Operació món: Matemàtiques 3º ESO (demo) by Grupo Anaya, S.A.

DEMO

INCLOU

ÈN

C IA 1 2 ME

C. l Va

en cian

PROJECTE DIGITAL

ESO

MATEMÀTIQUES José Colera J., M.a José Oliveira G., Ignacio Gaztelu A., Ramón Colera C., Ana Aicardo B.

r e p

ió c a

n ó O m

Índex Els sabers bàsics del curs Entrena’t resolent problemes 1. Fes un esquema en el qual es recolzen les dades 2. En els problemes geomètrics, fes un dibuix! 3. Procedix sistemàticament 4. Tempteja, assaja, posa’n exemples… 5. Organitza la informació Problemes

DESAFIAMENTS QUE MARQUEN

Quant gasta una família?: despesa en proporció o despesa total

1N ombres per a comptar, nombres per a mesurar 1. Nombres naturals 2. Altres maneres de comptar 3. Nombres enters 4. Fraccions 5. Operacions amb fraccions 6. Nombres decimals 7. Fraccions i decimals amb la calculadora Exercicis i problemes resolts Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació

2 Potències i arrels 1. Potenciació 2. Notació científica 3. Arrels exactes 4. Radicals Exercicis i problemes resolts Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació

3 Problemes aritmètics 1. Aproximacions i errors 2. Càlculs amb percentatges 3. Interés compost 4. Problemes clàssics 5. Proporcionalitat composta en problemes aritmètics Exercicis i problemes resolts Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació

4 Progressions 1. Successions 2. Progressions aritmètiques 3. Progressions geomètriques 4. Progressions geomètriques sorprenents Exercicis i problemes resolts Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació Dossier d’aprenentatge DESAFIAMENTS QUE MARQUEN

Àlgebra per al rebut de l’aigua

5 El llenguatge algebraic 1. Expressions algebraiques 2. Monomis 3. Polinomis 4. Identitats 5. Divisió de polinomis Exercicis i problemes resolts Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació

6 Equacions 1. Equacions. Solució d’una equació 2. Equacions de primer grau 3. Equacions de segon grau 4. Resolució de problemes amb equacions Exercicis i problemes resolts Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació

7 Sistemes d’equacions 1. Equacions lineals amb dues incògnites 2. Sistemes d’equacions lineals 3. Sistemes equivalents 4. Tipus de sistemes segons el nombre de solucions 5. Mètodes de resolució de sistemes 6. Resolució de problemes mitjançant sistemes Exercicis i problemes resolts Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació Dossier d’aprenentatge

DESAFIAMENTS QUE MARQUEN

Dis-me quin és el teu gràfic i et diré quina forma tens

8 Funcions. Característiques 7. Les funcions i els seus gràfics 8. Aspectes rellevants d’una funció 9. Expressió analítica d’una funció Exercicis i problemes resolts Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació

9 Funcions lineals i quadràtiques. 1. Funció de proporcionalitat y = mx 2. Funció lineal y = mx + n 3. Aplicacions de la funció lineal. Problemes de moviments 4. Estudi conjunt de dues funcions lineals 5. Paràboles i funcions quadràtiques Exercicis i problemes resolts Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació

Dossier d’aprenentatge DESAFIAMENTS QUE MARQUEN

12 Transformacions geomètriques 1. Transformacions geomètriques 2. Moviments en el pla 3. Translacions 4. Girs. Figures amb centre de gir 5. Simetries axials. Figures amb eixos de simetria 6. Composició de moviments 7. Mosaics, sanefes i rosetons Exercicis i problemes resolts Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació

Dossier d’aprenentatge DESAFIAMENTS QUE MARQUEN

Un intent de mesurar la felicitat

13 Taules i gràfics estadístics 1. El procés que se seguix en estadística 2. Variables que 3. Població i mostra 4. Confecció d’una taula de freqüències 5. Gràfic adequat al tipus d’informació Exercicis i problemes resolts Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació

Constructors per un dia: un projecte de reforma

10 Problemes mètrics en el pla 1. Relacions angulars 2. Triangles semblants. Teorema de Tales 3. Figures semblants. Escales 4. Teorema de Pitàgores 5. Aplicació algebraica del teorema de Pitàgores 6. Àrees dels polígons 7. Àrees de les figures corbes Exercicis i problemes resolts Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació

14 Paràmetres estadístics 1. Dos tipus de paràmetres estadístics 2. Càlcul de x i σ en taules de freqüències 3. Interpretació conjunta de x i σ 4. Paràmetres de posició: mediana i quartils 5. Obtenció de x i σ amb la calculadora 6. Estadística en els mitjans Exercicis i problemes resolts Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació

15 Atzar i probabilitat 11 Cossos geomètrics 1. Poliedres regulars i semiregulars 2. Truncant poliedres regulars 3. Plans de simetria d’una figura 4. Eixos de gir d’una figura 5. Superfície dels cossos geomètrics 6. Volum dels cossos geomètrics 7. Coordenades geogràfiques Exercicis i problemes resolts Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació

1. Esdeveniments aleatoris 2. Probabilitat d’un esdeveniment 3. Probabilitat en experiències regulars. Llei de Laplace 4. Probabilitat en experiències irregulars. Llei dels grans nombres 5. Probabilitats en experiències compostes Exercicis i problemes resolts Exercicis i problemes Taller de matemàtiques Autoavaluació

Dossier d’aprenentatge

13 Taules i gràfics estadístics Els censos i recomptes estadístics es troben presents

L’estadística va cobrar una importància especial amb

en totes les civilitzacions des de temps antiquíssims,

el naixement de l’Imperi romà, que va destacar per

però es limitaven a la recollida de dades i, com a mà-

l’extraordinària organització de l’estat. Van recollir i

xim, a la seua exposició clara i ordenada.

van ordenar una ingent quantitat de dades en tot el

Generalment, les dades que es recollien eren relatives

territori: naixements, defuncions, matrimonis, habi-

a l’estat; d’ací l’origen de la paraula «estadística».

tants per quilòmetre quadrat, superfície, riqueses…

Hi ha papirs egipcis de fa més de 5000 anys on hi ha

Des d’aleshores, l’estadística ha progressat de ma-

constància de censos de població i de béns. Dedica-

nera sorprenent. I, actualment, amb les grandíssimes

ven tanta atenció a aquests assumptes que van con-

quantitats d’informació que es recopilen per tots els

cebre una divinitat anomenada Seshat, deessa dels

mitjans, molt especialment per Internet, i amb la in-

llibres i els comptes, que s’ocupava de protegir les

commensurable ajuda dels ordinadors, els grans po-

dades recopilades.

ders posseïxen una informació inesgotable sobre tots

També a Babilònia guardaven en tauletes d’argila els

nosaltres (aficions, tendències, relacions socials, pos-

recomptes estadístics que realitzaven, especialment

sessions…) amb la qual cosa millora de forma notable

sobre dades de ramaderia i agricultura. Van recopilar

la seua capacitat per a governar eficaçment, encara

tanta informació que en el segle

que també els conferix unes enormes possibilitats de

viii

aC van construir

una biblioteca on es van guardar aquests documents. 262

manipulació.

Amb el que ja saps, resol L’alumnat d’un grup de 3r d’ESO amb 34 estudiants responen la següent enquesta dissenyada per ells mateixos: Color del teu cabell (negre, castany, daurat, ros, roig). Quantes persones viuen a la teua casa. La teua alçada (en cm).

Arrepleguen els 34 fulls de resultats i realitzen el recompte: COLOR DE CABELL

NOMBRE

Negr

Castany

Daurat

Ros

Roig

TOTAL

PERSONES A CASA

2 3 4 5 6 7 8 TOTAL

NOMBRE

ALÇADA

NOMBRE

3 12 10 6 2 0 1 34

150 - 155 155 - 160 160 - 165 165 - 170 170 - 175 175 - 180 180 - 185 TOTAL

3 5 6 8 5 4 3 34

I representen gràficament aquests resultats així: 8 Negre Castany Daurat Ros Roig

6 4

2 2

150 155 160 165 170 175 180 185

❚ Reflexiona Per al disseny i l’exposició de resultats, aquests estudiants (amb l’ajuda de la professora) han hagut de prendre alguna decisió. Medita-hi: a) Per què en l’enquesta, per al color del cabell, han imposat unes respostes molt concretes? Podrien haver-ne posat unes altres? Podrien haver deixat obertes les opcions? b) Per què han recollit el resultat de les alçades en intervals? c) Et sembla adequat el tipus de gràfics amb què han representat cada una de les tres respostes?

T’ANIMES A FER-HO TU? Sol o molt millor en grup!, podries fer una cosa semblant (dissenyar una enquesta, recollir-ne els resultats, organitzar-los en taules i representar-los gràficament) en la classe o en un altre lloc si la professora o professor ho considera adequat. Amb aquestes mateixes preguntes o amb d’altres que us semblen millor.

263

El procés que se seguix en estadística La informació estadística que rebem arriba mitjançant gràfics o taules molt ben construïts, amb els quals resulta molt senzill entendre la informació que se’ns dona. No obstant això, aquestes taules i gràfics són el resultat d’un procés llarg. Vegem-ne els passos principals. 1r Què volem estudiar? En l’exemple de la pàgina anterior, es pretén traure conclusions sobre el color del cabell, el nombre de persones que viuen a la seua casa i l’alçada dels estudiants d’una classe. 2n Selecció de les variables que s’hi analitzaran Si a cada estudiant se li pregunta pel seu color de cabell, sense més, és molt probable que s’hi obtinga una enorme quantitat de respostes diferents, difícils d’organitzar (ros, negre atzabeja, metxes, castany clar, ataronjat, roig…). En el nostre cas, per al color de cabell original (sense tints), tenim aquestes opcions: a) Negre

b) Castany

c) Daurat

3r Recol·lecció de dades S’efectuen les mesures i es realitzen les enquestes. En el nostre exemple, es passa una targeta a cada estudiant, com la que veus a la dreta, perquè hi anote les seues respostes.

d) Ros

e) Roig

• Quin és el teu color de cabell original (sense tints)? Negre

Castany

Daurat

Ros

Roig

• Quantes persones viuen a ta casa? _________ • Quina és la teua alçada en centímetres? _________

4t Organització i exposició de dades Es realitzen els recomptes, s’ordenen les dades en taules (es tabulen), s’elaboren els gràfics adequats i, en alguns casos, es calculen els paràmetres que convinguen. A aquestes tasques ens dedicarem al llarg d’aquesta unitat i de la següent.

PENSA I PRACTICA

1 Es vol fer una enquesta per estudiar les aficions musi-

cals. Digues justificadament si et semblen o no raonables cada una de les preguntes següents: a) Quins són els teus grups musicals preferits? b) Dels estils musicals següents, senyala’n els que hages escoltat més aquest mes:

264

• Rock

• Pop

• Rap

• Elèct.

• Hip-Hop

• Reggae

• Salsa

• Punk

• Metal

• Grunge

• Jazz

• Clàssica

c) Escoltes la ràdio? Si és així, quina cadena? d) Quines d’aquestes cadenes de ràdio escoltes més de 2 hores a la setmana? • Cadena 100 • Els 40 Principals • Rock FM • Kiss FM • Ràdio Clàssica • Europa FM • EDM • M80 Radio • Ràdio 3 • Cadena Dial e) Quin és l’últim concent al qual has anat?

