DE CERCA DE CERCA
Índice
1. Números reales 9
Vocabulario • Números irracionales • Números reales: la recta real • Tramos de la recta real: intervalos y semirrectas • Raíces y radicales • Números aproximados. Errores • Números en notación científica. Control del error • Logaritmos
2. Polinomios y fracciones algebraicas ........................................... 21
Vocabulario • Polinomios. Operaciones • Regla de Ruffini • Raíz de un polinomio. Búsqueda de raíces • Factorización de polinomios • Divisibilidad de polinomios • Fracciones algebraicas
3. Ecuaciones, inecuaciones y sistemas ................................................... 29
Vocabulario • Ecuaciones • Sistemas de ecuaciones • Inecuaciones con una incógnita • Inecuaciones lineales con dos incógnitas
4. Semejanza. Aplicaciones ............ 41
Vocabulario • Semejanza • Homotecia • Rectángulos de dimensiones interesantes • Semejanza de triángulos • La semejanza en los triángulos rectángulos • Semejanza de triángulos rectángulos en cuerpos geométricos
5. Trigonometría ....................................... 51
Vocabulario • Razones trigonométricas de un ángulo agudo • Relaciones trigonométricas fundamentales • La calculadora en trigonometría • Razones trigonométricas de 0º a 360º • Ángulos de medidas cualesquiera. Razones trigonométricas • Resolución de triángulos rectángulos • Resolución de triángulos no rectángulos • Unos teoremas muy interesantes
6. Geometría analítica ......................... 61
Vocabulario • Vectores en el plano • Operaciones con vectores • Vectores que representan puntos • Punto medio de un segmento • Puntos alineados • Ecuaciones en la recta • Rectas. Paralelismo y perpendicularidad • Rectas paralelas a los ejes coordenados • Posiciones relativas de dos rectas • Distancia entre dos puntos • Ecuación de una circunferencia • Estudio de algunos movimientos
7. Funciones I ............................................ 71
Vocabulario • Conceptos básicos • Cómo se presentan las funciones • Dominio de definición • Cortes con los ejes. Signo de una función • Funciones continuas. Discontinuidades • Variaciones de una función • Tendencia y periodicidad • Funciones lineales • Funciones cuadráticas
8. Funciones II 83
Vocabulario • Funciones definidas a trozos • Funciones radicales • Funciones de proporcionalidad inversa • Funciones exponenciales • Funciones logarítmicas • Funciones trigonométricas. El radián
9. Estadística................................................ 91
Vocabulario • La estadística y sus métodos • Tablas de frecuencias • Parámetros estadísticos: x y σ • Parámetros de posición para datos aislados • Parámetros de posición para datos agrupados • Diagramas de caja • Estadística inferencial • Estadística en los medios de comunicación
10. Estadística bidimensional. Correlación ........................................ 103
Vocabulario • Distribuciones bidimensionales • El valor de la correlación • La recta de regresión para hacer estimaciones • Reflexionemos: ¿la correlación significa causa-efecto? • Distribuciones bidimensionales con calculadora
11. Combinatoria ...................................... 111
Vocabulario • Estrategias basadas en el producto • Variaciones y permutaciones (importa el orden) • Cuando no influye el orden. Combinaciones • Un interesante triángulo numérico • Fórmula de Newton
12. Cálculo de probabilidades ..... 119
Vocabulario • Sucesos aleatorios • Probabilidades de los sucesos. Propiedades • Probabilidades en experiencias simples • Probabilidades en experiencias compuestas • Composición de experiencias independientes • Composición de experiencias dependientes • Tablas de contingencia
1 NÚMEROS REALES
irracionales
Números reales
recta real raíces y radicales
operaciones
aproximaciones
notación científica logaritmos
error absoluto
error relativo operaciones
racionalización
fracciones
números reales representar
intervalos y semirrectas
representación
unión interesección
radicales
propiedades neperiano decimal
Números irracionales
Números racionales son los que se pueden poner como cociente de dos números enteros. Su expresión decimal es exacta o periódica. Números irracionales son los que no pueden obtenerse como cociente de dos números enteros. Su expresión decimal es infinita no periódica.
