OPERADORES OBJETIVOS Aprender el concepto de operación matemática. Reconocer y trabajar con nuevas estructuras simbólicas relacionadas con las operaciones. Sentar las bases para el estudio de las operaciones matemáticas de nivel superior. INTRODUCCIÓN Las operaciones matemáticas surgieron como consecuencia de la necesidad del hombre para realizar cálculos como agrupar, contar y repartir objetos, al mismo tiempo que era necesario tener conciencia de los números. Hoy en día la conciencia humana y estrictamente los matemáticos, llevan una vida intelectual muy sofisticada que resulta difícil definir, pero gran parte de lo que hoy conocemos como matemática es resultado de un pensamiento primitivo que originalmente se centró en los conceptos de número, magnitud y forma. La reserva de los números en las primeras etapas era muy limitada. La sucesión de los números naturales era finita y se fue extendiendo solo gradualmente. Actualmente, la sola conciencia de la prolongación ilimitada de la sucesión natural demuestra pues el alto grado de conocimiento y cultura que el hombre goza. Paralelamente a la utilización de más y más números surgieron y se desarrollaron los símbolos, no sólo para representar los números, si no también las operaciones a realizar con ellos. En el ejemplo mostrado en la introducción podemos apreciar cómo ciertas cantidades (las 5 cifras 2) dan origen a una nueva cantidad (El 0) mediante lo que conocemos como OPERACIÓN MATEMATICA. Nota:
¿Puedes escribir los números del 0 al 10 utilizando 5 veces la cifra 2 y recurriendo a las 4 operaciones matemáticas básicas? He aquí como se escribe el cero: 2 2 + - 2= 0 2 2 Continúe con los otros números.
Pero ¿Que es una operación matemática? OPERACIÓN MATEMATICA Es aquel procedimiento que transforma una o más cantidades en otra cantidad llamada resultado, bajo ciertas reglas y/o condiciones convenidas. Toda operación matemática tiene un símbolo que la representa llamado OPERADOR MATEMATICO OPERACIÓN MATEMATICA Adición Sustracción Multiplicación División
OPERADOR MATEMATICO + x
Radicación Logaritmación Valor absoluto Sumatoria Productoria Máximo entero Límites
Log | | [ ] Lim . . .
Integración . . .
Las operaciones matemáticas arriba mencionadas son conocidas universalmente, es decir que cualquier matemático
del mundo al observar la siguiente operación: Log28, sabe que el resultado es 3. En el presente capítulo lo que haremos es definir operaciones matemáticas con operadores y reglas de definición elegidos de forma arbitraria. El operador matemático puede ser cualquier símbolo (incluso figuras geométricas): , , #, , , , ... Las reglas de definición se basarán en las operaciones matemáticas ya definidas. Veamos los siguientes ejemplos: b = 2a2 - a x b
a operador matemático
regla de definición =x2 - x + 2
operador matemático
regla de de definición
Ahora veamos los siguientes ejemplos a resolver: PROBLEMAS RESUELTOS a b = 2 a b
01. Se define: Calcular: 7 9 a) 6 b) 7 d) 9 e) 10
c) 8
Resolución:
a
b=2 a b
7 7
9=2 7 9 9=8
En primer lugar hemos identificado a los elementos que vamos a operar (a=7; b=9), luego hemos reemplazado en la regla de definición y finalmente se han realizado las operaciones establecidas. CLAVE “C” x 1 02. Se define: x = x 1 Calcular: 3 a) – 5 d) – 4
b) – 7 e) - 1
c) – 6
Resolución:
x =
x 1 x 1
3 =
3 1 3 1
3 =2 03. Se define: 2a2 Calcular 18 2 Resolución:
b=
a b ; a b. ab
2a 2 b
ab a b
18 2 2 x 3 2 4
… (I) a Cambiamos el orden de los elementos y obtenemos:
34 34
CLAVE “B” 2
x xy - 1 ; x y ; xy 0. xy Calcule: 8 * (8 * (8 * (8 * …) ) )
a) 6 d) 9
b) 7 e) N.a.
c) 8
Luego: a * b =
xx y 1 x y x*y=x-1
Ahora veamos lo que nos piden: 8 * 8 * 8 * ... 8 1 7 y
CLAVE “B”
1 a a c b 05. Si: 1 b d c d Calcule:
b0 ; d0
1 n2 n 1 n 1 n 1 n 1 n n n = n n 1 2 n n 1 n n 1 n 1 n 1 Reemplazamos lo encontrado en la expresión A y nos queda: n 1 n 1 A= n n
Entonces operando:
1 n 1 A= 1 n 1 n n 1
CLAVE “A”
a) 5 d) 8
b) 6 e) 9
Resolución: De la expresión dada:
c) 4
a * b 4 b 2 .a
a.b 2
1 b
2
a = (a – 2b)
b) 60 e) 100
c) 80
Resolución: Se trata un operador simple; donde hay que darle forma a los elementos que componen el operador: 1 a = (a 2 2b) b 23 1 1 2
1 9 = 92 - 2/ 2/
b
a
CLAVE “C”
Resolución: Primero hallamos lo que está dentro del corchete de la expresión A:
06. Si: b * a 2 a a * b ; a * b > 0. Halle: E = 24 * 3
= 81 – 1 = 80
n 1 n 1 n A = n n n 1
A=1
2
CLAVE “B”
Hallar: 2 3 a) 40 d) 90
Nota: Se aprecia que la regla de definición depende únicamente de x (1er. elemento); el 2do. Elemento no interviene en los cálculos.
3
Entonces: E = 24 * 3 = 3 24 . 3 2 6 07. Si se define:
x 2 xy 1 x y
x*y=
x
b Reemplazamos la expresión hallada para b*a en la expresión (I) tendremos: a * b 2 2 b * a b a*b= a a
Resolución: Observamos que se puede reducir términos en la regla de definición: x*y=
a * b 2
b*a=
18 2= - 7 04. Si: x * y =
b * a 2
a(a * b) = b * a 2 a * b =