U 13

Variables estadístiques Les variables estadístiques són, com pots recordar, les característiques que s’estudien d’una població. Vegem alguns exemples de variables estadístiques:

1,77

1,48

nombre de peixos capturats

0,83

3,09

cola

pes de la motxilla

llimona

taronja

gasosa

beguda elegida

Les dues primeres variables, nombre de peixos i pes de les motxilles, són quantitatives, ja que els valors s’expressen amb nombres (quantitats). La tercera variable, tipus de beguda, és qualitativa, perquè el tipus de beguda no es pot descriure amb un nombre, sinó mitjançant una qualitat. Una variable quantitativa és discreta quan només admet valors aïllats (el nombre de peixos capturats pot ser 1 o 2, però no un nombre intermedi). Una variable quantitativa és contínua quan entre cada dos valors poden donar-se tots els intermedis (una motxilla pot pesar 1,245 kg, encara que habitualment s’arredonix i s’expressa mitjançant un nombre amb una sola xifra decimal). Tipus de variables estadístiques • Quantitativa: Numèrica.

Discreta: Només pot prendre valors aïllats. Contínua: Podria prendre tots els valors d’un interval. • Qualitativa: No numèrica.

|Exemple Un inspector de sanitat anota característiques de restaurants: — Nombre de persones que hi treballen (1, 2, 3…): quantitativa discreta. — Superfície (187,5 m2): quantitativa contínua. — Tipus de menjar (xina, pasta, hamburguesa, marisc…): qualitativa.

PENSA I PRACTICA

1 Indica si cadascuna d’aquestes variables és quantitativa

discreta, quantitativa contínua o qualitativa:

a) En els cines d’un poble s’anota el tipus de pel·lícula que projecten (comèdia, acció…), quant dura la pel· lícula i el nombre d’espectadors. b) Als mercats d’una ciutat s’observa la superfície, el nombre de portes d’accés i el tipus de mercat (alimentació, roba, complements…).

c) Ens hem fixat en algunes característiques dels telèfons mòbils que té l’alumnat d’un centre escolar: la marca, el nombre de companyies que l’oferixen i el preu. 2 En l’exemple de la pàgina 263, indica de quin tipus és

cada una de les variables (color de cabell, persones que viuen a casa i alçada) i escriu alguns dels possibles valors que poden prendre. 265

Població i mostra Observa la representació gràfica de les tres distribucions que hem vist en la pàgina anterior:

Nre. de captures de 120 pescadors

Pes de les motxilles de 30 estudiants

30 3030

1212 12

25 2525

1010 10

20 2020

88 8

15 1515

66 6

10 1010

44 4

55 5

22 2

00 0

00 0 00 0 11 1 22 2 33 3 44 4 55 5

00 0 11 1 22 2 33 3 44 4 55 5 66 6

Beguda escollida per 40 assistents a una festa d'aniversari 5% 5% 5%

Cola

20% 20% 20% 45% 45% 45% 30% 30% 30%

Llimona Taronja Gasosa

Cada una es referix a un col·lectiu: • 120 pescadors d’un pantà. • 30 estudiants d’una classe. • 40 assistents a un aniversari. El col·lectiu objecte d’un estudi estadístic s’anomena població. De vegades, el conjunt que interessa és massa nombrós per a poder analitzar cada un dels elements; aleshores s’extrau una mostra. Per exemple, és possible que els 120 pescadors siguen una mostra de la població formada per totes les persones que estan pescant al pantà. POBLACIÓ O MOSTRA

Un col·lectiu pot ser població o mostra segons ens interesse per si mateix o siga un mitjà per a inferir informació sobre un col·lectiu més extens.

Població és el el conjunt de tots els elements que són objecte del nostre estudi. Mostra és un subconjunt, extret de la població, que s’estudia per a inferir característiques de tota la població. Individu és cada un dels elements que formen la població o la mostra. |Exemple En la pàgina anterior hem vist un inspector de sanitat que investiga restaurants. Per a fer un informe relatiu a una ciutat, en seleccionem alguns a l’atzar. El conjunt de tots els restaurants que hi ha a la ciutat és la població; els restaurants seleccionats són la mostra i cada restaurant és un individu.

PENSA I PRACTICA

1 Indica la població, la mostra i els individus de cada un

dels exemples següents:

a) Se seleccionen 50 edificis d’una ciutat per a fer un estudi sobre el nombre de plantes, l’altura i la utilització de locals baixos (per a pisos, oficines, botigues, bars...). 266

b) S’analitzen 100 llibres d’una biblioteca: nombre de pàgines, ubicació a la prestatgeria i contingut (com ara novel·la, assaig, manual…). c) S’han enquestat 23 dels alumnes i de les alumnes que van al centre amb bici, sobre el nombre d’engranatges de la bicicleta, el pes i la marca.

U 13

El paper de les mostres Com ja hem vist, de vegades és necessari recórrer a una mostra per a recol·lectar les dades. Vegem quan i com es fa, i què cal esperar dels resultats d’aquesta elecció. ❚ quan s’ha de recórrer a una mostra

Moltes vegades és aconsellable, o fins i tot imprescindible, recórrer a una mostra i no a tota la població. Vegem-ne alguns casos: • Quan la població és molt nombrosa. Per exemple, si volem conéixer quin és el tipus de lectura de tota la joventut d’una comunitat autònoma. • Quan la població és difícil de controlar. Per exemple, si es desitja estudiar el nombre de vegades al mes que cada client va a uns grans magatzems. • Quan l’estudi de les variables requerix un procés molt car o destructiu. Per exemple, desitgem saber la durada real d’un nou tipus de piles. La forma de mesurar-les és posar-les en ús fins que s’esgoten. ❚ informació que cal tindre en compte en la selecció d’una mostra

La selecció d’una bona mostra no és feina fàcil. És molt important tindre en compte el següent: • Perquè la mostra siga vàlida és necessari que se seleccione aleatòriament (a l’atzar) i que tots els individus de la població tinguen la mateixa probabilitat de ser elegits. Per exemple, per a estimar els resultats a les eleccions en una localitat d’uns 5 000 habitants es realitza una enquesta a 200 persones. Fer-ho vía telefònica, per Internet o al mercat no és fiable, ja que en quedarien excloses les persones que no tenen telèfon, les que no usen Internet o les que no van al mercat, respectivament. L’única forma fiable de seleccionar la mostra és triar a l’atzar 200 persones entre les inscrites en el cens. • La mida de la mostra sí que importa. Però, sorprenentment, amb mostres xicotetes ben seleccionades es poden extreure conclusions molt vàlides. Per exemple, per pronosticar el resultat d’unes eleccions en un país amb milions de votants, pot ser suficient una bona mostra de 3 000 individus. No obstant això, una mostra molt més gran (de 50 000) presa per un diari no és representativa, ja que s’exclouen els que no el llegixen. ❚ quines conclusions es poden extraure de l’estudi d’una mostra

La resposta a aquesta pregunta és summament complicada. Ens hi aproximarem en cursos posteriors. En aquest ens conformarem a dir que les conclusions que s’extrauen per la població a partir d’una mostra sempre seran aproximades i, a més a més, amb un cert marge d’error. Per exemple: «En les pròximes eleccions guanyarà la candidata X amb, aproximadament, un 56 % dels vots». I aquesta afirmació la realitzem amb un marge d’error del 5 %. 267

4 NOTACIÓ

En les taules de freqüències se sol designar: xi → valors de la variable fi → freqüència de cada valor

Confecció d’una taula de freqüències Una vegada recollides les dades, les organitzem en una taula de freqüències.

Taula amb dades aïllades Si la variable pren pocs valors, es procedix com en l’exemple següent sobre el nombre de problemes que ha resolt correctament cadascun dels 20 estudiants en un examen. La variable, xi, pren els valors 0, 1, 2, 3, 4 i 5. taula de freqüències

RECOMPTE

Per a fer el recompte, es llegixen els resultats un a un i es traça una marca on corresponga (se sol anar ratllant amb un llapis les dades comptabilitzades per no tornar a comptar-les). Si les marques s’agrupen de cinc en cinc, es compten millor (la cinquena servix per tancar el manoll).

recompte

Taula amb dades agrupades en intervals Si la variable és contínua o bé, sent discreta, pren molts valors diferents, convé agrupar-los en intervals. En el nostre exemple, les 30 millors marques de salt d’altura d’enguany en una certa regió, agrupem les dades en intervals amb decimals perquè no hi haja dubtes de l’interval al qual pertany cada una. taula de freqüències recompte

anayaeducacion.es

➜

Confecciona taules de freqüències.

interval

195 198 201 187 192

Entre 180,5 i 184,5

180,5-184,5

181 197 198 203 195

Entre 184,5 i 188,5

184,5-188,5

185 187 192 196 188

Entre 188,5 i 192,5

188,5-192,5

199 193 189 185 204

Entre 192,5 i 196,5

192,5-196,5

198 201 184 189 202

Entre 196,5 i 200,5

196,5-200,5

187 194 200 198 193

Entre 200,5 i 204,5

200,5-204,5

PENSA I PRACTICA

El professor ha apuntat les faltes d’assistència que ha tingut cada un dels alumnes i de les alumnes al llarg del trimestre: 2, 3, 0, 1, 1 2, 2, 4, 3, 1 3, 0, 2, 0, 1 2, 2, 1, 2, 1 0, 3, 4, 2, 1 3, 5, 1, 1, 2 a) Confecciona una taula de freqüències. b) Si es volguera fer una estadística amb el nombre d’exercicis ben resolts per cada alumne al llarg de l’any, la taula de freqüències hauria de ser amb dades aïllades o agrupades en intervals?

268

2 Imagina que les respostes a l’enquesta sobre l’alçada

que s’ha fet en l’exemple que es descriu en la pàgina 263 foren les següents: 174 169 158 162 179 181 176 172 167 165 164 179 152 182 175 173 166 164 160 171 158 167 174 177 165 166 173 167 159 164 153 165 172 164 Fes una taula de freqüències amb aquests intervals: 149,5-154,5-159,5-164,5-169,5-174,5-179,5-184,5

U 13

Freqüències relatives i percentatges No és el mateix dir que 5 estudiants resolen un problema que un de cada quatre estudiants el resol. També hi ha diferència entre afirmar que a l’interval 192,5196,5 hi ha 6 saltadores d’altura i dir que en aquest interval es concentra un 20 % de les atletes. xi

2/20 = 0,10

5/20 = 0,25

3/20 = 0,15

6/20 = 0,30

3/20 = 0,15

1/20 = 0,05

total

1,00

100

La proporció o el percentatge corresponent a un determinat valor és, moltes vegades, una informació més completa que la freqüència absoluta. La freqüència relativa, fr , d’un valor és la proporció de vegades que es presenta. S’obté dividint la seua freqüència pel nombre total d’individus. Si multipliquem per 100 la freqüència relativa, obtenim el percentatge o la freqüència percentual. La taula del marge és la del primer exemple de la pàgina anterior amb dues columnes més: una per a les freqüències relatives i una altra per als percentatges.

Freqüències acumulades Quan els valors de la variable estan ordenats de menor a major, la freqüència acumulada a cada valor és la suma de la seua freqüència amb les de tots els valors anteriors. Per exemple:

TIN EN COMPTE

Perquè tinguen sentit les freqüències acumulades, els valors de la variable han d’estar ordenats. Això ocorre amb les variables quantitatives i amb algunes variables qualitatives. Per exemple, els mesos de l’any: G, F, M, A…

2+5=7

2 + 5 + 3 = 10

2 + 5 + 3 + 6 = 16

2 + 5 + 3 + 6 + 3 = 19

2 + 5 + 3 + 6 + 3 + 1 = 20

freqüència acumulada

facumulada (4) = 19 8 19 estudiants han resolt 4 problemes o menys.