La diagonal del cuadrado: el número √2
El teorema de Pitágoras nos da el valor de la diagonal de un cuadrado de lado 1: d = 11 2 22+=
Vamos a demostrar que 2 es irracional, es decir, que no se puede poner como cociente de dos números enteros. Lo haremos por reducción al absurdo
— Suponemos que 2 es racional. En tal caso: b a 2=
— Elevamos al cuadrado los dos miembros: 2 = b a 2 2 → a 2 = 2b 2
Como b 2 es un cuadrado perfecto, contiene el factor 2 un número par de veces. Por tanto, 2b 2 tiene el factor 2 un número impar de veces, lo cual es imposible por ser 2b 2 = a 2 otro cuadrado perfecto. Luego 2 no es racional.
Si p no es una potencia n-ésima exacta, p n es un número irracional.
El resultado de operar un número racional con uno irracional es irracional (salvo la multiplicación por cero).
El número de oro: Φ = √5 + 1 2
Observa
En la descomposición en factores primos de un cuadrado perfecto, cada número primo está un número par de veces. Por ejemplo: N = 22 · 3 · 53 N 2 = (22 · 3 · 53)2 = 24 · 32 · 56
Todos los exponentes son pares.
El número π
El número e
La diagonal de un pentágono de lado unidad es el número ( 5 + 1) : 2 que, evidentemente, es irracional. También es conocido como número áureo.
π es la relación entre la longitud de una circunferencia y su diámetro.
Se trata de un número irracional y, por tanto, tiene infinitas cifras decimales no periódicas.
El número e es irracional. Su valor aproximado es 2,7182… lo encontraremos por ejemplo en la función exponencial que describe el proceso de crecimiento en una población animal. d U = d l 2r L r L 2 r =
Practica...
1 Demuestra que estos números son irracionales: a) 3 b) 5 + 4 3
2 Demuestra que el número áureo, Φ, es un número irracional.
Números reales: la recta real 2
El conjunto formado por los números racionales y los irracionales se llama conjunto de números reales y se designa por Á
racionales Q
enteros Z
naturales N → 0, 4, 6 24 , 121
reales Á enteros negativos → –11, – 3 27 , 8 –3
fraccionarios → 5,84; 2 1 ; , 583 # ; – 10 3
Con los números reales podemos realizar las mismas operaciones que se hacen con los racionales: suma, resta, multiplicación y división (salvo por el cero) y se mantienen las mismas propiedades.
También podemos extraer raíces de cualquier índice (salvo raíces de índice par de números negativos) y el resultado sigue siendo un número real.
Los conjuntos N, Z, Q y, ahora también, Á son cerrados para las operaciones suma y producto; es decir, tanto la suma como el producto de dos elementos de uno de los conjuntos es también un elemento de ese conjunto.
La recta real
Si en una recta situamos un origen (el cero, 0) y marcamos la longitud unidad, a cada punto le corresponde un número racional o un número irracional. Es decir, a cada punto de la recta le corresponde un número real. Por eso, a la recta numérica la llamamos recta real.
1 0
Entre cada dos números reales, por próximos que se encuentren, hay infinitos números racionales e infinitos números irracionales.
Observa
Esto no ocurre ni con los enteros negativos, ni con los fraccionarios ni con los irracionales. Por ejemplo: 3 1 3
Practica...
1 Observa los siguientes números: ;, ; 2 3 08 74 –! ;; ; e 3 7 2 1 2 3 – r
a) Clasifícalos en racionales o irracionales.
b) Ordénalos de menor a mayor.
