NUMERACIÓN Es parte de la aritmética que nos enseña a expresar y representar a los números de una manera sencilla, con una limitada cantidad de símbolos llamados numerales.
no sobra nada
30 (4)
Base 4
3 grupos de 4
SISTEMA POSICIONAL DE NUMERACIÓN Es un conjunto de reglas, principios, leyes, empleados para expresar y escribir mediante símbolos los numerales. Número Es un ente o idea matemática carente de definición, sin embargo nos da la idea de cantidad.
12 = 22 (5)
REGLA DE LOS SIGNOS En una igualdad de dos numerales a mayor numeral aparente le corresponde menor base: Ejemplo: 3 2 (x )
z < x Ejemplo: –
4, IV, cuatro, four, ...
... . .
+ GEUNI( p )
, cinco, five, .....
INGRESO 98 (q )
Se cumple: q < p
PRINCIPIOS 1. Del Orden Toda cifra en el numeral tiene un orden, por convención se enumera de derecha a izquierda.
3. De las cifras Las cifras son números naturales inclusive el cero, que siempre son menores que la base en la cual son empleadas o utilizadas.
Ejemplo:
0 , 1 , 2 , 3 , 4 , ..... , (n-2), (n -1)
Lugar Número Orden Ejemplo: 2
120 ( z)
Cumple:
Numeral Es la representación escrita de los números por medio de símbolos llamados cifras, güarismos o dígitos. Ejemplo:
5, IIII,
30 (4)
1º 1 4
1
4
2º 9 3
5
3º 9 2
4º 8 1
cifra no significativa
cifras significativas Cifra máxima = n-1 Cifra mínima = 0
ORDEN 1 (unidades) 2 (decenas) 3 (centenas) 4 (millares)
2. De la Base Es un numeral referencial que nos indica como se agrupan las unidades de un orden cualquiera para formar la unidad colectiva del orden inmediato superior: Sea “B” una base: Z B Es mayor que 1
*
El cero no tiene valor por si mismo, si no únicamente valor posicional es decir por el orden que ocupa.
*
Así pues, cada cifra dentro de un numeral tiene un valor digital o valor absoluto y un valor de posición o valor relativo.
Valor Absoluto (VA) Es el valor que tiene una cifra de acuerdo por su apariencia o figura. Valor Relativo (VR) Es el valor que tiene una cifra de acuerdo al orden que ocupa dentro de un numeral. Ejemplo:
Base : 2, 3, 4, 5, 6, ......
VA (2) = 2
Base 5
VA (4) = 4
22 (5)
VA (5) = 5 VA (3) = 3
Convención referencial (sub índice)
2
4
5
3 VR(3) = 3 x 1 = 3 unidades VR(5) = 5 x 10
1
= 5 decenas
VR(4) = 4 x 10
2
= 4 centenas
VR(2) = 2 x 10
3
= 2 millares
SISTEMA DECIMAL DE NUMERACIÓN El sistema decimal de numeración es el que tiene como base diez. Diez unidades de cualquier orden forman una unidad del orden inmediatamente superior. 1
c. Cualquier cifra escrita inmediatamente a la izquierda de otra representa unidades tantas veces mayores que ésta como unidades tenga la base del sistema de numeración. d. En cualquier sistema de numeración la cantidad de cifras posibles a utilizar siempre será numéricamente igual a la base. Ejemplo: Base “n”
(unidad) x 10
0, 1, 2, 3, ......, n -1
(decena)
10 x 10 10 2 10 3
“n” cifras
(centena) x 10
e. Para leer un número en un sistema diferente al decimal se le nombra cifra por cifra de izquierda a derecha y al final la base.
(millar)
Ejemplo:
de 10 100 1 = unidad 1000 cuarto = centenas = decenas = unidades millar orden
123 (4)
Se lee: uno, dos, tres de base, 4.
Cifras utilizadas: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 cero uno dos tres cuatro cinco seis siete ocho nueve Convencionalismos utilizados cuando las cifras son mayores que, 9 a b c d
= = = =
= (10) = (11) = (12) = (13)
ab
11 12 20
n
ab
ab : representa un número de 2 cifras del sistema decimal.
PRINCIPALES SISTEMAS DE NUMERACIÓN
2 3 4 5 6 7 8 9 10
Cuando las cifras son desconocidas se reemplaza por letras del abecedario, para diferenciar de ser una multiplicación de factores, se coloca una raya horizontal arriba de las letras. Ejemplo:
Base
Representación literal de numerales
Nombre (Sistema) Binario Ternario Cuaternario Quinario Senario Heptanario Octanario Nonario Decimal (Décuplo) Undecimal Duodecimal Vigesimal
Cifras que se usan 0, 1 0, 1, 2 0, 1, 2, 3 0, 1, 2, 3, 4 0, 1, 2, 3, 4, 5 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 0, 1, 2, 3, ... , 6, 7, 8, 9 0, 1, 2, 3, ... 8, 9, (10) 0, 1, 2, . . . (10), (11) 0, 1, 2, . . . (18), (19)
Enésimal
ab :
0, 1, 2, . . . , (n-3),(n-2),(n-1)
Consideraciones en el Sistema de numeración de base “n” a. Cualquier número puede ser escrito empleando el sistema de numeración considerando que la primera cifra siempre es diferente de cero. b. Un número de unidades de cualquier orden que coincida con la base del sistema de numeración, origina una unidad del orden inmediato superior.