PENSA I PRACTICA

3 La taula següent mostra l’esport que preferixen practicar

40 estudiants.

a) Calcula les freqüències relatives i percentuals d’aquesta distribució i explica per què no té sentit trobar les freqüències acumulades.

esport

Bàsquet Voleibol Futbol Tenis Escacs

freqüència

10 1 20 5 4

b) Que la freqüència relativa de Bàsquet siga 10/40 vol dir que un de cada quatre estudiants juga a bàsquet. Explica amb les mateixes paraules les freqüències relatives de Futbol i Tenis i les freqüències percentuals d’Escacs i Bàsquet.

4 Troba les freqüències acumulades d’aquesta distribució i

digues què signifiquen facumulada (3) i facumulada (5). nre. de suspensos freqüència

0 6

1 12

2 8

3 5

4 3

5 1

6 1

7 0

5 Aquesta taula recull els mesos en què fan anys les 100

persones que formen un grup de muntanyisme.

Gn Fb Mç Ab Mg Jn Jl Ag St Oc Nv Ds freq. 7 9 10 6 8 8 7 9 8 9 9 10 mes

a) Troba les freqüències acumulades. b) Quantes persones van nàixer abans de juny? I després d’agost? 269

Gràfic adequat al tipus d’informació

En moltes disciplines trobem esplèndides representacions de gràfics estadístics que ens permeten, amb només una ullada, entendre el que ens volen transmetre. Vegem com utilitzar-los de manera correcta.

Diagrama de barres

ALTRES TIPUS DE GRÀFICS

En els diagramas de barres les longituds de les barres són proporcionals a les freqüències corresponents. S’utilitzen per a distribucions de variables quantitatives discretes. Per això, les barres són estretes i se situen damunt dels valors puntuals de la variable. També s’usen per representar variables qualitatives.

Hi ha infinitat de tipus de gràfics estadístics. Observa aquest, anomenat pictograma, sobre els països que més CO2 emeten a l’atmosfera.

nre. de mòbils que han tingut els 400 estudiants d’un centre

marca dels mòbils que tenen els 300 estudiants d’un centre

chonix-pera berri-back guguelne-xus

ifon-5 sanson-universe

a Jap ó Ale ma nya Iran

L’histograma s’utilitza per a distribucions de varible contínua. Per això s’usen rectangles amb bases de la longitud dels intervals. Si aquests intervals són tots iguals, les altures, de la mateixa manera que en els diagrames de barres, són proporcionals a les freqüències corresponents.

Rús si

Índ i

EU A

ina

Histograma de freqüències

Els pictogrames estan destinats al gran públic perquè són molt vistosos i intuïtius, encara que poc precisos.

temperatures màximes al llarg d’un any

voltes a un circuit que fan en 12 min els estudiants de 3r d’eso

5 10 15 20 25 30 35

7 8 9 10 11 12 13

nre. d’assistents a una sala de cine al llarg d’un mes

0 50 100 150 200 250 300 350

Encara que les dades no vinguen donades per intervals (com en el cas de les voltes a la pista d’atletisme), quan es tracta d’una variable contínua (8 voltes significa que encara no n’han fet 9) és raonable usar l’histograma i no el diagrama de barres. El nombre d’assistents és una variable quantitativa discreta, però en prendre molts valors diferents, s’utilitzen intervals i, per tant, histogrames. PENSA I PRACTICA

Representa, mitjançant el gràfic adequat, les dades obtingudes en les enquestes realitzades en una classe de 2n de Batxillerat: a) Alçada dels estudiants. alçada

(cm)

160-164,5 164,5-169,5 169,5-174,5 174,5-179,5 179,5-185 270

freqüència

1 4 10 8 9

b) Persones en casa. nre. de persones

freqüència

U 13

Polígon de freqüències temperatures màximes

5 10 15 20 25 30 35

El polígon de freqüències s’utilitza en els mateixos casos que l’histograma. Es construïx unint els punts mitjans dels costats superiors dels rectangles i prolongant la línia, al principi i al final, fins a arribar a l’eix. El propòsit és suavitzar els escalons que es produïxen en l’histograma.

Diagrama de sectors

RESULTATS DE LES ELECCIONS

Al final de la jornada electoral es molt comú veure els resultats exposats de la forma següent:

En un diagrama de sectors, l’angle de cada sector és proporcional a la freqüència corresponent. Es pot utilitzar per a tota classe de variables, però s’usa molt habitualment per a les variables qualitatives. Per exemple, en el diagrama següent veiem les preferències cinematogràfiques d’una certa població valenciana per percentatges: Acció

Comèdia

33 %

40 %

Romàntica

A C Eleccions anteriors B C

10 % 10 %

Altres

Previsions

Terror

Altres

Aquest tipus de diagrama és especialment adequat per a representar, en diversos passos, una evolució al llarg del temps. Per exemple, podem observar l’evolució, des del 1950 fins al 2010, del nivell d’estudis de la població d’una certa regió: observem com al llarg del temps ha anat disminuint el nombre de persones analfabetes i amb estudis bàsics, i com ha augmentat considerablement la població amb estudis mitjans i superiors. Analfabetisme

➜

anayaeducacion.es

Estudis bàsics

GeoGebra. Diadrama de sectors.

Estudis mitjans 1950

1980

2010

Estudis superiors

PENSA I PRACTICA

2 Els diagrames de sectors s’utilitzen sovint per a compa-

rar la mateixa distribució en diferents països o regions.

Observa els sectors que mostren com es dividix la població treballadora de dos països: Àustria i Mauritània.

3 bserva els diagrames de sectors corresponents al color de

cabell dels estudiants de tres classes d’institut de països diferents: Negro

A quin pertany cada un? Explica per què.

Castaño Trigueño Rubio

Agricultura i ramaderia Indústria Serveis A

Clase A

Clase B

Clase C

Rojo

a) Explica raonadament quin creus que correspon a cada un d’aquests països: Espanya, Tunísia i Dinamarca. b) Si en cada classe hi ha 30 estudiants, estima quants tenen cabells negres, castany, daurat, ros i roig en cada una. 271

Exercicis i problemes resolts 1 En què basa la felicitat cada generació

Els diagrames de sectors que veus a la dreta mostren quin és l’aspecte que creuen més rellevant per a ser feliç tres generacions diferents:

COMPRÉN I APLICA EN EL DESAFIAMENT

• La dels vint anys (20-29 anys) • La dels quaranta (40-49 anys) • La dels huitanta (80-89 anys) Esbrina, raonadament, a quina generació pertany cada una.

La salut Els diners

Els amics La parella

La família L’actitud personal

En primer lloc, associem el gràfic B amb la dels huitanta, ja que el 50% considera la salut l’aspecte més rellevant, una cosa molt normal en els ancians amb alifacs. Ens crida l’atenció també que un bon percentatge ha triat la família i l’actitud personal com aspectes més importants; no obstant això, sembla que ni la parella ni els amics els importen tant a aquestes edats. Entre les altres dues, associem el gràfic C a la dels vint anys, ja que consideren els amics i la família aspectes molt importants per a la felicitat. A més, no són pocs els que trien la salut com l’aspecte més important. Finalment, ens quedaria el gràfic A per a la dels quaranta. Sembla raonable que un quart dels enquestats prenga la salut com l’aspecte més rellevant per a la felicitat i, a més, donen molta importància a la parella (ja és hora d’assentar el cap), a l’actitud personal i als amics.

2 Elaboració d’un diagrama de sectors

El color elegit en comprar un cotxe ve donat en aquesta taula: color elegit

272

percentatge

Per a elaborar un diagrama de sectors a partir d’una taula, necessitem la columna de les freqüències relatives.

Plata/gris

36 %

Negrs

22 %

Blau

18 %

Després, es calcula l’angle (en graus) que té cada sector multiplicant la freqüència relativa corresponent per 360°. En el nostre cas:

Roig

10 %

Plata/gris 8 0,36 · 360° = 129,6°

Blanc

Verd

Resta

Negre 8 0,22 · 360° = 79,2° Blau 8 0,18 · 360° = 64,8° Roig 8 0,10 · 360° = 36°

Elaborar un diagrama de sectors que reflectix la situació.

Blanc 8 0,08 · 360° = 28,8°

Fes-ho tu Un ferri transporta diferents tipus de vehicles. Elabora el diagrama de sectors segons aquestes dades: Cotxes: 53 %; Motos: 24 %; Camions: 13 %; Autobusos: 10 %.

Resta 8 0,02 · 360° = 7,2°

Verd 8 0,04 · 360° = 14,4° Tracem el diagrama de sectors amb els percentatges i col·loquem la llegenda corresponent a la dreta.

color elegit

percentatge

Plata/gris

36 %

0,36

Negrs

22 %

0,22

Blau

18 %

0,18

Roig

10 %

0,10

Blanc

0,08

Verd

0,04

Resta

0,02

8% 36%

10% 18% 22% Plata Negre Blau

Roig Blanc Verd

Resta

U 13

Exercicis i problemes 4

Població i mostra. Variables

Indica, per a cada cas proposat: — Quina és la població, i quins, els individus. — Quina és la variable i quin tipus de variable és. a) El pes dels nounats a la Comunitat Valenciana al llarg de l’any passat. b) Quantitat de pluja recollida en un cert observatori meteorològic cada any d’aquest segle. c) Nombre de mascotes que hi ha a les cases espanyoles. d) Tipus de cotxes (marca i model) que té cada veí o veïna de la urbanització on visc. e) Nombre de targetes grogues mostrades en cada partit de futbol de 1a divisió aquesta temporada.

100 75 50 25 0

Amèrica Amèrica del Nord Llatina i Carib

Europa i Rússia occidental

Àsia

Àfrica

a) Et sembla raonable que la segona barra sempre siga major o igual que la primera? Raona-ho.

Interpretació de gràfics

Observa en aquest diagrama de barres la proporció de la població amb accés a energia elèctrica el 1990 i 2020: Accés a l’electricitat (% de població)

1990 2020

DOMINES EL BÀSIC?

b) Quina regió creus que té en l’actualitat menys proporció de persones amb accés a l’electricitat?

Observa el mapa següent en el qual es mostren, per colors, els grups de països amb esperança de vida similar:

c) On hi ha hagut un creixement major? I proporcionalment major? Elaboració de taules i gràfics

> 80 anys 70-80 anys 70-75 anys

60-70 anys < 60 anys Sense dades

a) Quin continent té una població amb l’esperança de vida més baixa? b) Indica 8 països amb l’esperança de vida major que 80 anys. Fes el mateix amb l’interval 75 - 80 anys. 3

13 serien 13 serien ame-africanes ricanes

61 serien asiàtiques

1 seria oceànica

de tercer en l’últim 4 2 0

3 1 2

b) Fes el diagrama de barres que correspon a aquestes dades. 6

Si en el món hi haguera 100 persones: 12 serien europees

En preguntar a l’alumnat d’un grup d’ESO pel nombre de llibres que han llegit mes, hem obtingut les dades següents: 2 1 3 1 1 5 1 2 1 0 2 4 1 0 2 1 3 2 2 1 2 3 1 2 a) Fes la taula de freqüències absolutes.

En un control de velocitat en carretera es van obtindre les dades següents: velocitat (km/h)

60-69 70-79 80-89 90-99 100-109 110-120 5 15 25 37 22 16

continents

superfície (km2)

Ásia

44 936 000

a) Elabora l’histograma corresponent.