2 Sitúa los siguientes números en un diagrama como el adjunto:
1; , 723 # ; 1 – 2 ; 3,5; 9 11 ; 4 1 ; 6 ; 4 r ; –104
Representación de números sobre la recta real
• Representación de números fraccionarios mediante el teorema de Tales
Situamos sobre la recta real el número 5 14 utilizando el teorema de Tales: 5 14 = 2 + 5 4
0 4 2 + 5 1 2 3
• Representación de radicales mediante el teorema de Pitágoras
El siguiente procedimiento permite representar n para cualquier n ∈ N:
ejemplo:
Observa
• Representación aproximada de números reales
La representación de un número real dado mediante su expresión decimal puede hacerse con tanta aproximación como se desee. Por ejemplo, 842 5 = 3,8464…:
La mayor parte de los números reales no pueden ser representados de forma exacta por este tipo de procedimientos. Lo usual es recurrir a una representación aproximada.
Observa que cada ampliación significa partir el subintervalo anterior en diez partes y quedarnos con una de ellas. En definitiva, nos aproximamos al número buscado tanto como queramos.
3,847
Los números reales pueden ser representados en la recta real, según los casos, de forma exacta, o bien con tanta aproximación como queramos.
Practica...
3 a) Justifica que el punto representado es 21 .
0 1
b) Representa 27 (27 = 36 – 9) y 40 (40 = 36 + 4).
4 ¿Qué número es el que hemos señalado con una flecha?
0 1 2
Representa, del mismo modo, el 2,716.
Tramos de la recta real: intervalos y semirrectas
Intervalos
• El intervalo abierto (a, b) es el conjunto de todos los números comprendidos entre a y b, sin incluir ni a ni b : { x ∈ Á / a < x < b }.
• El intervalo cerrado [a, b] es el conjunto de todos los números comprendidos entre a y b, ambos incluidos: { x ∈ Á / a ≤ x ≤ b }.
• El intervalo semiabierto (a, b] es el conjunto de todos los números comprendidos entre a y b, incluyendo b pero no a : {x ∈ Á / a < x ≤ b }.
• El intervalo semiabierto [a, b) es el conjunto de todos los números comprendidos entre a y b, incluyendo a pero no b : {x ∈ Á / a ≤ x < b }.
Semirrectas y recta real
• (– ∞, a) son los números menores que a {x ∈ Á / x < a}
• (– ∞, a] son los números menores que a y el propio a: {x ∈ Á / x ≤ a}
• (a, +∞) son los números mayores que a: {x ∈ Á / x > a}
• [a, +∞) son los números mayores que a y el propio a: {x ∈ Á / x ≥ a}
La propia recta real se representa en forma de intervalo así: Á = (– ∞, +∞).
Cuando no hay ningún número que cumpla una condición concreta, se representa mediante el conjunto vacío, cuyo símbolo es ∅. Por ejemplo, los números x tales que x 2 < 0 corresponden al conjunto vacío: {x ∈ Á / x 2 < 0} = ∅. Representa estos intervalos e igualdades:
• Intervalo semiabierto (2, 3] 2 3
• Semirrecta (0, +∞) 0
• {x ∈ Á/ –2 ≤ x ≤ 0} –2 0
• {x ∈ Á/ 0 < x < 1} 0 1 a a
Observa
La unión de dos intervalos o semirrectas se representa por ∪: (–∞, 2) ∪ (0, 5] = (–∞, 5]
La intersección de dos intervalos o semirrectas se representa por ∩: (–∞, 2) ∩ (0, 5] = (0, 2)
Practica...
1 Escribe los conjuntos siguientes en forma de intervalo y representa los números que cumplen las condiciones indicadas en cada caso:
a) Comprendidos entre 5 y 6, ambos incluidos.
b) Mayores que 7.
c) Menores o iguales que –5.