{10, 11, 12, . . . , 98, 99}
abc (7) : numeral de 3 cifras de la base 7
abc (7)
{100 (7), 101(7), . . . , 666 (7)}
Numeral Capicúa Se llama numeral capicúa a aquel numeral que tiene representación simétrica es decir las cifras equidistantes de los extremos son iguales. Ejemplos: aa
{11, 22, 33, . . . , 99}
aba
{101, 111, 121, . . . , 999}
abba
{1001, 1111, . . . , 9999} DESCOMPOSICIÓN POLINÓMICA DE NUMERALES (Exponenciación de Numerales)
A. Se denomina así porque tiene las características de un polinomio donde la variable del polinomio viene a estar dado por la base en la cual está escrito el número. B. Los coeficientes del polinomio vienen a estar dados por las cifras que componen el número. C. El grado del polinomio viene a ser igual a la cantidad de cifras restantes que existen a su derecha.
Polinomio Algebraico:
Entonces: a = 2 ax
2
+ bx + c
La edad de (a+b = 7) años tuvo en 1922 + 7 = 1929
Polinomio Aritmético o Numérico: *
123 = 1 x 10 2 + 2 x 10 + 3
*
3000204 (5) = 3 x 5 + 2 x
*
210005 (7) = 2 x 7 5 + 1 x 7 4 + 5
6
52
+4
Ejemplos:
abc
2. Se desea adivinar el día y mes de nacimiento de una persona para que se le dice “Que duplique el día que nació luego lo multiplique por 10, sume 73 al producto y multiplique todo po 5 y al total le añada el número de orden del mes en que nació” Si la persona obtuvo 2776 ¿Qué día y mes es su cumpleaños? a) 8 Agosto d) 11 de Dic
ab = a x 10 + b = 10a + b
= a x 10 2 + b x 10 + c
b=5
b) 11 de Oct. e) 24 Nov.
Resolución:
= 100a + 10b + c DESCOMPOSICIÓN POR BLOQUES Es un caso particular de la descomposición polinómica consiste en tomar un bloque considerándolo como una cifra. Ejemplos:
Sean ab y cd el día que nació y el número de orden del mes en que nació: [(2
ab ) 10 + 73] 5 + cd = 2776 ab
10 2 + cd + 365 = 2776
ab
10 2 + cd = 2411
abcd = 2411
2324 = 23 x 10 2 + 24 = 2300 + 24 1453 = 1 x 10 + 453 = 1000 + 453
Entonces: ab = 24 y cd = 11
abcd = ab x 10 2 + cd = 100 ab cd abab = ab x 10 2 + ab = 101 ab
abcabc =
Sus cumpleaños es el 24 de Noviembre 3. Si los numerales están correctamente escritos:
abc x 10 3 + abc = 1001 abc
234 (a) ; 2a 3(b) ; bb 2(7)
Hallar: a + b
abcabc (5) = 1001 (5) x abc (5)
a) 7 d) 9
Ejercicios
b) 8 e) 10
c) 11
Resolución:
1. Una persona nació en el años 19 aa y en el año 19 bb cumplió (4a + 5b) años ¿Cuál fue el año en que tuvo (a+b) años de edad? a) 1968 d) 1973
c) 24 Oct
b) 1970 e) 1971
De los: 243 (a ) ; 2a 3(b) ; bb 2(7)
c) 1929
1º Se cumple:
Resolución:
2º
3º
cifra < base
Entonces:
Graficando:
De 1º
De 3º
4 <a<b<7
19 aa
19 bb De 2º
Nació
Necesariamente: a = 5 y b = 6
Edad = 19 bb 19 aa = 4a + 5b
a + b = 5 + 6 = 11
bb – aa = 4a + 5b
11b – 11a = 4a + 5b 6b = 15a 2b = 5a b a
5 2
4. Si los siguientes numerales esta correctamente escritos: m1p(8); 345 (m) ; mmm (p)
expresar mp en el sistema octal.
a) 100 8 d) 101 8
B) 3018 e) 103 8
c) 141 8
Resoluci贸n: De 345 (m) ; 5
m
De mmm (p) ; m p De m1p(8)
;p
.......... ...( )
8
Luego de ( ): 5 < m < p < 8 6 7 Siendo: mp = 67 Luego pasando a base 8 67
8
64
8 8 0
3
8 1