Amèrica

41 843 000

b) Quants cotxes es van registrar en el control?

Àfrica

30 330 000

c) Quina proporció de cotxes anava a 100 km/h o més?

Europa

10 359 000

Oceaniía

8 505 000

Ordena els continents (de major a menor) segons: a) La grandària. b) La població. c) La densitat de població.

nre. de cotxes

Elabora, amb les dades següents, un diagrama de sectors amb el percentatge dels navegadors web més utilitzats al món: Chrome: 60 %

Internet Explorer: 20 %

Firefox: 12 %

Uns altres: 8% 273

Exercicis i problemes ENTRENA’T I PRACTICA 8

Es volen realitzar els estudis següents: I. El sexe (xiquet o xiqueta) de cada bebé nascut en un hospital al llarg d’un any. II. Quin diari llegix cada habitant d’una ciutat. III. Les altures i els pesos de tot l’alumnat de la classe. IV. Edat de les persones que han vist una obra de teatre en una ciutat. V. Estudis que pensen seguir els alumnes i les alumnes d’un centre escolar en acabar l’ESO. a) Digues de cada un d’aquests casos quina és la població, i quins, els individus. b) Indica en cada un quina és la variable que s’estudia i de quin tipus és. c) En quins és necessari recórrer a una mostra? Per què? S’ha realitza un estudi sobre la utilitat que donen al telèfon intel·ligent els menors de 26 anys i els de 26 a 50 anys. Els resultats es presenten en la taula: utilitat

Jocs i entreteniment Xarxes socials Notícies Telefonades i missatges

menors de

26 a 50

35 %

12 %

33 % 5%

26 % 37 %

27 %

25 %

274

Aquests són els millors temps que s’han pres en carreres de 10 km als esportistes d’un club d’atletisme: 42:20 40:08 47:32 49:50 43:24 48:31 51:42 45:53 47:17 50:37 49:07 51:37 43:28 45:18 44:36 46:15 50:48 47:59 51:21 43:37 42:14 a) Fes una taula de freqüències absolutes i relatives amb els intervals següents: 40 - 42 - 44 - 46 - 48 - 50 - 52 b) Traça l’histograma corresponent. c) Mirant la taula de freqüències relatives, indica quin percentatge de corredors van baixar de 44 min. d) Quin percentatge va fer més de 50 min?

Milions de persones

a) Et sembla raonable dir que en A hi ha un poc més de 3 milions de xiques d’una edat compresa entre 10 i 20 anys? b) Quants xiquets de 0 a 10 anys hi ha al país A? I al B? I al C? c) En quin dels tres països hi ha més persones entre 80 i 100 anys? I en quin menys? d) Indica, justificadament, quin dels tres gràfics correspon a un país del Tercer Món. 12

En aquest gràfic es mostren les dades sobre la climatologia de Badajoz durant un any: 40

a) Elabora els diagrames de sectors corresponents. b) Descriu els pareguts i les diferències d’ambdós grups. c) Inventa un diagrama de sectors per als majors de 50 anys. 10

Aquestes piràmides de població mostren la distribució per edats (de 10 en 10 anys) i sexe (homes a l’esquerra i dones a la dreta) de tres països. Cada marca de l’eix horitzontal correspon a 1 milió de persones:

temperatures mitjanes (ºc)

precipitacions mensuals (mm)

Mç Ab Mg Jm

a) Què hi representen les barres blaves? b) Què hi representa la línia roja? c) Quina temperatura mitjana hi va haver al setembre? Quina va ser la precipitació en aquest mes? d) En quins mesos la temperatura mitjana va superar els 20 °C? En quins van passar de 40 mm les precipitacions? 13

Associa cada gràfic a una d’aquestes ciutats: València, Còrdova, Lugo, Las Palmas de Gran Canaria. 35 ºC 30 25 20 15 10 5 0

mm 105 90 75 60 45 30 15 0

35 ºC 30 25 20 15 10 5 0

mm 105 90 75 60 45 30 15 0

35 ºC 30 25 20 15 10 5 0

mm 105 90 75 60 45 30 15 0

35 ºC 30 25 20 15 10 5 0

mm 105 90 75 60 45 30 15 0

U 13

Gn Observa el gràFb Ds fic de la dreta relatiu Mç a les vendes d’alguns Nv articles en una botiga Abç Oc xicoteta. a) Quin color corresMg St pon als banyadors? I a les tovalloles? I als Jn Ag Jl guants? b) En quina estació de l’any s’han venut més banyadors? I menys? Per què? c) Quan s’han venut més quantitat de guants? d) Explica com es comporta el gràfic de les tovalloles.

PER A PENSAR UNA MICA MÉS 17

Aquests diagrames mostren la composició del cos humà a dues edats diferents: als 25 anys

Aquesta taula descriu la població d’un país. A continuació se’n mostra la piràmide de població. En lloc de freqüències, s’hi han posat percentatges.Atenció! Hi ha una barra incorrecta a la part dels homes i una altra a la part de les dones.

grup d’edat

nombre d’homes (milions)

nombre de dones (milions)

0-9 10-19 20-29 30-39 40-49 50-59 60-69 70-79 80-89 90-99

2 489 2 271 2 742 4 029 3 850 3 029 2 307 1 549 823 106

2 352 2 146 2 687 3 843 3 739 3 096 2 504 1 923 1 355 279

90-99 80-89 70-79 60-69 50-59 40-49 30-39 20-29 10-19 0-9

als 75 anys Aigua corporal 12%

17% 15%

62%

Teixit gras 53%

30%

Massa òssia

6% 5%

Com varia el percentatge d’aigua corporal, de massa òssia, de teixit gras i de músculs, òrgans... en aquests 50 anys? Dona el resultat en tant per cent d’augment o disminució. COMPRÉN I APLICA EN EL DESAFIAMENT

Aquest gràfic mostra els 10 països més feliços i els 10 menys feliços del món el 2018. Per a quantificar la felicitat, es tenen en compte, entre altres aspectes, PIB per càpita, assistència social, esperança de vida sana, llibertat social, generositat i absència de corrupció. finlàndia

malawi

haití

noruega

libèria

síria

dinamarca

rwanda

islàndia

iemen

10% 8% 6% 4% 2%

Músculs, òrgans…

tanzània

suïssa

holanda

sudán del sud

canadà

nova zelanda

república

suècia

austràlia

burundi

centreafricana

a) Quins són els continents millor i pitjor parats en aquest rànquing? b) Busca en Internet en quin lloc està Espanya. c) Dels sis aspectes esmentats anteriorment, t’atreviries a aventurar en quin percentatge influïx cada un en la felicitat global d’un país? Representa la teua estimació en un diagrama de sectors.

2% 4% 6% 8% 10%

Indica a quin interval corresponen les dues barres mal dibuixades i explica en què es nota l’error. TAMBÉ POTS FER AÇÒ 18

Repartiment de la població espanyola, segons la grandària del municipi en què vivia, des del 1900 fins al 2020: municipis

1900 1930

Fins a 5 000 hab. 51 % 40 % De 5 001 a 20 000 28 % 29 % De 20 001 a 100 000 12 % 16 % Més de 100 000 9 % 15 %

1960 1990 2020

29 % 25 % 18 % 28 %

16 % 20 % 22 % 42 %

10 % 16 % 27 % 47 %

Nombre d’habitants d’Espanya, en milions, des del 1900 fins al 2020: 1900

1930

1960

1990

2020

18,6

23,6

30,4

38,8

45,6

a) Troba el nombre de persones que vivien en els municipis més xicotets des del 1900 fins al 2020. En aquests municipis, la població ha anat decreixent però ho fa de manera constant o cada vegada decreix menys? Determina com evoluciona cada tipus de municipi. b) Fes un diagrama de sectors que mostre la distribució de la població en cada un dels anys que figuren en la taula. 275

Taller de matemàtiques PICOTEJAR

LA VALIDESA D’UNA MOSTRA

Quan en el mercat provem raïm o unes cireres, el que fem és traure una mostra per veure la qualitat d’aquesta fruita. Això mateix es fa en posar un examen: es trien unes quantes preguntes (una mostra) per comprovar el que saps fer.

En les eleccions presidencials dels EUA el 1936, una revista va fer una enquesta d’intenció de vot a més de quatre milions dels seus lectors i es va equivocar en el pronòstic. Una altra enquesta feta només a 4 500 persones va anunciar l’èxit de Roosevelt amb molta exactitud. La raó és que en el primer cas la mostra no era representativa de la societat americana.

Frankling D. Roosevelt (1882-1945). 32é president dels Estats Units.

QUÈ OCORRE SI ALGUNS NO RESPONEN A L’ENQUESTA? Una enquesta pot conduir a resultats falsos si uns certs grups de població a penes responen mentre que uns altres ho fan amb passió. Per exemple, suposem que en una població europea desitgem passar una enquesta sobre «què estàs disposat a fer per lluitar contra el canvi climàtic». En aquesta població, la proporció de persones joves, de mitjana edat i majors és de 3, 4 i 5, respectivament. És a dir que de cada 12 persones, 3 són joves, 4, de mitjana edat, i 5, majors. La mostra està ben triada i guarda la proporció, però les respostes no: els joves responen pràcticament tots, però només ho fan la meitat dels de mitjana edat i a penes un 20% de majors.

→

Enquestats 3

3 → Respostes

Inferència a partir → de les respostes 6

Aquest gràfic posa de manifest que els resultats de l’enquesta desfiguren la inferència que fem de la realitat. 276

U 13

AUTOEVALUACIÓN

➜

1 Indica, per a cada cas, quins són els individus, quina

5 En una comunitat deter-

la població, quina la variable i de quin tipus és: a) Nombre de vegades a l’any que ha usat la targeta sanitària cada pacient d’una societat mèdica. b) Temps d’espera de cada pacient en una consulta d’un centre de salut al llarg d’un dia. c) Tipus d’especialista que visita cada pacient d’un centre de salut durant un mes.

2 Indica en cada cas quan cal recórrer a una mostra.

Raona la resposta. a) Gustos musicals dels estudiants d’un centre de secundària i batxillerat. b) Nombre de persones que visiten un museu cada dia de la setmana (dilluns, dimarts, dimecres…). c) Data triada per a una trobada dels membres d’un grup de whatsapp.

3 Nombre de dies que han anat a la biblioteca de l’es-

cola els estudiants d’un curs: 3 1 2 4 0 0 2 4 1 2

2 1 3 1 0 1 2 0 5 3

2 0 3 5 2 3 1 2 1 0

a) Fes una taula de freqüències i representa els resultats mitjançant un gràfic adequat. b) Afig a la taula anterior una columna amb les freqüències relatives. Representa’n els resultats amb un diagrama de sectors.

anayaeducacion.es Resolucions d'aquests exercicis.

minada s’ha realitzat un estudi sobre els accidents mortals en el treball segons l’activitat.

21 %

9% 24 %

Agrari Indústria Construcció Serveis

a) Quin és el percentatge d’accidents mortals ocorreguts en el sector de la construcció? b) Si hi va haver 135 accidents mortals en el sector agrari, quin va ser el nombre total d’accidents mortals a la regió? c) Quants accidents mortals hi va haver en cada un dels sectors? 6 Observa aquestes piràmides de població: Homes

marroc 2018 Edat

Dones

Hombres

frança 2018 Edat

Dones

> 60 > 60 45-59 45-59 30-44 30-44 15-29 15-29 0-14 0-14 2,5 2,0 1,5 2,0 0,5 0,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5 2,5 2,0 1,5 2,0 0,5 0,0 0,0 0,5 1,0 1,5 2,0 2,5

Població total en milions

Digues si les afirmacions següents són vertaderes o falses i justifica les respostes: a) La proporció de dones i homes vells a França és molt més alta que al Marroc. b) Hi ha més dones velles que homes vells en ambdós països. c) La proporció de menors de 15 anys és major al Marroc que a França.