2 Escribe en forma de intervalo y representa.
a) {x ∈ Á / 3 ≤ x < 5} b) {x ∈ Á / x ≥ 0}
c) {x ∈ Á / –3 < x < 1} d) {x ∈ Á / x < 8}
3 Escribe en forma de desigualdad y representa.
a) (–1, 4] b) [0, 6] c) (–∞, – 4) d) [9, +∞)
Raíces y radicales
Se llama raíz n-ésima de un número a, y se escribe a n , a un número b que cumple la siguiente condición:
a n = b si b n = a
a n se llama radical; a, radicando, y n, índice de la raíz.
Forma exponencial de los radicales
Los radicales se pueden expresar como potencias:
a n = a n 1 , pues (a n 1 )n = a n n = a1 = a a m n = a n m , pues a m n = (am) n 1 = a m · n 1 = a n m
Operaciones con radicales
• Simplificación de radicales
Expresando los radicales en forma de potencia, a veces, se pueden simplificar. 93 33 3 // 4 2 4 24 12 = === Hemos aplicado la propiedad ❶.
• Reducción de radicales a índice común
Para comparar dos radicales de distinto índice, reducimos a común denominador.
Para comparar 586 3 con 70 ,
Hemos aplicado la propiedad ❶
• Extracción de factores fuera de una raíz
Para simplificar algunos radicales, y para sumarlos y restarlos, a veces será necesario sacar factores fuera de una raíz. 18 32 32 32 22 == = Hemos aplicado la propiedad ❷.
• Producto y cociente de radicales del mismo índice
· 15
(propiedad ❷) 20 15
(propiedad ❸)
• Simplificación de productos y cocientes de radicales
Hemos aplicado las propiedades ❶, ❷ y ❸.
• Si a ≥ 0, a n existe cualquiera que sea n.
• Si a < 0, solo existen sus raíces de índice impar.
• En general, un número positivo, a, tiene dos raíces cuadradas: a y – a .
• Potencia de un radical
22 3 4 12 = ` j = 212/2 = 26 = 64 22 8 5 3 3 5 5 == ` j
Hemos aplicado la propiedad ❹.
• Raíz de un radical
22 3 6 = 55 3 4 12 = Hemos aplicado la propiedad ❺.
• Suma y resta de radicales Únicamente pueden sumarse radicales idénticos.
Hay casos en los que la posibilidad de simplificar una suma de radicales queda oculta. Previamente, deberemos sacar los factores que podamos fuera de las raíces, o simplificarlas.
32 518502 53 25 24 2152 52 14 2 –· –· –52 2 += += +=
Racionalización del denominador
Al proceso por el cual hacemos desaparecer los radicales del denominador se le llama racionalización del denominador.
En cada caso, nos haremos esta pregunta: ¿por qué expresión he de multiplicar el denominador para que el producto no tenga radicales? Una vez encontrada la expresión, también multiplicaremos por ella el numerador para que el resultado final no varíe.
1.er caso: raíces cuadradas. Por ejemplo:
2.° caso: otras raíces. Por ejemplo:
3.er caso: sumas y restas de raíces. Por ejemplo:
Practica...
1 Expresa en forma exponencial:
a) x 5 b) x 2 3 5`j c) a 6 15 d) a a 6 13
2 ¿Cuál de los dos es mayor en cada caso?
a) 31 4 y 13 3 b) 51 3 y 132 650 9
3 Reduce.
a) · 22 3 5 b) · 63 3 6 c) ab46 10
aa · n m mn = , pues: ()aa aa // /· · n m nm mn mn 11 1 == =
Observa
• (a + b ) · (a – b ) = a 2 – b 2
• A la expresión ab – se la llama conjugado de ab + . Y al contrario, ab + es el conjugado de ab –
4 Simplifica. a) a 2 3 6`j b) · xx 3 3 ` ` j j c ) 2 8ak
5 Efectúa.
a) 18 50 28 + b) 75 22748 – +
6 Racionaliza los denominadores.
a) 2 1 3 b) 32 4 + c) 23 3 –aa n p p n = ` j , pues: ()aa aa// n p np pn p n 1 == = ` j
Números aproximados. Errores
Aproximación y errores
Se llaman cifras significativas las que se usan para expresar un número aproximado. Solo se deben utilizar aquellas cuya exactitud nos conste y de modo que sean relevantes para lo que se desea transmitir.
