 0 SÍ No es necesario probar más: por el teorema fundamental del Álgebra, un polinomio de grado n tiene, a lo sumo, n raíces. x = {−2, 2, 3}

RAÍCES:

10. Hallar el MCD y el mcm de los siguientes pares de polinomios.

3

2

3

a) P(x) = 4x – 4x – 4x – 8 4 3 2 Q(x) = 2x – 2x – 2x – 4x

b) P(x) = 36x – 4x 4 2 Q(x) = x – 4x

4

4

3

2

4

c) P(x) = x + 2x − 3x – 4x + 4 4 2 Q(x) = x – 5x + 4

3

2

d) P(x) = 6x − x − 5x + 2x 4 3 2 Q(x) = 3x – 2x – 3x + 2x

SOL.: a) Primero factorizamos: P(x): divisores del término Independiente: ±1, ±2, ±4, ±8 Teorema del resto: P(1) = 4 – 4 – 4 – 8 ≠ 0 P(−1) = −4 – 4 + 4 – 8 ≠ 0 P(2) = 32 – 16 – 8 – 8 = 0 Ruffini: 4 2 4

−4

−4

−8

8

8

8

4

4

0

P(x) = (x – 2)(4x 2 + 4x + 4) = (x – 2)4(x 2 + x + 1) −1 ± 1 − 4 Ec 2º grado: x = incompatible 2 P(x) = 4(x – 2)(x 2 + x + 1) Q(x) = 2x(x 3 – x 2 – x – 2)

1 2 1

−1

(factor común) divisores del término Independiente: ±1, ±2, ±4 Teorema del resto: Q’(1) = 1 – 1 – 1 – 2 ≠ 0 Q’(−1) = −1 – 1 + 1 – 2 ≠ 0 Q’(2) = 8 – 4 – 2 – 2 = 0 Ruffini −1 −2

2

2

2

1

1

0

Q(x) = 2x(x – 2)(x 2 + x + 1) Después:

MCD (P(x), Q(x)) = 2(x – 2)(x 2 + x + 1) mcm (P(x), Q(x)) = 4x(x – 2)(x 2 + x + 1)

b) Aplicamos el mismo método: P(x) = 36x 3 – 4x = 4x(9x 2 – 1) = 4x(3x + 1)(3x – 1) (factor común + id. notable)

P(x) = 4x(3x + 1)(3x – 1) Q(x) = x 4 – 4x 2 = x 2(x 2 – 4) = x 2(x – 2)(x + 2) (factor común + id. notable)

Q(x) = x 2(x – 2)(x + 2) MCD (P(x), Q(x)) = x mcm (P(x), Q(x)) = 4x 2(3x + 1)(3x – 1)(x – 2)(x + 2)

5

c) Ídem: P(x): divisores del término Independiente: ±1, ±2, ±4 Teorema del resto: P(1) = 1 + 2 – 3 – 4 + 4 = 0 Ruffini: 1 1 1

2

−3

−4

4

1

3

0

−4

3

0

−4

0

P(x) = (x – 1)(x 3 + 3x 2 − 4) ±1, ±2, ±4 Teorema del resto: P’(1) = 1 + 3 – 4 = 0 Ruffini: 1 1 1

3

0

−4

1

4

4

4

4

0

P(x) = (x – 1)2(x 2 + 4x + 4) = (x – 1)2(x + 2)2

(id. notable)

P(x) = (x – 1)2(x + 2)2 Q(x): divisores del término Independiente: ±1, ±2, ±4 Teorema del resto: Q(1) = 1 – 5 + 4 = 0 Ruffini 1 1 1

0

−5

0

4

1

1

−4

−4

1

−4

−4

0

Q(x) = (x – 1)(x 3 + x 2 − 4x − 4) ±1, ±2, ±4 Teorema del resto: Q’(1) = 1 + 1 – 4 − 4 ≠ 0 Q’(−1) = 1 − 1 + 4 − 4 = 0 1 −1 1

1

−4

−4

−1

0

4

0

−4

0

Ruffini

Q(x) = (x – 1)(x + 1)(x 2 − 4) = (x – 1)(x + 1)(x − 2)(x + 2)

Q(x) = (x – 1)(x + 1)(x − 2)(x + 2) MCD (P(x), Q(x)) = (x – 1)(x + 2) mcm (P(x), Q(x)) = (x – 1)2(x + 1)(x − 2)(x + 2)2

6

(id. notable)

d) Ídem: P(x) = 6x 4 − x 3 − 5x 2 + 2x = x(6x 3 − x 2 − 5x + 2) (factor común) divisores térm indep: ±1, ±2 T resto: P’(1) = 6 – 1 – 5 + 2 ≠ 0 P’(−1) = −6 – 1 + 5 + 2 = 0 Ruffini: 6 −1 6

−1

−5

2

−6

7

−2

−7

2

0

P(x) = x(x – 1)(6x 2 − 7x + 2) 2 7 ± 49 − 48 7 ± 1  3 Ec 2º grado: x = = =  12 12 1  2 P(x) = x(x – 1)(2x − 3)(2x − 1) (coeficientes enteros)

P(x) = x(x – 1)(2x − 3)(2x − 1) Q(x) = x(3x 3 – 2x 2 – 3x + 2) (factor común) divisores térm indep: ±1, ±2 T resto: Q’(1) = 3 – 2 − 3 + 2 = 0 3 1 3

−2

−3

2

3

1

−2

1

−2

0

Ruffini

Q(x) = x(x – 1)(3x 2 + x − 2)

 −1 −1 ± 1 − 24 −1 ± 5  = =  2 Ec 2º grado: x = 6 6  3 Q(x) = x(x – 1)(x + 1)(3x − 2) (coeficientes enteros)

Q(x) = x(x – 1)(x + 1)(3x − 2) MCD (P(x), Q(x)) = x(x – 1) mcm (P(x), Q(x)) = x(x – 1)(4x − 3)(2x − 1)(x + 1) (3x − 2)

7