4 Temps, en minuts, que passaren a la sala d’espera els

pacients d’un metge un cert dia: 28 4 12 35 2 26 45 22 6 23 27 16 18 32 8 47 8 12 34 15 28 37 7 39 15 25 18 17 27 15 a) Fes una taula, repartint-los en intervals d’extrems 1,5 - 9,5 - 17,5 - 25,5 - 33,5 - 41,5 - 49,5. b) Representa els resultats mitjançant un gràfic adequat (diagrama de barres o histograma). c) Elabora una taula dels percentatges que corresponen a aquesta classificació: • Espera poc: 1-17,5 min. • Espera una estona: 17,5-33,5 min. • Espera molt: 33,5-49,5 min. Representa’n les dades en un diagrama de sectors.

REFLEXIONA

Fins ara has delimitat la teua investigació, plantejat els instruments de recollida d’informació i registrat les dades. Ja podràs segurament anticipar alguns aspectes o conclusions principals que es poden extraure del procés, però encara ens queden aspectes rellevants que tractar i que veurem en la unitat didàctica següent. Ara revisa els aspectes treballats i planteja solucions als problemes que s’hi detecten. Descarrega d’anayaeducacion.es la rúbrica, reflexiona de manera individual i compartix en grup. POSA A PROVA LES TEUES COMPETÈNCIES

Realitza l’autoavaluació competencial inclosa en anayaeducación.es. 277

14 Paràmetres estadístics Una gran professional Florence Nightingale (1820-1910) va ser una matemàtica i infermera londinenca que va aplicar tècniques estadístiques per a millorar les condicions als hospitals i l’atenció mèdica en general. Va treballar com a infermera a la guerra de Crimea (1853-1856). Allí va comprovar que la majoria de les morts les causaven les pèssimes condicions dels hospitals. Va recopilar i va organitzar dades estadístiques tenint en compte el temps transcorregut, el nombre de morts i les causes de la mort, i les va expressar amb gràfics que per primera vegada relacionaven tres variables (fins aleshores només se’n representaven una o dues). Va millorar notablement l’organització, la interpretació i la presentació gràfica de dades estadístiques. A més, va ser la primera persona que va utilitzar l’estadística amb una finalitat eminentment pràctica i, amb això, va aconseguir que es reduïren de manera progressiva les morts als hospitals en millorar els mètodes sanitaris. Fins aleshores, els estudis estadístics només s’havien utilitzat per a presentar informació. 278

Amb el que ja saps, resol Les notes aconseguides en els últims exàmens que es van posar als estudiants d’una classe en quatre de les seues assignatures s’exposen en els següents diagrames de barres:

història

llengua

10 5

5 0

matemàtiques

9 10

ciències

5 0

9 10

❚ Reflexiona A la vista d’aquests gràfics, opina: a) E n una assignatura la nota mitjana és bastant alta, més de 6. En una altra, no obstant això, és molt baixa, menys de 4. Quin creus que és cada una? b) E t sembla raonable suposar que en les altres dues assignatures la nota mitjana és pròxima al 5? No obstant això, els dos gràfics corresponents són molt diferents. Fixa’t bé en les notes de llengua: et semblaria adequat dir que són clarament «més disperses» que les altres? En aquesta unitat aprendràs a valorar, no sols la mitjana, sinó la dispersió d’aquestes distribucions.

T’ANIMES A FER-HO TU? Sol, en grup xicotet o amb tota la classe, segons el professorat estime convenient, podries fer com en l’exemple descrit més amunt: recollir les notes de tots els companys en diverses assignatures, tabular-les i representar-les en diagrames de barres. Mirant els gràfics corresponents, podries estimar de forma aproximada la mitjana de cada una? Alguna d’aquestes distribucions seria clarament més dispersa que les altres? En finalitzar la unitat podràs respondre aquestes preguntes calculant-ne numèricament els resultats. També podries afrontar altres investigacions similars. Per exemple, amb les alçades dels alumnes i les alumnes d’algunes classes de diversos cursos.

279

Dos tipus de paràmetres estadístics Començarem considerant només dos tipus de paràmetres estadístics: • Els paràmetres de centralització ens indiquen entorn de quin valor (centre) es distribuïxen les dades. • Els paràmetres de dispersió ens informen de quant s’allunyen del centre els valors de la distribució.

Paràmetres de centralització ❚ Mitjana NOTACIÓ

El signe ∑ s’utilitza per a indicar sumes de diversos sumands. ∑ xi es llig: «suma dels xi».

Si anomenem x1, x2, …, xn els valors que pren una distribució estadística, la mitjana, es designa per x– i es calcula així: x– =

x1 + x2 + … + xn n

Abreviadamente: x– =

/ xi n

Per exemple, aquests són els resultats del nombre de proves físiques superades pels 10 integrants d’un equip esportiu: 1, 0, 3, 4, 5, 2, 3, 4, 4, 4. En calculem la mitjana: x– = 1 + 0 + 3 + 4 + 5 + 2 + 3 + 4 + 4 + 4 = 30 = 3 10 10

❚ mediana

Si ordenem les dades de menor a major, la mediana, Me, és el valor que està enmig: és a dir, té tants d’individus per davall com per damunt. Si el nombre de dades és parell, a la mediana s’assigna el valor mitjà dels dos termes centrals. En l’exemple anterior, per a trobar la mediana ordenem les dades: 0, 1, 2, 3, 3, 4, 4, 4, 4, 5 Les dades centrals són 3 i 4, per tant, la mediana és 3,5. DISTRIBUCIONS AMB MÉS D'UNA MODA

Una distribució pot tindre més d’una moda. Una amb dues modes s’anomena bimodal; una amb tres, trimodal…

❚ moda

La moda, Mo, és el valor que té una freqüència major. La moda de l’exemple anterior és 4, ja que és el valor amb una freqüència major.

PENSA I PRACTICA

1 Calcula la mitjana, la mediana i la moda de cadascuna

d’aquestes distribucions estadístiques: a) 4, 5, 6, 6, 6, 6, 7, 11, 12, 17

2 Troba els paràmetres de centralització de la distribució

de les notes de matemàtiques de l’exemple de la pàgina anterior.

b) 10, 12, 6, 9, 10, 8, 9, 10, 14, 2

c) 2, 3, 3, 3, 4, 5, 6, 6, 6, 6, 3, 7

d) 1, 2, 3, 4, 5, 4, 3, 2, 1 0 280

U 13

Paràmetres de dispersió Aquests gràfics mostren les edats de les jugadores de dos equips de futbol: Atlètic Roig

Club Esportiu Blau

En ambdues, l’edat mitjana és de 21 anys. Observa que, encara que tenen la mateixa mitjana, aquestes distribucions són molt diferents, perquè en la segona els valors es troben clarament més separats que en la primera. Els paràmetres de dispersió que a continuació descrivim servixen per a valorar aquestes diferències. ❚ recorregut o rang TIN EN COMPTE

A partir d’aquest nivell, abandonem la desviació mitjana, que coneixes de cursos anteriors, ja que la desviació típica és la que s’utilitzarà des d’ara com a mesura de dispersió. Per què la desviació típica i no la variància? La variància té un inconvenient greu. Imagina que estem treballant amb una distribució d’estatures donades en cm. La mitjana vindria donada en cm, però la variància vindria en cm2 (és a dir, una superfície en lloc d’una longitud). Per això, n’extraem l’arrel quadrada i obtenim la desviació típica que, en el nostre exemple, sí que seria una longitud donada en cm.

És la diferència entre la dada major i menor. És a dir, és la longitud del tram en què es troben les dades. En el’equip roig el recorregut és 23 – 20 = 3, i en el blau, 25 – 18 = 7. ❚ variància

És la mitjana dels quadrats de les distàncies de les dades a la mitjana: (x – x ) 2 + (x 2 – x ) 2 + … + (x n – x ) 2 / (x i – x ) 2 Variància: V = 1 = n n Aquesta fórmula és equivalent a la següent: x 2 + x 2 + … + x 2n – 2 / x 2i Variància: V = 1 2 –x = – x– 2 n n 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Vroig = 1 + 1 + 1 + 1 + 0 + 0 + 0 + 0 + 1 + 1 + 2 = 0,91 11 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 Vblau = 3 + 3 + 3 + 2 + 2 + 1 + 1 + 2 + 3 + 4 + 4 = 7,45 11

❚ desviació típica, q ➜

anayaeducacion.es GeoGebra. La desviació típica.

És l’arrel quadrada de la variància: σ = variància =

/ x 2i n

– x2

qroig = 0, 91 = 0,95; qblau = 7, 45 = 2,73 Observa com la dispersió de les edats del Club Esportiu Blau és molt més gran que la de l’Atlètic Roig, tal com havíem vist en les representacions gràfiques. Apartir d’ara prestarem una atenció especial a la mitjana (x– ) i a la desviació típica (σ). La informació que dona cada un complementa la de l’altre. PENSA I PRACTICA

3 Troba els paràmetres de dispersió de les distribucions de

l’exercici 1 de la pàgina anterior.

4 Troba de dues formes diferents la variància d’aquesta

distribució: 8, 7, 11, 15, 9, 7, 13, 15.

281

– i q en taules de freqüències Càlcul de x

Quan les dades estadístiques venen donades mitjançant taules de freqüències, els càlculs poden disposar-se perquè els paràmetres s’obtinguen amb una gran comoditat. –

❚ càlcul de x

Vegem-ho amb un exemple: la taula de freqüències de la dreta correspon a les notes obtingudes pels 33 estudiants d’una classe en l’últim examen.

Per a calcular la mitjana de les notes, hauríem de sumar: 4 + (5 + 5 + … + 5) + (6 + 6 + … + 6) + (7 + 7 + … + 7) + 8 + 8 + 9 10 vegades

14 vegades

5 vegades

i dividir el resultat per 1 + 10 + 14 + 5 + 2 + 1 = 33. No obstant això, la suma de més amunt s’obté més eficaçment així: 4 · 1 + 5 · 10 + 6 · 14 + 7 · 5 + 8 · 2 + 9 · 1 És a dir, cada valor de la variable es multiplica per la freqüència associada i se sumen tots els resultats.

fi · xi

198

∑ fi

∑ fi xi

fi · xi

f1 x1

f2 x2

… xn

… fn

… fn xn

∑ f1

∑ f1 x1

Per a facilitar aquests càlculs, afegim una columna nova a la taula, fi · xi . El total d’individus s’obté sumant els valors de la columna fi . f1 + f2 + … + fn = 33 8 ∑ fi = 33 La suma de totes les notes es troba sumant els valors de la columna fi · xi . f1x1 + f2x2 + … + fn xn = 198 8 ∑ fi xi = 198 La mitjana és: x– =

/ fi x i 198 = =6 / fi 33

En una distribució donada per una taula de freqüències, per a trobar la mitjana s’afegix a la taula la columna fi · xi i es procedix així: x=

/ fi x i / fi

on ∑ fi xi = f1x1 + f2x2 + … + fn xn és la suma de tots els valors; i ∑ fi = f1 + f2 + … + fn és el nombre d’individus.