Error absoluto de una medida aproximada es la diferencia entre el valor real y el valor aproximado.
Error absoluto = |Valor real – Valor aproximado|
El valor real, generalmente, es desconocido. Por tanto, también se desconoce el error absoluto. Lo importante es poder acotarlo: el error absoluto es menor que… Una cota del error absoluto se obtiene a partir de la última cifra significativa utilizada.
Error relativo es el cociente entre el error absoluto y el valor real. Es tanto menor cuantas más cifras significativas se usan. El error relativo también se suele expresar en tantos por ciento (%).
Observa
a) 34 m tiene 2 cifras significativas.
b) 0,0863 hm3 tiene 3 cifras significativas.
c) 53 000 L es posible que solo tenga 2 cifras significativas si los ceros del final solo han servido para designar el número. En tal caso, lo mejor sería poner 53 miles de litros.
Si al medir la capacidad de una piscina se obtiene 718900 L, sería más razonable decir que tiene 719 m3, utilizando solo 3 cifras significativas. Pero si la medición no fue muy fina o no queremos afinar tanto, lo propio sería decir 720 m3 o, mejor, 72 decenas de m3.
Si decimos que la capacidad de la piscina es 719 m3, la última cifra significativa (el 9) designa unidades de m3. El error absoluto es menor que medio metro cúbico (error < 0,5 m3).
El error relativo es menor que , 719 05 < 0,0007 = 0,07 %.
Practica...
1 ¿Verdadero o falso? Justifica tus respuestas.
a) Decir que en una cierta piscina caben 147 253 892 miles de gotas de agua es correcto si las mediciones se han hecho con mucha precisión.
b) Si estimamos correctamente que el número de gotas de agua que caben en una piscina es 15 decenas de miles de millones, estamos cometiendo un error absoluto menor que media
Observa
a) Medición: 34 m
Error absoluto < 0,5 m
E.r. < , 34 05 < 0,015 = 1,5 %
b) Medición: 0,0863 hm3
Error abs. < 0,00005 hm3
Es decir, error abs. < 50 m3
E.r. < , , 0 0863 0 00005 < 0,0006 = = 0,06 %
c) Medición: 54 miles de L
Error absoluto < 500 L
E.r. < 53 000 500 < 0,0095 < 0,01 = = 1 %
decena de miles de millones de gotas; es decir, E. abs. < 5 000 000 000 gotas.
c) Si el error relativo cometido en una cierta medición es menor que 0,019, podemos decir que es menor que el 19 %.
d) Si el error relativo cometido en una cierta medición es menor que 0,019, podemos afirmar que es menor que el 2 %.
Números en notación científica.
Control del error 6
Los números en notación científica:
— Se escriben mediante dos factores: un número decimal y una potencia de 10.
— El número decimal es mayor o igual que 1 y menor que 10.
— La potencia de 10 es de exponente entero.
Esta forma de expresión resulta muy cómoda para tratar con cantidades aproximadas muy grandes o muy pequeñas, pues:
• De un solo golpe de vista se aprecia el «tamaño» del número, lo cual se advierte en el segundo factor y lo da el exponente del 10.
• Se constata la precisión con la que se da la cantidad. Cuantas más cifras significativas tenga el primer factor, con más precisión se da el número.
Operaciones con números dados en notación científica
• Producto y cociente
Se operan, por separado, los componentes decimales, por una parte, y las potencias de 10 por otra.
Luego se reajusta el resultado para que adopte el formato de la notación científica.
Calcula.
(3,25 · 105) · (4,6 · 1011) = (3,25 · 4,6) · (105 · 1011) =
• Suma y diferencia
Preparamos los sumandos de modo que tengan la misma potencia de base 10 para ponerla como factor común. Luego, se reajusta el resultado.
Calcula.
3,7 · 1011 + 5,83 · 108 – 4 · 109 = 3 700 · 108 + 5,83 · 108 – 40 · 108 = = 3 665,83 · 108 = 3,66583 · 1011
Control del error en un número en notación científica
Si nos dicen que «en este almacén hay 2 500 sacos de harina», es posible que sea una cantidad aproximada.
Si utilizamos la notación científica, la expresión es inequívoca: 2,5 · 102 significa que solo hay dos cifras significativas. Y, si son tres, pondremos 2,50 · 102
Observa
3,845 · 1015 y 9,8 · 10–11 están en notación científica .
3,845 · 1012 = 3845000000000, es un número «grande».
9,8 · 10–11 = 0,000000000098, es un número «pequeño».
Recuerda
Con la calculadora, se opera fácilmente en notación científica. Para escribir un número en notación científica se usa la tecla �. Por ejemplo:
7,6 · 108 → 7,6 � 8
2,5 · 10–4 → 2,5 �f 4
Practica...
1 Efectúa. Después, repasa con la calculadora.
a) (6,4 · 105) · (5,2 · 10– 6) b) (2,52 · 104) : (4 · 10– 6)
c) 7,92 · 106 + 3,58 · 107
d) 8,113 · 1012 – 8 · 1011
2 La distancia de la Tierra al Sol es 149 000 000 km.
a) Exprésala en notación científica.
b) Exprésala en cm con dos cifras significativas.
c) Acota los errores absoluto y relativo en los casos anteriores.
Logaritmos 7
Se llama logaritmo en base a de P, y se escribe log a P, al exponente al que hay que elevar la base a para obtener P (a > 0 y a ≠ 1).
log a P = x ⇔ a x = P
Halla el valor de estos logaritmos:
a) log6 1 296 b) log2 0,125
a) 1 296 = 64. Por tanto, log6 1 296 = 4.
b) 0,125 = 1 000
== = 2–3. Por tanto, log2 0,125 = –3.
Propiedades de los logaritmos
1. Dos logaritmos sencillos
El logaritmo de la base es 1. El logaritmo de 1 es 0 en cualquier base. log a a = 1 log a a 1 = 0
2. Producto y cociente
El logaritmo de un producto es la suma de los logaritmos de los factores. El logaritmo de un cociente es la diferencia de los logaritmos del dividendo y del divisor.
a (P · Q )
3. Potencia y raíz
El logaritmo de una potencia (P k o bien PP / n n 1 = ) es igual al exponente por el logaritmo de la base de la potencia.
4. Cambio de base
Si sabemos calcular logaritmos en base a, podremos calcular, gracias a esta fórmula, logaritmos en cualquier base, b.
Logaritmos decimales
Los logaritmos en base 10 se llaman logaritmos decimales. Durante mucho tiempo fueron los más utilizados. Por eso, se les denomina, simplemente, log, sin poner la base.
Por ejemplo, log 10 = 1, log 100 = 2, log 1 000 = 3, log 0,0001 = – 4.
Y también, log 587 = 2,… pues 587 es mayor que 100 pero menor que 1 000.
En las calculadoras hay una tecla expresamente para estos logaritmos. Pero en las modernas calculadoras, para acceder a esta función, hay que pulsar previamente la tecla SHIFT (inversa):
log 200 →s 200 = 2,301029996
Logaritmos neperianos
Los logaritmos en base e se llaman logaritmos neperianos y se designan así ln (es decir, loge x = ln x).
En las calculadoras hay una tecla, , a la que se accede directamente.
Usa la calculadora
Las calculadoras que utilizamos actualmente tienen tres teclas para calcular logaritmos: , j y . Las dos primeras son fáciles de encontrar. La tercera (logaritmo decimal) está más escondida y aparece como segunda función; para usarla hay que pulsar s .