PENSA I PRACTICA

1 Calcula la mitjana d’aquestes distribucions:

a) nombre de fills i filles

282

b) nombre de suspensos en aquesta avaluació

14 15

fi 1 17 11

U 13

❚ càlcul de q

La desviació típica admet dues expressions equivalents: v=

– – – Rfi (x i – x )2 on ∑fi(xi – x )2 = f1(x1 – x )2 + … + fn(xn – x )2 és la suma dels quadrats de les desviacions a la mitjana. Rf i

2 2 2 Rfi x i2 – x 2 on ∑fi xi = f1x1 + … + fn xn és la suma dels quadrats Rf i de tots els valors.

Amb les dues fórmules s’arriba al mateix resultat. No obstant això, és molt més pràctica la segona. Vegem per què: Ja que fi · xi2 és igual a (fi · xi) · xi, afegirem a la taula de freqüències la columna que s’obté multiplicant els elements corresponents de les columnes xi i (xi ) · (fi · xi ) fi · xi. Amb la taula original, les dues columnes noves i les sumes totals, es calxi fi fi · xi fi · xi 2 culen fàcilment la mitjana i la desviació 4 1 4 16 típica: 5

250

504

245

128

198

1 224

∑ fi

∑ fi xi

∑ fi xi2

• mitjana: x– =

R fi x i 198 =6 = 33 R fi

• desviació típica: v= 1,04

R fi x i2 – x2 = R fi

1224 – 6 2 = 33

Taules amb dades agrupades en intervals Quan tenim les dades agrupades en intervals (en lloc de valors puntuals) per a confeccionar una taula de freqüències que siga operativa, a cada interval s’assigna el valor central, el que s’anomena marca de classe. Per exemple, la marca de classe de l’interval 50-58 és: 50 + 58 = 108 = 54 2 2 D’aquesta forma s’obté, a partir d’una taula amb dades agrupades, una taula de freqüències com les anteriors i es procedix de la mateixa manera.

PENSA I PRACTICA

2 Troba la mitjana i la desviació típica d’aquesta distribució: xi

1 2 3 4 5 total

12 15 24 19 10

fi · xi

12 30 72 76 50

12 60 216 304 250

3 Completa en el quadern la taula amb les marques de

classe, i calcula la mitjana i la desviació típica. pesos

persones

50 a 58 58 a 66 66 a 74 74 a 82 82 a 90

6 12 21 16 5

283

– i q Interpretació conjunta de x Vegem una altra vegada les dues gràfiques de la pàgina 281 sobre les edats de les jugadores de dos equips de futbol: Atlètic Roig

Club Esportiu Blau

Recordem que la mitjana d’ambdues distribucions és 21 i que les desviacions són 0,95 i 2,73, respectivament. Això és coherent amb els gràfics, ja que les dades de l’Esportiu Blau estan molt més allunyades de la mitjana (21) que els de l’Atlètic Roig.

Reforça: interpretació conjunta de

Amb els valors de x– i σ, tenim una idea relativament bona de com és una distribució. La mitjana ens diu on està el centre. La desviació típica sobre com d’allunyades de la mitjana, com de disperses, estan les dades.

x i σ.

EXERCICI RESOLT

anayaeducacion.es

➜

Els quatre gràfics del marge informen del nombre d’hores setmanals que estudien les alumnes i els alumnes de quatre classes. A partir de les dades de la taula de baix, indica a quina classe correspon cada gràfic.

III

classe

– x

1r A

8,2

0,8

1r B

2,5

3r A

12,5 2,3

3r B

13,4 1,2

Si ens fixem en les gràfiques, és fàcil veure que les mitjanes de les classes I i III es troben al voltant del 8; mentre que les mitjanes de les classes II i IV són majors i estan al voltant del 13. Per tant, podem associar d’aquesta manera: 1r A i 1r B ↔ I i III

3r A i 3r B ↔ II i IV

Per a distingir entre les que tenen les mitjanes molt paregudes, ens fixem en com de disperses es troben les dades. És evident que les dades de la I estan molt més disperses que les de la III, i per això 1r A ↔ III i 1r B ↔ I. També s’aprecia clarament que les dades de la II estan molt més disperses que les de la IV. Concloem aleshores que: 3r A 5 II i 3r B 5 IV

PENSA I PRACTICA

➜

anayaeducacion.es GeoGebra. Estudi conjunt de x i σ.

Les gràfiques següents mostren els percentatges d’encert dels jugadors de quatre equips. A partir de les dades de la taula de la dreta, indica la mitjana i la desviació típica que correspon a cada equip. A 45 50 55 60 65 70 C 45 50 55 60 65 70

284

B 45 50 55 60 65 70 D 45 50 55 60 65 70

equip

– x

52,5

7,1

6,9

III

63,5

2,7

U 13

Coeficient de variació Els pesos dels bous d’una explotació ramadera es distribuïxen amb una mitjana x– = 500 kg i una desviació típica σ = 40 kg. Els pesos dels gossos d’una exposició tenen una mitjana x– = 20 kg i una desviació típica σ = 10 kg.

La desviació típica dels pesos del ramat de bous (40 kg) és superior a la dels gossos (10 kg). No obstant això, els 40 kg són poca cosa per a la mida enorme dels bous (és a dir, els bous d’aquell ramat són molt pareguts en pes), mentre que 10 kg és molt en relació amb el pes d’un gos. En casos com aquest, la desviació típica no és una mesura adequada per a comparar dispersions. Per això, definim un paràmetre estadístic nou.

bous gossos

– x

500

40 en relació amb 500 és menor que 10 en relació amb 20.

Per comparar la dispersió de dues poblacions heterogènies, es definix el coeficient de variació així: CV = v x – En dividir σ entre x estem relativitzant la dispersió. El resultat es dona, de vegades, en tants per cent. En l’exemple els bous i els gossos, obtenim: CV = 40 = 0,08 És a dir, el 8 %. 500 • Per als gossos: CV = 10 = 0,50 És a dir, el 50 %. 20 D’aquesta manera, sí que s’aprecia clarament que la variació dels pesos dels gossos (50 %) és molt més gran que la dels pesos dels bous (8 %). • Per als bous:

bous gossos

– x

500

50 %

PENSA I PRACTICA

➜

anayaeducacion.es GeoGebra. Coeficient de variació.

2 Preguntem el preu de certs models concrets de pianos, flautes travesseres i harmòniques a di-

ferents botigues de música. Els resultats obtinguts tenen les mitjanes i desviacions típiques següents: pianos

flautes

harmóniques

mitjana

943

132

desv. típica

148

Compara la dispersió relativa dels preus d’aquests tres productes.

285

Paràmetres de posició: mitjana i quartils

S’ha preguntat a un grup de 16 persones pel nombre de vegades que han eixit a córrer aquest mes. Aquests són els resultats i la representació corresponent:

MEDIANA:POSICIÓ I CENTRALITZACIÓ

0, 2, 3, 3, 5, 5, 6, 6, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 10, 10

La mediana i els quartils són paràmetres de posició perquè cada un indica un lloc (una posició) respecte als altres valors de la distribució. Entre els paràmetres de posició, la mediana és el que ocupa el lloc central. Per això és, també, un paràmetre de centralització.

2 3 4 50 % de la població

7 8 9 10 Me 50 % de la població

Observa que a la dreta de la mediana, Me, hi ha la meitat de la població. A l’esquerra, l’altra meitat. És a dir, la mediana dividix en dos la població. I si volguérem dividir la població en quatre parts amb el mateix nombre d’individus? Hauríem de senyalar altres dos punts, els quartils, Q1 i Q3. 0

4 Q1

7 Me

Primer quartil, Q1, és el valor de la variable que deixa per davall un quart de la població, i per damunt, tres quarts. Tercer quartil, Q 3, és el valor de la variable que deixa per damunt un quart de la població i per davall, tres quarts. S’anomenen Q1 i Q 3 perquè la mediana és el segon quartil, Q 2. La diferència Q 3 – Q 1 s’anomena recorregut interquartílic. EXERCICI RESOLT

En un aniversari s’ha trencat Com que la distribució té 10 individus, la quarta part és 10 : 4 = 2,5. la pinyata i cada una de les • Q ha de deixar a l’esquerra «dos elements i mig». Per tant, el primer quartil ha d’es1 deu persones que esperaven tar situat en el tercer element, ja que «mig individu» queda a l’esquerra i l’«altre mig» han agafat tants regals com a la dreta. han pogut. Aquesta és la llista És a dir, Q1 = 4. ordenada del nombre de regals • Me ha de deixar 5 individus a l’esquerra i altres 5 a la dreta. Per tant, està entre el que té cada una: cinquè (7) i el sisè (8); és a dir, Me = 7,5. 2, 2, 4, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 11 Calcula’n la mediana i els • Q 3 ha de deixar a l’esquerra «set elements i mig» (2,5 · 3 = 7,5). Mitjançant un raonament similar al que s’ha seguit per Q1, el tercer quartil està en el huitè element; quartils. és a dir, Q 3 = 9. PENSA I PRACTICA

➜

1 Calcula Q1, Me i Q 3 i situa’ls a cada una d’aquestes

2 De cada una de les distribucions següents:

distribucions representades: a) b)

286

anayaeducacion.es GeoGebra. Mitjana i quartils.

a) Calcula Q1, Me i Q 3.

b) Representa les dades i situa-hi Q1, Me i Q 3. A: 0, 0, 2, 3, 4, 4, 4, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 9, 10 B: 0, 1, 1, 2, 3, 4, 4, 7, 7, 7, 14, 17, 29, 35 C: 12, 13, 19, 25, 63, 85, 123, 132, 147

U 13

Diagramas de caixa i bigots Aquesta representació gràfica està estretament relacionada amb els paràmetres de posició que hem aprés. Vegem amb un exemple com es construïx. |Exemple 1 El nombre de persones que componen cada una de les famílies d’un grup d’amics i amigues s’expressa al marge.

22233333444666667788 Q1

Observem que:

• El menor valor és 2 i el major és 8. • Q1 = 3; Me = 4 i Q 3 = 6. Amb aquests resultats, dibuixem el diagrama:

OBSERVA

La longitud de la caixa és Q3 – Q1, el recorregut interquartílic.

És a dir, la caixa descriu el tram que hi ha entre dos quartils, senyalant expressament la mediana, i els bigots s’estenen a la totalitat de les dades. |Exemple 2 160 165 170 175 180 185 190 Q1 Me Q3

Representem al marge la distribució de les altures dels socis d’un club mitjançant un diagrama de caixa i bigots. A la vista del diagrama podem dir: • El més baix mesura 160 cm, i el més alt, 187 cm. • Els quartils i la mediana són Q1 = 167,5; Me = 171 i Q 3 = 175,5. • Per tant, un 25 % dels socis mesuren entre 160 cm i 167,5 cm; altre 25 %, entre 167,5 cm i 171 cm; altre 25 %, entre 171 cm i 175,5 cm, i el darrer 25 % (els més alts), entre 175,5 cm i 187 cm.

EXERCICI RESOLT

Representa en un diagrama de a) En la pàgina anterior hem obtingut: Q1 = 4; Me = 7,5: Q 3 = 9. caixa i bigots una de les distriHi posem l’escala i representem el diagrama: bucions següents: 1

a) 2, 2, 4, 6, 7, 8, 8, 9, 10, 11 b) 1, 1, 2, 3, 5, 5, 15, 27, 41, 43

b) Obtenim, primer, els paràmetres de posició: Q1 = 2; Me = 5; Q 3 = 27. Fixem l’escala (s’ha de tindre en compte que les darreres dades tenen valors «molt grans») i dibuixem el diagrama: 0

PENSA I PRACTICA

3 Representa amb un diagrama de caixa i bigots cada dis-

tribució de l’activitat 2 de la pàgina anterior.

Utilitza els valors de Q1, Me i Q 3 que vas trobar en aquella activitat.

➜

anayaeducacion.es GeoGebra. Diagrama de caixa i bigots.

4 Representa mediante un diagrama de caixa i bigots els

punts següents aconseguits en la diana: 7 6 6 8 5 7 5 6 6 7

5 7 9 6 8 5 6 6 5 8

4 7 5 8 6 6 7 5 9 3 287

– i q amb la calculadora Obtenció de x

151

Estudiarem amb un exemple (observa la taula del marge) els passos que s’han de donar per introduir eficaçment unes dades en la calculadora i aconseguir els resultats corresponents.

156

161

166

171

176

Preparació per a treballar en estadística En primer lloc, accedim a � i anem pressionant la fletxa ” fins a arribar a l’opció 6:Estadística. A continuació, elegim 1:1–Variable. Ens apareix una taula buida per introduir-hi les dades i les freqüències.

Esborrat de dades acumulades de la tasca anterior Si en encendre la calculadora la taula conté dades que no desitgem conservar, assegura’t d’esborrar-les totes abans d’introduir-hi les noves. Possiblement, necessites utilitzat la tecla del.

Introducció de dades El cursor es posa en negre en la primera casella de la columna dels xi. Després d’escriure cada dada, s’ha de pressionar =, amb això el cursor baixa per a introduir la dada següent. Per a escriure les freqüències o corregir alguna dada, movem el cursor amb les fletxes ”’‘“. Comencem introduint en la taula tots els valors de la variable. 151 = 156 = 161 = … 166 = Observa que assigna, automàticament, valors 1 a les freqüències corresponents. Aleshores, introduïm les freqüències: 1 = 4 = 9 = 10 = 4 = 2 =

Correcció de les dades errònies Si hi ha algun error, amb el cursor ens hi posicionem, teclegem el valor correcte i pressionem =.

Resultats Per a obtindre el resum de les dades i el valor dels paràmetres estadístics, accedix a l’opció calc 1-variable i obtindràs una cosa com això: Per a visualitzar tots els resultats, mou-te amb el cursor amunt i avall.

RECORDA

Després de treballar amb les dades estadístiques, per a tornar a realitzar càlculs aritmètics has de pressionar � i, a continuació, elegir 1:Calcular. PENSA I PRACTICA –

1 Troba x i σ amb la calculadora de la distribució a) de

l’activitat 1 de la pàgina 282. –

2 Troba amb la calculadora x i σ de la distribució b) de

l’activitat 1 de la pàgina 282.

288

3 Troba, amb ajuda de la calculadora, els paràmetres de

centralització i dispersió de les distribucions de les notes en les quatre assignatures de l’exemple de la pàgina 279. Per a això, construïx la taula de freqüències corresponent a cada distribució.

U 13

Estadística en els mitjans L’estadística està present en tots els àmbits de la vida. La major part de les dades que rebem estan elaborades amb l’ajuda d’estudis estadístics. De vegades, els mitjans privats fan les seues pròpies estadístiques. No obstant això, l’estament públic que es dedica a la confecció d’estadístiques sobre tots els aspectes de la societat és l’INE (Institut Nacional d’Estadística). L’INE, juntament amb el CIS (Centre d’Investigacions Sociològiques) són les referències que s’han de tindre en compte a l’hora de recórrer a dades fiables. La medicina, l’ecologia, la política, la psicologia, els esports, la publicitat…, tots recorren a l’estadística per a realitzar investigacions, millorar resultats, diagnosticar problemes, pronosticar esdeveniments... Vegem alguns exemples de notícies relacionades amb estadístiques: Dilluns 9 de novembre de 2020

El salari mitjà a Espanya retrocedix per primera vegada des del 2006

Sedentarisme: un problema de salut pública 53,5

total sexe

Homes

El mediana del salari també retrocedix per segon any consecutiu, fins als 1.594 euros, i el salari mitjà baixa per primera vegada en deu anys, i se situa en els 1.878,1 euros. A més a més, tres de cada deu espanyols guanyen menys de 1.229 euros bruts al mes.

Dones edat

De 15 a 19 anys De 20 a 24 anys De 25 a 34 anys De 35 a 44 anys De 45 a 54 anys

15 mesos, vida mitjana d’un telèfon mòbil

De 55 a 64 anys De 65 a 74 anys De 75 anys y más

Els espanyols canvien de mòbil fins 4 anys abans de l’obsolescència. La majoria dels aparells es llancen quan encara tenen valor de mercat.

Gràfic 2.1. Persones que han practicat esport durant el darrer any segon sexe i edat. (En percentatge de la població total investigada de cada col·lectiu).

Un de cada quatre joves veu «normal» la violència de gènere en la parella Més del 20 % d’espanyols de 15 a 29 anys considera que la violència masclista és un tema «polititzat que s’exagera molt», segons un informe de la FAD.

conferència internacional de la sida

Un de cada tres tractaments fracassa a causa de les resistències Un 32 % dels tractaments de la sida fracassa perquè el virus es fa resistent als antiretrovirals.

PENSA I PRACTICA

Interpreta els gràfics i les notícies que hem vist en aquesta pàgina.

2 Busca en Internet notícies en què s’haja recorregut a

l’estadística.

289

Exercicis i problemes resolts resueltos 1 Obtenció de paràmetres estadístics

En una classe amb 25 estudiants s’ha realitzat una enquesta sobre la percepció de la felicitat. Han de valorar sis qüestions de l’1 al 10 i, després, fer una mitjana de les puntuacions. Aquestes són les mitjanes finals obtingudes: 1 1 1 1 3,2 3,8 4,2 4,7 5,2 5,3 5,3 5,7 5,8 6,2 6,7 6,7 7 7 7,3 8 8,3 8,7 9 9,3 10 a) Fes una taula de freqüències en què classifiques les mitjanes finals en cinc intervals que comencen en 0,5 i acaben en 10,5. Troba, a partir d’aquesta, els paràmetres x–, q i CV. b) Calcular x–, q i CV introduint les 25 dades en la calculadora: és a dir, sense agrupar-les en intervals. c) Hi ha quatre individus que han escrit un 1 en totes les respostes i un que hi ha contestat sempre 10. Són cinc amics que seuen junts, per la qual cosa la professora ha indagat i han reconegut que ho han fet de broma. Troba de nou els paràmetres obtinguts en l’apartat anterior prescindint de les dades d’aquests cinc individus. d) Troba els paràmetres de posició de la distribució de les mitjanes finals arredonides a les unitats dels vint estudiants que van respondre seriosament. Construïx-ne el diagrama de caixa i bigots corresponent.

COMPRÉN I APLICA EN EL DESAFIAMENT

a) Fem la comptabilitat en els cinc intervals. Després construïm una taula prenent com a valors de la variable les marques de classe: freqüència

0,5-2,5 2,5-4,5 4,5-6,5 6,5-8,5 8,5-10,5

4 3 7 7 4

1,5 3,5 5,5 7,5 9,5

4 3 7 7 4

6 10,5 38,5 52,5 38

9 36,75 211,75 393,75 361

totals

145,5

1 012,25

• mitjana: x– =

fi · xi

R fi x i 145, 5 = = 5,82 25 R fi

• desviació típica: q =

R fi x i2 – x2 = R fi

1012, 25 – 5, 82 2 = 2,57 25

• coeficient de variació: CV = q = 2, 57 = 0,442 8 44,2 % x 5, 82 b) Posem la calculadora en la manera stat, buidem la memòria i introduïm les 25 dades. Accedim a calc 1-var i obtenim el següent: x– = 5,66; q = 2,64 Trobem, amb aquestes dades, el coeficient de variació: CV = 2, 64 = 0,466 8 46,6 % 5, 66 c) Ho fem amb calculadora. Podem suprimir les 5 dades que sobren de les que hem introduït en l’apartat anterior. Obtenim x– = 6,37; q = 1,70; CV = 0,267 8 26,7 % En suprimir els cinc individus, augmenta la mitjana de les puntuacions i en disminuïx la desviació típica. La dispersió és, lògicament, molt menor. S’aprecia en el fet que el CV és notablement inferior que al de la classe completa. d) Arredonim: 3, 4, 4, 5, 5, 5, 5, 6, 6, 6, 7, 7, 7, 7, 7, 8, 8, 9, 9, 9 • mediana: 20 = 10. La mediana és la mitjana del 10é i 11é 8 2 8 Me = 6 + 7 = 6,5. 2 • quartils: El nombre d’individus es dividix entre 4 8 20 = 5. 4 – primer quartil: Q1 és la mitjana dels individus que ocupen les posicions 5a i 6a. Com que els dos són 5, Q1 = 5. – tercer quartil: com que 5 · 3 = 15, els que ocupen les posicions 15é i 16é són les puntuacions 7 i 8. És a dir, Q3 = 7 + 8 = 7,5. 2 Com que el menor valor és 3 i el major 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 és 9, construïm el diagrama de caixa: Q1

290

fi · xi 2

interval

Me Q3

U 13

Exercicis i problemes DOMINES EL BÀSIC?

ENTRENA’T I PRACTICA

Paràmetres de centralització i dispersió

En la família Ferrandis el salari mensual de la mare és 1 400 €, i el del pare, 1 150 €. En la família Torres, la mare guanya 1 850 €, i el pare, 700 €. a) Quin és el sou mitjà de cada família? b) En quina és major la dispersió? Hem consultat, en diferents comerços, el preu (en euros) d’un determinat model d’impressora, i n’hem obtingut les dades següents:

a) 6, 3, 4, 2, 5, 5, 6, 4, 5, 6, 8, 9, 6, 7, 7, 6, 4, 6, 10, 6 b) 11, 12, 12, 11, 10, 13, 14, 15, 14, 12 c) 165, 167, 172, 168, 164, 158, 160, 167, 159, 162 7

146 - 150 - 141 - 143 - 139 - 144 - 133 - 153 Calcula’n el preu mitjà i la desviació típica. 3

marc

2 0 1 2 3 4 5 6

4 0 1 2 3 4 5 6

0 1 2 3 4 5 6 B

0 1 2 3 4 5 6 C

0 1 2 3 4 5 6 D

0 1 2 3 4 5 6

50 40 16

Una fàbrica ha comptat el nombre de gots que es trenquen en cada caixa de camí a la botiga. Aquests són els resultats: nre. de gots trencats nre. de caixes

51 23 11

a) Calcula’n la mitjana, la desviació típica i el coeficient de variació. b) Quina és la moda? c) Comprova els resultats amb la calculadora. 9

La taula següent mostra els llançaments de javelina que s’han fet per a la classificació per als jocs olímpics: distàncies

0 1 2 3 4 5 6

b) Quina n’és la moda?

Troba la mediana i els quartils de cada distribució i representa’n el diagrama de caixa i bigots corresponent: a) 1, 1, 1, 2, 2, 5, 6, 6, 6, 7, 8 10, 11 b) 4, 5, 5, 6, 7, 7, 7, 8, 12, 14, 19, 22 c) 123, 125, 134, 140, 151, 173, 178, 186, 192, 198 Associa cada gràfic de barres amb el diagrama de caixa i bigots corresponent:

a) Troba’n la mitjana i la desviació típica.