Para hallar el logaritmo en una base que no sea ni 10 ni e, las nuevas calculadoras han incorporado la tecla j. Sin embargo, a veces puede ser preferible recurrir a la propiedad 4 (ver página 16) de cambio de base que utilizar dicha tecla. Para ello, es mejor usar el ln ya que es una tecla directa.
• log 5 2 → jí 2 ””5 = 4,64385619
• log 5 2 = ln ln 2 5 → l 5 )/lí 2 = 4,64385619
Practica...
1 Halla estos logaritmos basándote en la definición:
a) log5 125 b) log50,04
c) log2 128
d) log2 0,0625 e) log a 1 f ) log10 0,0001
g) log2 / 12 `j h) log3 (1/3) i) log3 9 5
2 Averigua la base de los siguientes logaritmos:
a) log a 10 000 = 2 b) log b 216 = 3
c) log c 125 = 3 d) log d 3 = 2 1
3 Halla con la calculadora log 7 y log 70 y explica por qué ambos tienen la misma parte decimal.
4 Calcula aplicando la definición de logaritmo.
log4 163 + log4 2 + log 0,0001 + log 100 10 3
5 Si log x = 1,3 y log y = 0,8, calcula:
a) log (x · y) b) log () xy
c) log x y 2 d) log y x
El reto final
Lee e infórmate
Se dice que un rectángulo es áureo cuando sus lados guardan la divina proporción, es decir, si tomamos el lado menor como unidad, la medida del mayor es el número de oro, Φ = 2 1 5+ = 1,618…
Estos rectángulos tienen una curiosa propiedad: si les adosas un cuadrado sobre el lado largo, obtienes otro rectángulo áureo. Pruébalo:
Y si continúas adosando cuadrados, cada vez más grandes, obtendrás una sucesión de rectángulos áureos sobre los que se puede construir una bella espiral formada por arcos de circunferencia:
Concha de nautilus.
Se trata de una espiral muy conocida y estudiada en matemáticas (espiral equiangular o espiral geométrica). Pero lo más sorprendente es que aparece espontáneamente, de forma natural, en numerosas especies vegetales y animales (flores, frutos, conchas de moluscos, etc.).
• Construye, ahora, la serie de los sucesivos radios de la espiral, que coinciden con los lados de los cuadrados que se van adosando: R
R3 = 2
R4 = 3
¿Encuentras alguna relación entre la serie y la sucesión de Fibonacci?
Leonardo de Pisa (11701250)
También llamado Fibonacci (hijo de hombre bueno).
Su padre fue comerciante y cónsul de Pisa en la ciudad de Bugía, en la actual Argelia.
Esto le permitió aprender las matemáticas de los árabes, especialmente el sistema de numeración decimal, que contribuyó a introducir en Europa. Fue quien describió por primera vez la famosa sucesión:
1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, … en la que cada término se obtiene sumando los dos anteriores. Esta sucesión de Fibonacci tiene fuertes relaciones con el número áureo, Φ
1 Números reales
Números irracionales
Números racionales
Se expresan como el cociente de dos enteros. Su expresión decimal es finita o periódica.
Números irracionales
No se pueden expresar como cociente de dos enteros. Su expresión decimal es infinita y no periódica.
Algunos números irracionales
racionales Q enteros Z naturales N reales
enteros negativos fraccionarios
irracionales
Representación de radicales
Intervalos
Intervalo abierto
Intervalo
Representación de números fraccionarios
Representación aproximada de números reales
Semirrectas
Intervalo
Raíces y radicales
Operaciones con radicales
Racionalización de denominadores
Forma exponencial
Aproximaciones y errores Error absoluto = |Valor real – Valor aproximado|
=
Notación científica Logaritmos
de base 10 (con exponente entero)
Propiedades
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