Paràmetres de posició. Diagrames de caixa

nre. de pàgines

a) Troba la mitjana i la desviació típica de cada un. b) Calcula els CV i digues quin és més regular.

Contando el número de erratas por página en un libro concreto, David ha obtenido los datos recogidos en la tabla siguiente: nre. d'errates

Lídia i Marc juguen diverses vegades a encertar, en un minut, el màxim nombre de paraules amb la seua definició. Aquests són els resultats: lídia

Calcula els paràmetres mitjana, mediana, moda, recorregut, variància, desviació típica i coeficient de variació en cada cas:

(m)

nre. de llançadors

54 a 58

58 a 62

62 a 66

66 a 70

70 a 74

a) Fes una taula amb les marques de classe i les freqüències. b) Calcula’n la mitjana, la desviació típica i el coeficient de variació. c) Comprova els resultats amb la calculadora. 291

Exercicis i problemes El número de calçat que duen els alumnes i les alumnes d’una classe són els següents: 42, 40, 43, 45, 43 44, 38, 39, 40, 43 41, 42, 38, 36, 38 45, 38, 39, 42, 40 40, 39, 37, 36, 41 46, 44, 37, 42, 39 a) Fes una taula de freqüències amb aquests intervals: 35,5 - 38,5 - 40,5 - 42,5 - 44,5 - 46,5. b) Troba la mitjana, la desviació típica i el CV.

RESOL PROBLEMES SENZILLS 14

Les edats dels membres del grup de teatre d’un centre d’estudis venen donades en aquesta taula: 14

nre. de membres

Troba la mediana i els quartils. Hi ha 4 membres de 14 anys en fila, aleshores els seguixen 5 membres de 15 anys, i així successivament. En total són 23 persones: 11 a un costat, 11 a l’altre i un més enmig.

nre. d'estudiants

Observa els gràfics de les notes d’una classe en quatre matèries diferents que hem vist en la segona pàgina de la unitat: història

llengua

9 10

matemàtiques

9 10

ciències

9 10

a) Halla la mediana y los cuartiles de cada una. b) Representa cada una en un diagrama de caja. 292

195

210 180

III

180

195

210

195

198,5 9,7

198,1 3,9

210

A C

210 180

– x

193

4,6

193,4 8,1

Troba el CV de cada equip i ordena’ls de menys a més regulars. a) Compara aquestes distribucions de notes obtingudes per tres grups d’alumnes i indica quines són la mitjana i els quartils de cada una: 0

9 10

III

Aquests quatre gràfics corresponen a les estatures dels jugadors de quatre equips de bàsquet, A, B, C i D, i els paràmetres apareixen en la taula. Quin és el gràfic de cada equip?

180

Representa aquesta distribució mitjançant un diagrama de caixa i bigots.

equip

Aquesta taula mostra la distribució del nombre d’assignatures suspeses en una avaluació pels estudiants d’una classe: nre. d'assig. susp.

Si els comptem un a un, el número 12 de la fila té 16 anys. Aquesta és la mediana. Per als quartils, fem el mateix: Q1 = 15 anys i Q3 = 17 anys. 12

b) En una de les classes hi ha 11 suspensos i 4 excel· lents, mentre que en l’altra hi ha 5 suspensos i 1 excel·lent. Quina és A i quina B? c) Si Laura necessita traure excel·lent i Miquel es conforma amb l’aprovat. Quina classe et pareix més adequada per a un i l’altre?

EXERCICI RESOLT

edat

S’ha fet un mateix examen a dos grups, A i B, de 30 alumnes cada un. Les mitjanes i desviacions típiques són, respectivament: x–A = 6, σA = 1, x–B = 6, σB = 3. a) Assigna un d’aquests gràfics a A i un altre a B.

b) En l’avaluació es van fer aquests comentaris i. Va aprovar el 50 % de la classe. ii. Les notes són molt paregudes. iii. Un quart de la classe té notes superiors a 7. iv. És la millor classe, però amb la dispersió més gran. Indica a quin grup correspon cada comentari.

U 13

PER A PENSAR UNA MICA MÉS 17

Rafel és venedor ambulant sis dies a la setmana. Ahir, divendres, va calcular que durant aquesta setmana havia aconseguit uns guanys mitjans de 48 € diaris. En fer el mateix compte hui, dissabte, resulta una mitjana de 60 € diaris. Quant ha guanyat hui?

pes

Coneixem el nombre de dies al mes que ha plogut enguany en una certa regió. Els valors dels quartils són 6, 9 i 14. El mes que més va ploure va ser març amb 21 dies i sabem que el rang de la distribució és 18. a) Construïx el diagrama de caixa i bigots. b) Creus que és una regió plujosa? Justifica la resposta.

3,5 - 4,5

4,5 - 5,5

5,5 - 6,5

6,5 - 7,5

7,5 - 8,5

8,5 - 9,5

Aquestes són les estatures de 4 350 soldats: estatura (m)

(marques de classe) 1,52 1,56 1,60 1,64 1,68 1,72 1,76 1,80 1,84 1,88 nre. de soldats

62 186 530 812 953 860 507 285 126 29

Diem que els soldats que tenen l’estatura entre x– + σ i x– + 2σ són alts, si la tenen entre x– – σ i x– – 2σ, són baixos i entre x– – σ i x– + σ, són normals. Estima quin tant per cent d’alts, de baixos i de normals hi ha.

COMPRÉN I APLICA EN EL DESAFIAMENT

nre. d'animals

b) Quin percentatge d’animals va pesar entre x– – σ i x– + σ? I més que x– + σ? I menys que x– – σ? Fes-ne una estimació raonada.

En una empresa de missatgeria treballen 34 empleats i 6 directius. El sou mitjà de tots ells és de 900 €. Quin serà el sou mitjà dels directius si sabem que el de la resta dels empleats és de 780 €?

En una enquesta sobre la percepció de la felicitat s’ha de contestar amb un nombre de l’1 al 10 per a cada una d’aquestes facetes: salut (s), amics (a), família (f) i estudis (e). Segons l’estudi A, el nivell de felicitat és la mitjana de les quatre puntuacions; no obstant això, l’estudi B afirma que la família i els amics hi influïxen un 40% cada un; la salut, un 15%, i els estudis, un 5%. Si les puntuacions d’Olívia són s = 8, a = 4, f = 9 i e = 7, quin nivell de felicitat té segons cada un dels dos estudis?

(kg)

a) Calcula la mitjana i la desviació típica.

Per a trobar la nota d’una assignatura, el segon examen val el doble que el primer, i el tercer, el triple que el primer.

b) I si aquestes notes són el 10 %, el 40 % i el 50 %?

En mesurar el pes en nàixer d’una determinada espècie d’animals, hem obtingut aquests resultats:

Per trobar la nota d’una avaluació, es fa la mitjana de quatre exàmens. Si en els tres primers tinc una mitjana de 4,2, quina nota he de traure en l’últim per aprovar?

a) Quina és la nota final d’una alumna que va traure un 5, un 6 i un 4? 20

TAMBÉ POTS FER AÇÒ

Quin percentatge hi ha d’altíssims i de baixíssims ? HO HAS COMPRÉS? REFLEXIONA 25

Què passa a la x– i a la σ d’una distribució si en totes les dades sumem un mateix nombre? I si les multipliquem pel mateix nombre? Comprova les teues conjectures amb aquestes dades: 4, 3, 6, 7, 5, 4, 5, 3, 2, 6, 5

Si dues distribucions tenen la mateixa mitjana, i la desviació típica de la primera és major que la de la segona, en quin dels dos casos és major el coeficient de variació?

Si dues distribucions tenen la mateixa desviació típica, i la mitjana de la primera és major que la de la segona, en quin dels dos casos és major el coeficient de variació? 293

Taller de matemàtiques matemáticas LES DIANES En un concurs de tir al blanc, seleccionem quatre tandes de deu tirs corresponents a quatre tiradors. I

III

Els quatre tiradors tenen les característiques següents: — Anna és una bona tiradora i té una bona escopeta. — Bruno és bon tirador i té una escopeta amb la mira desviada. — Carla és una mala tiradora i té una bona escopeta. — Daniel és un mal tirador i té una escopeta amb la mira desviada. Imaginem que els tiradors apunten sempre al centre de la diana. • Quina és la diana de cada un dels quatre tiradors? • Els bons tiradors, tenen resultats més o menys dispersos que els dolents? • On haurien donat, aproximadament, els tirs de Bruno i Carla si hagueren intercanviat les escopetes?

DOS ACUDITS ESTADÍSTICS

Un estadístic és un científic capaç d’ofegar-se en un llac de 30 cm de profunditat mitjana. 294

Si et menges dos pollastres i jo cap, haurem menjat una mitjana d’un pollastre per persona.

U 13

AUTOEVALUACIÓN

➜

1 Troba la mitjana, la mediana, la desviació típica i el

5 En una classe, aquestes són les notes d’un examen:

coeficient de variació de cada una d’aquestes distribucions i determina quina és més dispersa: a) 6, 9, 1, 4, 8, 2, 3, 4, 4, 9 b) 120, 95, 87, 111, 116, 82, 121, 92, 76 c) 987, 1 010, 1 004, 995, 998, 1 001, 999, 982 –

2 Calcula x , σ i CV d’aquestes distribucions:

a) Nombre de dies que han anat a la biblioteca els estudiants d’un curs: nre. de dies

freqüència

b) Temps, en minuts, que van passar a la sala d’espera els pacients d’un metge un cert dia: temps

(min)

freqüència

De 1 a 9

De 9 a 17

De 17 a 25

De 25 a 33

De 33 a 41

De 41 a 49

anayaeducacion.es Resolucions d'aquests exercicis.

notes

9 10

nre. d'alumnes

Fes-ne el corresponent diagrama de caixa i bigots. 6 Les estatures dels components de tres equips escolars de

bàsquet, A, B i C, es distribuïxen segons els gràfics següents: I

III

170 175 180 185 165 170 175 180 185 165 170 175 180 185 190

Els paràmetres corresponents a cada un són: A

– x

177,8

176,8

174,6

6,4

3,2

4,5

Indica a quin equip correspon cada gràfic. 7 Aquests són els diagrames de caixa de les notes en mates

de quatre classes. Digues, en cada una, les millors i pitjors notes, així com Q1, Me i Q3. 0

3 Aquestes són les hores d’estudi setmanal d’un grup

d’alumnes: 14 9 9 15 10 18 20 16 18 10 4 8

I II

20 18 20 2 15 24 20 10

12 7 10 12

14 6 14 8 18 8 12 10 12 25 24 17 16 5 4 13

a) Construïx una taula de freqüències amb els intervals següents: 1,5 - 6,5 - 11,5 - 16,5 - 21,5 26,5. b) Calcula’n la mitjana i la desviació típica. 4 Les notes obtingudes pels estudiants d’una classe en

un examen amb 5 preguntes han sigut les següents: 3 3 2 4 5 4 1 3 3 2 3 2 4 4 3 1 2 0 5 3 2 0 3 5 3 3 5 2 1 4 a) Calcula’n la mediana i els quartils. b) Dibuixa el diagrama de caixa corresponent.

III IV

REFLEXIONA

Fins ara has delimitat la teua investigació, plantejat els instruments de recollida d’informació i registrat les dades. Ara revisa els aspectes treballats i planteja solucions als problemes que s’hi detecten. Descarrega d’anayaeducacion.es la rúbrica, reflexiona de manera individual i compartix en grup. POSA A PROVA LES TEUES COMPETÈNCIES

Realitza l’autoavaluació competencial inclosa en anayaeducación.es.

295